Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

Wie viele Paare (,, ?) gibt es, bei denen , ein Buchstabeaus {A, B, C, . . . , Z} und ? eine Ziffer aus {1, 2, 3, . . . , 9} ist?

Im Raster rechts ist zum Beispiel das Paar (C, 2) markiert.

Die Anzahl verschiedener Paare ist 26 · 9 = 234.

· · ·· · ·· · ·

· · ·

......

A B C D W X Y Z

1

2

3

9

· · ·

...

Schifferl versenken

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 unterscheidbare Objekte , und in einer Reihe anzuordnen?

1) Für die erste Position gibt es 3 Möglichkeiten.2) Unabhängig von der ersten Entscheidung gibt es für die zweite Position 2 Möglichkeiten.3) Unabhängig von den ersten beiden Entscheidungen gibt es 1 Möglichkeit für die dritte Position.

Die Anzahl möglicher Anordnungenvon 3 unterscheidbaren Objekten ineiner Reihe beträgt also

3 · 2 · 1 = 6.

Anordnungen

Es sollen n voneinander unterscheidbare Objekte in einer Reihe angeordnet werden.Für die Anzahl möglicher Anordnungen schreiben wir kurz

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 3 · 2 · 1, n ≥ 1. Sprechweise: „n Faktorielle“ / „n Fakultät“

Außerdem definieren wir 0! = 1.

Faktorielle

Fülle die Lücken aus: a) 6! = 720 b) 4! + 2! = 26 c) 3! · 2! = 12 d) 42!41! = 42

e) 10!8! = 90 f) 87! = 87 · 86! g) 7! = 42 · 5! h) 23!

23 = 22! i) 18!15! = 18 · 17 · 16

Faktorielle

Ein Passwort besteht aus einer Abfolge von Zeichen. Hallo123Jedes Zeichen ist entweder ein Großbuchstabe (A-Z), ein Kleinbuchstabe (a-z) oder eine Ziffer (0-9).

a) Wie viele Passwörter mit genau 3 Zeichen gibt es? Hinweis: Du hast 3 unabhängige Entscheidungen.62 · 62 · 62 = 238 328

b) Wie viele Passwörter mit genau 8 Zeichen gibt es?628 = 2,18... · 1014

c) Wie viele Passwörter mit genau 8 Zeichen gibt es, wenn kein Zeichen mehrfach vorkommen darf?62 · 61 · 60 · 59 · 58 · 57 · 56 · 55 = 62!

54! = 1,36... · 1014

Passwörter

Datum: 19. August 2019

Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

Aus einem Team von 7 Personen sollen 4 Personen für ein Vierer-Kajak ausgewählt werden.Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Sitzreihenfolge im Kajak wesentlich ist?

7 · 6 · 5 · 4 = 840

Vierer-Kajak

Es sind n voneinander unabhängige Entscheidungen zu treffen.Für das Gesamtergebnis ist die Reihenfolge der Entscheidungen wesentlich.

Bei der 1. Entscheidung können wir aus k1 verschiedenen Möglichkeiten wählen.Unabhängig davon können wir bei der 2. Entscheidung aus k2 verschiedenen Möglichkeiten wählen....

Unabhängig davon können wir bei der n. Entscheidung aus kn verschiedenen Möglichkeiten wählen.

Die Anzahl möglicher Gesamtergebnisse beträgt dann k1 · k2 · . . . · kn.

Unabhängige Entscheidungen

Wir ordnen 3 blaue und 2 rote Kugeln in einer Reihe an.Wie viele verschiedene Farbmuster sind möglich?Zuerst nummerieren wir die Kugeln von 1 bis 5 durch.Für die 5 nummerierten Kugeln gibt es 5! = 120 Anordnungen. 1 2 3 4 5

Jede Anordnung der nummerierten Kugeln hat ein bestimmtes Farbmuster.

Zum Beispiel: 1 2 3 4 5 =⇒

Allerdings ergeben verschiedene Anordnungen der nummerierten Kugeln jeweils dasselbe Farbmuster.Solche Anordnungen unterscheiden sich nur durch Umordnen gleichfarbiger Kugeln voneinander.

