Mathematik für Elektroniker 1. und 2....

Mathematik für Elektroniker

1. und 2. Lehrjahr

von

Alexander Wenk

© Alexander Wenk

Inhaltsverzeichnis

Textgleichungen __________________________________________________________ 1 Beispiel _________________________________________________________________________ 1 Weitere Aufgaben _________________________________________________________________ 2

Gleichungen mit 2 Unbekannten _______________________________________________ 4 Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode) ____________________________________________ 4 Additions- und Subtraktionsmethode __________________________________________________ 4 Gleichsetzungsmethode _____________________________________________________________ 5 Lösbarkeit von Gleichungssystemen ___________________________________________________ 5

Gleichungen mit 3 und mehr Unbekannten _______________________________________ 7

Trigonometrie ____________________________________________________________ 8

Winkel- und Bogenmass ______________________________________________________ 8

Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck ________________________________ 10 Die Sinusfunktion sin() ___________________________________________________________ 10 Die Cosinusfunktion cos() ________________________________________________________ 12 Die Tangensfunktion tan() ________________________________________________________ 14 Die Cotangensfunktion cot() _______________________________________________________ 15 Übung zu den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck _______________________________ 16

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen ________________________ 17

Funktionenlehre _________________________________________________________ 19

Abbildungen, Relationen und Funktionen _______________________________________ 19 Relationen ______________________________________________________________________ 19 Funktionen ______________________________________________________________________ 20

Funktionstypen _____________________________________________________________ 20

Darstellung von Funktionen __________________________________________________ 21

Darstellungsarten von Funktionen _____________________________________________ 22 Darstellung durch eine Gleichung ____________________________________________________ 22 Darstellung durch Wertetabelle ______________________________________________________ 22 Darstellung im Koordinatensystem (Graph) ____________________________________________ 22 Übungen zu den Funktionen ________________________________________________________ 23

Grundlegende mathematische Funktionen ______________________________________ 25 Die lineare Funktion ______________________________________________________________ 25

Die Bedeutung der Konstanten a __________________________________________________ 25 Die Bedeutung der Konstanten b __________________________________________________ 27 Die Bestimmung der Geradengleichung ____________________________________________ 28 Der Schnittpunkt zweier Geraden _________________________________________________ 30

Die quadratische Funktion __________________________________________________________ 32 Die Bedeutung der Konstanten a __________________________________________________ 32 Die Bedeutung der Konstanten b und c _____________________________________________ 33 Berechnung des Scheitelpunktes __________________________________________________ 34 Bestimmung der Nullstellen einer Parabel (resp. quadratischen Gleichung) _________________ 35 Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichung) _____________________________________ 37

Die Potenzfunktionen _____________________________________________________________ 40 Die Exponentialfunktion und die logarithmische Funktion _________________________________ 41

Längen-, Flächen- und Volumenberechnungen ________________________________ 46

Berechnungen an Vierecken __________________________________________________ 46

Berechnungen am Dreieck ___________________________________________________ 47

Der Satz des Pythagoras ___________________________________________________________ 48

Der Kreis __________________________________________________________________ 48

Berechnungen an Säulen _____________________________________________________ 49 Der Quader _____________________________________________________________________ 49 Der Zylinder ____________________________________________________________________ 49

Die Kugel __________________________________________________________________ 49

Volumen von Pyramide und Kegel _____________________________________________ 50

Berechnung allgemeines Dreieck ___________________________________________ 54

Der Sinussatz ______________________________________________________________ 55

Der Cosinussatz ____________________________________________________________ 56

Beispiele ___________________________________________________________________ 57

Vektorrechnung _________________________________________________________ 51

Definition eines Vektors ______________________________________________________ 51

Addition von Vektoren ______________________________________________________ 52

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl oder Skalar ___________________________ 52

Subtraktion von Vektoren ____________________________________________________ 53

Skalarprodukt _____________________________________________________________ 53

Logarithmieren __________________________________________________________ 42

Spezielle Logarithmen _______________________________________________________ 42

Logarithmengesetze _________________________________________________________ 43

Übungen zu Logarithmen ____________________________________________________ 45

Anwendung von Logarithmen ________________________________________________ 54 Kaptitalwachstum - Die Zinseszinsrechnung ___________________________________________ 58 Dezibel - Pegelangaben in der Elektrotechnik ___________________________________________ 59

Das Rechnen mit Potenzen _________________________________________________ 61

Addition und Subtraktion ____________________________________________________ 61

Multiplikation ______________________________________________________________ 61

Division ___________________________________________________________________ 62

Potenzieren von Potenzen ____________________________________________________ 62

Das Rechnen mit Wurzelausdrücken (Radizieren) ________________________________ 63

Alter Stoff: ______________________________________________________________ 65 Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen __________________________________________ 65

Funktionenlehre alter Teil ____________________________________________________ 67

Mathematik Alexander Wenk Seite 1

Textgleichungen

Aufgaben mit textlich formulierten Zusammenhängen lassen sich mit

Gleichungen lösen. Einen allgemein gültigen Lösungsweg in Form einer

Regel gibt es für diese Art von Aufgaben im Allgemeinen nicht. Die Kunst

besteht darin, den Text in die Gleichung überzuführen.

Vom vorgesehenen Sachverhalt her lassen sich jedoch bestimmte Gruppen

von Aufgaben (Mischaufgaben, Bewegungsaufgaben, Behälteraufgaben etc.)

zusammenstellen, für die gemeinsame Gesichtspunkte für das Aufstellen von

Bestimmungsgleichungen gelten.

Die Lösung solcher Aufgaben erfolgt in der Regel in folgenden Schritten:

1. Feststellung, nach welcher Grösse in der Aufgabe gefragt ist.

2. Einführung einer Variablen x für die gesuchte Grösse

3. Aufstellung einer Bestimmungsgleichung entsprechend der Vorgaben.

Dabei darf nur Gleiches gleichgesetzt werden.

Beispiel

Ein Bauer verkauft dem ersten Kunden die Hälfte seiner Melonen und schenkt

ihm noch eine halbe. Dem zweiten Kunden verkauft er die Hälfte der

restlichen Melonen und schenkt ihm ebenfalls eine halbe. Die verbliebene

Melone isst er selbst.

Wieviele Melonen hatte der Bauer ursprünglich?

Lösung:


Weitere Aufgaben

1. Ein 60 m langer Güterzug fährt mit 72 km/h an einem 120 m langen in

gleicher Richtung fahrenden Personenzug vorbei. Die Begegnung dauert 18

Sekunden.

Welche Geschwindigkeit hat der Personenzug?

36 km/h

2. Zwei Zahlen, deren Differenz 16 beträgt, ergeben zusammen 92. Welches

sind die Zahlen?

x-y = 16; x+y = 92→ x=54; y=38

3. Ein Dreieck hat zwei Winkel 36° und 48°. Berechne den dritten Winkel.

96°

4. Wenn man zur Länge einer Strecke 15.4 m addiert so erhält man 73.8 m.

Wie lang ist die Strecke?

58.4 m

5. Der Weg von A über B nach C beträgt 72 km. B liegt von C fünfmal so weit

entfernt wie B von A. D liegt von C dreimal so weit entfernt wie B von A.

Wie weit ist es von A nach D?

108 km


6. Zwei Radfahrer A und B fahren von zwei Orten, deren Entfernung 132 km

beträgt, gleichzeitig einander entgegen. A legt in der Stunde 18 km zurück, B

21 km. Nach wie viel Stunden begegnen sie einander? Wie weit sind sie dann

vom Startort des Radfahrers A entfernt?

3h23‘4“ / 60.92 km

7. Addiert man zur Hälfte eines Kapitals 45 Fr., so erhält man das Dreifache

des Kapitals, vermindert um 510 Fr. Wie gross ist das Kapital?

222 Fr.

8. Zwei Wanderer marschieren von A nach B. Der erste legt 80 m/min, der

zweite 72 m/min zurück. Der zweite Wanderer startet 10 min früher. Wie viele

Minuten nach Aufbruch des ersten Wanderers werden sie sich treffen?

90 min

9. Ein Vater ist 40 Jahre, sein Sohn 15 Jahre alt. Nach wie vielen Jahren ist der

Vater doppelt so alt wie sein Sohn?

10 Jahre


Gleichungen mit 2 Unbekannten Wir sind mittlerweile schon öfters auf Gleichungssysteme gestossen, wo mehr

als eine Variable unbekannt waren. Lasst uns also in diesem Kapitel

betrachten, was für Bedingungen solche Systeme erfüllen müssen und wie wir

systematisch zu einer Lösung kommen.

Welche Regeln gelten beim Lösen solcher Gleichungssysteme?

• Es müssen gleich viele Gleichungen wie Unbekannte

vorhanden sein

• Diese Gleichungen dürfen nicht voneinander abhängig

sein.

Folgendes Gleichungssystem erfüllt diese Bedingungen und wird uns zur

Erklärung der drei Lösungsvarianten dienen:

2x - 11y = -95

x - 3y = 0

Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode)

Bei dieser Methode soll eine Unbekannte durch einen Gleichungsausdruck

ersetzt werden. Eine der Gleichungen wird nach der zu ersetzenden

Unbekannten umgeformt und in die zweite Gleichung eingesetzt. Daraus

erhalten wir die Gleichung für eine Unbekannte:

2x - 11y = -95

x - 3y = 0 → x = 3y

23y - 11y = -95

-5y = -95 → y = 19

Die andere Unbekannte erhalten wir, indem wir die Lösung für die eine

Unbekannte in die umgeformte Gleichung einsetzen.

x = 3y = 319 → x = 57

Additions- und Subtraktionsmethode

Da Gleichungen, wie das Wort selbst schon verrät, auf beiden Seiten des

Gleichheitszeichens gleich sind, dürfen wir auch ganze Gleichungen addieren

oder subtrahieren. Machen wir dies auf geschickte Art, so fällt im Ergebnis

eine Unbekannte heraus:


2x - 11y = -95

x - 3y = 0 | (-2)

2x - 11y = -95

-2x + 6y = 0

-5y = -95 → y = 19 Die 2. Unbekannte erhalten wir durch Wiederholung dieses Verfahrens, indem

wir die Gleichung so umstellen, dass die andere Unbekannte herausfällt, oder

wir setzen das Ergebnis in eine der beiden Grundgleichungen ein:

x - 319 = 0 → x = 319 = 57

Gleichsetzungsmethode

Diese Methode ähnelt der Substitutionsmethode. Hier wird aber auch die

zweite Gleichung nach der zu ersetzenden Unbekannten aufgelöst.

