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Prädikatenlogiken

Mathematische LogikVorlesung 7

Alexander Bors

6. & 27. April 2017

A. Bors Logik

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Prädikatenlogiken

Überblick

1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler,pp. 3–24)

(Abgeleitete) Axiome und Schlussregeln des HilbertkalkülsDer Gödelsche Vollständigkeitssatz und Folgerungen

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Prädikatenlogiken Axiome und Schlussregeln Vollständigkeitssatz

Erinnerung

Die letzte Vorlesungseinheit war zur Gänze der Semantik jenerformalen Systeme, die wir für die Prädikatenlogik erster Stufeeinführen werden, gewidmet. Wir haben u.a.

den Wert eines σ-Terms sowie den Wahrheitswert einerσ-Formel unter einer Belegung in einer σ-Struktur definiert,

syntaktisches Einsetzen in einen Term sowie in eine Formeldefiniert und mit dem Substitutionslemma einenZusammenhang zur Semantik hergestellt,

den Begriff einer σ-Tautologie definiert und einfache Resultatedazu bewiesen.

Erinnerung: Eine σ-Formel ϕ heißt σ-Tautologie, falls ϕ unter allenBelegungen in allen σ-Strukturen gilt.

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Plan für die heutige Einheit

Wie schon letztes Mal angekündigt, werden wir heute

die Axiome und Schlussregeln des zu einer fixierten Signatur σassoziierten formalen Systems auflisten,

verifizieren, dass alle aufgelisteten Axiome Tautologien sindund die Schlussregeln von Tautologien nur auf weitereTautologien führen,

abgeleitete Axiome und Schlussregeln auflisten und herleitensowie

den Gödelschen Vollständigkeitssatz formulieren und mitseinem Beweis beginnen.

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Aussagenlogische σ-Tautologien

Wir klären zuerst den Begriff einer aussagenlogischen σ-Tautologie.

Definition 2.4.1

Es sei σ eine Signatur. Eine aussagenlogische σ-Tautologieentsteht aus einer aussagenlogischen Tautologie (offiziell rein unterVerwendung der Junktoren ¬ und ∧ gebildet, wobei wir inoffizielleAbkürzungen wie vereinbart zulassen) durch Ersetzen derAussagenvariablen durch beliebige σ-Formeln.

Beispiel: P0 ∧ P1 → P0 ist eine aussagenlogische Tautologie.Damit ist z.B. folgende σgroup-Formel eine aussagenlogischeσgroup-Tautologie:∀x0 : (x0 · x0 = 1) ∧ ∃x1 : (x1 6= 1)→ ∀x0 : (x0 · x0 = 1).

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Aussagenlogische (σ,T )-Tautologien cont.

Man beachte, dass in Definition 2.4.1 der Vorgang des “Ersetzensder Aussagenvariablen durch σ-Formeln” nicht mehr ausführlichrekursiv definiert wird. Wir überlassen dies den ZuhörerInnen alsÜbungsaufgabe, ebenso wie den Beweis von

Lemma 2.4.2

Es sei σ eine Signatur, f = f (p1, . . . , pn) eine aussagenlogischeFormel. Bezeichnen wir mit f (ϕ1, . . . , ϕn) jene σ-Formel, die ausf (p1, . . . , pn) entsteht, indem man für i = 1, . . . , n dieAussagenvariable pi durch die σ-Formel ϕi ersetzt, so gilt, für alleBelegungen β in jeder σ-Struktur M:M |= f (ϕ1, . . . , ϕn)[β]⇔ µ̃(f ) = 1.Hierbei bezeichnet µ̃ die Funktion, welche jeder aussagenlogischenFormel mit Aussagenvariablen aus {p1, . . . , pn} ihrenWahrheitswert unter der Belegung µ : {p1, . . . , pn} → {0, 1},µ(pi ) = 1⇔M |= ϕi [β] für i = 1, . . . , n, zuordnet.

