Maschinendynamik - Kapitel 5

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Weitergabe sowie Vervielfältigung dieser Unterlage, Verwertung und Mitteilung ihres Inhaltes nicht gestattet soweit nicht ausdrücklich zugestanden. 97 5. Massenausgleich 5.1 Einführung Ziel des Massenausgleichs ist: Massenwirkung auf Grund von rotierenden und oszillierenden Massen (Massenkräfte und –momente durch Trägheit der bewegten Massen) auf die Umgebung sollen klein gehalten werden. Das Fundament wird entlastet! Dabei können einzelne Gelenke, die Antriebswelle oder sonstige Bauteile durchaus durch den Massenausgleich dynamisch höher belastet werden (Nebenwirkung!, Fragen Sie Ihren Arzt oder Apotheker!). Im technischen Sprachgebrauch unterscheidet man zwischen den Begriffen „Auswuchten“ und Massenausgleich“. Das „Auswuchtenbezieht sich auf die Kompensation der Massenwirkung bei Rotoren mit Hilfe von Ausgleichsgewichten (oder Entfernen von Masse durch Bohren) Rotoren sind z.B. Trommeln von Zentrifugen, Welle und Laufrad einer Kreiselpumpe, Rotor eines Turboverdichters, Elektromotoren, Turbinen von Zahnarztbohrern. Unwuchten entstehen infolge von Fertigungsungenauigkeiten und Materialinhomogenitäten. Zur Bestimmung der Lagerkräfte/Fundamentkräfte können das NEWTONsche Gesetz (Impulssatz) und die EULER-Gln. (Drallsatz in rot. Koordinaten) herangezogen werden (s. Kapitel 3). Man unterscheidet die statische und die dynamische Unwucht. ω S A e ρ ω x y z S i i i B C Bild 5.1: Prinzipdarstellung von statischer (oben) und dynamischer Unwucht (unten) Die Unwuchtkräfte laufen stets mit der entsprechenden Winkelgeschwindigkeit ω des entsprechenden Maschinenteils um. Bei Getrieben können also mehrere Winkelgeschwindigkeiten gemäß den vorkommenden Übersetzungsverhältnissen vorhanden sein.

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Maschinendynamik - Kapitel 5Das Skript beschreibt die Zusammenhaenge der Maschinendynamik im Mathematischen Sinne sehr klar und verstaendlich!

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5. Massenausgleich

5.1 Einführung

Ziel des Massenausgleichs ist: Massenwirkung auf Grund von rotierenden und oszillierendenMassen (Massenkräfte und –momente durch Trägheit der bewegten Massen) auf dieUmgebung sollen klein gehalten werden. Das Fundament wird entlastet! Dabei könneneinzelne Gelenke, die Antriebswelle oder sonstige Bauteile durchaus durch denMassenausgleich dynamisch höher belastet werden (Nebenwirkung!, Fragen Sie Ihren Arztoder Apotheker!).

Im technischen Sprachgebrauch unterscheidet man zwischen den Begriffen „Auswuchten“ und„Massenausgleich“.

Das „Auswuchten“ bezieht sich auf die Kompensation der Massenwirkung bei Rotoren mitHilfe von Ausgleichsgewichten (oder Entfernen von Masse durch Bohren)Rotoren sind z.B. Trommeln von Zentrifugen, Welle und Laufrad einer Kreiselpumpe, Rotoreines Turboverdichters, Elektromotoren, Turbinen von Zahnarztbohrern. Unwuchtenentstehen infolge von Fertigungsungenauigkeiten und Materialinhomogenitäten.

Zur Bestimmung der Lagerkräfte/Fundamentkräfte können das NEWTONsche Gesetz(Impulssatz) und die EULER-Gln. (Drallsatz in rot. Koordinaten) herangezogen werden (s.Kapitel 3). Man unterscheidet die statische und die dynamische Unwucht.

ωS

A

e

ρω

x

yz

S ii

iB

C

Bild 5.1: Prinzipdarstellung von statischer (oben) und dynamischer Unwucht (unten)

Die Unwuchtkräfte laufen stets mit der entsprechenden Winkelgeschwindigkeit ω desentsprechenden Maschinenteils um. Bei Getrieben können also mehrereWinkelgeschwindigkeiten gemäß den vorkommenden Übersetzungsverhältnissen vorhandensein.

