Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie

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Frank Werner 2009. Basierend auf der Vorlesung von Dr. Ulf-Rainer Fiebig im Sommersemester 2009 an der Georg-August-Universität Göttingen

Transcript of Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie

  • Ma- und Wahrscheinlichkeitstheorie

    Frank WernerInstitut fur Numerische und Angewandte Mathematik

    Georg-August-Universitat GottingenLotzestrae 16-1837083 Gottingen

    [email protected]

    29. Juli 2009

    Basierend auf der Vorlesung Ma- und Wahrscheinlichkeitstheorie von Dr. Ulf-Rainer Fiebig im Sommer-semester 2009 an der Georg-August-Universitat Gottingen

  • 3Vorwort

    Dieses Skript ist unter einigem Arbeitsaufwand wahrend der Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie vonPD Dr. Fiebig im Sommersemester 2009 an der Georg-August-Universitat Gottingen entstanden.

    Eigentlich ist es nicht moglich, Wahrscheinlichkeitstheorie und Matheorie getrennt zu behandeln, den-noch wird es in diesem Skript versucht. Zu Beginn werden die elementar notwendigen Ergebnisse aus derMatheorie wiederholt und im folgenden in der Wahrscheinlichkeitstheorie angewendet. Fur ein intensi-veres Studium der Matheorie sei auf [Hal98,Bil95] verwiesen.

    Dieses Skript behandelt alle wesentlichen Werkzeuge, die die Wahrscheinlichkeitstheorie bereitstellt, unteranderem 0-1-Gesetze, schwache und starke Gesetze und Grenzwertsatze. Allerdings werden Anwendungennur gestreift, dafur sei auf weitere Vorlesungen wie etwa Stochastische Prozesse verwiesen.

    Fur Grundlagen der diskreten oder auch stetigen Stochastik wie etwa spezielle Verteilungen etc. verwei-sen wir auf das Skript [WB08], an welches die vorliegende Vorlesung direkt anschliet. Auerdem seiauf [DH04,Kre05] verwiesen.

    Es handelt sich hierbei ausdrucklich nur um eine studentische Mitschrift, nicht um ein offiziell vom Do-zenten herausgegebenes Skript. Trotz groer Anstrengungen sind sicherlich einige Fehler mathematischerwie auch sprachlicher Natur im Skript verblieben, was hoffentlich nicht allzu groe Schwierigkeiten fur dasVerstandnis aufwerfen wird. Besonderer Dank gilt Robert Stuck und Fabian Dunker fur viele hilfreicheKorrekturen.

    Gottingen, 29. Juli 2009

    Frank Werner

    Ma- und Wahrscheinlichkeitstheorie

  • Inhaltsverzeichnis 5

    Inhaltsverzeichnis

    1 -Algebren, Mae, Integration und endliche Produkte 71.1 Mengensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Mae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.3.1 Mae mit Dichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Integration bezuglich eines Bildmaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4 Endliche Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Spezialfall n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Produktdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    2 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie 192.1 Wahrscheinlichkeitsraume und bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Zufallsvariablen und Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Spezielle Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.1 Diskrete Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Stetige Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    2.4 Unabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Unendliche Produkte von Wahrscheinlichkeitsraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3 0-1-Gesetze 33

    4 Wahrscheinlichkeitsungleichungen und Lp-Raume 394.1 Wahrscheinlichkeitsungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.2 Lp-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    5 Konvergenzbegriffe 43

    6 Gesetze der groen Zahlen 476.1 Schwache Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Starke Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7 Schwache Konvergenz und Konvergenz in Verteilung 537.1 Schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Konvergenz in Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    8 Charakteristische Funktionen 61

    9 Grenzwertsatze 71

    10 Bedingte Erwartungen 77

    11 Gleichgradige Integrierbarkeit 81

    12 Stationare Prozesse mit diskreter Zeit 8912.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8912.2 Matreue Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.3 Ergodensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    13 Losungen ausgewahlter Aufgaben 97

    Ma- und Wahrscheinlichkeitstheorie

  • 1 -Algebren, Mae, Integration und endliche Produkte 7

    1 -Algebren, Mae, Integration und endlicheProdukte

    1.1 Mengensysteme

    Fur den ganzen Abschnitt sei eine nicht-leere Menge und bezeichne P () ihre Potenzmenge.Definition 1.1. Ein Mengensystem A P () ist eine Algebra, wenn1. A,2. A A Ac := {x | x / A} A und3. A1, ..., An A

    ni=1Ai A.

    Gilt sogari=1Ai A fur jede Folge A1, A2, ... A, so heit A eine -Algebra.

