Mathematik II -...

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Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 1 Mathematik II für Bereich IT 2. Sem. Prof. Dr. K. Blankenbach Inhalt: 1. Differentialgleichungen Anwendungsgebiete: Bewegungen, RC-Lade- und Entladekurve, Wärmelehre, mechanische und elektrische Schwingungen, Wellen, … 2. Laplace-Transformation Anwendungsgebiete: Lösen von DGL, Regelungstechnik,Hinweise: - „Schulmathe“ + „Mathe 1“ + „Kochrezepte“ = „Mathe 2“ - Differenzieren, integrieren, quadratische Gleichungen, ln, e, … „beherrschen“ Vorgeschlagene Hilfsmittel zur Klausur: Nicht programm. Taschenrechner, 4 handgeschriebene Seiten, math. Formelsammlung Empfohlene Bücher: - Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg - Fetzer/Fränkl: Mathematik, VDI - Böhme: Analysis, Springer - Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln - Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner - Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner Formelsammlungen wie Papula oder Bronstein (TB der Mathematik, Harri Deutsch) bitte zu Übungszwecken zu den Vorlesungen mitbringen, da „erlaubte“ Formelsammlung für Klausur.

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Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 1

Mathematik II

für Bereich IT 2. Sem.

Prof. Dr. K. Blankenbach

Inhalt:

1. Differentialgleichungen

Anwendungsgebiete: Bewegungen, RC-Lade- und Entladekurve,

Wärmelehre, mechanische und elektrische Schwingungen, Wellen, …

2. Laplace-Transformation

Anwendungsgebiete: Lösen von DGL, Regelungstechnik,…

Hinweise: - „Schulmathe“ + „Mathe 1“ + „Kochrezepte“ = „Mathe 2“

- Differenzieren, integrieren, quadratische Gleichungen, ln, e, … „beherrschen“

Vorgeschlagene Hilfsmittel zur Klausur:

Nicht programm. Taschenrechner, 4 handgeschriebene Seiten, math. Formelsammlung

Empfohlene Bücher:

- Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg

- Fetzer/Fränkl: Mathematik, VDI

- Böhme: Analysis, Springer

- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln

- Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner

- Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner

Formelsammlungen wie Papula oder Bronstein (TB der Mathematik, Harri Deutsch) bitte zu

Übungszwecken zu den Vorlesungen mitbringen, da „erlaubte“ Formelsammlung für Klausur.

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 2

1. Differentialgleichungen

Definition

DGLs sind Gleichungen, welche Ableitungen enthalten.

Beispiel:

(Funktion y, deren erste Zeitableitung gleich der Funktion entspricht)

Lösen von DGLs:

Lösung ist Funktion, welche die DGL erfüllt, ggf. inkl. Randbedingungen

- Lösung per „Kochrezept“ bzw. zu Fuß

- Lösung per „Raten“ und Probe

- Lösen per Laplace-Transformation

Das Lösen von DGLs kann also auf mehrere Arten erfolgen.

Klausur:

Lösungsweg außer mit Laplace-Transformation nicht vorgeschrieben, also persönliche

Favoriten „üben“.

Wichtig:

Zur Lösung von DGLs wird integriert, die Integrationskonstante darf nicht weggelassen

werden! In der Technik wird die Integrationskonstante über die Anfangsbedingungen (Rand-)

bestimmt.

Wichtige Formeln:

- Euler: ej = cos() + j sin() ; e-j = cos() - j sin()

- Sinus mit Phase:

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Übersicht Differentialgleichungen (DGL)

Einteilung Gewöhnliche partielle DGL

Anzahl Veränderliche 1 mehrere

Bsp:

y„„ + wo² y = 0

y(t) = ?

Schwingung

y(x,t) = ?