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Axiome und Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls

Es sei σ eine Signatur. Der σ-Hilbertkalkül ist das formale System,dessen Formeln die σ-Formeln sind, dessen Tautologien dieσ-Tautologien sind und dessen Axiome und Schlussregeln imFolgenden angegeben werden.Axiome des σ-Hilbertkalküls:

1 Alle aussagenlogischen σ-Tautologien.

2 Die folgenden, so genannten Gleichheitsaxiome:

1 ∀x : x = x .2 ∀x∀y : (x = y → y = x).3 ∀x∀y∀z : (x = y ∧ y = z → x = z).4 Für jedes f ∈ σop, k-stellig: ∀x1 · · · ∀xk∀y1 · · · ∀yk : (x1 =

y1 ∧ · · · ∧ xk = yk → fx1 · · · xk = fy1 · · · yk).5 Für jedes R ∈ σrel, k-stellig: ∀x1 · · · ∀xk∀y1 · · · ∀yk : (x1 =

y1 ∧ · · · ∧ xk = yk → (Rx1 · · · xk ↔ Ry1 · · · yk)).

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Axiome und Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls

Axiome des σ-Hilbertkalküls cont.:

3 Die so genannten ∃-Quantorenaxiome: Für jede σ-Formel ϕ,jeden σ-Term t und jede für t in ϕ freie Variable x , diefolgende σ-Formel: ϕ tx → ∃x : ϕ.

Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls:

1 Modus ponens: Für beliebige σ-Formeln ϕ und ψ, die Regelϕ,ϕ→ψψ .

2 ∃-Einführung: Für alle σ-Formeln ϕ und ψ sowie alle Variablenx , welche nicht frei in ψ vorkommen, die Regel ϕ→ψ∃xϕ→ψ .

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Axiome, Schlussregeln und Tautologien

Wie angekündigt, werden wir nun folgendes Resultat beweisen:

Lemma 2.4.3

Es sei σ eine Signatur.

1 Jedes Axiom des σ-Hilbertkalküls ist eine σ-Tautologie.

2 Für die beiden Schlussregeln des σ-Hilbertkalküls gilt: Sinddie Voraussetzungen der Regel (die σ-Formeln im “Zähler”)σ-Tautologien, so sind auch die Folgerungen (die σ-Formelnim “Nenner”) σ-Tautologien.

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Axiome, Schlussregeln und Tautologien cont.

Beweis von Lemma 2.4.3

Wir zeigen zuerst Punkt (1), also, dass alle Axiomeσ-Tautologien sind.

Für aussagenlogische σ-Tautologien folgt das direkt ausLemma 2.4.2.

Für die Gleichheitsaxiome kann man es ohne Probleme direktnachrechnen.

Für die ∃-Quantorenaxiome führen wir das Argument aus. Essei also β eine Belegung in einer σ-Struktur M. Dann folgtmit dem Substitutionslemma:M |= ϕ tx [β]⇒M |= ϕ[β

tM[β]x ]⇒M |= ∃xϕ[β].

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Beweis von Lemma 2.4.3 cont.

Nun zum Beweis von Punkt (2), betreffend die Schlussregeln.

Zum Modus Ponens: Wenn ϕ und ϕ→ ψ beidesσ-Tautologien sind, dann heißt das: ϕ gilt in allenσ-Strukturen unter jeder Belegung, ebenso wie ϕ→ ψ. Damitkann es keine σ-Struktur sowie eine Belegung in dieserStruktur geben, sodass ψ falsch wird, denn dann wäre dieImplikation ϕ→ ψ ebenfalls falsch, ein Widerspruch.Zur ∃-Einführung: Es sei ϕ→ ψ eine σ-Tautologie, M eineσ-Struktur und β eine Belegung in M. Wir müssen zeigen,dass die Implikation ∃xϕ→ ψ in M unter β gilt.Das ist klar, wenn ∃xϕ in M unter β falsch ist, also könnenwir M |= ∃xϕ[β] annehmen.

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Nach Definition heißt das, es gibt ein a ∈ M mit M |= ϕ[β ax ].Da nach Annahme ϕ→ ψ eine σ-Tautologie ist, giltinsbesondere M |= (ϕ→ ψ)[β ax ], also folgt aus M |= ϕ[β

ax ],

dass M |= ψ[β ax ].Daher muss M |= ψ[β ax ] gelten, und da x in ψ nicht freivorkommt, folgt M |= ψ[β] und somit auchM |= (∃xϕ→ ψ)[β], wie wir zeigen wollten.

