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Wolfram Thorwartl • Günther Wagner • Helga Wagner

Mathematik p sitiv!

Österreichischer Lehrplan

Klasse HS und AHS

3.

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HS

3Mathematik positiv! 3 deckt den gesamten Lehrstoff

nach dem neuen österreichischen Lehrplan

der 3. Klasse Hauptschule und AHS ab und hilft,

mathematische Zusammenhänge zu analysieren,

Lösungsmethoden zu erkennen und diese anzuwenden.

Eine große Anzahl vollständig durchgerechneter Musterbeispiele

ermöglicht, jeden Gedankengang und Rechenschritt

nachzuvollziehen, der zur Lösung des Problems führt.

So werden mathematische Methoden und Zusammenhänge

nahegebracht, die die Lernenden dann selbstständig

auf andere Beispiele anwenden können.

Alle Übungen dieses Buches sind in Mathematik positiv! 3,

Lösungen (ISBN 978-3-7074-0952-9) vollständig durchgerechnet

und mit zahlreichen Anleitungen versehen.

Ohne fremde Hilfe können die Rechnungen kontrolliert und

etwaige Fehler gefunden und beseitigt werden.

• Österreichischer Lehrplan

• Der gesamte Lehrstoff der 3. Klasse HS/AHS

• Zahlreiche Anleitungen

• Selbstständiges Lernen

Schulbuchnummer 105316www.ggverlag.at

978-3-7074-0951-2

9 7 8 3 7 0 7 4 0 9 5 1 2

ISBN 97837074095121 0 0 0 0

2

I N H A L T S V E R Z E I C H N I SA Die ganzen Zahlen ............................................................................................................ 5 1. Der Begriff der ganzen Zahlen ........................................................................................ 5 2. Darstellung ganzer Zahlen ............................................................................................... 8 3. Der Betrag ganzer Zahlen ................................................................................................ 8 4. Die Ordnung in der Menge der ganzen Zahlen .................................................................. 9 5. Das Rechnen mit ganzen Zahlen .................................................................................... 10 SK 1 Ganze Zahlen ........................................................................................................ 22

B Die rationalen Zahlen ...................................................................................................... 24 Mach dich fit für Mathe .................................................................................................... 24 1. Der Begriff der rationalen Zahl ....................................................................................... 26 2. Eigenschaften rationaler Zahlen ..................................................................................... 27 3. Das Rechnen mit rationalen Zahlen ................................................................................ 28 SK 2 Rationale Zahlen ................................................................................................... 34

C Der Taschenrechner ........................................................................................................ 36 1. Beschreibung des Taschenrechners (TR) ........................................................................ 36 2. Eingabe von Zahlen ....................................................................................................... 36 3. Rechnen mit dem TR ..................................................................................................... 37

D Algebra ............................................................................................................................ 40 1. Grundbegriffe ................................................................................................................ 40 2. Addition und Subtraktion von Termen ............................................................................ 43 SK 3 Algebra – Addition und Subtraktion von Termen, Rechnen mit Klammern ............... 47 3. Multiplikation von Termen .............................................................................................. 48 SK 4 Algebra – Multiplikation von Termen ...................................................................... 57 4. Das Quadrieren ............................................................................................................. 58 SK 5 Algebra – Das Quadrieren...................................................................................... 64 5. Gleichungen .................................................................................................................. 65 SK 6 Algebra - Gleichungen........................................................................................... 72 6. Herausheben gleicher Faktoren ..................................................................................... 73 7. Zahlen mit Hilfe von Zehnerpotenzen darstellen ............................................................. 75 SK 7 Algebra – Herausheben gemeinsamer Faktoren ..................................................... 77

E Zinsen- und Zinseszinsrechnung ..................................................................................... 79 Mach dich fit für Mathe ..................................................................................................... 79 1. Einfache Zinsen ............................................................................................................. 83 2. Zinseszinsen ................................................................................................................. 87 SK 8 Zinsen- und Zinseszinsrechnung ........................................................................... 89

F Verhältnisse und Proportionen ......................................................................................... 91 1. Verhältnisse .................................................................................................................. 91 2. Proportionen ................................................................................................................. 93 3. Textbeispiele ................................................................................................................. 95 4. Direkt- und indirekt proportionale Größen ...................................................................... 97 SK 9 Verhältnisse und Proportionen ............................................................................. 100

G Statistik .......................................................................................................................... 102

H Das rechtwinklige Koordinatensystem ......................................................................... 109 Mach dich fit für Mathe ................................................................................................... 109 Negative und positive Koordinaten .................................................................................. 110 SK10 Das rechtwinklige Koordinatensystem ............................................................... 113

I Flächeninhalt von ebenen Figuren .................................................................................. 115 Mach dich fit für Mathe ................................................................................................... 115 1. Flächeninhalt des Parallelogramms .............................................................................. 118 2. Flächeninhalt des Dreiecks .......................................................................................... 122 3. Flächeninhalt von Vierecken mit aufeinander normal stehenden Diagonalen ................. 128 4. Flächeninhalt des Trapezes.......................................................................................... 132 5. Flächeninhalt von Vielecken ......................................................................................... 134 SK11 Flächeninhalt von ebenen Figuren ...................................................................... 138

mathe positiv 3 - 1-23.indd 2 28.09.2007 13:46:43 Uhr

www.ggverlag.at

ISBN 978-3-7074-0951-2Schulbuchnummer 105316

1. Au�age 2002, Nachdruck 2010 (1,03)

Idee und Gestaltung der Rahmengeschichte: Walter Thorwartl (E-Mail: [email protected]) Printed by Alcione, Lavis-Trento

© 2007 G&G Verlagsgesellschaft mbH, WienAlle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch die des auszugsweisen Nachdrucks, der fotomechanischen Wiedergabe sowie der Einspeicherung und Verarbeitung in elektronische Systeme, gesetzlich verboten. Aus Umweltschutzgründen wurde dieses Buch auf chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt.

