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Kegelschnitte

Mathematik I � ITB

Kegelschnitte

Prof. Dr. Karin Melzer

10.11.08

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Kegelschnitte

KreiseEllipsenHyperbelnParabelnÜbersicht

Kegelschnitte: Einführung

Wir betrachten Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln.

Literatur: Brücken zur Mathematik, Band 1 � Grundlagen,�Analytische Geometrie�

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Kegelschnitte

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Kreis

De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, die von einem Punkt M (Mittelpunkt) den selben Abstandr haben, heiÿt Kreis. r heiÿt Radius des Kreises.

Gleichung in Mittelpunktsform:

Aus dem Satz des Pythagoras folgt:

I Kreis um Nullpunkt mit Radius r :

x2 + y2 = r2

I Kreis mit Mittelpunkt M(x0/y0)und Radius r :(x − x0)

2 + (y − y0)2 = r2

Aus dieser Form lässt sich der Mittel-punkt direkt ablesen.

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Beispiel: Mittelpunktsform

I Gesucht: Kreis um O, der durch den Punkt P0

(2|3

2

)geht.

Koordinaten müssen x2 + y2 = r2 erfüllen (Punktprobe):

4 +94

= r2 ⇔ r2 =254

, also x2 + y2 =254

I Gegeben: Kreis K mit x2 + y2 = 169 Welche der Punkteliegen auf/innerhalb/auÿerhalb von K?Punkt liegt

A(11|7)B(5|12)C (−8|10)D(−13|0)

Lösung: Punktprobe

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Kreis

Allgemeine Kreisgleichung:

De�nition: Jede Gleichung der Form

Ax2 + Ay2 + Bx + Cy + D = 0 mit A 6= 0

stellt einen Kreis dar.(Evtl. ist der Kreis ausgeartet mit r = 0 oder r2 < 0).

Ineinander Umwandeln der Kreisgleichungen:

MittelpunktsformAusmultiplizieren−→

←−quadrat. Ergänzung

Allg. Kreisgleichung

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Ellipsen

De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, für die die Summe der Entfernungen von zwei festen PunktenF1 und F2 konstant ist, heiÿt Ellipse.

Bezeichnungen:M MittelpunktF1,F2 BrennpunkteS1, S2 HauptscheitelS3, S4 Nebenscheitela = MS1 = MS2 groÿe Halbachseb = MS3 = MS4 kleine Halbachsee = MF1 = MF2 Brennweite

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Ellipsen

Eigenschaften: Die Ellipse ist

I eine geschlossene Kurve,

I symmetrisch zur Hauptachse (F1F2) und

I symmetrisch zur Nebenachse (Mittelsenkrechte von (F2F2))

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Ellipsen

Gleichung in Mittelpunktsform

I Die Ellipse mit Mittelpunkt O, BrennpunktenF1(e|0),F2(−e|0) und konstanter Abstandssummer1 + r2 = 2a (Bezeichnungen s. Graphik) hat die Gleichung:x2

a2+ y2

b2= 1, e2 = a2 − b2 (da z. B. F1S3 = a)

I Die Ellipse mit Mittelpunkt M(x0|y0), Halbachsen a, b undSymmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen hat dieGleichung:(x−x0)2

a2+ (y−y0)2

b2= 1

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Allgemeiner Verschiebungssatz

I Übergang von einer Ellipse mit Mittelpunkt O zu MittelpunktM(x0|y0) erhält man mit dem

allgemeinen Verschiebungssatz:Ersetzt man in einer Kurvengleichungx durch (x − x0) undy durch (y − y0)

so wird die Kurve um x0 in x-Richtung und um y0 iny -Richtung verschoben.

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Ellipsen: Bemerkungen

I Für a = b = r ergibt sich jeweils eine Kreisgleichung

I Der Flächeninhalt einer Ellipse ist A = πab

Übergang von einem Kreis zur Ellipse: Ellipsen entstehen durchDehnung bzw. Stauchung eines Kreises.Z. B. Streckung des Einheitskreises in x- und y -Richtung:

I Einheitskreis: x2 + y2 = 1

I Strecken in x-Richtung mit Faktor a⇔ ersetze x durch 1

ax

I Strecken in y -Richtung mit Faktor b ⇔ ersetze y durch 1

bx

I x2 + y2 = 1 wird zu x2

a2+ y2

b2= 1

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Hyperbeln

De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, für die die Di�erenz der Entfernungen von zwei festen Punk-ten F1 und F2 konstant ist, heiÿt Hyperbel.

Bezeichnungen: (vgl. Ellipse)M MittelpunktF1,F2 BrennpunkteS1, S2 Scheitela = MS1 = MS2 groÿe Halbachsee = MF1 = MF2 Brennweiteb =

√e2 − a2 kleine Halbachse

Konstante Di�erenz der Entfernungen: |r2 − r1| = 2aSymmetrische Kurve aus zwei Ästen. Symmetrieachsen: Hauptachse(= (S1, S2)) und Nebenachse (= Mittelsenkrechte von (S1, S2))

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Hyperbeln

Gleichungen in Mittelpunktsform:

I Hyperbel mit Mittelpunkt O,Brennpunkten F1(e|0),F2(−e|0)und konstanter Abstandsdi�erenz2a hat die Gleichungx2

a2− y2

b2= 1 mit e2 = a2 + b2

Für groÿe |x | und |y | nähert sichdie Hyperbel den Asymptoten mitder Gleichung y = ±b

ax .

