Mathematischer Satz mit LaTeX2e - staff.uni-giessen.de · 3 So bringe ich Mathematik in mein...

Mathematischer Satz mit LATEX– Tutorium bei der DANTE2009 in Wien

–

Günter Partosch∗

mailto:[email protected]

6. Januar 2018

Zielgruppe für diese Kursunterlagen sind LATEX-Anfänger, die auf ihrem Rechner Doku-mente erstellen wollen, die mathematische Formeln enthalten. Im Kurs werden die meistenMöglichkeiten zur Formelgestaltung und die wichtigsten Formelelemente in Standard-LATEX vorgestellt. Wünschenswert sind mindestens Anfangskenntnisse in LATEX2ε.

∗Hochschulrechenzentrum (HRZ) der Justus-Liebig-Universität Gießen

1

[email protected]


Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Bemerkungen zum Setzen mathematischer Formeln in LATEX 4

2 Aufbau einer LATEX-Datei mit Formeln 52.1 Ohne amsmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Zusätzlich mit amsmath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 So bringe ich Mathematik in mein Dokument 63.1 Inline-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Abgesetzte Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Beispiele für mathematische Formeln 84.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 Relationen und binäre Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 Mathematische Akzente und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.5 Pfeile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.6 Andere Schriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.7 Brüche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.8 Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.9 Exponenten und Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.10 Binominalkoeffizienten und ähnliche Konstrukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.11 Symbole stapeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.12 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.13 Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.14 (Unendliche) Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.15 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.16 Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.17 Mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.18 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.19 Matrizen und andere rechteckige Anordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.20 Eigene Kommandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.21 Theorem-artige Konstrukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Literatur 27

A Anhang 28A.1 Darum ging es jeweils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28A.2 Und diese mathematischen LATEX-Befehle wurden benutzt . . . . . . . . . . . . . . . . 32A.3 Und noch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39A.4 Und noch etwas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2

Inhaltsverzeichnis

Anmerkung 1 (Nur Standard-Möglichkeiten):Wie oben schon erwähnt, werden in dieser Anleitung lediglich die Standard-Möglichkeiten fürden Mathematik-Satz in LATEX behandelt. Die weitergehenden Möglichkeiten zum Formelsatzin AMS-TEX und einigen speziellen Paketen (wie beispielsweise amsmath, amsfonts, amsthm,amscd, mathrsfs, mathtools und wasysym) bleiben weitgehend unberücksichtigt.

Anmerkung 2 (Konventionen):In der vorliegenden Anleitung wird versucht, an Hand zahlreicher Beispiele zu zeigen, wiemathematische Formeln in LATEX gesetzt werden können.

• Dabei wird für jedes Beispiel jeweils in der rechten Spalte die Eingabe und in der linkenSpalte das zugehörige Ergebnis aufgeführt.

• Um den Platz in der linken Spalte besser nutzen zu können, werden die Formeln dortlinksbündig gesetzt (durch die Option fleqn in der documentclass-Anweisung).

• Die Texte in den Beispielen wurden in ISO 8859-1 (Latin-1) codiert (einschließlich derUmlaute und des Eszets); auf die Umschreibung wie beispielsweise in "a für ä wurdeverzichtet. Wenn die Anweisung \usepackage[latin1]fontenc in der Präambel desLATEX-Dokuments verwendet wird, werden die Texte ohne Probleme korrekt dargestellt.

3

1 Bemerkungen zum Setzen mathematischer Formeln in LATEX

1 Einige allgemeine Bemerkungen zum Setzenmathematischer Formeln in LATEX

Das Setzen mathematischer Formeln unterscheidet sich in LATEX deutlich von der Aufbereitung „nor-maler“ Texte. Dabei gelten die folgenden Regeln (teilweise sinngemäß aus der LATEX-Kurzanleitung):

• Leerzeilen in der Eingabe für eine Formel sind generell nicht zulässig.

• Leerzeichen und Zeilenwechsel haben bei der Eingabe keine Bedeutung; alle Abstände in derFormel werden automatisch nach der Logik mathematischer Ausdrücke bestimmt bzw. müssendurch spezielle Befehle wie \,, \!, \quad oder \qquad gezielt festgelegt werden.

• Jeder einzelne Buchstabe in der Eingabe wird als Name einer Variablen betrachtet und entspre-chend gesetzt: kursiv mit zusätzlichem Abstand; so beispielsweise „mathematischerText“ statt„mathematischer Text“. Will man innerhalb eines mathematischen Kontextes normalen Text(d. h. aufrecht mit korrekten Abständen) setzen, muss man diesen in \textrm... aufführen.

• Der Mechanismus, bei dem einzelne Buchstaben in der Eingabe als Variablennamen inter-pretiert werden, führt dazu, dass mathematische, technische oder physikalische Konstantenund Maßeinheiten (wie z. B. µm oder die Zahl e = 2.7 . . .) kursiv gesetzt werden. Das soll-te im Einzelfall händisch korrigiert werden, beispielsweise wie in $\upmu\mathrmm$ oder$\mathrme=2.7\dots$. Siehe dazu auch [MN].

• In LATEX werden griechische Kleinbuchstaben generell klein geschrieben, was im Falle von Kon-stanten oder Maßeinheiten nicht korrekt ist. Das kann durch das LATEX-Paket upgreek undBefehle der Art \upx (x=alpha, beta, . . . ) korrigiert werden. Siehe dazu auch [MN].

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2 Aufbau einer LATEX-Datei mit Formeln

2 Aufbau einer LATEX-Datei mit Formeln

2.1 Ohne amsmath

\documentclass[fleqn, % linksbündige, abgesetzte Formelnleqno, % links stehende Formelnummerna4paper, % A4-Papierhalfparskip, % kl. Sprung zwischen Absätzen

...]scrartcl\usepackage[latin1]inputenc % Codierung der Eingabe\usepackagengerman % deutsche Trennungen und Typographie\usepackageupgreek % aufrechte griechische Buchstaben ermöglichen\usepackage[T1]fontenc % Font-Codierung ist T1

\begindocument... % hier können Formeln hin\enddocument

2.2 Zusätzlich mit amsmath

\documentclass[fleqn, % linksbündige, abgesetzte Formelnreqno, % rechts stehende Formelnummerna4paper, % A4-Papierhalfparskip, % kl. Sprung zwischen Absätzen

...]scrartcl\usepackage[latin1]inputenc % Codierung der Eingabe\usepackagengerman % deutsche Trennungen und Typographie\usepackage[T1]fontenc % Font-Codierung ist T1\usepackage[tbtags, % Platzierung der Formel-Tags;

% es gibt auch centertagssumlimits, % Platzierung der Summationsgrenzen

% (oberhalb/unterhalb)intlimits, % Platzierung der Integrationsgrenzen

% (oberhalb/unterhalb)namelimits] % Platzierung der Grenzen

% (oberhalb/unterhalb) bei Funktionenamsmath\usepackageamsfonts\usepackageupgreek % aufrechte griechische Buchstaben ermöglichen\usepackageamsthm % Theoreme\usepackageamscd % kommutative Diagramme\setcounterMaxMatrixCols12

\begindocument... % hier können Formeln hin\enddocument

5

3 So bringe ich Mathematik in mein Dokument


3.1 Inline-Formeln

Seien a und b die Katheten und c die Hypotenuse,dann gilt c =

√a2 + b2 (Lehrsatz des Pythagoras).

%--inline1.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$c=\sqrta^2+b^2$ (Lehrsatz desPythagoras).



%--inline2.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\beginmathc=\sqrta^2+b^2\endmath(Lehrsatz des Pythagoras).



%--inline3.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$ c=\sqrta^2+b^2 $(Lehrsatz des Pythagoras).

3.2 Abgesetzte Formeln

Seien a und b die Katheten und c die Hypotenuse,dann gilt

c2 = a2 + b2

(Lehrsatz des Pythagoras).

%--display1.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt$$c^2=a^2+b^2$$ (Lehrsatz desPythagoras).


c2 = a2 + b2


%--display2.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\begindisplaymathc^2=a^2+b^2\enddisplaymath(Lehrsatz des Pythagoras).


c2 = a2 + b2


%--display3.tex---Seien $a$ und $b$ die Katheten und$c$ die Hypotenuse, dann gilt\[ c^2=a^2+b^2 \](Lehrsatz des Pythagoras).

6



c2 = a2 + b2 (1)

(Lehrsatz des Pythagoras).Aus (1) folgt . . .