Anschliessend werden die beiden Gleichungen einander gleichgesetzt:

2x - 11y = -95 → x = (-95 + 11y)/2

x - 3y = 0 → x = 3y

3y = (-95 + 11y)/2 | 2

6y = (-95 + 11y) | +95 -6y

95 = 5y →y = 19

Die 2. Unbekannte erhalten wir durch Einsetzen in eine der beiden

Gleichungen: x = 319 = 57

Lösbarkeit von Gleichungssystemen

Nicht jedes Gleichungssystem gibt eine Lösung für die Unbekannten. Zwei

Beispiele sollen dies verdeutlichen:

x + y = 3 x = 3 - y

2x + 2y = 6 2x = 6 - 2y x = 3 - y

3 - y = 3 - y → 0 = 0 Gleichungen sind voneinander

abhängig und machen dieselbe Aussage! Es gibt deshalb

unendlich viele Lösungen.


x + y = 3 y = 3 - x

x + y = 5 y = 5 - x 3 - x = 5 - x | +x

3 = 5 → Ungleichung bedeutet: Keine Lösung resp. kein

Schnittpunkt der beiden Geraden (Parallelität)

y - x = 1 y = 1 + x

y + x = 3 y = 3 - x

1 + x = 3 – x | +x -1

2x = 2 → x = 1

y = 1 + x → y = 2

Wir konnten eine eindeutige Lösung finden! Dieses System

ist folglich lösbar.

Übungen: Mathematik leicht gemacht S. 287 Nr. 4.28 a, f, i; 4.29 a, d;

4.30 b, i; 4.31 a, f; S. 288 Nr. 4.32 a, b, d


Gleichungen mit 3 und mehr Unbekannten Es gibt auch Gleichungssysteme mit mehr als 2 Unbekannten. Ein Beispiel

wäre ein verzweigtes Widerstandsnetz: Wir könnten dort als Unbekannte

Spannungen und Ströme suchen. Dies kann leicht ein System mit 10

Unbekannten geben. Nun, überlassen wir das Auflösen von solchen Systemen

Simulationsprogrammen wie Tina, und schauen uns zunächst ein System mit 3

Unbekannten an. Es gilt nach wie vor:

Wir benötigen so viele Gleichungen wie Unbekannte vorhanden sind, um das

System zu lösen.

Das Lösungsverfahren ist gleich wie bei zwei Unbekannten. Nur machen wir

zunächst aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten zwei Gleichungen mit

zwei Unbekannten usw.

Das Verfahren ist natürlich aufwendiger. Schauen wir uns das aber an einem

Beispiel an. (4.33 b)

2x + y – 3z = 9

3x + 2y – z = 24 → z = 3x + 2y - 24

4x – 3y + 3z = 1

Wir nehmen zunächst eine günstige Gleichung aus dem System heraus und

eliminieren damit eine Variable in den anderen beiden:

2x + y – 3z = 9 2x + y – 3(3x + 2y - 24) = 9

4x – 3y + 3z = 1 4x – 3y + 3(3x + 2y - 24) = 1

2x + y – (9x + 6y - 72) = 9 → - 7x – 5y = - 63

4x – 3y + (9x + 6y - 72) = 1 → 13x + 3y = 73

Nun lösen wir das resultierende System mit zwei Unbekannten wie gehabt:

- 7x – 5y = - 63 → y = (63 – 7x)/5

13x + 3y = 73

13x + 3(63 – 7x)/5 = 73

13x + 37.8 – 4.2x = 73 → 8.8x = 35.2 → x = 4

y = 7

z = 2 Übungen: Mathematik leicht gemacht S. 288 Nr. 4.33 c, d; 4.34 b, 4.35 b


Trigonometrie

Sicher kennt Ihr bereits die Lehre vom Dreieck (Geometrie). In diesem

Fachgebiet habt Ihr gelernt, aus gegebenen Komponenten eines Dreiecks die

fehlenden zeichnerisch zu ermitteln. Dieses Verfahren hat den Vorteil der

Anschaulichkeit, ist aber nur so genau, wie die Zeichnung gemacht wurde.

In diesem Kapitel werden wir die trigonometrischen Funktionen kennen

lernen, um mit deren Hilfe fehlende Grössen von Dreiecken exakt bestimmen

zu können.

Was heisst der Ausdruck Trigonometrie eigentlich? Er kommt aus dem

Griechischen und heisst so etwa Dreiecke (ver)messen.

Winkel- und Bogenmass Meistens messen wir die Grösse eines Winkels in Grad. Ein Vollkreis

(respektive eine ganze Schenkeldrehung) entspricht dabei 360°

In der Trigonometrie wird aber häufig auch das Bogenmass benötigt. Was

dieses Bogenmass genau ist, sehen wir in folgender Skizze:

Das Bogenmass ist die Länge des Bogens, der dem Winkel

im Einheitskreis (Radius r = 1) gegenüberliegt.

Allgemeiner ausgedrückt berechnet sich das Bogenmass aus

x = b / r x = Bogenmass, b = Bogenlänge, r = Kreisradius

Lasst uns das Bogenmass aufgrund dieser Formel noch etwas genauer

untersuchen.


Der Vollkreiswinkel von 360° entspricht im Bogenmass

x = b / r = 2r / r = 2

Wir sehen, dass sich der Radius r dank unserer Definition für das Bogenmass

herauskürzt, das Bogenmass für einen Vollkreis beträgt also immer 2, was

dem Umfang eines Kreises mit dem Einheitsradius 1 entspricht.

Es ist auch ersichtlich, dass durch das Verhältnis zweier Längen eine

einheitenlose Zahl für das Bogenmass resultiert. Damit ersichtlich wird, dass

es sich um eine Winkelangabe handelt, wird das Bogenmass mit der virtuellen

Einheit rad bezeichnet.

Wie können wir Grad in Radianten umrechnen? Die Antwort finden wir, wenn

wir die beiden Grössen für einen Vollkreis gegenüberstellen und beachten,

dass sich Radianten und Grad proportional verhalten:

Grad [°] rad

Vollkreis 360° 2 = 6.283 Halbkreis 180° = 3.142 Viertelkreis 90° /2 = 1.571

Ein Halbkreis mit einem Winkel von 180° hat nur die Hälfte der Bogenlänge

eines Vollkreises, ein Viertelkreis entsprechend nur ein Viertel.

Verallgemeinern wir diese Umrechnung auf beliebige Winkel so erhalten wir

die Verhältnisgleichung:

/ 360° = x / 2 = Winkel in Grad,

x = Winkel in rad

Übung:

1. Wandle folgende Werte ins Bogenmass um: 45°, 10°, 1°, 270°

45°=0.7854 rad, 10°=0.1745rad, 1°=1.74510-2

270°=4.712rad

2. Wie vielen Grad entspricht 5.236 rad, 1 rad, 2.356 rad, 10 rad?

5.236 rad = 300°, 1 rad = 57.3°, 2.356 rad = 135°

10 rad = 573°


Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Bevor wir mit der Definition der Winkelfunktionen beginnen, zeichnen wir

zur Repetition ein solches Dreieck mit allen Bezeichungen auf:

Anhand dieses Dreiecks (und des Einheitskreises) werden wir nun in der Lage

sein, alle Winkelfunktionen zu definieren.

Die Sinusfunktion sin()

Aus folgender Skizze finden wir die Definition für den Sinus vom Winkel :

sin() = Gegenkathete / Hypotenuse = GK / H

Aus unserer Skizze können wir bestimmte Extremwerte für den Sinus

herauslesen:

= 0° → sin() = 0 = 180° → sin() = 0

= 30° → sin() = 0.5 = 270° → sin() = -1

= 90° → sin() = 1 = -90° → sin() = -1

Folgerung: Das Ergebnis der Sinusfunktion liegt im Bereich

-1 sin() 1


Übung:

1. Bestimme den Sinus zu folgenden Winkeln: 60°, 45°, 1 rad, 405°, -30°.

Interpretiere die Resultate auch an der Skizze zur Definition vom Sinus.

Sin(60°) = 0.866, sin(45°) = 0.707, sin(1rad) = 0.841,

sin(405°) = sin(45°), sin(-30°) = -0.5

2. Berechne die fehlende Grösse in den dargestellten Dreiecken:

a) a= 4.1m

b) b=7.42 cm, sin()=0.375, =22°

c) c = 3.55m, a = 3.22m

3. Wie lange muss eine Leiter mindestens sein, damit an einer Hauswand eine

Höhe von 7.6 m erreicht werden kann, wenn die Leiter in einem Winkel von

75° angestellt ist?

l = 7.87 m


Die Cosinusfunktion cos()

Wie es der Name schon sagt, ist der cos zum sin verwandt. Schauen wir uns

das Ganze wieder in einer Skizze genauer an:

cos() = Ankathete / Hypotenuse = AK / H

Damit sollte die Vermutung der Verwandtschaft zum sin auch geklärt sein.

Beide sind nämlich Verhältnisse von Katheten zur Hypothenuse. Aber

Vorsicht: Die beiden Funktionen dürfen natürlich trotz Verwandtschaft nicht

vertauscht werden!

