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Mathematik
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Unterrichtsskript Mathematik Fachhochschulreife Elmar Mönig 20.06.2012
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Unterrichtsskript
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Unterrichtsskript Mathematik
Fachhochschulreife
Elmar Mönig
20.06.2012
Seite 1
1 Zahlen ............................................................................................................................................ 4
1.1 Eigenschaften der natürlichen Zahlen ..................................................................................... 4
1.2 Ganze Zahlen ........................................................................................................................... 5
1.3 Rationale Zahlen ...................................................................................................................... 6
1.4 Irrationale Zahlen .................................................................................................................... 8
1.5 Reelle Zahlen ........................................................................................................................... 9
1.6 Intervalle .................................................................................................................................. 9
1.7 Zusammenfassung ................................................................................................................. 10
2 Grundlagen .................................................................................................................................. 11
2.1 Rechnen mit reellen Zahlen ................................................................................................... 11
2.1.1 Elementare Rechenregeln ............................................................................................. 11
2.1.2 Rechnen mit Potenzen .................................................................................................. 14
2.1.3 Zahlen in Exponentialdarstellung .................................................................................. 15
2.1.4 Rechnen mit Wurzeln .................................................................................................... 15
2.1.5 Doppelbrüche ................................................................................................................ 17
2.2 Gleichungen ........................................................................................................................... 18
2.2.1 Äquivalenzumformung .................................................................................................. 18
2.2.2 Wurzelgleichungen – Quadratische Gleichungen ......................................................... 20
2.2.2.1 Lösungsmöglichkeiten von quadratische Gleichungen ............................................. 20
2.2.3 Bruchgleichungen .......................................................................................................... 22
2.2.4 Betragsgleichungen ....................................................................................................... 23
2.2.5 Bruchungleichungen / Betragsungleichungen .............................................................. 23
2.2.6 Exponentialgleichungen ................................................................................................ 23
3 Funktionen ................................................................................................................................... 24
3.1 Definition und ihre Darstellung ............................................................................................. 25
3.2 Funktionsarten ...................................................................................................................... 27
3.2.1 Rationale Funktionen .................................................................................................... 28
3.2.1.1 Lineare Funktionen .................................................................................................... 28
3.2.1.2 Quadratische Funktionen .......................................................................................... 35
3.2.1.2.1 Einführungsbeispiel ............................................................................................. 35
3.2.1.2.2 Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen .............................................. 37
3.2.1.2.3 Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung. ............................... 40
3.2.1.2.4 Zusammenfassung Quadratische Funktionen ..................................................... 42
3.2.1.2.5 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen ...................... 44
Seite 2
3.2.1.3 Ganzrationale Funktion n – ten Grades ..................................................................... 46
3.2.1.4 Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. ................... 48
4 Differenzialrechnung ............................................................................................................... 50
4.1 Einführung ............................................................................................................................. 50
4.1.1 Tangenten – Sekantensteigung ..................................................................................... 50
4.1.2 Einfache Ableitungsregeln ............................................................................................. 51
4.1.3 Ableitungen höherer Ordnung ...................................................................................... 53
4.2 Diskussion Ganzrationaler Funktionen (GRF) ........................................................................ 54
4.2.1 Beispiele für Ganzrationale Funktionen ........................................................................ 55
4.2.2 Spezialfälle ..................................................................................................................... 55
4.2.3 Kurvendiskussion – Beispiel – ........................................................................................ 56
4.3 Funktionen aus gegebenen Bedingungen ............................................................................. 60
4.4 Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung .................................................................... 62
4.5 Extremwertaufgaben ............................................................................................................. 64
5 Integralrechnung ....................................................................................................................... 66
5.1 Einführung ............................................................................................................................. 66
5.2 Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen ................................................................... 67
5.3 Mehrere Teilflächen zwischen zwei Funktionsgraphen ........................................................ 67
6 Trigonometrie ............................................................................................................................ 70
6.1 Bogenmaß des Winkels ......................................................................................................... 70
6.2 Gleichung des Ursprungkreises ............................................................................................. 71
6.3 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck ........................................................ 72
6.4 Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis .............................................................................. 74
6.4.1 Sinuswerte ..................................................................................................................... 74
6.4.2 Kosinuswerte ................................................................................................................. 76
6.4.3 Tangenswerte ................................................................................................................ 77
6.5 Sinussatz ................................................................................................................................ 79
6.6 Kosinussatz ............................................................................................................................ 80
6.7 Aufgabentypen ...................................................................................................................... 81
6.8 Trigonometrische Funktionen ............................................................................................... 82
6.9 Goniometrische Gleichungen / Additionstheoreme ............................................................. 86
7 Die Komplexe Zahlen ................................................................................................................ 88
7.1 Die imaginären Zahlen ........................................................................................................... 88
7.2 Einführung der komplexen Zahlen (complecti (lat) = umfassen) .......................................... 89
Seite 3
7.3 Darstellung von komplexen Zahlen ....................................................................................... 89
7.3.1 Arithmetische (kartesische) Form (Addition und Subtraktion) ..................................... 89
7.3.2 Goniometrische Form (Multiplikation und Division) ..................................................... 92
7.3.3 Exponentialform (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren) ................................. 93
Seite 4
1 Zahlen “Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen Wissenschaft sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen. Verfolgen wir genau, was wir beim Zählen der Menge tun: wir beziehen Dinge auf Dinge, bilden ein Ding durch ein Ding ab. Ohne diese Fähigkeit ist überhaupt kein Denken möglich ...”
R. Dedekind, 1887
In der Algebra rechnet man mit Zahlen bzw. mit Variablen, die stellvertretend für Zahlen stehen. Je nach Problemstellung verwendet man natürliche, ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen. Die Menge R der reellen Zahlen ist die umfassenste Zahlenmenge, die in der Schulmathematik verwendet wird.
1.1 Eigenschaften der natürlichen Zahlen
{ }0,1,2,3,4,...=N - natürliche Zahlen
{ }* 1,2,3,4,...=N - positiv natürliche Zahlen
2,4,6,8,... - grade Zahlen; 1,3,5,7,... - ungerade Zahlen
Welche Operationen und Relationen werden auf der Menge der natürlichen Zahlen betrachtet? Die Menge der natürlichen Zahlen hat folgende Strukturen und Eigenschaften:
• Addition, z.B. 27 3 30+ = • Multiplikation, z.B. 7 3 21⋅ =
• Ordnungsrelation, z.B. ( )27 30 oder oder a b a b a b< < = >
Die Addition der Zahlen a und b kann als Aneinanderlegen zweier Pfeile am Zahlenstrahl illustriert werden. Die Zahl a wird durch einen Pfeil repräsentiert, der bei 0 beginnt und bei a endet. Der die Zahl b repräsentierende Pfeil wird zur Spitze des zu a gehörenden Pfeils verschoben und endet dann bei a b+ . Der zusammengesetzte Pfeil repräsentiert die Summe a b+ .
Seite 5
Abbildung 1: Darstellung der Addition der natürloichen Zahlen
a b b a+ = + – das Kommutativgesetz
( ) ( )a b c a b c+ + = + + – das Assoziativgesetz
Die Multiplikation zweier natürlichen Zahlen ,a b wird definiert als
...
...
a mal
b mal
a b b b b b
a b a a a a
−
−
⋅ = + + + +
⋅ = + + + +
�������
�������
,a b heißen Faktoren des Produkts a b⋅ .
a b b a⋅ = ⋅ - das Kommutativgesetz
( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ - das Assoziativgesetz
Die Subtraktion ist innerhalb der Menge nicht immer ausführbar: 27 6 21− = ∈N ; 6 27 21− = − ∉N
1.2 Ganze Zahlen
Um solche Situationen behandeln zu können, erweitern wir die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.
Abbildung 2: Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden
Die negativen Zahlen ( )..., 3, 2, 1− − − erweitern den Bereich der natürlichen Zahlen zu
den ganzen Zahlen
{ }0, 1, 2, 3, 4,...= ± ± ± ±Z – ganze Zahlen
Die ganzen Zahlen können auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen wird nach links erweitert und wir markieren den Punkt links von 0 im Abstand einer Einheit mit 1− .
Seite 6
Abbildung 3: Zur Darstellung des Betrages einer Zahl a
Der Betrag einer Zahl a wird gemäß der Darstellung am Zahlenstrahl als Abstand zum Nullpunkt definiert. Definition:
Der Betrag a einer Zahl a definiert als
, 0
, 0
a aa
a a
≥=
− <
Die Menge der ganzen Zahlen hat folgende Strukturen und Verknüpfungen:
• Addition • Multiplikation • Subtraktion (Existenz von additiven Inversen)
Unterschied von der Menge der natürlichen Zahlen: Zu jeder ganzen Zahl a gibt es eine eindeutige bestimmte ganze Zahl b , so dass
0a b+ = , b a= − . b nennt man dann das additive Inverse von a .
• Ordnungsrelation
Die Division ist auf der Menge der ganzen Zahlen nicht immer ausführbar:
6 :3 2= ∈Z ; 1
3 : 62
= ∉Z
1.3 Rationale Zahlen
Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form
q x p⋅ = , p
xq
= , 0q ≠ , ,p q∈Z
lösen können. Wir können uns x als ein geordnetes Paar ( ),x p q= vorstellen. Solche
Zahlen werden auch gebrochene Zahlen, Quotienten genannt. Die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch ist nicht eindeutig! 3 4 5 1
6 8 10 2= = =
Seite 7
Man kann Brüche kürzen und erweitern, ohne ihren Wert zu verändern. Eine eindeutige Darstellung als Bruch lässt sich durch die Forderung erreichen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind.
Abbrechende Dezimalbrüche: 3
0,65
=
Periodische Dezimalbrüche: 1
0,3333... 0,33
= =
Die Periode wird durch Überstreichen der Ziffernfolge, die sich periodisch wiederholt, gekennzeichnet:
2 3 4
2 4 6 8
7 7 7 73,7 3 ...
10 10 10 10
5 31 31 310,0531 ...
10 10 10 10
= + + + + +
= + + + +
Definition: Jede rationale Zahl lässt sich durch einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch darstellen. Umgekehrt lässt sich jeder abbrechende oder periodische
Dezimalbruch als Bruch pq
darstellen.
Die Menge der rationalen Zahlen Q hat folgende Strukturen und Verknüpfungen:
• Addition • Multiplikation • Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) • Ordnungsrelation • Division (Existenz von multiplikativen Inversen)
Unterschied von der Menge der ganzen Zahlen: Zu jeder rationalen Zahl a gibt es eine eindeutig bestimmte rationale Zahl b , so dass
1a b⋅ = . b nennt man dann das multiplikative Inverse von a
1a b⋅ = , 1b a−=
• Ordnungsrelation Jede Größe, die wir durch Addition, Substraktion, Multiplikation und Division rationaler Zahlen erhalten, entspricht wieder einer rationalen Zahl. Mathematisch gesprochen ist die Menge der rationalen Zahlen “abgeschlossen” gegenüber arithmetischen Operationen, da diese Operationen nicht aus der Menge herausführen.
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2 2x = , 2x = ± , Was ist 2 ?
2 1, 41≃ ;
2
x=1,4142135623730950488016887242096980785696718753 . . . 699
x 1,9999999999999999999999999999999999999999999999 . . . 010=
Diese Zahl genügt der Gleichung 2 2x = mit hoher Genauigkeit, aber nicht exakt. Mit einer endlichen Dezimalentwicklung erhalten wir niemals eine Zahl, die quadriert genau 2 ergibt.
Die Länge der Diagonale eines Quadrats der Länge eins, bezeichnet durch die Zahl 2 ,
lässt sich nicht als Bruch zweier natürlichen Zahlen schreiben, d.h. dass 2 keine rationale Zahl ist.
Abbildung 4: Zur Darstellung der Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden
2 2 2 2 21 1 2 2AC AB BC AC= + = + = ⇒ =
1.4 Irrationale Zahlen
Die irrationalen Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche. Die meisten Funktionswerte der Wurzelfunktionen, logarithmischen Funktionen oder trigonometrischen Funktionen, auch die Zahlen π und e sind irrationale Zahlen. Die Kreiszahl 3,141592654...π =
Die Eulersche Zahl 2,718281828459...e =
Abbildung 5: Bilder Internet
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1.5 Reelle Zahlen
Alle rationalen und irrationalen Zahlen ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen, R . Die Menge der reellen Zahlen entspricht anschaulich der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Die den reellen Zahlen entsprechenden Punkte bedecken die Zahlengerade lückenlos !
Abbildung 6: Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl
Die Menge der reellen Zahlen hat folgende Strukturen und Verknüpfungen:
• Addition • Multiplikation • Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) • Division (Existenz von multiplikativen Inversen) • Ordnungsrelation
Kommutativgesetz: a b b a+ = + , a b b a⋅ = ⋅
Assoziativgesetz: ( ) ( )a b c a b c+ + = + + , ( ) ( )a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Distributivgesetz: ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅
1.6 Intervalle
Endliche Intervalle ( )a b<
1. offenes Intervall
( ) { },a b x a x b= < <
2. halboffenes Intervall
) { },a b x a x b= ≤ <
3. Abgeschlossenes Intervall
[ ] { },a b x a x b= ≤ ≤
1. ) { },a x a x∞ = ≤ < ∞
2. ( ) { },a x a x∞ = < < ∞
3. ( ) { },b x x b−∞ = −∞ < <
( ),= −∞ ∞R
] [
[ [
[ ]
[]
[
Seite 10
1.7 Zusammenfassung
Natürliche Zahlen N
{ }0,1,2,...=N�
Ganze Zahlen Z
{ }..., 2, 1,0,1,2,...
(...ist Teilmenge von...)
= − −
⊂
Z�
N Z
Bruchzahlen 0≥Q
0
0
, 0
4. .0;3; ;1,37;0, 3
3
und pp q q
q
z B
≥
≥
= ∈ ≠
⊂
Q N�
N Q
Rationale Zahlen Q
0
, 0
5 1. .1; ;2,5; 0, 3;
8 17
; ;
und pp q q
q
z B
≥
= ∈ ≠
− −
⊂ ⊂ ⊂
Q Z�
N Q�Z Q�Q Q
Reelle Zahlen R
0
5. .3; ; ; 4; 3
2
; ; ;
z B π
≥
−
⊂ ⊂ ⊂ ⊂N R Z R�Q R Q R
Komplexe Zahlen C
{ }2, ; 1
3. .7; ; 4; 1
5
a bi a b i
z B
= + ∈ = −
− − −
⊂
C� R�
R C
Seite 11
2 Grundlagen
2.1 Rechnen mit reellen Zahlen Rechenoperation Schreibweise Name der einzelnen Terme Name des Ergebnisses
Addieren a b+ , : Summandena b Summe
Subtrahieren a b− :Minuenda : Subtrahendb Differenz
Multiplizieren a b⋅ , : Faktorena b Produkt
Dividieren : oder
aa b
b
: Dividend (Zähler)
: Divisor (Nenner)
a
b
Quotient
Potenzieren na : Basis (Grundzahl)
: Exponent (Hochzahl)
a
n
Potenz
Radizieren
(Wurzelziehen) , allgemein: na a : Radikant
: Wurzelexponent
a
n
Wurzel
Betrag: Der Betrag einer Zahl gibt ihren „Abstand“ zur Null an. Er ist daher nie negativ. In bestimmten Situationen benötigen wir von einer Zahl nur den Betrag, der unabhängig vom Vorzeichen ist. Wenn wir uns z.B. 4€ geliehen haben, sagen wir: „Ich habe 4€ Schulden“, obwohl wir uns im Minusbereich befinden.
4 4 (wir lesen: "Betrag von 4 gleich 4")
4 4 (wir lesen: "Betrag von -4 gleich 4")
=
− =
Allgemein: falls 0
falls 0
a aa
a a
≥=
− ≤
2.1.1 Elementare Rechenregeln
Beispiele Punktrechnung vor Strichrechnung ( )24 2 12 : 4 5 10
48 3 50
5
⋅ − + + ⋅
= − + +
=
Potenzrechnung vor Punktrechnung
( ) ( )
( )
3
3
4 4
4
5 2 5 8 40
5 2 5 8 40
2 1 2 1 16 16
: 2 16aber
⋅ = ⋅ =
− ⋅ = − ⋅ = −
− = − ⋅ = − ⋅ = −
− =
Klammerrechnung geht vor (von innen nach außen)
( )[ ]
7 3 49 9 2 9 18
2 2 2
2 7 2 4
2 7 6
2
2
a a a
a a
a
a
− ⋅ = ⋅ = ⋅ =
⋅ − + = ⋅ −
= ⋅
=
Seite 12
Termumformung
Rechengesetze
( ) ( )
( ) ( )
a b b a
a b b a
a b c a b c
a b c a b c
+ = +
⋅ = ⋅
+ + = + +
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Kommutativgesetz der Addition Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Addition Assoziativgesetz der Multiplikation
Auflösen von Klammern
( )
( )
( ) : : : ( 0)
( ) : : : ( 0)
( )
( )
a b c a b a c
a b c a b a c
a b c a c b c c
a b c a c b c c
a b c a b c
a b c a b c
⋅ + = ⋅ + ⋅
⋅ − = ⋅ − ⋅
+ = + ≠
− = − ≠
+ + = + +
− + = − −
Distributivgesetz
( )
( )
a b c a b c
a b c a b c
+ − = + −
− − = − +
Multiplikation von Klammern
( ) ( )a b c d ac ad bc bd+ ⋅ + = + + +
Binomische Formeln
2 2 2
2 2 2
2 2
3 2 2 3 3
3 2 2 3 3
3 3 2 2
3 3 2 2
2 ( )
2 ( )
( )( )
3 3 ( )
3 3 ( )
( )( )
( )( )
a ab b a b
a ab b a b
a b a b a b
a a b ab b a b
a a b ab b a b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
+ + = +
− + = −
− = + −
+ + + = +
− + = −
− = − + +
+ = + − +
1. binomische Formel
2. binomische Formel
3. binomische Formel
( )22 24 12 9 2 3x xy y x y+ + = +
( ) ( )22 2 2 29 36 36 9 4 4 9 2s st t s st t s t− + = ⋅ − + = ⋅ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 216 4 4 4 2 2 2a a a a a− = + ⋅ − = + ⋅ + ⋅ −
( ) ( )3 3 3 21 1 1 1n n n n n+ = + = + ⋅ − +
+
nach 1. binomischer Formel
nach 2. binomischer Formel
nach 3. binomischer Formel
mit 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +
Wir lösen eine Plusklammer auf, indem wir das Pluszeichen vor der Klammer und die Klammer weglassen.
( )( )
3 3 7 3 3 7 3 4
5 4 7 5 4 7
x x x
a b c a b c
+ − = + − = −
+ − + = − +
Wir lösen eine Minusklammer auf, indem wir das Minuszeichen vor der Klammer weglassen und die Vorzeichen in der Klammer umkehren.
( )( )
3 3 7 3 3 7 3 10
5 4 7 5 4 7
x x x
a b c a b c
− − = − + = − +
− − + = + −
Brüche werden multipliziert, indem wir die Zähler und die Nenner jeweils multiplizierten.
a d ad
b c bc⋅ =
Wir dividieren zwei Brüche, indem wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren. :
ab
cd
a c a d ad
b d b c bc= = ⋅ =
Vorgehensweise Faktorisieren / Klammern auflösen:
Seite 13
Faktorisierungsbeispiel:
Faktorisieren a.) 2 6 2 ( 3)ab b b a+ = + Beim Ausklammern von 2b teilen wir jeden
Summand durch 2b b.) 25 20 15
5 ( 4 3 )
mn m m
m n m
− − + =
− + −
Beim Ausklammern eines negativen Terms ändern sich die Vorzeichen der Summanden in der Klammer.
c.) ( 1)( ) ( )x y x y y x− = − − + = − − Durch Ausklammern von -1 kann man die Reihenfolge bei einer Differenz vertauschen
d.) 3 6 2
(3 ) 2 (3 )
(3 )( 2 )
ax bx ay by
x a b y a b
a b x y
− + − =
− + − =
− +
1. Ausklammern bei je zwei Summanden 2. Ausklammern der Klammer
Aufgaben
Seite 14
2.1.2 Rechnen mit Potenzen
Definition: Ein Ausdruck der Form an heißt Potenz, und zwar n-te Potenz von a. a heißt
Basis, n heißt Exponent.
z.B.: 3²= 9 ist die zweite Potenz von 3.
an bedeutet eine Rechenvorschrift: Nehmen Sie a n-mal mit sich selber mal.
• an = n Faktoren
a a a a ... a⋅ ⋅ ⋅ ⋅������� . z.B.: 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
• a1 = a z.B.: 91 = 9; (-6)1 = -6; 0,231 = 0,23
• a0 = 1 z.B. 140 = 1; 1,170 = 1; (-7)0 = 1
• Wenn a ≠ 0: a-n = n
1
a z.B. 3-2 =
2
1 1
3 9= ; (-2-2)=
( )3
2 -3
1 1 1; 2
4 22= =
−
• Wenn a > 0: 1n na a= z.B.
12 24 4= = 2;
13 327 27= = 3, denn 3³ = 27.
Rechenregeln
1) an · am = an + m z.B. 3² · 34 = 36
Begründung: 3² · 34 =�+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ �����2 4
Faktoren
3 3 3 3 3 3 = 36
2) (an)m = an · m z.B. (72)3 = 76
Begründung: (72)3 = 72 · 72 · 72 = 72 + 2 + 2 = 76
3) n
m
a
a= an - m z.B.
8
2
5
5 = 58 - 2 = 56
Begründung: 8
2
5
5= 5 5 5 5 5 5 5 5
5 5
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅
= 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56
Nachtrag zur Definition von a0, a1, a-n:
1 = 7
7
3
3 = 30 .
6 = 17
16
6
6 = 61 Regel 3) und die Definitionen passen zueinander.
5
1
9 =
12
17
9
9 = 912 - 17 = 9-5
4) nm nma a= z.B. ( )5
7
557 713 13 13= =
Seite 15
Begründung: ( )157
7 5 5713 13 13= =
( ) ( )5 17 7
5 5713 13 13= =
5) an · bn = (a · b)n z.B. 113 · 43 = (11 · 4)3 = 443
Begründung: 113·43 = 11·11·11·4·4·4 = 11·4·11·4·11·4 = 44·44·44 = 443
6) nn
n
a a
b b
=
, falls b ≠ 0 z.B. 5
5
13
4 =
513 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Die Regeln gelten sämtlich auch, wenn m und n Dezimalzahlen sind.
Aufgaben
2.1.3 Zahlen in Exponentialdarstellung
Für betragsmäßig besonders große oder kleine Zahlen wird häufig die EXPONENTIAL-
DARSTELLUNG (Potenzdarstellung) mit Zehnerpotenzen verwendet. Diese
Darstellungsart bietet einen schnelleren Überblick über die Größenordnung solcher
Zahlen.
Beispiel:
61.000.000 10
ist eine Millionen
=
Taschenrechner
38
11
11
2 274877906944
2,748779069 10Beide Arten sind möglich
2,748779069
x
=
Übungen: 6
4
3
3
6
6
6140000 6,14 1000000 6,14 10
96528,47 9,652847 10000 9,652847 10
1 10,005 5 0,001 5 5 5 10
1000 10
10,00000478 4,78 0,000001 4,78
1000000
14,78 4,78 10
10
−
−
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
= ⋅ = ⋅
2.1.4 Rechnen mit Wurzeln
Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens:
Eine positive Zahl b heißt n-te Wurzel einer Zahl a , wenn gilt:
0, ;nb a a b n+= ∈ ∈R N { }( )0;1 Wir schreiben: nb a= . :
: exp
a Radiant
n Wurzel onent
Für 2n = sagt man statt „zweite Wurzel“ auch „Quadratwurzel“, meistens aber nur
Seite 16
„Wurzel“. Für ungeradzahliges n ist n a auch definiert, wenn die Basis a negativ ist. Übungen: 2 a a= 3 8 2= , denn 32 8= 16 4= , denn 24 16= 5 243 3= , denn 53 243= 3 8 2− = − , denn ( )32 8− = −
4 5,0625 1,5= , denn 41,5 5,0625= 5 243 3− = − , denn ( )53 243− = −
Wurzeln in Potenzschreibweise 1
0 ;n na a a n+= ∈ ∈R N { }( )0 :1 1
3 35 5= 1
23 3=
1
4 4x x= 1
5 5z z= Addition und Subtraktion von Wurzeln Wurzel können wir nur dann addieren bzw. subtrahieren, wenn sie sowohl gleiche Radikanden als auch gleiche Exponenten haben.
( )( )
( )( )
4 4 4
5 2 3 2 5 3 2 8 2
6 5 2 5 6 2 5 4 5
3 9 12
7 10 3
x x x x
z z z z
+
+
+ = + =
− = − =
+ = ∈
− = − ∈
R
R
Multiplikation und Division von Wurzeln
: : oder
, ;
n n n
nn n n n
n
a b a b
a aa b a b
bb
a b n+
⋅ = ⋅
= =
∈ ∈R N { }( )0 :1
( )
( )
0
3 3 3
11 1
22 2
5 6 5 6 30
3 8 24 ,
2 32 64 4
1212 : 3 12 : 3 4 2
3
6 6 3 0
4 24
x y xy x y
u u uv
v vv
+
⋅ = ⋅ =
⋅ = ∈
⋅ = =
= = = =
= = ≠
ℝ
333
3
32 328 2
44= = =
� Beweis für die Division: 1 1
1
n n nn
n
n
a a a a
b bbb
= = =
Partielles – teilweises Wurzelziehen - Zerlegung in Faktoren mit anschließendem Wurzelziehen! n
nn
a a
bb= und n n nab a b= ⋅
( )
3 33 3 3
0
32 16 2 16 2 4 2
54 27 2 27 2 3 2
36 36 6 a a a a +
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅ = ∈ℝ
3 333
3
3 3 3
64 864
5 5 5 15
27 3 327
= =
= = =
Aber Vorsicht!
9 16 25 5
9 16 3 4 7
+ = =
+ = + =
Seite 17
Radizieren von Wurzeln
; ,n m m na a a m n+⋅= ∈ ∈ℝ ℕ { }( )0;1 2 84 4 2 4
111 1 12
84 84 4 2
5 5 5 5
: 5 5 5 5 5denn
⋅
⋅
= = =
= = = =
Rationalmachen des Nenner Liegt ein Bruch mit irrationalen Zahlen im Nenner vor, so ist es zweckmäßig, den Bruch so zu erweitern, dass sein Nenner rational wird.
( )( ) ( )
5 5
255 5 5 5 5
2 1 22 2 2 22 2 2
1 21 2 1 2 1 2
a a a= =
⋅ + += = = − −
−− − ⋅ +
Aufgaben
2.1.5 Doppelbrüche
2 2
2 2:
x y
x y x yx y
x y x y x y
x y
−− −+
= =− + −−
Brüche werden umgeschrieben
2 2
x y x y
x y x y
− −⋅ =
+ − Erster Bruch mit dem Kehrwert des zweiten
multipliziert
( )( )
( )( )( )
x y x y
x y x y x y
− −=
+ + − Multiplikationsregel, Binomische Formel
2( )
x y
x y
−+
Gekürzt, Klammern zusammengefasst
Aufgaben
Seite 18
2.2 Gleichungen
2.2.1 Äquivalenzumformung
Eine Gleichung kann mit einer Balkenwaage verglichen werden. Die Balkenwaage bleibt im Gleichgewicht, wenn die Inhalte der rechten und der linken Waageschale um die gleiche Mende vergrößert oder vermindert werden. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn die Waageschalen vertauscht werden. Zur Berechnung des unbekannten Gliedes einer Gleichung formt man die Gleichung so um, dass das unbekannte Glied positiv ist und links vom Gleichheitszeichen steht.
Beispiel:
8 12 8
8 8 12 8
4
x kg kg kg
x kg kg kg kg
x kg
+ = −
+ − = −
=
Vorgang Beispiel Erklärung Seiten austauschen
Vd
dV
=⋅
⋅=
6
63
3
π
π
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung können ausgetauscht werden. Dies ist z.B. notwendig, wenn die gesuchte Größe auf der rechten Seite der Gleichung steht.
Kehrwert bilden
2
1
1
2
1
2
2
1
V
V
p
p
V
V
p
p
=
=
Von der linken und der rechten Seite einer Gleichung können die Kehrwerte gebildet werden. Dies ist z.B. notwendig, wenn die gesuchte Größe im Nenner eines Bruches steht.
Summen- gleichung
dDs
dDdds
dDds
−=⋅
−=−+⋅
−=+⋅
2
2
2
Auf der linken und der rechten Seite der Gleichung wird der gleiche Wert addiert. So wird ein Summand beseitigt.
Differenz- gleichnung
22
2222
222
27,1
27,1
27,1
dAD
dAddD
dAdD
+⋅=
+⋅=+−
+⋅=−
Auf der linken und der rechten Seite der Gleichung wird der gleiche Wert addiert. So wird ein Subtrahend beseitigt.
Produkt- gleichung
cm
Q
cm
Q
cm
cm
cmQcm
⋅=−
⋅=
⋅
−⋅⋅
⋅=−⋅⋅
12
12
12
(
)(
: )(
ϑϑ
ϑϑ
ϑϑ
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung werden durch den gleichen Faktor geteilt. So wird ein Faktor beseitigt.
Quotienten- gleichung
2
222
2
⋅⋅=+
⋅⋅=⋅+
⋅=+
π
π
π
UdD
UdD
UdD
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung werden mit dem gleichen Wert multipliziert. So wird ein Divisor beseitigt.
Potenz- gleichung
3
33 3
33
Va
Va
Va
=
=
=
Die linke und die rechte Seite der Gleichung werden radiziert. So wird die Potenz beseitigt.
Wurzel- Gleichung
( )222
22
22
222 ) (
bac
bac
baC
=−
=−
=−
Die linke und die rechte Seite der Gleichung werden potenziert. So wird eine Wurzel beseitigt.
Seite 19
Allgemeine Regeln zur Formelumstellung
Regel 1: Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit der gleichen Größe multipliziert
werden oder durch die gleiche Größe dividiert werden.
Regel 2: Bei einer Gleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Größe addiert oder subtrahiert werden.
Regel 3: Man darf bei einer Formel (Gleichung) die Vorzeichen sämtlicher Glieder auf beiden Seiten ändern, indem man beide Seiten mit (-1) multipliziert.
Regel 4: Man darf die beiden Seiten einer Formel (Gleichung) vertauschen.
Regel 5: Bei einer Gleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Größe potenziert werden. Z.B.
13 2
3a x=
1 233 3a x⋅
= 3 2a x=
Beispiel: Lösen Sie die Gleichung nach 2R auf.
1 2
2 1
1
2 1
12
1
1 1 1
1 1 1
1
R R R
R R R
R R
R R R
R RR
R R
= +
= −
−=
⋅
⋅=
−
Isolieren der gesuchten Größe
(Regel 2)
Hauptnenner bilden
(Regel 1)
Aufgaben
Seite 20
2.2.2 Wurzelgleichungen – Quadratische Gleichungen
2.2.2.1 Lösungsmöglichkeiten von quadratische Gleichungen
Es gibt mehrere Lösungsmethoden zur Bestimmung der Lösungsmenge von quadratischen
Gleichungen. Im Unterricht und bei den Klassenarbeiten findet ausschließlich die
Methode der quadratischen Ergänzung Anwendung.
Eine quadratische Gleichung sollte man zunächst auf die Normalform bringen, d.h. 2 2
2 1 00 . 0ax bx c bzw a x a x a+ + = + + =
Nun gibt es prinzipiell drei Methoden, die zur Lösungsmenge führen.
(A) Die Methode der quadratischen Ergänzung
Beispiel: 22 24 64 0x x− + = Koeffizient vor 2x auf 1 bringen 2 12 32 0x x− + = Ziel ist es, die linke Seite so zu
verändern, dass die Wurzel
gezogen werden kann z.B. ( )26x −
2 12 32x x− = −
2 2
2 12 1212 32
2 2x x
− + = − +
Den Term ohne x auf die rechte Seite und die quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung addieren.
( )26 4x − = Bionomische Formel anwenden
6 2
6 2
x
x
− =
− = ±
Wurzel ziehen, d.h.
86 2
4x
= ± =
{ }4;8=L
Lösungsmenge bestimmen
(B) Die p-q-Formel
Die Gleichung der speziellen Form 2 0x px q− + =
hat die Lösungen: 2
12 2 2
p px q
= − ± −
Beispiel: 2 12 32 0x x− + =
{ }
12
86 36 32 6 4 6 2
4
4;8
x
= ± − = ± = ± =
=L
mit: 12
62
32
p
p
q
= −
= −
=
Seite 21
(C) Die allgemeine Lösungsformel (Mitternachtsformel)
Herleitung: 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
1 22
0
0
2 2
2 4
4
2 4
4
2 4
4
2 4
ax bx c
b cx x
a a
b cx x
a a
b b c bx x
a a a a
b c bx
a a a
b ac bx
a a
b b acx
a a
b b acx
a a
+ + =
+ + =
+ = −
+ + = − +
+ = − +
− + + =
−+ = ±
−= ±
2
1 22
4
2 4
b b acx
a a
−= ±
: a
c
a−
Quadratische Ergänzung QE Anwendung der Binomischen Formel Umformung Wurzel ziehen
2
b
a−
Satz von Vieta
Oftmals lässt die Lösung der quadratischen Gleichung auch mit Hilfe des Satzes von
Vieta bestimmen.
Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 1 und 2 hat.
Behauptung: ( ) ( )( ) ( ) 2
2
1 2 0
1 2 3 2
3 2 0
x x
x x x x
x x
− ⋅ − =
− ⋅ − = − +
− + =
allgemein:
( ) ( )( ) ( ) ( ) �
1 2
2
1 2 2 2 1 2
0
qp
x x x x
x x x x x x x x x x
− ⋅ − =
− ⋅ − = − + ⋅ + ⋅�������
Normalform:
2 0x px q+ + =
Satz von VIETA
( )1 2
1 2
p x x
q x x
= − +
= ⋅
Seite 22
2.2.3 Bruchgleichungen
Der Hauptnenner bei Brüchen und Bruchtermen ist das kgV (kleinste gemeinsame
Vielfache der Nenner).
Beispiel 1: (mit Brüchen)
Erweiterungsfaktoren
2
3 5
12 8
15
3 = 3 2 2 5 20⋅ ⋅ = 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 5 15 = 3⋅ 5 2 2 4⋅ =
Hauptnenner = 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 5 60=
Beispiel 2: (Variablen)
Erweiterungsfaktoren
1
x 2
3x 7
2y
x = x 2 3 6y y⋅ ⋅ =
3x = 3⋅ x 2 2y y⋅ =
2y = 2 ⋅ y 3 3x x⋅ =
Hauptnenner = 2 ⋅
3⋅
x ⋅
y 6xy=
Beispiel 3: (mit Variablen-Termen)
Erweiterungsfaktoren
5
2 1x + 1
6 3x + 2
15x
2 1x + = ( )2 1x + 3 5 15x x⋅ ⋅ =
6 3x + = 3⋅ ( )2 1x + 5 5x x⋅ =
15x = 3⋅ 5 ⋅ x ( )2 1x +
Hauptnenner = 3⋅ 5 ⋅ x ⋅
( )2 1x +
=
( )15 2 1x x +
Aufgaben
Seite 23
2.2.4 Betragsgleichungen
2.2.5 Bruchungleichungen / Betragsungleichungen
2.2.6 Exponentialgleichungen
Seite 24
3 Funktionen
Der Begriff Funktion ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik. Seine Entwicklung zu der heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden: GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) verwendete erstmals 1692 das Wort Funktion als Bezeichnung für Längen, die von einem als beweglich gedachten Punkt einer Kurve abhängen. Von JOHANN BERNOULLI (1667 bis 1748) stammt die erste Definition, LEONHARD EULER (1707 bis 1783), FOURIER (1768 bis 1830) und DIRICHLET (1805 bis 1859) trugen in der Folge maßgeblich zur weiteren Herausbildung und Präzisierung des Funktionsbegriffs bei. Auch bei der Anwendung der Mathematik in den Naturwissenschaften, in der Technik, Wirtschaft und Gesellschaft spielt der Funktionsbegriff eine wichtige Rolle. Am Anfang steht dabei meist die übersichtliche, komprimierte und auf Wesentliches konzentrierte Beschreibung bestimmter „funktionaler“ Zusammenhänge und Abhängigkeiten, wobei hierfür vor allem Gleichungen, Tabellen, grafische Darstellungen oder auch umgangssprachliche Darstellungen genutzt werden. Einige Beispiele sollen dies im Folgenden illustrieren.