1 2 3 4 5

1 2 4

3 2 1

3 2 4

4 2 1

4 2 3

3 5

4 5

1 5

3 5

1 5

Wie viele Anordnungen der nummeriertenKugeln ergeben nun dasselbe Farbmuster?

Um die 3 blauen nummerierten Kugelnim selben Muster anzuordnen,gibt es 3! = 6 Möglichkeiten.

Unabhängig davon gibt es für die Anordnungder 2 roten nummerierten Kugeln im selbenMuster 2! = 2 Möglichkeiten.

1 5 3 4 2

1 5 4

3 5 1

3 5 4

4 5 1

4 5 3

3 2

4 2

1 2

3 2

1 2

Für jedes mögliche Farbmuster – wie zum Beispiel – gibt es also genau 3! · 2! = 12verschiedene Anordnungen der nummerierten Kugeln.Damit können wir die Anzahl verschiedener Farbmuster berechnen:

12︸︷︷︸ ·Anordnungen

proFarbmuster

︷︸︸︷AnzahlFarbmuster

= 120︸︷︷︸Anordnungen

der nummeriertenKugeln

12×12×

...12×120 Anordungen

︸︷︷︸ Farbmuster10

10

Allgemeine Formel für die Anzahl möglicher Farbmuster mit b blauen und r roten Kugeln: (b + r)!b! · r!

Verschieden ja, unterscheidbar nein

2

Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

2 schwarze, 2 blaue, 3 rote und eine graue Kugel sollen in einer Reihe beliebig angeordnet werden.Wie viele verschiedene Farbmuster können so entstehen?

8!2! · 2! · 3! · 1! = 1680

Auf die Anzahl kommt es an.

Wie viele Möglichkeiten gibt es, um aus 8 Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen?Du stellst die 8 Personen in eine Reihe und verteilst 3 grüne Kugeln und 5 rote Kugeln:Jedes Farbmuster entspricht genau einer Auswahl von 3 Personen.

Genau die Personen mit einer grünen Kugel kommen in die Gruppe.Berechne die Anzahl der Möglichkeiten, um aus 8 Personeneine Gruppe von 3 Personen auszuwählen:

8!3! · 5! = 56

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8

Wie viele Möglichkeiten gibt es, um aus n Personen eine Gruppe von k Personen auszuwählen?

Stelle eine Formel in Abhängigkeit von n und k auf: n!k! · (n− k)!

Auswahlproblem: 1. Lösungsweg

Wie viele Möglichkeiten gibt es, um aus 8 Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen?Lukas meint eine andere Lösung gefunden zu haben:„Zuerst wähle ich eine der 8 Personen aus. Von den verbleibenden 7 Personen wähle ich eine zweitePerson. Und zum Schluss wähle ich noch eine der verbleibenden 6 Personen. Also gibt es 8 · 7 · 6 =336 Möglichkeiten, um aus 8 Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen.“

Welchen Fehler hat Lukas gemacht? Lukas zählt jede Gruppe von 3 Personen mehrfach,weil die Reihenfolge der Auswahl keine Rolle spielt.

Alles der Reihe nach

Lukas überlegt sich, wie oft er mit seiner Methode die gleiche Gruppe von 3 Personen zählt:„Ich habe 8 · 7 · 6 = 336 Möglichkeiten, um nacheinander 3 Personen auszuwählen.Jede Gruppe – z.B. Arabella, Bernhard und Carina – kann ich aber auf 3! = 6verschiedene Arten auswählen.Tatsächlich gibt es also insgesamt 336

6 = 56 verschiedene Möglichkeiten,um aus 8 Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen.“

A1 2 3

B CA BCB A CB C AC A BC B A

Allgemeine Formel für n Personen und Gruppengröße k:

k Faktoren︷ ︸︸ ︷n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)

k!

Auswahlproblem: 2. Lösungsweg

Die Anzahl der Möglichkeiten, aus n unterscheidbaren Objekten eine Menge von k Objekten auszuwäh-len, ist der Binomialkoeffizient Beachte, dass bei einer Menge die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt.

