Maschinendynamik - IDS · PDF fileSeite 5 Kapitel 1 Einleitung Gegenstand der Untersuchungen...

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Transcript of Maschinendynamik - IDS · PDF fileSeite 5 Kapitel 1 Einleitung Gegenstand der Untersuchungen...

  • Maschinendynamik

    Vorlesungsmanuskript Prof. Dr.-Ing. Bodo Heimann Prof. Dr.-Ing. Karl Popp †

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    2.3

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  • Seite 2

  • Seite 3

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einleitung 5

    2 Dynamik der starren Maschine 8 2.1 LAGRANGE’sche Gleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Auswertung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Analytische Lösung der Bewegungsgleichung bei kons. Kraftfeld . . . . . . . . . . 12 2.4 Anlauf- und Abbremsvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Ungleichförmigkeitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    2.6.1 Aufstellung der Bewegungsgleichung für ein Viergelenkgetriebe . . . . . . 16

    3 Aufstellung der starren Maschine 18 3.1 Schwingungsisolation bei harmonischer Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.1.1 Krafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1.2 Federkrafterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.3 Unwuchterregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.4 Feder-Dämpfererregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    3.2 Schwingungsisolation bei transienter Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Anregung durch einen Einheitsstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 Anregung mit der Einheits-Sprungfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.3 Restamplitudenverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.4 Relativer Isolierwirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    4 Torsionsschwingungen in Antriebssystemen 32 4.1 Strukturen der Torsionsschwingungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.1.1 Glatter Wellenstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.2 Wellenstrang mit Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1.3 Verzweigter Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.4 Vermaschter Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.1.5 Vermaschter Antrieb mit Querverbindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4.2 Modellbildung von Torsionsschwingungssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.1 Reduzierung auf die Modellstruktur des glatten Wellenstranges . . . . . . 36 4.2.2 Ermittlung von Ersatzfederkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2.3 Zahnsteifigkeitsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    4.3 Freie Torsionsschwingungen diskreter linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.3.1 Lösung der homogenen Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3.2 HOLZER-TOLLE-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3.3 Verfahren der Übertragungsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.4 Erzwungene Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  • Seite 4 INHALTSVERZEICHNIS

    4.5 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.5.1 Bestimmung der tiefsten Eigenkreisfrequenz eines Schiffsantriebes mittels

    des HOLZER-TOLLE-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    5 Biegeschwingungen rotierender Wellen 55 5.1 LAVAL-Läufer in starren Lagern mit sym. Wellenquerschnitt . . . . . . . . . . . 55

    5.1.1 Bewegungsgleichungen in raumfesten kartesischen Koordinaten . . . . . . 56 5.1.2 Bewegungsgleichungen in raumfesten komplexen Koordinaten . . . . . . . 57 5.1.3 Bewegungsgleichungen in mitrotierenden komplexen Koordinaten . . . . . 59

    5.2 Der elastisch gelagerte LAVAL-Läufer mit symmetrischem Wellenquerschnitt . . 61 5.3 Rotoren mit Gleitlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.4 Rotoren mit unrunder Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5 Einfluß der Kreiselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 Instationärer Betrieb (Anlaufvorgang) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.7.1 LAVAL-Läufer in starren Lagern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.7.2 Auskragende Welle mit Kreiseleinfluß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.7.3 Aufstellung der linearisierten Bewegungsgleichung einer Zentrifuge und

    Untersuchung der Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    6 Biegeschwingungen massebehafteter Balken 81 6.1 Der RAYLEIGH-Quotient zur Abschätzung der niedrigsten Eigenkreisfrequenz . 83 6.2 Rotierende Wellen mit kontinuierlicher Masseverteilung . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    6.3.1 Eigenkreisfrequenzermittlung mit dem RAYLEIGH-Quotienten für einen Balken (eingespannt/gestützt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    7 Massenausgleich und Auswuchten von Maschinen 89 7.1 Auswuchten starrer Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.2 Massenausgleich an Koppelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    8 Mathematischer Anhang 95 8.1 Modale Berechnung von Mehrfreiheitsgradsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.2 Bimodale Berechnung von Mehrfreiheitsgradsystemen . . . . . . . . . . . . . . . 97

    9 Literatur zur Maschinendynamik 100

  • Seite 5

    Kapitel 1

    Einleitung

    Gegenstand der Untersuchungen in der Maschinendynamik ist es, die Wechselwirkungen von Kräften und Bewegungen und die damit verbundenen Beanspruchungen von Maschinen auf- zudecken. Im Sinne der EU-Maschinenrichtlinie gilt als Maschine dabei die Gesamtheit von untereinander verbundenen Teilen oder Vorrichtungen, von denen mindestens eines beweglich ist. Neben einer gewünschten Dynamik der Maschine, die ihrer geforderten Funktionalität ent- spricht, kommt es aber häufig auch zu unerwünschten dynamischen Erscheinungen, insbesondere zu Schwingungen.

    Maschinen bzw. ihre Bauteile stellen in der Regel elastische und mit Masse behaftete Strukturen dar und sind somit schwingungsfähig.

    Dynamische Probleme an Maschinen sind sehr alt und traten zuerst an Kraft- und Arbeitsmaschi- nen auf. Beispiele dafür sind Torsionschwingungen an Kolbenmotoren oder Biegeschwingungen bei Strömungsmaschinen.

    Da diese Schwingungserscheinungen im Vergleich zur geforderten Bewegung meist ‘klein’ sind, ist es in vielen Fällen ausreichend, lineare Schwingungen zu untersuchen.

    Trotz ihrer ‘Kleinheit’ können die Schwingungserscheinungen sehr gefährlich werden. Das ist z.B. bei Resonanzerscheinungen der Fall (etwa beim Resonanzdurchgang im Anlauf), bei denen die Frequenz der Anregung und die Eigenfrequenz eines Maschinenteils übereinstimmen. Ein anderes gefährliches Phänomen sind die selbsterregten Schwingungen. Sie entstehen, wenn eine Energiequelle vorhanden ist, die der Schwingungsstruktur ständig Energie zuführt und damit die Schwingung aufrechterhält oder sogar anfacht, falls die zugeführte Energie nicht dissipiert werden kann. Das System ist folglich einer andauernden dynamischen Belastung ausgesetzt. Die daraus resultierenden Materialbeanspruchungen können zu Materialschädigungen führen, z.B. durch Werkstoffermüdung und/oder Überschreitung zulässiger Spannungen.

    Mit dem Problem der Maschinenschwingungen muss sich der Ingenieur sowohl beim Entwurf, der Konstruktion und der Erprobung als auch während des Betriebes von Maschinen und Anlagen auseinandersetzen. Dazu stehen ihm moderne rechnerische und experimentelle Hilfsmittel zur Verfügung.

  • Seite 6 Kapitel 1: Einleitung

    Grundsätzlich lassen sich die Aufgaben der Maschinendynamik in drei Gruppen einteilen (Abbildung 1.1):

    • Modellfindung (Ermittlung eines geeigneten mechanischen Ersatzmodells und – daraus abgeleitet – eines der Berechnung zugänglichen mathematischen Modells (Bewegungsglei- chungen))

    • Modellberechnung (rechnerische und experimentelle Ermittlung des Systemverhaltens auf der Grundlage der Modellvorstellung)

    • Ergebnisinterpretation und Beeinflussung der Konstruktion.

    Während die zweite Aufgabe zunehmend rechnerunterstützt abläuft, kann die erste und die dritte Aufgabe dem Ingenieur nicht abgenommen werden.

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  • Seite 7

    behandelt Probleme der Modellfindung und -berechnung auf den klassischen Teilgebieten: