Mathematische Methoden der Chemie II - tu-braunschweig.de · Physikalische Größen lassen sich...

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Seite 1, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II Stand: Mai 2019 Prof. Dr. Sigurd Bauerecker, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie, Gaußstraße 17, Ruf 0531/391-5336, [email protected], https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre oder Googeln: „Bauerecker + LehreSommer-Semester 2019: 4 h Vorlesung , Mo 8:00 – 9:30, PK2.1 ; Di 11:30 – 13:00, PK2.1 Mathematische Methoden der Chemie II (BSc Chemie, Biotechnologie) Vorlesung SoSe 2019

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Stand: Mai 2019

Prof. Dr. Sigurd Bauerecker, Institut für Physikalische und Theoretische Chemie,Gaußstraße 17, Ruf 0531/391-5336, [email protected], https://www.tu-braunschweig.de/pci/research/bauerecker/lehre oder Googeln: „Bauerecker + Lehre“

Sommer-Semester 2019:4 h Vorlesung, Mo 8:00 – 9:30, PK2.1 ; Di 11:30 – 13:00, PK2.1

Mathematische Methoden der Chemie II(BSc Chemie, Biotechnologie)

Vorlesung SoSe 2019

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Klausuren

Klausuren sind 3stündig (außer bei Biotechnologie, dort 4stündig). Es sind keine Hilfsmittel (Ta-Rechner, Handies, …) zur Bearbeitung der Klausur erlaubt, außer Kugelschreiber und von uns gestelltes Papier.

Termine Bachelor Chemie Lemi CuV Biotechnologie (Bachelor) u. Pharmaingenieurwesen (Master)

HörsääleGrößen: www.ibr.cs.tu-bs.de/kb/rooms.html

05.02.1815:30 – 19:30

1. Klausur Mathe 1 1. Klausur Mathe 1

1. Klausur Mathe 1

Halle BI (140 Plätze)

Mi 14.03.188:00 – 13:00

2. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2);

2. Klausur Mathe 1

2. Klausur Mathe 1

2. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h

Bi84.1 (69 Plätze)Bienroder Weg 84SN 19.1 (64 Plätze), SN 20.2 (35 Plätze)

Mo 16.07.1813:30 – 17:30

2. Klausur Mathe 1 2. KlausurMathe 1

2 . KlausurMathe 1

ZI24.1, ZI24.2

Mo 27.08.188:00 – 13:00

1. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2);Einzige Mathe 2 Klausur

1. u. einzigeKlausurMathe 2

1. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h

AM, PK15.1, (Zi24.1)

12.02.198:00 – 12:00

1. Klausur Mathe 1 1. Klausur Mathe 1

1. Klausur Mathe 1

Eintracht-Stadion?

15.03.198:00 – 13:00

2. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2)

2. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h

Halle Bi (140 Plätze), Bi84.2 (69 Pl.),SN23.1, SN22.1

Mo 22.07.1912:00 – 16:00

2. Klausur Mathe 1 2. KlausurMathe 1

2. KlausurMathe 1

ZI24.3

Mo 02.09.19 8:00 – 12:00

1. Modulabschluss-klausur (nur Mathe 2);

1. u. einzigeKlausurMathe 2

1. Modulabschlussklausur Mathe 1 + Mathe 2, 4 h

Zi24.2 (80 Plätze), Zi24.3 (108 Plätze)

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Gruppeneinteilung Tutorien Mathe 2, SS 2019

Dienstag, 9:45 - 11:15 Uhr (Chemie, Lebensmittelchemie)

Kurs/Gruppe 1 HR 30.2 Laurens ThielenKurs/Gruppe 2 HR 4304.101 Tobias BergmannKurs/Gruppe 3 Container 3 (30 Personen) Pascal SuckowKurs/Gruppe 4 Container 4 (25 Personen)

Freitag, 13:15 – 14:45 Uhr (Biotechnologie, CuV?)

Kurs/Gruppe 1 RR58.3 Ekaterina KorotenkoKurs/Gruppe 2 RR58.4 Anna ZellerKurs/Gruppe 3 RR58.1 Liudmilla Seidel

Zusatz-Tutorium: Di, 18:30 – 20:00 Uhr,

HR 30.023F Yannic Steenback

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Folienzusammenstellung zur Vorlesung

Die folgende Zusammenstellung von einzelnen Themen und Übersichten ist als Ergänzung zur Vorlesung gedacht. Sie deckt auch Teilbereiche nicht vollständig ab und mag Fehler enthalten. So freue ich mich über jeden Hinweis.

• Eigeninitiative!

• Übungen noch wichtiger als Vorlesung!

• Zusatztutorium, wenn nötig!

• Lernen für Klausur und Übungen in (kleinen) Gruppen.

• Anschaffung von Lehrbüchern, z.B. Zachmann und Netz

Empfehlungen

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Literatur & LehrmaterialGrundlegend für Vorlesung: A. Jüngel, H. G. Zachmann: Mathematik für Chemiker. VCH, 7. Auflage, 2014, 737 S. G. Brunner, R. Brück: Mathematik für Chemiker. Springer, 3. Auflage, 2013, 373 S. M. Stockhausen: Mathematik für Chemiker. Steinkopff, 3. Auflage, 1995, 456 S.L. Papula: Mathematik für Ingenieure u. Naturwissenschaftler Bd. 1. Vieweg+Teubner, 13. Aufl., 2011, 850 S., online herunterladbar im Unibereich, 5 MB! → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-8285-1Nützlich, um Funktionsgraphen zu zeichnen: rechneronline.de/funktionsgraphenWeitere: H.-D. Försterling: Mathematik für Naturwissenschaftler. Vieweg, 1975/2012, 296 S. B. Frank, W. Schulz, W. Tietz: Wissensspeicher Mathematik (Lernmaterialien). Volk und Wissen, 1998, 368 S.E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. John Wiley and Sons, 2010, 1280 S.K. Meyberg, P. Vachenauer: Höhere Mathematik Bd. 1, Differential- und Integralrechnung, Vektor- und Matrizenrechnung, Springer, 6. Auflage, 2003, 548 S. W. Pavel, R. Winkler: Mathematik für Naturwissenschaftler. Pearson Studium, 2007, 592 S.S. Singh: Fermats letzer Satz – Die abenteuerliche Geschichte eines mathematischen Rätsels. DTV, 12. Auflage, 2007, 368 S. T. Sonar: Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibnitz und Newton. Springer Spektrum, 2015, 596 S. E. Steinre: The Chemistry Maths Book. Oxford University Press, 2nd Edition, 2008, 680 S.

Tabellenwerke: I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, G. Musiol, H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Europa-Lehrmittel, 9. Auflage, 2013, 1280 S., auch alsE. Zeidler (Hrsg.): Springer-Taschenbuch der Mathematik. Springer Vieweg, 3. Aufl. 2012, 1310 S., onlineherunterladbar im Unibereich, 11 MB → http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-3-8348-2359-5J. Rast, H. Netz: Formeln der Mathematik. Hanser Fachbuch, 7. Auflage, 1992Netzseite Bauerecker: Teil der Vorlesung in Form von Folien, wird im Verlauf des WS ergänzt.

Stand: SS 2019

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Mathematische Methoden der Chemie I

• Zahlen (2 h)• Funktionen (4 h)• Differentialrechnung von Fktn. einerVeränderlichen (12 h)

• Integralrechnung von Fktn. einer Veränderlichen (12 h)

• Folgen und Reihen (4 h)• Differentialrechnung von Fktn. mehrererVeränderlicher (6 h)

• Integralrechnung von Fktn. mehrererVeränderlicher (4 h)

∑ = 44 h = 11 Wochen

Mathematische Methoden der Chemie II

• Vektoralgebra und -geometrie (6 h)• Vektoranalysis (4 h)• Matrizen, Determinanten (6 h)• Differentialgleichungen (8 h)• Wahrscheinlichkeitsrechnung (4 h)• Kryptologie (Kryptographie, Kryptoanalyse, Blockchain) (4 h?)• Koordinatentransformationen (2 h?)• Einführung in Mathematica (2 h?)• Funktionentheorie?• Gruppentheorie?∑ = 40 h = 10 Wochen

Inhaltsübersicht der Vorlesungen

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Griechisches Alphabet

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Beispiel: Median und Durchschnitt„Oder warum Grundkenntnisse der Mathematik helfen, die Welt besser zu verstehen“.

