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Mathematische LogikSS 2011

Prof. Dr. Erich Grädel

Mathematische Grundlagen der InformatikRWTH Aachen

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Inhaltsverzeichnis

1 Aussagenlogik 11.1 Syntax und Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . 11.2 Aussagenlogik und Boolesche Funktionen . . . . . . . . . . . 71.3 Horn-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . 151.5 Aussagenlogische Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Der aussagenlogische Sequenzenkalkül . . . . . . . . . . . . . 28

2 Syntax und Semantik der Prädikatenlogik 372.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 Ein Zoo von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3 Syntax der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.4 Semantik der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.5 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6 Spieltheoretische Semantik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Definierbarkeit in der Prädikatenlogik 693.1 Definierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Das Isomorphielemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3 Theorien und elementar äquivalente Strukturen . . . . . . . . 763.4 Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Vollständigkeitsatz, Kompaktheitssatz, Unentscheidbarkeit 874.1 Der Sequenzenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2 Der Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Der Beweis des Vollständigkeitssatzes . . . . . . . . . . . . . . 914.4 Der Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.5 Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . 107

5 Vollständigkeitsatz, Kompaktheitssatz, Unentscheidbarkeit 1115.1 Der Sequenzenkalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Der Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3 Der Beweis des Vollständigkeitssatzes . . . . . . . . . . . . . . 1155.4 Der Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5 Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . 131

1 Aussagenlogik

1.1 Syntax und Semantik der Aussagenlogik

Die Aussagenlogik (AL) untersucht Ausdrücke, die aus atomaren Aus-sagen (den Aussagenvariablen) allein mit Hilfe der aussagenlogischenJunktoren gebildet werden. Die Aussagenvariablen werden interpretiertdurch die Wahrheitswerte 0 (für falsch) und 1 (für wahr).

Für mathematische Zwecke ist die Aussagenlogik relativ uninter-essant, da sie zu ausdrucksschwach ist. Viele grundlegende Aspektestärkerer Logiken lassen sich jedoch im Kontext der Aussagenlogikübersichtlich behandeln und veranschaulichen. Zudem ergeben sich inder Aussagenlogik zahlreiche interessante algorithmische Probleme mitfundamentaler Bedeutung für die Informatik, so etwa die Komplexitätdes Erfüllbarkeitsproblems, die Suche nach effizienten Beweissystemen,sowie die Spezifikation und effiziente Berechnung Boolescher Funktio-nen.

Syntax

Formeln sind syntaktische Objekte, d.h. Wörter in einer formalen Sprache.Die Menge der aussagenlogischen Formeln ist induktiv als Wortmen-ge über einem Alphabet definiert, welches aus folgenden Symbolenbesteht:

• einer festen Menge τ von Aussagenvariablen,

• den Booleschen Konstanten 0, 1,

• den aussagenlogischen Junktoren ¬, ∧, ∨ und →,

• den Klammersymbolen (, ).

Meistens wird eine feste, abzählbar unendliche Menge τ =

X0, X1, X2 . . . von Aussagenvariablen zugrundegelegt. Für gewisse

1

1 Aussagenlogik

Anwendungen der Aussagenlogik ist es jedoch sinnvoll, beliebige (auchüberabzählbare) Mengen τ zuzulassen.

Definition 1.1. Die Menge AL der aussagenlogischen Formeln ist induktivdefiniert durch

(1) 0, 1 ∈ AL (die Booleschen Konstanten sind Formeln).

(2) τ ⊆ AL (jede Aussagenvariable ist eine Formel).

(3) Wenn ψ, ϕ ∈ AL, dann sind auch die Wörter ¬ψ, (ψ ∧ ϕ), (ψ ∨ ϕ)

und (ψ → ϕ) Formeln aus AL.

Boolesche Konstanten und Aussagenvariablen nennen wir auchatomare Formeln. Die Formel ¬ψ wird gelesen „nicht ψ“ und ist dieNegation von ψ. Die Formeln (ψ ∨ ϕ), gelesen „ψ oder ϕ“, und (ψ ∧ ϕ),gelesen „ψ und ϕ“, heißen die Disjunktion bzw. Konjunktion von ψ undϕ. Wir nennen (ψ → ϕ) die Implikation von ψ nach ϕ und lesen sie „ψ

Pfeil ϕ“ oder „ψ impliziert ϕ“.

Konventionen zur Notation von Formeln. Zur Verbesserung der Lesbarkeitbedienen wir uns abkürzender oder vereinfachender Schreibweisen.Zum Beispiel werden wir in Formeln oft Klammern weglassen, welchefür das Verständnis überflüssig sind. Wir vereinbaren, dass ¬ stärkerbindet als alle andern Junktoren und dass ∧ und ∨ stärker bindenals →. So steht etwa ψ ∧ ¬ϕ → ϑ für ((ψ ∧ ¬ϕ) → ϑ). Außerdemvereinbaren wir implizite Linksklammerung bei iterierten Disjunktionenund Konjunktionen: ψ ∧ ϕ ∧ η steht für ((ψ ∧ ϕ) ∧ η). Für iterierteKonjunktionen und Disjunktionen über Formeln ϕ1, . . . , ϕn verwendenwir die Schreibweisen

∧ni=1 ϕi und

∨ni=1 ϕi.

Induktion über den Formelaufbau. Jede Formel ψ ∈ AL ist ein Wortüber dem Alphabet Γ := τ ∪ 0, 1,¬,∧,∨,→, (, ), aber natürlich istnicht jedes Wort aus Γ∗ eine Formel. Definition 1.1 ist ein Beispiel füreine induktive (durch Konstruktionsregeln gegebene) Definition. Sie istso zu verstehen, dass außer den nach den Regeln (1) – (3) festgeleg-ten Formeln keine weiteren Zeichenketten aussagenlogische Formelnsind. Mit andern Worten: AL ist die kleinste Menge von Wörtern aus

2


Γ∗, welche 0, 1 sowie alle Aussagenvariablen X ∈ τ enthält, und dieunter der Regel (3) abgeschlossen ist, die also mit ψ und ϕ auch dieZeichenketten ¬ψ, (ψ ∧ ϕ), (ψ ∨ ϕ) und (ψ → ϕ) enthält.

Der induktive Aufbau von Formeln erlaubt das Prinzip der struk-turellen Induktion für Definitionen und Beweise. Induktionsbeweiseüber den Formelaufbau folgen folgendem Muster. Um nachzuweisen,dass alle Formeln in AL eine Eigenschaft E besitzen, zeigt man:

• Alle atomaren Formeln haben die Eigenschaft E.• Haben ψ und ϕ ∈ AL die Eigenschaft E, so auch ¬ψ und (ψ ϕ),

für ∈ ∧,∨,→.

Mit diesem Beweisprinzip kann man leicht die eindeutige Lesbarkeitvon Formeln einsehen: Kein echtes Anfangsstück einer Formel ist selbsteine Formel und daher kann man jede Formel auf genau eine Weisegemäß den Regeln (1) – (3) von Definition 1.1 in ihre unmittelbarenBestandteile zerlegen.

Daraus folgt insbesondere, dass induktive Definitionen über denFormelaufbau eindeutig sind: So können wir etwa die Tiefe d(ψ) einerFormel ψ ∈ AL induktiv wie folgt definieren:

• d(ψ) := 0 für atomare ψ,• d(¬ψ) := d(ψ) + 1,• d((ψ ϕ)) := max(d(ψ), d(ϕ)) + 1.

Die Tiefe ist oft ein adäquateres Maß für die Komplexität einer Formelals deren Länge. Eine Unterformel einer Formel ψ ∈ AL ist ein Teilwortvon ψ, welches selbst eine Formel ist. Die Unterformeln von ψ :=(X1 ∨ X3) ∧ (X2 ∨ (X3 → ¬X1)) sind

ψ, (X1 ∨ X3), (X2 ∨ (X3 → ¬X1)), (X3 → ¬X1),¬X1, X1, X2, X3.

Die Tiefe von ψ ist 4.

Übung 1.1. Geben Sie eine induktive Definition für die Menge derUnterformeln einer aussagenlogischen Formel an. Zeigen Sie:

(a) Formeln der Länge n haben höchstens n Unterformeln.(b) Formeln der Tiefe n haben höchstens 2n+1 − 1 Unterformeln.

3

1 Aussagenlogik

(c) Es existieren für jedes n ∈ N Formeln der Tiefe n mit genau2n+1 − 1 Unterformeln.

Übung 1.2. Zeigen Sie, dass das Prinzip der eindeutigen Lesbarkeit vonFormeln erhalten bleibt, wenn wir die sog. polnische Notation verwenden,welche ganz ohne Klammern auskommt. Die Regel (3) in Definition 1.1wird dabei ersetzt durch

(3) Wenn ψ und ϕ aussagenlogische Formeln sind, dann auch dieAusdrücke ¬ψ, ∧ψϕ, ∨ψϕ und → ψϕ.

Man zeige andererseits, dass die eindeutige Lesbarkeit nicht mehr ge-währleistet ist wenn in Definition 1.1 die Klammern einfach weggelassenwerden, d.h. wenn mit ψ und ϕ auch die Ausdrücke ψ ∧ ϕ, ψ ∨ ϕ undψ → ϕ als Formeln zugelassen werden.

Semantik

Für jede Formel ψ ∈ AL sei τ(ψ) ⊆ τ die Menge der in ψ tatsächlichvorkommenden Aussagenvariablen. Für Formelmengen Φ ∈ AL istτ(Φ) =

⋃ϕ∈Φ τ(ϕ).

Definition 1.2. Eine (aussagenlogische) Interpretation ist eine AbbildungI : σ → 0, 1 für ein σ ⊆ τ. Sie ist passend für eine Formel ψ ∈ AL,wenn τ(ψ) ⊆ σ. Jede zu ψ passende Interpretation I definiert einenWahrheitswert JψKI ∈ 0, 1, durch die folgenden Festlegungen:

• J0KI := 0, J1KI := 1.

• JXKI := I(X) für X ∈ σ.

• J¬ψKI := 1 − JψKI.

• Jψ ∧ ϕKI := min(JψKI, JϕKI).• Jψ ∨ ϕKI := max(JψKI, JϕKI).• Jψ → ϕKI := J¬ψ ∨ ϕKI.

Ein Modell einer Formel ψ ∈ AL ist eine Interpretation I mit JψKI = 1.Statt JψKI = 1 schreibt man auch I |= ψ und sagt I erfüllt ψ.

Ein Modell einer Formelmenge Φ ⊆ AL ist eine Interpretation I

mit I |= ψ für alle ψ ∈ Φ, wofür wir auch I |= Φ schreiben.

4


Nicht alle Aussagenvariablen im Definitionsbereich einer zu ψ

passenden Interpretation I müssen in ψ auch tatsächlich vorkommen.Offensichtlich ist aber für die Definition von JψKI die Interpretationder in ψ gar nicht vorkommenden Aussagenvariablen unerheblich.Dieser Sachverhalt, den man durch eine einfache Induktion über denFormelaufbau nachweisen kann, wird durch das Koinzidenzlemmaausgedrückt.

Lemma 1.3 (Koinzidenzlemma). Sei ψ ∈ AL eine Formel und seien I

und I′ zwei zu ψ passende Interpretationen, so dass I(X) = I′(X) füralle X ∈ τ(ψ). Dann ist JψKI = JψKI

′.

Übung 1.3 (Auswerten aussagenlogischer Formeln). Geben Sie einen(möglichst effizienten) Algorithmus an, welcher zu einer gegebenenFormel ψ ∈ AL und einer gegebenen Interpretation I den Wahrheits-wert JψKI berechnet. Beurteilen Sie die Laufzeit und den Bedarf anSpeicherplatz des Algorithmus.

Übung 1.4. Geben Sie eine Formel ψ an, welche die AussagenvariablenX1, X2, X3 enthält, so dass für jede Interpretation I : X1, X2, X3 →0, 1 gilt, dass das Ändern jedes Wahrheitswerts I(Xi) auch den Wahr-heitswert JψKI ändert.

Notation. In diesem Kapitel stehen kleine griechische Buchstabenψ, ϕ, ϑ, . . . immer für aussagenlogische Formeln und große griechischeBuchstaben Φ, Γ für Mengen aussagenlogischer Formeln. Wir verwen-den die Schreibweise ψ(X1, . . . , Xn) um anzudeuten, dass τ(ψ) eineTeilmenge von X1, . . . , Xn ist. Sei I(X1) = w1, . . . , I(Xn) = wn. Dannschreiben wir auch Jψ(w1, . . . , wn)K oder Jψ(w)K für JψKI.

Definition 1.4. Zwei Formeln ψ und ϕ heißen logisch äquivalent (kurz:ψ ≡ ϕ), wenn für jede zu beiden Formeln passende Interpretation I gilt,dass JψKI = JϕKI.

Hier sind ein paar einfache logische Äquivalenzen. Der Nachweisergibt sich unmittelbar aus der Definition der Modellbeziehung. Fürbeliebige Formeln ψ, ϕ, ϑ ∈ AL gilt:

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1 Aussagenlogik

• ¬¬ψ ≡ ψ (Elimination der doppelten Negation)

• ¬(ψ ∧ ϕ) ≡ ¬ψ ∨ ¬ϕ

¬(ψ ∨ ϕ) ≡ ¬ψ ∧ ¬ϕ (De Morgan’sche Gesetze)

• ψ ∧ (ϕ ∨ ϑ) ≡ (ψ ∧ ϕ) ∨ (ψ ∧ ϑ)

ψ ∨ (ϕ ∧ ϑ) ≡ (ψ ∨ ϕ) ∧ (ψ ∨ ϑ) (Distributivgesetze)

• ψ → ϕ ≡ ¬ϕ → ¬ψ (Kontraposition)

• ψ ∧ (ψ ∨ ϕ) ≡ ψ ∨ (ψ ∧ ϕ) ≡ ψ (Absorption)

• ψ ∧ ψ ≡ ψ

ψ ∨ ψ ≡ ψ (Idempotenz von ∧ und ∨)

• ψ ∧ ϕ ≡ ϕ ∧ ψ

ψ ∨ ϕ ≡ ϕ ∨ ψ (Kommutativität von ∧ und ∨)

• ψ ∧ (ϕ ∧ ϑ) ≡ (ψ ∧ ϕ) ∧ ϑ

ψ ∨ (ϕ ∨ ϑ) ≡ (ψ ∨ ϕ) ∨ ϑ (Assoziativität von ∧ und ∨)

Die Assoziativität, Kommutativität und Idempotenz von ∧ und ∨impliziert, dass es bei der Bildung der Konjunktion bzw. Disjunktionüber eine endliche Folge ϕ1, . . . , ϕn von Formeln nicht auf die Reihen-folge und Multiplizität der Formeln ankommt. Dies rechtfertigt, dasswir Konjunktionen und Disjunktionen über endliche FormelmengenΦ = ϕ1, . . . , ϕn bilden; anstelle von

∧ni=1 ϕi verwenden wir auch die

Schreibeweisen∧

ϕ∈Φ ϕ oder∧

Φ, und analog∨

ϕ∈Φ ϕ oder∨

Φ für dieDisjunktion. (Dabei ist natürlich immer vorauszusetzen, dass Φ endlichist!) Wenn Φ die leere Menge ist, identifizieren wir

∧Φ mit 1 und

∨Φ

mit 0.

Übung 1.5. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:

(a) ψ ∧ (ϕ → ϑ) ≡ (ψ ∧ ϕ) → ϑ ≡ ϕ ∧ (ψ → ϑ)

(b) ¬ϕ1 ∨ ¬ϕ2 ∨ · · · ∨ ¬ϕn ∨ ψ ≡ ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ

¬ϕ1 ∨ ¬ϕ2 ∨ · · · ∨ ¬ϕn ≡ ϕ1 ∧ ϕ2 ∧ · · · ∧ ϕn → 0

(c) ψ → (ϕ ∧ ϑ) ≡ (ψ → ϕ) ∧ (ψ → ϑ)

ψ ∧ ϕ → ϑ ≡ (ψ → ϑ) ∨ (ϕ → ϑ)

(ψ ∨ ϕ) → ϑ ≡ (ψ → ϑ) ∧ (ϕ → ϑ)

Definition 1.5. Hat eine Formel ein Modell, dann heißt sie erfüllbar,andernfalls unerfüllbar. Eine Formel ψ heißt allgemeingültig oder eine

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1.2 Aussagenlogik und Boolesche Funktionen

Tautologie, wenn jede zu ψ passende Interpretation ein Modell von ψ ist.Man schreibt |= ψ um anzudeuten, dass ψ eine Tautologie ist.

Lemma 1.6. Eine Formel ψ ist erfüllbar genau dann, wenn ¬ψ keineTautologie ist.

Es gibt ein offensichtliches Verfahren um festzustellen, ob eineaussagenlogische Formel ψ(X1, . . . , Xn) erfüllbar (oder allgemeingül-tig) ist: Man prüft für alle Interpretationen I : X1, . . . , Xn → 0, 1mittels des in Übung 1.3 entwickelten Auswertungsalgorithmus nach,ob I |= ψ. Obwohl für jede einzelne Interpretation I dies sehr schnellnachgeprüft werden kann, ist das Verfahren insgesamt doch extremineffizient, da es bei n Aussagenvariablen 2n mögliche Interpretationengibt. Für Formeln mit Hunderten von Aussagenvariablen (was in prak-tischen Anwendungen durchaus realistisch ist) wären also selbst dieschnellsten Rechner hoffnungslos überfordert. Natürlich gibt es bessereVerfahren, aber es ist nicht bekannt, ob das exponentielle Wachstum derBerechnungszeit durch raffiniertere Algorithmen vermieden werdenkann. Man vermutet, dass dies nicht der Fall ist, dass also das Erfüllbar-keitsproblem der Aussagenlogik (genannt SAT) inhärent exponentiellschwierig ist, da es zu den NP-vollständigen Problemen gehört.

Übung 1.6. Beweisen Sie das aussagenlogische Interpolationstheorem: Seiψ → ϕ eine aussagenlogische Tautologie. Dann existiert eine aussagen-logische Formel ϑ mit τ(ϑ) ⊆ τ(ψ) ∩ τ(ϕ), so dass ψ → ϑ und ϑ → ϕ

Tautologien sind.Hinweis: Führen Sie einen Induktionsbeweis über die Anzahl der

Aussagenvariablen, die in ψ, aber nicht in ϕ vorkommen.


Eine (n-stellige) Boolesche Funktion ist eine Funktion f : 0, 1n →0, 1. Sei Bn die Menge aller n-stelligen Booleschen Funktionen undB =

⋃n∈N Bn. B0 enthält die konstanten Funktionen 0 und 1. B1 enthält

vier Funktionen f00, f01, f10, f11 mit

f00(0) = f00(1) = 0, f11(0) = f11(1) = 1,

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1 Aussagenlogik

f01(w) = w, f10(w) = 1 − w.

Bn enthält 22nverschiedene Funktionen.

Jede Formel ψ(X1, . . . , Xn) ∈ AL definiert eine Boolesche Funktionhψ ∈ Bn, durch die Vorschrift hψ(w1, . . . , wn) := Jψ(w1, . . . , wn)K. Derfolgende Satz zeigt, dass sich umgekehrt jede Boolesche Funktion durcheine aussagenlogische Formel darstellen lässt.

Satz 1.7. Zu jeder Funktion f ∈ Bn gibt es eine Formel ψ(X1, . . . , Xn)

mit hψ = f .

Beweis. Die Funktionen in B0 werden durch die Formeln 0 und 1 dar-gestellt. Sei nun n > 0 und f ∈ Bn. Für jede Aussagenvariable Xsetzen wir X1 := X und X0 := ¬X. Weiter definieren wir für jedesv = v1, . . . , vn die Formel ϕv := Xv1

1 ∧ · · · ∧ Xvnn . Man beachte, dass für

alle v, w ∈ 0, 1n gilt:

Jϕv(w)K = 1 gdw. v = w

Die Funktion f wird nun dargestellt durch die Formel

ψ(X1, . . . , Xn) :=∨

v∈0,1n

f (v)=1

ϕv.

Wir müssen zeigen, dass f (w) = Jψ(w)K für alle w ∈ 0, 1n.Sei f (w) = 1. Dann ist ϕw ein Disjunktionsglied von ψ, und da

Jϕw(w)K = 1, ist auch Jψ(w)K = 1. Wenn aber f (w) = 0, dann gilt fürjede Teilformel ϕv von ψ, dass vi = wi für mindestens ein i, und daherJϕv(w)K = 0. Also ist Jψ(w)K = 0. q.e.d.

Aus dem Beweis von Satz 1.7 ergeben sich noch weitere wichtigeKonsequenzen.

Disjunktive und konjunktive Normalform. Ein Literal ist eineAussagenvariable X oder deren Negation ¬X. Mit Y bezeichnen wirdas zu Y komplementäre Literal, also X := ¬X und ¬X := X für jedeAussagenvariable X.

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Definition 1.8. Eine Formel ψ ∈ AL ist in disjunktiver Normalform(DNF), wenn sie eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalenist, d.h. wenn sie die Form

∨ni=1

∧mij=1 Yij hat, wobei die Yij Literale sind.

Der duale Begriff ist die konjunktive Normalform (KNF); Formeln in KNFsind Konjunktionen von Disjunktionen von Literalen, also Formeln derGestalt

∧ni=1

∨mij=1 Yij.

Die im Beweis von Satz 1.7 konstruierte Formel

ψ(X1, . . . , Xn) :=∨

v∈0,1n

f (v)=1

ϕv =∨

(v1,...,vn)∈0,1n

f (v1,...,vn)=1

Xv11 ∧ · · · ∧ Xvn

n

zur Darstellung der Booleschen Funktion f ist in disjunktiver Normal-form. Da jede Formel eine Boolesche Funktion definiert folgt unmit-telbar, dass es zu jeder Formel ψ ∈ AL eine äquivalente DNF-Formelgibt.

Die analoge Aussage zur KNF erhalten wir wie folgt. Da zu jederFormel eine äquivalente Formel in DNF existiert, gilt dies insbesondereauch für ¬ψ:

¬ψ ≡n∨

i=1

mi∧j=1

Yij.

Aus den De Morgan’schen Gesetzen folgt, dass für beliebige Formelnϑ1, . . . , ϑn gilt:

¬m∨

k=1

ϑk ≡m∧

k=1

¬ϑk, ¬m∧

k=1

ϑk ≡m∨

k=1

¬ϑk.

Also folgt:

ψ ≡ ¬n∨

i=1

mi∧j=1

Yij ≡n∧

i=1¬

mi∧j=1

Yij ≡n∧

i=1

mi∨j=1

Yij =: ψK .

ψK ist in KNF und hat die geforderten Eigenschaften. Damit haben wirfolgenden Satz bewiesen.

9

1 Aussagenlogik

Satz 1.9. Zu jeder Formel ψ ∈ AL gibt es äquivalente Formeln ψD inDNF und ψK in KNF.

Übung 1.7. Führen Sie einen alternativen Beweis für Satz 1.7, indemSie per Induktion nach n nachweisen, dass es 22n

nicht-äquivalenteaussagenlogische Formeln ψ(X1, . . . , Xn) gibt.

Übung 1.8. Geben Sie einen Algorithmus an, welcher unter Verwen-dung elementarer Umformungsregeln, z.B. der De Morgan’schen Regelnund der Distributivgesetze, eine gegebene aussagenlogische Formel inäquivalente DNF bzw. KNF-Formeln überführt. Wenden Sie dieses Ver-fahren auf die Formel (X1 → X2) ∧ ((X1 ∧ X3) → X2) ∧ (X2 → X3)

an. Zeigen Sie, dass in gewissen Fällen die resultierenden DNF- bzw.KNF-Formeln exponentiell länger werden als die gegebene Formel.

Übung 1.9. Zwei Formeln heißen erfüllbarkeitsäquivalent, wenn beide er-füllbar oder beide unerfüllbar sind. (Erfüllbarkeitsäquivalente Formelnmüssen natürlich nicht unbedingt äquivalent sein.) Eine aussagenlogi-sche Formel ist in 3-KNF, wenn sie folgende Gestalt hat:

n∧i=1

Yi1 ∨ Yi2 ∨ Yi3 (Yij Literale)

Zeigen Sie, dass man zu jeder Formel ψ in KNF eine erfüllbarkeitsä-quivalente Formel in 3-KNF konstruieren kann, und zwar mit einemVerfahren, dessen Laufzeit durch ein Polynom in der Länge von ψ

beschränkt ist.Hinweis: Man fasse überzählige Literale mit Hilfe neuer Aussagen-

variablen zusammen.

Übung 1.10. Zeigen Sie, dass das Erfüllbarkeitsproblem für DNF-For-meln durch einen Algorithmus mit linearer Laufzeit (bezüglich derLänge der Formel) gelöst werden kann.

Funktional vollständige Mengen. Die Konstanten 0, 1 und dieJunktoren ¬, ∧, ∨, → können als Funktionen in B0, B1 bzw. B2 aufgefasstwerden. Umgekehrt kann man aus jeder Booleschen Funktion f ∈ Bn

einen aussagenlogischen Junktor definieren: Aus Formeln ϕ1, . . . , ϕn ∈

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AL bildet man eine neue Formel f (ϕ1, . . . , ϕn), deren Semantik aufnaheliegende Weise festgelegt ist:

J f (ϕ1, . . . , ϕn)KI := f (Jϕ1KI, . . . , JϕnKI).

Die im Beweis von Satz 1.7 konstruierten Formeln benutzen (für n > 0)nur die Junktoren ∧,∨,¬. Also lassen sich aus diesen Funktionen (oderJunktoren) alle anderen Booleschen Funktionen kombinieren.

Definition 1.10. Eine Menge Ω ⊆ B von Booleschen Funktionen istfunktional vollständig, wenn sich daraus jede Boolesche Funktion f ∈ Bn

(n ≥ 1) im Sinne von Satz 1.7 definieren lässt.

Wir wissen, dass neben ∧,∨,¬ auch bereits ∧,¬ und ∨,¬funktional vollständig sind, denn es gilt:

ψ ∧ ϕ ≡ ¬(¬ψ ∨ ¬ϕ),

ψ ∨ ϕ ≡ ¬(¬ψ ∧ ¬ϕ).

Es gibt aber noch weitere funktional vollständige Mengen:

(1) →,¬ ist funktional vollständig, da ∨,¬ funktional vollständigist und ψ ∨ ϕ ≡ ¬ψ → ϕ.

(2) →, 0 ist funktional vollständig. Dies folgt aus (1) und ¬ψ ≡ψ → 0.

(3) Sei ⊕ die Addition modulo 2 (das „exklusive oder“). Die Menge∧,⊕, 1 ist funktional vollständig, da ¬ψ ≡ 1 ⊕ ψ. BoolescheFunktionen entsprechen also genau den Polynomen über demKörper F2.

(4) Sei (u | v) := 0, wenn u = v = 1 und (u | v) := 1 sonst, also(ψ | ϕ) ≡ ¬(ψ ∧ ϕ). Dann ist | funktional vollständig, da ¬ψ ≡ψ | ψ und ψ ∧ ϕ ≡ ¬(ψ | ϕ) ≡ (ψ | ϕ) | (ψ | ϕ).

(5) Hingegen ist ∧,∨,→ nicht funktional vollständig, da für jedenur mit diesen Junktoren gebildete Formel ψ(X1, . . . , Xn) gilt, dassψ[1, . . . , 1] = 1. Insbesondere kann mit ∧,∨,→ keine zu ¬X äqui-valente Formel gebildet werden.

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1 Aussagenlogik

Für gewisse Zwecke, z.B. für Beweissysteme oder Schaltkreise, ist esdurchaus zweckmäßig, Formeln aus anderen funktional vollständigenMengen als ∧,∨,¬ aufzubauen.

Übung 1.11. Die Funktion sel ∈ B3 sei definiert durch sel(u, v, w) = v,wenn u = 0 und sel(u, v, w) = w, wenn u = 1. Zeigen Sie, dass sel, 0, 1funktional vollständig ist.

Übung 1.12. Zeigen Sie, dass die Menge ∧,∨, 0, 1 funktional unvoll-ständig ist, dass aber jede Erweiterung durch eine Funktion, welchenicht über ∧,∨, 0, 1 definierbar ist, funktional vollständig ist.

Übung 1.13. Eine Boolesche Funktion f ∈ Bn ist linear, wenn sie durchein lineares Polynom f (X1, . . . , Xn) = a0 + a1X1 + · · · + anXn überdem Körper F2 beschrieben werden kann. Zeigen Sie, dass die meistenBooleschen Funktion nicht linear sind.

Übung 1.14. Die zu f ∈ Bn duale Funktion f δ ∈ Bn ist definiert durchf δ(x1, . . . , xn) := ¬ f (¬x1, . . . ,¬xn).

(a) Geben Sie die zu ∨, ∧, →, ¬ dualen Funktionen an.

(b) Eine Funktion f ist selbstdual, wenn f δ = f . Sei Tnk die n-stellige

Boolesche Funktion mit

Tnk (x1, . . . , xn) = 1 gdw. |i : xi = 1| ≥ k.

Beschreiben Sie die zu Tnk duale Funktion. Für welche n, k ist Tn

kselbstdual?

(c) Zeigen Sie, dass die über der Junktorenmenge ¬, T32 definierba-

ren Funktionen gerade die selbstdualen Funktionen sind.

1.3 Horn-Formeln

Eine in der Praxis sehr wichtige Klasse von Formeln sind Horn-Formeln(benannt nach dem Logiker Alfred Horn). Insbesondere ist das Erfüllbar-keitsproblem für Horn-Formeln durch einen einfachen und effizientenAlgorithmus entscheidbar.

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1.3 Horn-Formeln

Definition 1.11. Eine (aussagenlogische) Horn-Formel ist eine Formel ψ =∧i∨

j Yij in KNF, wobei jede Disjunktion∨

j Yij höchstens ein positivesLiteral enthält.

Horn-Formeln können auch als Konjunktionen von Implikationengeschrieben werden:

(1) ¬X1 ∨ . . . ∨ ¬Xk ∨ X ≡ X1 ∧ . . . ∧ Xk → X;

(2) ¬X1 ∨ . . . ∨ ¬Xk ≡ X1 ∧ . . . ∧ Xk → 0.

Implikationen vom Typ (1) mit k = 0 werden in der Form (1 → X)

geschrieben. Horn-Formeln, die keine solchen Implikationen enthalten,sind trivialerweise erfüllbar, indem man alle Aussagenvariablen mit 0bewertet. Offensichtlich ist auch jede Horn-Formel erfüllbar, die keineImplikation der Form (2) enthält, z.B. indem man alle Aussagenvaria-blen mit 1 belegt.

Horn-Formeln können mit dem folgendem Markierungsalgorith-mus in polynomialer Zeit auf Erfüllbarkeit getestet werden.

Algorithmus 1.1 Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln

Input: Eine aussagenlogische Hornformel ψ =∧

i Ci

N := ∅M := X ∈ τ(ψ) : ψ enthält Ci der Form (1 → X)while N = M do

N := MM := M ∪ X : ψ enthält Ci der Form (X1 ∧ . . . ∧ Xk) → X

mit X1, . . . , Xk ⊆ Mif [ψ enthält Ci der Form (X1 ∧ . . . ∧ Xk) → 0

mit X1, . . . , Xk ⊆ M] thenoutput „ψ unerfüllbar“ end

end dooutput „ψ erfüllbar“, output M end

Die ausgegebene Menge M definiert eine Belegung IM mitIM(X) = 1 genau dann, wenn X ∈ M.

13

1 Aussagenlogik

Satz 1.12. Der angegebene Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln ist kor-rekt. Wenn ψ erfüllbar ist, dann ist IM ein Modell von ψ. Für Formelnmit n Aussagenvariablen hält der Erfüllbarkeitstest nach höchstens n+ 1Iterationen der while-Schleife.

Beweis. Sei I ein beliebiges Modell von ψ. Offensichtlich muss I(X) = 1sein für alle Aussagenvariablen X, welche im Laufe dieser Prozedurmarkiert werden (d.h. die zu M hinzugefügt werden). Weiter kann eskeine Teilformel Ci der Form X1 ∧ . . . ∧ Xk → 0 mit X1, . . . , Xk ∈ Mgeben, da sonst JψKI = 0. Also stellt der Algorithmus korrekt dieErfüllbarkeit von ψ fest.

Wenn der Algorithmus ausgibt, dass ψ erfüllbar ist, dann ist IM

tatsächlich ein Modell von ψ, denn die schließlich erzeugte Menge Mhat folgende Eigenschaften:

• Für alle Unterformeln X1 ∧ . . .∧Xk → X gilt: Wenn X1, . . . , Xk ⊆M, dann ist X ∈ M (sonst würde die while-Schleife noch nichtverlassen).

• Für alle Unterformeln X1 ∧ . . . ∧ Xk → 0 gilt: X1, . . . , Xk ⊆ M(sonst würde der Algorithmus die Unerfüllbarkeit feststellen).

Da in jedem Durchlauf der Schleife eine neue Aussagenvariable in Meingefügt wird, oder festgestellt wird, dass keine neuen mehr hinzu-gefügt werden müssen und die Schleife verlassen wird, folgt auch dieletzte Behauptung. q.e.d.

Bemerkung. Das durch den Markierungsalgorithmus gefundene ModellIM von ψ (falls es existiert) ist das kleinste Modell von ψ, d.h. für jedesandere Modell I |= ψ gilt: Wenn IM(X) = 1, dann auch I(X) = 1.

Im Gegensatz zu DNF- oder KNF-Formeln ist die Klasse der Horn-Formeln keine Normalform.

Satz 1.13. Es gibt aussagenlogische Formeln, die nicht zu einer Horn-Formel äquivalent sind.

Beweis. Horn-Formeln sind entweder unerfüllbar oder haben ein klein-stes Modell. Dies trifft z.B. nicht auf die Formel X ∨ Y zu. q.e.d.

14

1.4 Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik


In vielen Anwendungen der Aussagenlogik hat man Erfüllbarkeit undFolgerungsbeziehungen für unendliche Formelmengen zu untersuchen.Ein grundlegender Satz, der Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz, er-leichtert diese Aufgabe, indem er sie auf die Untersuchung endlicherTeilmengen zurückführt.

Bevor wir ihn formulieren, erläutern wir die Folgerungsbeziehungzwischen Formelmengen und Formeln, einer der wichtigsten Begrif-fe in der Logik überhaupt, nicht nur für die Aussagenlogik sonderninsbesondere für ausdrucksstärke Logiken und deren Anwendungen.

Definition 1.14 (Semantische Folgerungsbeziehung). Ein Modell einerFormelmenge Φ ⊆ AL ist eine Interpretation I, so dass JϕKI = 1 füralle ϕ ∈ Φ. Wir sagen, dass ψ aus Φ folgt (kurz: Φ |= ψ), wenn jedezu Φ ∪ ψ passende Interpretation, welche Modell von Φ ist, auchModell von ψ ist. Wenn Φ = ϕ, schreiben wir auch ϕ |= ψ anstellevon ϕ |= ψ.

Wenn Φ |= ψ, dann legt die durch Φ festgelegte (axiomatisierte)Information bereits fest, dass auch ψ gilt, unabhängig von Variationenzwischen verschiedenen Modellen von Φ.

Man beachte, dass dasselbe Symbol |= sowohl für die Modellbe-ziehung (I |= ψ, bzw. I |= Φ) als auch für die Folgerungsbeziehung(Φ |= ψ) verwendet wird. Missverständnisse sind ausgeschlossen, dadie linke Seite die Bedeutung festlegt.

Übung 1.15 (Beispiele und elementare Eigenschaften der Folgerungsbe-ziehung). Verifizieren Sie die folgenden Aussagen:

(a) ψ, ϕ |= ψ ∧ ϕ,ψ, ψ → ϕ |= ϕ.

(b) Wenn Φ ∪ ψ |= ϕ und Φ ∪ ¬ψ |= ϕ, dann gilt bereits Φ |= ϕ.

(c) Φ ∪ ψ |= ϕ genau dann, wenn Φ |= (ψ → ϕ).

(d) ψ ist genau dann eine Tautologie, wenn ψ aus der leeren Mengefolgt. (Dies rechtfertigt die Notation |= ψ als abgekürzte Schreib-weise für ∅ |= ψ.)

15

1 Aussagenlogik

(e) Es gilt Φ |= ϕ für jedes ϕ ∈ Φ.(f) Wenn Φ |= ψ, dann gilt auch Φ′ |= ψ für alle Obermengen Φ′ ⊇ Φ.(g) ψ und ϕ sind genau dann äquivalent, wenn ψ |= ϕ und ϕ |= ψ.(h) Φ |= ψ gilt genau dann, wenn Φ ∪ ¬ψ unerfüllbar ist.(i) Wenn Φ |= ψ und Φ |= ¬ψ, dann ist Φ unerfüllbar. Umgekehrt gilt

für unerfüllbare Formelmengen Φ, dass Φ |= ψ für alle ψ ∈ AL.

Satz 1.15 (Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz). Sei Φ ⊆ AL, ψ ∈ AL.

(i) Φ ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge von Φerfüllbar ist.

(ii) Φ |= ψ genau dann, wenn eine endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ existiert,so dass Φ0 |= ψ.

Wir lassen hier Formelmengen beliebiger Mächtigkeit zu und ver-wenden im Beweis das Lemma von Zorn, ein fundamentales Beweis-prinzip in der Mathematik. Wenn man nur abzählbare FormelmengenΦ (und daher auch nur abzählbare Mengen von Aussagenvariablen)zulässt, dann könnte man den Beweis induktiv und ohne das Lemmavon Zorn (aber nicht wirklich einfacher) führen.

Lemma 1.16 (Zorn). Sei (A,<) eine nicht-leere partielle Ordnung, inder jede Kette nach oben beschränkt ist. Dann besitzt (A,<) ein maxi-males Element.

