Mathematik-Zusammenfassung

© by Marcel Arnet Version: 08.09.00

1. GRUNDRECHENARTEN ...................................................................................................................... 2

2. GLEICHUNGEN..................................................................................................................................... 2

3. FUNKTIONENLEHRE........................................................................................................................... 3

4. FOLGEN UND REIHEN......................................................................................................................... 4

5. ABSCHREIBUNGEN.............................................................................................................................. 5

6. GRENZWERTE ...................................................................................................................................... 7

7. DIFFERENTIATIONEN ...................................................................................................................... 7

8. KURVENDISKUSSION.......................................................................................................................... 8

9. KOSTEN-, ERLÖS- UND GEWINNFUNKTIONEN........................................................................... 11

10. PREISELASTIZITÄTEN ................................................................................................................... 14

11. LINEARE OPTIMIERUNG ............................................................................................................... 14

12. STATISTIK......................................................................................................................................... 15

13. VERSICHERUNGEN ......................................................................................................................... 19

14. FINANZMATHEMATIK ................................................................................................................... 22

15. TILGUNGSRECHNUNG ................................................................................................................. 24

16. INVESTITIONSRECHNUNG............................................................................................................ 26

Marcel Arnet, 08.09.00 2

1. Grundrechenarten 1.1. Vorzeichen -10x2 = -100 (-10x2) = 100

1.2. Potenzieren, Radizieren

1.3. Logarithmus

1.4. Binome Binome: Formelbuch Seite 19

1.5. Rechnen mit Brüchen 1.5.1 Grösster gem. Teiler GGT erhält man aus dem Produkt der gemein-same Primfaktoren der Zahlen 1.5.2 Diverses mit Brüchen 1.5.3 Kleinstes gem. Vielfaches KGV erhält man aus dem Produkt aller vorkom-menden Primfaktor-Gruppen, in ihrer Grösst-form.

1.6. Schriftliche Division mit Brüchen mit Restwert Man teilt die erste Zahl (12ax) durch den ersten Teiler (3a) und erhält nun 4x. 4x rechnet man nun mit (3a+4b) zurück und erhält schliesslich (12ax+16bx) welches man nun von den ersten zwei Termen abzieht. etc. Einen nicht mehr teilbaren Rest schreibt man als Bruch hin

q pq

p

nnn

nnn

xx

b

a

b

a

aa

baba

aaa

aaa

=

−=−

==

=

=

=

=

⋅=⋅

=⋅

=⋅

−=−

=−

−

++−

28

41616

)(

33

3

2

1

1

2

)(

8)2(

4)2(

3

8 4

3

3

3

933

22

4

2

2

8235

853

3

2

)log(1

log

510

)log(

)log()(log

)(log)(log

)(log)(loglog

)(log)(log)(log

)5log(

vv

a

bb

bnb

cbc

b

cbcb

a

an

a

aaa

aaa

−=

=

=

⋅=

−=

+=⋅

22

222

222

)()(

2)(

2)(

bababa

bababa

bababa

−=−⋅+

+−=−

++=+

)Rest(50

)2015(

251500

)1612(43

554)43(:)25151612(

=−

−−−−−

+−+

−−=+−−+

by

byay

byay

bxaxba

byyxbabyaybxax

11 3.0

3.0

41

4

2

12

4

2

4

1

4

3

4

13

gg =

==

=−=−

−

12322

3322272

532260

3222248

=⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅=

ggT

243222

32212

2228

224

=⋅⋅⋅=

⋅⋅=⋅⋅=

⋅=

kgV

Marcel Arnet, 08.09.00 3

2. Gleichungen 2.1. Lineare Gleichungen (mit mehreren unbekannten) 2.1.1. Additionsmethode 2.1.2. Gleichsetzungsmethode 2.1.3 Einsetzungsmethode 2.1.4. Substitution bei kompexen Termen:

2.2. Quadr. Gleichungen Allg. Form: Lösungsansätze Faktorzerlegung: Allgemeines Lösungsvorgehen: 2.3. Ungleichungen Das Ungleichheitszeichen ist umzukehren bei:

1. Vertauschung beider Seiten 2. Multiplikation oder Division mit einernegativen Zahl 3. Kehrtwertbildung

2.4. Absolute Beträge

3. Funktionenlehre 3.1. Die Lineare Funktion 3.1.1 Strahlensatz y = Punkt auf Ordinate x = Punkt auf Abszisse m = Steigung q = y-Achsenabschnitt 1-Punkte Version Beispiel

2-Punkte Version

3.2. Die quadratische Funktion 3.2.1 Normalparabel 3.2.2. Parabel 2. Grades 3.2.3. Die Scheitelform Es gilt: m = Stauchung, Streckung, Öffnung a = Versch. der Normalparabel in x-Richtung b = Versch. der Normalparabel in y-Richtung

3.2.4. Die allgemeine Form:

Die allg. Form lässt sich in die Scheitelform umwandeln:

2051242

3243

=−=−

=+

xyxyx

yyyxyx

7164554

167

−−=−=+

−=+

yy

yx

yx

97)32(4

974

32

=++

=++=

xu

x

15 :z.B. =⇒

cbxax ++= 20

])[])([( 102 xxxxaycbxaxy −−=⇒++=

a

DbxacbD

24 2/1

2 ±−=⇒−=

)2(2)1()2(2

2

<−=−⋅⇒≥−⇒

−

xfürxxfürx

x

44 344 2143421qm

xx

yyxyx

xx

yyy

12

1211

12

12

−−

⋅−+⋅−−

=

x

ym

qxmy

∆∆

=

+⋅=

( ) {

( )

)3;4(3)4(2

1

8 16 x 1/2 da

Kl. ausserh. 8-Klamm./in 16811168

2

1

ertausgeklamm wirdm 1182

1

1142

1

2

2

2

2

2

Sxy

xxy

xxy

xxy

cbxaxy

⇒+−=

=+

−++−=

+−=

+−=

++=

x

xy

1

22

22

1

=

+=

2xy =

geöffnet.unten nach Parabel 0

Richtung-yin Stauchung 10

Richtung-yin Streckung 1

2

=<=<<

=>

⋅=

m

m

m

für

xmy

−−−=−=

++=

a

acb

a

bbaS

baxmy

4

4;

2);(

)(2

2

cbxaxy ++= 2

Marcel Arnet, 08.09.00 4

3.2.5 Nullstellen einer quadr. Funktion

(siehe auch 2.2. Quadr. Gleichungen; Allg. Lö-sungsvorgehen) Für Nullstellen der quadratischen Funktion mit der Diskriminanten gilt folgendes: D>0 = zwei versch. reelle Nullstellen D=0 = eine doppelte Nullstelle D<0 = keine reelle Nullstellen

3.2.6 Linearfaktorenzerlegung Man bestimme die Linearfaktorenzerlegung der Funktion y = 2x2 – 12x + 16 Nullstellen:

4. Folgen und Reihen

4.1 Arithm. Reihen + Folgen

Differenz [d] ist konstant

a1 = 1. Glied an = n-tes Glied Beispiele: sn = Summe von n Gliedern a1 = 5; d = 2 n = Anzahl Glieder s20 = 480 a20 = 43; d = 2; s20 = 480 a20 = 43; a1=5 a6 = 15 a20 = 43; a1=5 d = 2; sn = 480 a20 = 43; a1=5 d = 2; sn = 480

])1(2[2

)(2

2

1

a2a6von

DiffNenner

4

1

2

)1(2

2

)1(

2

)1(

1

1

1

1

26

1

1

1

1

1

1

dnan

s

aan

s

aa

sn

d

aan

aad

n

aad

dnn

s

a

an

sa

dnaa

an

sa

dnaa

n

nn

n

n

n

n

n

nn

n

nn

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−+=

+=

+=

+−

=

+=−

=

−−

=

−−=

−⋅

=

−−=

−⋅

=

−+=

012

2 axaxay ++=

202

1 4 aaaD −=

64,214,14

4893

0632

1,0

2

−=+±−

=

=−+

undx

xx

Zahlreele keine2

204)2(

052

1,0

2

=−±−−

=

=+−

x

xx

4;2

0)4)(2(

086

016122

10

2

2

===−−

=+−

=+−

xx

xx

xx

xx

[ ]

43520

4802

432)120(520

⇒−⋅

=

⇒−+=

na

a

( )[ ]

( )[ ]5

2

212020

4802

54320

4802

5212043

1

1

1

⇒−−

⋅

=

⇒−⋅

=

⇒−−=

a

a

a

214

1543

2120

543

⇒−

=

⇒−−

=

d

d

20543

4802

2012

543

=+

⋅=

⇒+−

=

n

n

[ ] 4802)120(52220

480)435(220

⇒−+⋅=

⇒+=

n

n

s

s

( )( )

( )0

2

06

3033

096

1,0

1,0

2

=±−−

=

=→=−−=−+

x

oder

xxx

xx

Marcel Arnet, 08.09.00 5

4.2. Geom. Reihen + Folgen

4.2.1 Geom. Reihen, mit Ende Quotient [q] zweier aufeinander folgenden Glieder ist konstant a1 = 1. Glied an = n-tes Glied sn = Summe von n Gliedern 4.2.2 Geom. Reihen, unendlich Quotient [q] zweier aufeinander folgenden Glieder ist konstant

lim = Grenzwert a1 = 1. Glied an = n-tes Glied sn = Summe von n Gliedern sv = Teilsumme rv = Differenz zwischen Summe und Teils. Fall 1 divergente Folge Fall 2 für alle n konstante Folge

Fall 3 Nullfolge Für Fall 3: 4.2.3. Dezimalzahlen in Brüche Alle Dezimalzahlen können als Brüche geschrieben werden. k=Konstante Beispiel:

5. Abschreibungen 5.1. Anschaffungswert A = Anschaffungskosten p% = Abschreibungsquote D = jährlicher Abschreibungsbetrag S = Schrottwert Ri = Restwert im Jahr i n = Anzahl Jahre der gesamten Abschr. = jährliche Abschreibung Rv = Restwert nach v Jahren E = Einheit für die Degression 5.1.1. Konstant ohne Schrottwert Abschreibungsbetrag bleibt immer der Selbe. Am Ende der Abschreibung ist der Betrag auf 0.

[ ]

[ ]q

aaqsn

q

qqsqaan

q

aan

as

asq

qqaqa

aqaq

a

aq

a

aq

q

qas

q

qsa

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aa

aaaaaa

qaa

n

nnn

n

nn

n

nn

n

n

n

n

nn

nn

nnn

nn

log

log)1(log

log

log)1(loglog

1log

loglog

1

1

1

)1(

11

1

1

4 4

21

1

65

14

1

1

1

1

1

1

11

75611

11

−+−=

+−−−=

+−

=

−−

=

=⇒⇒⇒

=

=

=

−−

=

−−

=

=

+⇒+=

=

−

−

+

−

+−

−

∞=→> naq lim1

11 aaq n =→=

0lim1 =→<∞→ n

naq

( )

vv

vv

n

n

v

v

v

v

vv

n

n

a

qsaq

a

qsaq

s

asq

q

qas

q

qa

q

ar

rss

q

as

qsa

1

1

1

1

1

1

11

1

1

)1(

1

1

1

1

)1(

1

1

)1(

−−=

−−=

−=

−−

=

−−

−−

=

=−−

=

−=

n

AD

np

=

=100

%

100

pA ⋅

q

aksn −

+=1

1

656.030

17

30

2

30

15

30

2

2

1

1009

106

2

1

10

11

100

6

2

1

...)(006.0)(06.0)(5.0656.0

10

11.0

21

=⇒

+=+=

⋅⋅

+=−

+=

+++=

=

n

oderq

s

aak444 3444 21

D

Aoder

pn

nDA

%

100=

⋅=

Marcel Arnet, 08.09.00 6

5.1.2. Konstant mit Schrottwert Abschreibungsbetrag bleibt immer der Selbe. Am Ende der Abschreibung bleibt ein Schrottwert übrig. 5.1.3 Digital (degressiv) ohne

Schrottwert Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber immer kleiner. Am Ende der Abschreibung bleibt 0. 5.1.4 Digital (degressiv) mit

Schrottwert Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber immer kleiner. Die Abschreibungsquoten bilden eine arithmetische Folge. Am Ende der Abschreibung bleibt ein Schrottwert übrig.

