Fakultät Informatik/Mathematik

Lehrstuhl für Stochastik

Vorlesungsmitschrift

MATHE 1 UND 2

Mitschrift von

Falk-Jonatan StrubeVorlesung von

Prof. Dr. Fabian Schwarzenberger / Michael Meinhold

24. Mai 2017

INHALTSVERZEICHNIS

1 Elementare Grundlagen 51.1 Aussagen und Grundzüge der Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Aussagen, Wahrheitswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Aussagesverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Logische Gesetze (Tautologien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Aussagefunktionen, Quantoren, Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2 Mengenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3.2 Operationen auf Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.3.3 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3.4 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3.5 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.4 Gleichmächtigkeit, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5 Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1 Gruppen, Ringe, Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.2 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.3 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.3.1 Algebraische Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.3.2 Zahlendarstellung im Computer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.3.3.3 Ordnungsstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.4 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.4.1 Begriff, Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.4.2 Darstellungsformen komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . 411.3.4.3 Spezielle Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.3.4.4 Anwendung im Wechselstromkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.4 Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.1 Elementare Funktionen (Teil 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.4.1.1 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.1.2 Gebrochen rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.1.3 Trigonometrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.1.4 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4.1.5 Hyperbelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.4.2 Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.4.3 Elementare Funktionen (Teil 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.3.1 Wurzel- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 481.4.3.2 Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4.3.3 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5 Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.5.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.5.2 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541.5.3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2

1.5.4 Lineare Gleichungssysteme, Rang einer Matrix, Inverse . . . . . . . . . . 591.5.4.1 Das Austauschverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.5.4.2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.5.4.3 Weitere Anwendungen des Austauschverfahrens . . . . . . . . . 631.5.4.4 Die Inverse einer (n,n)-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.5.5 Vektorrechnung im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.5.5.1 Kartesische Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651.5.5.2 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.5.5.3 Das vektorielle Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671.5.5.4 Das Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.5.5.5 Geraden- und Ebenengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.5.5.6 Einige geometrische Grundaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.5.6 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

2 Folgen, Reihen, Grenzwerte 772.1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.1.1 Grenzwerte von Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.1.2 Lineare Rekursionsgleichungen (Differenzengleichungen) . . . . . . . . . 802.1.3 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.1.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822.1.3.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.1.3.3 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.2 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.2.1 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.2.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

2.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3 Differentialrechnung für Funktionen einer reellen Variablen 953.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.1.1 Das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3.1 Taylorsche Formel, Taylor-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.3.1.1 Taylor Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.3.2 Grenzwertbestimmung mittels der Regel von l’Hopital . . . . . . . . . . . 1033.3.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.3.4 Kurvendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.3.4.1 Darstellung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.4.2 Tangenten und Normalen ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . 1113.3.4.3 Krümmung ebener Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.3.4.4 Raumkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.3.5 Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4 Integralrechnung für Funktionen einer reellen Veränderlichen 1174.1 Der Integralbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.1.1 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.1.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) . . . . . . . . . . . 120

4.2 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2.1 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.2.2 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2.3 Integration gebrochen rationaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3

4.2.4 Integration von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.3 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.5.1 Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5.1.1 Inhalte ebener Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.5.1.2 Bogenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1304.5.1.3 Volumen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1324.5.1.4 Mantelflächen von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.5.1.5 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5 Differentialrechnung für Funktionen mehrerer reeller Veränderlichen 1405.1 Funktionen mehrerer reeller Veränderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1.1 Flächen in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.1.2 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.3 Totale Differenzierbarkeit und Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1485.4 Weitere Begriffe, Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4.1 Richtungsableitung, Tangentialebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.4.2 Lokale Extrema (ohne Nebenbedingungen) von Funktionen zweier Verän-

derlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.4.3 Lokale Extrema mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

6 Integralrechnung für Funktionen mehrerer Veränderlicher 1576.1 Integrale über ebene Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.1.1 Begriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.1.2 Reduktion auf Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.1.3 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.1.4 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.1.4.1 Allgemeine Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . 1606.2 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

6.2.1 Flächen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2.2 Oberflächenelement, Berechnung und Anwendung . . . . . . . . . . . . . 163

6.2.2.1 Berechnung von dF für spezielle Flächenelemente . . . . . . . . 163

7 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1667.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.2 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

7.2.1 Geometrische Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2.2 DGL mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.2.3 Lineare DGL 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.2.4 Weiter DGLn 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

7.2.4.1 Ähnlichkeitsdifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2.4.2 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

7.3 Lineare DGLn höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . 172

4

1 ELEMENTARE GRUNDLAGEN

1.1 AUSSAGEN UND GRUNDZÜGE DER LOGIK

1.1.1 AUSSAGEN, WAHRHEITSWERT

Aussage: (im weiteren Sinne) Sprachlich sinnvoller, konsatierender Satz. In diesem Abschnittwerden nur zweiwertige Aussagen betrachtet, d.h. Aussagen, die entwoder wahr oder falschsind.

Bsp. 1:

(1) Es gibt unendlich viele Primzahlen (wahr)

(2) Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, z.B. (3,5), (5,7), (11,13), (17,19) usw. (Wahrheits-wert nicth bekannt!)

(3) 5 + 7 = 13 (falsch)

(4) Wie spät ist es? (keine Aussage)

(5) Diese Aussage ist falsch! (keine Aussage, paradox)

(6) Am 30.06.2016 wird es in Dresden regnen.

(1)–(3) sind zweiwertige Aussagen, (4) und (5) sind keine Aussagen, (6) ist keine zweiwertigeAussage (Wahrscheinlichkeit, d.h. Zahl zwischen 0 und 1 angebbar).

Bezeichnungen:p, q, r, . . . Aussagen,

0 . . . falsche Aussage,

1 . . . wahre Aussage

Wahrheitswert:

w(p) =

1 (falls p wahr)0 (fallls p falsch)

p ≡ q (p IDENTISCH q) . . . p und q haben denselben Wahrheitswert

1.1.2 AUSSAGESVERSCHIEBUNG

(1) NEGATION p („nicht p“) [oft auch p! bzw. ¬p]p p

0 1

1 0

(2) KONJUNKTION p ∧ q („p und q“)

5

(3) DISJUNKTION p ∨ q („p oder q“) [Alternative – nicht ausschließendes Oder!]p q p ∧ q p ∨ q1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 0

(4) IMPLIKATION (p⇒ q) :≡ p ∨ q („aus p folgt q“, „wenn p, dann q“)p q p p⇒ q

1 1 0 1

1 0 0 0

1 1 1 1

1 0 1 1Begriffe: p⇒ q (p: PRÄMISSE, q: KONKLUSION)Eine Implikation ist genau dann falsch, wenn die Prämisse richtig und die Konklusionfalsch ist!

Bsp. 2:

• −1 = 1 (falsch)⇒ 1 = 1 (wahr) [durch Quadrieren]

• −1 = 1 (falsch)⇒ 0 = 2 (falsch) [Addition von 1]

Aus einer falschen Aussage lassen sich durch richtiges Schließen sowohl falsche als auchrichtige Aussagen gewinnen.

Andere Sprechweisen: „p ist HINREICHEND für q“, „q ist NOTWENDIG für p“

(5) ÄQUIVALENZ (p ⇔ q) :≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) („p äquivalent q“, „p ist notwendig undhinreichend für q“, „p genau dann wenn q“)(ist genau dann wahr, wenn p und q den selben Wahrheitswert besitzen)

1.1.3 LOGISCHE GESETZE (TAUTOLOGIEN)

Eine Tautologie t ist eine Aussagenverbindung, die unabhängig vom Wahrheitswert der einzelnenAussagen stets wahr ist (d.h. t ≡ 1).

Bsp. 3:Einige wichtige Tautologien

(1) p⇔ p (Negation der Negation)

(2) p ∨ p (Satz vom ausgeschlossenem Dritten)

(3) a) p ∧ q ≡ p ∨ qb) p ∨ q ≡ p ∧ q (de Morgansche Regeln)

(4) (p⇒ q) ≡ (q ⇒ p) (Kontrapositionsgesetz)

(5) p ∧ (p⇒ q))⇒ q (direkter Beweis)

(6) p ∧ (q ⇒ p))⇒ q (indirekter Beweis)

6

Beweise mittels Wahrheitstafeln (vgl. Übung 1).Bemerkung zu 1., 3., 4.: Eine Äquivalenz ist genau dann eine Tautologie, wenn beide Seitenidentisch sind, z.B. p ≡ p.

Beweistechniken:Zu beweisen ist q.

(1) Direkter Beweis:

• Nachweis von p (Voraussetzung)

• Richtiger Schluss p⇒ qDann q wahr (Behauptung)

(2) Indirekter Beweis: Annahme von q auf Wiederspruch führen (auf unterschiedliche Weisemöglich, vgl. folgendes Bsp).

Bsp. 4:q =„√

2 ist irrational“ (keine rationale Zahl)Beweis indirekt:

Es gelte q, d.h.√

2 ist rational, dann gelten folgende Schlüsse:√

2 =m

nmit teilerfremden

natürlichen Zahlen m und n.

⇒ 2 =m2

n2⇒ 2 · n2 = m2 ⇒ 2|m2

⇒ 2|m (2 ist Teiler von m)⇒ 4|m2 (mit m2 = 2n2)⇒ 4|2n2 ⇒ 2|n2 ⇒ 2|nWiderspruch: Da m und n teilerfremd sind. #

Weitere Gesetze

• p ∧ q ≡ q ∧ pp ∨ q ≡ q ∨ p (Kommutativgesetze)

• (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (Assoziativgesetze)

• (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)(p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (Distributivgesetze)

• p ∧ 1 ≡ p, p ∨ 1 ≡ 1, p ∧ p ≡ pp ∧ 0 ≡ 0, p ∨ 0 ≡ p, p ∧ p ≡ p

• p ∨ (p ∧ q) ≡ p (Absorptionsgesetz)

1.1.4 AUSSAGEFUNKTIONEN, QUANTOREN, PRÄDIKATENLOGIK

X sei eine Menge (Gesamtheit von Objekten x mit einem gemeinsamen Merkmal, vgl. Abschnitt1.2)x ∈ X . . . x ist Element von X. Die Objekte haben Eigenschaften (PRÄDIKATE)

Aussagefunktion (auch Aussageform) p(x): Jedem x ∈ X ist eine Aussage p(x) zugeordnet.Dabei steht x für ein Objekt, p für ein Prädikat.

7

Bsp. 5:X . . . Menge der positiven natürlichen Zahlen (1, 2, 3, . . . )p(x) :=„x ist eine Primzahl“p(5) . . . wahr, p(10) . . . falsch

Quantoren:Betrachtet werden folgende Aussagen:

(1) „Für alle x (aus X) gilt p(x)“ ≡ ∀x p(x) (UNIVERSELLER QUANTOR / Allquantor)

(2) „Es existiert (wenigstens) ein x, für welches p(x) gilt“ ≡ ∃x p(x) (EXISTENZIELLER QUAN-TOR)

Zur Schreibweise:

• Bei Anwendungen (außerhalb der reinen Logik) wird oft die GrundmenkeX mit angegeben:∀x ∈ X p(x) usw.

• Falls sich Quantoren auf eine Teilmenge M von X beziehen sollen, dann können folgendeSchreibweisen verwendet werden:a = ∀x ∈M p(x), b = ∃x ∈M p(x).

• Die Schreibweisen in der formalen Logik sind dann:a = ∀x (x ∈M ⇒ p(x))

Rechenregeln:

∀x p(x) ≡ ∃x p(x)

∃x p(x) ≡ ∀x p(x)

Mehrstellige Aussagefunktionen

• p(x1, x2, ..., xn), x1 ∈ X1, x2 ∈ X2, ..., xn ∈ Xn

Die Grundmengen Xi können, müssen aber nicht für jede Stelle gleich sein.

• Wird ein Quantor auf eine n-stellige Aussagefunktion angewandt, so entsteht eine (n-1)-stellige Aussagefunktion (eine 0-stellige Aussagefunktion ist eine Aussage)z.B.: ∃y p(x, y, z) =: q(x, z), die Variable y wird durch den Quantor ∃ gebunden (y. . .gebundene Variable). Wichtig ist der Platz, nicht der Name der Variable.x, z . . . freie Variable, können durch weitere Quantoren gebunden werden.

Bsp. 6:Ein Dorf bestehe aus 2 Teilen (Ober- und Unterdorf). Es sei M die Menge aller Bewohner desDorfes. M1 bzw. M2 seien die Teilmengen von M , die dem Ober- bzw. Unterdorf entsprechen.

Wir betrachten folgende zweistellige Aussagefunktionen:k(x, y). . . Person x (aus M ) kennt Person y (aus M )

a) a(x) := ∀y k(x, y). . . Person x kennt jeden (⇒ „Für alle y gilt: x kennt y“)b(y) := ∃x k(x, y) . . . es gibt jemanden, der y kenntc := ∀x∀y k(x, y) . . . jeder kennt jedend := ∀y∃x k(x, y) . . . jeder wird von wenigstens einer Person gekannte := ∃x∀y k(x, y) . . . es gibt mindestens eine Person, die alle Personen kenntMan beachte:

8

• d und e sind nicht das Gleiche: Die Reihenfolge unterschiedlicher Quantoren mussbeachtet werden. Bei d kann für jedes y ein anderes x mit k(x, y) existieren. DieseAbhängigkeit von y wird manchmal in Anwendungen durch ∀y ∃x(y) k(x, y) ausge-drückt.

• Es gilt aber e⇒ d (stets wahr: Tautologie). Der Wahrheitsgehalt von z.B. c, d, e kanndagegen nicht mit logischen Mitteln bestimmt werden.

b) Negation der Aussagen bzw. Aussageformen aus a).a(x) ≡ ∃y k(x, y). . . x kennt wenigstens eine Person nichtb(x) ≡ ∀x k(x, y) . . . keiner kennt yc ≡ ∃x ∀y k(x, y) ≡ ∃x ∃y k(x, y) . . . es gibt jemanden der wenigstens eine Person nichtkennt (jemanden, der nicht alle kennt)d ≡ ∃y ∀x k(x, y). . . es gibt jemanden, der von keiner Person gekannt wird e ≡ ∀x ∃y k(x, y). . . jeder kennt wenigstens eine Person nicht.

c) Folgende Aussagen sind mit Hilfe von Quantoren auszudrücken:f . . . jeder aus dem Oberdorf kennt wenigstens eine Person aus dem Unterdorf.g. . . es gibt jemanden im Unterdorf, der alle Personen des Oberdorfs kennt.

f = ∀x ∈M1 ∃y ∈M2 k(x, y)

= ∀x (x ∈M1 ⇒ ∃y (y ∈M2 ∧ k(x, y)))

g = ∃x ∈M2 ∀y ∈M1 k(x, y)

= ∃x (x ∈M2 ∧ ∀y (y ∈M1 ⇒ k(x, y)))

1.2 MENGEN

1.2.1 BEGRIFFE

Menge: Zusammenfassung gewisser wohl unterscheidbarer Objekte (Elemente) mit einemgemeinsamen Merkmal zu einem Ganzen.

Diskussion: Naiver Mengenbegriff führt zu Widerpsrüchen. z.B. Menge X aller Mengen,die sich nicht selbst als Element enthalten.X = A|A Menge,A 6∈ A

X ∈ X? Wenn X ∈ X ⇒ X 6∈ X und X 6∈ X ⇒ X ∈ X (Widerspruch!).Diese Widersprüche können umgangen werden, wenn nur Teilmengen einer sogenannten

Grundmenge betrachtet werden.

Bezeichungen:

• meist große Buchstaben für Mengen: A,B, ...,M, ...,X

• x ∈M . . . x ist Element von M

• x 6∈M . . . x ist kein Element von M

Schreibweise:M = ...

Elemente oder M = x|p(x)

mit p(x) = Aussage, die genau für die Elemente x aus M wahr ist.

9

Wichtige Grundmengen:

• N . . . Menge der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3, ...

• N∗ = N \ 0 = 1, 2, 3, ...

• Z . . . Menge der ganzen Zahlen ...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...

• Q . . . Menge der rationaln Zahlen x|x =m

n,m ∈ Z, n ∈ Z, n 6= 0

• R . . . Menge der reelen Zahlen

• C . . . Menge der komplexen Zahlen z|z = x+ i · y, x, y ∈ R, i2 = −1

Bsp. 1:M1 . . . Menge der Primzahlen kleiner 10, M1 = 2, 3, 5, 7M2 . . . Menge der reelen Zahlen zwischen 0 und 1 M2 = x ∈ R|0 < x < 1 =: (0, 1)

Intervallschreibweise

Def. 1: (Intervallschreibweisen)Es seien a und b reele Zahlen mit a < b:[a, b] := x ∈ R|a ≤ x ≤ b . . . abgeschlossenes Intervall(a, b) := x ∈ R|a < x < b . . . offenes Intervall[a, b) := x ∈ R|a ≤ x < b(−∞, a) := x ∈ R| −∞ < x < a = x ∈ R|x < ausw.

Leere Menge: z.B. x ∈ R|x = x+ 1 = x ∈ R|x2 + 1 = 0 enthält kein Element.Bezeichnung: ∅ oder

1.2.2 MENGENVERKNÜPFUNGEN

Def. 2:M1 = M2 :≡ ∀x (x ∈M1 ⇔ x ∈M2 (GLEICHHEIT)

Def. 3:M1 ⊆M2 :≡ ∀x (x ∈M1 ⇒ x ∈M2 (INKULSION) „M1 ist Teilmenge von M2“

Diskussion:Ist M1 ⊆M2 aber M1 6= M2 so kann man schreiben M1 ⊂M2 (echte Teilmenge).

Def. 4:

(1)A ∩B := x|x ∈ A ∧ x ∈ BDURCHSCHNITT von A undB

A B

(2) A ∪B := x|x ∈ A ∨ x ∈ BVEREINIGUNG von A und B

A B

10

(3) A \B := x|x ∈ A ∧ x 6∈ BDIFFERENZ „A minus B“ A B

(4)Bei Vorliegen einer Grundmenge E:A := E \AKOMPLIMENTÄRMENGE von A

A E

Diskussion: (ausgewählte Rechenregeln)

(1) ∪ und ∩ sind kommutativ und assoziativz.B. gilt A ∪B = B ∪A, (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩B ∩ C

(2) Allg. I . . . Indexmenge, z.B. 1, 2, ..., n, N, Z, R dann:⋃i∈I

Ai := x|∃i ∈ I x ∈ Ai⋂i∈I

Ai := x|∀i ∈ I x ∈ Ai

1.2.3 RELATIONEN

1.2.3.1 GRUNDBEGRIFFE

Def. 5:Die Menge M1 ×M2 := (x1, x2)|x1 ∈ M1 ∧ x2 ∈ M2 heißt KARTESISCHES PRODUKT derMengen M1 und M2 (= Menge aller geordneten Paare)

Bsp. 2:R . . . Menge der reelen Zahlen, veranschaulicht durch die ZahlengeradeR2 := R× R = (x, y)|x ∈ R ∧ y ∈ R . . . x-y-Ebene

Def. 6:Eine Teilmenge T ⊆M1 ×M2 heißt (BINÄRE) RELATION.

Diskussion:

(1) Verallgemeinerung: M1×M2× ...×Mn = (x1, x2, ..., xn)|x1 ∈M1, ..., xn ∈Mn (= Mengegeordneter n-Tupel)Eine Teilmenge T ⊆M1 ×M2 × ...×Mn heißt N-STELLIGE RELATION.

(2) JEDE Teilmenge von M1 ×M2 ist eine Relation, also auch die Grenfälle ∅ (gesamt leereMenge) und M1 ×M2 (vollständige Menge). Wichtig sind aber im allgemeinen die echtenTeilmengen, die die verschiedensten Beziehungen zwischen den Elementen von M1 undM2 ausdrücken.

Def. 7: (Eigenschaften binärer Relationen in M1 ×M2)Eine Relation T ⊆M1 ×M2 heißt:

a) LINKSVOLLSTÄNDIG (LINKSTOTAL), wenn für jedes x1 ∈ M1 (wenigstens) ein x2 ∈ M2

existiert mit (x1, x2) ∈ T .

11

b) RECTHVOLLSTÄNDIG (RECHTSTOTAL, wenn für jedes x2 ∈ M2 (wenigstens) ein x1 ∈ M1

existiert mit (x1, x2) ∈ T .

c) RECHTEINDEUTIG, wenn für jedes x1 ∈M1 höchstens ein x2 ∈M2 existiert mit (x1, x2) ∈ T .

d) LINKSEINDEUTIG, wenn für jedes x2 ∈M2 höchstens ein x1 ∈M1 existiert mit (x1, x2) ∈ T .

Bsp. 3:Es seien S bzw. L folgende Mengen von Städten bzw. Ländern:S = Berlin, Dresden, Koln, Paris, Ram, Neapel, OsloL = D(eutschland), F (rankreich), B(elgien), I(talien), P (olen), N(orwegen)Die Relation T ⊆ S × L soll darstellen, welche Stadt in welchem Land liegt.Man gebe T elementweise an und stelle die Relation graphisch dar!Welche der Eigenschaften aus Def. 7 treffen zu?

• T = (Berlin,D), (Dresden,D), (Koln,D), (Paris, F ), (Rom, I), (Neapel, I), (Oslo,N)

• graphische Darstellung:

Berlin

Dresden

Köln

Paris

Rom

Neapel

Oslo

D

F

B

P

I

N

S L

(x, y) ∈ T : x→ y (gerichteter Graph)

• Eigenschaften:linksvollständignicht rechtsvollständigrechtseindeutignicht linkseindeutig(solche Relationen nennt man auch „Funktionen“, eindeutige Zuordnung [von Stadt →Land])

Def. 8: (Eigenschaften binärer Relationen in M ×M )Eine Relation T ⊆M ×M (Sprechweise auch „Relation auf M“) heißt. . .

a) REFLEXIV, wenn (x, x) ∈ T für alle x ∈M ,

b) SYMMETRISCH, wenn (x, y) ∈ T ⇒ (y, x) ∈ T ,

c) ANTISYMMETRISCH, wenn ((x, y) ∈ T ∧ (y, x) ∈ T )⇒ x = y,

d) ASYMMETRISCH, wenn (x, y) ∈ T ⇒ (y, x) 6∈ T ,

e) TRANSITIV, wenn ((x, y) ∈ T ∧ (y, z) ∈ T )⇒ (x, z) ∈ T

. . . jeweils für ALLE x, y, z ∈M gilt.

12

Bsp. 4:Welche Eigenschaften aus Def. 8 besitzen folgende Relationen?Es sei P eine Menge von Personen.

a) Eine Person x ∈ P sei jünger als y ∈ P , wenn ihr Geburtstag später als der von y ist.y J ⊆ P × P mit J = (x, y)|x ist jünger als y.J ist offensichtlich asymmetrisch (damit auch antisymmetrisch [Die Prämisse der Impli-kation ((x, y) ∈ J ∧ (y, x) ∈ J)⇒ x = y ist stets falsch, damit die Implikation stets wahr])und transitiv. Eine solche Relation nennt man auch STRIKTE ORDNUNGSRELATION (vgl.Abschnitt 1.2.3.4).

b) Zwei Personon x ∈ P und y ∈ P heißen gleichaltrig, wenn x und y das gleiche Ge-burtsJAHR besitzen.y G ⊆ P × P mit G = (x, y)|x und y sind gleichaltrig.G ist offensichtlich reflexiv, symmetrisch und transitiv.Derartige Relationen nennt man ÄQUIVALENZRELATIONEN, vgl. Abschnitt 1.2.3.3. Sie teilenP in disjunkte sogenannte Äquivalenzklassen auf (x äquivalent y heißt, x und y besitzengleiches Geburtsjahr).

Graphische Darstellung von Relationen T in M ×M (auf M ). Möglichkeiten:

(1) Elemente von M nur einmal darstellen, Pfeildarstellun wie bisher, bei (x, x) ∈ T eineSchlinge zeichnen.

x y z

(gerichteter Graph)

(2) x y z

yz

(Koordinatensystem)Diese Variante ist auch bei Relationen in M1 ×M2 möglich.

Diskussion:

(1) Die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität lassen sich beim gerichtetenGraphen leicht nachprüfen.REFLEXIVITÄT: Bei jedem Element ist eine Schlinge.SYMMETRIE: Jeder Pfeil x→ y (y 6= x) besitzt „umkehrpfeil“ (x← y).Antisymmetrie: Schlinge möglich, aber keine Umkehrpfeile.Asymmetrie: weder Schlingen noch Umkehrpfeile.TRANSITIVITÄT: Falls ein Pfeil x→ y eine „Fortsetzung“ y → z besitzt, so verläuft auch einPfeil von x nach z.

(2) Auch die Darsteellung von Koordinatensystem lassen sich die Eigenschaften Reflexivitätund Symmetrie sofort überprüfen.REFLEXIVITÄT: Die Diagonale IM = (x, x)|x ∈M gehört zu T (IM heißt auch IDENTITÄTS-RELATION, diese Relation ist eine spezielle Funktion, identische Funktion y = f(x)) = x,x ∈M später als Funktion auch mit iM bezeichnet)SYMMETRIE: T ist spiegelsymmetrisch bzgl. IM

13

x1 x2 x3 x4 x5

x2

x3

x4

x5IM

ist reflexiv aber nicht symmetrisch

x1 x2 x3 x4 x5

x2

x3

x4

x5

ist symmetrisch aber nicht reflexiv

ALTERNATIVE SCHREIBWEISEN: Es sei T ⊆M1 ×M2 eine binäre Relation.Anstelle (x, y) ∈ T kann man schreiben:

• xTy (x steht in Relation T zu y), für viele wichtige Relationen gibt es spezielle Zeichen,z.B. x < y, x = y, g||h oder A ⊆ B usw.

• Aussageformen (vgl. Prädikatenlogik): T (x, y) (auch mit mehreren Variablen möglich)

1.2.3.2 OPERATIONEN AUF RELATIONEN

Da Relationen spezielle Mengen sind, gibt es Operationen wie ∪, cap usw. auch hier. Weiterefür Relationen wichtige Operationen in den folgenden Definitionen:

Def. 9:Es sein T eine Relation in U × V .Die Menge proj1(T ) = x ∈ U |∃y ∈ V, (x, y) ∈ T heißt PROJEKTION von T auf u (1. Faktor deskartesischen Produkts).Analog ist proj2(T ) = y ∈ V |∃x ∈ U, (x, y) ∈ T die Projektion auf den 2. Faktor.

VERANSCHAULICHUNG:

u

v

T

proj1(T )

proj2(T )

Bsp. 5:Es sei S = 1, 2, 3, 4, 5 eine Menge von Studenten und F = a, b, c, d, e, f eine Menge vonFächern.Es sei P ⊆ S × F die Relation, die angibt, welcher Student in welchem Fach eine Nach- bzw.Wiederholungsprüfung im bevorstehenden Prüfungsabschnitt hat.Die Studenten 1 und 3 haben keine Prüfung ausstehen, Student 2 muss die Prüfungen in a. dund e, 4 in b und f sowie 5 in b, d, e und f ablegen.

a) Man gebe die Relation P elementweise an und stelle sie in einem Koordinatensystem dar.

b) Man ermittle die Projektionen P auf S bzw. F und kennzeichne diese in der Skizze.

Lösung:

14

a) P = (2, a), (2, d), (2, e), (4, b), (4, f), (5, b), (5, d), (5, e), (5, f)

Fach

Student1 2 3 4 5

a

b

c

d

e

f

proj2(P )

proj1(P )

b) proj1(P ) = 2, 4, 5 ⊆ S(= Menge der Studenten, die wenigsten eine N/W-Prüfung haben.)proj2(P ) = a, b, d, e, f ⊆ F(= Menge der Fächer, in denen Student(en) eine N/W-Prüfung haben.)

Def. 10:Es sei T ⊆M1 ×M2 eine binäre Relation.Die Relation T−1 := (y, x)|(x, y) ∈ T ⊆ M2 × M1 heißt INVERSE RELATION (bzw. kurz:INVERSE) von T .

Bsp. 6: (vgl. Bsp. 5)P−1 = (a, 2), (b, 4), (b, 5), (d, 2), (d, 5), (e, 2), (e, 5), (f, 4), (f, 5)Besonders wichtig ist die folgende Operation:

Def. 11:Es seien T1 ⊆M1 ×M2 und T2 ⊆M2 ×M3 binäre Relationen.Als KOMPOSITION (oder auch VERKETTUNG) T1 T2 („T2 nach T1“) wird die Relation T1 T2 :=(x, z) ∈M1 ×M3|∃y ∈M2 (x, y) ∈ T1 ∧ (y, z) ∈ T2 in M1 ×M3 bezeichnet.

Bsp. 7:Es sei M die Menge aller Menschen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt leben. Weiter seienS = (x, y)|x ist Mutter von y ⊆M ×M und T = (y, z)|y ist verheiratet mit z ⊆M ×M .

Dann bedeutet (x, z) ∈ S T : Es gibt ein y, sodass x die Mutter von y ist ((x, y) ∈ S) und ymit z verheiratet ((y, z) ∈ T ) ist, d.h. „x ist die Schwiegermutter von z“.

Diskussion: Wichtige Eigenschaft der Komposition :

• Die Operation ist ASSOZIATIV, d.h. seien T1 ⊆ A×B, T2 ⊆ B ×C und T3 ⊆ C ×D, danngilt:(T1 T2︸ ︷︷ ︸⊆A×C

) T3⊆C×D

= T1⊆A×B

(T2 T3︸ ︷︷ ︸⊆B×D

) = T1 T2 T3 ⊆ A×D

Def. 12:Es sei T eine Relation in M ×M (auf M ).Als TRANSITIVE HÜLLE T+ von T bezeichnet man die kleinste Relation, die T enthält und transitivist.

Satz 1: Es gilt: T+ = T ∪ (T T ) ∪ (T T T ) ∪ ...

15

Bemerkung:Bezeichnung für T T ... T︸ ︷︷ ︸

n-mal

auch Tn

(Nicht verwechseln mit Mengenprodukt T × ...× T︸ ︷︷ ︸n-mal

bzw. Funktionen mit n-ten Potenz fn!)

Damit ist T+ =∞⋃j=1

T j

Beweis:

(1) T+ ist transitiv, denn sei (x, y) ∈ T+ und (y, z) ∈ T+, dann existieren natürliche Zahlenj1, j2 ≥ 1 mit (x, y) ∈ T j1 und (y, z) ∈ T j2 ,d.h. y wird in j1 Schritten von x aus erreicht und z in j2 Schritten von y aus erreicht. Alsowird z in j1 + j2 Schritten von x aus erreicht,d.h. (x, z) ∈ T j1+j2 ⊆ T+

(2) Es sei T ⊆ S für eine transitive Relation S.⇒ T T ⊆ S S ⊂ S und für beliebiges j ≥ 1:T j ⊆ Sj ⊆ S und somit:

T+ =∞⋃j=1

T j ⊆ S,

d.h. T+ ist tatsächlich die kleinste transitive Relation, die T enthält.

Diskussion:

(1) Analog zur transitiven Hülle einer Relation T in M ×M (auf M ) werden die reflexive Hüllebzw. die symmetrische Hülle von T als die jeweils kleinsten Relationen die T enthaltenund reflexiv bzw. symmetrisch sind definiert.Die Ermittlung gestaltet sich etwas „einfacher“ als bei der transitiven Hülle:REFLEXIVE HÜLLE von T : T ∪ IM (dabei ist IM = (x, x)|x ∈M [Diagonale / Identitäts-relation])SYMMETRISCHE HÜLLE von T : T ∪ T−1

(2) Von Bedeutung ist auch die REFLEXIV-TRANSITIVE Hüllo ven T :T ∗ = T+ ∪ IM (dabei T+ . . . transitive Hülle von T )

Bsp. 8:Gegeben sei die Menge M = a, b, c, d, e, fsowie die Relation T = (a, b), (b, c), (c, e), (b, d), (d, e), (e, f).

a) TRANSITIVE HÜLLE: Zur Ermittlung der Komposition S T :Für jedes Element (x, y) ∈ S alle Fortsetzungen (y, z) ∈ T suchen y (x, z) als Elementvon S T notieren, falls es noch nicht vorkommt.Bspw.:

• (a, b), Fortsetzungen wären (b, c), (b, d) y Elemente (a, c) und (a, d) notieren.

• (b, c), Fortsetzung (c, e) y (b, e) notieren

• usw.

⇒ T T = (a, c), (a, d), (b, e), (c, f), (d, f) = T 2

T 3 = T (T T ) = (a, e), (b, f) (ausgehend von T in T T nach Fortsetzung suchen)

16

T 4 = T T 3 = (a, f)

a

b c

d

e f

⇒ T+ = T ∪ (T T )︸ ︷︷ ︸2 Schritte

∪ (T T T )︸ ︷︷ ︸3 Schritte

∪ (T T T T︸ ︷︷ ︸4 Schritte

= T ∪ T 2 ∪ T 3 ∪ T 4

(Formel bricht im endlichen Fall nach endlich vielen Schritten ab.)

b) REFLEXIVE HÜLLE: T ∪ (a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (e, e), (f, f)

a

b c

d

e f

c) SYMMETRISCHE HÜLLE: T ∪ T−1 = T ∪ (b, a), (c, b), (e, c), (d, b), (e, d), (f, e)

a

b c

d

e f

Zur Überprüfung der Eigenschaften aus Def. 8 ist folgender Satz nützlich:

Satz 2:Es sei T ⊆M ×M eine binäre Relation. Dann gilt:

a) T ist reflexiv⇔ IM ⊆ T (IM . . . Identitätsrelation)

b) T ist symmetrisch⇔ T−1 ⊆ T [⇔ T−1 = T ]

c) T ist antisymmetrisch⇔ T ∩ T−1 ⊆ IM

d) T ist asymmetrisch⇔ T ∩ T−1 = ∅

e) T ist transitiv⇔ T T ⊆ T

Disskussion:

(1) Beweise ergeben sich unmittelbar aus Def. 8, vgl. Übungsaufgabe 1.24 (für b) und e))

(2) Aus c) und d) ergibt sich z.B.T asymmetrisch ⇒ T antisymmetrisch (da ∅ Teilmenge jeder Menge ist)

1.2.3.3 ÄQUIVALENZRELATIONEN

Def. 13:Eine Relation T ⊆M ×M heißt ÄQUIVALENZRELATION auf M , wenn sie reflexiv, symmetrischund transitiv ist.

17

Diskussion:

(1) Durch eine Äuivalenzrelation wird M vollständig in paarweise elementfremde (disjunkte)ÄQUIVALENKLASSEN zerlegt. Die Menge aller Äquivalenzklassen von M bezüglich T heißtQUOTIENTENMENGE M/T .Aufgrund der 3. Eigenschaft aus Def. 13 erhält eine Äquivalenzklasse alle Elemente, dieuntereinander erreichbar sind (=äquivalent) und nur diese.

(2) Äquivalenzklassen enthalten alle Elemente, die bezüglich einer bestimmten Eigenschaftnicht unterscheidbar sind, z.B. Bsp. 4 mit M = P (Menge von Personen), Äquivalenzrelati-on G ⊆ P × P mit G = (x, y)|x und y haben gleiches Geburtsjahr, Äquivalenzklassensind die Jahrgänge.

(3) Anstelle der Schreibweise (x, y) ∈ T , xTy oder T (x, y) verwendet man bei beliebigenÄquivalenzrelationen auf x ∼ y. Bei vielen speziellen Äquivalenzrelationen spezielleSymbole, sie folgendes Beispiel.

Bsp. 9:

a) M sei eine beliebige Menge T1 = IM = (x, y) ∈ M ×M |x = y (Identitätsrelation) isteine Äquivalenzrelation.Äquivalent heißt hier gleich!Äquivalenzklassen sind sämtliche einelementige Teilmengen x, x ∈ M . T1 heißt diefeinste Zerlegung vonM die möglich ist. Die größte Zerlegung liefert die Relation T2 = M×M , die trivialer Weise ebenfalls eine Äquivalenzrelation ist mit nur einer ÄquivalenzklasseM . Für die Anwendungen sind natürlich Relationen wichtig, die eine feinere Zerlegungliefern.

b) M = Z (ganze Zahlen), m ∈ N∗, T ⊆ Z× Z mit

• (x, y) ∈ T :≡ „x und y lassen bei Division durch m den gleichen Rest“

• Bezeichunung x ≡ y(mod m) . . . x kongruent y (modulo m), z.B. 29 ≡ 8(mod 7)

• T ist eine Äquivalenzrelation auf Z, Äquivalenzklassen:Restklassen modulo m (siehe Übungsaufgabe 1.19)

c) M . . . Menge aller Geraden einer Ebene, T ⊆M ×M mit

• (x, y) ∈ T :≡ „x ist zu y parallel“, Bezeichnung: x||yy T ist Äquivalenzrelation auf M (siehe Übungsaufgabe 1.21.)

1.2.3.4 ORDNUNGSRELATIONEN

Def. 14:

a) Eine Relation T ⊆M×M heißt Ordnungsrelation aufM , wenn sie reflexiv, antisymmetrischund transitiv ist.

b) Eine Ordnungsrelation heißt VOLLSTANDIG oder LINEAR, wenn für alle x, y ∈ M gilt(x, y) ∈ T ∨ (y, x) ∈ T .

Def. 15:Eine Relation T ⊆M ×M heißt STRIKTE ORDNUNGSRELATION auf M , wenn sie asymmetrischund transitiv ist. Eine strikte Ordnungsrelation heißt vollständig, wenn für alle x, y ∈M mit x 6= ygilt (x, y) ∈ T ∨ (y, x) ∈ T .

18

Bsp. 10:

a) M = R, T ⊆ R× R mit (x, y) ∈ T :≡ x ≤ y ist eine vollständige Ordnungsrelation auf R.

b) Die Relation „<“ ist eine (vollständige) strikte Ordnungsrelation.

c) E sei eiine Menge, M sei die MENGE ALLER TEILMENGEN VON E, d.h. M ist die Potenz-menge M = P(E) von E.T ⊆M ×M mit (A,B) ∈ T :≡ A ⊆ B ist eine Ordnungsrelation auf P(E) = M (Inklusi-on).

Diskussion:

(1) In der Literatur wird manchmal die Relation im Sinne von Def. 14 als Halbordnung und nureine vollständige als Ordnung als Ordnungsrelation bezeichnet.

(2) Zu jeder Ordnung T1 (auf M ) gehört eine strikte Ordnung T2 und umgekehrt: T2 = T1\IMbzw. T1 = T2 ∪ IM (T1 eist die reflexive Hülle von T2), z.B. (≤, <) oder (⊆, ⊂).

(3) Die Symbole ≤ (bzw. <) können anstelle der Paarschreibweise auch bei beliebigenOrdnungen verwendet werden, falls keine anderen Zeichen dafür üblich sind.

Def. 16:T sei eine Ordnungsrelation auf eine Menge M . Weiter sei A eine Teilmenge von M .

a) Ein Element a ∈M heißt obere Schranke von A, wenn gilt:∀x ∈ A x ≤ a (x ≤ a d.h. (x, a) ∈ T , vgl. 3.) der vorhergehenden Diskussion)

b) Es sei B die Menge der oberen Schranken von A, diese sei nicht leer. Falls es eineKLEINSTE OBERE SCHRANKE s von A gibt, d.h. ∃s ∈ B ∀b ∈ B s ≤ b, so heißt s dasSUPREMUM VON A, s = supA

c) Gilt s ∈ A, so heißt s das Maximum von A: s = maxA = supA

d) Ein Element m ∈ A heißt maximal, wenn es kein größeres Element in A gibt, d.h. ∀x ∈A (m ≤ x⇒ m = x)

Diskussion:

(1) Die Begriffe aus Def. 16 lassen sich auf strikte Ordnungen S übertragen, indem anstellevon S die reflexive Hülle T = S ∪ IM verwendet wird.

(2) Bei Ordnungsrelationen T (auch für strikte Ordnungen) auf endlichen Mengen M kann einvereinfachter Graph, das sogenannte HASSE-DIAGRAMM, betrachtet werden.a b (a 6= b) bedeutet (a, b) ∈ T und es gibt kein Zwischenglied c 6= a und c 6= b mit

(a, c) ∈ T ∧ (c, b) ∈ T (a ist unmittelbarer Vorgänger von b bzw. b Nachfolger von a).Diesem Diagramm entspricht eine Teilrelation U ⊆ T , deren transitiv-reflexive Hülle (bzw.transitive Hülle bei strikten Ordnungen) T ist.

(3) Veranschaulichung von Def. 16 mit einem HASSE-Diagramm einer nicht vollständingenOrdnung (nicht linear)

a bc

d

e f

g

M

A

19

z.B. Arbeitsgänge, die in einer bestimmten Reihenfolge durchgeführt werden müssen, Abspw. Teilarbeiten einer ZweigfirmaOBERE SCHRANKEN: e, f, gsupA= eMAXIMUM VON A: existiert nicht, da e 6∈ AMAXIMALE ELEMENTE VON A: c, d

(4) Bei nichtlinearen Ordnungen müssene obere Schranken, Supremum und Maximum nichtexistieren, es kann mehrere maximale Elemente A ⊆M geben.Bei linearen Ordungen auf ENDLICHEN Mengen gibt es genau ein maximales Element= maxA = maxB

(5) Analog zur Def. 16 werden die Begriffe UNTERE SCHRANKEN a von A (∀x ∈ A a ≤x), GRÖSSTE UNTERE SCHRANKE (INFINUM) s von A (B 6= ∅ . . . Menge der unterenSchranken, ∃s ∈ B ∀a ∈ B∀a ≤ s), MINIMUM VON A (minA = inf A = s falls s ∈ A) undminimales Element m von A (∀x ∈ A (x ≤ m⇒ x = m)) definiert.