Quelle: F.A.Z./EZB, http://www.faz.net/aktuell/wirtschaft/wirtschaftspolitik/armut-und-reichtum/ezb-umfrage-deutsche-sind-die-aermsten-im-euroraum-12142944.html

(Hier zur Beurteilung der Frage, ob D ein reiches Land ist oder nicht). Ergebnis: Median ist wesentlich besseres Kriterium zur Beurteilung des Wohlstands als Durchschnitt. D ist leider ein relativ armes Land bezüglich Vermögen.

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Vektoralgebra und -geometrie

1. VektorenPhysikalische Größen lassen sich meistens mit 1 Zahl (Skalar), oft mit 3 Zahlen (Vektor) und manchmal mit 9 Zahlen (Tensor) beschreiben. Verwendung des Einheitensystems wird vorausgesetzt (SI-Einheiten).

Skalar (Tensor 0ter Stufe), 1 Zahl, z.B. Masse, Temperatur, Zeit, Volumen, …

Vektor (Tensor 1ter Stufe), 3 Zahlen für Komponenten der Raumrichtungen, Angabe Wert und Richtung, z.B. Geschwindigkeit, Kraft, …

Tensor, 9 Zahlen (3 x 3 Matrix), beschreibt Beziehung zw. zwei Vektorgrößen, z.B. Trägheitsmoment (Winkelgeschwindigkeit → Drehimpuls), Polarisierbarkeit (el. Feld → Polarisation)

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Definitionen zu Vektoren

Freier Vektor Ursprung unwichtig, unspezifiziertGebundener Vektor Ursprung wichtig, spezifiziertBetrag (Pfeillänge) | a | = aGleichheit a = bNullvektor 0 Vektor mit Länge nullVektor in Gegenrichtng zu a – a = (–1) · aLinear abhängig, kollinear Vektoren stehen in gleicher oder entgegengesetzter Richtung Linear unabhängig zwei (drei) Vektoren spannen Ebene (Raum) auf

Vektor aDarstellung als Pfeil

a

Endpunkt, Kopf

Länge, BetragAnfangspunkt, Ursprung

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3. Basisvektoren

Zwei (drei) linear unabhängige Vektoren a, b (und c) spannen eine Ebene (einen Raum) auf. Jeder Vektor A (V), der in der Ebene (im Raum) liegt, lässt sich aus a, b (und c) eindeutig zusammensetzen:

A = x·a + y·b V = x·a + y·b + z·c x, y, z sind geeignete Skalare

a

b

x·a

y·bA ist Diagonale des Parallelogramms mit den Seiten x·a, y·b.

B ist Diagonale des Parallelepipeds mit den Seiten x·a, y·b, z·c.a, b, c heißen Basisvektoren.

Wichtige Basisvektoren sind die Einheitsvektoren i, j, k, mit Betrag von jeweils eins, entlang der positiven x, y, z – Achsen im rechtshändigen Koordinatensystem (Schraube mit Rechtsgewinde x → y ↑ z). Sie stehen senkrecht aufeinander, sind orthogonal.

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4. Das Skalarprodukt (Inneres Produkt)

Wegen cos(0) = cos (-0) = 1 gilt: A · B = B · A Kommutativgesetz(t ·A) · B = t · (A · B) AssoziativgesetzA · (B + C) = A · B + A · C Distributivgesetz

Für A ⊥ B gilt wegen θ = π/2: A·B = 0Für A B gilt wegen θ = 0: A·B = |A|·|B|= t·(A·A) = t·|A|2, wegen B = t ·A

⇒ Für Einheitsvektoren gilt:i · i = j · j = k · k = 1 wegen Betrag jeweils 1 und cos(0) = 1i · j = i · k = j · k = 0 weil senkrecht zu einander

Definition: A · B = |A|·|B|· cos θ Skalarprodukt⇒ A · B ist ein Skalar.

A

B

θ

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5. Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Wegen sin θ = – sin (– θ) giltA x B = – B x A Kommutativgesetz gilt nicht!(t ·A) x B = t · (A x B) Assoziativgesetz und A x (B + C) = A x B + A x C Distributivgesetz gelten (ohne Beweis)

Für Einheitsvektoren gilt:i x i = j x j = k x k = 0 (Nullvektor, weil sin 0 = 0) i x j = – j x i = k j x k = – k x j = ik x i = – i x k = j

Zweite Möglichkeit, zwei Vektoren miteinander zu multiplizieren: A x B = C Vektorprodukt (Kreuzprodukt) ,ist der Vektor, der senkrecht auf der von A, B aufgespannten Ebene steht. A, B, C bilden rechtshändiges System, mit| C | = | A x B | = | A | · | B | · sin θ| C | ist die durch A und B aufgespannte Parallelogrammfläche.

| C |

A

C

B

θ

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Verhalten bei Inversion (Spiegelung) des ...

… Koordinatensystems ( x → - x, y → -y, z → -z ):

Polare Vektoren, ändern ihr Vorzeichen, z.B. Geschwindigkeit, Kraft,

Axiale Vektoren sind Vektoren, die aus einem Vektorprodukt entstehen. Sie ändern ihr Vorzeichen nicht. Z.B.

Das Skalarprodukt läßt sich in höherdimensionalen Räumen definieren.

Das Vektorprodukt läßt sich nur im 3dimensionalen Raum definieren!

222

111

222

111

zyxzyx

zyxzyx

kjikjic =

−−−−−−=

−−=

−11

11

11

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Ableitung von Vektoren

R ist eine Vektorfunktion, wenn für jedes t (Skalar) ein Vektor R(t) definiert ist. Z.B.: t Zeit,R Ortsvektor (Koordinatensatz) eines Teilchens.

Vektorfunktion in kartesischen Komponenten:

Ist R(t) stetig, so sind es auch alle Komponenten. Die Ableitung von R(t) nach t wird wie beigewöhnlichen Funktionen definiert:

tttt

dtd

t ∆−∆+

=→∆

)()(lim0

RRR

kjikjiR zyxdtdz

dtdy

dtdx

dtd ′+′+′=++=In Komponenten:

Ableitungen der Produkte:

auschen!nicht vert ,)(

Funktion skalare ,)(

baba)b(abababa

aaa

′×+×′=′×

′⋅+⋅′=′⋅

′+′=′⋅ λλλλ

kjiR ⋅+⋅+⋅= )()()()( tztytxt

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7. Ebene im Raum

Der ortsgebundene Vektor R mit Ursprung im Koordinatenursprung zielt mit seinem Endpunkt auf den Punkt (x, y, z) im Raum. Vektor und Punkt sind hier als gleich anzusehen. ⇒ Vektoren können in der Geometrie verwendet werden.