5.2. Buchwert A = Anschaffungskosten p% = Abschreibungsquote w = jährlicher Abschreibungsfaktor S = Schrottwert (S=0 wenn ohne Schrottwert) Ri = Restwert im Jahr i Rn = Restwert nach n Jahren n = Anzahl Jahre der ges. Abschreibung

5.2.1 Degr. mit/ohne Schrottwert Abschreibungsbetrag ist zuerst hoch, wird aber immer kleiner. Die Abschreibungsquoten bilden eine geometrische Folge. Am Ende der Abschreibung bleibt ein Schrottwert übrig. 5.2.2. Degr. mit Abschwächung A = Anschaffungskosten p%B = Abschreibungsquote mit Abschwächung wB = jährlicher Abschreibungsfaktor mit Ab-

schwächung S = Schrottwert (S=0 wenn ohne Schrottwert) Ri = Restwert im Jahr i Rn = Restwert nach n Jahren nB = Anzahl Jahre der ges. Abschreibung mit

Abschwächung Beispiele: siehe nächste Seite

D

SAoder

pA

Sn

Spn

AR

pn

SA

n

SAD

nA

Sp

n

−

−=

=

⋅

−=

⋅−=

−=

−=

1001

1001

100

100

1001%

2

)(

)12()1(

)1(

2

2 nnEA

nvvnnn

AvAR

nn

AE

v

+=

≤⇒+−⋅+

⋅−=

+=

( )

( )

2

2)(

)12()1(

)1(

2

2 SnnEA

nvvnnn

SAvAR

nn

SAE

v

++=

≤⇒+−⋅+−

−=

+−

=

−

−=

−=

−==

−==

−=

100

%1log

)log()log(

1100

100

%1

100

%1

100

%1

p

ASn

A

Sp

pASR

pARS

poder

A

Sw

n

n

n

n

n

n

( )

( )

n

n

BB

nB

n

n

n

n

nB

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Sp

A

B

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BABSn

BA

BSp

Bp

BASR

Bp

BARS

BA

BSw

−−

−

−

=

−

+−+=

++

−=

−

−+==

−

−+==

++

=

100

%11

100

%1

100

%1log

)log()log(

1100

100

%1

100

%1

Marcel Arnet, 08.09.00 7

Beispiele: Wie hoch ist p bei degressiver Abschreibung vom Buchwert, wenn zum Anschaffungswert von Fr. 200000 und zum Schrottwert von 10000 zwecks Abschwächung je 40000 hinzugefügt werden und die Lebensdauer 10 Jahre geschätzt wird. Wie hoch ist der Restwert im 6 und 8 Jahr? Wie hoch sind die 10 Abschreibungsbeträge? Jahr Buchwert fiktiver Rest-

wert Abschrei-bung

Restwert richtig

0 240000 0 200000 1 200000 205157.367 34842 165157 2 165157 175373.106 29784 135373 3 135373 149912.853 25460 109913 4 109913 128148.859 21765 88148 5 88148 109544.511 18604 69544 6 69544 93641.098 15903 53641 7 53641 80046.505 13595 40046 8 40046 68425.542 11621 28425 9 28425 58491.684 9934 18491 10 18491 50000 8491 10000 WICHTIG: Anfangswert x wB = fiktiver Restwert 1 Restwert 1 x wB = fiktiver Restwert 2, etc. Anfangswert – fiktiver Restwert 1 = Abschreibung 1 fikt. Restwert 1 – fiktiver Restwert 2 = Abschreib. 2. etc. richtiger Anfangswert – Abschreib. 1 = Buchwert 1 Buchwert 1 – Abschreibung 2 = Buchwert 2, etc.

6. Grenzwerte 6.1 Rechenregeln ; wobei c = Konstante

6.2. Grenzwerte spezieller Funktionen

7. Differentiationen 7.1. Differentiationsregeln (wichtige Ableitungen im Formelbuch S. 37) Konstante Beispiel Faktorregel Beispiel

)ln(lim)lim(ln

lim

limlim

)(limlim

lim

limlim

limlim)lim(

limlim)lim(

lim

lim

aa

ee

an

aa

b

a

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a

baba

baba

cc

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nn

nn

==

=

=

=

⋅=⋅±=±

=

( )

( )

>=

<<∞

>∞=

<<=

=

=−=

−

=+=

+

−∞=

=

∞=

==

=

=

∞=

∞=

=

∞=

∞=

−

∞→

∞→

∞→

→∞→

→∞→

→

→

∞→

−

→→

−∞→

−∞→

−

∞→

∞→

→

∞→

∞→

10

11

10

lim

1

11

100

lim

0lim

11lim

11lim

1lim1

1lim

)(lnlim

0)(lnlim

)(lnlim

1limlim

0lim

0lim

lim

lim

0lim

1lim

lim

1

0

1

0

0

1

00

0

fürq

fürq

qfür

q

fürq

fürq

qfür

q

e

x

ex

x

exx

x

x

x

ee

e

e

e

e

x

x

x

x

x

x

x

x

n

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

x

nx

n

x

0)(

.)(

=′==

xf

constcxf

)()(

)()(

xgcxf

xgcxf

′⋅=′⋅=

xxf

xxf

2)(

5)( 2

=′+=

xxoderxf

xxf

4727)(

7)( 2

⋅⋅=′

⋅=

%51.14

40000200000

40000100001100 10

=

++

−=Bp

8548.040000200000

400001000010 =

++

=Bw

( )

( )

28425

40000100

51.141240000

53641

40000100

51.14140000200000

8

8

8

6

6

6

=

−

−==

=

−

−+==

R

SR

R

SR

Marcel Arnet, 08.09.00 8

Summenregel Beispiel Potenzregel Beispiel Produkteregel Beispiel: Quotientenregel Beispiel:

Kettenregel Beispiel:

7.2. Differentiation einiger wichtiger Funktionen

Siehe Formelbuch S. 37

7.3. Umkehrfunktion Vertauscht man in einer F-Gleichung das Argument (x) mit der Variablen (y), löst die Gleichung nach y auf, erhält man die Umkehrfunktion: Schreibweise: Beispiel:

8. Kurvendiskussion 8.1. Definitionsbereich Welche Zahlen umfasst der Diskussionsbereich D = ?

8.2. Stetigkeit Ganzrationale Funktion ist stetig + differenzierbar

8.3. Symmetrie Achsen- oder Punktsymmetrie? Ist f(-x) = f(x) für alle x, so ist y = f(x) achsensym-metrisch bezüglich der y-Achse: Beispiel: Ist f(-x) = -f(x) für alle x, so ist y=f(x) punktsymme-trisch bezüglich 0 Beispiel:

8.4. Grenzwerte Man setzt für x Grenzwerte unendlich (pos. +neg.) ein und schaut wohin das führt Beispiel: Wenn Exponent gerade, immer positiv = negativ, wenn Exponent ungerade, unterschiedlich

)()()(

)()()(

xvxuxf

xvxuxf

′±′=′±=

1)(

.)(−⋅=′

=n

n

xnxf

xxf

)()()()()(

)()()(

xvxuxvxuxf

xvxuxf

′⋅+⋅′=′⋅=

xxxf

xxxf

43)(

2)(2

23

+=′

+=

314

4

1644)(

.4)(

xxxf

xxf

=⋅=′

=−

( ) ( )( )

333

22

2

222

84444)(

2214)(

2)(1)(

4)(2)(12)(

xxxxxxf

xxxxxf

xxvxxv

xxuxxuxxxf

+=++=′

⋅++⋅=′

=′⇒+=

=′⇒=+⋅=

[ ]2)(

)()()()()(

)(

)()(

xv

xvxuxvxuxf

xv

xuxf

′⋅−⋅′=′

=

( )( )

( )

( )23

24

23

244

3

223

23

2

3

2

1

92

)1(

9322)(

1

)3(3)1(2)(

3)(1)(

2)(3)(

1

3)(

+

++−=

++−+

=′

+−−+

=′

=′⇒+=

=′⇒−=

+−

=

x

xxx

x

xxxxxf

x

xxxxxf

xxvxxv

xxuxxu

x

xxf

22

1)(

auflöseny nach ; 42

heny vertausc und x ; 42)(

1 +−==

+−=+−==

− xxfy

yx

xxfy

)(1 xfy −=

[ ])()()(

)(()(

xgxfxf

xgfxf

′⋅′=′=

( )( )

xxxf

xxxf

xxgxxg

xxfxxf

2)1(2

1)(

)1(1)(

212

2)(1)(

)1(2

1)(1)(

2122

2

12122

12

⋅+=′

+⇒+=

−

=′⇒+=

+=′⇒+=−

44444 344444 21

( ) ( ) 2424

24

22)2(22)2(

?)()(

)(

−==−−−=−

=−−=

ff

xfxf

xxxf

( )[ ] ( )[ ] 2424

24

22)2(22)2(

?)()(

)(

−=≠−−−=−

−=−−=

ff

xfxf

xxxf

−∞=

+∞=+−=

+∞=

+∞=−=

−∞→

+∞→

−∞→

+∞→

x

x

x

x

xxxf

oder

xxxf

lim

lim

323)(

lim

lim

)(

23

24

Marcel Arnet, 08.09.00 9

8.5. Asymptoten Nur bei gebrochenen rationalen Funktionen wird das Verhalten für sehr grosse x untersucht. Es gibt 3 Fälle: 8.5.1. Grad Zähler ist kleiner als

Grad Nenner Beispiel x-Achse = Asymptote 8.5.2. Grad Zähler ist gleich wie

Grad Nenner Beispiel Parallele zur x-Achse = Asymptote. 8.5.3. Grad Nenner ist kleiner wie

Grad Zähler Beispiel Wenn x gegen unendlich strebt, verschwindet der zweite Summand. Somit ergibt sich eine y=x und eine Gerade durch 0. Dies ist die Asymptote.

8.6. Polstellen Nur bei gebrochen rationalen Funktionen!!! x strebt gegen Zahlen welche aus dem Def.-Bereich ausgeschlossen sind. Beispiel: Die Polstelle ist immer eine parallele zu der y-Achse und führt in diesem Fall nach –/+ Unendlich.

8.7. Nullstellen Man setzt den x-Wert auf Null und löst Gleichung nach x auf . So erhält man die Schnittpunkte mit der y-Achse. Eine ganzrationale Funktion n-Grades hat höchstens n verschiedene Nullstellen.

Beispiel: 8.7.1 Nullstellen bei Funktionen

höheren Grades Sollte das obenerwähnte Verfahren nicht aufgehen, z.B. bei einer Gleichung höheren Grades, dann gibt es verschiedene andere Anwendungen Beispiel: Keine Möglichkeit mit „normalem“ Verfahren 8.7.2 Nullstellen nach Newton Iteratives Näherungsverfahren mit der Formel. Kann nur bei differenzierbaren Funktionen an-gewendet werden. wobei für x irgendein Wert angenommen wird. Zu beachten ist, das nach dem ersten Verfahren mit Newton die Zahl x2 möglichst nahe bei 0 liegen muss. Ansonsten muss eine andere Zahl genom-men werden. Beispiel: Eine Nullstelle liegt nun bei –0.0565198. Da es eine Potenz 3. Grades in der Funktionsgleichung hat, könnte es bis zu drei Nullstellen geben. Die höchste Potenz in der Funktionsgleichung zeigt an, wieviel Nullstellen es geben kann.