Bevor wir uns den abgeleiteten Axiomen und Schlussregelnzuwenden, führen wir eine Terminologie und Notation ein.

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Beweisbarkeit und der Korrektheitssatz

Definition 2.4.4

Es sei σ eine Signatur. Eine σ-Formel ϕ heißt σ-beweisbar, falls sieim σ-Hilbertkalkül ableitbar ist. Wir schreiben dafür: `σ ϕ.

Aus Lemma 2.4.3 folgt unmittelbar:

Satz 2.4.5 (Korrektheitssatz)

Es sei σ eine Signatur. Jede σ-beweisbare σ-Formel ist eineσ-Tautologie, also: `σ ϕ⇒|=σ ϕ.

Der Gödelsche Vollständigkeitssatz behauptet, dass auch dieUmkehrung des Korrektheitssatzes gilt.

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Abgeleitete Axiome und Schlussregeln

Lemma 2.4.6

Es sei σ eine Signatur. Im Folgenden meinen wir mit “beweisbar”stets “σ-beweisbar”.

1 Verallgemeinerter Modus Ponens: Sind ϕ1, . . . , ϕn sowieϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn → ψ beweisbare σ-Formeln, so ist auch ψbeweisbar. Insbesondere gilt: Sind ϕ1, . . . , ϕn beweisbar, soauch ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn.

2 ∀-Quantorenaxiome: Ist x frei für t in ϕ, so ist ∀xϕ→ ϕ txbeweisbar.

3 ∀-Einführung: Ist x nicht frei in ϕ und ist ϕ→ ψ beweisbar,so ist auch ϕ→ ∀xψ beweisbar. Insbesondere gilt: Ist ψbeweisbar, so auch ∀xψ.

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Abgeleitete Axiome und Schlussregeln cont.


Zu Punkt (1): Man sieht leicht, dass folgende σ-Formel eineaussagenlogische σ-Tautologie (insbesondere ein Axiom desσ-Hilbertkalküls) ist:

((ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn)→ ψ)→ (ϕ1 → (ϕ2 → (· · · (ϕn → ψ)) · · · )).

Durch eine Anwendung von Modus Ponens erhält man alsodie Beweisbarkeit von

ϕ1 → (ϕ2 → (· · · (ϕn → ψ)) · · · )

und damit, nach n-maliger weiterer Anwendung von ModusPonens, dass `σ ψ.

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Zu Punkt (2): ¬ϕ tx → ∃x¬ϕ ist ein ∃-Quantorenaxiom, und

(¬ϕ tx→ ∃x¬ϕ)→ (¬∃x¬ϕ→ ϕ t

x)

ist eine aussagenlogische σ-Tautologie, entstanden durchEinsetzen in die aussagenlogische Tautologie(¬P0 → P1)→ (¬P1 → P0). Durch eine Anwendung vonModus Ponens sieht man, dass `σ ¬∃x¬ϕ→ ϕ tx , wiegewünscht.

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Zu Punkt (3): Nach Annahme ist ϕ→ ψ beweisbar, und(ϕ→ ψ)→ (¬ψ → ¬ϕ) ist eine aussagenlogischeσ-Tautologie. Nach Modus Ponens gilt also auchT `σ ¬ψ → ¬ϕ. Da nach Annahme x nicht frei in ψvorkommt, dürfen wir mittels ∃-Einführung auf ∃x¬ψ → ¬ϕschließen. Aussagenlogik lässt uns dann hieraus wiederum aufϕ→ ¬∃x¬ψ schließen, wie gewünscht.Zum “Insbesondere” in Punkt (3): Angenommen, `σ ψ.Fixiere eine beweisbare σ-Formel ϕ, die x nicht frei enthält(z.B. das Gleichheitsaxiom ∀x : x = x). ψ → (ϕ→ ψ) ist eineaussagenlogische σ-Tautologie, und man erhält mit ModusPonens `σ (ϕ→ ψ), durch ∀-Einführung also auch`σ ϕ→ ∀xψ, also mit Modus Ponens `σ ∀xψ.