0)( =⋅− ARR 0Ebenengleichung:

B

(x, y, z)

·R0

A

R

Wir betrachten eine Ebene im Raum, diedurch den Punkt R0 geht und senkrecht zuVektor A steht. Wenn R in der Ebene liegt, dann ist (R – R0) ⊥ A. Es folgt die

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Tangentialebene und Normalenvektor

Eine Fläche im Raum sei durch u(x, y, z) = c = konst gegeben (andere Form ist z = f(x, y)). Eine Kurve K mit x = x(t), y = y(t), z = z(t) liege in dieser Fläche. Dann gilt u[x(t), y(t), z(t)] = c für alle t. Wir bilden die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel an einem festen Punkt R0 = x0 · i + y0 · j + z0 · k :

0=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=dtdz

zu

dtdy

yu

dtdx

xu

dtdu

R0Dies ist ein Skalarprodukt:

).,,(Punkt im

und )()()()(mit 0)(

000 zyxzu

yu

xu

tztytxtt

kjin

kjiRRn

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

⋅′+⋅′+⋅′=′=′⋅

R' (t) ist Tangente an Kurve K ⇒ n steht senkrecht auf R' (t). Dies gilt für jede Kurve K in derFläche ⇒ n steht senkrecht (normal) auf der Fläche, ist Normalenvektor ⇒ Die Tangentialebene in R0 ist senkrecht (normal) zu n und hat die Gleichung: 0)( =⋅− nRR 0

K K'

n Normalen-vektor

Flächeu(x, y, z) = c

Tangentialebene

R'(t) istTangente an K

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Vektorfelder

Zur Beschreibung eines Vektorfeldes brauchen wir 3 Gleichungen (Funktionen), für jede

Komponente des Vektors eine:

a(x, y, z) entsprechen ax(x, y, z), ay(x, y, z), az(x, y, z)

Beispiele für Vektorfelder Jedem Raumpunkt (x, y, z) ist zugeordnet

a) Strömende Flüssigkeitb) Elektrisches Feld

eine Geschwindigkeit v(x, y, z)eine elektrische Feldstärke E(x, y, z)

Grafische Darstellung eines Vektorfeldes: jedem Raumpunkt wird ein Vektor(pfeil) mit

Richtung und Betrag zugeordnet.

Bsp.: Strömende Flüssigkeit in Rohr

Wir interessieren und für die zeitlichen und räumlichen Änderungen 3dimensionaler

Vektorfelder, also für die Differenzial- und Integralrechnung dieser Felder. Skalare

Felder werden einbezogen.

x

z

y

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Veranschaulichung des Gradienten

Bsp.: dreidimensionales Temperaturfeld in einem Körper

Die Temperatur im Körper ändert sich kontinuierlich. Die Punkte gleicher Temperatur bilden Niveauflächen mit T = konst. Für sehr kleine ∆r in einer solchen Fläche ist daher ∆T = ∆r · grad T = 0. I.a. sind jedoch ∆T, ∆r, grad T ≠ 0 und damit das Skalarprodukt ∆r · grad T ≠ 0 ⇒ grad T steht senkrecht auf ∆r und auf den Niveauflächen gleicher Temperatur! grad T gibt also die Richtung stärkster T-Änderung an.

Bsp. „Herdplatte“, 2dimensionales Temperaturfeld, T nimmt nach außen hin ab.

Im eindimensionalen Fall ist der Gradient mit der Ableitung identisch (natürlich nicht im zwei- und dreidimensionalen Fall).

jiyf

xfyxfgrad

∂∂

+∂∂

=),(

Zweidimensionaler Fall:Niveaulinie mit gleicher Temperatur

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Konservatives Vektorfeld

Definition: Ein Vektorfeld K(x, y, z), das als Gradient K = grad U, mit Kx = ∂U/∂x, Ky = ∂U/∂y, Kz = ∂U/∂z, eines skalaren Feldes U(x, y, z) geschrieben werden kann, heißt konservativ (oder Potentialfeld) oder Gradientenfeld. Andernfalls heißt das Vektorfeld nichtkonservativ oder turbulent. Das skalare Feld U heißt Potential oder Potentialfunktion.

dU=dzzU+dy

yU+dx

xU=drK

∂∂

∂∂

∂∂

⋅Dann ist K · dr ein totales Differential von U:

Längs eines geschlossenen Weges wird keine Arbeit geleistet:

Dann ist das Integral W unabhängig vom Weg und hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt ab:

[ ] ),,(),,( AAAC

B

ABBB

BA zyxUzyxUUdUdW ∫ ∫ −===⋅= rK

∫ ⋅ 0=drK

ya=

za

xa=

za

xa

=ya zyzxyx

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ , ,

Ein Vektorfeld a(x, y, z) ist dann und nur dann konservativ, wenn in einem einfachzusammenhängenden Bereich gilt:

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4. Divergenz und Satz von Gauß

Wir betrachten die Diffusion eines Stoffes A in einen Stoff B. Die Konzentrationsverteilung von A zur Zeit t sei durch c(x,y,z,t) gegeben. Jedem Raumpunkt wird ein Stofftransportvektor (Flussdichtevektor, Stromdichtevektor) j(x,y,z,t) zugeordnet, der angibt, welche Menge des Stoffes A bei (x,y,z) in welcher Richtung je Flächen- und Zeiteinheit hindurchfließt.

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B. 3dimensionaler Fall – Divergenz

Wir verallgemeinern vom Stab auf beliebigen Körper und betrachten die Konzentrationsänderung in einem quader-förmigen Volumenelement mit Achsen parallel zu den Koordinatenachsen (Komponenten Jx, Jy, Jz des Stoffstrom-dichtevektors J(x, y, z, t) seien ungleich null). Der Stoff A ströme durch alle 6 Flächen des Würfels ein und aus.

Stoffstrom durch die y-z-Fläche, linke Seite (herein): Jx(x, y, z, t)·∆y·∆z Stoffstrom durch die y-z-Fläche, rechte Seite (heraus): Jx(x+ ∆x, y, z, t)·∆y·∆z

x, y, zEckpunkt

x, y, z + ∆z

Jx(x,y,z,t) Jx(x+ ∆x,y,z,t)

∆x

∆z

∆y

Entsprechende Ströme durch x-z- und x-y-Flächen. ⇒ Die Konzentrationsänderung ∂c/∂t ergibt sich aus den hereingeströmten Nettostoffmengen nach Division durch das Volumen ∆x·∆y·∆z

„Divergenz von J“ ist skalares Feld. J kann als allgemeines Vektorfeld angesehen werden. Wenn J den Fluss einer Größe angibt, so beschreibt - divJ die Konzentrationsänderungen dieser Größe.

ztzyxJtzzyxJ

ytzyxJtzyyxJ

xtzyxJtzyxxJ

tc zzyyxx

∆−∆+

−∆

−∆+−

∆−∆+

−=∂∂ ),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(

Für ∆x, ∆y, ∆z → 0 ⇒ JdivzJ

yJ

xJ

tc zyx −=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=∂∂

kjiJJzyxz

JyJ

xJdiv zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⋅∇= mit ,

„Quelle“

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Gaußscher Integralsatz (Divergenztheorem)

dFdxdydzFV

naa ∫∫∫∫∫ ⋅=⋅div

ndF = dydz·i + dzdx·j + dxdy·k ist der Vektor senkrecht zum Flächenstückchen dF mit Richtungsenkrecht zur Fläche. Seine Komponenten dydz, dzdx, dxdy sind die Projektionen des Flächen-stückchens auf die yz-, xz-, und xy-Ebenen.

Anschauliche Deutung:

Wegen div a = – ∂c/∂t, steht auf der linken Seite die Abnahme der Stoffmenge im Volumen V. Auf der rechten Seite steht die insgesamt durch die Oberfläche F des Volumens abgeflosseneMenge. Beide müssen gleich sein.

oder in Komponenten geschrieben:

∫∫∫∫∫ ++=⋅

∂∂

+∂∂

+∂∂

FV

dxdyadzdxadydzadxdydzza

ya

xa )( 321

321

Anwendung a:

Volumenintegrale (Dreifachintegrale) können in geeigneten Fällen in Oberflächenintegrale umgewandelt werden und umgekehrt. Das eine lässt sich meist leichter lösen als das andere.

wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!