Im Fall den wir hier betrachten, wird A ein bestimmtes Systemvon Formelmengen (also eine Menge von Mengen) sein, welches durchdie Inklusionsbeziehung ⊆ partiell geordnet ist. Eine Kette ist dannalso eine Teilmenge B von A, so dass für alle X, Y ∈ B entweder X ⊆ Yoder Y ⊆ X gilt. Die Voraussetzung, dass eine solche Kette B nachoben beschränkt sei, bedeutet, dass in A eine Menge SB existiert, sodass Y ⊆ SB für alle Y ∈ B. Wenn diese Voraussetzung für alle KettenB nachgewiesen werden kann, dann gibt es nach dem Lemma vonZorn ein maximales Element für ganz A, welches uns dann unmittel-bar das gewünschte Modell liefern wird. Nach diesen vorbereitendenBemerkungen können wir nun den Kompaktheitssatz beweisen.

Beweis (Beweis des Kompaktheitssatzes). Wir zeigen zunächst, dass (ii)aus (i) folgt: Falls Φ0 |= ψ für Φ0 ⊆ Φ, dann gilt offensichtlich auch

16


Φ |= ψ. Es gelte umgekehrt Φ |= ψ. Beweis durch Widerspruch: Zujedem endlichen Φ0 ⊆ Φ gibt es ein I : τ → 0, 1 mit I |= Φ0 aberJψKI = 0. Dies bedeutet, dass Φ0 ∪ ¬ψ für jedes endliche Φ0 ⊆ Φ er-füllbar ist. Also ist jede endliche Teilmenge von Φ ∪ ¬ψ erfüllbar unddamit, nach (i), auch Φ ∪ ¬ψ selbst. Dies ist aber ein Widerspruch zuΦ |= ψ.

Es bleibt (i) zu zeigen. Es ist klar, dass mit Φ auch jede endlicheTeilmenge von Φ erfüllbar ist. Für die Umkehrung nehmen wir an, dassjede endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ erfüllbar ist und setzen

A := Ψ : Ψ ⊇ Φ und jede endl. Teilmenge von Ψ ist erfüllbar .

A ist partiell geordnet durch die Inklusionsbeziehung und nicht leer(da Φ ∈ A).

Wir zeigen zuerst, dass die Voraussetzung des Zornschen Lemmaserfüllt ist. Sei K ⊆ A eine Kette, d.h. es gilt Θ ⊆ Ψ oder Ψ ⊆ Θ für alleΨ, Θ ∈ K. Offensichtlich ist Γ :=

⋃K, die Vereinigung aller Mengen

aus K, eine obere Schranke für K. Zu zeigen ist, dass Γ selbst in Aenthalten ist, d.h. dass jede endliche Teilmenge Γ0 ⊆ Γ erfüllbar ist.Jede Formel γ ∈ Γ0 ist in einer Menge Ψ(γ) ∈ K enthalten. Da K eineKette ist, gibt es unter den endlich vielen Mengen Ψ(γ) (für γ ∈ Γ0)eine maximale, welche ganz Γ0 enthält. Jede endliche Teilmenge dieserMenge ist erfüllbar, insbesondere also Γ0.

Nach dem Lemma von Zorn hat demnach A ein maximales ElementΦmax. Wir behaupten, dass für jede Formel ψ entweder ψ ∈ Φmax oder¬ψ ∈ Φmax. Andernfalls betrachten wir die Erweiterungen Φmax ∪ ψund Φmax ∪ ¬ψ. Aufgrund der Maximalität von Φmax gehört keinedieser Mengen zu A. Also gibt es endliche Teilmengen Ψ0, Ψ1 ⊆ Φmax,so dass Ψ0 ∪ ψ und Ψ1 ∪ ¬ψ unerfüllbar sind. Aber dann ist Ψ0 ∪Ψ1 eine endliche unerfüllbare Teilmenge von Φmax, im Widerspruch zuΦmax ∈ A. Wir definieren nun eine Interpretation I durch die Vorschrift

I(X) = 1 gdw. X ∈ Φmax.

Per Induktion über den Formelaufbau zeigen wir, dass I |= ψ

genau dann, wenn ψ ∈ Φmax:

17

1 Aussagenlogik

• Für atomare ψ folgt dies unmittelbar aus der Definition.

• Sei ψ = ¬ϕ. Dann ist nach Induktionsvoraussetzung und nach dersoeben gezeigten Eigenschaft von Φmax

I |= ψ gdw. I |= ϕ gdw. ϕ ∈ Φmax gdw. ψ ∈ Φmax.

• Sei ψ = ϕ ∧ ϑ. Nach Induktionsvoraussetzung folgt, dass genaudann I |= ψ gilt, wenn ϕ, ϑ ∈ Φmax. Aber das ist genau dann derFall, wenn auch ψ ∈ Φmax.

Wenn nämlich ψ ∈ Φmax, dann ¬ψ ∈ Φmax was unmöglich ist, daΦmax dann mit ϕ, ϑ,¬(ϕ ∧ ϑ) eine unerfüllbare endliche Teil-menge enthalten würde. Wenn aber ψ ∈ Φmax, dann müssenauch ϕ und ϑ in Φmax liegen, da sonst Φmax mit ϕ ∧ ϑ,¬ϕ oderϕ ∧ ϑ,¬ϑ wieder eine endliche unerfüllbare Teilmenge enthielte.

• Die Argumentation in allen andern Fällen ist analog. (Es wirdempfohlen, zur Übung mindestens einen dieser Fälle, z.B. fürFormeln (ϕ → ϑ) selbst nachzuvollziehen.)

Also ist I ein Modell von Φmax und damit auch von Φ. q.e.d.

Das Lemma von König. Ein Baum mit Wurzel w ist ein zusammenhän-gender, zykelfreier, gerichteter Graph T = (V, E) mit einem ausgezeich-neten Knoten w ∈ V, so dass keine Kante in w endet (d.h. (v, w) ∈ E füralle v ∈ V) und in jedem andern Knoten genau eine Kante endet. Einsolcher Baum heißt endlich verzweigt, wenn von jedem v ∈ V nur end-lich viele Kanten ausgehen. Als Anwendung des Kompaktheitssatzesbeweisen wir das folgende Lemma.

Lemma 1.17 (König). Sei T ein endlich verzweigter Baum mit Wurzelw, in dem es beliebig lange endliche Wege gibt. Dann gibt es auch einenunendlichen Weg in T (der bei der Wurzel w beginnt).

Beweis. Für den gegebenen Baum T = (V, E) mit Wurzel w und n ∈ N

sei

Sn = v ∈ V : es gibt einen Weg der Länge n von w nach v.

18


Alle Sn sind endlich, da der Baum endlich verzweigt ist. Weiter istS0 = w und alle Sn nicht leer, da es beliebig lange Wege in T gibt.

Ein unendlicher, von w ausgehender Weg ist eine Menge W ⊆ V,welche folgende Bedingungen erfüllt:

• |W ∩ Sn| = 1 für alle n;

• Wenn v ∈ W und (u, v) ∈ E, dann ist auch u ∈ W.

Zu zeigen ist die Existenz einer solchen Menge W. Dazu ordnenwir jedem v ∈ V eine Aussagenvariable Xv zu und setzen:

αn :=∨

v∈Sn

Xv,

βn :=∧

u,v∈Sn ,u =v¬(Xu ∧ Xv),

Φ := αn : n ∈ N ∪ βn : n ∈ N ∪ (Xv → Xu) : (u, v) ∈ E.

Jede endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ ist erfüllbar. Um dies einzusehen,nehmen wir das größte n ∈ N mit αn ∈ Φ0 oder βn ∈ Φ0. Dann wählenwir ein z ∈ Sn und den von w nach z führenden Weg W(w, z). Sei

I(Xv) :=

1 v ∈ W(w, z)

0 sonst.

Offensichtlich ist I Modell von Φ0. Mit dem Kompaktheitssatz folgt,dass es ein Modell I für Φ gibt. Setze W := v ∈ V : I(Xv) = 1. Esfolgt, dass W einen unendlichen Weg von w aus definiert:

• Da αn, βn ∈ Φ, gibt es genau ein v in W ∩ Sn.

• Sei v ∈ W und (u, v) ∈ E. Da I |= Xv und I |= Xv → Xu gilt auchI |= Xu, also u ∈ W. q.e.d.

Bemerkung. Man beachte, dass das Lemma von König nicht trivial ist.Es gilt z.B. nicht für Bäume mit unendlichen Verzweigungen. Manbetrachte etwa den Baum in Abbildung 1.1. In diesem Baum gibt es fürjedes n, ausgehend von w, einen Weg der Länge n, aber es gibt keinenunendlichen Weg.

19

1 Aussagenlogik

w

1

2

3

n. . .

. ..

Abbildung 1.1. Ein unendlicher Baum ohne unendlichen Weg

Übung 1.16. Ein Dominosystem sei eine endliche Menge von quadrati-schen Dominosteinen gleicher Größe, deren vier Kanten (oben, unten,links, rechts) gefärbt sind. Eine Parkettierung der Ebene (oder eines Teilsdavon) ist eine vollständige Überdeckung mit Dominosteinen, ohneLücken und Überlappungen, so dass aneinandergrenzende Kanten die-selbe Farbe tragen. (Rotation der Steine ist nicht erlaubt.) Zeigen Sie mitHilfe des Lemmas von König, dass für jedes Dominosystem folgendesgilt: Wenn beliebig große endliche Quadrate parkettiert werden können,dann auch die ganze Ebene.

Übung 1.17. Eine Formelmenge Φ ⊆ AL ist endlich axiomatisierbar, wenneine endliche Formelmenge Φ0 ⊆ AL existiert, welche die gleichenModelle hat wie Φ. Sei Φ = ϕn : n ∈ N eine Formelmenge, so dassfür alle n ∈ N gilt: ϕn+1 |= ϕn, aber ϕn |= ϕn+1. Zeigen Sie, dass Φnicht endlich axiomatisierbar ist.

Übung 1.18. Ein ungerichteter Graph G = (V, E) heißt k-färbbar, wennes eine Funktion f : V → 1, . . . , k gibt, so dass f (p) = f (q) für alleKanten (p, q) ∈ E. Zeigen Sie, dass ein ungerichteter Graph G k-färbbarist, wenn jeder endliche Untergraph von G k-färbbar ist.

Hinweis: Konstruieren Sie zu jedem endlichen Untergraphen von Geine aussagenlogische Formel, die genau dann erfüllbar ist, wenn derUntergraph k-färbbar ist. Führen Sie dazu zu jedem Knoten g ∈ V undjeder Farbe i mit 1 ≤ i ≤ k eine Aussagenvariable Xg,i ein, die besagt,dass der Knoten g die Farbe i hat.

Übung 1.19. Sei A ⊆ 0, 1∗ eine unendliche Menge von Wörtern.

20

1.5 Aussagenlogische Resolution

Zeigen Sie, dass es eine unendliche Folge w0, w1, w2, . . . gibt, so dassjedes wi ein Anfangsstück von wi+1 und von mindestens einem Wortaus A ist.

Übung 1.20 (Definierbarkeitstheorem). Sei Φ ⊆ AL eine Formelmenge,X ∈ τ(Φ) eine Aussagenvariable. X heißt explizit definierbar in Φ, wenneine Formel ϕ ∈ AL existiert, welche X nicht enthält, so dass Φ |= X ↔ϕ. (In Modellen von Φ ist also der Wahrheitswert von X durch eineFormel, die nicht von X abhängt, explizit festgelegt). Demgegenüberheißt X implizit definierbar in Φ, wenn für alle Modelle I, I′ von Φ gilt:Wenn I(Z) = I′(Z) für alle Ausssagenvariablen Z = X, dann auchI(X) = I′(X). (In Modellen von Φ ist also der Wahrheitswert von Xdurch die Wahrheitswerte der andern Variablen implizit festgelegt).

Beweisen Sie das aussagenlogische Definierbarkeitstheorem: Wenn Ximplizit in Φ definierbar ist, dann ist X auch explizit in Φ definierbar.

Hinweis: Die Formelmenge Φ′ entstehe dadurch, dass man X inallen Formeln von Φ durch eine neue Aussagenvariable X′ ∈ τ(Φ)

ersetzt. Die implizite Definierbarkeit von X in Φ besagt dann, dassΦ ∪ Φ′ |= X ↔ X′. Benutzen Sie den Kompaktheitssatz, um Φ durcheine endliche Formelmenge zu ersetzen, und verwenden Sie das aus-sagenlogische Interpolationstheorem (Übung 1.6), um eine expliziteDefinition von X in Φ zu konstruieren.


Resolution ist ein syntaktisches Verfahren, um die Unerfüllbarkeit vonFormeln in KNF nachzuweisen. Es ist dabei nützlich, Formeln in KNFals Mengen von Klauseln darzustellen.

Definition 1.18. Eine Klausel ist eine endliche Menge von Literalen. Mit bezeichnet man die leere Klausel. Einer Formel ψ =

∧ni=1

∨mij=1 Yij in

KNF wird eine endliche Klauselmenge K(ψ) wie folgt zugeordnet: JederDisjunktion

∨mij=1 Yij ordnet man die Klausel Ci = Yij : j = 1, . . . , mi

zu und setzt K(ψ) := C1, . . . , Cn.

Bemerkung. Die Mengennotation ergibt gewisse Vereinfachungen: Ele-

21

1 Aussagenlogik

mente einer Menge haben keine Reihenfolge und keine Multiplizität.Daher gilt:

• Formeln, die sich nur durch Reihenfolge der auftretenden Teilfor-meln unterscheiden, ergeben dieselbe Klauselmenge.

• Mehrfach auftretende Literale in Disjunktionen, bzw. mehrfachauftretende Klauseln verschmelzen zu einem einzigen Element derKlauseln bzw. Klauselmengen.

Beispiel. Die Formeln (X1 ∨ ¬X2) ∧ X3, (X1 ∨ X1 ∨ ¬X2) ∧ (X3 ∨ X3) ∧X3 und X3 ∧ (X1 ∨¬X2)∧ (¬X2 ∨X1) haben alle dieselbe KlauselmengeK = X1,¬X2, X3.

Umgekehrt entspricht einer Klausel C die Formel∨

Y∈C Y. Einerendlichen Klauselmenge K entspricht die Formel

∧C∈K

∨Y∈C Y.

Wir können also Klauseln und Klauselmengen wie Formeln undFormelmengen behandeln und benutzen Begriffe wie Erfüllbarkeit undÄquivalenz entsprechend. Insbesondere ist eine Klauselmenge erfüllbar,wenn es eine Interpretation I gibt, so dass jede Klausel C ∈ K ein LiteralY enthält mit JYKI = 1. Beachte:

• Die leere Klauselmenge ist erfüllbar.• Wenn ∈ K, dann ist K unerfüllbar.

Definition 1.19. Seien C, C1, C2 Klauseln. C ist Resolvente von C1 undC2 genau dann, wenn es ein Literal Y gibt mit Y ∈ C1, Y ∈ C2 undC = (C1 \ Y) ∪ (C2 \ Y). Dies wird folgendermaßen notiert:

C1 C2

C

Beispiel.

X1, X3,¬X4 ¬X2, X4

X1,¬X2, X3

X1 ¬X1

Lemma 1.20 (Resolutionslemma). Sei K eine Klauselmenge, C1, C2 ∈ Kund C Resolvente von C1 und C2. Dann sind K und K ∪ C äquivalent.

22


Beweis. Wenn JK ∪ CKI = 1, dann offensichtlich erst recht JKKI = 1.Sei umgekehrt JKKI = 1 und C = (C1 \ Y) ∪ (C2 \ Y).

• Wenn JYKI = 1, dann ist JC2 \ YKI = 1, da sonst JC2KI = 0. Alsoist JCKI = 1.

• Wenn JYKI = 0, dann ist JC1 \ YKI = 1 und also wiederumJCKI = 1.

Also ist JK ∪ CKI = 1. q.e.d.

Definition 1.21. Für jede Klauselmenge K sei

• Res(K) := K ∪ C : C Resolvente zweier Klauseln aus K.• Res0(K) := K, Resn+1(K) := Res(Resn(K)) für n ∈ N.• Res∗(K) :=

⋃n∈N Resn(K).

Beispiel. Sei ψ = (X1 ∨ ¬X2) ∧ ¬X3 ∧ (¬X1 ∨ ¬X2 ∨ X3) ∧ (X2 ∨ X3).Dann ist K(ψ) = X1,¬X2, ¬X3, ¬X1,¬X2, X3, X2, X3. Dieleere Klausel ist wie folgt aus K(ψ) ableitbar:

X1,¬X2 X2, X3 ¬X1,¬X2, X3 ¬X3

X1, X3 ¬X1, X3

X3

Korrektheit und Vollständigkeit. Ein Beweiskalkül ist korrekt, wennkeine falschen Aussagen darin ableitbar sind, und vollständig, wenn allewahren Aussagen ableitbar sind. Der Resolutionskalkül ist ein Verfah-ren, um die Unerfüllbarkeit einer Klauselmenge K nachzuweisen, indemdurch wiederholte Anwendung des Operators Res die leere Klauselabgeleitet wird. Die Korrektheit und Vollständigkeit des Resolutionskal-küls wird durch den Resolutionssatz ausgedrückt.

Satz 1.22 (Resolutionssatz). Eine Klauselmenge K ist genau dann uner-füllbar, wenn ∈ Res∗(K).

23

1 Aussagenlogik

Beweis. (Korrektheit) Aus dem Resolutionslemma folgt K ≡ Res(K)und damit per Induktion K ≡ Res∗(K). Wenn also ∈ Res∗(K), dannist Res∗(K) und damit auch K unerfüllbar.

(Vollständigkeit) Sei K unerfüllbar. Nach dem Kompaktheitssatzgibt es eine endliche unerfüllbare Teilmenge K0 ⊆ K. Dann gibt es einn ∈ N, so dass K0 höchstens die Aussagenvariablen X0, . . . , Xn−1 ent-hält. Wir zeigen per Induktion nach n, dass ∈ Res∗(K0) ⊆ Res∗(K).

Sei n = 0. Es gibt nur zwei Klauselmengen ohne Aussagenvaria-blen, nämlich ∅ und . Da die leere Klauselmenge erfüllbar ist, mussK0 = sein. Für den Induktionsschluss nehmen wir an, dass alleAussagenvariablen von K0 in X0, . . . , Xn enthalten seien. Wir konstru-ieren zwei Klauselmengen K+

0 und K−0 , in denen Xn nicht vorkommt:

K+0 := C \ ¬Xn : Xn ∈ C, C ∈ K0,

K−0 := C \ Xn : ¬Xn ∈ C, C ∈ K0

(d.h. wir streichen aus K0 alle Klauseln, in denen Xn bzw. ¬Xn vor-kommt und streichen ¬Xn bzw. Xn aus allen verbleibenden Klauseln).

K+0 und K−

0 sind unerfüllbar. Andernfalls gäbe es etwa eine Inter-pretation I : X0, . . . , Xn−1 → 0, 1, so dass JK+

0 KI = 1. Erweitere I

durch I(Xn) = 1. Es gilt dann JK0KI = 1 im Widerspruch zur Unerfüll-barkeit von K0.

Aus der Induktionsvoraussetzung folgt, dass ∈ Res∗(K+0 ) und

∈ Res∗(K−0 ). Also gibt es Klauseln C1, C2, . . . , Cm, so dass Cm = ,

und für i = 1, . . . , m gilt Ci ∈ K+0 oder Ci ist Resolvente von Cj, Ck

für j, k < i. Einige der Klauseln Ci können aus Klauseln in K0 durchStreichen von ¬Xn entstanden sein. Wenn nicht, dann sind C1, . . . , Cm

auch in Res∗(K0), also ∈ Res∗(K0). Wenn ja, erhalten wir durchWiedereinfügen von ¬Xn eine Folge von Klauseln C′

1, . . . , C′m, welche

beweist, dass ¬Xn ∈ Res∗(K0).

Cj Ck

Ci

⇒Cj ∪ ¬Xn Ck

Ci ∪ ¬Xn

24


Analog folgt aus ∈ Res∗(K−0 ), dass entweder ∈ Res∗(K0) oder

Xn ∈ Res∗(K0). Mit

¬Xn Xn

folgt, dass ∈ Res∗(K0). q.e.d.

Wenn K nur die Aussagenvariablen X0, . . . , Xn−1 enthält, danngilt dies auch für Res∗(K), denn eine Resolvente zweier Klauseln C, C′

enthält nur Literale, die bereits in C oder C′ enthalten sind. Insbesonderefolgt, dass die Kette

K = Res0(K) ⊆ Res1(K) ⊆ . . . ⊆ Resm(K) ⊆ . . .

nach höchstens 22n Schritten abbricht, d.h. Res∗(K) = Res22n(K), denn

es gibt nur 22n verschiedene Klauseln mit Literalen X0, . . . , Xn−1,¬X0, . . . ,¬Xn−1.

Für endliche Klauselmengen K erhält man also folgenden Algorith-mus um zu entscheiden, ob K erfüllbar ist:

Algorithmus 1.2 Erfüllbarkeitstest mit Resolution

Input K (endliche Klauselmenge)R := ∅, S := Kwhile R = S do

R := SS := Res(R)if ∈ S then

output „K unerfüllbar“end dooutput „K erfüllbar“ end

Dieser Algorithmus hat (im worst case) exponentielle Komplexität.Es ist auch nicht zu erwarten, dass es einen effizienten (in polyno-

25

1 Aussagenlogik

mialer Zeit laufenden) Algorithmus für dieses Problem gibt, denn dasErfüllbarkeitsproblem für KNF-Formeln ist NP-vollständig.

Die Erfüllbarkeit einer Formel ist durch eine Existenzaussage aus-gedrückt (es gibt ein Modell). Die Unerfüllbarkeit (oder die Allge-meingültigkeit) einer Formel ist eine Aussage über alle möglichenInterpretationen, ihrer Natur nach also eine universelle Aussage. DerResolutionskalkül (wie jeder korrekte und vollständige Beweiskalkül)erlaubt nun, solche universellen Aussagen durch äquivalente Existenz-aussagen auszudrücken: ψ ist unerfüllbar, wenn eine Deduktion derleeren Klausel existiert.

Man beachte aber folgende Asymmetrie: Das Aufschreiben einesModells für ψ (also eines „Zeugen“ für die Erfüllbarkeit) ist mit vielweniger Aufwand verbunden als (im worst case) das Aufschreiben einesResolutionsbeweises (also eines „Zeugen“ für die Unerfüllbarkeit). Dieshängt mit einem der wichtigsten Probleme der Komplexitätstheoriezusammen, dem Problem ob NP = coNP.

Für unendliche Klauselmengen kann es durchaus passieren, dassRes(K) \ K unendlich ist oder dass die Kette

K = Res0(K) ⊂ Res1(K) ⊂ . . . ⊂ Resn(K) ⊂ . . .

nicht stationär wird (auch wenn K erfüllbar ist).

Beispiel. Sei K = X0 ∪ ¬Xn, Xn+1 : n ∈ N. Dann ist Xn+1 ∈Resn+1(K) \ Resn(K) für jedes n ∈ N.

Einheitsresolution für Horn-Formeln. Die einer Horn-Formelψ zugeordnete Klauselmenge K(ψ) enthält nur Klauseln der Form¬X1, . . . ,¬Xk (nur negative Literale) oder ¬X1, . . . ,¬Xk, X (einpositives Literal). Solche Klauseln heißen Horn-Klauseln. Für k = 0 ergibtsich, dass die leere Klausel und die Klauseln X, welche aus einereinzigen Aussagenvariablen bestehen, auch Horn-Klauseln sind. Wirpräsentieren nun eine eingeschränkte Variante des Resolutionskalküls,welche vollständig für Horn-Formeln ist.

Definition 1.23. Seien C, C1, C2 Klauseln. C ist Einheitsresolvente von C1

26


und C2, wenn C Resolvente von C1 und C2 ist und entweder |C1| = 1oder |C2| = 1.

Bei der Einheitsresolution besteht also mindestens eine der Aus-gangsklauseln nur aus einem einzigen Literal.

Satz 1.24 (Vollständigkeit der Einheitsresolution für Horn-Formeln).Eine aussagenlogische Horn-Formel ψ ist genau dann unerfüllbar, wenn durch Einheitsresolution aus K(ψ) ableitbar ist.

Beweis. Es ist klar, dass ψ unerfüllbar ist, wenn aus K(ψ) durchEinheitsresolution (also insbesondere durch Resolution) ableitbar ist.

Für die Umkehrung betrachten wir den Erfüllbarkeitstest für Horn-Formeln. Setze:

M0 := X : K(ψ) enthält die Klausel X,

Mi+1 := Mi ∪ X : es gibt X1, . . . , Xk ∈ Mi, so dass K(ψ)

die Klausel ¬X1, . . . ,¬Xk, X enthält,

M∗ :=⋃

i∈N

Mi.

Die Korrektheit des Erfüllbarkeitstests (Satz 1.12) ergibt: ψ ist un-erfüllbar genau dann, wenn X1, . . . , Xk ∈ M∗ existieren, so dass¬X1, . . . ,¬Xk ∈ K(ψ). Wir zeigen: Wenn X ∈ M∗, dann ist Xper Einheitsresolution aus K(ψ) ableitbar.

Für X ∈ M0 ist dies klar. Wenn X ∈ Mi+1, dann ist entweder X ∈Mi (dann greift die Induktionsvoraussetzung) oder es gibt X1, . . . , Xk ∈Mi, so dass ¬X1, . . . ,¬Xk, X ∈ K(ψ). Nach Induktionsvoraussetzunglassen sich die Klauseln X1, . . . , Xk aus K(ψ) per Einheitsresolutionableiten. Unter Zuhilfenahme der Klausel ¬X1, . . . ,¬Xk, X lässt sichdann auch X per Einheitsresolution aus K(ψ) ableiten.

Wenn ψ unerfüllbar ist, dann gibt es also ¬X1, . . . ,¬Xk ∈ K(ψ),so dass die Einerklauseln X1, . . . , Xk per Einheitsresolution ausK(ψ) ableitbar sind. Damit folgt nun sofort, dass per Einheitsresoluti-on aus K(ψ) abgeleitet werden kann. q.e.d.

27

1 Aussagenlogik

1.6 Der aussagenlogische Sequenzenkalkül

Wir beschreiben durch Axiome und Schlussregeln einen im wesentlichenauf Gentzen zurückgehenden Beweiskalkül SK, den Sequenzenkalkül.Dieser Kalkül operiert auf Paaren von endlichen Formelmengen, welchewir Sequenzen nennen. Im Folgenden bezeichnen Γ, ∆ endliche Mengenaussagenlogischer Formeln. Wir schreiben Γ, ∆ für Γ ∪ ∆ und Γ, ψ fürΓ ∪ ψ. Die Ausdrücke

∧Γ bzw.

∨Γ stehen für die Konjunktion bzw.

Disjunktion über alle Formeln in Γ.

Definition 1.25. Eine Sequenz ist ein Ausdruck der Form Γ ⇒ ∆ fürendliche Formelmengen Γ, ∆ ⊆ AL. Wir nennen Γ das Antezedens und∆ das Sukzedens der Sequenz Γ ⇒ ∆.

Die Sequenz Γ ⇒ ∆ ist gültig, wenn jedes Modell von Γ auch einModell mindestens einer Formel aus ∆ ist, d.h. wenn

∧Γ |= ∨

∆. Wennalso Γ ⇒ ∆ nicht gültig ist, dann existiert eine Interpretation I in deralle Formeln aus Γ wahr und alle Formeln aus ∆ falsch sind. In diesemFall sagen wir, dass I die Sequenz Γ ⇒ ∆ falsifiziert.

Beispiel.

• Jede Sequenz Γ ⇒ ∆ mit Γ ∩ ∆ = ∅ ist gültig. Solche Sequenzensind die Axiome des Sequenzenkalküls.

• Seien Γ, ∆ Mengen von Aussagenvariablen. Die Sequenz Γ ⇒ ∆ istgenau dann falsifizierbar, wenn Γ und ∆ disjunkt sind.

• Eine Sequenz der Form Γ ⇒ ∅ ist genau dann gültig, wenn Γunerfüllbar ist.

• Eine Sequenz ∅ ⇒ ∆ ist genau dann gültig, wenn∨

∆ gültig ist.

Die genaue Formulierung eines Beweiskalküls hängt von den ver-wendeten Junktoren ab. Wir behandeln hier den aussagenlogischenSequenzenkalkül für Formeln, welche aus den Junktoren ¬, ∧,∨ und→ aufgebaut sind.

Definition 1.26. Die Axiome von SK sind alle Sequenzen der FormΓ, ψ ⇒ ∆, ψ. Die Schlussregeln von SK sind:

(¬ ⇒)Γ ⇒ ∆, ψ

Γ,¬ψ ⇒ ∆(⇒ ¬) Γ, ψ ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆,¬ψ

28


(∨ ⇒)Γ, ψ ⇒ ∆ Γ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ ∨ ϑ ⇒ ∆(⇒ ∨) Γ ⇒ ∆, ψ, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ ∨ ϑ

(∧ ⇒)Γ, ψ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ ∧ ϑ ⇒ ∆(⇒ ∧) Γ ⇒ ∆, ψ Γ ⇒ ∆, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ ∧ ϑ

(→⇒)Γ ⇒ ∆, ψ Γ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ → ϑ ⇒ ∆(⇒→)

Γ, ψ ⇒ ∆, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ → ϑ

Hierbei können jeweils für Γ, ∆, Σ beliebige endliche Formelmengenund für ψ, ϕ, ϑ beliebige Formeln eingesetzt werden. Jede Regel bestehtaus einer oder zwei Sequenzen in der oberen Zeile, genannt Prämissenund einer Sequenz in der unteren Zeile, genannt Konklusion.

Definition 1.27. Die Menge der ableitbaren Sequenzen von SK ist dieinduktiv durch die Axiome und Schlussregeln definierte Sequenzen-menge, d.h. die kleinste Menge, welche alle Axiome umfasst und mitjeder Instanz der oberen Zeile einer Schlussregel auch die entsprechendeInstanz der unteren Zeile enthält.

Ein Beweis in SK ist ein Baum, dessen Knoten auf folgende Weisemit Sequenzen beschriftet sind:

• Jedes Blatt ist mit einem Axiom beschriftet.• Jeder innere Knoten des Baumes ist mit der unteren Zeile einer

Schlussregel von SK beschriftet; die Kinder dieses Knotens müssendann gerade mit den in der oberen Zeile dieser Regel auftretendenSequenz beschriftet sein. Also hat jeder innere Knoten ein oderzwei Kinder.

Es folgt, dass eine Sequenz genau dann in SK ableitbar ist, wennsie als Beschriftung eines Knotens in einem Beweis von SK auftritt.

Beispiel. Die Sequenz ψ, (ϕ ∨ ϑ) ⇒ (ψ ∧ ϕ), (ψ ∧ ϑ) kann wie folgt inSK bewiesen werden:

ψ, ϕ ⇒ ψ, (ψ ∧ ϑ) ψ, ϕ ⇒ ϕ, (ψ ∧ ϑ)

ψ, ϕ ⇒ (ψ ∧ ϕ), (ψ ∧ ϑ)

ψ, ϑ ⇒ (ψ ∧ ϕ), ψ ψ, ϑ ⇒ (ψ ∧ ϕ), ϑ

ψ, ϑ ⇒ (ψ ∧ ϕ), (ψ ∧ ϑ)

ψ, (ϕ ∨ ϑ) ⇒ (ψ ∧ ϕ), (ψ ∧ ϑ)

Wie bei jedem Beweiskalkül sind auch beim Sequenzenkalkül zweigrundlegende Eigenschaften zu überprüfen:

• Korrektheit: Es können nur gültige Objekte abgeleitet werden.

29

1 Aussagenlogik

• Vollständigkeit: Es können alle gültigen Objekte abgeleitet werden.

Die Korrektheit des Sequenzenkalküls ist leicht nachzuweisen.

Lemma 1.28. Für jede Regel des Sequenzenkalküls und jede aussagen-logische Interpretation I (deren Definitionsbereich alle vorkommendenAussagenvariablen umfasst) gilt: I falsifiziert die Konklusion der Regelgenau dann wenn I eine Prämisse der Regel falsifiziert. Es folgt, dassdie Konklusion genau dann gültig ist, wenn die Prämissen gültig sind.

Übung 1.21. Beweisen Sie dieses Lemma.

Eine unmittelbare Konsequenz ist der Korrektheitssatz für SK.

Satz 1.29 (Korrektheit des Sequenzenkalküls). Jede in SK ableitbareSequenz Γ ⇒ ∆ ist gültig.

Aus dem Sequenzenkalkül gewinnen wir unmittelbar auch einenformalen Ableitungsbegriff für Formeln (statt Sequenzen).

Definition 1.30. Sei Φ ⊆ AL eine Formelmenge. Eine aussagenlogischeFormel ψ ist ableitbar aus der Hypothesenmenge Φ (kurz: Φ ⊢ ψ), wenneine endliche Teilmenge Γ von Φ existiert, so dass die Sequenz Γ ⇒ ψ

im Sequenzenkalkül ableitbar ist. Insbesondere ist ψ aus der leerenHypothesenmenge ableitbar (kurz: ⊢ ψ) wenn die Sequenz ∅ ⇒ ψ inSK abgeleitet werden kann.

Der Sequenzenkalkül erlaubt die systematische Suche und Analysevon Beweisen. Dies ist ein wichtiger Vorteil gegenüber vielen andernBeweiskalkülen (z.B. dem Hilbertkalkül). Wir werden einen Algorith-mus angeben, welcher zu jeder gegebenen Sequenz Γ ⇒ ∆ entwedereinen Beweis konstruiert, oder aber eine Interpretation findet, welchejede Formel aus Γ, aber keine aus ∆ erfüllt und damit den Nachweisliefert, dass Γ ⇒ ∆ nicht ableitbar ist. Wir erläutern diesen Algorithmuszunächst an zwei Beispielen.

Beispiel.

• Betrachte die Formel ψ := (X → Y) → (¬Y → ¬X). Wir suchenalso einen Beweis in SK für die Sequenz ∅ ⇒ ψ. Wir beobachtenzunächst, dass ψ die Form (ϕ → ϑ) hat. Die einzige Regel, die

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zu einer Sequenz der Form ∅ ⇒ (ϕ → ϑ) führen kann, ist dieRegel (⇒→). Diese Regel kann aber nur angewandt werden, wennvorher die Sequenz ϕ ⇒ ϑ, d.h. die Sequenz (X → Y) ⇒ (¬Y →¬X) abgeleitet wurde. Wir beginnen also die Konstruktion desAbleitungsbaums so:

(X → Y) ⇒ (¬Y → ¬X)

∅ ⇒ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

Um nun (X → Y) ⇒ (¬Y → ¬X) abzuleiten, können wir entwedermit der Regel (→⇒) auf dem Antezedens oder mit der Regel(⇒→) auf dem Sukzedens arbeiten. Die erste Möglichkeit führt zueiner Verzweigung des Ableitungsbaums:

∅ ⇒ X, (¬Y → ¬X) Y ⇒ (¬Y → ¬X)

(X → Y) ⇒ (¬Y → ¬X)

∅ ⇒ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

Die beiden Blätter werden nun mit den Regeln (⇒→) und dann(¬ ⇒) und (⇒ ¬) weiter bearbeitet. Dies führt schließlich zufolgendem Ableitungsbaum:

X,¬Y ⇒ X¬Y ⇒ X,¬X

∅ ⇒ X, (¬Y → ¬X)

Y ⇒ ¬X, YY,¬Y ⇒ ¬X

Y ⇒ (¬Y → ¬X)

(X → Y) ⇒ (¬Y → ¬X)

∅ ⇒ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

Die Blätter dieses Baumes sind Axiome, und wir haben damit einenBeweis für die gegebene Sequenz gefunden.

Wenn wir nach dem ersten Ableitungsschritt die zweite Möglichkeitgewählt hätten und mit der Regel (⇒→) auf dem Sukzedensweitergearbeitet hätten, dann wären wir schließlich zum Beweis

X ⇒ X, Y X, Y ⇒ Y(X → Y), X ⇒ Y

X → Y,¬Y ⇒ ¬X(X → Y) ⇒ (¬Y → ¬X)

∅ ⇒ (X → Y) → (¬Y → ¬X)

31

1 Aussagenlogik

gekommen. Wir sehen also, dass es verschiedene Beweise derselbenSequenz gibt.

• Als zweites Beispiel betrachten wir die Sequenz (X ∨Y) ⇒ (X ∧Y).Die Konstruktion des Ableitungsbaums führt mit der Regel (⇒ ∧)zunächst auf den Baum

X ∨ Y ⇒ X X ∨ Y ⇒ YX ∨ Y ⇒ X ∧ Y

.

Mit der Regel (∨ ⇒) erhalten wir dann den Ableitungsbaum

X ⇒ X Y ⇒ XX ∨ Y ⇒ X

X ⇒ Y Y ⇒ YX ∨ Y ⇒ Y

X ∨ Y ⇒ X ∧ Y.

Die Blätter bestehen nur aus Aussagenvariablen, aber nur dieäußeren beiden sind Axiome. Die beiden Blätter Y ⇒ X undX ⇒ Y werden durch die Interpretationen falsifiziert, welche eineder Aussagenvariablen X, Y mit wahr, die andere aber mit falschbelegen. Diese Interpretationen falsifizieren auch die Ausgangs-sequenz (X ∨ Y) ⇒ (X ∧ Y). Der Versuch, einen Beweis für dieseSequenz zu konstruieren führt also zu einer Interpretation, wel-che die Sequenz falsifiziert und damit (wegen der Korrektheit desSequenzenkalküls) nachweist, dass kein Beweis existiert.