%--display4.tex---Seien $a$ und $b$ die Kathetenund $c$ die Hypotenuse, dann gilt\beginequation\labeleq:Pythagorasc^2=a^2+b^2\endequation(Lehrsatz des Pythagoras).\parAus (\refeq:Pythagoras) folgt \dots

f(x) = cosx (2)f ′(x) = − sinx (3)∫ x

0f(y)dy = sin x (4)

%--display5.tex---\begineqnarrayf(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & - \sin x \\\int_0^xf(y)\mathrmdy&=&\sin x\endeqnarray

Anmerkung 3 (Darstellung abgesetzter Formeln wie in TEX):$$ ... $$ stammt aus dem „alten“ TEX und verhält sich anders als die LATEX-Umgebungen\[ und displaymath. Diese Darstellung sollte in einem LATEX-Dokument nicht mehr verwendetwerden.

Anmerkung 4 (Weitere Darstellungsmöglichkeiten mit amsmath):Wenn Sie das LATEX-Paket amsmath einbinden, stehen Ihnen weitere Darstellungsmöglichkeitenfür mathematische Formeln zur Verfügung. Diese sind jedoch nicht Gegenstand dieses Tutori-ums.

7

4 Beispiele für mathematische Formeln


4.1 Griechische Buchstaben und spezielle Zeichen

ABΓ∆EZHΘIKΛMNΞOΠPΣTΦXYΨΩ

%--symbol1.tex---\[ \mathrmA\mathrmB\Gamma\Delta\mathrmE\mathrmZ\mathrmH\Theta\mathrmI\mathrmK\Lambda\mathrmM\mathrmN\Xi\mathrmO\Pi\mathrmP\Sigma\mathrmT\Phi\mathrmX\mathrmY\Psi\Omega \]

αβγδεζηθικλµνξoπρστφχυψω

%--symbol2.tex---\[ \alpha\beta\gamma\delta\epsilon\zeta\eta\theta\iota\kappa\lambda\mu\nu\xi\mathrmo\pi\rho\sigma\tau\phi\chi\upsilon\psi\omega \]

ε ϑ $ % ς ϕ

%--symbol3.tex---\[ \varepsilon \quad \vartheta \quad\varpi \quad \varrho \quad \varsigma\quad \varphi \]

ℵ < = ∂ ∞ ∀ ∃ ¬ ∈ ♥

%--symbol4.tex---\[\aleph\quad\Re\quad\Im\quad\partial\quad\infty\quad\forall\quad\exists\quad\neg\quad\in\quad\heartsuit \]

∀ε > 0 : |f(x1)− f(x2)| < ε ∃η : |x1 − x2| < η

%--symbol5.tex---\[ \forall \varepsilon>0:|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\quad\exists\eta: |x_1-x_2|<\eta \]

4.2 Klammern

( [ [ b 〈 d

%--klammer1.tex---\[ (\qquad\lbrack\qquad\lbrace\qquad[\qquad\lfloor\qquad\langle\qquad\\qquad\lceil \]

) ] ] c 〉 e

%--klammer2.tex---\[ )\qquad\rbrack\qquad\rbrace\qquad]\qquad\rfloor\qquad\rangle\qquad\\qquad\rceil \]

8


((x+ 1)(x− 1)

)2%--klammer3.tex---\[ \Bigl( (x+1) (x-1)\Bigr) ^2 \]

((x2 + 1)(x2 − 1)

)2%--klammer4.tex---\[ \left((x^2+1) (x^2-1)\right)^2 \]

1 +(

1

1− x2

)3%--klammer5.tex---\[ 1 + \left(\frac11-x^2\right)^3 \]

26︷︸︸︷a+ b+ · · ·+ z+

26︷︸︸︷A+B + · · ·+ Z︸︷︷︸

52

%--klammer6.tex---\[ \underbrace\overbracea + b + \cdots +z^26 +\overbraceA + B + \cdots+Z^26_52 \]

m+ n m+ n

%--klammer7.tex---\[ \overlinem+n\qquad\underlinem+n \]

4.3 Relationen und binäre Operatoren

x = y > z x := y x ≤ y 6= z

%--rel1.tex---\[ x = y > z \qquad x := y \qquadx \le y \ne z \]

x ∼ y ' z x ≡ y 6≡ z x ⊂ y ⊆ z

%--rel2.tex---\[ x \sim y \simeq z \qquadx \equiv y \not\equiv z \qquadx \subset y \subseteq z \]

x+ y − z x ∗ y/z x× y · z

%--rel3.tex---\[ x + y - z \qquad x * y / z \qquadx \times y \cdot z \]

x y • z x ∪ y ∩ z x t y u z

%--rel4.tex---\[ x \circ y \bullet z\qquadx \cup y \cap z \qquadx \sqcup y \sqcap z \qquad \]

x ∨ y ∧ z x± y ∓ z

%--rel5.tex---\[ x \vee y \wedge z\qquadx \pm y \mp z \]

9


4.4 Mathematische Akzente und Vektoren

a b c d e

f g h k ~l

%--akzent1.tex---\[ \hat a\qquad\check b\qquad\tildec \qquad \acute d \qquad \grave e \]\[ \dot f\qquad\ddot g\qquad\breveh \qquad \bar k \qquad \vec l \]

ı %--akzent2.tex---\[ \hat\imath \qquad \check\jmath \]

x xy xyz

x xy xyz

%--akzent3.tex---\[ \widehat x \qquad \widehatxy\qquad \widehatxyz \]\[ \widetilde x \qquad \widetildexy\qquad \widetildexyz \]

α · (~x+ ~y) = α · ~x+ α · ~y

%--akzent4.tex---\[ \alpha \cdot(\vec x + \vec y) =\alpha \cdot \vec x +\alpha \cdot \vec y \]

~x · (~y · ~z) 6= (~x · ~y) · ~z

~x× (~y × ~z) 6= (~x× ~y)× ~z

%--akzent5.tex---\[ \vec x \cdot (\vec y \cdot \vec z)\not=(\vec x\cdot\vec y)\cdot \vec z \]\[ \vec x\times (\vec y\times \vec z)\not= (\vec x \times \vec y) \times\vec z \]

4.5 Pfeile

← ⇐ ↔ ⇔ ↑ ↓

←− 7→ ;

%--pfeil1.tex---\[ \leftarrow \qquad \Leftarrow \qquad\leftrightarrow \qquad \Leftrightarrow\qquad\uparrow\qquad\downarrow\qquad\nearrow \]\[ \longleftarrow\qquad\leftharpoonup\qquad \mapsto \qquad \leadsto \]

(A ⇒ B)⇐⇒ (¬B ⇒ ¬A)

%--pfeil2.tex---\[ (\mathcalA \Rightarrow\mathcalB) \Longleftrightarrow(\lnot \mathcalB \Rightarrow\lnot \mathcalA) \]

10


4.6 Andere Schriften

∀x ∈ R : x2 ≥ 0

%--zeichen1.tex---\[ \forall x\in\mathbfR: x^2\ge0\]

A · x = y

mit A = (aij)

i = 1, · · · ,m; j = 1, · · · , nx = (x1, · · · , xn) undy = (y1, · · · , ym)

%--zeichen2.tex---\begineqnarray*\mathbfA \cdot \mathbfx & = &\mathbfy \\\textrmmit \mathbfA&=&(a_ij)\\&&i=1,\cdots, m; j=1,\cdots, n\\\mathbfx & = & (x_1,\cdots, x_n)\textrm und\\\mathbfy & = & (y_1, \cdots, y_m)\\\endeqnarray*

(A ⇐⇒ B)⇐⇒ (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)

%--zeichen3.tex---\[ (\mathcalA \Longleftrightarrow\mathcalB)\Longleftrightarrow(\mathcalA\Rightarrow \mathcalB)\wedge(\mathcalB\Rightarrow\mathcalA)\]

4.7 Brüche

1

2

n+ 1

3

%--bruch1.tex---\[ \frac12 \qquad \fracn+13 \]

x+ y2

k + 1

x+ y2

k+ 1 x+

y2

k+ 1

x+y2

k + 1x+ y

2k+1

%--bruch2.tex---\[ \fracx+y^2k+1 \qquad\fracx+y^2k + 1 \qquadx + \fracy^2k+1 \]\[ x + \fracy^2k+1 \qquadx + y^\frac2k+1 \]

ab

2

ab2

%--bruch3.tex---\[ \frac\fracab2 \qquad\fraca\fracb2 \]

a/b

2

a

b/2

%--bruch4.tex---\[ \fraca/b2\qquad\fracab/2 \]

11


a0 +1

a1 + 1a2+ 1

a3+1a4

%--bruch5.tex---\[ a_0 + \frac1a_1 +\frac1a_2 +\frac1a_3 +\frac1a_4 \]

a0 +1

a1 +1

a2 +1

a3 +1

a4

%--bruch6.tex---\[ a_0+\frac1\displaystyle a_1 +\frac\strut 1\displaystyle a_2 +\frac\strut 1\displaystyle a_3 +\frac\strut 1a_4 \]

a

bc

d

%--bruch7.tex---\[ \displaystyle \fracab\above 1pt\displaystyle\fraccd \]

a

bc

d

%--bruch8.tex---\newcommand\dfrac[3]\displaystyle

#1\above#3 \displaystyle #2% ...\[ \dfrac\fracab%\fraccd1pt \]