Aus unserer Skizze können wir bestimmte Extremwerte für den Cosinus

herauslesen:

= 0° → cos() = 1 = 180° → cos() = -1

= 30° → cos() = (3)/2 = 270° → cos() = 0

= 60° → cos() = 0.5 = -90° → cos() = 0

= 90° → cos() = 0 = -60° → cos() = 0.5

Folgerung: Das Ergebnis der Cosinusfunktion liegt im gleichen Bereich wie

das Ergebnis der Sinusfunktion

-1 cos() 1


Übung:

1. Wie weit muss der Leiterfuss von der Hauswand entfernt sein, damit die 12

m lange Leiter einen Anstellwinkel (Winkel zwischen Boden und Leiter) von

75° hat? Welche Höhe erreiche ich mit der so angestellten Leiter?

d = 3.11 m

h = 11.6 m

2. sin2() + cos2() = ?

3. Berechne die fehlenden Grössen in den dargestellten Dreiecken:

a) a = 10.32 cm; b = 14.74 cm

b) c = 17.43 m; =35°; a = 14.28 m

c) b = 7.25 cm; h = 3.06 cm; (a = 3.381 cm)


Die Tangensfunktion tan()

Wir haben mittlerweile festgestellt, dass Winkelfunktionen Seitenverhältnisse

im Dreieck sind. Zwei solche Verhältnisse haben wir bereits 'getauft'.

Schauen wir uns nun in einer Skizze an welches Verhältnis den Tangens

ausdrückt:

tan() = GK / AK = Gegenkathete / Ankathete

Folgende Aufstellung zeigt einige spezielle Werte der tan-Funktion.

= 0° → tan() = 0 = 135° → tan() = -1

= 45° → tan() = 1 = -45° → tan() = -1

= 90° → tan() =

Für einen Winkel von 90° ergibt der Tangens ein unendlich grosses Ergebnis.

Was passiert genau, wenn wir diese Grenze vom 1. in den 2. Quadranten

überschreiten?

Schauen wir uns diesen Übergang an, indem wir folgende zwei Grenzwerte

betrachten:

tan(89.9°) = 573 tan(90.1°) = -573

Folgerung: Beim Überschreiten des 90°-Winkels wechselt die tan-Funktion

von + zu -

Das Ergebnis der Tangensfunktion liegt also im Bereich

- tan()


Übung:

1. Die Steigung von Strassen wird häufig in % (tan()100%) angegeben.

a) Zeichne in einer Skizze, das Dreieck auf und bezeichne die Grössen zur

Steigungsangabe. b) Die Strasse von Kienthal in die Griesalp weist eine

Steigung von 27% auf. Welchem Steigungswinkel entspricht dies?

2. Berechne die fehlenden Grössen folgender Dreiecke:

Die Cotangensfunktion cot()

Wie die Sinus und die Cosinus-Funktion ist auch die Tangens- und

Cotangensfunktion miteinander verwandt. Folgende Skizze gibt Aufschluss

über das Wesen des Cotangens:

cot() = AK / GK = Ankathete / Gegenkathete


Einige spezielle Werte vom Cotangens finden wir in folgender Tabelle:

= 0° → cot() = = 135° → cot() = -1

= 45° → cot() = 1 = -45° → cot() = -1

= 90° → cot() = 0

Ihr werdet den cot() vergeblich auf dem Taschenrechner suchen. Wie können

wir ihn dann trotzdem berechnen? Folgende Aufstellung gibt Aufschluss über

diese Problematik:

tan() = GK / AK → 1 / tan() = AK / GK = cot()

cot() = 1 / tan()

Die Verwandtschaft von tan und cot wir hier besonders deutlich ersichtlich.

Der Cotangens wird deshalb nur selten gebraucht, da er direkt mit unserer

hergeleiteten Formel berechnet werden kann.

Übung zu den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck

Berechne die fehlenden Grössen in folgenden Dreiecken:


Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen

Funktionen Wir haben bereits einige Übung im Umgang mit trigonometrischen

Funktionen bekommen und zum Teil die Umkehrfunktionen bereits

verwendet. Wenn wir z.B. den Sinus eines Winkels berechnen erhalten wir das

Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse für den betreffenden Winkel.

Was sagen dann die Umkehrfunktion vom Sinus eigentlich aus?

Die Umkehrfunktion liefert uns den Winkel, der zum

entsprechenden Sinuswert gehört.

Die Umkehrfunktionen werden folgendermassen bezeichnet:

arcsin, arccos, arctan

was soviel heisst wie 'der zugehörige Bogen zum …'

Auf dem Taschenrechner finden wir auch folgende Kennzeichnungen:

asin oder sin-1 (was aber nicht mit 1/sin verwechselt werden darf)

Im Folgenden betrachten wir stellvertretend für die anderen Funktionen nur

die Sinusfunktion. Während die Sinusfunktion immer einen eindeutigen Wert

für einen Winkel liefern kann ist deren Umkehrfunktion mehrdeutig. Schauen

wir uns das in folgendem Diagramm etwas genauer an:

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 90 180 270 360 450 540

Grad

sin(x)

sin(x)


Suchen wir z.B. den arcsin von 0.5 → arcsin(0.5) sehen wir, dass der

zugehörige Winkel 30°, 150°, 390° … sein kann. Der Taschenrechner

gibt uns aber nur derjenige Wert am nächsten bei 0° an. Wir müssen uns aber

stets bewusst sein dass der vom Taschenrechner erhaltene Winkel eventuell

nicht der korrekte ist:

Beispiel:

sin(120°) = 0.866

arcsin(0.866) = 60° 120°

Übung:

Gebe alle in Frage kommenden Winkel im Bereich von 0 .. 360° oder

-180° .. 180° für folgende Winkelfunktionen an:

sin() = 0.7 = ?

cos() = 0.65 = ?

tan() = 2 = ?

Tip: Nehme Dir den Einheitskreis zur Lösung dieser Fragen zu Hilfe!


Funktionenlehre

Funktionen sind ein sehr wichtiger Bestandteil der Naturwissenschaften. Mit

Funktionen können wir Naturgesetze oder das Verhalten technischer Geräte

und Komponenten beschreiben. In diesem Sinne sind wir bereits vielfach mit

Funktionen in Kontakt gekommen, waren uns dieser Tatsache vielleicht aber

nicht so sehr bewusst.

Lasst uns zuerst ein paar Begriffe klären, bevor wir in die Welt der Funktionen

eintauchen

Abbildungen, Relationen und Funktionen Funktionen erzeugen eigentlich ein Abbild von gegebenen Werten. Diese

Eigenschaft haben auch die Relationen. Es gibt aber ein wichtiger Unterschied

zwischen Funktionen und Relationen:

Relationen

Ein Beispiel für Relationen ist unser Klassenverband. Wir können

beispielsweise betrachten, wer welche Hobbys ausübt: Mannschaftssport,

Wandern, Biken, Bücher lesen usw.

Eine Relation weist einer Ausgangs- oder Definitionsmenge

Elemente aus der Zielmenge zu.

Relationen können je nachdem ein Element, mehrere Elemente oder auch gar

keine Elemente zuweisen. Der Begriff Relation prägt auch die relationalen

Datenbanken. Diese sind genau nach diesem Prinzip aufgebaut. Es gibt

Zuweisungstabellen, die Elementen der Definitionsmenge Elemente der

Zielmenge zuordnet. Als Beispiel könnte eine Adressdatenbank unserer Klasse

dienen, die obige Hobbies den Personen zuordnet:


Funktionen

Auch Funktionen geben ein Abbild einer Definitionsmenge. Der

Funktionsbegriff engt die Zuordnungsmöglichkeit aber ein:

Eine Zuordnung, die jedem Element der Definitionsmenge

eindeutig ein Element der Zielmenge zuordnet, nennen wir

Funktion.

Beispiel:

Wir wollen uns im Folgenden mit den Funktionen beschäftigen.

Funktionstypen Prinzipiell unterscheiden wir zwei Arten von Funktionen:

• Eine Funktion, die aus der praktischen Beobachtung resp. durch eine

Messserie gefunden worden ist, heisst empirische Funktion.

• Ist die Funktion durch eine Formel, d.h. ein rechnerisch auswertbares

Gesetz festgelegt, sprechen wir von einer analytischen Funktion.


Empirische Funktionen lassen sich nur näherungsweise durch ein Polynom

y = anxn + …. + a3x

3 + a2x2 + a1x

1+ a0 beschreiben. Solche Polynome

werden als Regressionspolynome bezeichnet. Wir wenden diese Technik

manuell an, wenn wir beispielsweise versuchen, Messpunkte in einer Grafik

miteinander zu verbinden.

Der Analytischen Funktion hingegen liegt bereits eine Funktionsgleichung

zugrunde. Mit dieser Funktionsgleichung können wir das Bild der Funktion

erzeugen.

Analytische Funktionen können wir also berechnen, während dem wir

empirische Funktionen nur durch Auswertung von Tabellen oder Diagrammen

nutzen können.

Darstellung von Funktionen Um Funktionen allgemein beschreiben oder darstellen zu können, bezeichnen

wir gewöhnlich eine der Grössen mit x, die andere mit y.

In Elektrotechnik, Physik etc. sind natürlich auch andere Formelzeichen

verwendet. Beispiel: Darstellung der Spannung U in Funktion des Stromes I.

Für die graphische Darstellung wird in der Mathematik meistens das

kartesische Koordinatensystem gewählt: Auf zwei sich rechtwinklig

schneidenden Geraden (Achsen) tragen wir in waagrechter Richtung die x-

Werte, in senkrechter Richtung die y-Werte ab. Beide Achsen zusammen

nennen wir Koordinatenachsen. Der Achsenschnittpunkt erhält die

Bezeichnung Ursprung. Auf der x-Achse werden vom Ursprung aus nach

rechts die positiven Werte, nach links die negativen Werte angetragen. Auf der

y-Achse werden nach oben die positiven und nach unten die negativen Werte

angetragen. Die positive Richtung wird jeweils durch einen Pfeil

gekennzeichnet.

In dem Koordinatensystem wird jedem Zahlenpaar (x | y) (Wichtig: zuerst x,

dann y!) eindeutig ein Punkt der Zeichenebene zugeordnet.

