Lösung von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen

Musterbeispiel:

5 ( x - 2 ) + 3 x = 2 ( 5 - 3 x ) (Vereinfachen!)5 x - 10 + 3 x = 10 - 6 x (Vereinfachen!)8 x - 10 = 10 - 6 x / + 6 x (x - Terme auf einer Seite sammeln!)8 x - 10 + 6 x = 10 - 6 x + 6 x (Vereinfachen!)14 x - 10 = 10 / + 10 (Zahlenterme auf anderer Seite sammeln!)14 x - 10 + 10 = 10 + 10 (Vereinfachen!)

14 x = 20 / : 14

x = d.h. L = { } 2014 = 1 3

7 1 37

Manche Schritte beim Vereinfachen kann man zusammenfassen, so dass die Rechnung schnellerzum Ergebnis führt!

Löse die folgenden Gleichungen nach dem gleichen Schema:

1 ) 2 ( 3 x - 4 ) + 5 = 6 - 7 ( 8 x - 9 )2 ) 5 ( 2 x - 3 ( 4 - x ) ) + x = 2 ( 3 x - 5 )3 ) 2,5 x - 3,4 ( 2 - 3 x ) = x : 2 - 12,94 ) 2,3 - 4,5 x = 6,7 - 8 x

5 )74 x − 3 (

32 x −

25 ) =

34 ( 2 − 3 x )

6 ) 9 x - 8,7 = 6 ( 5,4 + 3 x ) - 2,17 ) 7,6 x - 5 ( 4,3 - 2,1 x ) = 6 ( 5,4 + 3,2 x )8 ) 5 ( 4 - 3 ( 2 x - 1 )) + 2 x + 3 = 4 ( 5 - 6 ( x + 7 ) + 8 )9 ) 12 x - 3 ( 5 - 4 ( 2,5 - 3 x ) + 2 ) = 4 ( 3,5 - 2,25 x ) + 32,510 ) 100 - 5 ( 20 x - 20,5 ) + 2,5 = 5( 5x - 9 )

Wie lautet das Lösungswort?

OAICLNSHELEB

5038,512,32,521 9351

531-0,5-0,6-2,5− 4 1

3-49

Mathematik -Intensivierung * Jahrgangsstufe 7

Das Lösungswort lautet SCHNEEBALL

Mathematik -Intensivierung * Jahrgangsstufe 7

Mathematik * Gleichungen * Jahrgangsstufe 7Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen! Finde das zugehörige Lösungswort!

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2625242322212019181716151413121110987654321

1. ( 7 + 5 $ x ) : 4 + 6 = 7 $ 2

2. 80 − 10 $ ( 40 − 2 $ x ) = 40

3. ( x + 36 ) $ 3 − 100 = 50

4. 12 + ( x + 1 ) : 4 = 17

5. (x : 4 + 5 ) $ 6 = 7 2 + 11

6. 2 $ ( 50 − 21 ) = 2 $ x + 4 $ 8

7. 10 2 = 7 $ (x + 7 ) + 44

8. 3 3 + 1 = 4 $ x 2 − 8

9. 3 $ 7 = ( 7 + 7 $ x ) : 3

Mathematik * Gleichungen * Jahrgangsstufe 7

Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen! Finde das zugehörige Lösungswort!

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2625242322212019181716151413121110987654321

1. ( 7 + 5 $ x ) : 4 + 6 = 7 $ 2

2. 80 − 10 $ ( 40 − 2 $ x ) = 40

3. ( x + 36 ) $ 3 − 100 = 50

4. 12 + ( x + 1 ) : 4 = 17

5. (x : 4 + 5 ) $ 6 = 7 2 + 11

6. 2 $ ( 50 − 21 ) = 2 $ x + 4 $ 8

7. 10 2 = 7 $ (x + 7 ) + 44

8. 3 3 + 1 = 4 $ x 2 − 8

9. 3 $ 7 = ( 7 + 7 $ x ) : 3

Das Lösungswort lautet ERNST MACH

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Gleichungen (Blatt 1)