Bsp. 11:Eine bestimmte Arbeitsaufgabe besteht aus mehreren Arbeitsgängen.Es sei A = 1, 2, 3,4, 5, 6 die Menge der Arbeitsgänge. Die Arbeitsgänge 2, 3, 5 =: Swerden von einer Subfirma durchgeführt. Für die Reihenfolge gilt: 1 muss vor 2, 2 vor 3und 5, 3 vor 4 sowie 5 vor 6 durchgeführt werden.

a) Man beschreibe diese Forderungen durch eine Relation U ⊆ A × A und stelle siegraphisch dar (HASSE-Diagramm).

b) Man ermittle die transitive Hülle U+ von U .

c) Man gebe (falls vorhanden) obere Schranken, Supremum, Maximum, max. Elementesowie untere Schranken, Infinum, Minimum, min. Elemente von S an.

Lösung:

a) U = (1, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (5, 6

1 23 4

5 6S

b) U U = (1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 6)U (U U) = (1, 4), (1, 6)U4 = ∅

1.2.3.5 FUNKTIONEN

Def. 17:Eine Relation f ⊆ x× y heißt FUNKTION (ABBILDUNG) von X in Y , wenn sie linksvollständigund rechtseindeutig ist.

Diskussion:

• Gemäß Def. 7 a+c aus Kapitel 1.2.3.1 bedeutet linksvollständig UND rechtseindeutig, dasszu JEDEM x ∈ X GENAU EIN y ∈ Y mit (x, y) ∈ f existiert, also EINDEUTIGE ZUORDNUNG:x 7−→ y =: f(x)

SCHREIBWEISE: f : X → Y (manchmal f |X → Yy = f(x) heißt auch BILD von x, x EIN Urbild von y (muss nicht eindeutig sein).

20

• X = Db(f). . . DEFINITIONSBEREICH,Wb(f) = y ∈ Y |∃x ∈ x (x, y) ∈ f ⊆ Y . . . WertebereichSchreibweise auch f(X) := Wb(f) (Menge aller Bilder).

Wb(f)

x = Db(f)

f : R→ 0, 1

Def. 18:

a) Eine Abbildung f heißt SURJEKTIV (Auch Abbildung auf Y ),

b) Eine Funktion f heißt INJEKTIV, wenn zu jedem y ∈Wb(f) genau ein x ∈ Db(f) existiertmit (x, y) ∈ f :y

∈Wb(f)7−→ x =: f−1(y)

∈Db(f)

(„f oben -1“)

Die dadurch erklärte Abbildung f−1 : Wb(f)→ Db(f) heißt UMKEHRFUNKTION von f , vgl.auch Kap 1.1.4.

c) Eine injektive UND surjektive Abb. von X auf Y heißt BIJEKTIV.

d) Gebräuchlich sind auch die Begriffe SURJEKTION, INJEKTION und BIJEKTION!

Bsp. 12:Gegeben sind die Mengen X = a, b, c und Y = 1, 2, 3, 4 sowie folgende Relation in X × Y :

a) T1:

a

b

c

(X)

1

2

3

4

(Y )

T1 ist eine Funktion f(= T1) : f : X → Y (1) diese ist injektiv, Db(f) = X = a, b, c,Wb(f) = 1, 2, 4 =: W , f : X →W (2) ist surjektiv, also sogar bijektiv.Als Relation sind (1) und (2) nicht zu unterscheiden, aber als Funktion.

b) T2:

a

b

c

(X)

1

2

3

4

(Y )

T2 ist keine Funktion, nicht linksvollständig. Betrachtet man D = a, b ⊂ X, so istdurch T2 eine Funktion f : D → Y beschrieben, die Funktion ist injektiv und kann mitW := f(D) = 1, 3 zu einer bijektiven Abbildung f : D →W umgewandelt werden.

21

c) T3:

a

b

c

(X)

1

2

3

4

(Y )

T3 ist keine Funktion, da nicht rechtseindeutig.

Bsp. 13:

a) f : [0,∞)→ R mit „x→ y = f(x) =√x ist eine FUNKTION EINER REELEN VERÄNDERLI-

CHEN (injektiv).

x

y

Wb(f) = [0,∞)Db(f) = [0,∞)

b) f : R × R → R mit (x, y) 7−→ x2 + y2 = f(x, y) =: z FUNKTION ZWEIER REELLER

VERÄNDERLICHER.

y

z

x (Paraboloid)Db(f) = R× R (x-y-Ebene)Wb(f) = [,∞)

c) f : N→ R mit n 7−→ f(n) =n

n+ 1ist eine (reelle) Zahlenfolge. f(0) = 1, f(1) =

1

2, f(2) =

2

3, ...

Bezeichnung meist mit Index: an = f(n) y ZF (an) n ∈ N

Def. 19:Es seien g := X → U mit x 7−→ u = g(x) und f : U → Y mit u 7−→ y = f(u) zweiAbbildungen. Dann stellt man die Zuordnung x 7−→ y = f(g(x)

u) eine Abbildung von X in Y

dar, eine sogenannte MITTELBARE FUNKTION (KOMPOSITION / VERKETTUNG). BEZEICHNUNG:g f : X → Y mit y = (g f)(x) = f(g(x))

Diskussion:

22

(1)

X•••

U••••

Y •••

x 7−→ u = g(x) u7−→f(u) = f(g(x))Paarschreibweise: (x, u) ∈ g (u, y) ∈ f y (x, y) ∈ g f

(2) g wird zuerst angewendet, dann f . Wie bei beliebigen Relationen die die Schreibweiseg f

(3) In der Literatur findet man oft die Schreibweise f g angelehnt an die Schreibweise f(g(x)).Die Reihenfolge der Berechnung ast aber von innen nach außen, erst innere Funktion g,dann die äußere f .

Satz 3:Es sei f : X → Y eine BIJEKTION, d.h. es existiert die Umkehrfunktion f−1 : Y → X, weitersei iA für eine beliebige Menge A die identische Abbildung (Identitätsrelation): iA : A→ A mitiA(x) = x für alle x ∈ A.Es gilt dann:f f−1 = idX , d.h. (f f−1)(x) = f−1(f(x)) = x(∀x ∈ X) undf−1 f = idY , d.h. (f−1 f)(y)) = f(f−1(y)) = y(∀y ∈ Y )(Funktion und Umkehrfunktion nacheinander angewandt heben sich auf).

Satz 4:Es seien g = X → U und h : U → Y zwei Bijektionen. Dann ist die Komposition f := g h :X → Y ebenfalls eine Bijektion und es gilt:f−1 = (g h)−1 = h−1 g−1

1.2.4 GLEICHMÄCHTIGKEIT, KARDINALZAHLEN

Es sei eine hinreichend mufassend Grundmenge, die alle für eine mathematische Theorierelevante Objekte (Zahlen, Funktionen, usw.) enthält. M sei die Potenzmenge von E(d.h. M istdie Menge aller Teilmengen von E, M = P(E)).

Def. 20:Zwei Mengen A und B (A ⊆ E,B ⊆ E bzw. A ∈M,B ∈M ) heißen GLEICHMÄCHTIG (Bezeich-nung A ∼ B), wenn eine bijektive Abbildung von A auf B (damit auch B auf A) existiert.

Diskussion:

(1) Offensichtlich ist die Relation T ⊆M×M mit (A,B) ∈ T :≡ A ∼ B eine Äquivalenzrelationauf M .

(2) Äquivalenzklassen sind Mengen gleichmächtiger Teilmengen von E. Diese Äquivalenz-klassen nennt man KARDINALZAHLEN.

(3) Bei endlichen Mengen bedeutet Gleichmächtigkeit:Gleiche Anzahl von ElementenA = a, b, c, B = X,Y, Z

23

(Abbildung bspw. a→ X b→ Y c→ Z)Bezeichnung: cardA = |A| = 3 (= |B|)NATÜRLICHE ZAHLEN SIND DIE KARDINALZAHLEN ENDLICHER MENGEN.

(4) Die Anschauung versagt bei unendlichen Mengen.

B

A

Die Strecken A und B sind gleichmächtig, obwohl A länger als B ist.

Def. 21:Eine Menge heißt ABZÄHLBAR UNENDLICH, wenn sie mit der Menge N = 1, 2, 3, 4, ... dernatürlichen Zahlen gleichmächtig ist.

Diskussion:

(1) M ist abzählbar unendlich heißt, es existiert eine ZÄHLVORSCHRIFT, bei der jedes Elementvon M nach endlich vielen Schritten erreicht wird.

(2) Die Menge Z der ganzen Zahlen ist abzählbar unendlich.Andordnen nach steigendem Betrag:Z = 0,−1, 1,−2, 2,−3, 3, ...

(3) Q+ . . . Menge der pos. rationalen Zahlen

Q+ :1

1,

1

2,

1

3, . . .

2

1,

2

2,

2

3, . . .

3

1,

3

2,

3

3, . . .

. . . . . . . . . . . .

Zählvorschrift:

a) (aufsteigend) Ordnen nach Summen von Zöhler und Nenner

b) Zahlen mit gleicher Summe der Größe nach aufsteigend anordnen.

c) Bereits enthaltene Zählen (=kürzbare Brücke) weglassen.

Q+ =

1

1,1

2,2

1,1

3,3

2,3

1, ...

analog zu Z: Die Menge Q aller rationalen Zahlen (also Q− zusammen mit Q+) ist abzähl-bar unendlich.

(4) Es gibt Mengen, die mächtiger sind als die Menge der natürlichen Zahlen: ÜBERABZÄHL-BARE MENGEN (B heißt MÄCHTIGER als A, wenn se eine injektive Abbildung f : A→ Bgibt, aber keine bijektive. Schreibweise: |A| < |B|).

z. B. gilt:

24

Satz 5: Die Menge M = x ∈ R|0 < x < 1 = (0, 1) ist überabzählbar.Beweis: (CANTORSCHES DIAGONALVERFAHREN)Indirekt, angenommen M = (0, 1) sei abzhälbar unendlich, d.h. M = x1, x2, x3, ....Für die Zahlen xk wählen wir z.B. die eindeutige Darstellung als Dezimalbruch (9er Periodevermeiden). Also bspw. 0, 39999... = 0, 39 = 0, 4 = 0, 40000...)x1 = 0, a

(1)1 a

(1)2 a

(1)3 ...

x2 = 0, a(2)1 a

(2)2 a

(2)3 ...

x3 = 0, a(3)1 a

(3)2 a

(3)3 ...

...

Es sei z = 0, b1b2b3... mit bk =

1 falls a(k)

k 6= 1

2 falls a(k)k = 1

für k = 1, 2, 3, ...

Damit unterscheiden sich xk und z an der k-ten Stelle, d.h. z 6= xk für alle k ≥ 1. z ist also nichtin der Folge x1, x2, x3, ... enthalten, also z 6∈M .Andererseits ist 0 < z < 1 also z ∈ (0, 1) = M . Widerspruch! #

Satz 6:Es sei E eine Menge. Dann ist die Potenzmenge M = P(E) mächtiger als E.Beweis:

(1) Die Abbildung f : E → M mit f(x) = x, die jedem x ∈ E die einelementige Mengex ∈M zuordnet, ist injektiv.

(2) Angenommen, es gäbe eine bijektive (damit auch surjektive) Abbildung g : E → M . Essei A = x ∈ E|x 6∈ g(x) ∈M (A Teilmenge von E). Da g surjektiv ist, gibt ein a ∈ E mitg(a) = A. Fallunterscheidung:

a) a ∈ A = g(a)⇒ a 6∈ g(a) Widerspruch!

b) a 6∈ A = g(a)⇒ a ∈ g(a) Widerspruch!

Beide Fälle führen auf einen Widerspruch, es gibt keine surjektive und damit auch keinebijektive Abbildung von E auf P(E). #

Diskussion:Satz 6 zeigt, dass es unendlich viele unendliche Mächtigkeiten gibt. So gilt bspw. |N| < |P(N)| <|P(|P(N)|)| usw.

Satz 7:Die Potenzmenge P(N) der Menge der natürlichen Zahlen ist gleichmächtig mit dem Intervall(0, 1), also überabzählbar (Beweis: siehe Übungsaufgabe 1.38).

1.2.5 PRINZIP DER VOLLSTÄNDIGEN INDUKTION

Es sei n0 ∈ N. Zu beweisen ist: „Für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 gilt die Aussage p(u).“ (Essind also abzählbar unendlich viele Einzelaussagen zu beweisen!)

Satz 8:

(1) Es sei p(n0) wahr (Induktionsanfang)

(2) Für alle nat. Zahlen n ≥ n0 sei die Implikation p(n)⇒ p(n+ 1) wahr (Induktionsschluss)

25

Dann gilt: p(n) ist für alle nat. Zahlen n ≥ n0 wahr.Zum Beweis:

(1) y p(n0) ist wahr,

(2) p(n0)⇒ p(n0 + 1)...y Konkulsion wahr usw. (Dominoeffekt)

Bsp. 14:

Zu beweisen istn∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6für alle n ∈ N∗

(1) p(1): 12 =1 · 2 · 3

6= 1 (wahr) Induktiansanfang (IA)

(2) Es gelte p(n):n∑k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6Induktionsannahme/-voraussetzung (IV)

(3) zu zeigen p(n+ 1):n+1∑k=1

k2 =n+ 1(n+ 2)(2n+ 3)

6Induktionsschritt (IS)

(4) INDUKTIONSSCHLUSS: (p(n)⇒ p(n+ 1))

n+1∑k=1

k2 =

n∑k=1

k2 + (n+ 1)2

IA=n · (n+ 1)(2n+ 1)

6+ (n+ 1)2

=n+ 1

6(n(2n+ 1) + 6(n+ 1))

=n+ 1

6(2n2 + 7n+ 6)

=n+ 1

6(n+ 2)(2n+ 3) #

1.3 ZAHLEN

1.3.1 GRUPPEN, RINGE, KÖRPER

• Gegeben sei eine Menge M und eine zweistellige Operation (d.h. Abb. von M ×M inM )Bezeichnung: (M, ), analog (M, , ∗)

• Die Operation heißt KOMMUTATIV, wenn a b = b a für alle a, b ∈M .

• Die Operation heißt ASSOZIATIV, wenn (a b) c = a (b c) für alle a, b, c ∈M .

Def. 1:(M, ) heißt GRUPPE, wenn gilt:

(1) Die Operation ist assoziativ

(2) Es gibt genau ein NEUTRALES ELEMENT e ∈M mit a e = e a = a (für alle a ∈M )

(3) Es gibt zu jedem a ∈M genau ein INVERSES ELEMENT a−1 mit a a−1 = a−1 a = e

(4) Eine Gruppe heißt ABELSCH, wenn zusätzlich folgendes gilt: ist kommutativ

26

Def. 2:(M,⊕, ∗) heißt RING, wenn gilt:

(1) (M,⊕) ist eine ABELsche Gruppe.

(2) Die Operation ∗ ist assoziativ.

(3) Es gelten für beliebige a, b, c ∈M :a ∗ (b⊕ c) = (a ∗ b)⊕ (a ∗ c)(a⊕ b) ∗ c = (a ∗ c)⊕ (b ∗ c) (Distributivgesetze)

(4) Ein Ring heiß KOMMUTATIVER RING, wenn gilt:∗ ist kommutativ

Def. 3:(M,⊕, ∗) heißt KÖRPER, wenn gilt:

(1) (M,⊕, ∗) ist ein Ring(mit dem neutralen Element E0 für die Operation ⊕)

(2) (M \ E0, ∗) ist eine ABELsche Gruppe(mit dem neutralen Element E1 für die Operation ∗)

1.3.2 ZAHLENTHEORIE

• Eine natürliche Zahl p > 1, die nurch durch 1 und sich selbst teilbar ist heißt PRIMZAHL.

• Jede natürliche Zahl n > 1 ist entweder eine Primzahl, oder sie lässt sich als Produkt vonPrimzahlen schreiben.Diese sogenannte PRIMFAKTORZERLEGUNG ist bis auf die Reihenfolge der Faktoreneindeutig.

Def. 4:Zwei natürliche zahlen aus N∗ heißen TEILERFREMD, wenn sie außer 1 keine gemeinsamenteiler besitzen.

• Es sei a ∈ Z undm ∈ N∗. Dann gibt es eine eindeutige Darstellung der Gestalt a = q ·m+ r

mit 0 ≤ r < m und q ∈ Z.Bezeichnung: m . . . MODUL r . . . (kleinste nichtnegative) REST MODULO M (r ≡mod(a,m))

• Zur Erinnerung: a und b seien ganze Zahlen, m ∈ n∗, dann a ≡ b(mod m) [a kongruentb modulo m]⇔ a und b haben den gleicher Rest modulo m⇔ a− b ist durch m teilbar (d.h. ∃k ∈ Z a− b = k ·m)

Satz 1:Es sei a ≡ b(mod m), c ≡ d(mod m), dann gilt: a+c ≡ b+d(mod m) und a·c ≡ b·d(mod m)(d.h. in Summen und Produktenn darf jede Zahl durch einen beliebigen Vertreter dergleichen Restklasse ersetzt werden).

27

Bsp. 1:

a) 307 + 598 ≡ 1 + (−2) ≡ −1 ≡ 5(mod 6)

b) 307 · 598 ≡ 1 · (−2) ≡ −2 ≡ 4(mod 6)

c) 5986 ≡ (−2)6 ≡ 64 ≡ 4(mod 6)

• Man wählt aus jeder Restklasse den kleinsten nichtnegativen Vertretery Menge von Resten modulo m: Zm := 0, 1, ...,m− 1y „modulare Arithmetik“: Operation ⊕ und für Zahlen aus Zm erklärbar, in dem für dasErgebnis jeweils der kleinste nichtnegative Rest modulo m gewählt wird (vgl. Satz 1)z.B. Z7 = 0, 1, ..., 6, 5⊕ 4 = 2, da 5 + 4 ≡ 9 ≡ 2(mod 7) 5 6 = 2, da 5 · 6 ≡ 30 ≡2(mod 7)

Falls keine Verwechselung zu befürchten ist, wird die übliche Schreibweise + und · anstellevon ⊕ und verwendet.

Def. 5:Wenn es zu c ∈ Zm eine Zahl d ∈ Zm gibt, mit c · d ≡ 1(mod m) (bzw. c d ≡ 1), so heißt d die(MULTIPLIKATIVE) MODULARE INVERSE zu c in Zm.Bezeichnung: d = c−1

Bsp. 2:c = 3 ∈ Z7, wegen 3 · 5 ≡ 1(mod 7) ist (in Z7) 3−1 = 5.

Satz 2: Zu a ∈ Zm, a 6= 0, gibt es genau dann eine modulare Inverse in Zm, wenn a und mteilerfremd sind (ggT (a,m) = 1).

Satz 3: Es sei p eine Primzahl. Dann ist (Zm,⊕,) ein Körper.Bemerkung: Falls m keine Primzahl ist, so ist (Zm,⊕,) ein kommutativer Ring.

EUKLIDischer Algorithmus

• Verfahren zur Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers t zweier positiver natürlicherZahlen, t = ggT (a, b).

• In erweiterter Form bietet der Algorithmus eine Möglichkeit zur Bestimmung der modularenInversen von a zum Modul m (mit a < m und a,m teilerfremd).

Satz 4: (EUKLIDischer Algorithmus)Es seien a, b ∈ N∗, a > b. Man bildet die endliche Folger0 := b, r1 = mod (a, b), r2 = mod (r0, r1), ..., rn = mod (rn−2, rn−1), Abbruch falls rn = 0.In diesem Fall gist ggT (a, b) = rn−1 (letzter nicht verschwindender Rest).

Bezeichnung: j-te Division ... rj−2 : rj−1 = qj Rest rj (j = 1, ..., n) (dabei r1 := a).

Satz 5: (erweiterter EUKLIDischer Algorithmus)Zusätzlich zur Folge (rn) aus Satz 4 bilde man die Folgenx0 = 0, x1 = 1, x2 = x0 − q2x1, ..., xj = xj−2 − qjxj−1 (j ≤ n− 1) undy0 = 1, y1 = −q1, y2 = y0 − q2y1, ..., yj = yj−2 − qjyj−1 (j ≤ n− 1)

Dann gilt für alle j = 0, ..., n− 1: rj = xj · a+ yj · b

Insbesondere gilt ggT (a, b) = xn−1 · a+ yn−1 · b

28

Diskussion:

(1) Der Sinn der erweiterten EUKLIDischen Algorithmus besteht darin, in jedem Schrit denDIVISIONSREST r ALS LINEARKOMBINATION VON a UND b MIT GANZZAHLIGEN KOEFFIZIEN-TEN x UND y darzustellen: r = x · a+ y · bDer Mechanismus wird am besten im Rechenschema des nachfolgenden Bsp. 4 deutlich.

(2) Sind c und m teilerfremd, 1 ≤ c < m, d.h. ggT (m, c) = 1, so erhält man mit dem erweitertenEUKLIDischen Algorithmus (a = m, b = c) eine Darstellung in der Form 1 = x ·m+ y · c .y y · c ≡ 1(mod m) und damit c−1 ≡ y(mod m) (für die modulare Inverse muss eventuellnoch der in Zm liegende, zu y kongruente, Wert gebildet werden!).

Bsp. 3:Man ermittle den größten gemeinsamen Teiler t sowie das kleinste gemeinsame Vielfache v derZahlen 132 und 84.

• Es genügt der „einfache“ Algorithmus:

132 : 84 = 1 Rest 48

84 : 48 = 1 Rest 36

48 : 36 = 1 Rest 12 y t = ggT (132, 84) = 12

36 : 12 = 3 Rest 0 y Ende.

• v =a · bt

=132 · 84

12= 924 = kgV (132, 84)

Bsp. 4:

Man ermittle die modulare Inverse vonb︷︸︸︷

11 zum Modula︷︸︸︷

25 .

11 = 0 · 25 + 1 · 11 (1)

25 : 11 = 2 Rest 3 3 = 25− 2 · 11 3 = 1 · 25− 2 · 11 (2)

11 : 3 = 3 Rest 2 2 = 11− 3 · 3 2 = −3 · 25 + 7 · 11 (3)

3 : 2 = 1 Rest 1 1 = 3− 2 1 = 4 · 25− 9 · 11

2 : 1 = 2 Rest 0

y (−9) · 11 ≡ 1(mod 25)y 11−1 ≡ −9 ≡ 16(mod 25), die Inverse von 11 in Z25 ist 16.Zu den Schritten:

(1) b = 0 · a+ 1 · b

(2) mittleres Feld als Linearkombination

(3) ab hier Rechnung links spaltenweise durchführen, dabei Faktoren a und b beibehalten.

EULERSCHE ϕ-FUNKTION, SATZ VON EULER

Def. 6:Es sei n ∈ N∗. Dann EULERSCHE ϕ-FUNKTION:ϕ(n) := Anzahl der zu n teilerfremden Elemente aus 1, 2, ..., n. Eigenschaften der ϕ-

Funktion:

29

• Es sei p eine Primzahl, dann ist ϕ(p) = p− 1 , ϕ(pk) = pk−1(p− 1) (k ∈ N∗

• Falls ggT (m,n) = 1, so gilt ϕ(m · n) = ϕ(m) · ϕ(n).

• Speziell: n = p · q (p, q Primzahlen), dann ϕ(n) = (p− 1) · (q − 1) (1).

Satz 6: (Satz von EULER)Es sei ggT (a, n) = 1, dann gilt:

aϕ(n) ≡ 1(mod n) (2).

RSA-VERSCHLÜSSELUNG

• Die Formeln (1) und (2) [siehe oberhalb] bilden die Grundlage für die sogenannte RSA-Verschlüsselung (RIVES, SHAMIR, ADLEMAN - 1978)

• Schlüsselerzeugung:

(1) Man wählt (in der Praxis sehr große) Primzahlen d und q.

(2) n := p · q, m := ϕ(n)(1)= (p− 1)(q − 1)

(3) e wird so gewählt, dass ggT (e,m) = 1

(4) d := e−1(mod m) (modulare Inverse)

(5) (n, e) . . . öffentlicher Schlüssel(n, d) . . . geheimer Schlüssel (geheim ist nur d)p, q und m werden nicht mehr benötigt, bleiben aber geheim!

• Verschlüsselung:Klartext a teilerfremd zu n verschlüsseln mit e, d.h. b :≡ ae(mod n) bilden (b . . . Geheimtext)

• Entschlüsselung:Der Empfänger und Besitzer des geheimen Schlüssels bildet bd(mod m) und erhält

bd ≡ a(mod n) denn bd ≡ (ae)d ≡ aed ≡ a1+k·m ≡ a ·(aϕ(n)

)≡1 wegen Satz 5

k≡ a(mod n).

• Praktische Durchführung vgl Übungsaufgabe 2.4

1.3.3 REELLE ZAHLEN

R . . . Menge der reellen Zahlen.Auf R existiert eine algebraische Struktur und eine Ordnungsstruktur.

1.3.3.1 ALGEBRAISCHE STRUKTUR

(R,+, ·) mit den arithmetischen Operationen + (Addition) und · (Multiplikation) ist ein Körper.

Def. 7:

a.) 0! := 1, n! = n · (n− 1)! mit n ∈ N∗ FAKULTÄT (rekursive Funktion)

b.) Sei α ∈ R, k ∈ N∗, dann sei(α

0

):= 1,

(α

k

):=

α

k

(α− 1

k − 1

)Binominalkoeffizient α über k.

d.h.(α

k

)=α(α− 1)(α− 2)...(α− k − 1)

k!

30

Diskussion:

(1) Für k, n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n gilt(n

k

)=

(n

n− k

)=

n!

k!(n− k)!

(2) Für k ∈ N, α ∈ R gilt(α

k

)+

(α

k + 1

)=

(α+ 1

k + 1

)

(3) BINOMISCHER LEHRSATZ: (a+b)k =

n∑k=0

(n

k

)an−k ·bk = an+n·an−1·b+

(n

2

)an−2·b2+...+bn

PASCALSCHES DREIECK:

1 n = 0

1 1 1

1 2 1 2

1 3 3 1 3

1 4 6 4 1 4

1 5 10 10 5 1 5

(Spalte =k

in(n

k

))

Stellenwertsysteme:

• Es sei k > 1 eine natürliche Zahl (die sogenannte Basis)

• x = (xpxp−1...x1x0︸ ︷︷ ︸Vorkomma

, x−1x−2...x−q︸ ︷︷ ︸Nachkomma

)b

:= xp · bp + xp−1 · bp−1 + ...+ x1 · b1 + x0 · b0︸ ︷︷ ︸Vorkomma

+x−1 · b−1 + x−2 · b−2 + ...+ x−q · b−q︸ ︷︷ ︸Nachkomma

heißt Darstellung zur Basis b (*).

Bsp. 5:

• b = 2 . . . DUAL- ODER BINÄRSYSTEM (Ziffern 0, 1)

• b = 3 . . . Trialsystem

• b = 10 . . . DEZIMALSYSTEM

• b = 16 . . . HEXADEZIMALSYSTEM (Ziffern 0, 1, 2, ..., 9, A10, B

11, C

12, D

13, E

14, F

15

z.B. (47)10 = (101111)2 = (1202)3 = (57)8 = (2F )16

Übergang von einem Ziffernsystem zu einem anderenz.B. p = 3, q = 2

x = x3b3 + x2b

2 + x1b1 + x0 + x−1b

−1 + x−2b−2

= (x3b2 + x2x

1 + x1)b+ x0 + (x−1 + x−2b−1)b−1

= ((x3b1 + x2)b+ x1)b+ x0 + (x−1 + x−2b

−1)b−1

Grundlage: fortgesetztes Klammern:

x = ((....((xpb+ xp−1)b+ xp−2)b+ ...+ x2)b+ x1)b+ x0+

((...(x−qb−1 + x−(q−1))b

−1 + ...+ x−2)b−1 + x−1)b−1

(**)

31

Bsp. 6: Übergang Dezimalsystem→ anderes System

• ganzer Teil: fortgesetzte Division durch b und Restabspaltung liefert b-Ziffern in der Rei-henfolge x0, x1, x2, ...

• gebrochener Teil: fortgesetzte Multiplikation mit b und Abspaltung des ganzzahligen Anteilsliefert b-Ziffern in der Reihenfolge x−1, x−2, ...

z.B. Dezimalsystem→ Hexadezimalsystem (b = 16)x = 435, 9ganzer Teil:435 : 16 = 27 Rest 3 → x0

27 : 16 = 1 Rest 11 → x1

1 : 16 = 0 Rest 1 → x2

gebrochener Teil:0, 9 · 16 = 0.4 +14 → x−1

0, 4 · 16 = 0.4 +6 → x−2 (Periode, da gleicher „Nachkommarest“)y x = (1B3, E6)16

Bsp. 7: Übergang anderer Systeme→ DezimalsystemEntweder direkte Auswertung von (*) (v.a. beim Dualsystem→ Addition von 2er-Potenzen) ODER

Klammern in (**) von innen nach außen berechnen (zweckmäßig HORNER-Schema).

• ganzer Teil: beginnend mit xpxp

xp

xp−1

b · xpb · xp + xp−1

. . .

. . .

x0

Ergebnis

b ·b ·b+ + +. . . ·b

• gebrochener Teil: beginnend mit x−qx−q

x−q

x−(q−1)

b · x−qb · x−q + x−(q−1)

. . .

. . .

x0

Ergebnisb−1 ·b−1 ·b−1+ +

x = (1E2, B8)16

ganzer Teil:1 14 2

16 16 480

1 30 482

gebrochener Teil:8 11 *

1

16= 0, 0625 0, 5 0, 71875

8 11, 5y x = 482, 71875

Bsp. 8: Hexadezimalsystem↔ Dualsystem4 Dualziffern entsprechen einer Hexadezimalziffer (24 = 16) y 4er Gruppen von Dualziffern abKomma bilden.

32

a.) (A8C,B2)16 = (1010 1000 1100, 1011 1011 001(0))2

b.) ((0)110 1110, 101(0))2 = (6E,A)16

1.3.3.2 ZAHLENDARSTELLUNG IM COMPUTER

(1) Ganze Binärzahlen in Zweierkomplementdarstellung (n Bit, meist n = 8, 16, 32, 64)

• Bsp.: n = 8 (100)10 = (64)16

0 1 1 0 0 1 0 0

27 26 25 24 23 22 21 20

MSB: most siginficant bit(LSB: least significant bit)

• Um auch negative Zahlen darstellen zu können, wird das MSB als Vorzeichen reser-viert. Negative Zahlen −a (1 ≤ a ≤ 2n−1) werden im sogenannten Zweierkomplementa := 2n − a dargestellt (y a ≥ 2n−1 yMSB = 1)

• Nightnegtavie Zahlen 0 ≤ a ≤ 2n−1 − 1 werden unverändert dargestellt (MSB = 0)

• Damit Darstellung ganzer Zahlen von −2n−1 bis 2n−1 − 1 (Anzahl 2n) möglich, n = 8 :−128bis127.

• Umwandlung negativer Zahlen→ Zweierkomplement

Bsp. 9: n = 8, umzuwandeln sei −100 (dezimal)zwei Möglichkeiten:

1.) (für die Handrechnung): 100 = 28︸︷︷︸=256

−100 = 156︸︷︷︸(9C)16

= 1 0 0 1 1 1 0 0

BEMERKUNG: Das Zweierkomplement der positiven Zahl 100 ist die positive Zahl156 = 100, diese wird wegen MSB = 1 als negative Zahl −100 interpretiert.

2.) (am schnellsten): Rechts (beim LSB) beginnend alle Ziffern bis einschließlich derersten 1 übernehmen (unverändert lassen), für alle höherwertigen Ziffern Z dasEINERKOMPLEMENT 1− z bilden:(100)10 = 0 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 1 0 0 = (100)10 = (156)2

Rückumwandlung (Zahl mit MSB = 1→ neg. Zahl) analog:156 = 256− 156 = 100→ −100Die Subtraktion wird damit auf die Addition des Zweierkomplements zurückge-führt.

Bsp. 10: a = 64− 100 = 64 + (−100)

64 = 26 = 0100 0000

−100 = 1001 1100 +

Summe = 1101 1100 Ergebins negativ36 = 0010 0100 dargestellst ist aber z = 2n − z

y Ergebnis: a = −36 = −zEin ÜBERLAUF (Ergebnis ≥ 2n−1 oder < −2n−1) ensteht in folgenden Fällen (→

33

ERROR!)

a b a+ b

MSB 0 0 1 (MSB = 0 erwartet!)

MSB 1 1 0 (MSB = 1 erwartet!)Bemerkung: Für die Handrechnung (z.B. 2 − 5 =: a) kleinere zahl von größererSubtrahieren a = −(5− 2), dabei genügt es für n die Binärstellenzahl des Minuenden(5)10 = (101)2 also n = 3 zu verwenden. Es wird dabei ausschließlich mit nicht-negativen Zahlen gerechnet (0, 1, ..., 2n − 1):(5− 2)10 = ((5 + 2n − 2)− 2n)10 = (5 + 2− 2n)10

(2)10 = (010)2 y 2 = (110)2

(5)10 = (101)2

5: 101

2: 110 +

1 011

vordere Stelle 2n ignoriereny 5− 3 = 3 = (011)2 y a = −3

(2) Gleitkommasystemex = v ·m · be dabei

• v = (−1)V . . . VORZEICHEN

V = 0 positive ZahlV = 1 negative Zahl

• m . . . MANTISSE, Stellenzahl p, die Mantisse heißt NORMALISIERT falls sie folgendeGestalt besitzt:m1,m2, ...,mp oder 0,m1,m2, ...,mp mit m 6= 0. Dabei sind m1,m2, ...,mp die Ziffernzur Basis b.

• e . . . EXPONENT, ganzzahlig emin ≤ e ≤ emax.

In jedem Gleitkommasystem sind nur endlich viele Zahlen darstellbar, die Menge derreellen zahlen ist aber überabzählbar (unendlich).Gleitkommazahlen liegen auf der Zahlengeraden diskret verteilt (fester Exponent y glei-che Abstände, wächst Exponent um k, so wachsen die Abstände auf bk-fache!)Veranschaulichung für b = 10, Mantissenlänge p = 1:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 · 101...

EXPONENT 0: 1 · 100, 2 · 100, ..., 9 · 100

EXPONENT -1: 1 · 10−1, 2 · 10−1, ..., 9 · 10−1

EXPONENT 1: 1 · 101, 2 · 101, ..., 9 · 101

RUNDUNG: Zahlen, die nicht in diesem „Raster“ enthalten sind, werden auf dei nächstgele-gene darstellbare Gleitkommazahl gerundet. Falls die Zahl genau in der Mitte zwischenzwei darstellbaren Zahlen liegt, wird auf die gerade Zahl gerundet (Bsp. 3, 75→ 3, 8 oder4, 65→ 4, 6 bei Rundung auf eine Stelle nach dem Komma).

Numerische Probleme beim Rechnen mit Gleitkommazahlen

• Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze gelten im allgemeinen nicht mehr.Ursachen sind bspw. Ziffernauslöschung bei der Subtraktion fast gleicher Zahlen,Addition oder Subtraktion von Zahlen unterschiedlicher Größenordnung.

Bsp. 11:

34

1.) Man berechne (a+b)+c und a+(b+c) in einem System mit 3-Stelliger Mantisse:a = 3, 73 · 106, b = −3, 71 · 106 und c = 6, 42 · 103

– a+ b = 0, 02 · 106 = 2, 00 · 104 (Normalisierung)c = 0, 642 · 104 = 0, 64 · 104 (Exponentenangleichung und Rundung)(a+ b) + c = 2, 64 · 104 = 26400

– c = 0, 00642 · 106 = 0, 01 · 106 (Exponentenangleichung und Rundung)b+ c = −3, , 70 · 106

a+ (b+ c) = 0, 03 · 106 = 3, 00 · 104 = 30000

– exakter Wert: a+ b+ c = 26420

2.) Aufgabe der numerischen Mathematik ist es, die unvermeidlichen Genauig-keitsverluste beim Rechnen mit Maschinenzahlen durch optimale Organisation(Reihenfolge) der Rechnung und Fehleranalyse in Grenzen zu halten.

(3) Gleitkommaformat IEEE 754 (single precision, 32 Bit)x = v ·m · be = (−1)V · 1,m2m3...m24 · 2E−B (b = 2, Binärsystenm)

• Vorzeichen V = 0 y positiv, V = 1 y negativ (1 Bit)

• Mantisse m1 im Binärsystem stets gleich 1.y nur Abspeicherung von M = m2m3...m24 (23 Bit)

• Exponent: Abgespeichert wird E := e+Bmit dem sogenannten BIASWERT B = 127 (Bias = Verzerrung) als nichtnegative8-stellige Binärzahl, emin = −126 (E = 1), emax = 127 (E = 254 = (1111 1110)2),die Grenzfälle E = (0000 0000)2 und E = (1111 1111)2 sind für Sonderfälle (0, ∞,nichtdefinierte Werte) vorgesehen.

Abspeicherung in der Reihenfolge V EM (32 Bit)

Bsp. 12: Umwandlung einer Dezimalzahl in das IEEE 754-Format (32-Bit), x = 435, 9(vgl. Bsp. 6)

1.) Konvertierung in Dualzahl (unter Verwendung von Bsp. 6/Hexadez.)x = 1B3, E6)16 = (1 1011 0011, 1100 0110 0110...)2

2.) Normalisierte Gleitkommadarstellung, Mantisse mit 23 Stellen nach dem Komma,Kommaverschiebung um 8 Stellen.y x = 1, 1011 0011 1110 0110 0110 011︸ ︷︷ ︸

M

(0 0110...))2 · 28 (Abrundung!)

3.) Exponent e = 8 y E = e+B = 8 + 127 = 135 = (1000 0111)2︸ ︷︷ ︸E

4.) Vorzeichenbit V = 0 (da x positiv)

y x : 0 1000 0111 1011 0011 1110 0110 0110 011

Bsp. 13: IEEE 754→ Dezimalzahl1 1000 0011 0111 1100 0000 0000 0000 000

1.) E = (1000 00111)2 = 131 y e = E −B = 131− 127 = 4

2.) V = 1 y negativ, normalisierte Mantisse 1,My x = −(1, 011111)2 · 24 = −(10111, 11)2

y x = −23, 75

Bemerkung:

35

1.) Neben dem single-Format gibt es in IEEE 754 das double-Format (54 Bit, V=1Bit,E=11Bit, M=52 Bit, B=1023) sowie das erweiterbare Format

2.) Zahlbereiche single: 1, 401 · 10−45...3, 403 · 1038, double: 4, 941 · 10−324...1, 798 · 10308

1.3.3.3 ORDNUNGSSTRUKTUR

• Durch 5 (auch ≤) ist auf R eine vollständige Ordnungsrelation erklärt.

• Verträglichkeit mit der algebraischen Struktur (für alle x, y, z ∈ R):

(1) x ≤ y ⇒ x+ z 5 y + z

(2) (x ≤ y) ∧ (z ≥ 0) ⇒ x · z ≤ y · z(x ≤ y) ∧ (z ≤ 0) ⇒ x · z ≥ y · z

Für die strikte Ordnung < gilt:(x < y) ∧ (z < 0) ⇒ x· > y · z

Def. 8:

Sei x eine reele Zahl. Dann heißt |x| :=

x für x ≥ 0

−x x < 0der (absolute) Betrag von x.

x

y

−1 0 1

1

y = |x|

Vorzeichenfunktion sgn(x) :=

1 x > 0

0 x = 0

−1 x < 0

Diskussion: Es gilt:

(1) |a− b| = „Abstand der Zahlen a und b auf der Zahlengeraden“

a b

|a− b|

(speziell: |a| = „Abstand von a zum Ursprung“)

(2) a = |a| · sgn(a)

(3) |a| = | − a|, |ab| = |a| · |b|,∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

(falls b 6= 0)

(4) |a± b| ≤ |a|+ |b| (DREIECKSUNGLEICHUNG) für alle a, b ∈ R

Lösung von Ungleichung

36

Bsp. 14: (Ungleichung mit Beträgen)

Gesucht sei die Lösungmenge L der reellen Zahlen, die die Ungleichung |x− 1| < 3 +1

2x (*)

erfüllen.

• kritische Stelle(n): Nullstellen des Terms innerhalb der Betragsstriche d.h. x = 1 yFallunterscheidung

x1

← 1. Fall 2. Fall→

• 1. Fall: x− 1 < 0 d.h. x < 1in (*):

−(x− 1) < 3 +1

2x⇔

− 3

2x < 2⇔

x > −4

3

y L1 =

x|(x < 1) ∧ x > 4

3

=

(−4

3, 1

)• 2. Fall x− 1 ≥ 0 d.h. x ≥ 1

in (*):

x− 1 < 3 +1

2x⇔

1

2x < 4⇔

x < 8y L2 = x|(x ≥ 1) ∧ (x < 8) = [1, 8)

• ⇒ L = L1 ∪ L2 =

(−4

3, 8

)

Bsp. 15: (Ungleichung mit gebrochen rationalen Termen)x

x+ 1< 1 (*)

• kritische Stelle(n): Nenner-Nullstellen, hier: x = −1.

x−1

← 1. Fall 2. Fall→

• 1. Fall: x < −1in (*):⇔ x > x+ 1⇔ 0 > 1 (Widerspruch)L1 = ∅.

• 2. Fall: x > −1in (*):⇔ x < x+ 1⇔ 0 < 1 (wahre Aussage)L2 = x|x > −1 = (−1,∞)

• ⇒ L = L1 ∪ L2 = (−1,∞)

37

Bsp. 16: (quadratische Ungleichungen)x2 + 3x < 10⇔(x+

3

3

)2

− 9

4< 10⇔ (vereinfacht durch quadratische Ergännzung)(

x+3

2

)2

<49

4⇔∣∣∣∣x+

3

2

∣∣∣∣ < 7

2⇔ (Äquivalenz siehe Übung)

−7

2< x+

3

2<

7

2⇔

− 5 < x < 2L = (−5, 2)

Bemerkung:In vielen Fällen ist auch ein graphischer Lösungsansatz möglich. Dabei sind geeignete Schnitt-punkte (=Gleichung) exakt rechnerisch zu ermitteln, ausschließend Ungleichheitszeichen be-trachten.

in Bsp. 16:x2 + 3x < 10 ⇔ x2 + 3x− 10︸ ︷︷ ︸

=f(x)

<0

Nullstellen von f(x):x2 + 3x− 10 = 0

x1,2 = −3

2±√

9

4+ 10 =

−5

2

y Grobskizze von y = f(x) (Parabel, nach oben geöffnet)

x

y

−5 2

yL = (−5, 2)

Schranken und Grenzen

• Eine Menge M ⊆ R heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke gibt, vgl.1.2. Man kann zeigen, dass es bei diesen Ordnungsrelationen (≤) auf R dann auch einekleinste obere Schranke (SUPREMUM, sup M , s = max M falls s ∈M )

• Analog: nach UNTEN BESCHRÄNKT, INFIMUM, MINIMUM.