Die systematische Beweissuche beruht darauf, dass zu jeder Se-quenz Γ ⇒ ∆ und jeder darin vorkommenden nicht-atomaren Formel ψ

genau eine Regel mit der Konklusion Γ ⇒ ∆ existiert, in deren Prämis-sen ψ nicht vorkommt. Der Algorithmus baut nun wie in den beidenBeispielen ausgehend von der zu beweisenden Sequenz einen Ablei-tungsbaum auf, indem er rückwärts von der Konklusion und einerdaraus ausgewählten Formel die entsprechende Regel bestimmt undden Baum um die Prämissen dieser Regel erweitert, bis entweder einerein atomare, falsifizierbare Sequenz gefunden wird oder alle Blättermit Axiomen beschriftet sind.

Definition 1.31. Ein Ableitungsbaum T für eine Sequenz S ist ein Baum,dessen Wurzel mit S beschriftet ist, so dass jeder innere Knoten von Tmit der unteren Zeile einer Schlussregel und die Kinder dieses Knotens

32


mit den in der oberen Zeile derselben Regel auftretenden Sequenzenbeschriftet sind.

Ein mit einem Axiom beschriftetes Blatt eines Ableitungsbaumsnennen wir positiv. Ein Blatt ist negativ, wenn es mit einer SequenzΓ ⇒ ∆ beschriftet ist, wobei Γ und ∆ disjunkte Mengen von Aussa-genvariablen sind. Ein Ableitungsbaum ist vollständig, wenn alle seineBlätter positiv oder negativ sind.

Ein Beweis ist demnach ein Ableitungsbaum, dessen Blätter al-le positiv sind (und welcher daher insbesondere vollständig ist). EinAbleitungsbaum, der ein negatives Blatt enthält, nennen wir eine Wider-legung.

Wir können nun einen Algorithmus angeben, welcher zu jederaussagenlogischen Sequenz einen Beweis oder eine Widerlegung findet.

Satz 1.32. Algorithmus 1.3 terminiert auf jeder gegebenen Sequenz Γ ⇒∆ in endlich vielen Schritten. Er findet genau dann einen Beweis, wennΓ ⇒ ∆ gültig ist; andernfalls findet er eine falsifizierende Interpretationfür Γ ⇒ ∆.

Beweis. Die Komplexität einer Sequenz sei die Anzahl der in ihr vor-kommenden Junktoren. Für jede Regel von SK gilt, dass die Komplexitätder Konklusion echt größer ist als die Komplexität der Prämissen. Des-halb kann die Tiefe des konstruierten Ableitungsbaum nicht größer seinals die Komplexität der Ausgangssequenz; der Algorithmus muss alsoterminieren.

Wenn der Algorithmus auf Γ ⇒ ∆ einen Ableitungsbaum T findet,dessen Blätter alle mit (+) markiert sind (deren Beschriftungen alsoAxiome sind), dann ist T offensichtlich ein Beweis für Γ ⇒ ∆. Aufgrundder Korrektheit des Sequenzenkalküls ist Γ ⇒ ∆ dann gültig.

Andernfalls enthält der konstruierte Ableitungsbaum ein negativesBlatt mit einer Beschriftung Γ′ ⇒ ∆′, so dass Γ′ und ∆′ disjunkte Men-gen von Aussagenvariablen sind. Indem man die Aussagenvariablenin Γ′ mit wahr, diejenigen in ∆′ mit falsch und alle übrigen beliebigbelegt, gewinnt man eine Interpretation, welche Γ′ ⇒ ∆′ falsifiziert. AusLemma 1.28 folgt, dass diese Interpretation auch die AusgangssequenzΓ ⇒ ∆ falsifiziert. q.e.d.

33

1 Aussagenlogik

Der Sequenzenkalkül liefert also sogar ein Entscheidungsverfahrenfür die gültigen aussagenlogischen Sequenzen und damit auch für dieaussagenlogischen Tautologien. Insbesondere folgt aus Satz 1.32, dassder aussagenlogische Sequenzenkalkül vollständig ist.

Folgerung 1.33 (Vollständigkeit des Sequenzenkalküls). Jede gültigeaussagenlogische Sequenz ist im Sequenzenkalkül ableitbar.

Übung 1.22. Geben Sie Schlussregeln (⊕ ⇒) und (⇒ ⊕) für denJunktor ⊕ („exklusives oder“) an. Konstruieren Sie im entsprechenderweiterten Sequenzenkalkül einen Beweis für die Sequenz (ψ ⊕ ϕ)⊕ϑ ⇒ ψ ⊕ (ϕ ⊕ ϑ).

Übung 1.23. Modifizieren Sie den Suchalgorithmus für den Sequen-zenkalkül zu einem Entscheidungsverfahren für die Erfüllbarkeit aus-sagenlogischer Formeln, also zu einem Algorithmus, welcher zu jedergegebenen aussagenlogischen Formel ψ entscheidet, ob ψ erfüllbar istoder nicht.

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Algorithmus 1.3. Beweissuche im aussagenlogischen Sequenzenkal-kül

Input: Eine aussagenlogische Sequenz Γ ⇒ ∆.

Ein Ableitungsbaum für Γ ⇒ ∆ wird induktiv wie folgt aufgebaut. ZuBeginn sei T der Baum, der nur aus der Wurzel besteht, beschriftetmit Γ ⇒ ∆. Solange T noch unmarkierte Blätter enthält, werdenfolgende Operationen ausgeführt:

Wähle ein unmarkiertes Blatt ℓ; sei Γ′ ⇒ ∆′ dieBeschriftung von ℓ.

Wenn ℓ negativ ist, dann wird die Interpretationkonstruiert, welche alle Aussagenvariablen in Γ′ mitwahr und alle andern mit falsch bewertet. Diese wirdals falsifizierende Interpretation für Γ ⇒ ∆ ausgegeben.Die Prozedur ist damit beendet.

Wenn ℓ positiv ist wird ℓ mit (+) markiert.

Andernfalls wird eine nicht-atomare Formel ψ ausΓ′ ⇒ ∆′ ausgewählt und die (eindeutig festgelegte)Regel bestimmt, deren Konklusion Γ′ ⇒ ∆′ ist undderen Prämissen ψ nicht mehr enthalten. Dann wird Tum ein oder zwei Nachfolgeknoten von ℓ erweitert,welche mit den Prämissen dieser Regel beschriftetwerden.

Wenn alle Blätter mit (+) markiert sind, wird T als Beweis für Γ ⇒ ∆ausgegeben und die Prozedur beendet.

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2 Syntax und Semantik derPrädikatenlogik

Die Aussagenlogik behandelt ausschließlich Aussagen, welche aus ato-maren Formeln mit Hilfe der aussagenlogischen Verknüpfungen ∧,∨,¬etc. zusammengesetzt werden. Eine aussagenlogische Interpretationordnet den atomaren Formeln Wahrheitswerte 0 oder 1 zu, und diessetzt sich fort zu einer Interpretation beliebiger aussagenlogischer For-meln. Insbesondere haben die atomaren Aussagen selbst keine innereStruktur, ja wir abstrahieren vollständig vom mathematischen, um-gangssprachlichen oder technischen Inhalt einer atomaren Aussage, nurihr Wahrheitswert ist maßgebend.

Für die meisten mathematischen Anwendungen ist die Aussa-genlogik viel zu ausdrucksschwach. Bereits sehr einfache, alltäglicheArgumente über konkrete Strukturen, z.B. „alle Quadratzahlen sindpositiv, 25 = 5 · 5, also ist 25 positiv“ widersetzen sich einer Formali-sierung in der Aussagenlogik. Formal hat das Argument die Gestaltψ ∧ ϕ → ϑ, aber ohne Zugriff auf die Struktur und den Zusammen-hang der Teilaussagen ψ, ϕ, ϑ gibt es keinen Grund, warum eine solcheImplikation wahr sein sollte.

Wir brauchen also ein ausdrucksstärkeres logisches System. DiePrädikatenlogik (abgekürzt FO für „first-order logic“) macht Aussa-gen, welche durch Strukturen und Elemente von Strukturen (also nichtdurch bloße Wahrheitswerte) interpretiert werden. Bereits die atomarenFormeln haben eine kompliziertere Struktur, sie sprechen über Rela-tionen zwischen Elementen einer Struktur (z.B. 2x < y + 3) oder überdie Gleichheit von Elementen (z.B. x2 = y). Außerdem werden Aussa-gen nicht nur mit Hilfe der aussagenlogischen Junktoren miteinanderverknüpft, es besteht auch die Möglichkeit, Existenz- oder Allaussagenüber Elemente einer Struktur zu machen, der Art „es gibt eine reelle

37

2 Syntax und Semantik der Prädikatenlogik

Zahl x, so dass x2 = 2“ oder „zu jeder Primzahl gibt es eine größe-re“. Was wir hingegen nicht zulassen, sind Existenz- oder Allaussagenüber Mengen, Funktionen oder Relationen auf der zugrundegelegtenStruktur.

2.1 Strukturen

Mathematische Strukturen bestehen aus einem Universum und ausausgezeichneten Funktionen und Relationen auf diesem Universum.Beispiele sind:

• die additive Gruppe der ganzen Zahlen: (Z,+, 0)

• der geordnete Körper der reellen Zahlen: (R,+, ·, 0, 1,<)

• Graphen: Die Punkte des Graphen sind das Universum, die zwei-stellige Relation E beschreibt die Kantenbeziehung.

Die Namen (Symbole) für die in einer Struktur auftretenden Rela-tionen und Funktionen bilden die Signatur der Struktur.

Definition 2.1. Eine Signatur τ ist eine Menge von Funktions- und Rela-tionssymbolen. Jedes dieser Symbole hat eine feste endliche Stelligkeit.

Eine Signatur heißt relational, wenn sie nur Relationssymbole ent-hält bzw. funktional oder algebraisch, wenn sie ausschließlich Funktions-symbole enthält. Nullstellige Funktionssymbole heißen auch Konstan-tensymbole.

Andere Bezeichnungen für eine Signatur sind Symbolmenge oderVokabular.

Beispiel.

• Die Signatur der Arithmetik ist τar = +, · , 0, 1, wobei + und ·zweistellige Funktionsymbole, 0 und 1 Konstantensymbole sind.

• Die Signatur der geordneten Arithmetik ist τ<ar = +, · , 0, 1,<.

Sie erweitert τar um das zweistellige Relationssymbol <.

• Die Signatur von Graphen τG = E, wobei E ein zweistelligesRelationssymbol ist.

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2.1 Strukturen

Notation. Normalerweise verwenden wir

• P, Q, R, . . . , Pi, . . . für Relationssymbole,• f , g, h, . . . , fi, . . . für Funktionssymbole,• c, d, e, . . . , ci, . . . für Konstantensymbole,• σ, τ für Signaturen.

Relations- und Funktionssymbole in einer Signatur τ können na-türlich in vielfältiger Weise durch konkrete Relationen und Funktioneninterpretiert werden. Allgemein wird eine Struktur festgelegt durchAngabe ihres Universums und der Interpretation der Relations- undFunktionssymbole über diesem Universum.

Definition 2.2. Eine τ-Struktur A besteht aus

• einer nichtleeren Menge A, dem Universum (oder Träger) von A,• einer Interpretationsfunktion welche jedem n-stelligen Relations-

symbol P ∈ τ eine n-stellige Relation PA ⊆ An und jedem n-stelligen Funktionssymbol f ∈ τ eine n-stellige Funktion fA :An → A zuordnet.

Eine Struktur mit funktionaler Signatur τ heißt auch eine τ-Algebra.

Notation. Strukturen bezeichnen wir meist mit gotischen BuchstabenA,BC, . . ., der entsprechende lateinische Buchstabe A, B, C, . . . steht fürdas Universum der Struktur. Mit A = (A, PA

1 , PA2 , . . . , fA1 , fA2 , . . .) be-

zeichnen wir also eine Struktur der Signatur τ = P1, P2, . . . , f1, f2 . . .mit Universum A.

Bemerkung. Es ist wichtig zwischen Relations- und FunktionssymbolenRi, f j und ihrer Interpretation durch konkrete Relationen RA

i bzw. Funk-tionen fAj zu unterscheiden.

Wir werden eine Reihe von Beispielen im nächsten Abschnitt dis-kutieren. Zuvor beschreiben wir zwei grundlegende Möglichkeiten, wieeine Struktur in einer andern enthalten sein kann.

Definition 2.3. Seien A und B τ-Strukturen. A ist Substruktur von B

(kurz: A ⊆ B), wenn

• A ⊆ B,

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• für alle Relationssymbole R ∈ τ gilt: RA = RB ∩ An (wobei n dieStelligkeit von R ist),

• für alle Funktionssymbole f ∈ τ gilt fA = fB|A, d.h. fA ist dieRestriktion von fB auf A.

Wenn A Substruktur von B, so heißt B Erweiterung von A.

Ist A eine Substruktur der τ-Struktur B, so ist A τ-abgeschlossen, d.h.für alle n-stelligen f ∈ τ und alle a1, . . . , an ∈ A ist fB(a1, . . . , an) ∈ A.Umgekehrt gilt auch: Sei B eine τ-Struktur. Zu jeder nicht-leeren, τ-abgeschlossenen Teilmenge A ⊆ B gibt es genau eine Substruktur vonB mit Träger A. Wir nennen sie die von A in B induzierte Substruktur.

Beispiel. 2N := 2n : n ∈ N ist +-abgeschlossen. Also ist(2N,+) ⊆ (N,+). Hingegen ist 2N + 1 := 2n + 1 : n ∈ N nicht+-abgeschlossen und kann somit nicht Träger einer Substruktur von(N,+) sein.

Während beim Begriffspaar Substruktur/Erweiterung die Signaturfest bleibt und das Universum verändert wird, ist dies beim BegriffspaarRedukt/Expansion genau umgekehrt.

Definition 2.4. Seien σ ⊆ τ Signaturen, und sei B eine τ-Struktur. Dasσ-Redukt B σ von B ist die σ-Struktur, die wir aus B erhalten, wennwir die Relationen und Funktionen in τ \ σ einfach weglassen. Ist ARedukt einer τ-Struktur B, so nennen wir B eine τ-Expansion von A.

Beispiel. Die additive Gruppe der reellen Zahlen (R,+, 0) ist das +, 0-Redukt des Körpers der reellen Zahlen (R,+, · , 0, 1).

2.2 Ein Zoo von Strukturen

Mengen. Sei τ = ∅. Die ∅-Struktur mit Universum A ist einfach dieMenge A.

Graphen. Die Signatur von Graphen ist τG = E, wobei E einbinäres Relationssymbol ist. Eine beliebige τG-Struktur ist ein gerichteterGraph. Ein ungerichteter Graph ist eine τG-Struktur G = (V, EG) mitPunktmenge V (dem Universum von G) und einer Relation EG ⊆ V ×V,welche folgende Bedingungen erfüllt:

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(Keine Schlingen) Für alle v ∈ V gilt: (v, v) ∈ EG.(Symmetrie) Für alle u, v ∈ V: Wenn (u, v) ∈ EG, dann auch (v, u) ∈ EG.

Lineare und partielle Ordnungen. Eine partielle Ordnung ist eine<-Struktur (A,<) welche folgende Bedingungen erfüllt:(Irreflexivität) Für kein a ∈ A gilt a < a.(Transitivität) Wenn a < b und b < c, dann auch a < c.Daraus folgt insbesondere auch, dass < antisymmetrisch ist: Wenn a < b,dann nicht b < a.Eine lineare oder totale Ordnung erfüllt als zusätzliche Bedingung:(Vergleichbarkeit) Für alle a, b gilt a < b, a = b oder b < a.

Offensichtlich sind (N,<) und (R,<) (mit der üblichen Interpre-tation von <) lineare Ordnungen. Für jede Menge A ist (P(A),⊂) einepartielle Ordnung, für |A| > 1 aber keine lineare Ordnung.

Eine lineare Ordnung ist dicht, wenn zu zwei beliebigen Elementena < b immer ein c existiert mit a < c < b.

Eine Wohlordnung ist eine lineare Ordnung (A,<) ohne unendlicheabsteigende Ketten: Es gibt keine unendliche Folge a0, a1, a2, . . . in A sodass ai+1 < ai für alle i ∈ N. Zum Beispiel ist (N,<) eine Wohlordnungwährend (Z,<) oder (Q+,<) keine Wohlordnungen sind.

Wortstrukturen. Sei Γ ein Alphabet, d.h. eine beliebige, in der Regelabzählbare, Menge von Symbolen. Ein Wort über Γ ist eine endlicheFolge w = w0 · · ·wn−1 von Symbolen aus Γ. Jedem solchen Wort wordnen wir eine Struktur B(w) der Signatur < ∪ Pa : a ∈ Γ miteinstelligen Relationssymbolen Pa zu. Das Universum von B(w) ist dieMenge 0, . . . , n − 1 der Positionen an denen Symbole stehen, < istdie übliche Ordnung auf dieser Menge und Pa := i < n : wi = aist die Menge der Positionen an denen im Wort w das Symbol a steht.Das Wort w = abbcab über dem Alphabet a, b, c wird also durch dieWortstruktur

B(w) = (0, 1, 2, 3, 4, 5,<, Pa, Pb, Pc)

mit Pa = 0, 4, Pb = 1, 2, 5 und Pc = 3 repräsentiert.

41


In der Logik wird die Menge der natürlichen Zahlen oft mit ω

bezeichnet. Ein unendliches Wort oder ω-Wort ist eine unendliche Folgez = z0z1 · · · ∈ Γω von Symbolen aus Γ. Die entsprechende Wortstrukturist B(z) := (ω,<, (Pa)a∈Γ) mit Pa = i ∈ ω : zi = a.

Transitionssysteme. Ein Transitionssystem besteht aus einer MengeS von Zuständen und aus einer Menge A von Aktionen oder Programmen,welche Zustände in neue Zustände überführen. Zusätzlich hat manin der Regel eine Menge B von Eigenschaften, welche die Zuständehaben oder nicht haben können. Ein solches Transitionssystem wirdbeschrieben durch eine Struktur mit Universum S, einer Menge Pb :b ∈ B von monadischen (d.h. einstelligen) Relationen und einer MengeEa : a ∈ A von binären Relationen auf S. Dabei soll Pb die Menge derZustände mit der Eigenschaft b sein, und die Relation Ea soll auf einPaar (s, t) von Zuständen zutreffen, genau dann, wenn das Programma den Zustand s in den Zustand t überführt.

Eine wichtige Methode zur Verifikation paralleler Systeme bestehtdarin, diese als Transitionssysteme zu modellieren und Bedingungenwie Fairness, Sicherheit, Deadlock-Freiheit etc. in einer geeigneten logi-schen Sprache zu formulieren und auf dem Transitionssystem auszu-werten. Formale Spezifikation und Verifikation solcher Systeme ist eineder wichtigsten Anwendungen der Logik in der Informatik.

Relationale Datenbanken. Eine relationale Datenbank ist, informellgesprochen, eine endliche Kollektion von endlichen Tabellen, welchesich zeitlich verändern. Jede Zeile in einer solchen Tabelle R ist ein Tupel(a1, . . . , an) ∈ D1 × · · ·×Dn wobei D1, . . . , Dn die den einzelnen Spalten(im Datenbank-Jargon: den Attributen) zugeordneten Domänen sind(z.B. Integers, Strings,. . . ). Sei D die Vereinigung aller in der Datenbankvorkommenden Domänen. Die Tabelle R kann dann als eine n-stelligeRelation über D aufgefasst werden: R ⊆ Dn.

Ein aktueller Zustand der Datenbank ist also eine endliche Kollekti-on von endlichen Relationen R1, . . . , Rm über dem (in der Regel unend-lichen) Universum D. Dies entspricht der Struktur D = (D, R1, . . . , Rm).

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Für viele Zwecke ist aber diese Formalisierung problematisch: Ele-mentare Operationen wie die Bildung des Komplements einer Relationführen zu unendlichen Relationen. Daher ist eine Formalisierung durcheine endliche Struktur oft zweckmäßiger. Anstelle des unendlichen Uni-versums D betrachte man die aktive Domäne ad(D), welche aus alldenjenigen Objekten besteht, die in einer der Relationen R1, . . . , Rm

vorkommen, also

ad(D) := a ∈ D : es gibt ein Ri und ein (b1, . . . , br) ∈ Ri,

so dass bj = a für ein j ≤ r.

Da alle Relationen Ri endlich sind, ist auch ad(D) endlich und die end-liche Substruktur (ad(D), R1, . . . , Rm) von D ist eine adäquate endlicheFormalisierung des Datenbank-Zustandes.

Anfragen an eine Datenbank entsprechen dem Auswerten logischerFormeln auf (endlichen) Strukturen. Es bestehen daher enge Verbindun-gen zwischen der Mathematischen Logik und der Theorie relationalerDatenbanken.

Arithmetische Strukturen. Die Signatur der Arithmetik ist τar =

+, ·, 0, 1, die Signatur der geordneten Arithmetik τ<ar = τar ∪ <,

wobei wir annehmen, dass die Symbole +, · , 0, 1,< in der üblichen Wei-se interpretiert werden. Trotzdem gibt es natürlich ganz verschiedenearithmetische Strukturen, z.B.:

• N = (N,+, ·, 0, 1), die Standard-Arithmetik der natürlichen Zahlen.Die geordnete Standard-Arithmetik ist N< = (N,+, ·, 0, 1,<). Sie isteine Expansion von N.

• Beliebige Ringe, insbesondere der Ring Z = (Z,+, ·, 0, 1) der gan-zen Zahlen. Offensichtlich ist Z eine Erweiterung der Standard-Arithmetik N.

• Beliebige Körper, etwa den Körper R = (R,+, ·, 0, 1) der reellenZahlen, den Körper Q = (Q,+, ·, 0, 1) der rationalen Zahlen oderendliche Körper.

• Die Standard-Arithmetik N lässt sich durch Hinzunahme von ‘un-endlichen Elementen’ zu neuen arithmetischen Strukturen erwei-

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tern. Die einfachste Variante ist (N ∪ ∞,+, · , 0, 1) mit

a + ∞ = ∞ + a = a · ∞ = ∞ · a = ∞

für alle a ∈ N ∪ ∞.

Boolesche Algebren. Sei A eine beliebige Menge. Die Boolesche Alge-bra über A ist BA(A) = (P(A),∪,∩, , ∅, A), wobei ∪,∩, Vereinigung,Durchschnitt und Komplement in A bedeuten.

Gruppen. Wie können Gruppen (im Sinne der Algebra) durch Struk-turen gemäß Definition 2.2 formalisiert werden? Dafür gibt es mehrereMöglichkeiten, abhängig davon, welche in Gruppen vorkommendenFunktionen und Relationen explizit (d.h. in der Signatur) vorkommensollen. Mit den üblichen Bezeichnungen für die Gruppenoperation,e für das neutrale Element, g−1 für das zu g inverse Element ergebensich sofort die Möglichkeiten

(1) G = (G, ),(2) G = (G, , e) und(3) G = (G, , e, −1).

Die Wahl der Signatur ist abhängig von der jeweiligen Absicht: Will maneine möglichst minimale Formalisierung, wird man (1) oder (2) wählen,da die Gruppe dadurch bereits eindeutig festgelegt ist. Andererseits gibtes algebraische Überlegungen, welche die dritte Möglichkeit nahelegen:Wenn die Funktion −1 hinzugenommen wird, sind die Substrukturenvon G genau die Untergruppen. Dies ist nicht der Fall bei den beidenersten Formalisierungen. So ist etwa (N,+, 0) eine Substruktur von(Z,+, 0) (der additiven Gruppe der ganzen Zahlen), aber offensichtlichkeine Untergruppe.

In der Praxis sind oft noch ganz andere Operationen wesentlich,etwa die Multiplikation mit erzeugenden Elementen der Gruppe.

Vektorräume. Zum Abschluss diskutieren wir das Problem der For-malisierung von Vektorräumen. Interessant ist dies deshalb, weil hierObjekte verschiedener Art auftreten: Vektoren und Skalare.

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2.3 Syntax der Prädikatenlogik

Sei etwa V ein Vektorraum über dem Körper K. Man kann eineFormalisierung wählen, in der das Universum ausschließlich aus denVektoren besteht, und die Elemente des Grundkörpers als Operationenauf dem Universum in Erscheinung treten. Dem Vektorraum entsprichtdann die algebraische Struktur (V,+, 0, ( fk)k∈K) mit fk(v) := kv (Mul-tiplikation mit Skalar k). Für algebraische Überlegungen ist dies beifestem Grundkörper K die geeignete Formalisierung, da die Substruk-turen genau den linearen Unterräumen entsprechen (Abgeschlossenheitunter Addition und unter Multiplikation mit Skalaren). Wenn wir im fol-genden über Vektorräume sprechen, ist meistens diese Formalisierunggemeint.


Wir fixieren eine Signatur τ und definieren die Menge der τ-Termeund die Menge der τ-Formeln induktiv als Wortmengen über einemAlphabet Alph(τ), welches aus folgenden Symbolen besteht:

• den Relations- und Funktionssymbolen in τ,

• einer festen abzählbar unendlichen Menge VAR = v0, v1, v2, . . .von Variablen,

• dem Gleichheitszeichen = ,

• den aussagenlogischen Junktoren ¬,∧,∨ und →,

• dem Existenzquantor ∃ und dem Allquantor ∀,

• den Klammersymbolen (, ).

τ-Terme sind bestimmte Wörter über diesem Alphabet, welche ausVariablen und Funktionszeichen zusammengesetzt sind. Wir verwendenhier eine klammerfreie Notation.

Definition 2.5. Die Menge T(τ) der τ-Terme ist induktiv wie folgtdefiniert:

• VAR ⊆ T(τ), d.h. jede Variable ist ein τ-Term.

• Sind t1, . . . , tn τ-Terme und f ein n-stelliges Funktionssymbol ausτ, so ist auch f t1 · · · tn ein τ-Term.

45


Wenn wir einen Term in der Form t(x1, . . . , xn) schreiben, dannmeinen wir, dass x1, . . . , xn paarweise verschiedene Variablen sind unddass in t keine anderen Variablen als diese vorkommen.

Man beachte, dass insbesondere jedes Konstantensymbol c ausτ ein τ-Term ist. Ein Grundterm ist ein Term in dem keine Variablenauftreten.

Beispiel. Die Signatur τ enthalte die Funktionssymbole f (einstellig), g(zweistellig) und c (nullstellig). Sei x ∈ VAR eine Variable. Dann sinddie folgenden Wörter τ-Terme.

x, c, f x, f c, gxx, g f xc, ggcc f x.

Dabei sind c und f c Grundterme.Es ist oft nützlich, Terme als Bäume aufzufassen. Die Baumnotation

des Terms ggcc f x ist:

g

g

c c

f

x

Eindeutige Lesbarkeit von Termen. Jedes Wort in Alph(τ)∗ kann aufhöchstens eine Weise als ein Term aufgefasst werden. Um dies nach-zuweisen, zeigt man zunächst per Induktion über den Termaufbau,dass kein τ-Term ein echtes Anfangsstück eines andern τ-Terms seinkann. Daraus folgt, dass für jeden Term f t1 · · · tn die unmittelbarenUnterterme t1, . . . , tn eindeutig bestimmt sind.

Definition 2.6. Die Menge FO(τ) der τ-Formeln der Prädikatenlogik istinduktiv definiert wie folgt:

(1) Sind t1, t2 τ-Terme dann ist t1 = t2 eine τ-Formel.(2) Sind t1, . . . , tn τ-Terme und ist P ∈ τ ein n-stelliges Relationssym-

bol, dann ist Pt1 · · · tn eine τ-Formel.(3) Wenn ψ eine τ-Formel ist, dann auch ¬ψ.

46


(4) Wenn ψ und ϕ τ-Formeln sind, dann auch (ψ ∧ ϕ), (ψ ∨ ϕ) und(ψ → ϕ).

(5) Wenn ψ eine τ-Formel ist und x ∈ VAR eine Variable, dann sind∃xψ und ∀xψ τ-Formeln.

Eine Formel, die nur nach den Regeln (1) und (2) definiert ist, heißtatomar, Atom-Formel oder einfach Atom. Literale sind Atome und derenNegationen. Formeln, die nur nach den Regeln (1) – (4) definiert sind,heißen quantorenfrei.

Beispiel. Sei τ = E, f , wobei E ein zweistelliges Relationssymbol undf ein einstelliges Funktionssymbol sind. Hier sind einige Formeln ausFO(E, f ):

• v0 = v1,• ((Ev0v0 ∨ f v0 = v1) ∧ ¬Ev1 f v0),• ∀v0∀v1(¬v0 = v1 → Ev0v1),• ∀v0∀v1(Ev0v1 → ∃v2(Ev0v2 ∧ Ev2v0)).

Konventionen zur Notation von Formeln. Wie bei der Aussa-genlogik benutzen wir auch bei der Prädikatenlogik abkürzende odervereinfachende Schreibweisen. Zum Beispiel bezeichnen wir Variablenin der Regel mit anderen Symbolen, etwa x, y, z, x0, x1, . . ., anstelle vonv0, v1, . . . ∈ VAR. Für Terme, die aus Funktionssymbolen wie +, ·, etc.gebildet werden, verwenden wir in der Regel die Infix-Notation x + ystatt +xy; ähnliches gilt für Atome wie etwa t1 < t2 oder gelegentlichauch xEy. Anstelle von ¬t1 = t2 schreiben wir t1 = t2. Wo dies für dieLesbarkeit nützlich ist, werden wir von der klammerfreien Notation vonTermen abweichen: Zum Beispiel schreiben wir x+(y+ z) = (x+ y)+ zanstelle von +x + yz = ++xyz. Andererseits werden wir in Formelnoft Klammern weglassen, welche für das Verständnis überflüssig sind.

Man beachte, dass diese anschaulichen Mitteilungsweisen keineTerme und Formeln im eigentlichen Sinn mehr sind sondern meta-sprachliche Umschreibungen solcher Objekte. Die präzise formale Defi-nition der syntaktischen Objekte ist notwendig für die Präzisierung desBegriffs einer logischen Aussage, für die Analyse des Beweisbegriffsund insbesondere für die maschinelle Verarbeitung mathematischer

47


Aussagen. Für die metasprachliche Kommunikation ist eine allzu for-male Notation hingegen eher hinderlich als hilfreich. Dies gilt nichtnur für logische Formeln; auch in der Kommunikation über anderesyntaktische Objekte, etwa Computer-Programme (für die eine präziseSyntax natürlich zwingend erforderlich ist), wird man, etwa bei derKonzeption und Analyse informellere Beschreibungen vorziehen.

Wir weisen außerdem darauf hin, dass ein Ausdruck t1 = t2 jenach Kontext entweder eine Formel aus FO(τ) oder aber eine meta-sprachliche Aussage sein kann, welche die Gleichheit der beiden Termet1, t2 als syntaktische Objekte ausdrückt. Um diese mögliche Quellevon Konfusionen zu vermeiden, kann man entweder zwei verschiedeneGleichheitszeichen einführen oder einfach versuchen, sorgfältig zu sein.Wir wählen hier die zweite Möglichkeit.

Freie und gebundene Variablen. Ein Vorkommen einer Variablen xin einer Formel ψ kann frei oder gebunden sein. Es ist gebunden, wennes in einer Unterformel der Form ∃xψ oder ∀xψ stattfindet, andernfallsist es frei.

Beispiel. In der folgenden Formel sind unterstrichene Vorkommen vonVariablen gebunden, nicht unterstrichene Vorkommen sind frei.

∃x(Eyz ∧ ∀z(z = x ∨ Eyz)).

Man beachte, dass z in dieser Formel sowohl frei als auch gebundenvorkommt.

Formal ist die Menge der in einer Formel frei auftretenden Varia-blen wie folgt definiert.

Definition 2.7. Sei t ∈ T(τ) ein Term und ψ ∈ FO(τ) eine Formel.Mit var(t) bzw. var(ψ) bezeichnen wir die Menge aller in t bzw. ψ

auftretenden Variablen. Die Menge frei(ψ) der freien Variablen von ψ

ist induktiv wie folgt definiert:

• Für atomare Formeln ψ ist frei(ψ) := var(ψ).• frei(¬ψ) := frei(ψ).• frei(ψ ϕ) := frei(ψ) ∪ frei(ϕ) für ∈ ∧,∨,→.

48

2.4 Semantik der Prädikatenlogik

• frei(∃xψ) = frei(∀xψ) := frei(ψ) \ x.

Oft bezeichnen wir eine Formel in der Form ψ(x1, . . . , xk), um an-zudeuten, dass höchstens die Variablen x1, . . . , xk in ψ frei vorkommen.Ein τ-Satz ist eine τ-Formel ohne freie Variablen.

Mächtigkeit von T(τ) und FO(τ). Wenn τ abzählbar ist, dann auchdas Alphabet Alph(τ). Es folgt dann, dass auch Alph(τ)∗, und damitinsbesondere T(τ) und FO(τ) abzählbar sind. Andererseits sind T(τ)und FO(τ) auch bei endlicher Signatur τ (sogar bei τ = ∅) unendlich.In der Tat enthält T(τ) alle Variablen und FO(τ) alle Formeln x = y fürx, y ∈ VAR.


Definition 2.8 (Modellbeziehung). Sei τ eine Signatur. Eine τ-Interpre-tation ist ein Paar I = (A, β), wobei A eine τ-Struktur und β : X → Aeine Belegung von Variablen durch Elemente von A ist. Dabei ist X =

dom(β) ⊆ VAR. Eine τ-Interpretation I = (A, β) ordnet

• jedem Term t ∈ T(τ) mit var(t) ⊆ dom(β) einen Wert JtKI ∈ A zu,und

• jeder Formel ψ ∈ FO(τ) mit frei(ψ) ⊆ dom(β) einen Wahrheits-wert JψKI ∈ 0, 1. (Wie üblich steht 0 für falsch und 1 für wahr.)

Die Zuordnung dieser Werte erfolgt induktiv gemäß dem Aufbau derTerme und Formeln. Für einen Term t ist JtKI definiert durch:

• Für x ∈ dom(β) ist JxKI := β(x).

• Für t = f t1 · · · tn ist JtKI := fA(Jt1KI, . . . , JtnKI).

Für atomare Formeln ψ ist JψKI wie folgt definiert:

• Jt1 = t2KI :=

1 wenn Jt1KI = Jt2KI,

0 sonst.

• JPt1 · · · tnKI :=

1 wenn (Jt1KI, . . . , JtnKI) ∈ PA,

0 sonst.

49


Die Bedeutung der Junktoren ¬,∧,∨ und → ist genau die gleiche wiein der Aussagenlogik:

• J¬ψKI := 1 − JψKI.

• Jψ ∨ ϕKI := max(JψKI, JϕKI).• Jψ ∧ ϕKI := min(JψKI, JϕKI).• Jψ → ϕKI := J¬ψ ∨ ϕKI = max(1 − JψKI, JϕKI).

Um J∃xψKI und J∀xψKI zu definieren, verwenden wir folgende Nota-tion: Sei β : X → A eine Belegung, x eine Variable und a ein Elementvon A. Wir definieren eine neue Belegung β[x/a] : X ∪ x → A durch

β[x/a](y) :=

β(y) wenn y = x,

a sonst.

Für I = (A, β) setzen wir I[x/a] := (A, β[x/a]) und definieren:

• J∃xψKI := maxa∈A

JψKI[x/a].

• J∀xψKI := mina∈A

JψKI[x/a].

Es gilt also genau dann J∃xψKI = 1, wenn ein a ∈ A existiert, sodass JψKI[x/a] = 1, und J∀xψKI = 1, wenn für alle a ∈ A gilt, dassJψKI[x/a] = 1.

Ein Modell einer Formel ψ ist eine Interpretation I = (A, β), so dassfrei(ψ) ⊆ dom(β) und JψKI = 1. Wir schreiben dann: (A, β) |= ψ oderauch A |= ψ[β] und sagen, dass ψ in A unter der Belegung β gilt.

Ein Modell einer Formelmenge Φ ⊆ FO(τ) ist eine τ-InterpretationI = (A, β), so dass A |= ϕ[β] für alle ϕ ∈ Φ gilt. Ein Modell einerFormelmenge erfüllt also alle Formeln in dieser Menge gleichzeitig.

Man beachte, dass eine Formel ψ ∈ FO(σ) auch zu FO(τ) gehört,wenn σ ⊆ τ. Eine Interpretation (A, β) ist also passend für eine Formelψ (oder eine Formelmenge Φ) wenn alle Funktions- und Relationssym-bole von ψ (bzw. Φ) in der Signatur von A enthalten sind und allefreien Variablen von ψ (bzw. Φ) zum Definitionsbereich von β gehö-ren. Offensichtlich ist für die Modellbeziehung die Interpretation derRelations- und Funktionssymbole, welche in ψ gar nicht vorkommen,

50


sowie die Belegung der in ψ nicht frei auftretenden Variablen unerheb-lich. Dieser Sachverhalt, den man durch eine einfache, aber langweiligeInduktion über den Formelaufbau nachweisen kann, wird durch dasKoinzidenzlemma ausgedrückt.

Lemma 2.9 (Koinzidenzlemma). Sei ψ ∈ FO(σ ∩ τ), (A, β) eine σ-Inter-pretation und (A′, β′) eine τ-Interpretation, so dass folgendes gilt:

(i) A und A′ haben dasselbe (σ ∩ τ)-Redukt: A (σ ∩ τ) = A′

(σ ∩ τ).(ii) frei(ψ) ⊆ dom(β)∩ dom(β′) und β(x) = β′(x) für alle x ∈ frei(ψ).

Dann gilt A |= ψ[β] genau dann, wenn A′ |= ψ[β′].

Notation. Wie erwähnt, deuten wir mit der Notation ψ(x1, . . . , xk) an,dass frei(ψ) ⊆ x1, . . . , xk. Sei nun (A, β) eine Interpretation welchedie Variablen x1, . . . , xk durch die Elemente a1 = β(x1), . . . , ak = β(xk)

bewertet. Wir schreiben dann anstelle von A |= ψ[β] meistens A |=ψ(a1, . . . , ak). (Diese Notation ist durch das Koinzidenzlemma gerecht-fertigt, denn es gilt dann A |= ψ[β′] für alle Belegungen β′, welchex1, . . . , xk auf a1, . . . ak abbilden.) Ist ψ ein Satz (also frei(ψ) = ∅) soschreiben wir A |= ψ und nennen A ein Modell von ψ.