Wir lösen Gleichungen durch Überlegen und Probieren

1. Finde die Lösungen der folgenden Gleichungen durch Überlegen und Probieren! Mache jeweils auch eine geeignete Probe!

a) x 24 88+ = b) 2 x 24 58+ = c) 6 5 4 2 x⋅ = +

d) x 24 36− = e) 2 x 14 58− = f) 66 x 14− =

g) 100 4 x 72− = h) 2 (x 3) 24⋅ + = k) 3 (2x 1) 5 4⋅ − = +

m) (10 2x) 5 20− ⋅ = n) 120 : x 15= p) x : 120 15= 2. Finde wieder alle Lösungen der folgenden Gleichungen durch Überlegen und Probieren! Nun ist es aber schon ein klein wenig schwieriger! Manchmal gibt es auch mehr als nur eine Lösung!

a) 2x (2x 12) 0⋅ − = b) 23x 75= c) x (x 1) 56⋅ + =

d) 2100 x 64− = e) 2x 1 0+ = f) 2 x 3 4+ =

g) 2 2 23 x 5+ = h) 3 (4 5x) 6 7⋅ + = ⋅ k) 6 (5x 4) 3 2 1⋅ − = ⋅ ⋅

m) x 2x

43

+= n)

220 x15

3

+= p)

20 x15

3

−=

3. Hier kommen auch ungewöhnliche Lösungsmengen vor.

a) x 0 3⋅ = b) x 0 0⋅ = c) x 3 0⋅ =

d) x 3x 5x+ = e) x 3x 4x+ = f) 23x x (x 3) x− + = − ⋅ 4. Und jetzt wird es echt schwierig! Jede Lösung ein „gemeiner“ Bruch. Wer schafft es trotzdem, die Lösungen zu finden? Wie muss man vorgehen?

a) 3x 4 5 6+ = ⋅ b) (x 5) 4 3+ ⋅ = c) 100 2 (5x 3) 40− ⋅ + =

d) 2 3x

64 5

+=

+

e) 6 5

24 3x

+=

−

f) 2 (100 6x) 208⋅ − =

Viel Spaß beim Knobeln!

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Gleichungen (Blatt1) Wir lösen Gleichungen durch Überlegen und Probieren * Lösungen 1. a) x = 64 b) x = 17 c) x = 13 d) x = 60 e) x = 36 f) x = 52 g) x = 7 h) x = 9 k) x = 2 m) x = 3 n) x = 8 p) x = 1800 2. a) x1 = 0 ; x2 = 6 b) x1 = 5 ; x2 = − 5 c) x1 = 7 ; x2 = − 8 d) x1 = 6 ; x2 = − 6 e) L = { } f) x = 0,5 g) x1 = 4 ; x2 = − 4 h) x = 2 k) x = 1 m) x = 4 n) x1 = 5 ; x2 = − 5 p) x = − 25 3. a) L = { } b) L = Q c) x = 0 d) x = 0 e) L = Q f) L = Q

4. a) 2

x 83

= b) x 4, 25= − c) x = 5,4

d) 1

x 173

= e) x 0,5= − f) 2

x3

= −

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Gleichungen (Blatt 3)

1. Gleichungen mit Brüchen Bestimme die Lösungen!

a) 1 3 5 1 4 3

x x x9 5 6 2 9 10

+ − + = − b) 1 5 7 9

2 x x2 6 8 10

− = +

c) 3 3 1 3 1

5 x 1 1 x8 4 2 4 2

+ ⋅ = ⋅ + d) 5 1 12 4 7

3 x 2 x8 5 75 11 15

⋅ − = −

e) 1 2x 3 5 7x

2 3 4 6 8+ − = + f)

5x 2 5 3x

8 3 8 5+ = +

g) 1 1 3 1

2 3 x 4 1 x2 4 4 2

+ = + h) 11 3 4 5 5

x x 1 x18 4 9 6 6

− + = −

k) 2 2

x 1 : 2 x 23 3

− = − ⋅

m)

3 3 3 3x : 2 x 2

5 4 4 5

− = + ⋅

2. Gleichungen, bei denen (nur zunächst) x2 –Terme auftreten. Bestimme die Lösungen!

a) ( ) ( ) ( )22x 3x 5 x x 3 5x 3− − = − ⋅ +

b) ( ) ( )23x 2x 3 x 4 5x 2 x 4− − + = + −

c) (2x 5) (x 1) 3x (3 2x) 10 4x(5 2x)− ⋅ + − − = − −

d) (2 x) (x 3) 3x(x 4) 2x(6 2x) 4− ⋅ − − − = − +

e) x (2x 3) 4 (5 x) 5 (4 3x) 2x(x 1)⋅ − − ⋅ − = ⋅ − + +

f) 4 (x 1) (x 1) (2x 1) (2x 1) 3x⋅ − ⋅ + = − ⋅ + +

3. Löse das Zahlenrätsel mit Hilfe einer Gleichung! Nenne dabei die gesuchte Zahl x und stelle eine zum Text passende Gleichung auf!