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Man spricht von einem starren Rotor bzw. vom Auswuchten eines starren Rotors, wenn ersich wie ein starrer Körper verhält, d. h. keine (nennenswerten) elastischen Deformationenauftreten. Ein starrer Rotor kann vollständig durch Anbringen von Wuchtgewichten in 2Ebenen (Wuchtebenen) ausgewuchtet werden. Damit lassen sich die statische und diedynamische Unwucht beseitigen.

Praktisch kann ein Rotor als starr angesehen werden, wenn sich die Drehzahl unterhalb derhalben kleinsten kritischen Drehzahl des Rotors befindet. Die kleinste kritische Drehzahlentspricht der ersten Eigenfrequenz des Rotors (hierzu später Genaueres).

Ω

muε

Ω

muε

mu2

mu2

ε ε

0 0

Ω

muε

mu2

mu2

ε ε

Ausgangssituation: Rotor mit Urunwucht

Ausgleich des starren Rotors in 2 Ebenen

Elastische Verformung des lediglich als Starrkörperausgewuchteten Rotors nahe der 1. biegekritischen Drehzahl

Bild 5.2: Auftreten elast. Verformungen eines nur als Starrkörper ausgewuchteten Rotors

In der Nähe der kritischen Drehzahlen können durch Resonanzüberhöhungen ganz erheblicheelastische Verformungen auftreten. Der Auswuchtzustand eines „elastischen Rotors“ ändertsich dann mit der Drehzahl infolge der Deformation. Zum Auswuchten eines elastischenRotors benötigt man n+2 Wuchtebenen, wobei sich n aus der Anzahl der Resonanzfrequenzen(= kritische Drehzahlen), die im interessierenden Drehzahlbereich liegen, ergibt.

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Der Begriff „Massenausgleich“ im engeren Sinne bezieht sich auf den Ausgleich vonKraftwirkungen bei Mechanismen. Mechanismen mit rotierender Antriebskurbel führen in derRegel keine harmonischen, sondern periodische Bewegungen aus.

Die FOURIER-Zerlegung liefert die entsprechenden Anteile der Erregerkräfte zu denErregerkreisfrequenzen ω, 2ω, 3ω, ... (Grundkreisfrequenz + 2., 3., ... Harmonische).

Der Massenausgleich erfolgt in zwei Schritten:

a) Berechnung der Massenkräfte und –momente, die von den in Bewegung befindlichenMassen hervorgerufen werden,

b) Beseitigung oder Reduktion dieser Massenwirkung durch geeignete konstruktiveMaßnahmen. Je nachdem, ob der Ausgleich vollständig oder nur teilweise gelingt,unterscheidet man zwischen vollständigem oder harmonischem Ausgleich.

Exemplarisch soll die Vorgehensweise an einem ungeschränkten Schubkurbelgetriebe gezeigtwerden.

5.2 Massenkräfte und –momente an der Einzylindermaschine

Als Voraussetzung soll gelten: Es handele sich um einen ungeschränkten Kurbeltrieb, d. h.Kolbenlängsachse und Kurbelwellenachse schneiden sich und die Winkelgeschwindigkeit seikonstant: .konst=ω

Bild 5.3: Schubkurbeltrieb, schematische Darstellung

Im Wesentlichen besteht der Kurbeltrieb aus 3 massebehafteten Teilen:• Kolben,• Pleuel und• Kurbelwelle

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100

5.2.1 Ersatzsystem

S

Am

Bm

A

B

Sm

ABr

Ar

Br

Sr

ASr

O

Bild 5.4: Zweimassen-Ersatzsystem für einen Starrkörper

Zur Berechnung der Massenkräfte auf die Lagerung und damit auf die Umgebung wird dasPleuel durch ein 2-Massen-Ersatzmodell abgebildet, das hinsichtlich der Translation kinetischdie gleichen Eigenschaften besitzen soll, wie der ursprüngliche Starrkörper.

Bei dem Ersatzmodell sollen die Massen auf die zwei Punkte A, B verteilt werden. S ist derSchwerpunkt des Starrkörpers.

Vorgehensweise:Der Starrkörper sei durch die Gesamtmasse m und das Trägheitsmoment sJ bezgl. derDrehachse durch den Schwerpunkt charakterisiert.

Das Ersatzmodell bestehe aus zwei Punktmassen in A und B. Für die Gesamtmasse (1) unddie Schwerpunktlage (2) gelte (vgl. Kap.3.1)

1. BA mmm += (5.2.1)

2. BBAAS rmrmrm += (5.2.2)

Für die Ortsvektoren ist weiterhin:

ABAB rrr += und (5.2.3)

ASAS rrr += (5.2.4)

Wenn ursprüngliches System und Ersatzsystem bzgl. der Translation die gleichen kinetischenEigenschaften besitzen sollen, dann bedeutet dies, dass der Impuls, bzw. dessen Ableitunggleich sein müssen: pp Ersatz

!! = . Dabei gilt, wie in Kapitel 3 gezeigt, dass der Impuls sich

aus dem Produkt aus Gesamtmasse und Schwerpunktgeschwindigkeit ergibt.

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Für die Ableitung gilt dementsprechend:

Ersatzs prmp !!!! == (5.2.5)mit

BBAAErsatz rmrmp !!!!! += (5.2.6)

Es zeigt sich aber, dass für dieses vereinfachte Ersatzmodell i.A.

2SBB

2ASAsErsatzs rmrmJJ +=≠ (5.2.7)

Die Ausrechnung der beiden Massen BA m,m ergibt unter Verwendung von Gl.(5.2.1),(5.2.3)

( ) ABBAABABAAs rmrmrrmrmrm +=++= (5.2.8)

und mit Gl. (5.2.4)

ABB rmrmAS

= (5.2.9)

Die letzte Gl. von links mit TABr multipliziert, ergibt

2121

221r

rrmm s

T

s= (5.2.10)

Das Skalarprodukt ist wegen der parallelen Vektoren (γ = 0)

ASABASABAST

A rrrrrr == γcos (5.2.11)

womit sich die Massenverteilung

−=−=

=

AB

ASBA

AB

ASB

rr

mmmm

rr

mm

1 (5.2.12)

ergibt.

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x

B

y

β

r

S’

s’l

s

s,,S,,

Fy

Mz0

S

Fx

x

B

y

A

α

β

r

m +m’AA

m +mB,,,

S’

s’l

Bild 5.5: Schubkurbeltrieb : Geometrie, Kräfte und Aufteilung der Massen

Anwendung auf den Kurbeltrieb (s.Bild 5.5):

1) Kurbelwellenkröpfung:

Masse m , Verteilung auf die Punkte O und A

−==

rsrmm

rsmm oA ; (5.2.13)

Anmerkung: O ist Fixpunkt, d. h. auch für Omo = erfüllt, da Or =!!

2) Pleuel:

Masse m‘, Verteilung auf die Punkte A und B

−′=′

′′=′

lsmm

lsmm

A

B

1(5.2.14)

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3) Kolben:

Masse m“; die Verschiebung nach B ist erlaubt, da der Kolben nur eine translatorischeBewegung ausführt, die durch B verläuft.

mmB ′′=′′ (5.2.15)

Der Zusammenhang zwischen den x-Koordinaten ist

sxx SB ′′−= ′′

und entsprechend für den Ortsvektor

=

=

00

00

"

"s

s

B

B

xr

xr

Nach Ableiten ergibt sich sofort die Äquivalenz der Kraftwirkung:""" "damitund sBsB rmrmrr

B!!!!!!!! ==

5.2.2 Massenkräfte

Für das ursprüngliche und das Ersatzsystem gilt nun , dassMassenkräfte des Ersatzsystems = Massenkräfte des Ursprungssystems, da dieImpulsableitung für beide identisch sind

Wir gehen vom Ersatzmodell, Bild 5.5 (rechts), mit den auf drei Punkte konzentriertenMassen aus. Die momentane Lage der Punkte A und B ist mit tωα = , ω = konst.

=

=

00

xr;

0tsintcos

rrB

BA ωω

(5.2.16)

In Kap. 2 „Kinematik“ (handgeschriebenes Beispiel) wurde der Kurbeltrieb bereitsuntersucht. Für eine Koordinate, die vom oberen Totpunkt (OT) aus zählt, hatten wirgefunden dass

( )

−−+−= αλα 22 sin11cos1 lrxOT mit lr

=λ (5.2.17)

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Für die hier verwendete Koordinate x‘‘ gilt dann

oTxlrx −+=" αλα 22 sin1lcosr −+=

−+= αλ

λα 22 sin11cosr

Für die Beschleunigungen des Kolbens können wir dann schreiben:

BoT xxx !!!!!! =−=" (5.2.18)

Für OTx!! hatten wir bei der kinematischen Berechnung seinerzeit gefunden, dass1

( )αλαω 2coscos2 += rxOT!!

also:( )arxB 2coscos2 λαω +−=!! (5.2.19)

Die Beschleunigungen für die Punkte A und B ist dann

( )

+−=

OO

rr B

αλαω 2coscos2

!! (5.2.20)

−=

−=

Osincos

rO

tsintcos

rr 22A α

αωω

ωω!! (5.2.21)

1 Dies folgte aus dem Abbruch der Reihenentwicklung von

.._81

2111sin1 222 zzza −−=−=− λ nach dem linearen Glied unter der

Voraussetzung, dass ( )1≤z , was aber wegen 1<=lrλ erfüllt ist. Außerdem ist

( )aa 2cos121sin2 −=

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Aus dem Impulssatz folgt die Kraft, die notwendig ist, diese Bewegung zu realisieren. Siemuss durch die Umgebung (die Kolbenwand und die Kurbelwellenlagerung) aufgebrachtwerden:

∑∑==

====2

1

2

1 iii

ipprmF !!!!

( ) BAAA rmmrmmFB

!!!!

+++= "''

( ) ( )

++−

+−=

OO

2coscosrmm

Osincos

rmmF 2"'B

2AA '

αλαωα

αω (5.2.22)

x-Komponente:

( ) ( )( )[ ]αλααω 2coscoscos "2'' ++++−= mmmmrF

BAAx

( ) ( )[ ]αλαω 2coscos "'"''2 mmmmmmrF BBAAx +++++−=

( ) ( )[ ]αλαω 2coscos' "'"2 mmmmmrF BAx ++++−= (5.2.23a)

y-Komponente:

( ) αω sin'2

AAy mmrF +−= (5.2.23b)

z-Komponente:

0=zF (5.2.23c)

Man erkennt:in yF kommt mit α =ω t nur die Grundfrequenz ω vor (umlauffrequenter Anteil), währendin xF außerdem noch ein doppelt-umlauffrequenter Anteil durch die Kolbenmasse und einMassenanteil durch das Pleuel auftritt ( )t2cos ω

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Die Kraft F (mit ihren Komponenten zyx FFF ,, ) ist die resultierende Kraft, die auf dasSystem (den Kurbeltrieb) als Zwangskraft wirken muss, damit sich das System in derbeschriebenen Weise bewegt. Die Kräfte werden über das Kurbellager O und die Führungdes Kolbens auf den Kurbeltrieb ausgeübt.

Umgekehrt sind die Kraftwirkungen aufgrund der Trägheit der bewegten Massen(Massenkräfte) auf das Kurbelwellenlager und die Kolbenführung

iiTx xmFF x!!∑−=−= ; iiyTy ymFF !!∑−=−=

( ) ( )[ ]t2cosmmtcosmmmmrF "'B

"'B

'AA

2Tx ωλωω +++++= (5.2.24a)

( ) tsinmmrF 'AA

2Ty ωω += (5.2.24b)

5.2.3 Ausgleich der Massenkräfte

5.2.3.1 Ausgleich durch Gegengewichte

Man unterscheidet zwischen

- vollständigem und- harmonischem Ausgleich

Vollständiger Massenausgleich liegt vor, wenn der Gesamtschwerpunkt trotz derMechanismenbewegung in Ruhe bleibt. Dieses ist häufig schwer zu realisieren. Beimharmonischen Ausgleich versucht man, nur die störenden Harmonischen auszugleichen.

Beim Schubkurbeltrieb wird der Ausgleich durch Gegengewichte an den beiden Kurbel-wangen durchgeführt.