4.8 Wurzeln

√2

%--wurzel1.tex---\[ \sqrt 2 \]

√x+ 2

%--wurzel2.tex---\[ \sqrtx+2 \]

3√

2

%--wurzel3.tex---\[ \sqrt[3]2 \]

√x3 +

√α

%--wurzel4.tex---\[ \sqrtx^3 + \sqrt\alpha \]

n√xn + yn

%--wurzel5.tex---\[\sqrt[n]x^n + y^n\]

n+1√a

%--wurzel6.tex---\[ \sqrt[n+1]a \]

12


√a+√b+√y

√a+

√b+

√y

%--wurzel7.tex---\[ \sqrta+\sqrtb+\sqrty \qquad\sqrt\mathstrut a +\sqrt\mathstrut b +\sqrt\mathstrut y \]

3

√h′′n(αx)

%--wurzel8.tex---\[ \sqrt[3]h’’_n(\alpha x) \]

√√√√√1 +

√√√√1 +

√1 +

√1 +

√1 +√

1 + x

%--wurzel9.tex---\[ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1+ \sqrt1 + \sqrt1+x \]

4.9 Exponenten und Indizes

x2 x2 x2y2%--exp1.tex---\[ x^2 \qquad x_2 \qquad x^2 y^2 \]

2F3

%--exp2.tex---\[ _2F_3 \]

x2y x2y yx2 yx2

%--exp3.tex---\[x^2_y \qquad x^2^y \qquady_x_2 \qquad y_x^2\]

((x2)3)4 (x2)3)4

%--exp4.tex---\[ ((x^2)^3)^4 \qquad(x^2)^3)^4 \]

xy2 xy2

%--exp5.tex---\[ x^y^2 \qquad x^y^2 \]

x23 x2

3 x3141592 x

zdcyab

P 32 P 3

2

%--exp6.tex---\[ x^2_3 \qquad x_3^2 \qquadx^31415_92\qquadx_y^a_b^z_c^d \]\[ P_2^3 \qquad P_2^3 \]

4.10 Binominalkoeffizienten und ähnliche Konstrukte(n+ 1

3

) %--binom1.tex---\[ n+1 \choose 3 \]

13


x

y + 2

(n

k

) %--binom2.tex---\[ x \atop y + 2 \qquadn \choose k \]

(nk2

) (n

k/2

) (n12k

) %--binom3.tex---\[ n \choose \frack2 \qquadn \choose k/2 \qquadn \choose \frac12 k\]

(nk

)2

1

2

(n

k

) (n

k

)2

%--binom4.tex---\[ \fracn \choose k2 \qquad\frac12n \choose k \qquad\frac\displaystylen\choose k2 \]

(p

2

)x2yp−2 − 1

1− x1

1− x2

%--binom5.tex---\[ p \choose 2 x^2 y^p-2 -\frac11 - x \frac11 - x^2 \]

(n+ 1

3

) %--binom6.tex---\newcommand\binom[2]%

#1 \choose #2% ...\[ \binomn+13 \]

x

y + 2

%--binom7.tex---\newcommand\ueber[2]#1 \atop #2% ...\[ \ueberxy+2 \]

4.11 Symbole stapeln

~xdef= (x1, x2, . . . , xn)

%--ueber1.tex---\[ \vec x\stackrel\textrmdef=(x_1, x_2, \dots, x_n)\]

a(1)= ±√c2 − b2

%--ueber2.tex---\[ a\stackrel(\refeq:Pythagoras)=\pm \sqrtc^2 - b^2 \]

∑1≤i≤p1≤j≤q

aijbji

%--ueber3.tex---\[ \sum_\scriptstyle 1 \le i \le p\atop\scriptstyle 1 \le j \le qa_ij b_ji \]

14


4.12 Ableitungen

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x

%--ableitung1.tex---\[ f\prime(x) = \lim_\Delta x \to 0\fracf(x+\Delta x)-f(x)\Delta x \]

f(x) = cosx

f ′(x) = − sinx

f ′′(x) = − cosx

%--ableitung2.tex---\begineqnarray*f(x) & = & \cos x \\f’(x) & = & -\sin x \\f’’(x) & = & -\cos x \\\endeqnarray*

f(x) = lnx

f (n) = (−1)n−1(n− 1)!1

xn

%--ableitung3.tex---\begineqnarray*f(x) & = & \ln x\\f^(n) & = &

(-1)^n-1(n-1)!\frac1x^n\endeqnarray*

h(x) = f(x) · g(x)

h(x)

dx= f(x) · g(x)

dx+f(x)

dx· g(x)

%--ableitung4.tex---\begineqnarray*h(x) & = &

f(x) \cdot g(x)\\\frach(x)\mathrmdx & = &

f(x)\cdot\fracg(x)\mathrmdx+\fracf(x)\mathrmdx \cdot g(x)\endeqnarray*

d(u+ v − w)

dx=

du

dx+

dv

dx− dw

dx

%--ableitung5.tex---\[ \frac\mathrmd(u+v-w)

\mathrmdx =\frac\mathrmdu\mathrmdx +\frac\mathrmdv\mathrmdx -\frac\mathrmdw\mathrmdx \]

d(u · v)

dx= u · du

dx+ v · dv

dx

%--ableitung6.tex---\[ \frac\mathrmd(u\cdot v)

\mathrmdx = u \cdot\frac\mathrmdu\mathrmdx +v \cdot\frac\mathrmdv\mathrmdx \]

15


x =1

2k · t2 + v0 · t+ x0

x = k · t+ v0

x = k

%--ableitung7.tex---\begineqnarray*\mathbfx & = &

\frac12 \mathbfk \cdot t^2+ \mathbfv_0 \cdot t+ \mathbfx_0\\

\dot \mathbfx & = &\mathbfk \cdot t + \mathbfv_0\\

\ddot \mathbfx & = & \mathbfk\endeqnarray*

z(x, y) = xy

∂z

∂x= y und

∂z

∂y= x

%--ableitung8.tex---\begineqnarray*z (x, y) & = & xy\\\frac\partial z\partial x & = &

y \quad \textrmund\\\frac\partial z\partial y & = & x\endeqnarray*

z(x, y) =xy

x2 + y2(∀x, y : x2 + y2 6= 0)

∂z

∂x=

y(y2 − x2)

(x2 + y2)2und

∂z

∂y=

x(x2 − y2)

(x2 + y2)2

%--ableitung9.tex---\begineqnarray*z (x, y) & = & \fracxyx^2+y^2

\quad(\forall x,y:x^2+y^2\not=0)\\\frac\partial z\partial x & = &

\fracy(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2\qquad \textrmund\\

\frac\partial z\partial y & = &\fracx(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

\endeqnarray*

4.13 Summen

3∑i=1

z2i

%--sum1.tex---\[ \sum_i=1^3 z_i^2 \]

∑3

i=1z2i

%--sum2.tex---\[ \sum\nolimits_i=1^3 z_i^2 \]

3∑i=1

z2i

%--sum3.tex---\[\sum\limits_i=1^3 z_i^2\]

p∑i=1

q∑j=1

r∑k=1

aijbjkcki

%--sum4.tex---\[ \sum_i=1^p \sum_j=1^q\sum_k=1^r a_ijb_jkc_ki \]

16


∑1≤i≤p1≤j≤q1≤k≤r

aijbjkcki

%--sum5.tex---\[ \sum_\scriptstyle 1 \le i \le p\atop\scriptstyle 1 \le j \le q\atop\scriptstyle 1 \le k \le ra_ij b_jk c_ki \]

4.14 (Unendliche) Reihen

∞∑i=0

(−1)i1

2i+ 1= 1− 1

3+

1

5− · · ·

=π

4

%--reihen1.tex---\begineqnarray*\sum_i=0^\infty(-1)î

\frac12i+1& = &1-\frac13+\frac15-\cdots\\

& = & \frac\pi4\endeqnarray*

∞∑i=1

(−1)i+1 1

i2= 1− 1

22+

1

32− · · ·

=π2

12

%--reihen2.tex---\begineqnarray*\sum_i=1^\infty(-1)î+1\frac1i^2 & = & 1-\frac12^2 +\frac13^2 - \cdots\\& = & \frac\pi^212\endeqnarray*

∀x ∈ R : e−x = 1− x+x2

2!− x3

3!+ · · ·

=∞∑i=0

(−1)ixi

i!