J Ähnlichkeit – Strahlensatz .............................................................................................. 140 1. Ähnliche Dreiecke........................................................................................................ 140 2. Der Strahlensatz .......................................................................................................... 143 3. Zentrische Streckung .................................................................................................. 151 SK 12 Ähnlichkeit – Strahlensatz ................................................................................. 156

K Der Lehrsatz des Pythagoras ........................................................................................ 158 1. Der pythagoreische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck ............................................... 158 2. Anwendungen des pythagoreischen Lehrsatzes ........................................................... 162 SK 13 Der Lehrsatz des Pythagoras ............................................................................. 166

L Geometrische Körper .................................................................................................... 168 1. Gerade Prismen .......................................................................................................... 168 2. Oberfläche und Volumen von geraden Prismen ............................................................ 177 3. Gerade Pyramiden ....................................................................................................... 180 4. Oberfläche und Volumen von geraden Pyramiden ........................................................ 183 SK 14 Geometrische Körper ........................................................................................ 187

Register ............................................................................................................................ 189

Zahlenstreifen .................................................................................................................. 191

3

4

Liebe Schülerin!Lieber Schüler! Mathematik positiv soll es dir ermöglichen,• die Lernziele der Klasse zu erreichen• dich gründlich auf die Schularbeiten vorzubereiten• Erfolg und Spaß mit Mathematik zu haben Dieses Buch ist folgendermaßen aufgebaut:

1. Mach dich fit für Mathe In diesem Teilkapitel wird der Lehrstoff, der dir aus der 1. und 2. Klasse bekannt ist, wiederholt.

Bearbeite dieses Kapitel gründlich, denn es ist Grundlage für den neuen Lehrstoff.

2. Lehrstoff mit Erklärungen, Musterbeispielen und Aufgaben aufbereitet. Dies macht den Hauptteil des Buches aus.

3. Durchgerechnete Aufgaben in einem eigenen Lösungsbuch sollen zur Kontrolle dienen und beim Fehlersuchen helfen.

4. Die Selbstkontrollen am Ende jedes Kapitels führen zu Bildern und Lösungsworten. Damit kannst du die kleine Geschichte, die sich durch das ganze Buch zieht, vervollständigen. Die Selbstkontrollen dienen aber auch zur Überprüfung des Lehrstoffs bevor es zur

5. Lernzielkontrolle kommt. Diese deckt den Lehrstoff komplett ab. Die Fragen der Lernzielkontrolle solltest du dreimal

richtig beantworten. Vergleiche jeweils mit dem Lösungsband! Hake bei jeder richtigen Antwort ein Kästchen ab und wiederhole die Fragen ein oder mehrere Tage später! Solltest du eine Frage falsch haben, wiederhole zunächst den dazu gehörenden Lehrstoff!

Viel Spaß und Erfolg wünschen dir die Autoren.

Die folgenden drei Figuren werden dich durch dieses Buch begleiten:

Diese Figur zeigt an, dass hier etwas Wichtiges steht.

Diese Figur deutet auf knifflige Aufgaben hin.

Diese Figur zeigt an, dass du gerade etwas Schwieriges und Wichtigesgeschafft hast.

Liebe Eltern! Mathematik positiv 3 deckt den gesamten Kernstoff der dritten Klasse (siebente Schulstufe) nach dem neuen Lehrplan ab und hilft, mathematische Probleme zu erfassen, Lösungsmethoden zu erkennen und diese anzuwenden. Die große Anzahl vollständig durchgerechneter Musterbeispiele ermöglicht es, jeden Gedankengang und Rechenschritt nachzuvollziehen, der zur Lösung der Aufgabe führt. So werden mathematische Methoden und Zusammenhänge nahegebracht, die dann von den Kindern selbstständig auf andere Beispiele angewandt werden können. Das durch-gerechnete Lösungsheft bietet Ihnen und Ihren Kindern die Möglichkeit, Fehler zu erkennen und auszubessern. Den Umgang mit dem durchgerechneten Lösungsheft sollten Sie mit Ihrem Kind genau besprechen. Ihr Kind sollte langsam zum selbstständigen Arbeiten kommen und das Lösungsheft zur Kontrolle und Hilfe verwenden. Die Kinder sollen zur Selbstständigkeit herangeführt werden, wobei aber die Kontrolle für Rückmeldungen notwendig ist. Die Richtigkeit einer Aufgabe wird das Kind in seiner Arbeit bestätigen! Ist eine Aufgabe falsch gelöst, so soll das Lösungsheft mit weiteren Anleitungen helfen. Die Stofflücken werden bei konsequentem Üben bald verschwunden sein.


A DIE GANZEN ZAHLEN

5

L E R N Z I E L E :

*) Ganze Zahlen und deren Eigenschaften kennen*) Mit ganzen Zahlen rechnen*) Regeln für das Rechnen mit ganzen Zahlen wissen

1 Begriff der ganzen ZahlenTemperatur

Beantworte die folgenden Fragen! Gehe dabei immer von den Temperaturen auf den abgebildeten Thermometern aus!

Anmerkung: Wenn es zu keiner Verwechslung kommen kann, wird bei Temperaturwerten, die über dem Gefrierpunkt (über 0 °C) liegen, oft das Vorzeichen „+“ weggelassen. Bei der Wettervorhersage im Sommer wird gesagt, dass z. B. mit Temperaturen zwischen 15 °C und 18 °C zu rechnen ist. Gemeint sind dabei „Plusgrade“, also +15 °C bis +18 °C.

Vor den Zahlen, die die Temperatur angeben, steht entweder ein Plus „+“ oder ein Minus „–“. Wenn ein „+“ oder ein „–“ vor einer Zahl steht, dann wird dieses Zeichen Vorzeichen genannt. Zahlen mit Vorzeichen nennt man ganze Zahlen.

1 Wie groß ist der Temperaturunterschied, wenn ein Flugzeug bei

a) +12 °C, b) – 8 °C gestartet ist und es in einer Flughöhe von rund 9 700 m –51 °C hat?