( )

xx

x

xx

xx

xfxxxf

oder

xxx

xx

xx

xfxxxf

=±→=

=

=−=

=→−=

=+=−=−=

−=

=→−=

24

4

4

40

0)(4)(

0;1;1

10

0

0)()(

2

3

3

321

22

24

24

323

10

0323

1)(

23

23

+−=

=+−=

xx

xxxf

)(

)(1

n

nnn xf

xfxx

′−=+

0565198.0088741.2

00000001.0565198.0

0565198.0089008.2

000103.0565247.0

565247.0122449.2

013120.0571429.0

571429.075.1

125.05.0

75.1)(;25.1)(;5,0

!angenommen 0.5- wirdFür x1

23)(5.0)(

5

4

3

2

111

223

−→−

−−=

−→−

−−=

−→−

−−=

−→−−=

=′=−=

−=′→+−=

x

x

x

x

xfxfx

xxxfxxxf

01

1

1

1lim

1)(

222

2

2

2

→+

→+

=

+=

+∞→

x

x

xx

xx

xx

xxf

x

21

1

12

1

12

lim

1

12)(

2

2

22

2

22

2

2

2

→+

−→

+

−=

+−

=

+∞→

x

x

xx

xxx

x

x

xxf

x

( ) ( )1

121:1

1

1)(

223

2

3

−+

+=−++

−++

=

x

xxxxx

x

xxxf

−∞=⇒∞=

=→−

=

−+ →→)(lim)(lim

11

)(

11

2

xfxf

RohneDfx

xxf

xx

Marcel Arnet, 08.09.00 10

8.7.3 Nullstellen nach Regula falsi Iteratives Verfahren, ohne das die Funktion diffe-rentierbar sein muss. Die Formel lautet: Beispiel: da f(x3) positiv ist, wird x3 nun anstelle von x1 ge-setzt. Nur so gilt wieder f(x1)· f(x2)<0. daraus folgt: da f(x3) wieder positiv ist, wird x3 nun anstelle von x1 gesetzt. Nur so gilt wieder f(x1)· f(x2)<0. Dieses Verfahren wird so lange fortgesetzt, bis mein f(x3)-Wert nahe Null ist. 8.7.4 Nullstellen durch Division

und Anzahl der Nullstellen bestimmen

Eine ganzrationale (ganze Zahlen) Funktion n-Gra-des kann auch bis auf eine Quadratische reduziert werden, um die restlichen Nullstellen herauszufin-den. Die erste Nullstelle kann nach Newton oder Regula Falsi bestimmt werden. Die erweitern kön-nen mittels Divisionsverfahren herausgefunden werden. Um zu entscheiden, ob das Polynom noch weitere Nullstellen besitzt, dividiert man das Polynom durch den Linearfaktor (x-xn). Gibt es noch weitere Null-stellen, darf bei dieser Division kein Rest entstehen. Gibt es keine weiteren, erhält man in der Regel einen Rest. Beispiel: (Behandlung von Division von Brüchen siehe auch unter Kapitel 1.5.)

Nun weiss man, da es keinen Rest gegeben hat, dass es noch mehr Nullstellen haben muss. Man kann mittels Newton, Regula falsi oder durch erra-ten weitere Nullstellen herausfinden. Es gab wieder kein Rest. Da man jetzt aber eine Quadratische Gleichung erhält, kann mit der allg. Nullstellenbestimmung (à3.2.5) die restliche(n) bestimmen. Eine ganzrationale Funktion 4-Grades hat höch-stens 4 verschiedene Nullstellen.

8.8. Extremwerte Erhält man , in dem man y in der 1. Ableitung auf Null setzt. Somit sind die Nullstellen an den x-Werten bekannt, aber nicht ob Minimum oder Maximum. Mittels 2. Ableitung erhält man die Auskunft, ob Min. oder Max., indem man die x-Werte einsetzt. Daraus folgt: Beispiel: Um die y-Werte der Extremwerte nun zu erreichen, setzen wir die erhaltenen x-Werte in die Ausgangs-gleichung ein. Beispiel:

( )( ) ( ) 0,

)()(

21

12

12223

<⋅−−

⋅−=

xfxfwobei

xfxf

xxxfxx

( ) ( ) 375.015.05.0)5.0.(

5.031

11)1(1

1)(1

3)(1

1)(

33

3

2

1

3

=+−+−=−→

−=−−−−

⋅−−−=

−=→−==→=++=

bzwxf

x

xfx

xfx

xxxf

( ) ( ) ...105935.013636.03636.0

)3636.0.(

363636.0375.01

)5.0(1)1(1

1)(1

375.0)(5.0

3

3

3

2

13

=+−+−

=−→

−=−−

−−−⋅−−−=

−=→−==→−=→

bzwxf

x

xfx

xfxx

( ) 242691:24503510

1lautet underraten wurde xNullstelle Die

24503510)(

23234

01

234

−+−=−+−+−

+

+−+−=

xxxxxxxx

xxxxxf

( )[ ] ?:)( =±− nxxxf

( ) 1272:24269

2lautet underraten wurde xNullstelle 2. Die223

02

+−=−−+−

+

xxxxxx

=

=±+=

−±+=

+−

4

3

2

17

2

48497,

127

04

030403

2

x

xxx

xx

2

1;

2

1;0

)12(20

240)(

24)()(

321

2

3

324

−===

−=

−==′

−=′→−=

xxx

xx

xxxy

xxxfxxxf

( )

..422

112)

2

1()(

..422

112)

2

1()(

..22012)0()(

212)()(

2

2

2

2

21

224

Minrelfxf

Minrelfxf

Maxrelfxf

xxfxxxf

→=−

−⋅=−′′=′′

→=−

⋅=′′=′′

→−=−⋅=′′=′′

−=′′→−=

( )( )( )

==′′

=>′′

=<′′

=′

tSattelpunk0

(Tief) Minimum rel.0

(Hoch) Maximum rel.0

und 0

0

0

0

0

xy

xy

xy

)(xy

25.02

1

2

1)

2

1()(

25.02

1

2

1)

2

1()(

0)0()(

)(

24

2

24

2

241

24

−→

−−

−=−=

−→−==

→−==

−=

fxf

fxf

xxfxf

xxxf

Marcel Arnet, 08.09.00 11

Daraus folgt: In der Gleichung f(x)=x4-x2 haben an folgenden Punkten Extremwerte:

8.9. Krümmungsverhalten Gibt Auskunft, ob konkav (rechts-) oder konvex (links gekrümmt). Dies sieht man in der 2. Ableitung

8.10. Wende- und Sattelpunkte Wechsel zwischen konvex und konkav oder Umge-kehrt. Bei einem Sattelpunkt ist eine Wendestelle mit horizontaler Tangente Beispiel Setzt man nun den erhaltenen x-Wert in die Aus-gangsgleichung, erhält man den dazugehörigen y-Wert der/des Wendepunkte(s).

9. Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen

9.1. Nachfragefunktion Beispiel: 9.2. Formeln Gesamtkosten 9.2.1. Gesamtkostenfunktion Beispiel: 9.2.2. Fixkosten Beispiel:

9.2.3. Variable Kosten Beispiel:

9.3. Formeln Durchschnitts-kosten

9.3.1. Totale Durchschnittskosten Beispiel: 9.3.2. Durchschn. Fixkosten Beispiel: 9.3.3. Durchschn. variable Kosten Beispiel:

9.4. Formeln Gewinn + Erlös 9.4.1 Gesamterlös Beispiel: 9.4.2. Gesamtgewinn Beispiel: 9.4.3. Durchschnittsgewinn Beispiel: 9.4.4. Grenzgewinn Beispiel:

( )

konvex Minimum, relatives25,0;2

1

konvex Minimum, relatives25,0;2

1

konkav Maximum, relatives0;0

→

−

−

→

−

→

P

P

P

konvexxy

konkavxy

→>′′

→<′′

0)(

0)(

tSattelpunkxxyxy

eWendestellxxyxy

=→=′′′+=′′

=→≠′′′+=′′

000

000

0)(0)(

0)(0)(

06

124)

6

1(

6

1

12

2

122

2120)(

24)(212)()(

2

2

224

≠±⋅=±′′′

±→±=

=−

−==′′

=′′′→−=′′→−=

y

x

x

xxy

xxfxxfxxxf

8138.06

1

6

1

6

1

)(24

24

±=

±−

±=

±

−=

f

xxxf

dcxbxaxxYK +++= 23)(

200=fYdY f =

20015020)( 23 ++−= xxxxYK

fKv YxYxY −= )()(

xxxxYK 15020)( 23 +−=

x

xYxY K

KD

)()( =

xxx

x

xxxxYKD

20015020

20015020)(

2

23

++−→

++−=

x

YY f

fD = xY fD

200=

x

xYxY v

vD

)()( =

15020

15020)(

2

23

+−→

+−=

xx

x

xxxxYvD

300)( +−= xxYN

)(Pr)( xYxeisMengexY NE ⋅→⋅=

xxxxxYE 300)300()( 2 +−=+−⋅=

)()()( xYxYxY KEG −=

( ) ( )20015019

20015020300)(23

232

−++−→

++−−+−=

xxx

xxxxxxYG

x

xYxY G

GD

)()( =

xxx

x

xxxxYGD

20015019

20015019)(

2

23

−++−→

−++−=

)(xYG′ 150383)( 2 ++−=′ xxxYG

Marcel Arnet, 08.09.00 12

9.4.5. Menge des max. Erlöses Beispiel: Die Menge 150 ergibt den grösstmöglichen Erlös von 22500. 9.4.6. Gewinnmaximum beim

Monopol Beispiel: Das heisst bei einer Menge von 15.83 und einem Preis von 284.17 würde das Gewinnmaximum er-reicht. Merke: Beim Cournotschen Punkt (=Gewinnmaximum) ist die Nachfrage stets elastisch oder fliessend! 9.4.7. Gewinnmaximum beim

Polypol Beispiel: Das heisst bei einer Menge von 8 und einem Preis von 60 würde der Gesamtgewinn von Fr. 158.— erreicht.

9.4.8. Gewinnmaximierung mit

indirekten Steuern R = Gesamtsteuer = r · x r = Steuer pro Stück Beispiel: Bei einer indirekten Steuer von Fr. 2.—pro Stück wäre die gewinnmaximierende Menge 7.3 Stück und der Preis pro Stück Fr. 3.832. 9.4.9. Gesamtsteuer R = r · x Für das obenerwähnte Beispiel gilt: Die Gesamtsteuer beträgt beim Gewinnmaximum Fr. 14.6. 9.4.10. Steuerrate festlegen, damit

möglichst hohes Steuerauf-kommen erzielt wird

Die Kostenfunktion Ykr(x) muss abgeleitet und nach r aufgelöst werden. Beispiel: Die Steuerrate müsste nun wie oben festgelegt werden, damit der Staat ein möglichst hohes Steu-eraufkommen erzielt. ./.

