MathematikmachtFreu(n)de AS–Calculus .MathematikmachtFreu(n)de...

download MathematikmachtFreu(n)de AS–Calculus .MathematikmachtFreu(n)de AS–Calculus AUFGABENSAMMLUNG –

of 17

  • date post

    27-Aug-2019
  • Category

    Documents

  • view

    214
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of MathematikmachtFreu(n)de AS–Calculus .MathematikmachtFreu(n)de...

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    AUFGABENSAMMLUNG – CALCULUS

    Inhaltsverzeichnis

    1. Differentialrechnung 3 2. Optimierungsaufgaben 11 3. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung 13 4. Integralrechnung 15

    Die folgenden Sätze sind zentral für die gesamte Analysis. Die Ergebnisse sind anschaulich klar. Wir sind auch sicher, dass du schon oft mit diesen Sätzen gearbeitet hast, vielleicht ohne sie beim Namen zu kennen. Es ist wichtig, dass du diese Sätze verinnerlichst und sauber damit argumentierst.

    Zwischenwertsatz:

    Sei f : [a; b]→ R eine stetige Funktion.

    Dann nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

    Zwischenwertsatz

    Satz vom Minimum und Maximum:

    Sei f : [a; b]→ R eine stetige Funktion.

    Dann gibt es eine Stelle xmin und eine Stelle xmax in [a; b] so, dass für alle x in [a; b] gilt:

    f(xmin) ≤ f(x) ≤ f(xmax)

    Satz vom Minimum und Maximum

    Datum: 2. August 2019.

    1

    http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Stetigkeit.pdf https://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at https://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz https://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_Minimum_und_Maximum

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    Mittelwertsatz der Differentialrechnung:

    Sei f : [a; b]→ R eine stetige Funktion, die auf ]a; b[ differenzierbar ist.

    Dann gibt es eine Stelle s in ]a; b[, sodass:

    f ′(s) = f(b)− f(a) b− a

    Mittelwertsatz der Differentialrechnung

    1.Ableitungstest (first derivative test):

    Sei f : ]a; b[ → R eine differenzierbare Funktion und x0 in ]a; b[.

    Wenn x0 eine Extremstelle ist, dann gilt:

    f ′(x0) = 0

    1.Ableitungstest

    Zum Lösen von Optimierungsaufgaben verwendet man den 1. Ableitungstest: Der 1. Ableitungstest identifiziert alle Kandidaten für Extremstellen im Inneren von [a; b]. Bei Funktionen f : [a; b]→ R müssen wir die Randwerte f(a) und f(b) zusätzlich berechnen.

    2

    https://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at https://mmf.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Mittelwertsatz_der_Differenzialrechnung.pdf https://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at https://en.wikipedia.org/wiki/Derivative_test

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    1. Differentialrechnung

    1.1. Ermittle die Nullstellen und untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das asymptotische Verhalten der Funktion f . Skizziere den Graphen der Funktion.

    a) f : R→ R, f(x) = (1− x2)2 b) f : R→ R, f(x) = 1 x2 + 3 c) f : R→ R, f(x) =

    x

    x2 + 3 1.2. Ermittle die Nullstellen und untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das asymptotische Verhalten der Funktion f . Skizziere den Graphen der Funktion für spezielle Werte der Parameter.

    a) f : R→ R, f(x) = x 2 − a2

    x2 + 3 · b2 wobei a, b > 0

    b) f : R \ {a, b} → R, f(x) = 1 x− a

    − 1 x− b

    wobei a > b

    c) f : R→ R, f(x) = x x2 + a2 wobei a > 0

    1.3. Ermittle die Nullstellen und untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion f . Skizziere den Graphen der Funktion.

    a) f : R→ R, f(x) = (x2 + 1) · e−x

    b) f : R→ R, f(x) = x · e−x2/2 c) f : ]0;∞[→ R, f(x) = x− ln(x)

    d) f : ]0;∞[→ R, f(x) = x · ln x

    1.4. Ermittle die Nullstellen und untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten der Funktion. Skizziere den Graphen der Funktion.

    a) f : R→ R, f(x) = e−x2/2

    b) f : R→ R, f(x) = x4 · e−x

    c) f : ]0;∞[→ R, f(x) = x4 · ln2(x)

    d) f : R→ R, f(x) = x 2 − 2 · x+ 2 x2 + 2 · x+ 2

    1.5. Ermittle die Nullstellen und untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das asymptotische Verhalten der Funktion f : R→ R mit

    f(x) = ea·x − eb·x wobei a > b > 0

    Skizziere den Graphen der Funktion für spezielle Werte der Parameter.

    1.6. Seien µ, σ ∈ R mit σ > 0. Die Funktion

    f : R→ R, f(x) = 1 σ · √

    2 · π · e−

    1 2 ·(x−µσ )

    2

    spielt als Dichtefunktion der Normalverteilung mit Erwar- tungswert µ und Standardabweichung σ in der Wahrschein- lichkeitsrechnung eine sehr wichtige Rolle.

    3

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    a) Zeige ohne Differentialrechnung, dass f an der Stelle µ ein globales Maximum hat. b) Zeige, dass die Wendestellen von f bei µ± σ liegen. c) Zeige, dass die beiden Wendetangenten ihre Nullstelle bei µ+ 2 · σ bzw. µ− 2 · σ haben.

    1.7. Gegeben ist die Funktion f mit

    f : ]0;∞[→ R, f(x) = xx. Hinweis: x = eln(x)

    a) Ermittle die Nullstellen und untersuche das Monotonie- und Krümmungsverhalten sowie das asymptotische Verhalten der Funktion f . Skizziere den Graphen von f .

    b) Für welche Zahlen y ∈ R hat die Gleichung f(x) = y keine / genau eine / mehr als eine Lösung über der Grundmenge der positiven reellen Zahlen?

    c) Löse die Gleichung xx + 108 · x−x = 31 über der Grundmenge der positiven reellen Zahlen.

