Mathematik für Wirtschaftsinformatik
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Mathematik
Transcript of Mathematik für Wirtschaftsinformatik
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Mathematik 2fr Wirtschaftsinformatik
Sommersemester 2012
Stefan EtschbergerHochschule Augsburg
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Vorlesungsbegleitende Unterlagen
Arbeitsmaterial:
Foliensatz
Aufgabenskript
Mitschrift auf Wunsch
Bcher:
Luderer, B. (2003): Einstieg in die Wirtschaftsmathematik, Teubner, Stuttgart,Leipzig, Wiesbaden, 5. Auflage.
Opitz, O. (2004): Mathematik fr Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg,Mnchen, 9. Auflage.
Schfer, W.; Georgi, K.; Trippler, G.; Otto, C. (2009): Mathematik-Vorkurs:bungs- und Arbeitsbuch fr Studienanfnger, Studium, Teubner, Wiesbaden,6. Auflage.
Sydsaeter, K.; Hammond, P. (2008): Essential Mathematics for EconomicAnalysis, Prentice Hall, 3. Auflage.
Teschl, G.; Teschl, S. (2007a): Mathematik fr Informatiker, Band 1, Springer,Berlin, Heidelberg.
Teschl, G.; Teschl, S. (2007b): Mathematik fr Informatiker, Band 2, Springer,Berlin, Heidelberg.
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Prfung
Klausur:
Klausur am Ende des Semesters
Bearbeitungszeit: 60 Minuten
Erreichbare Punktzahl: 50
Hilfsmittel:Schreibzeug,Taschenrechner, der nicht 70! berechnen kann,ein Blatt (DIN-A4, vorne und hinten beschrieben) mithandgeschriebenen Notizen (keine Kopien oder Ausdrucke),
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Veranstaltungskonzept
Mitschrift!
Folien sind nurergnzendesMaterial zurMitschrift
Aufteilungin Vorlesungund Rechnen vonBeispielen undbungsaufgaben
Viele Aufgaben als Hausaufgabe, Besprechung inbungsgruppen (Frau Dr. Zerbe)
Ohne (selbstndiges) Rechnen aller (!) bungsaufgaben istNutzen der Veranstaltung sehr gering
Fragenstellen ist jederzeit erwnscht
Bei Fragen oder Problemen: E-Mail
Informations-Backbone fr Unterlagen und mehr: Homepage
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Zitate
Es gibt Dinge, die denmeisten Menschenunglaublicherscheinen, die nichtMathematik studierthaben. Archimedes
Die Mathematik muss man schon deswegen studieren, weil sie dieGedanken ordnet.- M. W. Lomonossow
Physics is the study of the world, while mathematics is the study of allpossible worlds. Clifford Taubes
In mathematics you dont understand things. You just get used to them. John von Neumann,
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere istMenschenwerk. Leopold Kronecker
Du wolltest doch Algebra, da hast du den Salat. Jules Verne
Es ist schon alles gesagt worden, aber noch nicht von allen. Karl Valentin
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Probleme, ...
...die Sie nach dem Kurs lsen knnen:
Sich widersprechende Politiker entlarven,
Bedarf an Einzelteilen in Produktionsprozessen bestimmen,
die Kuferfluktuation zwischen verschiedenen Produkten imZeitablauf analysieren,
die Nachfragereaktion von Kaffee auf Preisnderungenbestimmen
Ihre Rente ausrechnen
Groe Kisten in kleine Ecken quetschen
Mglichst viel Gewinn bei mglichst wenigRessourcenverbrauch machen
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Schon bekannt?
Begriff Nie gehrt Gehrt Kann ich erklren
Nenner
Reelle Zahlen
Assoziativgesetz
Logarithmus
Diskriminante
Fundamentalsatz der Algebra
Konjunktion
Kartesisches Produkt
Geometrische Reihe
Regel von Cramer
Simplex
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Mathematik 2: Gliederung
1 Folgen und Reihen
2 Komplexe Zahlen
3 Reelle Funktionen
4 Differenzieren 1
5 Differenzieren 2
6 Integration
7 Zinsen
8 Renten und Tilgung
9 Kursrechnung
10 Lineare Algebra
11 Lineare Programme
1 Folgen und ReihenEigenschaften und BeispieleKonvergenz und GrenzwertReihen
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
9
Folgen und Reihen
Warum beschftigen wir uns mit Folgen und Reihen?
