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Inhaltsverzeichnis 2

Mathematische Grundlagen 7

Abbildungsarten 7

Weitere Eigenschaften von Abbildungen 7

Wurzeln 8

Trigonometrie, Hyperbelfunktionen 8

Exponentialfunktionen und Logarithmus 11

Polynome 11

Komplexe Zahlen 12

Differentiale und Integrale 13

Geometrische Grundlagen 14

Weitere wichtige Objekte 15

Analysis, Semester 1 17

Zahlen und metrische Räume 17

Reelle Folgen 18

Unendliche Reihen 19

Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit 21

Elementare Funktionen 22

Potenzreihen 23

Komplexe Potenzreihen 23

Ableitungen und Mittelwertsätze 24

Unbestimmte Ausdrücke 25

Taylor 25

Extrema, Wendepunkte und Konvexität 26

Der 𝑛-dimensionale Raum 26

Richtungsgrenzwerte, partielle Ableitungen 28

Implizite Funktionen 30

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variablen 30

Lineare Algebra, Semester 1 32

Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 32

Matrizen und Vektorräume 33

Die besonderen Vektorräume ℝ2 und ℝ3 37

Lineare Abbildungen und Matrizen 38

Analysis, Semester 2 42

Bogenlänge ebener Kurven 42

Uneigentliche Integrale 42

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Kurven 42

Parameterdarstellung von Flächen 44

Doppel- und Dreifachintegrale 44

Oberfläche, Transformation und Parameterintegrale 45

Differenzierung von Vektoren 46

Linien- und Oberflächenintegrale 46

Gradient, Divergenz, Rotation 47

Integralsätze 48

Tensoren 48

Differenzialgleichungen, Semester 2 50

Grundsätzliches 50

Elementar integrierbare Fälle 51

Lineare Differentialgleichungen und verwandte Fälle 51

Kurvenscharen 52

Exakte und implizite Differentialgleichungen 53

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen 54

Differentialgleichungen höherer Ordnung 54

Systeme 56

Integrationsverfahren 56

Analysis, Semester 3 58

Hilbertraum, Skalarprodukt und Norm 58

Orthogonalität in Hilberträumen, Projektionssatz 59

Tensorprodukte von Hilberträumen 61

Beschränkte, lineare Operatoren 62

Das Spektrum eines beschränkten, linearen Operators 63

Spektralsatz für selbstadungierte, kompakte und beschränkte Operatoren 65

Unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren 65

Spektralsatz für unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren 66

Fouriertransformation und partielle Differentialoperatoren 67

Partielle Differentialgleichungen 69

Wahrscheinlichkeitstheorie 71

Definition von Wahrscheinlichkeit 71

Definition von Mittelwert, Momenten und marginaler Verteilung 73

Kombinatorik 74

Grenzwertsätze 78

Bayessche Wahrscheinlichkeitstheorie 79

Kontinuierliche Variablen 81

Der zentrale Grenzwertsatz 82

Poisson 83

Nachweise (Mathematik) 84

Experimentalphysik I 85

Zu Ergänzen 85

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Experimentalphysik II 86

Schwingungen 86

Optik 87

Elektrostatik 90

Stationäre elektrische Ströme 91

Magnetfeld, Kräfte von Magnetfeldern, Elektromagnetische Induktion 92

Wechselstrom 93

Atom-, Kern- und Teilchenphysik 95

Quantentheorie des Lichts 95

Die Wellennatur von Teilchen 96

Wellenmechanik und die Schrödingergleichung 99

Energetische Atomtheorie 101

Radioaktivität 105

Physikalische Messmethoden 108

Grundlagen des Messens 108

Messunsicherheit (Messfehler) 109

Widerstand 109

Unsicherheitsfortpflanzung 113

Statistik 113

Sicherheitseinweisung Strom 115

Logarithmische Auftragung 116

Theoretische Mechanik 117

Die Newtonsche Mechanik 117

Lagrangeformalismus 119

Die Bewegungsgleichung 122

Bewegung des starren Körpers 122

Bewegung des starren Körpers 122

Hamilton-Formalismus 123

Relativitätstheorie 123

Geophysik 125

Erdentstehung 125

Altersbestimmung, Erdfigur und Schwerkraft 126

Erdfigur und Schwerkraft 128

Seismik und Plattentektonik 132

Magnetfeld und Magnetosphaere 139

Astrophysik 143

Sphärische Astronomie 143

Geschichte der Astronomie 147

Himmelsmechanik 149

Astronomische Instrumente 153

Physik der Körper des Sonnensystems 157

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Sterne 161

Interstellare Materie 168

Die Galaxis 170

Extragalaktische Systeme 173

Kosmologie 174

Astrobiologie 175

Metereologie 177

Aufbau und Zusammensetzung der Atmosphäre 177

Druck und Temperatur der Atmosphäre 179

Strahlung in der Atmosphäre 181

Atmosphärenoptik 183

Temperaturgradienten 185

Luftfeuchtigkeit / Wolken 188

Niederschlag 191

Quantenmechanik 195

Mathematische Basis 195

Welle und Teilchen 196

Zustände und Messungen 196

Teilchen mit Spin 12 198

Thermodynamik 200

Grundbegriffe 200

Zustandsgleichungen 201

Erster Hauptsatz 202

Zweiter Hauptsatz 203

Thermodynamische Potentiale 205

Dritter Hauptsatz 208

Technische Anwendungen 209

Heterogene Systeme 211

Elektrodynamik 213

Elektrostatik 213

Elektrische Felder in Materie 216

Magnetostatik 217

Magnetische Felder in Materie 218

Elektrodynamik 218

Maxwell-Gleichungen 220

Elektromagnetische Wellen 221

Potentiale und Felder 222

Relativistische Elektrodynamik 223

Computerorientierte Physik 225

Grundlagen 225

Numerische Integration und Differenzierung 225

Numerische Methoden der Linearen Algebra 229

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Interpolation und Least Squares 233

Numerische Behandlung von Differentialgleichungen 236

Monte Carlo Simulation 241

Kernenergie und Umwelt 242

Nukleare Reaktionen 242

Reaktorphysik 243

Reaktortypen 245

Unfälle und Konsequenzen 251

Umwelteinflüsse und Wirtschaftlichkeit 253

Nachweise (Physik) 255

Register 256

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Mathematische Grundlagen

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Mathematische Grundlagen Grundlagen mathematischer Methoden

Abbildungsarten

Injektivität

Die Abbildung muss eindeutig zuordnen, für kein 𝑦 darf mehrmals getroffen werden.

𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⇒ 𝑎 = 𝑏, 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) ⇒ 𝑎 ≠ 𝑏

Surjektivität

Die Abbildung muss vollständig sein, also muss jeder Wert des Wertebereichs getroffen

werden.

∀𝑦 ∈ 𝑊(𝑓)∃𝑥 ∈ 𝐷: 𝑓(𝑥) = 𝑦

Bijektivität

Die Abbildung muss eindeutig und vollständig sein, also injektiv und surjektiv. Sie muss je-

den Wert des Wertebereichs genau einmal treffen.

Folglich muss es eine eindeutige Umkehrfunktion 𝑓−1 geben, für die 𝑓−1(𝑦) = 𝑥 gilt.

injektiv und surjektiv

Weitere Eigenschaften von Abbildungen

Symmetrieeigenschaften

Jede Funktion lässt sich in einen geraden und einen ungeraden Anteil zerlegen. Beide Antei-

le gemeinsam sind in der Summe wieder die ursprüngliche Funktion.

Gerade (Achsensymmetrisch zur y-Achse)

𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)

𝑓𝑔(𝑥) =1

2(𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥))

Ungerade (Punktsymmetrisch zum Ursprung)

𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)

𝑓𝑢(𝑥) =1

2(𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥))

Monotonie

Monoton wachsend

𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑦)

Monoton fallend

𝑥 ≤ 𝑦 ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑦)

Eine Funktion hat dann strenge Monotonie, wenn die Werte jeweils tatsächlich größer bezie-

hungsweise tatsächlich kleiner sind.

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Mathematische Grundlagen

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Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn sie nicht unterbrochen ist. Man kann sich an jeden Punkt von

links und von rechts nähern und bekommt den gleichen Wert heraus.

lim𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

Wurzeln

Allgemeine Regeln

√𝑎𝑛∙ √𝑏𝑛

= √𝑎𝑏𝑛

,√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 = √

𝑎

𝑏

𝑛

Betrag

Grundlegende Rechenregeln für den Betrag.

|𝑎𝑏| = |𝑎||𝑏|, |𝑎

𝑏| =

|𝑎|

|𝑏|

||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 + 𝑏|

||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|

Rechnen mit Beträgen

Für Beträge muss man mit Fallunterscheidungen rechnen. Zunächst ist die Sinnhaftigkeit al-

lerdings zu überprüfen, besonders bei mehreren Beträgen mit gleichen Unbekannten.

|𝑎 − 𝑏| = {(𝑎 − 𝑏)−(𝑎 − 𝑏)

Für eine Aufgabe |𝑥 − 1| + |𝑥 + 2| ≤ 4 mit 𝑥 ∈ ℝ ist:

|𝑥 − 1| = {𝑥 − 1 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑥 − 1 ≥ 0

−(𝑥 − 1) 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑥 − 1 < 0 und |𝑥 + 2| = {

𝑥 + 2 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑥 + 2 ≥ 0

−(𝑥 + 2) 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑠 𝑥 + 2 < 0

Also müssen drei Fälle unterschieden werden, nämlich 𝑥 < −2,−2 ≤ 𝑥 < 1, 𝑥 ≥ 1.

Trigonometrie, Hyperbelfunktionen

Auf Basis des Sinus, Cosinus und Tangens bauen sich alle anderen Funktionen auf.

sin 𝛼

cos 𝛼= tan𝛼 ,

cos 𝛼

sin 𝛼= cot 𝛼

Sinus, Cosinus

Tangens, Cotangens

𝜋 2𝜋

1

−1

sin

cos

1

−1

tan cotan

𝜋 2𝜋

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Mathematische Grundlagen

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Sekans, Kosekans

Häufige Ergebnisse

Bei 60° Bei 45° Bei 30° Bei 0°

Sinus √3

2

√2

2

1

2 0

Cosinus 1

2 √2

2

√3

2 1

Tangens √3 1 1

3√3 0

Cotangens 1

3√3 1 √3 ∞

Einheitskreis

Umkehrfunktionen, Ableitungen

𝑓(𝛼), 𝑓−1(𝛼) 𝑓′(𝛼)

sin(𝛼) , asin(𝛼) cos(𝛼)

cos(𝛼) , acos(𝛼) −sin(𝛼)

tan(𝛼) , atan(𝛼) cot2(𝛼) =1

cos2(𝛼)

cot(𝛼) , acot(𝛼) −1

sin2(𝛼)

sec(𝛼) , arcsec(𝛼) sec(𝛼) ∙ tan(𝛼) =sec2(𝛼)

csc(𝛼)

csc(𝛼) , arccsc(𝛼) −csc(𝛼) ∙ cot(𝛼) = −cos(𝛼)

sin2(𝛼)

sinh(𝛼) , asinh(𝛼) cosh(𝛼)

cosh(𝛼) , acosh(𝛼) sinh(𝛼)

tanh(𝛼) , atanh(𝛼) sech2(𝛼) =1

cosh2(𝛼)

coth(𝛼) , acoth(𝛼) −csch2(𝛼) = −1

sinh2(𝛼)

1 sin(𝛼)

cos(𝛼)

𝛼

1

𝛼

sec

versin

tan

cotan

exsec

1

−1

sec

𝜋 2𝜋

csc

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Mathematische Grundlagen

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Additionstheoreme

sin(−𝛼) = − sin(𝛼) cos(−𝛼) = cos(𝛼)

sin(𝛼 + 2𝑛𝜋) = sin(𝛼) cos(𝛼 + 2𝑛𝜋) = cos(𝛼)

sin(𝛼 + 𝜋) = − sin(𝛼) cos(𝛼 + 𝜋) = −cos(𝛼)

sin (𝛼 +𝜋

2) = cos(𝛼) cos (𝛼 +

𝜋

2) = − sin(𝛼)

sin(𝛼) = √1 − cos(𝛼)2 cos(𝛼) = √1 − sin(𝛼)2

tan(−𝛼) = − tan(𝛼) cot(−𝛼) = −cot(𝛼)

tan(𝛼 + 𝑛𝜋) = tan(𝛼) cot(𝛼 + 𝑛𝜋) = cot(𝛼)

sin2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1 cos2(𝛼) − sin2(𝛼) = cos (2𝑥)

sin(2𝛼) = 2 sin(𝛼) cos(𝛼) cos(2α) = cos2(𝛼) − sin2(𝛼)

sin(𝛼 ± 𝛽) = sin(𝛼) cos(𝛽) ± cos(𝛼) sin (𝛽) cos(𝛼 ± 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) ∓ sin(𝛼) sin (𝛽)

sin2(𝛼) =1

2[1 − cos(2𝛼)] cos2(𝛼) =

1

2[1 + sin(2𝛼)]

sin3(𝛼) =1

4[3 sin(𝛼) − sin(3𝛼)] cos3(𝛼) =

1

4[3 cos(𝛼) + cos(3𝛼)]

sin(𝛼) = ∑(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛+1)!

∞𝑛=0 cos(𝛼) = ∑

(−1)𝑛𝑥2𝑛

(2𝑛)!

∞𝑛=0

sin(𝛼) =𝑒𝑖𝑥−𝑒−𝑖𝑥

2𝑖 cos(𝛼) =

𝑒𝑖𝑥+𝑒−𝑖𝑥

2

cosh2(𝑥) − sinh2(𝑥) = 1 coth2(𝑥) − csch2(𝑥) = 1

sinh(𝛼 + 𝛽) = sinh 𝛼 cosh 𝛽 + cosh 𝛼 sinh 𝛽 cosh(𝛼 + 𝛽) = cosh𝛼 cosh𝛽 + sinh 𝛼 sinh 𝛽

sinh2 (𝑥

2) =

cosh(𝑥)−1

2 cosh2 (

𝑥

2) =

cosh(𝑥)+1

2

tanh(𝛼) =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑒𝑥+𝑒−𝑥=𝑒2𝑥−1

𝑒2𝑥+1=sinh(𝛼)

cosh(𝛼) coth(𝛼) =

𝑒𝑥+𝑒−𝑥

𝑒𝑥−𝑒−𝑥=𝑒2𝑥+1

𝑒2𝑥−1=cosh(𝛼)

sinh(𝛼)

Trigonometrische Idealgegenstände

Mit 𝑈 als Umfang, 𝑑 als Durchmesser, 𝑟 als Radius, 𝐴 als Flächeninhalt, 𝛼 als Abschnittswin-

kel, 𝑏 als Bogenmaß, 𝑠 als Segmentbreite und ℎ als Segmenthöhe.

Kreis

𝑈 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑟

𝐴 = 𝜋 (𝑑

2)2

= 𝜋𝑟2

Kreissegment

𝐴 =𝑟2

2∙ (𝛼 − sin 𝛼) =

𝑟 ∙ 𝑏

2−𝑠(𝑟 − ℎ)

2

𝑟 =4ℎ2 + 𝑠2

8ℎ, 𝑠 = 2𝑟 sin (

𝛼

2) , ℎ =

𝑠

2tan (

𝛼

4) , 𝑏 = 𝑟 ∙ 𝛼

Kugel

𝑈 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑟

𝑉 =1

6𝜋𝑑3 =

4

3𝜋𝑟3

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Mathematische Grundlagen

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Kugelsegment

𝐴 = 𝜋 (2𝑟ℎ + 𝛼2), 𝑉 =ℎ2𝜋

3(3𝑟 − ℎ)

Kugelkalotte

𝐴 = 𝜋𝑟 ∙ 2ℎ

𝑠 = 𝑟 sin (𝛼

2))√2𝑟ℎ − ℎ2, ℎ = 𝑟 (1 − cos (

𝛼

2)) = 𝑟 − √𝑟2 − 𝑠2

Exponentialfunktionen und Logarithmus

Grundlegende Rechenregeln

𝑥0 = 1, log𝑎 1 = 0

𝑒𝑎𝑒𝑏 = 𝑒𝑎+𝑏 ,𝑒𝑎

𝑒𝑏= 𝑒𝑎−𝑏 , (𝑒𝑎)𝑏 = 𝑒𝑎𝑏 , 𝑎𝑥𝑏𝑥 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑥

ln(𝑎) + ln(𝑏) = ln(𝑎𝑏) , ln(𝑎) − ln(𝑏) = ln (𝑎

𝑏)

ln(𝑎𝑏) = 𝑏 ln(𝑎)

Jede Zahl 𝑎𝑏 kann man durch den Logarithmen oder Exponentialfunktionen ausdrücken.

𝑎 = 𝑒ln 𝑎

𝑎𝑏 = (𝑒ln 𝑎)𝑏= 𝑒𝑏 ln 𝑎

Umkehrfunktionen, Ableitungen

𝑓(𝑥), 𝑓−1(𝑥) 𝑓′(𝑥)

𝑎𝑥 , log𝑥 𝑎 𝑎𝑥 ln 𝑎

log𝑎 𝑥 , 𝑥𝑎

1

𝑥log𝑎 𝑒

Polynome

𝑃𝑁(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥 + ⋯+ 𝑐𝑁𝑥𝑁 = ∑𝑐𝑛𝑥

𝑛

𝑁

𝑛=0

Mitternachtsformel

Für die Gleichung 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 gilt zu den Lösungen der beiden Nullstellen:

𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Partialbruchzerlegung

Für den Fall, dass der Grad von 𝑃(𝑥) kleiner oder gleich dem von 𝑄(𝑥) sei, und dass 𝑥1, 𝑥2, …

die Nullstellen von 𝑄(𝑥) beschreiben.

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑓(𝑥) =

𝑐1𝑥 − 𝑥1

+𝑐2

𝑥 − 𝑥2+⋯+

𝑐𝑁𝑥 − 𝑥𝑁

Für den Fall, dass 𝑥1 eine doppelte Nullstelle sei, als Beispiel:

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= 𝑓(𝑥) =

𝑐1𝑥 − 𝑥1

+𝑐2

(𝑥 − 𝑥1)2+

𝑐2𝑥 − 𝑥2

+⋯+𝑐𝑁

𝑥 − 𝑥𝑁

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Mathematische Grundlagen

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Auflösen per Koeffizientenvergleich

Hierauf wird der gesamte Term auf einen Bruch (Erweitern der fehlenden Nenner) gebracht.

Daraufhin ist er in der Form 𝐶

𝑄(𝑥), mit 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑁 als Variablen in 𝐶. Nun löst man 𝐶 in die

Form 𝑥𝑁( ? ) + 𝑥𝑁−1( ? ) + ⋯+ 𝑥1( ? ) + 𝑥0( ? ) auf und vergleicht mit dem ursprünglichen Zähler

𝑃(𝑥), welches das jeweilige Ergebnis für die entsprechenden Potenzwerte sein muss. Man

erhält dann ein Gleichungssystem, das man nach 𝑐1, 𝑐2 usw. auflösen kann.

Wenn also 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 5 gegeben ist, so müssen die Fragezeichen bei 𝑥2( ? ) und 𝑥0( ? ) ent-

sprechend 2 und 5 ergeben.

Komplexe Nullstellen

Da für eine komplexe Nullstelle bei 𝑧𝑖 immer auch 𝑧�� (das kompl. Konjugierte) Nullstelle ist,

kann man statt 𝑎1

(𝑥−𝑧𝑖)𝑗 und

𝑎2

(𝑥−𝑧��)𝑗 auch eine Zusammenfassung verwenden:

𝑐𝑖𝑥 + 𝑑

𝑥2 + 𝑝𝑖𝑥 + 𝑞𝑖

Komplexe Zahlen

Grundsätzlich

Definition der komplexen Zahlen – zum Beispiel 2 + 3𝑖 – ist, dass sie aus Realteil und Imagi-

närteil bestehen. Für den Imaginärteil gilt, dass 𝑖2 = −1 ist.

Die konjugierte komplexe Zahl, 𝑧 oder 𝑧∗ genannt, ändert schlicht das Vorzeichen des Ima-

ginärteils.

Es existieren folglich für jede imaginäre Zahl ein Realteil und ein Imaginärteil.

Realteil

𝑅𝑒(𝑧) =1

2(𝑧 + 𝑧∗) | ∀𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

Imaginärteil

𝐼𝑚(𝑧) =1

2(𝑧 − 𝑧∗) | ∀𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

Im Umkehrschluss sind Real- und Imaginärteil in der Summe wieder die ursprüngliche Zahl.

Betrag

|𝑧| = √𝑧 ∙ 𝑧∗ = √𝑥2 + 𝑦2

Grundrechenarten

(𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖

(𝑎 + 𝑏𝑖) − (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖

(𝑎 + 𝑏𝑖) ∙ (𝑐 + 𝑑𝑖) = 𝑎𝑐 + 𝑎 𝑑𝑖 + 𝑏𝑖 𝑐 + (𝑏𝑑)𝑖2 = 𝑎𝑐 + 𝑎 𝑑𝑖 + 𝑏𝑖 𝑐 − 𝑏𝑑

Für die Division erweitert man mit dem konjugierten Divisor, um den Betrag zu erhalten und

durch diesen zu teilen.

𝑎 + 𝑏𝑖

𝑐 + 𝑑𝑖=(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)

(𝑐 + 𝑑𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)=(𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑐 − 𝑑𝑖)

𝑐2 − 𝑑2

Skalarprodukt

Siehe Skalarprodukt der komplexen Zahlen, Seite 27.

Eulerformel und -darstellung

Jede komplexe Zahl lässt sich in der Eulerdarstellung schreiben, die durch die Eulerformel

bestimmt ist:

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Mathematische Grundlagen

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cos(𝜙) + 𝑖 sin(𝜙) = 𝑟 𝑒𝑖𝜙

Zur Umrechnung von der kartesischen zur eulerschen Darstellung gilt für 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑟 𝑒𝑖𝜙:

𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2, 𝜙 =

{

arctan (

𝑦

𝑥) 𝑓ü𝑟 𝑥 > 0

arctan (𝑦

𝑥) + 180° 𝑓ü𝑟 𝑥 < 0

90° 𝑓ü𝑟 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 > 0270° 𝑓ü𝑟 𝑥 = 0 ∧ 𝑦 < 0

𝑢𝑛𝑏𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑚𝑡 𝑓ü𝑟 𝑥 = 𝑦 = 0

Zur umgekehrten Umrechnung gilt einfach

𝑥 = 𝑟 ∙ cos(𝜙) , 𝑦 = 𝑟 ∙ sin(𝜙)

Komplexe Wurzeln

Zu jeder komplexen Zahl 𝑧 ≠ 0 existieren 𝑛 Wurzeln √𝑧𝑛

.

𝑤𝑘 = √|𝑧|𝑛

∙ 𝑒𝑖 𝜙+2𝑘𝜋𝑛 , 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1

Differentiale und Integrale

Grundsätzliche Regeln zur Ableitung

𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) → 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) →

𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)

𝑔(𝑥)2

𝑓(𝑔(𝑥)) → 𝑓′(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)

Grundsätzliche Regeln zur Integralrechnung

∫𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫𝐹(𝑥)𝑔′(𝑥)𝑑𝑥

∫𝑓(𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥))

Substitution

Für ∫1

5𝑥−7𝑑𝑥 setzt man 𝑢 = 5𝑥 − 7 . Dann wird

𝑑𝑢

𝑑𝑥= 5 berechnet und zu 𝑑𝑥 =

𝑑𝑢

5 umgestellt.

Folglich: ∫1

𝑢𝑑𝑥 = ∫

1

𝑢

𝑑𝑢

5=1

5∫𝑑𝑢

𝑢=1

5ln(𝑢) + 𝑐.

Für Substitution wichtige Integrale

arctan(𝑥) = ∫𝑑𝑥

1+𝑥2 arccot(𝑥) = −∫

𝑑𝑥

1+𝑥2

arcsin(𝑥) = ∫𝑑𝑥

√1−𝑥2 arccos(𝑥) = −∫

𝑑𝑥

√1−𝑥2

atanh(𝑥) = ∫𝑑𝑥

1−𝑥2, |𝑥| < 1 acoth(𝑥) = ∫

𝑑𝑥

1−𝑥2, |𝑥| > 1

asinh(𝑥) = ∫𝑑𝑥

√𝑥2+1 acosh(𝑥) = ∫

𝑑𝑥

√𝑥2−1, |𝑥| > 1

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Mathematische Grundlagen

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Geometrische Grundlagen

Geradengleichungen

Allgemeine Form

𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Normalform

𝑦 = 𝑚 ∙ 𝑥 + 𝑏

Hessesche Normalform

cos(𝛼) ∙ 𝑥 + sin(𝛼) ∙ 𝑦 − 𝑝 = 0

Hierbei ist 𝑝 der Abstand der Geraden zum Nullpunkt und 𝛼 der Winkel zwischen der Norma-

len der Geraden und der 𝑥-Achse.

Zweipunkteform und Punkt-Richtungs-Form 𝑦 − 𝑦𝑎𝑥 − 𝑥𝑎

=𝑦𝑏 − 𝑦𝑎𝑥𝑏 − 𝑥𝑎

,𝑦 − 𝑦𝑎𝑥 − 𝑥𝑎

= 𝑚

Dies gilt für zwei Punkte 𝐴(𝑥𝑎|𝑦𝑎) und 𝐵(𝑥𝑏|𝑦𝑏), mit denen die Gerade bestimmt wird respek-

tive für den Punkt 𝐴 und die Steigung 𝑚.

Polarform

𝑟(𝛼) =𝑏

sin(𝛼) −𝑚 ∙ cos(𝛼)

Für die Polarform nimmt man die Lage eines Punktes 𝑃 mit Polarkoordinaten 𝑟 und 𝛼.

Ebenengleichungen

Koordinatenform

𝑎 ∙ 𝑥 + 𝑏 ∙ 𝑦 + 𝑐 ∙ 𝑧 = 0

Die Umrechnung aus der Normalenform ist mittels einfachen Ausmultiplizierens zu lösen.

Parameterform

�� = �� + 𝜆 ∙ �� + 𝜇 ∙ 𝑐

Diese Form beschreibt drei Punkte im Raum, aus denen eine Ebene gebildet wird. Die Um-

rechnung aus der Koordinatenform ist zu lösen, indem man drei Punkte in der Ebene, indem

man wahre Aussagen für 𝑎, 𝑏 und 𝑐 findet. Man muss sich versichern, dass �� ≠ 𝜇 ∙ 𝑐.

Normalenform

(𝑟 − 𝑟0 ) ∙ �� = 0

Mit 𝑟 = (𝑥𝑦𝑧) und |𝑟0 | = 1. Die Umrechnung aus der Parameterform funktioniert mit 𝑟0 = �� und

�� = �� × 𝑐. Die aus der Koordinatenform löst man mit (𝑎𝑏𝑐) = �� und dem Finden eines Punktes

𝑃, den man für 𝑟0 einsetzt.

Gleichungen runder Objekte

Kreisgleichung

𝑓(𝑥) ≔ (a cos 𝑥a sin 𝑥

) , 𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝑡 ∧ 𝑦 = a ∙ sin 𝑡

Für den Einheitskreis gilt 𝑎 = 1.

Ellipsengleichung

𝑓(𝑥) ≔ (𝑎 cos 𝑥𝑏 sin 𝑥

) , 𝑥 = 𝑎 ∙ cos 𝑡 ∧ 𝑦 = 𝑏 ∙ sin 𝑡

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Mathematische Grundlagen

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Für 𝑎 = 𝑏 ist eine Kreisbahn beschrieben.

Koordinatensysteme

Mit entsprechenden Werten für den Absolutbetrag der Jacobi-Matrix 𝐽(𝑓).

Kartesische Koordinaten

Standardsystem, Achsensystem

Polarkoordinaten

𝑥 = 𝑟 cos𝜑 , 𝑦 = 𝑟 sin𝜑 , 𝐽(𝑓) = 𝑟

𝑒𝑟 = (cos 𝜑sin𝜑) , 𝑒𝜑 = (

− sin𝜑cos𝜑

)

Elliptische Koordinaten

𝑥 = 𝑎 𝑟 cos 𝜑 , 𝑦 = 𝑏 𝑟 sin𝜑 , 𝐽(𝑓) = 𝑎𝑏𝑟

Zylinderkoordinaten

𝑥 = 𝑟 cosφ , 𝑦 = 𝑟 sin𝜑 , 𝑧 = 𝑧, 𝐽(𝑓) = 𝑟

Kugelkoordinaten

𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cosφ , 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜑 , 𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 , 𝐽(𝑓) = 𝑟2 sin 𝜃

𝑒𝑟 = (sin 𝜃 cos𝜑sin 𝜃 sin 𝜑cos 𝜃

) , 𝑒𝜃 = (cos 𝜃 cos 𝜑cos 𝜃 sin𝜑− sin 𝜃

) , 𝑒𝜑 = (− sin𝜑cos𝜑0

)

Räumliche elliptische Koordinaten

𝑥 = 𝑎 𝑟 sin 𝜃 cos𝜑 , 𝑦 = 𝑏 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑 , 𝑧 = 𝑐 𝑟 cos 𝜃 , 𝐽(𝑓) = 𝑎𝑏𝑐𝑟2 sin 𝜃

Weitere wichtige Objekte

Modulo Abbildungen

Unter diesen Abbildungen versteht man Restklassenadditionen. Diese geben zu einem Wert

𝑥 immer die Restklasse zu 𝑎, also das was als Rest zum letzten ganzzahligen Vielfachen von

𝑎 übrig bleibt. Für 21 modulo 5 ist, da 4 ∙ 5 = 20 der letzte ganzzahlige Vielfache ist, das Er-

gebnis 1.

𝑎 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ≔ 𝑎 − ⌊𝑎

𝑚⌋𝑚

Fakultät

𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛 =∏ 𝑘𝑛

𝑘=1

Binomialkoeffizient

(𝑛𝑘) =

𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Binomische Formeln

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

Binomischer Lehrsatz

(𝑎 + 𝑏)𝑛 =∑(𝑛𝑘)

𝑛

𝑘=0

𝑎𝑛−𝑘𝑏𝑘

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Vollständige Induktion

Induktionsanfang: Die Aussage 𝐴(𝑛) ist für 𝑛 = 𝑛0 richtig.

Induktionsvoraussetzung: 𝐴(𝑛) ist richtig.

Induktionsbehauptung: 𝐴(𝑛 + 1) ist richtig.

Induktionsbeweis: Aus der Gültigkeit von 𝐴(𝑛) folgt die Gültigkeit von 𝐴(𝑛 + 1).

𝐴(𝑛0) ist wahr, 𝐴(𝑛) ist wahr ?⇒ 𝐴(𝑛 + 1) ist wahr

Bernoullische Ungleichung

(1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥

Dreiecksungleichung

Reelle Dreiecksungleichung

|𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|, 2𝑎𝑏 ≤ 2|𝑎𝑏|

Komplexe Dreiecksungleichung

|𝑧1 + 𝑧2| ≤ |𝑧1| + |𝑧2|

Summen- und Integraldreiecksungleichung

∑𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

≤∑|𝑥𝑖|

𝑛

𝑖=1

Vektorielle Dreiecksungleichung

|�� + ��| = |��| + |��|, ∑𝑎𝑖

𝑛

𝑖=1

≤∑|𝑎𝑖 |

𝑛

𝑖=1

Metrische Raumdreiecksungleichung

𝑑(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦) | 𝑑(𝑋, 𝑑) ist Abstand

Grundlegende Rechengesetze

Kommutativität

𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎

Assoziativität

(𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐)

Distributivität

𝑐 ∘ (𝑎 + 𝑏) = (𝑐 ∘ 𝑎) + (𝑐 ∘ 𝑏)

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Analysis, Semester 1

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Analysis, Semester 1 Differential und Integralrechnung

Zahlen und metrische Räume

Mengen allgemein

Eine Menge, die alle oder Teile der Elemente einer anderen Menge enthält, nennt man Teil-

menge. Die echte Teilmenge ist eine Teilmenge, die niemals die Hauptmenge selbst ist.

Teilmenge

𝐴 ⊆ 𝐵: ⟺ ∀𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 ∈ 𝐵

Echte Teilmenge

𝐴 ⊂ 𝐵: ⟺ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵

Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. Außerdem ist die einzige Teilmenge der leeren

Menge die leere Menge selbst.

∅ ⊆ 𝐴

𝐴 ⊆ ∅ ⟹ 𝐴 = ∅

Die Menge der Objekte, die sowohl in einer Menge 𝐴 als auch in einer Menge 𝐵 enthalten

sind, nennt man Schnittmenge. Die Menge, die alle Elemente, die entweder in 𝐴, in 𝐵 oder

auch in 𝐴 und 𝐵 zu finden sind, nennt man Vereinigungsmenge.

Schnittmenge

𝐴⋂𝐵 ≔ {∀𝑥 ∈ 𝐴⋂𝐵: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}

Vereinigungsmenge

𝐴⋃𝐵 ≔ {∀𝑥 ∈ 𝐴⋃𝐵: 𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}

Norm und Metrik in ℝ und ℂ

Die sogenannte Norm in ℝ ist der Absolutbetrag |𝑥|. Dies ist geometrisch der Abstand zum

Ursprung. In ℂ ist die Norm ebenfalls der Absolutbetrag |𝑧| mit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏. Eine Norm ist im-

mer definiert als die Wurzel aus dem Skalarprodukt (Siehe Skalarprodukt, Seite 12).

‖𝑥‖ = √⟨𝑥, 𝑥⟩

Ein metrischer Raum ist eine Menge, auf der eine Metrik (Abstandsfunktion) definiert ist. 𝐴𝑏𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑 𝑧𝑤𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒𝑛 𝑥 𝑢𝑛𝑑 𝑦: 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|.

Axiome für Metrik, metrischer Raum

1) 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 (Nichtnegativität)

2) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 ⇔ 𝑥 = 𝑦 (Eindeutigkeit)

3) 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) (Symmetrie)

4) 𝑑(𝑥, 𝑧) ≤ 𝑑(𝑥, 𝑦) + 𝑑(𝑦, 𝑧) (Dreiecksungleichung)

Sei 𝑋 eine Menge und 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ eine Abbildung, welche diese Eigenschaften erfüllt, so

heißt 𝑑 eine Metrik auf 𝑋 und das Paar (𝑋, 𝑑) heißt metrischer Raum.

Mit der Metrik 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦| ist also ℝ ein metrischer Raum.

Eine Norm auf 𝑉 ist dann eine Abbildung || ∙ ||: 𝑉 → ℝ.

Axiome für die Norm

1) ‖𝑣‖ ≥ 0 | ∀𝑣 ∈ 𝑉 (Nichtnegativität)

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2) ‖𝑣‖ = 0 ⟺ 𝑣 = 0 (Nullvektor)

3) ‖𝜆𝑣‖ = |𝜆|‖𝑣‖ ∀𝑣 ∈ 𝑉, ∀𝜆 ∈ 𝕂 (Skalierung)

4) ‖𝑣 + 𝑤‖ ≤ ‖𝑣‖ + ‖𝑤‖ ∀𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 (Dreiecksungleichung)

Sei (𝑋, 𝑑) ein metrischer Raum, so ist 𝐺 ⊆ 𝑋 eine offene Menge, wenn gilt:

∀𝑥 ∈ 𝐺: ∃𝜖𝑥 > 0: 𝑥 ∈ 𝐾(𝑥, 𝜖𝑥) ⊆ 𝐺

Die leere Menge ist per Definition eine offene Menge.

Im Raum (𝑋, 𝑑) heißt 𝐺 ⊆ 𝑋 abgeschlossene Menge, wenn gilt:

∀𝑥 ∉ 𝐴∃𝜖𝑥 > 0:𝐾(𝑥, 𝜖𝑥) ∩ 𝐴 = ∅

Schranken

Eine Teilmenge heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke gibt. Wenn es ei-

ne untere Schranke gibt, so heißt sie nach unten beschränkt.

Obere Schranke

∃𝐾: ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑥 ≤ 𝐾

Untere Schranke

∃𝐾: ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑥 ≥ 𝐾

Die kleinste obere Schranke heißt auch Supremum, die größte untere Schranke wird In-

fimum genannt.

Das Maximum bzw. Minimum ist das größte/kleinste Element der Menge.

Maximum

𝑎: ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑥 ≤ 𝑎

Minimum

𝑎: ∀𝑥 ∈ 𝑋: 𝑥 ≥ 𝑎

Reelle Folgen

Grundsätzliches

Eine Folge 𝑎𝑛 oder (𝑎𝑛)𝑛=1∞ ist eine geordnete Menge. Jedes Element hat einen klaren Vor-

gänger und Nachfolger. Folgen können endlich und unendlich sein und werden in verschie-

denen Schreibweisen angegeben. Typisch ist die Schreibweise 𝑎𝑛+1 = 2𝑎𝑛 (1

𝑎𝑛− 3) , 𝑎0 = 0,5 ,

wobei 𝑎0 das Anfangsglied festlegt und der Rest die Fortsetzungen.

Beschränkungen

Für Folgen gelten die Regeln für Schranken von Mengen ebenso.

Konvergenz

Eine Folge (𝑎𝑛) heißt konvergent, wenn sie beschränkt ist und sich die Folgenglieder einem

Wert annähern. Für jedes noch so kleine 𝜖 als Abstand des Grenzwertes, müssen dennoch

unendlich viele Glieder zwischen 𝜖 und dem Grenzwert zu finden sein.

∀𝑛 ≥ 𝑁 ∃𝑁𝜖|𝜖 > 0: |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜖

Eine nicht konvergente Folge heißt divergent.

Sätze

Es existiert maximal ein Grenzwert.

Eine konvergente Folge ist beschränkt.

Einschließungskriterium

(𝑎𝑛), (𝑏𝑛), (𝑐𝑛): 𝑎𝑛⟶ 𝑎, 𝑐𝑛⟶ 𝑎

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𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛⟹ 𝑏𝑛⟶ 𝑎

Monotonie

Monoton wachsend

𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 ∈ ℕ

Monoton fallend

𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ∀ 𝑛 ∈ ℕ

Teilfolge

Sei (𝑛𝑘) eine streng monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen, dann heißt (𝑎𝑛𝑘)𝑘 ∈ ℕ

Teilfolge von (𝑎𝑛)𝑛 ∈ ℕ. Zum Beispiel ist 1,1

3,1

5, … Teilfolge von (𝑎𝑛) =

1

𝑛. Es gilt:

(𝑎𝑛) ⟶ 𝑎 ⟹ (𝑎𝑛𝑘) ⟶ 𝑎

Falls eine Teilfolge (𝑎𝑛𝑘) Konvergenz aufweist mit (𝑎𝑛𝑘) ⟶ 𝑏, so ist der Punkt 𝑏, gegen den

die Teilfolge läuft, ein Häufungspunkt der Folge (𝑎𝑛).

Sätze

Jede beschränkte Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt (Satz von Bolaza-

no-Weierstrass)

Ist die Folge (𝑎𝑛) beschränkt, so gibt es einen größten und einen kleinsten Häu-

fungspunkt, welche mit lim sup𝑛→∞(𝑎𝑛) und lim inf𝑛→∞(𝑎𝑛) bezeichnet werden.

Cauchy-Folge

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn ∀𝜖 > 0 ∃ 𝑁𝜖 ∶ |𝑎𝑛 − 𝑎𝑚| < 𝜖, also wenn sich die Folgen-

glieder an einer bestimmten Stelle „verdichten“. Cauchy-Folgen sind beschränkt und Additi-

on, Subtraktion und Multiplikation selbiger bringen wieder Cauchy-Folgen.

Sätze

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.

Hat eine Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge mit (𝑎𝑛𝑘) ⟶ 𝑎, dann ist (𝑎𝑛) ⟶ 𝑎.

Hier liegen die Folgenglieder immer näher beisammen. Der angestrebte Häufungspunkt

muss aber nicht zwangsläufig im betrachteten Raum enthalten sein. Eine Cauchy-Folge kon-

vergiert z.B. in ℝ gegen √2, nicht aber in ℚ, da der Wert dort nicht existiert.

Auswahl an wichtigen Folgen

𝑎𝑛 = 𝑞𝑛, 𝑞 > 1: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡, 𝑞 = 0 ∧ 𝑞 < 1: 𝑎𝑛⟶ 0, 𝑞 = 1: 𝑎𝑛⟶ 1

𝑎𝑛 = √𝑛𝑛, 𝑎𝑛 ⟶ 1

𝑎𝑛 = 𝑎, |𝑎𝑛| ⟶ |𝑎|, √𝑎𝑛⟶ √𝑎 ∀ 𝑎𝑛 ≥ 0

Unendliche Reihen

Man kann aus jeder Folge eine weitere, spezielle Folge machen, indem man die Glieder auf-summiert. Dies nennt man dann Reihe. Zum Beispiel 𝑎2⟶ 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 oder 𝑎3⟶ 𝑠3 = 𝑎1 +𝑎2 + 𝑎3. Allgemeiner: 𝑎𝑛⟶ 𝑠𝑛 = ∑ 𝑎𝑖

𝑛𝑖=1 .

Unendliche Reihe

𝑆 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯ =∑𝑎𝑖

𝑖=1

Jeder Teil der unendlichen Reihe – also zum Beispiel ∑ 𝑎𝑖𝑛𝑖=1 – wird Teil- oder Partialsumme

genannt.

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Eine Reihe heißt alternierend, wenn zwei aufeinanderfolgende Summanden verschiedene

Vorzeichen besitzen. Diese kann dann in der Form ∑ (−𝑎)𝑘+1∞𝑘=1 𝑎𝑘 geschrieben werden, wobei

𝑎𝑘 > 0 gelten muss.

Konvergenz

Eine Reihe heißt konvergent, wenn der Grenzwert der Partialsummen existiert. Wenn nicht,

so ist die Reihe divergent.

Vergleichskriterium

∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist konvergent, wenn ∑𝑐𝑘

𝑘=1

konvergent ist und |𝑎𝑘| ≤ 𝑐𝑘

∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist divergent, wenn ∑𝑐𝑘

𝑘=1

divergent ist und 𝑎𝑘 ≥ 𝑐𝑘 ≥ 0

Verdichtungssatz von Cauchy

∑𝑎𝑘

𝑘=1

mit 𝑎𝑘 ≥ 0∀𝑘 und (𝑎𝑘) ist monoton fallend ⟹ Konvergent wenn ∑2𝑘𝑎2𝑘

𝑘=1

𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡.

Grenzwertkriterium

Gilt limn→∞

akbk= 𝑙 mit 0 < 𝑙 < ∞⟹∑𝑎𝑘

𝑘=1

und ∑𝑏𝑘

𝑘=1

entweder beide konvergent oder divergent.

Wurzelkriterium

√|𝑎𝑘|𝑘

≤ 𝑞 mit 0 ≤ 𝑞 < 1 für fast alle 𝑘 ⟹∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist absolut konvergent

√|𝑎𝑘|𝑘

≥ 1 für unendliche viele 𝑘 ⟹∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist divergent

Quotientenkriterium

|𝑎𝑘+1𝑎𝑘| ≤ 𝑞 mit 0 ≤ 𝑞 < 1 für fast alle 𝑘 ⟹∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist absolut konvergent

|𝑎𝑘+1𝑎𝑘| ≥ 1 für unendlich viele 𝑘 ⟹∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist divergent

Leibniz-Kriterium

(𝑎𝑘) → 0 (monotone Nullfolge) ⟹ ist konvergent

Auswahl an wichtigen Reihen

∑ 𝑞𝑘∞𝑘=0 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 +⋯ , 𝑞 < 1:∑ 𝑞𝑘∞

𝑘=0 =1

1−𝑞, 𝑞 ≥ 1: 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡 (Geometrische Reihe)

∑1

(𝑘−1)𝑘

∞𝑘=2 =

1

1∙2+

1

2∙3+⋯ , 𝑘𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒𝑟𝑡 𝑔𝑒𝑔𝑒𝑛 1 (Teleskopreihe)

∑1

𝑘

∞𝑘=1 = 1 +

1

2+1

3+⋯ , 𝑑𝑖𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡 (Harmonische Reihe)

Cauchy-Produkt

Die Cauchy-Produktformel ist eine Möglichkeit, verschiedene Reihen zu multiplizieren.

∑𝑎𝑛

𝑛=0

∙ ∑ 𝑏𝑛

𝑛=0

= (𝑎0𝑏0) + (𝑎0𝑏1 + 𝑎1𝑏0) + (𝑎0𝑏2 + 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏0) + ⋯ =∑𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘

𝑘=0

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Funktionsgrenzwerte, Stetigkeit

Grenzwerte

𝑏 = lim𝑛→𝑥0 𝑓(𝑥) wenn für jede Folge (𝑥𝑛) mit der Eigenschaft 𝑥𝑛 → 𝑥0, 𝑥𝑛 ≠ 𝑥0 gilt, dass

𝑓(𝑥𝑛) → 𝑏. Die Funktion muss an der Stelle 𝑥0 nicht zwangsläufig definiert sein.

Für jede Funktion in ℝ gibt es einen linksseitigen und einen rechtsseitigen Grenzwert, je

nachdem, ob man von links oder rechts annähert.

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn für jedes 𝑥, und 𝑓(𝑥) ein beliebig kleines 𝜖 existiert, für das

gilt, dass 𝑥 + 𝜖 und 𝑓(𝑥 + 𝜖) „nahe bei“ 𝑥 und 𝑓(𝑥) liegen.

∀𝜖 > 0 ∃𝛿𝜖 > 0 ∶ 𝑑(𝑥0, 𝑥) < 𝛿𝜖⟹ ρ(f(x0), f(x)) < 𝜖

𝑓 heißt stetig auf 𝑋0 ⊆ 𝐷(𝑓), wenn die Funktion stetig in allen Punkten 𝑥0 ∈ 𝑋0 ist.

Also ist eine Funktion genau dann stetig, wenn es zu jedem 𝜖 > 0 ein 𝛿𝜖 > 0 gibt, so dass für

alle 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) mit |𝑥0 − 𝑥| < 𝛿𝜖 gilt, dass |𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥)| < 𝜖.

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig, wenn zu jedem 𝜖 ein universelles 𝛿𝜖 existiert, so dass

𝑑(𝑥1, 𝑥2) < 𝛿𝜖⟹ 𝜌(𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2)) < 𝜖. Gleichmäßige Stetigkeit ist stets auf eine Teilmenge, nicht

auf einen Punkt bezogen.

Man kann Stetigkeit in rechtsseitig und linksseitig stetig aufspalten – eine Funktion ist ste-

tig, wenn sie sowohl rechts- als auch linksseitig stetig ist.

Stetige Ergänzbarkeit

Wenn eine Definitionslücke zu schließen ist, indem man durch Limites einen von beiden Sei-

ten gleich definierten Punkt einfügt, so ist Stelle stetig ergänzbar oder unstetig hebbar.

Beschränkungen

Für Funktionen analoge Gültigkeit der Regeln für Schranken von Mengen, bezogen hier auf

die Funktionswerte, also dem Wertebereich. Hat ein Werteraum ein absolutes Maximum und

ein absolutes Minimum ist selbiger kompakt.

Wenn 𝑓(𝑥) = 0 nennt man 𝑥 eine Nullstelle von 𝑓.

Nullstellensatz von Bolzano

𝑓:ℝ → ℝ, 𝑓 𝑖𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑒𝑡𝑖𝑔 𝑎𝑢𝑓 [𝑎, 𝑏], 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0 (untersch. Vorzeichen)

∃λ ∈ (a, b): 𝑓(𝜆) = 0

Zwischenwertsatz

Für 𝑓(𝑎) < 𝑓(𝑏), 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏): Jeder Wert in [𝑎, 𝑏] muss einmal angenommen werden.

Monotonie

Monoton wachsend

𝑥1 < 𝑥2⟹ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2)

Monoton fallend

𝑥1 > 𝑥2⟹ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)

Für monotone Funktionen existieren stets linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert. Des-

halb können monotone Funktionen als Unstetigkeitsstellen nur Sprungstellen haben.

Eine streng monotone Funktion besitzt stets eine Umkehrfunktion und ist somit bijektiv.

Folgen und Reihen von Funktionen

Man kann Folgen und Reihen von Funktionen betrachten, 𝑓𝑛(𝑥), und für jedes feste 𝑥 eine

Konvergenz bestimmen.

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Punktweise konvergent (Folge)

𝑓𝑛 ist punktweise konvergent an der Stelle 𝑥 ∈ 𝑋,wenn (𝑓𝑛(𝑥)) konvergiert.

𝑋𝐾 = {𝑥 ∈ 𝑋: (𝑓𝑛(𝑥)) konvergiert} heißt dann die Konvergenzmenge der Folge (𝑓𝑛). Die Funktion

𝑓 mit Definitionsbereich 𝑋𝐾 und 𝑓(𝑥) = limx→∞ 𝑓𝑛(𝑥) heißt Grenzfunktion von (𝑓𝑛).

Punktweise konvergent (Reihe)

Zahlenfolge ∑𝑎𝑘(𝑥)

𝑘=1

konvergent ⟹ Funktionsreihe ∑𝑎𝑘

𝑘=1

punktweise konvergent

Die linke Seite der Definition ist identisch mit (𝐴𝑛(𝑥)) soll konvergieren.

Gleichmäßig konvergent (Folge)

∀𝜖 > 0: ∃ 𝑁𝜖, so dass |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜖

Man schreibt für gleichmäßige Konvergenz 𝑓𝑛(𝑥)𝑋→ 𝑓(𝑥) oder 𝑓𝑛(𝑥)

𝑔𝑙𝑚→ 𝑓(𝑥)

Sind alle 𝑓𝑛 beschränkt auf 𝑋 , dann auch 𝑓 . Sind alle 𝑓𝑛 stetig auf 𝑋 , dann auch 𝑓 . Ist

𝑋 = [𝑎, 𝑏] und jedes 𝑓𝑛 Riemann-integrierbar auf [𝑎, 𝑏], dann ist auch 𝑓 Riemann-integrierbar

und es gilt ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎∫ (lim𝑛→∞ 𝑓𝑛(𝑥))𝑏

𝑎𝑑𝑥 = lim𝑛→∞ ∫ 𝑓𝑛(𝑥)

𝑏

𝑎𝑑𝑥.

Gleichmäßig konvergent (Reihe)

𝐴𝑛(𝑥)𝑋→𝐴(𝑥)⟹∑𝑎𝑘

𝑘=1

ist gleichmäßig konvergent

Cauchy-Kriterium

𝑓𝑛(𝑥)𝑋→ 𝑓(𝑥) ⟺ ∀𝜖 > 0 ∃ 𝑁𝜖 ∀ 𝑛,𝑚 > 𝑁𝜖 ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓𝑛(𝑥) − 𝑓𝑚(𝑥)| < 𝜖

Cauchy-Kriterium für Funktionsfolgen

∑𝑎𝑘(𝑥)

𝑘=1

=𝑋 𝐴(𝑥) ⟺ ∀𝜖 > 0 ∃ 𝑁𝜖 ∀ 𝑛 ≥ 𝑚 > 𝑁𝜖 ∀ 𝑥 ∈ 𝑋 ∶ | ∑ 𝑎𝑘(𝑥)

𝑛

𝑘=𝑚+1

| < 𝜖

Elementare Funktionen

Potenzfunktion

Wir definieren ein 𝑛 fest und lassen die Basis 𝑥 in ℝ durchlaufen.

𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 =∏𝑥

𝑛

𝑘=1

= 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ … ∙ 𝑥, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ

Umkehrfunktion (Wurzelfunktion)

𝑓−1(𝑥) = √𝑥𝑛

= 𝑥1𝑛

Bei ungeradem Exponenten ist die Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 auf ℝ stetig und streng monoton stei-

gend 𝑓−1(𝑥) = 𝑥1

𝑛 in diesem Fall existiert auch die 𝑛-te Wurzel einer negativen Zahl.

Exponentialfunktion

Wir lassen den Exponenten 𝑥 durchlaufen und definieren 𝑎 fest. 𝑓(𝑥) ist stetig.

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑥 ∈ ℝ

Umkehrfunktion (Logarithmusfunktion)

𝑓−1(𝑥) = log𝑎 𝑥

Da der Wertebereich von 𝑓(𝑥) immer > 0 ist, hat 𝑓−1 den Definitionsbereich (0,∞).

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Hyperbolische Funktion

𝑓(𝑥) = sinh(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

2, 𝑓(𝑥) = cosh(𝑥) =

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

2

𝑓(𝑥) = tanh(𝑥) =𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥=sinh(𝑥)

cosh(𝑥), 𝑓(𝑥) = coth(𝑥) =

𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥

𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥

Umkehrfunktion (Areafunktion)

asinh(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 + 1) , acosh(𝑥) = ln (𝑥 + √𝑥2 − 1)

atanh(𝑥) =1

2ln (1 + 𝑥

1 − 𝑥) , acoth(𝑥) =

1

2ln (𝑥 + 1

𝑥 − 1)

Trigonometrische Funktion

Siehe Trigonometrie, Seite 8.

Potenzreihen

Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist eine Eigenschaft der Potenzreihe der Form 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)𝑛∞

𝑛=0 ,

die angibt, in welchem Bereich der komplexen Ebene absolute Konvergenz vorliegt.

1

𝑟= lim𝑛→∞

|𝑎𝑛+1𝑎𝑛|

Auch die anderen Konvergenzkriterien können ähnlich verwendet werden. Als Beispiel: Für

𝑎𝑛 =𝑛+3𝑛

𝑛2(𝑥 − 1)𝑛 kann man über das Wurzelkriterium 3|𝑥 − 1| errechnen. Mittels 3|𝑥 − 1| <

1 ⟺ |𝑥 − 1| <1

3= 𝑟 für die Nullstelle ist 𝑟 =

1

3 zu bestimmen. Das Konvergenzintervall wäre

hier mittels Fallunterscheidung zu errechnen.

Formel von Cauchy-Hadamard

Hier gilt 𝑟 = 0, falls der Limes Superior im Nenner gleich +∞ und 𝑟 = +∞ falls er gleich 0 ist.

𝑟 =1

lim𝑛→∞

sup √|𝑎𝑛|𝑛

Komplexe Potenzreihen

Eulersche Formel

Gemäß der Taylorreihenbildung von 𝑒𝑥 ist dies auch mit der komplexen Variable 𝑧 machbar:

𝑒𝑧 = ∑𝑧𝑘

𝑘!

∞𝑘=0 = 1 + 𝑧 +

𝑧2

2!+𝑧3

3!+⋯ . Da aber sin(𝑥) = ∑ (−1)𝑘

𝑥2𝑘+1

(2𝑘+1)!

∞𝑘=0 = 𝑥 −

𝑥3

3!+𝑥5

5!−⋯ und cos(𝑥) =

∑ (−1)𝑘𝑥2𝑘

(2𝑘)!

∞𝑘=0 = 1 −

𝑥2

2!+𝑥4

4!−⋯ kann man mit 𝑧 = 𝑖𝑦 sehen: 𝑒𝑖𝑦 = 1 + 𝑖𝑦 −

𝑦2

2!−𝑖𝑦2

3!+𝑦4

4!+𝑖𝑦5

5!−⋯ =

cos(𝑦) + 𝑖 sin(𝑦), also:

𝑒𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦

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Ableitungen und Mittelwertsätze

Differenzierbarkeit

1) Eine Funktion 𝑓 heißt differenzierbar an 𝑥0 ∈ 𝐼, wenn der untere Grenzwert exis-

tiert:

lim𝑥→𝑥0

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)

𝑥 − 𝑥0= 𝑓′(𝑥0) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)

Ist dabei 𝑥0 linker oder rechter Randpunkt von 𝐼, so ist 𝑓 rechtsseitig bzw. linksseitig diffe-

renzierbar.

2) Existiert 𝑓′ auf einer Menge 𝑋0 und ist 𝑓′ dort stetig, dann heißt 𝑓 stetig differen-

zierbar auf 𝑋0.

3) Die höheren Ableitungen lassen sich rekursiv definieren.

𝑓′′ = (𝑓′)′, … , 𝑓𝑛 = (𝑓𝑛−1)′

4) Den Grenzwert des Differenzenquotienten 𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)

ℎ bezeichnet man auch als

den Differentialquotient und es gilt: 𝑑𝑓

𝑑𝑥(𝑥0) = 𝑓

′(𝑥0).

Grundlegend muss für Differenzierbarkeit eine Funktion linear approximierbar sein.

Ist 𝑓 an 𝑥0 differenzierbar, dann betrachten wir die Gerade 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑐(𝑥 − 𝑥0) durch 𝑥0

mit 𝑐 = 𝑓′(𝑥0) . So gilt 𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)

𝑥−𝑥0=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)−𝑐(𝑥−𝑥0)

𝑥−𝑥0→ 0 für 𝑥 → 𝑥0 . Ist umgekehrt 𝑐 ∈ ℝ , 𝑔(𝑥) =

𝑓(𝑥0) + 𝑐(𝑥 − 𝑥0) und das gerade genannte gilt, dann ist 𝑓 differenzierbar an 𝑥0 und es gilt

𝑓′(𝑥0) = 𝑐.

Man kann auch 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥)ℎ + 𝑜(ℎ) schreiben, wobei 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) die Änderung

der Funktion und 𝑜(ℎ) den Restterm mit limℎ→0𝑜(ℎ)

ℎ beschreiben.

Der lineare Anteil an der Änderung der Funktion wird als totes Differential bezeichnet.

Ableitungsregeln

Siehe Grundsätzliche Regeln zur Ableitung, Seite 13.

Satz von Fermat

Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ an 𝑥0 differenzierbar und hat 𝑓 dort ein lokales Maximum/Minimum, gilt not-

wendigerweise 𝑓′(𝑥0) = 0

Satz von Rolle

Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig und differenzierbar auf (𝑎, 𝑏) und es gelte 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) , dann gilt:

∃ 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏): 𝑓′(𝜉) = 0.

Mittelwertsätze der Differentialrechnung

Die Mittelwertsätze gelten für 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ mit stetiger Differenzierbarkeit auf (𝑎, 𝑏).

1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

∃ 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏): 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎= 𝑓′(𝜉)

2. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

∃ 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏): [𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)]𝑔′(𝜉) = [𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)]𝑓′(𝜉)

∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) mit 𝑔′(𝑥) ≠ 0: 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)

𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)=𝑓′(𝜉)

𝑔′(𝜉)

Ableitung von Funktionen mehrerer Variabler

Für die Ableitung über mehrere Variablen werden die einzelnen Variablen abgeleitet und die

Ableitungen addiert.

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Satz von Schwarz

Die zweite Ableitung einer zweimal differenzierbaren Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) zuerst nach 𝑥, dann nach 𝑦 differenziert, also 𝑓𝑥𝑦(𝑥, 𝑦), ist gleich der Ableitung 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦).

Der Satz von Schwarz besitzt keine Allgemeingültigkeit. Die zweite Ableitung muss hier ste-

tig sein.

Unbestimmte Ausdrücke

Die Bestimmung von Grenzwerten ist manchmal nicht direkt möglich. Man nennt diese Aus-

drücke unbestimmte Ausdrücke.

Regel von de l’Hospital

Seien 𝑓 und 𝑔 (geeignet) differenzierbar auf einem Intervall und gelte lim𝑥→𝑏𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝑙, dann:

lim𝑥→𝑏

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑏

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)= 𝑙

Diese Regel kann auch verwendet werden, um Grenzwerte von Folgen zu bestimmen. Zum

Beispiel lim𝑛→∞𝑛2+2𝑛

(𝑛+1)2= lim𝑛→∞

2𝑥+2

2(𝑥+1)= lim𝑛→∞

2

2= 1.

Taylor

Der Satz von Taylor

Sei 𝐼 ⊆ ℝ ein offenes Intervall und die Funktion 𝑓 sei (𝑛 + 1)-mal stetig differenzierbar auf 𝐼 mit 𝑥0 ∈ 𝐼, so ist:

∀𝑥 ∈ 𝐼: 𝑓(𝑥) = ∑𝑓𝑘(𝑥0)

𝑘!(𝑥 − 𝑥0)

𝑘 + 𝑅𝑛(𝑥, 𝑥0)

𝑛

𝑘=0

Für 𝑅𝑛(𝑥, 𝑥0) gilt nach Lagrange 𝑅𝑛(𝑥, 𝑥0) =𝑓𝑛+1(𝜉)

(𝑛+1)!(𝑥 − 𝑥0)

𝑛+1 , wobei 𝑥0 < 𝜉 < 𝑥 bzw. 𝑥 < 𝜉 < 𝑥0

ist.

Taylorpolynom n-ter Ordnung

𝑇𝑛(𝑥, 𝑥0) = ∑𝑓𝑘(𝑥0)

𝑘!

𝑛

𝑘=0

(𝑥 − 𝑥0)𝑘

Restglied nach Lagrange

𝑅𝑛(𝑥, 𝑥0) =𝑓𝑛+1(𝜉)

(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑥0)

𝑛+1

Taylorpolynome für mehrere Variablen

Hier berechnet man zunächst das Taylorpolynom der einen Variable und dann der anderen und addiert diese einzeln. Für 𝑓(𝑥, 𝑦) mit Entwicklungspunkt (𝑥0, 𝑦0) ist also das Ergebnis

𝑓(𝑥0, 𝑦0) +(𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0))(𝑥−𝑥0)+(𝑓𝑦(𝑥0,𝑦0))(𝑦−𝑦0)

1!+(𝑓𝑥𝑥(𝑥0,𝑦0))(𝑥−𝑥0)

2+2∙(𝑓𝑥𝑦(𝑥0,𝑦0))(𝑥−𝑥0)(𝑦−𝑦0)+(𝑓𝑦𝑦(𝑥0,𝑦0))(𝑦−𝑦0)2

2!+⋯ .

Taylor-Reihe

Wenn 𝑓 beliebig differenzierbar ist, dann gilt die Taylor-Formel für jedes 𝑛 ∈ ℕ. Dann ist das

Taylor-Polynom 𝑇𝑛(𝑥, 𝑥0) für jedes feste 𝑥 ∈ 𝐼 die n-te Teilsumme der unendlichen Reihe

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∑𝑓𝑘(𝑥0)

𝑘!

𝑛𝑘=0 (𝑥 − 𝑥0)

𝑘. Dies ist die sogenannte zugeordnete Taylor-Reihe von 𝑓 bzgl. des Ent-

wicklungspunktes 𝑥0.

Extrema, Wendepunkte und Konvexität

Extrema

Ein Extrempunkt wird dadurch bestimmt, dass man die Nullstellen der ersten Ableitung (welche die Steigung beschreibt) findet und den 𝑥-Wert einsetzt. Allgemein: Wenn 𝑓(𝑥) 𝑛-mal stetig differenzierbar auf (𝑎, 𝑏) ist, so sind 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) und 𝑓′(𝑥0) = ⋯ = 𝑓

𝑛−1(𝑥0) = 0, aber

𝑓𝑛(𝑥0) ≠ 0. Ist 𝑛 gerade und 𝑓𝑛(𝑥0) > 0 Minimum. Ist 𝑛 gerade und 𝑓𝑛(𝑥0) < 0 Maximum.

Ist 𝑛 ungerade kein Extrempunkt

Absolute und relative Extrema

Ein relativer Extrempunkt ist eine Nullstelle der ersten Ableitung, die kein Sattelpunkt ist.

Ein absoluter Extrempunkt ist die höchste Stelle eines Graphen bzw. die niedrigste dessel-

ben. Ein absoluter Extrempunkt ist gleichzeitig ein relativer Extrempunkt.

Wendepunkte

Durch die Krümmung, also die zweite Ableitung, lassen sich Wendepunkte finden. Wird die-

se Null und man betrachtet die Werte von links und von rechts kommend, kann man über das Vorzeichen den Wendepunkt genau bestimmen. Allgemein: 𝑓′′(𝑥0) = 0, 𝑓

′′′(𝑥0) ≠ 0.

Konvexität

Eine Funktion ist konvex/konkav in einem Intervall, wenn man von jedem Punkt dieses In-

tervalls zu jedem beliebigen anderen Punkt desselben Intervalls eine Verbindungslinie zie-

hen kann, die die Funktion dazwischen nicht kreuzt.

Konvex

𝑓((1 − 𝜆)𝑥1 + 𝜆𝑥2) ≤ (1 − 𝜆)𝑓(𝑥1) + 𝜆𝑓(𝑥2) | ∀𝜆 ∈ (0,1)

Konkav

𝑓((1 − 𝜆)𝑥1 + 𝜆𝑥2) ≥ (1 − 𝜆)𝑓(𝑥1) + 𝜆𝑓(𝑥2) | ∀𝜆 ∈ (0,1)

Analog gilt streng konvex und streng konkav, falls < und > gelten.

Faktisch ist Konvexität bei normalen Funktionen über die Wendepunkt gut zu bestimmen.

Der 𝑛-dimensionale Raum

Norm

Die Norm ist der Absolutbetrag bzw. die Länge von 𝑥 ∈ ℝ𝑛. Für 𝑛 = 1 stimmt die Norm mit

dem Betrag reeller Zahlen überein (für 𝑛 = 2 mit dem Betrag komplexer Zahlen).

‖𝑥‖ = √∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

Grundlegende Eigenschaften (siehe auch Axiome für die Norm, Seite 17)

|𝑥𝑖| ≤ ‖𝑥‖ ∀ 𝑖

‖𝑥‖ ≥ 0 ∨ ‖𝑥‖ = 0 ⇔ 𝑥 = 0 = (0,0, … ,0)

‖𝜆𝑥‖ = |𝜆| ‖𝑥‖

‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ (Dreiecksungleichung)

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Aus der Norm ‖𝑥‖ = √∑ 𝑥𝑖2𝑛

𝑖=1 kann man eine Metrik für 𝑅𝑛 bestimmen. Diese nennt sich euk-

lidische Metrik bzw. euklidische Norm.

Euklidische Norm

‖𝑥‖ = √∑𝑥𝑖2

𝑛

𝑖=1

, mit der Metrik: 𝑑(𝑥, 𝑦) = ‖𝑥 − 𝑦‖ = √∑(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖)2

𝑛

𝑖=1

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ist für 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) ∈ 𝑅𝑛 bestimmt durch:

𝑥 ∙ 𝑦 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ =∑𝑥𝑖𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

Axiomatik im reellen Vektorraum

1) ⟨𝑥 + 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ + ⟨𝑦, 𝑧⟩ (Bilinearität)

⟨𝑥, 𝑦 + 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑥, 𝑧⟩

⟨𝑥 + 𝜆𝑦⟩ = 𝜆⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝜆𝑥, 𝑦⟩

2) ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑦, 𝑥⟩ (Symmetrie)

3) ⟨𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0, ⟨𝑥, 𝑥⟩ = 0 ⇔ 𝑥 = 0 (Positiv definit)

Axiomatik im komplexen Vektorraum

1) ⟨𝑥 + 𝑦, 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩ + ⟨𝑦, 𝑧⟩ (Sesquilinearität)

⟨𝑥, 𝑦 + 𝑧⟩ = ⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑥, 𝑧⟩

⟨𝑥 + 𝜆𝑦⟩ = 𝜆⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝜆𝑥, 𝑦⟩

2) ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑦, 𝑥⟩ (Hermitesch)

3) ⟨𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0, ⟨𝑥, 𝑥⟩ = 0 ⇔ 𝑥 = 0 (Positiv definit)

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

⟨𝑥, 𝑦⟩2 ≤ ⟨𝑥, 𝑥⟩⟨𝑦, 𝑦⟩, |⟨𝑥, 𝑦⟩| ≤ ‖𝑥‖ ‖𝑦‖

Minkowski-Ungleichung

√⟨𝑥 + 𝑦, 𝑦 + 𝑥⟩ ≤ √⟨𝑥, 𝑥⟩ + √⟨𝑦, 𝑦⟩

Eine Abbildung 𝐹:ℝ𝑛 → ℝ nennt man auch eine reellwertige Funktion von 𝑛 reellen Variablen,

eine Skalarfunktion oder ein Skalarfeld. Eine Abbildung 𝐹:ℝ𝑛 → ℝ𝑛 heißt auch vektorwertige

Funktion von 𝑛 reellen Variablen, bzw. ein Vektorfeld.

Durch Werte (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) wird bzgl. des Ursprungs auch eine Richtung definiert. Hier spricht

man von einem Richtungsvektor ��. Der Translation entsprechend wäre das dann ein Ver-

schiebungsvektor.

Orthogonalität

Zwei Vektoren sind zueinander orthogonal, wenn sie einen 90°-Winkel zueinander

besitzen, also das Skalarprodukt 0 ergibt.

Bei einer Orthogonalbasis wird gefordert, dass alle Vektoren paarweise zueinander senk-

recht sind.

Orthonormalitätd

Zwei Vektoren sind zueinander orthonormal, wenn sie orthogonal sind und zusätzlich

jeder von ihnen die Norm 1 besitzt.

Skalarprodukt der komplexen Zahlen

Das Skalarprodukt ist wie immer verschieden definierbar. Das Standardskalarprodukt im

komplexen Raum ist wie folgt zu behandeln:

⟨𝑥, 𝑦⟩ ≔ 𝑥𝑦 ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℂ

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⟨��, ��⟩ ≔ 𝑥1𝑦1 + 𝑥2𝑦2 +⋯+ 𝑥𝑛𝑦𝑛 ∀��, �� ∈ ℂ

Skalarprodukt von Vektoren

Siehe Skalarprodukt unter Rechenoperationen mit Vektoren, Seite 37.

Richtungsgrenzwerte, partielle Ableitungen

Richtungsgrenzwert

Falls existent ist der Richtungsgrenzwert von 𝑓 an 𝑥0 in Richtung ��:

limℎ→0

𝑓(𝑥ß + ℎ��) = 𝑏

𝑓 ist stetig an 𝑥0 in Richtung ��, wenn 𝑏 = 𝑓(𝑥0).

Richtungsableitung

𝜕𝑓

𝜕��(𝑥0) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑥0 + ℎ��) − 𝑓(𝑥0)

Zur Bestimmung der Richtungsableitung ist der Gradient der Funktion zu suchen und dieser

mit dem normierten Richtungsvektor zu multiplizieren. Schließlicht ist der gesuchte Punkt

einzusetzen.

Zum Beispiel:

𝑓(𝑥, 𝑦) = cos(𝑥𝑦) − sin(𝑥 + 𝑦) → ∇𝑓(𝑥, 𝑦) = (− sin(𝑥𝑦) 𝑦 − cos(𝑥 + 𝑦)

− sin(𝑥𝑦) 𝑥 − cos(𝑥 + 𝑦))

Richtung �� =𝜋

4(11) → ��

1

|��|⏟normiert

=4��

𝜋√2→ ��

4

𝜋√2∙ ∇𝑓(𝑥, 𝑦)

=− sin(𝑥𝑦) 𝑦 − cos(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥𝑦) 𝑥 − cos(𝑥 + 𝑦)

√2

Nun ist nur noch der Punkt einzusetzen, an dem einen die Richtungsableitung interessiert.

Gradient

∇𝑓(𝑥, 𝑦, … ) = (𝑑𝑓 𝑑𝑥⁄

𝑑𝑓 𝑑𝑦⁄…

)

Der Gradient ist by himself die Richtung des stärksten Anstiegs.

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix ist die Matrix alle Ableitungen einer Funktion 𝑓 ≔ (𝑓1, 𝑓2, … 𝑓𝑛). Bezeichnet

werden mit 𝑥 ≔ (𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑚) die Koordinaten im Urbildraum und mit 𝑎 ein expliziter Punkt.

𝐽𝑓(𝑎) ≔

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

(𝑎)𝜕𝑓1𝜕𝑥2

(𝑎) …

𝜕𝑓2𝜕𝑥2

(𝑎)𝜕𝑓2𝜕𝑥2

(𝑎) …

⋮ ⋮ ⋱)

Für 𝑓 ≔ ℝ2 → ℝ3 und den Gradienten 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑏𝑐) wäre die Jacobi-Matrix

(

𝜕𝑎

𝜕𝑥

𝜕𝑎

𝜕𝑦

𝜕𝑏

𝜕𝑥

𝜕𝑏

𝜕𝑦

𝜕𝑐

𝜕𝑥

𝜕𝑐

𝜕𝑦)

.

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Hesse-Matrix

Die Hesse-Matrix entspricht dem Transponierten der Jacobi-Matrix des Gradienten einer Funktion 𝑓(𝑎). Sie ist die Sammlung aller zweiten Ableitungen einer Funktion 𝑓(𝑎) nach fol-

gendem Muster:

𝐻𝑓(𝑎) ≔

(

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥1(𝑎)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2(𝑎) …

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1(𝑎)

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥2(𝑎) …

⋮ ⋮ ⋱)

Die Hesse-Matrix ist bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Diffe-

rentiationsreihenfolge (siehe Satz von Schwarz, Seite 25) symmetrisch, so dass das Trans-

ponieren keine Änderung bewirkt.

Eigenwerte

Ein Eigenwert einer Matrix ist ein Wert, der die folgende Gleichung erfüllt:

(𝐴 − 𝜆𝐸) �� = 0

Wenn die Matrix invertierbar ist, so entspricht die Lösung dem Nullvektor. Da diese Lösung

auszuschließen ist, muss die Determinante gleich Null sein. Dies gilt als Bedingung für die

Berechnung von Eigenwerten:

det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0

Man erhält hier ein charakteristisches Polynom. Die Nullstellen dieses Polynoms, also die Er-gebnisse für 𝜆, sind die Eigenwerte. Die Menge der Eigenwerte {𝜆1, 𝜆2, … } wird Spektrum ge-

nannt und 𝜎(𝐴) geschrieben. Als Spektralradius gilt der größte Betrag aller Eigenwerte.

Eigenwerte der Inversen Matrix ��−1 sind alle verfügbaren 𝜆𝑖−1.

Für einige Eigenschaften siehe auch die Beschreibungen unter Diagonalisierung, Seite 41)

Definitheit

Eine quadratische, symmetrische Matrix kann verschieden definit sein, je nachdem wie ihre

Eigenwerte bezeichnet sind.

Positiv definit, wenn alle Eigenwerte größer Null sind,

Positiv semidefinit, wenn alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind,

negativ definit, wenn alle Eigenwerte kleiner Null sind,

negativ semidefinit, wenn alle Eigenwerte kleiner Null sind,

indefinit, wenn positive und negative Eigenwerte existieren

Die Definitheit ist auch über 𝑄(𝑥) = 𝑥𝑇 𝐴 𝑥 mit 𝑥 = (𝑥1𝑥2⋮) zu berechnen. Hier gilt nun:

Positiv definit, wenn 𝑄(𝑥) > 0, ∀𝑥 ≠ 0

Positiv semidefinit, wenn 𝑄(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ≠ 0,

negativ definit, wenn 𝑄(𝑥) < 0, ∀𝑥 ≠ 0,

negativ semidefinit, wenn 𝑄(𝑥) ≤ 0, ∀𝑥 ≠ 0,

indefinit, wenn positive und negative Werte angenommen werden.

Eigenvektoren

Ein Eigenvektor muss, genau wie ein Eigenwert, folgende Gleichung erfüllen:

(𝐴 − 𝜆𝐸) �� = 0

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Hierbei sind die Eigenwerte einzusetzen und �� ist zu berechnen. Ebenfalls ist 𝐴 ∙ �� = 𝜆𝐸 ∙ ��, (𝐴 − 𝜆𝐸) ∙ �� = 0 oder (𝜆𝐸 − 𝐴) ∙ �� = 0 möglich. Es können mehrere Eigenvektoren für einen

Eigenwert existieren. Eigenvektoren sind nicht zwangsläufig normiert anzugeben.

Vielfachheit, Diagonalisierung

Siehe hierfür Vielfachheit, Seite 40, und Diagonalisierung, folgend.

Implizite Funktionen

Ableitungen impliziter Funktionen

Eine Funktion 𝑦(𝑥) wird zunächst nach 𝑥 aufsummiert dann nach 𝑦 selbst abgeleitet, wobei

beachtet werden muss, dass 𝑦 eine Funktion ist und man verschränkt ableiten sollte. 𝑒𝑦2 ist

abgeleitet also 𝑒𝑦2∙ 2𝑦 ∙ 𝑦′.

Man stellt danach die Gleichung auf:

𝑦′ =𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑥+𝑑𝑦(𝑥)

𝑑𝑦

Diese löst man nach 𝑦′ auf.

Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variablen

Grundlagen für zwei Variablen

Die Bedingung für relative Extrema (Siehe Absolute und relative Extrema, Seite 26) ist die

Nullstelle der zweiten Ableitungen.

𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 0

𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) ∙ 𝑓𝑦𝑦(𝑥0, 𝑦0) − 𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0)2 > 0

relatives Minimum

𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) > 0

relatives Maximum

𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) < 0

Ein Punkt ist dagegen ein Sattelpunkt, wenn 𝑓𝑥𝑥(𝑥0, 𝑦0) ∙ 𝑓𝑦𝑦(𝑥0, 𝑦0) − 𝑓𝑥𝑦(𝑥0, 𝑦0)2 < 0.

Konvexität

Gilt zusätzlich zu den Grundbedingungen 𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) ≥ 0 bzw. 𝑓𝑥𝑥(𝑥, 𝑦) ≤ 0, so ist 𝑓 konvex bzw.

konkav. In diesem Fall sind relative Extrema zugleich auch absolute Extrema.

Allgemein für mehrere Variablen

Die Definitheit (Siehe Seite 29) ist ausschlaggebend für das Bestimmen eines relativen Ext-

rempunktes. Man finde die Nullstellen der ersten Ableitungen 𝑓𝑥 = 𝑓𝑦 = ⋯ = 0. Nun stelle man

zu jedem Punkt die Hesse-Matrix (siehe Seite 29) auf und bestimme ihre Definitheit.

𝐻(𝑥0) ist positiv definit ⟺ 𝑓 hat an 𝑥0 ein isoliertes relatives Minimum

𝐻(𝑥0) ist negativ definit ⟺ 𝑓 hat an 𝑥0 ein isoliertes relatives Maximum

𝐻(𝑥0) ist indefinit ⟺ 𝑓 hat an 𝑥0 einen Sattelpunkt

Lagrange’sche Multiplikatorregel Seien 𝑓:ℝ𝑛 → ℝ differenzierbar, 𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑚: ℝ

𝑛 → ℝ stetig differenzierbar und linear unabhän-

gig, und sei 𝑥0 ein Extrempunkt von 𝑓, dann gibt es Zahlen 𝜆1, 𝜆2, … für die Gilt:

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Analysis, Semester 1

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𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑣(𝑥0) +∑𝜆1

𝜕𝑔𝑙𝜕𝑥𝑣

(𝑥0)

𝑚

𝑙=1

= 0 | 𝑣 = 1,2, … , 𝑛

Die 𝜆-Werte heißen dann Lagrange’sche Parameter. Die Funktionen 𝑔𝑖 beschreiben dabei die

𝑚 Nebenbedingungen.

Lagrange-Methode

Für eine Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦, … ) mehrerer Variabler, die minimiert werden soll, und eine Vor-

schrift 𝑘 für die Variablen, die zu bestimmen sind. Man stelle die Gleichung wie folgt auf:

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦, … ) + 𝜆 ∙ 𝑘

Mittels der Ableitungen nach 𝑥, 𝑦, … und 𝜆 findet man ein Gleichungssystem, das zu Lösen

wäre, um das Ergebnis zu bestimmen.

Als Beispiel: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 und 𝑥 + 𝑦 = 10. Man schreibe: 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝜆(𝑥 + 𝑦 − 10) und

bestimme 𝑔𝑥 = 2𝑥 + 𝜆, 𝑔𝑦 = 2𝑦 + 𝜆 und 𝑔𝜆 = 𝑥 + 𝑦 − 10. Nach Nullsetzen dieser Funktionen und

Lösen des Gleichungssystems nach 𝑥, 𝑦 und 𝜆 erhalten wir das Ergebnis 𝑥 = 5, 𝑦 = 5. 𝜆 nennt

sich hier der Lagrange-Multiplikator.

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Lineare Algebra, Semester 1

Nawi Graz Seite 32

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Lineare Algebra, Semester 1 Vektoralgebra und Matrizen

Lineare Gleichungssysteme und Determinanten

Determinante

Eine Determinante ist ein Skalar, das man aus quadratischen Matrizen bestimmen kann.

∑ 𝑠𝑔𝑛(𝜋) 𝑎1 𝜋(1) 𝑎2 𝜋(2)… 𝑎𝑛 𝜋(𝑛)𝜋∈𝑆𝑛

Determinante einer 2 × 2 Matrix:

|𝑎 𝑏𝑐 𝑑

| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

Bei 3 × 3 Matrizen kann man die Summe der Diagonalen von rechts oben nach links unten

von der Summe der Diagonalen von links oben nach rechts unten abziehen.

Regel von Sarrus

|

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

|

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22𝑎31 𝑎32

= 𝑎11𝑎22𝑎33 + 𝑎21𝑎22𝑎23 + 𝑎31𝑎32𝑎33 − 𝑎13𝑎22𝑎31 − 𝑎11𝑎23𝑎32 − 𝑎12𝑎21𝑎33

Um eine 𝑛 × 𝑛 Matrix auf (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1)-Form zu bringen, kann man diese Entwickeln:

Laplacescher Entwicklungssatz

|

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

| = 𝑎11 |𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎33

| − 𝑎21 |𝑎12 𝑎13𝑎31 𝑎33

| + 𝑎31 |𝑎12 𝑎13𝑎22 𝑎23

| , mit + − …− + …⋮ ⋮ ⋱

Allgemeine Definition des Laplaceschen Entwicklungssatzes

∑𝑎𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

, ∑𝑎𝑖𝑗 𝐶𝑖𝑗

𝑛

𝑗=1

Permutation

Eine Permutation ist die Möglichkeit, mehrere Elemente auf andere Elemente abzubilden.

Zum Beispiel 𝑆3 = {(1 2 31 2 3

) , (1 2 32 3 1

) , (1 2 33 1 2

) , (1 2 32 1 3

) , (1 2 31 3 2

) , (1 2 33 2 1

)}.

Vorzeichens einer Permutation

𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜋) ≔∏𝜋(𝑗) − 𝜋(𝑖)

𝑗 − 𝑖𝑖<𝑗

Das Vorzeichen einer Permutation lässt sich über die Anzahl der Transpositionen bestim-

men, welche nötig sind, um die ursprüngliche Form wieder herzustellen. Dabei gilt, dass ei-ne gerade Anzahl das Vorzeichen + generiert, eine ungerade −.

Permutationen sind immer bijektiv (eindeutig).

Gerechnet wird, indem man die Zahlen von hinten nach vorne „verfolgt“.

(1 2 33 1 2

) ∘ (1 2 31 3 2

) = (1 2 33 2 1

)

Hier also 1 → 1 und 1 → 3, was für das Endergebnis 1 → 3 gibt.

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Lineare Algebra, Semester 1

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Elementare Umformungen

Man kann eine Matrix Umformen, indem man 3 Dinge macht:

1. Multiplikation einer Zeile/Spalte mit einer Konstanten (bzw. Erweitern).

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) =1

𝜆(𝑎𝜆 𝑏𝜆𝑐 𝑑

) , (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) =1

𝜆(𝑎𝜆 𝑏𝑐𝜆 𝑑

)

2. Addition einer Zeile/Spalte mit dem Vielfachen einer anderen Zei-

le/Spalte.

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (𝑎 𝑏

𝑐 + 𝜆𝑎 𝑑 + 𝜆𝑏) , (

𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (𝑎 + 𝜆𝑏 𝑏𝑐 + 𝜆𝑑 𝑑

)

3. Vertauschen von Zeilen/Spalten mit Vorzeichenänderung

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = −(𝑐 𝑑𝑎 𝑏

) , (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = −(𝑏 𝑎𝑑 𝑐

)

Lösen des Gleichungssystems

Mittels der Cramerschen Regel kann man Gleichungssysteme bestehend aus erweiterten

Matrizen lösen. Dafür ersetzen wir die gesuchte Spalte mit der Lösung und berechnen die

Determinante von der neuen Matrizen und der ursprünglichen Matrix:

𝑥𝑖 =𝐷𝑖𝐷

𝐷 ≠ 0: Lösung ist eindeutig, 𝐷 = 0: {mindestens ein 𝐷𝑖 ≠ 0 → keine Lösung

alle 𝐷𝑖 = 0 → Lösungsmenge leer und unendlich

Freiheitsgrade

Einen Freiheitsgrad nennt man eine Variable, die frei zu wählen ist. So zum Beispiel bei

(2 3 10 2 1

) läge die Anzahl der Freiheitsgrade bei 1, da zu 3 Variablen nur 2 Gleichungen ver-

fügbar sind

Matrizen und Vektorräume

Grundsätzliche Rechenregeln für Matrizen

Nullmatrix, Einheitsmatrix

0 = (0𝑖𝑗) = 0, 1 = (𝑙𝑖𝑗) mit 𝑙𝑖𝑗 = 𝛿𝑖𝑗, 𝛿𝑖𝑗 = {1 𝑖 = 𝑗0 𝑖 ≠ 𝑗

(Konecker − Dela)

Addition (ist assoziativ und kommutativ)

Matrizen werden Elementweise addiert

Multiplikation mit Konstanten (ist kommutativ, Distributivgesetz ist gültig)

Bei Konstanten wird jedes Element addiert

Multiplikation mit Matrizen (ist assoziativ, nicht aber kommutativ, Distributiv-

gesetz ist gültig) – nur möglich, wenn Zeilen-/Spaltenanzahl stimmen

���� : ∑𝑎𝑖𝑙𝑏𝑙𝑗 = 𝑐𝑖𝑗

𝑘

𝑙=1

, �� ∙ �� = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) ∙ (𝑒 𝑓𝑔 ℎ

) = (𝑎𝑒 + 𝑏𝑔 𝑎𝑓 + 𝑏ℎ𝑐𝑒 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑ℎ

)

Kommutator

[��, ��] ≔ ���� − ����

Rechengesetze für Matrizen

𝛼(�� + ��) = 𝛼�� + 𝛼��, (𝛼 + 𝛽)�� = 𝛼�� + 𝛽��

��(�� + ��) = ���� + ����, (�� + ��)�� = ���� + ����

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����−1 = ��−1�� = 1

Gruppen

Eine Gruppe besteht aus einer nicht-leeren Menge und einer Verknüpfung. Eine Gruppe

muss abgeschlossen sein und hat noch einige andere Eigenschaften, spezieller die Assoziati-

vität und das Vorhandensein eines neutralen und eines inversen Elementes. Eine Gruppen-

tafel ist eine Tabelle mit allen Lösungen der Verknüpfungen der jeweiligen Mengenelemente.

Abgeschlossenheit

∘: 𝐺 × 𝐺 → 𝐺, (𝑎, 𝑏) ↦ 𝑎 ∘ 𝑏

Gruppenaxiome

∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺: (𝑎 ∘ 𝑏) ∘ 𝑐 = 𝑎 ∘ (𝑏 ∘ 𝑐)

∃𝑒 ∈ 𝐺 ∶ 𝑒 ∘ 𝑎 = 𝑎 ∘ 𝑒 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝐺

∀𝑎 ∈ 𝐺 ∃ 𝑎−1 ∈ 𝐺 ∶ 𝑎−1 ∘ 𝑎 = 𝑎 ∘ 𝑎−1 = 𝑒

Symmetrische Gruppe, abelsche Gruppe

Die Gruppentafel ist an der Hauptdiagonale spiegelbar. Es gilt die Kommutativität.

∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ∶ 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑏 ∘ 𝑎

Eine Teilmenge der Elemente einer Gruppe, die auch die Gruppenstrukturen haben, nennt

man Untergruppe.

Körper

Ein Körper besteht aus einer Menge und zwei Verknüpfungen + und ∙.

Körperaxiome

1) (𝕂,+) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0.

2) (𝕂\{0},∙) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1.

3) ∀𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝕂: 𝛼(𝛽 + 𝛾) = 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾, (𝛼 + 𝛽)𝛾 = 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 (Distributivität)

Ring

Ein Ring besteht aus einer Menge und zwei Verknüpfungen + und ∙.

Ringaxiome

1) (𝑅, +) ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0.

2) Die Multiplikation ist auf R abgeschlossen und assoziativ.

3) ∀𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝑅: 𝛼(𝛽 + 𝛾) = 𝛼𝛽 + 𝛼𝛾, (𝛼 + 𝛽)𝛾 = 𝛼𝛾 + 𝛽𝛾 (Distributivität)

Ist die Multiplikation auch kommutativ, so spricht man von einem kommutativen Ring. Gibt

es ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so spricht man von einem Ring mit

Einselement.

Vektorraum

(𝑉,⨁,⨀) wird Vektorraum über dem Körper (𝕂,+,∙) genannt, wenn gilt:

1) (𝑉,⨁) ist eine kommutative Gruppe (Elemente sind Vektoren)

2) Die Multiplikation ist Abgeschlossen, Assoziativ und Distributiv

Es gilt (𝛼 + 𝛽) ⊙ 𝑎 = 𝛼 ⊙ 𝑎 + 𝛽 ⊙ 𝑎 und 𝛼 ⊙ (𝑎 ⊕ 𝑏) = 𝛼 ⊙ 𝑎⊕ 𝛼 ⊙ 𝑏

3) ∀𝑎 ∈ 𝑉: 1⨀𝑎 = 𝑎 (Einselement in 𝕂)

Ist auf einem Vektorraum 𝑉 zusätzlich zur Addition noch eine Multiplikation 𝑎 × 𝑏 von Vekto-

ren definiert, die abgeschlossen und assoziativ (auch bzgl. Der Multiplikation mit einem Ska-

lar) ist, so wird aus dem Vektorraum eine Algebra.

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Inverse Matrix

Um die inverse Matrix Â−1 von  zu berechnen, bringt man die Matrix  auf die Form der

Einheitsmatrix und wendet gleichzeitig diese Schritte auch auf eine Einheitsmatrix an. Das

Ergebnis ist dann Â−1.

��−1 =��𝑇

det �� , �� = Kofaktormatrix

Es ist zu beachten: (����)−1= ��−1��−1. Mit dem Gauß-Verfahren lässt sich die Inverse nach fol-

gender Vorgehensweise berechnen:

(𝑎 𝑏𝑐 𝑑

)𝐸𝑙𝑒𝑚.𝑈𝑚𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑛𝑔→ (

1 00 1

) , (1 00 1

)𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑒 𝑈𝑚𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑛𝑔→ Â−1

Rang

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl an linear unabhängigen Zeilen.

Spur

Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen.

𝑆𝑝(��) = ∑𝑎𝑖𝑖

𝑛

𝑖=1

Weitere Matrizenverbündete

Transponierte Matrix ��𝑇

Eine Transponierte Matrix ist eine Matrix, in der jede Zeile mit jeder Spalte ver-

tauscht wurde. Es gilt (����)𝑇= ��𝑇��𝑇.

Kofaktormatrix ��

Besteht aus allen Unterdeterminanten (Laplace-Entwicklungssatz)

Komplex konjugierte Matrix ��∗

Besteht aus dem komplex konjugierten jedes einzelnen Elements (Inversion des

Imaginärteils)

Adjungierte Matrix ��𝑡

Die Transponierung der komplex konjugierten Matrix ��∗. Es gilt (����)𝑡= ��𝑡��𝑡.

Matrizen mit besonderen Eigenschaften

Symmetrische Matrix (reell)

Symmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar.

�� = ��𝑇

Antisymmetrische Matrix (reell)

Antisymmetrische Matrizen sind immer diagonalisierbar.

−�� = ��𝑇

Hermitesche Matrix (komplex)

Hermitesche Matrizen sind immer diagonalisierbar.

�� = ��𝑡

Antihermitesche Matrix (komplex)

Antihermitesche Matrizen sind immer diagonalisierbar.

−�� = ��𝑡

Orthogonale Matrix (reell)

Eine quadratische, reelle Matrix, deren Spaltenvektoren zueinander orthogonal (siehe Or-

thogonalität, Seite 27) sind. Es gilt ferner:

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𝑄𝑇 𝑄 = 𝐸, 𝑈−1 = 𝑈𝑇

Unitäre Matrix (komplex)

Eine quadratische, komplexe Matrix, deren Spaltenvektoren zueinander orthonormal (siehe

Orthogonalität, Seite 27) sind. Es gilt ferner:

𝑈∗ 𝑈 = 𝐸, 𝑈−1 = 𝑈∗

Besondere Matrizen

Pauli-Matrizen

Die sogenannten Pauli-Matrizen sind 3 hermitesche Matrizen, mit denen sich jede beliebige hermitesche 2 × 2 Matrix eindeutig als Linearkombination schreiben lässt.

��1 = (0 11 0

) , ��2 = (0 −𝑖𝑖 0

) , ��3 (1 00 −1

)

Hier gilt also �� = 𝛼1 + 𝛽��1 + 𝛾��2 + 𝛿��3 | ∀ �� = ��𝑡.

Drehmatrizen

��(φ) = (cos𝜑 sin𝜑− sin𝜑 cos𝜑

)

Alle diese Matrizen, die Drehung um den Koordinatenursprung in der Ebene beschreiben,

sind orthogonal. Das unitäre Pendant ist dann:

��(𝜑) = (cos𝜑 𝑖 sin 𝜑𝑖 sin 𝜑 cos𝜑

)

In drei Dimensionen gilt für die verschiedenen Drehungen um die Achsen:

��𝑥(𝜑) = (

1 0 00 cos𝜑 sin𝜑0 − sin 𝜑 cos𝜑

) , ��𝑦(𝜑) = (

cos𝜑 0 − sin𝜑0 1 0sin𝜑 0 cos𝜑

) , ��𝑧(𝜑) = (cos𝜑 sin𝜑 0− sin 𝜑 cos𝜑 00 0 1

)

Lineare Unabhängigkeit

Vektoren

(𝑥1𝑦1⋮) = 𝜆 (

𝑥2𝑦2⋮)

Man rechnet ein 𝜆 aus und überprüft, ob die anderen Gleichungen erfüllt sind.

Für 𝑛 Vektoren in 𝑛 Dimensionen kann man die Determinante berechnen. Ist diese ≠ 0, so

sind die Vektoren nicht linear abhängig.

Matrizen

𝑥 (1 23 4

) + 𝑦 (4 32 1

) = (𝑥 + 4𝑦 2𝑥 + 3𝑦3𝑥 + 2𝑦 4𝑥 + 𝑦

) = (0 00 0

)

𝑥 + 4𝑦 = 0 ⟺ 𝑥 = −4𝑦, 2𝑥 + 3𝑦 = 0 ⟺ −5𝑦 = 0 → gilt nur wenn 𝑦 = 0 → linear unabhängig

Wäre zum Beispiel 3𝑦 + 4𝑦 − 7𝑦 = 0, dann hätte 𝑦 unendlich viele Lösungen zur Auswahl.

Somit wären die Matrizen linear abhängig.

Rechenoperationen mit Vektoren

Addition und Substraktion

(

𝑎1𝑎2𝑎3) + (

𝑏1𝑏2𝑏3

) = (

𝑎1 + 𝑏1𝑎2 + 𝑏2𝑎3 + 𝑏3

) , (

𝑎1𝑎2𝑎3) − (

𝑏1𝑏2𝑏3

) = (

𝑎1 − 𝑏1𝑎2 − 𝑏2𝑎3 − 𝑏3

)

Multiplikation mit Skalar

𝜆 (

𝑎1𝑎2𝑎3) = (

𝜆 𝑎1𝜆 𝑎2𝜆 𝑎3

)

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Skalarprodukt

(

𝑎1𝑎2𝑎3) ∙ (

𝑏1𝑏2𝑏3

) = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3 = |��||��| ∙ cos 𝜃 , �� ∙ �� = �� ∙ 𝑎 ⏟ 𝐾𝑜𝑚𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣

∧ �� ∙ (�� + 𝑐) = �� ∙ �� + �� ∙ 𝑐⏟ 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣

Weitere Informationen und Bedingungen siehe Skalarprodukt, Seite 27.

Kreuzprodukt, Vektorprodukt

(

𝑎1𝑎2𝑎3) × (

𝑏1𝑏2𝑏3

) = (

𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2𝑎3𝑏1 − 𝑎1𝑏3𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1

) , �� × �� = −(�� × ��)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist senkrecht zu den Ursprungsvektoren.

Spatprodukt

Spatprodukt(��, ��, 𝑐) = (�� × ��) ∙ 𝑐 = det (− �� −

− �� −− 𝑐 −

)

Das Spatprodukt hat keine eigene Notation. Geometrisch berechnet es das Volumen des

Spats, der durch die drei Vektoren ��, �� und 𝑐 aufgespannt wird. Es gilt 𝑉 = |((�� × ��) ∙ 𝑐)|. Die

Elemente sind zyklisch vertauschbar, also 𝑎, 𝑏, 𝑐 → 𝑏, 𝑐, 𝑎 → 𝑐, 𝑏, 𝑎.

Betrag / Länge eines Vektors

|��| = √𝑎12 + 𝑎2

2 + 𝑎32 +⋯ = √�� ∙ ��

Vergleiche hierzu auch Norm, Seite 26. Üblicherweise bezeichnet man mit dem Betrag eines

Vektors im endlich dimensionalen seine 2-Norm. Wenn man die Standardnorm nennt, so

meint man ebenfalls die 2-Norm. Die n-Norm ist schließlich √𝑎1𝑛 + 𝑎2

𝑛+3𝑛 +⋯.

Die besonderen Vektorräume ℝ2 und ℝ3

Zu den Axiomen eines allgemeinen Vektorraums (siehe Vektorraum, Seite 34) gibt es erwei-

terte Kriterien für hier beschriebene Räume.

Affiner Raum

Hier wird zu jedem erreichten Punkt je noch ein Vektor definiert, der von selbigem Punkt zu jedem anderen Punkt eine Verbindung bringt. (𝑃, 𝑉) mit 𝑃 als Punktmenge und 𝑉 als 𝕂 -

Vektorraum.

1) Jedem geordneten Paar (𝑄, 𝑅) von Punkten aus 𝑃 wird genau ein Vektor �� ∈ 𝑉 zu-

geordnet. Also �� = 𝑄𝑅 .

2) Zu jedem Punkt 𝑄 ∈ 𝑃 und jedem Vektor �� ∈ 𝑉 gibt es genau einen Punkt 𝑄 ∈ 𝑃 mit

�� = 𝑄𝑅 .

3) 𝑄𝑅 + 𝑅𝑆 = 𝑄𝑆

Geometrisch kann man verstehen, dass Vektoren mit herkömmlicher Vektoraddition eine

kommutative Gruppe bilden. Man kann auch Assoziativität zeigen. Der Nullvektor führt ei-

nen beliebigen Punkt in sich selbst über (neutral).

Metrischer Raum

Hier wird zu jedem Paar von zwei Punkten ein Abstand 𝑑(𝑥, 𝑦) definiert. Siehe Axiome für

Metrik, metrischer Raum, Seite 17.

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Normierter Raum

Hier wird jedem Vektor eine reelle Zahl (Länge) ‖��‖ zugeordnet. Siehe Axiome für die Norm,

Seite 17.

Euklidischer Raum

Ein Vektorraum 𝑉 über ℝ mit einem Skalarprodukt ⟨𝑥, 𝑦⟩ wird euklidischer Vektorraum ge-

nannt.

Unitärer Raum

Ein Vektorraum 𝑉 über ℂ mit einem Skalarprodukt ⟨𝑥, 𝑦⟩ wird unitärer Vektorraum genannt.

Lineare Abbildungen und Matrizen

Lineare Abbildung

Eine Abbildung heißt linear, wenn sie die folgenden Eigenschaften zu erfüllen vermag:

1) 𝜑(𝑎) + 𝜑(𝑏) = 𝜑(𝑎 + 𝑏)

2) 𝜑(𝜆𝑎) = 𝜆(𝜑(𝑎))

Fortpflanzung

𝜑linear(𝑉 → 𝑊), 𝜑𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟(𝑊 → 𝑈) ⟹ ∃𝜑linear(𝑉 → 𝑈)

Homomorphismus

Eine Abbildung zwischen Vektorräumen wird auch als Vektorraumhomomorphismus betitelt.

Ein Homomorphismus ist schlicht eine Abbildung, die eine vorgegebene, algebraische Struk-

tur erhält. So gibt es zum Beispiel den Gruppen- und den Ringhomomorphismus.

Abbildungsmatrix, Darstellungsmatrix

Zu einer Abbildung 𝜑: 𝑉 → 𝑊 kann man eine Abbildungsmatrix bezüglich der beiden Basen

(Definitions- und Werteraum) definieren. Die Abbildungsmatrix ergibt sich, indem man die Bilder der Basisvektoren von 𝑉 als Spalten einer Matrix auffasst:

𝐴𝐵𝐴(𝜑) = (

| | …

𝜑(𝑣1) 𝜑(𝑣2) ⋯| | …

) , 𝐴 𝑟 = 𝜑(𝑟)

Für eine Abbildung 𝑟 = (𝑥𝑦𝑧) ⟼ 𝜑(𝑟) = (

𝑥 − 𝑧𝑦 ) wäre (

1 0 −10 1 0

) die Darstellungsmatrix bezüg-

lich der üblichen kanonischen Basis (𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 , …).

Isomorphismus

Ein Isomorphismus bezeichnet eine Abbildung zwischen zwei mathematischen Strukturen,

durch die Teile einer Struktur auf gleiche Teile einer anderen Struktur umkehrbar eindeutig

(bijektiv) abgebildet werden.

Endomorphismus

Ein Endomorphismus bildet alles auf sich selbst ab. Ist er zusätzlich ein Isomorphismus, so

wird er auch Automorphismus genannt.

Jacobi-Matrix

Die Jacobi-Matrix, Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix ist die 𝑚 × 𝑛-Matrix sämtlicher

erster Ableitungen. Zur Approximation (annähernden Berechnung) wird diese oft verwendet.

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𝐽𝑓(𝑎) ≔

(

𝜕𝑓1𝜕𝑥1

(𝑎)𝜕𝑓1𝜕𝑥2

(𝑎) ⋯

𝜕𝑓2𝜕𝑥1

(𝑎)𝜕𝑓2𝜕𝑥2

(𝑎) ⋯

⋮ ⋮ ⋱)

Zum Beispiel: 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥2 + 𝑦

5𝑦2) → 𝐽𝑓(𝑥, 𝑦) = (

2𝑥 10 10𝑦

).

Abstand zweier Geraden

Der kürzeste Abstand zweier Geraden im dreidimensionalen Raum ist dadurch zu berech-

nen, dass die Abstandsstrecke orthogonal zu beiden Geraden anzusehen ist.

Man nehme 𝑔 = 𝑈 + 𝜆�� und ℎ = 𝑉 + 𝜇�� und setze zu 𝐹𝑔𝐹ℎ = 𝑓ℎ − 𝑓𝑔 die Orthogonalität 𝐹𝑔𝐹ℎ ∙ �� = 0

und 𝐹𝑔𝐹ℎ ∙ �� = 0 voraus. Damit lässt sich ein Gleichungssystem lösen, man bekommt Werte

für 𝜆 und 𝜇 und setzt diese schlicht in die ursprünglichen Geraden ein. Die Länge ist |𝐹𝑔𝐹ℎ |.

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Bestimmung der Orthonormalbasis von Vektoren. Für 𝐴 als Matrix (��, ��, 𝑐, … ) aller Vektoren

eines (Unter-)Raumes gilt:

𝑣1 =��

‖��‖

𝑣2 =�� − ⟨𝑣1, ��⟩𝑣1

‖�� − ⟨𝑣1, ��⟩𝑣1‖

𝑣3 =𝑐 − ⟨𝑣1, 𝑐⟩𝑣1 − ⟨𝑣2, 𝑐⟩𝑣2

‖𝑐 − ⟨𝑣1, 𝑐⟩𝑣1 − ⟨𝑣2, 𝑐⟩𝑣2‖

Die Orthogonalbasisvektoren 𝑣1 usw. werden also normiert. Die zuvor existenten, nicht

normierten Vektoren werden 𝑣1′, 𝑣2

′… geschrieben. Also beispielsweise 𝑣2

′= �� − ⟨𝑣1, ��⟩𝑣1.

Bild

Das Bild einer linearen Abbildung 𝜑: 𝑉 → 𝑊 ist schlicht der Raum, auf den abgebildet wird.

𝐼𝑚(𝜑) = {𝜑(𝑣) ∈ 𝑊 | 𝑣 ∈ 𝑉}

Um die Dimension zu bestimmen setzt man die Abbildungsmatrix bestehend aus Spalten-

vektoren transponiert zusammen und ließt dann den Rang (siehe Seite 35) ab. Entspre-

chend des Ranges kann man eine Basis mit linear unabhängigen Vektoren aus der Aus-

gangsmatrix finden, deren Anzahl genau der Dimension des Bildes entsprechen muss.

Kern

Der Kern einer linearen Abbildung 𝜑: 𝑉 → 𝑊 enthält die Vektoren die durch die Abbildung Null

ergeben. Er ist die Urbildmenge des Nullvektors von 𝑊.

𝐾𝑒𝑟(φ) ≔ {v ∈ V | 𝜑(𝑣)} = 0 ∈ 𝑊

Faktisch setzt man alle Gleichungen gleich 0 und löst das Gleichungssystem. Die Anzahl der

Freiheitsgrade (Siehe Seite 33) ist die Dimension des Kerns. Als Ergebnis erhält man etwas

wie (

𝑥𝑦

−3𝑥 + 5𝑦) mit der Basis 𝑥 (

10−3) + 𝑦 (

015), was der Dimension 2 entspräche.

Basistransformation

Matrizen und lineare Abbildungen können bezüglich verschiedener Basen angegeben wer-

den. Entsprechend können Funktionen auch von einer Basis eines Vektorraums in eine voll-

kommen unterschiedliche Basis eines anderen Vektorraums abbilden. Eine Basistransforma-

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Nawi Graz Seite 40

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tion von der kanonischen Basis 𝐸 zur Basis 𝐵 ≔ {(𝑎), (𝑏), … } ist durch die Transformations-

matrix 𝑇𝐵𝐸 = (��, ��, … ) gegeben. Entsprechend ist 𝑇𝐵−1

𝐸 = 𝑇𝐸𝐵 . Als 𝑇 bezeichnet man hier die

Identitätsabbildungsmatrix, auch als 𝑀𝑖𝑑 bekannt.

𝑇𝐵2𝐵1= 𝑇𝐸𝐵1

𝑇𝐵2𝐸 = 𝑇𝐵1−1

𝐸 𝑇𝐵2𝐸

Transformationsmatrix über Gauß

Für die Transformation von einer Basis 𝐵1 = (𝑏11 , 𝑏12 , … ) in eine Basis 𝐵2 = (𝑏21, 𝑏22, … ) kann

die Transformationsmatrix 𝑇𝐵2𝐵1= (𝑡1 , 𝑡2 , … ) berechnet werden, indem man (ähnlich, wie bei

der Invertierung von Matrizen) die beiden Basen als Matrix nebeneinander schreibt und da-

raufhin die Einheitsmatrix auf der Seite der Basis 𝐵2 erstellt.

𝑇𝐵2𝐵1= (𝐵1 | 𝐵2)(

| | ⋯

𝑏11 𝑏12 ⋯| | ⋯

|

| | ⋯

𝑏21 𝑏22 ⋯| | ⋯

) ⟶ (1 0 ⋯0 1 ⋯⋮ ⋮ ⋱

|

| | ⋯

𝑡1 𝑡2 ⋯| | ⋯

)

Allgemeine Form

Gegeben sei hier 𝑀𝐵1𝑊𝐵1𝑉(𝑓) als lineare Abbildung mit 𝑓: 𝑉 → 𝑊 zwischen den Räumen 𝑉 und

𝑊. Gesucht ist 𝑀𝐵2𝑊𝐵2𝑉(𝑓), also die Darstellungsmatrix von 𝑓 bezüglich der neuen Basen in

den jeweiligen Vektorräumen.

