Mathematische Begriffsbildung

in den Anfangssemestern

Karlheinz Spindler Hochschule RheinMain

Hochschule RheinMain Kurt-Schumacher-Ring 18

Arbeitsgruppe Mathematik 65197 Wiesbaden

Nichttriviale Anwendungen erfordern nichttriviale Methoden.

Nichttriviale Anwendungen erfordern nichttriviale Methoden.

Betonung allgemeiner Strukturen

• Mengen, Abbildungen, Relationen

• Äquivalenzrelationen, Quotientenbildung

• Ordnungsrelationen• Symmetrie • Dualität

Nicht zurückscheuen vor

„unbequemen“ Begriffen!

• Infimum und Supremum

• Stetigkeit• Integrabilität • Basiswechsel • Mannigfaltigkeit

Formulierung von Begriffen in ihrer wesentlichen

Bedeutung

• lineare Abbildungen statt Matrizen

• quadratische Formen statt Matrizen

• Abbildungen auf einem Vektorraum statt Abbildungen in mehreren Variablen

Genauigkeit im DenkenSituation: Wir haben einen Stapel Karten, von denen jede

auf einer Seite einen Buchstaben und auf der anderen eine Zahl hat.

Behauptung: Wenn eine Karte auf einer Seite ein E hat, dann hat sie auf der anderen Seite eine 2.

Frage: Welche dieser vier Karten müssen wir umdrehen, um die Behauptung zu überprüfen?

Hervorragendes Training: Sudokus

Genauigkeit im DenkenBeispiel: Aus zwei rechteckigen und zwei dreieckigen

Brettern soll ein Trog mit dem Volumen V=500 l bei minimalem Materialverbrauch gebildet werden. Wie sind die Abmessungen zu wählen?

Genauigkeit im Denken

• Unterscheidung zwischen Existenz- und EindeutigkeitsaussagenBeispiele:• Primfaktorzerlegung• Klassifikation

quadratischer Formen

• Unterscheidung zwischen notwendigen und hinreichenden BedingungenBeispiele: • Extremwertaufgaben • Extrema unter

Nebenbedingungen

Hinterfragen von DefinitionenBeispiel: Ableitungsbegriff in

einer Variablen

Beispiel: Ableitungsbegriff in mehreren Variablen

Die Antwort ist jeweils nein.

Stärkung des Bewußtseins, daß selbst elementare

Sachverhalte das Potential für neue Fragestellungen bergen.

• Beispiel: schwacher Ableitungsbegriff• Beispiel: Formel von Faà di Bruno• Beispiel: Optimierung analytischer Funktionen

Produktregel:

Leibnizregel:

Kettenregel: Formel von Faà di

Bruno:

Zbl 1074.05014 Spindler, KarlheinzA short proof of the formula of Faà di Bruno. (English)[J] Elem. Math. 60, No. 1, 33-35 (2005). ISSN 0013-6018; ISSN 1420-8962

The paper gives a remarkably simple proof to the Faà di Bruno formula, which expresses higher derivatives of a composite function. The paper points out that a proof for composition of polynomials is sufficient, and then shows that the result for composition of polynomials is an easy consequence of the multinomial theorem.[László A. Székely (Columbia)]

Förderung der Fähigkeit zur Modellbildung

Modellbildung erfordert begriffliches Verständnis:

• Ableitungen als Änderungsraten• Integrale als Aggregate von

Einzelgrößen • Mannigfaltigkeiten als

Zustandsräume• Differentialformen als Flüsse• Integralsätze als Ausdruck von

Bilanzgleichungen• Gruppen als Ausdruck von

Systemsymmetrien

InterdisziplinaritätAnalogien zwischen mathematischen und

physikalischen Überlegungen (Bsp.: Kovarianzmatrix in der Statistik = Trägheitsmomententensor in der Mechanik)

Vorbereitung späterer Begriffsbildungen

bereits zu einem frühen Zeitpunkt

Beispiel: Einfach-/Mehrfachintegrale

Vorbereitung späterer Begriffsbildungen

bereits zu einem frühen Zeitpunkt

Beispiel: Riemannsches/Lebesguesches Integral

Heuristische Vorbereitung späterer Resultate

Beispiel: Lebesguesches Integrabilitätskriterium

Anwendung:

Beweis:

Heuristische Vorbereitung späterer Resultate

Beispiel: Transformationsregel für Integrale

Beispiel: äußere Ableitung einer Differentialform

Betonung struktureller Eigenschaft gegenüber

Rechenrezepten

Gute und schlechte Definitionen (1)

So?

Oder so?

Gute und schlechte Definitionen (2)

So?

Oder so?

Alternative InterpretationBahngeschwindigkeit eines Schaufelrades in

der Strömung

Bahngeschwindigkeit eines Schaufelrades in der Strömung

Rotation als Winkelgeschwindigkeit eines infinitesimalen Rades

Aussagekräftige Bilder Beispiel: Funktionen in mehreren Variablen

Aussage-kräftige Bilder Beispiel: Lagrange-

Multiplikatoren

Benutzung verallgemeinerungsfähiger

Definitionen• von vornherein Berücksichtigung vektorwertiger Funktionen

• Riemannsche Summen vs. Ober- und Untersummen

• koordinatenunabhängige Definitionen• Angabe verschiedener Charakterisierungen

eines Begriffs

Schlüsselrolle der Linearen Algebra• wesentlich für die

mehrdimensionale Analysis• grundlegend für die Funktionalanalysis (Übergang zu unendlichdimensionalen Räumen)• grundlegend für die Differentialgeometrie (Übergang zu nichtlinearen Räumen)

Beispiel: Extrema unter Nebenbedingungen

Hinreichende Bedingungen für Extrema unter

Nebenbedingungen (1)

Hinreichende Bedingungen für Extrema unter

Nebenbedingungen (2)

Mehr Zeit!„Man sollte eigentlich ein

nulltes Semester für die Mathematik einführen.“Wieviel Zeit wird verplempert, weil Anwendungen gebracht werden, bevor die benötigten mathematischen Begriffe und Methoden bereitstehen?

Rückbesinnung auf InhalteNoch so viel didaktischer Firlefanz

kann nicht fehlende inhaltliche Substanz ersetzen.

Wer ein 20stöckiges Hochhaus bauen will, darf nicht an den Fundamenten sparen.Die Mathematik sollte gegenüber anderen Fächern und der Hochschulpolitik selbstbewußter auftreten.

Man muß von hinten her denken: die Studienziele bestimmen, was am Anfang zu tun ist.