Analyse von Datensequenzen, insbesondere Modellierungdiskreter, zeitlicher Entwicklungen (z.B. von Aktienkursen,Absatzmengen)
Grundlage der Finanzmathematik (z.B. Zinseszinsrechnung,Tilgungsrechnung)
wesentlich zum Verstndnis der Konzepte der Stetigkeit undDifferenzierbarkeit
Wesentliche Lernziele:
Verstndnis der Begriffe Folgen und Reihen
Fhigkeit Folgen und Reihen nach ihrer Art zu klassifizieren
Kennenlernen typischer, insbesondere derGrenzwerteigenschaften von Folgen und Reihen
Fhigkeit, diese Eigenschaften zu erkennen undnachzuweisen
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Definition und Eigenschaften
Definition
Eine Folge ist eine Abbildung a : N0 RSchreibweise fr Folgenglieder: a(0), a(1), . . . odera0, a1, . . .
Schreibweise fr Folge: (an)nN0 oder (an)
Eigenschaften von Folgen: Eine Folge heit
endlich (unendlich), falls Anzahl der Folgengliederendlich (unendlich) ist
gesetzmig gebildet, falls Folgenglieder einemBildungsgesetz folgen, zum Beispiel: an = 1n+1
Leonardo von Pisa(ca. 1180 - 1250)
rekursiv definiert, falls zur Berechnung eines Folgengliedes frhere Wertentig sindBeispiel: a0 = 0; a1 = 1 und an = an1 + an2 fr n > 1(Fibonacci-Folge)
Spezielle Folgen
Arithmetische Folge: (an) : an+1 an = d n N0 mit d RGeometrische Folge: (an) :
an+1an
= q n N0 mit q R
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Geometrische Folge: Beispiel Schachspiel
Sissa ibn Dahir, der Erfinderdes Schachspieles, darf sichvom indischen KnigShihram eine Belohnungwnschen.
Sein Wunsch: So vieleWeizenkrner, wie man aufein Schachbrett legen kann,wenn
1 . Feld : a0 = 1 Korn2 . Feld : a1 = 2 Krner3 . Feld : a2 = 4 Krner4 . Feld : a3 = 8 Krner
...n. Feld : an1 = 2 an2 Krner
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Konvergenz und Grenzwert
Fragen: Bleiben Folgenglieder ab einem gewissen n in einenkleinen Bereich um einen festen Wert?
Und: Kann man diesen Bereich beliebig verkleinern?
Definition:
a R heit Grenzwert oder Limes von (an) > 0 n() mit |an a| < n > n()
Schreibweise fr Grenzwert: limnan = a
Existiert dieser Grenzwert, heit die Folge konvergent
Ist der Grenzwert a = 0, heit die Folge Nullfolge
Existiert kein Grenzwert, heit die Folge divergent
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Beispiel zur Definition des Grenzwerts
Gegeben: an =nn+1
Vermutung: limnan = a = 1
Beweis: Wenn a = 1, dann folgt
|an a| = nn+1 1
< nn1n+1
= 1n+1 < 1
< n+ 1 1
1 < n
Also: Fr jedes findet man ein n(), so dass dieGrenzwertbedingung stimmt
Zum Beispiel: Whle = 0,01 n > 1
1 = 1
0,01 1 = 100 1 = 99
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Rechenregeln fr Grenzwerte
Gegeben:
limn (an) = a und limn (bn) = bkurz: (an) a und (bn) b
Dann gilt:
(an + bn) a+ b(an bn) a b(an bn) a b
(anbn
) ab
(b 6= 0)(acn) ac(an > 0, a > 0, c R)(can) ca (c > 0)
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Definition der Reihe
Gegeben: (an) unendliche Folge in R
Dann heit (sn) mit
sn = a0 + a1 + . . . + an =
ni=0
ai n N0
eine unendliche Reihe.