Wellengleichung

Def: Ordnung n einer DGL = höchste vorkommende Ableitung

Bsp: -

n = 1 (1. Ordnung)

-

n = 2 (2. Ordnung)

Erste und zweite Ordnung in der Technik meist ausreichend

Def.: Nomenklatur der Ableitungsdarstellung

- Zeitableitung: dy/dt = y oft wird auch als y„(t) oder x„(t) geschrieben

- Ortsableitung: dy/dx = y‟

Gleichungsdefinition von DGLs

1. Ordnung 2. Ordnung

Explizit

(meist Technik)

y' = f (x, y')

z.B. y„ = x

y'' = f (x, y, y')

z.B. )t(Sbyyay

Implizit F(x, y, y') = 0

x + y y„ = 0

F(x, y, y', y'') = 0

y„„ + y y„ = 0

Wichtige Unterarten:

- Lineare DGLs

- enthalten keine Potenzen, nur lineare Glieder z.B. y„ + f(x) y = g(x)

- Technik: oft lineare DGL mit konstantem Koeffizienten

z.B. )t(Sbyyay (Schwingungsgleichung mit Erregerterm S(t))

- Homogene DGLs: z.B. 0byyay (freie Schwingung)

- Inhomogene DGLs: z.B. )t(Sbyyay (extern angeregte Schwingung)

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„Klassische“ Lösungen (keine LT):

Definition:

Eine Funktion y = y(x), y = y(t) oder x = x(t) heißt Lösung einer DGL, wenn diese mit ihren

Ableitungen die DGL identisch erfüllt.

Bem: Dies ist gleichzeitig auch die „Probe“ !

Lösungsansatz: 1. Art der DGL identifizieren

2. Lösung nach „Kochrezept“ aus Formelsammlung bzw. „zu Fuß“

(optional „Raten“)

3. Ggf. Anfangs- und Randbedingungen einsetzen

4. Optional: Probe

allgemeine Lösung: unbestimmte Integrationskonstanten (C1 , C2, ...)

spezielle (partikuläre) Lösung:

Integrations-Konstante aus Anfangswerten bzw. Randbedingungen.

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Übersicht der in dieser Vorlesung behandelten DGLs:

- DGL 1. Ordnung

- y„ = g(x) h( y): Getrennte Veränderliche (Trennung der Variablen)

- Lineare DGL 1. Ordnung „multiplikativ“

- y„ + f (x) y = 0 : Homogene lineare DGL 1. Ordnung

- y„ + f (x) y = S(x): Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung

- DGL 2. Ordnung

- y'' = const. : Lösung: 2x Integrieren "zu Fuß"

- y'' = f(x, y')* : Lösung: Rückführung auf DGL 1. Ordnung

- y'' = f(x, y)* : Homogene DGL, Lösung mit Formel bzw. Multiplikation mit y'

- y'' = f(x, y, y') : Homogene DGL, Lösung mit Charakteristischem Polynom

- y'' = f(x, y, y') + S(x) : Inhomogene DGL, Lösung: y = yh + yp

yh Lösung der homogenen DGL, yp Ansatz aus Tabelle

- Beispiele zu (erzwungenen) Schwingungen, Resonanz, Dämpfung, …

- Partielle DGL* (Beispiel Wellengleichung)

Für diese DGLs gibt es jeweils „Kochrezepte“ für die Lösung!

*: Nur informativ

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 6

RL - Wechselstromkreis tsinUIL

RI o

0,000

0,005

0,010

0,015

0,020

0,025

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

rel. I

t /s

RL - Wechselstromkreis Einschwingvorgang

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 5 10 15 20 25 30

rel. I

t /s

RL - Wechselstromkreis

-1,0

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

5 7 9 11 13 15 17

rel. U , rel. I

t /s

Spannungs - Stromverlauf

U

I

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Vorgehensweisen zur Lösung von

Inhomogenen Linearen DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen

DGL: y' + f(x) y = S(x) mit S(x) als inhomogenem Term (Störfunktion)

Allgemeine Lösung: y = yh + yp (homogene + partikuläre Lösung)

Lösung mit „Kochrezept“ (Methode von Lagrange)

Homogene Lösung für S(x) = 0 dx)x(f

h eCy

Inhomogene Lösung

dxe)x(Sey

dx)x(fdx)x(f

p

Allgemeine Lösung

(kann direkt berechnet werden)

dxe)x(SCeyyy

dx)x(fdx)x(f

ph

Lösung mit „zu Fuß“ (sequentielle Berechnung)

1. Lösung der homogenen DGL: homogene Lösung: dx)x(f

h eCy

2. Variation der Konstanten C = C(x) in inhomogene DGL eingesetzt

ergibt Gleichung für C(x).