a) Multipliziert man eine natürliche Zahl mit ihrem Vorgänger, so ist dieses Produkt um 30 kleiner als das Produkt dieser Zahl mit ihrem Nachfolger! Wie heißt die Zahl?

b) Addiert man zum 8-fachen einer Zahl 30, so ist diese Summe 5-mal so groß wie die Summe aus 30 und dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?

c) Addiert man zum Dreifachen einer Zahl 70 und teilt das Ergebnis durch 5, so erhält man genau das Doppelte der Zahl. Wie heißt die Zahl?

d) Subtrahiert man vom 5-fachen einer Zahl 60, so erhält man das Dreieinhalbfache dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?

e) Ich denke mir eine natürliche Zahl, addiere zu ihr das 6-fache ihres Nachfolgers und erhalte dabei um 30 weniger, als das 10- fache dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Gleichungen (Blatt 3) * Lösungen

1. a) 15

x18

= b) 15

x16

= c) 1

x3

= d) 120

x121

=

e) x 5, 2= − f) 2

x 13

= − g) 2

x 17

= h) x 2=

k) 1

x2

= m) 16

x21

= −

2. a) x 4,5= − b) 1

x2

= c) 7

x 18

= d) x 2=

e) 6

x 27

= f) x 1= −

3. a) x (x 1) x (x 1) 30⋅ − = ⋅ + − x 15⇔ =

b) 8x 30 5 (30 x)+ = ⋅ + x 40⇔ =

c) (3x 70) : 5 2x+ = x 10⇔ =

d) 1

5x 60 3 x2

− = x 40⇔ =

e) x 6 (x 1) 10 x 30+ ⋅ + = − x 12⇔ =

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Gleichungen (Blatt 3) * Lösungen

1. a) 15

x18

= b) 15

x16

= c) 1

x3

= d) 120

x121

=

e) x 5, 2= − f) 2

x 13

= − g) 2

x 17

= h) x 2=

k) 1

x2

= m) 16

x21

= −

2. a) x 4,5= − b) 1

x2

= c) 7

x 18

= d) x 2=

e) 6

x 27

= f) x 1= −

3. a) x (x 1) x (x 1) 30⋅ − = ⋅ + − x 15⇔ =

b) 8x 30 5 (30 x)+ = ⋅ + x 40⇔ =

c) (3x 70) : 5 2x+ = x 10⇔ =

d) 1

5x 60 3 x2

− = x 40⇔ =

e) x 6 (x 1) 10 x 30+ ⋅ + = − x 12⇔ =

x + 1cm

x + 9cm

x - 1cm

2x

x - 3cm

x + 5cm

x - 1cm

x + 1cm

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Einfache Textaufgaben 1. Finde die gesuchte Zahl!

a) Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl 17, so erhält man die Summe aus 75 und dieser Zahl.

b) Addiert man zur Hälfte einer Zahl das Produkt aus 7 und 8, so erhält man um 7 weniger als das Fünffache dieser Zahl.

c) Addiert man zu einer natürlichen Zahl ihren Nachfolger und dividiert dann das Ergebnis durch 3, so erhält man die Differenz aus dieser Zahl und der Zahl 3.

d) Addiert man zu einer Zahl das Produkt aus 4 und 7, so erhält man das 4,5-fache dieser Zahl. e) Subtrahiert man von 1000 das 8-fache einer Zahl, so erhält man um 10 mehr als das

Dreifache dieser Zahl.

2. Die zwei abgebildeten Rechtecke haben

den gleichen Umfang.

a) Bestimme diesen Umfang!

b) Haben die beiden Rechtecke auch den

gleichen Flächeninhalt?

