Mathematik I-II

Kapitel 3: Differentialrechnung

Prof. Dr. Erich Walter Farkas

http://www.math.ethz.ch/∼farkas

HS 2020 - FS 2021

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Inhaltsangabe

1. Einfuhrung

2. Ableitung elementarer Funktionen

3. Ableitungsregeln

4. Ableitung der Umkehrfunktion

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Literatur

Lothar Papula

Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1

Ein Lehr- und Arbeitsbuch fur das Grundstudium

14. Auflage, Springer Verlag

Seiten 323-347

Seiten 414-418 (Ubungsaufgaben mit Losungen im Anhang)

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Einfuhrung

Einfuhrung

Problemstellung: Das Tangentenproblem.

x

y

x0 x

s(x)

·α

f (x)− f (x0) = ∆y

f (x)

Tangente t

x − x0 = ∆x

Was ist die Steigung der Sekante s? Die Steigung ist gegeben durch

tan(α) =∆y

∆x=

f (x)− f (x0)

x − x0.

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Einfuhrung

Doch was ist die Steigung in einem Punkt x0?

B Wir lassen x → x0 streben, dadurch strebt die Abszissendifferenz

gegen Null, das heisst x − x0 = ∆x → 0.

B Tangentensteigung m im Punkt (x0, f (x0)) ist also gegeben durch

m = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0.

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Einfuhrung

Definition. Sei X ⊂ R, f : X → R eine Funktion und x0 ∈ X . Dann heisst

f differenzierbar oder ableitbar in x0, falls der Grenzwert

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

existiert und endlich ist.

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Einfuhrung

Bemerkung.

B Diesen Grenzwert schreibt man als f ′(x0) und bezeichnet ihn als

1. Ableitung (oder einfach Ableitung) von f in x0.

B Den Vorgang die Ableitung zu berechnen, nennt man differenzieren

oder ableiten.

B Wenn wir die Grenzwerte in allen Punkten x ∈ X berechnen konnen,

erhalten wir wiederum eine Funktion auf X , die erste Ableitung

f ′ : X → R.

B Analog zur Stetigkeit gibt es Begriffe wie links-differenzierbar

beziehungsweise rechts-differenzierbar in x0.

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Einfuhrung

B Es gibt verschiedene Notation fur Ableitungen,

f ′(x0) =( d

dxf)

(x0) =df

dx(x0) .

Die erste Notation f ′ ist gebrauchlich, wenn die Funktion f nur ein

Argument annimmt. Die andern beiden Notationen deuten an, dass

wir nach x ableiten.

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Einfuhrung

Beispiel. Wir berechnen die Ableitung von f (x) = x2 an der Stelle x0 = 2

als

L = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0= lim

x→2

f (x)− f (2)

x − 2= lim

x→2

x2 − 4

x − 2

= limx→2

(x − 2)(x + 2)

x − 2= lim

x→2(x + 2) = 4 .

Somit ist f differenzierbar in x0 = 2 und es gilt f ′(2) = L = 4.

Daraus folgt auch die Tangentengleichung im Punkt (2, 4) als

y = −4 + 4x .

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Einfuhrung

Bemerkung.

B Falls f in x0 nicht stetig ist, folgt, dass f in x0 nicht differenzierbar ist.

B Es gibt aber Punkte x0, in denen f stetig ist und trotzdem nicht

differenzierbar.

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Einfuhrung

Beispiel. Wir betrachten den Absolutbetrag als Beispiel einer stetigen,

aber nicht differenzierbaren Funktion,

f (x) = |x | =

x x ≥ 0 ,

−x x < 0 .

Abbildung 1: Der Graph des Absolutbetrags x 7→ |x |.

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Einfuhrung

Ist f stetig in x0 = 0? Die Antwort ist ja, denn

limx→0x<0

f (x) = limx→0x<0

(−x) = 0 ,

limx→0x>0

f (x) = limx→0x>0

x = 0 .