𝑀𝐵2𝑊𝐵2𝑉(𝑓) = 𝑇𝐵1𝑉𝐵2𝑉⏟

𝑇𝐸𝐵2𝑉 𝑇𝐵1𝑉𝐸

𝑀𝐵1𝑊𝐵1𝑉(𝑓) 𝑇𝐵2𝑊𝐵1𝑊⏟

𝑇𝐸𝐵1𝑊 𝑇𝐵2𝑊𝐸

Eine Abbildung 𝑓 (𝑥1𝑥2) = (

𝑥1 + 𝑥2𝑥2

) , also 𝑀𝐸𝐸 (𝑓) = (1 10 1

) , ist gegeben und zwei Basen 𝐵1 =

{(35) (12)} und 𝐵2 = {(

10) (31)}. Gesucht sei die Darstellungsmatrix bezüglich der beiden Basen.

Nach obiger Feststellung gilt 𝑀𝐵2𝐵1(𝑓) = 𝑇𝐸𝐵1

𝑀𝐸𝐸 (𝑓) 𝑇𝐵2𝐸 = (3 15 2

)−1

(1 10 1

) (1 30 1

) =

(2 7−5 −17

).

Vereinfachte Formen

𝑀𝐵𝐸 = 𝑀𝐸𝐸 𝑇𝐵𝐸 , 𝑀𝐸𝐵 = 𝑇𝐸𝐵 𝑀𝐸𝐸

Eigenwertproblem

Siehe Eigenwerte, Seite 29, und Eigenvektoren, Seite 29.

Ähnlichkeit, Äquivalenz

Die Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation auf den quadratischen Matrizen. Ähnliche Matri-

zen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschied-licher Basen. Zwei 𝑛 × 𝑛-Matrizen 𝐴 und 𝐵 über dem gleichen Körper sind ähnlich/äquivalent,

wenn es eine invertierbare 𝑛 × 𝑛-Matrix 𝑃 gibt, so dass:

Ähnlichkeit

∃𝑃: 𝐵 = 𝑃−1𝐴𝑃

Äquivalenz

∃𝑃: 𝑃𝐵 = 𝐴𝑃

Diese Matrizen besitzen die gleiche Determinante und die gleiche Spur.

Vielfachheit

Die Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms einer Mat-

rix bezeichnet man als algebraische Vielfachheit. Die Dimension des Eigenraums 𝐸(𝜆) eines

Eigenwertes 𝜆1, der aus den Eigenvektoren 𝑣11, 𝑣12, … desselben gebildet wird, nennt man ge-

ometrische Vielfachheit. Sie ist stets mindestens 1 und höchstens gleich der algebraischen

Vielfachheit von 𝜆1.

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Diagonalisierung

Einige Matrizen lassen sich diagonalisieren, indem man alle Eigenwerte (siehe Eigenwerte, Seite 29) als Diagonalelemente einer Matrix 𝐷 schreibt. Die Diagonalisierungsmatrix 𝑆, wel-

che die ursprüngliche Matrix auf diese Form bringt, wird durch die Invertierung der Matrix

aus allen Eigenvektoren gewonnen (siehe Eigenvektoren, Seite 29). Eigenvektoren sind im-

mer linear unabhängig.

𝑆−1 𝐴 𝑆 = 𝐷

𝐷 = (𝜆1 0 ⋯0 𝜆2 ⋯⋮ ⋮ ⋱

) , 𝑆 = (

| | ⋯

𝑣1 𝑣2 ⋯| | ⋯

)

Symmetrische und hermitesche Matrizen sind immer diagonalisierbar und 𝑆 ist orthogonal

bzw. unitär. Die Eigenwerte einer komplexen Matrix sind reell.

Eigenraum

Der durch die Eigenvektoren aufgespannte Unterraum einer Matrix wird Eigenraum genannt.

Symmetrische Matrizen

Für symmetrische (und hermitesche) Matrizen gilt, dass die Eigenvektoren nicht nur linear

unabhängig, sondern auch immer orthogonal zueinander stehen. Normiert man diese Vekto-

ren so gilt:

ℝ𝑛: 𝑆𝑇 𝐴 𝑆 = 𝐷

ℂ𝑛: 𝑆𝑡 𝐴 𝑆 = 𝐷

Jordan-Normalform

Eine Matrix in Jordan-Normalform (JNF) besitzt auf seiner Diagonalen die Eigenwerte einer

Matrix und je nach algebraischer Vielfachheit (siehe Seite 40) eine 1 in der ersten Diagonale

rechts oder links daneben; sogenannte Jordanblöcke entstehen. Für (3 − 𝜆)(2 − 𝜆)3 ergibt

sich also 𝐽 = (

3210

021

002

) = (

3000

0210

0021

0002

) , bei (1 − 𝜆)2(4 − 𝜆)2 𝐽 = (

11

01

41

04

)

=(

1100

0100

0041

0004

).

algebraische Vielfachheit 𝑟𝑖 entspricht der Länge des Jordanblocks

Eigenraum zum Eigenwert 𝜆𝑖: 𝐸𝜆𝑖 = Kern(𝐴 − 𝜆𝑖𝐸)

Für die Anzahl 𝑘𝜆𝑖 der Kästchen im Block: 𝑘𝜆𝑖 = dim𝐸𝜆𝑖 = dimKern(𝐴 − 𝜆𝑖𝐸)

𝑛 − dimBild (𝐴 − 𝜆𝑖𝐸) = 𝑛 − Rang(𝐴 − 𝜆𝑖𝐸) = 𝑘𝜆𝑖

Auch hier gibt es eine Transformationsmatrix für welche gilt:

𝑆 𝐴 𝑆−1 = 𝐽

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Analysis, Semester 2

Nawi Graz Seite 42

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Analysis, Semester 2 Vektoranalysis

Bogenlänge ebener Kurven

Da man Längen nur einer Strecke zuordnen kann, wird die Bogenlänge approximiert. Für

den durch die Punkte 𝑃0, 𝑃1, 𝑃3 usw. laufenden Polygonzug ist eine Länge definiert:

𝐿𝑃(𝐶𝑓) = ∑√(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1)2 + (𝑓(𝑥𝑘) − 𝑓(𝑥𝑘−1))

2𝑛

𝑘=1

Die Kurve 𝐶𝑓 heißt rektifizierbar, wenn sup𝑃 𝐿𝑃(𝐶𝑓) < ∞. Ist 𝐶𝑓 rektifizierbar, so heißt 𝐿(𝐶𝑓) =

sup𝑃 𝐿𝑃(𝐶𝑓) die Bogenlänge von 𝐶𝑓.

Eine Kurve heißt glatt, wenn 𝑓′ (𝑡) existiert, stetig und überall ≠ 0 ist (und somit 𝑇𝑓 (𝑡) exi-

stiert).

Falls 𝑓 stetig differenzierbar auf [𝑎, 𝑏] ist, so ist 𝐶𝑓 rektifizierbar und es gilt für kartesische

respektive polare Koordinaten:

𝐿(𝐶𝑓) = ∫√1 + (𝑓′(𝑥))

2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

, 𝐿(Cr) = ∫√𝑟2(𝜑) + (𝑟′(𝜑))

2𝑑𝜑

𝑏

𝑎

Uneigentliche Integrale

Grundlagen

Hier geht es um Integrale ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, deren Voraussetzung ist, dass 𝑎 und 𝑏 als Integrations-

grenzen nicht zwangsläufig ein beschränktes Intervall darstellen. Ferner kann auch die Funktion 𝑓 unbeschränkt sein.

Cauchy-Hauptwert

Sei 𝑓(𝑥) auf [𝑎, 𝑏] bis auf die Stelle 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) erklärt, so heißt der folgende Grenzwert, sofern

er existiert, Cauchy-Hauptwert.

lim𝜖→0{∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐−𝜖

𝑎

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐+𝜖

}

Aus der Existenz des Cauchy-Hauptwertes folgt nicht zwangsläufig die Existenz des unei-gentlichen Integrals. Ist 𝑓 Riemann-integrierbar auf [𝑎, 𝑏], so ist 𝑓 auch uneigentlich integ-

rierbar auf (𝑎, 𝑏).

Kurven

Für ebene Kurven existieren die explizite Darstellung 𝑦 = 𝑓(𝑥), die Polarkoordinatendarstel-

lung 𝑟 = 𝑟(φ), implizite Darstellung 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 und die Parameterdarstellung 𝑥 = 𝑥(𝑡). Raum-

kurven lassen sich auch als Schnittlinien von Flächen in ℝ3 definieren.

Sei 𝐼 ⊆ ℝ in Intervall und 𝑓: 𝐼 → ℝ𝑛 stetig, so gilt:

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Analysis, Semester 2

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Die Menge 𝐾 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: ∃𝑡 ∈ 𝐼 mit 𝑥 = 𝑓(𝑡) = (𝑓1(𝑡), 𝑓2(𝑡), … , 𝑓𝑛(𝑡))} heißt Kurve in ℝ𝑛.

Ist 𝐼 = [𝑎, 𝑏] und 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), dann heißt 𝐾 geschlossen. Ist 𝑓 injektiv, dann ist 𝐾 eine Jordan-

Kurve. 𝐾 heißt glatt, wenn 𝑓′(𝑡) existiert, stetig und überall ≠ 0 ist – und stückweise glatt,

wenn dies für ein bestimmtes Intervall gegeben ist.

Tangente

Im Fall 𝑓′ (𝑡) ≠ 0 ist 𝑡𝑓 (𝑡) =��(𝑡)

‖��(𝑡)‖ der normierte Tangenteneinheitsvektor im Punkt 𝑓(𝑡). Die

Tangente im Punkt 𝑓(𝑡) an die Kurve 𝐾 bildet sich wie folgt:

�� = 𝑓(𝑡) + 𝜆𝑓′(𝑡), 𝜆 ∈ ℝ

Krümmung

Für Kurven in Parameterdarstellung gilt:

𝑘(𝑡) =|�� ���� ��

|

(��2 + ��2)32

In natürlichen Koordinaten respektive in beliebiger Parameterdarstellung gilt:

𝑘 = 𝑡′ ∙ ℎ, 𝑘 =√‖��(𝑡)‖

2‖��(𝑡)‖

2− (�� ∙ ��)

2

‖��(𝑡)‖3 =

‖��(𝑡) × ��(𝑡)‖

‖��(𝑡)‖3

Vektor ℎ bezeichnet den Hauptnormalenvektor. Siehe dessen Definition unter „Dreibein“.

Kreis/Ellipse

Allgemeine Ellipsengleichung ist 𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1 für eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Koordina-

tenursprung liegt. Eine Parameterdarstellung ist 𝑥(𝑡) = 𝑎 cos 𝑡, 𝑦(𝑡) = 𝑏 sin 𝑡. Gemäß 𝑎 = 𝑏 = 𝑟 gilt beim Kreis das gleiche.

Dreibein (begleitendes Dreibein) / Frenetsche Formeln

Das Dreibein ist ein Orthonormalsystem bestehend aus Tangenteneinheitsvektor 𝑡, Haupt-

normaleneinheitsvektor ℎ und Binormaleneinheitsvektor ��.

Sei ��(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) eine Raumkurve, dann gibt ��(𝑡) die Tangentenrichtung an und ��(𝑡)

gibt die Änderung der selben. Falls beide Ableitungen unabhängig sind, so liefern diese Vek-toren zusammen mit dem Punkt ��(𝑡) eine Ebene. Diese sogenannte Schmiegebene hat zum

Zeitpunkt 𝑡0 die Gleichung �� = ��(𝑡0) + 𝜆��(𝑡0) + 𝜇��(𝑡0). Mit der Bogenlänge 𝑠 = 𝑠(𝑡) = ∫ ‖��(τ)‖ 𝑑𝜏𝑡

𝑡0

gilt ��(𝑡) =𝑑

𝑑𝑡��(𝑠(𝑡)) = ��′(𝑠)��(𝑡) = ��′(𝑠)‖��(𝑡)‖ und ��′(𝑠) =

��(𝑡)

‖��(𝑡)‖.

Tangenteneinheitsvektor

𝑡(𝑠) = ��′(𝑠), 𝑡(𝑡) =��(𝑡)

‖��(𝑡)‖, 𝑡 = �� × ��

Hauptnormalenvektor

ℎ(𝑠) =��′′(𝑠)

‖��′′(𝑠)‖, ��(𝑡) =

(��(𝑡) × ��(𝑡)) × ��(𝑡)

|��(𝑡) × ��(𝑡)| |��(𝑡)|, �� = �� × 𝑡

Binormalenvektor

��(𝑠) = 𝑡(𝑠) × ℎ(𝑠), ��(𝑡) =��(𝑡) × ��(𝑡)

‖��(𝑡) × ��(𝑡)‖, �� = 𝑡 × ��,

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Analysis, Semester 2

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Krümmung

𝑘(𝑠) = ‖��′′(𝑠)‖, ��(𝑡) =‖��(𝑡) × ��(𝑡)‖

‖��(𝑡)‖3

Siehe auch obige Definition unter Krümmung.

Torsion

Die Torsion beschreibt die Abweichung der Raumkurve von der Schmiegebene.

In natürlichen Koordinaten respektive in beliebiger Parameterdarstellung gilt:

𝜏 = −(��′ ∙ ℎ) = ℎ′ ∙ ��, 𝜏(𝑡) =(��(t) × ��(𝑡)) 𝑟(𝑡)

‖��(𝑡) × ��(𝑡)‖2

Frenet’sche Formeln

Im dreidimensionalen haben diese Formeln folgende Zusammenhänge.

𝑡′ = 𝑘ℎ

ℎ′ = −𝑘𝑡 𝜏��

𝑏′ = −𝜏ℎ

Parameterdarstellung von Flächen

Sind zwei Vektoren 𝑡1 und 𝑡2 linear unabhängig, so spannen sie eine Ebene auf (Tangen-

tialebene). Der Normalenvektor ist dann: �� = 𝑡1 × 𝑡2 (=𝜕𝑥

𝜕𝑢×𝜕𝑥

𝜕𝑣).

Doppel- und Dreifachintegrale

Mehrfachintegrale werden von innen nach außen gelesen. Außerdem gilt für die Notation:

∫ (∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑏1𝑎1

)𝑏2𝑎2

= ∫ 𝑑𝑦𝑏2𝑎2

∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑏1𝑎1

= ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑏1𝑎1

𝑏2𝑎2

.

Satz von Fubini

Sei 𝑓 auf [𝑎, 𝑏] stückweise stetig und beschränkt, so existiert ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴[𝑎,𝑏][𝑎,𝑏]

:

∬𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 =

[𝑎,𝑏]

∫ 𝑑𝑦 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥

𝑏1

𝑎1

𝑏2

𝑎2

= ∫ 𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦

𝑏2

𝑎2

𝑏1

𝑎1

Gleiches gilt auch für Dreifachintegrale. Unter diesen Voraussetzungen ist also die Reihen-

folge der Integration unwesentlich.

Grenzen abhängiger Variabler

Bei Unbekannten in den Integrationsgrenzen sollte man diese so wählen, dass jedes Integ-

ral keinen Unbekannten in Abhängigkeit eines später zu berechnenden Integrals birgt. Das

letzte Integral darf also überhaupt keinen solchen Unbekannten besitzen.

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Analysis, Semester 2

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Eigenschaften von Mehrfachintegralen

Linearität

∫⋯∫[𝜆 𝑓(𝑥1, . . , 𝑥𝑛) + 𝜇 𝑔(𝑥1, … , 𝑥𝑛)] 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛

= 𝜆∫⋯∫𝑓(𝑥1, . . , 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛 + 𝜇∫⋯∫𝑔(𝑥1, . . , 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛

Additivität Sei 𝐵1…𝐵𝑚 eine Zerlegung von 𝐵 , wobei 𝐵1 ∪ ⋯∪ 𝐵𝑚 = 𝐵 und 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 nur Randkomponenten

von 𝐵𝑖 bzw. 𝐵𝑗 enthält.

∫ ⋯∫𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵

= ∫ ⋯∫𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵1

+⋯+∫ ⋯∫𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵𝑚

Positivität

𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ≥ 0 ⟹ ∫ ⋯∫𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵

≥ 0

Als Folgerungen gelten:

𝑓 ≥ 𝑔 ⟹ ∫ ⋯∫𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵

≥ ∫ ⋯∫𝑔(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵

|∫ ⋯∫𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛) 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵

| ≤ ∫ ⋯∫|𝑓(𝑥1, … 𝑥𝑛)| 𝑑𝑥1…𝑑𝑥𝑛𝐵

Mittelwertsatz

Siehe Mittelwertsätze der Differentialrechnung, Seite 24.

Oberfläche, Transformation und Parameterintegrale

Oberflächenbestimmung

Hier wird die Oberfläche eines Objektes bestimmt. Für einem Körper, der mit 𝑢 und 𝑣 para-

metrisiert ist, gilt folgendes Integral:

𝑂(𝐹) = ∬‖𝜕��

𝜕𝑢×𝜕��

𝜕𝑣‖𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐵

Transformationsformel

Zweidimensionaler Raum ℝ2

∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵

=∬ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) |𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑢, 𝑣)| 𝑑𝑢𝑑𝑣

𝐵∗

Dabei ist |𝜕(𝑥,𝑦)

𝜕(𝑢,𝑣)| der Absolutbetrag der Jacobi-Determinante (Siehe Jacobi-Matrix, Seite 28).

𝑑𝑥𝑑𝑦 transformiert sich also in |𝜕(𝑥,𝑦)

𝜕(𝑢,𝑣)| 𝑑𝑢𝑑𝑣. Man kann die Erklärung mittels Annäherung über

„verzerrte“ Rechtecke, also Parallelogramme nachvollziehen.

Dreidimensionaler Raum ℝ3

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝐵

=∭ 𝑓(𝑥(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑦(𝑢, 𝑣, 𝑤), 𝑧(𝑢, 𝑣, 𝑤)) |𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤)| 𝑑𝑢𝑑𝑣𝑑𝑤

𝐵∗

Zur Umrechnung typischer Koordinatensysteme siehe Koordinatensysteme, Seite 15.

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Differenzierung von Vektoren

Grundsätzliches

Von besonderer Bedeutung sind hier folgende drei Abbildungen:

Raumkurve: ℝ → ℝ3

Skalarfeld: ℝ3 → ℝ

Vektorfeld: ℝ3 → ℝ3

Das Differenzieren von Vektoren ist komponentenweise definiert. Das heißt:

�� =𝜕𝑣1𝜕𝑥1

𝑒1 +𝜕𝑣2𝜕𝑥2

𝑒2 +𝜕𝑣3𝜕𝑥3

𝑒3

Ist 𝐴(𝑡) ein Vektor konstanter Länge, dann ist 𝐴(𝑡) ∙ 𝐴(𝑡) = 𝑐 ⇒ 2 ��(𝑡) ∙ 𝐴(𝑡) = 0 ⇒ ��(𝑡) ⊥ 𝐴(𝑡)

Rechenregeln

𝑑

𝑑𝑡(𝑐(𝑡)𝐴(𝑡)) = ��(𝑡)𝐴(𝑡) + 𝑐(𝑡)��(𝑡)

𝑑

𝑑𝑡(𝐴(𝑡) ∙ ��(𝑡)) =

𝑑𝐴(𝑡)

𝑑𝑡∙ ��(𝑡) + 𝐴(𝑡) ∙

𝑑��(𝑡)

𝑑𝑡

Linien- und Oberflächenintegrale

Linienintegral

Bei einem Linienintegral wird der Integrationsweg entlang einer Kurve durchlaufen.

∫Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑠𝑐

= ∫ Φ(𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡))√��12 + ��2

2 + ��33𝑑𝑡

𝑡1

𝑡0

∫ ��(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑠𝐶

=

(

∫𝐹1(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑠𝐶

∫𝐹2(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑠𝐶

∫𝐹3(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑠𝐶 )

∫ Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑��𝐶

=

(

∫Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑥1𝐶

∫Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑥2𝐶

∫Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑥3𝐶 )

∫ Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑥𝑖𝐶

= ∫ Φ(𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑥3(𝑡))��𝑖(𝑡) 𝑑𝑡𝑡1

𝑡0

Die Berechnung der Bogenlänge eines Kurvenstücks 𝐶 ist selbst ein Kurvenintegral 𝐿 =

∫ Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝑠𝐶 mit Φ ≡ 1 . Das Linienintegral ∫ ��(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∙ 𝑑��𝑐

= ∫ ��(��(𝑡)) ∙ ��(𝑡)𝑑𝑡𝑡1𝑡0

hat einen

Integranden, der in Richtung des Tangenteneinheitsvektors geht.

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Analysis, Semester 2

Nawi Graz Seite 47

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Oberflächenintegral

Für Skalarfunktion

Mit dem Flächenelement 𝑑𝐴 = |��𝑢 × ��𝑣|𝑑𝑢𝑑𝑣 (siehe Oberflächenbestimmung, Seite 45) kann

man analog das Oberflächenintegral für eine Fläche 𝑂 mit Parameterdarstellung ��(𝑢, 𝑣) und

eine Skalarfunktion Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) definieren:

∬ Φ(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)𝑑𝐴 =∬ Φ(𝑥1(𝑢, 𝑣), 𝑥2(𝑢, 𝑣), 𝑥3(𝑢, 𝑣)) |��𝑢 × ��𝑣|𝑑𝑢𝑑𝑣𝐵𝑂

Für Vektorfeld

Neben Sakalarfunktionen kann man auch Vektorfelder (vektorwertige Funktionen) über Flä-

chen integrieren. Hierbei ist es oft notwendig, die Richtung der Flächennormalen zu berück-sichtigen. Dies geschieht durch den Einheitsnormalenvektor �� der Fläche.

�� =��𝑢 × ��𝑣|��𝑢 × ��𝑣|

Den Ausdruck ��𝑑𝐴 ≡ 𝑑𝐴 im folgenden bezeichnet man auch als vektorielles Flächenmoment:

∬ ��(𝑂

𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ��𝑑𝐴

Physikalisch: Dies ist der sogenannte Fluß des Kraftfeldes �� durch die Oberfläche.

Gradient, Divergenz, Rotation

Nabla-Operator

Allgemein (Koordinaten 𝑞): ∇= ∑𝜕

𝜕𝑞𝑖

1

ℎ𝑖𝑖

𝑒𝑞

Kartesische, dreidimensionale Koordinaten: 𝛻 =

(

𝜕

𝜕𝑥1𝜕

𝜕𝑥2𝜕

𝜕𝑥3)

In Zylinderkoordinaten: 𝛻 =𝜕

𝜕𝑟𝑒𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜑𝑒𝜑 +

𝜕

𝜕𝑧𝑒𝑧

In Kugelkoordinaten:∇=𝜕

𝜕𝑟𝑒𝑟 +

1

𝑟

𝜕

𝜕𝜃𝜃𝑒 +

1

𝑟 sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃𝑒𝜑

Gradient

Eine Vektorfeld �� heißt Gradientenfeld, wenn eine Skalarfunktion Φ existiert, so dass

�� = gradΦ = ∇Φ, wobei hier komponentenweise multipliziert wird.

gradΦ = ∇Φ =

(

𝜕𝐹1𝜕𝑥1𝜕𝐹2𝜕𝑥2𝜕𝐹3𝜕𝑥3)

Divergenz

div �� = ∇ ∙ �� =𝜕𝐹1𝜕𝑥1

+𝜕𝐹2𝜕𝑥2

+𝜕𝐹3𝜕𝑥3

Gibt an, ob es Quellen oder Senken gibt. Wenn Divergenz 0 ist, so ist das Feld quellenfrei.

Ein Beispiel für div �� = 0 ist das magnetische Feld eines stromdurchflossenen Leiters.

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Analysis, Semester 2

Nawi Graz Seite 48

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Rotation

rot �� = ∇ × �� = |

𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝜕𝜕𝑥1⁄ 𝜕

𝜕𝑥2⁄ 𝜕

𝜕𝑥3⁄

𝐹1 𝐹2 𝐹3

| =

(

𝜕𝐹3𝜕𝑥2−𝜕𝐹2𝜕𝑥3

𝜕𝐹1𝜕𝑥3−𝜕𝐹3𝜕𝑥1

𝜕𝐹2𝜕𝑥1−𝜕𝐹1𝜕𝑥2)

Dies gibt Richtung und Geschwindigkeit der Rotation an. Ein Beispiel für rot �� = 0 wäre hier

das elektrische Feld eines stromdurchflossenen Leiters. Das Kraftfeld ist dann konservativ.

Ausgenutzt wird für diese Information der Satz von Stokes.

Laplace-Operator

Δ𝑓 = div(grad 𝑓) = ∇ ∙ (∇f)

In Zylinderkoordinaten: Δ =1

𝑟

𝜕

𝜕𝑟(𝑟𝜕

𝜕𝑟) +

1

𝑟2𝜕2

𝜕𝜑2+𝜕2

𝜕𝑧2

In Kugelkoordinaten: Δ𝑓 =1

𝑟2𝜕

𝜕𝑟(𝑟2

𝜕𝑓

𝜕𝑟) +

1

𝑟2 sin 𝜃

𝜕

𝜕𝜃(sin 𝜃

𝜕𝑓

𝜕𝜃) +

1

𝑟2 sin 𝜃

𝜕2𝑓

𝜕𝜑2

Integralsätze

Satz von Stokes

∫𝐹 𝑑𝑟 = ∫𝐹(𝑟(𝑡)) ∙ ��(𝑡)𝑑𝑡 = ∬ (∇ × ��)⏟ rot ��

�� 𝑑𝐴𝑆

Die zugrundeliegende Idee ist, dass man eine Fläche mit Durchsatz genauso betrachten

kann, wie die Linie, die besagte Fläche umgrenzt.

Satz von Green

∬ [𝜕𝑉2𝑥1−𝜕𝑉1𝑥2] 𝑑𝑥1𝑑𝑥2

𝐵

= ∮ [𝑉1(𝑥1, 𝑥2)𝑑𝑥1 + 𝑉2(𝑥1, 𝑥2)𝑑𝑥2]𝐶

Satz von Gauß

Die Divergenz eines Vektorfeldes über ein Volumen eines Körpers ist gleich des Flusses

durch die Oberfläche des Körpers.

∬ 𝑉 ∙ �� 𝑑𝐴𝜕𝐵

=∭ ∇ 𝑉 dx𝐵

, �� =𝜕𝑓

𝜕𝑢×𝜕𝑓

𝜕𝑣

Bei �� ist bereits die Funktionaldeterminante inbegriffen, wenn �� durch das Kreuzprodukt ge-

bildet wird.

Tensoren

Stufen

Ein Tensor hat die Stufe gleich der Indices seiner Einzelwerte.

Nullte Stufe: Skalar

Erste Stufe: Vektor

Zweite Stufe: Matrix

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Analysis, Semester 2

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Rechenregeln

Addition/Subtraktion

Tensoren gleicher Stufe können addiert oder subtrahiert werden:

𝑐𝑖𝑘 = 𝑎𝑖𝑘 ± 𝑏𝑖𝑘

Direktes Produkt

Dies führt stets (außer bei einem Tensor 0-ter Stufe) zu einem Tensor höherer Ordnung. Die

Stufe des Produkttensors ist dabei durch die Summe der Stufen der einzelnen Tensoren ge-

geben. Beispiel: 𝑟𝑖𝑘𝑙𝑚 = 𝑎𝑖𝑘 ⊗𝑏𝑙𝑚 = 𝑎𝑖𝑘𝑏𝑙𝑚 . Das Produkt ist über eine lineare Abbildung

𝜑: 𝑋 × 𝑌 → 𝑋 ⊗ 𝑌 definiert.

Das Kronecker-Produkt ist eine Darstellungsmöglichkeit des Produkts zweier Tensoren erster Stufe im ℝ3.

𝑥 ⊗ 𝑦 = (

𝑥1𝑦1 𝑥1𝑦2 𝑥1𝑦3𝑥2𝑦1 𝑥2𝑦2 𝑥2𝑦3𝑥3𝑦1 𝑥3𝑦2 𝑥3𝑦3

) | 𝑥, 𝑦 sind Tensoren erster Stufe

Verjüngung

Hierbei werden zwei der Indices summiert. Dies geschieht nach Summenkonvention durch

Gleichsetzen zweier Indices. Das Ergebnis ist ein Tensor mit zwei Stufen weniger.

𝑟𝑖𝑘𝑙𝑚 → 𝑟𝑖𝑖𝑙𝑚 =∑𝑟𝑖𝑖𝑙𝑚𝑖

= 𝑠𝑙𝑚

Überschiebung

Dies funktioniert durch das Tensorprodukt und eine darauf folgende Verjüngung.

Spur

Die Spur eines Tensors 2. Stufe ist gleich der Spur der Matrix.

Symmetrisch / Antisymmetrisch

Ein Tensor kann stets durch einen symmetrischen und einen antisymmetri-

schen/schiefsymmetrischen Anteil ausgedrückt werden.

𝑡𝑖𝑗 =1

2(𝑡𝑖𝑗 + 𝑡𝑗𝑖)⏟

𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ

+1

2(𝑡𝑖𝑗 − 𝑡𝑗𝑖)⏟

𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑠𝑐ℎ

| 𝑡𝑖𝑗 ist Tensor 2. Stufe

Folglich ist allgemein 𝑆𝑦𝑚 =1

2(𝑇 + 𝑇𝑇) ∧ 𝐴𝑛𝑡 =

1

2(𝑇 − 𝑇𝑇).

𝛿- und 𝜖-Tensoren

𝛿-Tensor

Dieser Tensor ist ein symmetrischer zweiter Stufe, der durch die Kronecker-Deltafunktion mit ∀𝑡𝑖𝑗 , 𝑖 = 𝑗: 𝑡𝑖𝑗 = 1 ∧ ∀𝑡𝑖𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑗: 𝑡𝑖𝑗 = 0 gegeben ist.

𝜖-Tensor

Dies ist ein Tensor mit den Werten 0, 1 und −1. Im ℝ3 hat er folgende Darstellung:

𝜖𝑖𝑗𝑘 = {

1 falls (𝑖, 𝑗, 𝑘) eine gerade Permutation darstellt

−1 falls (𝑖, 𝑗, 𝑘) eine ungerade Permutation darstellt

0 für alle anderen Fälle (zwei gleiche Indices)

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Differenzialgleichungen, Semester 2

Nawi Graz Seite 50

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Differenzialgleichungen, Semester 2 Gewöhnliche Differenzialgleichungen (DGL)

Grundsätzliches

Gleichungen, in denen die Funktion 𝑦(𝑥) in ihren Ableitungen vorkommt, heißten Differenti-

algleichungen (DGL). Eine DGL heißt gewöhnlich, wenn sie Funktionen einer Veränderlicher,

partiell wenn sie Funktionen mehrerer Veränderlicher enthält.

Ordnung

Die Ordnung ist die Zahl der höchsten Ableitung der Gleichung.

Linearität

Eine DGL heißt linear, wenn in ihr nur die Potenzen 0 oder ±1 für die Funktion 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … vor-

kommen. 𝑦′ + 54𝑐 𝑦 = 0 wäre also linear.

Lösungen

Eine DGL wird durch eine Funktion gelöst. Man spricht auch vom Integral der Differenzial-

gleichung. Grundsätzlich erhält man als Lösung einer DGL 𝑛-ter Ordnung eine 𝑛-parametrige

Kurvenschar 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛). Man kann schließlich die allgemeine Lösung so lange diffe-

renzieren, bis alle Konstanten eliminiert werden können.

Anfangswertproblem

Man kann eine bestimmte Lösung erzwingen, indem man eindeutig vorgibt, welche Lösung für einen bestimmten Wert 𝑥 die DGL haben soll. Man benötigt der Ordnung entsprechend

viele Anfangsbedingungen.

Singuläre Lösung

Eine Lösung einer Differentialgleichung heißt singulär, wenn sie nicht durch die Wahl eines

Parameters aus der allgemeinen Lösung hervorgeht.

Randwertproblem

Hier geht es um eine Lösung, welche durch zwei Randpunkte eines Intervalls geht.

Richtungsfelder

Für Differenzialgleichungen erster Ordnung kann man sogenannte Richtungsfelder bestim-men. Dafür stellt man die Gleichung nach 𝑦′ um, damit man die Steigung bestimmen kann.

𝑦′ kann man als 𝑚 gleichsetzen und erhält nach Zurückstellen nach 𝑦 eine äquisteigende

Kurve, eine sogenannte Isokline. Auf dieser Kurve ist die Steigung immer gleich groß.

Als Beispiel: 𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑦

𝑥⇔ 𝑦′ =

𝑦

𝑥= 𝑚 ⇔ 𝑦 = 𝑚𝑥. Nun kann man verschiedene 𝑚-Werte einsetzen

um das Schema zu erkennen:

𝑚 | 𝑦 = 𝑚𝑥−2 | 𝑦 = −2𝑥−1 | 𝑦 = −𝑥−0,5 | 𝑦 = −0,5𝑥0 | 𝑦 = 00,5 | 𝑦 = 0,5𝑥1 | 𝑦 = 𝑥2 | 𝑦 = 2𝑥

2

1

−1

−2

0

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Differenzialgleichungen, Semester 2

Nawi Graz Seite 51

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Für bestimmte Anfangswerte können Lösungen eventuell nicht existieren, weil die Steigung

unendlich ist. Die Bestimmung der Definitionsbereiche ist nicht immer einfach.

Elementar integrierbare Fälle

Grundsätzliches

Eine DGL 1. Ordnung ist oft von der Form 𝑦′ = 𝑓(𝑥) oder 𝑦′ = 𝑔(𝑦).

𝑦′ = 𝑓(𝑥) Hier ist für die allgemeine Lösung schlicht zu integrieren: 𝑦(𝑥, 𝐶) = 𝐹(𝑥) + 𝐶.

𝑦′ = 𝑔(𝑦) Hier ist die konstante Variante 𝑔(𝑦) = 0 und damit 𝑦(𝑥) = 𝑦0 eine Lösung. Für 𝑔(𝑦) ≠ 0 ist all-

gemeine Lösung wie folgt zu finden: 𝑦′ = 𝑔(𝑦) ⇔𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑔(𝑦) ⇔

𝑑𝑦

𝑔(𝑦)= 𝑑𝑥 ⇔ ∫

𝑑𝑦

𝑔(𝑦)= 𝑥 + 𝐶.

Wenn 𝑦(𝑥) eine Lösung ist, so ist auch 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥 + 𝐶) eine Lösung, da 𝑧′(𝑥) = 𝑦′(𝑥 + 𝐶) =

𝑔(𝑦(𝑥 + 𝐾)) = 𝑔(𝑥).

Getrennte Variablen

Diese Gleichungen lassen sich in folgender Weise zusammenfassen: 𝑦′ = 𝑓(𝑦)𝑔(𝑦). Hier ist

abermals die konstante Variante 𝑔(𝑦) = 0 und damit 𝑦(𝑥) = 𝑦0 eine Lösung. Und abermals:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) ⇔𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) ⇔

𝑑𝑦

𝑔(𝑦)= 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ⇔ ∫

𝑑𝑦

𝑔(𝑦)= 𝐹(𝑥) + 𝐶.

Lösung mittels Substitution

Teils kann man mittels Substitution vereinfachen respektive auf einen bekannten Typus umbauen. Beispiel: 𝑦′ = 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 mit 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥) − 𝑥 . Resultat ist 𝑧′ = 𝑦′ − 1 ⇔ 𝑦′ = 𝑧′ + 1 und daraus 𝑧′ + 1 = 𝑧2, welches eine DGL ist, die nach oberen Schemata gelöst werden kann.

Lineare Differentialgleichungen und verwandte Fälle

Lineare Differentialgleichung

Eine lineare DGL 1. Ordnung besitzt die Form 𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥), wobei 𝑝(𝑥) und ℎ(𝑥) stetig

sind. Gilt ℎ(𝑥) ≡ 0 heißt die Gleichung homogen, ansonsten inhomogen.

Homogene Differentialgleichungen

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)

Wir erhalten 𝑦′ = −𝑔(𝑥)𝑦, welches eine Gleichung mit getrennten Variablen ist. Folglich ist

𝑦 = 0 eine Lösung und für 𝑦 ≠ 0 gilt 𝑑𝑦

𝑦= −𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ⇔ ln|𝑦| = −𝐺(𝑥) + 𝐶 ⇔ |𝑦| = 𝑒𝐶𝑒−𝐺(𝑥) und damit

𝑦 = 𝐶𝑒−𝐺(𝑥) | 𝐶 ≠ 0. Es folgt daraus die allgemeine Lösung.

𝑦 = 𝐶𝑒−𝐺(𝑥) | 𝐶 ∈ ℝ

Inhomogene Differentialgleichungen

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥)

Wenn 𝑦1(𝑥) und 𝑦2(𝑥) zwei Lösungen der inhomogenen DGL seien und 𝑧(𝑥) = 𝑦1(𝑥) − 𝑦2(𝑥), dann ist 𝑧′ + 𝑝(𝑥)𝑧 = ℎ(𝑥) − ℎ(𝑥) = 0 und damit 𝑧(𝑥) eine Lösung der zugehörigen homogenen

DGL. Man erhält 𝑦1(𝑥) = 𝑧(𝑥) + 𝑦2(𝑥) und das heißt, die allgemeine Lösung ist von der Form

𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) + 𝑦𝑃(𝑥) mit 𝑦𝑃(𝑥) als partikuläre Lösung der inhomogenen DGL. Die allgemeine

Lösung folgt.

𝑦(𝑥) = 𝑧(𝑥) + 𝑦𝑃(𝑥), 𝑧(𝑥) = 𝑦1(𝑥) − 𝑦2(𝑥), 𝑦𝑃(𝑥) ist partik. Lösung

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Differenzialgleichungen, Semester 2

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Partikuläre Lösung: Koeffizientenvergleich

Sei ℎ(𝑥) ein Polynom, zum Beispiel 𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 und damit ℎ(𝑥) = 𝑥2, kann man den Ansatz

𝑦𝑃(𝑥) = 𝑐1𝑥2 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3 versuchen. Dann ist 𝑦𝑃

′ = 2𝑐1𝑥 + 𝑐2 und wir erhalten 2𝑐1𝑥 + 𝑐2 − 𝑐1𝑥2 −

𝑐2𝑥 − 𝑐3 = 𝑥2. Es folgt 𝑐1 = −1, 𝑐2 = 𝑐3 = −2 und 𝑦𝑃(𝑥) = −𝑥

2 − 2𝑥 − 2.

Partikuläre Lösung: Variation der Konstanten

Sei 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒−𝐺(𝑥) die allgemeine Lösung der homogenen DGL, so ist 𝑦𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑒−𝐺(𝑥) und

das gibt nach Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung 𝐶′(𝑥)𝑒−𝐺(𝑥) − 𝐶(𝑥)𝑔(𝑥)𝑒−𝐺(𝑥) +

𝑔(𝑥)𝐶(𝑥)𝑒−𝐺(𝑥) = ℎ(𝑥) ⇒ 𝐶(𝑥) = ∫ ℎ(𝑥)𝑒𝐺(𝑥)𝑑𝑥 . Mit dem Beispiel 𝑦′ − 𝑦 = 𝑥2 wäre 𝑦𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑒𝑥

und 𝐶′𝑒𝑥 + 𝐶𝑒𝑥 − 𝐶𝑒𝑥 = 𝑥2 ⇔ 𝐶′(𝑥) = 𝑥2𝑒−𝑥 ⇔ 𝐶(𝑥) = 𝑒−𝑥(−𝑥2 − 2𝑥 − 2). Da 𝑦𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑒𝑥 = −𝑥2 −

2𝑥 − 2 ist die allgemeine Lösung 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒𝑥 − 𝑥2 − 2𝑥 − 2 |𝐶 ∈ ℝ.

Praktisch beschrieben

Man löse die homogene Gleichung (mit partikulärer Lösung) und setze 𝑢 als 𝑢𝑃. Nun gebe

man 𝑐 als Funktion von 𝑥 an, also 𝑐(𝑥), leite dies ab und nun kann man über 𝑐′(𝑥) das 𝑐(𝑥) bestimmen. Letzten Endes ist das in 𝑢𝑃 einzusetzen und als Lösung anzugeben. Ggf. Rück-

substituieren nicht vergessen.

Bernoulli Differentialgleichung (nicht linear)

z′(x) − f(x)z = g(x)zα | 𝛼 ∈ ℝ, 𝛼 ≠ {0; 1}

Zunächst muss man bei Bedarf mal 𝑧−𝛼 rechnen. Durch die Substitution 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥)1−𝛼, also

𝑦𝛼𝑧 = 𝑦, lässt sie sich nun auf eine lineare DGL zurückführen und als 𝑧′ ±⋯ darstellen.

Riccati Differentialgleichung (nicht linear)

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑝(𝑥)𝑦 + 𝑞(𝑥)𝑦2 + ℎ(𝑥) = 0

Eine spezielle Lösung 𝜑(𝑥) muss durch Erraten, Ansatz oder Angabe bereits gegeben sein.

Dann gilt 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥) − 𝑦𝑝(𝑥), wobei nun alle 𝑧-Terme wieder die Anfangsgleichung erfüllen

(also = 0 sind) und weggestrichen werden. Der Rest ist nun eine Bernoulligleichung.

Totale/vollständige Differentialgleichung

𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0,𝜕𝑃

𝜕𝑦=𝜕𝑄

𝜕𝑥

Die Bedingung von Schwarz (𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥) muss hier erfüllt sein. Das totale Differential ist nun

𝑑𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑥 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑑𝑦. Die Integration funktioniert mittels des sogenannten Flip-Flop-Verfahrens.

𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥= 𝑃(𝑥, 𝑦), 𝑓(𝑥, 𝑦) = ∫𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑐(𝑦) und 𝑐(𝑦) ist nach 𝑥 konstant, kann aber je 𝑦 ver-

schieden sein. Nun wird nach 𝑦 abgeleitet: 𝜕𝑓(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦∫𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 +

𝑑𝐶(𝑦)

𝑑𝑦= 𝑃(𝑥, 𝑦) ⇔

𝑑𝐶(𝑦)

𝑑𝑦=

𝑄(𝑥, 𝑦) −𝜕

𝜕𝑦∫𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥. Da beide Seiten nurmehr von 𝑦 abhängen

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕

𝜕𝑥

𝜕

𝜕𝑦∫𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 =

𝜕𝑄

𝜕𝑥−𝜕𝑃

𝜕𝑦

können wir nun integrieren und erhalten 𝐶(𝑦) = ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 − ∫ [𝜕

𝜕𝑦∫𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥] 𝑑𝑦 + 𝑐1 mit 𝑐1 ∈ ℝ.

Kurvenscharen

Bestimmung der Differentialgleichung aus einer Kurvenschar.

𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝐶)

Durch Differenzieren nach 𝑥 und nachfolgender Elimination von 𝐶 aus den beiden Gleichun-

gen erhält man die zugehörige DGL.

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𝐹(𝑥, 𝑦; 𝐶) = 0

Für 𝐹𝑦 ≠ 0 kann die Gleichung lokal nach 𝑦 aufgelöst werden, d.h. wir haben 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥); 𝐶) = 0

vorliegen. Differenzieren nach 𝑥 liefert 𝐹𝑥 + 𝐹𝑦 ∙ 𝑦′ = 0 und Eliminieren bringt 𝑦′ = −

𝐹𝑥

𝐹𝑦. Im Fall

𝐹𝑥 ≠ 0 erhält man analog 𝑦′ = −𝐹𝑦

𝐹𝑥.

Exakte und implizite Differentialgleichungen

Symmetrische Darstellung einer Differentialgleichung

𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ℎ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

Die symmetrische Darstellung einer DGL entspricht im Fall ℎ(𝑥, 𝑦) ≠ 0 der DGL 𝑦′(𝑥) = −𝑔(𝑥,𝑦)

ℎ(𝑥,𝑦)

und im Fall 𝑔(𝑥, 𝑦) ≠ 0 der DGL 𝑥′(𝑥) = −ℎ(𝑥,𝑦)

𝑔(𝑥,𝑦).

Exakte Differentialgleichungen

Eine DGL heißt exakt, falls eine stetig differenzierbare Funktion 𝐹(𝑥, 𝑦) mit 𝐹𝑥 = 𝑔(𝑥, 𝑦) ∧ 𝐹𝑦 =

ℎ(𝑥, 𝑦) existiert. 𝐹(𝑥, 𝑦) heißt dann Stammfunktion der DGL. Eine exakte DGL hat also die

Form:

𝐹𝑥𝑑𝑥 + 𝐹𝑦𝑑𝑦 = 𝑑𝐹 = 0

Man kann mittels der sogenannten Integritätsbedingung die Exaktheit bestimmen.

Integritätsbedingung

𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + ℎ(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 ist exakt ⟺ 𝑔𝑦 = ℎ𝑥

Integrierender Faktor (Euler’scher Multiplikator)

Eine stetig differenzierbare Funktion 𝑀(𝑥, 𝑦) ≠ 0 heißt integrierender Faktor der DGL

𝑔𝑑𝑥 + ℎ𝑑𝑦 = 0, wenn (𝑀 𝑔)𝑑𝑥 + (𝑀 ℎ)𝑑𝑦 = 0 exakt ist.

(𝑀 𝑔)𝑑𝑥 + (𝑀 ℎ)𝑑𝑦 = 0 ist exakt ⟹ 𝑀(𝑥, 𝑦) ist integr. Faktor

Implizite Differentialgleichungen

Eine DGL heißt implizit, wenn sie folgende Form aufweist:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0

Man setzt hier oft 𝑦′ = 𝑝, die Linienelemente sind also implizit als (��, ��, ��) mit 𝐹(��, ��, ��) = 0 ge-

geben.

Reguläre und singuläre Linienelemente

Ist 𝐹(��, ��, ��) = 0 und kann die Gleichung 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑝) = 0 in einer Umgebung von (��, ��, ��) nach 𝑝 aufgelöst werden, also 𝑝 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dann heißt (��, ��, ��) ein reguläres, sonst ein singuläres Li-

nienelement.

Reguläre und singuläre Punkte

Der Punkt (��, ��) heißt singulärer Punkt der DGL 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′), wenn er Träger eines singulären

Linienelements ist. Analog heißt er regulärer Punkt, falls er diese Eigenschaft nicht erfüllt.

Diskriminantenmannigfaltigkeit

Die Menge aller singulären Punkte heißt Diskriminantenmannigfaltigkeit. Im Falle einer Kur-

ve spricht man von der Diskriminantenkurve.

Reguläre und singuläre Lösungen

Eine Lösung 𝑦 = 𝑦(𝑥) von 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 heißt reguläre bzw. singuläre Lösung, falls alle Linien-

elemente entsprechend regulär bzw. singulär sind.

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Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Wenn man eine DGL auf die Form 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦) umschreiben kann, dann ist die Lösung eine

Kurvenschar 𝑦(𝑥) auf 𝐷. Nun folgt die Frage des Anfangswertproblems 𝑦(𝑥0) = 𝑦0 in 𝐷.

Satz von Peano

Falls 𝑓(𝑥, 𝑦) stetig in 𝐷 ist, so hat das Anfangswertproblem mindestens eine Lösung. Dies gilt

als hinreichende Bedingung.

Satz von Picard

Seien 𝑓(𝑥, 𝑦) und die partielle Ableitung nach 𝑦, also 𝜕𝑓(𝑥, 𝑦)/𝜕𝑦 stetig in 𝐷, dann ist das An-

fangswertproblem eindeutig lösbar.

Differentialgleichungen höherer Ordnung

Lineare Abhängigkeit

𝑦1(𝑥), … , 𝑦𝑚(𝑥) sind linear abhängig auf einem Intervall [𝑎, 𝑏], falls nicht triviale Konstanten

𝑐1, … , 𝑐𝑚 ≠ 0 existieren, sodass 𝑐1𝑦1(𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑚𝑦𝑚(𝑥) = 0.

𝑐1𝑦1(𝑥) + ⋯+ 𝑐𝑚𝑦𝑚(𝑥) ≠ 0 ⟹ linear abhängig

Wronski-Determinante

𝑊 = |

𝑦1(𝑥) 𝑦2(𝑥) ⋯ 𝑦𝑚(𝑥)

𝑦1′(𝑥) 𝑦2

′ (𝑥) ⋯ 𝑦𝑚′ (𝑥)

⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑦1𝑚−1(𝑥) 𝑦2

𝑚−1(𝑥) ⋯ 𝑦𝑚𝑚−1(𝑥)

|

Falls die enthaltenen Funktionen linear abhängig sind, verschwindet die Wronski-

Determinante identisch im entsprechenden Intervall. 𝑊(𝑥) = 0 ist also nur notwendige Be-

dingung für eine Abhängigkeit.

Falls aber die Wronski-Determinante wenigstens an einer Stelle ungleich null ist, dann sind

die Funktionen unabhängig. Beispiel: 𝑊 = 6𝑥2𝑐 →≠ 0 ∀ 𝑥 ≠ 0 → unabhängige Funktionen.

Allgemeine Lösung

𝑦(𝑥) = 𝑐1𝑦1(𝑥) + ⋯𝑐𝑛𝑦𝑛(𝑥)

Das System 𝐹 = {𝑐1𝑦1(𝑥) + ⋯𝑐𝑛𝑦𝑛(𝑥)} heißt Fundamentalsystem.

Homogene, lineare DG 𝑛-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Diese ist von der Form 𝑦𝑛 + 𝑎1𝑦𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑦 = 0. Hier hilft der Ansatz 𝑦 = 𝑒𝜆𝑥 und folglich

𝑦 = 𝑒𝜆𝑥 , 𝑦′ = 𝑒𝜆𝑥 𝜆 usw., was schließlich zur charakteristischen Gleichung 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 +⋯+

𝑎𝑛 = 0 führt. Nun ist die Lösung für 𝜆𝑖 jeweils zu bestimmen.

Fall 1: Alle Wurzeln sind reell und ungleich

Hier wird sichlicht 𝑒𝜆𝑖𝑥 als Basisfunktion eingesetzt. 𝐹 = {𝑒𝜆1𝑥; 𝑒𝜆2𝑥; … ; 𝑒𝜆𝑛𝑥}.

Fall 2: Einige Wurzeln sind komplex

Nun ist auch das Fundamentalsystem komplex. Komplexe Lösungen treten immer konjugiert

auf. Folglich ist 𝐹𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙 = {𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) ; 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥)⏟ 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝐿ö𝑠𝑢𝑛𝑔𝑒𝑛 𝜆1 𝑢𝑛𝑑 𝜆2

; 𝑒𝜆3𝑥; … ; 𝑒𝜆𝑛𝑥⏟ 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒,𝑒𝑖𝑛𝑓𝑎𝑐ℎ𝑒 𝑊𝑢𝑟𝑧𝑒𝑙𝑛

} für 𝜆1,2 = 𝛼 ± 𝑖 𝛽.

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Fall 3: Einige reelle Wurzeln sind 𝑘-Fach

Dann sind alle Funktionen 𝑒𝜆1𝑥, 𝑥𝑒𝜆1𝑥, … , 𝑥𝑘−1𝑒𝜆1𝑥 partikuläre Lösungen der ursprünglichen

Gleichung. Für 𝐹 = {𝑒𝜆1𝑥; 𝑥𝑒𝜆1𝑥; … ; 𝑥𝑘−1𝑒𝜆1𝑥⏟ 𝑘−𝑓𝑎𝑐ℎ𝑒 𝑊𝑢𝑟𝑧𝑒𝑙𝑛

; 𝑒𝜆2𝑥; 𝑒𝜆3𝑥; … ; 𝑒𝜆𝑛−𝑘𝑥⏟ 𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑖𝑛𝑓𝑎𝑐ℎ𝑒 𝑊𝑢𝑟𝑧𝑒𝑙𝑛

} werden alle mehrfachen Null-

stellen einfach mit 𝑥 bzw. 𝑥𝑖 multipliziert.

Fall 4: Einige Wurzeln sind 𝑘-Fach komplex konjugierte Wurzeln

𝜆1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 und 𝜆2 = 𝛼 − 𝑖𝛽 fuhrt zu komplexen Basislösungen und einem reellen Fundamen-

talsystem. Es werden alle mehrfachen Nullstellen einfach mit 𝑥 bzw. 𝑥𝑖 multipliziert, siehe

Fall 3.

Zusammenfassung:

Reelle Lösung 𝑒𝜆𝑥

komplexe Lösungen (kompl. konj.) 𝑒𝑅𝑒[𝜆]𝑥 cos(𝐼𝑚[𝜆] ∙ 𝑥) + 𝑒𝑅𝑒[𝜆]𝑥 sin(𝐼𝑚[𝜆] ∙ 𝑥)

Mehrfache Lösung [𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧] + 𝑥 ∙ [𝐴𝑛𝑠𝑎𝑡𝑧] + ⋯

Die Lösung ist schließlich als Beispiel für reelle Wurzeln:

𝑦ℎ(𝑥) = 𝑐1𝑒𝜆1𝑥 + 𝑐2𝑒

𝜆2𝑥 +⋯ mit 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ (oder entsprechend für andere Lösungsansätze)

Homogene, lineare DG 𝑛-ter Ordnung mit nicht konstanten Koeffizienten

Diese ist von der Form 𝑦𝑛 + p1(𝑥)𝑦𝑛−1 +⋯+ 𝑝𝑛(𝑥)𝑦 = 0 ⟺ ln𝑦 = 0. Es ist mit den Basislösungen

𝑦(𝑥) = 𝐶1𝑦1(𝑥) + ⋯+ 𝐶𝑛𝑦𝑛(𝑥). Die Aufgabe besteht darin, alle Basislösungen zu finden. Es gibt

keine allgemeingültige Methode.

Inhomogene, lineare DG 𝑛-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Variation der Konstanten

Diese ist von der Form 𝑦𝑛 + 𝑎1𝑦𝑛−1 +⋯+ 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥). Zu lösen ist wie immer zunächst die ho-

mogene DGL um dann mit dieser Lösung und den entsprechenden Ableitungen einzusetzen.

Hierfür werden die Konstanten wieder als Funktionen 𝑐(𝑥) behandelt. Es ist nötig eine An-

nahme für die Lösung des Gleichungssystems für 𝑦𝑝 zu treffen. Standardannahme ist hier:

𝑐1′(𝑥)𝑦1 + 𝑐2

′ (𝑥)𝑦2 = 0

Als Beispiel: 𝑐1(𝑥) cos 𝑥 + 𝑐2(𝑥) sin 𝑥 = 𝑦ℎ(𝑥) mit 𝑐1′(𝑥) cos 𝑥 + 𝑐2

′ (𝑥) sin 𝑥 = 0 führt mit Einsetzen in

𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = (cos 𝑥)−1 zu zwei gültigen Gleichungen System ist lösbar.

Spezielle Lösungsansätze

Es gibt eine Reihe spezieller Lösungsansätze. Vornehmlich diese:

1) 𝑞(𝑥) = 𝐵 𝑒𝛼𝑥

Ist 𝛼 keine Lösung der charakteristischen Gleichung: 𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑒𝛼𝑥

Ist 𝛼 eine 𝑘-fache Lösung der charakteristischen Gleichung: 𝑦𝑝(𝑥) = 𝐴𝑒𝛼𝑥𝑥𝑘

2) 𝑞(𝑥) = 𝐵 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) ∨ 𝐵 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥) ∨ 𝐵 𝑒𝛼𝑥 sin(𝛽𝑥) + 𝐵 𝑒𝛼𝑥 cos(𝛽𝑥)

Ist 𝛼 ± 𝑖𝛽 keine Lösung der charakteristischen Gleichung: 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥(𝐴1 sin 𝛽𝑥 +

𝐴2 cos 𝛽𝑥)

Ist 𝛼 ± 𝑖𝛽 eine Lösung der charakteristischen Gleichung: 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥(𝐴1 sin 𝛽𝑥 +

𝐴2 cos 𝛽𝑥)

Die Lösungen für 𝐴 bzw. 𝐴1 und 𝐴2 erhält man durch Vergleich mit der Ausgangsgleichung.

Superpositionsprinzip

Bei einer Inhomogenität die mehrere oben genannte Ansätze in Summe verbindet, also zum

Beispiel 8𝑒3𝑥 + 4 sin 𝑥, können die Ansätze schlicht nacheinander für jeden Summenterm ge-

rechnet werden. Am Ende addiert man 𝑦𝑝1(𝑥) + 𝑦𝑝2(𝑥) + 𝑦ℎ(𝑥) = 𝑦(𝑥).

Spezialfall der 2. Ordnung

Auch hier gilt weiterhin 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝. Für 𝑦𝑝 aber kann man speziell ansetzen:

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𝑦′′ + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 𝑠 → 𝑦𝑝 =𝑠

𝑏

Systeme

Systeme von Differenzialgleichungen 1. Ordnung

Dies sind Systeme bestehend aus DGL 1. Ordnung in folgender Form:

{

𝑦1′ = 𝑓1(𝑥, 𝑦1 , … 𝑦𝑛)

𝑦2′ = 𝑓2(𝑥, 𝑦1, … 𝑦𝑛)

⋮𝑦𝑛′ = 𝑓3(𝑥, 𝑦1 , … 𝑦𝑛)

Eliminationsverfahren

Eine DG n-ter Ordnung kann in ein System von 𝑛 miteinander gekoppelten Gleichungen 1.

Ordnung umgewandelt werden. Man kann umgekehrt auch die 𝑛 − 1te Variable eliminieren.

Dies erreicht man durch Differenzieren einzelner DGLen und Einsetzen einer anderen in die-

se.

Matrizenform

Für alle 𝑝𝑖𝑗 als Vorfaktoren zu allen 𝑦𝑖 kann man eine Matrix wie folgt schreiben:

(

𝑦1′

𝑦2′

⋮𝑦𝑛′

) = (

𝑝11 𝑝12 … 𝑝1𝑛𝑝21 𝑝22 … 𝑝2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑝𝑛1 𝑝𝑛2 … 𝑝𝑛𝑛

) ∙ (

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

)+ (

𝑞1𝑞2⋮𝑞𝑛

) oder aber 𝕐′ = ℙ𝕐 + ℚ.

Lineares System mit konstanten Koeffizienten

ℙ(𝑥) = 𝔸 und 𝕐′ = ℙ𝕐 + ℚ (inhomogener Fall) oder 𝕐′ = ℙ𝕐 (homogen).

Homogener Fall

{𝑦1′ = 𝑎11𝑦1 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑦𝑛

⋮ wird mit Lösungsansatz (

𝑦1𝑥⋮) = (

𝑢1⋮) 𝑒𝜆𝑥 gerechnet. Die charakteristi-

sche Gleichung ist nun:

|

(𝑎11 − 𝜆) 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 (𝑎22 − 𝜆) … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … (𝑎𝑛𝑛 − 𝜆)

| = 0 = det(𝔸 − 𝜆𝔼) (für nicht triviale Lösungen: 𝐷𝑒𝑡 = 0). Die

daraus (aus der charakteristischen Gleichung) resultierenden Werte für 𝜆 sind die Eigenwer-

te (vergleiche Eigenwertproblem, Seite 40). Der Eigenvektor 𝕦 gibt mit 𝕦 ∙ 𝑒𝜆𝑘𝑥 alle Basislö-

sungen eines Fundamentalsystems. Für 𝑛 Funktionen gibt es 𝑛 Fundamentalsysteme. Die

allgemeine Lösung ist dann:

(𝑦1(𝑥, 𝐶1, … , 𝐶𝑛

⋮𝑦𝑛(𝑥, 𝐶1, … , 𝐶𝑛

) = (𝐶1𝑢1

(1)𝑒𝜆

(1)𝑥+⋯+ 𝐶𝑛𝑢1

(𝑛)𝑒𝜆(𝑛)𝑥

𝐶1𝑢𝑛(1)𝑒𝜆

(1)𝑥+⋯+ 𝐶𝑛𝑢𝑛

(𝑛)𝑒𝜆(𝑛)𝑥

)

Integrationsverfahren

Euler-Verfahren

Dies ist ein Integral-Annäherungsverfahren, bei dem die Steigung des Anfangspunktes eines gewählten Schrittes ℎ beachtet wird (Euler-vorwärts-Verfahren, entsprechend gibt es ein

rückwärts-Verfahren). Man hat also eine Gleichung 𝑦′ = 𝑔(𝑥, 𝑦) und einen Anfangswert gege-

ben als (𝑥0, 𝑦0).

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𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ 𝑔(𝑥0, 𝑦0)

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛)

Für lineare Funktionen ist dieses Verfahren exakt. Je mehr die Funktion variiert, desto un-

genauer ist es.

Trapezverfahren

Dies ist ein Integral-Annäherungsverfahren, bei dem der Mittelwert der Steigungen der

Endpunkte eines gewählten Schrittes ℎ beachtet wird. Man hat also eine Gleichung 𝑦′ =𝑔(𝑥, 𝑦) und einen Anfangswert gegeben als (𝑥0, 𝑦0). ��𝑛+1 ist hier der Wert 𝑦 für den oberen

Punkt von ℎ.

𝑥1 = 𝑥0 + ℎ, 𝑦1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑔(𝑥0, 𝑦0) + 𝑔(𝑥1, ��1)

2

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) + 𝑔(𝑥𝑛+1, ��𝑛+1)

2

Dies approximiert die exakte Lösung besser als das Euler-Verfahren.

Runge-Kutta-Verfahren

Dies ist ein Integral-Annäherungsverfahren, bei dem die Steigung von einem beliebigen

Punkt eines gewählten Schrittes ℎ beachtet wird.

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛) ⇒ 𝑘1 = ℎ 𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛)

(𝑥𝑛 +ℎ

2, 𝑦𝑛 +

𝑘12) ⇒ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ 𝑔 (𝑥𝑛 +

2, 𝑦𝑛 +

𝑘12)

Verfahren 4. Ordnung

𝑘1 = ℎ 𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛), 𝑘2 = ℎ 𝑔 (𝑥𝑛 +ℎ

2, 𝑦𝑛 +

𝑘12) , 𝑘3 = ℎ 𝑔 (𝑥𝑛 +

2, 𝑦𝑛 +

𝑘22) , 𝑘4 = ℎ 𝑔 (𝑥𝑛 +

2, 𝑦𝑛 +

𝑘32)

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +ℎ

6(𝑘1 + 2𝑘2 + 2𝑘3 + 𝑘4) + 𝐷ℎ5⏟

𝐹𝑒ℎ𝑙𝑒𝑟

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Analysis, Semester 3

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Analysis, Semester 3 Funktionalanalysis und partielle Differentialgleichungen

Hilbertraum, Skalarprodukt und Norm

Prä-Hilbertraum

Sei 𝐻 ein Vektorraum (siehe Vektorraum, Seite 34), also mit Addition und Skalarenmultipli-

kation, über ℝ oder ℂ. Hierauf kann nach den Axiomen des Skalarprodukts (siehe Skalar-

produkt, Seite 27) eine Abbildung ⟨∙,∙⟩ definiert werden.

Ein Raum (𝐻, ⟨∙,∙⟩) heißt Prä-Hilbertraum

Als Erweiterung zum Skalarprodukt: ⟨𝑥, 𝜆𝑦⟩ = ⟨𝜆𝑦, 𝑥⟩ = 𝜆⟨𝑦, 𝑥⟩ = 𝜆 ⟨𝑦, 𝑥⟩ = 𝜆⟨𝑥, 𝑦⟩. Teilweise sind

bei der Skalarmultiplikation die Argumente vertauscht, so dass ⟨𝑥, 𝜆𝑦⟩ = 𝜆⟨𝑥, 𝑦⟩; dies ist nicht

eindeutig und hier wird die mathematik-typische Variante verwendet.

Norm

Für die Norm siehe Axiome für die Norm, Seite 17 und Normierter Raum, Seite 38.

Somit ist (𝐻, ‖∙‖) ein normierter Raum.

Es sei ein Prä-Hilbertraum und es sei ‖𝑥‖ ≔ √⟨𝑥, 𝑥⟩, 𝑥 ∈ 𝐻 , dann gilt die Cauchy-

Schwarzsche Ungleichung |⟨𝑥, 𝑦⟩| ≤ ‖𝑥‖ ‖𝑦‖ und (𝐻, ‖∙‖) ist ein normierter Raum.

Siehe auch Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Seite 27.

Folgenräume

ℓ𝑃(𝑁) = {(𝑥)𝑛 ∑|𝑥𝑛|𝑃

𝑛

𝑖=1

< ∞}

ℓ𝑃(𝑁) = {φ: I → ℂ,∫|𝜑(𝑥)|𝑃𝑑𝑥I

< ∞}

Für 𝑃 ≠ 2 ist sowohl ℓ𝑃 als auch ℒ𝑃 kein Prä-Hilbertraum, weil kein Skalarprodukt erklärt ist.

Skalarprodukt ⟺ Orthogonalität

Für einen Prä-Hilbertraum 𝐻 mit der Norm ‖∙‖ = √⟨∙,∙⟩ gilt die Polarisationsidentität:

⟨𝑥, 𝑦⟩ =1

4(‖𝑥 + 𝑦‖2 − ‖𝑥 − 𝑦‖2) für reelle Zahlen

⟨𝑥, 𝑦⟩ =1

4(‖𝑥 + 𝑦‖2 − ‖𝑥 − 𝑦‖2 + 𝑖‖𝑥 + 𝑖𝑦‖2 − 𝑖‖𝑥 − 𝑖𝑦‖2) für komplexe Zahlen

Außerdem gilt die Parallelogrammgleichung:

‖𝑥 + 𝑦‖2 + ‖𝑥 − 𝑦‖2 = 2 ∙ ‖𝑥‖2 + 2 ∙ ‖𝑦‖2 ∀ 𝑥 ∈ 𝐻

Räume der integrablen Funktionen

𝐿𝑃(𝑁) = {∫𝑓(𝑥)𝑃𝑑𝑥ℂ

< ∞}

Das heißt, es ist ein Raum derer Funktionen, deren Integral der 𝑃-fach potentierten Funkti-

on kleiner unendlich ist. Er heißt eigentlich Lebesgue-Raum.

Raum der quadratintegrablen Funktionen

Der 𝐿2 ist der wichtigste Hilbertraum für Physiker. Für ihn gilt zusammengefasst:

⟨𝑓, 𝑔⟩ℒ2 = ∫𝑓�� 𝑑𝑥, ‖𝑓‖ = √∫𝑓 𝑓 𝑑𝑥

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Analysis, Semester 3

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Hilbertraum

Ein Prä-Hilbertraum (ℋ, ⟨∙,∙⟩), in dem jede Cauchyfolge einen Grenzwert in ℋ besitzt,

d.h. ℋ sei vollständig, heißt Hilbertraum.

Als Beispiel: Der Zahlenstrahl über ℚ ist nicht vollständig, z. B. √2 ist ein „Loch“. Nun kann

eine Folge gegen diesen Wert streben, aber der Wert ist nicht innerhalb von ℚ.

Eine Cauchy-Folge (siehe Cauchy-Folge, Seite 19) heißt schlicht, dass die Folgenglieder im-

mer näher beisammen liegen, aber nicht, dass ein Grenzwert zwangsläufig im Raum enthal-

ten sein muss. Eine Cauchy-Folge konvergiert z.B. in ℝ gegen √2, nicht aber in ℚ.

(ℚ, ⟨∙,∙⟩) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦, 𝑥 ∈ ℚ ist Prä-Hilbertraum

(ℝ, ⟨∙,∙⟩) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦, 𝑥 ∈ ℝ ist Hilbertraum

(ℂ, ⟨∙,∙⟩) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝑥𝑦, 𝑥 ∈ ℂ ist Hilbertraum

(ℓ2(𝑁), ⟨∙,∙⟩) und (𝐿2(𝑁), ⟨∙,∙⟩) sind Hilberträume

Sobolev-Raum

Sei (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ ein Intervall, 𝛼 ∈ ℕ und 𝑓 ∈ 𝐿2(𝑎, 𝑏), dann heißt 𝑘 ∈ 𝐿2(𝑎, 𝑏) die 𝛼-te schwache Ab-

leitung von 𝑓, falls ∫ 𝑘 𝜑 = (−1)𝛼 ∫ 𝑓 𝜑𝛼𝑏

𝑎

𝑏

𝑎. Notation: 𝑓𝛼 ≔ 𝑘. Anders gesagt ist es der Raum

𝑊𝑚,𝑝(Ω) derjenigen Funktionen 𝑘 ∈ 𝐿𝑝, deren schwache Ableitung bis zur Ordnung 𝑚 im Le-

besgue-Raum 𝐿𝑝(Ω) liegen.

Orthogonalität in Hilberträumen, Projektionssatz

Orthogonalität

Auch im Hilbertraum gilt: Orthogonalität, wenn Skalarprodukt gleich 0, also ⟨𝑥, 𝑦⟩ ⇒ 𝑥 ⊥ 𝑦.

Satz des Pythagoras Seien 𝑥 und 𝑦 orthogonal, so gilt ‖𝑥 + 𝑦‖2 = ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2.

Beweis: ⟨𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑥⟩ + ⟨𝑥, 𝑦⟩ + ⟨𝑦, 𝑥⟩⏟ =0 da orthogonal

+ ⟨𝑦, 𝑦⟩ = ‖𝑥‖2 + ‖𝑦‖2

Mengenorthogonalität und Komplement

𝑥 ⊥ 𝐴 falls ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴

𝐴 ⊥ 𝐵 falls ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0 ∀ 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵

𝐴⊥ = {𝑥 ∈ 𝐻: 𝑥 ⊥ 𝑦 ∀ 𝑦 ∈ 𝐴}

Es gelten folgende Identitäten:

𝐻⊥ = {0} und {0} = 𝐻⊥: Der Nullvektor ist der einzige Vektor, der orthog. zu 𝐻 ist.

𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐴⊥ ⊂ 𝐵⊥

Projektionssatz

Sei 𝐻 ein Hilbertraum und 𝑀 ⊂ 𝐻 ein linearer Unterraum der abgeschlossen ist, dann

kann jedes Element eindeutig zerlegt werden: 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 mit 𝑦 ∈ 𝑀 und 𝑧 ∈ 𝑀⊥.

Nun ist 𝑦 die orthogonale Projektion von 𝑥 auf 𝑀. Anschauung: Man lege zwei senkrechte

Geraden in ein zweidimensionales Koordinatensystem. Jetzt kann man jeden Punkt als

senkrechte Projektion auf diese Linien schreiben.

𝑦 𝑧

𝑀 𝑀⊥ 𝑥

Notation: 𝑥 = 𝑦 ⊕ 𝑧

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Analysis, Semester 3

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Korollar

Sei 𝐻 ein Hilbertraum und 𝑀 ⊂ 𝐻:

Falls 𝑀 abgeschlossen ist: 𝐻 = 𝑀⊕𝑀⊥

Falls 𝑀 nicht abgeschlossen ist: 𝐻 = 𝑀⊕𝑀⊥ und 𝑀 = (𝑀⊥)⊥ (𝑀 ist der Abschluss)

Nachweis einer Orthogonalprojektion

Zunächst ist wichtig, dass man einen Projektionsoperator (sieheBeschränkte, lineare Opera-

toren, Seite 62) nur einmal mit sichtbaren Änderungen anwenden kann – denn was bereits orthogonal projeziert ist, ist nochmal projeziert das selbe (𝑃𝑥 = 𝑃(𝑃𝑥)). Dieses Kozept ist die

Eindeutigkeit. Danach gibt es einige Eigenschaften.

Vorraussetzung: 𝑃 = 𝑃2, 𝑃 ≠ 0 (Eindeutigkeit)

Es folgen äquivalente Aussagen:

1) 𝑃 ist Orthogonalprojektion

2) ‖𝑃‖ = 1

3) 𝑃 = 𝑃∗

4) ⟨𝑃𝑥, 𝑥⟩ ≥ 0

Paritätszerlegung

𝐿2⟨−𝑎, 𝑏⟩ = 𝐿𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒2 ⟨−𝑎, 𝑏⟩ ⊕ 𝐿𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒

2 ⟨−𝑎, 𝑏⟩ mit 𝑎 = 𝑏 definiert durch

𝐿𝑔2 ⟨−𝑎, 𝑏⟩ = {𝑓 ∈ 𝐿2⟨−𝑎, 𝑏⟩, 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)} bzw. 𝐿𝑢

2 ⟨−𝑎, 𝑏⟩ = {𝑓 ∈ 𝐿2⟨−𝑎, 𝑏⟩, 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)}

𝑓(𝑥) =1

2(𝑓(𝑥) + 𝑓(−𝑥))⏟

𝑔(𝑥)∈𝐿𝑔2

+1

2(𝑓(𝑥) − 𝑓(−𝑥))⏟

ℎ(𝑥)∈𝐿𝑢2

Bsp.: Für 𝑔 ∈ 𝐿𝑔2 ⟨−𝑎, 𝑎⟩ und ℎ ∈ 𝐿𝑢

2 ⟨−𝑎, 𝑎⟩ gilt:

⟨𝑔, ℎ⟩ = ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥𝑎

−𝑎= ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥

0

−𝑎+ ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

0= −∫ 𝑔(−𝑥)ℎ(−𝑥)𝑑𝑥

0

𝑎+ ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

0=

∫ 𝑔(𝑥)⏟𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒

−ℎ(−𝑥)⏟ 𝑢𝑛𝑔𝑒𝑟𝑎𝑑𝑒

𝑑𝑥0

𝑎+ ∫ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑥)𝑑𝑥

𝑎

0= 0

Orthonormalbasen

Orthonormalsystem (ONS)

Sei 𝐻 ein Hilbertraum (oder Prä-Hilbertraum), so ist 𝑆 ⊂ 𝐻 eine Teilmenge, die Or-

thonormalsystem heißt, falls ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 gilt:

‖𝑥‖ = 1 (Normalität)

⟨𝑥, 𝑦⟩ = 0, falls 𝑥 ≠ 𝑦

Orthonormalbasis (ONB)

Ein ONB heißt ONS, falls 𝑆 maximal (vollständig) ist, d.h. falls 𝑇 ein ONS ist und

𝑆 ⊂ 𝑇 ist, dann folgt 𝑆 = 𝑇 (es gibt kein größeres ONS).

In ℂ𝑛 mit 𝑆 = {𝑥1, … , 𝑥𝑛} als ONB, gilt: 𝑦 = (

𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛

) = 𝑦1 (

10⋮0

) + 𝑦2 (

01⋮0

) +⋯+ 𝑦𝑛 (

00⋮1

) = ∑ ⟨𝑦, 𝑥𝑛⟩𝑥𝑘𝑛𝑘=1 .

Eine ONB in 𝑙2(ℕ) ist zum Beispiel 𝑥1 = (1

√2,1

√2, 0,0, … ) , 𝑥2 = (

1

√2,−1

√2, 0,0) , 𝑥3 = (0,0,

1

√2,1

√2, … ) , 𝑥4 =

(0,0,1

√2,−1

√2) , …, da alle Vektoren senkrecht und normiert sind. Das zugrunde liegende ONS ist

außerdem maximal.

Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren

Vergleiche Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, Seite 39).

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Besselsche Ungleichung

Sei {𝑥1, 𝑥2, … 𝑥𝑛} ein ONS in H. Sei 𝑦 ∈ 𝐻, so gilt ∑ |⟨𝑦, 𝑥𝑛⟩|2 ≤ ‖𝑦‖2∞

𝑛=1 .

Untermengeneingeschaft einer Orthonormalbasis

Sei 𝑆 ein ONS in 𝐻, dann existiert eine ONB 𝑆′ mit 𝑆 ⊂ 𝑆′.

Äquivalenzeigenschaften einer Orthonormalbasis.

Sei 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2, … }. Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

𝑆 ist ONB

Ist 𝑥 ∈ 𝐻 und 𝑥 ⊥ 𝑆, so folgt 𝑥 = 0

Es gilt 𝑠𝑝𝑎𝑛(𝑆) = {∑ 𝛼𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1 ∶ 𝑥𝑖 ∈ 𝑆 , 𝛼𝑖 ∈ ℂ , 𝑛 ∈ ℕ} , wobei der Strich den Abschluss in

‖∙‖ = √⟨∙,∙⟩ darstellt

𝑥 = ∑ ⟨𝑥, 𝑥𝑛⟩𝑥𝑛∞𝑛=1 ∀𝑥 ∈ 𝐻

‖𝑥‖2 = ∑ |⟨𝑥, 𝑥𝑛⟩|2 ∀𝑥 ∈ 𝐻∞

𝑛=1 (Parsevalsche Gleichung; vgl. „=“ in Bessel)

Korollar

Sei 𝑆 = {𝑥1, 𝑥2, … } eine ONB. Es gilt ∀𝑥 ∈ 𝐻: 𝑥 = lim𝑛→∞∑ ⟨𝑥, 𝑥𝑛⟩𝑥𝑛𝑁𝑛=1 .

Tensorprodukte von Hilberträumen

Allgemeines

Die Vervollständigung des Prä-Hilbertraums (ε, ⟨∙,∙⟩ε) wird Tensorprodukt von ℋ1 und ℋ2 ge-

nannt und mit ℋ1⊗ℋ2 bezeichnet. Insbesondere ist dies ebenfalls ein Hilbertraum. Vervoll-

ständigen heißt hier, die Grenzwerte von Cauchyfolgen, die nicht in 휀 liegen, zu 휀 hinzuzu-

nehmen. Dies geschieht eigentlich über Äquivalenzklassen.

Seien (ℋ1, ⟨∙,∙⟩𝑖) und (ℋ2 , ⟨∙,∙⟩2) Hilberträume. Für 𝜑 ∈ ℋ1, Ψ ∈ ℋ2 sei 𝜑⊕Ψ:ℋ1 ×ℋ2 → ℂ.

{ℎ1, ℎ2} → (𝜑 ⊕Ψ)⟨ℎ1, ℎ2⟩ ≔ ⟨𝜑, ℎ1⟩1⟨Ψ, ℎ2⟩2

Seien ℋ1 und ℋ2 Hilberträume und {𝜑1, 𝜑2… } ∧ {Ψ1, Ψ2, … } seien Orthonormalbasen derer, so

ist (𝜑𝑘⊗Ψ𝑙)𝑘,𝑙=1∞ ein Orthonormalbasis von ℋ1⊗ℋ2.

Dimensionen multiplizieren sich im Tensorprodukt.

Zum Beispiel: ℂ5⊗ℂ7 → 35 Dimensionen.

Wichtige Sätze

1) Seien Ω1 ⊂ ℝ𝑛1 und Ω2 ⊂ ℝ

𝑛2, ℋ1 = ℒ2(Ω1) bzw. ℋ2 = ℒ

2(Ω2) (= {𝑓: Ω𝑖 → ℂ∫ |𝑓|2𝑑𝑥 < ∞Ω2

}):

ℒ2(Ω1) ⊗ ℒ2(Ω2) ≅⏞𝑖𝑠𝑜𝑚𝑜𝑟𝑝ℎ

ℒ2(Ω1 × Ω2)

𝜑⊗Ψ⟼ 𝜑(∙)Ψ(∙)

Sind {𝜑𝑘}𝑘=1∞ und {Ψ𝑙}𝑙=1

∞ ONBs in ℒ2(Ω1) und ℒ2(Ω2), so ist „nach Identifikation“ Ω1 × Ω2 o-

der {𝑥1, 𝑥2} ⟼ 𝜔𝑘,𝑙(𝑥1, 𝑥2) ≔ 𝜑𝑘(𝑥1)Ψl(𝑥2) ein ONB in ℒ2(Ω1) ⊗ ℒ2(Ω2) gegeben durch

{𝜔𝑘,𝑙}𝑘,𝑙=1∞

. Trivialbeispiel ist ℒ2(1,0) × ℒ2(0,1) ≅ ℒ2((1,0) × (0,1)).

2) Sei ℋ ein Hilbertraum, so gilt:

ℒ2 (Ω1) ⊗ℋ ≅ 𝐿2(Ω1,ℋ) ≔ {𝑓: Ω1 → 𝐻:∫ ‖𝑓(𝑥)‖𝐻2 𝑑𝑥 < ∞} → 𝑓 ⊗ ℎ ⟼ 𝑓(∙) ∙ ℎ

Ω1

Anmerkung: ℒ2(Ω1, ℂ) = ℒ2(Ω1) . Zum Beispiel der Teilchenspin 1/2 mit ℒ2(ℝ3) ⊗ ℂ2 ≅

ℒ2(ℝ3, ℂ2).

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Fockraum

ℋ0 ≔ ℂ mit ℋ als Hilbertraum, ℋ2 = ℋ⊗ℋ,ℋ3 = ℋ2⊗ℋ ⇒ ℋ𝑛 = ℋ𝑛−1⊗𝐻 mit 𝑛 ∈ ℕ . Der

Fockraum ist bestimmt durch die unendlich orthogonale Summe.

𝐹(ℋ) ≔⨁ℋ𝑛

𝑛=0

Mit ℋ = ℒ2(ℝ) ist ℋ𝑛 ≅ ℒ2(ℝ𝑛) ∧ Ψ ∈ 𝐹(ℒ2(ℝ))|Ψ = {Ψ0, Ψ1(𝑥1), Ψ2(𝑥1, 𝑥2), … }.

Beschränkte, lineare Operatoren

Allgemeines

Seien ℋ und 𝒦 Hilberträume (normierte Räume allgemein ebenfalls möglich), so heißt

𝑇:ℋ → 𝒦 linear, wenn:

𝑇(𝑥 + 𝑦) = 𝑇𝑥 + 𝑇𝑦 | 𝑥, 𝑦 ∈ ℋ

𝑇(𝜆𝑥) = 𝜆 𝑇𝑥 | 𝑥 ∈ ℋ, 𝜆 ∈ ℂ

𝑇 heißt somit linearer Operator von ℋ nach 𝒦.

Eigenschaften

𝑇(0) = 𝑇(𝜆0) = 𝜆𝑇(0), 𝜆 ∈ ℂ ⟹ 𝑇(0) = 0 (Nulleindeutig)

Für 𝑇:ℋ → ℋ sind folgende Aussagen äquivalent:

𝑇 ist stetig an jedem Punkt in ℋ

𝑇 ist stetig bei 0

∃𝑀 > 0: ‖𝑇𝑥‖ℋ ≤ 𝑀‖𝑥‖ℋ ∀𝑥 ∈ ℋ

Operatornorm

Sei 𝑇:ℋ → 𝒦 ein stetiger, linearer Operator, dann heißt ‖𝑇‖ ≔ inf{𝑀 ≥ 0: ‖𝑇𝑥‖ ≤𝑀‖𝑥‖, 𝑥 ∈ ℋ} Operatornorm von 𝑇.

Es gilt ferner ‖𝑇‖ = sup𝑥≠0‖𝑇𝑥‖

‖𝑥‖= sup‖𝑥‖=1‖𝑇𝑥‖ = sup‖𝑥‖≤1‖𝑇𝑥‖ nach der Dreiecksungleichung.

Nachweis der Beschränktheit

Ein linearer Operator ist beschränkt, wenn man (zum Beispiel) zeigen kann, dass ‖𝑇𝑥‖ =sup‖𝑥‖=1 ‖𝑇𝑥‖ ≤ sup‖𝑥‖=1𝑀 ‖𝑇‖ gilt, oder dass die Norm auf eine andere Weise beschränkt ist.

Wichtig ist: Wenn 𝑇 ∈ ℒ(ℋ,𝒦) ∧ 𝑆 ∈ ℒ(𝒦, 𝑔), dann ist 𝑆𝑇 ∈ ℒ(ℋ, 𝑔) und ‖𝑆𝑇‖ ≤ ‖𝑆‖‖𝑇‖

Kern, Bild und Weiteres

Der Kern ist definiert durch ker(𝑇) ≔ {𝑥 ∈ ℋ: 𝑇𝑥 = 0} . Das Bild (auch range) ist ran(𝑇) ≔{𝑦 ∈ 𝒦: ∃𝑥 ∈ ℋ mit 𝑇𝑥 = 𝑦} (siehe Bild bzw. Kern, Seite 39).

𝑇 ∈ ℒ(ℋ,𝒦) heißt außerdem:

1) Isomorphismus, wenn 𝑇 bijektiv und 𝑇−1 stetig ist (d.h. 𝑇−1 ∈ ℒ(ℋ,𝒦))

2) Isometrie, falls ‖𝑇𝑥‖𝒦 = ‖𝑥‖ℋ , 𝑥 ∈ ℋ

Funktional

𝑇 ∈ ℒ(ℋ, ℂ) heißt stetiges/beschränktes lineares Funktional.

Dualraum Alle stetigen, linearen Funktionale auf 𝑋 leben im Raum

ℒ = (𝑋;ℝ) ≔ {𝑇: 𝑋 → ℝ | 𝑇 ist linear und stetig} . Dieser Raum erhält den Namen Dualraum. Mit

𝑇 ∈ ℒ(ℋ, ℂ) heißt ℒ(ℋ, ℂ) Dualraum. Notation: ℋ′ ≔ ℒ(ℋ, ℂ)

Neumannsche Reihe

Sei 𝑇:ℋ → ℋ beschränkt, das heißt 𝑇 ∈ ℒ(ℋ,ℋ) =: ℒ(ℋ) und es gilt ‖𝑇‖ ≤ 1, dann ist 𝐼 − 𝑇 in-

vertierbar und es gilt:

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(𝐼 − 𝑇)−1 = ∑𝑇𝑛∞

𝑛=0

, ‖(𝐼 − 𝑇)−1‖ ≤1

𝐼 − ‖𝑇‖

Darstellungssatz von Riesz

Mit Φ:𝐻 → ℒ⟨𝐻, 𝐶⟩, 𝑦 ↦ ⟨∙, 𝑦⟩𝐻 | 𝐻:Hilbertraum ist Φ bijektiv und isometrisch (d.h. es ist ein

isometrischer Isomrphismus 𝐻 ≅ 𝐿⟨𝐻, ℂ⟩.

Alternativ ist zu sagen: Zu jedem 𝑥′ ∈ ℒ⟨𝐻, ℂ⟩ existiert genau ein 𝑦 ∈ 𝐻 mit 𝑥′(𝑥) − ⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑥 ∈ 𝐻

und es gilt ‖𝑥′‖ℒ⟨𝐻,ℂ⟩ = ‖𝑦‖𝐻.

Sei 𝑦 ∈ ℋ und man betrachte 𝑧′:ℋ → ℂ mit 𝑧′(𝑥) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → 𝑧′ als lineares Funktional, dann ist

𝑧′(𝑥1 + 𝑥2) = ⟨𝑥1 + 𝑥2, 𝑦⟩ = ⟨𝑥1, 𝑦⟩ + ⟨𝑥2, 𝑦⟩ = 𝑧′(𝑥1) + 𝑧

′(𝑥2) , außerdem 𝑧′(𝜆𝑥) = 𝜆𝑧′(𝑥) und |𝑧′(𝑥)| =|⟨𝑥, 𝑦⟩| ≤ ‖𝑦‖‖𝑥‖.

Adjungation

Sei 𝑇 ∈ ℒ(ℋ,𝒦), so nennt sich der adjungierte Operator 𝑇∗. Er ist erklärt durch folgende De-

finition:

⟨𝑇𝑥, 𝑦⟩𝒦 = ⟨𝑥, 𝑇∗𝑦⟩ℋ , 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝒦

Wohldefinierter Operator Angenommen 𝑧1, 𝑧2 ∈ ℋ , so ist ⟨𝑥, 𝑧1⟩ = ⟨𝑇𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑧2⟩ ∀𝑥 ∈ ℋ ⟹ ⟨𝑥, 𝑧1 − 𝑧2⟩ = 0 ⟹ 𝑧1 − 𝑧2 ∈ ℋ ={0} ⟹ 𝑧1 = 𝑧2. Der adjungierte Operator ist wohldefiniert.

Eigenschaften

Seien 𝑆, 𝑇 ∈ ℒ(ℋ,𝒦) und 𝑅 ∈ ℒ(𝒦, 𝒢), dann gilt:

(𝑆 + 𝑇)∗ = 𝑆∗ + 𝑇∗

𝑆∗ ∈ ℒ und ‖𝑆∗‖ = ‖𝑆‖

(𝑅𝑆)∗ = 𝑆∗𝑅∗

𝑆∗∗ = 𝑆

‖𝑆 𝑆∗‖ = ‖𝑆∗ 𝑆‖ = ‖𝑆2‖

ker 𝑆 = (ran 𝑆∗)⊥ ∧ ker 𝑆∗ = (ran 𝑆)⊥

Selbstadjungtion

𝑇 heißt selbstadjungiert, falls 𝑇 = 𝑇∗ respektive dom𝑇 = dom𝑇∗ und 𝑇𝑓 = 𝑇∗𝑓 ∀𝑓 ∈ dom𝑇.

Sei 𝑇 = 𝑇∗ und 𝑇 sei beschränkt, so ist dom𝑇 = 𝐻.

𝑇 = 𝑇∗

Ist 𝑇 unitär, so gilt 𝑇−1 = 𝑇∗.

Satz von Hellinger-Töplitz

Sei 𝑇:ℋ → ℋ mit ⟨𝑇𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 𝑇𝑦⟩ | 𝑥, 𝑦 ∈ ℋ, dann ist 𝑇 ∈ ℒ(ℋ) und 𝑇 = 𝑇∗.

Ist 𝑇 selbstadjungiert, dann gilt ‖𝑇‖ = sup‖𝑥‖≤1|⟨𝑇𝑥, 𝑥⟩|. Insbesondere folgt aus ⟨𝑇𝑥, 𝑥⟩ = 0, 𝑥 ∈

ℋ ⇒ 𝑇 = 0.

Projektionsoperatoren

Ein Projektionsoperator für eine Orthogonalprojektion ist stets mit der Eigenschaft 𝑃2 = 𝑃 ∧𝑃 ≠ 0 versehen. Es gelten die bekannten Äquivalenzen (siehe Projektion, Seite 63).

Das Spektrum eines beschränkten, linearen Operators

Allgemeines

Das Spektrum ist die Menge aller Werte, die auf Null abbilden, und ist somit äquivalent zum Kern. Alle nicht im Spektrum enthaltenen Werte finden sich in der Resolventenmenge 𝜚(𝑇).

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Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix (endlichdimensional) wird Spektrum genannt. Im

Unendlichen muss verallgemeinert werden. Die Menge Spektrum, 𝜎(𝑇), wird unterteilt in:

1) Punktspektrum/Eigenwertmenge

𝜎𝑝(𝑇) = {𝜆 ∈ ℂ: ker(𝑇 − 𝜆) ≠ {0}⏟ ∄ Inverses

,}

∀𝜆 ∈ 𝜎𝑝(𝑇)∃𝑥 ∈ ℋ: 𝑥 ≠ 0 ∧ (𝑇 − 𝜆)𝑥 = 0, das heißt (𝐹𝜆)𝑥 = 0 mit 𝜆 als Eigenwert und 𝑥 als Ei-

genvektor.

2) Kontiuierliches oder stetiges Spektrum

𝜎𝑐(𝑇) = {𝜆 ∈ ℂ: ker(𝑇 − 𝜆) = {0}⏟ ∃ Inverses

, ran(𝑇 − 𝜆) ≠ ℋ ∧ ran(𝑇 − 𝜆) ist dicht}

3) Residualspektrum oder Restspektrum

𝜎𝑧(𝑇) = {𝜆 ∈ ℂ: ker(𝑇 − 𝜆)= {0} ∧ ran(𝑇 − 𝜆) nicht dicht⏟ Inverses auf Unterraum definiert

}

Für alle drei Mengen gilt 𝜎(𝑇) = 𝜎𝑝(𝑇) ∪ 𝜎𝑐(𝑇) ∪ 𝜎𝑟(𝑇), also ist kein Wert doppelt vorhanden. Es

gilt kurz:

𝜚(𝑇) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: (𝑇 − 𝜆)−1 ∈ ℒ(ℋ)} heißt Resolventenmenge

𝜎(𝑇) ≔ ℂ\𝜚(𝑇) heißt Spektrum

𝜎𝑝(𝑇) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: 𝑇 − 𝜆 nicht injektiv} heißt Punktspektrum bestehend aus Eigenwerten

𝜎𝑐(𝑇) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: 𝑇 − 𝜆 injektiv, aber nicht surjektiv, ran(𝑇 − 𝜆) ist dicht} heißt kontinuierli-

ches/stetiges Spektrum

𝜎𝑟(𝑇) ≔ ℂ\𝜚(𝑇) ∪ 𝜎𝑝(𝑇) ∪ 𝜎𝑐(𝑇) heißt Restspektrum

Dichtheit 𝑀 ⊂ ℋ ist dicht heißt, ∀ℎ ∈ ℋ existiert eine Folge (𝑥𝑛) ⊂ 𝑀 mit lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = ℎ. Somit ist der

Grenzwert einer Cauchyfolge also auch im Raum enthalten.

Allgemeine Eigenschaften der Mengen 𝜚 und 𝜎:

1) 𝜚(𝑇) ist offen in ℂ, das heißt der Rand ist nicht Teil der Menge

2) 𝜎(𝑇) ist abgeschlossen in ℂ

3) 𝜎(𝑇) ist beschränkte Menge in ℂ, es gilt |𝜆| ≤ ‖𝑇‖∀𝜆 ∈ 𝜎(𝑇)

4) Ist ℋ ein komplexer Hilbertraum, so gilt 𝜎(𝑇) ≠ 0

5) Ist 𝑇 = 𝑇∗ oder 𝑇∗ = 𝑇−1, dann existiert ein 𝜆 ∈ 𝜎(𝑇): |𝜆| = ‖𝑇‖

Fundamentale Sätze:

Sei 𝑇 ∈ ℒ(ℋ), so gilt 𝜎(𝑇∗) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: 𝜆 ∈ 𝜎(𝑇)} und:

1) 𝜆 ∈ 𝜎𝑝(𝑇), ran(𝑇 − 𝜆) nicht dicht ⇔ 𝜆 ∈ 𝜎𝑝(𝑇∗), ran(𝑇∗ − 𝜆) nicht dicht

2) 𝜆 ∈ 𝜎𝑝(𝑇), ran(𝑇 − 𝜆) dicht ⇔ 𝜆 ∈ 𝜎𝑟(𝑇∗)

3) 𝜆 ∈ 𝜎𝑐(𝑇) ⇔ 𝜆 ∈ 𝜎𝑐(𝑇∗)

Sei 𝑇 selbstadjungiert, so gilt:

1) 𝜎(𝑇) ⊂ ℝ

2) 𝜎𝑟(𝑇) = 0, das heißt 𝜎(𝑇) = 𝜎𝑝(𝑇) ∪ 𝜎𝑐(𝑇)

3) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht zueinander

4) ‖(𝑇 − 𝜆)−1‖ ≤1

|Im𝜆|, 𝜆 ∈ ℂ\ℝ (Im 𝜆 ist das Bild vom Eigenwert)

Satz des beschränkten Operators

Sei 𝑇: ℒ2(𝑎, 𝑏) → ℒ2(𝑎, 𝑏), 𝑓 ⟼ 𝑇𝑓 = ℎ𝑓, ℎ: (𝑎, 𝑏) → ℝ beschränkt, so gilt 𝑇 = 𝑇∗ ∈ ℒ(ℋ) und

𝜎(𝑇) = {𝜆 ∈ ℝ: 𝜆 = ℎ(𝜇): 𝜇 ∈ (𝑎, 𝑏)}.

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Spektralsatz für selbstadungierte, kompakte und beschränkte Operatoren

𝐴 = ∫𝜆 𝑑𝐸𝜆

Hier ist 𝐴 ein Operator, 𝜆 ein Wert aus ℂ und 𝐸𝜆 eine Spektralschar (siehe Spektralschar,

Seite 66).

Grundlagen

Mit 𝑇 = 𝑇∗ ∈ ℒ(ℂ𝑛) existiert eine unitäre Matrix 𝑈, so dass 𝜆1, … , 𝜆𝑛 Eigenwerte von 𝑇 sind und

es gilt 𝑇 = 𝑈−1 (𝜆1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 𝜆𝑛

)𝑈 (respektive 𝑇 = (𝜆1 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 𝜆𝑛

) bzgl. Der ONB aus Eigenwerten).

Sei nun 𝑃1 = (1 0 …0 0 …⋮ ⋮ ⋱

) , 𝑃2 (0 0 …0 1 …⋮ ⋮ ⋱

) usw. mit 𝑃𝑘2 = 𝑃𝑘 = 𝑃𝑘

∗ (Orthogonalprojektor), ran𝑃𝑘 =

ker(𝑇 − 𝜆𝑘). Es gilt 𝑇 = 𝜆1𝑃1 + 𝜆2𝑃2 +⋯+ 𝜆𝑛𝑃𝑛 = ∑ 𝜆𝑘𝑃𝑘𝑛𝑘=1 . Also betrachten wir die kompakten

Operatoren mit Darstellung 𝑇 = ∑ 𝜆𝑘𝑃𝑘∞𝑘=1 .

Kompaktheit

𝑇 ∈ ℒ(ℋ) heißt kompakt, wenn eine Folge von endlichdimensionalen Operatoren exis-

tiert (d.h. 𝑇𝑘 ∈ ℒ(ℋ) und dim(ran𝑇𝑘) < ∞, 𝑛 ∈ ℕ) mit ‖𝑇 − 𝑇𝑛‖ → 0, 𝑛 → ∞.

Hierzu gibt es einige wichtige Bemerkungen:

Im Allgemeinen ist ran 𝑇 nicht endlichdimensional

Jeder endlichdimensionale Operator ist kompakt

‖𝑇 − 𝑇𝑘‖ → 0 bedeutet sup‖𝑥‖=1‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑘𝑥‖ ⟼ 0

𝑇 kompakt ⟺ 𝑇∗ kompakt

𝑆 ∈ ℒ(ℋ) und 𝑇 kompakt ⟹ 𝑆𝑇 und 𝑇𝑆 kompakt

𝐴 = −Δ oder 𝐴 = −𝑑2

𝑑𝑥2 auf (𝑎, 𝑏) oder Ω ⊂ ℝ𝑛 beschränkt, so ist 𝐴−1 bzw. (𝐴 − 𝜆)−1 kompakt

Funktionalkalkül??!?

Für 𝑓:ℝ → ℂ setze 𝑓(𝑇) ≔ ∫ 𝑓(𝜆)𝑑𝐸𝜆ℝ

Spektralabildungssatz

𝜎(𝑓(𝑇)) = {𝜆 ∈ ℂ: 𝜆 ∈ 𝜎(𝑓(𝑇))} = 𝑓(𝜎(𝑇)) = {𝑓(𝜇): 𝜇 ∈ 𝜎(𝑇)}

Unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren

Adjungation

Siehe Adjungation, Seite 63.

Spektrum und Resolvente

Sei 𝑇 selbstadjungiert, also 𝑇 = 𝑇∗, so gilt (siehe auch Das Spektrum eines beschränkten, li-

nearen Operators, Seite 63):

𝜚(𝑇) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: (𝑇 − 𝜆)−1 ∈ ℒ(ℋ)} heißt Resolventenmenge

𝜎(𝑇) ≔ ℂ\𝜚(𝑇) heißt Spektrum

𝜎𝑝(𝑇) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: 𝑇 − 𝜆 nicht injektiv} heißt Punktspektrum bestehend aus Eigenwerten

𝜎𝑐(𝑇) ≔ {𝜆 ∈ ℂ: 𝑇 − 𝜆 injektiv, aber nicht surjektiv, ran(𝑇 − 𝜆) ist dicht} heißt kontinuierli-

ches/stetiges Spektrum

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𝜎𝑟(𝑇) ≔ ℂ\𝜚(𝑇) ∪ 𝜎𝑝(𝑇) ∪ 𝜎𝑐(𝑇) heißt Restspektrum

Es gelten folgende wichtige Zusammenhänge:

Für 𝑇 = 𝑇∗ gibt es kein Restspektrum

Sei 𝑇 = 𝑇∗, so gilt:

𝜎(𝑇) ⊂ ℝ

‖(𝑇 − 𝜆)−1‖ ≤1

|ln 𝜆|∀𝜆 ∈ ℂ\ℝ

𝜚(𝑇) ist offen in ℂ

𝜎(𝑇) ist abgeschlossen

Ist ℋ ein Hilbertraum über ℂ, dann ist 𝜎(𝑇) ≠ ∅.

Spektralschar

Eine Funktion 𝐸:ℝ → ℒ(ℋ) heißt Spektralschar, falls:

1) 𝐸(𝜆) = 𝐸(𝜆)∗ = 𝐸(𝜆)2∀𝜆 ∈ ℝ

2) 𝜆 < 𝜇 ⇒ ⟨𝐸(𝜆)𝑥, 𝑥⟩ ≤ ⟨𝐸(𝜇)𝑥, 𝑥⟩ ∀𝑥 ∈ ℋ (Monotonie)

3) lim𝜆→−∞ 𝐸(𝜆)𝑥 = 0, lim𝜆→+∞ 𝐸(𝜆)𝑥 = 𝑥 ∀𝑥 ∈ ℋ

Integration bezüglich 𝐸(𝜆)

Treppenfunktionen

∫ ∑𝛼

𝑛

𝑖=1

: 𝐸(𝑎𝑖,𝑏𝑖) ℝ

𝑑𝐸𝑥 ≔∑𝛼𝑖(𝐸(𝑏𝑖) − 𝐸(𝑎𝑖))

𝑛

𝑖=1

Grenzwerte

Wenn 𝑡𝑛 → 𝑓 (𝑡𝑛: Treppenfunktion), dann gilt die Konvergenz in der Operatornorm:

∫𝑓(𝜆) 𝑑𝐸𝜆ℝ

≔ lim𝑛→∞

∫𝑡𝑛(𝜆) 𝑑𝐸𝜆ℝ

(zum Beispiel jedes stetige, beschränkte 𝑓)

Allgemein

Für allgemeinere Funktionen (stetig, unbeschränkt) gilt:

𝑓𝑛(𝜆) ≔ {𝑓(𝜆): |𝑓(𝜆)| ≤ 𝑛

0: |𝑓(𝜆)| > 𝑛

∫ 𝑓(𝜆) 𝑑𝐸𝜆𝑥 ≔ lim𝑛→∞

(∫𝑓𝑛(𝜆)𝑑𝐸𝑥ℝ

) 𝑥ℝ

Konvergenz in ℋ, 𝑥 muss geeignet sein.

Spektralsatz für unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren

Allgemeines

Teil 1

Sei 𝐸:ℝ → ℒ(ℋ) eine Spektralschar, dann ist folgendes ein selbstadjungierter Operator in ℋ:

𝑇𝑥 ≔ ∫ 𝑥 𝑑𝐸𝜆𝑥ℝ

dom𝑇 = {𝑥 ∈ ℋ: ∫ 𝜆 𝑑𝐸𝜆𝑥ℝ

existiert als Grentwert zu ℋ}

Es gilt:

1) 𝜆 ∈ 𝜚(𝑇) ⇔ 𝐸(𝜆 + 𝜖) − 𝐸(𝜆 − 𝜖) = 0, für ein 𝜖 > 0

2) 𝜆 ∈ 𝜎𝑝(𝑇) ⇔ 𝐸(𝜆 + 0) − 𝐸(𝜆 − 0) ≠ 0

3) 𝜆 ∈ 𝜎𝑐(𝑇) ⇔ 𝐸 stetig bei 𝜆, aber 𝐸(𝜆 + 𝜖) − 𝐸(𝜆 − 𝜖) ≠ 0 ∀ 𝜖 > 0

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Teil 2

Es sei 𝑇 = 𝑇∗ , dann existiert eine Spektralschar 𝐸:ℝ → ℒ(𝐻) mit (∗) und es gelten die drei

oben genannten Eigenschaften. Für jede stetige Funktion 𝑓:ℝ → ℝ ist der Operator 𝑓(𝑇)𝑥 ≔

∫ 𝑓(𝜆)𝑑𝐸𝜆𝑥ℝ, mit dom𝑓(𝑇) = {𝑥 ∈ ℝ: ∫ 𝑓(𝜆)𝑑𝐸𝜆ℝ

𝑥 existiert als Grenzwert} selbstadjungiert. Es gilt:

𝜎(𝑓(𝑇)) = 𝑓(𝜎(𝑇)) ≔ {𝑓(𝜆) ∈ 𝜎(𝑇)}

𝑇𝑥 = 𝜆𝑥 ⇒ 𝑓(𝑇)𝑥 = 𝑓(𝜆)𝑥

Satz über die Beschränktheit

𝑇 = 𝑇∗: 𝑇 beschränkt ⇔ 𝐸𝜆 hat kompakten Träger ⇔ 𝜎(𝑇) beschränkt

Sturm-Liouville-Eigenwertproblem

Es handelt vom Eigenwertproblem zu linearen Differentialoperatoren zweiter Ordnung, die

auf einem 𝐿2-Unterraum zweifach differenzierbarer Funktionen mit homogenen Randbedin-

gungen (Neumann-Randbedingungen) über ein Intervall [𝑎, 𝑏] betrachtet werden.

Sturm-Liouville-Operator

𝐿 = −𝑑

𝑑𝑥𝑝𝑑

𝑑𝑥+ 𝑞

Eigenwertgleichung

𝐿𝜓 = −(𝑝 ∙ 𝜓′)′ + 𝑞 ∙ 𝜓 = 𝜆 ∙ 𝜔 ∙ 𝜓

Mit Randbedingungen der Form 𝑐1𝜓(𝑎) + 𝑐2𝜓′(𝑎) = 0 ∧ 𝑐3𝜓(𝑏) + 𝑐4𝜓(𝑏) = 0 mit der Forderung

𝑐𝑖 ∈ ℝ ∧ |𝑐1| + |𝑐2| ≠ 0 ∧ |𝑐3| + |𝑐4| ≠ 0 nennt man dies ein reguläres Sturm-Liouville-Problem.

Umformung

Die Umformung einer Differentialgleichung zweiter Ordnung funktioniert über folgenden

Weg:

𝑦′′ + 𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0

Gefordert: 𝑃′(𝑥)

𝑃(𝑥)= 𝑝(𝑥) → 𝑃(𝑥) = 𝑐𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥

Weiters gefordert: 𝑐 = 1 und 𝜆𝜔 − 𝑄 = 𝑃(𝑥)𝑞(𝑥)

⇒ −𝜕

𝜕𝑥[𝑃(𝑥)

𝜕𝑦

𝜕𝑥] + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝜔𝜆𝑦

Fouriertransformation und partielle Differentialoperatoren

Allgemeine Fouriertransformation

Sei 𝑓:ℝ𝑛 → ℂ integrierbar (d.h. ∫ |𝑓(𝑥)| 𝑑𝑥 < ∞ℝ𝑛

), so ist (ℱ𝑓)(𝜉) = (2𝜋)𝜋

2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝑥𝜔𝑑𝑥, 𝜔 ⊂ ℝ𝑛ℝ𝑛

die Fouriertransformation von 𝑓. 𝜉 ist hier ein Vektor!

𝑓(𝜔) ≔ (ℱ𝑓)(𝜔) =1

√2𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥∞

−∞

𝑑𝑥

Diese Transformation ist eigentlich ein Basiswechsel von einer Polynombasis in eine trigo-nometrische Basis mit Sinus und Cosinus (vgl. 𝑒𝑖𝑘𝑥 ). Das Minus im Exponenten ist nicht

zwangsläufig; man muss nur bei der Retransformierung – wenn man dies weglassen möchte

– mit einem Minus rechnen. Übliche Konvention scheint das Minus in ℱ zu sein und das Plus

in ℱ−1.