3. Bestimme jeweils die drei Innenwinkel des Dreiecks!

a) Der Winkel α ist um 10o kleiner als das Doppelte von ß und γ ist um 6o größer als ß.

b) Der Winkel ß ist das 2,5-fache von α und α ist um 9o kleiner als γ.

c) Der Winkel γ ist halb so groß wie die Summe von α und ß, und ß ist doppelt so groß

wie α .

d) Der Winkel γ ist um 12o größer als ß und ß ist um 15o kleiner als α .

4. Die beiden Rechtecke haben den gleichen

Flächeninhalt.

a) Berechne x.

b) Haben die Rechtecke gleichen Umfang?

5. Schwierige Aufgabe für Experten zum Knobeln:

Die drei Geschwister Patty, Charlie und Linus sind zusammen gerade so alt, wie ihr Vater zur

Geburt von Patty war. Patty ist um 3 Jahre älter als Charlie und Charlie ist doppelt so alt wie

Linus. Der Vater ist jetzt 41 Jahre alt.

Wie alt sind die drei Geschwister jeweils?

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Einfache Textaufgaben * Ergebnisse

1. Die gesuchte Zahl lautet

a) 23 b) 14 c) 10 d) 8 e) 99

2. a) x = 11cm und der Umfang beträgt 64 cm.

b) Das „linke“ Rechteck hat den Flächeninhalt 240cm2, das „rechte“ nur 220cm2.

3. a) o o o82 ; 46 ; 52α = β = γ =

b) o o o38 ; 95 ; 47α = β = γ =

c) o o o40 ; 80 ; 60α = β = γ =

d) o o o66 ; 51 ; 63α = β = γ =

4. a) x = 7cm

b) Das „linke“ Rechteck hat den Umfang 32cm, das „rechte“ nur 28cm.

5. Linus ist 5, Charlie 10 und Patty 13 Jahre alt.

Zur Geburt von Patty war der Vater 41 − 13 = 28 Jahre alt.

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Einfache Gleichungen

1. Bestimme jeweils mit Hilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung! Finde das zugehörige Lösungswort!

-5 -3 -2 -1,75 -0,6 -0,35 -0,1 0,25 0,5 0,6 2/3 1 2 4 G A A N C I S Y P R T F H S

a) 2 x 3 4 5 x− = −

b) 50 6 x 78 8x− = +

c) 2 3 4 x 5 6 x⋅ + = −

d) 0,5 x 2 0,5 2 x+ = −

e) 2,5x 3,6 x 2,4 0,5x− + = +

f) 0,8x 0,8 7 0,7 x 6 0,5 4,5x 0,5+ ⋅ + = ⋅ − +

g) 2,5 5,3x 6,7 x 5 0,4 3x 2,3+ − = ⋅ − −

h) 3x 7 3 7 7 x ( x 1)+ = ⋅ + − −

i ) 2 (3x 4) 5 6 7 8 x 11⋅ − + = ⋅ − +

j ) 22 3 ( 4 x 5) 54 32 x 7− ⋅ − = − −

k) 5 (3 2 ( x 4) ) 2 (3 4 (3 x ) ) 1⋅ − ⋅ + = ⋅ + + −

l ) 2 5 7 5 5 1

x x3 6 8 6 9 8

− + = + −

m) 2 3 3 1 1

x 1 x 15 5 4 8 2

− − = −

n ) 2 1 1 1 4

(1 2 x ) 1 ( 4 x )5 2 2 5 5

⋅ − = ⋅ − −

2. Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen! Finde das zugehörige Lösungswort!

a) (7 5 x ) : 4 6 7 2+ + = ⋅

b) 80 10 ( 40 2 x ) 40− ⋅ − =

c) ( x 36) 3 100 50+ ⋅ − =

d) 12 ( x 1) : 4 17+ + =

e) 2( x : 4 5) 6 7 11+ ⋅ = +

f) 2 (50 21) 2 x 4 8⋅ − = + ⋅

g) 210 7 ( x 7 ) 44= ⋅ + +

h) 3 23 1 4 x 8+ = −

i ) 3 7 (7 7 x ) : 3⋅ = +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Einfache Gleichungen

Lösungen Aufgabe 1

a) x = 1 b) x 2= − c) x 0,1= −

d) 3

x 0,65

= − = − e) x = 2 f) 7

x 0,3520

= − = −

g) 7

x 1,754

= − = − h) x 5= − i ) x 4=

j ) 1

x2

= k ) x 3= − l ) 3

x 0,65

= =

m) 2

x3

= n) 1

x 0, 254

= =

Das Lösungswort heißt FASCHINGSPARTY. Aufgabe 2 Das Lösungswort lautet ERNST MACH.

