Mathematik II -...
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Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 1
Mathematik II
für Bereich IT 2. Sem.
Prof. Dr. K. Blankenbach
Inhalt:
1. Differentialgleichungen
Anwendungsgebiete: Bewegungen, RC-Lade- und Entladekurve,
Wärmelehre, mechanische und elektrische Schwingungen, Wellen, …
2. Laplace-Transformation
Anwendungsgebiete: Lösen von DGL, Regelungstechnik,…
Hinweise: - „Schulmathe“ + „Mathe 1“ + „Kochrezepte“ = „Mathe 2“
- Differenzieren, integrieren, quadratische Gleichungen, ln, e, … „beherrschen“
Vorgeschlagene Hilfsmittel zur Klausur:
Nicht programm. Taschenrechner, 4 handgeschriebene Seiten, math. Formelsammlung
Empfohlene Bücher:
- Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Vieweg
- Fetzer/Fränkl: Mathematik, VDI
- Böhme: Analysis, Springer
- Latussek et al. : Lehr- und Übungsbuch Mathematik V, Fachbuchverlag Leipzig-Köln
- Tilman Butz: Fouriertransformation für Fußgänger, Teubner
- Weber/Ulrich: Laplace-Transformation, Teubner
Formelsammlungen wie Papula oder Bronstein (TB der Mathematik, Harri Deutsch) bitte zu
Übungszwecken zu den Vorlesungen mitbringen, da „erlaubte“ Formelsammlung für Klausur.
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1. Differentialgleichungen
Definition
DGLs sind Gleichungen, welche Ableitungen enthalten.
Beispiel:
(Funktion y, deren erste Zeitableitung gleich der Funktion entspricht)
Lösen von DGLs:
Lösung ist Funktion, welche die DGL erfüllt, ggf. inkl. Randbedingungen
- Lösung per „Kochrezept“ bzw. zu Fuß
- Lösung per „Raten“ und Probe
- Lösen per Laplace-Transformation
Das Lösen von DGLs kann also auf mehrere Arten erfolgen.
Klausur:
Lösungsweg außer mit Laplace-Transformation nicht vorgeschrieben, also persönliche
Favoriten „üben“.
Wichtig:
Zur Lösung von DGLs wird integriert, die Integrationskonstante darf nicht weggelassen
werden! In der Technik wird die Integrationskonstante über die Anfangsbedingungen (Rand-)
bestimmt.
Wichtige Formeln:
- Euler: ej = cos() + j sin() ; e-j = cos() - j sin()
- Sinus mit Phase:
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Übersicht Differentialgleichungen (DGL)
Einteilung Gewöhnliche partielle DGL
Anzahl Veränderliche 1 mehrere
Bsp:
y„„ + wo² y = 0
y(t) = ?
Schwingung
y(x,t) = ?
Wellengleichung
Def: Ordnung n einer DGL = höchste vorkommende Ableitung
Bsp: -
n = 1 (1. Ordnung)
-
n = 2 (2. Ordnung)
Erste und zweite Ordnung in der Technik meist ausreichend
Def.: Nomenklatur der Ableitungsdarstellung
- Zeitableitung: dy/dt = y oft wird auch als y„(t) oder x„(t) geschrieben
- Ortsableitung: dy/dx = y‟
Gleichungsdefinition von DGLs
1. Ordnung 2. Ordnung
Explizit
(meist Technik)
y' = f (x, y')
z.B. y„ = x
y'' = f (x, y, y')
z.B. )t(Sbyyay
Implizit F(x, y, y') = 0
x + y y„ = 0
F(x, y, y', y'') = 0
y„„ + y y„ = 0
Wichtige Unterarten:
- Lineare DGLs
- enthalten keine Potenzen, nur lineare Glieder z.B. y„ + f(x) y = g(x)
- Technik: oft lineare DGL mit konstantem Koeffizienten
z.B. )t(Sbyyay (Schwingungsgleichung mit Erregerterm S(t))
- Homogene DGLs: z.B. 0byyay (freie Schwingung)
- Inhomogene DGLs: z.B. )t(Sbyyay (extern angeregte Schwingung)
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„Klassische“ Lösungen (keine LT):
Definition:
Eine Funktion y = y(x), y = y(t) oder x = x(t) heißt Lösung einer DGL, wenn diese mit ihren
Ableitungen die DGL identisch erfüllt.