3. Allgemeine Lösung: dx)x(fe)x(Cy

Die Methode ”Ansatz einer geeigneten Störfunktion” bei ”DGL getrennte Veränderliche”

klappt nur für ”einfachste” Fälle; bei ”Konstantem Koeffizienten” dagegen Methode der Wahl.

Hinweis: Sicheres Beherrschen der Integration ist essentiell für das Lösen von DGLs!

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Vorgehensweisen zur Lösung von

Inhomogenen Linearen DGL 1. Ordnung mit konstantem Koeffizienten

- Spezialfall der Inhomogenen Linearen DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen

- ”Methode für spezielle Störfunktionen”

DGL: y' + a y = S(x)

Allgemeine Lösung: y = yh + yp (homogene + partikuläre Lösung)

1.) Homogene Lösung: S(x) = 0 : yh = C e-ax

2.) Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL – 2 Methoden

a) Variation der Konstanten

siehe „Inhomogene Lineare DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen“

b) Geeigneter Lösungsansatz für Störfunktion S(x) in inhomogene DGL einsetzen

mit yp: siehe Tabelle. Ist bei „konstantem Koeffizienten“ meist die Methode der Wahl.

3.) Allgemeine Lösung y = yh + yp

Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist abhängig vom Typ der Störfunktion S(x):

S(x) Lösungsansatz yp(x)

Konstante Funktion S(x) = c yp = C0

Parameter: C0

Lineare Funktion: S(x) = ax + b yp = C1 x + C0

Parameter: C1 , C0

Polynom Pn(x) , n: Grad yp = Cn x

n + ... + C1 x + C0

Parameter: Cn , ..., C1 , C0

Exponentialfunktion

S(x) = Aebx

- für b -a : yp = C ebx

- für b = -a : yp = C x ebx

Parameter: C

Sinus bzw. Cosinus

S(x) = A sin(x)

S(x) = B cos(x)

oder Linearkombination

S(x) = A sin(x) + B cos(x)

yp = C1 sin(x) + C2 cos(x)

Parameter: C1 , C2

oder

yp = C sin(x + )

Parameter: C ,

Technik: Störfunktion oft zeitabhängig.

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RC Kreis (DGL 1. Ordnung) mit Sinusanregung

Einschwingvorgang

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 10

1.3. Lineare DGL 2. Ordnung

- explizit: y'' = f(x, y, y'),

- implizit: F(y, y„, y„„, x) = 0

DGL 2. Ordnung also 2 Anfangsbedingungen notwendig

Fälle:

a) y'' = c Lösung: 2x Integrieren zu Fuß, Beispiel ”Freier Fall“

b)* y'' = f(y) Lösung „zu Fuß“ oder mit Formel

Beispiele: - Biegelinie bei Balken

- Freier Fall mit höhenabhängiger Erdbeschleunigung

c) y‟‟ + dy‟ + o²y = 0 Homogene DGL „Schwingungsgleichung“,

Lösung mit Charakteristisches Polynom

Beispiele: mechanische und elektrische Schwingungen,

für d = 0 ohne Dämpfung/Reibung, Eigenfrequenz o

In Büchern auch: y‟‟ + 2dy‟ + o²y = 0, da dann die Lösungsformel

der quadratischen Gleichung „einfacher aussieht“.

d) y‟‟ + dy‟ + o²y = S(x) Inhomogene DGL der Schwingungsgleichung c)

Lösung: y = yh + yp (analog DGL 1. Ordnung)

yh aus Fall c) und yp Ansatz aus Tabelle

Beispiele: Erzwungene Schwingungen

Technik: Störfunktion oft zeitabhängig.

