Mathe I

Jan-Peter Hohloch

WS 11/12

Inhaltsverzeichnis

1 Logik 101.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Die wichtigsten Junktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.4 Exklusives Oder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.5 Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.6 Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Satze ber Implikationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Satze ber Aquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Große von Wahrheitstabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Einfacherer Losungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Logische Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Tautologie und Kontradiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6 Wichtige log. Aquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6.1 Kommutativitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.2 Doppelte Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6.3 De’Morgansche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.4 Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.5 Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.6 Assoziativitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.7 Distributivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6.8 Tautologie und Kontradiktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Bemerkungen zu den logischen Aquivalenzen . . . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.3 Negation von Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.4 Reihenfolge von Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Mengen 172.1 Mengen allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.1.1 Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.2 Wie spezifiziert man eine Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2

2.1.3 Problematik in Cantors Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.4 Leere Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.5 Kardinalitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Def. Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Wichtiger Unterschied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.4 Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Operationen auf Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.1 Schnittmenge/Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.3 Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.4 Symmetrische Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Venn-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5 Satz uber Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.1 Symmetrische Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.2 De’Morgansche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3 Teilmengenbeziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.4 Distributivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Def.: Beliebige Vereinigungen und Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 geordnete n-Tupel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8.1 Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Abbildungen 223.1 Def.: Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.2 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Gleichheit von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Surjektiv, injektiv, bijektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1 Surjektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.2 Injektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.3 Bijektivitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Endlichkeit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.1 Abzahlbar unendliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4.2 Satz uber endliche Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5 Hintereinanderausfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.5.2 Assoziativitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.3 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

3.5.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5.5 Besondere Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6 Umkehrabbildung bijektiver Abb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.6.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Relationen 304.1 Def. Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.1.2 Anmerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Aquivalezrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Def.: Aquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Gleichheit von Aquivalenzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.6 Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.7 Reprasentantensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.7.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Naturliche Zahlen und Induktion 365.1 Vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 Verscharftes Induktionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.3 Prinzip der rekursiven Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.1 informelle Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3.3 Rekursive Definition mit mehreren Startwerten . . . . . . . . . . . 39

5.4 Rechenregeln fur Produkte und Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4.1 Anderung der Summensequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.4.2 Doppelsummen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4.3 Koeffizienten vor Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.5 Wohlordnungsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.6 Fibonacci Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.6.1 Beweis durch vollst. Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4

6 Elementare Zahlentheorie 436.1 Teiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.1.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.2 Rest und Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6.3 mod und div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.3.2 dae und bac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.4 b-adische Darstellung naturlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.4.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.4.2 Schnelles Potenzieren mit Hilfe des Binarsystems . . . . . . . . . . 49

6.5 Kongruenzrelation modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506.5.3 Unterscheidung Modulo und Kongruenz . . . . . . . . . . . . . . . 516.5.4 Satz: Kongruenzklassen modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.5.5 Satz: Kongruenzrelation in Summen und Produkten . . . . . . . . 516.5.6 Korollar: modulo in Summen und Produkten . . . . . . . . . . . . 52

6.6 Großter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames Vielfaches . . . . . 536.6.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.6.2 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.6.3 Teilerfremdheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.7 Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.7.1 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.7.2 Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.7.3 Zusammenhang: Beweis - Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . 556.7.4 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.7.5 Satz (Bachet de Meziriac) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.7.6 Erweiterter Euklidscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.7.7 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.7.8 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.8 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.8.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.8.3 Theorem (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie) . . . . 606.8.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.8.5 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Kombinatorik 627.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.1.1 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.2 Auswahlanzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5

7.3 Geordnete Auswahl ohne Zurucklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3.1 Definition (n)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637.3.3 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3.4 Def.: Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.4 Geordnete Auswahl mit Zurucklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.4.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.5 Ungeordnete Auswahl ohne Zurucklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.1 Def: Binomialkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.5.3 Binomialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5.4 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.6 Ungeordnete Auswahl mit Zurucklegen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.6.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.6.2 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

8 Die reellen Zahlen 708.1 Algebraische Eigenschaften von R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

8.1.1 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.2 Grundregeln der Ordnungsrelation ≤ auf R . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

8.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3 Def.: Intervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.4.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.5 Def.: Absolutbetrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8.5.1 Satz: Eigenschaften des Absolutbetrages . . . . . . . . . . . . . . . 768.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

8.6.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.7 Def.: Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.7.1 Allgemeines Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788.7.2 Def.: Bisektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

8.8 Vollstandigkeitsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.9 Bemerkung zum Boolschen Pradikat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8.9.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.10 Binardarstellung von x ∈]0, 1[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.10.1 Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.10.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

8.11 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.11.1 Binardarstellung nicht eindeutig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.11.2 Periodizitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

8.12 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 818.12.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6

8.13 Beschrankte Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.13.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.13.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.13.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

9 Folgen und Reihen 859.1 Def.: Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859.2 Beschanktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.3 Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.3.1 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.3.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.3.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.4.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.5 Nullfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.5.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889.5.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

9.6 Rechenregeln fur konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.6.1 Beweis (exemplarisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899.6.2 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.6.3 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.7 Landau-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.7.1 Anschauliche Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.7.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919.7.3 Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.7.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.8 Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.8.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.8.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.9 Satz (Bolzano (1781-1848)-Weierstrass (1815-1897)) . . . . . . . . . . . . 939.9.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939.9.2 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.10 Cauchy’sches (1785-1857) Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . . . . 949.10.1 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

9.11 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.11.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.11.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.11.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 969.11.4 Leibniz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.11.5 Majoranten-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.11.6 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7

9.12 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.12.1 Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

9.13 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.13.1 (a) Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.13.2 (b) Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.13.3 Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.13.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.13.5 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10 Nachtrag: Mengen 10310.1 Beispiel: Hilberts Hotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8

Vorwort

Da sich an den Inhalten der Vorlesung sein dem letzten Skript von 06/07 einiges gen-dert hat, kommt hier die aktuelle Version aus der Vorlesung “Mathe I fur Informatiker”gehalten von Prof. Huson im Wintersemester 11/12.

Was den Inhalt betrifft habe ich mich im Großen und Ganzen an meine Aufschriebeund fur zwei verpasste Vorlesungen an mir zur Verfugung gestellte Mitschriebe gehalten.An dieser Stelle vielen Dank an die Helfer :)Geandert habe ich jedoch die Nummerierung der Kapitel, innerhalb des Skriptes stimmtsie, in der Vorlesung wurde jedoch eine andere Zahlung verwendet.

Den LATEX-Code stelle ich ebenfalls zur Verfugung, damit zukunftige Horer der Vor-lesung kleinere Anpassungen leicht vornehmen konnen.Außerdem konnt ihr naturlich den Code euren Vorstellungen nach anpassen (beispiels-weise interne Verlinkungen anlegen) oder einfach mal ein bisschen mit LATEX herumpro-bieren (in diesem Fall aber bitte auch auf das Original aufpassen ;)

Jan-Peter

9

1 Logik

1.1 Aussagenlogik

Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch.wahr = w = 1 = truefalsch = f = 0 = false

Bsp.:

• 2 ist eine Primzahl (1)

• 4 ist eine Primzahl (2)

• es gibt unendlich viele Primzahlen (1)

• es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge (?)

• gibt es unendlich viele Primzahlen? (keine Aussage)

Durch Verknupfungen mit ’und’, ’oder’, ’wenn, dann’, etc. lassen sich aus einfachenAussagen kompliziertere herstellen.

Bsp.:Wenn ’heute ist ein Werktag’ oder ’heute ist ein verkaufsoffener Sonntag’, dann ’heutehaben die Geschafte offen’ (BUrlG: Def. von Werktag: ’ Alle Kalendertage, die nichtSonn- oder gesetzliche Feiertage sind’) (1)In Aussagenlogik interessiert zunachst nur der Wahrheitswert (1 oder 0) einer Aussage.Der konkrete Inhalt bleibt unberucksichtigt. Sie ist ein einfaches Modell des alltaglichenSprachgebrauches. Wir verwenden zur Formulierung Aussagevariablen A,B,C,...,A1;A2,... und Junktoren (und, oder, ...) Dadurch erhalten wir (aussagenlogische) Ausdrucke.Auch Aussagevariablen heien Ausdrucke. Setzt man fur die Aussagevariablen konkreteAussagen ein, so erhalt man man wieder eine Aussage.

Bsp.:Ausdruck: A oder B ⇒ CAussage: s.o.Ob die Aussage wahr oder falsch ist, hangt von den konkreten Werten der Variablen undvon den Junktoren ab.

10

1.2 Die wichtigsten Junktoren

1.2.1 Negation

Verneinung von A, nicht A, ¬ A

A ¬A0 1

1 0

1.2.2 Konjunktion

A und B , A ∧ B

A B A ∧B0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

1.2.3 Disjunktion

A oder B , A ∨ B

A B A ∨B0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

1.2.4 Exklusives Oder

A XOR B , A ⊕ B

A B A⊕B0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

1.2.5 Implikation

A impliziert B , Wenn A, dann B , A ⇒ B

A B A⇒ B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

11

1.2.6 Aquivalenz

A genau dann, wenn B , A ⇔ B

A B A⇔ B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

1.3 Bemerkungen

1.3.1 Satze ber Implikationen

Mathematische Satze sind haufig von der Form

R⇒ S

Es wird also behauptet, dass R ⇒ S eine wahre Aussage ist.Zu zeigen: Wenn R wahr, dann auch S wahr.Man nennt R die Voraussetzung und S die Behauptung des mathematischen Satzes.

Bsp.:

a− b > 2 ∧ a, b ∈ R⇒ a2 + b2

2> 2 + ab

Ein Beweis besteht aus einer Kette von Implikationen (im einfachsten Fall):

R⇒ R1, R1 ⇒ R2, ..., Rn ⇒ S

Wobei alle Implikationen wahr sind.

a− b > 2⇒ (a− b)2 > 4⇒ a2 − 2ab+ b2 > 4⇒ a2 + b2 > 4 + 2ab⇒ a2 + b2

2> 2 + ab

1.3.2 Satze ber Aquivalenzen

Manchmal sind math. Satze von der Form

R⇔ S

Zu zeigen:

• Wenn R wahr, dann S wahr (R⇒ S)

• Wenn S wahr, dann R wahr (S ⇒ R)

1.3.3 Große von Wahrheitstabellen

Bei mehreren Aussagevariablen wir die Wertetabelle schnell sehr groß

x Aussagevariablen→ 2x Zeilen

12

1.3.4 Einfacherer Losungsweg

Betrachte:(A1 ∧A2)⇒ (A3 ∨ ¬A4)

Frage: Wann falsch?Einfacher:

((A1 ∧A2) = 1) ∧ ((A3 ∨ ¬A4) = 0)⇒ Aussage falsch

A1, A2 = 1;A3 = 0;A4 = 1

1.4 Logische Aquivalenz

Haben zwei Ausdrucke α und β fur jede Kombination von Wahrheitswerten der (betei-ligten) Aussagevariablen den gleichen Wahrheitswert, so heißen sie logisch aquivalent.

α ≡ β

(Beachte: ≡ ist kein Junktor) Wenn also α ≡ β, so hat der Ausdruck α⇔ β immer denWahrheitswert 1 (und umgekehrt)

(α⇔ β)⇔ (α ≡ β)

1.5 Tautologie und Kontradiktion

Def.: Ein Ausdruck heißt Tautologie, wenn er fur jede Kombination der Wahrheitswerteder Aussagevariablen immer den Wert 1 ergibt.Hat er den wert 0, heißt er Kontradiktion.Wenn er keine Kontradiktion ist, ist er erfullbar.

Ist ein Ausdruck erfullbar? Gibt es eine schnellere Moglichkeit, als auszuprobieren?⇒ Hauptproblem der Informatik (P=NP?)

A ∨ ¬A ist eine TautologieA ∧ ¬A ist eine Kontradiktion

1.6 Wichtige log. Aquivalenzen

1.6.1 Kommutativitat

A ∧B ≡ B ∧AA ∨B ≡ B ∨AA⇔ B ≡ B ⇔ AABER!: A⇒ B 6≡ B ⇒ A

1.6.2 Doppelte Negation

¬(¬A) ≡ A

13

1.6.3 De’Morgansche Regeln

¬(A ∧B) ≡ ¬A ∨ ¬B¬(A ∧B) ≡ ¬A ∧ ¬B

1.6.4 Implikation

A⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬AA⇒ B ≡ ¬A ∨B

1.6.5 Aquivalenz

A⇔ B ≡ (A⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

1.6.6 Assoziativitat

A ∧ (B ∧ C) ≡ (A ∧B) ∧ C

1.6.7 Distributivitat

A ∧ (B ∨ C) ≡ A ∧B ∨A ∧ CA ∨ (B ∧ C) ≡ A ∨B ∧A ∨ C

1.6.8 Tautologie und Kontradiktion

1 = Tautologie0 = KontradiktionA ∨ ¬A = 1A ∧ ¬A = 0Beweis lasst sich mit Wahrheitstabellen erbringen.

1.7 Bemerkungen zu den logischen Aquivalenzen

• Doppelte Negation ist gleichbedeutend mit der Aussage selbst.

• DeMorgansche-Regeln sind fur das logische Argumentieren besonders wichtig.

• Implikation ist ebenfalls besonders wichtig, wird im Alltag aber oft falsch gemacht.

• Teilaudrucke konnen durch logisch aquivalente ersetzt werden.

• Die Auqivalenzen gelten auch, wenn man die Aussagevariablen durch Ausdruckeersetzt.

14

1.8 Quantoren

Quantoren ermoglichen es uns gewisse Aussagen genauer zu formulieren. Das fuhrt zueiner Erweiterung der Aussagenlogik, namlich der Quantorenlogik. Es geht um All- undExistenzaussagen.∀ fur alle; ∃ es existiert mindestens ein

1.8.1 Definition

Allquantor

∀x ∈ E : P (x) bedeutet fur alle x aus E gilt die Eigenschaft P.∀ heißt Allquantor. ∀x ∈ E : P (x) ist eine Aussage, die genau dann wahr ist, wenn P(x)fur alle x ∈ E wahr ist.

Existenzquantor

∃x ∈ E : Q(x) bedeutet “Es existiert mindestens ein x ∈ E mit der Eigenschaft Q(x)”∃ heißt Existenzquantor. ∃x ∈ E : Q(x) ist genau dann wahr, wenn Q(x) fur mindestensein x ∈ E wahr ist.∃!x ∈ E: es existiert genau ein.

1.8.2 Bemerkungen

Allquantor als Konjunktion

Ist E = {x1, ..., xn} endlich, so gilt:

∀x ∈ E : P (x) ≡ P (x1) ∧ ... ∧ P (xn)

∀ ist eine verallgemeinerte Konjunktion.

Existenzquantor als Disjunktion

Ist E = {x1, ..., xn} endlich, so gilt:

∃x ∈ E : P (x) ≡ P (x1) ∨ ... ∨ P (xn)

∃ ist eine verallgemeinerte Disjunktion.

1.8.3 Negation von Quantoren

• ¬(∀x ∈ E : P (x)) ≡ ∃x ∈ E : ¬P (x)

• ¬(∃x ∈ E : Q(x)) ≡ ∀x ∈ E : ¬Q(x)

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1.8.4 Reihenfolge von Quantoren

∀ und ∃ durfen nicht vertauscht werden.Gleiche, nebeneinanderstehende Quantoren durfen vertauscht und/oder zusammenge-fasst werden:

• ∀m ∈ N : ∀n ∈ N : P (x) ≡ ∀n ∈ N : ∀m ∈ N : P (x) ≡ ∀m,n ∈ N : P (x)

• ∃m ∈ N : ∃n ∈ N : P (x) ≡ ∃n ∈ N : ∃m ∈ N : P (x) ≡ ∃m,n ∈ N : P (x)

16

2 Mengen

2.1 Mengen allgemein

2.1.1 Cantor

Georg Cantor (1845-1918), Halle/Saale, Begrnder der Mengenlehre:”Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten wohl definierten unterschiedlichenObjektenunseres Anschauens oder unseres Denkens in einem Ganzen.”Die so zusammengefassten Objekte heißen Elemente der Menge. Mengendarstellung: {...}

2.1.2 Wie spezifiziert man eine Menge?

Aufzahlende Schreibweise

{1,2,3,5,9} oder {2,4,6,8,...}Geht nur bei endlichen oder sogenannten abzhlbaren Mengen.Reihenfolge und Mehrfachnennung sind unerheblich:{1,2,3,5,9}={2,1,9,5,3}={2,1,1,9,1,5,3}

Beschreibung durch eine Eigenschaft

M = {x|x hat Eigenschaft}={x : x hat Eigenschaft}

2.1.3 Problematik in Cantors Definition

Cantors Def. ist problematisch und fuhrt zu Widerspruchen:Russelsche Antinomie:Sein M die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.Frage: Ist M ein Element von M?Wenn ja, dann widerspricht das der Def. von M.Wenn nein, dann widerspricht das der Def. von M.Die Axiomatische Mengenlehre behebt das Problem, fur unsere Zwecke reicht aber fol-gende Abhilfe:Wir bilden nur Mengen, deren Elemente in wohldefinierten Grundmengen liegen, danngibt es keine Widerspruche:Also M = {x|x ∈ G ∧ E(x)} mit E(x) Eigenschaft von xTypische Grundmengen sind:

N,N0,Z,Q,R,C

Grundmenge muss nicht explizit angegeben werden, aber existieren!

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2.1.4 Leere Menge

∅, einzige Menge ohne Elemente

2.1.5 Kardinalitat

|M |=Anzahl der Elemente von Mauch: “Machtigkeit”, “Große”|N| =∞ , |{N}| = 1|{1, 2, 3, 4} = 4 , |{1, 1, 2, 3, 1, 4, 1}| = 4

2.2 Def. Teilmenge

Seien M, N Mengen.M heißt Teilmenge von N, geschrieben M ⊆ N , falls gilt:

∀x : (x ∈M ⇒ x ∈ N)

(“Implikation” beschreibt Teilmengenbeziehungen)Ist M keine Teilmenge von N, so schreibt man M 6⊆ N

2.2.1 Beispiel

N ⊆ N0 ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C

2.2.2 Wichtiger Unterschied

∈6≡⊆Bsp.:M := {1,N}Dann:1 ∈M , N ∈M2 6∈M , N 6⊆M

2.2.3 Bemerkung

Mengen konnen auch Elemente einer (anderen) Menge sein.