Bem: Dies ist gleichzeitig auch die „Probe“ !
Lösungsansatz: 1. Art der DGL identifizieren
2. Lösung nach „Kochrezept“ aus Formelsammlung bzw. „zu Fuß“
(optional „Raten“)
3. Ggf. Anfangs- und Randbedingungen einsetzen
4. Optional: Probe
allgemeine Lösung: unbestimmte Integrationskonstanten (C1 , C2, ...)
spezielle (partikuläre) Lösung:
Integrations-Konstante aus Anfangswerten bzw. Randbedingungen.
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Übersicht der in dieser Vorlesung behandelten DGLs:
- DGL 1. Ordnung
- y„ = g(x) h( y): Getrennte Veränderliche (Trennung der Variablen)
- Lineare DGL 1. Ordnung „multiplikativ“
- y„ + f (x) y = 0 : Homogene lineare DGL 1. Ordnung
- y„ + f (x) y = S(x): Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung
- DGL 2. Ordnung
- y'' = const. : Lösung: 2x Integrieren "zu Fuß"
- y'' = f(x, y')* : Lösung: Rückführung auf DGL 1. Ordnung
- y'' = f(x, y)* : Homogene DGL, Lösung mit Formel bzw. Multiplikation mit y'
- y'' = f(x, y, y') : Homogene DGL, Lösung mit Charakteristischem Polynom
- y'' = f(x, y, y') + S(x) : Inhomogene DGL, Lösung: y = yh + yp
yh Lösung der homogenen DGL, yp Ansatz aus Tabelle
- Beispiele zu (erzwungenen) Schwingungen, Resonanz, Dämpfung, …
- Partielle DGL* (Beispiel Wellengleichung)
Für diese DGLs gibt es jeweils „Kochrezepte“ für die Lösung!
*: Nur informativ
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RL - Wechselstromkreis tsinUIL
RI o
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
rel. I
t /s
RL - Wechselstromkreis Einschwingvorgang
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 5 10 15 20 25 30
rel. I
t /s
RL - Wechselstromkreis
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
5 7 9 11 13 15 17
rel. U , rel. I
t /s
Spannungs - Stromverlauf
U
I
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Vorgehensweisen zur Lösung von
Inhomogenen Linearen DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen
DGL: y' + f(x) y = S(x) mit S(x) als inhomogenem Term (Störfunktion)
Allgemeine Lösung: y = yh + yp (homogene + partikuläre Lösung)
Lösung mit „Kochrezept“ (Methode von Lagrange)
Homogene Lösung für S(x) = 0 dx)x(f
h eCy
Inhomogene Lösung
dxe)x(Sey
dx)x(fdx)x(f
p
Allgemeine Lösung
(kann direkt berechnet werden)
dxe)x(SCeyyy
dx)x(fdx)x(f
ph
Lösung mit „zu Fuß“ (sequentielle Berechnung)
1. Lösung der homogenen DGL: homogene Lösung: dx)x(f
h eCy
2. Variation der Konstanten C = C(x) in inhomogene DGL eingesetzt
ergibt Gleichung für C(x).
3. Allgemeine Lösung: dx)x(fe)x(Cy
Die Methode ”Ansatz einer geeigneten Störfunktion” bei ”DGL getrennte Veränderliche”
klappt nur für ”einfachste” Fälle; bei ”Konstantem Koeffizienten” dagegen Methode der Wahl.
Hinweis: Sicheres Beherrschen der Integration ist essentiell für das Lösen von DGLs!
