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Mathematik Mathematik Mathematik Mathematik Formelsammlung __________________________________________________________________________ 28.05.2007 Lloyd Beeler

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Mathe Formelsammlungen\Format A4\Sprache Deutsch

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MathematikMathematikMathematikMathematik

Formelsammlung

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Lloyd Beeler

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 1 Lloyd Beeler

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................................. 1 Vorwort ................................................................................................................................................... 3 Zahlenmengen ....................................................................................................................................... 4

Natürliche Zahlen (N)........................................................................................................................... 4 Natürliche Zahlen inkl. Null (N0)........................................................................................................... 4 Ganze Zahlen (Z)................................................................................................................................. 4 Rationale Zahlen (Q)............................................................................................................................ 4 Reelle Zahlen (R)................................................................................................................................. 4

Faktorzerlegung..................................................................................................................................... 5 Ausklammern ....................................................................................................................................... 5 1. Binomische Formel .......................................................................................................................... 5 2. Binomische Formel .......................................................................................................................... 5 3. Binomische Formel .......................................................................................................................... 5 Binom hoch n Pascalsches Dreieck .................................................................................................... 5

bei: (a + b)n...................................................................................................................................................... 5

bei: (a - b)n....................................................................................................................................................... 5

Pröbeln................................................................................................................................................. 5 Trinome................................................................................................................................................ 5

Potenzen................................................................................................................................................. 6 Bezeichnungen .................................................................................................................................... 6 Grundlagen .......................................................................................................................................... 6

Achtung: .......................................................................................................................................................... 6 Addition und Subtraktion...................................................................................................................... 6

Achtung: .......................................................................................................................................................... 6 Ausklammern................................................................................................................................................... 6 Gemeinsamer Nenner ..................................................................................................................................... 6

Multiplikation ........................................................................................................................................ 6 Achtung: .......................................................................................................................................................... 6

Division................................................................................................................................................. 7 Achtung: .......................................................................................................................................................... 7

Potenzieren.......................................................................................................................................... 7 Achtung: .......................................................................................................................................................... 7

Wurzeln................................................................................................................................................... 8 Bezeichnungen .................................................................................................................................... 8

Achtung: .......................................................................................................................................................... 8 Grundlagen .......................................................................................................................................... 8 Addition und Subtraktion...................................................................................................................... 8 Multiplikation ........................................................................................................................................ 8 Division................................................................................................................................................. 8 Radizieren ............................................................................................................................................ 8

Achtung: .......................................................................................................................................................... 8 Logarithmus........................................................................................................................................... 9

Bezeichnungen .................................................................................................................................... 9 Achtung: .......................................................................................................................................................... 9 Systeme........................................................................................................................................................... 9

Achtung: .......................................................................................................................................................... 9 Multiplikation und Division.................................................................................................................... 9 Potenzieren und Radizieren................................................................................................................. 9 Zahl in einen Logarithmus verwandeln ................................................................................................ 9 Spezialfälle........................................................................................................................................... 9

Bruch Gleichungen ............................................................................................................................. 10 Allgemein ........................................................................................................................................... 10 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 10

Achtung: ........................................................................................................................................................ 10 Quadratische Gleichungen................................................................................................................. 11

Allgemein ........................................................................................................................................... 11

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 2 Lloyd Beeler

Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 11 Rein Quadratische Gleichung........................................................................................................................ 11 Quadratische Gleichung ohne absolutes Glied.............................................................................................. 11 Lösungsformel ............................................................................................................................................... 11

Satz von Vièta.................................................................................................................................... 11 Wurzel Gleichung ................................................................................................................................ 12

Allgemein ........................................................................................................................................... 12 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 12

Achtung: ........................................................................................................................................................ 12 Exponential Gleichungen ................................................................................................................... 13

Allgemein ........................................................................................................................................... 13 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 13

Achtung: ........................................................................................................................................................ 13 Logarithmus Gleichungen.................................................................................................................. 14

Allgemein ........................................................................................................................................... 14 Lösungsverfahren .............................................................................................................................. 14

Gleichungen mit mehreren Unbekannten ......................................................................................... 15 Zwei Unbekannte ............................................................................................................................... 15

Additionsmethode.......................................................................................................................................... 15 Drei Unbekannte ................................................................................................................................ 15