2.2.4 Gleichheit von Mengen

M = N ⇔M ⊆ N ∧N ⊆Md.h. ∀x : x ∈M ⇔ x ∈ N(“Aquivalenz” definiert Gleichheit)

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Beispiel

M={2,3,5,7}N={x|x ist Primzahl < 11}

2.3 Operationen auf Mengen

M,N,A,B,C Mengen

2.3.1 Schnittmenge/Schnitt

M ∩N := {x|x ∈M ∧ x ∈ N}A ∩B = B ∩A (Kommutativitat)A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C (Assoziativitat)Allgemein auch:

M1 ∩M2 ∩ ... ∩Mn = {x ∈M1 ∧ x ∈M2 ∧ ... ∧ x ∈Mn} =n⋂i=1

Mi

2.3.2 Vereinigung

M ∪N := {x|x ∈M ∨ x ∈ N}A ∪B = B ∪A (Kommutativitat)A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C (Assoziativitat)Allgemein auch:

M1 ∪M2 ∪ ... ∪Mn = {x ∈M1 ∨ x ∈M2 ∨ ... ∨ x ∈Mn} =n⋃i=1

Mi

2.3.3 Differenz

M\N := {x|x ∈M ∧ x 6∈ NIst N ⊆M , so heißt M\N Komplement N in M , N c(M)

2.3.4 Symmetrische Differenz

M∆N := M\N) ∪ (N\M)

2.4 Venn-Diagramme

2.5 Satz uber Mengenoperationen

Seien M,N,L Mengen.

2.5.1 Symmetrische Differenz

M∆N = (M ∪N)\(M ∩N)

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2.5.2 De’Morgansche Regel

Sind M,N ⊆ L, so ist (M ∩N)c = M c ∪N c und (M ∪N)c = M c ∩N c

2.5.3 Teilmengenbeziehungen

M ∩N = M ⇔M ⊆ NM ∪N = M ⇔ N ⊆M

2.5.4 Distributivitat

L ∩ (M ∪N) = (L ∩M) ∪ (L ∩N)L ∪ (M ∩N) = (L ∪M) ∩ (L ∪N)

2.6 Def.: Beliebige Vereinigungen und Schnitte

Sei A eine Menge von Mengen.⋃A∈A

A := {x|∃A ∈ A : x ∈ A}⋂A∈A

A := {x|∀A ∈ A : x ∈ A}

Besteht A aus A1, A2, ..., so schreibt man:⋃i∈N

Ai b.z.w.⋂i∈N

Ai

Wenn A1 ⊇ A2 ⊇ ... ⊇ Ak, so istk⋂i=1

= Ak

Bei unendlichen Schnitten konnen uberraschende Phanomene auftreten:An ⊆ R := {x ∈ R|0 < x < 1

n , n ∈ N},dann hat jede Menge An unendlich viele Elemente und es gilt A1 ⊇ A2 ⊇ ...,aber es ist

⋂n∈N

An = ∅

2.7 geordnete n-Tupel

Bei Mengen: Reihenfolge unerheblich, auch unendliche Mengen moglichBei Tupeln: Reihenfolge relevant, nur endlich viele Elemente

2.7.1 Definition

(x1, x2, ..., xn) = (y1, y2, ..., yn)⇔ x1 = y1, x2 = y2, ..., xn = ynDabei mussen nicht alle xi (bzw yi) verschieden sein.Fur n=2: “Paar”Fur n=3: “Tripel”

20

2.7.2 Beispiele

• Paare zur Beschreibung von Punkten in der Ebene, Tripel im 3D-Raum

• (2, 3, 4, 4) = (2, 3, 4, 4) 6= (2, 4, 3, 4)

2.8 Kartesisches Produkt

Sei n ∈ N, n ≥ 2 und M1,M2, ...,Mn nicht-leere Mengen.Die Menge der geordneten n-TupelM1 ×M2 × ...×Mn := {(x1, x2, ...xn)|x1 ∈M1 ∧ x2 ∈M2 ∧ ... ∧ xn ∈Mn}heißt das kartesische Produkt der Mengen M1 bis Mn.Ist eine der Mengen leer, so ist M1 ×M2 × ...×Mn = ∅

2.8.1 Schreibweise

M1 ×M2 × ...×Mn =n∏i=1

Mi

Ist M1 = M2 = ... = Mn, so Mn = M1 ×M2 × ...×Mn

2.8.2 Beispiele

• A×B 6= B ×A im AllgemeinenA2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}

• Tabelle einer Datenbank ist Teilmenge eines kartesischen Produktes endlicher Men-gen.

T=

N A

Alice 23David 30Y oda 999

T ⊆ N ×A

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3 Abbildungen

Alltagliche Beispiele:Foto:Zuordnung: Jeder Punkt in der Originalszene → ein Punkt auf dem FotoComputerprogramm:Eingabedaten → AusgabedatenFunktionen:z.B. f(x) = x2

3.1 Def.: Abbildung

Seien M,N nicht-leere Mengen (nicht unbedingt verschieden).Eine Abbildung f von M auf N: f : M → N ist eine Zuordnung, die jedem x ∈ Mgenau ein f(x) ∈ N zuordnet.Schreibe x 7→ f(x).x heißt Argument oder Urbild.f(x) heißt Bild unter f.M heißt Definitionsbereich von ff(M) := {f(x)|x ∈M} heißt Bild von f oder Bildbereich von ff(M) ⊆ N

Die Menge Gf := {(x, f(x))|x ∈M} ⊆ N heißt Graph von f.Funktionen sind Spezialfalle von Abbildungen, deren Definitionsmenge in R (oder Rn)oder in C (oder Cn) liegt.

3.1.1 Beispiele

Identische Abbildung, Identitat

M sei eine Menge.idM : M →M,x 7→ x

Abbildung

f : R\{0} → R, x 7→ 1x Geht nicht von R auf R!

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Betragsfunktion

| · | : R→ R (auch moglich, aber nicht notig: R→ R≥0 = R≥0 = R+)

|x| =

{x ∀x ≥ 0

−x ∀x < 0

Schaltfunktion, Bool’sche Funktion

{0, 1}n → {0, 1}z.B. ∧: {0, 1}2 → {0, 1}

(A,B) 7→ A ∧B

Indikatorfunktion

Sei M ⊆ A

1M : A→ {1, 0}, x 7→

{0 ∀x 6∈M1 ∀x ∈M

ist die Indikatorfunktion der Menge M.

Zwei Funktionen fur dieselbe Abbildung

f : {0, 1} → {0, 1}, x 7→ xg : {0, 1} → {0, 1}, x 7→ x2

g und f beschreiben dieselbe Abbildung 0 7→ 0, 1 7→ 1

3.1.2 Schreibweisen

f : M → N , Abb.A ⊆M : f(A) = {f(x)|x ∈ A} Bild (-menge) unter f

B ⊆ N : f−1(B) = {x|x ∈M,f(x) ∈ B} (volles) Urbild von B unter f

Beispiele

f : Z→ N0, x 7→ x2

f(Z) = {0, 1, 4, 9, 16, ...} = f(N0)→ Aus f(A1) = f(A2) folgt nicht im Allgemeinen A1 = A2!

f({−1, 1, 3, 7}) = {1, 9, 49}

f−1({1, 2, 3, 4}) = {1,−1, 2,−2}

f−1({2}) = ∅ = f−1({3}→ Aus f−1(B1) = f−1(B2) folgt nicht im Allgemeinen B1 = B2

23

3.2 Gleichheit von Abbildungen

Abbildungen f : M1 → N1 und g : M1 →M2 heißen gleich, wenn:(1) M1 = M2

(2) N1 = N2

(3) f(x) = g(x) ∀x ∈M1(= M2)Man schreibt f = g.

3.3 Surjektiv, injektiv, bijektiv

f : M → N , Abb.

3.3.1 Surjektivitat

f heißt surjektiv, falls f(M) = N .Also ∀n ∈ N∃m ∈M : f(m) = n.

3.3.2 Injektivitat

f heißt injektiv, falls∀m1,m2 ∈M : m1 6= m2 ⇒ f(m1) 6= f(m2)(≡ ∀m1,m2 ∈M : f(m1) = f(m2)⇒ m1 = m2)

3.3.3 Bijektivitat

f heißt bijektiv oder Bijektion, falls f surjektiv und injektiv ist.

3.3.4 Beispiele

(a) f(x) = x2

f : Z→ N0, x 7→ x2

f−1({3}) = ∅, f(−1) = f(1) = 1⇒ f ist weder surjektiv noch injektiv.

b: g(x) = 3x+ 2

g : R→ R, x 7→ 3x+ 2surjektiv?: Betrachte y ∈ R

gesucht ist x mit y = 3x+ 2y−2

3 = x⇒ g ist surjektiv.injektiv?:

3x1 + 2 = 3x2 + 23x1 = 3x2

x1 = x2 ⇒ g ist injektiv.⇒ g ist bijektiv.

24

c: Konjunktion ∧

∧ : {0, 1}2 → {0, 1}surjektiv?: 0 ∧ 0 = 0, 1 ∧ 1 = 1⇒ jainjektiv?: 0 ∧ 0 = 0 = 0 ∧ 1⇒ nein

d: h(x) = x+ 2

h : N→ N, x 7→ x+ 2surjektiv?: y + 1 = x⇒ jainjektiv?: h−1(1) = ∅ ⇒ nein

e: i(x) = x− 1

i : N→ N0, x 7→ x− 1surjektiv?: i−1(0) = 1, i−1(1) = 2, ...⇒ jainjektiv?: y + 1 = x⇒ ja⇒ i ist bijektiv.

f: Explizite Zuordnung

j : {1, 2, 3, 4, 5} → {a, b, c, d, e}, j(1) = a, j(2) = b, ..., j(5) = esurjektiv und injektiv (leicht zu sehen)⇒ j ist bijektiv.

3.4 Endlichkeit von Mengen

Bijektivitat bentigt man zur Definition der Endlichkeit einer Menge:Menge M heißt endlich :⇔M = ∅ ∨ ∃n ∈ N∃g : {1, 2, ..., n} →M : g bijektiv

3.4.1 Abzahlbar unendliche Mengen

∃h : N→M : h bijektiv(Bsp. e oben)

Ist Z abzahlbar?

Dazu definiere:

f : N→ Z, x 7→

{k , falls x = 2k + 1

−k , falls x = 2kwobei k = {0, 1, 2, ...}

25

3.4.2 Satz uber endliche Mengen

Sei f : M → N Abb.Sind M und N endlich und |M | = |N |, so sind folgende Aussagen aquivalent (→ ist einedavon wahr, so sind alle wahr):

• (1) f ist injektiv

• (2) f ist surjektiv

• (3) f ist bijektiv

Beweisbar durch Ringschluss.

Beweis

Zu zeigen (1)⇒ (2):Sei m1,m2 ∈MIst m1 6= m2, so f(m1) 6= f(m2) (dann injektiv)Also |f(M)| = |M |Da |M | = |N | gilt, folgt |f(M)| = |N |.Da f(M) ⊆ N ∧N endlich, folgt f(M) = N , d.h. f ist surjektiv.

Zu zeigen (2)⇒ (3):Sei N = {n1, n2, ..., nk}, k = |N |Zu jedem Bildpunkt ni ∈ N existiert mindestens ein mi ∈ M mit f(mi) = ni, da fsurjektiv.Aus der Def. einer Abbildung folgt, dass m1,m2, ...,mn paarweise verschieden sind.Da |M | = |N | und fur i 6= j ist f(mi) = ni 6= nj = f(mj)Also ist f auch injektiv und daher bijektiv.

Zu zeigen (3)⇒ (1):Durch Def. von Bijektivitat.

3.5 Hintereinanderausfuhrung

3.5.1 Definition

f : M → N, g : N → P , Abb.Die Zuordnung x 7→ g(f(x)) fur jedes x ∈ M definiert eine Abb. von M nach P; dieHintereinanderausfuhrung g ◦ f (g “nach” f) der Abb. g und f.Also: (g ◦ f)(x) := g(f(x))

26

3.5.2 Assoziativitat

Ist zusatzlich h : P → Q eine weitere Abb., so gilt folgendes:(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f)

3.5.3 Beweis

Def.

f ◦ g ist Abb., per Konstruktion ist x 7→ f(g(x))

Assoziativitat

Sei x ∈M beliebig:((h ◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x)) = h(g(f(x))) = h((g ◦ f)(x)) = (h ◦ (g ◦ f))(x)

3.5.4 Beispiele

(a) h : R→ R, x 7→ sin(x2),dann h = g ◦ f , wobei:f : R→ R, x 7→ x2

g : R→ R, x 7→ sin(x)

Beachte: (f ◦ g)(x) = (sin(x))2, also f ◦ g 6= g ◦ f

(b)A = Menge alle TN der Vorlesung, die an den Ubungsgruppen teilnehmenB = Ubungsgruppen der VLC = Menge der Tutorenf : A→ B, x 7→ Ubungsgr., der x angehortg : B → C, x 7→ Tutor der Ubungsgruppe xg ◦ f : A→ C, x 7→ Tutor der Ubungsgruppe, der x angehort.

27

3.5.5 Besondere Abbildungen

Die Hintereinanderausfuhrung

injektiver

surjektiver

bijektiver

Abb. ist

injektiv

surjektiv

bijektiv

.

3.6 Umkehrabbildung bijektiver Abb.

f : M → N , Abb.,Dann gilt:

(a) f ist bijektiv genau dann, wenn eine Abbildung g : N →M existiert mit g◦f = idMund f ◦ g = idN

(b) g ist eindeutig bestimmt und heißt Umkehrabbildung (inverse Abbildung) f−1 von f

(c) f−1 ist bijektiv und (f−1)−1 = f

3.6.1 Beispiele

• f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2f−1(1) = 2, f−1(2) = 3, f−1(3) = 1

• f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}, f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3f−1(1) = 1, f−1(2) = 2, f−1(3) = 3

• f : R→ R, x 7→ x3

f−1(x) = 3√x

Verwechslungsgefahr:f : M → N,Abb.f−1(B) = {x ∈M |f(x) ∈ B} nicht dasselbe!

3.6.2 Beweis

(a) ”⇒” Angenommen f ist bijektiv.Zu zeigen: ∃g mit den geforderten Eigenschaften.

Sei y ∈ N beliebig.Da f bijektiv: ∃!x ∈M : f(x) = yWir setzen g(y) = x. Dann ist g : N →M .Außerdem:(f ◦ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y = idN (y)(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x = idM (x)

28

”⇐” Angenommen es existiert eine Abb. g mit f(g(y)) = y und g(f(x)) = xZu zeigen: f ist bijektiv

f surjektiv? Sei y ∈ N beliebig. dann ist g(y) ∈M , f(g(y)) = y, d.h. g(y) istUrbild von y unter f, also ist f surjetiv

f injektiv? Sei f(x1) = f(x2).Dann x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2, also ist f injektiv.

(b) Zu zeigen: Eindeutigkeit von g:Angenommen es gabe 2 solcher Abb. g1 und g2.Sei y ∈ NDann existiert genau ein x ∈M mit f(x) = y, da f bijektiv.Es folgt:g1(y) = g1(f(x)) = xg2(y) = g2(f(x)) = x⇒ g1 = g2

(c) u.U. in Ubung

29

4 Relationen

Bisher: f : M → N , Abb.: Jedem x ∈M wird genau ein y ∈ n zugeordnet.Jetzt: Verzichtet man auf die unterstrichenen Forderungen, so beschreibt man eine Teil-menge von M ×N .(Allgemein: Teilmengen n-facher kartesischer Produkte M1 ×M2 × ...×Mn)

4.1 Def. Relation

Seien M1, ...,Mn nichtleere Mengen.Eine n-stellige Relation R uber die mengenM1, ...,Mn ist eine Teilmenge vonM1×...×Mn

R ⊆1 ×...×Mn

Gilt M1 = ... = Mn, so spricht man von einer n-stelligen Relation auf M.

4.1.1 Beispiele

”Relationelle Datenbank”V orn Nachn Alter Wohnort

Peter Blau 23 TU

Peter rot 24 TUMaren Rot 28 RT

R ⊆ V orn×Nachn×Alter ×Wohnort

Zweistellige Relationen (besonders wichtig)Besondere Symbole: ∼ oder � oder ≤

Gf Graph von Abb. f(f : M → N,Gf = {(x, f(x))|x ∈M} ist Relation ⊆M ×NDa Gf eindeutig, kann Abb. f als spezielle Relation betrachtet werden.

Gleichheitsrelation auf MR = {(x, x)|x ∈M} (Graph von idM ) ⊆M ×M

ubliche Kleiner-Relation auf ZR< = {(x, y)|x, y ∈ Z, x < y} ⊆ Z×Z

Teilerrelation || (“teilt”) auf N:x|y heißt x teilt y, d.h. ∃k ∈ N : y = k · x

30

≤-Relation auf Zx ≤ y ⇔ x < y ∨ x = y

4.1.2 Anmerkung

Es gibt zwei besonders wichtige Typen von Relation:

• Ordnungsrelationen

• Aquivalenzrelationen

Bsp.: <,≤ Ordnungsrelationen

4.2 Ordnungsrelationen

Sei M eine nicht-leere Menge, � eine 2-stellige Relation auf M mit folgenden Eigenschaf-ten:

(1) ∀x ∈M : x � x (Reflexivitat)

(2) ∀x, y ∈M : x � y ∧ y � x⇒ x = y (Antisymmetrie)

(3) ∀x, y, z ∈M : x � y ∧ y � z ⇒ x � z (Transitivitat)

Dann heißt � Ordnungsrelation oder partielle Ordnung.Gilt zusatzlich

(4) ∀x, y ∈M : x � y ∨ y � x

so heißt � vollstandige/lineare/totale Ordnung.Haufig schreibt man≤ statt�, obwohl das nicht die ubliche kleiner-gleich-Ordnungsrelationauf N,N0, ... bedeuten muss.Ist u ≤ v und u 6= v, so schreibt man u < v.

4.2.1 Beispiele

• normale Ordnungsrelation ≤ auf N ist totale Ordnung

• Gleichheitsrelation ist partielle Ordnung auf jeder Menge, nicht total, falls |M | > 1

• Teilerrelation auf N ist partielle Ordnung, nicht total (z.B. weder 2|3 noch 3|2)

• Teilmengenrelation auf der Potenzmenge von M ist partielle Ordnung, nicht total,falls |M | > 1

• M = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)}Transitivitat verletzt: (1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R, aber (1, 3) 6∈ R

31

• Sei ≤ (partielle) Ordnung auf MOrdne Mn durchu = (u1, u2, ..., un) � v = (v1, v2, ..., vn)⇔u = v oder ui < vi fur das kleinste i mit ui 6= viBsp.:(a, p, p, l, e) ∈M5, (a, p, p, s, s) ∈M5

hier: u � v, da l < s

Das ist partielle Ordnung auf Mn (s. UB 4)Ist ≤ total, so ist auch � total.Ist � total, so heißt � lexikographische Ordnung.