Der Grenzwert limx→0

f (x) existiert, da die Grenzwerte von links und von

rechts ubereinstimmen und es gilt auch limx→0

f (x) = 0 = f (0), also ist f

stetig in x0 = 0.

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Einfuhrung

Doch ist f auch ableitbar? Die Antwort ist nein, denn die Ableitung von

links ist

limx→0x<0

f (x)− f (0)

x − 0= lim

x→0x<0

−x − 0

x − 0= − lim

x→0x<0

x

x= −1.

Die Ableitung von rechts ist

limx→0x>0

f (x)− f (0)

x − 0= lim

x→0x>0

x − 0

x − 0= lim

x→0x>0

x

x= 1.

Der Grenzwert limx→0

f (x)−f (0)x−0 existiert nicht, da die Grenzwerte von links

und von rechts nicht ubereinstimmen.

Somit ist f nicht differenzierbar in x0 = 0.

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Ableitung elementarer Funktionen

Ableitung elementarer Funktionen

Eine kurze Ubersicht 1. Ableitungen elementarer Funktionen.

Funktion f (x) Ableitung f ′(x)

Konstante Funktion c ∈ R 0

Potenzfunktion xn (n ∈ R fest) n · xn−1

Wurzelfunktion√x 1

2√x

Ubung. Beweisen Sie die Ableitung der Wurzelfunktion aus der Ableitung

der Potenzfunktion.

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Ableitung elementarer Funktionen

Trigonom. Funktion f (x) Ableitung f ′(x)

Sinus sin x cos x

Kosinus cos x − sin x

Tangens tan x 1cos2 x

Kotangens cot x − 1sin2 x

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Ableitung elementarer Funktionen

Funktion f (x) Ableitung f ′(x)

Exponentialfunktion ex ex

ax (ln a) · ax

Logarithmusfunktion ln x = log x 1x

loga x1

(ln a)·x

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Herleitung der Potenzregel

Behauptung. Die Ableitung von f : R→ R mit x 7→ xn, n ∈ N ist

gegeben durch

d

dx(xn) = n · xn−1 .

Beweis. Sei h > 0, wir berechnen

∆f

h=

f (x + h)− f (x)

h=

(x + h)n − xn

h

=xn +

(n1

)xn−1 · h +

(n2

)xn−2 · h2 + . . .+ hn − xn

h

=

(n1

)xn−1 · h +

(n2

)xn−2 · h2 + . . .+ hn

h

=

(n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2 · h + . . .+ hn−1 .

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Herleitung der Potenzregel

Nun bilden wir den Grenzwert,

d

dx(xn) = lim

h→0

[(n

1

)xn−1 +

(n

2

)xn−2 · h + . . .+ hn−1

]=

(n

1

)xn−1 = n · xn−1 .

Damit ist die Potenzregel fur positiv-ganzzahlige Exponenten

bewiesen.

Die Potenzregel gilt aber auch fur beliebige reelle Exponenten, dazu geben

wir hier keinen Beweis.

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Ableitung elementarer Funktionen

Beispiel.

B (x2)′ = 2x ,

B (x3)′ = 3x2,

B (x4)′ = 4x3,

B (x23 )′ = 2

3 · x− 1

3 ,

B 1√x

= x−12 =⇒ (x−

12 )′ = −1

2 · x− 3

2 .

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Ableitung elementarer Funktionen

Ubung. Berechnen Sie die Ableitungen von

B a(x) =∑N

n=0 anxn,

B b(x) = sin(x) + cos(x),

B c(x) =√x2 + 1,

B d(x) = x · eax .

Fur die vorletzte Ubung benutzen Sie die Kettenregel, fur die letzte

benutzen Sie die Ketten- und Produktregel, die auf den nachsten Slides

erklart werden.

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Ableitungsregeln

Ableitungsregeln

Faktorregel.

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten,

f (x) = c · g(x) =⇒ f ′(x) = c · g ′(x) fur alle c ∈ R .