2 Die maximale Tagestemperatur auf der Mondoberfläche beträgt bei Sonneneinstrahlung +127 °C. Auf der Nachtseite, kurz vor Sonnenaufgang, wird die minimale Temperatur von –173 °C

erreicht. Welche Temperaturschwankungen gibt es auf der Mondoberfläche?

Beispiel Lies die Temperatur auf den folgenden Thermometern ab!

a) b) c) d)

–2 °C

00

1010

2020

3030

4040

1010

°C °C

00

1010

2020

3030

4040

1010

°C °C

00

1010

2020

3030

4040

1010

°C °C

00

1010

2020

3030

4040

1010

°C °C

Die Temperatur fällt um 5 °C. Wie kalt bzw. warm ist es dann?

a) –7 °C b) c) d) •

Um wie viel müsste die Temperatur jeweils steigen, damit die Thermometer +20 °C anzeigen?

a) 22 °C b) c) d) •

Die Thermometer sollen –3 °C anzeigen. Wie müsste sich die Temperatur ändern?

a) um 1 °C fallen b) c) d) •

Die Temperatur steigt um 17 °C. Welche Werte zeigen die Thermometer dann?

a) +15 °C b) c) d) •

Wie viel Grad Celsius beträgt der Unterschied zwischen dem 1. und dem 2. Thermometer?•

Wie viel Grad Celsius beträgt der Unterschied zwischen dem 2. und dem 4. Thermometer?•


6

3 Die Temperatur auf dem Planeten Venus beträgt maximal 40 °C (bei Tag) und minimal –170 °C (bei Nacht). Wie groß ist der Temperaturunterschied auf der Venus?

6 Im Atlas ist für den Marianengraben Folgendes angegeben: ▼ 11 034, für den Mount Everest: ▲ 8 872

a) Was bedeutet das?

b) Wie schreibt man diese Angaben mit ganzen Zahlen an? Was entspricht dem Bezugspunkt 0?

c) Wie groß ist der Unterschied zwischen diesen Angaben?

7 Wie hoch liegt das Kaspische Meer? (Schau in deinem Atlas nach!)

Seehöhe

Geschichte

Auch in der Geschichte rechnet man mit ganzen Zahlen:

Beispiel Fertige eine Zeitleiste an und trage folgende historische Ereignisse ein! Bau der Cheopspyramide: ungefähr 2 500 v. Chr., Gründung Roms: 753 v. Chr., Christi Geburt, Ende Westroms 476 n. Chr., 1. Urkundliche Erwähnung des Namens Ostarrichi 996 n. Chr.

a) Wie viel Zeit ist zwischen der Gründung Roms durch Romulus und Remus und dem Ende Westroms vergangen?

b) In welchem Jahr kann Rom sein 3 000-jähriges Gründungsjubiläum feiern?

a) 753 + 476 = 1 229 Zwischen der Gründung Roms und dem Ende Westroms sind 1 229 Jahre vergangen.

b) 3 000 – 753 = 2 247 Im Jahre 2247 nach Christus wird Rom sein 3 000-jähriges Gründungsjubiläum feiern

3 000 v. Chr. 2 000 v. Chr. 1 000 v. Chr.

Bau derCheopspyramide

500 v. Chr. 0

GründungRoms

500 n. Chr. 1 000 n. Chr.

EndeWestroms

NameOstarrichi

4 Ergänze das Vorzeichen! Um welche „22 Grad“ könnte es sich handeln?

Auf der folgenden Wetterkarte siehst du die Temperaturen vom 3. 12. 2001, 19:50 MEZ (Quelle: Austro Control).

5 Gib die niedrigste und die höchste Temperatur an! Wie groß ist der Unterschied?

Salzburg

1

Linz

–2

St. Pölten

–3

Wien

–2

Eisenstadt

–2

Graz

–1

Klagenfurt

Aigen/Ennstal

–1

Innsbruck

3Bregenz

8

o o o

o

o

o

oo

oo

0

Retz

–3o

........ 22 °........ 22 °


7

8 Der Similaun-Mann (genannt Ötzi) ist ungefähr 5 200 Jahre alt. Wann hat er ungefähr gelebt? (Angabe in unserer Zeitrechnung!)

9 Alexander der Große ist 323 v. Chr. im Alter von 33 Jahren gestorben.

a) Wann wurde er geboren?

b) Wie alt war er, als er 334 v. Chr. seinen Asienfeldzug antrat?

10 C. J. Caesar wurde 100 v. Chr. geboren und 44 v.Chr. ermordet. Wie alt wurde er?

11 Wer ist älter und um wie viel: Ötzi oder die Cheopspyramide?

12 Berechne, wie viel Euro man auf das Konto, das einen Kontostand von –514 7 aufweist, einzahlen muss, damit man einen Kontostand von +932 7 erreicht!

Bankwesen

Wenn man auf einem Konto ein Guthaben von 932 7 hat, dann hat man ein HABEN von 932 7. Hat man sein Konto aber überzogen, d. h. hat man mehr Geld ausgegeben als man sollte, so hat man ein SOLL von z. B. 514 7. (Der Sollbetrag ist jener Geldbetrag, den man der Bank schuldet, der Habenbetrag ist ein Guthaben).Bei Habenbeträgen schreibt man ein „+“ vor die Zahl: + 932 7, bei Sollbeträgen ein „–”: –514 7.

Ganze ZahlenWenn vor einer Zahl ein „+” steht, so bezeichnet man sie als positive ganze Zahl, steht ein „–” davor, heißt sie negative ganze Zahl. Das „Plus-Zeichen“ und das „Minus-Zeichen“, das vor einer Zahl steht, heißt Vorzeichen. Setzt man vor eine natürliche Zahl das Vorzeichen „–” , so erhält man eine negative ganze Zahl:z. B. –3, –2, –1.