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Vorgehensweisen zur Lösung von
Inhomogenen Linearen DGL 1. Ordnung mit konstantem Koeffizienten
- Spezialfall der Inhomogenen Linearen DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen
- ”Methode für spezielle Störfunktionen”
DGL: y' + a y = S(x)
Allgemeine Lösung: y = yh + yp (homogene + partikuläre Lösung)
1.) Homogene Lösung: S(x) = 0 : yh = C e-ax
2.) Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL – 2 Methoden
a) Variation der Konstanten
siehe „Inhomogene Lineare DGL 1. Ordnung mit getrennten Veränderlichen“
b) Geeigneter Lösungsansatz für Störfunktion S(x) in inhomogene DGL einsetzen
mit yp: siehe Tabelle. Ist bei „konstantem Koeffizienten“ meist die Methode der Wahl.
3.) Allgemeine Lösung y = yh + yp
Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist abhängig vom Typ der Störfunktion S(x):
S(x) Lösungsansatz yp(x)
Konstante Funktion S(x) = c yp = C0
Parameter: C0
Lineare Funktion: S(x) = ax + b yp = C1 x + C0
Parameter: C1 , C0
Polynom Pn(x) , n: Grad yp = Cn x
n + ... + C1 x + C0
Parameter: Cn , ..., C1 , C0
Exponentialfunktion
S(x) = Aebx
- für b -a : yp = C ebx
- für b = -a : yp = C x ebx
Parameter: C
Sinus bzw. Cosinus
S(x) = A sin(x)
S(x) = B cos(x)
oder Linearkombination
S(x) = A sin(x) + B cos(x)
yp = C1 sin(x) + C2 cos(x)
Parameter: C1 , C2
oder
yp = C sin(x + )
Parameter: C ,
Technik: Störfunktion oft zeitabhängig.
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RC Kreis (DGL 1. Ordnung) mit Sinusanregung
Einschwingvorgang
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1.3. Lineare DGL 2. Ordnung
- explizit: y'' = f(x, y, y'),
- implizit: F(y, y„, y„„, x) = 0
DGL 2. Ordnung also 2 Anfangsbedingungen notwendig
Fälle:
a) y'' = c Lösung: 2x Integrieren zu Fuß, Beispiel ”Freier Fall“
b)* y'' = f(y) Lösung „zu Fuß“ oder mit Formel
Beispiele: - Biegelinie bei Balken
- Freier Fall mit höhenabhängiger Erdbeschleunigung
c) y‟‟ + dy‟ + o²y = 0 Homogene DGL „Schwingungsgleichung“,
Lösung mit Charakteristisches Polynom
Beispiele: mechanische und elektrische Schwingungen,
für d = 0 ohne Dämpfung/Reibung, Eigenfrequenz o
In Büchern auch: y‟‟ + 2dy‟ + o²y = 0, da dann die Lösungsformel
der quadratischen Gleichung „einfacher aussieht“.
d) y‟‟ + dy‟ + o²y = S(x) Inhomogene DGL der Schwingungsgleichung c)
Lösung: y = yh + yp (analog DGL 1. Ordnung)
yh aus Fall c) und yp Ansatz aus Tabelle
Beispiele: Erzwungene Schwingungen
Technik: Störfunktion oft zeitabhängig.