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6. Rotation und Satz von Stokes

Die Divergenz ist definiert als Skalarprodukt von Nabla-Operator und Vektor.Die Rotation ist definiert als Vektorprodukt von Nabla-Operator und Vektor:

Integralsatz von Stokes: Wir betrachten eine „glatte“ Fläche F in einem Vektorfeld a(x, y, z), die von einer glatten Kurve C umschlossen ist. Dann gilt:

mit n als Einheitsnormale auf dF. Also ist das Kurvenintegral links gleich dem Flächenintegralder Normalkomponente der Rotation von a über der Fläche F. Falls rot a = 0 für die ganze Fläche gilt, so verschwindet auch das Kurvenintegral links und a·dr muß ein totales Differenzial sein (siehe oben).

zyx

xyzxyz

aaazyx

ya

xa

xa

za

za

ya

∂∂∂∂∂∂=

∂∂

−∂

∂+

∂∂

−∂∂

+

∂−

∂∂

=×∇= ///rot kji

kjiaa

∫ ∫∫∫ ⋅⋅=++=×∇=⋅C F

zyxC

dFdzadyadxad naara )rot ()(

wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!

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Geschwindigkeitsfeld rotierende Scheibe

v = ω × r

hier ω < 0

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1. Matrizen

Matrizen sind rechteckige Anordnungen von Zahlen (Objekten), die m Zeilen und n Spaltenenthalten:

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

............

...

...

21

22221

11211

A

Matrixsymbolfettgedruckt

auch eckige Klammernmöglich

ist m × n - Matrix

Matrix-Element a22, allgemein: aij

Zeilen-index

Spalten-index

{ }ija ist weitere Schreibweise für eine Matrix. Die geschweifte Klammerdrückt aus, daß alle Matrixelemente gemeint sind.

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c) Multiplikation. Ist nur möglich, wenn Spaltenzahl der ersten gleich Reihenzahl der zweitenMatrix ist!

Schema: Man nimmt die 1. Spalte von B, dreht diese gegen den Uhrzeigersinn um 90°, legtsie auf die 1. Zeile von A, multipliziert aufeinanderliegende Matrixelemente und addiert die Produkte, erhält so c11 von C. Dann legt man die gedrehte 1. Spalte von B auf die 2. Zeilevon A und wiederholt die Prozedur, bis die 1. Spalte von C aufgebaut ist. Entsprechendbaut man mit den anderen Spalten von B und den Zeilen von A die anderen Spalten von C auf.

2. Rechenregeln für Matrizen I

a) Gleichheit. Zwei Matrizen A und B sind gleich, wenn sie die gleiche Zahl von Spalten undReihen haben und wenn alle Matrixelemente gleich sind: aij = bij

=

++++++

=

+

232221

131211

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

cccccc

babababababa

bbbbbb

aaaaaa

∑ ⋅⋅k

kjikij ba=c= enteMatrixelem diefür heißt CBA

b) Addition (Subtraktion). Ist nur möglich, wenn A und B die gleiche Zahl von Spalten und Reihen haben. Die entsprechenden Matrixelemente werden addiert: cij = aij + bij

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f) Orthogonale und unitäre Matrizen.

Also: eine adjungierte Matrix ist gleich der inversen Matrix.

Rechenregeln für Matrizen II

d) Inverse Matrix. Die Division zweier Matrizen gibt es nicht. A-1 ist inverse (reziproke, Kehrmatrix) Matrix zur quadratischen Matrix A, wenn A-1⋅A = A⋅ A-1 = E (Einheitsmatrix). Wenn die inverse Matrix existiert, heißt A nichtsingulär (regulär), sonst singulär. Bestimmung der inversen Matrix kommt später (nicht durch Bilden der reziproken Matrixelemente!)Multiplikation mit Einheitsmatrix lässt jede Matrix unverändert: E⋅A = A⋅E = A

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅=⋅

mnmm

n

acacac

acacacc

...............

...

21

11211

A

e) Multiplikation mit Skalar c. Jedes Matrixelement wird mit c multipliziert:

Eine n × n-Matrix heißt wenn Matrixelemente Folgerung

orthogonalunitär

AT⋅A = A⋅ AT = EA+⋅A = A⋅ A+ = E

reellkomplex

AT = A-1

A+ = A-1

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Berechnung Determinante n-ter Ordnung

wird nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz gelöst:

Man erzeugt aus Determinanten n-ter Ordnung n Unterdeterminanten (n-1)-terOrdnung Mjk durch jeweiliges Streichen einer Zeile und einer Spalte aus der ursprünglichen Determinante. Diese werden mit dem Kofaktordes jeweiligen Zeilen/Spalten-Kreuzes multipliziert und addiert:

mnm2m1

2n2221

1n1211

...............

...

...

aaa

aaaaaa

=A

)1( n, ..., 2, 1,,

)1(...)1()1(

)1(...)1()1(

22

211

1

22

211

1

kj

nkkn

nkkk

kkk

k

jnnj

jnjj

jjj

j

kj

MaMaMa

MaMaMa

+

+++

+++

−=

⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−⋅=

⋅−⋅++⋅−⋅+⋅−⋅=A

kjjka +−⋅ )1(

liefert alternierendes Vorzeichen („Schachbrettmuster“).

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4. Rechenregeln für Determinanten

1. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man Zeilen und Spalten miteinander vertauscht (Spiegelung, Stürzen) ⇒ Eine Matrix und ihre Transponierte besitzen die gleiche Determinante, sämtliche für Zeilen abgeleitete Sätze gelten auch für Spalten.

2. Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) miteinander, so ändert sich das Vorzeichen der Determinante.

3. Eine Determinante mit zwei gleichen Zeilen (Spalten) hat den Wert Null.

4. Wenn alle Elemente einer Zeile (Spalte) gleich Null sind, so hat die Determinante den Wert Null. (Beweis: Entwicklung der Determinante).

5. Eine Determinante wird mit einem Faktor m multipliziert, indem man alle Elemente einer Zeile mit diesem Faktor multipliziert.

6. Das Produkt zweier Determinaten wird analog zum Produkt zweier Matrizen gebildet.

7. Die Summe zweier Determinaten kann nicht analog zur Summe zweier Matrizen gebildet werden. Allerdings kann man eine Determinante in die Summe zweier Determinanten aufspalten, indem man die Elemente einer einzigen Zeile jeweils in zwei Summanden aufspaltet und anschließend zwei Determinanten bildet, die die übrigen Zeilen unverändert übernehmen.

8. Eine Determinante ändert ihren Wert nicht, wenn man zu den Elementen einer Zeile die mit dem Faktor m multiplizerten Elemente einer anderen Zeile addiert.

Beispiele siehe Vorlesung.

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5. Rang einer Matrix und lineare Abhängigkeit

Der Rang r einer Matrix M ist die Ordnung der größten nichtverschwindenden Unterdeterminante oder der Determinante |M| selber.

kann.erden gebildet wnicht Ordnunghöherer teDeterminan eine undgilt

05621

teDeterminan ihre z.B. weil2, Rangden hat 456321

:1 Beispiel ≠

gilt. 011-02-

rminate Unterdetedie z.B. unddet verschwinOrdnung 3.

teDeterminan einzige ihre z.B. weil2, Rangden hat 520411302

:2 Beispiel

−−

Die Zeilen einer m × n Matrix A sind linear abhängig, wenn es m Zahlen λ1, λ2, …, λ m gibt, die nicht alle Null sind und die folgenden n Gleichungen erfüllen:Andernfalls sind die Zeilen linear unabhängig voneinander.

Entsprechendes gilt für die Spalten:

∑m

=kikk m,,=i,=aλ

1 ...1,2 0

∑n

=iiki n,,=k,=aμ

1 ...1,2 0

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Lineares Gleichungssystem

Definition eines linearen Gleichungssystems mit m linearen (nur Exponent 1) Gleichungen für n Unbekannte (m muß nicht gleich n sein) x1, x2, …, xn: ...

.........

2211

22222121

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

abgekürzt:

=

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

.........

..................