4.3 Aquivalezrelation

Sei M = ∅, ∼ eine zweistellige Relation auf M mit folgenden Eigenschaften:

(1) Reflexivitat

(2) Symmetrie: x ∼ y ⇒ y ∼ x

(3) Transitivitat

Dann heißt ∼ Aquvalenzrelation.

4.3.1 Beispiele

• Gleichheitsrelation: trivial

• M = Z, x ∼ y ⇔ x− y gerade

• Allgemein: Wahle r ∈ N fest, M = Z

Reflexivitat x− x = 0 ∧ r|0⇔ x ∼ xSymmetrie x ∼ y ⇔ r|x− y ⇔ r| − (x− y)⇔ r| − x+ y ⇔ r|y − x⇔ y ∼ x

Transitivitat x ∼ y ∧ y ∼ z zu zeigen⇒ x ∼ z:r|x− y ∧ r|y − z⇒x− y = k · r, k ∈ Zy − z = l · r, l ∈ Z⇒x− z = x− y + y − z

= k · r + l · r= (k + l) · r

also transitiv, da r|x− z, also x ∼ z

32

4.4 Def.: Aquivalenzklassen

Sei ∼ Aquivalenzrel. auf M und x ∈M .Dann heißt [x] := {y ∈M |y ∼ x} Aquivalenzklasse von x (bezuglich ∼) auf M.

4.4.1 Beispiele

Gleichheitsrelation auf M∀x ∈M : [x] = {x}

Relation x ∈ Z, x ∼ y ⇔ 2|x− y[0] = {y ∈ Z|2|y} = [2] = [−2][1] = {y ∈ Z|2 6 |y} = [3] = [−3]

Relation f : M → N,Abb.;x, y ∈M : x ∼ y ⇔ f(x) = f(y)[x] = f−1({f(x)}) volles Urbild f−1(f(x)) von f(x) bzgl. f

4.5 Gleichheit von Aquivalenzklassen

Sei ∼ eine Aquivalenzrelation aufM , x, y ∈M

(a) Die folgenden Aussagen sind aquivalent:

(i) [x] = [y]

(ii) x ∈ y(iii) x ∼ y

(b) Ist [x] 6= [y], so ist [x] ∩ [y] = ∅

4.5.1 Beweis

(a) durch Ringschluss

(i)⇒(ii): x ∈ [x] = [y]⇒ x ∈ [y] (Reflexivitat, Annahme)

(ii)⇒[iii): x ∈ [y]⇒ x ∼ y (Def. Aquivalenzklasse)

(iii)⇒(i): Sei z ∈ [x], dann z ∼ xAus x ∼ y folgt wg. Transitivitat z ∼ y, also [x] ⊆ [y], da z ∈ [y]Wegen Symmetrie gilt y ∼ x, es folgt analog [y] ⊆ [x]⇒ [x] = [y]

(b) Indirekter Beweis (A⇒ B ≡ ¬B ⇒ ¬A)Sei [x] ∩ [y] 6= ∅, z ∈ [x] ∩ [y]Aus (a) folgt [z] = [x] = [y]

33

4.6 Zerlegung

4.6.1 Definition

Aquivalenzklassen einer Aquivalenzrelation ∼ auf M fuhren zu einer “Zerlegung” von M:

(a) Mengen A und B heißen disjunkt, falls A ∩B = ∅

(b) Sei ∅ 6= Z ⊆ P(M) TeilmengensystemElemente von Z paarweise disjunkt:∀A,A′ ∈ Z : A 6= A′ ⇒ A ∩A′ = ∅

(c) Sei Z eine Menge paarweise disjunkter, nicht-leerer Teilmengen von M.Dann schreibt man fur

⋃A∈Z

A auch⋃A∈Z

A oder⊎A∈Z

A (“disjunkte Vereinigung”)

Gilt dabei⊎A∈Z

A = M , so heißt Z Zerlegung von M (“Partition”).

4.6.2 Beispiele

M = {1, 2, 3, 4}Z = {{1}, {2}, {3, 4}} Zerlegung von MZ = {{1, 4}, {2, 3}} Zerlegung von M

Z = {z ∈ Z|2|z} ] {z ∈ Z|2 6 |z}

4.6.3 Satz

Sei M 6= ∅ eine Menge.

(a) Ist ∼ eine Aquivalenzrelation auf M und Z∼ eine die Menge aller verscheidenenAquivalenzklassen (bezugl. ∼) auf M, so ist Z∼ eine Zerlegung von M.

(b) Sei Z eine Zerlegung von M.Setze x ∼ y :⇔ x, y liegen in derselben Menge A ∈ Z.Dann ist ∼ eine Aquvalenzrelation auf M. Die Aquivalenzklassen bezgl. ∼ sindgerade die Mengen A ∈ Z

Beweis

(a) Sei ∼ Aquivalenzrelation auf M.Fur jedes x ∈M gilt: x ∈ [x]Folglich

⋃A∈Z∼

A = M

Dies ist eine disjunkte Vereinigung nach der Definition einer Aquivalenzklasse.Damit ist Z∼ eine Zerlegung von M.

34

(b) z.Z. ∼ (wie oben definiert) hat Eigenschaften einer Aquivalenzrelation (s.o.)

Reflexivitat Sei x ∈M .Dann ist x ∈ A fur genau eine Menge A ∈ Z, also x ∼ x

Symmetrie Sei x ∼ y, d.h. x, y ∈ A fur A ∈ Z, dann auch y ∼ x.

Transitivitat Ist x ∼ y und y ∼ z, so x, y ∈ A, y, z ∈ B fur geeignete A,B ∈ Z.Da y ∈ A ∩B folgt A = B, da Zerlegung, d.h. x, z ∈ A(= B), also x ∼ z.

4.7 Reprasentantensystem

Sei ∼ eine Aquivalenzrelation auf M, Z∼ die Menge der Aquivalenzklassen bezgl. ∼.Wahlt man aus jeder Aquivalenzklasse genau ein Element aus, so bilden die Elementeein Reprasentantensystem der Aquivalnzklassen bezgl. ∼.

4.7.1 Beispiel

x ∼ y :⇔ 2|x− y, Aquvalenzklassen [0], [1],also {0, 1} ist Reprasentantensystem; ebenso {26,−1357}

35

5 Naturliche Zahlen und Induktion

Naturliche Zahlen sind durch Peano-Axiome beschrieben. Das entscheidende Axiom istdas Prinzip der vollstandigen Induktion.

5.1 Vollstandige Induktion

5.1.1 Definition

Sei n0 ∈ N fest.Fur jedes n ≥ n0 sei A(n) eine Aussage (von n abhangig)Es gelte:

(1) A(n0) ist wahr (“Induktionsanfang”)

(2) ∀n ≥ n0 : Ist A(n) wahr︸ ︷︷ ︸Induktionsvoraussetzung

, so ist auch A(n+ 1) wahr︸ ︷︷ ︸Induktionsbehauptung

(“Induktionsschritt”, “Induktionsschulss”)

Dann ist A(n) fur alle n ≥ n0 wahr.

Dies liefert eine Beweismethode fur Aussagen, die von naturlichen Zahlen abhangen.Man hat immer 2 Dinge zu beweisen:

• Induktionsanfang gilt (A(n0) wahr)

• Induktionsschritt: ∀n ≥ n0 : A(n)⇒ A(n+ 1)

5.1.2 Beispiel

Behauptung: Fur jede naturliche Zahl n gilt 1 + 2 + ...+ n = n(n+1)2

Beweis:

Induktionsanfang n0 = 1, 1 = 1(1+1)2 = 2

2 = 1X

Induktionsschluss

Induktionsannahme1 + 2 + ...+ n = n(n+1)

2 gelte fur ein beliebiges aber festes n

Induktionsbehauptung

Dann gilt auchn+1∑i=1

i = (n+1)((n+1)+1)2

36

Induktionsbeweis1 + 2 + ...+ n+ n+ 1 = n(n+1)

2 + n+ 1

= n(n+1)+2(n+1)2

= (n+1)(n+2)2

= (n+1)((n+1)+1)2

5.1.3 Bemerkung

Induktionsprinzip gilt auch fur N0

5.2 Verscharftes Induktionsprinzip

A(n), n0 wie in 5.1 definiert.Es gelte:

(1) A(n0) ist wahr.

(2) ∀n ≥ n0 : A(n0) ∧A(n0 + 1) ∧ ... ∧A(n)⇒ A(n+ 1)

Dann ist A(n) fur alle n ≥ n0 wahr.

5.2.1 Beispiel

Behauptung: Jede naturlicher Zahl n > 1 ist Primzahl oder Produkt von Primzahlen

Beweis:

Induktionsanfang n0 = 2 ist Primzahl X

Induktionsschluss

InduktionsannahmeAussage gilt fur 2, 3, 4, ..., n

InduktionsbehauptungDann gilt die aussage auch fur n+ 1

InduktionsbeweisIst n+ 1 Primzahl, so gilt die Aussage,sonst n+ 1 ist keine Primzahl, also n+ 1 = k · l mit1 < k < n+ 11 < l < n+ 1Nach Ind.vor. gilt Aussage fur k und l⇒ n+ 1 ist Produkt von Primzahlen.

37

5.3 Prinzip der rekursiven Definition

Man will eine Abb. g : A → M definieren, M 6= ∅ Menge, A = {n ∈ N|n ≥ n0}, wobein0 ∈ N fest vorgegeben.

5.3.1 informelle Definition

• Definiere g(n0) (Festlegung des “Startwertes”)

• Beschreibe, wie man fur jedes n ≥ n0 g(n+1) aus g(n) erhalt. (“Rekursionsschritt”)

Dann ist g auf ganz A definiert.

5.3.2 Beispiele

Fakultatsfunktion

·! : N0 → N, n 7→ n!Rek.def.:0! := 1, (n+ 1)! := n! · (n+ 1),∀n ≥ 0

Potenzen von ∈ R, Def. von xn

x0 := 1, xn+1 := xn · x

Summen

A = {n ∈ N0|n ≥ n0 ∈ N0} fest vorgegeben.Gegeben: a : A→ R, k 7→ ak, Abb. (“Folge”), also a(k) = ak

Fur jedes n ∈ N0, n ≥ n0 definieren∑

k=n0

ak durch

•n0∑

k=n0

ak = an0

•n+1∑k=n0

ak =n∑

k=n0

ak + an+1,∀n ≥ n0

Konvention fur n < n0 :n∑

k=n0

ak := 0

38

Produkten∏

k=n0

ak, ∀n ≥ n0 :

•n0∏

k=n0

ak = an0

•n+1∏k=n0

ak =n∏

k=n0

ak · (n+ 1)∀n ≥ n0

Konvention fur n ≥ n0:n∏

k=n0

ak := 1

Spezialfall:n∏k=1

k =n∏k=0

k = n!

Wichtige Frage

Gibt es eine “geschlossene Form” fur eine rekursiv definierte Abb.Definiere rekursiv: g : N→ N

g(1) := 2g(n+ 1) := 3g(n) + 4, ∀n ≥ 1

Wir zeigen: g(n) = 4 · 3n−1 − 2, geschlossene Form ∀n ≥ 1

Beweis durch Induktion:

Indanf.: g(1) = 4 · 31−1 − 2 = 4− 2 = 2 = 2X

Indvor.: Beh. richtig fur n, also g(n) = 4 · 3n−1 − 2

Indbeh.: g(n+ 1) = 4 · 3n − 2

Indschritt: g(n+ 1) = 3 · g(n) + 4 = 3 · (4 · 3n−1 − 2) + 4 = 4 · 3n − 6 + 4 = 4 · 3n − 2

5.3.3 Rekursive Definition mit mehreren Startwerten

Man kann Funktionen auch rekursiv definieren, wenn die Def. von g(n+1) nicht nur vong(n), sondern auch von g(n−1) abhangt (allg.: k vorherige Werte, wobei k fest gewahlt).Dann muss man g(n0) und g(n0 − 1) als Startwerte definieren (allg.: k Startwerte).

39

Beispiel

h(1) := 1, h(2) := 3, h(n+ 1) := 2 · h(n)− h(n− 1)∀n ≥ 2Vermutung: h(n) = 2n− 1∀n ≥ 1

BeweisDa wir unsere Vermutung im Induktionsschluss fur n und n−1 verwenden wollen, mussenwir den Ind.Anf. fur n = 1 und n = 2 machen.

Indanf.:n = 1 : h(1) = 1, 2 · 1− 1 = 1Xn = 2 : h(2) = 3, 2 · 2− 1 = 3X

Indschluss: Sei n ≥ 2h(n+ 1) = 2 · h(n)− h(n− 1)

= 2 · (2n− 1)− (2(n− 1)− 1)= 2 · 2n− 2− 2n+ 2− 1= 2n+ 1= 2(n− 1)− 1

5.4 Rechenregeln fur Produkte und Summen

5.4.1 Anderung der Summensequenzen

n∑k=0

ak =n+1∑k=1

ak−1

Schreibweisen:n∑k=0

ak =∑

0≤k≤nak =

∑k∈{0,...,n

ak =∑k

ak =∑n

k=0 ak

B = {a0, a1, ...an} :n∑k=0

ak =∑a∈B

a

Analog fur Produkte

40

5.4.2 Doppelsummen

f : N0 ×N0 → Rn∑i=0

m∑j=0

f(i, j) =n∑i=0

(m∑j=0

f(i, j))

=m∑j=0

f(0, j) +m∑j=0

f(1, j) + ...+m∑j=0

f(n, j)

=m∑j=0

n∑i=0

f(i, j)

Ist n = m, so schreibt man auch:n∑

i,j=0f(i, j)

5.4.3 Koeffizienten vor Summen

a0 ·n∑k=0

bk =n∑k=0

a0 · bk

(a0 + a1) ·n∑k=0

bk = a0 ·n∑k=0

bk + a1 ·n∑k=0

bk =1∑i=0

n∑k=0

ai · bk

Allgemein: (m∑i=0

ai) · (n∑k=0

bk) =m∑i=0

n∑k=0

am · bk

5.5 Wohlordnungsprinzip

Ist ∅ 6= M ⊆ N , so besitzt M ein kleinstes Element: min(M).Logisch aquivalent zum Prinzip der vollst. Induktion.

41

5.6 Fibonacci Zahlen

F (0) := 0, F (1) := 1, F (n) := F (n− 1) + F (n− 2)0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

F (n) = (1+√

5)n−(1−√

5)n

2n·√

5

5.6.1 Beweis durch vollst. Induktion

Indanf.:(1+√

5)0−(1−√

5)0

20·√

5= 0

(1+√

5)1−(1−√

5)1

21·√

5= 1

Indschritt:F (n) = 1√

5· (pn − qn) mit p = 1+

√5

2 , g = 1−√

52

Es gilt 1 + p = p2, 1 + q = q2

Beweis: p2 = 1+2√

5+54 = 6+2

√5

4 = 3+√

52 = 1 + 1+

√5

2 = 1 + pX

F (n) = F (n− 1) + F (n− 2)= 1√

5(pn−1 − qn−1) + 1√

5(pn−2 − qn−2)

= 1√5(pn−1 + pn−2)− 1√

5(qn−1 + qn−2)

= 1√5· pn−2 · (p+ 1)− 1√

5· qn−2 · (q + 1)

= 1√5· (pn − qn)

42

6 Elementare Zahlentheorie

6.1 Teiler

6.1.1 Definition

Seien a, b ∈ Z und b 6= 0. Dann heißt b Teiler von a, falls ein q ∈ Z existiert, sodassa = b · q. Wir schreiben b|a.Falls b kein Teiler von a ist: b 6 |a.Merke: 0 ist niemals Teiler

Beispiel

−3|6, 6 = (−2) · (−3)17|0, 0 = 17 · 0

6.1.2 Satz

(a) b|c und b|d, dann gilt b|(kc+ ld), ∀k, l ∈ Z

(b) b|a und a 6= 0, dann gilt |b| ≤ |a|

(c) b|a und a|b, dann gilt a = b oder a = (−b)

Beweis

(a) Auf UB:Ist b

a = i, ca = j, i, j ∈ Z, da a|b ∧ a|cDann kb+lc

a = ki+ lj ∈ Z, da k, l, i, j ∈ Zalso a|kb+ lc.

(b) Da b|a gilt |b|||a|.Also |a| = |b| · q fur ein q ∈ N, da a 6= 0 gilt

|a| = q · |b| =q∑i=1|bi| = |b1|+ |b2|+ ...+ |bq| ≥ |b|

43

(c) Es gilt a = r · b, b = q · a, q, r ∈ Za = r · q · a

⇔ a− rqa = 0⇔ a(1− rq) = 0Da a 6= 0, da a|b:⇒ 1− rq = 0

a ⇔ 1− rq = 0⇔ rq = 1Somit r|1, q|1⇒ |r| ≤ 1, |q| ≤ 1, da 0 niemals Teiler gilt:q = r = 1 oder q = r = −1

6.2 Rest und Quotient

Im Allgemeinen lassen sich ganze Zahlen nicht durch einander teilen. Daher benotigenwir Division mit Rest.

6.2.1 Satz

Seien a, b ∈ Z, b 6= 0.Dann existieren eindeutig bestimmte Zahlen q, r ∈ Z mit

(i) a = q · b+ r

(ii) 0 ≤ r ≤ |b|

r heißt “Rest”, q “Quotient”

Beweis

Wir benotigen zwei Beweise:

A Beweis der Existenz von q und r mit (i) und (ii)

B Eindeutigkeit von q,r

A 1.Fall b > 0Sei q die großte Zahl aus Z mit q ≤ a

b . Dann gilt q · b ≤ aSetze: r = a− qb ≥ 0Es ist also a = qb+ rZu zeigen: r < bDazu nehmen wir an, dass r < b falsch ist. Dann leiten wir aus r ≥ b eineAussage ab, von der wir wissen, dass sie falsch ist. Dann wissen wir, dass r ≥ bfalsch sein muss, es folgt r < b (“Widerspruchsbeweis”, A⇒ B ≡ A∧¬B = 0)Dann r = b+ s, s ≥ 0, d.h.