Bezeichnungen .................................................................................................................................. 16 Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse ............................................................................................. 16 Schnittpunkt auf der y-Achse............................................................................................................. 16 Minima / Maxima................................................................................................................................ 16 Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten ............................................................................ 16 Spezialfall........................................................................................................................................... 17 Graph ................................................................................................................................................. 17

Quadratische Funktion ....................................................................................................................... 18 Bezeichnungen .................................................................................................................................. 18 Nullstelle(n) Schnittpunkt auf der x-Achse......................................................................................... 18 Schnittpunkt auf der y-Achse............................................................................................................. 18 Minima / Maxima................................................................................................................................ 18 Funktionsgleichung berechnen aus drei Punkten.............................................................................. 19 Funktionsgleichung berechnen aus einem Punkt und dem Minima/Maxima .................................... 19 Transformation................................................................................................................................... 19

Spiegelung an der x-Achse............................................................................................................................ 19 Spiegelung an der y-Achse............................................................................................................................ 19 Verschieben in x-Richtung............................................................................................................................. 19 Verschieben in y-Richtung............................................................................................................................. 19

Graph ................................................................................................................................................. 20 Exponentiale Funktion ........................................................................................................................ 21

Bezeichnungen .................................................................................................................................. 21 Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse ............................................................................................. 21 Minima / Maxima................................................................................................................................ 21 Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten ............................................................................ 21 Funktionsgleichung berechnen aus Prozentangaben ....................................................................... 22

Achtung: ........................................................................................................................................................ 22 Graph ................................................................................................................................................. 22

Transformation von Funktionen ........................................................................................................ 23 Verschiebung auf der x-Achse........................................................................................................... 23

Achtung: ........................................................................................................................................................ 23 Verschiebung auf der y-Achse........................................................................................................... 23 Spiegelung an der x-Achse................................................................................................................ 23 Spiegelung an der y-Achse................................................................................................................ 23

Achtung: ........................................................................................................................................................ 23 Streckung/Stauchung in x-Richtung .................................................................................................. 23

Achtung: ........................................................................................................................................................ 23 Streckung/Stauchung in y-Richtung .................................................................................................. 23

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 3 Lloyd Beeler

Vorwort

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 4 Lloyd Beeler

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

0.5 -1⁄2

0 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

0.5 -1⁄2 π √5

Zahlenmengen

Natürliche Zahlen (N)

Natürliche Zahlen inkl. Null (N0)

Ganze Zahlen (Z)

Rationale Zahlen (Q)

Reelle Zahlen (R)

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 5 Lloyd Beeler

1a3 + 3a

2b + 3ab

2 + 1b

3

1a2 + 2ab + 1b

2

1a + 1b

1a4 + 4a

3b + 6a

2b

2 + 4ab

3 + 1b

4

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

1a3 - 3a

2b + 3ab

2 - 1b

3

1a2 - 2ab + 1b

2

1a - 1b

1a4 - 4a

3b + 6a

2b

2 - 4ab

3 + 1b

4

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Faktorzerlegung

Ausklammern

a(b + c) = ab + ac

1. Binomische Formel

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2 (a + b) = (b + a)

2. Binomische Formel

(a - b)2 = a

2 – 2ab + b

2 (a - b)

2 = (b - a)

2

3. Binomische Formel

(a + b)(a - b) = a2 – b

2

Binom hoch n Pascalsches Dreieck

bei: (a + b)n

bei: (a - b)n

Pröbeln

(a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc

(a + b)(a - c) = a2 + a(b - c) - bc

(a - b)(a + c) = a2 + a(c - b) - bc

(a - b)(a - c) = a2 + a(-b - c) + bc

Trinome

(a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b - c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2ab - 2ac - 2bc

(a - b - c)2 = a

2 + b

2 + c

2 - 2ab - 2ac + 2bc

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 6 Lloyd Beeler

Potenzen

Bezeichnungen

can= a Basis

n Exponent c Potenzwert

Grundlagen

1a0=

m

m

a

1a =

n mn

m

aa =

Achtung:

( ) nnaa −≠− na− ist immer negativ

( )nn akak ⋅≠⋅ ( ) nnnakka ⋅=

Nur möglich mit gleicher Basis und Exponent

Achtung:

22 ba − ist ein Binom

Ausklammern

Immer den kleinsten Exponenten ausklammern

( )532752 xx1xxxx −+=−+

Gemeinsamer Nenner

Immer den grössten Exponenten als gemeinsamer Nenner

5

23

532 x

1xx

x

1

x

1

x

1 −+=−+

Multiplikation

)nm(nm aaa +=⋅

( )mmmm abccba =⋅⋅

Achtung:

( )2ba + ist ein Binom

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 7 Lloyd Beeler

Division

)nm(

n

m

aa

a −=

n

n

n

b

a

b

a

=

Achtung:

( ) nn

n

n

nn

cb

a

cb

a

cb

a

⋅=

⋅=

Potenzieren

( ) )nm(nm aa ⋅=

Achtung:

( )2ba +

( )2ba − sind Binome

( ) n mm

n aa =

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 8 Lloyd Beeler

Wurzeln

Bezeichnungen

n Wurzelexponent c Wurzelwert

Achtung:

a ≥ 0 Die Basis darf nicht negativ sein

Grundlagen

n

m

n m aa =

Wurzeln zum rechnen immer in Potenzen umwandeln

Nur möglich mit gleichem Radikand und Wurzelexponent

Multiplikation

)nm(nm aaa+

=⋅

mmmm abccba =⋅⋅

Division

)nm(

n

m

aa

a −=

n

n

n

b

a

b

a=

)mn(m nn m aaa⋅

==

Achtung:

( ) n mm

n aa =

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 9 Lloyd Beeler

Logarithmus

Bezeichnungen

c)b(Loga

= a Basis

b Numerus c Logarithmus

Achtung:

b > 0 Der Numerus darf nicht null oder negativ sein

Systeme

)b(Log2

= )b(lb Binär Logarithmus

)b(Loge

= )bln( Natürlicher Logarithmus

)b(Log10

= )blg( Zehner Logarithmus

)vu(Log)v(Log)u(Logaaa

⋅=+

Subtraktion

)v

u(Log)v(Log)u(Log

aaa=−

Achtung:

=⋅−

naaav

uLog)v(Logn)u(Log Das Minus steht nur für den Bruch und deshalb ist n positiv

Multiplikation und Division

Kann nichts gemacht werden

)u(Log)u(Logr r

aa=⋅

( )r

a

r

1

aauLoguLog)u(Log

r

1=

=⋅

Zahl in einen Logarithmus verwandeln

aLogz ⇒ = ( )z

aaLog

Spezialfälle

0)1(Loga

= Jeder Logarithmus mit Numerus 1, ist gleich 0

ba )b(aLog= Ist die Basis des Logarithmus gleich der Basis der Potenz, heben sie sich auf

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 10 Lloyd Beeler

Bruch Gleichungen

Allgemein

Bei einer Bruchgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal im Nenner eines Therms vor.

Lösungsverfahren

x

c

ax

b=

− HN: ( )axx −

( )axcbx −=

Achtung:

Die Unbekannte darf im Nenner niemals null ergeben!

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann mit dem Hauptnenner multiplizieren (Gleichung bruchfrei machen) Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 11 Lloyd Beeler

Die Wurzel kann direkt gezogen werden

Die Gleichung auf einer Seite gleich null setzen x Ausklammern

Die Gleichung auf einer Seite gleich null setzen Lösungsformel einsetzen

Allgemein

Bei einer Quadratischen Gleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal als Basis einer Potenz vor.

Lösungsverfahren

cx2=

cx ±=

0bxax 2=+

( )baxx +

Lösungsformel

0cbxax 2=++

a2

ac4bbx

2−±−

=

ac4bD 2−= D Diskriminante

D > 0 → zwei Lösungen D = 0 → eine Lösung D < 0 → keine Lösungen

Satz von Vièta

Mit Hilfe des Satzes von Vièta kann die Quadratische Gleichung so bestimmt werden, dass die Lösungen in einem bestimmten Abstand oder Verhältnis zueinander stehen.

a

bxx

21−=+ x1 Lösung der 1. Gleichung

a

cxx

21=⋅ x2 Lösung der 2. Gleichung

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 12 Lloyd Beeler

Wurzel Gleichung

Allgemein

Bei einer Wurzelgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal als Basis in einer Wurzel vor.

Lösungsverfahren

bax =+ 2...