2

1

2

1

21

22221

11211

Die Koeffizienten aij und die Absolutglieder bi sind konstant und müssen bekannt sein. Ein homogenesGleichungssystem liegt vor, wenn alle bi = 0, andernfalls ein inhomogenes. Das Gleichungssystem lässt sich elegant als Matrix-Gleichung schreiben (Probe durch Ausmultiplizieren):

bxA =⋅

Die Matrix A heißt Koeffizientenmatrix (m × n Matrix), der Vektor x heißt Lösungsvektor (n × 1 Matrix). Die Theorie der linearen Gleichungen zielt darauf, a) festzustellen, ob Lösungen existieren und b) diese Lösungen gegebenenfalls zu bestimmen.

Die Existenz von Lösungen festzustellen ist nicht trivial!

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Cramersche Regel

Für inhomogene n × n Gleichungssysteme, gegeben durch

deren Determinante der Koeffizientenmatrix A nicht verschwindet, lassen sich die Komponenten des Lösungsvektors x wie folgt schreiben

Hierbei wird in der Determinante der Koeffizientenmatrix |A| jeweils die k-te Spalte durch die Elemente des Vektors b ersetzt. Das Verfahren ist nur empfehlenswert für n ≤ 3, weil die Berechnung von Determinanten höherer Ordnung sehr aufwendig ist. Man formt daher das Gleichungssystem erst so um, dass eine A eine Dreiecks-Form erhält.

AA

Ax

k

nnnn

n

n

k

aba

abaaba

=⋅=

...............

......

......1

1

2221

1111

bxA =⋅

k-te Spalte durch b ersetzt liefert |Ak|

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Lösbarkeit inhomogener Gleichungssysteme

Der folgende Satz beschreibt die Anzahl der Lösungen, wenn ein allgemeines inhomogenes Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten vorliegt:

Die Matrix A wird durch Hinzufügen der Elemente des Vektors b zur Matrix Ab erweitert:

r sei der Rang von A, R sei der Rang von Ab.(Wiederholung: der Rang einer Matrix gibt die Anzahl der linear unabhängigen Reihen oder Spalten der Matrix und damit die Zahl unabhängiger Gleichungen an). Dann gilt R = r oder R = r + 1.

=

mmnm

n

n

baa

baabaa

...............

...

...

1

2221

1111

bA

bxA =⋅

• Das Gleichungssystem besitzt Lösungen, wenn R = r ist (notwendig und hinreichend!)

• Ist außerdem die Zahl der Unbekannten n = r, so gibt es für jede Unbekannte genau eine Lösung.

• Gilt jedoch n > r, so kann man die Werte für n – r Unbekannte beliebig vorgeben und dann dierestlichen r Unbekannten aus den vorgegebenen Werten eindeutig bestimmen. Man erhält eine (n – r)-fach unendliche Lösungsmannigfaltigkeit.

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Lösbarkeit homogener Gleichungssysteme

Homogene Gleichungssystememit n Gleichungen haben die Gestalt:

0xA =⋅

a) Daher besitzt das Gleichungssystem immer Lösungen.

b) Für R = r = n ist x1 = x2 = … = xn = 0 die einzige Lösung, die triviale Lösung. Sie ist uninteressant.

c) Für R = r < n existieren nichttriviale Lösungen, die eine (n – r)-fache unendliche Lösungsmannigfaltigkeit bilden. Diese ist interessant.

d) Ist xi eine Lösung des homogenen Systems, so ist auch λ · xi eine Lösung.

e) Sind x1, x2, … Lösungen des Gleichungssystems, so ist auch die Linearkombinationλ1·x1 + λ2·x2 +, … Lösung.

f) Die allgemeine Lösung ist also: , wobei i alle linear unabhängigen

Lösungen durchläuft. Den n – r freien Konstanten werden bestimmte Werte zugewiesen.

=in

i

i

x

x...

1

xEine Lösung bezeichnen wir mit

Der Rang r einer Matrix A ist immer gleich dem Rang R der erweiterten Matrix: R = r, weil sich der Rang einer Matrix durch Hinzufügen einer Spalte Nullen nicht ändert.

∑i

iiλ= xx

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Inverse Matrix

Vorbemerkung. Das Gleichungssystem A·x = b lässt sich durch Multiplikation der MatrixA mit ihrer Inversen A-1 (von links) lösen: x = A-1·b. Also muss „nur“ die inverse Matrix A-1

ermittelt werden (|A|≠ 0).

⋅=−

332313

322212

3121111 1

ααααααααα

AA

Immer gilt:

Inverse Matrix:(Satz ist erweiterbar auf n × n Matrizen.)

( ) A von minanteUnterdeter1 ⋅−= +kjjkαMit den Kofaktoren:

Beachte „transponierte“ Indices!

EAAAA =⋅=⋅ −1-1 E Einheitsmatrix

Inverse2 × 2 Matrix:

=

−⋅=−

2221

1211

1121

12221 mit ,1aaaa

aaaa

AA

A

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2. Eigenwertgleichung

Eigenwertprobleme sind von großer Bedeutung in den Natur- und Ingenieurwissenschaften. Hierbei ist eine gegebene n × n Matrix A mit dem Eigenvektor x (Spaltenvektor) und dem Eigenwert λ (reelle Zahl) verknüpft. Eigenvektor und Eigenwert sind gesucht.

xAx ⋅= λEigenwertgleichung: Andere Schreibweise:

x ist offensichtlich Lösung eines homogenen Gleichungssystems. Die triviale Lösung (Rang r = n) interessiert nicht. Bedingung für die Existenz einer nichttrivialen Lösung ist also r < n, d.h. die Determinante von (A – λE) muss verschwinden:

0xEA =⋅− )( λ

22112112

222112211

2,1

2112221122112

2221

1211

4)(

2

0)(

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aa

−++

±+

=

=−++−=−

−=−

λ

λλλ

λλEA

Im allgemeinen erhält man ein Polynom n-ten Grades in λ, das nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau n (nicht unbedingt verschiedene) Nullstellen hat. Diese können komplexwertig sein. Eine beliebige n × n Matrix A hat also maximal n verschiedene Eigenwerte λk. Die Eigenwertgleichung hat mindestens eine nichttriviale Lösung xk.

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Eigenschaften v. Eigenvektoren u. Eigenwerten

Eigenwertgleichung A x = λ·x, A ist n × n Matrix, x Eigenvektor, λ komplexer (reeller) EigenwertSpektrum von A: Gesamtheit der Eigenwerte λ1, λ2, …, λnSpektraler Radius: Größter Betrag | λj| aus der Reihe der n Eigenwerte.

a) Die Spur (= Summe der Diagonalelemente) der Matrix A ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte. Sie hat eine ähnliche Bedeutung wie die Determinante, die das Produkt der Eigenwerte von A ist.

b) Die inverse Matrix A-1 hat die Eigenwerte 1/λ1, 1/λ2, …, 1/λn und dieselben Eigenvektorenx1, x2, …, xn wie A (1, 2, … hier Indices!).

c) Die Matrix Am , (Exponent m = 1, 2, …) hat die Eigenwerte λ1m, λ2

m, …, λnm und dieselben

Eigenvektoren x1, x2, …, xn wie A.

d) Ist A eine Dreiecksmatrix (obere oder untere), so sind die Diagonalelemente die Eigenwerte von A. (Beweis: Bildung der Determinante von A – λE).

e) Die Eigenwerte einer hermiteschen (symmetrischen) Matrix, für die A+ = A (AT = A) gilt, sind rein reell.

f) Die Eigenwerte einer schief-hermiteschen (schief-symmetrischen) Matrix, für die A+ = –A(AT = –A) gilt, sind rein imaginär.

g) Die Eigenwerte einer unitären (orthogonalen) Matrix, für die A+ A= E (AT A = E) gilt, haben den Betrag 1.