Beweis. Wir berechnen

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h= lim

h→0

c · g(x + h)− c · g(x)

h

= limh→0

c · g(x + h)− g(x)

h= c · lim

h→0

g(x + h)− g(x)

h

= c · g ′(x) .

Damit ware die Faktorregel bewiesen.

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Ableitungsregeln

Summenregel.

Bei einer endlichen Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert

werden,

f (x) = g(x) + h(x) =⇒ f ′(x) = g ′(x) + h′(x) .

Beispiel.

B (sin x + ex)′ = (sin x)′ + (ex)′ = cos x + ex .

B (x32 − log x)′ = (x

32 )′ − (log x)′ = 3

2

√x − 1

x .

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Ableitungsregeln

Produktregel.

Die Ableitung der in der Produktform f (x) = g(x) · h(x) darstellbaren

Funktion erhalt man nach der Produktregel,

f ′(x) = (g(x) · h(x))′ = g ′(x) · h(x) + g(x) · h′(x) .

Beispiel.

B (ex · sin x)′ = (ex)′ sin x + ex(sin x)′ = ex sin x + ex cos x .

B (x2 · ln x)′ = (x2)′ ln x + x2(ln x)′ = 2x ln x + x2 · 1x = 2x ln x + x .

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Ableitungsregeln

Quotientenregel.

Die Ableitung einer Funktion, die als Quotient zweier Funktionen g(x) und

h(x) in der Form f (x) = g(x)h(x) darstellbar ist, erhalt man nach der

Quotientenregel,

f ′(x) =

(g(x)

h(x)

)′=

g ′(x) · h(x)− g(x) · h′(x)

(h(x))2.

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Ableitungsregeln

Beispiel. Betrachten wir die Funktion f : R→ R gegeben durch

f (x) = x3+2x−1ex+2x4

. Die Ableitung konnen wir mit der Quotientenregel

berechnen,

f ′(x) =(x3 + 2x − 1)′ · (ex + 2x4)− (x3 + 2x − 1) · (ex + 2x4)′

(ex + 2x4)2

=(3x2 + 2)(ex + 2x4)− (x3 + 2x − 1)(ex + 8x3)

(ex + 2x4)2.

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Ableitungsregeln

Beispiel. Betrachten wir die Tangensfunktion. Die Ableitung berechnen

wir als

(tan x)′ =

(sin x

cos x

)′=

(sin x)′ cos x − sin x(cos x)′

(cos x)2

=cos x cos x − sin x(− sin x)

(cos x)2

=(cos x)2 + (sin x)2

(cos x)2=

1

(cos x)2,

wobei wir (cos x)2 + (sin x)2 = 1 benutzt haben.

Ubung. Beweisen Sie die Identitat (cos x)2 + (sin x)2 = 1. Malen Sie sich

dazu ein rechtwinkliges Dreieck und schreiben Sie den Sinus und Kosinus

von einem der beiden nicht rechten Winkeln in Form Gegenkathete /

Hypotenuse beziehungsweise Ankathete / Hypotenuse. Dann benutzen Sie

den Satz des Pythagoras.

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Ableitungsregeln

Spezialfall. Wir betrachten den Spezialfall, wenn der Zahler konstant

gleich 1 ist,

(1

g(x)

)′= − g ′(x)

g(x)2.

Mit f (x) = 1 folgt f ′(x) = 0 und daher(1

g(x)

)′=

(f (x)

g(x)

)′=

f ′(x) · g(x)− f (x) · g ′(x)

(g(x))2=−1 · g ′(x)

(g(x))2.

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Ableitungsregeln

Beispiel. Betrachten wir g(x) = x32 + ex . Die Ableitung berechnen wir als(

1

g(x)

)′= − g ′(x)

(g(x))2= − (x

32 + ex)′

(x32 + ex)2

= −32x

12 + ex

(x32 + ex)2

.

Betrachten wir nun g(x) = x , dann ist die Ableitung gegeben durch(1

x

)′=

(1

g(x)

)′= − g ′(x)

(g(x))2= −(x)′

x2= − 1

x2.