Beispiel 1: Wasser besitzt die Fähigkeit, auch gasförmige Stoffe, z.B. Sauerstoff, Kohlenstoffdioxid, Schwefeldioxid oder Chlor, lösen zu können. Praktisch bedeutsam ist diese Lösefähigkeit u.a. für die Atmung der Fische: Reicht in einem Gewässer der von Fischen benötigte Sauerstoff nicht aus, so kann es auch ohne Verschmutzung zum Fischsterben kommen. Die Löslichkeit von Sauerstoff im Wasser ist von der Temperatur abhängig, wie die folgende Tabelle zeigt:
Temperatur
in °C
Sauerstoff
in mg/l
0 14,16
4 12,70
8 11,47
12 10,43 16 9,56
20 8,84
24 8,25
28 7,75
Beispiel 2: Die Siedetemperatur von Wasser hängt vom Luftdruck ab. Ist der Druck höher oder geringer als der normale Luftdruck, so ist auch die Siedetemperatur höher bzw. geringer als 100 °C. Ersteres macht man sich bei Schnellkochtöpfen zunutze. Beispielsweise beträgt bei einem Druck von 130 kPa die Siedetemperatur des Wassers 108 °C, bei 180 kPa schon 117 °C. Der zweite Sachverhalt ist die Ursache dafür, dass Wasser auf dem Montblanc (4807 m), auf dem der Luftdruck nur noch 55 % des normalen Werts beträgt, bereits bei 85 °C siedet.
Seite 25
3.1 Definition und ihre Darstellung
Eine Zuordnung stellt eine Beziehung zwischen einer Ausgangsmenge und einer Zielmenge her. Dabei werden Elemente der Ausgangsmenge mit Elementen der Zielmenge zu geordneten Paaren verknüpft. Geordnete Paare lassen sich in einer Wertetabelle erfassen und als Graph im Koordinatensystem darstellen. Eine Zuordnung heißt Funktion, wenn jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet wird. Der Graph einer Funktion schneidet jede Parallel zur y-Achse (einschließlich der y-Achse selbst) in höchstens einem Punkt. Zuordnung:
( ) 2y f x x= =
Funktion
Relation
Bei reellwertigen Funktionen ist der Wertebereich Teilmenge der reellen Zahlen.
f ⊆ ℝW
Als Namen für Funktionen verwendet man in der Regel (Klein-) Buchstaben. Bei einer
Funktion f wird jedem Element x aus der Definitionsmenge fD genau ein Funktions-
wert ( )f x zugeordnet. Die Menge aller Funktionswerte ist die Wertemenge fW .
Die Zuordnungsvorschrift wird in der Regel durch eine Funktionsgleichung angegeben.
Der Graph von f entspricht der Menge aller Punkte ( )( )P x f x mit fx∈� D . Mit der
Punktprobe wird geprüft, ob ein Punkt ( )( )P x f x auf dem Graphen einer Funktion f
liegt: Man setzt die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Entsteht
eine wahre Aussage, so ist P Punkt des Graphen. Bei einer falschen Aussage ist P nicht
Punkt des Graphen.
unabhängige Variable
abhängige Variable
( ) 2f x x=
f
Definitionsbereich
Df
Wertebereich
W
( )g x x=
Seite 26
Übungen:
1.) Bestimmen Sie anhand der Wertetabellen je eine mögliche Funktionsgleichung. Lösung:
( )( ) 2
1f x x
g x x
= +
=
x -1 0 1 2 3
( )f x 0 1 2 3 4
( )g x 1 0 1 4 9
2.) Führen Sie die Punktprobe für die
Punkte ( )2 4P und ( )1 5Q − bei
den Funktionsgleichungen
( )( ) 2
5 14
3 2
f x x
g x x
= − +
= +
durch.
P liegt auf dem Graphen von f , aber
nicht auf dem Graphen von g .
Q liegt auf dem Graphen von g , aber
nicht auf dem Graphen von f .
3.) Geben Sie die jeweils maximale Definitionsmenge der folgenden Funktionen an. a.) ( ) 3f x =
b.) ( ) 4 6g x x= −
c.) ( ) 1h x
x=
d.) ( ) 315k x x=
e.) ( ) 2l x x= +
a.) f = ℝD
b.) f = ℝD
c.) f = ℝD { }0
d.) f = ℝD
e.) [ [2;f = − ∞D
Seite 27
3.2 Funktionsarten
Seite 28
3.2.1 Rationale Funktionen
3.2.1.1 Lineare Funktionen
Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen. Proportionale Zusammenhänge lassen sich durch Geraden darstellen.
Sie kennen die Funktionsgleichung der Geraden in der Form:
y m x b oder y m x n= ⋅ + = ⋅ +
Da Geradengleichungen zur Familie der ganzrationalen Funktionen gehören, die ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik sind, soll deren Darstellungsart von Anfang an auf diese übertragen werden.
Definition Ganzrationale Funktion n – ten Grades
( ) ( ) n n 1 n 2 2n n 1 n 2 2
n n 1 n 0
1 0
2 2 1
Eine Funktion f x mit f x a x a x a x ... a x
heißt ganzrationale Funktion n - ten Grades.
Die Zahlen a ; a ; a ; .... a ; a ; a heißen Koeffizie
a a
ten
x
n
− −− −
− −
= + + + + ++
Da die beiden letzten Summanden a1x + a0 zum Funktionsterm der Geradengleichung gehören, folgt die Definition:
Definition Ganzrationale Funktion 1. Grades
( ) ( ) 1 0 1 0Eine Funktion f x mit f x a x a und a , a= + ∈ ∈ℝ ℝ
heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion
Beispiele für Funktionsgleichungen linearer Funktionen:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1
3f x 2x 13 f x x 3 f x 3 x f x 5 f x 3x a f x a x
4= − = + = − ⋅ − π = = + =
Achsenschnittpunkte Achsenschnittpunkte sind die Punkte, in denen der Graph die Koordinatenachsen schneidet. Diese Werte lassen sich mehr oder weniger genau aus dem Graphen ablesen. Oft besteht auch die Möglichkeit, der Wertetabelle diese Daten zu entnehmen. Nun soll es darum gehen, diese Werte durch Rechnung, ohne Werte-tabelle und Graph zu nutzen zu bestimmen.
Der Schnittpunkt mit der y- Achse kann für alle lineare Funktionen der Form
( ) ( )= + ⇒1 0 y 0f x a x a P 0 | a . direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden
Schnittpunkt mit der x- Achse (Abszisse) Px:
Die y-Werte (Funktionswerte) aller Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben den Wert 0.
( ) ( ) ( )( )⇒ =x | f0 0xxLösungsansatz: P wegen P x f x
( )yP 0 | ?
( )xP ? | 0
x
( )y f x=
Seite 29
Übung 1: Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen.
( ) { }= − = − ≤ ≤ℝ
3f x x 3 Definitionsmenge x | 1 x 5
4D
Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D. In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
Lösung:
( ) { }
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= − = − ≤ ≤
− = ⋅ − − = − − = − − = −
= ⋅ − = −
= ⋅ − = − = − = − = −
= ⋅ − = − = − = − = −
= ⋅ − = − = − = − = −
= ⋅ − = − =
= ⋅ − = − = − =
ℝ
3f x x 3 x | 1 x 5
4
3 3 3 12f 1 1 3 3 3,75
4 4 4 4
3f 0 0 3 3
4
3 3 3 12 9f 1 1 3 3 2,25
4 4 4 4 4
3 3 3 6 3f 2 2 3 3 1,5
4 2 2 2 2
3 9 9 12 3f 3 3 3 3 0,75
4 4 4 4 4
3f 4 4 3 3 3 0
4
3 15 15 12 3f 5 5 3 3
4 4 4 4 4
D
= 0,75
( )x 1 0 1 2 3 4 5
f x 3,75 3 2,75 1,5 0,75 0 0,75
−
− − − − −
{ }( ) ( )y x
W y | 3,75 y 0,75
P 0 | 3 und P 4 | 0
= − ≤ ≤
−ℝ
Übung 2:
Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für
( ) 2 3f x x
3 4= − +
Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(x).
Lösung:
( )
( )
( )
y
x
2 3f x x
3 4
Schnittpunkt mit der y Achse :
3 3f 0 P 0
4 4
Schnittpunkt mit der x Achse :
2 3 3f x 0 x |
3 4 4
2 3 3x |
3 4 2
9 9x P 0
8 8
= − +
−
= ⇒
−
= ⇔ − + −
⇔ − = − ⋅ −
⇔ = ⇒
Probe: 9 2 9 3 18 3 3 3
f 08 3 8 4 24 4 4 4
= − ⋅ + = − + = − + =
1 0 1 2 3 4 5
4
3
2
1
1
x
y
( )f x
2 1 0 1 2 3 4
3
2
1
1
2
( )f x
y
x
Seite 30
Die Steigung Die meisten Schienen oder Straßenfahrzeuge können nur geringe Steigungen überwinden. Im Gebirge setzt man daher Zahnradbahnen oder Seilbahnen ein, diese eignen sich auch für steile Strecken.
Das Verkehrsschild „12% Steigung“ bedeutet: Auf 100 m horizontaler Strecke steigt die Straße um 12 m an. Es wird ein Höhenunterschied von 12 m überwunden.
Das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und horizontaler Strecke wird Steigung genannt. Im dargestellten Fall beträgt die Steigung 12m :100m 0,12 12%= ≙
Definition Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:
( )= = = α
α
m tanGegenkathete
SteigungAnkathete
Der Winkel wird auch Steigungswinkel genannt.
In der nebenstehenden Grafik ist eine Ursprungsgerade, durch die Punkte P1 und P2 abgebildet.
Die Steigung der Geraden soll mit Hilfe der Koordinaten von P1 und P2 ermittelt werden.
Die Längen von Gegenkathete und Ankathete sind durch die Koordinatendifferenzen der beiden Punkte festgelegt.
Für die Differenzen schreibt man:
2 1 2 1x x x bzw. y y y∆ = − ∆ = −
12%
100 m
12 m
Steigungsdreieck
Ankathete
α
Gegenkathete
α1P
2P
1x 2x
2 1x x x∆ = −
2 1y y y∆ = −
( )1 1y f x=
2 2y f(x )= y f(x)=
x
y
Seite 31
Aus dem Steigungsdreieck lässt sich die Steigung der Geraden ablesen:
( ) ( )( )22 1 1
2 1 2 1
f x f xy yySteigung m tan
x x x x x
−−= = = = = α
− −
△
△
Die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (Steigungsdreieck), dessen Hypotenuse Teil des Funktionsgraphen ist. Die Vermutung liegt nahe, dass der Koeffizient a1 der Geradengleichung f(x) = a1x + a0 für die Steigung der Geraden verantwortlich ist. Das soll nun bewiesen werden. Behauptung: Die Steigung m entspricht dem Koeffizienten a1 der Geradengleichung:
( ) 1 0f x a x a= +
Beweis:
( ) ( )2 1
2 1
2 1 2 1
1 2 0 1 1 0 1 2 1 1 1 2 11 1
2 1 2 1 2
1 1 0
1 1 0
1 2 0
0
1
1 2
f x f x
( )f(x ) f(x )ym
x
a x a
a x
a x a
a x
x x x x
a x a a x a a x a x a (x x )a m a
x x
a
x x x x
a
= =
−−∆= = =
∆ − −
+ − − − −= = = = ⇒ =
− −
+
−
+
++
Satz ( )
( ) ( )= +
− −= = = = α
− −△
△
1 0
1 1 2 2
1
2 1 2 11
2 1 2 1
f x a x a
P | y P | y
a .
y y f(x ) f(x )ya tan
x x x x x
1 2
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion
der durch die Punkte x und x verläuft
wird durch den Koeffizienten bestimmt
Kurzfor−
=−
2 11
2 1
y ya
x xm:
Übung 3:
( )fK ist das Schaubild der linearen Funktion f mit f x 1,5x 2 ; x .= − ∈ℝ
Statt Schaubild einer Funktion Kf sagt man auch Graph einer Funktion f.
a) fLiegt der Punkt P( 2,5 | 1,75 ) auf der Geraden K ?
b) ( ) ( )A B f A BDie Punkte A x | 4 und B 2 | y liegen auf K . Bestimmen Sie x und x .−
c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x). d) Für welche x- Werte gilt f(x) > 0? e) *Bestimmen Sie den Wertebereich von f(x), wenn D gewählt wird.+= ℝ
f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von Kf in y- Richtung und verläuft durch N( 4 | 0 ).
Lösung a) ( )
( )
= −
= ⋅ − = ⇒ ∈f f
f x 1,5x 2
P 2,5 |1,75 : f(2,5) 1,5 2,5 2 1,75 P K P K
Punktprobe:
liegt auf der Geraden oder
Seite 32
b) ( ) ( ) ( )
( )
A A A B B
A
A B
A
A x | 4 : f(x ) 1,5 x 2 4 B 2 | y : f( 2) 1,5 2 2 y
1,5 x 2 4 | 2
1,5 x 6 | :1,5 y 1,5 2 2 5
x 4
= ⋅ − = − − = ⋅ − − =
⇒ ⋅ − = +
⇔ ⋅ = ⇒ = ⋅ − − = −
⇔ =
c)
( ) = ⇔ − = ⇔ − = +
⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ⇒
x
f x 0 1,5x 2 0 1,5x 2 0 | 2
3 4 4x 2 | 2 3x 4 |: 3 x P 0
2 3 3
Nullstelle:
d)
( ) 3 3 2f x 1,5x 2 0 x 2 0 | 2 x 2 |
2 2 3
4 4x Für x ist f(x) 0
3 3
= − > ⇔ − > + ⇔ > ⋅
⇔ > ⇒ > >
e) ( ) ( )
( ) ( ){ }+ += − = >
⇒ > − ⇒ = = > −
ℝ ℝ* *f
f
f x 1,5x 2 D x 0
f x 2 W y | y f x 2
bedeutet
f) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
⇒
= +
⇒ = ⇔ ⋅ + = ⇔ + = − ⇔ = −
= − = −
0
0 0 0
N 4 | 0
3g x x a
2
3N 4 | 0 : g 4 0 4 a 0 6 a 0 | 6 a 6
2
3 3g x x 6 f x x 2 N 4 | 0
2 2
Verschiebubg in y - Richtung durch parallele Gerade
Punktprobe mit:
verläuft parallel zu durch
Lage zweier Geraden zueinander
Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen hat bekanntlich entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Was aber hat das mit der Lage zweier Geraden zueinander zu tun? Ein Fallbeispiel soll zur Klärung dienen.
Übung 4 Ein Ökokühlschrank (1) kostet 400 € und hat monatliche Energiekosten von 20 €. Ein
Billigkühlschrank (2) kostet 200 € und hat monatliche Energiekosten von 40 €. Nach
welcher Zeit hat sich der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank bezahlt gemacht
(sich amortisiert)?
Lösung Die Funktionsgleichungen für die Kostenentwicklung lauten: Für den Ökokühlschrank:
( ) ( )( )= + =1 1K x 20x 400 x K x(1) Zeit in Monaten, in €
. Für den Billigkühlschrank:
( ) ( )( )= + =2 2K x 40x 200 x K x(2) Zeit in Monaten, in €
.
Seite 33
Der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank hat sich dann amortisiert, wenn die Gesamtkosten (Anschaffungskosten und Energiekosten) gleich, bzw. geringer sind als die des Billigkühlschrankes.
( ) ( )=1 2K x K xKostengleichheit herrscht, falls .
( ) ( )
( )( )
( )( )
( )
=
⇔ + = + −
⇔ = − −
⇔ − = − − ⇔ =
⇒ = ⋅ + =
⇒ = ⋅ + =
1 2
1
1
2
2
K x K x
20x 400 40x 200 | 400
20x 40x 200 | 40x
20x 200 |: 20 x 10
K x
K 10 20 10 400 600
K x
K 10 40 10 200 600
eingesetzt in
eingesetzt in
Ergebnis: Das Gleichungssystem ( ) ( )= + = +1 2K x 20x 400 K x 40x 200 und wurde
durch das Gleichsetzungsverfahren gelöst. Der Wert x = 10 bedeutet, nach 10 Monaten
hat sich der Ökokühlschrank amortisiert.
Der Wert y = 600 bedeutet, für beide Kühlschränke sind nach 10 Monaten die gleichen
Kosten entstanden ( 600 € ). Ab jetzt sind die Gesamtkosten für den Ökokühlschrank
geringer.
Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen ist stets ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Hat f(x) = g(x) genau eine Lösung, dann schneiden sich die Graphen von f und g in einem Punkt. Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen. Hat f(x) = g(x) keine Lösung, dann haben beide Geraden keinen gemeinsamen Punkt. Sie verlaufen parallel zueinander. Hat f(x) = g(x) unendlich viele Lösungen, dann sind beide Geraden identisch.
Genau eine Lösung Keine Lösung Unendlich viele Lösungen
0 2 4 6 8 10 12
200
400
600
800
y Kosten in €
x
Monate
( )S SS x | y
( ) ( )S 1 S 2 Sy K x K x= =
Sx
( )2K x
( )1K x
1 0 1 2 3 4 5
2
1
1
2
x
y
( )f x
( )g x1 0 1 2 3 4 5
2
1
1
2
x
y
( )f x
( )g x
1 0 1 2 3 4 5
2
1
1
2
x
y
( )f x
( )g x
Seite 34
Rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden
Ermittelt man die Steigung von zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden, so ist zu vermuten, dass es zwischen den Steigungen beider Geraden einen Zusammenhang gibt. Vorübung: Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
( ) 3f x x
2=
in ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie zu diesem Graphen mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade durch den Koordinatenursprung und lesen Sie deren Steigung ab.
= = −1g 1h
1h 1g
3 2
2 3
a a
Steigung der Geraden g: a Vermutung: Steigung der Geraden h: a
stellt den negativen Kehrwert von dar.
Man spricht hier vom einem negativ- reziproken Steigungsverhältnis.
Das bedeute = − ⋅ = − = −1h 1g 1h 1g
1g 1h
1 1a 1
a at: a bzw. a oder a
Satz Für die Steigung zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden
g und h gilt:
⋅ = − = − = −1g 1h 1g 1h
1h 1g
1 1a a 1
a a bzw. a oder a
Die Geraden sind zueinander orthogonal.