Zusätzliche Eigenschaften:

1) 𝑥𝜔 = 𝑥 ∙ 𝜉 = ⟨𝑥, 𝜔⟩ = ∑ 𝑥𝑖𝜔𝑖𝑛𝑗=1 mit 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛)

𝑇 und 𝜉 = (𝜉1, … , 𝜉𝑛)𝑇

2) Integral existiert, denn: ∫ |𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥|𝑑𝑥 = ∫ |𝑓(𝑥)| |𝑒−𝑖𝑥𝜔|⏟ =1

𝑑𝑥 < ∞ℝ𝑛ℝ𝑛

3) ℱ ist linear, denn ℱ(𝑓 + 𝑔) = ℱ𝑓 + ℱ𝑔,ℱ(𝜇𝑓) = 𝜇ℱ(𝑓)

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4) ℱ𝑓 ist stetig, denn: |(ℱ𝑓)(𝜉) − (ℱ𝑓)(𝜉𝑛)| = |(2𝜋)−𝜋

2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝑥𝜉𝑑𝑥ℝ𝑛

− (2𝜋)−𝜋

2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝑥𝜉𝑛𝑑𝑥ℝ𝑛

| ≤

(2𝜋)−𝜋

2 ∫ |𝑓(𝑥)| |𝑒−𝑖𝑥𝜉 − 𝑒−𝑖𝑥𝜉𝑛|⏟ →0 für 𝜉→𝜉𝑛

𝑑𝑥ℝ𝑛

→ 0 für 𝜉 → 𝜉𝑛

5) lim|𝜉|→∞(ℱ𝑓)(𝜉) = 0

6) ℱ ist isometrisch in 𝐿2, das heißt ⟨ℱ𝑓, ℱ𝑔⟩𝐿2(ℝ) = ⟨𝑓, 𝑔⟩𝐿2(ℝ) | 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐶0∞(ℝ).

Inverse

Für die Inverse gilt (ℱ−1𝑔)(𝑥) =1

√2𝜋∫ 𝑔(𝑦)𝑒𝑖𝑥𝜔𝑑𝜔∞

−∞ | 𝑔 ∈ 𝐶0

∞(ℝ)

Sätze zur Fouriertransformation

Ausgehend von 𝑠(𝜔) = ∫ 𝑆(𝑥)𝑒𝑖2𝜋𝑥𝜔∞

−∞𝑑𝑥 und 𝑆(𝑥) = ∫ 𝑠(𝜔)

−∞𝑒−𝑖2𝜋𝑥𝜔𝑑𝜔 gibt es folgende Sätze:

Additionssatz 𝛼𝑠1(𝜔) + 𝛽𝑠2(𝜔), 𝛼𝑆1(𝑥) + 𝛽𝑆2(𝑥)

Transformationssatz

𝑠(𝛼𝜔 + 𝛽), 𝛼 ≠ 0,1

|𝛼|𝑒𝑖2𝜋𝑥

𝛽𝛼𝑆 (

𝑥

𝛼)

𝑠(𝜔) gerade: {

𝑆(𝑥) gerade

𝑆(𝑥) = 2∫ 𝑠(𝜔) cos(2𝜋𝑥𝜔) 𝑑𝜔∞

0

𝑠(𝜔) ungerade: {

𝑆(𝑥) ungerade

𝑆(𝑥) = −2𝑖 ∫ 𝑠(𝜔) sin(2𝜋𝑥𝜔) 𝑑𝜔∞

0

Verschiebungssatz 𝑠(𝜔 − 𝜔0), 𝜔 ∈ ℝ, 𝑒−𝑖2𝜋𝑥𝜔0𝑆(𝑥)

Symmetrie- und Spiegelungssätze 𝑆(𝜔), 𝑠(−𝑥)

𝑠(−𝜔), 𝑆(−𝑥)

Modulationssatz 𝑒𝑖2𝜋𝜔𝑥0𝑠(𝜔), 𝑥0 ∈ ℝ, 𝑆(𝑥 − 𝑥0)

Faltungssatz 𝑠1(𝜔) ⋆ 𝑠2(𝜔), 𝑆1(𝑥) ∙ 𝑆2(𝑥)

Multiplikationssatz 𝑠1(𝜔) ∙ 𝑠2(𝜔), 𝑆1(𝑥) ⋆ 𝑆2(𝑥)

Ableitungssatz 𝑑𝑛

𝑑𝜔𝑛𝑠(𝜔), (𝑖2𝜋𝑓)𝑛𝑆(𝑥)

Konjugationssatz 𝑠∗(𝜔), 𝑆∗(−𝑓)

Schwarzraum

Eine Funktion 𝑓:ℝ𝑛 → ℂ heißt schnell fallend, falls lim|𝑥|→∞ 𝑥𝛼𝑓(𝑥) = 0. Der Schwarzraum ist:

𝑆(ℝ𝑛) = {𝑓:ℝ𝑛 → ℂ,∞-oft differenzierbar und 𝐷𝛽𝑓 schnell fallend ∀𝛽 ∈ ℕ0𝑛}

Dabei ist:

1) 𝑥𝛼 = 𝑥1𝛼1 , … , 𝑥𝑛

𝛼𝑛 mit 𝛼 = (𝛼1, … , 𝛼𝑛) ∈ ℕ0𝑛, 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑛) ∈ ℝ

𝑛

2) 𝑥𝛼𝑓(𝑥) − 𝑥1𝛼1 ∙ … ∙ 𝑥𝑛

𝛼𝑛𝑓(𝑥1, … , 𝑥𝑛)

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3) 𝐷𝛽=

𝜕𝛽1𝜕𝑥1

… 𝜕𝛽𝑛

𝜕𝑥1𝛽𝑛

𝐷𝛽𝑓=𝜕𝛽1𝜕𝑥1

… 𝜕𝛽𝑛

𝜕𝑥1𝛽𝑛 𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑛)

ist zusammengefasst 𝐷(1,0,…,0)𝑓 =𝜕

𝜕𝑥1𝑓

Ein Beispiel: 𝛾(𝑥) = 𝑒−𝑥2

2 ∈ Schwarzraum, denn dies fällt schneller als jedes Polynom

Partielle Differentialgleichungen

Klassifizieren von partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung

Für drei verschiedene Arten, elliptisch, hyperbolisch und parabolisch, gibt es passende Lö-

sungsverfahren. Die Klassifizierung wird über die Vorzeichen der Eigenwerte (bzw. ob einer derer 0 ist) vorgenommen:

𝑎𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑏

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑐

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+⋯ = 𝑧 ⟹ |

𝑎 𝑏 2⁄

𝑏 2⁄ 𝑐| − 𝜆𝐸 = (𝑎 − 𝜆)(𝑐 − 𝜆) −

𝑏2

4= 0 . Nach Berechnung des

Polynoms sind die Werte für 𝜆: (𝑎−𝑐)±√(𝑎−𝑐)2−4𝑎𝑐+𝑏2

2. Daraus folgt:

𝑏2 − 4𝑎𝑐 {

> 0 → hyperbolisch= 0 → parabolisch < 0 → ellitpisch

Charakteristikenmethode

Eine Gleichung der Form 𝑢𝑡 + 𝑎(𝑥, 𝑡)𝑢𝑥 = 0 liegt zugrunde. Man sucht eine Funktion, auf der

das Ergebnis konstant ist und interpretiert die Ableitungen als Richtungsableitungen.

(1

𝑎(𝑥, 𝑡)) (𝑢𝑡𝑢𝑥) = 0 mit (

𝑢𝑡𝑢𝑥) = ∇𝑢 . Nun setzt man (𝑡, 𝑥) = (𝑠, 𝛾(𝑠)) ⇔ 𝑢(𝑡, 𝑥) = 𝑢(𝑠, 𝛾(𝑠)) = 𝑈(𝑠) ⇔

𝑑𝑈

𝑑𝑠= (

1��(𝑠)

) ∇𝑢 = 0. Das letzte, weil die Ableitung 0 sein muss für konstantes Ergebnis. Nun ist

��(𝑠) = 𝑎(𝑡, 𝑥) = 𝑎(𝑠, 𝛾(𝑠)) + 𝐴𝐵 im Vergleich mit dem gesetzten 𝑡 = 𝑠 und 𝛾(𝑠) = 𝑥 dann

𝐴𝐵 = 𝛾(𝑡) = 𝑥.

Konkrete Berechnung am Beispiel

Mit Angabe 𝑢𝑡(𝑡, 𝑥) + √𝑡 ∙ 𝑢𝑥(𝑡, 𝑥) = 0 betrachtet man:

��(𝑠) = 𝑎(𝑡, 𝑥) = √𝑡 = √𝑠 ⇔ 𝛾(𝑠) =2

3𝑠3

2 + 𝑐(𝑥0) weil (𝑡, 𝑥) = (𝑠, 𝛾(𝑠)) gesetzt wurde.

Nun wird 𝛾(𝑡) = 𝑥 gesetzt, was zu 2

3𝑡3

2 + 𝑐(𝑥0) = 𝑥 ⇔ 𝑐(𝑥0) = 𝑥 −2

3𝑡3

2 führt.

𝛾(𝑠) =2

3𝑠3

2 + 𝑥 −2

3𝑡3

2 ist das Ergebnis.

Nun wird umgeformt: 𝑢(𝑡, 𝑥) = 𝑢(𝑠, 𝛾(𝑠)) ⇒ 𝛾(0) = 𝑥 −2

3𝑡3

2.

Mit einer Anfangsbedingung, hier 𝑢(0, 𝑥) = 𝑒−𝑥, ergibt sich 𝑢(0, 𝑥) = 𝑒−𝑥 = 𝑒−𝛾(0) = 𝑒−⋯. Wenn

keine Anfangsbedingung vorgegeben ist, so ist in 𝑢(𝑠, 𝛾(𝑠)) der Wert 𝑠 beliebig und kann als

0 am Einfachsten angenommen werden. Da das Ergebnis konstant sein muss, ist dieser

Wert zwangsläufig beliebig. Bei inhomogenen Gleichungen würde an der allgemeinen Stelle

noch ein ∫ 𝑏(𝑠, 𝛾(𝑠))𝑑𝑠𝑡

0 addiert werden.

Die Probe ist einfach anhand der Ableitungen zu bewerkstelligen. Die Ableitungen addiert (und der Vorfaktor aus der Angabe beachtet) muss 0 ergeben.

Wellengleichung einer Raumdimension

Die allgemeine Form der Wellengleichung hängt mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit zu-

sammen.

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𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 𝑐2 ∙

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

Formel von d’Alembert

𝑢(𝑡, 𝑥) =1

2[𝑢0(𝑥 + 𝑐𝑡) + 𝑢0(𝑥 − 𝑐𝑡)] +

1

2𝑐∫ 𝑢1(𝑠) 𝑑𝑠𝑥+𝑐𝑡

𝑥−𝑐𝑡

Mit dieser Formel können Lösungen mit vorgegebenen Anfangswerten berechnet werden.

Periodische Fortsetzungen

Bei Anfangswerten, die auf einem Intervall von 𝑥 und 𝑡 beschrieben sind, muss die Funktion

𝑢1 für eine entsprechende Lösung des Integrals in der d’Alembert-Formel „verlängert“ wer-

den – in der Formel erkennt man das anhand des Terms 𝑥 ± 𝑐𝑡 sehr gut, da hier für ein 𝑡 ≠ 0 das Intervall von 𝑥 mit ±𝑐𝑡 überschritten wird. Am Einfachsten ist es, an dieser Stelle den

Term periodisch fortzusetzen, d.h. die Funktion 𝑢1 an den Intervallgrenzen so oft zu spie-

geln, wie nötig. ��1 sieht dann beispielsweise so aus:

Nun wird entsprechend der Grenzen (Achtung: Keine stetige Funktion, also beim Integrieren

teilen) in verschiedenen Fällen integriert.

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Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Datenanalyse

Definition von Wahrscheinlichkeit

Grundlegende Definitionen

Bedingungskomplex, Experiment und Ereignis

Alle Informationen und Annahmen, welche eine Aufgabenstellung eindeutig definie-ren, nennen wir den Bedingungskomplex ℬ.

Unter einem Experiment verstehen wir die Verwirklichung eines Bedingungskomplex-

es und die Beobachtung des Ergebnisses.

Der Ausgang eines Experiments wird als Ereignis 𝐸 bezeichnet. Ereignisse treten ein

oder nicht, es gibt keine Zwischenlösung.

Ein Versuch wird als Zufallsversuch bezeichnet, wenn im einzelnen nicht vorhersagbare Er-

gebnisse zu erwarten sind. Er wird als deterministisch bezeichnet, wenn bei Wiederholungen

stets das selbe Ergebnis erwartet wird.

Grundgesamtheit

Die Menge aller unter einem Bedinungskomplex ℬ durchführbaren Zufallsversuche

heißt Grundgesamtheit 𝒢.

Die Grundgesamtheit heißt diskret, wenn die möglichen Ergebnisse abzählbar sind und kon-

tinuierlich, wenn sie nicht zählbar sind.

Stichprobe und Elementarereignis

Die Untermenge einer Grundgesamtheit wird als Stichprobe bezeichnet (oder als 𝑛-malige Wiederholung eines Versuchs zu interpretieren).

Ereignisse, die sich nicht weiter zerlegen lassen, heißen Elementarereignisse (andere

sind zusammengesetzte Ereignisse).

Bernoulli-Versuch

Dies ist ein Versuch, der mit zwei Ausgängen wiederholt durchgeführt wird. Hierbei

sollen die Ausgänge der einzelnen Versuche voneinander unabhängig sein.

Aussagen, die wahr oder falsch sind, werden als Proposition bezeichnet (morgen wird es

regnen). Aussagen über unbekannte Ereignisse sind Hypothesen (die gewählte Kugel ist

gelb). Genau definiert gibt es keinen Unterschied zwischen Proposition und Hypothese.

Vorwärts- und Rückwärtsrechnung

Die Proposition „die nächste Kugel wird gelb sein“ erhält man durch eine Vorwärtsrechnung.

Die beobachteten Folgen der Farben lässt im Umkehrschluss auf die mögliche, hypotheti-

sche Ursache rückschließen, was der Rückwärtsrechnung entspricht. Man spricht auch von

induktiver Logik.

Klassische Definition von Wahrscheinlichkeit

Für 𝑔 als günstige Fälle und 𝑚 als mögliche Fälle gilt:

𝑃 =𝑔

𝑚

Für zwei Ereignisse 𝐴 und 𝐵 lässt sich herleiten:

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𝑃(𝐴 ∧ 𝐵) =𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 𝑛𝐴∧𝐵

𝑁= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∧ 𝐵)

𝑃(𝑁) = 0, 𝑃(𝐸) = 1

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1

𝑃(𝐴|𝐵) =𝑛𝐴∧𝐵𝑛𝐵

=𝑃(𝐴 ∧ 𝐵)

𝑃(𝐵)

Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse heißen exklusiv.

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gesetzter Punkt in einem Quadrat auch im ein-

gezeichneten Kreis liegt, gilt folglich:

Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie

Nichtnegativität (Wahrscheinlichkeiten sind nichtnegative, reelle Zahlen): 𝑃(A) ≥ 0

Normierung (Die Ereignis des sicheren Ereignisses ist 1: P(Ω) = 1

Additivität (Die Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung disjunkter Ereignisse ist gleich

der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten): 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Komplementäre Ereignisse: 𝑃(��) = 1 − 𝑃(𝐴)

Teilereignisse: Wenn 𝐴 ⊂ 𝐵, so gilt 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

Differenz zweier Ereignisse: 𝑃 (𝐴

𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Bedingte Wahrscheinlichkeit (𝐵 sei bereits eingetreten): 𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴∩𝐵)

𝑃(𝐵)

Multiplikationssatz: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵)𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)

Formel der totalen Wahrscheinlichkeit: 𝑃(𝐵) = ∑ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑃(𝐴𝑖)𝑛𝑖=1

Betrand-Paradoxon (1968 von E.T. Jaynes gelöst)

Über einen Kreis hinweg werden zufällig Geraden gezeichnet. Wie groß ist die Wahrschein-lichkeit, dass der Abstand vom Zentrum größer ist, als die Hälfte des Radius 𝑟?

Drei Ansätze mit 𝑟 = 1:

Annahme, der Abstand vom Zentrum kann mit gleicher Wahrscheinlichkeit alle Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Also ist das Intervall der günstigen Ereignisse 1/2 und die

Wahrscheinlichkeit ebenfalls. ⇒ 𝑃 = 1/2

Annahme, der Winkel zwischen der Geraden und der Tangente an den Kreis kann Werte zwischen 0 und 2𝜋 annehmen. Der günstige Bereich ist von +𝜋/3 bis −𝜋/3. ⇒ 𝑃 = 1/3

Die Fläche 𝐴 des konzentrischen Kreises, der die Gerade berührt, ist gleich-verteilt zwi-

schen 0 und 𝜋. Der günstige Bereich ist dann 𝐴 ∈ [0,𝜋

4]. ⇒ 𝑃 = 1/4

𝑃 =𝜋𝑟2

𝑙2

𝑃 =1

2 𝑃 =

1

3 𝑃 =

1

4

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Hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichte vernachlässigt worden. Eine nichtlineare Transforma-

tion macht Probleme. Man kann zwei Zugänge, den über Transforamtionsgruppen und den

differentialgeometrischen, finden. Der klassische Zugang versagt hier.

Statistische Definition von Wahrscheinlichkeit

Ein Ereignis, das zufällig auftritt, ist durch die relative Häufigkeit definiert. Für 𝑛 Versuche

gilt:

𝑃(𝐴) = lim𝑁→∞

𝑛

𝑁

Nachteile dieses Wahrscheinlichkeitsbegriffs:

Für viele Probleme gibt es keine Häufigkeitsverteilung (War Cäsar Linkshänder?)

Nur in den wenigsten Fällen ist 𝑁 ≫ 1

Der Limes ist in der Praxis nicht möglich und 𝑃(𝐴) ist keine Definition, sondern eine Hy-

pothese

Interpretationsschwierigkeiten (Lotto: 108 mal einzahlen um zu gewinnen?)

Definition von Mittelwert, Momenten und marginaler Verteilung

Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen

Es sein eine abzählbare Menge 𝒢 von Elementarereignissen gegeben. Jedes Elementar-

ereignis 𝜔 trete mit Wahrscheinlichkeit 𝑃𝜔 auf.

Eine Zufallsvariable ist ein Funktional, das jedem Ergebnis 𝜔 ∈ 𝒢 eine reelle Zahl

𝑥 = 𝑋(𝜔) zuordnet. 𝑥 heißt Realisierung von 𝑋. Die Menge 𝑅 der möglichen Realisie-

rungen 𝑥 heißt Wertebereich. 𝒢 wird auf 𝑅 abgebildet.

Als Beispiel: Beim Münzwerfen kann man „Kopf“ 0 und „Zahl“ 1 zuweisen.

Mittelwert (auch Erwartungswert)

⟨𝑋⟩ ≔ ∑𝑋(𝜔)𝑃𝜔

𝜔∈𝒢

𝑖-tes Moment

𝑚𝑖 ≔ ⟨𝑛𝑖⟩

𝑖-tes zentrales Moment

Den Mittelwert der Funktion 𝑓(𝑛) = (𝑛 − ⟨𝑛⟩)𝑖 bezeichnet man als das zentrale Moment.

𝜇𝑖 ≔ ⟨(Δ𝑛)𝑖⟩ = ⟨(𝑛 − ⟨𝑛⟩)𝑖⟩

Varianz

var(𝑛) ≔ 𝜎2 ≔ ⟨(Δ𝑛)2⟩ = ⟨(𝑛 − ⟨𝑛⟩)2⟩ = ⟨𝑛2⟩ − ⟨𝑛⟩2

Standardabweichung

std(𝑥) ≔ 𝜎 ≔ √var(𝑥)

Standardfehler Für eine Stichprobe vom Umfang 𝑁:

Standardfehler =𝜎

√𝑁

Verteilungen mehrerer diskreter Zufallsvariablen

Zur und besseren Vorstellung ist eine Tabelle mit Gewicht und Größe von Personen anzu-

nehmen.

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Marginale Verteilung (Randverteilung)

𝑃𝑛1,…,𝑛𝑗; = ∑ …

𝑛𝑗+1

∑𝑃𝑛1,…,𝑛𝑁𝑛𝑁

Mittelwert

⟨𝑓(𝑋1, … , 𝑋𝑁)⟩ ≔∑…

𝑛1

∑𝑓(𝑛1, … , 𝑛𝑁) 𝑃𝑛1,…𝑛𝑁𝑛𝑁

Mittelwert der 𝑖-ten Zufallsvariablen

𝑚𝑖 ≔ ⟨𝑛𝑖⟩

Kovarianz zweier Zufallsvariablen

cov(𝑛𝑖 , 𝑚𝑗) ≔ ⟨(𝑛𝑖 − ⟨𝑛𝑖⟩)(𝑚𝑗 − ⟨𝑚𝑗⟩)⟩ = ⟨𝑛𝑖𝑚𝑗⟩ − ⟨𝑛𝑖⟩⟨𝑚𝑗⟩

Die Kovarianz zwischen Masse und Größe von Personen ergibt 0,21 𝑘𝑔 𝑚. Das heißt, eine

größere Masse bedeutet im Mittel, dass die entsprechende Person größer ist. Die Kovarianz

unabhängiger Zufallsvariablen ist Null.

Unabhängige Zufallsvariablen

𝑃𝑛1,𝑛2,…,𝑛𝑁 =∏𝑃𝑛𝑖

𝑁

𝑖=1

Kombinatorik

Paare

Man betrachte 𝑚 Elemente 𝑎1, … , 𝑎𝑚 und 𝑛 Elemente 𝑏1, … , 𝑏𝑛. Es sollen alle möglichen unter-

schiedlichen Paare (𝑎𝑖 , 𝑏𝑘) gebildet werden.

𝑁𝑃𝑎𝑎𝑟𝑒 = 𝑛 ∙ 𝑚

Multiplets

Man betrachte 𝑚 Elemente 𝑎1, … , 𝑎𝑚 und 𝑛 Elemente 𝑏1, … , 𝑏𝑛 bis zu 𝑛𝑟 Elementen vom Typus

𝑥1, … , 𝑥𝑛𝑟. Es sollen alle Multiplets, d.h. 𝑟-Tupel, die von jedem Typ je ein Element enthalten

(𝑎𝑗1 , 𝑏𝑗2 , … , 𝑥𝑗𝑟), gebildet werden. (Tupel sind Mengen mit unterschiedlichen Elemente, so ist

ein 3-Tupel zum Beispiel (𝑎, 𝑏, 𝑐).

𝑁𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑒𝑡𝑠 = 𝑛1𝑛2𝑛3, … , 𝑛𝑟 =∏𝑛𝑖

𝑟

𝑖=1

Geordnete Stichproben

𝑎1, … 𝑎𝑛 seinen 𝑛 Elemente, dessen Menge Polulation genannt wird. Hieraus werden Stichpro-

ben mit Umfang 𝑟 ausgewählt. Eine geordnete Stichprobe ist es, wenn es auf die Reihenfol-

ge der gezogenen Elemente ankommt. Ein Spezialfall ist 𝑟 = 𝑛 ohne Zurücklegen: In diesem

Fall stellt die Stichprobe eine Anordnung (Permutation) der Elemente dar.

Anzahl der geordneten Stichproben: {

mit Zurücklegen: 𝑁𝑜𝑝𝑚𝑧 = 𝑛𝑟

ohne Zurücklegen: 𝑁𝑜𝑝𝑜𝑧 =

𝑛!

(𝑛 − 𝑟)!

Zahl der Permutationen: 𝑁𝑝𝑒𝑟𝑚 = 𝑛!

Unterpopulationen und Partitionierungen

Für eine Untermenge (Unterpopulation) bzgl. der obigen Definition gilt, da es auf die Rei-

henfolge nicht ankommt:

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Anzahl der Unterpopulationen der Größe 𝑟: {

mit Zurücklegen: 𝑁𝑚𝑧 = (𝑛 + 𝑟 − 1

𝑟)

ohne Zurücklegen: 𝑁(𝑟|𝑛) = (𝑛𝑟) =

𝑛!

𝑟! (𝑛 − 𝑟)!

Binomial-Verteilung

Binomial-Koeffizient

Die Größen (𝑛𝑟) =

𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)! werden Binomial-Koeffizient genannt.

Binomischer Satz

(𝑎 + 𝑏)𝑛 =∑(𝑛𝑟) 𝑎𝑟𝑏𝑛−𝑟

𝑛

𝑟=0

Eine Anwendung des binomischen Satzes ist die Binomialverteilung. Sie bezieht sich auf ein

Zufalls-Experiment, bei dem es nur zwei mögliche Ausgänge gibt. Die Wahrscheinlichkeiten sind 𝑝 und 𝑞 = 1 − 𝑝.

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Stichprobe vom Umfang 𝑛 die erste Alternative 𝑟-mal

erscheint, ist unter Berücksichtigung der Reihenfolge 𝑝𝑟𝑞𝑛−𝑟.

𝑃(𝑟|𝑛, 𝑝) = (𝑛𝑟) 𝑝𝑟(1 − 𝑝)𝑛−𝑟

⟨𝑟⟩ = 𝑛 𝑝

var(𝑟) = 𝑛 𝑝(1 − 𝑝)

Die Normierung der Wahrscheinlichkeit folgt über ∑ (𝑛𝑟) 𝑝𝑟𝑞𝑛−𝑟𝑛

𝑟=0 = (𝑝 + 𝑞)𝑛 = 1 mit 𝑝 + 𝑞 = 1.

Multinomial-Verteilung

Multinomial-Koeffizient

Dies ist die Erweiterung des Binomial-koeffizienten für mehr als zwei mögliche Ausgänge.

𝑁({𝑛𝑖}|𝑛, 𝑘) = (𝑛{𝑛𝑖}

) =𝑛!

∏ 𝑛𝑖!𝑘𝑖=1

Die Multinomial-Verteilung ist dann definiert durch:

𝑃({𝑛𝑖}|𝑛, 𝑘) = (𝑛{𝑛𝑖}

)∏𝑝𝑖𝑛𝑖

𝑘

𝑖=1

⟨𝑛𝑖⟩ = 𝑛 𝑝𝑖

var(𝑛𝑖) = 𝑛 𝑝𝑖(1 − 𝑝𝑖)

cov(𝑛𝑖 , 𝑛𝑗) = −𝑛 𝑝𝑖𝑝𝑗 ∀𝑖 ≠ 𝑗

Vollständige Paarungen einer Population

Die vollständigen Paarungen (Kontraktionen) sind für eine Population mit 𝑁 = 2𝑚 Elementen

möglich. Beispiel: 𝑎1, … , 𝑎4 hat 3 vollständige Paarungen:

Paarungen: {

(𝑎1, 𝑎2)(𝑎3, 𝑎4)

(𝑎1, 𝑎3)(𝑎2, 𝑎4)

(𝑎1, 𝑎4)(𝑎2, 𝑎3)

Für 𝑁 = 2𝑚 gilt:

𝑁𝐾 =(2𝑚)!

2𝑚 𝑚!= (𝑁 − 1)‼

Random-Walk

Ein Beispiel für eine Kontraktionen-Realisierung ist das Pascalsche Dreieck und der Random-

Walk. Visualisiert für eine Kugel, die über ein Nagelbrett fallen muss, ergibt sich folgende

Aufteilung der Wahrscheinlichkeiten.

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⇓∘

1 1 𝑝𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠 = 𝑝𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠 = 0,5

∘ ∘1 2 1∘ ∘ ∘

1 3 3 ∗ 1∘ ∘ ∘ ∘ *Zum Binomialk. ein Bsp.:

| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | Hier gilt (32) , 3 Züge, 2 mal "+1"

Nach dem ersten Schritt nimmt die Kugel ±1 an. Allgemein befindet sich die Kugel nach dem

𝑖-ten Schritt auf Position 𝑥𝑖 und kann immer um Δ𝑥 = ±1 die Position ändern. Nach 𝑛 Schrit-

ten sei Δ𝑥 = +1 mit Häufigkeit 𝑘 vorgekommen. Dementsprechend gilt: 𝑥𝑛(𝑘) = (+1)𝑘 +(−1)(𝑛 − 𝑘) = 2𝑘 − 𝑛 . Für unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten 𝑝, 𝑞 gilt folglich 𝑃(𝑥𝑛|𝑛, 𝑝) =

𝑃 (𝑘 =𝑥𝑛+𝑛

2|𝑛, 𝑝) = (

𝑛𝑘) 𝑝𝑘𝑞𝑛−𝑘|

𝑘=𝑥𝑛+𝑛

2

. Der Binomialkoeffizient gibt also an, wieviele Möglich-

keiten es gibt, dass eine Kugel im 𝑛-ten Schritt den Nagel am Platz 𝑖 = 𝑥𝑛(𝑘) erreicht.

Besetzungszahl-Probleme und Boltzmann-Verteilung

Verteilt man identische Teilchen (Anzahl 𝑁) auf 𝑘 Zellen, dann ist die Zahl der unterscheid-

baren Verteilungen:

𝐴𝑁,𝑘 = (𝑁 + 𝑘 − 1

𝑁) = (

𝑁 + 𝑘 − 1𝑘 − 1

)

Man nehme nun Besetzungszahlen {𝑛𝑖} an, wobei 𝑛𝑖 angibt, wie viele Teilchen sich in der

Zelle 𝑖 befinden. Die Gesamtzahl ist dann ∑ 𝑛𝑖𝑖 = 𝑁. Die Multinomiale-Verteilung vereinfacht

sich für gleich-wahrscheinliche Ereignisse 𝑝𝛼 = 1/𝑘 zur Boltzmann-Verteilung.

𝑃𝐵({𝑛𝑖}|𝑁, 𝑘) = (𝑁{𝑛𝑖}

) 𝑘−𝑁

⟨𝑛𝑖⟩ =𝑁

𝑘

var(𝑛𝑖) = 𝑁1

𝑘(1 −

1

𝑘)

cov(𝑛𝑖, 𝑛𝑗) = 𝑁1

𝑘(𝛿𝑖𝑗 −

1

𝑘)

Man musste erkennen, dass die Boltzmann-Verteilung für identische Teilchen nicht korrekt ist; die 𝑘𝑁 möglichen Verteilungen der Teilchen auf die Zellen haben nicht dieselbe a-priori

Wahrscheinlichkeit. Es gibt zwei Arten von Teilchen, Bosonen und Fermionen, die sich in der

sogenannten Teilchen-Statistik unterscheiden. Von Bosonen kann man beliebig viele in eine

Zelle packen, von Fermionen hingegen maximal eins, wobei beide absolut unterscheidbar

sind.

Hier ein Vergleich diverser Statistiken bzgl. der Frage nach der Unterscheidbarkeit von Teil-

chen.

Boltzmann-Statistik

1 2 3 4 5 6 7 8 9 𝑍1 𝑎, 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑍2 𝑎, 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑍3 𝑎, 𝑏 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎

Bose-Einstein-Statistik

1 2 3 4 5 6 𝑍1 𝑎, 𝑎 𝑎 𝑎 𝑍2 𝑎, 𝑎 𝑎 𝑎 𝑍3 𝑎, 𝑎 𝑎 𝑎

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Fermi-Statistik

1 2 3 𝑍1 𝑎 𝑎 𝑍2 𝑎 𝑎 𝑍3 𝑎 𝑎

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich in Zelle 𝑖 𝑛𝑖 Teilchen befinden (wobei ∑ 𝑛𝑖𝑖 = 𝑁), ist:

𝑃 =

{

(

𝑁{𝑛𝑖}

) 𝑘−𝑁 Boltzmann

𝑁! (𝑘 − 1)!

(𝑁 + 𝑘 − 1)! Bose-Einstein

𝑁! (𝑘 − 𝑁)!

𝑘! Fermi

Geometrische und Hypergeometrische Verteilungen

Bezüglich einer Population der Größe 𝑛 mit zwei Typen von Elementen (Kugeln in rot und

blau oder Spins up und down). Die Anzahl der Elemente sei 𝑛𝐼 und 𝑛𝐼𝐼. Es werde eine geord-

nete Stichprobe gezogen:

Wahrscheinlichkeit, dass erst beim 𝑘-ten Zug ein Element von Typ 𝐼𝐼 gezogen wird

Ohne Zurücklegen

𝑃(𝑛𝐼𝐼|𝑘) =𝑛𝐼! 𝑛𝐼𝐼

(𝑛𝐼 − (𝑘 − 1))!

(𝑛 − 𝑘)!

𝑛!=(𝑛𝐼𝑘 − 1

) 𝑛𝐼𝐼

(𝑛𝑘) 𝑘

Mit Zurücklegen (geometrische Verteilung)

𝑃(𝑛𝐼𝐼|𝑘) =𝑛𝐼𝑘−1𝑛𝐼𝐼𝑛𝑘

= (𝑛𝐼𝑛)𝑘−1 𝑛𝐼𝐼

𝑛

Wahrscheinlichkeit, dass 𝑘𝐼 Elemente vom ersten Typ enthalten sind

Ohne Zurücklegen (Hypergeometrische Verteilung)

𝑃(𝑘𝐼|𝑘 = 𝑘𝐼 + 𝑘𝐼𝐼 , 𝑛𝐼 , 𝑛𝐼𝐼) =(𝑛𝐼𝑘𝐼) (𝑛𝐼𝐼𝑘𝐼𝐼)

(𝑛𝑘)

Mit Zurücklegen (Binomialverteilung)

𝑃(𝑘|𝑛, 𝑝) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘

Geometrische Verteilung

𝑃(𝑘𝐼|𝑝𝐼) = 𝑝𝐼𝑘(1 − 𝑝𝐼)

⟨𝑘𝐼⟩ =𝑝𝐼

1 − 𝑝𝐼

var(𝑘𝐼) =𝑝𝐼

(1 − 𝑝𝐼)2

Hypergeometrische Verteilung

𝑃(𝑘𝐼|𝑘 = 𝑘𝐼 + 𝑘𝐼𝐼 , 𝑛𝐼 , 𝑛𝐼𝐼) =(𝑛𝐼𝑘𝐼) (𝑛𝐼𝐼𝑘𝐼𝐼)

(𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼𝑘𝐼 + 𝑘𝐼𝐼

)

⟨𝑘𝐼⟩ =𝑛𝐼(𝑘𝐼 + 𝑘𝐼𝐼)

𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼

var(𝑘𝐼) =(𝑘𝐼 + 𝑘𝐼𝐼)(𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 𝑘𝐼 − 𝑘𝐼𝐼)

(𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼 − 1)(𝑛𝐼 + 𝑛𝐼𝐼)2

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Grenzwertsätze

Stirlingsche Formel

Es geht um die Berechnung von großen Fakultäten.

𝑛! = 𝑛𝑛+12𝑒−𝑛√2𝜋 [1 + 𝑂(𝑛−1)], ∀𝑛 sehr groß: 𝑂(𝑛−1) → 0

ln(𝑛!) = (𝑛 +1

2) ln(𝑛) − 𝑛 + ln(√2𝜋) + 𝑂(𝑛−1)

Lokaler Grenzwertsatz (de-Moivre-Laplace-Theorem)

Die Binomial-Verteilung kann für 𝑛𝑝(1 − 𝑝) ≫ 1 durch eine Gauß-Funktion approximiert wer-

den.

𝑃(𝑘|𝑛, 𝑝) = (𝑛𝑘) 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘 ≈ 𝑔(𝑘|𝑘0, 𝜎), 𝑔(𝑘|𝑘0, 𝜎) ≔

𝑒−(𝑘−𝑘0)

2

2𝜎2

√2𝜋𝜎2∧ 𝑘0 = 𝑛𝑝 ∧ 𝜎 = √𝑛𝑝(1 − 𝑝)

Integralsatz von de Moirvre

Hier wird nicht nach 𝑘 Ereignissen, sondern nach höchstens 𝑘 Ereignissen bei 𝑛 Versuchen

gefragt.

𝐼𝑎,𝑏 = {𝑘|𝑎 ≤𝑘 − 𝑛𝑝

√𝑛𝑝(1 − 𝑝)< 𝑏}

lim𝑛→∞

𝑃(𝑘 ∈ 𝐼𝑎,𝑏|𝑛, 𝑝) =1

√2𝜋 ∫ 𝑒−𝑥2

2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑃(𝑘 ∈ 𝐼𝑎,𝑏|𝑛, 𝑝) = ∑ 𝑃(𝑘|𝑛, 𝑝)

𝑘∈𝐼𝑎,𝑏

Bernoullis Gesetz der großen Zahlen

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem 𝑛-fachen Bernoulli-Versuch ein Ereignis mit 𝑝 als

Wahrscheinlichkeit 𝑘 = 𝑛𝑝 mal auftritt (Mittelwert), wird durch die de-Moivre-Laplace-

Näherung beschrieben. Diese geht aber mit Limes 𝑛 → ∞ gegen 0. Bernoullis Gesetz sagt

aus, dass für diesen Limes die intrinsische Wahrscheinlichkeit 𝑝 gleich der relativen Häufig-

keit 𝑘/𝑛 wird.

Poisson-Verteilung

Satz von Poisson

Es werden 𝑛 Versuche durchgeführt mit der Wahrscheinlichkeit 𝑝 ein Ereignis pro Versuch zu

erhalten. Es soll gelten: 𝑛 ∙ 𝑝 = 𝜇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, d. h. das Ereignis tritt im Mittel 𝜇-mal auf, unab-

hängig der Anzahl der Ausführungen. Dann gilt:

lim𝑛→∞

𝑃 (𝑘|𝑛, 𝑝 =𝜇

𝑛) = 𝑒−𝜇

𝜇𝑘

𝑘!=: 𝑃(𝑘|𝜇)

Die resultierende Verteilung heißt Poisson-Verteilung. Sie ist durch ∑𝑒−𝜇𝜇𝑘

𝑘!

∞𝑘=0 = 𝑒−𝜇𝑒𝜇 = 1 kor-

rekt auf Eins normiert.

𝑝 ≪ 1 und 𝑛𝑝 nicht zu groß: Possion-Verteilung ist Näherung für Binomial-Verteilung

Zeitintervall, in dem im Mittel 𝜇 Ereignisse auftreten. Dies wird in 𝑛 Teilintervalle aufge-

teilt. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis in einem Intervall ist 𝑝 = 𝜇/𝑛.

Für 𝜇 ≫ 1 geht die Poisson-Verteilung in eine Gauß-Verteilung über.

𝑃(𝑘|𝜇) = 𝑒−𝜇𝜇𝑘

𝑘!

⟨𝑘⟩ = 𝜇

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var(𝑘) = 𝜇

Für die Fehlerstatistik von Zählexperimenten gilt: 𝑃(𝑁|𝜇) =1

√2𝜋𝜎2𝑒−(𝑁−𝜇)2

2𝜎2 mit 𝜎 = √𝜇 ≈ √𝑁

Bayessche Wahrscheinlichkeitstheorie

Orthodoxe Statistik

Hier werden Vorwärts-Wahrscheinlichkeiten (siehe Vorwärts- und Rückwärtsrechnung, Seite

71) durch Zufallsvariablen und Rückwärts-Wahrscheinlichkeiten über Hypothesen-Tests dar-

gestellt. Die Zufälligkeit wird als intrinsische (physikalische) Eigenschaft des Experiments

betrachtet. Man unterscheidet:

Eine Münze ist völlig symmetrisch: 𝜔𝐾𝑜𝑝𝑓 = 1/2

Eine Münze ist manipuliert und fällt immer auf eine (unbekannte) Seite. Nun ist 𝑋(𝐾𝑜𝑝𝑓/𝑍𝑎ℎ𝑙) keine Variable mehr, da sie immer denselben Wert annehmen wird – das ist aber

erst nach dem Experiment bekannt.

Wenn wir das Experiment mit 𝜔(𝛼) nun durchgeführt haben, 𝛼 also vorliegt, wir nur den

Wert nicht wissen, betrachtet die orthodoxe Statistik 𝛼 nicht mehr als Zufallsvariable. Wir

können also nicht nach der Wahrscheinlichkeit fragen. Deshalb wurden die Signifikanz-Test

eingeführt.

Signifikanz-Test

Hier wird überprüft, ob die Daten zu einer Hypothese passen. Falls nicht, nennt man das

Experiment signifikant. Liegen die Daten l in den Ausläufern der Verteilung für die gewählte

Hypothese, ist ein Zusammenhang unwahrscheinlich. Es können folgende Fehler auftreten:

Statistischer Fehler erster Art: Hypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist. Die

Wahrscheinlichkeit für einen Fehler erster Art nennt man Irrtumswahrscheinlichkeit.

Statistischer Fehler zweiter Art: Akzeptieren einer Hypothese, obwohl sie falsch ist.

Klassisch ist das Problem, dass man die falsche Hypothese untersuchen kann. Ein Beispiel wäre 𝑃(Boden ist nass|es hat geregnet); hier fehlen alle anderen Erklärungen.

Bayessche Wahrscheinlichkeitstheorie

Zwei wesentliche Unterschiede zur Orthodoxen Statistik:

Man versteht Wahrscheinlihckeiten als Maß dafür, dass eine Proposition wahr ist.

Die Zufälligkeit ist keine intrinsische Eigenschaft, sondern resultiert aus mangelnder In-

formation. Dies hilft bei Münzwurf, Würfel, Wählerverhalten oder ähnlichem.

Bei dem Münzproblem (siehe orthodoxe Statistik) wird man folgendes erhalten:

Erster Wurf: {𝑃(Kopf|fair, ℬ) =

1

2

𝑃(Kopf|manipuliert, ℬ) =1

2

Zweiter Wurf: {𝑃(Kopf|erster Versuch: Zahl,fair, ℬ) =

1

2

𝑃(Kopf|erster Zug Zahl,manipuliert, ℬ) = 0

Diese Theorie ist die einzige konsistente Theorie, um Teilwahrheiten quantitativ zu be-

schreiben.

Prior-Wahrscheinlichkeit

𝑃(𝑋|ℬ) für 𝑋, wenn nur der Bedingungskomplex ohne Daten vorliegt, nennt man Prior.

Posterior-(Rückwärts-)Wahrscheinlichkeit

Posterior ist 𝑃(𝑋|ℬ), wenn auch noch die Daten 𝐷 vorliegen.

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Likelihood-Funktion

Hiermit ist 𝑃(𝐷|𝑋, ℬ) gemeint. Es entspricht der Wahrscheinlichkeit die Daten 𝐷 zu messen,

wenn Proposition 𝑋 wahr ist und der Bedingungskomplex vorliegt. Wichtig ist: 𝑃(𝐷|𝑋, ℬ) +𝑃(𝐷|��, ℬ) ≠ 1.

Summenregel für diskrete Freiheitsgrade

∑𝑃(𝐴𝑖|𝐵)

𝑖

= 1 Normierung

𝑃(𝐵|ℬ) =∑𝑃(𝐵|𝐴𝑖 , ℬ)𝑃(𝐴𝑖|ℬ)

𝑖

Marginalisierungsregel

Summenregel für kontinuierliche Freiheitsgrade

∫𝑝(𝑥|ℬ)𝑑𝑥 = 1 Normierung

𝑃(𝐵|ℬ) = ∫𝑃(𝐵|𝑥, ℬ)𝑝(𝑥|ℬ)𝑑𝑥 Marginalisierungsregel

Bayessches Theorem

Für 𝐻 als Hypothese und 𝐷 als Daten:

𝑃(𝐻|𝐷, ℬ) =𝑃(𝐷|𝐻, ℬ) 𝑃(𝐻|ℬ)

𝑃(𝐷|ℬ)

𝑃(𝐻|ℬ) und 𝑃(𝐷|ℬ) sind die A-priori-Wahrscheinlichkeiten für 𝐻 bzw. 𝐷. 𝑃(𝐷|𝐻, ℬ) ist die (be-

dingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 𝐷 unter der Bedingung, dass 𝐴 eingetreten ist.

Beispiele für Bayes

Propagatoren

Ein Party-Gast will nach Hause, überlegt aber an jeder Bar erneut, ob er einkehren will (𝑃𝐵) oder nicht (1 − 𝑃𝐵). Falls er einkehrt besteht die Wahrscheinlichkeit 𝑃𝑅 < 1, dass er wieder

herauskommt und weiter propagiert. Propositionen sind hier: 𝐸𝑛 (er kehrt in 𝑛 Bars ein) und

𝐻 (Er kehrt am Abend heim). Wir erhalten: 𝑃(𝐻|𝑁, ℬ) = ∑ 𝑃(𝐻|𝐸𝑛, 𝑁, ℬ)𝑃(𝐸𝑛|𝑁, ℬ)𝑁𝑛=0 , wobei 𝑁

besagt, wie viele Bars es gibt. Es handelt sich also beim zweiten Faktor um einen Bernoulli-Versuch. Damit er noch in der Nacht zu Hause ankommt, muss in allen 𝑛 Fällen die Heimrei-

se angetreten werden (𝑃𝑅𝑛). Es folgt:

𝑃(𝐻|𝑁, ℬ) = ∑𝑃(𝐻|𝐸𝑛 , 𝑁, ℬ)𝑃(𝐸𝑛|𝑁, ℬ)

𝑁

𝑛=0

=∑(𝑁𝑛)𝑃𝐵

𝑛(1 − 𝑃𝐵)𝑁−𝑛𝑃𝑅

𝑛

𝑁

𝑛=0

= (𝑃𝐵𝑃𝑅ü1 − 𝑃𝐵)𝑁

= (1 − 𝑃𝐵(1 − 𝑃𝑅))𝑁 𝑃𝐵(1−𝑃𝑅)≪1⇒ 𝑒𝑁 ln(1−𝑃𝐵(1−𝑃𝑅)) ≈ 𝑒−𝑃𝐵(1−𝑃𝑅)𝑁 ≜ 𝑒−𝛼𝑥

Ziegenparadoxon

Aufgabenstellung nach Steve Selvin (1975): „Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow

und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den an-

deren sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der

weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem

eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die

Wahl des Tores zu ändern?“

Bei einem ausgeglichenen Moderator ist die Antwort „ja“. Die Chance hinter der Türe, auf

die man gewechselt hat, das Auto zu finden, ist 2/3.

Ist die Münze symmetrisch?

Über das Odds-Ratio 𝑜 =𝑃(𝐻|𝐷,ℬ)

𝑃(��|𝐷,ℬ) ist dies zu lösen.

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Wahrscheinlichkeitstheorie

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Kontinuierliche Variablen

Verteilungsfunktion und Dichtefunktion

Verteilungsfunktion

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝐱 ≤ 𝑥|ℬ)

Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass 𝐱 kleiner oder gleich 𝑥 annimmt.

Wahrscheinlichkeitsdichte

𝑝(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥)

Also folgt 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 = (𝐹(𝑥 + 𝑑𝑥) − 𝐹(𝑥)) = 𝑃(𝑥 < 𝐱 ≤ 𝑥 + 𝑑𝑥|ℬ) ⟹ 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑝(𝑥′)𝑑𝑥′𝑥

−∞

Weitere Definitionen

Mittelwert

⟨𝑋⟩ ≔ ∫ 𝑥 𝑝(𝑥)𝑑𝑥∞

−∞

Ordnungs-Statistik

Man geht von einer nach aufsteigenden Werten sortierten Stichprobe einer Verteilung 𝐹(𝑥) aus. Gesucht ist 𝑃(𝑠𝑘 ∈ (𝑥, 𝑠 + 𝑑𝑥)|𝐿, 𝜌, ℬ), also dass das 𝑘-te Element 𝑠𝑘 im Intervall (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥) liegt. Hierfür muss erfüllt sein:

𝐴: 𝑘 − 1 Elemente sind kleiner-gleich 𝑥

𝐵: 𝐿 − 𝑘 Elemente sind größer-gleich 𝑥

𝐶: Ein Element liegt im Intervall (𝑥, 𝑥 + 𝑑𝑥)

Die Lösung ist über eine Multinomialverteilung (Aufteilung auf drei Boxen) zu betrachten.

Maxima-Statistik

Die Wahrscheinlichkeitsdichte der auftretenden Maximalwerte ist:

𝑝(𝜉|𝐿, ℬ) = 𝐿 𝑝(𝜉)𝐹(𝜉)𝐿−1

Gängige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Gleichverteilung

Auf 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] definiert.

𝑝𝑔(𝑥|𝑎, 𝑏) =1

𝑏 − 𝑎, 𝐹𝑔(𝑥|𝑎, 𝑏) ≔

𝑥 − 𝑎

𝑏 − 𝑎

⟨𝑥⟩ =𝑎 + 𝑏

2, var(𝑥) =

(𝑏 − 𝑎)2

12

𝛽-Verteilung

Auf 𝑥 ∈ [0,1] definiert.

𝑝𝛽(𝑥|𝛼, 𝜌) ≔1

𝐵(𝛼, 𝜌)𝑥𝛼−1(1 − 𝑥)𝜌−1, 𝐹𝛽(𝑥|𝛼, 𝜌) ≔

1

𝐵(𝛼, 𝜌)∫ 𝑝𝛼−1(1 − 𝑝)𝜌−1𝑑𝑝𝑥

0

⟨𝑥⟩ =𝛼

𝛼 + 𝜌, var(𝑥) =

⟨𝑥⟩(1 − ⟨𝑥⟩)

𝛼 + 𝜌 + 1

Γ-Verteilung und 𝜒2-Verteilung

Auf 𝑥 ∈ [0,∞) definiert

𝑝Γ(𝑥|𝛼, 𝛽) ≔𝛽𝛼

Γ(𝛼)𝑥𝛼−1𝑒−𝛽𝑥, 𝐹Γ(𝑥|𝛼, 𝛽) ≔

𝛽𝛼

Γ(𝛼)∫ 𝑡𝛼−1𝑒−𝛽𝑡𝑑𝑡𝑥

0

⟨𝑥⟩ =𝛼

𝛽, var(𝑥) =

𝛼

𝛽2

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Wahrscheinlichkeitstheorie

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Die 𝜒2-Verteilung ist ein Spezialfall mit 𝛼 = 𝑛/2 und 𝛽 = 1/2.

𝑝𝜒2(𝑥|𝑛) =2−𝑛/2

Γ(𝑛/2)𝑥𝑛2−1𝑒−

𝑥2, 𝐹Γ(𝑥|𝑛) =

2−𝑛/2

Γ(𝑛/2)∫ 𝑡

𝑛2−1𝑒−

𝑡2𝑑𝑡

0

⟨𝑥⟩ = 𝑛, var(𝑥) = 2𝑛

Exponential-Verteilung

Auf 𝑥 ∈ [0,∞) definiert.

𝑝𝑒(𝑥|𝜆) ≔ 𝜆 𝑒−𝜆𝑥 = 𝑝Γ(𝑥|𝛼 = 1, 𝛽 = 𝜆), 𝐹𝑒(𝑥|𝜆) ≔ 1 − 𝑒−𝜆𝑥

⟨𝑥⟩ =1

𝜆, var(𝑥) =

1

𝜆2

Normal-Verteilung Auf 𝑥 ∈ ℝ definiert.

𝑝(𝑥|𝑥0, 𝜎) ≔1

√2𝜋𝜎2𝑒−(𝑥−𝑥0)

2

2𝜎2 , 𝐹(𝑥|𝑥0, 𝜎) ≔ Φ(𝑥 − 𝑥0𝜎

)

⟨𝑥⟩ = 𝑥0, var(𝑥) = 𝜎2

Stundetische-𝑡-Verteilung und Cauchy-Verteilung

Auf 𝑡 ∈ ℝ definiert mit 𝜈 als Anzahl der Freiheitsgrade.

𝑝𝑡(𝑡|𝜈) ≔1

√𝜈𝐵 (12,𝜈2)(1 +

𝑡2

𝜈)

−12(𝜈+1)

, 𝐹𝑡(𝜏|𝜈) ≔ 1 −1

2

𝐵 ((1 +𝜏2

𝜈)−1

,12,𝜈2)

𝐵 (12,𝜈2)

⟨𝑡⟩ = 0, var(𝑡) =𝜈

𝜈 − 2 ∀𝜈 > 2

Für 𝜈 = 1 gilt die Cauchy-Verteilung als Spezialfall.

𝑝𝐶(𝑥) =1

𝜋(1 + 𝑥2), 𝐹𝐶(𝑥) =

1

2+arctan 𝑥

𝜋

⟨𝑥⟩ = 0, var(𝑥) = ∞

Multivariante Normal-Verteilung

Auf 𝑥 ∈ ℝ𝑛 definiert.

𝑝𝑁(𝑥|𝐶, 𝑥0) ≔

1

√(2𝜋)𝑛|𝐶|𝑒−12(𝑥−𝑥0)

𝑇𝐶−1(𝑥−𝑥0), |𝐶| = det 𝐶

⟨𝑥𝑖⟩ = 𝑥𝑖0, cov(𝑥𝑖 , 𝑥𝑗) = 𝐶𝑖𝑗

Transformationseigenschaften

Für manche Probleme hilft die Variablentransformation nach 𝑝𝑦(𝑦) = 𝑝𝑥(𝑥) |𝜕𝑥𝑖

𝜕𝑦𝑗|. Die Jacobi-

Determinante aller 𝜕𝑥𝑖/𝜕𝑦𝑗 (Siehe Jacobi-Matrix, Seite 28) beschreibt die Änderung der Vo-

lumina.

Zum Beispiel für 𝑦 = − ln 𝑥 folgt 𝑥 = 𝑒−𝑦 und 𝑝𝑦(𝑦) = 𝑝𝑥(𝑥) |𝜕𝑥

𝜕𝑦| = 𝑒−𝑦.

Der zentrale Grenzwertsatz

Es wird die charakteristische Funktion definiert, deren Bildung einer nicht symmetrisch defi-

nierten Fouriertransformation entspricht. Der zentrale Grenzwertsatz sagt aus, dass die Summe 𝑆 von gewichteten Zufallszahlen 𝑥𝑛 normalverteilt ist.

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𝑆 = ∑𝑐𝑛𝑥𝑛

𝑁

𝑛=1

unter Voraussetzung lim𝑁→∞

1

𝑁∑𝑐𝑛

𝜈

𝑁

𝑛=1

= 𝑎𝜈 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡: ⟨𝑆⟩ = 𝜇 ∑ 𝑐𝑛

𝑁

𝑛=1

, var(𝑆) = 𝜎𝑥2∑𝑐𝑛

2

𝑁

𝑛=1

Poisson

Stochastische Prozesse

Eine parametrisierte Funktion 𝑓(𝑥|𝜆) ist, wenn 𝑥 ∈ ℝ kontinuierliche Werte annimmt, ein

stochastischer Prozess, falls 𝜆 aus Zufallsvariablen besteht. Ein stochastischer Prozess ist die

Beschreibung von zeitlich geordneten, zufälligen Vorgängen. Stochastische Prozesse unter-

scheiden sich von anderen Zufallsvariablen darin, dass nun ein kontinuierlicher Index ent-

halten ist; die Regeln der Wahrscheinlichkeitstheorie gelten unverändert.

Bei Mittelung wird über die stochastischen Parameter gemittelt. Die Mittelwerte ⟨𝑓(𝑥)⟩ =

∫𝑓(𝑥|𝜆)𝑝(𝜆|ℬ) 𝑑𝜆 hängen also auch von der Variablen 𝑥 ab (siehe Marginalitätsregel).

Poisson-Punkte

Es werden zufällig 𝑁 Punkte, Poisson Punkte genannt, in einem Interval der Länge 𝐿 er-

zeugt. Die Binomialverteilung 𝑃(𝑛|𝑁, 𝑝 =𝑥

𝐿) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass 𝑛 Teilchen

im Teilintervall der Länge 𝑥 sind. Die Mittlere Zahl ist 𝜇 = 𝑥 𝜌 mit 𝜌 als Punktdichte 𝑁/𝐿. Er-

höht man bei konstanter Dichte und Intervalllänge die Größen 𝐿 und 𝑁 , wird die Wahr-

scheinlichkeit im Limes 𝑁 → ∞ zur Poisson-Verteilung.

Poisson-Verteilung

𝑃(𝑛|𝑥, 𝜌, ℬ) ≔ 𝑒−𝜌𝑥(𝜌𝑥)𝑛

𝑛!

Intervallverteilung der Poisson-Punkte

𝑝(Δ𝑥|𝜌, ℬ) = 𝜌 𝑒−𝜌𝑥

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Nachweise (Mathematik)

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Nachweise (Mathematik) Quellenverzeichnis ohne Vollständigkeitsanspruch

Die in diesem Scriptum enthaltenen Vorlesungen wurden von den hier niedergeschriebenen

Vortragenden gehalten.

Analysis I Prof. Dr. Maximilian Ganster

(Differential und Integralrechnung)

Analysis II Prof. Dr. Jussi Behrndt

(Vektoranalysis)

Analysis III Prof. Dr. Jussi Behrndt

(Funktionalanalysis)

Lineare Algebra Prof. Dr. Wolfgang Schweiger

Differentialgleichungen 1 Prof. Dr. Leonid Glozman

(gewöhnliche Differentialgleichungen)

Die in den obigen Vorlesungen empfohlene Begleitlektüre und die Mitschriften/Scripten ha-

ben die Inhalte vornehmlich geprägt.

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Experimentalphysik I

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Experimentalphysik I Mechanik und Wärme

Zu Ergänzen

Zu Ergänzen

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Experimentalphysik II

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Experimentalphysik II Elektrizität, Magnetismus und Optik

Schwingungen

Grundsätzliches

𝑦 Elongation

�� Amplitude, Maximalwert der Elongation

𝑇 Periodendauer, Dauer einer vollständigen Schwingung

𝜔 Kreisfreqzenz

𝜑 Phasenwinkel

𝜑0 Nullphasenwinkel (Phasenkonstante)

𝑘 Richtgröße

𝐹𝑅 Rückstellkraft

𝛿 Abklingkoeffizient

𝛽 Dämpfungskonstante

𝑐 Phasengeschwindigkeit (Ausbreitung)

Grundgleichungen

𝑇 =1

𝑓, 𝜔 = 2𝜋𝑓 =

2𝜋

𝑇, 𝛿 =

𝛽

2𝑚, 𝑐 = 𝜆𝑓, 𝑘 =

2𝜋

𝜆

φ = ωt + φ0 = 2𝜋𝑓𝑡 + 𝜑0

𝑦 = �� sin𝜑 = �� sin(𝜔𝑡 + 𝜑0)

Rückstellkraft

𝐹𝑅 = −𝑚𝜔2�� sin𝜑 = 𝑚�� sin𝜑 = −𝑚𝜔2𝑦

Richtgröße

𝑘 = 𝑚𝜔2 = −𝐹𝑅𝑦

Gleichung der ungedämpften harmonischen Schwingung

�� + 𝑦𝜔2 = 0

Mathematisches Pendel, physisches Pendel

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔, 𝑇 = 2𝜋√

𝐽𝐴𝑚𝑔𝑠

Schwingungsenergie

𝐸 =𝑘��2

2=𝑚��2

2

Gleichung der gedämpften Schwingung

�� + 2𝛿�� + 𝜔02𝑦 = 0

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Experimentalphysik II

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Elongation (gedämpft)

𝑦 = ��0𝑒−𝛿𝑡 sin𝜑

Aperiodische Bewegungen

ungedämpfte Schwingung: 𝛿 = 0 𝛽 = 0 𝜗 =𝛿

𝜔0= 0 𝜔𝑑 = 𝜔0

gedämpfte Schwingung: 𝛿 < 𝜔0 𝛽 < 2√𝑘𝑚 𝜗 =𝛿

𝜔0<1 𝜔𝑑 < 𝜔0

aperiodischer Grenzfall: 𝛿 = 𝜔0 𝛽 = 2√𝑘𝑚 𝜗 =𝛿

𝜔0= 1 𝜔𝑑 = 0

Kriechfall: 𝛿 > 𝜔0 𝛽 > 2√𝑘𝑚 𝜗 =𝛿

𝜔0> 1 𝜔𝑑 = imaginär

Wellengleichung

Ψ(𝑥, 𝑡) = �� ∙ cos (𝑘𝑥 ± 𝜔𝑡 +φ0⏟𝑜𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

) , 𝑦(𝑥, 𝑡) = �� ∙ sin (𝑡

𝑇−𝑥

𝜆)

Ein Minus vor 𝜔𝑡 beschreibt eine Ausbreitung in positive 𝑥-Richtung, ein Plus das Gegenteil.

Schwebung

Die Schwebung ist die Überlagerung der Wellen. Die Schwebungsfrequenz lässt sich aus den

Frequenzen der Ursprungswellen berechnen:

𝑓𝑠 =𝑓2 − 𝑓12

Interferenzgleichung

Ψges(𝑥, 𝑡) = 2�� ∙ cos (𝜑1 − 𝜑22

) ∙ sin (𝜑1 − 𝜑22

)

Dies gilt für gleiche Amplituden. Weiter: 𝜑1 = 𝜔𝑡 − (𝑘𝑥𝑥 + 𝑘𝑦𝑦) und 𝜑2 = 𝜔𝑡 − (𝑘𝑥𝑥 − 𝑘𝑦𝑦).

Optik

Grundsätzliches

𝐼 Intensität

𝑛 Brechzahl, Brechungsindex

𝑏 Spaltgröße

𝑑 Dicke oder Spaltabstand

𝑔 Gitterkonstante

𝐷′ Brechwert, Brechkraft

𝑓′ Brennweite

𝑎, 𝑎′ Gegenstandsweite und Bildweite

𝑦, 𝑦′ Gegenstandsgröße und Bildgröße

𝑀 Abbildungsmaßstab

𝑟 Krümmungsradius

𝑅 Linsenradius

𝑎𝐵 Normalabstand (= 25𝑐𝑚)

Γ Vergrößerung

𝑙, 𝑡 Tubuslänge (mechanisch, optisch)

Ö Öffnungsverhältnis

𝑘 Blendenzahl

𝐴 numerische Apertur 𝐴 = 𝑛 sin 𝛼, mit 𝛼 als halben Öffnungswinkel

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Experimentalphysik II

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Grundgleichungen

𝑛 =𝑐0𝑐𝑀, 𝑣𝑃ℎ𝑎𝑠𝑒 =

𝑐0𝑛, 𝜆 =

𝑐0𝑛 𝑓, 𝐷′ =

𝑛

𝑓′

Brechungsgesetz (Snellius)

Für 𝛼 und 𝛽 als Winkel zum Lot. Zu vereinfachen mit 𝑛𝐿𝑢𝑓𝑡 ≃ 𝑛𝑉𝑎𝑘𝑢𝑢𝑚 = 1.

sin 𝛼

sin 𝛽=𝑐1𝑐2=𝑛2𝑛1

Grenzwinkel der Totalreflektion

sin 𝛼𝐺 =𝑐1𝑐2=𝑛2𝑛1

Planparallele Platte

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑣𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑒𝑏𝑢𝑛𝑔 =𝑑 sin(𝛼 − 𝛽)

cos 𝛽, 𝑆𝑐ℎ𝑒𝑖𝑛𝑏𝑎𝑟𝑒 𝐷𝑖𝑐𝑘𝑒 =

𝑑

𝑛

Polarisation

Gesetz von Malus

Für die Intensität des Lichts nach dem Durchgang durch zwei Polarisatoren.

𝐼 = 𝐼0 ∙ cos2(𝛼)

Nach der Gleichung 𝐼 = 𝜖0 ∙ 𝑐 ∙ 𝐸2 ist 𝐼 proportional zu 𝐸2.

Brewster-Winkel

tan(𝛼𝐵𝑟) =𝑛1𝑛2

Für 𝑛1 als Brechungsindex für das Material, in das der Lichtstrahl einfällt und 𝑛2 aus dem er

kommt. Da 𝑛2 oft Vakuum oder Luft ist, ist es als 1 anzunehmen.

Beugung und Interferenz

Einzelspalt

sin(𝛼𝑚𝑎𝑥) = ±(𝑘 +1

2) 𝜆

𝑏 , sin(𝛼𝑚𝑖𝑛) = ± 𝑘

𝜆

𝑏

Doppelspalt

sin(𝛼𝑚𝑎𝑥) = ± 𝑘𝜆

𝑑 , sin(𝛼𝑚𝑖𝑛) = ±(𝑘 +

1

2) 𝜆

𝑑

Beugungsgitter

sin(𝛼𝑚𝑎𝑥) = ± 𝑘𝜆

𝑔

Kreisförmige Öffnung

sin(𝛼1.𝑚𝑖𝑛) = 0,610𝜆

𝑟, sin(𝛼2.𝑚𝑖𝑛) = 1,116

𝜆

𝑟, sin(𝛼3.𝑚𝑖𝑛) = 1,619

𝜆

𝑟

Linsen und Linsensysteme

Brennweite

1

𝑓′= 𝐷′ = (

𝑛𝐿𝑢𝑝𝑒

𝑛𝑎𝑢ß𝑒𝑛− 1) (

1

𝑟𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠−

1

𝑟𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠) ,

1

𝑓′=1

𝑎′−1

𝑎

Systeme dünner Linsen

1

𝑓′=1

𝑓1+1

𝑓2 𝑏ei vernachlässigbarem 𝑑,

1

𝑓′=1

𝑓1′ +

1

𝑓2′ −

𝑑

𝑓1′𝑓2′ bei sehr kleinem 𝑑

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Abbildungsmaßstab

𝑀 =𝑦′

𝑦=𝑎′

𝑎, 𝑀 =

𝑎′

𝑓′+ 1

Für konkave Linsen, also Streulinsen, müssen die Abbildungsmaßstäbe und Brennweiten mit

einem negativen Vorzeichen versehen werden. Der Abbildungsmaßstab kann für Systeme

verwendet werden, so man das Bild der ersten Linse in der zweiten Gleichung als „Gegen-

stand“ einsetzt.

Zum Zeichnen der Systeme bietet es sich an die Strahlen durch den Brennpunkt und durch

den Linsenmittelpunkt zu wählen. Der durch den Brennpunkt kommt hinter der Linse gerade

wieder heraus, der andere wird nicht abgelenkt. Am Schnittpunkt entsteht das Bild. Bei

Streulinsen ist zu beachten, dass der Brennpunktstrahl „zurückgeworfen“ wird, also nicht

hinter, sondern vor der Linse weiter einzuzeichnen ist.

Lupe

Für ein auf die Bildweite 𝑎′ < ∞ akkommodiertes Auge und 𝜎0 als Winkel von Gegenstands-

höhe zu Linsenmitte bzw. 𝜎 als Winkel von Linsenmitte zur Bildhöhe gilt:

Γ =tan𝜎

tan 𝜎0=𝑎𝐵𝑎

Für ein nicht akkommodiertes Auge gilt:

Γ =𝑎𝐵𝑓′=

𝑎𝐵 𝑓′ ⏟meistens

Mikroskop

Γ = 𝛽𝑜𝑏Γ𝑜𝑘 =𝑡 𝑎𝐵𝑓𝑜𝑏𝑓𝑜𝑘

Kepler’sches Fernrohr

Γ =tan𝜎

tan 𝜎0=𝑓𝑜𝑏𝑓𝑜𝑘, 𝑙 = 𝑓𝑜𝑏 + 𝑓𝑜𝑘

Galilei’sches Fernrohr

Γ =tan𝜎

tan 𝜎0=𝑓𝑜𝑏𝑓𝑜𝑘, 𝑙 = 𝑓𝑜𝑏 − |𝑓𝑜𝑘|

Beugungsscheibchen

𝑟

𝑓′=𝑅

𝑎

Auflösungsgrenze

𝛼 = 0,61𝜆

𝑅, 𝑑𝑚𝑖𝑛 = 0,61

𝜆

𝑛 sin 𝛼= 0,61

𝜆

𝐴

𝑑𝑚𝑖𝑛 = 𝑠0 ∙ tan 𝛼𝑚𝑖𝑛

Phasensprung

Bei dem Eintritt in ein optische dichteres Medium gibt es einen Phasensprung von 𝜋.

Fotoapparat, Projektor

Ö =𝐷′

𝑓′,

1

𝑘=𝑑

𝑓′

Eintrittspupille

Eintrittspupille = 𝑡 ∙ Ö2

Öffnungsverhältnis und Blendenzahl, wobei 𝑑 der Durchmesser des Strahlenbündels ist.

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Elektrostatik

Grundsätzliches

𝐸 Elektrische Feldstärke

𝐹 Elektrische Feldkraft

𝑄, 𝑞 Ladung

𝐶 Kapazität

𝑟 Radius, Abstand

𝐴 Fläche, Kondensatorplattenfläche, Querschnitt

𝑙 Länge

𝑊 Arbeit

𝑃 Leistung

𝜖0 Elektrische Feldkonstante

𝜖𝑟 Dielektrizitätskonstante eines Mediums

𝑈 Spannung

𝜎 Flächenladungsdichte

𝐺 Leitwert eines Widerstandes

Grundgleichungen

𝑄 = 𝐶 ∙ 𝑈, 𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼, 𝐹 = 𝑞 ∙ 𝐸

Grundsätzliche Elektrostatik

Coulomb’sches Gesetz

𝐹 =1

4 𝜋 𝜖𝑟𝜖0

𝑄1𝑄2𝑟2

Elektrische Arbeit

𝑊 =𝐶 ∙ 𝑈2

2

Flächenladungsdichte

𝜎 =𝑄

𝐴= 𝜖𝑟𝜖0 ∙ 𝐸

Kondensator

𝐸 =𝑈

𝑑, 𝐶 =

𝑄

𝑈= 𝜖𝑟𝜖0 ∙

𝐴

𝑑

Parallelschaltung

𝐶𝑔𝑒𝑠 = 𝐶1 + 𝐶2 +⋯

Serienschaltung

1

𝐶𝑔𝑒𝑠=1

𝐶1+1

𝐶2+⋯

Potentiale

Kugel

𝑈 =𝑄

4𝜋𝜖0𝑟, 𝐸 =

𝑈

𝑟

Widerstände

Mehr Informationen sind zu finden unter Widerstand (Seite 109 und folgende).

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𝑅 =𝑈

𝐼, 𝐺 =

1

𝑅

Serienschaltung, Parallelschaltung (siehe Seite 109)

∑𝑅𝑖𝑖

= 𝑅𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡 , ∑𝐺𝑖𝑖

= 𝐺𝑔𝑒𝑠 ∨ 1

∑1𝑅𝑖

= 𝑅𝑔𝑒𝑠

Stromberechnung bei Parallelschaltung: 𝑅1

𝑅1+𝑅2∙ 𝐼.

Kirchhoff’sche Gesetze (siehe Seite 109)

In einem Knotenpunkt einer Schaltung ist die Summe aller Ströme gleich 0.

In einer Leitungsmasche einer Schaltung ist die Summe der Spannungen gleich 0.

Widerstand eines Leiters

𝑅 =𝜌 ∙ 𝑙

𝐴, 𝜌 ist spezifischer Widerstand

Stationäre elektrische Ströme

Grundsätzliches

𝐸 Elektrische Feldstärke

𝐹 Elektrische Feldkraft

𝑄, 𝑞 Ladung

𝐶 Kapazität

𝑟 Radius, Abstand

𝐴 Fläche, Kondensatorplattenfläche

𝑊 Arbeit

𝑃 Leistung

𝜖0 Elektrische Feldkonstante

𝜖𝑟 Dielektrizitätskonstante eines Mediums

𝑈 Spannung

𝜎 Flächenladungsdichte

𝑗 Stromdichte

Grundgleichungen

𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼, 𝑊 = 𝑄 ∙ 𝑈

Stromdichte

𝑗 =𝐼

𝐴, 𝐴 ist Querschnitt eines Leiters

Elektrolyse, Galvanotechnik

𝑒 ∙𝑁𝐴𝑚Ä=𝐼 ∙ 𝑡

𝑚, 𝑚Ä =

𝑚𝐴𝑧 mit 𝑧 als Wertigkeit der beteiligten Ionen

Thévenin-Theorem (Satz von Helmholtz)

Für eine Schaltung mehrerer unabhängiger geregelter Strom- und Spannungsquel-

len: Die Summe der Ströme bei Einzelbetrachtung der Quellen ergibt den Gesamt-

strom. Unbeachtete Stromquellen werden als offene Leiter, unbeachtete Spannungs-

quellen als Kurzschluss erachtet.

Siehe auch Überlagerungsprinzip nach Helmholtz, Seite 111.

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Magnetfeld, Kräfte von Magnetfeldern, Elektromagnetische Induktion

Grundsätzliches

𝑟 Radius, Abstand

𝐴 Fläche

𝑊 Arbeit

𝑃 Leistung

𝐻 magnetische Feldstärke

𝐵 magnetische Flussdichte

Φ magnetischer Fluss

Grundgleichungen

Für das homogene Magnetfeld

𝐻 =𝑁 ∙ 𝐼

𝑙, 𝐵 = 𝐻 ∙ 𝜇0

Im allgemeinen Fall

Φ = ∫ 𝐵 𝑑𝐴, ∮ 𝐻 𝑑𝑙 = 𝐼𝑜𝑓𝑡⇒ 𝐻 =

𝐼

2 𝜋 𝑟

Oft verwendet in Bezug auf 𝑇 = �� × ��, 𝑊𝑝𝑜𝑡 = −(�� × ��) und 𝑚 = 𝜇0 𝐼 𝐴.

Kreisförmiger Leiter

𝐻 =𝐼

2 𝑟

Ablenkkräfte, Lorenzkraft

𝐹𝐿 = 𝐼 𝐵 𝑙

𝐹𝐿 = 𝑄 𝑣 𝐵

Zusammenhang zum elektrischen Feld

�� = �� × ��

Teils verwendet für Scheibe mit 𝐸 =𝑈

𝑟→ 𝑈 = ∫ 𝐸 𝑑𝑟 und 𝑣 = 𝜔 𝑟, also 𝑈 = ∫ 𝜔 𝑟 𝐵 𝑑𝑟 auch mit

𝜔 = 𝑓 2 𝜋.

Induktionsspannung

Für einen bewegten Leiter

𝑈𝑖𝑛𝑑 = −𝐵 𝑙 𝑣

Halleffekt

𝑈𝐻 =1

𝑛 ∙ 𝑒

𝐼 ∙ 𝐵

𝑑 | 𝑛 =

𝑁𝐴 𝜌

𝑚𝐴

Induktivität

𝐿 = 𝜇𝑟 𝜇0𝑁2𝐴

𝑙

Selbstinduktion

𝑈𝑖𝑛𝑑 = −𝐿𝑑𝐼

𝑑𝑡= −𝑁

Δ𝐼

Δ𝑡

Arbeit

𝑊𝑚𝑎𝑔 =1

2𝐿 𝐼2 =

1

2𝐶 𝑈2

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Wechselstrom

Grundgleichungen

𝑈𝑒𝑓𝑓 =𝑈0

√2, 𝐼𝑒𝑓𝑓 =

𝑈𝑒𝑓𝑓

𝑅

Schwingkreise

Das Zeigerdiagramm zur Bestimmung des Phasenwinkels wird bei Serienschaltung mit 𝐼 als

Konstante ausgeführt. Entsprechend ist 𝑈 verschoben. Bei Induktivitäten eilt der Strom

nach, bei Kondensatoren eilt er vor (Bei Induktivität kam der Strom zu spät, beim Konden-

sator geht der Strom vor). Das Zeigerdiagramm wird also mit 𝑈𝑅 bzw. 𝑅 nach rechts und 𝑋𝐿 nach oben (Spannung früher, positiver Winkel 𝜑) respektive 𝑋𝐶 nach unten angeführt. 𝑍 ist der resultierende Vektor. Bei paralleler Schaltung wird 𝑈 fixiert und 𝐼 variiert.

RC-Kreis

𝑍2 = 𝑅2 + 𝑋𝐶2

𝑈0 = 𝑈𝑅(𝑡) + 𝑈𝐶(𝑡) ⟹ 𝑈𝑅(𝑡) = 𝑈0𝑒−𝑡𝑅𝐶

Ladung des Kondensators:

𝐼(𝑡) = 𝐼0 (1 − 𝑒𝑡𝑅𝐶)

RL-Kreis

𝑍2 = 𝑅2 + 𝑋𝐿2

RCL-Kreis

𝑋𝐿 =1

𝜔 𝐿=𝑈𝐿𝐼𝐿, 𝑋𝐶 = 𝜔 𝐶 =

𝑈𝐶𝐼𝐶

𝑍 = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2

𝜑 = 𝜑𝑈 − 𝜑𝐼

Eine Schaltung mit 𝑋𝐿 > 𝑋𝐶 wird mit einem induktiven Verhalten bezeichnet, bei 𝑋𝐶 > 𝑋𝐿 ist es

ein kapazitatives Verhalten.

Wichtig: Der Strom kann anhand 𝑅 = 𝑈 𝐼⁄ am Widerstand stets berechnet werden.

Impedanzen

Die Impedanz ist das Pendant des ohmschen Widerstands 𝑅 im Wechselstromkreis. Sie wird

stets mit 𝑍 betitelt.

𝑍𝐶 = −𝑖

𝜔𝐶=1

𝑖𝜔𝐶, 𝑍𝐿 = 𝑖𝜔𝐿

Leistungen

𝑃𝑆 = 𝑈𝑒𝑓𝑓𝐼𝑒𝑓𝑓

𝑃𝐵 = 𝑃𝑠 sin 𝜑

𝑃𝑊 = 𝑃𝑆 cos𝜑

Arbeit

𝑊𝑒𝑙 =1

√𝐿 𝐶=1

2𝐶𝑈2 = 𝑄𝑈 (=

1

2𝐸𝐷𝑉)

𝑊𝑚𝑔 =1

2𝐿𝐼2 (=

1

2𝐻𝐵𝑉)

𝑊𝑅 = ∫𝑈 ∙ 𝐼 𝑑𝑡

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Transformator

Ü =𝑈2𝑈1

=𝑁2𝑁1⏟

𝑣𝑒𝑟𝑙𝑢𝑠𝑡𝑓𝑟𝑒𝑖

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Atom-, Kern- und Teilchenphysik

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Atom-, Kern- und Teilchenphysik Moderne Physik

Quantentheorie des Lichts

Schwarzkörperstrahlung und Plancks Gesetz

Plancksches Strahlungsgesetz

Max Planck führte Quantelung der Energie in seinem Strahlungsgesetz ein:

𝐸 = 𝑛 ∙ ℎ ∙ 𝜈

Das Gesetz gibt die spektrale spezifische Ausstrahlung eines schwarzen Körpers aus und

lässt sich in Frequenzdarstellung und Wellenlängendarstellung schreiben.

𝐼(𝜈) 𝑑𝜈 =2𝜋ℎ𝜈3

𝑐21

𝑒ℎ𝜈𝑘𝑇 − 1

𝑑𝜈

𝐼(𝜆) 𝑑𝜆 =2𝜋ℎ𝑐2

𝜆51

𝑒ℎ𝑐𝜆𝑘𝑇 − 1

𝑑𝜈

Rayleight-Jeans Gesetz

Dies folgt aus dem planckschen Strahlungsgesetz mit ℎ𝑐

𝜆≪ 𝑘𝐵𝑇 und der Näherung 𝑒𝑥 ≈ 1 + 𝑥

für kleine 𝑥.

𝐼(𝜆)𝑑𝜆 =2𝜋𝑐𝑘𝐵𝑇

𝜆4𝑑𝜆

Harmonischer Oszillator

Klassische Betrachtung Quantenmechanische Betrachtung

𝑊(𝑡)~1

𝑣

1

𝑇

𝑊 ist groß für 𝑣 → 0 𝑊 ist klein bei 𝑣 → 𝑚𝑎𝑥

Δ𝐸 = ℎ𝜈 → 𝐸 = (𝑛 +1

2) ℎ𝜈

Keine Energie gleich 0: 𝐸0 =1

2ℎ𝜈

Zu jedem Energiewert gibt es ei-

ne Wellenfunktion

Mit |Ψ𝑛|2 als Aufenthaltswahr-

scheinlichkeit ist diese überall ≠ 0

Als Beispiel: Ein Federpendel hat die Federkonstante 𝑘 = 10𝐽

𝑚, 𝑚 = 2𝑘𝑔 und wird um 𝐴 = 0,4 𝑚

ausgelenkt: 𝐸 =𝑘 𝐴

2= 2𝐽 → 𝑓 =

1

2𝜋 √

𝑘

𝑚= 0,35 𝑠−1 . Nun kann man über 𝐸 = 𝑛 ℎ 𝜈 die Anzahl der

„Quantenzustände“ errechnen.

Verallgemeinerte Betrachtungen

Klassische Betrachtung Quantenmechanische Betrachtung

𝐸 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡

1

2𝑚𝑝2 + 𝑈(𝑥)

𝑝 (Impuls)

𝑟 × 𝑝 (Winkelimpuls)

𝑖ℏ𝜕

𝜕𝑡 (Total-Energie-Operator)

1

2𝑚(−𝑡2

𝜕2

𝜕𝑥2) + 𝑈(𝑥) (Hamiltonoper-

ator)

𝑖

𝜕

𝜕𝑥 (Momentum-Operator)

𝑟 ×ℏ

𝑖∇ (Winkelimpuls)

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Atom-, Kern- und Teilchenphysik

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Photoeffekt

Man unterscheidet hier drei Arten:

Äußerer photoelektrischer Effekt (Hallwachs-Effekt)

Innerer photoelektrischer Effekt

Photoionisation (atomarer Photoeffekt)

𝐸 = ℎ ∙ 𝜈

ℎ ∙ 𝜈 = 𝐴 +𝑚𝑣2

2⏟𝐸𝑘𝑖𝑛

𝐴: Austrittsarbeit, 𝐸𝑘𝑖𝑛:Energie des davonfliegenden Teilchens

Die Beobachtungen ließen folgende Folgerungen zu:

Energie der 𝑒− ist eine Funktion der Frequenz: 𝐸 = 𝑓(𝜈)

Anzahl der 𝑒− ist eine Intensitätsfrage: 𝑁 = 𝑓(𝐼)

Der Stoßvorgang führt zu einer korpuskalen Eigenschaft des Lichts

Korpuskelbild

Das Teilechenbild Isaac Newtons nennt man Korpuskelbild.

Bestimmung der Planckkonstante

Mit Werten für die kinetische Energie und die Frequenz der Elektronen/Photonen, kann fol-

gender Weise die Planckkonstante und die Austrittsarbeit bestimmt werden:

Compton-Effekt

Dies Bezeichnet die Änderung der Wellenlänge eines Photons bei Interaktion mit einem

freien Elektron.

Δ𝜆 = 𝜆′ − 𝜆 =ℎ

𝑚𝑒 ∙ 𝑐⏟ 𝜆𝐶

(1 − cos 𝛽), 𝛽:Richtungsänderung des Photons

𝜆𝐶 wird auch als Compton-Wellenlänge bezeichnet.

Beim Compton-Effekt wird der Dualismus von Teilchen und Welle besonders deutlich. Die

Stroßeigenschaften sind wie beim Billard, die Geschwindigkeit des Photons aber bleibt gleich

– es ändert nur seine Wellenlänge.

Die Wellennatur von Teilchen

Nachweis von Elektronen und Atomen als Teilchen und Wellen

Kathodenstrahlung (Thomson-Experiment 1897)

In diesem Experiment wurde gezeigt, dass Kathodenstrahlung aus Elektronen besteht. Ent-sprechend werden sie abgelenkt (𝛼-Teilchen invertiert ebenfalls möglich). Gammastrahlung

wiederum wird nicht aktiv abgelenkt. Ergebnis ist ein Nachweis von Elektronen als Teilchen.

Es gilt 𝑣𝑥 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. und 𝑣𝑦 = 𝑎𝑦𝑡 =𝐹

𝑚𝑡 =

𝑒𝐸

𝑚=

𝑈𝑒

𝑚𝑑 respektive 𝑡 =

𝑙

𝑣𝑥, 𝑥𝑦 =

𝑈𝑒𝑙

𝑚𝑑𝑣𝑥.

𝐸𝑘𝑖𝑛1

𝑒𝑉

𝜈 ∙ 10141

𝐻𝑧

Austrittsarbeit 𝐴

Steigung der Gerade: ℎ

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Atom-, Kern- und Teilchenphysik

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Millikans Öltröpfchenversuch

Durch einen Zerstäuber werden Ladungen auf Tröpfchen aufgebracht. Hierauf werden sie im

Kondensator beobachtet und mittels Geschwindigkeit/Spannung auf die Ladung geschlos-

sen. Ergebnis war, dass die Ladung quantisiert ist.

Rutherfords Goldfolienversuch (1910)

Mit 𝛼-Teilchen (+2𝑒) beschossene Folie; durch Ablenkung mancher Teilchen wurden Rück-

schlüsse auf die Ladung der Atomkerne und die Größe dieser gezogen. Ergebnis war, dass

der Atomkern größer als die Elektronen sind, dass er dennoch klein im Atom und positiv ge-

laden ist.

Fraunhofer-Linien (1812)

Entdeckung des Absorptionsspektrums. Entdeckung, dass bei Brechung des Lichts durch

Glas das Spektrum nicht kontinuierlich ist, sondern bestimmte Wellenlängen fehlen (Be-

zeichnet als A-I). (Obwohl die Sonne ein schwarzer Strahler war, der also alle Wellenlängen

abstrahlt)

Kirchhoff-Linien (1859)

Versuch das Sonnenlicht zunächst durch Natriumchlorid-Dampf zu schicken und die D-Linien

Fraunhofers zu sehen. Später folgten daraufhin die Paschen-Serie, die Balmer-Serie und die

Lyman-Serie.

Bohrsches Atommodell

Bohr führte die quantisierten Bahnen um den Atomkern ein. Problematisch wegen der erhal-

tenen Energie auf den Bahnen, die aber durch elektromagnetische Abstrahlung eigentlich

nicht möglich ist (vgl. Maxwell-Gleichungen).

Die Coulombkraft wurde mit der Zentrifugalkraft gleichgesetzt und eine Geschwindigkeit zu-gewiesen, woraus eine Wellenlänge für jedes 𝑒− folgt. Die Begründung für bestimmte Quan-

tenbahnen war laut Bohr, dass die Welle eine stehende Welle auf der Kreisbahn ergeben

muss. Sprünge zwischen den Bahnen wird durch Absorption oder Abstrahlung elektromag-

netischer Strahlung möglich gemacht.

Teilchen als Welle

Die Relativitätstheorie ergibt für die Energie von Teilchen allgemein 𝐸2 = (𝑚𝑐2)2 + (𝑝𝑐)2. Louis

de Broglie fand für Teilchen die Formel 𝜆 =ℎ

𝑚𝑣.

Durch Streuung von Elektronen an einem Kristallgitter können Maxima und Minima nachge-

wiesen werden und damit kann einem Elektron eine Wellenlänge zugewiesen werden. Das

erste Maximum wurde bei Φ = 50° bei 𝑑 = 2,15𝐴 (Gitterabstand) gefunden und mittels

𝑑 sinΦ = 𝑛 𝜆 die Wellenlänge berechnet. Es gilt 𝑒𝑈 = 𝑒𝐸𝑑 =1

2𝑚𝑣2 → 𝑣 = √

2𝑒𝐸𝑑

𝑛→ 𝑝 = 𝑚𝑣 für 𝑝 als

Relativistischen Impuls. 𝑝 = 𝛾 𝑚0 𝑣 mit 𝛾 =1

√1−𝑣2

𝑐2

, wobei das 𝛾 gegen ∞ bei hohen Geschwin-

digkeiten strebt und 𝑚0 die Ruhemasse ist.

Kathodenstrahlinterferenz

Ausgehend vom Kathodenstrahlrohr wird hinter dem Kondensator eine Folie eingespannt.

Am Ende des Rohres ist eine Fluoreszenzschicht aufgebracht. Auch hier wird am Schirm ein

rundes Interferenzmuster gezeigt. Durch Änderung der Beschleunigungsspannung kann das

Muster variiert werden.

Betrachtungsweise als Lichtwelle

Interferenz

Brechung

Betrachtungsweise als Partikelwelle

Teilchengröße

De-Broglie-Wellenlänge

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Atom-, Kern- und Teilchenphysik

Nawi Graz Seite 98

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Weggeometrie

Wellenpakete und Dispersion

Welle mit unbestimmtem Ausmaß

𝑦 = 𝐴 cos(2𝜋

𝜆𝑥⏟𝑘

− 2𝜋𝑓⏟𝜔

𝑡)

𝑣𝑝 = 𝜆𝑓 =𝜔

𝑘 als Phasengeschwindigkeit.

Superposition zweier Wellen

𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 = 𝐴 cos(𝑘, 𝑥 − 𝜔, 𝑡) + 𝐴 cos(𝑘2𝑥 − 𝜔2𝑡) = 2𝐴 cos (Δ𝑘

2𝑥 −

Δ𝜔

2) cos (

𝑘1+𝑘2

2𝑥 −

𝜔1+𝜔2

2𝑡)

Mit Phasengeschwindigkeit 𝑣𝑝 =𝜔1+𝜔22

𝑘1+𝑘22

≈𝜔1

𝑘1= 𝑣1, sowie der dazugehörigen Gruppengeschwin-

digkeit 𝑣𝑔 =𝜔2−𝜔12

𝑘2−𝑘12

=Δ𝜔

Δ𝑘.

Fouriertransformation

Man versucht eine Transformation zwischen einer ortsabhängigen Welle und ihrer Wellen-

zahl 𝑘 =2𝜋

𝜆 zu berechnen. Dies ist als Approximation möglich. Siehe Formelsammlung Ma-

thematik.

Dispersion

Frequenz bleibt gleich, Wellenlänge ändert sich und damit die Geschwindigkeit.

Teilchengeschwindigkeit eines Teilchens beschreibt sich gleich wie die Gruppengeschwindig-

keit im Wellenmodell: 𝐸

𝑝= 𝑣𝑝 =

𝛾 𝑚 𝑐2

𝛾 𝑚 𝑣𝑇𝑒𝑖𝑙=

𝑐2

𝑣𝑇𝑒𝑖𝑙.

In der Praxis konstruiert man Wellenpakete in der Form einer Gaußfunktion.

Ψ𝑘(𝑥, 𝑡) = 𝑎 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡), Paket ∫ 𝑎(𝑘)𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔(𝑘)𝑡)𝑑𝑘

−∞

Heisenbersche Unschärferelation

Δ𝑥Δ𝑝 ≥ℏ

2

Möglichkeit eine Welle örtlich zu bestimmen

Freie Welle ist unendlich, ein Wellenpaket ist lokalisierbar.

𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = |𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥

Wobei die Wahrscheinlichkeit 𝜓(𝑥) sei. Bezogen auf ein Intervall [𝑎, 𝑏]:

𝑃𝑎𝑏 = ∫|𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Eine Normalisierung wird durch folgenden „trivialen“ Schluss gegeben: ∫ |𝜓(𝑥)|2𝑑𝑥∞

∞= 1. So-

mit ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit definiert.

Youngsches Doppelspaltexperiment

Bei Einzelspalten entsteht eine normale Verteilungskurve bei Elektronen. Bei Doppelspalt kann ein Interferenzmuster beobachtbar werden. |𝜓1 + 𝜓2|

2 = |𝜓1|2 + |𝜓2|

2 + 2|𝜓1||𝜓2|. Interfe-

renzmuster verschwindet, sobald man einen Detektor an einem/beiden Spalt/Spalten ver-

wendet.

Welle-Teilchen-Dualismus

Welle: Materie:

𝐸 = ℎ𝑣 𝐸 = ℎ𝑣 = ℏ𝜔

𝑝 =ℎ𝑣

𝑐 𝑝 =

𝜆= ℏ𝑘

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Tunneleffekt

Die Auftragung eines Teilchens als Welle und damit als Aufenthaltswahrscheinlichkeit relativ

zum Ort lässt ein Teilchen eine Potentialbarriere mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit

überwinden. Innerhalb der Barriere nimmt eine Wellenfunktion exponentiell ab, erreicht

damit aber nie 0.

Rastertunnelmikroskop

Das Rastertunnelmikroskop (RTM) macht sich den Tunneleffekt zu nutze. Hier wird der

Strom, der zwischen einer feinen, einatomigen Spitze und der Oberfläche des zu überprü-

fenden Materials durch tunnelnde Elektronen fließt, gemessen. Je nach Entfernung ändert

sich die Wahrscheinlichkeit für das Tunneln und der Abstand kann zurückgerechnet werden.

Wellenmechanik und die Schrödingergleichung

Wellenfunktionen freier Teilchen und Teilchen unter Einwirkung einer Kraft

Schrödingergleichung

−ℏ2

2𝑚

𝜕2Ψ

𝜕𝑥2+ 𝑈(𝑥)Ψ = 𝑖ℏ

𝜕Ψ

𝜕𝑡

Mit den Überlegungen −ℏ2

2𝑚

𝜕2Ψ

𝜕x2+ 𝑈(𝑥)Ψ = 𝑖ℏ

𝜕Ψ

𝜕𝑡 und Ψ(𝑥, 𝑡) = Ψ(𝑥)𝑒𝑖𝜔𝑡 ergibt sich die zeitunab-

hängige Schrödingergleichung mit 𝑈 als potentieller Energie.

ΔΨ +2𝑚

ℏ2(𝐸 − 𝑈)Ψ = 0, Δ: Laplace-Operator

Ψ stellt die Wellengleichung dar, Δ den Laplace-Operator, ℏ = ℎ/2𝜋 , 𝐸 = 𝐸𝑔𝑒𝑠 , 𝑈 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 und

Ψ(x,y,z,t) hängt über 𝑒−𝑖𝜔𝑡Ψ(𝑥,𝑦,𝑧), angenommen als periodische Schwingung, zusammen.

Lösung für das H-Atom

𝑈 =1

4𝜋𝜖0

𝑍𝑒2

𝑟 stellt das Potential im Coulombfeld dar. Umformen in Kugelkoordinaten folgt. Die

Randbedingungen sind:

Eindeutigkeit (Ψ(𝑟,𝜑,𝜃) = Ψ(𝑟,𝜑+2𝜋,𝜃+2𝜋))

Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Unendlichen ist Null (lim𝑟→∞Ψ(𝑟,𝜑,𝜃) = 0)

Normierung (∫ ∫ ∫ ΨΨ∗𝑑𝜏𝜋

𝜃=0

2𝜋

𝜑=0

𝑟=0= 1 mit |Ψ|2 = ΨΨ∗ als Aufenthaltswahrscheinlichkeit)

Zerlegung in Produkt Ψ = 𝑅𝑟𝑌𝜑,𝜃 (radiale und azimutale Eigenfunktion). Danach werden die

Winkelteile separiert. Nun kann man die Teile aus Konstanten setzen. Jeder Teil ist einzeln

lösbar und man erhält drei einfache Differentialgleichungen.

U

𝑥

U: Aufenthaltswahrscheinlichkeit

𝑥: Entfernung

𝑥 𝐸

𝑥 𝐸

Tunneln er-möglicht Energielevel

der Elektronen

potentielle Energie 𝐸-Feld

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Atom-, Kern- und Teilchenphysik

Nawi Graz Seite 100

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Zeemann-Effekt

Der Zeeman-Effekt ist die Aufspaltung von Spektrallinien durch ein Magnetfeld. Er entsteht

durch die unterschiedliche Verschiebung von Energieniveaus einzelner Zustände unter dem

Einfluss eines äußeren Magnetfelds.

Landé-Faktor

Der Landé-Faktor 𝑔 (auch gyromagnetischer Faktor / 𝑔 -Faktor) ist für ein Atom, einen

Atomkern oder ein Elementarteilchen das Verhältnis des gemessenen magnetischen Mo-

ments zu dem magnetischen Moment, das bei dem vorliegenden Drehimpuls nach der klas-

sischen Physik theoretisch zu erwarten wäre. Ein negativer g-Faktor zeigt an, dass das

magnetische Moment zur erwarteten Richtung entgegengesetzt ist. (Siehe dafür auch Quan-

tenzahlen, Seite 103, und Russel-Saunders-Kopplung (𝐿𝑆-Kopplung) und 𝑗𝑗-Kopplung, Seite

104).

Landé-Formel

𝑔𝑗 = 1 +𝑗(𝑗 + 1) − 𝑙(𝑙 + 1) + 𝑠(𝑠 + 1)

2𝑗(𝑗 + 1)

Anomaler Zeeman-Effekt

Dies ist der häufiger auftretende Effekt. Hier werden die Spektrallinien in mehr als drei Li-

nien aufgespaltet, oft in gerader Anzahl (Quartett, Sextett usw.). Zur Deutung muss der Spin herangezogen werden. Dieser nach ist zwar nur halb so groß wie die Einheit ℏ des

Bahndrehimpulses, trägt aber mit der gleichen Stärke der magnetischen Wirkung bei. Beim

anomalen Zeeman-Effekt treten also Bahn- und Spinmagnetismus auf.

Normaler Zeeman-Effekt

Aufspaltung in 3 Komponenten (Singulett-Terme). Der Landè-Faktor ist 𝑔 ≠ 𝑓, die Abstände

der Subniveaus sind alle gleich.

Paschen-Back-Effekt

Dieser Effekt beschreibt die Entkopplung von Spin- und Bahndrehimpulsen beim Anlegen ei-

nes starken magnetischen Feldes. Ein Spektrum mit anomalem Zeeman-Effekt geht somit in

ein Spektrum mit normalem Zeeman-Effekt über. Ein Magnetfeld ist als „stark“ zu bezeich-

nen, wenn 𝜇𝐽 ∙ 𝐵 > Δ𝐸𝐹𝑆 =𝑎

2[𝐽(𝐽 + 1) − 𝑆(𝑆 + 1) − 𝐿(𝐿 + 1)] gilt.

Stark-Effekt

Dies ist die Analogie des Zeeman-Effekts für elektromagnetische Felder.

Röntgenstrahlung

Bei einer Röntgenröhre werden die Elektronen auf eine schräg angelegte Anode beschleu-

nigt und dort abgebremst. Etwa 99% der Energie wird in Wärme umgewandelt (meist muss

die Anode gekühlt werden). Es ist sozusagen die Umkehrung des äußeren Photoeffekts.

𝐸 = 𝑄𝑈 = 𝑒𝑈 = ℎ𝜈 = ℎ𝑐

𝜆𝑚𝑖𝑛

Ein Elektron kann maximal seine kinetische Energie als Bremsstrahlung abgeben. Deshalb

gibt es 𝜆𝑚𝑖𝑛 als Minimalwert für die austretende Strahlung.

Bremsstrahlung

Die Elektronen werden gemäß ihrer Geschwindigkeitsverteilung abgebremst und senden da-

bei senkreicht kontinuierliche Strahlung aus. Bei „Herausschießen“ eines Elektrons eines

Anodenatoms wird außerdem in der entsprechenden Frequenz der Übergänge beim wieder

Auffüllen auf die niederenergetischen Bahnen eine charakteristische Strahlung ausgesandt.

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Braggsche Reflexion

Trifft Röntgenstrahlung auf einen Kristall, so wird dieser zwar von einem Großteil der Strah-

lung ungehindert durchdrungen, allerdings wird auch beobachtet, dass Strahlungsanteile

durch den Kristall abgelenkt werden (Röntgenbeugung). Ursache für die Beugung ist die Re-

flexion an den Gitterebenen (Atomabstand 𝑑) des Kristalls, wobei die Strahlung nur in sol-

che Richtungen reflektiert wird, in denen die Bragg-Gleichung erfüllt wird. Der Winkel 𝜑 be-

zeichnet den Einfallswinkel hin zur Horizontalen.

𝑘𝜆 = 2𝑑 sin 𝜑 , 𝑘: Für das k-te Maximum

De Broglie-Wellenlänge

𝜆 =ℎ

𝑚𝑣

Energetische Atomtheorie

Atommodelle

Im Laufe der Jahre hatten sich verschiedene Atommodelle etabliert, die auch heute noch

Anwendungen finden.

Thomsonsches Atommodell

Auch „Rosinenkuchenmodell“ genannt geht es von einem (nicht zwangsläufig) kugelformi-

gen Volumen aus, in dem die positive Ladung frei verteilt und kontinuierlich ist. Die negati-

ven Elektronen stecken wie Rosinen in diesem Gebilde. Es zeigte sich, dass zunächst deut-

lich weniger Elektronen vorhanden sein würden, als Thomson meinte, und mit Rutherfords

Streuversuch war das Modell hinfällig.

Rutherfords Atommodell

Ausgehend von seiner Entdeckung, dass Atome zu sehr großem Prozentsatz leer sein müs-

sen, entwickelte er das Modell von einem positiv geladenen Kern und frei darum schwirren-

den Elektronen (ohne deren Bahnen genau zu definieren).

Bohrsches Atommodell

Bohr ging von Rutherfords Modell aus und setzte zwei Postulate in Kraft, die das Modell

deutlich veränderten und führte dabei Quantenzahlen ein.

Die Elektronen nehmen feste Bahnen ein (nach Bohrschem Radius, siehe XXXXXX) und

laufen ohne Beschleunigungsabstrahlung um den Kern herum.

Die Differenz zwischen den Bahnen wird beim Übergang als Energie frei bzw. benötigt.

Dies erklärte sowohl die Spektren der Atomabstrahlung von 𝛾-Quanten, als auch die festen

Bindungsenergien der Elektronen. Das Modell wird heute, wegen der einfachen Vorstel-

lungsmöglichkeit, weitgehend verwendet.

𝜆

𝐼(𝜆) charakteristische

Strahlung

Bremsstrahlung

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Bohr-Sommerfeldsches Atommodell

Sommerfeld erweiterte das Atommodell Bohrs mit Ellipsenbahnen, um eine weitere Quan-

tenzahl einführen zu können. Dies war zugleich einer der letzten Versuche, sich gegen die

Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu wehren.

Orbitalmodell

Fußend auf Schrödingers Gleichungen ist das Orbitalmodell das heute in der Chemie und

Physik meist betrachtete. Es geht von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten aus und gibt bessere

Antworten auf die Bindungsenergien der Elektronen. Es ist ein fundamentaler Bestandteil

der Ideen der Quantenmechanik.

Frank-Hertz-Versuch

In einem evakuierten Körper, mit Heitzkathode, Gitter und Anode, werden Elektronen zum

Gitter beschleunigt (𝑈𝐵: Beschleunigungsspannung) und müssen danach eine Bremsspan-

nung überwinden. In der Röhre befinden sich Quecksilberatome. Diese werden ab einer be-

stimmten kinetischen Energie angeregt und die Elektronen abgebremst. Erhöht man die Be-schleunigungsspannung weiter, tritt der Effekt mehrmals auf. Den Anodenstrom 𝐼𝐴𝑛𝑜𝑑𝑒 misst

man und erhält das folgende Diagramm. Hiermit ist der Nachweis vollbracht, dass Atome

nur diskrete Energien (und kein Kontinuum) aufnehmen können bzw. abgeben.

Absporptionskante

Der Absorptionskoeffizient 𝜇 ist in der Extinktionsformel 𝐼(𝑥) = 𝐼0𝑒−𝜇𝑥 enthalten.

Bohrscher Atomradius

𝑟𝑛 = 4𝜋𝜖0ℏ2

𝑚𝑒 ∙ 𝑒2𝑛2

Radiale Elektronendichte

Die radiale Elektronendichte beschreibt die Verteilung der Wahrscheinlichkeit eines Elekt-rons. Hier aufgeführt sind die Orbitalstrukturen für 1S, 2S und 3S mit 𝑙 = 0 (man könnte mit

2P, 3P und 1D ergänzen). Der Bohrsche Radius ist stets bei den ersten Füllungen (S1, P1,

D1, F1) zu finden und befindet sich an der Stelle der höchsten Wahrscheinlichkeit.

UB

IAnode

1. Anregung

2. Anregung

𝐸𝐴 2 ∙ 𝐸𝐴

𝐸𝐴: Anregungsenergie 𝑈𝐵: Beschleunigungsspannung

λ

𝜇

L-Kante

K-Kante

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Bei 𝑙 = 0 finden sich also genau so viele Maxima wie die Hauptquantenzahl 𝑛 . Für alle

𝑙 = 𝑛 − 1 gibt es genau ein Hauptmaximum auf der Höhe des Bohrschen Atomradius.

Der 4S-Zustand hat sein Maximum deutlich weiter außen, als der 3D-Zustand. Dennoch ist

er stärker gebunden; erklärt wird das durch ein Nebenmaximum in Kernnähe.

Rydberg-Konstante 𝑅∞

Mit der Rydberg-Formel lassen sich die Frequenzen der Spektrallinien eines Atoms errech-

nen. Die spezifische Rydberg-Konstante ist definiert durch 𝑅 =𝑅∞

1+𝑚𝑒𝑀

, wobei 𝑀 die Masse des

Atomkerns ist und 𝑅∞ =𝑒4𝑚𝑒

8𝜖02ℎ3𝑐

= 10973731,5.

Δ𝐸 = 𝐸′ − 𝐸 = ℎ ∙ Δ𝜈 = 𝑅∞ℎ𝑐 (1

𝑛′2−1

𝑛2)

Δ𝜈 =1

𝜆= 𝑅∞ (

1

𝑛′2−1

𝑛2)

Quantenzahlen

Für die Beschreibung von Orbitalen und der Elektronenkonfiguration gibt es diverse Quan-

tenzahlen.

Benennung Werte Beschreibung

Hauptquantenzahl: 𝑛 1⏟𝐾

, 2⏟𝐿

, 3⏟𝑀

, 4⏟𝑁

, … Schale

Nebenquantenzahl: 𝑙 0⏟𝑠

, 1⏟𝑝

, 2⏟𝑑

, 3⏟𝑓

, … , 𝑙 < 𝑛 Orbitaltyp, |𝐿𝑙 | = √𝑙(𝑙 + 1)ℏ

Mag. Drehimpulsquantenzahl: 𝑚𝑙 0,±1,±2,±3,… ,𝑚𝑙 ≤ 𝑙𝑚𝑎𝑥 Orientierung im Raum,

Projektion des Bahndreh-impulses auf die 𝑧-Achse

Spinquantenzahl: 𝑠 ±1

2 Eigenschaft des Elekt-

rons, |𝐿𝑠 | = √𝑠(𝑠 + 1)ℏ

Magn. Spinquantenzahl: 𝑚𝑠 ±1

2 Projektion des Eigendreh-

impulses auf die 𝑧-Achse

Die Quantenzahlen 𝑚𝑙 und 𝑚𝑠 sind die Orientierungsquantenzahlen für 𝑙 und 𝑠. Der Betrag

ist immer |𝐿𝑞| = √𝑞(𝑞 + 1)ℏ. Für die 𝑧-Komponente gilt |𝐿𝑞𝑧| = 𝑚𝑞ℏ.

Die Nebenquantenzahl 𝑙

Diese Quantenzahl wurde rein mathematisch zunächst bei der Lösung der Schrödingerglei-chung als Separationskonstante eingeführt; 𝐴 = 𝑙(𝑙 + 1). Für den Bahndrehimpuls ergibt sich

die Operatorgleichung |𝐿𝑒| Ψ = |𝐿𝑒|Ψ und es zeigte sich, dass dies dem Winkelanteil der sepa-

rierten Energiegleichung entspricht. Die Lösung konnte übernommen werden und es gilt

|𝐿𝑒| = √𝑙(𝑙 + 1)ℏ mit 𝑙 = {0,1,2, … , 𝑛 − 1}.

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Stern-Gerlach-Experiment

Dieser Versuch wurde mit Silberatomen getätigt. Diese wurden durch ein senkrecht zur

Flugrichtung inhomogenes Magnetfeld geschickt. Das Ergebnis waren zwei getrennte Strah-

len mit betragsgleicher und entgegengerichteter Ablenkung.

Das Atom ist vom magnetischen Moment des äußersten Elektrons abhängig. Da die Lorenz-

Kraft so viel stärker ist, ist dies mit reinen Elektronen nicht zu messen. Aus 𝐹 = 𝜇𝑠𝑧𝑑𝐻

𝑑𝑧, ge-

messenem 𝐹 und bekanntem 𝑑𝐻/𝑑𝑧 ergibt sich |𝜇𝑠𝑧| = 𝜇𝐵 als Ergebnis des Versuchs. Nun

weiß man: |𝜇𝑠𝑧| =𝑔𝐿𝑠𝑧𝜇𝑏

ℏ= 2

𝜇𝐵

ℏ𝑚𝑠ℏ = 2𝑚𝑠𝜇𝐵. Im Vergleich mit dem Ergebnis ist klar: |𝑚𝑠| = 1/2.

