Materialien zum Modellversuch: Vorschläge und Anregungen zu einer

veränderten Aufgabenkultur

(10) Zum Themengebiet

Wurzeln, Potenzen und reelle Zahlen (erstellt in Zusammenarbeit mit der Friedrich-Wöhler-Schule in Kassel)

Wurzeln

Vorschlag 10.1: Zahlenpartner.....................................................................3 Einführung der Begriffe Wurzel und Quadratzahl durch Finden von Zahlenpartnern Vorschlag 10.2: Wurzelregeln.......................................................................4 Einführung der Wurzelregeln durch Überprüfung von Spezialfällen Vorschlag 10.3: Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln.....5 Übungen mit Möglichkeit der Selbstkontrolle durch Lösungswort Vorschlag 10.4: Straßenreinigungsgebühr....................................................7 Ausgehend von zwei Artikeln der Lokalpresse können die Schüler eine "gerechte" Gebühren-ordnung entwickeln Vorschlag 10.5: Vermischtes zum Thema Wurzeln......................................9 Vermischte, kürzere Anregungen zum Thema Wurzeln

Potenzen

Vorschlag 10.6: Projekt Schätzen und Recherchieren................................10 Einheitsbegleitende Anregung, in der Schüler alltagsrelevante Probleme bearbeiten und dabei den Umgang mit (Zehner-)Potenzen trainieren Vorschlag 10.7: Europas größtes Kaffeelager.............................................12 Ausgehend von einem Zeitungsartikel wird untersucht, wie Trillionen Kaffeebohnen gelagert werden müssten Vorschlag 10.8: Die indische Schachlegende...............................................14 Die Schüler sollen die verschiedene Anzahl von Reiskörner in der indischen Schachlegende durch geeignete Symbole repräsentieren Vorschlag 10.9: Spielerische Übungsformen...............................................16 Spiele zur Übung der Multiplikation und Division von Potenzen, die gute Differenzierungs-möglichkeiten bieten

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Vorschlag 10.10: Übungen zu Wurzeln und Potenzen................................19 Übungen mit Möglichkeit der Selbstkontrolle durch Lösungssatz Vorschlag 10.11: Vermischtes zum Thema Potenzen..................................21 Vermischte, kürzere Anregungen zum Thema Potenzen

Reelle Zahlen

Vorschlag 10.12: Sokrates und der Sklave Menon......................................22 Dialog zwischen Sokrates und Menon zur Quadratverdopplung inkl. Lösungshilfen Vorschlag 10.13: Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist ...........................................................................................26 Irrationalitätsbeweis von 2 , der einen handelnden und entdeckenden Zugang ermöglicht Vorschlag 10.14: Konstruktion irrationaler Zahlen...................................28 Schüler sollen selbständig irrationale Zahlen konstruieren und so die Zahlbereichserweiterung besser nachempfinden können Vorschlag 10.15: Intervallschachtelung mit Telefonnummern ...................28 Die Telefonnummer einer Mitschülerin bzw. eines Mitschülers wird durch Intervallhalbierung 'erraten' Vorschlag 10.16: Heron-Algorithmus .........................................................29 Veranschaulichung des Heron-Algorithmus durch Rechtecke, die sich einem Quadrat annähern

Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms "Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen

Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.

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Vorschlag 10.1: Zahlenpartner

Wie lassen sich die

Zahlen auf dem oberen und unteren Notizzettel einander sinnvoll zuordnen?

Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 62 (leicht verändert)

Zahlenpartner: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Einführung des Begriffs "Wurzel" (Einstieg in die UE) • Schüler entdecken den Zusammenhang zwischen den Zahlen (â: quadrieren; á: Wurzel

ziehen.