• Falls M NICHT nach oben beschränkt ist, d.h. es gilt:∃a ∈ R ∀x ∈M x ≤ a = ∀a ∈ R ∃x ∈M x > a, dann Schreibweise sup M :=∞

• Analog: in inf M := −∞ falls M NICHT nach unten beschränkt.

• M heißt BESCHRÄNKT, falls M nach oben und unten beschränkt ist.

38

Bsp. 17:

M =

1 +

1

n| n ∈ N∗

• OBERE SCHRANKEN: π, 2300, 7, 2, 01 usw.

kleinste obere Schranke: sup M = 2 = max M

• UNTERE SCHRANKEN: −31, 0, 0, 99 usw.größte untere Schranke: inf M = 1 (1 6∈M y min M existiert nicht)

inf M↓

1

sup M= max M↓

2untereSchranken

obereSchranken

1.3.4 KOMPLEXE ZAHLEN

Motivation: z.B. x2 + 1 = 0 (⇔ x2 = −1) im Bereich der reellen Zahlen nicht lösbar. yZahlenbereichserweiterung

1.3.4.1 BEGRIFF, RECHENREGELN

Die Menge C der komplexen Zahlen ist eine Obermenge der Menge der reellen Zahlen mitfolgenden Eigenschaften:

(1) C enthält eine Zahl i mit i2 = −1 (oft auch mit j bezeichnet)

(2) Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form z = x+ i · y (x, y ∈ R) darstellen.Dabei x = Re(z) (Realteil) und y = Im(z) (Imaginärteil)

(3) Auf C werden die Operationen + (Addition) und · (Multiplikation) wie folgt erklärt:Sei z1 = x1 + i · y1, z2 = x2 + i · y2 Dann gilt:z1 + z2 := (x1 + x2) + i(y1 + y2)z1 · z2 := (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)Die Menge C wird mit diesen Operationen zum KÖRPER DER KOMPLEXEN ZAHLEN. Diearithmetischen Operationen erfolgen unter Beachtung von i2 = −1 wie im Reellen.

(4) Auf C gibt es keine natürliche Ordnungsrelation.Veranschaulichung: GAUSSSCHE ZAHLENEBENE

Zahl z ↔ Punkt (x, y)↔ Vektor−−→OP

Re

Im

y

x

z = x+ i y

|z|

ϕ

−y z

39

• BETRAG von z:|z| =

√x2 + y2

• Hauptarrgument von z: orientierter Winkel zwischen positiver x-Achse und−−→OP (ge-

messen auf kürzestem Wege)Arg(z) := ϕ (−π < ϕ ≤ π)

• zu z konjugiert komplexe Zahl z :z := x− i · y

Diskussion:

• Falls nicht notwendig kürzester Weg gewählt wird: Argument arg(z) = Arg(z) + 2πk (k ∈Z)

z.B. z = 1− i : Arg(z) = −45 = −π4

, ein (Neben-)argument bspw. arg(z) = 315

• Berechnung von Arg(z) (z 6= 0): cosϕ =x

|z|, sinϕ =

y

|z|

Arg(z) =

+arccos

x

|z|falls y ≤ 0

−arccos x|z|

falls y < 0

Bsp. 18:z1 = 3 + 4i, z2 = −12− 5i

Re

Im

4

3

z1

−5

−12

z2

ϕ1

ϕ2

a.) Betrag und Hauptargument|z1| =

√32 + 42 = 5

ϕ1 = Arg(z1) = arccos3

5≈ 53, 13

|z2| = 13

ϕ2 = Arg(z2) = −arccos− 12

13≈ −157, 38

b.) Arithmetische Operationen:z1 + z2 = −9− iz1 − z2 = 15 + 9iz1 · z2 = −16− 63iz1

z2=z1 · z2

z2 · z2=z1 · z2

|z2|2= − 56

169− 33

169i

40

1.3.4.2 DARSTELLUNGSFORMEN KOMPLEXER ZAHLEN

• Trigonometrische Darstellung

• EULERsche Form

• exponentielle Darstellung

Re

Im

y

x

z|z|

ϕ

z = x+ iy (ARITHMETISCHE DARSTELLUNG)x = |z| · cosϕy = |z| · sinϕy z = |z| · (cosϕ+ i sinϕ) (TRIGONOMETRISCHE DARSTELLUNG)(und ϕ = arg z, meist ϕ = Arg z)

Diskussion:z1 = |z1| · (cosϕ1 + i sinϕ1)z2 = |z2| · (cosϕ2 + i sinϕ2)

z1 · z2 = |z1| · |z2| · ((cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2)︸ ︷︷ ︸cos(ϕ1+ϕ2)

+i (sinϕ1 cosϕ2 + sinϕ2 cosϕ1)︸ ︷︷ ︸sin(ϕ1+ϕ2)

)

z1 · z2 = |z1| · |z2| · (cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2))

Folgerung:|z1 · z2| = |z1| · |z2|

arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2)

Analog:∣∣∣∣z1

z2

∣∣∣∣ =|z1||z2|

(z2 6= 0)

arg

(z1

z2

)= arg(z1)− arg(z2)

Es ist also sinnvoll zu definieren:

Def. 10:eiϕ = cosϕ+ i sinϕ (EULERSCHE FORM)

Diskussion:

(1) EXPONENTIELLE DARSTELLUNG von z: z = |z| · eiϕ

(2) Wegen der obigen Formeln bleiben für diese Darstellung die vom Reellen bekannntenPotenzgesetze gültig.Insbesondere gilt die Formel von MOIVRE:zn =

(|z| · eiϕ

)n= |z|n · eiϕn = |z|n(cos(nϕ) + i sin(nϕ)

41

Bsp. 19:

a.) z1 = 3 + 4i︸ ︷︷ ︸arithmetisch

= 5 · (cos53, 13 + i sin(53, 13)︸ ︷︷ ︸trigonemetrisch

= 5 · ei·53,13︸ ︷︷ ︸exponentiell

z2 = −12− 5i = 13 · (cos(−157, 38 + i − 157, 38)) = 13 · e−i·157,38

b.) z = −1 + i, gesucht: z12

|z| =√

2, Arg(z) = arccos

(− 1√

2

)= 135 =

3

4π

z =√

2 · ei·34π ⇒ z12 =

(√2 · ei

34π)

= 26 · ei34π·12 = 64 · ei·9π = 64 · eiπ

arithmetische Darstellung: z12 = 64 · (cosπ + i sinπ) = −64

1.3.4.3 SPEZIELLE GLEICHUNGEN

Quadratische Gleichung: z2 + p · z + q = 0 (p, q ∈ R)

quadratische Ergänzung:(z +

p

2

)2=p2

4− q

1. Fall:p

2− q ≥ 0 y z1/2 = −p

2±√p2

4− q

2. Fall:p2

4− q < 0

⇔(z +

p

2

)2+

=a2︷ ︸︸ ︷q − p2

4︸ ︷︷ ︸>0

= 0

⇔((z +

p

2

)+ i · a

)·((p+

p

2

)− i · a

)= 0

⇔ z1,2 = −p2± i√q − p2

4praktisches Vorgehen:

Lösungsformel aus dem ersten Fall stets anwenden, im Fall 2 Formal√−1 = ±i.

Bsp. 20:z2 + 28z + 200 = 0z1,2 = −14±

√−4 = −14± 2i

Kreisteilungsgleichung:zn = b , b ∈ C, n ∈ N∗

Lösung:

• b exponentiell darstellen: b = |b| · eiβ , β = Arg(b)

• Gleichung besitzt n Lösungen zk = n√|b| · ei

β+k·360n mit k = 0, 1, ..., n− 1

zum Beweis:Ansatz: z = r · eiϕzn = rn · eiϕn = |b| · eiβZwei Gleichungen stimmen überein, wenn jeweils der Betrag gleich und Winkel bis auf einvielfaches von π gleich ist.

(1) rn = |b|y r = n√|b|

42

(2) ϕ · n = β + k · 360 (k ∈ Z)

y ϕ =β + k · 360

n(nur n verschiedene Argumente)

Beispiele:

a.) z3 = 1 = 1 · ei·0

zk = 113 · ei

0+k·2π3 (k = 0, 1, 2)

z0 = ei·0 = 1

z1 = e23π = cos(

2

3π) + i sin(

2

3π) = −1

2+

1

2

√3i

z2 = ei43π = cos(

4

3π) + i sin(

4

3π) = −1

2− 1

2

√3i

Allgemein: Lösungen der Gleichung zn = b teilen Kreis mit Radius n√|b| um 0 in n gleiche

Teile.

Re

Im

z0

z1

z2

b.) z4 = −16 = 16 · ei·π

zk = 2 · eiπ+k·2π

4 (k = 0, 1, 2, 3, 4)z0 = 2 · ei

π4 =√

2 +√

2i

z1 = 2 · ei3π4 = −

√2 +√

2i

z2 = 2 · e−i3π4 = −

√2−√

2i

z3 = 2 · e−iπ4 =√

2−√

2i

Re

Im

z0z1

z2 z3

Anwendung:Faktorisierung des Polynoms p(x) = x4 + 16

x4 + 16 = (x− z0) · (x− z1) · (x− z2) · (x− z3)

= (x−√

2−√

2i) · (x−√

2 +√

2i) · (x+√

2−√

2i) · (x+√

2 +√

2i)

= (x2 − 2√

2x+ 4)(x2 + 2√

2x+ 4)

1.3.4.4 ANWENDUNG IM WECHSELSTROMKREIS

(1) Spule:Stromstärke I = Im · ( cos(ωt)+i sin(ωt))

43

Spannung U = ω · L · Im · ( cos(ωt+π

2)+i sin(ωt+

π

2))

(formale Ergänzung zu komplexer Größe)y I = Im · eiωt, U = Im · ω · L · ei(ωt+

π2 = Im · ω · L · eiωt︸ ︷︷ ︸

I·ω·L

· eiπ2︸︷︷︸i

R =U

Iy RL = ω · L · i (INDUKTIVER WIDERSTAND)

(2) Kondensator:

RC =1

ω · C · i(KAPAZITIVER WIDERSTAND)

Bezeichnung in E-Technik:Z := Rges = R+ i ·XWirkwiderstand R, Blindwiderstand X, Scheinwiderstand |Z|, Leitwert Y =

1

Z

Bsp. 22:∼ 220V, 50Hz

R

CL

R = 100Ω, C = 20µF = 20 · 10−6As

V,L = 1H = 1

V s

A, ω = 2π · 50

1

s︸︷︷︸f

Gesucht ist der Gesamtwiderstand Z.Z = R+RC +RL = R+ iωL+

1

iωC= R+ i(ωL− 1

ωC)

Z = (100 + 155, 04i)Ω = 184, 44 · ei·57,17ΩyWirkwiderstand: Re(Z) = 100ΩBlindwiderstand: Im(Z) = 155, 04ΩScheinwiderstand: |Z| = 184, 44ΩPhasenverschiebung: Arg(Z) = 57, 17

1.4 REELLWERTIGE FUNKTIONEN EINER REELLENVERÄNDERLICHEN

1.4.1 ELEMENTARE FUNKTIONEN (TEIL 1)

1.4.1.1 POLYNOME

Def. 1:y = f(x) = an x

n + an−1 xn−1 + ... + a2 x

2 + a1 x + a0 mit (a0, ..., an ∈ R, x ∈ R) heißt ganzerationale Funktion oder POLYNOM vom Grad n (falls an 6= 0).Zur Beschreibung der Funktionswerte zweckmäßig: HORNER-Schema(vgl. Stellenwertsysteme 1.3.3.1)

44

an an−1 an−2 ... a1 a0

x0 bn−1 · x0 bn−2 · x0 ... b1 · x0 b0 · x0

bn−1︸ ︷︷ ︸=an

bn−2 bn−3 ... b0 f(x0) = r0

Polynomdivision:f(x)

x− x0= bn−1 x

n−1 + bn−2 xn−2 + ...+ b1 x+ b0 +

r0

x− x0

Bsp. 1:

f(x) = x5 − 2x3 + x2 − 6, x0 = 3, ges: f(x0),f(x)

x− x0

1 0 −2 1 0 −6

x0 = 3 3 9 21 66 198

1 3 7 22 66 192

f(x) : (x− 3) = x4 + 3x3 + 7x2 + 22x+ 66 +192

x− 3

Satz 1:Es sei f(x) = pn(x) = an x

n + ...+ a0 ein Polynom vom Grad n (d.h. an 6= 0). Dann besitzt f (inC) genau n Nullstellen x1, ..., xn und es gilt: f(x) = an(x−x1) · (x−x2) · ... · (x−xn). (Zerlegungin Linearfaktoren)

Diskussion:

(1) Falls in der Linearfaktorzerlegung der Faktor (x− x0) genau k-mal (1 ≥ k ≥ n) vorkommt,so heißt x0 k-FACHE NULLSTELLE (Nullstelle der Vielfachheit k).

(2) Nichtreelle Nullstellen sind möglich, sie treten stets paarweise als konjugiert komplexeZahlen auf (x0, x0)). In diesem Falle Zusammenfassung der Linearfaktoren zu reellenquadratischen Faktoren möglich: (x− x0) · (x− x0) = x2 − (x0 + x0)x+ x0 · x0 = x2 − 2 ·Re(x0) · x+ |x0|2

(3) Falls a0, a1, ..., an ganze Zahlen sind, dann sind ganzzahlige Nullstellen Teiler von a0 (fallsvorhanden).

(4) Allgemeine Methoden zur Nullstellenbestimmung später (Kap. 3 1.3.1)

Bsp. 2:p(x) = x4 + x3 − 5x2 + x− 6, ges: NullstellenDurch Probieren x1 = 2mit HORNER-Schema:

1 1 -5 1 -6

x1 = 2 2 6 2 6

1 3 1 3 0 y p(x) = (x− 2) · (x3 + 3x2 + x+ 3)︸ ︷︷ ︸durch Probieren x2=−3

x2 = −3 -3 0 -3

1 0 1 0 y p(x) = (x− 2)(x+ 3) (x2 + 1)︸ ︷︷ ︸x3,4=±i

y Zerlegung: p(x) = (x− 2)(x+ 3)(x− i)(x+ i)

45

1.4.1.2 GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN

Def. 2:

y = f(x) =p(x)

q(x)=am xm + am−1 x

m−1 + ...+ a1 x+ a0

bn xn + bn−1 xn−1 + ...+ b1 x+ b0mit am 6= 0, bn 6= 0 und Db(f) = x ∈

R|q(x) 6= 0 heißt gebrochenrationale Funktion. f heißt ECHT GEBROCHEN, falls m < n undUNECHTGEBROCHEN, falls m ≥ n.

Diskussion:

• Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass Zähler- und Nennerpolynomkeine gemeinsamen Nullstellen besitzen (ansonsten: Kürzen gemeinsamer Linearfaktorenvon Zähler und Nenner [unter Beachtung des Definitionsbereichs])

• Die Nullstellen des Nennerpolynoms heißen POLSTELLEN der gebrochen rationalen Funk-tion (bei Polstelle xP : |f(x)| → ∞ für x→ xP ).

• Die Nullstellen des Zählerpolynoms sind die Nullstellen von f .

• Verhalten von f(x) bei k-facher reeller Nullstelle oder Polstelle:Vorzeichenwechsel⇔ k ungerade

• Polynomdivision p(x) : q(x) = s(x)︸︷︷︸Polynom

+r(x)

q(x)︸︷︷︸echtgebrochen

y = a(x) ist die sogenannte Asymptote

Bsp. 3:

y =x3 + 2x2

x2 − x− 2=

x2(x+ 2)

(x+ 1)(x− 2)= x+ 3 +

5x+ 6

x2 − x− 2Daraus lassen sich leicht erste Werte der Kurvendiskussion ableiten:

• Nullstellen: x1,2 = 0 (doppelt), x3 = −2

• Polstellen: x = −1, x = 2 (einfach⇒ Vorzeichenwechsel)

• Asymptote: y = x+ 3Schnittstellen und Asymptoten: 5x+ 6 = 0 y x = −1, 2

1.4.1.3 TRIGONOMETRISCHE FUNKTION

Übliche Definition der trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen wie sin() cos() usw.):

Def. 3:Eine Funktion y = f(x) heißt periodisch, wenn es eine Zahl p > 0 gibt mit f(x) = f(+p) (für allex ∈ Db(f)). Die kleinste positive Zahl p mit dieser Eigenschaft heißt Periode f .

Def. 4: (Symmetrieeigenschaft)Eine Funktion y = f(x) heißt:

(1) gerade (symmetrische zur y-Achse), wenn f(−x) = f(x) für alle x ∈ Db(f) gilt.

(2) ungerade (punktsymmetrisch zum Ursprung), wenn f(−x) = −f(x) für alle x ∈ Db(f) gilt.

46

Diskussion:

Einige Funktionen

Funktion Db Periode Symmetrie

sinx R 2π ungerade

cosx R 2π gerade

tanx R \π

2+ kπ|k ∈ Z

π ungerade

cotx R \ kπ|k ∈ Z π ungeradeEinige wichtige Formeln:

• sin2 x+ cos2 x = 1

• tanx =sinx

cosx

• cotx =1

tanx

• sin 2x = 2 sinx cosx

• cos 2x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 x

1.4.1.4 EXPONENTIALFUNKTION

y = f(x) = a (a > 0, x ∈ R)

• Wichtig: Potenzgesetze, z.B. ax1 · ax2 = ax1+x2 usw.

• Besondere Bedeutung besitzt die Funktion y = ex (x ∈ R mit e = limx→∞

(1 +

1

n

)n=

2, 7182...

1.4.1.5 HYPERBELFUNKTION

Def. 5: Hyperbolicus

• y = coshx :=1

2(ex + e−x) (x ∈ R)

• y = sinhx :=1

2(ex − e−x) (x ∈ R)

• y = tanhx :=sinhx

coshx(x ∈ R)

• y = cothx :=1

tanhx(x 6= 0)

Wichtig: cosh2 x− sinh2 x = 1Fourier: y = coshx ist gerade, alle anderen Hyperbelfunktionen ungerade.

1.4.2 UMKEHRFUNKTIONEN

• Zur Erinnerung: y = f(x), x ∈ Db(f) heißt injektiv (umkehrbar eindeutig), wenn es zujedem Bild y ∈Wb(f) genau ein Urbild x ∈ Db(f) mit y = f(x) gibt. D.h.:y︸︷︷︸

∈Wb(f)

→ x︸︷︷︸∈Db(f)

=: f−1(y)

Die dadurch erklärte Funktion f−1 („f oben -1“) ist die Umkehrfunktion von f .Es gilt: Db

(f−1

)= Wb(f) , Wb

(f−1

)= Db(f)

47

• Bilden der Umkehrfunktion zu y = f(x), x ∈ Db(f):

(1) Auflösen der Funktionsgleichung nach x: x =: f−1(y) (falls dies eindeutig möglich ist,andernfalls existiert f−1 nicht!)

(2) Oft erfolgt anschließend eine Vertauschung von x und y:y = f−1(x), x ∈ Db(f−1) = Wb(f).Vertauschung entspricht geometrisch Spiegelung an der Geraden x = y, vgl. Bsp. 4.

Bsp. 4:y = f(x) =

√x+ 2 , x ∈ [0,∞)

(1) Auflösen nach x: y − 2 =√x⇒ x = (y − 2)2 = f−1(y)

(2) Vertauschen von x und y: y = f−1(x) = (x− 2)2, Db(f−1) = Wb(f) = [2,∞)

x

y

y = f−1(x)

y = f(x)

y = x 2

2

! Db(f−1) nur [2,∞), obwohl (x− 2)2 für alle x ∈ R erklärt ist.

Def. 6:Die reellwertige Fkt. y = f(x) heißt

a.) STRENG MONOTON WACHSEND, falls x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) gilt.

b.) MONOTON WACHSEND (=nicht fallend), falls x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2) gilt für alle x1, x2 ∈Db(f).

c.) Analog: STRENG MONOTON FALLEND bzw MONOTON FALLEND (=nicht wachsend).

Satz 2:f streng monoton⇒ f ist injektiv (d.h. f−1 existiert)

1.4.3 ELEMENTARE FUNKTIONEN (TEIL 2)

1.4.3.1 WURZEL- UND LOGARITHMUSFUNKTIONEN

Def. 7:y = x

1n = n

√x (x ∈ [0,∞), n ∈ N∗) ist die Umkehrfunktion zu y = xn (x ∈ [0,∞))

Diskussion:

(1) Im Bereich der reellen Zahlen ist n√x nur für x ≥ 0 erklärt, der Funktionswert ist selber

nicht negativ.

(2) Lässt man in x13 negative x zu (etwa 3

√−8 = −2), so ergeben sich Widersprüche:

z.B.: 3√−8 = −2⇒ −2 = −8

13 = (−8)

26 =

((−8)2

) 16 = 64

16 = 2

48

(3) Es gilt√x2 = |x| für alle x ∈ R

Def. 8:y = loga(x) (a > 0 ∧ a 6= 1, x ∈ (0,∞)) ist Umkehrfunktion zu y = ax (x ∈ R).Speziell:

• lg(x) := log10(x)

• ln(x) := loge(x)

1

1

x

y

y = ax

y = loga(x)

Diskussion:

(1) Log-Gesetze:

loga(x · y) = logax+ logay

loga

(x

y

)= logax− logay

loga(xα) = α logax

logcb =logab

logac

(2) Es gilt x = alogax (f(f−1(x)) = x∀y ∈ Db(f−1))

(3) Ferner gilt ax = eln(ax) = ex·ln a

1.4.3.2 ARCUSFUNKTIONEN

Vorbetrachtung: y = f(x) = sin x(x ∈ R) ist nicht injektiv, also existiert keine Umkehrfunktion.Aber: y = sin(x), eingeschränkt auf z.B.

[−π

2,π

2

]ist injektiv und damit umkehrbar.

49

x

y

y = sin(x)

−π2

π

2

x

y

y = arcsin(x)

-1 1

π2

−π2

Def. 9:Umkehrfunktionen

Db Wb Umkehrfunktion von ...

y = arcsin x [−1, 1][−π

2,π

2

]y = sin x −π

2≤ x ≤ π

2

y = arccos x [−1, 1] [0, π] y = cos x 0 ≤ x ≤ π

y = arctan x R(−π

2,π

2

)y = tan x −π

2< x <

π

2

y = arccot x R (0, π) y = cot x 0 < x < π

Bsp. 5:Gesucht sind alle Lösungen der folgenden Gleichung: tan(2x) = y

Es sei 2x ∈(−π

2+ k · π, π

2+ k · π

), mit k ∈ Z.

y = tan(2x) = tan(2x− k · π) mit 2x− kπ ∈(−π

2,π

2

)⇒ 2x− kπ = arctan(y)⇒ x =

arctan(y) + kπ

2

1.4.3.3 AREAFUNKTIONEN

Def. 10:Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen

Db Wb Umkehrfunktion von ...

y = arcsinh x R R y = sinh x x ∈ Ry = arccosh x [1,∞) [0,∞) y = cosh x x ≥ 0

y = arctanh x (−1, 1) R y = tanh x x ∈ Ry = arccoth x R \ [−1, 1] R \ 0 y = coth x x 6= 0

Aus der Def. der Hyberbelfunktionen (Def. 5) folgt:arcsinh x = ln(x+

√x2 + 1)

arctanh x =1

2ln

(1 + x

1− x

)arccosh x = ln(x+

√x2 + 1

arccoth x =1

2ln

(x+ 1

x− 1

)

50

1.5 LINEARE ALGEBRA

1.5.1 VEKTORRÄUME

Begriff:

(1) Gegeben seien ein Körper (K,+, ·), dessen Elemente SKALARE heißen (meist (R,+, ·))und eine ABELsche Gruppe (V,⊕) (V ... Menge, Elemente heißen Vektoren, ⊕... Vektorad-dition).

(2) Es gibt eine Abbildung von K × V in V die jedem x ∈ V und jedem λ ∈ K ein Elementλ x in V mit folgenden Eigenschaften zuordnet.

• Distributivgesetze:(λ+ µ) x = (λ x)⊕ (µ x)λ (x⊕ y) = (λ x)⊕ (λ y)

• Assoziativgesetz:(λ · µ) x = λ (µ x)

• Neutrales Element:1 x = x

(für alle λ, µ ∈ K und x, y ∈ V )

Eine Menge V mit den in 1.) und 2.) aufgeführten Operationen ⊕ und heißt VEKTORRAUM

(VR) ÜBER K.Bemerkung: Schreibweise meist + anstelle von ⊕ und · anstelle von odot (ergibt sich ausZusammenhang der Elemente).

Bsp. 1:Skalarbereich R.Vektoren: Größen, die durch eine Zahlenangabe (Länge) und eine Richtung charakterisiert sind(z.B. Kräfte, Geschwindigkeiten, Translatimen).

•P

a

Q•

•R

a

S•

Pfeile als Repräsentanten eines Vektors a.Bezeichnung: a = −→a =

−−→PQ =

−→RS

Ortskurven: Angeheftet in gemeinsamen Anfangspunkt O (Ursprung).

• Vektoraddition: a+ b

a

b

a+ b

• Multiplikation mit Skalar: λ · a:λ > 0:

λ1 · a λ2 · aλ1 < 0λ2 > 0

a

51

λ < 0:a

λ · a

Länge von λ · a ist das |λ|-fache der Länge von a.

• Subtraktion: a− b = a+ (−b) = a+ ((−1) · b)

a

b

−b

a− b

• Nullvektor: 0 (Länge 0, keine Richtung)

Bsp. 2:

K = R, V =

x1

x2

...

xn

, x1, x2, ..., xn ∈ R

Vektoraddition:

x1

x2

...

xn

+

y1

y2

...

yn

=

x1 + y1

x2 + y2

...

xn + y3

Multiplikation mit Skalar: λ ·

x1

x2

...

xn

=

λ · x1

λ · x2

...

λ · xn

y V Vektorraum über R, Bezeichnung: Rn, Nullvektor

0

0

...

0

Def. 1:Die Vektoren a1, ..., an heißen LINEAR UNABHÄNGIG, wenn die Gleichung x1a1 + ...+ xnan = 0

nur die triviale Lösung x1 = x2 = .... = xn = 0 besitzt.

Diskussion:

(1) x1a1 + ...+ xnan heißt LINEARKOMBINATION (LK) der Vektoren a1, ..., an.

(2) Falls es eine darstellung der Gestalt wie in Def. 1 gibt, in der nicht alle xi gleich 0 sind, soheißen a1, ..., an LINEAR UNABHÄNGIG.In diesem Falle lässt sich (wenigstens) einer der Vektoren als LK der anderen darstellen.

52

Def. 2:Es sei V1 ⊆ V eine nichtleere Teilmenge von V . Wir bezeichnen mit L(V1) die Menge ALLER LKvon jeweils endlich vielen Vektoren aus V1. L(V1) ist die sogenante LINEARE HÜLLE von V1.

Bemerkung:L(V1) ist selbst ein Vektorraum, nämlich der von V1 aufgespannte Teilraum von V (kleinster VR,welcher V1 enthält).

Def. 3:

• Ein Vektorraum V heißt N-DIMENSIONAL, wenn es n linear unabhängige Vektoren a1, ..., angibt, die den gesamten Raum aufspannen (L(a1, ..., an) = L(a1, ..., an) = V ).

• Die Menge der Vektoren a1, ..., an nennt man in diesem Falle eine Basis von V .

Diskussion:In einem Vektorraum gibt es unterschiedliche Basen, jedoch ist die Anzahl der Vektoren, dieeine Basis bilden, stets gleich (Dimension des VR).

Satz 1:Es sei a1, ..., an eine Basis des VRs V . Dann gibt es für JEDES x ∈ V eine EINDEUTIGE

Darstellung der Gestalt x = x1a1, ..., xnan.

Bemerkung:

• Die Koeffizienten x1, ...xn heißen KOORDINATEN von x bezüglich der Basis a1, ..., an.

• Die Summanden x1a1, ..., xnan heißen KOMPONENTEN von x bezüglich der Basis a1, ..., an.

Bsp. 3:

Die Vektoren e1 =

1

0

...

0

, e2 =

0

1

...

0

, ..., eN =

0

0

...

1

des Raumes Rn bilden offensichtlich eine

Basis von Rn.

y e1, ..., en sind linear unabhängig. Ferner gilt für beliebiges x =

x1

...

xn

∈ Rn. x = x1 · e1 + ...+

xn · en.

Bsp. 4:Zwei Vektoren a1 6= 0 und a2 6= 0 in einer Ebene bilden genau dann eine Basis, wenn sie nichtparallel sind.

53

1.5.2 MATRIZEN

Def. 4:Ein aus m · n Zahlen aij ∈ R, welche in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind, bestehendesSchema heißt MATRIX VOM TYP (m,n).

A =

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

... ... ... ... ...

am1 am2 am3 ... amn

= (aij) i=1,...,m (Zeilenindex)j=1,...,n (Spaltenindex)

Def. 5 Rechenoperationen

(1) A = (aij), B = (bij) seien vom gleichen Typ (m,n).A+B := (aij + bij) ADDITION VON MATRIZEN

(2) Sei λ ∈ R und A = (aij) vom Typ (m,n).λ ·A = (λ · aij) MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINEM SKALAR

(3) A = (aij sei vom Typ (m,n)B = (bij) sei vom Typ (n, p)A und B heißen in dieser Reihenfolge VERKETTET (Spaltenzahl von A = Zeilenzahl vonB).

A ·B =

n∑j=1

aij · bjk

i=1,...,mk=1,...,p

MATRIZENMULTIPLIKATION

Das Produkt ist also vom Typ (m, p).

Diskussion:Zweckmäßig FALK-Schema zur Matrizenmultiplikation (vgl. folgendes Bsp. 5).

Def. 6Die aus der (m,n)-Matrix A durch Vertauschung von Zeilen und Spalten entstehende (n,m)-Matrix heißt TRANSFORMIERTE von A. Bezeichnung: AT .

Bsp. 5:

A =

(5 −3

1 4

), B =

(3 6 4

−2 0 1

), C =

(−1 5

0 3

)a.) A+B existiert nicht (unterschiedliche Typen).

b.) A+ C =

(4 2

1 7

)

c.) 2 ·A =

(10 −6

2 8

)

d.) BT =

3 −2

6 0

4 1

54

e.) B ·A existiert nicht ((2, 3) und (2, 2) nicht verkettet)

f.) A ·B =

(21 30 17

−5 6 8

)

(mit FALK-Schema:)

3 6 4

-2 0 1

5 -3 21 30 17

1 4 -5 6 8Bemerkung: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

Diskussion: (ausgewählte Rechenregeln)

(1) Die Menge der Matrizen vom gleichen Typ bilden mit den Operationen Addition undMultiplikation mit einem Skalar einen Vektorraum.Bsp: V = Matrizen vom Typ (2, 2)

Basis:

(1 0

0 0

),

(0 1

0 0

),

(0 0

1 0

),

(0 0

0 1

)

(2) Falls die entsprechenden Typvoraussetzungen erfüllt sind, gelten:

• (A ·B) · C = A · (B · C) (Assoziativgesetz)

• (A ·B) + C = A ·B +A · C(A+B) · C = A · C +B · C (Distributivgesetze)

• (λ ·A) ·B = λ · (A ·B) = A · (λ ·B)

• (λ ·A)T = λ ·AT(AT)T

= A

• (A+B)T = AT +BT (A ·B)T = B ·AT

(3) Achtung: Im Allgemeinen gilt A ·B 6= B ·A!

(4) FALK-Schema bei fortgesetzter Multiplikation A ·BC

B C

A A ·B (A ·B) · Coder

C

B B · CA A · (B · C)

(2 Varianten, gemäß Assoziativgesetz)

Spezielle Matrizen

(1) QUADRATISCHE MATRIZEN: Typ (n, n)Eine quadratische Matrix A heißt

a) SYMMETRISCH, wenn AT = A gilt.

b) obere DREIECKSMATRIX, wenn aij = 0 für i > j.untere DREIECKSMATRIX, wenn aij = 0 für i < j.

c) DIAGONALMATRIX, wenn aij = für i 6= j.

55

d) EINHEITSMATRIX E, wenn aij =

1 für i = j

0 für i 6= j(spezielle Diagonalmatrix).

E =

1 0 ... 0

0 1 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1

(2) NULLMATRIX 0 (sämtliche Elemente 0, nicht notwendig quadratisch).

(3) Matrizen vom Typ (n, 1) (n Zeilen, eine Spalte) heißen (Spalten-)Vektoren.

a =

a1

a2

...

an

∈ Rn (vgl. 1.5.1)

Es ist aT = (a1|a2|...|an) =(a1 a2 ... an

)vom Typ (1, n) (Zeilenvektor).

Diskussion:

(1) Die quadratischen Matrizen vom Typ (n, n) bilden mit den Operationen Addition undMultiplikation von Matrizen einen (nicht kommutativen) Ring.

(2) Für quadratische Matrizen A sind Potenzen bildbar:A0 = E An = A ·A · ... ·A︸ ︷︷ ︸

n−Faktoren

, n ∈ N

(3) Falls die entsprechenden Typvoraussetzungen erfüllt sind, gelten:A · E = AE ·A = A0 ·A = 0A · 0 = 0A+ 0 = A0 +A = A(analog 0 und 1 bei den reellen Zahlen)

(4) Sei A vom Typ (m,n), x ∈ Rn, d.h. vom Typ (n, 1).Dann ist y = A · x vom Typ (m, 1).Durch die Zuordnung x 7−→ A · x = y wird eine LINEARE ABBILDUNG von Rn in Rmbeschrieben (Fkt. f heißt linear, wenn gilt f(x+ y) = f(x) + f(y) und f(α · x) = α · f(x)für alle α ∈ R, x, y ∈ Db(f) gilt).

1.5.3 DETERMINANTEN

Def. 7:Jeder n-reihigen quadratischen Matrix ist eindeutig eine Zahl det A, die sogenannte DETERMI-NANTE von A, wie folgt zugeordnet.n = 1: det ((a11)) := a11

n ≥ 2: det

a11 ... a1n

... ...

an1 ... ann

:= a11A11 + a12A12 + ...+ a1nA1n.

56

Dabei ist Aij = (−1)i+jdet Uij die ADJUNKTE des Elements aij .Uij ist die (n− 1)-reihige (UNTER-)MATRIX, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-tenSpalte von A ernsteht.

Bezeichnung: det(A) = det

((... ...

... ...

))=

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 ... a1n

... ...

an1 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣Bsp. 6:

a.) n = 2:∣∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣∣= a11A11 + a12A12 = a11 · (−1)1+1 · a22 + a12 · (−1)1+2 · a21

= a11 · a22 − a12 · a21

b.) n = 3:∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣= a11A11 + a12A12 + a13A13

= a11

∣∣∣∣∣a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣− a12

∣∣∣∣∣a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ a13

∣∣∣∣∣a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − (a13a22a31 + a11a23a32 + a12 + a21 + a33)

(Alternativ auch: Regel von SARRUS [diese gilt NUR für 3-reihige Determinanten] ⇒(Summe der Produkte der Diagonalen nach rechts unten)-(Summe der Produkte derDiagonalen nach links unten))

Satz 2:

a.) det(A ·B) = det(A) · det(B)

b.) det(A) = det(AT )

Wegen Satz 2b gelten für alle folgenden, für die Zeilen formulierten Eigenschaften auch sinnge-mäß für die Spalten.

Satz 3: (Eigenschaften der Determinante)

(E1) B gehe aus A durch Vertauschen zweier Zeilen hervor, dann gilt det(B) = −det(A).

(E2) Es gilt det(A) = 0 falls zwei Zeilen elementweise proportional sind bzw. falls alle Elementeeiner Zeile gleich 0 sind.

(E3) Es gilt

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 ... a1n

... ...

λai1 ... λain

... ...

an1 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 ... a1n

... ...

ai1 ... ain

... ...

an1 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(steht ein Faktor in einer Zeile einer Determi-

nante, so kann er auch vorgezogen werden).

57

(E4) Der Wert einer Determinante ändert sich nicht, wenn das λ-fache einer Zeile elementweisezu einer anderen Zeile addiert wird.

(E5) det(A) =n∑j=1

aijAij (Entwicklung nach i-ter Zeile, (i = 1, ..., n))

det(A) =n∑i=1

aijAij (Entwicklung nach j-ten Spalte, (j = 1, ..., n))

→ ENTWICKLUNGSSATZ

Bsp. 7:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 3 −1

−2 2 −5 −4

−1 1 −4 2

6 2 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3. Spalte = Arbeitsspalte (bleibt unverändert)Um in der untersten Spalte mehr Nullen zu erzeugen (mit Regel E4):S1,neu := S1 + 6 · S3

S2,neu := S2 + 2 · S3

⇒

=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

19 7 3 −1

−32 −8 −5 −4

−26 −7 −4 2

0 0 −1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Nun kann mit der letzen Zeile relativ einfach die Determinante berchnet werden:

= (−1) · (−1)4+3 ·

∣∣∣∣∣∣∣∣19 7 −1

−32 −8 −4

−26 −7 2

∣∣∣∣∣∣∣∣Auf gleiche Weise werden nun wieder in Zeilen Nullen erzeugt:Z2,neu := Z2 − 4Z1

Z3,neu := Z3 + 2Z1

⇒

=

∣∣∣∣∣∣∣∣19 7 1

−108 −36 0

12 7 0

∣∣∣∣∣∣∣∣= (−1) · (−1)1+3

∣∣∣∣∣−108 −36

12 7

∣∣∣∣∣E3= (−1) · (−36) ·

∣∣∣∣∣ 3 1

12 7

∣∣∣∣∣ = 36 · 9 = 324

Prinzip: Nullen erzeugen mit (E4), dann mit Entwicklungssatz lösen (E5).

Anwendungen

(1) Vekotorrechnung in R3 (vgl. später, Abschnitt 1.5.5)

(2) Gegeben sei ein lineares Gleichungssytem (n Gleichungen, n Unbekannte)

58

Matrixform A · x = b mit A = (aij), x =

x1

...

xn

, b =

b1

...

bn

. Diese Matrixform besitzt

genau dann eine eindeutige Lösung x, wenn det(A) 6= 0.

In diesem Falle gilt xj =det(Bj)

det(A)(j = 1, ..., n). Wobei Bj aus A hervorgeht, indem

man die j-te Spalte durch b ersetzt (CRAMERSCHE REGEL, theoretische Bedeutung,praktisches Vorgehen zur Lösung der Matrixform vgl. folgenden Abschnitt).

1.5.4 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME, RANG EINER MATRIX, INVERSE

1.5.4.1 DAS AUSTAUSCHVERFAHREN

Gegeben sei System von m linearen Funktionen mit den unabhängigen Veränderlichen x1, ..., xnund den abhängigen Veränderlichen y1, ..., yn.

y1 = a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn + a10

y2 = a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn + a20

...

ym = am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn + am0

Bsp. 8:Betrieb, in Abteilungen, n Produkte P1, ..., Pn:aij ... Kosten pro Einheit von Pj die in Abteilung i entstehen.ai0... Fixkosten in Abteilung i.xj ... produzierte Mengen von Pj .yi... Gesamtkosten in Abteilung i.

Matrix-Schreibweise: y = Ax+ a mit A = (aij)i=1,...,mj=1,...,n

, a =

a01

...

a0m

Tabellenform:

x1 x2 ... xn 1

y1 a11 a12 ... a1n a10

y2 a21 a22 ... a2n a20

... ...

ym am1 am2 ... amn am0

bzw.xT 1

y A a

Aufgaben:

(1) x vorgegeben, y ist zu berechnen (klar!).

(2) y vorgegeben, x zu berechnen (nicht immer lösbar, falls lösbar, nicht immer eindeutiglösbar).

Lösungsprinzip:Man tausche so oft wie möglich yr gegen xs aus, Austauschschritt AS (yr ↔ xs)→ AUSTAUSCH-VERFAHREN.Austauschschritt yr ↔ xs bedeutet:

(1) r-te Zeile yr = ... nach xs auflösen xs = ....

59

(2) in allen anderen Zeilen xs durch die rechte Seite vom obigen xs ersetzen.y neue Tabelle

FOLIEN IM NETZ (Neumann)Praktisches Vorgehen:

(1) Pivotelement (Pivot) kennzeichnen

(2) Austauschregeln Austauschregel (AR) 1 bis AR 4 abarbeitenDabei für AR 4 unter der alten Tabelle die neue Pivotzeile (PZ) als Kellerzeile notieren.

K

Zeile i aij

a∗rj . . .

ais

Spalte j

alle Ps

∗

Spalte s

a∗ij = aij + ais · a∗rj (Rechteckregel)

Bsp. 8 (Fortsetzung)y1 = 2x1 + 3x2 + x3 + 50 (Kosten in Abt. 1)y2 = x1 + 2x3 + 40 (Kosten in Abt. 2)T1 x1 x2 x3 1

y1 2 3 1 50

y2 1 0 2 40

K -2 -3 * -50

T2 x1 x2 y1 1

x3 -2 -3 1 -50

y2 -3 -6 2 -60

K * -2 23 -20

T3 y2 x2 y1 1

x323 1 −1

3 -10

x1 −13 -2 2

3 -20

d.h.:x3 =

2

3y2 + x2 −

1

3y1 − 10

x1 = −1

3y2 − 2x2 +

2

3y1 − 20

y bei vorgegebenen Kosten y1, y2 ist die Lösung x =

x1

x2

x3

nicht eindeutig bestimmbar.

z.B. y1 = 600, y2 = 300:x2 = t (FREI WÄHLBAR)

x3 =2

3· 300 + t− 1

3· 600− 10 = t− 10

x1 = −1

3· 300− 2t+

2

3· 600− 20 = 280− 2t

⇒ x =

280− 2t

t

t− 10

60

hier für xi ≥ 0: 10 ≤ t ≤ 140.

