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  • Mathematische Methoden der

    allgemeinen

    Relativittstheorie

    Florian Andritsch

    Fachbereichsarbeit aus Physik

    Vorgelegt bei Mag. Dr. Gerhard Rath

    BRG Keplerstrae

    Keplerstrae 1

    8020 Graz

    Graz, 29. Februar 2008

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 2

    Inhaltsverzeichnis

    Abstract 5

    Vorwort 6

    Einleitung 9

    1 Vorstellungen von Raum und Zeit 12

    1.1 Die klassische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.2 Die spezielle Relativittstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.3 Moderne Theorien der Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Mathematische Grundlagen 15

    2.1 Geometrie gekrmmter Rume . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    2.1.1 Gausche Geometrie gekrmmter Flchen . . . . . . . 16

    2.1.2 Riemannsche Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    2.2 Vektor-Tensorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.2.1 Skalar-Vektor-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    2.3 Indexschreibweise der Relativittstheorie . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.1 Kontravariante Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    2.3.2 Kovariante Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.3 Topologischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    2.3.4 Metrischer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.3.5 Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4 Das lokal ebene System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4.1 Die Minkowski-Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 3

    2.5 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.5.1 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.5.2 Symmetrien von Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.5.3 Bedeutung von Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.5.4 Spezielle Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.5.5 Eigenschaften des metrischen Tensors . . . . . . . . . . 33

    2.5.6 Verschieben der Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    2.6 Christoffelsymbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    2.6.1 Transformationsverhalten der Christoffelsymbole . . . . 37

    2.7 Kovariante Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    2.7.1 Rechenregeln fr kovariante Ableitung . . . . . . . . . 39

    2.8 Paralleltransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    2.9 Der Riemannsche Krmmungstensor . . . . . . . . . . . . . . 41

    2.9.1 Eigenschaften des Riemann-Tensors . . . . . . . . . . . 42

    2.9.2 Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    3 Physikalische Aspekte 45

    3.1 Prinzipien der ART . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.1 Korrespondenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    3.1.2 Kovarianzprizip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    3.1.3 Prinzip minimaler gravitativer Kopplung . . . . . . . . 46

    3.1.4 quivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    3.1.5 Machsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    3.2 Geodtengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    3.3 Einsteinsche Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.3.1 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    3.3.2 Einstein-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.4 Schwarzschildlsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    3.4.1 Analyse der Schwarzschildmetrik . . . . . . . . . . . . 60

    3.5 Kosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    3.5.1 Das Kosmologische-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.5.2 Mathematische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3.5.3 Friedmann-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 4

    3.5.4 Herleitung der Friedmann Gleichungen . . . . . . . . . 62

    3.5.5 Diskussion des Friedmann-Modells . . . . . . . . . . . 65

    3.5.6 Aktueller Stand der Forschung . . . . . . . . . . . . . . 66

    4 Zusammenfassung 67

    Erklrung 69

    Literaturverzeichnis 70

    Protokoll der Arbeit 72

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 5

    Abstract

    The paper Mathematical methods of the general theory of relativity intro-

    duces the reader to Albert Einsteins theory of general relativity. First of all,

    theories of space and time, that were used in past are illustrated. Afterwards

    the mathematical background of the theory of general relativity is develo-

    ped. The reader is familarized with the tensor-calculus and the geometry of

    a curved spacetime.

    Later on the physical aspects of Einsteins theory are explained and the

    theoretical background for a model describing the universe as a whole is

    brought up to the reader. Further the considerations that are needed to pos-

    tulate the Einstein field equations are illuminated. The idea of mass causing

    gravitation, which is finally causing a curvature of spacetime is brought in.

    Using the so far built up knowledge one solution of the field equations, the

    Schwarzschild-metric, is derived in order to discuss the facts that follow this

    solution.

    At the end the reader gets an insight into cosmology, a part of modern

    physics that was founded by Einsteins work on the theory of relativity, since

    this was the fist theory corresponding with a dynamic universe. According

    to this, the Friedmann-model is explained and discussed.

    The papers purpose is to give a compact overview about the mathe-

    matical model that is used to describe a curved spacetime and links the

    mathematical methods with their use in describing the universe.

