MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1....

15
Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I KOMPETENZHEFT – STOCHASTIK I Inhaltsverzeichnis 1. Aufgabenstellungen 1 2. Zufallsexperimente 3 3. Zufallsvariablen 6 4. Weitere Aufgabenstellungen 9 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Die Österreichischen Lotterien bieten eine Onlineform des Briefloses an. Ein Online-Brieflos kostet 1 e . Die Höhe und die Anzahl der Gewinne können der nachstehenden Tabelle entnommen werden. Insgesamt wurden 6,6 Millionen Online-Lose aufgelegt. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Online-Kauf eines einzelnen Loses (i) genau seinen Spieleinsatz in Höhe von 1 e zurückgewinnt, (ii) einen höheren Gewinn als den Lospreis erzielt. b) Herr P. möchte den Hauptpreis 100000 e gewinnen. Er glaubt, dass er dieses Ziel durch den Kauf von sehr vielen Losen realisieren kann. – Argumentieren Sie dabei mithilfe der Anzahl der Lose, die Herr P. kaufen und prüfen müsste, um sicher einen Hauptpreis zu gewinnen. Aufgabe 1.2. Als Werbestrategie wird den Besuchern ein Gewinnspiel angeboten. Jeder Besucher darf mit einem fairen Spielwürfel, bei dem die Augenzahlen 1 bis 6 mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten, einmal würfeln. Zeigt der Würfel die Augenzahl 6, gewinnt man einen 10-Euro-Gutschein, bei der Augenzahl 5 gewinnt man einen 5-Euro-Gutschein. Bei jeder anderen Augenzahl gewinnt man nichts. 1) Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns eines Besuchers. 2) Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswerts im gegebenen Sachzusammenhang. Datum: 6. Februar 2019. 1

Transcript of MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1....

Page 1: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

KOMPETENZHEFT – STOCHASTIK I

Inhaltsverzeichnis

1. Aufgabenstellungen 12. Zufallsexperimente 33. Zufallsvariablen 64. Weitere Aufgabenstellungen 9

1. Aufgabenstellungen

Aufgabe 1.1. Die Österreichischen Lotterien bieten eine Onlineform des Brieflosesan. Ein Online-Brieflos kostet 1 e . Die Höhe und die Anzahl der Gewinne können der nachstehendenTabelle entnommen werden.

Insgesamt wurden 6,6 Millionen Online-Lose aufgelegt.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass jemand beim Online-Kauf eines einzelnen Loses(i) genau seinen Spieleinsatz in Höhe von 1 e zurückgewinnt,(ii) einen höheren Gewinn als den Lospreis erzielt.

b) Herr P. möchte den Hauptpreis 100 000 e gewinnen. Er glaubt, dass er dieses Ziel durch denKauf von sehr vielen Losen realisieren kann.– Argumentieren Sie dabei mithilfe der Anzahl der Lose, die Herr P. kaufen und prüfen müsste,um sicher einen Hauptpreis zu gewinnen.

Aufgabe 1.2. Als Werbestrategie wird den Besuchern ein Gewinnspiel angeboten.Jeder Besucher darf mit einem fairen Spielwürfel, bei dem die Augenzahlen 1 bis 6 mit jeweils gleicherWahrscheinlichkeit auftreten, einmal würfeln. Zeigt der Würfel die Augenzahl 6, gewinnt man einen10-Euro-Gutschein, bei der Augenzahl 5 gewinnt man einen 5-Euro-Gutschein. Bei jeder anderenAugenzahl gewinnt man nichts.

1) Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns eines Besuchers.2) Interpretieren Sie die Bedeutung des Erwartungswerts im gegebenen Sachzusammenhang.

Datum: 6. Februar 2019.

1

Page 2: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Aufgabe 1.3. Die angeführte Tabelle zeigt die durchschnittliche Anzahl der Re-gentage in Gmunden (Oberösterreich) für die Monate Juni bis September.