Der Spin muss also halbzahlig sein.

Das Problem des 𝑁𝐴-Atoms

Beim Natriumatom musste die Bindungsenergie des Leuchtelektrons erklärt werden. Diese

ist durch die bohrschen Bahnen nicht klar zu berechnen.

Klassische Erklärung

Das Elektron befindet sich auf einer „Tauchbahn“; es taucht in den 𝑒−-Bereich des Atoms

weiter ein und erfährt dabei eine höhere Bindungsenergie.

Quantenmechanische Erklärung

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons ist die Erklärung. Das 3s-Elektron hat ein

Maximum nahe des Kerns. Das Hauptmaximum ist zwar weiter außen, als das beim 3d, das

kernnahe Maximum erfährt aber eine höhere Bindungsenergie, weil es weniger durch ande-

re Elektronen abgeschirmt ist.

Singulett und Triplet

Beim He-Atom

Russel-Saunders-Kopplung (𝐿𝑆-Kopplung) und 𝑗𝑗-Kopplung

Die inneren Elektronen, die eine abgeschlossene Schale bilden, addieren sich zum Gesamt-drehimpuls 0 und zum Gesamtspin 0. Die Wirkung dieser abgeschlossenen Schale(n) zu-

sammen mit dem Potential des Kerns auf die äußeren Valenzelektronen kann durch ein

Zentralpotential 𝑈(𝑟) ausgedrückt werden.

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𝐿𝑆-Kopplung

Gesamtdrehimpuls und Gesamtspin sind beschrieben durch �� = ∑ 𝑙𝑖𝑖 und 𝑆 = ∑ 𝑠𝑖𝑖 . Dann erst

tritt die schwache Spin-Bahn-Wechselwirkung 𝐻𝑠𝑙 auf und für den Gesamtdrehimpuls gilt

𝐽 = �� + 𝑆. Dies gilt für die meisten Atome (alle leichten).

𝑗𝑗-Kopplung

Hier herrscht die Spin-Bahn-Kopplung des einzelnen Elektrons vor: 𝑗𝑖 = 𝑙𝑖 + 𝑠𝑖. Nun koppeln

die 𝑗𝑖 zum Gesamtdrehimpuls mit 𝐽 = ∑ 𝑗𝑖𝑖 .

Mathematische und physikalische Betrachtung

Rein mathematisch geben beide Varianten dasselbe Ergebnis; der Gesamtdrehimpuls bleibt

Erhaltungsgröße. Doch durch die Art der Addition wird klar, welche Wechselwirkung domi-nierend ist. Die 𝐿𝑆-Kopplung findet sich in der unteren Grafik links, die 𝑗𝑗-Kopplung rechts.

Dipole

Die Übergangswahrscheinlichkeit beim Dipol ist mit folgender Formel anzugeben:

𝐴��,𝑛~ |∫Ψ𝑛𝑒𝑟 Ψn 𝑑𝜏|2

Ψ𝑛 ist dabei die Wellenfunktion des ersten Zustands, Ψn die des zweiten. 𝑒𝑟 ist das klassische

Dipolmoment.

Die Übergangswahrscheinlichkeit ist nur dann von 0 verschieden, wenn:

Δ𝑙 = ±1 (Paritätswechsel)

Δ𝑗 = 0,±1

Δ𝑚𝑗 = 0,±1

Δ𝑠 = 0

Radioaktivität

Kernmodelle

Für beide Modelle gilt: 𝐺𝐺-Kerne sind am stabilsten (kein Drehimpuls 𝐼), 𝑈𝑈-Kerne am in-

stabilsten. Experimentell wurde herausgefunden, dass ab Kernladungszahl 𝑍 = 7 keine stabi-

len 𝑈𝑈-Kerne mehr existieren; das heißt, es gibt nur vier stabile solche. 𝐺 und 𝑈 stehen für

die Paritäten der Anzahl von Pro- und Neutronen (in dieser Reihenfolge).

Tröpfchenmodell

Als Analogie zum Flüssigkeitstropfen: 𝜌𝐾𝑒𝑟𝑛 ist in etwa konstant, Bindungsenergien ebenso.

Geringe Reichweite der Kernkräfte.

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Die Bindungsenergie ist durch die Weizsäcker-Formel beschreibbar und entspricht in etwa

8𝑀𝑒𝑉/𝑁𝑢𝑐𝑙𝑒𝑜𝑛.

Einzelnukleonen-Modell

Man stellt sich den Kern auf Schalen aufgebaut vor: 𝑝 und 𝑛 bilden separate Schalen.

Das Pauli-Prinzip gilt auch hier; die Quantenzahlen sind:

Spinquantenzahl 𝑠: ±1/2

Bahndrehimpulsquantenzahl 𝑙: 0,1,2, …

Der Gesamtdrehimpuls des Nukleons 𝐿𝑖 = 𝐿𝑙 + 𝐿𝑠 , wie herkömmlich. Gesamter, nach außen

wirkender Kernspin ist die Vektorsumme aller 𝐿𝐼 = 𝐿𝑖 , also ∑ 𝐿𝑖𝑖 . Damit lassen sich erklären:

Kerndrehimpuls 𝐿𝐼

Magnetisches Kernmoment 𝜇𝐼

Elektrische Quadrupolmemente

Empirische Auswahlregeln des 𝛽-Zerfalls

„magische Zahlen“

Neutronen

Freisetzung

Hierzu gibt es diverse Möglichkeiten. Die wichtigsten sind:

Kernreaktion mit Neutronenabgabe

Fusionsneutronenquelle (𝐻2 + 𝐻2 = 𝐻3 + 𝑛 + 𝐸)

Photoneutronenquelle (Bestrahlung von z.B. 𝐵𝑒 mit 𝛾-Quanten)

Zerschlagen von Deuterium

Nachweismethoden

Rückstoßkerne (Auch als Nebelspur sichtbar)

Kernreaktionen (z.B. 𝑛 + 𝐵10 → 𝐿𝑖7 + 𝛼, wobei 𝛼-Teilchen gut nachweisbar sind)

Elektronen

Freisetzung

Hierzu gibt es diverse Möglichkeiten. Die wichtigsten sind:

Glühemission

Feldemission

Photoeffekt

Sekundärelektronen (ein 𝑒− hoher kinetischer Energie kann mehrere 𝑒− aus einem Atom

herausschlagen)

Stoßionisation und Gasentladung

Thermische Ionisation

Millikan-Versuch

Über einen evakuierten Kondensator, in dem sich Öltröpfchen mit genau einer Ladung von

– 𝑒 befinden, kann man anhand der angelegten Spannung und der Geschwindigkeit der

Tröpfchen die Elementarladung bestimmen.

Bindungsenergie

Bei Spaltung oder Fusion wird die Differenz der Energien als Bindungsenergie 𝐵 bezeichnet.

𝐵 = Δ𝐸 = Δ𝑚 ∙ 𝑐2

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Zerfall

Es gibt mehrere in der Natur beobachtbare Zerfallsarten:

𝛼-Zerfall: Ablösen eines 𝐻𝑒-Atomkerns von einem größeren Kern

𝛽-Zerfall

𝛽−-Zerfall: Abstrahlung von Elektron und Antineutrino

𝛽+-Zerfall: Abstrahlung von Positron und Neutrino

Doppel-𝛽-Zerfall: Wenn einfacher Zerfall energetisch nicht möglich ist

𝛾-Zerfall: Klassische Aussendung von 𝛾-Quanten eines angeregten Atoms

Spontaner Zerfall: Abstrahlung von Neutronen (bei instabilen Kernen)

Elektroneneinfang: Umwandlung eines Protons und Elektrons zu einem Neutron

Clusterzerfall: Aussenden anderer Atomkerne als 𝐻𝑒 (selten)

Formeln für den Zerfall

Für Aktivität 𝐴 und Teilchenanzahl der Probe 𝑁.

𝜆 =ln 2

𝜏ℎ, 𝐴 = 𝜆𝑁

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 , 𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒

−𝜆𝑡

Spuren von Teilchen

Für Teilchenspuren gibt es folgende Nachweismethoden:

Nebelkammer

Blasenkammer

Funkenkammer

Drahtkammer

Kernspurplatten

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Physikalische Messmethoden

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Physikalische Messmethoden Einführung

Grundlagen des Messens

Messen ist quantitatives Vergleichen einer physikalischen Größe mit der zugehörigen Ein-

heit.

Physikalische Größe = Zahlenwert mal Einheit

Physikalische Größen und Einheiten

Es existieren sogenannte SI-Basiseinheiten, sieben an der Zahl. Alle anderen werden davon abgeleitet. Im SI-System treten alle Einheiten ausschließlich mit Faktor 1 auf.

Basisgröße Basiseinheit

Länge 𝑙 Meter 𝑚

Masse 𝑚 Kilogramm 𝑘𝑔

Zeit 𝑡 Sekunde 𝑠

Elektrische Stromstärke 𝐼 Ampere 𝐴

Termodyn. Temperatur 𝑇 Kelvin 𝐾

Stoffmenge 𝑛 Mol 𝑚𝑜𝑙

Lichtstärke 𝐼𝑉 Candela 𝑐𝑑

Begriffe

Messabweichung

Unterschied zwischen angezeigtem und richtigen Wert.

Messunsicherheit

Grenzt einen Wertebereich ein, innerhalb dessen der wahre Wert liegt.

Genauigkeit

Grad der Übereinstimmung zwischen angezeigtem und richtigem Wert.

Präzision

Übereinstimmung der gemessenen Werte. Bei systematischer Messabweichung können die

Ergebnisse sehr präzise sein, aber sie sind ungenau.

Auflösung

Kleinster Schritt, den eine Einrichtung bei der Messung einer physikalischen Größe angeben

kann.

Geltende Ziffern

Alle Ziffern ohne führende Nullen. Je mehr geltende Ziffern der Zahlenwert hat, desto ge-

nauer ist die Angabe.

Signifikante Stellen

Die kleinste Anzahl der Stellen, die ein Ergebnis richtig beschreiben.

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Physikalische Messmethoden

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Explizite Form von Messunsicherheiten

Absolute Unsicherheit

𝑥 ± Δ𝑥

Hierbei ist auf die signifikanten Stellen zu runden. Bei Exponentialformen sollten die Expo-nenten der Größe und der Unsicherheit gleich sein, also zum Beispiel 2,43 ∙ 108𝑚 ± 0,05 ∙ 108𝑚.

Relative Unsicherheit

𝑥 ±Δ𝑥

𝑥∙ 100%

Die Angabe der Genauigkeit steckt direkt in der relativen Angabe.

Implizite Form von Messunsicherheiten

Grundsätzlich lässt sich die relative Angabe auch über die Zahl der geltenden Stellen aus-drücken. 1,00 bedeutet 0,995 < 𝑥 < 1,005 bzw. 1,00 ± 0,5% oder 1,010 bedeutet 0,0095 < 𝑥 <0,0105 bzw. 0,010 ± 5%.

Messunsicherheit (Messfehler)

Ursachen der Messunsicherheit

Systematische Messabweichung

Diese Messfehler sind immer von gleicher Richtung und gleicher Intensität. Meist durch un-

terschiedliche Messmethoden zu finden.

Innere Unsicherheiten

Diese resultieren aus den Eigenschaften des Messvorganges selbst. Hier gibt es drei Unter-

scheidungen:

Eichunsicherheit, Linearitätsunsicherheit, Digitalisierungsunsicherheit.

Die Eichunsicherheit ist die Abweichung des Messgeräts zum Eichstandard, die Linearitäts-

unsicherheit und die Digitalisierungsunsicherheit beschreiben die im Messgerät existieren-

den Fehler.

Äußere Unsicherheiten

Hier geht es um zufällige, teils statistische Unsicherheiten, die von außen das Experiment

beeinflussen.

Zufällige Unsicherheiten

Widerstand

Grundsätzliches

Widerstände werden in der Elektrotechnik verwendet um z.B.:

Ströme zu begrenzen

Verstärkungen einzustellen

Wärme zu erzeugen

Spannungen zu teilen

In vielen Fällen tritt ein Widerstand als unerwünschte Nebenerscheinung auf und ist dann

als parasitär zu bezeichnen. Wird ein Widerstand von Strom durchflossen, so fällt eine

Spannung an ihm ab.

Elektrische Größen

Größe Einheit

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Physikalische Messmethoden

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Spannung 𝑈 Volt 𝑉

Stromstärke 𝐼 Ampere 𝐴

Widerstand 𝑅 Ohm Ω

Das Symbol 𝐺𝑁𝐷 steht für Ground und bezeichnet die Masse, also das Potentialnormal.

Ohmsches Gesetz

𝑅 =𝑈

𝐼

Leitwert Der Leitwert ist der Kehrwert von 𝑅.

𝐺 =1

𝑅

Kirchhoff’sche Gesetze

1. Gesetz

In einem Knotenpunkt einer Schaltung ist die Summe aller Ströme gleich 0.

∑𝐼𝑖𝑖

= 0

2. Gesetz

In einer Leitungsmasche einer Schaltung ist die Summe der Spannungen gleich 0.

∑𝑈𝑖𝑖

= 0

Parallel- und Serienschaltung

Serienschaltung

Bei Serienschaltung addieren sich die beliebig vielen Widerstände.

∑𝑅𝑖𝑖

= 𝑅𝑔𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡

Parallelschaltung

Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte der Widerstände.

∑𝐺𝑖𝑖

= 𝐺𝑔𝑒𝑠 ,1

∑1𝑅𝑖

= 𝑅𝑔𝑒𝑠

Für die Parallelschaltung kann man die Aufteilung der Ströme leicht mit folgender Formel

berechnen: 𝑅1

𝑅1+𝑅2∙ 𝐼 respektive

𝑅2

𝑅1+𝑅2 für den jeweils anderen Widerstand.

Potentiometer

Ein Potentiometer ist schlicht ein einstellbarer Widerstand.

Da an einem Widerstand Spannung abfällt, kann man Widerstände dazu benutzen, ein Gerät

mit einer angepassten Spannung unabhängig von der ursprünglichen Spannung zu betrei-

ben. Mittels eines Potentiometers kann man diese Spannungsteilung individuell einstellen.

Leistung und Energie

𝑃 = 𝑈 ∙ 𝐼

Mittels des ohmschen Gesetzes lassen sich die Formeln 𝑃 = 𝑅𝐼2 und 𝑃 =𝑈2

𝑅 erschließen. Die

elektrische Energie ist schließlich das Integral über die Leistung. Die Einheit ist 𝑊𝑠 oder 𝐽. Oft werden auch 𝑘𝑊ℎ und 𝑀𝑊ℎ verwendet.

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𝐸 = ∫𝑈(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑑𝑡

Energie wird in der Praxis auch in Effizienzklassen angegeben.

Innenwiderstände

Jede Quelle und jedes Messgerät hat einen Innenwiderstand, der meist parasitär ist. Die In-

nenwiderstände sind wie folgt zu berechnen:

Spannungsquelle: in Serie – klein

Stromquelle: parallel – groß

Voltmeter: parallel – groß

Amperemeter: in Serie – klein

Anwendungen

Wheatstone Brücke

Dies ist eine mit Widerständen aufgebaute Messmethode. Der zu messende Widerstand wird im Schaltplan mit 𝑅𝑋 bezeichnet. Im Idealfall sind 𝑅1 und 𝑅2 präzise, bekannte Widerstände

und 𝑅3 ein präzises Potentiometer mit Skala.

Durch die Beziehungen 𝑈2 = 𝑈𝑋 und 𝑈1 = 𝑈3 im abgeglichenen Zustand kann man 𝑅1

𝑅2=𝑅3

𝑅𝑋

und 𝑅𝑋 =𝑅3 𝑅2

𝑅1 herleiten. Abgeglichen heißt also, dass an 𝑉𝑀1 keine Spannung anliegt.

Dehnmessstreifen

𝜖 =Δ𝑙

𝑙0

Ein Dehnmessstreifen (DMS) enthält einen Widerstandsdraht, der bei Stauchung mehr, bei Dehnung weniger Strom leitet. Ist die Längenänderung nur gering (< 1%), so gilt der oben

genannte lineare Zusammenhang.

Fehler in den Messungen können durch mehrere, geschickt angebrachte Dehnmesstreifen

ausgeglichen werden. Die Erwärmung und daraus resultierende Beeinflussung der Leitfähig-

keit ist zu beachten.

Überlagerungsprinzip nach Helmholtz

Um die Teilströme eines Netzwerkes mit mehreren Quellen zu berechnen, werden alle

Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle Stromquellen unterbrochen, bis auf eine der

besagten Quellen. Auf diese Art erhält man so viele Teilströme für einen Zweig, wie es Quel-

len im Netzwerk gibt. Der Gesamtstrom ergibt sich aus der Summe der Teilströme. Die

Richtung ist zu beachten.

Leistungsanpassung und Wirkungsgrad

Jede Spannungsquelle hat einen Innenwiderstand.

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Physikalische Messmethoden

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Zur Frage, bei welchem 𝑅𝑎 die maximale Leistung entnommen werden kann:

Es gilt 𝑃 =𝑈2

𝐼, also 𝑃(𝑅𝑎) =

(𝑈∙𝑅𝑎

𝑅𝑖+𝑅𝑎)2

𝑅𝑎= 𝑈2 ∙ [𝑅𝑎 ∙ (𝑅𝑖 + 𝑅𝑎)

−2]. Nach Kurvendiskussion mit Ablei-

tungen ergibt sich ein Hochpunkt bei 𝑅𝑎 = 𝑅𝑖.

Maximale Leistung erhält man, wenn der Lastwiderstand gleich dem Innenwiderstand

ist.

Der Wirkungsgrad kann zwischen 0 und 1 liegen und ist mit folgender Gleichung zu berech-

nen:

𝜂 =𝑃𝑎𝑏𝑃𝑧𝑢

Widerstandsarten

NTC (Negative Temperature Coefficient)

Ein Widerstand, der mit zunehmender Temperatur kleiner wird.

PTC (Positive Temperature Coefficient)

Ein Widerstand, der mit zunehmender Temperatur größer wird.

Platin-Messwiderstand

Ausnutzung der Eigenschaft von einigen Platinlegierungen, linear zur Temperatur den Wi-

derstand zu ändern. Das Verhalten der Platin-Widerstände ist zwischen 0° und 660° etwa

𝑅(𝑇) = 𝑅(0) ∙ (1 + 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇2) mit 𝐴 = 3,85 ∙ 10−3 und 𝐵 = −5,76 ∙ 10−7.

Fotowiderstand

Ein Widerstand, dessen Wert bei Lichteinfall sinkt. Normalerweise sind Fotowiderstände trä-

ge.

VDR (Voltage driven resistor)

Dieser Widerstand ist unter einer bestimmten Spannung hochohmig (Trigger-Spannung).

Wird diese überschritten, so wird er rapide niederohmig und ist deshalb für den Bereich des

Überspannungsschutzes gut geeignet.

Messaufbauten

Gemäß den Innenwiderständen der Messgeräte gibt es folgende Aufbauten einer Messung:

Spannungsrichtig

Das Amperemeter ist vor dem Voltmeter, das Voltmeter direkt parallel zu dem zu

messenden Widerstand geschaltet.

Stromrichtig

Das Voltmeter ist vor dem Amperemeter, das Amperemeter direkt vor oder nach

dem zu messenden Widerstand eingesetzt.

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Physikalische Messmethoden

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Unsicherheitsfortpflanzung

Entsprechend der Unsicherheit der Messungen bzw. Angaben werden auch die Rechnungen

mit entsprechender Unsicherheit angegeben.

2-Punkt Methode

Eine sehr einfache Methode, bei der man die Steigung der Lösungskurve nicht berücksichtigt

beziehungsweise davon ausgeht, dass selbige linear sei.

𝐺𝑚𝑎𝑥 =(𝐴 + Δ𝐴) ∙ (𝐵 + Δ𝐵) ∙ …

(𝑋 − Δ𝑋) ∙ (𝑌 − Δ𝑌) ∙ … → ΔG = G𝑚𝑎𝑥 − G

Größtfehler Methode

Δ𝐺 = |𝜕𝐺

𝜕𝑥Δ𝑥| + |

𝜕𝐺

𝜕𝑦Δ𝑦| + ⋯

Empirische Methode (Gauß-Methode)

Hier ist davon auszugehen, dass Einzelfehler sich häufig kompensieren. Deshalb ist diese

Methode meist die, die die geringste Unsicherheit als Ergebnis gibt.

Δ𝐺 = √(𝜕𝐺

𝜕𝑥Δ𝑥)

2

+ (𝜕𝐺

𝜕𝑦Δ𝑦)

2

+⋯

𝑙𝑛-Methode

Bei Produktpotenzen kann man rasch einen einfachen Zusammenhang herleiten. Man loga-rithmiert: ln 𝐺 = ln(𝑥𝑎 ∙ 𝑦𝑏 ∙ … ) = 𝑎 ln 𝑥 + 𝑏 ln 𝑦 +⋯ . Dann leitet man nach 𝐺 ab und erhält 1

𝐺= 𝑎 ∙

1

𝑥∙𝑑𝑥

𝑑𝐺+ 𝑏 ∙

1

𝑦∙𝑑𝑦

𝑑𝐺+⋯ . Nun multipliziert man mit 𝑑𝐺 und erhält

𝑑𝐺

𝐺= 𝑎 ∙

𝑑𝑥

𝑥+ 𝑏 ∙

𝑑𝑦

𝑦+⋯ .

Schließlich gilt:

𝑑𝐺

𝐺=Δ𝐺

𝐺= 𝑎

Δ𝑥

𝑥+ 𝑏

Δ𝑦

𝑦+ ⋯ , 𝑎, 𝑏, … als Potenzen

Hierbei ist zu beachten, dass bei Summen und Differenzen der Logarithmus nicht gut aufzu-

lösen ist und man mit innerer und äußerer Ableitung arbeiten muss.

Statistik

Grundsätzliches

Zur Ergänzung der äußeren/statistischen Unsicherheit bei Messungen werden Messreihen

durchgeführt. Die Menge aller möglichen Messwerte heißt Grundgesamtheit, die der wirklich

gemessenen Werte Stichprobe. Die Häufigkeitsverteilung der Messwerte (nahe Werte sind

auch in Messklassen zusammenfassbar) ist in einer Häufigkeitsfunktion beschreibbar. Sind

die Abweichungen zufällig, so wird ist die Häufigkeitsverteilung für unendlich viele Werte ei-

ne Gauß’sche Verteilungsfunktion.

Normalverteilung

Viele natürliche Prozesse führen auf die glockenförmige Normalverteilung. Hier gilt:

Die Abweichung eines Messwertes vom wahren Wert ergibt sich aus voneinander unab-

hängigen Störeinflüssen.

Jedes Störereignis soll eine betraglich gleichgroße Veränderung am Messwert bewirken.

Die Wahrscheinlichkeit der Vergrößerung ist gleich der für die Verringerung (50%).

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Physikalische Messmethoden

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𝑓(𝑥) =1

√2𝜋σ2∙ 𝑒−(𝑥−𝜇)2

2𝜎2

Diese Dichtefunktion hat das Maximum an der Stelle 𝜇, die Halbwertsbreite beträgt grob 2𝜎.

Statistische Werte

Das arithmetische Mittel �� bezeichnet den besten Schätzwert für den wahren Wert. Die em-

pirische Standardabweichung 𝑠 ist das Maß für die Streuung der Messwerte um den Mittel-

wert. Die Standardabweichung des Mittelwerts �� gibt an, wie weit der Mittelwert vom wah-

ren Wert abweichen kann.

Stichprobe Grundgesamtheit

Mittelwert �� =1

𝑛∑𝑥𝑖

Mittelwert,

Erwartungswert 𝜇 =

1

𝑛∑𝑥𝑖

Streuung,

emp. Standardabw. 𝑠 = √∑(𝑥𝑖 − ��)

2

𝑛 − 1 Standardabweichung 𝜎 = √

∑(𝑥𝑖 − 𝜇)2

𝑛

emp. Varianz 𝑣 = 𝑠2 Varianz 𝑣 = 𝜎2

Standardabweichung

der Mittelwerte Δ�� = 𝑡 ∙

𝑠

√𝑛

Vertrauensbereich,

Konfidenzbereich �� ± Δ��

Lineare Regression

Es werden Werte 𝑦 in Abhängigkeit von 𝑥 gemessen und ein linearer Zusammenhang sei

angenommen 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥. Die Größe 𝑥 ist vorgegeben, 𝑦 mit statistischer Unsicherheit behaf-

tet. Um �� und �� zu bestimmen ist die Gauߒsche Methode der kleinsten Fehlerquadrate her-

anzuziehen: 𝐹(��, ��) = ∑ (𝑦𝑖 − (�� + ��𝑥𝑖))2

= Min. und damit muss die Ableitung 0 geben. Es er-

geben sich:

�� =𝑥𝑦 − �� ��

𝑥2 − (��)2, �� = �� − 𝛽𝑥 =

��𝑥2 − 𝑥𝑦 ��

𝑥2 − (��)2

Δ�� = √∑(𝜕��

𝜕𝑦𝑖)

2

𝑠𝑌2

𝑁

𝑖=1

= 𝑠𝑌√1

𝑁(𝑥2 − (��)2), Δ�� = √∑(

𝜕��

𝜕𝑦𝑖)2

𝑠𝑌2

𝑁

1

= Δ��√𝑥2

𝑠𝑌 = √1

𝑁 − 2∑(𝑦𝑖 − ��𝑥𝑖 − ��)

2𝑁

1

Die vollständige Angabe der Parameter lautet:

𝛼𝑃 = �� ± 𝑡(𝑃, 𝑁𝑊)Δ�� ∧ 𝛽𝑃 = �� ± 𝑡(𝑃, 𝑁𝑊)Δ��, 𝑁𝑊 = 𝑁 − 2

Korrelationskoeffizient

Dieser ist ein Maß für die Stärke der linearen Abhängigkeit respektive in welchem Ausmaß

der funktionelle Zusammenhang 𝑦 = 𝛼 + 𝛽𝑥 erfüllt ist. Die Wahrscheinlichkeit für den erwar-

teten Zusammenhang ist umso größer, je näher der Koeffizient bei +1 bzw. −1 liegt.

𝑟 =∑ (𝑥𝑖 − ��)(𝑦𝑖 − ��)𝑁1

√∑ (𝑥𝑖 − ��)2𝑁

1 (𝑦𝑖 − ��)2

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Physikalische Messmethoden

Nawi Graz Seite 115

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Nichtlineare Kurvenanpassung

Auswertungen nach dem Prinzip „Nonlinear Fit“ stellen meist eine Auswahl an vordefinierten

Funktionen in Computerprogrammen zur Verfügung. Oft wird ein nichtlinearer Zusammen-

hang mit Hilfe von halb- oder doppellogarithmischer Auftragung in einen linearen überführt.

Sicherheitseinweisung Strom

In diesem Abschnitt werden die Gefahren durch einen Stromfluss durch den menschlich

Körper und diesbezügliche Schutzmaßnahmen betrachtet.

Maßgebende Faktoren einer Gefährdung

Stromstärke

Einwirkdauer

Weg des Stroms durch den Körper

Widerstand des Körpers (oft als 1300Ω angenommen)

Gegliedert in Eintrittswiderstand, Körperwiderstand (oft als 1000Ω angenommen) und

Austrittswiderstand in Reihe

Körperliche Verfassung

Frequenz des Stroms

Schädliche Wirkung auf den Körper

0,5𝑚𝐴: Wahrnehmungsschwelle

5𝑚𝐴: Muskelzuckungen

25𝑚𝐴: Kontraktion der Muskeln Atmungsbehinderungen

80𝑚𝐴: Herzrhythmusstörungen

100𝑚𝐴: Herzkammerflimmern, starke Muskelverkrampfungen

Versehentlich im Stromkreis kann es zu Funken und Verbrennungen kommen, bei Gleich-

strom besteht zusätzlich die Gefahr von Elektrolyse des Blutes mit Folge von Gasbildung.

Eine Berührung des stromführenden Pols des allgemeinen Stromnetzes mit 230𝑉 effektiv

und 320𝑉 Spitze gegen Erde nennt sich scheinbare 1-Punkt-Berührung.

Sicherheitsmaßnahmen

Isolation

Die Durchschlagfestigkeit (elektrische Feldstärke) eines Materials gibt an, welche Spannung

pro Abstand notwendig ist, damit das Material leitend wird. Als Beispiel wäre hier angeführt:

Luft 3 𝑘𝑉/𝑚𝑚

FR4 Platinenmaterial 40 𝑘𝑉/𝑚𝑚

Polypropylen 100 𝑘𝑉/𝑚𝑚

Schutzkleinspannung

Spannungen, die beim Berühren üblicherweise den Menschen nicht schädigen.

Interlock-Schalter

Schalter am Gehäuse eines Geräts, das die Stromzufuhr bei Öffnen unterbricht.

Schutzerde und Nullung

Eine Nullung eines der beiden Pole einer Spannung impliziert, dass das Potential nie über

einen gewünschten Wert gegenüber der Erde steigt.

Fehlerstromschutzschalter (FI)

Hier wird beim Eingang und bei Ausgang eines Verbrauchers (z.B. eines Hauses) je beim

Leiter (L) und Neutralleiter (N) eine Spule gelegt. Zwischen den beiden Spulen wird eine

weitere Spule eingebaut. Sind die Ströme in beiden Leitungen gleich groß, so hebt sich das

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Physikalische Messmethoden

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Magnetfeld der Spulen auf. Ist dies nicht der Fall, baut sich in der Hilfsspule eine Spannung

auf und ein Schalter trennt die Leitungen.

Fehlerspannungsschutzschalter (FU)

Ähnliches Prinzip wie der FI, nur wird hier die Spannung zwischen Erdungspunkt und Hilfs-

erde (Referenzerde) gemessen und eine Abweichung vom Nullwert geahndet.

Sicherung

Bei Schmelzsicherungen erhitzt sich bei Überstrom ein Draht und die Trennung erfolgt durch

verglühen. Ein Sicherungsautomat oder Leitungsschutzschalter (LS) ist das moderne Pen-

dant. Selbstrückstellende Sicherungen haben PTC-VDR-Widerstände (siehe PTC (Positive

Temperature Coefficient), Seite 112, und VDR (Voltage driven resistor), Seite 112). Dies

birgt den Vorteil einer Wiedereinschaltung aber den Nachteil von weniger Sicherheit, keiner

optimaler Unterbrechung und einer sehr unscharfen Auslösung.

Elektronische Sicherung

Hierbei wird der Spannungsabfall an einem präzisen Normwiderstand gemessen und mit ei-

ner Referenzspannung verglichen. Unterbrechung erfolgt mittels eines Halbleiters oder eines

Relais.

Trenntrafo

Bei einem Trenntransformator wird die Spannung durch zwei Spulen weitergegeben.

Dadurch ist die resultierende Spannung von der Erdung getrennt und eine 1-Punkt-

Berührung ist nun nicht mehr gefährlich. Das Potential liegt nur noch zwischen den beiden

Leitern, nicht aber zwischen Erde und einem Leiter an.

Innenwiderstand

Bei kleinen Strömen und hohen Spannungen kann man den Innenwiderstand von Strom-

quellen absichtlich hoch machen. Bei einer scheinbaren 1-Punkt-Berührung fällt nun deutlich

mehr Spannung am Innenwiderstand, als am Menschen ab.

Verhalten bei Stromunfällen

Stromkreislauf unterbrechen und vor Wiedereinschalten sichern. Bei Muskelverkrampfungen

mittels Stoßen/Schlagen mit einem isolierenden Gegenstand Opfer von Leitern lösen bzw.

Fallenlassen, sollte man selbst Opfer sein.

Bei Hochspannungsanlagen keine Laienhilfe leisten. 𝐶𝑂2-Brandlöscher sind optimal, da sie

keinen Strom leiten. Bei Feuerbekämpfung unbedingt Sicherheitsabstand beachten.

Logarithmische Auftragung

Bei der einfachen oder doppelten logarithmischen Auftragung können Parabelkurven linear

eingezeichnet werden. Die Zehnerpotenzen bleiben hier allerdings linear und so können ent-

sprechende Aufgaben mit einer Schlussrechnung gelöst werden. Man bedingt, dass sich der

Abstand des Wertes zum Gesamtabstand einer Potenz so verhält, wie der Potenzteil zur vol-

len Potenz. Als Beispiel: Man misst 5𝑚𝑚 Abstand vom 𝑥-Wert zur letzten Zehnerpotenz, wo-

bei Die Potenzen 2𝑐𝑚 Abstand haben. Dann gilt: 5

20=𝑥

1 und somit 𝑥 = 0,25, also ist zum Bei-

spiel 106,25 = 178 ∙ 104 für die Potenz 6 das Ergebnis der Auftragung.

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Theoretische Mechanik

Nawi Graz Seite 117

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Theoretische Mechanik Analytische mechanische Betrachtung

Die Newtonsche Mechanik

Kinematik des Massepunktes

Nach Newton ist die Zeit absolut. Diese Annahme ist richtig für 𝑣 ≪ 𝑐. Mathematische Bezie-

hungen der Koordinatensysteme siehe auch Koordinatensysteme, Seite 15.

Zerlegung in Anteile

Einen Vektor kann man über das Vektorskalarprodukt in seine Anteile zerlegen. Das Skalar-

produkt ergibt ein Skalar, das man schlussendlich wieder mit dem Vektor multipliziert, des-

sen Richtung man erhalten will.

��𝑟 = (�� ∙ 𝑟) ∙ 𝑟 = 𝜆 ∙ 𝑟, 𝑟 ∶ gewünschte Richtung

Bei der Berechnung der Kinematik in verschiedenen Koordinatensystemen muss zunächst

der Bahnvektor entsprechend der Koordinate abgeleitet werden (Richtungsableitung), um,

wie oben beschrieben, die Anteile der neuen Koordinaten zu bekommen. Die Normierung ist

zu beachten.

Geschwindigkeit/Beschleunigung in diversen Systemen

Kartesische Koordinaten:

𝑟(𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑦(𝑡)𝑒𝑦 + 𝑧(𝑡)𝑒𝑧

��(𝑡) = ��(𝑡) = 𝑣𝑥⏟��

(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑣𝑦⏟��

(𝑡)𝑒𝑦 + 𝑣𝑧⏟��

(𝑡)𝑒𝑧 und es gilt 𝑣(𝑡) = |��(𝑡)| = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦

2 + 𝑣𝑧2

��(𝑡) = ��(𝑡) = 𝑎𝑥⏟��

(𝑡)𝑒𝑥 + 𝑎𝑦⏟��

(𝑡)𝑒𝑦 + 𝑎𝑧⏟��

(𝑡)𝑒𝑧 und es gilt 𝑎(𝑡) = |��(𝑡)| = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2

Polarkoordinaten:

𝑟(𝑡) = (𝑟 cos 𝜑𝑟 sin𝜑) = 𝑟(cos 𝜑 𝑒𝑥 + sin𝜑 𝑒𝑦)

��(𝑡) = ��(𝑡) = ��(𝑡)⏟𝑣𝑟

𝑒𝑟 (𝑡) + 𝑟(𝑡)𝑒𝜑⏟ 𝑣𝜑

��(𝑡)

��(𝑡) = ��(𝑡) = (2��(𝑡)��(𝑡) + 𝑟(𝑡)��(𝑡))⏟ 𝑎𝜑

𝑒𝜑 + 𝑒𝑟 (��(𝑡) − 𝑟(𝑡)��(𝑡)2)⏟

𝑎𝑟

Kugelkoordinaten:

𝑟(𝑡) = (𝑟 sin 𝜃 cos 𝜑𝑟 sin 𝜃 sin𝜑𝑟 cos 𝜃

) , 𝑒𝑟 = (sin 𝜃 cos𝜑sin 𝜃 sin 𝜑cos 𝜃

) , 𝑒𝜃 = (cos 𝜃 cos 𝜑cos 𝜃 sin𝜑−cos 𝜃

) , 𝑒𝜑 = (− sin𝜑cos𝜑0

) ⟹ 𝑟 = 𝑟 𝑒𝑟

��(𝑡) = ��(𝑡) = 𝑟′(𝑡)⏟𝑣𝑟

𝑒𝑟 + 𝑟(𝑡)��(𝑡)⏟ 𝑣𝜃

𝑒𝜃 + 𝑟(𝑡)𝜑′(𝑡) sin(𝜃(𝑡))⏟

𝑣𝜑

𝑒𝜑

��(𝑡) = ��(𝑡) = (��(𝑡) − 𝑟��(𝑡)2)𝑒𝑟 + (𝑟�� + 2����)𝑒𝜑

Begleitendes Dreibein

Siehe Dreibein (begleitendes Dreibein) / Frenetsche Formeln, Seite 43.

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Theoretische Mechanik

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Newtonsche Axiome

Erstes Axiom

Lex prima: „Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Trans-

lation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands ge-

zwungen wird.“

Es gibt Bezugssysteme, in denen die kräftefreie Bewegung durch ��(𝑡) = 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. be-

schrieben wird.

Die so spezifizierten, bevorzugten Bezugssysteme heißen Inertialsysteme (IS). Experimen-

tell zeichnen sich die IS durch das Fehlen von Trägheitskräften aus. Inertialsysteme sind

Bezugssysteme, die gegenüber dem Fixsternhimmel ruhen, oder die sich relativ zu den Fix-

sternen mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Eine Begründung für diesen Zusammen-

hang wird aber weder in der Newtonschen noch in der relativistischen Mechanik gegeben.

Faktisch betrachtet man im Intertialsystem einen Körper, auf den keine Kraft wirkt.

Galilei-Transformation Hier transformiert man von einem System 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) in ein System 𝑘′(𝑥′, 𝑦′, 𝑧′, 𝑡′). Man über-

nimmt die Bewegungsgeschwindigkeit mit 𝑞′ = 𝑞 − 𝑣𝑞𝑡 für die Koordinaten.

Die spezielle Galilei-Transformation bezeichnet die Transformation in ein System, das sich an der 𝑥-Achse verschiebt.

𝑥′ = 𝑥 − 𝑣0𝑡, 𝑦′ = 𝑦, 𝑧′ = 𝑧 ⟹ 𝑟′ = 𝑟 − 𝑣0𝑡

𝑡′ = 𝑡 als absolute Zeit ohne Verschiebung

𝑑𝑥′

𝑑𝑡=𝑑𝑥

𝑑𝑡− 𝑣0,

𝑑𝑦′

𝑑𝑡=𝑑𝑦

𝑑𝑡,

𝑑𝑧′

𝑑𝑡=𝑑𝑧

𝑑𝑡 ⟹ ��′ = �� − 𝑣0

𝑑𝑣𝑥′

𝑑𝑡=𝑑𝑣𝑥𝑑𝑡,

𝑑𝑣𝑦′

𝑑𝑡=𝑑𝑣𝑦

𝑑𝑡,

𝑑𝑣𝑧′

𝑑𝑡=𝑑𝑣𝑧𝑑𝑡 ⟹ ��′ = ��

Die allgemeine Galilei-Transformation bildet ein Bezugssystem komplett in ein anderes ab.

Sie wird wie folgt gegliedert:

1) Zeitlich konstante Drehung

Drehung um eine Achse �� um den Winkel 𝜑.

Diese Drehung wird durch die orthogonale Transformation ℝ beschrieben: 𝑟′ = ℝ𝑟 res-

pektive 𝑞𝑖 = ∑ 𝑅𝑖𝑗𝑞𝑗3𝑗=𝑇 . In ℝ finden sich drei unabhängige Parameter, zwei für die Rich-

tung von �� und einer für die Drehung.

2) Verschiebung des Nullpunkts

𝑟′ = 𝑟 + 𝐴

3) Verschiebung des Zeitnullpunkts um den Festwert 𝑡0

𝑡′ = 𝑡 + 𝑡0

Nun ergibt sich für die Transformation folgendes Bild.

𝑥𝑖′ =∑ℝ𝑖𝑗𝑞𝑗 − 𝑣0𝑖𝑡 − 𝐴𝑖

3

𝑗=1

, 𝑡′ = 𝑡 + 𝑡0

Die vier Transformationen (Bewegung 𝑣0, Verschiebung 𝐴, Drehung 𝜑 und Zeitänderung 𝑡0)

geben also 10 Parameter, je drei in ℝ, 𝐴 und 𝑣0 und einer in 𝑡0.

�� 𝜑

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Theoretische Mechanik

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Zweites Axiom

Lex sucunda: „Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft

proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach wel-

cher jene Kraft wirkt.“

Es ergibt sich 𝑚�� = ��.

Hierbei wird die auf einen Körper wirkende Kraft und der Zusammenhang der zweiten Ablei-

tung der Bewegung mit dieser beschrieben.

𝑑𝑝

𝑑𝑡= ��, 𝑝 = 𝑚��

𝑚 = const ⇒ 𝑚�� = �� ⇔ 𝑚�� = ��

Dies stellt die Bewegungsgleichung dar, weil 𝑚𝑑2𝑟

𝑑𝑡2= 𝐹(𝑟, 𝑟′, 𝑡) nun eine Differentialgleichung

zweiter Ordnung gibt. Die Lösung ist die Bahn des Körpers 𝑟 = 𝑟(𝑡).

Drittes Axiom

Lex tertia: „Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen

Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleich große, aber entgegen gerichtete

Kraft von Körper B auf Körper A (reactio)“

Die vom Körper 1 ausgehende Kraft auf Körper 2 ist gleich groß der Kraft, die von

Körper 2 auf Körper 1 wirkt – aber entgegengesetzt.

Superpositionsprinzip

Wirken vielerlei Kräfte auf einen Körper, so ist die Summe die Gesamtkraft.

Dynamik im Nicht-Intertialsystem

Um das lex secunda anzuwenden, muss hier eine Scheinkraft oder Trägheitskraft 𝐹𝑇 addiert

werden.

Linear beschleunigtes Bezugssystem

𝑘:𝑚�� = 0 → 𝑘′: 𝑚��′ = −𝑚𝐴

�� ≠ 0 ⇒ 𝑘:𝑚�� = �� → 𝑘′: 𝑚��′ = �� + ��𝑇 ≡ −𝑚𝐴

Rotierendes Bezugssystem

𝑘:𝑚�� = �� → 𝑘′:𝑚�� = �� −2𝑚 �� × ��′⏟ 𝐶𝑜𝑟𝑖𝑜𝑙𝑖𝑠𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

−𝑚 �� × (�� × 𝑟′)⏟ 𝑍𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑓𝑢𝑔𝑎𝑙𝑘𝑟𝑎𝑓𝑡

Arbeit und Energie

Kinetische Energie

𝐴 = ∫ 𝑑𝐴𝑟2

𝑟1= ∫ ��𝑑𝑟

𝑟2

𝑟1 als Ansatz gibt mit 𝑚

𝑑��

𝑑𝑡= 𝐹 die Gleichung 𝑑𝑟 = ��𝑑𝑡 ⇔ 𝑚��𝑑�� = ��𝑑𝑟 ⇔

𝑚��𝑑�� =1

2𝑚 𝑑(�� ∙ ��) = 𝑑 (

𝑚𝑣2

2) = ��𝑑𝑟 . Hieraus folgt ∫ 𝑑 (

𝑚𝑣2

2)

𝑣2𝑣1

= ∫ ��𝑑𝑟𝑟2

𝑟1⇔

1

2𝑚𝑣2

2 −1

2𝑚𝑣1

2 = ∫ 𝐹𝑑𝑟𝑟2

𝑟1.

Die Arbeit, die eine Kraft an einem Teilchen verrichtet, ist die kinetische Energie.

Konservative Kraft

Eine Kraft ist konservativ, wenn sie nur von Anfags- und Endpunkt und nicht vom Weg ab-

hängt.

Lagrangeformalismus

Die Idee des Lagrangeformalismus ist, dass man nicht – wie vormals meist – die Kräft

gleichsetzt oder Beschleunigungen zu Gleichungen zusammenfasst, sondern, dass man die

Koordinaten der betrachteten Punkte beschreibt und sogenannte Zwangsbedingungen ein-

fügt. So erhält man Differentialgleichungen, die zu lösen sind. Die Lagrangegleichung 1. Art

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Theoretische Mechanik

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wird mit Zwangsbedingungen der Bewegung gefüttert, die der 2. Art wird über die Energie

mit Informationen versorgt.

Euler-Lagrange-Gleichung

Die Euler-Lagrange-Gleichung ist der Kern aller Gleichungen der klassischen Physik. Leicht

erweitert funktioniert diese auch als Kern der Quantenphysik. Jedes Problem kann als ein

Wirkungs-Prinzip mit dieser Gleichung formuliert werden.

𝑑

𝑑𝑡

𝜕ℒ

𝜕𝑞��−𝜕ℒ

𝜕𝑞𝑖= 0,

𝑑

𝑑𝑡

𝜕ℒ

𝜕𝑞��=𝜕ℒ

𝜕𝑞𝑖, ∀𝑖

Grundlegende Gleichungen

ℒ(𝑡, 𝑞𝑖(𝑡), 𝑞��(𝑡)) = 𝐸𝑘𝑖𝑛 − 𝐸𝑝𝑜𝑡 , {𝑞𝑖 ∶ 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 𝑓ü𝑟 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑘𝑡𝑒

𝑞�� ∶ 𝐺𝑙𝑒𝑖𝑐ℎ𝑢𝑛𝑔 𝑓ü𝑟 𝐺𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑘𝑡𝑒

𝜕ℒ

𝜕𝑞��= Π𝑖 , Π ∶ Impuls kanonisch konjugiert zu 𝑞𝑖

𝜕ℒ

𝜕𝑞𝑖= 𝐹𝑖 , 𝐹 ∶ Generalisierte Kraft

Die beiden letzten Gleichungen beschreieben die Newton-Formel (Zeit-Ableitung eines Im-

pulses gleich der Kraft):

𝑑

𝑑𝑡Π𝑖 = 𝐹𝑖

Wenn man also beachtet, dass Π𝑖 → 𝑝 = 𝑚𝑣 = 𝑚��, dann ist 𝑑

𝑑𝑡𝑚�� = 𝐹 → 𝑚�� = 𝐹 → 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎.

Arbeitsablauf mit Lagrangegleichungen 1. Art

Der Arbeitsablauf ist in folgende Schritte gegliedert:

Formulieren der Zwangsbedingungen

Aufstellen der Lagrangegleichung 1. Art

Elimination der 𝜆𝛼

Lösung der Bewegungsgleichung

Bestimmung der Integrationskonstanten

Bestimmung der Zwangskräfte

Zwangsbedingungen Diese sind äußere Einflüsse, wie oftmals die Gravitation. Sie werden mit 𝑔1, 𝑔2, … bezeichnet

und über die beschreibenden Koordinaten der betrachteten Massepunkte ausgedrückt.

Lagrangegleichung

Man betrachtet das Newtonsche 2. Axiom und erhält etwas wie 𝑚 �� = 𝐹1 + 𝐹2 +⋯+ 𝑍, wobei 𝑍 eine Zangskraft ist. Die Gleichung wird nun wie folgt aufgestellt (𝐹 sind hier alle vorher be-

kannten Kräfte):

𝑚�� = 𝐹 + 𝜆1∇g1 + 𝜆2∇𝑔2 +⋯+ 𝜆𝑛∇𝑔𝑛

Elimination der 𝜆𝛼

Nun werden die Zangsbedingungen zweimal nach der Zeit abgeleitet. Hierauf erhält man

Gleichungen, in denen die Komponenten linear vorkommen. Diese kann man durch die Wer-

te der Langrangegleichung ersetzen. Nun kann das Gleichungssystem gelöst werden.

Lösung der Bewegungsgleichung

Die Werte für 𝜆𝛼 werden nun in die Lagrangegleichung eingesetzt. Daraufhin werden die

Komponenten zweimal integriert und man erhält die Bewegung (evtl. mit Anfangsbedin-gungen). Die Zwangskraft ist durch 𝑚 ∙ 𝑎 bereits zuvor abzulesen.

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Arbeitsablauf mit Lagrangegleichungen 2. Art

Der Arbeitsablauf ist in folgende Schritte gegliedert:

Wahl der verallgemeinterten Koordinaten 𝑞 (und Angabe der Transformation 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛(𝑞, 𝑡))

Bestimmung der Lagrangefunktion

Aufstellen der Lagrangegleichungen

Bestimmung der Erhaltungsgrößen

Lösen der Bewegungsgleichungen

Bestimmung der Integrationskonstanten

Diskussion der Lösung

Wahl der verallgemeinerten Koordinaten 𝑞 In diesem Schritt müssen die Koordinaten 𝑞 = 𝑞1, 𝑞2, … der beschreibenden Punkte so ausge-

drückt werden, dass sie mit möglichst wenigen Variablen auskommen. Man sucht also die

Menge an Variablen, die das System komplett beschreiben können (Freiheitsgrade!).

Bestimmung der Lagrangefunktion

Diese wird hier über die Beziehung der Energie bestimmt.

ℒ = 𝐸𝑘𝑖𝑛 − 𝐸𝑝𝑜𝑡

Hier ist 𝐸𝑘𝑖𝑛 = 𝑇 =1

2𝑚𝑣2 und 𝑣 wird über die Ableitungen der Koordinaten ausgedrückt. Bei

mehreren Massepunkten werden mehrere Terme addiert. Also zum Beispiel 𝑚

2(𝑥1

2 + 𝑦12) +

𝑚

2(𝑥2

2 + 𝑦22). 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝑉 = 𝑚𝑔ℎ, wobei ℎ hier wieder abhängig von den Umständen ist. Verfahren

wird wie bei der kinetischen Energie.

Aufstellen der Lagrangegleichungen

Die Gleichungen sind der Art 𝜕

𝜕𝑡

𝜕ℒ

𝜕��−𝜕ℒ

𝜕𝑞= 0 und werden für jede ausdrückende Koordinate auf-

gestellt. Sollte einer der Ableitungen 𝜕ℒ

𝜕𝑞= 0 sein, so nennt man 𝑞 eine zyklische Koordinate.

Bestimmung der Erhaltungsgrößen

Kommt eine zyklische Koordinate in der Lagrangefunktion vor, so ist die Impulserhaltung

gegeben (kann auch Drehimpuls bei einem Winkel sein). Sollte 𝜕ℒ

𝜕𝑡= 0 sein, wobei hier expli-

zit nach 𝑡 abgeleitet wird und nicht (!) nach auch Abhängigkeiten von 𝑡 zu differenzieren ist,

so ist Energieerhaltung gegeben (Die Zwangsbedingungen dürfen ebenfalls nicht zeitabhän-

gig sein). Die Energie kann dann mit der Hamilton-Funktion berechnet werden.

Wenn Impulserhaltung gilt, so ist die Impulsänderung in der Richtung der zyklischen Koor-

dinate gleich 0 und man kann aufstellen: 𝜕

𝜕𝑡

𝜕ℒ

𝜕𝑞= 0 ⇒ ∫

𝜕ℒ

𝜕𝑞𝑑𝑡 = ∫𝑝 𝑑𝑡. Zum Vorstellen ist die Im-

pulsänderung 0 und aus dieser Bedingung kann man die Bewegungsgleichung aufstellen.

Hamilton-Funktion

𝐻 = 𝐸 =∑(𝜕ℒ

𝜕𝑞��𝑞��)

𝑖

− ℒ

Für die Hamiltonfunktion können die Impulse eingesetzt werden, so dass die abgeleiteten

Koordinaten komplett ersetzt werden. Für die Impulse gilt:

𝜕ℒ

𝜕𝑞��= 𝑝𝑞𝑖

Kanonische Gleichungen

Nach der Berechnung von 𝐻 kann man die kanonischen Gleichungen bestimmen.

𝑝𝑞𝑖 = −𝜕𝐻

𝜕𝑞𝑖, 𝑞�� =

𝜕𝐻

𝜕𝑝𝑞𝑖

Sollte eine Ableitung gleich 0 sein, so ist die Größe konstant.

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Wirkung und Variation

Noethertheorem

FEHLEND

Die Bewegungsgleichung

FEHLEND

Bewegung des starren Körpers

1-Dimensionale Integration

FEHLEND

Bewegung im radialsymmetrischen Feld

FEHLEND

Zweikörperproblem

FEHLEND

Kepler-Problem

FEHLEND

Bewegung des starren Körpers

Koordinatentransformation

FEHLEND

Trägheitstensor

𝐼𝑖𝑘 = ∑ 𝑚𝑣(𝑟𝑣2𝛿𝑖𝑘 − 𝑥𝑖

𝑣𝑥𝑘𝑣)

𝑁

(𝑣=1)

Der Trägheitstensor eines Objekts (mit 𝐼, aber auch oft mit Θ bezeichnet) wird über das In-

tegral der Dichte über das Volumen errechnet.

𝐼𝑖𝑘 = ∫𝜚(|��|2𝛿𝑖𝑘 + 𝑥𝑖𝑥𝑘) 𝑑𝑉 = 𝑀∭(|��|2𝛿𝑖𝑘 + 𝑥𝑖𝑥𝑘) 𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥3

Für einen Trägheitstensor im Hauptachsensytem des Objekts sind, unabhängig vom Koordi-

natensystems, alle Einträge außer die der Hauptachse null: (

𝐼1 0 00 𝐼2 00 0 𝐼3

). Für Vollkugel oder

Würfel gilt 𝐼1 = 𝐼2 = 𝐼3, für einen symmetrischen Kreisel ist 𝐼1 = 𝐼2 ≠ 𝐼3.

Eulerwinkel

Bei einer Bewegung können sich sechs beschreibende Variablen eines Objekts verändern;

drei der Translation, drei der Rotation. Die „Verdrehungswinkel“ nennt man Eulerwinkel, be-

nannt nach dem wohlbekannten, altenehrwürdigen Herrn Leonhard Euler. Sie werden meist

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als Zusammenhang zwischen raumfesten Koordinatensystem (𝑥, 𝑦, 𝑧) und körperfesten Sys-

tem (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′) dargestellt. Man definiert die drei Winkel wie folgt:

Eulerwinkel: { 𝜙: zwischen x-Achse und K 𝜓: zwischen K und der x'-Achse 𝜃: zwischen z-Achse und z'-Achse

𝐾 steht hierbei für die Knotenlinie, die Schnittgerade, auf der sich die 𝑥-𝑦-Ebene und die 𝑥′-𝑦′-Ebene schneiden.

Die Winkelgeschwindigkeiten sind nun 𝜔𝜃 = ��𝑒𝐾 , 𝜔𝜙 = ��𝑒𝑧 und 𝜔𝜓 = ��𝑒𝑧′ . Man erhält über

Ausdrücken dieser Einheitsvektoren ( 𝑒𝐾 = cos𝜓 𝑒𝑥 − sin𝜓 𝑒𝑦 , 𝑒𝑧 = sin 𝜃 sin 𝜓 𝑒𝑥 + sin 𝜃 cos𝜙 𝑒𝑦 +

cos 𝜃 𝑒𝑧) letzten Endes:

𝜔1 = ��𝑒𝑥 = �� sin 𝜃 sin 𝜓 + �� cos𝜓

𝜔2 = ��𝑒𝑦 = �� sin 𝜃 cos𝜙 − �� sin𝜓

𝜔3 = ��𝑒𝑧 = �� cos 𝜃 + ��

Drehmoment starrer Körper

FEHLEND

Kreisel

FEHLEND

Hamilton-Formalismus

FEHLEND

Relativitätstheorie

Zeitdilatation

Für die spezielle Relativitätstheorie wird nicht die Zeit, sondern die Lichtgeschwindigkeit als

Erhaltungsgröße benannt.

Man kann am Beispiel eines vorbeifliegenden Stabes die Umrechnung der zwei, zueinander

in Bewegung stehenden Systeme erklären: Die Lorentztransformation.

Die Aufstellung der Formeln ist wie folgt gegeben:

𝑥′ = 𝛾 ∙ (𝑥 − 𝑣𝑡) ∧ 𝑥 = 𝛾 ∙ (𝑥′ + 𝑣𝑡′)

𝑡′ = 𝛾 ∙ (𝑡 −𝑣

𝑐2𝑥) ∧ 𝑡 = 𝛾 ∙ (𝑡′ +

𝑣

𝑐2𝑥′)

𝛾 =1

√1 − 𝛽2=

1

√1 −𝑣2

𝑐2

≤ 1

𝑘 𝑘′

𝑥′

𝑦′

𝑥

𝑦

𝑥0

𝑣 𝑣 = 𝑣𝑥 < 𝑐, 𝑦′ = 𝑦 ∧ 𝑧′ = 𝑧

1. Ereignis: {𝑘: (𝑡1, 𝑥0)

𝑘′: (𝑡1′ , 𝑙0)

2. Ereignis: {𝑘: (𝑡2, 𝑥0)

𝑘′: (𝑡2′ , 0)

𝑙0

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Für die Dauer des Vorbeiflugs in 𝑘 gilt 𝑡2 − 𝑡1. Für die Eigenzeit, also die Dauer des Vorbei-

flugs in 𝑘′ gilt 𝑡2′ − 𝑡1

′. Man kommt auf das gleiche Ergebnis, wenn man die Berechnung über

Längenkontraktion, also über 𝑣 = 𝑥/𝑡 mit 𝑥 = 𝑥√1 − 𝛽2 rechnet.

Längenkontraktion

𝑙 = 𝑙 ∙ √1 − 𝛽2, 𝛽 =𝑣

𝑐

Maßstabsparadoxon

Ein Stab der Länge 𝑙 bewege sich mit einer Geschwindigkeit 𝑣 parallel zu einem ruhenden

Loch, das ebenfalls die Länge 𝑙 besitzt. Gleichzeitig bewegt sich der Stab noch mit einer

kleinen, senkrechten Geschwindigkeit 𝜖 auf das Loch zu. Zu einem geeigneten Zeitpunkt

𝑡 = 0 durchquert der Stab parallel das ruhende Loch. Vom Bezugssystem des ruhenden

Lochs aus betrachtet erscheint der schnell bewegte Stab durch die Längenkontraktion ver-kürzt auf die Länge 𝑙′ < 𝑙 und passt damit bequem durch das Loch. Betrachtet man die Situ-

ation allerdings vom mitbewegten System des Stabes aus, so ruht der Stab und das Loch bewegt sich relativ zum Stab mit der hohen Geschwindigkeit 𝑣 auf den Stab zu. Hier ist das

Loch verkürzt und der Stab passt nicht hindurch. Das ist aber ein Widerspruch . Die Abmes-

sungen können zwar wechselseitig verkürzt zueinander erscheinen, die Aussage, dass der

Stab das Loch passiert, aber kann nicht von der Wahl des Bezugssystems abhängig ge-

macht werden; sonst wäre die Relativitätstheorie widersprüchlich und falsch.

Die Beschreibung Fall (A), der Stab bewegt sich parallel auf das ruhende Loch zu, entspricht

der Realität und ist richtig dargestellt. Die Beschreibung Fall (B), Das Loch bewegt sich auf

den ruhenden Stab zu, wurde in der vorangestellten Darstellung nicht vollständig richtig

nach den Gesetzen der Lorentz-Transformation durchgeführt und erzeugt damit das schein-

bare Paradoxon, das so gar nicht existiert. Bei der Transformation zum System im Fall (B)

muss noch berücksichtigt werden, dass sich nicht nur die Ortskoordinaten entsprechend der

Lorentz-Transformation ändern und so direkt zur Längenkontraktion führen, sondern dass

auch die Zeit transformiert werden muss. Dadurch ändert sich aber auch die Sicht darauf,

welche Ereignisse als gleichzeitig erscheinen. Im Fall (A) durchquert der Stab das Loch pa-

rallel, was bedeutet, dass sich das vordere und das hintere Ende des Stabes gleichzeitig

zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 durch das Loch bewegen. Dabei durchquere das hintere Ende des Sta-

bes das Loch am Ort 𝑥 = 0, das vordere Ende des Stabes am Ort 𝑥1. Im Fall (B) bleibt diese

Durchtritts-Gleichzeitigkeit an den beiden aktuellen Lochrand-Orten aber nicht erhalten, sondern die Zeit 𝑡’ im Stab-Ruhesystem berechnet sich nach der Lorentz-Transformation.

Beim Vergleich beider Ereignisse ist zu sehen, dass das hintere Ende deutlich später das

Loch passiert. Dass das vordere Ende des „ruhenden“ Stabes das heranfliegende Loch zu-

erst durchquert, bedeutet anschaulich, dass das Loch nicht mehr parallel zum Stab fliegt,

sondern verkippt erscheint.

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Geophysik Einführung

Erdentstehung

Grundsätzliches

𝑟𝐸𝑆 149,59787 ∙ 106 𝑘𝑚 = 1𝐴𝐸 (Abstand Erde-Sonne)

Darüber definiert ist: 1 𝑃𝑎𝑟𝑠𝑒𝑐 = 1𝐴𝐸 ∙ 3600 ∙360

2𝜋= 3,0857 ∙ 1016𝑚

𝑚𝑆 1,989 ∙ 1030 𝑘𝑔

𝑟𝐸𝐿 384403 𝑘𝑚 (Abstand Erde-Mond im Mittel (Mittelpunkte))

𝑚𝐿 0,07319 ∙ 1024 𝑘𝑔

𝑅𝐿 1738 𝑘𝑚

𝑔𝐿 1,62 𝑚/𝑠2 (Mittel)

𝐺 6,674 ∙ 10−11𝑚3

𝑘𝑔 𝑠2 (Gravitationskonstante)

Gravitationskollaps interstellarer Dunkelwolken

Dunkelwolken, bestehend aus Staub und Wasserstoffgas, kollabieren ab einer kritischen

Masse (Jeans Masse) von 1000 bis zu 100000 Sonnenmassen (temperaturabhängig). Daher

entstehen stets Sternhaufen. Die Kontraktion führt zu protostellaren Wolken, der Strah-

lungsdruck steigt, und bremst den Kollaps. Nun reichert der Kern innerhalb von 1 Mio. Jah-

ren das Hüllmaterial an und wird zum Protostern. Zuerst ist hier nur Wärmestrahlung be-

obachtbar. Nun folgen die Bildung einer Akkretionsscheibe in der Äquatorebene und eine Zunahme der Rotationsgeschwindigkeit (Drehimpulsproblem: 99% der Masse eines Sonnen-

systems in der Sonne, 99% des Drehimpulses in den Planeten). Nun folgt die instabile T

Tauri Phase und, nach Zündung, der Hauptreihenstern mit stabilem Wasserstoffbrennen.

Jeans-Masse

Die mittlere kinetische Energie eines Moleküls beträgt 𝑚𝑣2

2=3

2𝑘𝑇 (𝑘 ist die Boltzmann Kon-

stante). Für die zum Entweichen aus einer radial angenommenen Gaswolke erforderliche

Fluchtgeschwindigkeit gilt:

𝑚𝑣𝐹2

2> 𝐺

𝑚𝑀

𝑅

Dabei ist 𝑀 die Gaswolken-Masse, 𝑅 der Radius der Wolke. Die Jeans-Masse ist nun die

Grenzmasse, ab der keine Teilchen die Wolke mehr verlassen können und die Wolke kolla-

biert.

Wasserstoffbrennen

Hier wird Wasserstoff zu Helium fusioniert.

𝑝 + 𝑝 → 𝑑 + 𝑒+ + 𝜈𝑒

𝑑 + 𝑝 → 𝐻𝑒3 + 𝛾

𝐻𝑒3 + 𝐻𝑒3 → 𝐻𝑒4 + 𝑝 + 𝑝

Lebenszyklus unserer Sonne

Im Zentrum der Sonne ist die Hälfte des Wasserstoffs verbraucht. Die zentrale Dichte steigt.

Die Folge aus dem Brennstoffmangel im Inneren ist ein Hüllenbrennen und ein Aufblähen.

Schließlich kollabiert der Kern, da die Gravitationskraft über die Strahlungskraft „siegt“, die

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Reste der Hülle werden abgestoßen (Supernova) und übrig bleibt ein weißer Zwerg (Neutro-

nenstern).

Supernova

Eine Supernova kann die Leuchtkraft einer ganzen Galaxie zweitweise übertreffen. Es folgt

ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch. Alle Elemente, die schwerer als Eisen sind,

wurden bei Supernovae erzeugt (die schwersten vermutlich sogar nur bei Kollision von binä-

ren Neutronen-Sternen).

Leuchtkraft

Zu Beginn war die Leuchtkraft der Sonne zu gering, um auf der Erde flüssiges Wasser zuzu-

lassen (etwa 40% weniger).

Unser Sonnensystem

Wichtige Himmelskörper nach Durchmesser (nicht Masse!) gelistet:

Typus Name

Planet Gas Jupiter

Planet Gas Saturn

Planet Gas Neptun

Planet Gas Uranus

Planet Terrestrisch Erde

Planet Terrestrisch Venus

Planet Terrestrisch Mars

Planet Terrestrisch Merkur

Mond (Jupiter) Terrestrisch Ganymed

Mond (Saturn) Terrestrisch Titan

Mond (Jupiter) Terrestrisch Kallisto

Mond (Jupiter) Terrestrisch Io

Mond (Erde) Terrestrisch Mond

Mond (Jupiter) Terrestrisch Europa

Mond (Neptun) Terrestrisch Triton

Zwergplanet Terrestrisch Eris

Zwergplanet Terrestrisch Pluto ⋮ ⋮ ⋮

Beim Erdmond spricht man häufig von einem Doppel-Planeten. Die chemische Zusammen-

setzung von Erde und Mond spricht dafür, dass sie beide in der gleichen Region des Urne-

bels entstanden sind. Der Mond hat die gleiche Zusammensetzung, wie der Erdmantel, aber

der Eisenkern ist extrem klein. Über die Riesen-Impact-Theorie, also über den Einschlag ei-

nes Mars-großen Körpers im schrägen Winkel auf die Protoerde, kann dies erklärt werden.

Der neu entstandene Mond, praktisch nur aus Mantelmaterial bestehend, wurde dabei so

stark erhitzt, dass flüchtige Elemente verloren worden.

Erdalter

Das älteste Gestein stammt aus Kanada und wurde auf 4 Milliarden Jahre datiert (Stand

2015), das älteste Zirkonkristall aus Australien auf 4,4 Milliarden Jahre. Die ältesten Meteo-

riten haben ein Alter von 4,57 Milliarden Jahre. Unter Annahme der gemeinsamen Entste-

hung ergibt sich für das Erdalter ein Wert von 4,6 Milliarden Jahre.

Altersbestimmung, Erdfigur und Schwerkraft

Grundsätzliches

𝑇𝐸 4,6 Milliarden Jahre (Erdalter)

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Altersbestimmung über Zerfall

Die Zerfallsrate einer radioaktiven Substanz ist proportional zur Anzahl der radioaktiven

Atome gilt: 𝑑𝑁

𝑑𝑡= −𝜆𝑁 ⇔ ∫

1

𝑁𝑑𝑁

𝑁(𝑡)

𝑁0= ∫ −𝜆𝑑𝑡

𝑡

0⇔ ln (

𝑁(𝑡)

𝑁0) = −𝜆𝑡 ⇔ 𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒

−𝜆𝑡 . Dabei ist 𝜆 =1

𝑇ℎ∙

ln(2) und 𝑇ℎ die Halbwertszeit des Präparats. Es gilt:

𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒−𝜆𝑡 , 𝑁(𝑡) = 𝑁0 ∙ 2

−𝑡/𝑇ℎ

𝑡 =1

𝜆∙ ln (

𝑁0𝑁(𝑡)

) , 𝑡 = log2 (𝑁0𝑁(𝑡)

) 𝑇ℎ

Vergleich von Verhältnissen

𝐴(𝑡)

𝐵(𝑡)=%𝐴(𝑡)

%𝐵(𝑡)=%𝐴0%𝐵0

∙ 2𝑡(1𝑇ℎ𝐵

−1𝑇ℎ𝐴

)

Mutter- und Tochterisotope Wenn nur die aktuelle Anzahl der Tochterisotope 𝐵(𝑡) zu bestimmen ist, sind die Formeln

wie folgt zu bearbeiten (𝐴 ist das Mutterisotop): 𝐴(𝑡) = 𝐴0𝑒−𝜆𝑡 ⇒ 𝐴0 = 𝐴(𝑡)𝑒

𝜆𝑡 und 𝐵(𝑡) = 𝐴0 −

𝐴(𝑡). Daraus folgt: 𝐵(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑒𝜆𝑡 − 𝐴(𝑡) = 𝐴(𝑡)(𝑒𝜆𝑡 − 1). Es ergibt sich:

𝑡 =1

𝜆ln (𝐵(𝑡)

𝐴(𝑡)+ 1) , 𝑡 = 𝑇ℎ log2 (

𝐵(𝑡)

𝐴(𝑡)+ 1)

Näherung mit 𝜆𝑡 ≪ 1: 𝜆𝑡𝑛∀𝑛 ≥ 2 vernachlässigbar, also ist 𝑒𝜆𝑡 = 1 + 𝜆𝑡 und 𝑡 =𝐵(𝑡)

𝐴(𝑡)

1

𝜆

Radiometrische Datierung

Die Datierung geschieht meist über das Verhältnis von instabilen zu stabilen Isotopen. Dies

ist schlicht wie eine Anzahl von Atomen zu betrachten und kann mit den oben genannten

Formeln berechnet werden.

Radiokarbonmethode

Hier wird der 𝐶14 -Gehalt gemessen, das durch kosmische Strahlung (Protonen) gebildet

wird. Die meisten Protonen kollidieren in der Atmosphäre, wobei Sekundärstrahlung (Neut-

ronen) freigesetzt wird. Stoßen Neutronen auf Stickstoff, so ist die dominante Reaktion 𝑛 + 𝑁14 → 𝐶14 + 𝑝. Dies wird zu 𝐶𝑂2

14 oxidiert und in der Atmosphäre sowie in den Ozenanen

verteilt und von Pflanzen im Zuge der Photosynthese aufgenommen und später über die

Nahrungskette verteilt. Sobald ein Organismus stirbt, wird kein Karbon mehr eingebaut und

man kann über die Verhältnisse 𝐶12 zu 𝐶14 das Sterbedatum bestimmen.

Probleme:

Magnetfelder: Zu Zeiten geringerer Sonnenaktivität bzw. geringerer Intensität des Erd-

magnetfelds erreichen mehr kosmische Protonen die Atmosphäre.

𝐶𝑂2-Gehalt der Atmosphäre ist zeitlich nicht konstant.

Uran-Blei-Methode

Die Isotopenverhältnisse ungestörter Proben sollten auf der Konkordia liegen, bei gestörten

Proben liegen sie auf einer Diskordia-Geraden. Aber auch hier ist es möglich, Altersinforma-

tionen zu erhalten. Misst man mehrere Kristalle aus einem Gestein, welche alle dieselbe

zweistufige Geschichte hinter sich haben, kann die Diskordia an die Datenpunkte angepasst

werden, und damit die Schnittpunkte mit der Konkordia bestimmt werden.

Pb207 / U235

Pb

⬚206/

U⬚

238

Kristallisation

Metamorphose

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Kalium-Argon-Methode

Kalium ist ein häufiges Element, das unter anderem in das Edelgas Argon zerfällt, welches

sehr flüchtig ist. Wenn ein Mineral „geschlossen“ ist, so kann über das Verhältnis von Kali-

um/Argon das Schließungsalter/Kristallisation bestimmt werden. Wäre das Mineral offen,

würde das Argon sofort entweichen.

Zerfallsarten

Siehe Zerfall, Seite 107

Erdfigur und Schwerkraft

Grundsätzliches

𝑅𝐸 6371 𝑘𝑚

𝑚𝐸 5,973 ∙ 1024 𝑘𝑔

𝑔 9,82 𝑚/𝑠2 (Mittel)

𝑎 6378137,000 𝑚 (Halbachse des Rotationsellipsoids)

𝑏 6356752,314 𝑚 (Halbachse des Rotationsellipsoids)

𝑓 1/298,257 (Abplattung)

𝜌𝐸 5,51 𝑔/𝑐𝑚3 (Mittlere Dichte der Erde)

Figur der Erde

Das Gravitationsfeld erzwingt bei allen größeren Himmelskörpern eine mehr oder weniger perfekte Kugelgestalt. Ab etwa 100 𝑘𝑚 Durchmesser beginnt der Druck die Festigkeit des

Materials zu übersteigen und die Form nähert sich einer Äquipotentialfläche des Feldes an.

Eratosthenes

Eratosthenes bestimmte etwa 220 v.Chr. den Erdumfang über die Sonnenwinkel in einem

Brunnen in Assuan (damals Syene) und einem in Alexandria und über die Entfernung des-sen zu Alexandria mit 𝛼 = 7° 12′ und 𝑠 = 5040 𝑆𝑡𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛. Jenachdem, welches der 7 gängigen

Maße man für das Stadium angibt, kommt man im günstigsten Fall (157,5 𝑚) zu einem Wert

von 39690 𝑘𝑚 Erdumfang. Das ist ein Fehler von weniger als 1%.

Erdellipsoid

Kreisgleichung: 𝑥2+𝑦2

𝑟2= 1, Ellipsengleichung:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1, Kugelvolumen: ∭𝑟2 sin 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃

Mittlerer Erdradius

In sehr guter Näherung ist die Erde ein Rotationsellipsoid mit den Halbachsen 𝑎 =6378137,000 𝑚 und 6356752,314 𝑚. Der mittlere Erdradius ist über der Radius einer Kugel mit

gleichem Volumen, wobei 𝑉 =4

3𝜋𝑎𝑏𝑐 gilt.

Geometrische Abplattung

Die Abweichung von der Kugelform beträgt 𝑓 =𝑎−𝑏

𝑎.

𝛼

𝛼 𝑠

Syene

Alexandria

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Der Äquatordurchmesser ist um 42,8 𝑘𝑚 größer als der Poldurchmesser.

Die Maximale Abweichung zwischen Ellipsoid und Geoid beträgt auf der Erde nur 108 𝑚.

Ellipsenumfang

Näherungsformel: 𝑈 = (𝑎 + 𝑏)𝜋 ∙ (1 +3𝜆2

10+√4−3𝜆2) , 𝜆 =

𝑎−𝑏

𝑎+𝑏

Exzentrizität

Dies ist ein Maß für die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform.

Lineare Exzentrizität: 𝑒2 = 𝑎2 − 𝑏2

Numerische Exzentrizität: 𝜖 = 𝑒/𝑎

Abstand vom Mittelpunkt

Aus 𝑥2+𝑦2

𝑎2+𝑧2

𝑏2= 1 kann mit Kugelkoordinaten Folgendes hergeleitet werden:

𝑟2 =𝑏2

1 − 𝜖2 cos2(𝜑)

Geoid

Das Geoid ist als die Äquipotentialfläche im Schwerefeld der Erde, welche den mittleren

Meeresspiegel bestmöglich approximiert, definiert. Ohne weitere Einflüsse bildet sich die

Wasseroberfläche als Niveaufläche des Schwerepotentials aus. Aufgrund der unregelmäßi-

gen Verteilungen der Massendichte im Erdkörper kann das Geoid nicht durch eine algebrai-

sche Gleichung beschrieben werden.

Die Abweichungen der tatsächlichen Erdoberfläche vom Referenzellipsoid werden als Geoid-

undulationen bezeichnet.

Da dieser Prozess nicht einfach und ständig im Wandel ist, sind auch Höhenangaben (in

Deutschland „Normalnull“ genannt) in einzelnen Ländern unterschiedlich.

Geographische und Geozentrische Breite

Die geographische Breite ist definiert über den rechten Winkel an der Erdoberfläche. Die ge-

ozentrische Breite bezieht sich auf den Erdmittelpunkt.

tan 𝜑𝑔 = (𝑎

𝑏)2

tan𝜑𝑧

Die Herleitung der obigen Beziehung funktioniert über die Tangentengleichung: 𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1 ⟺

𝑥2𝑏2 + 𝑦2𝑎2 = 𝑎2𝑏2𝐴𝑏𝑙.⇒ 2𝑥𝑏2 + 2𝑦𝑦′𝑎2 = 0 ⟺ 𝑦′ = −

𝑥𝑏2

𝑦𝑎2=𝑑𝑦

𝑑𝑥. Mit tan𝜑𝑧 =

𝑦

𝑥∧ tan𝜑𝑔 =

𝑑𝑦

𝑑𝑥 folgt der Zu-

sammenhang.

Gravitation

𝑉𝑔 = −𝑚𝐺𝑀

𝑟, 𝐹𝑔 = −∇ 𝑉𝑔 ⇒ −𝐺

𝑚𝑀

𝑟2 (𝑟

𝑟)

𝑔 =1

𝑚𝐹𝑔

𝐺𝑀 = 398,6004416 ∙ 1012𝑚3

𝑠2

𝜑𝑔 𝜑𝑧

90°

𝑦

𝑥

𝑏

𝑎

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Gravitationspotential

Φ =𝑉𝑔

𝑚

Gravitationskonstante

𝐺 = 6,674 ∙ 10−11𝑚3

𝑘𝑔 𝑠2, Δ𝐺 = 0,0015 ∙ 10−11

𝑚3

𝑘𝑔 𝑠2

Das Gravitationspotential einer homogenen Kugel im äußeren Feld berechnet sich wie folgt:

Da 𝑟 > 𝑅 ∧ 𝜌 = 0 ⇒ ΔΦ(𝑟) = 0 folgt ΔΦ(𝑟) =1

𝑟2

𝜕

𝜕𝑟(𝑟2

𝜕Φ

𝜕𝑟) = 0 , da die Winkelanteile durch die

Symmetrie verschwinden (vgl. Laplace-Operator in Kugelkoordinaten). Nun folgt nach Multi-

plikation beider Seiten mit 𝑟2 : ∫𝜕

𝜕𝑟(𝑟2 (

𝜕Φ

𝜕𝑟)) 𝑑𝑟 = ∫0 𝑑𝑟 ⟺ 𝑟2 (

𝜕Φ

𝜕𝑟) = 𝑐1⟺Φ = −

1

𝑟𝑐1 + 𝑐2 mit

𝑐2 = 0 (im Unendlichen kein Potential). Φ =𝑐

𝑟. Zur Bestimmung von 𝑐 benötigt man die innere

Lösung: ΔΦ = 4𝜋𝐺𝜌𝑎𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔⇒ Φ =

2

3𝜋𝐺𝜌𝑟2 +Φ0. Über die Übereinstimmung der ersten Ableitungen

am Punkt 𝑟 = 𝑅 folgt mit 𝑀 = 𝑉𝜌 𝑐 = −𝐺𝑀. Also folgt ΦÄ(𝑟) = −𝐺𝑀

𝑟. Für die Konstante der inne-

ren Lösung muss man abermals 𝑅 = 𝑟 setzen, da die Funktion stetig sein muss.

Fliehkraft

Die Zentrifugalkraft ist:

𝐹𝑍 = 𝑚𝑣2

𝑅= 𝑚𝜔2𝑅 = 𝑚𝜔2 𝑟 cos 𝜃 , 𝜔 =

2𝜋

𝑇

𝑇 ist hier ein Sterntag (86164,10 𝑠), kein Sonnentag (86400 𝑠).

Sterntag / Sonnentag

𝑉𝑍 = −1

2𝑚𝑟2 sin2 𝜃 𝜔2

𝐹𝑍 = −∇𝑉𝑍, 𝑎𝑍 = −∇Φ𝑍, Φ𝑍 = −1

2𝑟2 sin2 𝜃 𝜔2

Das Zentrifugalpotential ist zylindersymmetrisch.

Schwerkraft

Das Schwerepotential setzt sich aus dem Gravitationspotential und dem Zentrifugalpotential

zusammen.

Φ = Φ𝐺 +Φ𝑍

Φ𝐾𝑢𝑔𝑒𝑙 = −𝐺𝑀

𝑟−1

2𝑟2 sin2 𝜃 𝜔2

Schwerebeschleunigung

𝑔 = −gradΦ = −∇Φ

𝑔𝑟 = −𝐺𝑀

𝑟2+ 𝑟 sin2 𝜃 𝜔2, 𝑔𝜃 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜃 𝜔

2 =1

2𝑟 sin 2𝜃 𝜔2, 𝑔𝜆 = 0

𝑔 = (−𝐺𝑀

𝑟2+ 𝑟 sin2 𝜃 𝜔2) 𝑟 +

1

2𝑟 sin 2𝜃 𝜔2 �� + 0 ��

Es gilt 1𝑐𝑚

𝑠2= 1 𝐺𝑎𝑙.

Sterntag

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Internationale Schwereformel

𝑔𝑠(𝜑) ≈ 9,780327(1 + 0,0053024 sin2 𝜑 − 0,0000058 sin2 2𝜑)

𝑚

𝑠2

Internationale Höhenformel

𝑔(𝑟 + ℎ) ≈ 𝑔𝑠 (𝑟

𝑟 + ℎ)2

≈ 𝑔𝑠 (1 − 2ℎ

𝑟)

Dynamischer Faktor Der Faktor 𝐽2 wird auch dynamischer Formfaktor genannt und ist ebenfalls ein Maß für die

Abplattung, aber diesmal ausgedrückt durch die Differenz der Trägheitsmomente der Erde um die Rotationsachse 𝐵 und die Äquatorachse 𝐴.

𝐽2 =𝐵 − 𝐴

𝑀𝑎2

Isotasie

Lange gab es zwei konkurrierende Modelle zur isostatischen Kompensation. Im Modell nach

J. H. Pratt beruht die unterschiedliche Höhe einiger Gebirgsteile auf Dichteunterschiede im

Material. Im Modell nach G. B. Airy ist die Dichte einheitlich, höheres Herausragen wird

durch tieferes Eintauchen kompensiert. Die Wahrheit liegt eher bei Airy, allerdings sind die

Dichteunterschiede nicht zu vernachlässigen.

Die Lithosphäre schwimmt auf der Asthenosphäre mit:

𝐹𝐴 = 𝜌𝐹𝑙ü𝑠𝑠𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡𝑉𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟𝑔, 𝐹𝐺 = 𝜌𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟𝑉𝐾ö𝑟𝑝𝑒𝑟𝑔

Gezeiten

Für eine senkrechte Gezeitenbeschleunigung gilt:

𝑔𝐺𝑍 = 𝐺𝑀 (1

(𝑟 ± 𝑅)2−1

𝑟2)

Gezeitenpotential

Für ein System, dessen 𝑧-Achse zum Mond weist, ist folgende Näherung relevant:

Φ𝐺𝑍 = −1

4

𝐺𝑀

𝑟𝑟−𝑅3 𝑟2(3 cos 2𝜃 + 1)

Die Gezeitenbeschleunigung in radialer Richtung ist dann:

𝑔𝑟 =1

2

𝐺𝑀

𝑟𝑟−𝑅3 𝑟(3 cos 2𝜃 + 1)

Das Verhältnis zwischen Spring- und Nippflut ist 1,886.

Die Komponenten der Gezeitenbeschleunigung sind folglich durch 𝐹 = 𝑚𝑎 = ∇Φ⟺ 𝑎 =∇Φ

𝑚 zu

berechnen.

Es gibt also zweimal am Tag Gezeiten, weil sowohl die Gravitationskraft, als auch die Zentri-

fugalkraft solche erwirken. Die Erdrotation zieht die Gezeitenberge dann weiter und wird

somit durch die „rückstellende“ Kraft gebremst. Die Tageslänge vergrößert sich dadurch pro Jahrhundert um etwa 1,6 𝑚𝑠 . Der Mond wird entsprechend geringfügig beschleunigt und

rutscht auf eine höhere Umlaufbahn (3. Kepler-Gesetz). Somit bleibt der Gesamtdrehimpuls

des Systems Erde-Mond erhalten. Der Mond entfernt sich pro Jahr um 3,8 𝑐𝑚 von der Erde.

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Gebundene Rotation

Aufgrund von Gezeitenreibung streben alle Himmelskörper nach gebundener Rotation. Der

Mond hat diese bereits erreicht, wir sehen immer die gleiche Seite. Wegen der Libration

(Mondumlaufbahn kein Kreis) können wir etwas mehr als die Hälfte der Mondoberfläche se-

hen.

Die Galileischen Monde

Ganymed, Kallisto, Io und Europa kreisen um den Jupiter und heißen galileische Monde. Sie

sind so groß, dass sie auch als Planeten gelten könnten, wären sie nicht von Jupiter einge-

fangen worden. Sie sind alle starken Gezeitenkräften ausgesetzt und weisen gebundene Ro-

tation auf. Hier sind die Umlaufbahnen von Ganymed, Europa und Io bereits resonant. Das

System strebt nach Umlaufzeiten, die ganzzahlige Vielfache zu den anderen solchen sind: 𝐺𝑎𝑛𝑦𝑚𝑒𝑑

𝐸𝑢𝑟𝑜𝑝𝑎= 2 und

𝐸𝑢𝑟𝑜𝑝𝑎

𝐼𝑜= 2. Kallisto hat die Resonanz noch nicht genau erfüllt (16,7 statt 14,3

Tage). Bahnresonanzen zwingen Himmelskörper in exzentrische Umlaufbahnen, weil sie an

einer Stelle der Umlaufbahn mit allen anderen resonanten Körpern in einer Linie sein müs-

sen. Io ist davon sehr stark betroffen und die Gezeitenkräfte, die Jupiter ausübt, ändern sich somit stark. Der Mond wird aufs stärkste aufgeheizt (Lava bis 2000𝐾).

Europa

Unter der dicken Eisschicht befindet sich aufgrund der Gezeitenreibung ein Ozean. Die Ober-

fläche ist wohl sehr jung, da kaum Einschläge zu finden sind. Europa hat ein Magnetfeld,

was eine leitende Schicht voraussetzt – wohl ein salziger Ozean.

Seismik und Plattentektonik

Seismik allgemein

Die Lithospähre, die starre äußere Schicht der Erde, ist in ein Mosaik aus 15 großen und

zahlreichen kleineren Platten zerlegt. Diese Platten werden, angetrieben von Konvektions-

bewegungen im Erdmantel, gegeneinander bewegt. Das tun sie nicht kontinuierlich, sondern

sie bauen Spannung auf, bis ein Versatz zu einem Erdbeben führt.

Das Hypozentrum ist der Ort in der Erdkruste, an dem die Energie tatsächlich freigesetzt

wird. Das Epizentrum ist der Ort an der Erdoberfläche, der direkt darüber liegt.

Statistische Häufigkeit

Magnitude Anzahl

3 60000

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4

5

6

7

8

8000

1000

100

20

1

Mehr als 80 % der Beben haben eine Herdtiefe von weniger als 70 𝑘𝑚.

Erdbebenwellen

Bei Erdbeben unterscheidet man zwischen Körperwellen und Oberflächenwellen. Erstere

breiten sich im Erdinnern aus, letztere nur an der Erdoberfläche.

P-Welle (Körperwelle)

P-Wellen, Primärwellen, sind Kompressionswellen. Sie sind schneller als andere Wellenarten.

Sie können sich in festen, flüssigen und gasförmigen Medien ausbreiten. Sie treten sogar in die Luft über und erzeugen Geräuscherscheinungen. Mit 𝐾 als Kompressionsmodul und 𝐺 als

Schubmodul gilt:

𝑣𝑝 =√𝐾 +

43𝐺

𝜌

S-Welle (Körperwelle)

Die Sekundärwellen, S-Wellen, sind nur etwas mehr als halb so schnell wie P-Wellen. Sie

sind Scherwellen, die Partikel schwingen also senkrecht zur Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Die S-Wellen bewegen sich ebenfalls durch das Erdinnere, können sich jedoch wie alle Scherwellen, nur in festen Medien ausbreiten. Mit 𝐺 als Schubmodul gilt:

𝑣𝑠 = √𝐺

𝜌

Love-Welle (Oberflächenwelle)

Verformung in horizontaler Richtung.Durch oftmals große Amplitude gehören diese zu den

zerstörerischsten Wellen eines Bebens.

Rayleigh-Welle (Oberflächenwelle)

Ganz wie bei Wasserwellen, bewegen sich hier die Teilchen auf elliptischen Bahnen (Orbita-

len). Die Wellen bewirken eine Auf- und Abbewegung.

Laufzeitbestimmung

Über die Laufzeiten der verschiedenen Wellen an verschiedenen Stationen kann man den

Ort den Hypozentrums berechnen.

Erdbebenenergie

Die Magnitude nach Richter und Gutenberg ist wie folgt zu berechnen:

log10 𝐸 = 1,5 𝑀 + 4,8

TNT-Äquivalent

1 𝑀𝑡 𝑇𝑁𝑇 = 4,2 ∙ 1015𝐽

Erdaufbau

Grenzen von der Erdoberfläche berechnet:

Oberer Mantel (+Kruste) 0 𝑘𝑚

Unterer Mantel 700 𝑘𝑚

Äußerer Kern 2900 𝑘𝑚

Innerer Kern 5100 𝑘𝑚

Rotationsenergie 1

2𝐽𝜔2 mit 𝐽 =

2

5𝑀𝑅2 bei Kugeln

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Tsunamis

Wellenlänge und -höhe hängen entscheidend von der Stärke des Ereignisses ab, das den

Tsunami ausgelöst hat. Normalerweise sind die Wellenlängen der Tsunamis auf dem offenen

Meer riesig, im Extremfall bis zu 500 𝑘𝑚. Je größer die Wellenlänge, desto geringer ist der

Energieverlust einer Welle bei der Reise durch das Meer. Manche Tsunamis richten noch

mehr als 10 000 Kilometer vom Ursprungsort entfernt gewaltige Schäden an.

Tsunamis sind, überall im Ozean, Flachwasserwellen. Die Geschwindigkeit, mit der sie die

Weltmeere jagen, hängt also von der jeweiligen Meerestiefe ab. Im Pazifik sind Spitzenge-schwindigkeiten von mehr als 750 𝑘𝑚/ℎ keine Seltenheit. Anders als bei den normalen wind-

generierten Wellen wird bei einem Tsunami die Wellenenergie von der gesamten Wasser-

säule bis hinab zum Meeresboden weitergeleitet. Tsunamis haben daher überall in den Oze-anen Bodenkontakt. An den Küsten können sie 40 𝑚 Höhe (und mehr) erreichen.

Beim Ausbruch des Krakatau im Jahr 1883 wurde beim Untergang der Insel ein riesiger Tsunami ausgelöst, der an der Küste Wellenhöhen von 40 𝑚 erreicht. Die Wogen über-

schwemmten die Nachbarinseln und spülten Schiffe bis zu 3 𝑘𝑚 ins Landesinnere.

Erdaufbau

Durch die Zunahme der Dichte in der Tiefe steigen die Geschwindigkeiten von P- und S-

Wellen. An der Kern-Mantel-Grenze steigt die Dichte abrupt an. Da außerdem der Schub-

modul im flüssigen äußeren Erdkern Null ist, geht die Geschwindigkeit der P-Wellen zurück.

S-Wellen breiten sich nicht weiter aus.

Hypsographische Kurve

Hier ist sind sowohl die Oberfläche der Erdkruste, also bezüglich ihrer Höhe, angegeben so-

wie ihr prozentualer Anteil (links).

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Schattenzonen

Magma

Die Mohorovičič-Diskontinuität (Moho) bezeichnet die untere Begrenzung der Erdkruste. Hier stiegt die seismische Geschwindigkeit der P-Wellen von 6,8 𝑘𝑚/ℎ auf etwa 8,0 𝑘𝑚/𝑠 an.

Dies ist die Stelle, an denen sich magmatische Gesteine Bilden (Magmatite). Bei langsamer

Abkühlung im Erdinneren entstehen grobkristalline Intrusivgesteine; die Kristalle können

hier in der Schmelze wachsen. Bei schneller Abkühlung an oder nahe der Erdoberfläche ent-

stehen feinkristalline Effusivgesteine. Bei schlagartiger Erstarrung entstehen Glase (z.B. Ob-

sidian).

Intrusivreihe Effusivreihe 𝑆𝑖𝑂2-Gehalt Viskosität Schmelztemp.

Granit

Granodiorit

Diorit

Gabbro

Peridotit

Rhyolith

Dazit

Andesit

Basalt

Komatiit

70% (sauer)

40% (ultraba-

sisch)

Mit zunehmendem Kieselsäuregehalt steigt die Viskosität des Magmas. Eruptionen basalti-

scher Lava sind daher eher ruhig (Hawaii). Eruptionen rhyolithischer Lava sind dagegen

häufig explosiv (Mt. St. Helens).

Ozeanische Kruste

Diese ist, abgesehen von sedimentären Bedeckungen, aus Basalten und Gabbros.

Kontinentale Kruste

Hier sind Granite und Granodiorite typisch.

Erdmantel

Der Erdmantel selbst besteht im Wesentlichen aus Peridotit, ist also ultrabasisch.

Vulkanismus

Die Lithosphäre, aus Kruste und den äußeren Bereichen des Mantels bestehend, schwimmt

auf dem plastischen, teils geschmolzenen Bereich des Mantels, der Asthenosphäre. An mit-

telozeanischen Rücken entsteht laufend neue ozenaische Kruste in Form von Sheeted Dikes

und Kissenlava. Das abkühlende Dach der Magmakammer erstarrt als Gabbro.

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Die Bewegungen der Platten kommen zustande, weil der Erdmantel heiß und verformbar ist.

Deshalb kann im Mantelmaterial Konvektion einsetzen; die Platten werden langsam (mit ei-

nigen Zentimetern pro Jahr) mitgeführt.

An divergierenden Grenzen (konstruktive Grenzen) wird neue Kruste gebildet. Mittelozeani-

sche Rücken sind dafür typisch und weisen eine zentrale Grabenstruktur (Rift) auf. Durch

Kontakt mit dem kalten Meerwasser werden Mineralien (Schwefel, Schwermetalle,…) ausge-

fällt und quellen als „schwarzer Rauch“ hervor oder lagern sich ab. Dabei bilden sich hydro-

thermale Schlote, die sogenannten black smoker. Die mittlere Geschwindigkeit des Seaf-loor-Spreadings am größten am ostpazifischen Rücken (12 𝑐𝑚/𝑎).

Thermoremanente Magnetisierung

Bei Erstarren von Lava werden magnetisierbare Minerale nach dem jeweilig herrschenden Magnetfeld der Erde magnetisiert. Bei Abkühlung unter den Curie-Punkt (Magnetit: ~578 °𝐶)

wir die aktuelle Magnetfeldrichtung „eingefroren“. Da sich das Magnetfeld mehrfach geän-

dert hat, und die Zeiten dieser Umpolungen bekannt sind, konnte das Alter des Meeresbo-

dens genau bestimmt werden.

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Verschiedene Plattengrenzen

Subduktion beschreibt das Absinken der schwereren (ozeanischen) Lithosphäre unter die

leichtere (kontinentale). Die ozeanische Platte wird wieder Teil des Mantels (destruktive

Grenze).

Für die Kollision von Platten gibt es drei Möglichkeiten:

Ozean-Ozean: Die ältere, kühlere und damit dichtere Platte subduziert. Dabei entstehen

Tiefseerinnen. Aufsteigende Magmen durchdringen die oben liegende Platte und bilden

vulkanische Inselbögen (Japan, Indonesien, Karibik,…).

Ozean-Kontinent: Die ozeanische Platte sinkt am aktiven Kontinentalrand ab. An der

nicht abtauchenden Platte bilden sich vulkanische Gebirge (Anden,…), die auch Magmen-

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intrusionen aufweisen. Hierbei handelt es sich um aufgestiegene, aber „steckengebliebe-

ne“ Magma (Batholithe).

Kontinent-Kontinent: Kontinentale Kruste kann nicht abtauchen, sie wird in zahlreiche

Deckeneinheiten zerschert, die übereinander geschoben werden. Dies führt zu einer Er-

höhung der Mächtigkeit und zum Aufstieg hoher Gebirgsketten (Tibet, Himalaya, Al-

pen,…). Bevor aber die Kollision stattfinden kann, wird ozeanische Kruste subduziert,

denn diese trennt kontinentale Krusten zunächst. Sediment, die von der abtauchenden

ozeanischen Platte abgeschürft wurden, werden dabei ins Gebirge eingebaut.

Die Magma entsteht über der absinkenden Platte, da das Mantelgestein mit der Feuchtigkeit

in der Platte reagiert und flüssig wird. Die Platte sinkt weiter ab, sie wird nicht so bald auf-

geschmolzen, wie es oft fälschlicher Weise angenommen wird.

Transformstörungen

Dabei handelt es sich um gleitende Lithosphärenplatten (San-Andreas-Verwerfung). Hier

wird weder Kruste erzeugt, noch vernichtet, die Krustenstücke gleiten aneinander vorbei.

Eruptionsarten

Hot Spot und Manteldiapire

Manteldiapire bestehen aus heißem Material aus der Grenze zwischen Mantel und Kern. Hier

wird durch die Hitze des Kerns das Mantelmaterial des unteren Mantels erhitzt. Dieses steigt

mit geringerer Viskosität langsam auf und bildet nach Erreichen der Kruste einen Hot Spot.

Hot Spots lassen Vulkaninseln entstehen. Wenn sich die Platte weiterschiebt, so entstehen

immer wieder neue Vulkane (die alten erlöschen) und eine Inselkette entsteht. Durch das

Absinken der Platte und Erosion werden die älteren Inseln kleiner und niedriger, bis sie

komplett verschwinden (Hawaii, Kanaren,…)

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Magnetfeld und Magnetosphaere

Magnetfeld

Das Magnetfeld der Erde verhält sich so, als würde sich ein relativ kleiner, aber sehr starker

Stabmagnet in der Nähe des Erdmittelpunktes befinden, der um etwa elf Grad gegen die

Rotationsachse der Erde geneigt ist (Dipolfeld). Die Curie-Temperatur von Krustengestein wird bei 500 bis 600 °𝐶 erreicht. In Tiefen unter 30 𝑘𝑚 kann das Material im Erdinneren also

schon nicht mehr magnetisch sein, denn die Temperaturen liegen dort bereits über dem Cu-

rie-Punkt. Heute ist man sich einig, dass dieser flüssige äußere Erdkern die Quelle für das

Magnetfeld ist.

Weitgehende Übereinstimmung besteht darüber, dass der Geodynamo durch Konvektion

angetrieben wird, die ihre Energie aus der Wärme und aus der Auskristallisation des inneren

Erdkerns gewinnt, und dass die Bewegungsbahnen des flüssigen Eisens erst durch ihre Mo-

difikation durch die Coriolis-Kraft die Umwandlung von

thermischer in mechanische und schließlich in magneti-

sche Energie ermöglichen.

In aufwändigen Computer-Simulationen ist es erst 1999

gelungen, einen sich selbst erhaltenden Geodynamo zu

betreiben. Man erklärt diesen über walzenförmige Bewe-

gungen der elektrisch leitfähigen Schmelze im äußeren

Erdkern (Tylor-Säulen).

Magnetfelder sind im Weltall allgegenwärtig, die Bedin-

gungen für einen selbst-erhaltenden Dynamo sind also

offenbar relativ leicht zu erfüllen (aber schwer zu be-

rechnen). Das Magnetfeld der Sonne entsteht durch die

Strömung von ionisiertem Wasserstoff. Bei Jupiter und

Saturn ist das leitfähige Material metallischer Wasser-

stoff.

Berechnung Mit 𝑝 als magnetische Polstärke, 𝐻 als Feldstärke, 𝐵 als Induktion (Flussdichte) und 𝜇0 als

Permeabilität des Vakuums (magnetische Feldkonstante) gilt:

𝐹𝑀 =1

4𝜋𝜇0

𝑝1𝑝2𝑟2

(𝑟

𝑟)

𝐻 =1

4𝜋𝜇0

𝑝

𝑟2(𝑟

𝑟)

𝐵 = 𝜇𝑟𝜇0𝐻

Die Erde hat am Äquator ungefähr 𝐵 ≃ 30000𝑛𝑇 = 0,3 𝐺𝑎𝑢ß. Am Pol ungefähr 0,6 𝐺𝑎𝑢ß.

𝐻 = −∇Φ𝑀 , Φ𝑀 =1

4𝜋𝜇0

𝑝

𝑟

Magnetfelder sind nicht wirbelfrei, sondern quellenfrei. Feldlinien sind immer geschlossen. Die Multipol-Anteile nehmen stärker mit der Entfernung ab (𝑟3), bereits auf der Oberfläche

beträgt der Dipolanteil ~90%.

Pole

Es gibt verschiedene Arten von Polen:

Magnetischer Pol: Dies ist der Punkt, an dem die magnetischen Feldlinien senkrecht auf

der Oberfläche stehen. Der Nordpol wandert zur Zeit immer schneller nach Norden, der

Südpol nach Nordwesten.

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Geographische Pol: Bezogen auf die Erdrotation – der echte geographische Pol ändert

sich ständig geringfügig, die Karten werden aber nicht kontinuierlich neu gefertigt.

Geomagnetischer Pol: Der berechnete Durchstoßpunkt der mittleren Dipolachse durch

die Erdoberfläche.

Pole of Inaccessibility: Total unnötiger Nordpol, der unwissenschaftlich ist.

Umpolung des Magnetfelds

Die Intensität des Dipolfelds ändert sich laufend. Im Schnitt kommt es alle 0,5 bis 1,0 ∙ 106𝑎 zu einem kurzzeitigen Zusammenbruch, der einige tausend Jahre dauert. Höhere magneti-

sche Momente belieben aber erhalten. Im Anschluss erfolgt der Aufbau eines (meist) umge-kehrten Dipolfelds. Die letzte große Umpolung war vor ~780000𝑎. In den letzten 100 Jahren

hat die Stärke um 10% abgenommen, in 1500 Jahren könnte eine neue Episode beginnen.

Magnetosphäre

Die Erdmagnetosphäre entsteht durch Einwirkung des Sonnenwindes auf das Magnetfeld der Erde. Der Massenverlust durch den Sonnenwind ist pro Sekunde etwa 1 𝑀𝑡. Er drückt das

Magnetfeld auf der Sonnenseite der Erde zusammen und zieht es auf der hinteren Seite zu

einem langen Schweif aus, der mehrere Millionen Kilometer in den Raum hinaus reicht. Die

Grenzschicht bezeichnet man als Magnetopause. Hier herrscht Gleichgewicht zwischen Staudruck und magnetischem Druck (𝜌𝑣𝑆𝑀)

2 ≅ 𝐵2/2𝜇0. Bei ruhiger Sonne liegt die Magne-

topause bei etwa 10 Erdradien, bei hoher Aktivität bis unter 5 Erdradien.

Sonnenwind

Strom elektrisch geladener Teilchen, der auch in ruhigen Phasen von der Sonne strömt.

Hauptsächlich bestehend aus Protonen, Elektronen und 𝛼-Teilchen gilt in Erdentfernung un-

gefähr 𝑣 ≅ 400 𝑘𝑚/𝑠 und 𝑛𝑒− = 𝑛𝑝+ ≅ 10 𝑐𝑚−3. Der Sonnenwind reicht noch weit bis über die

äußeren Planetenbahnen hinaus und bildet die Heliosphäre mit der Heliopause, die oft als

die Grenze des Sonnensystems definiert ist.

Plasma

Ionen und Elektronen werden von der Lorentz-Kraft abgelenkt (𝐹𝐿 = 𝑞 �� × ��). Sonnenwind-

teilchen dringen deshalb nur über komplexere Prozesse zur Erde durch.

Zusätzlich gibt es den Teilchenstrom um die Erde. Die im Erdmagnetfeld gefangenen Teil-

chen wechseln ihre Bewegungsrichtung an den Spiegelpunkten über Nord- und Südhalbku-

gel. Zusätzlich driften sie um die Erde herum (Van-Allen-Gürtel).

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Weltraumwetter

Sonnenflecken erscheinen dunkel, weil sie mit ~4000 °𝐶 etwas weniger heiß sind, als die um-

gebene Oberfläche mit ~6000 °𝐶. In den Sonnenflecken wird die Konvektion durch starke

Magnetfelder verringert.

Lagrange-Punkte

In den fünf Lagrange-Punkten sind die Anziehungskräfte und Fliehkräfte von Sonne und Er-de im Gleichgewicht. 𝐿1 ist ein idealer Ort für die Sonnenbeobachtung, 𝐿3 wäre die Gegener-

de.

Der Sonnenwind weht nicht immer gleichmäßig. Durch explosive Prozesse, die koronalen

Massenauswürfe, werden riesige Gasmassen aus der Sonne herausgeschleudert. Diese „Bö-

en“ im Sonnenwind können die Magnetosphäre besonders stark zusammenpressen. Dabei

werden auch die Birkeland-Ströme und die Hall- und Pedersen-Ströme verstärkt. Letztere können dabei auf mehr als 1 Million Ampère ansteigen. Am Erdboden erzeugen diese Strö-

me Magnetfeldänderungen, die so stark sein können, dass eine Magnetnadel zittert.

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Solar Flares

Dies sind plötzliche Eruptionen auf der Sonne, die sich als Lichtblitze äußern und in der Nä-

he von Sonnenflecken auftreten. An Sonnenflecken sind die Magnetfeldlinien-Pole. Plasma

strömt entlang dieser Feldlinien. Flares entstehen, wenn sich Gebiete unterschiedlicher Pola-

rität sehr nahe kommen. Die Feldlinien kreuzen sich für kurze Zeit und reißen ab, dabei

werden die Plasma-Teilchen ins All geschleudert. Die lokale Temperatur erreicht mehrere

Millionen Grad.

Polarlichter

Die Plasmaschicht in der Magnetosphäre ist das Reservoir für Teilchen, die das Polarlicht

auslösen. Wenn Elektronen (bzw. sekundäre Elektronen) in die Atmosphäre eindringen, sto-

ßen sie mit Luftbestandteilen zusammen und regen sie an. Bei der Rückkehr in den Grund-zustand wird Licht ausgesandt. Grünes und rotes Licht durch Sauerstoff (557,7 𝑛𝑚 bei 120 bis

140 𝑘𝑚 und 630 𝑛𝑚 bei > 200 𝑘𝑚), blaues und violettes Licht von Stickstoffatomen bzw. –

molekühlen. Sie treten häufig in ringförmigen Gebieten um die Magnetpole auf, den soge-

nannten Aurora-Ovalen. An den Polen gibt es praktisch nie Polarlichter. Da der Sonnenwind

außerhalb der Polarregionen nur selten tief in die Atmosphäre eindringt, sind die Polarlichter

in mittleren Breiten, wenn es sie gibt, rot.

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Astrophysik Einführung in die Astronomie

Sphärische Astronomie

Koordinatensysteme

Zur Angabe der Position denkt man sich die Sterne an eine (unendlich ferne) Himmelskugel

projiziert und legt dann zwei sphärische Koordinaten fest. Dazu setzt man häufig den Früh-

lingspunkt fest, der am Schnittpunkt von Sonnenekliptik und Äquatorebene definiert ist.

Horizontsystem

System der unmittelbaren Beobachtung.

Grundkreis: Horizont

Oberer Pol: Zenit

Null-Längenkreis: Vertikale durch Südpunkt (Meridian)

Koordinaten:

ℎ: Höhe über Horizont (0° bis 90°)

𝑎 (Azimut): Winkel zwischen Vertikalen durch das Objekt und dem Meridian (im Sü-

den 0°)

Festes Äquatorsystem

Für Beobachtungen am Teleskop.