%--reihen3.tex---\begineqnarray*\forall x \in \mathbfR:e^-x & = &1 - x + \fracx^22! -\fracx^33! + \cdots\\& = & \sum_i=0^\infty(-1)î\fracxîi!\endeqnarray*

∀x ∈ R : ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·

=∞∑i=0

xi

i!

%--reihen4.tex---\begineqnarray*\forall x \in \mathbfR:e^x & = &1 + x + \fracx^22! +\fracx^33! + \cdots\\&=&\sum_i=0^\infty\fracxîi!\endeqnarray*

Anmerkung 5 (Mathematische Konstante pi):Die Darstellung der Konstanten pi in den Beispielen reihen1.tex und reihen2.tex ist nichtkorrekt.

17


• pi wird kursiv und nicht aufrecht dargestellt.

• Siehe dazu auch die Anmerkung auf Seite 20.

4.15 Integrale

∫ ∞−∞

1

1 + x2dx

%--int1.tex---\[ \int_-\infty^\infty\frac11 + x^2 \mathrmdx \]

∞∫−∞

1

1 + x2dx

%--int2.tex---\[ \int_-\infty^\infty\limits\frac11 + x^2 \mathrmdx \]

∫ ∫D

f(x, y)dxdy

∫∫D

f(x, y) dx dy

%--int3.tex---\[ \int\int_D\limits f(x, y)

\mathrmdx \mathrmdy \]\[ \int\!\!\!\int_D\limits f(x, y)\,\mathrmdx\,\mathrmdy \]

∫ x+ 1

x2(x− 1)(x2 + 4)dx

%--int4.tex---\[ \int\fracx + 1x^2(x-1)(x^2 + 4)\,\mathrmdx\]

∫ √1 + 4x2 dx

%--int5.tex---\[ \int\sqrt1+4x^2\,\mathrmdx \]

1

2

2π∫0

[a cos t · b cos t− (−a sin t) · b sin t] dt

%--int6.tex---\[ \frac12 \int_0^2\pi\limits[a\cos t \cdot b \cos t - (-a\sin t)\cdot b \sin t]\,\mathrmdt \]

Anmerkung 6 (Mathematische Konstante pi):Die Darstellung der Konstanten pi im Beispiel int6.tex ist nicht korrekt.

• Sie wird kursiv und nicht aufrecht dargestellt.

• Siehe dazu auch die Anmerkung auf Seite 20.

4.16 Produkte

n∏i=1

i = n!n∏i=1

i = n!∏n

i=1i = n!

%--prod1.tex---\[ \prod_i=1^n i = n! \qquad\prod\limits_i=1^n i = n! \qquad\prod\nolimits_i=1^n i = n! \]

18


(n

k

)=

n∏i=1

i

k∏i=1

i ·n−k∏i=1

i

%--prod2.tex---\[ n \choose k =\frac\displaystyle\prod_i=1^n i\displaystyle\prod_i=1^k i\cdot\prod_i=1^n-k i \]

4.17 Mathematische Funktionen

limx→0

sinx

x= 1

%--funk1.tex---\[\lim_x \to 0 \frac\sin xx=1\]

∫ dx

sin ax cos ax=

1

aln tan ax

%--funk2.tex---\[\int \frac\mathrmdx\sin a x \cos a x= \frac1a \ln \tan a x\]

arcsinx =[arccos

√1− x2

] %--funk3.tex---\[ \arcsin x = \left[ \arccos\sqrt1 - x^2\right] \]

4.18 Komplexe Zahlen

Gegeben seien die komplexen Zahlen

c1 = (α1, β1)

c2 = (α2, β2)

Dann gilt für die Addition

c1 + c2 = (<(c1) + <(c2),=(c1) + =(c2))

= (α1 + α2, β1 + β2)

%--complex1.tex---Gegeben seien die komplexen Zahlen\begineqnarray*c_1 & = & (\alpha_1, \beta_1) \\c_2 & = & (\alpha_2, \beta_2)\endeqnarray*Dann gilt für die Addition\begineqnarray*c_1 + c_2 & = &

(\Re(c_1) + \Re(c_2), \Im(c_1)+ \Im(c_2))\\

& = & (\alpha_1 + \alpha_2,\beta_1 + \beta_2)

\endeqnarray*

19


Gegeben sei die komplexe Zahl c in den beidenDarstellungen

c = α + βi

= %(cosϕ+ i sinϕ)

(0 ≤ % <∞, ϕ beliebig)

Dann gelten die folgenden Beziehungen:

α = % cosϕ

β = % sinϕ

% =√α2 + β2

ϕ = arctanβ

α

%--complex2.tex---Gegeben sei die komplexe Zahl $c$in den bei"-den Darstellungen\begineqnarray*c & = & \alpha + \beta i\\

& = & \varrho (\cos \varphi +i \sin \varphi)\\& & (0\le\varrho<\infty,\varphi \textrm beliebig)

\endeqnarray*Dann gelten die folgendenBeziehungen:\begineqnarray*\alpha & = & \varrho\cos\varphi\\\beta & = & \varrho\sin\varphi\\\varrho & = &

\sqrt\alpha^2+\beta^2\\\varphi & = &

\arctan \frac\beta\alpha\endeqnarray*

c1 = (α1, β1)

= α1 + β1i

c2 = (α2, β2)

= α2 + β2i

c1 · c2 = (α1 + β1i) · (α2 + β2i)

= (α1α2 − β1β2) + (α1β2 + β1α2)i

= (α1α2 − β1β2, α1β2 + β1α2)

%--complex3.tex---\begineqnarray*c_1 & = & (\alpha_1, \beta_1)\\

& = & \alpha_1 + \beta_1 i\\c_2 & = & (\alpha_2, \beta_2)\\

& = & \alpha_2 + \beta_2 i\\c_1 \cdot c_2 & = & (\alpha_1 +

\beta_1 i) \cdot(\alpha_2 + \beta_2 i)\\

& = & (\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1\beta_2)+(\alpha_1\beta_2+\beta_1 \alpha_2) i \\

& = & (\alpha_1 \alpha_2 -\beta_1 \beta_2,\alpha_1\beta_2 + \beta_1\alpha_2)

\endeqnarray*

c = 1 +√

3i

= 2(cosπ

3+ i sin

π

3)

= 2eπ3i

%--complex4.tex---\begineqnarray*c & = & 1 + \sqrt3 i \\

& = & 2(\cos\frac\pi3 +i \sin\frac\pi3)\\& = & 2 e^\frac\pi3i

\endeqnarray*

Anmerkung 7 (Konstanten in mathematischen Formeln):Die Darstellung der Zahl i und der Kreiszahl pi im Beispiel complex4.tex ist nicht korrekt:

20


• In beiden Fällen handelt es sich um Konstanten, nicht um mathematische Variablen.

• Sie sollten deshalb aufrecht geschrieben werden.

• Also \mathrmi statt i und \uppi statt pi. Der Befehl \uppi wird übrigens durch dasPaket upgreek zur Verfügung gestellt.

Eine mögliche korrekte Darstellung ist

c = 1 +√

3 i

= 2(cosπ

3+ i sin

π

3)

= 2eπ3

i

%--complex4a.tex--\begineqnarray*c & = & 1 + \sqrt3\,\mathrmi \\& = & 2(\cos\frac\uppi3 +\mathrmi\,\sin\frac\uppi3)\\& = & 2 e^\frac\uppi3\mathrmi\endeqnarray*

4.19 Matrizen und andere rechteckige Anordnungen

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a21...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

%--matrix1.tex---\[ \beginarray|cccc|a_11 & a_12 & \cdots & a_1n \\a_21 & a_22 & \cdots & a_21 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_m1 & a_m2 & \cdots & a_mn\endarray \]

Γ11 Γ12 · · · Γ1n

Γ21 Γ22 · · · Γ2n...

... . . . ...Γm1 Γm2 · · · Γmn

%--matrix2.tex---\begindisplaymath\left\\beginarraycccc\Gamma_11 & \Gamma_12 & \cdots &

\Gamma_1n\\\Gamma_21 & \Gamma_22 & \cdots &

\Gamma_2n\\\vdots & \vdots & \ddots &

\vdots\\\Gamma_m1 & \Gamma_m2 & \cdots &

\Gamma_mn\endarray\right\\enddisplaymath

|x| =x für x ≥ 0−x für x < 0

%--matrix3.tex---\[ |x|= \left\ \beginarrayllx & \textrmfür x \ge 0\\

-x & \textrmfür x < 0\\\endarray\right. \]

21


a11 a12

a21 a220 0

0b11 b12 b13

b21 b22 b23

b31 b32 b33

0

0 0c11 c12

c21 c22

%--matrix4.tex---\[\left(\beginarrayc@c@c\beginarray|cc|\hlinea_11 & a_12 \\a_21 & a_22 \\\hline\endarray & 0 & 0 \\0 & \beginarray|ccc|

\hlineb_11 & b_12 & b_13\\b_21 & b_22 & b_23\\b_31 & b_32 & b_33\\\hline\endarray & 0 \\

0 & 0 & \beginarray|cc|\hlinec_11 & c_12 \\c_21 & c_22 \\\hline\endarray \\

\endarray\right)\]

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

... . . . ...am1 am2 · · · amn

x11 x12 · · · x1j

x21 x22 · · · x2j...