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 6

    Vorwort

    Albert Einstein, der sowohl als Schpfer der Relativittstheorie, als auch mit

    Erhalt des Nobelpreises fr die Erklrung des Photoeffekts in die Geschichte

    einging, beeindruckte mich schon lange Zeit. Seine Arbeit auf den physikali-

    schen Gebieten der Kosmologie, der Physik des Groen, sowie der Teilchen-

    physik, der Physik des Kleinen, war grundlegend fr die Weiterentwicklung

    der Physik im 20.Jahrhundert.

    Im Jahr 2005, als ich in die 5.Klasse ging, beschftigte ich mich das erste

    Mal mit der speziellen Relativittstheorie. ber einige Wochen hinweg las

    ich mir alles, was ich zu diesem Thema finden konnte, uerst genau durch.

    Mein Ziel war es, zumindest die Konzepte, womglich aber noch mehr davon

    zu verstehen. Natrlich war es anfangs ein mhsames Unterfangen, da meine

    mathematischen Kenntnisse trotz jahrelanger Teilnahme an der sterreichi-

    schen Mathematik Olympiade eindeutig nicht ausreichten. Dennoch verfolgte

    ich mein Ziel, und bewerkstelligte es nach geraumer Zeit, die Lorentztrans-

    formation selbst herzuleiten. Ich hatte es geschafft, einen Einblick in diese

    weltverndernde Theorie zu bekommen. Sehr bald stellte ich mir die Frage

    worin nun der Unterschied zur allgemeinen Relativittstheorie bestand.

    Im Sommer 2006 startete ich den nchsten Versuch. Diesmal wollte ich

    Einsteins allgemeine Relativittstheorie zumindest teilweise verstehen. Ich

    besorgte mir Vorlesungsskripten und Bcher, las mich intensiv in die Materie

    ein. Es nahm ausgesprochen viel Zeit in Anspruch, mir die Grundgedanken

    der differentialgeometrischen Inhalte selber beizubringen.

    Als dann im Schuljahr 2007/2008 das Thema Matura zunehmend kon-

    kreter auf mich zukam, machte ich mir Gedanken, eine Fachbereichsarbeit

    zu einem mich interessierenden Thema zu verfassen. Dafr kamen in meinem

  • Mathematische Methoden der allgemeinen Relativittstheorie 7

    Fall ganz klar nur bestimmte Fcher in Frage: Informatik, Mathematik oder

    Physik.

    Seit dem Schuljahr 2001/2002 besuchte ich am BRG Kepler den Mathe-

    matikolympiade Kurs unter der Leitung von Dr. Robert Geretschlger. In den

    darauffolgenden Jahren lehrte er mich ausgesprochen viel mathematisches

    Wissen. In der 3.Klasse meldete ich mich zustzlich fr den Freigegenstand

    Physikolympiade, geleitet von Mag. Bernd Lackner, an. Ich sammelte auf

    beiden Gebieten Wettbewerbserfahrung, und sorgte dafr, dass meine Kennt-

    nisse in diesen Fchern ber den gewhnlichen Schulstoff hinausragten. Im

    Rahmen dieser Bewerbe kam ich weit umher. Abgesehen von Wettbewerben

    in Tschechien, Polen und Rumnien reiste ich zuletzt im Rahmen der Physik-

    WM (IYPT - International Young Physicists Tournament) nach Sdkorea.

    Meine Vorstellungen bezglich meiner weiteren Ausbildung nderten sich in

    diese Zeit auch grundlegend vom bisher geplanten Studium der Medizin in

    Richtung der beiden Naturwissenschaften Mathematik und Physik.

    Mit der Schwerpunktsetzung Informatik in der Oberstufe, und dem zu-

    stzlichen Freigegenstand Astronomie wurde mein Interesse in diesen Be-

    reichen weiter bekrftigt. Als dann die Entscheidung drngte, in welchem

    Gebiet ich nun die Fachbereichsarbeit schreiben wollte, kam ich auf die Idee,

    mein schon lnger anhaltendes Interesse an der Relativittstheorie in dieser

    Form weiterzufhren.

    Im Rahmen des AYPT - Austrian Young Phyicists Tournament - lernte

    ich ber meinen Physik-Lehrer, und spteren Betreuer der Fachbereichsarbeit

    Dr. Gerhard Rath, Herrn Univ. Prof. Dr. Heimo Latal kennen, ohne dessen

    Zutun diese