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Formulierung des Vollständigkeitssatzes

Satz 2.5.1 (Gödelscher Vollständigkeitssatz)

Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Eine σ-Formel ϕ ist genau dannσ-beweisbar, wenn sie eine σ-Tautologie ist, also: `σ ϕ⇔|=σ ϕ.

Beachte: Nach Lemma 2.3.22 hängt der Begriff einer σ-Tautologieϕ nicht wirklich von σ ab; σ muss lediglich so groß sein, dass esalle in der Formel ϕ vorkommenden Konstanten-, Operations- undRelationssymbole umfasst. Daher ist die Notation |= ϕ (ohneexplizite Erwähnung von σ) wohldefiniert, und nach demVollständigkeitssatz ist damit auch die Notation ` ϕ wohldefiniert.

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Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes

Der wesentlichste Schritt zum Beweis von Satz 2.5.1 wird derBeweis eines bemerkenswerten Satzes über Widerspruchsfreiheitvon σ-Theorien sein. Zuerst ein paar Begriffe:

Definition 2.5.2

Es sei σ eine Signatur. Eine σ-Theorie ist eine Menge T vonσ-Sätzen, und eine σ-Struktur M heißt ein Modell für T , fallsM |= τ für jeden σ-Satz τ ∈ T . T heißt widerspruchsfrei, falls eskeine σ-Sätze ϕ1, . . . , ϕn ∈ T gibt, sodass `σ ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn).

Im vorigen Kapitel (dem historischen Überblick) hatten wir“Widerspruchsfreiheit” für formale Systeme definiert. Man kannauch die Widerspruchsfreiheit von T mit der Widerspruchsfreiheiteines geeigneten formalen Systems, des (σ,T )-Hilbertkalküls, inVerbindung setzen. Mehr dazu am Ende dieses Abschnittes.

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Überblick über den Beweis des Vollständigkeitssatzes cont.

Der vorhin erwähnte “bemerkenswerte Satz” ist folgender:

Satz 2.5.3

Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Dann gilt: T ist genaudann widerspruchsfrei, wenn T ein Modell hat.

Bemerkungen:

Die Richtung “⇐” in Satz 2.5.3 wird eine relativ leichteFolgerung aus dem Korrektheitssatz, Satz 2.4.5, sein.

Die andere Richtung ist wesentlich aufwändiger. Wirskizzieren ihren Beweis grob, bevor wir sie im Detail beweisen,aber zuerst zeigen wir, wie aus Satz 2.5.3 derVollständigkeitssatz folgt.

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Proposition 2.5.4

Satz 2.5.3 impliziert Satz 2.5.1.

Beweis

Wir nehmen also die Aussage von Satz 2.5.3 als gegeben anund zeigen damit Satz 2.5.1.

Die Richtung “⇒” in Satz 2.5.1 ist gerade derKorrektheitssatz, den wir bereits bewiesen haben.

Zur Richtung “⇐”: Wir zeigen die Kontraposition:Angenommen, ϕ ist nicht σ-beweisbar. Wir müssen zeigen,dass ϕ keine σ-Tautologie sein kann.

Nach Lemma 2.4.6(2) (den ∀-Quantorenaxiomen) ist auch deruniverselle Abschluss ψ von ϕ nicht σ-beweisbar.

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Beweis von Proposition 2.5.4 cont.

Damit ist nach Definition die σ-Theorie T := {¬ψ}widerspruchsfrei. Denn ansonsten gäbe es ja ϕ1, . . . , ϕn ∈ Tmit `σ ¬(ϕ1 ∧ · · · ∧ ϕn), also (da ϕi ≡ ¬ψ und unterVerwendung von Aussagenlogik) `σ ψ ∨ · · · ∨ ψ, also (wiederunter Verwendung von Aussagenlogik) `σ ψ, ein Widerspruch.Nach Satz 2.5.3 hat T somit ein Modell. Also gibt es eineσ-Struktur, in der ψ falsch ist. Somit ist ψ, und damit nachLemma 2.3.21 auch ϕ, keine σ-Tautologie, wiegewünscht.