Schreibt man ein „+” vor eine natürliche Zahl, so erhält man eine positive ganze Zahl: z. B. +1, +2, +3

Mengenschreibweise der ganzen Zahlen: = {..., –4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, ...} Menge der ganzen Zahlen. Diese Menge enthält alle positiven und negativen Zahlen sowie die Zahl 0.

– = {..., –5, –4, –3, –2, –1} Menge der negativen ganzen Zahlen (sprich „ minus“).

+ = {+1, +2, +3, +4, +5, ...} Menge der positiven ganzen Zahlen (sprich „ plus“).

Anmerkung: 0 ist weder eine positive noch eine negative ganze Zahl.

Man nennt „+” das entgegengesetzte Vorzeichen von „–” und umgekehrt.

Zwei Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen heißen Gegenzahlen, z. B. +5 und –5 sind Gegenzahlen.

Jede Zahl aus – hat genau eine Gegenzahl aus + und umgekehrt. Mit Variablen geschrieben:

Zahl Gegenzahl +a –a –a +a


8

2 Darstellung ganzer Zahlen

3 Der Betrag einer ganzen ZahlJeder ganzen Zahl ist eindeutig ein Vektor zugeordnet. Der Betrag einer ganzen Zahl ist die Maßzahl der Länge ihres Vektors.

Um die ganzen Zahlen grafisch darstellen zu können, muss man den Zahlenstrahl, auf dem man die natürlichen Zahlen darstellen kann und der bei 0 beginnt, auf die andere Seite, über 0 hinaus verlängern. Diese Linie ist nach beiden Seiten hin unbegrenzt, es entsteht eine Gerade, genannt Zahlengerade:

Man ordnet jeder ganzen Zahl genau einen Punkt auf der Zahlengerade zu:.

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2-3-4-5-6

Weiters kann man jeder ganzen Zahl einen Pfeil zuordnen:

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2-3-4-5-6

+4

–4

Grafische Darstellung von ganzen Zahlen

1. Jeder ganzen Zahl wird genau ein Punkt auf der Zahlengerade zugeordnet.

2. Jeder ganzen Zahl wird ein Vektor zugeordnet: Einer positiven ganzen Zahl ist eindeutig ein nach rechts orientierter

Vektor zugeordnet, einer negativen ganzen Zahl ein nach links orientierter Vektor.

Ein Pfeil hat eine Länge und eine Orientierung (bei einer positiven Zahl zeigt die Spitze nach rechts und bei einer negativen Zahl nach links). Der Zahl +4 entspricht ein nach rechts orientierter Pfeil mit der Länge „4 Einheiten“. Der Zahl –4 , der Gegenzahl von +4, ist ein gleich langer, aber entgegengesetzt orientierter Pfeil zugeordnet. Der Pfeil –4 ist 4 Einheiten lang und nach links orientiert.

Solche „orientierte Pfeile“ nennt man Vektoren.

Pfeile, die der Zahl +4 entsprechen, können überall beginnen, sie müssen 4 Einheiten lang und nach rechts orientiert sein:

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2-3-4-5-6

+4

+4

+4

+4 Alle diese Pfeile stellen die Zahl +4 dar.

Beispiel Bestimme den Betrag der Zahlen +3 und –3!

+3 und –3 sind Gegenzahlen. Die Länge der Vektoren von +3 und –3 ist gleich. Jeder der beiden Vektoren hat die Länge 3.

|+3| = 3 Sprich: „Der Betrag von „+3“ ist 3”

|–3| = 3 Sprich: „Der Betrag von „–3“ ist 3”

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2

+3

–3


9

Beachte: Für den Betrag einer ganzen Zahl schreibt man die Zahl zwischen zwei senkrechte Striche. Man sagt z. B. für |+3|: „Betrag von plus 3“

Der Betrag einer ganzen Zahl ist die Maßzahl der Länge des zugehörigen Vektors.Mit Variablen geschrieben:

|+a| = a

|–a| = a

Gegenzahlen haben denselben Betrag.

13 Gib die Beträge der folgenden Zahlen an!

a) |+7| = b) |–5| = c) |+3| = d) |0| = e) |–1| = f) |–7| =

14 Stelle fest, welche der folgenden Aussagen wahr bzw. falsch sind!

a) |+7| > |–5| w f b) |–7| < |+3| w f c) |–11| > |+9| w f

d) |–15| < |+16| w f e) |–27| < |–13| w f f) |+11| > |–15| w f

4 Die Ordnung in der Menge der ganzen ZahlenIn der Menge der natürlichen Zahlen haben wir die Zahlen der Größe nach geordnet. Wir haben eine Ordnung festgelegt. ist eine geordnete Menge, es gilt die folgende Ordnungskette:

0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < ...

Wenn man die Ordnungskette mit den Bildpunkten auf dem Zahlenstrahl vergleicht, so erkennt man, dass von zwei natürlichen Zahlen die kleinere Zahl immer weiter links auf dem Zahlenstrahl liegt.

Stellt man die ganzen Zahlen auf einer Zahlengeraden dar, so kann man ebenfalls eine Ordnungskette anschreiben:

... < –4 < –3 < –2 < –1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < ...

6 7 8 9543210

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2-3-4-5-6 +7

Von zwei verschiedenen ganzen Zahlen liegt die kleinere Zahl immer weiter links auf der Zahlengerade.


10

5 Das Rechnen mit ganzen Zahlen„+” und „–” haben beim Rechnen mit ganzen Zahlen zwei verschiedene Bedeutungen:Sie können als Rechenzeichen oder als Vorzeichen verwendet werden. Um zu unterscheiden, schreibt man die ganzen Zahlen mit ihrem Vorzeichen in Klammer: z. B. (+5), (–3), (+11), (–20), . . .

Addition von Summanden mit gleichen Vorzeichen

Aus der Zahlengerade kann man Folgendes ablesen:

Jede positive ganze Zahl ist größer als Null.

Jede negative ganze Zahl ist kleiner als Null.

Von zwei verschiedenen negativen ganzen Zahlen ist immer jene die größere, die den kleineren Betrag hat.

z. B. –2 > –3, aber |–2| < |–3|, weil 2 < 3 gilt.

