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Seite 1, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie I

Stand: Februar 2016

Prof. Dr. Sigurd Bauerecker, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Hans-Sommer-Str. 10, Ruf 0531/391-5336, [email protected], https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre oder Googeln: „Bauerecker + Lehre“ Winter-Semester 2015/16: 4 h Vorlesung, Mo u. Mi 8:00 – 9:30, PK2.1, 2 h Übung: Donnerstag, 8:00 - 9:30 Uhr (Biotechnologie, CuV), Freitag, 8:00 - 9:30 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie) Klausur: Mo 15.02.16 (Chemie, Lebensmittelchemie, CuV) Klausur: Mo 14.03.16 (Chemie, Lebensmittelchemie, CuV, Biotechnologie) Sommer-Semester 2016: 2 h Vorlesung, 1 h Übung

Mathematische Methoden der Chemie I (BSc Chemie, Biotechnologie, Lebensmittelchemie, CuV)

Vorlesung WiSe 2015/16

mailto:[email protected]�

https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre�


Klausuren

Klausuren 3stündig (außer bei Biotechnologie, dort 4stündig). Es sind keine Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur erlaubt, außer Kugelschreiber und von uns gestelltes Papier. Achtung: Verbindlich sind die (Termin-)Angaben, die Sie im jeweiligen Studiendekanat bekommen!

Zi24.1, Zi24.2


Gruppeneinteilung Tutorien Mathe 1, WS 2015/16

Donnerstag, 8:00 - 9:30 Uhr (Biotechnologie, CuV) Kurs 1 SN 20.2 Jesús Andrés Duarte Kurs 2 PK 3.4 Alexander Hautke Kurs 3 RR 58.2 Simeon Renner Kurs 4 RR 58.4 Dominik Körner Freitag, 8:00 - 9:30 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie) Kurs 1 PK 14.3 Manuel Hohgardt (Raum 315 im Forumsgebäude, Pockelsstr. 14) Kurs 2 HR 30.1 Thorben Höltkemeier Kurs 3 HR 30.2 Artem Kalinin Kurs 4 RR 58.3 Hannah Schünemann


Zusatz-Tutorium u. Mathe-Vorkurs WS 2015/16

Zusatz-Tutorium Beginn: Dienstag 10.11.2015, 18:15 Uhr, Zeit kann ev. geändert werden Ort: PC-Seminarraum des Instituts für Physikalische und Theoretische Chemie (HR10.2, Raum 119), Hans-Sommer-Str. 10 Kursleiter: Thorben Höltkemeier Bitte keine Scheu! Mathe-Vorkurs (aus Institutsmitteln) Bitte Skript noch mal durchgehen/rechnen!


Literatur & Lehrmaterial Grundlegend für Vorlesung: A. Jüngel, H. G. Zachmann: Mathematik für Chemiker. VCH, 7. Auflage, 2014, 737 S. G. Brunner, R. Brück: Mathematik für Chemiker. Springer, 3. Auflage, 2013, 373 S. M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995, 456 S. L. Papula: Mathematik für Ingenieure u. Naturwissenschaftler Bd. 1. Vieweg+Teubner, 13. Aufl., 2011, 850 S., online herunterladbar im Unibereich, 5 MB! → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-8285-1 Nützlich, um Funktionsgraphen zu zeichnen: rechneronline.de/funktionsgraphen Weitere: H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1975/2012, 296 S. B. Frank, W. Schulz, W. Tietz: Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und Wissen, 1998, 368 S. E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and Sons, 2010, 1280 S. K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2003, 548 S. W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S. S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S. E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 680 S. Tabellenwerke: I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Europa-Lehrmittel, 9. Auflage, 2013, 1280 S., auch als E. Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik. Springer Vieweg, 3. Aufl. 2012, 1310 S., online herunterladbar im Unibereich, 11 MB → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-2359-5 J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992 Netzseite Bauerecker: Teil der Vorlesung in Form von Folien, wird im Verlauf des WS ergänzt.

Stand: WS 2015/16


Folienzusammenstellung zur Vorlesung Die folgende Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und mag Fehler enthalten. So freue ich mich über jeden Hinweis.

• Eigeninitiative! • Übungen noch wichtiger als Vorlesung! • Zusatztutorium, wenn nötig! • Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen. • Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz

Empfehlungen


Über Mathematik

Mathematik ist Geisteswissenschaft ⇒ Beweise, Sätze für immer gültig Chemie, Physik, Biologie sind Naturwissenschaften ⇒ hier Hypothesen, Theorien, Erfahrungssätze (z.B. 2. Hauptsatz der Thermodynamik) Mathematische Strukturen existieren unabhängig von der dinghaften Welt, aber sie beschreiben in erstaunlich vielfältiger u. treffender Weise weite Bereiche unserer Welt! Besonders im Großen (⇒ ) Und im Kleinen (⇒ ) Aber auch sonst, siehe Beispiele Tafel. ⇒ Vielfältige Anwendbarkeit der mathematischen Strukturen (hier Gleichungen) ⇒ Bezug zur Philosophie: „Mathematik als Sprache der Natur“

Relativitätstheorie Quantentheorie

Streng genommen „machen“ wir gar keine Mathematik. Wir bringen sie praxisbezogen für den Chemiker. Kaum Beweise.


Beispiel Median und Durchschnitt

„Oder warum Grundkenntnisse der Mathematik helfen, die Welt besser zu verstehen“.

Quelle: F.A.Z./EZB, http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/wirtschaftspolitik/armut-und-reichtum/ezb-umfrage-deutsche-sind-die-aermsten-im-euroraum-12142944.html


Mathematische Methoden der Chemie I • Zahlen (2 h)

• Funktionen (4 h)

• Differentialrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Folgen und Reihen (4 h)

• Differentialrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (8 h)

• Integralrechnung von Fktn. mehrerer Veränderlicher (6 h)

• Differentialgleichungen (8 h)

∑ = 56 h = 14 Wochen

Mathematische Methoden der Chemie II • Vektoralgebra und -geometrie (6 h)

• Vektoranalysis (4 h)

• Matrizen, Determinanten (6 h)

• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)

• Koordinatentransformationen (2 h?)

• Einführung in Mathematica (2 h?)

• Fehlerrechnung?

• Funktionentheorie?

• Gruppentheorie?

• Numerische Methoden?

∑ = 28 h = 14 Wochen

Inhaltsübersicht der Vorlesungen


Griechisches Alphabet


Rationale Zahlen

Die Division führt wesentlich aus den ganzen Zahlen heraus. ⇒ Bestreben, Division uneingeschränkt durchführen zu können, führt zur Erweiterung der Rationalen Zahlen. Dies sind alle durch m/n darstellbare Zahlen (also auch die ganzen Zahlen). n muss ungleich 0 sein, weil die Division durch 0 unsinnig und nicht erlaubt ist! p = m/n ist gleichbedeutend mit n ⋅ p = m Kürzung von Brüchen, z.B. Addition (Erweiterung der Summanden) Rationale Zahlen sind geordnet: p = m/n ist größer als q = k/l wenn p – q > 0 ist.

nllmnk

nm

lk

⋅⋅+⋅

=+

25

410

820

==

Wichtiger Satz: Die rationalen Zahlen liegen auf der Zahlengeraden überall dicht. (D.h., in jedem noch so kleinen Teilstück liegen rationale Zahlen).


Reelle Zahlen

Weitere Zahlen auf der Zahlengeraden sind die Wurzeln die transzentdenten Zahlen Wurzeln, z.B. √2, sind nicht als rationale Zahlen darstellbar. Sie können jedoch beliebig genau – nicht exakt! – durch rationale Zahlen angenähert werden. Transzendente Zahlen, z.B. π = 3,1415… und e = 2,7182…, sind wiederum weder als Wurzel noch als rationale Zahlen darstellbar. Sie werden durch unendliche Reihen definiert.

Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen

Irrationale Zahlen Reelle Zahlen Sie bedecken die

Zahlengerade vollständig.


Intervalle

Intervalle zwischen a und b umfassen alle reellen Zahlen zwischen diesen Grenzen. Offenes Intervall (a, b)

Links offenes Intervall (a, b]

Rechts offenes Intervall [a, b)

Geschlossenes Intervall [a, b]

Eckige Klammer „[“: Grenze dabei

Runde Klammer „(“: Grenze nicht dabei


In Praxis bedeutsame Logarithmen

Natürlicher Logarithmus: logep = ln p, Basis e = 2,7182…

Dekadischer Logarithmus: log10p = lg p, Basis 10

„Zweier“-Logarithmus: log2p = ld p, Basis 2

Beispiel Basisumrechnung vom natürlichen in dekadischen Logarithmus (Gleichung und Ableitung siehe Vorlesung): logep = loge10 ⋅ log10p ⇒

10lnlnlg pp =


Jeder komplexen Zahl z = a + bi entspricht ein geordnetes Paar von reellen Zahlen (a,b). z* = a – bi heißt konjugiert komplexe Zahl zu z = a + bi. Offensichtlich ist auch z konjugiert komplex zu z*. (Man spiegelt an reeller Achse). a) Betrag , geometrisch ist das nach Pythagoras die Länge der Strecke von 0 nach z. b) Gleichheit. Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in Realteil a = Re(z) und Imaginärteil b = Im(z) übereinstimmen. Größer- und Kleiner-Beziehungen gelten nicht ohne weiteres (nur über Betrag). c) Addition z = z1+ z2 = a1 + b1i + a2 + b2i = (a1+a2) + (b1+b2)i = a + bi Damit kann man die Addition komplexer Zahlen als Aneinanderreihen von Zahlenpfeilen in der Gaußschen Zahlenebene auffassen (Vektoraddition). d) Multiplikation, siehe Vorlesung. e) Division, siehe Vorlesung. Komplexe Zahlen erweisen sich als sehr wichtig, insbesondere in der Quantenchemie.