Variationen der Aufgabe: • Ggf. einfachere Zahlen benutzen oder nur Zahlen, deren Partner leicht gefunden werden kann • Einfügen eines weiteren (offensichtlichen) Beispiels (z.B. 3 und 9) • Einzeichnen eines weiteren Pfeils (z.B.: 12 und 144) • Pfeile ganz weglassen; so können die Schüler beide Zuordnungsrichtungen einsetzen (vgl.

linke Abbildung) • Weiterführung durch genauere Betrachtung einer Zahl, der kein Partner zugeordnet werden

kann • Darstellung als Zuordnungstabelle mit Lücken: "Was muss man hier rechnen?" • Aufgaben der Art: "Welche Zahl passt nicht in die Reihe?" 25, 1, 55, 64, 49, 121 (vgl.

mathematik lehren 70 (1995); Beilage Mathe-Welt)

Lösungen: • 12→144; 0,2→0,04; 1,5→2,25;

101 →

1001 ; 12→144; 17→289; 7→49; 30→900

• Zahlen, die keinen (rationalen) Partner haben: 298; 2,5; 99 • Fehlende Zahlenpartner: 5→25; 0,02→0,0004; 2→4; 10→100

Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit (insbesondere bei größerer Offenheit um beide Begriffe zu verknüpfen) • Auch für leistungsschwächere Gruppen • Binnendifferenzierung leicht möglich (z.B. durch Variation der Zahlen)

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Vorschlag 10.2: Wurzelregeln

Vergleiche die Terme der linken und rechten Tafelhälfte miteinander. Was vermutest du? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 71.

Vergleiche die Terme der linken und rechten Tafelhälfte miteinander. Was vermutest du? Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 73.

Wurzelregeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Einführung der Wurzelregeln • Selbständige Regelfindung Variationen der Aufgabe: • Ggf. keine Zahlen vorgeben, sondern Schüler selbständig Strategien entwickeln lassen, z.B.:

Untersuchung von 3070 + . Vermutung: gleich 100 . Überprüfung /Widerlegung mit TR. "Wie ist es bei anderen Grundrechenarten?" Schüler stellen selbständig Regeln auf und überprüfen sie anhand von Beispielen. Möglicher Hinweis: "Wähle geschickte Zahlen für a und b ! Welche sind geschickt?" (Quadratzahlen)

• Gleichzeitige Behandlung der Multiplikation und Addition oder Stufung: erst Multiplikation, dann Addition von Quadratwurzeln

Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit Bemerkungen: • Die Darstellung in der unteren Abbildung könnte Gleichheit suggerieren • Anschließende Begründung der Wurzelregeln für höhere Niveaus nötig

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Vorschlag 10.3: Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln

Welcher Film läuft im Kino?

Wenn du richtig gerechnet hast, verraten es dir die Lösungsbuchstaben!

Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 72.

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Übungen zur Multiplikation und Division von Wurzeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Übung mit Möglichkeit der Selbstkontrolle Variationen der Aufgabe: • Für eine noch stärkere Selbstkontrolle: "Schreibe deine Überlegungen beim Rechnen auf!" • Auch mit Taschenrechnereinsatz sinnvolle Übung. • Ggf. Hinzunahme von Übungen zur Addition bzw. Subtraktion (ggf. entwerfen Schüler in

einer zweiten Übungsphase selbst Aufgaben, die dann ausgetauscht werden) • Alternative Arbeitsblätter: vgl. MAT(H)ERIALIEN 7-10: Algebra (1996), S. 166f (liegt jeder

Schule vor) (Mögliche) Lösungen: • Das Lösungswort lautet: CASABLANCA Eignung, (mögliche) Methoden: • Übungen mit Differenzierungsmöglichkeiten (abgewandelt auch für leistungsschwächere

Schüler) Bemerkungen: • Die Kästchen stehen meistens für Ziffern, teilweise jedoch auch für Zahlen (a. und e.)!!!

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Vorschlag 10.4: Straßenreinigungsgebühr

In zahlreichen Schulbüchern finden sich Aufgaben der folgenden Art: Denke dir die beiden Grundstücke G1 und G2 aus dem nebenstehenden Beispiel jeweils in ein flächeninhaltsgleiches Quadrat mit den Seitenlängen a1 bzw. a2 verwandelt. a) Gib die Seitenlänge a1 an. b) Zwischen welchen Werten (in vollen Metern)

liegt die Seitenlänge a2? c) Gib die Seitenlänge a2 auf volle Meter

gerundet an. Ermittle dazu zunächst eine Dezimalstelle mehr.

Quelle: Elemente der Mathematik 9 (1995), S. 7 (leicht abgewandelt).