0)(

)()(

=′

′=′

xY

oder

xYxY

G

EK

17.28430083.15)83.15(

83,15

16,3

6

1800144438

2

D

Verf. allg.nach Auflösung1503830

3002150403

300)(

2

12/1

2

2

→+−=

=

−=+±→

±−=

−−=

+−=+−

+−=

N

N

Y

x

x

a

bx

xx

xxx

xxY

0)( =′ xYE

( ) ( )22500

150300150)150(

150

30020)(

300)(

2

2

→

⋅+−=

=

+−==′

+−=

E

E

E

Y

x

xxY

xxxY

0)()(

0)(

)()(

=′−′

=′

⇒=′⇒⋅=

xYxY

xY

YpxYxpxY

KE

G

EE

( )158322480)(

)8(8)8(

Menge gewinnmax.8;0

0)243(

0243x

606024x-3x

)(

/60

120;986012)(

21

2

2

23

=−=

−⋅=

⇒==

=−

=−

=+

=′

=

≤≤++−=

xY

YpY

xx

xx

x

pxY

MEGEp

xxxxxY

G

KG

K

K

832.3)3.7(

3.7;0

0)88.012.0(

088.012.0

532.0232.112.0

)()(

)516.0()(516.0)(

2336.004.0)(

2/2

336.004.0)(

21

2

2

23

23

=

==

=−

=−

+−=++−

′=′

+−⋅=⇒+−=

+++−=

⇒=

++−=

N

EKr

EN

Kr

K

Y

xx

xx

xx

xxx

xYxY

xxxYxxY

xxxxxY

xMEGEr

xxxxY

)()( xYxY EKr′=′

6.143.72 =⋅=R

288.012.0

0288.012.0

532.032.112.0

)()(

)516.0()(516.0)(

)(336.004.0)(

336.004.0)(

2

2

2

23

23

++−=

=+−−

+−=++−

′=′

+−⋅=⇒+−=

⋅+++−=

++−=

xxr

rxx

xrxx

xYxY

xxxYxxY

xrxxxxY

xxxxY

EKr

EN

Kr

K

Marcel Arnet, 08.09.00 13

Die Gesamtsteuer würde wie folgt berechnet:

Auflösung nach allgemeinem Lösungsverfahren:

Die Gesamtsteuer würde bei der oben berechneten Steuerrate Fr. 17.792 ergeben. 9.4.11 Gewinnmaximierung mit

Subventionen S = Gesamtsubvention = s · x s = Subvention pro Stück Gleich wie bei den Steuern, ausser das eine Sub-vention von den Kosten abgezogen würde

9.5. Formeln Grenzfunktionen 9.5.1. Grenzkosten Beispiel: 9.5.2. Grenzerlös Beispiel:

9.6. Formeln Deckungsbeitrag 9.6.1. Totaler Deckungsbeitrag Beispiel: 9.6.2. Deckungsbeitrag per Stk. Beispiel:

9.7. Marktgleichgewicht YN(X) = Nachfragef.; YA(X)= Angebotsf.

Beispiel:

Das heisst, dass das Marktgleichgewicht bei einem Preis von 10 eine Menge von 4 erreicht wird.

9.8. Preisuntergrenzen 9.8.1. langfr. Preisuntergrenze Minimum der Durchschnittskosten Beispiel: Näherungsverfahren nach Newton nötig, um Null-stelle zu bestimmen. 9.8.2. kurzfr. Preisuntergrenze Beispiel: Die kurzfristige Preisuntergrenze liegt bei einer Menge von 10 und einem Preis von 50

9.9. Break-even-point / Nut-zenschwelle, -grenze

Gewinnschwelle Beispiel: Auflösung mittels Näherungsverfahren nach Newton Kleinste Zahl = Nutzschwelle; Grösste Zahl = Nutzengrenze

)()( xYxY AN =

10)436(2

1)4(;10)14(2)4(

damit wegalso Bereich,-Def.in nicht fällt x

8

4

1

362

2

4

:fahrenLösungsver Allg.

1622

1

2

118220

)1(2)36(2

1

62

1

)36(2

1)(

)1(2)(

2

2

2

12

2/1

22

2

2

=−⋅==+⋅=

−=

=±−=

−±−=

−+=

−−−+=

+⋅=−⋅

≤≤

−⋅=

+⋅=

NA

N

A

YY

x

x

a

acbbx

xxxx

xx

xxxY

xxY

)(xYK′ 150403)( 2 +−=′ xxxYK

)(xYE′ 3002 +−=′ xYE

)()()( xYxYxY vED −=

( ) ( )

( ) ( ) ( )83.1515083.151983.15)83.15(

15019

15020300)(

mumGewinnmaxi vomMenge dieist Basis

23

23

232

⋅+⋅+−=

++−→

+−−+−=

D

D

Y

xxx

xxxxxxY

)()()(

)()(

xYxYxY

xYxY

vDEDDD

NED

−=

=

( )( )( )15083.152083.1517.284)83.15(

1502017.284)(

Gewinnmax. vomPreisder und Menge dieist Basis

2

2

+⋅−−=

+−−=

D

DD

Y

xxxY

)()( xYxY KDK =′

xxxxx

20015020150403 22 ++−=+−

)()( xYxY vDK =′

50)10(

10

220

2020

15020150403

2

2

22

=′

=

=

−=

+−=+−

KY

x

xx

xx

xxxx

)()(

0)()()(

xYxY

oder

xYxYxY

EK

KEG

=

=−=

200150190

3002001502023

223

−++−=

+−=++−

xxx

xxxxx

276.136.00

288.012.0)288.012.0(2

232

++−==′

++−=++−=

xxR

xxxxxxR

792.17)383.5(

383.5;494.0

276.136.00

21

2

=

=−=

++−==′

R

xx

xxR

Marcel Arnet, 08.09.00 14

10. Preiselastizitäten 10.1. Nachfrageelastizität Es gilt: Vollkommen elastisch: Parallel zur x-Achse E=unendl. Vollkommen unelastisch: Parallel zur y-Achse E=0 Formel: Falls angegeben: Beispiel:

10.2. Angebotselastizität Es gilt: Formel:

10.3. Amoroso-Robinson Mit dieser Gleichung kann nachgewiesen werden, dass der Grenzerlös von dem Preis und dem Elasti-zitätskoeffizienten abhängig ist. Formel:

11. Lineare Optimierung 11.1. Allgemeines Vorgehen 1. Nichtnegativitätsbedingung: 2. Restriktionen 3. Zielfunktion

Beispiel: Eine Bergwerksgesellschaft fördert die gleiche Erzsorte in zwei Gruben G1 und G2 die an 3 Verhüttungswerken W1, W2 und W3 geliefert werden. Die Höhe der Tagesförderung, der Mindestbedarf der 3 Verhüttungswerke in der Woche und die täglichen Produk-tionskosten sind in der folgenden Tabelle angegeben. An wieviel Tagen muss in den einzelnen Gruben Erz gefördert werden, damit der Bedarf erfüllt wir und die Produktions-kosten möglichst gering sind? Tageförderung in t

G1 G2 Bedarf je Woche

W1 W2 W3

2 1 1 1 1 4

8 6 12

Prod.kosten je Tag in SFR

100 200 Min.

1. Nichnegativitätsbedingung 2. Restriktionen 3. Zielfunktion Beim Zeichnen ist darauf zu achten, dass bei einem Minimum der Bereich rechts der Restriktionsgera-den Maximum der Bereich links der Restriktionsge-raden gilt. Das zulässige Ziel ist jeweils der Eckpunkt: Maximum der letztmögliche Minimum der erstmögliche 11.2. Lineare Optimierung mit 3

x-Werten NUR MÖGLICH, WENN MINDESTENS EINE RE-STRIKTION EINE GLEICHUNG UND KEINE UN-GLEICHUNG IST!!! Beispiel: Ein Wohnwagenhersteller stellt drei Typen A, B, C von Caravans her. Die Grundmontage erfolgt in Werk 1, die Herstellung der Inneneinrichtung in Werk 2. Die Anzahl der Arbeitsstunden, die für die Herstellung eines WW erforder-lich sind, die Gesamtanzahl der zur Verfügung stehenden Arbeits-h im Monat sowie die Gewinne je Wohnwagen sind wie folgt: Arbeitszeit je WW

A B C Gesamtanzahl der h

Werk I 40 60 20 11200 h Werk 2 80 60 40 17600 h Gewinn je WW 400 500 200 Max. Die Firma stellt im Monat insgesamt 300 WW her. Von Typ A können höchstens 120, von Typ B höchstens 100 WW/Monat produziert werden. Wieviele WW müssen von jedem Typ im Monat hergestellt werden, damit der G möglichst gross ist. 1. Nichtnegativitätsbedingung 2. Restriktionen

)(

1)(

)(

)()(

xYx

xY

xdY

dx

x

xYx

N

N

N

NN ′

⋅=⋅=∈

}

48.0160

1

80

6100)80(

80für xnt tkoeffizieElastizitä :Gesucht

1005012500)( 2

−≈⋅−

=∈

=

≤≤+−=

N

N xxxY

)(

1)()(

xYx

xYx

A

AA ′

⋅=∈

fliessend1)(

Güter .lebensnotwhunelastisc1)(

Luxusgüter elastisch1)(

→−=∈

→→−>∈

→→−<∈

x

x

x

N

N

N

fliessend1)(

sprobl.Produktionverderbl./hunelastisc1)(

erbar./konserviMassenprodelastisch1)(

→=∈

→→<∈

→→>∈

x

x

x

A

A

A

∈+⋅=′

)(

11)()(

xxYxY

NNE

34

1124

66

8282

1221

1221

1221

+−≥⇒≥+

+−≥⇒≥+

+−≥⇒≥+

xxxx

xxxx

xxxx

2002

1.200100 1221

ZxxMinZx +−=⇒→=+

213321

21

321

321

300300)

100;120)

17600406080)

11200206040)

xxxxxxd

xxc

xxxb

xxxa

−−=⇒=++

≤≤

≤++

≤++

02/1 ≥x

)()(

)(

)()( xY

xY

x

dx

xdY

xY

xx N

N

N

NN

′⋅=⋅=∈

02/1 ≥x

Marcel Arnet, 08.09.00 15

Daraus folgt, dass die 4. Restriktion nach x3 aufgelöst werden kann. Dieses Ergebnis wird dann in für x3 in die anderen Gleichungen eingesetzt: 3. Zielfunktion Schlussendlich wird dies behandelt wie 12.1.! Die restli-chen Wohnwagen von den 300 sind dann automatisch x3-WW.

11.3. Spezialfälle 12.3.1 Zielfunktion = Restriktion In diesem Fall sind sämtliche Lösungen auf der Lösungsgeraden der Restriktion optimal. Bei Max. und Min.

11.3.2. Lösungsmenge ist nicht be-

schränkt Ex existiert kein Maximum. Kommt nur bei Max. vor

11.3.3. Lösungsm. wird durch Ach-

sen d. Koordinaten beschr. Wertepaar (0;0) ist Zielfunktion. Kommt nur bei Min. vor.

11.3.4. Lösungsmenge ist leer Die einschränkenden Bedingungen widersprechen sich. Somit gibt es keine Lösung

11.4. Konstanter Deckungsbei-trag

Angenommen der ein Deckungsbeitrag bleibt kon-stant, muss der Bereich einer linearen Optimierung verschoben werden, ohne dass sich die Zielfunktion ändert.