22 baz +=

Rechnen mit komplexen Zahlen


Eulersche Formel

Komplexe Zahlen lassen sich über die Eulersche Formel in Polardarstellung schreiben: mit Die Herleitung erfolgt (später) aus der Reihenentwicklung der trigonometrischen Funktionen.

φφφ sincos iei +=

φφφ iezizibaz ⋅=+⋅=+= )sin(cos

φ

φ

sin

cos

⋅=

⋅=

zb

za


Produkte und Produkte von Summen

d) Produkte von Summen

∑∑∑∑= ===

=⋅n

mi

l

kjji

l

kjj

n

mii baba

hängt nicht von j ab ⇒ kann aus Summe herausgezogen werden

Aber, bei gleichen Indices muss erst ein Index umbenannt werden (bitte an Bsp. selbst nachvollziehen):

∑∑∑∑∑∑= == ===

≠=⋅n

mi

l

kiii

n

mi

l

kjji

l

kii

n

mii bababa

Produktzeichen Man liest: „Produkt über alle ak von k gleich 1 bis n“.

∏=

=⋅⋅⋅⋅n

kkn aaaaa

1321 ...


Rechnen mit Ungleichungen

„äquivalent, gleichbedeutend“ ⇔ „aus a folgt b“ a ⇒ b „a größer b“ a > b ⇔ a – b > 0 „a größer/gleich b“ a ≥ b ⇔ a – b ≥ 0 „a kleiner b“ a < b ⇔ a – b < 0 „a kleiner/gleich b“ a ≤ b ⇔ a – b ≤ 0

a) a > b ⇒ a + c > b + c für jede reelle Zahl, es gilt auch ac > bc für c > 0, aber ac < bc für c < 0 a > b ⇒ - a < - b (Addition, Multiplikation mit Zahl)

b) a > b und c > d ⇒ a + c > b + d (Addition zweier Ungleichungen)

c) a, b, c, d positiv, dann gilt: a > b und c > d ⇒ ac > bd (Multiplikation zweier Ungleichungen)

d) a > b ⇒ 1/a < 1/b für a, b > 0 (Stürzen einer Ungleichung)

e) a > b ⇒ √a > √b (Wurzelbildung)

f) |x+y| ≤ |x| + |y| (Dreiecksungleichung: Im Dreieck ist eine beliebige Seite stets kleiner als die Summe der anderen Seiten), gilt für reelle und komplexe Zahlen


Die Wertemenge von x, für die die Funktion definiert ist, heißt Definitionsbereich (Domäne) der Funktion. Sämtliche y bilden zusammen den Wertebereich (Wertevorrat) der Funktion. Wichtig an Funktionen ist die ihr eigene Zuordnungsvorschrift, nicht die Art der verwendeten Symbole (x, y, f, g, p, q, δ, φ, ♣,♥, ...). Diese hängen meist mit physikalischen oder chemischen Sachverhalten zusammen, z.B. v = v(t) Geschwindigkeit als Funktion der Zeit p = p(T) Druck als Funktion der Temperatur Die Erweiterung auf mehrere unabhängige Variable ist möglich: y = f(x1,x2, … xn), z.B. p = n/V⋅RT ideales Gasgesetz

Funktionen: Definitions- und Wertebereich


Beispiel: y = x3 Jedem Wert x wird ein Wert y zugeordnet. Umgekehrt kann jedem y genau ein x zugeordnet werden. Auflösung nach x: ist Umkehrfunktion zu y = x3. Umgekehrt gilt auch: y = x3 ist Umkehrfunktion zu

Umkehrfunktion implizit = „inbegriffen“

Quelle: Rechneronline.de

3/13 yyx ==

3 yx =

3 xy =3xy =

Umkehr- funktion


ϕ ist Umkehrfunktion (inverse Funktion) zu f, wenn f und ϕ eindeutige Funktionen sind und y = f(x) nach x = ϕ(y) auflösbar sind. Eine Funktion ist eindeutig, wenn jedem Argument genau ein Funktionswert zugeordnet wird. Grafisch wird die Umkehrfunktion durch Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden des Koordinatensystems gebildet. Sie ist dieselbe Funktion, nur gespiegelt.

Umkehrfunktion Definition

3 xy =

3xy =



Die Gleichungen y = f(x) und x = ϕ(y) nennt man explizite Darstellung der Funktionen f und ϕ , die grundsätzlich gleichberechtigt sind. Bringt man alle Glieder der Gleichungen auf die linke Seite, also y – f(x) = 0, x – ϕ(y) = 0, so ergibt sich die implizite Darstellung F(x, y) = 0, die beide Funktionen implizit angibt. Die implizite Darstellung einer Funktion ist also allgemeiner als die explizite.

Implizite Darstellung


Nullstellen sind x-Werte für die y = f(x) = 0 ist. Funktionen heißen monoton wachsend, wenn f(x1) ≥ f(x2) für x1 > x2, streng monoton wachsend, wenn f(x1) > f(x2) für x1 > x2, (streng) monoton fallend analog. Eine Funktion ist gerade (symmetrisch zur y-Achse), wenn f(x) = f(– x), Beispiel: y = x2. Eine Funktion ist ungerade (symmetrisch zum Ursprung), wenn f(x) = –f(– x), Beispiel: y = x3. Eine Funktion ist periodisch mit Periode p, wenn f(x) = f(x+p), Beispiel: y = sinx. Die Variable y durchläuft mit wachsendem x immer wieder dieselben Werte.

Charakterisierung von Funktionen


Zwei Arten: • Algebraische Funktionen bauen sich aus Polynomen der Variablen auf. Die

implizite Funktion P(x,y) = 0 mit P(x,y) als beliebiges Polynom in x und y heißt algebraische Funktion. Diese allgemeine Form umfasst auch Wurzeln.

Beispiel 1: y2 – x2 + 3xy – 2 = 0

Beispiel 2a: y3 – x = 0 definiert die algebraischen Funktion

Beispiel 2b: y2 + 2xy – 3 = 0 definiert

• Transzendente Funktionen sind die nicht-algebraischen Funktionen.

Beispiele: y = cosx, y = ex, y = lnx

Einige wichtige Funktionen

32 +±−= xxy

3 xy =


Wir betrachten ein allgemeines Polynom als Gleichung n-ten Grades in x. Die ai und die x können komplex sein:

xn + an–1xn–1 + ...+ a1x + a0 = 0

Diese Gleichung hat genau n Lösungen (Wurzeln) x1, x2, ..., xn, mit denen sie sich in ein Produkt mit n Faktoren zerlegen läßt:

(x – x1)·(x – x2)·... (x – xn) = 0

Beide Gleichungen sind äquivalent (gleichwertig, Symbol ⇔).

Wenn eine Lösung xi bekannt ist, so kommt man durch Teilen durch (x – xi) auf eine Gleichung vom Grad n – 1. Die Lösungen lassen sich durch Formeln nur für Gleichungen bis Grad 4 darstellen. Für höhere Grade benutzt man numerische Methoden.

Der Fundamentalsatz sagt nur, dass Lösungen existieren und nicht wie man sie findet. Sie können teilweise oder vollständig zusammenfallen.

(GAUSS, 1799)

b) Fundamentalsatz der Algebra

Quelle: 10 DM Schein


Kreis (Radius r)

Ellipse (Halbachsen a, b)

Parabel (Distribution)

Hyperbel ( n ungerade, n gerade)

Parabeln n-ten Grades ( n ungerade, n gerade, n ≥ 1)

Gerade

Reaktionskinetik nach Michaelis-Menten

Spektrallinie, Lorentz-Form d. Frequenzverteilung

Zwischenmolekul. Potential nach Lennard-Jones

nach M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker

Algebraische Funktionen


Gaußfunktion

(auch: Gaußsche Verteilung, Gaußsche Glockenkurve)

2xey ⋅−⋅= α

πα

• geht für x → ± ∞ gegen 0 • hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0 • ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)

• Form hängt nur von Parameter α ab, • je größer α, desto steiler die Glockenkurve • Anwendung in Statistik und Fehlerrechnung als Normalverteilung



Gaußfunktion


2xey ⋅−⋅= α

πα

Nullpunktsverschie-bung um x0

20 )( xxey −⋅−⋅= α

πα • geht für x → ± ∞ gegen 0

• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0 • ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)




Gaußfunktion


2xey ⋅−⋅= α

πα

Nullpunktsverschie-bung um x0

20 )( xxey −⋅−⋅= α

πα • geht für x → ± ∞ gegen 0

• hat Maximalwert ymax = √(α/π) bei x = 0 • ist gerade Funktion (symmetrisch zur y-Achse)


Für immer größere α erreicht man im Grenzwert die Diracsche Deltafunktion:

Dieser Limes (Grenzwert) existiert eigentlich nicht. δ(x) ist streng genommen keine Funktion, sondern eine Distribution (Verallgemeinerung des Funktionsbegriffes). Sie ist in der Quantenmechanik sehr wichtig!

2

/lim)( xex ⋅−

∞→⋅= α

απαδ

Deltafunktion α → ∞



Exponentialfunktionen – abgeleitete Fktn

Wachstum Population, Explosion, Lawine, Anfangsphase Reaktion

Negative e-Funktion, Aufladung Kondensator, Lernen einer Sprache

T-Abhängigkeit Wärmekapazität von Festkörpern, qual.; Reaktionskinetik

Radioaktiver Zerfall, Wärmeausgleich

Statistik, Normalverteilung, Spektrallinie, Gaskinetik


d) Kreisfunktionen

Definitionen:

ϕ=

ϕϕ

===ϕ

ϕϕ

===ϕ

==ϕ

==ϕ

tan1

sincos

teGegenkatheAnkathetecot

cossin

AnkatheteteGegenkathetan

HypotenuseAnkathetecos

HypotenuseteGegenkathesin

yx

xy

rx

ry

Sinus

Kosinus

Tangens

Kotangens


ϕ

Tangens und Cotangens

• tanϕ und [cotϕ] sind periodische, ungerade Funktionen mit Periode π.

• Sie sind nicht definiert für ϕ = (n + ½) π, [ϕ = n π], weil hier der Kosinus [Sinus] verschwindet. Ihre Graphen haben hier Pole.

• Der Tangens [Kotangens] wird bei linksseitiger Annäherung an die Pole +∞ [–∞] und wächst [fällt] monoton im Intervall (–π/2, π/2) [(0, π)].

• Nullstellen: tanϕ = 0 für ϕ = n π, cotϕ = 0 für ϕ = (n + ½) π

• Es gilt: cotϕ = tan(π/2 – ϕ)

y = cot ϕ

y=cot ϕ

π/2 -π/2


-π π


Additionstheoreme

Ohne Beweis. Weitere Additionstheoreme ⇒ siehe Formelsammlung

2sin

2cos2sinsin

sinsincoscoscos(

sincoscossinsin(

ψ−ϕψ+ϕ=ψ−ϕ

ψ⋅ϕ−ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ

ψ⋅ϕ+ψ⋅ϕ=)ψ+ϕ


Arcusfunktionen

Funktion Monoton steigend/ fallend in

Arcusfunktion (Umkehrfunktion)

Definitions- bereich

Werte- bereich

Eigenschaften

sin x - π/2, π/2 arcsin x -1, 1 - π/2, π/2

ungerade

cos x 0, π arccos x -1, 1 0, π weder gerade noch ungerade

tan x - π/2, π/2 arctan x reelle Zahlen

- π/2, π/2

ungerade

cot x 0, π arccot x reelle Zahlen

0, π weder gerade noch ungerade


Arcusfunktionen: arccos x und arctan x

y = arccos x y = arccot x

Die Arcusfunktionen sind wichtig zum Auflösen von Gleichungen mit Kreisfunktionen, z.B. cos x = a, x gesucht ⇒ x = arccos a ist Lösung. Wegen der Vieldeutigkeit sind aber auch andere Lösungen möglich: x = arccos a + 2nπ



Hyperbelfunktionen: tanh x und coth x

y = coth x

y = tanh x


Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Area-Funktionen, z.B. arsinh, artanh. Werden hier nicht behandelt.


Spezielle Funktionen

xy 1sin=

xxy 1sin=Definiert bis auf x = 0

Nullstellen: x = ± nπ, n = 1, 2, 3, ...

Maxima/Minima: x = 1 / ((n + ½) π), n ganze Zahl

Funktion ist ungerade, oszilliert mit zunehmender „Frequenz“ für x→ 0

Funktion ist gerade, oszilliert mit zunehmender „Frequenz“ für x→ 0

Amplitude verschwindet für x→ 0


a) Grenzwert einer Funktion

Definition (siehe auch Skizze Vorlesung): f(x) besitzt an der Stelle x0 den Grenzwert g, wenn sich zu einem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden läßt, so daß für alle x aus der δ-Umgebung die Differenz zwischen f(x) und g betragsmäßig unterschritten bleibt:

|f(x) – g| < ε für |x – x0| < δ

● Je kleiner ε vorgegeben wird, desto kleiner muß δ sein ● δ hängt von ε und in der Regel auch von x0 ab!

Andere Schreibweise der Grenzwertdefinition: „der Limes von f(x) für x gegen x0 ist g“

Linksseitiger Grenzwert für x < x0:

Rechtsseitiger Grenzwert für x > x0:

● Beide Grenzwerte können, müssen aber nicht übereinstimmen

lxxgxf =

→)(lim

0

rxxgxf =

→)(lim

0

gxfxx

=→

)(lim0


Stetigkeit von Funktionen

Eine Funktion heißt stetig an der Stelle x0, falls

ist, d.h., falls der Grenzwert mit dem Funktionswert von x0 übereinstimmt.

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn das δ in der Grenzwertdefinition nur von ε und nicht von x0 abhängt.

Eine Funktion heißt im Intervall stetig, wenn sie an jeder Stelle des Intervalls stetig ist. Sie ist auch gleichmäßig stetig, wenn dies für ein abgeschlossenes Intervall gilt (Satz).

)()(lim 00

xfxfxx

=→

• Die für die Anwendungen wichtigen Funktionen sind meistens stetig

• oder haben nur einzelne Unstetigkeitsstellen (Singularitäten), wie – Pole, Unendlichkeitsstellen, – Sprungstellen, – Unbestimmtheitsstellen.


Sätze über stetige Funktionen

1. Satz von Weierstraß Eine im abgeschlossenen Intervall [x1, x2] stetige Funktion f(x) hat in diesem Intervall einen kleinsten und einen größten Wert.

2. Zwischenwertsatz Diese Funktion nimmt jeden zwischen f(x1) und f(x2) gelegenen Wert mindestens einmal an.

3. Satz von Bolzano-Weierstraß Haben f(x1) und f(x2) dieser Funktion verschiedene Vorzeichen, so gibt es zwischen x1 und x2 mindestens eine Nullstelle x0 mit f(x0) = 0.

4. Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen ergeben wieder stetige Funktionen. Beim Quotient darf die Funktion im Nenner nicht Null werden.

5. Eine zusammengesetzte (mittelbare) Funktion y = f[g(x)] ist stetig, wenn die Funktionen y = f(z) und z = g(x) stetig sind.


Darstellung v. Funktionen mehrerer Veränderlicher

1. Analytische Darstellung ist die umfassenste z = g(x,y), ρ = h(x,y,z) 2. Tabellierung bietet nur begrenzte Möglichkeiten y = f(x) einige Seiten einige kB digitalen Speicher z = g(x,y) ein Buch einige MB (siehe L. Papula → 5 MB) ρ = h(x,y,z) eine Bibliothek einige GB bis einige TB (1 TB ≈ 20000 digitale Bücher ≈ 700 m Regallänge) 3. Graphische Darstellung y = f(x) Linie in Ebene (2dimensional) z = g(x,y) Fläche im Raum (3dimensional) ρ = h(x,y,z) Dichtefunktion im Raum (4dimensional) ϕ = s(x,y,z,t) Zeitlich veränderliche Dichtefunktion im Raum (5dimensional) (mehr Dimensionen sind nicht mehr sehr anschaulich) Beispiele: siehe Vorlesung


Erste Ableitung einer Funktion

α==−+

=

α=−+

=

−∆+=−=−=

→→tanlimlim:alquotientDifferenti

:null)gegen ( gegen angGrenzüberg

tan:nquotientDifferenze

)()( und

00

1

1

11

dxdy

Δxf(x)Δx)f(x

ΔxΔy

Δxxx

Δx

f(x)Δx)f(xΔxΔy

xfxxfyyΔyxxΔx

ΔxΔx

Differenzenquotient:

Differenzialquotient:

Die Ableitung der Funktion f(x), bezeichnet man mit f '(x), y'(x), y' oder dy/dx. Sie entspricht der Tangenten-Steigung bei x.

Möglich ist auch, mit Differenzialen zu rechnen, z.B. mit dx, dy: dy = dx · tan α, dy = f '(x) dx.

Die Operation Ableiten der Funktion heißt Differenzieren oder Differenziation. Dabei wird immer der Grenzwert ausgerechnet. (Bruch vor Grenzübergang kürzen).


Differenzierbarkeit einer Funktion

Satz:

Ist eine Funktion an einer Stelle differenzierbar, so ist sie dort auch stetig. Die Umkehrung des Satzes gilt nicht (siehe Beispiel Betrags-Funktion)! Veranschaulichung der Differenzierbarkeit (keine exakte Definition):

Eine stetige Kurve (Funktion) ist differenzierbar, wenn sie keine Ecken, Spitzen oder Kanten hat.

Die gewöhnlich auftretenden Funktionen sind differenzierbar!


Binomischer Satz

321234

34

,1

,10

...21)1(...)1(

)!(!!

...210

)(0

2211

⋅⋅⋅⋅

=

=

=

=

⋅⋅⋅+−⋅⋅−

=−

=

=

++

+

+

=+ ∑

=

−−−

nn

nnn

kknnn

knkn

kn

bakn

bnn

ban

ban

an

ban

k

knknnnnn

Binomialkoeffizienten

bilden das

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 u.s.w.

Pascalsche Dreieck n! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“

Der Satz kommt aus der Kombinatorik. Die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck liefern im Grenzfall n → ∞ die Normalverteilung (siehe auch Galtonsches Brett).


