Hochschule Heilbronn WS 2010/2011 Dr. U. Fink

Mathematik 3 ASE

Inhalt I) Funktionen mehrerer Veränderlicher 1. Veranschaulichung und Beispiele 2. Partielle Ableitungen und Gradientenvektor 3. Tangentialebene und totales Differential 4. Extremwerte bei Funktionen von 2 Veränderlichen, Hesse-Matrix II) Fourier-Reihen und Fourier-Transformation 1. Fourier-Reihen in reeller und komplexer Schreibweise 2. Beispiele von Fourier-Reihen 3. Übergang zur Fourier-Transformation (für aperiodische Funktionen) 4. Beispiele, Eigenschaften und Regeln III) Laplace-Transformation 1. Definition und Beispiele 2. Eigenschaften und Regeln IV) z-Transformation 1. Definition, Zusammenhang mit Laplace 2. Beispiele 3. Eigenschaften und Regeln (Linearität, Dämpfung, Verschiebung, Differentiation, Faltung) 4. Rücktransformation 5. Anwendungen V) Systeme von Differentialgleichungen Lineare Bauart xAx r&r ⋅= (homogen) oder uxAx rr&r +⋅= (inhomogen) Verschiedene Lösungsverfahren a) klassische Methode b) mittels Laplace-Transformation c) unter Verwendung der Matrix Ate Anhang: Musterklausur

Kapitel I: Funktionen mehrerer Veränderlicher

Zeltdächer im Olympiapark München

Viele Größen in Natur und Technik hängen gleichzeitig von mehreren Variablen ab, z. B. ist die Stromstärke I im Stromkreis eine Funktion von Spannung U und Widerstand R

gemäß RUI = , oder die Zentrifugalkraft Z bei gleichförmiger Kreisbewegung ist eine Funktion

von Masse m, Geschwindigkeit v und Radius r gemäß rvmZ 2⋅= .

Wir wollen uns in diesem Kapitel mit solchen Funktionen beschäftigen, insbesondere interessieren uns deren (relative) Maxima und Minima. 1. Veranschaulichung und Beispiele So wie sich eine Funktion einer Variablen durch eine Kurve im xy-Koordinatensystem veranschaulichen lässt, kann eine Funktion von zwei Variablen durch eine Fläche im xyz-(bzw. 321 xxx -)Koordinatensystem veranschaulicht werden. Für Funktionen von mehr als zwei Variablen gibt es keine praktische Veranschaulichung. Daher beschränken wir uns in diesem Abschnitt auf Funktionen der Form z = f(x,y) bzw. )x,x(fy 21= .

Beispiel 1:

4yx2)y,x(fz +−−== , 2IRD = Einen ersten Eindruck vom Verlauf der Fläche bekommen wir durch die Schnitte mit den Koordinatenebenen.

- Schnitt mit der xy-Ebene (z = 0): 4x2y4yx20 +−=⇔+−−= Die Schnittfigur ist eine Gerade in der xy-Ebene mit Steigung 2− und y-Achsenabschnitt 4. - Analog erhält man die Schnittgebilde mit der xz-Ebene (y = 0) und der yz-Ebene (x = 0) mit den Gleichungen 4x2z +−= und 4yz +−= . Das sogenannte Spurdreieck (Bild 1) dient als gute Veranschaulichung für die Fläche, die natürlich aufgrund der Linearität der Funktionsgleichung eine Ebene im dreidimensionalen Raum darstellt. Allgemein ergibt jede Gleichung der Form z = f(x,y) = IRc,b,amitcbyax ∈++ eine Ebene als Schaubild. Beispiel 2:

{ }4yxIR)y,x(D,yx4)y,x(fz 22222 ≤+∈=−−== Die Definitionsmenge ist hier das Innere eines Kreises um O mit Radius 2. Quadriert man die Funktionsgleichung und ordnet man die Terme, so erhält man

4zyx 222 =++ , und diese Gleichung beschreibt bekanntlich eine Kugelfläche mit Mittelpunkt O und Radius r = 2. Folglich wird durch die gegebene Funktionsgleichung die „obere Halbkugel“ mit M = O und r = 2 beschrieben (Bild 2).

Beispiel 3:

222 IRD,yx4)y,x(fz =−−==

Der Schnitt mit der xy-Ebene (z = 0) ist hier ein Kreis mit der Gleichung 4yx 22 =+ , ebenso sind alle Schnitte mit Parallelebenen zur xy-Ebene (z = c = const.) Kreise:

c4yxyx4c 2222 −=+⇔−−=

Für c = 4 ergibt sich der Punkt )4/0/0( , für c > 4 ist die Schnittmenge leer. Schneidet man die Fläche mit der xz-Ebene (y = 0), so ergibt sich eine nach unten geöffnete Parabel mit der Gleichung 2x4z −= , ebenso verhält es sich bei jeder Parallelebene zur xz-Ebene (y = c): 22 xc4z −−= . Da x und y in der Funktionsgleichung vertauschbar sind, erhält man als Schnitte mit der yz-Ebene bzw. ihren Parallelebenen (x = c) ebenfalls Parabeln (Gleichung 22 yc4z −−= ). Insbesondere ist die Fläche drehsymmetrisch, da z eine Funktion von 22 yx + und damit vom Abstand des Punktes (x/y) von O ist. Es handelt sich offensichtlich um ein Drehparaboloid (Bild 3). Im nächsten Beispiel untersuchen wir eine Fläche, in deren Gleichung eine der (zwei) Variablen gar nicht vorkommt. Beispiel 4:

22 IRD,x4)y,x(fz =−== y kommt hier nicht vor, ist also beliebig. Die Fläche enthält somit eine Schar von Geraden parallel zur y-Achse. Diese Geraden können gewissermaßen an die Punkte einer Schnittkurve für y = c, hier also an die Punkte einer Parabel, angeheftet werden. Die Fläche ist zylindrisch, im vorliegenden Fall ein parabolischer Zylinder (Bild 4).

Zum Schluss betrachten wir noch eine besonders interessant aussehende Fläche. Beispiel 5:

2IRD,yxz =⋅= Wieder untersuchen wir die Schnitte mit z = c, die sogenannten „Höhenlinien“.

cyx =⋅ führt für c = 0 auf die x-Achse oder die y-Achse, für 0c ≠ auf Hyperbeln mit den

Gleichungen xcy = .

Die Schnitte parallel zur xz-Ebene oder parallel zur yz-Ebene (y = c oder x =c) sind Geraden mit den Gleichungen xcz ⋅= oder ycz ⋅= . Schließlich ist es noch interessant, die Schnitte mit y = x bzw. xy −= (also senkrecht zur 1. und 2. Winkelhalbierenden in der xy-Ebene) zu untersuchen. Gemäß 2xz = bzw. 2xz −= ergeben sich hierbei eine nach oben und eine nach unten geöffnete Parabel (Bild 5). Die Fläche sieht sattelförmig aus, sie heißt deswegen auch Sattelfläche. Ihr wissenschaftlicher Name ist hyperbolisches Paraboloid (aufgrund des beschriebenen Vorkommens von Hyperbeln und Parabeln).

2. Partielle Ableitungen und Gradientenvektor Das Steigungsverhalten einer Funktion z = f(x,y) ist natürlich abhängig von der Richtung, in der man den Flächenpunkt ))y,x(f/y/x(P 00000 durchläuft. Als spezielle Richtungen betrachten wir zunächst die Richtungen von x- und y-Achse. Hält man den y-Wert 0yy = fest und verändert den x-Wert 0x um ,xΔ so untersucht man praktisch das Steigungsverhalten der Schnittkurve der zu z = f(x,y) gehörigen Fläche mit der Ebene 0yy = im Punkt ))y,x(f/y/x(P 00000 . Rechnerisch bildet man hierzu wie bei Funktionen einer Variablen den Grenzwert des Differenzenquotienten für ,0x →Δ den man im Fall von mehreren Variablen als partielle Ableitung von f nach x bezeichnet und wie folgt schreibt:

x)y,x(f)y,xx(f

lim)y,x(xf)y,x(f 0000

0x0000x Δ−Δ+

=∂∂

=→Δ

.

Genauso gibt es bei festgehaltenem 0xx = die partielle Ableitung von f nach y, geschrieben

y)y,x(f)yy,x(f

lim)y,x(yf)y,x(f 0000

0y0000y Δ−Δ+

=∂∂

=→Δ

.

Die partiellen Ableitungen fasst man in einem Vektor, dem Gradientenvektor grad f oder f∇ (gelesen „nabla f“) zusammen:

)y,x(f)y,x(fgrad)y,x(f)y,x(f

000000y

00x ∇==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ist der Gradientenvektor (oder kurz: Gradient) von f an der Stelle ).y,x( 00 Anstatt sich auf eine bestimmte Stelle )y,x( 00 zu beziehen, kann man natürlich auch die partiellen Ableitungen als Funktionen von x und y betrachten, in obiger Darstellung fallen dann die im Index angehängten Nullen weg: ).y,x(f),y,x(f yx Bei mehr als zwei Variablen lässt sich das Verfahren entsprechend fortsetzen, es gibt dann z. B. ).x,x,x(f),x,x,x(f),x,x,x(f 321x321x321x 321

Der Gradient einer Funktion von n Variablen ist ein n-dimensionaler Vektor. Rechentechnisch geht man wie beim Ableiten einer Funktion von einer Variablen vor, indem man alle Variablen bis auf eine (diejenige, nach der man ableiten will) als konstant betrachtet. Z. B. lauten die partiellen Ableitungen von x4yxyx3)y,x(f 22 −−+= wie folgt:

.2),(,46),( yxyxfyxyxf yx −=−+= Übung: Gegeben sei 22 yx4)y,x(fz −−== (siehe Beispiel 3). Gesucht sind die Steigungen in x-Richtung und in y-Richtung im Punkt )z/6,0/8,0(P 00 . Lösung: Zunächst kann man die fehlende Koordinate von 0P berechnen: .36,08,04z 22

0 =−−= Dann bildet man allgemein die partiellen Ableitungen:

.y2)y,x(f,x2)y,x(f yx −=−= Die Auswertung an der gegebenen Stelle ergibt

2,16,02)6,0;8,0(f,6,18,02)6,0;8,0(f yx −=⋅−=−=⋅−= .

Ebenso wie es bei Funktionen einer Variablen auch Ableitungen höherer Ordnung gibt, kann man nun die partiellen Ableitungen (erster Ordnung) einer Funktion von mehreren Variablen weiter ableiten. Man erhält so bei einer Funktion von zwei Veränderlichen x und y die 4 (!) partiellen Ableitungen zweiter Ordnung: .f,f,f,f yyyxxyxx Nach einem Satz von Schwarz müssen allerdings die „gemischten“ Ableitungen yxxy fundf bei vorausgesetzter Stetigkeit identisch sein. In der Schreibweise mit Differentialen stellt man die höheren Ableitungen wie folgt dar:

3

3

xxx2

2

yy

2

xy2

2

xx xff,

yff,

yxff,

xff

∂∂

=∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

= usw.