44

a− qb = b+ s⇔ a− s = b+ qb⇔ a− s = b(1 + q)⇒ b(1 + q) = a− s ≤ a⇔ q + 1 ≤ a

b ⇒ r < b

2.Fall b < 0Es ist a = q · |b|+ r, 0 ≤ r < |b| (folgt aus 1.Fall)Also: a = −q · b+ r und somit 0 ≤ r < |b|

BAngenommen q,r sind nicht eindeutig.a = q1 · b+ r1 = q2 · b+ r2

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit: r1 ≥ r2

q1 · b+ r1 = q2 · b+ r2

⇔ r1 − r2 = q2 · b− q1 · b⇔ r1 − r2 = b(q1 − q2) ≥ 0 (da r1 ≥ r2)Also b|(r1 − r2)Zu zeigen: r1 − r2 = 0, durch Widerspruchsbeweis:r1 − r2 6= 06.1.2b)⇒ |b| ≤ r1 − r2 ≤ r1 < |b| ⇒ r1 = r2

und da b 6= 0 : q1 = q2

6.3 mod und div

6.3.1 Definition

Seinen a, b ∈ Z, b 6= 0Sei a = q · b+ r mit 0 ≤ r < |b|, q, r ∈ Z, wie 6.2.1Dann q = a div b

r = a mod bq,r eindeutig nach 6.2, d.h.div : Z×Z\{0} → Z, (a, b) 7→ a div bmod : Z×Z\{0} → Z, (a, b) 7→ a mod bBeachte: a mod b = 0⇔ b|a

45

6.3.2 dae und bac

Sei x ∈ Rdxe kleinste ganze Zahl q mit q ≥ r “ceiling”bxc großte ganze Zahl q mit q ≤ r “floor”Also: dxe = bxc = x, ∀x ∈ Z

Bemerkung

a div b =

{bab c , wenn b > 0

dab e , wenn b < 0

a mod b = a− b(a div b)

In Java,C,... fur a ≥ 0, in der regel nicht fur a < 0 (⇒ Beim Programmiern auchnegativer Rest moglich, in der Mathematik nicht!)Def. in Java:

a\b =

{bab c , fur a · b > 0

dab e , fur a · b < 0

6.4 b-adische Darstellung naturlicher Zahlen

6.4.1 Satz

Sei b ∈ N, b > 1Jedes n ∈ N0 lasst sich darstellen in der Form:

n =k∑i=0

xi · bi, wobei

(i) bk ≤ n < bk+1 fur n > 0, bzw. k = 0, falls n = 0

(ii) xi ∈ N0, 0 ≤ xi ≤ b− 1, xk 6= 0 fur n 6= 0

Diese Darstellung ist eindeutig, sie heißt b-adische Darstellung von n.xi heißen Ziffern von n bzgl. b.

Schreibweise

n = (xk xk−1 ... x1 x0)b oder, wenn b klar ist: n = xk xk−1 ... x1 x0

46

Beweis

Existenz und Eindeutigkeit durch Induktion nach n

Existenz

IA: n0 = 0, n0 =0∑i=0

x0 · k0 = 0 · 1 = 0

IS:

IV: Aussage gelte fur alle n′ ∈ N0, n′ < n

IB: Aussage gilt dann auch fur n

Setze x0 = n mod bDann b|(n− x0), also n− x0 = n′ · b, 0 ≤ n′ < n, da b > 1Wende IV an:

n′ =k∑i=0

x′i · bi , k, x′i mit (i) und (ii)

Setze xi+1 = x′i fur i = 0, ..., kDann:n = b · n′ + x0

= b ·k∑i=0

x′ibi + x0

=k∑i=0

xi+1bi+1 + x0

=k+1∑i=1

xibi + x0

=k∑i=0

xibiX

Gilt (i)? Z.z.: bk+1 ≤ n < bk+2

Ist n′ > 0, so gilt nach IV bk ≤ n′ < bk+1

⇔ b · bk ≤ b · n′⇔ bk+1 ≤ b · n′ + x0

⇔ bk+1 ≤ nEs gilt auch n′ ≤ bk+1 − 1, also auch bn′ ≤ bk+2 − bn = bn′ + x0 ≤ bk+2 − b+ x0

x0<b< bk+2 X

Gilt (ii)?Ja, fur x1, ...xk+1 nach IV, da xi+1 = x′i.Auch ist 0 ≤ x0 < b, da x0 = n mod b.

47

Eindeutigkeit:

n =l∑

i=0xib

i =r∑j=0

yibi, ai, yi, l, r mit (i),(ii)

Dann x0 = y0 = n mod bBetrachte n−x0

b , n−y0b , wende IV an

Beispiel

Binarsystem (161)10

1.Moglichkeit (wie im Beweis)n = n′ · b+ x0

n′ = n−x0b :

161 mod 2 = 1 = x0161−1

2 mod 2 = 80 mod 2 = 0 = x180−0

2 mod 2 = 40 mod 2 = 0 = x240−0

2 mod 2 = 20 mod 2 = 0 = x320−0

2 mod 2 = 10 mod 2 = 0 = x410−0

2 mod 2 = 5 mod 2 = 1 = x55−1

2 mod 2 = 2 mod 2 = 0 = x62−0

2 mod 2 = 1 mod 2 = 1 = x7

⇒ (161)10 = (10100001)2

2.MoglichkeitHochste Potenz von 2, die ≤ 161?27 = 128162− 128 = 33Hochste 2er-Potenz ≤ 33?25 = 3233− 32 = 1 = 20

⇒ (161)10 = (10100001)2

48

Hexadezimalsystem (161)10

0, ...9, A, ..., F161 mod 16 = 1161−1

16 mod 16 = 10 mod 16 = 10 = A⇒ (161)10 = (A1)16

oder

(161)10 = ( 1010︸︷︷︸=(10)10=(A)16

0001︸︷︷︸=(1)10=(1)16

)2

⇒ (161)10 = (A1)16

6.4.2 Schnelles Potenzieren mit Hilfe des Binarsystems

Sei a ∈ R,m ∈ NUm am zu berechnen:a · a · ... · a︸ ︷︷ ︸

m−1 Multiplikation

Sehr langsam fur große m

Schneller: m = 2l (Spezialfall)am : a2, (a2)2 = a4, ..., ((a2)l−1)2 = (a2)l = am

l Multiplikationen, statt 2l−1

Allgemeiner Fall:

m =k∑i=0

xi · 2i, xi ∈ {0, 1}, xk = 1 (o.B.d.A. m > 0)

am = a

k∑i=0

xi·2i

= a2k · axk−1·2k−1 · ... · ax1·2 · ax0= (a2k−1 · axk−1·2k−2 · ... · ax1)2 · ax0= ...= (...(a2 · axk−1)2... · ax1)2 · ax0“square and multiply”

Algorithmus “square and multiply”

b := afor j = k − 1 (step − 1)down to 0 dob := b2

if xj = 1 then b := b ∗ aendPrint b

49

6.5 Kongruenzrelation modulo m

6.5.1 Definition

Sei m ∈ N. Fur a, b ∈ Z gilt:a ≡ b (mod m) (“a kongruent b modulo m”)⇔ m|a− bd.h. a− b = k ·m, bzw. a = b+ km, b = a+ (−k) ·m, k ∈ Z

z.B. 17 ≡ −4 (mod 7), da 7|17− (−4) = 21

6.5.2 Satz

(a) Kongruenzrelation modulo m ist Aquivalenzrelation

(b) a ≡ 0 (mod m)⇔ m|a

(c) a ≡ b (mod m), c ∈ Z⇒ c · a ≡ c · b (mod m)

(d) a ≡ b (mod m)⇔ a mod m = b mod m

(e) a mod m ≡ a (mod m)

Beweis

(a) Reflexivitat XSymmetrie XTransitivitat:a ≡ b (mod m) ∧ b ≡ c (mod m)⇒ m|a− b ∧m|b− c⇒ m|(a− b) + (b− c) = a− c⇒ a ≡ c (mod m)X

(b) trivial X

(c) a ≡ b (mod m)⇔ m|a− b⇒ c ·m|c(a− b) ∧ c 6= 0⇔ cm|ca− cb ∧ c 6= 0⇔ ca ≡ cb (mod cm)⇒ ca ≡ cb (mod m)X

(d) “⇒”Es gilt: a ≡ b (mod m)⇔ m|a− b⇔ a = b+ km ∧ k ∈ ZAuch gilt: b = q1 ·m+ r, 0 ≤ r < mFolglich: a = q1 ·m+ r + km = m(q1 + k) + ralso: a mod m = r = b mod mX

50

(d) “⇐”a = q1 ·m+ rb = q2 ·m+ r⇒ a− b = (q1 − q2)m, d.h. m|a− b⇒ a ≡ b (mod m)X

(e) Es gilt:(a mod m) mod m = a mod mBehauptung folgt aus (d) “⇐”

6.5.3 Unterscheidung Modulo und Kongruenz

Bei festem m ista 7→ a mod m, Abb. Z→ N

≡ (mod m) dagegen ist Relation auf Z2

17 mod 7 = 317 ≡ 3 (mod 7), aber 17 ≡ 10 (mod 7), 17 ≡ (−4) (mod 7)

2 · 3 ≡ 2 · 2 (mod 2) aber 3 6≡ 2 (mod 2)(6.5.2 (c) nur Implikation, nicht Aquivalenz!)

6.5.4 Satz: Kongruenzklassen modulo m

Die Aquivalenzklassen der Kongruenzrelation modulo m (genannt: “Kongruenzklassen modulo m”sind genau die Mengen

{r + k ·m|k ∈ Z}, r = 0, ..., r = m− 1}

Die Menge Zm := {0, 1, ...,m − 1} ist ein Reprasentantensystem der Kongruenzklassenmod m.

Beweis

Folgt aus 6.5.2 (d) , da Aufteilung je nach RestBsp: Kongruenzklassen mod 2[0], [1],Z2 = {0, 1}

6.5.5 Satz: Kongruenzrelation in Summen und Produkten

Seien a1 ≡ a2 (mod m) ∧ b1 ≡ b2 (mod m), dann:

(a) a1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod m)

(b) a1 − b1 ≡ a2 − b2 (mod m)

(c) a1 · b1 ≡ a2 · b2 (mod m)

51

Beweis

Aus Voraussetzung: m|a1 − a2 ∧m|b1 − b2

(a) Voraussetzung⇒ a1 − a2 = k ·m ∧ b1 − b2 = l ·m, k, l ∈ Z⇒ a1 − a2 + b1 − b2 = km+ lm⇒ a1 + b1 − (a2 + b2) = (k + l)m⇒ m|(a1 + b1)− (a2 + b2)⇒ a1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod m)

(b) analog

(c)m|a1 − a2 ⇒ m|(a1 − a2)b1 = a1b1 − a2b2m|b1 − b2 ⇒ m|(b1 − b2)a2 = a2b1 − a2b2Also (6.1.2. (a)):m|(a1b1 − a2b1) + (a2b1 − a2b2)⇒ m|a1b1 − a2b2⇒ a1b1 ≡ a2b2 (mod m)

6.5.6 Korollar: modulo in Summen und Produkten

(=wichtige Folgerung aus einem Satz)

(a± b) mod m = ((a mod m)± (b mod m)) mod m(a · b) mod m = ((a mod m) · (b mod m)) mod m“In mod-Beziehungen (von Summen und Produkten) lassen sich Zahlen durch andereZahlen aus derselben Kongruenzklasse ersetzen”

Beweis

Aus 6.5.2 (e) folgt:a mod m ≡ a (mod m)b mod m ≡ b (mod m)Aus 6.5.5 folgt:(a mod m) + (b mod m) ≡ a+ b (mod m)Aus 6.5.2(e) folgt:(a mod m) + (b mod m) ≡ ((a mod m) + (b mod m)) mod m (mod m)Aus Transitivitat von ≡ folgt Behauptung.

52

6.6 Großter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsamesVielfaches

6.6.1 Definition

Seien a1, ..., ar ganze Zahlen.

(a) Ist mindestens ein a1 6= 0, so ist der großte gemeinsame Teiler ggT (a1, ..., ar) diegroßte naturlich Zahl, die alle a1, ..., ar teilt.

(b) Sind alle ai 6= 0, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache kgV (a1, ..., ar) die kleinstenaturliche Zahl, die von allen a1, ...ar geteilt wird.

6.6.2 Bemerkungen

(a) ggT (a1, ..., ar) existiert und ist eindeutig bestimmt:1 teilt alle a1, ..., ar und jeder gemiensame Teiler ist ≤ |ai| ∀i

(b) kgV (a1, ..., ar) existiert und ist eindeutig bestimmt:|a1| · ... · |ar| wird von allen ai geteilt, also existiert eine naturliche Zahl, die vonallen a1, ..., ar geteilt wird.

(c) ggT (a1, ..., ar) = ggT (|a1|, ..., |ar|)kgV (a1, ..., ar) = kgV (|a1|, ..., |ar|)

6.6.3 Teilerfremdheit

Ist ggT (a1, ..., ar) = 1, so heißen a1, ..., ar teilerfremd.

6.7 Euklidscher Algorithmus

Der ggT von zwei Zahlen wird mit dem Euklidschen Algorithmus berechnet.Das Grunndprinzip im folgenden Lemma:

6.7.1 Lemma

Seinen q, a, b ∈ Z, b 6= 0Dann ist:ggT (a, b) = ggT (q · b+ a, b)

53

Beweis

∀t ∈ N gilt:t|a ∧ t|b⇒ t|q · b+ a ∧ t|b

gegeben : a, b ∈ Z, nicht beide 0bestimme ggT(a,b)oBdA: b 6= 0, b 6 |a (sonst ggT (a, b) = b)Setze: a0 = a, a1 = bIdee: mehrfache Division mit Rest, Aufg. wird kleiner, bis Rest=0

a0 = q1 · a1 + a2 mit 0 ≤ a2 ≤ a1

a1 = q2 · a2 + a3 mit 0 ≤ a3 ≤ a2

a2 = q3 · a3 + a4 mit 0 ≤ a2 ≤ a3

...

an−1 = qn · an + 0 (erstmalig Rest=0)

Es gilt:

ggT (a, b) = ggT (b, a)

= ggT (a1, a0)

= ggT (a1, q1a1 + a2)

= ggT (a1, a2) (nach Lemma)

= ggT (a2, a1)

= ggT (a2, q2a2 + a3)

= ggT (a2, a3)

...

= ggT (an−1, an)

= ggT (an, an−1)

= ggT (an, qnan)

= an

= Beweis fur Euklidschen Algogithmus

54

6.7.2 Euklidscher Algorithmus

0 Eingabe: a, b ∈ Z, nicht beide 0

1 if b = 0 than y := |a| endif

2 if b|a than y := || endif

3 if b 6= 0 ∧ b 6 |a than

4 x := a, y := b

5 while x mod y 6= 0 do

6 r := x mod y

7 x := y

8 y := r

9 endwhile

10 endif

11 Ausgabe: y (=ggT(a,b))

6.7.3 Zusammenhang: Beweis - Algorithmus

Im Beweis:ggT (ai, ai+1)= ggT (ai+1, ai)= ggT (ai+1, ai+2)wobei ai+2 Rest von Division von ai durch ai+1

Im Algorithmus:In der While-Schleife:Zunachst: x := ai, y := ai+1

Dann: r := x mod y = ai mod ai+1 = ai+2

Schleifenende:x := ai+1

y := ai+2

6.7.4 Beispiel

0 a=48, b=-30

1 b 6= 0→ 2

2 b 6 |a→ 3

55

3 b 6= 0 ∧ b 6 |a→ 4

4 x := 48, Y := −30

5 48 mod − 30 = 18 6= 0→ 6

6 r := 18

7 x := −30

5 −30 mod 18 = 6 6= 0→ 6

6 r := 6

7 x := 18

8 y := 6

5 18 mod 6 = 0 = 0→ 11

11 Ausgabe: 6 (=ggT(48,-30))

Der folgende Satz liefert eine richtige Darstellung des ggT zweier ganzer Zahlen.

6.7.5 Satz (Bachet de Meziriac)

Seien a, b ∈ Z nicht beide =0.Dann existieren s, t ∈ Z mit

ggT (a, b) = s · a+ t · b

Beweis(konstruktiver Beweis)

Ist b=0, so ggT (a, b) = a = s · a+ t · b mit t = 0 ∧ s =

{1 , falls a > 0

−1 , falls a < 0

Ist b 6= 0 ∧ b|a, so ggT (a, b) = |b| = s · a+ t · b mit s = 0 ∧ t =

{1 , falls b > 0

−1 , falls b < 0

Sei jetzt b 6= 0 ∧ b 6 |aSetze a0 = a, a1 = bEuklid. Alg.:a0 = q1a1 + a2, a1 = q1a1 + a2, ..., an−1 = qnan + 0an = ggT (a0, a1) (n ≥ 2, da a1 6 |a2)(insbesondere aj−2 = qj−1aj−1 + aj)Beh.: ∀j = 0, ..., n∃sj , tj ∈ Z : aj = sja0 + tja1

(Satz folgt fur j=n)

56

Beweis durch Induktion:

IA j = 0, s0 = 1, t0 = 0 : a0 = 1 · a0 + 0 · a1 = a0Xj = 1, s1 = 0, t1 = 1 : a1 = 0 · a0 + 1 · a1 = a1X

IS

IV Sei j ≥ 2: aj−2 = sj−2a0 + tj−2a1

aj−1 = sj−1a0 + tj−1a1

IB aj = aj−2 − qj−1aj−1

= sj−2a0 + tj−2a1 − qj−1(sj − 1a0 + tj−1a1)= (sj−2 − qj−1sj−1)︸ ︷︷ ︸=: sja0 + (tj−2 − qj−1tj−2)︸ ︷︷ ︸

=:tj

a1

Beweis liefert sofort einen Alg. zur Bestimmung von s,t.

6.7.6 Erweiterter Euklidscher Algorithmus

0 Eingabe: a, b ∈ Z, nicht beide 0

1 if b = 0 than y := |a| endif

2 if b|a than y := || endif

3 if b 6= 0 ∧ b 6 |a than

4 x := a, y := b, s−2 := 1, s−1 := 0, t−2 := 0, t−1 := 1

5 while x mod y 6= 0 do

6 q := x div y, r := x mod y

7 s := s−2 − q · s−1, t := t−2 − qt−1

8 s−2 := s−1, s−1 := s

9 t−2 := t−1, t−1 := t

10 x := y, y := r

11 endwhile

12 endif

13 Ausgabe: Y (=ggT(a,b)),s,t (mit y=sa+tb)

57

Beispiel

x y s−2 s−1 s t−2 t−1 t q r

48 −30 1 0 0 1−30 18 0 1 1 1 1 1 −1 18−12 6 1 2 2 1 3 3 −2 6

6.7.7 Korollar

Seien a, b, c ∈ Z,m ∈ N.