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Vektortransformation in festem KS (ist formal der Koordinatentransformation gleich, wird mit gleicher Drehmatrix B beschrieben:

Koordinatentransformation in drei DimensionenEin Koordinatensystem KS sei gegen ein anderes KS´ beliebig verdreht (ohne Verzerrung), bei gemeinsamen Ursprung. Dann spricht man von einer orthogonalen Transformation und es gelten die folgenden Beziehungen zwischen den Basisvektoren beider Systeme:

ii'

jj'

kk'

ZuordnungAchsenrichtung x y z Einheitsvektor i j k Index-Nummer 1 2 3

9 Richtungskosinus βmn sind die Kosinus der Winkel zwi-schen einem Basisvektor des gestrichenen u. einem Basis-vektor des ungestrichenen Systems. Bsp.: β13 = cos(∠i'k)

6 Orthogona-litätsrelationen gelten zwischen ihnen:

000

111

332332223121

331332123111

231322122111

233

232

231

223

222

221

213

212

211

=++

=++

=++

=++

=++

=++

ββββββ

ββββββ

ββββββ

βββ

βββ

βββ

Hintransformation RücktransformationBasisvektoren

Orthogonale Transformationsmatrix B (B-1=BT)

Koordinatentransformation allgemeiner Vektor a

kjikkjijkjii

333231

232221

131211

βββββββββ

++=′++=′++=′

kjikkjijkjii

′+′+′=

′+′+′=

′+′+′=

332313

322212

312111

βββββββββ

=

333231

232221

131211

βββββββββ

B

=

332313

322212

312111

βββββββββ

TB

dBd ⋅=′

aBa T ′⋅=

dBd T ′⋅=

aBa ⋅=′

wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!

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Diagonalisierung einer Matrix

Eine n × n Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix D ist, d.h., wenn eine invertierbare Matrix B existiert, so dass D = BAB-1 Diagonalgestalt hat.

Satz a:Ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom det(A – λE).

Satz b: Ist A diagonalisierbar, so ist A ähnlich zu einer Diagonalmatrix D, bei der auf der Diagonalen die Eigenwerte von A stehen.

Satz c:Eine n × n Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt. Diese bilden als Spaltenvektoren die n × n Matrix X = B-1

Falls A symmetrisch ist, lassen sich immer n zueinander orthogonale (linear unabhängige) Eigenvektoren finden. Damit können symmetrische Matrizen immer auf Diagonalform gebracht werden. Dagegen haben orthogonale („Dreh-“) Matrizen teilweise komplexe Eigenwerte.

Vorgehen: Man bildet das charakteristische Polynom und bestimmt die Eigenwerte und Eigenvektoren. Sind letztere linear unabhängig, ist D bestimmt:

−−

nλλ

λλ

...00.........0...00...0

3

2

1

=AXX=BAB=D 11

wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!

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Hauptachsentransformation

Welche Kurve ist der folgenden allgemeinen Gleichung (z.B. für Kegelschnitte) zugeordnet?

1

1)(

12

2

1

2212

121121

22222112

2111

=⋅⋅

=

=⋅++⋅

xAxT

xx

aaaa

xx

xaxxaxa

Matrizenform

Wir drehen das KS mit der orthogonalen Matrix B so, dass A in die Diagonalmatrix D (und xin x') transformiert wird. Die λ1, λ2 sind Eigenwerte von A, siehe oben:

⇒ A ist symmetrisch

( )

1''

10

01

00

222

211

2

1

2

121

2

1

=⋅+⋅⇒

=

′′

′′

=⋅⋅′

=⋅⋅=′= −

xx

xx

xx

λλ

λλ

λλ

xDx

BABAD

T

1

Neue Form der Gleichung

Die zu den Eigenwerten gehörenden normierten Eigenvektoren bilden die Spalten der Matrix B-1, siehe oben. Durch Invertierung von B-1 erhält mandie Drehmatrix B und daraus den Drehwinkel ϕ.

=ϕϕϕϕ

cossinsincos

B

Eigenwerte bestimmen Kurvenform:λ1, λ 2 > 0 Ellipseλ1· λ2 < 0 Hyperbelλ1 oder λ2 = 0 Geradenpaar

1

2

Die Umwandlung von 1 in 2 heißt Hauptachsentransformation.

wird in Vorlesung SS 2019 nicht behandelt!

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Seite 42, Bauerecker, Mathematische Methoden der Chemie II

Anwendungen von Differenzialgleichungen

Weitere Beispiele:

Gewöhnliche Dgln- Physikalische Reaktionen (z.B. radioaktiver

Zerfall)- Chemische Reaktionen

Partielle Dgln- Wärmeleitung, Diffusion, Viskosität

(Transport-Gl.)- Schwingungen und Wellen (Wellen-Gl.) - Elektrodynamik (Maxwellsche Gln.)- Kontinuitäts- und Strömungs-Gl.

(Laplace-, Poisson-, Euler-Gl.)- Fluidmechanik (Navier-Stokes-Gl.)- Quantenmechanik (Schrödinger-Gl.)

Weitaus mehr Probleme aus Physik, Chemie, Biologie, Technik, …, lassen sich mit partiellenals mit gewöhnlichen Dgln beschreiben!

Quelle: E. Kreyszig

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Systeme v. gewöhnlichen Differenzialgleichungen

,0),...,,,...,,,...,,(...

,0),...,,,...,,,...,,(,0),...,,,...,,,...,,(

)()(22

)(11

)()(22

)(112

)()(22

)(111

=

=

=

nmm

nnm

nmm

nn

nmm

nn

yyyyyyxF

yyyyyyxFyyyyyyxF

m Bedingungsgleichungen der Form

führen auf ein System von m gekoppelten Differenzialgleichungen zur Bestimm m (entsprechend oft differenzierbaren) Funktionen: y1= y1(x), y2(x), …, ym= ym(x).

Beispiel: Differenzialgleichungssystem:

Lösung 1:

Lösung 2:

axayaxy cos ,sin 21 ⋅==

axayaxy sin ,cos 21 ⋅=−=

0 0

12

12

=′−=⋅+′

yyyay

Folgerung: Ein System von Dgln kann durch mehrere verschiedene Funktionensysteme gelöst werden.

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2. Gewöhnliche DGLn erster Ordnung

Existenz von Lösungen

F(x, y, y′) = 0 sei eine gewöhnliche Dgl 1. Ordnung, die sich eindeutig nach y′ auflösen lässt: y′ = f(x, y)

Diese Glg ordnet jedem Punkt der x-y-Ebene eine Steigung zu. Die Gesamtheit dieser Linienelemente (Punkt plus Steigung) heißt Richtungsfeld der Dgl. Lösungen der Dglsind zusammenhängende Kurven, die ausschließlich aus Linienelementen bestehen, z.B. L1 oder L2. Kurve K besteht nicht aus Linienelementen und ist keine Lsg.

Das Richtungsfeld lässt unendlich viele verschiedene Lsgnzu. Mit der Forderung (Anfangsbedingung), dass die Lösungskurve durch einen bestimmten Punkt P gehen soll,reduziert man die Lsgn auf eine einzige.

Die Situation ist nicht so klar bei Dgln, die sich nicht nachy′ auflösen lassen (implizite Darstellungen).

Richtungsfeld der Dgl y′ = – ky.Hier ist die Steigung nur von yabhängig.

Linienelement

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Lösungsverfahren für inhomogene lineare Dgln:1. Man bestimmt das allgemeine Integral yh der homogenen Dgl (z.B. durch Trennung der Variablen). 2. Man bestimmt irgendwie ein partikuläres Integral y0 der inhomogenen Dgl(z.B. durch Raten oder durch Variation der Konstanten). 3. Man addiert beide und erhält die allgemeinen Lösung: y = yh + y0

Alternative:Kennt man zwei unabhängige partikuläre Integrale y1 und y2 der inhomogenen Glg, so ist die allgemeine Lösung: y = y1 + C·(y2 – y1) C beliebige Konstante.

Homogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = 0 Inhomogene lineare Dgl: y′ + f(x)·y = g(x) g(x) heißt Störterm

Lösung der inhomogenen linearen DGL

Wichtiger Satz:Das allgemeine Integral einer inhomogenen linearen Dgl ist gleich der Summe aus dem allgemeinen Integral der zugehörigen homogenen Dglund einem partikulären Integral der inhomogenen Dgl.