32
2
3
x
y
Seite 35
3.2.1.2 Quadratische Funktionen
3.2.1.2.1 Einführungsbeispiel
Jeder, der sich auf die Führerscheinprüfung vorbereitet sollte wissen, dass sich der
Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem
Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt.
Nach folgenden Faustregeln lassen sich aus der Geschwindigkeit v in km/h der
Reaktionsweg r und der Bremsweg b in Meter berechnen.
Achtung:
Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04
Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit
einem anderen Bremsweg berechnet.
2
2v v
Bremsweg: b= Reaktionsweg: r= 310 10
Bemerkung: ab Juni 2004 gilt für den Bremsweg1 v
b=2 1
: 0
⋅
⋅
Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel: Der Brems – bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.
a) Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann.
b) Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30, ... 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen.
c) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. d) Kommentieren Sie das Gesamtergebnis.
Problemlösung:
a) Die Funktionsgleichung
ne
al
ue
te R
Reg
egelung:
elung:
2
2
2
2
1 v v 1 3f(v) 3 v v
2 10 10 200
v v 1 3f(v) 3 v v
10 10 100 10
10
= ⋅ + ⋅ = +
= + ⋅ = +
b) Die Wertetabelle
v (in km/h) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
f(v) (in m) 0 4 10 18 28 40 54 7
f(v) (in m) 0 3,5 8 13,5 20 27,5 36 45,5
0 88 108 13
56 67,5 8
0 alt
0 neu
Seite 36
c) Die Graphen
Die x – Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da. Die y – Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.
d) Der Kommentar
Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer. Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m. Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m. Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll.
Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, dass es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt.
Die Funktionsgleichungen haben die Form: 2
2 1 0f(x) a x a x a= + +
Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt.
f x( )1
2
x
10
2
⋅ 3x
10⋅+:= g x( )
x
10
2
3x
10⋅+:=
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
f x( )
g x( )
x
Seite 37
3.2.1.2.2 Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen
Arbeitsauftrag:
2Untersuchen Sie für verschiedene Werte von a die Funktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.
22
2 2 2 21 2 3 4
f(x) a x
3 1 1f (x) x f (x) x f (x) x f (x) x
2 4 4
=
= = = = −
Die Funktionsgleichungen der abgebildeten Parabeln unterscheiden sich nur durch den Koeffizienten a2 von x2.
21
22
23
24
f (x) x
3f (x) x
2
1f (x) x
4
1f (x) x
4
=
=
=
= −
Dieser Koeffizient a2 ist für die Form der Parabel verantwortlich und heißt demnach Formfaktor. Der Scheitelpunkt S hat die
Koordinaten S ( 0 | 0 )
Wie beeinflusst der Formfaktor die Gestalt der Parabel?
Formfaktor Parabelbezeichnung
Normalparabel
gestreckte Parabel
gestauchte Parabelan der x - Achse gespiegelte Normalparabel
gestreckte Parabel, an der x - Achse gespiegelt
ges
a 1
a 1
0 a 1
a 1
a 1
1 a 0
= →
> →
< < →
= − →
< − →
− < < → tauchte Parabel, an der x - Achse gespiegelt
4 3 2 1 0 1 2 3 4
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
66
6−
f 1 x( )
f 2 x( )
f 3 x( )
f 4 x( )
44− x
Seite 38
Arbeitsauftrag:
0Untersuchen Sie für verschiedene Werte von a die Funktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.
20
2 2 21 2 3
f(x) x a
f (x) x f (x) x 2 f (x) x 2
= +
= = + = −
Es handelt sich dabei um eine verschobene
Normalparabel, deren Scheitelpunkt S
um a0 Einheiten verschoben wurde.
21
22
23
f (x) x
f (x) x 2
f (x) x 2
=
= +
= −
Die Verschiebung erfolgt längs der Ordinatenachse, wobei die Richtung der Verschiebung durch das Vorzeichen von a0 bestimmt wird. Der Scheitelpunkt S hat die
Koordinaten S ( 0 | a0 ).
Arbeitsauftrag:
( )
( ) ( )
Untersuchen Sie für verschiedene Werte von u die Funktion und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.
Wertetabellen:1 2 3
2
2
2
2 2
1 3
f(x) x u
(x) x (x) x 2 (x) x 2
x 2 1 0 1 2 x 4 3 2
f f f
f 1 0 x 0 1 2 3 4
y 4 1 0 1 4
f f
= +
= = + = −
− − − − − −
y 4 1 0 1 4 y 4 1 0 1 4
3 2 1 0 1 2 3
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
88
3−
f 1 x( )
f 2 x( )
f 3 x( )
33− x
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
1
1
2
3
4
55
1−
f 1 x( )
f 2 x( )
f 3 x( )
66− x
Seite 39
Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um u
Einheiten auf der x – Achse verschoben wurde.
Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( -u | 0 ).
Verschiebung nach links; der Scheitelpunkt S liegt links vom Ursprung
Verschiebung nach rechts; der Scheitelpunkt S liegt rechts vom Ursprung
u 0
u 0
> ⇒
< ⇒
Arbeitsauftrag:
( )
( ) ( )
Untersuchen Sie für verschiedene Werte von u und die Funktion
und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem.0
2
0
2 221 2 3
a
f(x) x u a
f (x) x f (x) x 2 3 f (x) x 1 2
= + +
= = − + = + −
Der Graph von f2 (x) ist wieder eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um zwei
Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach oben verschoben ist.
Der Graph von f3 (x) ist ebenfalls eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um eine
Einheit nach links und um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.
( )Eine Funktion der Art 2
0f(x) x u a= + +
nennt man Scheitelpunktform der quadratischen Funktion.
Der Graph der Funktion ist eine Normalparabel, die um den Wert u in Richtung der
Abszissenachse und um a0 in Richtung der Ordinatenachse verschoben ist.
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
99
3−
f 1 x( )
f 2 x( )
f 3 x( )
55− x
Seite 40
( )( )
( ) ( )( ) ( )
Bezeichnet man den Scheitelpunkt mit , so lautet die Scheitelpunktform
der quadratischen Funktion:
In Kurzform:
Beispiel:
s s
2
s s
2
s s s s
2
S x | y
f(x) x x y
S x | y f(x) x x y
S 3 | 1 f(x) x 3 1
= − +
⇔ = − +
− ⇔ = − −
Bisher haben wir nur die Normalparabel verschoben. Die gleichen Verschiebungen lassen sich auch mit einer beliebigen Parabel durchführen. Dabei ist dann der Formfaktor a2 zu berücksichtigen.
( ) ( )
Allgemein gilt: die Funktionsgleichung einer Parabel die den Scheitel-
punkt besitzt, so ist die Scheitelpunktformder Funktionsgleichung.
22 1 0
2
s s 2 s s
Ist f(x) a x a x a
S x | y f(x) a x x y
= + +
= − +
3.2.1.2.3 Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung.
Wir wissen bereits das gilt:
( ) ( )222 1 0 2 s s s sf(x) a x a x a a x x y S x | y= + + ⇔ − + ⇒
Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunkt-form lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.
Beispiel 1:
[ ]
( )
soll in die Scheitelpunktform überführt werden.
1. Schritt: Der Faktor vor wird ausgeklammert
2. Schritt: quadratische Ergänzung in und Umformung
2
2
2
2
2.
f(x) 3x 12x 15
x
f(x) 3 x 4x 5
f(x) 3 x 4 2x
= − +
⇒ = ⋅ − +
⇒ = ⋅ − + ( ) ( ) ( ) ( )Binomische Formel
2 22 25 3 x 2 1 3 x 2 3 S 2 | 32
+− = ⋅ − + = − + ⇒
�������
Beispiel 2:
( ) ( )
2 22 2 2
2 2
1 1 1f(x) x 3x 4 x 6x 8 x 6x 8
2 2 2
1 1 1 1f(x) x 3 1 x 3 S 3 |
2
3 3
2 2 2
= − + = − + = − + +
⇔ = − −
−
= − − ⇒ −
Beispiel 3:
2 2 2
2 2 2
2 21 1 3 1 3 9 1 3 9
f(x) x x x x x x3 2 4 3 2 4 3 2 4
1 3 9 36 1 3 27 1 3 9 3 9f(x) x x x S |
3 4 16 16 3 4 16 3 4
3 3
16 4 16
4 4
= − − − = − + + = − + +
⇒ = − + − + = − + + = − + − ⇒ − −
+ −
Seite 41
Allgemein:
( ) 2
2 1 0
2 012
2 2
2 2
2 01 1 12
2 2 2 2
22
0 21 12 2 2
2 2 2
22
0 2 112 2
2 2
22
0 2 112
2 2
S
f x a x a x a
aaa x x
a a
aa a aa x x
a 2a 2a a
4a aa aa x
2a 4a 4a
4a a aaa x
2a 4a
4a a aaa x
2a 4a
P
= + +
= + +
= + + − +
= + − +
− = + +
−= + +
2
0 2 11
2 2
4a a aa
2a 4a
−−
( ) ( )2 S S
1S
2
2
0 2 1S
2
f x a x x y
ax
2a
4a a ay
4a
= − +
= −
−=
Seite 42
3.2.1.2.4 Zusammenfassung Quadratische Funktionen
Funktionsgleichung Die Funktionsgleichungen haben die Form:
( ) 22 1 0f x a x a x a= + +
Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt.
Scheitelpunkt-Scheitelpunktform.
( ) ( )
Allgemein gilt: die Funktionsgleichung einer Parabel die den
Scheitelpunkt besitzt, so ist die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.
22 1 0
2
s s 2 s s
Ist f(x) a x a x a
S x | y f(x) a x x y
= + +
= − +
Achsenschnittpunkte
x
yf(x)
( )y sP 0 | y
( )x2 2P x | 0( )x1 1P x | 0
( )s sS x | y
( ) ( )
( ) ( )
Der Schnittpunkt mit der
Die Schnittpunkte mit der x
i
y s s
x i i
y Achse :
P 0 | y y f 0
Achse :
P x | 0 f x 0
−
⇒ =
−
⇒ =
Symmetriebetrachtungen Die abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y – Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln.
Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitel S( xs | ys ) lautet
x = xs hier x = 3
Auch die Nullstellen sind symmetrisch zur Symmetrieachse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x – Wert des Scheitels berechnet werden.
p-q-Formel, Diskriminante und Lösungsmenge Normalform der quadratischen Gleichung:
Formel: Diskriminante:
2
2 2
1/2
f(x) x px q
p p pp q x q D q
2 2 2
= + +
− − = − ± − = −
1 0 1 2 3 4 5 6 7
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
66
5−
f x( )
g x( )
71− x
Seite 43
{ }{ }
Die Diskriminante bestimmt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung.
Zwei Lösungselemente
Ein Lösungselement (Doppellösun
1 2
1 2
D
p px D x D
2 2
D 0 L x ; x
D 0 L x
= − + ∨ = − −
> ⇒ =
= ⇒ =
{ }g)
Kein LösungselementD 0 L< ⇒ =
Scheitelpunktberechnung über die Nullstellen:
( )Nullstellen bekannt 1 21 2 s s s
x x: x ; x x S x | f(x )
2
+⇒ = ⇒
Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung
[ ]
( )
soll in die Scheitelpunktform überführt werden.
1. Schritt: Der Faktor vor wird ausgeklammert
2. Schritt: quadratische Ergänzung in und Umformung
2
2
2
2
2.
f(x) 3x 12x 15
x
f(x) 3 x 4x 5
f(x) 3 x 4 2x
= − +
⇒ = ⋅ − +
⇒ = ⋅ − + ( ) ( ) ( ) ( )Binomische Formel
2 22 25 3 x 2 1 3 x 2 3 S 2 | 32
+− = ⋅ − + = − + ⇒
�������
Der Satz von Vieta Wurzelsatz von Vieta 1 2 1 2x x p x x q+ = − ∧ ⋅ =
Nullstellen und Linearfaktoren
( )
Sind und die Nullstellen der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung
so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:
1 2
22 1 0
2 1
Linea
x x
f(x) a x a x a
f(x) a x x
= + +
= − ( )2rfaktor Linearfaktor
x x−����� �����
Der Satz vom Nullprodukt
( )( )( )( )
( )
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. und
Beispiele: und und
1 2
1 2
1 2
x a x b 0 x a x b
x 2 x 1 0 x 2 x 1
x x 3 0 x 0 x 3
+ + = ⇔ = − = −− + = ⇔ = = −
+ = ⇔ = = −
Seite 44
3.2.1.2.5 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen
Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden.
( ) ( ) ( ) ( ) Funktionsgleichung allgemein: 21 2 3 2 1 0P 1| 2 ;P 5 | 4 ;P 3 | 1 f x a x a x a− = + +
Zur Bestimmung der Funktionsgleichung müssen für die allgemeinen Koeffizienten a2, a1
und a0 die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmt werden. Da alle drei gegebenen
Punkte P1 , P2 und P3 Punkte der zu bestimmenden Parabel sind, kann durch dreimaliges
Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den Stellen x und y der allgemeinen
Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten
erzeugt werden, aus denen sich die Koeffizienten a1, a2 und a3 bestimmen lassen.
Aufstellen des Gleichungssystems:
( )( )( )( )
22 1 0
1 2 1 0
2 2 1 0
3 2 1 0
P x | y f(x) a x a x a y
P 1| 2 f(1) 1a 1a 1a 2
P 5 | 4 f(5) 25 a 5 a 1a 4
P 3 | 1 f(3) 9 a 3 a 1a 1
= + + =
= + + =
= + + =
− = + + = −
Das ist ein Gleichungssystem bestehend
aus drei linearen Gleichungen mit drei
Unbekannten.
Mit dem Additionsverfahren lässt sich die
Lösung finden.
Das Additionsverfahren lässt sich schematisieren. Das führt zum Gauß – Algorithmus. Beim Gauß – Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten.
Gauß – Algorithmus:
( )Lösung durch einsetzen:
0 1 2
2 2
1 2
1
1
1
0 1 2
0
0
0
a a a4a 4 | 4 a 1
1 1 1 2
2a 12a 11 5 25 4 II I
2a 12 1 1| 121 3 9 1 III I
2a 11| : 21 1 1 2
110 4 24 2 : 2a
20 2 8 3
a a a 21 1 1 2
110 2 12 1a 1 2
20 2 8 3 III II9 4 91 1 1 2 a |2 2 2
0 2 12 1
a0 0 4 4
− = − − ⇔ =
+ =−⇔ + ⋅ = −− −⇔ = −
⇔ = −−
+ + =
⇔ − + =− −
⇔ − = +
⇔ =− −
( )Funktionsgleichung: 2
13
2
11 13f x x x
2 2= − +
Beim Gauß - Algorithmus wird zeilenweise gearbeitet.
Zeilen darf man: - vertauschen - mit einer Zahl multiplizieren - durch eine Zahl dividieren - addieren - subtrahieren
Werden die Spalten vertauscht, dann müssen auch die Koeffizienten mitgenommen werden
Das Ziel ist es auf eine Dreiecksform zu kommen. x x x
x x
x
0 x
0 0 x x
Seite 45
Der Funktionsgraph:
Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu erhalten sind drei Punkte nötig. Wir erinnern uns: Bei einer linearen Funktion (Gerade) waren es nur zwei Punkte. Um den Graphen einer Parabel sauber zeichnen zu können, sind außer den vorgegebenen drei Punkten noch der Scheitelpunkt und die Achsen-schnittpunkte nötig. Wenn wir zudem auch noch die Symmetrie zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt berücksichtigen, benötigen wir in den meisten Fällen keine weiteren Punkte.
1 0 1 2 3 4 5 6 7
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
8
99
4−
f x( )
Y
71− x X,
Seite 46
3.2.1.3 Ganzrationale Funktion n – ten Grades
( )( )
ganzrationale Funktion n - te
Eine Fu
n GradesKoeffiziente
nktion mit
heißt .Die Zahlen heißen n
n n 1 n 2 2n n 1 n 2 2 1 0
n n 1 n 2 2 1 0
f x
f x a x a x a x ... a x a x a
a ; a ; a ; .... a ; a ; a
− −− −
− −
= + + + + + +
Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen.
Verlauf des Graphen
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.
3 2f(x) x x 4x 1= + − −
3 2f(x) x x 4x 1= − − + +
4 3 2f(x) 0,2x 2x 5x x 2= + + + −
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2
654321
12345678
8
6−
f x( )
27− x
4 3 2f(x) 0,2x 2x 5x x 2= − − − − +
n gerade n ungerade
na 0> Verlauf von II nach I Verlauf von III nach I
na 0< Verlauf von III nach IV Verlauf von II nach IV
3 2 1 0 1 2 3
4
3
2
1
1
2
3
44
4−
f x( )
33− x
3 2 1 0 1 2 3
4
3
2
1
1
2
3
44
4−
f x( )
33− x
7 6 5 4 3 2 1 0 1 2
87654321
123456
6
8−
f x( )
27− x
Seite 47
Beispiele:
( )( )( )
3 2n
4 2n
5 4n
f x 4x 2x 7 n 3 (ungerade) a 4 0 III I
f x 2x 3x 4x 7 n 4 (gerade) a 2 0 III IV
f x 5x 2x 9 n 5 (ungerade) a 5 0 II IV
= + − = ∧ = > ⇒ −
= − + − + = ∧ = − < ⇒ −
= − + + = ∧ = − < ⇒ −
Symmetrien:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht oder
( ) ( )Achsensymmetrie wenn für alle gilt: x D f x f x∈ − =
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht oder
( ) ( )Punktsymmetrie wenn für alle gilt x D f x f x∈ − = −
Bemerkung: Unter Achsensymmetrie ist immer die Symmetrie zur y – Achse zu verstehen. Punktsymmetrie ist die Symmetrie zum Koordinatenursprung. Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen
( ) ( )Schnittpunkt mit der Bedingung: y s sy Achse P 0 | y : y f 0− =
Beispiel:
( ) ( )( ) ( )
4 2 4 2
y y
f x 3x 2x 3 f 0 3 0 2 0 3 0 0 3 3
P 0 | 3 oder P 0 | f(0)
= − − ⇒ = ⋅ − ⋅ − = − − = −
⇒ −
Die y – Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0. Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.
( ) ( )Schnittpunkt mit der x Nullstelle Bedingung: f xx sAchse P x | 0 : 0− =
Satz: Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.
Seite 48
3.2.1.4 Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen.