In einem Hotel kostet eine bestimmte Zimmerkategorie 75 e pro Übernachtung. Der Hotelier hatfür den Monat August nun folgende Idee: Hotelgäste sollen für jeden Regentag nur mehr die Hälftebezahlen. Damit der durchschnittliche Zimmerpreis von 75 e erhalten bleibt, erhöht der Hotelierden offiziellen Zimmerpreis.

– Berechnen Sie, wie hoch er den neuen Zimmerpreis ansetzen muss.

1.1a)(i)14000006600000=21,21...%(ii)423863

6600000=6,42...%b)DieÜberlegungvonHerrnP.istnichtsinnvoll,danur3der6600000LoseHaupttreffervon100000sind.Erst

derKaufvon6599998LosenwürdedensicherenGewinngarantieren.SeinEinsatzmüsstedaherdenmöglichenGewinnumeinVielfachesübersteigen.

1.21)2,50e2)DerErwartungswertbeschreibtdenmittlerenGewinnproPerson,denmanerwartet,wenneinegroßeAnzahlan

PersonenandiesemSpielteilnimmt.1.3DerHoteliermüssteeinenPreisvon93,56eproÜbernachtungveranschlagen,ummiteinemdurchschnittlichenPreis

von75eproÜbernachtungauszusteigen.

2

Page 3: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

2. Zufallsexperimente

Mit welchem Verlust sollte ich vernünftigerweise rechnen, wenn ich regelmäßig Lotto „6 aus 45“spiele? Wie zuverlässig sind Wahlumfragen, und wie können medizinische Tests effizient durchgeführtwerden?

Die Wahrscheinlichkeitstheorie wurde erst im 20. Jahrhundert auf ein rigoroses Fundament gestellt.Damit ist sie ein Jungspund innerhalb der Mathematik. Trotzdem ist sie aus modernen Anwendungs-bereichen nicht mehr wegzudenken.

Auf dem Arbeitsblatt – Laplace-Experimente behandeln wir die folgenden Fragen:

Wie stehen die Chancen beim Wurf mit 2 gewöhnli-chen Spielwürfeln die Augensumme 11 zu würfeln?

Was ist ein Laplace-Experiment?Wie können wir bei Laplace-ExperimentenWahrscheinlichkeiten berechnen?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in der Lotteriezu gewinnnen?

Was besagt das Empirische Gesetz der großen Zahlen?

An einem Roulette-Tisch ist 7 Mal hintereinander Rot gekommen.Wie wahrscheinlich ist es, dass gleich noch einmal Rot kommt?

AB – Laplace-Experimente

3

Page 4: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Verhältnisse – wie z.B. 1 : 6 – werden je nach Kontext auf 2 unterschiedliche Arten verwendet:1) • Chance 1 : 6 („günstig zu möglich“)

Es gibt 6 mögliche Würfelergebnisse, nur eines davon ist für mich günstig.Auf lange Sicht erwarte ich, dass durchschnittlich 1

6 der Würfe Sechser sind.• Maßstab 1 : 100 000

1 cm auf der Karte entspricht 100 000 cm in der Realität.Auf der Karte ist jede Länge also 1

100 000 der tatsächlichen Länge.2) • Mischungsverhältnis 1 : 6

1 ml Ethanol wird mit 6 ml Wasser gemischt. Das Mischungsverhälntnisvon Ethanol zu Wasser ist 1 : 6. Der relative Anteil von Ethanol an derMischung ist 1

7 .Ethanol

Wasser

• Streckenteilung im Verhältnis 1 : 6Eine Strecke von 7 cm Länge soll im Verhältnis 1 : 6 geteilt werden. Die kürzere Teilstreckeist dann 1 cm lang, die längere Teilstrecke ist 6 cm lang.Der relative Anteil der kürzeren Strecke an der Gesamtstrecke ist 1

7 .• Chance 50 : 50 („günstig zu ungünstig“)Es gibt 2 mögliche Ergebnisse, die beide die gleichen Chancen haben.Umgangssprachlich sagt man: „Die Chancen stehen 50:50.“

In der Wahrscheinlichkeitstheorie meinen wir bei Chancen immer 1), also „günstig zu möglich“.