Mathematik * Jahrgangsstufe 7 Schwierigere Gleichungen (Wiederholung)

Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen ohne Verwendung des Taschenrechners! Finde das zugehörige Lösungswort!

1 ) ( )3 4 4

0, 2 x 0,2 x 0,34 5 5

⋅ − = ⋅ −

2 ) ( )2 2 2 3

x x 0,753 3 3 4

⋅ − + = ⋅ +

3 ) ( ) ( )2 3,5 4,5 x 4 6 7,5 8,5 x⋅ − − = ⋅ −

4 ) ( )1 2 1 2

5 x 5 x 12 3 2 3

⋅ − + = ⋅ −

5 ) ( )5 7 3

x 4 x 26 8 5

− = ⋅ −

6 ) 3 4 2 5 3 2

x x8 9 3 6 4 3

⋅ − = ⋅ −

7 ) 4 3 2 3

4 x 2 x 0,55 4 5 4

− ⋅ = ⋅ −

8 ) ( )1,2 3x 4 5,6 7 x 8,9− + = −

9 ) 2 5 1 3 1

x 2 x 1 2x3 8 3 4 2

− ⋅ − = ⋅ −

10) ( )2 5 3 1 3

x x 0,5 1 1,5 x3 8 4 3 8

⋅ − − = ⋅ −

11) ( ) ( )2,4 5 x 0,8 1, 2 x 0,6 3,5 2 x⋅ + − = ⋅ −

12) 3 2

2,5 2 x 8 7,5 x4 3

⋅ − = − ⋅ +

1 1

412

− 13

45 4,5

13

29− 29

234

39

188 0,58

52

63 2,45

3

23 8 0,015 0,45

M O F A M E E R R E I S E N

Lösungswort: SOMMERFERIEN

Mathematik * Textaufgaben für die Jahrgangsstufe 7

Beachte folgende Punkte beim x- Ansatz :

1 ) Gib genau an, was die Unbekannte x sein soll!

2 ) Übersetze die Textinformation in eine Gleichung!

3 ) Löse die Gleichung!

4 ) Gib eine Antwort! (Prüfe die Lösung gegebenenfalls mit einer Probe!)

Aufgabe 1

Addiert man zu einer Zahl 5 und subtrahiert man vom Doppelten dieser Summe 3, so erhält man das Dreifache dieser Zahl. Berechne diese Zahl!

Aufgabe 2

Ein Vater hinterlässt seinen drei Söhnen sein Vermögen in Talern. Der erste Sohn soll 1600 Taler mehr als der zweite erhalten. Der dritte Sohn bekommt 25% des Gesamtvermögens und damit 800 Taler weniger als der zweite Sohn. Wie viele Taler hinterlässt der

Vater?

Aufgabe 3

Albert ist jetzt dreimal so alt wie Bernd vor 5 Jahren war. In 5 Jahren wird Albert doppelt so alt sein wie Bernd jetzt ist. In wie viel Jahren wird Albert volljährig?

Aufgabe 4

Verlängert man bei einem Quadrat zwei gegenüberliegende Seiten um je 3cm und verkürzt die beiden anderen Seiten um je 4cm, so entsteht ein Rechteck, das einen um 26cm2 kleineren Flächeninhalt als das Quadrat hat. Wie groß war der Flächeninhalt des Quadrats?

Aufgabe 5

Bei einem Rechteck ist die Länge um 4,5cm größer als das Doppelte der Breite. Der Umfang des Rechtecks ist um 68,5cm größer als die Länge. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?

Aufgabe 6

Hans hatte vor einem halben Jahr 400,- € mehr auf dem Konto als Peter. Hans bekommt 3,0 % Zinsen, Peter aber 4,0 %. Jetzt heben beide ihr gesamtes Geld ab. Nun hat Peter nur noch 396,- € weniger als Hans. Wie viel Geld hat Hans jetzt?

Aufgabe 7

Peter bringt einen Geldbetrag zur Bank, der mit 5,0 % verzinst wird. Nach zwei Jahren hat er 264,60 €. Wie viel brachte Peter zur Bank?