Beispiel: Der Zielbereich ist der Schnittpunkt folgender Re-striktionen: Die Zielfunktion sieht so aus: Der Deckungsbeitrag von x2 von 4000 soll nicht verändert werden. In welchem Bereich darf der DB von x1 schwanken? mz = Steigung der Zielfunktion ma = Steigung der Restriktion a mb = Steigung der Restriktion b Der Deckungsbeitrag von x1 darf zwischen 1600 und 5333.33.. schwanken

12. Statistik 12.1. Skalierung und Zählung Skala Beschreibung Beispiel Nominal Merkmale sind unterscheidbar,

aber keine Reihenfolge Geschlecht, Religion, Beruf, Nationalität

Ordinal natürliche Rangordnung, jedoch keine Abstände erkennbar

Noten

metrisch Rangordnung da und Abstände quantifizierbar

Kilometer, Temperatu-ren

diskrete Merkmale Zählvorgang in ganzen Einheiten stetige Merkmale Zählvorgang in Einheiten mit Dezimalzahlen

12.2. Lagemasse 12.2.1. Modus Wert, welcher in einer Verteilung am häufigsten vorkommt Anwendung: bei mehrgipfligen Verteilungen Vorteil: keine Berechnung erforderlich fällt immer mit existierenden Merk-

malswerten zusammen Nachteil: charakterisiert nur Grössen an einer

bestimmten Stelle. Somit wird nur ein Bruchteil der verfügbaren Infos aus-geschöpft

Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten: Kann direkt abgelesen werden. Bei in Klassen eingeteilten Werten: Mo = Modus xu = Untergrenze der Klasse, in die der

Modus fällt f0 = Häufigkeit der Modus-Klasse f0-1= Häufigkeit der vorangehenden Kl. f0+1= Häufigkeit der nachfolgenden Kl. i = Klassenbreite, bei allen Kl. gleich

300)

100;120)

2802)

2602

11200))300(20(6040)

21

21

21

21

2121

=+

≤≤

≤+

≤+⇒

≤−−++

xxd

xxc

xxb

xx

xxxxa

.60000300200

.)300(200500400

.200500400

21

2121

321

MaxZxx

MaxZxxxx

MaxZxx

→=++⇒

→=−−++⇒

→=++

85

2120015060)

3

113

3

48006080)

1221

1221

+−≤⇒≤+

+−≤⇒≤+

xxxxb

xxxxa

40004

5

.40005000

2

21

Zx

MaxZxx

+−=⇒

→=+

1600500033.5333

40005

2

4000

5000

3

4

≤≤

−⋅

−≤−≤−

≤≤ mbmzma

⋅

−−⋅

−+=

+−

− ifff

ffxM uo

10100

100

)2(

Restriktion =Lösungsmenge

Zielfunktion

Marcel Arnet, 08.09.00 16

12.2.2. Median Merkmalsausprägung des Wertes, welcher eine der Grösse nach geordneten Reihe halbiert. Anwendung: Fälle, in welchen AM nicht angewen-

det wird. Speziell bei extrem kleinen Stichproben, Häufigkeitsverteilung mit offenen Klassen, bei ausgesprochen schiefen Verteilungen.

Vorteil: ohne Berechnung bestimmbar Extremwerte haben keinen verzer-

renden Einfluss Charakterisiert auch Verteilungen mit

kleinem Umfang Summe der absoluten Abweichungen

aller Merkmalswerte vom Median ist klein

Nachteil: Es werden nur Rangnummern einbe-zogen

Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten: z = Ordnungsnummer n = Anzahl der Werte Bei der Ordnungsnummer z entspricht der Wert dem Median: Bei in Klassen eingeteilten Werten: Mz = Median xu = Untergrenze der Kl., in die der Medi-

an fällt fu = Häufigkeit aller vorangehenden Kl. fe = Häufigkeit der Kl., in welche der Me-

dian fällt i = Klassenbreite, bei allen Kl. gleich Beispiel: Punktzahlen bei einer Prüfung (n=34) Punkte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Schüler 0 0 1 0 1 0 2 1 3 0 1

Punkte 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Schüler 2 3 6 5 4 3 2 1 1 1

Schritt 1 Der 17.5 Schüler gilt als Median. 17.5 fällt zwischen die Klasse 17 und 18. Kumuliert man die Anzahl Schüler der 17 bzw. 18 Klasse, sieht die Punktzahl des 17.5 Schülers wie folgt aus: 12.2.3. Arithmetisches Mittel Summe der Merkmalsausprägung geteilt durch deren Anzahl Anwendung: Kann immer angewendet werden.

Sollte jedoch nicht berechnet werden bei: kleinen Stichproben, schiefer Verteilung, Veränderung im Zeitablauf

Vorteil: Jeder Wert hat Einfluss auf Berech-nung.

Nachteil: Da jeder Wert Einfluss hat, können Extremwerte das AM verzerren.

AM kann ein Wert sein, welches in der Verteilung selbst nicht gibt.

Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten: Bei in Klassen eingeteilten Werten: 12.2.4. Geometrisches Mittel Berechnung von Wachstumsraten Anwendung: Bestimmung des Durchschnittes von

Veränderungen Um Wachstumtendenzen zu berück-

sichtigen Vorteil: Aussagekräftiger Durchschnittswert

bei multiplikativ verknüpften Daten. Extremwerte haben geringeren Ein-

fluss als bei AM Nachteil: theoretischer Wert (Wert, welcher in

der Verteilung nicht vorkommt Einzelne Veränderungsraten sind bekannt: Anfangs- und Endwert sind bekannt: Beispiel: Problem Bruttosozialprodukt: Das BSP beträgt 1965 Fr. 62190, 1980 Fr. 177345 und 1994 Fr. 365635. Zwischen 1965 und 1980 ist es somit um angestiegen. Wie hoch wäre es 1994, wenn es ab 1965 in der selben Wachstumsrate wie 1965 – 1980 angestie-gen wäre: 12.2.5 Schiefe einer Verteilung Normalverteilung = Symmetrisch: Mo=AM=Mz Rechtsschief = Mo > AM < Mz Linksschief = Mo< AM > Mz

12.3. Streuungsmasse 12.3.1 Spannweite Differenz zwischen dem grössten und kleinsten Merkmalswert.

2

1+=

nz

⋅−

+

+= if

fn

xMe

u

uz2

1

n

xxxx

n

xx n

n

ii ++++

==∑

= ...3211

( )( ) ( ) ( )

∑∑

∑

==

= ⋅++⋅+⋅=

⋅

=n

ii

nnn

ii

n

iii

f

fxfxfx

f

fxx

1

2211

1

1 ...

( ) 1001...321% ⋅−⋅⋅⋅⋅= nnxxxxG

10011

1% ⋅

−

=

== −n

n

xtAnfangswer

xEndwertG

minmax xxSW −=

%72100162190

17734515

% =⋅

−=G

4716046219062190

17734529

15% =⋅

=G

5.172

134=

+=z

.5.132

1413

21817 Pkt

xxKlasse =

+=

+=

Marcel Arnet, 08.09.00 17

12.3.2. Mittlere, absol. Abweichung AM aus den absoluten Beträgen der Abweichung aller Werte einer Verteilung vom AM Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten: Bei in Klassen eingeteilten Werten: 12.3.3. Varianz Summe der Abweichungsquadrate aller Werte einer Verteilung vom AM, dividiert durch die Anzahl Werte Bei nicht in Klassen eingeteilten Werten: Bei in Klassen eingeteilten Werten: 12.3.4. Standardabweichung Standardabweichung umgeht das Problem der Quadratur bei der Varianz 12.3.5. Variationskoeffizient Prozentuales Verhältnis der Standardabweichung zum AM. Es handelt sich um ein relatives Streu-ungsmass.

12.4. Zeitreihen / Trends 12.4.1. Lineare Regression Analyse der Beziehung von zwei Datenreihen. b = Schnittpunkt der Trendfunktion mit y-Achse a = Steigung der Trendfunktion x = unabhängige Variable n = Anzahl Werte Das Ganze ergibt schlussendlich eine lineare Funk-tion: y = b + a · x 1. 2. Alternativformel:

12.5. Korrelationskoeffizient 12.5.1. nach Bravais-Pearson Anwendung bei metrisch skalierten Variablen. Er gibt den linearen Zusammenhang zwischen 2 Merkmalen an und kann so als Gütemass einer lin. Regression verwendet werden AUSWERTUNG: Das Ergebnis liegt immer zwischen –1 und +1. Je näher der Wert an einer Geraden liegt, desto näher liegt rxy bei +1, wenn die Gerade eine positive Stei-gung hat und bei –1, wenn die Gerade eine negati-ve Steigung aufweist 12.5.2. Rangkorrelationskoeffizient Anwendung bei ordinal skalierten Variablen. Den Reihen müssen Ränge verteilt werden, mit welchen gearbeitet wird. di = Differenz des Rangplatzpaares (rxi – ryi) n = Anzahl der Rangplätze Beispiel: Verwaltungs-effizienz xi

r(xi) Bürgerzu-friedenheit yi

r(yi) di

(rxi – ryi) di

2

150 141 128 120 100

1 2 3 4 5

135 130 105 110 95

1 2 4 3 5

0 0 -1 1 0

0 0 1 1 0

0 2

Die Verwaltungseff. und die Bürgerzufriedenheit korrelieren stark positiv miteinander (Auswertung siehe unter Bravais-Pearson)

12.6. Wahrscheinlichkeit 12.6.1. Zentrale Axiome (Regeln) Jedem Ereignis eines klar definierten Ereignis- oder Stichprobenraum wird eine Wahrscheinlichkeit zwi-schen 0 und 1 zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeit p eines sicheren Ereignisses S ist stets 1, die Wahrscheinlichkeit eines unmögli-chen Ereignisses ist stets 0. Die Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B, die sich gegenseitig ausschliessen, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. Sind zwei oder mehrere Ereignisse nicht diskjunkt (=sich gegenseitig ausschliessend), so muss die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung noch um die Doppelzählung (Schnittmenge) korrigiert werden: Beispiel: Ereignis A: Ein Ass aus einem Kartenspiel ziehen Ereignis B: Eine Rose aus einem Kartenspiel ziehen

( ) ( )n

xxxx

n

xx

d n

n

ii −++−

=

−

=∑

=...11

( ) ( ) ( )

∑∑

∑

==

=⋅−++⋅−

=

⋅−

=n

ii

nn

n

ii

n

iii

f

fxxfxx

f

fxx

d

1

11

1

1..

( ) ( ) ( )n

xxxx

n

xxn

n

ii 22

11

2

2 ... −++−=

−

=∑

=σ

[ ]( )[ ]( ) [ ]( )

∑∑

∑

==

= ⋅−++⋅−=

⋅−

=n

ii

n

ii

n

iii

f

fxxfxx

f

fxx

1

22

212

1

1

1

2

2 ..σ

2σσ =

100% ⋅=x

vσ

( )( )∑ ∑

∑ ∑⋅−

⋅−=

ii

iii

xxx

xyyxa

2

( )xayb ⋅−=( )n

xayb ii∑ ∑⋅−

=

( ) ( )

( )( )∑∑

∑−−

−=

2222 ynyxnx

yxnyxr

ii

iixy

( )

−⋅

⋅−=

∑1

61

2

2

nn

dr i

s

( ) 9.0155

262

+=−⋅

⋅=sr

1;1 +≤≤− sxy rr

1)(0 ≤≤ AP

)()()( BPAPBAP +=∪

0)0(;1)( == PSP

)()()()( CAPCPAPCAP ∩−+=∪

36

12

36

1

36

9

36

4

)()()()(

=−+⇒

∩−+=∩ BAPBPAPBAP

Marcel Arnet, 08.09.00 18

12.6.2. Klassische Wahrscheinlich-keit

P(A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt

m = Anzahl günstige Fälle n = Anzahl mögliche Fälle Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit einem Wurf bei einem fairen Würfel eine gerade Zahl ge-würfelt wird? Das Nichteintreten, also der Misserfolg wird so geschrieben: Beispiel: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf mittels eines fairen Würfels, keine 3 oder 4 erscheint? 12.6.3. Mathematische Erwartung P(G) = Wahrscheinlichkeit G = Wahrscheinlicher Geldbetrag E = Erwartungswert Die Wahrscheinlichkeit, einen Geldbetrag von 10.—zu erhalten ist 1/5. Der Geldbetrag ist somit: Bein einer diskreten Zufallsgrösse X sieht dies so aus: Beispiel: Der Erwartungswert, bei einem Wurf mit einem fairen Würfel, dass eine Augenzahl auftritt ist gleich: 12.6.4. Bedingte Wahrscheinlichkeit A und B sind zwei Ereignisse. Die Wahrscheinlich-keit, dass B eintritt, vorausgesetzt A ist eingetreten, wird dann bedingte Wahrscheinlichkeit von B gege-ben A genannt und als P(B I A) geschrieben. Beispiel: Fischteich mit 20 % Karpfen (K) / 80 % Forellen (F) Geschlechter bei Karpfen 50 % w / 50 % m Geschlechter bei Forellen 70 % w / 30 % m Wie gross ist Wahrschenlichkeit, dass ein zufällig gefangener Fisch, weiblich ist, wenn es sich um einen Karpfen handelt? P (w I K) = 0.5 12.6.5. Stochastische Unabhängig-

keit A: Wahrsch. dass er in 10 J. noch lebt = 0.8 B: Wahrsch. dass er in 10 J: noch lebt = 0.6 Das beide in 10 J. noch leben ist:

12.7. Normalverteilung 12.7.1. Standardnormalverteilung Tabelle im Formelbuch auf Seite 126 z = Wert der Zufallsvariablen ì = Zentralwert ó = Standardabweichung ì = 0.5 12.7.2. Stichprobenberechnung ð=n =Stichprobengrösse p = Stichprobenwert óp = Standardabweichung der Stichprobe á = Wahrscheinlichkeit Beispiel: In einer Befragung von 100 Personen geben 40 an, dass sie bei den nächsten Wahlen den amtierenden Präsidenten wählen. In welchem Bereich liegt nun der tatsächliche Ja-Stimmen Anteil mit einer Wahr-scheinlichkeit von 95 %. Normalverteilsungsvert von 2.5 % gemäss Tabelle liegt bei –1.96/1.96 Bei einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Anteil Ja-Stimmen zwischen 30.4 % und 49.6 %

12.8. Binomialverteilung Tabelle im Formelbuch auf Seite 120 ff. Anwendung, wenn ein Ereignis eintritt oder nicht. 12.8.1. geordnetes Ziehen mit zu-

rücklegen p = Anteil des eintretenden Erfolges q = Anteil des nichteintretenden Erfolges 1-p = q = Anteil des nichteintretenden Erfolges n = Grösse der Stichprobe xi = Anzahl der gezogenen Stichprobe

n

mAP =)(

3

1

6

3)( ==AP

)(1)( APn

mnAP −=

−=

3

2

6

4

6

21

6

26)( ==−=

−=AP

−=⋅−=⇒⋅= .25/1.10)( EGGPE

nn xpxpxpxE ⋅++⋅+⋅= ...)( 2211

5.366

15

6

14

6

1

36

12

6

12

6

11

6

1)(

=⋅+⋅+⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅=AugenzahlE

48.06.08.0

)()()(

=⋅⇒

⋅=∩ BPAPBAP

eiltNormalvert sei X );(~

)()(

2 =

⋅+=

−==<

σµ

σµ

σ

µ

αα

NX

zx

xzPxXP

)1()0()1P(X

)1()0(1)1P(X

)xP(X

rteiltBinomialve seix ):(~

i

=+==<

=−=−=>

==

=

−

XPXP

XPXP

qpx

n

pnBX

ii xnx

i

( )

)z-P(pBandbreite

)1(

)(

)1(

2/2/

22/

22/

pzppn

ppp

pz

ppzn

σπσ

σ

σ

αα

α

α

⋅+≤≤⋅=

−⋅=

⋅

−⋅⋅=

49.0100

)4.01(4.0;4.0

100

40;100 =

−⋅==== ppn σ

)496.0100304.0(

)049.096.14.0100049.096.14.0(

≤≤=

⋅+≤≤⋅−

P

P

Marcel Arnet, 08.09.00 19

Beispiel: Nach Angaben der Swisscom kommen 64 % der Telefongespräche beim ersten Wählen zustande. Muster muss acht Gespräche starten: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindes-tens ein Gespräch beim ersten Wählen zu stande kommt: Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchs-tens 7 Gespräche beim ersten Wählen zu stande kommen: Taschenrechn: „10 tief 5“ mittels „10 PRB (nCr) 5“ 12.9.1. ungeordnetes Ziehen ohne

zurücklegen Ziehen ohne Wiederholung k = Ereignis trifft ein n = Anzahl möglicher Fälle Beispiel: 3 Klassen stehen 6 Freikarten für ein Konzert zur Verfügung. Es melden sich aus Kl. A sechs, aus Kl. B drei und Kl. C vier = insgesamt 13 Interessenten. Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Freikarten zu verteilen, wenn 6 der 13 Interessenten ausgelost werden Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Freikarten zu verteilen, wenn jeder Kurs genau 2 Karten erhält? 12.8.1 Mittelwert / Varianz B-Vert. Der Mittelwert = Erwartungswert lautet Die Varianz lautet:

12.9. Lorenz-/ Konzentrations-kurve

59.2 % Steuerpflichtige erbringen 16.3 % des Steu-erbetrages 32.4 % Steuerpflichtige erbringen 36.6 % 8.4 % Steuerpflichtige erbringen 47.1 % Steuerpflichtige in %ð 100% ñ S t 52.9% e u e 16.3 % r n 59.2% 91.6% 100%

13. Versicherungen 13.1 Lebensversicherung 13.1.1. Lebenserwartung Sterbetafel: Formelbuch S. 132 ff. P = Wahrscheinlichkeit der Lebenserwartung lx = Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel) l(x+y) = Alter, welches erreichbar ist (Zahl Sterbet.) Beispiel: Wie gross ist die W., dass ein 10-jähriger Mann 50 Jahre wird 13.1.2. Sterbeerwartung P = Wahrscheinlichkeit des Sterbens lx = Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel) l(x+y) = Todeserwartung in y Jahren (Zahl Sterbet.) Beispiel Wie gross ist W., dass ein 90-jähriger Mann inner-halb 10 Jahren stirbt?

13.2. Leistung des Versicherten Formelerklärungen: D(x) = diskontierte Lebende (s. FUT ab S. 132) N(x) = � der disk. Lebenden (s. FUT ab S. 132) P = Mise / einmalige Zahlung p = Höhe der jährlichen Ratenzahlung lx = Ausgangsjahr (Zahl Sterbetafel) n = Anzahl Jahre der Zahlung des Versicherten 13.2.1 Einmalige Zahlung / Mise Beispiel: Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein 40jähriger Mann Fr. 100'000 bezahlt?

pnxE ⋅=)(qpnxV ⋅⋅=)(

x

yxyxx l

lP +

+→ =)(

%90.9297605

906725010 ==→P

x

yxyxx l

lP +

+→ −= 1)(

%18.985052

9211

90

10010090 =−=−=→ l

lP

000'726'617'226.177'26000'100)40( =⋅=⋅ DP

999718.032.064.00

81)1P(X

rteiltBinomialve seix )64.0;8(~

080 =⋅

−=≥

=

−

BX

971853.032.064.08

81)7P(X

rteiltBinomialve seix )64.0;8(~

888 =⋅

−=≤

=

−

BX

=

k

nCn

k

17166

1313

6 =

=C

2706315

62

4

32

3

152

6

42

32

62

=⋅⋅

=

=

=

=

=

=

C

C

C

1001

)(p

lP

q

lPxDP x

xx

−

⋅=⋅=⋅

Marcel Arnet, 08.09.00 20

13.2.2. Mehrm. Zahlung ohne Ende Beispiel: Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein 40jähriger Mann jährlich Fr. 100 bezahlt? 13.2.3. Mehrm. Zahlung mit Ende Beispiel: Mit welcher Einnahme kalkuliert die Vers., wenn ein 40jähriger Mann während 30 Jahren jährlich Fr. 100 bezahlt? 13.2.4 Prämienkorrektur bei Raten-

zahlung Falls die Jahresprämie in mehrmaligen Zahlungen bezahlt wird, wird die Prämie wie folgt korrigiert Aufteilung: Beispiel: Bei JP von Fr. 100 koste die jew. Rate:

13.3. Leistung der Versicherung Formelerklärung: x = Ausgangsjahr y = Anzahl Jahre der Gültigkeit der Auszahlung K = Betrag, welcher Versicherter erreichen will k = Karenzzeit D(x) = diskontierte Lebende (s. FUT ab S. 132) N(x) = � der disk. Lebenden (s. FUT ab S. 132) M(x) = diskontierte Tote (s. FUT ab S. 132) r = jährliche Rente n = Anzahl Jahre der Zahlung des Versicherten 13.3.1. Vers. auf Erlebensfall Dem Versicherten wird eine Summe beim Erreichen des (x+y)-ten Lebensjahres ausbezahlt Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähriger Mann will beim Erreichen des 65 Altersjahres Fr. 50'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen.

13.3.2. Rentenvers. / Leibrente Dem Versicherten wird ab sofort bis ans Lebensen-de eine jährliche Rente ausbezahlt Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 70jähr. Mann will bis zum Lebensende jährl. Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen? 13.3.3. Abgekürzte Rente Dem Versicherten wird ab sofort während y Jahre jährlich eine Rente ausbezahlt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 70jähr. Mann will während 15 Jahren eine jährl. Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezah-len? 13.3.4. Rente mit Karenzzeit

ohne Ende Dem Versicherten wird nach k Jahren bis zum Tode jährlich eine Rente ausbezahlt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähr. Mann will in 20 Jahren jährl. Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen?

)(xNp ⋅

800'198'53988'531100)40(100 =⋅=⋅ N

[ ])()( nxNxNp +−⋅

[ ][ ] 100'366'47327'58988'531100

)3040()40(100

=−⋅

=+−⋅ NN

[ ])(

)()(

)(

)(

yxDK

nxNxNp

xNp

xDP

+⋅=

+−⋅

⋅

⋅

80.572'1726.177'26

17.9200000'50

)40(

)65(000'50

)(

)()()(

=⋅

=⋅

+⋅=⇒+⋅=⋅

D

D

xD

yxDKPyxDKxDP

[ ])(

)()(

)(

)(

xNr

nxNxNp

xNp

xDP

⋅=

+−⋅

⋅

⋅

55.864'13294.584'6

327'58000'15

)70(

)70(000'15

)(

)()()(

=⋅

=⋅

⋅=⇒⋅=⋅

D

N

xD

xNrPxNrxDP

[ ][ ])()(

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)(

)(

yxNxNr

nxNxNp

xNp

xDP

+−⋅=

+−⋅

⋅

⋅

[ ][ ]

[ ] [ ]

35,224'123

94.584'6

4232327'58000'15

)70(

)85()70(000'15

)(

)()(

)()()(

=

−⋅=

−⋅

+−⋅=⇒

+−⋅=⋅

D

NN

xD

yxNxNrP

yxNxNrxDP

[ ])(

)()(

)(

)(

kxNr

nxNxNp

xNp

xDP

+⋅=

+−⋅⋅⋅

10.876'8726.177'26

357'153000'15

)40(

)60(000'15

)(

)()()(

=⋅

=⋅

+⋅=⇒+⋅=⋅

D

N

xD

kxNrPkxNrxDP

2

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2

10002.1=

⋅=

4

03.14/1

pp Jahr

⋅=− VJpHJ /75.25

4

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⋅=

12

04.1.

ppmonatl

⋅= MtpMt /66.8

12

10004.1=

⋅=

Marcel Arnet, 08.09.00 21

13.3.5. Abgek. Rente mit Karenzzeit mit Ende

Dem Versicherten wird nach k Jahren während y Jahren jährlich eine Rente ausbezahlt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähr. Mann will in 20 Jahren während 25 Jah-ren jährl. Fr. 15'000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen? 13.3.6. Einfache Todesfallvers. Den Hinterbliebenen des Versicherten wird im To-desfall ein Betrag ausbezahlt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähr. Mann will, dass bei seinem Todesfall die Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen? 13.3.7. Verkürzte Todesfallvers. Den Hinterbliebenen des Versicherten wird – falls er innert y Jahren stirbt - ein Betrag ausbezahlt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähr. Mann will, dass die Hinterbliebenen im Todesfall Fr. 100000 erhalten. Diese erhalten die Summe aber nur, wenn der Todesfall in den nächs-ten 20 Jahren eintritt. Welche Mise muss er bezah-len?