Bei zwei verschiedenen positiven ganzen Zahlen hat die größere Zahl auch den größeren Betrag.

z. B. |+4| > |+3| weil 4 > 3 gilt.

Eigenschaften der ganzen Zahlen:Die Menge der ganzen Zahlen ist eine geordnete und unendliche Zahlenmenge.

Jede ganze Zahl hat genau einen Nachfolger, d. h. es gibt keine größte ganze Zahl.

Jede ganze Zahl hat genau einen Vorgänger, d. h. es gibt keine kleinste ganze Zahl.

15 Ordne die Elemente der gegebenen Mengen der Größe nach!

a) A = {–5, +3, 0, –7, +2, +11} b) B = {+11, –5, –7, +3, 0, –1}

16 Bilde die Beträge der Elemente der folgenden Mengen und ordne sie dem Betrag nach!

a) A = {–7, +3, –9, 0, +1, –5} b) B = {–11, +15, +17, –3, –2, 0, +1}

17 Für welche ganzen Zahlen gilt die gegebene Ungleichung?

a) –3 ≤ x < 2 b) –5 < x ≤ +3 c) –4 ≤ x ≤ +4 d) –3 < x < +7

18 Setze jeweils das richtige Zeichen (<, >, =) ein!

a) |–7| . . . |+3| b) |0| . . . |–5| c) |–8| . . . |+8| d) |+11| . . . |+3|

19 Für welche ganzen Zahlen gilt die gegebene Ungleichung?

a) +3 < |x| < +9 b) –1010 < x ≤ –998 c) 5 < x < 10

Die Addition

Beispiel a) (+3) + (+7) = (+10)

Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen in dieser Rechnung:

(+3) + (+7)

ganze Zahl +3 ganze Zahl +7 Additionszeichen

Darstellung der Addition durch Pfeile: Zum Vektor +3 wird der Vektor +7 addiert, indem man sie aneinander fügt, das heißt, man hängt an die Spitze des Vektors +3 den Anfang des Vektors +7 an.

Der Summenvektor reicht vom Anfang des 1. Vektors bis zur Spitze des 2. Vektors. Der Summenvektor hat die Länge 10 und ist nach rechts orientiert, er entspricht daher der Zahl +10.

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2 +7 +8 +9 +10 +11 +12

+10

+3 +7


11

Ganze Zahlen mit gleichem Vorzeichen werden addiert, indem man die Beträge der Zahlen addiert und der Summe das gemeinsame Vorzeichen voranstellt.

Grafisch werden zwei Zahlen addiert, indem man sie als Vektoren darstellt und den Anfang des 2. Vektors an die Spitze des 1. Vektors anhängt. Der Summenvektor reicht vom Anfang des 1. Vektors bis zur Spitze des 2. Vektors.

Beispiel Berechne!

a) (+3) + (+12) = Addition der Beträge der Zahlen von +3 und +12: = +15 3 + 12 = 15, das gemeinsame Vorzeichen ist „+”.

b) (–5) + (–2) = Addition der Beträge der Zahlen von –5 und –2, man addiert = –7 also 5 + 2 = 7. Das gemeinsame Vorzeichen ist „–”.

b) (–4) + (–5) = (–9)

Unterschied zwischen Vorzeichen und Rechenzeichen:

(–4) + (–5)

ganze Zahl –4 ganze Zahl –5 Additionszeichen

Darstellung der Addition durch Pfeile: Zum Vektor –4 wird der Vektor –5 addiert, indem man sie aneinanderfügt. Das heißt, man hängt an die Spitze des Vektors –4 den Anfang des Vektors –5 an.

Der Summenvektor reicht vom Anfang des 1. Vektors bis zur Spitze des 2. Vektors. Der Summenvektor hat die Länge 9 und ist nach links orientiert, er entspricht daher der Zahl –9.

0 +1 +2-1-2-3-4-5-6

– 9

– 5 – 4

-7-8-9-10-11

Vereinfachte Darstellung

a) Aus der Pfeiladdition weiß man, dass (+3) + (+7) = +10 ist. Diese Addition kann man auf eine Addition natürlicher Zahlen zurückführen:

Die ganze Zahl „+3” stimmt mit der natürlichen Zahl 3 überein, es gilt auch: +7 = 7.

Man gelangt zu folgender vereinfachten Darstellung:

(+3) + (+7) = = 3 + 7 = vereinfachte Schreibweise = 10

20 Bilde folgende Summen auf 2 Arten (Addition ganzer Zahlen, vereinfachte Schreibweise)!

a) (+3) + (+7) = b) (+6) + (+5) = c) (–3) + (–9) =

d) (–8) + (–3) = e) (+3) + (+7) + (+2) + (+11) = f) (–3) + (–7) + (–2) + (–11) =

g) (+4) + (+3) + (+2) + (+6) = h) (–3) + (–4) + (–1) + (–3) = i) (–2) + (–1) + (–6) + (–5) =

b) Aus der Pfeiladdition weiß man, dass (–4) + (–5) = –9 ist. Vergleiche mit dem „Zahlenstreifen“ auf der Seite 191! Schneide diesen Zahlenstreifen aus und verwende ihn bei den folgenden Beispielen! Wenn man von –4 ausgehend 5 „zurückzählt“, kommt man zur Zahl –9.

Dieses „Zurückzählen“ um 5 entspricht einem Subtrahieren der Zahl 5. Man erhält als vereinfachte Schreibweise:

(–4) + (–5) = = –4 – 5 = vereinfachte Schreibweise = –9

-2-3-4 -1 0 +1 +2 +3 +4-5-6-7-8-9-10

–5


12

Addition von Summanden mit unterschiedlichen Vorzeichen

Vereinfachte Darstellung

(– 8) + (+5) =

= – 8 + 5 = – 3 Von der Zahl –8 ausgehend wird die Zahl +5 addiert, das bedeutet, dass man von –8 aus 5 Einheiten nach „rechts“ zählt. Verwende dazu auch den Zahlenstreifen!

