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Diplomarbeit

Inklusionsverhalten vonMirkovic-Vilonen-Zykeln in

SpezialfallenMichael Ehrig, Bergische Universitat Wuppertal

Dozent: Prof. Dr. Littelmann

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung 2

1 Grundlagen: Affine algebraische Gruppen 41.1 Algebraische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Weylgruppe, Charaktere und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Grundlagen: Darstellungstheorie 132.1 Darstellungen von affinen algebraische Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Der formale Charakter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Wegemodell und Kristall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Eigenschaften des Wegemodells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Grundlagen: Affine Grassmann Varietat 193.1 Die affine Grassmann Varietat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Geometrische Struktur der affinen Grassmann Varietat . . . . . . . . . . . 223.3 MV-Zykel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Ergebnisse 264.1 A1: MV-Zykel fur dominante Kowurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 A2: MV-Zykel fur die adjungierte Darstellung von PSL3(C) . . . . . . . . 344.3 A2: MV-Zykel fur die tertiare Darstellung von PSL3(C) . . . . . . . . . . . 514.4 A2: MV-Zykel fur die Darstellung von PSL3(C) zum Gewicht 2α1 + 2α2 . 544.5 A3: MV-Zykel fur die adjungiert Darstellung von PSL4(C) . . . . . . . . . 60

5 Weiterfuhrende Fragen 64

6 Anhang 656.1 Rechnungen zur tertiaren Darstellung von PSl3(C) . . . . . . . . . . . . . 656.2 Rechnungen zur adjungierten Darstellung von PSl4(C) . . . . . . . . . . . 776.3 Rechnungen zur Darstellung von PSl3(C) zum Gewicht 2α1 + 2α2 . . . . . 98

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0 EINLEITUNG

0 Einleitung

Thema dieser Diplomarbeit ist die Untersuchung des Inklusionsverhalten von Mirkovic-Vilonen-Zykeln in Spezialfallen, dabei handelt es sich um spezielle endlichdimensionaleUntervarietaten von affinen Grassmann Varietaten die man fur affine algebraische Grup-pen definieren kann. Bei der affinen Grassmann-Varietat handelt es sich um eine, meistunendlichdimensionale, Ind-Varietat die mit Hilfe eine Quotientenkonstruktion, sowie derVerwendung von formalen Laurentreihen, fur eine affine algebraische Gruppe G definiertwird. Mit Hilfe einer Einbettung der Kocharaktergruppe der affinen algebraischen Gruppein diese Varietat kann man Kogewichte der Gruppe, bzw. Gewichte der zu ihr gehorigenLanglands-dualen Gruppe G als Punkte in dieser Varietat auffassen und spezielle Orbitendieser Elemente untersuchen. Indem man diese Orbiten mit anderen Orbiten schneideterhalt man gewisse endlichdimensionale Teilmengen deren Abschlusse man in irreduzibleKomponenten zerlegt, um so die oben genannten Mirkovic-Vilonen-Zykeln zu erhalten,definiert wurden diese z.B. in [MV00]. Fur diese Zykel haben Mirkovic und Vilonen ge-zeigt, daß sie einen starken Zusammenhang mit den Darstellungen der Langlands-dualenGruppe G haben, so kann man mit ihrer Hilfe Basen fur die Darstellungen dieser Gruppebestimmen. Neben diesen Zykeln kann man fur eine Darstellung mit Hilfe des Wegemo-dells von Littelmann auch noch einen orientierten Graphen, den sogenannten Kristall,definieren. Da die Knoten des Graphen mit den Mirkovic-Vilonen-Zykeln in Bijektionstehen, soll hier in Spezialfallen uberpruft werden ob die Pfeile des Graphen geometri-sche Auswirkungen auf die MV-Zykel haben, insbesondere ob eine Kante im Graphenimpliziert, daß die zugehorigen MV-Zykel entgegengesetzt ineinander enthalten sind. DieKapitel sind dabei wie folgt aufgeteilt.

• In Kapitel 1 wollen wir kurz auf die grundlegenden Definitionen fur affine alge-braische Gruppen eingehen, indem wir kurz die Begriffe wie Wurzel, Gewicht bzw.Charaktergruppe einfuhren. Außerdem soll kurz erklart werden was das Langlands-duale einer affinen algebraischen Gruppe ist.

• Im zweiten Kapitel soll kurz erklart werden was Darstellungen zu Hochstgewichteneiner affinen algebraischen Gruppe sind und was ein formaler Charakter ist. Desweiteren soll hier auch kurz auf das Wegemodell eingegangen werden, sowie aufdie Definition eines Kristalls, außerdem wollen wir zwei Beispiele fur Kristalle vonHochstgewichtsdarstellungen angeben.

• Das dritte Kapitel beschaftigt sich mit der Definition der affinen Grassmann Va-rietat, sowie ihrer geometrischen Struktur, außerdem werden in diesem Kapitel dieMirkovic-Vilonen-Zykeln definiert und ihre wichtigsten Eigenschaften angegeben.

• Im vierten Kapitel wollen wir uns dann Beispiele fur Mirkovic-Vilonen-Zykeln an-schauen.

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0 EINLEITUNG

– Das erste Beispiel werden Darstellungen zu affinen algebraischen Gruppen vomTyp PSl2(C) sein, mit dominanten Elementen des Kowurzelgitters von Sl2(C)als Hochstgewicht.

– Als nachstes wollen wir uns speziell die adjungierte Darstellung der PSl3(C)anschauen und zeigen das es in diesem Fall sogar noch mehr Inklusionen gibtals die, die aus dem Graphen zu erwarten sind.

– Hier werden wir uns eine der beiden tertiaren Darstellungen der PSl3(C) an-schauen.

– Hier wollen wir die Hochstgewichtsdarstellung von PSL3(C) zum Gewicht2α1 + 2α2 untersuchen.

– In diesem Fall wollen wir die adjungierte Darstellung der PSl4(C) betrachtenund feststellen das es auch hier weitere Inklusionen gibt.

• Im Funften Abschnitt wollen wir kurz auf weiterfuhrende Fragen eingehen, z.B.welche Methoden wahrscheinlich notig sind um die Fragestellung allgemein zu losenetc..

• Im Anhang fuhren wir noch die Rechnungen fur einige der Spezialfalle auf.

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1 GRUNDLAGEN: AFFINE ALGEBRAISCHE GRUPPEN

1 Grundlagen: Affine algebraische Gruppen

1.1 Algebraische Gruppen

In diesem Abschnitt wollen wir einige grundlegende Definitionen und Konstruktionen ausder Theorie der algebraischen Gruppen einfuhren, die meisten der Definitionen stammenaus [CG98].

1.1.1 Definition ([CG98] Kap. 1 § 1, affine algebraische Gruppe)Ein Paar (G, C[G]), wobei G eine Menge zusammen mit einer endlich erzeugtenreduzierten C-Algebra C[G] von Funktionen von G nach C ist, heißt affinealgebraische Gruppe , falls es sich um eine affine Varietat handelt und dieMenge G außerdem die Struktur einer abstrakten Gruppe tragt, so daß dieAbbildung:

G×G −→ G

(g, h) 7→ gh−1

ein Morphismus von affinen Varietaten ist.

Alle topologischen Begriffe, wie zusammenhangend und irreduzibel beziehen sich hierbeiauf die vom Koordinatenring auf der Varietat induzierten Zariski-Topologie. Im Folgendenwollen wir nun die wichtigsten Definitionen uber affine algebraische Gruppen einfuhrenund einige weitere Objekte die mit ihnen zusammenhangen. Da Zariski-abgeschlosseneTeilmengen einer affinen Varietat selbst wieder affine Varietaten sind, sind insbesondereabgeschlossene Untergruppen von affinen algebraischen Gruppen wieder affine algebrai-sche Gruppen. Eine besondere Rolle spielen hier die abgeschlossenen Untergruppen deraffinen algebraischen Gruppe Gln(C), diese werden lineare algebraische Gruppen genannt.Ein wichtiges Resultat der Theorie algebraischer Gruppen ist folgender kleiner Satz.

1.1.2 Satz ([CG98] Kap. 1 § 1)Sei G eine affine algebraische Gruppe uber C, dann existiert ein n ∈ N undein Monomorphismus von affinen algebraischen Gruppen Φ : G −→ Gln(C).

Dieser Satz liefert also die Moglichkeit jede affine algebraische Gruppe als abgeschlosse-ne Untergruppe einer entsprechenden Gln(C) aufzufassen. Daher sind die Begriffe affinealgebraische und lineare algebraische Gruppe austauschbar und wir werden eine affinealgebraische Gruppen im Folgenden immer als Untergruppe einer gewissen Gln(C) auf-fassen.Wir wollen nun noch einige wichtige weitere Begriffe einfuhren die mit algebraischenGruppen zusammenhangen, insbesondere die Definitionen eines Torus oder einer Borel-Untergruppe.

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1.1.3 Definition ([CG98] Kap. 1 § 2)Sei G eine lineare algebraische Gruppe:

1. Ein x ∈ G heißt halbeinfach, wenn es fur eine beliebige Einbettung derGruppe G in eine Gln(C) diagonalisierbar ist, dabei ist die Eigenschaftunabhangig von der Wahl dieser Einbettung.

2. Ein x ∈ G heißt unipotent, falls es fur eine beliebige Einbettung von Gin eine Gln(C) nur den Eigenwert 1 besitzt, auch dies ist unabhangig vonder Einbettung.

3. Die Jordan Zerlegung fur ein Element x ∈ G ist eine Zerlegung:

x = xsxu = xuxs

wobei xs halbeinfach und xu unipotent ist, diese Zerlegung existiert furjedes Element der Gruppe.

4. R(G) ist das Radikal von G, es ist die eindeutig bestimmte maximaleabgeschlossene auflosbare normale Untergruppe von G.

5. Ru(G) ist das unipotente Radikal von G, es ist die maximale abgeschlos-sene normale Untergruppe von G, deren Elemente alle unipotent sind.Dabei gilt immer Ru(G) ⊂ R(G).

6. Eine algebraische Gruppe G heißt unipotent falls alle Elemente unipotentsind.

7. Eine Gruppe G wird reduktiv genannt falle Ru(G) = 1.

8. Eine Gruppe G heißt halbeinfach, falls R(G) = 1. Eine halbeinfache Grup-pe ist also reduktiv, aber nicht umgekehrt.

9. Der Quotient G/Ru(G) ist eine reduktive Gruppe, der Quotient G/R(G)ist halbeinfach.

10. G heißt einfach falls G zusammenhangend ist und keine echten abge-schlossenen zusammenhangenden normalen Untergruppen besitzt.

11. Z(G) ist das Zentrum von G, es ist die eindeutig bestimmte maximaleUntergruppe die mit allen Elementen von G vertauscht.

12. Eine Borel Untergruppe einer lineare algebraischen Gruppe G ist eine ma-ximale abgeschlossene zusammenhangende auflosbare Untergruppe vonG.

13. Eine algebraische Gruppe die isomorph zu einem Produkt C∗ × . . .×C∗

ist, heißt Torus. Am Wichtigsten sind dabei die maximalen Tori die inkeinem anderen Torus echt enthalten sind.

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Zu den oben eingefuhrten Begriffen sind einige Bemerkungen zu machen. Zum Ersten istanzumerken das zwei beliebige Borel Untergruppen immer konjugiert zueinander sind, dasSelbe gilt fur die maximalen Tori, außerdem ist ein maximaler Torus eine abgeschlossenezusammenhangende auflosbare Untergruppe, ist somit also immer in einer Borel Unter-gruppe enthalten. Dies geht allerdings noch weiter, so kann man zu einem Torus T immerzwei Borel Untergruppen B und B− finden, so daß gilt B ∩B− = T , des weiteren ist T inB und B− ein Normalteiler und man erhalt uber die Eindeutigkeit der Jordan-Zerlegungeine Zerlegung der Borel Untergruppen als semi-direktes Produkt in:

B = U · T, wobei U = Ru(B) und U ∩ T = 1,

eine analoge Zerlegung erhalten wir naturlich dann auch fur B−, in der wir U− = Ru(B−)

setzen.

1.2 Weylgruppe, Charaktere und Wurzeln

Ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der affinen algebraischen Gruppen stellt die Weyl-gruppe dar.

1.2.1 Definition ([CG98] Kap. 1 § 3)Fur eine zusammenhangende algebraische Gruppe G und einen maximalenTorus T von G, seien C(T ) der Zentralisator (alle Elemente die mit T kom-mutieren) und N(T ) der Normalisator (also alle Elemente x ∈ G s.d gilt:xT = Tx), dann gilt offensichtlich:

T ⊂ C(T ) ⊂ N(T )

Um genauer zu sein gilt sogar C(T ) = N(T )0, also die Zusammenhangskom-ponente von N(T ) die die 1 enthalt. Insbesondere ist N(T )/C(T ) endlich. Wirschreiben dann

W = N(T )/C(T ),

diese Gruppe heißt die Weylgruppe von G.

Da die Weylgruppe eine wichtige Rolle spielt und in den spateren Fallen die wir hier be-trachten die algebraischen Gruppen meistens halbeinfach oder zumindest reduktiv sind,konnen wir die Definition der Weylgruppe etwas vereinfachen. Falls G einezusammenhangende reduktive algebraische Gruppe ist, gilt fur einen Torus T , daß ermit seinem Zentralisator ubereinstimmt, also T = C(T ), also insbesondere W = N(T )/T ,außerdem ist die Weylgruppe hier immer eine endliche Coxeter Gruppe. Die Definitionder Weylgruppe wirft noch ein Wohldefiniertheitsproblem auf, das aber durch folgendesLemma behoben wird.

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1.2.2 Lemma ([CG98] Kap. 1 § 3)Sei G eine affine algebraische Gruppe, dann ist die Weylgruppe unabhangigvon der Wahl des Torus.

Dies folgt sofort aus der Tatsache das zwei maximale Tori zueinander konjugiert sind,daher ist es gerechtfertigt im folgenden von der Weylgruppe zu reden. Außerdem sieht manleicht, daß die Weylgruppe auf einem beliebigen maximalen Torus T durch Konjugationoperiert, man muß sie lediglich als N(T )/T definieren.Eine weitere wichtige Rolle in der Theorie von affinen algebraischen Gruppen spielen diesogenannte Charakter- und Kocharaktergruppe einer affinen algebraischen Gruppe.