Zur Öffnung bieten sich insbesondere die folgenden Artikel aus der Lokalpresse an:

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Straßenreinigungsgebühr: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Einführung des Wurzelbegriffs • Reflexion am Ende der Einheit • Horizontale Vernetzung

Variationen der Aufgabe: • "Wie sollten die Straßenreinigungsgebühren 'gerecht' festgelegt werden?" • Konstruktion von Grundstücken (eines Stadtplans) so, dass alle Anwohner die gleichen

Straßenreinigungsgebühren zahlen. • Erklärung des Frontlängen- und des Quadratwurzelmaßstabes. Vorgabe zweier Grundstücke

mit konkreten Längenangaben. "Vergleiche die Gebühren für die dargestellten Grundstücke (Preis pro angefangener Meter 7,92 DM. Berechne für verschiedene rechteckige Grundstücke, die 900m2 groß sein sollen, die Straßenreinigungsgebühren".

Bemerkungen: • Das Thema Straßenreinigungsgebühren ist möglicherweise zu schülerfern.

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Vorschlag 10.5: Vermischtes zum Thema Wurzeln

(1) Torpfosten

TORORTROT =⋅ Warum braucht das Tor keine Pfosten in Form von Betragsstrichen?

Quelle: Lambacher Schweizer 9 (1997), S. 63 (leicht verändert).

(2) Weitere Übungen

Ziehe die Wurzeln: � 8100 � 81 � 81,0 � 0081,0

� 16

25 � 000009,0 � 3für2 −=xx � 245

125

Quelle: mathematik lehren 70 (1995); Beilage Mathe-Welt, S. 4 (leicht verändert).

Vermischtes zum Thema Wurzeln: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • (1) Diskussion des Definitionsbereichs und des Betrages • (2) Übungen nach Einführung des Wurzelbegriffs • (2) Selbständige Regelfindung Variationen der Aufgabe: • (1) Aufgabenstellung weglassen. Statt dessen nur: Erkläre • (2) Schüler entwickeln ähnliche Aufgabensequenzen, die ausgetauscht werden Variationen der Aufgabe: • (1) Wurzeln sind nur definiert, wenn 0≥⋅⋅ TOR . Daher können die Betragsstriche

weggelassen werden.

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Vorschlag 10.6: Projekt Schätzen und Recherchieren

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Die Literaturangaben können im Modellversuchsraum eingesehen werden.

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Vorschlag 10.7: Europa größtes Kaffeelager

Der Verfasser behauptet im letzten Abschnitt, „Trillionen gemahlener Kaffeebohnen“ würden im Depot lagern. Schreibe einen Leserbrief. Quelle: Herget/Scholz: Die etwas andere Aufgabe, S. 76.

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Europa größtes Kaffeelager: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Rechnen mit großen Zahlen • Vielfältige vertikale Verknüpfungen (Quadervolumen, Prozentrechnung) • Horizontale Verknüpfungen Variationen der Aufgabe: • Schüler entwickeln eigene Aufgabenstellungen. • (1) Schätze das Volumen einer Kaffeebohne ab und berechne mit diesem Wert das Volumen

von einer Trillion gemahlener Kaffeebohnen. • (2) Wie könnte eine quaderförmige Lagerhalle aussehen, in der eine Trillion gemahlene

Kaffeebohnen gelagert werden? • (3) Schätze ab, welche Masse eine Kaffeebohne besitzt und berechne aus den Angaben im

ersten Absatz die Anzahl der Kaffeebohnen, die in dem Depot tatsächlich gelagert werden. • (4) Um welchen Faktor hat sich der Autor des Artikels verschätzt? • (5) Wie könnte der Autor des Artikels zu der Angabe "Trillionen" gekommen sein? (Mögliche) Lösungen: • (1) Kaffeebohne: Länge: ca. 10 mm; Breite: ca. 7 mm; Höhe: ca. 4 mm. Dies entspricht

einem rechnerischen Volumen von 280 mm3. Abschätzung durch 100 mm3. Also gilt für das Volumen V von einer Trillion gemahlener Kaffeebohnen:

336183 1001010100Trillion1 kmkmmmV =⋅=⋅≈ − • (2) Beispiel einer Lagerhalle: Länge = Breite = 10 km, Höhe = 1 km. Eine Halle dieses

Volumens gibt es auf der Erde sicher nicht. • (3) Masse einer Kaffeebohne: ca. 0,1 g. Also enthält ein Pfund (500g) ca. 5000 Kaffeebohnen.