*: hier nur informativ

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 11

Informativ

b) y'' = f(y) Lösung „zu Fuß“ oder mit Formel

Beispiel „zu Fuß“ Biegelinie bei Balken

Lösung: Integrieren und Rückführung auf DGL 1. Ordnung +

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Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 13

Homogene Schwingungsgleichung als DGL 2. Ordnung

Zusammenfassung:

Vorgehensweise zur Lösung der Schwingungsgleichung

1. Charakteristisches Polynom (Charakteristische Gleichung)

2. Berechnen von

3. Linearkombination als „allgemeine Musterlösung“

Musterlösung für Klausur:

y'' + o² y = 0

1.) Lösungsansatz: y(t) = et

in DGL y'' + o² y = 0 einsetzen ergibt

'Charakteristisches Polynom' ² + o² = 0

2.) 1/2 = jo mit o aus DGL

also: 1 2:

y = C1 e1t + C2 e

2t

3.) “Kochrezept-Lösung”

y = A cos(o t) + B sin(o t)

(Herleitung siehe Skript)

4.) Anfangsbedingungen zur Bestimmung von A und B

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Beispiele für Schwingungen in der Technik / Physik

Beschreibung, Schwingungsgleichung Skizze

Mathematisches Pendel

0l

g

mit sinx = x für kleine Auslenkwinkel

Physikalisches Pendel

0J

gmr

2o

a

Reibung ~ „

Federpendel

0x

m

Dx

2o

Reibung ~ x„ = v

l

m

s

F = m gG

Ft

FRK

D

SWP

r

0

Ft

xRuhelage

F = FFF RK

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 15

Beschreibung, Schwingungsgleichung Skizze

Torsionspendel

0

J

D

20

(R) LC- Schwingkreis

0I

LC

1I

20

Dämpfung (analog zu Reibung) ~ R

Flüssigkeit in U-Rohr

0z

l

g2z

2o

D

J

Ruhelage

LC

UC

I

mbeschl

mges

z

0

Ft

FRK

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Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 17

d) Inhomogene Dgl 2. Ordnung mit konstantem Koeffizienten

(Erzwungene Schwingungen)

y'' + d y' + o² y = S(x)

Die allgemeine Lösung Y = Y(x) ist hier die Summe aus der Lösung der allgemeinen Lösung

yh der zugehörigen homogenen DGL und einer beliebigen partikulären Lösung yp der

inhomogenen DGL:

y = yh(x) + yp(x)

Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist abhängig vom Typ der Störfunktion S(x),

eine Störfuntkion kann ggf. in eine Reihe entwickelt werden (z.B. sinx = x für kleine x):

S(x) Lösungsansatz yp(x)

Polynom

Pn(x)

n: Grad

ggf. Reihenentwicklung

für o² 0 : yp = Qn(x) ; Qn Polynom

Beispiele: S(x) = 5 yp= C0 ; S(x) = 5x yp= C1 x + C0

----------------------------------------------------------------------------------

für o² = 0 , d 0 : yp = x Qn(x) ; Qn Polynom

----------------------------------------------------------------------------------

für o² = 0 , d = 0 : yp = x² Qn(x) ; Qn Polynom

Exponentialfunktion

ecx

„c“ kann ohne

Koeffizientenvergleich

„übernommen werden“

c ist keine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)

yp = A ecx

----------------------------------------------------------------------------------

c ist einfache Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)

yp = A x ecx

----------------------------------------------------------------------------------

c ist doppelte Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)

yp = A x² ecx

Sinus- bzw. Cosinus

sin(ax) bzw. cos(ax)

oder Linearkombination

ja ist keine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)

yp = C1 sin(ax) + C2 cos(ax) (bevorzugter Ansatz wg. Koeffvgl.)

bzw. yp = C sin(ax + ) oder ej(t - ) ; j: imaginär

---------------------------------------------------------------------------------

ja ist eine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)

yp = x [A sin(ax) + B sin(ax)] ; j: imaginär

Technik: Störfunktion oft zeitabhängig.

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Anmerkungen:

Die Parameter (z.B. A, B, ) sind so zu bestimmen, daß die Funktion die lineare DGL löst.

Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit genau einer Lösung

Bei periodischen Störfunktionen kann man auch einen komplexen Ansatz yp = C ej(ax+ )

verwenden.