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Exakte Differenzialgleichung

liefern g(y) und h(x) durch Vergleich

Eine nichtlineare Dgl mit einer der äquivalenten Formen

heißt exakt, wenn gilt:

0),(),( 0),(),( ),(),(

=′⋅+⇔=+⇔−=′ yyxQyxPdyyxQdxyxPyxQyxPy

xy QPxQ

yP

=⇔∂∂

=∂∂

∫∫∫+=

+=+==

)(

)()(

xhQdy

ygPdxQdyPdx dzFCC

Ist die Dgl nicht exakt, so kann ev. ein sog. Integrie-render Faktor µ(x, y) so bestimmt werden, dass gilt:

Dann sind die Lösungen y = f(x) bestimmbar aus:

)()(xQ

yP

∂∂

=∂

∂ µµ

konstQdyPdxFC

=+= ∫ )( µµ

Dann kann man die obige mittlere Form als totales (exaktes) Differenzial dz = 0 auffassen, m F = z(x, y) = konst als konstanter Stammfunktion, mit Fx = P, Fy = Q. F wird über das Kurvenintegral berechnet (siehe wegunabhängiges Kurvenintegral) undliefert eine Bestimmungsgleichung für die Lösungen y = f(x):

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Gewöhnliche lineare DGL n-ter Ordnung

Form: y(n) + a1(x)·y(n-1) + … + an-1(x)·y′ + an(x)·y = b(x)Dgl ist homogen, wenn b(x) = 0, sonst inhomogen

Sätze:

1. Diese Dgl besitzt genau n (linear unabhängige) Lösungen y1(x), y2(x), …, yn(x), wenn die Wronski-Determinante ungleich Null ist. Sie bilden das fundamentale Lösungssystem.

0

...............

...

...

)1()1(2

)1(1

21

21

≠′′′

−−− nn

nn

n

n

yyy

yyyyyy

2. Das allgemeine Integral y(x) der homogenen Dgl erhält man durch Linearkombination demit beliebigen Konstanten multiplizierten n Fktn des fundamentalen Lösungssystems(Superpositionsprinzip): y(x) = C1·y1(x) + C2·y2(x) + … + Cn·yn(x)

3. Das allgemeine Integral der inhomogenen Dgl erhält man aus dem allgemeinen Integral homogenen Dgl plus einem partikulären Integral (z.B. durch Variation der Konstantenbestimmbar) der inhomogenen Dgl.

4. Die Dgl besitzt eine eindeutige Lösung, wenn man n + 1 Zahlen x0, y0, y0′, …, y0(n-1)

angibt und verlangt, dass für x = x0 die n Bedingungen y = y0, y′ = y0′, y′′ = y0′′, …, y(n-1) = y0(n-1)

erfüllt sein sollen.

Wronski-Determinante

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DGL: Gedämpfte freie Schwingung

x

t

x

t

Kräftegleichgewicht ⇒ Dgl:

Lösungs-ansatz:

teAx ⋅⋅= λ

222/1 ωλ −±−= KK

Charakter.Gleichung:

tt eAxeAx ⋅⋅ ⋅⋅=′′⋅⋅=′ λλ λλ 2 ,

Lösungen:

)(

)(

)(

2222

2222

2222

21

21

21

tKtKKt

tKtKKt

tKtKKt

etAeAex

eAeAex

eAeAex

ωω

ωω

ωω

−−−−

−−−−

−−−−

⋅⋅+⋅=

⋅+⋅=

⋅+⋅= λ1/2 reell, K2 > ω2, gedämpfte Schwingun

λ1/2 komplex, K2 < ω2, Kriechfall

λ1/2 reell, K2 = ω2, aperiodischer Grenzfal

02 0 2 =⋅+′⋅+′′⇔=⋅+′⋅+′′⋅ xxKxxDxbxm ωTrägheitskraft m·x′′ Reibungskraft – b·x′ Federkraft – D·xAbklingkoeffizient K = b/2mKreisfrequenz ω = (D/m)1/2

Konstanten A, A1, A2

Gedämpfte Schwingung Kriechfall

Aperiodischer Grenzfall

Einsetzen in Dgl ⇒

Einhül-lende

Sinus-Schwingung (→ Eulerformel)

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DGL: Erzwungene Schwingung

Ansatz part.Integral:

ti kex ωα ⋅=

2222220

220 2tan ,)2()( ,

2 k

kkk

i

kk

KKrer

KKi

Kωω

ωϕωωωωωω

α ϕ

−=+−=⋅=

+−= −

ti keKxxKx ωω ⋅=⋅+′⋅+′′ 022

Anregende Kraft F0 = K0·mAnregende Beschleunigung K0Anregende Kreisfrequenz ωkAbklingkoeffizient K = c·mDämpfungskonstante c = bEigenkreisfrequenz System ωAmplitudenverstärkung C*Konstanten α, A1, A2

x mit Ableitungen in Dgl einsetzen,komplexen Nenner in Polarko-ordinaten darstellen :

Inhomo-gene Dgl:

AllgemeineLösung:

)cos()2()(

)(2222

021

2222

ϕωωωω

ωω −⋅+−

+⋅+⋅= −−−− tK

KeAeAex k

kk

tKtKKt

Lösung homogene Dgl + partikuläres Integral

C*Einschwingvorgang

ωk/ω

Resonanz bei ωk → ωbesonders bei K → 0!

ϕ

ωk/ω

Phasenverschiebung ϕzw. System u. Anregung

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Permutationen

Eine Anordnung von n unterscheidbaren Elementen einer Menge in einer bestimmtenReihenfolge heißt Permutation dieser Elemente. Eine entsprechende Anordnung von r ≤ n dieser Elemente heißt r-Permutation (oder auch Variation).

Satz a: Die Anzahl der r-Permutationen von n Objekten ist:

Bsp: Es gibt P(n,r) verschiedene Möglichkeiten beim Ziehen von r Kugeln ohne Zurücklegen aus einer Urne mit n Kugeln. Beim Ziehen mit Zurücklegen gibt es nach dem fundamentalen Abzählprinzip n·n· …n = nr Möglichkeiten.

n!=))(nn(n=n)P(n,r)!(n

n!=)+r(n))(nn(n=r)P(n,

12...321

1...21

⋅⋅−−−

−−−Es gibt also n! Permutationen von n verschiedenen Objekten. ⇒

Satz b: Die Anzahl der Permutationen von n Objekten (Permutationen mit Wiederholung), von denen je n1, je n2, … und je nr gleich sind, ist:

Bsp.: Mit den 5 Buchstaben des Wortes DADDY kann man 5! = 120 verschiedene Worte bilden, sofern man die drei D‘s unterscheidet (D1,D2,D3). Die 120 Worte lassen sich in einer 6 × 20 Matrix anordnen, wobei immer nur die 6 = 3·2·1 = 3! Worte in einer Zeile stehen, die sich nur durch die Indices der D‘s unterscheiden. Ohne Unterscheidung bleiben also nur 5! / 3! = 120 / 6 = 20 Möglichkeiten über.

!!!!

21 rnnnn

⋅⋅⋅

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Binomischer Satz

321234

34

,1

,10

...21)1(...)1(

)!(!!

...210

)(0

2211

⋅⋅⋅⋅

=

=

=

=

⋅⋅⋅+−⋅⋅−

=−

=

=

++

+

+

=+ ∑

=

−−−

nn

nnn

kknnn

knkn

kn

bakn

bnn

ban

ban

an

ban

k

knknnnnn

Binomialkoeffizienten

bilden das

n = 0 1 n = 1 1 1n = 2 1 2 1n = 3 1 3 3 1n = 4 1 4 6 4 1n = 5 1 5 10 10 5 1u.s.w.

Pascalsche Dreieckn! = 1 · 2 · ... · n „n Fakultät“

Der Satz kommt aus der Kombinatorik.Die Binomialkoeffizienten im PascalschenDreieck liefern im Grenzfall n → ∞ die Normalverteilung (siehe auch GaltonschesBrett).

