LLINSTITUT FÜR STRÖMUNGSTECHNIK

UND THERMODYNAMIK

Lehrstuhl für Strömungsmechanik und

Strömungstechnik

Materialien zur Übung

Dynamik komplexer Strömungen / Strömungsmechanik II

Dr.-Ing. K. Zähringer

Diagramm zur Gasdynamik

Reibungsbehaftete adiabate gasdynamische Rohrströmung

(ohne Wärmezufuhr)

Zusammenstellung: (abgeleitet mit der kritischen Machzahl M*

=v/c*

)

2

2

2 2

2 1 1

1 1 M* 2ln 0

M* M* M* 1

mit l

d

aus der Massenerhaltung folgt

2 1 1

1 2 2

2 2

2

2

2 111

2 2 2

1 1 1

v M*

v M*

11 M*

1

11 M*

1

i

i

T

TT

TT

T

p T

p T

und bezüglich der Ruhedruckänderung pi (wegen Reibung

irreversible Zustandsänderung, d.h. nicht isentrop) folgt:

12

1

i2 2

i1 1 12

2

11 M*

1p p

p p1

1 M*1

Ti ändert sich nicht, da adiabate Zustandsänderung

wobei max bei M*2 = 1

für Luft : r = 287 Nm / (kg K) ; cP = 1004 Nm / (kg K) ;

= 1,4

zur Erinnerung:

2 22 2

2 2

M*M* ;

1 11 1 1 M* 1

1 2

MaMa

Ma

Einfluss von Reibung und Wärmezufuhr

auf die Hugoniot-Gleichung

2

2 2

2

v 11 1

v

d dA dqM df

A c T T

wir betrachten ein Rohr A1 = A2 = A

und schließen die Reibung aus !!!

Kont.Gl. 1 1 2 2v v (1)

Impuls 2 2

1 1 1 2 2 2v vp p (2)

Energie 1 2p i p ic T q c T (3)

Massendurchsatz: 1

2

*( )

( )

i

i

p Am F

r T

(4)

mit

11 2( 1)2

2( ) ; ( 1,4) 0,6847

1F F

aus (4) folgt 1 1 2 2

1 2

* *i i

i i

p A p A

T T

(4a)

dabei gelten:

11

1

( )i

pM

p ; 2

2

2

( )i

pM

p ; 1

1

1*

AM

A ; 2

2

2*

AM

A

da hier A1 = A2 folgt :

12

2 1 12

1 1 2 2

( )

( )

i

i

p M MT

T p M M

(5)

mit 2 2 211 1 1 1 1 1 1

1

v 1 v 1p p p Mp

, da

2 pc

folgt aus der Impulsgleichung (2)

2

2 1

2

1 2

1

1

p M

p M

(6)

somit aus Gl. (5)

12 2

1 112 1

2

1 2 2 2 2

( )1

1 ( )

i

i

M MMT M

T M M M M

(7)

mit 1

21( ) 1

2i

pM M

p

1

2 12

*

1 2 1( ) 1

1 2

AM M

A M

(M=1) = 1.2679

Bei positiver Wärmezufuhr folgt daraus: Ti2 > Ti1 und (M1)>(M2) .

Weiterhin folgt:

Variable für M < 1 für M > 1

Ti

M bis max./min. M=1

p

pi

v

T für 0 < M < -1/2 ,

für M > -1/2

Diagramm (Ma)

Stoßpolarendiagramm nach Busemann

01

ˆ 02

0R

R

p p

p p

Stoßwinkeldiagramm

Umlenkwinkel ()

Sto

ßw

inkel (

)

Verdünnungswellen

Prandtl-Meyer-Winkel :

2 21 1

( ) arctan 1 arctan 1

1 1

Ma Ma Ma

1

1max ( ) 1 130,5

2Ma

=1.4

Strahlumlenkwinkel

+ - Linie : )1

()2

( MM

- - Linie : )1

()2

( MM

Mach-Winkel :

1( ) arcsinMa

Ma

- auf einer charakteristischen Linie, die das Phänomen beschreibt (nicht die

senkrecht dazu !), ändern sich nicht : p, v, T, s.

- Ruhedruck bleibt über Verdünnungsfächer konstant.

- Geschwindigkeit normal zur Machschen Linie ≙ Schallgeschwindigkeit

=

max=

+

Variable

M M1 < M2

pi pi 1 = pi 2

p p 1 > p 2

Ti Ti 1 = Ti 2

T T 1 > T 2

Grenzschicht für Platte Umschlagspunkt : Rekrit=5

.