Falls Störfunktion nicht in obiger oder anderer Tabelle: Reihen- bzw. Fourierentwicklung

Das Vorgehen zur Lösung der inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten

Koeffizienten lautet:

y'' + d y' + o² y = S(x)

1. Bestimmung der allgemeinen Lösung yh der homogenen DGL

y'' + d y' + o² y = 0

mit charakteristischer Gleichung (charakteristischem Polynom)

2. Lösungsansatz für partikuläre Lösung yp aus obiger Tabelle

in DGL einsetzen und Bestimmung der Konstanten

3. Addition von 1. und 2. zur allgemeinen Lösung

y(x) = yh + yp

4. Ggf. spezielle Lösung aus Anfangsbedingungen

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 19

Inhomogene DGL 2. Ordnung mit ”Konstantet Störfunktion”

y„„ + 8 y„ + 25 y = 1 mit AB y(0) = 0 ; y„(0) = 0

Spezielle Lösung: y = e-4t { -1/25 cos(3t) - 4/75 sin(3t) } + 1/25

Homogene Lösung klingt ab, stationäre Lösung ab ca. 2 sec.

„Überschwinger“ bei 1 sec.

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 20

Bsp: Elektromagnetischer Reihenschwingkreis mit „komplexem partikulären Ansatz“

Ua

Aus Kirchhoffschen Gesetzen:

CL

1undL

Rdmit

L

UIIdI

)dt/dUalsSpannungangelegte:U(UIC

1IRIL

o

a2

o

aa

Ua sei sinusförmig

AB: „anfänglich ohne Strom und Spannung“

Zuerst homogene Lösung: Freie Schwingung (Ua = 0)

am interessantesten: gedämpfte Schwingung

Lösung mit Charakteristischem Polynom : I = et

2 + d + o2 = 0

hier gedämpfter Schwingfall angenommen: o > d :

d

2

o2/dmit

2

o

2

o

2

o

2/1 j²j4

²dj

2

d

2

²d4jd

2

4²dd

D

Allgemeine Lösung: tj

2

tj

1

t

hdd eCeCe)t(I

mit 2

22

odL4

R

CL

1

4

²d d < o wegen Dämpfung durch R

yh = e-t (C1ejd t + C2e

-jd t)

Homogene Lösung yh = e-t { A cos(d t) + B sin(d t) }

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 21

Eine partikuläre Lösung

Hier Sinusförmige Spannung Ua = Û ejt

ACHTUNG: „beliebig“

tj2

o eL

UjIIdI : äußere Anregefrequenz, auch als ext

Ableitung wg. Kirchhoffschen Gesetzten

partikulärer komplexer Lösungsansatz aus Tabelle

tj

p eItI ˆ)(

Partikuläre Lösung ist der Imaginärteil: Ip = Î sin(t- )

Frage: Einfacher oder komplizierter als reeller Ansatz mit sin und cos?

Ableiten:

tj

p

tj

p

eItI

eIjtI

ˆ²)(''

ˆ)('

Ansatz in DGL einsetzen ergibt:

tjtj

o

tjtj eL

UjeIeIjdeI

ˆˆˆˆ² 2

tj2

o

tj eL

Ujjd²eI

tj2

o

jtj eL

Ujjd²eeI

ejt kürzen, ej auf andere Seite

)reellSeiterechte(jeIL

Ujdj j22

o

j22

o eIL

Ujd

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 22

Linke Seite: komplexe Zahl in karthesischer Schreibweise – „Vektor“ mit Betrag und Richtung

rechte Seite: „dieselbe“ komplexe Zahl (Betrag und Richtung) in exponentieller Schreibweise

mit cos + jsin

„Betrag“ über Quadrate:

2

222

oIL

U)²d(

Auflösen nach Strom: IL

U)²d(

222

o

222

o)²d(L

UI

Phase: tan = sin / cos = Imaginärteil / Realteil

d

tan22

o

Spezialfall „Resonanz“: Anregefrequenz = ungedämpfte Eigenfrequenz o

Amplitude: R

U

dL

U

dL

U

)²d(L

UI

L

Rd

Kontrolle: I = U/R Ohmsches Gesetz

Interpretation: Für = o ist die Amplitude am größten: Resonanz

Die Amplitude wird durch die Dämpfung (hier R) begrenzt (limitiert),

im theoretisch ungedämpften Fall würde die Amplitude unendlich groß.