Beispiel. Sei ψ := ∃z(Exz ∧ Ezy) und ϕ := ∀x∀y(Exy → ψ). Offensicht-lich ist ψ eine E-Formel mit frei(ψ) = x, y und ϕ ein E-Satz.

Die Interpretation I = (A, β) mit A = (N, EA), EA = (m, n) :m ist ein echter Teiler von n und β(x) = 2, β(y) = 36 ist ein Modellvon ψ(x, y), d.h. A |= ψ(2, 36). In der Tat existiert ein m ∈ N (z.B.m = 6), so dass unter der Belegung β[z/m] die Formel (Exz ∧ Ezy) in A

gilt. Jedoch gilt nicht A |= ϕ, denn unter der Belegung x 7→ 2, y 7→ 4 ist(Exy → ψ) falsch in A (2 ist echter Teiler von 4, aber es gibt keine Zahl,welche echt von 2 geteilt wird und ihrerseits 4 echt teilt). Hingegen ist(Q,<) ein Modell von ϕ, da Q dicht geordnet ist.

Definition 2.10. Sei Φ eine Menge von τ-Sätzen. Die Modellklasse von Φ(kurz: Mod(Φ)) besteht aus aus allen τ-Strukturen A mit A |= Φ. EineKlasse K von τ-Strukturen ist axiomatisiert durch Φ, wenn K = Mod(Φ).Wir nennen Φ dann ein Axiomensystem für K.

51


Beispiel.

• Die Klasse aller ungerichteten Graphen ist die Modellklasse von

ΦGraph = ∀x¬Exx, ∀x∀y(Exy → Eyx).

• Die Klasse aller Gruppen (G, , e, −1) ist axiomatisiert durch

ΦGruppe = ∀x∀y∀z(x (y z) = (x y) z),

∀x(x e = x), ∀x(x x−1 = e).

• Ein Axiomensystem für die Klasse aller linearen Ordnungen ist

Φ< = ∀x¬x < x, ∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z → x < z),

∀x∀y(x < y ∨ x = y ∨ y < x).

• Für eine beliebige Signatur τ und n ∈ N sei K≥n die Klasse derτ-Strukturen mit mindestens n Elementen. K≥n ist (für n ≥ 2)axiomatisiert durch den Satz

ϕ≥n := ∃x1 · · · ∃xn∧

16i<j6nxi = xj.

Die Klasse K∞ aller unendlichen τ-Strukturen ist axiomatisiertdurch das unendliche Axiomensystem Φ∞ = ϕ≥n : n ∈ N.

Die semantische Folgerungsbeziehung („ψ folgt aus Φ“), sowie dieBegriffe „erfüllbar“, „allgemeingültig“ und „logisch äquivalent“ sindwie für die Aussagenlogik definiert.

Definition 2.11 (Semantische Folgerungsbeziehung). Sei Φ ⊆ FO(τ)

eine Formelmenge, ψ ∈ FO(τ) eine Formel. Wir sagen, dass ψ aus Φfolgt (kurz: Φ |= ψ), wenn jede zu Φ∪ψ passende Interpretation, welcheein Modell von Φ ist, auch Modell von ψ ist. Wenn Φ = ϕ schreibenwir auch ϕ |= ψ anstelle von ϕ |= ψ.

Beispiel.

• ΦGruppe |= ψ bedeutet, dass ψ in jeder Gruppe gilt. Man beachte,dass ΦGruppe eine Menge von Sätzen ist, dass aber in ψ durchaus

52

2.5 Normalformen

freie Variablen vorkommen dürfen. Da jedes Modell von ΦGruppe

auch ein Modell von ψ sein muss, bedeutet ΦGruppe |= ψ, dass(G, β) |= ψ für jede Gruppe G und jede Belegung β. Zum Beispielgilt ΦGruppe |= x−1 x = e (da in jeder Gruppe das (Rechts-)Inversejedes Elements auch Linksinverses ist.) Hingegen ist ΦGruppe |=x y = y x, da nicht jede Gruppe kommutativ ist.

• Φ∞ |= ψ bedeutet, dass ψ in allen unendlichen Strukturen gilt.

Definition 2.12. Hat eine Formel ψ (oder eine Formelmenge Φ) ein Mo-dell, so heißt ψ (bzw. Φ) erfüllbar, andernfalls unerfüllbar. Eine Formel ψ

heißt allgemeingültig (kurz: |= ψ), wenn jede zu ψ passende Interpretati-on ein Modell von ψ ist. Dies ist äquivalent zu ∅ |= ψ. Zwei Formeln ψ

und ϕ heißen logisch äquivalent (kurz: ψ ≡ ϕ), wenn ψ |= ϕ und ϕ |= ψ.

Definition 2.13. Sei ψ eine Formel mit freien Variablen x1, . . . , xk. Dannnennen wir die Sätze ∃x1 · · · ∃xkψ und ∀x1 · · · ∀xkψ den existentiellenbzw. universellen Abschluss von ψ.

Lemma 2.14.

(i) Eine Formel ist genau dann erfüllbar, wenn ihr existentieller Ab-schluss erfüllbar ist.

(ii) Eine Formel ist genau dann allgemeingültig, wenn ihr universellerAbschluss allgemeingültig ist.

2.5 Normalformen

Der Begriff einer Normalform taucht in vielen Gebieten der Mathema-tik auf. Die allgemeine Situation ist die, dass auf einer Menge M vonmathematischen Objekten (hier: von Formeln) eine Äquivalenzrelation∼ gegeben ist. Angestrebt wird eine Aussage der Art, dass für einebestimmte Teilmenge N ⊆ M (von Objekten „in Normalform“) jede∼-Äquivalenzklasse einen Repräsentanten in N besitzt. Oft sind auchstärkere Aussagen erwünscht, etwa über die effiziente Konstruierbar-keit solcher Repräsentanten. Ein bekanntes Beispiel aus der LinearenAlgebra sind die Sätze über Normalformen von Matrizen.

Wir sind hier interessiert an Normalformen für Formeln der Prädi-katenlogik. Die zugrunde gelegte Äquivalenzrelation ist in der Regel die

53


logische Äquivalenz; wir werden aber am Ende dieses Abschnitts aucheine Normalform für eine schwächere Äquivalenzrelation betrachten,nämlich die Skolem-Normalform.

Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung, welche die Technikbegründet, Transformationen in äquivalente Formeln per Induktionüber den Formelaufbau durchzuführen.

Lemma 2.15 (Ersetzungslemma). Für beliebige Formeln ψ, ψ′, ϕ, ϕ′ ∈FO(τ) gilt:

(i) Wenn ψ ≡ ϕ, dann auch ¬ψ ≡ ¬ϕ.

(ii) Wenn ψ ≡ ψ′ und ϕ ≡ ϕ′, dann auch (ψ ϕ) ≡ (ψ′ ϕ′) für ∈ ∧,∨,→.

(iii) Wenn ψ ≡ ϕ, dann auch ∃xψ ≡ ∃xϕ und ∀xψ ≡ ∀xϕ.

(iv) Sei ϑ eine Teilformel von ψ und sei ϑ ≡ ϕ. Sei weiter ψ[ϑ/ϕ]

diejenige Formel, die man aus ψ erhält, indem man ϑ durch ϕ

ersetzt. Dann ist ψ ≡ ψ[ϑ/ϕ].

Beweis. Die Aussagen (i)–(iii) sind trivial; (iv) ergibt sich durch Indukti-on über den Formelaufbau mittels (i)–(iii). q.e.d.

Reduzierte Formeln. Aus der Definition der Modellbeziehung ergibtsich sofort, dass für beliebige Formeln ψ, ϕ folgende Äquivalenzengelten. (1) und (2) kennen wir bereits aus der Aussagenlogik.

(1) ψ ∧ ϕ ≡ ¬(¬ψ ∨ ¬ϕ),

(2) ψ → ϕ ≡ ¬ψ ∨ ϕ und

(3) ∀xψ ≡ ¬∃x¬ψ.

Daraus folgt, dass wir uns ohne Verlust an Ausdrucksstärke etwaauf die Junktoren ∨,¬ und den Quantor ∃ beschränken können. Wirnennen Formeln, in denen die Symbole ∧,→ und ∀ nicht vorkommen,reduziert.

Lemma 2.16. Zu jeder Formel ψ ∈ FO(τ) kann man effektiv eine logischäquivalente reduzierte Formel konstruieren.

54

2.5 Normalformen

Wir können daher in vielen Fällen die Betrachtung auf reduzierteFormeln beschränken. Der Vorteil der Verwendung reduzierter Formelnliegt darin, dass sie aus weniger Symbolen aufgebaut sind und daherkonzisere Definitionen und kürzere Induktionsbeweise erlauben.1 EinNachteil reduzierter Formeln ist, dass sie länger und schlechter lesbarwerden.

Negationsnormalform. In manchen Situationen (z.B. für Auswer-tungsalgorithmen oder für die spieltheoretische Deutung der Semantik,siehe Abschnitt 2.6) ist es praktisch, den nicht-monotonen Junktor →auszuschließen und die Anwendung der Negation auf atomare Formelneinzuschränken.

Definition 2.17. Eine Formel ist in Negationsnormalform, wenn sie ausLiteralen (d.h. atomaren Formeln und Negationen atomarer Formeln)nur mit Hilfe der Junktoren ∨, ∧ und der Quantoren ∃ und ∀ aufgebautist.

Satz 2.18. Jede Formel aus FO ist logisch äquivalent zu einer Formel inNegationsnormalform.

Beweis. Wir haben bereits gesehen, dass → eliminiert werden kann.Durch wiederholte Anwendung der De Morganschen Regeln

¬(ψ ∧ ϕ) ≡ (¬ψ ∨ ¬ϕ) , ¬(ψ ∨ ϕ) ≡ (¬ψ ∧ ¬ϕ)

und den Quantorenregeln

¬∃xψ ≡ ∀x¬ψ , ¬∀xψ ≡ ∃x¬ψ

sowie der Regel

¬¬ψ ≡ ψ

1Aus diesem Grund wird in einigen Lehrbüchern die Prädikatenlogik nur mit denJunktoren ∨,¬ und dem Existenzquantor eingeführt. Formeln mit ∧,∨,→ und ∀ werden alsabkürzende, informelle Schreibweisen für die eigentlichen, reduzierten Formeln verstanden.

55


kann jede FO-Formel in eine äquivalente Formel transformiert werden,in der Negationen nur noch auf Atome angewandt werden. q.e.d.

Beispiel. Um die Formel ¬∃x(Rxy ∧ ∀z(Sxz → Ryy)) in Negationsnor-malform zu überführen, zieht man die Negationen schrittweise „nachinnen“ und eliminiert →:

¬∃x(Rxy ∧ ∀z(Sxz → Ryy)) ≡ ∀x¬(Rxy ∧ ∀z(Sxz → Ryy))

≡ ∀x(¬Rxy ∨ ¬∀z(Sxz → Ryy))

≡ ∀x(¬Rxy ∨ ∃z¬(Sxz → Ryy))

≡ ∀x(¬Rxy ∨ ∃z(Sxz ∧ ¬Ryy))

Termreduzierte Formeln. Eine weitere Normalform, welche insbe-sondere für die Elimination von Funktionen nützlich ist, betrifft dieKomplexität der darin auftretenden Terme. Eine Formel heißt termredu-ziert, wenn sie nur Atome der Form Rx, f x = y und x = y enthält (alsoinsbesondere keine Terme der Tiefe ≥ 2).

Lemma 2.19. Zu jeder Formel gibt es eine logisch äquivalente termre-duzierte Formel.

Beweis. Wenn ψ nicht termreduziert ist, dann enthält ψ einen Termt der Form t = f x, der in ψ an einer „verbotenen“ Stelle auftritt(z.B. als Argument in einem Atom R . . . t . . . oder t = t′, oder als Sub-term eines komplizierteren Terms). Führe eine neue Variable xt einund ersetze jedes Atom α, das t an einer solchen Stelle enthält, durch∃xt(xt = t ∧ α[t/xt]), wobei α[t/xt] die Formel sein soll, die man durchErsetzten von t durch xt gewinnt. Offensichtlich ist die modifizierteFormel logisch äquivalent zu ψ. Dieser Eliminationsschritt wird solangeausgeführt, bis ψ termreduziert ist. q.e.d.

Pränex-Normalform. Wir betrachten zunächst einige logische Äqui-valenzen für einfache Quantorenanwendungen.

Lemma 2.20. Für alle Formeln ψ, ϕ ∈ FO(τ) gelten die folgendenlogischen Äquivalenzen.

56

2.5 Normalformen

(i) ∃x(ψ ∨ ϕ) ≡ ∃xψ ∨ ∃xϕ und ∀x(ψ ∧ ϕ) ≡ ∀xψ ∧ ∀xϕ.

(ii) Falls x nicht in ψ vorkommt, gilt:

ψ ∨ ∃xϕ ≡ ∃x(ψ ∨ ϕ), ψ ∧ ∃xϕ ≡ ∃x(ψ ∧ ϕ),

ψ ∨ ∀xϕ ≡ ∀x(ψ ∨ ϕ), ψ ∧ ∀xϕ ≡ ∀x(ψ ∧ ϕ).

(iii) ¬∃xψ ≡ ∀x¬ψ und ¬∀xψ ≡ ∃x¬ψ.

(iv) ∃x∃yψ ≡ ∃y∃xψ und ∀x∀yψ ≡ ∀y∀xψ.

Beweis. Wir führen exemplarisch den Beweis für die erste Behauptungin (ii) vor. Für jede zu beiden Seiten der Äquivalenz passende Interpre-tation I = (A, β) gilt:

I |= ψ ∨ ∃xϕ

gdw. I |= ψ oder es gibt ein a ∈ A, so dass I[x/a] |= ϕ

gdw. es gibt ein a ∈ A, so dass I[x/a] |= ψ oder I[x/a] |= ϕ

(Da x ∈ frei(ψ) gilt nach dem Koinzidenzlemma,

dass I |= ψ gdw. I[x/a] |= ψ.)

gdw. es gibt ein a ∈ A, so dass I[x/a] |= ψ ∨ ϕ

gdw. I |= ∃x(ψ ∨ ϕ). q.e.d.

Man beachte, dass einige zu (i) ganz ähnlich aussehende Formel-paare nicht äquivalent sind:

∃x(ψ ∧ ϕ) ≡ ∃xψ ∧ ∃xϕ,

∀x(ψ ∨ ϕ) ≡ ∀xψ ∨ ∀xϕ.

Weiter ist zu beachten, dass die Äquivalenzen in (ii) nicht geltenmüssen, wenn x in ψ vorkommt.

Beispiel. Die Formel ∀x(Px ∨ Qx) ist weder zu ∀xPx ∨ ∀xQx noch zuPx ∨ ∀xQx äquivalent.

Wir sehen also, dass wir auf Konflikte zwischen freien und ge-bundenen Variablen achten müssen. Offensichtlich können wir abergebundene Variablen umbenennen. Wenn die Variable y in ∃xψ nicht

57


vorkommt, dann ist nämlich ∃xψ ≡ ∃yψ[x/y]. Wir nennen eine Formelψ bereinigt, wenn keine Variable in ψ sowohl frei wie gebunden auftritt,und wenn keine Variable mehr als einmal quantifiziert wird. Per In-duktion über den Formelaufbau folgt, dass man durch systematischesUmbenennen gebundener Variablen zu jeder Formel eine äquivalentebereinigte Formel konstruieren kann.

Definition 2.21. Eine Formel ist in Pränex-Normalform (PNF), wenn siebereinigt ist und die Form Q1x1 · · · Qrxr ϕ hat, wobei ϕ quantorenfreiund Qi ∈ ∃, ∀ ist. Das Anfangsstück Q1x1 · · · Qrxr nennt man das(Quantoren-)Präfix der Formel.

Satz 2.22 (Satz über die Pränex-Normalform). Jede Formel ψ ∈ FO(τ)

lässt sich in eine logisch äquivalente Formel in Pränex-Normalformtransformieren.

Beweis. Der Beweis wird per Induktion über den Aufbau von ψ geführt.Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, dass ψ

den Junktor → nicht enthält.

• Quantorenfreie Formeln sind bereits in PNF.

• Sei ψ = ¬ϕ. Nach Induktionsvoraussetzung kann ϕ in eine logischäquivalente Formel ϕ′ = Q1x1 · · · Qrxrϑ′ transformiert werden.Durch wiederholte Anwendung von Lemma 2.20 (iii) folgt, dass

ψ ≡ Q1x1 · · · Qrxr¬ϑ′

wobei ∃ := ∀ und ∀ := ∃. Diese Formel hat die gewünschte Form.

• Sei ψ = ϕ1 ϕ2 für ∈ ∨,∧. Nach Induktionsvoraussetzunglassen sich ϕ1 und ϕ2 in logisch äquivalente Formeln in PNF um-formen. Durch Umbenennung gebundener Variablen erreichenwir, dass diese Formeln die Form ϕ′

1 = Q1x1 · · · Qrxrϑ1 undϕ′

2 = Q′1y1 . . . Q′

sysϑ2 haben, wobei x1, . . . , xr, y1, . . . , ys paarwei-se verschieden und verschieden von allen freien Variablen in ϕ1

und ϕ2 sind. Sei nun

ψ′ := Q1x1 · · · QrxrQ′1y1 · · · Q′

sys(ϑ′1 ϑ′

2).

58

2.5 Normalformen

Diese Formel hat die gewünschte Form, und da die Variableny1, . . . , ys nicht in ϕ′

1 und x1, . . . , xr nicht in ϕ′2 vorkommen, folgt

mit Lemma 2.20 (ii), dass ψ ≡ ψ′.

• Sei ψ = Qxϕ für Q ∈ ∃, ∀ und sei ϕ′ := Q1x1 · · · Qrxrϑ′ eine zuϕ äquivalente Formel in PNF. Durch Umbenennen kann erreichtwerden, dass die gebundenen Variablen von ϕ′ von x verschiedensind. Dann ist Qxϕ′ eine zu ψ äquivalente Formel in PNF. q.e.d.

Beispiel. Sei ψ := ¬∀x¬Rxx ∧ ∀x∃y(Rxy ∧ (¬Ryy ∧ ∃xRyx)). Die Trans-formation in eine äquivalente Formel in PNF, gemäß dem im Beweisbeschriebenen Verfahren, ergibt:

ψ ≡ ∃xRxx ∧ ∀x∃y(Rxy ∧ ∃x(¬Ryy ∧ Ryx))

≡ ∃uRuu ∧ ∀x∃y∃z(Rxy ∧ (¬Ryy ∧ Ryz))

≡ ∃u∀x∃y∃z(Ruu ∧ Rxy ∧ ¬Ryy ∧ Ryz).

Übung 2.1. Geben Sie zu den folgenden Formeln äquivalente Formelnin PNF an:

(a) ∀x∃yPxy ∨ (¬Qz ∧ ¬∃xRxy),(b) ∃yRxy gdw. ∀xRxx.

Skolem-Normalform. Im Gegensatz zur Pränex-Normalform ist dieSkolem-Normalform einer Formel im Allgemeinen nicht zur ursprüngli-schen Formel logisch äquivalent; sie ist jedoch erfüllbarkeitsäquivalent.

Satz 2.23 (Satz über die Skolem-Normalform). Zu jedem Satz ψ ∈FO(σ) lässt sich ein Satz ϕ ∈ FO(τ) mit σ ⊆ τ konstruieren, so dassgilt:

(i) ϕ = ∀y1 · · · ∀ys ϕ′, wobei ϕ′ quantorenfrei ist.

(ii) ϕ |= ψ.

(iii) Zu jedem Modell von ψ existiert eine Expansion, welche Modellvon ϕ ist.

Die letzten beiden Punkte implizieren insbesondere, dass ψ und ϕ überden selben Universen erfüllbar sind.

59


Beweis. Nach dem Satz über die Pränex-Normalform können wir ohneBeschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass

ψ = Q1x1 . . . Qrxrϑ(x1, . . . , xr),

wobei ϑ(x1, . . . , xr) quantorenfrei ist. Für jedes k ≤ r sei

ψk(x1, . . . , xk) := Qk+1xk+1 . . . Qrxrϑ(x1, . . . , xk, xk+1, . . . , xr).

Wir eliminieren Existenzquantoren schrittweise von außen nach innendurch folgenden Algorithmus. Sei Qk der vorderste Existenzquantor.Die gegebene Formel hat also die Form

ψ = ∀x1 . . . ∀xk−1∃xkψk(x1, . . . , xk).

Sei f ein neues, d.h. nicht in ψ vorkommendes, (k − 1)-stelliges Funkti-onssymbol (für k = 1 also ein Konstantensymbol). Setze

ψ′ := ∀x1 · · · ∀xk−1ψk(x1, . . . , xk−1, f x1 · · · xk−1).

Also ist ψ′ die Formel, die wir aus ψ erhalten, indem wir die vorder-ste existentiell quantifizierte Variable xk durch den Term f x1 . . . xk−1

ersetzen und den dazugehörenden Existenzquantor ∃xk eliminieren. Of-fensichtlich liefert die Iteration dieses Eliminationsschrittes schließlicheine Formel der gewünschten syntaktischen Gestalt. Zu zeigen bleibt,dass ψ′ |= ψ und dass jedes Modell von ψ zu einem Modell von ψ′

expandiert werden kann.

Zur ersten Behauptung nehmen wir an, dass

A |= ψ′ := ∀x1 · · · ∀xk−1ψk(x1, . . . , xk−1, f x1 · · · xk−1).

Also folgt, dass für alle a1, . . . , ak−1 ∈ A, und für b := fA(a1, . . . , ak−1)

gilt, dass A |= ψk(a1, . . . , ak−1, b). Damit ist gezeigt, dass

A |= ∀x1 · · · ∀xk−1∃xkψk(x1, . . . , xk),

also A |= ψ.

Zur zweiten Behauptung nehmen wir an, dass A |= ψ. Da f in ψ

60

2.6 Spieltheoretische Semantik

nicht vorkommt, können wir annehmen, dass f nicht in der Signaturvon A enthalten ist. Wir definieren eine Funktion fA : Ak−1 → A, sodass die Expansion (A, fA) ein Modell von ψ′ ist.

Da A |= ∀x1 · · · ∀xk−1∃xkψk(x1, . . . , xk) gibt es für alle a1, . . . , ak

ein b, so dass A |= ψk(a1, . . . , ak−1, b). Wir wählen nun für jedes Tupel(a1, . . . , ak−1) ein solches b und setzen fA(a1, . . . , ak−1) := b. Offensicht-lich gilt also für alle a1, . . . , ak−1, dass (A, fA) |= ψk(a1, . . . , ak−1, b).Damit folgt, dass

(A, fA) |= ∀x1 · · · ∀xk−1ψk(x1, . . . , xk−1, f x1 · · · xk−1),

d.h. (A, fA) |= ψ′. q.e.d.

Übung 2.2 (Relationale Skolem-Normalform). Zeigen Sie, dass zu je-der Formel ψ ∈ FO(σ) eine relationale Formel ϕ ∈ FO(τ) der Gestalt∀x1 · · · ∀xr∃y1 · · · ∃ysη mit quantorenfreiem η existiert, so dass ψ undϕ über den selben Universen erfüllbar sind.


Der Mensch spielt nur,wo er in voller Bedeutung des Wortes Mensch ist,und er ist nur da ganz Mensch, wo er spielt.Friedrich Schiller: Über die ästhetische Erziehung des Menschen

Nessuno ha mai sostenuto seriamente che i giochi siano inutili.Umberto Eco

Die Semantik der Prädikatenlogik kann man auch spieltheoretisch for-mulieren. Ein FO-Satz ψ und eine dazu passende Struktur A definierenein Auswertungsspiel MC(A, ψ) zwischen zwei Spielern, der VerifiziererinV und dem Falsifizierer F. Die Verifiziererin möchte zeigen, dass A einModell für ψ ist, der Falsifizierer möchte nachweisen, dass dies nichtder Fall ist.

Der Einfachheit halber nehmen wir hier an, dass ψ in Negations-normalform ist. Die Positionen des Spiels sind Paare (ϕ, β) bestehendaus einer Unterformel ϕ von ψ und einer Bewertung β : frei(ϕ) → A.

61


Für ϕ = ϕ(x) und β : x 7→ a bezeichnen wir die Position (ϕ, β) in derRegel durch ϕ(a).

Das Spiel beginnt bei der Position ψ. Sei ϕ(a) die aktuelle Position.Dann geht das Spiel, abhängig von der Gestalt von ϕ, wie folgt weiter:

• Wenn ϕ ein Literal ist, dann ist das Spiel beendet. Die Verifiziererinhat gewonnen, falls A |= ϕ(a), andernfalls hat der Falsifizierergewonnen.

• An einer Position (ϑ ∨ η) ist die Verifiziererin am Zug und kannentweder zu ϑ oder zu η ziehen.

• Analog zieht von einer Position (ϑ ∧ η) der Falsifizierer entwederzu ϑ oder zu η.

• An einer Position der Form ∃xϑ(x, b) wählt die Verifiziererin einElement a ∈ A und zieht zu ϑ(a, b).

• Entsprechend darf an einer Position der Form ∀xϑ(x, b) der Fal-sifizierer ein Element a ∈ A auswählen und zur Position ϑ(a, b)ziehen.

Endliche Spiele. Wir geben hier eine allgemeinere Beschreibungvon Spielen an (genauer: von Zweipersonenspielen mit vollständigerInformation und positionaler Gewinnbedingung). Wir bezeichnen dieSpieler als Spieler 0 und Spieler 1 und beschreiben das Spiel durcheinen Spielgraphen G = (V, V0, E) bestehend aus

• der Menge V aller Spielpositionen,

• der Teilmenge V0 ⊆ V der Positionen, an denen Spieler 0 am Zugist; entsprechend ist V1 := V \ V0 die Menge der Positionen andenen Spieler 1 am Zug ist,

• der Menge E ⊆ V × V der möglichen Züge.

Für eine Position v sei vE := w : (v, w) ∈ E die Menge derunmittelbaren Nachfolgepositionen. Eine Position v mit vE = ∅ isteine Endposition. Wenn im Spiel eine Endposition erreicht wird, hat derSpieler verloren der am Zug ist (aber nicht ziehen kann). Mit anderenWorten: Für σ ∈ 0, 1 ist die Menge Tσ der Endpositionen, an denen

62


Spieler σ gewonnen hat, definiert durch

Tσ := v ∈ V1−σ : vE = ∅.

Eine Partie mit Anfangsposition v0 ist ein endlicher oder unendlicherPfad (v0, v1, . . . , vm) bzw. (v0, v1, . . .), so dass (vi−1, vi) ∈ E für allei > 0 und vm eine Endposition ist.

Auswertungsspiele für FO sind insofern speziell als alle Partienendlich sind (da jeder Zug die Komplexität der Formel reduziert). Spielemit dieser Eigenschaft nennt man fundiert.2

Eine Strategie für Spieler σ ist eine Funktion

f : v ∈ Vσ : vE = ∅ → V,

so dass (v, f (v)) ∈ E; sie ordnet also jeder nicht-terminalen Position vonSpieler σ einen Zug zu. Wenn Spieler σ jede Partie mit Anfangspositionv0 gewinnt, wenn er mit Strategie f spielt, dann ist f eine Gewinnstrategievon Position v0 aus. Formaler: Eine Partie v0v1 . . . ist konsistent mitder Strategie f wenn für alle i mit vi ∈ Vσ gilt, dass vi+1 = f (vi); f istGewinnstrategie für Spieler σ von v0, wenn jede bei v0 beginnende undmit f konsistente Partie endlich ist und in einer Position in Tσ endet.Die Gewinnregion von Spieler σ ist

Wσ := v : Spieler σ hat eine Gewinnstrategie von Position v.

Ein Spiel ist determiniert, wenn von jeder Position aus einer der beidenSpieler eine Gewinnstrategie hat, d.h. wenn W0 ∪ W1 = V.

Übung 2.3. Zeigen Sie, dass fundierte Spiele determiniert sind.

Sei nun ψ ∈ FO und A eine zu ψ passende Struktur. Per Induktionüber den Aufbau von ϕ(x) zeigt man leicht, dass in dem Spiel MC(A, ψ)

die Verifiziererin eine Gewinnstrategie von Position ϕ(a) hat, wennA |= ϕ(a), und dass der Falsifizierer eine Gewinnstrategie von Positionϕ(a) hat, wenn A |= ¬ϕ(a). Insbesondere folgt damit:

2Allgemeine Spiele lassen auch unendliche Partien zu. In der Theorie unendlicherSpiele braucht man daher Gewinnbedingungen für unendliche Partien. Hier werten wirunendliche Partien als unentschieden.

63


Satz 2.24. Für jeden Satz ψ ∈ FO(τ) und jede τ-Struktur A gilt: A |= ψ

genau dann, wenn die Verifiziererin eine Gewinnstrategie für das SpielMC(A, ψ) von der Anfangsposition ψ hat.

Algorithmen für Strategieprobleme. Sei Game das Strategiepro-blem für Spiele mit endlichen Spielgraphen, d.h.

Game = (G, v) : Spieler 0 hat eine Gewinnstrategie für G

von Position v.

Es ist nicht schwer einzusehen, dass man Game in Polynomialzeitlösen kann. Sei Wn

σ die Menge der Positionen von denen Spieler σ

eine Strategie hat, um in höchstens n Zügen zu gewinnen. Dann istW0

σ = Tσ = v ∈ V1−σ : vE = ∅ die Menge der Endpositionenan denen Spieler σ gewonnen hat, und wir können die Mengen Wn

σ

induktiv berechnen mit

Wn+1σ := v ∈ Vσ : vE ∩ Wn

σ = ∅ ∪ v ∈ V1−σ : vE ⊆ Wnσ

bis Wn+1σ = Wn

σ .

Man kann das Game-Problem sogar in Linearzeit lösen. Der folgen-de Algorithmus ist eine Variante der Tiefensuche und berechnet dieGewinnregionen Wσ für beide Spieler in Zeit O(|V|+ |E|).

Satz 2.25. Die Gewinnregionen von endlichen Spielen kann man inLinearzeit berechnen.

Beweis. Wir präsentieren einen Algorithmus welcher für jede Positionbestimmt, ob einer der Spieler von dieser Position aus eine Gewinnstra-tegie hat, und wenn ja welcher. Wir benutzen die folgenden Arrays:

• win[v] enthält entweder σ ∈ 0, 1, wenn schon festgelegt ist, dassv ∈ Wσ oder ⊥, wenn dies noch nicht ausgerechnet ist, oder wennkeiner der Spieler von v aus eine Gewinnstrategie hat.

• P[v] einhält die Vorgänger von v.

• n[v] ist die Anzahl der Nachfolger w ∈ vE für die win[w] = ⊥.

64


Algorithmus 2.1. Ein Linearzeit-Algorithmus für das Game-Problem

Input: Ein Spiel G = (V, V0, E)

for all v ∈ V do (∗ 1: Initialisierung ∗)win[v] := ⊥P[v] := ∅n[v] := 0

end do

for all (u, v) ∈ E do (∗ 2: Berechne P und n ∗)P[v] := P[v] ∪ un[u] := n[u] + 1

end do

for all v ∈ V0 (∗ 3: Berechne win ∗)if n[v] = 0 then Propagate(v, 1)

for all v ∈ V \ V0

if n[v] = 0 then Propagate(v, 0)return win

procedure Propagate(v, σ)if win[v] = ⊥ then returnwin[v] := σ (∗ 4: Markiere v als gewinnend für σ ∗)for all u ∈ P[v] do (∗ 5: Propagiere zu Vorgängern ∗)

n[u] := n[u]− 1if u ∈ Vσ or n[u] = 0 then Propagate(u, σ)

end doend

65


Der Kern von Algorithmus 2.1 ist die Prozedur Propagate(v, σ)

welche immer dann aufgerufen wird, wenn festgestellt wurde, dass Spie-ler σ eine Gewinnstrategie von Position v hat. Propagate(v, σ) speichertdies ab und untersucht, ob wir nun den Gewinner für die Vorgängervon v bestimmen können. Dies wird mit folgenden Regeln festgestellt:

• Wenn der Vorgänger u auch eine Position von Spieler σ ist, dannhat er eine Gewinnstrategie, indem er im ersten Zug zu v zieht.

• Wenn der Gegner von Position u zieht, win[u] noch undefiniert ist,und der Gewinner für alle Nachfolger w von u bereits festgestelltist, dann ist win[w] = σ für alle diese w, und Spieler σ gewinntdaher auch von u unabhängig vom Zug seines Gegners.

Da (4) und (5) für jede Position v nur einmal erreicht werden,wird der innere Teil der Schleife in (5) höchstens ∑v |P[v]| = |E|-maldurchlaufen. Die Laufzeit des Algorithmus ist daher O(|V|+ |E|).

Die Korrektheit des ausgerechneten Wertes win[v] beweist mandurch Induktion über die minimale Anzahl der Züge mit der ein Spielervon v aus gewinnen kann. Man beachte, dass die Positionen mit n[v] = 0in (3) genau die Endpositionen sind, auch wenn n[v] durch Propagatemodifiziert wird. q.e.d.

Übung 2.4 (Auswertung von FO auf endlichen Strukturen). Konstru-ieren Sie (auf der Basis des Auswertungsspiels) einen möglichst effizi-enten Auswertungsalgorithmus für FO-Sätze auf endlichen Strukturen.Schätzen Sie die Laufzeit und den Speicherbedarf des Algorithmus ab,abhängig von der Größe der gegebenen Struktur und der Länge (oderKomplexität) des gegebenen Satzes.

Übung 2.5. Formulieren Sie ein Auswertungsspiel für FO-Formeln,welche nicht notwendigerweise in Negationsnormalform sind. Welcherspieltheoretischen Operation entspricht die Negation?

Übung 2.6. Wir wissen bereits, dass das Erfüllbarkeitsproblem füraussagenlogische Hornformeln in Polynomialzeit lösbar ist. Mit Hilfedes Game-Problems kann man auf relativ einfache Weise zeigen, dasses sogar einen Linearzeit-Algorithmus gibt.

66


Konstruieren Sie zu einer gegebenen Hornformel ψ =∧

i∈I Ci mitAussagenvariablen X1, . . . , Xn und Horn-Implikationen Ci der FormXi1 ∧ · · · Xim → Z ein Spiel Gψ: Die Positionen von Spieler 0 sind dieAnfangsposition 0 und die Aussagenvariablen X1, . . . , Xn, die Positio-nen von Spieler 1 sind die Ci. Spieler 0 kann von einer Position X zuirgendeiner Implikation Ci mit rechter Seite X ziehen, und Spieler 1kann von Position Ci zu irgendeiner Variable ziehen, die auf der linkenSeite von Ci vorkommt. Zeigen Sie, dass Spieler 0 genau dann eineGewinnstrategie für Gψ von Position X hat, wenn ψ |= X. Insbesondereist ψ genau dann unerfüllbar, wenn Spieler 0 von der Anfangsposition0 gewinnt.

Übung 2.7 (Umkehrung der letzten Übung). Konstruieren Sie zu jedemSpiel G eine aussagenlogische Hornformel ψG , deren Aussagenvariablendie Positionen von G sind und deren minimales Modell gerade dieGewinnregion W0 ist. Insbesondere ist v ∈ W0 genau dann, wennψG ∧ (v → 0) unerfüllbar ist.

67

3 Definierbarkeit in der Prädikatenlogik

3.1 Definierbarkeit

Axiomatisierbare Strukturklassen. Wir haben bereits in Kapitel 2den Begriff der durch eine Satzmenge Φ axiomatisierten StrukturklasseMod(Φ) eingeführt und Axiomensysteme für einige wichtige Klassenangegeben, etwa für Graphen, Gruppen, lineare Ordnungen sowie fürdie Klasse aller unendlichen Strukturen.

Definition 3.1. Sei (τ) die Klasse aller τ-Strukturen. Eine StrukturklasseK ⊆ (τ) ist FO-axiomatisierbar (oder einfach: axiomatisierbar), wenneine Satzmenge Φ ⊆ FO(τ) existiert, so dass K = Mod(Φ). Wenn dasAxiomensystem Φ für K endlich ist, dann können wir die Konjunktionψ =

∧ϕ : ϕ ∈ Φ bilden und damit K durch einen einzigen Satzaxiomatisieren. Wir sagen in diesem Fall, K ist elementar oder endlichaxiomatisierbar.

Wir beginnen in diesem Kapitel mit der Untersuchung der Aus-drucksstärke der Prädikatenlogik. Ein wichtiger Aspekt ist dabei dieFrage, welche Strukturklassen FO-axiomatisierbar und welche sogarendlich axiomatisierbar sind.

Wir wissen bereits, dass Graphen, Gruppen und lineare Ordnungenendlich axiomatisierbar sind. Weiter ist offensichtlich, dass dasselbeauch für Äquivalenzstrukturen, partielle Ordnungen, dichte lineareOrdnungen, diskrete lineare Ordnungen, Ringe und Körper gilt. DieKlasse aller unendlichen Strukturen ist zwar FO-axiomatisierbar, aberdas Axiomensystem Φ∞, das wir in Kapitel 2.4 dafür angegeben haben,besteht aus unendlich vielen Formeln. (Wir werden später sehen, dasskein endliches Axiomensystem für diese Klasse existiert.)

Hier sind noch einige weitere Beispiele für axiomatisierbare Struk-turklassen.

69


Beispiel 3.2.

• Die Klasse aller Körper ist axiomatisiert durch ψKörper ∈ FO(τar),die Konjunktion aller Körperaxiome. Für jede Primzahl p ist auchdie Klasse der Körper mit Charakteristik p endlich axiomatisierbardurch ψKörper ∧ χp, wobei χp der Satz 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

p-mal

= 0 ist. Für

Körper der Charakteristik 0 können wir zumindest ein unendlichesAxiomensystem angeben, nämlich

Φ = ψKörper ∪ ¬χp : p Primzahl.