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Kettenregel.

Die Ableitung einer verknupften (zusammengesetzten, verketteten)

Funktion f = (g ◦ h) mit x 7→ f (x) = (g ◦ h)(x) = g(h(x)) erhalt man als

Produkt aus der ausseren und der inneren Ableitung,

f ′(x) = (g(h(x)))′ = g ′(h(x)) · h′(x) ,

oder kurz, ohne Argumente,

f ′ = (g ′ ◦ h) · h′ .

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Ableitungsregeln: Kettenregel

In der Physik schreibt man auch gerne

df

dx(x) =

dg

dy(h(x)) · dh

dx(x) ,

wobei hier y 7→ g(y).

Oft wird auch die unabhangige Variable der Funktion g mit dem

Funktionssymbol der inneren Funktion h identifiziert und alle Argumente

werden ausgelassen,

df

dx=

dg

dh· dhdx

.

Vorsicht!! Das sind keine Bruche und man kurzt auch nicht! Wir raten

von dieser “abgekurzten” Notation vorerst ab, um Verwirrungen zu

vermeiden!

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Beispiel. Sei h(x) = (ln x)32 . Wir schreiben h(x) = g(f (x)) mit

f (x) = ln x und g(y) = y32 . Die Ableitungen von f und g sind gegeben

durch

g ′(y) =(y

32

)′=

3

2· √y ,

f ′(x) = (ln x)′ =1

x.

Und somit

h′(x) = g ′(f (x)) · f ′(x) =3√

ln x

2x.

Hinweis (fur praktische Berechnungen). Naturlich mussen wir es nicht

immer separat aufschreiben, sondern konnen es im Kopf rechnen,

h′(x) =(

(ln x)32

)′=

3

2(ln x)

12 · (ln x)′ =

3

2(ln x)

12 · 1

x.

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Beispiel. Wir betrachten die Funktion h : R→ R mit h(x) = e(x4+sin x).

Wir substituieren y = x4 + sin x und berechnen

h′(x) = (ey )′ = y ′ · ey = (x4 + sin x)′ · e(x4+sin x)

= (4x3 + cos x)e(x4+sin x) .

Beispiel. Betrachten Sie nun h(x) = sin(2x3 + ex) und substituieren Sie

y = 2x3 + ex . Dann erhalten wir

h′(x) = y ′ · (sin y)′ = y ′ · cos y = (6x2 + ex) cos(2x3 + ex) .

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Logarithmische Ableitung.

Was ist die Ableitung von

h(x) = xx oder allgemeiner von f (x)g(x) ?

Achtung! Das ist weder von der Form xn, da n fest sein musste, noch von

der Form ax , da a fest sein musste.

In vielen Fallen, beispielsweise bei Funktionen vom Typ h(x) = f (x)g(x)

mit f (x) > 0, gelingt die Ableitung der Funktion nach dem folgenden

Schema:

1. Logarithmieren der Funktionsgleichung.

2. Differenzieren der logarithmierten Gleichung unter Verwendung der

Kettenregel.

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Wir haben h(x) = f (x)g(x). Wir logarithmieren und erhalten somit

ln(h(x)) = ln(f (x)g(x)

)= g(x) ln(f (x)) ,

wobei die letzte Gleichung aus dem Logarithmengesetz fur Potenzen folgt.

Und nun konnen wir schon beiden Seiten der Gleichung mit Hilfe der

Kettenregel und Produktregel ableiten,

(ln h(x))′ = (g(x) · ln f (x))′

1

h(x)· h′(x) = g ′(x) · ln f (x) + g(x) · (ln f (x))′

Nun losen wir nach h′ auf und erhalten

h′(x) = h(x)

(g ′(x) ln f (x) +

g(x)f ′(x)

f (x)

)

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Beispiel. Betrachten wir nun wieder h(x) = xx auf R>0.