1.2.3 Definition ([CG98] Kap. 1 § 4, Charaktere und Kocharaktere)Sei G eine zusammenhangende reduktive affine algebraische Gruppe und T ⊂G ein maximaler Torus, die Gruppe der Morphismen von affinen algebraischenGruppen X := Mor(T, C∗) heißt Charaktergruppe von G bezuglich T , ihreElemente werden Charaktere genannt. Die Gruppe X∨ := Mor(C∗, T ) heißtKocharaktergruppe von G bezuglich T und die Elemente werden entsprechendKocharaktere genannt.

Wie schon bei der Weylgruppe sieht man leicht, daß auch die Gruppen X und X∨ furverschiedene maximale Tori isomorph sind. Sehr wichtig ist auch noch die Struktur dieserbeiden Gruppen und ihrer Eigenschaften, daher wollen wir hier noch einige grundlegendeEigenschaften angeben. Da ein maximaler Torus immer zu einem (C∗)n isomorph ist, kannman X und X∨ als Z-Moduln mit dem Zn identifizieren, außerdem kann man die beidenGruppen auch noch zueinander in Verbindung bringen.

1.2.4 Lemma ([CG98] Kap. 1 § 4)Sei G eine zusammenhangende reduktive affine algebraische Gruppe und T ⊂G ein maximaler Torus, dann kann man zwischen der Charakter- und derKocharaktergruppe von G eine perfekte Paarung 〈·, ·〉 definieren: Fur x ∈ Xund y ∈ X∨ setzt man:

〈x, y〉 = m mit (x ◦ y)(z) = zm ∀z ∈ C∗

Daher kann man X mit Hom(X∨, Z) identifizieren und X∨ mit Hom(X, Z).

Wir haben bereits gesehen, daß die Weylgruppe W auf dem maximalen Torus T durchKonjugation operiert, man kann diese Operation auf naturlich Art und Weise auf dieCharakter- und Kocharaktergruppe erweitern, indem man sie wie folgt definiert:

wχ(t) = χ(tw) fur χ ∈ X, t ∈ T, w ∈ W

γw(λ) = γ(λ)w fur γ ∈ X∨, λ ∈ C∗, w ∈ W

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Als Nachstes wollen wir den Begriff einer Wurzel einfuhren, da wir im Folgenden auf dieTheorie der Lie Algebren verzichten wollen, wird die Einfuhrung diese Begriffes etwasaufwendiger. Wie bereits erwahnt konnen wir in einer zusammenhangenden reduktivenaffinen algebraischen Gruppe G eine Borel Untergruppe B wahlen und sie in ein semi-direktes Produkt B = U · T zerlegen, wobei T ein maximaler Torus ist und U = Ru(B)das unipotente Radikal von B ist, des weiteren konnen wir eine zweite BoreluntergruppeB− finden, so daß gilt B ∩B− = T und B− = u− · T mit U− = Ru(B

−). Hierbei operiertT sowohl auf U als auch auf U− durch Konjugation. Wir wollen nun die minimalenUntergruppen von U untersuchen die unter Konjugation mit T invariant bleiben. Mankann zeigen, daß alle so auftretenden Untergruppen isomorph zu C sind. Daher erhaltman somit einen Morphismus von affinen algebraischen Gruppen:

T −→ Aut(C)

Hierbei gilt aber naturlich das Aut(C) ∼= C∗.

1.2.5 Definition ([CG98] Kap. 1 § 4, Wurzeln)Die oben beschriebene Abbildung T −→ C∗ ist ein Element der Charakter-gruppe und wird eine positive Wurzel genannt, die minimale T -invariante Un-tergruppe die das Element geliefert hat, heißt Wurzeluntergruppe. Fur dieMenge der Elemente die so entstehen schreibt man Φ+ und fur α ∈ Φ+ schreibtman Uα ⊂ U fur die zugehorige Untergruppe. Analog kann man solche Ele-mente auch fur T -invariante Untergruppen von U− definieren, diese werdennegative Wurzeln genannt und die Menge aller negativen Wurzeln wird als Φ−

geschrieben. Als Letztes setzt man Φ := Φ+ ∪ Φ−, diese Menge wird Wurzel-system genannt.

Was die Bezeichnungen positive und negative Wurzeln angeht, so kann man Folgendesbeobachten:

α ∈ Φ+ ⇐⇒ −α ∈ Φ−

Außerdem sei noch erwahnt, daß verschiedene T -invariante Untergruppen von U , bzw. U−

auch verschiedene Elemente der Charaktergruppe liefern. Zu den Wurzeln als Elementein X kann man nun noch duale Elemente in X∨ definieren, die Kowurzeln.

1.2.6 Definition ([CG98] Kap. 1 § 4, Kowurzeln)Sei G eine zusammenhangende reduktive affine algebraische Gruppe. Sei α ∈Φ, dann ist auch−α ∈ Φ und wir konnen die beiden Untergruppen Uα und U−α

betrachten. Es gilt dann das 〈Uα, U−α〉 entweder zu Sl2(C) oder zu PSl2(C)isomorph ist, daher existiert ein surjektiver Homorphismus:

SL2(C)φ // 〈Uα, U−α〉

mit: {φ

(1 ∗0 1

)}= Uα

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{φ

(1 0∗ 1

)}= U−α{

φ

(λ 00 λ−1

)}⊂ T eine 1-dimensionale Untergruppe

Damit existiert ein Homomorphismus α∨ : C∗ −→ T gegeben durch

α∨(λ) = φ

(λ 00 λ−1

)Dieses Element α∨ ∈ Hom(C∗, T ) = X∨ heißt die Kowurzel von α, dabei gilt,mit der oben definierten Paarung, 〈α, α∨〉 = 2. Die Menge aller Kowurzelnwird mit Φ∨ bezeichnet.

Wie wir bereits gesehen haben operiert die Weylgruppe sowohl auf der Charakter wie auchauf der Kocharaktergruppe, die Wurzeln und Kowurzeln sind jeweils spezielle Elementein diesen beiden Gruppen, daher ist es noch notig zu sehen wie sich diese Elemente unterder Operation der Weylgruppen verhalten, dafur gilt folgendes:

1.2.7 Lemma ([CG98] Kap. 1 § 4)Sei G eine zusammenhangende reduktive affine algebraische Gruppe, mit Weyl-gruppe W , Charaktergruppe X und Kocharaktergruppe X∨. Sei weiterhin φder Homomorphismus aus der Defnition der Kowurzeln. Sei

nα = Φ

(0 1−1 0

)∈ 〈Uα, U−α〉 .

Dann liegt nα in N(T ), da Uα und U−α nach Definition T -invariant sind, damitinduziert nα ein Element sα ∈ W , es gilt sα = s−α, s2

α = 1 und die Mengealler sα fur α ∈ Φ erzeugt die Weylgruppe W. Die Elemente sα operieren aufder Charaktergruppe X von T durch

sα(χ) = χ− 〈χ, α∨〉α χ ∈ X

und auf der Kocharaktergruppe X∨ von T durch:

sα(γ) = γ − 〈α, γ〉α∨ χ ∈ X∨

insbesondere lassen die sα das Wurzel- und Kowurzelsystem stabil und damitlaßt auch die gesamte Weylgruppe das Wurzel- und Kowurzelsystem stabil.

Wenn wir X und X∨ als Z-Moduln auffassen, so gilt naturlich ZΦ ⊂ X und ebensoZΦ∨ ⊂ X∨.

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1.2.8 Definition ([CG98] Kap. 1 § 5, Spezielle Typen)Sei G eine zusammenhangende reduktive affine algebraische Gruppe, falls giltZΦ = X, so heißt G vom adjungierten Typ, falls gilt ZΦ∨ = X∨, so heißt Gvon einfach zusammenhangendem Typ .

Wie man an dieser Definition sehen kann gibt es affine algebraische Gruppen die obwohlsie nicht isomorph sind, das selbe Wurzelsystem und somit auch Kowurzelsystem besitzen,eine solche Situation tritt zum Beispiel bei Sl2(C) und PSl2(C) auf, die wir im spaterenVerlauf noch ausnutzen werden. Um solche Gruppen zu unterscheiden muß man daherauch noch die Charakter- und Kocharaktergruppe untersuchen und wie das Wurzel- bzw.Kowurzelsystem jeweils in ihnen drin sitzt, dafur fuhrt man den Begriff des Wurzeldatumsein, wofur wir aber vorher noch einige weitere Definitionen benotigen.

1.2.9 Definition ([CG98] Kap. 2 § 6)Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum, zwei endliche Teilmengen Φ ⊂ V

und Φ∨ ⊂ V ∗ zusammen mit einer Bijektion Φ : Φ −→ Φ∨ mit α 7→ α∨ heißenWurzelsystem, falls folgende Bedingungen erfullt sind:

1. V = 〈Φ〉2. Fur alle α ∈ Φ, gilt 〈α, α∨〉 = 2 und die Abbildung

sα : V −→ V mit sα(x) = x− 〈x, α∨〉α stabilisiert Φ

3. Es gilt α∨(Φ) ⊂ Z fur alle α ∈ Φ

4. Fur α ∈ Φ gilt 2α /∈ Φ

Innerhalb eines Wurzelsystems muß man noch eine spezielle Teilmenge auszeichnen, namlichdie der einfachen Wurzeln.

1.2.10 Definition ([LLS03] Kap. 3 § 1)Sei Φ ein Wurzelsystem und V der von ihm aufgespannte Vektorraum, eineTeilmenge ∆ ⊂ Φ heißt eine Basis, falls gilt

1. ∆ ist eine Basis von V

2. Jedes Element in Φ laßt sich als ganzzahlige Linearkombination von Ele-menten in Φ schreiben, wobei alle Koeffizienten entweder nichtpositivoder nichtnegativ sind.

Die Elemente eine solchen Basis heißen dann einfache Wurzeln. Mit ∆∨ be-zeichnen wir die zugehorige Menge an Kowurzeln.

Das vorher definierte Wurzelsystem erfullt die Eigenschaften mit dem Vektorraum X⊗RRund den definierten Abbildungen sα. Zu dem bisher eingefuhrten Begriff der Wurzel, habenwir noch einige weitere Definitionen.

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1.2.11 Definition ([LLS03] Kap. 3 § 1)Sei G eine halbeinfache algebraische Gruppe und Φ das Wurzelsystem und Vder davon aufgespannte Vektorraum, dann heißt

Λ := {λ ∈ V | 〈λ, α∨〉 ∈ Z, ∀α ∈ Φ∨}

das abstrakte Gewichtegitter des Wurzelsystems. Außerdem bezeichnen wir mitR den ganzzahligen Span der Wurzeln in Λ und mit R+ den positive Span derpositiven Wurzeln, es gilt dann R+ ⊂ R ⊂ X ⊂ Λ. Im Gewichtegitter zeichnenwir ebenfalls noch eine Teilmenge aus

Λ+ := {λ ∈ Λ | 〈λ, α∨〉 ≥ 0, ∀α ∈ ∆∨} ,

diese Elemente heißen dominante Gewichte und wir setzen X+ = Λ+ ∩X.

Desweiteren benotigen wir noch eine passende Definition der Weylgruppe.

1.2.12 Definition ([CG98] Kap. 2 § 6)Die Weylgruppe zu einem Wurzelsystem Φ ist eine Untergruppe der Gl(V )erzeugt von den sα fur α ∈ Φ aus der Definition des Wurzelsystems.

Die vorher definierte Weylgruppe mit den auf den Wurzeln definierten Spiegelungen erfulltdabei auch diese Definition. Nun konnen wir das sogenannte Wurzeldatum einfuhren, daßeine affine algebraische Gruppe eindeutig charakterisiert.

1.2.13 Definition ([Car93] Kap.1 § 9)Ein Wurzeldatum zu einer affinen algebraische Gruppe G ist ein 4-Tupel(X, Φ, X∨, Φ∨), so daß folgende zwei Bedingungen erfullt sind:

1. X und X∨ sind frei Z-Moduln mit gleichem endlichen Rang, zusammenmit einer perfekten Paarung

X ×X∨ −→ Z

(x, y) 7→ 〈x, y〉

2. Die Teilmengen Φ ⊂ X und Φ∨ ⊂ X∨ sind Wurzelsysteme bezuglich desVektorraums X ⊗R R bzw.X∨ ⊗R R und es gibt eine Bijektion Φ −→ Φ∨

mit α 7→ α∨, so daß 〈α, α∨〉 = 2.

Das Wurzeldatum hat gerade die gewunschte Eigenschaft, namlich das es eine affine al-gebraische Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, außerdem sieht man auch anden Definitionen bereits, daß die eingefuhrten Charakter- und Kocharaktergruppen zu-sammen mit dem Wurzel- und Kowurzelsystem die Eigenschaften eines Wurzeldatumserfullen, dies kann man in Folgendem Satz zusammenfassen.

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1.2.14 Satz ([Car93] Kap.1 § 9)Zu einem vorgegebenen Wurzelsystem, existiert bis auf Isomorphie genau einezusammenhangende affine algebaische Gruppe, so daß die Charaktergruppe,die Kocharaktergruppe, das Wurzel- und Kowurzelsystem gerade dem vorge-gebenen Wurzeldatum entsprechen.

Wie leicht zu sehen ist, kann man ein Wurzeldatum einfach umdrehen, man macht alsoaus (X, Φ, X∨, Φ∨) einfach (X∨, Φ∨, X, Φ) und erhalt wieder ein Wurzeldatum. Der geradezitierte Satz erlaubt dann diesem Wurzeldatum bis auf Isomorphie wieder eine affinealgebraische Gruppe zuzuordnen.

1.2.15 DefinitionSei G eine affine algebraische Gruppe mit Wurzeldatum (X, Φ, X∨, Φ∨), dann

heißt die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Gruppe G, mit Wurzeldatum(X∨, Φ∨, X, Φ), die Langlands duale Gruppe zu G.

Das wichtigste Beispiel von Langlands dualen Gruppen sind in dieser Arbeit naturlich dievom Typ An und besonders die Paare Sln(C) und PSln(C), wobei Sln(C) von einfachzusammenhangendem Typ und PSln(C) von adjungiertem Typ ist.