105

Laminare Grenzschicht :

Grenzschichtdicke 5

Rex

x

Verdrängungsdicke

1

1,72

Rex

x

Impulsverlustdicke

2

0,665

Rex

x

Wandschubspannung 20,332

Rew

x

u

Reibungskoeffizient

2

0,664

2 Re

wf

x

cu

Widerstandsbeiwert

2

1,328

2 Re

WW

L

Fc

u A

Turbulente Grenzschicht :

Grenzschichtdicke

5

0,37

Rex

x

Verdrängungsdicke

15

0,046

Rex

x

Impulsverlustdicke

25

0,036

Rex

x

Wandschubspannung 2

5

0,0296

Rew

x

u

Reibungskoeffizient

25

0,0592

2 Re

wf

x

cu

Widerstandsbeiwert

25

0,074

2 Re

WW

L

Fc

u A

Konvektiver Wärmeübergang

Längsangeströmte ebene Platte, von der Vorderkante an beheizt oder gekühlt:

lokal bei x und für Gesamtlänge L

Korrelation Gültigkeitsbereich

Laminar: 1/2 1/30,332Re Prx xNu 50,5 Pr 1000 Re 5 10x

1/2 1/30,664Re Prm LNu 50,5 Pr 1000 Re 5 10L

Turbulent: 0,8 1/30,0296Re Prx xNu 5 70,6 Pr 15 5 10 Re 10x

1/3

2,584

10

Re Pr0,185

log Re

xx

x

Nu 7 90,6 Pr 15 10 Re 10x

0,8

10,1 2/3

0,037 Re Pr

1 2,443Re Pr 1

Lm

L

Nu f

Für Gase: 1 1f

Für Flüssigkeiten: 0,25

1Pr

PrWf

5 70,6 Pr 2000 5 10 Re 10L

Vereinfachung für Gase: 0,8 0,60,0287 Re Prx xNu

0,8 0,60,0357 Re Prm LNu

5 70 Pr 1 5 10 Re 10L

Querangeströmter Zylinder, beheizt oder gekühlt: Überströmlänge 2l d

Korrelation Gültigkeitsbereich

Laminar: 1/2 1/30,664Re Prm lNu 50,5 Pr 1000 Re 5 10l

Turbulent:

0,8

10,1 2/3

0,037 Re Pr

1 2,443Re Pr 1

lm

l

Nu f

5 710 Re 10l

Näherungsgleichung:

0,8 0,480,037 Re Prm lNu

5 710 Re 10l

Durchströmtes Rohr, von der Vorderkante an beheizt oder gekühlt: Rohrdurchmesser d

Korrelation Gültigkeitsbereich

Laminar:

23,66mNu f Re 2300d

0,11

2Pr

PrWf

für Flüssigkeiten bei

0,1 Pr Pr 10W

Turbulent:

0,8

6 20,1 2/3

0,0235Re Pr

1 1,947 Re Pr 1

dm

d

Nu f f

4 60,6 Pr 1000 10 Re 10d

Näherungsgleichung:

0,835 0,012 Re Pr 0,29m dNu

4 60,6 Pr 0,9 10 Re 10d

Näherungsgleichung:

0,5 0,80,022 Pr Rem dNu

5Pr 1 Re 10d

Näherungsgleichung:

0,8 0,48

6 20,0235Re Prm dNu f f

4 60,6 Pr 50 10 Re 10d

2/3

6 1 dfL

für 4Re 10d

0,11

2Pr

PrWf

für Flüssigkeiten bei

0,1 Pr Pr 10W

Korrelationen aus:

Baehr, Stephan: Wärme- und Stoffübertragung, 9. Auflage, Springer-Verlag

Polifke, Kopitz: Wärmeübertragung, 2. Auflage, Pearson Studium

Merker, Eiglmeier: Fluid- und Wärmetransport, Wärmeübertragung, Teubner Verlag

Böckh, Wetzel: Wärmeübertragung, 6. Auflage, Springer Vieweg

Wagner: Wärmeübertragung, 5. Auflage, Vogel Verlag

Dimensionslose Kennzahlen nach Vauck, Müller : Grundoperationen chemischer Verfahrenstechnik