Übung: Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1., 2. und 3. Ordnung von ).y2sin(x2)y,x(fz 3 ⋅== Lösung:

)y2cos(x4)y,x(f),y2sin(x6)y,x(f 3y

2x ⋅=⋅=

)y2sin(x8)y,x(f),y,x(f)y2cos(x12)y,x(f),y2sin(x12)y,x(f 3yyyx

2xyxx ⋅−==⋅=⋅=

)y2cos(x16)y,x(f),y,x(f)y,x(f)y2sin(x24)y,x(f

),y,x(f)y,x(f)y2cos(x24)y,x(f),y2sin(12)y,x(f3

yyyyyxyxy2

xyy

yxxxyxxxyxxx

⋅−===⋅−=

==⋅==

Statt ...),y,x(f),y,x(f),y,x(f xxyx hätte man auch kürzer ...,z,z,z xxyx schreiben können! 3. Tangentialebene und totales Differential

So wie zur Approximation einer Kurve y = f(x) in der Nähe eines Punktes 0P die Tangente in

0P herangezogen werden kann, wird man jetzt zur Approximation einer Fläche z = f(x,y) die Tangentialebene in 0P verwenden. Aber wie bekommt man die Gleichung einer solchen Ebene T ? Wir versuchen es mit einem Ansatz:

cybxaz:T ++= , wobei die Koeffizienten a, b und c so zu bestimmen sind, dass gilt

(1) T))y,x(f,y,x(P 00000 ∈ , (2) die Steigungen in x-Richtung müssen bei der Fläche z = f(x,y) und der Ebene T in 0P übereinstimmen und (3) dasselbe muss für die Steigungen in y-Richtung gelten. Rechnerisch ausgewertet bedeutet dies

(1) ,cbyax)y,x(f 0000 ++= woraus folgt 0000 byax)y,x(fc −−= (2) a)y,x(f 00x = (3) b)y,x(f 00y = .

Hiermit lässt sich nun die Gleichung der Tangentialebene angeben:

000000y00x byax)y,x(fy)y,x(fx)y,x(fz −−+⋅+⋅= bzw. umgeformt

T: )yy()y,x(f)xx()y,x(f)y,x(fz 000y000x00 −⋅+−⋅+= (*). Beispiel:

Es soll die Gleichung der Tangentialebene T an das Drehparaboloid 22 yx4z −−= in )3/6,0/8,0(P0 bestimmt werden.

Die benötigten partiellen Ableitungen wurden schon im vorigen Abschnitt bestimmt: 2,1)6,0;8,0(fund6,1)6,0;8,0(f yx −=−= .

Damit lautet die Gleichung von T: )6,0y(2,1)8,0x(6,13z −−−−= 72,0y2,128,1x6,13 +−+−= also 5zy2,1x6,1.bzwy2,1x6,15z =++−−= . Der Begriff „totales Differential“ dient nun dazu, die schon erwähnte Approximation durch die Tangentialebene genauer zu beschreiben. Schauen wir uns zunächst die Definition an:

dy)y,x(fdx)y,x(f:)y,x(dfdz 00y00x00 ⋅+⋅== (**) ist die Definition des totalen (vollständigen) Differentials von z = f(x,y) an der Stelle ).y,x( 00 Die Differentiale dx und dy der unabhängigen Variablen x und y können dabei bekanntlich mit den Änderungen yundx ΔΔ , hier also mit 00 yyundxx −− gleichgesetzt werden. Vergleicht man dann (**) mit der Gleichung (*) der Tangentialebene, so sieht man: Das totale Differential dz beschreibt den Zuwachs auf der Tangentialebene, wenn sich x um dx und y um dy ändert.

Demzufolge gilt die Näherung: .dzz ≈Δ Beispiel:

Für die Funktion 22 yx4)y,x(fz −−== (Drehparaboloid) und die Ausgangsstelle )6,0;8,0()y,x( 00 = seien die Änderungen 1,0dxx ==Δ und 2,0dyy ==Δ gegeben.

Für die Änderung zΔ des Funktionswerts gilt dann

4,024,016,02,0)2,1(1,06,1dzz −=−−=⋅−+⋅−=≈Δ mit der Formel (**) und den schon zuvor berechneten partiellen Ableitungen. Im vorliegenden Fall kann man die Änderung zΔ natürlich auch exakt leicht berechnen:

.45,0)6,08,04(8,09,04)6,0;8,0(f)2,06,0;1,08,0(fz 2222 −=−−−−−=−++=Δ Bevor wir zum letzten Abschnitt in diesem Kapitel kommen, soll noch eine Ergänzung angebracht werden:

Bisher wurden für die Steigungsberechnungen nur die speziellen Richtungen der x-Achse und der y-Achse (kurz: x-Richtung und y-Richtung) betrachtet. Wie schon erwähnt kann man aber nach der Steigung in jeder beliebigen Richtung fragen. Ist ar ein Richtungsvektor in der xy-Ebene vom Betrag 1, so lautet die Formel für die

Richtungsableitung von f in Richtung ar : a)y,x(fgrad)y,x(af

0000r

r ⋅=∂∂ .

Der Malpunkt steht dabei für das Skalarprodukt der Vektoren (bzw. für das Matrizenprodukt, wenn grad f als Zeile geschrieben wird). Da ein Skalarprodukt zweier Vektoren über das Produkt ihrer Beträge mal dem Cosinus des eingeschlossenen Winkels α ausgewertet werden kann ( ))cos(babaFormel α⋅⋅=⋅

rrrr und in unserem Fall aund)y,x(fgrad 00r = 1 von vorn-

herein festliegen, kann die Größe der Richtungsableitung nur durch Verändern des Winkels α variiert werden. Sie ist demnach betragsmäßig am größten, wenn 1)cos( ±=α , also

°=α°=α 180oder0 ist, d. h., wenn ar in Richtung von grad f oder entgegengesetzt hierzu

zeigt. Somit gilt der Satz: Der Gradientenvektor gibt die Richtung des stärksten Anstiegs (oder Abfalls) auf der Fläche an. 4. Extremwerte bei Funktionen von zwei Veränderlichen, Hesse-Matrix

Es geht uns in diesem Abschnitt um Stellen ),y,x( 00 an denen relative, d. h. lokale Maxima bzw. Minima vorliegen, wo also bezogen auf eine Umgebung U gilt:

)y,x(f)y,x(f.bzw)y,x(f)y,x(f 0000 ≥≤ für alle (x,y) aus U. Notwendige Bedingung für ein solches Extremum ist sicher die waagrechte Tangentialebene, d. h. 0)y,x(f 00x = und 0)y,x(f 00y = .

Dass dies nicht hinreichend ist, sieht man am Beispiel der Sattelfläche (Beispiel 5), die in O eine waagrechte Tangentialebene, aber kein Extremum hat. Die Situation ist im übrigen vergleichbar mit der bei einer Funktion einer Variablen, wo eine waagrechte Tangente ja auch nicht für die Existenz eines Extremums ausreicht. Wir suchen also nach hinreichenden Bedingungen für relative Extrema. Da es zu umständlich wäre, diese Bedingungen selbst zusammenzubasteln, greifen wir zur Formelsammlung und versuchen anschließend, die gefundenen Formeln zu begründen bzw. verständlich zu machen.

Hinreichende Bedingungen für ein relatives Maximum bzw. Minimum bei :)y,x( 00

Ist ,0)y,x(fgradalso,0)y,x(fund0)y,x(f 0000y00x

r=== und außerdem

0)y,x(f)y,x(f)y,x(f 002xy00yy00xx >−⋅ , so hat f bei )y,x( 00 ein Extremum, und zwar

ein relatives Maximum für 0)y,x(f 00xx < und ein relatives Minimum für .0)y,x(f 00xx > Ist ,0)y,x(f)y,x(f)y,x(f 00

2xy00yy00xx <−⋅ so hat f kein Extremum bei ).y,x( 00

Ist ,0)y,x(f)y,x(f)y,x(f 002xy00yy00xx =−⋅ so sind weitere Untersuchungen nötig.

Der Ausdruck 2xyyyxx fff −⋅ kann natürlich als Determinante einer (2,2)-Matrix geschrieben

werden: Hfff 2xyyyxx =−⋅ mit .

ffff

ffff

Hyyyx

xyxx

yyxy

xyxx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

H ist die in der Überschrift genannte Hesse-Matrix. Als Zusammenfassung der vier Ableitungen zweiter Ordnung ersetzt sie die eine Ableitung zweiter Ordnung bei einer Funktion einer Variablen. Verständlich werden die Bedingungen, wenn man die Taylor-Formel für eine Funktion von zwei Veränderlichen kennt. Sie lautet

( )20yy00xy

20xx2

1

000y000x00

)yy()y~,x~(f)yy)(xx()y~,x~(f2)xx()y~,x~(f

)yy()y,x(f)xx()y,x(f)y,x(f)y,x(f

−⋅+−−⋅+−⋅+

+−⋅+−⋅+=

bzw. in vektorieller Schreibweise

( ) ,yyxx

)y~,x~(Hyyxxyyxx

)y,x(fgrad)y,x(f)y,x(f0

0002

1

0

00000 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⋅−−⋅+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅+=

wobei )y~,x~( eine Zwischenstelle zwischen )y,x( 00 und (x,y) beschreibt.

Der Term q = ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⋅−−⋅0

0002

1

yyxx

)y~,x~(Hyyxx gibt die Abweichung von der Tangential-

ebene T an (siehe deren Gleichung (*) im vorigen Abschnitt). Ist die notwendige Bedingung für ein Extremum erfüllt, d. h. die Tangentialebene in waagrechter Lage, so hat man sicher dann ein Maximum, wenn q (in einer Umgebung von )y,x( 00 ) negativ ist, und ein Minimum, wenn q positiv ist. Die Erfüllung dieser Bedingungen wird dadurch gewährleistet, dass H „negativ definit“ (für das Maximum) bzw. „positiv definit“ (für das Minimum) ist. Dabei heißt eine quadratische Matrix A negativ (positiv) definit, wenn xAx T rr

⋅⋅ negativ (positiv) ist für 0x

rr≠ .

Jetzt muss man nur noch untersuchen, wie die Elemente einer symmetrischen (2,2)-Matrix beschaffen sein müssen, damit die Matrix negativ bzw. positiv definit ist. Hierzu dient folgende Umformung:

( ) ( ).wurdegesetztvwobei

,yava2vayaxya2xayx

aaaa

yxxAx

yx

22212

211

22212

211

2212

1211T

=

++=++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=⋅⋅

rr

Der letzte Term ist für 0y ≠ sicher dann nur negativ bzw. positiv, wenn der Ausdruck in der Klammer als Funktion von v eine nach unten bzw. nach oben geöffnete Parabel ohne Nullstellen beschreibt (welche also ganz unterhalb bzw. oberhalb der x-Achse verläuft). Nach der Theorie der quadratischen Gleichungen muss hierzu die Diskriminante

22112

12 aa4)a2(D −= negativ sein (damit keine Nullstellen vorliegen) und es muss 11a negativ (positiv) sein (für die Öffnung der Parabel nach unten bzw. oben). Die Diskriminante lässt sich natürlich noch umschreiben: )aaa(4aa4)a2(D 2211

2122211

212 −=−= ,

und D ist genau dann negativ, wenn 2122211 aaa − positiv ist.

Nun sind wir aber bei unseren hinreichenden Bedingungen von der vorigen Seite angelangt. Denn im Fall der Hesse-Matrix H = A ist xx11

2xyyyxx

2122211 faundfffaaa =−=− .

Schließlich sollen noch Beispiele für die Extremwertbestimmung behandelt werden.