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2 GRUNDLAGEN: DARSTELLUNGSTHEORIE

2 Grundlagen: Darstellungstheorie

2.1 Darstellungen von affinen algebraische Gruppen

Wir wollen nun darauf eingehen was eigentlich eine Darstellung einer affinen algebrai-schen Gruppe sein soll, um die es uns spater gehen wird. Dafur sei G im Folgenden einehalbeinfache einfach-zusammenhangende affine algebraische Gruppe uber C.

2.1.1 Definition ([LLS03] Kap.1 § 2)Eine rationale Darstellung von G ist ein Homomorphismus von affinen alge-braischen Gruppen

ρ : G −→ Gln(C)

fur ein n ∈ N.

Wir werden hier nur endlichdimensionale Darstellungen betrachten, daher benotigen wirkeine Begriffe wie lokal rationale Darstellungen oder ahnliches. Statt Gln(C) werden wirauch haufig die Schreibweise Gl(V ) fur einen endlichdimensionalen C-Vektorraum V ver-wenden. Als nachstes wollen wir uns speziell anschauen was ein maximale Torus T un-serer affinen algebraischen Gruppe G mit einer gewahlten Darstellung macht. Dafur seiρ : G −→ Gln(C) eine rationale Darstellung von G, da ρ(T ) aus kommutierenden Elemen-ten von Gln(C) besteht kann man diese gemeinsam diagonalisieren und die Darstellungzerfallt somit in eine direkte Summe von eindimensionalen Darstellungen. Bei genauerBetrachtung erhalt man daher folgende Zerlegung.

2.1.2 Lemma ([LLS03] Kap.1 § 5)Sei G eine affine algebraische Gruppe und T ⊂ G ein maximaler Torus, ρ :G −→ Gl(V ) eine rationale Darstellung von G, dann zerlegt sich V als T -Darstellung in die direkte Summe V =

⊕ν∈X Vν , wobei

Vν := {w ∈ V | ρ(t)(w) = ν(t)w, ∀t ∈ T} .

Dabei heißen die ν ∈ X mit Vν 6= 0 die Gewichte von T in V , bzw. haufig auch einfach nurdie Gewichte der Darstellung, da sie unabhangig von der Wahl des maximalen Torus sind,die zugehorigen Unterraume Vλ heißen Gewichtsraume. Eine wichtige Rolle spielt hierbeidie adjungierte Darstellung, die man erhalt indem man die Abbildung intg : G −→ Gmit intg(h) = g−1hg fur ein g ∈ G ableitet und somit eine Abbildung adg : Te −→ Te aufdem Tangentialraum am neutralen Element erhalt, die Abbildung g 7→ adg nennt mandann adjungierte Darstellung von G, die Gewichte ungleich Null die in ihr auftreten sindgerade die vorher eingefuhrten Wurzeln.

2.1.3 BeispielSei G = Sl3(C), wenn wir uns nun die adjungierte Darstellung von G anschau-en so sieht man, daß dies gerade die Darstellung Ad : Sl3(C) −→ Gl(sl3(C)),mit Ad(g)(H) = g−1Hg, ist. Die Gewichte dieser Darstellung sind gerade die6 Wurzeln der Sl3(C) sowie die Null deren Gewichtsraum 2-dimensional ist.

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Besondere Aufmerksamkeit wollen wir zwei Arten von Darstellungen widmen, den irredu-ziblen und den Hochstgewichtsdarstellungen. Dafur sei B = TU eine Borel Untergruppemit der schon in 1.1 angegebenen Zerlegung. Um den Sprachgebrauch zu vereinfachen wer-den wir auch fur den Vektorraum V auf dem die Gruppe via Automorphismen operiertden Begriff Darstellung verwenden.

2.1.4 Definition ([LLS03] Kap. 4 § 3)Eine G-Darstellung ρ : G −→ Gl(V ) heißt irreduzibel falls V 6= 0 und furjeden Unterraum W ⊂ V , mit ρ(g)(w) ∈ W fur alle w ∈ W , gilt W = V oderW = 0.

Als zweites wollen wir nun noch den Begriff einer Hochstgewichtsdarstellung bzw. einesHochstgewichtsvektors einer Darstellung einfuhren. Dafur sei G eine halbeinfache alge-braische Gruppe T ⊂ B ⊂ G ein maximaler Torus und eine Boreluntergruppe, Φ daszugehorige Wurzelsystem, ∆ seine Basis und R ⊂ X ⊂ Λ das Wurzelgitter, die Charak-tergruppe und das Gewichtegitter.

2.1.5 Definition ([LLS03] Def. 4.3.1)Sei V eine endlichdimensionale G-Darstellung und V 〈B〉 der Unterraum der vonden Eigenvektoren bzgl. der Operation der Boreluntergruppe B aufgespanntwird. Ein Vektor v ∈ V heißt Hochstgewichtsvektor zum Gewicht λ, falls giltv ∈ V 〈B〉 ∩ Vλ.

Das nun folgende Lemma liefert einige wichtige Aussagen uber die Existenz von Hochst-gewichtsvektoren.

2.1.6 Lemma ([LLS03] Lemma 4.3.2)Sei V eine endlich dimensionale G-Darstellung, V 6= 0, dann gelten folgendeAussagen:

1. Die Darstellung V besitzt Hochstgewichtsvektoren, also V 〈B〉 6= 0.

2. Falls ein Vektor vλ ein Hochstgewichtsvektor in V vom Gewicht λ ist, soist λ ∈ X+

3. Falls V von einem Hochstgewichtsvektor vλ vom Gewicht λ als G-Modulerzeugt wird, so gilt dim(Vλ) = 1 und alle anderen Gewichte der Darstel-lung V sind in λ−R+ enthalten.

4. Falls V irreduzibel ist, so ist dim(V 〈B〉) = 1, es gibt also einen bis aufskalare Vielfache eindeutig bestimmten Hochstgewichtsvektor.

Eine Darstellung V die von einem Hochstgewichtsvektor vλ als G-Modul erzeugt wird,heißt Hochstgewichtsdarstellung zum Gewicht λ. Wichtig ist naturlich die Tatsache, daßman zu jedem Gewicht aus X+ eine irreduziblen Hochstgewichtsdarstellung fur G konstru-ieren kann, die bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. So ist die adjungierte Darstel-lung der PSl3(C) gerade die irreduzible Hochstgewichtsdarstellung zum Gewicht α1 +α2.

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2.2 Der formale Charakter

Ein wichtiges Hilfsmittel um Darstellungen zu beschreiben ist der formale Charakter einerDarstellung. Hierfur sei Z [Λ] die Gruppenalgebra uber dem Gewichtegitter, um nicht mitden Operationen darauf durcheinanderzukommen schreiben wir die Elemente von Λ inExponentialschreibweise eλ. Wie auch schon vorher wollen wir eine halbeinfache einfach-zusammenhangende Gruppe G betrachten.

2.2.1 Definition ([LLS03] Kap. 4 § 4)Sei V eine endlichdimensionale Darstellung der Gruppe G und sei V =

⊕ν∈X Vν

eine Zerlegung in Gewichtsraume. Das Element in Z [Λ], das definiert ist als

CharV :=∑ν∈X

dim(Vν)eν

heißt der formale Charakter von V.

Der Charakter einer Darstellung hat viele nutzliche Eigenschaften, so ist er zum Bei-spiel invariant unter der Operation der Weylgruppe die man auf die Gruppenalgebra desGewichtegitters fortsetzen kann, aber vor allem beschreibt er die Darstellung bis auf Iso-morphie eindeutig.

2.2.2 Theorem ([LLS03] Theorem 4.4.2)Seien V1 und V2 endlichdimensionale Darstellungen von G, so gilt:

V1∼= V2 ⇐⇒ CharV1 = CharV2

2.3 Wegemodell und Kristall

In diesem Abschnitt wollen wir kurz auf das Wegemodell und den damit definierten Kris-tall eingehen. Alternativ zum hier definierten Kristall kann man auch den kristallinenGraphen der Lie Algebra g von G betrachten, da die beiden in den Fallen die wir hierbetrachten ubereinstimmen, die Definitionen sind weitestgehend aus [Lit95], dort wird dasWegemodell zwar fur das Gewichtegitter einer Lie Algebra definiert, da man aber jedeDarstellung einer affinen algebraischen Gruppe zu einer Darstellungen der zugehorigenLie-Algebra liften kann macht dies fur das Modell selbst keinen Unterschied. Als erstesmussen wir die Wege definieren und den Raum in dem sie enthalten sein sollen.

2.3.1 Definition ([LLS03] Kap. 6 § 1)Sei G eine reduktive algebraische Gruppe und X die Charaktergruppe von G,dann definieren wir XR := X ⊗Z R. Sei Π die Menge der stuckweise linearenWege in XR, auf dieser Menge definieren wir die Aquivalenzrelation:

π ∼ π′ ⇐⇒ π und π′ haben die selbe Spur

Es sei Π′ gerade Π modulo dieser Aquivalenzrelation. Außerdem sei wt(π) :=π(1) das Gewicht eines Weges.

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Auf der Charaktergruppe hatten wir schon Spiegelungen fur die einfachen Wurzeln defi-niert, diese setzen wir linear auf den Vektorraum XR fort. Damit konnen wir diese Opera-toren naturlich auch auf den Wegen definieren, indem wir einfach definieren sα(π)(t) :=sα(π(t)) fur eine einfache Wurzel α und π ∈ Π. Nun wollen wir auf der Menge der Wegenoch eine Verknupfung definieren, seien dafur π und π′ zwei Wege in Π, dann definieren

wir ν := π ∗π′ via ν(t) := π(2t) fur 0 ≤ t ≤ 1

2und ν(t) := π(1)+π′(2t− 1) fur

1

2≤ t ≤ 1.

Eine weitere wichtige Rolle spielt die folgende Funktion, die wir fur jede einfache Wurzelα definieren, hα,π : [0, 1] −→ R sei definiert als hα,π(t) := 〈π(t), α∨i 〉. Wie man sieht hangtdiese Funktion noch von einem Weg ab, diesen werden wir allerdings im Folgenden meistweglassen, da es aus dem Kontext klar ist auf welchen Weg wir uns beziehen. Nun wollenwir auf der Menge der Wege ein Analogon zu den Kashiwara Operatoren bei den Kris-tallen von Lie Algebren definieren, dafur sei mα(π) := min{hα,π(t) | t ∈ [0, 1]}. Fur dienachsten beiden Definitionen sei α eine fest gewahlte einfache Wurzel und π ein Weg.

2.3.2 Definition ([Lit95] § 1)Wir definieren zuerst den Operator eα : XR −→ XR∪Θ, wobei fur das formaleSymbol Θ die Regeln π ∗ Θ = Θ ∗ π = Θ fur alle π ∈ Π gelten sollen. Wirunterscheiden nun zwei Falle die eintreten konnen, falls mα := mα(π) > −1,so setze eαπ := Θ, sonst wahle t1 ∈ [0, 1] minimal mit hα(t1) = mα undt0 ∈ [0, t1] maximal, s.d. hα(t) ≥ mα + 1 fur t ∈ [0, t0]. Nun wahle mant0 = s0 < s1 < s2 < . . . < sk = t1, so daß auf den Intervallen eine von zweiBedingungen erfullt ist:

1. hα(si−1) = hα(si) und fur t ∈ [si−1, si] gilt hα(t) ≥ hα(si)

2. hα ist streng absteigend auf [si−1, si] und fur t ≤ si−1 gilt hα(t) ≥hα(si−1).

wobei s−1 := 0 und sk+1 := 0 zu setzen sind. Nun definieren wir ,,kleine”Wege πi(t) := π(si−1 + t(si − si−1))− π(si−1) fur i ∈ {0, . . . , k + 1}. Dann istπ = π0 ∗ . . .∗πk+1. Fur i ∈ {1, . . . , k} setzen wir nun ηi := πi, falls fur [si−1, si]die Bedingung 1 erfullt ist und wir setzen ηi := sα(πi) falls die Bedingung 2erfullt ist. Nun kann man endlich eαπ hinschreiben und zwar setzen wir:

eαπ := π0 ∗ η1 ∗ . . . ∗ ηk ∗ πk+1

Auf recht ahnliche Weise definieren wir nun eine Art inversen Operator fα.

2.3.3 Definition ([Lit95] § 1)Wir definieren zuerst den Operator fα : XR −→ XR ∪ Θ. Wir unterscheidenwieder zwei Falle die eintreten konnen, falls hα(1)−mα < 1, so setze fαπ := Θ,sonst wahle t0 ∈ [0, 1] maximal mit hα(t0) = mα und t1 ∈ [0, 1] minimal, s.d.hα(t) ≥ mα + 1 fur t ∈ [t1, 1]. Nun wahle man t0 = s0 < s1 < s2 < . . . < sk =t1, so daß auf den Intervallen eine von zwei Bedingungen erfullt ist:

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1. hα(si−1) = hα(si) und fur t ∈ [si−1, si] gilt hα(t) ≥ hα(si)

2. hα ist streng aufsteigend auf [si−1, si] und fur t ≥ si gilt hα(t) ≥ hα(si).

wobei s−1 := 0 und sk+1 := 0 zu setzen sind. Nun definieren wir ,,kleine”Wege πi(t) := π(si−1 + t(si − si−1))− π(si−1) fur i ∈ {0, . . . , k + 1}. Dann istπ = π0 ∗ . . .∗πk+1. Fur i ∈ {1, . . . , k} setzen wir nun ηi := πi, falls fur [si−1, si]die Bedingung 1 erfullt ist und wir setzen ηi := sα(πi) falls die Bedingung 2erfullt ist. Nun konnen wir auch fαπ hinschreiben und zwar setzen wir:

fαπ := π0 ∗ η1 ∗ . . . ∗ ηk ∗ πk+1

Wie schon erwahnt verhalten sich die Operatoren in gewisser Weise invers zueinander,wenn also eαπ 6= Θ ist, so ist fαeαπ = π und umgekehrt. Außerdem vertragen sichdie Operatoren auch mit der Aquivalenzrelation, man kann also eα und fα auch auf Π′

definieren. Wir nennen einen Weg dominant falls 〈π(t), α∨〉 ≥ 0 fur alle einfachen Wurzelnα und alle t ∈ [0, 1] gilt. Sei also nun π ein dominanter Weg, dann konnen wir den Kristallzu π definieren.