Bei 24.800 Paletten à 60 Kartons à 12 Päckchen zu 500g können maximal 24800 ⋅ 60 ⋅ 12.5000 = 8,928 ⋅ 1010 ≈ 1011, also 100 Milliarden Kaffeebohnen gelagert werden.

• (4) Für den Faktor f, der das Verhältnis von angeblicher Anzahl und maximaler Anzahl von

Kaffeebohnen in der Lagerhalle angibt, gilt ungefähr: Millionen101010

10 7

11

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==≈f .

Im Depot lagert also nur der zehnmillionste Teil. • (5) Der Verfasser wollte wohl ausdrucken, dass eine sehr große (unvorstellbar große) Anzahl

von Kaffeebohnen im Depot lagert, hat aber den Realitätsgehalt seiner Aussage nicht geprüft.

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Vorschlag 10.8: Die indische Schachlegende

Die indische Schachlegende Vor langer Zeit hatte ein weiser Brahmane in Indien das Schachspiel erfunden und es seinem König zum Geschenk gemacht. Der König war so begeistert von dem Spiel, dass er dem Brahmanen einen freien Wunsch gestattete. Dieser erbat sich für das erste Feld des Schachspiels ein Weizenkorn und für die restlichen 63 Felder jeweils doppelt so viele Körner wie auf den vorherigen. Der König, erfreut über den bescheidennen Wunsch des Weisen, ließ ihm aus einer Schüssel ein Feld nach dem anderen mit der gewünschten Anzahl Körner belegen. Bald... Quelle: MUED: Materialien für den Mathematikunterricht in der Sek. I – Nr. 5, S. 40. Die indische Schachlegende: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Einführung von 2-er Potenzen • Aufbau einer Vorstellung von Wachstumsprozessen Variationen der Aufgabe: • Schachbrett und andere Materialien bereitstellen (Weizenkorn, Streichhölzer, verschiedene

Zeichnungen). Schüler sollen verschiedene Anzahlen von Weizenkörner berechnen, durch diese Symbole repräsentieren und jeweils das Gewicht angeben (vgl. Vester: Unsere Welt – ein vernetztes System, 1993, S. 45ff.). Anmerkung: 40 Reiskörner wiegen ca. 1 g.

• Vereinfachung durch 210 ≈ 1000 (vgl. Kirsch: Vorschläge zur Behandlung von Wachstumsprozessen und Exponentialfunktionen im Mittelstufenunterricht. In: DdM 4 (1976)).

(Mögliche) Lösungen:

• Auf dem 64. Feld müssten 263 ( ( )610363 222 ⋅= ≈ 8 Trillionen) Weizenkörner liegen. Nach Vester entspricht dies der tausendfachen Weltjahresproduktion.

• Graphische Darstellung der Ergebnisse. Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit Alternativen: • Zehn hoch (Video von 1978; Bildstelle Mediennummer: 4246574). Der Film zeigt ein

Pärchen beim Picknick. Die Kamera bleibt auf das Paar gerichtet, entfernt sich jedoch zunehmend bis sie schließlich in Randgebiete der Galaxie Milchstraße gelangt. Die Entfernungen (als Zehnerpotenz) werden jeweils veranschaulicht. Auf der Rückreise dringt die Kamera tiefer in den Körper des Menschen ein (negative Exponenten).

• Geologische Uhr. Markieren der Entwicklungsgeschichte des Menschen bzw. des Lebens auf der Erde auf einem Kreis (vgl. MAT(H)ERIALIEN, S. 195f).

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• Fragen wie „Wie viel Wasser ist im Meer?“, „Wie schwer ist ein Berg?“ oder „Wie viel Regen fällt auf der Erde?“ (vgl. mathematik lehren 62 (1994); Beilage Mathe-Welt; liegt im Modellversuchsraum vor).

• Übersicht über die Größenordnung von Gegenständen und Entfernungen (vgl. folgende Abbildung)

Quelle: Chemie für Gymnasien (1995), S. 304.

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Vorschlag 10.9: Spielerische Übungsformen

(1) Potenzen würfeln

Quelle: mathematik lehren 64 (1994), S. 60-61.

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(2) Potenzen-Bingo

Quelle: mathematik lehren 90 (1998), S. 68-69.