    1.8. Berechne den Funktionswert von f an den Stellen x0± 0,1 und x0± 0,01 näherungsweise durch lineare Approximation an der Stelle x0. Vergleiche deine Ergebnisse anschließend mit dem jeweils exakten Funktionswert (TR) an diesen Stellen.

    a) f(x) = x2, x0 = 2

    b) f(x) = √ x, x0 = 4

    c) f(x) = ln(x), x0 = 1

    d) f(x) = sin(x), x0 = 0

    1.9. Berechne die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 von Hand ohne Ableitungsregeln.

    a) f(x) = x4, x0 = −1

    b) f(x) = 1 x2 + 1 , x0 = 2

    c) f(x) = 3 √ x, x0 = 8 Tipp: a3 − b3 = (a− b) · (a2 + a · b+ b2)

    d) f(x) = √

    25− x2, x0 = 3 Tipp: a2 − b2 = (a− b) · (a+ b)

    1.10. Gegeben ist die zweimal differenzierbare Funktion f . Berechne die erste Ableitung und die zweite Ableitung der aus f gebildeten Funktion g.

    a) g(x) = ef(x)

    b) g(x) = [f(x)]2 c) g(x) = 1/f(x), falls f(x) 6= 0 d) g(x) = ln(f(x)), falls f(x) > 0

    4

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    1.11. Gegeben ist die Polynomfunktion p. Wir bilden die Funktion f mit

    f(x) = p(x) · ex.

    Zeige, dass es eine Polynomfunktion q gibt, für die gilt:

    f ′(x) = q(x) · ex

    Was ist der Zusammenhang zwischen den Polynomen p und q?

    1.12. Gegeben ist die Polynomfunktion p. Wir bilden die Funktion f mit

    f(x) = p(x) · e−x2 .

    Zeige, dass es ein Polynom q gibt, für das gilt:

    f ′(x) = q(x) · e−x2

    Was ist der Zusammenhang zwischen den Polynomen p und q?

    1.13. Berechne den Grenzwert

    lim h→0

    f(x− h)− 2 · f(x) + f(x+ h) h2

    für die Funktion f mit a) f(x) = x. b) f(x) = x2. c) f(x) = xn mit n ∈ N, n ≥ 2.

    1.14. Aus dem binomischen Lehrsatz folgt die Identität

    (1 + x)n = n∑ k=0

    ( n

    k

    ) · xk

    für jedes x ∈ R. Erkläre damit, dass gilt:

    n · x · (1 + x)n−1 = n∑ k=0

    k · ( n

    k

    ) · xk (?)

    Sei p ∈ ]0; 1[. Zeige durch geschickte Wahl von x, dass

    n · p = n∑ k=0

    k · ( n

    k

    ) · pk · (1− p)n−k.

    Zeige auch, dass Tipp: Leite (?) nach x ab und wähle x geschickt.

    n · p · (1− p) = n∑ k=0

    (k − n · p)2 · ( n

    k

    ) · pk · (1− p)n−k.

    Was haben die letzten beiden Summen mit der Binomialverteilung zu tun?

    1.15. Zeige, dass die gegebene Funktion f : [0;∞[→ R ihren größten Wert an der Stelle 1 annimmt.

    a) f(x) = (1 + x) 2

    1 + x2 b) f(x) = (1 + x2)3 (1 + x3)2 c) f(x) =

    (1 + xp)q (1 + xq)p wobei 1 ≤ p ≤ q

    5

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    1.16. Gegeben ist die Funktion f : R→ R mit f(x) = x+ 4 · sin(x). Ermittle die Nullstellen von f .

    1.17. Skizziere den Graphen der gegebenen Funktion f : R→ R.

    a) f(x) = cos2(x) b) f(x) = sin(x) + cos(x) c) f(x) = sin(2 · x)− 2 · sin(x)

    Achte darauf, dass deine Skizze die Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen, die Periodizität sowie das Monotonie- und das Krümmungsverhalten der Funktion richtig wiedergibt.

    1.18. Ziel dieser Aufgabe ist es, die Funktion

    f : ]0;∞[→ R, f(x) = x · ln(1 + x)− x · ln(x)

    auf Monotonie zu untersuchen.

    a) Berechne die ersten beiden Ableitungen von f . b) Zeige, dass f ′′(x) < 0 für alle x ∈ ]0;∞[. c) Zeige, dass lim

    x→∞ f ′(x) = 0.

    d) Zeige, dass f ′(x) > 0 für alle x ∈ ]0;∞[. e) Verwende das Ergebnis aus dem vorigen Teil der Frage um zu zeigen, dass die Folge 〈an〉 mit

    an = (

    1 + 1 n

    )n streng monoton wachsend ist.

    f) Passe die obige Methode an, um zu zeigen, dass die Folge 〈bn〉 mit

    bn = (

    1 + 1 n

    )n+1 streng monoton fallend ist.

    1.19. Sei a ∈ R mit a > 1. Die Graphen der beiden Funktionen

    f : R→ R, f(x) = ax und g : ]0;∞[→ R, g(x) = loga(x) sind jeweils für a = 2 und für a = 1,4 dargestellt.

    Zeige, dass es genau einen Wert von a gibt, für den die beiden Graphen genau einen Schnittpunkt haben. In welchem Punkt schneiden sich dann die Graphen?

    6

  • Mathematik macht Freu(n)de AS – Calculus

    1.20. Ziel dieser Aufgabe ist zu beweisen, dass die Gleichung

    ex = x

    über der Grundmenge R keine Lösungen hat. Wir