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Wir skizzieren nun zunächst grob den Beweis derImplikationsrichtung “⇒” in Satz 2.5.3.Es sei also T eine widerspruchsfreie σ-Theorie, und wirmüssen ein Modell für T finden.

Diese Konstruktion eines Modells führen wir nicht für allewiderspruchsfreien σ-Theorien aus, sondern nur für “besondersschöne” Theorien, die vollständigen Henkin-Theorien. Beidiesen ist die Definition des Modells sehr naheliegend; eshandelt sich um ein so genanntes Modell aus Konstanten, undwir werden auch zeigen können, dass diese Theorien bis aufIsomorphie sogar genau ein Modell aus Konstanten haben.

Anschließend bleibt nur noch zu zeigen, dass sich jedewiderspruchsfreie σ-Theorie T zu einer vollständigenHenkintheorie T ∗ erweitern lässt. Da jedes Modell von T ∗

auch ein Modell von T ist, sind wir dann fertig.

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Neue Konstanten und vollständige Diagramme

Diese Folie dient als Motivation zu Henkin-Theorien.

Definition 2.5.5

Es sei σ eine Signatur, C eine Menge, welche zuA(σ) ∪ {=,¬,∧,∃} ∪ {x0, x1, . . .} disjunkt ist. Dann heißt C eineMenge neuer Konstantensymbole für σ, und die Erweiterung von σum C , notiert σ + C , ist die Erweiterung von σ, die entsteht,indem man die Elemente aus C als Konstantensymbole ansieht.

Definition 2.5.6

Es sei σ eine Signatur, M eine σ-Struktur mit Trägermenge M.Weiter sei C = {ca | a ∈ M} eine Menge neuer Konstantensymbolefür σ (eines für jedes Element aus M). Das vollständige DiagrammvonM zu C ist die Menge aller (σ + C )-Sätze, die in der(σ + C )-Struktur M∗ gelten, welche als Expansion von M mitcM

∗a = a, a ∈ M, eindeutig definiert ist.

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Henkin-Theorien

Man sieht leicht, dass vollständige Diagramme stets(σ + C )-vollständige Henkin-Theorien über der Menge C ausneuen Konstantensymbolen sind, in folgendem Sinne:

Definition 2.5.7

Es sei σ+ eine Signatur, C ⊆ σ+const.

1 Eine σ+-Theorie T+ heißt Henkintheorie über C , falls es zujeder σ+-Formel ϕ(x) (in einer freien Variable x) eineKonstante c ∈ C gibt mit (∃xϕ(x)→ ϕ(c)) ∈ T+.

2 Eine σ+-Theorie T ∗ heißt σ+-vollständig, wenn siewiderspruchsfrei ist, und wenn für jeden σ+-Satz ϕ gilt:ϕ ∈ T ∗ oder ¬ϕ ∈ T ∗.

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Das Konstanten-Modell einer vollständigen Henkin-Theorie

Für den Beweis von Satz 2.5.3 beginnen wir damit, zu zeigen, dassjede σ+-vollständige Henkin-Theorie bis auf Isomorphie genau einModell aus Konstanten besitzt, in folgendem Sinne:

Definition 2.5.8

Es sei σ+ eine Signatur, T eine σ+-Theorie. Eine σ+-Struktur Mheißt ein Modell aus Konstanten für T , falls

1 M ein Modell für T ist und2 die Funktion σ+const → M, c 7→ cM, surjektiv ist.

Satz 2.5.9

Es sei σ+ eine Signatur, T ∗ eine vollständige σ+-Henkintheorie(über irgendeiner Teilmenge C ⊆ σ+const). Dann besitzt T ∗ bis aufIsomorphie genau ein Modell aus Konstanten.

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Ableitungen aus einer Theorie

Bevor wir beginnen, Satz 2.5.9 zu beweisen, brauchen wir ein paarVorarbeiten. Wir beschäftigen uns mit folgendem Konzept:

Definition 2.5.10

Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Für eine σ-Formel ϕschreiben wir T `σ ϕ (und sagen, ϕ sei aus T ableitbar), falls esn ∈ N (möglicherweise n = 0) und ψ1, . . . , ψn ∈ T gibt mit`σ ψ1 ∧ · · · ∧ ψn → ϕ (wobei diese Implikation im Fall n = 0einfach die Formel ϕ selbst sei).