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Spielerische Übungsformen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

(1) Potenzen würfeln

Ziel: • Spiel zur Übung der Multiplikation und Division von Potenzen

Spielanleitung: Jedes Schülerpaar erhält zunächst zwei Würfel eines Schwierigkeitsgrades (L/M/S). Jeder Schüler würfelt mit beiden Würfeln und multipliziert (dividiert) seine Werte. Die Notation der Aufgaben sowie der Lösungen erfolgt im Heft bzw. auf einem Arbeitsblatt. Wer den höheren (positiven/negativen) Potenzwert hat, erhält dafür einen Punkt. Nach einer zuvor festgesetzten Zeit bzw. nach einer gewissen Anzahl von Aufgaben kann der dritte Würfel hinzugenommen werden.

Anregungen: • Die unterschiedlichen Schwierigkeitsgrade durch verschiedene Farben kennzeichnen. So kann

eine geeignete Differenzierung leicht erreicht (aber nicht transparent gemacht) werden. • Zusätzlicher Würfel für Rechenoperation.

Eignung, (mögliche) Methoden: • Partnerarbeit • Binnendifferenzierung

(2) Potenzen-Bingo

Spielanleitung: Teilen Sie Ihre Klassen in Gruppen. Jede Gruppe erhält ein Arbeitsblatt (S. 17 oben, evtl. vergrößern) und zwei verschiedenfarbige Würfel, etwa einen roten und einen weißen. Reihum wird mit beiden Würfeln gewürfelt. Die Augenzahl des roten Würfels gibt die Zeile an, die Augenzahl des weißen Würfels die Spalte. Derjenige der gewürfelt hat, löst die Aufgabe im Kreuzungspunkt. Die Gruppe, die zuerst alle Beispiele einer Zeile oder Spalte gelöst hat, darf BINGO rufen.

Anregungen: • Ein Spieler rechnet, die anderen dürfen nachfragen • Bei größeren Gruppen sollte jeder Spieler ein Arbeitsblatt erhalten • Wenn eine Gruppe BINGO ruft, erhält sie ein Lösungsblatt (S. 17 unten) • Wer einen Joker gewürfelt hat, darf sich eine Runde ausruhen • Schüler erstellen selbst ähnliche Aufgaben- und Lösungsblätter

Eignung, (mögliche) Methoden: • Partnerarbeit für besonders intensives Arbeiten

Alternativen und Ergänzungen: • Taschenrechner-Rallye: Ziehen von vorbereiteten Zahlen- und Operationskärtchen (auch:

( ) xx yxx ,,,, 21 ). Schüler sollen Kärtchen so anordnen, dass der Taschenrechner ein

möglichst großes bzw. kleines Ergebnis anzeigt. Zusätzlich ist die „=“ Taste erlaubt. Nach höchstens zwei Zahlentasten muss jeweils eine Operationstaste gedrückt werden (vgl. Wälti, B.: Mathespiele für die Sek. I (1996), S. 35-36)*.

• Gleitkomma-Schach: Setzen von drei Spielsteinen auf einem vorbereiteten Spielfeld (Tabelle: 8 Zeilen: von 106 – 1013; 8 Spalten: von 1 – 8). Kein Setzen auf waagerecht oder senkrecht benachbarte Felder. Dabei darf Summe 108 nicht überschreiten. Durch Ziehen (ein Stein um 2 Felder oder zwei Steine um 1 Feld) sollen höhere Summen erreicht werden. Wer zuerst 1014 hat, gewinnt das Spiel (vgl. Wälti, B.: Mathespiele für die Sek. I (1996), S. 47-48)*. * Dieses Heft liegt im Modellversuchsraum vor.

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Vorschlag 10.10: Übungen zu Wurzeln und Potenzen

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Übungen zu Wurzeln und Potenzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Übung mit Möglichkeit der Selbstkontrolle Lösung: Der Lösungssatz lautet: BILLY DER SCHLAUE Variationen der Aufgabe: • Alternative Arbeitsblätter: vgl. MAT(H)ERIALIEN 7-10: Algebra (1996), S. 200

und unter http://www.zum.de/schule/dwu/depot/mpo001k.gif.