Aufgabe 8

Ein Autohändler verkauft ein aus der Fabrik stammendes Auto mit 20 % Gewinn an Herrn Meier. Herr Meier verkauft das Auto mit 8 % Gewinn an Herrn Schulz. Das Auto ist jetzt um 5328,- € teurer als der Fabrikpreis. Welchen Gewinn hatte der Autohändler?

Aufgabe 9

Hans eröffnet für einen Totogewinn ein Konto in einer Bank. Nach genau einem Jahr zahlt er zusätzlich 350,- € ein. Nach genau einem weiteren Jahr kann er 4266,50 € abheben. Wie hoch war der Totogewinn, wenn er im ersten Jahr 5,0% und im zweiten Jahr 6,0% Zinsen erhielt?

Mathematik * Textaufgaben für die Jahrgangsstufe 7 * Lösungen

Aufgabe 1

(x 5) 2 3 3 x 2x 10 3 3x x 7+ ⋅ − = ⋅ ⇔ + − = ⇔ =

Aufgabe 2

1. Sohn erhält (x 1600)Taler+ 2. Sohn erhält x Taler

3. Sohn erhält (x 800)Taler−

(x 800)Taler 25% von[ (x 1600) x (x 800) ]Taler− = + + + −

x 800 0,25 [3x 800] x 800 0,75x 200 0,25 x 1000 x 4000− = ⋅ + ⇔ − = + ⇔ = ⇔ =

Der erste Sohn erhält 5600 Taler, der zweite 4000 Taler und der dritte 3200 Taler.

Aufgabe 3

Alter von Bernd jetzt: x Alter von Albert jetzt: 3 (x 5)⋅ −

Alter von Bernd in 5 Jahren: x + 5 Alter von Albert in 5 Jahren: 2 x bzw. 3 (x 5) 5⋅ ⋅ − +

2 x 3 (x 5) 5 2x 3x 10 x 10⋅ = ⋅ − + ⇔ = − ⇔ =

Albert ist jetzt also 3 (10 5) 15⋅ − = Jahre alt; also wird Albert in 3 Jahren volljährig.

Aufgabe 4

Seitenlänge des Quadrats: x 2 2 2 2 2 2(x 3cm) (x 4cm) x 26cm x 4cm x 3cm x 12cm x 26cm+ ⋅ − = − ⇔ − ⋅ + ⋅ − = − ⇔

2 2 21cm x 12cm 26cm 14cm 1cm x x 14cm− ⋅ − = − ⇔ = ⋅ ⇔ =

Das Quadrat hatte den Flächeninhalt 2 2 2x (14cm) 196cm= =

Aufgabe 5

Breite des Rechtecks: x Länge des Rechtecks: 2 x + 4,5cm

U 68,5cm (2x 4,5cm) 2 x 2 (2x 4,5cm) 68,5cm (2x 4,5cm)= + + ⇔ + ⋅ + = + + ⇔

6 x 9cm 73cm 2x 4x 64cm x 16cm+ = + ⇔ = ⇔ =

Das Rechteck hat den Flächeninhalt 2F x (2x 4,5cm) 16cm 36,5cm 584cm= ⋅ + = ⋅ =

Aufgabe 6

Peters Kontostand vor einem halben Jahr: x €

Kontostand von Hans vor einem halben Jahr: (x + 400) €

Kontostand von Peter jetzt: 1

(x 4% x) € (x 0,02 x) € 1,02 x €2

+ ⋅ ⋅ = + =

Kontostand von Hans jetzt: 1

(1 3%) (x 400) € 1,015(x 400) € 1,015 x € 406 €2

+ ⋅ ⋅ + = + = +

1,02 x € 396 € 1,015x € 406 € 0,005 x 10 x 2000+ = + ⇔ = ⇔ =

Hans hat jetzt 1,015 2000 € 406 € 2436 €⋅ + =

Aufgabe 7

Peters Geldbetrag zu Beginn: x €

Peters Geldbetrag nach dem ersten Jahr: x € 5% x € 1,05 x €+ ⋅ = ⋅

Peters Geldbetrag nach dem zweiten Jahr: 21,05 1,05 x € (1,05) x €⋅ ⋅ = ⋅

2 264,60(1,05) x € 264,60 € x 240

1,05 1,05⋅ = ⇔ = =

⋅

Peter brachte also 240 € zur Bank.

