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  • Mathematische Probleme am Personalcomputer lösen Ein Beitrag über neue Facetten der Mathematik im Zeitalter von dynamischer Geometrie und Computer-Algebra-Systemen von Ingmar Rubin

    2008 – Jahr der Mathematik

  • Seite 2 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Agenda

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet

    Übersicht wichtiger Mathematikprogramme Dynamische Geometriesoftware (DGS) Computer Algebra Systeme (CAS)

    Aufgaben Leitertransport – eine Extremwertaufgabe Kurvenkonstruktion: Versiera der Agnesi Albrecht Dürer und die Muschellinie Lose Rolle auf dem Seil

    Mathematikzeitschriften Lesenswerte Bücher Links

  • Seite 3 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil I

    Der Einsatz von Personalcomputer und Internet eröffnen der Wissen- schaft Mathematik eine neue Dimension. Zahlreiche Aufgaben- stellungen, die bisher als quasi "nicht lösbar" galten, sind heute dank moderner Computersoftware zu bewältigen. Im Internet findet man zu fast jedem Teilgebiet der Mathematik passende Beiträge, Beispiel- aufgaben und Software. Neben den bekannten Suchmaschinen gibt es zahlreiche WEB Seiten von Mathematiklehrern und Freizeit- mathematikern die eine schnelle Übersicht bieten wie z.B. www.matheraetsel.de Beim Lösen der Aufgabenstellungen steht natürlich der Mensch nach wie vor im Mittelpunkt. Ohne mathematisches Grundlagenwissen und einer Intuition zum Lösungsweg kann auch der schnellste Computer und die beste Software nicht zum Ziel führen. Der PC kann aber die Aufgabenstellung dynamisch visualisieren (Animation), die Berechnung beschleunigen und Ergebnisse graphisch darstellen.

    http://www.matheraetsel.de/

  • Seite 4 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet – Teil II

    Der Computer befreit uns von Routineaufgaben wie: Bestimmung der Nullstellen von Polynomen, Auflösung, Vereinfachung von Gleichungen und Gleichungssystemen, Nährungslösungen von transzendenten Gleichungen, Primzahltest, Primfaktorzerlegung, GGT Bestimmung, Funktionenplotts in 2D und 3D-Darstellung, Differentiation und Integration von Funktionen, Grenzwertbestimmung, Simulation dynamischer Systeme usw.

    Fragestellung: Wie kann ich mein Problem konkret lösen, wenn Taschenrechner und Exceltabelle nicht mehr genügen?

    Wo finde ich eine Übersicht zu Programmen, die für das entsprechende Teilgebiet in Frage kommen?

  • Seite 5 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Mathematik im Zeitalter von Computer und Internet Teil III

    In den vergangenen 15 Jahren sind von Studenten und Mathematik- lehrern eine Reihe interessanter und leistungsfähiger Mathematik- programme entstanden. Diese Programme können in der Regel kostenlos über das Internet geladen werden oder gegen eine geringe Gebühr (Shareware) bezogen werden.

    Gegenüber kommerzieller Software ist der Einarbeitungsaufwand kleiner. Die Bedienbarkeit ist auf Schüler zugeschnitten, d.h. es werden keine teuren Spezialkurse benötigt, um mit diesen Programmen arbeiten zu können.

    Auf meiner Homepage www.matheraetsel.de habe ich unter „Software“ gegliedert nach Themengebieten eine Reihe wichtiger Programme aus den Bereichen Geometrie, Algebra/Zahlentheorie, Funktionenplotter, Computeralgebra und numerischer Simulation aufgezählt.

  • Seite 6 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Dynamische Geometrie – Was ist das?

    die klassische Konstruktion mit Zirkel und Lineal wird mit Hilfe eines Computerprogramms ausgeführt, geometrische Objekte können beliebig gedehnt, gestaucht werden (Vorteil gegenüber der statischen Konstruktion auf dem Papier) Punkte können entlang von Linien, Kreisen geführt werden, Schnittpunkte von Objekten können verfolgt werden (Ortskurven) nicht zur verwechseln mit CAD Programmen! es handelt sich zumeist um Sharewareprogramme die von Mathematiklehrern für Schüler erschaffen wurden Entwicklung seit ca. 15 Jahren, wichtige Vertreter: Euklid: Roland Mechling www.dynageo.de (Shareware, 29 €) Z.u.L: Rene Grothmann (kostenfrei, Java Applet) GeoGebra: Markus Hohmeier (kostenfrei) Cynderella (49 €)

    http://www.dynageo.de/

  • Seite 7 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    CAS – Computer – Algebra - Systeme