Beispiel 1: 22 yx4)y,x(fz −−== Die Ableitungen 1. Ordnung kennen wir schon: .y2)y,x(fz,x2)y,x(fz yyxx −==−== Weiter ist .2)y,x(fz,z0)y,x(fz,2)y,x(fz yyyyyxxyxyxxxx −=====−== Notwendige Bedingung für Extremum: .0zz yx == Hieraus folgt x = y = 0. Überprüfen der hinreichenden Bedingungen:

,0)0,0(fund0)2()2()0,0(f)0,0(f)0,0(f)0,0(H xx2

xyyyxx <>−⋅−=−⋅= also hat man ein Maximum bei (0,0), 4zmax = - was man in diesem Fall schon vorher wusste, siehe Bild 3. Beispiel 2: xy3yx)y,x(fz 33 −+== Ableitungen: ,x3y3z,y3x3z 2

y2

x −=−= .y6z,z3z,x6z yyyxxyxx ==−== Notwendige Bedingung für Extremum: .0zz yx == Dies führt auf die Gleichungen

(1) .0x3y3)2(und0y3x3 22 =−=− Gleichung (1) nach y aufgelöst liefert (3) .xy 2= (3) in (2) eingesetzt ergibt ,0)1x(x3.bzw0x3x3 34 =−=− und daraus folgt .1xoder0x 21 == Einsetzen der Ergebnisse in (3) liefert .1y,0y 21 == Überprüfen der hinreichenden Bedingungen für :)0,0()y,x( 11 =

,09)0,0(f)0,0(f)0,0(f)0,0(H 2xyyyxx <−=−⋅= somit hat man kein Extremum bei (0,0);

für :)1,1()y,x( 22 =

,0)3(66)1,1(f)1,1(f)1,1(f)1,1(H 22xyyyxx >−−⋅=−⋅= also hat man ein Extremum bei (1,1),

und da 06)1,1(f xx >= ist, handelt es sich um ein Minimum. Es ist .1zmin −= Das Minimum ist lokal (= relativ), denn für .zgiltyundx −∞→−∞→−∞→ Beispiel 3: 0y,0x),(27yx)y,x(fz y

1x1 ≠≠−−==

Ableitungen: ,xz,yz 22 y27

yx27

x −=+=

.z,z1z,z 33 y54

yyyxxyx54

xx ===−=

Notwendige Bedingung für Extremum: .0zz yx == Man erhält die Gleichungen (1) .0x)2(und0y 22 y

27x27 =−=+ Gleichung (1) nach y aufgelöst ergibt (3) .y 2x

27−=

(3) in (2) eingesetzt: ,0)1(x.bzw0x 27x

27x27 3

2

4=−=− ⋅ und da 0x ≠ gibt es nur die Lösung

,3x = und mit Gleichung (3) ergibt sich hiermit .3y −= Überprüfen der hinreichenden Bedingungen:

,0)3,3(fund01)()()3,3(H xx2754

2754 <−>−−⋅−=− somit hat man ein Maximum bei (3,-3).

Ein weiteres Beispiel, das in der Vorlesung behandelt wurde, ist .ez )yx( 22 +−= Hier hat man ein (sogar absolutes) Maximum bei (0,0).

Aufgaben zu Funktionen mehrerer Veränderlicher

1) Bilden Sie die angegebenen partiellen Ableitungen:

a) yxyx)y,x(ffürfundf yx ⋅

+=

b) 222tsr tsr)t,s,r(wfürw,w,w ++=

c) yyx xzfürz,z =

d) )y2xln(zfürz,z,z,z,z,z xxyyyxyxxyx += .

2) Berechnen Sie )y,x(fy)y,x(fx yx ⋅+⋅ für yx)y,x(f = .

3) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche x22 e)yx()y,x(f −⋅+= im Punkt P( 0 / 1 / f(0,1)). 4) Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Extrema:

a) 33 yxxy9)y,x(fz −−== mit x>0, y>0 b) xyxz 2 += c) 60y4x27yxz 23 +−−+= mit x>0, y>0. Lösungen

1a) 2y2x y1)y,x(f,

x1)y,x(f −=−=

b) 222t222s222r

tsr

t)t,s,r(w,tsr

s)t,s,r(w,tsr

r)t,s,r(w++

=++

=++

=

c) )xln(xz,xyz yy

1yx ⋅=⋅= −

d)

3xxy2yy2xy2xxyx )y2x(4z,

)y2x(4z,

)y2x(2z,

)y2x(1z,

y2x2z,

y2x1z

+=

+−=

+−=

+−=

+=

+=

2) 0)yx(y

y1x 2 =−⋅+⋅

3) f(0,1) = 1, Tangentialebene T: 1y2xz.bzw)1y(2x1z −+−=−+−= 4a) 2

y2

x y3x9z,x3y9z −=−=

⎩⎨⎧

=−=

⇔⎩⎨⎧

=−=−

⇔=)2(0yx3

)1(xy0y3x90x3y9

0)y,x(gradf 2

231

2

2r

(1) in (2) eingesetzt: 3x0)x3(x0xx30x

3914

91 =⇔=−⋅⇔=−

>

einsetzen in (1) ergibt y = 3. .0)3,3(z,081)18()18()3,3(H xx <>−−⋅−= Somit hat man ein relatives Maximum bei (3,3),

.27zmax = b) kein Extremum ( O ist Sattelpunkt) c) relatives Minimum bei (3,2)

Kapitel II: Fourier-Reihen und Fourier-Transformation nach Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), französischer Mathematiker und Physiker

1. Fourier-Reihen in reeller und komplexer Schreibweise Im 2. Semester haben wir Fourier-Reihen zur Darstellung von periodischen Funktionen in folgender Schreibweise kennen gelernt:

(1) ∑∞

=

++=+++=1k

kk0

110 )kxsin(b)kxcos(a

2a

...)xsin(b)xcos(a2

a)x(f

für π2 -periodische Funktionen bzw.

(2) ∑∞

=

π+

π+=+

π+

π+=

1kkk

011

0 )xL

ksin(b)xL

kcos(a2

a...)x

Lsin(b)x

Lcos(a

2a

)x(f

für 2L-periodische Funktionen.

Der erste Summand wird hier mit 2a 0 bezeichnet, damit die Formeln für die Koeffizienten

kk b,a („Fourier-Koeffizienten“) einheitlich aussehen. Diese Formeln lauten

(1*) ...,2,1k,dx)kxsin()x(f1b;...,2,1,0k,dx)kxcos()x(f1a kk =π

==π

= ∫∫π

π−

π

π−

für die Darstellung (1) bzw. (2*)

...,2,1k,dx)xL

ksin()x(fL1b;...,2,1,0k,dx)x

Lkcos()x(f

L1a

L

Lk

L

Lk =

π==

π= ∫∫

−−

für (2).

Die Integralgrenzen können wegen der Periodizität der Integranden auch verschoben werden:

Statt von ππ− bis bei (1*) könnte von abisa +π+π− mit beliebigem a integriert werden, z. B. von 0 bis .2π Analog kann bei (2*) die Integration von aLbisaL ++− erfolgen, z. B. von 0 bis 2L (= Periodenlänge). Bei bestimmten Symmetrieeigenschaften von f kann sich die Berechnung der Fourier-Koeffizienten vereinfachen: Falls f eine gerade Funktion ist, d. h. falls Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, lässt sich f in eine reine Kosinusreihe entwickeln, die Koeffizienten kb sind dann alle 0. (Dies würde auch die Rechnung ergeben, da bei geradem f das Produkt aus f und der Sinusfunktion ungerade ist und das Integral einer ungeraden Funktion über ein symmetrisch zu O liegendes Intervall gleich Null ist.) Falls f eine ungerade Funktion ist, d. h. falls Punktsymmetrie zu O vorliegt, lässt sich f in eine reine Sinusreihe entwickeln, die Koeffizienten ka sind dann alle 0. Wir verwenden diese Erkenntnisse bei den Beispielen im nächsten Abschnitt. Da die betrachteten Funktionen f meist zeitabhängig sind, verwendet man auch die Variable t statt x und T (Schwingungsdauer) statt 2L (Periodenlänge).

Die Größe LL2

2T2 π

=π

=π ist dann die Winkelgeschwindigkeit oder Kreisfrequenz, sie wird als

Grundfrequenz mit 0ω bezeichnet. Verzichtet man noch auf die Einheitlichkeit der Formeln für die Fourier-Koeffizienten und bezeichnet den sogenannten Gleichanteil (entspricht der Linie, um die sich die sin/cos-Kurve

herumschlängelt) mit 0A statt 2

a 0 , so lauten die Formeln

(jetzt mit Großbuchstaben kk B,A für die Fourier-Koeffizienten und 1kfürbB,aA kkkk ≥== )

(3) ∑∞

=

ω+ω+=1k

0k0k0 )tksin(B)tkcos(AA)t(f mit

(3*) ∫∫∫ =ω=ω==T

00k

T

00k

T

00 ...,2,1k,dt)tksin()t(f

T2B,dt)tkcos()t(f

T2A,dt)t(f

T1A

Damit ist man bei der in der Vorlesung „Signale und Systeme“ verwendeten Schreibweise angekommen. Zum Schluss dieses Abschnitts schreiben wir alles noch in komplexer Form. Hierbei hilft uns die Euler-Formel

),sin(j)cos(e.bzw)sin(j)cos(e jj ϕ−ϕ=ϕ+ϕ= ϕ−ϕ

woraus durch Addition bzw. Subtraktion folgt

),sin(j2ee),cos(2ee jjjj ϕ=−ϕ=+ ϕ−ϕϕ−ϕ folglich

j2ee)sin(,

2ee)cos(

jjjj ϕ−ϕϕ−ϕ −=ϕ

+=ϕ .

Setzen wir dieses Ergebnis für )sin(und)cos( ϕϕ in (3) und (3*) ein, so ergibt sich

j2eeB

2eeAA)t(f

tjktjk

k1k

tjktjk

k0

0000 ω−ω∞

=

ω−ω −+

++= ∑ , also

(4) f(t) ∑∞

−∞=

ω=k

tjkk

0ec

mit 2

jBAj2

B2

Ac),j

j1da(

2jBA

j2B

2A

c,Ac 11111

1111100

+=−=−=

−=+== − usw.,

allgemein

(4*) ∈= ∫ ω− k,dte)t(fT1c

T

0

tjkk

0 Z.

Diese Darstellung ist später der Ausgangspunkt für die Fourier-Transformation (Abschnitt 3). Zuvor stellen wir aber noch Beispiele zu Fourier-Reihen zusammen. 2. Beispiele von Fourier-Reihen Beispiel 1:

1x1für|x|)x(f ≤<−= 2-periodisch fortgesetzt (d. h. T = 2L = 2, also L = 1)

Der Gleichanteil ist erkennbar 5,0A 2

12

a0

0 === .

Da f eine gerade Funktion ist, sind nur noch die 1kfürAa kk ≥= zu berechnen (mit 2*):

{ [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π−π⋅=π⋅⋅=π⋅= ∫∫∫ ππ

′−

1

0k11

0k1

partiell

v

1

0 u

Symmetrie1

1k dx)xksin()xksin(x2dx)xkcos(x2dx)xkcos(|x|a

43421

[ ]( ) ( )...,5,3,1kfür...,6,4,2kfür0

1)1()xkcos(0222

2222

k4

kk

210k

1

==

⎩⎨⎧−

=−−=π+=π

ππ

Als Ergebnis hat man die Fourier-Reihe

...)x5cos()x3cos()xcos(5,0)x(f 222 254

944 −π−π−π−=

πππ

Das folgende Bild zeigt, wie gut bereits zwei oder drei Summanden dieser Reihe die vorgelegte Funktion (Zackenlinie, auch „Dreieckskurve“ genannt) annähern.

Beispiel 2:

π<<π==

<<π−

⎪⎩

⎪⎨

⎧−=

x0fürxoder0xfür0xfür

101

)x(f 2 π -periodisch fortgesetzt („Rechteckkurve“)

f ist ungerade 0a k =⇒ für alle k. Somit sind noch die kb zu berechnen (mit 1*):

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +π−

π=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

π=

π=

π=

πππ

π−∫∫ k

1)kcos(k12)kxcos(

k12dx)kxsin(2dx)kxsin()x(f1b

00

Symmetrie

.Fktgerade

k 43421

( ).geradekfür

ungeradekfür0

)1(1k2 k

4k

⎩⎨⎧

=−−π

= π

Die Reihenentwicklung lautet also

( )x)1n2(sin...)x5sin()x3sin()xsin()x(f0n

1n214

54

344 +=+++= ∑

∞

=+ππππ .