Beispiel Berechne auf zwei Arten!

a) (–11) + (+4) =

1. Art: (–11) + (+4) = –11 ist betragsmäßig größer als +4, deshalb = – ( 11 – 4 ) = wird 4 von 11 subtrahiert. Das Vorzeichen ist „–“.

= – 7

2. Art: (–11) + (+4) = Von – 11 ausgehend wird 4 addiert, das heißt auf der = – 11 + 4 = Zahlengeraden nach „rechts“ gezählt. Man kommt zur = – 7 Zahl –7.

b) (+13) + (–5) =

1. Art: (+13) + (–5) = +13 ist die betragsmäßig größere Zahl, deshalb = + (13 – 5 ) = wird 5 von 13 subtrahiert. Das Vorzeichen ist „+“.

= + 8

2. Art: (+13) + (–5) = Der Zahl +13 entspricht die Zahl 13. Von 13 wird die = 13 – 5 = Zahl 5 subtrahiert, man erhält 8.

= 8

Einfacher kann man solche Beispiele wie folgt lösen:

Beispiel Berechne!

a) (–9) + (+6) = Man nimmt von den beiden Zahlen die Beträge und subtrahiert dann die kleinere Zahl von der größeren Zahl: 9 – 6 = 3 Das Ergebnis hat das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl: |–9| > |+6|, das Vorzeichen des Ergebnisses ist also „–“.

= – 3

b) (+15) + (–7) = Man nimmt von den beiden Zahlen die Beträge und subtrahiert dann die betragsmäßig kleinere Zahl von der betragsmäßig größeren Zahl: 15 – 7 = 8. Das Ergebnis hat das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl, also „+“ als Vorzeichen, da |+15| > |–7| gilt.

= + 8

Ganze Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen werden addiert, indem man von der Zahl mit dem größeren Betrag die Zahl mit dem kleineren Betrag subtrahiert. Die Differenz bekommt das Vorzeichen der betragsmäßig größeren Zahl.

Beispiel Berechne!

(–8) + (+5) = –3

Zum Vektor –8 wird der Vektor +5 addiert. Dazu hängt man den Anfang des Vektors +5 an die Spitze des Vektors –8. (Grafisch lässt man den Vektor +5 dort beginnen, wo der Vektor –8 seine Spitze hat!)

(–8) + (+5) = –3 Der Ergebnisvektor (Summenvektor) reicht vom Anfang des 1. Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors, er ist 3 Einheiten lang und nach links orientiert, er stellt die Zahl –3 dar.

0 +1 +2-1-2-3-4-5-6

– 3+5

– 8

-7-8-9-10


13

Beachte: Der Anfang des 1. Vektors und die Spitze des 2. Vektors fallen zusammen, der Summenvektor hat daher die Länge 0 (= Nullvektor).

21 Bilde folgende Summen auf 2 Arten!

a) (–9) + (+3) = b) (+8) + (–4) = c) (–73) + (+22) = d) (–15) + (+12) =

e) (–3) + (+8) = f) (–18) + (+3) = g) (+4) + (–12) = h) (+15) + (–12) =

Beispiel a) (–8) + (+12) =

1. Art: (–8) + (+12) = +12 ist die betragsmäßig größere Zahl, deshalb = + ( 12 – 8 ) = wird 8 von 12 subtrahiert. Das Vorzeichen ist „+“. = + 4 = 4

2. Art: (–8) + (+12) = Addiert man zu – 8 die Zahl 8, so erhält man 0. = – 8 + 12 = Jetzt muss noch 4 addiert werden: = 4 0 + 4 = 4. b) (+7) + (–15) =

1. Art: (+7) + (–15) = –15 ist die betragsmäßig größere Zahl, deshalb = – (15 – 7) = wird 7 von 15 subtrahiert. Das Vorzeichen ist „–“. = –8

2. Art: (+7) + (–15) = = 7 – 15 = = – 8

Die Summe aus einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist 0.

Mit Variablen geschrieben: (+a) + (–a) = 0

Beispiel Addiere und stelle die Addition grafisch dar!

(+7) + (–7) = 0

0 +1 +2 +3 +4 +5 +6-1-2-3-4

+ 7

– 7

+7 +8

Beispiel Berechne in vereinfachter Form!

a) (+7) + (+5) = b) (–7) + (–5) = c) (+7) + (–5) = d) (–7) + (+5) = = 7 + 5 = = –7 – 5 = = 7 – 5 = = –7 + 5 =

= 12 = –12 = 2 = – 2

Beachte: Für die „vereinfachte“ Form werden die Klammern aufgelöst:

*) Die Klammer bei der ersten Zahl kann immer weggelassen werden, da (+7) = 7 und (–7) = –7.

*) Für das Weglassen der 2. Klammer gilt folgende Regel: Sind das Rechenzeichen und das Vorzeichen beide Male „+“, so kann man sie

durch das Rechenzeichen Plus ersetzen: z. B. (+7) + (+5) = (–8) + (+3) = = 7 + 5 = –8 + 3 Sind das Rechenzeichen und das Vorzeichen verschieden, so kann man sie durch

das Rechenzeichen Minus ersetzen: z. B. (–7) + (–5) = (–8) + (–3) = = –7 – 5 = –8 – 3

Lässt man bei der Addition von ganzen Zahlen die Klammern weg, so gilt allgemein mit Variablen angeschrieben:

(+a) + (+b) = a + b (+a) + (–b) = a – b

(–a) + (+b) = –a + b (–a) + (–b) = –a – b

22 Berechne!

a) (–13) + (–11) = b) (–18) + (+56) = c) (+17) + (–26) = d) (–5) + (–23) =

e) (+11) + (+35) = f) (–13) + (–33) = g) (+16) + (–43) = h) (–16) + (+32) =


14

Beispiel Berechne!