Beachte: ∅ `σ ϕ genau dann, wenn `σ ϕ.Wir werden als nächstes zeigen, dass sich dieserBeweisbarkeitsbegriff sehr ähnlich zu dem bereitseingeführten, `σ, verhält.

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Ableitungen aus einer Theorie cont.

Lemma 2.5.11

Es sei σ eine Signatur, T eine σ-Theorie. Dann gilt für alleσ-Formeln ϕ und ψ:

1 T `σ τ für jedes τ ∈ T .2 Wenn `σ ϕ, dann auch T `σ ϕ.3 T `σ ϕ ∧ ψ genau dann, wenn T `σ ϕ und T `σ ψ.4 Wenn T `σ ϕ und T `σ ϕ→ ψ, dann T `σ ψ.

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Ableitungen aus einer Theorie cont.


Punkt (1) folgt sofort aus `σ τ → τ .Zu Punkt (2): Folgt aus der Konvention für den Fall n = 0.

Punkt (3): Übung.

Punkt (4): Da T `σ ϕ, gibt es ψ1, . . . , ψm ∈ T mit`σ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψm → ϕ) ≡: α. Ebenso folgt aus T `σ ϕ→ ψ,dass es χ1, . . . , χn ∈ T gibt mit`σ (χ1 ∧ · · · ∧ χn → (ϕ→ ψ)) ≡: β. Nach Lemma 2.4.6(1)(verallgemeinerter Modus Ponens) folgt `σ α ∧ β. Setzeγ :≡ ψ1 ∧ · · · ∧ ψm ∧ χ1 ∧ · · · ∧ χn → ψ. Nach Aussagenlogikgilt `σ α ∧ β → γ, und somit nach Modus Ponens `σ γ,woraus nach Definition T `σ ψ folgt.

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Deduktive Abgeschlossenheit

Definition 2.5.12

Es sei σ eine Signatur. Eine σ-Theorie T heißt σ-deduktivabgeschlossen, falls für alle σ-Sätze τ gilt: T `σ τ ⇔ τ ∈ T .

Beachte, dass die Richtung “⇐” immer gilt, nach Lemma2.5.11(1).

Lemma 2.5.13

Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Vollständige σ-Theorien sindσ-deduktiv abgeschlossen.

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Deduktive Abgeschlossenheit cont.


Angenommen, T ist vollständig und T `σ τ . Wir müssenzeigen, dass τ ∈ T .Indirekt: Angenommen, τ /∈ T . Da T vollständig ist, giltdann ¬τ ∈ T , also nach Lemma 2.5.11(1) auch T `σ ¬τ .Nach Lemma 2.5.11(3) folgt T `σ τ ∧ ¬τ , d.h.,`σ (ψ1 ∧ · · · ∧ ψn)→ (τ ∧ ¬τ) für geeignete ψ1, . . . , ψn ∈ T .Nun muss man nur noch Aussagenlogik und Modus Ponensanwenden, um `σ ¬(ψ1 ∧ · · · ∧ ψn), also dieWidersprüchlichkeit von T , zu erhalten, im Widerspruch zurAnnahme, T sei vollständig (und damit nach Definition auchwiderspruchsfrei).

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Modell aus Konstanten: Eindeutigkeit

Beweis von Satz 2.5.9

Eindeutigkeit: Setze C+ := σ+const. Angenommen, M und Nsind beides Modelle aus Konstanten für T ∗, mitTrägermengen M = {cM | c ∈ C+} und N = {cN | c ∈ C+}.Da T ∗ vollständig ist und M sowie N Modelle von T ∗ sind,muss für jeden σ+-Satz τ gelten:M |= τ ⇔ τ ∈ T ∗ ⇔ N |= τ .Es folgt für c, d ∈ C+:cM = dM ⇔M |= c = d ⇔ N |= c = d ⇔ cN = dN .Damit ist die Funktion F : M → N, cM 7→ cN , wohldefiniertund eine Bijektion. Wir zeigen, dass F sogar einIsomorphismus zwischen M und N ist.