Auch hier zeigt das Schaubild gut die rasche Konvergenz der Reihe gegen die Rechteckkurve (siehe nächste Seite). Falls f unstetig ist, wie in diesem Beispiel, so gilt allgemein der Satz, dass die Fourier-Reihe an einer Sprungstelle gegen das arithmetische Mittel aus dem linksseitigen und dem rechts-seitigen Grenzwert von f an dieser Stelle konvergiert. Da im vorliegenden Beispiel dieser Mittelwert (nämlich 0 als Mittelwert von 1 und -1) gleich dem Funktionswert an jeder Sprungstelle ist, konvergiert hier die Fourier-Reihe überall gegen f(x). Der Vollständigkeit halber geben wir für Beispiel 2 auch noch die komplexe Form an:

∫ ∫ ∫∑π

π− π−

π−−

π−

π

∞

−∞=

ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−===ω=

0

0

jkxjkx21jkx

21

k0k

xjkk dxedxedxe)x(fcund1mitec)x(f 0

= [ ] [ ]( ) ).)1(1())kcos(1(...ee kkj

jk1

0jkx

jk10jkx

jk1

21 −−−=π−==−+ ππ

π−

π−

−π

3. Übergang zur Fourier-Transformation Wir gehen jetzt zu nicht-periodischen Funktionen über, indem wir die Periodenlänge T = 2L formal gegen unendlich gehen lassen. Setzt man (4*) in (4) ein und schreibt ,kstatt 0k ωω so erhält man zunächst

tj

k

T

0

tjT1 kk edte)t(f)t(f ω

∞

−∞=

ω−∑ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= bzw. .edte)t(f)t(f tj

k

2T

2T

tjT1 kk ω

∞

−∞=−

ω−∑ ∫⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Nach Einführung von T2

k1kπ

=ω−ω=ωΔ + folgt .2Tund

21

T1

ωΔπ

=ωΔ⋅π

=

Zieht man den Faktor π21 aus der Summe heraus und schreibt ωΔ nach hinten, so entsteht

.edte)t(f)t(fk

tjtj21 kk∑ ∫

∞

−∞=

ωωΔπ

ωΔπ

−

ω−π ωΔ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

Lässt man hierin ),T.h.d(gehen0gegen ∞→ωΔ so ergibt sich

.dedte)t(f)t(f tj

)(F

tj21 ω

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ω∞

∞−

ω

∞

∞−

ω−π ∫ ∫

4434421

Der mit )(F ω bezeichnete Term ist nun die Fourier-Transformierte von f. Sie stellt für nicht-periodische Funktionen die Entsprechung zu den Fourier-Koeffizienten bei periodischen Funktionen dar. Man kann die Transformation als kontinuierliche Überlagerung harmonischer Schwingungen beschreiben und spricht auch von „spektraler Zerlegung“ der Zeitfunktion f. Durch die Transformation geht man vom Zeitbereich in den Frequenzbereich über. Die Korrespondenzschreibweise sieht man auf dem Bild in der Mitte der nächsten Seite. Da )(F ω als komplexwertige Funktion normalerweise nicht grafisch dargestellt werden kann, verwendet man ersatzweise die Schaubilder von )(F ω (Amplitudenspektrum) und

))(Farg()( ω=ωϕ (Phasenspektrum).

Die Fourier-Transformierte des oben dargestellten Rechteckimpulses (zwischen –a und a Wert 1) berechnet man wie folgt:

[ ] )a(sia2)asin()asin(j2)ee(edte)(F 2a

aj1ajaj

j1a

atj

j1tj ω⋅=ω=ω⋅=−−=−==ω ω

−ω

ωω−ω−

ω−ω

ω−∫

mit .:)x(si x)xsin(=

F ist hier (ausnahmsweise) reellwertig und kann veranschaulicht werden (Bild oben links).

Das zugehörige Amplitudenspektrum sieht man rechts daneben. Man liest daraus ab, dass alle Frequenzen beteiligt sind, aber die Schwingungen aus dem Frequenzbereich zwischen a

π− und a

π (Bereich zwischen den beiden betragsmäßig kleinsten Nullstellen) herrschen vor. Je kürzer der Impuls (je kleiner a), desto „breiter“ ist das Spektrum. 4. Beispiele, Eigenschaften und Regeln Beispiel 1: Für den „abklingenden Impuls“ 0sonst,0tfür1)t(hund0mit)t(he)t(f t ≥=>α⋅= α− errechnet man

[ ] ω+αω+αω+α−

∞

∞→ω+α

∞ω+α−ω+α

ω+α−∞

∞−

ω−α− =+⋅−=−===ω ∫∫ j1

j1R)j(

0Rj

10

t)j(j

1t)j(tjt elimedtedte)t(he)(F .

Dabei ist 22

1j

1)(Fω+α

=ω+α

=ω und ).arctan()jarg()1arg()(0

αω

=

−=ω+α−=ωϕ321

Die Schaubilder dieser beiden reellen Funktionen (also Amplituden- und Phasenspektrum) sehen für 1=α folgendermaßen aus:

Beispiel 2: Eine schöne (einfache) Fourier-Transformierte hat der Dirac-Impuls )t(δ („Diracsche Deltafunktion“, siehe 2. Semester):

Es ist ∫∞

∞−

ω−δ=ω ,dte)t()(F tj

und da nach Definition von δ gilt )0(fdt)t(f)t(und1dt)t( =δ=δ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

(Ausblendeigenschaft)

folgt .1e)(F 0j ==ω ⋅ω− Weitere Beispiele enthält die folgende kleine Tabelle.

f(t) )(F ω ,0),t(het tn >α⋅⋅ α− h s. o.

n = 0, 1, 2, … 1n)i(!n

+ω+α

0,e |t| >αα− 22

2ω+α

α

0,e2t >αα−

αω

−

απ 4

2

e

0,22t1 >αα+

||e ωα−

απ

Abschließend noch zwei Hinweise zur Fourier-Transformation:

- Die auftretenden uneigentlichen Integrale von ∞∞− bis sind als Cauchysche Hauptwerte zu verstehen, d. h. obere und untere Grenze gehen nicht unabhängig voneinander gegen ∞

(bzw. ∞− ), sondern gekoppelt als ∫−

∞→

R

RR

...lim .

- Wenn f Symmetrien aufweist, kann man sich die Arbeit bei der Berechnung von F wieder erleichtern. Es gilt

f gerade ∫∞

ω=ω⇒0

,dt)tcos()t(f2)(F f ungerade .dt)tsin()t(fj2)(F0∫∞

ω−=ω⇒

Dies ergibt sich unmittelbar, wenn man in der Definition der Fourier-Transformierten tje ω− durch )tsin(j)tcos( ω−ω ersetzt und beachtet, dass bei geradem f das Produkt )tsin()t(f ω ungerade ist und bei ungeradem f das Produkt )tcos()t(f ω ungerade ist. Damit sind wir bei den Eigenschaften und Regeln der Transformation angekommen: - Die Fourier-Transformation ist linear: Konstante Faktoren bleiben erhalten, Summen sind summandenweise zu transformieren. - Wird f durch einen Faktor ate− gedämpft, so lässt sich dieser Faktor zusammenfassen mit tje ω− zu .e t)aj( +ω− - Bei Zeitverschiebung, d. h. Ersetzung von t durch ,tt 0− kommt ein zusätzlicher Faktor 0tje ω− hinzu. - Bei stetiger Differenzierbarkeit ist die Transformierte der Ableitung f ′ das ωj -fache der Transformierten von f (wie man mit partieller Integration zeigen kann). - Die Transformierte des Faltungsprodukts 21 ff ∗ ist das gewöhnliche Produkt der

Transformierten 21 FF ⋅ ( mit ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ττ⋅τ−=ττ−⋅τ=∗ d)(f)t(fd)t(f)(f)t(f)t(f 212121 ).

Da bei den weiteren Transformationen (Laplace, Z) ähnliche Regeln gelten, sind die Formeln für alle drei Transformationen übersichtlich in einer Tabelle in Kapitel IV dargestellt.

Aufgaben zu Fourier-Reihen und -Transformationen

1) Bestimmen Sie die Fourier-Reihe der “Sägezahnkurve” mit der Darstellung π≤<π−= xfürx)x(f 2 π -periodisch fortgesetzt.

2) Die Funktion f sei auf (0,2] definiert durch 2

x1)x(f −= und werde 2-periodisch fortgesetzt.

Bestimmen Sie die Fourier-Reihe von f in reeller und in komplexer Schreibweise. 3) Berechnen Sie die Fourier-Transformierte )(F ω zu )t(het)t(f t ⋅⋅= α− mit .0>α (h ist hierbei die Heaviside-Sprungfunktion, siehe Vorlesung.) Lösungen 1) 0a k = für alle k, da f ungerade Funktion ist.

∫π

+π ⋅−=−⋅−=π−=⋅=

0k21kk

k2

k2

partiell2

k )1()1()kcos(dx)kxsin(xb .

...)x3sin()x2sin()xsin(2)kxsin()1()x(f 32

1kk21k +−+−=⋅−= ∑

∞

=

+ für .)1n2(x π+≠

An den Sprungstellen π+= )1n2(x konvergiert die Reihe gegen .02 =π+π−

2) 2L = 2 ⇒ L = 1. 0a k = für alle k, π− ==π= ∫ k

12

02x1

k dx)xksin(b K (mit partieller Integration),

...)x2sin()xsin()xksin()x(f 211

1kk11 +π+π=π= ππ

∞

=π ∑ für x ∈≠ n,n2 Z,

an den Unstetigkeitsstellen x = 2n von f konvergiert die Reihe gegen 0.

Komplex: ππ−− === ∫ jk2

1partiell

xjk2

02x1

21

k ...dxec für k ≠ 0, 0c0 = , xjk

0kk

jk21 e)x(f π

∞

≠−∞=

π∑=

3)

{∞ω+α−ω+α−

∞∞ω+α−

∞

′

ω+α−

ω+α−ω+α=

ω+α−−

ω+α−⋅=⋅=ω ∫∫ 0

t)j(t)j(

00

t)j(

0 v

t)j(

u

]e)j(

1[j

1dte)j(

1]e)j(

1t[dtet)(F 43421

= 2)j(1

ω+α

Kapitel III: Laplace-Transformation 1. Definition und Beispiele Nehmen wir bei der Fourier-Transformierten zwei kleine Veränderungen vor, dann sind wir schon bei der Laplace-Transformierten: 1. Wir betrachten alle Funktionen f erst ab t = 0 und setzen f(t) = 0 für t < 0 voraus. Die untere Integralgrenze ist dadurch stets 0.

2. Wir führen einen zusätzlichen Dämpfungsfaktor te α− unter dem Integral ein. Aus dem Integrand tje)t(f ω− wird dann .e)t(f t)j( ω+α−

Setzt man noch ,js ω+α= so entsteht

∫∞

−=0

stdte)t(f)s(F

als Laplace-Transformierte von f.

In der Korrespondenzschreibweise sieht dies so aus: =•− )s(F)t(f o L{f(t)}. Beispiel 1:

0tfür0tfür

01

)t(h)t(f<≥

⎩⎨⎧

== Heavisidesche Sprungfunktion.

Hier ergibt sich s1elim

s1e

s1dte1)s(F sR

R0

st

0

st +⋅−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⋅= −

∞→

∞−

∞−∫ .

Nun ist ,eeee RjRR)j(sR ω−α−ω+α−− ⋅== wobei der zweite Faktor vom Betrag 1 ist und der erste Faktor für ∞→R gegen 0 geht, falls α > 0 ist.

Es gilt also 0elim sR

R=−

∞→für Re(s) > 0 und damit wird

s1)s(F = für Re(s) > 0.

Der Zusatz „für Re(s) > 0“ wird im Folgenden meist weggelassen. Beispiel 2:

)t(ht)t(f ⋅= , also f(t) = t nur ab t = 0 betrachtet. Analog zu Beispiel 1 berechnet man

2

partiell

0

st

s1...dtet)s(F ==⋅= ∫

∞− für Re(s) > 0.