*: hier nur informativ
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Informativ
b) y'' = f(y) Lösung „zu Fuß“ oder mit Formel
Beispiel „zu Fuß“ Biegelinie bei Balken
Lösung: Integrieren und Rückführung auf DGL 1. Ordnung +
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Homogene Schwingungsgleichung als DGL 2. Ordnung
Zusammenfassung:
Vorgehensweise zur Lösung der Schwingungsgleichung
1. Charakteristisches Polynom (Charakteristische Gleichung)
2. Berechnen von
3. Linearkombination als „allgemeine Musterlösung“
Musterlösung für Klausur:
y'' + o² y = 0
1.) Lösungsansatz: y(t) = et
in DGL y'' + o² y = 0 einsetzen ergibt
'Charakteristisches Polynom' ² + o² = 0
2.) 1/2 = jo mit o aus DGL
also: 1 2:
y = C1 e1t + C2 e
2t
3.) “Kochrezept-Lösung”
y = A cos(o t) + B sin(o t)
(Herleitung siehe Skript)
4.) Anfangsbedingungen zur Bestimmung von A und B
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Beispiele für Schwingungen in der Technik / Physik
Beschreibung, Schwingungsgleichung Skizze
Mathematisches Pendel
0l
g
mit sinx = x für kleine Auslenkwinkel
Physikalisches Pendel
0J
gmr
2o
a
Reibung ~ „
Federpendel
0x
m
Dx
2o
Reibung ~ x„ = v
l
m
s
F = m gG
Ft
FRK
D
SWP
r
0
Ft
xRuhelage
F = FFF RK
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Beschreibung, Schwingungsgleichung Skizze
Torsionspendel
0
J
D
20
(R) LC- Schwingkreis
0I
LC
1I
20
Dämpfung (analog zu Reibung) ~ R
Flüssigkeit in U-Rohr
0z
l
g2z
2o
D
J
Ruhelage
LC
UC
I
mbeschl
mges
z
0
Ft
FRK
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d) Inhomogene Dgl 2. Ordnung mit konstantem Koeffizienten
(Erzwungene Schwingungen)
y'' + d y' + o² y = S(x)
Die allgemeine Lösung Y = Y(x) ist hier die Summe aus der Lösung der allgemeinen Lösung
yh der zugehörigen homogenen DGL und einer beliebigen partikulären Lösung yp der
inhomogenen DGL:
y = yh(x) + yp(x)
Der Lösungsansatz für die partikuläre Lösung ist abhängig vom Typ der Störfunktion S(x),
eine Störfuntkion kann ggf. in eine Reihe entwickelt werden (z.B. sinx = x für kleine x):
S(x) Lösungsansatz yp(x)
Polynom
Pn(x)
n: Grad
ggf. Reihenentwicklung
für o² 0 : yp = Qn(x) ; Qn Polynom
Beispiele: S(x) = 5 yp= C0 ; S(x) = 5x yp= C1 x + C0
----------------------------------------------------------------------------------
für o² = 0 , d 0 : yp = x Qn(x) ; Qn Polynom
----------------------------------------------------------------------------------
für o² = 0 , d = 0 : yp = x² Qn(x) ; Qn Polynom
Exponentialfunktion
ecx
„c“ kann ohne
Koeffizientenvergleich
„übernommen werden“
c ist keine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)
yp = A ecx
----------------------------------------------------------------------------------
c ist einfache Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)
yp = A x ecx
----------------------------------------------------------------------------------
c ist doppelte Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)
yp = A x² ecx
Sinus- bzw. Cosinus
sin(ax) bzw. cos(ax)
oder Linearkombination
ja ist keine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)
yp = C1 sin(ax) + C2 cos(ax) (bevorzugter Ansatz wg. Koeffvgl.)
bzw. yp = C sin(ax + ) oder ej(t - ) ; j: imaginär
---------------------------------------------------------------------------------
ja ist eine Lösung der Charakteristischen Gleichung (CP)
yp = x [A sin(ax) + B sin(ax)] ; j: imaginär
Technik: Störfunktion oft zeitabhängig.
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Anmerkungen:
Die Parameter (z.B. A, B, ) sind so zu bestimmen, daß die Funktion die lineare DGL löst.
Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit genau einer Lösung
Bei periodischen Störfunktionen kann man auch einen komplexen Ansatz yp = C ej(ax+ )
verwenden.
Falls Störfunktion nicht in obiger oder anderer Tabelle: Reihen- bzw. Fourierentwicklung
Das Vorgehen zur Lösung der inhomogenen linearen DGL 2. Ordnung mit konstanten
Koeffizienten lautet:
y'' + d y' + o² y = S(x)
1. Bestimmung der allgemeinen Lösung yh der homogenen DGL
y'' + d y' + o² y = 0
mit charakteristischer Gleichung (charakteristischem Polynom)
2. Lösungsansatz für partikuläre Lösung yp aus obiger Tabelle
in DGL einsetzen und Bestimmung der Konstanten
3. Addition von 1. und 2. zur allgemeinen Lösung
y(x) = yh + yp
4. Ggf. spezielle Lösung aus Anfangsbedingungen
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Inhomogene DGL 2. Ordnung mit ”Konstantet Störfunktion”
y„„ + 8 y„ + 25 y = 1 mit AB y(0) = 0 ; y„(0) = 0
Spezielle Lösung: y = e-4t { -1/25 cos(3t) - 4/75 sin(3t) } + 1/25
Homogene Lösung klingt ab, stationäre Lösung ab ca. 2 sec.
