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Mathematische Grundlagen der VermessungMathematische Grundlagen der Vermessung
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Monika JaroschUniversitt Siegen
http://www.uni-siegen.de/dept/fb10/vermStand: 2008-03
Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universitt Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung

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MathematikMathematik
Algebra Analysis Geometrie
Arithmetik Diffentialrechnung PlanimetrieZahlentheorie Integralrechnung TrigonometrieGruppentheorie Reihenlehre StereometrieMengenlehre Funktionentheorie analytische GeometrieInvariantentheorie Variationsrechnung nichteuklidische G.
DifferentielgeometrieTopologie
TaschenrechnerGeodreieck
Zirkel

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InhaltsverzeichnisMathematik - Algebra/Analysis/GeometrieInhalt AnwendungenLiteraturMaeinheiten
- Lnge/Flche/Volumen- Konstanten- Ebener Winkel: Grad, Gon, Bogenma- Drehsinn von Koordinatensystemen- Koordinatensystem: mathematisch und geodtisch- Ebener Winkel: Umrechnung
Planimetrie = ebene Geometrie (griechisch: Flchenmessung)Figuren in einer Ebene wie Kreis, Dreieck, Vieleck, Kegelschnitte
- beliebige und rechtwinklige Dreiecke- Lehrstze- Darstellung der Lehrstze- abgeleitete Gren- Flchenberechnungen im allg. Dreieck
Trigonometrie (griechisch: Dreiecksmessung)Berechnung von Seiten, Winkel und Flchen von Dreiecken aus 3 bekannten Gren ber trigonometrische Winkelfunktionen
Grundlage: rechtwinklige Dreiecke, in die alle ebenen Dreiecke zerlegt werden knnen.
- Rechtwinkliges Dreieck- Winkelfunktionen- Goniometrische Gleichungen- Dreieckstypen- schiefwinkliges Dreieck
Vektorrechnung

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Vektorrechnung mit Anwendungen in der Geometrie
Vektoren Linearkombinationen SkalarproduktVektorprodukt (Kreuzprodukt) Spatprodukt
und ein praktisches Anwendungsbeispiel!

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AnwendungenAnwendungen
Seneca-Zitat: vor ca. 2000 Jahren(Lucius Annus Seneca, rmischer Philosoph, Berater v. Nero)
Lange ist der Weg durch Lehren ... und wirksam durch Beispiele
... und wozu dies alles?
frher Brckenkurs heute Tutorium Vorbereitung undBegleitung des Studiums!

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LiteraturLiteratur
Schneider: Bautabellen fr Ingenieure, 16. (aktuelle) Auflage, Werner-Verlag, 2004.
Kahmen, Heribert: Vermessungskunde.De Gruyter Lehrbuch, 19. Auflage, Berlin, 1997.
Torge, Wolfgang: Geodsie.De Gruyter Lehrbuch, 2. Auflage, Berlin, 2003. (1. Auflage 1975)
Bronstein-Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, (1979).(uralt ... heute aktuellere Auflage!)

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MaeinheitenMaeinheiten
Lnge m1 km = 1000 m1 dm = 0,1 m = 10 cm1 cm = 0,01 m1 mm = 0,001 m
Flche m2 1 km2 = 1000 m * 1000 m = 106 m21 ha = 100 m * 100 m = 104 m2
1 a = 10 m * 10 m = 102 m2
Volumen m31 Kubikmeter = 1m3 = 106 cm31 Liter = 1 l = 1 dm31 gallon (brit) = 1 gal = 4,546 dm31 gallon (usa) = 1 gal = 3,786 dm3

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MaeinheitenKonstantenMaeinheitenKonstanten
= 3,14159265359 ...
200 gon / = 63,66197724 ... gon (frher rho in Gon)180 o / = 57,29577951 ... o (frher rho in Grad)
Lichtgeschwindigkeit: cV = 299 792 458 m/sim Vakuum
also ca: 300 000 km/s
1 Seemeile = 1852 m1 mile = 1 mi = 1609,344 m1 yard = 1 yd = 3 ft = 0,9144 m1 foot = 1 ft = 12 in = 0,3048 m 1 inch = Zoll oder in = 0,0254 m
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1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zhlung rechtslufig! (r2 > r1) = r2 - r1
Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 4 * 90o = 360o1o = 60 ; 1 = 60
Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 4*100 gon=400 gon1 gon = 100c ; 1c = 100cc ; 1 gon = 1000 mgon
Bogenma dimensionslos * unabhngig von Kreisradius r * nur! abhngig von Gre des Winkels
b/r = const = Arc = Bogenma von
Der Radiant ist derjenige Winkel, frden das Lngenverhltnis Kreisbogen bzu Radius r den Zahlenwert 1 hat!
Einheitenzeichen: rad (SI-Einheit)
MaeinheitenEbener WinkelMaeinheitenEbener Winkel
Richtung r1 zu P1
Richtung r2 zu P2
S br
U
b = r arc
b/r = 1 rad Winkel rad[gon]: 1 rad=200gon/Prof. Dr.-Ing. Monika Jarosch * Universitt Siegen * Mathematische Grundlagen der Vermessung