Das Skript von Prof. Blessing zur Vorlesung „Signale und Systeme“ enthält Tabellen zur Laplace-Transformation auf den Seiten 21 und 62. 2. Eigenschaften und Regeln Wie bei Fourier gibt es auch bei Laplace die Formeln zur Linearität, zur Dämpfung, zur Zeitverschiebung, zur Differentiation und zur Faltung. Sie sind tabellarisch in Kapitel IV zu finden.

Aufgaben zur Laplace-Transformation

1) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der folgenden Zeitfunktionen:

a) )2t(h)2t(5)t(f)c)t(het)t(f)b)t(h)3t5t2()t(f 2t2223 −⋅−=⋅⋅=⋅+−= − 2) Bestimmen Sie die Originalfunktionen f(t) zu den folgenden Bildfunktionen (Rücktrafo):

a) s222 e)s(F)c

5s2s1s)s(F)b

1s8s3)s(F −=

+++

=++

=

3) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten der durch die folgenden Skizzen dargestellten Funktionen: a) Rechteckimpuls b) Rampe c) 2-periodische Fortsetzung der Funktion f aus Teil a

⎩⎨⎧ ≤≤

=sonst0

1t0für1)t(f

⎩⎨⎧

≥≤≤

=1tfür1

1t0fürt)t(f

4) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen mit Laplace:

a) )t(hy2y =+& mit y(0) = 3 b) )1t(hy2y −=+& mit y(0) = 3 Lösungen

1a) 3

s2s2

334

3

34 se10e

s25)c

)2s(2)b

ss3s1012

s13

s25

s62

−− =⋅⋅

++−

=⋅+⋅−⋅

2a) )2t()c)2)1s(

1s)s(Fmit()t(h)t2cos(e)b)t(h))tsin(8)tcos(3( 22t −δ

+++

=⋅⋅⋅+ −

3a) )e1(s

e1)cse1)b

se1

s2

s

2

ss

−

−−−

−⋅−−− (Herleitung: Bildet man f(t) – f(t-2), so entsteht die

Funktion )t(f1 aus Teil a. Daher gilt se1)s(Fe)s(F

ss2

−− −

=⋅− bzw. se1)e1)(s(F

ss2

−− −

=− .)

4a) )1t(he5,0)1t(h5,0)t(he3y)b)t(h)5,0e5,2(y )1t(2t2t2 −−−+=⋅+= −−−−

zu b): sPBZ

s e)2s

15,0s15,0(

2s3e

)2s(s1

2s3Y −− ⋅

+⋅−⋅+

+=

++

+= .

Der Faktor se− bedeutet Zeitverschiebung: t-1 statt t.

Weitere Aufgaben mit Laplace 1) Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der durch folgende Skizze gegebenen Zeitfunktion u(t).

Das Bogenstück zwischen t = 2 und t = 4 sei dabei Teil einer Parabel mit Scheitel (2/0). 2) In einem System mit Eingangsgröße u und Ausgangsgröße y gelte die Differential-

gleichung )t(u3)t(y2)t(y2)t(y =++ &&& (mit verschwindenden Anfangsbedingungen). Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion G(s) und die Gewichtsfunktion g(t). 3) Gegeben ist die Eingangsgröße u(t) = h(t) + 2 h(t-1) und die s-Übertragungsfunktion

1s

2)s(G+

= . Skizzieren Sie den Verlauf von u(t). Bestimmen Sie mittels Faltung die

Ausgangsgröße y(t). Lösungen 1) Zunächst wird die Zeitfunktion mittels Heavisidescher Sprungfunktionen beschrieben. Die Öffnung der beteiligten Parabel ist offenbar 1, d. h. der Bogen ist Teil einer Normal- parabel, da bei Zunahme des t-Werts um 2 (vom Scheitel ausgehend) der y-Wert 4 beträgt. Damit ergibt sich ).4t(h4)4t(h)2t()2t(h)2t()t(u 22 −+−⋅−−−⋅−= Durch den zweiten Term in dieser Summe wird die Fortsetzung der Parabel 2)2t( − ab t = 4 „abgezogen“, d. h. die Funktionswerte werden auf 0 gesetzt. Der dritte Summand bringt dann die Werte vom Nullniveau ausgehend auf die Höhe 4. Beim Transformieren macht nun der zweite Summand noch Schwierigkeiten, da der Verschiebungsanteil im Parabelterm verschieden ist vom Verschiebungsanteil im h-Faktor: 4tund2t −− treten zusammen auf. Der Term 2)2t( − muss daher so umgeformt werden, dass der „Baustein“ )4t( − darin vorkommt. Es ist ,4)4t(4)4t(12t4)4t(4t4t)2t(

16t4

2

16t8t

222

2

+−+−=−+−=+−=−−+−321321

also ( ) )4t(h4)4t(h4)4t(4)4t()2t(h)2t()t(u 22 −+−⋅+−+−−−⋅−= )4t(h)4t(4)4t(h)4t()2t(h)2t( 22 −⋅−−−⋅−−−⋅−= .

Als Transformierte erhält man somit unter Verwendung des Tabelleneintrags für h(t) sowie )t(ht 2 ⋅ und mit der Regel für die Zeitverschiebung

).se2e1(es2e

s14e

s2e

s2)s(U s2s2s2

3s4

2s4

3s2

3−−−−−− −−⋅=⋅⋅−⋅−⋅=

2) Transformation liefert ,U3Y2Ys2Ys2 =+⋅+⋅ und somit ist die Übertragungsfunktion

,2s2s

3)s(G 2 ++= und aus der Tabelle (Blessing S.21 oder 62) entnimmt man

)tsin(e3)t(g t−= h(t).

3) ∫ ∫ ττ−−+τ−⋅=ττ−⋅τ=⋅= τ−−t

0

t

0

t d))1t(h2)t(h(e2d)t(u)(g)t(y),t(he2)t(g

∫ ∫∫ ∫ τ+τ=ττ−−+ττ−=−

τ−τ−

−≤τ=

τ−

≤τ=

τ−t

0

1t

0

t

0

t

0 1tfür1tfür1

de4de2d)1t(he4d)t(he243421321

= )1t(h)e1(4)t(h)e1(2 )1t(t −⋅−+⋅− −−− Skizze u(t)

Kapitel IV: z-Transformation 1. Definition, Zusammenhang mit Laplace Fourier- und Laplace-Transformation sind auf kontinuierlich verlaufende Zeitfunktionen anwendbar, nicht jedoch auf zeitdiskrete Systeme, wo die Funktionswerte nur für einzelne – eben diskrete – Zeitwerte vorhanden sind. Gerade dieser diskrete Fall entspricht aber den Gegebenheiten bei der Verwendung von Digitalrechnern. Um eine zeitveränderliche Größe mit dem Rechner verarbeiten zu können, werden die Werte zu den Zeitpunkten ...,T2t,Tt,0t AA === abgetastet ( AT = Abtastzeit), erfasst und weiterverarbeitet. Aus einer kontinuierlichen Zeitfunktion f(t) entsteht so eine Zahlenfolge .uswf)T2(f,f)T(f,f)0(f 2A1A0 === Wie kann man nun dieser Zahlenfolge – also den Abtastwerten – eine „Transformierte“, vergleichbar der Laplace-Transformierten einer kontinuierlichen Funktion, zuordnen? Um diese Frage sinnvoll beantworten zu können, überlegen wir zunächst, wie die Verar-beitung der Zahlenfolge in einem Rechner erfolgen wird. Ein bestimmter Abtastwert bleibt logischerweise so lange im (Arbeits-)Speicher, bis der nächste Wert eingelesen wird, also über eine Abtastperiode AT hinweg. Diese Erkenntnis legt folgende Vorgehensweise nahe: Wir machen aus den diskreten Werten wieder eine kontinuierliche Funktion, indem wir eine Treppenfunktion )t(f konstruieren, die jeweils über ein Intervall der Länge AT hinweg konstant ist (mit den Werten ...,f,f,f 210 ). siehe Extrablatt oder Skript Signale und Systeme S. 58 f lässt sich nun Laplace-transformieren. Hierzu beschreiben wir die Treppenfunktion zunächst mithilfe von Sprungfunktionen:

( )∑∞

=

+−−−⋅=+−−−⋅+−−⋅=0k

AAkAA1A0 )T)1k(t(h)kTt(hf...))T2t(h)Tt(h(f))Tt(h)t(h(f)t(f

Nach der Laplace-Transformation wird daraus

( )∑∞

=

+−−−−− ⋅−⋅⋅=+⋅−⋅⋅+⋅−⋅=0k

sT)1k(s1skT

s1

ksT2

s1sT

s1

1sT

s1

s1

0AAAAA eef...)ee(f)e(f)s(F

)e1(ef...)e1(ef)e1(f sTskT

0ks1

ksTsT

s1

1sT

s1

0AAAAA −−

∞

=

−−− −⋅⋅⋅=+−⋅⋅⋅+−⋅⋅= ∑

( ) ∑∞

=

−−

−− ⋅−

=++⋅−⋅=0k

skTk

sTsT

10sT

s1 a

AAA ef

se1...eff)e1(

Der aus der Summe ausgeklammerte Faktor sTs1

s1

se1 A

sAT e−− ⋅−=− rührt daher, dass die Werte

über den Zeitraum AT hinweg „gehalten“ werden, er selbst ist ja die Laplace-Transformierte von ),Tt(h)t(h A−− also vom während der Zeit AT gehaltenen Wert 1. Er stellt also die Übertragungsfunktion eines „Halteglieds“ dar. Lässt man diesen Faktor weg, so bleibt

.ef)s(F0k

skTk

* A∑∞

=

−=

Verwendet man dabei abkürzend den Buchstaben z für die komplexe Zahl ,e sTA dann ist die z-Transformierte der (Abtast-)Folge )f( k fertig:

∑∞

=

−=0k

kkz zf)z(F .

Der Index z bei F dient nur zur Unterscheidung dieser Funktion von der Laplace-Transformierten.

Abschließend kann man noch fragen, welche Zeitfunktion zu der Funktion *F , die durch Weglassen des Halteglieds aus F entstanden ist, gehört. Wegen L{ } skT

AAe)kTt( −=−δ ergibt sich die Originalfunktion

,...)Tt(f)t(f)kTt(f)t(f A100k

Ak* +−δ+δ=−δ= ∑

∞

=

also eine Folge von δ -Impulsen! 2. Beispiele Beispiel 1: Als Abtastfolge sei die konstante Folge 1, 1, 1, 1, … gegeben, die z. B. durch Abtastung von h(t) entstanden sein kann. Dann gilt

...zz1z1)z(F 21

0k

kz +++=⋅= −−

∞

=

−∑

Mit der Summenformel für geometrische Reihen 1qfür...qq1 q112 <=+++ − erhält man

.1z.h.d,1zfür1z

zz1

1)z(F 1Erweitern

zmit1z ><−

=−

= −−

Beispiel 2:

Gegeben sei ( ) ( )...,1,1,1,1,1,1fk −−−= .