(n

k

)=

n!k! · (n − k)!

=

k Faktoren︷ ︸︸ ︷n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)

k!Sprechweise: „n über k“

Mehr zum Binomialkoeffizienten findest du am Arbeitsblatt – Pascalsches Dreieck II.

Binomialkoeffizient

3

Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

Warum gibt es gleich viele Möglichkeiten, aus 8 Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen,wie aus 8 Personen eine Gruppe von 5 Personen auszuwählen?

Es gilt also(

83

)=(

85

), und allgemein

(n

k

)=(

n

n − k

)für alle natürliche Zahlen 0 ≤ k ≤ n.

Symmetrie des Binomialkoeffizienten

Berechne die Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner:

a)(

151

)= 15 b)

(152

)= 15 · 14

2! = 105 c)(

1513

)=(

152

)= 105 d)

(63

)= 6 · 5 · 4

3! = 20

Binomialkoeffizienten händisch berechnen

Beim Glücksspiel Lotto „6 aus 45“ gibt es 45 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 45 nummeriert sind.Mit einem Lotto-Tipp entscheidet man sich für 6 von diesen 45 Zahlen. Zum Beispiel: {3, 6, 23, 26, 37, 42}

1) Wie viele verschiedene Lotto-Tipps gibt es? Berechne das Ergebnis mit dem Taschenrechner.(456

)= 8 145 060

Bei der Lotto-Ziehung werden dann 6 der 45 Kugeln gezogen und anschließend aufsteigend sortiert.Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist also egal.

Wenn die 6 gezogenen Kugeln genau die 6 Zahlen vom Lotto-Tipp sind, gewinnst du den Hauptpreis.Ein Lotto-Tipp kostet 1,20 e . „Lotto-Sechser“

2) Wie viel Geld müsstest du ausgeben, um sicher einen Lotto-Sechser zu haben?

8 145 060 · 1,2 = 9 774 072 e

6 aus 45

Vor dir stehen n Boxen, die von 1 bis n durchnummeriert sind.Wie viele Möglichkeiten gibt es, . . . 1 2 3

· · · n

1) . . . k = 5 unterscheidbare Bälle (nummeriert von 1 bis k) auf n = 3 Boxen zu verteilen?3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35 = 243 Allgemeine Formel: nk

Hinweis: Für jeden der k unterscheidbaren Bälle gibt es unabhängig voneinander n Möglichkeiten.

2) . . . k = 5 unterscheidbare Bälle (nummeriert von 1 bis k) auf n = 8 Boxen zu verteilen, wenn injede Box höchstens ein Ball passt?

8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 Allgemeine Formel: n!(n− k)!

Hinweis: Für den ersten Ball gibt es n mögliche Boxen. Unabhängig davon gibt es für den zweiten Ball n− 1 mögliche Boxen . . .

3) . . . k = 5 nicht unterscheidbare Bälle auf n = 8 Boxen zu verteilen, wenn in jede Box höchstens einBall passt?(

85

)= 56 Allgemeine Formel:

(n

k

)

Hinweis: Von den n unterscheidbaren Boxen muss eine Menge von k Boxen ausgewählt werden.

Variationen und Kombinationen

4

Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

Vor dir stehen n Boxen, die von 1 bis n durchnummeriert sind.Wie viele Möglichkeiten gibt es, . . . 1 2 3

· · · n

4) . . . k = 5 nicht unterscheidbare Bälle auf n = 3 Boxen zu verteilen?Dazu lösen wir zuerst ein (scheinbar) anderes Abzählproblem:Wir fügen den k = 5 Bällen noch n− 1 = 2 gleiche Bälle hinzu.Danach legen wir die k + n− 1 = 7 Bälle in eine Reihe.Aus dieser Reihe wählen wir wieder n− 1 = 2 Bälle aus,zum Beispiel die Bälle auf den Positionen 3 und 5.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

Wie viele Möglichkeiten gibt es, um aus 7 unterscheidbaren Positioneneine Menge von 2 Positionen auszuwählen?