2.3.4 Definition ([Lit95] § 1)Fur π dominant sei

B(π) := {ν ∈ Π′ | ∃k und i1, . . . ik s.d. ν = fαi1. . . fαik

π}Diese Menge B(π) ist unsere Menge an Punkten fur unseren Graphen undwir haben einen Pfeil vom Typ α von ν nach ν ′ falls gilt ν ′ = fαν. Der soentstehende Graph heißt dann der Kristall zum Weg π

Da bei der Definition des Graphen nur der Endpunkt des Weges π und nicht die Wahl desdominanten Weges wichtig ist, schreibt man auch haufig B(λ) statt B(π), falls wt(π) =λ. Wichtig fur uns werden spater vor allem die Kristalle zu den Elementen aus demKowurzelgitter der Sln(C), also den Elementen aus dem Wurzelgitter der PSln(C), dazuwollen wir kurz einige Beispiele angeben. Als erstes betrachten wir die einzige positiveWurzel α von PSl2(C) und setzen λ = n ·α fur ein n ∈ N, dann erhalten wir als Kristall.

λα // λ− α

α // λ− 2αα // . . . α // −λ + 2α

α // −λ + αα // −λ

Also einen linear angeordneten Graphen. Ein weiteres Beispiel das wir uns angucken wol-len ist im Fall PSl3(C), das Gewicht λ = α1 + α2, also die adjungierte Darstellung vonPSl3(C), hier sieht der Kristall wie folgt aus.

α1α1 // 0

α1 // −α1

α2

""EEEE

EEEE

λα1

��???

????

?

α2

??��−λ

α2α2 // 0

α2 // −α2

α1

<<yyyyyyyy

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2.4 Eigenschaften des Wegemodells

Als erstes wollen wir auch fur den Kristall einen Charakter definieren und sehen, daßdieser mit dem Charakter einer gewissen Darstellung ubereinstimmt.

2.4.1 Theorem ([Lit95] § 6.5 und 6.6)Sei π ein dominanter Weg mit π(1) = λ mit λ ∈ X, dann heißt

CharB(λ) =∑

ν∈B(λ)

eν(1)

der Charakter zum Gewicht λ, da der Graph unabhangig von der Wahl desdominanten Weges ist, ist der Charakter es auch und es gilt

CharB(λ) = CharV (π(1)) = CharV (λ),

wobei V (λ) die irreduzible Hochstgewichtsdarstellung zum Gewicht λ ist.

Dies bedeutet naturlich, daß der Kristall eines dominanten Weges, der in einem Punkt derCharaktergruppe endet, sehr viele Informationen uber die entsprechende Hochstgewichts-darstellung enthalt, wie z.B. die Dimension der einzelnen auftretenden Gewichtsraume.Außerdem wollen wir noch erwahnen, daß es in Spezialfallen eine Reihe anderer Moglich-keiten gibt den Kristall mit Hilfe anderer kombinatorischer Hilfsmittel zu erhalten, z.B.Young-Tableaus. Wir werden im Folgenden fur jede Darstellung die wir betrachten alserstes den Kristall angeben, dabei werden wir nicht weiter darauf eingehen wie wir ihnerhalten, da man diesen mit Hilfe von Programmen oder den oben genannten Young-Tableaus errechnen kann.

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3 GRUNDLAGEN: AFFINE GRASSMANN VARIETAT

3 Grundlagen: Affine Grassmann Varietat

3.1 Die affine Grassmann Varietat

Wir wollen nun die affine Grassmann einfuhren, dazu brauchen wir erst einige allgemeineBegriffe und Notationen, wir halten uns dabei an die Definition aus [GL03] . Im folgendensei G immer eine zusammenhangende halbeinfache komplexe affine algebraische Gruppe.

3.1.1 Definition ([GL03] § 1)Sei R eine kommutative C-Algebra, dann bezeichnen wir mit G(R) die MengederR-rationalen Punkte von G, also die Menge der Algebrenhomomorphismenvon C[G] nach R. G(R) ist dann auf naturliche Weise eine Gruppe.

Die Definition der Gruppenstruktur auf G(R) ist uber die Hopf-Algebren Struktur aufC[G] definiert, wir wollen darauf kurz eingehen.

3.1.2 BemerkungSei R eine kommutative Algebra und C[G] der Koordinatenring von G, dannexistieren folgende Abbildungen:

iR : C −→ R die Eins von R

ε : C[G] −→ C die Koeins von C[G]

i : C −→ C[G] die Eins von C[G]

∆ : C[G] −→ C[G]⊗ C[G] die Komultiplikation von C[G]

S : C[G] −→ C[G] die Antipode von C[G]

Mit diesen Abbildungen konnen wir nun die Verknupfung auf G(R) definieren,wobei wir die ubliche Sweedler Schreibweise fur die Komultiplikation benutzen.Fur φ, χ ∈ G(R) und f ∈ C[G] setzt man:

(φ ∗ χ)(f) := (φ⊗ χ)(∆(f)) = (φ⊗ χ)(∑

f(1) ⊗ f(2)) =∑

φ(f(1))χ(f(2))

Dann ist φ ∗ χ wegen der Linearitat von ∆, φ und χ eine lineare Abbildungund da C[G] eine Hopf-Algebra ist, ist ∆ auch ein Algebrenhomomorphismus,daher ist φ ∗ χ auch ein Algebrenhomomorphismus.Das neutrale Element in G(R) ist das Element iR ◦ ε, dies ist ein Element inG(R), da C[G] eine Hopf-Algebra ist und somit ε ein Algebrenhomomorphis-mus ist. Daher gilt fur φ ∈ G(R) und f ∈ C[G]:

(φ ∗ (iR ◦ ε))(f) =∑

φ(f(1))ε(f(2)) = φ(∑

f(1)ε(f(2)))

= φ(f)

Analog zeigt man (iR ◦ ε) ∗ φ = φ. Als Letztes rechnet man nach, daß furφ ∈ G(R) die Abbildung φ ◦ S das Inverse bezuglich ∗ ist, dies gilt da Rkommutativ ist und somit φ ◦ S wieder ein Algebrenhomomorphismus ist.Daher ist (G(R), ∗, (iR ◦ ε)) eine Gruppe.

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Um besser mit der Gruppe G(R) rechnen zu konnen, kann man sie auch als Gruppevon Matrizen mit Eintragen in R realisieren. Dafur beginnen wir damit, daß G eineaffine algebraische Gruppe ist, daher gibt es ein n ∈ N, so daß wir G als abgeschlosseneUntergruppe von Gln(C) auffassen konnen. Dann gilt fur den Koordinatenring von G:

C[G] =C[x1, . . . , xn2 ]

I(G)

wobei I(G) = {f ∈ C[x1, . . . , xn2 ]|f(g) = 0∀g ∈ G} =< f1, . . . , fr > mit

G = {v ∈ Cn : f1(v) = . . . = fr(v) = 0}dann ist:

G(R) = {φ ∈ Hom(C[x1, . . . , xn2 ],R) : φ(xi) = gi mit fk(g1, . . . , gn) = 0∀k}

Wir konnen also eine Abbildung definieren ι : G(R) −→ Gln(R), indem wir setzen ι(φ) =(φ(xij))ij. Dann bedeutet die obige Schreibweise fur G(R) gerade, daß das Bild von ιgerade die Matrizen in Gln(R) sind die in die Funktionen f1, . . . , fr eingesetzt 0 ergeben.Wir konnen also G(R) als Matrixgruppe auffassen die die selben Relationen erfullt wieG, wann immer wir G als Untergruppe einer Gln(C) realisiert bekommen, dies allerdingsist nach Abschnitt 1 immer moglich.Im Folgenden sind besonders zwei C-Algebren von großer Bedeutung, daher wollen wirfur diese eine kurzere Notation einfuhren.

3.1.3 Notation ([GL03] § 1)O = C[[t]] sei der Ring der formalen Potenzreihen und K = C((t)) der zu-gehorige Quotientenkorper. Sei außerdem ν : K∗ −→ Z die Standardbewer-tung s.d. O = {f ∈ K|ν(f) ≥ 0}. Mit dieser Bewertung ist dann auch geradeO∗ = {f ∈ K|ν(f) = 0}.

Mit der oben angesprochenen Realisierung als Matrixgruppe konnen wir auch die GruppeG selbst als Untergruppe von G(R) realisieren, denn ein Element von G entspricht danneinem Punkt v ∈ Cn2

mit f(v) = 0∀f ∈ I(G), dann kann man g die Abbildung φg

zuordnen mit φg(xi) = vi, also kann G als Untergruppe von G(R) aufgefaßt werden.Wenn man sich speziell G(O) ansieht, so kann man diese Gruppe auch in ein semi-direktesProdukt zerlegen.

3.1.4 Lemma ([GL03] § 1)Sei G1(O) = {φ ∈ G(O) : φ(g) = 1(mod t),∀g ∈ C[G]}, dann ist G1(O) einNormalteiler in G(O). Außerdem gilt das G ∩ G1(O) = {1} sowie G(O) =G · G1(O) ist, daher kann man G(O) = G ∝ G1(O) schreiben. Genauer gehtdies uber die Abbildung:

ev : G(O) −→ G mit ev(g) = g( mod t),

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denn dann ist:G(O) −→ G1(O) ∝ G

g 7→ (ev(g)−1g, ev(g))

ein Isomorphismus.

Des weiteren kann man G1(O) auch als Bild von (Lie(G))⊗C tC[[t]] unter der Exponenti-alabbildung beschreiben, allerdings wollen wir auch hier nicht weiter auf den Zusammen-hang mit der Theorie von Lie Algebren eingehen.Nun konnen wir die affine Grassmann Varietat einfuhren.

3.1.5 Definition (affine Grassmann, [GL03] § 1)Wir betrachten die Gruppen G(O) und G(K), da O ⊂ K gilt, ist offensicht-lich G(O) enthalten in G(K). Daher konnen wir den Quotienten G(K)/G(O)bilden, dieser heißt affine Grassmann Varietat und wird im Folgenden mit Gbezeichnet

Die Gruppen G(O) und G(K), sowie der Quotient G besitzen gewisse geometrische Struk-turen. So ist G(K) ein Ind-Schema und G(O) ein Gruppen-Schema. Außerdem kann manG als aufsteigende Vereinigung von endlichdimensionalen projektiven Varietaten schrei-ben, bei denen es sich um Untervarietaten endlichdimensionaler Grassmann-Varietatenhandelt, daher kann man G mit der Struktur einer projektiven Ind-Varietat versehen([Kum02]), auf diesen letzen Punkt werden wir im nachsten Abschnitt noch genauer ein-gehen. Offensichtlich haben wir eine Linksoperation von G(O) auf G durch Linksmulti-plikation. Wir sind nur an speziellen Orbiten in G interessiert und zwar in dem wir dieKocharaktergruppe in die affine Grassmann einbetten.

3.1.6 Lemma ([GL03] § 1)Es gibt eine Bijektive Abbildung zwischen X∨ und T (K)/T (O).

Die Bijektion kommt hierbei zustande, indem man einem Element aus X∨, also einerAbbildung von C∗ nach T , die entsprechende Abbildung auf den Koordinatenringen zu-ordnet, also eine Abbildung von C[T ] nach C[C∗] = C[t, t−1] ⊂ K, diese kann man alsElement in T (K) auffassen. Die Inklusion i : T −→ G induziert eine surjektive Abbildungi∗ : C[G] −→ C[T ], indem wir diese Abbildung vorschalten erhalten wir eine AbbildungT (K) −→ G(K) die wegen der Surjektivitat von i∗ injektiv ist. Analog konnen wir alldies fur O statt fur K durchfuhren und erhalten so eine Einbettung von T (K)/T (O) hin-ein in G. Daher konnen wir also ab sofort Elemente von X∨ als Punkte in der affinenGrassmann auffassen und uns in einem der spateren Abschnitt die Orbiten unter derLinksmultiplikation mit G(O) angucken.

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3.2 Geometrische Struktur der affinen Grassmann Varietat

Wir wollen nun kurz auf die geometrische Struktur der affinen Grassmann Varietat ein-gehen, unter anderem soll genauer erklart werden wie die Namengebung zustande kommtund wieso die Bezeichnung Varietat gerechtfertigt ist. Dazu mussen wir als erstes den Be-griff einer Ind-Varietat einfuhren, einer speziellen Art von, meist unendlichdimensionalen,Varietaten.

3.2.1 Definition ([Kum02], Def. 4.1.1)Unter einer Ind-Varietat uber dem Korper k verstehen wir eine Menge X,zusammen mit einer Filtrierung:

X0 ⊂ X1 ⊂ X2 ⊂ . . . ,

so daß die beiden folgenden Bedingungen erfullt sind:

1.⋃

n≥0

Xn = X

2. Jedes Xn ist eine endlichdimensionale Varietat uber k und die InklusionenXn −→ Xn+1 sind abgeschlossene Einbettungen.

In unserem Fall interessieren wir uns fur projektive Ind-Varietaten, also Ind-Varietatenbei denen alle auftretenden Varietaten in der Filtrierung endlichdimensionale projektiveVarietaten sind. Unser Ziel ist es zu erklaren warum die affine Grassmann Varietat einesolche projektive Ind-Varietat ist. Um dies zu beweisen muß man sich zuerst einen Spe-zialfall anschauen in dem man die Struktur leichter sehen kann, daher betrachten wir imFolgenden erst einmal SlN(C).

3.2.2 Definition ([Kum02], 13.2.12)Sei V := CN und LO := O ⊗C V , dann definieren wir die Mengen:

Fn =

L ⊂ K ⊗C V :L O-Untermodul s.d.

(i) tnLO ⊂ L ⊂ t−nLO(ii) dimC(L/tnLO) = n ·N

Diese Mengen Fn kann man jetzt zu einen Ind-Varietat verkleben, da man zeigen kann,daß Fn ⊂ Fn+1 und die Inklusionen abgeschlossene Einbettungen sind. Um zu sehen, daßdie Fn endlich dimensionale projektive Varietaten sind konstruiert man eine Bijektion vonjedem Fn auf eine Untervarietat einer ,,normalen” Grassmann Varietat.