Grundkreis: Himmelsäquator (Erdäquatorebene)

Null-Längenkreis: Meridian (durch Pol und Zenit)

Koordinaten:

𝛿 (Deklination): Abstand vom Äquator (−90° bis 90°)

𝑡 (Stundenwinkel): Längenkreisabstand zum Meridian (0° bis 360°, 0° im Süden)

Anmerkungen:

𝛿 > 90° − Φ mit Φ als geografische Breite: Zirkumpolarsterne (gehen niemals unter)

Am nördlichen Pol der Erde sind alle sichtbaren Sterne zirkumpolar

𝛿 = 0: Objekt ist genau 12ℎ über dem Horizont.

ℎ𝑚𝑎𝑥 (Kulminanzhöhe): ℎ𝑚𝑎𝑥 = 90° − Φ + 𝛿

𝑡 (Stundenwinkel) beschreibt die seit dem Meridiandurchgang vergangene Zeit

Bewegliches Äquatorsystem

Grundkreis: Himmelsäquator (Erdäquatorebene)

Null-Längenkreis: Stundenkreis durch den Frühlingspunkt

Koordinaten:

𝑁 𝑆

Υ

𝛼

𝑡

Θ

𝛿

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𝛿 (Deklination): Abstand vom Äquator (−90° bis 90°)

𝛼 (Rektaszension): Abstand vom Stundenkreis zum Frühlingspunkt-Stundenkreis

Anmerkungen:

Sternzeit Θ ist der Stundenwinkel des Frühlingspunktes, 𝑡 = Θ − 𝛼

𝛼 beschreibt also die Uhrzeit (Sternzeit), an der das Objekt den Meridian durchläuft

Ekliptiksystem

Es dient der Positionsbestimmung von Körpern unseres Sonnensystems.

Grundkreis: Ekliptik der Sonne

Null-Längenkreis: Stundenkreis durch den Frühlingspunkt

Koordinaten:

𝛽 (ekliptikale Breite): Abstand zur Ekliptik mit

𝜆 (ekliptikale Länge): Abstand vom Stundenkreis zum Frühlingspunkt

Umrechnungen:

𝑥 = sin 𝛿 ∙ sin 𝜖 + cos 𝛿 ∙ sin 𝛼 ∙ cos 𝜖, 𝑦 = cos 𝛿 ∙ cos 𝛼, 𝑧 = sin 𝛿 ∙ cos 𝜖 − cos 𝛿 ∙ sin 𝛼 ∙ sin 𝜖

sin 𝛽 = 𝑧, cos 𝜆 =𝑦

cos 𝛽=

𝑦

√1−𝑧2

Seitenkosinussatz

In sphärischen Dreiecken, die auf einer Kugeloberfläche definiert sind, gilt sin 𝑎

sin 𝛼=sin𝑏

sin 𝛽=sin 𝑐

sin 𝛾.

cos(𝑎) = cos(𝑏) cos(𝑐) + sin(𝑏) sin(𝑐) cos(𝛼)

Die Zeit

Definitionen

Sternzeit: Stundenwinkel des Frühlingspunktes

Sterntag: Zeit zwischen zwei Meridiandurchgängen des Frühlingspunktes

Wahre Sonnenzeit: Stundenwinkel der wahren Sonne +12ℎ (somit Tagesanfang

nachts)

Mittlere Sonnenzeit: Fiktive Sonne, die gleichmäßig am Äquator läuft

Synodische Rotation: Nach einer Rotation ist die Sonne wieder an derselben

Stelle am Himmel

𝜖

𝑁 𝑆

Υ

𝜆

𝛽

𝑃𝑜𝑙

𝛼 𝐴

𝐶

𝐵 𝑐

𝛽

𝛾 𝑎 𝑏

𝑀

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Syderische Rotation: Nach einer Rotation ist ein Stern wieder an derselben Stelle

am Himmel

Zwischen Sonnen- und Sternzeit ist pro Tag etwa vier Minuten Unterschied, der Sonnentag ist länger als der Sterntag, ein Jahr hat einen Sterntag mehr (24ℎ Sternzeit entspricht

23ℎ56min 4,09𝑠 Sonnenzeit). Als Merkregel ist anzuführen, dass sich ein Stern täglich um 1°

Richtung Osten (früher) verschiebt.

Tropisches Jahr: Umlauf von Frühlingspunkt zu Frühlingspunkt (365,24220𝑑), be-

stimmt die Jahreszeiten

Siderisches Jahr: Die Zeit, nach der zu einer bestimmten Uhrzeit ein Stern wie-der an derselben Position am Himmel steht (365,25636𝑑)

Anomalistisches Jahr: Umlauf von Perihel zu Perihel (Ellipse mit Störungen, 365,25946𝑑)

Kalender

Ägypten:

Sonnenkalender, 365𝑑, 12 Monate zu 30 Tagen, 5 Zusatztage

Fehler von ~1/4 𝑑

Julianische Kalender nach Ptolemäus III. (238 v. Chr.):

Sonnenkalender, 365𝑠, alle vier Jahre Schaltjahr

11𝑚𝑖𝑛 länger als das tropische Jahr

Gregorianischer Kalender (Papst Gregor XIII.):

Auf den 4.10.1582 folgt direkt der 15.10.1582

365𝑑, alle vier Jahre Schaltjahr, außer volle Jahrhunderte, wenn sie nicht durch 400

ohne Rest teilbar sind

365 + 1/4 − 3/400=365,2425𝑑

Die Jahreszählungen wurden unternommen nach verschiedenen Definitionen:

Regentenzählung (frühe Antike)

Ab urbe condita (753 𝑣. 𝐶ℎ𝑟. )

Olympiaden (nur Griechenland und Anreiner)

Indiktion, Römerzinszahl: Für das Jahr 2013 ergibt sich zum Beispiel 2013+3

15= 134 Rest 6;

so liegt das Jahr 2013 größtenteils in der Indiktion 6 (des 135. Zyklus, nach 134 vollen-

deten Zyklen)

Anno domini (nach Dionysius Exiguus, 525 𝑛. 𝐶ℎ𝑟.)

Es gibt kein Jahr 0, das astronomische Jahr 0 entspricht 1 𝑣. 𝐶ℎ𝑟., Caesar starb also −43 oder

44 𝑣. 𝐶ℎ𝑟. im März.

Die Siebentagewoche kommt ursprünglich aus dem jüdischen Kalender, dessen Wochen am

Sabbat (Samstag) enden; dieser Kalender ist ein Mondkalender, daher sind die Monate ab-wechselnd 29 bzw. 30𝑑 lang (synodische Umlaufzeit ~29,5𝑑).

Die Maya hatten einen kultischen Kalender mit 260𝑑, gleichzeitig aber auch das Jahr mit

365𝑑, hier in 18 Monate zu 20 Tagen eingeteilt, der letzte Monat hatte aber nur 5 Tage.

Die Chinesen teilten ihr Jahr in 12 Monate mit 29 und 30 Tagen, die Tierkreiszeichen wurden

hier eingeführt.

Sternpositionen

Es sind 88 Sternbilder als Bezeichnungen vorhanden. Die 12 Sternbilder des Tierkreises fin-

det man an der Ekliptik.

Helle Sterne werden mit Namen benannt. Für ein Sternbild wird der hellste Stern mit 𝛼, der

zweithellste mit 𝛽 usw. benannt (𝛼𝐴𝑞𝑟 ist also der hellste Stern im Wassermann). Schwache

Sterne erhalten eine Nummer in einem Katalog.

Unsicherheiten ergeben sich aus der Aufstellung eines Teleskops (Neigung, Achse nicht ho-

rizontal/Ost-West, Azimutfehler) und durch das Instrument per se (Kollimationsfehler, opti-

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sche Achse nicht senkrecht zur Drehachse, Ablesungsfehler, Exzentrizitätsfehler, Zenit-

punktfehler).

Refraktion

Störung durch Erdatmosphäre nach dem snellius’schen Brechungsgesetz (siehe Brechungs-

gesetz (Snellius), Seite 88). Der Brechungsindex steigt mit abnehmender Wellenlänge.

Unter Szintillation versteht man rasche Refraktionsänderungen infolge Turbulenzen in der

Erdatmosphäre. Es gibt die Richtungsszintillation (Zittern eines Sternes) und die Hellig-

keitsszintillation (Blinken der Sterne). Beide Effekte fasst man unter dem Begriff Seeing zu-

sammen. Man spricht von guten Beobachtungsbedingungen bei einem Seeing unterhalb von 1′′.

Um Störungen durch die Erdatmosphäre klein zu halten, werden moderne Observatorien

meist auf hohen Bergen an klimatisch begünstigten Stellen (Hawaii, Kanarische Inseln, Chi-

le,…) errichtet.

Aberration

Bewegung des Beobachters und die endliche Geschwindigkeit des ankommenden Licht-

strahls. Mit 𝑣 ⊥ 𝑐 gilt tan 𝛼 ~𝛼 =𝑣

𝑐. Es gibt eine jährliche und eine tägliche Aberration.

Parallaxe

Die Verschiebung eines näheren Objektes zu einem weiter entfernten, wenn der Beobachter

seine Position ändert. Entsprechend gibt es eine jährliche sin 𝜋 =𝑎

𝑑sin 𝑧 und eine tägliche Pa-

rallaxe sin 𝑝 =𝑎

𝑟sin 𝑧.

Die größte Parallaxe (nächster Fixstern) hat bei Proxima Centauri 𝜋 = 0,762′′ bei 𝑑 = 1,3𝑝𝑐 =4,26 𝐿𝑗.

Präzession, Nutation

Die lunisolare Präzession entsteht durch die Anziehung von Mond und Sonne auf den Äqua-

torwulst der Erde. Das Drehmoment versucht die Erdachse aufzurichten und diese reagiert

mit einer Kreiselbewegung.

Die Planetare Präzession ist Folge des Einflusses der Planeten. Die Erdbahn verlagert sich,

also der Pol der Ekliptik, was zu einer zusätzlichen Verschiebung des Frühlingspunktes um 𝑃𝑝𝑙 = 0,1055

′′/𝑎 führt.

Sternkataloge

In den bestehenden Katalogen findet man immer die mittleren Orte. Es werden einige Kata-

loge mit den Jahreszahlen der Äquinoktien angegeben. Fundamentalkataloge (FK4, FK5)

enthalten etwa 1500 Sterne mit genauen mittleren Orten.

Scheinbarer Ort: Beobachteter Ort, korrigiert sind Instrumentenfehler, Refraktion und

tägliche Aberration

Wahrer Ort: Scheinbarer Ort, korrigiert sind jährliche Aberration und Parallaxe

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Mittlerer Ort: Wahrer Ort, korrigiert sind Präzession, Nutation und es gibt Bezug auf ein

Äquinoktium

Lichtablenkung, Expolaneten

Bei generauer Messung von Sternpositionen hat die Lichtablenkung im Gravitationsfeld ein-

fluss (Schwarzschild-Metrik). Für die Ablenkung gilt 𝜙 = 2𝐺𝑀

𝑅0𝑐2 𝑟𝑎𝑑 (Sonne: 𝜙 = 1,7′′). Mit Be-

obachtungen dessen kann man Exoplaneten finden.

Orts- und Zeitbestimmung

Geographische Breite Φ

Folgt aus der Höhe des Pols oder wenn sich der Stern im Meridian befindet: 𝛿 + 𝑧 = Φ nörd-

lich und 𝛿 − 𝑧 = Φ südlich des Zenits.

Zeitbestimmung Gesucht ist die lokale Ortssternzeit Θ. Beim Meridiandurchgang eines Sternes der Rektas-

zension 𝛼 gilt Θ = 𝛼, woraus sich der Studenwinkel 𝑡 und Θ = 𝑡 + 𝛼 ergibt (siehe Bewegliches

Äquatorsystem, Seite 143).

Die ältesten Zeitmessungen waren Sonnen-, Wasser- und Sanduhren. Die Pendeluhr wurde

1657 von Huygens erfunden. Heutige Quarzuhren erreichen Unsicherheiten von unter 0,001 𝑠/𝑎.

Moderne Navigationsgeräte

Das Global Positioning System (GPS) ist satellitengestützt, wobei 24 Sende-Satelliten mit

Laufzeitempfängern auf der Erde kommunizieren. 3 Satelliten werden zur Berechnung des

Ortes verwendet, ein dritter sendet die Zeit.

Das europäische System GALILEO wird für zivile Zwecke 2019 einsatzbereit sein. Hier wer-

den 30 Satelliten, davon 3 in Reserve, verwendet. Russland verwendet GLONASS, China

plant COMPASS.

Geschichte der Astronomie

Vor- und Frühgeschichte

Die Himmelsscheibe von Nebra (Sachsen-Anhalt, nahe der Stadt Nebra gefunden) ist aus

der Zeit um 1600 v.Chr. und gibt Informationen zu 32 Himmelsobjekten, darunter Mond

und Sonne.

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Vor 2000 v.Chr. richteten die Ägypter bereits die Pyramiden von Gizeh und andere Gebäude

nach den Sternen aus. Da hier ein Sonnenkalender verwendet wurde, der 365 Tage maß,

verlagerten sich die Ereignisse alle vier Jahre um einen Tag.

Ebenso wie die Chaldäer wussten die Chinesen, dass Sonnenfinsternisse nur um die Zeit des

Neumondes stattfinden können. Auch Sonnenflecken wurden bereits beobachtet.

Die Maya setzten den Nullpunkt ihres Kalenders auf den 11.8.3114 𝑣. 𝐶ℎ𝑟. und führten einen

Präzisen Kalender mit einer Vigesimalsystemfolge (Basis 20) mit 20-400-8000 (nicht 10-

100-1000 wie es im Dezimalsystem wäre).

Astronomie der Griechen

Die Griechen übernahmen astronomisches Wissen der Babylonier. Und begann auch philo-

sophische Überlegungen anzustellen. Außerdem stellten sie die ersten Messungen an. Für ein heliozentrisches Weltsystem fand Aristarch (265 𝑣. 𝐶ℎ𝑟.) ein Verhältnis der Entfernung Er-

de-Mond zu Erde-Sonne von 1: 19 (richtiger Wert 1: 400). Eratosthenes (200 𝑣. 𝐶ℎ𝑟) berechne-

te den Erdumfang , indem er den Schatten in einem Brunnen in Alexandria maß (siehe

Eratosthenes, Seite 128).

Um 140 𝑛. 𝐶ℎ𝑟. fasste Ptolemäus das Wissen seiner Zeit zusammen. Er gilt als Begründer des

geozentrischen Weltsystems mit Kreisbahnen.

Ab dem 5. 𝐽ℎ𝑑. 𝑣. 𝐶ℎ𝑟. sind Hochseefahrten von Kaufleuten nachweisbar, die die Gestirne als

Wegweiser benutzten. Im 6. 𝐽ℎ𝑑 𝑣. 𝐶ℎ𝑟. entwarf Anaximander den ersten Himmelsglobus. Da-

mals wurde bereits der Polarstern als Nordstern verwendet (damals noch weiter vom Ideal-

punkt entfernt, heute < 1°).

Astronomie im Mittelalter und in früher Neuzeit

Die Araber entwickelten Beobachtungstechnik und Mathematik weiter. Al Bettani formulierte

im 10. 𝐽ℎ𝑑. den Cosinussatz, Abul Wefa die Tabellen trigonometrischer Funktionen. Al Sufi

erwähnte 964 erstmals die Magellan’sche Wolke und die Andromedagalaxie. Ulugh Beg er-stellte einen genauen Katalog in Samarkand im 15. 𝐽ℎ𝑑., der 994 Sterne beinhaltete.

1453 eroberten die Türken Konstantinopel, was byzantinisches Wissen ins Abendland brach-

te. 1492 erfolgte die Entdeckung Amerikas und die Zeit von Copernicus, Luther, Melan-

chthon, da Vinci und Dürer brachte viel Neues, so auch in Mathematik und Astronomie. Jo-

hannes Kepler veröffentlichte 1609 die ersten beiden Keplergesetze und 1611 ein Buch über

Optik zu Fernrohren. Gelileo Galilei berichtete von Sonnenflecken, Jupitermonden, Phasen

der Venus und Mondgebirgen. In einem Buch schrieb Galilei einen Dialog (das Buch „Dialo-

go“) zwischen einem Anhänger des heliozentrischen und einem des geozentrischen Weltbil-

des, wobei letzterer sehr schlecht abschnitt; der Papst klage Galilei 1633 deshalb wegen

Ungehorsams an. Erst 1979(!) erkannte der Vatikan seine Lehren an. Isaac Newton veröf-

fentlichte in seinem Hauptwerk das Gravitationsgesetz und die Infinitesimalrechnung.

Carl Friedrich Gauß entwickelte in der ersten Hälfte des 19. 𝐽ℎ𝑑. die Methode der Bahnbe-

stimmung sowie die der kleinsten Quadrate.

Moderne Astrophysik und Kosmologie

Astrophysik, also die Bestimmung der physikalischen Eigenschaften eines Sternes (Tempe-

ratur, Entstehung, Entwicklung,…), begann mit der Spektroskopie im19. Jahrhundert.

Fraunhofer machte um 1823 Versuche mit der Zerlegung von Licht. Er entdeckte mehr als

500 dunkle Linien im Sonnenlicht, dieselben im Mondlicht (reflektiertes Sonnenlicht). Das

zerlegte Licht einiger heller Sterne zeigte jedoch andere Linien.

1860 legte Kirchhoff die Grundlagen der Strahlungstheorie sowie der Beziehung zwischen

Emissions- und Absorptionslinien. Durch Vergleich der Sternspektren mit Linien der Elemen-

te im Labor konnte man die Zusammensetzungen der Sternatmosphären bestimmen. Ein

weiterer Meilenstein in der Astronomie war die Photographie. 1872 gab es bereits erste pho-

tographische Sternspektren (Draper).

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1913 wurde dann das nach ihren Erfindern benannte Hertzsprung–Russell-Diagramm veröf-

fentlicht. Eddington lieferte 1916 bahnbrechende Arbeiten über den Aufbau der Sterne und

Hale fand um 1908 heraus, dass Sonnenflecken Gebiete mit starken Magnetfeldern sind.

Chandrasekhar stellte 1930 fest, dass es eine Massenobergrenze für weiße Zwerge gibt. Der

erste beobachtete war Sirius B (1862, Clark). Zwicky und Baade stellten um 1933 erstmals

Neutronensterne als Supernovaüberreste vor. Im Jahre 1967 entdeckten Bell und Hewish

Radiopulse von einem Pulsar, und ein Jahr später lieferte Gold die Erklärung dazu: Pulsare

sind rotierende Neutronensterne.

1923 konnte E. Hubble erstmals die Entfernung zur Andromedagalaxie bestimmen; wenige

Jahre später entdeckte er die Expansion des Universums. 1930 fand Trumpler, dass es zwi-

schen den Sternen Materie gibt, die das Licht abschwächt, die interstellare Materie. Zwicky

konnte im Jahre 1933 mithilfe des Virialtheorems nachweisen, dass der Coma-

Galaxienhaufen aus wesentlich mehr Materie bestehen muss als sichtbar. Die kosmische

Hintergrundstrahlung, also der Rest des heißen Urknalls, wurde 1965 von Penzias und Wil-

son entdeckt. 1987 fand man heraus, dass Galaxien in einem Umkreis von 200 Millionen

Lichtjahren sich mit unserer zum sogenannten Großen Attraktor bewegen und zwei Jahre

später fand man die Große Wand (Great Wall), eine nur 15 Millionen Lichtjahre dicke, aber

500 Millionen Lichtjahre große Schicht von Galaxien.

1905 stellte Einstein die spezielle Relativitätstheorie vor mit der berühmten Formel 𝐸 = 𝑚𝑐2. 1915 wurde dann von Einstein die Allgemeine Relativitätstheorie aufgestellt, die den

Zusammenhang von Materie und Raumkrümmung wiedergibt.

Zwicky sagte bereits im Jahre 1937 die Existenz von Gravitationslinsen voraus. 1982 be-

stimmten Taylor und Weisberg die Energieverluste, die sich durch Rotation eines beobachte-

ten Doppelquasars ergeben. 1967 führte Wheeler den Begriff Schwarzes Loch ein. Bereits

im Jahre 1939 zeigten Oppenheimer und andere, dass ein Gravitationskollaps einer druck-

freien Flüssigkeit zu einem völligen Abschneiden dieser von der übrigen Welt führen kann.

1974 fand Hawking, dass Schwarze Löcher dennoch abstrahlen, obwohl aus ihnen nicht

einmal Licht entweichen kann.

Himmelsmechanik

Mond und Planetenbahnen

Durch die Keplergesetze ist die Bewegung von Himmelskörpern um die Sonne, bzw. andere

Zentren, bestimmt.

Keplergesetze

1) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen in deren einem Brennpunkt die Sonne

steht.

2) Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten glei-

che Flächen (Flächensatz).

3) Das Verhältnis aus den 3. Potenzen der großen Halbachsen und den Quadraten

der Umlaufzeiten ist für alle Planeten konstant: (𝑇1

𝑇2)2

= (𝑎1

𝑎2)3

.

Hier wird 𝑎 die große, 𝑏 die kleine Halbachse genannt. Es gilt 𝑎2 = 𝑏2 + (𝑎𝑒)2, für die Perihel-

distanz 𝑃𝐹 = 𝑎(1 − 𝑒) und für die Apheldistanz 𝐴𝐹 = 𝑎(1 + 𝑒). 𝑒 ist hier die numerische Exzent-

rizität (siehe auch Exzentrizität, Seite 129). Außerdem gelten 𝑏 = 𝑎√1 − 𝑒2 und |𝑂𝐹𝐴| + |𝑂𝐹| =2𝑎.

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Nach dem zweiten Gesetz gilt die Vis-Viva-Gleichung.

Vis-Viva-Gleichung

𝑣2 = 𝐺𝑀 (2

𝑟−1

𝑎)

Außerdem folgt 𝑎3

𝑃2=

𝐺

4𝜋2(𝑀 +𝑚) ≈

𝐺

4𝜋2𝑀.

Siehe auch Drittes Keplergesetz, Seite 151.

Ephemeridenrechnung

Es gibt verschiedene Anomalien:

Mittlere Anomalie 𝑀

Exzentrische Anomalie 𝐸

Wahre Anomalie 𝜈

Berechnet werden diese über ein Hilfsgerüst einer Projektion der Planetenbewegung auf ei-

ne Kreisscheibe.

Für die mittlere Anomalie gilt 𝑀 ≔2𝜋

𝑇𝑡 mit 𝑇 = 𝑈 = Umlaufzeit . Die Keplergleichung 𝑀 = 𝐸 −

𝑒 sin𝐸 verknüpft mittlere und exzentrische Anomalie. Außerdem gelten √1+𝑒

1−𝑒tan (

𝐸

2) = tan (

𝜈

2)

und 𝑟 =𝑎(1−𝑒2)

1+𝑒 cos(𝜈). Es folgt insgesamt außerdem 𝑟 = 𝑎(1 − 𝑒 cos(𝐸)).

Erdbahn

Mittlere Sonnenentfernung: 1𝐴𝐸

𝑎 = 149,6 ∙ 106𝑘𝑚 ∧ 𝑒 = 0,0167 ∧ 𝑏 = 0,9998𝑎

Sonnenferne im Juli, Sonnennähe im Januar Auf der Nordhalbkugel ist der Sommer 8

Tage länger

Bewegung gegen den Uhrzeigersinn von 𝑁 aus gesehen

Scheinbare Planetenbahnen

Innere Planeten sind in der unteren Konjunktion unbeleuchtet und in Erdnähe, in der oberen

Konjunktion voll beleuchtet und mit der Sonne am Tageshimmel. Äußere Planeten nennt

man „in Opposition“, wenn Sonne-Erde-Planet eine Linie bilden. In Opposition ist der Planet

der Erde am Nächsten und ist voll beleuchtet. Bei der Konjunktion steht der Planet auf der

anderen Sonnenseite.

𝑎

𝑏

𝑀

𝜙

𝐹

𝑎 ∙ 𝑒 𝐴 𝑃

𝑂

𝐹𝐴

𝑄

𝑃

𝐸

𝑎

𝑟 𝑦

𝜈

𝑥

𝐴

𝑃

𝑖

Ω

ω

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Mondbahn

Mittlere Entfernung Erde-Mond: 384400 𝑘𝑚

𝑃 = 356410 𝑘𝑚 ∧ 𝐴 = 406740 𝑘𝑚 ∧ 𝑒 = 0,0549

Siderischer Monat (Fixstern-Fixstern): 27,321𝑑

Synodischer Monat (Phase-Phase): 29,531𝑑

Gezeiten

𝑎𝑔𝑒𝑧 =𝐺𝑀

(𝑟 − 𝑅)2−𝐺𝑀

𝑟2, 𝑎𝑔𝑒𝑧 ≈

1

𝑟3

Siehe auch Gezeiten, Seite 131.

Zweikörperproblem

Für die Massenanziehung gilt �� = −𝐺𝑀𝑚

𝑟2��. Mit 𝐹1 = 𝑚��1 = −𝐺

𝑀𝑚

𝑟3(𝑟2 − 𝑟1 ) ∧ 𝐹2 = 𝑚��2 = −𝐺

𝑀𝑚

𝑟3(𝑟1 −

𝑟2 ) und 𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 erhält man die Bewegungsgleichung des Zweikörperproblems:

�� = −𝐺(𝑀 +𝑚)

𝑟3𝑟

Energiesatz

Aus der potentiellen Energie 𝑉 = −𝐺𝑀𝑚

𝑟 und �� = −∇𝑉 folgt als Energiesatz

1

2𝑚𝑣2 + 𝑉 =

1

2𝑚𝑣2 −

𝐺𝑀𝑚

𝑟= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. respektive 𝐸𝑘𝑖𝑛 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 = 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. und somit 𝐸𝑘𝑖𝑛 = −

1

2𝐸𝑝𝑜𝑡.

Das zeitliche Mittel der kinetischen Energie entspricht betragsmäßig der Hälfte der potenzi-

ellen Energie. Bei einer Kreisbahn kann nun aus 𝑚𝑣2

𝑟=𝐺𝑀𝑚

𝑟2 die Kreisbahngeschwindigkeit zu

𝑣𝑐 = √𝐺𝑀

𝑟 und bei einer Parabelbahn mit 𝐸𝑘𝑖𝑛 =

→∞0 ∧ 𝐸𝑝𝑜𝑡 =

→∞0 ∧

𝑚𝑣2

2=𝐺𝑀𝑚

𝑟 zu 𝑣𝑒 = √2𝑣𝑐 bestimmt

werden. 𝑣𝑐 nennt man auch Fluchtgeschwindigkeit. Es gilt:

Ellipse: 𝑇 < 𝑈

Parabel: 𝑇 = 𝑈

Hyperbel: 𝑇 > 𝑈

Drittes Keplergesetz

Aus der Bahngleichung 𝑟 = 𝑝/(1 + 𝑒 cos 𝑣) folgt mit 𝑣 = 0 der Abstand im Perizentrum und bei

𝑣 = 𝜋 der Abstand im Apozentrum. Es gilt:

𝑎 =1

2(𝑟𝐴 + 𝑟𝑃) =

1

2(𝑝

1 − 𝑒+

𝑝

1 + 𝑒) =

𝑝

1 − 𝑒2→ 𝑈

𝑁

2= 𝑎𝑏𝜋 = 𝜋𝑎2√1 − 𝑒2 =

𝜋𝑎2𝑁

√𝐺(𝑀 +𝑚)𝑎

𝑎3

𝑈2=𝐺

4𝜋2(𝑀 +𝑚)

Siehe auch Keplergesetze, Seite 149.

𝑁-Körperproblem

Die allgemeine Form 𝑀𝑖𝑟𝑖 = −∑

𝐺𝑚𝑖𝑚𝑘(𝑟𝑖 −𝑟𝑘 )

𝑟𝑖𝑘3

𝑛𝑘=1 besteht aus 3𝑛 Differentialgleichungen 2. Ord-

nung.

Lagrange-Punkte

Aus dem eingeschränkten Dreikörperproblem kann man die fünf Lagrangepunkte errechnen.

Die ersten drei Punkte 𝐿1 bis 𝐿3 sind instabil, Objekte werden bei Störungen von diesen

Punkten entfernt. Die Punkte 𝐿4 und 𝐿5 hingegen haben ein kleines Potentialminimum. So-

genannte Trojaner können um diese Punkte kreisen.

Es gilt (siehe Abbildung): 𝑎𝐺1 =𝐺𝑚1

(𝑥𝑚1+𝑥1)2, 𝑎𝐺2 =

𝐺𝑚2

(𝑟−𝑥𝑚1−𝑥1)2 und 𝑎𝑧 = 𝜔

2𝑥1.

Es gelten nun (und kann nach 𝑥 aufgelöst werden):

𝐿1: 𝑎𝐺1 = 𝑎𝐺2 + 𝑎𝑧

𝐿2: 𝑎𝐺1 + 𝑎𝐺2 = 𝑎𝑧

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𝐿3: 𝑎𝐺1 + 𝑎𝐺2 = 𝑎𝑧

Für 𝐿4 und 𝐿5 gilt nach Betrachtung des gleichseitigen Dreiecks (𝑚1,𝑚2,𝐿5):

𝑎𝑅 = √𝑎𝐺12 + 𝑎𝐺2

2 − 2𝑎𝐺1𝑎𝐺2 cos(120°) =𝐺

𝑟2√𝑚1

2 +𝑚22 +𝑚1𝑚2 , 𝑎𝑧 = 𝜔

2𝑑 =𝐺(𝑚1+𝑚2)

𝑟3𝑑 und 𝑎𝑅 = 𝑎𝑧.

Raumflug

Für eine Rakete folgt aus der Impulserhaltung mit der Ausströmgeschwindigkeit 𝑣𝑠der Treib-

gase relativ zur Rakete und somit 𝑣 − 𝑠 als Strahlgeschwindigkeit 𝑃 = 𝑊/𝑡 = 𝐹𝑑𝑠/𝑡 = 𝐹𝑣𝑠.

Außerdem gilt die Raketengleichung:

𝑚𝑑𝑣 = −𝑣𝑠𝑑𝑚

Für thermische Antriebe gilt 𝑣𝑠,𝑚𝑎𝑥 = √2𝜅

𝜅−1

𝑅𝑇

𝜇 mit 𝜅 = 𝑐𝑝/𝑐𝑉 (Wärmekapazitäten) und 𝜇 als Mo-

lekulargewicht. Mit Ionenantrieb sind Brenndauern von mehreren Monaten möglich. Hier werden Ionen ausgestoßen, so dass Ausstoßgeschwindigkeiten von 50 bis 100 𝑘𝑚/𝑠 erreicht

werden können. Mit Hilfe eines Sonnensegels wird der Lichtdruck als Antrieb genutzt, der al-

lerdings in der Entfernung von Jupiter allmählich zu klein wird, um sinnvoll verwendet wer-

den zu können.

Beim Eintritt in eine Planetenatmosphäre tritt hohe Wärmeentwicklung durch Reibung auf,

was ein Hitzeschild nötig macht. Man nimmt eine langsam abdampfende Beschichtung, die

eine dünne Gasschicht zwischen Raumfahrzeug und Umgebung erzeigt, die einen zu großen

Wärmefluss auf das Raumfahrzeug verhindert. Man kann den Effekt auch zur aerodynami-

schen Bremsung im Orbit nutzen.

Für die Umlaufzeit von Satelliten geht man vom dritten Keplergesetz aus:

𝑈 = 2𝜋√𝑟𝑘3

𝐺𝑚𝐸𝑟𝑑𝑒= 84,491 (

𝑟𝑘𝑟𝐸𝑟𝑑𝑒

)

32

Ein Satellit in 35790𝑘𝑚 Höhe über der Oberfläche ist geostationär.

Einflüsse auf Satellitenbahnen

Restatmosphäre

Sonnendruck

Abplattung der Erde

Triaxialität (Umgleichmäßige Massenverteilung der Erde)

𝐿1 𝐿2 𝐿3

𝐿4

𝐿5

𝑆

𝑚1 𝑚2

𝐿1 𝑆

𝑚1 𝑚2

𝑥2

𝑥𝑚2 𝑥𝑚1

𝐿2

𝑥1

𝑥

𝑆

𝑚1 𝑚2

𝐿5

𝑎𝑅

𝑎𝑧

𝑑

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Resonanzen

Chaos

Pierre Simon Laplace (1749–1827) untersuchte die Stabilität des Sonnensystems, indem er

die Gleichungen vereinfachte und so auf analytische Lösungen des N-Körperproblems kam.

Später jedoch stellte sich heraus, dass gerade diese Terme zu Chaos führen können. Von

Laplace stammt die Idee, dass man bei Kenntnis aller Anfangsbedingungen (d.h. Orten und

Geschwindigkeiten) aller Teilchen des Universums die Vergangenheit und die Zukunft voll-

ständig vorhersagen kann (Laplace‘scher Dämon). Die Chaostheorie zeigte, dass auch voll-

ständig deterministische Systeme chaotisch werden können. Poincaré fand heruas, dass

Chaos und Resonanzeffekte eine große Rolle spielen.

Chaotisches Verhalten wären zwei Bahnen mit eng benachbarten Anfangsbedingungen, die

exponentiell auseinander laufen. Man kann z. B. zeigen, dass ein geringer Fehler in der Ex-

zentrizität der Erdbahn Lösungen produziert, die nach einiger Zeit sinnlose Werte ergeben.

Resonanz

Eine Resonanz ist erreicht, wenn zwei Perioden in einem ganzzahligen Verhältnis stehen.

Zwischen Monden und Planeten sind die Umlaufzeiten oft in Resonanz, auch die Spin-Bahn-Resonanz ist ein typischer Vertreter (Merkur: 3: 2 (Sonnennähe), Mond: 1: 1(Gezeitenrei-

bung)).

Finsternisse

Mondfinsternisse

Hier taucht der Mond ganz in den Kernschatten der Erde. Die mittlere Länge des Schattens beträgt etwa 217 Erdradien (Mondentfernung sind ~60 Erdradien). Eine Mondfinsternis kann

bis zu 3,8 Stunden dauern, die Totalität bis zu 1,7 Stunden. Durch die Refraktion des Lichts

in der Erdatmosphäre ist der Schatten verschmälert.

In der Danjon-Skala werden die Helligkeiten der Mondfinsternisse klassifiziert.

Sonnenfinsternisse

Bei Neumond und im günstigen Fall reicht der Schatten des Mondes bis zur Erde. Die Sonne

steht idealer Weise im Aphel (Erdferne) und der Mond im Perigäum (Erdnähe). Die maxima-le Dauer liegt bei 7′36′′. Sonnenfinsternisse sind 1,6 mal häufiger als Mondfinsternisse, aber

für einen bestimmten Ort auf der Erde deutlich seltener.

Planetentransits

Hiervon spricht man, wenn ein Planet vor der Sonnenscheibe vorübergeht, was logischer-

weise nur Merkur und Venus betreffen kann.

Astronomische Instrumente

Teleskope

Mittels Linksen (Refraktor) oder/und Spiegeln (Reflektor) sammeln sie das Licht in einem

Brennpunkt (Fokus). Für alle diese Zusammenhänge, siehe auch Optik, Seite 87 und Fol-

gende.

Öffnungszahl

𝑘 =𝑓

𝐷

𝑘: Blende, 𝑓: Brennweite, 𝐷: Eintrittspupille

Öffnungsverhältnis

𝑁 =1

𝑘=𝐷

𝑓

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Abbildungsgröße

1

𝑎+1

𝑎′=1

𝑓,

𝑦′

𝑦=𝑎′

𝑎

𝑎: Objektabstand, 𝑎′: Bildabstand, 𝑦: Objektgröße, 𝑦′: Bildgröße

Vergrößerung

Γ =𝑓𝑜𝑏𝑓𝑜𝑘

𝑓𝑜𝑏: Objektivbrennweite, 𝑓𝑜𝑘: Okularbrennweite

Wird der Mond, dessen scheinbarer Durchmesser am Himmel 0,5° beträgt, auf 10𝑐𝑚 abgebil-

det, dann wäre die Skala 0,05°/𝑐𝑚 und die Formel 𝑠 = 0,01745𝑓 gälte. Als Merkhilfe kann gel-

ten, dass die Brennweite in Metern gleich dem Sonnenbilddurchmesser in Zentimetern ist.

Auflösungsvermögen

Θ𝑚𝑖𝑛 = 1,22𝜆

𝑑𝑜𝑏

𝑑𝑜𝑏: Objektivdurchmesser, Θ𝑚𝑖𝑛: Winkelabstand

Die Erdatmosphäre begrenzt das Auflösungsvermögen. Das Seeing (siehe Refraktion, Seite

146) liegt meist im Bereich einer Bogensekunde und das Auflösungsvermögen eines 10-cm-

Teleskops ist folglich kaum schlechter als das eines 5-m-Teleskops, wie es z.B. das Mt.-

Palomar-Teleskop ist. Trotzdem steigt mit größerem Durchmesser das Lichtsammelvermö-

gen, also werden schwächere Objekte besser erkannt. Dem Seeing versucht man durch ver-

schiedene Prozesse Herr zu werden:

Site testing: Sorgfältige Standortwahl, Luftfeuchte und Höhe des Grundstücks

Adaptive Optik: Verformung der Spiegel zur Korrektur

Abbildungsfehler

Chromatische Aberration: Kurzwelliges Licht wird stärker gebrochen als langwelliges 𝑓𝑏𝑙𝑎𝑢 < 𝑓𝑟𝑜𝑡 und der Brennpunkt dehnt sich entsprechend (farbiger Rand des Bildes). Man

verwendet als Objektiv einen Achromaten, eine zusammengesetzte Linse aus Glas mit

unterschiedlichen Brechungsindices.

Sphärische Aberration: Die Außenbereiche einer Linse / eines Spiegels haben kürzere

Brennweiten, als die innen liegenden Zonen: Korrektur: Aplanat (zusammengesetzte

Linse, Spiegel werden zu Paraboloid geschliffen).

Astigmatismus (schräger Lichteinfall): Objektiv erscheint als Ellipse, die Abbildung er-

folgt daher in zwei Brennebenen.

Bildfeldwölbung (schräger Lichteinfall): Abbildung nicht in einer Ebene auf dem Schirm.

Koma (schräger Lichteinfall): Außerhalb der optischen Achse erscheinen die Sterne „ko-

metenförmig“.

Verzeichnung (schräger Lichteinfall): Kissen- oder tonnenförmige Bilderscheinung

Parallaxen- und Aberationsellipsen sind um 90° phasenverschoben, wobei letztere unabhän-

gig von der Entfernung der Sterne sind.

Teleskoptypen

Linsen mit großen Durchmessern sind technisch schwer herzustellen (größtes Objektiv hat 1,02𝑚). Die Verteilung des Gewichtes ist außerdem bei großen Refraktoren ungünstig. Des-

halb weicht man auf Spiegelteleskope aus, die zusätzlich keine chromatische und sphärische

Aberrationen haben und kostengünstig (nur Oberfläche muss exakt sein) sind.

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Als Primärfokus bezeichnet man den Fokus des Hauptspiegels, der nur bei extrem großen

Teleskopen direkt genutzt wird. Beim Newton-Teleskop tritt das Licht seitlich aus (Newton-

Fokus), beim Cassegrain-Teleskop hinten in der Mitte (Cassegrain-Fokus).

Beim Schmidt-Spiegel gibt es eine asphärische Korrektionsplatte an der Teleskopöffnung,

die die Krümmung der Fokalfläche bei sphärischen Hauptspiegeln korrigiert.

Teleskopmontierung

Azimutale Montierung heißt, das Teleskop wird um zwei Achsen, vertikal und horizontal,

bewegt. Um die tägliche Bewegung der Himmelsobjekte zu kompensieren, muss man das

Teleskop in beiden Achsen gleichzeitig bewegen. Mit Computersteuerungen ist dies kein

Problem, so werden viele Teleskope (meist mit Gabelmontierung) so bewegt.

Bei Parallaktischer Montierung ist die Stundenachse parallel zur Erdachse. Die Erdrotation

kann so durch Drehung um eine einzige Achse kompensiert werden.

Große Sonnenteleskope werden fix montiert (oft in einem Vakuumtank gegen Erwärmung)

und das Licht mittels Spiegeln in das Eintrittsfenster gebracht, was man Coelostat nennt.

Robotische Teleskope

Für robotische Teleskope, also vollautomatische Beobachtungen, müssen folgende Kompo-

nenten zusammenspielen:

Kuppelsteuerung

Kontrolle der Wetterbedingungen

Positionierung des Teleskops

Kontrolle der CCD-Kamera

Moderne Teleskope

Optische Detektoren

Meist verwendet man Photographie, Photomultiplier oder CCD, nur noch selten das Auge.

Beim Auge wird über die Zäpfchen (farbempfindlich) und Stäbchen (luminanzempfindlich)

detektiert. CCD (charged coupled device) sind Photozellen, die Ladungen akkumulieren (Pi-

xel).

Nicht optische-Teleskope

Mit Radioteleskopen untersucht man Radiowellen mit Reflektoren, die die Wellen in Brenn-

punkten sammeln. Auch starke Infrarotdetektoren sind seit gut 20 Jahren verfügbar, bei

denen Bleisulfid-Zellen oder Indium-Antimonid-Zellen verbaut sind. Auch Röntgenteleskope

mit Proportionalitätszählern werden aufgestellt.

Spektroskopie

Mittels Gittern oder Prismen kann man Licht zerlegen. Spektrographen teilt man in drei

Gruppen ein: Hochauflösende Spektrographen, Spaltspektrographen und Fouriertrans-

formspektrometer.

Strahlung und Spektrum

Elektromagnetisches Spektrum

𝐸𝑥 = 𝐸𝑥1 sin(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 − 𝛿1) ∧ 𝐸𝑦 = 𝐸𝑦1 sin(𝑘𝑧 − 𝜔𝑡 − 𝛿2)

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Die Wellen sind polarisiert, wenn 𝛿1 − 𝛿2 konstant ist. Es gilt:

𝑐 = 𝜆𝜈, 𝐸 = ℎ𝜈

Wellenlänge Energie oder Frequenz Strahlungstyp

10−6 𝑛𝑚 1240 𝑀𝑒𝑉 Gamma-Strahlung 10−2 𝑛𝑚 124 𝑘𝑒𝑉 Röntgenstrahlung 1,0 𝑛𝑚 1,24 𝑘𝑒𝑉 UV ≅ 1 𝜇𝑚 1,24 𝑒𝑉 Sichtbares Licht

10 𝜇𝑚 − 1 𝑚𝑚 0,124 𝑒𝑉 − 0,0012 𝑒𝑉 IR 10 𝑚𝑚 30.000 𝑀𝐻𝑧 Mikrowellen (Radar) 10 𝑐𝑚 3000 𝑀𝐻𝑧 UHF 100 𝑐𝑚 300 𝑀𝐻𝑧 FM 10 𝑚 30 𝑀𝐻𝑧 Kurzwellen 1000 𝑚 300 𝑘𝐻𝑧 Langwellen

Thermische Strahlung

Diese ist meist über die Schwarzkörperstrahlung vereinfacht. Das Planck’sche Strahlungsge-

setz gilt:

𝐼(𝜈, 𝑇) =2ℎ𝜈3

𝑐21

𝑒ℎ𝜈𝑘𝑇 − 1

Für schwarze Körper gilt:

𝑐 = 𝜈𝜆, 𝐸 = 𝜎𝑇4, 𝑃 = 𝜎𝐴𝑇4 = 𝐼 ∙ 𝐴

Die Strahlungsintensität in Entfernung 𝑟 kann wie folgt ermittelt werden:

𝐼0𝐼= (

𝑟

𝑟0)2

𝐼0: Strahlungsenergie pro 𝑚2 in Entfernung 𝑟0

Das Wiensche Verschiebungsgesetz besagt, dass sich das Maximum der Strahlung hin zu kürzeren Wellenlängen verschiebt: 𝑇𝜆𝑚𝑎𝑥 = 0,002897 𝑚𝐾.

Die Layman-Serie (UV) beinhaltet bei Absoprtion die Übergänge von 𝑛 = 1 auf 𝑛 = 2,3,4, …

bzw. andersherum bei Emission. Die Balmer-Serie (sichtbar) gilt von 𝑛 = 2 auf 𝑛 = 3,4,5, …

und die Paschen-Serie (IR) von 𝑛 = 3 auf 𝑛 = 4,5,6, ….

Polarisiertes Licht

Zur Beschreibung verwendet man den Stokes-Vektor mit der Leistung 𝑃.

𝐼 = 𝑃0° + 𝑃90°

𝑄 = 𝑃0° − 𝑃90°

𝑈 = 𝑃45° − 𝑃135°

𝑉 = 𝑃𝑅𝑍 + 𝑃𝐿𝑍

I

𝜆

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Physik der Körper des Sonnensystems

Die Körper im Sonnensystem sind eingeteilt in:

Sonne

Planeten (103𝑘𝑚 < 𝑑 < 105𝑘𝑚)

Zwergplaneten

Asteroiden/Kleinplaneten/Planetoiden (kleiner als 100𝑘𝑚 , großer Anteil flüchtiger Sub-

stanzen, in keplerschen Umlaufbahnen)

Monde (Begleiter von Planeten und Zwergplaneten)

Kometen (viele in der Oort’schen Kometenwolke)

Interplanetare Materie

Planet 𝑟 / 106 𝑘𝑚

Umlauf-

zeit

Rotati-

onszeit

Neigung / °

𝑅 / 𝑘𝑚 𝑀 / 𝑀𝐸

Merkur 57,9 87,9 𝑑 58,65 𝑑 0 4878 0,55

Venus 108,2 224,7 𝑑 243,01 𝑑 2,01 12104 0,815

Erde 149,6 1,00 𝑎 23‘56‘‘ 23,5 12756 1,0

Mars 227,9 1,88 24‘37‘‘ 24 6794 0,107

Jupiter 779 11,87 9ℎ 50‘− 9ℎ 56‘

3 142796 817,8

Saturn 1432 29,63 10ℎ 14‘− 10ℎ 39‘

24 120000 95,15

Uranus 2888 84,66 17ℎ 06‘ 98 50800 14,56

Neptun 4509 165,49 15ℎ 48‘ 29 48600 17,20

Pluto 5966 251,86 6,3 𝑑 122,5

Merkur, Venus, Erde und Mars werden terrestrisch genannt, Jupiter, Saturn, Uranus und

Neptun heißen Riesenplaneten (Uranus und Neptun nennt man auch Eisriesen).

Meteoroiden

Im Weltall als Meteoroid, in der Atmosphäre als Meteorit und aufgeschlagen als Meteor be-

kannt, sind diese nicht in Definitionen bzgl. der Größe oder Zusammensetzung eingeteilt,

aber immer deutlich kleiner als ein Asteroid.

Eigenschaften der Planeten

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Die Massenverteilung im Planeteninneren kann man durch Messung der Abplattung und

Kreiselbewegungen im Gravitationsfeld bestimmen. Bei erreichbaren Himmelskörpern kön-nen auch seismische Messungen zur Analyse herangezogen werden. Die Albedo 𝐴 = 𝑝 ∙ 𝑞 be-

schreibt das Verhältnis von reflektiertem/gestreutem zum einfallenden Licht (Genauer unter

Albedo, Seite 181).

Globaler Energiehaushalt

Die Solarkonstante beträgt 𝑆 = 1,37 𝑘𝑊 𝑚−2 in 1𝐴𝐸 Entfernung zur Sonne. Für einen Planeten

mit Entfernung 𝑟 gilt mit 𝑆(𝑟) = 𝑆0 (𝑟0

𝑟)2

:

𝑆(𝑟) = 𝑆1

𝑟2

Für die Abstrahlung gilt das Stefan-Boltzmann-Gesetz für schwarze Körper, also 4𝜋𝑅2 × 𝜎𝑇4. Der innere Wärmestrom eines Himmelskörpers ist die Bilanz aus Zustrahlung + 𝑄 =Abstrahlung:

𝜋𝑅2(1 − 𝐴)𝑆(𝑟) + 4𝜋𝑅2𝑄 = 4𝜋𝑅2𝜎𝑇4, 𝐴 = 𝑝𝑞

Hydrostatisches Gleichgewicht

Für ein Volumenelement im Abstand 𝑟 vom Zentrum eines Planeten mit Grundfläche 𝑑𝐴 und

Höhe 𝑑𝑟 gilt 𝑀(𝑟) = ∫ 𝜌(𝑟′)4𝜋𝑟′2𝑑𝑟′𝑟

0, 𝑑𝑚(𝑟)

𝑑𝑟= 4𝜋𝑟2𝜌(𝑟) und 𝑔(𝑟) =

𝐺𝑀(𝑟)

𝑟2, so dass sich der Druck 𝑝

um −𝑑 𝑝𝑑𝐴 = 𝜌(𝑟)𝑑𝐴𝑑𝑟𝑔(𝑟) ändert. Für das hydrostatische Gleichgewicht gilt nun 𝑑𝑝

𝑑𝑟=

−𝑔(𝑟)𝜌(𝑟).

Stabilität eines Satelliten

Die Bedingung für die Stabilität eines Satelliten (Index 𝑆) betrachtet die Gezeitenbeschleu-

nigung 𝑎𝐺𝑒𝑧~2𝑅𝐺𝑀/𝑟3, die der Gravitationsbeschleunigung entgegenwirkt. Die Stabilitätsbe-

dingung zu einem Zentralkörper lautet, wenn man den Satelliten zur Berechnung in zwei

Hälften teilt, 𝐺𝑀𝑆𝑀𝑆

4𝑅𝑆2 ≥ 𝑘2𝐺

𝑀𝑀𝑆

𝑟3𝑅𝑆. Die Roche-Grenze ist mit 𝑀 = (

4𝜋

3) ��𝑆𝑅

3 und 𝑀𝑆 = (4𝜋

3) ��𝑆𝑅𝑆

3 zu

𝑟

𝑅≥ (4𝑘)

1

3 (��

��𝑆)

1

3= 2,44 (

��

��𝑆)

1

3 festgelegt.

Atmosphären

Die Zustandsgleichung für klein ausgedehnte Atmosphären lautet 𝑝 = 𝜌𝑘𝑇

��𝑚𝑢=𝜌ℛ𝑇

𝑀= 𝑛𝑘𝑇. Die

Skalenhöhe 𝐻 ist jene Höhe, in der der Druck bzw. die Dichte auf das 1/𝑒-fache abgenom-

men hat. Sie ist exakt mit 𝐻 = 𝑘𝑇/𝑔��𝑚𝑢 gegeben und kann als konstant angenommen wer-

den; man berechnet den Druck mit 𝑝 = 𝑝0𝑒−ℎ/𝐻. Ein Molekül der Masse 𝑀 kann entweichen,

wenn für seine Geschwindigkeit gilt: 𝑣2

2≥𝐺𝑀

𝑅.

Ein Planet kann nur Atmosphäre halten, wenn seine Masse groß genug ist und und die Ober-

flächentemperatur 𝑣𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚 = √2𝑘𝑇/𝑚 klein genug ist (𝑚 ist die Teilchenmasse).

Der adiabatische Temperaturgradient ist mit 𝑑𝑇/𝑑ℎ = −𝑔/𝑐𝑝 gegeben.

Erde

Der Aufbau der Erde ist im Überblick:

Erdkruste: Lithosphäre (Granitgestein mit Kontinenten) bis 35𝑘𝑚 Tiefe und Hydrosphäre

Erdmantel

Äußerer Erdkern (flüssig)

Innerer Erdkern (fest)

Siehe hierfür auch Erdaufbau, Seite 134.

Das Erdmagnetfeld ist gegeben durch �� = −∇��∙𝑟

𝑟3 und reicht bis zur Magnetopause (Staumau-

er des Sonnenwinds). Magnetische Rekonnexion ist das Aufeinandertreffen entgegengesetz-

ter Magnetfelder, die sich daraufhin, mit begleitender Energiefreisetzung, erneut aufbauen.

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Rekonnexion findet im Magnetschweif der Erde statt (oder in der Akkretionsscheibe eines

schwarzen Lochs).

Die Erdatmosphäre besteht zu 78,08% aus Stickstoff, 20,95% aus Sauerstoff, zu 0,934% aus

Argon und wird in folgende Schichten eingeteilt:

Troposphäre (bis zur Tropopause in 15 𝑘𝑚 Höhe, Temperatur nimmt ab bis auf ~ − 50° 𝐶)

Stratosphäre (bis zur Statopaus in ~50 𝑘𝑚 Höhe, Temperatur nimmt leicht zu)

Mesosphäre (Temperatur nimmt wieder ab)

Ionosphäre, Exosphäre (Temperaturen bis zu 1500𝐾)

Mond (Erde)

Die kraterüberstreute Oberfläche (Terrae) besteht aus Silikatgestein und ist mit Staub be-

deckt. Die Ebenen mit wenig Kratern heißen Maria (Meere). Es gibt Gebirge, die durch Ein-

schläge entstanden sind. Durch die Kraterdichte ist auf das Alter der Umgebung zu schlie-

ßen.

Entstehungsgeschichte des Mondes

Einfanghypothese: Der Mond wurde von der Erde schlicht eingefangen. Allerdings wäre

ein Zusammenprall fast zwangsläufig die Folge dessen.

Abspaltungshypothese: Durch schnelle Rotation entstand am Äquator ein Masseverlust.

Doppelplanet: Mond und Erde entstanden zur selben Zeit aus der protoplanetaren Gas-

und Staubwolke; der Mond hat dafür aber einen vergleichsweise zu kleinen metallischen

Kern.

Kollisionshypothese: Einschlag eines etwa marsgroßen Himmelskörpers auf die frühe Er-

de, der Material aus dem Planeten schlug. Hiermit wäre auch der geringe Kerndurch-

messer des Mondes erklärt; auch das Drehimpulsproblem zwischen Erde und Mond ist

erklärt, da der einschlagende Körper die Rotationsgeschwindigkeit der Erde erhöht ha-

ben könnte.

Asteroiden

C-Asteroiden: Kohlenstoffreich, z.B. Ceres (mittlerweile Zwergplanet) oder Pallas.

S-Asteroiden: Felsig, keine dunklen Kohlenstoffverbindungen, höhere Albedo, Silikatver-

bindungen.

M-Asteroiden: Bestehen aus Metallen. Psyche ist der größte M-Typ.

Der Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter hat bezüglich seiner Verteilungen Reso-

nanzeffekte (Lücken und Häufungen). Der Gürtel ist problemlos passierbar, da die mittleren

Abstände mehr als 1 ∙ 106 𝑘𝑚 betragen. Die Gruppe der Trojaner-Asteroiden hat denselben

Abstand wie Jupiter von der Sonne und befinden sich an den Lagrange-Punkten 4 und 5. Es

sind etwa 200 relevante Objekte bekannt, welche die Erdbahn kreuzen.

Unter NEOs versteht man Near Earth Objects, Objekte, die der Erde nahe sind / kommen

können. Sie werden in eine Farbskala unterteilt:

Weiß: Keine Auswirkungen

Grün: Man sollte die Bahn überwachen

Gelb: Vorsicht ist geboten

Orange: Bedrohende Objekte, man sollte deren Bahn sofort genauestens berechnen

Rot: …

Planeten

Die Uranusringe wurden 1977 entdeckt. Die Saturnringe bestehen aus tennisballgroßen Eis-

partikeln.

Atmosphären

Merkur: Extrem dünn, 𝑁𝑎

Venus: 𝐶𝑂2, sehr dicht, großer Druck (Wolken), hoher Treibhauseffekt

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Erde: 𝑁2 ∧ 𝑂2 ∧ 𝐻2𝑂, energiereiche Strahlung wird absorbiert, geringerer Treibhauseffekt,

Wolken

Mars: Geringer Druck, 𝐶𝑂2, Staub- und Wassereiswolken

Jupiter: Große innere Wärmequelle, Schwefelwasserstoffe, Wolken in Schichten, Ost-

West-Strömung durch Rotation, starke Stürme

Saturn: Vergl. Jupiter

Titan: 𝐶𝐻4-Wolken, Regen, Seen, Ozeane (alles Methan), besitzt 𝐻𝐶𝑁 als Grundbau-

steine für DNA

Uranus/Neptun: 𝐶𝐻4-Wolken, keine innere Wärmequellen, stabile Atmosphäre

Triton (Neptun): Aktive Geysire

Pluto (Zwergplanet): 𝐶𝐻4 ∧ 𝑁𝐻3

Vulkanismus

Merkur: Erloschen

Venus: Erloschen

Erde: Aktiver Vulkanismus

Mond: Erloschen

Mars: Große Schildvulkane, keine Tektonik, alte und junge Vulkane (Olympus Mons:

Größter Vulkan im Sonnensystem)

Jupiter: -

Io: Aktivster Vulkanismus durch Gezeitenreibung

Galileiische Monde

Alle weisen sie eine gebundene Rotation auf. Io, Europa und Ganymede sind bereits (fast)

resonant (siehe auch Die Galileischen Monde, Seite 132).

Io: Vulkanismus durch Gezeitenreibung, von Jupiter gleich entfernt wie Mond-Erde

Europa: Eispanzer, Gezeitenreibung bricht Eis auf

Ganymede: Größter Mond im Sonnensytem, auffälliges Rillenmuster (Restrukturierung

der Oberfläche geschehen)

Callisto: Viele Krater, Eismond

Kometen

Kometen bestehen aus einem Kern (1 − 50 𝑘𝑚 Durchmesser), aus dem leichtflüchtige Stoffe

entkommen können, dem Koma (105 𝑘𝑚) und dem Staubschweif und Ionenschweif.

Kometen können beim Vorbeiflug an der Sonne zerbrechen. Der Schweif ist gekrümmt, da

auch die abgelösten Teilchen auf Keplerbahnen um die Sonne kreisen und das immer lang-

samer, je weiter sie vom Kometen entfernt sind.

Kuipergürtel und Oort’sche Wolke

Der Kuipergürtel ist eine ringförmige, flache Region außerhalb der Neptunbahn (30 bis 50𝐴𝐸

entfernt) mit mehr als 70000 Objekten, die 100𝑘𝑚 Durchmesser oder mehr messen.

Die Oort’sche Wolke ist eine riesige hypothetische Wolke aus Kometen, die unser Sonnen-

sytem einhüllt (folgt aus dem 2. Keplergesetz). Es gibt dafür drei Hinweise:

1) Kein Komet mit einem Orbit, der zeigt, dass er aus dem interstellaren Raum kommt

(keine Hyperbelbahnen).

2) Die Aphelien vieler langperiodischer Kometen scheinen bei 50𝑘𝐴𝐸 zu liegen.

3) Es gibt keine Hauptrichtung der Kometen

Sungrazer

Kometen, die der Sonne sehr nahe kommen können.

Meteoroiden

Zur Nomenklatur siehe Meteoroiden, Seite 157.

Die Klassifikation ist wie folgt:

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Planetarische Meteorite: 50%, Ellipsenbahnen kurzer Umlaufzeit

Meteorite mit parabelnahmen Bahnen: 30%, unbekannte Herkunft (aber aus Sonnensys-

tem)

Kometarische Meteorite: 20%, aus der Auflösung von Kometen; bei Kreuzen mit der

Bahn eines aufgelösten Kometen kommt es zu Meteorströmen

Größere Brocken schmelzen nur bis ~1 𝑚𝑚 auf und fallen dann zur Erde.

Ab einer Einschlagmasse von etwa 10 𝑡 bildet sich ein Einsturzkrater; kann kennt etwa 13

Krater mit aufgefundenem Meteorit.

Entstehung des Sonnensystems

Jede Theorie der Entstehung unseres Sonnensystems muss folgende Besonderheiten erklä-

ren:

Alle Objekte sind in einer Ebene

Bahnen sind fast kreisförmig; Umläufe und Rotationen fast alle im gleichen Sinn

Abstandsgesetz (Titius-Bode-Reihe): 𝑎 = 0,4 + 0,3 ∙ 2𝑛

Sonne besitzt 99,87% der Gesamtmasse, aber nur 0,54% des Drehimpulses

Planetenbeschaffenheit (innen: große Dichte, Metalle, Gestein, wenig Monde)

Rotationsachsen der Planeten und Satellitensysteme parallel zum Gesamtdrehimpuls

Moderne Theorie ist der Gravitationskollaps einer Wolke (Jeans-instabil). Am Anfang stand

eine schnelle Rotation, was zur Abplattung führt. Der Staub kondensiert zu Planetesimalen.

Durch die im Plasma eingefrorenen Magnetfelder wird der Drehimpuls der Protosonne auf

die rotierende Hülle übertragen. Die Zusammensetzung der heutigen Planeten folgt dann

aus der Kondensationssequenz verschiedener Stoffe (Methan kondensiert bei 100 K, Wasser bei 273 𝐾, Silikate bei 1000 𝐾 usw), woraus unterschiedliche Dichteverteilungen folgen; des-

halb sind die inneren Planeten dichter.

Sterne

Die Sonne

Grunddaten:

𝑀𝑆 = 333000 𝑀𝐸 = 1,98 ∙ 1030 𝑘𝑔

𝑅𝑆 = 109𝑅𝐸 = 6,959 ∙ 108 𝑚

Leuchtkraft 3,826 ∙ 1026 𝑊 = 3,826 ∙ 1033𝑒𝑟𝑔/𝑠

Effektive Temperatur 5777 𝐾

Rotationsperiode ~25,38 𝑑

Entfernung

Über das dritte Keplergesetz erhält man 𝑎13

𝑃12 =

𝑎23

𝑃22 mit Bahnhalbachsen 𝑎𝑖 und Umlaufperioden

𝑃𝑖. Die Entfernungsbestimmung mit Parallaxenmessung ist mit sin 𝜋 =𝑎

𝑟, 𝜋 als Parallaxe und 𝑎

als Basislänge, relativ einfach. Am Tag die Parallaxe zu bestimmen wird allerdings durch die

Unsichtbarkeit von Fixsternen erschwert.

Masse

Über das dritte Keplergesetz in Bezug auf die Erde kann man 𝑎3

𝑃2=

𝐺

4𝜋2(𝑀𝑆 +𝑀𝐸) berechnen.

Auf Grund der Masse wird unsere Sonne ein roter Riese werden und danach zu einem wei-

ßen Zwerg zusammenfallen.

Leuchtkraft und effektive Temperatur

Mit 𝑟 als Entfernung zur Sonne gilt 𝐿 = 4𝜋𝑟2𝑆 , wobei 𝑆 die Solarkonstante und damit die

Strahlungsleistung in 1𝐴𝐸 auf 1𝑚2 pro Sekunde beschreibt. Die Energie verteilt sich schließ-

lich auf die Oberfläche 𝑂 = 4𝜋𝑅2 und es folgt 𝐿 = 3,845 ∙ 1026𝑊.

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Für den gesamten Strahlungsstrom 𝜋𝐹 gilt 𝜋𝐹 = 𝜎𝑇𝑒𝑓𝑓

4 und man erhält 𝑇𝑒𝑓𝑓,𝑆 = 5770𝐾.

Aufbau der Sonne

Sonneninneres

Kern: 20 ∙ 106𝐾

Strahlungszone

Konvektionszone: In etwa 200.000 𝑘𝑚 Tiefe

Sonnenatmosphäre

Photosphäre: 99% der Strahlungsenergie, 6000 𝐾

Chromosphäre: Monochromes Licht, geringe Dichte mit wenig Strahlung, Temperatur

nimmt stark zu

Korona: Form ist abhängig von Sonnenaktivität

Die Sonne ist eine Gaskugel, deren Dichte nach außen hin nahezu monoton abnimmt. Im Inneren findet Fusion von 𝐻 zu 𝐻𝑒 mit 4𝑝 → 𝐻𝑒4 + 2𝑒+ + 2𝜈𝑒 statt (siehe auch Wasserstoff-

brennen, Seite 125). Die Fusion findet nicht wegen der hohen Temperatur, sondern wegen

des hohen Drucks statt (mit Tunneleffekt); die Kernkräfte müssen die Coulomb-Abstoßung

überwinden können. Die emittierten Neutrinos kommen mit nur etwa acht Minuten Verzöge-

rung bei uns an und zeigen die aktuelle Kernfusionsrate der Sonne. Photonen benötigen über 105 Jahre, bis sie an die Oberfläche gelangen. Das Licht der gegenwärtigen Sonne ist

also „sehr alt“. Etwa 50% des Wasserstoffs sind bereits verbrannt.

Die Ausdehnung des Sonneninneren entspricht grob 1/3 des Radius, d.h. die Konvektionszo-

ne reicht bis etwa 200000 𝑘𝑚 unter die Sonnenoberfläche. Als Konvektion bezeichnet man

Strömungen (Massentransport) innerhalb der Sonne.

Die Photoshäre ist sichtbar, da ein Sonnenstrahl am Rand der Sonne zu uns einen längeren

Weg durch die Sonnenatmosphäre nehmen muss, so dass uns die Sonne in der Mitte heller

erscheint. Die Oberfläche der Sonne ist nicht homogen (Granulation), da heißes Plasma

nach oben strömt und langsam wieder nach unten sinkt (Konvektion).

Aufgrund der geringen Dichte trägt die Chromosphäre trotz der hohen Temperaturen kaum

etwas zur Abstrahlung der Sonne bei. Spikulen aber werden in ihr beobachtet, das sind

Strukturen, die sich nach Magnetfeldern ausrichten.

Die Korona ist der Übergang in das interplanetare Medium: Ihre Form ist von der Sonnenak-

tivität abhängig und ist im Maximum symmetrisch um die Sonne, im Minimum eher am

Äquator konzentriert. Sie strahlt im UV- und Röntgenbereich, sowie im Radiobereich ab.

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Die aktive Sonne

Sonnenflecken bestehen aus dunklen Kernen (Umbra, 4300 𝐾) und der flammenartigen hel-

leren Penumbra (5500 𝐾). Die Anzahl variiert mit einer mittleren Periode von elf Jahren, die

seit 1760 durchnummeriert werden. Die Sonne besitzt folgende Zyklen:

Sonnenfleckenzyklus (11 Jahre)

Gleissberg-Zyklus (90 Jahre, Erklärungsversuch für Fleckenloses Minimum 2008)

Magnetischer Zyklus (22 Jahre, Umpolung)

Der Druck außerhalb des Feldes in der Sonne 𝑝𝑒 und der Druck im Bereich des Flecks

𝑝𝑖 + 𝐵2/2𝜇 (magnetischer Druck), müssen für Stabilität wie folgt berechenbar sein: 𝑝𝑖 +

𝐵2/2𝜇 = 𝑝𝑒. Also ist 𝑝𝑖 < 𝑝𝑒 und wegen 𝜌𝑖 = 𝜌𝑒 folgt, dass 𝑇𝑖 < 𝑇𝑒 ist, so dass die Temperatur in

einem Fleck geringer als die Umgebung sein muss.

19% der Sonnenflecke treten als bipolare Gruppen auf, magnetische Schläuche also, die

durch Auftrieb an die Oberfläche getrieben wurden und an beiden Durchstoßpunkten eine

bipolare Gruppe erzeugen.

Als Fackeln bezeichnet man Gebiete mit überhöhter Helligkeit (10% mehr), die besonders

häufig zu Zeiten von Sonnenflecken-Minima an hohen Breiten auftreten.

Protuberanzen sind Materiewolken in der Korona, die an der Grenze zwischen Gebieten un-

terschiedlicher magnetischer Polarität auftreten.

Flares sind Strahlungsausbrüche (Massenauswürfe) und treten im gesamten elektromagne-

tischen Spektrum auf. Folgen sind:

Kurzwellige Strahlung: Entspricht der Gesamtstrahlung der Sonne

Röntgenstrahlung: Störung der Erdionosphäre (Mögel-Dellinger-Effekt) und des Funk-

verkehrs

Korpuskularstrahlung: Teilchen kommen mit 1000 bis 2000 𝑘𝑚/𝑠 einen Tag nach dem

Ausbruch auf der Erde an und verursachen magnetische Stürme und Polarlichter

Radiostrahlungsausbrüche im m-Bereich

Kosmische Strahlung: Teilchen mit fast Lichtgeschwindigkeit erzeugen Sekundärteilchen

und Höhenschauer

Außerdem gibt es folgende Bezeichnungen:

𝛼: Ein einzelner dominierender Fleck

𝛽: Sonnenfleckenpaar mit entgegengesetzten Polaritäten

𝛾: Komplexe Gruppe mit unregelmäßiger Polaritätsverteilung

𝛿: Umbrae mit entgegengesetzten Polaritäten innerhalb einer einzigen Penumbra

Helioseismologie

Die obere Photosphäre schwingt mit einer Periode von 5𝑚𝑖𝑛, was zu inneren Schwingungen

führt. Über dieses Schwingmuster sind Rückschlüsse auf das Innere der Sonne möglich.

Magnetohydrodynamik

Vergleichbar ist der „Sonnendynamo“ mit dem „Erddynamo“, siehe Magnetfeld, Seite 139.

Zustandsgrößen der Sterne

Helligkeiten

Durch die Sinnesempfindung des menschlichen Auges, das logarithmisch die Luminanz

wahrnimmt, gilt für die scheinbare Helligkeit 𝑚𝑖 zweier Sterne:

𝑚1 −𝑚2 = −2,5 𝑚𝑎𝑔 log (𝐼1𝐼2) ,

𝐼1𝐼2= 10

−(𝑚1−𝑚2)2,5

𝐼 in Einheiten 𝐸

𝑡𝐴

Die absolute Helligkeit (Leuchtkraft) 𝑀 berücksichtigt die Entfernung. Es ist die Helligkeit die

ein Stern in einer Einheitsentfernung von 10𝑝𝑐 besitzen würde. Hierfür gilt:

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𝐸 =𝐿

4𝑟2𝜋,

𝑀1 −𝑀2 = −2,5 lg (𝐿1𝐿2)

𝐿: Abgestrahlte Leistung, 𝐸: Ankommende Strahlungsleistung pro 𝑚2

Aus 𝑚 und 𝑀 kann man das sogenannte Entfernungsmodul berechnen.

Entfernungsmodul

𝑚 −𝑀 = 5 ∙ lg (𝑟[𝑝𝑐]

10𝑝𝑐)

Entfernungsbestimmung

Die Entfernung wird mit der Parallaxe eines Sterns zu 𝜋[𝑟𝑎𝑑] =𝑎

𝑟 berechnet – ein Stern be-

findet sich in einer Entfernung von 1 𝑝𝑐 = 206265𝐴𝐸, wenn seine Parallaxe 1′′ beträgt.

Durch das Bedecken des Sterns durch den Mond und die Beugung der Lichtstrahlen ist ein

Durchmesser bestimmbar, auch bei Doppelsternsystemen (mindestens die Hälfte aller Ster-

ne sind Mehrfachsysteme) ist dies möglich.

Die Masse wird bei einem Begleiter mit dem dritten Keplergesetz 𝑀1+𝑀2

𝑎3𝑈2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 1 be-

stimmbar. Mit 𝑎 als Abstand der Körper und 𝑈 als Umlaufzeit bekommt man die Gesamt-

masse.

Durch Gravitationsrotverschiebung, bei Sternen mit hoher Schwerebeschleunigung, kann

man die Masse über den Energieverlust der Photonen nach Δ𝜆

𝜆=𝐺𝑀

𝑅𝑐2, mit 𝑅 als Radius des

Sterns, bestimmen. Die Masse kann auch zur Altersbestimmung herangezogen werden.

Die Dichte und die Schwerebeschleunigung eines Sterns 𝑔 = 𝐺𝑀/𝑅2 ist mit der Masse gut

bestimmbar. Man bekommt Wertebereiche für:

Masse: 0,2 bis 60 𝑀𝑆

Radius: 0,1 bis 500 𝑀𝑆

Sterne als schwarze Körper

Die kinetische Temperatur 𝑣𝑡ℎ = √2ℛ𝑇

𝜇 folgt aus der Gastheorie (ℛ als Gaskonstante). Es gibt

außerdem die Elektronentemperatur 𝑇𝑒, die Ionisationstemperatur 𝑇𝑖𝑜𝑛, die Anregungstem-

peratur 𝑇𝑒𝑥𝑐 und die Bandentemperatur (Rotations- und Schwingungsübergänge).

Klassifikation

Die Spektralklassifikation wird nach der Stärke der Wasserstofflinien vorgenommen: O-B-A-

F-G-K-M (oh, be a fine girl/guy kiss me):

O: Blau; heiß

B: Weiß-blau; 𝐻𝑒 dominiert, Wasserstofflinien werden allmählich erkennbar

A: Weiß; 𝐻-Linien dominieren

F: Leicht gelblich; Wasserstofflinien nehmen ab, Metalllinien treten auf

G: Gelblich; 𝐶𝑎 𝐼𝐼 dominiert, keine ionisierten Metalle mehr

K: Rötlich; erstes Auftreten von Molekühlbanden, neutrale Metalle

M: Rot; kühl, neutrale Metalllinien stark, Molekülbanden dominieren

Spektrallinien hängen von der Temperatur und dem Element bzw. dessen Häufigkeit ab.

Hertzsprung-Russel-Diagramm (HRD)

In diesem Diagramm werden die absolute Helligkeit der Sterne gegen ihren Spektraltyp

aufgetragen.

Die Sterne sind nicht beliebig angeordnet:

Links oben in der Hauptreihe sind heiße, leuchtkräftige Sterne; rechts unten sind kühle,

Sterne mit geringer Leuchtkraft

Mehr als 90% aller Sterne passen auf diese Hauptreihe

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Leuchtkraftklassen

Die Leuchtkraft ist gegeben durch die Oberfläche und das Stefan-Boltzmann-Gesetz.

Spektraltyp 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 Leuchtkraft Temp. / 𝐾 Radius / 𝑅𝑆

O5 40 7 ∙ 105 40000 18

B0 16 27 ∙ 104 28000 7

A0 3,3 55 10000 2,5

F0 1,7 5 7500 1,4

G0 1,1 1,4 6000 1,1

K0 0,8 0,35 5000 0,8

M0 0,4 0,05 3500 0,6

Die Morgan-Keenan-Leuchtkraftklassen sind eingeführt:

I: Überriesen

II: Helle Riesen

III: Riesen

IV: Unterriesen

V: Zwergsterne

VI: Unterzwerge

Der nächste Stern 𝛼𝐶𝑒𝑛 hat denselben Spektraltyp wie unsere Sonne (G2V). Seine Helligkeit

beträgt 𝑉 = −0,33, die Entfernung 1,3 𝑝𝑐, die absolute Helligkeit 4 ,𝑚5.

Die sogenannte Masse-Leuchtkraft-Beziehung lautet 𝐿 ≈ 𝑀3,5.

Rotation und Magnetfelder

Durch die Blau- bzw. Rotverschiebung der sich auf die Erde zu- bzw. wegbewegenden Seite

eines Sterns lässt sich dessen Rotationsachse und Geschwindigkeit erkennen.

Durch Doppler Imaging kann man auch Sternflecken als magnetisch aktive Gebiete nach-

weisen. Nehmen wir eine stellare photosphärische Linie, die durch die Rotation des Sternes

dopplerverbreitet ist. Bewegt sich nun ein großer Sternfleck über die Sternscheibe infolge

der Rotation, dann sieht man das im Spektrum.

Besondere Sterne

In Doppelsternsystemen ist die Roche-Sphäre (Roche lobe) der Bereich um einen Stern, in-

nerhalb dessen die Materie gravitativ an den Stern gebunden ist. Bei Übertreten der Grenze

gibt es Massentransfer zum anderen Stern.

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Sternentwicklung

Durch Kollaps einer interstellaren Wolke, die aus Gas und Staub besteht, entstehen Protos-

terne. Die potentielle Gravitationsenergie bzw. die mittlere kinetische Energie der Teilchen

beträgt mit 𝑀 als Wolkenmasse, Teilchenanzahl 𝑁 und mittlere Teilchenmasse ��:

𝑈 = −𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝐺𝑀𝑁��

𝑅, 𝐸𝑘𝑖𝑛 =

3

2𝑘𝑇

Eine Wolke wird bei 𝑈 > 𝐸𝑘𝑖𝑛 kontrahieren, was man Jeans-Kriterium (siehe Jeans-Masse,

Seite 125) nennt. Bevor im Inneren eines Sterns die Temperatur groß genug ist, um Kern-

reaktionen zu zünden, spricht man von einem Protostern (oder Vorhauptreihenentwicklung).

Man unterscheidet vier Stufen:

1) Kollaps im freien Fall: Teilchen kollidieren nicht, der Druck ist null.

2) Kernregionen kollabieren rascher als die äußeren Bereiche.

3) Nach Kernbildung kommt es zur Akkretion der Hülle.

4) Erst nach Abstoßen des umgebenden Materials (Strahlungsdruck) ist der Stern sichtbar.

Entwicklung unserer Sonne

Beim Kollaps eines sonnenähnlichen Sterns steigt die Dichte zunächst bis zur Undurchsich-

tigkeit, der Kollaps verlangsamt sich und das hydrostatische Gleichgewicht tritt ein (einige

Million Jahre). Sterne in einem Sternhaufen entstehen etwa zur selben Zeit, da aber mas-

senreiche Sterne schnellere Entwicklungen durchlaufen, kann man – da sich ältere Sterne

von der Hauptreihe entfernen – auf das Alter eines Sternhaufens schließen.

Die Nullalterhauptreihe (ZAMS) wird erreicht, sobald das Wasserstoffbrennen (𝑝𝑝-Kette)

zündet. Nach etwa zehn Milliarden Jahren (bei sonnenähnlichen Sternen) endet sein Haupt-

reihendasein, fast der gesamte Wasserstoff wurde umgewandelt. Der Stern expandiert

leicht, die Temperatur steigt und Leuchtkraft/Oberfläche werden größer.

Im Zentrum erlöscht die Reaktion schließlich, es entwickelt sich ein Schalenbrennen. Der

Sternradius nimmt nun beträchtlich zu, der Kern kontrahiert. Da nun der Stern stark expan-

diert sinkt die Oberflächentemperatur wieder, der Stern entwickelt sich zum roten Riesen

(wandert im HRD nach rechts oben). Nun hat der Stern einen kleinen, dichten Kern aus ent-

artetem Elektronengas.

Hierauf folgt der Heliumflash, bei dem die Temperatur (Triple-Alpha-Prozess, auch Metalle

beginnen zu leuchten), nicht aber der Durchmesser steigt, der Kern ist nun mit Kohlenstoff

angereichert. Ab einer kritischen Temperatur folgt wieder eine Ausdehnung und es kommt

zu starken thermonuklearen Explosionen, die die Hülle vollständig wegblasen.

Beträgt die Masse eines Sterns weniger als etwa 1𝑀𝑆, dann reicht die Kerntemperatur nicht

aus, um das Kohlenstoffbrennen zu starten. In etwa 100000 Jahren entwickelt sich so ein

weißer Zwerg. Ist die Masse zu groß reicht der Strahlungsdruck im Stern nicht aus, um den

Weißen Zwerg zu stabilisieren. Je nach Masse erfolgt stattdessen ein Kollaps zum Neutro-

nenstern oder Schwarzen Loch.

Unsere Sonne durchläuft also den Hauptreihenstern (109 Jahre), den roten Riesen (108 Jah-

re) und den weißen Zwerg.

Vergleich Sternentwicklung

Als Endstadien sind möglich:

Weißer Zwerg (vergleichbar mit unserer Sonne)

Neutronensterne, Pulsare

Schwarze Löcher

Weiße Zwerge entstehen unter etwa 1,4𝑀𝑆 (Chandrasekhar-Grenzmasse). Hier ist der Bei-

trag der gravitativen Rotverschiebung wichtig (Spektrallinien sind verschoben). Mit der Mas-se eines Photons von 𝑚 = 𝐸/𝑐2 und 𝐸 = ℎ𝜈 erhält man den relativistischen Dopplereffekt:

Δ𝜈

𝜈= 1 −

1

√1 −𝑅𝑆𝑅

≈ −𝐺𝑀

𝑅𝑐2, 𝑅𝑆 =

2𝐺𝑀

𝑐2= Schwarzschild-Radius

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Der Effekt nimmt bei großen Massen und kleinen, kompakten Objekten (kleiner Wert für 𝑅)

zu. Bei Entstehung von weißen Zwergen ist Erhaltung des magnetischen Flusses gegeben.

Bei braunen Zwergen kam es nie zu einer Zündung des Wasserstoffbrennens auf Grund zu geringer Zentraltemperaturen. Ab einer Grenze von etwa 0,0002𝑀𝑆 bis zu 0,08𝑀𝑆 spricht man

von einem braunen Zwerg.

Neutronensterne entstehen durch hohe Kompression mit der Folge intensiven Betazerfalls:

𝑝+ + 𝑒− → 𝑛 + 𝜈. Es bildet sich ein Neutronengas, das entartet ist. Der Aufbau ist in etwa fol-

gendermaßen:

15 − 16 𝑘𝑚 : Entartete Materie, oben Eisenkerne, weiter unten neutronenreiche Kerne

(Gold, Blei, Uran,…)

11 − 15 𝑘𝑚: Innere Kruste, freie Neutronen

11 𝑘𝑚: Stark inkompressible Neutronenflüssigkeit

Zentralbereich: Dichte bis 400 ∙ 1015𝑘𝑔/𝑚3, subnukleare Teilchen (freie Quarks)

Pulsare haben Pulsationsdauern von einigen 10𝑠 bis zu Millisekunden. Bei Beobachtung ist

die Dispersion von Bedeutung, da längere Wellenlängen stärker abgebremst werden. Wenn

ein Stern zu einem Neutronenstern kollabiert und ein Magnetfeld durch Induktion eine elekt-

risches Feld erwirkt, so werden Teilchen an der Kruste beschleunigt (Elektronen, Synchrot-

ronstrahlung). Das Drehmoment der beschleunigten Teilchen bremst die Rotation; daher

sind Pulsare umso älter, je langsamer sie rotieren.

𝑣2

𝑅=𝐺𝑀

𝑅2, 𝑇𝑅𝑜𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =

2𝜋𝑅

𝜈

Supernovae

Hier explodiert ein Stern, die äußere Hülle wird abgestoßen. Man unterscheidet:

Typ I: Weißer Zwerg, der durch Kohlenstofffusion explodiert,. Der Zwerg nimmt Materie

durch Akkretion auf und kollabiert nach Erreichen der Chandrasekhar-Grenze. Alternativ

in Doppelsternsystemen mit zwei weißen Zwergen möglich, die sich annähern und ver-

schmelzen in einer Kohlenstoffdetonation. Hierbei entsteht wahrscheinlich kein Rest-

stern.

Typ II: Ausschließlich in Spiralgalaxien von sehr massenreichen Sternen durch Gravitati-

onskollaps. Der Fe-Kern nimmt an Masse zu und fällt ohne Gegendruck zusammen. Der

Kern wird inkompressibel, es bildet sich eine repulsierende Materiewelle; der innere Be-

reich komprimiert nun weiter und bildet einen Neutronenstern oder ein schwarzes Loch.

Schwarze Löcher

Für ein Objekt mit Fluchtgeschwindigkeit 𝑣𝑒𝑠𝑐 = √2𝐺𝑀

𝑅=!𝑐 erhält man 𝑅 =

2𝐺𝑀

𝑐2 als Radius eines

schwarzen Lochs, auch Schwarzschild-Radius genannt (siehe Vergleich Sternentwicklung

und relativ. Dopplereffekt, Seite 166). Nichts kann hier mehr entweichen, nicht einmal

Lichtteilchen. Eine hypothetische Reise hieße, dass das Raumschiff von den Gezeitenkräften

auseinandergerissen würde. Für einen äußeren Beobachter gibt es eine immer größere Rot-

verschiebung, die Zeit vergeht immer langsamer, bis die Signale nicht mehr zu entdecken

sind. Im Zentrum gibt es eine Singularität und keine physikalischen Gesetze mehr.

Die allgem. Relativitätstheorie lässt aber als Ausweg vor der Singularität die Reise durch ein

Wurmloch zu; die kleinste Störung aber führt zum Sturz in die Singularität. Die mathemati-

sche Beschreibung (Schwarzschildmetrik) lässt drei Lösungen zu:

Schwarze Löcher

Weiße Löcher (Gegenteil der schwarzen Löcher; es strömt nur Materie, Energie heraus –

verletzt den 2. Hauptsatz der Thermodynamik)

Wurmlöcher (Verbinden über Einstein-Rosen-Brücken verschiedene Orte)

Ein schwarzes Loch hat eine nicht verschwindende Temperatur mit der Strahlungsenergie

𝐸 =ℎ𝑐3

16𝜋𝐺𝑀. Je größer die Masse ist, desto langsamer verdampft das schwarze Loch (dauert

aber sehr, sehr lange).

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Gamma Ray Bursts (GRB)

Per Zufall entdeckte Röntgenstrahlungsausbrüche, die innerhalb von Sekundenbruchteilen bis Minuten Energien von einigen 104 Supernovae aussenden. Die Bursts kommen aus zufäl-

liger Richtung (keine Konzentration zur galaktischen Ebene).

1999 konnte nur 22𝑠 nach einem GRB eine Aufnahme von der Himmelsgegend der Ur-

sprungsrichtung aufgenommen werden; Man beobachtete einen dramatischen Helligkeitsan-stieg und konnte die Herkunft durch Rotverschiebung auf etwa 3000𝑀𝑝𝑐 schätzen. Erklärun-

gen für GRBs sind:

Hypernova (Kollaps eines massiven Sterns und Entstehung eines schwarzen Lochs mit

extremem Magnetfeld)

Zusammenwachsen (merging) zweier Neutronensterne oder (Oder Neutronenstern mit

schwarzem Loch)

Bursts sind gerichtet wie bei einem Pulsar, was zur Energieüberschätzung führen könnte

Gravitationslinseneffekt (Zwischen Quelle und Erde befindet sich ein massives Objekt,

das als Linse wirkt)

Magnetar: Neutronenstern mit extremem Magnetfeld mit Sternbeben

Veränderliche Sterne

Pulsationsveränderlich: Riesen oder Überriesen mit periodischem Pulsieren in der Atmo-

sphäre (Cepheiden).

𝛿-Cephei-Sterne: Population I, Radiusveränderung etwa 10%

W-Virginis-Cepheiden: Population II, Radiusveränderung etwa 50%

RR-Lyrae-Stern: Regelmäßige Lichtwechsel (0,2 bis 1,2 Tage); sind eine Lücke im ho-

rizontalen Ast im HRD-Diagramm, an der es keine stabilen Sterne geben dürfte.

Mira-Veränderliche: Helligkeitsveränderungen durch starke Schwingung der Absorpti-

onsbande, nicht durch Temperaturschwankungen, hoher Masseverlust, Maser-Emis-

sion von 𝑂𝐻.

Eruptiv: Regellosen Gasausbrüchen bei Sternen geringer Leuchtkraft

Bedeckungsveränderlich: Gegenseitige Bedeckung bei Doppelsternen

Masseverlust von Sternen

Die äußere Schicht von Sternen (Korona) ist nicht stabil. Es gibt thermische Sternenwinde,

die durch hohe Temperatur getrieben werden. Auch der Strahlungsdruck, wenn er im Betrag

gleich groß wie die Schwerkraft wird, kann zu Masseverlust führen (stabil so langegilt: 𝐺𝑀

𝑅2𝜌 >

𝐿

𝑟𝜋𝑅2

𝜌𝜅

𝑐, Eddington-Limit 𝐿 <

4𝜋𝑐𝐺𝑀

𝜅). Auch schnelle Rotation kann ein Grund sein. Mas-

senverluste in der späten Sternentwicklung führen zu planetarischen Nebeln.

Interstellare Materie

Interstellare Materie besteht aus Gas (Atome, Moleküle, Ionen: können zum Leuchten ange-

regt werden) und Staub (feste Teilchen: Dunkelwolken oder Reflexionsnebel). Die Materie ist diffus verteilt. Das Verhältnis Gas zu Staub liegt bei 100: 1. In der Milchstraße ist der

Masseanteil zwischen 3% und 10%.

Staub

Nachweise von Staub sind möglich durch:

Extinktion

Verfärbung

Polarisation

Reflexion von Sternenlicht

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Extinktion

Durch Bestimmung der Leuchtkraft von verdeckten Sternen und Vergleich mit Referenzbe-

reichen (Sternzählung), kann auf die Dichte von Staub geschlossen werden. Der Staub ist

stark zur Milchstraßenebene konzentriert. Eigentlich ist die Extinktion Streuung des Lichts.

Polarisation

Licht von Sternen ist teilweise polarisiert, was im direkten Zusammenhang mit der interstel-

laren Verfärbung steht. Der elektrische Feldstärkevektor (galaktisches Magnetfeld) schwingt

parallel zur galaktischen Ebene und der Polarisationsgrad lässt auf den Staub Rückschlüsse

ziehen.

Gas

Besteht zu 70% Massenanteil (90% Menge) aus Wasserstoff, der teilweise ionisiert sein kann.

Der neutrale Wasserstoff absorbiert (falls überhaupt) die Lyman-Serie im UV-Bereich. Die

typische 21-cm-Linie entsteht durch den Übergang vom parallelen Kern-/Elektronenspin

zum antiparallelen. Dieser Übergang ist ein verbotener; das metastabile Niveau ist ohne

Stoßeinwirkung langlebig.

Emissionsnebel

Die Strahlung besteht aus:

Kontinuum

Kräfte Emissionslinien

Nebellinien

H-I Regionen leuchten wegen des Hyperfeinstrukturübergangs der Spins (siehe letzte Gra-

fik) im Mikrowellenbereich. H-II Regionen sind Gegenden, die aufgrund eingebetteter Sterne

im Emissionsnebel leuchten.

Kosmische Strahlung

Partikel der kosmischen Strahlung sind geladen und werden durch Magnetfelder umgelenkt;

fallen also in spiralförmigen Bahnen ein. Durch das starke galaktische Magnetfeld ist sicher, dass die meisten Teilchen von innerhalb kommen müssen. Ein Teil mit Ruhemasse 𝑚0 und

Ladung 𝑒 mit �� ⊥ �� hat die Zyklotronfrequenz 𝜔𝑐 =𝑒𝐵

𝑚=1

𝛾

𝑒𝐵

𝑚0, wobei 𝑚 = 𝛾𝑚0 =

𝑚0

√1−(𝑣 𝑐⁄ )2∧ 𝑝 =

𝑚𝑣 ∧ 𝐸 = 𝑚𝑐2 gilt.

Mit dem Einfluss der Heliosphäre ändert sich die kosmische Strahlung mit zwei Perioden:

27-tägiger Zyklus der synodischen Sonnenrotation

11-jähriger Zyklus der Sonnenaktivität

Ist die Aktivität hoch, so ist das Magnetfeld groß und die kosmische Strahlung (und damit

der C-14-Anteil in der Atmosphäre) klein.

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Die Galaxis

Das Wort Galaxie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Milchstraße. Bei „der Galaxis“

handelt es sich um unsere Milchstraße (im Englischen nur durch Großschreibung „Galaxy“

von „galaxy“ – als allgemeiner Ausdruck – zu trennen). Um Aussagen über die Struktur der

Galaxis machen zu können, ist es notwendig, die räumliche Verteilung der Sterne zu ken-

nen.

Die Masse der Galaxie kann man über die Rotation mit 𝑚𝑣2

𝑟= 𝑚

𝐺𝑀

𝑟2 bestimmen.

Entfernungsbestimmung in der Milchstraße

Trigonometrie

Bei der trigonometrischen Parallaxe sei 𝑎 die mittlere Entfernung Erde-Sonne und 𝑟 die Ent-

fernung eines Sterns und so gilt für den parallaktischen Winkel 𝜋:

sin 𝜋 =𝑎

𝑟

Bei der säkularen Parallaxe wird die Strecke, die unsere Sonne in Richtung des Sternbildes Herkules zurücklegt (𝑏) mit dem Sinussatz verrechnet:

𝑟 =𝑏 sin(𝛼)

sin(𝛽 − 𝛼)

Die Mitglieder eines Sternhaufens bewegen sich in dieselbe Richtung zum Fluchtpunkt und

für die Eigenbewegung und die Tangentialgeschwindigkeit gelten (siehe Abbildung):

𝑣 =𝑣𝑟cosΘ

, 𝑣𝑡 = 𝑣 sin 𝜃

𝑣: Eigenbewegung in 𝑠 pro Jahr, 𝑣𝑟:Radialgeschwindigkeit in𝑘𝑚

𝑠, 𝑣𝑡:Tangentialgeschwindigkeit

Die dynamische Parallaxe kann bei Doppelsternen angewand werden; man berechnet hier

aus der scheinbaren großen Halbachse und aus Umlaufperiode und (geschätzten) Masse die

die „echte“ Halbachse und schließt über das Verhältnis auf die Entfernung.

Auch wenn der wahre Durchmesser 𝐷 und der scheinbare 𝑑′′ bekannt sind, ist 𝜋′′ = 𝑑′′/𝐷.

Photometrische Standardkerzen

Bei Vergleich von Sternhaufen mit einer Referenz, kann man auf Folgendes schließen:

Entfernungsmodul

Verfärbung

Aufbau unserer Milchstraße

Grober Aufbau:

Scheibe, Durchmesser etwa 50𝑘𝑝𝑐

Zentrale Verdickung (galaktischer Bulge)

Halo (sphärische Verteilung von Sternen und Kugelsternhaufen um die Scheibe)

Die Entfernung vom Drehzentrum (galaktischen Zentrum) unserer Sonne beträgt 𝑅0 =8,5𝑘𝑝𝑐. Einige Daten sind in folgender Tabelle aufgelistet, wobei ∅ der Durchmesser ist, 𝜎𝑧

𝑟

𝛼

𝛽

𝑏

Θ

𝑟

𝑣𝑡 𝑣𝑟

𝑣

Sternstromparallaxe Säkulare Parallaxe

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die Geschwindigkeitsdispersion senkrecht zur galaktischen Ebene und die Metallizität loga-

rithmisch den Anteil an 𝐹𝑒 angibt (−1 bedeutet 1/10).

Neutr.

Gas

Dünne

Scheibe

Dicke

Scheibe

Bulge Stellare

Halo

DM Halo

𝑀 / 1010𝑀𝑆

0,5 6 0,2… 0,4 1 0,15

𝐿𝐵 / 1010𝐿𝑆

− 1,8 0,02 0,3 0,1 0

𝑀/𝐿𝐵 − 3 3 1

∅ / 𝑘𝑝𝑐 50 50 50 2 100 > 200

Form 𝑒ℎ𝑧𝑧 𝑒

ℎ𝑧𝑧 𝑒

ℎ𝑧𝑧

Balken 𝑟−3,5 1

𝑎2 + 𝑟2

Skalenh. / 𝑘𝑝𝑐

0,13 0,33 1,5 0,4 3 2,8

𝜎𝑧 / 𝑘𝑚/𝑠 7 20 40 120 100 −

[𝐹𝑒

𝐻]

> 0,1 −0,5…0,3 −1,6…− 0,4

−1…1 −4,5…− 0,5

Galaktische Koordinaten

Galaktischer Äquator

Galaktische Breite 𝑏 (±90° nördlich und südlich des Aquators)

Der galaktische Nordpol hat im Äquatorsystem die Koordinaten 𝑅𝐴 = 12ℎ51𝑚, 𝛿 = +2°7,7′, das

Zentrum 𝑅𝐴 = 17ℎ46𝑚, 𝛿 = −28°56′. Die galaktische Länge 𝑙 wird am Äquator in östlicher Rich-

tung gemessen.

Verteilung

Die folgende Gleichung beschreibt die Anzahl 𝑁(𝑚) der Sterne bei einer bestimmten Hellig-

keit als Funktion ihrer scheinbaren Helligkeit, wobei sich Abweichungen durch unregelmäßi-

ge Verteilung und interstellarer Absorption geben: log(𝑁(𝑚)) = 0,6𝑚 + 𝐶.

Komponenten

Bulge: Zentrale Verdickung, starke Extinktion im sichtbaren Bereich.

Zentrum: Etwa 5𝑘𝑝𝑐 Durchmesser.

Flache Scheibe: 50𝑘𝑝𝑐 Durchmesser, 1𝑘𝑝𝑐 Dicke. Temperaturen zwischen 17 und 21𝐾 .

Gas und Staub sind zur galaktischen Ebene konzentriert. Die Gasscheibe ist verbogen

(eventuell Gezeiten durch das Gravitationsfeld der Magellan’schen Wolken).

Halo: Die Galaxis ist durch einen Halo umgeben, angefüllt mit Kugelsternhaufen (etwa

150) und Feldsternen. Man findet auch neutrale 𝐻- und Hochgeschwindigkeitswolken,

die nicht an der galaktischen Rotation teilnehmen.

Spiralarme: Innerhalb der Scheibe, die um das Zentrum rotiert, sind junge Objekte in

Spiralarmen angeordnet. Bei uns ist die Rotationsgeschwindigkeit etwa 250𝑘𝑚/𝑠 und die

Periode 200 ∙ 106𝑎.

Kugelsternhaufen

Kugelförmige Ansammlungen einiger 104 Sterne; oft sehr alt und in dem Halo verteilt.

Sternpopulation und Dichtewellen

Population II: Alle Sterne, die weiter entfernt von der galaktischen Ebene sind

Population I: Zur galakt. Ebene hin konzentriert (Scheibenpopulation)

Die Spiralarme entstehen durch dynamische Prozesse, die Kepler nicht erklären kann. Die

Dichtewellentheorie geht von rotierenden Dichtewellen aus, die die Arme entstehen lassen.

Dichtewellentheorie

Die galaktische Scheibe reagiert auf Störungen, die sich ähnlich wie Schallwellen ausbreiten

und Materie entlang von spiralförmigen Bahnen anziehen, aber nur mit halber Rotationsge-

schwindigkeit (im Vergleich zur Scheibe) rotieren. Das bedeutet, Materie geht durch eine

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Dichtewelle hindurch und wird in spiralförmige Strukturen gebracht bzw. verdichtet. Deshalb

findet man in der Nähe von Spiralarmen junge Sterne der Population I. Die langsamere Ro-

tation bewirkt Potentialminima. Ein Analogon wäre ein langsam fahrender LKW auf der Au-

tobahn: Es bildet sich dahinter ein Stau, der aber aus immer verschiedenen PKW besteht.

Rotation

Vom galaktischen Nordpol aus findet die Rotation im Uhrzeigersinn statt.

Dunkle Materie in der Milchstraße

Die Existenz folgt aus der Rotationsgeschwindigkeitskurve. Bei einer Keplerbewegung würde man 𝑉 ≈ 𝑅−1/2 erwarten, d.h. dass die Rotation nach außen abnimmt – tut sie aber nicht, sie

bleibt konstant in allen Spiralgalaxien.

Astrophysikalische Erklärung

Kompakte Objekte, massearme und daher leuchtschwache Sterne, weiße Zwerge, braune

Zwerge oder Endstadien der Sternentwicklung wie schwarze Löcher fasst man

unter MACHO (Massive Compact Halo Objects) zusammen. Beispielsweise M-Zwerge, wären

aufgrund ihrer geringen Temperatur nur im IR sichtbar. Messungen im nahen IR ergaben

jedoch eine zu geringe Dichte. Bei den weißen Zwergen (WD) gibt es ein anderes Problem:

Sie stehen am Ende der Entwicklung von massearmen Sternen, und das Universum ist für

eine große Anzahl zu jung (etwa 13,6 Milliarden Jahre). Die beobachtete Menge an schwe-

ren Elementen deutet darauf hin, dass die Gesamtzahl der Supernovaexplosionen geringer

ist als die Zahl der zur Erklärung der Dunklen Materie nötigen schwarzen Löcher und Neut-

ronensterne. Braune Zwerge könnten zumindest 10% an sichtbarer Masse zur Dunklen Ma-

terie beitragen.

Teilchenphysikalische Erklärung

Hier unterscheidet man zwischen heißer Dunkler Materie (HDM) und kalter Dunkler Materie

(CDM). Für HDM kämen Neutrinos mit geringer Masse am ehesten infrage, allerdings wür-

den sich dann schwerwiegende Folgen für die Entstehung des Universums ergeben. Für CDM

kämen unbekannte Elementarteilchen infrage, WIMPs (weakly interacting particles). Kandi-

daten dafür sind Photinos und Neutralinos. Das sind Teilchen der Supersymmetrie, d.h. zu

jedem Fermion (Materie) gibt es ein Boson (Wechselwirkung).

Galaktisches Microlensing

Licht wird durch massive Teilchen im Gravitationsfeld um 𝛼 abgelenkt: 𝛼 =4𝐺𝑀

𝑐2𝜉. Besteht also

der Halo aus kompakten Objekten, so sollte eine entfernte Quelle durch ein MACHO „gelinst“

werden. Ergebnisse zeigten bisher 20 Ereignisse in Richtung Magellan’scher Wolken und et-

wa 1000 in Richtung Bulge.

Die Einsteinsche-Feldgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Raumkrümmung

und Materie: 𝑅𝑖𝑘 −1

2𝑔𝑖𝑘 ∙ 𝑅 =

𝜅

𝑐2∙ 𝑇𝑖𝑘 mit 𝜅 =

8𝜋𝐺

𝑐2, 𝑅𝑖𝑘 als Ricci-Tensor, 𝑔𝑖𝑘 als metrischer Tensor

und 𝑇𝑖𝑘 als Energie-Impuls-Tensor.

Galaktisches Zentrum

Aus der Untersuchung der Kinematik von Sternen im Zentrum schließt man auf ein schwar-

zes Loch mit (2,87 ± 0,15) ∙ 106𝑀𝑆 auf einem Gebiet von unter 0,01𝑝𝑐.

Entwicklung

Neben der Dichtewellentheorie gibt es Überlegungen von Gezeitenwechselwirkungen mit

benachbarten Zwerggalaxien (Magellan’sche Wolken), die die Form der Galaxis beeinflus-

sen, oder von der Kollision zweier Galaxien. Da der Abstand zwischen Galaxien innerhalb ei-

nes Haufens nur etwa das 20-fache ihres Durchmessers beträgt, sind Kollisionen häufig.

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Extragalaktische Systeme

Klassifikation

Die Hubble-Klassifikation teilt wie folgt ein:

Elliptische Galaxien

Normale Spiralgalaxie

Balkenspiralgalaxie

Spiralgalaxien

Irreguläre Systeme

Es gibt aktive Galaxien, bei denen ein großer Teil der Leuchtkraft aus frei werdender gravi-

tativer Energie durch den Einfall von Materie in ein supermassives schwarzes Loch entsteht.

Quasare sind kleine Bereiche, mit sehr starker Leuchtkraft, die die Helligkeit der Galaxis übertreffen (bis zu 1013𝐿𝑆). Die einzige Erklärung bis jetzt sind schwarze Löcher, die Materie

in der Akkretionsscheibe erhitzen und zerreißen. Eine starke Rotverschiebung ist allen Qua-

saren gemeinsam. Starburst Galaxies sind Galaxien, bei denen die Sternentstehungsrate

extrem hoch ist. Quasare sind relativistisch rotverschoben, was mit dem Dopplereffekt be-

rechnet werden kann.

𝜆𝐸 = 𝜆𝑆𝑐 − 𝑣𝑆𝑐 − 𝑣𝐸

∨Δ𝜆𝑑𝜆0=√2𝑘𝑇𝑀

𝑐⏟ klassisch

,Δ𝜆

𝜆0= √

1 +𝑣𝑐

1 −𝑣𝑐

− 1

⏟ relativistisch

Zur Massenbestimmung greift man auf das Virialtheorem 2𝐸𝑘𝑖𝑛 = −𝐸𝑝𝑜𝑡 zurück.

Supermassive schwarze Löcher (SMBH)

Man hat bisher in rund 40 Galaxien starke Hinweise auf SMBHs. Gibt es einen Einfluss der

Masse auf Eigenschaften der Galaxie?

Man findet Anzeichen einer sehr schnell rotierenden Akkretionsscheibe. Außerdem gibt es

eine ungewöhnlich hohe Sternkonzentration zum Zentrum hin und schnell rotierende Gas-

wolken. Außerdem beobachtet man Jets, die sich mit 0,99𝑐 ausbreiten.

Aktive Galaxien

Typisch sind hier:

Nicht thermische Prozesse allgemein

Synchrotronstrahlung, Maser

Thermische Prozesse mit extrem hohen Energien

Für den Fluss der Synchrotronstrahlung gilt 𝐹(𝜈) = 𝐹0𝜈−𝛼 mit 𝛼 als Spektralindex.

Die Kerne haben:

Hohe Leuchtkraft

Nicht thermische Emissionslinien

Großer Kontrast zwischen Kernhelligkeit und Umgebung

Jets

Seyfertgalaxie

Erkennungsmerkmale sind ein ganz besonders heller Kern und breite Emissionslinien.

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Kosmologie

Expansion des Universums

Hubble fand um 1926, dass sich die Galaxien von uns wegbewegen, wobei die Geschwindig-

keit proportional zur Entfernung der Galaxie ist.

Olbers-Paradoxon: Angenommen, das Universum sei unendlich ausgedehnt, so gäbe es un-

endlich viele Sterne darin. Der Nachthimmel wäre vollständig mit Sternen gefüllt und es wä-

re hell. Daraus folgt, dass das Universum nicht unendlich groß und nicht unendlich alt sein

kann. Weiter ist das Universum auch nicht euklidisch.

Hubble-Beziehung

Die Hubble-Beziehung beschreibt die Geschwindigkeit, mit der sich Galaxien von uns weg-

bewegen.

𝜈 = 𝑑 ∙ 𝐻0, 𝐻0 = (69,7 ± 4,9)𝑘𝑚 𝑠−1𝑀𝑝𝑐−1

𝑣: Radialgeschwindigkeit einer Galaxie, 𝑑: Abstand

Weltalter

Das Hubblealter beträgt 1

𝐻0= 13,6 ∗ 109𝑎, der Hubbleradius 𝑅𝐻 =

𝑐

𝐻0= 2140𝑀𝑝𝑐.

Die ersten Sterne

Das Universum besteht aus folgenden drei Komponenten:

Baryonische Materie: Sichtbar, beobachtbar, etwa 4%

Dunkle Materie: nicht sichtbar, nur Gravitationswirkung, etwa 23%

Dunkle Energie: erklärt beschleunigte Expansion des Universums, Rest

Methoden zur Entfernungsbestimmung

Cepheiden, RR-Lyrae-Sterne

Kugelsternhaufen

(Super)Novae

Tully-Fischer-Beziehung

Newton'sche Kosmologie

Da in Galaktischen Maßstäben nur noch die Gravitation als wirkende Kraft auftritt, kann die

Newton'sche Theorie für einfache Weltmodelle herangezogen werden.

Kritische Dichte

Die kritische Dichte ist nötig, um ein geschlossenes Universum zu erhalten.

𝛺0 = 1: Grenzfall, euklidischer Raum, flacher Raum

𝛺0 > 1:

sphärischer oder elliptischer Raum, endliches Volumen

𝛺0 < 1: hyperbolischer Raum, Raum ist offen

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𝜌𝑐,0 = 1,88 ∗ 10−26 ∗ ℎ2

𝑘𝑔

𝑚3

ℎ = 0,71 , 𝛺0 =𝜌0𝜌𝑐,0

, 𝜌0: Dichte des Universums

Die charakteristischen Zustandsgrößen sind:

Alter: 13,7 ∗ 109 𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒

Durchmesser: 96 ∗ 109 𝐿𝑖𝑐ℎ𝑡𝑗𝑎ℎ𝑟𝑒

Masse: 1053 𝑘𝑔

Anzahl der Galaxien: 1011

Anzahl der Teilchen: ≈ 1079

Heutige Temperatur: 2,75 𝐾

Mittlere Materiedichte: 2,3 ∗ 10−26𝑘𝑔

𝑚3

Das frühe Universum

Ein kurzer Überblick des Ablaufs ergibt sich wie folgt:

1) < 10−30𝑠: Temperatur sinkt unter 1025𝐾, es bilden sich Quarks und Anti-Quarks.