Faktorisierungsverfahren:
Beispiel:
( )
( )
{ }
der Faktor x kann ausgeklammert werden
und der Klammerausdruck ist Null
ist eine quadratische Gleichung mit
als Lösungsmenge geschrieben
3 2
21
22 3
f x 2x 2x 4x 0
x 2x 2x 4 0 x 0
2x 2x 4 0 x 1 x 2
L 0 ; 1; 2
= − − =
⇔ − − = ⇒ =
⇒ − − = = − =
⇒ = −
⇒ ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )Produkt aus Linearfaktoren
Koordinaten der Schnittpunkte mit der x - Achse
1 2 3x x x
3 2
P 0 | 0 ;P 1| 0 ;P 2 | 0
f x x 1 x 2 x f x 2x 2x 4x
−
= + − ⇔ = − −�������
Substitutionsverfahren:
Beispiel:
( )
( )
{ }( ) ( ) ( )
2
biquadratische Gleichung
Substitution:
und
Substitution rückgängig machen:
x und
1 2 3
4 2
21 2
21 2 1 2 3 4
x x
2
x x
f x x 13x 36 0
f z z 13z 36 0 z 9 z 4
z 9 x z 4 x 3 x 3 x 2 x 2 L 3 , 3 ; 2 ; 2
P 3 | 0 ;P 3 | 0 ;P 2 | 0 ;
x z
P
= − + =
⇒ = − + = ⇒ = =
= = = = ⇒ = = − = = − ⇒ = − −
⇒ −
=
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )Produkt aus Linearfaktoren
4
4 2
2 | 0
f x x 3 x 3 x 2 x 2 f x x 13x 36
−
= − + − + ⇔ = − +�������������
Polynomdivision:
Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Zwischen der Polynomdivision und dem schriftlichen dividieren besteht ein Zusammenhang. Folgende Gegenüberstellung soll das im Falle einer Division ohne Rest zeigen.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 2
3 2 2
2
2
x 6x 11x 12 : x 4 x 2x 3
x 4x x 4 x
2x 11x
2x 8 x x 4 2x
3x 12
3x 12 x 4 3
0
− + − − = − +
− − − ⋅
− +
− − + − ⋅ −
−
− − − ⋅
62228 : 47 1 3 2 4
47 47 1
152
141 47 3
112
94 47 2
188
188 47 4
0
=
− ⋅
− ⋅
− ⋅
− ⋅
Seite 49
Die Zahl 62, bestehend aus den ersten zwei Ziffern der zu teilenden Zahl wird durch den Teiler (47) dividiert. Das Ergebnis (1) wird mit dem Teiler 47 multipliziert und von der Zahl (62) subtrahiert. Mit dem Ergebnis der Subtraktion (152) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist.
Probe: 47 1324 62228⋅ =
Der erste Summand des zu teilenden Polynoms ( x3 ) wird durch den ersten Summanden des Teilers ( x ) dividiert. Das Ergebnis ( x2 ) wird mit dem Teiler ( x – 4 ) multipliziert und von dem zu teilenden Polynom subtrahiert. Mit dem Ergebnis der Subtraktion ( -2x2 + 11x - 12 ) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist.
( ) ( )2 3 2Probe: x 4 x 2x 3 x 6x 11x 12− ⋅ − + = − + −
Beispiel:
( )( )
( ) ( )( )
ist Nullstelle (durch probieren gefunden)
Polynomdivision.
Jetzt muss nur noch die quadratische Gleichun
3 2
1
3 2 2
3 2
f x x 3x 4x 12
f 2 8 12 8 12 0 x 2
x 3x 4x 12 : x 2 x 5x 6
x 2x
= + − −
= + − − = ⇒ =
+ − − − = + +
− −
( )
( )
g
gelöst werden.
2 2
2 2
2 2
5x 4x x 5x 6 0
5 55x 10x x 5x 6
2 2
6x 12
6x 12
− + + =
− − + + = − +
−
− −
0
2
2 3
5 1x
2 4
5 1x
2 2x 2 x 3
+ =
+ = ±
= − = −
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )1 2 3x x x
Produkt aus Linearfaktoren
L 2 ; 2 ; 3 P 2 | 0 ;P 2 | 0 ;P 3 | 0 f x x 2 x 2 x 3⇒ = − − ⇒ − − = − + +���������
Seite 50
4 Differenzialrechnung
4.1 Einführung
4.1.1 Tangenten – Sekantensteigung
Besonders einfach lassen sich die Unterschiede zwischen der Sekante und der Tangente beim Kreis beschreiben. Alle Geraden können bezüglich eines Kreises unterschieden werden in Sekanten, Tangenten und Passanten – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die Kreistangente trifft den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden Berührungsradius. Die Definition kann für beliebige Kurven-/Funktionsabschnitte Verwendung finden.
Abbildung 7: Tangente und Sekante
ym
x
∆=
∆
( ) ( ) ( )0
tan
tan
limx
f x x f xf x
xβ
α
∆ →
+ ∆ −′ =
∆��������������������
tan : Tangentensteigung
tan : Sekantensteigung
αβ
Abbildung 8: Tangenten- und Sekantensteigung
Bestimmung der Tangentensteigung mit Hilfe von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm
Leibniz.
( )f x x= ( )0 0 0
lim lim lim1 1x x x
x x x xf x
x x∆ → ∆ → ∆ →
+ ∆ − ∆′ = = = =∆ ∆
( ) 1f x′ =
( ) 2f x x= ( ) ( )2 2 2
0 0lim limx x
x x x xf x
x∆ → ∆ →
+ ∆ −′ = =
∆
2 22x x x x+ ∆ + ∆ −
( )0
limx
x
xf x
∆ →
∆
∆′ =
( )2x x
x
⋅ + ∆
∆2x=
( ) 2f x x′ =
( ) 3f x x=
( ) ( )
( )
3 3 3 2 2 3 3
0 0
0
3 3lim lim
lim
x x
x
x x x x x x x x x xf x
x x
xf x
∆ → ∆ →
∆ →
+ ∆ − + ∆ + ∆ + ∆ −′ = =∆ ∆
∆′ =
( )2 23 3x x x x
x
⋅ + ∆ + ∆
∆23x=
( ) 23f x x′ =
Seite 51
Aufgaben
Die Funktion f ′ heißt Ableitungsfunktion der Funktion f . Die Funktionswerte von f ′
geben die Steigung des Graphen von f an der entsprechenden Stelle an.
Welcher der roten Graphen ist der Graph von f ′ ? Begründen Sie.
Antwort: ( )p x kann es nicht sein, da die Werte von ( )p x nur positiv sind. Bei ( )f x
liegen aber im Bereich von 0 bis 4 negative Tangentensteigungen vor.
( )h x hat für die Werte kleiner 0 negative Werte. Bei der Funktion liegen
aber für x-Werte kleiner Null positive Tangentensteigungen vor.
( )g x hat für x-Werte kleiner Null positive Werte; zwischen 0 und 4 negative
Werte und für x-Werte größer 4 wieder positive Werte. Dies entspricht den
Tangentensteigungen der Funktion.
4.1.2 Einfache Ableitungsregeln
Die POTENZREGEL ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differential-
rechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen . Sie lautet:
( )( ) 1
n
n
f x x
f x n x −
=
′ = ⋅
Beispiele:
a.) ( ) ( )4 34f x x f x x′= ⇒ = ⋅
b.) ( ) ( )3 43f x x f x x− −′= ⇒ = − ⋅
c.) ( ) ( )5 5 2
13 23 3 3 3
5 5 55
3 3 3f x x f x x x x
−′= = ⇒ = ⋅ = ⋅ = ⋅
KONSTANTENREGEL:
( )
( )0 0 0
0lim lim lim 0 0x x x
f x c
c cf x
x x∆ → ∆ → ∆ →
=
−′ = = = =
∆ ∆
Seite 52
FAKTORREGEL:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0
lim lim
lim
x x
x
g x
f x c g x
c g x x g xc g x x c g xf x
x x
g x x g xf x c
x
f x c g x
∆ → ∆ →
∆ →
′
= ⋅
⋅ + ∆ − ⋅ + ∆ − ⋅ ′ = =∆ ∆
+ ∆ −′ = ⋅
∆
′ ′= ⋅
���������
Fazit: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
Beispiele:
a.) ( ) ( )5 5 1 43 3 5 15f x x f x x x−′= ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ = ⋅
b.) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 1 4
4
62 2 3 6f x x f x x x
x
− − − −′= − ⋅ ⇒ = − ⋅ − ⋅ = ⋅ =
SUMMENEREGEL:
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0
lim
lim
x
x
f x g x h x
g x x h x x g x h xf x
x
g x x h x x g x h xf x
x
∆ →
∆ →
= +
+ ∆ + + ∆ − + ′ =∆
+ ∆ + + ∆ − −′ =
∆
Fazit: Eine Summe von Funktionen wird summandenweise abgeleitet.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0 0
lim
lim
lim lim
x
x
x x
g x x g x h x x h xf x
x
g x x g x h x x h xf x
x x
g x x g x h x x h xf x
x x
f x g x h x
∆ →
∆ →
∆ → ∆ →
+ ∆ − + + ∆ −′ =
∆+ ∆ − + ∆ −
′ = +∆ ∆
+ ∆ − + ∆ −′ = +
∆ ∆
′ ′ ′= +
Beispiel:
( ) ( )2 4 53 2 3 2 6 8 3 0f x x x x f x x x− −′= ⋅ − + − ⇒ = + + −
Aufgaben
Seite 53
4.1.3 Ableitungen höherer Ordnung
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung ( ) 4 3 220,05 0,8
15f x x x x= − − . Mit Hilfe
der Ableitungsregeln erhalten wir die:
Erste Ableitung ( ) 3 20,2 0, 4 1,6f x x x x′ = − −
Zweite Ableitung ( ) 20,6 0,8 1,6f x x x′′ = − −
Dritte Ableitung ( ) 1,2 0,8f x x′′′ = −
Vierte Ableitung ( )(4) 1,2f x =
Fünfte Ableitung ( )(5) 0f x =
Sechste Ableitung ( )(6) 0f x =
Seite 54
4.2 Diskussion Ganzrationaler Funktionen (GRF)
Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Summe von
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Man kann also ihren Funktionsterm in
folgende Form bringen:
( ) �1 2 0
1 2
1
1 0
01
...n
n n i
n n i
i
f x a x a x a x a x a x a x−−
=
= + + + + + =∑
Beispiel einer GRF und deren Ableitungen:
( ) 5 31
9f x x x= −
( ) 4 253
4f x x x′ = −
( ) 3206
9f x x x′′ = −
( ) 2606
9f x x′′′ = −
( ) 120
9
IVf x x= ( ) 5 31
9f x x x= −
Seite 55
4.2.1 Beispiele für Ganzrationale Funktionen
• Die Funktion mit dem Term ( ) 3 22 3 5 4f x x x x= − + − + ist eine ganzrationale
Funktion vom Grad 3 mit den Koeffizienten -2, 3, -5 und 4.
• Bei der Funktion ( ) ( )2: 2 1 3f x x x x→ − − + muss der Funktionsterm zunächst
durch Auflösen der Klammern in eine Summe umgeschrieben werden:
( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 4 3 22 1 3 2 2 6 9 2 10 6 18f x x x x x x x x x x x x= − − + = − + + + = − − − +
der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind -2, -10, -6, 18 und 0.
• Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad 5 mit den Koeffizienten -1, 0, 2 , 2π− , 0, 1 kann der Funktionsterm geschrieben werden als
( ) 5 3 22 2 1f x x x xπ= − + − +
4.2.2 Spezialfälle
• Für 0n = ergeben sich konstante Funktionen 0:f x a→
• Für 1n = ergeben sich lineare Funktionen 1 0:f x a x a→ + (statt m schreibt man
für die Steigung hier also 1a , und statt b für den y-Achsenabschnitt also 0a ).
• Für 2n = ergeben sich quadratische Funktionen 2
2 1 0:f x a x a x a→ + + (statt a, b
und c schreibt man hier also 2 1,a a und 0a ).
• Für 3n = ergeben sich kubische Funktionen 3 2
3 2 1 0:f x a x a x a x a→ + + + .
• Für 4n = spricht man manchmal von quartischen Funktionen. • Ist nur 0na ≠ und alle anderen Koeffizienten sind gleich 0, so ergibt sich eine
Potenzfunktion : n
nf x a x→ mit natürlichem Exponenten.
Seite 56
4.2.3 Kurvendiskussion – Beispiel –
Diskutieren Sie die Funktion: ( ) 5 31
9f x x x= −
1. Definitionsbereich
Die GRF sin in ganz R definiert.
f =D R , weil f GRF ist.
2. Nullstellen
( ) 0f x = 3 211 0
9x x
⇔ − =
3 2 210 1 9
9x x x⇔ = ∨ = ⇔ =
1 0x⇔ = ; 2 0x = ; 3 0x = ; 4 3x = ; 5 3x = − { }0,0,0,3, 3f = −N
3. Linearform
Die GRF n-ten Grades ( ) �1 2 0
1 2
1
1 0
01
...n
n n i
n n i
i
f x a x a x a x a x a x a x−−
=
= + + + + + =∑ hat
die Nullstellen 1 2, ,... nx x x . Dann gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra:
( ) ( ) ( ) ( )( )1 2 1...n n nf x a x x x x x x x x−= − − − −
Somit für das Beispiel:
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )3 21 10 0 0 3 3 9
9 9f x x x x x x x x= − − − − + = −
4. Stetigkeit Eine Funktion heißt stetig, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen. f ist nicht stetig in 0x
f ist stetig in ( ) ( )0
0 0limx x
x f x f x→
⇔ =
( )f x ist Ganzrationale Funktion
f heißt stetig in f f⇔D ist stetig in
allen Punkten des fD .
GRFn sind stetig in allen Punkten ihres Definitionsbereiches f =D R .
Somit für das Beispiel: f ist GRF f⇒ ist stetig in f =D R
Oder: Eine Funktion f heißt stetig in 0x , wenn
0 0 0 00 0
( ) lim ( ) lim ( ) ( )h h
f x f x h f x h f x→ →
= + = − = .
Seite 57
(Nähere ich mich von rechts oder von links der Stelle 0x und lasse den Abstand
h immer kleiner werden, so werde ich, wenn der Abstand gleich 0 ist, bei beiden
(rechts und links) den Funktionswert 0x erreichen.)
5. Symmetrie a. Achsensymmetrie b. Punktsymmetrie
fG ist achsensymmetrisch (as)
( ) ( )f x f x⇔ = −
fG ist punktsymmetrisch (ps)
( ) ( )f x f x⇔ = − −
Somit für das Beispiel:
a.) ( ) ( )5 31
9ff x x x f x as− = − + ≠ ⇒ ¬G
b.) ( ) ( )5 31 ist p
9ff x x x f x s− − = − = ⇒G
6. Ordinatenschnittpunkt
( ) 5 310 0 0 0
9f = ⋅ − =
7. Verhalten im Unendlichen
( ) 5 3 5
2
1 1 1lim lim lim
9 9x x xf x x x x
x→±∞ →±∞ →±∞
= − = − �
0
+∞
= −∞
8. Extrema a. 1. und 2. Ableitung
( )
( )
4 2
3
53
9
206
9
f x x x
f x x x
′ = −
′′ = −
b. Nullstellen der 1. Ableitung
( ) 2 2 2 25 50 3 0 0 3
9 9
0 2,32 2,32
f x x x x x
x x x
′ = ⇔ − = ⇔ = ∨ =
⇔ = ∨ = ∨ = −
c. Extrema bestimmen
( )0 0 hat in 0 kein Extremumff x′′ = ⇒ =G
Seite 58
( )
( ) ( )
3202,32 2,32 6 2,32 13,8 0
9
hat in 2,32 ein lokales Minimum
2,32 5,02 2,32 5,02
f
f
x
f Min
′′ = ⋅ − ⋅ = >
⇒ =
= − ⇒ −
G
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3202,32 2,32 6 2,32 13,9 0
9
hat in 2,32 ein lokales Maximum
2,32 5,02 2,32 5,02
f
f
x
f Min
′′ − = ⋅ − − ⋅ − = − <
⇒ = −
− = + ⇒ − +
G
9. Wendepunkte und Wendetangenten a. 3. Ableitung
( ) 2606
9f x x′′′ = −
b. Nullstellen der 2. Ableitung
( ) 2 2
2
20 200 6 0 0 6
9 9
27 0 2,7
10
0 1,64 1,64
f x x x x x
x x
x x x
′′ = ⇔ − = ⇔ = ∨ =
⇔ = ∨ = =
⇔ = ∨ = ∨ = −
c. Wendepunkte bestimmen
( )( ) ( )0 6 0 hat in 0 einen Wendepunkt
0 0 0 hat in 0 einen Sattelpunkt
f
f
f x
f f x
′′′ = − ≠ ⇒ =
′ ′′= = ⇒ =
G
G
( ) ( )0 0 0 0f SP= ⇒
( )
( ) ( )
2
1
201,64 1,64 6 12 0 hat in 1,64 einen Wendepunkt
3
1,64 3,11 1,64 3,11
ff x
f WP
′′′ = ⋅ − = ≠ ⇒ =
= − ⇒ −
G
( ) ( )
( ) ( )
2
2
201,64 1,64 6 12 0 hat in 1,64 einen Wendepunkt
3
1,64 3,11 1,64 3,11
ff x
f WP
′′′ − = ⋅ − − = ≠ ⇒ = −
− = + ⇒ −
G
d. Punkt-Steigungsform der Wendetangenten
( ) ( ) ( )
( )
W
W
W
W W
t x f xf x
x x
ym f x
x
−′ =
−
∆ ′= =∆
Seite 59
e. Tangentengleichung
( )( )
( )( )1
1,64
1,64 4,05
3,114,05
1,64
4,05 6,65 3,11
4,05 3,54
Wx
f
t x
x
x t x
t x x
=
′ = −
+− =
−
− + = +
= − +
( )( )
( )( )2
1,64
1,64 4,05
3,114,05
1,64
4,05 6,65 3,11
4,05 3,54
Wx
f
t x
x
x t x
t x x
= −
′ − = −
−− =
+
− − = −
= − −
10. Wertetabelle und Graph der Funktion
Seite 60
4.3 Funktionen aus gegebenen Bedingungen
Durch eine Kurvendiskussion können wir verschiedene Eigenschaften einer gegebenen
Funktion ermitteln, um beispielsweise den Graphen zu zeichnen. In der Praxis ist es
oftmals umgekehrt: Der Funktionsgraph oder bestimmte Eigenschaften sind gegeben,
und die zugehörige Funktionsgleichung soll ermittelt werden. Auch für Kurven und
Formen aus der Realität können wir „passende“ Funktionsgleichungen finden.
