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  • Mathematische Problemlsungsstrategien

    Uwe Nowak

    17. 19. Februar 2006

  • Mathematische Problemlsungsstrategien Inhaltsverzeichnis

    Inhaltsverzeichnis

    Inhaltsverzeichnis 2

    1 Frbungsbeweise 31.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 Ungleichungen 112.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    3 Schubfachprinzip 153.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    4 Extremalprinzip 174.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    5 Vollstndige Induktion 215.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.3 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    6 Teleskopprinzip 256.1 Einfhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Lsungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    Literatur 27

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  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

    1 Frbungsbeweise

    1.1 Einfhrung

    Frbungsbeweise sind meistens dann zu verwenden, wenn zu zeigen ist, dass eine bestimmteebene Flche nicht mit aus Quadraten zusammengesetzten Steinen (z.B. Tetrominos, Domino-steine) zu bedecken ist oder ein bestimmter Raum nicht mit aus Wrfeln zusammengesetztenSteinen zu fllen ist.Die meisten Lsungen haben folgendes Schema: Die Flche wird so mit einem Muster gefrbt,

    dass Aussagen ber das Muster zu machen sind, das ein bestimmter Stein bedeckt. Danachwird ein Widerspruch zwischen dem Muster der Flche und dem Muster, das ein Stein bedeckt,hergeleitet.

    Abbildung 1: Schachbrett

    Aufgabe: Es ist unmglich, ein Schachbrett, bei demzwei diagonal gegenberliegende Ecken entfernt wur-den (siehe Abbildung 1), mit 31 1 2 Dominosteinenzu bedecken.

    Lsung: Diese Aufgabe ist sehr anschaulich, weil dasSchachbrett bereits gefrbt ist. Nun ist eine Aussageber das Muster zu machen, das von einem Domino-stein bedeckt wird. Da jedes Feld von 4 andersfarbigenFeldern umgeben ist, bedeckt jeder Dominostein einweies und ein schwarzes Feld. Da aber beide wegge-lassen Ecken schwarz waren, hat das Brett 32 weieund 30 schwarze Felder. Somit msste einer der Do-minosteine 2 weie Felder bedecken. Aus diesem Wi-derspruch folgt unmittelbar die Behauptung.

    3

  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

    1.2 Aufgaben

    In den Aufgaben werden folgende Tetrominos verwendet:

    Straight-Tetr. Square-Tetr. Skew-Tetr. L-Tetr. T-Tetr.

    Abbildung 2: Bezeichnung der verwendeten Tetrominos

    1. Eine rechteckige Flche ist mit Straight-Tetrominos und Square-Tetrominos bedeckt. EinStein zerbricht und es ist nur noch ein Stein der anderen Art vorhanden. Zeige, dass dieFlche nicht mit den vorhanden Steinen bedeckt werden kann.

    2. Ist es mglich, aus den fnf Tetrominos ein Rechteck zu formen?

    3. Ein 10 10 Schachbrett kann nicht mit 25 T-Tetrominos bedeckt werden.

    4. Ein 8 8 Schachbrett kann nicht mit 15 T-Tetrominos und einem Square-Tetrominobedeckt werden.

    5. Fr welches n N kann man ein nn Schachbrett, bei dem alle 4 Ecken entfernt wurden,mit L-Tetrominos bedecken.

    6. Ist es mglich, einen 10 10 10 Quader mit 1 1 4 Quader auszufllen.

    7. Ein a b Rechteck kann nur dann mit 1 n Steinen bedeckt werden, wenn n Teiler vona oder von b ist.

    8. Fr welche n N kann ein (2n + 1) (2n + 1) Schachbrett, bei dem eine Ecke entferntwurde, mit 2 1 Steinen bedeckt werden, so dass die Hlfte der Steine horizontal liegen?

    9. Auf den 5 in Abbildung 3a gezeigten Kisten steht jeweils auf der Oberseite ein T. Siewerden durch Rollen ber ihre Kanten in die in Abbildung 3b gezeigte Formation gebracht.Welche Kiste stand ursprnglich in der Mitte.

    (a) (b)

    Abbildung 3: Die Anordnung der Kisten in Aufgabe 9

    10. Auf einem Feld eines 55 Quadrates steht 1, auf den anderen 24 Feldern +1. Nur durchInversion der Vorzeichen von a a Feldern innerhalb des 5 5 Feldes wird erreicht, dassauf allen Feldern +1 steht. Auf welchen Feldern kann 1 gestanden haben?

    4

  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

    11. Ein 7 7 Quadrat ist mit acht 3 1 Steinen und einem 1 1 Stein bedeckt. An welcherStelle liegt der 1 1 Stein?

    12. Gibt es einen Weg, der jeden der Knotenpunkte in Abbildung 4 genau einmal schneidet?

    Abbildung 4: Der Graph zu Aufgabe 12

    13. Knnen 53 1 1 4 Steine in ein 6 6 6 Quader gepackt werden?

    14. Ein 6 6 Quadrat ist mit 1 2 Steinen bedeckt. Zeige, dass es mindesten eine Linie gibt,die das Quadrat, aber keinen Stein schneidet.