(a) Seien a,b nicht beide 0, so gilt :a und b sind teilerfermd ⇔ ∃s, t ∈ Z : sa+ tb = 1

(b) Sind a,b nicht beide 0, so gilt:c|a ∧ c|b⇒ c|ggT (a, b)

(c) Ist ggT(a,b)=1, so gilt:a|b · c⇒ a|c

(d) Ist ggT(c,m)=1 und gilt ca ≡ cb (mod m), so ist a ≡ b (mod m)

Beweis

(a) “⇒”: 6.7.5“⇔”: Seien s, t ∈ :sa+ tb = 1Betrachte: d=ggT(a,b)6.1.2(a)⇒ d|sa+ tb = 1, also d=1

(b) nach 6.7.5 gilt ggT(a,b)=sa+tbc|a ∧ c|b ⇒

6.1.2c|sa+ tb⇒ c|ggT (a, b)

(c) 6.7.5: ∃s, t ∈ Z mit 1 = sa+ tbalso c = sac+ tbcDa a|a ∧ a|bc, folgt mit 6.1.2(a):a|asc+ tbc

(d) ca ≡ cb (mod m)⇒ m|ca− cb⇔ m|c(a− b)Wegen ggT (c,m) = 1 folgt nach (c):m|a− b⇔ a ≡ b (mod m)

58

6.7.8 Bemerkungen

Die Aussagen in 6.7.5 und 6.7.7(a) gelten auch fur ggT beliebig vieler Zahlen:Seien a1, ..., ak ∈ Z, k ≥ 2, nicht alle ai = 0, dann

(a) ∃s1, ..., sk : ggT (a1, ..., ak) = s1a1 + ...+ skak

(b) ggT (a1, ..., ak) = ggT (ggT (a1, ..., ak−1), ak)(ggT (a1) = |a1|)

(c) c|a1 ∧ ... ∧ c|ak ⇒ c|ggT (a1, ..., ak)

(d) kgV (a1, ..., ak) = kgV (kgV (a1, ..., ak−1), ak) ai 6= 0(kgV (a1) = |a1|)

6.8 Primzahlen

6.8.1 Definition

Eine naturliche Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn 1 und p die einzigen naturlichen zahlensinde, die p teilen. (d.h. ∀1 ≤ k < p : ggT (p, k) = 1

6.8.2 Satz

Ist p Primzahl, a1, ..., ak ∈ Z mit p|a1 · ... · ak,dann existiert i mit p|ai

Beweis

Induktion nach k

IA k = 1 X, da dann p = a1

IS

IV Satz gelte fur k-1

IB Satz gilt dann auch fur k

IBew Betrachte p = a1 · ... · akIst p = ak, so folgt die Behauptung, sonst p 6 |akso ggT (p, ak) = 1, da p Primzahl.Nach 6.7.7(c) gilt p|a1 · ... · ak−1

Nach IV: ∃j ∈ {1, ..., k − 1} : p|aj

59

6.8.3 Theorem (Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie)

Zu jeder Zahl a ≥ 2 gibt es endlich viele verschiedene Primzahlen p1, ..., pn und naturlicheZahlen e1, ..., en mit

a = pe11 · ... · penn

Die pi heißen Primfaktoren (Primteiler) von a.Die Darstellung von a als Produkt von Primzahlen ist eindeutig (bis auf die Reihenfolge).

Beweis

Existenz: 5.2.1: Jede naturliche Zahl ist Primzahl oder Produkt von Primzahlen.Eindeutigkeit:Angenommen wir hatten:a = pe11 · ... · penn = qf11 · ... · q

fmm mit pi, qi, ei, fi ∈ N

pi paarweise verschieden, qi paarweise verscheiden.Nach 6.8.2 gilt:Jedes pi teilt eines der qj , d.h. pi = qi, da qj Primzahl.Ebenso umgekehrt(qj = pi, da pi Primzahl).Also {p1, ..., pn} = {q1, ..., qn}, n = mOBdA (da Elemente einer Menge vertauscht werden knnen; Kommutativitat von ·)sei pi = qi ∀i = 1, ..., nNoch zu zeigen: ei = fi ∀i = 1, ..., nBeweis durch Widerspruch:Angenommen es gibt ein k mit ek 6= fk und oBdA ek < fkTeile beide Seiten durch pekkpe11 · ... · p

ek−1

k−1 · pek+1

k+1 · ... · penn = pf11 · ... · p

fk−1

k−1 · pfk−ekk · pfk+1

k+1 · ... · pfnn

Da pk die rechte Seite teilt (da fk > ek), teilt pk auch die linke Seite und damit ein pjmit j 6= k (nach 6.8.2). Also gilt pj = pk, ein Widerspruch zur Definition der pi

Also ei = fi ∀i = 1, ..., n

60

6.8.4 Korollar

Seien a, b ∈ N, a, b ≥ 2Seien P (a) und P (b) die Mengen von Primfaktoren von a und b, d.h.a =

∏p∈P (a)

pn(p) und b =∏

p∈P (b)

pm(p)

mit n(p),m(p) ∈ N geeignet gewahlt.Dann ist

ggT (a, b) =∏

p∈P (a)∩P (b)

pmin(n(p),m(p))

und

kgV (a, b) =∏

p∈P (a)\P (b)

pn(p) ·∏

p∈P (b)\P (a)

pm(p) ·∏

p∈P (a)∩P (b)

pmax(n(p),m(p))

wobei min: Minimum, max: MaximumInsbesondere ist: a · b = ggT (a, b) · kgV (a, b)

Beispiel

a = 1248 = 25 · 3 · 13b = 3780 = 22 · 33 · 5 · 7

ggT (a, b) = 22 · 3 = 12kgV (a, b) = 25 · 33 · 5 · 7 · 13 = 393120

6.8.5 Bemerkung

(a) Sind a1, ..., ak paarweise teierfremd, so ist kgV (a1, ..., ak) = a1 · ... · ak(folgt aus 6.7.8(d))

(b) Sind ai|c ∀i = 1, ..., k, so kgV (a1, ..., ak)|c

61

7 Kombinatorik

(nur ein kleiner Teil)Es geht hier um Abzahlbestimmungen und versch. Typen von Zusammenfassungen end-lich vieler Objekte. Bildet Basis der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie.

7.1 Satz

Seinen A,B Mengen(a) |A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|(b) Sind A,B nicht leer, so |A×B| = |A| · |B|

Frage

|A ∪B ∪ C| ?!= |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|

(A) und (b) lassen sich verallgemeinern.

7.1.1 Korollar

A1, ..., An nicht leer, so |A1 × ...×An| =n∏i=1

Ai

Insbesondere fur A 6= ∅ : |An| = |A|n

7.1.2 Beispiele

(a) Wieviele Worter der Lange n gibt es uber dem Alphabet {0, 1}Worter der Lange n= n-Tupel|{0, 1}n| = |{0, 1}|2 = 2n

(b) Wieviele DNS-Sequenzen der Lange 1000 gibt es?|{A,G,C, T}1000| = |{A,G,C, T}|1000 = 41000

62

7.2 Auswahlanzahlen

Anzahl von Auswahlen fur k Gegenstande aus n Gegenstanden. Wir unterscheiden:

• Anordnung relevant?“Geordnete Auswahl” (z.B. Spiel 77)

• Anordnung nicht relevant?“Ungeordnete Auswahl” (z.B. Lotto)

• Wiederholung moglich?“mit zurucklegen” (z.B. Spiel 77)

• Wiederholung nicht moglich?“ohne Zurucklegen” (z.B. Lotto)

7.3 Geordnete Auswahl ohne Zurucklegen

Fragestellung:Gegeben: Menge B (“Urne”) mit n unterscheidbaren Gegenstanden (g1, ..., gn)Wir wahlen nacheinander k Elemente aus und legen sie der Reihenfolge nach aus.(gi1 , ..., gik), wobei ij 6= il ∀i, j, l (⇒ ohne Zurucklegen)Frage: Wieviele Auswahlen von k-Tupeln sind moglich?Andere Interpretation:Verteilung von k verschiedenen Gegenstanden aus B auf Platze 1,...,k (kein Platz frei)Kann beschrieben werden als injektive Abbildung(

1 2 ... kgi1 gi2 ... gik

), {1, ..., k} → B

7.3.1 Definition (n)k

Setze fur n, k ∈ N : (n)k := n · (n− 1) · ... · (n− k + 1)Beachte: (n)1 = n, (n)k = 0 ∀k > n

Auch: (n)k := n · (n− 1) · ... · (n− k + 1) · (n−k)·(n−k−1)·...·1(n−k)·(n−k−1)·...·1 = n!

(n−k)!

Insbesondere: (n)n = n!(n−n)! = n!

7.3.2 Satz

Es gibt genau n(n)k viele Auswahlen vom k Objekten aus einer Menge B von n (unter-schiedlichen) Objekten, wenn keine Wiederholungen moglich sind und die Anordnungberucksichtigt wird.

63

Beweis

Sei n ∈ N beliebig aber fest gewahlt.Induktion nach k

IA k = 1 : n Moglichkeiten, (n)k = n X

IS IV: (n)k ist Anzahl der Moglichkeiten fur beliebiges aber festes k ≥ 1

IBeh: (n)k+1 ist richtig.

IBew: Ist k + 1 > n, so Anz. = 0(n)k+1 = 0 X

Sei also k + 1 ≤ nSind die Platze 1,...,k schon belegt(IV), bleoben fur Platz (k+1) noch (n-k)Moglichkeiten.Also (n)k viele Verteilungen von k versch. Elementen aus B auf die Platze1,...,k; also:(n)k · (n− k)= (n− 1) · (n− 2) · ... · (n− k + 1) · (n− k)= (n)k+1

Beispiel

Wieviele Moglichkeiten gibt es fur Rank 1,2 und 3 am Ende einer Bundesligasaison mit18 Vereinen?n = 18, k = 3 : (18)3 = 18 · 17 · 16 = 4896

7.3.3 Korollar

Seinen A,B 6= ∅, |A| = k, |B| = nDann gibt es genau (n)k injektive Abbildungen A→ B

Beweis

Folgt aus 7.3.1︸︷︷︸Formulierung

und 7.3.3︸︷︷︸Anzahl

64

7.3.4 Def.: Permutationen

Eine bijektive Abb. einer Menge A auf sich selbst heißt Permutation von A.Ist A endlich, so gibt es |A|! Permutationen auf A.Sei A = {1, 2, ..., n}, Menge der Permutationen auf A heißt dann Sn|Sn| = n! (n = 1 : 1, n = 2 : 2, n = 3 : 6, n = 4 : 24, ...)

Schreibweise fur π ∈ Sn(

1 2 ... nπ(1) π(2) ... π(n)

)oder (π(1), π(2), ..., π(n))

7.4 Geordnete Auswahl mit Zurucklegen

Fragestellung:Menge b mit n verschiedenen Gegenstanden. Wahle nacheinander k Gegenstande davonaus, wobei nach jeder Auswahl der Gegenstand zuruckgelegt wird und die Reihenfolgeder ausgewahlten Gegenstande notiert wird.

Jede solche Auswahl kann man beschreiben durch

(1 2 ... nb1 b2 ... bn

)b ∈ B nicht notwendig verschiedenDie Anzahl solcher Auswahlen entspricht genau der Anzahl aller Abb. {1, ..., k} → BAndere Interpretation:Gegenstande 1,...,k (paarweise verschieden), Farben n:Farbe die gegenstande ein (Farben durfen mehrfach verwendet werden)

7.4.1 Satz

Es gibt genau nk geordnete Auswahlen mit zurucklegen von k Elementen aus B mit nElementen.

Beweis

Menge der Auswahlen istB ×B × ...×B, k-malNach 7.1.1: n · n · ... · n = nk

Korollar

Es gibt ganau nk Abb. A→ B, wenn |A| = k, |B| = n

65

7.5 Ungeordnete Auswahl ohne Zurucklegen

Fragestellung:Urne mit n Kugeln (alle verschieden) wahle k aus und lege alle in einen Korb.Wieviele verschiedene Moglichkeiten gibt es?

Die Anzahl entspricht der Anzahl der k-elementigen Teilemengen einer n-elementigenMenge.

7.5.1 Def: Binomialkoeffizient

n, k ∈ N0(nk

):=

{0 , falls k > nn!

k!(n−k)! , falls 0 ≤ k ≤ nheißt Binomialkoeffizient (“n uber k” / “ n choose k”)

Also:(nk

)= (n)k

k!

Spezialfall:(n0

)= 1 =

(nn

),(n1

)= n =

(nn−1

)Bemerkung

(a)(nk

)=(n

n−k)

(b)(nk

)+(n

n−k)

=(n+1k

)Pascalsches Dreieck

folgt aus Bemerkung1

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

Ebenen: n=0,1,2...Diagonalen: k=0,1,2,...

gibt die Werte von(nk

)an (nach Def. und Bem.)

z.B.(

42

)=(

32

)+(

31

)= 6

7.5.2 Satz

Anzahl der ungeordneten Auswahlen ohne Zurucklegen von k Elementen aus einer Mengevon n Elementen ist

(nk

)Dies ist genau die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge.

66

Beweis

Satz richtig fur k > n und k = 0.Sei also 1 ≤ k ≤ n.Anzahl geordneter Auswahlen ohne Zurucklegen: (n)k (7.3.3)Je k! dieser geordneten Auswahlen fuhren zur selben ungeordneten Auswahl.Also gesuchter Wert: (n)k

k! =(nk

)

Korollar

Sei M = {0, 1}n. Anzahl der 0,1-Folgen der Lange n mit genau k Einsen ist(nk

)7.5.3 Binomialsatz

Seien a, b ∈ R, n ∈ N0

(a+ b)n =n∑k=0

(nk

)an−k · bk

Beweis

Induktion nach n mit 7.5.1 Bem. (b)Alternativ: anschaulich:(a+ b) · (a+ b) · ... · (a+ b)︸ ︷︷ ︸

n−malWie oft tritt (an−k · bk) auf?Aus k Klammern wird b ausgewhlt, aus den ubrigen a:

(nk

)Moglichkeiten

7.5.4 Korollar

Sei M eine endliche Menge, |M | = nEs gilt |P(M)| = 2n

Beweis

Entweder durch Induktion oder:

2n = (1 + 1)n7.5.3=

n∑k=0

(nk

)Behauptung folgt nun aus 7.5.2

67

7.6 Ungeordnete Auswahl mit Zurucklegen

Fragestellung:Auswahl k aus n mit Wiederholung ohne Berucksichtigung der ReihenfolgeInterpretiert als Farbungsproblem:n Farben, k gleiche KugelnWieviele Moglichkeiten gibt es diese k Kugeln mit jeweils einer der n Farben zu farben?

7.6.1 Satz

Sei |B| = n, k ∈ N0

(1) Anzahl aller moglchkeiten k Elemente aus B zu ziehen (ohne Reihenfolge mitZurucklegen)

(2) Die Anzahl der geordneten n-Tupel (x1, ..., xn), xi ∈ N0 mit x1 + ...+ xn = k

(3) Die Anzahl der 0,1-Folgen der Lange n+k-1, die genau k Einsen haben.

Die gemeinsame Zahl ist(n+k−1

k

)(k > n moglich)

Beweis

I (1)=(2)B = {b1, ..., b2} Jeder Auswahl von k elementen aus B ordnen wir das n-tupel(x1, ..., xn) ∈ Nn

0 zu, wobei xi = Anzahl, wie oft bi ausgewahlt wurde

⇒n∑i=1

xi = k

II (2)=(3)(x1, ..., xn)→ ( 1, ..., 1︸ ︷︷ ︸

x1 Stellen

, 0, 1, ..., 1︸ ︷︷ ︸x2 Stellen

, 0, ..., 0, 1, ..., 1︸ ︷︷ ︸xn Stellen

)

Es gibt hier genau k Einsen und n-1 Nullen (welche die Eintrage der xi trennen)Bsp: (0, 0, 3, 1, 0, 1, 0)→ (0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0)

III Anzahl (3)=(n+k−1

k

)nach 7.5.2

68

7.6.2 Beispiel

Wieviele Moglichkeiten gibt es 8 gleiche Kugeln mit jeweils einer von 3 Farben zu farbenrot grun blau

8 0 07 1 07 0 1... ... ...0 0 8

(n+k−1

k

)=(

108

)=(

102

)= 45

69

8 Die reellen Zahlen

Zunachst algebraische Eigenschaften von Add. und Multiplikation

8.1 Algebraische Eigenschaften von R

Addition

(1) ∀a, b ∈ R : a+ b ∈ R (Algebraische Abgeschlossenheit bzgl. Add.)

(2) ∀a, b, c ∈ R : (a+ b) + c = a+ (b+ c) (Assoziativitat)

(3) ∀a ∈ R∃0 ∈ R : 0 + a = a+ 0 = a (0 ist neutrales Element bzgl Add.)

(4) ∀a ∈ R∃!−a ∈ R : a+ (−a) = (−a) +a = 0 (es existiert ein inverses Element bzgl.Add)

(5) ∀a, b ∈ R : a+ b = b+ a (Kommutativitat)

Multiplikation

(6) ∀a, b ∈ R : a · b ∈ R (Algebraische Abgeschlossenheit bzgl. Mult.)

(7) ∀a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c) (Assoziativitat)

(8) ∀a ∈ R∃1 ∈ R : 1 · a = a · 1 = a (1 ist neutrales Element bzgl Mult.)

(9) ∀a ∈ R∃!a−1 ∈ R : a · a−1) = a−1 · a = 1 (es existiert ein inverses Element bzgl.Add)

(10) ∀a, b ∈ R : a · b = b · a (Kommutativitat)

Zusammenhang zwischen Add. und Mult.

(11) ∀a, b, c ∈ R : (a+ b) · c = ac+ bc ∧ a · (b+ c) = ab+ ac (Distributivitat)

Beachte: “· bindet starker als +”

70

8.1.1 Bemerkungen

(a) (1) Statt a+ (−b) schreibt man a− b (Subtraktion)

(2) Statt a · b−1 schreibt man ab oder a : b oder a÷ b (Division)

(3) −(−a) = a und (a−1)−1 = a

(4) −0 = 0 und 1−1 = 1

(b) Eigenschaften 1-5 auch von Z erfullt und auch von Q (mit der ublichen Addition)Es gibt auch andere Mengen, mit anderer Addition, die 1-5 erfullen:Z2 = {0, 1} mit Verknupfung ⊕ definiert a⊕ b = (a+ b) mod 2 (≡ XOR)

(c) Eigenschaften (6)-(10)auch von Q erfullt, aber nicht von Z (da (9) nicht erfullt)(6)-(10) besagen insbesondere, dass R\{0} eine “kommutative Gruppe” bezuglichder Multiplikation ist.