13.3.8. Aufgeschobene Todesfallv. Den Hinterbliebenen des Versicherten wird im Todesfall ein Betrag ausbezahlt. Dies aber nur, wenn der Todesfall erst in k Jahren eintritt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähr. Mann will, dass bei einem Todesfall die Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Dies gilt aber nur, wenn der Todesfall nicht vor 50 Jahren eintritt. Welche Mise muss er bezahlen? 13.3.9. Aufgesch., verk. Todefallver. Fall unter 13.3.8. Unterschied ist, dass Versiche-rung nur während y Jahren zahlen muss. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel: Ein 40jähr. Mann will, dass bei einem Todesfall innert 10 Jahren – welcher nicht vor 10 Jahren eintreten darf – die Hinterbliebenen Fr. 100000 erhalten. Welche Mise muss er bezahlen? 13.3.10. Gemischte Versicherung Bei den Todesfallversicherungen unter 13.3.6. bis 13.3.9 muss die Versicherung nur zahlen, wenn der Todesfall eintritt. Dies kann man mit der gemischten Versicherung ausschliessen. Dem Versicherten – falls er nicht stirbt - oder seinen Hinterbliebenen – falls er stirbt - wird ein Betrag ausbezahlt. Auflösung jeweils nach der gesuchten Variablen! Beispiel siehe nächste Seite

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)(

ykxNkxNr

nxNxNp

xNp

xDP

++−+⋅

+−⋅⋅⋅

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26.177'26

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26.177'26

73.717945.8651000'100

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)60()50(000'100

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yxDyxMxMK

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xNp

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+−⋅⋅⋅

Marcel Arnet, 08.09.00 22

Beispiel: Ein 40jähr. Mann schliesst eine Vers. ab. Mit dem 50. Lebensjahr erhält er, oder falls er in der Zwi-schenzeit stirbt erhalten seine Hinterbliebenen Fr. 100'000 ausbezahlt. Welche Mise muss er bezah-len?

14. Finanzmathematik K0 = Anfangs- bzw. Barwert Kn = End- oder Zeitwert nach n Jahren n = ganze Jahre m = Verzinsungszeiträume N = ganze Jahre bei gemischter Verzinsung t = Tage bzw. Monate (1+i)n = Aufzinsungsfaktor (FUT S. 136) qn = (1+i)n

vn = Abzins.- / Diskontierungsf. (FUT S. 137) i = Zinsfuss in Dezimalschreibweise p = Zinsfuss in % (p/100 = i) z = Zinsanteil zt = Tageszinsen

14.1. Einfache Verzinsung Der Zins wird am Ende der Zinsperiode auf ein separates Konto entrichtet. Anwendbar bei ange-brochenen Jahren. Tageszins:

14.2. Zinseszinsen 14.2.1. Nachschüssige Verzinsung postnumerando Der Zins wird am Jahresende zum Kapital addiert. Anwendbar bei ganzen Jahren. Diskontierung: 14.2.2. Vorschüssige Verzinsung antizipativ, pränumerando Vorschüssige Zinsen kommen bei Wechselgeschäf-ten und bei der geometrisch, degressiven Abschrei-bung zum Zuge. Beispiel: Ein Kapital von 10000 ist bei einem vorschüssigen Zinsfuss von 8 % in 4 J. zurückzuzahlen. Welcher Betrag muss der Schuldner heute zahlen? 14.2.3. Unterjährliche Verzinsung Bei Darlehen, Schuldverschreibungen findet die Verzinsung nicht jährlich sondern meist halb-, vier-teljährlich oder anderen Abschnitten statt. pR = relativer, unterjährlicher Zinsfuss p = Jahreszinsfuss m = Anzahl der Jahresabschnitte Beispiel: (p=8%) Bei monatlicher gibt es 2, bei vierteljährlicher 4, bei monatlicher 12 Verzinsungszeiträume pro Jahr.

[ ][ ]

[ ]

[ ]

75.972'7226.26177

84.1832145.865188.9431000'100

)40(

)50()50()40(000'100

)(

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+++−⋅=⋅

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xD

yxDyxMxMKP

yxDyxMxMKxDP

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zn

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zp

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KK

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oder 100

Zinsteiler

Zinszahl

p

tKpKt

z ot ⇒

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360100

360100

0

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n0 oder 1

100

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)log()log(

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0

0

0

00

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q

KKn

i

KKn

K

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K

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KK

on

on

nn

nn

nnn

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nA

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A

A

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93.7163

)08.01(10000 40

=−⋅=K

m

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8:

24

8:

42

8:

==

==

==

R

R

R

pmonatlich

prlichvierteljäh

pchhalbjährli

Marcel Arnet, 08.09.00 23

Formeln: Beispiel: Auf welchen Endwert wachsen 5000 in 6 J. bei einem Jahreszinsfuss von 10 % - bei monatlicher Verzinsung – an. Man kann den jährlichen, nominellen Zinsfuss (p) auch auf den dazu konformen effektiven Zinsfuss (peff) umrechnen 14.2.4. Umrechnung vom antizipati-

ven zum dekursiven Zins-satz

Zu jedem dekursiven gibt es auch den dazugehöri-gen antizipativen Zinssatz und umgekehrt. Berechnung des antizipativen Zinssatzes: Beispiel: dekursiver Zinssatz: 4 % Berechnung des dekursiven Zinssatzes: Beispiel: antizipat. Zinssatz: 4 % 14.3. Gemischte Verzinsung Bei Verzinsung für Jahresbruchteile und ganze Jahre 14.3.1. Verzinsung zu Jahresbeginn Beispiel: Ein Kapital von 5000.—wird 5 Jahre und 5 Mt. ver-zinst. Zinsfuss = 4 %. Wie hoch ist der Endwert 14.3.2. Verzins. im Laufe des Jahres Beispiel: Auf welchen Betr. wächst ein Kap. von 5000.--, dass bei einem p=4 % vom 20.5.91–29.9.95 angel. wird? 20.5.91 – 31.12.91 220 Tage einf. Verzinsung 31.12.91 – 31.12.94 3 Jahre Zinseszinsen 31.12.94 – 29.9.95 269 Tage einf. Verzinsung

14.4. Stetige Verzinsung Bei bisherigem Vorgehen wird immer angenommen, dass Wachstum sprunghaft zu nimmt. Es kann aber sein, dass der Wachstum kontinuierlich zu nimmt . Beispiel: Einwohner einer Stadt sind in 5 Jahren bei stetigem W mit W-Rate 3 % auf 147500 gewachsen. Wieviel Einwohner hatte die Stadt vor 5 Jahren?

14.5. Mittlerer Zahlungstermin 14.5.1. bei einfachen Zinsen Beispiel: Ein Schuldner hat folgende Zahlungen zu leisten: 6000.—nach 2 Jahren, 4000.—nach 3 Jahren, 5000.--- nach 5 Jahren. Wann ist der mittlere Zah-lungstermin bei p = 4 %. 14.5.2. bei Zinseszinsen Gleiches Beispiel wie 14.7.1

14.6. Rentenrechnung Eine in gleicher Höhe periodische Zahlung. Je nach dem kann die Rente am Ende (nachschüssig, postnumerando) oder am Anfang (vorschüssig, pränumerando) einer Periode ausgezahlt werden. r = Rente B = Anfangswert nachschüssig Sn = Endwert nachschüssig B‘ = Anfangswert vorschüssig S‘n = Endwert vorschüssig q = (1+i) n = Laufzeit

)1(0 tiqKK Nn ⋅+⋅⋅=

65.6184)12504.01()041(5000 5

1255

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[ ] [ ]02.934'5

)36026904.0(104.1)360

22004.0(15000 3

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⋅+⋅⋅⋅+⋅=nK

i

KKn

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eKKeKK

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lnln

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K

ni

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n

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Mittel

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304.01

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6000500040006000

=

⋅

−

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⋅++

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234.3)04.1log(

)96.13212log()15000log(

96.1321204.1

5000

04.1

4000

04.1

60005320

=−

=

=++=

Mitteln

K

)1()1( 210 tiqtiKK Nn ⋅+⋅⋅⋅+⋅=

1+=

i

iiA

0385.0104.0

04.0=

+=Ai

A

A

i

ii

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1 0526.004.01

04.0=

−=i

nmnm

nm

nm

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KK

m

pKK

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⋅

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1001

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0

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612 =

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1100

1100

1100

1100

m eff

m

eff

pmp

m

pp

Marcel Arnet, 08.09.00 24

14.6.1. Nachschüssige Rente z.B. Pensionskasse 14.6.2. Vorschüssige Rente z.B. bei Miet- und Pachtzahlungen 14.6.3. Aufgeschobene Rente Rente mit Karenzzeit. Kann nach- oder vorschüs-sig berechnet werden. n1 = Laufzeit n2 = Karenzzeit Beispiel: Eine Rente von 2000.—p.a. soll erst nach 5. J. beginnen und dann 8x gezahlt werden. Wie hoch ist der Barwert der Rente bei p = 5 %. Das ganze ge-schieht nachschüssig. 14.6.4. Unterbrochene Rente Rente mit Wartezeiten zwischen den Auszahlungen. (siehe Formel nachschüssige/vorschüssige Rente und Aufgeschobene Rente) Beispiel: Ein Holzbestand wirft am Ende des 14 bis zum Ende des 17 Jahres einen Ertrag von Fr. 6000.—p.a. ab; desgleichen nach Wiederaufforstung am Ende des 28. bis zum Ende des 31 Jahres. Wie hoch ist der Barwert dieses Ertrages (p=5)? Schritt 1: Abzinsung bis auf jeweils ein Jahr vor dem ersten Ertrag. Da beide Perioden gleich gross sind, gilt auch der gleiche Anfangswert Schritt 2: Nun wird der Barwert auf den Zeitpunkt 0 abgezinst: 14.6.5. Abgebrochene Rente Im Anschluss an die letzte Zahlung liegt ein Zeit-raum, in welchem keine Z. folgen. Der Wert wird aber verzinst. k = Unterbruch

14.6.6. Ewige Rente Die jährlichen Zinsen werden immer wieder, vorzu, entnommen. 14.6.7. Sparkassenformel Kapitalaufbau Zu einer einmaligen Zahlung folgen regelmässig – zusätzlich – Renten. z.B. bei Geburt, wird ein Konto eingerichtet NACHSCHÜSSIG: VORSCHÜSSIG: Kapitalentnahme Von einer einmaligen Zahlung werden regelmässige Renten abgehoben. z.B. bei Erbe NACHSCHÜSSIG: VORSCHÜSSIG: 14.6.8. Bestimmung des Zinses Der Zinssatz p kann nur iterativ nach Newton gelöst werden: Newton siehe: 8.7.2

15. Tilgungsrechnung A = Annuität (jährliche Gesamtzahlung) Z = Zinsen, für die jeweilige Restschuld Q, T = Tilgungsrate l = gesuchter Zeitpunkt K0 /Ri = Gesamt- bzw. Restschuld a = Agio / Aufgeld * = Betrag inkl. Agio

15.1. Annuitätentilgung , wobei A konstant ist, Z abnimmt und Q zunimmt. 15.1.1 Tilgungsplan/Zahlungsplan Vorgehen: siehe Beispiel Beispiel: Eine Schuld von 500'000 soll durch Annuitätentil-gung in 6 J. bei p = 8% getilgt werden. 1. 2. 3. 4. Restschuld anfangs J.

Zins (Z) Tilgung (Q)

Annuität (A) Restschuld ende J.