3.2.3 Satz ([Kum02], 13.2.12)F :=

⋃n

Fn ist eine projektive Ind-Varietat.

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Die projektive Struktur auf Fn erhalt man indem man sich den komplexen VektorraumVn := t−nLO/tnLO anschaut. Darauf betrachtet man den Endomorphismus tn, der mit tMultipliziert, dieser ist ein nilpotenter Endomorphismus, somit ist 1 + tn ein Automor-phismus von Vn und induziert somit einen Isomorphismus 1 + tn von Gr(nN, Vn) nachGr(nN, Vn). Da es sich um einen Isomorphismus handelt und die Grassmann Varietatenprojektiv sind, ist die Menge der Fixpunkte in Gr(nN, Vn) wieder eine projektive VarietatGr(nN, Vn)1+tn . Als letztes zeigt man dann, daß die Abbildung:

Fn −→ Gr(nN, Vn)1+tn

L 7→ L/t−nLO

eine Bijektion ist und man somit die Struktur der projektiven Varietat Gr(nN, Vn)1+tn

auf F ubertragen kann.

3.2.4 Lemma ([Kum02], 13.2.12)Die Abbildung φ : G −→ F mit φ(gSln(O)) = gLO ist eine Bijektion.

Somit haben wir die affine Grassmann mit der Struktur einer projektiven Ind-Varietatversehen. Im Fall einer beliebigen einfach zusammenhangenden einfachen algebraischenGruppe G benutzen wir zuerst eine Einbettung in eine entsprechend große SlN(C), dies lie-fert eine entsprechene Einbettung zwischen den affinen Grassmann Varietaten und machtes moglich die Filtrierung vom Spezialfall SlN(C) herunterzuschneiden auf die eingebetteteGrassmann und man erhalt somit auch auf dieser eine projektive Ind-Varietaten Struktur.Eine weitere Ind-Varietaten Struktur erhalt man wenn man eine Bijektion von Mengenzwischen der affinen Grassmann und einem Quotienten einer affinen Kac-Moody Gruppeausnutzt, dies liefert noch weitere Eigenschaften der affinen Grassmann, allerdings wurdedie Theorie der affinen Kac-Moody Gruppen hier zu weit fuhren, hierfur wollen wir auf[Lus83] und [Kum02] verweisen.

3.3 MV-Zykel

Wie bereits in einem der vorherigen Abschnitt erwahnt, wollen wir uns nun die Orbitenin G, die durch die Linksmultiplikation mit G(O) entstehen, anschauen.

3.3.1 Definition ([MV00] § 2)Fur ein λ ∈ X∨, sei Gλ := G(O).λ der G(O)-Orbit von λ. Weiterhin setzen

wir Xλ := Gλ, Xλ bezeichnen wir dann als verallgemeinerte Schubert-Varietat.

Der Begriff einer verallgemeinerten Schubert-Varietat taucht noch bei anderen Orbiten inanderen Quotienten auf, die man fur eine affine algebraische Gruppe definieren kann, aller-dings benotigen wir hier nur den einen Typ und wollen daher nicht weiter auf die Theorievon verallgemeinerten Schubert-Varietaten eingehen. Fur die spateren Rechnungen ist es

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nutzlich zu wissen, welche Orbiten im Abschluß eines einzelnen Orbits enthalten sindund wie man diese moglichst leicht bestimmen kann, dies wird durch das nachste Lemmaermoglicht.

3.3.2 Lemma ([MV00] §2 (2.2) )Fur λ und ν dominant gilt Gν ⊂ Xλ, gdw. λ − ν positive Summe positiverKowurzeln ist.

Dies kann man auch zu einer darstellungstheoretischen Aussage umformulieren, denn dasλ−ν positive Summe positiver Kowurzeln ist, heißt fur dominantes λ und ν nichts anderes,als daß ν ein Gewicht der irreduziblen Darstellung zum hochsten Gewicht λ der Gruppe Gist, wobei G wieder die Langlands duale Gruppe von G bezeichnet. Nun konnen wir denBegriff einfuhren um den sich alles dreht, namlich die MV-Zykel, die wie folgt definiertsind.

3.3.3 Definition ([MV00] § 3)Fur λ, ν ∈ X∨ definiere Cλ,ν := Sν ∩ Gλ, wobei Sν := U(K).ν ⊂ G ist. Dann

heißen die irreduziblen Komponenten von Cλ,ν MV-Zykel, nach Mirkovic undVilonen.

Eine wichtige Frage ist, wann die MV-Zykel uberhaupt existieren, bei welchen Wahlenvon λ und ν der obige Schnitt also nicht leer ist, dies beantwortet der folgende Satz.

3.3.4 Theorem ([MV00] § 3 Theorem 3.2)Der Schnitt Cλ,ν := Sν ∩ Gλ ist nicht leer, genau dann wenn ν ∈ Xλ und fallsλ dominant gewahlt wurde ist die Dimension von Cλ,ν gerade 〈ρ, ν + λ〉.

Mit dem obigen Lemma sieht man so also, daß der Schnitt nicht leer ist genau dann wennν gerade ein Gewicht in der Darstellung zum hochsten Gewicht λ der Langlands dualenGruppe ist. Dies folgt aus der Uberlegung, daß es zu jedem ν ∈ X∨ ein w ∈ W gibts.d. w(ν) ∈ X∨+ (X∨+ ist dabei analog zu X+ definiert), da außerdem W ⊂ G(O) giltauch ν ∈ Xλ gdw. w(ν) ∈ Xλ. Mit der Aussage von Lemma 3.3.2 besagt somit Theorem3.3.4, daß fur dominantes λ der Schnitt Cλ,ν genau dann nicht leer ist, falls λ − w(ν)positive Summe positiver Kowurzeln ist und dies wiederum ist genau die Aussage, daß νein Gewicht in der Darstellung zum hochsten Gewicht λ ist. Da die MV-Zykel ja geradedie irreduziblen Komponenten von Cλ,ν sind, kann man hoffen, daß diese etwas mit derDarstellung an sich zu tun haben. Dies ist auch der Fall, denn es gilt, daß die Anzahl derirreduziblen Komponenten von Cλ,ν , gerade die Dimension des Gewichtsraums von ν inder Darstellung V (λ) zum Hochstgewicht λ ist.

3.3.5 Theorem ([MV00] § 7 Korollar 7.4)Sei λ ∈ X∨ dominant und ν ∈ X∨, dann kann der Gewichtsraum V (λ)ν ⊂V (λ) kanonisch mit dem C Vektorraum aufgespannt von den irreduziblenKomponenten von Cλ,ν identifiziert werden, also

V (λ)ν∼= C

[Irr(Cλ,ν)

]

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und insbesondere ist die Dimension von V (λ)ν gleich der Anzahl der irredu-ziblen Komponenten von Cλ,ν .

Da die Darstellung ja gerade die direkte Summe ihrer Gewichtsraume ist, gilt somitnaturlich auch eine analoge Aussage fur die gesamte Darstellung.

3.3.6 KorollarSei λ ∈ X∨ dominant, dann gilt

V (λ) ∼=⊕

ν∈X∨,V (λ)ν 6=0

C[Irr(Cλ,ν)

]Dies ist nach dem vorangegangenen Theorem allerdings erst einmal ein Isomorphismusvon Vektorraumen, allerdings kann man zeigen, daß dieser sogar ein G aquivarianter Iso-morphismus ist, dafur benotigt man allerdings die Theorie der perversen Garben, daher seidafur auf [MV00] verwiesen, wo gezeigt wird, daß die Kategorie der endlichdimensionalenDarstellungen von G aquivalent ist zu einer gewissen Kategorie von perversen Garben.

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4 ERGEBNISSE

4 Ergebnisse

Wir wollen uns an einigen Beispielen das Inklusionsverhalten von MV-Zykeln anschauen.In den folgenden Beispielen werden wir als Borel Untergruppe immer die Standard Borelwahlen, also den Schnitt der jeweiligen Gruppe mit den oberen Dreiecksmatrizen und alsTorus entsprechend den Standard Torus, also den Schnitt der jeweiligen Gruppe mit denDiagonalmatrizen. Wir werden im Folgenden Abschnitt, sowie auch im Anhang, immermit einzelnen Matrizen rechnen, allerdings sind dies immer nur Reprasentanten ihrerjeweiligen Nebenklassen in G.

4.1 A1: MV-Zykel fur dominante Kowurzeln

Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es zu zeigen, daß wenn man die Menge der MV-Zykelnebenfalls zu einem Graphen macht, so ist der Kristall in ihnen enthalten, wenn man dieMV-Zykel mit den Wegen im Graphen identifiziert, den Kristall fur eine Darstellung vonPSl2(C) haben wir bereits in Abschnitt 2.3 gesehen. In diesem Abschnitt werden wir unsanschauen in welchen anderen MV-Zykeln ein fest gewahlter Zykel enthalten ist. Dabeischauen wir uns erst einmal den adjungierten Fall an, also werden wir uns nur Kogewichteanschauen die im Kowurzelgitter von Sl2(C) liegen, mit anderen Worten also Elementeder Charaktergruppe von PSl2(C). Wir betrachten dafur die Gruppe Sl2(C), dann konnenwir die affine Grassmann mit der Menge der O-Gitter im K2 modulo Skalarmultiplikationidentifizieren.Wir wahlen uns nun also ein Element λ ∈ X∨ das bereits im adjungierten Wurzelgitterliegt, es handelt sich bei λ also um ein Vielfaches der einzigen existierenden positivenKowurzel, dieses Element konnen wir in G = Sl2(K)/Sl2(O) mit der Matrix

wλ =

(tn 00 t−n

)identifizieren, wobei n ∈ Z und λ = nα gilt, dies folgt aus der Uberlegung welche Abbil-dung von C∗ nach T dem Element λ entspricht, dafur uberlegt man sich, daß die einzige

existierende positive Kowurzel α der Abbildung µ 7→(

µ 00 µ−1

)entspricht. Als nachstes

wollen wir beliebige Matrizen aus Sl2(K) durch Rechtsmultiplikation mit Matrizen ausSl2(O) auf eine Art Standardform bringen um spater besser entscheiden zu konnen welcheGitter in welchen Orbiten liegen, hierbei sei ν wie vorher die Standardbewertung auf K.Wir geben uns also eine beliebige Matrix vor

A =

(a bc d

)∈ Sl2(K)/Sl2(O)

Wir unterscheiden nun zwei Falle, je nachdem ob der Eintrag mit niedrigster Bewertungin der oberen oder unteren Zeile liegt.

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4 ERGEBNISSE

4.1.1 LemmaWir konnen jedes Element A der affinen Grassmann schreiben in genau einervon zwei Standardformen, entweder

A =

(tn b−nt

−n + . . . + b0 + . . . + bn−1tn−1

0 t−n

)mit n ∈ N0 und bi ∈ C oder

A =

(t−n 0

d−n+1t−n+1 + . . . + d0 + . . . + dn−1t

n−1 tn

)mit n ∈ N und di ∈ C.

Beweis:1. Fall:Falls der Eintrag mit niedrigster Bewertung in der unteren Zeile liegt, sokonnen wir ohne Einschrankung annehmen, daß es sich um d handelt, sonstvertauschen wir einfach die beiden Spalten und negieren eine. Dann konnenwir wie folgt rechnen:(

a bc d

)·

(1 0

− c

d1

)︸︷︷︸

∈Sl2(O)

=

(a− b

c

db

0 d

)

Hierbei ist die zweite Matrix aus Sl2(O), da die Bewertung von − c

d≥ 0 ist.

Wenn wir nun a′ := a − bc

dsetzen so gilt a′ · d = 1 und −ν(a′) = ν(d), mit

Hilfe dieser Relationen machen wir noch eine weitere Umformung.

(a′ b0 d

)·

tν(a′)

a′0

0tν(d)

d

︸︷︷︸

∈Sl2(O)

=

tν(a′) b · tν(d)

d0 tν(d)

Auch hier gilt, daß die zweite Matrix aus Bewertungsgrunden Diagonalein-trage besitzt die aus O stammen. Wir machen noch einige Umbenennungen

b′ := b · tν(d)

dund n := ν(a′). Wir haben also jetzt durch Rechtsmultiplikation

eine Matrix erhalten, die lediglich oben rechts noch eine formale Laurent-Reihe stehen hat, diese wollen wir ebenfalls noch zu einem Laurent-Polynomreduzieren, dafur machen wir noch eine letze Umformung:(

tn b′

0 t−n

)·(

1∑∞

i=0 b′n+iti

0 1

)=

(tn b′−nt

−n + . . . + b′0 + . . . + b′n−1tn−1

0 t−n

)

27

4 ERGEBNISSE

Hierbei sind die b′i naturlich die Koeffizienten von b′.Das heißt also, falls die Matrix A ihren Eintrag mit minimaler Bewertung inder unteren Zeile hat, so kann man A durch Rechtsmultiplikation (die ja nichtdas Element in der affinen Grassmann andern) auf die Gestalt(

tn b′−nt−n + . . . + b′0 + . . . + b′n−1t

n−1

0 t−n

)bringen, fur n ∈ N0 und b′i ∈ C. Die Menge aller dieser Matrizen bezeichnenwir im Folgenden mit AI , falls wir noch das n fest vorschreiben, so bezeichnenwir die Menge mit AI,n, da die Elemente mit denen wir multiplizieren durfenalle Eintrage haben, deren Bewertung nicht negativ sind, ist auch klar, daßdiese Mengen fur verschiedenes n auch wirklich disjunkt sind.2. Fall:Analog gehen wir vor, falls der Eintrag mit minimaler Bewertung in der oberenZeile, also ohne Einschrankung a, ist und die Eintrage in der unteren Zeilealle strikt großere Bewertung haben. Eine solche Matrix konnen wir dann

immer auf die Form

(t−n 0

d−n+1t−n+1 + . . . + d0 + . . . + dn−1t

n−1 tn

)bringen,

mit n ∈ N und di ∈ C. Hierbei kann die Potenz auf der Diagonalen nichtNull sein, da wir gefordert haben, daß die Eintrage in der unteren Zeile striktgroßere Bewertung haben. Auch hier geben wir der Menge aller dieser Matrizeneine Bezeichnung und zwar AII und bei festem n AII,n.Jetzt ist naturlich noch zu uberprufen ob AI und AII wirklich disjunkt sind,dafur nehmen wir uns einfach zwei beliebige Matrizen in Standardform her(es reicht hier sich Matrizen in den Standardformen anzugucken, da sich allesandere darauf zuruckfuhren laßt) und versuchen die Gleichung(

t−n 0d(t) tn

)·(

a1 a2

a3 a4

)=

(tm c(t)0 t−m

)zu losen und fuhren dies zum Widerspruch. Nach ausmultiplizieren der linkenSeite ergeben sich 4 Gleichungen:

t−na1 = tm =⇒ a1 = tm

t−na2 = c(t) =⇒ a2 = tnc(t)

d(t)a1 + tna3 = 0 =⇒ a3 = d(t)tm

d(t)a2 + tna4 = t−m =⇒ a4 = t−n−m − d(t)c(t)

Aber die letzte Gleichung ist ein Widerspruch zu a4 ∈ O, da −n−m < 0, alsokann man die Elemente aus AI und AII nicht durch Basiswechsel in einander

28

4 ERGEBNISSE

uberfuhren, also gilt AI ∩ AII = ∅, da wir aber mit einer beliebigen Matrixgestartet sind folgt naturlich auch:

G = Sl2(K)/Sl2(O) = AI ] AII

�

Wir haben zwar jetzt die affine Grassmann zerlegt, wissen aber nicht wie der Sl2(O)-Orbitvon wλ sich mit dieser Zerlegung vertragt.