Auf den folgenden Blättern werden wir uns mit einigen Beispielen für

Funktionen beschäftigen.


Darstellungsarten von Funktionen Funktionen können auf drei Arten dargestellt werden. Je nach Anwendung

bietet die eine oder die andere Vorteile. Die Darstellungsarten sind hier so

aufgelistet, wie wir bei einer analytischen Funktion am besten von der Formel

zum Graphen gelangen. Damit sind schon zwei der drei Darstellungsarten

aufgelistet. ☺

Darstellung durch eine Gleichung

y1 = 2x + 3 y1 = f(x) lineare Gleichung

y2 = x2 - 1 y2 = f(x) quadratische Gleichung

Darstellung durch Wertetabelle

Die Wertetabelle stellt den Definitionsbereich dem Wertebereich gegenüber.

Sie kann je nach Platzverhältnis sowohl horizontal als auch vertikal

augerichtet werden:

x -2 -1 0 1 2 Definitionsbereich

y1 -1 1 3 5 7 Wertebereich lin. Funktion

y2 3 0 -1 0 3 Wertebereich quadr. Funkt.

Definitionsbereich: -2 < x < 2

Wertebereich: -1 < y < 7

Darstellung im Koordinatensystem (Graph)

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

y=2x+3

y=X^2-1


Übungen zu den Funktionen

1. Ein 1 k Potentiometer Rp liegt über einen Widerstand Rv = 500 an

einer Gleichspannung Uo = 63.25 V.

Stelle den Leistungsverlauf im Widerstand Rv in Abhängigkeit der

Potentiometerstellung Rp graphisch dar. Pv = f ( Rp )

Lösung:


2.


Grundlegende mathematische Funktionen Wir wollen nun einige ganz grundlegende mathematische Funktionen

betrachten. Wir beginnen mit der linearen Funktion, um später zu den

quadratischen und weiteren Funktionen zu schreiten. Wir möchten uns in

diesem Kapitel genauer darauf konzentrieren, wie wir diese Funktionen nach

unseren Wünschen mithilfe von Konstanten oder Parametern modellieren

können.

Eine recht einfache lineare Funktion kennen wir bereits bestens aus der

Elektrotechnik: Das ohmsche Gesetz:

U = R I

Wir wissen bereits wie es zu deuten ist: Wenn der Widerstand konstant bleibt

und der Strom sich verdoppelt, so verdoppelt sich auch die Spannung am

Widerstand. Zeichnen wir diese Funktion wie vorher betrachtet graphisch auf,

so ergibt sich eine Gerade. Die Gerade entspringt dem Nullpunkt des

Koordinatenkreuzes. Wie aber sieht eine allgemeine Geradengleichung aus

und wie kann ich frei bestimmen, wie diese ins Koordinatensystem zu liegen

kommt? Auf diese Fragen wird das kommende Kapitel Antworten liefern.

Die lineare Funktion

In einer linearen Funktion kommt die unabhängige Variable nur in der 1.

Potenz vor. Wir nennen deshalb lineare Funktionen auch Funktionen 1.

Grades. Das Ohmsche Gesetz ist ein Beispiel für eine lineare Funktion.

Allgemein lautet die lineare Funktion:

y = f(x) = ax + b

Die Variablen a und b sind hier Konstanten.

In diesem Kapitel wollen wir Schritt für Schritt die Bedeutung der einzelnen

Elemente dieser Funktion kennen lernen.

Die Bedeutung der Konstanten a

Um den Einfluss der Konstante a herauszufinden setzen wir zunächst die

Konstante b = 0. Unsere lineare Funktion vereinfacht sich zu folgendem

Ausdruck: y = ax

Wir wollen nun die Bedeutung von a mit einer grafischen Darstellung der

Funktion kennen lernen:


Aufgabe: Stelle die Funktionen y = f(x) = ax mit folgenden Werten für die

Konstante a im Bereich -5 x 5 dar:

1) a = 1

2) a = 2

3) a = 0.5

4) a = -0.5

5) a = -1

Was haben alle

Kurven im

Diagramm

gemeinsam?

• Sie gehen durch den Nullpunkt des Koordinatensystems

• Es sind alles Geraden

Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von a?

Ein positives a ergibt eine steigende Gerade,

ein negatives a eine fallende Gerade.

Welchen Einfluss hat die Grösse der Konstante a?

Je grösser die Konstante a, desto steiler ist die Gerade.

Offensichtlich ist also die Konstante a verantwortlich für die

Steigung der Geraden.

Wir können diesen Sachverhalt auch mathematisch analysieren:

y = ax → a = y/x oder allgemein: a = y/x Wir können uns zu diesem Sachverhalt auch folgenden Satz merken:

Wenn x um 1 Einheit zunimmt, nimmt y um a Einheiten zu.

x

y


Die Bedeutung der Konstanten b

Um den Einfluss von b kennen zu lernen, setzen wir die Steigung a auf 0 oder

auf 1. Es ergeben sich dann die Gleichungen

y = b und y = x + b

Folgende Geradengleichungen zeigen uns die Bedeutung von b, wenn wir die

Funktionen aufzeichnen:

y = 0

y = 1

y = x + 1

y = x + 2

y = x + b

Die Konstante b sagt aus, wo sich die Gerade mit der y-

Achse schneidet: y(x=0) = ax + b = a0 + b = b

Übung: Mathematik leicht gemacht: S. 359 Nr. 5.1 a, b, 5.2 a, i, 5.4 a, b, e

x

y


Die Bestimmung der Geradengleichung

Von der Geometrie kennen wir die Tatsache, dass eine Gerade durch zwei

Punkte eindeutig definiert ist. Wir könnten sie auch durch einen Punkt und

einen Winkel resp. die Steigung eindeutig festlegen. Beide Varianten führen

zu einem Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, mit dem wir die

Konstanten a und b eindeutig bestimmen können. Folgendes Diagramm

verdeutlicht diesen Sachverhalt:

Geradengleichung aus zwei Punkten

Wenn 2 Punkte P1= (x1, y1) und P2 = (x2, y2) gegeben sind, lässt sich folgendes

Gleichungssystem aufstellen:

y1 = ax1 + b

y2 = ax2 + b

Die Unbekannten sind nun a und b. Wir können dieses System mit einer der

uns bereits bekannten Verfahren lösen also z.B.:

b = y1 - ax1 → y2 = ax2 + b = ax2 + y1 - ax1

y2 - y1 = a(x2 - x1) → a = (y2 - y1)/(x2 - x1) = y/x

x

y


b = y1 - ax1 =y1 - x1(y2 - y1)/(x2 - x1)

y1(x2 - x1) - x1(y2 - y1) x2y1 - x1y2

b = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯

x2 - x1 x2 - x1

Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung

Hier ist die Steigung a (resp. der Steigungswinkel ) und ein Punkt

P1= (x1, y1) gegeben.

Auch hier hilft uns direkt die allgemeine Geradengleichung weiter:

y1 = ax1 + b → b = y1 - ax1

a = tan()

Um unsere Kenntnisse über Geraden noch zu perfektionieren, könnten wir

obiges Ergebnis in die allgemeine Geradengleichung einsetzen:

y(x) = ax + b → y = ax + y1 - ax1

y - y1 = a(x - x1)

Wie können wir dieses erstaunlich einfache Resultat interpretieren? Offenbar

reduziert sich die Geradengleichung auf y' = ax', wenn der Nullpunkt des

neuen Koordinatensystem auf den Punkt P1 verschoben wird wie das folgende

Diagramm verdeutlicht:

Übungen: Cornelsen S.62 Nr. 1 a-c; 2 a-c, 4 a; S. 63 Nr. 1, 2; S. 64, Nr. 4


Der Schnittpunkt zweier Geraden

Zwei Geraden können sich nur in einem Punkt schneiden, es sei denn sie

liegen genau übereinander. Wir wollen hier lernen, wie der Schnittpunkt

zweier Geraden rechnerisch zu bestimmen ist.

Beispiel: Wo schneiden sich die beiden Geraden g1: y = -0.75x + 3 und

g2: y = 1.5x - 1.5? Wir lösen die Aufgabe zunächst grafisch, indem wir die

beiden Geraden im Koordinatensystem aufzeichnen. (Hilfestellung: Wir

zeichnen die Geraden im Bereich -2 < y < 3 und 0 < x < 4)

Rechnerisch lässt sich der Schnittpunkt mit folgendem Ansatz lösen:

Im Schnittpunkt sind die Werte für x und y für beide

Geraden identisch. Wir können die beiden

Geradengleichungen also gleichsetzen:

y = -0.75x + 3 = 1.5x - 1.5

4.5 = 2.25x → x = 2

Aus Gleichung g1: y = -0.75x + 3 = -0.752 + 3 = 1.5

Aus Gleichung g2: y = 1.5x - 1.5 = 1.52 - 1.5 = 1.5

Der Schnittpunkt ist S(2|1.5)

x

y


Übung: Mathematik leicht gemacht S. 360 Nr. 5.5 a, b, c, f

Weitere Übungen:

1. Wie lautet die Geradengleichung die durch die gegebenen Punkte geht?

a) x1 = 2, y1 = 5; x2 = 4, y2 = 15

b) x1 = 6, y1 = 6; x2 = 10, y2 = 3

Wo schneiden sich diese Geraden?

a) y = ax+b → a= dy/dx = 10/2 = 5; b = y-ax = 5 – 10 = -5

Kontrolle: b = 15 - 45 = -5

y = 5x - 5

b) a= dy/dx = -3/4; b = y-ax = 6+3/46 = 10.5

Kontrolle: b = 3+30/4 = 10.5

y = -3/4x + 10.5

5x – 5 = y = -3/4x + 10.5

5.75x = 15.5 → x = 314/(2 23) = 62/23 = 2.696

y = 625/23 – 5 = 8.478

y = -362/(423) + 10.5 = 8.478 → S (2.696 ; 8.478)

2. Finde die Geradengleichung für folgende Geraden heraus:

a) Die Gerade geht durch den Punkt x1 = 1, y1 = 2 und hat einen

Steigungswinkel = 30 °

b) Die Gerade geht durch den Punkt x1 = -2, y1 = 2 die Steigung beträgt a = -2

a) a = tan(30°) = 0.5774 b = y – ax = 2 - 0.5774 = 1.423

y = 0.5774x + 1.423 oder y – 2 = 0.5774(x-1)

b) y-2 = -2(x+2) → y = -2x – 2 resp. b = y – ax = 2 - 4 = -2


Die quadratische Funktion

In einer quadratischen Funktion kommt die unabhängige Variable x in der 1.

und 2. Potenz vor. Sie wird deshalb auch Funktion 2. Grades genannt..