Varianten des Austauschverfahrens (AV)

(1) AVZ . . . Austauschverfahren mit ZEILENTILGUNG, d.h. neue PZ in neuer Tabelle weglassen.

(2) AVS . . . Austauschverfahren mit SPALTENTILGUNG, d.h. neue Pivotspalte in neuer Tabelleweglassen (nur anwendbar, wenn Variable über der weggelassenen Spalte = Null ist, siehefolgender Abschnitt).

(3) AVSZ . . . AVZ+AVS gleichzeitig.

1.5.4.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

• Gegeben sei das lineare Gleichungssystem (m Gleichungen, n Unbekannte x1, ..., xn)a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = b1...am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn = bm

• Gleichungssystem heißt HOMOGEN, falls b1 = ... = bm = 0 gilt, sonst UNHOMOGEN.

• Matrixform Ax = b mit A = (aij)i=1,...,mj=1,...,n

, x =

x1

...

xn

, b =

b1

...

bm

• Äquivalente Form: y = Ax− b · 1 mit y =

y1

...

ym

= 0 =

0

...

0

Hilfsgrößen y1 = y2 = ... = ym = 0

• Tabellenform:xT 1

y A b

Lösungsprinzip:Austauschverfahren, Variante AVS (da yi = 0: Pivotspalte in neuer Tabelle weglassen!)

Fall 1:Alle yi sind austauschbar ⇒ Gleichungssystem ist lösbar, Lösung aus letzter Tabelle (TE)ablesbar.

z.B.:

TE x3 1

x1 0 4

x2 2 -3

y x1 = 4, x2 = 2x3 − 3 (x3 frei wählbar)

Fall 2:Wenigstens ein yi ist gegen kein xj austauschbar.

y Tabelle:

(evtl.) noch nicht ausgetauschte xj 1

...

yi 0. . . 0. . . 0 α

...

y yi = α

Fall 2a: α = 0Zeile yi kann gestrichen werden (0 = 0).

Fall 2b: α 6= 0Gleichungssystem nicht lösbar (Widerspruch, da yi = 0)

61

Das Verfahren endet also im Fall 2b (unlösbar) oder mit einer Tabelle, in der kein yi mehrvorkommt (Fall 1 oder 2a).

TE xS1 xS2 ... xSq 1

xr1 ...

xr2 ...

...

xrp ...xS...: NBV . . . NICHTBASISVARIABLEN (nicht ausgetauschte xi)xr...: BV . . . BASISVARIABLEN (ausgetauschte xi)

• Allgemeine Lösung ergibt sich aus Endtabelle: NBV beliebig vorgeben, BV daraus bere-chenbar.

• Falls keine NBV vorhanden sind, ist die Lösung eindeutig.

Def. 8:Die Darstellung der Endtabelle heißt Basisdarstellung des lin. Gleichungssystems.Bemerkung: Aus einer Basisdarstellung lassen sich weitere Basisdarstellungen durch Austauschxri ↔ xsj gewinnen.

Bsp. 93x1 + x2 + 2x3 = −2− 5x1 − 3x2 − 2x3 = −2x1 + 3x2 − 2x3 = 10

T1 x1 x2 x3 1

y1 3 1 2 2

y2 -5 -3 -2 2

y3 1 3 -2 10

K -3 * -2 -2

mit AVS:

T2 x1 x3 1

x2 -3 -2 -2

0 4 4 8

0 -8 -8 -16

K * -1 -2

T3 x3 1

x2 1 4

x1 1 -2

0 0 0

(in T3 kann letzte 0-Zeile gestrichen werden)y T3 ist Endtabelle (BV: x1, x2, NBV: x3)allg. Lösung:x2 = x3 + x4

x1 = −x3 − 2x3 ∈ R frei wählbar

andere Form: x3 = t (Parameter), x =

x1

x2

x3

=

−t− 2

t+ 4

t

, t ∈ R Bemerkung:

(1) Bei homogenen System Ax = 0 muss die 1-Spalte

0

0

...

0

nicht geschrieben werden (nur

„gedacht“).

(2) Die Methode AVS entspricht dem sogenannten GAUSS-JORDAN-VERFAHREN.Der GAUSS-ALGORITHMUS (siehe folgendes Beispiel):

62

• AVSZ (Spalten- und Zeilentilgung)

• weggelassene Zeilen merken (→ Kellerzeilen)

• Rückrechnung durchführen

Bsp. 10:−x1 + 2x2 + 2x3 = 42x1 + 5x2 + 2x3 = 42x1 + x2 − 4x3 = −3

T1 x1 x2 x2 1

0 -1 2 2 -4

0 2 5 2 -4

0 2 1 -1 +3

x2 -2 * 4 -3

T2 x1 x3 1

0 5 10 -10

0 -8 22 -19

x1 * 2 -2

T3 x3 1

0 6 -3

x3 * 12

Rückrechnung:

T3 y x3 =1

2T2 y x1 = 2x3 − 2 = −1T1 y x2 = −2x1 + 4x3 − 3 = 1

Lösung: x =

x1

x2

x3

=

−1

11

2

Bemerkung:

m Gleichungen, n Unbekanntem ≤ n y AVS günstigerm ≥ n y Gauß oder AVS

1.5.4.3 WEITERE ANWENDUNGEN DES AUSTAUSCHVERFAHRENS

(1) Lineare Unabhängigkeit von Vektoren a1, ..., an ∈ Rm überprüfen.

Ansatz: x1a1 + x2a2 + ...+ xnan = 0 ⇔ Ax = 0 mit A =

a1

a2

...

an

(Spalten von A sind die

(Spalten-)Vektoren a1, ..., an). Homogenes GLS mit AVS mit Starttabelle:xT

y A

• Unabhängigkeit genau dann, wenn alle xi ausgetauscht werden können.

• Allgemein: Die zu den ausgetauschten xi, d.h. BV, gehörenden ai sind unabhängig.Sie bilden die Basis von L(a1, ..., an.

(2) Rang einer Matrix A =

a1

...

an

... rang(A) (auch: rank(A), rk(A), ...)

Def.: rang(A) := dim L(a1, ..., an)

(Dimension des von den Spaltenvektoren aufgespannten Teilraumes).

63

Berechnung: rang(A) =Anzahl der ausführbaren Austauschschritte im AVSZ mitxT

y Aals Starttabelle (1-Spalte entfällt).Bemerkung: Es gilt rang(AT ) = rang(A).

(3) Berechnung der Determinante einer (n, n)-Matrix (vgl. Merkblatt „Lineare Algebra“)

1.5.4.4 DIE INVERSE EINER (N,N)-MATRIX

Def. 9:Es sei A vom Typ (n, n). Das Gleichungssystem y = Ax sei für jedes y EINDEUTIG nach x

auflösbar, d.h. x = B y. Dann heißt die (n, n)-Matrix B INVERSE von A. Bezeichnung: A−1 = B.Falls A−1 existiert, so heißt A REGULÄR, sonst SINGULÄR.Bemerkung:

(1) A ist regulär ⇔ detA 6= 0

(2) A regulär, dann hat Ax = b die eindeutige Lösung x = A−1b .

Rechenregeln: Seien A und B regulär. Dann gilt:

• A ·A−1 = E, A−1 ·A = E

•(A−1

)−1= A

• AB = E

• (AB)−1 = B−1A−1

•(AT)−1

=(A−1

)TVerfahren zur Ermittlung der Inversen:

• vollständiges AV mit StarttabellexT

y A

Fall 1: alle xi austauschbar y A regulär.Fall 2: nicht alle xi austauschbar y A singulär.im Fall 1: y nach Ordnen der Zeilen und Spalten: A−1 aus TE ablesbar.

• Probe: A ·A−1 = E

Bsp. 11:

A =

1 2 1

1 0 2

1 −1 1

gesucht: A−1 (falls diese existiert).

Lösung:T1 x1 x2 x3

y1 1 2 1

y2 1 0 2

y3 1 -1 1

K * -2 -1

T2 y1 x2 x3

x1 1 -2 -1

y2 1 -2 1

y3 1 -3 0

K -1 2 *

T3 y1 x2 y2

x1 2 -4 -1

x3 -1 -2 1

y2 1 -3 0

K 13 * 0

T4 y1 y3 y2

x123

43 -1

x3 −13 −2

3 1

x213 −1

3 0

64

y A−1 =

2

3−1

4

31

30 −1

3

−1

31 −2

3

Probe: AA−1 = E = A−1A

1.5.5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM

1.5.5.1 KARTESISCHE BASIS

Einige Begriffe:

(1) BETRAG eines Vektors a: Länge des Pfeils, der a repräsentiert.Bezeichnung: |a|

(2) EINHEITSVEKTOR: Vektor mit |a| = 1.

(3) zu |a| 6= 0 gehörender Einheitsvektor a0 =1

|a|a

(4) KARTESISCHE BASIS i, j, k i, j, k besitzen Betrag 1, stehen ⊥ aufeinander und bilden indieser Reihenfolge ein Rechtssystem (Rechtsschraubregel: Rechtsschraube ⊥ zu i und jhalten, auf kürzestem Weg von i nach j drehen. y Bewegung in Richtung k).

j

k

i

(5) KARTESISCHES KOORDINATENSYSTEM:

• Fester Punkt O als Ursprung

• kartesische Basis i, j, k (jeweils linear unabhängig)

Damit eineindeutige Zuordnung:P

Punkt

1←→1

−−→OP

Ortsvektor= r = x · i+ y · j + z · k

j

k

i

P (x, y, z)

r = x · i+ y · j + z · k =

x

y

z

(Kurzschreibweise – beide Schreibweisen gleichberechtigt)

65

Betrag eines Vektors a =

a1

a2

a3

: |a| =√a2

1 + a22 + a2

3

Bemerkung:

Bezeichnung auch e1 = i =

1

0

0

, e2 = j =

0

1

0

, e3 = k =

0

0

1

r =

x

y

z

=

x1

x2

x3

= x = −→x = x

1.5.5.2 DAS SKALARPRODUKT

Def. 10:Die Zahl (a, b) := |a| · |b| · cos(ϕ) heißt SKALARPRODUKT der Vektoren a und b. Dabei ist ϕ derWinkel zwischen den Vektoren a und b.

Eigenschaften des Sklarproduktes:

a.) (a, a) > 0 für a 6= 0

b.) (a, b) = (b, a) (Symmetrie)

c.) (λ a+ µ b, c = λ · (a, c) + µ(b, c) (Linearität)

Satz 4:

Es sei a =

a1

a2

a3

, b =

b1

b2

b3

. Dann gilt (a, b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 .

Folgerung: (a, b) = aT · b = bT · aSchreibweisen: (a, b) = a b = ...

Anwendungen:

(1) Projektion ab von a auf b: ab = (a, b0)b0 =(a, b)

|b|2b

b

a

ϕ

ab

Herleitung:|ab| = |a| · cos(ϕ)

ab = |a| · cos(ϕ)b

|b|= |a| · |b| · cos(ϕ)

b

|b|2= (a, b) · 1

|b|2· b

(2) Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren: cos(ϕ) =(a, b)

|a| · |b|

66

Bsp. 12:

a =

1

−2

3

, b =

0

−4

7

a.) |a| =

√12 + (−2)2 + 32 =

√14, |b| =

√02 + (−4)2 + 72 =

√65

cos(ϕ) =(a, b)

|a| · |b|=

1 · 0 + (−2) · (−4) + 3 · 7√14 ·√

65=

29√14 ·√

65

ϕ = arccos

(29√

14 ·√

65

)≈ 15, 92

b.) Projektion von b auf a: ba =(a, b)

|a|2a =

29

14

1

−2

3

=29

14e1 −

29

7e2 +

29 · 314

e3

(3) ORTHOGONALITÄTSKRITERIUM:(a, b) = 0⇔ (|a| = 0︸ ︷︷ ︸

a=

∨ |b| = 0︸ ︷︷ ︸b=0

∨ cos(ϕ) = 0)

Vereinbarung: 0 orthogonal zu jedem Vektor y (a, b) = 0 ⇔ a⊥b

1.5.5.3 DAS VEKTORIELLE PRODUKT

Def. 11:Das vektorielle Produkt a × b zweier Vektoren (a, b ∈ R3) ist ein Vektor, der eindeutigfestgelegt ist durch:

(1) |a× b| = |a| · |b| · sin(ϕ)

(2) a× b ist senkrecht zu a und senkrecht zu b.

(3) a, b und a× b bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem.

Eigenschaften des vektoriellen Produktes:

• a× b = −(b× a) (Anti-Kommutativgesetz)

• a× (a+ c) = a× b+ a× c (Distributivgesetz)

• λ(a× b) = (λa)× b = a× (λb)

• Speziell: a× a = 0

• e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 usw.

Satz 5:

Es sei a =

a1

a2

a3

und b =

b1

b2

b3

, dann gilt:

a× b =Schema

∣∣∣∣∣∣∣∣i a1 b1

j a2 b2

k a3 b3

∣∣∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣a2 b2

a3 b3

∣∣∣∣∣ i−∣∣∣∣∣a1 b1

a3 b3

∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣a1 b1

a2 b2

∣∣∣∣∣ k

a× b = (a2b3 − a3b2)i− (a1b3 − a3b1)j + (a1b2 − a2b1)k =

a2b3 − a3b2

a2b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

67

Bsp. 13:

a =

1

−2

3

, b =

0

−4

7

a× b =

∣∣∣∣∣−2 −4

3 7

∣∣∣∣∣ i−∣∣∣∣∣1 0

3 7

∣∣∣∣∣ j +

∣∣∣∣∣ 1 0

−2 −4

∣∣∣∣∣ k = −2i− 7j − 4k =

−2

−7

−4

Kontrolle: (a× b, a) = 0, (a× b, b) = 0 !

Anwendungen:

(1) FLÄCHENINHALT des von a und b aufgespannte PARALLELOGRAMMS: F = |a× b|

a

b

ϕ

hF

sin(α) =h

|b|F = |a| · h = |a| · |b| · sin(α) = |a× b|

(2) Flächeninhalt eines Dreiecks ∆P1P2P3: F =1

2

∣∣∣−−−→P1P2 ×−−−→P1P2

∣∣∣ (halbes Parallelogramm)

P1

P2

P3

−−−→P1P2

−−−→P1P3

(3) PARALLELITÄTSKRITERIUM: a× b = 0 ⇔ |a× b| = 0 ⇔ (|a| = 0 ∨ |b| = 0 ∨ sin(ϕ) = 0)Vereinbarung: 0 || zu jedem Vektory a× b = 0 ⇔ a||b

1.5.5.4 DAS SPATPRODUKT

Def. 12:Die Zahl (a× b, c) heißt Spatprodukt der Vektoren a, b und c.Eigenschaften: (a× b, c) = (b× c, a) = (c× a, b) (durch zyklisches Vertauschen)

Berechnung: (a× b, c) = det(a|b|c) =

∣∣∣∣∣∣∣∣a1 b1 c1

a2 b2 c2

a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣∣∣Anwendung:

(1) Volumen des von a, b und c aufgespannten Spates (Parallelotop): V = |(a× b, c)|

68

a

b

c

a× b

hϕ

V = FGrundfläche · h = |a× b| · |c| · | cos(α)| = |(a× b, c)|Bemerkung:

Spatprodukt

> 0 ... Rechtssystem< 0 ... Linkssystem

(2) KOMPLANARITÄTSKRITERIUM:Die Vektoren a, b, c sind komplanar, d.h. sie liegen in einer (in O angehefteten) Ebene⇔ (a× b, c) = 0⇔ a, b, c sind linear abhängig.

1.5.5.5 GERADEN- UND EBENENGLEICHUNGEN

(1) Parameterdarstellung einer Geraden g durch P1 und P2:P . . . beliebiger Punkt von g

r

r2

r1

g

P

P2

P1

O

a =−−−→P1P2

−−→OP =

−−→OP1 + t ·

−−−→P1P2 (t ∈ R)

r = r1 + t · a (Punkt-Richtungs-Form)

r = r1 + t · (r2 − r1) (t ∈ R) (Zwei-Punkte-Form)

Bsp.:Gerade durch die Punkte P1 = (1, 2,−1), P2 = (0, 1, 4)

g :

x

y

z

=

1

2

−1

+ t

−1

−1

5

(t ∈ R)

(2) Parameterdarstellung einer Ebene ε durch 3 Punkte P1, P2, P3, die nicht auf einer Geradenliegen.

69

O

P1

P3

PP2

r1r3

r2r

b

a

ε

P . . . beliebiger Punkt von ε−−→OP =

−−→OP1 + u ·

−−−→P1P2 + v ·

−−−→P1P3 (u, v ∈ R)

r = r1 + u · a+ v · b (u, v ∈ R)

r = r1 + u · (r2 − r1) + v(r3 − r1)

(3) Parameterfreie Ebenengleichung

O

P0P

εn

Normalenvektor n (n 6= 0, n⊥ε):

n =

a

b

c

, n⊥−−→P0P

Dabei sei P (x, y, z) ein beliebiger Punkt in ε und P0(x0, y0, z0) ein fester Punkt in ε mitOrthogonalitätskriterium (n,

−−→P0P ) = 0 bzw. (n, r − r0) = 0 .

Ausführlich:

a

b

c

,

x− x0

y − y0

z − z0

= 0, d.h. a · (x− x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0

Allgemeine Form: ax+ by + cz + d = 0 mit d = −ax0 − by0 − cz0.

Bsp. 15:Ebene durch P1(1, 0, 0), P2(3, 1, 5), P3(−2, 0, 2)

• P.d. (Parameterdarstellung)

x

y

z

=

1

0

0

+ u

2

1

5

︸ ︷︷ ︸a

+v

−3

0

2

︸ ︷︷ ︸

b

(u, v ∈ R)

70

• Ein Normalenvektor ist bpsw. u = a× b =

2

−19

3

y Parameterfreie Darstellung: 2x− 19y + 3z + d = 0d berechnen: Einsetzen von x = 1, y = z = 0 (P1) liefert 2 · 1 + d = 0 ⇒ d = −2y 2x+ 19y + 3z − 2 = 0

1.5.5.6 EINIGE GEOMETRISCHE GRUNDAUFGABEN

(1) Schnitt von Gerade und Ebene

Bsp. 16:Gegeben:Ebene ε: 2x− 4y + z + 3 = 0

Gerade g:

x

y

z

=

3

0

1

+ t

−1

1

−2

Gesucht:

a.) Schnittpunkt (Spurpunkt) S(xS , yS , zS)

b.) Schnittwinkel

zu a.) g : x = 3−t, y = t, z = 1−2t einsetzen in Ebenengleichung: 2(3−t)−4·t+1−2t+3 =

0⇒ −8t+ 10 = 0⇒ t =5

4

t =5

4in Geradengleichung einsetzen: xS = 3− 5

4=

7

4, yS =

5

4, zS = 1− 2

5

4= −3

2

y S

(7

4,5

4,−3

2

)zu b.) Schnittwinkel:

ε

n

g

αβ

↓ε projizierend

(auf die „Kante“ derEbene blickend)

β = ](n, a) (Richtungsvektor von g)α = |90 − β|

n =

2

−4

1

, a =

−1

1

−2

, β = arrcos

((n, a)

|n| · |a|

)≈ 135, 45

y α = |90 − β| ≈ 45, 45

71

(2) Schnitt zweier Ebenen: 2 Gleichungen, 3 Unbekannte

Bsp. 17:Schnitt der Ebenen ε1 : x+ y + z − 1 = 0 und ε2 : x− 2y + 3z + 4 = 0.Austauschverfahren:T1 x y z 1

0 1 1 1 -1

0 1 -2 3 4

K * -1 -1 1

T2 x z 1

x -1 -1 1

0 -3 2 5

K 32 * −5

2

T3 y 1

x −52

72

z 32 −5

2

y . . . NBV, y = t (beliebig), x = −5

2t+

7

2, z =

3

2t− 5

2

also

x

y

z

=

−5

2t+

7

2t

3

2t− 5

2

, oder

x

y

z

= t

−5

213

2

+

7

20

−5

2

(t ∈ R)

(3) Abstand d(P1, ε) eines Punktens P1 in einer Ebene ε.ε: ax+ by + cz + d = 0, Punkt P1(x1, y1, z1)

d(P1, ε) =|ax1 + by1 + cz1 + d|√

a2 + b2 + c2

P0

P1

εn

d

d(P1, ε)

−−−→P0P1

n =

a

b

c

, P0 ∈ ε, d.h. ax0 + by0 + cz0 + d = 0

d(P1, ε) =∣∣∣−−−→P0P1−→n

∣∣∣ =

∣∣∣(−−−−→P0P1, n)∣∣∣

|n|

−−−→P0P1 =

x1 − y0

y1 − y0

z1 − z0

⇒ d(P1, ε) =

|a(x1 − x0 + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√a2 + b2 + c2

=|ax1 + by1 + cz1|√

a2 + b2 + c2

Bsp. 18:Abstand von P1(2,−9,−16) von der Ebene ε : 3x− 7y + 8z + 26 = 0.

d(P1, ε) =|3 · 2− 7 · (−9) + 8 · (−16) + 26|√

32 + (−7)2 + 8=| − 33|√

122=

33√122

Bemerkung: Gerade g in der x-y-Ebene, Gleichung ax+ by+ c = 0, NV: n =

(a

b

), Abstand

eines Punktes P1(x1, y1) von g:

72

d(P1, g) =|ax1 + by1 + c|√

a2 + b2

(4) Abstand d(Q, g) eines Punktes Q von einer Geraden g (in R3).g : r =

−−→OP1︸︷︷︸r1

+ta t ∈ R (Parameterdarstellung)

P1

OQ

g

r1

a

−−→P1Q d

L

(d ist Höhe LQ des von a und−−→P1Q aufgespannten Parallelogramms)

Lotfußpunkt:−→OL =

−−→OP1 +

−−→P1Qa

Bsp. 19:

g :

x

y

z

=

2

3

1

+ t

1

0

−1

t ∈ R, Q(1, 1, 1)

a) Abstand d(Q, g):

a =

1

0

−1

, r1 =

2

3

1

,−−→OQ =

1

1

1

,−−→P1Q =

−1

−2

0

−−→P1Q× a = 2i− j + 2k =

2

−1

2

∣∣∣−−→P1Q× a

∣∣∣ =√

22 + (−1)2 + 22 =√

9 = 3

d(Q, g) =3√2

=3

2

√2

b) Lotfußpunkt:−−→P1Qa =

(−−→P1Q, a

)|a|2

· a = −1

2

1

0

−1

⇒−→OL =

2

3

1

− 1

2

1

0

−1

=

32

332

⇒ L

(3

2, 3,

3

2

)

(5) Abstand d(g1, g2) zweier nicht paralleler Geraden g1 und g2.g1 : r = r1 + s · a1

g2 : r = r2 + t · a2 (s, t ∈ R)

73

L2

L1

P1

P2

g2

g1

a1 × a2

a2

a1

−−−→P1P2d

d =∣∣∣−−−→P1P2a1×a2

∣∣∣ = d(g1, g2) =|(r2 − r1, a1 × a2)|

|a1 × a2|Bemerkung: Lotfußpunkte L1 und L2 aus Bedingungen

−−−→L1L2⊥a1 und

−−−→L1L2⊥a2 ermittelbar.

1.5.6 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN

Es sei A eine (n, n)-Matrix.

Def. 13:Die Zahl λ ∈ C heißt EIGENWERT (EW) der quadratischen Matrix A, falls die GleichungAx = λx nichttriviale Lösungsvektoren x besitzt. Diese heißen dann EIGENVEKTOREN (EV)

von A zum Eigenwert λ.

Diskussion:

(1) Ax = λx⇔ (A− λE)x = 0

D.h. nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn det(A− λE) = 0 (CHARAKTERISTISCHE

GLEICHUNG) gilt.Vorgehensweise zur Ermittlung von EW und EV:

• charakt. Gleichung lösen (n i.a. komlpexe Lösungen λ1, ..., λn)

• Gleichungssystem (A− λiE)x = 0 für i = 1, ..., n lösen.

Im folgenden werden nur symmetrische (n, n)-Matrizen S betrachtet, d.h. ST = S.

Satz 6:Es sei S eine symmetrische (n, n)-Matrix. Dann gilt:

(1) Alle Eigenwerte von S sind reell.

(2) Zu verschidenen EW λ1 bzw. λ2 (λ1 6= λ2) gehörende EV v1 bzw. v2 sind orthogonal(vgl. Disskussion).

74

(3) Es gibt eine Basis des Raumes Rn, die aus n paarweise orthonormierten EV v1, ..., vnvon S besteht.

(4) Es sei V = (v1|...|vn) eine Matrix, deren Spaltenvektoren n paarweise orthonomierteEV von S sind. Dann gilt:

• V · V T = V T · V = E (d.h. V −1 = V T , V ist sogenannte orthogonale Matrix)

• V T · S · V =

λ1 0 0

0 ... 0

0 0 λn

= Λ y S = V · Λ · V T

• Es gilt S−1 = V · Λ−1 · V T mit

1λ1

0 0

0 ... 0

0 0 1λn

= Λ−1

Sn = V · Λn · V T

BETRAG (NORM) eines Vektors |a| =

√√√√ n∑i=1

a2i paarweise orthonormiert bedeutet:

(vi, vj) =

1 für i = j

0 für i 6= j.

(2) Veranschaulichung im Fall n = 2:Die symmetrische Matrix A habe die Eigenwerte λ1 und λ2 und orthonomierte EV v1 undv2, V = (v1|v2). Es gilt A · v1 = λ1v1, A · v2 = λ2v2.D.h A bewirkt eine Skalierung mit den Faktoren λ1 bzw. λ2 in Richtung v1 bzw. v2.

x

y

v1

λ1 v1

v2

λ2 v2

Def. 14: Es sei S eine reelle symmetrische Matrix vom Typ (n, n). Die Funktion y = Q(x) :=xT S x (x ∈ Rn, y ∈ R) heißt QUADRATISCHE FORM.

Diskussion:

(1) Im Falle n = 2 stellt Q(x) = const) (bzw. Q(x) + aTx = const) eine Kurve 2. Ordnung dar.Deren Gestalt kann durch die sogennante Hauptachsentransformation ermittelt werden.

(2) Ausführliche Schreibweise x =

(x

y

), S =

(s11 s12

s21 s22

)(mit s12 = s21).

Q(x, y) =(x y

)(s11 s12

s21 s22

)(x

y

)= s11x

2 + 2s12xy + s22x2

(3) Es seien λ1 und λ2 die EV von S und v1 bzw. v2 orthonormierte EV. Für einen beliebigen

Vektor x =

(x

y

)∈ R2 seien x∗ und y∗ die Koordinaten bzgl. der Basis v1, v2:

75

x = x∗v1 + y∗v2 = (v1|v2)

(x∗

y∗

)= V x∗

Dann gilt:Q(x, y) = λ1x

∗2 + λ2x∗2 (Darstellung bzgl. der sog. Hauptachsen)

Dann:Q(x, y) = xT S x = (V x∗)T S (V x∗) = x∗T V T S V︸ ︷︷ ︸Λ

x∗ =(x∗ y∗

)(λ1 0

0 λ2

)(x∗

y∗

)⇔ Q(x, y) = λ1x

∗2 + λ2y∗2

Bsp. 20:Q(x, , y) = 13x2 − 32xy + 37y2 = 45Welche Kurve ist das?

• Matrix S (vgl. Gleichung aus 2.) aus obiger Diskussion):

S =

(13 −16

−16 37

)

• charakteristische Gleichung:

det(S − λE)!

= 0 ⇔

∣∣∣∣∣13− λ −16

−16 37− λ

∣∣∣∣∣ = λ2 + 50λ+ 225!

= 0

λ1 = 5, λ2 = 45 (Eigenwerte)

• EV zu λ1 = 5 ((S − λE)x!

= x):

8x− 16y = 0

−16x+ 32y = 0

y x = 2y y

(x

y

)=

(2t

t

)= t

(2

1

)(t ∈ R, t 6= 0)

• EV zu λ2 = 45:(x

y

)= u ·

(1

−2

)(u ∈ R, u 6= 0)

• orthonomierte EV:

z.B. v1 =1√5

(2

1

), v2 =

1√5

(1

−2

)(Rechtssystem!)

Mit Gleichung aus 3.) aus obiger Diskussion:Q(x, y) = λ1x

∗2 + λ2x∗2 = 5x∗2 + 45y∗2 = 45

⇔ x∗2

9+y∗2

1= 1 (Ellipse mit Halbachsen a = 3, b = 1)

76

2 FOLGEN, REIHEN, GRENZWERTE

2.1 ZAHLENFOLGEN

2.1.1 GRENZWERTE VON ZAHLENFOLGEN

Def. 1:Es sei n0 ∈ N. Eine Funktion f mit Db(f) = u ∈ N|n ≥ n0 und Wb(f) ⊂ R heißt reelleZahlenfolge.Schreibweise:an = f(n) (n ∈ Db(f))(an)n≥n0

= (an0 , an0+1, an0+2, ...)oft n0 = 0 oder n0 = 1.

Bsp. 1:

a.) an = (−1)n · n (n ∈ N)(an) = (0,−1, 2,−3, 4, ...)

b.) a0 = −1, an = n · an−1 (n ∈ N∗) (rekursive Def.)(an) = (−1,−1,−2,−6,−24, ...), an = −n!

c.) an =3

10+

3

102+ ...+

3

10n(n ∈ N∗)

(an) = (0.3, 0.33, 0.333, ...)

d.) an = 1 + (−1)n1

n2(n ∈ N∗)

(an) =

(5

4,8

9,17

16,24

25, ...

)

Def. 2:

• (an) heißt KONVERGENT, wenn es eine Zahl a ∈ R gibt mit folgender Eigenschaft:Zu jedem ε > 0 existiert eine natürliche Zahl n0(ε), sodass für alle n ≥ n0(ε) gilt: |an−a| <ε.

• Die Zahl a heißt GRENZWERT von (an).Schreibweisen:a = lim

n→∞(an) oder an −→

n→∞a

• (an) heißt DIVERGENT, falls (an) nicht konvergent ist.

Diskussion

(1) Für ε > 0 heißt Uε(a) := (a− ε, a+ ε) (offenes Intervall) ε-UMGEBUNG VON a.

(a− ε )

a+ εa

Uε(a)

77

(limn→∞

an = a)≡ (∀ε > 0 ∃n0(ε) ∀n ≥ n0(ε) an ∈ Uε(a))

d.h. für jedes (noch so kleine) ε, liegen ab einem bestimmten (von ε abhängigen) Indexn0(ε) alle Glieder an(n ≥ n0(ε)) in Uε(a).

(2) Im Bsp. 1 sind:konvergente Folgen:

c.) mit ann→∞

=1

3d.) mit an

n→∞= 1

divergente Folgen: a.) und b.)

(3) Ist ann→∞

= 0, so heißt (an) NULLFOLGE.

Def. 3:(an) heißt:

• STRENG MONOTON WACHSEND, falls für jedes n gilt: an < an+1.

• MONOTON WACHSEND, falls für jedes n gilt: an ≤ an+1.

• STRENG MONOTON FALLEND, falls für jedes n gilt: an > an+1.

• MONOTON FALLEND, falls für jedes n gilt: an ≥ an+1.

Def. 4:(an) heißt beschränkt, wenn es eine Konstante C > 0 gibt mit |an| ≤ C für alle n.

Diskussion:

(1) (an) beschränkt⇔ ∃c > 0 ∀n |an| ≤ C⇔ ∃c1 ∈ R ∃c2 ∈ R ∀n c1 ≤ an ≤ c2

(2) Folgen aus Bsp. 1:Folge Monotonie Beschränktheit

a.) an = (−1)n · n – –

b.) an = −n! streng monoton fallend (ab n = 1) –

c.) an = 310 + 3

102+ ...+ 3

10n streng monoton wachsend 0, 3 ≤ an < 13

d.) an = 1 + (−1)n 1n2 – 0 ≤ an < 5

4

Satz 1:Jede konvergente folge ist beschränkt.

Satz 2:Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

Def. 5:

(an) heißt BESTIMMT DIVERGENT gegen

+∞−∞

, falls gilt: ∀c ∈ R ∃n0(c) ∀n ≥ n0(c)

an > c

an < c.

Schreibweise: limn→∞

an =

+∞−∞

78

Bsp. 2:

a.) aus Bsp. 1c.): an =3

10+ ... +

3

10n, (an) monoton wachsend und beschränkt⇒ (an) ist

konvergent, limn→∞

an =1

3.

b.) aus Bsp. 1b.): an = −n!, (an) monoton fallend und unbeschränkt ⇒ (an) ist bestimmtdivergent, lim

n→∞an = −∞

Diskussion:Eine divergente Folge, die nicht bestimmt divergent ist, heißt UNBESTIMMT DIVERGENT.Bpsw. Folge aus Bsp. 1a.) an = (−1)n · n.

Einige wichtige Grenzwerte:

a.) limn→∞

(1 +

1

n

)n= e = 2.71... (EULERsche Zahl)

b.) limn→∞

n√n = 1

c.) limn→∞

lnn

n= 0

d.) limn→∞

n√a = 1 (a > 0)

Satz 4: Rechenregeln (Grenzwertsätze)(an) und (bn) seien zwei konvergente Folgen mit lim

n→∞= a, lim

n→∞= b. Dann gilt:

• limn→∞

(an + bn) = a+ b

• limn→∞

(c · an) = c · a

• limn→∞

(an · bn) = a · b

• limn→∞

(anbn

)=a

b(bn 6= 0, b 6= 0)

Bsp. 3:

a.) an =2n2 − 1

3n2 + n(n = 1, 2, 3, ...)

an =n2(2− 1

n2

)n2(3 + n

n2

) =2− 1

n2

3 + 1n

=limn→∞

(2− 1

n2

)limn→∞

(3 + 1

n

) =2

3

Ausklammern der höchsten Potenzen in Zähler und Nenner

b.) an = n ·(√

n2 + 1− n)

(in Klammern: „∞−∞“ y Erweitern mit 3. binomischer Formel)

an =n ·(√

n2 + 1− n)·(√

n2 + 1 + n)

(√n2 + 1 + n

) =n · (n2 + 1− n2)

n ·√

1 + 1n2 + n

=n · 1

n(√

1 + 1n2 + 1

) −→n→∞

1

2

oder: limn→∞

=1

2

79

c.) an =sinn

n

(0 ≤ |an| =

| sinn|n

≤ 1

n

)⇒ lim

n→∞an = 0

Allgemein: (an) beschränkt und (bn) bestimmt divergent⇒ limn→∞

anbn

= 0.

2.1.2 LINEARE REKURSIONSGLEICHUNGEN (DIFFERENZENGLEICHUNGEN)

• Allgemeine Form einer Rekursionsgleichung k-ter Ordnung:xn = f(n, xn−1, xn−2, ..., xn−k) (k ≥ 1, n ≥ n0 + k)

• Wir betrachten nur LINEARE REKURSIONSGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN

(d.h. aj nicht von n abhängig):xn = a1xn−1 + a2xn−2 + ...+ akan−k + hn k ≥ 1, ak 6= 0, n ≥ n0 + k

xn gesucht, a1, a2, ..., ak, hn (n ≥ n0) bekannt.

• Indexverschiebung möglich:xn+k = a1xn+k−1 + a2xn+k−2 + ...+ akan + hn+k (n ≤ n0)

Wichtig ist die Differenz zwischen höchstem und niedrigstem Index von x (=Ordnung derRekursionsgleichung).

• Da die größen xn, xn−1, xn−2, ... auch durch xn und die Differenzen ∆xn := xn−xn−1,∆2xn :=

∆xn −∆xn−1 = xn − 2xn−1 + xn−2, ... ausgedrückt werden können, ist der Name DIFFE-RENZENGLEICHUNG sehr verbreitet.

• Die Differenzengleichung (aus erstem Punkt) heißt homogen, falls hn = 0 (für alle n), sonstinhomogen.

Zur Lösung von der Differenzengleichung (aus erstem Punkt oberhalb):

(1) Allgemeine Lösung: xn = x(h)n + x(p)

n , dabei ist x(h)n die ALLGEMEINE LÖSUNG DER ZUGE-

HÖRIGEN HOMOGENEN GLEICHUNG xn = a1xn−1 + ...+ akxn−k und x(p)n eine PARTIKU-

LÄRE (SPEZIELLE) LÖSUNG DER INHOMOGENEN GLEICHUNG.

(2) Es gibt k Lösungen x(1)n , ..., x(h)

n der homogenen Gleichung, so dass gilt:x(h)n = c1x

(1)n + ...+ ckx

(h)n

Diese erhält man mit Hilfe der Lösungen der charakteristischen Gleichung:λk = a1λ

k−1 + a2λk−2 + ...+ ak−1λ+ ak

Dise ergibt sich aus dem Ansatz:x(h)n = λn (λ 6= 0)⇒ λn = a1λ

n−1 + ...+ akλn−k | : λn−k

⇒ Bei k verschieden Lösungen λ1, ..., λ2 ergibt sich x(h)n = c1λ

n1 + ...+ ckλ

nk , falls z.B. λ

2-fach auftritt, dann: x(h)n = c1λ

n1 + c2λ

n1 · n+ ...

(3) Für die Partikulärlösung x(p)n führen spezielle Ansätze zum Ziel:

Inhomogenität hn Bedingung Ansatz für x(p)n

Polynom in n (Gradr)

λ = 1 ist keine∗)

Lösung von λkPolynom vom gleichen Grade mitunbestimmten Koeffizienten

Potenzfunktion bn λ = b ist keine∗)

Lösung von λkx(p)n = A · bn

∗) bei ξ-facher Lösung ist der Ansatz mit nξ zu multiplizierenUnbestimmte Koeffizienten A, ... durch Einsetzen in die inhomogene Gleichung und Koeffi-zientenvergleich ermitteln.

80

(4) Die k Koeffizienten c1, ..., ck in der allgemeinen Lösung können durch die Anfangsbedin-gungen (AB) (Vorgabe der ersten k Glieder von (xn)) ermittelt werden.Es sind also folgende Schritte durchzuführen:

A) Allgemeine Lösung x(h)n der homogenen Gleichung ermitteln

B) eine spezielle Lösung x(p)n der inhomogenen Gleichung ermitteln

C) xn = x(h)n + x(p)

n

D) AB erfüllen

Bsp. 4: xn+1 = 2xn + 3 n ≥ 0, x0 = 1Erste Glieder: 1, 5, 13, 29, ...Typ: Lineare Differenzengleichung 1. OrdnungLösung:

A) homogene Gleichung xn+1 = 2xn (charakteristische Gleichung λ1 = 2)λ1 = 2 ⇒ x(h)

n = C · 2n

B) hn = 3 (Polynom des 0-ten Grades). Ansatz: x(p)n = A (Einsetzen in Ausgangsgleichung)

A = 2 · 2A+ 3 ⇒ A = −3 ⇒ x(p)n = −3

C) xn = x(h)n + x(p)

n = C · 2n − 3

D) AB: n = 0 ⇒ x0 = 1 = C · 20 ⇒ C = 4

Also: xn = 4 · 2n − 3

Bsp. 5: xn+2 = xn+1 + 2xn n ≥ 0, x0 = 2, x1 = 3Erste Glieder: 2, 3, 7, 13, 27, 53, ...Typ: lineare homogene Dz.-Gleichung 2. Ordnung

A) Schritt A liefert bereits die allgemeine Lösung (B und C entfallen): λ2 = λ + 2 ⇒ λ1 =−1, λ2 = 2⇒ xn = x(h)

n = C1 · (−1)n + C2 · 2n

D) AB erfüllen:

C =5

3, C1 =

1

3

n = 0 ⇒ x0 = 2 = C1 + C2

n = 1 ⇒ x1 = 3 = −C1 + 2C2

Also: xn =1

3(−1)n +

5

3· 2n

Diskussion: Bei einer homogenen linearen Dz.-Gleichung 2. Ordnung können folgendeFälle auftreten:

• λ1, λ2 reel und verschieden:⇒ xn = x(h)

n = C1λn1 + C2λ

n2 (vgl. Bsp. 5)

• λ1 = λ2 (reelle Doppellösung):⇒ xn = x(h)

n = C1λn1 + C2nλ

n2 = λn1 (C1 + C2 · n)

• λ1,2 = i± iv (v 6= 0) homogene komplexe Lösung:⇒ xn = x(h)

n = C1λn1 + C2λ

n2 (wie im 1. Fall, die Koeffizienten C1 und C2 sind aber im

allgemeinen komplex, xn selbst ist aber wieder reell)

81

Reeller Ansatz ist mit Hilfe der Formeln von EULER und MOIVRE möglich:λn1 =

(r · eiϕ

)n= rn · ei·n·ϕ = rn(cos(nϕ) + i · sin(nϕ))

λn2 =(r · e−iϕ

)n= rn · e−i·n·ϕ = rn(cos(nϕ)− i · sin(nϕ))

Damit reeller Ansatz:xn = x(h)

n = K1rn cos(nϕ) +K2r

n sin(nϕ)Bemerkung: Falls Rechner mit komplexer Arithmetik vorhanden, so ist direkt die Formel aus 1.Fall bequemer.

2.1.3 UNENDLICHE REIHEN

2.1.3.1 GRUNDBEGRIFFE

Def. 6: Gegeben sei die Zahlenfolge (an)n ≥ n0, n ∈ N. Die Zahlenfolge (Sn)n ≥ n0 mitSn0 := an0 , Sn0+1 := an0 + an0+1, Sn0+2 := an0 + an0+1 + an0+2, ..., Sn = an0 + an0+1 + ...+ an(PARTIALSUMEENFOLGE) heißt UNENDLICHE REIHE.