Beispiel:
Eine Funktion 4. Grades ist gesucht. Ihr Graph ist:
• achsensymmetrisch zur y-Achse
• hat in ( )1 0W einen Wendepunkt.
Eine Tangentengleichung im Wendepunkt lautet 2 2y x= − + .
Lösung:
Allgemeine Funktionsgleichung angeben:
( ) 4 3 2
4 3 2 1 0f x a x a x a x a x a= + + + +
Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, enthält der Funktionsterm nur x-
Potenzen mit geraden Exponenten.
Allgemeine Gleichungen (unter Berücksichtigung der Symmetrie):
( )( )( )
4 2
4 2 0
3
4 2
2
4 2
4 2
12 2
f x a x a x a
f x a x a x
f x a x a
= + +
′ = +
′′ = +
Bedingungsgleichungen aufstellen
( )( )( )
4 2
4 2 0
2
4 2
3
4 2
1 0 1 1 0 (I)
1 0 12 1 2 0 (II)
1 2 4 1 2 1 2 (III)
f a a a
f a a
f a a
= ⇔ ⋅ + ⋅ + =
′′ = ⇔ ⋅ + =
′ = − ⇔ ⋅ + ⋅ = −
Gleichungssystem aufstellen und lösen ( )( )( )
4 2 0
4 2
4 2
4
( ) 1 0 0
( ) 1 0 6 0
( ) 1 2 2 1
(IV)=(II)-(III) 4 1
I f a a a
II f a a
III f a a
a
= ⇔ + + =
′′ = ⇔ + =
′ = − ⇔ + = −
⇔ =
4
4 0
0
4 0
2
2
0,25
0,25 ( ) : 6 0, 25 0
a 1,5
0,25; a 1,5 ( ) :
0,25 1,5 0
a 1, 25
a
a in II a
a in I
a
⇔ =
= ⋅ + =
⇔ = −
= = −
− + =
⇔ =
Funktionsgleichung angeben( ) 4 20,25 1,5 1, 25f x x a x= ⋅ + − ⋅ +
( ) 2 2t x x= − +( ) 4 20,25 1,5 1, 25f x x a x= ⋅ + − ⋅ +
Seite 61
Eine Formulierung und deren „Übersetzung“ in die Funktionsschreibweise liefert
folgende Übersicht:
Der Graph der Funktion ( )f x ( )f x ( )f x′ ( )f x′′
• schneidet die x-Achse an der Stelle a (Nullstelle).
( ) 0f a =
• berührt die x-Achse an der Stelle a. ( ) 0f a =
• schneidet die y-Achse an der Stelle b. ( )0f b=
• geht durch den Punkt ( )P a b ( )f a b=
• hat einen Hochpunkt/Tiefpunkt an der Stelle a.
( ) 0f a′ =
• hat einen Hochpunkt/Tiefpunkt
( )P a b ( )f a b= ( ) 0f a′ =
• hat an der Stelle a die Steigung m. ( )f a m′ =
• hat einen Wendepunkt an der Stelle a. ( ) 0f a′′ =
• hat die stärkste Steigung/das größte Gefälle an der Stelle a.
( ) 0f a′′ =
• hat in ( )P a b einen Wendepunkt. ( )f a b= ( ) 0f a′′ =
• hat im Punkt ( )P a b einen Sattelpunkt ( )f a b= ( ) 0f a′ = ( ) 0f a′′ =
Die Tangente in ( )P a b hat die Steigung m. ( )f a b= ( )f a m′ =
Die Tangente im Wendepunkt ( )W a b hat
die Steigung m. ( )f a b= ( )f a m′ = ( ) 0f a′′ =
Seite 62
4.4 Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Die Idee von Newtons Verfahren besteht darin, dass Funktionen in kleinen Bereichen gut durch ihre Tangenten angenähert werden. Wenn man von einer Stelle aus eine benachbarte Nullstelle auffinden möchte, so schaut man, wo die Tangente an den Graphen an der betreffenden Stelle eine Nullstelle hat, und verwendet dann diese Nullstelle als nächste Näherung. Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist leicht zu berechnen, wenn man den Funktionswert und die Steigung der Tangenten kennt. Diese wird gegeben durch die erste Ableitung der Funktion, die auch numerisch gut angenähert werden kann. Das hier vorgestellte Näherungsver-fahren von Newton hat den Vorteil, dass die Nullstellen mit ausreichender Genauigkeit und wenigen Näherungs-schritten bestimmt werden können. Grundsätzlich gilt auch hier, wie bei anderen Näherungsverfahren, dass der Näherungswert in etwa bekannt sein muss. Der geschätzte oder graphisch ermittelte Wert 1x ist Startwert für das
Näherungsverfahren.
Abbildung 9: Newton-Verfahren
1. Näherungsschritt: (Abbildung 9: Newton-Verfahren) Zum Startwert 1x gehört der Punkt 1P , dessen Tangente die x-Achse im Punkt Q
schneidet. Mit ( )1 1 1( )P x f x und ( )2 0Q x wird der Steigungswert der Tangente ( )t x
ermittelt:
1
1 2
( ) 0t t
f xym m
x x x
−∆= ⇔ =
∆ −
Die Steigung der Tangente ist auch die Ableitung der Funktion f an der Stelle1x .
Also ist: 1( ) tf x m′ =
1 11 2 1
1 2 1
( ) ( )( )
( )
f x f xf x x x
x x f x′ = ⇔ = −
′−
2. Näherungsschritt: 2x und
2( )f x sind die Koordinaten von 2P . Wie im ersten Näherungsschritt wird
3x
ermittelt, usw. Die Näherungsschritte für das Newton-Verfahren lauten:
1
( )
( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
′; n∈N ; ( )f x′ existiert und ( ) 0f x′ ≠
1x
2x
0x
2P
1P
x
y
Q
( )t x
Seite 63
Achtung: Nicht jeder Startwert führt dazu, dass die Näherungswerte gegen
0x konvergieren (Abbildung 9: Newton-
Verfahren). Ist hier der Startwert
1 1x = , so schneidet die Tangente die
x-Achse weit entfernt von 0x .
Abbildung 10: Newton-Verfahren (schlecht gewählter Startwert)
Beispiel für die Bestimmung einer Nullstelle: 3( ) 0,04 0, 25 1f x x x= − −
Für die Funktion sollen die Nullstellen ermittelt werden. 1 3,5x = ist der Startwert. Er
kann aus Abbildung 9: Newton-Verfahren entnommen werden.
1
( )
( )
nn n
n
f xx x
f x+ = −
′
3( ) 0,04 0, 25 1f x x x= − − 2( ) 0,12 0,25f x x′ = −
Gleichung der Funktion Gleichung der Ableitungsfunktion
Von Vorteil ist es, sich für die n Schritte eine Tabelle anzulegen.
n nx ( )nf x ( )nf x′ ( )
( )
n
n
f x
f x′
1nx +
1 3,5 -0,16 1,22 -0,13115 3,63115 2 3,63115 0,00732 1,33223 0,00549 3,62566 3 3,62566 0,00002 1,32745 0,00002 3,62564 4 3,62564 -0,00001 1,32743 -0,000004
0 3,62565 0,000004x = ± ist die Nullstelle. Sie kann beliebig genau bestimmt werden.
Übung: Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion 3 2( ) 3 3 3f x x x x= − + − . Der erste
Näherungswert ist 1 2,5x = . Bestimmen Sie die Nullstelle so, dass sie auf 6 Stellen nach
dem Komma genau ist. 2( ) 3 6 3f x x x′ = − +
n nx ( )nf x ( )nf x′
1nx +
1 2,5 1,375 6,75 2,296296296
2 2,296296296 0,178275667 5,041152261 2,260932225
3 2,260932225 0,004819286 4,769850228 2,259921861
4 2,259921861 0,000003862 4,762209287 2,259921065
Bei der Fortsetzung des Verfahrens ändern sich die 6 Stellen nach dem Komma nicht
mehr. 2, 259921x = ist eine Näherung, die auf 6 Stellen nach dem Komma genau ist.
nx1nx +
( )nf x
x
y
Das Ergebnis ändert sich nach 6 Stellen nach dem
Komma nicht mehr.
Funktionswerte nähern sich
immer mehr der Zahl 0.
Seite 64
Aufgaben
4.5 Extremwertaufgaben
Für die Lösung einer Extremwertaufgabe benötigt man in der Regel eine Haupt- und eine
Nebenbedingung. Die Hauptbedingung enthält eine Formel für die optimierende Größe.
Diese Formel wird als Funktion aufgefasst, die jedoch meistens von mehr als einer
Variablen abhängig ist.
Die Nebenbedingung ist eine Gleichung, die einen gegebenen Zusammenhang zwischen
den Variablen beschreibt.
Die Zielfunktion erhält man, indem die nach einer Variablen umgestellten
Nebenbedingung in die Hauptbedingung eingesetzt wird.
Durch eine Extremwertbestimmung für die Zielfunktion erhält man die gesuchten
optimalen Werte. Dabei ist der in der Regel eingeschränkte Definitionsbereich zu
berücksichtigen.
In einem Fußballstadion befindet sich eine Laufbahn für Leichtathleten. Die Innenum-randung der Laufbahn besteht aus zwei geraden Stücken und zwei Halbkreisbögen und ist immer 400 m lang. Das Fußballfeld, welches im Inneren der Laufbahn an die geraden Stücke der Laufbahn angrenzt, ist so zu bemessen, dass die Spielfläche A maximal groß wird. Sie nimmt dann einen Extremwert an. Bestimmen Sie die Abmessungen [x, r] des Fußballstadions.
Abbildung 11: Extremwertaufgabe – Fußballstation
1. Schritt: Hauptbedingung erstellen ( , ) 2A x r x r= ⋅
2. Schritt: Nebenbedingung erstellen 2 2 400
2 400 2
400 22
l x r
r x
xr
ππ
π π
= + =
= −
= −
3. Schritt: Zielfunktion formulieren 2400 2
( )A x x xπ π
= ⋅ − ⋅
4. Schritt: Definitionsbereich festlegen Für r = 0, kann die Spielfeldfläche max.
200m betragen.
{ }0 200x x= ∈ ≤ ≤D R
Seite 65
5. Schritt: Zielfunktion ableiten 400 4( )A x x
π π′ = − ⋅
6. Schritt: Ableitung null setzen 400 4
0
0 100
100
x
x
x
π π− ⋅ =
= −
=
Der Extremwert liegt an der Stelle xE=100m
7. Schritt: Zweite Ableitung von ( )A x
bilden
4( )A x
π′′ = −
8. Schritt: Polarität der zweiten Ableitung an der Stelle xE ermitteln.
4( ) 0A x
π′′ = − <
Da die zweite Ableitung für alle x kleiner null ist, kann der Extremwert nur ein Maximum sein.
9. Schritt: Extremwert berechnen 400 2 1002
2002
2 63,66
r
r
r
π π
π
⋅= −
=
=
Die Spielfeldbreite beträgt 63,66m. 2
max 100 63,66 6366A m m m= ⋅ =
Aufgaben
Seite 66
5 Integralrechnung
5.1 Einführung Fall 1:
Wird ein Körper von einer bestimmten Stelle s1 nach s2 bewegt, ergibt sich für die verrichtete Arbeit :
( )0 2 1 0W F s s F s= ⋅ − = ⋅∆
Fall 2: Ein Auto beschleunigt konstant vom Stand 0v = auf eine Geschwindigkeit
0v . Dabei steigt
die Geschwindigkeit linear mit
( )v t a t= ⋅ an. Der Weg s
entspricht in diesem Fall der markierten Dreiecksfläche im Bereich [ ]10;t . Er berechnet sich
geometrisch:
( )
( )
1 1
2
1 1
1
2
1
2
1
2
Weg s Grundseite Höhe
s t v t
s t a t
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
Fall 3: Wenn eine Kraft nicht linear zur Wegstrecke verläuft, z.B. beim Beschleunigen eines Autos („Gas geben“, dann wird die Berechnung der verrichteten Arbeit Wschwieriger.
Krummlinig begrenzte Flächen bestimmt man mit der Integral-
rechnung
Abbildung 12: Einführung in die Integralrechnung
Beispiel:
Ein Pkw beschleunigt konstant in 10s vom Stand auf v = 30 m/s. Welche Wegstrecke legt er dabei zurück.
?
W
Seite 67
5.2 Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen
Gegeben ist die Funktion ( ) 1xf x e= − . Gesucht ist die Größe der Fläche zwischen dem
Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [ ]3;2− .
Lösung:
Der Graph von f geht durch den Ursprung:
( ) 00 1 1 1 0f e= − = − =
Also zerfällt die zu bestimmende Fläche in die Teilflächen A1 über [ ]3;0− und A2 über
[ ]0;2 .
( ) ( )
( )( ) ( )
1 2
0 2
3 0
3 2
3 2
1 1
1 0 3 2 1 0
1 3 3
2,05 4,39
2,05 4,39
6, 44
x x
A A A
e dx e dx
e e
e e
−
= +
= − + −
= − − − − + − − −
= − − + −
≈ − +
= +
=
∫ ∫
Der Flächeninhalt der gesuchten Fläche beträgt etwa 6,44 FE.
5.3 Mehrere Teilflächen zwischen zwei Funktionsgraphen
Haben zwei Funktionen mehr als zwei Schnittstellen, so zerfällt die von den Graphen
umschlossene Fläche in mehrere Teilflächen.
Diese müssen getrennt berechnet werden, da die entsprechenden Flächenstücke bei der
Differenzenfunktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen können. Folgende
Arbeitsschritte sind erforderlich:
1. Bestimmung der Differenzenfunktion ( )d Integrand→
2. Bestimmung der Nullstellen von ( )d Integrationsgrenzen→
3. Berechnung des Integrals bzw. der Integrale
( ) . Fläche ggf als Summe von Teilflächen→
A1
A2
Seite 68
Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Gleichungen
( ) 3 20,25 0,5 1,25 3f x x x x= − − + und ( ) 3 20,75 1,5 3,75 3g x x x x= − + + − . Gesucht ist die
Größe der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen f und g vollständig
umschlossen wird.
1. Schritt: Differenzenfunktion ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
3 2
3 2
3 2
3 2
3 2
0,25 0,5 1, 25 3
0,75 1,5 3,75 3
0,25 0,5 1, 25 3
0,75 1,5 3,75 3
2 5 6
d x f x g x
d x x x x
x x x
x x x
x x x
d x x x x
= −
= − − +
− − + + −
= − − +
+ − − +
= − − +
2. Schritt: Nullstellen von ( )d x
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
3 2
3 2
01
3 2 2
3 2
2
2
2 5 6 0
1 1 2 1 5 1 6 0
: 1
2 5 6 : 1 6
5
6 6
6 6
0
x x x
f
Nullstelle x
x x x x x x
x x
x x
x x
x
x
− − + =
= − ⋅ − ⋅ + =
→ =
− − + − = − −
− −
− −
− − +
− +
− − +
2
2 2
2
2
02
03
6 0
1 16
2 2
1 24 1 25
2 4 4
1 5
2 2
2
3
x x
x x
x
x
x
x
− − =
− + = +
+ − = =
− =
= −
=
A2
A1
A1
A2
Seite 69
4. Schritt: Bestimmung der Teilflächen in den Intervallgrenzen 1 2A A A= +
( ) ( )1 3
3 2 3 2
2 1
1 3
4 3 2 4 3 2
2 1
2 5 6 2 5 6
1 2 1 25 6 5 6
4 3 4 3
63 16 63 16 25321,083
4 3 4 3 12
A x x x dx x x x dx
x x x x x x x x
−
−
= − − + + − − +
= − − + + − − +
= + − = + = =
∫ ∫
Seite 70
6 Trigonometrie
6.1 Bogenmaß des Winkels
Die Messung von Winkeln im Gradmaß ist eine traditionelle Art, Winkelgrößen anzugeben. Die Einteilung des Vollwinkels in 360 Grad ist allerdings gekünstelt und historisch bedingt. Man hat diese „schiefe“ Zahl auch schon durch sogenannte Neugrad ersetzt, bei der ein rechter Winkel 100 Neugrad, ein Vollwinkel also 400 Neugrad erhält. Es gibt aber auch noch eine natürliche Art, das Winkelmaß anzugeben. Dies ist das sogenannte Bogenmaß. Beim Bogenmaß des Winkels wird der zum Winkel gehörende Kreisbogen berechnet bzw. angegeben, wobei man dann den Radius 1 zugrunde legt. Das Bogenmaß ist also die Länge des Bogens im Einheitskreis.
Ausgehend von der Formel b 2 r360
α= ⋅ π
° erhält man durch Kürzen und Ersetzen von
r 1= diese Bogenmaßformel: x180
α= ⋅ π
°
Daraus erhält man folgende Tabelle der wichtigsten Winkel.
α 30° 45° 60° 90° 120° 135° 180° 270° 360°
x 6
π
4
π
3
π
2
π
2
3⋅ π
3
4⋅ π π
3
2⋅ π 2π
Bogenminute
Die Winkelminute oder Bogenminute, offizielle Bezeichnung "Minute", ist der
sechzigste Teil eines Winkelgrads. Sie stellt eine Unterteilung der Maßeinheit Grad zur
Angabe der Größe ebener Winkel dar.
Der Vollwinkel hat 360 Grad. Ein Grad besteht aus 60 Winkelminuten: 1°=60′. Eine
Winkelminute entspricht somit
1Grad
1 0,016 Grad60
′ = = .
Eine Winkelminute wiederum besteht aus 60 Winkelsekunden: 1 60′ ′′= somit gilt: 1 3600′′° = . Als Dezimalminute bezeichnet man eine Angabe der Minuten mit Dezimalstellen statt Winkelsekunden.
Analog zur üblichen Angabe von Uhrzeiten werden Winkel auch in einer Schreibweise,
die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet, angegeben. Der anzugebende
Winkel wird dabei als Summe von drei Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor
den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei
geographischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet.
51° 14′ 4,2″ ist die Schreibweise für 51 Grad + 14 Winkelminuten + 4,2 Winkelsekunden.