Allgemein lautet die quadratische Funktion:

y = f(x) = ax2 + bx + c

Die Variablen a, b und c sind hier Konstanten.

In diesem Kapitel wollen wir Schritt für Schritt die Bedeutung der einzelnen

Elemente dieser Funktion kennen lernen. Wir werden dabei auch lernen, wie

wir quadratische Gleichungen lösen können.

Die Bedeutung der Konstanten a

Um den Einfluss der Konstante a herauszufinden setzen wir zunächst die

Konstanten b = c = 0. Die quadratischelineare Funktion vereinfacht sich zu

folgendem Ausdruck: y = ax2

Wir wollen nun die Bedeutung von a mit einer grafischen Darstellung der

Funktion kennen lernen:

Aufgabe: Stelle die Funktionen y = f(x) = ax2 mit folgenden Werten für die

Konstante a im

Bereich -3 x 3

dar:

1. a = 1

2. a = 2

3. a = 0.5

4. a = -1

x

y


Was haben alle Kurven im Diagramm gemeinsam?

• Sie berühren mit dem Scheitelpunkt den Nullpunkt des

Koordinatensystems

• Es sind alles Parabeln

Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von a?

Ein positves a ergibt eine nach oben geöffnete Parabel (nur

positive y-Werte), ein negatives a eine nach unten geöffnete

Parabel (nur negative y-Werte).

Welchen Einfluss hat die Grösse der Konstante a?

Je grösser die Konstante a, desto steiler ist die Parabel.

Die Bedeutung der Konstanten b und c

Die Bedeutung dieser beiden Konstanten finden wir, indem wir die Grundform

analog unserer Erkenntnis bei den Geraden etwas anders schreiben:

y - y0 = (x-x0)2 oder y = (x-x0)2 + y0

Dies bedeutet nichts anderes wie eine Verschiebung des Scheitelpunktes im

Koordinatensystem von (0|0) auf (x0|y0).

Übung: Zeichne

folgende Parabeln

im

Koordinatensystem

ein (im Bereich

x = -3 .. +3 und

y = 0..9)

1) y = x2 + 2

2) y = (x - 2)2

3) y = x2 - 4x + 4

4) y = x2 + 4x + 5

x

y


Was können wir feststellen?

• Kommt nur die Konstante c vor, verschiebt sich der

Scheitelpunkt auf der y-Achse.

• Kommen die Konstante b und c gemeinsam vor, kann der

Scheitelpunkt an einem beliebigen Ort liegen.

Berechnung des Scheitelpunktes

Wir konnten in vorheriger Übung den Scheitelpunkt graphisch ermitteln. Wie

lässt sich dieser nun berechnen?

Dies gelingt uns durch Gegenüberstellung der beiden Gleichungsformen für

die Parabel:

(y - y0) = a(x - x0)2 Ersetzen wir die beiden Klammern durch y' und x',

haben wir eine Parabel mit dem Scheitelpunkt x' = 0

und y' = 0. Daraus ergibt sich in dieser Schreibweise,

dass x' = x-x0 = 0 und y' = y - y0 = 0 ist. Der

Scheitelpunkt ist also bei x = x0 und y=y0 oder anders

gesagt: Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten

S(x0|y0). Diese Gleichungsform nennen wir deshalb

auch Scheitelpunktform.

y = ax2 + bx + c Dies ist die übliche Schreibweise der quadratischen

Funktion. Gelingt es nun, diese Form in die

Scheitelpunktform überzuleiten, können wir also den

Scheitelpunkt bestimmen.

Wir versuchen diese Umformung, indem wir von der Scheitelpunktform her

umwandeln:

(y - y0) = a(x - x0)2 = a(x2 - 2x0x + x0

2)

y = ax2 - 2ax0x + ax02 + y0

Durch Gruppieren der gefundenen Komponenten können wir diese der

allgemeinen Schreibform gegenüberstellen:

y = ax2 + (-2ax0)x + (ax02 + y0)

y = ax2 + ( b )x + c

Wir haben also folgende Beziehungen zur Ermittlung der

Scheitelpunktkoordinaten S (x0|y0) gefunden:

b = -2ax0 → 2a

b- x 0 =

c = ax02 + y0 → 0

a-c y2

0 x= oder eingesetzt a

b

4-c y

2

0 =


Übung zur Scheitelpunktgleichung: Mathematik leicht gemacht

S. 360 Nr. 5.7 a, b, d, g.

(Nur Berechnung des Scheitelpunktes. Lasse noch Platz für die spätere

Bestimmung der Schnittpunkte von der Parabel mit der Geraden!)

Bestimmung der Nullstellen einer Parabel (resp. quadratischen

Gleichung)

In diesem Abschnitt werden wir lernen, wie wir die Schnittpunkte einer

Parabel mit der x-Achse (= Nullstellen der quadratischen Gleichung)

berechnen können. Diese Schnittpunkte können auch mit einem grafischen

Taschenrechner gefunden werden, solange wir für die Parameter numerische

Zahlen haben.

Wie können wir diese allgemein berechnen? Zur Lösung dieser Frage

betrachten wir zuerst die Scheitelpunktform der Parabel:

(y - y0) = a(x - x0)2 oder y = a(x - x0)

2 + y0

Wie der Name "Nullstellen" bereits vermuten lässt, sind Werte für x gesucht

die y = 0 ergeben:

y = 0 = a(x - x0)2 + y0

Durch Umstellen der Formel finden wir:

-y0 = a(x - x0)2

-y0 / a = (x - x0)2 → x - x0 = (-y0 / a)

x = x0 (-y0 / a)

Die Scheitelpunktkoordinaten x0 und y0 haben wir bereits auf dem

vorhergehenden Blatt aus der allgemeinen Form berechnet:

y = ax2 + bx + c → 2a

b- x 0 = und

a

b

4-c y

2

0 =

Setzen wir diese Beziehungen für x0 und y0 in obige Gleichung ein, erhalten

wir die Lösungsgleichung für die quadratische Gleichung:


Beispiel: Wir wollen die Funktion y = x2 + x – 6 analysieren.

Erstelle zu ihr eine Wertetabelle im Bereich -5 < x < +5

Zeichne die Funktion grafisch auf.

Wo sind die Nullstellen der Funktion?

Berechne nun die Nullstellen der Funktion mit der vorher hergeleiteten

Formel.

Übung: Mathematik leicht gemacht S. 360 Nr. 5.7 a, b, d, g. Nun sind wir in

der Lage, den Schnittpunkt mit der Geraden zu bestimmen.

Nr. 5.8 a, d, f, h: Scheitelpunkte und Nullstellen berechnen. Lösungen für Nullstellen 5.8 a: x1 = 0, x2 = -2; d: x1 = 0.183, x2 = 1.816; f: keine Nullstellen; h: x1 = 1, x2 = - 1.5


Gleichungen 2. Grades (Quadratische Gleichung)

Bis jetzt haben wir Gleichungen nach x umgestellt und so eine Lösung

gefunden. Was passiert aber wenn x sowohl quadriert als auch linear

vorkommt?

Beispiel: ax2+bx+c = 0

Wir können diese Funktion zwar umstellen, erhalten aber nicht ohne weiteres

eine Lösung für x = …

ax2+ bx = -c

Ein Spezialfall haben wir wenn c= 0:

ax2+bx = 0

Diese Gleichung können wir mit einem Trick lösen:

x(ax + b) = 0

Das Produkt einer Multiplikation ist dann 0, wenn einer der

Faktoren 0 ist!

Mit diesem Satz finden wir zwei Lösungen für x:

x1=0; x2 =-b/a

Ähnlich funktioniert das Ganze, wenn C 0 ist. Allerdings ist das Ermitteln

der Faktoren etwas schwieriger. Das Stichwort quadratische Ergänzung hilft

uns hier weiter:

y = 0 = (x+p)2 = x2 + 2px + p2

Die Normalform kann ich in eine ähnliche Form umwandeln:

y = 0 = ax2 + bx +c

0 = 𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎

0 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2

2𝑝 =𝑏

𝑎 → 𝑝 =

𝑏

2𝑎


Die quadratische Ergänzung erweitert die Formel nun so, dass wir ein Binom

in der Form (x+p)2 bilden können:

0 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2

0 = 𝑥2 + 2𝑏

2𝑎𝑥 + (

𝑏

2𝑎)

2

− (𝑏

2𝑎)

2

+𝑐

𝑎

Damit ich die Formel nicht verfälsche, addiere und subtrahiere ich den Term

nacheinander, denn (𝑏

2𝑎)

2− (

𝑏

2𝑎)

2= 0

Nun bilde ich aus dem markierten Teil der Formel das Binom:

0 = 𝑥2 + 2𝑏

2𝑎𝑥 + (

𝑏

2𝑎)

2

− (𝑏

2𝑎)

2

+𝑐

𝑎

0 = (𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

− (𝑏

2𝑎)

2

+𝑐

𝑎

Auf diese Weise ist es uns gelungen, dass x nicht mehr quadratisch vorkommt.