Bezeichnung:∞∑

n=n0

an

• Die Zahlen an heißen Glieder der Reihe, die Zahlen Sn heißen Partialsummen der Reihe

• Ist die Reihe konvergent, d.h. die Folge (Sn) ist konvergent, so heißt s := limn→∞

Sn =:∞∑

n=n0

an die Summe der Reihe

• Die Reihe heißt (bestimmt oder unbestimmt) divergent, wenn die Partialsummen dieentsprechende Eigenschaft haben.

Bemerkung: Oft n0 = 0 oder = 1

Bsp. 6: an = aqn mit a 6= 0, q 6= 0, n = 0, 1, 2, ...(an) = (a, aq, aq2, aq3, ...) (GEOMETRISCHE ZAHLENFOLGE)

(Sn) =

∞∑n=0

aqn (GEOMETRISCHE REIHE)

= ( a︸︷︷︸s0

, a+ aq︸ ︷︷ ︸s1

, a+ aq + aq2︸ ︷︷ ︸s2

, ...)

Sn = a+ aq + aq2 + aq3 + ...+ aqn | · qSnq = aq + aq2 + aq3 + aq4 + ...+ aqn+1

Beide Zeilen voneinander abgezogen:Sn − Snq = a− aqn+1

Sn(1− q) = a− aqn+1 | : (1− q) falls q 6= 1

Sn = a · 1− qn+1

1− q(SUMMENFORMEL FÜR DIE ENDLICHE GEOMETRISCHE REIHE mit Anfangs-

glied a und n+ 1 Summanden)⇒ lim

n→∞Sn =

a

a− qfalls |q| < 1⇒ Summe der unendlichen geometrischen Reihe:

∞∑n=0

aqn =a

1− qfür |q| < 1.

z.B. 0, 72 = 0, 727272... =72

100+

72

10.000+

72

1.000.000+ ... =

72

99=

8

11

82

Bsp. 7:∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ ... heißt HARMONISCHE REIHE. Offensichtlich ist (Sn) streng

monoton wachsend. Man kann zeigen, dass (Sn) nicht beschränkt ist. Aus Satz 3 folgt: dieharmonische Reihe ist bestimmt divergent.

Schreibweise:∞∑n=1

1

n=∞

Def. 7: Die Reihe∞∑

n=n0

an heißt

(a) absolut konvergent, falls∞∑

n=n0

|an| konvergent ist.

(b) bedingt konvergent, falls∞∑

n=n0

an konvergent, aber∞∑

n=n0

|a| nicht konvergent ist.

Satz 5:∞∑

n=n0

an absolut konvergent⇒∞∑

n=n0

an konvergent.

Diskussion:

(1) Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut

konvergieren. Z.B.∞∑n=1

(−1)n−1 1

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ ...

(2) Für Reihen mit nicht-negativen Gliedern (an ≥ 0 für alle n) ist absolute Konvergenz

identisch mit (gewöhnlicher) Konvergenz. Für solche Reihen gilt entweder∞∑

n=n0

an < ∞

[(absolut) konvergent] oder∞∑

n=n0

an =∞ [bestimmt divergent].

2.1.3.2 KONVERGENZKRITERIEN

1. Notwendiges Konvergenzkriterium

Satz 6:∞∑

n=n0

an konv.⇒ limn→∞

an = 0

bzw.: (an) konvergiert⇒∞∑n=0

an divergiert

Beweis: an = Sn − Sn−1

⇒ limn→∞

an = limn→∞

Sn − limn→∞

Sn−1 = s− s = 0

83

Bemerkung:

a) Bedingung limn→∞

an = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend. Z.B. an =1

n, dann lim

n→∞an = 0

aber∞∑n=1

an =∞

b) Anwendung des Satzes meist in logisch äquivalenter Form: limn→∞

an 6= 0⇒∞∑

n=n0

an diver-

giert

Bsp. 8:∞∑n=1

(n

10n− 1

)50

a1 = 1, 94 · 10−48, a2 = 1, 3 · 10−49, ...

limn→∞

an = limn→∞

(n

10− 1n

)50

6= 0

⇒ Reihe divergent (sogar besimmt divergent, da alle an ≥ 0)

2. Hinreichendes Kriterien

(A) LEIBNITZKRITERIUM FÜR ALTERNIERENDE REIHEN

Satz 7: Sei (bn) Folge mit

• bn ≥ bn+1 > 0 für alle n ∈ N• limn→∞

bn = 0

Dann ist∞∑n=0

(−1)nbn = b0 − b1 + b2 − b3 + ... konvergent. D.h. wenn die Beträge bn der Glieder

einer alternierenden Reihe mit an = (−1)nbn eine Nullfolge bilden, dann ist die Reihe konvergent.Weiter gilt: |s− Sn| ≤ |an+1|Also ist der Fehler bei der Approximation von s durch Sn beschränkt durch den Beträg von an+1.

Bsp. 9:∞∑n=1

(−1)n−1 1

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ ... (alternierende harmonische Reihe)

s1 = 1, s2 = 0, 5, s3 ≈ 0, 83, s4 ≈ 0, 583, s5 ≈ 0, 78, s6 ≈ 0, 62

0 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9

s1s2 s3s4 s5s

Man kann zeigen: s = ln 2 = 0, 6931

(B) VERLEICHSKRITERIEN FÜR REIHEN MIT NICHT-NEGATIVEN GLIEDERN

Satz 8: (Majoranten-Kriterium)

Seien (an)n≥n0 , (bn)n≥n0 Folgen mit 0 ≤ an ≤ bn für alle n ≥ n1 ≥ n0 und∞∑

n=n0

bn < ∞ (d.h.

84

konvergent).

Dann∞∑

n=n0

an <∞ (d.h. konvergent).

Die Reihe∞∑

n=n0

bn heißt dann konvergente Majorante zur Reihe∞∑

n=n0

an.

Beweisidee: 0 ≤ an ≤ bn 0 ≤∞∑

n=n0

an ≤∞∑

n=n0

bn ≤ ∞

Satz 9: (Minoranten-Kriterium)

Seien (an)n≥n0 , (bn)n≥n0 Folgen mit 0 ≤ bn ≤ an für n ≥ n1 ≥ n0 und∞∑

n=n0

bn = ∞ (d.h.

divergent)

Dann∞∑

n=n0

an =∞ (also auch divergent)

Die Reihe∞∑

n=n0

bn heißt divergente Minorante der Reihe∞∑

n=n0

an.

Eine nützliche Vergleichsreihe für die Anwendung der Sätze 8 und 9 ist:∞∑n=1

1

nλ=

konvergent für λ > 1

divergent für λ ≤ 1

Bsp. 10: Man untersuche das Konvergenzverhalten der folgenden Reihe:

a.)∞∑n=1

1

n2 − n+ 1︸ ︷︷ ︸an

(Vermutung: Verhalten wie∑ 1

n2wegen der Dominanz der höchsten Po-

tenz)Wir versuchen eine konvergente Majorante zu finden.

an =1

n2 − n+ 1≥ 1

n2 − n2

2

(wegen n ≥ n2

2für n ≥ 2)

Somit1

n2 − n2

2

=2

n2=: bn

Mit der Vergleichsreihe gilt:∞∑n=1

bn = 2

∞∑n=1

1

n2ist konvergent.

Satz 8=⇒

∞∑n=0

an ist konvergent, sogar absolut konvergent, da an ≥ 0 (n ∈ N)

b.)∞∑n=1

n2 + 4

n3 + n2 + 31(Vermutung: divergent, da Verhalten wie

∑ n2

n3=∑ 1

n)

Wir versuchen divergente Minoranten zu finden.

an =n2 + 4

n3 + n2 + 31≥ ... ≥ 1

3n=: bn (für n ≥ 4)

Wieder gilt mit der Vergleichsreihe:∑

bn divergent. Also folgt mit Satz 9:∞∑n=1

an divergent.

(C) QUOTIENTEN- UND WURZELKRITIERIEN

85

Satz 10: (Quotientenkriterium)Sei (an)n≥n0 eine Folge, so gilt:

limn→∞

∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣< 1

> 1⇒

∞∑n=n0

an ist

absolut konvergentdivergent

Satz 11: (Wurzelkriterium)Sei (an)n≥n0 eine Folge, so gilt:

limn→∞

n√|an|

< 1

> 1⇒

∞∑n=n0

an ist

absolut konvergentdivergent

Bemerkung: Falls in Satz 10 oder 11 lim ... = 1 gilt, so ist mit diesem Kriterium keineKonvergenzaussage möglich.

Bsp. 11:

a.)∞∑n=2

(1

ln(n)

)n· (−1)n︸ ︷︷ ︸

an

Wegen n√|an| =

1

lnn

n→∞−→ 0 liefert das Wurzelkriterium, dass die Reihe absolut konvergentist.

b.)∞∑n=1

(−1)n(2n)!

(n!)2

Wegen∣∣∣∣an+1

an

∣∣∣∣ =

(2(n+1))!((n+1)!)2

(2n)!(n!)2

=(2n+ 2)!

((n+ 1)!)2· (n!)2

(2n)!=

(2n+ 2)(2n+ 1)(n!)2

(n+ 1)2(n!)2=

(2n+ 2)(2n+ 1)

(n+ 1)2=

4n2 + 4n+ 2n+ 2

n2 + 2n+ 1

n→∞−→ 4

Daher ist die Reihe divergent.

2.1.3.3 RECHENREGELN

•∞∑

n=n0

an und∞∑

n=n0

bn konvergent mit Summe a und b, dann gilt:

–∞∑

n=n0

(an + bn) = a+ b

–∞∑

n=n0

c · an = c · a

•∞∑

n=n0

an absolut konvergent⇔ die Glieder an lassen sich beliebig umordnen, ohne dass

sich die Summe ändert.

•∞∑

n=n0

an und∞∑

n=n0

bn absolut konvergent mit Summen a und b, dann gilt:

86

–

( ∞∑i=0

ai

)·

∞∑j=0

bj

=

∞∑i=0

∞∑j=0

aibj = a · b

(=∞∑n=0

∞∑i=0

aibn−i Cauchy-Produkt

)

2.2 GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN

2.2.1 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN

Def. 1: Es sei x0 ∈ R und es existiere eine Umgebung U(x0) mit U(x0)x0 ⊆ Db(f).

x0

U(x0) korrekt

x0

U(x0) korrekt

x0

U(x0) falsch

limx→x0

f(x) = λ :⇔ Für jede Folge (xn) mit xn ∈ Db(f), xn 6= x (für alle n) und limn→∞

xn = x0 gilt

limn→∞

f(xn) = a.Anschaulich: f(x) strebt gegen a, wenn x gegen x0 strebt.

Bemerkung: Die Stelle x0 muss NICHT selbst zum Definitionsbereich gehören.

Bsp. 1:

• limx→0

sin(x)

x

M A

C

B

1

1

x

cosx

sinx

tanx

FMMAB ≤ FSektor MAB ≤ FMMAC1

2sinx <

1

2x <

1

2tanx | · 2

sinx

⇔ 1 <x

sinx<

1

cosx

⇔ 1 >sinx

x> cosx

⇒ limx→0

sin(x)

x= 1

87

Analog zu Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen gilt:

Satz 1: Es gelte limx→x0

f(x) = a und limx→x0

g(x) = b. Dann:

• limx→x0

(f(x) + g(x) = a+ b

• limx→x0

c · f(x) = c · a

• limx→x0

(f(x) · g(x)) = a · b

• limx→x0

f(x)

g(x)=a

b(falls b 6= 0)

Bsp. 2:

a.) limx→0

3x3 − 7x+ 4

3 cosx=

4

3

b.) limx→3

x2 − x− 6

x− 3=

"0

0

” Satz nicht anwendbar.

= limx→3

(x− 3)(x+ 2)

(x− 3)= lim

x→3x+ 2 = 5

(andere Möglichkeit mit "0

0

” umzugehen lernen wir später)

Def. 2:

a.) rechtseitiger Grenzwert:limxx0

f(x) = a :⇔ für jede Folge (xn) mit xn ∈ Db(f) und xn > x0 und limn→∞

xn = x0 gilt

limn→∞

f(xn) = a.

Andere Schreibweise: limxx0

= limx→x0+0

x0 x

b.) linkseitiger Grenzwert:limxx0

f(x) = a :⇔ analog rechtsseitiger Grenzwert

c.) limx→∞

f(x) = a :⇔ für jede Folge (xn) mit xn ∈ Db(f) und limx→∞

xn =∞ gilt limn→∞

f(xn) = a.

d.) limx→∞

f(x) = a :⇔ analog s.o.

Diskussion: Uneigentliche Grenzwerte:

Wir schreiben lim•f(x)0

∞−∞

bei bestimmter Divergenz der Funktionswerte für:

•

x→ x0

x x0

x x0

x→∞x→ −∞

88

Satz 2:limx→x0

f(x) = a⇔ limxx0

f(x) = limxx0

= a

Bsp. 3: (einseitiger Grenzwert)

f(x) =

−x2 für x < 0√x+ 1 für x ≥ 0

x

y

limx0

f(x) = 0, limx0

f(x) = 1

⇒ limx→0

f(x) existiert nicht!

Bsp. 4:

limx→∞

x · sin(

4

x

)= "∞ · 0”

u= 4x= limu0

4

usin(u) = 4

Bsp. 5:limxπ

2

tanx =∞

limxπ

2

tanx = −∞

π

2

x

y

2.2.2 STETIGKEIT VON FUNKTIONEN

Def. 3: Sei f : Db(f)→ R, Db(f) ⊆ R eine Funktion und x0 ∈ Db(f) gegeben.Es heißt f :

a.) stetig in x0 falls limx→x0

f(x) = f(x0) gilt

(also limx→x0

f(x) = f( limx→x0

x), d.h. Limes und Funktion kann vertauscht werden).

89

f

x0

f(x0)

x

f(x)

x

y

b.) linksseitig stetig in x0, falls limxx0

f(x) = f(x0).

c.) rechtsseitig stetig in x0, falls limxx0

f(x) = f(x0).

Bsp. 6:

a.) f1(x) =

sinx

xx 6= 0

0 x = 0ist in x0 = 0 nicht stetig, da lim

x→0f(x) = 1 6= 0 = f(0).

Aber∼f1(x) =

f(x) x 6= 0

1 x = 0ist in x0 = 0 stetig.

Bezeichnung: hebbare Unstetigkeit.

x

y1

π−π

b.) f2(x) =

arctan

(1

x

)x 6= 0

0 x = 0ist unstetig in x0 = 0, da lim

x0f2(x) 6= f2(0) 6= lim

x0f2(x)

Bezeichnung: endlicher Sprung.

x

y

c.) f3(x) =

1

xx 6= 0

0 x = 0ist unstetig in x0 = 0, da lim

x0f3(x) =∞ 6= f3(0).

90

x

y

x

d.) f3(x) =

sin1

xx 6= 0

1 x = 0ist unstetig in x0 = 0, da der Grenzwert lim

x→0sin

1

xnicht existiert.

x

y

Def. 4: Die Funktion f : DB(f)→ R, Db(f) ⊆ R heißt

a.) IN EINEM INTERVALL I ⊂ Db(f) STETIG, falls f an jeder inneren Stelle x0 ∈ I stetig ist undin evtl. zu I gehörenden Randpunkten einseitig stetig ist.

b.) STETIG, falls f in allen Punkten x0 ∈ Db(f) stetig ist.

Bemerkung: Jede der in 1.4.1 und 1.4.3 betrachteten Funktionen ist stetig.

Bsp. 7: f : R \ 0 → R, f(x) =1

xist stetig.

Satz 3: Sind f und g stetig in x0, so sind auch c1 · f + c2 · g, f · g undf

g(falls g(x0) 6= 0) stetig

in x0.

Satz 4: (Stetigkeit und Verknüpfungen)Seien g : Db(g)→ R und f : Db(f)→ R Funktionen mit Wb(g) ⊆ Db(f), dann gilt:Ist g stetig in x0 und f stetig in g(x0), so ist f g : Db(g)→ R, (f g)(x) = f(g(x)) stetig in x0.

Satz 5: (Zwischenwertsatz)Sei f : Db(f) → R, Db(f) ⊆ R stetig auf [a, b]Db(f). Falls f(a) · f(b) < 0 (also haben

91

unterschiedliche Vorzeichen), so gilt ∃x∗ ∈ [a, b] mit f(x∗) = 0

x

y

a b

x∗

f(a)

f(b)

Satz 6: Sei f : Db(f)→ R, Db(f) ⊆ R stetig auf [a, b]. Dann nimmt f auf [a, b] Minimum undMaximum an.

Diskussion:

a.) f(x) = tanx nimmt auf(−π

2,π

2

)kein Maximum an.

π

2−π

2

x

y

b.) f(x) =

arctan1

xx ∈ [−1, 1] \ 0

0 x = 0nicht stetig und nimmt kein Maximum auf [−1, 1] an.

x

y

2.3 POTENZREIHEN

Def.: Sei (an) eine Zahlenfolge und x0 ∈ R heißt∞∑n=0

an(x− x0)n Potenzreihe mit dem

Mittelpunkt x0.

92

Diskussion:

• Für jedes feste x ∈ R ist die Potenzreihe eine feste Reihe.

• Konvergenzbereich K := x ∈ R|Potenzreihe ist konvergent

• Für jedes x ∈ K existiert der Summenwert der Potenzreihe. Die Funktion f : K → R mit

f(x) =

∞∑n=0

an(x− x0)n heißt Grenzfunktion der Potenzreihe.

Zur Bestimmung des Konvergenzbereichs nutz man Satz 10 und 11 aus 2.1.3.1 und erhältabsolute Konvergenz in einem um x0 liegendem Konvergenzintervall I := (x0 − r, x0 + r).Wie r bestimmt wird liefert:

Satz 1: Sei (an) Zahlenfolge mit r := limn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ = limn→∞

1n√|an|

existiert.

Dann ist∞∑n=0

an(x− x0)n

absolut konvergent für x ∈ R mit |x− x0| < r

divergent für x ∈ R mit |x− x0| > r.

x0 x0 + rx0 − r

absolut konvergentdivergent divergent

x

Diskussion:

• Verwechslungsgefahr:

– Satz 10 und 11 betrachten (Zahlen-)Reihen∞∑n=0

an

– Satz 1 betrachtet Potenzreihen∞∑n=0

an(x− x0)n, wobei an ein Faktor vor (x− x0)n ist.

• Falls der Grenzwert r aus Satz 1 nicht existiert, so gibt es trotzdem einen Konvergenzradi-us.Den gilt es auf andere Weise zu betrachten/ermitteln.

• Satz 1 sagt nichts über das Verhalten an den Randpunkten aus→ gesonderte Untersu-chung nötig.

Bsp. 1:

a.)∞∑n=1

xn

n, d.h. x0 = 0, an =

1

n, n = 1, 2, ...

r = limn→∞

1

n

√∣∣ 1n

∣∣ = limn→∞

=11n√n

= limn→∞

n√n = 1

⇒ Konvergenzintervall I = (−1, 1)Randpunkte:

x = −1 :

∞∑n=1

(−1)n

nbedingt konvergent (alternierenden harmonische Reihe)

x = 1 :

∞∑n=1

1

ndivergent

⇒ Konvergenzbereich: K = [−1, 1)

93

b.)∞∑n=0

xn

n!, d.h. x0 = 0, an =

1

n!∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ =1n!1

(n+1)!

=(n+ 1)!

n!= n+ 1

n→∞−→ ∞

⇒ r =∞d.h. die Reihe ist absolut konvergent für alle x ∈ R.Bezeichnung: BESTÄNDIGE KONVERGENZ

c.)∞∑n=0

x2n

(2n)!= 1 +

x2

2!+x2

4!+ ... d.h. x0 = 0, an =

1

nn gerade

0 nungeradeSatz 1 ist aber nicht unmittelbar anwendbar.

Substitution u := x2 liefert aber∞∑n=0

un

(2n)!mit u0 = 0, bn =

1

(2n)!(∑

bn(u− u0)n)∣∣∣∣ bnbn+1

∣∣∣∣ =(2n+ 2)!

(2n)!= (2n+ 2) · (2n+ 1)

n→∞−→ ∞

⇒ ru =∞ (Konvergenzradius für die Substituierte Reihe)⇒ rx = "

√∞ ” =∞ (Konvergenzradius für die untersuchte Funktion)

Im Konvergenzbereich K wird dadurch eine Potenzreihe eine Funktion dargestellt, dieGrenzfunktion (siehe vorhergehende Diskussion).

Bsp. 2:

a.)∞∑n=0

xn =1

1− xfür x ∈ (−1, 1) (geometrische Reihe)

b.)∞∑n=0

xn

n!= ex für x ∈ R (Beweis später)

Satz 2: Die GRENZFUNKTION jeder Potenzreihe ist IM KONVERGENZBEREICH STETIG.

94

3 DIFFERENTIALRECHNUNG FÜRFUNKTIONEN EINER REELLEN VARIABLEN

3.1 GRUNDBEGRIFFE

TANGENTENPROBLEM

x

y

x0

f(x0)

x1

f(x1)

Tangente

Sekante

ϕα

Gegeben: y = f(x)Gesucht: Tangente im Punkt (x0, f(x0))

• Zunächst Sekante durch (x1, f(x1)) und (x0, f(x0))

• Dann betrachten wir x1 → x0

• Damit geht Sekante über in die Tangente.Außerdem geht ϕ in α über.

tanα = limϕ→α

tanϕ = limx1→x0

f(x1)− f(x0)

x1 − x0︸ ︷︷ ︸Differenzenquotient

Def. 1: Die Funktion f : Db(f)→ R heißt an der Stelle x0 (mit U(x0) ⊆ Db(f)) differenzierbar,

falls der Grenzwert f ′(x0) := limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0existiert.

f ′(x0) heißt dann 1. ABLEITUNG von f an der Stelle x0.

Diskussion:

• f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h

• Gleichung der Tangente in (x0, f(x0)) ist t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) (t : R→ R) Anstiegder Tangente ist als m = tanα = f ′(x0)

95

• f in x0 differenzierbar bedeutet es existiert eine eindeutige Tangente an die Kurve in dieserStelle.z.B. ist f : R→ R, f(x) = |x| in x0 = 0 nicht differenzierbar:

x

y

1

1

Satz 1: Ist f : R→ R in x0 differenzierbar, so ist f in x0 stetig.Beweis:Sei f in xn differenzierbar und (xn) eine beliebige Folge mit xn → x0. Dann gilt:

limn→∞

f(xn)− f(x0)

xn − x0existiert.

⇒ ∃ K > 0 mit∣∣∣∣f(xn)− f(x0)

xn − x0

∣∣∣∣ =|f(xn)− f(x0)||xn − x0|

≤ K

⇒ |f(xn)− f(x0)| ≤ K · |xn − x0|n→∞−→ 0

⇒ limn→∞

f(xn) = f(x0)⇒ f ist stetig.

Def. 2: Eine Funktion f : Db(f)→ RDb(f) ⊆ R heißt

a.) differenzierbar im Interval I ⊆ Db(f), falls f an jeder inneren Stelle x0 ∈ I differenzierbarist und in eventuellen Randpunkten einseitig differenzierbar ist.

d.h. limxxr

bzw. limxxr

f(x)− f(xr)

x− xrexistiert

b.) differenzierbar, wenn f in jedem Punkt x0 ∈ Db(f) differenzierbar ist.

SCHREIBWEISE:Die resultierende Funktion bezeichnen wir mitf ′ : Db(f ′)→ R, f ′(x) = lim

h→0

f(x+ h)− f(x)

hwobei Db(f ′) aus allen Punkten x ∈ Db(f) besteht für welche der genannte Grenzwert existiert.

Def. 3: Sei f : Db(f)→ R, Db(f) ⊆ R. Wir definieren rekursiv die n-te Ableitung von f an derStelle x0 mittelsf (n)(x0) :=

(f (n−1)

)′(x0) n = 1, 2, 3, ...

wobei f (0)(x0) = f(x0) (unter der Voraussetzung, dass die jeweilige Ableitung existiert).

Bsp. 1: f : R→ R, f(x) : xn, n ∈ N

f(x+ h)− f(x)

h=

1

h((x+ h)n − xn)

=1

h

(xn +

(n

1

)· xn−1h+

(n

2

)xn−2h2 + ...+

(n

n

)hn − xn

)h→0−→ n · xn−1

d.h. f ist auf R differenzierbar. f ′(x) = n · xn−1.

96

Bsp. 2: f : R→ R, f(x) := sin(x)

f(x+ h)− f(x)

h=

sin(x+ h)− sin(x)

h| sinx− sin y = 2 cos

x+ y

2·

=2 · cos 2x+h

2 · sin h2

h

=cos(x+ h

2

)· sin h

2h2

|sin h

2h2

h→0−→ 1

= cosx

Also f ′(x) = cosx.BEMERKUNG: Ableitung der wichtigsten Grundfunktionen findet man in Formelsammlungen.Zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen lernen wir im später weitere Ableitungsregelnkennen.

3.1.1 DAS DIFFERENTIAL

x

y

x0

f(x0)

x+ h

f(x+ h)

Tangente

α

y = f(x)

dx = ∆x = x

dy

∆ydy: Veränderung der Funktion

∆y: Veränderung der Tangente

dy = h · tanα = f · f ′(x0)

Def. 4:

a.) dy := f ′(x0)·h heißt das zur Stelle x0 und dem Zuwachs h = ∆x gehörende DIFFERENTIAL

von f .

b.) ∆y := f(x0 + h) − f(x0) heißt die zur Stelle x0 und dem Zuwachs h = ∆x gehörendeDIFFERENZ von f .

Diskussion

(1) ∆y ist die Änderung der Funktion f , wenn x in x+ h übergeht; dy ist die entsprechendeÄnderung wenn statt f die Tangente an der Stelle x0 betrachtet wird (Linearisierung).

(2) Für kleine Zuwächse ∆x gilt: ∆y ≈ dyd.h. ∆y ≈ f ′(x0) ·∆x für kleines ∆x (nutzt man in der Fehlerrechnung)

(3) Sei y = f(x) = x⇒ dy = dx = 1 · h also h = ∆x = dx

(4) Damit f ′(x) =dy

dxAlso: 1. Ableitung = Differentialquotient

andere Schreibweise: f ′(x) =d

dxf(x)

97

(5) Höhere Ableitungen:

f (n)(x) =dny

dxn=

dn

dxnf(x)

3.2 DIFFERENTIATIONSREGELN

Satz 1: Falls die Ableitungen auf der rechten Seite existieren:

• (C1u(x) + C2v(x))′ = C1u′(x) + C2v

′(x) (Linearität)

• (u(x) · v(x))′ = u′(x)v(x) + v′(x)u(x) (Produktregel)

•(u(x)

v(x)

)′=u′(x)v(x)− v′(x)u(x)

(v(x))2(Quotientenregel)

Bsp. 1:

a.) f(x) = 7x4 + 3√x+

2√x

= 7x4 + x13 + 2x−

12 (x > 0)

⇒ f ′(x) = 28x3 +1

3x−

23 − x

32 = 28x3 +

1

33√x2− 1√

x3

b.) f(x) = x · lnx (x ≥ 0)

⇒ f ′(x) = 1 · lnx+1

x· x = lnx+ 1 (Produktregel)

c.) f(x) =ex

x2 + 2

⇒ f ′(x) =ex · (x2 + 2)− ex · 2x

(x2 + 2)2=ex(x2 − 2x+ 2)

(x2 + 2)2(Quotientenregel)

Satz 2: Seien f : Db(f)→ R, g : Db(g)→ R Funktionen mit Db(f) ⊆ R, Db(g) ⊆ R und

• g bei x0 ∈ Db(g) differenzierbar

• f bei g(x0) ∈ Db(f) differenzierbar

so gilt:(f g)′(x0) = f ′(g(x0)) · g′(x0)

Diskussion: y = f(g(x)︸︷︷︸u

) = f(u) mit u = g(x)

Differentialschreibweise:y′ =

dy

dx=

dy

du· du

dx(äußere Ableitung · innere Ableitung)

Bsp. 2:

a.) y = f(x) = sin 3x︸︷︷︸u

y′ =dy

dx=

dy

du· du

dx= cosu · 3 = 3 cos 3x

98

b.) y = f(x) = 2tan(3x)(−π

6< x <

π

6

)Substitution:u := tan 3xv := 3x⇒ y = 2u, u = tan v

⇒ y′ =dy

dx=

dy

du· dudv· dv

dx= 2u · ln 2 · (1 + tan2 v) · 3 = 3 · 2tan 3x · ln 2 · (1 + tan2 3x)

Bsp. 3: (Logarithmische Differentiation)f(x) = xsinx x ∈ (0,∞)Basis und Exponent hängen von x ab!Die Regeln (xa)′ = axa−1 bzw. (ax)′ = ax · ln a sind nicht unmittelbar anwendbar.Betrachten:

f(x) = xsin

ln(f(x)) = sinx · lnxAbleiten=⇒ 1

f(x)· f ′(x) = cosx · lnx+ sinx · 1

x

⇒ f ′(x) = f(x) · (cos(x) · lnx+ sinx1

x)

= xsinx(cosx lnx+sinx

x

Satz 3: Sei f : (x0 − r, x0 + r)→ R, f(x) =

∞∑n=0

an(x− x0)n Grenzfunktion einer Potenzreihe

mit Kurvenradius r.

Dann gilt für alle x ∈ (x0 − r, x0 + r): f ′(x) =

∞∑n=1

an · n(x− x0)n−1

Bsp. 4:1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + ... =

∞∑n=0

xn, |x| < 1(1

1− x

)′= 0 + 1 + 2x+ 3x2 + ... =

∞∑n=1

nxn−1 |x| < 1

3.3 ANWENDUNGEN

3.3.1 TAYLORSCHE FORMEL, TAYLOR-REIHE

PROBLEM: „Komplizierte“ Funktionen f soll in der Umgebung von x0 durch ein Polynom pn n-tenGrades angenähert werden.ANSATZ: pn(x) = a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + ...+ an(x− x0)n

FORDERUNG: pn(x0) = f(x0), p′n(x0) = f ′(x0), p′′n(x0) = f ′′(x0), ...liefert: pn(x0) = a0, p

′n(x0) = a1, p

′′n(x0) = 2a2, ...

und ak =f (k)(x0)

k!.

Allgemein: p(k)n = k!ak für k = 0, 1, ..., n

99

Def. 1: Das Polynom pn(x) = f(x0)+f ′(x0)

1!(x−x0)+

f ′′(x0)

2!(x−x0)2 + ...+

f (n)(x0)

n!(x−x0)n

heißt TAYLORPOLYNOM n-ten Grades mit Entwicklungsstelle x0.

Diskussion:

(1) pn ist eine Näherung für f .Fehler: f(x)− pn(x) =: Rn(x) heißt Restglied

(2) Restglied ist im Allgemeinen umso kleiner, je kleiner |x− x0| ist und je größer n ist.

Satz 1: Taylorsche FormelEs sei f in [a, b] (n+ 1)-mal differenzierbar, sowie x0, x ∈ [a, b]. Dann existiert ein ξ zwischen x0

und x (d.h. ξ = x0 + ϑ(x− x0) mit ϑ ∈ (0, 1)) mit Rn(x) =fn+1(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)n+1: RESTGLIEDFORM

VON LAGRANGE.

Es gilt also f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k︸ ︷︷ ︸

pn(x)

+f (n+1)(x0 + ϑ(x− x0))

(n+ 1)!(x− x0)n+1︸ ︷︷ ︸

Rn(x)

Diskussion: Spezialfall n = 0: f(x) = f(x0) + f ′(ξ)(x− x0) (MITTELWERTSATZ DER DIFFE-RENTIALRECHNUNG)

Satz sagt: es gibt zwischen x0 und x1 einen Punkt auf der Funktion, sodass die Senkante dieTangente dieses Punktes ist.

Umstellen liefert: f ′(ξ)︸ ︷︷ ︸Anstieg der Tangente

=f(x)− f(x0)

x− x0︸ ︷︷ ︸Anstieg der Sekante

100

Bsp. 1: f(x) = ex x ∈ R

f ′(x) = ex = f ′′(x) = f ′′′(x) = ...

x0=0=⇒ f ′(0) = 1 = f ′′(x) = f ′′′(x) = ...

⇒ ex =n∑k=0

1

k!· xk +

eϑx

(n+ 1)!xn+1 0 < ϑ < 1

Wie gut ist diese Näherung?

Für x =1

10= 0, 1 und n = 4 gilt:

e0,1 = 1 +0, 1

1!+

0, 12

2!+

0, 13

3!+

0, 14

4!+

0, 15

5!eϑ·0,1︸ ︷︷ ︸

R4(0,1)

für ein ϑ ∈ (0, 1).

⇒ e0,1 = 1 + 0, 1 + 0, 005 + 0, 00016 + 0, 00000416︸ ︷︷ ︸=1,10517083

+R4(0, 1) Abschätzen des ϑ:

8, 3 · 10−8 =0, 15

5!=

0, 15

5!e0 <

0, 15

5!eϑ·0,1 <

0, 15

5!e1·0,1 <

0, 15

5!· 3 = 25 · 10−8

⇒ 1, 10517083 + 8, 3 ≤ e0,1 ≤ 1, 10517083 + 25 · 10−8

1, 105170916 ≤ e0,1 ≤ 1, 105171083

Bsp. 2:

f(x) = cos(x), x0 = 0⇒ f(x0) = 1

f ′(x) = − sinx ⇒ f ′(x0) = 0

f ′′(x) = − cosx ⇒ f ′′(x0) = −1

f ′′′(x) = sinx ⇒ f ′′′(x0) = 0

f (4)(x) = cosx ⇒ f (4)(x0) = 1

...

n = 2m+ 1

cosx = 1︸︷︷︸f(x0)

+ 0︸︷︷︸f ′(x0)

1!(x−x0)

−x2

2!︸︷︷︸f ′′(x0

2!(x−x0)2

+0 +x4

4!+ ...+ (−1)m

x2m

(2m)!+ 0 +R2m+1

= 1 +x2

2!+x4

4!− x6

6!+ ...+ (−1)m

x2m

(2m)!+ (−1)m+1 cos(ϑx)

x2m+2

(2m+ 2)!

101

Näherung: cosx ≡ 1− x2

2für |x| 1

Fehler: |R3(x)| ≤ x4

4!Bsp.:

cos 5 = cos( π

36

)= 1− π2

2 · 362︸ ︷︷ ︸0,9961923

+R3

...

|R2| ≤π4

364 · 24= 2, 416 · 10−6

genau gilt: cos 5 = 0, 99619 (auf 5 Stellen genau)

Bsp. 3: f(x) = (1 + x)α mit α ∈ R \ 0

f ′(x) = α(1 + x)α−1

f ′′(x) = α(α− 1)(1 + x)α−2

...

f (k)(x) = α(α− 1)(α− 2) · ... · (α− k + 1)(1 + x)α−k

=

(α

k

)· k!(1 + x)α−k

wir betrachten x0 = 0

f(0) = 1, f ′(0) = α, f ′′(0) = α(α− 1), . . . , f (k)(0) =

(α

k

)k!

Erinnerung:(n

k

)=

n!

k!(n− k)!falls n, k ∈ N, k ≤ n

n · (n+ 1) · ... · (n− k + 1)

k!kann für beliebige n ∈ R ausgewertet werden.

⇒ (1 + x)α =n∑k=0

(α

k

)xk +

(α

n+ 1

)(1 + ϑx)α−n−1xn+1 mit ϑ ∈ (0, 1)

Bsp. 4: f(x). . . Polynom n-ten Grades⇒ f (n+1)(x) = 0 für x ∈ R⇒ Rn(x) = 0 für x ∈ R⇒ Taylorpolynom stellt f exakt dar (Entwicklung nach Potenzen von (x− x0))

3.3.1.1 TAYLOR REIHEN

Satz 2: Es sei f auf U(x0) beliebig oft differenzierbar und es gelte limn→∞

Rn(x) = 0.

Dann gilt f(x) =

∞∑k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)k .

Denn: Taylor-Formel sagt f(x) =n∑k=0

f (k)(x0)

k!(x−x0)k+Rn(x). Mit n→∞ folgt die Behauptung.

Bsp. 5: ex =n∑k=0

xk

k!+Rn(x) (vgl. Bsp. 1)

Es gilt limn→∞

Rn(x) = 0 für alle x ∈ R.

102

BEWEIS: Sei x ∈ R fest. Wähle n0 so, dass q :=|x|n0

< 1.

⇒ für n > n0 gilt:

|Rn(x)| =∣∣∣∣eϑx · xn+1

(n+ 1)!

∣∣∣∣ ≤ e|ϑx| · xn+1

(n+ 1)!≤ e|x| · xn+1

(n+ 1)!

< e|x| · |x|1· |x|

2· ... · |x|

n0· |x|n0· ... · |x|

n0︸ ︷︷ ︸(n−n0+1) Faktoren

= e|x| · |x|n0

n0!· qn−n0+1 → 0

⇒ ex =∞∑k=0

xk

k!für alle x ∈ (−∞,∞)

Bsp. 6: cosx =m∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!+R2m+1(x) (vgl. Bsp. 2)

Ähnlich wie in Bsp. 5 kann man zeigen limn→∞

R2m+1(x) = 0 für alle x ∈ R.

⇒ cosx =∞∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!x ∈ (−∞,∞)

Analog: sinx =∞∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!x ∈ (−∞,∞)

Bsp. 7: Restglieduntersuchung in Bsp. 3 führt zu:

(1 + x)α =∞∑k=0

(α

k

)xk |x| < 1, α ∈ R

z.B. für α =1

2:

√1 + x = 1 +

1

2x− 1

8x2 +

1

16x3 − ...

≈ 1 +1

2x falls |x| 1

3.3.2 GRENZWERTBESTIMMUNG MITTELS DER REGEL VON L’HOPITAL

Satz 3: (Regel von l’Hopital)Es gelte:

(1) limx→a

f(x) = 0 und limx→a

g(x) = 0.

(2) limx→a

f ′(x)

g′(x)existiert (als eigentlicher und uneigentlicher Grenzwert).

Dann folgt: limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f ′(x)

g′(x)

(Typ: "0

0

”)

Die gleiche Aussage gilt, wenn 1.) ersetzt wird durch

1’.) limx→a

f(x) = ±∞, limx→a

g(x) = ±∞(

Typ: "∞∞

”)

103

BEWEIS: seien f, g, f ′, g′ stetig in x0 und g′(x0) 6= 0

Mittelwertsatz:f(x)

g(x)=

0︷ ︸︸ ︷f(x0) +f ′(ξ)(x− x0)

g(x0)︸ ︷︷ ︸0

+g′(ξ)(x− x0)=f ′(ξ1)

g′(ξ2)

x→x0−→ f ′(x0)

g′(x0)

Bsp. 8:

a.) limx→1

lnx

x− 1=

"0

0

”

limx→1

1x

1= lim

x→1

1

x= 1

⇒ limx→1

lnx

x− 1= 1

b.) limx→∞

lnx√x

= "∞∞

”

limx→∞

1x

12x− 1

2

= limx→∞

2x12

x= lim

x→∞

2√x

= 0

⇒ limx→∞

lnx√x

= 0

c.) limx→0

x2

1− cosx=

"0

0

”

limx→0

2x

sinx=

"0

0

”

limx→0

2

cosx= 2

⇒ limx→1

lnx

x− 1= lim

x→0

2x

sinx= 2

Regel also auch mehrfach hintereinander anwendbar.

d.) limx→∞

sinh(x+ 1)

coshx= "∞∞

”

limx→∞

cosh(x+ 1)

sinhx= "∞∞

”

limx→∞

sinh(x+ 1)

coshx= "∞∞

”

. . .⇒ Satz nicht anwendbar, da 2.) nie erfüllt ist.Aber:

limn→∞

sinh(x+ 1)

coshx= lim

x→∞

ex+1 − e−(x+1)

ex + e−x= lim

x→∞

ex+1(1− e−2(x+1)

)ex (1 + e−2x)

= e lim1− e−2(x+1)

1 + e−2x︸ ︷︷ ︸=1

=

e

Diskussion:

(1) Man beachte, dass der Anwendung von Satz 3 Zähler und Nenner einzeln differenziertwerden (keine Quotientenregel)!

(2) Falls limx→a

f ′(x)

g′(x)nicht existiert, DARF MAN NICHT schlussfolgern, dass lim

x→a

f(x)

g(x)nicht exis-

tiert (siehe Bsp. 9).

104

Bsp. 9: limx→∞

5x+ sinx

3x− cosx= "∞∞

”

limx→∞

5 + cosx

3 + sinxexistiert nicht.

1.) erfüllt, 2.) nicht erfüllt⇒ Satz nicht anwendbarAber:5x+ sinx

3x− cosx=x(5 + sinx

x

)x(3− cosx

x

) =5 + sinx

x

3− cosxx

x→∞−→ 5

3Weitere unbestimmte Ausdrücke:Durch Zurückführen auf "0

0

” oder "∞∞

” lässt sich auch folgendes behandeln:

"0 · ∞”: f(x) · g(x) als Doppelbruch schreiben, d.h.f(x)

1g(x)

oderg(x)

1f(x)

ist dann vom Typ "0

0

” oder

"∞∞

”.

"∞−∞”: Ausklammern f(x)−g(x) = f(x)

(1− g(x)

f(x)

)oder falls Brüche vorliegen Hauptnenner

bilden."00”/"1∞”/"∞0”: Umformung

limx→a

f(x)g(x) = limx→a

exp(

ln(f(x)g(x)

))= lim

x→aexp (g(x) ln f(x))

= exp

limx→a

g(x) · ln f(x)︸ ︷︷ ︸Typ "0·∞”

Bsp. 10:

a.) limx→0

tanx · cot 3x "0·∞”= limx→0

tanx1

cot 3x

= limx→0

tanx

tan 3x

"00”

= limx→0

1 + tan2 x

3(1 + tan2 3x)=

1

3

b.) limx→0

(1

sinx− 1

ex − 1

)"∞−∞”= lim

x→0

ex − 1− sinx

sinx · (ex − 1)

"00”

= ...