Sierpinski-Dreieck, Galtonsches Brett, …

Quelle: Adrian Jablonski Quelle: Justus-Liebig-Universität Gießen

Fraktale (selbstähnliche) Strukturen: Sierpinski-Dreieck

Normalverteilung (Gauß-Verteilung): Galtonsches Brett

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 u.s.w.

Pascalsches Dreieck

2xey ⋅−⋅= α

πα

Gauß-Funktion

mailto:[email protected]�


Allgemeine Ableitungsregeln

1. Konstante c (c·u)' = c·u'

2. Summe und Differenz (c + u)' = c' + u'

3. Produktregel (u·v)' = u'·v + u·v' (u·v·ϕ)' = u'·v·ϕ + u·v'·ϕ + u·v·ϕ' ...

4. Quotientenregel

u, v, ϕ differenzierbare Funktionen mit u' = du/dx, v' = dv/dx, ϕ'(x) = dϕ/dx, ϕ'(u) = dϕ/du

5. Kettenregel für zusammengesetzte Funktionen ϕ(u), u(x): ϕ' = dϕ/du · u' 6. Umkehrfunktion Ist u(x) streng monoton und differenzierbar, dann besitzt u eine eindeutige, monotone und differenzierbare Umkehrfunktion ϕ(u) mit ϕ' = 1/ u'

7. Logarithmische Ableitung Hat eine Funktion die Form ϕ(x) = u(x)v(x), logarithmiert man erst beide Seiten und bildet dann die Ableitung.

2vvuvu

vu ′−′

=

'


Erste Ableitung einiger Funktionen

y y' Definitions- bereich von y

y y' Definitions- bereich von y

tan = tg, cot = ctg


Numerisches Differenzieren

Anstelle des Differenzialquotienten wird näherungsweise der

Differenzenquotient verwendet,

mit möglichst kleinen Schritten ∆x.

Man stellt dann eine Tabelle für x, y, auf.

Beispiel: Newton-Verfahren

Δx

f(x)Δx)f(xΔxΔy −+

=

dxdy

xy

∆∆


Mittelwertsatz der Differenzialrechnung

Wenn die Funktion f(x) im Intervall (a, b) differenzierbar und für a, b stetig ist, so gilt für mindestens ein ζ aus (a, b)

f '(ζ) = (Mittelwertsatz)

Anschaulich: Die Tangente bei ζ hat die gleiche Steigung wie die Sekante bei a, b.

Spezialfall: f(a) = f(b) = 0, f '(ζ) = 0 (Satz von Rolle)

Andere Form: f(x + ∆x) = f(x) + ∆x · f '(x + δ·∆x) mit a = x, b = x + ∆x, ζ = x + δ·∆x, δ bestimmte Zahl zwischen 0 und 1

f(b) – f(a) b – a

wird in Vorlesung WS 2015/16 nicht behandelt!


Regel von De L´Hospital

Unbestimmte Ausdrücke: 0/0, ∞/∞, 0⋅∞, ∞ – ∞ Die Funktion ϕ(x) = f(x) / g(x) mit g(a) = 0 ist bei x = a nicht differenzierbar. f, g seien differenzierbar.

Hebung der Unbestimmtheit: ϕ(x) bekommt bei a den Grenzwert zugeordnet. Falls f(a) ≠ 0, so gilt ϕ(a) = ∞. Falls f(a) = 0, so liegt ein unbestimmter Ausdruck vor. Dann gilt die

Regel von De L´Hospital:

Falls wird die Regel nochmals angewendet, u.s.w. Entsprechendes gilt für und Andere unbestimmte Formen, wie 0⋅∞, ∞ – ∞ werden erst auf die Form 0/0 oder ∞/∞ gebracht, dann wird die Regel angewendet.

)()(lim)(lim)(

xgxfxa

axax →→== ϕϕ

00

)()(=

agaf

)(')('lim

)()(lim

xgxf

xgxf

axax →→=

00

)(')('=

agaf

∞∞

=)()(

agaf

∞∞

=)(')('

agaf


Kurvendiskussion

f(x) = f(–x) symmetrisch zur y-Achse, gerade Funktion f(x) = –f(–x) symmetrisch zum Ursprung, ungerade Fktn.

f(x) = 0 Nullstelle

f '(x) > 0 [f '(x) < 0] monoton steigend [fallend]

f '(x) = 0 und f ''(x) < 0 [f ''(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum] f '(x) = f ''(x) = ... = f (n-1)(x) = 0: n gerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] relatives Maximum [rel. Minimum] n ungerade, f (n)(x) < 0 [f (n)(x) > 0] Terassenpunkt, fallende [steigende] Kurve f ''(x) > 0 Linkskrümmung (konkav nach oben) f ''(x) < 0 Rechtskrümmung (konvex nach oben)

f ''(x) = 0 und f '''(x) < 0 Wendepunkt mit Links-Rechts-Krümmung f ''(x) = 0 und f '''(x) > 0 Wendepunkt mit Rechts-Links-Krümmung


Physikalische Größen mit Differenzialausdrücken


Mehrfache Ableitung: Beschleunigung

Weg

Geschwindigkeit (1. Ableitung)

Beschleunigung (2. Ableitung)


Übersicht Analysis

Analysis Infinitesimal- Variations- Funktionen- inkl. komplexe rechnung rechnung theorie Zahlen Differenzial- Integral- rechnung rechnung

Leibnitz, Newton, Ende 17. Jahrh. unabh. voneinander entdeckt.

⇒ Sehr wichtig. Keim für exakte Natur- wissenschaften, z.B Mechanik, Astronomie. Differenzialbegriff führt zu Differenzial- Gleichungen.

Differenziale werden als kleine – aber nicht unendlich kleine – Größen aufgefasst. Bsp. Massendichte ρ = dm/dV: dV nicht zu klein, sonst löst man Raum zwischen den Atomkernen auf!


Sätze über bestimmte Integrale

∫∫∫ +=c

b

b

a

c

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

∫∫ ⋅=⋅b

a

b

a

dxxgcdxxgc )()(

[ ] ∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxfdxxgdxxfxg )()()()(

0)( ,)()( =−= ∫∫∫a

a

a

b

b

a

dxxfdxxfdxxf

∫∫ ♥♥=b

a

b

a

dfdxxf )()(

1. Ein Integral lässt sich aus zwei Integralen benachbarter Teilintervalle zusammen setzen.

2. Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werden.

3. Das Integral über die Summe [Differenz] zweier Funktionen ist gleich der Summe [Differenz] der Integrale über die einzelnen Funktionen.

4. Die Vertauschung der Grenzen ändert das Vorzeichen des Integrals.

5. Die Integrationsvariable ist frei wählbar: x, y, ϕ, ♥...


Unbestimmtes Integral – Fundamentalsatz

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F '(x) = f(x). Ist F(x) Stammfunktion, so ist es auch F(x) + c (c beliebige Konstante). Das Aufsuchen der Stammfunktion ist die Umkehrung der Differenziation.

Diese Beziehung zwischen unbestimmtem und bestimmtem Integral (Fläche zwischen a und b) heißt Fundamentalsatz der Differenzial- und Integralrechnung.

Wir fassen die obere Grenze im bestimmten Integral als Variable auf: Dann gilt: ϕ(x) ist differenzierbar (und damit stetig) und ϕ(x) ist Stammfunktion von f(x) mit ϕ'(x) = f(x).

∫=ϕx

a

duufx )()(

Die Gesamtheit aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral von f(x): ∫ += cxFdxxf )()(

Wenn ϕ, F Stammfunktion von f, dann gilt: ϕ(x) = F(x) + c und ∫ +=x

a

cxFduuf )()(

Bestimmung von c: F(a) + c = 0 für x = a. Daher: c = -F(a) und ∫ −=x

a

aFxFduuf )()()(

und dx

xdFxfxFaFbFdxxf ba

b

a

)()(mit )]([)()()( ==−=∫


Integrationsverfahren

Zwei Prozeduren zum Integrieren einer Funktion sind möglich:

a) Berechnung des Integrals über Summendefinition. Unbestimmtes Integral lässt sich möglicherweise als Formel gewinnen.

b) Berechnung des Integrals über Stammfunktion. Fallunterscheidung:

– Stammfunktion existiert, aber nicht als Formel, wie z.B. y = e-x2

⇒ Tabelle, numerische Integration, Reihenentwicklung

– Stammfunktion existiert (Integralverzeichnis Bronstein, Gradshteyn) ⇒ Grenzen einsetzen, Integral berechnen

– Stammfunktion existiert, aber Bestimmung schwierig ⇒ Integrationsverfahren (Substitution, partielle Integration, Rekursion, Partialbruchzerlegung) müssen angewendet werden. Integrieren ist schwieriger als Differenzieren.


Partielle Integration

u(x) und v(x) seien differenzierbare Funktionen. Dann gilt:

'')( uvvuvudxd

⋅+⋅=⋅

dxuvdxvuvu ∫∫ ⋅+⋅=⋅ ''

dxuvvudxvu ∫∫ ⋅−⋅=⋅ ''

Integration:

Umformen:

Ziel: Mit dieser Formel kann das linke Integral auf das oft einfachere rechte Integral zurückgeführt werden.

Produktregel:


Partialbruchzerlegung

mm

nn

xbxbbxaxaa

xgxhxf

++++++

==......

)()()(

10

10Satz: Echt gebrochen rationale Funktionen (n < m) lassen sich in eine Summe von Brüchen zerlegen, die man elementar integrieren kann.