• Auch die Klasse ACF der algebraisch abgeschlossenen Körper istFO-axiomatisierbar. Der Satz

ψn := ∀u0 · · · ∀un(un = 0 → ∃x(u0 + u1x + · · ·+ unxn = 0))

besagt, dass jedes Polynom n-ten Grades mit Koeffizienten ausdem Körper auch eine Nullstelle im Körper hat. (Hier ist xn alsabkürzende Schreibweise für den Term x · x · · · · · x︸︷︷︸

n mal

aufzufassen.)

Also ist ΦACF = ψKörper ∪ ψn : n ≥ 1 ein Axiomensystem füralgebraisch abgeschlossene Körper.

Übung 3.1. Sei A eine endliche Struktur mit endlicher Signatur. ZeigenSie, dass B : B ∼= A endlich axiomatisierbar ist.

Der Nachweis, dass eine Strukturklasse (endlich) axiomatisierbarist, wird in der Regel durch explizite Angabe eines Axiomensystemsgeführt. Um nachzuweisen, dass eine Strukturklasse gar kein oder zu-mindest kein endliches Axiomensystem zulässt, sind andere Methodenerforderlich, welche in diesem und dem folgenden Kapitel entwickeltwerden sollen.

Zunächst aber diskutieren wir noch einen anderen Aspekt derAusdrucksstärke einer Logik.

Definierbarkeit in einer Struktur. Neben der Frage, welche Struk-turklassen durch Sätze oder Satzmengen der Prädikatenlogik axiomati-

70

3.1 Definierbarkeit

sierbar sind, können wir die Ausdrucksstärke von FO auch innerhalbeiner festen Struktur untersuchen.

Sei ψ(x1, . . . , xr) ∈ FO(τ) und A eine τ-Struktur. Dann definiert ψ

in A die r-stellige Relation

ψA := (a1, . . . , ar) : A |= ψ(a1, . . . , ar) ⊆ Ar.

Definition 3.3. Eine Relation R ⊆ Ar auf dem Universum einer τ-Struktur A ist (elementar) definierbar in A, wenn R = ψA für eine Formelψ ∈ FO(τ). Eine Funktion f : Ar → A heißt elementar definierbar,wenn ihr Graph R f elementar definierbar ist.

Insbesondere ist also eine Konstante a elementar definierbar, wenneine Formel ϕ(x) ∈ FO(τ) existiert, so dass A |= ϕ(a) und A |= ¬ϕ(b)für alle b = a. Wir sagen, a ist termdefinierbar in A, wenn ein Grundtermt ∈ T(τ) existiert, so dass tA = a. Jede termdefinierbare Konstante istinsbesondere elementar definierbar durch eine Formel der Form x = t.

Beispiel 3.4.

• Die Ordnungsrelation < auf R ist elementar definierbar in(R,+, · , 0, 1), denn für die Formel ϕ(x, y) := ∃z(z = 0∧ x + z · z =

y) gilt:

a < b gdw. (R,+, · , 0, 1) |= ϕ(a, b).

• In (Z,<) ist die Nachfolgerfunktion z 7→ z + 1 elementar definier-bar durch die Formel ϕ(x, y) := x < y ∧ ∀z(x < z ∧ y = z → y <

z).

• In (N,+, 0, 1) ist jedes n termdefinierbar durch den Term n =

1 + · · ·+ 1︸︷︷︸n mal

(für n ≥ 1).

• Im Körper (Q,+, · , 0, 1) der rationalen Zahlen sind die termdefi-nierbaren Konstanten genau die natürlichen Zahlen n ∈ N. Alleanderen Elemente sind elementar definierbar durch Formeln derForm p · x = q oder p · x + q = 0, nicht aber termdefinierbar.

71


• Im Körper der reellen Zahlen können schon aus Mächtigkeits-gründen nicht alle Elemente elementar definierbar sein: Es gibtüberabzählbar viele reelle Zahlen aber nur abzählbar viele Formelnϕ(x) ∈ FO(τar).

Als nächstes beobachten wir, dass das Hinzunehmen definierbarerRelationen zu einer Struktur keinen Gewinn an Ausdruckstärke bringt.

Lemma 3.5. Sei A eine σ-Struktur und B eine Expansion von A durchbeliebig viele, in A elementar definierbare Relationen und Funktionen.Dann ist jede in B elementar definierbare Relation oder Funktion bereitsin A elementar definierbar.

Beweis. Sei τ die Signatur von B. In jeder Formel ψ(x) ∈ FO(τ) kom-men nur endlich viele Relations- und Funktionssymbole R1, . . . , Rs

bzw. f1, . . . , ft aus τ \ σ vor. Zu jedem dieser Ri bzw. f j gibt es eineσ-Formel ϑi(y) bzw. χj(y, z), welche in A die entsprechende Relationbzw. Funktion von B definiert.

Weiter können wir nach Lemma 2.19 annehmen, dass ψ termre-duziert ist, d.h. dass Funktionssymbole aus τ \ σ nur in Atomen derForm f j y = z auftreten. Indem wir in ψ(x) die Relations- und Funkti-onssymbole aus τ \ σ durch die definierenden Formeln ersetzen (d.h.jedes Atom Riu durch ϑi(u) und jedes Atom f ju = v durch χj(u, v)),erhalten wir eine Formel ϕ(x) ∈ FO(σ), so dass B |= ∀x(ψ ↔ ϕ). Da ϕ

eine σ-Formel ist, folgt insbesondere ψB = ϕA. q.e.d.

Relativierte Quantoren. An zwei Beispielen illustrieren wir dieVerwendung relativierter Quantoren.

Stetigkeit. Sei f : R → R eine Funktion auf den reellen Zahlen. Ist dieMenge a ∈ R : f stetig im Punkt a in der Struktur (R,+, ·, 0, 1,<, f )elementar definierbar?

Wir betrachten dazu die Stetigkeitsdefinition aus der Analysis: SeiUε(x) die ε-Umgebung von x. Die Funktion f ist stetig in x, wennfür alle ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle y ∈ Uδ(x) gilt:f (y) ∈ Uε( f (x)).

72

3.2 Das Isomorphielemma

Die Existenz- und Allaussagen für δ, ε und y sind hier relativiert:es werden nur Elemente betrachtet, die gewisse Eigenschaften erfüllen.Man beachte, dass relativierte Aussagen der Form „es gibt ein x mitα, so dass . . . “ bzw. „für alle x mit α gilt . . . “ durch ∃x(α ∧ · · · ) bzw.∀x(α → · · · ) formalisiert werden können. Wir benutzen gelegentlich dieSchreibweise (∃x . α)ψ als Umschreibung für ∃x(α ∧ ψ) und (∀x . α)ψ

für ∀x(α → ψ).

Um Stetigkeit zu formalisieren, gehen wir nun wie folgt vor. (Wirverwenden die Relation ≤, was aufgrund ihrer elementaren Definier-barkeit unproblematisch ist.) Zunächst ist leicht einzusehen, dass dieRelation (a, b, ε) ∈ R3 : ε ≥ 0 und b ∈ Uε(a) durch die Formel

ϕ(x, y, z) := 0 ≤ z ∧ (∃u . 0 ≤ u ≤ z)(x + u = y ∨ y + u = x)

definiert wird. Die Stetigkeit von f im Punkt x wird nun ausgedrücktdurch die Formel

ψ(x) := (∀u . 0 < u)(∃z . 0 < z)∀y(ϕ(x, y, z) → ϕ( f x, f y, u)).


Definition 3.6. A und B seien τ-Strukturen. Ein Isomorphismus vonA nach B ist eine bijektive Abbildung π : A → B, so dass folgendeBedingungen erfüllt sind:

(1) Für jedes (n-stellige) Relationssymbol R ∈ τ und alle a1, . . . , an ∈ Agilt:

(a1, . . . , an) ∈ RA gdw. (πa1, . . . , πan) ∈ RB.

(2) Für jedes (n-stellige) Funktionssymbol f ∈ τ und alle a1, . . . , an ∈A gilt:

π fA(a1, . . . , an) = fB(πa1, . . . , πan).

Bemerkung 3.7. Für jedes n ∈ N lässt sich π auf natürliche Weise zu einerAbbildung π : An → Bn erweitern mit π(a1, . . . , an) := (πa1, . . . , πan).

73


Bedingung (1) können wir dann auch so formulieren: Für alle Relati-onssymbole R ∈ τ ist π(RA) = RB. Bedingung (2) bedeutet, dass füralle Funktionssymbole f ∈ τ gilt: π fA = fB π.

Für nullstellige Funktionssymbole c besagt Bedingung (2), dassπcA = cB.

Definition 3.8. Zwei τ-Strukturen A und B sind isomorph (kurz: A ∼= B),wenn ein Isomorphismus von A nach B existiert. Ein Isomorphismusπ : A ∼−→ A heißt Automorphismus von A.

Notation. Wir schreiben π : A∼−→ B um anzudeuten, dass π ein

Isomorphismus ist. Die Identitätsabbildung auf A bezeichnen wir mit1A.

Die Menge aller Automorphismen einer Struktur A bilden bezüg-lich Hintereinanderausführung eine Gruppe mit neutralem Element1A. Wir nennen sie die Automorphismengruppe oder Symmetriegruppevon A und bezeichnen sie mit Aut(A). Eine Struktur A ist starr, wennAut(A) = 1A, d.h. wenn der triviale Automorphismus 1A der einzigeAutomorphismus der Struktur ist.

Isomorphe Strukturen betrachten wir als gleich. Insbesondere kön-nen FO-Formeln nicht zwischen isomorphen Strukturen unterscheiden.

Lemma 3.9 (Isomorphielemma). Sei π : A ∼−→ B ein Isomorphismusvon τ-Strukturen. Dann gilt für alle ψ(x1, . . . , xn) ∈ FO(τ) und allea1, . . . , an ∈ A:

A |= ψ(a1, . . . , an) gdw. B |= ψ(πa1, . . . , πan) .

Beweis. Per Induktion über den Termaufbau zeigt man sofort, dassfür jeden Term t(x) ∈ T(τ) mit Variablen aus x1, . . . , xn und für allea = a1, . . . , an gilt:

πJt(a)KA = Jt(πa)KB. (*)

Wir führen nun den Beweis per Induktion über den Formelaufbau;nach Lemma 2.16 können wir dabei annehmen, dass ψ reduziert ist.

74


(1) Für Formeln der Form t1(x) = t2(x) gilt

A |= t1(a) = t2(a) gdw. Jt1(a)KA = Jt2(a)KA

gdw. πJt1(a)KA = πJt2(a)KA

(da π injektiv ist)

gdw. Jt1(πa)KB = Jt2(πa)KB

(nach (*))

gdw. B |= t1(πa) = t2(πa)

(2) Für Atome Pt1 . . . tn gilt

A |= Pt1(a) · · · tn(a) gdw. (Jt1(a)KA, . . . , Jtn(a)KA) ∈ PA

gdw. (πJt1(a)AK, . . . , πJtn(a)KA) ∈ PB

(da π ein Isomorphismus ist)

gdw. (Jt1(πa)KB, . . . , Jtn(πa)KB) ∈ PB

(nach (*))

gdw. B |= Pt1(πa) · · · tn(πa)

(3) Für Formeln der Form ¬ψ oder ψ ∨ ϕ ist der Induktionsschlusstrivial.

(4) Für Formeln ∃yψ(x, y) gilt

A |= ∃yψ(a, y) gdw. A |= ψ(a, c) für ein c ∈ A

gdw. B |= ψ(πa, πc) für ein c ∈ A

(nach Induktionsvoraussetzung)

gdw. B |= ψ(πa, b) für ein b ∈ B

(da π bijektiv ist)

gdw. B |= ∃yψ(πa, y). q.e.d.

Insbesondere lassen sich isomorphe τ-Strukturen durch Sätzeder Prädikatenlogik nicht unterscheiden. Sind A und B isomorpheτ-Strukturen, so gilt für alle τ-Sätze ψ:

75


A |= ψ gdw. B |= ψ.

Daraus folgt, dass axiomatisierbare Modellklassen unter Isomor-phie abgeschlossen sind. Dies bedeutet, dass für jede Klasse K =

Mod(ψ) und jedes Paar von isomorphen Strukturen A ∼= B gilt:

A ∈ K gdw. B ∈ K.

In manchen Fällen liefert das Isomorphielemma ein einfaches Kri-terium, um nachzuweisen, dass eine Relation in einer Struktur nichtelementar definierbar ist.

Lemma 3.10. Sei π ein Automorphismus einer τ-Struktur A, und seiψ ∈ FO(τ). Dann ist π auch ein Automorphismus der expandiertenStruktur (A, ψA).

Beweis. Da π ein Automorphismus ist, gilt für alle Tupel a aus A:

A |= ψ(a) gdw. A |= ψ(πa).

Also ist π(ψA) = ψA. q.e.d.

Beispiel 3.11. Wir haben gesehen, dass < definierbar ist in (R,+, · , 0, 1).Aus dem soeben bewiesenen Lemma folgt dagegen, dass < in (R,+, 0)nicht elementar definierbar ist. Die Abbildung π : x 7→ −x ist nämlichein Automorphismus von (R,+, 0), nicht aber von (R,+, 0,<), dennaus a < b folgt eben gerade nicht −a < −b.

Übung 3.2. Sei τ = ∅ und A unendlich. Beschreiben Sie alle in Aelementar definierbaren Relationen R ⊆ An.

Übung 3.3. Zeigen Sie, dass in (N, ·, 1) die Addition nicht elementardefinierbar ist.

3.3 Theorien und elementar äquivalente Strukturen

Definition 3.12. Eine Theorie ist eine erfüllbare Menge T ⊆ FO(τ) vonSätzen, die unter |= abgeschlossen ist, d.h. es gilt für alle τ-Sätze ψ mitT |= ψ, dass ψ ∈ T gilt.

76

3.3 Theorien und elementar äquivalente Strukturen

Eine Theorie T ist vollständig, wenn für jeden Satz ψ ∈ FO(τ)

entweder ψ ∈ T oder ¬ψ ∈ T gilt.

Sei A eine τ-Struktur. Die Theorie von A ist Th(A) := ψ : A |= ψ.Offensichtlich ist Th(A) vollständig. Die Theorie einer τ-ModellklasseK ist

Th(K) =⋂

A∈KTh(A).

Wenn Φ ein Axiomensystem für K ist, dann ist Th(K) = ψ : Φ |= ψ.Natürlich ist nicht jede Theorie vollständig. Zum Beispiel enthält

die Theorie der Gruppen weder den Satz ∀x∀y(x y = y x) nochseine Negation, da es sowohl kommutative wie nicht-kommutativeGruppen gibt. Jede Theorie T lässt sich aber zu einer vollständigenTheorie erweitern; für jedes Modell A |= T ist Th(A) eine vollständigeErweiterung von T.

Definition 3.13. Zwei τ-Strukturen A,B sind elementar äquivalent (kurz:A ≡ B), wenn Th(A) = Th(B), d.h. wenn für alle τ-Sätze ψ gilt:

A |= ψ gdw. B |= ψ.

Lemma 3.14. Eine Theorie ist genau dann vollständig, wenn alle ihreModelle elementar äquivalent sind.

Beweis. Sei T eine vollständige Theorie. Für jedes Modell A |= T giltT ⊆ Th(A) und wegen der Vollständigkeit von T daher sogar T =

Th(A). Also haben alle Modelle von T dieselbe Theorie.Wenn andererseits T nicht vollständig ist, dann gibt es einen Satz

ψ, so dass sowohl T ∪ ψ und T ∪ ¬ψ erfüllbar sind. T besitzt daherzwei nicht elementar äquivalente Modelle. q.e.d.

Aus dem Isomorphielemma folgt unmittelbar, dass isomorpheStrukturen auch elementar äquivalent sind. Wie wir später sehen wer-den, gilt die Umkehrung dieser Aussage nicht.

Definition 3.15. Der Quantorenrang qr(ψ) einer Formel ψ ist definiertdurch:

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(1) qr(ψ) = 0 für quantorenfreie ψ,(2) qr(¬ψ) = qr(ψ),(3) qr(ψ ϕ) = max(qr(ψ), qr(ϕ)) für ∈ ∧,∨,→,↔ und(4) qr(∃xψ) = qr(∀xψ) = qr(ψ) + 1.

Der Quantorenrang ist also die maximale Schachtelungstiefe von Quan-toren in der gegebenen Formel.

Beispiel 3.16. Der Quantorenrang von ∀x(∃yPxy → ∀zPxz) ist 2. Eineäquivalente Formel in PNF ist ∀x∀y∀z(Pxy → Pxz). Man beachte, dassdie Transformation in PNF in der Regel den Quantorenrang erhöht.

Definition 3.17. Zwei τ-Strukturen A,B sind m-äquivalent (A ≡m B),wenn für alle τ-Sätze ψ mit qr(ψ) ≤ m gilt:

A |= ψ gdw. B |= ψ.

Wir erweitern die Begriffe der elementaren Äquivalenz und der m-Äquivalenz auf Strukturen mit Parametern, d.h. Strukturen, in denen zu-sätzlich gewisse Elemente ausgezeichnet sind. Seien A,B τ-Strukturen,und a = a1, . . . , ar, b = b1, . . . , brTupel von Elementen aus A bzw. B.Dann ist (A, a) ≡ (B, b), wenn für alle τ-Formeln ψ(x1, . . . , xr) gilt:A |= ψ(a) gdw. B |= ψ(b). Analog definiert man (A, a) ≡m (B, b).

3.4 Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiele

— That isn’t the way to play it.— Why not?— ’Cause it isn’t the way to win.— Is there a way to win?— Well, there’s a way to lose more slowly.Robert Mitchum, Jane Greer, in: Out of the Past

In diesem Abschnitt präsentieren wir eine spieltheoretische Deutung derelementaren Äquivalenz und der m-Äquivalenz. Der Einfachheit halberbetrachten wir für den Rest dieses Kapitels nur relationale Strukturen.

Definition 3.18. Sei τ eine relationale Signatur und A, B τ-Strukturen.Ein lokaler (oder partieller) Isomorphismus von A nach B ist eine injektive

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Abbildung p : dom(p) → B wobei dom(p) ⊆ A, so dass für alle n ∈ N,alle n-stelligen Relationssymbole R ∈ τ und alle a1, . . . , an ∈ dom(p)gilt:

(a1, . . . , an) ∈ RA gdw. (pa1, . . . , pan) ∈ RB.

Die Menge aller lokalen Isomorphismen von A nach B bezeichnenwir mit Loc(A,B).

Das Bild von p ist bild(p) := pa : a ∈ dom(p). Die leere Abbildungp mit dom(p) = bild(p) = ∅ ist trivialerweise ein lokaler Isomorphis-mus. Ein nicht-leerer lokaler Isomorphismus ist ein Isomorphismuszwischen den von dom(p) und bild(p) induzierten Substrukturen vonA und B. Wir identifizieren einen lokalen Isomorphismus p oft mit sei-nem Graphen, d.h. mit der Menge (a, pa) : a ∈ dom(p). Insbesonderenennen wir p endlich, wenn sein Graph endlich ist.

Beispiel 3.19.

• Betrachte die beiden folgenden Graphen A und B:

A: 1 2 3 4 5 B:

a b

c d

Dann ist p = (2, a), (3, b), (4, d) ein lokaler Isomorphismus vonA nach B.

• Seien (A,<A) und B = (B,<B) lineare Ordnungen und a1, . . . , an

paarweise verschiedene Elemente von A. Eine Abbildung p : a1 7→b1, . . . , an 7→ bn ist ein lokaler Isomorphismus von A nach B genaudann wenn eine Permutation s : 1, . . . , n → 1, . . . , n existiertsodass as(1) <A as(2) <A · · · <A as(n) und bs(1) <B bs(2) <B

· · · <B bs(n).

Das Spiel Gm(A,B). Das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel Gm(A,B) wirdvon zwei Spielern nach folgenden Regeln gespielt.

Das Spielfeld besteht aus den Strukturen A und B. Wir setztendabei voraus, dass A ∩ B = ∅. Die Spieler sind der Herausforderer und

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die Duplikatorin, oft auch bezeichnet als Spieler I und II. Eine Partiebesteht aus m Zügen.

Im i-ten Zug bestimmt der Herausforderer entweder ein Elementai ∈ A oder ein bi ∈ B. Die Duplikatorin antwortet, indem sie einElement aus der jeweils anderen Struktur auswählt.

Nach m Zügen sind also Elemente a1, . . . , am aus A und b1, . . . , bm

aus B ausgezeichnet. Die Duplikatorin hat die Partie gewonnen, wenndie Menge (a1, b1), . . . , (am, bm) ein lokaler Isomorphismus von A

nach B ist. Anderenfalls hat der Herausforderer gewonnen.Nach i Zügen in Gm(A,B) ist eine Position (a1, . . . , ai, b1, . . . , bi)

erreicht. Das verbleibende Teilspiel, mit m − i Zügen, bezeichnen wirmit Gm−i(A, a1, . . . , ai,B, b1, . . . , bi).

Eine Gewinnstrategie des Herausforderers für ein solches (Teil-)Spielist eine Funktion, die ihm in jeder erreichbaren Position mögliche Zügenennt, mit denen er die Partie gewinnt, egal wie seine Gegnerin spielt.Analog sind Gewinnstrategien für die Duplikatorin definiert.

Wir sagen, der Herausforderer (bzw. die Duplikatorin) gewinnt das SpielGm(A,B), wenn er (bzw. sie) eine Gewinnstrategie dafür hat. Per In-duktion über die Anzahl der Züge zeigt man leicht, dass für jedes (Teil-)Spiel genau einer der Spieler eine Gewinnstrategie hat (vgl. Übung 2.3).

Beispiel 3.20.

• Sei A = (Z,<), B = (R,<). Die Duplikatorin gewinnt G2(A,B),aber der Herausforderer gewinnt G3(A,B).

• Für τ = E, P (wobei P einstelliges und E zweistelliges Relations-symbol) betrachte die beiden Strukturen A und B in Figure 3.1.Auch hier gewinnt der Herausforderer G3(A,B), die Duplikatorinaber G2(A,B).

Das Spiel G(A,B). Eine wichtige Variante ist das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel G(A,B) ohne feste Beschränkung der Anzahl der Züge: In jederPartie bestimmt der Herausforderer zunächst ein m ∈ N, dann wirddas Spiel Gm(A,B) gespielt.

Der Herausforderer gewinnt also das Spiel G(A,B) genau dann,wenn es ein m ∈ N gibt so, dass er das Spiel Gm(A,B) gewinnt. Anders

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A:

P P P

P B:

P P

P

Abbildung 3.1. Zwei Strukturen A und B mit A ≡2 B und A ≡3 B

ausgedrückt: die Duplikatorin gewinnt G(A,B) genau dann, wenn siefür jedes der Spiele Gm(A,B) eine Gewinnstrategie besitzt.

Satz 3.21 (Ehrenfeucht, Fraïssé). Sei τ endlich und relational, A,Bτ-Strukturen.

(1) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(i) A ≡ B.(ii) Die Duplikatorin gewinnt das Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiel

G(A,B).

(2) Für alle m ∈ N sind folgende Aussagen äquivalent:

(i) A ≡m B.(ii) Die Duplikatorin gewinnt Gm(A,B).

Wir führen hier nur den Beweis, dass eine Gewinnstrategie derDuplikatorin für das Spiel G(A,B) (bzw. für Gm(A,B)) die elemen-tare Äquivalenz (bzw. m-Äquivalenz) von A und B impliziert. Dazubeweisen wir die folgende etwas stärkere Aussage.

Satz 3.22. Seien A,B τ-Strukturen, a = a1, . . . , ar ∈ A, b = b1, . . . , br ∈B. Wenn es eine Formel ψ(x) mit qr(ψ) = m gibt, so dass A |= ψ(a)und B |= ¬ψ(b), dann hat der Herausforderer eine Gewinnstrategie fürGm(A, a,B, b).

Beweis. Sei m = 0. Quantorenfreie Formeln sind Boolesche Kombinatio-nen von atomaren Formeln. Wenn A, a und B, b durch eine quantoren-freie Formel unterschieden werden, dann also bereits durch ein Atom.Daraus folgt, dass (a1, b1), . . . , (ar, br) kein partieller Isomorphismusvon A nach B ist, also gewinnt der Herausforderer G0(A, a,B, b).

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Sei nun qr(ψ) = m > 0, A |= ψ(a) und B |= ¬ψ(b). Die Formelψ(x) ist eine Boolesche Kombination von Formeln mit Quantorenrang< m und von Formeln der Form ∃yϕ(x, y) mit qr(ϕ) = m − 1. Esmuss also mindestens eine Formel dieser Gestalt geben, welche A, aund B, b unterscheidet. Wenn diese Formel Quantorenrang < m hat,dann hat nach Induktionsvoraussetzung der Herausforderer eine Ge-winnstrategie für Gm−1(A, a,B, b) und also erst recht für Gm(A, a,B, b).Andernfalls gibt es eine Formel ∃yϕ(x, y) mit qr(ϕ) = m − 1, so dassentweder

(1) A |= ∃yϕ(a, y) und B |= ∀y¬ϕ(b, y) oder(2) A |= ∀y¬ϕ(a, y) und B |= ∃yϕ(b, y).

Im Fall (1) wählt der Herausforderer im ersten Zug ein c ∈ A mitA |= ϕ(a, c). Für jedes beliebige d ∈ B, welches die Duplikatorin wählenkann, gilt B |= ¬ϕ(b, d). Nach Induktionsvoraussetzung gewinnt derHerausforderer das Restspiel Gm−1(A, a, c,B, b, d). Im Fall (2) gewinntder Herausforderer, indem er ein d ∈ B mit B |= ϕ(b, d) wählt. DieDuplikatorin wählt ein beliebiges c ∈ A. Also ist nach diesem Zugeine Position (a, c, b, d) erreicht mit A |= ¬ϕ(a, c) und B |= ϕ(b, d). Daqr(¬ϕ) = qr(ϕ) = m − 1, gewinnt der Herausforderer nach Induktions-voraussetzung das verbleibende Teilspiel Gm−1(A, a, c,B, b, d). q.e.d.

Daraus erhalten wir (indem wir r = 0 setzen und somit Sätzebetrachten) die Implikationen (ii) ⇒ (i) des Satzes von Ehrenfeucht undFraïssé:

(1) Wenn die Duplikatorin da Spiel G(A,B) gewinnt, so gilt A ≡ B;(2) Wenn die Duplikatorin das Spiel Gm(A,B) gewinnt, so gilt A ≡m

B.

Beispiel 3.23. Die Strukturen A = (Z,<), B = (R,<) lassen sich durcheinen Satz ψ vom Quantorenrang 3 trennen, welcher ausdrückt, dass <

nicht dicht ist:

ψ := ∃x∃y(x < y ∧ ∀z(¬(x < z ∧ z < y))).

Nach dem Satz von Ehrenfeucht-Fraïssé gewinnt der Herausfordereralso G3(A,B). Eine Gewinnstrategie des Herausforderers besteht darin,

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in den ersten beiden Zügen zwei aufeinanderfolgende Elemente a unda+ 1 von Z zu wählen. Die Duplikatorin muss mit zwei Elementen r, s ∈R antworten, so dass r < s. Aber dann gewinnt der Herausforderer,indem er im dritten Zug ein Element t ∈ R mit r < t < s wählt.

Anwendungen. Der Satz von Ehrenfeucht-Fraïssé liefert eine wichtigeMethode, um zu zeigen, dass eine Modellklasse K nicht elementaraxiomatisierbar ist. Wenn es gelingt, Strukturen A ∈ K und B ∈ K zufinden, so dass die Duplikatorin das Spiel G(A,B) gewinnt, dann folgt,dass kein FO-Satz A und B unterscheiden kann, und damit auch keinFO-Satz K axiomatisiert.

Eine stärkere Variante der Ehrenfeucht-Fraïssé-Methode bestehtdarin, Folgen (Am)m∈N und (Bm)m∈N von τ-Strukturen zu konstruie-ren, so dass für alle m, Am ∈ K, Bm ∈ K und die Duplikatorin das SpielGm(Am,Bm) gewinnt. Die Annahme, dass K elementar axiomatisierbarist, also K = Mod(ψ) für ein ψ ∈ FO(τ), führt nun sofort auf einenWiderspruch: Sei m = qr(ψ). Nach dem Satz von Ehrenfeucht undFraïssé ist Am ≡m Bm. Also Am |= ψ genau dann, wenn Bm |= ψ. Diesist aber unmöglich, da Am ∈ K und Bm ∈ K.

Beispiel 3.24. Sei τ = ∅ und K∞ die Klasse aller unendlichen τ-Strukturen, d.h. aller unendlichen Mengen. Wir haben gesehen, dassK durch eine unendliche Satzmenge Φ∞ axiomatisiert wird. Mit derEhrenfeucht-Fraïssé-Methode können wir nun zeigen, dass K∞ nichtendlich axiomatisierbar ist.

Für alle m ∈ N setze Am = N und Bm = 1, . . . , m. Offensichtlichgewinnt die Duplikatorin das Spiel Gm(Am,Bm), also trennt kein Satzψ ∈ FO(∅) die endlichen von den unendlichen Mengen.

Transitive Hüllen sind nicht FO-definierbar. Eine fundamen-tale Einschränkung der Ausdrucksstärke von FO ist das Fehlen ei-nes Rekursionsmechanismus. Eigenschaften, welche Rekursion (oderunbeschränkte Iteration) erfordern, sind im Allgemeinen nicht FO-definierbar. Wir illustrieren dies am Beispiel der transitiven Hülle.

83


Satz 3.25. Sei τ = E (die Signatur von Graphen). Es existiert keineFormel ϕ(x, y) ∈ FO(τ), welche in jeder τ-Struktur A = (A, E) dietransitive Hülle von E definiert, d.h. für die gilt:

A |= ϕ(a, b) gdw. es gibt in A einen E-Pfad von a nach b

gdw. es gibt n > 0 und c0, . . . , cn ∈ A mit c0 = a,

cn = b und (ci, ci+1) ∈ E für alle i < n.

Satz 3.25 folgt unmittelbar aus dem folgendem Satz, den wir mitder Ehrenfeucht-Fraïssé-Methode beweisen.

Satz 3.26. Es gibt keinen Satz ψ ∈ FO(τ), so dass für jeden (endlichen,ungerichteten) Graphen G = (V, E) gilt:

G |= ψ gdw. G ist zusammenhängend.

Wenn Satz 3.25 falsch wäre, dann gäbe es eine Formel ϕ(x, y),welche in G ausdrückt, dass ein Pfad von x nach y existiert. Aber dannwürde ψ := ∀x∀yϕ(x, y) ausdrücken, dass G zusammenhängend ist.

Beweis. Wir definieren für jedes m ∈ N einen zusammenhängendenGraphen Am und einen nicht zusammenhängenden Graphen Bm, sodass die Duplikatorin das Spiel Gm(Am,Bm) gewinnt.

Sei Am ein Zyklus der Länge 2m und Bm die disjunkte Vereini-gung zweier Kopien von Am. Es ist zu zeigen, dass die DuplikatorinGm(Am,Bm) gewinnt.

Auf Graphen definieren wir für je zwei Knoten x, y eine Distanzd(x, y) als die Länge eines kürzesten Pfades von x nach y, wenn einsolcher existiert, und d(x, y) = ∞, wenn kein solcher Pfad existiert. FürZahlen u, v ∈ N ∪ ∞ und n ∈ N schreiben wir u =n v, wenn u = voder u, v ≥ n.

Behauptung. Die Duplikatorin kann so spielen, dass für alle i ≤ mund alle nach i Zügen ausgewählten Elemente a1, . . . , ai ∈ Am undb1, . . . , bi ∈ Bm gilt: d(aj, ak) =2m−i+1 d(bj, bk).

Für i = 0, 1 ist dies trivial. Wir nehmen an, die Behauptung seinach i Schritten erfüllt und behandeln den Induktionsschritt durch

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Fallunterscheidung. Aus Symmetriegründen können wir annehmen,dass der Herausforderer im (i + 1)-ten Zug ein Element ai+1 ∈ Am

auswählt. Sei aj das am nächsten bei ai+1 liegende unter den bereitsausgewählten Elementen von Am, d.h. d(aj, ai+1) ≤ d(ak, ai+1) für allek ≤ i.

(a) Sei d(aj, ai+1) < 2m−i. Dann wählt die Duplikatorin bi+1 so, dassd(bj, bi+1) = d(aj, ai+1). Da d(aj, ak) =2m−i d(bj, bk), schließen wir:

• Wenn d(aj, ak) = d(bj, bk), dann auch d(ai+1, ak) = d(bi+1, bk);• Wenn d(ai+1, ak) ≥ 2m−i+1 und d(bi+1, bk) ≥ 2m−i+1, dann

gilt d(ai+1, ak) ≥ 2m−i+1/2 = 2m−i und analog d(bi+1, bk) ≥2m−i.

Also gilt d(ai+1, aj) = d(bi+1, bj) und d(ai+1, ak) =2m−i d(bi+1, dk).(b) Sei d(ai+1, aj) ≥ 2m−i. Die Duplikatorin wählt bi+1 so, dass

d(bi+1, bk) ≥ 2m−i für alle k ≤ i.

Am Ende des Spiels (nach m Zügen) gilt also d(aj, ak) =2 d(bj, bk)

für alle j, k ≤ m, d.h.:

aj = ak gdw. bk = bk und

(aj, ak) ∈ E gdw. (bj, bk) ∈ E.

Also ist die Abbildung a1 7→ b1, . . . , am 7→ bk ein lokaler Isomorphismusvon Am nach Bm, d.h. die Duplikatorin gewinnt Gm(Am,Bm). q.e.d.

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4 Vollständigkeitsatz, Kompaktheitssatzund Unentscheidbarkeit derPrädikatenlogik

4.1 Der Sequenzenkalkül

Wir erweitern den in Abschnitt 1.6 beschriebenen aussagenlogischenSequenzenkalkül auf die Prädikatenlogik.

Durch Einführen neuer Konstantensymbole können wir uns aufdie Betrachtung von Sätzen beschränken und so die etwas lästigenKomplikationen vermeiden, die sich aus Konflikten zwischen freien undgebundenen Variablen ergeben können. Sei σ eine beliebige Signaturund seien c1, c2, . . . abzählbar viele, paarweise verschiedene und nichtin σ enthaltene Konstantensymbole. Wenn wir jede Formel ψ(x1, . . . , xn)

mit den freien Variablen x1, . . . , xn durch den Satz ψ(c1, . . . , cn) ersetzen,dann können wir alle Fragen über Gültigkeit, Erfüllbarkeit und dieFolgerungsbeziehung auf Sätze reduzieren.

Im Folgenden bezeichnet σ eine beliebige abzählbare Signatur. undτ = σ ∪ C für eine abzählbar unendliche Menge C von Konstanten,welche nicht in σ enthalten sind. Wenn von ψ ∈ FO(τ) oder Γ ⊆FO(τ) die Rede ist, sind immer Sätze bzw. Satzmengen gemeint, es seidenn, wir deuten durch die Notation ψ(x) explizit an, dass x in ψ freivorkommt.

Definition 4.1. Eine Sequenz ist ein Ausdruck Γ ⇒ ∆, wobei Γ, ∆ endli-che Mengen von Sätzen in FO(τ) sind. Eine Sequenz Γ ⇒ ∆ ist gültig,wenn jedes Modell von Γ auch ein Modell mindestens einer Formelaus ∆ ist. Die Axiome des Sequenzenkalküls sind alle Sequenzen derForm Γ, ψ ⇒ ∆, ψ. Die Schlussregeln sind dieselben wie beim aussa-genlogischen Sequenzenkalkül, erweitert um die Gleichheitsregel, die

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4 Vollständigkeitsatz, Kompaktheitssatz, Unentscheidbarkeit

Substitutionsregeln und die Einführungsregeln für die Quantoren ∃und ∀.

Die Gleichheitsregel lautet:

(=)Γ, t = t ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆

Die Substitutionsregeln erlauben das Austauschen von Termen. DieSchreibweise t .

= t′ deutet an, dass entweder t = t′ oder t′ = t benutztwerden kann:

(S ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, t .= t′, ψ(t′) ⇒ ∆

(⇒ S)Γ ⇒ ∆, ψ(t)

Γ, t .= t′ ⇒ ∆, ψ(t′)

Hier stehen t, t′ für beliebige Grundterme aus T(τ); ψ(x) ist einebeliebige Formel aus FO(τ), in der keine andere Variable als x freivorkommt, und ψ(t) ist die Formel, die man daraus durch Substitutionvon t für x erhält.

Die Korrektheit der Gleichheitsregel ist trivial. Es ist auch leichteinzusehen, dass die Substitutionsregeln korrekt sind. Wir erläuterndies für (⇒ S): Sei Γ ⇒ ∆, ψ(t) eine gültige Sequenz und A ein Modellvon Γ, t .

= t′. Zu zeigen ist, dass A dann entweder Modell einer Formelaus ∆ oder Modell von ψ(t′) ist. Nehmen wir also an, dass in A alleFormeln aus ∆ falsch sind. Aber dann folgt A |= ψ(t), denn Γ ⇒ ∆, ψ(t)ist gültig und A |= Γ. Da aber auch A |= t = t′, folgt A |= ψ(t′).

Die Einführungsregeln für ∃ und ∀ haben folgende Form:

(∃ ⇒)Γ, ψ(c) ⇒ ∆

Γ, ∃xψ(x) ⇒ ∆, wenn c in Γ, ∆ und ψ nicht vorkommt.

(⇒ ∃) Γ ⇒ ∆, ψ(t)Γ ⇒ ∆, ∃xψ(x)

(∀ ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, ∀xψ(x) ⇒ ∆

(⇒ ∀) Γ ⇒ ∆, ψ(c)Γ ⇒ ∆, ∀xψ(x)

, wenn c in Γ, ∆ und ψ nicht vorkommt.