Aufgabe 8

Fabrikpreis des Autos: x €

Preis des Autohändlers: x € 20% x € 1, 20 x €+ ⋅ = ⋅

Verkaufspreis von Hr. Meier: 1,08 1,20 x € 1, 296 x €⋅ ⋅ = ⋅

53281,296 x € x € 5328 € 0, 296 x 5328 x 18000

0, 296⋅ = ⋅ + ⇔ = ⇔ = =

Gewinn des Autohändlers: 20% x € 0, 20 18000 € 3600 €⋅ = ⋅ =

Aufgabe 9

Totogewinn von Hans: x €

Betrag nach einem Jahr: x € 5,0% x € 350 € 1,05 x € 350 €+ ⋅ + = ⋅ +

Betrag nach zwei Jahren: 1,06 (1,05 x € 350 €) 1,113 x € 371€⋅ ⋅ + = ⋅ +

3895,51,113 x € 371€ 4266,50 € 1,113x 3895,5 x 3500

1,113⋅ + = ⇔ = ⇔ = =

Hans hat 3500 € im Toto gewonnen.

Mathematik * Textaufgaben (Mischungsaufgaben) für Jahrgangsstufe 7

Aufgabe 1

Ein Baumarkt bietet eine Großpackung Schrauben mit zwei unterschiedlichen Sorten an.

Von der billigen Sorte kosten 10 Stück 0,80 €, von der teueren kosten 10 Stück 1,20 €.

Die Großpackung kostet 9,60 €.

a) Wie viele Schrauben der billigen und der teueren Sorte könnte die Großpackung

enthalten? Gib verschiedene Möglichkeiten an!

b) Die Großpackung enthält genau 100 Schrauben. Wie viele Schrauben davon gehören

zur teueren Sorte?

Aufgabe 2

Die 18 Pralinen in einer schönen Geschenkpackung gehören zu drei unterschiedlichen

Preisklassen. Die Sorten A, B bzw. C kosten pro Stück 0,40 €, 0,60 € bzw. 0,80 €.

Für die Verpackung werden zusätzlich 0,50€ berechnet.

a) Wie viel kostet die Pralinenschachtel mindestens, wenn von jeder Sorte mindestens

eine Praline enthalten ist?

b) Wie viel kostet die Pralinenschachtel höchstens, wenn von jeder Sorte mindestens

eine Praline enthalten ist?

c) Die Schachtel enthält 4 Pralinen der teuersten Sorte und kostet 9,90 €.

Wie viele Pralinen zum Preis von 0,60 € enthält die Schachtel?

d) Die Anzahl der teuersten Pralinen in der Schachtel ist doppelt so groß wie die der

billigsten. Die Schachtel kostet 12,50 €.

Aufgabe 3

In einem Teeladen kann man sich verschiedene Sorten mischen lassen.

Die Tabelle zeigt die Preise von je 100g unterschiedlicher Teesorten:

Teesorte Darjeeling Ceylon Assam

Preis pro 100g 3,20 € 2,50 € 2,10 €

a) Frau Augustin lässt sich 750g Tee aus den Sorten Darjeeling und Assam mischen.

Sie zahlt dafür 21,80 €. Bestimme die Anteile der beiden Sorten!

b) Herr Braun zahlt 23,60 € für 1000g einer Mischung aus den Sorten Assam und

Ceylon. Bestimme die Anteile der beiden Sorten!

c) Frau Conrad liebt eine Mischung aus allen drei Sorten, wobei sie Assam und Ceylon in

gleicher Menge wünscht. Sie zahlt für 1000g dieser Mischung 26,60 €. Wie viele

Gramm der Sorte Darjeeling sind in dieser Mischung enthalten?

d) Herr Denk verlangt eine Mischung der Sorten Darjeeling, Ceylon und Assam im

Mengenverhältnis 2 zu 2 zu 1. Er muss dafür 20,25 € zahlen.

Wie viel Gramm Tee bekommt Herr Denk?