2) > 10−6𝑠: Temperatur sinkt unter 1012𝐾, es bilden sich Hadronen (beachte Symetriebruch

Teilchen-Antiteilchen).

Erklärungsversuche: Als inflationäre Phase beschreibt man den Phasenübergang, der

aufgrund der Trennung der starken von der schwachen und elektromagnetischen Wech-

selwirkung (Symmetriebrechung) entstand, was zu einer Anfüllung mit Energie führte.

Außerdem müsste die Gravitationskraft für eine kurze Zeit abstoßend gewirkt haben.

3) > 10𝑠: Temperatur sinkt unter 109𝐾, manche Protonen und Neutronen fusionieren zu He-

lium und Spuren anderer ähnlicher Atome (Deuterium, Lithium, Beryllium). Helium

macht 25% der Masse aus. Schwerer Elemente entstanden erst später.

Astrobiologie

Habitable Zonen

Leben zeichnet sich durch Stoffwechsel aus und benötigt Energie (Sonnenlicht, 𝐶𝑂2, 𝐻2𝑂).

Insbesondere spielen die Anomalien des Wassers eine wichtige Rolle (hohe Wärmekapazität,

Eis weniger dicht als Flüssigkeit, Lösemittel,…). Eine weitere wichtige Grundlage auf der Er-

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de ist der Kohlenstoff, der in Kombination mit Wasser (Kohlenwasserstoffe) lange komplexe

Moleküle bilden kann.

Leben auf der Erde

Die Erde entstand vor etwa 4,6 ∗ 109𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛. Aufgrund heftiger Meteoriteneinschläge während

der frühen Phase ihrer Entwicklung, war die Entstehung erst vor ca. 3,5 ∗ 106𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛 möglich.

Dafür gibt es folgende drei Theorien:

Urey-Miller-Experiment: Man mische Wasser, Ammoniak, Methan und etwas Wasser-

stoff, köchle es auf kleiner Flamme mit gelegentlichen elektrischen Entladungen. Nach

etwa einer Woche haben sie Leben erschaffen!

Panspermie-Theorie: Es muss nur einmal irgendwo irgendwann leben gegeben haben;

es breitet sich ganz von selbst.

Black Smokers: Leben kommt aus dem Ozean. Dort sind heiße Quellen und die Tiefe bie-

tet Schutz vor UV-Strahlung der frühen Erde.

Cyanobakterien reicherten die Atmosphäre vor 3,5 ∗ 106𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛 mit 𝑂2 an und filtern 𝐶𝑂2 her-

aus:

6𝐶𝑂2 + 6𝐻2𝑂 → 𝐶6𝐻12𝑂6 + 6𝑂2

Vor 600 ∗ 106𝐽𝑎ℎ𝑟𝑒𝑛 gab es die Kambrische Explosion, während der sich das Leben extrem

rasch diversifizierte.

Schutzschirme für Leben auf der Erde

Erdatmosphäre: Sauerstoff absorbiert kurzwellige Strahlung, dabei entsteht Ozon.

Magnetosphäre: Siehe Magnetfeld und Magnetosphaere, Seite 139.

Extrasolare Planetensysteme

Hier sind die Sterne ist zu hell, um Planeten zu sehen.

Astrometrie: Man beobachtet einen Stern, der sich um gemeinsamen Schwerpunkt mit seinem Planeten bewegt. Es wir Genauigkeit von 𝜇𝑎𝑠 (Mikrobogensekunde). Mit dieser

Methode kann die Masse bestimmt werden.

Transitbeobachtung: Bewegt sich ein Planet an einem Stern vorbei, kann die Variation

der Helligkeit gemessen werden. So kann man auf die Atmosphäre des Planeten schlie-

ßen.

Host Stars

Das HRD unterscheidet drei Gruppen von Sternen:

Hauptreihensterne

Riesen und Überriesen

Weiße Zwerge

Die Lebensdauer eines Sterns kann an seiner Verweildauer 𝜏𝑀𝑆 in der Hauptreihe definiert

werden. 𝜏𝑀𝑆 = (1,0 ∗ 1010) ∙

𝑀

𝑀𝑆∙𝐿

𝐿𝑆 𝑎.

Habitable Zone

Ausgehend von den Bedingungen auf der Erde, ist die habitable Zone der Abstand vom

Stern, in dem Wasser in flüssiger Form vorkommt.

Die zirkumstellare habitable Zone hängt ab von:

Temperatur des Sterns

Größe des Planeten

Atmosphäre des Planeten

Auch Monde können habitabel sein, wenn sie sich in einer zirkumplanetaren habitablen Zone

befinden. Es gibt auch eine galaktische habitable Zone. Zu nahe am galaktischen Zentrum

ist die Sterndichte zu hoch und es treten häufiger Supernovae auf. Zu weit entfernt gibt es

zu wenig schwere Elemente, um Planeten zu bilden.

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Metereologie Einführung in die Meteorologie und Klimaphysik

Aufbau und Zusammensetzung der Atmosphäre

Kryosphäre: Gesamtheit des festen Wassers (Eis) auf einem Himmelskörper

Hydrosphäre: Gesamtes Wasser

Atmosphäre: Gashülle um einen Himmelskörper

Lithosphäre: Oberen Gesteinsschichten

Biosphäre: Gesamtheit des Raumes mit Leben eines Himmelskörpers

Aufbau

Das Wettergeschehen spielt sich hauptsächlich in der Troposphäre ab, in der die Temperatur

(außer bei Inversionswetter) sinkt und die Hauptströmungen aufgrund der geringen „Dicke“

Kryosphäre

Hydrosphäre

Atmosphäre

Lithosphäre Biosphäre

Klima (mittlerer Zustand des Systems)

Höhe / 𝑘𝑚

Temperatur / °𝐶

140

0

100

120

80

60

40

20

−80 −40 0 40 80

Tropopause (13𝑘𝑚)

Stratopause (50𝑘𝑚)

Mesopause (85𝑘𝑚) Thermosphäre

Stratosphäre

Mesosphäre

Troposphäre

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horizontal sind. Die Atmosphäre ist für den sichtbaren Teil der Strahlung weitgehend durch-

sichtig, nicht aber für Infrarot, was die Erde selbst abstrahlt; die Troposphäre wird haupt-

sächlich durch die Wärmestrahlung aus dem Boden mittels Konvektion (Wärmemitführung)

aufgeheizt, so dass sich im Mittel der feuchtadiabatische Temperaturgradient (siehe

Feuchtadiabatischer Temperaturgradient, Seite 186) die Temperaturabnahme mit zuneh-

mender Höhe einstellt. In der Stratosphäre nimmt die Temperatur zu, da hier UV-Strahlung

durch Ozon absorbiert wird. Sie existiert nur, weil es Leben (Sauerstoff) auf der Erde gibt.

In der Mesosphäre nimmt die Temperatur stark ab.

Starke UV- und Röntgenstrahlung wird in der Thermosphäre vollständig absorbiert. Bis zu 400 𝑘𝑚 nimmt die Temperatur zu, um dann konstant zu bleiben (Exosphärentemperatur).

Sie schwankt zwischen Tag und Nacht und ist abhängig von der Sonnenaktivität.

Einteilung nach Zusammensetzung

Alternativ kann die Atmosphäre nach Zusammensetzung eingeteilt werden.

Homosphäre: Gut durchmischt durch Konvektion (Molekulargewicht 28,965 𝑔/𝑚𝑜𝑙).

Homopause / Turbopause (100 𝑘𝑚): Hier beginnt nach mancher Definition der Weltraum.

Heterosphäre (> 100𝑘𝑚): Entmischung der Gase (Diffusion) und Dissoziation (z.B. ato-

marer Sauerstoff).

Exobase (700 𝑘𝑚): Höhe stark abhängig von der Sonnenaktivität

Exosphäre: Die Luftdichte ist so gering, dass Teilchen mit Fluchtgeschwindigkeit entflie-

hen (Maxwell-Boltzmann-Verteilung ungültig). Merkur oder der Erdmond besitzen nur

eine Exosphäre.

Einteilung nach der elektrischen Eigenschaften

Ionosphäre: Große Zahl ionisierter Teilchen und freie Elektronen durch Sonnenstrahlung.

Plasmasphäre (1000 𝑘𝑚): Beinahe alle Teilchen sind ionisiert.

Magnetosphäre: Bewegung geladener Teilchen wird durch das Erdmagnetfeld bestimmt

(Siehe Magnetosphäre, Seite 140).

Zusammensetzung

In der Homosphäre nimmt man die Zusammensetzung als konstant an:

Gas 𝑔 / 𝑚𝑜𝑙 Vol.-Anteil

Sticktoff 𝑁2 28.013 78,08 %

Sauerstoff 𝑂2 31.999 20,95 %

Argon 𝐴𝑟 39,948 0,93 %

Kohlendioxid 𝐶𝑂2 44,010 0,04 %

Mit der Zunahme von 𝐶𝑂2 ist eine (doppelt so große) Abnahme des 𝑂2-Gehalts verbunden

(44% des 𝐶𝑂2 werden in den Ozeanen gebunden).

Allgemeine Gasgleichung

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇, 𝑅 = 8,3145𝐽

𝑚𝑜𝑙 𝐾 (allgem. Gaskonstante)

Mit Molmasse 𝑀, 𝑛 =𝑚

𝑀 und 𝜌 =

𝑚

𝑉 ergibt sich 𝑝 = 𝜌

𝑅

𝑀𝑇. Mit dem mittleren Molekulargewicht

für trockene Luft und der spezifischen Gaskonstante 𝑅𝐿 =𝑅

��= 287,03

𝐽

𝑘𝑔 𝐾 folgt nun 𝑝 = 𝜌

𝑅

��𝑇 ⟺

𝑝 = 𝜌𝑅𝐿𝑇. Es gilt grundsätzlich 𝑝 = 𝜌𝑔ℎ.

Alternativ kann auch 𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝑇 mit der Boltzmann-Konstante verwendet werden und es gilt

𝑅 = 𝑁𝐴𝑘 (siehe auch Zustandsgleichung des idealen Gases, Seite 201).

Molmasse und Dichte

Benutzt man die Gasgleichung für 1 𝑚𝑜𝑙 bei Normalbedingungen, so ergeben sich:

𝑉𝑚 =𝑅𝑇0𝑝0= 22,414

𝑙

𝑚𝑜𝑙, 𝜌 =

𝑀

𝑅

𝑝0𝑇0= 1,292

𝑘𝑔

𝑚3

Normalbedingungen: 𝑇0 = 0 °𝐶 = 273,15 𝐾, 𝑝0 = 1013,25 ℎ𝑃𝑎

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Druck und Temperatur der Atmosphäre

Luftdruck

Die Atmosphäre befindet sich fast immer im hydrostatischen Gleichgewicht (Luftdruck ent-

spricht dem Gewicht der darüber liegenden Luft). Am Boden entspricht der Normaldruck 1013,25 ℎ𝑃𝑎 etwa einer 10𝑚-Wassersäule (fast 1 𝑏𝑎𝑟). Alte Messungen in der Einheit 𝑇𝑜𝑟𝑟, die

einer Quecksilbersäule in Millimetern entspricht, kann man mit 1ℎ𝑃𝑎 ≈3

4𝑇𝑜𝑟𝑟 umrechnen.

Der tiefste Druck auf Meereshöhe war mit 870 ℎ𝑃𝑎 der Super-Taifun Tip im Jahr 1979.

Lineare Näherung der Lufdruckabnahme

−100ℎ𝑃𝑎

𝑘𝑚

Die Masse der Atmosphäre kann mit 𝑝 = 𝑀𝑔 𝐴⁄ ⇔ 𝑀 = 𝑝𝐴 𝑔⁄ berechnet werden.

Barometrische Höhenformel

In etwa 5500𝑚 ist der Lufdruck auf die Hälfte gesunken. Genau betrachtet ist die Druckän-

derung bis zur Stratopause annähernd exponentiell. Grund ist die Kompressibilität der Luft.

Es gilt für die Masse der Luft Δ𝑚 = 𝜌Δ𝑉 = 𝜌𝐴Δ𝑧 und die Gewichtskraft Δ𝐹𝑔 = 𝑔Δ𝑚 = 𝑔𝜌𝐴Δ𝑧. Mit

dem hydrostatischen Gleichgewicht ist der Druck entgegengesetzt der Gewichtskraft und im Betrag gleich; es gilt 𝐹𝑔/𝐴 = 𝑝. Folglich ist Δ𝑝 = Δ𝐹𝑔/𝐴 = −𝜌𝑔Δ𝑧 bzw. 𝑑𝑝/𝑑𝑧 = −𝜌𝑔.

Es folgt mit der Skalenhöhe 𝐻 =𝑅𝑇

��𝑔 nun ∫

𝑑𝑝

𝑝

𝑝

𝑝0= −∫

𝑀𝑔

𝑅𝑇𝑑ℎ

ℎ0=0= −∫

𝑑𝑧

𝐻(𝑧)

0. Nimmt man nun eine

isotherme Atmosphäre, also 𝐻(𝑧) ≠ 𝐻, an, so folgt die Barometrische Höhenformel (𝑧 = ℎ):

𝑝 = 𝑝0𝑒−ℎ𝐻

Berücksichtigt man die Temperaturabnahme mit der Höhe, so ist der Druckabfall stärker.

Die Skalenhöhe kann man mit einem linearen Temperaturverlauf genauer bestimmen, an-

sonsten bleibt nur die Schwerebeschleunigung als Variable zurück, die breitenabhängig und

mit 𝑔(ℎ) ≅ 𝑔0 (1 − 2ℎ

𝑅𝐸) höhenabhängig ist. Nimmt man einen zur Höhe linearen Temperatur-

koeffizienten an, so kann man die Höhenformel ebenso herleiten, muss aber 𝑇 mit 𝑇0 + 𝜆ℎ ersetzen.

Höhenmesser nutzen die Luftdruckänderung und errechnen dadurch die Höhe (Barometer).

Siehe Internationale Schwereformel, Seite 131 und Internationale Höhenformel, Seite 131.

Temperatur

Die Wärmelehre basiert auf folgende Grundlagen:

Wärme ist ungeordnete Molekülbewegung. Wärmeenergie ist die kinetische Energie

dieser Bewegung. Temperatur ist ein lineares Maß für den Mittelwert dieser Energie.

Temperaturskalen Celsius: Gefrierpunkt von Wasser bei 0°, Siedepunkt bei 100° (ursprünglich umgekehrt).

Kelvin: 0° beim absoluten Temperaturnullpunkt, Celsius-Schrittweite.

Fahrenheit: Gefrierpunkt von Wasser bei 32° , Körpertemperatur bei 96° (mittlerweile

Siedepunkt bei 212°), °𝐹 = 1,8 ∙ °𝐶 + 32.

Lufttemperaturmessung

In der Meteorologie meist die „bodennahe Lufttemperatur“ und in einer „Englischen Hütte“

in 2𝑚 über Grund gemessen. Im Bereich der Ozeane ist das Pendant die „Sea Surface Tem-

perature“ (SST).

Klassische Stationsthermometer sind Quecksilberthermometer. Maximums-Thermometer lassen den 𝐻𝑔-Faden bei sinkender Temperatur abreißen. Minimums-Thermometer sind mit

Alkohol gefüllt (𝐻𝑔 gefriert bei −38,8 °𝐶), welcher durch die Oberflächenspannung ein Glas-

stäbchen mitnimmt; bei Anstieg kann der Alkohol um das Stäbchen herumströmen.

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Bei Thermographen verwendet man Bimetallthermometer verwendet. Außerdem gibt es Wi-

derstandsthermometer, die meist die annähernd lineare Temperaturabhängigkeit des

elektrischen Widerstands von Platin nutzen.

Temperaturextrema

Tiefste Temperatur: −89,2 °𝐶 (Vostok, Antarktis 1983), −37,2 °𝐶 (Österreich 1905)

Höchste Temperatur: +56,7 °𝐶 (Death Valley, California 1913), 40,5 °𝐶 (Österreich 2013)

Globaler Temperaturanstieg

Seit Ende des 19. Jhd. ist die globale Mitteltemperatur um 0.8 °𝐶 gestiegen. Der Anstieg der

letzten ~40 Jahre von ca. 0.6 °𝐶 ist ohne menschlichen Einfluss nicht erklärbar.

Insbesondere explosive Vulkanausbrüche und El Niño bzw. La Niña sind mit den Tempera-

turschwankungen gekoppelt.

El Niño und La Niña

El Niño ist eine Klimaanomalie (annähernd alle sieben Jahre) zur Weihnachtszeit. Die nor-male Wassertemperatur beträgt im Pazifik vor Indonesien 28 °𝐶, die vor der Küste Perus da-

gegen nur 24 °𝐶 (durch Passatwinde kommt es zum Auftrieb von kühlem Wasser; Teil des

Humboldtstroms). Bei El Niño kommt es zu einem geringeren Auftrieb durch die schwäche-

ren Passatwinde und somit kommt der Humboldtstrom zum Erliegen. Das Oberflächenwas-

ser vor der Küste Perus erwärmt sich, sodass die obere Wasserschicht nicht mehr mit dem

kühlen und nährstoffreichen Tiefenwasser durchmischt wird. Deshalb kommt es zum Ab-

sterben des Planktons, das zum Zusammenbruch ganzer Nahrungsketten führt.

Im Normalfall kommt es, wegen erhöhter Temperatur im Westpazifik, zu einer Luftdruckab-

nahme und im kälteren Ostpazifik zur Bildung eines Hochdruckgebiets. Die folgenden Ost-

winde schieben warmes Oberflächenwasser in Richtung Westen. Während eines El Niños

wird diese Luftzirkulation umgekehrt. Der Wasserstand im Osten wird um ca. 30 cm erhöht.

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La Niña ist eine Art Anti-El-Niño. Hier entsteht durch kalte Strömung ein starkes Tiefdruck-

gebiet über Indonesien, die Passatwinde wehen stark und lang anhaltend. Dadurch kühlt

sich der östliche Pazifik weiter ab und es gibt in Indonesien Regen, in Peru ist es trocken.

Ereignistage

Eistage: 𝑇𝑚𝑎𝑥 < 0°𝐶

Frosttage: 𝑇𝑚𝑖𝑛 < 0°𝐶

Sommertage: 𝑇𝑚𝑎𝑥 ≥ 25°𝐶

Tropentage: 𝑇𝑚𝑎𝑥 ≥ 30°𝐶

In der Normalperiode 1961-1990 gab es in Graz im Mittel knapp 4 Tropentage, in den letz-

ten 10 Jahren (2006-2015) waren es im Mittel 19.

Strahlung in der Atmosphäre

Der Steradiant ist das SI-Maß eines Raumwinkels. Auf einer Kugel mit Radius 𝑅 ist 1 𝑠𝑟 die

Fläche von 𝑟2. Die Kugeloberfläche ist somit 4𝜋 𝑠𝑟 = 12,57 𝑠𝑟. Es gibt folgende Größen:

Strahlungsenergie

Strahlungsfluss (Energie pro Zeit, Leistung)

Strahlungsflussdichte (Fluss pro Fläche)

Strahldichte / Radianz (Fluss pro Fläche pro Raumwinkel)

Spektrale Dichte

Plancksches Strahlungsgesetz

Beschreibt die Emission eines schwarzen Körpers:

𝐵𝜆(𝜆, 𝑇) =2ℎ𝑐2

𝜆51

𝑒(ℎ𝑐𝑘𝑇𝜆

) − 1

Siehe hierzu auch Thermische Strahlung, Seite 156.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Die zweimalige Integration des Planck-Gesetzes liefert die Energie, die pro Zeit und Fläche

ausgestrahlt wird.

𝐵 = 𝜎𝑇4, 𝜎 =2𝜋5

15

𝑘4

ℎ3𝑐2

Solarkonstante

Die Strahlungsflussdichte in einer Astronomischen Einheit senkrecht auf den Quadratmeter trifft, wird als Solarkonstante 𝑆0 = 1366 𝑊𝑚

−2 bezeichnet.

𝑆0 =4𝜋𝑅𝑆

2

4𝜋𝑟2𝜎𝑇𝑆

4

𝑟: Abstand, 𝑅𝑆 = 695990 𝑘𝑚, 𝑇𝑆 = 5776 𝐾

Albedo

Außerhalb der Atmosphäre entspricht die Irradianz der Sonne der eines schwarzen Körpers.

Ein Teil der Strahlung wird aber in der Atmosphäre gestreut und absorbiert (letzteres – ca.

20 % vor allem durch Ozon und Wasserdampf).

Die Albedo (Abbildung: Rechts) bezeichnet den Anteil der reflektierten Strahlung und hängt

von den Oberflächeneigenschaften eines Materials ab. Die gesamte Erde reflektiert etwa 31 % der Sonnenstrahlung, also 𝐴 = 0.31. Die Oberfläche absorbiert also nur ca. 50 % der

Strahlung (Albedo und Absorption).

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Oberfläche Albedo / %

Wolken 45-90

Neuschnee 75-95

Gletscher 20-45

Meereis 30-40

Gestein 10-40

Wälder 5-20

Wasser 5-10

Strahlungsmessung

Direkte Sonnenstrahlung mit einem Pyrheliometer

Globalstrahlung aus dem Halbraum mittels Pyranometer

Himmelsstrahlung mittels beschattetem Pyranometer

Wiensches Verschiebungsgesetz

Das Maximum der spektralen Verteilung verschiebt sich bei niedrigeren Temperaturen hin zu größeren Wellenlängen, was bereits Wilhelm Wien formulierte: 𝜆𝑚𝑎𝑥 = 2898 𝜇𝑚𝐾/𝑇. Für die

Sonne ergibt sich 𝜆𝑚𝑎𝑥,𝑆 = 0,5𝜇𝑚, für die Erde 𝜆𝑚𝑎𝑥,𝐸 = 10𝜇𝑚 (Infrarot).

Kirchhoffsches Gesetz

Reale Körper sind nicht vollständig „schwarz“, sie können nicht alle Wellenlängen vollständig absorbieren, sondern weisen ein wellenlängenabhängiges Absorptionsvermögen 휀(𝜆)

(=Emissionsvermögen) auf. Nach dem Kirchhoffschen Gesetz gilt für die Emission:

𝐵𝜆(𝜆, 𝑇) =𝐸𝜆(𝜆, 𝑇)

𝜖(𝜆)

Im Infraroten sind natürliche Oberflächen in guter Näherung schwarz, sogar Schnee. Für die gesamte Erde gilt 𝜖 = 0,95.

Strahlungsbilanz

Als erste Abschätzung kann man die Einstrahlung gleich der Ausstrahlung eines Planeten

setzen. Die Erde nimmt die Sonnenstrahlung (mit angenäherter Kreisfläche) auf, aber

strahlt terrestrische Strahlung von ihrer Oberfläche ab: 𝑆0(1 − 𝐴)𝜋𝑅𝐸2 = 𝜖𝜎𝑇𝐸𝑓𝑓

4 4𝜋𝑅𝐸2.

𝑆04(1 − 𝐴) = 𝜖𝜎𝑇𝐸𝑓𝑓

4

Für die Erde berechnet man hier eine Oberflächentemperatur von −16°𝐶.

Treibhauseffekt

Infrarotaktiv sind Gase, die Rotations-Schwingungsbanden im Infrarot aufweisen: 𝐻2𝑂, 𝐶𝑂2, 𝑂3, 𝑁2𝑂, 𝐶𝐻4,…. Diese sogenannten Treibhausgase geben auch wieder Infrarotstrahlung ab.

Der nach unten gerichtete Teil heizt die Erde zusätzlich auf. Folglich wird die Transmissivität

in der Berechnung berücksichtigt:

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S04(1 − 𝐴) = 𝜏𝐼𝑅𝜖𝜎𝑇𝐸𝑓𝑓

4 , 𝜏𝐼𝑅 = 0,643

Durch anthropogene 𝐶𝑂2-Emissionen wird der natürliche Treibhauseffekt, bei dem Wasser-

dampf dominiert, verstärkt.

Jahresgang

Die Nettostrahlung ist mit 𝐾𝑊 als Kurzwellenintensität und 𝐿𝑊 als Langwellenintensität die

Differenz 𝐾𝑊𝑁𝑒𝑡𝑡𝑜 − 𝐿𝑊𝑁𝑒𝑡𝑡𝑜 = (𝐾𝑊𝑎𝑏𝑤ä𝑟𝑡𝑠 − 𝐾𝑊𝑎𝑢𝑓𝑤ä𝑟𝑡𝑠) − (𝐿𝑊𝑎𝑏𝑤ä𝑟𝑡𝑠 − 𝐿𝑊𝑎𝑢𝑓𝑤ä𝑟𝑡𝑠).

Die Oberflächentemperatur folgt grob der Netto-Strahlung (Grafik: links). Die thermische

Trägheit der Ozeane bewirkt aber eine geringere meridionale Wanderung. Meeresströme

sind bei Untersuchung der Oberflächentemperatur (Grafik: rechts) deutlich sichtbar.

Atmosphärenoptik

Wenn Sonnenlicht auf die Atmosphäre trifft, wird ein Teil des Lichtes gestreut. Die Streuung

ist umso stärker, je kleiner die Wellenlänge des Lichtes ist (proportional 𝜆–4, blaues Licht

ungefähr fünfmal stärker als rotes). Wegen dieser Rayleigh-Streuung ist der Himmel blau.

Wenn wir zum Himmel blicken, sehen wir hauptsächlich blaues Licht, das zufällig in unsere

Richtung gestreut wird. Bei größeren Partikeln, wie Dunst oder Wolkentröpfchen, kommt es

zur Mie-Streuung, hier wird das blaue Licht wenig bis gar nicht bevorzugt – die Farbe ändert

sich also nicht, aber in Laufrichtung des Lichts wird mehr gestreut, als zurück.

Da ein Teil des blauen Lichtes durch Streuung fehlt, wirkt die Sonne gelb. Bei Sonnenauf-

gang und –untergang müssen die Strahlen einen langen Weg durch die Atmosphäre neh-

men, und so wird ein noch größerer Teil des blauen Lichtes „weggestreut“. Durch Mie-

Streuung am Dunst der Atmosphäre ist auch die Umgebung der Sonne rot oder orange

(Vulkanausbrüche, Waldbrände usw. verstärken den Effekt). Wolken können bei tiefstehen-

der Sonne das warme Licht reflektieren.

Verformte Himmelskörper

Je näher die Sonne am Horizont steht, desto wichtiger wird auch die Lichtbrechung. Für den

unteren Rand ist sie deutlich größer als für den oberen. Luftschichten mit unterschiedlicher

Dichte können zu bizarrer Verformung führen.

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Doppelsonne

Befindet sich eine warme Luftschicht über dem Meer, so kommt es zu einer „Luftspiege-

lung“. In so einem Fall kann man gleichzeitig zwei Bilder der Sonne sehen – auch bekannt

als „Ω-Sonnenuntergang“ bzw. (nach Jules Verne) als „Etruskische Vase“.

Farbleuchten

Da die Lichtbrechung für grünes Licht stärker ist als für rotes und gelbes, sieht man nach

dem Verschwinden der Sonne manchmal für einen Augenblick das „grüne Leuchten“.

Noch seltener als das „Grüne Leuchten“ sieht man seine blauen und violetten Varianten.

Blaues und violettes Licht wird zwar stärker gebrochen, aber auch viel stärker gestreut.

Lichtbrechung

Ist die unterste Luftschicht im Winter kalt, kann man Objekte aus weiter Entfernung sehen.

Gegendämmerung

Wenn man sich nach einem Sonnenuntergang umdreht, sieht man oft den Schatten der Er-

de aufsteigen. Für das charakteristische Blau ist die Ozonschicht verantwortlich. Darüber

findet man das rosa oder purpure Licht der Gegendämmerung, auch als „Gürtel der Venus“

bezeichnet. Hier mischt sich rück-gestreutes rotes Sonnenlicht mit dem Blau des Himmels.

Sonnenstrahlen“ bzw. Krepuskularstrahlen sieht man besonders deutlich, wenn die Sonne

durch (aufgelockerte) Bewölkung scheint. Die Strahlen sind parallel, scheinen aber aufgrund

der Perspektive von einem Punkt auszugehen.

Regenbogen

Beim klassischen Regenbogen wird Licht am Rand von Regentropfen zweimal gebrochen und an der Rückseite reflektiert. Dabei beträgt der maximale Winkel 42°, in dem man auch den

Bogen sieht. Ein zweiter Regenbogen entsteht (Winkel von 51°), wenn das Licht im Regen-

tropfen ein zweites Mal reflektiert wird. Dabei ist die Reihenfolge der Farben umgekehrt.

Bei passendem Standpunkt kann man auch komplette Regenbögen sehen. Nebelbogen ent-

stehen ähnlich an (viel kleineren) Nebeltröpfchen, sind aber ohne Farben. Im Zentrum er-

scheint eine Glorie. Meist erkennt man hier seinen eigenen Schatten („Brockengespenst“).

0. Ordnung 4. Ordnung 45° 3. Ordnung 40° 2. Ordnung 51° 1. Ordnung 42°

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Halos

Halos (hier mit der Sonne fast genau im Zenit) entstehen durch Brechung in hexagonalen Eiskristallen, die wie Prismen wirken. Das 22°-Halo kann oft (meist mit Cirrostratus-Wolken)

beobachtet werden. Die Brechung an (sechseckigen) Eiskristallen kann auch Nebensonnen

hervorrufen.

Temperaturgradienten

Notwendige Grundlagen

Zur Grundlage der Thermodynamik (Systeme, Zustandsgrößen, 0. Hauptsatz) siehe Grund-

begriffe, Seite 200.

Isobar: 𝑉

𝑇= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (Gay-Lussac-Gesetz)

Isotherm: 𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (Boyle-Mariotte-Gesetz)

Isochor:𝑝

𝑇= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (Gesetz von Amontons)

Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet:

𝑑𝑈 = 𝛿𝑄 + 𝛿𝑊

Siehe auch Erster Hauptsatz, Seite 202. Außerdem gilt 𝛿𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 und die Wärmekapazitä-

ten sind definiert über 𝛿𝑄 = 𝐶𝑑𝑇, 𝛿𝑄 = 𝐶𝑉𝑑𝑇 (𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ) und 𝛿𝑄 = 𝐶𝑝𝑑𝑇 (𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ), 𝐶𝑝 > 𝐶𝑉.

Die spezifische Wärmemenge bzw. spezifische innere Energie sind 𝑞 =𝑄

𝑚 [𝐽

𝑘𝑔] und 𝑢 =

𝑈

𝑚 [𝐽

𝑘𝑔].

Außerdem gilt 𝑣 =𝑉

𝑚 [𝑚3

𝑘𝑔] und 𝑐 =

𝐶

𝑚 [

𝐽

𝑘𝑔 𝐾] als spezifisches Volumen respektive Wärmekapazi-

tät. Es gilt folglich 𝑑𝑢 = 𝛿𝑞 − 𝑝𝑑𝑣 und nach Division mit 𝑑𝑇:

𝑐 =𝑑𝑢

𝑑𝑇+ 𝑝

𝑑𝑣

𝑑𝑇

Nun setzen wir hier 𝑑

𝑑𝑇(𝑛𝑅𝑇 = 𝑝𝑣) ⇔

𝑑(𝑝𝑣)

𝑑𝑇= 𝑛⏟=1

𝑅 ⇔ 𝑣𝑑𝑝

𝑑𝑇+ 𝑝

𝑑𝑣

𝑑𝑇= 𝑅 ein und erhalten 𝑐 = 𝑐𝑉 + 𝑅 −

𝑣𝑑𝑝

𝑑𝑇. Mit 𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.⇒ 𝑑𝑝 = 0 ist 𝑐𝑝 − 𝑐𝑉 = 𝑅.

Für Luft gilt 𝑐𝑝 = 1004𝐽

𝑘𝑔 𝐾, 𝑐𝑉 = 717

𝐽

𝑘𝑔 𝐾 und 𝑅𝐿 = 287

𝐽

𝑘𝑔 𝐾.

Trockenadiabatischer Temperaturgradient

Da die meisten Prozesse in der Atmosphäre so schnell verlaufen, dass kaum Wärme ausge-

tauscht wird, kann man isentrop (adiabatisch) rechnen.

Ausgehend von 𝑐 = 𝑐𝑉 + 𝑝𝑑𝑣

𝑑𝑇 bzw.

𝑑𝑞

𝑑𝑇= 0 = 𝑐 und 𝑝

𝑑𝑣

𝑑𝑇= 𝑅 − 𝑣

𝑑𝑝

𝑑𝑇 ist 0 = 𝑐𝑉 + 𝑅 − 𝑣

𝑑𝑝

𝑑𝑇= 𝑐𝑉 + 𝑐𝑝 −

𝑐𝑉 − 𝑣𝑑𝑝

𝑑𝑇= 𝑐𝑝 − 𝑣

𝑑𝑝

𝑑𝑇. Es folgt 𝑐𝑝 = 𝑣

𝑑𝑝

𝑑𝑇.

Mit der allgemeinen Gasgleichung für 𝑣 ist 𝑑𝑝

𝑑𝑇=𝑐𝑝

𝑅

𝑝

𝑇⇔

𝑑𝑇

𝑇=𝑐𝑝−𝑐𝑉

𝑐𝑝⏟𝑘

𝑑𝑝

𝑝 und es gilt (𝜅 =

𝑐𝑝

𝑐𝑉):

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𝑘 =𝑐𝑝 − 𝑐𝑉

𝑐𝑝, ln (

𝑇

𝑇0) = ln (

𝑝

𝑝0)𝑘

𝑇

𝑝𝑘= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝑝𝑣𝜅 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡., 𝑇𝑣𝜅−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝜅 =𝑐𝑝

𝑐𝑉=𝑓 + 2

𝑓, 𝑓: Freiheitsgrade

Siehe auch Adiabatische und polytrope Prozesse, Seite 202.

Für 𝑓 sind bei moderaten Temperaturen die Rotationsfreiheitsgrade eingefroren.

Adiabatischer Aufstieg

Beginnend bei 𝑑𝑝

𝑑𝑇=𝑐𝑝

𝑅

𝑝

𝑇 von oben, umgestellt

𝑑𝑇

𝑑𝑝=

𝑅𝑇

𝑐𝑝𝑝, kann man das hydrostatische Gesetz

für 𝑑𝑝 einsetzen und erhält bei 𝑑𝑇

𝑑ℎ= −

𝑔

𝑐𝑝

𝜌𝑅𝑇

𝑝 (Gasgesetz) den gesuchten Gradienten:

Γ𝑎 = −𝑑𝑇

𝑑ℎ|𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏.

=𝑔

𝑐𝑝 ≈ −10

𝐾

𝑘𝑚 (mittlere Troposphäre)

Schichtung 1) Γ < Γ𝑎 (trockenstabil): Wird ein Luftpaket angehoben, so ist es kälter als die Umgebung,

hat deshalb eine höhere Dichte, und sinkt wieder ab.

2) Γ = Γ𝑎 (trockenindifferent)

3) Γ > Γ𝑎 (trockenlabil): Aufsteigende Luft ist damit (obwohl abgekühlt) immer wärmer als

die Umgebung und hat geringere Dichte. Sie erfährt Auftrieb und steigt von selbst weiter

auf (Die Tropopause ist meist ein wirkungsvoller Deckel).

Sperrschicht

Gewitterwolken erreichen die typische Amboss-Form, wenn die aufsteigende Luft die Tropo-

pause erreicht, und „nicht mehr weiter kann“. Für manche Wolken (Vulkan, Atombombe,…)

ist die Tropopause kein Hindernis.

Feuchtadiabatischer Temperaturgradient

Nach trockenadiabatischer Abkühlung kommt es schließlich oft zu Kondensation, wobei la-

tente Wärme freigesetzt und die Abkühlung verlangsamt.

Die Enthalpie ist durch 𝐻 = 𝑈 + 𝑝𝑉 bestimmt. Die Verdampfungsenthalpie ist die Energie, die

benötigt wird, um 1𝑘𝑔 eines Stoffes zu verdampfen (volumens- und druckabhängig). Bei

Normaldruck ist 𝑙𝑊,100°𝐶 = 2255𝑘𝐽

𝑘𝑔∧ 𝑙𝑊,0°𝐶 = 2500

𝑘𝐽

𝑘𝑔.

Spezifische Feuchte

Die Menge Wasserdampf in der Luft (auch häufig 𝑞, siehe Spezifische Feuchte, Seite 188):

𝑠 =𝑚𝑊

𝑚. Es folgt nach der trockenen Rechnung

𝑑𝑇

𝑑ℎ= −

𝑔

𝑐𝑝⇔ 𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑔𝑑ℎ = 0 nun im feuchten Fall

𝑐𝑝𝑑𝑇 + 𝑔𝑑ℎ + 𝑙𝑊𝑑𝑠 = 0. Einen Unterschied gibt es also nur, wenn sich die Masse des Wasser-

dampfes ändert (Kondensation). Wieviel kondensiert ist temperaturabhängig: 𝑑𝑠 = 𝑑𝑠(𝑇).

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Also ist 𝑑𝑇

𝑑ℎ= −

𝑔

𝑐𝑝−𝑙𝑊

𝑐𝑝

𝑑𝑠

𝑑𝑇

𝑑𝑇

𝑑ℎ⇔

𝑑𝑇

𝑑ℎ(1 +

𝑙𝑊

𝑐𝑝

𝑑𝑠

𝑑𝑇) = −

𝑔

𝑐𝑝 und somit:

Γ𝑓 = −𝑑𝑇

𝑑ℎ=

Γ𝑎

1 +𝑙𝑊𝑐𝑝

𝑑𝑠𝑑𝑇

≈ −6,5𝐾

𝑘𝑚 (mittlere Troposphäre)

Sobald Wolkenbildung aufkommt, sind die Verhältnisse feuchtadiabatisch. Die Temperatur-

abnahme ist in warmer Luft geringer, bei sehr niederen Temperaturen nähert sie sie sich

dem trockenadiabatischen an. Trockenlabil ist Luft meist nur an Sommernachmittagen in

Bodennähe, häufig aber feuchtlabil – sobald Kondensation einsetzt können sich Gewitter-

wolken bilden.

Föhn

Wenn feuchte Luft über ein hohes Gebirge strömt, kann auf der Luvseite Luftfeuchtigkeit

verloren gehen. Auf der Leeseite erwärmt sich die Luft trockenadiabatisch deutlich stärker,

als sie sich auf der Luvseite abgekühlt hat. Dazwischen befindet sich die Föhnmauer (Cumu-

lus fractus). In den Alpen ist dieser „Lehrbuchfall“ der Südföhn.

Der Föhn kann auf der Leeseite nur bis zur Ebene vorherrschen, da im Zuge der Südströ-

mung Luft von der Leeseite abgesaugt wird – andernfalls käme es zu Absinkinversion. Au-

ßerdem ist die Topografie ausschlaggebend (Kanalisierung).

Südföhn

Südlich des Alpenhauptkamms gibt es Staubewölkung mit Niederschlägen. An der Nordseite

wird die bereits warme Südluft weiter erwärmt und ist weitgehend trocken.

Nordföhn

Ebenfalls sehr trockene Luft, diesmal auf der Südseite. In Relation aber ist die Luft nicht be-

sonders warm.

Mistral

Ein Fallwind, der adiabatisch erwärmt wird. Die Luftmassen sind aber so kalt, dass der Mist-

ral im Mittelmeerraum ein kalter Wind ist.

Antizyklonaler Föhn

Bei hochdruckbestimmten antizyklonalem Föhn existiert auf der Südseite ein stabil ge-

schichteter Kaltluftsee durch Inversion. Die Ausgangsluft stammt somit bereits aus größer

Höhe und ist relativ warm.

ℎ / 𝑚

3000

2000

1000

0

Abregnen

Antizyklonale Situation

Altocumulus lenticularis

Inversion

Luv Lee

Kaltluft- see

Nord ⟶ Nord ⟶

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Potentielle Temperatur

Als potentielle Temperatur bezeichnet man die Temperatur, die ein Luftpaket hätte, würde

man es trockenadiabatisch auf Normaldruck bringen.

Θ(ℎ) = 𝑇(ℎ) (𝑝0𝑝(ℎ)

)𝑘

Ein absinkendes Luftpaket (trocken) hat somit immer die gleiche potentielle Temperatur und

so ist 𝑑Θ/𝑑ℎ = 0. Sie kann außerdem direkt mit der Entropie verknüpft werden und Linien

gleicher potentieller Temperatur nennt man folglich Isentropen.

Fallwind

Der Nordföhn genügt der Definition eines warmen, trockenen Windes bereits häufig nicht.

Der Begriff Fallwind ist noch komplexer und sollte für katabatische Winde reserviert belie-

ben. Dabei handelt es sich um Luft, die sich durch Schwerkraft hangabwärts bewegt, weil

sie lokal abgekühlt wurde (z.B. nächtliche Ausstrahlung).

Ein typisches Beispiel ist der Gletscherwind; der Grund der Abkühlung sollte hier klar sein.

In der Antarktis erreichen diese Winde teils Orkanstärke.

Santa Ana Wind

In Kalifornien treten diese Fallwinde auf. Sie sind so extrem feuergefährlich, weil sie heiß

und extrem trocken sind. Die kalte, aber bereits trockene Ausgangsluft stammt aus dem

Great Basin.

Luftfeuchtigkeit / Wolken

Der Sättigungsdampf (siehe Sättigungsdampfdruck, Seite 189) steigt mit zunehmender Temperatur exponentiell. Bei 20°𝐶 kann ein Kubikmeter Luft 18𝑔 Wasserdampf halten, bei

0°𝐶 sind es 5𝑔.

Luftfeuchtigkeit

Der Wasserdampf-Partialdruck (Dampfdruck) 𝑒 ist gegeben durch 𝑝 = 𝑝𝑑 + 𝑒. Der Gesamt-

druck ist die Summe aus dem Teildruck der trockenen Luft 𝑝𝑑 sowie dem des Dampfes. Die

absolute Feuchte (Dichte des Dampfes) ist wie folgt gegeben:

𝜌𝑊 =𝑚𝑊𝑉

Die Zustandsgleichung des Wasserdampfes ist 𝑒 = 𝜌𝑊𝑅𝑊𝑇 mit 𝑀𝑊 = 18,015 𝑔/𝑚𝑜𝑙 < 𝑀𝐿,𝑡𝑟𝑜𝑐𝑘𝑒𝑛.

Massenmischungsverhältnis

𝑤 =𝑚𝑊𝑚𝑑

=𝜌𝑤𝜌𝑑=𝑀𝑊𝑀𝑑

𝑒

𝑝 − 𝑒,

𝑀𝑊𝑀𝑑

= 0,622

Spezifische Feuchte

𝑠 =𝜌𝑊𝜌=𝑀𝑊𝑀𝑑

𝑒

𝑝 − (1 −𝑀𝑊𝑀𝑑) 𝑒

Näherung

Da die Luftfeuchte meist klein ist, gilt in guter Näherung:

𝑤 ≅ 𝑠 ≅ 0,622𝑒

𝑝

Virtuelle Temperatur

Die virtuelle Temperatur beschreibt die Temperatur, die trockene Luft haben müsste, um die

gleiche Dichte wie feuchte Luft zu haben: 𝑇𝑣 =𝑇

1−(1−𝑀𝑊𝑀𝑑

)𝑒

𝑝

und 𝑇𝑣 ≅ 𝑇 (1 + 0,378𝑒

𝑝).

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Metereologie

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Der virtuelle Temperaturzuschlag ist die Differenz zur aktuellen Temperatur.

Der integrierte Wasserdampf gibt den gesamten Gehalt in der Atmosphäre an. Der Gehalt

ist an den Polen deutlich geringer als am Äquator.

Sättigungsdampfdruck

Der Sättigungsdampfdruck 𝑒𝑆 steigt mit der Temperatur exponentiell und wird durch die

Clausius-Clapeyron-Gleichung beschrieben:

𝑑𝑒𝑆𝑑𝑇

=𝑙𝑊𝑇Δ𝑣

𝑙𝑤: spez. Verdampfungsenthalpie, Δ𝑣: Differenz d. spez. Volumina (gasf., fl.)

Das Volumen im flüssigen Zustand ist sehr klein, also ist 𝑣𝑊 = 1/𝜌𝑊 und mit der Zustands-

gleichung erhält man 𝑑𝑒𝑆

𝑑𝑇=

𝑒𝑆𝑙𝑊

𝑅𝑊𝑇2. Es folgt 𝑒𝑆 = 𝑒𝑆0 exp (

𝑙𝑊

𝑅𝑊 (1

𝑇0−1

𝑇)) mit 𝑒𝑆0 = 6,11ℎ𝑃𝑎.

Unterkühlung

Reines Eis kann bei Abkühlung unter 0°𝐶 nur gefrieren, wenn es Kristallisationskeime gibt.

Das können Eiskristalle, Verunreinigungen oder Oberflächenunregelmäßigkeiten sein. Unter-

kühltes Wasser ist metastabil und gefriert „schlagartig“, wenn man Keine einfügt. In der

Atmosphäre kommen oft unterkühlte Wassertropfen vor, die bis zum Schäfer-Punkt bei et-wa −42°𝐶 abkühlen.

Der Sättigungsdampfdruck über Eis ist geringer als der über Wasser, da es mehr Energie

braucht, um Wassermoleküle aus Eis zu lösen. Statt der Verdampfungsenthalpie gilt nun die

Sublimationsenthalpie. Hier gilt 𝑒𝑆𝑖 = 𝑒𝑆𝑖0 exp (𝑙𝑆𝑊

𝑅𝑊(1

𝑇0−1

𝑇)). Luft kann gleichzeitig bezüglich Eis

übersättigt, bezüglich Wasser aber ungesättigt sein. In einer Mischwolke wachsen häufig

Eiskristalle auf Kosten von Wassertropfen.

Für das Gleichgewicht zwischen Wasserdampf und Wolkentröpfchen ist die Annahme einer

gekrümmten Oberfläche sinnvoll. Ein Wassermolekül wird hier von etwas weniger Nachbarn

zurückgehalten, als bei einer ebenen Oberfläche. Über einer gekrümmten Oberfläche ist da-

her der Sättigungsdampfdruck höher als der über einer Ebene. Je kleiner der Wasserdampf

ist, desto stärker ist dieser Effekt und wird über die Kelvinsche Formel 𝑒𝑆𝑟 = 𝑒𝑆 (1 +𝐾(𝑇)

𝑟) deut-

lich. Deshalb wachsen große Tropfen durch kleine.

Relative Feuchte

Dies ist das Verhältnis zwischen Sättigungsdampfdruck und aktuellem Dampfdruck:

𝑟𝐹 =𝑒

𝑒𝑆

Sehr reine Luft ohne Kondensationskeime kann extrem übersättigt sein (bis 800%).

Feuchtemessung

Menschliche Haare werden auf Grund der Ausdehnung nach Feuchtigkeit verwendet (meist

blondes Frauenhaar). Der Hygrograph nutzt diese Eigenschaften. Bei Taupunkthygrometern

wird ein Spiegel bis zum Niederschlag abgekühlt.

Kondensation und Wolkenbildung

Wenn 1 𝑚3 Luft mit 20 °𝐶 genau 18 𝑔 Wasserdampf enthält, dann ist die Luft gesättigt, die re-

lative Feuchte beträgt 100 %. Wenn diese Luft nun bei Aufsteigen (Druckabnahme) abkühlt,

dann wird sie übersättigt, es bilden sich flüssige Wassertröpfchen. Solange diese Tröpfchen

klein sind, können sie in der aufsteigenden Luft schweben (Wolken). Wenn die sie größer

werden, fallen sie als Regen hinab.

Von Nebel spricht man meteorologisch bei Sichtweiten kleiner als 1 𝑘𝑚, darüber ist es Dunst.

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Mischungsnebel

Kondensstreifen, Mischungsnebel, und „dampfender Atem“ verdanken ihre Existenz der

Form der exponentiellen Dampfdruck-Kurve. Mischt man kalte ungesättigte Luft mit warmer

ungesättigter Luft, so kann es passieren, dass die Mischung übersättigt ist.

Taupunkt

Der Taupunkt ist die Temperatur, zu der man Luft isobar abkühlen muss, damit sie gesättigt

ist.

Nebelbildung

Hier gibt es zwei Voraussetzungen. Erstens die Abkühlung der Luft unter den Taupunkt.

Strahlungsnebel: Abkühlung des Bodens durch Abstrahlung

Advektionsnebel: Überströmen einer kalten Fläche

Orographischer Nebel / Hangnebel: Adiabatische Abkühlung bei Aufstieg

Zweitens die Zufuhr von Wasserdampf.

Dampfnebel / Seerauch: Verdunstung von wärmerem Meer-, See- oder Flusswasser

Frontnebel: Verdunstung von wärmeren Regentropfen

Bodennebel, Inversionswetter

Nach Abkühlung durch kalten Boden, der durch Abstrahlung auskühlt, nimmt die Tempera-

tur mit der Höhe zu. Es bildet sich ein Kaltluftsee (meist in Tälern und Becken). Zusätzlich

blockiert der entstehende Boden- / Talnebel die Sonne.

Hochnebel

Wolkenschichten an der Obergrenze des Kaltluftsees oft bei Absinkinversion.

Wolkenbildung

Je nach Lufttemperatur gibt es Wasserwolken, Mischwolken oder Eiswolken. Die Bildungsar-

ten sind:

Thermische Konvektion: Aufsteigen warmer Luft

Orographische Wolkenbildung: Erzwungenes Aufsteigen an Bergen

Warmfront: Aufgleiten warmer Luft auf kalte

Kaltfront: Anheben warmer Luft durch kalte

Wolkengattungen

Die Nomenklatur kann folgendermaßen zusammengefasst werden:

Hohe Wolken (Cirro-), 7 𝑘𝑚 bis 13 𝑘𝑚

Mittelhohe Wolken (Alto-), 2 𝑘𝑚 bis 7 𝑘𝑚

Tiefe Wolken, bis 2 𝑘𝑚

Wolken, die mehrere Stockwerke einschließen

Außerdem unterscheidet man:

Haufenwolken (Cumulus)

Schichtwolken (Stratus)

Kurzer Überblick (Ausschnitt)

Cirrus: Eiskristallen, kein Niederschlag

Cirrostratus: Dünne Schichtwolke, Sonne ist sichtbar, Eis

Altocumulus (Schäfchenwolke): Unterkühltes Wasser

Stratocumulus: Haufenschichtwolke, kein Niederschlag, sehr häufig

Nimbostratus: Klassische Regenwolke

Cumulus: Haufenwolke, durch Konvektion, Schönwetterwolken

Cumulonimbus: Gewitterwolke, entsteht aus Cumulus, Amboss (Tropopause)

Besondere Wolken

Pyrocumulus: Starker Aufwind über Waldfeuer

Pyroklastische Wolke: Vulkanausbruch

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Metereologie

Nawi Graz Seite 191

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Staubwolken

Smog

Stratosphärenwolke: Bei besonders niederen Temperaturen

Mesosphärenwolke: Große Höhe, reflektiert die Sonne lange nach Sonnenuntergang

Wolkendynamik

Wolken können Indikatoren für Leewellen sein (Schwerewellen, Schwerkraft als rückstellen-

de Kraft). Oft sind Bugwellen auf Satellitenbildern erkennbar.

Die Kelvin-Helmholtz-Instabilität (Abbildung: Mitte) entsteht an der horizontalen Grenze

zweier Luftschichten, wenn sich diese mit unterschiedlicher Geschwindigkeit, respektive

Richtung, bewegen (Scherwellen). Meist an der Obergrenze von Inversionslagen, da diese

atmosphärische Turbulenzen hervorrufen. Wirbelstraßen (Abbildung: Rechts) beschreiben

Wellenmuster auf der Leeseite von Erhebungen.

Niederschlag

Es wird zwischen fallender (Schwerkraft) und abgesetzter (Kondensation, Sublimation) Nie-

derschlag unterschieden.

Schnee

Die Struktur der Schneekristalle hängt von Temperatur und Luftfeuchtigkeit ab. Es gibt min-

destens 18 verschiedene Eiskristallphasen. Durch die Wirkung von Wasserstoffbrücken ord-

nen sich die 𝐻2𝑂-Moleküle in sechseckiger Grundform an. Die sechszählige Symmetrie er-

kennt man auch bei der Anzahl von Armen oder anderen Gebilden.

Positive Rückkoppelung bei diffusionsbegrenztem Wachstum: Spitzen ragen hinaus und

sammeln mehr Moleküle an.

Schneemaxima

Graz: 32 𝑐𝑚 (1986)

Sillian (Osttirol): 170 𝑐𝑚 (1986)

Silverlake (Colorado): 193 𝑐𝑚 (1921)

Wird Schnee durch den Wind aufgewirbelt (Verwehung), spricht man von Schneefegen (un-

ter Kopfhöhe) oder Schneetreiben.

Regen

Wolkentropfen mit 5-10 𝜇𝑚 Durchmesser werden zu größeren Regentropfen (Nieselregen be-

reits 50 -250 𝜇𝑚 Durchmesser). Die Sinkgeschwindigkeit nimmt schnell einen konstanten

Wert an (Schwerkraft und Auftrieb).

Tropfen bis ~1 𝑚𝑚 Durchmesser streben nach Kugelform, größere beginnen sich fallschirm-

ähnlich zu verformen, wodurch der Luftwiderstand zunimmt.

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Metereologie

Nawi Graz Seite 192

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Niederschlagsmessung

Für automatisierte Messungen werden Niederschlagswippen oder –waagen verwendet.

Globaler Niederschlag

Rekorde:

1 Stunde: 401 𝑚𝑚, Shangdi, China (1947)

1 Tag: 1825 𝑚𝑚, Foc-Foc, La Réunion (1966)

1 Monat: 9300 𝑚𝑚, Cherrapunji, Indien (7/1861)

12 Monate: 26461 𝑚𝑚, Cherrapunji, Indien (8/1860-7/1861)

173 Monate: 0 𝑚𝑚, Arica, Chile (10/1903-1/1918)

Regen und Eis

Eisregen

Verantwortlich für diesen sind unterkühlte Regentropfen, die beim Auftreffen schlagartig ge-

frieren. Der Effekt ist deutlich stärker, als bei nicht-unterkühlten Tropfen, die auf dem Bo-

den gefrieren (ersten zwei Bilder von links).

Eiskörner entstehen, wenn Regentropfen eine bodennahe Kaltluftschicht durchqueren (und

nicht unterkühlen!).

Graupel

Reifgraupel hat etwa 2-5 𝑚𝑚 Durchmesser und ist leicht zu zerdrücken (drittes Bild). Er ent-

steht, wenn Schneeflocken und unterkühlte Wolkentröpfchen koagulieren und ist deshalb bei etwa 0 °𝐶 zu beobachten. Unter Frostgraupel versteht man Hagelkörner, die kleiner als

5 𝑚𝑚 sind.

Hagel

Hagel entsteht in Gewitterwolken durch Zusammenfrieren von Regentröpfchen und Schnee-

kristallen. Bei starken Aufwinden in Cumulonimbi (Cb) können auch große Hagelkörner lan-

ge gehalten werden (erstes Bild von rechts).

Hagelkörner bis zu einem halben Meter Durchmesser und einem Kilo Gewicht sind bestätigt.

Tau und Reif

Tau entsteht bei direkter Kondensation von Wasserdampf an kalten Gegenständen (unter-

halb des Taupunkts, siehe Taupunkt, Seite 190). Bei Abkühlung unter den Reifpunkt und unter 0 °𝐶 bildet sich Reif (Eiskristalle) durch Sublimation (Eisblumen).

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Metereologie

Nawi Graz Seite 193

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Reif auf Schnee bildet eine Art Gleitschicht, die für Schneebrett-Lawinen verantwortlich sein

kann.

Raureif

Bildet sich bei Nebel durch Gefrieren unterkühlter Nebeltröpfchen und Sublimation an festen

Gegenständen. Am Boden findet sich dabei häufig kein Reif.

Raueis

Sieht aus wie kompakter Schnee und entsteht durch Anfrieren unterkühlter Nebeltröpfchen.

Raueis wächst damit gegen den Wind.

Winde

Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung eines Fluidvolumens nach Träg-

heits-, Schwer-, Druckgradient-, Coriolis- und Reibungskraft. Meist sind die Vertikalkompo-

nenten von Druckgradient- und Schwerkraft ausgeglichen (hydrostatisches Gleichgewicht).

Geostrophisches Gleichgewicht

In Höhen, in denen die interne Reibung zwischen Luftschichten gering ist, können Druck-gradientkraft 𝐹𝐺𝑟 und Corioliskraft 𝐹𝐶 = −2𝑚(�� × ��𝑟𝑒𝑙) ausgeglichen sein, was geostrophisches

Gleichgewicht genannt wird. Die Bewegung ist dann parallel zu den Isobaren.

Bei gekrümmten Isobaren muss die Trägheit (Zentrifugalkraft 𝐹𝑍) berücksichtigt werden. Es

folgt der Gradientwind.

Auf Jupiter kann man dieses Phänomen am „großen roten Fleck“ gut beobachten: Die Rei-

bung verringert die Geschwindigkeit, die Coriolos-Kraft nimmt ab und die Druckgradienten-

kraft wird zum wichtigsten Beitrag.

Gradientwind

Er ist die Strömung um ein Tiefdruckgebiet bei Gleichgewicht von Druckgradientkraft und

der Summe aus Coriolis- und Zentrifugalkraft, also 𝐹𝐺𝑟 = 𝐹𝐶 + 𝐹𝑍 . Die Geschwindigkeit ist

kleiner als die des geostrophischen Falls (bei einem Hochdruckgebiet ist sie größer, hier gilt 𝐹𝐶 = 𝐹𝐺𝑟 + 𝐹𝑍). Die Strömung um ein Tief, allgemein als zyklonal definiert, ist auf der Nord-

halbkugel gegen den Uhrzeigersinn. Die Strömung um ein Hoch wird als antizyklonal be-

zeichnet.

Bodennahme Winde

Die Luftströmung wird durch die raue Erdoberfläche gebremst, Hochdruckgebiete sind des-

halb an Land nicht allzu langlebig.

Zyklostrophisches Gleichgewicht

Bei kleinräumigen Wirbeln, wie Tornados, kann die Corioliskraft vernachlässigt werden und

es herrscht zyklostrophisches Gleichgewicht. Die Zirkulationsrichtung ist hier zufällig (eben-

so wie beim Abfluss in der Badewanne).

Windmessung

Häufig verwendet man Schalenkreuz- oder Ultraschallanemometer. Gemessen wird in 10 𝑚

Höhe. Bei Tornados hilft dagegen nur noch ein Doppler-Radar.

Wind

𝐻

𝑇

𝐹𝐺𝑟

𝐹𝐶

𝐻

𝑇

𝐹𝐺𝑟

𝐹𝐶 𝐹𝑍

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Metereologie

Nawi Graz Seite 194

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Die Stärke wird mit der Beaufort-Skala angegeben. Bei 7 𝐵𝑓𝑡. („steifer Wind“) prägen sich

auf See erste Schaumstreifen in Windrichtung aus. Einen Sturm gibt es ab 9 𝐵𝑓𝑡., 12 𝐵𝑓𝑡. ist

ein Orkan. Dabei ist 𝑥 𝐵𝑓𝑡. das Intervall von 𝑥 −1

2 bis 𝑥 +

1

2, es wird also gerundet.

𝑣𝑊𝑖𝑛𝑑 = 𝐵32 ∙ 3,01

𝑘𝑚

Tropische Wirbelstürme

Entstehung ist hier immer über dem Meer bei warmen Wasser über 27 °𝐶, instabile Schich-

tung und eine Horizontalkomponente der Corioliskraft (am Äquator unmöglich). An Land

wirkt die Reibung und die latente Wärmezufuhr ist nicht mehr gegeben und sie verlieren an Kraft. Ab 241 𝑘𝑚/ℎ nennt man sie „Super-(taifun)“.

Bei der Entstehung von Wirbelstürmen kondensiert über dem Meer aufsteigender Wasser-

dampf und setzt durch die Verflüssigung latente Wärme frei, die die Umgebung erhitzt.

Starke Aufwinde lassen Gewitterwolken entstehen. Eine vorbeiziehende atmosphärische

Störung bildet eine Tiefdruckzone an der Meeresoberfläche, die zusätzlich feuchtwarme Luft

ansaugt und das System beginnt zu rotieren (Corioliskraft). Die im Zentrum aufsteigenden

Winde erzeugen einen Bereich sehr geringen Drucks: Das Auge. Das Meerwasser kann dabei

um einige Grad abgekühlt werden.

Als Hurrikan bezeichnet man einen tropischen Wirbelsturm im nördlichen atlantischen Ozeo-

an, im Nordpazifik östlich von 180° Länge und im Südpazifik östlich von 160° Ost. Im indi-

schen Ozean und im südlichen pazifischen Ozean werden diese Stürme als Zyklon bezeich-

net, im nordwestlichen Teil des Pazifiks, in Ost- und Südostasien und westlich der Datums-

grenze heißen sie Taifun.

Bisher gibt es keine erkennbare Zunahme von Wirbelstürmen, aber eine weltweiter

Schäden.

Tornados

Starke Windscherung ist für tropische Stürme schlecht, für Tornados aber Voraussetzung.

Sie werden nach der Fujita-Skala klassifiziert, in Europa aber auch in der TORRO-Skala (T-Skala). Windgeschwindigkeiten bis (486 ± 30)𝑘𝑚/ℎ wurden gemessen.

𝑣𝑊𝑖𝑛𝑑 = (𝐹 + 2)32 ∙ 22.68

𝑘𝑚

ℎ, 𝐵 = (𝐹 + 2) ∙ 3,845

Tornados bilden sich in rotierenden Superzellen, die im gleichen Sinn rotieren, wie ein Tief-

druckgebiet. Sie entstehen über dem Festland und sind kleiner und kurzlebiger als tropische

Wirbelstürme. Hier treffen zwei Luftschichten unterschiedlicher Temperatur und Feuchtigkeit

aufeinander, die zu rotieren beginnen.

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Quantenmechanik

Nawi Graz Seite 195

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Quantenmechanik Beschreibungen der Quantenwelt

Mathematische Basis

Bra-Ket Schreibweise

Projektionen

Aus �� = 𝑣𝑥𝑒𝑥 + 𝑣𝑦𝑒𝑦 folgt �� = 𝑣𝑥 + 𝑣𝑦 = 𝑒𝑥 (𝑒𝑥 ∙ ��) + 𝑒𝑦(𝑒𝑦 ∙ ��) , wobei stets 𝑒𝑖 (𝑒𝑖 ∙ ��) die Projektion

des Vektors �� auf die Richtung von 𝑒𝑖 ist.

Nun sei �� ∙ �� = 𝑐, so kann das geschrieben werden als:

⟨𝑣|𝑤⟩ = 𝑐, ⟨𝑣| ist ein Bra-Vektor, |𝑤⟩ ist ein Ket-Vektor

Folglich wäre 𝑣𝑥 = ⟨𝑒𝑥|𝑣⟩ und |𝑣𝑥⟩ = |𝑒𝑥⟩⟨𝑒𝑥|𝑣⟩ mit |𝑣𝑥⟩ = 𝑃��|𝑣⟩ , wobei 𝑃�� = |𝑒𝑥⟩⟨𝑒𝑥| ein Projekti-

onsoperator ist.

1) |𝑣⟩ entspricht dem Vektor �� und wird als solcher behandelt

2) ⟨𝑣| ist eine Anwendung und wird bei Ausformulierung komplex konjugiert

Triviale Eins

Oft ist es nötig, eine Eins als Erweiterung in eine Rechnung einzuschieben. Eine besondere

Eins, die oft verwendet wird, ist die sogenannte „Triviale Eins“.

�� = ∑|𝑒𝐼⟩⟨𝑒𝐼|

𝑁

𝐼

Als Anwendungsbeispiel: ⟨𝑣|𝑤⟩ = ⟨𝑢|1𝑡|𝑤⟩ = ⟨𝑣| ∑(|𝑒𝐼⟩⟨𝑒𝐼|) |𝑤⟩ = ∑⟨𝑣|𝑒𝐼⟩⟨𝑒𝐼|𝑤⟩ = ∑𝑣𝐼𝑤𝐼

Vektorraum mit Bra-Ket

Addition und skalare Multiplikation:

|𝑢⟩ + |𝑤⟩ = |𝑘⟩

𝑎 ∙ |𝑤⟩ = |𝑠⟩

Diverse Operatoren

Allgemein: 𝑇 =∑𝑥𝑖|𝑒𝑖⟩⟨𝑒𝑗|

𝑖,𝑗

Projektion: 𝑃𝑥 = |𝑒𝑥⟩⟨𝑒𝑥|

Basistransformation: 𝑈 =∑|𝑒𝑖′⟩⟨𝑒𝑖|

𝑖

, 𝑈𝑖𝑗 = ⟨𝑒𝑖|𝑈|𝑒𝑗⟩ = ⟨𝑒𝑖|𝑒𝑗′⟩, 𝑈† ∙ �� = ��′ ∧ 𝑈†𝑇𝑈 = 𝑇′

Erg?

Spektraldarstellung

𝐴 =∑𝑎𝑖|𝑎𝑖⟩⟨𝑎𝑖|

𝑖

𝑓(𝐴) =∑𝑓(𝑎𝑖) |𝑎𝑖⟩⟨𝑎𝑖|

𝑖

⟨𝜓|𝑓(𝐴)|𝜓⟩ = ∑𝑓(𝑎𝑖) ⟨|𝑎𝑖|𝜓⟩2

𝑖

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Quantenmechanik

Nawi Graz Seite 196

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Matrizendarstellung von Operatoren

Matrixelemente in der Basis {𝑏𝑖} vom Operator 𝐴 sind stets:

𝐴𝑖𝑗(𝑏) = ⟨𝑏𝑖|𝐴|𝑏𝑗⟩

Pauli-Matritzen

Dies sind vier hermitesche Matritzen 𝜎, für die außerdem 𝜎𝑖2 = 𝐸 gilt.

𝜎0 = 𝐸, 𝜎1 = (0 11 0

) , 𝜎2 = (0 −𝑖𝑖 0

) , 𝜎3 = (1 00 −1

)

Eigenschaften 1) 𝜎𝑖𝜎𝑗 = 𝛿𝑖𝑗𝐸 + 𝑖 ∑ 𝜖𝑖𝑗𝑘𝜎𝑘𝑘 mit 𝑖, 𝑗 = 1,2,3 ∧ 𝜖123 = 1 ∧ 𝜖𝑖𝑗𝑘 = −𝜖𝑗𝑖𝑘 = −𝜖𝑖𝑘𝑗

2) 𝜎𝛼2 = 𝐸

3) {𝜎𝑖 , 𝜎𝑗} = 2 𝛿𝑖𝑗

4) [𝜎𝑖, 𝜎𝑗] = 2𝑖 ∑ 𝜖𝑖𝑗𝑘𝜎𝑘𝑘

5) 𝜎𝑖 = 𝜎𝑖†

6) det(𝜎𝑖) = −1

7) Sp(𝜎𝑖) = 0

Levi-Civita-Tensor

𝜖123 = 𝜖231 = 𝜖312 = +1

𝜖321 = 𝜖213 = 𝜖132 = −1

𝜖𝑖𝑗𝑘 = 0, wenn zwei oder mehrere Indices gleich sind

Baker-Hausdorff-Formeln

Für Exponentialfunktionen von Operatoren, die nicht miteinander kommutieren:

1) 𝑒𝐴𝑒𝐵 = 𝑒𝐴+𝐵+1

2[𝐴,𝐵]+𝑂(𝐾)

2) 𝑒𝐴𝑒𝐵 = 𝑒𝐴+𝐵𝑒1

2[𝐴,𝐵]+𝑂(𝐾)

3) 𝑒𝐴𝐶𝑒−𝐴 = 𝐶 + [𝐴, 𝐶] +1

2![𝐴, [𝐴, 𝐶]] +

1

3![𝐴, [𝐴, [𝐴, 𝐶]]] + ⋯

Hier ist 𝐾 abkürzend für Terme mit Vielfach-Kommutatoren. Nachrechnen kann man die

Formeln darüber, dass Funktionen von Operatoren über eine Potenzreihenentwicklung defi-

niert sind.

Delta-Distribution

LALA

Welle und Teilchen

Lala

Zustände und Messungen

Zustände

Ein Zustand ist ein Ensemble von Teilchen, die gleichartig präpariert sind.

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Quantenmechanik

Nawi Graz Seite 197

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Durch die gleichartige Präparation sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen aller Observab-

len bestimmt. Es gibt unterschiedliche Zugänge zur Betrachtung einzelner Teilchen.

Kopenhagener Interpretation

Zustand/Wellenfunktion eines einzelnen Teilchens. Ein solcher Zustand muss mehrere Mess-

ergebnisse (z.B. Auftrefforte) erlauben. Wenn ein Ergebnis eingetreten ist, spricht man von

Kollaps der Wellenfunktion. Hier ändert sich der Wellenzustand blitzartig – dies führt zu In-

terpretationsschwierigkeiten.

Ballentine

Hier wird darauf verzichtet, von dem Zustand eines einzelnen Teilchens zu sprechen, viel-

mehr spricht man vom Zustand eines unendlichen großen Ensembles. Das einzelne Messer-

gebnis ändert nichts an der Verteilung.

Bei der Terminologie „ein Teilchen im Zustand“ ist hier im Folgenden immer das Ensemble

gemeint. Das Ensemble aber ist soweit verdünnt, dass die Teilchen nichts voneinander mer-

ken – diese Vielteilchen-Quantenmechanik wird erst in anderen Vorlesungen gelehrt.

Polarisationsexperimente

Bei der klassischen Polarisationsfiltermethode bei Licht ist die Intensität, wenn das Licht zwei Filter passiert, mit 𝐼2 = 𝐼1 cos

2 𝜃 gegeben, wobei der Winkel angibt, um wie viel die Filter

zueinander verdreht sind. In der klassischen Elektrodynamik wird das mit der Richtung des

elektrischen Feldes erklärt, so dass die parallelen Schwingungsebenen durchgelassen wer-

den, die senkrechten Anteile aber absorbiert werden. Nun könnte man meinen, die Photo-

nen würden gespalten und nur ein Teil käme durch die Filteraufbauten. Dem ist aber nicht

so, da das Licht dahinter auch die gleiche Frequenz hat. Die Photonen passieren mit der Wahrscheinlichkeit cos2 𝜃 den zweiten Polarisator.

Eigenschaften von Analysatoren (z.B. Kalkspat)

1) Jedes einlaufende Photon verlässt den Analysator entweder durch den einen, oder durch

den anderen Ausgang. Nie durch beide und nie durch keinen.

2) Der Mittelwert der Messungen enthält Informationen über den untersuchten Zustand.

3) Die Messung ändert den Zustand der Photonen. Die Messung ist selber eine neue Präpa-

ration.

Photonen können also in zwei Strahlen mit senkrechten Polarisationsrichtungen geteilt wer-den, denn obwohl die Photonen Spin 1 besitzen, gibt es wegen der Masselosigkeit nur zwei

Zustände. Die Richtungen stellen eine Art Basis dar.

Bei einem Analysatorkreis, also einem Analysator und einem umgedrehten Analysator, ver-

gisst der Strahl am Ausgang, dass er einmal polarisiert wurde und nimmt die Anfangsaus-

richtung an.

Algebraische Beschreibung

Die Basisvektoren stehen für orthonormierte Polarisationsrichtungen |𝑥⟩ und |𝑦⟩ mit ⟨𝑥|𝑦⟩ = 0 ∧ ⟨𝑥|𝑥⟩ = ⟨𝑦|𝑦⟩ = 1. Ein allgemeiner Vektor ist dann |𝜓⟩ = 𝑐𝑥|𝑥⟩ + 𝑐𝑦|𝑦⟩.

Polarisator

Der Polarisator ist mit einem Projektionsoperator ��𝑥 = |𝑥⟩⟨𝑥| beschreibbar. Wenn 𝑊 die

Wahrscheinlichkeit ist, 𝑥 zu erhalten, wenn 𝑥′ gegeben ist (im Zustand 𝑥′), so gilt:

��𝑥|𝑥′⟩ = |𝑥⟩ ⟨𝑥|𝑥′⟩⏟

𝑍𝑎ℎ𝑙

𝑊(𝑥, 𝑥′) = |⟨𝑥|𝑥′⟩|2, 𝑊(𝐴, 𝐵) = 𝑊(𝐵, 𝐴)

Der Erwartungswert ist gegeben durch:

𝐸𝑟𝑤𝑎𝑟𝑡𝑢𝑛𝑔𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡 = ∑ 𝑀𝑒𝑠𝑠𝑤𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡

Messwerte

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Quantenmechanik

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⇒∑𝑎𝑗|⟨𝑒𝑗|𝜓⟩|2

𝑗

= ⟨𝜓|∑ 𝑎𝑗|𝑒𝑗⟩⟨𝑒𝑗|𝑗⏟

𝐴

|𝜓⟩ = ⟨𝜓|��|𝜓⟩ = ⟨��⟩

Analysator

An jedem Ausgang befindet sich hier ein Polarisator, also gilt:

�� = |𝑥,1. Kanal⟩⟨𝑥| + |𝑦,2. Kanal⟩⟨𝑦|

Ein umgekehrter Analysator entspricht ��𝑢 = |𝑥′⟩⟨𝑥′,1. Kanal| + |𝑦′⟩⟨𝑦′,2. Kanal|. Ein Analysator-

kreis ist beschrieben mit ��𝑢�� = |𝑥′⟩⟨𝑥′| + |𝑦′⟩⟨𝑦′| = ��.

Bei Hintereinanderschalten mehrerer Analysatoren gilt ��𝑥′��𝑥 ≠ ��𝑥��𝑥′. Die beiden unterschied-

lichen Projektionsoperatoren kommutieren nicht.

Verallgemeinerungen

Der Hilbertraum zu einem Zustand ist 𝑁-dimensional, mit Basisvektoren |𝑒𝑖⟩, 𝑖 = 1,… , 𝑁, die

zu den Zuständen des Analysators korrespondieren. Also ist ein Vektor:

|𝜓⟩ = ∑𝑐𝑖|𝑒𝑖⟩

𝑖

Jede physikalische Observable korrespondiert zu einem hermiteschen Operator mit darstel-

lung ∑ 𝑎𝑗|𝑒𝑗⟩⟨𝑒𝑗|𝑗 . Jede Messung der Observablen ergibt 𝑎𝑗, einen Eigenwert. Die Gesamtheit

aller 𝑎𝑗 nennt sich Spektrum.

Teilchen mit Spin 1 2⁄

Bosonen, insbesondere das Photon, haben einen Spin, der ein ganzzahliges Vielfaches von ℏ ist. Sie vermitteln Wechselwirkungen im Sinne der Quantenfeldtheorie.

Fermionen, insbesondere das Elektron, haben einen Spin 𝑆 = ℏ/2 . Sie sind Bausteine der

Materie. Für diese Teilchen gilt das Pauli-Prinzip.

Alle anderen Teilchen sind zusammengesetzt und können auch höhere Spins haben. Wenn

dieser Spin halbzahlig ist, so sind sie Fermionen, für die ebenfalls das Pauli-Prinzip gilt. Bei

ganzzahligem Spin werden auch sie Bosonen genannt.

Stern-Gerlach-Experiment

In allen Experimenten wurde ein Faktor eingebracht, das gyromagnetische Verhältnis. So ist

für ein Teilchen mit Spin 𝑆 und ohne Bahndrehimpuls das magnetische Moment 𝜇 = 𝑔 ∙𝑞

2𝑚∙ 𝑆.

Für die Kraft gilt �� = −∇𝐸 ⇔ 𝐹𝛼 =𝜕

𝜕𝑥𝛼(∑ 𝜇𝛽𝐵𝛽

3𝛽=1 ) = ∑ 𝜇𝛽 ∙

𝜕

𝜕𝑥𝛼𝐵𝛽

3𝛽=1 . Daher tritt nur im inhomoge-

nen Magnetfeld mit 𝜕/𝜕𝑥𝛼 ≠ 0 eine Kraft auf.

Man beobachtet keine Häufigkeitsverteilung, sondern zwei Häufungspunkte. Das magneti-

sche Moment kommt nur in zwei Zuständen vor: 𝑆𝑧 = ±1

2ℏ, auch Spin up und Spin down ge-

nannt.

Basisvektoren für Spin 1/2-Teilchen

Der Spin von Spin 1/2-Teilchen wird durch einen zwei-dimensionalen Vektorraum beschrie-

ben mit äquivalenten, vollständigen und orthonormalen Basissystemen {|+𝑥⟩, |−𝑥⟩} ∨{|+𝑦⟩, |−𝑦⟩} ∨ {|+𝑧⟩, |−𝑧⟩}.

Es ergeben sich die Spin-Zustände in Richtung ��:

|+��⟩ = cos (𝜃

2) |+𝑧⟩ + 𝑒𝑖𝜑 sin (

𝜃

2) |−𝑧⟩

|−��⟩ = sin (𝜃

2) |+𝑧⟩ − 𝑒𝑖𝜑 cos (

𝜃

2) |−𝑧⟩

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Richtung 𝑛 𝜃 𝜑 |+𝑛⟩ |−𝑛⟩

𝑥 𝜋

2 0 1

√2(|+𝑧⟩ + |−𝑧⟩)

1

√2(|+𝑧⟩ − |−𝑧⟩)

𝑦 𝜋

2

𝜋

2

1

√2(|+𝑧⟩ + 𝑖 |−𝑧⟩)

1

√2(|+𝑧⟩ − 𝑖 |−𝑧⟩)

𝑧 0 𝜋 |+𝑧⟩ |−𝑧⟩

Spin 1/2-Operatoren

��𝑥 =ℏ

2( |+𝑥⟩⟨+𝑥| − |−𝑥⟩⟨−𝑥| )

��𝑦 =ℏ

2( |+𝑦⟩⟨+𝑦| − |−𝑦⟩⟨−𝑦| )

��𝑧 =ℏ

2( |+𝑧⟩⟨+𝑧| − |−𝑧⟩⟨−𝑧| )

Allgemein ��𝑛 =ℏ

2( |+��⟩⟨+��| − |−��⟩⟨−��| ).

Da die Eigenwerte reell sind, sind die Spin-Operatoren hermitesch.

Für die Darstellung der Spin 1/2 –Operatoren in 𝑧-Basis gilt:

��𝑥 →ℏ

2(0 11 0

) =ℏ

2𝜎𝑥

��𝑦 →ℏ

2(0 −𝑖+𝑖 0

) =ℏ

2𝜎𝑦

��𝑧 →ℏ

2(1 00 −1

) =ℏ

2𝜎𝑧

Siehe auch Pauli-Matritzen, Seite 196.

Aus 𝜎𝑖2 = 𝐸 folgt außerdem:

��𝑖2 =

ℏ2

4𝐸

Algebra der Spin-Operatoren

Aus dem Kommutator der Pauli-Matritzen folgt:

[��𝑖 , ��𝑗] = 𝑖ℏ 𝜖𝑖𝑗𝑘��𝑘 ∀ 𝑖, 𝑗, 𝑘 = 1,2,3

Es handelt sich hierbei um die Lie-Algebra der Drehgruppe.

Erwartungswert

⟨(Δ𝑆𝑧)2⟩ ≔ (��𝑧 − ⟨��𝑧⟩)

2= ⟨��𝑧

2⟩ − 2⟨��𝑧⟩⟨��𝑧⟩ + ⟨��𝑧⟩2 ≡ ⟨��𝑧

2⟩ − ⟨��𝑧⟩2

Varianz

(Δ��𝑧)2= ⟨𝑥| (

2)2

𝐸 |𝑥⟩ = (ℏ

2)2

?

Erwartungswert eines Operators Der Erwartungswert des Operators 𝐻 im Zustand 𝜓 ist wie folgt berechenbar.

⟨𝜓|𝐻|𝜓⟩

⟨𝜓|𝜓⟩

LALA

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Thermodynamik

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Thermodynamik

Grundbegriffe

Systeme und Zustandsgrößen

Ein thermodynamisches System ist eine Menge von Materie, deren Eigenschaften durch

makroskopische Variablen eindeutig und vollständig beschrieben werden können.

Charakterisierung von Systemen

Isolierte und abgeschlossene Systeme sind gegen jede Wechselwirkung mit der Umge-

bung abgeschlossen.

Bei geschlossenen Systemen ist kein Materieaustausch, aber ein Energieaustausch mit

der Umgebung zugelassen.

In offenen Systemen kann sowohl Energie, als auch Materie ausgetauscht werden.

Homogene Systeme sind einphasig und haben folglich gleiche Eigenschaften in allen Tei-

len des Systems.

Heterogene Systeme sind mehrphasig, die Eigenschaften ändern sich sprunghaft an

Grenzflächen.

Nullter Hauptsatz – Temperatur

Für jedes thermodynamische System existiert eine Zustandsgröße, die Temperatur

genannt wird. Ihre Gleichheit ist notwendige Voraussetzung für das thermische

Gleichgewicht zweier Systeme oder zweier Teile des gleichen Systems. (Formulie-

rung nach Fowler)

Alle Systeme, die sich mit einem gegebenen System im Gleichgewicht befinden, sind also

auch untereinander im Gleichgewicht.

Thermodynamische Temperatur

1 𝐾 ≔1

273,16∙ 𝑇𝑡

𝑇𝑡: Thermodynamische Temperatur des Tripelpunktes von Wasser (𝑝𝑡 = 611,657 𝑃𝑎)

Arbeit und Wärme

Einem System kann Energie durch mechanische Arbeit 𝛿𝑊 zugeführt werden.

𝛿𝑊 = −𝑝 𝑑𝑉

Die dem System zugeführte Energie ist positiv (Konvention). 𝑝 ist hier der äußere Druck,

der am System Arbeit leistet bzw. gegen den das System arbeit leistet.

Energiezufuhr durch Einbringen einer elektrischen Ladung 𝑞 in ein elektrisches Potential res-

pektive durch Aufmagnetisieren in einem äußeren Magnetfeld werden wie folgt beschrieben:

𝛿𝑊𝑒𝑙 = ϕ dq

𝛿𝑊𝑚𝑎𝑔 = 𝐵0 𝑑𝑚

Die Wärme wird über die Temperatur definiert:

𝛿𝑄 = 𝐶 𝑑𝑇

Nur zur Erinnerung sei erwähnt, dass 1 𝑐𝑎𝑙 = 4,186 𝐽.

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Thermodynamik

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Reversible und irreversible Prozesse

Praktisch alle von selbst ablaufenden Prozesse sind irreversibel, kehren sich also nicht von

selbst um. Reversible Prozesse sind also normalerweise idealisierend. Die reversible Arbeit

ist die maximale Arbeit, die von einem System geleistet werden kann.

𝛿𝑊𝑖𝑟𝑟 > 𝛿𝑊𝑟𝑒𝑣

Zustandsfunktionen

Eine Zustandsfunktion bezeichnet eine Zustandsgröße in ihrer Abhängigkeit von bestimmten

Variablen. Die Funktion hängt nicht von der Prozessführung, also vom Weg ab.

Integrabilitätsbedingung

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥

Siehe auch Satz von Schwarz, Seite 25

Außerdem gilt damit die Bedingung 𝜕𝐴

𝜕𝑦=𝜕𝐵

𝜕𝑥 für ein exaktes Differential 𝑑𝑓 = 𝐴 𝑑𝑥 + 𝐵 𝑑𝑦.

Zustandsgleichungen

Aus den vollständigen Differentialen 𝑑𝑝(𝑉, 𝑇) und 𝑑𝑉(𝑇, 𝑝) folgen die thermischen Koeffizien-

ten.

Volumenausdehnungskoeffizient

𝛼(𝑇) =1

𝑉0(𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑝

Spannungskoeffizient

𝛽 =1

𝑝0(𝜕𝑝

𝜕𝑇)𝑉

Kompressibilität

Das Minus bewirkt hier, dass der materialspezifische Koeffizient positiv ist.

𝜅 = −1

𝑉0(𝜕𝑉

𝜕𝑝)𝑇

Reziprozitätsgleichung

(𝜕𝑝

𝜕𝑉)𝑇(𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑝(𝜕𝑇

𝜕𝑝)𝑉

= −1

⇒ 𝛼 = 𝑝 𝜅 𝛽

Zustandsgleichung des idealen Gases

Über das Boyle-Mariottesche Gesetz 𝑝𝑉 = 𝑝0𝑉0 | (𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ) und das Gay-Lussacsche Gesetz

𝑉 = 𝑉0(𝑇0)−1𝑇 | (𝑝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ) erhält man die ideale Gasgleichung:

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇

Zustandsgleichung realer Gase

Die Abweichung vom idealen Gas wird mit dem Realgasfaktor beschrieben:

𝑍 =𝑝𝑉

𝑛𝑅𝑇

Van der Waals-Zustandsgleichung Mit dem Eigenvolumen 𝑏, dem Volumen, dass den Teilchen zur Verfügung steht, und dem

Binnendruck 𝑎, der Wechselwirkung der Teilchen, da an der Oberfläche eines Ensembles in-

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Thermodynamik

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folge attraktiver Wechselwirkung eine effektive nach innen gerichtete Kraft existiert (Nähe-

rung 𝑎(𝑁/𝑉)2), kann man ein Gas über die Van der Waals-Gleichung beschreiben.

(𝑝 + (𝑛

𝑉)2

𝑎) ∙ (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇

Umgestellt nach 𝑝 lautet die Gleichung 𝑝 =𝑛𝑅𝑇

𝑉−𝑛𝑏− (

𝑛

𝑉)2

𝑎.

Erster Hauptsatz

Formulierung des ersten Hauptsatzes

Jedes thermodynamische System besitzt eine extensive Zustandsgröße 𝑈, die innere

Energie. Sie wächst an durch Zufuhr von Wärme (𝛿𝑄) und Arbeit (𝛿𝑊).

𝑑𝑈 = 𝛿𝑊 + 𝛿𝑄

Der erste Hauptsatz ist der erweiterte Energiesatz unter Einbeziehung der Wärme. 𝑈 ist da-

bei die innere Energie, 𝑊 die verrichtete Arbeit und 𝑄 die ausgetauschte Wärmemenge. Ar-

beit und Wärme sind abhängig von der Prozessführung, also ist 𝑑𝑈 = 𝛿𝑊𝑟𝑒𝑣 + 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣 = 𝛿𝑊𝑖𝑟𝑟 +𝛿𝑄𝑖𝑟𝑟, wobei 𝛿𝑊𝑖𝑟𝑟 > 𝛿𝑊𝑟𝑒𝑣 = −𝑝𝑑𝑉 und 𝛿𝑄𝑖𝑟𝑟 < 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣.

Die innere Energie erfasst die thermische und chemische Energie eines Systems.

Wärmekapazität, Enthalpie

Man definiert als Wärmekapazität 𝐶𝑋 = (𝛿𝑄

𝜕𝑇)𝑋

. Für eine reversible Zustandsänderung gilt

𝛿𝑄 = 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 und damit:

𝐶𝑉 = (𝛿𝑄

𝜕𝑇)𝑉= (𝜕𝑈

𝜕𝑇)𝑉, 𝐶𝑝 = (

𝛿𝑄

𝜕𝑇)𝑝= (𝜕(𝑈 + 𝑝𝑉)

𝜕𝑇)𝑝

= (𝜕𝐻

𝜕𝑇)𝑝

Die Enthalpiegleichung lautet:

𝐻 = 𝑈 + 𝑝𝑉

Für ein ideales Gas gilt 𝐶𝑝 − 𝐶𝑣 = 𝑛 𝑅.

Spezifische Wärmekapazität

Allgemein gilt 𝐶𝑥 =𝑐𝑥

𝑛. Über 𝑐𝑉 = 𝑓

𝑅

2 mit 𝑓 = 𝑓𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠 + 𝑓𝑅𝑜𝑡 + 2 𝑓𝑂𝑠𝑧 als Freiheitsgrade lässt sich die

spezifische Wärmekapazität berechnen. Dabei wird die Oszillation erst bei hohen Tempera-

turen (deutlich vierstellig) relevant. In kristallinen Festkörpern wird die Wärme in Form von

Gitterschwingungen gespeichert und es gilt oberhalb der Debye-Temperatur das Gesetz von

Dulong und Petit: 𝑐𝑉 = 3𝑅 = 25𝐽

𝑚𝑜𝑙 𝐾.

Für niedere Temperaturen gilt:

Einatomiges Gas: 𝑓 = 3

Zweiatomiges Gas: 𝑓 = 5

Mehratomiges Gas: 𝑓 = 6

Gay-Lussac-Versuch Ein in 𝑉1 eingeschlossenes und wärmeisoliertes Gas kann nach Entfernung einer Wand in ein

Volumen 𝑉2 strömen (𝑉3 = 𝑉1 + 𝑉2). Es gilt 𝑈(𝑉1, 𝑇1) = 𝑈(𝑉2, 𝑇2) und im idealen Fall 𝑇1 = 𝑇2. Aus

𝑑𝑈 = (𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑇𝑑𝑉 + (

𝜕𝑈

𝜕𝑇)𝑉𝑑𝑇 folgt dann (

𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑇= 0.

Adiabatische und polytrope Prozesse

Als polytrop bezeichnet man eine Zustandsänderung, bei der sich die Molwärme nicht ändert (𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.), als adiabatisch einen speziellen polytropen Prozess ohne Wärmeaustausch mit

der Umgebung (𝑐 = 0 ∧ 𝛿𝑄 = 0). 𝑛 wird als Polytropenexponent mit 𝑛 =𝐶𝑝−𝐶

𝐶𝑉−𝐶 gesetzt. Setzt

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Thermodynamik

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man 𝑛 = 𝛾 = 𝐶𝑝/𝐶𝑉 folgt die Adiabatengleichung 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. = 𝑝𝑉𝛾. Im 𝑝𝑉-Diagramm verlaufen die

Adiabaten wegen 𝛾 > 1 stets steiler, als die Isothermen.

Für die Wärmekapazität gilt:

Isochor: 𝑑𝑉 = 0 ∧ 𝑐 = 𝑐𝑉

Isobar: 𝑑𝑝 = 0 ∧ 𝑐 = 𝑐𝑝

Isotherm: 𝑑𝑇 = 0 ∧ 𝑐 → ±∞

Polytropengleichung

𝑑𝑇 +𝐶𝑝 − 𝐶𝑉

𝐶𝑉 − 𝐶(𝜕𝑇

𝜕𝑉)𝑝𝑑𝑉 = 0

Adiabatengleichung

(𝜕𝑇

𝜕𝑝)𝑉

𝑑𝑝 + 𝛾 (𝜕𝑇

𝜕𝑉)𝑝𝑑𝑉 = 0, 𝛾 =

𝐶𝑝

𝐶𝑉

Isotherm: 𝑝𝑉𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Isochor: 𝑇𝑝(1−𝛾)/𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Isobar: 𝑇𝑉𝛾−1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.

Im 𝑝𝑉-Diagramm mit 𝑝𝑉𝛾 sind die Kurven wie folgt:

Zweiter Hauptsatz

Die Aussagen des zweiten Hauptsatzes

Es gibt keine thermodynamische Zustandsänderung, deren einzige Wirkung darin

besteht, dass eine Wärmemenge einem Wärmespeicher entzogen und vollständig in

Arbeit umgesetzt wird. Dies wäre ein perpetuum mobile 2. Art. (Formulierung von

Thomson)

Es gibt keine thermodynamische Zustandsänderung, deren einzige Wirkung darin

besteht, dass eine Wärmemenge einem kälteren Wärmespeicher entzogen und an

einen wärmeren abgegeben wird. (Formulierung von Clausius)

Berechnung von Wärme 𝑄 und Arbeit 𝑊

Für adiabatische Prozesse gilt:

Isotherm: 𝑄 = −𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 =𝑛𝑅𝑇

𝑉𝑑𝑉

Isochor: 𝑄 = 𝑐𝑉 𝑑𝑇 ∧ 𝑊 = 0

Isobar: 𝑄 = 𝑐𝑝𝑑𝑇 ∧ 𝑊 = −𝑝𝑑𝑉 = −𝑛𝑅𝑇

𝑉𝑑𝑉

Adiabatisch: 𝑄 = 0 ∧𝑊 = 𝑚𝑐𝑉𝑑𝑇

Für Kreisprozesse gilt im Allgemeinen der Wirkungsgrad:

𝜂 =��

𝑄𝑧𝑢= 1 −

𝑄𝑎𝑏𝑄𝑧𝑢

𝑉

𝑝

𝑐 > 0

𝑐 > 0

𝑐 < 0

Isotherme 𝑐 = ∞

Adiabate 𝑐 = 0

Isobare 𝑐 = 𝑐𝑝

Isochore 𝑐 = 𝑐𝑉

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Thermodynamik

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Carnot-Maschine

Der thermische Wirkungsgrad einer Maschine ist durch das Verhältnis aus abgegebener Ar-

beit und zugeführter Wärmemenge definiert.

𝜂 ≔��

𝑄12= 1 −

��34𝑄12

Bei linkslaufenden Kreisprozessen spricht man von der Leistungszahl 𝜖.

Satz von Carnot

Keine Maschine, die zwischen zwei Wärmespeichern (zwei vorgegebene Temperatu-

ren) arbeitet, hat einen besseren Wirkungsgrad als die Carnot-Maschine.

Rechtslaufender Carnot-Prozess

Isotherme Expansion

Adiabatische Expansion

Isotherme Komprimierung

Adiabatische Komprimierung

Die Arbeit 𝑊 = 𝑊12 +𝑊34 ist wegen 𝑇ℎ > 𝑇𝑘 ∧ 𝑉2 > 𝑉1 negativ, das System verliert Energie. Der

Temperaturunterschied ist Voraussetzung für die Wärmekraftmaschine.

𝜂 =��

𝑄12=𝑇ℎ − 𝑇𝑘𝑇ℎ

Linkslaufender Carnot-Prozess

Aufzuwenden bei der Wärmepumpe ist die Arbeit des Kreispozesses 𝑊, da die aufgenom-

meine Wärme 𝑄23 aus der Umgebung bei 𝑇𝑘 unbegrenzt zur Verfügung steht. Die Arbeit ist

hier positiv und wird also zugeführt; das System muss mit Energie gefüttert werden.

Wärmepumpe: 𝜖𝑊 =|𝑄41|

𝑊=

𝑇ℎ

𝑇ℎ−𝑇𝑘=1

𝜂

Hier wird mehr Energie als Wärme abgegeben, als die Anlage an mechanischer oder elektri-

scher Energie aufnimmt. Zweck der Kältemaschine ist die Kühlung eines Raumes oder Sys-

tems, dem Wärme bei niedriger Temperatur entzogen wird.

Kältemaschine: 𝜖𝐾 =𝑄23

𝑊=

𝑇𝑘

𝑇ℎ−𝑇𝑘

Entropie

Jeder reversible Prozess kann durch eine Folge von isothermen und adiabatischen Zustand-

sänderungen angenähert werden. Im Grenzfall infinitesimal kleiner Schritte gilt ∮𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣

𝑇= 0.

Für jeden beliebigen reversiblen Prozess ist 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣

𝑇 ein vollständiges Differenzial. Die extensive

Zustandsfunktion dazu ist die Entropie 𝑆:

𝑑𝑆 =𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣𝑇

, 𝑆2 − 𝑆1 = ∫𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣𝑇

2

1

Die Entropie („En“ aus Energie, „trope“ griechisch für Wendung) ergibt sich aus der reversi-

bel ausgetauschten Wärmemenge. Sie macht eine Aussage über die Umkehrbarkeit einer Zustandsänderung. In 𝑇𝑆 -Diagrammen (Wärmediagrammen) können zu- und abgeführte

Wärmen erkennbar werden. Für den Carnot-Prozess sieht das Diagramm wie folgt aus:

𝑉

𝑝

2

𝑇ℎ

𝑇𝑘

1

4 3

𝑉

𝑝 1

2

4 3

berechnete Werte ↓ 𝑄12

↓ 𝑄34

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Thermodynamik

Nawi Graz Seite 205

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Die Flächen unter den Isothermen stellen die Zu- und Abfuhr von Wärme dar.

Die Fläche unter Isochoren (𝛿𝑊 = 0) würde allgemein die Änderung der inneren Energie be-

deuten (𝑑𝑈 = 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣 = 𝑇𝑑𝑆).

Die Clausiussche Ungleichung gibt die Richtung von Zustandsänderungen an.

𝑑𝑆 ≥𝛿𝑄

𝑇, ∮

𝛿𝑄

𝑇≤ 0

In einem abgeschlossenen System kann die Entropie nicht abnehmen. Bei Prozessen, die ins

Gleichgewicht führen, nimmt sie zu, bis im Gleichgewicht das Maximum erreicht ist.

Entropie und Wärmekraftmaschine

Das warme Wärmebad liefert isotherm die Wärme 𝑄𝑤 , die Entropie nimmt ab um Δ𝑆𝑎𝑏 =𝑄𝑤/𝑇𝑤. Dem kalten Abfluss wird zugeführt, die Entropie nimmt zu um Δ𝑆𝑧𝑢 = 𝑄𝑘/𝑇𝑘. Die ge-

leistete Arbeit ist nun 𝑊 = 𝑄𝑤 − |𝑄𝑘|. Im besten reversiblen Fall gilt 𝑄𝑤

𝑇𝑤=𝑄𝑘

𝑇𝑘⇒ 𝜂 = 1 − 𝑇𝑘/𝑇𝑤.

Fundamentalrelationen

Mit 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣 = 𝑇𝑑𝑆 kann man den ersten Hauptsatz für reversible Zustandsänderungen um-

schreiben.

Fundamentalgleichung

𝑑𝑈 = 𝛿𝑄𝑟𝑒𝑣 + 𝛿𝑊𝑟𝑒𝑣 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉

Bei Einbringen eines weiteren Teilchens in ein System mit chemischem Potential 𝜇 und Teil-

chenzahl 𝑁 folgt 𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 + 𝜇𝑑𝑁. Nun gilt:

𝑇 = (𝜕𝑈

𝜕𝑆)𝑉,𝑁, −𝑝 = (

𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑆,𝑁, 𝜇 = (

𝜕𝑈

𝜕𝑁)𝑆,𝑉

Es folgt außerdem (𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑇= 𝑇 (

𝜕𝑝

𝜕𝑇)𝑉− 𝑝.

Innere Energie und Entropie des idealen Gases

𝑈(𝑇) = 𝐶𝑉(𝑇 − 𝑇0) + 𝑈(𝑇0)

𝑆(𝑉, 𝑇) = 𝐶𝑉 ln (𝑇

𝑇0) + 𝑛𝑅 ln (

𝑉

𝑉0) + 𝑆(𝑉0, 𝑇0), 𝑆(𝑝, 𝑇) = 𝐶𝑉 ln (

𝑇

𝑇0) − 𝑛𝑅 ln (

𝑝

𝑝0) + 𝑆′(𝑝0, 𝑇0)

Innere Energie und Entropie des Van-der-Waal-Gases

𝑈(𝑉, 𝑇) = ∫ 𝐶𝑉𝑑𝑇𝑇

𝑇0

− 𝑛2𝑎 (1

𝑉−1

𝑉0) + 𝑈0(𝑉0, 𝑇0)

𝑆(𝑉, 𝑇) = ∫𝐶𝑉(𝑇)

𝑇𝑑𝑇

𝑇

𝑇0

+ 𝑛𝑅 ln𝑉 − 𝑛𝑏

𝑉0 − 𝑛𝑏+ 𝑆0(𝑉0, 𝑇0)

Thermodynamische Potentiale

Ein abgeschlossenes System wird in zwei Teile getrennt; die beschreibenden natürlichen Va-riablen seien 𝑆, 𝑉 und 𝑁 für die Funktion 𝑈. Die Summe der Variablen des Einzelsystems ist

konstant (abgeschlossen).

𝑆

𝑇 ↓ 𝑄𝑧𝑢

↓ 𝑄𝑎𝑏

2 1

4 3

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𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 + 𝜇𝑑𝑁 +⋯

𝑇 = (𝜕𝑈

𝜕𝑆)𝑉,𝑁, −𝑝 = (

𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑆,𝑁, 𝜇 = (

𝜕𝑈

𝜕𝑁)𝑆,𝑉

Mit der Legendre-Tranformation können nun die Thermodynamischen Potentiale hergleitet

werden.

Legendre-Transformation

Die Legendre-Transformation bezeichnet eine Transformation einer Funktion 𝑓(𝑥, 𝑦) in einer

Funktion 𝑔(𝑢, 𝑦) mit 𝑢 = 𝜕𝑓/𝜕𝑥 ohne Verlust an Informationen.

𝑓(𝑥, 𝑦) → 𝑔(𝑢, 𝑦) = 𝑓 − 𝑢𝑥

Die Potentiale auf einen Blick

Mit 𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 und zum Beispiel der Legendre-Transformation 𝑑𝑈(𝑆, 𝑉) → 𝑑𝐻 (𝑆,𝜕𝑈

𝜕𝑉) = 𝑑𝑈 −

(𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑑𝑉 = 𝑑𝑈 + 𝑝𝑑𝑉 können nun drei Potentiale errechnet werden (𝑆 ersetzen, 𝑉 ersetzen und

beide ersetzen).

Enthalpie 𝐻: 𝐻 = 𝑈 + 𝑝𝑉

Freie Energie 𝐹: 𝐹 = 𝑈 − 𝑇𝑆

Freie Enthalpie 𝐺: 𝐺 = 𝑈 + 𝑝𝑉 − 𝑇𝑆

Die Enthalpie wird auch Helmholtz-Potential genannt, die freie Enthalpie Gibbs-Potential. Für letztere gilt außerdem 𝐺 = 𝐻 − 𝑇𝑆 = 𝐹 + 𝑝𝑉.

Gleichgewichtsbedingung

Mit dem ersten Hauptsatz und der Clausius-Ungleichung 𝜕𝑄 ≤ 𝑇𝑑𝑆 folgt 𝑑𝑈 ≤ 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 + 𝜇𝑑𝑁

und damit für die Potentiale 𝐻 ≤ ⋯, 𝐹 ≤ ⋯ und 𝐺 ≤ ⋯. Im abgeschlossenen System strebt die

Energie einem Minimum 𝑑𝑈 ≤ 0 entgegen.

Freie Energie 𝐹 𝐹 = 𝑈 − 𝑇𝑆 ⇒ 𝑑𝐹 = −𝑝𝑑𝑉 − 𝑆𝑑𝑇 + 𝜇𝑑𝑁 +⋯

Für den isothermen Prozess gilt 𝑑𝐹 = 𝑑𝑈 − 𝑇𝑑𝑆 und mit 𝛿𝑊 = −𝛿�� = 𝑑𝑈 − 𝑇𝑑𝑆 ≤ −Δ𝐹 respekti-

ve 𝑊 ≤ −Δ𝐹 und schließlich 𝑊𝑚𝑎𝑥 = −Δ𝐹. Das Minimieren der freien Energie wird durch Er-

niedrigung der inneren Energie oder Erhöhen der Entropie erreicht.

Enthalpie 𝐻 = 𝑈 + 𝑝𝑉 ⇒ 𝑑𝐻 = 𝑇𝑑𝑆 + 𝑉𝑑𝑝 + 𝜇𝑑𝑁 +⋯

Besonders zweckmäßig für adiabatisch-isobare Systeme. Tritt nur Volumenarbeit auf, so gilt 𝑑𝐻 ≤ 0 und so verringert sich die Enthalpie, bis im Gleichgewicht ein Minimum erreicht wird.

Besonders in chemischen Reaktionen ist das zu finden, wobei hier oft noch Aktivierungsent-

halpien eine Rolle spielen.

Freie Enthalpie 𝐺 = 𝑈 + 𝑝𝑉 − 𝑇𝑆 ⇒ 𝑑𝐺 = 𝑉𝑑𝑝 − 𝑆𝑑𝑇 + 𝜇𝑑𝑁 +⋯

𝐺 ist die vom System bei isothermer und isobarer reversibler Prozessführung umgesetzte

Arbeit ohne Volumensarbeit gegen konstanten äußeren Druck.

In Analogie zu 𝐹 gilt für 𝑊𝑉 ≤ −Δ𝐺.

Gibbs-Helmholtz-Gleichung

Um die Potentiale zu verknüpfen gibt es folgende zwei Gleichungen:

𝐹 = 𝑈 + 𝑇 (𝜕𝐹

𝜕𝑇)𝑉, 𝐺 = 𝐻 + 𝑇 (

𝜕𝐺

𝜕𝑇)𝑝

Maxwell-Relationen

Da die Potentiale 𝑈 , 𝐻 , 𝐹 und 𝐺 Zustandsfunktionen sind, können Relationen hergeleitet

werden.

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Nach dem Muster 𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 + 𝜇𝑑𝑁 = (𝜕𝑈

𝜕𝑆)𝑉,𝑁𝑑𝑆 + (

𝜕𝑈

𝜕𝑉)𝑆,𝑁𝑑𝑉 + (

𝜕𝑈

𝜕𝑁)𝑆,𝑉𝑑𝑁 und der Integrabi-

litätsbedingung (siehe Satz von Schwarz, Seite 25) folgt für alle vier Potentiale:

Innere Energie: (𝜕𝑇

𝜕𝑉)𝑆,𝑁= −(

𝜕𝑝

𝜕𝑆)𝑉,𝑁, (

𝜕𝑇

𝜕𝑁)𝑆,𝑉= (𝜕𝜇

𝜕𝑆)𝑉,𝑁, − (

𝜕𝑝

𝜕𝑆)𝑆,𝑉= (𝜕𝜇

𝜕𝑉)𝑆,𝑁

Freie Energie: (𝜕𝑆

𝜕𝑉)𝑇,𝑁= −(

𝜕𝑝

𝜕𝑇)𝑉,𝑁, − (

𝜕𝑆

𝜕𝑁)𝑇,𝑉= (𝜕𝜇

𝜕𝑇)𝑉,𝑁, − (

𝜕𝑝

𝜕𝑁)𝑇,𝑉= (𝜕𝜇

𝜕𝑉)𝑇,𝑁

Enthalpie: (𝜕𝑇

𝜕𝑝)𝑆,𝑁

= (𝜕𝑉

𝜕𝑆)𝑝,𝑁, (

𝜕𝑇

𝜕𝑁)𝑆,𝑝= (𝜕𝜇

𝜕𝑆)𝑝,𝑁, (

𝜕𝑉

𝜕𝑁)𝑆,𝑝= (𝜕𝜇

𝜕𝑝)𝑆,𝑁

Freie Enthalpie: (𝜕𝑆

𝜕𝑝)𝑇,𝑁

= −(𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑝,𝑁, − (

𝜕𝑆

𝜕𝑁)𝑇,𝑝= (𝜕𝜇

𝜕𝑇)𝑝,𝑁, − (

𝜕𝑉

𝜕𝑁)𝑇,𝑝= (𝜕𝜇

𝜕𝑝)𝑇,𝑁

Thermodynamisches Viereck

Das thermodynamische Viereck macht die Maxwell-Relationen schnell ablesbar.

Bei einem Potential, zum Beispiel 𝐺, ergibt die Ableitung nach der entsprechenden zugehöri-

gen Variable 𝑇 oder 𝑝 genau die Größe auf der Diagonale, wobei die Pfeilrichtung die Vorzei-

chen angibt: Also ist (𝜕𝐺

𝜕𝑇)𝑝= −𝑆 und (

𝜕𝐺

𝜕𝑝)𝑇= +𝑉.