[(–5) + (–3) + (+14)] + [(+8) + (–15)] = = [ –5 – 3 + 14 ] + [ 8 – 15 ] = Vereinfachte Schreibweise in der eckigen Klammer = [ –8 + 14] + (–7) = Berechnung der eckigen Klammern = (+6) + (–7) = = 6 – 7 = –1

Beispiel Berechne folgende Summe!

|–5| + |+3| + (–4) + (+13) = |–5| = 5, |+3| = 3

= 5 + 3 – 4 + 13 = Addition der Summanden

= 21 – 4 = 17

Beispiel Berechne folgende Summen und vergleiche!

a) (+7) + (+8) = 7 + 8 = 15 (+8) + (+7) = 8 + 7 = 15 KG gilt

b) (–7) + (–8) = –7 – 8 = – 15 (–8) + (–7) = –8 – 7 = –15 KG gilt

c) (–7) + (+8) = –7 + 8 = 1 (+8) + (–7) = 8 – 7 = 1 KG gilt

Beispiel Berechne folgende Summe vorteilhaft!

(+46) + (–13) + (+14) + (–7) = = 46 – 13 + 14 – 7 = Vereinfachte Schreibweise = (46 + 14) – (13 + 7) = Zusammenfassen der Summanden und Subtrahenden = 60 – 20 = 40

Die Addition ganzer Zahlen ist kommutativ.

Mit Variablen geschrieben: a + b = b + a gilt für alle ganzen Zahlen a und b

23 Berechne!

a) (–5) + (–6) + (+12) = b) (–42) + (–16) + (+23) + (–11) =

c) (+13) + (–2) + (–5) + (–3) = d) (–53) + (+11) + (–25) + (+33) =

24 Berechne!

a) 5 – 7 + 12 – 8 = b) 13 – 42 + 12 – 15 – 2 = c) 28 – 14 + 45 – 78 =

25 Berechne folgende Summen!

a) [(–6) + (–3) + (+2)] + [(–6) + (–2) + (+3)] = b) (–7) + (–13) + [(–5) + (+11) + (+7)] =

c) [(–3) + (+17) + (+1)] + (–7) + (–13) = d) (–11) + (+13) + [(–12) + (+2) + (–16)] =

26 Berechne folgende Summen vorteilhaft!

a) (+17) + (–26) + (+23) + (–24) = b) (–46) + (+33) + (–14) + (+47) =

c) (–53) + (+32) + (–47) + (+8) = d) (+24) + (+46) + (–14) + (+44) =

27 Berechne!

a) |–3| + (–5) + (+2) + |–5| = b) |–11| + |+3| + |–13| + (–4) + (–11) =

c) |–5| + (–12) + |–16| + (–3) = d) |–11 + 3| + |12 – 21| =

Rechengesetze für die Addition ganzer Zahlen

Kommutativgesetz

In der Menge der natürlichen Zahlen ist die Addition uneingeschränkt ausführbar, das heißt, wenn man zwei beliebige Zahlen addiert, so erhält man wieder eine natürliche Zahl.Auch in der Menge der ganzen Zahlen ist die Addition uneingeschränkt ausführbar, das heißt, die Summe zweier beliebiger ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Man sagt: „Die Menge der ganzen Zahlen ist abgeschlossen bezüglich der Addition.“

Das Kommutativgesetz (KG) besagt, dass die Reihenfolge der Summanden vertauscht werden kann:

Es gilt: a + b = b + a

Man erkennt:


15

Beispiel Berechne folgende Summen!

a) [(– 3) + (– 5)] + (+ 6) = (– 3) + [(– 5) + (+6)] = = [– 3 – 5 ] + (+ 6) = = (– 3) + [– 5 + 6] = = (– 8) + (+ 6) = = (– 3) + 1 = = – 8 + 6 = –2 = – 3 + 1 = –2 AG gilt

b) [(+ 11) + (+ 5)] + (– 8) = (+ 11) + [(+ 5) + (– 8)] = = [ 11 + 5] + (– 8) = = (+ 11) + [5 – 8] = = 16 – 8 = 8 = (+ 11) + (– 3) = = 11 – 3 = 8 AG gilt

28 Ergänze und zeige, dass das KG gilt!

a) (–5) + (+9) = b) (+725) + (–870) =

29 Ergänze die „zweite Seite“ des AG und berechne beide Summen!

a) [(+17) + (–25)] + (+12) = b) (–215) + [(–321) + (+510)] =

Das Assoziativgesetz (AG) besagt, dass Summanden zu beliebigen Teilsummen zusammengefasst werden können.

Es gilt: (a + b) + c = a + (b + c)

Assoziativgesetz

Die Subtraktion

Beispiel a) (+7) – (+3) = (+4)

Vektoren werden subtrahiert, indem man die Spitze des 2. Vektors an die Spitze des 1. Vektors anfügt. Der Ergebnisvektor (Differenzvektor) reicht vom Anfang des 1. Vektors bis zum Anfang des 2. Vektors.

Zum selben Ergebnis kommt man, wenn man die Subtraktion von (+3) durch die Addition von (–3) ersetzt: (Vergleiche die grafischen Darstellungen!)

(+7) + (–3) = (+4)

b) (–7) – (–3) = (–4)

Die Spitze des 2. Vektors wird wieder an die Spitze des 1. Vektors angehängt. Diese Subtraktion kann durch die Addition von (+3) ersetzt werden: (Vergleiche die grafischen Darstellungen!)

(–7) + (+3) = (–4)

+8 +9+7+6+5+4+3

+ 4

+ 7

+ 3

+2+10-1-2

+8 +9+7+6+5+4+3

+ 4

+ 7

– 3

+2+10-1-2

-8-9 -7 -6 -5 -4 -3

– 4

– 7

– 3

+2+10-1-2

-8-9 +10-5 -4 -3

– 4

– 7

+ 3

+2-1-2-7 -6


16

Vereinfachte Darstellung der Subtraktion

Die Subtraktion einer ganzen Zahl kann durch die Addition der Gegenzahl ersetzt werden.