„Überschwinger“ bei 1 sec.
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Bsp: Elektromagnetischer Reihenschwingkreis mit „komplexem partikulären Ansatz“
Ua
Aus Kirchhoffschen Gesetzen:
CL
1undL
Rdmit
L
UIIdI
)dt/dUalsSpannungangelegte:U(UIC
1IRIL
o
a2
o
aa
Ua sei sinusförmig
AB: „anfänglich ohne Strom und Spannung“
Zuerst homogene Lösung: Freie Schwingung (Ua = 0)
am interessantesten: gedämpfte Schwingung
Lösung mit Charakteristischem Polynom : I = et
2 + d + o2 = 0
hier gedämpfter Schwingfall angenommen: o > d :
d
2
o2/dmit
2
o
2
o
2
o
2/1 j²j4
²dj
2
d
2
²d4jd
2
4²dd
D
Allgemeine Lösung: tj
2
tj
1
t
hdd eCeCe)t(I
mit 2
22
odL4
R
CL
1
4
²d d < o wegen Dämpfung durch R
yh = e-t (C1ejd t + C2e
-jd t)
Homogene Lösung yh = e-t { A cos(d t) + B sin(d t) }
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Eine partikuläre Lösung
Hier Sinusförmige Spannung Ua = Û ejt
ACHTUNG: „beliebig“
tj2
o eL
UjIIdI : äußere Anregefrequenz, auch als ext
Ableitung wg. Kirchhoffschen Gesetzten
partikulärer komplexer Lösungsansatz aus Tabelle
tj
p eItI ˆ)(
Partikuläre Lösung ist der Imaginärteil: Ip = Î sin(t- )
Frage: Einfacher oder komplizierter als reeller Ansatz mit sin und cos?
Ableiten:
tj
p
tj
p
eItI
eIjtI
ˆ²)(''
ˆ)('
Ansatz in DGL einsetzen ergibt:
tjtj
o
tjtj eL
UjeIeIjdeI
ˆˆˆˆ² 2
tj2
o
tj eL
Ujjd²eI
tj2
o
jtj eL
Ujjd²eeI
ejt kürzen, ej auf andere Seite
)reellSeiterechte(jeIL
Ujdj j22
o
j22
o eIL
Ujd
Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 22
Linke Seite: komplexe Zahl in karthesischer Schreibweise – „Vektor“ mit Betrag und Richtung
rechte Seite: „dieselbe“ komplexe Zahl (Betrag und Richtung) in exponentieller Schreibweise
mit cos + jsin
„Betrag“ über Quadrate:
2
222
oIL
U)²d(
Auflösen nach Strom: IL
U)²d(
222
o
222
o)²d(L
UI
Phase: tan = sin / cos = Imaginärteil / Realteil
d
tan22
o
Spezialfall „Resonanz“: Anregefrequenz = ungedämpfte Eigenfrequenz o
Amplitude: R
U
dL
U
dL
U
)²d(L
UI
L
Rd
Kontrolle: I = U/R Ohmsches Gesetz
Interpretation: Für = o ist die Amplitude am größten: Resonanz
Die Amplitude wird durch die Dämpfung (hier R) begrenzt (limitiert),
im theoretisch ungedämpften Fall würde die Amplitude unendlich groß.