2bax =+

abx 2−=

Achtung:

Eine Wurzel ist niemals negativ!

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann die Gleichung quadrieren Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 13 Lloyd Beeler

Exponential Gleichungen

Allgemein

Bei einer Exponentialgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal im Exponenten vor.

Lösungsverfahren

ba x= Log

( ) ( )bLogaLogx =⋅

( )( )aLog

bLogx =

Achtung:

Ein Logarithmus ist niemals negativ!

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann logarithmieren Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 14 Lloyd Beeler

Logarithmus Gleichungen

Allgemein

Bei einer Logarithmusgleichung kommt die Unbekannte mindestens einmal im Numerus vor.

Lösungsverfahren

( ) baxLog =+ Exp

b10ax =+

a10x b−=

Die Gleichung auf beiden Seiten möglichst vereinfachen, dann exponieren Die Gleichung nach der Unbekannten auflösen

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 15 Lloyd Beeler

Gleichungen mit mehreren Unbekannten

Zwei Unbekannte

)5(12y4x3

126y2x15

−⋅=−

=+

60y20x15

126y2x15

−=+−

=+

66y22 =

3y =

1234x3 =⋅−

8x =

Drei Unbekannte

)3(22z1y1x1

4z60y2x9

38z11y3x7

−⋅⋅=−−

=−+

=−−

)11(

4

32z8x4

8z62x11

−⋅

=−

=−

320z160 −=−

2z =

3228x4 =⋅−

12x =

221y121 =⋅−−⋅

5

1y −=

Eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, so dass bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte weg fällt Gleichungen zusammenzählen Gleichung nach Unbekannter auflösen Das erhaltene Resultat in eine anfängliche Gleichung einsetzen und nach der zweiten Unbekannten auflösen

Eine Gleichung mit einer Zahl oder zwei Zahlen multiplizieren, so dass beim addieren von jeweils zwei Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Als Resultat sollten noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten übrig bleiben Eine Gleichung mit einer Zahl multiplizieren, so dass bei der Addition der beiden Gleichungen eine Unbekannte weg fällt Gleichung nach Unbekannter auflösen Das erhaltene Resultat in eine Gleichung mit zwei Unbekannten einsetzen und nach der zweiten Unbekannten auflösen Die beiden erhaltenen Resultate in eine Gleichung mit drei Unbekannten einfügen und nach der dritten Unbekannten auflösen

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 16 Lloyd Beeler

Lineare Funktion

Bezeichnungen

bxmy +⋅= m Steigung

b Anfangswert m bestimmt die Steigung der Kurve b bestimmt wo die Kurve durch die y-Achse verläuft

Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse

wird bestimmen bei 0 y =

→ m

bx −=

Koordinaten:

=−= 0 y /

m

bx

Schnittpunkt auf der y-Achse

wird bestimmt bei 0 x =

→ by =

Koordinaten:

== b y /0x

Minima / Maxima

Gibt es nicht.

Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten

Für jeden Punkt eine Gleichung aufstellen und die zwei Unbekanten m, b ermitteln

bxmy

bxmy

2p2p

1p1p

+⋅=

+⋅=

x∆

y∆m =

1p1px

x∆

y∆yb ⋅−=

Funktionsgleichung: bxmy +⋅=

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 17 Lloyd Beeler

y

x

0

y2

y1

Spezialfall

Zwei Lineare Funktionen stehen senkrecht aufeinander, wenn die Steigung (m) der ersten dem negativen Kehrwert der zweiten entspricht.

2

1m

1m −=

Graph

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 18 Lloyd Beeler

+a -a

Bezeichnungen

cbxaxy 2++= ax

bx lineares Glied c konstantes Glied a bestimmt den Bogenverlauf der Kurven b bestimmt die Verschiebung der Kurve in x-Richtung c bestimmt wo die Kurve durch die x-Achse verläuft

Nullstelle(n) Schnittpunkt auf der x-Achse

wird bestimmen bei 0 y =

→ a2

ac4bbx

2−±−

=

Koordinaten:

=

−±−= 0 y /

a2

ac4bbx

2

Schnittpunkt auf der y-Achse

wird bestimmt bei 0 x =

→ cy =

Koordinaten:

== c y /0x

Minima / Maxima

a2

bx

m−=

a4

bac4y

2

m

−=

Koordinaten:

−=−=

a4

bac4y/

a2

bx

2

mm

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 19 Lloyd Beeler

Funktionsgleichung berechnen aus drei Punkten

Für jeden Punkt eine Gleichung aufstellen und die drei Unbekanten a, b, c ermitteln

cbxaxy

cbxaxy

cbxaxy

3p

2

3p3p

2p

2

2p2p

1p

2

1p1p

++=

++=

++=

Funktionsgleichung: cbxaxy 2++=

Funktionsgleichung berechnen aus einem Punkt und dem Minima/Maxima

( )m

2

m1p

1p

yxx

ya

+−=

mxa2b ⋅−=

1p

2

1p1pbxaxyc −−=

Funktionsgleichung: cbxaxy 2++=

Transformation

Die Funktionsgleichung auf die Scheitelpunkt Form bringen.

a4

bac4

a2

bxay

22

−+

+=

( )m

2

myxxay +−=

Spiegelung an der x-Achse

( ) ( )( )m

2

myxxa1y +−⋅−=

Spiegelung an der y-Achse

( )( )m

2

myx1xay +⋅−−= → ( )( )

m

2

myxx1ay +−⋅−= → ( )

m

2

myxxay ++=

Verschieben in x-Richtung

( )( )m

2

mynxxay +±−=

Verschieben in y-Richtung

( ) ( )nyxxaym

2

m±+−=

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 20 Lloyd Beeler

y

x

y2

y1

0

Graph

MathematikMathematikMathematikMathematik

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 21 Lloyd Beeler

Exponentiale Funktion

Bezeichnungen

xbay ⋅= a Anfangswert

b Wachstumsfaktor a bestimmt die Streckung der Kurve b bestimmt ob die Kurve fällt oder steigt

Nullstelle Schnittpunkt auf der x-Achse

Gibt es nicht. Schnittpunkt auf der y-Achse

wird bestimmt bei 0 x =

→ ay =

Koordinaten:

== a y /0x

Minima / Maxima

Gibt es nicht.

Funktionsgleichung berechnen aus zwei Punkten

Für jeden Punkt eine Gleichung aufstellen, jede nach a auflösen und anschliessend einander gleichsetzen.

1px

1pbay ⋅= →

1px

1p

b

ya =

2px

2pbay ⋅= →

2px

2p

b

ya =

2px1px

1

2p

1p

y

yb

=

1px

1p

b

ya =

Funktionsgleichung: xbay ⋅=

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 22 Lloyd Beeler

y

x0

y1y2

Funktionsgleichung berechnen aus Prozentangaben

a = Anfangswert

b = %100

p%100 ± p Wachstum [%]

Achtung:

bei Zunahme +p; bei Abnahme -p

Graph

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__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 23 Lloyd Beeler

x

y Streckung

Stauchung

x

Streckung

y

Stauchung

Transformation von Funktionen

Verschiebung auf der x-Achse

Alle x in der Funktionsgleichung ± n n Verschiebefaktor [ ] Verschiebung nach links +n Verschiebung nach rechts - n

Achtung:

Der Verschiebefaktor n wird direkt an das x gebunden. z.B. x

2 → (n + x)

2

Ist x mit einem Faktor multipliziert, muss dieser erst ausgeklammert werden.

z.B. ax + b =

+

a

bxa →

a

bn =

Verschiebung auf der y-Achse

Die ganze Funktionsgleichung ± n n Verschiebefaktor [ ] Verschiebung nach oben +n Verschiebung nach unten - n

Spiegelung an der x-Achse

Die ganze Funktionsgleichung · (-1)

Spiegelung an der y-Achse

Alle x in der Funktionsgleichung · (-1)

Achtung:

Das (-1) wird direkt an das x gebunden (auch wenn es dadurch Aufgehoben wird). z.B. x

2 → ((-1) · x)

2

Streckung/Stauchung in x-Richtung

Alle x in der Funktionsgleichung · n n Streckungsfaktor [ ] Streckung n < 1 Stauchung n > 1

Achtung:

Der Streckungsfaktor n wird direkt an das x gebunden. z.B. x

2 → (n · x)

2

Streckung/Stauchung in y-Richtung

Die ganze Funktionsgleichung · n n Streckungsfaktor [ ] Streckung n > 1 Stauchung n < 1