... . . . ...xi1 xi2 · · · xij

∫11

∫12 · · ·

∫1n∫

21

∫22 · · ·

∫2n

...... . . . ...∫

m1

∫m2 · · ·

∫mn

%--matrix5.tex---\newcommand\A[5]\left#1\beginarraycccc#2_11 & #2_12 & \cdots &

#2_1#4\\#2_21 & #2_22 & \cdots &

#2_2#4\\\vdots & \vdots & \ddots &

\vdots \\#2_#31 & #2_#32 & \cdots &

#2_#3#4\endarray\right#5% ...\[ \A(amn) \]\[ \A[xij] \]\[ \A\\intmn\ \]

22


4.20 Eigene Kommandos

x

y + 2

(n+ 1

3

)%--command1.tex---\newcommand\binom[2]%

#1 \choose #2\newcommand\ueber[2]%

#1 \atop #2% ...\[ \ueberxy+2\qquad\binomn+13 \]

A \ (B ∪ C) = (A \B) ∩ (A \ C)

A ∪B = A ∩B

%--command2.tex---\newcommand\Komplement[1]%

\overline#1\newcommand\Durchschnitt\cap\newcommand\vereinigt\cup% ...\[ A \setminus (B \vereinigt C) =

(A \setminus B) \Durchschnitt(A \setminus C) \]

\[ \Komplement A \vereinigt B=\KomplementA \Durchschnitt\KomplementB \]

a

bc

d

%--command3.tex---\newcommand\dfrac[3]%

\displaystyle#1\above#3 \displaystyle #2

% ...\[ \dfrac\fracab%\fraccd1pt \]

23


(A =⇒ B)⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A)

(A ∧ B) ∨ C ⇐⇒ (A ∨ C) ∧ (B ∨ C)

%--command4.tex---\newcommand\und\wedge\newcommand\oder\vee\newcommand\entwederoder\oplus\newcommand\aequivalent%

\Longleftrightarrow\newcommand\darausfolgt%

\Longrightarrow% ...\[ (\mathcalA \darausfolgt

\mathcalB) \aequivalent(\lnot \mathcalB \darausfolgt\lnot \mathcalA) \]

\[ (\mathcalA \und \mathcalB)\oder \mathcalC \aequivalent(\mathcalA \oder \mathcalC) \und(\mathcalB \oder \mathcalC) \]

h : R1 → R1 mit h(r) = 2r, r ∈ R1

%--command5.tex---\newcommand\Abbildung\rightarrow\newcommand\R[1]\mathbfR^#1% ...\[ h: \R1 \Abbildung \R1\textrm mit h(r)=2r, r \in \R1 \]

24


4.21 Theorem-artige Konstrukte

Definition 1 (Geordneter Körper) Ein Kör-per heißt geordnet, wenn eine Beziehung > 0(größer Null) definiert ist mit den folgenden Ei-genschaften:

1. Für x ∈ K gilt genau eine der Beziehungenx = 0, x > 0 oder −x > 0.

2. Aus x > 0, y > 0 folgt x+ y > 0.

3. Aus x > 0, y > 0 folgt x · y > 0

Im Falle x > 0 heißt x positiv, im Falle x < 0heißt x negativ.

Definition 2 (Absoluter Betrag) Es sei K eingeordneter Körper. Unter dem absoluten Betrageines Elementes x ∈ K versteht man

|x| =x für x ≥ 0−x für x < 0

%--satz1.tex---\newtheoremDefDefinition\beginDef%

[Geordneter Körper]Ein Körper heißt \textbfgeordnet,wenn eine Beziehung $>0$ (größerNull) definiert ist mit denfolgenden Eigenschaften:\beginenumerate\item Für $x\in K$ gilt genau eine

der Beziehungen $x=0$, $x>0$oder $-x > 0$.

\item Aus $x>0,y>0$ folgt $x+y>0$.\item Aus $x > 0,y > 0$ folgt

$x \cdot y > 0$\endenumerateIm Falle $x > 0$ heißt $x$\textbfpositiv,im Falle $x < 0$ heißt $x$\textbfnegativ.\endDef\beginDef[Absoluter Betrag]Es sei $K$ ein geordneter Körper.Unter dem \textbfabsoluten Betrageines Elementes $x\in K$ verstehtman\[ |x|= \left\ \beginarrayllx & \textrmfür x \ge 0\\

-x & \textrmfür x < 0\\\endarray\right. \]\endDef

25


Für unsere weiteren Betrachtungen sind die beidenfolgenden Sätze von Interesse:

Satz 1 (Regeln für Absolutbetrag) Für belie-bige x, y ∈ K gelten folgende Gesetze:

1. |x| = | − x| ≥ 0

2. x ≤ |x|; −x ≤ |x|

3. |x| = 0⇐⇒ x = 0

4. |x · y| = |x| · |y|

Satz 2 (Dreiecksungleichung)∀x, y ∈ K : |x+ y| ≤ |x|+ |y|

%--satz2.tex---\newtheoremsatzSatzFür unsere weiteren Betrachtungensind die beiden folgenden Sätzevon Interesse:\beginsatz%

[Regeln für Absolutbetrag]Für beliebige $x,y \in K$ geltenfolgende Gesetze:\beginenumerate\item $|x| = |-x| \ge 0$\item $x \le |x|;\quad -x \le |x|$\item $|x|=0\Longleftrightarrow x=0$\item $|x \cdot y|=|x| \cdot |y|$\endenumerate\endsatz\beginsatz[Dreiecksungleichung]\[\forall x,y\in K:|x+y|\le|x|+|y|\]\endsatz

26

Literatur

Literatur

[AMS1] American Mathematical Society: Frequently Asked Questions. amsmath and relatedpackages ;http://www.ams.org/tex/amsmath-faq.html

[AMS2] American Mathematical Society: User’s Guide for the amsmath Package (Version 2.0);1999-12-13 (revised 2002-02-25); 40 Seiten;http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/required/amslatex/math/amsldoc.pdf

[AMS3] American Mathematical Society: User’s Guide to AMSFonts Version 2.2d ; Janua-ry 2002; 34 Seiten;http://dante.ctan.org/CTAN/fonts/amsfonts/pdfdoc/amsfndoc.pdf

[AMS4] American Mathematical Society: Using the amsthm Package. Version 2.20, Au-gust 2004; 5 Seiten;http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/required/amslatex/classes/amsthdoc.pdf

[MH] Høgholm, Morten: The mathtools package; 2008/08/01; 24 Seiten;http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/contrib/mh/mathtools.pdf

[MN] Nadler, Moritz: ISO-31-konformer Formelsatz in LaTeX. Version 0.6 ; Letzte Revision:16. Februar 2009; 12 Seiten;http://www.hallo-ueb.de/formelsatz.pdf

[GP] Partosch, Günter: Mathematischer Satz mit dem Paket amsmath. Tutorium; 7. März2007 (überarbeitet Oktober 2008);31 Seiten; http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/ams-math/ams-math.pdf

[HV1] Voß, Herbert: Math mode - v.2.39 ; February 14, 2009; 135 Seiten;ftp://ftp.tex.ac.uk/tex-archive/info/math/voss/mathmode/Mathmode.pdf

[HV2] Voß, Herbert:Mathematiksatz mit LATEX ; DANTE e.V. und Lehmanns Media; 304 Seiten;ISBN 978-3-86541-319-2

27

http://www.ams.org/tex/amsmath-faq.html

http://www.ams.org/tex/amsmath-faq.html

http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/required/amslatex/math/amsldoc.pdf

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http://dante.ctan.org/CTAN/fonts/amsfonts/pdfdoc/amsfndoc.pdf