    Beispiel 1.2. Ein h-Intervall (wobei h fur halboffen steht) in R ist eine Menge der Form

    {x R | a < x b}

    mit irgendwelchen a b . Sei nun A das Mengensystem aller endlichen disjunkten Vereini-gungen

    I1 ... In,wobei n N beliebig und jedes Ik ein h-Intervall ist.Aufgabe 1.3. Zeige, dass das so definierte Mengensystem A eine Algebra, aber keine -Algebra ist.Definition 1.4. Sei E P () ein Mengensystem. Der Durchschnitt aller -Algebren, die E enthalten,ist wieder eine -Algebra, die mit (E) bezeichnet und auch die von E erzeugte -Algebra genannt wird.Wir sagen in diesem Fall auch, dass E ein Erzeugendensystem von (E) ist.Aufgabe 1.5. Zeige, dass

    (E) :=

    AAlgebraEA

    A

    tatsachlich wieder eine -Algebra ist und dass (E) die kleinste -Algebra ist, die E enthalt.Definition 1.6. Sei O das System der (topologisch) offenen Mengen auf R. Die Borelsche -AlgebraB = B (R) ist definiert als (O) - die kleinste -Algebra, die alle offenen Mengen enthalt. Jede MengeA B heit Borel-mebar.Bemerkung 1.7. Es gilt naturlich B P (R), aber die Inklusion ist echt (vergleiche [Hal98, Sec. 16]).Bemerkung 1.8. Es gibt viele weitere Erzeugendensysteme E fur B, zum Beispiel E := {(a, b) | a, b R, a < b}, E := {(a, b] | a, b R, a < b}, E := {[a, b] | a, b R, a < b}, E := {(, b) | b R}.

    Folgendes Hilfsmittel wird haufig benotigt, etwa um die Eindeutigkeit von Maen zu zeigen oder umunabhangige Familien und bedingte Erwartungen zu behandeln:

    Definition 1.9. Ein Mengensystem D P () heit Dynkin-System, wenn1. D,

    Ma- und Wahrscheinlichkeitstheorie

  • 8 1 -Algebren, Mae, Integration und endliche Produkte

    2. A D Ac D und3. A1, A2, ... D paarweise disjunkt, so auch

    i=1Ai D.

    Beispiel 1.10. Sei eine endliche Menge mit einer geraden Anzahl von Elementen. Dann ist

    D := {A | A enthalt eine gerade Anzahl von Elementen}ein Dynkin-System aber keine Algebra (und entsprechend auch keine -Algebra).

    Definition 1.11. Wir nennen ein Mengensystem M P () schnitt-stabil oder auch -stabil, fallsA B M fur alle A,B M.Satz 1.12. Ein Dynkin-System D ist eine -Algebra genau dann, wenn D -stabil ist.Beweis. Notwendig: Wegen

    A B = (Ac Bc)c

    ist jede -Algebra -stabil.Hinreichend: Seien A1, A2, ... D beliebig. Dann gilt

    i=1

    = A1 A2 \A1 A3 \ (A1 A2) ...

    = A1 A2 \ (A1 A2) A3 \ ...= A1 (A2 Ac1)

    D

    (A3 Ac1 Ac2) D

    ...,

    und da diese Mengen disjunkt sind, muss die Vereinigung wieder in D sein.Definition 1.13. Sei E ein Mengensystem. Das durch E erzeugte Dynkin-System D (E) ist das kleinsteDynkin-System, welches E enthalt.Aufgabe 1.14. Zeige, dass

    D (E) =

    DDynkin-SystemED

    D

    tatsachlich wieder ein Dynkin-System ist.

    Satz 1.15. Sei das Mengensystem E -stabil. Dann ist (E) = D (E).Aufgabe 1.16. Zeige, dass stets D (E) (E) gilt.Folgendes Korollar wird ebenfalls haufig benutzt:

    Korollar 1.17. Sei E ein -stabiles Mengensystem, D ein Dynkin-System und gelteE D (E) .

    Dann gilt D = (E).

    1.2 Mae

    Definition 1.18. Ein Prama ist eine Funktion : A // [0,] auf einer Algebra A mit1. () = 0 und2. fur A1, A2, ... A paarweise disjunkt und

    i=1Ai A gilt (-Additivitat)

    ( i=1

    Ai

    )=i=1

    (Ai) .

    Ist A sogar eine -Algebra, so nennen wir auch Ma.Definition 1.19. Sei ein Prama auf einer Algebra A. heit endlich, wenn ()

  • 1 -Algebren, Mae, Integration und endliche Produkte 9

    Definition 1.20. Sei 6= und A eine -Algebra auf . Dann heit das Tupel (,A) mebarer Raum.Ist zusatzlich ein Ma auf A, so heit das Tupel (,A, ) Maraum. Ist dabei normiert, d.h. () = 1,so heit das Tupel (,A, ) auf Wahrscheinlichkeitsraum oder kurz WRaum.Ein Maraum (,A, ) heit vollstandig, wenn A alle Teilmengen von -Nullmengen enthalt, d.h. fallsfur jedes A A mit (A) = 0 auch P (A) A.Beispiel 1.21. Sei (,A) ein mebarer Raum.1. Dann definiert

    (A) :=

    {#A falls A endlich,

    sonst,A A

    das sogenannte Zahlma auf A.2. Fur x fest definiert

    (A) :=

    {1 falls x A,0 falls x / A,

    A A

    das Dirac-Ma oder auch einfach Punktma in x. In diesem Fall schreiben wir auch = x oderseltener = x. Wir sprechen auch von der Punktmasse in x.

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