Der Schwerpunkt *S der Zusatzmassen (aus Symmetriegründen meist zwei) liegt gegenübervon ( )ObzglA . , die Größe der Zusatzmassen beträgt zusammen m*. Die Lage von *S wirddurch den Ortsvektor

−=

Otsintcos

sr **s ω

ω(5.2.25)

beschrieben. Man erkennt, dass der Term ( )rmm AA'+ damit um ** sm reduziert werden

kann.

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x

B

y

s*

0

S*

m*A

α

Bild 5.6: Schubkurbeltrieb mit Ausgleichsmassen

Mit den beiden Abkürzungen

( ) rmmQ AAA ′+= ( ) rmmQ BB ′′+′= (5.2.26)

erhält man für die Kraftkomponenten

( )[ ]t2cosQtcos*s*mQQF BBA2

x ωλωω +−+−= (5.2.27a)

und

( ) tsin*s*mQF A2

y ωω −−= (5.2.27b)

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Leider muss man an dieser Stelle erkennen, dass mit den Ausgleichsmassen in dieser Formnur auf die umlauf-frequenten Terme Einfluss nehmen kann. Die höherfrequenten Anteile (inunserer Rechnung wurden nur noch der doppelt-umlauffrequente Term mitgenommen) lassensich durch mit ω umlaufende Ausgleichsgewichte nicht beseitigen.

Bislang wurde noch nichts darüber gesagt, wie groß das Produkt m*s* gewählt werden muss.Je nach Zielvorgabe lassen sich verschiedene Fälle untersuchen:

• Beseitigung der Querkraft

Dazu wird

** smQA = (5.2.28)

gewählt. Aus Gleichung (5.2.27) folgt dann unmittelbar

[ ]t2costcosQF B2

x ωλωω +−= (5.2.29a)

und

0=yF (5.2.29b)

• Beseitigung der Längskraft 1. Ordnung

In diesem Fall setzen wir

** smQQ BA =+ (5.2.30)

gewählt. Aus Gleichung (5.2.27) folgt dann unmittelbar

t2cosQF B2

x ωλω−= (5.2.31a)

und

tsinQF B2

y ωω+= (5.2.31b)

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• Kompromisslösung

Diese Variante bewegt sich zwischen den beiden anderen Fällen und deckt diese alsGrenzfälle ab. Der Ausgleich wird durch

** smkQQ BA =+ mit 10 ≤≤ k (5.2.32)

bestimmt. Die Kräfte sind dann

( )[ ]t2costcosk1QF B2

x ωλωω +−−= (5.2.33a)

und

tsinkQF B2

y ωω+= (5.2.33b)

Häufig wird k = 0.5 gewählt.

In den nachfolgenden Bildern 5.7 und 5.8 sind die Verläufe für die Kräfte für k= 0, 1 und 0.5dargestellt. Die durchgezogenen Linien stellen die Kräfte vor dem Massenausgleich, dieunterbrochenen Linien die Kräfte nach dem Ausgleich dar.

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110

0 100 200 300 400 500 600 700 800-1000

-500

0

500

1000

1500Kräfte auf die Kurbelwelle: Komponenten Fx Fy bei K = 0

Kurbelwinkel [Grad]

F [ N ]

0 100 200 300 400 500 600 700 800-1000

-500

0

500

1000

1500Kräfte auf die Kurbelwelle: Komponenten Fx Fy bei K = 1

Kurbelwinkel [Grad]

F [ N ]

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0 100 200 300 400 500 600 700 800-1000

-500

0

500

1000

1500Kräfte auf die Kurbelwelle: Komponenten Fx Fy bei K = 0.5

Kurbelwinkel [Grad]

F [ N ]

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

200

400

600

800

1000

1200Kräfte auf die Kurbelwelle F und Faus bei K = 0.5

Kurbelwinkel [Grad]

F [ N ]

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5.2.3.2 Ausgleich durch zusätzliche umlaufende Ausgleichsmassen

Diese Methode ist technisch wesentlich aufwendiger, es wird aber ein verbesserter Ausgleicherreicht. Zunächst werden Gegengewichte an den Kurbelwangen, wie eben besprochen,angebracht, wobei k = 0 gesetzt wird. Damit ist QA ausgeglichen. Die verbleibenden Kräftesind durch die Gleichung (5.2.27) bestimmt. Die Querkraft ist bereits vollständig eliminiert.