(d) Es gibt weitere Mengen mit anderen Def. von + und ·, die die Eigenschaften (1)-(11) habenName: Korper (engl. field)z.B. Z2 = {0, 1},⊕, · ist ein Korpera b 1⊕ b a · b0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 0 1

Zu zeigen: Es gilt (1)-(11) fur (Z2,⊕, ·)(1) Add. ist abgeschlossen

(2) assoziativitat von ⊕ Beweis durch Tabelle

(3) neutrales Element: 0⊕ 0 = 0, 1⊕ 0 = 1, 0⊕ 1 = 1⇒ 0 neutrales Element

(4) Inverses Element: 0⊕ 0 = 0 also −0 = 0, 1⊕ 1 = 0, also −1 = 1

(5) Kommutativitat: 0⊕ 1 = 1⊕ 0 = 1

(6) Multiplikation abgeschlossen

(7) Assoziativitat von ·, Bew. durch Tabelle

(8) neutrales Element: 0 · 1 = 0, 1 · 1 = 1, 1 ist neutrales Element

(9) inverses Element: 1 · 1 = 1, also 1−1 = 1

(10) Kommutativitat: 0 · 1 = 1 · 0 = 0

(11) Distributivitat: (a⊕ b) · c = (a · c)⊕ (a · b)Also R und Q sind Korper mit ublicher Add. und Mult.Z2 ist Korper mit ⊕ und ·.

71

(e) (e1) ∀a ∈ R : a · 0 = 0Es gilt:

a · 0 (3)= a · (0 + 0)

(11)= a · 0 + a · 0

Außerdem:

0(4)= a · 0 + (−(a · 0))

s.o.= (a · 0 + a · 0) + (−(a · 0))

(2)= a · 0 + (a · 0 + (−a · 0))

(4)= a · 0 + 0

(3)= a · 0

(e2) ∀a, b ∈ R : a · b = 0⇒ a = 0 ∨ b = 0Angenommen b 6= 0, dann zu zeigen a = 0:

0V or.= a · b e1= (a · b) · b−1︸︷︷︸

ex., da lt. Vor. b6=0

(7)= a · (b · b−1)

(9)= a · 1 (8)

= a

(e3) −(ab) = (−a) · b = a · (−b)Beweis:1. Gleichung:

(a · b) + (−a · b) (11)= (a+ (−a)) · b (4)

= 0 · b (e1)= 0

2. Gleichung:analog nach (5)

(e4) (−a) · (−b) = a · b(−a) · (−b) (e3)

= −(a · (−b) (e3)= −(−(a · b)) 8.1.1(a)(3)

= a · b

(f) In N gelten (1),(2),(5)-(8),(10),(11)In N0 zusatzlich (3)In Z zusatzlich (4)In Q zusatzlich (9)

8.2 Grundregeln der Ordnungsrelation ≤ auf R

(1) R ist durch ≤ total geordnet

(2) ∀x, y, a ∈ R : x ≤ y ⇒ a+ x ≤ a+ y (Transformationsinvarianz)

(3) ∀x, y, a ∈ R, a ≥ 0 : x ≤ y ⇒ a · x ≤ a · y (Dehnungsinvarianz)

(4) ∀x, y ∈ R, 0 < x < y∃n ∈ N : n · x > y (Archimedisches Axiom)

Beachte: Grundregeln gelten auch fur N,Z und QAus diesen Grundregeln folgt:

(2’) Ist x < y, so gilt a+ x < a+ y

(3’) Ist x < y, a > 0, so gilt ax < ay

72

Beweis

Sei x < y.Nach (2) gilt: x ≤ y ⇒ a+ x < a+ y ∨ a+ x = a+ yIm ersten Fall folgt die Behauptung.Im zweiten Fall:a+ x = a+ y⇔ x = y, also zweiter Fall tritt nicht auf, da Voraussetzung x < y

(3’) ahnlich

8.2.1 Satz

Seien x, y, a ∈ R

(a) x ≤ y ⇔ y − x ≥ 0⇔ −y ≤ −x

(b) x ≤ y, a ≤ 0⇒ ax ≥ ay

(c) x, y ≥ 0⇒ x+ y ≥ 0 ∧ x · y ≥ 0x ≥ 0, y ≤ o⇒ x · y ≤ 0x, y ≤ 0⇒ x+ y ≤ 0 ∧ x · y ≥ 0Insbesondere: ∀x ∈ R : x2 ≥ 0Alle Aussagen in (c) bleiben richtig, wenn≤ durch < und≥ durch > ersetzt werden.

(d) 0 < x < y ⇒ 0 < 1y <

1x (Beachte: 1

y = y−1, 1x = x−1)

(e) ∀x > 0∃n ∈ N : 1n < x (Beachte: 1

n = n−1)

(f) ∀x, y ≥ 0, n ∈ N : xn < yn ⇒ x < y

Beweis (exemplarisch)

Zu (a): durch Ringschluss

1⇒ 2: x ≤ y 8.2(2)⇒ 0 = x+ (−x) ≤ y + (−x) = y − x

2⇒ 3: y − x ≥ 0⇒ −x = −y + (y − x) ≥ (−y) = −y

3⇒ 1: −y ≤ −x Beh 1⇒ −x− (−y) ≥ 0Beh. 2⇒ −(−x) ≤ −(−y)⇒ x ≤ y

73

8.3 Def.: Intervall

a, b ∈ R, a ≤ b

abgeschlossenes Intervall

[a, b] := {x ∈ R|x ≥ a ∧ x ≤ b}mit Endpunkten a und b

offenes Intervall

]a, b[:= {x ∈ R|x > a ∧ x < b}ohne Endpunkte a und b

halboffenes Intervall

]a, b] := {x ∈ R|x > a ∧ x ≤ b}oder[a, b[:= {x ∈ R|x ≥ a ∧ x < b}

unendliche Intervalle

]−∞, a] := {x ∈ R|x ≤ a}]−∞, a[:= {x ∈ R|x < a}[a,∞[:= {x ∈ R|x ≥ a}]a,∞[:= {x ∈ R|x > a}]−∞,∞[:= R

8.3.1 Beispiele

(a) Bestimme die Menge aller x ∈ R mit2x+ 4 ≤ −3x+ 5

8.2(2)⇔ 2x ≤ −3x+ 18.2(2)⇔ 5x ≤ 18.2(3)⇔ x ≤ 1

5⇒ L =]−∞, 1

5 ]

(b) Bestimme alle x ∈ R mit1

x−2 ≤2

x+3

1. Fall x+ 3 < 0⇔ x < −3Dann: x− 2 < −5 < 0x+ 3 ≤ 2(x− 2)⇔ 7 ≤ x⇒ Widerspruch zum Fall (x < −3)⇒ keine Losung

74

2.Fall x+ 3 > 0⇔ x > −3 ∧ x− 2 < 0⇔ x < 2⇒ −3 < x < 21

x−2 ≤2

x+3

⇔ x+3x−2 ≤ 2

⇔ x+ 3 ≥ 2(x− 2)⇔ 7 ≥ x⇒ L =]− 3, 2[

3.Fall x+ 3 > 0 ∧ x− 2 > 0⇒ x > 21

x−2 ≤2

x+3⇔ x+ 3 ≤ 2(x− 2)⇔ 7 ≤ x⇒ L = [7,∞[

⇒ L =]− 3, 2[∪[7,∞[

(c) Bestimme x ∈ R mit−3x+ 2 < 1 ∧ 1

x + 2 ≥ 3

1. Gl. −3x+ 2 < 1⇔ −3x < −1⇔ x > 1

3

2. Gl. 1x + 2 ≥ 3 fur x > 1

3⇔ 1

x ≥ 1⇔ 1 ≥ x

⇒ L =]13 , 1]

8.4 Satz

Sei 0 < q < 1Dann ∀x ∈ R+∃n ∈ N : 0 < qn < x

8.4.1 Beweis

Schreibe 1 = q + s, s > 0Es ist s · x > 0Nach 8.2.1 (e) : ∃n ∈ N : 1

n+1 < x · sAlso 1

(n+1)·s < x.Es gilt:1 = 1n+1

= (q + s)n+1

7.5.3= qn+1 + (n+ 1) · qns+ ...+ sn+1

> (n+ 1)qns (alle anderen Summanden weggelassen)also: qn < 1

(n+1)s < x

75

8.5 Def.: Absolutbetrag

a ∈ R, |a| = max{a,−a} =

{a , falls a ≥ 0

−a , falls a < 0

|a| misst Abstand von a zu 0Allgemeiner: |a− b| = d(a, b), Abstand von a und b

8.5.1 Satz: Eigenschaften des Absolutbetrages

(a) −|a| ≤ a ≤ |a|, |a| = | − a|, |a|2 = a2

(b) |a| = 0⇔ a = 0

(c) |a · b| = |a| · |b|

(d) |a+ b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung)

(e) ||a| − |b|| ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|

Beweis

(a)-(c) klar.

(d) |a+ b|2 (a)= (a+ b)2

= a2 + 2ab+ b2

≤ a2 + b2 + 2 · |a| · |b|= |a|2 + |b|2 + 2 · |a| · |b|= (|a|+ |b|)2

⇒ |a+ b|2 ≤ (|a|+ |b|)2

8.2.1(f)⇒ |a+ b| ≤ |a|+ |b|

(e) |a− b|(d)

≤ |a|+ | − b| = |a|+ |b| X(2. Ungleichung)Noch zu zeigen: 1. Ungleichung

(I) |a| = |a− b+ b|(d)

≤ |a− b|+ |b|⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|

(II) |b| = |b− a+ a|(d)

≤ |b− a|+ |a|⇒ |b| − |a| ≤ |b− a|⇒ −(|a| − |b|) ≤ |a− b|||a| − |b|| = max{−(|a| − |b|), |a| − |b|⇒ ||a| − |b|| ≤ |a− b| nach Def. von Betrag

76

Beispiel

Bestimme alle x ∈ R mit1|x−2| ≥ 5

1. Fall x− 2 > 0⇔ x > 2Dann: 1

x−2 ≥ 51 ≥ 5(x− 2)11 ≥ 5x115 ≥ x⇒ x ∈]2, 11

5 ]

2.Fall x− 2 < 0⇔ x < 2Dann: 1

−(x−2) ≥ 5

1 ≥ −5(x− 2)− 9 ≥ −5x95 ≤ x⇒ x ∈ [9

5 , 2[

⇒ L = [95 , 2[∪]2, 11

5 ] = [95 ,

115 ]\{2}

8.6 Satz

Es ist Q ⊂ R (also Q ⊆ R ∧Q 6= R).Ist p eine Primzahl, so

√p 6∈ Q

8.6.1 Beweis

Angenommen√p ∈ Q, dann lasst sich

√p als grkurzter Bruch schreiben:√

p = mn , m, n ∈ N, ggT (m,n) = 1

Dann:5p = m2

n2

⇒ pn2 = m2

⇒ p|m2

6.8.2⇒ p|m⇒ p2|m2

m2 = p · n2

⇒ p|n2 (da m ∈ N)6.8.2⇒ p|nalso p ist Teiler von m und n, somit ware nicht 1 1 der ggT ⇒ √p 6∈ Q⇒ √p lasst sich nicht als abbrechende oder ab einer gewissen Stelle periodische Dezi-malzahl schreiben.

77

8.7 Def.: Irrationale Zahlen

Zahlen, die nicht rational sind heißen irrational.Man kann

√2 (wie jede irrationale zahl) durch ein Approximationsverfahren darstellen

(bei endlich vielen Schritten bis auf einen beliebigen vorgegebenen Fehler)

Idee:Setze a := 0 und b := 2. Intervallgrenzen um

√2 also a ≤

√2 ≤ b

while(b− a ≥ 2−100) doc := a+b

2if(c2 < 2) thena := c

else b := cendif

endwhileAusgabe : a

Statt 2−100 kann jede beliebige Fehlergerenze > 0 eingesetzt werden, damit berechnetdas Verfahren

√2 beliebig genau.

while(true) do → unendliche SchleifeDann “bestimmt” dieses Verfahren eine eindeutige Zahl fur

√2

8.7.1 Allgemeines Prinzip

Sei B(x, y) eine Funktion abhangig von x und y den Wert 1 oder 0 annimmt (wahr oderfalsch) “Boolsches Pradikat” (Bedingung).

8.7.2 Def.: Bisektionsverfahren

Seinen a0, b0 ∈ R, a0 < b0 und B(·, ·) Boolsches Pradikat.Dann heißt der unendliche Algorithmus Bisektionsverfahren oder Intervallhalbierungs-verfahren

a := a0, b := b0while(true) doc := a+b

2if(B(a, b) = 1) thena := c

else b := cendif

endwhile

Seien an und bn die Werte von a und b im n-ten Durchlauf.

78

Klar: a0 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ bn ≤ bn−1 ≤ ... ≤ b1 ≤ b0 ∀n ∈ N

Bisektionsverfahren nahert sich immer genau einer zahl an. Dass man nicht auf eineLucke stoßt, besagt das Vollstandigkeitsaxiom.

8.8 Vollstandigkeitsaxiom

Durch jedes Bisektionsverfahren wird eindeutig eine reelle zahl x dargestellt oder be-stimmt. Dabei gilt:

∀n ∈ N0∃x ∈ R : an ≤ x ≤ bn ∧ 0 < bn − an =b0 − a0

2n

R ist ein archimedisch total geordneter Korper (8.1 und 8.2) in dem das Vollstandig-keitsaxiom gilt.Hierdurch ist R eindeutig bestimmt (z.B. Q ist nicht vollstandig)

8.9 Bemerkung zum Boolschen Pradikat

Das (unendliche) Bisektionsverfahren mit

B(a, b) =

{1 , falls

(a+b

2

)2< 2

0 , sonstliefert

√2

8.9.1 Beweis

Sei x die so definierte Zahl. Es gilt an ≤ x ≤ bn ∀nNach Def. von B gilt: a2

n ≤ 2 ≤ b2nZu zeigen: x =

√2

angenommen: x 6=√

2, d.h. |x−√

2| > 0Nach 8.4 (mit q = 1

2) existiert n ∈ N mit:(12

)n< |x−

√2|

Mit(

12

)n= 1

2n = 22n+1 = b0−a0

2n+1 = bn+1 − an+1

folgt bn+1 − an+1 < |x−√

2|, d.h. es mussx 6∈ [an+1, bn+1] oder√

2 6∈ [an+1, bn+1] geltenWiderspruch zur Def.⇒ x =

√2

79

8.10 Binardarstellung von x ∈]0, 1[Mit dem Bisektionsverfahren lasst sich die Binardarstellung einer reellen Zahl x ∈ Rberechnen.Zunachst sei x ∈]0, 1[Dann: x = 0, x1, x2, x3, ..., mit xi ∈ {0, 1}Behauptung:

x = x1 ·1

2+ x2 ·

1

22+ x3 ·

1

23+ ...

(x1, x2, ...) ist “die” Binarentwicklung von x.Diese Darstellung ist nicht immer eindeutig.

Beginne bisektionsverfahren mit a = 0, b = 1 und teste in jedem Schritt, ob a+b2 < x,

also

B(a, b) =

{1 , falls a+b

2 < x

0 , falls a+b2 ≥ x

Wir erhalten:a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an ≤ x ≤ bn ≤ bn−1 ≤ ... ≤ b0 und bn − an ≤ 1

2n

Es ist:an = x1 · 1

2 + x2 · 122

+ ...+ xn · 12n mit xi ∈ {0, 1}

Dabei: xi = 1⇔ ai > ai−1 also Wert von B(ai−1, bi−1) im i-ten Durchlauf.Es ist:x− an ≤ bn − an = 1

2n

Also an nahert sich beliebig nahe an x an (fur n steigend)also xi liefern Binardarstellung z.B. n = 5, so erhalt man die ersten 5 Ziffern.

8.10.1 Algorithmus

a := 0, b := 2for i = 1 to n step 1 doc := a+b

2if(c < x) thena := c, xi := 1

else b := c xi = 0endif

endforAusgabe: 0, x1, x2, ...xn

8.10.2 Bemerkung

Fur x ∈ R beliebig erhalt man die x ≥ 1Binardarstellung s.o.ym, ym−1, ..., y0, x1, x2, ..., xn, wobei ym, ym−1, ..., y0 = (ym ym−1 ... y0)2 die Binardarstel-lung von bxc (floor: großte Zahl z ∈ Z mit z ≤ x)ist

80

und 0, x1 x2 ... die Binardarstellung von x− bxc.Fur x < 0 schreibe Binardarstllung von |x| mit - versehen.

Beispiel

Binardarstellung von√

2.1,...mit Algorithmus 8.10.1 ist

√2− 1 errechenbar:√

2 = 1 + 0, 01101010000...= 1 + 1

4 + 18 + 1

32 + 1128 + ...

8.11 Bemerkungen

8.11.1 Binardarstellung nicht eindeutig

Die Binardarstellung ist nicht immer eindeutig:z.B. 1

2 lasst sich darstellen als:0,1000... oder als 0,0111...Allgemein: x = k

2n k ∈ Z hat keine eindeutige Binardarstellung.

8.11.2 Periodizitat

Binardarstellung von x wird periodisch (ab einer gewissen Stelle), falls a · x ∈ Q. Sonstnicht!

8.12 Satz

(a) ∀r ∈ R∀n ∈ N∃q ∈ Q : |r − q| ≤ 12n

(b) Zwischen zwei reellen Zahlen r1 < r2 liegt immer eine rationale Zahl q : r1 < q < r2

(sogar unendlich viele)

(c) Zwischen zwei reellen Zahlen r1 < r2 liegt immer eine irrationale Zahl s : r1 < s <r2 (sogar unendlich viele)

8.12.1 Beweis

(a) Sei r ∈ R. Schreibe r = z + x, mit z ∈ Z und x ∈ [0, 1[Bilde von x die Binardarstellung bis n wie in 8.10an = x1

12 + x2

122

+ ...+ xn1

2n und definiere dann:q := z + anDann gibt q ∈ Q und |q − r| = |z + an − (z + x)| = |an − x| ≤ |an − bn| = 1

2n X

81

(b) Nach 8.4: ∃n ∈ N : 12n < r2 − r1 (mit q = 1

2)Nach (a) : ∃q ∈ Q : |r1 − q| ≤ 1

2n+1

Ist q > r1, so ist q die gesuchte ZahlIst q ≤ r1, so ist q + 1

2n die gesuchte Zahl.