Mit Variablen geschrieben:

a – (+b) = a – (–b) =

= a + (–b) = = a + (+b) =

= a – b = a + b

Beispiel a) (+7) – (+5) =

= (+7) + (–5) = Die Subtraktion wird durch die Addition der Gegenzahl ersetzt.

= 7 – 5 = 2 Vereinfachte Schreibweise und Berechnung.

b) (–9) – (–15) =

= (–9) + (+15) = Die Subtraktion wird durch die Addition der Gegenzahl ersetzt.

= –9 + 15 = 6 Vereinfachte Schreibweise und Berechnung.

Beachte: Für die „vereinfachte“ Form werden die Klammern aufgelöst:

*) Die Klammer bei der ersten Zahl kann immer weggelassen werden, da (+7) = 7, (–9) = –9.

*) Für das Weglassen der 2. Klammer gilt folgende Regel: Sind das Rechenzeichen und das Vorzeichen gleich, so kann man sie durch das Rechenzeichen Plus ersetzen: z. B. (+7) – (–5) = = 7 + 5 Sind das Rechenzeichen und das Vorzeichen verschieden, so kann man sie durch das

Rechenzeichen Minus ersetzen: z. B. (–7) – (+5) = = –7 – 5

Die Subtraktion ganzer Zahlen ist immer ausführbar, die Differenz zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl. Man sagt: „Die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Subtraktion abgeschlossen.“

Folgende Beispiele sollen zeigen, dass für die Subtraktion ganzer Zahlen – genauso wie für die Subtraktion natürlicher Zahlen – weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz gilt:

Beispiel Schreibe die Subtraktion in vereinfachter Form an und berechne:

a) (+7) – (+5) = b) (–3) – (–8) = c) (+6) – (–5) = d) (–9) – (+4) =

= 7 – 5 = 2 = – 3 + 8 = 5 = 6 + 5 = 11 = –9 – 4 = –13

30 Berechne folgende Differenzen!

a) (+5) – (–11) = b) (–6) – (+13) = c) (–7) – (–36) =


a) (+7) – (–5) – (–11) = b) (–13) – (+2) – (+16) = c) (+14) – (–10) – (–6) =


a) (–13) – (–8) – (–5) = b) (+11) – (+7) – (–8) = c) (–7) – (+3) – (+14) =

d) (+7) – (–23) – (+17) = e) (–12) – (+14) – (–3) = f) (+15) – (+12) – (–8) =

33 Berechne!

a) (+9) – (+5) = b) (–9) – (+5) = (+5) – (+9) = (+5) – (–9) =

c) [(–6) – (+4)] – (+11) = d) [(–13) – (+5)] – (–8) = (–6) – [(+4) – (+11)] = (–13) – [(+5) – (–8)] =


17

Beispiel Berechne! – 5 – [6 – (4 – 5)] + 3 = = – 5 – [ 6 – (– 1)] + 3 = Berechnen der runden Klammer = – 5 – [6 + 1] + 3 = Berechnen der eckigen Klammer = – 5 – 7 + 3 = = – 12 + 3 = – 9

34 Berechne!

a) [(+5) – (–6)] – (+13) – (+2) = b) (–7) – (+13) – [(+6) – (–7) – (+3)] =

c) [(–3) – (+10)] – [(–4) – (+17) – (+4)] = d) [(–5) + (–3)] – [(–8) – (–7)] =

e) (+7) – (–13) + [(–5) – (–11)] = f) (–13) + (–47) – [(+36) + (–16)] =

35 Berechne!

a) (–7) + (–6) – (+11) – (–36) + (–7) = b) (–11) + (+5) – (–45) – (+15) – (–9) =

c) (–26) – (+6) – (–11) + (–26) – (–5) = d) (+12) – (+15) – (–6) – (+7) + (–9) =

36 Berechne!

a) –5 + 7 – 3 – 8 – 12 = b) 10 – 15 – 12 + 35 = c) –9 + 15 – 24 + 18 =

Verbindung der Addition und der Subtraktion

37 Berechne!

a) – 7 – [ 13 – (7 – 8)] + 5 = b) – 13 – [– 27 + (22 – 32)] – 6 =

c) [(36 – 45) – 13] – [6 – (47 – 53)] = d) – 51 – [(– 49 – 54) + (73 – 84)] =

Die Multiplikation

Beispiel a) (+ 3) · (+ 5) = 3 · (+ 5) = = (+ 5) + (+ 5) + (+ 5) = Die Multiplikation lässt sich auf eine Addition gleicher

Summanden zurückführen. = 5 + 5 + 5 = 15

(+ 3) · (+ 5) = +15 Multipliziert man zwei positive ganze Zahlen, so ist das Ergebnis positiv: „plus mal plus ergibt plus“.

b) (+ 3) · (– 5) = 3 · (– 5) = = (– 5) + (– 5) + (– 5) = Die Multiplikation kann durch die Addition gleicher

Summanden ersetzt werden.

= – 5 – 5 – 5 = – 15 Auflösen der Klammern und berechnen

(+3) · (– 5) = – 15 Multipliziert man zwei ganze Zahlen mit verschiedenen Vorzeichen, so ist das Ergebnis eine negative ganze Zahl: „plus mal minus ergibt minus“.

c) (– 4) · (+6) = Das Produkt aus einer positiven und einer negativen ganzen Zahl ist wieder eine negative Zahl: „minus mal plus ergibt minus“. = – 24

d) (– 7) · (– 8) = Das Produkt zweier negativer ganzer Zahlen ist eine positive Zahl: „minus mal minus ergibt plus“. = + 56

Beachte: Bestimme bei der Multiplikation ganzer Zahlen immer zuerst das Vorzeichen des Ergebnisses: *) Das Ergebnis hat als Vorzeichen plus, wenn beide Faktoren

dasselbe Vorzeichen haben. *) Das Ergebnis hat als Vorzeichen minus, wenn beide Faktoren

verschiedene Vorzeichen haben.


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