4.1.2 LemmaDer Orbit Sl2(O).wλ fur λ = 2n zerlegt sich in AI,n ] AII,n.

Beweis:

Sei also A =

(a bc d

)∈ Sl2(O) eine beliebige Matrix, damit diese invertier-

bar ist, muß entweder ν(c) = 0 sein oder ν(d) = 0.1. Fall: ν(d) = 0Dann gilt:

A ·(

tn 00 t−n

)=

(tna t−nbtnc t−nd

)Dann ist t−nd der Eintrag mit minimaler Bewertung, namlich gerade −n,damit gilt nach obiger Rechnung, da der Grad der Diagonalelemente, bis aufVorzeichen genau der selbe ist, A · wλ ∈ AI,n fur alle A ∈ Sl2(O).2. Fall: ν(d) > 0, also ν(c) = 0In diesem Fall gilt wegen der Determinante auch ν(b) = 0 und somit:

A ·(

tn 00 t−n

)=

(tna t−nbtnc t−nd

)Hier ist nun t−nb der Eintrag mit echt kleinster Bewertung, also gilt nachdem vorigen Fall 2, daß fur diese Situation gilt, daß A · wλ ∈ AII,n fur alleA ∈ Sl2(O).Somit wissen wir schon mal, daß der Orbit von wλ in AI,n ] AII,n liegt, wirmussen aber noch die Umkehrung zeigen.

Hierfur Sei

(tn f0 t−n

)∈ AI,n und setze u := −f · tn ∈ O, dann gilt:(

1 u0 1

)·(

tn f0 t−n

)=

(tn 00 t−n

)also umgekehrt: (

tn f0 t−n

)=

(1 −u0 1

)·(

tn 00 t−n

)Also gilt AI,n ⊂ Sl2(O).wλ, analog zeigt man naturlich auch AII,n ⊂ Sl2(O).wλ.�

29

4 ERGEBNISSE

Daher konnen wir den Orbit jetzt schon mal zerlegen in Sl2(O).wλ = AI,n ] AII,n.Aber wir wissen immer noch nicht wie die MV-Zykel aussehen, bzw. wie sie in einan-der enthalten sind. Um die Zykel ausrechnen zu konnen mussen wir zuerst den SchnittU(K).wµ ∩ Sl2(O).wλ ausrechnen fur λ und µ zwei Elemente aus dem adjungierten Git-

ter und U(K) =

{(1 b0 1

); b ∈ K

}. Wir mussen zuerst einmal die Struktur von AII,n

genauer betrachten und zwar wollen wir die Elemente von AII,n ebenfalls auf obere Drei-ecksgestalt bringen. Sei also

A =

(t−n 0trf tn

)∈ AII,n

wobei gilt −n+1 ≤ r ≤ n−1 und f ist ein Polynom mit konstantem Term ungleich Null,also insbesondere in O invertierbar, eine solche Schreibweise ist immer moglich solangeder Eintrag unten links ungleich Null ist, den Fall das er Null ist behandelt wir spater.Wir formen nun um

A ·(

tn−r f−1

−f 0

)=

(t−r f−1t−n

0 tr

)Hierbei ist f−1t−n =

∑∞i=−n uit

i mit u−n 6= 0, nach einer analogen Umformung wie ineinem der vorherigen Beweise kann man diese Laurentreihe auf ein Laurentpolynom mitmaximalem Grad −r− 1 reduzieren, also kann man A durch Rechtsmultiplikation auf dieForm (

t−r u−nt−n + . . . + u−r−1t

−r−1

0 tr

)bringen, mit ui ∈ C und u−n 6= 0. Wie man sieht hangt diese Form nur davon ab, welchenminimalen Grad der Eintrag links unten hatte, dieser ist mindestens −n+1 und maximaln− 1, daher definieren wir die folgenden Mengen

Ar,n =

{(t−r u−nt

−n + . . . + u−r−1t−r−1

0 tr

);

uj ∈ C, u−n ∈ C∗

−n + 1 ≤ j ≤ −r − 1

}fur −n + 1 ≤ r ≤ n− 1, außerdem setzen wir

An,n =

{(t−n 00 tn

)}dies deckt den Fall, daß der Eintrag unten links Null ist ab, außerdem haben die Elementevon AI,n bis auf die Forderung, daß der erste Koeffizient ungleich Null ist, die gleicheGestalt, daher setzen wir der Einfachheit halber

A−n,n := AI,n

Damit haben wir AII,n in 2n Teilmengen zerlegt die wieder wegen dem Grad der Diago-nalelemente disjunkt sind.

30

4 ERGEBNISSE

4.1.3 SatzSei λ = 2n und µ = 2q, dann gilt

U(K).wµ ∩ Sl2(O).wλ =

∅, fur q > n∅, fur q < −nA−q,n sonst

und falls der Schnitt nicht leer ist, gilt

dim (U(K).wµ ∩ Sl2(O).wλ) = n + q

Beweis:Es gilt:

Sµ := U(K).wµ =

{(tq u0 t−q

); u ∈ K

}Sei also

(tq u0 t−q

)∈ Sµ, dann konnen wir durch eine Rechtsmultiplikation,

wieder die Laurentreihe zu einem Laurentpolynom reduzieren:(tq u0 t−q

)·(

1 −∑∞

i=0 uq+iti

0 1

)=

(tq umtm + . . . + uq−1t

q−1

0 t−q

)fur m < Z

Wir konnen Sµ also auch wie folgt beschreiben:

Sµ := U(K).wµ =

{(tq umtm + . . . + uq−1t

q−1

0 t−q

); ui ∈ C, m ∈ Z, m ≤ q

}Mit dieser Beschreibung sieht man leicht, daß Sµ ∩ Sl2(O).wλ = ist fur q >n oder q < n und daß Sµ ∩ Sl2(O).wλ = A−q,n ist fur −n ≤ q ≤ n, dader Grad der Diagonalelemente nicht durch Rechtsmultiplikation verandertwerden kann. Außerdem gilt

A−n,n∼= C2n

Ar,n∼= C∗ × Cn−1−r, fur −n + 1 ≤ r ≤ n− 1

An,n∼= C0,

also gilt dimAr,n = n−r, daher haben die Schnitte auch die richtige Dimension.�

Als Letztes mussen wir uns jetzt noch angucken, wie die irreduziblen Komponenten vonSµ ∩ Sl2(O).wλ aussehen, bzw. wie viele es davon gibt und wie diese Komponenten in-einander enthalten sind. Die Frage wie viele irreduzible Komponenten es gibt laßt sich

31

4 ERGEBNISSE

in diesem Fall am Besten kombinatorisch beweisen, indem man ausnutzt, daß die irredu-ziblen Komponenten von Sµ ∩ Sl2(O).wλ in Bijektion stehen zu den Wegen im Kristallzum Kogewicht λ, die bei µ enden. Da wir in diesem Fall nur einen e und f Operatorbesitzen die zu einander invers sind sieht man leicht, daß bei jedem µ nur ein Weg en-det. Daher sind die Ar,n bereits irreduzibel. Wir konnen also bei den Ar,n schon von denMV-Zykeln reden. Aufwendiger ist es die Frage nach der Inklusion von manchen Zykelnin anderen zu klaren. Dies werden wir als nachstes ausrechnen.

4.1.4 SatzFur die MV-Zykel zu λ = 2n gilt: Ar,n ⊂ Ar−1,n, fur −n < r ≤ n.

Beweis:Wir beweisen dies in zwei Schritten, erst die unterste Inklusion, dann dieanderen.Spezialfall An,n ⊂ An−1,n:

Sei dazu

(t−(n−1) 1

ct−n

0 tn−1

), mit c ∈ C∗, dann gilt

(t−(n−1) 1

ct−n

0 tn−1

)·(

0 −1c

c t

)=

(t−n 0

ctn−1 tn

)Nun lassen wir den Parameter c gegen Null laufen und erhalten(

t−n 0ctn−1 tn

)c→0−→

(t−n 00 tn

)Somit haben wir in An−1,n eine 1-Parameter Untergruppe gefunden in derenAbschluß An,n liegt.Allgemeiner Fall Aq+1,n ⊂ Aq,n, fur −n ≤ q < n− 1:

Sei B =

(t−q t−n · f−1

0 tq

)mit f ∈ O, v(f) = 0 und f(t) = x+a1t+a2t

2+. . .,

wobei x 6= 0 und a1 6= 0. Dann konnen wir folgende Umformung durchfuhren,die wir am Anfang dieses Abschnitts bereits einmal in umgekehrter Formdurchgefuhrt haben:

B ·(

0 −f−1

f tn−q

)=

(t−n 0

tq · f tn

)Wenn man nun noch f ′(t) := a1 + a2t + a3t

2 + . . . setzt kann man nun x → 0laufen lassen und erhalt somit:(

t−n 0tq · f tn

)x→0−→

(t−n 0

tq+1 · f ′ tn

)

32

4 ERGEBNISSE

Diese Matrix bringen wir noch auf obere Dreiecksgestalt via:(t−n 0

tq+1 · f ′ tn

)·(

tn−q−1 f ′−1

−f ′ 0

)=

(t−(q+1) t−n · f ′−1

0 tq+1

)∈ Aq+1,n

Wenn man sich also ein beliebigen Eintrag oben rechts in der Matrix vorgibt,so ist dieser von der Form gt−n fur ein g ∈ O∗ und wir mussen f so setzen, daßf = x−1 + g−1t ist, dies ist aber kein Problem da f beliebig in O∗ wahlbar ist,somit konnen wir fur jedes Element in Aq+1,n eine 1-Parameter Untergruppefinden die das Element im Abschluß enthalt. Somit gilt Aq+1,n ⊂ Aq,n fur−n ≤ q < n− 1 �

In diesem Fall ist also gezeigt, daß die MV-Zykel linear geordnet in einander enthaltensind, es gilt also:

An,n ⊂ An−1,n ⊂ An−2,n ⊂ . . . A−n+1,n ⊂ A−n,n

Wenn man diese Ordnung als Graph auffaßt, mit den Zykeln als Ecken und einer Kan-te zwischen den zwei Zykeln, wenn sie ineinander enthalten sind und kein Zykel mehrzwischen ihnen liegt, so erhalten wir genau den Kristall fur die Darstellung zum Hochst-gewicht λ = 2n, der PSL2(C). Im folgenden wollen wir uns dies noch fur einige weitereBeispielgewichte der PSL3(C) anschauen.

33

4 ERGEBNISSE

Kommen wir also nun zu G = SL3(C), bzw. zu Darstellungen der PSL3(C).

4.2 A2: MV-Zykel fur die adjungierte Darstellung von PSL3(C)

Im Gegensatz zum ersten Fall A1 wollen wir uns hier direkt eine spezielle Darstellunganschauen und zwar die zur Summe der beiden einfachen positiven Kowurzeln von Sl3(C),also die adjungierte Darstellung von PSl3(C). Auch hier wollen wir die affine GrassmannVarietat wieder als Menge von Gittern auffassen, wie wir es schon im vorangegangenenBeispiel getan haben. In einem der vorherigen Abschnitte haben wir bereits den Kristallzu dieser Darstellung gesehen, namlich gerade

α1α1 // 0

α1 // −α1

α2

""EEEE

EEEE

λα1

��???

????

?