Verhältnisse

Auf die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass . . . ?“ bekommt man (scherzhaft) oft folgendeAntwort:

„Die Wahrscheinlichkeit ist 50:50. Entweder es passiert, oder es passiert nicht.“

Die Ergebnisse „. . . passiert“ beziehungsweise „. . . passiert nicht“ werden dabei als gleich wahr-scheinlich angenommen.Das ist natürlich – wenn du z.B. an Lotto denkst – in der Regel nicht der Fall.

„6 richtige Zahlen“ oder „nicht 6 richtige Zahlen“

Überprüfe vor Verwendung der Formel

Wahrscheinlichkeit = Anzahl günstige ErgebnisseAnzahl mögliche Ergebnisse

immer, ob das Zufallsexperiment auch wirklich ein Laplace-Experiment ist.

„Günstig durch möglich“

4

Page 5: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Beispiel 2.1. In der aktuellen Losauflage „Schatztruhe“ gibt es 13 Mio. Rubbellose.

Der Preis pro Rubbellos beträgt 2 e .Die absoluten Häufigkeiten der „Gewinnlose“ sind in der neben-stehenden Tabelle dargestellt.

a) Wie groß ist der Gewinn der Lotterie, wenn alle Lose der Auf-lage verkauft werden, und alle Gewinne abgeholt werden?

Ohne Beachtung der Produktionskosten, Steuern, usw.

b) Berechne die Auszahlung, die du durchschnittlich pro gekauf-tem Los erwarten kannst. Wie viel Euro verlierst du durch-schnittlich pro gekauftem Los?

c) Wie hoch muss der Preis pro Rubellos sein, damit der Gewinnder Lotterien bei Verkauf der gesamten Auflage mindestens4 200 000 e beträgt?

Anzahl Auszahlung20 30 000 e40 3000 e250 300 e4400 100 e

13 000 60 e31 000 30 e100 000 8 e440 000 6 e

1 000 000 4 e2 282 500 2 e

Lösung.

a) Die Einnahmen sind E = 2 e · 13 Mio. = 26 Mio.e . Die Auszahlungen betragen insgesamt

A = 20 · 30 000 + 40 · 3000 + 250 · 300 + · · ·+ 2 282 500 · 2 = 14 950 000 e .

Wenn alle Lose verkauft werden, beträgt der Gewinn der Lotterie G = E − A = 11 050 000 e .b) Die durchschnittliche Auszahlung pro Los beträgt A

13 · 106 = 1,15 e . Der durchschnittliche Ver-lust pro Los beträgt also 2 e − 1,15 e = 0,85 e .

c) Der gesuchte Preis p ist die Lösung der Gleichung

p · 13 · 106 − A = 4 200 000 ⇐⇒ p = 4 200 000 + A

13 · 106 = 1,473... e

Wenn alle Lose um 1,48 e verkauft werden, beträgt der Gewinn der Lotterie über 4 200 000 e .

Auf dem Arbeitsblatt – Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsräumebehandeln wir die folgenden Fragen:

Was ist ein Zufallsexperiment?

Was sind Ergebnisse?Was ist der Ergebnisraum bei einem Zufallsexperiment?

Was sind Ereignisse?Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis?

AB – Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeitsräume

5

Page 6: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

3. Zufallsvariablen

Auf dem Arbeitsblatt – Zufallsvariablen behandeln wir die folgenden Fragen:

Was ist eine Zufallsvariable?Ω = , , , , ,

mogliche Ergebnisse

Zufall

z. B.

Ergebnis desZufallsexperiments

X ( )Zufalls-variable X

= 50 e

Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable, und wie berechnet man ihn?Wie berechnet man Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariable?Unter welcher Bedingung ist ein Spiel fair?

AB – Zufallsvariablen

Beispiel 3.1. Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel mit den Augenzahlen 1 bis 6. Wenn du einegerade Augenzahl würfelst, dann gewinnst du die Hälfte der gewürfelten Augenzahl in Euro. Wenndu eine ungerade Augenzahl würfelst, dann verlierst du 2 Euro.

a) Ergänze die fehlenden Werte in der Tabelle.