Phase: tan = 0 d.h. keine Phasenverschiebung zwischen RLC und Anregung
Lösung: I(t) = Ih + Ip Ip = Î sin(t- ) nach Einschwingen für t groß
Resonanz für oLC
1 mit Amplitude
R
UI
Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 24
Resonanzfall – Einschwingvorgang
I(t) = Ih + Ip = e-t { A cos(d t) + B sin(d t) } + Î sin(ot) mit = 0°
I„(t) = - e-t { A cos(d t) + B sin(d t) } + e-t { -d A sin(d t) + d B cos(d t) } + o Î cos(ot)
Anfangsbedingungen: „Anfänglich ungeladen“ bzw. „in Ruhe“ (mechanisch):
- I(t=0) = 0 : e0 { A cos(0) + B sin(0) } + Î sin(0) = 0 A = 0
- I‟(t=0) = 0 : - e0 { A cos(0) + B sin(0) } + e0 { -d A sin(0) + d B cos(0) } + o Î cos(0) = 0
- { A } + { d B } + o Î = 0 mit A = 0 B = - Î o / d
I(t) = e-t { (- Î o / d ( sin(d t) } + Î sin(ot) bei Resonanz
mit 2
dund
L
Rdmit
4
²d2
od
Gleichgewichtszustand (stationäre Lösung für große Zeiten) ab ca. 10 s
Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 25
Drehpendel nach R.W. Pohl
DER Klassiker für Schwingungsversuche:
- quasi ungedämpfte Schwingung
- Gedämpfte Schwingungen
- Aperiodischer Grenzfall
- Erzwungene Schwingungen mit Resonanz
Beispiel „Gedämpfte Schwingungen“
Abnahme der Amplitude mit e-Funktion: e-t
Bestimmung der Dämpfung durch
logarithmische Auftragung bzw. Dekrement:
e-Funktion Gerade (lineare Regression)
Beispiel „Resonanz“
Resonanz: Maximale Amplitude bei
erzwungenen Schwingungen.
Resonanzfrequenz bei „schwacher“ Dämpfung
freier“ Eigenfrequenz.
Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 26
RLC - Schwingkreis
Freie Schwingung eines
„geladenen“ elektrischen
Schwingkreises
Auswertung: Eigenfrequenz
aus mehreren
Schwingungen gemittelt
bestimmen.
Hier 2.077 Hz
Beispiel „Resonanz“
Resonanz: Maximale
Amplitude bei erzwungenen
Schwingungen.
Resonanzfrequenz bei
„schwacher“ Dämpfung
freier“ Eigenfrequenz.
Hier ca. 2.000 Hz
Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 27
1.4 Spezielle DGLs, die „nicht einfach zu lösen sind“
Maschinenbau: Gleitreibung in vielen Fällen größer als „Luftreibung“
(Literatur meist nur Geschwindigkeits-proportionale Reibung wg. DGL)
Bsp: Gewicht mit Feder auf glatter Unterlage
DGL: 0xr)xsgn(x 2
o
mit r : Reibung z.B. r = µG FN / m also proportional zur Auflagekraft FN
Parameter: µG : Gleitreibungskoeffizient ; m : Masse
sgn(v) : Reibung richtungsabhängig von Geschwindigkeit, nur +/- 1
Es existiert für diese DGL keine analytische, d.h. geschlossene Lösung für alle Zeiten,
sondern nur einzelne Lösungen für Zeitintervalle bezogen auf die Richtungsumkehr nach
einer halben Schwingung (t = T/2):
Hier: „Anfangsauslenkung und in Ruhe“
Anfangsbedingungen: x(0) = xo ; x (0) = 0
Nun Betrachtung für einzelne Intervalle mit T/2, bei denen jeweils der „Endzustand“ des
Vorintervalls die Anfangsbedingung des neuen Intervalls bildet.