(72

)= 21

Tatsächlich haben wir damit das ursprüngliche Abzählproblem schlau gelöst:Die 2 ausgewählten Bälle betrachten wir nämlich als „Trennzeichen“ zwischen den 3 Boxen.

︸ ︷︷ ︸ ︸︷︷︸ ︸ ︷︷ ︸2 1 2

1 2 3

Wählen wir zum Beispiel die Bälle auf den Positionen 3 und 5,dann entspricht das der Verteilung (2, 1, 2) auf die 3 Boxen.

︸ ︷︷ ︸ ︸︷︷︸ ︸ ︷︷ ︸3 0 2

1 2 3

Wollen wir zum Beispiel die Verteilung (3, 0, 2) auf die 3 Boxen,dann wählen wir die Bälle auf den Positionen 4 und 5.

Jeder Verteilung von k = 5 nicht unterscheidbaren Bälle auf n = 3 unterscheidbare Boxenentspricht umkehrbar eindeutig

einer Menge von n− 1 = 2 Positionen aus k + n− 1 = 7 unterscheidbaren Positionen.Eine solche 1 : 1-Zuordnung nennen wir auch Bijektion.

Es gibt also in beiden Fällen gleich viele Möglichkeiten, nämlich:(72

)= 21 Allgemeine Formel:

(k + n− 1

n− 1

)

Bijektion

Wofür gibt es mehr Möglichkeiten? Gib eine Schätzung ab, und rechne nach.a) Vor dir liegen 3 Gummibärchen in jeweils unterschiedlicher Farbe.

1) Die 3 Gummibärchen auf 9 Personen verteilen.Jede Person erhält höchstens ein Gummibärchen.

oder

2) Die 3 Gummibärchen auf 8 Personen verteilen.Die Personen dürfen auch mehrere Gummibärchen erhalten.

b) Vor dir liegen 3 nicht unterscheidbare Gummibärchen.

1) Die 3 Gummibärchen auf 10 Personen verteilen.Jede Person erhält höchstens ein Gummibärchen.

oder

2) Die 3 Gummibärchen auf 8 Personen verteilen.Die Personen dürfen auch mehrere Gummibärchen erhalten.

a) 1) 9 · 8 · 7 = 504mögliche Verteilungen

2) 8 · 8 · 8 = 512mögliche Verteilungen

b) 1)(10

3)

= 120mögliche Verteilungen

2)(10

7)

= 120mögliche Verteilungen

Gummibärchen

5

Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

Abzählprobleme mit unabhängigen Entscheidungen:Bei der 1. Entscheidung gibt es a Möglichkeiten.Bei der 2. Entscheidung gibt es b Möglichkeiten. Die Anzahl b darf nicht von der ersten Entscheidung abhängen.Dann gibt es insgesamt a · b Möglichkeiten für beide Entscheidungen.Anordnungsprobleme:n Objekte sollen in einer Reihe angeordnet werden. Dann beantworte die Frage:Sind alle Objekte unterscheidbar odergibt es r Gruppen mit jeweils k1, k2, . . . , kr voneinander nicht unterscheidbaren Objekten?

Sind alle Objekte unterscheidbar?

n!n!

k1!·k2!·...·kr!

JaNein

Auswahlprobleme:Aus n unterscheidbaren Objekten sollen k Objekte (evtl. mehrfach) ausgewählt werden.Dann beantworte die beiden Fragen:

1) Kommt es auf die Reihenfolge an, in der die Objekte gewählt werden („Folge“) oderist die Reihenfolge nicht wichtig („Menge“)?

2) Darf jedes Objekt höchstens einmal gewählt werden oder ist eine Mehrfachauswahl erlaubt?

(k+n−1n−1

)= n!

(n−k)!=

(nk

)· k!

n · (n− 1) · . . . · (n− k + 1)(nk

)Mehrfachauswahl erlaubt?

JaNein

JaNein

nk

Reihenfolge wichtig?

JaNein

Mehrfachauswahl erlaubt?