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http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/required/amslatex/classes/amsthdoc.pdf




http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/contrib/mh/mathtools.pdf

http://dante.ctan.org/CTAN/macros/latex/contrib/mh/mathtools.pdf

http://www.hallo-ueb.de/formelsatz.pdf

http://www.hallo-ueb.de/formelsatz.pdf

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/ams-math/ams-math.pdf


ftp://ftp.tex.ac.uk/tex-archive/info/math/voss/mathmode/Mathmode.pdf

ftp://ftp.tex.ac.uk/tex-archive/info/math/voss/mathmode/Mathmode.pdf

A Anhang

A Anhang

A.1 Darum ging es jeweils

ableitung1.texBeispiel (Ableitung einer Funktion als Grenz-wert eines Differenzenquotienten); \prime alsAbleitungszeichen

ableitung2.texBeispiel (erste und zweite Ableitung von cosx);Darstellung durch Apostroph(e)

ableitung3.texBeispiel (n-te Ableitung von lnx); Darstellungdurch geklammerten Exponenten

ableitung4.texBeispiel (Differenzierungsregel für das Produktzweier Funktionen); Darstellung durch Diffe-rentialquotienten

ableitung5.texBeispiel (Differenzierungsregel für die Summedreier Funktionen); Darstellung durch Differen-tialquotienten

ableitung6.texBeispiel (Differenzierungsregel für das Produktzweier Funktionen, Alternative zum Beispielableitung4.tex); Darstellung durch Differen-tialquotienten

ableitung7.texBeispiel (Bewegungsgleichung in Mechanik, ers-te und zweite Ableitung nach der Zeit); Anwen-dung von \dot und \ddot

ableitung8.texpartielle Ableitungen einer Funktion zweier Va-riablen

ableitung9.texpartielle Ableitungen einer Funktion zweier Va-riablen

akzent1.texmathematische Akzente

akzent2.texmathematische Akzente und punktlose Mathe-matik-Varianten von „i“ und „ j“

akzent3.texanpassbare mathematische Akzente mit\widehat oder \widetilde

akzent4.texBeispiel (Multiplikation einer Vektorsummemit einem Skalar)

akzent5.texBeispiele (Assoziativgesetze bei der Skalar-und Vektormultiplikation dreier Vektoren gel-ten nicht!)

binom1.texeinfacher Binominalkoeffizient

binom2.texÜbereinanderstapeln von Ausdrücken; einfa-cher Binominalkoeffizient

binom3.texDarstellungsmöglichkeiten von Binominalkoef-fizienten

binom4.texunterschiedliche Klammerungen bei Binominal-koeffizienten

binom5.texBeispiel mit Brüchen und Binominalkoeffizient

binom6.texeigenes Kommando \binom zum Darstellen vonBinominalkoeffizienten

binom7.texeigenes Kommando \ueber zum Übereinander-stapeln von Ausdrücken

bruch1.texeinfache Brüche

bruch2.texVarianten von Brüchen durch unterschiedlicheKlammerung

bruch3.texMehrfachbrüche

bruch4.texMehrfachbrüche; alternative Darstellungen

bruch5.texKettenbruch

28

A Anhang

bruch6.texKettenbruch; wie bruch5.tex, aber „schönere“Darstellung

bruch7.texDoppelbruch mit dickerem Hauptbruchstrich

bruch8.texeigenes Kommando für die Darstellung vonDoppelbrüchen mit einem dickeren Haupt-bruchstrich

command1.texeigene Kommandos \binom und \ueber

command2.texeigene LATEX-Kommandos \Komplement,\Durchschnitt und \vereinigt

command3.texeigenes Kommando \dfrac

command4.texeigene LATEX-Kommandos \entwederoder,\darausfolgt, \oder, \aequivalent und \und

command5.texeigene Kommandos \Abbildung und \R

complex1.texBeispiel (Addition zweier komplexen Zahlen);Darstellung als Wertepaarte; Imaginärteil =und Realteil <

complex2.texBeispiel („normale“ und trigonometrische Dar-stellung einer komplexen Zahl); Beziehungenzwischen den beiden Möglichkeiten

complex3.texBeispiel (Multiplikation zweier komplexen Zah-len); Normal-Darstellung und in Form vonWer-tepaaren

complex4.texNormal-, trigonometrische und Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl

complex4a.texkorrekte Darstellung dazu

display1.texabgesetzte Formel; Methode mit $$ . . . $$; For-mel wird zentriert, da sie nicht von der LATEX-Option fleqn beeinflusst

display2.texabgesetzte Formel; Methode mit derdisplaymath-Umgebung

display3.texabgesetzte Formel; Methode mit \[ . . . \]

display4.texnummerierte Formel mit der equation-Umge-bung; Vereinbarung eines Verweisziels; Verweisauf diese Formel mittels \ref

display5.texausgerichtete nummerierte Formeln mit Hilfeder eqnarray-Umgebung; 1. Ableitung

exp1.texeinfache Exponenten und Indizes

exp2.texvorangestellter Index

exp3.texExponenten/Indizes mit Index/Exponent

exp4.texExponenten und Klammerung

exp5.texExponenten und Klammerung

exp6.texAusdrücke mit Exponenten und Indizes; ver-tikale Ausrichtung von Exponent und Indexdurch Einfügen von

funk1.texBeispiel (Grenzwert einer Funktion); Limes undSinus

funk2.texBeispiel (Integral einer Funktion); Sinus, Cosi-nus, natürlicher Logarithmus, Tangens

funk3.texBeispiel (Beziehung zwischen arcsinx undarccosx)

inline1.texInline-Formel; Methode mit $ . . . $

inline2.texInline-Formel; Methode mit der math-Umge-bung

inline3.texInline-Formel; Methode mit $ . . . $

29

A Anhang

int1.texeinfaches Integral mit Integrationsgrenzen

int2.texeinfaches Integral; Grenzen explizit nicht nebendem Symbol

int3.texDoppelintegral; ohne und mit visueller Korrek-tur (\, und \!)

int4.texIntegral einer gebrochen rationalen Funktion

int5.texIntegral eines Wurzelausdrucks

int6.texIntegral eines Ausdrucks mit trigonometrischenFunktionen; explizite Multiplikationspunkte

klammer1.texverschiedene linke Klammersymbole

klammer2.texverschiedene rechte Klammersymbole

klammer3.texKlammern mit explizit verschiedenen Größen

klammer4.texautomatische Größenanpassung bei geschach-telten Klammern

klammer5.texautomatische Größenanpassung bei geschach-telten Klammern

klammer6.texwaagerechte geschweifte Klammern

klammer7.texÜberstreichung bzw. Unterstreichung

matrix1.texeinfache rechteckige Anordnung mit indiziertenElementen

matrix2.texeinfache rechteckige Anordnung mit anderen in-dizierten Elementen und anderen Begrenzun-gen

matrix3.texBeispiel (Definition der Betragsfunktion); ein-seitig geklammerte rechteckige Anordnung

matrix4.texMatrix mit Untermatrizen

matrix5.texeigenes Kommando für die vereinfache Darstel-lung rechteckiger Anordnungen

pfeil1.texverschiedene mathematische Pfeile

pfeil2.texBeispiel (Umkehrung einer logischen Aussage);kalligrafische Mathematik-Schrift

prod1.texeinfaches Produkt mit Produktgrenzen; Gren-zen explizit nicht neben (\limits) dem Symbolbzw. Grenzen explizit neben (\nolimits) demSymbol

prod2.texBeispiel (Binominalkoeffizient in Produktdar-stellung)

reihen1.texBeispiel (unendliche Reihe zur Darstellung vonπ4 )

reihen2.texBeispiel (unendliche Reihe zur Darstellung vonπ2

12 )

reihen3.texBeispiel (Entwicklung der Funktion e−x in eineunendliche Reihe)

reihen4.texBeispiel (Entwicklung der Funktion ex in eineunendliche Reihe)

rel1.texRelationen

rel2.texRelationen

rel3.texbinäre Operatoren



satz1.texBeispiele (Definition eines geordneten Kör-pers; Definition für Absolutbetrag); eigeneTheorem-artige Umgebung Def mit dem TitelDefinition

30

A Anhang

satz2.texBeispiele (Regeln für Absolutbetrag; Dreiecks-ungleichung); eigene Theorem-artige Umge-bung satz mit dem Titel Satz

sum1.texeinfache Summe mit Summationsgrenzen

sum2.texeinfache Summe; Grenzen explizit neben demSymbol

sum3.texeinfache Summe; Grenzen explizit nicht nebendem Symbol

sum4.texDreifachsumme

sum5.texDreifachsumme; alternative Darstellung mitdreifach übereinander gestapelten Summati-onsgrenzen

symbol1.texgriechische Großbuchstaben; einige haben dasgleiche Aussehen wie die entsprechenden latei-nischen Buchstaben

symbol2.texgriechische Kleinbuchstaben

symbol3.texVarianten zu einigen griechischen Kleinbuch-staben

symbol4.texeinige spezielle Zeichen

symbol5.texBeispiel (Stetigkeit-Definition); mathematischeSonderzeichen

ueber1.texAnwendung von \stackrel; Text über einemGleichheitszeichen

ueber2.texAnwendung von \stackrel; Angabe eines Ver-weises über einem Gleichheitszeichen

ueber3.texAnwendung von \atop; Angabe der Summati-onsgrenzen einer Doppelsumme

wurzel1.texeinfache Wurzel

wurzel2.texeinfache Wurzel

wurzel3.texWurzel zu einer anderen Potenz

wurzel4.texSchachtelung von Wurzeln

wurzel5.texWurzel zu einer anderen Potenz; Ausdruck ent-hält einen Exponenten

wurzel6.texWurzel zu einer anderen Potenz

wurzel7.texAusrichtung der Größe von Wurzeln

wurzel8.texeinfache Wurzel; Ausdruck enthält einen Index

wurzel9.texMehrfachschachtelung von Wurzeln

zeichen1.texBeispiel (Quadrat einer reellen Zahl ist positiv);mathematische Fett-Schrift

zeichen2.texBeispiel (lineares Gleichungssystem); mathe-matische Fett-Schrift; Normaltext im Ma-thematik-Modus; eqnarray*-Umgebung (ohneNummerierung der Formeln!)