Blankenbach / SS 2013 / IT-Mathe 2 / DGL_FOLIEN 28
1. Halbperiode 0 < t T/2
x x ro 2 Inhomogene Schwingungsgleichung (Reibung auf rechte Seite, da konstant)
Allgemeine Lösung : x = xh + xp
Homogene Lösung xh ist „bekannt“ (s.o.) für diese Anfangsbedingung: x = xo cos(ot)
(es kann auch x = xo cos(ot + ) verwendet werden)
Ansatz partikuläre Lösung: S(x) = r Ansatz yp = B (aus Tabelle)
einsetzen liefert: 0 + o2 B = r B = r/o
2
Allgemeine Lösung: x(t) = A cos(ot) + r/o2
Ableiten für spezielle Lösung: : x„(t) = -o A sin(ot)
Spezielle Lösung aus AB für t=0 : x(0) = xo, x (0) = v(0) = 0
- x(0) = xo = A + r/o2 A = xo - r/o
2
- x (0) = 0 = - o A sin0 „beliebig“, da sin0 = 0 (ggf. hier bestimmen)
x1(t) = (xo - r/o2) cos(ot) + r/o
2 (x1 als Bezeichnung für 1. Halbperiode)
„Ort“ am Ende der ersten Halbperiode (T/2):
Definition Periodendauer: T = 2 / o
hier T/2 t = 2 / 2o = / o
x1(T/2) = (xo - r/o2) cos(o / o) + r/o
2
mit cos() = -1:
x1(T/2) = -xo + 2 r/o2
Bemerkung: Betrag der Auslenkung kleiner als „xo“ wegen Reibung
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2. Halbperiode T/2 < t T
stetiger Übergang an t = T/2 zwischen den einzelnen Lösungen:
- x1(T/2) = -xo + 2 r/o2 = x2(T/2)
- Geschwindigkeit am Umkehrpunkt Null
rxx 2
o Inhomogene Schwingungsgleichung (r hier negativ wg. sgn)
Ansatz partikuläre Lösung: S(x) = -r Ansatz yp = B„ (aus Tabelle)
einsetzen liefert: 0 + o2 B„ = -r B = -r/o
2
Allgemeine Lösung: x(t) = A„ cos(ot) - r/o2
Ableiten für spezielle Lösung: : x„2(t) = -o A„ sin(ot)
Spezielle Lösung aus AB für t= T/2 : x2(T/2) = -xo + 2 r/o2, x 2 (T/2) = v(T/2) = 0
- x2(T/2) = - xo + 2 r/o2 = A„ cos(o / o) - r/o
2
- xo + 2 r/o
2 = A„ cos() - r/o2
- xo + 2 r/o2 = -A„ - r/o
2
-A„ = xo – 3 r/o2
x2(t) = (xo - 3r/o2) cos(ot) - r/o
2
Nach einer Periode t = T: x2(T) = (xo - 3r/o2) cos(o 2 / o) - r/o
2 = xo - 4r/o2
Weitere Halbperioden analog.
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Zusammenfassung
Betrachtung der Amplituden:
t Amplitude normiert für r/wo2 = 1 Bsp.
0 xo xo 5
T/2 -xo + 2r/o2 -xo + 2 -3
T xo - 4r/o2 xo - 4 1
lineare Abnahme der Amplitude im Umkehrpunkt pro Periode um 4r/o2
Bem.: System bleibt außerhalb der „Ruhelage“ stehen !
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Partielle DGL am Beispiel Wellengleichung
Elektromagnetische Wellen (frei, umgedämpft) aus Maxwell-Gleichungen
hier vereinfacht: eindimensional mit Funktion y = y(x,t) ; Beispiel: Laser
„Prosa“: Funktion gesucht, deren 2. Ortsableitung proportional zur 2. Zeitableitung ist.
Reeller Lösungsansatz: y = A cos(t – kx) (komplex: y = A ej(t kx))
mit Kreisfrequenz und Wellenzahl k („-“ nach rechts)
„Beweis“ durch Einsetzen in DGL:
Ableiten: - dy/dx = + kA sin(t – kx) ; d²y/dx² = - k²A cos(t – kx) = -k² y
- dy/dt = - A sin(t – kx) ; d²y/dt² = - ²A cos(t – kx) = -² y
Einsetzen: - k² y = - ²/c² y k = /c
das ist Gleichung zur Bestimmung der der Proportionalitätskonstanten c :
mit Wellenvektor k = 2 und Kreisfrequenz = 2f:
2 = 2f / c f = c
(Physik: Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge)
Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum co o
1
Problem: Lösung der Wellengleichung unter Randbedingungen z.B. im Hohlleiter
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Anharmonsiche Schwingungen
Vorkommen: Bei „großen“ Amplituden und Intensitäten
Beispiele: - Nichtlineare Federkennlinie (Erweiterung Hooke): F = Dx + kx²
- Nichtlineare Transistorkennlinie (z.B. Audio)
Effekt: - Schwingung (bzw. Wellen) mit durch Nichtlinearitäten erzeugten Oberwellen
- Beispiele: - „nicht erwünscht“: Klirrfaktor (Audio)
- „gewollt“: Laser-Frequenzverdopplung
Stichworte für Internetsuche: Anharmonischer Oszillator, Nichtlineare Optik
Ungedämpfte inhomogene DGL: y„„ + o2 y + k y² = A cos(t)
nichtlinearer Term
auch als kx³
Bemerkung: - o2 >> y² d.h. relativ kleine Nichtlinearität
- „Prosa“: Ein schwingungsfähiges nichtlineares System wird
mit cos(t) angeregt.