Ergebnis ωi

P (ωi)

X(ωi)

b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten P (X = −2 e ), P (X ≥ 2 e ) und P (X ≤ 1,5 e ).

Lösung. a)

Ergebnis ωi

P (ωi) 16

16

16

16

16

16

X(ωi) −2 e 1 e −2 e 2 e −2 e 3 e

b) Wir müssen genau zwischen dem Würfelergebnis – zum Beispiel ω4 = 4 – und dem zugehörigenWert der Zufallsvariable X(ω4) = 2 e unterscheiden.

P (X = −2 e ) = P ( , , ) = 36

P (X ≥ 2 e ) = P ( , ) = 26

P (X ≤ 1,5 e ) = P ( , , , ) = 46

Mit X = −2 e ist formal das Ereignis gemeint,dass X den Wert −2 e annimmt.Das Ereignis X = −2 e ist also , , .

6

Page 7: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Beispiel 3.2. Der Kauf einer „Schatztruhe“ (siehe Beispiel 2.1) ist ein Laplace-Experiment mit13 Millionen möglichen Ergebnissen. In diesem Modell ist also jedes einzelne Los ein mögliches Ergebnis.

Wie groß ist die erwartete Auszahlung pro Los?

Lösung. Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung abhängig vom gekauften Los an.Die möglichen Werte von X sind x1 = 0 e , x2 = 2 e , x3 = 4 e , . . . , x11 = 30 000 e .

Den Erwartungswert der Auszahlung X berechnen wir also folgendermaßen:

E(X) = 2 · 2 282 50013 · 106 + 4 · 1 000 000

13 · 106 + · · ·+ 30 000 · 2013 · 106 =

= 2 · 2 282 500 + 4 · 1 000 000 + · · ·+ 30 000 · 2013 · 106 = 1,15 e . Vergleiche mit Beispiel 2.1.

Wir wiederholen ein Zufallsexperiment immer wieder unter denselben Bedingungen.Bei jeder Wiederholung notieren wir den Wert, den die Zufallsvariable dem Ergebnis zuordnet.Nach vielen Wiederholungen bilden wir dann den Mittelwert der notierten Werte.Dieser Mittelwert liegt dann mit hoher Wahrscheinlichkeit nahe am Erwartungswert E(X).

Mathematisch exakt gilt für alle ε > 0: limn→∞

P („Mittelwert ist nach n Wiederholungen mindestens ε von E(X) entfernt“) = 0.

Das ist das (schwache) Gesetz der großen Zahlen.

Interpretation des Erwartungswerts

Beispiel 3.3. Martina bietet folgendes Spiel an: Nach einem Einsatz von 10 e wirft man einenfairen 6-seitigen Würfel. Würfelt man einen Sechser erhält man G e zurück. In allen anderen Fällenist der Einsatz verloren. Wie groß muss G sein, damit das Spiel fair ist?

Martina soll also auf lange Sicht weder Gewinn noch Verlust erwarten.

Lösung. X . . . Gewinn von Martina bei einer Spielrunde.

X =

10 e , wenn kein Sechser gewürfelt wird.10−G e , wenn ein Sechser gewürfelt wird.

Der Erwartungswert von X ist

E(X) = 10 · P (X = 10) + (10−G) · P (X = 10−G) = 10 · 56 + (10−G) · 1

6 = 10− G

6 .

Damit das Spiel fair ist, muss E(X) = 0 sein, also

0 = 10− G

6 ⇐⇒ G = 60 e .

Für ein faires Spiel muss Martina bei einem Sechser 60 e auszahlen.

7

Page 8: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Beispiel 3.4. Würfelt man mit einem sogenannten „gezinkten“ 6-seitigen Würfel, so sind die Wahr-scheinlichkeiten für die verschiedenen Augenzahlen bei einem Wurf nicht gleich groß.

Die Zufallsvariable X gibt die Augenzahl der gewürfeltenSeite an. Die Wahrscheinlichkeiten für die sechs Seiten sindrechts in einem Stabdiagramm dargestellt.

Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichungvon X.