1. Fall: g(x) hat m verschiedene reelle Nullstellen s1, ..., sm. Dann gilt: m

m

sxA

sxA

sxA

xgxh

−++

−+

−= ...

)()(

2

2

1

1

Falls Nullstelle sk genau g mal auftritt, so ersetzt man g

k

kg

k

k

k

k

k

k

sxA

sxA

sxA

sxA

)(...

)(durch 2

21

−++

−+

−−

2. Fall: g(x) hat m verschiedene (konjugiert) komplexe Nullstellen s1 ± i r1, ..., sm ± i rm:

2222

22

222

12

1

11

)(...

)()()()(

mm

mm

rsxCxB

rsxCxB

rsxCxB

xgxh

+−+

+++−

++

+−+

=

Falls Nullstelle sk ± i rk genau g mal auftritt, so ersetzt man

[ ] [ ]gkgkg

kgkg

kk

kk

kk

kk

kk

kk

rsx

CxB

rsxCxB

rsxCxB

rsxCxB

22222

22

2221

21

1122 )(

...)()(

durch )( +−

+++

+−

++

+−+

+−+

Die Ai, Akj, Bi, Bkj, Ci, Ckj sind reelle, eindeutig bestimmte Zahlen, die sich durch Erweiterung der Partialbrüche auf einen gemeinsamen Nenner berechnen lassen (Koeffizientenvergleich).


Integraltafel

∫∫ −− −−

+−

= 1212 )1(232

)1(2 kkk Xdx

rkk

Xrkx

Xdx

a)

b)

(Bronstein, Gradshteyn, Netz, ...)

221 ,1

)1(21 rxXk

XkXxdx

kk +=≠−

−=∫ −


Reaktionen im Ultraschallfeld

Frohe Weihnachten!


Uneigentliche Integrale

Funktion f wird bei p unendlich (Pol). Man kann dann nicht bis p integrieren, darf sich aber p beliebig annähern.

1. Fall: Integral divergiert (wächst über alle Grenzen). Grenzwert existiert nicht. 2. Fall: Integral konvergiert, d. h. Grenzwert existiert:

∫∫ε−

→ε=

p

a

p

a

dxxfdxxf )()(lim0

p x

y

Weitere konvergierende uneigentliche Integrale sind definiert, wenn die Grenzwerte existieren:

)()(lim ∫∫∞

∞→=

a

b

ab

dxxfdxxf

)()(lim)(lim ∫∫ ∫∞

∞−∞→−∞→

=+ dxxfdxxfdxxfc

a

b

cba

∫∫+

→=

b

p

b

p

dxxfdxxf )()(lim0

εε

und entsprechend:

∫∫∞−

−∞→=

bb

aa

dxxfdxxf )()(lim

a


Uneigentliche Integrale: Veranschaulichung

Anschauliche Erklärung Konvergenz/Divergenz bei Annäherung an p: Berechnung Integral (= Fläche unter der Kurve) durch schmale Rechtecke gleicher Fläche. Zwei Fälle möglich:

a) Rechteckbreite geht schneller gegen 0 als Höhe gegen ∞ ⇒ Integral konvergiert. b) Rechteckbreite geht langsamer gegen 0 als Höhe gegen ∞ ⇒ Integral divergiert.

p x

y


5. Definition von Funktionen durch Integrale

Es gibt Funktionen, deren Stammfunktionen existieren, aber nicht geschlossen (als übliche Formel) darstellbar sind.

2

, , ln1 , sin x

x

exe

xxx −Beispiele:

Ihre Integrale definieren „neue“ Funktionen. Diese werden durch numerische Integration oder Reihenentwicklung berechnet (⇒ tabellarische Darstellung).

Beispiel: Fehlerintegral (Error Function)

dtexx

t∫ −

π=

0

22erf 12erf0

2

=π

=∞ ∫∞

− dte t

1

1

0

0 3

3

xy erf=

2xey −=

Anwendungen: Wahrscheinlichkeitstheorie, Thermody- namik, ...


Simpsonsche Regel

Im Vergleich zur Rechteckregel und Trapezregel liefert die Simpsonsche Regel (als stück- weise quadratische Näherung) eine höhere Genauigkeit bei der numerischen Integration.

a x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn = b

1. Parabel 2. Parabel

letzte Parabel Jeweils 2 Streifen werden durch die

Fläche unter einem Parabelbogen gebildet. Die einzelnen Parabeln sind jeweils durch 3 Punkte (xa, ya), (x1, y1), (x2, y2), dann (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), u.s.w. bestimmt. Es folgt für gerade n:

[ ]bnna

b

a

ffffffffhdxxf ++++++++≈ −−∫ 124321 42...24243

)(

f(x)

…


Anwendungen Integralrechnung

a b x

y

Kurvenintegral, Bogenlänge s: ∫ ′+=

b

a

dxxgs )(1 2 g stetig

Schwerpunkts- koordinaten von Flächen- stücken: ∫

∫

∫

∫ ⋅=

⋅= b

a

b

asb

a

b

as

dxxf

dxxfxfy

dxxf

dxxfxx

)(

)()(21

,)(

)(

1. Guldinsche Regel:

Beispiel Kreisringtorus: V = π r2 · 2 π R = 2 π2 r2 R

Volumen Rotationskörper = rotierende Fläche

x Weglänge Flächenschwerpunkt

y = g(x)


Unendliche Zahlenfolgen

Eine Anordnung von (unendlich vielen) Zahlen heißt (unendliche) Zahlenfolge

a1, a2, a3, …

Eine Folge heißt beschränkt, wenn es Schranken (Zahlen) m, M gibt, mit

m ≤ ai ≤ M für alle i,

sonst heißt die Folge unbeschränkt.

Gilt für jedes i der Folge und jedes j > 0 die Ungleichung ai < (>) ai+j, so ist die Folge streng monoton wachsend (abnehmend).

Eine Zahl x ist Häufungspunkt einer Zahlenfolge, wenn es in jeder noch so kleinen ε - Umgebung von x, d.h. im Intervall [x - ε, x + ε], unendlich viele Glieder der Folge liegen.


Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte, unendliche Folge hat mindestens einen Häufungspunkt. Besitzt eine Folge genau einen Häufungspunkt, so streben alle an für n -> ∞ diesem zu. Diese Folge heißt konvergent gegen den Grenzwert (Häufungspunkt) A Sonst heißt die Folge divergent.

Aann=

∞→lim


Unendliche Folgen – Konvergenzkriterien

Kriterium 1 (notwendig und hinreichend) Eine Folge ist dann und nur dann konvergent gegen A, wenn in jeder beliebig kleinen Umgebung von A fast alle (also unendlich viele) Glieder liegen und außerhalb nur endlich viele. Kriterium 2 (notwendig und hinreichend) Eine Folge an konvergiert dann und nur dann gegen A, wenn zu jeder noch so kleinen Zahl ε > 0 eine natürliche Zahl existiert, mit |A – an| < ε, für alle n > N. Kriterium 3 (Cauchy) Eine beschränkte unendliche Folge ist dann und nur dann konvergent, wenn es zu jedem noch so kleinen ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, mit |am – an| < ε, für m, n > N. Kriterium 4 (nur hinreichend, denn es gibt konvergente nichtmonotone Folgen) Ein Folge, die monoton und beschränkt ist, konvergiert.


Unendliche Reihen

Eine unendliche Reihe besteht aus unendlich vielen Summanden Partialsummen (Teilsummen): Die Teilsummen bilden die Folge s0, s1, s2, s3, … Konvergiert diese Folge gegen einen Grenzwert (Summenwert) S, so heißt die Reihe konvergent: Andernfalls ist sie divergent.

∑ ∑∞

=

==++++0

3210 ...i i

ii aaaaaa

nn aaas

aaasaas

as

+++=

++=+=

=

......

10

2102

101

00

ni ni saS ∑∞

=∞→

==0

lim


Unendliche Reihen – Konvergenzkriterien

Konvergenzkriterium nach Cauchy. Eine unendliche Reihe ist genau dann konvergent, wenn

es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass gilt |Sm – Sn| = |un+1 + un+2 + …+ um| < ε, mit

m, n > N.

Konvergenzkriterium nach Leibnitz. Eine alternierende unendliche Reihe ist genau dann

konvergent, wenn die Glieder vi der Reihe monoton abnehmen und ist.

Quotientenkriterium. Gilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent,

für k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte

Grenzwert nicht, d.h., die Folge |un+1/un| hat mehrere Häufungspunkte, so ist die Reihe

konvergent, wenn der größte Häufungspunkt < 1 ist, und divergent, wenn der kleinste

Häufungspunkt > 1 ist.

Wurzelkriterium. Gilt für eine Reihe , so ist die Reihe für k < 1 konvergent, für

k > 1 divergent und für k = 1 kann keine Aussage gemacht werden. Existiert der angeführte

Grenzwert nicht, so gilt das Analoge wie beim Quotientenkriterium.

∑∞

=1iiu

∑∞

=

−1

)1(i

ii v

0lim =∞→ in

v

ku

uun

n

ii =+

∞→

∞

=∑ 1

n1lim

kuu nn

ii =

∞→

∞

=∑ n1

lim


Integralkriterium

Wenn die Glieder einer Reihe positiv sind und sich als Funktionswerte

ai = f(i), i = 1, 2, …, einer im Intervall x ≥ 1 stetigen, monoton fallenden Funktion

f(x) darstellen lassen, so ist die Reihe genau dann konvergent, wenn das Integral

konvergiert.