zeichen3.texBeispiel (logische Äquivalenz); kalligrafischeMathematik-Schrift

31

A Anhang

A.2 Und diese mathematischen LATEX-Befehle wurden benutzt

$$...$$Umgebung für den Display-Mathematik-Modusin TEX/LATEX

$...$Umgebung für den Inline-Mathematik-Modusin TEX/LATEX

&trennt in der array-, eqnarray- undeqnarray*-Umgebung die einzelnen Bestand-teile einer Zeile

^exponentstellt im Mathematik-Modus exponent hoch;auch noch bei \int, \sum, \prod und\overbrace

_indexstellt im Mathematik-Modus index tief; auchnoch bei \int, \sum, \prod, \underbrace und\lim

~„geschütztes“ Leerzeichen

(linkes Klammersymbol: (; analog gibt es )

[linkes Klammersymbol: [; analog gibt es ]

\!negativer schmaler Zwischenraum

$...$Umgebung für den Inline-Mathematik-Modusin LATEX

\,schmaler Zwischenraum: | |

\[...\]Umgebung für den Display-Mathematik-Modusin LATEX

\\[abstand]Zeilenwechsel in der array-, eqnarray- undeqnarray*-Umgebung

\linkes Klammersymbol: ; analog gibt es \

\Abbildungeigenes Kommando: $f\Abbildung g$:f → g

\aboveBruch mit definierbarer Bruchstrichdicke:$\frac12%\above 1pt \frac34$:

12

34

\acutemathematischer Akzent: $\acute a$: a

\aequivalenteigenes Kommando: $\mathcalA%\aequivalent\mathcalB$:A ⇐⇒ B (Aussagenlogik)

\alephmathematisches Symbol: ℵ

\alphagriechischer Kleinbuchstabe: α

\arccosmathematische Funktion:$\arccos x$: arccosx

\arcsinmathematische Funktion:$\arcsin x$: arcsinx

\atopübereinander: $n\atop m$: n

m

\barmathematischer Akzent: $\bar a$: a

\beginarraymuster ...\endarrayUmgebung zum Erzeugen rechteckiger Anord-nungen (Matrizen, Determinanten) im Mathe-matik-Modus in LATEX

\begindisplaymath ...\enddisplaymathUmgebung für den Display-Mathematik-Modusin LATEX

\beginenumerate ...\endenumerateUmgebung für Aufzählungslisten

\begineqnarray* ...\endeqnarray*wie die Umgebung eqnarray, jedoch ohneNummerierung der Formeln

\begineqnarray ...\endeqnarrayUmgebung für die Darstellung mehrzeiligernummerierter Herleitungsketten

32

A Anhang

\beginequation ...\endequationUmgebung zum Generieren einer nummeriertenDisplay-Formel

\beginmath ...\endmathUmgebung für den Inline-Mathematik-Modusin LATEX

\betagriechischer Kleinbuchstabe: β

\Bigleine explizite Größenangabe (hier leicht vergrö-ßert) für eine linke Klammer:$$\Bigl( (a + b)(c + d) \Bigr)$$:(

(a+ b)(c+ d))

\Bigreine explizite Größenangabe (hier leicht vergrö-ßert) für eine rechte Klammer; siehe auch \Bigl

\binomobenunteneigenes Kommando: $\binomnk$:

(nk

)(Bi-

nominalkoeffizient)

\brevemathematischer Akzent: $\breve a$: a

\bulletbinärer mathematischer Operator:$a \bullet b$: a • b

\capbinärer mathematischer Operator:$A \cap B$: A ∩B

\cdotbinärer mathematischer Operator:$a \cdot b$: a · b

\cdotszentrierte Auslassungspunkte: · · ·

\checkmathematischer Akzent: $\check a$: a

\chigriechischer Kleinbuchstabe: χ

\chooseBinominalkoeffizient:$n \choose m$:

(nm

)\circ

binärer mathematischer Operator:$a \circ b$: a b

\cosmathematische Funktion: $\cos x$: cosx

\cupbinärer mathematischer Operator:$A \cup B$: A ∪B

\darausfolgteigenes Kommando:$\mathcalA%\darausfolgt \mathcalB$:A =⇒ B (Aussagenlogik)

\ddotmathematischer Akzent: $\ddot a$: a

\ddots

diagonale Auslassungspunkte:. . .

\Deltagriechischer Großbuchstabe: ∆

\deltagriechischer Kleinbuchstabe: δ

\dfracobenuntendickeeigenes Kommando zum Darstellen von Dop-pelbrüchen mit einem Hauptbruchstrich der Di-cke dicke:$\dfrac\frac12%\frac341pt$:

1

2

3

4

\displaystyleerzwingt im Mathematik-Modus die Mathema-tik-Standardschriftgröße

\dotmathematischer Akzent: $\dot a$: a

\dotsAuslassungspunkte: . . .

\downarrowmathematischer Pfeil nach unten: ↓

\Durchschnitteigenes Kommando: ∩ (Mengenlehre)

\emphtext(leichte) Hervorhebung im Normaltext

33

A Anhang

\entwederodereigenes Kommando: $\mathcalA%\entwederoder \mathcalB$:A⊕ B (Aussagenlogik)

\epsilongriechischer Kleinbuchstabe: ε

\equivmathematische Relation:$a\equiv b$: a ≡ b

\etagriechischer Kleinbuchstabe: η

\existsmathematisches Symbol: ∃ („es gibt“)

\forallmathematisches Symbol: ∀ („für alle“)

\fraczaehlernennerBruch: $\frac1920$: 19

20

\Gammagriechischer Großbuchstabe: Γ

\gammagriechischer Kleinbuchstabe: γ

\gemathematische Relation:$a \ge b$: a ≥ b

\gravemathematischer Akzent: $\grave a$: a

\hatmathematischer Akzent: $\hat a$: a

\heartsuitSymbol: ♥

\hlinewaagerechte Linie in einer array-Umgebung

\Immathematisches Symbol: = (Imaginärteil einerkomplexen Zahl)

\imathkleines mathematisches „i“ ohne Punkt:$\vec\imath$: ~ı

\inmathematisches Symbol: ∈ („ist Element aus“)

\inftymathematisches Symbol: ∞ (unendlich)

\int_ugrenze^ogrenzegroßer Operator (Integralzeichen) mit untererGrenze ugrenze und oberer Grenze ogrenze

\iotagriechischer Kleinbuchstabe: ι

\itemein einzelner Eintrag in einer nummerierten Lis-te

\jmathkleines mathematisches „ j“ ohne Punkt:$\vec\jmath$: ~

\kappagriechischer Kleinbuchstabe: κ

\Komplementmengeeigenes Kommando zum Darstellen des Kom-plements: $\KomplementM$:M (Aussagenlogik, Mengenlehre)

\labelzielKennzeichnung des aktuellen Objekts als Ver-weisziel

\Lambdagriechischer Großbuchstabe: Λ

\lambdagriechischer Kleinbuchstabe: λ

\langlelinkes Klammersymbol: 〈

\lbracelinkes Klammersymbol:

\lbracklinkes Klammersymbol: [

\lceillinkes Klammersymbol: d

\lemathematische Relation: $\le b$: a ≤ b

\leadstospezieller mathematischer Pfeil nach rechts: ;(aus dem Package latexsym)

\leftautomatische Größenanpassung eines linkenKlammersymbols:\[ \left( (x^2 + 1)%(x^2 - 1) \right)^2 \]:(

(x2 + 1)(x2 − 1))2

34

A Anhang

\leftarrowmathematischer Pfeil nach links: ←

\Leftarrowmathematischer Doppelpfeil nach links: ⇐

\leftharpoonupmathematischer Pfeil (Harpune) nach links:

\leftrightarrowmathematischer Pfeil nach links und rechts: ↔

\Leftrightarrowmathematischer Doppelpfeil nach links undrechts: ⇔

\lfloorlinkes Klammersymbol: b

\lim_untenmathematischer Grenzwert (Limes)

\limitsbewirkt bei

∑bzw.