Um die restlichen Kräfte zu beseitigen, werden paarweise gegenläufig drehendeExzentermassen me montiert, dabei heben sich die aus diesen zusätzlich angebrachtenQuerkräfte auf und die verschiedenen Harmonischen der Längskraft Fx,n können ausgeglichenwerden. Die Anteile der Trägheitskraft, die zu den verschiedenen Frequenzen ω, 2ω, 3ω, ...gehören, lassen sich nun allgemein als

)cos(2, tnAQF nBnTx ωω= (5.2.34)

anschreiben. Die ersten beiden Harmonischen (n = 1,2) der Massenkräfte sinddementsprechend

)cos()cos( 21

21, tQtAQF BBTx ωωωω == 11 =A (5.2.35a)

)2cos()2cos( 22

22, tQtAQF BBTx ωλωωω == λ=2A (5.2.35b)

Die Gewichtungen A1/2 erhält man durch Vergleich mit den bisherigen Ergebnissen.

Entsprechend muss man den Schwerpunktsabstand e und die Exzentermasse me wählen, sodass sich die Trägheitskräfte aus Kurbeltrieb und Ausgleichsmassen gegenseitig eliminieren.

Die x-Koordinate des Exzentermassenschwerpunktes ist:

)tncos(ex n,me ω−= n=1,2,... (5.2.36)

und die Beschleunigung und Trägheitskraft pro Masse (wegen der paarweisen Anordnungwerden 2 benötigt)

)tncos(nex 22n,me ωω=!! ; (5.2.37)

)tncos(nemxmF 22en,meen,Tme ωω−=−= !! (5.2.38)

• Ausgleich der 1. Harmonischen ( n = 1)

Wir fordern, dass die Zusatzmassen die Massenkraft des Kurbeltriebs ausgleichen:

02 1,1, =+ TmeTx FF (5.2.39)

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was nach Einsetzen von Gl. (5.2.35a) und (5.2.38) sowie (5.2.26)

( ) ( ) rmmQem BBe ′′+′==12 (5.2.40)

ergibt. Damit kann das Produkt (me e)1 aus Pleuel- und Kolbenmasse sowie demKurbelradius für den Ausgleich des umlauffrequenten Anteils bestimmt werden.

• Ausgleich der 2. Harmonischen ( n = 2)

Analoge Vorgehensweise wie im vorigen Abschnitt liefert für n = 2

( ) rmmQem BBe ′′+′==44

)(2 2λλ

(5.2.41)

Damit die 2. Harmonische kompensiert werden kann, müssen die beiden Massen me2 mitder doppelten Drehzahl bzw. Kreisfrequenz 2ω rotieren. Dies erreicht man mit einerentsprechenden Übersetzung.

Beispiele für eine Realisierung des Massenausgleichs für die ersten beiden Harmonischensind in den folgenden Abbildungen gezeigt.

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Ausgleich der Längskraft (1. Harmonische)mittels umlaufender Ausgleichsmassen

Ausgleich der Längskraft (2. Harmonische)mittels umlaufender Ausgleichsmassen

Ausgleich der Längskraft (1. und 2. Harmonische)mittels umlaufender Ausgleichsmassen

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5.2.4 Umlaufmoment

Das bislang betrachtete Ersatzmodell für das Pleuel, basierend auf einer Aufteilung der Masseauf zwei Ersatzmassen m´A und m´B war ein äquivalentes Modell, um die translatorischeBewegung genau zu beschreiben.. Wir haben gesehen, dass das tatsächliche Trägheitsmomentdabei i. A. nicht richtig wiedergegeben wird. Vielmehr ruft das Pleuel, das ja sowohl einetranslatorische als auch rotatorische Bewegung (Winkel β) ausführt, zusätzlich zu denMassenkräften ein Massenmoment MTz um die Kurbelwellenachse hervor. Dieses Momentwird als Umlaufmoment bezeichnet. Kolben und Kurbelwelle liefern keinen Beitrag zumUmlaufmoment, wie wir noch sehen werden.

