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  • Mathematische Physik bei Hermann Weyl zwischen Hegelscher Physik und symbolischer

    Konstruktion der Wirklichkeit

    Erhard Scholz, Wuppertal

    03. 04. 2010

    Zusammenfassung

    Hermann Weyls Beitrge zur mathematischen Physik waren stets mitreflektierenden Kommentaren verbunden, die deutlich zeigen, welche ber-greifende Vorstellungen er sich von der Beziehung zwischen Mathematikund Physik in der jeweiligen Arbeitsphase machte. Es werden drei Mo-di unterschieden: (1) Mathematische Beitrge mit wesentlich spekulativ-apriorischem Geltungsanspruch, (2) begriffsanalytische Beitrge zu Grund-lagenfragen der Physik, (3) Beitrge zur symbolischen Konstruktion desBildes der Wirklichkeit. Diese drei Auffassungen werden an BeispielenWeylscher Arbeiten zur mathematischen Physik und mit ausfhrlichenTextzitaten vorgestellt und kommentiert.

    Vorweg

    Hermann Weyls Beitrge zur mathematischen Physik des 20. Jahrhunderts wa-ren vielfltig und hatten zumindest teilweise weitreichende Folgen. Hierkann es nicht darum gehen, diese Beitrge im Einzelnen darzustellen oder garzu analysieren. Vielmehr soll das Profil von Weyls Umgang mit der Mathematikin der (theoretischen) Physik und seine Reflexion dieses Verhltnisses heraus-gearbeitet werden, so weit das mglich ist. Natrlich blieb dieses Profil nichtzeitlich konstant; Weyls Auffassungen des Fragekomplexes vernderten sich imLaufe seines Lebens erheblich.

    Aus meiner Sicht lassen sich folgende drei Arten der Verwendung der Ma-thematik in der Physik durch Weyl identifizieren:

    (1) Mathematische Beitrge mit wesentlich spekulativ-apriorischem Geltungs-anspruch, gewissermaen Mathematik als Naturphilosophie. Ein bekann-tes Beispiel ist Weyls reine Infinitesimalgeometrie von 1918 und sein dar-auf aufbauender Versuch zur Formulierung einer einheitlichen Feldtheorie(19181920).

    (2) Begriffsanalytische Beitrge zur Klrung von Grundlagenfragen der Phy-sik. Typische Beispiele: Konforme und projektive Strukturen in der allge-meinen Relativittstheorie (ART) (1921), Weyls mathematische Analysedes Raumproblems (1921/22) und seine Untersuchung zum gruppentheo-retischen Fundament der Tensorrechnung (1924).

    1

  • (3) Schlielich der Einsatz der Mathematik in strukturell untersttzenderFunktion bei der symbolischen Konstruktion der Naturerkenntnis oder,wie Weyl vorzog zu formulieren, bei der symbolischen Konstruktion derWirklichkeit. Beispiele dieses Einsatzes finden sich in Weyls Diskussionder Rolle der hermiteschen Formen (Operatoren) in der Quantenmecha-nik (1927), der Rolle der Gruppentheorie bei der Begrndung der Quan-tenmechanik und speziell bei der Aufklrung der homopolaren Bindung(1928ff.). Weiter wurde seine Sicht des bergangs zur U(1)-Eichtheoriedes Elektromagnetismus im Rahmen der allgemein relativistischen Dirac-Gleichung (1929) von dieser Auffassung charakterisiert. Wir finden sieauch bei seinen spteren Diskussionen mathematischer Konstruktionen inder ART.