∫bzw.

∏, dass die Grenzen

explizit nicht neben das Symbol gesetzt werden

\lnmathematische Funktion: $\ln x$: lnx

\lnotNegation: ¬ (logisches „nicht“)

\longleftarrowlanger mathematischer Pfeil nach links: ←−

\Longleftrightarrowlanger mathematischer Doppelpfeil nach linksund rechts: ⇐⇒

\Longrightarrowlanger mathematischer Doppelpfeil nach rechts:=⇒

\mapstospezieller mathematischer Pfeil nach rechts: 7→

\mathbfausdruckFettschrift im Mathematik-Modus

\mathcalausdruckkalligrafische Schrift im Mathematik-Modus

\mathrmausdruckNormalschrift im Mathematik-Modus

\mathstruterzwingt im Mathematik-Modus einen Min-destzeilenabstand

\mpbinärer mathematischer Operator:$a\mp b$: a∓ b

\mugriechischer Kleinbuchstabe: µ

\nemathematische Relation: $a\ne b$: a 6= b

\nearrowmathematischer Pfeil nach rechts oben:

\negmathematisches Symbol: ¬ (Negation)

\newcommandkmd[anzahl]definitionstextLATEX-Kommando zum Vereinbaren des eige-nen Kommandos kmd mit anzahl Parameternund der Definition definitionstext

\newtheoremnametitelVereinbarung einer eigenen Theorem-artigenUmgebung name mit der Titelzeile titel

\nolimitsbewirkt bei

∑bzw.

∫bzw.

∏, dass die Grenzen

explizit neben das Symbol gesetzt werden

\notNegation der nachfolgenden Relation:$\not=$: 6=

\nu(kursiver) griechischer Kleinbuchstabe: ν

\odereigenes Kommando: ∨ (Aussagenlogik)

\Omegagriechischer Großbuchstabe: Ω

\omegagriechischer Kleinbuchstabe: ω

\oplusbinärer mathematischer Operator:$a \oplus b$: a⊕ b

\overBruch (TEX): $a \over b$: ab

\overbraceausdruck_indexwaagerechte geschweifte Klammer überausdruck

\overlineausdrucküberstreicht ausdruck

35

A Anhang

\parAbsatzende/Absatzwechsel

\partialmathematisches Symbol: ∂ (partielle Ablei-tung)

\Phigriechischer Großbuchstabe: Φ

\phigriechischer Kleinbuchstabe: φ

\Pigriechischer Großbuchstabe: Π

\pi(kursiver) griechischer Kleinbuchstabe: π

\pmbinärer mathematischer Operator:$a \pm b$: a± b

\primeerzeugt ein Ableitungszeichen:f\prime(x): f ′(x)

\prod_ugrenze^ogrenzeerzeugt den großen Produktoperator (Produkt-zeichen) mit unterer Grenze ugrenze und obererGrenze ogrenze

\Psigriechischer Großbuchstabe: Ψ

\psigriechischer Kleinbuchstabe: ψ

\quadhorizontaler Leerplatz : | |

\qquadhorizontaler Leerplatz : | |

\Rdimensioneigenes Kommando: $\R2$: R2 (Körper derreellen Zahlen)

\ranglerechtes Klammersymbol: 〉

\rbracerechtes Klammersymbol:

\rbrackrechtes Klammersymbol:

\rceilrechtes Klammersymbol: e

\Remathematisches Symbol: < (Realteil einer kom-plexen Zahl)

\refzielVerweis auf ein vorher vereinbartes Verweisziel

\rfloorrechtes Klammersymbol: c

\rhogriechischer Kleinbuchstabe: ρ

\rightautomatische Größenanpassung eines rechtenKlammersymbols; siehe \left

\Rightarrowmathematischer Doppelpfeil nach rechts: ⇒

\rightarrowmathematischer Pfeil nach rechts: →

\scriptstyleerzwingt im Mathematik-Modus die für Expo-nenten und Indizes der ersten Stufe üblicheSchriftgröße

\setminusMengendifferenz: $A\setminus B$: A \B

\Sigmagriechischer Großbuchstabe: Σ

\sigmagriechischer Kleinbuchstabe: σ

\simmathematische Relation: $a \sim b$:a ∼ b

\simeqmathematische Relation: $a \simeq b$:a ' b

\sinmathematische Funktion:$\sin x$: sinx

\sqcapbinärer mathematischer Operator:$A \sqcap B$: A uB

\sqcupbinärer mathematischer Operator:$A \sqcup B$: A tB

36

A Anhang

\sqrt[potenz]radikantmathematische Wurzel: $\sqrt[3]a+x$:3√a+ x

\stackrelobenuntensetzt oben über die Relation unten:$x\stackrel\textrmdef= y$:

xdef= y

\struterzwingt einen Mindestzeilenabstand

\subsetmathematische Relation: $A \subset B$:A ⊂ B

\subseteqmathematische Relation: $A \subseteq B$:A ⊆ B

\sum_ugrenze^ogrenzegroßer Operator (Summenzeichen) mit untererGrenze ugrenze und oberer Grenze ogrenze

\tanmathematische Funktion: $\tan x$: tanx

\taugriechischer Kleinbuchstabe: τ

\textrmtextaufrechter Normaltext

\Thetagriechischer Großbuchstabe: Θ

\thetagriechischer Kleinbuchstabe: θ

\tildemathematischer Akzent: $\tilde a$: a

\timesbinärer mathematischer Operator:$a \times b$: a× b

\tokleiner mathematischer Pfeil nach rechts: →

\ueberobenunteneigenes Kommando: $\uebermn$: mn

\undeigenes Kommando: ∧ (Aussagenlogik)

\underbraceausdruck_indexwaagerechte geschweifte Klammer unterausdruck

\underlineausdruckunterstreicht ausdruck

\uparrowmathematischer Pfeil: ↑

\upmugriechischer Kleinbuchstabe: $\upmu$: µ (auf-rechte Variante zu µ)

\uppigriechischer Kleinbuchstabe: $\uppi$: π (auf-rechte Variante zu π)

\upsilongriechischer Kleinbuchstabe: υ

\varepsilongriechischer Kleinbuchstabe: ε (Variante zu ε)

\varphigriechischer Kleinbuchstabe: ϕ (Variante zu φ)

\varrhogriechischer Kleinbuchstabe: % (Variante zu ρ)

\varsigmagriechischer Kleinbuchstabe: ς (Variante zu σ)

\varthetagriechischer Kleinbuchstabe: ϑ (Variante zu θ)

\vdots

vertikale Auslassungspunkte:...

\vecmathematischer Akzent: $\vec a$: ~a

\veebinärer mathematischer Operator:$\mathcalA \vee \mathcalB:A ∨ B

\vereinigteigenes Kommando: ∪ (Mengenlehre)

\wedgebinärer mathematischer Operator:$\mathcalA \wedge \mathcalB:A ∧ B

\widehatanpassbarer mathematischer Akzent:$\widehatx, \widehatxyz$: x, xyz

\widetildeanpassbarer mathematischer Akzent:$\widetildex, \widetildexyz$: x, xyz

37

A Anhang

\Xigriechischer Großbuchstabe: Ξ

\xi

griechischer Kleinbuchstabe: ξ

\zetagriechischer Kleinbuchstabe: ζ

38

A Anhang

A.3 Und noch . . .

Im WWW ist die jeweils aktuelle Fassung dieser Kursunterlagen unter dem URL

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/Mathe-Beispiele-Wien/m-beisp.x(x=tex, pdf)

zu finden. Beispiele für mathematische Übungsblätter finden Sie im WWW unter

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/Uebungen/math1_x.y(x = 1, . . . , 13; y = tex, dvi, pdf).

Beispiele für den Einsatz von amsmath gibt es unter

Mathematischer Satz mit dem Paket amsmath. Tutorium; 7. März 2007 (überarbeitetOktober 2008); 31 Seiten;http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/ams-math/ams-math.pdf

39

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/Mathe-Beispiele-Wien/

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/Mathe-Beispiele-Wien/

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/Uebungen/

http://www.uni-giessen.de/partosch/TeX/kurse/Uebungen/



A Anhang

A.4 Und noch etwas . . .

Diese Kursunterlagen wurden von mir zwar mit großer Sorgfalt erstellt, können aber trotzdem Fehlerenthalten. Wenn Sie also Anregungen, Verbesserungsvorschläge oder Fehlerkorrekturen haben, somelden Sie sich bitte per E-Mail bei


oder per „gelber Post“ bei

Günter PartoschHochschulrechenzentrumJustus-Liebig-Universität GießenHeinrich-Buff-Ring 4435392 Gießen

Schon ’mal vielen Dank.

40

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