So können wir die Formel jetzt nach x auflösen. Ganz korrekt passiert das mit

dem konvertieren in die 3. binomische Formel: (c+d)(c-d) = c2 – d2

Ergänzen wir unsere Gleichung, damit diese Form entsteht, erhalten wir:

0 = (𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

− (𝑏

2𝑎)

2

+𝑐

𝑎

0 = (𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

− [(𝑏

2𝑎)

2

−𝑐

𝑎]

0 = (𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

− [√(𝑏

2𝑎)

2

−𝑐

𝑎]

2

0 = [𝑥 +𝑏

2𝑎+ √(

𝑏

2𝑎)

2

−𝑐

𝑎] [𝑥 +

𝑏

2𝑎− √(

𝑏

2𝑎)

2

−𝑐

𝑎]

Wir wissen, dass ein Produkt 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist. Wir

können also der Reihe nach jede Klammer nullsetzen!

0 = [𝑥 +𝑏

2𝑎+ √(

𝑏

2𝑎)

2

−𝑐

𝑎] 𝑠𝑜𝑤𝑖𝑒 0 = [𝑥 +

𝑏

2𝑎− √(

𝑏

2𝑎)

2

−𝑐

𝑎]


Nach Bearbeitung des Wurzelaudrucks entsteht:

√(b

2a)

2

−c

a= √

b2

4a2−

4ac

4a2= √

b2 − 4ac

4a2=

1

2𝑎 √b2 − 4ac

Aus dieser Umformung entsteht schliesslich die Lösungsformel für

quadratische Gleichungen in der Form:

ax2+bx+c = 0 → 𝑥12 =−𝑏±√b2−4ac

2a

Beispiel: x2-15x+50 = 0

x1= 5, x2 = 10

Übung: Mathe leicht gemacht 4.42 b, c, e, h; 4.48 a, g; 4.51 a; 4.56 a; 4.61 b


Die Potenzfunktionen

Wir sprechen allgemein von Potenzfunktionen, wenn eine Gleichung in der

Form

y = xn vorliegt. Dieser Ausdruck wird auch Potenzfunktion n-ten Grades genannt.

Um festzustellen, was für einen Einfluss der Exponent n auf das Bild der

Funktion hat, zeichnen wir am besten einige Beispiele auf:

Aufgabe: Zeichne folgende Funktionen im Bereich -2 x +2 und

-8 y +8 auf. Achte speziell darauf dass im Bereich von x = 0.5 .. 1

mindestens 4 Punkte berechnet und gezeichnet werden.

1. y = x

2. y = x2

3. y = x3

4. y = x4

5. y = x5

6. y = x10

Mache zu dieser Aufgabe ein Excel Diagramm und füge es diesen Unterlagen

bei.

Was für Eigenschaften können wir aus diesen Kurven für die Potenzfunktion

feststellen?

• Ist der Exponent eine gerade Zahl, so verläuft die Kurve

achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir sprechen

dementsprechend von einer geraden Funktion.

• Ist der Exponent eine ungerade Zahl, so verläuft die Kurve

punktsymmetrisch zum Nullpunkt. Eine solche Funktion

nennen wir eine ungerade Funktion.

Der Nullpunkt wird bei ungeraden Funktionen auch Wendepunkt genannt.

Die Steigung einer Kurve ist im Wendepunkt entweder am flachsten oder

aber am steilsten (Bei der Potenzfunktion ist sie dort immer am flachsten)

• Je grösser der Exponent, desto ausgeprägter ist der "Knick" der

Kurve.


Die Exponentialfunktion und die logarithmische Funktion

Wenn der Exponent selbst die Veränderliche einer Funktion ist, so sprechen

wir von Exponentialfunktionen. Die Exponentialfunktion hat also die

Gleichung

y = ax wobei a immer positiv sein muss, damit die Funktion graphisch darstellbar ist.

Umgekehrt wissen wir, dass uns die logarithmische Funktion den Exponenten

liefert, der mit der Basis a den Wert y ergibt: y = ax → x = loga(y) oder

x = log(y)/log(a). Vertauschen wir x und y, bekommen wir die logarithmische

Funktion in der Form

y = loga(x)

Wie die Exponential- und die logarihmische Funktion zusammenhängen,

verdeutlicht uns folgende Übung:

Zeichne im Bereich x = -5 .. 10 und y = -5 .. 10 folgende Funktionen auf:

1. y = 2x

2. y = x

3. y = log2(x)

4. y = 10x

5. y = log(x) = log10(x)


Logarithmieren

Mit dem Logarithmieren wird es möglich, einen unbekannten Exponenten zu

ermitteln:

ax = b → x = loga b

Die einzelnen Elemente des Wurzelausdrucks heissen:

x = Logarithmus

b = Numerus

a = Basis

Der Ausdruck loga b wird folgendermassen ausgesprochen:

Logarithmus von b zur Basis a

Beispiele:

2x = 64 → x = log2 64 = 6, denn 26 = 64

10x = 1'000 → x = log10 1000 = 3, denn 103 = 1'000

Spezielle Logarithmen Auf dem Taschenrechner finden wir zwei Logarithmen, die wir in der Praxis

sehr häufig benutzen werden:

• Den Zehnerlogarithmus log10(b)= lg(b)= log(b)

• Den natürlichen Logarithmus loge(b) = ln(b)

Aufgabe: Wie gross ist die Zahl e? Finde eine Antwort auf diese Frage

mithilfe des Taschenrechners.

Ansatz: ex = e → e1 = e = 2.71828….

Übungen zu diesem Thema:

Mathematik Übung Logarithmen, Aufgabe 1 und 2


Logarithmengesetze Wie können wir mit den auf dem Taschenrechner vorhandenen Logarithmen

auch Logarithmen mit einer beliebigen Basis berechnen? Folgende Herleitung

gibt Aufschluss über das Vorgehen:

x = loga b b = ax Wir setzen für a = 10v und erhalten:

b = (10v)x = 10vx → vx = log b → x = (log b)/v

Aus a = 10v erhalten wir v = log a

Eingesetzt ergibt sich als Schlussresultat für unser Problem:

x = log b / log a

Wir sind nun imstande, die Aufgaben 3 bis 4 des Übungsblattes zu lösen.

Es existieren weitere Grundgesetze, um das Rechnen mit Logarithmen zu

vereinfachen. Diese sind mit den Potenzgesetzen verwandt und können mit

deren Hilfe hergeleitet werden.

Wir nehmen folgende Zusammenhänge als Grundgleichungen an:

a = 10x x = log a

b = 10y y = log b

Logarithmieren von Produkten

→ ab = 10x10y = 10x+y

log(ab) = x+y weil log(10x+y) = x+y

, eingesetzt in ergibt:

log(ab) = log a + log b

Beispiel: log(103) = log 10 + log 3 = 1 + 0.477 = 1.477


Logarithmieren von Brüchen

/ → a/b = 10x/10y = 10x-y

log(a/b) = log(10x-y) = x-y

, eingesetzt in ergibt:

log(a/b) = log a - log b

Logarithmieren von Potenzen

Aus folgt a2 = (10x)2 = 102x

Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten:

Log(a2) = log(102x) = 2x

eingesetzt in ergibt:

Log(a2) = 2log(a)

Allgemein ausgedrückt ergibt sich analog zu obiger Herleitung:

an = (10x)n = 10nx

Log(an) = log(10nx) = nx

Log(an) = nlog(a)

Beispiel: log(33) = 3log 3 = 30.477 = 1.431

Versuche mit diesem Gesetz die Formel für die Berechnung von x = loga(b)

herzuleiten:


Übungen zu Logarithmen 1. log 2 256

8 (28=256) 2. log 10 1000000

6 ( 106 = 1‘000‘000) 3. log 7 823‘543

log(823‘545)/log(7) = 7 (77 = 823‘545) 4. log 0,5 0,03125

5 (0.55 = 0.3125) 5. 5bx+3 = 10x

6. 3

181 12

2

=+

+

x

x

x=-4

7. a2x+5 = b

8. ( )22966 −= xx

x=2


Längen-, Flächen- und Volumenberechnungen

Wir haben in der Physik und Elektrotechnik schon öfters Volumen und

Flächenberechnungen verwendet. In diesem Kapitel wollen wir uns diesen

speziell widmen, und dabei auch Berechnungen von komplizierteren Körpern

durchführen. Die Formeln werden wir falls möglich durch geometrische

Beweisführung herleiten.

Berechnungen an Vierecken Wir gehen von einem Rechteck mit den Seiten a und b aus. Die Fläche des

Rechteckes beträgt A = ab.

Wieviel beträgt der Umfang eines Rechtecks?

U = a + b + a + b = 2(a+b)

Ein spezielles Rechteck ist das Quadrat: Bei ihm sind alle Seiten gleich lang.

Die Fläche vom Quadrat beträgt folglich A = aa = a2

Die Umfangsberechnung vereinfacht sich zu U = 2(a + a) = 4a

Etwas komplizierter wird die Betrachtung am Parallelogramm:

Durch gezeigte Umformung erhalten wir:

A = ah und U = 2(a + b)

A = absin()


Beim Trapez können die Flächenberechnungen mit folgender Konstruktion

erklärt werden:

Daraus ergibt sich

A = (a+c) h /2

U = a + b + c + d

Berechnungen am Dreieck Das Dreieck ist eine spezielle Form des Trapezes: Die Strecke c vom Trapez

ist 0!

Daraus ergibt sich direkt für die Fläche:

A = ah/2 oder in Worten: Fläche = Grundseite mal Höhe durch

zwei.

U = a + b + c

Die korrekten Dreiecksbezeichnungen sind aus folgender Skizze ersichtlich:

Die Winkel im Dreieck verhalten sich nach folgender Gesetzmässigkeit:

+ + = 180°, wie leicht aus folgender Konstruktion zu sehen ist.


Der Satz des Pythagoras

Eine Spezialität bei rechtwinkligen Dreiecken ist der Satz des Pythagoras. Wir

brauchen diesen Satz immer wieder in naturwissenschaftlichen Fächern.