Mit einem Dreimassenmodell bestehend aus m´A´ m´B und m´C lässt sich ein für diesenZweck geeignetes Ersatzmodell aufstellen. Dabei besitzen die Massen m´A und m´B diegleiche Position wie beim Zweimassenersatzmodell (aber unterschiedliche Größe) und diemittlere Masse m´C wird im Schwerpunkt des Pleuel positioniert.

Folgende drei Bedingungen müssen gelten:

mmmm CBA ′=′+′+′ (5.2.42a)

)( slmsm BA ′−′=′′ (5.2.42b)2

B2

As )sl(msmJ ′−′+′′=′ (5.2.42c)

wobei m´ die Gesamtmasse und J´S das Trägheitsmoment des Pleuels bzgl. seinesSchwerpunktes ist. Die Auflösung der drei Gleichungen nach den Ersatzmassen liefert:

lsJ

m SA ′

′=′ ;

)sl(lJm S

B ′−′

=′ ; )sl(s

Jmm SC ′−′

′−′=′ (5.2.43)

x

B

y

A

α

β

r

m +m’AA

m +mB,,,

Cm’C

Bild 5.9: Kurbeltrieb mit Pleuel als Dreimassensystem

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Auf dieses Dreimassenersatzmodell wenden wir jetzt den Drallsatz mit dem Ursprung „0“als Bezugspunkt an,

oo LM !=

Der Drall einer Punktmasse ist (s. Kap.3), wobei r der Ortsvektor ist:

vmxrpxrL ==

Die Drallableitung ist allgemein:

( ) rmramrvmxrL !!! ×=×== ⋅

Die Anwendung auf unser Schubkurbeltriebmodell mit dem Pleuel als Dreimassensystem(Bild 5.9) liefert

( ) ( ) BBBBCCCAAAAges rmmrrmrrmmrL !!!!!!! ′′+′×+′×+′+×=,0 (5.2.44)

Von diesen drei Termen bleibt nur der mittlere übrig, da für die Ortsvektoren und dieBeschleunigungsvektoren gilt: AA rr !!|| (für ω = konst.) und BB rr !!|| für beliebige ω , sodass die entsprechenden Kreuzprodukte Null werden. Es verbleibt:

CCCges rmrL !!! ′×=,0 (5.2.45)

Den Ortsvektor können wir zusammensetzen aus

ACAC rrr += (5.2.46a)

−′+

=

0sin

cos

0sincos

ββ

αα

srrC (5.2.46b)

Setzen wir jetzt die bereits gefundenen kinematischen Zusammenhänge zwischen α und βeinschließlich der Reihenentwicklung für λ = r / l < 1 ein, so erhält man

′−

+−′+

=

=

0sin)(

)2cos44

1(cos22

αλ

αλλα

sr

sr

zyx

r

C

C

C

C (5.2.47)

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Zweimaliges Ableiten liefert die Beschleunigung

′−′+

−=

=

0sin)(

2coscos 2

2 αλαλα

ω srsr

zyx

r

C

C

C

C!!

!!

!!

!! (5.2.48)

Das äußere Moment um die Kurbelwellenlängsachse (z-Achse) folgt aus dem Drallsatz

CCCges rmrLM !!! ′×== ,00 (5.2.49)

Die Ausrechnung des Kreuzproduktes liefert die interessierende z-Komponente (die anderenKomponenten sind Null)

( )CCCCCz xyyxmM !!!! −′=,0 (5.2.50)

mit den entsprechenden Vektorkomponenten nach Gl. (5.2.47) und (5.2.48).

Das Massenmoment, das ist die Momentenwirkung infolge der Massenträgheit, um die z-Achse des Kurbeltriebs auf die Umgebung, wird durch

( )CCCCCzT xyyxmM !!!! −′−=,0 (5.2.51)

beschrieben. Dies ist das gesuchte Umlaufmoment. Die Ausrechnung liefert allerdingszunächst wenig handliche Ausdrücke. Nach einigen Umformungen erhält man

−−′′−′−= )2cos

43

41(sin)( 2

22

,0 αλλαλω ssrmM CzT (5.2.52)

Mit lr λ= und dem Additionstheorem2

( ))sin()sin(21cossin δαδαδα ++−=

ergibt sich für δ =2α

( ))3sin()sin(212cossin αααα +−=

schließlich ein wesentlich einfacherer Ausdruck für das Umlaufmoment

+′−′′−= αλαλλω 3sin

83sin

81)( 2

22

,0 slsmM CzT (5.2.53)

Man erkennt hier sehr schön, dass ein einfach-drehzahlfrequenter und ein dreifach-drehzahlfrequenter Ausdruck vorkommt.