Phase: tan = 0 d.h. keine Phasenverschiebung zwischen RLC und Anregung

Lösung: I(t) = Ih + Ip Ip = Î sin(t- ) nach Einschwingen für t groß

Resonanz für oLC

1 mit Amplitude

R

UI

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RLC-Schwingkreis bei sinusförmiger Anregung

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 24

Resonanzfall – Einschwingvorgang

I(t) = Ih + Ip = e-t { A cos(d t) + B sin(d t) } + Î sin(ot) mit = 0°

I„(t) = - e-t { A cos(d t) + B sin(d t) } + e-t { -d A sin(d t) + d B cos(d t) } + o Î cos(ot)

Anfangsbedingungen: „Anfänglich ungeladen“ bzw. „in Ruhe“ (mechanisch):

- I(t=0) = 0 : e0 { A cos(0) + B sin(0) } + Î sin(0) = 0 A = 0

- I‟(t=0) = 0 : - e0 { A cos(0) + B sin(0) } + e0 { -d A sin(0) + d B cos(0) } + o Î cos(0) = 0

- { A } + { d B } + o Î = 0 mit A = 0 B = - Î o / d

I(t) = e-t { (- Î o / d ( sin(d t) } + Î sin(ot) bei Resonanz

mit 2

dund

L

Rdmit

4

²d2

od

Gleichgewichtszustand (stationäre Lösung für große Zeiten) ab ca. 10 s

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 25

Drehpendel nach R.W. Pohl

DER Klassiker für Schwingungsversuche:

- quasi ungedämpfte Schwingung

- Gedämpfte Schwingungen

- Aperiodischer Grenzfall

- Erzwungene Schwingungen mit Resonanz

Beispiel „Gedämpfte Schwingungen“

Abnahme der Amplitude mit e-Funktion: e-t

Bestimmung der Dämpfung durch

logarithmische Auftragung bzw. Dekrement:

e-Funktion Gerade (lineare Regression)

Beispiel „Resonanz“

Resonanz: Maximale Amplitude bei

erzwungenen Schwingungen.

Resonanzfrequenz bei „schwacher“ Dämpfung

freier“ Eigenfrequenz.

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 26

RLC - Schwingkreis

Freie Schwingung eines

„geladenen“ elektrischen

Schwingkreises

Auswertung: Eigenfrequenz

aus mehreren

Schwingungen gemittelt

bestimmen.

Hier 2.077 Hz

Beispiel „Resonanz“

Resonanz: Maximale

Amplitude bei erzwungenen

Schwingungen.

Resonanzfrequenz bei

„schwacher“ Dämpfung

freier“ Eigenfrequenz.

Hier ca. 2.000 Hz

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 27

1.4 Spezielle DGLs, die „nicht einfach zu lösen sind“

Maschinenbau: Gleitreibung in vielen Fällen größer als „Luftreibung“

(Literatur meist nur Geschwindigkeits-proportionale Reibung wg. DGL)

Bsp: Gewicht mit Feder auf glatter Unterlage

DGL: 0xr)xsgn(x 2

o

mit r : Reibung z.B. r = µG FN / m also proportional zur Auflagekraft FN

Parameter: µG : Gleitreibungskoeffizient ; m : Masse

sgn(v) : Reibung richtungsabhängig von Geschwindigkeit, nur +/- 1

Es existiert für diese DGL keine analytische, d.h. geschlossene Lösung für alle Zeiten,

sondern nur einzelne Lösungen für Zeitintervalle bezogen auf die Richtungsumkehr nach

einer halben Schwingung (t = T/2):

Hier: „Anfangsauslenkung und in Ruhe“

Anfangsbedingungen: x(0) = xo ; x (0) = 0

Nun Betrachtung für einzelne Intervalle mit T/2, bei denen jeweils der „Endzustand“ des

Vorintervalls die Anfangsbedingung des neuen Intervalls bildet.