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Richtung r1 zu P1
Richtung r2 zu P2
S br
U
1 Vollkreis aus 4 rechten Winkeln Zhlung rechtslufig! (r2 > r1) = r2 - r1
Grad (Altgrad) Sexagesimalteilung: 123 45 55 = 123,7652777
Gon (Neugrad) Dez. Gonteilung: 123, 4561 gon =123 gon +
456,1 mgon =123 gon +
45 cNeuminuten
61 ccNeusekunden
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Beispiele

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MaeinheitenDrehsinn von KoordinatensystemenMaeinheitenDrehsinn von Koordinatensystemen
xy
Regel: x dreht ber krzeren Winkel nach y ...
links herum
Uhr12
entgegen Uhrzeigersinn
Achsbezeichnung Quadrantenzhlung Dreifingerregelxy
Ring
finge
r
Spitze von ZeigefingerBetrachtung von oben
Daumen

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MaeinheitenKoordinatensystemeMaeinheitenKoordinatensysteme
0o 360o0 gon 400 gon0 2
90o
180o
270 o =
100 gon
200 gon
300 gon =
/2
3/2
Mathematisches Systempositiver Winkelentgegen Uhrzeigersinn
x
yIII
III IV
Geodtisches Systempositiver Winkelim Uhrzeigersinn
90o 100 gon/2
0o 360o
270 o
0 gon 400 gon
300 gon
3/2
y
xIIV
III II
180 o = 200 gon =
0 2

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MaeinheitenKoordinatensystemeMaeinheitenKoordinatensysteme
Mathematisches System Geodtisches Systemx dreht ber den krzeren Winkel zu y ... x dreht ber den krzeren Winkel zu y ...
entgegen dem Uhrzeigersinnlinksrum
im Uhrzeigersinnrechtsrum
Konventionelle Systembezeichnung: Linkssystem
Entspricht: Schraube rausdrehendh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)
Konventionelle Systembezeichnung: Rechtssystem
Entspricht: Schraube eindrehendh. z-Achse zeigt ins Blatt hinein!!! (Mechanik)
Systematische Systembezeichnung: Rechtssystem
dh. z-Achse zeigt aus Blatt heraus!!!
Systematische Systembezeichnung: Linkssystem
dh. z-Achse zeigt aus Blatt heraus!!!
xy
x=Hochwert
y=Rechtswert

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Umrechnung: Grad-Gon-Bogenma (dimensionslos) mit U=2 r folgt:
U / 400 gon = 2 r / 400 gon =U / 360o = 2 r / 360o =
b / gon = b / gon =b / o b / o
umgestellt nach b/r folgt:
b/r = const = Arc = / 200 gon * gon= / 180o * o
speziell fr r=1: Bogenma arc = Lnge des Kreisbogenstckes b!fr beliebigen Radius gilt: arc = b1/r1 = b2/r2 = ...
1 Vollwinkel =360 o ... entsprechen 400 gon ... entsprechen 2 (in Einheit rad)

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PlanimetriePlanimetrie
Beliebiges DreieckDie Summe der Innenwinkel eines Dreiecks betrgt 180o = 200 gon: + + = 180o = 200 gon
Rechtwinkliges Dreieck: = 90o
A
C
Bab
c
A
C
B
ab
c
h
qp
.
Katheten: a,b ... schlieen den rechten Winkel einHypotenuse: c ... liegt dem rechten Winkel gegenberHypotenusenabschnitte: p,q ... Projektion der Katheten auf Hyp.Hhe: h

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PlanimetrieLehrstzePlanimetrieLehrstze
Satz des Pythagoras:a2 + b2 = c2
Kathetensatz (Euklid):b2 = p * c und a2 = q * c
Hhensatz (Euklid):h2 = p * q
1. und 2. Binomische Formel:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
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PlanimetrieDarstellung der LehrstzePlanimetrieDarstellung der Lehrstze
1. und 2. Binomische Formel:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
c2
a2b2
a b
a2b2
a
b a*b
a*b (a-b)2
b2
a
ba-b
a-b
a
a2

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PlanimetrieDarstellung der LehrstzePlanimetrieDarstellung der Lehrstze
Beweismit 1. BinomischerFormel:(a + b)2 =a2 + 2ab + b2 =
aus Zeichnung ...
c2 + 4(ab/2) =c2 + 2ab
c2
a2b2
c2
a a
aa
b
b
b

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