1 2 3 4 5 6 x

y = f(x)

y

a1 a2 a3 a4 a5 a6

∑∞

=1iia

∫∞

1

)( dxxf

…


Rechnen mit unendlichen Reihen

Assoziatives Gesetz Bei einer konvergenten Reihe darf man die Glieder beliebig durch Klammern zusammenfassen, ohne den Summenwert zu verändern. Das Weglassen von Klammern ist nur dann zulässig, wenn die dadurch entstehende Reihe konvergiert. Kommutatives Gesetz Eine Vertauschung der Reihenfolge der Glieder einer Reihe ist nur erlaubt, wenn die Reihe absolut konvergiert, also wenn auch konvergiert. Addition und Multiplikation Sind und zwei konvergente Reihen und c eine Konstante, so gilt Aber gilt nur, wenn die beiden Reihen absolut konvergent sind.

∑∞

=1iia

∑∞

=1iia ∑

∞

=1iib

∑∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+=+=⋅11111

)( und i

ii

iii

ii

ii

i babaacac

∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

⋅=⋅1 111

i j

jij

ji

i baba

Achtung: hier gibt es Einschränkungen im Vergleich zu den Regeln zum Rechnen mit reellen Zahlen!


Integration u. Differenziation unendlicher Reihen

∑∫∫∑∞

=

∞

=

=00

)()(i

b

ai

b

a ii dxxfdxxf

Integration und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Reihe in [a,b] gleichmäßig konvergiert und die Funktionen fi(x) in [a,b] stetig sind:

Eine Funktionenreihe , mit s(x) als Summenfunktion, heißt in einem

Intervall I gleichmäßig konvergent, wenn zu jedem ε > 0 eine von x unabhängige natürliche Zahl N existiert, so dass |s(x) – sn(x)| < ε für alle n > N(ε) und für jedes

x aus dem Intervall I gilt, wobei

∑∞

=

=0

)()(i

i xsxf

Differenziation und Summation dürfen vertauscht werden, wenn die Funktionen fi(x) in [a,b] stetige Ableitungen besitzen und die Reihe der abgeleiteten Funktionen gleichmäßig konvergiert:

∑∑∞

=

∞

=

=00

)()(i

i

ii dx

xfdxfdxd

∑=

=n

ini xsxf

0)()(

Achtung: dies geht gliedweise bei endlichen Reihen, aber nur mit Einschränkungen bei unendlichen Reihen.


Taylorentwicklung cos-Funktion (Animation)

Quelle: Wikipedia


Funktionen zweier Veränderlicher: Stetigkeit

Die δ-Umgebung eines Punktes (x1, y1) bezeichnet alle Punkte innerhalb des Kreis mit Zentrum (x1, y1) und Radius δ: (x – x1)2 + (y – y1)2 < δ2

Die Funktion f(x, y) besitzt an der Stelle (x1, y1) den Grenzwert g, wenn sich zu jedem beliebig vorgegebenen ε ein δ finden lässt, so dass für alle Punkte der δ-Umgebung gilt |f(x, y) - g| < ε , das heißt Dabei kann man sich (x1, y1) aus beliebiger Richtung nähern!

gyxfyyxx

=→→

),(lim11,

f heißt stetig an Stelle (x1, y1), falls d.h., falls Grenzwert mit Funktionswert übereinstimmt. Summe, Produkt, Quotient (Nenner ≠ Null) stetiger Funktionen sind stetig.

),(),(lim 21, 11

yxfyxfyyxx

=→→


Partielle Ableitungen von f(x,y)

Partielle Differenzialquotienten beschreiben Steigung von f bei (x, y) in x- und y-Richtung (Tangentensteigungen mit y = konst., x = konst.):

yyxfyyxf

yz

xyxfyxxf

xz

y

x

∆−∆+

=∂∂

∆−∆+

=∂∂

→∆

→∆

),(),(lim

),(),(lim

0

0

• Entsprechung zur Diff‘rechnung von Fktn einer Veränderlichen

• Schreibweise ∂ kennzeichnet besondere Bedingung (zweite Variable konstant!)

• Die Diff‘quotienten sind als

einheitliches Ganzes zu behandeln, nicht

als Bruch wie !

x

x

y

y

z

z

Tangenten y = konst x = konst

z = f(x, y)

Tangentialebene aufgespannt durch zwei Tangenten

yz

xz

∂∂

∂∂ ,

dxdy


3. Totales Differenzial

(x1,y1)

z

z1

Tangentialebene an (x, y)

Totales (vollständiges) Differenzial dz resultiert aus voneinander unabhängigen Änderungen dx, dy, die, von (x, y) ausgehen und über einen beliebigen Weg C zum Punkt (x1, y1) = (x+dx, y+dy) führen. Kleine dx, dy bewirken kleine dz als Änderungen in der Tangentialebene ⇒ dz ist Näherung der Änderung von z = f(x, y).

dyyzbdx

xzabadz

∂∂

=∂∂

=+= , ,

dyyzdx

xzdz

∂∂

+∂∂

= ... 33

22

11

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= dxxzdx

xzdx

xzdz⇒ allgemein:

für ,...),,( 321 xxxfz =Lineare Approximation: mit 1 zzdz −=

)(),()(),(111 yy

yyxzxx

xyxzzdzzz −

∂∂

+−∂

∂+=+=⇒−=−= , 11 yydyxxdx

Achtung: Kürzung gegen wäre unsinnig! x∂ dx


Differenzierbarkeit von z = f(x,y)

Satz:

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz einer Tangentialebene an Punkt P = P(x, y, z): Die partiellen Ableitungen in P existieren und sind stetig.

f ist differenzierbar an Stelle (x, y), wenn dort die Tangentialebene existiert.

Gegenbeispiel: An Pyramidenspitze und -kanten existiert keine Tangentialebene. Die „Pyramiden-Oberflächen-Funktion“ ist dort nicht differenzierbar. Funktion hat „Spitzen und Kanten“.

Beispiel Rotationsparaboloid: z = x2 + y2 ist in x-y-Ebene differenzierbar. Die partiellen Ableitungen fx = 2x, fy= 2y existieren und sind stetig. Funktion z ist „glatt“.

P


Satz von Schwarz (wichtig!)

In den gemischten Ableitungen kann die Reihenfolge der Differenziation vertauscht werden, wenn diese Ableitungen stetige Funktionen von x, y sind:

... , , yxxxyxxxyyxxy fffff ===


22

2

2

)()()()()(

dyfdxdyfdxf

dyy

dyfdxfdx

xdyfdxf

dyydzdx

xdzdzdzd

yyxyxx

yxyx

++=

∂

+∂+

∂

+∂=

∂∂

+∂

∂==

Totale Differenziale höherer Ordnung

dyfdxfdz yx +=

Totales Differenzial 2. Ordnung, z = f(x, y):

Totales Differenzial n-ter Ordnung, allgemeiner Fall mit m Variablen, z = f(x1, x2, …, xm):

∑=

=+++=m

iixmxxx dxfdxfdxfdxfdz

im1

21 ... 21

zx

dxzdnm

i ii

n

∂∂

⋅= ∑=1

Binomischer Satz


5. Ableitung mittelbarer (zusammengesetzter) Funktionen

Mit 2 Funktionen, 2 Variablen, z = f(u,v) mit u = g(x,y), v = h(x,y) Differenziation (Satz): Mit m Funktionen, n Variablen (Verallgemeinerung), f, gi sind diff‘bare Funktionen z = f(u1,u2,…,um) u1 = g1(x1,x2,…,xn) u2 = g2(x1,x2,…,xn) … um = gm(x1,x2,…,xn) ⇒ Mit m Funktionen, 1 Variable (Sonderfall n = 1, gewöhnliche Ableitung, s.o.)

yv

vz

yu

uz

yz

xv

vz

xu

uz

xz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

Kettenregel für partielle Ableitungen mit 2 Funktionen, 2 Variablen

nkxu

uz

xz i

m

i ik

,...,2,1 1

=∂∂

∂∂

=∂∂ ∑

=

xu

uz

dxdz i

m

i i ∂∂

∂∂

=∑=1

Verallgemeinerte Kettenregel für partielle Ableitungen mit m Funktionen, n Variablen

Kettenregel für partielle Ableitung mit m Funktionen, 1 Variable


6. Ableitung impliziter Funktionen

F(x,y) = 0 implizite y = f(x) explizite Auflösung in explizite Form ist nicht immer möglich. Trotzdem kann F(x,y) = 0 eine Funktion y = f(x) defininieren. Bsp. 1 sin(y) + y⋅ln(x) + y = 0, f existiert (Zuordnung numerisch) Bsp. 2 x2 + y2 + 1 = 0, F(x,y) = 0 ist nach y auflösbar, aber f existiert nicht für reelle Zahlen. Aus der Kettenregel folgt mit y = f(x) für F(x,y) = F[x,f(x)] = 0: Der Satz gilt auch für Funktionen mit mehr als 2 Variablen F(x1,x2,…,xn,z) = 0

Darstellung der Funktion

0 ⇒=⋅∂∂

+⋅∂∂

=dxdy

yF

dxdx

xF

dxdF

),(),(

yxFyxF

yFxF

dxdyy

y

x−=

∂∂∂∂

−==′

z

x

i FF

xz i−=

∂∂


Funktionaldeterminante

Die beiden Funktionen u = g(x, y), v = h(x, y) vermitteln eine Abbildung von Bereichen der x-y-Ebene auf Bereiche der u-v-Ebene.

xv

yu

yv

xu

yv

xv

yu

xu

yxvuyxD

∂∂⋅

∂∂

−∂∂⋅

∂∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂

=),(),(),(

Definition Funktionaldeterminante (Jacobideterminante):

Anschauliche Bedeutung von D: Eine kleine Fläche F wird in F`transformiert durch dydxyxDdvdu

FF⋅⋅=⋅

′

),(

Für D ≠ 0 ist Abbildung umkehrbar (Vorauss. g, h besitzen stetige Ableitungen), d.h. f1, f2 mit x = f1(u, v), y = f2(u, v) existieren.