= limx→0

ex − cosx

cosx(ex + 1) + sin(x) · ex"0

0”

= limx→0

ex + sinx

− sinx · (ex − 1) + cos(x) · ex + cos(x) · ex + sin(x) · ex=

1

2

c.) limx→0

(1− x)1x

"1∞”= lim

x→0

(ln(

(1− x)1x

))= lim

x→0exp︸ ︷︷ ︸

tauschen geht, da exp(·) stetig ist

(ln(1− x)

x

)

= exp

(limx→0

ln(1− x)

x

)︸ ︷︷ ︸

Typ"00

”

Denn: limx→0

ln(1− x)

x= lim

x→0

− 11−x1

= limx→0− 1

1− x= −1

105

3.3.3 KURVENDISKUSSION

PROBLEMSTELLUNG: Gegeben ist eine Funktion f : Db(f)→ R Db(f) ⊆ R.Dann ist der Graph der Funktion definiert durch: (x, f(x)) ∈ R2|x ∈ Db(f).Dieser Graph ist zu untersuchen auf

a.) Nullstellen

b.) Stellen lokaler bzw. globaler Extrema

c.) Wendestellen

d.) Verhalten im Unendlichen, bzw. an den Randstellen des Definitionsbereichs Db(f) und(falls vorhanden) bei Annäherung an Unstetigkeitsstellen.

Diskussion:

(1) x0 ∈ Db(f) heißt NULLSTELLE n-TER ORDNUNG, fallsf(x0) = f ′(x0) = ... = f (n−1)(x0) = 0 ∧ fn(x0) 6= 0.Zur Nullstellenbestimmung lernen wir bald das (iterative) Newton-Verfahren kennen.

(2) LOKALE EXTREMA sind extremal bzgl. einer Umgebung der Extremstelle.GLOBALE EXTREMA sind extremal bzgl. des gesamten Definitionbereichs, sie sind lokaleExtrem oder Funktionswerte in den Randpunkten.

(3) WENDEPUNKTE sind Punkte, an denen die Kurve von konkav in konvex oder von konvex inkonkav übergeht.

(4) Einige einfache Zusammenhänge zwischen Eigenschaften der Kurve und der Ableitungenan der Stelle x0 (f sei auf U(x0) hinreichend oft differenzierbar).

106

f ′(x0) < 0 ⇒ f in Umgebung von x0 streng monoton fallend.

f ′(x0) > 0 ⇒ f in Umgebung von x0 streng monoton wachsend.

f ′(x0) = 0 ⇐ f in x0 lokal extremal.

f ′′(x0) < 0 ⇒ f in Umgebung von x0 konkav.

f ′′(x0) > 0 ⇒ f in Umgebung von x0 konvex.

f ′′(x0) = 0 ⇐ x0 Wendestelle.

f ′(x0) = 0 ∧ f ′′(x0) < 0 ⇒ f in x0 lokal minimal

f ′(x0) = 0 ∧ f ′′(x0) > 0 ⇒ f in x0 lokal maximal

(5) Problem: f ′(x0) = 0 ∧ f ′′(x0) = 0 ?Extremstelle oder Wendestelle oder was?

HINREICHENDE BEDINGUNGEN FÜR DAS VORLIEGEN VON EXTREMSTELLEN

Satz 4: Sei f : Db(f) → R, Db(f) ⊆ R eine in x0 ∈ Db(f) n-mal differenzierbare Funktionund sei f (n) stetig in x0. Dann gilt falls f ′(x0) = f ′′(x0) = ... = f (n−1)(x0) = 0 ∧ f (n)(x0) 6= 0:

a.) n = 2, 4, 6, ... (also gerade), so ist x0 lokale Extremstelle (Maximum falls f (n)(x0) < 0,Minimum falls f (n)(x0) > 0).

b.) n = 3, 5, 7, ... (also ungerade), so ist x0 eine Horizontal-Wendestelle (konvex→konkav, fallsf (n)(x0) < 0; konkav→konvex, falls f (n)(x0) > 0).

Beweis mittels Taylor-Formal.Oft ist auch folgendes Kriterium nützlich:

Satz 4’: Sei f : Db(f) → R, Db(f) ⊆ R differenzierbar und x0 ∈ Db(f), sowie f ′(x0) = 0.Dann:

a.) f ′ wechselt bei x0 das Vorzeichen

von + auf − ⇒ x0 lokale Maximumstellevon − auf +⇒ x0 lokale Minimumstelle

b.) kein Vorzeichenwechsel⇒ x0 ist Horizontal-Wendestelle

HINREICHENDE BEDINGUNG FÜR DAS VORLIEGEN EINER WENDESTELLE

Satz 5: Sei f : Db(f)→ R, Db(f) ⊆ R n-mal differenzierbar an x0 und f (n) stetig in x0. Danngilt falls f ′′(x0) = f ′′′(x0) = ... = f (n−1)(x0) = 0 ∧ f (n)(x0) 6= 0 und

a.) n = 3, 5, 7, ...⇒ x0 ist Wendestelle

f (n)(x0) < 0 konvex⇒ konkav

f (n)(x0) > 0 kankav ⇒ konvex

b.) n = 4, 6, 8, ...⇒ x0 keine Wendestelle, sondern sogenannte Flachstelle und Extremstelle,falls zusätzlich f ′(x0) = 0.

107

Analog zu Satz 4 und 4’ gibt es auch für Wendestellen ein alternatives hinreichendes Kriterium:

Satz 5’: Es sei f eine 2 mal differenzierbare Funktion (in Umgebung von x0), und es geltef ′′(x0) = 0. Dann:

a.) f ′′ wechselt bei x0 das Vorzeichen

von + auf − : (konvex→ konkav) Wendestellevon − auf + : (konkav→ konvex) Wendestelle

b.) kein Vorzeichenwechsel⇒ keine Wendestelle (sondern Flachstelle)

BEMERKUNG (zu Satz 4’ und 5’):Vorzeichenwechsel von f ′ bzw. f ′′ bei x = x0 ⇔ f ′ bzw. f ′′ hat bei x0 Nullstelle ungeraderOrdnung.

3.3.4 KURVENDARSTELLUNGEN, TANGENTEN- UNDNORMALENGLEICHUNGEN, KRÜMMUNG

3.3.4.1 DARSTELLUNG EBENER KURVEN

(1) EXPLIZITE KARTHESISCHE DARSTELLUNGEN y = f(x)Wobei f : R→ R (vgl. Abschnitt 3.3.3).

(2) IMPLIZITE KARTHESISCHE DARSTELLUNGEN F (x, y) = 0Für graphische Darstellung ungünstig. Unter bestimmten Voraussetzungen lässt sichF (x, y) = 0 auflösen nach y (oder x). Mehr dazu im Kapitel 5 (Differentialrechnung fürFunktionen mehrer Veränderlicher).

(3) PARAMETER DARSTELLUNG x = x(t), y = y(t), t ∈ I (kurz PD)

vektorielle Form: r =

(x

y

)=

(x(t)

y(t)

), t ∈ I

Bsp. 13:x = a cos ty = b sin tt ∈ [0, 2π) a, b > 0

t = 0⇒ x(0) = a, y(0) = 0

t =π

2⇒ x

(π2

)= 0, y

(π2

)= b

t = π ⇒ x (π) = −a, y(π) = 0

Dies ergibt eine Ellipse.

108

Übergang zur Parameterfreien Darstellung: t eleminieren.x

a= cos t,

y

b= sin t | Quadrieren und Addieren

x2

a2+y2

b2= cos2 t+ sin2 t = 1

Bsp. 14: Kreis mit Mittelpunkt M = (x0, y0) und Radius R.PD bspw.: x = x0 + r cos t y = y0 +R sin t t ∈ [0, 2π)Parameterfreie Darstellung:(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2

(4) Explizite Darstellung in Polar-Koordinaten

• Darstellung eines Punktes in der Ebene

x, y . . . karthesische Koordinatenr, ϕ . . . Polarkoordinaten von P (analog Betrag und Argument einer komplexen Zahl)r ≥ 0, ϕ ∈ RUmrechnung:

x = r · cosϕ

y = r · sinϕ

109

• Kurvendarstellung r = r(ϕ) , ϕ ∈ [α, β]Bsp.: r(ϕ) = 2, ϕ ∈ [0, 2π)

Für jeden Winkel ϕ ∈ [α, β] die Strecke r(ϕ) auf den ϕ entsprechenden Strahl von 0abtragen.

Bsp. 15: r = r(ϕ) = 8 cosϕ ,(

0 ≤ ϕ ≤ π

2

)ϕ 0 15 30 45 60 75 90

8 cosϕ 8 7, 73 6, 92 5, 66 4 2, 07 0

Bemerkung

• Übergang „explizite Darstellung→ Parameterdarstellung“y = f(x), x ∈ [a, b]⇒ x = t, y = f(t), t ∈ [a, b] (t als Parameter)

• Übergang „explizite Polardarstellung→ Parameterdarstellung“r = r(ϕ), ϕ ∈ [a, b]⇒ x = r(ϕ) cosϕ, y = r(ϕ) sinϕ, ϕ ∈ [a, b] (ϕ als Parameter)

Im Bsp. 15:x = 8 cos2 ϕ

y = 8 cosϕ sinϕ ϕ ∈[0,π

2

]

110

Parameterfreie Darstellung:

y2 = 64 cos2 ϕ︸ ︷︷ ︸x8

sin2 ϕ︸ ︷︷ ︸1−x8

= x(8− x)

⇒ x2 − 8x+ y2 = 0

⇒ (x− 4)2 + y2 = 42

(Halb-)Kreis mit Radius 4 und Mittelpunkt (4, 0).

3.3.4.2 TANGENTEN UND NORMALEN EBENER KURVEN

• Anstieg y′ einer in PD gegebener Kurve x = x(t), y = y(t), t ∈ I.Dazu sei y = f(x) die explizite karthesiche Form (ohne die Elimination von t durchzufüh-ren).

⇒ dy

dt=

dy

dx· dx

dt(Kettenregel)

In Anwendungen in t oft die Zeit, üblicher Weise schreibt man dann:dx

dt=: x

dy

dt=: y ⇒ y′ =

y

xd2x

dt2=: x . . .

• Tangente im Punkt P0 = (x0, y0), x0 = x(t0), y0 = y(t0)

(Ein) Richtungsvektor der Tangente in x0, y0 ist gegeben durch t =

(x(t0)

y(t0)

).

Für n = n(t0) =

(−y(t0)

x(t0)

)gilt (t, n) = 0. Also ist n ⊥ t und n ist daher ein Richtungsvektor.

111

Kurve y = f(x), x ∈ Ix = x(t)y = y(t), t ∈I

r(ϕ), ϕ ∈ I

PunktP0 = (x0, y0)

P0 = (x0, f(x0))P0 =(x(t0), y(t0))

P0 = (r(ϕ0) · cosϕ0, r(ϕ0) · sinϕ0

Anstiegm = tanα inP0

f ′(x0)y(t0)

x(t0)

r′(ϕ0) sinϕ0 + r(ϕ0) cosϕ0

r′(ϕ0) cosϕ0 − r(ϕ0) sinϕ0

Tangenten-vektor t

(1

f ′(x0)

) (x(t0)

y(t0)

) (r′(ϕ0) cosϕ0 − r(ϕ0) sinϕ0

r′(ϕ0) sinϕ0 + r(ϕ0) cosϕ0

)Normalen-vektor n

(−f ′(x0)

1

) (−y(t0)

x(t0)

) (−r′(ϕ0) sinϕ0 − r(ϕ0) cosϕ0

r′(ϕ0) cosϕ0 − r(ϕ0) sinϕ0

)

Tangentengleichungen:y = y0 +m(x− x0)

r =

(x

y

)=

(x0

y0

)+ s · t s ∈ R

Normalengleichungen:

y = y0 −1

m(x− x0)

r =

(x

y

)=

(x0

y0

)+ s · n s ∈ R

Bsp. 16: Für welche Werte des Parameters ϕ ist die Tangente an die Kurve r = r(ϕ) =a(1 + cosϕ), ϕ ∈ [0, 2π) parallel zur y-Achse?Lösung: r′(ϕ) = −a sinϕ mit der Bedingung r′(ϕ) · cosϕ− r(ϕ) · sinϕ = 0⇒ −a sinϕ cosϕ− a(1 + cosϕ) · sinϕ = 0⇒ −a sinϕ(cosϕ+ 1 + cosϕ) = 0

⇒ sinϕ = 0 ∨ cosϕ = −1

2⇒ ϕ1 = 0, ϕ2 = 180, ϕ3 = 120, ϕ4 = 240

Allerdings entfällt ϕ2, da r′(ϕ2) sinϕ2 + r(ϕ2) cosϕ2 = 0

3.3.4.3 KRÜMMUNG EBENER KURVEN

Gegeben sei die Kurve C und der feste Punkt P0 = (x0, y0). Außerdem sind zwei Punkte Rund S auf der Kurve gegeben. Durch 3 Punkte P0, R und S im Allgemeinen eindeutig ein Kreisfestgelegt.Es sei K die Grenzlage dieses Kreises, wenn R und S in P0 übergeben.Es heißt dann:

112

K. . . Krümmungskreis (Schmiegkreis)κ (Kappa). . . Krümmung

%. . . Krümmungsradius mit % =1

|κ|

M . . . Mittelpunkt des Krümmungskreises−−→OM =

(x0

y0

)+

1

κ· n|n|

Tabelle (Krümmungen)

Kurve y = f(x), x ∈ I x = x(t)y = y(t), t ∈ I r(ϕ), ϕ ∈ I

Krümmung κ inPunkt P = (x, y)

κ =y′′

(1 + (y′)2)32

κ =xy − xy

(x2 + y2)32

κ =r2 + 2(r′)2 − r · r′′

(r2 + (r′)2)32

Bsp. 17: In welchem Punkt ist f(x) = ex am stärksten gekrümmt (d.h. maximiere |κ|)Lösung: y′ = ex + y′′

κ =ex

(1 + e2x)32

= |κ|

d|κ|dx

=ex(1 + e2x)

32 − ex · 3

2(1 + e2x)12 · 2e2x

(1 + e2x)3

!= 0

⇒ ex(1+2x)12︸ ︷︷ ︸

6=0

(1 + e2x − 3e2x) = 0

⇒ 1− 2e2x = 0

⇒ x1 =1

2ln 1

2 = −1

2ln 2 y1 =

√1

2

mit κ =

√12(√

33

)3 =2

3√

3, % =

3√

3

2

3.3.4.4 RAUMKURVEN

• PARAMETERDARSTELLUNG x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I

vektorielle Form: r = r(t) =

x(t)

y(t)

z(t)

, t ∈ I, r =

x

y

z

• TANGENTE IM PUNKT P0 = (x(t0), y(t0), z(t0))T

mit r(t0) =

x(t0)

y(t0)

z(t0)

, r(t) =

x(t0)

y(t0)

z(t0)

gilt g(s) = r(t0) + s · r(t0), s ∈ R ist die Tangente

im Punkt P0.

113

• PHYSIKALISCHE DARSTELLUNG r = r(t), t ∈ I . . . Bewegung eines Massepunktes imRaumr(t0) . . . Geschwindigkeit zur Zeit t0r(t0) . . . Beschleunigung zur Zeit t0

• KRÜMMUNG κ =|r × r||r|3

, Krümmungsradius % =1

κ

Bsp. 18: (Schraubenlinie)

r = r(t) =

a cos(t)

a sin(t)h2π t

t ≥ 0, a > 0, h > 0 (h ist Abstand zwischen zwei Schraubenlinien)

Gesucht ist die Tangente in Punkt P0 = (x(t0), y(t0), z(t0))T für t0 =π

2.

Tangente: g(s) =

0

ah4

+ s ·

−a0h2π

s ∈ R

(da die y-Koordinate in s ·

−a0h2π

0 ist: g ist parallel zur x-z-Ebene)

3.3.5 NEWTON-VERFAHREN ZUR NULLSTELLENBESTIMMUNG

Satz 6: Es sei x∗ eine Lösung der Gleichung f(x) = 0. Für ein geeignetes Intervall I =

(x∗ − r, x∗ + r) gelte f ′(x) 6= 0 und∣∣∣∣f(x) · f ′′(x)

(f ′(x))2

∣∣∣∣ ≤ k < 1 für alle x ∈ I.

Dann konvergiert für jeden Startwert x0 ∈ I die mittels xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn)n = 0, 1, 2, · · ·

festgelegte Folge gegen x∗, d.h. limn→∞

xn = x∗.

Außerdem gilt |x∗ − xn| ≤k

1− k|xn+1 − xn| ≤

kn

1− k|x1 − x0|.

Diskussion:

• Geometrische Veranschaulichung:

Tangente in P0 :y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0)x1 . . . Nullstelle der Tangente

114

0 = f(x0) + f ′(x0)(x1 − x0)

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)

• Zur Wahl des Startwertes x0:Falls in I gilt f ′′(x) > 0, dann ist ein x0 mit f(x0) > 0 günstig (bzw. bei f ′′(x) <= einf(x0) < 0).

• Praktisches Vorgehen:Abbruch falls |xn+1 − xn| < ε.

Bsp. 19: Gesucht sind Lösungen von f(x) = cos(x) = x⇔ x− cos(x) = 0. Gesucht ist nuneine Nullstelle von f .Start x0 = 0, 8 (nur ein Beispiel)

f ′(x) = 1 + sin(x)

xn+1 = xn −xn − cos(xn)

1 + sin(xn)n = 0, 1, 2, . . .

n xn

0 0, 8

1 0, 73985

2 0, 73908526

3 0, 73908513322

4 0, 73908513322 . . .

⇒ x∗ = 0, 739085

115

116

4 INTEGRALRECHNUNG FÜR FUNKTIONENEINER REELLEN VERÄNDERLICHEN

4.1 DER INTEGRALBEGRIFF

4.1.1 DAS BESTIMMTE INTEGRAL

Problem:GEGEBEN: Kurve y = f(x), x ∈ [a, b] und f(x) ≥ 0.GESUCHT: Flächeninhalt I unter der Kurve

VORGEHEN:

• Zerlegung Z des Intervalls [a, b]:a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < nn = b

• In jedem Teilintervall Zwischenstelle ξi ∈ [xin, xi] wählen. Dies ergibt die Zerlegung Z∗ (Zmit Zwischenstellen).

• ∆(Z∗) := maxi=1,...,n

(xi − xi−1 = . . . Länge des größten Teilintervalls

• Approximation von I durch die Summe von Rechteckflächen:

S(Z∗, f) :=n∑i=1

f(ξi)(xi − xi−1)

S(Z∗, f) heißt Riemann-Summe. Sie ist abhängig von der Zerlegung Z∗.

117

Def. 1 Die Funtkion f heißt (Riemann-)integrierbar über [a, b] falls für jede Zerlegungsfolge Z∗µvon [a, b] mit lim

µ→∞∆(Z∗µ) = 0 gilt: lim

µ→∞S(Z∗µ, f) = I. Die Zahl I heißt dann bestimmtes Integral

von f über [a, b]. Bezeichnung: i =

ˆ b

af(x) dx.

Diskussion:

• Def. 1 basiert auf der Forderung f(x) ≥ 0. Falls f(x) < 0 für alle x ∈ [a, b], so gilt im Falle

der Integrierbarkeitˆ b

af(x) dx < 0:

⇒ Flächeninhalt F =

ˆ b

a|f(x)|dx = −

ˆ b

af(x) dx.

• Man definiert:ˆ a

af(x) dx := 0

ˆ a

bf(x) dx := −

ˆ b

af(x) dx (b > a)

• Eigenschaften des bestimmten Integrals:ˆ b

af(x) dx =

ˆ c

af(x) dx+

ˆ b

cf(x) dx

für beliebige a, b, c ∈ R.

•ˆ b

ac1u(x) + c2v(x) dx = c1

ˆ b

au(x) dx+ c2

ˆ b

av(x) dx für c1, c2 ∈ R

Satz 1: Es sei f : [a, b]→ R stetig. Dann ist f auf [a, b] integrierbar.

Diskussion:

• Falls f stückweise stetig ist, mit endlich vielen Sprungstellen, so ist f ebenfalls integrierbar(Integration von Sprungstelle zu Sprungstelle).

118

• Nicht integrierbar ist bspw. f : [0, 1]→ R, f(x) =

1 x irrational0 x rational

4.1.2 STAMMFUNKTION UND UNBESTIMMTES INTEGRAL

Satz 2: (Mittelwertsatz der Integralrechnung)Sei f : [a, b]→ R stetig. Dann existiert (mindestens) ein ξ ∈ (a, b) mit:

ˆ b

af(x) dx = f(ξ)(b− a)

Anschaulich:

Wir nennen m =1

b− a

ˆ b

af(x) dx den Integralmittelwert von f auf [a, b].

INTEGRAL MIT VARIABLER OBERER GRENZE:Wir betrachten

ˆ x

af(t) dt =: F (x)

Satz 3: Sei f : [a, b] → R stetig. Dann ist F (x) =

ˆ x

af(t) dt auf [a, b] differenzierbar und es

gilt:

F ′(x) = f(x)

Beweis:F (x+ h)− F (x)

h=

´ x+hx f(t) dt

h

Satz 2(mit ξ∈(x,x+h))

=f(ξ) · (x+ h− x)

h= f(ξ)

h→0−→ f(x) da f stetig.

⇒ F ′(x) = f(x)

Def. 2: Die Funktion F heißt STAMMFUNKTION von f (auf [a, b]), wenn gilt F ′(x) = f(x).

Diskussion: Ist F eine Stammfunktion, so ist auch F mit F (x) = F (x) + C eine Stamm-funktion.

119

Def. 3: Die Menge F (x) + C|C ∈ R aller Stammfunktionen von f , wobei F beliebige Stamm-funktion von f ist, heißt unbestimmtes Integral von f .

Bezeichunung:ˆf(x) dx = F (x) + C

4.1.3 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG (HDI)

Satz 4: Sei f : [a, b]→ R stetig und F beliebige Stammfunktion von f .ˆ b

af(x) dx =

[F (x)

]ba

= F (b)− F (a)

Beweis: Satz 3 liefert F1(x) :=

ˆ x

af(t) dt ist Stammfunktion von f . Also gilt F (x) = F1(x) + k

⇒ F (b)− F (a) = F1(b) + k − F1(a)︸ ︷︷ ︸=0

−k =

ˆ b

af(t) dt

Diskussion:

(1)ˆ b

af(x) dx︸ ︷︷ ︸

Flächeninhaltsproblem,Integralrechnung

= F (b)− F (a)︸ ︷︷ ︸Stammfunktion,

Umkehrung der Differentialrechnung

Dieser Term ist also der Zusammenhang zwischen der Differential- und der Integralrech-nung.

(2) Symbolik:dF (x)

dx= f(x)⇔

ˆdF (x)︸ ︷︷ ︸

F (x)+C

=

ˆf(x) dx

(3) Aus Tabellen zur Differentiation lassen sich Integrationsregeln ableiten.

Beispiele:

(a)d

dxcosx = − sinx

⇔ˆ− sinx dx = cosx+ C∗ | · (−1)ˆ

sinx dx = − cosx+ C︸︷︷︸=−C∗

(b)d

dxxα+1 = (α+ 1)xα

⇔ˆxα dx =

1

α+ 1xα+1 + C (falls α 6= −1)

4.2 INTEGRATIONSMETHODEN

4.2.1 SUBSTITUTION

Zu berechnen istˆf(g(x)

)· g′(x) dx. Bekannt sei dabei die Stammfunktion F von f . Dann gilt:

ˆf(g(x)

)g′(x) dx

Subst.u=g(x)

=

ˆf(u) du = F (u) + C =

u=g(x)= F

(g(x)

)+ C

120

Substitution u = g(x) impliziertdu

dx= g′(x)⇒ du = g′(x) dx.

MERKE: Anwendung dieser Methode ist zweckmäßig, wenn der Integrand das Produkt eine Ver-knüpfung zweier Funktionen mit der Ableitung der inneren Funktion ist und eine Stammfunktionfür die äußere Funktion bekannt ist.

Bsp. 1:ˆ

1

x3√

lnx dx

u=lnx

dx=1x du

=

ˆ3√u︸︷︷︸

u13

du =3

4u

43 + C =

3

4(lnx)

43 + C

Bsp. 2:ˆxe−x

2dx

u=−x2

dx=− du2x=

ˆxeu

du

−2x= −1

2

ˆeu du = −1

2eu + C = −1

2e−x

2+ C

Bsp. 3: (Substitution bei bestimmten Integral)

• 1. Variante: Grenzen ersetzen

I =

ˆ √8

0x√

1 + x2 dx

u=1+x2

dx=du2x=

ˆ 9

1x√u

du

2x=

1

2

ˆu

12 du =

[1

3u

32

]9

1

=1

3(27− 1) =

26

3

Grenzen in Substitution einsetzen u = 1 + x2 ⇒ uunt = 1 + 02 = 1 uob = 1 +√

82

= 9

• 2. Variante: Erst unbestimmtes Integral lösen

I =

ˆ √8

0x√

1 + x2 dx =1

3(1 + x2)

32 + C

Dann Grenzen einsetzen:

I =

[1

3(1 + x2)

32

]√8

0

=1

3(27− 1) =

26

3

Bsp. 4:ˆf ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ C

(Zähler = Ableitung des Nenners)

Nutze dazu die Substitution u = f(x), dx =du

f ′(x)

⇒ˆ· · · =

ˆ1

udu = ln |u|+ C = ln |f(x)|+ C

Bsp. 5: (lineare Substitution)

Allgemein:ˆf(ax+ b) dx

u=ax+bdudx=a=

ˆf(u)

du

a

F : Stammfkt.von f=

1

a· F (u) + C

(a)ˆ

cos(3x) =1

3sin(3x) + C

(b)ˆe−2x dx =

1

−2e−2x + C

(c)ˆ

(3x+ 4)6 dx =1

3· 1

7(3x+ 4)7 + C

(d)ˆ

sin(x

2+ π

)dx = 2 · − cos

(x2

+ π)

+ C

121

Diskussion: Neben diesen „natürlichen“ und leicht erkennbaren Substitutionen sind weiterSubstitutionen durch die Einführung von „künstlichen“ Variablen möglich:

ˆf(x) dx

x=f(t)dxdt =ϕ(t)

=

ˆf(ϕ(t)) · ϕ(t) dt

Dies entsprecht der Substitutionsregel, von rechts nach links gelesen. Falls die rechte Seitedavon integrierbar ist (mit Stammfunktion H), dann:ˆf(x) dx = H(t) + C = H

(ϕ−1(t)

)+ C (falls ϕ−1 existiert)

Bsp. 6:

ˆ1√

1 + x2dx

x=sinh(t)dxdt =cosh(t)

cosh2(t)−sinh2(t)=1=

ˆ1

cosh(t)cosh(t) dt =

ˆdt = t+ C = arcsinh(x) + C

Für weitere geeignete Substitutionen siehe Integrationstabelle.

4.2.2 PARTIELLE INTEGRATION

Produktregel der Differentiation:d

dx

(u(x) · v(x)

)= u′(x) · v(x) + u(x) · v′(x)

⇒ u(x)v(x)

ˆu′(x)v(x) dx+

ˆu(x)v′(x) dx

⇒ˆu(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

ˆu′(x)v(x) dx

Bsp. 7:

(a)ˆ

x︸︷︷︸u(x)

sin(2x)︸ ︷︷ ︸v′(x)

dx = x︸︷︷︸u

· −1

2cos(2x)︸ ︷︷ ︸v

−ˆ

1︸︷︷︸u′

· −1

2cos(2x)︸ ︷︷ ︸v

dx = −x2

cos(2x)+1

4sin(2x)+

C

u′(x) = 1 v(x) = −1

2cos(2x)

(b)ˆ

x3︸︷︷︸v′

lnx︸︷︷︸u

=1

4x4 lnx−

ˆ1

x· 1

4x4 dx =

1

4x4 lnx− 1

16x4 + C =

1

4x4

(lnx− 1

4

)+ +C

MERKE: Typische Anwendungsfälle für partielle Integration (mit p(x) jeweils als u):

•ˆp(x)eax dx

•ˆp(x) cos(ax) dx

•ˆp(x) sin(ax) dx

aber (mit ln(x) jeweils als u):

•ˆp(x) · ln(x) dx

•ˆxα · ln(x) dx

122

Bsp. 8:ˆarctan(x) dx

u=arctan(x)v′=1= x · arctan(x)−

ˆx · 1

1 + x2dx = x · arctan(x)− 1

2ln(|x2 + 1|) + C

u′ =1

1 + x2v = x

4.2.3 INTEGRATION GEBROCHEN RATIONALER FUNKTIONEN

Gegeben: Gebrochen rationale Funktion f(x) =p(x)

q(x)Integration erfolgt in 5 Schritten:

(1) Falls f unecht gebrochen: Polynomdivision erhalten dann f(x) = a(x)︸︷︷︸Polynom

+r(x)

q(x)︸︷︷︸echt gebrochen

(2) Nullstellen von q ermitteln. Dann Zerlegung q:q(x) = (x− α1)k1 · (x− α2)k2 · · · · · (x2 + p1x+ q1)m1 · (x2 + p2x+ q2)m2 · . . .ki: reelle Nullstellen mi: nicht reell zerlegbarDabei kürzt man eventuelle gemeinsame Faktoren in r und q heraus.

(3) ANSATZ FÜR DIE PARTIALBRUCHZERLEGUNGr(x)

q(x)=Summe von Partialbrüchen

Jeden Faktor der Form

(x− α)k

(x2 + px+ q)mder Gleichung entspricht der Anteil

A1

x− α+

A2

(x− α)2+ · · ·+ A2

(x− α)kB1x+ C1

x2 + px+ q+

B2x+ C2

(x2 + px+ q)2+ · · ·+ Bmx+ Cm

(x2 + px+ q)m

in dieser Summe.

Bsp. 9:

f(x) =x2 + 4

(x− 1)3(x+ 5)(x2 + 2x+ 2)2

=A

x− 1+

B

(x− 1)2+

C

(x− 1)3+

D

x+ 5+

Ex+ F

x2 + 2x+ 2+

Gx+H

(x2 + 2x+ 2)2

Beachte: x2 + 2x+ 2 ist reell nicht weiter zerlegbar, Nullstelle: 1± i.

(4) Ermittlung der Koeffizienten durch

• Multiplikation des Ansatzes der Partialbruchzerlegung mit q(x)

• Kombination der folgenden beiden Methoden

(a) Einsetzen der reellen Nullstellen

(b) Koeffizientenvergleich

(falls q nur reelle Nullstellen hat, recht Methode a.)

(5) Integration der Partialbrüche

(a)ˆ

1

(x− α)jdx =

ln(|x− α|) + C j = 11

1− j(x− α)1−j + C j = 2, 3, 4, . . .

123

(b)ˆ

3x+ C

(x2 + px+ q)jdx =

ˆ B2 (2x+ q)

(x2 + px+ q)j+

C − Bp2

(x2 + px+ q)jdx

•ˆ

2x+ p

(x2 + px+ q)2dx: Nutze Substitution.

•ˆ

1

(x2 + px+ q)j

quadratischeErgänzung

=

ˆ1((

x+ p2

)2+ q − p2

4

)j dxu=x+ p

2=

ˆ1

(u2 + a2)jdx

j = 1 Stammfunktion siehe Merkblattj > 1 siehe weitere Formelsammlung (selten)

Bsp. 10: I =

ˆ3x+ 4

x2 + 2x− 3dx

• echt gebrochen

• Nullstellen des Nenners: x1 = −3, x2 = 1⇒ x2 + 2x− 3 = (x+ 3)(x− 1)

Ansatz für PBZ:3x+ 4

(x+ 3)(x− 1)=

A

x+ 3+

B

x− 1| · (x+ 3)(x− 1)

3x+ 4 = A(x− 1) +B(x+ 3)

Einsetzen der NS:x1 : −5 = A · (−4)⇒ A =

5

4

x2 : 7 = B · 4⇒ B =7

4

⇒ I =

ˆ 54

x+ 3dx+

ˆ 74

x− 1dx

=5

4ln(|x+ 3|) +

7

4ln(|x− 1|) + C

Bsp. 11: I =

ˆ7x2 − 10x+ 37

(x+ 1)(x2 − 4x+ 13)dx

• echt gebrochen

• Nenner reell nicht weiter zerlegbar (denn Nullstellen von x2 − 4x+ 13 sind x1/2 = 2± 3i)

• Partialbruchzerlegung:

7x2 − 10x+ 37

(x+ 1)(x2 − 4x+ 13)=

A

x+ 1+

Bx+ C

x2 − 4x+ 13| · Nenner

7x2 − 10x+ 37 = A(x2 − 4x+ 13) + (Bx+ C)(x+ 1)

= (A+B)x2 + (−4A+B + C)x+ (13A+ C)

Einsetzen der Nullstelle x = −1: 54 = 18A ⇒ A = 3

Koeffizientenvergleich x2: 7 = A+B ⇒ B = 4

x0 13A+ C) ⇒ C = −2

⇒ˆ

7x2 − 10x+ 37

(x+ 1)(x2 − 4x+ 13)dx =

ˆ3

x+ 1︸ ︷︷ ︸a

+4x− 2

x2 − 4x+ 13︸ ︷︷ ︸b

dx

124

a :

ˆ3

x+ 1dx = 3 ln |x+ 1|+ C1

b :

ˆ4x− 2

x2 − 4x+ 13dx =

ˆ2(2x− 4)− 2 + 8

x2 − 4x+ 13= 2

ˆ2x− 4

x2 − 4x+ 13︸ ︷︷ ︸I1

+6

x2 − 4x+ 13︸ ︷︷ ︸I2

dx

I1 =

ˆ2x− 4

x2 − 4x+ 13dx

Subst.= ln |x2 − 4x+ 13|+ C2

I2 = 6

ˆdx

(x− 2)2 + 9= 6

ˆdu

u2 + 32= 6 · 1

3arctan

(u3

)+ C3 = 2 · arctan

(x− 2

3

)+ C3

⇒ I = 3 ln |x+ 1|+ 2 ln(x2 − 4x+ 13

)+ 2 arctan

(x− 2

3

)+ C4

4.2.4 INTEGRATION VON POTENZREIHEN

Satz 1: Es sei f : (x0−r, x0+r)→ R, f(x) =

∞∑n=0

an(x−x0)n die Grenzfunktion der Potenzreihe

(mit Konvergenzradius r). Dann ist F : (x0 − r, x0 + r)→ R, F (x) =∞∑n=0

ann+ 1

(x− x0)n+1 eine

Stammfunktion von f (gliedweises Integrieren im Konvergenzintervall).

Bsp. 12:

f(x) =1

1 + x2= 1− x2 + x4 − x6 + . . . |x| < 1 (siehe Übung, nutze geometrische Reihe)

⇒ˆ

1

1 + x2dx = x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · ·+ C1

Wir wissen aber auch:ˆ

1

1 + x2dx = arctan(x) + C2

⇒ arctan(x) = x− x3

3+x5

5− x7

7+ · · ·+ C3 mit C3 = 0 (setze x = 0 ein) und |x| < 1.

Bsp. 13: Gesucht ist Stammfunktion zu f(x) = e−x2

F (x) =

ˆ x

0e−t

2dt =

ˆ x

0

(1− t2 +

(t2)2

2!− (t2)3

3!+ . . .

)dt

= x− x3

3+

x5

5 · 2!− x7

7 · 3!+

x9

9 · 4!− · · · (x ∈ R)

Diskussion:

•ˆe−t

2dt nicht geschlossen auswertbar.

• Für nicht zu große x ist die Reihendarstellung zur Auswertung von F gut geeignet.

z.B.ˆ 1

0e−x

2dx = 1− 1

3+

1

5 · 2!− 1

7 · 3!+

1

9 · 4!− 1

11 · 5!+

1

13 · 6!− 1

15 · 7!+

1

17 · 8!︸ ︷︷ ︸0,746824···

− . . .

|Fehler| < 1

19 · 9!= 1, 4504 · 10−7 (vgl. Satz über Leibnitz-Kriterium)

125

4.3 NUMERISCHE INTEGRATION

ZIEL: Berechne I =

ˆ b

af(x) dx falls Stammfunktion „kompliziert“ oder nicht elementar angebbar.

PRINZIP:

(a) Zerlegung von [a, b] in n gleichlange Teilintervalle der Länge h =1

n(b− a)

⇒ Teilpunkte sind xk = a+ k · h (k = 0, 1, . . . , n), yk = f(xk)

(b) Ersetze f(x) über den Teilintervallen durch einfachere Funktionen.z.B.:

• lineare Funktionen Trapez Regel

• quadratische Funktionen SIMPSON-Regel

Als Näherung für I ergibt sich für die Simpson-Regel:

126

I ≈ Sn(h) =h

3((y0 + yn) + 4(y1 + y3 + · · ·+ yn−1) + 2(y2 + y4 + · · ·+ yn−2))

falls n gerade ist.

Diskussion:

(1) Fehlerabschätzung:

I = Sn(h)− h4(b− a)

180f (4)(ξ) a < ξ < b

(falls f (4) stetig in [a, b])

(2) Simpson-Regel ist für Polynome einschließlich Grad 3 exakt.

(3) Praktische Durchführung: Schrittweitenhalbierung

Startwert: S(1) = Sn(h) für geeignetes h. S(2) = S2n

(h

2

), S(3) = S4n

(h

4

), usw. bis sich

die Ziffern in gewünschter Genauigkeit nicht mehr ändern.

Bsp.:ˆ 1

0e−x

2dx

n = 4, h = 0, 25

k xk y0, yn y2j+1 y2j

0 0 1

1 0,25 0,939413

2 0,5 0,778801

3 0,75 0,569783

4 1 0,367879

1,367879 1,509196 0,778801

S4(0, 25) =0, 25

3(1, 367879 + 4 · 1, 509196 + 2 · 0, 778801)

4.4 UNEIGENTLICHE INTEGRALE

• Vorbetrachtung:

Bisherˆ b

af(x) dx wobei [a, b] endliches Integral auf f stückweise stetig auf [a, b] (daher

beschränkt)

• 2 Erweiterungen:

(1) unendliches Intervall (−∞, b], [a,∞) oder (−∞,∞)

(2) Funktion f unbeschränkt (Unendlichkeits- bzw. Polstellen)

Unendliches Intervall (zu 1.)

(a)ˆ b

−∞f(x) dx := lim

A→∞

ˆ b

Af(x) dx

analog:ˆ ∞a

f(x) dx := limB→∞

ˆ B

af(x) dx

(b)ˆ ∞−∞

f(x) dx :=

ˆ c

−∞f(x) dx+

ˆ ∞c

f(x) dx für beliebiges c ∈ R (bspw. c = 0).

127

Diskussion:

(1) Falls die Grenzwerte existieren, so heißt das Integral konvergent, sonst divergent.

(2) Ein berühmtes Beispiel ist die Γ-Funktion:

Γ(x) =

ˆ ∞0

e−ttx−1 dt (x > 0)

Eigenschaft: Γ(n) = (n− 1)! falls n ∈ N

Bsp. 1:

(a)ˆ ∞

0e−x dx = lim

A→∞

ˆ A

0e−x dx = lim

A→∞

[−e−x

]A0

= limA→∞

(−e−A + e0

)= 1

(b)ˆ ∞

0cosx dx = lim

A→∞

ˆ A

0cosx dx = lim

a→∞[sin(x)]A0 = lim

A→∞

(sinA− sin 0︸︷︷︸

=0

)Grenzwert existiert nicht⇒ Integral unbestimmt divergent.

(c)ˆ ∞

1= lim

A→∞

ˆ A

1

1

xdx = lim

A→∞[ln |x|]A1 = lim

A→∞

(lnA− ln 1︸︷︷︸

0

)=∞

⇒ bestimmt divergent

Unbeschränkter Integrand (zu 2.)

(a) bspw. Unendlichkeitsstellen bei b:ˆ b

af(x) dx := lim

ε0

ˆ b−ε

af(x) dx

(b) falls Unendlichkeitsstelle x0 im Inneren von [a, b] liegt:ˆ b

af(x) dx :=

ˆ x0

af(x) dx+

ˆ b

x0

f(x) dx

. . . und nutzen nun a.):

limε0

ˆ x0−ε

af(x) dx+ lim

ε0

ˆ b

x0+εf(x) dx

Bsp. 2:ˆ 4

0

1√x

dx = limε0

[2√x]4ε

= limε0

(2√

4− 2√ε)

= 4

Unendliches Intervall und unbeschränkter Integrand (Kombination von 1. und 2.)