Lösung. Der Erwartungswert von X ist

µ = E(X) = 1 · P (X = 1) + 2 · P (X = 2) + · · ·+ 6 · P (X = 6)

= 1 · 0,3 + 2 · 0,05 + 3 · 0,15 + 4 · 0,25 + 5 · 0,1 + 6 · 0,15 = 3,25.

Die Varianz von X ist

V (X) = (1− µ)2 · P (X = 1) + (2− µ)2 · P (X = 2) + · · ·+ (6− µ)2 · P (X = 6) = 3,1875.

Die Standardabweichung von X ist also

σ =√V (X) = 1,785...

8

Page 9: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

4. Weitere Aufgabenstellungen

Aufgabe 4.1. Beim Roulette gibt es 37 durchnummerierte Felder mit den Zahlen von 0 bis 36.Davon sind 18 Felder rot, 18 Felder schwarz, und ein Feld ist grün.Mit einer Kugel wird ein Feld zufällig ausgewählt.Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse in Prozent.a) A = „Schwarzes Feld ausgewählt.“b) B = „Feld mit einer Zahl größer als 17 ausgewählt.“c) C = „Feld mit einer Primzahl ausgewählt.“

Aufgabe 4.2. Ich schreibe zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine natürliche Zahl von 1 bis 4200auf einen Zettel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl . . .a) einstellig ist? b) zweistellig ist? c) dreistellig ist? d) vierstellig ist?

Aufgabe 4.3. Beim Glücksspiel Lotto „6 aus 45“ gibt es 45 Kugeln, die mit den Zahlen von 1 bis 45durchnummeriert sind. Mit einem Lotto-Tipp entscheidet man sich für 6 der 45 Zahlen.Bei der Lotto-Ziehung werden dann 6 der 45 Kugeln gezogen und aufsteigend sortiert. Die Reihenfolgeder gezogenen Kugeln ist also egal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau

a) die 6 Zahlen b) 5 der 6 Zahlen c) 4 der 6 Zahlen d) 3 der 6 Zahlen richtig zu tippen?

Gib die Wahrscheinlichkeit auch als Verhältnis „1 zu . . . “ an.

Aufgabe 4.4. In einer Klasse befinden sich 10 Schüler und 17 Schülerinnen.

a) Zur Stundenwiederholung wird zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Person ausgewählt.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schülerin ausgewählt wird?

b) Zur Stundenwiederholung werden zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit 3 verschiedene Personenausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass . . .1) drei Schüler ausgewählt werden? Hinweis: Wie viele mögliche Gruppen aus 3 Personen gibt es?

2) zwei Schüler und eine Schülerin in beliebiger Reihenfolge ausgewählt werden?3) ein Schüler und zwei Schülerinnen in beliebiger Reihenfolge ausgewählt werden?4) drei Schülerinnen ausgewählt werden?

9

Page 10: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Aufgabe 4.5. Beim Spiel Schiffe versenken zeichnet jeder Spieler in ein 10 × 10-Raster folgendeSchiffe ein:

Die Schiffe dürfen (auch diagonal) nicht aneinander grenzen. Eine mögliche Startaufstellung ist dargestellt.

ein Schiff mit 5 Kästchenzwei Schiffe mit 4 Kästchendrei Schiffe mit 3 Kästchenvier Schiffe mit 2 Kästchen

Antonia zeichnet in das leere Raster das Schiff mit 5 Kästchen aneine zufällige Position mit gleicher Wahrscheinlichkeit ein.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Schiff die folgendenKästchen enthält?a) A 1 b) E 5 c) D 3 und D 4 d) D 3 oder D 4 (oder beide)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

B

C

D

E

G

H

I

J

F

Aufgabe 4.6. Beim Schach können zwei Türme einander schlagen, wenn sie in derselben Reihe oderin derselben Spalte stehen. Im Bild sind 8 Türme so auf ein Schachbrett gestellt, damit keine zweiTürme einander schlagen können.8 Türme werden zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf 8 verschie-dene Felder gesetzt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer solchen zufälligenAufstellung keine zwei Türme einander schlagen können?

Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit im Verhältnis zur Wahrschein-lichkeit bei Lotto 6 aus 45 die 6 richtigen Zahlen zu tippen?

8

7

6

5

4

3

2

1

a b c d e f g h

Aufgabe 4.7. Bei der Pokervariante Five Card Draw wird mit einem Kartendeck aus 52 Kartengespielt. Dabei gibt es in jeder der 4 Farben Herz, Karo, Treff und Pik jeweils 13 verschiedene Kartenmit den Werten 2, 3,. . ., 10, B, D, K, A. Jede mitspielende Person erhält genau 5 der 52 Karten.

a) Wenn alle 5 Karten die gleiche Farbe haben, spricht man von einem Flush. Wie groß ist dieWahrscheinlichkeit für einen Flush? Gib die Wahrscheinlichkeit auch als Verhältnis „1 zu . . . “ an.

b) Wenn 3 Karten den gleichenWert haben und die anderen 2 Karten einen gleichenWert haben,spricht man von einem Full House. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Full House?Gib die Wahrscheinlichkeit auch als Verhältnis „1 zu . . . “ an.

Aufgabe 4.8. Beim Pen-&-Paper-Rollenspiel Dungeons & Dragons wird ein fairer 20-seitiger Würfel(„Ikosaeder“) mit den Zahlen 1 bis 20 geworfen. Du würfelst einmal mit diesem Würfel.

1) Gib den Ergebnisraum Ω an.2) Beim Ergebnis 20 spricht man von einem kritischen Treffer. Berechne P („kritischer Treffer“).3) Um eine bestimmte Probe zu bestehen, muss die gewürfelte Zahl mindestens 14 sein.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass du die Probe bestehst.

10

Page 11: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Aufgabe 4.9. Eine Schachtel enthält 5 rote Kugeln, 3 blaue Kugeln und 2 grüne Kugeln. Du ziehstblind eine Kugel.Das Ergebnis ist die Farbe der gezogenen Kugel: Ω = rot, blau, grün.1) Trage die Wahrscheinlichkeiten in die Tabelle ein.

Ergebnis ωi rot blau grün

P (ωi)

2) Berechne die Wahrscheinlichkeiten:i) P („rot oder blau“)ii) P („rot oder grün“)iii) P („blau oder grün“)iv) P („rot oder blau oder grün“)

Aufgabe 4.10. Um die Wahrscheinlichkeiten für die 6 Seiten eines gezinkten Würfels zu schätzen,wirfst du ihn 1000 Mal und notierst die Ergebnisse. Die absoluten Häufigkeiten der 6 Zahlen sind inder Tabelle zusammengefasst:

Ergebnis

Absolute Häufigkeit 84 190 218 127 139 242

1) Berechne die relativen Häufigkeiten der 6 Ergebnisse als Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten.

Ergebnis

Relative Häufigkeit

2) Berechne mit den Schätzwerten die Wahrscheinlichkeit eine gerade Augenzahl zu würfeln.

Aufgabe 4.11. Von einem gezinkten 6-seitigen Würfel kennst du die Wahrscheinlichkeiten von 4der 6 Seiten:

Ergebnis ωi

P (ωi) 20 % 20 % 25 % 5 % x% y%

a) Du weißt, dass P ( , ) = 30 %.Berechne P ( ) und P ( ).

b) Du weißt, dass P („ungerade Augenzahl“) doppelt so groß ist wie P („gerade Augenzahl“).Berechne P ( ) und P ( ).

11

Page 12: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Aufgabe 4.12. Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel mit Augenzahlen von 1 bis 6.Die Zufallsvariable X gibt die gewürfelte Augenzahl an.

1) Trage die Wahrscheinlichkeiten und die Werte der Zufallsvariable in die Tabelle ein.

ωi

P (ωi)

X(ωi)

2) Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X.

Aufgabe 4.13. Du wirfst einen gezinkten 6-seitigen Würfel mit Augenzahlen von 1 bis 6. Dabei istjede gerade Augenzahl gleich wahrscheinlich und jede ungerade Augenzahl gleich wahrscheinlich.Die Wahrscheinlichkeit für einen Sechser ist drei Mal so groß wie die Wahrscheinlichkeit für einenEinser. Die Zufallsvariable X gibt die gewürfelte Augenzahl an.