    Die angefhrten Beispiele zeigen eine klare zeitliche Reihenfolge. Man wirdversucht sein daraus abzulesen, dass die hier aufgelisteten Aspekte nicht lediglichanalytisch zu unterscheiden sind, sondern Vernderungen in Weyls Auffassungder Rolle der Mathematik im Erkenntnisprozes der Physik zum Ausdruck brin-gen. Das ist nicht ganz falsch; es soll hier aber keine epistemisch-biographischeEntwicklungslinie des Weylschen Denkens (in dieser Sache) behauptet werden.Schon eine detailliertere Diskussion der Grnde fr die jeweiligen Verschiebun-gen wrde den Rahmen dieses Artikels berschreiten. Des weiteren wre esfalsch, hier eine Reihe sich ablsender (sich wechselseitig ausschlieender) Auf-fassungen zu sehen. Eher msste man von einer Anreicherung und relativen Ge-wichtsverschiebung zwischen diesen ausgehen. Die frheren Auffassungen wur-den von Weyl nie vllig verworfen, sondern blieben in untergeordneter Form undvernderter Funktion auch spter erhalten. Dies wird im folgenden im Auge zubehalten sein.

    1. Beitrge mit spekulativ-apriorischem Geltungsanspruch

    Das wohl schnste Beispiel fr einen Einsatz der Mathematik im Sinne einesspekulativ-naturphilosophischen Vorgehens findet sich in Weyls Formulierungseiner reinen Infinitesimalgeometrie, in heutiger Formulierung der Verallgemei-nerung der Riemannschen Geometrie zur Weylgeometrie (Weyl 1918a, Weyl1918b, Weyl 1919). In modernisierter Notation zusammengefasst ging es Weyldarum, die Mglichkeit des direkten Vergleichs geometrischer (und physikali-scher) Gren in einer Mannigfaltigkeit (M, g) mit Riemannscher Metrik g, inlokalen Koordinaten ausdrckbar in der Form

    gdxdx , aufzugeben. Statt-

    dessen sollte ein direkter Vergleich nur von Gren an einem Punkt x Mmglich sein (etwa der Lngen von Vektoren in demselben TangentialraumTxM). Dies war durch die Abstraktion von g zur zugehrigen konformen Klasse[g] ausdrckbar, mit g [g], falls g = g ( strikt positive reelle Funktionauf M). Der Vergleich an verschiedenen Punkten x 6= x wurde durch Inte-gration einer Differentialform , in lokalen Koordinaten

    dx

    , zu einem(im allgemeinen wegabhngigen) Umskalierungsfaktor ermglicht. Weyl nannte einen Lngenzusammenhang (Skalenzusammenhang). Eine rein infinitesi-malgeometrische (Weylsche) Metrik wurde/wird dementsprechend durch einequivalenzklasse [(g, )] angegeben, wobei quivalenzen (g, ) (g, ) durchEichtransformationen definiert sind:

    g = g

    2

  • = 12d log

    Auf diese Skaleneichgeometrie baute Weyl ein dreischrittiges gegliedertes,umfassendes physikalisches Theorieprogramm auf:

    Interpretation des Lngenzusammenhangs als (IR+) Eichtheorie deselektromagnetischen (e.m.) Feldes F = d (geometrisch Krmmungsformvon ),

    geometrische Vereinheitlichung von Gravitation g und e.m. Feld F = ddurch die Weylsche Metrik [(g, )],

    darauf aufbauend, in Fortfhrung des Mie-Hilbertschen Ansatzes, eine reinfeldtheoretische Materieerklrung durch ein Wirkungsprinzip

    Ldx = 0

    mit nur von g und abhngiger eichinvarianter Lagrangedichte L(g, ).

    Die Materie hoffte er hnlich wie Hilbert durch zeitlich stabile Energieknotenin T00 erklren zu knnen, mit T Energie-Impulsanteil des aus Variation vonL nach g hervorgehenden geometrisch-materiellen Tensors. Dies ist an vielenStellen dargestellt worden.1

    Man htte dies als eine mehr oder weniger gewagte Hypothese der mathe-matischen Physik formulieren knnen, um sie der Fachdiskussion zu stellen undihren empirischen Gehalt im Laufe der Zeit zu berprfen. Bei Weyls erstenPublikationen zu diesem Thema hrte sich das aber anders an. Nach einer kur-zen Schilderung der alten Anschaung von Raum und Zeit in der klassischenPhysik erluterte er die neue Sicht, die durch die ART erffnet wurde:

    Das prinzipiell Neue an ihr ist (. . . ) die Einsicht: die Metrik ist nichteine Eigenschaft der Welt an sich; vielmehr ist Raum-Zeit als Formder Erscheinungen ein vllig gestaltloses vierdimensionales Kontinu-um im Sinne der Analysis Situs, die Metrik aber bringt etwas Realeszum Ausdruck, das in der Welt existiert, das durch Zentrifugal- undGravitationskrfte physikalische Wirkungen auf die Materie ausbtund dessen Zustand auch umgekehrt durch die Verteilung und Be-schaffenheit der Metrik naturgesetzlich bedingt ist. (Weyl 1918b, 2)

    Nach dieser Einstimmung kndigt er seinen eigenen Beitrag und dessen pro-grammatische Intentionen an:

    . . . Indem ich die Riemannsche Geometrie, die doch reine Nahe-Geometrie sein will, von einer ihr gegenwrtig noch anhaftendenInkonsequenz befreite, ein letztes ferngeometrisches Element aus-stie, das sie von ihrer Euklidischen Vergangenheit noch bei sichfhrte, gelangte ich zu einer Weltmetrik, aus welcher nicht nur dieGravitations- sondern auch die elektromagnetischen Wirkungen her-vorgehen, die somit, wie man mit gutem Grund annehmen darf, beralle physikalischen Vorgnge Rechenschaft gibt. Nach dieser Theo-rie ist alles Wirkliche, das in der Welt vorhanden ist, Manifestationder Weltmetrik; die physikalischen Begriffe sind keine andern als diegeometrischen. Der einzige Unterschied, der zwischen Geometrie undPhysik besteht, ist . . . (ebda, Hervorhebungen hier wie im folgendenim Original)

    1(Vizgin 1994, Corry 2004, ORaifeartaigh 1997, Scholz 2004a)

    3

  • Es folgte eine Darlegung, dass die Geometrie das Wesen der metrischen Begrif-fe, also die allgemeinen metrischen Strukturen erforsche, whrend die Physikdie Gesetze der wirklichen Welt unter allen mglichen vierdimensionalen Man-nigfaltigkeiten auszuzeichnen habe.

    Man knnte dazu neigen, solche Stze als berhhung und spachliches Orna-ment einer mglicherweise ansonsten eher nchtern ausgefhrten Begriffsanalyseund -erweiterung samt Hypothesenbildung anzusehen. Zieht man aber weitereArbeiten Weyls aus der Zeit 1918- 1920 hinzu, so besttigt sich der Eindruck,dass in ihnen die vorwrtstragende Gedankenentwicklung ihres Autors durchausadquat zum Ausdruck kamen.

    So finden sich am Ende des Textes der dritten Auflage von Raum - Zeit -Materie (RZM), in der Weyl nun auch seine neue Geometrie, einheitliche Feld-theorie und die feldtheoretische Materiehypothese aufnahm,2 zum VerhltnisGeometrie Physik folgende Ausfhrungen:

    Wir hatten erkannt, da Physik und Geometrie schlielich zusam-menfallen, da die Weltmetrik eine, ja vielmehr die einzige physi-kalische Realitt ist. Aber letzten Endes erscheint so diese ganzephysikalische Realitt doch als eine bloe Form; nicht die Geome-trie ist zur Physik, sondern die Physik ist zur Geometrie geworden. . . (Weyl 1919, 263)

    Bei dieser Identifizierung von Geometrie und physikalischer Realitt spieltenstarke philosophische Motive mit, die Weyl von seiten der Husserlschen Ph-nomenologie (Ryckman 2005) und der Fichteschen Philosophie aufgenommenhatte (Sieroka 2010, Scholz 2005b). Letztere nahm fr Weyl in diesen Jahreneine zentrale Stellung ein.

    Der cartesianisch anmutende Traum einer vlligen Assimilation der P