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 28

1. Halbperiode 0 < t T/2

x x ro 2 Inhomogene Schwingungsgleichung (Reibung auf rechte Seite, da konstant)

Allgemeine Lösung : x = xh + xp

Homogene Lösung xh ist „bekannt“ (s.o.) für diese Anfangsbedingung: x = xo cos(ot)

(es kann auch x = xo cos(ot + ) verwendet werden)

Ansatz partikuläre Lösung: S(x) = r Ansatz yp = B (aus Tabelle)

einsetzen liefert: 0 + o2 B = r B = r/o

2

Allgemeine Lösung: x(t) = A cos(ot) + r/o2

Ableiten für spezielle Lösung: : x„(t) = -o A sin(ot)

Spezielle Lösung aus AB für t=0 : x(0) = xo, x (0) = v(0) = 0

- x(0) = xo = A + r/o2 A = xo - r/o

2

- x (0) = 0 = - o A sin0 „beliebig“, da sin0 = 0 (ggf. hier bestimmen)

x1(t) = (xo - r/o2) cos(ot) + r/o

2 (x1 als Bezeichnung für 1. Halbperiode)

„Ort“ am Ende der ersten Halbperiode (T/2):

Definition Periodendauer: T = 2 / o

hier T/2 t = 2 / 2o = / o

x1(T/2) = (xo - r/o2) cos(o / o) + r/o

2

mit cos() = -1:

x1(T/2) = -xo + 2 r/o2

Bemerkung: Betrag der Auslenkung kleiner als „xo“ wegen Reibung

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2. Halbperiode T/2 < t T

stetiger Übergang an t = T/2 zwischen den einzelnen Lösungen:

- x1(T/2) = -xo + 2 r/o2 = x2(T/2)

- Geschwindigkeit am Umkehrpunkt Null

rxx 2

o Inhomogene Schwingungsgleichung (r hier negativ wg. sgn)

Ansatz partikuläre Lösung: S(x) = -r Ansatz yp = B„ (aus Tabelle)

einsetzen liefert: 0 + o2 B„ = -r B = -r/o

2

Allgemeine Lösung: x(t) = A„ cos(ot) - r/o2

Ableiten für spezielle Lösung: : x„2(t) = -o A„ sin(ot)

Spezielle Lösung aus AB für t= T/2 : x2(T/2) = -xo + 2 r/o2, x 2 (T/2) = v(T/2) = 0

- x2(T/2) = - xo + 2 r/o2 = A„ cos(o / o) - r/o

2

- xo + 2 r/o

2 = A„ cos() - r/o2

- xo + 2 r/o2 = -A„ - r/o

2

-A„ = xo – 3 r/o2

x2(t) = (xo - 3r/o2) cos(ot) - r/o

2

Nach einer Periode t = T: x2(T) = (xo - 3r/o2) cos(o 2 / o) - r/o

2 = xo - 4r/o2

Weitere Halbperioden analog.

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 30

Zusammenfassung

Betrachtung der Amplituden:

t Amplitude normiert für r/wo2 = 1 Bsp.

0 xo xo 5

T/2 -xo + 2r/o2 -xo + 2 -3

T xo - 4r/o2 xo - 4 1

lineare Abnahme der Amplitude im Umkehrpunkt pro Periode um 4r/o2

Bem.: System bleibt außerhalb der „Ruhelage“ stehen !

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 31

Partielle DGL am Beispiel Wellengleichung

Elektromagnetische Wellen (frei, umgedämpft) aus Maxwell-Gleichungen

hier vereinfacht: eindimensional mit Funktion y = y(x,t) ; Beispiel: Laser

„Prosa“: Funktion gesucht, deren 2. Ortsableitung proportional zur 2. Zeitableitung ist.

Reeller Lösungsansatz: y = A cos(t – kx) (komplex: y = A ej(t kx))

mit Kreisfrequenz und Wellenzahl k („-“ nach rechts)

„Beweis“ durch Einsetzen in DGL:

Ableiten: - dy/dx = + kA sin(t – kx) ; d²y/dx² = - k²A cos(t – kx) = -k² y

- dy/dt = - A sin(t – kx) ; d²y/dt² = - ²A cos(t – kx) = -² y

Einsetzen: - k² y = - ²/c² y k = /c

das ist Gleichung zur Bestimmung der der Proportionalitätskonstanten c :

mit Wellenvektor k = 2 und Kreisfrequenz = 2f:

2 = 2f / c f = c

(Physik: Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge)

Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum co o

1

Problem: Lösung der Wellengleichung unter Randbedingungen z.B. im Hohlleiter

Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 32

Anharmonsiche Schwingungen

Vorkommen: Bei „großen“ Amplituden und Intensitäten

Beispiele: - Nichtlineare Federkennlinie (Erweiterung Hooke): F = Dx + kx²

- Nichtlineare Transistorkennlinie (z.B. Audio)