Partikuläre (stationäre) Lösung der linearen DGL y„„ + o2 y = A cos(t) : y = B cos(t)
(hier keine Resonanz, d.h. o , Phase vernachlässigt)
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Vereinfachte Betrachtung
Nichtlinearen DGL y„„ + o2 y + k y² = A cos(t) (auch hier o )
Lösungsansatz für partikuläre (stationäre) Lösung, Phase vernachlässigt: y = C cos(t)
Ableiten: y„ = - C sin(t) ; y„„ = - ²C cos(t) = - ²y
Einsetzen: - ²C cos(t) + o2 C cos(t) + k C² cos²(t) = A cos(t)
Formelsammlung: cos(2) = cos² - sin² und sin² + cos² = 1 sin² = 1 - cos²
cos(2) = cos² - 1 + cos² = 2 cos² - 1
cos² = ½ { cos(2) + 1 }
Einsetzen: - ²C cos(t) + o2 C cos(t) + k C² / 2 {cos(2t) + 1} = A cos(t)
Hier „erscheint“ also die doppelte Anregefrequenz 2
Vereinfachte Betrachtung (Ansatz): y = C cos(t) + D cos(2t)
Der exakte Nachweis ist aufwändig, hier sei auf die Literatur verwiesen.
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Einfluß eines nichtlinearen Terms „k“ und der Signalamplitude
Nichtlinearen DGL y„„ + o2 y + k y² = A cos(t)
Beispiele für Kennlinie : Ausgang = (1 + k) Eingang
Eingang k Plot
5 0
5 0,05
5 0,1
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Eingang k Plot
1 0,25
5 0,25
25 0,25
Klar erkennbar: - Offset (DC-Anteil) und Verzerrung des Ausgangssignales
- Große Eingangsamplitude und relativ große Nichtlinearität
führt zu Frequenzverdopplung (letztes Diagramm E = 25, k = 0,25)
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Übungsblatt DGL
1. „Wachstumsgleichung“: Welche Lösung hat die lineare DGL N„(t) = N(t) mit N(0) = N0.
(instabil, N )
2. Zeigen Sie, daß y' + f(x) y = 0 die Lösung: y k ef x dx
( ) hat.
3. An einer RL-Serienschaltung wird die Spannung U angelegt (eingeschaltet). Wie lautet die
DGL und ihre Lösung für den Einschaltvorgang?
( L I R I U IU
Re
R
Lt /
1 )
4. Freier Fall eines Körpers mit Luftwiderstand, lösen Sie:
m a = mg - cv² -> m
cv v
mg
ct v
mg
c ² . :
Anfangsbedingung: t = 0, v = 0
5. Lösen Sie folgende DGLs:
a) y y' + x = 0 (x² + y² = r²)
b) y' = (x-y) / x (y = 0,5 (x + C²/x )
c) y'' = 2ey , AB: x = 0, y = 0, y' = -2 (y = - ln(1+x)² )
Hinweise:
- Verwenden Sie zur Lösung „eigene“ Kochrezepte.
- Rechnen Sie alle Vorlesungsbeispiel selbstständig nach.
- Denken Sie sich eigene Aufgaben aus, z.B. Modifikation der Vorlesungsbeispiele.
- Rechnen Sie „meine Altklausuren“.
- Das Internet ist „voll“ von DGL-Skripten und Beispielen.