Seite 71
Umrechnung
( ) Winkelminuten WinkelsekundenWinkel in Grad
WinkelsekundenWinkelminuten+
60=Grad+
Grad60 3600
60
= + +
Letztere Schreibweise wird im folgenden Beispiel benutzt:
51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad; 14 Minuten; 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in
Dezimalschreibweise umrechnen:
- zunächst die Sekunden in Minuten 4,2″ · 1′ / 60″ = 0,07′ - ergibt
51° 14,07′
- die Minuten in Grad
14,07′ · 1° / 60′ = 0,2345° - insgesamt also
51° + 0,2345° = 51,2345°.
Die Umrechnung von Dezimalgrad in Grad-Minuten-Sekunden erfolgt, indem der Dezimalteil zunächst mit 60 multipliziert wird.
0,2345° · 60′ / 1° = 14,07′ Die daraus resultierende Ganzzahl sind die Winkelminuten. Der verbleibende Dezimalteil wird wieder mit 60 multipliziert.
0,07′ · 60″ / 1′ = 4,2″ Die daraus resultierende Zahl sind die Sekunden
6.2 Gleichung des Ursprungkreises
Für jeden Punkt auf dem Kreis gilt nach Pythagoras
2 2 2x y r+ =
Dies nennt man Kreisgleichung. Beispielsweise hat der dargestellte Kreis den Radius 4, also ist seine Gleichung
2 2
1 1x y 16+ =
Ein Kreis mit dem Radius 1 heißt Einheitskreis. Die Gleichung des Einheitskreises lautet:
2 2x y 1+ =
Die Lage eines Punktes kann man anstelle dieser sogenannten "kartesischen" Koordinaten x und y auch noch durch sogenannte Polarkoordinaten festlegen. Darunter versteht man den Radius des Ursprungskreises, auf dem der Punkt liegt, und den
Winkel gegen die positive x- Achse, den der Radius bildet: ( )P r α
Seite 72
6.3 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck
(a) Nach dem 2. Strahlensatz gilt:
BC AC
AEDE=
Nun ist AE r 1= = und DE sin= α . Setz man dies ein folgt:
BC sin BCsin
1DE AC
α= ⇒ α =
Das bedeutet, daß man aus den beiden Seiten BC (sie liegt dem Winkel α gegenüber
und heißt daher Gegenkathete) und AC (sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt daher Hypotenuse), den Winkel α berechnen kann.
Beispiel: 5
BC 5,0cm; AC 8,0cm sin 38,78
= = ⇒ α = ⇒ α = °
(b) Nach dem 1. Strahlensatz folgt: AB AD
AEAC= . Setzen wir hier AE r 1= = und
AD cos= α ein, so folgt: AB cos AB
cos1AC AC
α= ⇒ α =
Beispiel: AB 7
AB 7,0cm; AC 10,0cm cos 45,6AC 10
= = ⇒ α = = ⇒ α = °
In dieser Kosinusformel steht im Zähler die Seite AB . Da diese am Winkel α liegt, heißt sie Ankathete.
Gegenkathete Ankathete und
Hypotenuse Hypotenusesin cosα = α =
(c) Verwenden wir noch die Formel sin
tancos
αα =
α, dann erhält man damit die dritte
Formel.
GegenkatheteAnkathete
BC
sin BCACtancos AB AB
AC
αα = = = =
α
Seite 73
Übung: Soll man eine Höhe bestimmen, bei der die Messung der Entfernung bis zum Fußpunkt nicht möglich ist, dann steckt man eine Standlinie s senkrecht auf den Turm zulaufend ab und misst in deren Endpunkten die beiden Höhenwinkel α und β . Die Messung wird in der Augen-
höhe a durchgeführt.
Auf diese Weise entstehen zwei ineinander geschachtelte Dreiecke ACD und ABS. Sie sind natürlich gekoppelt und zwar auf zwei Weisen. Zum einen haben sie die gemeinsame
Höhe h1 , zum Anderen gilt für die Grundseite AC BC s= + . Lösung (ohne Werte): Teildreieck ACS:
1htanAC
α =
Teildreieck BCS: 1htan
BCβ =
Divisionstrick: 1htan
tan
α=
β1
BC
hAC⋅
BC
BC s=
+
( )
( )
( )
BC s tan BC tan
BC tan s tan BC tan
BC tan tan s tan
s tanBC
tan tan
+ ⋅ α = ⋅ β
⋅ α + ⋅ α = ⋅ β
⋅ β − α = ⋅ α
⋅ α=
β − α
Höhe h1 bestimmen: mit 1
1
htan h BC tan
BCβ = ⇒ = ⋅ β
( )
( )
1
1
s tanh tan
tan tan
s tan tanh
tan tan
⋅ α= ⋅ β
β − α
⋅ α ⋅ β=
β − α
Und für die gesamte Höhe erhält man dann unter Berücksichtigung der Augenhöhe:
( )1
s tan tanh a
tan tan
⋅ α ⋅ β= +
β − α
Zahlenbeispiel: Wir verwenden diese Meßwerte: 27,0α = ° ; 65,0β = °und
s 65,0m= sowie die Augenhöhe a 1,60m= .
Ergebnis: 1h 45,0m=
Seite 74
6.4 Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis
DEFINITIONEN:
Die x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis nennt man den Kosinus des Winkels α , geschrieben cosα . Die y- Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis nennt man den Sinus des Winkels α , geschrieben sinα . Sinus und Kosinus gehören zu den sogenannten Trigonometrischen Funktionen. Sie ordnen jedem Winkel α je einen Funktionswert zu. Zunächst einmal reichen zur Beschreibung der Lage eines Punktes Winkel von 0° bis 360° aus. Und da 360° wieder dieselbe Lage ergibt wie 0α = ° , beschränken wir uns vorerst auf den Definitionsbereich [ [0 ;360= ° °D .
Da die Punkte auf dem Kreis mit Radius 1 liegen und die Sinus- und Kosinuswerte nichts anderes sind als Koordinaten dieser Kreispunkte, müssen wir festhalten, dass diese Koordinaten, also die Sinus- und Kosinuswerte nur Zahlen aus dem Wertebereich
[ ]1;1= −W sind.
Übungen mit dem Taschenrechner: α 30° 45° 60° 70°
sinα 0,50 0,71 0,87 0,94 cosα 0,87 0,71 0,50 0,34
6.4.1 Sinuswerte
Wir haben die Sinuswerte als die y-Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis definiert. Wir lassen nun den Punkt 0P mit
den Koordinaten ( )10 um
der Kreislinie einmal umlaufen und halten fest, was wir dabei für y-Koordinaten erhalten. α ist der zugehörige Drehwinkel !
α von 0° bis 90°: 1 1y sin= α wächst von 0 bis 1
α von 0° bis 90°: 2 2y sin= α fällt wieder von 1 nach 0
Wenn dabei 1P und 2P auf gleicher Höhe liegen, also wenn
1 2 2 1180 180α + α = ° ⇒ α = ° − α ist, dann liegen gleiche Sinuswerte
(y-Koordinaten) vor: ( )1 1sin 180 sin° − α = α
Seite 75
α von 180° bis 270°: 3 3y sin= α wird negativ und fällt von 0 nach -1.
α von 270° bis 360°: 4 4y sin= α ist negativ und steigt von - 1 nach 0.
Wir beobachten, dass 3P die entgegengesetzte y-Koordinate hat wie
1P , wenn gilt: 3P liegt punktsymmetrisch zu 1P . Für den Winkel
bedeutet dies 3 1180α = ° + α ; ( )1 1sin 180 sin° + α = − α
Und 4P hat die entgegengesetzte y-Koordinate wie 1P , wenn gilt:
4P liegt achsensymmetrisch zu 1P : ( )1 1sin 360 sin° − α = − α
Vorzeichentabelle der Sinusfunktion
Nun tragen wir die Sinus-Werte als y-Koordinaten ab. Dies kann man einfach dadurch machen, dass man die y-Koordinaten des auf dem Einheitskreis umlaufenden Punktes in ein neues Achsenkreuz überträgt. Die senkrechten Linien markieren die Winkel 90°, 180° , 270° und 360°. Die an der x-Achse stehenden Zahlen geben die Lände des Bogens an, der zum Winkel α gehört, also das Bogenmaß des Winkels. Gemäß der Formel
2360
b rα
π= ⋅°
bzw. wegen 1r = ⇒ 180
bα
π= ⋅°
geht die Bogenlänge für einen Umlauf von 0 bis 2 6,28π ≈ .
Es ist leicht einzusehen, dass sich diese Sinuslinie für jeden weiteren Umlauf wieder-holt. Man sagt, sie ist periodisch und hat die Periodenlänge 2π .
Übungen: Gegeben ist ein Sinuswert. Finde die passenden Winkel im Bereich
[ [0 ;360= ° °D :
a.) sin 0,4α = b.) sin 0,75α = −
Da sin 0α > ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 1. oder 2. Feld. Für das erste Feld liefert der Taschenrechner
1 23,6α ≈ °
Für das zweite Feld gilt:
2 1180 180 23,6 156,4α ≈ ° − α ≈ ° − ° = °
Da sin 0α < ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 3. oder 4. Feld. Der Taschenrechner liefert zu sin 0,75α = + zunächst 48,6′α ≈ ° . Dies ergibt
1 360 360 48,6 211,4′α ≈ ° − α = ° − ° = °
Für das dritte Feld gilt:
2 1180 180 48,6 228,6α ≈ ° + α ≈ ° + ° = °
Seite 76
6.4.2 Kosinuswerte
Wir haben die Kosinuswerte als die x-Koordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis definiert. Wir lassen nun den Punkt 0P mit
den Koordinaten ( )10 um der Kreislinie einmal
umlaufen und halten fest, was wir dabei für x-Koordinaten erhalten.
α von 0° bis 90°: 1 1cosx α= fällt von 1 bis 0
α von 0° bis 90°: 2 2cosx α= fällt von 0 nach -1
Wenn dabei 1P und 2P auf gleicher Höhe liegen, also wenn
1 2 2 1180 180α + α = ° ⇒ α = ° − α ist, dann liegen entgegengesetzte
Kosinuswerte (x-Koordinaten) vor: ( )1 1cos 180 cos° − α = − α
α von 180° bis 270°: 3 3cosx α= wächst wieder von -1 nach 0
α von 270° bis 360°: 4 4cosx α= steigt von 0 nach 1.
Wir beobachten, dass 3P die entgegengesetzte x-Koordinate hat wie
1P , wenn gilt: 3P liegt punktsymmetrisch zu 1P . Für den Winkel
bedeutet dies 3 1180α α= °+ ; ( )1 1cos 180 cosα α°+ = −
Und 4P hat die gleiche x-Koordinate wie 1P , wenn gilt:
4P liegt achsensymmetrisch zu 1P : ( )1 1cos 360 cosα α°− =
Vorzeichentabelle der Kosinusfunktion
Nun übertragen wir die Kosinus-Werte wieder in ein neues Achsenkreuz, um die Kosinuskurve zu erzeugen. Doch jetzt müssen wir x-Werte übertragen, daher legen wir das Achsenkreuz für die Kosinuskurve vertikal. Diese Kurve y cosx= ist genauso periodisch mit der Periodenlänge
2π wie die Sinuskurve y sinx= . Die Einheiten auf der x-Achse
geben die Bogenlänge an, die senkrechten Striche die Grad-Maße 90° , 180°, 270° und 360°. Man merkt sich, dass die Kosinuswerte im 1. und 4 Feld positiv, im 2. und 3. negativ sind.
Seite 77
Vergleich der Sinus und Kosinusfunktion
Übungen: Gegeben ist ein Kosinuswert. Finde die passenden Winkel im Bereich
[ [= ° °D 0 ;360 :
a.) α =cos 0,4 b.) α = −cos 0,75 Da cos 0α > ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 1. oder 4. Feld. Für das erste Feld liefert der Taschenrechner
1 66,4α ≈ °
Für das vierte Feld gilt:
2 1360 360 66,4 293,6α ≈ ° − α ≈ ° − ° = °
Da cos 0α < ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 2. oder 3. Feld. 1. Möglichkeit: Der Taschenrechner liefert zu cos 0,75α = + zunächst 41,4′α ≈ ° . Dies ergibt
1 180 180 41,4 138,6′α ≈ ° − α = ° − ° = °
Für das dritte Feld gilt:
2 180 180 41,4 221,4′α ≈ ° + α ≈ ° + ° = °
2. Möglichkeit: Der Taschenrechner liefert zu cos 0,75α = − zunächst 1 138,6α ≈ ° . Nun
subtrahieren wir dies von 180° und erhalten 180 138,6 41,4′α = ° − ° = ° . Dazu addieren wir wieder 180° und kommen ins 3.Feld zu
2 180 180 41,4 221,4′α ≈ ° + α ≈ ° + ° = °
6.4.3 Tangenswerte
Nun zeichnen wir im Kreispunkt ( )1 0Q die Tangente ein und verlängern die Radien bis
zu dieser Tangente. Die y-Koordinate des Schnittpunktes P mit dieser Tangente nennt man den Tangens des Winkels α . Die Gerade durch den Ursprung schneidet die Tangente nicht mehr, wenn 90α = ° ist. Also gibt es den Wert tan 90° NICHT ! Aber man kann sagen: 90 tanα α→ °⇒ = ∞ Zu Winkeln über 90° bis 180° gehört dann eine fallende Gerade, d.h. ein negativer Tangentenabschnitt.
Seite 78
Für Winkel im Bereich 180° bis 270° steigt dann die Gerade wieder und man erhält dieselben Tangenswerte wie im 1. Feld. Für die Winkel über 270o° bis vor 360° fällt die gerade wieder wie im 2. Feld.
Vorzeichentabelle für die Tangensfunktion:
Trägt man für beliebige Winkel die Tangenswerte ab, entsteht dieses Schaubild, das aus beliebig vielen Kurvenästen besteht, und das an den Stellen Sperrlinien enthält, an denen kein Tangenswert existiert, also bei 90°
(entspricht der Bogenlänge 1
2π ),
dann wieder bei 270° (entspricht der
Bogenlänge 3
4π ) und so weiter im Abstand
180° (entspricht π ).
Seite 79
6.5 Sinussatz
Einführungsbeispiel
Ein Schiff peilt ein Leuchtfeuer an. Dazu misst es 43α = ° in Fahrtrichtung und nach
einer Fahrtstrecke von 15 58c km β= = ° .
Wie groß ist bei der zweiten Peilung die Entfernung des Schiffs vom Leuchtfeuer?
Wie gr0ß war auf der Fahrt von A nach B die kürzeste Entfernung e des Schiffs vom
Leuchtfeuer?
Wie weit war es in A vom Feuer entfernt? Beginnen Sie zuerst mit einer Skizze.
Lösung:
180 79γ α β= °− − = ° sin sina ah h
c bβ γ= = und
Auflösen nach ha und Gleichsetzen liefert: sin sin
sinsin sin
sin
sin 15 sin 5812,959
sin sin 79
a ah c h b
cc b
b
c kmb km
β γ
γβ γ
ββ
γ
= ⋅ = ⋅
⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ =
⋅ ⋅ °⇒ = = =
°
und
Für die kürzeste Entfernung gilt:
sin sin 12,959 sin 43 8,838
8,838sin 10,421
sin sin 58
ee b km km
b
e ea km
a
α α
ββ
= ⇒ = ⋅ = ⋅ ° =
= ⇒ = = =°
Im allgemeine Dreieck gilt der Sinussatz:
sin sin sin
a b c
α β γ= =
B A
Leuchtfeuer
e = hc
c = 15 km
α = 43° β = 58°
γ = 43°
a
b ha
Seite 80
6.6 Kosinussatz
Einführungsbeispiel
Zwei Stichstraßen sind 350b m= und 500c m= lang und schließen einen Winkel 65α = °
ein. Wie lang wird die Verbindungsstraße a von B nach C? Fertigen Sie zuerst eine
Skizze an.
Die Höhe ch teilt AB c= in zwei Teilstücke x und c x− . Dabei ist cosx b α= ⋅ , weil
cosx
bα = ist. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: 2 2 2
ch b x= − und
( )22 2
ca h c x= + − . 2 2 2 2 2ca h c x c x= + + −
2 2 2 2 2 2 cosa b x c x c b α= − + + − ⋅ ⋅ 2 2 2 2 cosa b c c b α= + − ⋅ ⋅
( ) ( )2 22 350 500 2 350 500 cos65a m m m m= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
( ) ( )2 2350 500 2 350 500 cos65
473,90
a m m m m
a m
= + − ⋅ ⋅ ⋅ °
=
Im allgemeine Dreieck gilt der Kosinussatzsatz:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c b c
b a c a c
c a b a b
α
β
γ
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
A B
hc
c = 500 m
α = 65°
a
C
x c-x
Seite 81
6.7 Aufgabentypen
Damit Sie eine bessere Übersicht über die möglichen Aufgabentypen erhalten, werden
diese nun systematisch aufgelistet. Ein Dreieck ist bestimmt, wenn drei Stücke gegeben
sind. Die drei Winkel genügen allerdings nicht, denn dadurch ist das Dreieck nur bis auf
die Ähnlichkeit festgelegt. Es bleiben also folgende Fälle:
Lösung mit dem Sinussatz
1. Winkel – Seite – Winkel (WSW) Eine Seite und zwei anliegende Winkel sind gegeben
2. Winkel – Winkel – Seite (WWS) Eine Seite, ein anliegender Winkel und ein Gegenwinkel sind gegeben.
3. Seite – Seite – Winkel (SSW) Zwei Seiten und ein Gegenwinkel ist gegeben.
Lösung mit dem Kosinussatz
1. Seite – Winkel – Seite (SWS) Zwei Seiten und der eingeschlossenen Winkel ist gegeben
2. Seite – Seite – Seite (SSS) Drei Seiten sind gegeben
A
C
B
A B
C
A B
C
A B
C
A B
C
Seite 82
6.8 Trigonometrische Funktionen
Die Funktion ( )siny a bx c d= ⋅ + +
Sehr viele Vorgänge in der Natur oder bei technischen Abläufen sin periodisch. Nicht
immer aber reicht die Sinusfunktion in ihrer reinen Form zur Beschreibung aus. Dies hat
mehrere Ursachen: Zum einen besitzt die Sinusfunktion nur Werte zwischen +1 und -1,
zum anderen sind die angesprochenen Vorgänge gewöhnlich nicht winkel- sonder
zeitabhängig mit einer Periode, die nicht einfach als ein Vielfaches von 2π zu fassen
ist. Daher muss die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser Vorgänge entsprechend
modifiziert werden.
