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Mathematik macht Freu(n)de AB – Graphen der Winkelfunktionen Jedem Winkel x ∈ [0 rad, 2 · π rad[ entspricht genau ein Punkt P am Einheitskreis. Seine Koordinaten sind P =(cos(x) | sin(x)). Die Sinusfunktion ordnet also jedem Winkel x (gemessen im Bogenmaß) die zugehörige y-Koordinate am Einheitskreis zu. Im Intervall [0 rad, 2 · π rad[ hat die Sinusfunktion . . . ... Nullstellen bei x =0 und x = π. ... ein lokales Maximum im Punkt ( π / 2 | 1). ... ein lokales Minimum im Punkt ( 3π / 2 | 1). Warum wird die Steigung der Sinusfunktion ausgehend von x = 0 rad immer kleiner je näher wir x = π 2 rad kommen? Funktionsgraph der Sinusfunktion Datum: 24. April 2019
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Graphen der Winkelfunktionen
Jedem Winkel x ∈ [0 rad, 2 · π rad[ entspricht genau ein Punkt P am Einheitskreis.Seine Koordinaten sind
P = (cos(x) | sin(x)).
Die Sinusfunktion ordnet also jedem Winkel x (gemessen im Bogenmaß) die zugehörige y-Koordinateam Einheitskreis zu.
Im Intervall [0 rad, 2 · π rad[ hat die Sinusfunktion . . .
. . . Nullstellen bei x = 0 und x = π.
. . . ein lokales Maximum im Punkt (π/2 | 1).
. . . ein lokales Minimum im Punkt (3π/2 | 1).
Warum wird die Steigung der Sinusfunktion ausgehend von x = 0 rad immer kleiner je näher wir x = π2 rad kommen?
Funktionsgraph der Sinusfunktion
Datum: 24. April 2019
Mathematik macht Freu(n)de AB – Graphen der Winkelfunktionen
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Graphen der Winkelfunktionen
Gleichung der allgemeinen Sinusfunktion:
y(t) = A · sin (ω · t+ ϕ) + c
A . . . Amplitudeω . . . Kreisfrequenzϕ . . . Nullphasenwinkel
Allgemeine Sinusfunktion
Die Funktionswerte von y(t) = A · sin(t) sind genau im Intervall [−A;A] enthalten.
A > 1 bewirkt eine Streckung in y-Richtung.
0 < A < 1 bewirkt eine Stauchung in y-Richtung.
y1(t) = 1 · sin(t) = sin(t)
y2(t) = 2 · sin(t)
y3(t) = 0,5 · sin(t)
Amplitude
Die Funktion y(t) = sin(t) durchläuft eine vollständige Periode von t = 0 bis t = 2 · π.
Die Funktion y(t) = sin(ω · t) durchläuft eine vollständige Periode von t = 0 bis t = 2·πω .
Ihre Periodendauer beträgt also T = 2·πω . Die Kreisfrequenz ist ω = 2·π
T .
ω > 1 bewirkt eine Stauchung in t-Richtung.
0 < ω < 1 bewirkt eine Streckung in t-Richtung.
y1(t) = sin(2·π2·π · t) = sin(t)
y2(t) = sin(2·ππ · t) = sin(2 · t)
y3(t) = sin(2·π4·π · t) = sin(0,5 · t)
Kreisfrequenz
Der Graph von y1(t) = A · sin (ω · t) wird um ϕ/ω nach links verschoben.
Die Gleichung des verschobenen Graphen ist y2(t) = y1(t+ ϕω ) = A · sin(ω · t+ ϕ).
Die Nullstelle t = 0 von y1 liegt bei y2 an der Stelle t0 = −ϕω .
Der Nullphasenwinkel ist also ϕ = −t0 · ω. Jede Änderung von ϕ um ± 2 · π hat keine Auswirkung.
A = 3 T = π ω = 2·ππ = 2
y1(t) = 3 · sin(2 · t)
t0 = −3·π4 =⇒ ϕ = 3·π
4 · 2 = 3·π2
y2(t) = 3 · sin(2 · t+ 3·π2 )
Nullphasenwinkel
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Graphen der Winkelfunktionen
Die Zahl c in y(t) = A · sin (ω · t+ ϕ) + c verschiebt den Graphen in y-Richtung.
c > 0 bewirkt eine Verschiebung um c nach oben.
c < 0 bewirkt eine Verschiebung um |c| nach unten.
A = 2 T = π2 =⇒ ω = 2 · π · 2
π = 4
t0 = π4 =⇒ ϕ = −π
4 · 4 = −π (oder: t0 = −π4 , ϕ = π)
y1(t) = 2 · sin(4 · t− π) = 2 · sin(4 · t+ π)
y2(t) = 2 · sin(4 · t− π)− 3 = 2 · sin(4 · t+ π)− 3
Vertikale Verschiebung
So können wir die Parameter von y(t) = A · sin(ω · t+ ϕ) + c vom Graphen ablesen:
1) Amplitude A > 0 ablesen:
A = 3
2) Verschiebung in y-Richtung ablesen:
c = 2
3) Periodendauer T > 0 ablesen:
T = π =⇒ ω = 2 · πT
= 2
4) t0 ablesen: Positive Steigung bei t0 beachten.
t0 = π
2 = −ϕω
=⇒ ϕ = −ω · π2 = −π
=⇒ y(t) = 3 · sin(2 · t− π) + 2
Funktionsgleichung aus Graphen ablesen
Zeichne die Startposition des Zeigers und den Nullphasenwinkel ϕ im Kreis ein.
c = 0
A = 5
T = 4 · π
ω = 2·πT = 1
2
t0 = 7·π2
ϕ = −ω · t0 = −7·π4
+2·π∼ π4
=⇒ y(t) = 5 · sin(12 · t+ π
4 )ϕ ist der Winkel des Zeigers zu Beginn („Nullphasenwinkel“). ω = 2·π rad
T
(= Zurückgelegter Winkel
Benötigte Zeit
)ist die Winkelgeschwindigkeit.
Zeigerdiagramm
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