Lasst uns dieser Satz also mit Hilfe der nun bekannten Flächenformeln

herleiten. Wir können damit und der folgenden Konstruktion ganz einfach den

Beweis dieses Satzes antreten:

c2 = a2 + b2 Siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras

Der Kreis Vom Kreis ist die Fläche, der Umfang und die Sektorenfläche von Bedeutung:

A = r2 = (d/2)2 = d2/4

U = 2r = d Ein Kreissektor ist ein Teil vom Vollkreis. Er lässt sich folgendermassen

berechnen:

A = r2/360° = Sektorwinkel in Grad

UB = 2r/360° UB = Länge des Kreissektorbogens

Übung: S.193 Nr. 9 a-d, 10, S.198 Nr 1a, 2a, 5, S. 199 Nr. 1, 4, 6,

S. 202 Nr. 5, 6


Berechnungen an Säulen Eine Säule hat eine Grundfläche und eine Höhe. Wir können uns die Säule

vorstellen, wie wenn wir viele Scheiben mit derselben Form

übereinanderstapeln.

Säulen können beliebige Grundflächenformen aufweisen (Rechteck, Dreieck,

usw.)

Generell gilt für die Berechnungen von Säulen:

V = Grundfläche Höhe

A = Mantelfläche + 2 Grundfläche

Wir wollen im Folgenden den Quader und den Zylinder genauer betrachten.

Der Quader

Als ersten dreidimensionalen Körper wollen wir den Quader betrachten:

V = a b c

A = 2(ab + ac + bc)

lKante = 4(a+b+c)

Der Zylinder

V = AG h = r2h

A = AM + 2AG

A = dh + d2/2

A = dh + 2r2

Die Kugel Das Volumen und die Oberfläche einer Kugel lässt sich wie folgt berechnen

(ohne Beweis):

V = 4/3 r3 = 4/3 d3/8 = 1/6d3

A = 4r2 = d2 Übung: Cornelsen S. 206 Nr 8a, 9; S. 208 Nr. 5; S. 217 Nr. 9, 12


Volumen von Pyramide und Kegel Kegel und Pyramide sind keine Säulen, sondern sie velaufen in einen Spitz.

Deshalb gilt die Formel für die Säulenberechnungen nicht mehr. Das Volumen

von Pyramiden und Kegeln ist kleiner als das Volumen der umhüllenden

Säule. Berechnungen ergeben folgenden Sachverhalt:

V = 1/3AGh AG = Grundfläche

Die Grundfläche AG beträgt:

• Bei der Pyramide: AG = ab

• Beim Kegel: AG = r2

Übung zum Thema Pyramide und Kegel:

Cornelsen S. 209 Nr. 2; S. 215 Nr. 4, 7a


Vektorrechnung

Die Vektorenrechnung findet in vielen technischen Gebieten Anwendung.

Allgemein gesagt rechnen wir dort mit Vektoren, wo nebst dem Zahlenwert

einer Grösse auch deren Richtung von Bedeutung ist. Beispiele hierzu sind:

• Kräfte (Berechnung der resultierenden Kraft aus Teilkräften)

• Elektrotechnik (Rechnen mit Wirk- und Blindwiderständen)

Wir werden in diesem Kapitel nur mit zweidimensionalen Vektoren rechnen.

Die Regeln, die wir hier kennen lernen können aber prinzipiell auch für drei-

und mehrdimensionale Vektoren angewendet werden. Betrachten wir zunächst

einmal, wie ein Vektor definiert wird.

Definition eines Vektors Wie schon erwähnt, hat ein Vektor nicht nur ein Zahlenwert (Betrag) sondern

auch eine Richtung, in die er wirkt. Ein Vektor kann also eindeutig dargestellt

werden wenn wir die x und y Komponenten oder die Koordinaten vom Vektor

kennen. Dies sieht grafisch folgendermassen aus:

Algebraisch können wir einen Vektor

ebenfalls durch seine Koordinaten

angeben:

v = (vx, vy) = (vxex + vyey)

ex, ey: Einheitsvektoren

(Betrag = 1)

Eine andere Möglichkeit, den Vektor eindeutig zu definieren, ist, dessen

Länge (den Betrag) und Richtung (Winkel) anzugeben. Dies lernten wir

bereits bei der Berechnung von Wirk- Blind- und Scheinwiderständen kennen:

Betrag: |a| = a = (ax2 + ay

2)

Richtung: = arctan (ay / ax)

Umgekehrt können wir aus Betrag und Richtung auch die Komponenten ax

und ay berechnen:

ax = acos()

ay = asin()


Addition von Vektoren In der Wechselstromtechnik haben wir die Addition von Vektoren bereits

durchgeführt. Allerdings waren diese Vektoren stets parallel oder aber

senkrecht zueinander. Wir stellten fest, dass wir die einzelnen Vektorpfeile

grafisch aneinanderreihen können, um zur Resultierenden zu kommen. Dies

können wir auch bei allgemeinen Vektoren anwenden, indem wir die

Komponentenschreibweise von voriger Seite anwenden:

a + b = (axex + ayey) + (bxex + byey)

a + b = ((ax + bx)ex + (ay + by)ey) oder

a + b = (ax + bx, ay + by)

Regel: Zwei Vektoren werden addiert, indem man ihre

entsprechenden Komponenten addiert.

Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl oder Skalar Durch die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar können wir einen

Vektor skalieren. Anders ausgedrückt können wir seine Länge (Betrag)

verändern, nicht aber seine Richtung. Ausnahme: Wenn wir einen Vektor mit

einer negativen Zahl multiplizieren, ändert sich die Wirkungsrichtung um

180°, d.h. der Vektor wirkt in die entgegengesetzte Richtung wie vor der

Multiplikation.

Algebraisch sieht die Multiplikation folgendermassen aus:

za = z(axex + ayey) = zaxex + zayey = (zax, zay)

Regel: Ein Vektor wird mit einem Skalar multipliziert,

indem man seine Komponenten mit dem Skalar multipliziert.


Subtraktion von Vektoren Die Vektorsubtraktion funktioniert gleich wie die Addition. Beim

abzuziehenden Vektor kehren wir bei allen Komponenten das Vorzeichen.

Skalarprodukt Bei der Multiplikation zweier Vektoren wurden zwei Produkte eingeführt. Das

Kreuz- und das Skalarprodukt. Beim Kreuzprodukt kommt als Resultat

wiederum ein Vektor heraus, zudem funktioniert dieses nur im

dreidimensionalen Raum.

Das Skalarprodukt gibt eine reelle Zahl wieder. Es wird berechnet, indem wir

die beiden Vektoren ausmultiplizieren:

ab = (axex + ayey + azez)(bxex + byey + bzez)

Weiter wird davon ausgegangen, dass exey = exez = eyez = 0. Es bleibt

folglich übrig:

Wenn wir diese Erkenntnis auf zweidimensionale Vektoren beschränken,

können wir ergründen, was wir mit dem Skalarprodukt rechnen können:

Setzen wir zunächst zwei Vektoren in Polarkoordinaten ein:


Matrizenrechnung zur Lösung von Gleichungssystemen Die Verallgemeinerung vom Skalarprodukt zweier Vektoren ist die

Matrizenmultiplikation. Während ein Vektor jeweils nur eine Dimension hat

(eine Zeile oder eine Spalte), sieht eine Matrix wie eine Tabelle aus.

Prinzipiell können sie eine ungleiche Anzahl Zeilen und Spalten haben.

Wenn wir sie zur Lösung von Gleichungssystemen beiziehen, ist die Anzahl

Zeilen und Spalten gleich gross:

Wie können wir ein Gleichungssystem in Matrizenschreibweise formulieren?

Vereinfacht können wir obige Aufstellung auch formal schreiben:

Ax = y

Wenn wir ein solches Gleichungssystem nach x auflösen wollen, können wir

diese Form umschreiben in

A-1y = x

A-1 nennen wir die inverse Matrix von A. Wenn es uns gelingt, diese mit dem

Taschenrechner zu generieren, können wir ein Gleichungssystem mit Zahlen

ganz einfach per Knopfdruck lösen!


Berechnung allgemeines Dreieck

Wir haben bereits gesehen, wie wir fehlende Grössen im rechtwinkligen

Dreieck berechnen können. Wir verwendeten dazu die Winkelfunktionen und

den Pythagoras etc.

In der Natur kommen aber meistens Dreiecke ohne rechten Winkel vor. Mit

einem Trick können wir diese ebenfalls berechnen:

Wir zerlegen das allgemeine Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Eigentlich reicht dieser simple Satz bereits, um alle Dreiecke Schritt für

Schritt berechnen zu können.

Um dem Ganzen aber eine gewisse Systematik zu geben, werden wir zwei

prinzipielle Sätze für die Dreiecksberechnung herleiten.

Der Sinussatz Dies ist der einfachere der beiden Sätze. Wir unterteilen das Dreieck mit der

Höhe und berechnen diese mit den beiden gegenüberliegenden Seiten:


Der Cosinussatz Dieser ist etwas schwieriger herzuleiten, gilt aber als die elegante Erweiterung

vom Satz des Pythagoras:


Beispiele


Anwendung von Logarithmen

Nachdem wir nun einige Gesetzmässigkeiten des Logarithmus kennen gelernt

haben, ist es für uns sicher von Interesse, wo wir diese Kenntnisse praktisch

anwenden können. Es folgen in diesem Kapitel einige Anwendungen.

Kaptitalwachstum - Die Zinseszinsrechnung Wer Geld anlegt, bekommt dafür normalerweise auf Ende Jahr einen Zins

ausgezahlt. Lassen wir diesen Zins auf dem Konto, so wird im nächsten Jahr

der Zins für den neuen Kontostand ausgezahlt. Daraus ergibt sich folgende

Beziehung:

Nach 1 Jahr: K1 = K0(1 + p/100)

Nach 2 Jahren: K2 = K1(1 + p/100) = K0(1 + p/100)2

Nach n Jahren: Kn = K0(1 + p/100)n

K0: Startkapital p: Zinssatz in %

Kn: Kapital nach n Jahren n: Laufzeit in Jahren

Wir sind nun imstande, die Aufgabe 6 der Mathe-Übung "Logarithmen" zu

lösen.