8. Partielle Ableitungen in der Thermodynamik

In der Thermodynamik (TD) verwendet man überwiegend zwei Systeme von Variablen T, V, n und T, p, n, mit T Temperatur, V Volumen, n Molzahl, p Druck. Man unterscheidet die abhängigen Größen in ihren Symbolen nicht hinsichtlich des Variablensatzes! Bsp. Entropie S: S = S(T,V,n) S = S(T,p,n) Daher ist bei partiellen Ableitungen die Angabe der konstant gehaltenen Variablen wichtig.

),,(für

),,(für

,

,

npTSSTS

nVTSSTS

np

nV

=

∂∂

=

∂∂

! ,, npnV T

STS

∂∂

≠

∂∂

Quelle: LEIFI Physik


9. Extremwerte

Die Funktion z = f(x, y) besitzt in (x0, y0) ein relatives Maximum [Minimum], wenn für dem Betrag nach kleine aber sonst beliebige Δx, Δy gilt:

f(x0+Δx, y0+Δy) – f(x0, y0) < 0 Maximum [ > 0 Minimum]

Anschauliche Bedeutung: Bewegung weg vom Maximum führt immer zu einer Ver- ringerung von f, egal in welcher Richtung man sich bewegt (Minimum entsprechend).

Fallunterscheidung mit Hilfe der partiellen Ableitungen fx, fy, fxy, fxx, fyy an der Stelle (x0, y0), mit Δ = fxx·fyy – fxy

2 :

fx = fy = 0 Notwendige Voraussetzung für Extremwert. Tangentialebene ist parallel zur x-y-Ebene. fxx < 0, Δ > 0 rel. Maximum fxx > 0, Δ > 0 rel. Minimum fxx ≠ 0, Δ < 0 Sattelpunkt fxx ≠ 0, Δ = 0 nicht entscheidbar fxx = 0, fxy≠ 0 Sattelpunkt fxx = 0, fxy= 0 nicht entscheidbar


Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren

Funktion: z = f(x, y), Nebenbedingung: g(x, y) = 0 ⇒ dg = 0 (1) Notwendige Voraussetzung für Extremwert: dz = 0 (2) Aus (1), (2) folgt: fxdx + fydy = 0 (3) gxdx + gydy = 0 (4) Multiplikation von (4) mit der Konstanten λ und Addition von (3) und (4) (fx + λgx)dx + (fy + λgy)dy = 0 (5) ⇒ fx + λgx = 0 fy + λgy = 0 g = 0

3 Bestimmungsgleichungen für Extremwert(e) f(x0, y0)

Bei Verallgemeinerung auf eine Funktion f mit n Variablen x1…xn und m Neben- bedingungen λ1… λm hat die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Vorteile gegenüber den anderen beiden Methoden. Man berechnet die Größen x1…xn, λ1… λm aus den n + m Gleichungen:

mjg

nkgf

j

m

iixix kk

...1 ,0

...1 ,01

==

==+∑=

λ

Berechnung von Extremwerten unter Nebenbedingungen



Integralrechnung v. Fktn. mehrerer Veränderlicher

Beispiele von Integrationsbereichen in Ortskoordinaten x, y, z:

Übersicht Integrale

C Kurvenstück A Flächenbereich, z.B. Rechteck V Volumenbereich, z.B. Quader

Bsp.: ∫=A

dAyxfz ),(

z entspricht „Volumen“ unter räuml. Fläche f(x, y), die durch Flächenbereich A definiert ist.

Flächenbereich A

nach M. Stockhausen


Einfaches Intergral über Fktn mit zwei Variablen

Satz 1:

Wenn f(x,y) im abgeschlossenen, rechteckigen Integrationsbereich c ≤ x ≤ d,

a ≤ y ≤ b stetig ist, so ist auch eine stetige Funktion von x.

(Integration bewahrt Stetigkeit einer Funktion).

dyx

yxfdyyxfdxdxg

b

a

b

a∫∫ ∂∂

==′ ),(),()(

Satz 2:

Wenn f(x, y) und fx(x, y) im Bereich c ≤ x ≤ d, a ≤ y ≤ b existieren und stetig sind,

so ist in [c, d] nach x differenzierbar und Differentiation

und Integration können vertauscht werden:

∫=b

a

dyyxfxg ),()(

∫=b

a

dyyxfxg ),()(


Zweidimensionales Bereichsintegral

Berechnung des Volumens V des Säulenkörpers Die x-y-Ebene wird durch Parallelen zur y-Achse (bestimmt durch x-Werte x0, x1, …, xi, …, xn) und durch Parallelen zur x-Achse (bestimmt durch y-Werte y0, y1, …, yj, …, ym) zu einem Gitternetz zerlegt. Der Säulenkörper wird durch Quaderstücke mit Teilvo- lumina f(xi, yj)·Δxi·Δyjzusammengesetzt (Summenbildung). Wir wählen gleich breite Quader: Δxi = Δx, Δyj = Δy. Im Grenzwert n, m → ∞ erhalten wir das exakte Volumen, das man Bereichsintegral von f über den Bereich B nennt:

Deckfläche D ist bestimmt durch z = f(x, y).

f(x, y) ist nur im einfach zusammenhängenden Bereich B definiert, f = 0 außerhalb von B.

∑∑∫∫= =

∞→∞→∆∆==

m

j

n

iji

Bmn

yxyxfdxdyyxfV1 1

),(limlim),(

Analogie zum 1dimensionalen Fall!


Dreidimensionales Bereichsintegral

Berechnung des Integrals I durch Aufsum- mierung von Volumenelementen

Der Integrationsbereich B3 wird in kleine Quader mit den Volumina Δxi·Δyj·Δzk zerlegt. Man integriert zuerst über z bei konstanten x, y zwischen den Begrenzungsflächen u1(x, y) und u2(x, y), dann über y bei konstantem x zwischen den begrenzenden Kurven v1(x) und v2(x) und schließlich über x zwischen den Grenzen a und b. Im Grenzwert n, m, p → ∞ erhalten wir das Bereichsintegral von f über den Bereich B3:

In B3 wird jedem Volumenelement ein Wert w = f(x, y, z) zugeordnet.

∫∫∫∫ ∫ ∫

∑∑∑

==

=∆∆∆== = =

∞→∞→∞→

3

2

1

2

1

),,(),,(

),,(limlimlim

)(

)(

),(

),(

1 1 1

B

b

a

xv

xv

yxu

yxu

k

m

i

n

j

p

kjikjipmn

dxdydzzyxfdzdydxzyxf

zyxzyxfI

Veranschaulichung: f beschreibt eine Dichteverteilung innerhalb des Volumens B3. Das Integral I ist die Gesamtmasse im Volumen.

Diese Überlegungen lassen sich entsprechend auf Bereichsintegrale höherer Dimension übertragen.

u2(x, y)

u1(x, y) v2(x)

v1(x)


Mehrdim. Integrale - Variablentransformation

die durch x = g(u, v), y = h(u, v) gegebene Transformation im Integral

durchzuführen. Die Transformation sei eineindeutig (Abbildung

umkehrbar), d.h. im Bereich B gilt für die Funktionaldeterminante

Es folgt (ohne Beweis):

⇒ vereinfacht oft die Bereichsgrenzen und damit die Integration

Integrationsbereich günstiges Koordinatensystem Rechteck 2dimensionale kartesische Koordinaten Kreis Polarkoordinaten Ellipse elliptische Koordinaten Quader 3dimensionale kartesische Koordinaten Zylinder Zylinderkoordinaten Kugel Kugelkoordinaten

∫∫∫∫ ∂∂

=BB

dudvvuyxvuhvugfdxdyyxf),(),()],(),,([),(

∫∫B

dxdyyxf ),(

.0),(),(≠

∂∂

vuyx

Ziel ist es,



Volumenintegrale

2 Möglichkeiten zur Volumenberechnung

A) Differenz der Volumina unter den Flächen u2(x, y) und u1(x, y), über Flächenbereich B:

∫∫

∫∫∫∫−=

−=

B

BB

dxdyyxuyxu

dxdyyxudxdyyxuV

)),(),((

),(),(

12

12

B) Berechnung durch Dreifachintegral über Volumen- bereich B3 (f(x, y, z) = 1 innerhalb von B3):

dydxyxuyxu

dzdydxdxdydzV

b

a

xv

xv

b

a

xv

xv

yxu

yxuB

∫ ∫

∫ ∫ ∫∫∫∫

−=

===

)),(),((( 12

)(

)(

)(

)(

),(

),(

2

1

2

1

2

13

u2(x, y)

u1(x, y) v2(x)

v1(x) B

Man erkennt, dass A) und B) auf das gleiche Flächenintegral hinauslaufen.