Außerdem kann man die Maxwell-Relationen ablesen, indem man eine Variable nach einer

anderen Variable ableitet, während man die in der Diagonale konstant hält und sie mit der

gegenüberliegenden vergleicht: (𝜕𝑉

𝜕𝑆)𝑝= (

𝜕𝑇

𝜕𝑝)𝑆. Wiederum sind die Pfeilrichtungen zu beach-

ten.

Chemisches Potential

Für ein System mit 𝐾 Teilchensorten mit eigener Teilchenzahl und eigenem chemischen Po-

tential gilt bei reversibler Zustandsänderung:

𝑑𝑈 = 𝑇𝑑𝑆 − 𝑝𝑑𝑉 +∑𝜇𝑘𝑑𝑁𝑘

𝐾

𝑘=1

Euler-Gleichung

Extensive Zustandsvariablen sind proportional zur absoluten Größe des Systems und es gilt

𝑈(𝛼𝑆, 𝛼𝑉, 𝛼𝑁) = 𝛼𝑈(𝑆, 𝑉, 𝑁) . Für infinitesimale Vergrößerung ( 𝛼 = 1 ) mit Taylor-Entwicklung

folgt 𝑈(1 + 𝜖) = 𝑈(1) + 𝜖 ∙ 𝑈(1) = 𝑈(1) + 𝜖(𝑇𝑆 − 𝑝𝑣 + ∑ 𝜇𝑘𝑁𝑘𝑘 ) und daraus die Euler-Gleichung:

𝑈 = 𝑇𝑆 − 𝑝𝑉 +∑𝜇𝑘𝑁𝑘𝑘

Die triviale Integration ist keineswegs selbstverständlich, da 𝑇, 𝑝 und 𝜇 Funktionen von 𝑆, 𝑉

und 𝑁 sind. Dies ist die besondere Eigenschaft der homogenen Funktion erster Ordnung.

Gibbs-Duhem-Relation

Ein Vergleich mit dem totalen Differential von 𝑈 (Kettenregel) gibt die Gibbs-Duhem-

Relation:

0 = 𝑆𝑑𝑇 − 𝑉𝑑𝑝 +∑𝑁𝑘𝑑𝜇𝑘𝑘

𝑇 𝑉

𝑆 𝑝 𝐻

𝐹

𝑈 𝐺

Potentiale sind stets in der Mitte, die beschreibende Variablen links und rechts davon.

Das Dreieck kann man sich mit dem zweifelhaften Merkspruch merken: SUV-Fahrer trinken gerne Pilsner-Helles.

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Diese Relation ist zentraler Ausgangspunkt zur Beschreibung heterogener Systeme. Weiter

gilt:

𝐺 =∑𝜇𝑘𝑁𝑘 , für eine Teilchensorte: 𝜇 =𝐺

𝑁

Aus der Gibbs-Duhem-Relation folgt für das chemische Potential 𝑑𝜇(𝑝, 𝑇) = −𝑆(𝑝,𝑇)

𝑁𝑑𝑇 +

𝑉(𝑝,𝑇)

𝑁𝑑𝑝. Mit der Entropie des idealen Gases, der Festlegung 𝑠0 = 5/2 und einiger Umformung

folgt schließlich:

𝜇(𝑝, 𝑇) = −𝑘𝑇 ln {(𝑇

𝑇0)5 2⁄

(𝑝0𝑝)}

Das chemische Potential 𝜇 sinkt also mit steigender Temperatur aufgrund der Entropie

𝐺 = 𝑁𝜇 = 𝐻 − 𝑇𝑆.

Dritter Hauptsatz

Der dritte Hauptsatz, auch Nernstsches Wärmetheorem genannt, macht Aussagen über die

Entropie am absoluten Nullpunkt.

Für die Änderung der freien Energie (isotherm, isochor) gilt nach der Gibbs-Helmholtz-

Gleichung Δ𝐹 = Δ𝑈 + 𝑇 (𝜕Δ𝐹

𝜕𝑇)𝑉. Für 𝑇 → 0 folgt also lim𝑇→0 Δ𝐹 = lim𝑇→0 Δ𝑈. Aus der Ableitung von

Δ𝐹 folgt außerdem (𝜕Δ𝑈

𝜕𝑇)𝑉= −𝑇 (

𝜕2Δ𝐹

𝜕𝑇2)𝑉⇒ lim𝑇→0 (

𝜕Δ𝑈

𝜕𝑇)𝑉= 0. Die Aussage ist, dass bereits bei re-

lativ hohen Temperaturen Δ𝐹 und Δ𝑈 ungefähr gleich sind.

Beim absoluten Nullpunkt der Temperatur nähert sich die Entropie eines Systems im

thermodynamischen Gleichgewicht einem von Volumen, Druck, Aggregatzustand usw. unabhängigen Wert 𝑆0 (Formulierung nach Planck).

Es gilt also: lim𝑇→0 (𝜕𝑆

𝜕𝑋) = 0.

Die Wärmekapazitäten verschwinden um den absoluten Nullpunkt. Die Potentiale 𝐹 und 𝑈 bzw. 𝐺 und 𝐻 werden identisch. Spannungs- und Ausdehnungskoeffizient verschwinden

ebenfalls.

Unerreichbarkeit des Nullpunkts

Tiefe Temperaturen erhält man durch Abwechslung adiabatischer und isothermer Prozesse.

𝑇

Δ

Δ𝑈

Δ𝐹

limT→0

(𝜕Δ𝐹

𝜕𝑇)𝑉= lim𝑇→0

{(𝜕Δ𝑈

𝜕𝑇)𝑉− Δ𝑆 − 𝑇 (

𝜕Δ𝑆

𝜕𝑇)𝑉} = 0

⇒ lim𝑇→0

Δ𝑆 = 0

𝑉

𝑝

adiabatisch

𝑆

𝑇 isotherm

isochor

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Technische Anwendungen

Die Isochoren verlaufen im 𝑇𝑆-Diagramm stets steiler also die Isobaren. Die Adiabaten ver-

laufen im 𝑝𝑉-Diagramm stets steiler als die Isothermen.

Gasturbine

Aufbau: Je zwei Adiabaten und zwei Isobaren (Joule-Prozess)

𝜂 =��

𝑄𝑧𝑢= 1 −

𝑄𝑎𝑏

𝑄𝑧𝑢= 1 −

|𝑇1−𝑇2|

𝑇3−𝑇4

= 1 −𝑇1

𝑇4= 1 −

𝑇2

𝑇3

Kann auch „offen“ (ohne Wärmerückführung) behandelt werden; dabei ändert sich der

Wirkungsgrad auf 𝜂 = 1 −𝑇4

𝑇3

Stirling-Prozess

Aufbau:

1 → 2: Isotherme Kompression unter Wärmeabgabe

2 → 3: Isochores Überschieben in heißen Raum, Erwärmung durch Regenerator

3 → 4: Isotherme Expansion des Gases unter Wärmeaufnahme (Gas verrichtet Arbeit)

4 → 1: Isochores Überschieben in kalten Raum, Abkühlung durch Wärmeabgabe an

Regenerator

𝜂 = 1 −𝑇1,2

𝑇3,4

Verbrennungsmotoren

Die beiden für diese Motoren häufig verwendeten thermodynamischen Kenngrößen sind hier das Verdichtungsverhältnis 𝜖 = 𝑉1/𝑉2 und das Einspritzverhältnis 𝜑 = 𝑉3/𝑉2.

Otto-Motor

Aufbau:

1 → 2: Isentrope Kompression (Ansaugen)

2 → 3: Isochore Wärmezufuhr (Verdichten)

3 → 4: Isentrope Expansion (Zünden)

4 → 1: Isochore Wärmeabfuhr (Ablassen)

𝜂 = 1 −|𝑇4−𝑇1|

𝑇3−𝑇2= 1 −

1

𝜖1−𝛾

Diesel-Motor

Aufbau:

𝑉

𝑝

2

1 4

3

𝑆

𝑇 ↓ 𝑄𝑧𝑢

↓ 𝑄𝑎𝑏

𝑉

𝑝

2

1

4

3

𝑆

𝑇

↓ 𝑄𝑧𝑢

↓ 𝑄𝑎𝑏

2

1

4

3

↓ 𝑄𝑧𝑢

↓ 𝑄𝑎𝑏

↓ 𝑄𝑧𝑢

↓ 𝑄𝑎𝑏

Brennkammer

Wärmeübertrager

Turbine

Pumpe

2 1

4 3

𝑄𝑟𝑒𝑔

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1 → 2: Isentrope Kompression (Ansaugen)

2 → 3: Isobare Temperaturerhöhung (Verdichten)

3 → 4: Isentrope Expansion (Zünden)

4 → 1: Isochore Wärmeabfuhr (Ablassen)

𝜂 = 1 −𝑐𝑉|𝑇4−𝑇1|

𝑐𝑝(𝑇3−𝑇2)

Dampfkraft-Prozess

Aufbau:

1 → 2: Isentrope Expansion

2 → 3: Isobare Abkühlung (isotherm)

3 → 4: Isentrope Kompression

4 → 5: Isobare Erhitzung

5 → 6: Isobare Verdampfung (isotherm)

6 → 1: Isobare Erhitzung

𝜂 = 1 −|𝑄23|

𝑄41= 1 −

|ℎ4−ℎ2|

ℎ1−ℎ4

Die isobare Wärmezufuhr, die aus technischen Gründen

in zwei verschiedneen Apparaten geschieht, ist zwischen

4 und 1 eingezeichnet. Der Zustand zwischen beiden Apparaten liegt theoretisch auf der

Taulinie. Die Kurven sind isotherm, solange im Koexistenzgebiet gearbeitet wird. Bei

diesen primär isobaren Prozesse geht nun die Energie in den jeweiligen Phasenübergang ein. Hier gilt das Hebelgesetz für den Massenanteil von Dampf 𝑥:

𝑠𝑔𝑒𝑠 = (1 − 𝑥)𝑠′ + 𝑥𝑠′′

ℎ𝑔𝑒𝑠 = (1 − 𝑥)ℎ′ + 𝑥ℎ′′

Linde-Verfahren

Die irreversible Expansion realer Gase wird hier benutzt. Man setzt Gas unter Hochdruck,

kühlt es dann ab und lässt es expandieren, um es abzukühlen. Es bedarf dabei einer An-

fangstemperatur des Gases unterhalb der sogenannten Inversionstemperatur 𝑇𝑖(für ein Van-

der-Waals-Gas). Der Joule-Thomson-Effekt besagt, dass unterhalb dieser Temperatur ein

Gas bei Entspannung abkühlt, darüber erwärmt es sich; es ist aber ein sehr kleiner Effekt

(etwa 𝛥𝑇 = 0,25𝐾/𝑏𝑎𝑟 bei Luft). Der Joule-Thomson-Koeffizient 𝛿 gibt die Temperaturände-

rung pro Druck in [𝐾 𝑏𝑎𝑟⁄ ] an.

Zur besseren Ausnutzung der Temperaturerniedrigung lässt man das expandierte abgekühl-

te Gas durch einen Wärmetauscher strömen, wodurch das nachströmende Hochdruckgas

weiter abgekühlt wird.

Aufbau:

1 → 2: Isotherme Verdichtung

2 → 3: Isobare Abkühlung (im Wärmetauscher)

3 → 4: Adiabatische Drosselung längs der Isenthalpen (Koexistenzgebiet: Der flüssige

Anteil wird eigentlich abgezogen)

4 → 1: Dampfanteil kühlt im Gegenströmer das verdichtete Gas (erwärmt sich)

𝑉

𝑝

2

1 4

3 𝑆

𝑇

2

1

4

3

5 6

5

6

Verdampfer & Überhitzer

Kondensator

↓ 𝑄61 ↓ 𝑄46

↓ 𝑄23 Pumpe

Turbine

← 𝑊34

Kritischer Punkt Taulinie Siedelinie Koexistenzgebiet

gasförmig

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𝛿 = (𝜕𝑇

𝜕𝑝)𝐻=

1

𝐶𝑝[𝑇 (

𝜕𝑉

𝜕𝑇)𝑝− 𝑉]

𝑇𝑖 ≈2𝑎

𝑅𝑏

Heterogene Systeme

Clausius-Clapeyron-Gleichung

VERLOREN GEGANGEN, siehe pdf

ENDE VERLOREN GEGANGEN

Zum Beispiel der Übergang ferro-/paramagnetische Phase ist ein Übergang 2. Ordnung.

Landau-Theorie

Hierbei handelt es sich um eine einfache Beschreibung von Übergängen 2. Ordnung.

Es wird ein Ordnungsparameter 𝐽 eingeführt. Mit dem Magnetfeld 𝐻 kann die spezifische

freie Enthalpie entwickelt werden:

𝑔 = 𝑔0 +1

2𝑎(𝑇)𝐽2 +

1

4𝑏(𝑇)𝐽4 −𝐻𝐽

Aus Symmetriegründen treten nur gerade Potenzen in der Entwicklung auf. Im Gleichge-

wichtsfall muss 𝜕𝑔

𝜕𝐽= 0 sein und es folgt 𝑎 + 𝑏𝐽2 =

𝐻

𝐽. Ohne Magnetfeld besitzt 𝑔 ein Minimum

an der Stelle 𝐽 = 0 (𝑇 > 𝑇𝑐), also ist 𝑎(𝑇) = 𝑎0(𝑇 − 𝑇𝑐). Damit für 𝑇 ≤ 𝑇𝑐 ein Minimum bei 𝐽0 vor-

liegt, muss 𝑏 > 0 gelten und damit auch 𝑔 = 𝑔0 +1

2𝑎0(𝑇 − 𝑇𝑐)𝐽

2 +1

4𝑏𝐽4 ∧ 𝐽 = √−

𝑎(𝑇)

𝑏= √

𝑎0

𝑏(𝑇𝑐 − 𝑇)

für (𝑇 < 𝑇𝑐).

𝐽~(𝑇𝑐 − 𝑇)𝛽 , 𝛽 =

1

2 ∀ (𝑇 < 𝑇𝑐)

Außerdem folgt für die Suszeptibilität 𝜒 =𝜕𝐽

𝜕𝐻 das Weiß-Gesetz.

Weiß-Gesetz

𝜒~1

𝑎0(𝑇 − 𝑇𝑐)𝛾, 𝛾 = 1 ∀ (𝑇 > 𝑇𝑐)

𝛽, 𝛾 und 𝛿, die Feldabhängigkeit über 𝐽 = (𝐻

𝑏)1 𝛿⁄

| 𝛿 = 3, beschreiben hier die sogenannten kri-

tischen Exponenten.

In der Landau-Theorie werden räumliche Variationen (Fluktuationen) vernachlässigt. Da

aber gerade bei Phasenübergängen der Ordnungsparameter stark variiert, weicht die Theo-

rie teils von den tatsächlichen Werten ab.

Skalenrelationen

Die kritischen Exponenten sind untereinander über sogenannte Skalenrelationen verknüpft, zum Beispiel 𝛾 = 𝛽(𝛿 − 1).

Die Universalität der kritischen Exponenten bedeutet, dass sie nur von der Dimensionalität

des Systems und der Zahl der Freiheitsgrade (Symmetrie der Wechselwirkung) abhängen.

Am kritischen Punkt selbst ist das System von materialspezifischen Parametern unabhängig,

𝑇

J 1𝜒⁄

𝑇𝑐

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Thermodynamik

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die Physik wird nun durch 𝐻 und 𝑇 bestimmt. Eine theoretische Beschreibung der kritischen

Exponenten ist nicht ganz trivial (Achtung: Litotes!).

Noch nicht gescheit und nur zur Erinnerung:

𝑊 = −𝑝 𝑑𝑉

𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. (isotherm)

𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 (ideales Gas)

𝑈 ist dabei die innere Energie, 𝑊 die verrichtete Arbeit und 𝑄 die ausgetauschte Wärme-

menge.

Integrabilitätsbediungung

Siehe Satz von Schwarz, Seite 25

(𝑝 + (𝑛

𝑉)2

𝑎) ∙ (𝑉 − 𝑛𝑏) = 𝑛𝑅𝑇 (van-der-Waals-Gleichung)

Kritische Punkte

Ableitungen verschwinden

𝑎 =𝑅𝑇𝑘𝑉𝑘

3

(𝑉𝑘 − 𝑛𝑏)22𝑛

, 𝑏 =𝑉𝑘3𝑛

𝑉𝑘 = 3𝑏𝑛, 𝑇𝑘 =8

27

𝑎

𝑏𝑅, 𝑝𝑘 =

𝑎

27𝑏2

𝐶𝑝 − 𝐶𝑣 = 𝑛 𝑅 (ideales Gas)

𝛾 = 𝑛 =𝑐𝑝

𝑐𝑣 (ideales Gas)

Isotherm

(𝑑𝑈

𝜕𝑉)𝑇= 0 ⇒ 𝑑𝑈 = 0 (isotherm, id. Gas)

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Elektrodynamik

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Elektrodynamik Einführung in die Theoretische Elektrodynamik

Elektrostatik

Das „Griffiths-r“ ist definiert als 𝔯 = 𝑟 − 𝑟′, wobei 𝑞(𝑟′) als Feld-erzeugende Ladung und 𝑄(𝑟) als „angegriffene“ Ladung interpretiert wird.

Elektrisches Feld

Ladungen sind nicht abhängig von der Geschwindigkeit des Ladungsträgers. Ladungen be-

wirken Kräfte auf andere Ladungen. Da das Superpositionsprinzip hierbei gilt für zwei La-dungen 𝑞1 und 𝑞2 die Addition zur Gesamtkraft auf eine Ladung 𝑞3: 𝐹𝑔𝑒𝑠 = 𝐹1 + 𝐹2.

Coulombkraft

Mit 𝔯 = 𝑟 − 𝑟′ für 𝑞(𝑟′) und 𝑄(𝑟) gilt:

�� =1

4𝜋𝜖0

𝑞𝑄

𝔯2�� ≡ 𝑄��

𝜖0 = 8,85 ∙ 10−12 𝐶2

𝑁𝑚2 beschreibt die Permittivität des Vakuums.

Das elektrische Feld ist die Kraft auf eine (fiktive) Einheitsladung:

�� =1

4𝜋𝜖0 ∑

𝑞𝑖

𝔯𝑖2

𝑖

��

Kontinuierliche Ladungsverteilung

Mit 𝜌 = Δ𝑞/Δ𝑉 gilt �� =1

4𝜋𝜖0∑

Δ𝜌𝑖Δ𝑉𝑖

𝔯𝑖2 ��𝑖 und somit:

�� =1

4𝜋𝜖0∫𝜌(𝑟′)

𝔯2�� 𝑑𝜏

𝑉

1D: Linienladungsdichte 𝜆(𝑟) in 𝐶/𝑚

2D: Oberflächenladungsdichte 𝜎(𝑟) in 𝐶/𝑚2

3D: Volumenladungsdichte 𝜌(𝑟) in 𝐶/𝑚3

Divergenz und Rotor

Fundamental sind die Integralsätze (Siehe Integralsätze, Seite 48).

∫ ∇ ∙ �� 𝑑𝜏Ω

= ∮ �� 𝑑��𝜕Ω⏟

Integralsatz von Gauß

, ∫∇ × �� 𝑑��𝑆

= ∮ �� 𝑑𝑙⏟ Integralsatz von Stokes

Für ∇��(𝑟) =1

4𝜋𝜖0∇ ∫

𝜌(𝑟′)

𝔯2�� 𝑑𝜏′gilt mit dem Wert der Dirac-Deltafunktion ∇

��

𝔯2= 4𝜋 𝛿(𝑟 − 𝑟′) nun

=1

4𝜋𝜖0∫ 𝜌(𝑟′) ∇

��

𝔯2 𝑑𝜏′ =

1

𝜖0 𝜌(𝑟) . Für ∇ × ��(𝑟) gilt mit ∫ �� 𝑑𝑙 = ∫

𝑞

4𝜋𝜖0

1

𝑟2 𝑑𝑟

𝑟𝑏𝑟𝑎

= −𝑞

4𝜋𝜖0(1

𝑟𝑎−

1

𝑟𝑏) nun

∮ �� 𝑑𝑙 = 0 = ∫ ∇ × ��(𝑟) 𝑑�� und folglich ∇ × ��(𝑟) = 0.

Gaußsches Gesetz: ∇ ∙ ��(𝑟) =𝜌(𝑟)

𝜖0

∇ × ��(𝑟) = 0

Für den Fluss gilt: Φ = ∮ �� 𝑑�� =𝑄

𝜖0𝜕Ω.

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Elektrodynamik

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Elektrisches Potential

Das Potential beschreibt die potentielle Energie pro Einheitsladung in 𝐽/𝐶 oder 𝑉.

𝑉(𝑟) = −∫ ��(𝑟) 𝑑𝑙𝑟

𝑟0

, ��(𝑟) = −∇𝑉(𝑟)

Poisson- und Laplace-Gleichung Poisson-Gleichung: ∇2𝑉 = Δ𝑉 = −𝜌(𝑟)/𝜖0 für eingeschlossene Ladungen

Laplace:-Gleichung: ∇2𝑉 = Δ𝑉 = 0 für freie Ladungen

1D: 𝑑2𝑉

𝑑𝑥2= 0 ∧ 𝑉(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑑 ∧ 𝑉(𝑥) =

1

2(𝑉(𝑥 + 𝑎) + 𝑉(𝑥 − 𝑎))

Das Potential wird gemittelt, die Lösung lässt keine Extrema zu

2D: 𝑑2𝑉

𝑑𝑥2+𝑑2𝑉

𝑑𝑦2= 0 ∧ 𝑉(𝑥, 𝑦) =

1

2𝜋𝑟∮ 𝑉 𝑑𝑙

Ebenfalls gemittelt, die Lösung lässt keine Extrema zu

3D: 𝑑2𝑉

𝑑𝑥2+𝑑2𝑉

𝑑𝑦2+𝑑2𝑉

𝑑𝑧2= 0 ∧ 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

1

4𝜋𝑟2∮𝑉 𝑑��

Keine Extrema

Eindeutigkeitstheoreme

Erstes Eindeutigkeitstheorem: Nach der Annahme, die Laplacegleichung (oder Poisson-gleichung) gelte und man in einem Volumen 𝒱 sowohl eine Ladungsdichte 𝜌 kennt, als

auch auf dem Rand 𝜕𝒱 die Werte von 𝑉 bekannt sind, ist eine Lösung für 𝑉, unbeachtet

des Weges, eindeutig.

Beweis der Eindeutigkeit:

∇2𝑉3 = ∇2𝑉2 − ∇

2𝑉1 = (𝜌

𝜖0−𝜌

𝜖0=)0 ⇒ 2. Abl. ist Null ⇒ keine lokalen Maxima/Minima

∇2𝑉3 an Rändern Null und linear ohne Extrema ⇒ heißt also nun überall Null

Zweites Eindeutigkeitstheorem: Ein von einem Leiter umgebenes Volumen mit einer be-

kannten Ladungsdichte 𝜌 hat ein elektrisches Feld ��, sodass sich die Ladungen im Leiter

derart verschiebt, dass das Feld von außen betrachtet nur durch die Ladungen auf der

Leiteroberfläche bestimmt werden kann.

Bildladung

Um zum Beispiel eine Verteilung auf einer Äquipotentialfläche zu bekommen, kann man das

Feld einer einzelnen Punktladung mit dem zweier (mehrerer) Ladungen ersetzen, sofern

man diese außerhalb des gesuchten/betrachteten Volumens platziert. Dabei übernimmt die

zweite Punktladung die Rolle aller Ladungsträger auf der Platte (Ähnlichkeit) und das Feld

lässt sich weiter berechnen. Genauer ist die Funktion des daraus resultierende Feldes ist ei-

ne Lösung des gegebenen Randwertproblems, da sie ebenso die Laplace-Geichung (da au-ßerhalb von 𝒱) wie auch das Randpotential erfüllt (also das erste Eindeutigkeitstheorem).

Nun sind nach dem Eindeutigkeitstheorem zu beweisen:

𝑧

𝑥

𝑞

−𝑞

𝑉 = 0

ℎ RB: Δ𝑉(𝑟) = −

1

𝜖0𝑞 𝛿(�� − ℎ𝑒𝑧) ∧ 𝑉(𝑟)|𝑧=0 = 0

𝜌(𝑟) = 𝑞𝛿(𝑟 − ℎ𝑒𝑧)

𝑉𝐵𝑖𝑙𝑑(𝑟) =1

4𝜋𝜖0(

𝑞

|𝑟 − ℎ𝑒𝑧|+

−𝑞

|𝑟 + ℎ𝑒𝑧|)

𝜌𝐵𝑖𝑙𝑑(𝑟) = 𝑞𝛿(𝑟 − ℎ𝑒𝑧) − 𝑞𝛿(𝑟 + ℎ𝑒𝑧)

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Elektrodynamik

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⇒ Δ𝑉𝐵𝑖𝑙𝑑 =𝑞

4𝜋𝜖0(−4𝜋𝛿(𝑟 − ℎ𝑒𝑧) + 4𝜋𝛿(𝑟 + ℎ𝑒𝑧)⏟

=0 im Volumen 𝒱

) = −𝑞

𝜖0𝛿(𝑟 − ℎ𝑒𝑧)

⇒ 𝑉𝐵𝑖𝑙𝑑(𝑟)|𝑧=0 =1

4𝜋𝜖0(

𝑞

√𝑥2+𝑦2+(𝑧−ℎ)2−

𝑞

√𝑥2+𝑦2+(𝑧−ℎ)2)|𝑧=0

= 0

Die aus der Bildladung gefertigte Gleichung darf also angewandt werden.

Variablenseparation

Ansatz ist Δ2𝑉 =𝜕2𝑉

𝜕𝑥2+𝜕2𝑉

𝜕𝑦2= 0 ∧ 𝑉(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦) , woraus sich 𝑋′′𝑌 + 𝑋𝑌′′ = 0 ergibt. Es folgt

𝑋′′

𝑋+𝑌′′

𝑌= −𝑐 + 𝑐 = 0 und nach Ausnutzen der Randbedingungen:

𝑅𝐵: (𝑥(𝑥) = 𝐴 cos(𝑘𝑥) + 𝐵 sin(𝑘𝑥)

𝑦(𝑦) = 𝑐𝑒𝑘𝑥 + 𝐷𝑒−𝑘𝑥)

𝑉(𝑥, 𝑦) =2𝑉0𝜋arctan (

sin𝜋𝑥𝑎

sinh𝜋𝑦𝑎

) ∧ 𝑉(𝑟, 𝜃) =∑(𝐴𝑙 ∙ 𝑟𝑙 +

𝐵𝑙𝑟𝑙+1

)

𝑙=0

∙ 𝑃𝑙(cos 𝜃)⏟ Legendre-Polynom

Elektrostatische Energie

Mit 𝐹 = 𝑄�� gilt für eine Verschiebearbeit 𝑊 = ∫ �� 𝑑𝑙𝑏

𝑎= −𝑄 ∫ �� 𝑑𝑙

𝑏

𝑎= 𝑄(𝑉(𝑏) − 𝑉(𝑎)). Die Energie

einer Ladungsverteilung ist gegeben durch die Idee, alle beteiligten Ladungen aus dem Un-

endlichen an einander heranzuführen. Es gilt 𝑊 =1

2∑ 𝑞𝑖𝑉(𝑟𝑖 )𝑖 .

𝑊 =1

2∫𝜌𝑉 𝑑𝜏 =

𝜖02∫ ��2 𝑑𝜏

Elektrische Leiter

Die Oberfläche kann als Äquipotentialfläche gesehen werden: 𝑉(��) − 𝑉(��) = −∫ �� 𝑑𝑙𝑏

𝑎= 0. Das

elektrische Feld im Leiter ist stets 0, da sonst Kraft auf die Ladungsträger wirken würde.

Legendre-Polynome

𝑃0(𝑥) = 1

𝑃1(𝑥) = 𝑥

𝑃2(𝑥) =1

2(3𝑥2 − 1)

Allgemein gilt 𝑃𝑙+1(𝑥) =1

𝑙+1[(2𝑙 + 1)𝑃𝑙(𝑥) − 𝑙 𝑃𝑙−1(𝑥)] (Rekursionsformel).

Multipolentwicklung

Das elektrische Feld einer Ladungsverteilung setzt sich aus verschiedenen Momenten (er-

zeugt durch Multipole) zusammen. Um diese zu trennen, muss man eine Multipolentwick-

lung berechnen. Die errechneten Potentiale fallen mit der Entfernung immer stärker ab, so

dass bereits der Einfluss des Quadropols sehr gering ist.

Ausgehend vom Potential wird 1

𝔯 Taylor-entwickelt (=

1

𝑟[1 −

1

2𝜖 +

3

8𝜖2 + 𝑂(𝜖3)] und mit den Le-

gendre-Polynomen =1

𝑟∑ (

𝑟′

𝑟)𝑙

𝑃𝑙(cos 𝜃)∞𝑙=0 ) und ist nun (cos 𝜃 = �� ∙ ��′, siehe Skalarprodukt, Seite

37):

𝑉(𝑟) =1

4𝜋𝜖0∑

𝑙=0

1

𝑟𝑙+1∫𝑟′𝑙𝜌(𝑟′)𝑃𝑙(cos 𝜃) 𝑑𝜏′⏟

Multipole

𝑙 = 0 (Monopol): 𝑉0(𝑟) =1

4𝜋𝜖0

𝑄

𝑟 mit 𝑄 = ∫𝜌(𝑟′) 𝑑𝜏′

𝑙 = 1 (Dipol): 𝑉1(𝑟) =1

4𝜋𝜖0

��∙��

𝑟2 mit 𝑝 = ∫𝜌(𝑟′)𝑟′ 𝑑𝜏′

𝑙 = 2 (Quadropol): 𝑉2(𝑟) ∼ 1/𝑟3

𝑙 = 3 (Oktopol): 𝑉3(𝑟) ∼ 1/𝑟4

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Umrechnungen der Elektrostatik

𝑉(𝑟) =1

4𝜋𝜖0∫𝜌(𝑟′)

𝔯 𝑑𝜏′ , ∇2 ∙ 𝑉 = −𝜌 ∙

1

𝜖0

��(𝑟) =1

4𝜋𝜖0∫𝜌(𝑟′)

𝔯2�� 𝑑𝜏′ , ∇ ∙ �� = 𝜌 ∙

1

𝜖0

�� = −∇ ∙ 𝑉, 𝑉(𝑟) = −∫ �� 𝑑𝑙𝑟

𝑟0

Elektrische Felder in Materie

Polarisation

Die Polarisation �� = ��(��) =��

Δ𝑉, auch Dipoldichte genannt, beschreibt das Dipolmoment pro

Einheitsvolumen (gleiche Richtung wie ��).

Für eine Ladungsverteilung, die von einem ��-Feld angegriffen wird, gibt es ein Polarisati-

onsmoment mit Ausrichtung in ��-Richtung. �� gilt für ein Einheitsvolumen und beschreibt

somit die Stärke dieses Einflusses.

Feld polarisierbarer Objekte

Ein einzelnes Dipol-Potential ist durch 𝑉𝑑𝑖𝑝(𝑟) =1

4𝜋𝜖0

��∙��

𝔯2 beschrieben. Es folgt (𝑝 = ��𝑑𝜏′) nun

𝑉𝑑𝑖𝑝(𝑟) =1

4𝜋𝜖0∫ ��(𝑟′)

��

𝔯2𝑑𝜏′ und mit ∇′ ∙ (

1

𝔯) =

��

𝔯2 außerdem 𝑉𝑑𝑖𝑝(𝑟) =

1

4𝜋𝜖0∫ ��(𝑟′)∇′ ∙ (

1

𝔯) 𝑑𝜏′.

Ein einfaches Umstellen der Produktregel gibt 𝑉𝑑𝑖𝑝(𝑟) =1

4𝜋𝜖0[∫ ∇′ ∙ ��(𝑟′)

1

𝔯𝑑𝜏′ − ∫

1

𝔯∇′ ∙ ��(𝑟′)𝑑𝜏′] =

1

4𝜋𝜖0[∮ ��(𝑟′)

1

𝔯𝑑��′ − ∫

1

𝔯∇′ ∙ ��(𝑟′)𝑑𝜏′]. Mit Vergleichen kann man setzen: 𝜎 = �� ∙ �� ∧ 𝜌 = −∇ ∙ �� und

damit folgt 𝜌𝑏 = −∇ ∙ ��.

𝑉(𝑟) =1

4𝜋𝜖0(∮𝜎𝑏𝔯 𝑑𝑎′ +∫

𝜌𝑏(𝑟)

𝔯 𝑑𝜏′)

Dielektrische Verschiebung

𝜌 = 𝜌𝑓 + 𝜌𝑏 muss in free und bound aufgeteilt werden mit 𝜌𝑏 = −∇ ∙ �� und ∇ ∙ 𝐸 =𝜌

𝜖0 gibt mit

dem Gaußschen Gesetz 𝜖0∇ ∙ �� = 𝜌𝑓 − ∇ ∙ �� ⇔ ∇ ∙ (𝜖0�� + ��)⏟ ��

= 𝜌𝑓 und es folgt als Definition für ��

als dielektrische Verschiebung:

�� ≔ 𝜖0�� + ��, ∇ ∙ �� = 𝜌𝑓 , −∇ ∙ �� = 𝜌𝑏

Das elektrische Feld ist in etwa die Summe aus der Verschiebung und der Polarisation. Das

entspricht dem äußeren Feld von 𝜌𝑓 plus dem induzierten Feld. In linearen Dielektrika gilt

�� ∼ 𝜖𝐸(𝑟) und außerdem:

�� = 𝜖𝑟𝜖0��

Aus �� = 𝜖0�� + �� = 𝜖0�� + 𝜒𝑙𝜖0�� = (1 + 𝜒𝑙)𝜖0�� = 𝜖𝑟𝜖0�� für den linearen Fall ist die Suszeptibilität 𝜒𝑙 bestimmt. Sie ist eine Materialeigenschaft, welche die Fähigkeit zur Polarisierung angibt.

Für Felder in linearen Dielektrika gelten folgende Randbedingungen:

𝑟 = 𝑅: 𝐸𝑖𝑛∥ = 𝐸𝑜𝑢𝑡

∥ ⇒ 𝑉𝑖𝑛 = 𝑉𝑜𝑢𝑡

𝑟 = 𝑅: 𝜖𝑖𝑛𝐸𝑖𝑛⊥ = 𝜖𝑜𝑢𝑡𝐸𝑜𝑢𝑡

⊥ | �� = −∇𝑉 ⇒ 𝜖𝑖𝑛𝜕𝑉𝑖𝑛

𝜕𝑟= 𝜖𝑜𝑢𝑡

𝜕𝑉𝑜𝑢𝑡

𝜕𝑟

𝑟 ≫ 𝑅: 𝑉𝑜𝑢𝑡 = −𝐸0𝑟 cos 𝜃

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Energie in dielektrischen Medien

Aus 𝑊 =𝜖0

2∫𝐸2 𝑑𝜏 (siehe Elektrostatische Energie, Seite 215) folgt 𝛿𝑊 = ∫

𝛿𝜌𝑓𝑉

2 𝑑𝜏 = ∫

∇ 𝛿�� 𝑉

2 𝑑𝜏

und 𝛿𝑊 =1

2∫[∇(𝛿��𝑉) − 𝛿��∇𝑉]𝑑𝜏 =

1

2 ∮ 𝛿��𝑉 𝑑��⏟ Ω→∞ ⇒ =0

+1

2∫𝛿���� 𝑑𝜏. Somit gilt für die Energie:

𝛿𝑊 =1

2∫𝛿�� ∙ �� 𝑑𝜏

Für lineare Dielektrika ist �� = 𝜖�� und es gilt 𝑊 =1

2∫ 𝜖𝐸2 𝑑𝜏.

Magnetostatik

Magnetisches Feld

Magnetfelder entstehen stets durch bewegte, geladene Teilchen (Strom).

1D: Linienstromdichte 𝐼(𝑟)

2D: Oberflächenstromdichte ��(𝑟)

3D: Volumenstromdichte 𝐽(𝑟)

Kontinuitätsgleichung

∮ 𝐽 𝑑��𝜕Ω

= −𝑑𝑄

𝑑𝑡

∫ ∇ ∙ 𝐽 𝑑𝜏Ω

= −𝑑

𝑑𝑡 ∫ 𝜌 𝑑𝜏Ω

= −∫𝑑𝜌

𝑑𝑡 𝑑𝜏

Ω⇒ ∇ ∙ 𝐽 = −

𝑑𝜌

𝑑𝑡 und da in der Magnetostatik ∇ ∙ 𝐽 = 0 = −

𝑑𝜌

𝑑𝑡, das

heißt das 𝐽-Feld ist quellenfrei und das Verhältnis von Zufluss und Abfluss ist konstant.

Biot-Savart-Gesetz

��(𝑟) =𝜇04𝜋 ∫ (𝐽(𝑟′) ×

��

𝔯2) 𝑑𝜏′

Hieraus folgt in der magnetostatik ∇ ∙ �� = 0, da die Divergenz von 𝐽 gleich 0 ist. Hier wird ein

Zusammenhang zwischen magnetischer Feldstärke �� = ��𝜇0−1 und Stromdichte her. Hieraus

können räumliche Feldverteilungen anhand der Kenntnis der Stromverteilung berechnet

werden.

Magnetisches Potential

Das magnetische Potential ist durch ein Vektorpotential gegeben.

𝐴 =𝜇04𝜋∫𝐽(𝑟′)

𝔯 𝑑𝜏′

Das Vektorpotential ist mit dem magnetischen Fluss über �� = ∇ × 𝐴 verknüpft.

Magnetisches Dipolmoment

Für das magnetische Moment mit der allgemeinen Formel �� =1

2∫[𝑟′ × 𝐽(𝑟′)]𝑑3𝑟 gilt bei einer

ebenen Leiterschleife �� =𝐼

2∮ 𝑟 × 𝑑𝑙 = 𝐼 ∙ 𝐴 mit 𝐴 als umflossenen Fläche. Für eine Spule folgt

�� = 𝑛 ∙ 𝐼 ∙ 𝐴 . Die Energie des Moments ist 𝐸𝑝𝑜𝑡 = −�� ∙ �� = −𝑚𝐵 cos 𝜃 und das Drehmoment

�� = �� × ��.

Multipolentwicklung

Hier gilt 𝐽 = 𝐼0𝑑𝑙 und für den Dipol �� = 𝐼�� für das magnetische Dipolmoment.

𝐴(𝑟) =𝜇0𝐼

4𝜋

1

𝑟∑∮(

𝑟′

𝑟)

𝑙

𝑃𝑙(cos 𝜃) 𝑑𝑙′⏟

Multipole

𝑙=0

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𝑙 = 0 (Monopol): 𝐴0(𝑟) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∙ ∮ 𝑑𝑙′ = 0

𝑙 = 1 (Dipol): 𝐴1(𝑟) =𝜇0𝐼

4𝜋

1

𝑟2(−�� × ��) =

𝜇0

4𝜋

1

𝑟2(�� × ��)

𝑙 = 2 (Quadropol): 𝐴2(𝑟) ∼ 1/𝑟3

𝑙 = 3 (Oktopol): 𝐴3(𝑟) ∼ 1/𝑟4

Umrechnungen der Magnetostatik

𝐴(𝑟) =𝜇04𝜋∫𝐽(𝑟)

𝔯 𝑑𝜏′ , ∇2 ∙ 𝐴 = −𝜇0𝐽

��(𝑟) =𝜇04𝜋∫𝐽(𝑟) × ��

𝔯2𝑑𝜏, ∇ × �� = 𝜇0𝐽

�� = ∇ × 𝐴, 𝐴 = unmöglich

Magnetische Felder in Materie

Magnetisierung

��(𝑟) ist das magnetische Moment pro Einheitsvolumen.

𝐴𝑑𝑖𝑝(𝑟) =𝜇04𝜋

(�� × ��)

𝔯2=𝜇04𝜋∫��(𝑟′) × ��

𝔯2𝑑𝜏′ = ⋯ =

𝜇04𝜋∫𝐽𝑏(𝑟′)

𝔯𝑑𝜏′ +

𝜇04𝜋∮��𝑏(𝑟

′)

𝔯𝑑��′

Für den gebundenen Volumenstrom 𝐽𝑏(𝑟) gilt 𝐽𝑏(𝑟) = ∇ × ��, bzw. für den Oberflächenstrom

��𝑏(𝑟) = �� × ��.

Magnetische Feldstärke

Ausgehend von 𝐽 = 𝐽𝑓 + 𝐽𝑏 und 1

𝜇0∙ ∇ × �� = 𝐽𝑓 + 𝐽𝑏 = 𝐽𝑓 + ∇ × �� folgt 𝐽𝑓 = ∇ × (

1

𝜇0�� − ��). Das Hilfs-

feld �� ist durch 1

𝜇0�� − �� gegeben und es folgt 𝐽𝑓 = ∇ × ��.

�� = 𝜇0−1 ∙ �� − ��

Mit �� = 𝜒𝑚 ∙ �� in linearen Medien folgt in diesem speziellen Fall �� = ��/𝜇0𝜇𝑟.

Ausprägungsformen

Paramagnet: 𝜇 > 0, Verstärkung in ihrem Inneren

Diamagnet: 𝜇 < 0, Abschwächung in ihrem Inneren

Ferromagnet: 𝐻(𝜇) beschreibt Hystereseschleife.

Elektrodynamik

Allgemeine Tensorrechnung

Zur Berechnung von Potentialen und Feldern kann oft mit Epsilon-Tensoren gerechnet wer-

den. Die wichtigsten Regeln lauten:

(𝐴 × ��)𝑖= 𝜖𝑖𝑗𝑘𝐴𝑗𝐵𝑘 , (∇ × 𝐴)

𝑖= 𝜖𝑖𝑗𝑘𝜕𝑗𝐴𝑘, ∇ = Σ𝑖𝜕𝑖

𝜖𝑖𝑗𝑘 = 𝜖𝑘𝑖𝑗 = −𝜖𝑘𝑗𝑖 , 𝜖𝑖𝑗𝑘𝜖𝑙𝑚𝑘 = 𝛿𝑖𝑙𝛿𝑗𝑚 − 𝛿𝑖𝑚𝛿𝑗𝑙

(𝛿𝑖𝑙δjm)𝑎𝑗𝑏𝑙𝑐𝑚 = ��(�� ∙ 𝑐), �� × (�� × 𝑐) = ��(�� ∙ 𝑐) − 𝑐(�� ∙ ��)

Ohmsches Gesetz

Aus 𝑈 = 𝑅𝐼 folgt 𝐼 = 𝑈/𝑅 mit 𝐼 = 𝐽𝐴. Da 𝜎 = 1/𝑅 gilt, ist 𝐽 = 𝜎𝑈/𝐴 = 𝜎𝑓 respektive allgemein:

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𝐽 = 𝜎𝑓

𝐽: Stromdichte, 𝜎: Leitfähigkeit, 𝑓: Kraft pro Einheitsladung

Eigentlich 𝐽 = 𝜎(�� + �� × ��), aber der zweite Term, die Kraft, die die Ladungen zum Bewegen

bringt, ist extrem klein.

Bei gleichmäßigem Strom und gleichmäßiger Leitfähigkeit gilt ∇ ∙ �� =1

𝜎∇𝐽 = 0.

Elektromotorische Kraft

𝜖, die elektromotorische Kraft, ist die Quellenspannung einer Spannungsquelle. Der Begriff

beschreibt keine physikalische Kraft, sondern eine Spannung. Die Idee ist, dass eine Span-

nungsquelle als „Pumpe“ angenommen werden kann, die das Potential aufrechterhält. Damit folgt sofort 𝜖 = −𝑉.

Da �� die Kraft auf eine Einheitsladung beschreibt, gilt mit 𝑓𝑆 als Kraft der Spannungsquelle

𝑓 = 𝑓𝑆 + �� und 𝜖 = ∮𝑓 𝑑𝑙 = ∮ 𝑓𝑆 𝑑𝑙. So kann man das auch als Arbeit an einer Ladung anneh-

men, die einmal durch das System bewegt wird.

Bewegte Leiter

In einer Leiterschleife mit Breite ℎ, die sich senkrecht zu einem Magnetfeld bewegt (in Rich-

tung 𝑥), gilt:

𝜖 = ∮𝑓𝑑𝑙 = 𝑣𝐵ℎ und für die Arbeit �� 𝑑𝑙 = 𝑞(�� × ��)�� 𝑑𝑡 = 0, was bedeutet, dass das Magnetfeld

keinerlei Arbeit verrichtet; nur das Bewegen erfordert alle Arbeit.

Der magnetische Fluss ist nun Φ = ∫ �� 𝑑�� = 𝑥ℎ𝐵 ⇒𝑑Φ

𝑑𝑡= ℎ𝐵

𝑑𝑥

𝑑𝑡= −𝑣ℎ𝐵 und 𝜖 = −

𝑑Φ

𝑑𝑡. Da Φ��𝑑𝑙 =

−𝑑

𝑑𝑡∫ �� 𝑑�� folgt nun ∫ ∇ × �� 𝑑�� = −∫

𝜕��

𝜕𝑡𝑑�� ⇒ ∇ × �� = −

𝜕��

𝜕𝑡⏟ Faradaysches Gesetz

.

Magnetischer Fluss

Φ = ∫ �� 𝑑��

Induktion

Bei Änderung eines Magnetfelds, wird in einem Leiter innerhalb des Feldes eine Spannung

induziert. Die Änderung ruft ein elektrisches Feld hervor, das einen Stromfluss in einem Lei-

ter bewirkt, der energetisch entgegenwirkt (Lenzsche Regel).

��1(𝑟) =𝜇04𝜋𝐼1∮

𝑑𝑙1 × ��

𝔯2, Φ2 = ∫ ��1 𝑑��2 = 𝑀21𝐼1

Hier beschreibt 𝑀21 die gegenseitige Induktion. Φ2 = ∫ ∇ × 𝐴1 𝑑��2 = ∮𝐴1 𝑑𝑙2 und da 𝐴1(𝑟) =𝜇0𝐼1

4𝜋∮𝑑𝑙1

𝔯 (magnetisches Potential) ist, gilt Φ2 =

𝜇0𝐼1

4𝜋∮∮

𝑑𝑙1𝑑𝑙2

𝔯. Nun ist 𝑀12 = 𝑀21 =

𝜇0

4𝜋∮∮

𝑑𝑙1𝑑𝑙2

𝔯, was

die Neumann-Gleichung genannt wird. Die gegenseitige Induktion hängt also ausschließlich

von der Geometrie ab und ist symmetrisch. Also ist die Änderung vom Strom in Schleife 1:

𝜖2 = −𝑑Φ2

𝑑𝑡= −𝑀21

𝑑𝐼

𝑑𝑡

Selbstinduktion

Für diese gilt: 𝜖 = −𝑑Φ

𝑑𝑡= −𝐿

𝑑𝐼

𝑑𝑡⇒ Φ = 𝐿 ∙ 𝐼 (siehe Induktionsspannung, Seite 92).

Energie statischer Magnetfelder

Allgemein gilt 𝑑𝑊 = −𝜖 𝑑𝑞 ⇒𝑑𝑊

𝑑𝑡= −𝜖 ∙ 𝐼 =

𝑑Φ

𝑑𝑡∙ 𝐼 = 𝐿

𝑑𝐼

𝑑𝑡∙ 𝐼 =

𝑑

𝑑𝑡(1

2𝐿 ∙ 𝐼2) ⇒ 𝑊 =

1

2𝐿 ∙ 𝐼2 . Da Φ = 𝐿 ∙ 𝐼 =

∫ �� 𝑑�� = ∫ ∇ × 𝐴 𝑑�� = ∮𝐴 𝑑𝑙 folgt nun 𝑊 =1

2𝐼 ∮ 𝐴 𝑑𝑙 =

1

2∮𝐴 𝐼 𝑑𝑙 . 𝑊𝑚𝑎𝑔 =

1

2∫𝐴 𝐽 𝑑𝜏 und weiter

𝑊𝑚𝑎𝑔 =1

2𝜇0∫𝐴(∇ × ��) 𝑑𝜏 =

1

2𝜇0∫(��)

2𝑑𝜏 −

1

2𝜇0∫ ∇(𝐴 × ��) 𝑑𝜏

⏟ =0

. Anschaulich ist nun 𝑊𝑚𝑎𝑔 =1

2∫ 𝐽 ∙ 𝐴 𝑑𝜏

mit Energie gespeichert in Quellen, 𝑊𝑚𝑎𝑔 =1

2𝜇0∫𝐵2𝑑𝜏 mit Energie gespeichert im Feld.

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𝑊𝑚𝑎𝑔 =1

2∫ 𝐽 ∙ 𝐴 𝑑𝜏 =

1

2𝜇0∫𝐵2 𝑑𝜏

Maxwell-Gleichungen

Maxwellscher Verschiebungsstrom

Das Ampèresche Gesetz besagt ∇ ∙ (∇ × ��) ≡ 0 = 𝜇0∇ ∙ 𝐽 = 𝜇0 (−𝑑𝜌

𝑑𝑡) ≇ 0. Das ist schlecht.

Deshalb wird das Ampèrsche Gesetz durch den Verschiebungsstrom erweitert: ∇ × �� = 𝜇0𝐽 +

𝜇0𝜖0𝜕��

𝜕𝑡. Die Kontinuitätsgleichung ist nun in den Maxwell-Gleichungen inbegriffen. Daraus

folgt eine lokale Feldtheorie.

Maxwell-Gleichungen im Vakuum

∇ ∙ �� =𝜌

𝜖0

Gaußsches Gesetz

∇ ∙ �� = 0

∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡

Faradaysches Gesetz

∇ × �� = 𝜇0 ∙ 𝐽 + 𝜇0𝜖0𝜕��

𝜕𝑡

Ampèresches Gesetz

+ Maxwellscher Verschiebungsstrom

Maxwell-Gleichungen in Materie

Allgemein gilt bekanntlich 𝜌𝑏 = −∇ ∙ �� ∧ 𝐽𝑏 = ∇ × ��.

�� = 𝜖0�� + ��

∇ × �� = 𝐽𝑓 +𝜕��

𝜕𝑡

Randbedingungen:

∫ �� 𝑑�� = 𝑄𝑓,𝑒𝑖𝑛𝑔𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙. ⇒ 𝐷𝑜𝑏𝑒𝑛⊥ − 𝐷𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛

⊥ = 𝜎𝑓

∫ �� 𝑑�� = 0 ⇒ 𝐵𝑜𝑏𝑒𝑛⊥ − 𝐵𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛

⊥ = 0

∮ �� 𝑑𝑙 = −𝑑

𝑑𝑡∫ �� 𝑑�� ⇒ 𝐸𝑜𝑏𝑒𝑛

∥ = 𝐸𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛∥

∮ �� 𝑑𝑙 = ∫ 𝐽𝑓 𝑑�� +𝑑

𝑑𝑡∫ �� 𝑑�� ⇒ ��𝑜𝑏𝑒𝑛

∥ − ��𝑢𝑛𝑡𝑒𝑛∥ = 𝐾𝑓 × ��

Erhaltungssätze

Ladungserhaltung: Aus 𝑄(𝑡) = ∫ 𝜌(𝑟, 𝑡)𝑑𝜏Ω

⇒𝑑𝑄

𝑑𝑡= ∫

𝜕𝜌

𝜕𝑡𝑑𝜏

Ω= −∫ ∇ ∙ 𝐽 𝑑𝜏

Ω= −∮ 𝐽 ∙ 𝑑��

𝜕Ω folgt die

Kontinuitätsgleichung 𝜕𝜌

𝜕𝑡= −∇ ∙ 𝐽.

Poynting-Theorem: Für 𝑈𝑒𝑙𝑚 als Energiedichte gilt 𝑈𝑒𝑙𝑚 = ∫(𝜖0

2𝐸2 +

1

2𝜇0𝐵

2) 𝑑𝜏.

𝑃 =𝑑𝑊

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡∫𝑈𝑚𝑒𝑐ℎ𝑑𝜏 = −

𝑑

𝑑𝑡𝑈𝑒𝑙𝑚 − ∮𝑆 𝑑�� , wobei 𝑆 =

1

𝜇0(�� × ��) der Poynting-Vektor ist. Nun

ist 𝑈 = 𝑈𝑚𝑒𝑐ℎ + 𝑈𝑒𝑙𝑚. Das ist die Energieerhaltung in der Elektrodynamik. Ein Feld kann

nur Arbeit verrichten, wenn es dabei schwächer wird. 𝑆 ∙ 𝑑�� ist der Energiefluss, die

Energie pro Zeit und Fläche, die durch die Felder transportiert wird. 𝑆 ist eine Art Ener-

gieflussdichte.

Herleitung:

𝑈𝑒𝑙𝑚 =1

2∫(𝜖0𝐸

2 +1

𝜇0𝐵2) 𝑑𝜏

𝑊 = ��𝑑𝑙 = 𝑞(�� + �� × ��)�� 𝑑𝑡 = 𝑞���� 𝑑𝑡

mit 𝑞 = ∫𝜌 𝑑𝜏 ∧ 𝜌�� = 𝐽 folgt…

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⟹𝑑𝑊

𝑑𝑡= ∫𝜌 𝑑𝜏 ���� = ∫ ��𝐽 𝑑𝜏

mit 𝐽 =1

𝜇0∇ × �� − 𝜖0

𝜕��

𝜕𝑡 folgt …

𝑑𝑊

𝑑𝑡= ∫ [

1

𝜇0(∇ × ��)⏟

−𝜕𝐵𝜕𝑡

∙ �� −1

𝜇0∇ ∙ (�� × ��) −

𝜕

𝜕𝑡

𝜖02∙ 𝐸2] 𝑑𝜏

Ω

= −∫𝜕

𝜕𝑡(𝜖02𝐸2 +

1

2𝜇0𝐵2) 𝑑𝜏

Ω

−∮1

𝜇0(�� × ��)𝑑��

𝑑𝑊

𝑑𝑡= −

𝑑

𝑑𝑡∫1

2(𝜖0𝐸

2 +1

𝜇0𝐵2) 𝑑𝜏

Ω⏟ Energie in elektrischen Feldern,𝑈𝑒𝑚

−1

𝜇0∮ (�� × ��)𝑑��𝜕Ω⏟ Energiestrom

Der zweite Term gibt die Rate an, wie viel Energie aus V durch Oberfläche strömt.

Energiedichte: 𝑑𝑊

𝑑𝑡= −

𝑑𝑈𝑒𝑙𝑚

𝑑𝑡− ∮ 𝑆 ∙ 𝑑��

𝜕Ω, 𝑑𝑊

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝑢𝑚𝑒𝑐ℎ𝑑𝜏Ω

. 𝑢𝑒𝑙𝑚 =𝑑𝑈𝑒𝑙𝑚

𝑑𝜏=1

2(𝜖0𝐸

2 +1

𝜇0𝐵2) und es

folgt 𝑑

𝑑𝑡∫ (𝑢𝑚𝑒𝑐ℎ + 𝑢𝑒𝑙𝑚)𝑑𝜏Ω

= −∮ 𝑆 ∙ 𝑑�� = −∫ (∇ ∙ 𝑆)𝑑𝜏Ω

und final: 𝜕

𝜕𝑡(𝑢𝑚𝑒𝑐ℎ + 𝑢𝑒𝑙𝑚) = −∇ ∙ 𝑆.

Elektromagnetische Wellen

Herleitung aus Maxwell-Gleichungen

Für den freien evakuierten Raum ist 𝐽 = 0 und es gilt:

∇ × (∇ × ��) = ∇ (∇ ∙ ��)⏟ =0

− ∇2�� = ∇ × (−𝜕𝐵

𝜕𝑡) = −

𝜕

𝜕𝑡(∇ × ��) = −

𝜕

𝜕𝑡(𝜇0 ∙ 𝐽⏟

=0

+ 𝜇0𝜖0𝜕��

𝜕𝑡)

⇒ (∇2 − 𝜇0𝜖0𝜕2

𝜕𝑡2) ∙ �� = 0

∇ × (∇ × ��) = ∇ (∇ ∙ ��)⏟ =0

− ∇2�� = ∇ × (𝜇0 ∙ 𝐽⏟=0

+ 𝜇0𝜖0𝜕��

𝜕𝑡) = 𝜇0𝜖0

𝜕

𝜕𝑡(∇ × ��) = −𝜇0𝜖0

𝜕2��

𝜕𝑡2

⇒ (∇2 − 𝜇0𝜖0𝜕2

𝜕𝑡2) ∙ �� = 0

Harmonische Wellen

��(𝑟, 𝑡) = ��0 ∙ 𝑒𝑖(��𝑟−𝜔𝑡) ∧ ��(𝑟, 𝑡) = ��0 ∙ 𝑒

𝑖(��𝑟−𝜔𝑡) mit 𝜔 = 𝑣 |��| = 𝑐 |��| und �� als Wellenzahlvektor.

Transversalwelle

Elektromagnetische Wellen sind stets transversal. Die Idee ist, ∇ und 𝜕/𝜕𝑡 mit 𝑖�� bzw. – 𝑖𝜔 zu

ersetzen. Es ist �� = 𝑘 ∙ �� mit �� in Ausbreitungsrichtung. Für das Vakuum gilt, nachdem man 𝑖 gekürzt hat:

�� ∙ �� = 0, �� ∙ �� = 0

�� × �� = 𝜔��, �� × �� = −𝜖0𝜇0𝜔��

Also bilden ��, �� mit �� ein rechtshändiges Dreibein.

Dielektrische Funktionen in Leitern

Nun ist 𝐽 = 𝜎�� und 𝜕/𝜕𝑡 = 𝑖𝜔.

Damit ist ∇ ∙ �� =𝜌

𝜖0= 𝜎

∇��

𝑖𝜔𝜖0⇒ ∇ ∙ (1 +

𝑖𝜎

𝜔𝜖0)

⏟ 𝜖𝑟(𝜔)

�� = 0 und ∇ × �� = 𝜇0 𝜎�� − 𝑖𝜔𝜖0𝜇0��0 = −𝑖𝜔𝜖0𝜇0𝜖𝑟(𝜔)��.

��(𝑧, 𝑡) = ��0 ∙ 𝑒𝑖(𝑘′𝑧−𝜔𝑡)𝑒−𝑧𝑘

′′, 𝑘 = 𝑘′ + 𝑖𝑘′′

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Drude-Lorentz-Modell

Es geht bei diesem Modell um die Bewegung freier Elektronen in einem Medium.

𝑚�� = −𝑚𝜔02𝑥 − 𝑚𝛾�� + 𝑞𝐸0𝑒

−𝑖𝜔𝑡

𝛾: Dämpfungskonstante, 𝜔0: Resonanzfrequenz, 𝜔: Treibfrequenz

Nach dem Einschwingen ist 𝑥 = 𝑥0𝑒𝑖𝜔𝑡 und man erhält 𝑥0 =

𝑞𝐸0/𝑚

𝜔02−𝜔2−𝑖𝛾𝜔

. Mit 𝑝 = 𝑞𝑥 ist nachvoll-

ziehbarer Weise 𝑃 = 𝑁𝑝 = 𝜖0𝑥𝑙(𝜔)𝐸0 (𝑁 ist Dipoldichte). Es folgt 𝜖𝑟(𝜔) = 1 +𝑁𝑞2

𝑚𝜖0

1

𝜔02−𝜔2−𝑖𝛾𝜔

und

bei 𝜔0 → 0 gilt 𝜖𝐷𝑟𝑢𝑑𝑒(𝜔) = 1 −𝜔𝑝2

𝜔2+𝑖𝛾𝜔 mit 𝜔𝑝

2 =𝑁𝑞2

𝑚𝜖0.

𝜖𝐷𝑟𝑢𝑑𝑒(𝜔 → 0) ⇒ 𝜖𝐷𝑟𝑢𝑑𝑒 → −∞

𝜖𝐷𝑟𝑢𝑑𝑒(𝜔 = 𝜔𝑝) = 0

Kramers-Kronig-Relation

Teilt man 𝜖𝑟 in Realteil und Imaginärteil 𝜖′ + 𝑖𝜖′′, so sind diese zwingend gekoppelt.

𝜖′(𝜔) − 1 =2

𝜋𝒫∫

𝜔′𝜖′′(𝜔′)

𝜔′2 − 𝜔2𝑑𝜔′

0

, 𝜖′′(𝜔) =𝜎

𝜖0𝜔−2𝜔

𝜋𝒫∫

𝜖′(𝜔′) − 1

𝜔′2 − 𝜔2𝑑𝜔′

0

Fresnel-Gleichungen

Transversal-Elektrisch (TE): ��1∥ = ��2

∥, 𝐷1⊥ = 𝐷2

Transversal-Magnetisch (TM): ��1∥ = ��2

∥, 𝐵1⊥ = 𝐵2

𝑅TE =𝜇2𝑘1𝑧 − 𝜇1𝑘2𝑧𝜇2𝑘1𝑧 + 𝜇1𝑘2𝑧

, 𝑇TE =2𝜇2𝑘1𝑧

𝜇2𝑘1𝑧 + 𝜇1𝑘2𝑧

Nach Beachtung des Dualitätsprinzips gilt: 𝜖 ↔ 𝜇, �� ↔ ��.

Brewster-Winkel

Für TM-Wellen gilt 𝜖2𝑘1𝑧 − 𝜖1𝑘2𝑧 = 0 ⇒ tan 𝜃𝐵 =𝑛2

𝑛1≅

1

1,5⇒ 𝜃𝐵 ≅ 56°.

Grenzflächen

An einer Grenzfläche zwischen zwei Medien (𝜖1, 𝜇1) und (𝜖2, 𝜇2) gilt mit �� und �� als Reflexions-

und Translationskoeffizienten:

��𝐼∥ + ��𝑅

∥ = ��𝑇∥ ⇒ 1 + �� = ��

��𝐼∥ + ��𝑅

∥ = ��𝑇∥ ⇒ 𝑛1(1 − ��) = 𝑛2��

�� =𝑛1 − 𝑛2𝑛1 + 𝑛2

∧ �� =2𝑛1

𝑛1 + 𝑛2

Hier überall Verweise prüfen

Potentiale und Felder

Potentialberechnung

�� = ∇ × 𝐴 ∧ �� = −∇ ∙ 𝑉 −𝜕𝐴

𝜕𝑡

∇2𝑉 + ∇𝜕𝐴

𝜕𝑡= −

𝜌

𝜖0

(∇2𝐴 − 𝜇0𝜖0𝜕2𝐴

𝜕𝑡2) − ∇ ∙ (∇𝐴 + 𝜇0𝜖0

𝜕𝑉

𝜕𝑡) = −𝜇0𝐽

Eichtransformation

Eine Eichtransformation verändert die Potentiale so, dass sie zur Berechnung vereinfacht

werden, die ursprünglichen Felder aber erhalten werden.

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Coulomb-Eichung

Da �� = ∇ × 𝐴 kann das Vektorpotential mit einer konstanten Funktion addiert werden, ohne

dass �� sich ändert. Ebenso gilt dies für 𝑉. Es wird nun ∇ ∙ 𝐴 = 0 gefordert und Δ𝑉 = −𝜌/𝜖0.

𝑉(𝑟, 𝑡) =1

4𝜋𝜖0∫𝜌(𝑟, 𝑡)

𝔯𝑑𝜏′

Lorenz-Eichung

Der Quabla-Operator oder d’Alembert-Operator ist wie folgt definiert:

= 𝜇0𝜖0𝜕2

𝜕𝑡2− Δ

𝑉 =𝜌

𝜖0 und 𝐴 = 𝜇0𝐽 stellen die Lorenz-Eichung dar.

(∇2 − 𝜇0𝜖0𝜕2

𝜕𝑡2)𝑉 = −

𝜌

𝜖0, (∇2 − 𝜇0𝜖0

𝜕2

𝜕𝑡2)𝐴 = −𝜇0𝐽

Hier versucht man mit den Potentialen zu rechnen, um sich die Berechnung von Feldern zu

ersparen.

Dipolstrahler

Hier gibt es eine harmonische Zeitabhängigkeit.

𝑑 ≪ 𝑟 ≪ 𝜆: Nahfeld, statische Zone

𝑑 ≪ 𝜆 ≪ 𝑟: Strahlungszone, Fernfeld

𝑑: Quellenausdehnung, 𝜆: Wellenlänge (Licht), 𝑟: Entfernung von der Quelle

Relativistische Elektrodynamik

Grundlegendes

Prinzip der Relativität: Die physikalischen Gesetze gelten in allen Inertialsystemen.

Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen in allen Richtungen konstant. Es

gilt die Einstein-Geschwindigkeitsadditionsregel: 𝑣𝐴𝐶 =𝑣𝐴𝐵+𝑣𝐵𝐶

1+𝑣𝐴𝐵𝑣𝐵𝐶𝑐2

.

Zwei Ereignisse, welche simultan verlaufen, tun dies nicht zwangsläufig in einem ande-

ren Inertialsystem. Der Lorentz-Faktor 𝛽 ist durch 𝛽 =𝑣

𝑐 gegeben.

Sich gleichförmig zueinander bewegende Systeme sind gleichberechtigt.

Bewegte Uhren laufen langsamer (Zeitdilatation: Δ𝑡′ = √1 − 𝛽2Δ𝑡).

Bewegte Objekte werden gestaucht (Längenkontraktion: Δ𝑙′ = √1 − 𝛽2Δ𝑙).

Lorentz-Transformation

Die Konvarianz beschreibt die Unveränderlichkeit der Form physikalischer Gleichungen bei

bestimmten Rechenvorgängen.

Die Nomenklatur ist wie folgt:

Kontravariant: 𝑎𝜇

Kovariant: 𝑎𝜇

Die Umrechnung funktioniert mittels 𝑥𝜇 = 𝑔𝜇𝜈𝑥𝜈 mit dem metrischen Tensor.

𝑔𝜇𝜈 = (

1−1

0

0 −1−1

)

Man nimmt für die Koordinaten die Ziffern 0 bis 4, wobei 0 die Zeit beschreibt und die ande-

ren mit den Koordinaten ersetzt werden kann.

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Elektrodynamik

Nawi Graz Seite 224

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Transformationsverhalten von Feldern

��∥′ = ��∥, ��⊥

′ = 𝛾 ∙ (��⊥ + �� × ��⊥)

��∥′ = ��∥, ��⊥

′ = 𝛾 ∙ (��⊥ −1

𝑐2�� × ��⊥)

Elektromagnetischer Feldtensor

𝐹𝜇𝜈 =

(

0 −

𝐸1

𝑐−𝐸2

𝑐−𝐸3

𝑐𝐸1

𝑐0 −𝐵3 𝐵2

𝐸2

𝑐𝐵3 0 −𝐵1

𝐸3

𝑐−𝐵2 𝐵1 0 )

, 𝐹𝜇𝜈 = −𝐹𝜈𝜇

Dualer Feldtensor

��𝜇𝜈 =

(

0 −𝐵1 −𝐵2 −𝐵3

𝐵1 0𝐸3

𝑐−𝐸2

𝑐

𝐵2 −𝐸3

𝑐0

𝐸1

𝑐

𝐵3𝐸2

𝑐−𝐸1

𝑐0 )

, ��𝜇𝜈 = −��𝜈𝜇

Viererstrom

𝑗𝜇 = (

𝑐 ∙ 𝜌

𝑗1

𝑗2

𝑗3

)

Maxwellgleichungen im Vierdimensionalen

3D: 4D:

∇ ∙ �� 𝜕𝜇𝐹𝜇𝜈 = 𝜇0𝑗

𝜈 (inhomogen)

∇ × �� 𝜖𝜇𝜈𝛼𝛽𝜕𝜈𝐹𝛼𝛽 = 0 (homogen)

Zusammenfassnung

Konventionell Kovariant

�� = 𝑞(�� + �� × ��) 𝑓𝜇 = 𝑞𝐹𝜇𝜈𝑢𝜈

∇ ∙ �� =𝜌

𝜖0, ∇ ∙ �� = 0 𝜕𝜇𝐹

𝜇𝜈 = 𝜇0𝑗𝜈

∇ × �� = −𝜕��

𝜕𝑡 , ∇ × �� = 𝜇0𝐽 + 𝜇0𝜖0

𝜕��

𝜕𝑡 𝜕𝜇��

𝜇𝜈 = 0

𝜕𝜌

𝜕𝑡+ ∇ ∙ 𝐽 = 0 𝜕𝜇𝑗

𝜇 = 0

�� = −∇ ∙ 𝑉 +𝜕��

𝜕𝑡 𝐹𝜇𝜈 = 𝜕𝜇𝐴𝜇 − 𝜕𝜈𝐴𝜈

�� = ∇ × 𝐴 𝜕𝜇𝐴𝜇 = 0

(

𝜇0𝜖0𝜕𝑉

𝜕𝑡+ ∇𝐴 = 0

(𝜇0𝜖0𝜕2

𝜕𝑡2− ∇2) 𝑉 =

𝜌

𝜖0

(𝜇0𝜖0𝜕2

𝜕𝑡2− ∇2) 𝐴 = 𝜇0𝐽)

𝐴𝜇 = 𝜇0𝑗𝜇 , = 𝜕𝜇𝜕

𝜇

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Computerorientierte Physik

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Computerorientierte Physik Computermethoden und Grundlagen

Grundlagen

Computerorientierte Physik wird wie folgt eingeteilt:

Berechnung gewöhnlicher Differentialgleichung (Runge-Kutta-Methode)

Berechnung partieller Differentialgleichungen (z.B. Finite-Differnezen-Methode)

Eigenwertprobleme

Multidimensionale Integrale (Monte-Carlo-Techniken)

Die Standard-Datentypen laut IEEE 754 haben folgende Eckdaten:

Name Type Bits Bytes Intervall

bool logical 1 1/8 0,1

char string 16 2 ISO Unicode Zeichen

byte integer 8 1 [−128,127]

short integer 16 2 [−32768,32767]

int integer 32 4 [−2147483648,2147483647]

long integer 64 8 [−9223372036854775808,9223372036854775807]

float floating 32 4 [~ ± 1,4 ∙ 10−45, ~3,4 ∙ 1038]

double floating 64 8 [~ ± 4,9 ∙ 10−324, ~ ± 1,8 ∙ 10308]

Maschinengenauigkeit (machine precision) bezeichnet Fehler, die bei der Verwendung von

Gleitkommazahlen auftreten.

Hauptsächlich zu bedenkende Fehlerquellen sind:

Rundungsfehler: Im single-precision-Modus mit float-Variablen gibt es nur 7 signifikante

Stellen

Methodenlogische Fehler: Systematische Fehler, zum Beispiel das zwangsläufige Ende

der Berechnung einer unendlichen Summe

Die Stabilität in der Numerik beschreibt die Fehleranfälligkeit gegenüber kleinen Störungen

der Daten.

Ein Algorithmus ist instabil (ill-conditioned), wenn Fehler bei einem Schritt 𝑛 der nu-

merischen Berechnung in den darauffolgenden Schritten vergrößert werden.

Mit eigenen Worten: Bei einer leicht falschen Eingabe, soll die Verfälschung des Ergebnisses

durch Rundungs- oder methodenlogische Fehler nicht viel stärker sein, als die Verfälschung

durch den bereits durch die Eingabe vorhandenen Fehler.

Numerische Integration und Differenzierung

Numerische Integration

Integrale werden über Berechnungen an einzelnen Punkten (Gitter) zu einer Kurve zusam-

mengefügt. Hier kann man zwischen Methoden unterscheiden, die ein äquidistantes Gitter

zur Grundlage nehmen und welchen, die die Abstände der Gitterpunkte optimieren.

Allgemein gilt für die folgenden Verfahren:

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥, 𝐼𝑇 bezeichnet das approximierte Ergebnis

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Computerorientierte Physik

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Trapezverfahren

Bei diesem Verfahren wird das Intervall [𝑎, 𝑏] in 𝑁-Abschnitte in die Punkte 𝑥𝑖|𝑖 = [0,1, …𝑁] ge-

teilt (mit Breite ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) und es gilt:

𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, ℎ =𝑏 − 𝑎

𝑁

Dabei ist 𝑥0 = 𝑎 und 𝑥𝑁 = 𝑏. Für ein Subintervall [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1] berechnet man hier die Fläche des

Trapezes:

𝐼𝑖 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑥+𝑖

𝑥𝑖

𝑑𝑥 ≈ℎ

2[𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓(𝑥𝑖+1)] = 𝐼𝑖

𝑇

Für lineare Integrale gibt die Methode das exakte Ergebnis wieder. Der Fehler ist ansonsten

durch die Taylorentwicklung zu erkennen. Die Taylorentwicklung allgemein ist:

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥𝑖) + 𝑓′(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖) +

1

2!𝑓′′(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖)

2 +1

3!𝑓′′′(𝑥𝑖)(𝑥 − 𝑥𝑖)

3 +⋯

Die für ein hier gewünschtes Intervall:

𝑓𝑥+1 = 𝑓𝑖 + 𝑓𝑖′(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) +

1

2!𝑓𝑖′′(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)

2 +1

3!𝑓𝑖′′′(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)

3 +⋯ = 𝑓𝑖 + ℎ 𝑓𝑖′ +ℎ2

2𝑓𝑖′′ +

ℎ3

6𝑓𝑖′′′ +⋯

Nun kann verglichen werden:

𝐼𝑖𝑇 =

2(𝑓𝑖 + 𝑓𝑖+1) = ℎ𝑓𝑖 +

ℎ2

2𝑓𝑖′ +ℎ3

4𝑓𝑖′′ +

ℎ4

6𝑓𝑖′′′ +⋯

𝐼𝑖 = ∫ 𝑇[𝑓(𝑥)]𝑥𝑖+1

𝑥𝑖

𝑑𝑥 = ℎ𝑓𝑖 +ℎ2

2𝑓𝑖′ +ℎ3

6𝑓𝑖′′ +

ℎ4

24𝑓𝑖′′′ +⋯

Der Fehler ist also in der Ordnung 𝒪(ℎ3).

Simpsonregel

Für ein Subintervall [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖+1] versucht man hier den Mittelpunkt 𝑥𝑖 heranzunehmen und ei-

ne exakt integrierbare Parabel über die drei Punkte zu legen; man bezieht Ableitungen hö-

herer Ordnung ein.

Aus Symmetriegründen verschwinden bei der Auswertung alle ungeraden Ableitungen und

es gilt:

∫ 𝑓(𝑥)𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

𝑑𝑥 = ∫ 𝑇[𝑓(𝑥)]𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

𝑑𝑥 = 2ℎ𝑓𝑖 +ℎ3

3𝑓𝑖′′ + 𝒪(ℎ5)

Für die zweite Ableitung wird eine finite Differenzenmethode und es gilt 𝑓𝑖′′ =

𝑓𝑖+1−2𝑓𝑖+𝑓𝑖−1

ℎ2+

𝒪(ℎ2). Das führt zu:

∫ 𝑓(𝑥)𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−1

𝑑𝑥 = ℎ (1

3𝑓𝑖−1 +

4

3𝑓𝑖 +

1

3𝑓𝑖+1) + 𝒪(ℎ

3)

Für das gesamte Integral zusammengesetzt gilt nun:

∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑥2

𝑥0

𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)

𝑥4

𝑥2

𝑑𝑥 + ⋯

=ℎ

3(𝑓0 + 4𝑓1 + 2𝑓2 + 4𝑓3 +⋯+ 2𝑓𝑁−2 + 4𝑓𝑁−1 + 𝑓𝑁)

Die Gewichtung der Endpunkte ist also 1

3, die der ungeraden Gitterpunkte

4

3 und die der ge-

raden Gitterpunkte 2

3. Die Simpsonregel gibt exakte Ergebnisse bis zu Polynomen 3. Ord-

nung.

Der Fehler hat die Ordnung 𝒪(ℎ5).

Romberg-Methode

Das Trapzeverfahren hat zwei Punkte und einen Fehler von 𝒪(ℎ2), die Simpsonregel drei

Punkte und 𝒪(ℎ3). Mit der Romberg-Methode generalisiert man die Berechnung auf einen

Fehler von 𝒪(ℎ2𝑛−2) bei 𝑛 Punkten.

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Computerorientierte Physik

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Für ℎ2 als Schrittweite bei 𝑁 Intervallen gilt 𝐼 = 𝐼(ℎ2) + 𝒪(ℎ2) ≈ 𝐼(ℎ2) +𝐼(ℎ2)−𝐼(ℎ1)

(ℎ1ℎ2)2−1

, wobei der Feh-

ler hier durch eine Annäherung behandelt wird. Wenn nun aber ℎ2 = 2 ∙ ℎ1, also ℎ1 doppelt so

wenig Intervalle verwendet, dann ist 𝐼𝑇 =4

3𝐼(ℎ2) −

1

3𝐼(ℎ1). Verallgemeinert gibt das bei einer

𝑛-Punkt-Methode:

𝐼𝑇 =4𝑛−1𝐼𝑛

2𝑁 − 𝐼𝑛𝑁

4𝑛−1 − 1≡ 𝐼𝑛+1

2𝑁

Der Ablauf sieht an einem Beispiel folgt aus:

𝑇1: 𝐼11

𝑇2: 𝐼12 𝐼2

2

𝑇4: 𝐼14 𝐼2

4 𝐼34

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱

𝐼11 wird berechnet (Trapezverfahren) mit ℎ = 𝑏 − 𝑎:

𝐼11 =

2(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏))

𝐼12 wird berechnet (Trapezverfahren) mit der Mitte des vorherigen Schritts (ℎ wird hier

konstant mit ℎ = 𝑏 − 𝑎 gehalten):

𝐼12 =

4(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)) +

2𝑓 (𝑎 +

2)

𝐼22 ist nun mit 𝐼2

𝑥 =4 𝐼1𝑥−𝐼1

𝑥−1

3 hier:

𝐼22 =

4𝐼12 − 𝐼1

1

3

𝐼14 wird berechnet mit den jeweiligen Mitten der vorherigen Schritte:

𝐼14 =

8(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏)) +

4(𝑓 (𝑎 +

4) + 𝑓 (𝑎 +

2ℎ

4) + 𝑓 (𝑎 +

3ℎ

4))

𝐼24, wie oben, mit 𝐼2

𝑥 =4 𝐼1𝑥−𝐼1

𝑥−1

3:

𝐼24 =

4𝐼14 − 𝐼1

2

3

𝐼34 ist nun mit 𝐼3

𝑥 =16𝐼2

𝑥−𝐼2𝑥−1

15 hier:

𝐼34 =

16𝐼24 − 𝐼2

2

15

Gauß-Legendre-Quadratur

In den vorhergegangenen Methoden werden Integranden durch Polynome ersetzt. Bei der Gauß-Quadratur oder Gauß-Legendre-Quadratur wird diese Idee auf das Intervall [𝑎, 𝑏] im

Gesamten angewandt.

Eine Funktion kann durch Polynome in der Form 𝑓(𝑥) = ∑ 𝛼𝑙𝑃𝑙(𝑥)𝑛𝑙=0 mit den Koeffizienten 𝛼𝑙

beschrieben werden. Hier werden die Legendre-Polynome verwendet (siehe Legendre-

Polynome, Seite 215).

Für diese Polynome gilt ∫ 𝑃𝑘(𝑥)𝑃𝑙(𝑥)+1

−1𝑑𝑥 =

2

2𝑙+1𝛿𝑘𝑙. Da dies aber nur im Intervall [−1,+1] defi-

niert ist, muss man über die Substitution 𝑥 →𝑏+𝑎

2+𝑏−1

2𝑥 rechnen.

Für einen Integranden, der mit der Ordnung 2𝑛 − 1 angenähert werden kann gilt 𝑓(𝑥) ≈𝑝2𝑛−1(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥

2 +⋯+ 𝑎2𝑛−1𝑥2𝑛−1. Für die Gauß-Quadratur gilt:

𝐼 =∑𝜔𝑖𝑓(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

, 𝜔𝑖 =2

(1 − 𝑥𝑖2)[𝑃𝑛

′(𝑥𝑖)]2

𝑃𝑛′(𝑥𝑖): Erste Ableitung des Legendre-Polynoms am Punkt 0

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Computerorientierte Physik

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Ein Problem bei dieser Methode ist, die richtige Ordnung herauszufinden. Auch bei Annähe-

rung mit zu hoher Ordnung kann ein relativ großer Fehler resultieren. Es ist im Allgemeinen

nicht einfach, den besten Approximations-Wert zu finden.

Uneigentliche Integrale

Numerische Lösungen sind für Integrale bis ins Unendliche, oder welche, die eine Singulari-

tät haben, nur mit Tricks lösbar.

Üblicherweise kann man ∞ durch eine endliche Zahl 𝑏 ersetzen und zu vergleichen, wie klein

der Beitrag zum Gesamtintegral darüber hinaus noch wäre. Für manche Integrale ist dies

ungeeignet und man muss nicht-linear transformieren:

∫𝑑𝑥

(1 + 𝑥2)4 3⁄

0

𝑡=1 1+𝑥⁄⇒ ∫

𝑡2 3⁄

[𝑡2 + (1 − 𝑡)2]4 3⁄

1

0

𝑑𝑡

Bei Singularitäten gibt es zwei Möglichkeiten:

Ignorieren: Das ist nur bei einer offenen quadratischen Formel möglich, sollte die Singu-

larität nicht eine Grenze darstellen (Gauß-Quadratur).

Eine analytische Transformation als Approximation verwenden und Umschreiben. Zum

Beispiel ∫𝑒𝑥

√𝑥𝑑𝑥

1

0

𝑥=𝑡2

⇒ 2∫ 𝑒𝑡2𝑑𝑡

1

0.

Partielle Integration

Numerische Differenzierung

Ausgehend von 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑓

𝑑𝑥= limℎ→0

𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ gibt es nicht so viele Schwierigkeiten eine nume-

rische Berechnung auszuführen.

Erste Ableitung

Man kann die direkte Verallgemeinerung des Limes zu einer Formel führen, welche die Vor-

wärts-Differenzierung darstellt. Entsprechend gibt es die Rückwärts-Differenzierung:

𝐷+𝑓𝑖 =Δ𝑓𝑖ℎ=𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖ℎ

, 𝐷−𝑓𝑖 =Δ𝑓𝑖ℎ=𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1ℎ

Hieraus kann man sehr einfach die Methode des zentralen Differenzenquotienten herleiten:

𝐷𝑓𝑖 =𝛿𝑓𝑖ℎ=𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1

2ℎ

Durch die Mittelung der beiden Punkte liegt der Fehler hier nur bei 𝒪(ℎ2).

Zweite Ableitung

Die erste Ableitung kann man mit 𝑓𝑖+1 = 𝑓𝑖 + 𝑓𝑖′ℎ +

ℎ2

2𝑓𝑖′′ +

ℎ3

6𝑓𝑖′′′ +⋯ und 𝑓𝑖−1 = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖

′ℎ +ℎ2

2𝑓𝑖′′ −

ℎ3

6𝑓𝑖′′′ +⋯ Taylor-entwickeln. Wenn man beide Seiten addiert, so eliminiert man 𝑓𝑖

′ aus der

Gleichung und erhält:

𝑓𝑖′′ =

𝑓𝑖+1 − 2𝑓𝑖 + 𝑓𝑖−1ℎ2

−1

12𝑓𝑖(4)ℎ2

Die oft verwendete Fünf-Punkte-Formel kann auf dem gleichen Weg mit 𝑓𝑖+2 und 𝑓𝑖−2 gewon-

nen werden und ist wie folgt gegeben:

𝑓𝑖′′ =

−𝑓𝑖+2 + 16𝑓𝑖+1 − 30𝑓𝑖 + 16𝑓𝑖−1 − 𝑓𝑖−212ℎ2

+1

90𝑓𝑖(6)ℎ4

Voraussetzung für all diese Methoden ist eine entsprechende Differenzierbarkeit der einge-

setzten Funktionen.

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Computerorientierte Physik

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Numerische Methoden der Linearen Algebra

Lineare Gleichungssysteme

Hier werden Systeme von der Form �� ∙ �� = �� behandelt.

Matrixoperationen

Für eine Matrixmultiplikation sind drei Schleifen nötig.

LU-Decomposition

Die LU-Decomposition oder zu Deutsch LR-Zerlegung benötigt ein eindeutig lösbares Glei-

chungssystem. Nun wird der Gauß-Algorithmus als Dreieckszerlegung interpretiert, so dass

�� in das Produkt einer unteren Dreiecksmatrix �� und einer oberen �� aufgeteilt wird.

Zum Beispiel: (1 2 31 1 13 3 1

) = (1 0 01 1 03 3 1

) ∙ (1 2 30 −1 −20 0 −2

) = �� ∙ ��.

Um Eindeutigkeit zu erreichen, werden die Elemente in Matrix �� als 1 festgesetzt. Nun kann

durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen weitergearbeitet werden.

Beim Vorwärtseinsetzen berechnet man eine Lösung zu �� ∙ �� = ��, so dass man später �� = �� ∙ ��

ausnutzen kann.

Es gilt:

𝑦𝑖 =1

𝑙𝑖𝑖(𝑏𝑖 −∑𝑙𝑖𝑘 ∙ 𝑦𝑘

𝑖−1

𝑘=1

)

Beginnend mit 𝑦1 = 𝑏1/𝑙11 können so alle weiteren 𝑦-Werte mit 𝑦𝑖 berechnet werden.

Beim Rückwärtseinsetzen beginnt man bei 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛/𝑢𝑛𝑛 und rechnet nach vorne:

𝑥𝑖 =1

𝑢𝑖𝑖(𝑦𝑖 − ∑ 𝑢𝑖𝑘 ∙ 𝑥𝑘

𝑛

𝑘=𝑖+1

)

Zusammengefasst kann man das Verfahren mit folgenden Berechnungen durchführen:

𝑢𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 −∑𝑙𝑖𝑘𝑢𝑘𝑗

𝑖−1

𝑘=1

mit 𝑖 = 1,… , 𝑗 − 1

𝑦𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 −∑𝑙𝑖𝑘𝑢𝑘𝑗

𝑗−1

𝑘=1

mit 𝑖 = 𝑗, … , 𝑛

𝑢𝑗𝑗 = 𝑦𝑗𝑗 ,

𝑙𝑖𝑗 =𝑦𝑖𝑗

𝑦𝑗𝑗 mit 𝑖 = 𝑗 + 1,… , 𝑛

def matrixmult(A,B):

N = A.shape[0]

l1 = A.shape[1]

l2 = B.shape[0]

m = B.shape[1]

if(l1! = l2):

C = 0

return(-1)

C = np.zeros((n,m),float)

l = l1

for i in range(0,n):

for j in range(0,m):

for k in range(0,l):

C[i,j] = C[i,k] + A[i,k]*B[k,j]

return(C)

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Computerorientierte Physik

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Aufgespaltet in drei Funktionen sieht der Python-Code wie folgt aus:

Aufgerufen werden die Funktionen logisch verknüpft wie folgt:

Die condition number gibt eine Aussage über die Stabilität. Es gilt:

‖𝛿��‖

‖��‖≤ cond(��)

‖𝛿��‖

‖��‖

cond(��) = ‖��−1‖ ∙ ‖��‖

Die Norm zu berechnen ist sehr aufwändig und würde das komplette Spektrum abdecken

müssen. Einfacher ist es als Operatornorm mit dem Maximum der Summen zu rechnen:

‖��‖1= max1≤𝑗≤𝑛

{∑|𝑎𝑖𝑗|

𝑛

𝑖=1

}

‖𝐴‖∞= max1≤𝑖≤𝑛

{∑|𝑎𝑖𝑗|

𝑛

𝑗=1

}

def LUdecomp(matrix,data):

LU = np.zeros(np.shape(matrix),data)

g = np.zeros(np.shape(matrix),data)

for j in range(0,len(matrix)):

for i in range(0,j):

s = A[i,j]

for k in range(0,i):

s -= LU[i,k]*LU[k,j]

LU[i,j] = s

for i in range(j,len(matrix)):

s = A[i,j]

for k in range(0,j):

s = s-LU[i,k]*LU[k,j]

g[i,j] = s

LU[j,j] = g[j,j]

if j < len(matrix):

for i in range(j+1,len(matrix)):

LU[i,j] = g[i,j]/g[j,j]

return(LU)

def substitute(matrix,vector,direction,data):

if direction == "f":

y = np.zeros(len(matrix),data)

for k in range(0,len(matrix)):

s = vector[k]

for l in range(0,k):

s = s-matrix[k,l]*y[l]

y[k] = s

return(y)

if direction == "b":

x = np.zeros(len(matrix),data)

for k in range(len(matrix)-1,-1,-1):

s = vector[k]

for l in range(k+1,len(matrix)):

s = s-matrix[k,l]*x[l]

x[k] = s / matrix[k,k]

return(x)

def solve(matrix,vector,data):

LU = LUdecomp(matrix,data)

y = substitute(LU,vector,"f",data)

x = substitute(LU,y,"b",data)

return(x)

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Computerorientierte Physik

Nawi Graz Seite 231

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Für sehr große Gleichungssysteme ist es möglich spezielle Beschreibungen für die Koeffi-

zientenmatrix zu verwenden. Ein Beispiel wäre der Cholesky-Prozess, ein anderes das Tridi-

agonalmatrix-Verfahren. Letzteres hat folgenden Aufbau:

(

𝑏1 𝑐1 0 0

𝑎2 𝑏2 𝑐2 0

𝑎3 𝑏3 𝑐3⋱ ⋱ ⋱

) ∙ (

𝑥1𝑥2𝑥3⋮

) = (

𝑟1𝑟2𝑟3⋮

)

Also kann man die Matrix auf drei Vektoren ��, �� und 𝑐 herunterbrechen. Im 𝐿𝑈-Verfahren

kann man die Werte wie folgt bearbeiten:

(

1 0𝑙1 1 0

𝑙2 1 0

⋱ ⋱ ⋱

) ∙ (

𝑢1 𝑐10 𝑢2 𝑐2

0 𝑢3 𝑐3⋱ ⋱ ⋱

) ∙ (

𝑥1𝑥2𝑥3⋮

) = (

𝑟1𝑟2𝑟3⋮

) ,

𝑢1 = 𝑏1 ∧ 𝑦1 = 𝑟1⇒ 𝑙𝑗 = 𝑎𝑗 𝑢𝑗−1⁄

⇒ 𝑢𝑗 = 𝑏𝑗 − 𝑙𝑗𝑐𝑗−1⇒ 𝑦𝑗 = 𝑟𝑗 − 𝑙𝑗𝑦𝑗−1

mit 𝑗 = 2,… , 𝑛

Der Lösungsvektor wird mit Rückwärtseinsetzen berechnet:

𝑥𝑛 = 𝑦𝑛 𝑢𝑛⁄ , 𝑥𝑗 = (𝑦𝑗 − 𝑐𝑗𝑥𝑗+1) 𝑢𝑗⁄ mit 𝑗 = 𝑛 − 1,… ,1

Iterative Methoden

Iteration beschreibt einen Prozess mehrfachen Wiederholens eines Schrittes zur Annäherung

an eine Lösung.

Das Jacobi-Verfahren ist definiert über:

𝑥𝑖𝑡+1 = (1 − 𝜔)𝑥𝑖

(𝑡) −𝜔

𝑎𝑖𝑖( ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗

(𝑡)

𝑛

𝑗=1(𝑗≠1)

− 𝑏𝑖)

Es ist für 𝜔 = 1 das originale Verfahren und für 𝜔 ≠ 1 wird es zur Jacobi over-relation method

(JOR).

Das Verfahren konvergiert für Diagonaldominante Matrizen. Man benötigt hier eine Schluss-

bedingung, zum Beispiel max𝑖=1,…𝑛|𝑥𝑖(𝑡+1) − 𝑥𝑖

(𝑡)| < 𝜖.

In anderen Methoden kann man die nächsten berechneten Schritte sukzessive über die zu-

vor berechneten Schritte bestimmen:

𝑥𝑖(𝑡+1) = (1 − 𝜔)𝑥𝑖

(𝑡) −𝜔

𝑎𝑖𝑖(∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗

(𝑡+1)

𝑖−1

𝑗=1

+ ∑ 𝑎𝑖𝑗𝑥𝑗(𝑡)

𝑛

𝑗=𝑖+1

− 𝑏𝑖)

Mit 𝜔 = 1 führt das zum Gauß-Seidel-Verfahren. Andere Werte können eingesetzt werden,

um eine Matrix, die eigentlich nicht konvergieren würde, dazu zu zwingen.

Eigenwertprobleme

Nun werden homogene Gleichungssysteme �� ∙ �� = 0 betrachtet. Es gibt zwei Fälle: Für

det �� ≠ 0 gibt es nur die triviale Lösung �� = 0, für det �� = 0 aber existiert eine nicht-triviale

Lösung.

Das reguläre Eigenwertproblem basiert auf dem Gleichung ��(𝜆) = ��0 − 𝜆��, wobei �� die Ein-

heitsmatrix beschreibt. Anders geschrieben gilt �� ∙ �� = 𝜆�� (siehe auch Eigenwertproblem, Sei-

te 40). Die 𝑛 Nullstellen des Polynoms beschreiben die Eigenwerte:

det(�� − 𝜆��) = 𝑃𝑛(𝜆) = 𝜆𝑛 +∑𝑝𝑖𝜆

𝑛−𝑖

𝑛

𝑖=1

≡ 0

Potenzmethode

Die Potenzmethode oder von-Mises-Iteration ist ein iteratives Verfahren, das zum größten

Eigenwert einer realen Matrix führt. In jedem Schritt wird die Matrix �� auf die aktuelle Nä-

herung 𝑟𝑘 angewandt und dann normiert. Dabei startet man mit einem Vektor 𝑟0: ��𝑟0 ≠ 0.

𝑟𝑘+1 =𝐴𝑟𝑘‖𝐴𝑟𝑘‖

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Computerorientierte Physik

Nawi Graz Seite 232

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Die Vektoren konvergieren gegen den Eigenvektor des betragsgrößten Eigenwertes. Der

Grund liegt darin, dass man in den Raum, der durch die Vektoren in der Matrix aufgespannt wird, zufällig einen Vektor 𝑟0 legt und mit diesem multipliziert, danach aber normiert. Also

wird sich der Vektor, den man gewählt hat, allmählich in Richtung des größten Eigenvektors auslenken. Man kann das Verfahren stoppen, wenn 𝑟𝑘 sich kaum noch ändert (oder gar nicht

mehr, je nach verwendeter Genauigkeit).

Es gibt also einen Index 𝑑, für den 𝜆1 = ⋯ = 𝜆𝑑 ∧ |𝜆𝑑| > |𝜆𝑑+1| ≥ ⋯ ≥ |𝜆𝑛| gilt, wobei 𝑑 dann die

geometrische und algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 𝜆1 ist. Der nun approximierbare

Eigenwert kann mit zwei Methoden berechnet werden:

Bildet man den Rayleigh-Quotient 𝜃𝑘 =⟨𝑟𝑘,𝐴𝑟𝑘⟩

⟨𝑟𝑘,𝑟𝑘⟩ so konvergiert 𝜃𝑘 gegen 𝜆1.

Da 𝑟𝑘 gegen einen Eigenvektor konvergiert, konvergiert ‖𝐴𝑟𝑘‖ gegen |𝜆1|.

Jacobi-Prozess

Das Jacobi-Diagonalisierungsverfahren ist das typische Verfahren zur Bestimmung von Ei-

genwerten. Um es vom Verfahren für lineare Gleichungssysteme abzugrenzen wird vom Ja-

cobi-Prozess gesprochen, obwohl hier nur eine Erweiterung auf nichtlineare Systeme zu

Grunde liegt.

Jede symmetrische oder hermitesche Matrix kann mit einer Transformationsmatrix �� in eine

Diagonalmatrix umgeschrieben werden (siehe Diagonalisierung, Seite 41).

Es gilt �� = ��𝑇 ∙ �� ∙ �� mit �� als Orthogonalmatrix ��𝑇 = ��−1 ⇒ ��𝑇 ∙ �� = ��. �� besteht aus den Ei-

genwerten 𝜆𝑖. Multipliziert man die erste Gleichung von links mit �� ist erkennbar, dass �� in

den Spalten aus den Eigenvektoren besteht: �� = (��1, ��2, … ) . Also kann auch geschrieben

werden: �� ∙ (��1, ��2, … ��𝑛) = (𝜆1��1, 𝜆2��2, … , 𝜆𝑛 ��𝑛).

Der Jacobi-Prozess baut nun schrittweise eine Transformation, so dass das Ergebnis der di-

agonalen Form immer näher kommt.

��(1) = ��0𝑇 ∙ �� ∙ ��0

��(2) = ��1𝑇 ∙ ��(1) ∙ ��1 = ��1

𝑇 ∙ ��0𝑇 ∙ �� ∙ ��0 ∙ ��1

��(𝑡+1) = ��𝑡𝑇 ∙ ��(𝑡) ∙ ��𝑡 = ��𝑡

𝑇 ∙ ��𝑡−1𝑇 ∙ … ∙ �� ∙ … ∙ ��𝑡−1 ∙ ��𝑡

Die Matrizen ��𝑡 haben die Form einer Rotation um den Winkel 𝜑 in einem zweidimensionalen

Unterraum (die Symmetrie bleibt bei Transformation erhalten):

��𝑡(𝑖, 𝑗, 𝜑) =

(

1 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮0 ⋯ cos 𝜑 ⋯ − sin𝜑 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 ⋯ sin𝜑 ⋯ cos𝜑 ⋯ 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0 ⋯ 0 ⋯ 1)

Wenn man nun ein nicht-diagonales Element 𝑎𝑖𝑗(𝑡)

mit möglichst großem Betrag nimmt (und

somit 𝑖 und 𝑗 definiert), das nach der Transformation verschwindet (𝑎𝑖𝑗(𝑡+1) = 0), führt das zu

dem optimalen Rotationswinkel 𝜑 als tan 2𝜑 =2𝑎𝑖𝑗(𝑡)

𝑎𝑖𝑖(𝑡)−𝑎𝑗𝑗(𝑡) respektive 𝜑 =

𝜋

4 für 𝑎𝑖𝑖

(𝑡) = 𝑎𝑗𝑗(𝑡)

.

In Realität lässt man keine riesige Matrix nach dem größten Element durchsuchen, aber

man sucht zum Beispiel nach dem ersten Element, das größer als der Durchschnitt aller

nicht-diagonalen Elemente ist.

Die Eigenvektoren können nun über das Produkt aller Rotationen bestimmt werden:

��(𝑡−1) = ��0 ∙ ��1 ∙ … ∙ ��𝑡−1

Man kann auch schreiben:

(��(𝑡−1) ∙ ��𝑡(𝑖, 𝑗, 𝜑))𝑘𝑖= 𝑣𝑘𝑖 cos 𝜑 + 𝑣𝑘𝑗 sin𝜑

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(��(𝑡−1) ∙ ��𝑡(𝑖, 𝑗, 𝜑))𝑘𝑗= 𝑣𝑘𝑗 cos𝜑 − 𝑣𝑘𝑖 sin 𝜑

Interpolation und Least Squares

Definition

Interpolation ist die Konstruktion neuer Datenpunkte innerhalb einer Umgebung, in der be-

reits andere diskrete Punkte bekannt sind. Für 𝑛 Punkte (𝑥𝑖 , 𝑓𝑖) , die nicht unbedingt in

gleichbleibenden Abständen verteilt sein müssen, ist eine Interpolation 𝐼(𝑥) definiert nach:

𝐼(𝑥𝑖) = 𝑓𝑖

Die Funktion verläuft also exakt durch die gegebenen Punkte.

Spline-Interpolation

Bei der Spline-Interpolation versucht man, gegebene Stützstellen mit Hilfe stückweise steti-

ger Polynome (Splines) zu interpolieren. Der Start für den sogenannten kubischen Spline sind Polynome der Ordnung 3. An der Stelle 𝑥𝑖, also zwischen 𝑥𝑖 und 𝑥𝑖+1 gilt:

𝑃𝑖(𝑥) = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖) + 𝑐𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)2 + 𝑑𝑖(𝑥 − 𝑥𝑖)

3

Die kubischen Splines sind zweimal stetig differenzierbar. Diese Konstruktion führt zwangs-

läufig zu 𝑛 − 1 Polynomen mit den Koeffizienten 𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑐𝑖 und 𝑑𝑖. Es gelten die Bedingungen:

𝑃𝑖(𝑥𝑖) = 𝑓1 | 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1

𝑃𝑖(𝑥𝑖+1) = 𝑓𝑖+1 | 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1 𝑑

𝑑𝑥𝑃𝑖(𝑥𝑖) =

𝑑

𝑑𝑥𝑃𝑖+1(𝑥𝑖) | 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 2

𝑑2

𝑑𝑥2𝑃𝑖(𝑥𝑖) =

𝑑2

𝑑𝑥2𝑃𝑖+1(𝑥𝑖) | 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 2

Dies führt zu 𝑑2

𝑑𝑥2𝑃1(𝑥1) = 0 ∧

𝑑2

𝑑𝑥2𝑃𝑛−1(𝑥𝑛) = 0 und schließlich zu einer tridiagonalen Matrix, die

mit dem LU-Verfahren gelöst werden kann. Für die Koeffizienten kann man schließlich schreiben (mit ℎ𝑖 = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 und 𝑟𝑖 = 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖):

ℎ𝑖−1𝑐𝑖−1 + 2(ℎ𝑖−1 + ℎ𝑖)𝑐𝑖 + ℎ𝑖𝑐𝑖+1 =3𝑟𝑖ℎ𝑖−3𝑟𝑖−1ℎ𝑖−1

, 𝑖 = 2, … , 𝑛 − 1

𝑎𝑖 = 𝑓𝑖 ⇒ 𝑐1 = 0, 𝑐𝑛−1 = 0

𝑏𝑖 =𝑟𝑖ℎ𝑖−ℎ𝑖3(𝑐𝑖+1 + 2𝑐𝑖), 𝑑𝑖 =

1

3ℎ𝑖(𝑐𝑖+1 − 𝑐𝑖)

Fourier-Interpolation

Hier kann man die Interpolationsfunktion wie folgt angeben:

𝐼(𝑥) =1

𝑛∑ℎ𝑘𝑒

−𝑖𝛼𝑘𝑥

𝑛−1

𝑘=0

Wenn 𝑛 Datenpunkte (𝑥𝑗 , 𝑓𝑗) mit gleichbleibendem Abstand Δ = 𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗 angegeben sind,

werden diese mit der Periode 𝑛 ∙ Δ ersetzt. Es folgt 𝐼(𝑥 + 𝑛 ∙ Δ) = 𝐼(𝑥) und mit 𝛼 = 2𝜋/𝑛Δ gilt

𝐼(𝑥) =1

𝑛∑ ℎ𝑘𝑒

𝑖2𝜋𝑘𝑥

𝑛Δ𝑛−1𝑘=0 . Mit der allgemeinen Interpolationsbedingung 𝐼(𝑥𝑖) = 𝑓𝑖 und 𝑥0 = 0 ∧ 𝑥𝑗 = 𝑗Δ

folgen 𝑛 Gleichungen für den Koeffizienten ℎ𝑘 gegeben durch:

𝑓𝑗 =1

𝑛∑ℎ𝑘𝑒

−𝑖2𝜋𝑘𝑥𝑗𝑛Δ

𝑛−1

𝑘=0

=1

𝑛∑ℎ𝑘𝑒

−𝑖2𝜋𝑘𝑗𝑛

𝑛−1

𝑘=0

Die Lösung mit den allgemeinen Methoden beiseitegelassen kann man hier wie folgt vorge-

hen (mit Summe auf beiden Seiten erweitern):

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∑𝑓𝑗𝑒𝑖2𝜋𝑘′𝑗𝑛

𝑛−1

𝑗=0

=1

𝑛∑ℎ𝑘∑𝑒

𝑖2𝜋(𝑘′−𝑘)𝑗𝑛

𝑛−1

𝑗=0⏟ =𝑛∙𝛿𝑘,𝑘′

𝑛−1

𝑘=0

⟺∑𝑓𝑗𝑒𝑖2𝜋𝑘′𝑗𝑛

𝑛−1

𝑗=0

= ℎ𝑘′

Mit realen Zahlen gilt ℎ𝑘 = ℎ𝑛−𝑘∗ ∀ 𝑓𝑗 ∈ ℝ mit ℎ∗ als komplexe Konjugation. Die Ordnung der

Summe ist 𝒪(𝑛2) und die Komplexität also 𝑛2.

In der Fast Fourier Transformation (FFT) wird die Komplexität vereinfacht. Es gibt eine Men-

ge dieser Algorithmen, der bekannteste ist aber der von Cooley und Tukey.

Die Voraussetzung ist eine Anzahl an Messpunkten, die eine Zweierpotenz ist. Die Idee ist, Fourier-Interpolation der Länge 2𝑛 in zwei der Länge 𝑛 aufzuteilen und zwar in der Art, dass

der eine Datensatz alle ungeraden, der andere allen geraden Elemente beinhaltet.

Schlussendlich wird wieder zusammengefügt. Da die Berechnung der halben Länge nur ein

Viertel der komplexen Multiplikationen und Additionen benötigt und die Vorschrift mehrmals

hintereinander anwendbar ist, erlaubt die rekursive Auswertung eine Rechenzeit von 𝒪(𝑛 log 𝑛) im Vergleich zu 𝒪(𝑛2) der Standardanwendung (𝑛 ist weiterhin Anzahl der Daten-

punkte).

Kleinste Quadrate

Hierbei geht es nun nicht mehr um eine Approximation für einen mathematischen Kurven-

verlauf, sondern einen grundsätzlichen Trend der Daten. Beim linear Fit oder zu Deutsch li-

nearer Regression versucht man, als Beispiel herangezogen, eine bestmöglichen Funktion mit 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑑 durch die Daten zu legen. Die Parameter 𝑘 und 𝑑 sollen so gewählt werden,

dass die Summe aller Abweichungen zu den Datenpunkten im Quadrat minimal wird. Dies

nennt man die Methode der kleinsten Quadrate. Allgemein gilt:

𝜒2 =∑𝑤𝑘[𝑦𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘; {𝑎𝑗})]2

𝑛

𝑘=1

→ min

𝑤𝑘 bezeichnet hier die Gewichtung und ist der Kehrwert der quadrierten Standardabwei-

chung am Messpunkt. Um nun die Fit-Parameter 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚 zu bestimmen greift man auf 𝜕(𝜒2)

𝜕𝑎𝑗= 0 zurück.

Nun führt man die kovariante Matrix 𝐶 = 𝑁−1 ein, die alle zweiten Ableitungen über 𝑁𝑖𝑗 bein-

haltet. Bei 𝐶 sind die Diagonalelemente genau die Quadrate der Standardabweichung

𝜎𝑎𝑖 = √𝐶𝑖𝑖 und die nicht-diagonalen Elemente beinhalten die Gewichtung. Die Korrelationsko-

effizienten 𝑟𝑖𝑗 im Intervall [−1,+1] geben die Signifikanz an (0 für wenig, ±1 für hohe Korre-

lation).

𝑤𝑘 = 𝜎𝑘−2, 𝐶 = 𝑁−1

𝑁𝑗𝑗 =1

2

𝜕2(𝜒2)

𝜕𝑎𝑖𝜕𝑎𝑗, 𝑟𝑖𝑗 =

𝐶𝑖𝑗

√𝐶𝑖𝑖𝐶𝑗𝑗

Nun unterscheidet man, ob 𝑓(𝑥; {𝑎𝑗}) linear oder nicht linear ist.