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Modell aus Konstanten: Eindeutigkeit cont.

Beweis von Satz 2.5.9

Wir rechnen nach:

Für alle c ∈ C+: F (cM) = cN : klar nach Definition.Für alle R ∈ σrel, k-stellig, und alle c1, . . . , ck ∈ C+:(cM1 , . . . , c

Mk ) ∈ RM ⇔M |= Rc1 · · · ck ⇔ N |= Rc1 · · · ck ⇔

(cN1 , . . . , cNk ) = (F (c

M1 ), . . . ,F (c

Mk )) ∈ RN .

Für alle f ∈ σop, k-stellig, und alle c1, . . . , ck ∈ C+: Es seic ∈ C+ so gewählt, dass fM(cM1 , . . . , cMk ) = cM. Dann giltalso M |= fc1 · · · ck = c , und damit auch N |= fc1 · · · ck = c .Es folgt: F (fM(cM1 , . . . , c

Mk )) = F (c

M) = cN =f N (cN1 , . . . , c

Nk ) = f

N (F (cM1 ), . . . ,F (cMk )).

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Modell aus Konstanten: Existenz

Wir wenden uns nun dem Existenz-Beweis für ein Modell Maus Konstanten zu. Da wir bereits wissen, dass dieInterpretationsfunktion C+ → M, c 7→ cM surjektiv seinmuss, wäre die naheliegende erste Idee, die Menge C+ selbstals Trägermenge für M zu verwenden, jedesKonstantensymbol aus C+ als es selbst zu interpretieren undzusätzlich auf C+ geeignete Operationen und Relationen zudefinieren.

Beachte allerdings: Es kann natürlich durchaus sein, dass(c = d) ∈ T ∗ für verschiedene Konstantensymbole c und d .In diesem Fall müssen aber die Interpretationen von c und dim zu konstruierenden Modell natürlich gleich sein.

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Modell aus Konstanten: Existenz cont.

Somit wird nicht C+ selbst die Trägermenge, sondern dieQuotientenmenge (Menge aller Äquivalenzklassen) C+/ ∼,wobei ∼ die Äquivalenzrelation auf C+, gegeben durchc ∼ d :⇔ c = d ∈ T ∗, ist. Wir müssen aber erst nachweisen,dass ∼ tatsächlich eine Äquivalenzrelation ist.Da `σ+ ∀x : x = x (ist das erste Gleichheitsaxiom) sowie`σ+ ∀x : (x = x)→ c = c für jedes c ∈ C+ (ist ein∀-Quantorenaxiom), folgt mittels Modus Ponens, dass auch`σ+ c = c , also nach Lemma 2.5.11(2) T ∗ `σ+ c = c undsomit (c = c) ∈ T ∗ wegen der deduktiven Abgeschlossenheitvon T ∗ nach Lemma 2.5.13, womit ∼ reflexiv ist.Mit ähnlichen Argumenten sieht man, dass ∼ auchsymmetrisch und transitiv ist; wir überlassen die Details denHörerInnen als Übung.

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Damit können wir nun guten GewissensM := C+/ ∼= {[c] | c ∈ C+} setzen ([c] bezeichnet dieÄquivalenzklasse von c), sowie cM := [c]; die Interpretationender Konstantensymbole der Signatur σ+ im zu definierendenModell M sind also geklärt.Es bleibt noch Folgendes zu tun:

die Interpretationen der Operations- und Relationssymbole zuerklären sowiezu zeigen, dass M ein Modell von T ∗ ist, dass also M |= τ fürjeden Satz τ ∈ T ∗ (dass M ein Modell aus Konstanten ist, istnach Definition klar).

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Wir beginnen mit der Erklärung der Interpretation RM von R,einem k-stelligen Relationssymbol aus σ. Wir haben eigentlichgar keine Freiheit bei der Wahl von RM, denn es soll ja füralle c1, . . . , ck ∈ C+ gelten: ([c1], . . . , [ck ]) =(cM1 , . . . , c

Mk ) ∈ RM ⇔M |= Rc1 · · · ck ⇔ Rc1 · · · ck ∈ T ∗.