500000 40000 68157.69 108157.69 431842.31 431.842.31 34547.38 73610.31 108157.69 358.232 358232 28658.56 79499.13 108157.69 278732.87

1

1

1

1

−−

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−−

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q

qrS

q

qSr

n

n

nn

( )[ ] ( ))log(

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1

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q

q

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n

n

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q

qqrS

qq

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q

q

r

q

SB

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n

nnn

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⋅+⋅=q

qrqKE

nn

1

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⋅⋅+⋅=q

qqrqKE

nn

1

1

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⋅−⋅=q

qrqKE

nn

1

1'

−−

⋅⋅−⋅=q

qqrqKE

nn

21

12 nn

nn q

BB =

20.128'1005.1

43.12926

43.926'12105.1

105.1

05.1

2000

585

8

88

==

=−−

⋅=

B

B

70.21275105.1

105.1

05.1

6000 4

44 =−−

⋅=B

62.16981

66.569805.1

70.21275

96.1128205.1

70.21275

427413

27427

13413

=+

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==

BB

B

B

)1(

1

1

1

0 −⋅−

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qq

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q

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qq

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n

n

knkn

kn

kn

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1(100

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r

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10 −−

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n

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n

n

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1

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−⋅−⋅=

q

qAqKR

ll

l

( )[ ]q

iKAAn

ln

lnln 0 ⋅−−=

69.108157108.1

108.108.1500000

66 =

−−

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1−⋅= lll qQQ

69.681574000069.1081571 =−=Q

31.43184269.681575000001 =−=R

Marcel Arnet, 08.09.00 25

Die Tilgungsraten nach Jahr 1 können auch wie folgt gerechnet werden: Beispiel mit verschiedenen Zinssätzen: Eine Schuld von Fr. 50000 soll mit vier gleichen nachschüssigen Annuitäten getilgt werden. Es wur-den folgende Zinssätze abgemacht: J1 10 %, J2 9%, J3 8%, J4, 7%. Annuität? Beispiel mit verschiedenen Annuitäten Gemäss Vertrag vom 1.1.96 muss Muster Ende 1996 Fr. 50000 und Ende 1999 nochmals 50000 bezahlen. Er möchte mehrere und zu Beginn grös-sere Zahlungen leisten. Offerte Bank: Zahlung von 4 Annuitäten im Abstand von einem Jahr (erstmals Ende 96). Ende 1997 soll Annuität 15 % kleiner sein als 1996, 1998 15 % kleiner als 1997 und Ende 1999 15 % kleiner als 1998. p = 6 % 15.1.2. Methode der mittleren Kre-

ditfrist : Beispiel: Ein Kreditbetrag von Fr. 16000.— soll in 48 Monats-raten zu Fr. 449.35 getilgt werden. Die Bank –schreibt im Prospekt, dass der Zins zwischen 15.8 und 17.0 % liegt. Stimmt das?

Beispiel 2 zur mittleren Kreditfrist Berechne die Monatsrate für ein Kredit von Fr. 18'000.— in 36 Monatsraten bei einem Jahreszins von 15.5 %. Der monatliche Zins ist zu rechnen als: Jahreszins / 12

15.2. Ratentilgung Nicht Annuität ist konstant, sondern Tilgungsrate Q. Somit nimmt A und Z ab. Beispiel: Eine Schuld von 60000 soll bei p=8% in 6 J. durch gleich hohe Jahresraten zurückbezahlt werden. Restschuld anfangs J.

Zins (Z) Tilgung (Q)

Annuität (A)

Restschuld ende J.

60000 4800 10000 14800 50000 50000 4000 10000 14000 40000 40000 3200 10000 13200 30000

15.3. Tilgung mit Agio Als Anreiz zur Übernahme einer Schuld/Anleihe wird gelegentlich ein Agio in % des Tilgungsbetra-ges vereinbart. 15.3.1 Ratentilgung mit Agio Grundformeln siehe 15.2. Zusätzliche Formeln: Beispiel: Eine Schuld von 500000 soll durch gleich grosse Tilgungsraten in 5 J bei p=6% getilgt werden. Zu-sätzlich ist ein Agio von 5 % der jew. Tilgungsrate vereinbart. 1. 2. 3.

etc13.7949908.131.73610

31.7361008.169.68157

=⋅=⋅

[ ] in

lKQlKZ

n

KQ

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11)1( 00

0 )1(00 n

lKQlKRl −⋅=⋅−=

aQZA ll ++= 1000 a

n

Ka ⋅=

⋅

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−

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n

l

nKAl 100

11

10

5000100

5

5

500000=⋅=a

30000%65000001 =⋅=Z

1350005100

506.01

5

15000001 =

⋅+⋅+=A

95.15445)7217.07722.08340.09090.0

50000

07.108.109.11.1

1

08.109.11.1

1

09.11.1

1

1.1

1

50000

=+++

=

⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅+

↵⋅=

A

A

( )31430

187.3

250424

85.085.085.014

85.085.085.04

25042106.1

06.006.194.86774

94.8677406.1

150000

06.1

150000:96'

96

3296Re

396

2969696Re

4Re

4

999897

=⋅

=

+++=⋅

↵+++=⋅

=−

⋅⋅=

=⋅+⋅

A

AA

AAAAA

A

Barwert

g

AAA

g

g

484764847648476

mkp

KZ

mkp

KZ

Qmk

MonatMonat

Jahr

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

+=

100

12100

2

1

0

0

%047.175.2416000

121008.5568

8.55681600035.44948

5.242

148

=⋅

⋅⋅=

=−⋅=

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p

Z

mk

mkK

zp

KAQZ

⋅⋅⋅

=

−⋅=

0

0

12100

48.61936

25.430118000

25.43015.1810012

5.15

18000

5.182

136

6291.112

5.15

=+

=

=⋅⋅=

=+

=

==

A

Z

mk

p

Monat

m

Marcel Arnet, 08.09.00 26

Restschuld anfangs J.

Zins (Z) Tilgung (Q)

Agio (a) Annuität (A)

500000 30000 100000 5000 135000 400000 24000 100000 5000 129000 300000 18000 100000 5000 123000 15.3.2. Annuitätentilgung mit Agio

(ohne konst. Annuität) Lediglich Summe von Z+Q bleiben konstant. Grund-formeln siehe 15.1. Zusätzliche Formeln: Beispiel: Eine Schuld von 500000 soll durch gleich grosse Tilgungsraten in 5 J bei p=6% getilgt werden. Zu-sätzlich ist ein Agio von 10 % der jew. Tilgungsrate vereinbart. 1. 2. 3. 4. Restschuld anfangs J.

Zins (Z) Tilgung (Q)

Agio (a) Annuität (Al)

500000 40000 68157.69 6815.77 114.973.46 431842.31 34547.38 73610.31 7361.03 115518.72 358232 28658.56 79499.13 7949.91 116107.60

konstant=108‘157.69 15.3.3. Annuitätentilgung mit Agio

(konstante Annuität) Ähnlich wie 15.3.2. Ausser, dass Annuität konstant ist. Beispiel: Ein Darlehen von 100000 ist bei p=5 ½ mit einem Agio von a=10 in 6 Jahren durch gleich hohe Annui-täten zu tilgen. 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Restschuld anfangs J.

Zins (Z) Tilgung ohne Aufgeld(Q)

Agio (a) Annuität (A*)

100000 5500 14701.75 1470.17 21671.92 85298.25 4691.40 15436.83 1543.69 21671.92 69861.42 3842.37 16208.68 1620.87 21671.92 Die Tilgungsraten nach Jahr 1 können auch wie folgt gerechnet werden:

16. Investitionsrechnung Ba = Barwert der Ausgaben Be = Barwert der Einnahmen A = Annuität a = Ausgabe e = Einnahme t = Nutzungsdauer l = Jahr l r = Restwert i = Zins dezimal (p dezimal) C0 = Kapitalwert

16.1. Annuitätenmethode Diese Methode vergleicht die diskontierten Werte. Man erhält schlussendlich einen Wert, welcher einer Rente gleicht. Aussage: Beispiel: Eine Maschine wird für 80000 angeschafft. Die Nutzungsdauer beträgt 4 J.. Für diese Zeit werden folgenden Einnahmen und Ausgaben geschätzt. Der Restwert ist 3000. Jahr Einnahmen e Ausgaben a 1 60000 40000 2 75000 45000 3 70000 46000 4 78000 50000 Restwert 3000

llll aQZA ++=100

aQa l

l

⋅=

69.108157108.1

108.108.1500000

66 =

−−

⋅⋅=A

69.681574000069.1081571 =−=Q

77.6815100

1069.68157=

⋅=la

114973

77.681569.6815740000

=++=++= llll aQZA

1001

*a

pp

+=

1*** −⋅= ll qQQ

1*

)1*(***

−−

⋅=n

n

q

qqKA

100*

aKK +=

05.1*%5

100

101

2/51* =⇒=

+= qp

110000100

10100000* =+=K

92.21671105.1

)105.1(05.1110000*

6

6

=−

−⋅=A

ll ZAQ −= **

5500%51100001 =⋅=Z

1001

*a

QQ l

l

+=

92.16171550092.21671* =−=lQ

75.14701

100

101

92.16171=

+=lQ

etc68.1620805.183.15436

83.1543605.175.14701

=⋅=⋅

( )∑=

+=

n

lt

la

li

aB

0 1 ( )∑=

+=

n

lt

le

li

eB

0 1

( ) ( )

−

−⋅⋅−=

1

1n

n

aeG q

qqBBA

nichtsich lohnt n Investitio0

abGewinn n wirft Investitio0

aufgenau geht n Investitio0

⇒<⇒>⇒=

G

G

G

A

A

A

( ) ( )( )

65.1834

108.1

108.108.105.885'22865.961'234

05.885'22808.1

50000

08.1

46000

08.1

45000

08.1

40000

65.961'23408.1

3000

08.1

78000

08.1

70000

08.1

75000

08.1

60000

4

4

432

4432

=

−

−⋅⋅−=

=

+++=

=

++++=

G

a

e

A

B

B

Marcel Arnet, 08.09.00 27

16.2. Net present value / Kapi-talwertmethode

Diese Methode gibt lediglich an, ob es sich lohnt, eine Invest. zu tätigen oder nicht. Sie gibt keine diskontierten Werte an. Der Schlusswert zeigt, ob es sich netto lohnt oder nicht. Der Kalkulationszins ist 10 %. Wenn Überschüsse gleich bleiben: Aussage: Beispiel: Ein Invest.-Objekt mit Anschaffungskosten von 120000 wird während 5 J. genutzt und durch fol-gende Einnahmenüberschüsse gekennzeichnet: Jahr (l) 1 2 3 4 5 el – al (in TFR) 30 30 45 35 60 Die Investition ist zweckmässig, da sie eindeutig einen Überschuss erzielt.

16.3. Interner Zinsfuss Man rechnet, mit welchem Zinsfuss eine Investition genau aufgeht, also 0 ergibt. Dies passiert mittels Auflösung einer Gleichung (bei höherer Potenz wie 2 mittels Newton (siehe 8.7.2) Beispiel: Eine Invest. mit einer Anschaffung von 47900 kann 2 J. genutzt werden. Im 1. Jahr gibt es Einnahmen-überschüsse von 30000, im 2. Jahr von 25000. Es soll kein Liquiditätserlös geben. Mit welchem Zins lohnt sich diese Investition? Bei einem Zinsfuss von 10.05 % oder höher ist diese Investition zweckmässig.

( ) ( )nn

n

llll

i

r

i

aeaC

++

+

−+−= ∑

= 11000

nichtsich lohnt n Investitio0

abGewinn n wirft Investitio0

aufgenau geht n Investitio0

⇒<⇒>⇒=

G

G

G

A

A

A

03.270361.1

0

1.1

600001.1

35000

1.1

45000

1.1

30000

1.1

30000120000

55

4320

=++

++++−=C

nn

n

ll

ll

q

r

q

aeaC

int0 int

00 0 +

−+−== ∑

=

4742.0;1005.1

2.2) (siehe nteDiskrimina mittels Auflösung

2500030000479000

02500030000

479000

21

2

220

−==

++−=

⋅+++−==

qq

qq

qqq

C

( )nn

n

n i

r

q

q

q

aeaC

++

−−

⋅−

+−=11

100