Wir berechnen ,1z

zz1

1)z(1

1...zzzzz1)z(F 1154321

z +=

+=

−−=−+−+−+−= −−

−−−−−

wobei wir wieder die Summenformel für geometrische Reihen verwendet haben. Die gegebene Folge kann z. B. durch Abtastung von )tcos()t(f = mit Abtastzeit π=AT oder von 1Tmit)tcos()t(f A =π= entstanden sein. Eine andere Möglichkeit wäre ein Schaubild der folgenden Art:

Die Beschreibung einer Periode lautet hier: ).2t(h)t23()1t(h)1t(4)t(h)t21()t(f1 −⋅−+−⋅−+⋅−=

Beispiel 3:

Gegeben sei ( ) ( ) periodisch4k ,...2,3,2,1,2,3,2,1f −= . Wir berechnen ...z2z3z2zz2z3z21)z(F 7654321

z ++++++++= −−−−−−−

( ) 432284322

z11)z2z3z21(...zz1)z2z3z21( −

−−−−−−−−

−⋅+++=+++⋅+++=

)1z)(1z(

)2z3z2z(z1z

z2z3z2z22

23

4

234

zmitErweitern 4 +−+++

=−

+++=

-1 ist sowohl Nennernullstelle als auch Zählernullstelle, daher kann noch mit Faktor z +1 gekürzt werden. Als Ergebnis erhält man schließlich

.)1z)(1z()2zz(z)z(F 2

2

z +−++

=

3. Eigenschaften und Regeln Die Zusammenstellung der Regeln erfolgt in einer Übersicht zusammen mit den anderen Transformationen. Zusammenstellung der Eigenschaften und Regeln für Fourier-, Laplace- und z-Transformation

FOURIER

LAPLACE

Z

Linearität

F { } α=β+α 21 ff F{ 1f }+ β F{ 2f }

wie Fourier

wie Fourier

Dämpfung

F { }=⋅ −ate)t(f )aj(F +ω

L { }=⋅ −ate)t(f )as(F +

Z { }=⋅ −ate)t(f )ze(F AaT

z bzw. für Folgen ( ) •−− oAakT

kef )ze(F AaTz

Zeitverschiebung ( )0m,0t 0 ≥≥

F { })tt(f 0− = F { } 0tje)t(f ω−⋅

L { })tt(f 0− =L { } st0e)t(f −⋅

Z { } )z(Fz)mTt(f z

mA

−=−

bzw. ( ) )z(Fzf zm

mk−

− •−o

Differentiation

F { } ⋅ω= n)n( )j()t(f F{f(t)} falls f n-mal stetig differenzierbar

L { } s)t(f =′ L{f(t)} )0(f−

L { } n)n( s)t(f = L{ } )0(fs)t(f 1n−−

)0(f )1n( −−−K

für die Bildfunktion ( ) )z(Fzfk zk

′−•−⋅ o

Faltung

F { } )j(F)j(F)t(f)t(f 2121 ω⋅ω=∗

L { } )s(F)s(F)t(f)t(f 2121 ⋅=∗

Z { } )z(F)z(F)t(f)t(f 21

*21 ⋅=∗

falls eine der Funktionen eine δ -Impulsfolge ist, bzw. für Folgen uneingeschränkt ( ) ( ) )z(F)z(Fff z2z1k2k1 •−∗ o

Bemerkung zur Fourier-Spalte in obiger Zusammenstellung: Statt )(F ω wird in Anlehnung an „Signale und Systeme“ )j(F ω geschrieben.

Aufgaben zur z-Transformation

1) Berechnen Sie die z-Transformierte von )t(h)tsin(t)t(f ⋅⋅= zur Abtastzeit AT mit Hilfe der Eulerschen Formel unter Verwendung der Linearitätseigenschaft. 2) Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...),,0,0,1,1,0,0,1,1()f( k = d. h. .0kfürff,0ff,1ff k4k3210 ≥===== + (Ergebnis mit positiven Hochzahlen bei z und vollständig gekürzt) 3) Stellen Sie die Folge aus Aufgabe 2 als Abtastfolge einer Zeitfunktion wie folgt dar: a) f(t) soll ein periodischer Rechteckimpuls sein, b) f(t) soll eine Schwingung der Form b)tsin(a)t(f +ϕ+ω⋅= sein. Stellen Sie f(t) jeweils explizit dar und geben Sie die zugehörigen Abtastzeiten an. Bestimmen Sie die z-Transformierten der Funktionen f(t) und vergleichen Sie diese mit dem Ergebnis von Aufgabe 2. 4) Falten Sie die Folge ...),0,1,2,1,0,1,2,1,0()x( k = , d. h. 1x k = für k ungerade, 0x k = für durch 4 teilbare k und 2x k = sonst (siehe Vorlesungsbeispiel), mit der Folge ))1k(2()y( k += = (2, 4, 6, 8, 10, …). 5) Bestimmen Sie die z-Transformierte zF des Faltungsprodukts aus Aufgabe 4. Berechnen Sie die Rücktransformation von zF mit der Ansatzmethode. 6) Ein System mit Eingangsgröße u(t) und Ausgang y(t) genüge der Gleichung uuyy −=+ && . Das System soll mit Abtastzeit AT = 1 auf einem Digitalrechner simuliert werden. a) Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion sG mit y(t) = u(t) = 0 für 0t ≤ . b) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion zG . c) Bestimmen Sie die zugehörige Differenzengleichung. Lösungen 1) Euler-Formel: )tsin(j)tcos(e.bzw)tsin(j)tcos(e jtjt −=+= − )ee()tsin( jtjt

j21

Differenz

−−=⇒

Also ))t(het)t(het()t(h)tsin(t jtjtj2

1 −⋅−⋅=⋅⋅ . Mit den Tabellenangaben zu )t(het at⋅

erhält man schließlich die z-Transformierte 2A

2A

2A

z )1)Tcos(z2z()Tsin()1z(zT)z(F

+−⋅−

= .

Genauer: 2A

2

2jTjT2jTjTA

2jT

jTA

2jT

jTA

z )1)Tcos(z2z()ez(e)ez(e

j2zT

)ez(zeT

)ez(zeT

j21)z(F

AAAA

A

A

A

A

+−−−−

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

−=

−−

−

−

2A

2A

2AA

2A

2

jTjT2AA

)1)Tcos(z2z()Tsin(j2z)Tsin(j2

j2zT

)1)Tcos(z2z(ez2ez2z)Tsin(j2

j2zT AA

+−−

⋅=+−

−++−⋅=

−

Kürzen mit 2j und Zusammenfassen liefert obiges Ergebnis. 2) ......)zz1)(z1(...)z1(z)z1(zz1...)z(F 84118141

z =++++=++++++== −−−−−−−−

= )1z)(1z(

z)1z)(1z)(1z(

)1z(z1zzz

z1z1

2

3

Kürzen2

3

4

34

zmit.Erw4

1

4 −+=

+−++

=−

+=

−+

−

−

oder mit Verschiebungssatz 3a) z. B. ...)6t(h)4t(h)2t(h)t(h)t(f +−−−+−−= Abtastzeit 1

Für die z-Transformierte gilt die Gleichung ).z(Fz)z(F1z

zz1z

zz

4z

2 −− −=−

−−

Auflösen nach )z(Fz ergibt dasselbe Ergebnis wie in 2). b) z. B. 2

142

2 )tsin()t(f ++= π , Abtastzeit 2π (oder 2

1422

2 )tsin()t(f ++= ππ , Abtastzeit 1)

Dabei ist ))tcos()t(sin()sin()tcos()cos()tsin()tsin( 22

444 +=⋅+⋅=+ πππ (Additionsformel), also )1)tcos()t(sin()t(f 2

1 ++= . Z-Transformation:

)1z

z1)cos(z2z

))cos(z(z1)cos(z2z

)sin(z()z(F2

22

22

221

z −+

+−−

++−

⋅=

π

π

π

π

)1z)(1z(z2

)1z)(1z()1z(z)1z(z

)1z)(1z()1z(z)1z)(1z(z)

1zz

1zzz( 2

3

21

2

22

21

2

2

21

2

2

21

−+⋅=

−+++−

⋅=−+

++−+⋅=

−+

++

=

und man erhält wieder dasselbe Ergebnis wie in 2)! 4) Faltungsprodukt (0, 2, 8, 16, 24, 34, 48, 64, 80, 98, …)

5) 32

3

2

2

2z2z1z )1z)(1z()1z(z2

)1z(z2

)1z)(1z()1z(z)z(F)z(F)z(F

−++

=−

⋅⋅−+

+=⋅=

Setze 1zv −= . F(v) = … = ...vavaa)v1)(v1(

v2v2 221032

2

+++=−+

+

Multiplikation mit dem Nenner und Koeffizientenvergleich liefert 8a,2a,0a 210 === ,… 6a) 1s

1ss1s

1s )s(G)s(U)s(YUsUYsY +−

+− =⇒⋅=⇒−=+

b) 11

11

1

11

z ze1z)2e(1

ez2ez...)

)1s(s1s(Z~)z1()z(G −−

−−

−

−−

−−+

=−

−+==

+−

⋅−=

c) 1k1

k1k1

kz11

11

z u)2e(uyey)z(Uze1

z)2e(1)z(Y −−

−−

−−

−−

−+=−⇒−

−+=

Weitere Aufgaben zur z-Transformation 1) Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...),,1,1,1,2,3,2,1()f( k = d. h. ,4kfür1f,2f,3f,2f,1f k3210 ≥===== direkt mit der Definition der z-Transformierten. (Ergebnis mit positiven Hochzahlen bei z und vollständig gekürzt) 2) Stellen Sie die Folge aus Aufgabe 1 als Abtastfolge einer Zeitfunktion f(t) dar. Geben Sie die zugehörige Abtastzeit an. 3) Bestimmen Sie die z-Transformierte von )4t(h)4t()2t(h)2t(2)t(ht −⋅−+−⋅−−⋅ mit Hilfe der Tabelle und der Regeln und Eigenschaften für die z-Transformation. 4) Falten Sie die Folge ( )kf aus Aufgabe 1 mit der Folge ( ) ( )...,2,1,2,1,2,1g k = , d. h. ...,2,1,0kfürgg,2g,1g k2k10 ==== + , a) direkt (nach dem Rechenschema für die Faltung von Folgen), b) über den Umweg der z-Transformierten von ( ) ( )kk gundf . Es genügt, im Teil a) 7 Folgenglieder und im Teil b) 5 Folgenglieder zu berechnen. 5) Ein System mit Eingangsgröße u(t) und Ausgang y(t) genüge der Gleichung ).t(u3)t(u2)t(y π−+= && .

Das System soll mit Abtastzeit AT = 4π auf einem Digitalrechner simuliert werden.

a) Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion sG mit y(t) = u(t) = 0 für 0t ≤ . b) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion zG . c) Bestimmen Sie die zugehörige Differenzengleichung. Lösungen 1) ...)z1(zz2z3z21...zzz2z3z21)z(F 1432154321

z ++++++=++++++= −−−−−−−−−−

343

23

14321

zz1

z2z3z2z

z11zz2z3z21

−+

+++=

−⋅++++= −

−−−−

)1z(z

12z3z2zz2z3z2z)1z(z

1)1z)(2z3z2z(3

23234

3

23

−+−−−−+++

=−

+−+++=

)1z(z

1zzzz3

234

−−−++

=

2) Skizze! z. B. Abtastzeit 1, linearer Anstieg von Wert 1 auf Wert 3, dann linear fallend bis Wert 1, dann konstant Wert 1: )4t(h)4t()2t(h)2t(2)t(ht)t(h)t(f −⋅−+−⋅−⋅−⋅+= z. B. Abtastzeit ,2

π Sinuswelle + konstanter Auslauf: )2t(h)2t(h)2)t(sin()t(h)2)t(sin()t(f 22 π−+π−⋅+−−⋅+−= ππ )2t(h))tcos(1()t(h))tcos(2( π−⋅−−⋅−= , beachte: )tcos()2tcos(),tcos()tsin(),tcos()tsin( 22 =π−−=−=− ππ

3) 23

24

A2

31

A2A4

2A2

2A

z )1z(z1z2zT

)1z(zz2zT

)1z(zTz

)1z(zTz2

)1z(zT)z(F

−+−

⋅=−

+−⋅=

−⋅+

−⋅⋅−

−=

−−−−

22223

2

Akürzen23

22

A )1z()1z()1z(da,z

)1z(T)1z(z)1z(T +−=−

+⋅=

−−

⋅=

Bemerkung: Addiert man zu der hier gegebenen Zeitfunktion noch h(t), also 1zz− auf der

Ebene der z-Transformierten, so erhält man die in Aufgabe 1 und 2 zugrunde liegende Fkt. für .1TA = 4a) f | 1 2 3 2 1 1 1 …. g | 1 2 1 2 1 2 1 …. *| 1 4 8 12 13 15 16 … b) z-Transformierte von g:

2121321

z z11)z21(...)z1)(z21(...z2zz21)z(G −

−−−−−−

−⋅+=+++=++++= .

z-Transformierte von f, mit negativen Hochzahlen (Ergebnis von Aufg.1 gekürzt mit 4z ):

1

4321

z z1zzzz1)z(F −

−−−−

−−−++

= .