Diese Modifikation und ihre Auswirkungen sind in der folgenden Übersicht
zusammengefasst; die Graphen dienen der zusätzlichen Illustration. Analoges gilt auch
für die übrigen trigonometrischen Funktionen. In der Praxis ist jedoch die
Sinusfunktion (bzw. die ihr gegenüber um 2
π verschobene Kosinusfunktion) am
bedeutendsten.
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )siny x= Allgemein periodischer Vorgang
Seite 83
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )siny x d= + Verschiebung in y- Richtung Überlagerung einer Gleich- und einer Wechselspannung
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )siny x c= + Phasenverschiebung Beschreibung des Strom- und Spannungsverlaufs im Wechselstromkreis
Seite 84
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )siny a x= ⋅ Veränderung der Amplitude Faktor -1 entspricht Phasenverschiebung von 180°
Ausschlag eines Pendels
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )siny b x= ⋅ Veränderung der Periode b>1: Beschleunigung 0<b<1: Verlangsamung b<0: „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll
Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwingung (z.B. Klängen von Musikinstrumenten)
Seite 85
Funktion Auswirkung Anwendungsbereich
( )siny a b x c d= ⋅ ⋅ + + Veränderung der Periode b>1: Beschleunigung 0<b<1: Verlangsamung b<0: „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll
Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwingung (z.B. Klängen von Musikinstrumenten)
Der Graph dieser Funktion geht aus der Sinusfunktion hervor:
( ) 11,5sin 2 1
2y x= − +
1. 1,5 fache Ordinaten
2. Stauchung auf die halbe Periodenlänge
3. Verschiebung um eine Einheit nach rechts
4. Verschiebung um 0,5 nach oben
Seite 86
6.9 Goniometrische Gleichungen / Additionstheoreme
Wichtige Formeln
Wir wissen bereits folgendes: sin CDα = , cos OCα = , tan ABα = , 1OA OD r= = = . Da
die Strecken CD und AB parallel sind, gilt für die Figur OACDB der 2, Strahlensatz. Er besagt, dass folgende Verhältnisgleichung gilt:
OA AB
OC CD= , oder nach AB umgestellt:
OA CDAB
OC
⋅=
Nun ersetzen wir die Streckenlängen durch das, was wir über sie wissen und erhalten:
sintan
cos
αα
α=
Diese Formel gilt übrigens für alle Winkel, auch wenn sie hier nur für 90α < ° abgeleitet worden ist. Das zweite Ergebnis erhält man aus obiger Abbildung durch Anwendung des Satzes von Pythagoras im DreieckOCD :
2 2 2
CD OC OD+ = d.h. ( ) ( )2 2sin cos 1α α+ = , was man kürzer so schreibt
2 2sin cos 1α α+ =
Übung 1: Es ist gegeben sin 0,4α = . Berechne dazu cosα (ohne α zu bestimmen! ).
Lösung 1:
( ) ( ) ( )2 2 2cos 1 sin cos 1 sinα α α α= − ⇒ = ± −
also: ( )2cos 1 0,4 1 0,16 0,92α = ± − = ± − ≈ ±
Man kann nun die Tangensformel noch mit der Pythagorasformel kombinieren. Dann entstehen Formeln wie diese, die man dann in Formelsammlungen findet:
Übung 2: Bestimmen Sie aus sin 0,6α = direkt den Tangenswert:
Lösung 2:
2
3
sin 0,6 0,6 35tan 0,7540,8 41 0,361 sin5
αα
α= ± = ± = ± = ± = ± = ±
−−
Winkel Sinus Kosinus Tangens 0° 0 1 0
30° 1
2
13
2
1 13
33=
45° 12
2
12
2
1
60° 13
2
1
2
3
90° 1 0 ----
Seite 87
Eine trigonometrische Gleichung (auch goniometrische Gleichung) ist eine Gleichung, in der die zu bestimmende Variable nur im Argument von trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) vorkommt. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind die Beziehung zwischen den Winkelfunktionen hilfreich, insbesondere die Additionstheoreme.
Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen haben trigonometrischen Gleichungen im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Durch Beschränkung der Grundmenge auf ein „Basisintervall“ (zum Beispiel [0,2·π] oder [0,π]) reduziert man die Zahl der Lösungen auf eine endliche Anzahl oder man beschreibt die Lösungen durch einen Periodizitätssummanden (wie k·2·π oder k·π).
Die trigonometrische Gleichung sin cosx x= kann man unter Verwendung der Beziehung
2cos 1 sinx x= −
2sin 1 sinx x= − Durch Quadrieren erhält man: 2 2
2
sin 1 sin
2 sin 1
x x
x
= −
⋅ =
also 22 sin 1
1sin
2
x
x
⋅ =
= ±
mit den Lösungen: ( )45 90 0,1,2,...x k k= °± ⋅ ° =
bzw. im Bogenmaß ( ) 0,1,2,...4 2
x k kπ π
= ± ⋅ =
Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss man diese Lösungen an der Ausgangsgleichung verifizieren. Dadurch erhält man als gültige Lösungen der Ausgangsgleichung
( )
1 1 1:arcsin 45 und arccos 45
2 2 2
1 1 1: arcsin 45 und arccos 135
2 2 2
1sin
2
2 0,1,2,...4 2
x
x k kπ π
+ = ° = °
− − = − ° − = °
=
= ± ⋅ =
Lösungsweg: ♦ Die gegebene Gleichung wird (ev. mit Additionstheoreme) so umgeformt, dass alle in
ihr auftretenden trigonometrischen Funktionen das gleiche Argument besitzen ♦ dann formt man diese Bestimmungsgleichung so um, dass nur noch eine
trigonometrische Funktion auftritt ♦ man löst diese Gleichung wie eine algebraische Gleichung und erhält die
Hauptlösungen ♦ durch beachten der Periodizitäten erhält man die anderen Lösungen im
Lösungsintervall.
Seite 88
7 Die Komplexe Zahlen
7.1 Die imaginären Zahlen 2
2
1 0
1
x
x
+ =
= −
Aus diesem Grund wird definiert:
1 : i− =
{ }
2
2
1
2
1 0
1
x
x
x i
x i i
+ =
= −
= +
= − = ±L
Beispiel:
{ }
2
2
1/2
4 0
4
4 4 1 2 2
x
x
x i i
+ =
= −
= ± − = ± ⋅ − = ± = ±L
Taschenrechner ERROR!!
Weil es keine reelle Zahl gibt, deren
Quadrat minus 1 ist.
: heißt, „ist definiert als“
In der Elektrotechnik wird i auch als j
bezeichnet.
imaginäre Einheit
imago (lat): nur in der Vorstellung
bestehend
Probe:
( ) ( )2 2
2 2
2 4 0 2 4 0
4 4 0 4 4 0
4 ( 1) 4 0 4 4 0
4 4 0
i i
i i
+ = ∨ − + =
+ = ∨ + =
⋅ − + = ∨ − + =
− + =
Folgerung:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2
3 2
4 2 2
5 2 3
6 3 3 2
1
1
1
1 1 1
1
1
...
i i
i
i i i i i
i i i
i i i i i
i i i i i i
= − =
= −
= ⋅ = − ⋅ = −
= ⋅ = − ⋅ − =
= ⋅ = − ⋅ − =
= ⋅ = − ⋅ − = = −
für 4 1 ;
-1 für 4 2 ;
für 4 3 ;
1 für 4 4 ;
k
i k n n
k n ni
i k n n
k n n
= + ∈ = + ∈= − = + ∈
= + ∈
�
�
�
�
N
N
N
N
Seite 89
7.2 Einführung der komplexen Zahlen (complecti (lat) = umfassen)
( )
2
2 2
2
2
1
2
2 5 0
2
5
2 22 5
2 2
1 4
1 4 4 1 2
1 2
1 2
x x
p
q
x x
x
x i
x i
x i
− + =
= −
= +
− + = − +
− = −
− = − = ⋅ − =
= +
= −
VIETA
( ) ( ) ( ) ( )
1 2
1 2
2 22 2 2
1 2 1 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 4 5
x x p
i i p
x x q
i i i i i i i
+ = −
+ + − = = −
⋅ =
+ ⋅ − = − + − = − = − =
7.3 Darstellung von komplexen Zahlen
7.3.1 Arithmetische (kartesische) Form (Addition und Subtraktion)
Darstellung der komplexen Zahlen als Summe einer reellen und imaginären heißt
arithmetische, kartesische oder algebraische Darstellungsform. Die Darstellungsebene
heißt Gauß´sche Zahlenebene mit dem Realteil auf der Abzisse (x-Achse) und dem
Imaginärteil auf der Ordinate (y-Achse).
Jeder komplexen Zahl z wird repräsentativ durch einen Pfeil vom Nullpunkt aus
(Ortsvektor), der bestimmt ist durch seine Länge (Betrag der komplexen Zahl z) und
dem Winkel ϕ von der positiven Realachse aus (Argument der komplexen Zahl z).
2.1.a
{ }{ }
Re
Im
z a b i
a z
b z
= + ⋅
=
=
heißt „komplexe Zahl mit
heißt Realteil von z
heißt Imaginärteil von z
2.1.b 1 1 1
2 2 2
z a b i
z a b i
= + ⋅
= + ⋅
1 2,z z heißen gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil
übereinstimmen.
{ } { }{ } { }
1 2 1 2
1 2 1 2
Re Re
Im Im
z z a a
z z b b
= ⇒ =
= ⇒ =
2.1.c 1 1 1
2 1 1
z a b i
z a b i
= + ⋅
= − ⋅
Zwei komplexe Zahlen 1 2,z z mit gleichen Realteilen und
Imaginärteilen mit entgegen gesetzten Vorzeichen heißen
zueinander konjugiert komplex.
Seite 90
z a b i= + ⋅ Darstellung als Summe einer reellen
und einer imaginären Zahl.
Die komplexe Zahl wird als Pfeil
(Vektor), der vom Nullpunkt zum
Punkt (a;b) geht, dargestellt.
z steht demnach für die
Vektoraddition von a und bi.
Definition
2 2z a bi a b= + = +
Heißt Betrag der komplexen Zahl z
Addition Subtraktion
( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i+ = + + + ⋅ ( ) ( )1 2 1 2 1 2z z a a b b i− = − + − ⋅
(Multiplikation) (Division)
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z a a b b a b a b i⋅ = ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 21
2 2 2 2
2 2 2 2 2
a a b b a b a bzi
z a b a b
⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅= + ⋅
+ +
Beispiel für Addition
Gegeben: 1 1 3z i= − + ⋅ 2 6 2z i= + ⋅
{ }{ }
Re 1 6 5
Im 3 2 5
z
z
= − + =
= + =
5 5z i= + ⋅
Seite 91
Beispiel für Division
(Arithmetische Form)
Beispiel für Potenzieren
(Arithmetische Form)
1 5 2z i= − ⋅ 2 1 2z i= − − ⋅
( )( )
( )( )
( ) ( )
1
2
2
22
5 2 1 2
1 2 1 2
5 5 2 2 2
1 2
3 6 2
3
1 2 2
i izz
z i i
i i iz
i
iz
z i
− ⋅ − + ⋅= = ⋅
− − ⋅ − + ⋅
− + ⋅ + ⋅ −=
− − ⋅
− + ⋅=
= − + ⋅
2 1 2z i= − − ⋅
Pascalsche Dreieck
1
2
a
b i
= −
= ⋅
( ) ( )55
2 1 2z z i= = − − ⋅
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
25 4 3
3 4 52 1
1 1 5 1 2 10 1 2
10 1 2 5 1 2 2
z i i
i i i
= ⋅ − − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
− ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅
1 5 2 20 20 2 20 4 2
1 11 2
z i i i
z i
= − − ⋅ + + ⋅ − − ⋅
= − + ⋅
Seite 92
7.3.2 Goniometrische Form (Multiplikation und Division)
( )cos sinz r iϕ ϕ= ⋅ + ⋅
Umrechnung:
cos
cos
sin
sin
a
r
a r
b
r
b r
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
= ⋅
=
= ⋅
z a b i= + ⋅
2 2
arctan
r z a b
b
aϕ
= = +
=
Multiplikation
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2cos sinz z r r iϕ ϕ ϕ ϕ⋅ = ⋅ + + ⋅ +
Division
( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
cos sinz r
iz r
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + ⋅ −
2 0z ≠
(Potenzieren)
( )( ) ( )
cos sin
cos sin
nn n
n n
z r i
z r n i n
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
Vorzeichenregelung bei der Darstellung von komplexen Zahlen in der Gauß´schen
Zahlenebene.
Seite 93
Beispiel für die Division (Goniometrische Form)
( ) ( )1 11 2 1 2
2 2
cos sinz r
iz r
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + ⋅ −
1 4 4z i= + 2 4 2z i= −
1 1 32r z= =
1
4arctan 45
4ϕ = = �
liegt im 1. Quadranten
2 2 20r z= =
2
2arctan 26,57
4ϕ
−= = − �
liegt im 4.Quadraten
1 45ϕ = � 2 360 26,57 333,43ϕ = − =� � �
( )1 32 cos45 sin 45z i= ⋅ + ⋅� � ( )2 20 cos333,43 sin 333,43z i= ⋅ + ⋅� �
( ) ( )
[ ]
1
2
32cos 45 333,43 sin 45 333,43
20
1,265 0,316 0,949
0,4 1,2
zz i
z
z i
z i
= = − + ⋅ −
= ⋅ + ⋅
= + ⋅
� � � �
7.3.3 Exponentialform (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren)
iz r e ϕ= ⋅ 1 360kϕ ϕ= + ⋅ �
k∈Z
Euler´sche Formel
cos sinie iϕ ϕ ϕ= + ⋅
Seite 94
Multiplikation Division
( )1 21 2
1 2 1 2 1 2
ii iz z r e r e r r e
ϕ ϕϕ ϕ +⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ( )1
1 2
2
1 1 1
2 2 2
ii
i
z r e re
z r e r
ϕϕ ϕ
ϕ−⋅
= = ⋅⋅
2 0z ≠
Potenzieren
( )nn i n i nz r e r eϕ ϕ⋅= ⋅ = ⋅ n∈Z
Beispiel für das Potenzieren (Exponentialform)
4 2z i= −
26,5720 iz e−= ⋅�
liegt im 4. Quadranten
360 26,57 333,43ϕ = − =� � �
333,4320 iz e= ⋅�
( )
( )( )
333,43 22 666,86 306,86
2
2
2
20 20 20
20 cos306,86 sin 306,86
20 0,6 0,8
12 16
i i iz e e e
z i
z i
z i
⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ + ⋅
= ⋅ −
= − ⋅
� � �
� �
( )
( )
333,43 33 1000,29 280,29
3
3
20 20 89,44 89,44
89,44 cos280,29 sin 280,29
16 88
i i iz e e e
z i
z i
⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
= ⋅ +
= − ⋅
� � �
� �
20r z= =
2arctan 26,57
4ϕ
−= = − �
Zeichnerische Lösung für 2z
Zeichnerische Lösung für 3z
Seite 95
Gemischte Übung
Wandeln Sie die gegebenen komplexen Zahlen in alle Darstellungsarten (Arithmetische
Form, goniometrische Form und Exponentialform) um und berechnen Sie anschließend
die Aufgabe.
( )1 2
3
2
z zz
z
+ =
Geg.: Kartesische Form
1 1 2z i= − ⋅
Geg.: Exponentialform
26,57
2 5 iz e= ⋅�
goniometrische Form
2 2
1 1 2 5
2arctan 63,43
1
z
ϕ
= + =
−= = − �
liegt im 4. Quadranten
( )1
360 63,43 296,57
5 cos 296,57 sin 296,57z i
ϕ = − =
= ⋅ + ⋅
� � �
� �
Exponentialform
296,57
1 5 iz e= ⋅�
liegt im 1.
Quadranten
2 5
26,57
z
ϕ
=
= �
cos
5 cos26,57 2
sin
5 sin 26,57 1
a r
a
b r
b
ϕ
ϕ
= ⋅
= ⋅ =
= ⋅
= ⋅ =
�
�
Arithmetische Form
2 2z i= +
goniometrische Form
(2 5 cos26,57 sin 26,57z i= ⋅ + ⋅� �
( ) ( )1 2
3
1 2 2
3
z z i i
z i
+ = − ⋅ + +
= −
Goniometrische Form
( )
3
3
3
3
10
18,43
360 18,43 341,57
10 cos341,57 sin341,57
r
z i
ϕ
ϕ
=
= −
= − =
= ⋅ + ⋅
� �
� �
( ) ( )3
3 26,57
2 4
3 26,57 79,71
4
4
5
5 5 5 5
5 5 cos79,71 5 5 sin 79,71
2 11
i
i i
z z e
e e
z i
z i
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= + ⋅
�
� �
� �
Goniometrische Form
( )4
4
4
5 5 cos79,71 sin79,71
5 5
79,71
z i
r
ϕ
= ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅
=
� �
�
Seite 96
( ) ( )
( ) ( )
3 33 4 3 4
4 4
cos sin
10cos 341,57 79,71 sin 341,57 79,71
5 5
0,04 0,28
z ri
z r
z i
z i
ϕ ϕ ϕ ϕ= − + ⋅ −
= − + ⋅ − ⋅= − − ⋅
� � � �
Grafische Darstellung
1 2 3z z z+ =
( )32 4z z=
3
4
zz
z=
Seite 97
Programm zur grafischen Darstellung und Berechnung von komplexen Zahlen:
Calc 3D Prof. => Freeware
Download: www.bko.bplaced.net
Bereich: Mathematik
Aufgaben
Seite 98
Abbildung 1: Darstellung der Addition der natürloichen Zahlen ............................................................ 5
Abbildung 2: Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden ..................................................... 5
Abbildung 3: Zur Darstellung des Betrages einer Zahl a ......................................................................... 6
Abbildung 4: Zur Darstellung der Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden ................................................ 8
Abbildung 5: Bilder Internet .................................................................................................................... 8
Abbildung 6: Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl............................................................................ 9
Abbildung 7: Tangente und Sekante ..................................................................................................... 50
Abbildung 8: Tangenten- und Sekantensteigung .................................................................................. 50
Abbildung 9: Newton-Verfahren ........................................................................................................... 62
Abbildung 10: Newton-Verfahren (schlecht gewählter Startwert) ....................................................... 63
Abbildung 11: Extremwertaufgabe – Fußballstation ............................................................................ 64
Abbildung 12: Einführung in die Integralrechnung ............................................................................... 66