Beispiel 4.2.

• Hier ist ein Beweis für die gültige Sequenz ∃x∀yRxy ⇒ ∀y∃xRxy,

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welcher die Anwendung der Quantorenregeln illustriert:

Rcd ⇒ RcdRcd ⇒ ∃xRxd

∀yRcy ⇒ ∃xRxd∀yRcy ⇒ ∀y∃xRxy

∃x∀yRxy ⇒ ∀y∃xRxy

• Um die Sequenz R f c, ∀x( f x = x) ⇒ R f f c abzuleiten, beginnt manmit dem Axiom R f c ⇒ R f c. Wenn wir ψ(x) := R f x wählen, dannist dies die Sequenz R f c ⇒ ψ(c). Mit der Regel (⇒ S) können wirdaraus die Sequenz R f c, f c = c ⇒ ψ( f c), also R f c, f c = c ⇒ R f f cableiten. Durch Anwendung der Regel (∀ ⇒) erhalten wir darauseine Ableitung von R f c, ∀x( f x = x) ⇒ R f f c.

Übung 4.1. Beweisen Sie die Korrektheit der Quantorenregeln. ZeigenSie auch, dass in den Regeln (∃ ⇒) und (⇒ ∀) die Bedingung, dass cnicht in Γ, ψ und ∆ vorkommt, nicht weggelassen werden kann.

Tabelle 5.1 fasst alle Regeln des Sequenzenkalküls nochmals zu-sammen. Die weiteren wesentlichen Begriffe können unmittelbar vomaussagenlogischen Sequenzenkalkül übernommen werden. Die Mengeder ableitbaren Sequenzen ist die kleinste Menge, welche alle Axiomeumfasst und mit jeder Instanz der oberen Zeile einer Schlussregel auchdie entsprechende Instanz der unteren Zeile enthält. Ein Beweis ist einbeschrifteter Baum, so dass alle Blätter mit Axiomen, alle inneren Kno-ten mit der Konklusion einer Schlussregel und deren Kinder mit denPrämissen derselben Regel beschriftet sind.

Da die Axiome des Sequenzenkalküls gültig sind, und dieSchlussregeln gültige Sequenzen immer in gültige Sequenzen über-führen, folgt, dass im Sequenzenkalkül nur gültige Sequenzen ableitbarsind.

Satz 4.3 (Korrektheitssatz für den Sequenzenkalkül). Jede im Sequen-zenkalkül ableitbare Sequenz ist gültig.

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(=)Γ, t = t ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆

(S ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, t .= t′, ψ(t′) ⇒ ∆

(⇒ S)Γ ⇒ ∆, ψ(t)

Γ, t .= t′ ⇒ ∆, ψ(t′)

(¬ ⇒)Γ ⇒ ∆, ψ

Γ,¬ψ ⇒ ∆(⇒ ¬) Γ, ψ ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆,¬ψ

(∨ ⇒)Γ, ψ ⇒ ∆ Γ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ ∨ ϑ ⇒ ∆(⇒ ∨) Γ ⇒ ∆, ψ, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ ∨ ϑ

(∧ ⇒)Γ, ψ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ ∧ ϑ ⇒ ∆(⇒ ∧) Γ ⇒ ∆, ψ Γ ⇒ ∆, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ ∧ ϑ

(→⇒)Γ ⇒ ∆, ψ Γ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ → ϑ ⇒ ∆(⇒→)

Γ, ψ ⇒ ∆, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ → ϑ

(∃ ⇒)Γ, ψ(c) ⇒ ∆

Γ, ∃xψ(x) ⇒ ∆∗ (⇒ ∃) Γ ⇒ ∆, ψ(t)

Γ ⇒ ∆, ∃xψ(x)

(∀ ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, ∀xψ(x) ⇒ ∆(⇒ ∀) Γ ⇒ ∆, ψ(c)

Γ ⇒ ∆, ∀xψ(x)∗

∗wenn c in Γ, ∆ und ψ nicht vorkommt

Tabelle 4.1. Die Regeln des Sequenzenkalküls

4.2 Der Vollständigkeitssatz

Ableitbarkeit in Theorien. Aus dem Sequenzenkalkül erhält manauch einen Ableitungsbegriff für einen einzelnen Satz oder eine Se-quenz aus einer Menge von Hypothesen, z.B. aus den Axiomen einermathematischen Theorie.

Definition 4.4. Sei Φ ⊆ FO(σ) eine Menge von Sätzen. Ein Satz ψ

ist ableitbar aus dem Axiomensystem Φ (kurz: Φ ⊢ ψ), wenn eineendliche Teilmenge Γ von Φ existiert, so dass die Sequenz Γ ⇒ ψ imSequenzenkalkül ableitbar ist. Eine Sequenz Γ ⇒ ∆ ist ableitbar aus Φ,wenn es eine ableitbare Sequenz Γ, Γ′ ⇒ ∆ gibt mit Γ′ ⊆ Φ.

Die Ableitbarkeit von Sequenzen und die Ableitbarkeit von ein-zelnen Sätzen sind im Wesentlichen austauschbare Begriffe, denn dieSequenz Γ ⇒ ∆ ist ableitbar aus Φ genau dann, wenn Φ ⊢ ∧

Γ → ∨∆.

Es gibt auch Satzmengen Φ aus denen jeder Satz (der entsprechen-den Signatur) ableitbar ist. Eine solche Menge nennen wir inkonsistent.

90

4.3 Der Beweis des Vollständigkeitssatzes

Aufgrund der Korrektheit des Sequenzenkalküls sind inkonsistenteMengen unerfüllbar.

Beispiel 4.5. Jede Menge, welche einen Satz und gleichzeitig auch dessenNegation enthält, ist inkonsistent. In der Tat können wir jede Sequenzder Form ψ,¬ψ ⇒ ϕ mit der Regel (¬ ⇒) aus dem Axiom ψ ⇒ ψ, ϕ

ableiten.

Wenn nicht jeder Satz aus Φ ableitbar ist, dann nennen wir Φ kon-sistent. Offensichtlich ist Φ genau dann konsistent, wenn jede endlicheTeilmenge von Φ konsistent ist.

Man beachte, dass Konsistenz und Ableitbarkeit (⊢) syntaktischeBegriffe sind, da sie sich auf Formelmengen und Sätze als sprachlicheObjekte und nicht auf ihre Bedeutung beziehen. Die zugehörigen se-mantischen Begriffe sind die Erfüllbarkeit und die Folgerungsbeziehung(|=).

Der Korrektheitssatz für den Sequenzenkalkül impliziert: WennΦ ⊢ ψ, dann auch Φ |= ψ. Der Vollständigkeitssatz besagt, dass auchdie Umkehrung gilt.

Satz 4.6 (Vollständigkeitssatz für den Sequenzenkalkül). Für jede Satz-menge Φ ⊆ FO(σ) und jeden Satz ψ ∈ FO(σ) gilt:

(i) Φ |= ψ gdw. Φ ⊢ ψ ;

(ii) Φ ist genau dann konsistent, wenn Φ erfüllbar ist.


Man beweist den Vollständigkeitssatz, indem man für jede beliebige,nicht aus Φ ableitbare Sequenz Γ ⇒ ∆ ein Modell A von Φ ∪ Γ ∪ ¬∆konstruiert. Dabei ist ¬∆ := ¬ψ : ψ ∈ ∆. Daraus erhält man sofortdie beiden Aussagen des Vollständigkeitssatzes:

(i) Wir wissen bereits, dass Φ |= ψ aus Φ ⊢ ψ folgt. Wenn Φ ⊢ ψ, dannist insbesondere die Sequenz ∅ ⇒ ψ nicht aus Φ ableitbar. DieExistenz eines Modells A |= Φ ∪ ¬ψ bedeutet aber, dass Φ |= ψ.

(ii) Wir wissen bereits, dass jede erfüllbare Menge konsistent ist. Seiumgekehrt Φ konsistent. Dann gibt es ein ψ, so dass Φ ⊢ ψ und

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daher (nach (i)) auch Φ |= ψ. Also ist Φ ∪ ¬ψ und daher insbe-sondere Φ erfüllbar.

Es bleibt also die Aufgabe, für jede nicht aus Φ ableitbare SequenzΓ ⇒ ∆ ein Modell von Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ zu konstruieren.

Herbrandstrukturen und kanonische Modelle

Als Vorbereitung für die Modellkonstruktion behandeln wir Mengenvon atomaren Sätzen. Wir definieren den Begriff einer Herbrandstrukturund konstruieren daraus, durch Übergang zu einer geeigneten Quoti-entenstruktur, für jede unter Substitution abgeschlossenen Menge vonatomaren Aussagen das sogenannte kanonische Modell.

Definition 4.7. Eine Herbrandstruktur zu einer Signatur τ (die min-destens ein Konstantensymbol enthält) ist eine τ-Struktur H, derenUniversum die Menge aller Grundterme der Signatur τ ist und derenFunktionssymbole durch ihre natürliche Operation auf den Termeninterpretiert werden: Für n-stelliges f ∈ τ ist fH(t1, . . . , tn) := f t1 · · · tn.Die Interpretation der Relationssymbole aus τ ist beliebig.

Eine Herbrandstruktur H ist eine Struktur, deren algebraischesRedukt gerade die Termalgebra über der leeren Variablenmenge ist.Man beachte, dass in H jeder Grundterm durch sich selbst interpretiertist: tH = t.

Sei Σ eine Menge von atomaren τ-Sätzen. Mit H(Σ) bezeichnen wirdie Herbrandstruktur mit folgender Interpretation der Relationssymbo-le: Für n-stelliges R ∈ τ ist

RH(Σ) = (t1, . . . , tn) : Rt1 · · · tn ∈ Σ .

Im Allgemeinen ist H(Σ) kein Modell von Σ: Seien t und t′ zwei(syntaktisch) verschiedene Terme, so dass aber Σ die Formel t = t′

enthält. Dann ist H(Σ) Modell von t = t′ und daher kein Modell von Σ.Es ist daher notwendig, Gleichheiten herauszufaktorisieren.

Definition 4.8. Sei A eine τ-Struktur. Eine Kongruenzrelation auf A isteine Äquivalenzrelation ∼ auf A, welche in folgendem Sinn mit denRelationen und Funktionen von A kompatibel ist:

92


(1) Ist f ∈ τ ein n-stelliges Funktionssymbol und a1, . . . , an, b1 . . . , bn ∈A mit a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn, so gilt:

fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn) .

(2) Ist R ∈ τ ein n-stelliges Relationssymbol und a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈A mit a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn, so gilt:

(a1, . . . , an) ∈ RA gdw. (b1, . . . , bn) ∈ RA .

Ist ∼ eine Kongruenzrelation auf A, so bezeichnen wir mit [a] :=b ∈ A : a ∼ b die Kongruenzklasse von a unter ∼.

Definition 4.9. Sei A eine τ-Struktur und ∼ eine Kongruenzrelati-on auf A. Die Faktorstruktur A/∼ ist die τ-Struktur mit Universum[a] : a ∈ A (der Menge der Kongruenzklassen von ∼) und der folgen-den Interpretation der Relations- und Funktionssymbole.

(1) Ist f ∈ τ ein n-stelliges Funktionssymbol und a1, . . . , an ∈ A, sogilt:

fA/∼([a1], . . . , [an]) = [ fA(a1, . . . , an)] .

(2) Ist R ∈ τ ein n-stelliges Relationssymbol und a1, . . . , an ∈ A, sogilt:

([a1], . . . , [an]) ∈ RA/∼ gdw. (a1, . . . , an) ∈ RA .

Man beachte, dass fA/∼ und RA/∼ wohldefiniert sind, da ∼ eineKongruenzrelation ist.

Beispiel 4.10. Sei A = (N,+), n ∈ N und ∼ die Relation mit a ∼ b genaudann, wenn n ein Teiler von a− b ist. Dann ist ∼ eine Kongruenzrelationauf A. Die Faktorstruktur A/∼ ist isomorph zu (0, . . . , n − 1,+n),wobei +n die Addition modulo n bezeichnet.

Definition 4.11. Eine Menge Σ von atomaren Sätzen in FO(τ) ist abge-schlossen unter Substitution, wenn für jede atomare Formel ψ(x) und alleGrundterme t, t′ ∈ T(τ) gilt:

93


(i) Σ enthält die Gleichung t = t.(ii) Wenn t = t′ und ψ(t) zu Σ gehören, dann auch ψ(t′).

Beispiel 4.12. Sei A eine τ-Struktur und Σ die Menge aller atomarenSätze ϕ, so dass A |= ϕ. Dann ist Σ abgeschlossen unter Substitution.

Für beliebige Grundterme t, t′ ∈ T(τ) setzen wir nun:

t ∼ t′ gdw. Σ enthält die Formel t = t′.

Lemma 4.13. Sei Σ abgeschlossen unter Substitution. Dann ist ∼ eineKongruenzrelation auf H(Σ).

Beweis. Wir zeigen zuerst, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. NachBedingung (i) von Definition 5.11 ist ∼ reflexiv. Sei nun t ∼ t′ unddamit t = t′ ∈ Σ. Wenn ψ(x) die Formel x = t ist, dann ist ψ(t) dieGleichung t = t und somit in Σ. Nach Bedingung (ii) von Definition 5.11enthält Σ dann auch ψ(t′); dies ist aber gerade die Gleichung t′ = t.Also folgt t′ ∼ t. Schließlich nehmen wir an, dass t ∼ t′ und t′ ∼ t′′. Seiψ(x) die Formel t = x. Also enthält Σ ψ(t′) und daher auch ψ(t′′); diesist aber die Gleichung t = t′′. Also t ∼ t′′.

Es bleibt zu zeigen, dass ∼ mit den Funktionen und Relatio-nen von H(Σ) kompatibel ist. Sei f ein n-stelliges Funktionssymbolund seien s1 ∼ t1, . . . , sn ∼ tn. Wir müssen zeigen, dass f s1 · · · sn ∼f t1 · · · tn. Zu diesem Zweck sei ψi(x) die Gleichung f s1 · · · sn =

f t1 · · · ti−1xsi+1 · · · sn für i = 1, . . . , n. Per Induktion zeigen wir, dassψi(ti) ∈ Σ.

Die Formel ψ1(s1) ist einfach f s1 · · · sn = f s1 · · · sn und daher inΣ. Also ist auch ψ1(t1) ∈ Σ. Beachte nun, dass ψi+1(si+1) und ψi(ti)

dieselbe Formel bezeichnen, nämlich f s1 · · · sn = f t1 · · · tisi+1si+2 · · · sn.Nach Induktionsvoraussetzung gehört also ψi+1(si+1) zu Σ, und daherauch ψi+1(ti+1). Damit folgt, dass ψn(tn) ∈ Σ. Dies ist aber gerade dieGleichung f s1 · · · sn = f t1 · · · tn.

Schließlich müssen wir zeigen, dass für jedes n-stellige Relations-symbol R und s1 ∼ t1, . . . , sn ∼ tn folgt:

H(Σ) |= Rs1 · · · sn gdw. H(Σ) |= Rt1 · · · tn.

94


Die Argumentation ist wie bei den Funktionssymbolen, unter Verwen-dung der Formeln ψi(x) := Rt1 · · · ti−1xsi+1 · · · sn. q.e.d.

Wir können also die Faktorstruktur A(Σ) := H(Σ)/∼ bilden. Offen-sichtlich wird in A(Σ) jeder Grundterm t durch seine Kongruenzklasseinterpretiert: tA(Σ) = [t]. Unmittelbar aus der Definition folgt:

Lemma 4.14. Für jeden atomaren Satz ψ aus FO(τ) gilt: A(Σ) |=ψ gdw. ψ ∈ Σ.

A(Σ) heißt das kanonische Modell von Σ. Leider lässt sich Lem-ma 5.14 nicht direkt auf Mengen von nicht-atomaren Sätzen übertragen.Betrachte etwa die Menge Σ := t = t : t ein Grundterm ∪ ∃xRx.Diese Menge ist trivialerweise abgeschlossen unter Substitution, ent-hält aber keine Aussage der Form Rt. Daher ist RA(Σ) = ∅ und somitA(Σ) |= ∃xRx. Analoges gilt für die Menge t = t : t ein Grundterm∪Rx ∨ Ry. Man sieht aus diesen Beispielen, dass Σ neben der Abge-schlossenheit unter Substitution noch weitere Abschlusseigenschaftenbesitzen muss, damit A(Σ) |= Σ gilt.

Hintikka-Mengen und der Modell-Existenz-Satz

Sei Γ ⇒ ∆ eine nicht aus Φ ableitbare Sequenz. Wir werden eineunendliche Folge von nicht aus Φ ableitbaren Sequenzen Γn ⇒ ∆n

konstruieren und damit eine Satzmenge gewinnen, welche Φ ∪ Γ ∪ ¬∆umfasst und welche hinreichende Abschlusseigenschaften besitzt, umzu garantieren, dass die dadurch definierte kanonische Struktur einModell von Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ ist.

Um den Beweis zu vereinfachen, beschränken wir uns auf reduzier-te Sätze (d.h. solche, die aus den Atomen mittels ∨,¬ und ∃ aufgebautsind). Obwohl wir im Sequenzenkalkül auch Schlussregeln für ∧,→und ∀ angegeben haben, bedeutet die Reduktion auf reduzierte Sätzekeine Einschränkung der Allgemeinheit: Sei etwa Γ0 ⇒ ∆0 eine nicht-ableitbare Sequenz bestehend aus beliebigen Sätzen, und sei Γ1 ⇒ ∆1

die Sequenz, die wir erhalten, indem wir jeden Satz durch eine äquiva-lente reduzierte Variante ersetzen.

95


Zunächst überlegt man, dass auch Γ1 ⇒ ∆1 nicht ableitbar ist.Wir zeigen exemplarisch, dass die Ableitung einer Sequenz der FormΓ, (ψ ∧ ϕ) ⇒ ∆ aus Γ, ψ ⇒ ∆ und Γ, ϕ ⇒ ∆ mittels der Regel (∧ ⇒)

simuliert werden kann durch eine Ableitung der äquivalenten SequenzΓ,¬(¬ψ ∨ ¬ϕ) ⇒ ∆ mit den Regeln (⇒ ¬), (¬ ⇒) und (⇒ ∨):

Γ, ψ ⇒ ∆Γ ⇒ ∆,¬ψ

Γ, ϕ ⇒ ∆Γ ⇒ ∆,¬ϕ

Γ ⇒ ∆, (¬ψ ∨ ¬ϕ)

Γ¬(¬ψ ∨ ¬ϕ) ⇒ ∆

Die Argumentation für Sequenzen mit Sätzen der Form ψ → ϕ und∀xψ(x) ist analog.

Umgekehrt ist ein Modell von Γ ∪ ¬∆ natürlich auch ein Modellvon Γ′ ∪ ¬∆′ und erbringt damit den Nachweis, dass Γ′ ⇒ ∆′ nichtkorrekt ist.

Sei nun Φ ⊆ FO(σ), und sei τ = σ ∪ C für eine abzählbar unend-liche Menge C von neuen Konstantensymbolen. Wir fixieren zunächsteine Aufzählung (ϕ0, t0), (ϕ1, t1), . . ., in der jedes Paar (ϕ, t), bestehendaus einem Satz ϕ ∈ FO(τ) und einem Grundterm t ∈ T(τ), unendlichoft vorkommt, sowie eine Aufzählung ψ0(x0), ψ1(x1), . . . aller atomarenFO(τ)-Formeln mit genau einer freien Variablen.

Wir definieren induktiv aufsteigende Folgen Γ0 ⊆ Γ1 ⊆ · · · und∆0 ⊆ ∆1 ⊆ · · · wie folgt: Sei Γ0 := Γ und ∆0 := ∆. Wir nehmen nunan, Γn und ∆n seien bereits konstruiert und Γn ⇒ ∆n sei nicht aus Φableitbar.

(a) Sei ϕn eine Formel aus Φ oder eine Gleichung t = t. Dann setzeΓn+1 := Γn, ϕn und ∆n+1 := ∆n.

Die Sequenz Γn+1 ⇒ ∆n+1 ist nicht aus Φ ableitbar, denn sonstwäre auch Γn ⇒ ∆n aus Φ ableitbar.

(b) Sei ϕn von der Gestalt t = t′. Wenn ϕn ∈ Γn und ein m ∈ N

existiert, so dass ψm(t′) ∈ Γn, aber ψm(t) ∈ Γn, dann wähle daskleinste solche m und setze Γn+1 := Γn, ψm(t) und ∆n+1 := ∆n.

Die Sequenz Γn+1 ⇒ ∆n+1 ist nicht aus Φ ableitbar, denn sonstwäre mit der Regel (S ⇒) auch Γn, t = t′, ψm(t′) ⇒ ∆n ableitbar.

96


Da t = t′ und ψm(t′) bereits in Γn enthalten sind, wäre also Γn ⇒∆n ableitbar, im Widerspruch zur Induktionsannahme.

(c) Sei ϕn := ¬ψ. Wenn ϕn ∈ Γn, dann setze Γn+1 := Γn und ∆n+1 :=∆n, ψ. Wenn ϕn ∈ ∆n, dann setze Γn+1 := Γn, ψ und ∆n+1 := ∆n.Mit den Regeln (¬ ⇒) und (⇒ ¬) folgt, dass Γn+1 ⇒ ∆n+1 nichtaus Φ ableitbar ist.

(d) Sei ϕn = ψ ∨ ϑ. Wenn ϕn ∈ Γn, dann setzen wir ∆n+1 := ∆n undkönnen aufgrund der Regel (∨ ⇒) entweder Γn+1 := Γn, ψ oderΓn+1 := Γn, ϑ so wählen, dass Γn+1 ⇒ ∆n+1 nicht ableitbar ist.Wenn ϕn ∈ ∆n, dann setzen wir Γn+1 := Γn und ∆n+1 = ∆n, ψ, ϑ

und verwenden die Regel (⇒ ∨).(e) Sei ϕn von der Gestalt ∃xψ(x). Wenn ϕn ∈ Γn, dann wähle ein c ∈

C, welches in Γn und ∆n nicht vorkommt. Setze Γn+1 := Γn, ψ(c)und ∆n+1 := ∆n. Die Sequenz Γn+1 ⇒ ∆n+1 ist nicht ableitbar;andernfalls wäre (da c in Φ, Γn und ∆n nicht vorkommt) mit derRegel (∃ ⇒) auch Γn, ∃xψ(x) ⇒ ∆n und damit Γn ⇒ ∆n aus Φableitbar.Wenn ϕn ∈ ∆n, dann setze Γn+1 := Γn und ∆n+1 = ∆n, ψ(tn). MitRegel (⇒ ∃) folgt, dass Γn+1 ⇒ ∆n+1 nicht ableitbar ist.

In allen anderen Fällen sei Γn+1 := Γn und ∆n+1 := ∆n. Man beachte,dass aufgrund von Schritt (a) der Konstruktion Φ ⊆ ⋃

n∈N Γn gilt.

Lemma 4.15. Die Mengen Γ∗ :=⋃

n∈N Γn und ∆∗ :=⋃

n∈N ∆n besitzenfolgende Eigenschaften:

(1) Γ∗ und ∆∗ sind disjunkt.(2) Die atomaren Sätze in Γ∗ sind abgeschlossen unter Substitution

(gemäß Definition 5.11).(3) Wenn ¬ψ ∈ Γ∗, dann ist ψ ∈ ∆∗. Wenn ¬ψ ∈ ∆∗, dann ist ψ ∈ Γ∗.(4) Wenn ψ ∨ ϑ ∈ Γ∗, dann gehört ψ oder ϑ zu Γ∗. Wenn ψ ∨ ϑ ∈ ∆∗,

dann gehören ψ und ϑ zu ∆∗.(5) Wenn ∃xψ(x) ∈ Γ∗, dann gibt es einen Grundterm t, so dass ψ(t) ∈

Γ∗. Wenn ∃xψ(x) ∈ ∆∗, dann ist ψ(t) ∈ ∆∗ für alle Grundterme t.

Beweis. Die Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Konstrukti-on der Sequenzen Γn ⇒ ∆n:

97


(1) Wenn ψ ∈ Γ∗ ∩ ∆∗, dann gibt es ein n ∈ N, so dass ψ ∈ Γn ∩ ∆n.Aber dann wäre Γn ⇒ ∆n ein Axiom und somit ableitbar.

(2) Die Schritte (a), (b) in der Konstruktion garantieren, dass Γ∗ alleGleichungen t = t enthält sowie mit t = t′ und ψ(t) auch ψ(t′) füralle atomaren Formeln ψ(x).

(3) Wenn ¬ψ ∈ Γ∗, dann gibt es (da jeder Satz in der Aufzählungϕ0, ϕ1, . . . unendlich oft vorkommt) ein hinreichend großes n, sodass ϕn = ¬ψ ∈ Γn. Nach Schritt (c) der Konstruktion folgt, dassψ ∈ ∆∗. Der Fall, dass ¬ψ ∈ ∆∗, wird analog behandelt.

(4) Wenn ψ ∨ ϑ ∈ Γ∗, dann gibt es ein n, so dass ϕn = ψ ∨ ϑ ∈ Γn.Nach Schritt (d) ist entweder ψ oder ϑ in Γn+1. Das Argument fürψ ∨ ϑ ∈ ∆∗ ist analog.

(5) Wenn ∃xψ(x) in Γ∗, dann gibt es nach Schritt (e) ein c, so dassψ(c) ∈ Γ∗. Wenn ∃xψ(x) ∈ ∆∗ und t ein beliebiger Grundterm ist,dann gibt es hinreichend große n, so dass ϕn die Formel ∃xψ(x)und tn der Term t ist. Nach Konstruktion ist ψ(tn) ∈ ∆n+1. q.e.d.

Definition 4.16. Sei Γ∗, ∆∗ ein Paar von Satzmengen welches die Eigen-schaften (1) – (5) erfüllt. Dann heißt Γ∗ ∪ ¬∆∗ eine Hintikka-Menge.

Satz 4.17 (Modell-Existenz-Satz). Jede Hintikka-Menge besitzt ein Mo-dell.

Beweis. Sei T = Γ∗ ∪ ¬∆∗ eine Hintikka-Menge und Σ die Menge allerAtome in Γ∗. Nach Bedingung (2) ist Σ abgeschlossen unter Substitution.Wir behaupten, dass A(Σ), die kanonische Struktur zu Σ, ein Modellvon T ist. Dazu beweisen wir per Induktion über den Formelaufbau,dass für jeden Satz ϕ gilt:

• Ist ϕ ∈ Γ∗, so gilt A(Σ) |= ϕ;

• Ist ϕ ∈ ∆∗, so gilt A(Σ) |= ¬ϕ.

(i) Für atomare Sätze ist dies bereits bewiesen (Lemma 5.14).

(ii) Sei ϕ = ¬ψ. Wenn ϕ ∈ Γ∗, dann ist ψ ∈ ∆∗. Per Induktionsvor-aussetzung folgt A(Σ) |= ¬ψ. Wenn ϕ ∈ ∆∗, dann ist ψ ∈ Γ∗, alsoA(Σ) |= ψ und daher A(Σ) |= ¬ϕ.

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(iii) Sei ϕ := ψ ∨ ϑ. Wenn ϕ ∈ Γ∗, dann ist entweder ψ oder ϑ in Γ∗ unddamit nach Induktionsvoraussetzung wahr in A(Σ). Wenn ϕ ∈ ∆∗,dann sind ψ und ϑ in ∆∗, also A(Σ) |= ¬ϕ.

(iv) Sei ϕ = ∃xψ(x). Wenn ϕ ∈ Γ∗, dann gibt es ein t, so dass ψ(t) ∈ Γ∗.Also gilt per Induktionsvoraussetzung A(Σ) |= ψ(t) und daherA(Σ) |= ∃xψ. Wenn ∃xϕ ∈ ∆∗, dann ist ψ(t) ∈ ∆∗ und daherper Induktionsvoraussetzung A(Σ) |= ¬ψ(t) für alle t. Da jedesElement von A(Σ) einen Grundterm interpretiert, folgt A(Σ) |=¬∃xψ(x). q.e.d.

Wir sind ausgegangen von einer Satzmenge Φ und einer nichtaus Φ ableitbaren Sequenz Γ ⇒ ∆. Wir haben daraus eine unendli-che Folge von Sequenzen Γn ⇒ ∆n konstruiert und so eine Hintikka-Menge T :=

⋃n∈N Γn ∪⋃

n∈N ¬∆n erhalten, welche Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ enthält.Wir haben schließlich gezeigt, dass das kanonische Modell der Atomeeiner Hintikka-Menge ein Modell der gesamten Hintikka-Menge ist.Insbesondere folgt also, dass Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ erfüllbar ist. Damit ist derVollständigkeitssatz bewiesen.

Überabzählbare Signaturen. Wir haben hier den Vollständigkeitssatz nurfür abzählbare Signaturen bewiesen. Er gilt aber auch für beliebige Si-gnaturen (siehe etwa: H.-D Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, Einführungin die Mathematische Logik, 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,2007, Kapitel 5).

Die Menge aller Terme über einer abzählbaren Signatur ist selbstabzählbar. Das im Beweis des Vollständigkeitssatzes konstruierte Modelleiner konsistenten Satzmenge ist also abzählbar. Damit erhalten wirunmittelbar eine interessante, rein semantische Folgerung.

Satz 4.18 (Löwenheim, Skolem). Jede erfüllbare, abzählbare Satzmengehat ein abzählbares Modell.

Der Vollständigkeitssatz hat auch eine interessante algorithmischeKonsequenz. Wie jeder Beweiskalkül erlaubt auch der Sequenzenkalküldie systematische Generierung aller ableitbaren Objekte. Aus dem Voll-ständigkeitssatz folgt demnach, dass es einen Algorithmus gibt, der alle

99


allgemeingültigen FO(τ)-Sätze aufzählt. Dies bedeutet allerdings nicht,dass man einen Algorithmus zur Verfügung hätte, mit dem man zujedem vorgelegten FO(τ)-Satz entscheiden könnte, ob dieser allgemein-gültig ist: Sei etwa ψ der gegebene Satz. Man kann nun systematischalle allgemeingültigen Sätze ϕ0, ϕ1, . . . aufzählen. Wenn ψ tatsächlichallgemeingültig ist, wird man irgendwann ein ϕj := ψ erhalten undhat damit die richtige Antwort. Wenn aber ψ nicht allgemeingültig ist,dann kann man dies durch ein solches Aufzählungsverfahren nichtfeststellen.

Schnitt-Elimination. Sequenzenkalküle gibt es in vielen verschiede-nen Varianten. Interessant ist insbesondere die Erweiterung um diesogenannte Schnittregel:

Γ, ϕ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, ϕ

Γ ⇒ ∆

Diese Regel ist eine Variante des Modus Ponens, welcher in andern Be-weiskalkülen verwendet wird und die Ableitung von ϕ erlaubt, wennvorher ψ und ψ → ϕ bewiesen wurden. Die Schnittregel erlaubt es,aus längeren Sequenzen kürzere abzuleiten. Beweise mit Schnittregelkönnen sehr viel kürzer sein als solche ohne Schnitte, aber eine syste-matische Beweissuche und -analyse ist kaum mehr möglich. Gentzenformulierte seinen Sequenzenkalkül ursprünglich mit Schnittregel undbewies dann seinen berühmten Schnitt-Eliminationssatz, welcher besagt,dass beliebige Beweise durch solche ohne Schnitte simuliert werden kön-nen. Da wir hier direkt die Vollständigkeit des Sequenzenkalküls ohneSchnittregel bewiesen haben, kann man sich diesen (sehr aufwendigen)Beweis sparen.

4.4 Der Kompaktheitssatz

Der Vollständigkeitssatz schafft eine Brücke zwischen Syntax und Se-mantik der Prädikatenlogik und erlaubt es, Eigenschaften der Ablei-tungsbeziehung und der Konsistenz (also syntaktischer Begriffe) auf dieFolgerungsbeziehung und die Erfüllbarkeit (also semantische Begriffe)

100


zu übertragen. Die wichtigste Folgerung aus dem Vollständigkeitssatzist der Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz.

Satz 4.19 (Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik). Für jede MengeΦ ⊆ FO(τ) und jedes ψ ∈ FO(τ)

(i) Φ |= ψ genau dann, wenn eine endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ existiert,so dass Φ0 |= ψ.

(ii) Φ ist genau dann erfüllbar, wenn jede endliche Teilmenge von Φerfüllbar ist.

Beweis. Aus der Definition der Ableitungsbeziehung folgen die entspre-chenden syntaktischen Aussagen unmittelbar:

(i) Φ ⊢ ψ genau dann, wenn Φ0 ⊢ ψ für eine endliche TeilmengeΦ0 ⊆ Φ.

(ii) Φ ist genau dann konsistent, wenn jede endliche Teilmenge von Φkonsistent ist.

Da nach dem Vollständigkeitssatz eine Formelmenge genau dann erfüll-bar ist, wenn sie konsistent ist, und die Folgerungsbeziehung |= mit derAbleitungsbeziehung ⊢ zusammenfällt, ergeben sich die semantischenAussagen des Kompaktheitssatzes. q.e.d.

In Kapitel 3.1 haben wir gesehen, dass die Klasse aller Körpermit Charakteristik p durch den Satz ψKörper ∧ χp endlich axiomatisiertwird, wobei ψKörper die Konjunktion der Körperaxiome und χp der Satz1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

p-mal

= 0 ist.

Für Körper der Charakteristik 0 haben wir das unendliche Axio-mensystem

Φ0 = ψKörper ∪ ¬χp : p Primzahl

angegeben. Aus dem Kompaktheitssatz können wir nun folgern, dassjedes Axiomensystem für diese Klasse unendlich sein muss.

Satz 4.20. Die Klasse der Körper der Charakteristik 0 ist nicht endlichaxiomatisierbar.

101


Beweis. Sei ψ ∈ FO(τar) ein beliebiger Satz, welcher in allen Körpernder Charakteristik 0 gilt; also Φ0 |= ψ. Aus dem Kompaktheitssatz folgt,dass es eine Primzahl q gibt, so dass bereits

ψKörper ∪ ¬χp : p < q, p Primzahl |= ψ.

Also gilt ψ auch in allen Körpern mit hinreichend großer Charakteristikund axiomatisiert somit nicht die Körper der Charakteristik 0. q.e.d.

Satz 4.21. Sei Φ ⊆ FO(τ) eine Satzmenge mit beliebig großen endlichenModellen (d.h. für jedes n ∈ N gibt es ein Modell A |= Φ mit endlichemA und |A| > n). Dann hat Φ auch ein unendliches Modell.

Beweis. Sei Θ := Φ ∪ ϕ≥n : n ∈ N, wobei

ϕ≥n := ∃x1 · · · ∃xn∧

1≤i<j≤nxi = xj .

Die Modelle von Θ sind gerade die unendlichen Modelle von Φ.Es genügt zu zeigen, dass jede endliche Teilmenge Θ0 ⊆ Θ erfüllbar

ist, denn mit dem Kompaktheitssatz folgt dann, dass auch Θ erfüllbarist. Für jedes endliche Θ0 ⊆ Θ gibt es aber ein n0 ∈ N, so dass Θ0 ⊆Φ ∪ ϕ≥n : n < n0. Da nach Voraussetzung Φ beliebig große endlicheModelle hat, ist Θ0 erfüllbar. q.e.d.

Folgerung 4.22. Die Klasse aller endlichen τ-Strukturen ist nicht FO-axiomatisierbar.

Ebenso folgt, dass die Klasse aller endlichen Gruppen, die Klassealler endlichen Körper, die Klassen aller endlichen Graphen etc. nichtFO-axiomatisierbar sind.

Weitere Überlegungen, wieder mit Hilfe des Kompaktheitssatzes,zeigen uns, dass jedes Axiomensystem, welches ein unendliches Modellhat, sogar beliebig große unendliche Modelle zulässt.

Definition 4.23. Seien A, B zwei Mengen. Wir sagen, dass A mindestensso mächtig wie B ist (kurz: |A| ≥ |B|), wenn eine injektive Funktionf : B → A existiert. Weiter sagen wir, dass A und B gleich mächtig sind(kurz: |A| = |B|), wenn eine bijektive Funktion f : A → B existiert.

102


Für eine Menge A bezeichnen wir mit Pot(A) := B : B ⊆ A diePotenzmenge von A.

Satz 4.24. Keine Menge ist gleich mächtig zu ihrer Potenzmenge.

Beweis. Wir zeigen, dass keine Funktion f : A → Pot(A) surjektiv seinkann. Zu diesem Zweck betrachten wir für ein beliebiges solches f dieMenge B f := a ∈ A : a ∈ f (a).

Wir behaupten, dass B f nicht im Bild von f ist. Sonst wäre f (b) =B f für ein b ∈ A. Dies kann aber nicht sein, da dann

b ∈ f (b) gdw. b ∈ B f gdw. b ∈ f (b) .

Die erste Äquivalenz folgt da f (b) = B f , die zweite aus der Definitionvon B f . q.e.d.

Satz 4.25 (Aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem). Φ besitze einunendliches Modell. Dann gibt es zu jeder Menge M ein Modell D |= Φüber einem Universum D, welches mindestens so mächtig wie M ist.

Beweis. Sei Φ ⊆ FO(τ) und sei cm : m ∈ M eine Menge von paar-weise verschiedenen Konstantensymbolen, welche nicht zu τ gehören.Setze

Θ := Φ ∪ cm = cn : m, n ∈ M, m = n.

Wir zeigen, dass Θ erfüllbar ist. Wegen des Kompaktheitssatzesgenügt es zu zeigen, dass für jede endliche Teilmengen M0 ⊆ M dieFormelmenge

Θ0 := Φ ∪ cm = cn : m, n ∈ M0, m = n

erfüllbar ist.Nach Voraussetzung gibt es ein unendliches Modell B |= Φ. Da

M0 endlich ist, können wir in B paarweise verschiedene Elemente bm

für alle m ∈ M0 auswählen. Sei A die Expansion von B durch dieKonstanten cAm := bm für m ∈ M0. Offensichtlich gilt A |= Θ0.