Kochrezepte für elementare Abzählprobleme

In einer Schulklasse kandidieren 6 SchülerInnen zur Wahl als KlassensprecherIn.Wie viele Kombinationen aus KlassensprecherIn und StellvertreterIn sind als Wahlergebnis möglich?

6 · 5 = 30

Wahlergebnis

Du befindest dich in Manhattan an der Kreuzung A (siehe Abbildung).Wie viele verschiedene Wege zu Kreuzung B gibt es, die so kurz wie möglich sind?

Die Länge jedes solchen Wegs beträgt 7 Straßenblöcke und

besteht aus 4 Bewegungen um einen Straßenblock Richtung Osten

und 3 Bewegungen um einen Straßenblock Richtung Norden.

Zum Beispiel: (N, O, O, N, N, O, O) Zeichne diesen Weg rechts ein. A

BN

O

Aus der Abfolge von 7 Bewegungen wählen wir also eine Menge von 3 Bewegungen aus, die RichtungNorden gehen. Die Anzahl kürzest möglicher Wege von A nach B ist daher(

73

)= 7 · 6 · 5

3! = 35

So schnell wie möglich

6

Mathematik macht Freu(n)de AB – Kombinatorik

Bei einer Multiple-Choice-Frage „2 aus 5“ gibt es 5 mögliche Antworten, von denen genau 2 richtigsind. Man darf genau 2 der 5 Antworten ankreuzen.Wie viele Möglichkeiten gibt es, genau 2 beliebige Antworten anzukreuzen?(5

2)

= 10 Möglichkeiten

Wie viele Möglichkeiten gibt es, 2 falsche Antworten anzukreuzen?(32)

= 3 Möglichkeiten

Ins Blaue raten

Du hast den 4-stelligen Zifferncode für dein Fahrradschloss vergessen.Pro Sekunde kannst du 2 Kombinationen ausprobieren.Wie lange benötigst du höchstens, um das Zahlenschloss zu knacken, wenn . . .

1) . . . du keine weiteren Informationen hast?10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 Kombinationen =⇒ 10 000 K.

2 K./s = 5000 s = 83,3... min

2) . . . du noch weißt, dass die erste Ziffer 4 und die zweite Ziffer 2 ist?1 · 1 · 10 · 10 = 100 Kombinationen =⇒ 100 K.

2 K./s = 50 s

3) . . . du noch weißt, dass die erste Ziffer und die letzte Ziffer gleich sind?10 · 10 · 10 · 1 = 1000 Kombinationen =⇒ 1000 K.

2 K./s = 500 s

4) . . . du noch weißt, dass das Produkt der 4 Ziffern ungerade ist?5 · 5 · 5 · 5 = 625 Kombinationen =⇒ 625 K.

2 K./s = 312,5 s

5) . . . du noch weißt, dass das Produkt der 4 Ziffern gerade ist?104 − 54 = 9375 Kombinationen =⇒ 9375 K.

2 K./s = 4687,5 s = 78,1... min

Codeknacken

Zum Einfärben von 8 nicht unterscheidbaren Ostereiern stehen 4 Farben zur Verfügung.Auf wie viele Arten können die Ostereier eingefärbt werden? Die Reihenfolge beim Einfärben spielt keine Rolle.

Hinweis: Denke an das Beispiel mit den Bällen und den Boxen auf Seite 5. Was ist hier was?4 Farben ↔ n = 4 Boxen 8 Ostereier ↔ k = 8 nicht unterscheidbare BälleWie in 4) dürfen beliebig viele Bälle in jede Box.

=⇒(k+n−1

n−1)

=(8+3

3)

=(11

3)

= 165 Möglichkeiten

Färbungen

Aus 15 verschiedenen Aufgaben soll eine Schularbeit mit 9 verschiedenen Aufgaben erstellt werden.Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es zur Erstellung, wenn . . .

1) . . . die Reihenfolge der ausgewählten Aufgaben wichtig ist?

15 · 14 · 13 · . . . · 7 = 15!6! = 1 816 214 400 Möglichkeiten

2) . . . die Reihenfolge der ausgewählten Aufgaben keine Rolle spielt?(159)

= 5005 Möglichkeiten

Schularbeit

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