Setzt man nun vz 1 =− und bildet das Produkt, so entsteht

32

5432

.ausmult2

432

vvv1v2v3vv3v31...

v1v21

v1vvvv1)v(GF

+−−−−+++

==−+

⋅−

−−++=⋅

Dieser Term soll die z-Transformierte einer Folge ,...a,a 10 sein, also lautet der Ansatz:

32

5432

vvv1v2v3vv3v31

+−−−−+++ = ...vavavavaa 4

43

32

210 +++++ (5 Folgenglieder verlangt) Multiplikation mit dem Nenner, ordnen nach Potenzen von v und Koeffizientenvergleich liefert ,8aalso,3aaa,4aalso,3aa,1a 20121010 ==−−==−= .13aalso,3aaaa,12aalso,1aaaa 4123430123 =−=+−−==+−−

5a) sY = 2sU+3Us

e32)s(GU)s

e32(Yes

s

ss

π−π−π− ⋅+=⇒⋅+=⇒

b) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅+⋅−= π−− s

21

z es3

s2Z~)z1()z(G mit AT4=π

)z)1z(

zT31z

z2)(z1( 42A

1 −− ⋅−

⋅+−

⋅−=

1

5A

1

1

5

A

4

A2

3

A z1zT3z22

z1zT32

1zzT32)

)1z(zT3

1zz2(

z1z

−

−−

−

−−−

−+−

=−

⋅+=−

⋅+=−

⋅+−

−=

c) Nach b ist U)zT3z22(Y)z1( 5A

11 −−− +−=− , und daraus ergibt sich die Differenzengleichung 4A5kA1kk1kk TmituT3u2u2yy π

−−− =+−=− .

Kapitel V: Systeme von Differentialgleichngen Lineare Bauart xAx r&r ⋅= (homogen) oder uxAx rr&r +⋅= (inhomogen) Verschiedene Lösungsverfahren: a) klassische Methode Zurückführen auf eine Differentialgleichung einer Funktion durch weiteres Differenzieren, Gleichungen ineinander einsetzen b) mittels Laplace-Transformation Transformation des gegebenen Gleichungssystems, Bestimmung der Laplace- Transformierten der gesuchten Funktionen, Rücktransformation c) unter Verwendung der Matrix Ate Diese Matrix kann über die Eigenwerte und Eigenvektoren von A oder mit der Formel { }11At )AsE(Le −− −= bestimmt werden. Vorgehensweise bei der Bestimmung von Ate mit Eigenwerten und Eigenvektoren A sei eine Matrix vom Typ (n,n).

• Löse die Gleichung 0EA =λ− . Man erhält so die Eigenwerte ....,, n1 λλ

• Löse für jeden Eigenwert kλ das lineare Gleichungssystem ,0v)EA( k

rr=λ− es ergeben

sich die Eigenvektoren. • Wähle eine Basis aus n linear unabhängigen Eigenvektoren (falls möglich) und bestücke damit spaltenweise die Matrix T.

• Berechne die inverse Matrix 1T − und bilde das Produkt At1

t

t

eTe0

0eT

n

1

=⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅ −

λ

λ

L

MOM

L

.

Die Lösung des Differentialgleichungssystems xAx r&r ⋅= ist dann 0

At xex rr⋅= mit ).0(xx 0

rr=

Warum funktioniert das Verfahren mit Ate wie beschrieben? Betrachten wir zunächst den Fall einer gesuchten Funktion x(t) mit der Dgl. xax ⋅=& (statt xAx r&r ⋅= , mit einer gegebenen reellen Zahl a).

Die Lösung ist bekanntlich atec)t(x ⋅= mit c = x(0) = ,x 0 also 0at xex ⋅= (*)

(Man erhält diese Lösung durch Trennung der Variablen aus xadtdx

= oder über eine

Laplace-Transformation → Übungsaufgabe )

Jetzt übertragen wir das Ergebnis (*) formal auf den Fall von mehreren gesuchten Funktionen )t(x,...),t(x),t(x n21 , die als xr zusammengefasst werden: 0

At xex rr⋅=

lautet demnach die Lösung von xAx r&r ⋅= mit einer (n,n)-Matrix A.

Dabei kann der Ausdruck Ate analog zu xe durch eine Reihenentwicklung erklärt werden:

∑∞

=

=0k

kx

!kxe ( siehe Potenzreihen, Taylorreihen ),

also ∑∑∞

=

∞

=

==0k

kk

0k

kAt

!ktA

!k)At(e . (**)

Hierin kommen die Potenzen der Matrix A mit EA0 = (Einheitsmatrix), AAA,AA 21 ⋅== usw. vor. Einen Term für kA bei gegebener Matrix A zu finden, ist im Allgemeinen schwierig. Einfach wird es, wenn A eine Diagonalmatrix ist:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

kn

k1

k

n

1

a000

000a

A

a000

000a

A

K

OOM

MOO

K

K

OOM

MOO

K

(nachprüfen!).

Ist A selbst keine Diagonalmatrix, so kann man versuchen, eine neue Basis, d. h. neue Koordinaten zu finden, so dass in der neuen Basis der durch A beschriebene Zusammenhang (d. h. die zugrunde liegende Abbildung xAx r

ar

⋅ ) Diagonalgestalt hat, also durch eine Diagonalmatrix D dargestellt wird. Aus untenstehendem Diagramm (Schema) liest man dann ab: wobei die Reihenfolge in der Anwendung von rechts nach links erfolgt: 321

rr

rx~

1 xTTDxA ⋅=⋅ − .

Schema der Koordinatentransformation

x~nKoordinateneuex~x~Dx~TTTT

xnKoordinatealtexxAx

D

11

hierA

&rrr

&rrr

=⋅

↓↑↑↓

=⋅

→

→−−

Zur Erklärung: Der Übergang zu neuen Koordinaten erfolgt durch Multiplikation mit einer Matrix T in der Form x~Tx

rr⋅= , wobei T aus den Spalten der neuen Basisvektoren besteht, wie

folgende Rechnung für den Fall n = 2 zeigt.

Mit den alten Basisvektoren ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

10

e,01

e 21rr

und den neuen ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

22

122

21

111 v

vv,

vv

v rr muss für die

alten Koordinaten x und die neuen Koordinaten x~ die Gleichung

22221211212111Ordnen

22211222211111Einsetzen22112211

e)x~vx~v(e)x~vx~v(

)evev(x~)evev(x~vx~vx~exexrr

rrrrrrrr

+++=

+++=+=+

erfüllt sein. Der Vergleich der Koeffizienten liefert 22212122121111 x~vx~vx,x~vx~vx +=+= , also

1TDTA −=

.xTx~.bzwx~Tx~x~

vvvv

xx

x 1

2

1

2221

1211

2

1 rrrr⋅=⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

Für mehr als zwei Komponenten verläuft die Rechnung natürlich genauso. Mit der Formel im Kasten auf der vorigen Seite gewinnt man jetzt eine Darstellung für kA :

( ) ( ) ( ) ,TDTTDT...TDTTDTA 1k111k −−−− =⋅⋅⋅= da das Matrizenprodukt assoziativ ist und .ETT 1 =−

Bevor wir hiermit vollends die Berechnungsformel für Ate nach (**) angeben, klären wir noch, welche Vektoren als neue Basis in Frage kommen und wie damit die Matrix D aussieht.

Da die neue Abbildungsmatrix diagonal sein soll, dürfen die neuen Basisvektoren ...,v,v 21rr bei

der Abbildung nur vervielfacht werden, es müssen also (linear unabhängige) Eigenvektoren sein! Und in der neuen Abbildungsmatrix D stehen in der Hauptdiagonalen die Faktoren, mit denen diese Vektoren multipliziert werden, also die zugehörigen Eigenwerte ...,, 21 λλ (siehe Extrablatt zum Eigenwert-Problem).

Damit sind wir nun in der Lage, die Matrix Ate gemäß (**) anzugeben:

1

kn

k1

1

0k

kk

0k 0k

k1kkkAt T

!k)t(00

00

00!k)t(

TT!ktDT

!ktTDT

!ktAe −−

∞

=

∞

=

∞

=

−

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

λ

λ

⋅=⋅⋅===

∑

∑

∑∑ ∑

K

OOM

MOO

K

.T

e000

000e

T 1

t

t

n

1

−

λ

λ

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅=

K

OOM

MOO

K

Bei der inhomogenen Aufgabenstellung uxAx rr&r +⋅= orientiert man sich ebenso am Fall n = 1 für eine Funktion x = x(t), wobei die Differentialgleichung uxax +⋅=& mit Variation der Konstanten oder mit Laplace gelöst werden kann (Übungsaufgabe). Es ergibt sich als Lösung

∫ ττ+⋅= τ−t

0

)t(a0

at d)(uexex , was wieder formal übertragen wird: ∫ ττ+⋅= τ−t

0

)t(A0

At d)(uexex rrr .

Beispiel:

Lösen Sie das folgende Differentialgleichungssystem unter Verwendung der Matrix Ate : 211 x2x2x +−=& 1)0(x,0)0(xmit)t(x),t(xfürxx2x 2121212 ==+=&

Lösung:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

10

x,1222

A 0r , homogener Fall

Lösungsweg mit Eigenwerten (EW) und Eigenvektoren (EV):

3,2064)1)(2(12

2221

2 −=λ=λ⇒=−λ+λ=−λ−λ−−=λ−

λ−−

EV zu ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=→=→−→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=λ

21

rvv2v0|1200

1224

:2 121r

EV zu ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=→−=→→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=λ

12

rvv2v0|2100

4221

:3 212r , also ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1221

T

und damit .1221

51T 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=−

Lösung ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⋅=

−

−

− 10

1221

ee2e2e

51

10

1221

51

e00e

1221

xex t3t2

t3t2

t3

t2

0At rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−−+

= −

−

−−

−−

t351t2

54

t352t2

52

t3t2t3t2

t3t2t3t2

eeee

10

ee4e2e2e2e2e4e

51 .

Tipp: Gleich die dritte Matrix mit dem nachfolgenden Spaltenvektor multiplizieren (dann erscheint aber Ate nicht in ausgeschriebener Form). Lösungsweg mit Formel { }11At )AsE(Le −− −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−− −

2s221s

)3s)(2s(1

2s221s

4)1s)(2s(1

1s22)2(s 1

(Die Faktorisierung des Nenners erhält man über die Nullstellen.) Nun müssen die Terme )3s)(2s(

2s)3s)(2s(

2)3s)(2s(

1s ,, +−+

+−+−− einzeln Laplace-rücktransformiert werden

mit Partialbruchzerlegung oder direkt mit der Tabelle, z. B. so: )e4e()ee(e t3t2

51t3t2

51t3

gsinBlesTabelle)3s)(2s(

)3(251

3s1

)3s)(2s(1

3s1

)3s)(2s(1)2s(

)3s)(2s(1s −−−

+−−−

++−++−+−

+−− +=−+→⋅+=+==

(Faktor h(t) jeweils weggelassen), ebenso erhält man die anderen Terme für die Matrix .eAt

Aufgaben zu Differentialgleichungssystemen

Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungssysteme möglichst auf drei Arten: 1.) klassisch (durch Umformen, Einsetzen, Zurückführen auf eine Dgl. höherer Ordnung) 2.) mit Laplace 3.) mit Ate und Diagonalisierung von A (d. h. Entkopplung der Gleichungen) a) (Klausur WS 2008/2009)

32

32

1

1

1

3

2

1

xxxx

xxx2

xxx

++++

−===

&

&

&

für die Funktionen )t(x),t(x),t(x 321 ,

Anfangswerte seien .4)0(x,1)0(x,1)0(x 321 ==−= b) 33

123

413

51 xxxx ++=&

334

235

134

2 xxxx +−−=& 33 x2x =& für 1)0(x,1)0(x,0)0(xmit)t(x),t(x),t(x 321321 =−== . c) 211 x2xx3 +−=& 2)0(x,)0(xmit)t(x),t(xfürxx4x3 22

1121212 =−=+=& .

d) 1xxx 211 ++=& 0)0(x,1)0(xmit)t(x),t(xfürex2x4x 2121

t212 ==+−= −& .