Lineare Regression

Die Funktion kann hier wie folgt geschrieben werden:

𝑓(𝑥; {𝑎𝑗}) =∑𝑎𝑗𝜑𝑗(𝑥)

𝑚

𝑗=1

= 𝑎1𝜑1(𝑥) + 𝑎2𝜑2(𝑥) + ⋯+ 𝑎𝑚𝜑𝑚(𝑥)

Hierbei steht 𝜑𝑗 für die linear unabhängigen Basisfunktionen. Mit der bekannten Bedingung,

dass 𝜕(𝜒2)

𝜕𝑎𝑗= 0 folgt für die Parameter 𝑎𝑗 direkt:

�� ∙ �� = 𝛽

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𝑀𝑖𝑗 =∑𝑤𝑘𝜑𝑖(𝑥𝑘)𝜑𝑗(𝑥𝑘)

𝑛

𝑘=1

𝛽𝑖 =∑𝑤𝑘𝑦𝑘𝜑𝑖(𝑥𝑘)

𝑛

𝑘=1

�� hat hier die Länge 𝑚 (nicht 𝑛!). Die Normalmatrix 𝑁 ist hier schlicht die Matrix ��:

𝑁𝑖𝑗 =1

2

𝜕2(𝜒2)

𝜕𝑎𝑖𝜕𝑎𝑗=∑𝑤𝑘𝜑𝑖(𝑥𝑘)𝜑𝑗(𝑥𝑘)

𝑛

𝑘=1

≡ 𝑀𝑖𝑗

Bei folgender Funktion wird die „solve“-Funktion aus der LR-Zerlegung (siehe LU-

Decomposition, Seite 229) aufgerufen.

Hierbei sind die Daten aus „werte3“ in der aufrufenden Zeile ganz zum Schluss die Stan-

dardabweichungen der Messpunkte.

Nicht-lineare Regression

Nun gibt es ein nicht-lineares kleinste-Quadrate-Problem. Zum Beispiel:

𝑓(𝑥; 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) = 𝑎11

𝑎3√2𝜋exp [−

1

2(𝑥 − 𝑎2𝑎3

)2

]

Nun ist 𝜕2𝑓

𝜕𝑎𝑖𝜕𝑎𝑗≠ 0 möglich und die Bedingung

𝜕(𝜒2)

𝜕𝑎𝑖= 0 führt nicht weiter zu einem linearen

Gleichungssystem.

Es gibt diverse Algorithmen um nun 𝜒2(𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚) → min anzunähern und alle sind iterativ.

Ein bekannter Vertreter ist der Levenberg-Marquardt-Algorithmus (LMA). Dieser Algorithmus

reiht sich zwischen dem Gauß-Newton-Algorithmus (GNA) und der Methode des stärksten

Abstiegs ein.

Man startet mit einem Initialwert ��0 = (𝑎10, 𝑎2

0, … , 𝑎𝑚0 ) für alle 𝑚 Parameter.

Nun werden für den nächsten Schritt die Parameter ein Stück weit verändert mit �� = ��0 + 𝛿�� und ein Taylor-Polynom mit erster Ordnung wird angewandt:

𝑓(𝑥; ��) ≈ 𝑓(𝑥; ��0) +∑(𝜕𝑓(𝑥; ��)

𝜕𝑎𝑙)𝑎=𝑎0

𝑚

𝑙=1

∙ (𝑎𝑙 − 𝑎𝑙0)

Mit dieser Approximation wird nun 𝜒2, der Grundbedingung für 𝜒2 folgend, berechnet:

def FitLinear(fkt,x,y,z,data):

length = len(fkt)

matrix = np.zeros((length,length))

beta = np.zeros(length)

for i in range(length):

beta[i] = sum((fkt[i](x)*y)/z**2)

for j in range(length):

matrix[i,j] = sum((fkt[i](x)*fkt[j](x))/z**2)

fitlinear = solve(matrix,beta,data,error,statusprint)

return(fitlinear,matrix)

def f1(x):

return x

def f2(x):

return x**3

fkt = np.array([f1,f2])

sol, matrix = FitLinear(fkt,werte1,werte2,werte3,data)

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𝜒2 =∑𝑤𝑘

[

𝑦𝑘 − 𝑓(𝑥𝑘; ��0)⏟

𝑓𝑘

−∑(𝜕𝑓(𝑥𝑘; ��)

𝜕𝑎𝑙)𝑎=𝑎0⏟

𝑑𝑓𝑘,𝑙

𝑚

𝑙=1

∙ (𝑎𝑙 − 𝑎𝑙0)

] 2

𝑛

𝑘=1

𝜕(𝜒2)

𝜕𝑎𝑗⇒ −2∑𝑤𝑘 [𝑦𝑘 − 𝑓𝑘 −∑𝑑𝑓𝑘,𝑙(𝑎𝑙 − 𝑎𝑙

0)

𝑚

𝑙=1

]

𝑛

𝑘−1

∙ 𝑑𝑓𝑘,𝑗 = 0

Wegen der Linearisierung, die beim Tylor-Entwickeln entstanden ist, kann man schreiben:

�� ∙ 𝛿�� = 𝛽

𝑀𝑖𝑗 =∑𝑤𝑘𝑑𝑓𝑘,𝑖𝑑𝑓𝑘,𝑗

𝑛

𝑘=1

𝛽𝑖 =∑𝑤𝑘(𝑦𝑘 − 𝑓𝑘)𝑑𝑓𝑘,𝑖

𝑛

𝑘=1

Man kann nun, anstatt das Gleichungssystem von oben zu lösen, alternativ auch (�� + 𝜆��) ∙

𝛿�� = 𝛽 lösen. Dabei sind die Einträge der Diagonalmatrix �� gleich den Diagonalelementen

von ��. Die Quantität 𝜆 ist ein Parameter, der die Geschwindigkeit der Konvergenz angibt;

ist er gleich 0, so vereinfacht sich der Levenberg-Marquard-Algorithmus zum Gauß-Newton-

Algorithmus.

Numerische Behandlung von Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Explizite gewöhnliche Differentialgleichungen können mit 𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥; 𝑦(𝑥)) beschrieben wer-

den. Ein Beispiel wäre 𝑦′(𝑥) + ln(𝑦′(𝑥)) = 1.

Hier geht es zunächst um (gekuppelte) Systeme von Differentialgleichungen erster Ord-

nung, was aber keine Einschränkung darstellt, da jede höhere Ordnung durch ein System

von Gleichungen erster Ordnung ersetzt werden kann.

𝑦(𝑛) = 𝐹(𝑥; 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛−1)

⇒ 𝑦1(𝑥) = 𝑦(𝑥)

𝑦2(𝑥) = 𝑦′(𝑥)

𝑦3(𝑥) = 𝑦′′(𝑥)

⋮𝑦𝑛(𝑥) = 𝑦

(𝑛−1)(𝑥)

Dies führt nun direkt zu:

{

𝑦1′ = 𝑦2 = 𝑓1(𝑥; 𝑦1 , … , 𝑦𝑛)

𝑦2′ = 𝑦3 = 𝑓2(𝑥; 𝑦1, … , 𝑦𝑛)

⋮𝑦𝑛−1′ = 𝑦𝑛 = 𝑓𝑛−1(𝑥; 𝑦1, … , 𝑦𝑛)

𝑦𝑛′ = 𝐹(𝑥; 𝑦1 , … , 𝑦𝑛) = 𝑓𝑛(𝑥; 𝑦1 , … , 𝑦𝑛)

⇒ ��′ = 𝑓(𝑥, ��)

Anfangswertprobleme

Mit den diskreten Zeitwerten 𝑡𝑛 gilt:

��𝑛 = 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

Nach Integration beider Seiten über das Intervall 𝑡𝑛, 𝑡𝑛+1 erhält man:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +∫ 𝑑𝑡′𝑓[𝑡′, 𝑦(𝑡′)]𝑡𝑛+1

𝑡𝑛

Nun kann man auf verschiedene Weise approximieren:

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Euler-Vorwärtsverfahren: 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)Δ𝑡 + 𝒪(Δ𝑡2)

Euler-Rückwärtsverfahren: 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦𝑛+1)Δ𝑡 + 𝒪(Δ𝑡2)

Störmer-Verlet-Verfahren: 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛−1 + 2𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)Δ𝑡 + 𝒪(Δ𝑡3) (Dreipunktmethode!)

Trapezverfahren oder Crank-Nicholson-Verfahren: 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +Δ𝑡

2[𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) + 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦𝑛+1)] +

𝒪(Δ𝑡3)

Das Runge-Kutta-Verfahren verwendet Schritte des Euler-Verfahrens, um eine Taylorreihe

anzunähern (siehe auch Runge-Kutta-Verfahren, Seite 57). Hier gilt:

𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛), 𝑘2 = 𝑓 (𝑡𝑛 +1

2Δ𝑡, 𝑦𝑛 +

1

2Δ𝑡𝑘1) , 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + Δ𝑡𝑘2

Die Taylorentwicklung ist:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ��𝑛Δ𝑡 +1

2��𝑛Δ𝑡

2 + 𝒪(Δ𝑡3)

= 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)Δ𝑡 +1

2

𝑑

𝑑𝑡𝑓(𝑡, 𝑦)Δ𝑡2|𝑡𝑛,𝑦𝑛 + 𝒪(Δ𝑡

3)

= 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)Δ𝑡 + [𝜕𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝜕𝑡+𝜕𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝜕𝑦𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)]

Δt2

2+ 𝒪(Δ𝑡3)

Nun folgt ein Vergleich mit der Entwicklung von 𝑘2 und Einsetzen in die Anfangsgleichung:

𝑘2 = 𝑓 (𝑡𝑛 +1

2Δ𝑡, 𝑦𝑛 +

1

2Δ𝑡𝑘1)

= 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) +𝜕𝑓

𝜕𝑡

1

2Δ𝑡 +

𝜕𝑓

𝜕𝑦

1

2Δ𝑡 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

⇒ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)Δ𝑡 + [𝜕𝑓

𝜕𝑡+𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)]

Δt2

2+ 𝒪(Δ𝑡3)

Dies ist augenscheinlich exakt der Term, der bei oberer Taylorentwicklung bereits zu sehen

ist.

Die Familie der Runge-Kutta-Verfahren ist eine Verallgemeinerung der Mittelpunktmethode. Eine allgemeine Form eines RK-Verfahrens der Stufe 𝑠 ist wie folgt definiert:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + Δ𝑡∑𝑏𝑖𝑘𝑖

𝑠

𝑖=1

𝑘1 = 𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝑘2 = 𝑓 (𝑡𝑛 + 𝑐2Δ𝑡, 𝑦𝑛 + Δ𝑡(𝑎2,1𝑘1))

𝑘3 = 𝑓 (𝑡𝑛 + 𝑐3Δ𝑡, 𝑦𝑛 + Δ𝑡(𝑎3,1𝑘1 + 𝑎3,2𝑘2))

𝑘𝑠 = 𝑓 (𝑡𝑛 + 𝑐𝑠Δ𝑡, 𝑦𝑛 + Δ𝑡(𝑎𝑠,1𝑘1 + 𝑎𝑠,2𝑘2 +⋯+ 𝑎𝑠,𝑠−1 𝑘𝑠−1))

Der Python-Code für das klassische Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung sieht wie folgt aus:

def rk4xsingle(xn,yn,h,data):

k0 = difx(xn,yn)

k1 = difx(xn+h/2,yn+h/2*k0)

k2 = difx(xn+h/2,yn+h/2*k1)

k3 = difx(xn+h,yn+h*k2)

yn1 = yn + h/6*(k0+2*k1+2*k2+k3)

xn1 = xn + h

return(xn1,yn1)

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Um die Berechnung zu optimieren, kann man zwei Verfahren 𝑦 und �� unterschiedlicher Ord-

nung mit der gleichen Koeffizientenmatrix laufen lassen:

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + Δ𝑡∑𝑏𝑖𝑘𝑖

𝑠

𝑖=1

, ��𝑛+1 = 𝑦𝑛 + Δ𝑡∑��𝑖𝑘𝑖

𝑠

𝑖=1

𝑌𝑛+1 = 𝑦𝑛+1 + 𝐶ℎ𝑝 , ��𝑛+1 = ��𝑛+1 + ��ℎ

𝑝

Angenommen 𝐶 ist ähnlich zu �� und die Ordnungen hängen über 𝑝 = 𝑝 − 1 zusammen, so

kann man die notwendige Schrittgröße für eine lokale Genauigkeit von 𝜏 abschätzen:

Δ𝑡 =𝜏

|𝑦𝑛+1 − ��𝑛+1|

Randwertprobleme

Es ist grundsätzlich schwieriger Randwertprobleme zu lösen.

Beim Schießverfahren ist die Grundidee, das Problem auf die Lösung eines Anfangswert-

problems zurückzuführen. Das Verfahren erinnert an das Einschießen in der Artillerie: Das

Geschoss wird mit einer bestimmten Anfangssteigung abgefeuert. Diese variiert man solan-

ge, bis man das Ziel trifft.

Ausgehend von einer Differentialgleichung und Randbedingungen:

𝑦′′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡), 𝑦′(𝑡))

𝑦(𝑡1) = 𝑎 ∧ 𝑦(𝑡2) = 𝑏

Nun wird das Problem zu einem Anfangswertproblem umformuliert:

𝑦′′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑦(𝑡), 𝑦′(𝑡))

𝑦(𝑡1) = 𝑎 ∧ 𝑦′(𝑡1) = 𝑐

Dabei ist 𝑐 frei wählbar.

Nun wird so lange integriert, bis die Bedingung 𝑦(𝑡2) = 𝑏 erfüllt ist. Die Lösung des Anfangs-

wertproblems kann dann durch Runge-Kutta gelöst werden.

Sollte man also eine Funktion [−1

2

𝑑2𝜓(𝑥)

𝑑𝑥2+ 𝑉(𝑥)𝜓(𝑥)] = 𝐸𝜓(𝑥) haben, so gilt zum Beispiel

𝜓(𝑎) = 0 = 𝜓(𝑏) am jeweiligen Rand. Für einen Potentialtopf wäre das zum Beispiel der erste

Zustand. Nun kann man 𝜓′(𝑥) = 1 setzen (frei wählbar) und man muss 𝐸 variieren, um zu

untersuchen, mit welchem Wert (oder welchen Werten) man 𝜓(𝑏) = 0 auf der anderen Seite

trifft.

Dass 𝜓′(𝑥) frei wählbar ist, wird durch eine schlussendliche Normierung wieder relativiert.

def rk4xloop(x0,xN,y0,h,data):

N = (xN-x0)/h

N = round(N)

xn = np.zeros(N+1,data)

yn = np.zeros(N+1,data)

xn[0] = x0

yn[0] = y0

for i in range(1,N+1):

print(i)

xn[i],yn[i] = rk4xsingle(xn[i-1],yn[i-1],h,data,error,statusprint)

return()

← 𝑎 𝑏 →

𝐸 ↑

𝐸1

𝐸2

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Partielle Differentialgleichungen

Statische Probleme zweier Dimensionen

Bei statischen Problemen in zwei Dimensionen berücksichtigt man die Poisson-Gleichung:

𝑥𝑗 = 𝑥0 + 𝑗𝛿, 𝑗 = 0,1, … , 𝐽

𝑦𝑙 = 𝑦0 + 𝑙𝛿, 𝑙 = 0,1, … , 𝐿

Hier ist 𝛿 der Gitter-Abstand.

Mit der Bedingung für die zweite Ableitung 𝜓𝑖′′ =

𝜓𝑖+1−2𝜓𝑖+𝜓𝑖−1

(Δ𝑥)2 führt das zu 𝑢𝑗+1,𝑙 + 𝑢𝑗−1,𝑙 + 𝑢𝑗,𝑙+1 +

𝑢𝑗,𝑙−1 − 4𝑢𝑗,𝑙 = 𝛿2𝜌𝑗,𝑙. Um dies in ein Gleichungssystem �� ∙ �� = �� zu überführen, muss das zwei-

dimensionale (𝑗, 𝑙) zum eindimensionalen (𝑖) werden, wobei mit den Indices wie folgt verfah-

ren wird:

𝑖 = 1 + (𝑗 − 1)(𝐿 − 1) + 𝑙 − 1 für 𝑗 = 0,1, … , 𝐽 and 𝑙 = 0,1, … , 𝐿

Mit den Dirichlet-Randbedingungen, 𝑗 = 0, 𝑗 = 𝐽, 𝑙 = 0, 𝑙 = 𝐿 sind nur die inneren Variablen un-

bekannt. Der Index 𝑖 nummeriert wie folgt:

(

𝑢1,1 → 𝑢1𝑢1,2 → 𝑢2𝑢1,3 → 𝑢3𝑢2,1 → 𝑢4𝑢2,2 → 𝑢5𝑢2,3 → 𝑢6𝑢3,1 → 𝑢7𝑢3,2 → 𝑢8𝑢3,3 → 𝑢9)

,

(

𝜌1,1 → 𝜌1𝜌1,2 → 𝜌2𝜌1,3 → 𝜌3𝜌2,1 → 𝜌4𝜌2,2 → 𝜌5𝜌2,3 → 𝜌6𝜌3,1 → 𝜌7𝜌3,2 → 𝜌8𝜌3,3 → 𝜌9)

Nun kann das System in die Standardform gebracht werden:

(

−4 1 0 1 0 0 0 0 0

1 −4 1 0 1 0 0 0 0

0 1 −4 0 0 1 0 0 0

1 0 0 −4 1 0 1 0 0

0 1 0 1 −4 1 0 1 0

0 0 1 0 1 −4 0 0 1

0 0 0 1 0 0 −4 1 0

0 0 0 0 1 0 1 −4 1

0 0 0 0 0 1 0 1 −4)

(

𝑢1

𝑢2

𝑢3

𝑢4

𝑢5

𝑢6

𝑢7

𝑢8

𝑢9)

=

(

𝛿2𝜌1 − 𝑢0,1 − 𝑢1,0

𝛿2𝜌2 − 𝑢0,2

𝛿2𝜌3 − 𝑢0,3 − 𝑢1,4

𝛿2𝜌4 − 𝑢2,0

𝛿2𝜌5

𝛿2𝜌6 − 𝑢2,4

𝛿2𝜌7 − 𝑢3,0 − 𝑢4,1

𝛿2𝜌𝑠 − 𝑢4,2

𝛿2𝜌9 − 𝑢3,4 − 𝑢4,3)

Hierbei ist zu beachten, dass man die Matrix in 3 × 3-Blocks aufteilen kann. Dabei finden

sich Diagonalblöcke und angrenzende Blöcke der Formen:

(−4 1 01 −4 10 1 −4

) , (1 0 00 1 00 0 1

)

Das Runge-Kutta-Verfahren für zwei Dimensionen ist hier gelöst:

def energy(x,vx,y,vy):

gamma = 4*np.pi**2*1**3/1**2

r = (x**2+y**2)**0.5

v = (vx**2+vy**2)**0.5

E = v**2/2-gamma/r+2*np.pi**2

return(E)

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Anfangswertprobleme

Dies führt wieder auf eine vollkommen implizite Methodik. Außerdem kann hier ebenfalls

das Crank-Nicholson-Verfahren verwendet werden.

Zeitabhängige Schrödingergleichung

Diese kann auf das zuvor diskutierte Crank-Nicholson-Verfahren zurückgeführt werden.

(

𝑏1 𝑐1

⋱ ⋱ ⋱

𝑎𝑗−1 𝑏𝑗−1 𝑐𝑗−1

𝑎𝑗 𝑏𝑗 𝑐𝑗

𝑎𝑗+1 𝑏𝑗+1 𝑐𝑗+1

⋱ ⋱ ⋱

𝑎𝐽−1 𝑏𝐽−1)

(

𝜓1𝑛+1

𝜓𝑗−1𝑛+1

𝜓𝑗𝑛+1

𝜓𝑗+1𝑛+1

𝜓𝐽−1𝑛+1)

=

(

𝑟1𝑛

𝑟𝑗−1𝑛

𝑟𝑗𝑛

𝑟𝑗+1𝑛

𝑟𝐽−1𝑛)

𝑎𝑗 = 𝑐𝑗 = −𝑖Δ𝑡

2(Δ𝑥)2

𝑏𝑗 = 1 +𝑖Δ𝑡

2 [

2

(Δ𝑥)2+ 𝑉𝑗]

def rk4tloop(x0,vx0,y0,vy0,tN,t0,h,data):

N = round((tN-t0)/h)

xn = np.zeros(N+1,data) # x'

vxn = np.zeros(N+1,data) # x''

yn = np.zeros(N+1,data) # y'

vyn = np.zeros(N+1,data) # y''

t = np.zeros(N+1,data)

En = np.zeros(N+1,data)

xn[0] = x0

yn[0] = y0

vxn[0] = vx0

vyn[0] = vy0

t[0] = t0

i = 0

for i in range(1,N+1):

k0x = vxn[i-1]

k0vx = difx(xn[i-1],yn[i-1])

k0y = vyn[i-1]

k0vy = dify(xn[i-1],yn[i-1])

k1x = vxn[i-1]+k0vx*h/2

k1vx = difx(xn[i-1]+h/2*k0x,yn[i-1]+h/2*k0y)

k1y = vyn[i-1]+k0vy*h/2

k1vy = dify(xn[i-1]+h/2*k0x,yn[i-1]+h/2*k0y)

k2x = vxn[i-1]+k1vx*h/2

k2vx = difx(xn[i-1]+h/2*k1x,yn[i-1]+h/2*k1y)

k2y = vyn[i-1]+k1vy*h/2

k2vy = dify(xn[i-1]+h/2*k1x,yn[i-1]+h/2*k1y)

k3x = vxn[i-1]+k2vx*h

k3vx = difx(xn[i-1]+h*k2x,yn[i-1]+h*k2y)

k3y = vyn[i-1]+k2vy*h

k3vy = dify(xn[i-1]+h*k2x,yn[i-1]+h*k2y)

xn[i] = xn[i-1]+h/6*(k0x+2*k1x+2*k2x+k3x)

vxn[i] = vxn[i-1]+h/6*(k0vx+2*k1vx+2*k2vx+k3vx)

yn[i] = yn[i-1]+h/6*(k0y+2*k1y+2*k2y+k3y)

vyn[i] = vyn[i-1]+h/6*(k0vy+2*k1vy+2*k2vy+k3vy)

t[i] = t[i-1]+h

for i in range(0,N+1):

En[i] = energy(xn[i],vxn[i],yn[i],vyn[i])

return(vxn,vyn,xn,yn,t,En)

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Computerorientierte Physik

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Monte Carlo Simulation

Man versucht hier eine Zufallsverteilung zu simulieren. Grundsätzlich kann man zwei dafür

notwendige Variablen betrachten:

𝑠𝑛+1 = 𝑠𝑛 ∙ 𝑒𝑟 , 𝑟 = (𝑢 −

𝜎2

2) + (𝜎 ∙ 𝑅)

𝑠: Aktueller Wert, 𝑢: Durchschnitt aller Änderungen, 𝜎: Standardabweichung, 𝜎2: Varianz

Die Variable 𝑅 ist hier eine Zufallsvariable nach der Normalverteilung.

Zufallsvariablen

Es ist nicht einfach einer deterministischen Maschine den Zufall näher zu bringen.

Kongruenzgenerator

Dies ist ein Generator für Pseudo-Zufallszahlen, der wahrscheinlich am bekanntesten ist.

𝑟𝑖 = (𝑎 ∙ 𝑟𝑖−1 + 𝑐)mod𝑚

Hierbei wird 𝑟 vorgegeben und 𝑚 lässt die Sequenz wiederholen. Dividiert man durch 𝑚, so

bekommt man Zahlen im Intervall [0,1). Zum Beispiel ist: 𝑟1 = 11

𝑟2 = (106 ∙ 11 + 1283)mod6075 = 2049

𝑟3 = (106 ∙ 2049 + 1283)mod6075 = 5852⋮

Eine gute Wahl für die Parameter ist laut Park und Miller 𝑎 = 75, 𝑐 = 0,𝑚 = 231 − 1.

Bewertung von Wahrscheinlichkeit und Einheitlichkeit

Zur Beurteilung gibt es folgende Vorgehensweisen:

Berechnung des 𝑘-ten Moments einer Zufallsverteilung:

⟨𝑥𝑘⟩ =1

𝑁∑ 𝑥𝑖

𝑘 ≈ ∫ 𝑑𝑥 𝑥𝑘𝑝0(𝑥) + 𝒪 (1

√𝑁)

1

0=

1

𝑘+1+ 𝒪 (

1

√𝑁)𝑁

𝑖=1 mit 𝑝𝑢(𝑥) = {1, 𝑥 ∈ [0,1)0, sonst

. Wenn dies gilt,

so ist er Einheitlich. Wenn die Verteilung mit Varianz 1/√𝑁 gegeben ist, ist sie zufällig.

Die nächster-Nachbar-Korrelation nimmt die Summe der Produkte mit Abstand 𝑘 = 1,2, …

wie folgt: 𝐶(𝑘) =1

𝑁∑ 𝑥𝑖𝑥𝑖+𝑘𝑁𝑖=1 . Wenn die Zufallszahlen 𝑥𝑖 und 𝑥𝑖+1 aus der multivarianten

Verteilung stammen, so gilt 𝐶(𝑘) =1

4+ 𝒪 (

1

√𝑁). Wenn dies gilt, so sind sie unabhängig.

Wenn die Verteilung mit Varianz 1/√𝑁 gegeben ist, ist sie zufällig.

Eine triviale, aber sehr Wirkungsvolle Methode ist das Plotten über viele Zufallszahlen.

Sind optisch Auffälligkeiten nach sehr vielen Durchläufen zu erkennen, so sollte man

nachprüfen. Zum Beispiel sollte man ein Quadrat nach vielen Durchläufen gleichmäßig

füllen können.

Nicht einheitliche Zufallszahlen

Die Inversionsmethode ist ein Verfahren, um aus gleichverteilten Zufallszahlen andere

Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erzeugen.

Sei 𝐹(𝑥) eine Verteilungsfunktion und 𝑝 eine Wahrscheinlichkeit (aus dem Intervall [0,1]). Nun sei nach dem Simulationslemma 𝐹−1(𝑝) ≔ inf{𝑥 ∈ ℝ|𝐹(𝑥) ≥ 𝑝}. Wenn 𝑈 eine Zufallszahl

∈ [0,1] ist, dann ist 𝑋 ≔ 𝐹−1(𝑈) eine reelle Zufallsvariable, die 𝐹 genügt.

Als Beispiel: Ich habe zwei mögliche Ereignisse 𝐴 und 𝐵. Außerdem habe ich auf einem In-

tervall [0,1] zufällig verteilte Werte. 𝐴 soll mit 30% Wahrscheinlichkeit eintreffen, sonst 𝐵 .

Nun beginne ich die Abfolge der zufälligen Werte durchzugehen und trage bei allen Werten ≤ 0,3 ein 𝐴 ein, sonst ein 𝐵. Fertig ist meine Folgeverteilung.

Normalverteilung

𝑝(𝑥) =1

√2𝜋𝜎𝑒−(𝑥−��)2

2𝜎2

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Kernenergie und Umwelt

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Kernenergie und Umwelt

Nukleare Reaktionen

Kernspaltung allgemein

Energiegewinn

Typischerweise 200 𝑀𝑒𝑉 pro Spaltung.

Als Vergleich: Oxidationsreaktionen der Chemie geben meist einige 𝑒𝑉 pro Event.

Es wird kinetische Energie freigegeben: Bewegung der freiwerdenden Teilchen und au-ßerdem Abstrahlung (𝛾-Teilchen).

Im Reaktor wird die Energie in Wärmeenergie umgewandelt, indem die produzierte

Strahlung mit den Atomen des Brennstoffs und Moderators kollidieren, und durch ein

Kühlmedium abgeführt.

Betrachtung von 𝑈235

Errechnung der Zerfallsenergie von 1 𝐺𝑟𝑎𝑚𝑚 U-235:

1 𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡 = 200𝑀𝑒𝑉 = 3,2 ∙ 10−11𝐽 . In einem Gramm U-235 befinden sich 6 ∙ 1023 Nukleonen

⟹ 1𝑔 𝑈235 =6∙1023

235∙ 200𝑀𝑒𝑉 = 8,2 ∙ 1010𝐽 ∼ 1𝑀𝑊𝑑.

1𝑔 𝑈235 ∼ 1 𝑀𝑊𝑑𝑡ℎ

Die Wahrscheinlichkeitskurve der Spaltung hat zwei Maxima mit folgenden Massennum-mern: 89 ≤ 𝐴1 ≤ 101 ∧ 133 ≤ 𝐴2 ≤ 144. Für U-233 und Pu-239 gibt es eine ähnliche Verteilung.

Die Kettenreaktion

Es benötigt als Target eine minimale Masse, die kritische Masse. Nach jeder Reaktion müs-

sen die schnellen Neutronen durch einen Moderator abgebremst werden, bevor sie eine wei-

tere Reaktion eingehen können.

Kritische Masse

Dies bezeichnet die kleinste Masse, die für eine selbstunterhaltende Kettenreaktion nötig ist.

Sie ist abhängig von der Materialdichte, der Form, der Anreicherung/der Reinheit, der Tem-

peratur und der Umgebung. Selbstunterhaltende Kettenreaktionen müssen genauso viele

Neutronen produzieren, wie einfangen.

Man kann eine Masse kritisch machen, indem man sie erhöht oder auch, indem man sie mit

einen Neutronenreflektor umgibt. Typische Werte bei normaler Dichte mit Kugelvolumina

sind:

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Nuklid krit. Masse Kugelradius

𝑈233 15 𝑘𝑔 11 𝑐𝑚

𝑈235 52 𝑘𝑔 17 𝑐𝑚

𝑃𝑢239 10 𝑘𝑔 9,9 𝑐𝑚

Folgeprodukte der Spaltprodukte

Kernwaffen

1942 gelang Fermi die erste menschengemachte, selbstunterhaltende Kettenreaktion zu

bewerkstelligen. Das US-Militär hat sehr bald darauf die ersten beiden Reaktoren zur Pro-

duktion von waffenfähigem Plutonium (Pu-239) in Betrieb genommen (Manhattan-Project).

Die erste Bombe wurde am 1. Juni 1945 in New Mexico gezündet. Hiroshima und Nagasaki

folgten im August.

Chronik der Zwei Seiten der Nuklearenergie

1949-1964 USSR, UK, F und CHI entwickeln Atombombe

1953 US-Navi testet Kernenergie zur zivilen Verwendung

1954 Kernenergie war als unendliche Energiequelle missverstanden

1956 In UK läuft der erste Reaktor (Calder Hall)

1957 Erster kommerzieller Reaktor geht ans Netz (Pennsylvania)

Die internationale Atomenergiebehörde wird gegründet

1964 Frankreich testet ersten Prototyp-Reaktor

1966 Auch in Kanada wird der erste Reaktor kritisch

Internationale Atomenergiebehörde

Unterhält seit 1957 Messgeräte für Seismik, Hydroakustik, Infraschall und Radioaktivität auf

der ganzen Welt. Das Datenzentrum befindet sich in Wien.

Reaktorphysik

Reaktornutzung

Forschungsreaktoren

Kernkraftwerke (Nuclear Power Plants, NPP)

Propulsion Reaktoren (Antriebsreaktoren für Schiffe, Satelliten,…)

Durchschnittliche Bestandteile des natürlichen Urans: 99,28% U-238, 0,72% U-235.

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< 0,72% U-235: Abgereichertes Uran

0,72% bis 20% U-235: Schwach angereichertes Uran (LEU)

20% bis 70% U-235: Mittelstark angereichertes Uran (MEU)

70% bis 93% U-235: Hoch angereichertes Uran (HEU)

NPPs nutzen 𝑈𝑛𝑎𝑡 oder LEU, selten auch MOX (𝑈𝑂2 gemischt mit 𝑃𝑢𝑂2). Forschungsreak-

toren nutzen LEU bis HEU. In Waffen wird HEU oder waffenfähiges Plutonium verwendet.

Betrachtung von reaktorfähigem Plutonium

In Reaktoren wird durch Neutroneneinfang in U-238 Plutonium produziert: 75% Pu-239,

> 19% Pu-240, < 6% Pu-241/Pu-242. Es ist nicht waffenfähig, da zu viele Atome des Isotops

240 stören.

Betrachtung von waffenfähigem Plutonium (WPG)

Die Zusammensetzung ist hier > 90% Pu-239. Die minimale Masse sind 10 𝑘𝑔 reines Plutoni-

um. Es kann in Kernkraftwerken mit 𝑈𝑛𝑎𝑡 als Brennstoff erzeugt werden. Möglich ist es, altes

WPG als Mischprodukt (MOX) in Reaktoren zu nutzen.

Anforderungen an die Reaktorphysik

Sicher

In jedem Operationszustand muss der Temperaturkoeffizient negativ sein, d.h. höhere

Temperatur muss die Kettenreaktion bremsen. Einen solchen Reaktor nennt man selbststa-

bilisierend (siehe auch Chernobyl, Seite 252).

Behandlung der Nachwärme nach einer Schnellabschaltung über eine zuvor festgelegte Zeit.

Effizient

Einstreben von einem Minimum an Brennstoff und einem Maximum des Neutronenflusses.

Reaktorkomponenten

Brennstoff (fuel)

Meist 𝑈𝑂2 in Rohren als Brennstäbe (fuel rods) zusammengefasst.

Moderator

Bremst Neutronen zu thermischen Neutronen ab (~2𝑀𝑒𝑉 zu ~0,025𝑒𝑉).

Kontrollstäbe (control rods)

Stäbe bestehend aus neutronenabsorbierenden Materialien, die elektrisch in den Reaktor-

kern oder aus ihm heraus gefahren werden.

Kühlmittel (coolant)

Eine Flüssigkeit (𝐻2𝑂, 𝐷2𝑂), ein Gas (𝐶𝑂2, 𝐻𝑒) oder flüssiges Metall (𝑁𝑎), das die thermische

Energie aus dem Kern zu den Dampferzeugern oder direkt zur Turbine transferiert.

Druckbehälter (pressure vessel / pressure tubes)

Stahlbehälter oder eine Serie von Rohren, die den Brennstoff und den Primärkühlkreislauf

umfasst.

Dampferzeuger (steam generator)

Einrichtung, die Energie vom Primärkühlkreislauf zum Sekundärkreislauf in Form von Dampf

weitergibt. Dieser Dampf wird trocken erzeugt; eine Zirkulation treibt die Tropfen nach au-

ßen und mittig wird abgesaugt.

Reaktorgebäude (containment)

Eine mächtige Stahl-Beton-Struktur, die als Sicherheit gegen äußere Einflüsse konzipiert ist.

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Eigenschaften des Brennmaterials

Stoff Dichte (20 °𝐶) Schmelzpunkt Max. Temp (in operation)

𝑈𝑂2 10,96𝑔

𝑐𝑚3 2800 °𝐶 1800 °𝐶

𝑈-Metall 9,05𝑔

𝑐𝑚3 1132 °𝐶 660 °𝐶

Weitere Definitionen

𝑀𝑊𝑒 = 𝜂 ∙ 𝑀𝑊𝑡ℎ

𝜂 ist hier die thermodynamische Effizienz. 𝑀𝑊𝑒 𝑔𝑟𝑜𝑠𝑠 ist die totale el. Energie, 𝑀𝑊𝑒 𝑛𝑒𝑡 bein-

haltet die Abzüge durch Eigenbedarf (Pumpen, heaters usw.). Die Differenz ist ungefähr 5 %

bis 6 %.

NNP arbeiten mit bis zu 90% Verfügbarkeit.

Brennstoffanforderungen

Typisch sind 20000𝑡 Uranerz (1%), das pro Jahr und Reaktor zu fördern ist. Daraus werden

27𝑡 𝑈𝑂2 (24 𝑡 davon angereichertes 𝑈), was 7𝑇𝑊ℎ Energie spendet. Am Ende bleiben 27𝑡, aufgeteilt auf 240𝑘𝑔 Plutonium, 23𝑡 Uran (0,8%) und 720𝑘𝑔 Spaltprodukte.

Urandioxid wird verwendet, da es (im Gegensatz zu metallischem Uran) kaum mit Wasser

reagiert (Hüllrohrschaden) und außerdem bei Spaltung wenig Volumenzunahme hat.

Reaktortypen

Übersicht der Reaktortypen

𝑈𝐸𝑁𝑅 steht hier für angereichertes Uran, 𝑈𝑁𝐴𝑇 für Natururan. CP (coated particles) steht für

beschichtete Anteile, PIN für stiftartige Rohre. Die Temperatur ist die maximal angestrebte

Kerntemperatur. Die Typenbezeichnungen folgen im weiteren Verlauf des Abschnitts.

Typus Kühl-

mittel

Spaltmaterial Mode-

rator

Anmerkung

Ursprung Brennstoff Hüllmat.

PWR 𝐻2𝑂 𝑈𝐸𝑁𝑅 𝑈𝑂2 (PIN) Zircalloy 𝐻2𝑂 80 𝑘𝑊/𝑙 AP1000

Eff. ~36 %

160 𝑏𝑎𝑟 primär

80 𝑏𝑎𝑟 sekundär

PHWR 𝐷2𝑂 𝑈𝑁𝐴𝑇+ 𝑈𝐸𝑁𝑅

𝑈𝑂2 (PIN) Zircalloy 𝐷2𝑂

BWR 𝐻2𝑂 𝑈𝐸𝑁𝑅 𝑈𝑂2 (PIN) Zircalloy 𝐻2𝑂 50 𝑘𝑊/𝑙 Eff. ~34 % 70 𝑏𝑎𝑟

GCR 𝐶𝑂2 𝑈𝑁𝐴𝑇 𝑈-Metall

(PIN)

Magnox Graphit auslaufend Eff. < 30%

10 𝑘𝑊/𝑙 GCR AGR 𝐶𝑂2 𝑈𝐸𝑁𝑅 𝑈𝑂2 (PIN) Edelstahl Graphit

HTR 𝐻𝑒 𝑈𝐸𝑁𝑅 𝑈𝑂2 + 𝑇𝐻𝐶2

(CP) Graphit Graphit Eff. ~47 %

Kugelreaktor

LMFBR 𝑁𝑎 𝑈 + 𝑃𝑈 (𝑈 + 𝑃𝑈)𝑂2

(PIN) Edelstahl - -

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Länderverteilung

Insgesamt 437 kommerzielle Reaktoren in 31 Ländern. Die Nettoleistung liegt bei 372 𝐺𝑊𝑒.

Typus Länder Anzahl 𝐺𝑊𝑒 𝑛𝑒𝑡

PWR US, Frankreich,

Japan, Russland

267 248,8 Pressurised water reactor

BWR US, Japan,

Schweden

91 81,9 Boiling water reactor

GCR UK 16 9,7 Gas-cooled reactor

PHWR Canada 46 21,5 Pressurised heavy water reactor

RBMK Russland 15 11,4 Light water graphit reactor

LMFBR Japan, Russland 2 0,7 Liquid metal fast breeder

Druckwasserreaktoren (PWR)

Die Erfahrungen aus den französischen N4-Modellen (1475𝑀𝑊𝑒 ) und deutschen KONVOI-

Modellen (1450𝑀𝑊𝑒) werden zu EPR, einer europäischen Weiterentwicklung (entwickelt von

AREVA). Westinghouse hat ebenfalls mit dem AP 600 und AP 1000 solche Reaktoren im

Programm. Auch Mitsubishi und andere bieten diese Reaktoren an.

Details (EPR)

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60 Jahre Betriebszeit

Keine Evakuation bei schwerem Störfall notwendig

Core Catcher aus Keramik

Digitale Steuerung mit analogen Backups für sicherheitsrelevante Systeme

Berücksichtigung von Erdbeben und Flugzeugabstürzen bei Planung

Brennstoffzyklus bis zu 24 Monate

Bis 1600𝑀𝑊𝑒, 4500𝑀𝑊𝑡ℎ

17x17 Brennelementbasis (Länge 420𝑐𝑚)

296°𝐶 input, 328°𝐶 output, 155𝑏𝑎𝑟

Effizienz ~36%

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89 Kontrollstäbe, 52 davon zur Schnellabschaltung

4 Dampferzeuger, 500𝑡, 23𝑚 hoch, 30 Minuten Reaktionszeit vor dem Austrockenen

Details AP600 (Westinghouse)

2 Dampferzeuger

17x17 Brennelementbasis

Zusammenfassung

𝐻2𝑂 als Kühlmittel und Moderator

Schwach angereichertes Uran 𝑈𝑂2 als Brennstoff, Zirkalloy als Hüllmaterial

Druck bei 160 bar, Pressurizer hält Druck konstant

50𝑘𝑊/𝑙 Leistungsdichte

4 Primärkreisläufe und 2 bis 4 Sekundärkreisläufe

Kontrollstäbe kommen von oben

2/3 aller NPPs sind PWRs

Druckwasserreaktoren (PWR) (sowjetisch)

WWER 440/230, WWER 440/213 und WWER 1000/320 sind die klassischen sowjetischen

Reaktoren aufgelistet nach Generation. Sie finden sich in der gesamten ehemaligen UDSSR

(z.B. Temelin und Dukovany in Tschechien). Für die erste Generation (440/230) wurde eine

Abschaltverordnung bei Eintritt in die EU erwirkt. Alle werden mit leicht angereichertem

Uran betrieben.

Allgemeine Merkmale:

Hexagonale Brennstabeinsätze, mittig sitzender Neutronendetektor (rund)

Horizontale Dampferzeuger

Schlechte Dokumentation der ersten Generation im Westen

Kein einziger großer Störfall im Heimatland Russland

Einfach, robust (sogar stark überdimensioniert), wenig Automatisierung, großes Wasser-

volumen

Druckbehälter mit kleinem Durchmesser (komplett gegossen und auf Eisenbahn trans-

portiert – vgl. Lichtraumprofil)

Fuel follower Steuerstäbe (unten Brennelement angehängt) – möglich da Druckbehälter

schlank, aber sehr hoch ist

WWER 440/230

440 𝑀𝑊𝑒

6 Primärkreisläufe

Kein komplettes Notkühlsystem

Immer zwei Reaktoren teilen sich eine Maschinenhalle

WWER 440/213

Bis 1375 𝑀𝑊𝑡ℎ, 440 𝑀𝑊𝑒

Höhe des Kerns: 2,50m, Durchmesser 2,88m

312 Brennstoffzellen in 89 Brennstäben, 37 Steuerstäbe

1,6% bis 3,6% angereicherstes U-235

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6 Primärkreisläufe, Druck: 12,26 𝑀𝑃𝑎

Immer zwei Reaktoren teilen sich eine Maschinenhalle

Sicherheitsmängel entfernt, Druckexpansionskammer (Kondensator), vollständiges Not-

kühlsystem, 3-fach Redundanz, verbesserter Feuerschutz, getrennte Kontrollräume,

Neutronenflussreduzierung auf Druckbehälter, verbesserte Primär-Kontrollsysteme

WWER 1000/320

1000 𝑀𝑊𝑒

Verbessertes Kühlsystem und bessere Materialien, Containment deutlich stärker

4 Primärkreisläufe

Siedewasserreaktoren (BWR)

Es gibt drei Generationen der BWRs, die 𝐻2𝑂 als Moderator und Kühlflüssigkeit verwenden.

Das Wasser kocht hierbei im Kern. Die Brennstäbe werden hier von unten in den Kern ge-

fahren, da der Platz oben durch den Dampfabscheider benötigt wird. Ratschen halten dabei

die Stäbe am Platz. Der Motorraum ist begehbar. Da kein Dampferzeuger benötigt wird,

sind sie billiger und einfacher, aber bringen weniger Leistung.

Merkmale:

Druck: 70bar, 7MPa

Wassertemperatur siedend: ~286°𝐶

Dampf wird direkt an Turbinen geleitet

Leistungsdichte: 50 𝑘𝑊/𝑙

Effizienz: Bis 35 %

Bis 1960 𝑀𝑊𝑡ℎ/2900 𝑀𝑊𝑡ℎ/3840 𝑀𝑊𝑡ℎ, 1356 𝑀𝑊𝑒 in 3. Generation

8x8 Brennelementbasis

Höhe des aktiven Kerns: 376cm

97/145/193 Steuerstäbe

Bis zu auf 4,02% angereichertes U-235

Hüllmaterial: Zircaloy 4 (99% 𝑍𝑟, 𝑆𝑛, 𝐹𝑒, 𝑁𝑖)

Negatives Reaktivitätsfeedback: Dampfentwicklung steigt ⇒ Kernleistung sinkt

Zwei unabhängige Abschaltsysteme

3 komplette und redundante Sicherheitssysteme

Interne Zirkulationspumpen: Fluss ändert die Wasser-Dampf-Mischung: Negativer

Dampfblaseneffekt

Notfall Kondensatoren (aktiv und passiv)

Schwerwasserreaktoren (CANDU)

CANDU steht für Canadian-Deuterium-Uranium-Reactor. 𝐷2𝑂 hat fast keine Neutronenab-

sorption und ist deshalb ein interessanter Moderator und gleichzeitig Kühlmittel. CANDU-

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Reaktoren können mit Natururan beladen werden, was für Kanada ein geostrategischer

Grund war, diese zu entwickeln. Außerdem sind sie für Waffenproduktion gut geeignet. Der

Moderator kann abgelassen werden und der Kern wird unterkritisch.

Merkmale:

Brennelemente im Revolversystem angeordnet (8 bis 12)

Fast 100 % Verfügbarkeit

Liegender Druckbehälter

Keine Wiederaufbereitung praktizierbar

Brennelemente im Betrieb tauschbar

Gasgekühlte Reaktoren (GCR, AGR)

Magnox und AGR (Advanced Gas Cooled Reactors) sind stillgelegt bzw. Auslaufmodelle aus

GB (setzt jetzt auf PWRs). Magnox schmilzt bei 700 − 800 °𝐶. Hier wird 𝐶𝑂2 als Moderator und

Kühlmittel genommen. Die Leistung ist relativ gering, deshalb treten diese Reaktoren immer

doppelt auf. Hervorragend zur Waffenproduktion verwendbar.

Merkmale:

Brennelemente im Betrieb tauschbar

6-8 Dampferzeuger

Blowers anstatt pumps

Brennstäbe haben „Flügel“ zur besseren Wärmeübertragung

Notsystem mit einzublasendem Borpulver, wurde aber nie verwendet

Hüllmaterial der Brennelemente ist Grafit mit 36 „Uran-Stiften“

Komplexer Gasfluss im Kern, teils rotierend an der Außenwand zur Kühlung

Metallisches Natururan als Brennstoff

Effizienz nur bei < 30 %, bei AGRs etwas höher

Sehr großer Kern, geringe Leistungsdichte mit 10 𝑘𝑊/𝑙

Hochtemperatur Gasgekühlte Reaktoren (HTR)

Bei 760 °𝐶 zersetzt sich 𝐶𝑂2, also wird hier 𝐻𝑒 als Kühler verwendet. Dies ist teuer und ext-

rem flüchtig (hohe Dichtigkeitsanforderung), aber aktiviert sich absolut nicht (Edelgas), hat

hohe spez. Wärmekapazität und ist stabil. Durch die hohe Temperatur braucht es Graphit

als Brennstoffhülle bzw. Moderator. Wurde in Deutschland zum Graphitkugelreaktor entwi-

ckelt, wird von Russland und China weitergeführt.

Merkmale:

Hohe Effizienz: 47 %

Kann mit Th-232 betrieben werden, was oft zu finden ist (wird zu U-233, Brutprozess)

Kugelreaktor

600.000 Kugeln, ½ Brennstoff, ½ Graphit-/Moderatorkugeln

Be- und Entladung bei Betrieb

Steuerstäbe fallen einfach rein

Modular aufbaubar

Leichtwasser gekühlte, Graphit moderierte Druckwasserreaktoren (RBMK)

RBMK steht für Reaktor Bolshoi Moshnosty Kanalny (Hochleistungskanal Reaktor). Sie haben

den Ursprung im sowjetischen Militär, da sie für die Pu-Produktion geeignet sind. Graphit ist

hier der Moderator, 𝐻2𝑂 der Kühler.

Merkmale:

Je 2x 500 𝑀𝑊𝑒-Turbinen

Komplett 10 𝑚 Höhe inkl. Abschirmung, 12 𝑚 Durchmesser ~1000 𝑡 Gewicht

1700 Röhren vertikal, in denen Waser zu einem Dampf-Wasser-Gemisch wird (kein

Druckbehälter im klassischen Sinn). Es gibt kein ausgesprochenes Containment.

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Kein Einfallen der Steuerstäbe, nur zwei Einfahrgeschwindigkeiten (deshalb muss Mini-

malanzahl (15) an Stäben an der Grenze zum Kern bereitstehen)

212 Absorberstäbe

Befüllung während des Betriebs möglich

Positiver Dampfblasenkoeffizient, da Wasser nicht als Moderator dient

Flüssigmetallgekühlter Schneller Brüter (LMFBR)

In Brutreaktoren wird gleichzeitig Energie erzeugt und weiteres spaltbares Material aufge-

baut (und zwar mehr, als er selbst verbraucht). Zweck der Entwicklung ist die bessere Aus-nutzung der Brennstoffe. Es kann aus 𝑈𝑛𝑎𝑡 ungefähr 60 % mehr Energie gewonnen werden

als in Leichtwasserreaktoren. Natrium als Wärmeträger hat eine hohe Leitfähigkeit. Es schmilzt bei 89 °𝐶 und siedet bei 883 °𝐶, deshalb sind nur 10 𝑏𝑎𝑟 Druck nötig, was die Sicher-

heit erhöht. Brutreaktoren haben nicht automatisch einen negativen Dampfblasenkoeffizient

und brauchen daher erweiterte Sicherheitsmaßnahmen.

Unfälle und Konsequenzen

Reaktorphysikalische Effekte

Xenon-Vergiftung

Xenon absorbiert gut Neutronen und Xe-135 ist ein Spaltprodukt von U-235. Im laufenden Betrieb ist Produktion und Zerfall (𝑇𝐻9,2 ℎ oder Neutroneneinfang) des Isotops gleich. Bei

Schwankungen steigt/fällt die Konzentration von Xe-135 und stört den Neutronenfluss. Bei

~12 ℎ ist Spitze erreicht, das Xenon absorbiert sehr stark (Vergiftung).

Dampfblasenkoeffizient

Dieser Effekt beschreibt die Reaktion der Dampfblasenkonzentration auf die Reaktivität. Für

einen stabilen Reaktor sollte der Koeffizient negativ sein, was in BWRs normal ist, in denen

Wasser Moderator und Kühlmittel ist. Wenn aber in RBMKs das Wasser (absorbiert auch

Neutronen) zu Dampf wird, wird der Neutronenfluss größer. Der Reaktor funktioniert auch

ohne Kühlmittel.

Strahlenbelastung

Sievert, angegeben in 𝐽/𝑘𝑔 ist eine Einheit zur Bestimmung der Auswirkungen von Strahlung

auf biologisches Material. Der Strahlenkater, vergleichbar mit dem nach Alkoholgenuss, ist

ein typisches Symptom von hoher Belastung. Der Blutkrebs (Leukämie) ist eine typische

Langzeitfolge. Die Strahlenkrankheit manifestiert sich in Rötungen der Haut (Sonnenbrand)

und in unaufhaltsamen Blutungen.

Ab 1 𝑆𝑣 erste körperliche Defekte

Ab 5 𝑆𝑣 erste Todesfälle

Ab 10 𝑆𝑣 sicherer Tod

Three Mile Island (PWR)

(0s) Defekt der Speisewasserpumpe des Sekundärkreislaufs

Notfall-Pumpe springt wegen eines geschlossenen Ventils (Wartungsarbeiten) nicht ein

(3s) Dampferzeuger trocknet aus

Vorgesteuertes Druckventil am Druckgeber (pressurizer) öffnet automatisch

(9s) Reaktornotabschlatung, Turbinenabschaltung

Druckanstieg im Primärsystem; Primärwasser entweicht durch Ventil ins Containment

Druckventil müsste geschlossen werden, wird aber nicht an den Kontrollraum gemeldet

(0h45) Anzeigen zeigen normalen Wasserstand

(1h20) Pumpen im Primärkreislauf werden ausgeschaltet

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(2h15) Kontrollstäbe und Brennstäbe überhitzen. Kern teilweise frei. Containment wird

mit 700kl Wasser geflutet

(2h45) Strahlungsalarm

(3h) Halber Kern ist frei, Temperatur sehr hoch. Gefahr einer Wasserstoffexplosion

steigt. Kern schmilzt teils und bleibt am Boden des Druckbehälters liegen. Druckbehälter

bleibt in Takt. Containment hält – wie geplant – Radioaktivität im Gebäude.

Chernobyl (RBMK)

(Vorgeschichte) Ein Test bei ~1000 𝑀𝑊𝑡ℎ wurde anberaumt, der im Jahr zuvor an der au-

tomatischen Abschaltung gescheitert war. Deshalb wurden Notsignale überbrückt.

(0s, 13 Uhr) Die Leistung wurde von 3200 𝑀𝑊𝑡ℎ auf 1600 𝑀𝑊𝑡ℎ heruntergefahren. Eine der

beiden Turbinen wurde angehalten.

(0h05) Die weitere Abschaltung wurde von der Netzagentur bis 23 Uhr verboten

(11h10) Weiteres Herunterfahren der Leistung, aber Stabilisierung wegen Xenon-Vergiftung kaum möglich ⇒ Leistung fällt auf 30𝑀𝑊𝑡ℎ.

Versuch der Betriebsmannschaft den Reaktor wieder heraufzufahren, indem alle Kon-

trollstäbe (bis auf 6 Stück) komplett eingefahren werden

(12h, 1 Uhr) Dennoch nur 200 𝑀𝑊𝑡ℎ, zusätzliche Kühlpumpe wurde zugeschaltet (Unter-

kühlung), Abschaltsignale für Wasserspiegel wurden überbrückt

(1:23:04 Uhr) Test wird gestartet: Turbine und Kühlungspumpe wird heruntergefahren

(1:23:31 Uhr) Wasser beginnt im Kern zu verdampfen, Leistung steigt langsam an, die 6

Steuerstäbe kompensieren Leistungsanstieg kaum

(1:23:40 Uhr) Schichtleiter ordnet an alle Steuerstäbe einzufahren,

(1:23:44 Uhr) Nukleare Explosion, Temperatur über 3000 °𝐶

Zweite Explosion (Wasserstoff oder Dampf), 1000𝑡 Reaktordeckel wird weggehoben und

alle Kühlsysteme zerstört

10 Tage lang Graphitbrand, Löschversuche durch Helikopter (Sand, Blei, …)

Zerflossener Kern unterkritisch (immer, nicht ideal verteilt), Spaltprodukte weitgehen

abgeklungen

Sarkophag gegen äußere Einflüsse (Regenwasser, Tiere)

Fukushima Dai-ichi (BWR)

BWRs in Fukushima Dai-ichi NPP:

Unit 1: 439 𝑀𝑊𝑒, 1971, kritisch

Unit 2: 760 𝑀𝑊𝑒, 1974, kritisch

Unit 3: 760 𝑀𝑊𝑒, 1976, kritisch

Unit 4: 760 𝑀𝑊𝑒, 1978, zuvor abgeschaltet

Unit 5: 760 𝑀𝑊𝑒, 1978, zuvor abgeschaltet

Unit 6: 1067 𝑀𝑊𝑒, 1979, zuvor abgeschaltet

(0s) Erdbeben mit 0,56𝑔 , 20% über Design-Basis, löst automatischen Shut-Down und

Notkühlung aus

(0h45) Tsunami zerstört Verbindung zum Netz und Dieseltanks für Generatoren

Notfallbatterien sind für 8 Stunden ausgelegt, was nicht gereicht hat

Passive Kondensatoren nicht vorhanden – Nachrüstung wegen Abschaltungsplänen nicht

erfolgt

Herbeigerufene Notfallgeneratoren für falsches Stromnetz (Japan hat zwei verschiedene)

(12h) Hitze durch Nachwärme wird zu groß, Kern teils frei

Druck ist bei 8 𝑏𝑎𝑟 (Containment für 4 𝑏𝑎𝑟 ausgelegt): Entscheidung Druck durch Ventil

abzulassen (Uranschmelzpunkt: 2500 °𝐶, Wasserstoff-Wasser-Spaltung ab 1000 °𝐶)

Seewasser (salzhaltig!) wird mit portablen Pumpen eingebracht, teils mit Bor versetzt

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Wasserstoffexplosion im oberen Containment, die das Brennelementlagerungsbecken

stark beschädigt (Wasserstand sinkt)

Kontamination durch gelagerten Brennstoff, teilweise hitzebedingte Feuer

Iod-Tabletten werden verteilt

10 Arbeiter > 100𝑚𝑆𝑣, 6 davon 309 − 678 𝑚𝑆𝑣, 200.000 Personen wurden Evakuiert

Zusätzliche Notstäbe, von außerhalb des Kontrollraums einfahrbar, wurden in Folge vor-

geschrieben (russische Modelle hatten diese schon immer)

Konsequenzen

Alle Länder in denen der Fukushima-Störfall nennenswerte Einflüsse hatte:

Deutschland schaltet 8 Reaktoren kurzfristig ab und beschließt Energiewende bis 2022

Italien schaltet 4 Reaktoren ab

Schweiz leitet tiefgehende Untersuchungen der eigenen Reaktoren ein, plant Ausstieg

Stresstests in ganz Europa

Slowenien schiebt Bau weiterer NPPs auf

Umwelteinflüsse und Wirtschaftlichkeit

Vergleich verschiedener Energieformen

Emissionen in 𝑔 𝐶𝑂2 pro 𝑘𝑊ℎ

Brennstoff Bei Verbrennung Konstruktion Brennstoffförderung

Schwarzkohle 720 < 50 < 10

Braunkohle 950 < 20 < 10

Gas 370 < 10 < 10

Öl 370 < 70 < 10

Photo Voltaic − 200 −

Wind − 20 −

Wasser − 4 −

Nuklear − < 1 25

Den größten Beitrag zum Treibhauseffekt haben Kohlekraftwerke.

Ausbeutung elektrischer Energie

Brennstoff 𝑘𝑊ℎ𝑒 pro 𝑘𝑔

Holz ~1

Schwarzkohle 3

Öl 4

Uran 50.000

Plutonium 6.000.000

Kostenindices

Brennstoff Zeit* /

Monate

Kosten / 𝑐𝑡€/𝑘𝑊ℎ

VerwendeteMaterialien / 𝑘𝑔/𝐺𝑊ℎ𝑒 Eisen Kupfer Bauxite

Schwarzkohle 3,2 − 3,6 3,5 1750 − 2310 2 16 − 20

Braunkohle 2,7 − 3,3 4 2100 − 2170 7 − 8 18 − 19

Gas 0,8 3,5 1207 3 28

Photo Voltaic 71 − 141 50 3690 − 24250 210 − 510 240 − 4620

Wind 4,6 − 13,7 5 3700 − 11140 47 − 140 32 − 95

Wasser 8,2 − 13,7 10,5 1560 − 2680 5 − 14 4 − 11

Nuklear 2,9 − 3,4 2,5 420 − 490 6 − 7 27 − 30

Die Amortisationszeit ist die Zeit im Betrieb, bis so viel Energie produziert ist, wie beim Bau

zuvor verwendet worden war.

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Weitere Details

Den größten Teil „environmental impact“ geben Atomkraftwerke durch die verbrauchten,

hochradioaktiven Brennelemente.

Man geht davon aus, dass bis zu 80% Energiereduzierung durch Effizienzsteigerungen an der

Produktionsstätte und beim Verbraucher möglich sind.

Um den Treibhauseffekt zu minimieren muss schnell gehandelt werden. Atomkraftwerke

brauchen im Schnitt aber 10 Jahre bis zum Betrieb.

In Österreich ist die Energiegewinnung über Wasserkraft auf unter 50 % gefallen.

Zusammenfassung

Brennstoff Kapital Betrieb Brennstoff Gesamt

Holz 23,9 9 40,6 73,6

Kohle 11,5 8 26,2 45,7

Gas 6,2 5 40 51,2

Wind 41,9 11 0 52,9

Nuklear 20 10 5 35

Entsorgungskonzepte

Wiederaufbereitung

Wiedererlangen von wertvollem spaltbaren Material

Reduktion des Abfalls

Transport ist schwierig und risikobehaftet

Sehr komplizierter Prozess

Abgebrannter Brennstoff besteht aus Aktiniden, Spaltprodukte (LLSP und KLSP, lang- und

kurzlebig), stabilen Isotopen und außerdem noch aus unverbrauchtem Brennstoff.

Direkte Lagerung

Lagerung am NPP-Gelände oder im eigenen Land heißt weniger Transporte

Wertvolles Material geht verloren

Benötigt Platz und Überwachung

Mit den Endlagerungskonzepten sind drei Länder weit fortgeschritten:

Finnland: Geologische Tieflager in Bentonit

Deutschland: Schacht Konrad ist bestätigt (Eisenmine), Gorleben in Salzstock bereits als

Zwischenlager genutzt

Schweiz: Ergebnisoffene Standortsuche

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Nachweise (Physik)

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Nachweise (Physik) Unvollständiges Quellenverzeichnis

Die in diesem Scriptum enthaltenen Vorlesungen wurden von den hier niedergeschriebenen

Vortragenden gehalten.

Experimentalphysik I Prof. Wolfgang Ernst

(Mechanik und Wärme)

Experimentalphysik II Dr. Roland Lammegger

(Elektronik und Magnetismus)

Experimentalphysik III Prof. Wolfgang Ernst

(Atom-, Kern- und Teilchenphysik) Prof. Laurentius Windholz

Physikalische Messmethoden Dr. Reinhard Dämon

Theoretische Physik 1 Prof. Dr. Leonid Glozman

(Theoretische Mechanik)

Einführung in die Geophysik Prof. Ulrich Foelsche

Quantenmechanik Prof. Hans Gerd Evertz

Kernenergie und Umwelt Prof. Harald Böck

Astrophysik Prof. Arnold Hanslmeier

Computerorientierte Physik Prof. Peter Puschnig

Die in den obigen Vorlesungen empfohlene Begleitlektüre und die Mitschriften/Scripten ha-

ben die Inhalte vornehmlich geprägt.

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2-Punkt Methode .................................................... 113 Abbildungsarten ......................................................... 7 Abbildungsfehler .................................................... 154 Abbildungsgröße .................................................... 154 Abbildungsmaßstab .................................................. 89 Abbildungsmatrix ............................................... 38, 39 abelsche Gruppe ...................................................... 34 Aberration ...................................................... 146, 154 abgeschlossenes System ......................................... 200 Ableitung ................................................................. 30 Ablenkkräfte ............................................................ 92 Abplattung............................................................. 128 absolute Helligkeit .................................................. 163 Absolute Messunsicherheit ....................................... 109 absoluter Extrempunkt .............................................. 26 Absporptionskante .................................................. 102 Abstand .................................................................. 39 Additionstheoreme ................................................... 10 adiabatischer Prozess ....................................... 186, 202 Adjungation ....................................................... 63, 65 Adjungierte Matrix .................................................... 35 Affiner Raum ........................................................... 37 AGR ...................................................................... 250 Ähnlichkeit .............................................................. 40 Aktive Galaxien ...................................................... 173 Albedo .................................................................. 181 Algebra ................................................................... 34 Algebra der Spin-Operatoren ................................... 199 alternierend ............................................................. 20 Altersbestimmung .................................................. 127 Analysator ............................................................. 198 Anfangswertproblem ................................................. 50 Anfangswertprobleme ............................................. 236 Anomalistisches Jahr ............................................... 145 Aperiodische Bewegungen ......................................... 87 approximierbar ........................................................ 24 Äquatorsystem (beweglich) ..................................... 143 Äquatorsystem (fest) .............................................. 143 Äquinoktium .......................................................... 147 Areafunktion ............................................................ 23

Assoziativität ........................................................... 16 Asteroiden ............................................................. 159 Astigmatismus ....................................................... 154 Astrobiologie .......................................................... 175 Atmosphäre .................................................... 158, 177

Molmasse und Dichte .......................................... 178 Planeten ............................................................ 159 Zusammensetzung ............................................. 178

Atommodelle ......................................................... 101 Aufbau der Milchstraße ............................................ 170 Aufenthaltswahrscheinlichkeit .................................... 99 Auflösung .............................................................. 108 Auflösungsgrenze ..................................................... 89 Auflösungsvermögen .............................................. 154 Äußere Unsicherheiten ............................................ 109 Automorphismus ...................................................... 38 Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie ........................ 72 Azimut .................................................................. 143 Baker-Hausdorff-Formeln ........................................ 196 Ballentinesche Deutung ........................................... 197 Barometrische Höhenformel ..................................... 179

Basistransformation .................................................. 39 Bayessche Wahrscheinlichkeitstheorie ......................... 79 Bayessches Theorem ................................................ 80 Beaufort-Skala ....................................................... 194 Bedingungskomplex .................................................. 71 Bernoulli Differentialgleichung .................................... 52 Bernoullische Ungleichung ......................................... 16 Bernoulli-Versuch ..................................................... 71 Beschleunigung ...................................................... 117 Beschränkungen ....................................................... 21 Besetzungszahl-Probleme .......................................... 76 Besselsche Ungleichung ............................................. 61 Betrag ................................................................. 8, 12

Vektor ................................................................. 37 Betrand-Paradoxon ................................................... 72 Beugung .................................................................. 88 Beugungsgitter ......................................................... 88 Beugungsscheibchen ................................................. 89 bijektiv .................................................................... 32 Bijektivität ................................................................. 7 Bild ......................................................................... 39 Bildfeldwölbung ...................................................... 154 Bildladung ............................................................. 214 Bindungsenergie ..................................................... 106 Binnendruck........................................................... 201 Binomialkoeffizient ................................................... 15 Binomial-Koeffizient .................................................. 75 Binomische Formeln .................................................. 15 Binomischer Lehrsatz ................................................ 15 Binomischer Satz ...................................................... 75 Binormalenvektor ..................................................... 43 Biosphäre .............................................................. 177 Biot-Savart-Gesetz ................................................. 217 Bogenlänge .............................................................. 42 Bohrscher Atomradius ............................................. 102 Bohrsches Atommodell ...................................... 97, 101 Bohr-Sommerfeldsches Atommodell .......................... 102 Boltzmann-Statistik .................................................. 76 Bose-Einstein-Statistik .............................................. 76 Bosonen ................................................................ 198

Braggsche Reflexion ................................................ 101 Bra-Ket ................................................................. 195 Brechungsgesetz ...................................................... 88 Bremsstrahlung ...................................................... 100 Brennstoff ............................................................. 244 Brennweite .............................................................. 88 Brewster-Winkel ....................................................... 88 Bulge .................................................................... 171 BWR ..................................................................... 249 CANDU .................................................................. 249 Carnot-Maschine .................................................... 204 Cassegrain-Fokus ................................................... 155 Cauchy-Folge ........................................................... 19 Cauchy-Hadamard-Formel ......................................... 23 Cauchy-Hauptwert .................................................... 42 Cauchy-Kriterium ..................................................... 22 Cauchy-Produkt ........................................................ 20 Cauchy-Schwarzsche Ungleichung .............................. 27 Cepheiden ............................................................. 168 Chandrasekhar-Grenzmasse .................................... 166 Chaos ................................................................... 153

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Charakteristikenmethode........................................... 69 chemisches Potential........................................ 205, 207 Chernobyl .............................................................. 252 Cholesky-Prozess ................................................... 231 Clausiussche Ungleichung ........................................ 205 Compton-Effekt ........................................................ 96 Compton-Wellenlänge ............................................... 96 condition number ................................................... 230 Cooley und Tukey ................................................... 234 Coulomb’sches Gesetz............................................... 90 Coulombkraft ......................................................... 213 Cramerschen Regel ................................................... 33

Crank-Nicholson-Verfahren ...................................... 240 d’Alembert Formel .................................................... 70 Dampfblasenkoeffizient ........................................... 251 Dampferzeuger ...................................................... 244 Dampfkraft-Prozess ................................................ 210 Darstellungsmatrix ................................................... 38 Darstellungssatz von Riesz ........................................ 63 De Broglie-Wellenlänge ........................................... 101 Definitheit ......................................................... 29, 30 Dehnmessstreifen ................................................... 111 Deklination ............................................................ 143 Delta-Distribution ................................................... 196 de-Moivre-Laplace-Theorem ...................................... 78 Determinante ........................................................... 32 Diagonalisierung ...................................................... 41 Diagonalisierungsmatrix ............................................ 41 Dichtefunktion .................................................. 81, 114 Dichtewellen .......................................................... 171 Dichtheit ................................................................. 64 Dielektrische Verschiebung ...................................... 216 Diesel-Motor .......................................................... 209 Differentiale ............................................................. 13 Differentialgleichungen

getrennte Variablen .............................................. 51 partiell ................................................................ 69

Differentialquotient ................................................... 24 Differenzialgleichung ................................................. 50

gewöhnlich .......................................................... 50 partiell ................................................................ 50

Differenzierbarkeit .................................................... 24 Differenzierung von Vektoren ..................................... 46 Dimension ............................................................... 39 Dipoldichte ............................................................ 216 Dipole ................................................................... 105 Diskordia ............................................................... 127 Diskriminantenmannigfaltigkeit .................................. 53 Dispersion ............................................................... 98 Distributivität ........................................................... 16 Divergenz ................................................................ 47 Doppelsonne .......................................................... 184 Doppelspalt ............................................................. 88 Doppelspaltexperiment ............................................. 98 Doppler Imaging .................................................... 165 Drehimpulserhaltung .............................................. 121 Drehmatrizen ........................................................... 36

Dreibein, begleitendes ....................................... 43, 117 Dreiecksungleichung ........................................... 16, 26 Dritter Hauptsatz der Thermodynamik ...................... 208 Druckbehälter ........................................................ 244 Druckwasserreaktor ................................................ 246 Dualraum ................................................................ 62 Dunkelwolken ........................................................ 125 Dunkle Materie ....................................................... 172 Dynamischer Faktor ................................................ 131

Ebenengleichungen ................................................... 14 Eddington-Limit ...................................................... 168 Effusivgesteine ....................................................... 135 Eigenvektoren .......................................................... 29 Eigenvolumen ........................................................ 201 Eigenwerte .............................................................. 29 Eigenwertmenge....................................................... 64 Eigenwertproblem ................................................... 231 Eindeutigkeitstheoreme ........................................... 214 Einfanghypothese ................................................... 159 Einheitskreis .............................................................. 9 Einheitsmatrix .......................................................... 33

Einheitsnormalenvektor ............................................. 47 Einschließungskriterium ............................................. 18 Eintrittspupille .......................................................... 89 Einzelspalt ............................................................... 88 Eisregen ................................................................ 192 Ekliptiksystem ........................................................ 144 El Niño .................................................................. 180 Elektrische Arbeit ..................................................... 90 Elektrische Leiter .................................................... 215 Elektrisches Feld ............................................... 92, 213 Elektrisches Potential .............................................. 214 Elektrolyse ............................................................... 91 Elektronen ............................................................. 106 Elektrostatische Energie .......................................... 215 Elementare Umformungen ......................................... 33 Elementarereignis ..................................................... 71 Eliminationsverfahren ............................................... 56 Ellipse ..................................................................... 43 Ellipsengleichung ...................................................... 14 Elliptische Koordinaten .............................................. 15

räumlich .............................................................. 15 Emissionen von Brennstoffen ................................... 253 Emissionsnebel ....................................................... 169 Empirische Methode ................................................ 113 Endomorphismus ...................................................... 38 Endstadien (Sternentwicklung) ................................. 166 Energie (elektrisch) ................................................ 110 Energieerhaltung .................................................... 121 Entfernungsbestimmung .......................................... 170 Entfernungsmodul .................................................. 164 Enthalpie ........................................................ 202, 206 Entropie ................................................................ 204 Entsorgung (nuklear) .............................................. 254 Entstehung des Sonnensystems ............................... 161 Entwicklungspunkt .................................................... 25 Ephemeridenrechnung ............................................ 150 Eratosthenes .......................................................... 128 Erdalter ................................................................. 126 Erdaufbau ............................................... 133, 134, 158 Erdbahn ................................................................ 150 Erdbebenwellen ...................................................... 133 Erdellipsoid ............................................................ 128 Erdmantel .............................................................. 135 Ereignis ................................................................... 71

exklusiv ............................................................... 72

Ergänzbarkeit ........................................................... 21 Erster Hauptsatz der Thermodynamik ....................... 202 Eruptionsarten ....................................................... 138 Erwartungswert

Spinoperatoren ................................................... 199 Euklidischer Raum .................................................... 38 Euler’scher Multiplikator ............................................ 53 Eulerformel .............................................................. 12 Euler-Gleichung ...................................................... 207

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Euler-Lagrange-Gleichung ....................................... 120 Euler-Verfahren ........................................................ 56 Europa (Mond) ....................................................... 132 Exakte Differentialgleichungen ................................... 53 Exosphäre ............................................................. 178 Expansion des Universums ...................................... 174 Experiment .............................................................. 71 Expolaneten ........................................................... 147 Exponentialfunktion .................................................. 22 Exponentialfunktionen ............................................... 11 Extinktion .............................................................. 169 Extrema .................................................................. 26

Extremwerte ............................................................ 30 Exzentrizität .......................................................... 129 Fakultät .................................................................. 15 Fallwind ................................................................ 188 Faltungssatz ............................................................ 68 Fast Fourier Transformation ..................................... 234 Fehlerspannungsschutzschalter ................................ 116 Fehlerstromschutzschalter ....................................... 115 Fermionen ............................................................. 198 Fermi-Statistik ......................................................... 77 Fernrohr

Galilei’sches ......................................................... 89 Kepler’sches ........................................................ 89

Finsternisse ........................................................... 153 Flache Scheibe ....................................................... 171 Flächenladungsdichte ................................................ 90 Flächensatz ........................................................... 149 Flares ................................................................... 163 Fliehkraft ............................................................... 130 Flip-Flop-Verfahren ................................................... 52 Fockraum ................................................................ 62 Föhn ..................................................................... 187 Folgen..................................................................... 18 Folgenräume ............................................................ 58 Formel von d’Alembert .............................................. 70 Fotowiderstand ...................................................... 112 Fourier-Interpolation ............................................... 233 Fouriertransformation ......................................... 67, 98 Frank-Hertz-Versuch ............................................... 102 Fraunhofer-Linien ..................................................... 97 Freie Energie ......................................................... 206 Freie Enthalpie ....................................................... 206 Freiheitsgrad ........................................................... 33 Frenet’sche Formeln ................................................. 44 Frenetsche Formeln .................................................. 43 Frühlingspunkt ....................................................... 143 Fujita-Skala ........................................................... 194 Fukushima ............................................................. 252 Fundamentalgleichung der Thermodynamik ............... 205 Fundamentalsystem .................................................. 54 Fünf-Punkte-Formel ................................................ 228 Funktionaldeterminante............................................. 45

typische Werte ..................................................... 15 Galaktische Koordinaten .......................................... 171 Galaktisches Microlensing ........................................ 172

Galaktisches Zentrum ............................................. 172 Galileiische Monde .................................................. 160 Galileische Monde ................................................... 132 Galilei-Transformation ............................................. 118

allgemeine ......................................................... 118 spezielle ............................................................ 118

Galvanotechnik ........................................................ 91 Gamma Ray Bursts ................................................. 168 Gasgekühlter Reaktor ............................................. 250

Gasturbine ............................................................. 209 Gauß’sche Methode ................................................. 114 Gauß’sche Verteilungsfunktion ................................. 113 Gauß-Legendre-Quadratur ....................................... 227 Gauß-Methode ....................................................... 113 Gauß-Seidel-Verfahren ............................................ 231 Gay-Lussac-Versuch ............................................... 202 GCR ...................................................................... 250 Gebundene Rotation ............................................... 132 gedämpfte Schwingung ............................................. 86 Gegendämmerung .................................................. 184 Geltende Ziffern ..................................................... 108

Genauigkeit ........................................................... 108 Geographische Breite .............................................. 129 Geographische Pol .................................................. 140 Geoid .................................................................... 129 Geomagnetischer P ................................................. 140 Geometrische Grundlagen .......................................... 14 Geordnete Stichproben .............................................. 74 Geostrophisches Gleichgewicht ................................. 193 Geozentrische Breite ............................................... 129 Gerade ................................................................ 7, 39 Geradengleichungen ................................................. 14 geschlossenes System ............................................. 200 Geschwindigkeit ..................................................... 117 Gesetz der großen Zahlen .......................................... 78 Gezeiten ................................................................ 131 Gibbs-Duhem-Relation ............................................ 207 Gibbs-Potential ....................................................... 206 Gitter ...................................................................... 88 Gleichungssystem ..................................................... 33 Gleissberg-Zyklus ................................................... 163 Global Positioning System ........................................ 147 Globaler Energiehaushalt ......................................... 158 Gradient ............................................................ 28, 47 Gradientwind ......................................................... 193 Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren ....... 39 Graupel ................................................................. 192 Gravitation ............................................................ 129 Gregorianischer Kalender......................................... 145 Grenzwerte .............................................................. 21 Grenzwertkriterium ................................................... 20 Grenzwertsätze ........................................................ 78 Größtfehler Methode ............................................... 113 Grundgesamtheit .............................................. 71, 113 Gruppen .................................................................. 34 Gruppenaxiome ........................................................ 34 Gruppentafel ............................................................ 34 Habitable Zone ....................................................... 175 Hagel .................................................................... 192 Halleffekt ................................................................. 92 Hallwachs-Effekt ....................................................... 96 Halo ............................................................... 171, 185 Häufigkeitsfunktion ................................................. 113 Hauptnormalenvektor ............................................... 43 Heisenbersche Unschärferelation ................................ 98 Helioseismologie ..................................................... 163

Helligkeit ............................................................... 163 Helmholtz-Potential................................................. 206 Hertzsprung-Russel-Diagramm ................................. 164 Hesse-Matrix ............................................................ 29 Heterogenes System ............................................... 200 Heterosphäre ......................................................... 178 Hilbertraum ............................................................. 59 Hochtemp. Gasgek. Reaktor ..................................... 250 Homogenes System ................................................ 200

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Homomorphismus .................................................... 38 Homosphäre .......................................................... 178 Horizontsystem ...................................................... 143 Hot Spot ............................................................... 138 HTR ...................................................................... 250 Hubblealter ............................................................ 174 Hubble-Beziehung .................................................. 174 Hubbleradius ......................................................... 174 Hurrikan ................................................................ 194 Hydrosphäre .......................................................... 177 Hydrostatisches Gleichgewicht ................................. 158 Hyperbolische Funktion ............................................. 23

Hypothesen ............................................................. 71 Hypsographische Kurve ........................................... 134 Implizite Differentialgleichungen ................................ 53 Implizite Funktionen ................................................. 30 Implizite Messunsicherheit ....................................... 109 Impulserhaltung ..................................................... 121 Induktion ................................................................ 16 Induktionsspannung ................................................. 92 Induktivität .............................................................. 92 Inertialsystem ........................................................ 118 Infimum .................................................................. 18 Inhomogene DGL 2. Ordnung..................................... 55 Injektivität ................................................................ 7 Innenwiderstand .................................................... 116 Innenwiderstände ................................................... 111 Innere Unsicherheiten ............................................. 109 Int. Atomenergiebehörde......................................... 243 Integrabilitätsbedingung.......................................... 201 Integrale ................................................................. 13 Integralsatz von de Moirvre ....................................... 78 Integralsätze für Mehrfachintegrale ............................ 48 Integrationsverfahren ............................................... 56 Integrierender Faktor ................................................ 53 Integritätsbedingung ................................................ 53 Interferenz .............................................................. 88 Internationale Höhenformel ..................................... 131 Internationale Schwereformel .................................. 131 Interstellare Materie ............................................... 168 Intrusivgesteine ..................................................... 135 Inverse Matrix .......................................................... 35 Inversionsmethode ................................................. 241 Inversionswetter .................................................... 190 Ionosphäre ............................................................ 178 irreversibler Prozess ............................................... 201 Isokline ................................................................... 50 Isolation ................................................................ 115 Isomorphismus ........................................................ 38 Isotasie ................................................................. 131 Iterative Methoden ................................................. 231 i-tes Moment ........................................................... 73

Jacobi-Determinante ................................................. 45 Jacobi-Matrix ........................................................... 28 Jacobi-Prozess ....................................................... 232 Jacobi-Verfahren .................................................... 231 Jahreszählung ........................................................ 145 Jeans-Masse .......................................................... 125 jj-Kopplung ............................................................ 104

Jordanblock ............................................................. 41 Jordan-Kurve ........................................................... 43 Jordan-Normalform ................................................... 41 Julianische Kalender ............................................... 145 Kalium-Argon-Methode ........................................... 128 Kältemaschine ....................................................... 204 Kartesische Koordinaten .......................................... 117

katabatischer Wind ................................................. 188 Kelvin-Helmholtz-Instabilität .................................... 191 Kelvinsche Formel................................................... 189 Keplergesetze ........................................................ 149 Kern ....................................................................... 39 Kernmodelle .......................................................... 105 Kernwaffen ............................................................ 243 Kettenreaktion ....................................................... 242 Kirchhoff’sche Gesetze ...................................... 91, 110 Kirchhoff-Linien ........................................................ 97 Kirchhoffsches Gesetz ............................................. 182 kleinste Quadrate ................................................... 234

Klimaerwärmung .................................................... 180 Koeffizientenvergleich ......................................... 12, 52 Kofaktormatrix ......................................................... 35 Kollisionshypothese ................................................ 159 Koma .................................................................... 154 Kombinatorik ........................................................... 74 Kometen ............................................................... 160 Kommutativität ........................................................ 16 Kommutator ............................................................ 33 Kompaktheit ............................................................ 65 Komplex konjugierte Matrix ....................................... 35 Komplexe Zahlen ...................................................... 12 Kompressibilität ..................................................... 201 Kondensation ......................................................... 189 Kondensator ............................................................ 90 Konfidenzbereich .................................................... 114 Kongruenzgenerator ............................................... 241 Konkordia .............................................................. 127 Kontinentale Kruste ................................................ 135 Kontinuitätsgleichung .............................................. 217 kontiuierliches Spektrum ........................................... 64 Kontraktionen .......................................................... 75 Kontrollstäbe ......................................................... 244 Konvergenz ....................................................... 18, 20

gleichmäßig ......................................................... 22 punktweise .......................................................... 22

Konvergenzradius ..................................................... 23 Konvexität ......................................................... 26, 30 Koordinatensysteme ................................................. 15

Astrophysik ........................................................ 143 Kopenhagener Interpretation ................................... 197 Körper..................................................................... 34 Korpuskelbild ........................................................... 96 Korrelationskoeffizient ............................................. 114 Kosmische Strahlung .............................................. 169 Kosmologie ............................................................ 174 Kostenindices von Brennstoffen ................................ 253 Kovarianz ................................................................ 74 Kreis ....................................................................... 10

Kreissegment ....................................................... 10 Kreisgleichung .......................................................... 14 Krepuskularstrahlen ................................................ 184 Kreuzprodukt ........................................................... 37 Kritische Dichte ...................................................... 174 Kritische Masse ...................................................... 242

Krümmung ........................................................ 43, 44 Kryosphäre ............................................................ 177 Kugel ...................................................................... 10

Kugelkalotte ......................................................... 11 Kugelsegment ...................................................... 11

Kugelkoordinaten ............................................. 15, 117 Kühlmittel .............................................................. 244 Kuipergürtel ........................................................... 160 Kulminanzhöhe ...................................................... 143

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Kurve ...................................................................... 42 Kurvenscharen ......................................................... 53

Differentialgleichungen .......................................... 52 La Niña ................................................................. 180 Ladungsdichte ........................................................ 213 Ladungsverteilung .................................................. 213 Lagrange’sche Multiplikatorregel ................................ 30 Lagrangeformalismus .............................................. 119 Lagrangegleichung

1. Art ................................................................ 120 2. Art ................................................................ 121

Lagrange-Gleichung ................................................ 120

Lagrange-Methode .................................................... 31 Lagrange-Multiplikator .............................................. 31 Lagrange-Punkte ............................................. 141, 151 Landau-Theorie ...................................................... 211 Landé-Faktor ......................................................... 100 Längenkontraktion .................................................. 124 Laplace‘scher Dämon .............................................. 153 Laplace-Gleichung .................................................. 214 Laplace-Operator ...................................................... 48 Laplacescher Entwicklungssatz ................................... 32 Laufzeitbestimmung ............................................... 133 Lebesgue-Raum ....................................................... 58 Legendre-Polynome ................................................ 215 Legendre-Transformation ........................................ 206 Leibniz-Kriterium ...................................................... 20 Leistung ................................................................ 110 Leistungsanpassung ................................................ 111 Leitungsschutzschalter ............................................ 116 Leitwert ................................................................ 110 Leuchtkraftklassen.................................................. 165 Levenberg-Marquardt-Algorithmus ........................... 235 Levi-Civita-Tensor .................................................. 196 Lichtablenkung ....................................................... 147 Lichtbrechung ........................................................ 184 Linde-Verfahren ..................................................... 210 Lineare Abbildung ..................................................... 38 Lineare Abhängigkeit

Differentialgleichungen .......................................... 54 Lineare Differentialgleichung ...................................... 51 Lineare Differenzialgleichung ..................................... 50 Lineare Regression ................................................. 234 Lineare Unabhängigkeit ............................................. 36 Linienintegral ........................................................... 46 Linsen ..................................................................... 88 Lithosphäre .................................................... 135, 177 LMFBR .................................................................. 251 ln-Methode ............................................................ 113

Logarithmische Auftragung ...................................... 115 Logarithmusfunktion ........................................... 11, 22 Lokaler Grenzwertsatz............................................... 78 Lorentz-Transformation ........................................... 123 Lorenzkraft .............................................................. 92 Love-Welle ............................................................ 133 LR-Zerlegung ......................................................... 229 LS-Kopplung.................................................... 100, 104

LU-Decomposition .................................................. 229 Luftdruck ............................................................... 179 Luftfeuchtigkeit ...................................................... 188 Lupe ....................................................................... 89 machine precision ................................................... 225 Magma .................................................................. 135 Magnetfeld ....................................................... 92, 139 Magnetische Feldstärke ........................................... 218 Magnetische Rekonnexion ....................................... 158

Magnetischer Pol .................................................... 139 Magnetisches Feld .................................................. 217 Magnetisches Potential ............................................ 217 Magnetisierung ....................................................... 218 Magnetohydrodynamik ............................................ 163 Magnetosphäre................................................ 140, 178 Magnox ................................................................. 250 Manteldiapire ......................................................... 138 Maschinengenauigkeit ............................................. 225 Massenmischungsverhältnis ..................................... 188 Mathematisches Pendel ............................................. 86 Matrizen

Addition ............................................................... 33 Multiplikation mit Konstanten ................................. 33 Multiplikation mit Matrizen ..................................... 33 Rechengesetze ..................................................... 33

Maximum ................................................................ 18 mehrere Variablen .............................................. 24, 25 Mengen ................................................................... 17 Mesosphäre ........................................................... 178 Messabweichung .................................................... 108 Messunsicherheit .................................................... 108 Meteoroiden .................................................... 157, 160 Methode der kleinsten Quadrate ............................... 234 Metrik ..................................................................... 17 metrische Räume ............................................... 17, 58 metrischer Raum ...................................................... 17 Mie-Streuung ......................................................... 183 Mikroskop ................................................................ 89 Millikans Öltröpfchenversuch ...................................... 97 Minimum ................................................................. 18 Minkowski-Ungleichung ............................................. 27 Mistral ................................................................... 187 Mittelwert ........................................................ 73, 114 Mittelwertsätze ................................................... 24, 45 Mitternachtsformel .................................................... 11 Moderator .............................................................. 244 Modulo .................................................................... 15 Mohorovičič-Diskontinuität ....................................... 135 Mond (Erde) ........................................................... 159 Mondfinsternisse .................................................... 153 Monotonie ......................................................7, 19, 21 Monte Carlo Simulation ........................................... 241 Morgan-Keenan-Leuchtkraftklassen .......................... 165 Multinomial-Koeffizient .............................................. 75 Multiplets ................................................................ 74 Multipolentwicklung

Elektrostatik ....................................................... 215 Magnetostatik .................................................... 217

Nabla-Operator ........................................................ 47 Navier-Stokes-Gleichungen ...................................... 193 Nebelbildung .......................................................... 190 Nebensonne ........................................................... 185 Nernstsches Wärmetheorem .................................... 208 Nettostrahlung ....................................................... 183 Neumannsche Reihe ................................................. 62 Neutronen ............................................................. 106

Neutronenstern ...................................................... 166 Newton-Fokus ........................................................ 155 Newtonsche Axiome ................................................ 118 Newton'sche Kosmologie ......................................... 174 Nicht-lineare Regression .......................................... 235 Niederschlag .......................................................... 191 Nonlinear Fit .......................................................... 115 Norm ........................................................... 17, 26, 58

euklidisch ............................................................ 27

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NTC ...................................................................... 112 Nullmatrix ............................................................... 33 Nullstellensatz von Bolzano ........................................ 21 Nullter Hauptsatz der Thermodynamik ...................... 200 Nullung ................................................................. 115 Numerische Differenzierung ..................................... 228 Nutation ................................................................ 146 Oberflächenbestimmung ............................................ 45 Oberflächenintegral .................................................. 47 offenes System ...................................................... 200 Öffnungsverhältnis ................................................. 153 Öffnungszahl ......................................................... 153

Ohmsches Gesetz ................................................... 110 Olbers-Paradoxon ................................................... 174 Oort’sche Wolke ..................................................... 160 Operatornorm .......................................................... 62 Optik ...................................................................... 87 Orbitalmodell ......................................................... 102 Ordnung einer Differenzialgleichung............................ 50 Ordnungs-Statistik ................................................... 81 Orthodoxe Statistik ................................................... 79 orthogonal ............................................................... 39 Orthogonale Matrix ................................................... 35 Orthogonalität .......................................................... 27

Hilbertraum ......................................................... 59 Orthogonalprojektion ................................................ 60 Orthonormalbasis ..................................................... 39

Hilbertraum ......................................................... 60 Orthonormalität ....................................................... 27 Oszillator, harmonisch ............................................... 95 Otto-Motor ............................................................ 209 Ozeanische Kruste .................................................. 135 Paare ...................................................................... 74 Parallaxe ............................................................... 146 Parallelogrammgleichung ........................................... 58 Parallelschaltung .................................................... 110 Paritätszerlegung ..................................................... 60 Partialbruchzerlegung ............................................... 11 Partikuläre Lösung .................................................... 52 Partitionierung ......................................................... 74 Paschen-Back-Effekt ............................................... 100 Pauli-Matritzen ....................................................... 196 Pauli-Matrizen .......................................................... 36 Periodische Fortsetzung............................................. 70 Permutation ....................................................... 32, 74 Phasensprung .......................................................... 89 Photoeffekt .............................................................. 96 Physikalische Größe ................................................ 108 physisches Pendel .................................................... 86 Planckkonstante ....................................................... 96 Plancksches Strahlungsgesetz ............................. 95, 181 Planetentransits ..................................................... 153 Plasma (Sonne) ...................................................... 140 Plasmasphäre ........................................................ 178 Platin-Messwiderstand ............................................. 112 Poisson Wahrscheinlichkeitstheorie ............................. 83 Poisson-Gleichung .................................................. 214

Poisson-Punkte ........................................................ 83 Polarisation ............................................... 88, 169, 216 Polarisationsexperimente ......................................... 197 Polarisationsidentität................................................. 58 Polarisator ............................................................. 197 Polarkoordinaten ............................................... 15, 117 Polarlichter ............................................................ 142 Pole of Inaccessibility .............................................. 140 Polulation ................................................................ 74

Polynome ................................................................ 11 polytroper Prozess ........................................... 186, 202 Potential .................................................................. 90 Potentielle Temperatur ............................................ 188 Potentiometer ........................................................ 110 Potenzfunktion ......................................................... 22 Potenzmethode ...................................................... 231 Potenzreihen ............................................................ 23

komplex .............................................................. 23 Prä-Hilbertraum........................................................ 58 Präzession ............................................................. 146 Präzision beim Messen ............................................ 108

Prior-Wahrscheinlichkeit ............................................ 79 Projektionen .......................................................... 195 Projektionsoperator .................................................. 60 Projektionssatz ......................................................... 59 Proposition .............................................................. 71 Protostern ............................................................. 125 PTC ................................................................ 112, 116 Pulsar ................................................................... 166 Punktspektrum ......................................................... 64 P-Welle ................................................................. 133 PWR ...................................................................... 246 Quantenzahlen ....................................................... 103 Quotientenkriterium .................................................. 20 Radiokarbonmethode .............................................. 127 Radiometrische Datierung ........................................ 127 Raketengleichung ................................................... 152 Random-Walk .......................................................... 75 Randwertproblem ............................................. 50, 238 Rang ....................................................................... 35 Rastertunnelmikroskop .............................................. 99 Raumflug ............................................................... 152 Rayleigh-Streuung .................................................. 183 Rayleight-Jeans Gesetz ............................................. 95 Rayleigh-Welle ....................................................... 133 RBMK .................................................................... 250 Reaktorgebäude ..................................................... 244 Reaktorphysik ........................................................ 243 Reaktortypen ......................................................... 245 Realgasfaktor ......................................................... 201 Refraktion.............................................................. 146 Regel von de l’Hospital .............................................. 25 Regel von Sarrus ...................................................... 32 Regen ................................................................... 191 Regenbogen ........................................................... 184 Regression

Lineare .............................................................. 114 Reguläre Linienelemente ........................................... 53 Reguläre Lösungen ................................................... 53 Reguläre Punkte ....................................................... 53 Reif ....................................................................... 192 Reihen .................................................................... 19 Rektaszension ........................................................ 144 rektifizierbar ............................................................ 42 Relative Feuchte ..................................................... 189 Relative Messunsicherheit ........................................ 109

relativer Extrempunkt ............................................... 26 Relativitätstheorie

spezielle ............................................................ 123 Residualspektrum ..................................................... 64 Resolventenmenge ................................................... 63 Resonanzen ........................................................... 153 Restglied nach Lagrange ............................................ 25 Restspektrum ........................................................... 64 reversibler Prozess ................................................. 201

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Reziprozitätsgleichung ............................................ 201 Riccati Differentialgleichung ....................................... 52 Richtungsableitung ................................................... 28 Richtungsfelder ........................................................ 50 Richtungsgrenzwert .................................................. 28 Riesen-Impact-Szenario .......................................... 126 Ring ........................................................................ 34 Robotische Teleskope .............................................. 155 Romberg-Methode .................................................. 226 Röntgenstrahlung ................................................... 100 Rotation .................................................................. 48

syderisch ........................................................... 145

synodisch .......................................................... 144 Rotation (Galaxie) .................................................. 172 RR-Lyrae-Stern ...................................................... 168 Rückstellkraft ........................................................... 86 Runge-Kutta-Verfahren ...................................... 57, 237 Russel-Saunders-Kopplung ............................... 100, 104 Rutherfords Atommodell .......................................... 101 Rutherfords Goldfolienversuch.................................... 97 Rydberg-Konstante ................................................. 103 Sarrus ..................................................................... 32 Sättigungsdampfdruck ............................................ 189 Satz von Carnot ..................................................... 204 Satz von Fermat ....................................................... 24 Satz von Fubini ........................................................ 44 Satz von Gauß ......................................................... 48 Satz von Green ........................................................ 48 Satz von Hellinger-Töplitz .......................................... 63 Satz von Helmholtz ................................................... 91 Satz von Peano ........................................................ 54 Satz von Picard ........................................................ 54 Satz von Poisson ...................................................... 78 Satz von Rolle .......................................................... 24 Satz von Schwarz ............................................... 25, 29 Satz von Stokes ....................................................... 48 Schalenbrennen ..................................................... 166 Schattenzone (Erdbeben) ........................................ 135 scheinbare Helligkeit ............................................... 163 Schichtung (Atmosphäre) ........................................ 186 Schmelzsicherungen ............................................... 116 Schmidt-Spiegel ..................................................... 155 Schmiegebene ......................................................... 43 Schnee .................................................................. 191 Schneller Brüter ..................................................... 251 Schnittmenge .......................................................... 17 Schranken ............................................................... 18 Schutzerde ............................................................ 115 Schutzkleinspannung .............................................. 115 Schwarzes Loch...................................................... 166

supermassiv ...................................................... 173 Schwarzkörperstrahlung ............................................ 95 Schwarzraum ........................................................... 68 Schwarzschild-Metrik .............................................. 147 Schwerkraft ........................................................... 130 Schwerwasserreaktor .............................................. 249 Schwingkreise .......................................................... 93

Schwingungen ......................................................... 86 Schwingungsenergie ................................................. 86 Seeing .................................................................. 146 Seismik ................................................................. 132 Seitenkosinussatz ................................................... 144 Selbstinduktion ........................................................ 92 Serienschaltung ..................................................... 110 Seyfertgalaxie ........................................................ 173 Sicherheitseinweisung ............................................. 115

Sicherheitsmaßnahmen (Strom) ............................... 115 Sicherung .............................................................. 116 Sicherungsautomat ................................................. 116 Siderisches Jahr ..................................................... 145 Siedewasserreaktor ................................................ 249 Signifikante Stellen ................................................. 108 Signifikanz-Test ........................................................ 79 Simmulationslemma ............................................... 241 Simpsonregel ......................................................... 226 Singuläre Linienelemente ........................................... 53 Singuläre Lösung ...................................................... 50 Singuläre Lösungen .................................................. 53

Singuläre Punkte ...................................................... 53 Singulett und Triplet ............................................... 104 Skalarfeld ................................................................ 27 Skalarfunktion .......................................................... 27 Skalarprodukt .................................................... 27, 37

komplex ........................................................ 12, 27 Skalenrelationen..................................................... 211 Sobolev-Raum.......................................................... 59 Solar Flares ........................................................... 142 Solarkonstante ....................................................... 181 Sonne ................................................................... 161 Sonnenfinsternisse ................................................. 153 Sonnenflecken ....................................................... 163 Sonnenkalender ..................................................... 145 Sonnensegels ......................................................... 152 Sonnensystem ....................................................... 126 Sonnenwind ........................................................... 140 Sonnenzeit

wahre................................................................ 144 Spannungskoeffizient .............................................. 201 Spannungsrichtig .................................................... 112 Spatprodukt ............................................................. 37 Spektralklassifikation .............................................. 164 Spektralsatz für Operatoren

beschränkt, selbstadjungiert .................................. 65 unbeschränkt, selbstadjungiert ............................... 66

Spektralschar ........................................................... 66 Spektroskopie ........................................................ 155 Spektrum ..................................................... 29, 63, 65 Sperrschicht (Atmosphäre) ...................................... 186 Spezielle Lösungsansätze (DGL) ................................. 55 Spezifische Feuchte ......................................... 186, 188 Spezifische Wärmekapazität ..................................... 202 Spin 1/2-Basisvektoren ........................................... 198

Spin 1/2-Operatoren ............................................... 199

Spiralarme ............................................................. 171 Spline-Interpolation ................................................ 233 Spur ....................................................................... 35 Stabilität ............................................................... 225 Stabilität eines Satelliten ......................................... 158 Standardabweichung ............................................... 114

der Mittelwerte ................................................... 114 diskrete Zufallsvariable .......................................... 73 empirische ......................................................... 114

Standardfehler ......................................................... 73 Stark-Effekt ........................................................... 100 Statistik ................................................................ 113 Stefan-Boltzmann-Gesetz ........................................ 181 Steradiant ............................................................. 181 Sternentwicklung .................................................... 166 Stern-Gerlach-Experiment ........................ 104, 196, 198 Sternkataloge ........................................................ 146 Sternpopulation ...................................................... 171 Sternpositionen ...................................................... 145

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Sternzeit ............................................................... 144 stetiges Spektrum .................................................... 64 Stetigkeit ............................................................ 8, 21 Stichprobe ............................................................... 71

geordnet ............................................................. 74 Stirling-Prozess ...................................................... 209 Stirlingsche Formel ................................................... 78 Stochastische Prozesse ............................................. 83 Strahlungsbilanz..................................................... 182 Stratosphäre .......................................................... 178 Streuung ............................................................... 114 Stromdichte ...................................................... 91, 217

Stromrichtig .......................................................... 112 Stromunfälle .......................................................... 116 Stundenwinkel ....................................................... 143 Sturm-Liouville-Eigenwertproblem .............................. 67 Sturm-Liouville-Operator ........................................... 67 Subduktion ............................................................ 137 Sublimationsenthalpie ............................................. 189 Substitution ............................................................. 13

Differentialgleichungen .......................................... 51 Sungrazer ............................................................. 160 Supernova ...................................................... 126, 167 Superposition ........................................................... 98 Superpositionsprinzip (DGL) ...................................... 55 Supremum .............................................................. 18 Surjektivität............................................................... 7 Suszeptibilität ........................................................ 211 S-Welle ................................................................. 133 Symmetrieeigenschaften ............................................. 7 Symmetrische Darstellung ......................................... 53 Symmetrische Gruppe ............................................... 34 Systematische Messabweichung ............................... 109 Systeme von Differenzialgleichungen .......................... 56 Szintillation ........................................................... 146 Taifun ................................................................... 194 Tangenteneinheitsvektor ........................................... 43 Tau ....................................................................... 192 Taupunkt ............................................................... 190 Taylor ..................................................................... 25 Taylorpolynom ......................................................... 25 Taylor-Reihe ............................................................ 25 Teilchennachweis ..................................................... 96 Teilchenspuren ....................................................... 107 Teilfolge .................................................................. 19 Teilmenge ............................................................... 17 Teleskope .............................................................. 153 Teleskopmontierung ............................................... 155 Teleskoptypen ........................................................ 154 Temperatur ........................................................... 179

Extrema der Erde ............................................... 180 Temperaturgradient

feuchtadiabatisch ............................................... 186 Temperaturgradient

trockenadiabatisch .............................................. 185 Temperaturskalen .................................................. 179 Tensorprodukt ......................................................... 61

Thermische Strahlung ............................................. 156 Thermodynamische Temperatur ............................... 200 thermodynamisches Viereck .................................... 207 Thermoremanente Magnetisierung ............................ 136 Thermosphäre ........................................................ 178 Thévenin-Theorem ................................................... 91 Thomson-Experiment ................................................ 96 Thomsonsches Atommodell ...................................... 101 Three Mile Island .................................................... 251

TNT-Äquivalent ...................................................... 133 Tornado ................................................................ 194 TORRO-Skala ......................................................... 194 Torsion .................................................................... 44 Totalreflektion .......................................................... 88 Transformationsformel .............................................. 45 Transformationsmatrix .............................................. 40 Transformator .......................................................... 94 Transformstörungen................................................ 138 Transponierte Matrix ................................................. 35 Transpositionen ........................................................ 32 Trapezverfahren ............................................... 57, 226

Treibhauseffekt ...................................................... 182 Trenntrafo ............................................................. 116 Trigonometrie ............................................................ 8 Trigonometrische Funktion ......................................... 23 Triviale Eins ........................................................... 195 Tropfen ................................................................. 191 Tropischer Wirbelstürm ........................................... 194 Tropisches Jahr ...................................................... 145 Troposphäre .......................................................... 177 Tsunami ................................................................ 134 Tunneleffekt ............................................................ 99 Tupel ...................................................................... 74 Tylor-Säulen .......................................................... 139 Überlagerungsprinzip nach Helmholtz ........................ 111 Umpolung des Magnetfelds ...................................... 140 Unbestimmte Ausdrücke ............................................ 25 Uneigentliche Integrale ............................................. 42 ungedämpfte harmonischen Schwingung ..................... 86 Ungerade .................................................................. 7 Unitäre Matrix .......................................................... 36 Unitärer Raum.......................................................... 38 Unsicherheitsfortpflanzung ....................................... 113 Unterkühlung ......................................................... 189 Unterpopulationen .................................................... 74 Uran-Blei-Methode .................................................. 127 Urbildmenge ............................................................ 39 Van der Waals-Zustandsgleichung ............................ 201 Variablentransformation ............................................ 82 Varianz ................................................................. 114

empirische ......................................................... 114 Spinoperatoren ................................................... 199

Varianz ................................................................... 73 Variation der Konstanten ..................................... 52, 55 VDR ............................................................... 112, 116 Vektorfeld ................................................................ 27 Vektorprodukt .......................................................... 37 Vektorraum ............................................................. 34 Verdichtungssatz von Cauchy ..................................... 20 Vereinigungsmenge .................................................. 17 Verfahren 4. Ordnung ............................................... 57 Vergleichskriterium ................................................... 20 Vergrößerung ......................................................... 154 Verschiebungssatz .................................................... 68 Verschiebungsvektor ................................................. 27 Verteilung

Binomial .............................................................. 75 Boltzmann ........................................................... 76 Cauchy ................................................................ 82 Exponential .......................................................... 82 Geometrische ....................................................... 77 Gleich- ................................................................ 81 Hypergeometrische ............................................... 77 Multinomial .......................................................... 75 Multivariante Normal ............................................. 82

FORMELSAMMLUNG Version 2.0

Register

Nawi Graz Seite 264

Laurenz Sproß

257 Seiten, Index beginnt auf Seite 256 Bachelorstudium Physik

[email protected] Private Mitschrift 28.06.2016 14:10

Normal ................................................................ 82 Poisson ......................................................... 78, 83 Stundetische-t ..................................................... 82 β ........................................................................ 81 Γ ........................................................................ 81 χ2 ...................................................................... 81

Verteilungsfunktion ................................................... 81 Vertrauensbereich .................................................. 114 Verzeichnung ......................................................... 154 Vielfachheit.............................................................. 40 Virtuelle Temperatur ............................................... 188 Vis-Viva-Gleichung ................................................. 150

Volumenausdehnungskoeffizient ............................... 201 Vorhauptreihenentwicklung...................................... 166 Vorwärts-/Rückwärtsrechnung ................................... 71 Vulkanismus .......................................................... 135 Wahre Sonnenzeit .................................................. 144 Wahrscheinlichkeitsdichte .......................................... 81 Wärmekapazität ..................................................... 202 Wärmepumpe ........................................................ 204 Wasserstoffbrennen ................................................ 125 Wechselstrom .......................................................... 93 Weißer Zwerg ........................................................ 166 Weiß-Gesetz .......................................................... 211 Wellengleichung ................................................. 69, 87 Welle-Teilchen-Dualismus .......................................... 98 Weltalter ............................................................... 174 Weltraumwetter ..................................................... 141 Wendepunkte ........................................................... 26 Wheatstone Brücke ................................................. 111 Widerstand ....................................................... 90, 109 Widerstand des Körpers .......................................... 115

Wiensches Verschiebungsgesetz ........................ 156, 182 Winde ................................................................... 193 Wirbelstraße .......................................................... 191 Wirkungsgrad ......................................................... 111 Wolkenbildung ....................................................... 190 Wolkendynamik ...................................................... 191 Wolkengattungen ................................................... 190 Wronski-Determinante .............................................. 54 Wurzel ...................................................................... 8

komplex .............................................................. 13 Wurzelfunktion ......................................................... 22 Wurzelkriterium ........................................................ 20

Xenon-Vergiftung ................................................... 251 Zeemann-Effekt ..................................................... 100 Zeitdilatation ......................................................... 123 zentraler Grenzwertsatz ............................................ 82 Zerfall ................................................................... 107 Ziegenparadoxon ...................................................... 80 Zufällige Unsicherheiten .......................................... 109 Zufallsvariable.......................................................... 73 Zufallsvariablen ...................................................... 241 Zufallsversuch .......................................................... 71 Zustände ............................................................... 196 Zustandsfunktion .................................................... 201 Zweikörperproblem ................................................. 151 Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik ..................... 203 Zwischenwertsatz ..................................................... 21 zyklische Koordinate ............................................... 121 Zyklon .................................................................. 194 Zyklostrophisches Gleichgewicht ............................... 193 Zylinderkoordinaten .................................................. 15