1) Trage die Wahrscheinlichkeiten und die Werte der Zufallsvariable in die Tabelle ein.

ωi

P (ωi)

X(ωi)

2) Berechne den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung von X.

Aufgabe 4.14. Die Zufallsvariable X kann vier verschiedene Werte annehmen:

xi 1 2 3 10 000

P (X = xi) 40 % 34 % 25 % 1 %

a) Berechne den Erwartungswert von X.b) Berechne P (X ≤ 3).

Wenn man nur den Erwartungswert vonX kennt, weiß man noch nicht,welcher Wert bei einem einzigen Versuch „zu erwarten“ ist.

c) Berechne die Varianz und die Standardabweichung von X.

Aufgabe 4.15. In einer Urne befinden sich 3 rote Kugeln, 5 blaue Kugeln und 2 grüne Kugeln.Gegen einen Einsatz von 5 e darf man blind eine Kugel aus der Urne ziehen.Ist die gezogene Kugel rot, erhält man 4 e .Ist die gezogene Kugel blau, erhält man 3 e .Das Spiel soll fair sein. Wie viel e muss man erhalten, wenn die gezogene Kugel grün ist?

12

Page 13: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Aufgabe 4.16. Du wirfst einen fairen 6-seitigen Würfel (Augenzahlen 1 bis 6) und einen fairen4-seitigen Würfel (Augenzahlen 1 bis 4).Die Zufallsvariable X gibt die Augensumme der beiden Würfel an.

1) Trage in die Tabelle die Augensumme X abhängig vom Ergebnis der beiden Würfel ein.

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

2) Berechne die Wahrscheinlichkeit für jede mögliche Augensumme, und trage sie in die Tabelle ein.

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P (X = xi)

3) Beschreibe das Ereignis in Worten, und berechne seine Wahrscheinlichkeit.i) X > 7 ii) X ≤ 5 iii) 4 ≤ X ≤ 7

4) Berechne den Erwartungswert von X.

Aufgabe 4.17. In einem Casino gibt es bei einem Glücksrad 3 mögliche Ergebnisse.Abhängig vom gedrehten Ergebnis zahlt das Casino den dargestellten Betrag aus.1) Die Zufallsvariable X gibt die Auszahlung bei einer Drehung an.

Berechne den Erwartungswert von X.2) Pro Stunde drehen durchschnittlich 40 Personen am Glücksrad.

Das Casino hat 18 Stunden pro Tag und 28 Tage pro Monat geöffnet.Wie viel Geld sollte das Casino pro Drehung verlangen, damit es auf langeSicht durchschnittlich 2000 e Gewinn pro Monat am Glücksrad erzielt?

13

Page 14: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

Aufgabe 4.18. Beim Roulette gibt es 37 durchnummerierte Felder mit den Zahlen von 0 bis 36.Davon sind 18 Felder rot, 18 Felder schwarz, und ein Feld ist grün.Es gibt verschiedene Möglichkeiten zum Setzen von Geld.1) Rot: Wenn die Kugel auf einem roten Feld landet, erhält man

das Doppelte des Einsatzes zurück. Andernfalls verliert man denEinsatz.

2) Erstes Dutzend: Wenn die Kugel auf einem Feld mit einerZahl von 1 bis 12 landet, erhält man das Dreifache des Einsatzeszurück. Andernfalls verliert man den Einsatz.

3) 24: Wenn die Kugel auf dem Feld mit der Zahl 24 landet, erhält man das 36-fache des Einsatzeszurück. Andernfalls verliert man den Einsatz.

In der 1. Runde setzt du 37 e auf Rot.X1 ist der Gewinn in der 1. Runde nach Abzug des Einsatzes.In der 2. Runde setzt du 37 e auf das erste Dutzend.X2 ist der Gewinn in der 2. Runde nach Abzug des Einsatzes.In der 3. Runde setzt du 37 e auf die Zahl 24.X3 ist der Gewinn in der 3. Runde nach Abzug des Einsatzes.Berechne jeweils den Erwartungswert und die Standardabweichung von X1, X2 und X3.