Lösungen

a) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1e31e2

e

)t(x)t(x)t(x

t2

t2

t2

3

2

1

b) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

t2

tt

ttt2

3

2

1

ee2e

ee2e

)t(x)t(x)t(x

c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

tt

tt21

2

1

eeee

)t(x)t(x

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−−

20e10e28e3810e5e7e38

)t(x)t(x

tt3t2

tt3t2

301

2

1

Musterklausur

1) Eine Funktion f zweier Veränderlicher x und y sei gegeben durch 2y2 e)x1()y,x(f −⋅−= .

Untersuchen Sie f auf relative Extrema. 2) Berechnen Sie den ersten (nicht-verschwindenden) Summanden der Fourier-Reihe des „gleichgerichteten Sinus“, d. h. von f(t) = |sin(t)|. 3) Bestimmen Sie die z-Transformierte der Folge ...),3,3,3,3,2,2,1,1,0()f( k = d. h. ,5kfür3f,2ff,1ff,0f k43210 ≥====== mit der Definition der z-Transformierten. (Ergebnis mit positiven Hochzahlen bei z und vollständig gekürzt) Geben Sie außerdem eine Zeitfunktion f(t) an, bei der die gegebene Folge durch Abtastung mit einer geeigneten Abtastzeit entsteht.

4) Bestimmen Sie die z-Transformierte von ∑=

=−⋅−−=5

0kA

k 1Tfür)kt(h)kt()1()t(f

mit Hilfe der Tabelle und der Regeln und Eigenschaften für die z-Transformation. 5) Falten Sie die Folge ( ) ...),0,1,0,1(x k = mit der Folge ( ) ( )...,3,2,3,2yk = , d. h. ...,2,1,0kfüryy,3y,2y,xx,0x,1x k2k10k2k10 ======= ++ , a) direkt (nach dem Rechenschema für die Faltung von Folgen), b) über den Umweg der z-Transformierten von ( ) ( )kk yundx . Es genügt, jeweils 5 Folgenglieder zu berechnen. 6) Ein System mit Eingangsgröße u(t) und Ausgang y(t) genüge der Gleichung ).Tt(u4)t(u)t(y −+= &&

Das System soll mit Abtastzeit AT = 4T auf einem Digitalrechner simuliert werden.

a) Bestimmen Sie die s-Übertragungsfunktion sG mit y(t) = u(t) = 0 für 0t ≤ . b) Bestimmen Sie die z-Übertragungsfunktion zG . c) Bestimmen Sie die zugehörige Differenzengleichung. 7) Lösen Sie das folgende Differentialgleichungssystem mit Laplace oder mit Ate : )tcos(x4x2x 211 ++=& 1)0(x,0)0(xmit)t(x),t(xfür)tsin(x2xx 2121212 ==+−−=& . Lösungen Musterklausur 1)

2yx ex2)y,x(f −⋅−= ,

2y2y e)x1(y2)y,x(f −⋅−⋅−=

222 y22

yyyxy

xyy

xx e)y21()x1(2)y,x(f),y,x(fexy4)y,x(f,e2)y,x(f −−− ⋅−⋅−−===−=

Notwendige Bedingung für Extremum: .0ff yx == Wegen 0e2y ≠− ergeben sich die

Gleichungen x = 0 und y = 0. Untersuchung der hinreichenden Bedingung:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2002

)0,0(f)0,0(f)0,0(f)0,0(f

)0,0(Hyyyx

xyxx , 0)y,x(fund0)0,0(H xx <> (H negativ definit)

⇒ f hat ein relatives Maximum bei (x,y) = (0,0).

2) [ ]π

=+π

=−π

=π

=⋅π

= πππ

π−∫∫

4)11(2)tcos(2dt)tsin(2dt)0cos(|)tsin(|1a 001

0 321

oder ∫π

π−

⋅π

=2

2

0 dt)0cos(|)tsin(|2a bei Periode L2=π .

Der erste Summand ist somit π

=2

2a 0 . Anmerkung: Im Blessing-Skript steht 0A statt .

2a 0

3) 1

543212154321

z z1z3z2z2zz...)zz1(z3z2z2zz)z(F

−

−−−−−−−−−−−−

−++++=+++⋅++++=

45

24

1

531

1

554324321

zz1zz

z1zzz

z1z3z2z2zzz2z2zz

−++

=−

++=

−+−−−−+++

=−

−−−

−

−−−−−−−−−

)1z(z1zz

4

24

−++

=

Zeitfunktion z. B.: f(t) = )5t(h)5t()4t(h)4t()3t(h)3t()2t(h)2t()1t(h)1t()t(ht −⋅−−−⋅−+−⋅−−−⋅−+−⋅−−⋅ 4) f(t) = )5t(h)5t()4t(h)4t()3t(h)3t()2t(h)2t()1t(h)1t()t(ht −⋅−−−⋅−+−⋅−−−⋅−+−⋅−−⋅ (siehe oben)

52

42

32

22

122z z

)1z(zz

)1z(zz

)1z(zz

)1z(zz

)1z(z

)1z(z)z(F −−−−− ⋅

−−⋅

−+⋅

−−⋅

−+⋅

−−

−=

24

2345

2

4321

)1z(z1zzzzz

)1z(zzzz1z

−−+−+−

=−

−+−+−=

−−−−

Polynomdivision des Zählers durch 1z − ergibt 1zz 24 ++ , man erhält also den Term aus Aufgabe 3. 5a) x | 1 0 1 0 1 0 … y | 2 3 2 3 2 3 … * | 2 3 4 6 6 …

b) 2

1211

z2242

z1 z1z32...z)z32(z32)z(F,

z11...zz1)z(F

−

−−−−

−−−

−+

=+⋅+++=−

=+++=

...vavavavaavv21

v32)v1(v32

)z1(z32)z(F)z(F 4

43

32

210Ansatz4222zv22

1

z2z1 1+++++=

+−+

=−+

=−+

=⋅−=−

−

...v)aa2a(v)a2a(v)a2a(vaav32 4024

313

20210 ++−+−+−++=+⇒

Koeff.vgl.: 0a2 = , 6aa2a0,4aa2a0,a3 3132021 =⇒−==⇒−== 6aaa2a0 4024 =⇒+−= .

6) Laplace-Trsf.: U)e4s(

eU4sUsYTs

Ts

⋅+=

⋅+=−

−

a) TsTs

s es141

se4s

UY)s(G −

−

⋅⋅+=+

==

b) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⋅−= −

s)s(G

Z~)z1()z(G s1z

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅⋅+⋅

−= −Ts

2 es14

s1Z~

z1z

A4

2A T4Tmit)z)1z(

zT4

1zz(

z1z

=⋅−

⋅+−

⋅−

= −

1z

zT41

4A

−⋅+=

−

1

5A

1

zmitKürzen

4a

z1zT4z1

1zzT41z

−

−−−

−+−

=−

+−=

c) 5kA1kk1kk5

A1

z1

zzz

z uT4uuyy)zT4z1(U)z1(Y)z(GUY

−−−−−− +−=−⇒+−=−⇒=

7) Mit Laplace: 1s

sX4X2sX 2211 +++=

1ssX4X)2s( 221 +

=−−⇒

1s

1X2X1sX 2212 ++−−=−

1s2sX)2s(X 2

2

21 ++

=++⇒

In Matrixschreibweise lautet die Lösung dieses LGS ⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+++

−

1s2s1s

s1

2

1

2

2

2

2s142s

XX

.

Es ist ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−− −

2s142s

s1

2s142s

2

1

, also folgt ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+−

+++

++−++−

+

+++

1s4ss2s

)1s(s8s2s5

1s)2s)(2s(s

1s)2s(4s)2s(

22

1

2

23

22

2

2

2

2

2

s1

XX

.

Für die beiden Terme macht man nun eine Partialbruchzerlegung:

)1s(s1sDCs

sB

sA

)1s(s8s2s5 22

2222

2

+⋅++

++=+

++

2222 s)DCs()1s(B)1s(As8s2s5 +++++=++ Koeff.vgl.: 0 = A + C )sbei( 3 5 = B + D )sbei( 2 2 = A (bei s) 8 = B Es folgt C = - 2 , D = - 3 durch Einsetzen.

Damit wird 1s

131s

s2s8

s2

1s3s2

s8

s2X 222221 +

⋅−+

⋅−+=++

−+=

und daraus folgt ( ) )t(h)tsin(3)tcos(2t82x1 ⋅−−+= .

Der Ansatz für die PBZ des zweiten Terms ist derselbe wie oben. Hierbei ergibt sich A = 1, B = -4, C = 0, D = 2, d. h.

1s

2s4

s1

1s4ss2sX 222

23

2 ++−=

+−+−

= und folglich ist ( ) )t(h)tsin(2t41x 2 ⋅+−= .

AteMit : Eigenwerte und Eigenvektoren

004)2)(2(2142

2,1

!2 =λ⇒=λ=+λ−−λ−=

λ−−−λ−

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==+⇒→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−− 1

2r

vv

sichergibtrvmit,0v2v0|2100

2142

2

1221 .

Offenbar bekommt man hier keine Basis aus Eigenvektoren (A ist „nicht diagonalisierbar“), d. h. der Rechenweg über die Eigenvektoren funktioniert hier nicht. Bleibt nur die Formel { },)AsE(Le 11At −− −=

also ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+= −

t21tt4t21

2s142s

s1Le 2

1At und damit wird ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=⋅t21

t4xe 0

At r

die Lösung des homogenen Systems. Die Lösung der inhomogenen Aufgabe erhält man mit

ττ⋅+= ∫ τ− d)(uexext

0

)t(A0

At rrr und ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

=τ)sin()cos(

)(ur wie folgt:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ−−τ+ττ−−ττ−+ττ−+τ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ττ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ−−τ−−

τ−τ−+=τ⋅τ−

)sin()t(2)sin()cos()t()sin()t(4)cos()t(2)cos(

)sin()cos(

)t(21)t()t(4)t(21

)(ueistEs )t(A r

und folglich

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

τττ−−τ+ττ−−

τττ−+ττ−+τ=ττ⋅

∫

∫∫ τ−

t

0

t

0t

0

)t(A

d)sin()t(2)sin()cos()t(

d)sin()t(4)cos()t(2)cos(d)(ue r

= ( ) ( )[ ]

( )[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

τ−ττ−−−τ−τ+ττ−−τ−ττ−−+τ−ττ−+τ

t0

t0

)sin()cos()t(2)cos()cos()sin()t()sin()cos()t(4)cos()sin()t(2)sin( ,

wobei die Integrale

∫ ∫ τ−ττ−−=τττ−τ−ττ−=τττ− )sin()cos()t(d)sin()t(und)cos()sin()t(d)cos()t( durch partielle Integration ermittelt wurden.

Setzt man nun die Grenzen 0undt =τ=τ ein und subtrahiert, so erhält man

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−−−=ττ⋅∫ τ−

t2)tsin(2)t42()tcos(2)tsin(3

d)(uet

0

)t(A r .

Mit der Formel ττ⋅+= ∫ τ− d)(uexext

0

)t(A0

At rrr ergibt sich die Lösung der inhomogenen Aufgabe

zu ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=)tsin(2t41

)tcos(2)tsin(3t82t2)tsin(2

)tcos(2)tsin(3t42t21

t4xr h(t),

also dasselbe Ergebnis wie oben.