I Hyperbel mit Mittelpunkt M(x0|y0), Halbachsen a, b undSymmetrieachsen parallel zu den Koordinatenachsen hat die

Gleichung (x−x0)2a2

− (y−y0)2b2

= 1

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Hyperbeln: Bemerkung

I Die Hyperbel mit der Gleichung

−x2

a2+

y2

b2= 1

heiÿt konjugiert zur Hyperbel x2

a2− y2

b2= 1. Ihre Hauptachse

ist die y -Achse, sie ist in Richtung der y -Achse geö�net.I �Für groÿe |x | und |y | nähert sich die Hyperbel den

Asymptoten mit der Gleichung y = ±bax .� Daraus folgt: für

a = b ergeben sich die Winkelhalbierende y = ±x alsAsymptoten.

I Hyperbeln mit senkrechten Asymptoten heiÿen rechtwinklige

oder gleichseitige Hyperbeln.

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Hyperbeln: Beispiel

Beispiel 1: Wie lautet die Gleichung der Hyperbel mitM(3| − 4), a = 6, b = 5, die in Richtung der y -Achse geö�net ist?

Lösung: −(x − 3)2

36+

(y + 4)2

25= 1

Beispiel 2: Wie lautet die Gleichung der Hyperbel durch P(4|2)mit den Asymptoten y = ±2

3x?

Lösung: Asymptotenschnittpunkt M = O, also wähle Ansatz

x2

a2+ y2

b2= 1

Punktprobe: 16

a2− 4

b2= 1

Asymptotensteigung: ba

= 2

3⇔ b = 2

3a

}=⇒

a2 = 7, b2 = 28

9und damit x2

7+ 9y2

28= 1

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Hyperbeln: Allgemeine Hyperbelgleichung

Mittelpunktsform ausmultiplizieren, nach den Variablen x und ysortieren und die Koe�zienten umbenennen.

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Parabeln

De�nition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort allerPunkte, deren Abstände von einer festen Geraden l und einem festenPunkt F gleich sind, heiÿt Parabel.

Bezeichnungen:l LeitlinieF BrennpunktS Scheitel = Berührpunkt der

Tangente parallel zu l

p Halbparameter = Abstand Fl

Die Parabel ist eine symmetrischeKurve; Symmetrieachse ist dieParabelachse (SF ).

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Parabeln

Gleichung in Scheitelform

I Die Parabel mit Scheitel O undBrennpunkt F

(p2|0

)hat die

Gleichung:

y2 = 2px , (p > 0)

I Weitere Lagen der Parabel mit S = O:y2 = −2px nach links geö�netx2 = ±2py nach oben/unten geö�net

I Die Parabel mit Scheitel S(x0, y0) und Parameter 2p nachrechts bzw. nach links geö�net hat die Gleichung:

(y − y0)2 = ±2p(x − x0), (p > 0)

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Parabeln: Bemerkungen

I Die Gleichung (x − x0)2 = ±2p(y − y0) für nach oben (nach

unten) geö�nete Parabeln löst man üblicherweise nach y aufund schreibt sie in der Form

y − y0 = a(x − x0)2

{a > 0 : nach oben geö�neta < 0 : nach unten geö�net

I Zwischen a und p besteht die Beziehung p = 1

|2a| .

I y − y0 = a(x − x0)2 lässt sich umformen in

y = a2x2 + a1x + a0 mit

a2 = a

a1 = −2ax0a0 = ax2

0+ y0

Parabeln sind also Bilder von Polynomen vom Grad 2.

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Parabeln

Allgemeine Parabelgleichung: (Achsen parallel zuKoordinatenachsen)

By2 + Cx + Dy + E = 0B 6= 0,C 6= 0

}Parabel mit Achse || zur x-Achse

Ax2 + Cx + Dy + E = 0A 6= 0,D 6= 0

}Parabel mit Achse || zur y -Achse

Ineinander Umwandeln der Parabelgleichungen:

ScheitelformAusmultiplizieren−→

←−quadrat. Ergänzung

Allg. Parabelgleichung

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Kegelschnitte: Zusammenfassung

Allgemeine Gleichung 2. Grades ohne xy -Glied:

Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0(A,B,C ,D,E ∈ IR,A 6= 0,B 6= 0)

Fälle:1. A = B Kreis

2. A · B > 0,A 6= B Ellipse

3. A · B < 0 Hyperbel

4. A = 0;B,C 6= 0 Parabel mit Achse || zur x-Achse5. B = 0;A,D 6= 0 Parabel mit Achse || zur y -Achse

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