103


Damit ist gezeigt, dass Θ erfüllbar ist. Sei D ein Modell von Θ mitUniversum D. Die Abbildung f : M → D mit f (m) = cDm ist injektiv, dafür m = n aus M gilt: D |= cm = cn. Da D |= Θ, gilt insbesondere auchD |= Φ. q.e.d.

Wir erinnern daran, dass die Theorie Th(A) einer τ-Struktur A ausallen Sätzen ψ ∈ FO(τ) mit A |= ψ besteht, und dass zwei StrukturenA,B elementar äquivalent sind (kurz: A ≡ B), wenn sie die gleicheTheorie haben.

Lemma 4.26. B : A ≡ B ist die kleinste axiomatisierbare Modellklas-se, die A enthält.

Beweis. Offensichtlich ist B : A ≡ B = Mod(Th(A)) und somitaxiomatisierbar. Wenn A |= Φ und B ≡ A, dann gilt offensichtlich auchB |= Φ. Also gilt für alle Φ ⊆ FO(τ): Wenn A ∈ Mod(Φ), dann istB : A ≡ B ⊆ Mod(Φ). q.e.d.

Nach dem Isomorphielemma sind isomorphe Strukturen auchelementar äquivalent. Die Umkehrung gilt für unendliche Strukturenim Allgemeinen nicht.

Satz 4.27. Sei A eine unendliche Struktur. Dann gibt es eine StrukturB mit A ≡ B, aber A ∼= B. Insbesondere ist die IsomorphieklasseB : A ∼= B von A nicht axiomatisierbar in der Prädikatenlogik.

Beweis. Th(A) besitzt ein unendliches Modell, und deshalb nach demaufsteigenden Satz von Löwenheim-Skolem auch ein Modell B, dasmindestens die Mächtigkeit der Potenzmenge Pot(A) von A hat. NachSatz 5.24 ist B nicht gleich mächtig zu A und deshalb insbesondereauch nicht isomorph zu A. Da B |= Th(A) (und Th(A) vollständig ist),ist aber B elementar äquivalent zu A. Also liegt in jeder axiomatisier-baren Modellklasse, welche A enthält, auch eine zu A nicht-isomorpheStruktur. q.e.d.

104


Nichtstandardmodelle der Arithmetik. Die Arithmetik ist dieTheorie Th(N) der Struktur N = (N,+, ·, 0, 1). Ein Nichtstandardmodellder Arithmetik ist eine τar-Struktur, die zu N zwar elementar äquivalentaber nicht isomorph ist.

Aus dem aufsteigenden Satz von Löwenheim-Skolem folgt: Esgibt ein (überabzählbares) Nichtstandardmodell der Arithmetik. Einschärferes Resultat liefert der folgende Satz von Skolem.

Satz 4.28 (Skolem). Es gibt ein abzählbares Nichtstandardmodell derArithmetik.

Beweis. Sei Φ := Th(N) ∪ c = n : n ∈ N, wobei c ein neues Konstan-tensymbol ist, 0 := 0 und n := 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

n-mal

für n ≥ 1.

Jede endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ besitzt ein Modell A = (N, cA)mit hinreichend großem cA ∈ N. Also ist nach dem KompaktheitssatzΦ erfüllbar und hat daher nach dem Satz von Löwenheim-Skolem sogarein abzählbares Modell B. Sei C = B τar (das durch Weglassen voncB definierte Redukt von B). Da B |= Th(N), ist N ≡ C.

Es bleibt zu zeigen, dass kein Isomorphismus π : N → C

existiert. Für jeden solchen Isomorphismus π müsste gelten, dassπ(n) = π(nN) = nB für alle n ∈ N gilt. Da π surjektiv ist, gibtes ein k ∈ N, so dass cB = π(k) = kB. Damit erhalten wir einen Wi-derspruch: Einerseits gilt B |= c = k, aber andererseits, da die Formelc = k in Φ enthalten ist, auch B |= c = k. q.e.d.

Übung 4.2. Sei A ein abzählbares Nichtstandardmodell der Arithmetik,sei ϕ(x, y) die Formel x = y ∧ ∃z(x + z = y) und sei (A,<A) :=(A, ϕA).

(a) Zeigen Sie, dass (A,<A) ein Modell von Th(N,<) ist (also einabzählbares Nichtstandardmodell der geordneten Arithmetik).

(b) Zeigen sie, dass (A,<A) keine Wohlordnung ist (also eine unendli-che absteigende Kette enthält).

(c) Beschreiben Sie die Ordnungsstruktur von (A,<A): Betrachten Siedie Ordnung (B,<B) mit B = N × 0 ∪ Z × Q>0 und (a, b) <B

(a′, b′), wenn b < b′ oder wenn b = b′ und a < a′; also informell:

105


(B,<B) ist zusammengesetzt aus (N,<) und dahinter abzählbarvielen, dicht hintereinanderliegenden Kopien von (Z,<). ZeigenSie, dass es eine Einbettung von (B,<B) in (A,<A) gibt.

Übung 4.3. Zeigen Sie, dass es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorophe abzählbare Modelle der Arithmetik gibt.

Hinweis: Sei ϕ(x, y) := ∃z(x · z = y). Die Primteiler eines Elementsa eines Nichtstandardmodells A der Arithmetik seien die Primzahlenp ∈ N, so dass A |= ϕ[p, a]. Zeigen Sie, dass es zu jeder Menge Q vonPrimzahlen ein abzählbares Nichtstandardmodell A der Arithmetik gibt,welches ein Element a enthält, dessen Primteiler genau die Elementevon Q sind.

Warum der Kompaktheitssatz so heißt. Sei τ eine beliebige Signa-tur und S die Menge aller vollständigen τ-Theorien. Wir definieren eineTopologie auf S, deren Basis aus den Mengen Oψ := T ∈ S : ψ ∈ Tfür alle Sätze ψ ∈ FO(τ) besteht. Man beachte, dass Oψ ∩Oϕ = Oψ∧ϕ.Ferner ist S \ Oψ = T ∈ S : ψ ∈ T = T ∈ S : ¬ψ ∈ T = O¬ψ.

Die Basis der Topologie besteht also aus offen-abgeschlossenenMengen. Zudem ist S hausdorffsch, d.h. je zwei verschiedene Punktelassen sich durch disjunkte Umgebungen trennen. Zu zwei beliebigenvollständigen Theorien T = T′ gibt es nämlich einen Satz ψ mit ψ ∈T,¬ψ ∈ T′ und daher T ∈ Oψ, T′ ∈ O¬ψ und natürlich Oψ ∩O¬ψ = ∅.

Die offenen Mengen von S sind die Mengen der Form⋃

ϕ∈Φ Oϕ,die abgeschlossenen diejenigen der Form

⋂ϕ∈Φ Oϕ (für beliebige Satz-

mengen Φ ⊆ FO(τ)).

Der Kompaktheitssatz besagt nun, dass der topologische RaumS kompakt ist, d.h. dass jede offene Überdeckung von S eine endlicheTeilüberdeckung besitzt. Dies zeigt man wie folgt.

Jede offene Überdeckung von S kann zu einer Überdeckung derForm

⋃ϕ∈Φ Oϕ verfeinert werden (für eine geeignete Satzmenge Φ ⊆

FO(τ)). Also ist ∅ = S \⋃ϕ∈Φ Oϕ =

⋂ϕ∈Φ O¬ϕ.

Daher lässt sich die Satzmenge ¬ϕ : ϕ ∈ Φ nicht zu einervollständigen Theorie erweitern und ist somit unerfüllbar. Nach dem

106

4.5 Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik

Kompaktheitssatz ist bereits ¬ϕ : ϕ ∈ Φ0 für ein endliches Φ0 ∈ Φunerfüllbar. Folglich ist S = S \⋂

ϕ∈Φ0O¬ϕ =

⋃ϕ∈Φ0

Oϕ.


Das klassische Entscheidungsproblem der mathematischen Logik kannauf verschiedene, äquivalente Weisen formuliert werden:

Erfüllbarkeit: Man konstruiere einen Algorithmus, welcher zu jeder vor-gelegten Formel der Prädikatenlogik entscheidet, ob sie erfüllbarist oder nicht.

Gültigkeit: Man finde einen Algorithmus, welcher zu jeder Formel ψ

der Prädikatenlogik entscheidet, ob sie allgemeingültig ist, d.h. objede zu ψ passende Interpretation ein Modell von ψ ist.

Beweisbarkeit: Man konstruiere einen Algorithmus, welcher zu jeder For-mel ψ ∈ FO entscheidet, ob ψ (aus der leeren Hypothesenmenge)ableitbar ist. (Hier wird ein fester, vollständiger Beweiskalkül fürdie Prädikatenlogik zugrunde gelegt, z.B. der Sequenzenkalkül).

Die Äquivalenz dieser Probleme ist unmittelbar einsichtig: EineFormel ψ ist genau dann erfüllbar, wenn ¬ψ nicht allgemeingültigist, und nach dem Vollständigkeitssatz ist eine Formel genau dannallgemeingültig, wenn sie ableitbar ist.

Das klassische Entscheidungsproblem wurde zu Beginn diesesJahrhundert von Hilbert formuliert und war Teil seines formalistischenProgramms zur Lösung der Grundlagenprobleme der Mathematik.Hilbert und Ackermann schrieben:

Das Entscheidungsproblem ist gelöst, wenn man ein Verfah-ren kennt, das bei einem vorgelegten logischen Ausdruckdurch endlich viele Operationen die Entscheidung über dieAllgemeingültigkeit bzw. Erfüllbarkeit erlaubt. (. . . ) Das Ent-scheidungsproblem muss als das Hauptproblem der mathe-matischen Logik bezeichnet werden.

D. Hilbert, W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik,1. Auflage, Berlin 1928, S. 73ff.

107


In der Tat hätte eine positive Lösung des Entscheidungsproblemsweitreichende Folgen für die Mathematik. Man könnte dann, minde-stens im Prinzip, zahlreiche offene Probleme der Mathematik (z.B. dieRiemann-Hypothese) durch Anwendung des Entscheidungsalgorith-mus lösen.

Für gewisse Teilklassen der Prädikatenlogik können solche Entschei-dungsalgorithmen angegeben werden.

Übung 4.4. Man konstruiere einen Algorithmus, welcher das Erfüll-barkeitsproblem für Formeln löst, deren Signatur ausschließlich ausmonadischen (d.h. einstelligen) Relationssymbolen besteht.

Hinweis: Man zeige, z.B. mit Hilfe des Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiels,dass jede erfüllbare Formel mit Quantorenrang m und q monadischenRelationssymbolen ein Modell mit höchstens m · 2q Elementen besitzt.

Übung 4.5. Zeigen sie, dass das Erfüllbarkeitsproblem für Formeln derGestalt ∃x1 . . . ∃xr∀y1 . . . ∀ys ϕ entscheidbar ist, wobei ϕ quantorenfreiund relational sein soll.

Hinweis: Zeigen Sie, dass jeder erfüllbare Satz dieser Gestalt einModell mit höchstens r Elementen besitzt.

Übung 4.6. Zeigen Sie, dass das Erfüllbarkeitsproblem für existentielleFormeln (mit beliebiger Signatur) entscheidbar ist.

1936/37 haben Church und Turing unabhängig voneinander be-wiesen, dass das Entscheidungsproblem nicht algorithmisch lösbar ist.Im Gegensatz zur Aussagenlogik ist das Erfüllbarkeitsproblem für diePrädikatenlogik also unentscheidbar.

Wir beweisen die Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik, indemwir ein bekanntes unentscheidbares Problem, das Postsche Korrespon-denzproblem, auf das Gültigkeitsproblem für FO reduzieren.

Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP). Unter dem PCP versteht mandas folgende Entscheidungsproblem.

Gegeben: Eine Folge F = (u1, v1), . . . , (uk, vk) von Wortpaaren mitui, vi ∈ 0, 1∗.

108


Frage: Gibt es eine Indexfolge i1, . . . , il so dass ui1 · · · uil= vi1 · · · vil

?(Eine solche Indexfolge nennen wir eine Lösung für F.)

Es ist bekannt (und wird z.B. in der Vorlesung Berechenbarkeit undKomplexität bewiesen), dass es keinen Algorithmus gibt, der das PCPlöst.

Satz 4.29 (Post). Das PCP ist unentscheidbar.

Wir zeigen, dass man Eingaben für das PCP durch einen Redukti-onsalgorithmus in FO-Formeln transformieren kann, so dass die gegebe-ne PCP-Eingabe genau dann eine Lösung zulässt, wenn die resultieren-de FO-Formel allgemeingültig ist. Daraus folgt, dass kein Algorithmusdie Gültigkeit von FO-Formeln entscheiden kann. Gäbe es nämlich einensolchen Entscheidungsalgorithmus, dann könnte man das PCP-Problemlösen, indem man PCP-Eingaben mit dem Reduktionsalgorithmus aufFO-Formeln transformiert und dann mit dem Entscheidungsalgorith-mus bestimmt, ob die erhaltene Formel allgemeingültig ist.

Satz 4.30 (Church, Turing). Das Gültigkeitsproblem (und damit auchdas Erfüllbarkeitsproblem) der Prädikatenlogik ist unentscheidbar.

Beweis. Wir zeigen, dass man zu jeder Eingabe F = (u1, v1), . . . , (uk, vk)

für das PCP effektiv einen FO-Satz ψF konstruieren kann, so dass gilt:

ψF ist gültig gdw. es gibt eine Lösung für F.

Die Signatur von ψF besteht aus einem Konstantensymbol c, ein-stelligen Funktionssymbolen f0 und f1 und einem zweistelligen Relati-onssymbol P. Die Idee ist, dass man jedes Wort w = w0w1 · · ·wm−1 ∈0, 1∗ durch den Term tw(x) := fw0 fw1 · · · fwm−1 x repräsentiert und dieLösbarkeitsbedingung für F durch die Formel

ψF := (ϕ ∧ ϑ) → ∃xPxx

mit

ϕ :=k∧

i=1P(tui c, tvi c) und

109


ϑ := ∀x∀y(Pxy →k∧

i=1P(tui x, tvi y))

ausdrückt.

Nehmen wir zunächt an ψF sei gültig. Dann gilt ψF in jeder zu derFormel passenden Struktur, insbesondere also in A = (A, c, f0, f1, P)mit

A := 0, 1∗,

c := ε (das leere Wort),

f0(w) := 0w für alle w ∈ 0, 1∗,

f1(w) := 1w für alle w ∈ 0, 1∗ und

P := (u, v) : es gibt i1, . . . , il mit

u = ui1 · · · uilund v = vi1 · · · vil

.

Ein Wortpaar (u, v) ist also genau dann in P, wenn u mit derselbenIndexfolge aus den ui aufgebaut werden kann wie v aus den vi. Manbeachte, dass für jedes w ∈ 0, 1∗ der Wert des Grundterms twc inA gerade das Wort w selbst ist, d.h. JtwcKA = w. Also gilt A |= ϕ.Weiter gilt JtutwcKA = uw für alle u, w ∈ 0, 1∗. Daher folgt A |= ϑ. DaA |= ψF, muss auch A |= ∃xPxx gelten. Also gibt es ein Wort z und eineIndexfolge i1, . . . , il mit z = ui1 · · · uil

= vi1 · · · vil, d.h. i1, . . . , il ist eine

Lösung für F.

Nehmen wir nun umgekehrt an, dass F eine Lösung i1, . . . , il besitzt.Zu zeigen ist, dass A |= ψF für jede zu ψF passende Struktur A =

(A, c, f0, f1, P). Wir nehmen also an, dass A |= ϕ ∧ ϑ (anderenfalls giltA |= ψF ohnehin) und betrachten die Abbildung h : 0, 1∗ → A,welche jedem Wort w ∈ 0, 1∗ den Wert h(w) := JtwcKA zuordnet.Insbesondere gilt h(ε) = c, h(0w) = f0(h(w)) und h(1w) = f1(h(w)).Da A |= ϕ, gilt (h(ui), h(vi)) ∈ P für i = 1, . . . , k. Wegen A |= ϑ giltfür i = 1, . . . , k, dass aus (x, y) ∈ P auch (h(uix), h(viy)) ∈ P folgt. PerInduktion schließen wir, dass (h(ui1 · · · uil

), h(vi1 · · · vil)) ∈ P gilt, d.h.

für die Lösung w = ui1 · · · uil= vi1 · · · vil

folgt (h(w), h(w)) ∈ P. Damitist gezeigt, dass A |= ∃xPxx und somit A |= ψF. q.e.d.

110

5 Vollständigkeitsatz, Kompaktheitssatzund Unentscheidbarkeit derPrädikatenlogik


Wir erweitern den in Abschnitt 1.6 beschriebenen aussagenlogischenSequenzenkalkül auf die Prädikatenlogik.

Durch Einführen neuer Konstantensymbole können wir uns aufdie Betrachtung von Sätzen beschränken und so die etwas lästigenKomplikationen vermeiden, die sich aus Konflikten zwischen freien undgebundenen Variablen ergeben können. Sei σ eine beliebige Signaturund seien c1, c2, . . . abzählbar viele, paarweise verschiedene und nichtin σ enthaltene Konstantensymbole. Wenn wir jede Formel ψ(x1, . . . , xn)

mit den freien Variablen x1, . . . , xn durch den Satz ψ(c1, . . . , cn) ersetzen,dann können wir alle Fragen über Gültigkeit, Erfüllbarkeit und dieFolgerungsbeziehung auf Sätze reduzieren.

Im Folgenden bezeichnet σ eine beliebige abzählbare Signatur. undτ = σ ∪ C für eine abzählbar unendliche Menge C von Konstanten,welche nicht in σ enthalten sind. Wenn von ψ ∈ FO(τ) oder Γ ⊆FO(τ) die Rede ist, sind immer Sätze bzw. Satzmengen gemeint, es seidenn, wir deuten durch die Notation ψ(x) explizit an, dass x in ψ freivorkommt.

Definition 5.1. Eine Sequenz ist ein Ausdruck Γ ⇒ ∆, wobei Γ, ∆ endli-che Mengen von Sätzen in FO(τ) sind. Eine Sequenz Γ ⇒ ∆ ist gültig,wenn jedes Modell von Γ auch ein Modell mindestens einer Formelaus ∆ ist. Die Axiome des Sequenzenkalküls sind alle Sequenzen derForm Γ, ψ ⇒ ∆, ψ. Die Schlussregeln sind dieselben wie beim aussa-genlogischen Sequenzenkalkül, erweitert um die Gleichheitsregel, die

111


Substitutionsregeln und die Einführungsregeln für die Quantoren ∃und ∀.

Die Gleichheitsregel lautet:

(=)Γ, t = t ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆

Die Substitutionsregeln erlauben das Austauschen von Termen. DieSchreibweise t .

= t′ deutet an, dass entweder t = t′ oder t′ = t benutztwerden kann:

(S ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, t .= t′, ψ(t′) ⇒ ∆

(⇒ S)Γ ⇒ ∆, ψ(t)

Γ, t .= t′ ⇒ ∆, ψ(t′)

Hier stehen t, t′ für beliebige Grundterme aus T(τ); ψ(x) ist einebeliebige Formel aus FO(τ), in der keine andere Variable als x freivorkommt, und ψ(t) ist die Formel, die man daraus durch Substitutionvon t für x erhält.

Die Korrektheit der Gleichheitsregel ist trivial. Es ist auch leichteinzusehen, dass die Substitutionsregeln korrekt sind. Wir erläuterndies für (⇒ S): Sei Γ ⇒ ∆, ψ(t) eine gültige Sequenz und A ein Modellvon Γ, t .

= t′. Zu zeigen ist, dass A dann entweder Modell einer Formelaus ∆ oder Modell von ψ(t′) ist. Nehmen wir also an, dass in A alleFormeln aus ∆ falsch sind. Aber dann folgt A |= ψ(t), denn Γ ⇒ ∆, ψ(t)ist gültig und A |= Γ. Da aber auch A |= t = t′, folgt A |= ψ(t′).

Die Einführungsregeln für ∃ und ∀ haben folgende Form:

(∃ ⇒)Γ, ψ(c) ⇒ ∆

Γ, ∃xψ(x) ⇒ ∆, wenn c in Γ, ∆ und ψ nicht vorkommt.

(⇒ ∃) Γ ⇒ ∆, ψ(t)Γ ⇒ ∆, ∃xψ(x)

(∀ ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, ∀xψ(x) ⇒ ∆

(⇒ ∀) Γ ⇒ ∆, ψ(c)Γ ⇒ ∆, ∀xψ(x)

, wenn c in Γ, ∆ und ψ nicht vorkommt.

Beispiel 5.2.

• Hier ist ein Beweis für die gültige Sequenz ∃x∀yRxy ⇒ ∀y∃xRxy,

112


welcher die Anwendung der Quantorenregeln illustriert:

Rcd ⇒ RcdRcd ⇒ ∃xRxd

∀yRcy ⇒ ∃xRxd∀yRcy ⇒ ∀y∃xRxy

∃x∀yRxy ⇒ ∀y∃xRxy

• Um die Sequenz R f c, ∀x( f x = x) ⇒ R f f c abzuleiten, beginnt manmit dem Axiom R f c ⇒ R f c. Wenn wir ψ(x) := R f x wählen, dannist dies die Sequenz R f c ⇒ ψ(c). Mit der Regel (⇒ S) können wirdaraus die Sequenz R f c, f c = c ⇒ ψ( f c), also R f c, f c = c ⇒ R f f cableiten. Durch Anwendung der Regel (∀ ⇒) erhalten wir darauseine Ableitung von R f c, ∀x( f x = x) ⇒ R f f c.

Übung 5.1. Beweisen Sie die Korrektheit der Quantorenregeln. ZeigenSie auch, dass in den Regeln (∃ ⇒) und (⇒ ∀) die Bedingung, dass cnicht in Γ, ψ und ∆ vorkommt, nicht weggelassen werden kann.

Tabelle 5.1 fasst alle Regeln des Sequenzenkalküls nochmals zu-sammen. Die weiteren wesentlichen Begriffe können unmittelbar vomaussagenlogischen Sequenzenkalkül übernommen werden. Die Mengeder ableitbaren Sequenzen ist die kleinste Menge, welche alle Axiomeumfasst und mit jeder Instanz der oberen Zeile einer Schlussregel auchdie entsprechende Instanz der unteren Zeile enthält. Ein Beweis ist einbeschrifteter Baum, so dass alle Blätter mit Axiomen, alle inneren Kno-ten mit der Konklusion einer Schlussregel und deren Kinder mit denPrämissen derselben Regel beschriftet sind.

Da die Axiome des Sequenzenkalküls gültig sind, und dieSchlussregeln gültige Sequenzen immer in gültige Sequenzen über-führen, folgt, dass im Sequenzenkalkül nur gültige Sequenzen ableitbarsind.

Satz 5.3 (Korrektheitssatz für den Sequenzenkalkül). Jede im Sequen-zenkalkül ableitbare Sequenz ist gültig.

113


(=)Γ, t = t ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆

(S ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, t .= t′, ψ(t′) ⇒ ∆

(⇒ S)Γ ⇒ ∆, ψ(t)

Γ, t .= t′ ⇒ ∆, ψ(t′)

(¬ ⇒)Γ ⇒ ∆, ψ

Γ,¬ψ ⇒ ∆(⇒ ¬) Γ, ψ ⇒ ∆

Γ ⇒ ∆,¬ψ

(∨ ⇒)Γ, ψ ⇒ ∆ Γ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ ∨ ϑ ⇒ ∆(⇒ ∨) Γ ⇒ ∆, ψ, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ ∨ ϑ

(∧ ⇒)Γ, ψ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ ∧ ϑ ⇒ ∆(⇒ ∧) Γ ⇒ ∆, ψ Γ ⇒ ∆, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ ∧ ϑ

(→⇒)Γ ⇒ ∆, ψ Γ, ϑ ⇒ ∆

Γ, ψ → ϑ ⇒ ∆(⇒→)

Γ, ψ ⇒ ∆, ϑ

Γ ⇒ ∆, ψ → ϑ

(∃ ⇒)Γ, ψ(c) ⇒ ∆

Γ, ∃xψ(x) ⇒ ∆∗ (⇒ ∃) Γ ⇒ ∆, ψ(t)

Γ ⇒ ∆, ∃xψ(x)

(∀ ⇒)Γ, ψ(t) ⇒ ∆

Γ, ∀xψ(x) ⇒ ∆(⇒ ∀) Γ ⇒ ∆, ψ(c)

Γ ⇒ ∆, ∀xψ(x)∗

∗wenn c in Γ, ∆ und ψ nicht vorkommt

Tabelle 5.1. Die Regeln des Sequenzenkalküls

5.2 Der Vollständigkeitssatz

Ableitbarkeit in Theorien. Aus dem Sequenzenkalkül erhält manauch einen Ableitungsbegriff für einen einzelnen Satz oder eine Se-quenz aus einer Menge von Hypothesen, z.B. aus den Axiomen einermathematischen Theorie.

Definition 5.4. Sei Φ ⊆ FO(σ) eine Menge von Sätzen. Ein Satz ψ

ist ableitbar aus dem Axiomensystem Φ (kurz: Φ ⊢ ψ), wenn eineendliche Teilmenge Γ von Φ existiert, so dass die Sequenz Γ ⇒ ψ imSequenzenkalkül ableitbar ist. Eine Sequenz Γ ⇒ ∆ ist ableitbar aus Φ,wenn es eine ableitbare Sequenz Γ, Γ′ ⇒ ∆ gibt mit Γ′ ⊆ Φ.

Die Ableitbarkeit von Sequenzen und die Ableitbarkeit von ein-zelnen Sätzen sind im Wesentlichen austauschbare Begriffe, denn dieSequenz Γ ⇒ ∆ ist ableitbar aus Φ genau dann, wenn Φ ⊢ ∧

Γ → ∨∆.

Es gibt auch Satzmengen Φ aus denen jeder Satz (der entsprechen-den Signatur) ableitbar ist. Eine solche Menge nennen wir inkonsistent.

114


Aufgrund der Korrektheit des Sequenzenkalküls sind inkonsistenteMengen unerfüllbar.

Beispiel 5.5. Jede Menge, welche einen Satz und gleichzeitig auch dessenNegation enthält, ist inkonsistent. In der Tat können wir jede Sequenzder Form ψ,¬ψ ⇒ ϕ mit der Regel (¬ ⇒) aus dem Axiom ψ ⇒ ψ, ϕ

ableiten.

Wenn nicht jeder Satz aus Φ ableitbar ist, dann nennen wir Φ kon-sistent. Offensichtlich ist Φ genau dann konsistent, wenn jede endlicheTeilmenge von Φ konsistent ist.

Man beachte, dass Konsistenz und Ableitbarkeit (⊢) syntaktischeBegriffe sind, da sie sich auf Formelmengen und Sätze als sprachlicheObjekte und nicht auf ihre Bedeutung beziehen. Die zugehörigen se-mantischen Begriffe sind die Erfüllbarkeit und die Folgerungsbeziehung(|=).

Der Korrektheitssatz für den Sequenzenkalkül impliziert: WennΦ ⊢ ψ, dann auch Φ |= ψ. Der Vollständigkeitssatz besagt, dass auchdie Umkehrung gilt.

Satz 5.6 (Vollständigkeitssatz für den Sequenzenkalkül). Für jede Satz-menge Φ ⊆ FO(σ) und jeden Satz ψ ∈ FO(σ) gilt:

(i) Φ |= ψ gdw. Φ ⊢ ψ ;

(ii) Φ ist genau dann konsistent, wenn Φ erfüllbar ist.


Man beweist den Vollständigkeitssatz, indem man für jede beliebige,nicht aus Φ ableitbare Sequenz Γ ⇒ ∆ ein Modell A von Φ ∪ Γ ∪ ¬∆konstruiert. Dabei ist ¬∆ := ¬ψ : ψ ∈ ∆. Daraus erhält man sofortdie beiden Aussagen des Vollständigkeitssatzes:

(i) Wir wissen bereits, dass Φ |= ψ aus Φ ⊢ ψ folgt. Wenn Φ ⊢ ψ, dannist insbesondere die Sequenz ∅ ⇒ ψ nicht aus Φ ableitbar. DieExistenz eines Modells A |= Φ ∪ ¬ψ bedeutet aber, dass Φ |= ψ.

(ii) Wir wissen bereits, dass jede erfüllbare Menge konsistent ist. Seiumgekehrt Φ konsistent. Dann gibt es ein ψ, so dass Φ ⊢ ψ und

115


daher (nach (i)) auch Φ |= ψ. Also ist Φ ∪ ¬ψ und daher insbe-sondere Φ erfüllbar.

Es bleibt also die Aufgabe, für jede nicht aus Φ ableitbare SequenzΓ ⇒ ∆ ein Modell von Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ zu konstruieren.

Herbrandstrukturen und kanonische Modelle

Als Vorbereitung für die Modellkonstruktion behandeln wir Mengenvon atomaren Sätzen. Wir definieren den Begriff einer Herbrandstrukturund konstruieren daraus, durch Übergang zu einer geeigneten Quoti-entenstruktur, für jede unter Substitution abgeschlossenen Menge vonatomaren Aussagen das sogenannte kanonische Modell.

Definition 5.7. Eine Herbrandstruktur zu einer Signatur τ (die min-destens ein Konstantensymbol enthält) ist eine τ-Struktur H, derenUniversum die Menge aller Grundterme der Signatur τ ist und derenFunktionssymbole durch ihre natürliche Operation auf den Termeninterpretiert werden: Für n-stelliges f ∈ τ ist fH(t1, . . . , tn) := f t1 · · · tn.Die Interpretation der Relationssymbole aus τ ist beliebig.

Eine Herbrandstruktur H ist eine Struktur, deren algebraischesRedukt gerade die Termalgebra über der leeren Variablenmenge ist.Man beachte, dass in H jeder Grundterm durch sich selbst interpretiertist: tH = t.

Sei Σ eine Menge von atomaren τ-Sätzen. Mit H(Σ) bezeichnen wirdie Herbrandstruktur mit folgender Interpretation der Relationssymbo-le: Für n-stelliges R ∈ τ ist

RH(Σ) = (t1, . . . , tn) : Rt1 · · · tn ∈ Σ .

Im Allgemeinen ist H(Σ) kein Modell von Σ: Seien t und t′ zwei(syntaktisch) verschiedene Terme, so dass aber Σ die Formel t = t′

enthält. Dann ist H(Σ) Modell von t = t′ und daher kein Modell von Σ.Es ist daher notwendig, Gleichheiten herauszufaktorisieren.

Definition 5.8. Sei A eine τ-Struktur. Eine Kongruenzrelation auf A isteine Äquivalenzrelation ∼ auf A, welche in folgendem Sinn mit denRelationen und Funktionen von A kompatibel ist:

116


(1) Ist f ∈ τ ein n-stelliges Funktionssymbol und a1, . . . , an, b1 . . . , bn ∈A mit a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn, so gilt:

fA(a1, . . . , an) ∼ fA(b1, . . . , bn) .

(2) Ist R ∈ τ ein n-stelliges Relationssymbol und a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈A mit a1 ∼ b1, . . . , an ∼ bn, so gilt:

(a1, . . . , an) ∈ RA gdw. (b1, . . . , bn) ∈ RA .

Ist ∼ eine Kongruenzrelation auf A, so bezeichnen wir mit [a] :=b ∈ A : a ∼ b die Kongruenzklasse von a unter ∼.

Definition 5.9. Sei A eine τ-Struktur und ∼ eine Kongruenzrelati-on auf A. Die Faktorstruktur A/∼ ist die τ-Struktur mit Universum[a] : a ∈ A (der Menge der Kongruenzklassen von ∼) und der folgen-den Interpretation der Relations- und Funktionssymbole.

(1) Ist f ∈ τ ein n-stelliges Funktionssymbol und a1, . . . , an ∈ A, sogilt:

fA/∼([a1], . . . , [an]) = [ fA(a1, . . . , an)] .

(2) Ist R ∈ τ ein n-stelliges Relationssymbol und a1, . . . , an ∈ A, sogilt:

([a1], . . . , [an]) ∈ RA/∼ gdw. (a1, . . . , an) ∈ RA .

Man beachte, dass fA/∼ und RA/∼ wohldefiniert sind, da ∼ eineKongruenzrelation ist.

Beispiel 5.10. Sei A = (N,+), n ∈ N und ∼ die Relation mit a ∼ b genaudann, wenn n ein Teiler von a− b ist. Dann ist ∼ eine Kongruenzrelationauf A. Die Faktorstruktur A/∼ ist isomorph zu (0, . . . , n − 1,+n),wobei +n die Addition modulo n bezeichnet.

Definition 5.11. Eine Menge Σ von atomaren Sätzen in FO(τ) ist abge-schlossen unter Substitution, wenn für jede atomare Formel ψ(x) und alleGrundterme t, t′ ∈ T(τ) gilt:

117


(i) Σ enthält die Gleichung t = t.(ii) Wenn t = t′ und ψ(t) zu Σ gehören, dann auch ψ(t′).

Beispiel 5.12. Sei A eine τ-Struktur und Σ die Menge aller atomarenSätze ϕ, so dass A |= ϕ. Dann ist Σ abgeschlossen unter Substitution.

Für beliebige Grundterme t, t′ ∈ T(τ) setzen wir nun:

t ∼ t′ gdw. Σ enthält die Formel t = t′.

Lemma 5.13. Sei Σ abgeschlossen unter Substitution. Dann ist ∼ eineKongruenzrelation auf H(Σ).

Beweis. Wir zeigen zuerst, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist. NachBedingung (i) von Definition 5.11 ist ∼ reflexiv. Sei nun t ∼ t′ unddamit t = t′ ∈ Σ. Wenn ψ(x) die Formel x = t ist, dann ist ψ(t) dieGleichung t = t und somit in Σ. Nach Bedingung (ii) von Definition 5.11enthält Σ dann auch ψ(t′); dies ist aber gerade die Gleichung t′ = t.Also folgt t′ ∼ t. Schließlich nehmen wir an, dass t ∼ t′ und t′ ∼ t′′. Seiψ(x) die Formel t = x. Also enthält Σ ψ(t′) und daher auch ψ(t′′); diesist aber die Gleichung t = t′′. Also t ∼ t′′.

Es bleibt zu zeigen, dass ∼ mit den Funktionen und Relatio-nen von H(Σ) kompatibel ist. Sei f ein n-stelliges Funktionssymbolund seien s1 ∼ t1, . . . , sn ∼ tn. Wir müssen zeigen, dass f s1 · · · sn ∼f t1 · · · tn. Zu diesem Zweck sei ψi(x) die Gleichung f s1 · · · sn =

f t1 · · · ti−1xsi+1 · · · sn für i = 1, . . . , n. Per Induktion zeigen wir, dassψi(ti) ∈ Σ.

Die Formel ψ1(s1) ist einfach f s1 · · · sn = f s1 · · · sn und daher inΣ. Also ist auch ψ1(t1) ∈ Σ. Beachte nun, dass ψi+1(si+1) und ψi(ti)

dieselbe Formel bezeichnen, nämlich f s1 · · · sn = f t1 · · · tisi+1si+2 · · · sn.Nach Induktionsvoraussetzung gehört also ψi+1(si+1) zu Σ, und daherauch ψi+1(ti+1). Damit folgt, dass ψn(tn) ∈ Σ. Dies ist aber gerade dieGleichung f s1 · · · sn = f t1 · · · tn.

Schließlich müssen wir zeigen, dass für jedes n-stellige Relations-symbol R und s1 ∼ t1, . . . , sn ∼ tn folgt:

H(Σ) |= Rs1 · · · sn gdw. H(Σ) |= Rt1 · · · tn.

118


Die Argumentation ist wie bei den Funktionssymbolen, unter Verwen-dung der Formeln ψi(x) := Rt1 · · · ti−1xsi+1 · · · sn. q.e.d.

Wir können also die Faktorstruktur A(Σ) := H(Σ)/∼ bilden. Offen-sichtlich wird in A(Σ) jeder Grundterm t durch seine Kongruenzklasseinterpretiert: tA(Σ) = [t]. Unmittelbar aus der Definition folgt:

Lemma 5.14. Für jeden atomaren Satz ψ aus FO(τ) gilt: A(Σ) |=ψ gdw. ψ ∈ Σ.

A(Σ) heißt das kanonische Modell von Σ. Leider lässt sich Lem-ma 5.14 nicht direkt auf Mengen von nicht-atomaren Sätzen übertragen.Betrachte etwa die Menge Σ := t = t : t ein Grundterm ∪ ∃xRx.Diese Menge ist trivialerweise abgeschlossen unter Substitution, ent-hält aber keine Aussage der Form Rt. Daher ist RA(Σ) = ∅ und somitA(Σ) |= ∃xRx. Analoges gilt für die Menge t = t : t ein Grundterm∪Rx ∨ Ry. Man sieht aus diesen Beispielen, dass Σ neben der Abge-schlossenheit unter Substitution noch weitere Abschlusseigenschaftenbesitzen muss, damit A(Σ) |= Σ gilt.

Hintikka-Mengen und der Modell-Existenz-Satz

Sei Γ ⇒ ∆ eine nicht aus Φ ableitbare Sequenz. Wir werden eineunendliche Folge von nicht aus Φ ableitbaren Sequenzen Γn ⇒ ∆n

konstruieren und damit eine Satzmenge gewinnen, welche Φ ∪ Γ ∪ ¬∆umfasst und welche hinreichende Abschlusseigenschaften besitzt, umzu garantieren, dass die dadurch definierte kanonische Struktur einModell von Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ ist.