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Vorschlag 10.11: Vermischtes zum Thema Potenzen

(1) Lebensalter

„Berechne mit dem Taschenrechner die 5. Potenz deines Lebensalters. Sag mir die Endziffer deines Ergebnisses und ich sage dir, wie alt du bist.“

Quelle: Schnittpunkt 9 (1995), S. 70 (leicht verändert).

(2) Taschenrechneranzeige:

Quelle: Lambacher Schweizer 10 (1997), S. 6.

Vermischtes zum Thema Potenzen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Variationen der Aufgabe: • (1) Angabe der letzten zwei (drei) Ziffern, um den "Trick" weniger durchschaubar zu machen (Mögliche) Lösungen: • (1) Endziffer bleibt in der fünften Potenz erhalten. Allerdings muss das Jahrzehnt geschätzt

werden. • (2) Die Taschenrechneranzeige verändert sich durch die Substraktion nicht. Der Substrahend

ist im Vergleich zum Minuend viel zu klein als dass der Taschenrechner dies anzeigen könnte. Welche Zahl müsste er anzeigen? Für Fachleute: Auslöschungseffekt durch die beschränkte Mantissenlänge der TR-Gleitpunkt-Zahlensystems (meist 10 bis 13; in der Anzeige wird oft weniger dargestellt).

Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit

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Vorschlag 10.12: Sokrates und der Sklave Menon

Lies den folgenden Dialog. In der unten stehenden Skizze kannst du den Gedankengang nachzeichnen, so kannst du ihn besser nachvollziehen. Der Dialog ist nicht vollständig abgedruckt. Versetze dich in die Lage des Sklaven Menon und versuche, das Problem zu lösen. Kommst du alleine nicht weiter, darfst du dir Hilfen holen (Hilfe 1, Hilfe 2) – hier wird der Dialog fortgesetzt.

Dialog zwischen Sokrates und dem Sklaven Menon

Sokrates: (zum Sklaven) Sage, siehst du dieser viereckigen Fläche an, dass sie ein Quadrat

ist?

Menon: Ja.

Sokrates: Nehmen wir einmal an, diese Seite ist

zwei Fuß lang und diese Seite ebenfalls.

Wie viel Quadratfuß wäre die ganze Fläche?

Menon: Vier, mein Sokrates.

Sokrates: Ließe sich nun nicht ein zweites, doppelt so

großes Quadrat herstellen?

Menon: Ja.

Sokrates: Wie viel Fuß wird es also enthalten?

Menon: Acht.

Sokrates: Wohlan denn, versuche mir zu sagen, wie lang jede Seite sein wird. Die Seite

unseres Quadrates hier ist zwei Fuß lang; wie lang wird also nun die Seite des

doppelten sein?

Menon: Offenbar doppelt so lang.

Sokrates: Sage mir: Die doppelte Seite soll deiner Behauptung zufolge das doppelte Quadrat

ergeben?

Menon: Ich bleibe dabei.

Sokrates: Erhält nun nicht diese Seite die doppelte Länge, wenn wir ihr eine gleich große

Strecke anfügen?

Menon: Gewiss.

Sokrates: Diese verdoppelte Strecke also, behauptest du, soll das achtfüßige Quadrat

ergeben, wenn man vier gleich große Seiten bildet?

Menon: Ja.

2

2

2 2

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Sokrates: Lass uns also auf ihr ein Quadrat mit lauter gleichen Seiten konstruieren. Dann

muss doch wohl dies hier das Quadrat sein, welches du für ein achtfüßiges

ausgibst?

Menon: Allerdings.

Sokrates: Sind in ihm nicht alle vier Quadrate enthalten, deren jedes diesem vierfüßigen

gleich ist?

Menon: Ja.

Sokrates: Wie groß also muss es sein? Nicht viermal so groß?

Menon: Du hast Recht.

Sokrates: Denn viermal vier ist sechzehn. Nicht wahr?

Menon: Ja.

Sokrates: Welche Linie aber ergibt das achtfüßige? Diese ergibt doch das vierfache?

Menon: Ja.

Sokrates: Es muss also doch die Seite des achtfüßigen Quadrates größer sein als diese

zweifüßige hier, kleiner aber als die vierfüßige?

Menon: Notwendigerweise.

Sokrates: Versuche also zu sagen, wie lang sie nach deiner Meinung sein muss.