128

Bsp. 3

I =

ˆ ∞1

dx

x√x− 1

=

ˆ 2

1

dx

x√x− 1

+

ˆ ∞2

dx

x√x− 1

mitˆ

dx

x√x− 1

= . . .︸︷︷︸Subst. t=

√x−1

= 2 arctan√x− 1 + C:

I = limε0

ˆ 2

1+ε

dx

x√x− 1

+ lima→∞

ˆ A

2

dx

x√x− 1

= limε0

[2 arctan

√x− 1

]21+ε

+ limA→∞

[2 arctan

√x− 1

]A2

= limε0

(2 arctan 1− 2 arctan√ε) + lim

A→∞(2 arctan

√A− 1− 2 arctan 1)

= limA→∞

2 arctan√A− 1︸ ︷︷ ︸

π

− limε

2 arctan√ε︸ ︷︷ ︸

0

= π

4.5 ANWENDUNGEN

4.5.1 GEOMETRISCHE ANWENDUNGEN

4.5.1.1 INHALTE EBENER FLÄCHEN

•mit a < b und f(x) ≥ 0:

F =

ˆ b

af(x) dx

•mit a < b < c:

F =

ˆ c

a|f(x)|dx =

∣∣∣∣ˆ b

af(x) dx

∣∣∣∣+

∣∣∣∣ˆ c

bf(x) dx

∣∣∣∣ =

ˆ b

af(x) dx+

ˆ b

cf(x) dx

•mit f(x): obere Funktion und g(x): untere Funktion:

F =

ˆ x2

x1

f(x)− g(x) dx

129

Bsp. 1: Gesucht ist der Flächeninhalt F des von der Ellipsex2

a2+y2

b2= 1 (a > 0, b > 0)

begrenzten Bereichs.

y = ±b√a− x2

a2

F = 4 ·ˆ a

0b

√1− x2

adx =

4b

a

ˆ a

0

√a2 − x2 dx

Subst.x=a sin t=

4b

a

[1

2

(x√a2 − x2 + a2 arcsin

x

a

)]a0

=4b

a

1

2a2 arcsin 1︸ ︷︷ ︸

π2

= π · ab

4.5.1.2 BOGENLÄNGE

Bogenlänge ebener Kurven

Kurve K mit Parameterdarstellung. x = x(t) y = y(t) t ∈ [α, β]

• Vorgehen: Approximieren durch Streckenzug, dann Verfeinerung

Länge des Streckenzugs:n∑i=1

Pi−1Pi =

n∑i=1

√(∆xi)2 + (∆yi)2

⇒ (Mittelwertsatz der Differentialrechnungn∑i=1

Pi−1Pi =n∑i=1

√(x(ui))2 + (y(vi))2 ·∆ti

mit ui, vi ∈ (ti−1, ti)Verfeinerung:ˆ β

α

√(x(t))2 + (y(t))2 dt

Diskussion:

130

• Bogenlänge der Kurve r = r(t) =

(x(t)

y(t)

)zwischen α und t ist

s =

ˆ t

α

√(x(u))2 + (y(u))2︸ ︷︷ ︸

|r(u)|

du =: f(t)

⇒ ds

ds= |r(t)| ⇒ ds = |r(t)| dt =

√x2 + y2 dt (heißt Bogenelement)

• Tabelle (Bogenlänge ebener Kurven)Kurvendarstellung Bogenlänge s, Bogenelement ds

x = x(t), y = y(t), t ∈ [α, β] s =

ˆ β

α

√(x(t))2 + (y(t))2 dt︸ ︷︷ ︸

ds

y = f(x), x ∈ [a, b] s =

ˆ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx︸ ︷︷ ︸

ds

x = g(y), y ∈ [c, d] s =

ˆ d

c

√1 + (g′(y))2 dy︸ ︷︷ ︸

ds

r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β] s =

ˆ β

α

√(r(ϕ))2 + (r′(ϕ))2 dϕ︸ ︷︷ ︸

ds

Bogenlänge von RaumkurvenGegeben sei Kurve Kmit Parameterdarstellung x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [α, β].Die Bogenlänge berechnet sich dann mittels

s =

ˆ β

α

√(x(t))2 + (y(t))2 + (z(t))2 dt

Bsp. 2 (Schraubenlinie)

r = r(t) =

a cos t

a sin th

2πt

, t ∈ [0, 2π]

r(t) =

−a sin t

a cos th

2π

s =

ˆ 2π

0

√x2 + y2 + z2 dt

=

ˆ 2π

0

√√√√a2 sin2 t− a2 cos2 t︸ ︷︷ ︸a2

+h2

(2π)2dt

= 2π

√a2 +

h2

4π2

=√

4π2a2 + h2

131

4.5.1.3 VOLUMEN VON ROTATIONSKÖRPERN

(a) Gegeben:

• Kurve K mit y = f(x), x ∈ [a, b]

• Das Flächenstück Fx zwischen Kurve und x-Achse rotiere um die x-Achse.

Gesucht:

• Volumen Vx des dabei erzeugten Körpers

Es gilt: Vx = π ·ˆ b

a(f(x))2 dx

(Idee: Approximation von Fx durch RechteckflächenRotation Zylinderscheiben Vα ≈

∑i

π(f(ξi))2∆xi

Grenzübergang: Vx = π

ˆ b

a(f(x))2 dx)

Diskussion:

a) Allgemein gilt Vx = π

ˆ b

ay2 dx (a < b)

b) Falls K in Parameterform gegeben x = x(t), y = y(t), α...t...β, dann ergibt sich

Vx = π

ˆ β

α(y(t))2 · x(t) dt︸ ︷︷ ︸

dx

, wobei ... (die Orientierung) so zu wählen ist, dass a :=

x(α) < x(β) = b gilt. Unter Umständen kann α < β sein.

(b) Gegeben: Kurve x = g(y), y ∈ [c, d]

Gesucht: Volumen Vy bei Rotation von Fy um y-Achse.

Vy = π

ˆ d

cx2 dy = π

ˆ d

c(g(y))2 dy

Für Parameterdarstellung:

Vy = π

ˆ β

α(x(t))2 · y(t) dt︸ ︷︷ ︸

dy

, wobei c = y(α) < y(β) = d

132

Bsp. 3: Gesucht ist das Volumen eines Rotationsparaboloids der Höhe h und mitBasisradius R.

Kurve: y = ax2, h = aR2 ⇒ a =h

R2

Vy = π

ˆ h

0x2 dy = π

ˆ h

0

y

ady = π

ˆ h

0

R2

hy dy

=πR2

h

ˆ h

0y dy =

πR2

h

[1

2y2

]h0

=πR2

h· 1

2h2 =

πR2h

2

4.5.1.4 MANTELFLÄCHEN VON ROTATIONSKÖRPERN

(a) Gegeben: Kurve K mit y = f(x) ≥ 0, x ∈ [a, b]Gesucht: Die von der Kurve K, bei Rotation um x-Achse erzeugte Rotationsfläche Mx.

Mx = 2π

ˆ b

af(x)

√1 + (f ′(x))2 dx

(Approximation der Kurve K durch PolygonzugRotation Kegelstumpffläche

Mx ≈∑i

2πf(ξi)∆si

→ 2π

ˆ b

af(x)

√1 + (f ′(x))2 dx︸ ︷︷ ︸

ds

(Bogenelement))

Allgemein gilt: Mx = 2π

ˆ b

ay ds

(b) Gegeben: Kurve x = g(y) ≥ 0, y ∈ [c, d]Gesucht: Mantelfläche bei Rotation um die y-Achse.

My = 2π

ˆKx ds = 2π

ˆ d

cg(y)

√1 + (g′(y))2 dy

133

Für Parameterdarstellung:

My = 2π

ˆ β

αx(t)

√(x(t))2 + (y(t))2 dt mit α ≤ t ≤ β

Bsp. 4: Kugeloberfläche

Halbkreis K soll um x-Achse rotiert werden.x = R · cos ty = R · sin tt ∈ [0, π]x(t) = −R sin t y(t) = R cos t

Mx = 2π

ˆKy ds = 2π

ˆ π

0y(t)

√x2 + y2 dt

= 2π

ˆ π

0R sin t ·R dt = 2πR2 [− cos t]π0

= 4πR2

4.5.1.5 FOURIER-REIHEN

Gegeben: Funktion f(x), x ∈ [0, T ]

Gesucht: Reihendarstellung mit trigonometrischen Funktionen der Periode T,T

2,T

3, . . .

d.h. (mit ω =2π

T):

cos(ωx), cos(2ωx), cos(3ωx), . . .sin(ωx), sin(2ωx), sin(3ωx), . . .Ansatz ist daher:

f(x) =a0

2+

a∑k=1

(ak cos(kωx) + bk sin(kωx)), wobei die Koeffizienten ak, bk, k ≥ 0 zu ermitteln

sind.Motivation ist: Approximation von f zum Zwecke der Speicherplatzreduzierung (Abgespeichertwerden i.A. nur wenige der Koeffizienten ak und bk. Das gilt auch dann, wenn f in diskreterForm vorliegt, d.h. in Form von Messwerten yk an vielen Messstellen xk.)Vorgehensweise:

(1) Betrachte zunächst die endliche Reihe fn(x) :=a0

2+

n∑k=1

ak cos(kωx) + bk sin(kωx).

Ziel ist: ak und bk so wählen, dass fn möglichst gute Approximation von f ist.

134

(2) Approximation in Vektorräumen mit Skalarprodukt

• Es sei V ein Vektorraum. Das Skalarprodukt (f, g) ist eine Abbildung von V × V nachR mit den Eigenschaften

(a) (f, f) > 0 für alle f 6= 0

(b) (f, g) = (g, f) für alle f, g ∈ V (Symmetrie)

(c) (αf + βg, h) = α(f, h) + β(g.h.) für f, g, h ∈ V, α, β ∈ R (Linearität)

• Die Norm von f (oder Betrag von f ) ist ‖f‖ :=√

(f, f) für f ∈ V• f und g orthogonal :⇔ (f, g) = 0

• Beispiele:

(a) V = Rn, (x, y) =

n∑i=1

xiyi

(b) C(a, b) . . . Menge der auf [a, b] stetigen reellwertigen Funktionen mit Skalarpro-

dukt: (f, g) =

ˆ b

af(x)g(x) dx

• Aufgabe: Approximation von f ∈ V durch f∗ ∈ V ∗ wobei V ∗ ⊆ V ein m-dimensionalerUnterraum ist, mit orthogonaler Basis e1, . . . , em (d.h. (ei, ej) = 0 falls i 6= j). Gesuchtist also dasjenige f∗ ∈ V ∗, für welches ‖f − f∗‖ minimal wird.

d.h. f∗ ist die orthogonale Projektion von f auf V ∗

Satz 1: Die orthogonale Projektion f∗ von f auf V ∗ ist gegeben durch: f∗ =

m∑i=1

αiei,

wobei αi =(f, ei)

(ei, ei), i = 1, .., n

(3) Übertragung auf C(O, T ), T =2π

ω→ ω =

2π

T• Man kann zeigen, dass die Funktion

1︸︷︷︸g0

, cos(ωx)︸ ︷︷ ︸g1

, cos(2ωx)︸ ︷︷ ︸g2

, cos(2ωx), . . . , sin(ωx)︸ ︷︷ ︸h1

, sin(2ωx)︸ ︷︷ ︸h2

, sin(2ωx), . . .

in C(O, T ) orthogonal sind.

z.B. (g0, g1) =

ˆ T

01 · cos(ωx) dx =

[1

ωsin(ωx)

]T0

= 0

• Außerdem gilt (g0, g0) = T, (gk, gk) =T

2= (hk, hk) mit k ∈ N

(4) Damit ergibt die Projektion von f ∈ C(0, T ) in V ∗ = L(g0, g1, . . . , gn, h1, . . . , hn) folgendeKoeffizienten:

ak =(f, gk)

(gk, gk)=

2

T

ˆ T

0f(x) cos(kωx) dx

135

bk =(f, hk)

(hk, hk)=

2

T

ˆ T

0f(x) sin(kωx) dx

(bei der Approximation in der Ausgangsgleichung fn)

(5) Frage: fn → f falls n→∞?

Satz 2: Seien f und f ′ auf [0, T ] stückweise stetig mit höchstens endlich vielen, endlichenSprungquellen, dann gilt an allen Stetigkeitsstellen von f :

f(x) =a0

2+

∞∑k=1

(ak cos(kωx) + bk sin(kωx))︸ ︷︷ ︸limn→∞ fn(x)

mit

a0 =2

T

ˆ T

0f(x) dx,

ak =2

T

ˆ T

0f(x) cos(kωx) dx,

bk =2

T

ˆ T

0f(x) sin(kωx) dx (k ∈ N)

Für die Sprungstellen xS gilt limn→∞

fn(xS) =1

2

(limxxs

f(x) + limxxS

f(x)

)

Also: Ja, fn → f falls n→∞.

Bemerkung:

a) Die Vorstehenden Ausführungen gelten automatisch für die periodische Fortsetzungf einer zunächst auf [0, T ] definierten Funktion f

b) Im Fall der periodischen Fortsetzung kann das Integrationsintervall [0, T ] durch belie-

biges Intervall der Länge T ersetzt werden, z.B.[−T

2,T

2

]c) Ist f symmetrisch gilt (vereinfachend):

f gerade a0 =4

T

ˆ T2

0f(x) dx, ak =

4

T

ˆ T2

0f(x) cos(kωx) dx, bk = 0

f ungerade a0 = 0, ak = 0, bk =4

T

ˆ T2

0f(x) sin(kωx) dx

d) Amplitudenspektrum

Ak :=√a2k + b2k k = 1, 2, 3, . . .

. . . Amplituden der Schwingungen, die sich durch Zusammenfassung der Sinus- undCosinusanteile gleicher Frequenz ergeben.(Möglichkeit der Verstärkung/Dämpfung der Schwingung)

136

Die Fourier Reihe lässt sich mit diesem Ak auf folgende Form bringen:

f(x) =A0

2+

∞∑k=1

Ak cos(kx− ϕk) mit A0 = a0 und ϕk = arccos

(akAk

)k ≥ 1

Bsp. 6: f(x) =

0 −1 ≤ x < 0

1 0 ≤ x < 1, f periodische Fortsetzung

Gesucht: Fourier Reihe zu f mit T = 2, ω =2π

2= π

a0 =2

2

ˆ 1

−1f(x) dx =

ˆ 1

01 dx = 1

ak =2

2

ˆ 1

−1f(x) cos(kπx) dx =

ˆ 1

0cos(kπx) =

1

kπ[sin(kπx)]10 = 0

bk =2

2

ˆ 1

−1f(x) sin(kπx) dx =

ˆ 1

0sin(kπx) dx = − 1

kπ[cos(kπx)]10 = − 1

kπ(cos(kπ)− 1)

⇒ bk =

0 k gerade2

kπk ungerade

f(x) =1

2+

2

π

(sin(πx) +

1

3sin(3πx) +

1

5sin(5πx) + . . .

)x ∈ RR \ Z

Diskreter Fall: Gegeben y = f(x), x ∈ [0, T ] ausgewertet (gemessen) an N Messstellen

(wobei N gerade) z.B. Messung alle1

100sec = Samplingrate 100 Hz (bei Audio CDs 44, 1 kHz

xj = j · h = j · TN

für j = 0, . . . , N − 1

yj = f(xj)

137

• Mit Ansatz von stetigen Funktionen für n ≤ N

2führt im Vektorraum RN mittels Satz 1 auf:

a0 =2

N

N−1∑j=0

yj ,

ak =2

N

N−1∑j=0

yj · cos(kωxj),

bk =2

N

N−1∑j=0

yj · sin(kωxj)

• Im Fall 2n = N ergibt sich keine Approximation, sondern eine exakte Darstellung desVektors y = (yj)

N−1j=0 mit einer anderen Basis.

Mit Hilfe der Eulerschen Formel eiϕ = cosϕ+ i sinϕ lässt sich der Ansatz mit komplexenKoeffizienten ck umschreiben:

f(x) =N−1∑k=0

ckeiωkx und damit yj = f(xj) =

N−1∑k=0

c− kei2πNj·k (j = 0, 1, . . . , N − 1)

In Matrix-Schreibweise:Sei w := ei

2πN s (eine von N Lösungen der Kreisgleichung ZN = 1)

F =(wjk)N−1

j,k=0

⇒ y = F c (inverse diskrete Fourier Transformation IDFT)

• Man kann zeigen, dass F regulär ist mit F−1 =1

NF ∗, wobei F ∗ =

(wkj)N−1

k,j=0und

w = ei2πN (konjugiert komplex). Damit c =

1

NF ∗y. D.h. ck =

1

N

N−1∑j=0

yje−i 2π

Nk·j (diskrete

Fourier Transformation DFT)

• Fast Fourier Transformation FFTWenn N = 2m, lässt sich die Rechenzeit stark verkürzen.

• Diskrete Cosinus Transformation DCTy = f(x), x ∈ [0, T ], N gleiche Intervalle (meist N = 2m). Die Abtastpunkte sind hier dieMITTEN DER INTERVALLE.

xj =h

2+ j · h = T · 2j + 1

2N(j = 0, . . . , N − 1)

Ansatz: y =n∑k=0

ak cos(kω

kx) (stetiger Fall)

yj =N−1∑k=0

ak cos

(kπ(2j + 1)

2N

)(diskreter Fall)

Matrixform: y = Ca

Die Spalte von C bilden orthogonale Basis von RN (entsprechende Normierung führt zu

138

ORTHONORMALER BASIS). Daher können wir wie bei der Fourier-Transformation vorgehen:a = C−1y . . . DCTy = Ca . . . IDCTAnwendung: Audio und Videokompression (MP3, JPEG). Die Komprimierung erfolgt dabeiim Frequenzbereich. kleine Amplituden ak → 0 Datenreduktion

139

5 DIFFERENTIALRECHNUNG FÜRFUNKTIONEN MEHRERER REELLERVERÄNDERLICHEN

5.1 FUNKTIONEN MEHRERER REELLER VERÄNDERLICHER

Betrachte Funktion f : Db(f) → R mit Db(f) ⊆ Rn wobei n ∈ N, n ≥ 2. Wir schreiben dannZ = f(x1, x2, . . . , xn) wobei x1, . . . , xn unabhängige Variablen und z die abhängige Variableheißen.

Geometrische Veranschaulichung für n = 2 Meist schreibt man hier x, y statt x1, x2.z = f(x, y) (x, y) ∈ Db(f) ⊆ R2

⇒ (x, y, z)|(x, y) ∈ Db(f) ∧ z = f(x, y) ist i.A. eine Fläche in R3

5.1.1 FLÄCHEN IN R3

(1) Darstellung eines Punktes (x, y, z) in R3

• x, y, z . . . karthesische Koordinaten

• r, ϕ, z . . . Zylinderkoordinatenx = r · cosϕ (ebene Polarkoordinate)y = r · cosϕ (ebene Polarkoordinate)z = zUmrechnung: x2 + y2 = r2, . . .

140

• r, ϕ, ϑ . . . Kugelkoordinaten (sphärische Polarkoordinaten)x = r sin(ϑ) cos(ϕ)x = r sin(ϑ) sin(ϕ)z = r cos(ϑ)

Beachte: r hat hier andere Bedeutung als bei Zylinderkoordinaten.

(2) Flächendarstellung:

• Explizite karthesische Koordinatenz = f(x, y) x, y ∈ Db(f) ⊆ R2

• Implizite karthesische DarstellungF (x, y, z) = 0

• Parameter-Darstellungx = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v), u, v ∈ B ⊆ R2 bzw.

r = r(u, v) =

x(u, v)

y(u, v)

z(u, v)a

mit (u, v) ∈ B ⊆ R2

Koordinatenlinien:v = v0 fest⇒ r = r(u, v0) . . . Kurvenschar mit Parameter u auf der Fläche.u = u0 fest⇒ r = r(u0, v) . . . Kurvenschar mit Parameter v auf der Fläche.

Bsp. 1: (Kugel, Mittelpunkt O, Radius R)x = R sinϑ cosϕy = R sinϑ sinϕz = R cosϑ ϕ ∈ [0, 2π], ϑ ∈ [0, π]ϕ geographische Längeϑ geographische Breite

Koordinatenlinien:ϑ =const. . . . Breitenlinienϕ =const. . . . Meridian

Parameterfreie Darstellung:x2 + y2 + z2 = R2 (implizite Darstellung)

141

z = ±√R2 − x2 − y2 (explizite Darstellung. + für obere, − für untere Halbkugel)

Explizite Darstellung in Zylinderkoordinaten:z = f(r, ϕ), (r, ϕ) ∈ B ⊆ [0,∞)× Rr und ϕ sind ebene Polarkoordinaten

Spezialfall A z = f(r, ϕ) =hängt nichtvon ϕ ab

g(r), r ∈ I ⊆ [0,∞), ϕ ∈ [0, 2π]

⇒ Rotationsfläche um Rotationsachse: z-Achse

In karthesischen Koordinaten:r =

√x2 + y2

z = g(√

x2 + y2)

=: h(x2 + y2)

Bsp. 2: z = x2 + y2 (= h(x2 + y2))x2 + y2 = r2 ⇒ z = f(x, y) = r2 =: g(r)

Spezialfall B z = f(r, ϕ) =hängt nicht

von r ab

g(ϕ) , r ∈ I1 ∈ [0,∞), ϕ ∈ I − 2 ⊆ R

⇒Wendelfläche um z-Achse

Bsp. 3: z = f(r, ϕ) =h

2πϕ =: g(ϕ) ϕ ∈ [0, π], r ∈ [0, R]

in Parameterdarstellung:x = r cosϕy = r sinϕ

z =h

2πϕ ϕ ∈ [0, π], r ∈ [0, R]

142

Koordinatenlinienr = const. . . . Schraubenlinien (ϕ ∈ [0, π])ϕ = const. . . . Strecken der Länge R, parallel zur x− y Ebene (r ∈ [0, R])

5.1.2 GRENZWERTE UND STETIGKEIT

Einige BegriffeWir betrachten hier nur den Fall n = 2. Für beliebige n ∈ N gelten die Definitionen analog.

• ε-UMGEBUNG VON P0 = (x0, y0) (bzw. offene ε-Kugel um P0):Uε(x0, y0) =

(x, y)|

√x2 + y2 < ε

wobei ε > 0

• UMGEBUNG:Eine Menge U ⊆ R2 heißt Umgebung von P0 = (x0, y0), falls ein ε > 0 existiert mitUε(x0, y0) ⊆ U

U ist Umgebung von P0 aber keine Umgebung von P1 (es lässt sich von P1 kein Radiusfinden, der komplett innerhalb von U liegt).

• OFFEN IN (BEZÜGLICH) EINER MENGE:Sei A ⊆ B ⊆ R2. Die Menge A heißt offen in (bezüglich) B, falls für alle (x, y) ∈ A einε > 0 existiert mit B ∩ Uε(x, y) ⊆ A.

• OFFEN:Eine Menge U ⊆ R2 heißt offen, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

(1) U ist offen bezüglich R2

(2) U ist Umgebung jedes seiner Punkte

(3) Für jeden Punkt (x, y) ∈ U existiert ε > 0 mit Uε(x, y) ⊆ U

143

Veranschaulichung:

• ABGESCHLOSSEN:Eine Menge A ⊆ R2 heißt abgeschlossen, falls ihr Komplement offen ist. D.h. AC = R2 \Aist offen.

(0, 1] ist weder offen noch abgeschlossen.[0, 1]× [0, 1] ist abgeschlossen.

• INNERER PUNKT

Der Punkt (x, y) ∈ R2 heißt innerer Punkt von A ⊆ R2 falls:

(1) (x, y) ∈ A(2) A ist Umgebung von (x, y)

• HÄUFUNGSPUNKT:(x, y) ∈ R2 heißt Häufungspunkt der Menge A ⊆ R2 falls jede Umgebung von (x, y)mindestens einen Punkt aus A enthält.Bspw. ist 0 ein ist HP der Menge (0, 1).

• ZUSAMMENHÄNGEND:Die Menge A ⊆ R2 heißt zusammenhängend, falls es keine Zerlegung A = B ∪ C gibt mit

– B und C sind disjunkt

– B und C sind offen in A

– B 6= ∅ und C 6= ∅

• RANDPUNKTE:(x, y) ∈ R2 heißt Randpunkt der Menge A ⊆ R2 falls jede Umgebung von (x, y) sowohlPunkte aus A, als auch Punkte aus AC = R2 \A enthält (Ac: Komplement).

• MENGE ALLER RANDPUNKTE:Die Menge aller Randpunkte von A ⊆ R2 bezeichnen wir mit ∂A („Rand von A“).

• ABSCHLUSS VON A:A = A ∪ ∂A. Es gilt A = (x, y) | (x, y) ist Häufungspunkt von A

• DAS INNERE VON A:A := A \ ∂A

• GEBIET:Eine zusammenhängende offene Menge heißt Gebiet.

144

Bsp. 1: A = (0, 1), dann:∂A = 0, 1A = (0, 1)A = [0, 1]

Bsp. 2: A = (0, 1)× [0, 1] = (x, y) | x ∈ (0, 1), y ∈ [0, 1]

– A weder offen noch abgeschlossen.

– ∂A = ([0, 1]× [0, 1]) \ ((0, 1)× (0, 1)) (alle 4 Linien der Zeichnung)

– A = [0, 1]× [0, 1]

– A = (0, 1)× (0, 1)

Def. 1: Gegeben sei z = f(x, y), (x, y) ∈ Db(f) und es sei (x0|y0) ∈ R2 und es existiert eineUmgebung U(x0, y0) mit U(x0, y0) \ (x0, y0) ⊆ Db(f)

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = a :⇔ Für jede Folge (xn, yn) mit (xn, yn) ∈ Db(f), (xn, yn) 6= (x0, y0) und

limn→∞

xn = x0 und limn→∞

yn = y0 gilt limn→∞

f(xn, yn) = a.

Bemerkung: Für JEDE Annäherung an (x0, y0) muss die vorhergehende Formel gelten. Esgenügt nicht eine geradlinige Näherung zu betrachten.

Def. 2: Es gelte U(x0, y0) ⊆ Db(f). Dann heißt f stetig an der Stelle (x0, y0), fallslim

(x,y)→(x0,y0)f(x, y) = f(x0, y0) (vgl. Def. 3 aus Kapitel 2.2).

5.2 PARTIELLE ABLEITUNGEN

Def. 1: Die Funktion z = f(x, y), (x0, y0) ∈ Db(f) ⊆ R2 heißt an der Stelle (x0, y0) partiellnach x differenzierbar, falls der Grenzwert

fx(x0, y0) := limh→0

f(x0 + h, y0)− f(x0, y0)

hexistiert.

Analog: f an der Stelle (x0, y0) partiell nach y differenzierbar, falls

fy(x0, y0) = limh→0

f(x0, y0 + h)− f(x0, y0)

hexistiert.

Diskussion:

(1) Es sei g(x) := f(x, y0) d.h. yi ist fest gewählt. Dann ist g′(x0) = fx(x0, y0) (g′: gewöhnlicheAbleitung einer Funktion von R nach R). ⇒ Ableitungsregeln aus Abschnitt 3.2 sindsinngemäß zu übertragen

(2) f heißt in dem Gebiet G partiell differenzierbar, wenn f für alle (x0, y0) ∈ G partielldifferenzierbar ist.

145

(3) f heißt im Gebiet G stetig partiell differenzierbar, falls f auf G partiell differenzierbar undalle partiellen Ableitungen stetig sind.

(4) Analog: Funktionen von mehr als 2 Veränderlichen z = f(x1, x2, . . . , xn): hält man dieVariablen x2, . . . , xn fest, und differenziert nach x1, so ergibt sich fx1 . Analoges Vorgehenfür fx2 , fx3 , . . .

(5) Bezeichnungen:

fx =∂f

∂x=

∂

∂xf = zx =

∂z

∂x

fy =∂f

∂y= . . .

(6) Höhere Ableitungen:

fxx =∂

∂x

(∂

∂xf

)=∂2f

∂x2

fxy =∂

∂y

(∂

∂xf

)=

∂2f

∂y∂xusw.

Frage: fxy = fyx?

Satz 1: Die Funktionen f, fx, fy, fxy und fyx seien in einer Umgebung U(x0, y0) einer Stelle(x0, y0) ∈ Db(f) erklärt. Außerdem sei fxy an der Stelle (x0, y0) stetig. Dann gilt:

fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0)

Bemerkung: Satz 1 heißt Satz von Schwarz.

Bsp. : f(x, y) =x2

y3+ y2 − x y 6= 0

• ∂

∂x: fx =

2x

y3− 1

–∂

∂x: fxx =

2

y3

–∂

∂y: fxy =

−6x

y4

• ∂

∂y: fy = −3x2

y4+ 2y

–∂

∂x: fyy = −6x

y4

–∂

∂y: fyx =

−6x

y4

Man sieht: fxy = fyx.

Satz 2: (Verallgemeinerte Kettenregel)Die Funktionen z = f(u, v), u = g(x, y), v = h(x, y) seien stetig partiell differenzierbar (nachallen Variablen). Dann ist die Funktion z = f∗(x, y) = f(g(x, y), h(x, y)) partiell nach x und ydifferenzierbar. Und es gilt:zx = zu · ux + zv · vxzy = zu · uy + zv · vy

146

Bsp.: z = (x2 + 3y2)x+2y ist nach x und y zu differenzieren.u = x2 + 3y2, v = x+ 2y ⇒ z = f(u, v) = uv

zx = zu · ux + zv · vx = v · uv−1 · 2x+ uv · ln(u) · 1 = uv(vu· 2x+ lnu

)⇒ zx = (x2 + 3y2)x+2y

(x+ 2y

x2 + 3y2e· 2x+ ln

(x2 + 3y3

))zy = zu · uy + zv · vy = v · uv−1 · 6y + uv ln(u) · 2 = uv

(vu· 6y + 2 lnu

)⇒ zy = (x2 + 3y2)x+2y

(x+ 2y

x2 + 3y2· 6y + 2 ln

(x2 + 3y2

))

Bemerkung: Verallgemeinerung auf mehr als 2 Variablen:z = f(u1, . . . , um), ui = gi(x1, . . . , xn) i = 1, . . . ,m

⇒ ∂z

∂xk=

m∑i=1

∂z

∂ui· ∂ui∂xk

, k = 1, . . . , n

Satz 3: (Satz über implizite Funktionen)Sei F (x, y) in eine einer Umgebung von (x0, y0) stetig partiell nach x und y differenzierbar und seiF (x0, y0) = 0 und Fy(x0, y0) 6= 0. Dann existiert eine Umgebung U(x0), so dass die GleichungF (x, y) = 0 eindeutig eine Funktion f : U(x0) → R erklärt, mit F (x, f(x)) = 0∀x ∈ U(x0).Außerdem gilt dann:

f ′(x) = −FxFy

∀x ∈ U(x0)

Beweis der AbleitungsregelF ( x︸︷︷︸

u

, y︸︷︷︸v

) = F (x, f(x)) = 0 differenzieren wir nach x:

Fu · ux + Fv · vx = Fx · 1 + Fy · f ′(x) = 0 durch Umformen erhält man dann:

⇒ f ′(x) = −FxFy

Diskussion: Mittels Satz 3 ist eine Kurvendiskussion für implizit gegebene Kurven F (x, y) =0 möglich, ohne die Gleichung explizit aufzulösen. Für die 2. Ableitung ergibt sich:

f ′′(x) = −(Fxx · 1 + Fxy · y′) · Fy − Fx(Fyx · 1 + Fyy · y′)F 2y

y′=−FxFy

=⇒ f ′′(x) = −FxxF

2y − 2FxyFxFy + FyyF

2x

F 3y

Def. 2: Gegeben sei f : Db(f) → R, Db(f) ⊆ R2. Die vektorwertige Funktion (Vektorfeld)

∇f : Db(f)→ R2 ∇f(x, y) :=

(fx(x, y)

fy(x, y)

)heißt GRADIENT von f .

Ist f : Db(f)→ R mitDb(f) ⊆ Rn, so ist∇f : Db(f)→ Rn ∇f(x1, . . . , xn) =

fx1(x1, . . . , xn)

...

fxn(x1, . . . , xn)

der Gradient.

Bemerkung: Häufig schreibt man auch gradf statt ∇f .

147

Diskussion:

(1) Eigenschaften des Gradienten und Anwendungen besprechen wir in Kapitel 5.4.1.

(2) Umkehrung:

Gegeben: Vektorfeld v =

(P (x, y)

Q(x, y)

)Gesucht: Funktion F mit v = ∇F (d.h. die Ableitung ist vorgegeben, gesucht ist F )F heißt dann Stammfunktion oder Potential von v. Es existiert genau dann eine Stamm-funktion F (x, y) mit Fx = P (x, y) und Fy = Q(x, y), wenn

• F in einem EINFACH ZUSAMMENHÄNGENDEN GEBIET G ⊆ R2 liegt und

• die sogenannten INTEGRABILITÄTSBEDINGUNGEN erfüllt: Py = Qx.

Ein Gebiet G heißt einfach zusammenhängend, genau dann wenn jede geschlossene,doppelpunktfreie Kurve eindeutig auf einen Punkt zusammengezogen werden kann.

5.3 TOTALE DIFFERENZIERBARKEIT UND FEHLERRECHNUNG

Def. 1: Die Funktion f : Db(f) → R, Db(f) ⊆ R2 heißt an der Stelle (x0, y0) ∈ Db(f)total differenzierbar, falls es Konstanten α und β gibt, so dass die lineare Abbildung (h, k) 7→L(h, k) = αh+ βk die Abbildung (h, k) 7→ f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) approximiert. D.h. wenn

für R(h, k) := f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)− L(h, k) der Grenzwert lim(h,k)→(0,0)

R(h, k)√h2 + k2

= 0 gilt.

Satz 1:

(a) f sei in Umgebung von (x0, y0) stetig partiell nach x und y differenzierbar. Dann ist f ander Stelle (x0, y0) auch total differenzierbar.

148

(b) f sei bei (x0, y0) total differenzierbar. Dann ist f an der Stelle (x0, y0) partiell differenzierbarund es gilt α = fx(x0, y0), β = fy(x0, y0).

Def. 2: df(x0, y0) := fx(x0, y0)h+ fy(x0, y0)k heißt das zur Stelle (x0, y0) und den Zuwächsenh = ∆x = dx und k = ∆y = dy gehörende TOTALE DIFFERENTIAL von f . Die Summandenheißen partielle Differentiale.Schreibweise: df = fxdx+ fydy

Diskussion:

(1) Es gilt ∆f := f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = df +R(h, k).⇒ ∆f ≈ dy (falls |h|, |k| klein)⇒ Anwendung in der Fehlerrechnung: Absoluter Fehler|∆f | ≈ |df | ≤ |fx(x0, y0)| · |∆h|+ |fy(x0, y0)| · |∆y|Mit den Fehlerschranken Sf := max |∆f |, Sx := max |∆x|, Sy := max |∆y| gilt daherSf ≈ |fx(x0, y0)| · Sx + |fy(x0, y0)| · Sy (lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz)

(2) Geometrische Veranschaulichung

• ∆f ist Zuwachs der Funktion wenn (x, y) von (x0, y0) in (x0 + dx, y0 + dy) übergeht

• df ist der entsprechende Zuwachs der Tangentialebene (TE) an die Fläche z = f(x, y)in (x0, y0, z0).

(3) Anwendung für die Fehlerrechnung: Übung

5.4 WEITERE BEGRIFFE, ANWENDUNGEN

5.4.1 RICHTUNGSABLEITUNG, TANGENTIALEBENEN

Def. 1: f(x, y) besitze in (x0, y0) stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung. Für jeden Vektor

s =

(s1

s2

)= |s| ·

(cos(α) ·

(1

0

)+ sin(α)

(0

1

))heißt

∂f

∂s(x0, y0) := lim

h→0

f(x0 + h cos(α), y + h sin(α))− f(x0, y0)

hRichtungsableitung von f an der

Stelle (x0, y0) in Richtung s (bzw. in Richtung α).

149

Diskussion:

(1)∂f

∂s(x0, y0) ist der Flächenanstieg in Richtung s.

(2) Speziell:

s =

(1

0

), d.h. α = 0⇒ ∂f

∂s= fx

s =

(0

1

), d.h. α = 90 ⇒ ∂f

∂s= fy

Satz 1: (Berechnung der Richtungsableitung)Es gilt

∂f

∂s(x0, y0) = fx(x0, y0) · cosα+ fy(x0, y0) · sinα

=fx(x0, y0) · s1 + fy(x0, y0) · s2√

s21 + s2

2

= (∇f(x0, y0), s) (das Skalarprodukt)

wobei s =s√

s21 + s2

2

die auf Länge 1 normierte Version von s ist.

Satz 2: (Eigenschaften des Gradienten im Fall z = f(x, y))Der Vektor ∇f(x0, y0)

(a) steht senkrecht auf (der Projektion in die x-y-Ebene) der Höhenlinie f(x, y) = c zumNiveau z = c = f(x0, y0).

(b) zeigt in die Richtung des stärksten Funktionszuwachses. Dieser ergibt sich mittels

maxs

∂f

∂s(x0, y0) = |∇f(x0, y0)|

Anschaulich: z = f(x, y)

Diskussion: Anwendung Tangentialebenengleichungen (TE)

• TE an die Fläche F (x, y, z) = 0 im Punkt (x0, y0, z0):Fx(x0, y0, z0)(x− x0) + Fy(. . . )(y − y0) + Fz(. . . )(z − z0) = 0Denn: Fläche F (x, y, z) = 0 ist eine Niveaufläche von u = F (x, y, z) zum Niveau 0.⇒ n := ∇F (x0, y0, z0) ist ein Normalenvektor dieser Fläche

150

⇒ Tangentialebene ist gegeben durch (n, r − r0) = 0 (Skalarprodukt).

D.h.

Fx(x0, y0, z0)

Fy(. . . )

Fz(. . . )

,

x− x0

y − y0

z − z0

= 0

• Speziell: z = f(x, y)⇒ TE in (x0, y0, z0).z = z0 + fx(x0, y0)(x− x0) + fy(x0, y0)(y − y0)Denn: z = f(x, y)⇔ 0 = f(x, y)− z =: F (x, y, z)⇒ Fx = fx, Fy = fy, Fz = −1

Bsp. 1: z = f(x, y) = 4− 1

9(x2 + y2), P0 = (3,−3)⇒ z0 = 2

(a) Gradient : ∇f =

(−2

9x

−29y

)

∇f(x0, y0) =

(−2

3

−23

)

(b) max. Funktionsanstieg in (x0, y0):

|∇f(x0, y0)| =√

89 = 0, 9428

(c) Tantentialebene in (x0, y0, z0):z = 2 + (−2

3)(x− 3) + 23(y + 3)

⇔ 2x− 2y + 3z − 18 = 0⇔ x

9− y

9+z

6= 1

5.4.2 LOKALE EXTREMA (OHNE NEBENBEDINGUNGEN) VON FUNKTIONENZWEIER VERÄNDERLICHER

Def. 2: f : R2 → R heißt in (x0, y0) lokal

minimalmaximal

, wenn es eine Umgebung U(x0, y0) gibt,

so dass für alle (x, y) ∈ U(x0, y0) \ (x0, y0) gilt

f(x, y) > f(x0, y0)

f(x, y) < f(x0, y0)

Diskussion: Anschaulich:

TE liegt parallel zur x-y-Ebene.

151

Bezeichnungen:

• (x0, y0) . . . Extremstelle

• z0 = f(x0, y0) . . . Extremwert

• (x0, y0, z0) . . . Extrempunkt

Offensichtlich ist der Funktionsanstieg (Richtungsableitung) für alle Richtungen = 0. Daher auchfx(x0, y0) = 0 = fy(x0, y0).

Satz 3: (Notwendige Bedingungen für lokale Extrema)f : R2 → R sei an der Stelle (x0, y0) lokal und partiell differenzierbar. Dann gilt :fx(x0, y0) = 0fy(x0, y0) = 0

Satz 4: (Hinreichende Bedingung für lokale Extrema)

(1) f(x, y) besitze in U(x0, y0) stetige partielle Ableitungen bis zur 2. Ordnung.

(2) Die notwendige Bedingung fx(x0, y0) = 0 = fy(x0, y0) sei erfüllt.

Dann gilt mit D(x, y) := fxxfyy − f2xy =

∣∣∣∣∣fxx fxy

fyx fyy

∣∣∣∣∣D(x0, y0) > 0 ⇒ f in (x0, y0) lokal extremal und insbesondere

• lokal minimal, falls zusätzlich fxx(x0, y0) > 0.

• lokal maximal, falls zusätzlich fxx(x0, y0) < 0.

Beachte: D(x, y) wird Diskriminante genannt.

Diskussion:

(1) D(x0, y0) > 0⇒ fxx(x0, y0) und fyy(x0, y0) haben beide das gleiche Vorzeichen.Daher kann die Bedingung an fxx durch die gleiche Bedingung an fyy ersetzt werden.

(2) Allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung von lokalen Extrema von f(x, y) = z:

(a) Gleichungssystem fx = 0, fy = 0 lösen. liefert extremwertverdächtige Stellen PE = (xE , yE)

(b) Für diese Stellen PE = (xE , yE) Diskriminante berechnen.

1. Fall: D(xE , yE) > 0⇒ Extremum fxx

> 0 . . . Minimum< 0 . . . Maximum

2. Fall: D(xE , yE) = 0⇒ gesonderte Untersuchung notwendig3. Fall: D(xE , yE) < 0⇒ kein Extremum, sondern ein Sattelpunkt (im engeren Sinn).

Allgemein: Stationäre Stellen, die keine Extrema sind werden als Sattelstellen bezeichnet.

152

Bsp. 2: z = f(x, y) = 2xy2 − 2x2 − y2 + 4

(a) fx(x, y) = 2y2 − 4x!

= 0

fy(x, y) = 4xy − 2y!

= 0aus fy:⇒ 0 = 2y

y=0(2x− 1)

x=12

aus fx:⇒ x = 0, y = ±1⇒ Extremwertverdächtige Stellen: P1(0, 0), P2 = (1

2 , 1), P3 = (12 ,−1)

(b) fxx = −4, fyy = 4x− 2, fxy = 4y⇒ D(x, y) = −4(4x− 2− (4y)2

Nun die Punkte einsetzen:P1 : D(0, 0) = 8 > 0⇒ Extremum fxx < 0⇒ MaximumP2 : D(1

2 ,−1) = −16 < 0⇒ SattelpunktP3 : D(1

2 ,−1) = −16 < 0⇒ Sattelpunkt

(3) Sattelstellen anschaulich:

(4) Im Falle D(xE , yE) = 0 ist eine gesonderte Untersuchung notwendig.Bspw. Einschränkung des Definitionsbereichs auf Kurven , die durch (xE , yE) verlaufen.Genau dann, wenn ALLE diese Einschränkungen ein Maximum bei (xE , yE) aufweisen ist(xE , yE) eine Maximumstelle von f .