Um den Beweis zu vereinfachen, beschränken wir uns auf reduzier-te Sätze (d.h. solche, die aus den Atomen mittels ∨,¬ und ∃ aufgebautsind). Obwohl wir im Sequenzenkalkül auch Schlussregeln für ∧,→und ∀ angegeben haben, bedeutet die Reduktion auf reduzierte Sätzekeine Einschränkung der Allgemeinheit: Sei etwa Γ0 ⇒ ∆0 eine nicht-ableitbare Sequenz bestehend aus beliebigen Sätzen, und sei Γ1 ⇒ ∆1

die Sequenz, die wir erhalten, indem wir jeden Satz durch eine äquiva-lente reduzierte Variante ersetzen.

119


Zunächst überlegt man, dass auch Γ1 ⇒ ∆1 nicht ableitbar ist.Wir zeigen exemplarisch, dass die Ableitung einer Sequenz der FormΓ, (ψ ∧ ϕ) ⇒ ∆ aus Γ, ψ ⇒ ∆ und Γ, ϕ ⇒ ∆ mittels der Regel (∧ ⇒)

simuliert werden kann durch eine Ableitung der äquivalenten SequenzΓ,¬(¬ψ ∨ ¬ϕ) ⇒ ∆ mit den Regeln (⇒ ¬), (¬ ⇒) und (⇒ ∨):

Γ, ψ ⇒ ∆Γ ⇒ ∆,¬ψ

Γ, ϕ ⇒ ∆Γ ⇒ ∆,¬ϕ

Γ ⇒ ∆, (¬ψ ∨ ¬ϕ)

Γ¬(¬ψ ∨ ¬ϕ) ⇒ ∆

Die Argumentation für Sequenzen mit Sätzen der Form ψ → ϕ und∀xψ(x) ist analog.

Umgekehrt ist ein Modell von Γ ∪ ¬∆ natürlich auch ein Modellvon Γ′ ∪ ¬∆′ und erbringt damit den Nachweis, dass Γ′ ⇒ ∆′ nichtkorrekt ist.

Sei nun Φ ⊆ FO(σ), und sei τ = σ ∪ C für eine abzählbar unend-liche Menge C von neuen Konstantensymbolen. Wir fixieren zunächsteine Aufzählung (ϕ0, t0), (ϕ1, t1), . . ., in der jedes Paar (ϕ, t), bestehendaus einem Satz ϕ ∈ FO(τ) und einem Grundterm t ∈ T(τ), unendlichoft vorkommt, sowie eine Aufzählung ψ0(x0), ψ1(x1), . . . aller atomarenFO(τ)-Formeln mit genau einer freien Variablen.

Wir definieren induktiv aufsteigende Folgen Γ0 ⊆ Γ1 ⊆ · · · und∆0 ⊆ ∆1 ⊆ · · · wie folgt: Sei Γ0 := Γ und ∆0 := ∆. Wir nehmen nunan, Γn und ∆n seien bereits konstruiert und Γn ⇒ ∆n sei nicht aus Φableitbar.

(a) Sei ϕn eine Formel aus Φ oder eine Gleichung t = t. Dann setzeΓn+1 := Γn, ϕn und ∆n+1 := ∆n.

Die Sequenz Γn+1 ⇒ ∆n+1 ist nicht aus Φ ableitbar, denn sonstwäre auch Γn ⇒ ∆n aus Φ ableitbar.

(b) Sei ϕn von der Gestalt t = t′. Wenn ϕn ∈ Γn und ein m ∈ N

existiert, so dass ψm(t′) ∈ Γn, aber ψm(t) ∈ Γn, dann wähle daskleinste solche m und setze Γn+1 := Γn, ψm(t) und ∆n+1 := ∆n.

Die Sequenz Γn+1 ⇒ ∆n+1 ist nicht aus Φ ableitbar, denn sonstwäre mit der Regel (S ⇒) auch Γn, t = t′, ψm(t′) ⇒ ∆n ableitbar.

120


Da t = t′ und ψm(t′) bereits in Γn enthalten sind, wäre also Γn ⇒∆n ableitbar, im Widerspruch zur Induktionsannahme.

(c) Sei ϕn := ¬ψ. Wenn ϕn ∈ Γn, dann setze Γn+1 := Γn und ∆n+1 :=∆n, ψ. Wenn ϕn ∈ ∆n, dann setze Γn+1 := Γn, ψ und ∆n+1 := ∆n.Mit den Regeln (¬ ⇒) und (⇒ ¬) folgt, dass Γn+1 ⇒ ∆n+1 nichtaus Φ ableitbar ist.

(d) Sei ϕn = ψ ∨ ϑ. Wenn ϕn ∈ Γn, dann setzen wir ∆n+1 := ∆n undkönnen aufgrund der Regel (∨ ⇒) entweder Γn+1 := Γn, ψ oderΓn+1 := Γn, ϑ so wählen, dass Γn+1 ⇒ ∆n+1 nicht ableitbar ist.Wenn ϕn ∈ ∆n, dann setzen wir Γn+1 := Γn und ∆n+1 = ∆n, ψ, ϑ

und verwenden die Regel (⇒ ∨).(e) Sei ϕn von der Gestalt ∃xψ(x). Wenn ϕn ∈ Γn, dann wähle ein c ∈

C, welches in Γn und ∆n nicht vorkommt. Setze Γn+1 := Γn, ψ(c)und ∆n+1 := ∆n. Die Sequenz Γn+1 ⇒ ∆n+1 ist nicht ableitbar;andernfalls wäre (da c in Φ, Γn und ∆n nicht vorkommt) mit derRegel (∃ ⇒) auch Γn, ∃xψ(x) ⇒ ∆n und damit Γn ⇒ ∆n aus Φableitbar.Wenn ϕn ∈ ∆n, dann setze Γn+1 := Γn und ∆n+1 = ∆n, ψ(tn). MitRegel (⇒ ∃) folgt, dass Γn+1 ⇒ ∆n+1 nicht ableitbar ist.

In allen anderen Fällen sei Γn+1 := Γn und ∆n+1 := ∆n. Man beachte,dass aufgrund von Schritt (a) der Konstruktion Φ ⊆ ⋃

n∈N Γn gilt.

Lemma 5.15. Die Mengen Γ∗ :=⋃

n∈N Γn und ∆∗ :=⋃

n∈N ∆n besitzenfolgende Eigenschaften:

(1) Γ∗ und ∆∗ sind disjunkt.(2) Die atomaren Sätze in Γ∗ sind abgeschlossen unter Substitution

(gemäß Definition 5.11).(3) Wenn ¬ψ ∈ Γ∗, dann ist ψ ∈ ∆∗. Wenn ¬ψ ∈ ∆∗, dann ist ψ ∈ Γ∗.(4) Wenn ψ ∨ ϑ ∈ Γ∗, dann gehört ψ oder ϑ zu Γ∗. Wenn ψ ∨ ϑ ∈ ∆∗,

dann gehören ψ und ϑ zu ∆∗.(5) Wenn ∃xψ(x) ∈ Γ∗, dann gibt es einen Grundterm t, so dass ψ(t) ∈

Γ∗. Wenn ∃xψ(x) ∈ ∆∗, dann ist ψ(t) ∈ ∆∗ für alle Grundterme t.

Beweis. Die Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Konstrukti-on der Sequenzen Γn ⇒ ∆n:

121


(1) Wenn ψ ∈ Γ∗ ∩ ∆∗, dann gibt es ein n ∈ N, so dass ψ ∈ Γn ∩ ∆n.Aber dann wäre Γn ⇒ ∆n ein Axiom und somit ableitbar.

(2) Die Schritte (a), (b) in der Konstruktion garantieren, dass Γ∗ alleGleichungen t = t enthält sowie mit t = t′ und ψ(t) auch ψ(t′) füralle atomaren Formeln ψ(x).

(3) Wenn ¬ψ ∈ Γ∗, dann gibt es (da jeder Satz in der Aufzählungϕ0, ϕ1, . . . unendlich oft vorkommt) ein hinreichend großes n, sodass ϕn = ¬ψ ∈ Γn. Nach Schritt (c) der Konstruktion folgt, dassψ ∈ ∆∗. Der Fall, dass ¬ψ ∈ ∆∗, wird analog behandelt.

(4) Wenn ψ ∨ ϑ ∈ Γ∗, dann gibt es ein n, so dass ϕn = ψ ∨ ϑ ∈ Γn.Nach Schritt (d) ist entweder ψ oder ϑ in Γn+1. Das Argument fürψ ∨ ϑ ∈ ∆∗ ist analog.

(5) Wenn ∃xψ(x) in Γ∗, dann gibt es nach Schritt (e) ein c, so dassψ(c) ∈ Γ∗. Wenn ∃xψ(x) ∈ ∆∗ und t ein beliebiger Grundterm ist,dann gibt es hinreichend große n, so dass ϕn die Formel ∃xψ(x)und tn der Term t ist. Nach Konstruktion ist ψ(tn) ∈ ∆n+1. q.e.d.

Definition 5.16. Sei Γ∗, ∆∗ ein Paar von Satzmengen welches die Eigen-schaften (1) – (5) erfüllt. Dann heißt Γ∗ ∪ ¬∆∗ eine Hintikka-Menge.

Satz 5.17 (Modell-Existenz-Satz). Jede Hintikka-Menge besitzt ein Mo-dell.

Beweis. Sei T = Γ∗ ∪ ¬∆∗ eine Hintikka-Menge und Σ die Menge allerAtome in Γ∗. Nach Bedingung (2) ist Σ abgeschlossen unter Substitution.Wir behaupten, dass A(Σ), die kanonische Struktur zu Σ, ein Modellvon T ist. Dazu beweisen wir per Induktion über den Formelaufbau,dass für jeden Satz ϕ gilt:

• Ist ϕ ∈ Γ∗, so gilt A(Σ) |= ϕ;

• Ist ϕ ∈ ∆∗, so gilt A(Σ) |= ¬ϕ.

(i) Für atomare Sätze ist dies bereits bewiesen (Lemma 5.14).

(ii) Sei ϕ = ¬ψ. Wenn ϕ ∈ Γ∗, dann ist ψ ∈ ∆∗. Per Induktionsvor-aussetzung folgt A(Σ) |= ¬ψ. Wenn ϕ ∈ ∆∗, dann ist ψ ∈ Γ∗, alsoA(Σ) |= ψ und daher A(Σ) |= ¬ϕ.

122


(iii) Sei ϕ := ψ ∨ ϑ. Wenn ϕ ∈ Γ∗, dann ist entweder ψ oder ϑ in Γ∗ unddamit nach Induktionsvoraussetzung wahr in A(Σ). Wenn ϕ ∈ ∆∗,dann sind ψ und ϑ in ∆∗, also A(Σ) |= ¬ϕ.

(iv) Sei ϕ = ∃xψ(x). Wenn ϕ ∈ Γ∗, dann gibt es ein t, so dass ψ(t) ∈ Γ∗.Also gilt per Induktionsvoraussetzung A(Σ) |= ψ(t) und daherA(Σ) |= ∃xψ. Wenn ∃xϕ ∈ ∆∗, dann ist ψ(t) ∈ ∆∗ und daherper Induktionsvoraussetzung A(Σ) |= ¬ψ(t) für alle t. Da jedesElement von A(Σ) einen Grundterm interpretiert, folgt A(Σ) |=¬∃xψ(x). q.e.d.

Wir sind ausgegangen von einer Satzmenge Φ und einer nichtaus Φ ableitbaren Sequenz Γ ⇒ ∆. Wir haben daraus eine unendli-che Folge von Sequenzen Γn ⇒ ∆n konstruiert und so eine Hintikka-Menge T :=

⋃n∈N Γn ∪⋃

n∈N ¬∆n erhalten, welche Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ enthält.Wir haben schließlich gezeigt, dass das kanonische Modell der Atomeeiner Hintikka-Menge ein Modell der gesamten Hintikka-Menge ist.Insbesondere folgt also, dass Φ ∪ Γ ∪ ¬∆ erfüllbar ist. Damit ist derVollständigkeitssatz bewiesen.

Überabzählbare Signaturen. Wir haben hier den Vollständigkeitssatz nurfür abzählbare Signaturen bewiesen. Er gilt aber auch für beliebige Si-gnaturen (siehe etwa: H.-D Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas, Einführungin die Mathematische Logik, 5. Auflage, Spektrum Akademischer Verlag,2007, Kapitel 5).

Die Menge aller Terme über einer abzählbaren Signatur ist selbstabzählbar. Das im Beweis des Vollständigkeitssatzes konstruierte Modelleiner konsistenten Satzmenge ist also abzählbar. Damit erhalten wirunmittelbar eine interessante, rein semantische Folgerung.

Satz 5.18 (Löwenheim, Skolem). Jede erfüllbare, abzählbare Satzmengehat ein abzählbares Modell.

Der Vollständigkeitssatz hat auch eine interessante algorithmischeKonsequenz. Wie jeder Beweiskalkül erlaubt auch der Sequenzenkalküldie systematische Generierung aller ableitbaren Objekte. Aus dem Voll-ständigkeitssatz folgt demnach, dass es einen Algorithmus gibt, der alle

123


allgemeingültigen FO(τ)-Sätze aufzählt. Dies bedeutet allerdings nicht,dass man einen Algorithmus zur Verfügung hätte, mit dem man zujedem vorgelegten FO(τ)-Satz entscheiden könnte, ob dieser allgemein-gültig ist: Sei etwa ψ der gegebene Satz. Man kann nun systematischalle allgemeingültigen Sätze ϕ0, ϕ1, . . . aufzählen. Wenn ψ tatsächlichallgemeingültig ist, wird man irgendwann ein ϕj := ψ erhalten undhat damit die richtige Antwort. Wenn aber ψ nicht allgemeingültig ist,dann kann man dies durch ein solches Aufzählungsverfahren nichtfeststellen.

Schnitt-Elimination. Sequenzenkalküle gibt es in vielen verschiede-nen Varianten. Interessant ist insbesondere die Erweiterung um diesogenannte Schnittregel:

Γ, ϕ ⇒ ∆ Γ ⇒ ∆, ϕ

Γ ⇒ ∆

Diese Regel ist eine Variante des Modus Ponens, welcher in andern Be-weiskalkülen verwendet wird und die Ableitung von ϕ erlaubt, wennvorher ψ und ψ → ϕ bewiesen wurden. Die Schnittregel erlaubt es,aus längeren Sequenzen kürzere abzuleiten. Beweise mit Schnittregelkönnen sehr viel kürzer sein als solche ohne Schnitte, aber eine syste-matische Beweissuche und -analyse ist kaum mehr möglich. Gentzenformulierte seinen Sequenzenkalkül ursprünglich mit Schnittregel undbewies dann seinen berühmten Schnitt-Eliminationssatz, welcher besagt,dass beliebige Beweise durch solche ohne Schnitte simuliert werden kön-nen. Da wir hier direkt die Vollständigkeit des Sequenzenkalküls ohneSchnittregel bewiesen haben, kann man sich diesen (sehr aufwendigen)Beweis sparen.


Der Vollständigkeitssatz schafft eine Brücke zwischen Syntax und Se-mantik der Prädikatenlogik und erlaubt es, Eigenschaften der Ablei-tungsbeziehung und der Konsistenz (also syntaktischer Begriffe) auf dieFolgerungsbeziehung und die Erfüllbarkeit (also semantische Begriffe)

124


zu übertragen. Die wichtigste Folgerung aus dem Vollständigkeitssatzist der Kompaktheits- oder Endlichkeitssatz.

Satz 5.19 (Kompaktheitssatz der Prädikatenlogik). Für jede MengeΦ ⊆ FO(τ) und jedes ψ ∈ FO(τ)

(i) Φ |= ψ genau dann, wenn eine endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ existiert,so dass Φ0 |= ψ.

(ii) Φ ist genau dann erfüllbar, wenn jede endliche Teilmenge von Φerfüllbar ist.

Beweis. Aus der Definition der Ableitungsbeziehung folgen die entspre-chenden syntaktischen Aussagen unmittelbar:

(i) Φ ⊢ ψ genau dann, wenn Φ0 ⊢ ψ für eine endliche TeilmengeΦ0 ⊆ Φ.

(ii) Φ ist genau dann konsistent, wenn jede endliche Teilmenge von Φkonsistent ist.

Da nach dem Vollständigkeitssatz eine Formelmenge genau dann erfüll-bar ist, wenn sie konsistent ist, und die Folgerungsbeziehung |= mit derAbleitungsbeziehung ⊢ zusammenfällt, ergeben sich die semantischenAussagen des Kompaktheitssatzes. q.e.d.

In Kapitel 3.1 haben wir gesehen, dass die Klasse aller Körpermit Charakteristik p durch den Satz ψKörper ∧ χp endlich axiomatisiertwird, wobei ψKörper die Konjunktion der Körperaxiome und χp der Satz1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

p-mal

= 0 ist.

Für Körper der Charakteristik 0 haben wir das unendliche Axio-mensystem

Φ0 = ψKörper ∪ ¬χp : p Primzahl

angegeben. Aus dem Kompaktheitssatz können wir nun folgern, dassjedes Axiomensystem für diese Klasse unendlich sein muss.

Satz 5.20. Die Klasse der Körper der Charakteristik 0 ist nicht endlichaxiomatisierbar.

125


Beweis. Sei ψ ∈ FO(τar) ein beliebiger Satz, welcher in allen Körpernder Charakteristik 0 gilt; also Φ0 |= ψ. Aus dem Kompaktheitssatz folgt,dass es eine Primzahl q gibt, so dass bereits

ψKörper ∪ ¬χp : p < q, p Primzahl |= ψ.

Also gilt ψ auch in allen Körpern mit hinreichend großer Charakteristikund axiomatisiert somit nicht die Körper der Charakteristik 0. q.e.d.

Satz 5.21. Sei Φ ⊆ FO(τ) eine Satzmenge mit beliebig großen endlichenModellen (d.h. für jedes n ∈ N gibt es ein Modell A |= Φ mit endlichemA und |A| > n). Dann hat Φ auch ein unendliches Modell.

Beweis. Sei Θ := Φ ∪ ϕ≥n : n ∈ N, wobei

ϕ≥n := ∃x1 · · · ∃xn∧

1≤i<j≤nxi = xj .

Die Modelle von Θ sind gerade die unendlichen Modelle von Φ.Es genügt zu zeigen, dass jede endliche Teilmenge Θ0 ⊆ Θ erfüllbar

ist, denn mit dem Kompaktheitssatz folgt dann, dass auch Θ erfüllbarist. Für jedes endliche Θ0 ⊆ Θ gibt es aber ein n0 ∈ N, so dass Θ0 ⊆Φ ∪ ϕ≥n : n < n0. Da nach Voraussetzung Φ beliebig große endlicheModelle hat, ist Θ0 erfüllbar. q.e.d.

Folgerung 5.22. Die Klasse aller endlichen τ-Strukturen ist nicht FO-axiomatisierbar.

Ebenso folgt, dass die Klasse aller endlichen Gruppen, die Klassealler endlichen Körper, die Klassen aller endlichen Graphen etc. nichtFO-axiomatisierbar sind.

Weitere Überlegungen, wieder mit Hilfe des Kompaktheitssatzes,zeigen uns, dass jedes Axiomensystem, welches ein unendliches Modellhat, sogar beliebig große unendliche Modelle zulässt.

Definition 5.23. Seien A, B zwei Mengen. Wir sagen, dass A mindestensso mächtig wie B ist (kurz: |A| ≥ |B|), wenn eine injektive Funktionf : B → A existiert. Weiter sagen wir, dass A und B gleich mächtig sind(kurz: |A| = |B|), wenn eine bijektive Funktion f : A → B existiert.

126


Für eine Menge A bezeichnen wir mit Pot(A) := B : B ⊆ A diePotenzmenge von A.

Satz 5.24. Keine Menge ist gleich mächtig zu ihrer Potenzmenge.

Beweis. Wir zeigen, dass keine Funktion f : A → Pot(A) surjektiv seinkann. Zu diesem Zweck betrachten wir für ein beliebiges solches f dieMenge B f := a ∈ A : a ∈ f (a).

Wir behaupten, dass B f nicht im Bild von f ist. Sonst wäre f (b) =B f für ein b ∈ A. Dies kann aber nicht sein, da dann

b ∈ f (b) gdw. b ∈ B f gdw. b ∈ f (b) .

Die erste Äquivalenz folgt da f (b) = B f , die zweite aus der Definitionvon B f . q.e.d.

Satz 5.25 (Aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem). Φ besitze einunendliches Modell. Dann gibt es zu jeder Menge M ein Modell D |= Φüber einem Universum D, welches mindestens so mächtig wie M ist.

Beweis. Sei Φ ⊆ FO(τ) und sei cm : m ∈ M eine Menge von paar-weise verschiedenen Konstantensymbolen, welche nicht zu τ gehören.Setze

Θ := Φ ∪ cm = cn : m, n ∈ M, m = n.

Wir zeigen, dass Θ erfüllbar ist. Wegen des Kompaktheitssatzesgenügt es zu zeigen, dass für jede endliche Teilmengen M0 ⊆ M dieFormelmenge

Θ0 := Φ ∪ cm = cn : m, n ∈ M0, m = n

erfüllbar ist.Nach Voraussetzung gibt es ein unendliches Modell B |= Φ. Da

M0 endlich ist, können wir in B paarweise verschiedene Elemente bm

für alle m ∈ M0 auswählen. Sei A die Expansion von B durch dieKonstanten cAm := bm für m ∈ M0. Offensichtlich gilt A |= Θ0.

127


Damit ist gezeigt, dass Θ erfüllbar ist. Sei D ein Modell von Θ mitUniversum D. Die Abbildung f : M → D mit f (m) = cDm ist injektiv, dafür m = n aus M gilt: D |= cm = cn. Da D |= Θ, gilt insbesondere auchD |= Φ. q.e.d.

Wir erinnern daran, dass die Theorie Th(A) einer τ-Struktur A ausallen Sätzen ψ ∈ FO(τ) mit A |= ψ besteht, und dass zwei StrukturenA,B elementar äquivalent sind (kurz: A ≡ B), wenn sie die gleicheTheorie haben.

Lemma 5.26. B : A ≡ B ist die kleinste axiomatisierbare Modellklas-se, die A enthält.

Beweis. Offensichtlich ist B : A ≡ B = Mod(Th(A)) und somitaxiomatisierbar. Wenn A |= Φ und B ≡ A, dann gilt offensichtlich auchB |= Φ. Also gilt für alle Φ ⊆ FO(τ): Wenn A ∈ Mod(Φ), dann istB : A ≡ B ⊆ Mod(Φ). q.e.d.

Nach dem Isomorphielemma sind isomorphe Strukturen auchelementar äquivalent. Die Umkehrung gilt für unendliche Strukturenim Allgemeinen nicht.

Satz 5.27. Sei A eine unendliche Struktur. Dann gibt es eine StrukturB mit A ≡ B, aber A ∼= B. Insbesondere ist die IsomorphieklasseB : A ∼= B von A nicht axiomatisierbar in der Prädikatenlogik.

Beweis. Th(A) besitzt ein unendliches Modell, und deshalb nach demaufsteigenden Satz von Löwenheim-Skolem auch ein Modell B, dasmindestens die Mächtigkeit der Potenzmenge Pot(A) von A hat. NachSatz 5.24 ist B nicht gleich mächtig zu A und deshalb insbesondereauch nicht isomorph zu A. Da B |= Th(A) (und Th(A) vollständig ist),ist aber B elementar äquivalent zu A. Also liegt in jeder axiomatisier-baren Modellklasse, welche A enthält, auch eine zu A nicht-isomorpheStruktur. q.e.d.

128


Nichtstandardmodelle der Arithmetik. Die Arithmetik ist dieTheorie Th(N) der Struktur N = (N,+, ·, 0, 1). Ein Nichtstandardmodellder Arithmetik ist eine τar-Struktur, die zu N zwar elementar äquivalentaber nicht isomorph ist.

Aus dem aufsteigenden Satz von Löwenheim-Skolem folgt: Esgibt ein (überabzählbares) Nichtstandardmodell der Arithmetik. Einschärferes Resultat liefert der folgende Satz von Skolem.

Satz 5.28 (Skolem). Es gibt ein abzählbares Nichtstandardmodell derArithmetik.

Beweis. Sei Φ := Th(N) ∪ c = n : n ∈ N, wobei c ein neues Konstan-tensymbol ist, 0 := 0 und n := 1 + · · ·+ 1︸︷︷︸

n-mal

für n ≥ 1.

Jede endliche Teilmenge Φ0 ⊆ Φ besitzt ein Modell A = (N, cA)mit hinreichend großem cA ∈ N. Also ist nach dem KompaktheitssatzΦ erfüllbar und hat daher nach dem Satz von Löwenheim-Skolem sogarein abzählbares Modell B. Sei C = B τar (das durch Weglassen voncB definierte Redukt von B). Da B |= Th(N), ist N ≡ C.

Es bleibt zu zeigen, dass kein Isomorphismus π : N → C

existiert. Für jeden solchen Isomorphismus π müsste gelten, dassπ(n) = π(nN) = nB für alle n ∈ N gilt. Da π surjektiv ist, gibtes ein k ∈ N, so dass cB = π(k) = kB. Damit erhalten wir einen Wi-derspruch: Einerseits gilt B |= c = k, aber andererseits, da die Formelc = k in Φ enthalten ist, auch B |= c = k. q.e.d.

Übung 5.2. Sei A ein abzählbares Nichtstandardmodell der Arithmetik,sei ϕ(x, y) die Formel x = y ∧ ∃z(x + z = y) und sei (A,<A) :=(A, ϕA).

(a) Zeigen Sie, dass (A,<A) ein Modell von Th(N,<) ist (also einabzählbares Nichtstandardmodell der geordneten Arithmetik).

(b) Zeigen sie, dass (A,<A) keine Wohlordnung ist (also eine unendli-che absteigende Kette enthält).

(c) Beschreiben Sie die Ordnungsstruktur von (A,<A): Betrachten Siedie Ordnung (B,<B) mit B = N × 0 ∪ Z × Q>0 und (a, b) <B

(a′, b′), wenn b < b′ oder wenn b = b′ und a < a′; also informell:

129


(B,<B) ist zusammengesetzt aus (N,<) und dahinter abzählbarvielen, dicht hintereinanderliegenden Kopien von (Z,<). ZeigenSie, dass es eine Einbettung von (B,<B) in (A,<A) gibt.

Übung 5.3. Zeigen Sie, dass es überabzählbar viele paarweise nicht-isomorophe abzählbare Modelle der Arithmetik gibt.

Hinweis: Sei ϕ(x, y) := ∃z(x · z = y). Die Primteiler eines Elementsa eines Nichtstandardmodells A der Arithmetik seien die Primzahlenp ∈ N, so dass A |= ϕ[p, a]. Zeigen Sie, dass es zu jeder Menge Q vonPrimzahlen ein abzählbares Nichtstandardmodell A der Arithmetik gibt,welches ein Element a enthält, dessen Primteiler genau die Elementevon Q sind.

Warum der Kompaktheitssatz so heißt. Sei τ eine beliebige Signa-tur und S die Menge aller vollständigen τ-Theorien. Wir definieren eineTopologie auf S, deren Basis aus den Mengen Oψ := T ∈ S : ψ ∈ Tfür alle Sätze ψ ∈ FO(τ) besteht. Man beachte, dass Oψ ∩Oϕ = Oψ∧ϕ.Ferner ist S \ Oψ = T ∈ S : ψ ∈ T = T ∈ S : ¬ψ ∈ T = O¬ψ.

Die Basis der Topologie besteht also aus offen-abgeschlossenenMengen. Zudem ist S hausdorffsch, d.h. je zwei verschiedene Punktelassen sich durch disjunkte Umgebungen trennen. Zu zwei beliebigenvollständigen Theorien T = T′ gibt es nämlich einen Satz ψ mit ψ ∈T,¬ψ ∈ T′ und daher T ∈ Oψ, T′ ∈ O¬ψ und natürlich Oψ ∩O¬ψ = ∅.

Die offenen Mengen von S sind die Mengen der Form⋃

ϕ∈Φ Oϕ,die abgeschlossenen diejenigen der Form

⋂ϕ∈Φ Oϕ (für beliebige Satz-

mengen Φ ⊆ FO(τ)).

Der Kompaktheitssatz besagt nun, dass der topologische RaumS kompakt ist, d.h. dass jede offene Überdeckung von S eine endlicheTeilüberdeckung besitzt. Dies zeigt man wie folgt.

Jede offene Überdeckung von S kann zu einer Überdeckung derForm

⋃ϕ∈Φ Oϕ verfeinert werden (für eine geeignete Satzmenge Φ ⊆

FO(τ)). Also ist ∅ = S \⋃ϕ∈Φ Oϕ =

⋂ϕ∈Φ O¬ϕ.

Daher lässt sich die Satzmenge ¬ϕ : ϕ ∈ Φ nicht zu einervollständigen Theorie erweitern und ist somit unerfüllbar. Nach dem

130


Kompaktheitssatz ist bereits ¬ϕ : ϕ ∈ Φ0 für ein endliches Φ0 ∈ Φunerfüllbar. Folglich ist S = S \⋂

ϕ∈Φ0O¬ϕ =

⋃ϕ∈Φ0

Oϕ.


Das klassische Entscheidungsproblem der mathematischen Logik kannauf verschiedene, äquivalente Weisen formuliert werden:

Erfüllbarkeit: Man konstruiere einen Algorithmus, welcher zu jeder vor-gelegten Formel der Prädikatenlogik entscheidet, ob sie erfüllbarist oder nicht.

Gültigkeit: Man finde einen Algorithmus, welcher zu jeder Formel ψ

der Prädikatenlogik entscheidet, ob sie allgemeingültig ist, d.h. objede zu ψ passende Interpretation ein Modell von ψ ist.

Beweisbarkeit: Man konstruiere einen Algorithmus, welcher zu jeder For-mel ψ ∈ FO entscheidet, ob ψ (aus der leeren Hypothesenmenge)ableitbar ist. (Hier wird ein fester, vollständiger Beweiskalkül fürdie Prädikatenlogik zugrunde gelegt, z.B. der Sequenzenkalkül).

Die Äquivalenz dieser Probleme ist unmittelbar einsichtig: EineFormel ψ ist genau dann erfüllbar, wenn ¬ψ nicht allgemeingültigist, und nach dem Vollständigkeitssatz ist eine Formel genau dannallgemeingültig, wenn sie ableitbar ist.

Das klassische Entscheidungsproblem wurde zu Beginn diesesJahrhundert von Hilbert formuliert und war Teil seines formalistischenProgramms zur Lösung der Grundlagenprobleme der Mathematik.Hilbert und Ackermann schrieben:

Das Entscheidungsproblem ist gelöst, wenn man ein Verfah-ren kennt, das bei einem vorgelegten logischen Ausdruckdurch endlich viele Operationen die Entscheidung über dieAllgemeingültigkeit bzw. Erfüllbarkeit erlaubt. (. . . ) Das Ent-scheidungsproblem muss als das Hauptproblem der mathe-matischen Logik bezeichnet werden.

D. Hilbert, W. Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik,1. Auflage, Berlin 1928, S. 73ff.

131


In der Tat hätte eine positive Lösung des Entscheidungsproblemsweitreichende Folgen für die Mathematik. Man könnte dann, minde-stens im Prinzip, zahlreiche offene Probleme der Mathematik (z.B. dieRiemann-Hypothese) durch Anwendung des Entscheidungsalgorith-mus lösen.

Für gewisse Teilklassen der Prädikatenlogik können solche Entschei-dungsalgorithmen angegeben werden.

Übung 5.4. Man konstruiere einen Algorithmus, welcher das Erfüll-barkeitsproblem für Formeln löst, deren Signatur ausschließlich ausmonadischen (d.h. einstelligen) Relationssymbolen besteht.

Hinweis: Man zeige, z.B. mit Hilfe des Ehrenfeucht-Fraïssé-Spiels,dass jede erfüllbare Formel mit Quantorenrang m und q monadischenRelationssymbolen ein Modell mit höchstens m · 2q Elementen besitzt.

Übung 5.5. Zeigen sie, dass das Erfüllbarkeitsproblem für Formeln derGestalt ∃x1 . . . ∃xr∀y1 . . . ∀ys ϕ entscheidbar ist, wobei ϕ quantorenfreiund relational sein soll.

Hinweis: Zeigen Sie, dass jeder erfüllbare Satz dieser Gestalt einModell mit höchstens r Elementen besitzt.

Übung 5.6. Zeigen Sie, dass das Erfüllbarkeitsproblem für existentielleFormeln (mit beliebiger Signatur) entscheidbar ist.

1936/37 haben Church und Turing unabhängig voneinander be-wiesen, dass das Entscheidungsproblem nicht algorithmisch lösbar ist.Im Gegensatz zur Aussagenlogik und der Modallogik ist das Erfüllbar-keitsproblem für die Prädikatenlogik also unentscheidbar.

Wir beweisen die Unentscheidbarkeit der Prädikatenlogik, indemwir ein bekanntes unentscheidbares Problem, das Postsche Korrespon-denzproblem, auf das Gültigkeitsproblem für FO reduzieren.

Das Postsche Korrespondenzproblem (PCP). Unter dem PCP versteht mandas folgende Entscheidungsproblem.

Gegeben: Eine Folge F = (u1, v1), . . . , (uk, vk) von Wortpaaren mitui, vi ∈ 0, 1∗.

132


Frage: Gibt es eine Indexfolge i1, . . . , il so dass ui1 · · · uil= vi1 · · · vil

?(Eine solche Indexfolge nennen wir eine Lösung für F.)

Es ist bekannt (und wird z.B. in der Vorlesung Berechenbarkeit undKomplexität bewiesen), dass es keinen Algorithmus gibt, der das PCPlöst.

Satz 5.29 (Post). Das PCP ist unentscheidbar.

Wir zeigen, dass man Eingaben für das PCP durch einen Redukti-onsalgorithmus in FO-Formeln transformieren kann, so dass die gegebe-ne PCP-Eingabe genau dann eine Lösung zulässt, wenn die resultieren-de FO-Formel allgemeingültig ist. Daraus folgt, dass kein Algorithmusdie Gültigkeit von FO-Formeln entscheiden kann. Gäbe es nämlich einensolchen Entscheidungsalgorithmus, dann könnte man das PCP-Problemlösen, indem man PCP-Eingaben mit dem Reduktionsalgorithmus aufFO-Formeln transformiert und dann mit dem Entscheidungsalgorith-mus bestimmt, ob die erhaltene Formel allgemeingültig ist.

Satz 5.30 (Church, Turing). Das Gültigkeitsproblem (und damit auchdas Erfüllbarkeitsproblem) der Prädikatenlogik ist unentscheidbar.

Beweis. Wir zeigen, dass man zu jeder Eingabe F = (u1, v1), . . . , (uk, vk)

für das PCP effektiv einen FO-Satz ψF konstruieren kann, so dass gilt:

ψF ist gültig gdw. es gibt eine Lösung für F.

Die Signatur von ψF besteht aus einem Konstantensymbol c, ein-stelligen Funktionssymbolen f0 und f1 und einem zweistelligen Relati-onssymbol P. Die Idee ist, dass man jedes Wort w = w0w1 · · ·wm−1 ∈0, 1∗ durch den Term tw(x) := fw0 fw1 · · · fwm−1 x repräsentiert und dieLösbarkeitsbedingung für F durch die Formel

ψF := (ϕ ∧ ϑ) → ∃xPxx

mit

ϕ :=k∧

i=1P(tui c, tvi c) und

133


ϑ := ∀x∀y(Pxy →k∧

i=1P(tui x, tvi y))

ausdrückt.

Nehmen wir zunächt an ψF sei gültig. Dann gilt ψF in jeder zu derFormel passenden Struktur, insbesondere also in A = (A, c, f0, f1, P)mit

A := 0, 1∗,

c := ε (das leere Wort),

f0(w) := 0w für alle w ∈ 0, 1∗,

f1(w) := 1w für alle w ∈ 0, 1∗ und

P := (u, v) : es gibt i1, . . . , il mit

u = ui1 · · · uilund v = vi1 · · · vil

.

Ein Wortpaar (u, v) ist also genau dann in P, wenn u mit derselbenIndexfolge aus den ui aufgebaut werden kann wie v aus den vi. Manbeachte, dass für jedes w ∈ 0, 1∗ der Wert des Grundterms twc inA gerade das Wort w selbst ist, d.h. JtwcKA = w. Also gilt A |= ϕ.Weiter gilt JtutwcKA = uw für alle u, w ∈ 0, 1∗. Daher folgt A |= ϑ. DaA |= ψF, muss auch A |= ∃xPxx gelten. Also gibt es ein Wort z und eineIndexfolge i1, . . . , il mit z = ui1 · · · uil

= vi1 · · · vil, d.h. i1, . . . , il ist eine

Lösung für F.

Nehmen wir nun umgekehrt an, dass F eine Lösung i1, . . . , il besitzt.Zu zeigen ist, dass A |= ψF für jede zu ψF passende Struktur A =

(A, c, f0, f1, P). Wir nehmen also an, dass A |= ϕ ∧ ϑ (anderenfalls giltA |= ψF ohnehin) und betrachten die Abbildung h : 0, 1∗ → A,welche jedem Wort w ∈ 0, 1∗ den Wert h(w) := JtwcKA zuordnet.Insbesondere gilt h(ε) = c, h(0w) = f0(h(w)) und h(1w) = f1(h(w)).Da A |= ϕ, gilt (h(ui), h(vi)) ∈ P für i = 1, . . . , k. Wegen A |= ϑ giltfür i = 1, . . . , k, dass aus (x, y) ∈ P auch (h(uix), h(viy)) ∈ P folgt. PerInduktion schließen wir, dass (h(ui1 · · · uil

), h(vi1 · · · vil)) ∈ P gilt, d.h.

für die Lösung w = ui1 · · · uil= vi1 · · · vil

folgt (h(w), h(w)) ∈ P. Damitist gezeigt, dass A |= ∃xPxx und somit A |= ψF. q.e.d.

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Well, so long, mister. Thanks for the ride, the three cigarettesand for not laughing at my theories on life.John Garfield, in: The Postman Always Rings Twice

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