Menon: Drei Fuß lang.

Sokrates: Wenn sie also drei Fuß lang sein soll, so müssen wir doch die Hälfte von dieser

anfügen, um sie dreifüßig zu machen? Denn diese Seite beträgt zwei, diese da

einen Fuß. Und ebenso an dieser Seite hier. Dies hier sind zwei, dies ist ein Fuß.

Und so ergibt sich denn dies von dir gemeinte Quadrat.

Menon: Ja.

Sokrates: Wenn es nun auf dieser Seite drei Fuß lang ist und auf dieser auch, so muss die

ganze Fläche doch dreimal drei Fuß groß sein?

Menon: Offenbar.

Sokrates: Dreimal drei macht aber wie viel Fuß?

Menon: Neun.

Sokrates: Das doppelte aber müsste wie viel Fuß sein?

Menon: Acht.

Sokrates: Also auch die dreifüßige Seite ergibt noch nicht das achtfüßige Quadrat.

Menon: Aber beim Zeus, mein Sokrates, ich weiß es nicht.

... Versuche vorerst das Problem selbständig zu lösen. Benutze Hilfe 1 erst, wenn du

nicht mehr weiter weißt. Setze dann den Dialog fort. Versetze dich dabei in die

Lage von Sokrates und erkläre deine Lösung möglichst gut.

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Hilfe 1

Sokrates: Ist dies nicht unser vierfüßiges Quadrat?

Menon: Ja.

Sokrates: Wir können ihm doch daneben und drüber ein zweites und drittes anfügen.

Menon: Ja.

Sokrates: Und ein viertes hinzufügen, sodass wieder ein Quadrat entsteht?

Menon: Ja.

Sokrates: So wären das also vier gleiche Quadrate?

Menon: Ja.

Sokrates: Wie viel mal so groß ist nun also dies Ganze als das ursprüngliche hier?

Menon: Viermal so groß.

Sokrates: Es sollte aber nur doppelt so groß sein.

Menon: Ja, gewiss.

Sokrates: Lässt sich nicht jedes der vier Quadrate in zwei gleichgroße Hälften teilen?

Menon: Ja.

Sokrates: Es ließen sich doch vier gleich lange Diagonalen ziehen, die ihrerseits wieder ein

Quadrat ergeben?

Menon: So ist es.

Sokrates: Überlege also: Wie groß ist dieses Quadrat?

... Stelle vorerst eigene Überlegungen an. Danach darfst du Hilfe 2 heranziehen.

" -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hilfe 2

Menon: Ich kann nicht darauf kommen.

Sokrates: Sind dies nicht vier Quadrate und umschließen nicht die vier Diagonalen von

jedem Quadrat die Hälfte?

Menon: Gewiss.

Sokrates: Wie viele solcher Hälften sind nun in dem neuen Quadrat enthalten?

Menon: Vier.

Sokrates: Wie viele aber in dem ursprünglichen Quadrat?

Menon: Zwei.

Sokrates: Vier aber sind im Verhältnis zu den zwei?

Menon: Das Doppelte.

Sokrates: Ist dies aber der Fall, so muss die Diagonale die Seite des doppelten Quadrats

bilden.

Menon: Ohne Zweifel, Sokrates!

Quelle: Curriculum Geschichte I: Altertum. Diesterweg (1975), S. 79ff.

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Sokrates und der Sklave Menon: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Klassischer Zugang über die Quadratverdopplung mit Lösungshilfen • Eigenständiges Entdecken der Methode Variationen der Aufgabe: • Einsatz ohne Lösungshilfen. Aufgabe: Weiterschreiben des Dialogs • Auch zur Einführung des Wurzelbegriffs geeignet • Weiterführung durch Auszüge aus Gardner: Sofies Welt, S. 77ff Eignung, (mögliche) Methoden: • Je nach Vorerfahrungen der Lerngruppe, sollten die Lösungshilfen ggf. zurückgehalten

werden.