Lösungen:

1. x = Anzahl der billigen Schrauben, y = Anzahl der teueren Schrauben

a) x 0,08 € y 0,12 € 9,60 € 8x 12y 960 2x 3y 240⋅ + ⋅ = ⇔ + = ⇔ + =

Durch Probieren

findet man z.B.

b) x 0,08 € y 0,12 € 9,60 € und x y 100 , d.h. y 100 x⋅ + ⋅ = + = = −

2x 3y 240 und y 100 x+ = = − ⇔

2x 3 (100 x) 240 2x 300 3x 240 60 x und y 40+ ⋅ − = ⇔ + − = ⇔ = =

Die Großpackung enthält 60 Schrauben der billigen und 40 Schrauben der teueren

Sorte.

2. x = Anzahl der Sorte A, y = Anzahl der Sorte B, z = Anzahl der Sorte C

a) 1 0,80€ 1 0,60€ 16 0, 40€ 0,50€ 8,30€ ist der Mindestpreis.⋅ + ⋅ + ⋅ + =

b) 1 0,40€ 1 0,60€ 16 0,80€ 0,50€ 14,30€ ist der Höchstpreis.⋅ + ⋅ + ⋅ + =

c) 4 0,80€ y 0,60€ x 0,40€ 0,50€ 9,90€ und 4 x y 18⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + =

y 0,60€ x 0, 40€ 6, 20€ und y 14 x⋅ + ⋅ = = − ⇔

(14 x) 0,60€ x 0,40€ 6,20€ 8, 40€ x 0, 20€ 6, 20€− ⋅ + ⋅ = ⇔ − ⋅ = ⇔

2,20€ x 0,20€ x 11 und y 14 11 3= ⋅ ⇔ = = − =

In der Schachtel sind 3 Pralinen zum Preis von 0,60 € enthalten.

d) x y z 18 und z 2 x und x 0,40€ y 0,60€ z 0,80€ 0,50€ 12,50€+ + = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + =

3x y 18 und x 0, 40€ y 0,60€ 2x 0,80€ 12,00€+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =

y 18 3x und x 2,00€ y 0,60€ 12,00€ d.h. 20x 6y 120= − ⋅ + ⋅ = + =

20x 6 (18 3x) 120 20x 108 18x 120 2x 12 x 6+ ⋅ − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ =

x 6 und y 18 3 x 0 und z 18 6 12= = − ⋅ = = − =

Die Schachtel enthält 12 Pralinen der teueren und 6 Pralinen der billigen Sorte. 3. x = Anzahl der Gramm vom Darjeeling, y = Anzahl der Gramm vom Ceylon-Tee z = Anzahl der Gramm vom Assam-Tee a) x 3, 2Ct. z 2,1Ct. 21,80 € und x z 750⋅ + ⋅ = + =

3, 2 x 2,1z 2180 und z 750 x 3,2 x 2,1(750 x) 2180+ = = − ⇔ + − =

3, 2 x 2,1x 1575 2180 1,1x 605 x 550 und z 200− + = ⇔ = ⇔ = =

In der Mischung sind 550g Darjeeling und 200g Assam-Tee. b) y 2,5Ct. z 2,1Ct. 23,60 € und y z 1000⋅ + ⋅ = + =

2,5 y 2,1 (1000 y) 2360 0, 4y 260 y 650 und z 350+ ⋅ − = ⇔ = ⇔ = =

In der Mischung sind 650g Ceylon- und 350g Assam-Tee. c) x 3,2Ct. y 2,5Ct. z 2,1Ct. 2660Ct. und x y z 1000 und y z⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = =

3, 2 (1000 2y) 2,5 y 2,1y 2660 3200 6, 4y 4,6y 2660⋅ − + + = ⇔ − + = ⇔

540 1,8y y 300 ; z 300 ; x 400= ⇔ = = = Die Mischung enthält

400g Darjeeling und je 300g Ceylon- bzw. Assam-Tee. d) x 3, 2Ct. y 2,5Ct. z 2,1Ct. 2025Ct. und x y 2z⋅ + ⋅ + ⋅ = = =

6, 4z 5,0z 2,1z 2025 13,5z 2025 z 150 und x y 300+ + = ⇔ = ⇔ = = =

Die Mischung enthält 300g Darjeeling, 300g Ceylon- und 150g Assam-Tee.

x 15 30 45 60 75 90 105

y 70 60 50 40 30 20 10