Zusatzaufgabe: Der Zehnjährige Kassenzinssatz betrug am 30.08.2002 3.2 %

Wieviel Kapital haben wir nach 10 Jahren, wenn wir 10'000 Fr anlegen

würden?


Dezibel - Pegelangaben in der Elektrotechnik Wenn wir in der Elektrotechnik die aufgenommene mit der abgegebenen

Leistung eines Übertragungsgliedes vergleichen wollen, können wir das mit

der Pegelangabe in Dezibel [dB] tun. Für den Vergleich von Leistungen gilt

folgende Beziehung:

pp = 10log(P2/P1) [dB]

Dabei bedeuten die Formelzeichen:

pp : Leistungspegel

P1: Eingangsleistung der Schaltung

P2: Ausgangsleistung der Schaltung

Beispiel: Welche Pegel in dB ergeben sich für die folgenden Werte für P2/P1?

P2/P1 = 10 → pp = 10log(10) = 10 dB

P2/P1 = 2 → pp = 10log(2) = 3 dB

P2/P1 = 1 → pp = 10log(1) = 0 dB

P2/P1 = 0.5 → pp = 10log(0.5) = -3 dB

P2/P1 = 0.1 → pp = 10log(0.1) = -10 dB

P2/P1 = 0.01 → pp = 10log(0.01) = -20 dB

Wir sehen aus dieser Gegenüberstellung die Gesetzmässigkeit der

Pegelangaben: Ist die abgegebene Leistung grösser als die aufgenommene, so

liegt eine aktive Schaltung vor, d.h. es ist ein Verstärker vorhanden. Dies

sehen wir an der positiven Pegelangabe. Ist der Pegel negativ, handelt es sich

um eine passive Schaltung.

Formen wir die Formel für die Pegelberechnung um, sehen wir, wie wir auf

den Verstärkungsfaktor v einer Schaltung kommen:

pp = 10log(P2/P1) → pp/10 = log(P2/P1)

P2/P1 = 10Pp/10 = v

Der Verstärkungsfaktor v sagt hier aus, wie gross die Leistung P2 wird, wenn

P1 bekannt ist:

P2/P1 = v → P2 = P1v


Schauen wir uns eine Verstärkerstrecke mit zwei Übertragungsgliedern an:

Daraus ergibt sich P2 = P1v1 und P3 = P2v2 Die Gesamtverstärkung ergibt sich

aus:

P3 = P1v1v2 = 10(Pp1+Pp2)/10

Folgerung: Der Gesamtpegel ergibt sich durch Addition der Teilpegel, was der

Multiplikation der einzelnen Verstärkungsfaktoren entspricht.

Diese Grundregel, die übrigens nichts anderes als die Multiplikationsregel der

Logarithmen ist, lässt sich auch anwenden, um Pegelwerte aus der

Gegenüberstellung von der vorherigen Seite abzuschätzen. Probieren wir's

gleich mal aus:

Beispiel: Was für ein Verstärkungsfaktor ergibt sich für einen Pegel von

15 dB?

15 dB = 5 3 dB → v = 25 = 32

Übung: Schätze die Verstärkungsfaktoren für folgende Pegel ab.

Vergleiche anschliessend die erhaltenen Werte mit dem exakten Wert.

17 dB = 20 dB - 3 dB → v = 100/2 = 50

5 dB = 20 dB - 53 dB → v = 100/25 = 3.1

42 dB = 30 dB + 43 dB → v = 1'00024 = 16'000

v = 500 = 1000/2 → pp = 30 dB - 3 dB = 27 dB

v = 200 = 1002 → pp = 20 dB + 3 dB = 23 dB

v = 300 1025 → pp =10 dB + 53 dB = 25 dB


Das Rechnen mit Potenzen

Ein Produkt aus gleichen Zahlen wird als Potenz zusammengefasst

aaa = a3

aaaa…….a = an (n Glieder)

Addition und Subtraktion

Wir können nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichen

Exponenten zusammenfassen.

3a2 + 2a2 = 5a2

3a2 + 5a3 = a2(3 + 5a)

Multiplikation Zur Multiplikation von Potenzen gleicher Basis existieren Rechenregeln, die

wir hier zusammen erarbeiten wollen. Schauen wir uns diese anhand eines

Beispiels an:

a3a2 = (aaa)(aa) = a5

Allgemein ausgedrückt ergibt sich hieraus:

aman = am+n

Wie wird ein Produkt von Faktoren potenziert? Folgendes Beispiel zeigt uns

das Vorgehen:

(ab)2 = (ab)(ab) = a2b2

Verallgemeinert ergibt sich (ab)n = anbn

Übungsaufgaben: Hänggi ab S. 45 Nr. 275, 276, 279, 283, 288, 289


Division Zur Division von Potenzen gleicher Basis existieren ähnliche Rechenregeln

wie bei der Multiplikation, die wir hier zusammen erarbeiten wollen. Schauen

wir uns ein Beispiel an:

a4 : a2 = (aaaa) : (aa) = a2

Allgemein ausgedrückt ergibt sich hieraus:

am : an = am - n

Wenn n > m ist wird der Exponent des Ergebnisses negativ. Betrachten wir

uns diesen Spezialfall etwas genauer

a3 : a4 = (aaa) : (aaaa) = a-1

Die Verallgemeinerung lautet: a-n = 1 / an

Es ist auch möglich dass der Exponent 0 wird:

a2 : a2 = (aa) : (aa) = a0 = 1

Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem der Quotient der

Basis mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert wird.

an : bn = (a :b)n

Potenzieren von Potenzen Wie kann die Potenz von Potenzen vereinfacht dargestellt werden?

(a3)2 = (aaa)(aaa) = a6

Allgemein gilt: (am)n = amn

Potenzen werden potenziert, indem die Exponenten miteinander multipliziert

werden.


Übungsaufgaben: Hänggi S. 48 Nr. 292, 295, 297, 299, 300, 302, 304, 310

Das Rechnen mit Wurzelausdrücken (Radizieren) Die Gesetze des Radizierens sind denen des Potenzierens sehr ähnlich. Die

Wurzelausdrücke sind die Umkehrfunktionen der Potenzausdrücke:

bn = a → b = na

Die einzelnen Elemente des Wurzelausdrucks heissen:

b = Wurzelwert

n = Wurzelindex oder Wurzelexponent

a = Radikand

Wir könnten jetzt alle Rechenregeln fürs Radizieren aufschreiben. Wenn es

uns aber gelingt, das Radizieren als spezielle Form des Potenzierens zu sehen,

können wir ganz einfach alle Rechenregeln aus diesem Kapitel anwenden.

Versuchen wir also mit einem Beispiel herauszufinden, was ein

Wurzelausdruck eigentlich ist:

bn = a → b = ?, wenn a gegeben ist.

Wir wissen ja bereits bestens, wie wir Gleichungen umformen können: Wir

müssen beide Seiten gleich behandeln, sonst ist prinzipiell alles erlaubt:

bn = a | 1/n

bn/n = a1/n → bn/n = b1 = b = a1/n

Durch Vergleich mit der Definition des Wurzelausdruckes sehen wir sofort:

b = a1/n = na

Wurzelziehen ist im Grunde genommen nichts anderes als Potenzieren mit

gebrochenen Exponenten!

Übung: Hänggi ab S. 48 Nr. 311, 314, 316, 317, 320, 321, 325, 327, 330, 331,

333, 334, 340


Alter Stoff:

Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

Wir haben es bereits in einer Übungsaufgabe angetönt: Die Winkelfunktionen

sind miteinander verknüpft und können deshalb ineinander umgerechnet

werden. Schauen wir uns diesen Sachverhalt im folgenden rechtwinkligen

Dreieck an:

Um Sinus und Cosinus mit Tangensfunktionen auszudrücken modifizieren wir

unser Dreieck ein wenig:


Mit dem Einheitskreis lassen sich weitere Beziehungen zwischen den

Winkelfunktionen herausfinden:

Übung: Gebe folgende Ausdrücke unter Anwendung obiger Skizze möglichst

einfach an.

Beispiel:

sin(90° - ) = cos

1. cos(-) = cos

2. sin(-) = - sin

3. sin(90° + ) = cos

4. sin(180° - ) = sin

5. sin(180° + ) = - sin

6. cos(90° - ) = sin

7. cos(90° + ) = - sin

8. tan(180° + ) = tan

9. cos(270° + ) = sin

10. cos(180° + ) = - cos


Funktionenlehre alter Teil Betrachten wir diese Gleichung als Funktion, so ist die Grösse U abhängig

vom Widerstand und vom Strom, der durch diesen Widerstand fliesst.

Nehmen wir weiter den Widerstand als gegeben an, bleiben als veränderliche

Grössen noch U und I. Wir können nun sagen:

U ist eine Funktion von I: U = f(I)

In der Mathematik verwenden wir für Funktionen häufig die Variablen x und

y. Daraus ergibt sich die allgemeine Funktionsgleichung:

y = f(x) x: Argument, unabhängige Variable

y: abhängige Variable

f: steht für "Funktion"

Prinzipiell unterscheiden wir zwei Arten von Funktionen:

• Eine Funktion, die aus der praktischen Beobachtung resp. durch eine

Messerie gefunden worden ist, heisst empirische Funktion.

• Ist die Funktion durch eine Formel, d.h. ein rechnerisch auswertbares

Gesetz festgelegt, sprechen wir von einer analytischen Funktion.

Analytische Funktionen können wir also berechnen, während dem wir

empirische Funktionen nur durch Auswertung von Tabellen oder Diagrammen

nutzen können.

Mit der Darstellung von Funktionen haben wir uns bereits im Kapitel Fehler!

Verweisquelle konnte nicht gefunden werden. (Seite Fehler! Textmarke

nicht definiert.) beschäftigt.

Mathematik für Elektroniker 1. und 2....

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