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Vorschlag 10.13: Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist

Wir gehen aus von 2 ⋅n2 = z2. Demnach soll n2 + n2 eine Quadratzahl sein. Beispiele:

l l l m m m l l l m m l l l + m m m = l l l m m l l l m m m l l l m + m

m m m l l l l m m m m l l l l m m m l l l l m m m m l l l l m m m

l l l l + m m m m = l l l l m + m m

l l l l m m m m l l l l m m m

m m m m l l l l m m m m l l l l m m l l l l m m m m l l l l m m l l l l + m m m m = l l l l m m l l l l m m m m l l l l m m

m m m m m m m m

Für n=3 und für n=4 ist das Doppelte offenbar keine Quadratzahl. Für welche n klappt es? Es muss sein:

n n n k n + n = n k k

n k Die schraffierten Teile haben zusammen den Flächeninhalt des unschraffierten Quadrats. Hauptidee: Die schraffierten Teile werden in das unschraffierte Quadrat gelegt:

n-k k k

n-k n-k

k k

k k

n k Die beiden kleinen grauen Quadrate müssen zusammen so groß sein wie das große weiße Quadrat. Das ist aber die Ausgangssituation. Also: Wenn 2 ⋅n2 eine Quadratzahl ist, so ist auch 2⋅k2 eine Quadratzahl mit k < n. Daher ist 2⋅n2 für kein n eine Quadratzahl. Hier lässt sich die Irrationalität von 2 anschließen. Quelle: Jahnke, T.: Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist. In: JMD 1983, S. 163-170.

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Wir suchen eine Quadratzahl, deren Doppeltes wieder eine Quadratzahl ist: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel:

• Genetischer Irrationalitätsbeweis von 2 Variationen der Aufgabe: • Enaktives Handeln mit Mühlesteinen • Schreiben eines diesbezüglichen Dialogs zwischen Sokrates und Menon (analog zu Vorschlag

10.12) Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit Alternativen: • Nachweis der Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Quadrat durch Papierfalten

(vgl. Weber, W.: Inkommensurabilität von Seite und Diagonale im Quadrat. In: PM 5/37 (1995), S. 200-203).

• Problematisierung der Taschenrechnerausgabe bei der Wurzeltaste (vgl. Kroll, W.: Viermal die Sieben - wie groß ist x? In: mathematik lehren 13 (1985), S. 16-18).

• Suche nach Ursprungsgeraden, die keinen einzigen Gitterpunkt mit ganzzahligen Koordinaten enthalten (vgl. Humenberger, H.: Problemlösen (II) im Umfeld spezieller mathematischer Theorien. In: PM 3/41 (1999), S. 105-112.

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Vorschlag 10.14: Konstruktion irrationaler Zahlen

„Konstruiere eine Zahl, die nicht abbricht und nicht periodisch ist.“ Konstruktion irrationaler Zahlen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Einführung der Irrationalität • Selbständige Konstruktion (Mögliche) Lösungen: • 1,112123123412345123456... • 1,101001000100010000010000001... Eignung, (mögliche) Methoden: • Gruppenarbeit

Vorschlag 10.15: Intervallschachtelung mit Telefonnummern

„Wie kann die (sechsstellige) Telefonnummer von Sabine 'erraten' werden,

wenn Sabine nur mit 'Höher' oder 'Niedriger' antwortet?“

Intervallschachtelung mit Telefonnummern: Anregungen für den Unterrichtseinsatz Ziel: • Einführung des Intervallhalbierungsverfahrens Variationen der Aufgabe: • Die Telefonnummer einer Schülerin bzw. eines Schülers der Klasse verwenden • "Wie oft muss man bei einer sechsstelligen Telefonnummer höchstens nachfragen?" (Zwanzig

Mal, denn: ( ) 1000000100022 221020 =≈= (vgl. auch Vorschlag 10.8)

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Vorschlag 10.16: Heron-Algorithmus

Bestimme die Seitenlängen des nächsten Rechtecks in der Reihe. Was fällt dir auf? Quelle: Lambacher Schweizer (1997), S. 40.

Heron-Algorithmus: Anregungen für den Unterrichtseinsatz

Ziel: • Einführung des Heron-Algorithmus • Schüler entdecken den Zusammenhang zwischen den Rechteckseitenlängen Variationen der Aufgabe:

• Für leistungsschwächere Schüler: Angabe der 2,4 cm als Bruch: 5,2

6cm

Eignung, Methoden: • Auch als Einstieg geeignet. Dann aber schwerer zu motivieren, da die Grundidee in den

Hintergrund tritt.