Physikalische Anwendungen

dVmB∫∫∫= ρMasse eines Körpers (ρ(x, y, z)

ist ortsabhängige Dichte)

Schwerpunktskoordinaten zdVm

zydVm

yxdVm

xB

sB

sB

s ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ 1,1,1

Statische Momente (Drehmomen- te) als 1. Momente bzgl. der x-, y-, z-Achse, g Erdbeschleunigung

zdVgMydVgMxdVgMB

zB

yB

x ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ === ρρρ ,,

dVyxI

dVzxIdVzyI

Bz

By

Bx

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫+=

+=+=

ρ

ρρ

)(

)(,)(

22

2222

Trägheitsmomente als 2. Momente bezüglich der x-, y-, und z-Achse

Trägheitsmoment eines ebenen Bereichs bezüglich der z-Achse (ρ(x, y) Flächendichte)

dAyxIB∫∫ += ρ)( 22


Kurvenintegral / Linienintegral

Die Funktion z = f(x, y) sei im Be- reich B der x-y-Ebene stetig. In B sei eine Kurve C mit Richtungssinn (siehe Pfeil) gegeben.

Die Kurve C wird durch die Punkte Pi in kleine Linienstücke unterteilt. Die x-Abstände zweier benachbarter Punkte seien mit Δx = xi – xi-1 gleich groß. Durch Aufsummieren der Flächenstücke f(xi, yi)·Δxi erhält man im Grenzfall n → ∞ das Kurvenintegral

∑∫=

∞→∆==

n

iiii

Cnx xyxfdxyxfI

1),(lim),(

Das Vorzeichen der Integrale ändert sich mit der Pfeilrichtung von C. Bei Zerlegung von C in 2 Teilkurven addiert sich das Kurvenintegral aus den beiden Teilintegralen.

Entsprechend unter Verwendung der y-Werte:

∑∫=

∞→∆==

n

iiii

Cny yyxfdyyxfI

1),(lim),(

Geometrische Interpretation: Das Kurvenintegral ist die auf die x-z-Ebene (y-z-Ebene) projizierte Fläche zwischen K und C.

Ix und Iy sind i. allg. nicht gleich!


Kurvenintegral II

Weitere wichtige Form des Kurvenintegrals:

Anwendung: Berechnung der Arbeit, die eine ortsabhängige Kraft längs eines Weges C leistet. Wichtig in Thermodynamik, Mechanik und Vektorrechnung!

Allgemeines Kurvenintegral:

2222 ,)(')('))(),((),(2

1

dydxdsdttytxtytxfdsyxft

tC

+=⋅+⋅= ∫∫

∫∫ ⋅+==2

1

22 )(')('t

tC

dttytxdss

(dx,dy,dz)),a,a(a

zyxdzzyxadyzyxadxzyxa

zyx

Czy

Cx

==

=++ ∫∫dsa

dsa

,

),,()),,(),,(),,((

Vektorform

Bogenelement

mit x = x(t), y = y(t), dx = x′dt, dy = y′dt, t1, t2 Anfangs- und Endwerte zu Kurve C. Entsprechend Erweiterung auf 3 Dimensionen.

Sonderfall Bogenlänge s (f(t) = 1):


Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals

Ein 2dimensionales Kurvenintegral K sei über eine Kurve C in einem einfach zusammenhängenden Bereich (keine Löcher) über zwei Funktionen: P(x, y), Q(x, y) gegeben:

∫ +=C

QdyPdx K )(

Satz: Notwendige und hinreichende Bedingung für die

Wegunabhängigkeit von K ist: xQ

yP

∂∂

=∂∂

Folgerungen:

F kann bis auf die Fktn g(y) und h(x) aus P und Q bestimmt werden:

Das Kurvenintegral K läßt sich auch durch das totale (vollständige, exakte) Differential dz = Fxdx + Fydy = Pdx + Qdy ausdrücken:

Für eine geschlossene Kurve C ist das Ringintegral null:

Satz: K ist wegunabhängig, wenn eine Stammfunktion (Potentialfunktion) F(x, y) = z existiert, mit: yx FQFP == ,

∫∫ +=+= )(),( xhQdyFygPdxF

∫∫ =+=CC

dzQdyPdx K )(

∫ ∫ ==+ 0,0)( dzQdyPdx


Anwendungen von Differenzialgleichungen

Weitere Beispiele:

Gewöhnliche Dgln - Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiver Zerfall) - Chemische Reaktionen Partielle Dgln - Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität (Transport-Gl.) - Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.) - Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.) - Kontinuitäts- und Strömungs-Gl. (Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.) - Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.) - Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)

Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie, Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellen als mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!

Quelle: E. Kreyszig


Systeme v. gewöhnlichen Differenzialgleichungen

,0),...,,,...,,,...,,(...

,0),...,,,...,,,...,,(

,0),...,,,...,,,...,,(

)()(22

)(11

)()(22

)(112

)()(22

)(111

=

=

=

nmm

nnm

nmm

nn

nmm

nn

yyyyyyxF

yyyyyyxFyyyyyyxF

m Bedingungsgleichungen der Form

führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimmung von m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).

Beispiel: Differenzialgleichungssystem: Lösung 1:

Lösung 2:

axayaxy cos ,sin 21 ⋅==

axayaxy sin ,cos 21 ⋅=−=

0 0

12

12

=′−=⋅+′

yyyay

Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene Funktionensysteme gelöst werden.


2. Gewöhnliche DGLn erster Ordnung

Existenz von Lösungen

F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)

Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dgl sind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg. Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgn zu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll, reduziert man die Lsgn auf eine einzige. Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nach y′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).

Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky. Hier ist die Steigung nur von y abhängig.

Linienelement


Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln: 1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch Trennung der Variablen). 2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl (z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten). 3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0 Alternative: Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.

Homogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = 0 Inhomogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = g(x) g(x) heißt Störterm

Lösung der inhomogenen linearen DGL

Wichtiger Satz: Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dgl und einem partikulären Intergral der inhomogenen Dgl.


Exakte Differenzialgleichung

liefern g(y) und h(x) durch Vergleich

Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen

heißt exakt, wenn gilt:

0),(),( 0),(),( ),(),(

=′⋅+⇔=+⇔−=′ yyxQyxPdyyxQdxyxPyxQyxPy

xy QPxQ

yP

=⇔∂∂

=∂∂

∫

∫∫∫+=

+=+==

)(

)()(

xhQdy

ygPdxQdyPdx dzFCC

Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrie- render Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:

Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:

)()(xQ

yP

∂∂

=∂

∂ µµ

konstQdyPdxFC

=+= ∫ )( µµ

Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, mit F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q. F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) und liefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):


Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung

Form: y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x) Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogen

Sätze:

1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige) Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist. Sie bilden das fundamentale Lösungssystem.

0

...............

...

...

)1()1(2

)1(1

21

21

≠′′′

−−− nn

nn

n

n

yyy

yyyyyy

2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination der mit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems (Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)

3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral der homogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstanten bestimmbar) der inhomogenen Dgl.

4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)

angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)

erfüllt sein sollen.

Wronski-Determinante


DGL: Gedämpfte freie Schwingung

x

t

x

t

Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:

Lösungs- ansatz:

teAx ⋅⋅= λ

222/1 ωλ −±−= KK

Charakter. Gleichung:

tt eAxeAx ⋅⋅ ⋅⋅=′′⋅⋅=′ λλ λλ 2 ,

Lösungen:

)(

)(

)(

2222

2222

2222

21

21

21

tKtKKt

tKtKKt

tKtKKt

etAeAex

eAeAex

eAeAex

ωω

ωω

ωω

−−−−

−−−−

−−−−

⋅⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅= λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingung

λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall

λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfall

02 0 2 =⋅+′⋅+′′⇔=⋅+′⋅+′′⋅ xxKxxDxbxm ωTrägheitskraft m·x′′ Reibungskraft – b·x′ Federkraft – D·x Abklingkoeffizient K = b/2m Kreisfrequenz ω = (D/m)1/2 Konstanten A, A1, A2

Gedämpfte Schwingung Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einsetzen in Dgl ⇒

Einhül- lende

Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)


DGL: Erzwungene Schwingung

Ansatz part. Integral:

ti kex ωα ⋅=

2222220

220 2tan ,)2()( ,

2 k

kkk

i

kk

KKrer

KKi

Kωωωϕωωω

ωωωα ϕ

−=+−=⋅=

+−= −

ti keKxxKx ωω ⋅=⋅+′⋅+′′ 022

Anregende Kraft F0 = K0·m Anregende Beschleunigung K0 Anregende Kreisfrequenz ωk Abklingkoeffizient K = c·m Dämpfungskonstante c = b Eigenkreisfrequenz System ω Amplitudenverstärkung C* Konstanten α, A1, A2

x mit Ableitungen in Dgl einsetzen, komplexen Nenner in Polarko- ordinaten darstellen :

Inhomo- gene Dgl:

Allgemeine Lösung:

)cos()2()(

)(2222

021

2222

ϕωωωω

ωω −⋅+−

+⋅+⋅= −−−− tK

KeAeAex k

kk

tKtKKt

Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral

C* Einschwingvorgang

ωk/ω

Resonanz bei ωk → ω besonders bei K → 0!

ϕ

ωk/ω

Phasenverschiebung ϕ zw. System u. Anregung

Mathematische Methoden der Chemie I - tu-braunschweig.de · Seite 6, Bauerecker, Mathematische...

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