Wir logarithmieren ln(h(x)) = ln(xx) = x ln(x) und leiten nun beiden

Seiten ab,

h′(x)

h(x)= x ′ · ln(x) + x (ln(x))′

= 1 · ln(x) + x · 1

x= ln(x) + 1 .

Durch Ausmultiplizieren erhalten wir schliesslich

h′(x) = h(x) · (ln(x) + 1) = xx(ln(x) + 1) .

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Beispiel (alternativ).

Wir konnten auch folgendermassen umformen,

h(x) = xx = e ln(xx ) = ex ln(x), fur x > 0 .

Dann gilt mit der Kettenregel

h′(x) =(ex ln(x)

)′= ex ln(x)(x ln(x))′

= ex ln(x)(

(x ′ ln(x) + x(ln(x))′)

= ex ln(x)(ln(x) + 1) = xx(ln(x) + 1) .

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Ubung. Leiten Sie die Funktion h : R→ R mit h(x) = (cos x)(ex+x2) ab.

Losung.

ln h(x) = (ex + x2) · ln(cos x)

1

h(x)· h′(x) = (ex + x2)′ · ln(cos x) + (ex + x2) · (ln(cos x))′

= (ex + 2x) · ln(cos x) + (ex + x2) · 1

cos x(− sin x) .

Und somit

h′(x) = (cos x)(ex+x2)

[(ex + 2x) ln(cos x)− (ex + x2)

sin x

cos x

].

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Ableitungsregeln: Kettenregel

Ubung. Leiten Sie die Funktion h : R→ R mit h(x) = (cos x)(ex+x2) ab.

Losung.

ln h(x) = (ex + x2) · ln(cos x)

1

h(x)· h′(x) = (ex + x2)′ · ln(cos x) + (ex + x2) · (ln(cos x))′

= (ex + 2x) · ln(cos x) + (ex + x2) · 1

cos x(− sin x) .

Und somit

h′(x) = (cos x)(ex+x2)

[(ex + 2x) ln(cos x)− (ex + x2)

sin x

cos x

].

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Ableitung der Umkehrfunktion

Ableitung der Umkehrfunktion

Sei die Funktion f invertierbar mit Umkehrfunktion f −1.

Dann besteht zwischen den Ableitungen dieser beiden Funktionen der

folgende Zusammenhang. Wenn f ′(x) 6= 0 gilt, dann haben wir an der

Stelle y = f (x),

(f −1)′(y) =1

f ′(f −1(y))=

1

f ′(x).

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Ableitung der Umkehrfunktion

Beispiel.

Betrachten wir f : x 7→ x2 auf R>0.

Zuerst setzen wir f ′(x) in die Formel ein und ersetzen x durch f −1(y),

(f −1)′(y) =1

f ′(x); y = f (x) = x2 (y > 0) ,

(f −1)′(y) =1

2x; y = f (x) = x2 =⇒ x =

√y = f −1(y) (weil x > 0) ,

(f −1)′(y) =1

2√y⇐⇒ (

√y)′ =

1

2√y

(mit y > 0) .

Schliesslich vertauschen wir x und y und sind fertig,

(√x)′ =

1

2√x.

Ubung. Wieso konnen wir x 7→ x2 nicht auf R betrachten? Wo genau

tritt ein Problem auf?39/41

Ableitung der Umkehrfunktion

Beispiel. Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f : x 7→ ax

auf R mit a > 1.

Wir setzen f ′(x) in die Formel ein und ersetzen x durch f −1(y),

(f −1)′(y) =1

f ′(x); y = f (x) = ax =⇒ x = loga y = f −1(y) ,

(f −1)′(y) =1

ax ln a=

1

y ln a.

Dann vertauschen wir x und y ,

(loga x)′ =1

x ln a.

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Danke fur Ihre Aufmerksamkeit!

Ein spezieller Dank geht an Alexander Smirnow, der eine fruhere Version

dieser Slides aufgebessert und erganzt hat.

Bei Fragen und Verbesserungsvorschlagen schreiben Sie bitte an

alexander.smirnow@bf.uzh.ch.

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