sn heit n-te Partialsumme
Klar ist: Reihen sind spezielle Folgen
Beispiel:
(an) geometrische Folge (sn) geometrische Reihesn =
ni=0
ai ; mitan+1
an= q
Offensichtlich gilt: an = an1q = an2q2 = . . . = a0qn
sn = ni=0
a0qi = a0(1 + q + q
2 + . . . + qn) = a01 qn+1
1 q
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
16
Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel
Summe aller Krner auf Schachbrett:
sn =
63i=0
ai = a01 q64
1 q= 1 1 2
64
1 2 1,84467 1019
Das bedeutet:
100 Krner= 1 g Weizen 1,8 1017g
1,8 1014 kg 1,8 1011 t = 180 Mrd. t
1 Gterwagon= 50 t Weizen 3,6 Mrd. Gterwagons
36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km
100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Geometrische Reihe: Beispiel Schachspiel
Summe aller Krner auf Schachbrett:
sn =
63i=0
ai = a01 q64
1 q= 1 1 2
64
1 2 1,84467 1019
Das bedeutet:
100 Krner= 1 g Weizen 1,8 1017g
1,8 1014 kg 1,8 1011 t = 180 Mrd. t
1 Gterwagon= 50 t Weizen 3,6 Mrd. Gterwagons
36 Mrd. m langer Eisenbahnzug 36 Mill. km
100-fache Entfernung zwischen Erde und Mond
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Mathematik 2Stefan Etschberger
1. Folgen und Reihen
1.1. Eigenschaften undBeispiele
1.2. Konvergenz undGrenzwert
1.3. Reihen
2. Komplexe Zahlen
3. Reelle Funktionen
4. Differenzieren 1
5. Differenzieren 2
6. Integration
7. Zinsen
8. Renten und Tilgung
9. Kursrechnung
10. Lineare Algebra
11. LineareProgramme
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Konvergenzkriterien fr Reihen
Gegeben: ai Folge, sn =ni=1
ai
Divergenzkriterium
Ist sn konvergent ai ist NullfolgeAlso quivalent dazu:
ai ist keine Nullfolge sn divergentQuotientenkriterium
limk
ak+1ak < 1 sn konvergent
limk
ak+1ak > 1 sn divergent
Bemerkung: Fr limk
ak+1ak = 1 ist im Allgemeinen keine Aussage mglichSpezialfall geometrische Reihe:
ak+1ak
= q limk
ak+1ak = q { q < 1 sn konvergentq 1 sn divergent
Mathematik 2Folgen und ReihenEigenschaften und BeispieleKonvergenz und GrenzwertReihen
Komplexe ZahlenVon natrlichen zu komplexen ZahlenElementare AlgebraWarum komplexe Zahlen Historischer Abriss GeometrieAnwendungen
Reelle FunktionenGrundbegriffeElementare FunktionenStetigkeit reeller Funktionen
Differenzieren 1Differentialquotient und Ableitungnderungsrate und ElastizittKurvendiskussion
Differenzieren 2Partielle AbleitungKurvendiskussionOptimierung mit Nebenbedingungen
IntegrationUnbestimmte IntegraleBestimmte IntegraleUneigentliche IntegraleMehrdimensionale Integrale
ZinsenEinfache VerzinsungExponentielle VerzinsungGemischte VerzinsungNominal- und EffektivzinsStetige VerzinsungZeitwert
Renten und TilgungRentenUnterjhrige RentenEwige RentenRatentilgungAnnuittentilgung
KursrechnungEmissionskursDuration
Lineare AlgebraMatrizen und VektorenMatrixalgebraLineare GleichungssystemeInverse Matrizen
Lineare ProgrammeNebenbedingungen und ZulssigkeitsbereichZielfunktionGraphische Lsung