    neue Qualität in der Bearbeitung und Berechnung mathematischer Probleme, an Stelle der numerischen Berechnung werden Gleichungen in algebraischer Form notiert, umgeformt und vereinfacht, Die Lösung des Problems repräsentiert sich nicht mehr für einen konkreten (numerischen) Fall, sondernd tritt in Form einer allgemeingültigen Gleichung auf, Integrale und Differentialgleichungen können symbolisch gelöst werden Bestimmung der Schnittmengen zwischen Körpern bzw. Kurven unbegrenzte Arithmetik, Was ein CAS wie Mathematica zu leisten vermag, zeigt Eric Weisstein eindrucksvoll im Internet unter www.mathworld.com wichtige Vertreter sind unter www.matheraetsel.de/software aufgezählt

    http://www.mathworld.com/ http://www.matheraetsel.de/software

  • Seite 8 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Aufgabe: Leitertransport

    Eine Leiter der Länge L soll von einer Gasse der Breite a in eine Gasse der Breite b transportiert werden.

    Wie breit muss die Gasse b mindestens sein, damit der Leiteransport reibungslos funktioniert?

    Anmerkung: die Leiter wird stets waagerecht transportiert.

    a

    b

    L

  • Seite 9 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit dem Programm Euklid

    A CB

    E

    D

  • Seite 10 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Lösungsansatz zum Leitertransport

    Die Dreiecke DBC, EFD und EAC sind einander ähnlich. Weiterhin gilt im rechtwinkligen Dreieck EAC der Satz des Pythagoras.

    Die Auflösung der Gleichungen nach b ergibt:

    222, yxL y x

    a bx

    +== −

    a b

    x=AC, y=AE

    L² = x² + y²

    (x-b)/a = x/y

    A x-b

    y-a

    B C

    D

    E

    F

    22 )(

    xL xaxxb −

    ⋅ −=

  • Seite 11 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 1

    In[1]:= gleichung1 = Hx − bL ê a x ê y Out[1]=

    −b + x a

    x y

    In[2]:= gleichung2 = L Sqrt@x^2 + y^2D Out[2]= L è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

    In[3]:= loesung1 = Solve@8gleichung1, gleichung2

  • Seite 12 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 2

    In[5]:= b1 = Simplify@D@b, xDD Out[5]= 1 − a L

    2HL2 − x2L3ê2 In[6]:= loesung2 = Simplify@Solve@b1 0, xD, 8 L > 0, a > 0 0, a > 0

  • Seite 13 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 3

    In[10]:= graph1 = Plot@8b

  • Seite 14 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Leitertransport mit CAS Mathematica, Teil 4

    x

    10 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − J 310 N2ê3 N@xD 7.42872

    bmax

    10 1ê3 $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − J 310 N2ê3 H−32ê3 + 102ê3L N@bmaxD 4.09961

  • Seite 15 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvenkonstruktion Versiera der Agnesi

    Maria Gaetana Agnesi (1718 - 1799) war die erste

    Mathematikprofessorin der Neuzeit. Sie wurde 1750

    auf den Lehrstuhl für Mathematik der Universität

    Bologna berufen und entdeckte die nach ihr

    benannte Wendekurve Versiera der Agnesi. Ein

    Punkt der gesuchten Kurve wird wie folgt

    konstruiert:

    - zeichne den Kreis k um M(0, r) mit dem Radius r,

    - zeichne die Parallele p zur x-Achse durch den

    Punkt P(0, 2 r),

    - zeichne eine Gerade g durch den Punkt A(0,0) mit

    positiven Anstieg,

    - g schneidet den Kreis in B,

    - g schneidet die Parallele in C,

    - der Punkt D(cx,by) ist ein Punkt der gesuchten

    Kurve

    y

    xA(0,0)

    D(cx,by)

    g

    p

    B

    C

    k M(0,r)

    P(0,2 r)

  • Seite 16 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Konstruktion Versiera der Agnesi mit Euklid

    -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

    -4

    -3

    -2

    -1

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    x

    y

    P

    A

    B

    C

    D

    g

    p

    M

  • Seite 17 2008 – Jahr der Mathematik Mathematik am Personalcomputer

    Kurvengleichung Versiera der Agnesi

    Kreisgleichung mit Mittelpunkt in M(0, r):

    Geradengleichung durch A(0,0) mit Anstieg m:

    Parallele durch P(0, 2 r):

    Schnittpunkt B zwischen Kreis und Gerade:

    Schnittpunkt C zwischen Gerade und Parallele:

    ( ) 222 rryx =−+

    xmyg ⋅=:

    ryp ⋅= 2:

    2

    2

    2 1 2,

    1 2

    m rmy

    m rmx BB

    + ⋅⋅

    = +

    ⋅⋅ =

    ry m

    rx CC ⋅=⋅= 2,2

    y

    xA(0,0)

    D(cx,by)

    g

    p

    B

    C

    k M(0,r)