Effekt: - Schwingung (bzw. Wellen) mit durch Nichtlinearitäten erzeugten Oberwellen

- Beispiele: - „nicht erwünscht“: Klirrfaktor (Audio)

- „gewollt“: Laser-Frequenzverdopplung

Stichworte für Internetsuche: Anharmonischer Oszillator, Nichtlineare Optik

Ungedämpfte inhomogene DGL: y„„ + o2 y + k y² = A cos(t)

nichtlinearer Term

auch als kx³

Bemerkung: - o2 >> y² d.h. relativ kleine Nichtlinearität

- „Prosa“: Ein schwingungsfähiges nichtlineares System wird

mit cos(t) angeregt.

Partikuläre (stationäre) Lösung der linearen DGL y„„ + o2 y = A cos(t) : y = B cos(t)

(hier keine Resonanz, d.h. o , Phase vernachlässigt)

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Vereinfachte Betrachtung

Nichtlinearen DGL y„„ + o2 y + k y² = A cos(t) (auch hier o )

Lösungsansatz für partikuläre (stationäre) Lösung, Phase vernachlässigt: y = C cos(t)

Ableiten: y„ = - C sin(t) ; y„„ = - ²C cos(t) = - ²y

Einsetzen: - ²C cos(t) + o2 C cos(t) + k C² cos²(t) = A cos(t)

Formelsammlung: cos(2) = cos² - sin² und sin² + cos² = 1 sin² = 1 - cos²

cos(2) = cos² - 1 + cos² = 2 cos² - 1

cos² = ½ { cos(2) + 1 }

Einsetzen: - ²C cos(t) + o2 C cos(t) + k C² / 2 {cos(2t) + 1} = A cos(t)

Hier „erscheint“ also die doppelte Anregefrequenz 2

Vereinfachte Betrachtung (Ansatz): y = C cos(t) + D cos(2t)

Der exakte Nachweis ist aufwändig, hier sei auf die Literatur verwiesen.

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Einfluß eines nichtlinearen Terms „k“ und der Signalamplitude

Nichtlinearen DGL y„„ + o2 y + k y² = A cos(t)

Beispiele für Kennlinie : Ausgang = (1 + k) Eingang

Eingang k Plot

5 0

5 0,05

5 0,1

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Eingang k Plot

1 0,25

5 0,25

25 0,25

Klar erkennbar: - Offset (DC-Anteil) und Verzerrung des Ausgangssignales

- Große Eingangsamplitude und relativ große Nichtlinearität

führt zu Frequenzverdopplung (letztes Diagramm E = 25, k = 0,25)

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Diplomarbeit

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Übungsblatt DGL

1. „Wachstumsgleichung“: Welche Lösung hat die lineare DGL N„(t) = N(t) mit N(0) = N0.

(instabil, N )

2. Zeigen Sie, daß y' + f(x) y = 0 die Lösung: y k ef x dx

( ) hat.

3. An einer RL-Serienschaltung wird die Spannung U angelegt (eingeschaltet). Wie lautet die

DGL und ihre Lösung für den Einschaltvorgang?

( L I R I U IU

Re

R

Lt /

1 )

4. Freier Fall eines Körpers mit Luftwiderstand, lösen Sie:

m a = mg - cv² -> m

cv v

mg

ct v

mg

c ² . :

Anfangsbedingung: t = 0, v = 0

5. Lösen Sie folgende DGLs:

a) y y' + x = 0 (x² + y² = r²)

b) y' = (x-y) / x (y = 0,5 (x + C²/x )

c) y'' = 2ey , AB: x = 0, y = 0, y' = -2 (y = - ln(1+x)² )

Hinweise:

- Verwenden Sie zur Lösung „eigene“ Kochrezepte.

- Rechnen Sie alle Vorlesungsbeispiel selbstständig nach.

- Denken Sie sich eigene Aufgaben aus, z.B. Modifikation der Vorlesungsbeispiele.

- Rechnen Sie „meine Altklausuren“.

- Das Internet ist „voll“ von DGL-Skripten und Beispielen.