α2

??��−λ

α2α2 // 0

α2 // −α2

α1

<<yyyyyyyy

Fur diese Darstellung gibt es also acht verschiedene MV-Zykel, diese mussen wir zwarnicht explizit bestimmen, aber wir mussen fur jeden dieser Zykel eine dichte Teilmengebestimmen, um feststellen zu konnen ob die Zykel so ineinander enthalten sind wie derGraph dies vorgibt. Außerdem konnen wir auch schon die Dimensionen der einzelnen Zykelbestimmen um spater zu sehen ob die gefundenen Teilmengen schon die passende Dimensi-on haben. Nach der allgemeinen Theorie des Wegemodells wissen wir, daß die Darstellungsieben verschiedene Gewichtsraume hat, von denen einer zweidimensional ist. Wenn wirnun fur die einzelnen auftretenden Gewichte µ das Skalarprodukt 〈ρ, µ + α1 + α2〉 berech-nen so erhalten wir die Dimensionen der einzelnen Zykel:

Gewicht Dimension der zugehorigen MV-Zykelα1 + α2 4

α1 3α2 30 2−α1 1−α2 1

−α1 − α2 0

Um die Zykel ausrechnen zu konnen machen wir uns die simple Tatsache zu Nutze, daßeine Matrix aus Sl3(O) immer drei Eintrage besitzt, die alle in verschiedenen Zeilen undSpalten liegen, die alle Bewertung 0 haben. Diese konnen dann mit der selben Interpreta-tion wie im vorherigen Abschnitt durch Rechtsmultiplikation auf die Diagonale getauschtwerden. Danach wollen wir ahnlich wie im vorherigen Abschnitt versuchen die Matrizenaus dem Sl3(O)-Orbit von wλ wieder auf obere Dreiecksgestalt zu bringen um den Orbit

34

4 ERGEBNISSE

besser mit den U(K)-Orbiten der anderen auftretenden Kogewichte schneiden zu konnen.Dafur betrachten wir die folgende Matrix 1 2 3

3 1 22 3 1

,

hier sind die Positionen fur die drei ersten Moglichkeiten aufgefuhrt welche Eintrage einerSl3(O)-Matrix Bewertung 0 haben konnen. Diese drei Falle gehen wir nun der Reihe nachdurch. Der Einfachheit halber betrachten wir einen Eintrag Null als habe er Bewertungunendlich, da wir mit einem solchen Eintrag in den folgenden Rechnungen nicht viel anfan-gen konnen und wir schon im vorherigen Abschnitt gesehen haben, daß eine Potenzreihemit einer Bewertung die hoch genug ist meist eliminiert wird. Außerdem bezeichne

wλ :=

t 0 00 1 00 0 t−1

,

die Matrix zum Kogewicht α1 +α2, auch hier muß man sich vorab uberlegen, daß der Ko-

wurzel α1 die Abb. µ 7→

µ 0 00 µ−1 00 0 1

entspricht und der Kowurzel α2 die Abbildung

µ 7→

1 0 00 µ 00 0 µ−1

, wenn man dies als Matrizen mit Eintragen in C[t, t−1] auffaßt und

multipliziert erhalt man so die Matrix wλ.

Diagonale 1:

Sei A :=

a1 a2 a3

a4 a5 a6

a7 a8 a9

∈ Sl3(O) eine Matrix deren Eintrage an den Positionen mit der

Nummer 1 alle Bewertung 0 haben, dann mussen wir die Matrix

A · wλ =

a1t a2 a3t−1

a4t a5 a6t−1

a7t a8 a9t−1

,

betrachten. Offensichtlich hat hier der Eintrag unten rechts die niedriegste Bewertungnamlich −1, also fuhren wir eine ahnliche Rechnung wie im vorherigen Beispiel durch:

a1t a2 a3t−1

a4t a5 a6t−1

a7t a8 a9t−1

·

1 0 00 1 0

− a7t

a9t−1− a8

a9t−11

=

a1t−

a7

a9a3t a2 −

a8

a9a3 a3t

−1

a4t−a7

a9a6t a5 −

a8

a9a6 a6t

−1

0 0 a9t−1

35

4 ERGEBNISSE

Wir setzen nun a′1 := a1t −a7

a9

a3t und analog die anderen drei neuen Eintrage. Da wir

allerdings die Eintrage a1 und a5 verandert haben konnen wir nicht mehr sichergehen, daßa′1 und a′5 immer noch Bewertung Null haben. Allerdings muß auf Grund der gesamtenDeterminante entweder das Paar a′1 und a′5 oder das Paar a′2 und a′4 jeweils Bewertung 1haben. Dies mussen wir in zwei verschiedenen Fallen behandeln.

1. ν(a′5) = 0Falls dies gilt, konnen wir, wie schon im A1 Fall, wie folgt rechnen: a′1t a′2 a3t

−1

a′4t a′5 a6t−1

0 0 a9t−1

·

1 0 0

−a′4t

a′51 0

0 0 1

=

a′1t−a′4a′5

a′2t a′2 a3t−1

0 a′5 a6t−1

0 0 a9t−1

auch hier substituieren wir wieder a′′1 := a′1t −

a′4a′5

a′2t, auf Grund der Determinante

wissen wir, daß jetzt allerdings a′′1 Bewertung 0 haben muß. Also konnen wir dieMatrix noch ,,normieren”

a′′1t a′2 a3t−1

0 a′5 a6t−1

0 0 a9t−1

·

1a′′1

0 0

01a′5

0

0 01a9

=

t a b0 1 c0 0 t−1

,

wobei a, b und c formale Laurentreihen sind mit den Bewertungen ν(a) ≥ 0,ν(b) ≥ −1 und ν(c) ≥ −1. Allerdings konnen wir wie schon im A1-Fall die Lau-rentreihen zu Laurentpolynomen reduzieren indem wir mit den Diagonaleintragender entsprechenden Zeilen ,,abschneiden”. Sei dazu c := c−1t

−1 + g, wobei ν(g) ≥ 0,dann fuhren wir folgende Rechnung durch: t a b

0 1 c0 0 t−1

·

1 0 00 1 −g0 0 1

=

t a b− g · a0 1 c−1t

−1

0 0 t−1

Analog konnen wir jetzt auch in der ersten Zeile die Laurentreichen ,,abschneiden”und erhalten am Ende eine Matrix der Form t a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

,

wobei alle Eintrage aus C stammen. Da man allerdings auch von vornherein mit derMatrix

A :=

1 a0 b−1 + b0t0 1 c−1

0 0 1

,

36

4 ERGEBNISSE

starten konnte und dies naturlich genau eine Matrix ist, die in den gerade unter-suchten Fall paßt, ist auch klar, daß alle vier am Ende noch vorkommenden Eintragefrei wahlbar sind. Daher definieren wir folgende Menge

Aα1+α2 :=

t a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

: a0, b−1, b0, c−1 ∈ C

Offensichtlich liegt diese Menge schon mal im Schnitt von U(K).wα1+α2 undSl3(O).wλ. Wenn wir alle anderen Falle untersucht haben werden wir sogar sehen,daß dies der gesamte Schnitt ist und der Abschluß dieser Menge gerade einer derMV-Zykel.

2. ν(a′5) > 0, also ν(a′2) = 0Da die Rechenschritte vom Prinzip her die selben sind wollen wir sie ab sofort nichtmehr so ausfuhrlich durchgehen, sondern die in den Matrizen auftauchenden Diffe-renzen immer sofort durch Eintrage ersetzen die, wie im vorhergegangenen Beispiel,mit einem oder zwei Strichen versehen sind. Außerdem werden wir beim Vertau-schen von Spalten keine Rucksicht auf mogliche Vorzeichenwechsel nehmen, da esbei den Laurentreihen jeweils nur auf die Bewertung ankommt und nicht auf diegenauen Eintrage. Als erstes mussen wir wieder einen dritten Eintrag der Matrixeliminieren a′2 a′1t a3t

−1

a′5 a′4t a6t−1

0 0 a9t−1

·

1 0 0

−a′1t

a21 0

0 0 1

=

a′2 0 a3t−1

a′5 a′′4t a6t−1

0 0 a9t−1

und auf Grund der Determinante konnen wir wieder ,,normieren”

a′2 0 a3t−1

a′5 a′′4t a6t−1

0 0 a9t−1

·

1a′2

0 0

01a′′4

0

0 01a9

=

1 0 ba t c0 0 t−1

,

mit ν(a) ≥ 1, ν(b) ≥ −1 und ν(c) ≥ −1, wie vorher konnen wir auch hier wieder dieLaurentreichen verkurzen, in diesem Fall verschwindet dabei sogar die Laurentreihea, da ihre Bewertung zu hoch ist, somit bleibt am Ende eine Matrix von der Form 1 0 b0

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

,

ubrig mit allen Eintragen aus C, analog wie vorher uberlegt man sich auch hier, daßalle Eintrage moglich sind und erhalt die Menge

Aα2 :=

1 0 b−1t

−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

: b−1, c−1, c0 ∈ C

37

4 ERGEBNISSE

Damit ware die erste Diagonale abgehandelt und wir konnen nun den Fall betrachten wodie Eintrage an den Positionen mit der Nummer 2 Bewertung 0 haben.

Diagonale 2:In diesem Fall stellen wir die Matrix A.wλ gleich wie folgt um a2 a3t

−1 a1ta5 a6t

−1 a4ta8 a9t

−1 a7t

,

hier ist zwar klar, daß der Eintrag in der Mitte der Matrix nach Voraussetzung Bewertung-1 hat, allerdings konnte der Eintrag darunter ebenfalls Bewertung -1 haben, daher mussenwir dies vorher noch abhandeln.

1. ν(a9) = 0In diesem Fall vertauschen wir die zweite und dritte Spalte und eliminieren danndie unterste Zeile

a1t a2 a3t−1

a4t a5 a6t−1

a7t a8 a9t−1

· 1 0 0

0 1 0

− a7t

a9t−1− a8

a9t−11

=

a1t−

a7

a9a3t a2 −

a8

a9a3 a3t

−1

a4t−a7

a9a6t a5 −

a8

a9a6 a6t

−1

0 0 a9t−1

.

Dies liefert uns allerdings die selbe Ausgangssituation wie bei der ersten Diagonalen,nur daß der mittlere Eintrag in der dritten Spalte jetzt genau Bewertung -1 hat undnicht mehr Bewertung großer oder gleich -1, also brauchen wir dies nicht weiter zuuntersuchen und konnen uns mit dem nachsten Fall befassen.

2. ν(a9) > 0In diesem Fall eliminieren wir mit dem mittleren Eintrag den Rest der zweiten Zeileund erhalten die Matrix a′2 a3t

−1 a′1t0 a6t

−1 0a′8 a9t

−1 a′7t

In diesem Fall mussen wir uberprufen welcher der beiden Eintrage a′2 bzw. a′8 Be-wertung 0 hat.

(a) ν(a′8) = 0In diesem Fall vertauschen wir die erste und letze Spalte und eliminieren mitdem Eintrag a′8 den Eintrag unten links und erhalten eine Matrix der Form a′′1t a3t

−1 a′20 a6t

−1 00 a9t

−1 a′8

38

4 ERGEBNISSE

und normieren diese wieder passend und erhalten somit t a b0 t−1 00 c 1

,

wobei gilt ν(a) ≥ −1, ν(b) ≥ 0 und ν(c) > −1, da die Bewertung von callerdings mindestens 0 ist, konnen wir diesen Eintrag wieder mit der letztenSpalte eliminieren und erhalten somit nach ,,abschneiden” der Laurentreihena und b mit der ersten Spalte eine Matrix der Form t a−1t

−1 + a0 b0

0 t−1 00 0 1

,

mit allen Eintragen aus C, auch hier ist jede Wahl von Eintragen moglich undwir erhalten die Menge

Aα1 :=

t a−1t

−1 + a0 b0

0 t−1 00 0 1

: a−1, a0, b0 ∈ C

(b) ν(a′8) > 0, also ν(a′2) = 0

In diesem Fall vertauschen wir nichts und eliminieren mit a′2 den Eintrag obenrechts und erhalten somit a′2 a3t

−1 00 a6t

−1 0a′8 a9t

−1 a′′7t

.

Diese Matrix ,,normieren” wir wieder und erhalten 1 a 00 t−1 0b c t

,

wobei ν(a) ≥ −1, ν(b) > 0 und ν(c) > −1, somit konnen wir den Eintrag untenlinks sofort mit der letzten Spalte eliminieren und mussen fur den Eintrag czwei Falle unterscheiden einmal ν(c) = 0 und ν(c) ≥ 1

i. ν(c) = 0In diesem Fall konnen wir wegen der Moglichkeit mit der letzten Spalteabzuschneiden direkt annehmen c ∈ C∗ und konnen folgende Umformungdurchfuhren 1 a 0

0 t−1 00 c t

·

1 0 00 t c−1

0 −c 0

=

1 a · t a · c−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

.

39

4 ERGEBNISSE

Durch Abschneiden mit der ersten Spalte erhalten wir so eine Matrix derForm 1 0 ut−1

0 1 vt−1

0 0 1

,

wobei u ∈ C und v ∈ C∗ gilt. Auch hier ist jeweils jede Wahl moglich undwir erhalten die Menge

A20 :=

1 0 ut−1

0 1 vt−1

0 0 1

: u ∈ C, v ∈ C∗ ,

der Index 2 ist hierbei notig da es ja noch einen zweiten Zykel zum Koge-wicht Null gibt.

ii. ν(c) ≥ 1In diesem Fall muß man nichts großartig umformen da man den Eintragc sofort mit der letzen Spalte eliminieren kann und somit eine Matrix derForm 1 ut−1 0

0 t−1 00 0 t

erhalt, wobei u ∈ C. Hier erhalt man somit die Menge

A−α2 :=

1 ut−1 0

0 t−1 00 0 t

: u ∈ C

,

Da noch nicht fur alle Zykel entsprechende Teilmengen gefunden wurden, mussen wir nochdie nachste Diagonale uberprufen.

Diagonale 3:Wir stellen auch hier die Matrix gleich wieder etwas um a3t

−1 a1t a2

a6t−1 a4t a5

a9t−1 a7t a8

,

wie schon bei der zweiten Diagonale wissen wir hier zwar, daß a3 Bewertung 0 hat, aberauch hier mussen wir wieder uberprufen ob die darunterliegenden Eintrage die selbe Be-wertung haben.

1. ν(a9) = 0In diesem Fall konnen wir die Spalten wieder zurucktauschen und die letzte Zeile

40

4 ERGEBNISSE

eliminieren um eine Matrix der Gestalt a′1t a′2 a3t−1

a′4t a′5 a6t−1

0 0 a9t−1

zu erhalten, bei der a9 und a3 beide Bewertung Null haben, dies liefert also wiederdie selbe Ausgangssituation wie bei der ersten Diagonale, mit der zusatzlichen Be-dingung, daß der Eintrag oben rechts genau Bewertung -1 hat, somit liefert dies nurTeilmengen von Aα1+α2 und Aα2 .

2. ν(a9) > 0, aber ν(a6) = 0Auch hier stellen wir die Matrix um und eliminieren dann die zweite Zeile der Matrixund erhalten als Ergebnis a′1t a3t

−1 a′20 a6t

−1 0a′7t a9t

−1 a′8

.

In diesem Fall haben wir also die selbe Ausgangssituation wie im zweiten Fall beider zweiten Diagonale, mit der Zusatzforderung, daß der Eintrag in der ersten Zeileund zweiten Spalte Bewertung -1 hat. Dieser Ansatz wurde also lediglich Teilmengenvon Aα1 , A2

0 und A−α2 liefern, daher brauchen wir auch diesen Fall nicht weiter zuuntersuchen.