2 Bronstein,Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik

Page 22: Maschinendynamik - Kapitel 5

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118

In erster Näherung gilt

αλω sin)(2,0 slsmM CzT ′−′′−≈ (5.2.54)

5.2.5 Ausgleich des Umlaufmomentes

Das Umlaufmoment wird um so kleiner, je kleiner m’C wird:

0,0 →zTM für 0→′Cm (5.2.55)

Im Idealfall gilt nach Gl.(5.2.43) für 0=′Cm für den Zusammenhang zwischen Pleuelmasseund seinem Massenträgheitsmoment:

( ) mimslsJ 2S ′′=′′−′=′ (5.2.56)

mit i‘ als Trägheitsradius. Dieser Forderung nach einem kleinen Wert für m‘C kann mannachkommen, wenn die Gesamtmasse m‘ des realen Pleuels auf die Enden (A, B)konzentriert sind.

Für ein vorhandenes Pleuel kann man die Bedingung mittels Pendelversuchen überprüfen.Man misst jeweils die Eigenfrequenz Aω bzw. Bω der Pendelschwingungen, wobei maneinmal das Pleuel um den Punkt A, einmal um Punkt B pendeln lässt. Im Idealfall ergebensich die Eigenkreisfrequenzen zu

lg

BA == ωω (5.2.57)

Bild 5.10: Pendelversuch

Wie man erkennt, ist hier ein Ausgleich mit Gegengewichten nicht möglich.

Page 23: Maschinendynamik - Kapitel 5

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5.3 Mehrzylindermaschinen

Je nach Bauart unterscheidet man zwischen

• Reihenmotoren• Boxermotoren• V-Motoren• Sternmotoren• Fächermotoren

Beim Reihenmotor haben alle Zylinderbohrungen die gleiche Richtung (x-Achse). DieKurbelwellenanordnung ist so gestaltet, dass die Kurbeln einen regelmäßigen Stern bilden.Um bei p Zylindern eine gleichmäßige Zündfolge zu gewährleisten, beträgt der Winkel bei 2-Takt-Motoren 2π/p, bei 4-Takt-Motoren 4π/p.

Die Massenkräfte und –momente ergeben sich bei einer Mehrzylindermaschine aus derÜberlagerung der Massenkräfte und -momente der einzelnen Zylinder.

Bild 5.11: V- und Sternanordnung der Zylinder

Page 24: Maschinendynamik - Kapitel 5

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120

r

l

α

Zylinder Nr. iz

x

y

a iFyT i

F xT iM xT iM yT i

M zT i

Bild 5.12: Zum Kräfte- und Momentenbeitrag des i-ten Zylinders bei einerMehrzylindermaschine

Die resultierende Massenkraft und das resultierende Umlaufmoment ergibt durch Summationüber alle p Zylinder. Dabei ist zu beachten, dass jeder Zylinder mit seinem individuellenWinkel gemäß der entsprechenden Kurbelwellenkröpfung berücksichtigt wird:

iii t 00 αωααα +=+= (5.2.58)

Dies lässt sich leicht über den Anfangswinkel i0α bewerkstelligen. Die resultierende Kraftund das Umlaufmoment ist dann:

)()(1

ip

iTxiTx FF αα ∑

== (5.2.59a)

)()(1

ip

iTyiTy FF αα ∑

== (5.2.59b)

)()(1

ip

iTziTz MM αα ∑

== (5.2.60)

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121

Zusätzlich zum Umlaufmoment treten nun aber noch zwei weitere Momente um die x- bzw.um die y-Achse auf (s. Bild 5.12):

• das Längsmoment Mx

• das Kippmoment My

Zählen wir ai stets positiv in + z-Richtung, dann ergibt sich das Längsmoment

∑=

−=p

iiTyiiTx FaM

1)()( αα (5.2.61)

und das Kippmoment

)()(1

ip

iTxiiTy FaM αα ∑

== (5.2.62)

Beispiel: Zweizylinder-Motor (in Vorlesung)