Mathematische Ansätze

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Mathematische Ansätze. Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren. Mathematische Ansätze. Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität. 15 Unbekannte:  x  y  z  xy  xz  yz  x  y  z  xy  xz  yz u v w. Mathematische Ansätze. - PowerPoint PPT Presentation

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  • Mathematische AnstzeDynamisches VerhaltenMathematische AnstzeRechenverfahren

    Mathematische Anstze

  • Stoffunabhngige GleichungenMaterialgesetzeKompatibilittMathematische Anstze15 Unbekannte:x y z xy xz yzx y z xy xz yzu v w

    Mathematische Anstze

  • Mathematische Anstzestoffunabhngige Gleichgewichtsgleichungen

    6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen

    6 Materialgleichungen

    Mathematische Anstze

  • GleichgewichtsgleichungenStoffunabhngige GleichungenVirtueller Schnitt

    Mathematische Anstze

  • Spannungsvektor der resultierenden Schnittgren Sv=dF/dANormalspannungen=dFn/dATangentialspannungen =dFt/dA

    dAGleichgewichtsgleichungenStoffunabhngige Gleichungen

    Mathematische Anstze

  • Stoffunabhngige GleichungenGleichgewichts-gleichungen

    Mathematische Anstze

  • Stoffunabhngige GleichungenGleichgewichtsgleichungen:

    x/x + yx/y + zx/z + X = 0y/y + xy/x + zy/z + Y = 0z/z + yz/y + xz/x + Z = 0

    Mathematische Anstze

  • G [u + (1-2) 1 (/x)] +X = 0

    G [v + (1-2) 1 (/y)] +Y = 0

    G [w + (1-2) 1 (/z)] +Z = 0

    Mathematische AnstzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Verschiebungen:(Navier)

    Mathematische Anstze

  • u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2

    Mathematische AnstzeIn den Navier Gleichungen sind:(Laplace)

    Mathematische Anstze

  • x+(1+)1(2/x2)+2X/x+(1-)1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

    y+(1+)1(2/y2)+2Y/y+(1-)1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

    z+(1+)1(2/z2)+2Z/z+(1-)1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

    (Beltrami)Mathematische AnstzeEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen fr die unbekannten Spannungen:

    Mathematische Anstze

  • xy+(1+)1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0

    xz+(1+)1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0 yz+(1+)1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0

    Mathematische Anstze(Beltrami)

    Mathematische Anstze

  • x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2

    y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2

    z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2

    Mathematische AnstzeIn den Beltrami-Gleichungen sind:Die Lsung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fllen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung

    Mathematische Anstze

  • Stoffunabhngige GleichungenS - = 0

    SpannungstensorBechleunigungsvektor

    Mathematische Anstze

  • Stoffunabhngige GleichungenGleichgewichtsgleichungen:

    Sx= xex + yxey+ xzezSy= yxex + yey + yzezSz= zxex + zyez + zez

    Tensordarstellung:

    x xyxzS =yx yyzzx zyz

    S Spannungstensor

    Mathematische Anstze

  • 3 Stoffunabhngige Gleichungen6 Materialgleichungen6 KompatibilittsgleichungenMathematische Anstze15 Unbekannte:x y z xy xz yzx y z xy xz yzu v w

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeKompatibilitts-bedingung:Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

    Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeKompatibilitts-bedingung:Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

    u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeBCux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx

    Mathematische Anstze

  • Kinematisches Gleichgewichtx = u/x u v wy = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeKompatibilitts-bedingung:iklm= 0RiemannTensor 4. Stufe

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeStoffgesetze:1-starres Material2-linear-elastisch3-nichtlinear-elast.4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch6-viskoses Material: Kriechen7-viskoses Material: Relaxieren1234567

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeStoffgesetze:SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeitVerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeElastischesMaterialverhalten

    Stoffe ohne GedchtnisSpannungstensor

    Verzerrungstensor

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeplastischesMaterialverhalten

    Stoffe mit permanentemGedchtnisSpannungsgeschwindigkeit

    Verzerrungsgeschwindigkeit

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeviskosesMaterialverhalten

    Stoffe mit schwindendemGedchtnisSpannungstensor

    Verzerrungsgeschwindigkeit

    Mathematische Anstze

  • 3. Schwingkopf1. Kopf fr Zellsuspension2. Hlse4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor

    Mathematische Anstze

  • 3. Schwingkopf Gesamtansicht

    Mathematische Anstze

  • 3. Schwingkopf FEM - Simulation

    Mathematische Anstze

  • 3. Schwingkopf FEM - Analyse

    Mathematische Anstze

  • Mathematische AnstzeNherungsverfahren:Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionender Zeit, direkte Zeitintegration

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