Daher müssen wir nur zeigen, dass RM wohldefiniert ist durch([c1], . . . , [ck ]) ∈ RM :⇔ Rc1 · · · ck ∈ T ∗.Es seien also c1, . . . , ck , d1, . . . , dk ∈ C+ mit ci ∼ di füri = 1, . . . , k . D.h., es gilt (ci = di ) ∈ T ∗, bzw. äquivalentT ∗ `σ+ ci = di , i = 1, . . . , k .Nach Lemma 2.5.11(3) und mit Induktion nach k folgt damitT ∗ `σ+

∧ki=1 (ci = di ).

Zudem: T ∗ `σ+ (∧k

i=1 (ci = di )→ (Rc1 · · · ck ↔ Rd1 · · · dk))(folgt aus einem der Gleichheitsaxiome durch “Einsetzen”(∀-Axiom plus Modus Ponens)).

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Nach Modus Ponens, der Definition der abkürzendenSchreibweise ↔ sowie Lemma 2.5.11(3) gilt alsoT ∗ `σ+ Rc1 · · · ck → Rd1 · · · dk undT ∗ `σ+ Rd1 · · · dk → Rc1 · · · ck .Damit sieht man (erneut wegen Modus Ponens), dass die(metatheoretische) Äquivalenz(T ∗ `σ+ Rc1 · · · ck)⇔ (T ∗ `σ+ Rd1 · · · dk) gilt.Und damit folgt (unter Verwendung der deduktivenAbgeschlossenheit von T ∗):(Rc1 · · · ck ∈ T ∗)⇔ (Rd1 · · · dk ∈ T ∗), wie für dieWohldefiniertheit von RM erforderlich.

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Um die Definition der σ+-Struktur M abzuschließen, müssenwir noch die Interpretationen der Operationssymboledefinieren.

Es sei also f ein k-stelliges Operationssymbol aus σ+. Wirzeigen zwei Dinge:

1 Für alle c1, . . . , ck ∈ C+ gibt es ein c0 = c0(c1, . . . , ck) ∈ C+mit (fc1 · · · ck = c0) ∈ T ∗.

2 [c0] ist durch [c1], . . . , [ck ] eindeutig bestimmt.

Sobald wir diese zwei Aussagen gezeigt haben, ist klar, dassdurch fM(cM1 , . . . , c

Mk ) := c0(c1, . . . , ck)

M eine k-stelligeOperation auf M wohldefiniert ist.

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Zur ersten Aussage: Da `σ+ fc1 · · · ck = fc1 · · · ck , folgtmittels ∃-Quantorenaxiom `σ+ ∃x : fc1 · · · ck = x . Und da T ∗eine Henkin-Theorie ist, gibt es c0 ∈ C+ mit(∃x : (fc1 · · · ck = x)→ fc1 · · · ck = c0) ∈ T ∗. UnterVerwendung von Lemma 2.5.11 und der deduktivenAbgeschlossenheit von T ∗ erhalten wir damit(fc1 · · · ck = c0) ∈ T ∗.Zur zweiten Aussage: Geht sehr ähnlich wie der Beweis derWohldefiniertheit von RM; für die Details siehe die Übungen.

A. Bors Logik

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Ausblick auf nächstes Mal

In der nächsten Vorlesungseinheit werden wir

zeigen, dass die gerade definierte σ+-Struktur M tatsächlichein Modell von T ∗ ist (und damit den Beweis, dassvollständige Henkin-Theorien jeweils bis auf Isomorphie genauein Modell aus Konstanten haben, abschließen),

die Behauptung, dass allgemein jede konsistente Theorie Tein Modell hat, auf den dann bereits behandelten Fallvollständiger Henkin-Theorien reduzieren (womit dann derVollständigkeitssatz zur Gänze bewiesen ist),

einige interessante Folgerungen aus dem Vollständigkeitssatzdiskutieren.

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Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Quelle: Ziegler, pp. 3–24)(Abgeleitete) Axiome und Schlussregeln des HilbertkalkülsDer Gödelsche Vollständigkeitssatz und Folgerungen

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