8.13 Beschrankte Mengen

Fur endliche Mengen {a1, ..., an} von reellen Zahlen existiert ihr Minimum und Maxi-mum:z.B. A = {−3, 5, 6, 2, 3}min(A) = −3, max(A) = 6Fur unendliche Mengen ist das nicht unbedingt so:z.B. Intervall [0, 1[ hat kein Maximum wegen 8.12.

8.13.1 Definition

Sei ∅ 6= M ⊆ R

Supremum

M heißt nach oben beschrankt, falls ∃d ∈ R mit m < d ∀m ∈M .d heißt obere Schranke von M. d heißt obere Grenze oder Supremum von M, sup(M),wenn d ist obere Schranke und d′ ≥ d fur alle Schranken d’ von M. Supremum ist diekleinste obere Schranke von M.

Infimum

M nach unten beschrankt, falls ∃e ∈ R : e ≤ m ∀m ∈M .e heißt untere Schranke von M. e heißt untere Grenze oder Infimum, inf(M), falls euntere Schranke und e ≥ e′ fur alle unteren Schranken von M.

Beschranktheit

M beschrankt, falls nach oben und unten beschrankt.

Bemerkungen

• Ist sup(M) ∈M , so max(M) := sup(M)

• Ist inf(M) ∈M , so min(M) := inf(M)

• Ist M = {a1, ..., an} endlich, so sup(M) =n

maxi=1

ai , inf(M) =n

mini=1

ai

82

8.13.2 Beispiele

(a) M =]0, 1[ beschranktJede Zahl ≥ 1 ist obere SchrankeJede Zahl ≤ 0 ist untere Schrankeinf(M) 6∈M , also min nicht definiertsup(M) 6∈M , also max nicht definiert

(b) M = [0, 1] beschrankt,0 = inf(M) ∈M , also min(M) existiert0 = sup(M) ∈M , also max(M) existiert

(c) M = { 1n |n ∈ N} beschrankt

sup(M) = max(M) = 11 = 1

inf(M) = 0 6∈M min(M) existiert nicht.

(d) m = {m+nm |m,n ∈ N}

m+nm = 1 + n

m , M ist nicht nach oben beschranktJedes Element von M ist ≥ 1 und 1 = inf(M) 6∈M also min(M) existiert nicht.

8.13.3 Satz

Fur jede nach

{oben

untenbeschrankte Menge existiert

{Supremum

Infimum

Beweis

Sei M eine nach unten beschrankte Menge. e eine untere Schranke und y ein Elementvon M.Bisektionsverfahren zur Bestimmung des Infimums.:

a := e, b := ywhile(true) doc := a+b

2if(M∩]−∞, c[= ∅) thena := c

else b := cendif

endwhile

Sei x die durch das Bisektionsverfahren bestimmte Zahl. Seinen an, bn Intervallgren-zen im n-ten Schritt.an ≤ x ≤ bn, 0 < bn − an = b0−a0

2n (b0 = y, a0 = e) Nach Konstruktion gilt:M∩]−∞, an[= ∅ ∀n ∈ NM ∩ [an, bn] 6= ∅ ∀n ∈ N

83

Behauptung:x ist untere Schranke von MAngenommen, dass nicht, dann ∃e ∈M : z < x.Dann z = x− (x− z) ≤ x− (bn − an) ≤ bn − bn + an = anWiderspruch zur Konstruktion: z links von der linken Grenze⇒ x ist untere Schranke

Behauptung: x ist die großte untere SchrankeAngenommen es existiert untere Schranke e > xWahle n mit bn − an < e− xDann e− x > bn − x, d.h. e > bnAber M ∩ [an, bn] 6= ∅, also kann e keine untere Schranke sein.

Supremum analog.

Beispiel

M = {x ∈ R|x ≥ 0, x2 ≥ 2}Dann ist Bisektionsverfahren aus 8.13.3 das, was wir zur Berechnung von

√2 formuliert

haben, inf(M) =√

2(Ersetze M∩]−∞, c[= ∅ durch c2 < 2)

84

9 Folgen und Reihen

Bisektionsverfahren liefern Zahlenfolgen

a0, a1, a2, ... und b0, b1, b2, ...

die sich dem gleichen Wert “annahern”. Das werden wir allgemein untersuchen.

9.1 Def.: Folge

k ∈ Z (oft k = 0 oder k = 1)Ak := {n ∈ Z|n ≥ k} “Indesxmenge”Eine Abb. a : Ak → R, n 7→ an heißt bei k beginnende Folge reeller Zahlen.Schreibweise: (an)n≥k, (an)an heißt “Folgenglied”, n heißt “Index”

9.1.1 Beispiele

immer k = 1

(a) an = 5 ∀n ≥ k (5, 5, 5, ...)

(b) an = n (1, 2, 3, ...)

(c) an = 1n (1

1 ,12 ,

13 , ...)

(d) an = (n+1)2

2n (42 ,

94 ,

168 , ...)

(e) an = 3n2+1n2+n+2

(f) an = (−1)n

(g) an = 12an−1 + 1

an−1, a0 = 1 (rekursiv definierte Folge)

(a1 = 12 + 1 = 3

2 , a2 = 34 + 2

3 = 1712 , ...) (“Grenzwert”

√2)

(h) an =n∑i=1

1i

Rekursiv: a1 = 1, an = an−1 + 1n

(i) an =n∑i=1

(−1)n · 1i (a1 = −1, a2 = −1

2 , a3 = −56 , ...)

(“Grenzwert”: − ln 2 ≈ −0.6931)

85

9.2 Beschanktheit

Eine Folge (an)n≥k heißt beschrankt, falls ∃d ∈ R mit |an| ≤ d ∀n ≥ k, also −d ≤ an ≤ d(Aquivalent: Menge der Folgeglieder ist beschrankt)

9.3 Konvergenz

Eine Folge (an)n≥k heißt konvergent gegen eine Zahl c ∈ R (“konvergiert gegen c”) fallsgilt:

∀ε > 0∃n(ε) ∈ N∀n ≥ n(ε) : |c− an| < ε

Wir schreiben c = limn→∞

an (“Grenzwert”, “Limes”)

9.3.1 Bemerkung

Grenzwert hangt nicht von endlichem Anfangsstuck der Folge ab.

Wenn eine Folge an nicht konvergiert, so heißtan divergent, sie divergiert.

9.3.2 Beispiele

(a) an = n : nicht beschrankt, divergent

(b) an = 1n : beschrankt

Sei ε > 0. Wahle n(ε) mit 1n(ε) < ε (geht wegen 8.2.1 (e))

Dann gilt ∀n ≥ n(ε) : |0− 1n | =

1n ≤

1n(ε) < ε

Also Konvergenz gegen 0 gezeigt.

(c) an = 3n2+1n2+n+2

: (an) konvergiert gegen 3

an = 3n2+3n+6−3n−5n2+n+2

= 3n2+3n+6n2+n+2

− 3n+5n2+n+2

= 3− 3n+5n2+n+2

Es gilt: 3n+5n2+n+2

≤ 4nn2 = 4

n ∀n ≥ 5

Sei ε > 0. Wahle n(ε) ≥ 5 und mit 1n(ε) <

ε4 (nach 8.2.1 (e))

Sei n ≥ n(ε). Dann |3− an| = |3− 3 + 3n+5n2+n+2

| = 3n+5n2+n+2

≤ 4n ≤

4n(ε) ≤ ε

(d) an = (−1)n

(an) ist beschrankt, aber divergent.Angenommen (an) konvergiert gegen c. Wahle ε = 1

22 = |an+1 − an| ≤ |an+1 − c|+ |an − c| ≤ 1

2 + 12 = 1

86

9.3.3 Satz

(a) Jede konvergente Folge ist beschrankt.

(b) Sind a = (an)k≥n und b = (bn)k≥l beschrankte Folgen, so sind auch

– die Summe a+ b := (an + bn)k≥max{k,l}

– das Produkt a · b := (an · bn)k≥max{k,l}

– der Absolutbetrag |a| := (|an|)n≥kbeschrankt.

Beweis

(b) Folgt aus Rechenregeln fur Absolutbetrag:z.B. fur Summe ∃d1 ≥ 0 : |an| ≤ d1

∃d2 ≥ 0 : |bn| ≤ d2

z.zg.: ∃d ≥ 0 : |an + bn| ≤ d∀n ≥ max{k, l}|an + bn| ≤ |an|+ |bn| ≤ d1 + d2; also wahle d = d1 + d2

(a) Sei c = limn→∞

a

Wahle ε = 1Dann ∃n(1) ∈ N : |c− an < 1 ∀n ≥ n(1)Dann ist |an| ≤ |an − c|+ |c| < 1 + |c| ∀n ≥ n(1)Ist M = max{|a1|, ..., |an(ε)−1}, so gilt |an| ≤ 1 + |c|+M ∀n ≥ k

9.4 Monotonie

9.4.1 Definition

Sei a = (an)n≥k

(a) a heißt monoton wachsend (steigend), wenn an ≤ an+1 ∀n ≥ kStreng monoton wachsend (steigend), falls an < an+1 ∀n ≥ k

(b) a heißt monoton fallend, wenn an ≥ an+1 ∀n ≥ kStreng monoton fallend, falls an > an+1 ∀n ≥ k

9.4.2 Beispiele

(a) an = 1n : (an) streng monoton fallend

(b) an =√n : (an) streng monoton wachsend

(c) an = (−1)n : (an) weder wachsend noch fallend

87

9.4.3 Satz

Ist (an)n≥k monoton steigend und nach oben beschrankt, so konvergiert (an) undlimn→∞

an = sup{an|n ≥ k}

Ist (an)n≥k monoton fallend und nach unten beschrankt, so konvergiert (an) undlimn→∞

an = inf{an|n ≥ k}

Beweis

Sei (an) monoton wachsend. Nach 8.13.3 existiert Supremum c = sup{an|n ≥ k}, d.h.(an) ist nach oben beschrankt.Sei ε > 0. Dann existiert n(ε) ∈ N mit c− ε < an ≤ c, nach Def. des Supremums.

Wegen (an) monoton wchsend gilt: |c− an|c≥an= c− an

Monotonie≤ c− an(ε) < ε ∀n ≥ n(ε)

Beispiel

an = qn, 0 ≤ q < 1, (an) monoton fallendEs isit an ≥ 0 und inf{an|n ≥ 0} = 0Aus Satz folgt: lim

n→∞qn = 0

9.5 Nullfolge

9.5.1 Definition

Eine konvergente Folge mit dem Grenzwert 0 heißt Nullfolge

9.5.2 Bemerkung

limn→∞

an = a⇔ (an − a) ist Nullfolge ⇔ |an − a| ist Nullfolge.

88

9.6 Rechenregeln fur konvergente Folgen

Seien (an)n≥k, (bn)n≥k konvergente Folgen mit limn→∞

an = a, limn→∞

bn = b

(a) limn→∞

|an| = |a|

(b) limn→∞

(an + bn) = a+ b

(c) limn→∞

(an · bn) = a · b, insbesondere limn→∞

(c · bn) = c · limn→∞

bn = cb ∀c ∈ R

(d) Ist bn 6= 0 ∀n ≥ k und b 6= 0So ist lim

n→∞(anbn ) = a

b

(e) Ist (bn) eine Nullfolge, so konvergiert ( 1bn

) nicht.(bn 6= 0 ∀n ≥ k)

(f) Existiert m ≥ k mit an ≤ bn ∀n ≥ m, so ist a ≤ b

(g) Existiert m ≥ k mit 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ m und ist (bn) eine Nullfolge, so ist (an)eine Nullfolge

(h) ist (an) Nullfolge und (cn) beschrankt, so ist (an · cn) eine Nullfolge.

9.6.1 Beweis (exemplarisch)

(c) Z.zg.: ∀ε > 0∃n(ε) ∈ N∀n ≥ n(ε) : |ab− anbn| < εAlso: |ab− anbn| = |ab− anbn + anb− anb| ≤ |b| · |a− an|+ |an| · |b− bn|Da 9.3.3 (a) ist (an) beschrankt, d.h. ∃c ≥ 0 : |an| ≤ c|ab− anbn| ≤ |b| · |a− an|+ c · |b− bn|Sei ε > 0.Wahle n1 mit |a− an| < ε

2·|b| ∀n ≥ n1

Wahle n2 mit |b− bn| < ε2·c ∀n ≥ n2

Wahle n(ε) = max{n1, n2}, dann gilt:|ab− anbn ≤ |b| · ε

2·|b| + c ε2c = ε2 + ε

2 = ε

(h)(Z.zg. : lim

n→∞an = 0 ∧ (cn) beschrankt ⇒ lim

n→∞an · cn = 0

)Da (cn) beschrankt, gilt |cn| ≤ |c| ∀n ≥ kAlso: 0 ≤ |an · cn| = |an| · |cn| ≤ |an · |c|limn→∞

(|an| · |c|)(c)= |c| · lim

n→∞|an|

(a)= |c| · |a| = 0

Nach (g) ist (|ancn|) Nullfolge.Nach 9.5.2 ist (ancn) Nullfolge.

89

9.6.2 Bemerkung

Betrachte Bisektionsverfahren, das Zahl x ∈ R bestimmt.a0 ≤ a1 ≤ ..., b0 ≥ b1 ≥ ...an ≤ x ≤ bn, 0 ≤ bn − an = b0−a0

2n

0 ≤ |x− an| ≤ |bn − an|b0≥a0=

2n>0 ∀n∈N

b0 − a0

2n︸ ︷︷ ︸Nullfolge

Nach (g) ist |x− an| Nullfolge.Nach 9.5.2 gilt (an) konvergiert gegen x

Also limn→∞

an = xanalog

= limn→∞

bn

9.6.3 Beispiel

(a) Ist m ∈ N, so ist(

1nm

)n≥1

Nullfolge, da(

1n

)Nullfolge und (c)(

da 1nm = 1

n ·1

nm−1 ,1

nm−1 beschrankt ∀m ∈ N)

(b) Seien am, am−1, ...a0, bl, bl−1, ..., b0 ∈ R, am 6= 0, bl 6= 0Betrachte die PolynomeP (x) = amx

m + am−1xm−1 + ...+ a0

Q(x) = blxl + al−1x

l−1 + ...+ b0Funktionen R→ R

m bzw. l heißen Grad von P(x) bzw. Q(x)

Sei Q(n) 6= 0 ∀n ≥ k(ein geeignetes k existiert immer, da man zeigen kann, dass Q(n) = 0 nur fur end-lich viele n ∈ N gelten kann.)

Ist m > l, so ist(P (n)Q(n)

)n≥k

divergent.

Ist m = l, so ist limn→∞

(P (n)Q(n)

)n≥k

= ambl

Ist m < l, so ist(P (n)Q(n)

)n≥k

eine Nullfolge.

Beweis: Fall m=l zeige man so, wie im Beispiel 9.3.2 (c) im Spezialfall gezeigt oder analogzu m < l : 1 · ambl

Fall m < l:P (n)Q(n) =

nm(am+am−1· 1n+...+ao· 1nm )

nl(bl+bl−1· 1n+...+b0· 1nl )

= 1nl−m ·

am+am−1· 1n+...+ao· 1nm

bl+bl−1· 1n+...+b0· 1nl

(b),(c)=⇒

1nm Nullfolge

0 · ambl = 0

Fall m > l: (e): Q(n)P (n) Nullfolge ⇒ P (n)

Q(n) divergent.

90

(c) 0 ≤ q < 1, an = n · qn(qn) ist Nullfolge nach 9.4.3 Bsp.Beh.: (an) ist Nullfolgeq = 0 klar, da 0n = 0Sei also q > 0.1q = 1 + t > 1, t geeignet gewahlt

(1 + t)nBinomialsatz

= 1 + nt+ n(n−1)2 t2 + ...+ tn

≥ n(n−1)2 t2 ∀n ≥ 2

Also: qn = 1(1+t)n ≤

2n(n−1)

Deshalb nqn ≤ 2n−1 ist Nullfolge nach 9.6 (c)

Da n · qn zwischen 0 und einer Nullfolge “eingeklemmt” ist, gilt nach 9.6(g), dassnqn eine Nullfolge ist.

(auch moglich wie in m < l)

(b) ist ein Beispiel fur einen asymptotischen Vergleich zweier Folgen

9.7 Landau-Symbole

(a) Eine Folge (an)n≥k heißt strikt positiv, falls an > 0 ∀n ≥ kSei im Folgenden a = (an)n≥k eine strikt positive Folge.

(b) O(a) = O(an) := {b = (bn)|(bnan

)n≥k

beschrankt}= {b = (bn)|∃d ≥ 0 : |bn| = d · an ∀n ≥ k}

(c) o(a) = o(an) := {b = (bn)|(bnan

)n≥k

Nullfolge}

9.7.1 Anschauliche Bedeutung

(bn) ∈ O(a) “groß O” heißt “(bn) wachst nicht wesentlich schneller als (an)”(bn) ∈ o(a) “klein o” heißt “(bn) wachst langsamer als (an)”O,o heißen Landau-Symbole

9.7.2 Beispiele

(n2) ∈ o(n3) (nach 9.6.3 (b): n2

n3 Nullfolge)(n2 + n+ 1) ∈ O(n2) (nach 9.3.3 (a): konvergente Folgen sind beschrankt)

Haufig schreibt man fur (n2) ∈ o(n3) auch (n2) = o(n3)und entsprechend fur (n2 + n+ 1) ∈ O(n2) auch (n2 + n+ 1) = O(n2)

91

9.7.3 Bemerkungen

Analyse der Zeitkomplexitat von Algorithmen.Sei tn = max. Anzahl der benotigten Rechenschritte bei Input der Große n.Gibt es eine Zahl l ∈ N mit (tn) ∈ O(nl), so spricht man von einer polynomiellen Re-chenzeit.Der Algorithmus wird als effizient bezeichnet.

Gibt es dagegen eine Zahl r > 1 mit (rn) ∈ o(tn), so braucht der Algorithmus mind.exponentielle Laufzeit.Er ist nicht effizient.