    15. Jedes Element einer 25 25 Matrix ist entweder +1 oder 1. Wenn ai das Produkt allerZahlen der i-ten Zeile und bj das Produkt aller Zahlen der j-ten Spalte ist, dann gilt frdie Summe

    a1 + b1 + a2 + b2 + + a25 + b25 6= 0.

    5

  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

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  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

    1.3 Lsungen

    (a) (b) (c)

    1 32 ... n 1

    1 2 3 ... n 1

    1 2 3 ... n 1

    ... ... ... ... ... ...

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    ...

    ...

    n

    n

    1

    1(d) (e)

    1 23 1 23

    1 23 1 23

    1 23 1 3

    2

    1

    3 2

    1 23 1 23

    1 23 1 23

    1 23 1 3

    2

    1

    3 2

    1 23 1 23 1(f)

    1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

    0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

    3 1 3 1 3

    2 0

    0 2 0 2 0

    3 1 2 3 0 1 2 3

    3 1 3 1 3

    2 0

    0 2 0 2 0

    3 1 2 3 0 1 2 3

    1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

    0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

    1 2 3 0 1 2 3 0 1 2

    0 1 2 3 0 1 2 3 0 1

    (g)

    Abbildung 5: Fr die Lsung verwendete Frbungen

    7

  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

    1. Man frbe das Rechteck wie in Muster (b). Dann bedeckt ein Straight-Tetromino 0 oder2 schwarze Felder, ein Square-Tetromino hingegen 1 schwarzes Feld. Daher knnen diebeiden Steine nicht ausgetauscht werden.

    2. Man frbe das Rechteck wie in Muster (a). Dann hat das Rechteck mit 20 Steinen 10schwarze und 10 weie Felder. Das T-Tetromino bedeckt 1 weies oder 3 weie Felder,alle anderen Steine 2 weie Felder. Somit sind nach allen gelegten Steinen 9 oder 11 weieFelder bedeckt.

    3. Man frbe das Quadrat wie in Muster (a). Dann hat das 10 10 Schachbrett 50 weieund 50 schwarze Felder. Jedes T-Tetromino bedeckt 1 oder 3 weie Felder. Gibt es nT-Tetrominos, die 1 weies Feld bedecken, so gibt es 25 n T-Tetrominos, die 3 weieFelder bedecken. Insgesamt werden also

    n + 3 (25 n) = 75 2n 6= 50

    weie Felder bedeckt.

    4. Man frbe das Schachbrett wie in Muster (b). Dann hat das 8 8 Schachbrett 32 weieund 32 schwarze Felder. Jedes T-Tetromino bedeckt 1 oder 3 weie Felder, das Square-Tetromino 2 weie Felder. Gibt es n T-Tetrominos, die 1 weies Feld bedecken, so gibt es15 n T-Tetrominos, die 3 weie Felder bedecken. Insgesamt werden also

    n + 3 (15 n) = 45 2n 6= 30

    weie Felder bedeckt.

    5. n2 4 ist durch 4 teilbar, also ist n gerade. Das gengt aber nicht. Frbt man die Flchewie in Muster (c), dann bedeckt ein L-Tetromino 1 oder 3 weie Felder. Da die Anzahlder weien Felder der Flche aber gerade ist, muss die Anzahl der L-Tetrominos geradesein, n4 also ein Vielfaches von 8 sein. Ist n ein Vielfaches von 4, so ist n2 ein Vielfachesvon 16, n2 4 also kein Vielfaches von 8. Somit muss n die Form 4k + 2 haben. Das diesegengt, erkennt man einfach durch die entsprechende Konstruktion.

    6. Man bezeichne die Koordinaten der einzelnen Wrfel mit x, y und z (die linke untereEcke sei x = y = z = 0) und Frbe jeden Wrfel mit der Farbe i = (x + y + z)mod 4. Dann enthlt ein 1 1 4 Quader jeweils einen Wrfel jeder Farbe. In deruntersten Ebene (z = 0) sind 25,26,25,24 Wrfel der Farbe 0,1,2,3 (vgl. Muster (g)).Die Farbe eine Wrfels in der darrberliegenden Ebene entspricht der um 1 erhhtenFarbe der darrunterliegenden Ebene modulo 4. Somit enthlt der 10 10 10 Quader2(25 + 24 + 25 + 26) + 25 + 24 = 249 Wrfel der Farbe 0. Es gibt aber 250 solcher Wrfel.

    7. Ist n ein Teiler von a oder von b, so ist die Lsung trivial. Es gilt a = qn+r, 1 r < n Manfrbe das Rechteck wie in Muster (d). Dann gibt es bq + b Felder der Farben 1, 2, 3, . . . , rund bq der Farben 1, 2, 3, . . . , n. Jeder horizontale Stein bedeckt ein Feld jeder Farbe, jedervertikale n Felder derselben Farbe. Nachdem alle h horizontalen Steine gelegt wurden,bleiben noch bq +bh Steine der Farben 1, 2, 3, . . . , r und bqh der Farben 1, 2, 3, . . . , n.Es gilt also n|bq + b h und n|bq h. Somit gilt n|(bq + b h) (bq h), also n|b.

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  • Mathematische Problemlsungsstrategien 1 Frbungsbeweise

    8. Man frbe die Flche wie in Muster (c), so dass die obere