Bsp. 3: z = f(x, y) = x4 − y4

fx = 4x3 != 0

fy = −4y3 = 0⇒ x = 0, y = 0→ PE = (0, 0)fxx = 12x2, fyy = −12y2, fxy = 0⇒ D(0, 0) = 0Einschränkung auf Gerade x = 0⇒ z = −y4 → hat Maximum (Parabel unten offen)Einschränknug auf Gerade y = 0⇒ z = x4 → hat Minimum (Parabel oben offen)⇒ keine Extremstelle

(5) z = f(x1, . . . , xn), x ∈ B ⊆ R4

• notwendige Bedingung∂f

∂x= 0 für alle i = 1, . . . , n

liefert mögliche Extremstelle xE• hinreichende Bedingung:

Definiere die Hesse Matrix: H(x) =

(∂2f

∂x∂y

)ni,j=1

(alle möglichen Ableitung von 2

Variablen)

(a) Alle Eigenwerte von H(x) sind positiv⇒ xE ist lokales Minimum

(b) Alle Eigenwerte von H(x) sind negativ⇒ xE ist lokales Maximum

(c) Eigenwerte von H(x) sind sowohl positiv als auch negativ⇒ xE ist Sattelpunkt(keine Extremstelle)

153

(d) Wenigstens ein EW = 0 (⇔ detH(xE) = 0)⇒ gesonderte Betrachtung notwen-dig (außer es gilt gleichzeitig c.))Beachte für n = 2:det(H(xE)− λE) = (λ− λ1)(λ− λ2)λ=0⇒ det(H(xE)) = λ1 · λ2 = D(xE)λ1 + λ2 = fxx(xE) + fyy(xE)Damit ist diese Vorgehensweise für hinreichende Bedingung identisch mit derFallunterscheidung in Diskussion aus 2.).

5.4.3 LOKALE EXTREMA MIT NEBENBEDINGUNGEN

Problem: Gesucht sind lokale Extrema von z = f(x, y) unter der Nebenbedingung (NB) g(x, y) =0.Anschaulich:

• Fläche z = f(x, y) wird mit Zylinderfläche g(x, y) = 0 geschnitten. Schnittkurve C

• Gesucht sind Stellen (x0, y0) auf der Kurve g(x, y) = 0 an denen C extremale Höhe überder x-y-Ebene besitzt.

Diskussion:

(1) g(x, y) = 0 ist auffassbar. . .

(a) als Kurve in x-y-Ebene K = (x, y) | g(x, y) = 0(b) als Zylinderfläche ⊥ x-y-Ebene (Zylinderfläche wird erzeugt von einer ebenen Kurve

K. Entlang dieser wird eine Gerade, die senkrecht auf der x-y-Ebene steht verscho-ben).

(2) Falls gy 6= 0 ⇒ g(x, y) = 0 ist nach y auflösbar, d.h. y = y(x), damit z = f(x, y(x)) →

Extrema berechnen. Notwendige Bedingung ist alsdz

dx= fx + fyy

′ = 0. Außerdem gilt

g(x, y(x)) = 0⇒ gx + gyy′ = 0 mit a :=

(1

y′

)6= 0, b =

(fx

fy

), c =

(gx

gy

)gilt (a, b) = 0 und

(a, c) = 0.⇒ b+ λc = 0 (mit geeignetem λ ∈ R)⇔ fx + λgx = 0 fy + λgy = 0 (falls gx 6= 0, analoges vorgehen)Dies ergibt die LAGRANGE-METHODE:

154

(a) Bilde Lagrange Funktion:F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)unter Verwendung des Hilfsparameters λ.Beachte: NB muss in Form g(x, y) = 0 gegeben sein.

(b) Es sei (xE , yE) eine lokale Extremstelle von z = f(x, y) unter der NB g(x, y) =0. Außerdem sollen f und g stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung besitzen (inU(x0, y0)) und es gelte ∇g(xE , yE) 6= 0 (d.h. gx(xE , yE) 6= 0 ∨ gy(xE , yE) 6= 0, denndann kann NB nach x oder y aufgelöst werden). DANN gibt es eine Lösung desGleichungssystems

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0

der Gestalt (xE , yE , λE). D.h. die Lösungen des Gleichungssystems liefern stationäreStellen (mögliche Extremstellen).SONDERFALL: Eventuell vorhandene Stellen (x0, y0) mit g(x0, y0) = gx(x0, y0) =gy(x0, y0) = 0 (sogenannte singuläre Punkte der Kurve K g(x, y) = 0) könnenExtremstellen sein, ohne dass sie sich aus dem Gleichungssystem ergeben. Diesemüssen daher gesondert betrachtet werden.

(c) Untersuchung der stationären Stellen bspw. mittels

• Höhenlinienbild

oder:

• geometrische Überlegung

• die hinreichende Bedingung:D := Fxxg

2y − 2Fxygxgy + Fyyg

2x mit F = f + λg.

Dann D(xE , yE , λE)

< 0 Maximum> 0 Minimum

Bsp. 4: z = f(x, y) = x2 + y2 mit NB x2 +y2

4= 1

155

(a) F (x, y, λ) = x2 + y2︸ ︷︷ ︸f(x,y)

+λ

(x2 +

y2

4− 1

)︸ ︷︷ ︸

g(x,y)

(b)

Fx = 2x+ 2λx = 0

Fy = 2y +1

2λy = 0

Fλ = x2 +y2

4− 1 = 0

Aus erster Gleichung: 2x︸︷︷︸→x=0

(1 + λ)︸ ︷︷ ︸→λ=−1

= 0

Fall x = 0: 3. Gl.⇒ y = ±2, λ = . . .

Fall λ = −1: 2. Gl.⇒ 2y − 1

2y = 0⇒ y = 0

3. Gl.⇒ x = ±1

Koordinaten für lokale Extrma sind also P1 = (0, 2), P2 = (0,−2), P3 = (−1, 0), P4 =(1, 0). Im Höhenlinienbild wird klar: P1 und P2 sind Maxima (mit Funktionswert 4), P3

und P4 sind Minima (mit Funktionswert 1).Beachte: Alternativ nutzt man das hinreichende Kriterium aus c.) (mit D(xE , yE , λE)).Also: Wenn möglich Bild Zeichen und als hinreichendes Kriterium nutzen oder dasKriterium aus c.) nutzen.

Bemerkung:

(1) Für Funktionen f(x1, . . . , , xn) mit n > 2 Veränderlichen und k < n Nebenbedingungeng : (x1, . . . , xn) = 0 analoges Vorgehen:Lagrange Funktion:F (x1, . . . , xn, λ1, . . . , λk) = f(x1, . . . , xn) + λ1g1(x1, . . . , xn) + · · ·+ λkgk(x1, . . . , xn)Die Bedingung 1.) wird dann zu

rang

(∂gi∂xj

)i=1,...,kj=1,...,n

= k

(2) Falls NB eindeutig nach k Veränderlichen auflösbar, dann Rückführung auf Problem OHNE

NB mit n− k Veränderlichen möglich.Vorsicht: in Bsp. 4 lösen wir nach y auf: y2 = 4(1− x2) ⇒ y = ±

√4(1− x2)

Einsetzen liefert: z = x2 + y2 = 4− 3x2

dz

dx= −6x

!= 0⇒ x = 0

Es ergeben sich somit nur P1 und P2 und nicht alle Lösungen, da y nicht eindeutig!

156

6 INTEGRALRECHNUNG FÜR FUNKTIONENMEHRERER VERÄNDERLICHER

6.1 INTEGRALE ÜBER EBENE BEREICHE

6.1.1 BEGRIFF

• Geg.:

(1) Beschränkter, abgeschlossener Bereich B ⊆ R2

(2) Fläche z = f(x, y) ≥ 0, f stetig

• Ges.: Volumen V des Körpers K unter der Fläche über dem Bereich B

• Idee: Zerlegung der Fläche b in Teilbereiche ∆b Zerlegung von K in Säulen mit demVolumen ∆V :⇒ V =

∑∆Vi ≈

∑f(ξi, ηi)∆bi

• f stetig, Verfeinerung, Grenzübergang Grenzwert V existiert unabhängig von Zerle-gungssäulen.

• Schreibweise:x

B

f(x, y) db . . . Bereichsintegral

Diskussion

(1) Einteilung von B durch achsenparallele Geraden

⇒ db = dx · dy⇒ Schreibweise:

x

B

f(x, y) db =x

B

f(x, y) dx dy

157

(2) Unabhängig von der geometrischen Bedeutung wird das Bereichsintegral auch für Funk-tionen mit negativen Funktionswerten definiert.

6.1.2 REDUKTION AUF DOPPELINTEGRALE

Gegeben seien zwei stetige Funktionen ϕ1(x) und ϕ2(x) mit ϕ1(x) ≤ ϕ2(x) für alle x ∈ [a, b].Der Bereich B = (x, y) | a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(xy) heißt Normalbereich bezüglich derx-Achse.

Dann gilt:x

B

f(x, y) db =

ˆ b

a

(ˆ ϕ2(x)

ϕ1(x)f(x, y) dy

)dx (Klammern lässt man oft weg)

Diskussion:

(1) Normalbereich bezüglich der x-Achse wird links und rechts begrenzt durch Koordinatenliniex = a, x = b. Diese Begrenzungen können zu Punkten entarten.

Das Intervall [a, b] ergibt sich durch Orthogonalprojektion von B auf die x-Achse. Darausergeben sich die stets konstanten Grenzen a und b für die äußere Integration. Dagegenläuft y in Abhängigkeit von x nur von ϕ1(x) bis ϕ2(x) und nicht von c bis d. Grenzen fürdas innere Integral hängen also im Allgemeinen von der äußeren Integrationsvariablen ab.

(2) Analog: Gegeben ψ1(y) ≤ ψ2(y), y ∈ [c, d] liefert Normalbereich bezüglich der y-AchseB = (x, y) | c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y).

Dannx

B

f(x, y) db =

ˆ d

c

ˆ ψ2(y)

ψ1(y)f(x, y) dx dy.

(3) Oft sind beide Varianten möglich. Manchmal ist eine Zerlegung nötig.

158

(4) Spezialfall: außen und innen konstante Grenzen⇔ B ist achsenparalleles Rechteck. Hierist die Integrationsreihenfolge egal.

Bsp. 1: Zu berechnen ist I =x

B

x

ydb. B werde begrenzt durch y = x2, x = 2 und y = 1.

Variante 1: B = (x, y) | 1 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ x2Variante 2: B = (x, y) | 1 ≤ y ≤ 4,

√y ≤ x ≤ 2

Berechnen mit Variante 2:

I =

ˆ 4

1

ˆ 2

y

x

ydx dy =

ˆ 4

1

[x2

2y

]2

√y

dy

=

ˆ 4

1

22

2y− y

2ydy =

ˆ 4

1

2

y− 1

2dy

=

[2 ln |y| − 1

2y

]4

1

= 2 ln(4)− 2− 2 ln(1) +1

2

= 2 ln 4− 3

2= 1, 2726

6.1.3 ANWENDUNGEN

Volumen V unter z = f(x, y) ≥ 0 über B V =x

B

f(x, y) db

Flächeninhalt [B] von B [B] =x

B

1 db =x

b

db

geometrischer Schwerpunkt (xs, ys) von B xs =1

[B]

x

B

x db, ys =1

[B]

x

B

y db

Integralmittelwert m von f auf B m =1

[B]

xf(x, y) db

159

6.1.4 KOORDINATENTRANSFORMATION

• Ziel: Durch neue Koordinaten (z.B. u und v) möglichst einfache Grenzen erzeugen. Günstigist es, wenn möglichst viele Begrenzungen von B auf Koordinatenlinien liegen (u = costoder v = const).

• Besonders wichtig: Polarkoordinaten x = r cosϕ, y = r sinϕ. Koordinatenlinien sind dannr = const, ϕ = const

Anwendung falls B Kreisbereich, Kreissektor, Kreisring, . . . mit Mittelpunkt 0 ist.Das Bereichselement ist dann ebenfalls durch die neuen Koordinaten auszudrücken:db = r dr dϕ

Bsp. 2: Gesucht ist das Volumen V des Körpers begrenzt durch den Rotationsparaboloidz = 4− (x2 + y2) und der x-y-Ebene (z = 0).Schnittkurve (z = 0): 4 = x2 + y2 (Kreis in x-y-Ebene)

B in Polarkoordinaten: x = r cosϕ, y = r sinϕ mit r ∈ [0, 2], ϕ ∈ [0, 2π)

⇒ V =x

B

4− (x2 + y2) db =

ˆ 2

0

ˆ 2π

0(4− r2) r dϕdr︸ ︷︷ ︸

db

=

ˆ 2

0

ˆ 2π

2(4r − r3) dϕdr =

ˆ 2

0(4r − r2)[ϕ]2π0 dr

= 2π

ˆ 2

04r − r3 dr = 2π[2r2 − r4]20

= 8π

6.1.4.1 ALLGEMEINE KOORDINATENTRANSFORMATIONEN

geg.: x = x(u, v), y = y(u, v)

160

Def.:∂(x, y)

∂(u, v):=

∣∣∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣ heißt FUNKTIONALDETERMINANTE der gegebenen Transformation.

Es ergibt sich für das Bereichsintegral db = |

∣∣∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣ | du dv. Falls∂(x, y)

∂(x, y)erhält man durch das

gegebene eine umkehrbare Abbildung (x, y) ∈ B ↔ (u, v) ∈ B′. Für das Bereichsintegral gilt in

den neuen Koordinaten I =x

B

f(x, y) db =x

B′

f(x(u, v), y(u, v))

∣∣∣∣∂(x, y)

∂(u, v)

∣∣∣∣ dudv

Diskussion:

(1) Funktionaldeterminante bei Polarkoordinaten x = r cosϕ, y = r sinϕ:∂(x, y)

∂(x, y)=

∣∣∣∣∣xr xϕ

yr yϕ

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣cosϕ −r sinϕ

sinϕ r cosϕ

∣∣∣∣∣ = r cos2 ϕ+ r sin2 ϕ = r

db = r dr dϕ

(2) Bei Kreisbereichen mit Mittelpunkt (x0, y0) verwendet man sogenannte allgemeine Polar-koordinaten mit Pol (x0, y0): x = x0 + r cosϕ, y = y0 + r sinϕ

Dann gilt: db = r dr dϕ

Bsp. 3: Gesucht: Geometrischer Schwerpunkt S der Kreishalbfläche begrenzt von x2 +y2 =R2 (y ≥ 0).

Polarkoordinaten:x = r cosϕy = r sinϕr ∈ [0, R]ϕ ∈ [0, π]

• Flächeninhalt: [B] =x

B

db =

ˆ R

0

ˆ π

0r dϕdr = π

ˆ R

0r dr = π

R2

2

• xs = 0 (aus Symmetriegründen)

• ys =x

B

y db =

ˆ R

0

ˆ π

0r sinϕ︸ ︷︷ ︸

y

·r dϕdr =

ˆ R

0r2[− cosϕ]π0 dr = 2

R3

3

⇒ ys =23R

2

π2R

2=

4

3πR = 0, 424R

⇒ (xs, ys) =

(0,

4

3πR

)ist der Schwerpunkt.

161

Bsp. 4: Gesucht: Flächeninhalt innerhalb einer Ellipsex2

a2+y2

b2= 1

Parameterdarstellung:x = a cos vy = b sin vv ∈ [0, 2π]

• elliptische Polarkoordinaten:x = x(u, v) = a · u · cos vy = y(u, v) = b · u · sin v ⇒ B = (x, y) | x = a u cos v, y = b u sin v, u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π]

• Funktionaldeterminante:∂(x, y)

∂(u, v)=

∣∣∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣a cos v −a u sin v

b sin v b u cos v

∣∣∣∣∣ = a b u

⇒ db = a b u du dv

⇒ [B] =x

B

db =

ˆ 1

0

ˆ 2π

0a b u dv du = π a b

6.2 OBERFLÄCHENINTEGRALE

6.2.1 FLÄCHEN IM RAUM

Erinnerung:

• x, y, z . . . karthesische Koordinaten

• r, ϕ, z . . . Zylinderkoordinaten (r: Abstand von z-Achse, x = r cosϕ, y = r sinϕ)

• r, ϕ, ϑ . . . (r: Abstand vom Koordinatenursprung, x = r sinϑ cosϕ, y = r sinϑ sinϕ, z =r cosϑ)

Flächendarstellungen:

• z = f(x, y) . . . explizite karthesische Darstellung

• F (x, y, z) = 0 . . . implizite karthesische Darstellung

• x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) . . . Parameterdarstellung

• z = f(r, ϕ) . . . explizite Darstellung in Zylinderkoordinatenspeziell:

– z = f(r, ϕ) = g(r), r ∈ I ⊂ [0,∞], ϕ ∈ [0, 2π]Rotationsfläche um z-Achse

– z = f(r, ϕ) = g(ϕ), r ∈ I1 ⊆ [0,∞], ϕ ∈ I2 ⊆ RWendelflächen

162

6.2.2 OBERFLÄCHENELEMENT, BERECHNUNG UND ANWENDUNG

• geg.: Fläche r =

x(u, v)

y(u, v)

z(u, v)

, (u, v) ∈ B.

Analog zu ebenen Bereichsintegralen ergibt sich dF = |ru × rv|dudv (skalares Oberflä-chenelement)

• Oberflächenintegral (über Skalarfeld):x

F

f(x, y, z) dF =x

B

f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) · |ru × rv| du dv

• Anwendung(analog zu Bereichsintegralen)

Flächeninhalt [F ] von F [F ] =x

F

dF

geometrischer Schwerpunkt (xs, ys, zs) xs =1

[F ]

x

F

x dF

ys =1

[F ]

x

F

y dF

zs =1

[F ]

x

F

z dF

Integralmittelwert m von f auf F m =1

[F ]

x

F

f(x, y, z) dF

6.2.2.1 BERECHNUNG VON DF FÜR SPEZIELLE FLÄCHENELEMENTE

• z = f( x︸︷︷︸u

, y︸︷︷︸v

)⇒ Parameterdarstellung:

r =

x

y

z

=

u

v

f(u, v)

ru =

1

0

fu

rv =

0

1

fv

|ru × rv| = |

∣∣∣∣∣∣∣∣i 1 0

j 0 1

k fu fv

∣∣∣∣∣∣∣∣ | = |−fu−fv

1

| = √f2u + f2

v + 1 =√

1 + f2x + f2

y

wobei i =

1

0

0

, j =

0

1

0

, k =

0

0

1

• z = f( u︸︷︷︸

u

, ϕ︸︷︷︸v

)⇒ Parameterdarstellung:

163

r =

x

y

z

=

u cos v

u sin v

f(u, v)

ru =

cos v

sin v

fu

rv =

−u sin v

u cos v

fv

⇒ |ru × rv| = |

∣∣∣∣∣∣∣∣i cos v −u sin v

j sin v u cos v

k fu fv

∣∣∣∣∣∣∣∣ | =√u2(1 + f2

u) + f2v =

√r2(1 + f2

r ) + f2ϕ

• Kugel mit MP 0 und Radius RKugelkoordinaten: r = R = constParameterdarstellung:x = R sinϑ cosϕy = R sinϑ sinϕz = R cosϑϕ ∈ [0, 2π], ϑ ∈ [0, π]

⇒ r =

x = R sinϑ cosϕ

y = R sinϑ sinϕ

z = R cosϑ

rϑ =

R cosϑ cosϕ

r cosϑ sinϕ

−R sinϑ

rϕ =

−R sinϑ sinϕ

R sinϑ cosϕ

0

⇒ |rϑ × rϕ| = · · · =

√R4 sin4 ϑ+R4 cos2 ϑ sin2 ϑ = R2 sinϑ

Zusammenfassung:Fläche dF

z = f(x, y) . . . expl. karth. Darstellung dF =√

1 + f2x + f2

y dx dy

z = f(r, ϕ) . . . expl. zyl. Darstellung dF =√r2(1 + f2

r ) + f2ϕ dr dϕ

Speziell für Rotationsflächenz = f(r, ϕ) = g(r), ϕ ∈ [0, 2π]

dF = r√

1 + (g′(r))2 dr dϕ

Kugel MP 0, Radius R dF = R2 sinϑ dϕdϑ

Bsp. 1: Man berechne den Schwerpunkt der Kugelteilfläche x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ R

2(Kugelkappe)

164

cosϑ1 =1

2⇒ ϑ1 = 60 =

π

3⇒ Parameterdarstellung:x = R sinϑ cosϕx = R sinϑ sinϕz = R cosϑ0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π

3

• Inhalt von F: [F ] =x

F

dF =

ˆ π3

0

ˆ 2π

0R2 sinϑ dϕdϑ

= 2π

ˆ π3

0R2 sinϑ dϑ = 2πR2[− cosϑ]

π30 = πR2

• Aus Symmetriegründen gilt xs = ys = 0

• zs =1

[F ]

x

F

z dF =1

[F ]

ˆ π3

0

ˆ 2π

0R cosϑ︸ ︷︷ ︸

z

R2 sinϑ dϕdϑ︸ ︷︷ ︸dF

=1

πR22πR3

ˆ π3

0sinϑ cosϑ dϑ

= 2R

[sin2 ϑ

3

]π3

0

=3

4R

⇒ (xs, ys, zs) =

(0, 0,

3

4R

)ist der Schwerpunkt.

165

7 GEWÖHNLICHEDIFFERENTIALGLEICHUNGEN

7.1 GRUNDBEGRIFFE

Vorbetrachtung:

Bsp. 1:

Lassen wir die Feder los, so kommt es zur Schwingung;

Gesucht ist Zeitverlauf y = y(t) der Bewegung der Punktmasse. Dazu nutzen wir das Grundge-setz der Mechanik:

Kraft = Masse · BeschleunigungK = m · y

bspw. freie (d.h. ohne äußere Kraft) und ungedämpfte (d.h. ohne Reibung) Schwingung:K = −CF · y (Hooksches Gesetz)⇒ m · y = −Cf · y (← Differentialgleichung)mit y(0) = y0 (Startpunkt y0) und y(0) = 0 (Startgeschwindigkeit 0) (← Anfangsbedingungen).Begriffe:Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Bestimmungsgleichung für eine unbekannte Funktion,die mindestens eine Ableitung der gesuchten Funktion enthält.2 Grundarten:

(1) Gesuchte Funktion y = y(x), d.h. EINE unabhängige Veränderliche⇒ GEWÖHNLICHE DGL

(2) Gesuchte Funktion u = u(x, y) bzw. u = u(x1, x2, . . . , xn) d.h. mindestens 2 unabhängigeVeränderliche⇒ Ableitungen sind partielle Ableitungen⇒ PARTIELLE DGL

166

Bsp. 2: y′ = x2, gewöhnliche DGL für die Funktion y = y(x).

Lösung: y =

ˆx2 dx =

1

3x3 +C d.h. die Lösung ist eine Kurvenschar mit einem freien Parameter

C.

Bsp. 3: ux = x · y . . . partielle DGL

Lösung: u =x2

2y + C(y)

Bemerkung: Im folgenden nur gewöhnliche DGL.

Allgemeine Form einer gewöhnlichen DGL n-ter Ordnung:

• implizit: F (x, y, y′, . . . , y(n) = 0 (höchste vorkommende Ableitung⇒ Ordnung n)

• explizit: y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) (aufgelöst nach der höchsten Ableitung)

• Die ALLGEMEINE LÖSUNG ist eine Kurvenschar MIT n PARAMTERN (Integrationskonstanten)

• Anfangswertproblem (AWP): n zusätzliche Bedingungen:y(x0) = a0, y

′(x0) = a1, . . . , y(n−1)(x0) = an−1 (Anfangsbedingungen: Funktionswert und

Ableitung an fester Stelle x0 vorgegeben, siehe Bsp. 1)

7.2 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG

Allgemeine Form: F (x, y, y′) = 0 (implizit) bzw. y′ = f(x, y) (explizit)

7.2.1 GEOMETRISCHE INTERPRETATION

Gegeben y′ = f(x, y), (x, y) ∈ BRichtungsfeld: In jedem Punkt (x, y) ∈ B wird die Richtung mit dem Anstieg f(x, y) = tanαmarkiert.

Gesucht: Kurven y = y(x), die sich diesem Richtungsfeld anpassen, d.h. in jedem Punkt (x, y)den vorgegebenen Anstieg von f(x, y) haben, also y′ = f(x, y).(LÖSUNGSKURVEN DER DGL)

167

7.2.2 DGL MIT TRENNBAREN VARIABLEN

Typ: y′ = f(x) · g(y) Bsp. 1: y′ = x · y2, y(1) = −2

Lösungsmethode

1. Gleichung aufstellendy

dx= f(x) · g(y)

dy

dx= x · y2

2. Trennung der Veränderlichendy

g(y)= f(x) dx

dy

y2= x dx

3. beide Seiten integrieren:ˆdy

g(y)=

ˆf(x) dx

ˆdy

y2=

ˆx dx

G(y) = F (x) + C (G(y): Stammfunktion von1

g(y)) −1

y=x2

2+ C

(allgemeine Lösung, implizit)

4. Falls möglich: Auflösen nach y

y = y(x) = ϕ(x,C) y = − 1x2

2 + C

(allgemeine Lösung, explizit)

5. Untersuchen von g(y) = 0(Nebenlösungen)

y2 = 0⇔ y = 0 (erfüllt ebenfalls die DGL:Nebenlösung)

6. Bei AWP: AB erfüllen

x = 1, y = −2 einsetzen in DGL1

2=

1

2+ C ⇒ C = 0

Lösung des AWP: y = − 2

x2

Diskussion:

(1) Rechtfertigung des Lösungsschritts 3:G(y) = F (x) + C nach x Ableiten liefert:dG

dy=

dy

dx=

dF

dx

⇒ 1

g(y)· y′ = f(x)

⇒ y′ = f(x) · g(y)⇒ G(y) = F (x) + C erfüllt die DGL

(2) Spezialfälle:y′ = f(x) , d.h. g(y) = 1

y′ = g(y) , d.h. f(x) = 1

y′ =f(x)

h(x), d.h. g(y) =

1

h(y)

168

Bsp. 2: Ein Körper habe zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur T0 = 100C. Die Temperaturder umgebenen Luft sei TL = 20C (=const.). Zur Zeit t1 = 10 (min) hat sich der Körper aufT1 = 60C abgekühlt.

(a) Man ermittle die Temperatur T als Funktion der Zeit t.

(b) Zu welchem Zeitpunkt t2 beträgt die Temperatur des Körpers 25C?

Lösung:

(a) Newtonsches Abkühlungsgesetz:GESCHWINDIGKEIT DER ABKÜHLUNG ist proportional zur TEMPERATURDIFFERENZ ZU

MEDIUM

T = T (t) . . . Temperatur [in C]t . . . Zeit [in min]dT

dt= α · (T − TL) mit T (t) = T0 und T (10) = T1

TdV, integrieren⇒ˆ

dT

T − TL=

ˆα dt

⇒ ln |T − TL| = αt+ C∗

⇒ |T − TL| = eαt · eC∗

⇒ T − TL = C · eαt mit C = ±eC∗

Beachte: C ist zunächst 6= 0, da vorhandene NB T − TL = 0 ergibt sich, wenn man C = 0zulässt. Sie muss daher nicht extra angegeben werden.Also ist die allgemeine Lösung: T = TL + C · eαtAB liefern: t = 0, T = 100⇒ C = 80Bestimmen von α: t = 10, T = 6060 = 20 + 80 · eα10

⇒ α =1

10ln

1

2< 0

⇒ Lösung: T = 20 + 80e−t110

ln 2

(b) Auflösung nach t liefert:

t = −10lnT−20

80

ln 2T=T2=25

= −10ln 5

80

ln 2= 40[min]

7.2.3 LINEARE DGL 1. ORDNUNG

Normalform: y′ + a(x)y = h(x)

• Falls h(x) = 0: homogen

• Falls h(x) 6= 0: inhomogen

169

Diskussion:

(1) Linear bezieht sich auf y und y′ (1. Potenz: die Faktoren hängen höchstens von x ab. x,muss nicht linear sein). Nicht immer liegt die Normalform vor.Bsp.:

• y′ + x2y − sinx = 0: linear, inhomogen (h(x) = sinx)

• x2y′ = y: linear, homogen

• y′ + exyy = cosx: nicht linear

• y′ · y = ex: nicht linear (Umstellen würde zu y′ − 1yex führen)

(2) h(x) heißt auch Störfunktion

(3) Lösungsmethode

a) Bestimmung der allgemeinen Lösung yh der zugehörigen homogenen DGL y′ +a(x)y = 0 mittels Trennung der Variablen.

b) Bestimmung EINER partikulären Lösung yp der inhomogenen Gleichung mittels Varia-tion der Konstanten.

c) Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL: y = yh + yp

d) Falls AWP vorliegt: AB einsetzen.

Bsp. 3: y′ +1

xy = x ist linear und inhomogen

(a) zugehörige homogene DGL:

y′ +1

xy = 0⇒ dy

dx= −1

xy

TdV⇒ˆ

dy

y=

ˆ−dx

x⇒ ln |y| = − ln |x|+ C∗

⇒ |y| = e− ln |x| · eC∗ =1

|x|· eC∗

⇒ yh = C · 1

xmit C = ±eC∗

wie in Bsp. 2 zunächst C 6= 0, Nebenlösung yh = 0 ergibt sich für C = 0. Also C ∈ R(beliebig).yh hat stets die Gestalt yh = C · . . .

(b) Ansatz: yp = C(x) · 1

x(heißt Variation der Konstanten C C(x))

Damit y′p = C ′(x)1

x− C(x)

1

x2.

Einsetzen des Ansatzes (einschließlich y′p) in die inhomogene DGL:

C ′(x)1

x−C(x)

1

x2+

1

xC(x)

1

x︸ ︷︷ ︸=0

= x

⇒ C ′(x) = x2

⇒ C(x) =1

3x3 +K (setzen aber K = 0)

⇒ C(x) =1

3x3

⇒ yp =1

3x3 · 1

x=

1

3x2

(c) y = yh + yp =C

x+

1

3x2

170

7.2.4 WEITER DGLN 1. ORDNUNG

7.2.4.1 ÄHNLICHKEITSDIFFERENTIALGLEICHUNGEN

(a) Typ y′ = f(yx

)Lösung: Substitution

y

x= u = u(x), d.h. y = u · x.

Also y′ = u′x+ u.⇒ DGL mit trennbaren Variablen für u = u(x) Lösen Rücksubstitution

(b) Typ y′ = y(ax+ by + c)

Lösung: Substitution ax+ by + c = u(x), d.h. u′ = a+ by′.

Also y′ =1

b(u′ − a).

Dann weiteres vorgehen wie bei a.)

Bsp. 4: Gesucht sind Kurven y = y(x), die alle vom Ursprung ausgehende Strahlen unterdem gleichen Winkel α schneiden (isogonale Trajektionen).

y′ = tan(ϕ+ α) =tanϕ+ tanα

1− tanϕ tanα=

yx + tanα

1− yx tanα

=: f(yx

)Substitution: u =

y

x, y′ = u′x+ u =

u+ tanα

1− u tanα

⇒ u′x =u+ tanα

1− u tanα− u =

u2 tanα+ tanα

1− u tanα

⇒ du

dx· x =

u2 + 1

cotα− uTdV⇒ˆ

cotα− uu2 + 1

du =

ˆdx

x

⇒ cotα · arctanu− 1

2ln(u2 + 1) = ln |x|+ C1

Rücksubstitution: cotα · arctany

x=

1

2ln

((yx

)2+ 1

)+ ln |x|+ C1 = ln

√x2 + y2 + C1

Polarkoordinaten: r =√x2 + y2

tanα =y

x, d.h. ϕ = arctan

(yx

)+ kπ

⇒ cotα · ϕ = ln r + C2

⇒ r = C · eϕ cotα mit C = e−C2

. . . ist die logarithmische Spirale

171

7.2.4.2 EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Die DGL P (x, y) +Q(x, y)y′ = 0 mit Px = Qy (in einem einfach zusammenhängenden Gebiet)heißt exakte DGL.Lösung:Unter den sogenannten Integrabilitätsbedingungen Py = Qx existiert eine Stammfunktion F (x, y)mit Fx = P und Fy = Q (F ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt). Die allgemeineLösung der exakten DGL ist dann die Kurvenschar F (x, y) = C (Höhenlinien von F ).

Bemerkung: Ist eine DGL in obiger Gestalt nicht exakt (d.h. Py 6= Qx), so gibt es oft einenintegrierenden Faktor M = M(x, y), so dass die DGL P ·M +Q ·M · y′ = 0 exakt wird.

7.3 LINEARE DGLN HÖHERER ORDNUNG MIT KONSTANTENKOEFFIZIENTEN

Allgemeine Form: L(y) := y(n) + an−1y(n−1) + · · ·+ a1y

′ + a0y = h(x)

BESTIMMUNG EINER ALLGEMEINEN LÖSUNG

. . . yh der zugehörigen homogenen DGL L(y) = 0.

Satz 1: Die Gleichung L(y) = 0 besitzt n linear unabhängige Lösungen y1(x), . . . , yn(x). Dieallgemeine Lösung der Gleichung ist dann yh = C1y1(x) + · · ·+ Cnyn(x)

Diskussion:

(1) Die Menge y1, . . . , yn heißt (ein) Fundamentalsystem (FS) von Lösungen der homogenenDGL.

(2) Mit dem Ansatz yh = eλx erhält man die charakteristische Gleichung λn + an−1λn−1 + · · ·+

a1λ+ a0 = 0

Satz 2: Jede f -fache Nullstelle λ0 des charakteristischen Polynoms liefert die folgendenFunktionen des FS:λ0 reell:

eλ0x, x · eλ0x, x2eλ0x, . . . , xm−1eλ0x (m Funktionen)λ0 = α+ iβ (β 6= 0) komplex (dann ist auch λ− iβ eine m-fache Nullstelle):

eλx cos(βx), xeλx cos(βx), . . . , xm−1eλx cos(βx)eλx sin(βx), xeλx sin(βx), . . . , xm−1eλx sin(βx) (2m Funktionen)

Diskussion:

(1) Beispiele für die Zuordnung der Lösung der charakteristischen Gleichung→ FSLösungen λk der char. Gl. FS

λ1 = 0, λ2 = 2, λ3 = −1 1, e2x, e−xλ1,2 = 0, λ3,4,5 = 3 1, x, e3x, xe3x, x2e3xλ1,2 = 2± 3i e2x cos(3x), e2x sin(3x)λ1,2 = ±i, λ3,4 = ±i cosx, x cosx, sinx, x sinx

172

(2) λ1,2 = α+ iβ

⇒ C1e(λ+iβ)x + C2e

(α−iβ)x

= C1eαx(cos(βx) + i sin(βx)) + C2e

αx(cos(βx)− i sin(βx))= (C1 + C2)︸ ︷︷ ︸

C∗1

eαx cos(βx) + (C1 − C2)︸ ︷︷ ︸C∗2

ieαx sin(βx)

(Dies erläutert die komplexe Lösung in Satz 2)

BESTIMMUNG EINER PARTIKULÄREN LÖSUNG

. . . der inhomogenen DGL1. MÖGLICHKEIT: Variation der Konstanten (stets möglich)2. MÖGLICHKEIT: Spezieller Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten für häufig vorkommendeStörfunktionen→ Koeffizientenvergleich

Satz 3:

(1) Die Störfunktion h habe die Gestalt h(x) = eαx(p1(x) cos(βx) + p2(x) sin(βx)) wobei p1

und p2 Polynome mit maximalem Grad r sind.

(2) Sei % ≥ 0 die Vielfachheit von α+ iβ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms P (λ)FALL 1: % = 0 (⇔ α+ iβ ist keine Nullstelle)⇒ L(y) = h(x) besitzt Partikulärlösung der Form

yp = eλx(Q1(x) cos(βx) +Q2(x) sin(βx))

wobei Q1, Q2 Polynome vom Grad r mit unbestimmten Koeffizienten sind.FALL 2: % > 0 (Resonanzfall)Dann hat yp die Formyp = eαx(Q1(x) cos(βx) +Q2(x) sin(βx)) · x%

Diskussion:

(1) Beispiel für die Zuordnung h(x) Ansatz für ypLösung λi der char. Gl. h(x) α β α+ iβ % r Ansatz für ypλ1,2,3 = 0, λ4 = −1 x2 + 1 0 0 0 3 2 (Ax2 +Bx+ C)︸ ︷︷ ︸

Q1(x)

x3 = Ax5 +Bx4 + Cx3

λ1, λ2 = 3 4e−x −1 0 −1 0 0 Ae−x

λ1,2 = ±2i, λ3 = 3 sin(3x) 0 3 3i 0 0 A cos(3x) +B sin(3x)

λ1 = −2, λ2,3 = 0 x3e−2x −2 0 −2 1 3 (Ax3 +Bx2 + Cx+D)e−2xx

(2) Falls die Störfunktion die Form h(x) = h1(x) + h2(x) + . . . hat, so wählt man den Ansatzyp = yp1 + yp2 + . . . mit ypi ist Partikulärlösung von L(y) = hi(x), i = 1, 2, . . .

LÖSUNG DER DGL

y = yh + yp

Bsp. 1: y′′ − 3y′ = − sin(3x)

(a) allgemeine Lösung:char. Gleichung: λ2 − 3λ = 0⇒ λ1 = 0, λ2 = 3⇒ FS ist 1, e3x⇒ yh = C1 + C2e

3x

173

(b) partikuläre Lösung:h(x) = − sin(3x)⇒ α = 0, β = 3⇒ α+ iβ = 3i⇒ % = 0, r = 0 (3i keine Lösung der char.Gl.)Ansatz:yp = A cos(3x) +B sin(3x)y′p = −3A sin(3x) + 3B cos(3x)y′′p = −9A cos(3x)− 9B sin(3x)Einsetzen in inhomogene DGL:−9A cos(3x)− 9B sin(3x) + 9A sin(3x)− 9B cos(3x) = − sin(3x)Koeffizientenvergleich:cos(3x): −9A− 9B = 0⇒ A = −Bsin(3x): −9B + 9A = −1⇒ −18B = −1⇒ B =

1

18, A = − 1

18

⇒ yp = − 1

18cos(3x) +

1

18sin(3x)

(c) y = yh + yp = C1 + C2e3x − 1

18cos(3x) +

1

18sin(3x)

Bsp. 2: y(4) − 3y′′′ = 36x2 − 5

(a) char. Gleichung: λ4 − 3λ3 = 0⇒ λ1,2,3 = 0, λ4 = 3⇒ FS = 1, x, x2, e3xyh = C1 + C2x+ C3x

2 + C4e3x

(b) h(x) = 36x2 − 5⇒ α = 0, β = 0⇒ α+ iβ = 0⇒ % = 3Ansatz:yp = (Ax2 +Bx+ C) x3︸︷︷︸

x%

= Ax5 +Bx4 + Cx3

y′p = 5Ax4 + 4Bx3 + 3Cx2

y′′p = 20Ax3 + 12Bx2 + 6Cx

y′′′p = 60Ax2 + 24Bx+ 6C

y(4)p = 120Ax+ 24B

Einsetzen:120Ax+ 24B − 180Ax2 − 72Bx− 18C = 36x2 − 5Koeffizientenvergleich:

x2: −180A = 36⇒ A = −1

5

x1: 120A− 72B = 0⇒ B = −1

3

x0: 24B − 18C = −5⇒ C = −1

6

⇒ yp = −1

5x5 − 1

3x4 − 1

6x3

(c) y = yh + yp = C1 + C2x+ C3x2 + C4e

3x− 1

5x5 − 1

3x4 − 1

6x3

Bsp. 3: Anwendung: Federschwingungsgleichung

174

Grundgesetz der Mechanik: my = K = K(y, y, t)my = − αy︸︷︷︸

Reibungskraftproportional

zur Geschw. y

− cF y︸︷︷︸Rückzugskraftproportional

zur Auslenkung y

+ F (t)︸︷︷︸äußere Kraft

mit γ :=α

2m> 0 wobei ω2

0 :=cFm

und h(t) =F (t)

m

⇒ y + 2γy + ω20y = h(t) mit AB y(0) = y0, y(0) = v0

• FALL 1: h(t) = 0 (keine äußere Kraft, freie Schwingung)DGL: y + 2γy + ω2

0y = 0 (ist homogen, d.h. allgemeine Lösung y = yh)λ2 + 2γλ+ ω2

0 = 0

⇒ λ1,2 = −γ ±√γ2 − ω2

0

– FALL 1A: γ = 0 (keine Reibung, freie und ungedämpfte Schwingung)⇒ λ1,2 = ±ω0i⇒ FS = cos(ω0t), sin(ω0t)⇒ y = yh = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) mit

C1 = A cosϕ, C2 = A sinϕ folgt:y = A cos(ω0t− ϕ)Mit AB lassen sich C1 und C2 (bzw. A und ϕ) berechnen, z.B. v0 = 0 ⇒ C1 =y0, C2 = 0⇒ y = y0 cos(ω0t)

T :=2π

ω0. . . Schwingdauer, ω0 . . . Eigenfrequenz

– FALL 1B: 0 < γ < ω0 (kleine Dämpfung, freie gedämpfte Schwingung)

λ1,2 = −γ ±√ω2

0 − γ2︸ ︷︷ ︸ω1

i

⇒ FS = e−γt cosω1t, e−γt sin(ω1t)

175

y = yh = (C1 cos(ω1t) + C2 sin(ω1t))e−γt

ω1 < ω0⇒ T1 =2π

ω1> T0:

– FALL 1C: γ ≥ ω0 (starke Dämpfung)λ1,2 reell und negativ:

(z. B. möglich, wenn sgn(v0y0) < 0 [Anm.: sgn(x): Vorzeichen von x])

FALL 2: äußere Kraft F (t) existiert⇒ erzwungene Schwingunghier nur Fall γ = 0, h(t) = a sin(ω0t):DGL: y + ω2

0y = a sin(ω0t)keine Dämpfung, periodische Kraft mit Frequenz = Eigenfrequenz ω0

(a) λ1,2 = ±ω0i⇒ yh = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t) (wie in 1a)

(b) yp ermitteln:h(t) = a sin(ω0t)⇒ α = 0, β = ω0 ⇒ α+ iβ = iω0 ⇒ % = 1 (Resonanzfall)Ansatz:yp = (A1 cos(ω0t) +A2 sin(ω0t))tSetzen wir dies in die inhomogene DGL ein und nutzen den Koeffizientenvergleich,ergibt sich A1 = − a

2ω0, A2 = 0.

⇒ yp = − at

2ω0cos(ω0t)

(c) Allgemeine Lösung: y = yh + yp = C1 cos(ω0t) + C2 sin(ω0t)−at

2ω0cos(ω0t)

176

Resonanz! Wachsende Amplitude mitat

2ω0⇒ Resonanzkatastrophe!

177