Beispiel

Sortieren einer Liste von Zahlen:Input: n Zahlen unsortiertOutput: n Zahlen aufsteigend sortiertFrage: Wieviele Rechenschritte braucht der Alg. als Funktion von n?Antwort: Nicht haargenau, sondern nur großenordnungsmaßig als O-Angabe:naives Sortieren: O(n2)n2 − n ∈ O(n2)

9.7.4 Satz

Sei P (x) = amxm + am−1x

m−1 + ...+ a0, am 6= 0, m ≥ 0

(a) (P (n))n≥k ∈ o(nl) ∀l > m und(P (n))n≥k ∈ O(nl) ∀l ≥ m

(b) Ist r > 1, so (P (n))n≥k ∈ o(rn)

Beweis

(a) Folgt aus 9.6.3 (b) (Beispiel P (n)Q(n))

(b) Es genugt nm ∈ o(rn) zu zeigen (m beliebig), denn summen und Vielfache vonNullfolgen sind Nullfolgen nach 9.6 (b,c)Sei m ∈ N beliebig aber fest:

Setze: q := m

√1r < 1

Es ist nm

rn =(n · m

√1rn

)m=

(n(

m

√1r

)n)m= (n · qn)m

Nach 9.6.3 (c) ist (n · qn) Nullfolge (0 < q < 1), also auch (n · qn)m nach 9.6 (c)(Produkt von Nullfolgen)Hieraus folgt die Behauptung

92

9.8 Teilfolgen

9.8.1 Definition

Sei (an)n≥k eine Folge und {nj |j ∈ N} ⊆ {n ∈ Z|n ≥ k} mit k ≤ n1 < n2 < n3 < ...(streng monoton steigende Folge naturlicher Zahlen). Dann heißt die Folge (anj )j≥1 eineTeilfolge von (an)

9.8.2 Beispiele

(an) = (−1)n(1 + 1

n

)• (a2n) =

(1 + 1

2n−1

)ist Teilfolge von (an) :

(32 ,

54 ,

76 ,

98 , ...

)• Ebenso

(a2n−1) = −(

1 + 12n−1

):(−2,−4

3 ,−65 , ...

)• Aber auch:

(an)n≥5 :(−6

5 ,+76 , ...

)Beachte:Jede Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen den gleichen Grenzwert.

9.9 Satz (Bolzano (1781-1848)-Weierstrass (1815-1897))

Jede beschrankte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

9.9.1 Beispiel

(an) = ((−1)n)(a2n) = ((−1)2n) = 1 konvergiert gegen 1(a2n−1) = (−1) konvergiert gegen -1

93

9.9.2 Beweis

Betrachte Folge (an) mit |an| ≤ d ∀n ≥ kBisektionsverfahren:a := −d, b := dwhile (true) do

c := a+b2

if |{n|a1 < c}| =∞then b := celse a := c

endifendwhileVerfahren liefert x ∈ R mit al ≤ x ≤ bl ∀lIn jedem Intervall liegen ∞ viele Folgenglieder. Man wahlt aus jedem Intervall ein anl

mit nl < nl+1, das liefert die gewunschte Teilfolge, die gegen x konvergiert.

9.10 Cauchy’sches (1785-1857) Konvergenzkriterium

Bisher mussen wir den Grenzwert kennen, um Konvergenz beweisen zu konnen.

Sei (an)n≥k eine Folge. Dann sind folgende Aussagen aquivalent:

(1) (an) konvergent

(2) ∀ε > 0∃n(ε) ≥ k ∀n,m ≥ n(ε) : |am − an| < ε

Eine Folge mit dieser Eigenschaft heißt Cauchy-Folge.(Alternative des Vollstandigkeitsaxiom: jede Cauchy-Folge konvergiert)

Bemerkung:|an − an+1| < ε reicht nicht!

9.10.1 Beweis

(1)⇒ (2)Sei lim

n→∞an = c und betrachte ε > 0

∃n1 : |an − c| < ε2 ∀n ≥ n1

∀n,m ≥ n1 : |an − am| = |an − c+ c− am| ≤ |an − c|+ |c− am| < ε

(2)⇒ (1)1. Behauptung: (an) ist beschrankt.Wahle ε = 1, dann: ∃n(1) : |an − am| < 1 ∀n,m ≥ n(1)also|an| = |an − an(1) + an(1)| ≤ |an − an(1)|+ |an(1)| ∀n ≥ n(1)< 1 + |an(1)|also (an) beschrankt.

94

Nach (1) und 9.9 hat (an) eine konvergente Teilfolge (anl)l>1

Sei c = liml→∞

anl

Behauptung c ist Grenzwert von (an)Sei ε > 0∃n : |an − am| < ε

2 ∀n,m ≥ n (da Cauchy-Folge)

∃l : |c− anl| < ε

2 ∀l ≥ l (da konvergente Teilfolge)

Wahle l so groß, dass nl > n gilt:Dann |an − c| = |an − anl

+ anl− c| ≤ |an − anl

|+ |anl− c| < ε

2 + ε2 + ε ∀n ≥ n

9.11 Reihen

9.11.1 Definition

(a) Sei (ai)i≥k eine Folge, Sn =n∑i=k

ai ∀n ≥ k

Sn heißt Partialsumme. Dann heißt (Sn)n≥k eine unendliche Reihe.

Schreibweise∞∑i=k

ai ≡ (sn)n≥k

(b) Ist die Folge (Sn)n≥k konvergent mit Grenzwert c, so schreibt man∞∑i=k

ai = c, die

Reihe konvergiert.

Beachte:∞∑i=k

ai hat zwei Bedeutungen

{Folge als Partialsumme

Grenzwert der Reihe

9.11.2 Satz

(a) (Cauchy-Kriterium fur Reihen)

reihe∞∑i=k

ai ist konvergent ⇔ ∀ε > 0∃n(ε)∀n,m, m > n ≥ n(ε) :

∣∣∣∣ m∑i=n+1

ai

∣∣∣∣ < ε

(b) Ist die Reihe∞∑i=k

ai konvergent, so ist (ai)i≥k eine Nullfolge

(notwendiges Kriterium!)

(c) Ist die Folge (Sn) der Partialsummen beschrankt und gilt ai ≥ 0 ∀i ≥ k, so ist∞∑i=k

ai konvergent.

95

Beweis

(a) folgt aus 9.10: |Sm − Sn| =∣∣∣∣ m∑i=k

ai −n∑i=r

ai

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ m∑i=n+1

ai

∣∣∣∣(b) folgt aus (a) mit m = n+ 1

(c) folgt aus 9.4.3, da beschrankt und monoton steigend.

9.11.3 Beispiele

Geometrische Reihe Sei q ∈ R.

Wir betrachten:n∑i=0

qi

Ist q 6= 1, so:n∑i=0

qi = qn+1−1q−1

Beweis:Sn = 1 + q + q2 + ...+ qn

qSn = q + q2 + q3 + ...+ qn+1

Sn − qSn = 1− qn+1

Sn(1− q) = 1− qn+1

Sn = qn+1−1q−1

Sei nun |q| < 1|.Dann ist

∞∑i=0

qi = 11−q Grenzwert

Beweis:

limn→∞

n∑i=0

qi = limn→∞

qn+1−1q−1

9.4.3 Bsp.= −1

q−1 = 11−q

Ist |q| ≥ 1, dann ist die Reihe divergent, denn dann ist (qi)i≥0 keine Nullfolgeund 9.11.2 (b)

96

Harmonische Reihe∞∑i=1

1i

Behauptung: Harmonische Reihe ist divergentBeweis:

Sn =n∑i=1

1i

n = 20 = 1 : S1 = 1n = 21 = 2 : S2 = 1 + 1

2

n = 22 = 4 : S4 = 1 + 12 +

1

3+

1

4︸ ︷︷ ︸≥ 1

2

n = 23 = 8 : S8 = 1 + 12 + 1

3 + 14 +

1

5+

1

6+

1

7+

1

8︸ ︷︷ ︸≥ 1

2

Per Induktion sieht man: S2m ≥ 1 + m2

Also: Sn ist unbeschrankt und somit divergent nach 9.3.3 (a)

allgemeine harmonische Reihe z.B. i2∞∑i=1

1i2

Beh.: konvergiertNach 9.11.2 (c) genugt es Beschranktheit zu zeigen:∀n ∈ N :Sn = S2n−1 = 1+

(122

+ 132

)+(

142

+ ...+ 172

)+(

182

+ ...+ 1152

)+...+

(1

(2n−1)2+ ...+ 1

(2n−1)2

)≤ 1 + 2 · 1

22+ 4 · 1

42+ 8 · 1

82+ ...+ 2n−1 1

(2n−1)2= 1 + 1

2 + 14 + 1

8 + ...+ 12n−1

≤∞∑i=0

(12

)i (a)= 1

1− 12

= 2

also Sn beschrankt ⇒ konvergent, Grenzwert ≤ 2Man kann zeigen: Grenzwert = π2

6Mit ahlichen Argumenten gilt:∞∑i=1

1is konvergiert ∀s > 1

(Nicht s=1, da dann Harmonische Reihe)

97

alternierende harmonische Reihe∞∑i=1

(−1)i 1i

Beh.: ist konvergentBeweis:

S2n =

(−1 +

1

2

)︸ ︷︷ ︸

<0

+

(−1

3+

1

4

)︸ ︷︷ ︸

<0

+...+

(− 1

2n− 1+

1

2n

)︸ ︷︷ ︸

<0

⇒ S2n > S2n+2 ∀n, also (S2n) monoton fallend

S2n−1 = −1 +

(1

2− 1

3

)︸ ︷︷ ︸

>0

+

(1

4− 1

5

)︸ ︷︷ ︸

>0

+...+

(1

2n− 2− 1

2n− 1

)︸ ︷︷ ︸

>0

⇒ S2n−1 < S2n+1 also monoton steigendAußerdem:Ist k ungerade, l gerade, so gilt Sk < Sl:Beweis: Wahle n so, dass 2n− 1 ≥ k und 2n ≥ l

Dann Sk ≤ S2n−1

+ 12n

< S2n

s.o.≤ Sl

Der Abstand S2n − S2n−1 = 12n geht gegen 0

Folglich: sup{S2n−1} = inf{S2n} =∞∑i=1

(−1)i · 1i

Man kann zeigen: Grenzwert=− ln 2 ≈ 0.6931

9.11.4 Leibniz-Kriterium

Ist (ai)i≥k eine monoton fallende Folge, so konvergiert∞∑i=1

(−1)iai

9.11.5 Majoranten-Kriterium

Seien (ai)i≥k, (bi)i≥k Folgen, wobei bi ≥ 0 und |ai| ≤ bi ∀i ≥ kDann gilt:

Ist∞∑i=k

bi konvergent, so auch∞∑i=k

ai und∞∑i=k

|ai|

Dabei gilt:

∣∣∣∣ ∞∑i=k

ai

∣∣∣∣ ≤ ∞∑i=k

|ai| ≤∞∑i=k

bi

98

Beweis

∀n ≥ k : Sn :=n∑i=k

|ai|V or.≤

n∑i=k

bibi≥0≤

9.4.3

∞∑i=k

bi︸ ︷︷ ︸Grenzwert

=: b

(Sn) ist monoton wachsend und nach oben beschrankt. Also nach 9.4.3 gilt:

(Sn) konvergiert und∞∑i=k

|ai| = sup{Sn|n ≥ k} ≤ b

Da

∣∣∣∣ m∑i=n+1

ai

∣∣∣∣ ∆−Ungl.≤

m∑i=n+1

|ai| ∀m > n ≥ k folgt die Konvergenz von∞∑i=k

ai mit dem

Cauchy-Kriterium (9.11.2 (a)) aus der Konvergenz von∞∑i=k

|ai|(wegen

m∑i=n+1

|ai| =∣∣∣∣ m∑i=n+1

|ai|∣∣∣∣)

9.11.6 Beispiel∞∑i=1

1√i

ist divergent:

es gilt:√i ≤ i, also 1√

i≥ 1

i ∀i ∈ N

Ware∞∑i=1

1√i

divergent, so nach 9.11.5 auch∞∑i=1

1i konvergent

Widerspruch da harmonische Reihe divergent (9.11.3)

9.12 Absolute Konvergenz

Die Reihe∞∑i=k

ai heißt absolut konvergent, falls∞∑i=k

|ai| konvergiert.

9.12.1 Korollar

Ist∞∑i=k

ai absolut konvergent, so auch konvergent.

Die Umkehrung gilt nicht.

Beweis

Erste Behauptung folgt aus 9.11.5 mit bi = |ai|Umkehrung gilt nicht immer:∞∑i=k

(−1)i 1i konvergiert (9.11.3 alternierende harmonische Reihe)

∞∑i=k

∣∣(−1)i 1i

∣∣ =∞∑i=k

1i divergiert (9.11.3 Harmonische Reihe)

99

9.13 Satz

9.13.1 (a) Wurzelkriterium

Existiert ein q < 1 und Index i0 mit:

i√|ai| ≤ q ∀i ≥ i0

so konvergiert die Reihe absolut.Gilt dagegen, dass i

√|ai| ≥ 1 fur unendlich viele i, so divergiert die Reihe.

9.13.2 (b) Quotientenkriterium

Existiert q < 1 und Index i0 mit |ai+1

ai| ≤ q ∀i ≥ i0, so konvergiert Reihe absolut.

9.13.3 Beweis

(a) Gegeben∞∑i=k

ai

Angenommen ∃q < 1, i0 ∈ N ∀i ≥ i0i√|ai| ≤ q, d.h |ai| ≤ qi

Nach 9.23 (a) gilt∞∑i=i0

qi konvergent

⇒∞∑i=i0

|ai| konvergiert, nach 9.25 (Majorantenk.) ⇒∞∑i=k

|ai| konvergiert

Angenommen ∃i1, i2, ... mit ij√|ai| ≥ 1, also |aij | ≥ 1.

Dann ist (ai)i≥k keine nullfolge. Also Reihe nicht konvergent wegen 9.22(b)

(b) Sei i ≥ i0| aiai0 | = |

aiai−1

· ai−1

ai−2... · ai0+1

ai0|︸ ︷︷ ︸

i−i0 Faktoren

≤ qi−i0 ,

also |ai| ≤ |ai0 | · q =: c

Es ist∞∑i=i0

c · qi konvergent (Geom. Reihe mit |q| < 1)

⇒∞∑i=i0

|ai| konvergent nach majorantenk.

100

9.13.4 Bemerkung

∃q < 1 wichtig:i√|ai| < 1 oder |ai+1

ai| < 1 reicht nicht, da z.B. harmonische Reihe.

H.R. konvergiert nicht, aber es gilt:ai = 1

i

i

√1i = 1

i√i< 1 ∀i > 1 und

|ai+1

ai| = | ii+1 | < 1

9.13.5 Beispiele

Welche Reihen sind konvergent?

(a)∞∑i=0

2−i

(b)∞∑i=0

(110

)i(c)

∞∑i=0

2i

(d)∞∑i=1

1i(i+1)

(e)∞∑i=1

xi

i!

(f)∞∑i=1

xi

i

Zu (a) q = 12 Geometrische Reihe, also konvergent

Zu (b) G.R. mit q = 110 , also konvergent

Zu (c) G.R. mit q = 2, also divergent

Zu (d) 9.23(d):∞∑i=1

1i2

konvergiert

Es gilt 0 ≤ 1i(i+1) ≤

ii2∀i ≥ 1

Wir wenden das Majorantenkriterium an und es folgt∞∑i=1

ai konvergiert.

Quotientenkriterium greift nicht.

101

Zu (e) Quotientenkriterium, Beh:∞∑i=1

xi

i! konvergiert absolut

Beweis:| xi+1

(i+1)! · |i!xi| = |x|

i+1

Wahle i0 so, dass i0 + 1 ≥ 2 · |x|Dann |x|

i+1 ≤|x|i0+1 <

12 das Kriterium gilt.

Zu (f) Quotientenkriterium: |xi+1|i+1 ·

ixi

= |x| · ii+1 = |x|

(1

1+ 1i

)= |x|

1+ 1i

< |x| ∀i ≥ 1

also Q.K. anwendbar mit q = |x| < 1

102

10 Nachtrag: Mengen

Menge M heißt abzahlbar unendlich, wenn sie die gleiche Machtigkeit hat wie N. Wirddurch Angabe einer Bijektion N→M .

N: abzahlbar unendlich, aber auch N0 abzahlbar unendlich

Primzahlen: abzahlbar unendlich: 2, 3, 5, 7, 11, ...

Gerade Zahlen: abzahlbar unendlich 2, 4, 6, 8, ...

Z: abzahlbar unendlich 0, 1,−1, 2,−2, ...

Q: abzahlbar unendlich nach Cantor

“Erstes Diagonalisierungsverfahren”pq 1 2 3 ...

1 11

21

31 ...

2 12

22

32 ...

3 13

23

33 ...

... ... ... ... ...Positive rationale ZahlenVerfolge Kette, uberspringe ungekurzte Bruche1, 2, 1

2 ,13 , 3, 4,

32 ,

23 , ...

Fur negative wie bei Z

R nicht abzahlbar unendlich; leicht zu sehenCantors zweites DiagonalverfahrenNehmen wir an, wir konnten alle Zahlen [0, 1[ auflisten. Werden zeigen, dass min-destens eine Zahl vergessen wurde.Konstruiere folgende Zahl:b mit Stellen immer von der jeweiligen Zahl zugeordneten (naturliche Zahl - Stelle)verschieden. Somit von allen aufgelisteten Zahlen verschieden.Beh.: b fehlt in der AufzahlungBeweis: Angenommen b kommt in der Liste an Position j vor.Dann gilt b = aj , d.h.b1 = aj1 , b2 = aj2 , ..., bj = ajj Widerspruch zur Def. von bBeweis ist nicht ganz vollstandig richtig; z.B. 0.1 = 0.01Ausnahmen werden besonders betrachtet

103

10.1 Beispiel: Hilberts Hotel

Zimmer 1, 2, 3, 4, ... 1. Bus: 10 GasteZimmer 1-10

2.Bus: abzahlbar unendlich viele GasteZimmer 11,12,...

3.Bus: abzahlbar unendlich viele Gastealle alten Gaste Zimmer i 7→ 2i, neue Gaste in ungerade Zimmer

4.: abzahlbar unendlich viele Busse mit jeweils abzahlbar unendlich vielen Gastenalle alten Gaste Zimmer i 7→ 2iBus 1: Zimmer 31, 32, 33, ... Bus 2: Zimmer 51, 52, 53, ... Bus 3: Zim-

mer 71, 72, 73, ...

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