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Wahrscheinlichkeitstheorie

Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich aus dem Studium von Glücksspielen entwickelt. Sie wird mittlerweile „seriös“ in der Thermodynamik, Quantentheorie, Messwertanalyse, Biologie, Versicherungsmathematik, u.s.w., eingesetzt. Sie befasst sich mit den Gesetzmäßigkeiten von zufälligen Ereignissen.

Bsp. Würfeln: Ereignisraum S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Elementarereignis „Würfeln einer Vier“ {4}, Ereignisse A „ungerade Zahl“, B „gerade Zahl“, C „Primzahl“: A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}, C= {2, 3, 5},A ∩ C = {3, 5} „ungerade Primzahl“, A ∩ B = ∅ „gerade und ungerade Zahl“.

Ereignisraum (Stichprobenraum): Menge S aller möglichen Ergebnisse eines Experiments. Elementarereignis: Ein nicht als Summe anderer Ereignisse darstellbares Ereignis (Ergebnis) a. Ereignis: Menge von Elementarereignissen. Unmögliches Ereignis: Leere Menge ∅. Sicheres Ereignis: Menge S. Verknüpfung von Ereignissen zu neuen Ereignissen: a) A ∪ B „A oder B treten ein“ b) A ∩ B „A und B treten ein“c) Ac ist Komplement von A, „A tritt nicht ein“d) A und B heißen disjunkt oder unvereinbar, wenn sie sich ausschließen, also ist A ∩ B = ∅ ein unmögliches Ereignis. Partition: Menge von unvereinbaren Ereignissen A1, A2, …, An, deren Vereinigung S ergibt.

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Wahrscheinlichkeitsraum u. Laplace-Experiment

S = {a1, a2, …, an} sei eine Menge (Ereignisraum) von n Elementarereignissen ai. Wenn man jedem aieine Wahrscheinlichkeit P(ai) zuordnet, so erhält man einen Wahrscheinlichkeitsraum falls gilt:

a) P(ai) ≥ 0 für alle P(ai) b) P(ai) + P(a2) + … + P(an) = 1.

Bsp.: Wir werfen 3 Münzen gleichzeitig und beobachten, wie oft Zahl erscheint (4 Möglichkeiten). Ereignisraum: S = {0, 1, 2, 3} Wahrscheinlichkeitsraum: P(0) = 1/8, P(1) = 3/8, P(2) = 3/8, P(3) = 1/8A = {1, 2, 3} = {„mindestens einmal Zahl erscheint“} ⇒ P(A) = 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8

Falls jedes der n Elementarereignisse ai im Ereignisraum die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, spricht man von einem Laplace-Experiment (Laplace-Wahrscheinlichkeitsraum). Ein Ereignis A mit genau r Elementen besitzt dann die Wahrscheinlichkeit P(A) = r / n.

Bsp.: Karte zufällig aus Kartenspiel mit 52 Karten ziehen. Ereignisse: A = {„Karte ist Karo“}, B = {„Karte ist ein Bild“} P(A) = Zahl der Karo / Zahl der Karten = 13 / 52, P(B) = Zahl der Bilder / 52 = 12 / 52,P(A ∩ B) = Zahl der Karo-Bilder / Zahl der Karten = 3 / 52.

K K K 1K K ZK Z K 3Z K KK Z ZZ K Z 3Z Z KZ Z Z 1

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Ereignisbaum

Mit einem Ereignisbaum kann man die Wahrscheinlichkeiten einer Folge von Experimenten (Zufallsprozess) gut darstellen.

Beispiel: Wir haben 3 Kartons mit folgendem Inhalt: Karton I enthält 6 gute und 4 defekte Lampen. Karton II enthält 5 gute und 1 defekte Lampe.Karton III enthält 5 gute und 3 defekte Lampen.

Wir bestimmen zufällig einen Karton und wählen zufällig daraus eine Lampe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P, dass diese defekt ist?Wir führen eine Folge von zwei Experimenten aus: a) Zufallsauswahl eines Kartons; b) Zufallsauswahl einer Glühlampe (defekt = D, nicht defekt = N). Der folgende Ereignisbaum beschreibt diesen Prozess. An jedem Ast stehen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

I

II

III

D

D

D

N

N

N

1/3

1/3

1/3

2/5

3/51/6

5/63/8

5/8

1/3 · 2/5 = 2/15

1/3 · 3/5 = 3/15

1/3 · 5/6 = 5/18

1/3 · 5/8 = 5/24

1/3 · 3/8 = 3/24

1/3 · 1/6 = 1/18

Wir haben jeweils drei sich ausschließende Möglichkei-ten, eine gute/defekte Glühlampe zu wählen. Daher werden die einzelnen Wahr-scheinlichkeiten addiert:

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Zufallsvariable und Verteilungsfunktion

In den Naturwissenschaften betrachtet man oft Verteilungen von Messdaten. Z.B. wiederholt man eine Messung mehrfach und ordnet die Messwerte der Größe nach Intervallen zu. In ähnlicher Weise beschreibt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen (Werten) eines Experiments. Dabei kann die Wahrscheinlichkeit des zufälligen Auftretens eines Ereignisses (Wertes a) sinnvollerweise durch die Verknüpfung mit einer so genannte Zufallsvariablen X exakt ausgedrückt werden: P(X = a). Mit X kann auch die Wahrscheinlichkeit ausgedrückt werden, dass zufällig ein Ereignis (Wert) aus einem Intervall I auftritt: P(X ∈ I).

Definition Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X: F(x) = P(X ≤ x). F gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass X irgendeinen Wert ≤ x annimmt. F kann abzählbar (diskrete Verteilung) oder kontinuierlich (z.B. Messwerte) sein.

Wahrscheinlichkeitsfunktion bei diskreter Verteilung: Hieraus erhalten wir die Verteilungsfunktion:

0 x

f(x)

0 x

F(x)

3/6

1Bsp: X sei Augenzahl bei Würfelexperiment, X ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

1/6

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Mittelwert, Varianz und Standardabweichungeiner Zufallsvariable X und ihrer Verteilung.

Mittelwert µ(Erwartungswert)

Varianz σ2

Standardabweichung σ

Verteilung

kontinuierlichdiskret

∑j

jj xfx )( ∫+∞

∞−

dxxfx )(

)()( 2j

jj xfx∑ − µ ∫

+∞

∞−

− dxxfx )()( 2µ

(σ ist positive Wurzel aus σ2)

GeometrischeEntsprechung

x-Koordinate desSchwerpunkts der Verteilung

x-Koordinate desTrägheitsmomentsder Verteilung um die Schwerpunktsachse

Oft ist eine Transformation von X wichtig, der Form X* = a + bX. Dann transformieren sich µ und σ2 zu µ * = a + bµ und σ*2 = b2 σ2

Für die standardisierte Zufallsvariable Z gilt µ = 0 und σ = 1

σµ−

=XZ

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Poissonverteilung

)210( , ..., , x = ex!μ=f(x) μ

x−

Bei der Binomialverteilung ist der Mittelwert µ = np. Für kleine p und große n geht diese Verteilung in die Poissonverteilung über (ohne Beweis):

mit der Varianz σ2 = µ

Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Schraube ist p = 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 100 Schrauben mehr als 2 defekte Schrauben enthalten (Ereignis A)?

Lösung: Berechnung des Gegenteils „nicht mehr als 2 defekte Schrauben“ (Ereignis B). Die Anzahl der Experimente ist n = 100. Damit ist p relativ klein und n relativ groß, so dass die Poisson-Verteilung eine Approximation der Binomialverteilung darstellt, mit µ = pn = 1.

P(B) = f(0) + f(1) + f(2) = e-1 ( 1 + 1 + ½) = 91,97 %.

P(A) = 1 – P(B) = 8,03 % (oder 7,94 % mit der Binomialverteilung berechnet).

Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Poisson-verteilung für verschiedene Werte von µ.