Aufgabe 4.19. Bei einer Multiple-Choice-Frage gibt es 6 mögliche Antworten, von denen mindestenseine Antwort und höchstens 5 Antworten richtig sind. Du darfst beliebig viele Antworten ankreuzen.Wenn du mindestens eine falsche Antwort ankreuzt, erhältst du 0 Punkte.Wenn du genau die richtigen Antworten ankreuzt, erhältst du 1 Punkt.Wenn du ausschließlich k der n richtigen Antworten ankreuzt, erhältst du k

nPunkte.

Du hast im Vorhinein keine Information darüber, ob 2, 3, 4 oder 5 Antworten richtig sind.

Bei 4 der 6 Antworten weißt du sicher, dass sie richtig sind. Also kreuzt du sie an.Bei einer Antwort weißt du sicher, dass sie falsch ist. Also kreuzt du sie nicht an.Bei der letzten Antwort bist du dir nicht ganz sicher, ob sie richtig oder falsch ist.Wie sehr musst du mindestens davon überzeugt sein, dass die letzte Antwort richtig ist, damit du sieankreuzen solltest? Gib den Überzeugungsgrad in % an. Du möchtest die zu erwartende Punkteanzahl maximieren.

14

Page 15: MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI...MathematikmachtFreu(n)de KH–StochastikI Beispiel2.1. InderaktuellenLosauflage„Schatztruhe“gibtes13Mio.Rubbellose. DerPreisproRubbellosbeträgt2

Mathematik macht Freu(n)de KH – Stochastik I

4.1a)P(A)=48,64...%b)P(B)=51,35...%c)P(C)=29,72...%4.2a)0,21...%b)2,14...%c)21,42...%d)76,21...%4.3a)1,22...·10−5%=1zu8145060b)2,87...·10−3%≈1zu34808c)0,13...%≈1zu733d)2,24...%≈1zu454.4a)62,96...%

b)1)4,10...%2)26,15...%3)46,49...%4)23,24...%4.5a)1,66...%b)8,33...%c)2,5%d)10%4.6Schachbrett:0,000910...%Lotto6aus45:0,0000122...%

Verhältnis:74,19...:1Esistrund74Malsowahrscheinlich,dieTürmeamSchachbrettzufällignichtschlagendzuplatzieren.

4.7a)0,198...%≈1zu505b)0,144...%≈1zu6944.81)Ω=1,2,3,...,202)5%3)35%

4.91)ErgebnisωirotblaugrünP(ωi)50%30%20%

2)i)80%ii)70%iii)50%iv)100%

4.101)ErgebnisRelativeHäufigkeit8,4%19%21,8%12,7%13,9%24,2%

2)55,9%4.11a)P()=25%P()=5%b)P()=21,66...%P()=8,33...%

4.121)ωi

P(ωi)16

16

16

16

16

16

X(ωi)1234562)E(X)=3,5V(X)=2,916...σ(X)=1,707...

4.131)ωi

P(ωi)112

312

112

312

112

312

X(ωi)1234562)E(X)=3,75V(X)=2,854...σ(X)=1,689...

4.14a)E(X)=101,83b)99%c)V(X)=989634,6...σ(X)=994,8...4.1511,50e

4.161)

12345612345672345678345678945678910

2)xi2345678910P(X=xi)1/242/243/244/244/244/243/242/241/24

3)i)P(„Augensummegrößerals7“)=25%ii)P(„Augensummehöchstens5“)=41,66...%

iii)P(„Augensummemindestens4undhöchstens7“)=62,5%4)E(X)=6

4.171)E(X)=3,50e2)DasCasinosolltemindestens3,60eproDrehungverlangen.4.18E(X1)=−1eσ(X1)=36,98...eE(X2)=−1eσ(X1)=51,96...eE(X3)=−1eσ(X1)=

216e4.1983,33...%

Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz.http://mmf.univie.ac.at