Bezeichnung Abkürzung Bedeutung Berechnung

Archimedes-

Zahl Ar

Dichte-Antriebskraft

innere Trägheitskraft

3

2

g l

Bodenstein-

Zahl Bo

Konvektionsstrom

Diffusionsstrom

vSc Re

l

D

Euler-Zahl Eu Druckkraft

Trägheitskraft

2v

p

Fourier-Zahl Fo Wärmeleitstrom

Konvektionsstrom 2 2

p

a t t

l c l

Froude-Zahl Fr Trägheitskraft

Schwerkraft

2v

g l

Galilei-Zahl Ga Schwere-Antriebskraft

innere Trägheitskraft

2 3

2

Re

Fr

g l

Grashof-Zahl Gr thermische Antriebskraft

innere Trägheitskraft

3

2

g lT

Knudsen-Zahl Kn mittlere freie Weglänge

Rohrdurchmesser

l

Lewis-Zahl Le Wärmeleitstrom

Diffusionsstrom

Sc

Pr p

a

D c D

Mach-Zahl Ma Strömungsgeschwindigkeit

Schallgeschwindigkeit

v

c

Newton-Zahl Ne Antriebskraft

Trägheitskraft

2 2v v

F t F

m l

Nusselt-Zahl Nu Wärmeübergangsstrom

Wärmeleitstrom

l

Peclet-Zahl Pe Konvektionsstrom

Wärmeleitstrom

vvRe Pr

pl cl

a

Prandtl-Zahl Pr innere Reibung

Wärmeleitstrom

Pe

Re

pc

a

Reynolds-Zahl Re Trägheitskraft

Zähigkeitskraft

v vl l

Schmidt-Zahl Sc innere Reibung

Diffusionsstrom

Bo

Re D

Weber-Zahl We Trägheitskraft

Oberflächenkraft

2v l

mit : a Wärmediffusion 2 -1m s , c Schallgeschwindigkeit -1m s

, pc Wärmekapazi-

tät 1 -1J kg K , D Diffusionskoeffizient 2 -1m s

, F Kraft N , g Erdbeschleu-

nigung -2m s , l charakteristische Abmessung m , m Masse kg , p

Druckdifferenz Pa , t Zeit s , T Temperaturdifferenz K , v Strömungsge-

schwindigkeit -1m s , Wärmeübergangskoeffizient -2 -1Wm K

, Volumen-

ausdehnungszahl -1K , Wärmeleitfähigkeit -1 -1Wm K

, mittlere freie

Weglänge m , dynamische Viskosität -1Pa s , kinematische Viskosität

2 -1m s , Dichte -3kg m

, Oberflächenspannung -1Nm

Gleichungen zu Potentialströmungen

2 2

2 2

1 2

0x x

Laplace-Gleichung

2 2

2 2

1 2

0x x

Cauchy-Riemannsche Gleichungen

Kartesische Koordinaten :

1

1 2

2

2 1

vx x

vx x

oder

x

y

vx y

vy x

Zylinderkoordinaten :

1

1

rvr r

vr r

Elementare ebene Potentialströmungen inkompressibler Fluide:

Bezeichnung Stromlinienbild Komplexe

Potentialfunktion

Skalare

Potentialfunktion

Skalare

Stromfunktion

(x, y) (x, y)

(r, ) (r, )

Translations-

strömung

In x-Richtung

u z

u r i exp

u x

u r cos

u y

u r sin

Translations-

strömung

In y-Richtung

iv z

iv r iexp

v y

v r sin

v x

v r cos

Staupunkt-,

Eckenströmung

A reell > 0

az

2

2

a

r i2

22 exp

a

x y2

2 2

a

r2

22 cos

axy

a

r2

22 sin

Quelle, Senke

Ergiebigkeit :

(Q 0)

ln2

Qz

ln2

Qr i

2 2ln2

Qx y

ln2

Qr

arctan2

Q y

x

2

Q

Potentialwirbel

Zirkulation :

( 0)

i z

2ln

2i rln

2arctan

y

x

2

2

2 2

ln x y

2lnr

Dipol

Dipolachse:

x-Achse

Dipolmoment:

(D 0)

1

2

D

z

1

exp2

Di

r

2 22

D x

x y

cos

2

D

r

2 22

D y

x y

sin

2

D

r

Dipol

Dipolachse:

y-Achse

Dipolmoment:

(D 0)

1

2

Di

z

1

exp2

Di i

r

2 22

D y

x y

sin

2

D

r

2 22

D x

x y

cos

2

D

r

(x, y)

(r, )

Q>0

D>0

D>0