3. ν(a9) > 0 und ν(a6) > 0 In diesem Fall eliminieren wir naturlich mit a3 die ersteZeile und erhalten somit die Matrix a3t

−1 0 0a6t

−1 a′4t a′5a9t

−1 a′7t a′8

.

Hier sind wieder die beiden Falle zu unterscheiden ob a′8 Bewertung 0 hat oder nicht.

(a) ν(a′8) = 0In diesem Fall eliminieren wir den Eintrag in der letzten Zeile und zweitenSpalte und erhalten somit a3t

−1 0 0a6t

−1 a′′4t a′5a9t

−1 0 a′8

,

was wir noch entsprechend normieren t−1 0 0a t cb 0 1

,

41

4 ERGEBNISSE

wobei ν(a) > −1, ν(b) > −1 und ν(c) ≥ 0 gilt. Wir fuhren noch eine weitereRechnung durch t−1 0 0

a t cb 0 1

·

1 0 00 1 0−b 0 1

=

t−1 0 0a− bc t c

0 0 1

.

Da wir die Laurentreihe a − bc allerdings mit der zweiten Spalte bei Grad 1abschneiden konnen interessiert uns nur der Term vom Grad 0, also geradea0− b0 · c0, da keine der Reihen Terme von negativem Grad enthalt. Wir setzennun d := a0 − b0 · c0 und unterscheiden nun die Falle ob d Null ist oder nicht.

i. d = 0In diesem Fall haben wir eine Matrix der Form t−1 0 0

0 t c0

0 0 1

,

wobei c0 ∈ C beliebig wahlbar ist, da man immer einfach a0 und b0 Nullsetzen kann und somit auch d Null ist. Also erhalten wir hieraus die Menge

A−α1 :=

t−1 0 0

0 t c0 0 1

: c ∈ C

.

ii. d 6= 0In diesem Fall konnen wir wie folgt rechnen t−1 0 0

d t c0 0 1

·

t d−1 0−d 0 00 0 1

=

1 d−1t−1 00 1 c0 0 1

,

wobei d ∈ C∗ und c ∈ C sind, auch hier sind beide Koeffizienten un-abhangig von einander wahlbar, da man b0 = 0 setzen kann und a0 beliebigaus C∗ wahlen kann. Daher erhalten wir hier die Menge

A10 :=

1 dt−1 0

0 1 c0 0 1

: c ∈ C, d ∈ C∗ .

(b) ν(a′8) > 0, also ν(a′5) = 0In diesem Fall vertauschen wir die zweite und dritte Spalte und eliminieren dendritten Eintrag in der zweiten Zeile und erhalten somit a3t

−1 0 0a6t

−1 a′5 0a9t

−1 a′8 a′′7t

.

42

4 ERGEBNISSE

Nach der entsprechenden Normierung der Diagonalen erhalten wir somit t−1 0 0a 1 0b c t

,

wobei ν(a) > −1, ν(b) > −1 und ν(c) > 0. Dies bedeutet aber, daß wir c mitHilfe der dritten Spalte eliminieren konnen und danach a mit Hilfe der zweitenund es außerdem moglich ist mit der dritten Spalte die Potenzreihe b ab Grad1 abzuschneiden. Somit erhalten wir die Matrix t−1 0 0

0 1 0b0 0 t

,

fur die wir wieder zwei Falle unterscheiden mussen, jeweils ob b0 Null ist odernicht.

i. b0 = 0In diesem Fall erhalten wir einfach nur t−1 0 0

0 1 00 0 t

,

was uns als einziges Element in der Menge die Menge A−α1−α2 liefert.

ii. b 6= 0In diesem Fall mussen wir noch eine kurze Rechnung durchfuhren underhalten t−1 0 0

0 1 0b0 0 t

·

t 0 b−10

0 1 0−b0 0 0

=

1 0 b−10 t−1

0 1 00 0 1

.

Diese Art von Matrizen ist allerdings offensichtlich im Abschluß der MengeA2

0 enthalten, daher liefert uns dies keine neue dichte Teilmenge eines MV-Zykels.

Zusammengefaßt haben wir damit also folgende Mengen im Sl3(O)-Orbit von wλ gefun-den:

43

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

Aα1+α2

t a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

: a0, b−1, b0, c−1 ∈ C

4

Aα1

t a−1t

−1 + a0 b0

0 t−1 00 0 1

: a−1, a0, b0 ∈ C

3

Aα2

1 0 b−1t

−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

: b−1, c−1, c0 ∈ C

3

A10

1 dt−1 0

0 1 c0 0 1

: c ∈ C, d ∈ C∗

. 2

A20

1 0 ut−1

0 1 vt−1

0 0 1

: u ∈ C, v ∈ C∗

, 2

A−α1

t−1 0 0

0 t c0 0 1

: c ∈ C

. 1

A−α2

1 ut−1 0

0 t−1 00 0 t

: u ∈ C

, 1

A−α1−α2

t−1 0 0

0 1 00 0 t

0

Da eine Teilmenge Aµ aus der obigen Liste offensichtlich im U(K)-Orbit von wµ liegtund alle diese Teilmengen bereits die richtige Dimension haben, die wir am Anfang diesesAbschnittes ausgerechnet haben, ist somit auch klar, daß die Abschlusse dieser acht Teil-mengen gerade die MV-Zykel sind, insbesondere ergeben auch die anderen Moglichkeitenwo Eintrage mit Bewertung 0 stehen konnen lediglich Teilmengen der bereits gefundenenMengen, daher wollen wir diese Rechnungen hier nicht auffuhren. Wir mussen also alsnachstes nachprufen ob diese Zykel entsprechend dem Kristall ineinander enthalten sindund ob es vielleicht auch noch weitere Inklusionen gibt. Um dies zu uberprufen benut-zen wir die gleiche Methode wie im vorangegangenen Beispiel fur A1 indem wir uns dasAbschlußverhalten gewisser 1-Parameteruntergruppen anschauen.

1. Aα1 ⊂ Aα1+α2

Dafur sei

t at−1 + b c0 t−1 00 0 1

, mit a,b,c ∈ C eine beliebige Matrix in Aα1 und sei

44

4 ERGEBNISSE

x ∈ C∗ ein freier Parameter, dann ist

t a− cx−1 axt−1 + bx0 1 xt−1

0 0 t−1

ein Element

von Aα1+α2 . Dann konnen wir wie folgt rechnen t a− cx−1 axt−1 + bx0 1 xt−1

0 0 t−1

·

1 b 00 1 00 0 1

=

t a− cx−1 + bt axt−1 + bx0 1 xt−1

0 0 t−1

Dies ist das selbe Element da die multiplizierte Matrix in Sl3(O) war, ebenso konnenwir mit einer weiteren Matrix multiplizieren t a− cx−1 + bt axt−1 + bx

0 1 xt−1

0 0 t−1

·

1 0 00 0 −x0 x−1 t

=

t at−1 + b c0 t−1 00 x−1t−1 1

Wenn wir nun den Parameter x gegen unendlich laufen lassen erhalten wir im Ab-schluß dieser Einparametergruppe die Matrix t at−1 + b c

0 t−1 00 0 1

also gilt Aα1 ⊂ Aα1+α2

2. Aα2 ⊂ Aα1+α2

Wieder sei

1 0 at−1

0 t bt−1 + c0 0 t−1

, mit a,b,c ∈ C eine beliebige Matrix in Aα1 und sei

x ∈ C∗ wieder ein freier Parameter, dann ist

t x at−1 − cx0 1 bt−1

0 0 t−1

ein Element von

Aα1+α2 , dann fuhren wir folgende Rechnung durch t x at−1 − cx0 1 bt−1

0 0 t−1

·

1 0 00 1 c0 0 1

·

0 −x 0x−1 t 00 0 t−1

=

1 0 at−1

x−1 t bt−1 + c0 0 t−1

.

Wenn man nun wieder analog zum ersten Fall x gegen unendlich laufen laßt erhaltman, daß im Abschluß die Matrix 1 0 at−1

0 t bt−1 + c0 0 t−1

45

4 ERGEBNISSE

liegt und somit Aα2 ⊂ Aα1+α2

3. A10 ⊂ Aα1

Auch hier sei

1 at−1 00 1 b0 0 1

, mit a ∈ C∗ und b ∈ C eine beliebige Matrix in A10 und

sei x ∈ C∗ ein freier Parameter. Sei weiterhin f die Potenzreihe mit f−1 = x−1+a−1t,wir teilen f auf in f = x + vt + f1t

2, mit v ∈ C und f1 ∈ O, dann ist die Matrix t xt−1 + v −xb0 t−1 00 0 1

ein Element von Aα1 , dann konnen wir wie folgt rechnen

t xt−1 + v −xb0 t−1 00 0 1

·

1 0 00 1 bt0 0 1

=

t xt−1 + v vbt0 t−1 b0 0 1

Die Eintrage in der ersten Zeile mussen noch etwas modifiziert werden t xt−1 + v vbt

0 t−1 b0 0 1

·

1 f1 −vb0 1 00 0 1

=

t (x + vt + f1t2)t−1 0

0 t−1 b0 0 1

Nun ist die Matrix entsprechend verandert um mit der eigentlichen Rechnung zubeginnen t (x + vt + f1t

2)t−1 00 t−1 b0 0 1

·

0 −f 0f−1 t2 00 0 1

=

t−1 0 0f−1t−1 t b

0 0 1

=

t−1 0 0(x−1 + a−1t)t−1 t b

0 0 1

Lassen wir nun den Parameter x gegen unendlich gehen erhalten wir so die Matrix t−1 0 0

a−1 t b0 0 1

,

die wir durch eine weitere Rechnung wieder auf obere Dreiecksform bringen t−1 0 0a−1 t b0 0 1

·

t a 0−a−1 0 0

0 0 1

=

1 at−1 00 1 b0 0 1

,

damit gilt A10 ⊂ Aα1

46

4 ERGEBNISSE

4. A20 ⊂ Aα2

Hier sei

1 0 at−1

0 1 bt−1

0 0 1

, mit a ∈ C und b ∈ C∗ eine beliebige Matrix in A20 und

sei x ∈ C∗ ein freier Parameter. Außerdem sei wie schon im vorherigen Fall f diePotenzreihe mit f−1 = x−1 + a−1t und wir schreiben f = x + vt + f1t

2, mit v ∈ C

und f1 ∈ O, dann ist

1 0 ab−1xt−1

0 t xt−1 + v0 0 t−1

ein Element von Aα2 und wir konnen

wieder anfangen von rechts mit 3-Matrizen zu multiplizieren 1 0 ab−1xt−1

0 t xt−1 + v0 0 t−1

·

1 0 00 1 f1

0 0 1

=

1 0 ab−1xt−1

0 t xt−1 + v + f1t0 0 t−1

=

1 0 ab−1xt−1

0 t ft−1

0 0 t−1

Als nachstes verandern wir noch die erste Zeile 1 0 ab−1xt−1

0 t ft−1

0 0 t−1

·

1 ab−1t− f−1a ab−1(v + tf1)0 1 00 0 1

=

1 ab−1t− f−1a ab−1xt−1 + ab−1(v + tf1)0 t ft−1

0 0 t−1

=

1 ab−1t− f−1a ab−1t−1f0 t ft−1

0 0 t−1

Nun kann die eigentlich wichtige Umformung beginnen 1 ab−1t− f−1a ab−1t−1f

0 t ft−1

0 0 t−1

·

1 0 00 0 −f0 f−1 0

=

1 ab−1t−1 a0 t−1 00 f−1t−1 t

Dies liefert wenn man wieder x gegen Unendlich laufen laßt 1 ab−1t−1 a

0 t−1 00 b−1 t

,

was wir wieder auf obere Dreiecksgestalt bringen 1 ab−1t−1 a0 t−1 00 b−1 t

·

1 0 00 t b0 −b−1 0

=

1 0 at−1

0 1 bt−1

0 0 1

47

4 ERGEBNISSE

und somit gilt A20 ⊂ Aα2

5. A−α1 ⊂ A10

Sei

t−1 0 00 t a0 0 1

, mit a ∈ C eine beliebige Matrix in A−α1 und x ∈ C∗ ein freier

Parameter, dann ist

1 xt−1 00 1 a0 0 1

eine Matrix in A10 und wir konnen folgende

Rechnung durchfuhren 1 xt−1 00 1 a0 0 1

·

0 −x 0x−1 t 00 0 1

=

t−1 0 0x−1 t a0 0 1

,

lassen wir nun wieder x gegen unendlich laufen erhalten wir die Matrix t−1 0 00 t a0 0 1

und somit A−α1 ⊂ A1

0

6. A−α2 ⊂ A20

Sei

1 at−1 00 t−1 00 0 t

, mit a ∈ C eine beliebige Matrix in A−α2 und x ∈ C∗ ein freier

Parameter, dann ist

1 0 axt−1

0 1 xt−1

0 0 1

eine Matrix in A20. Dann konnen wir folgende

Umformungen durchfuhren 1 0 axt−1

0 1 xt−1

0 0 1

·

1 0 00 0 −x0 x−1 t

=

1 at−1 ax0 t−1 00 x−1 t

1 at−1 ax

0 t−1 00 x−1 t

·

1 0 −ax0 1 00 0 1

=

1 at−1 00 t−1 00 x−1 t

Nachdem man noch x gegen unendlich laufen laßt erhalt man somit die Matrix 1 at−1 0

0 t−1 00 0 t

48

4 ERGEBNISSE

und somit A−α2 ⊂ A20

7. A−α1−α2 ⊂ A−α1

Sei x ∈ C∗ ein freier Parameter, dann ist

t−1 0 00 t x0 0 1

eine Element von A−α1

und wir konnen sofort umformen t−1 0 00 t x0 0 1

·

1 0 00 0 −x0 x−1 t

=

t−1 0 00 1 00 x−1 t

,

nach dem ublichen Grenzwertubergang erhalten wir somit A−α1−α2 ⊂ A−α1

8. A−α1−α2 ⊂ A−α2

In diesem Fall sei ebenfalls x ∈ C∗ ein freier Parameter und

1 xt−1 00 t−1 00 0 t

eine

Element von A−α1 und wir analog wie vorher um 1 xt−1 00 t−1 00 0 t

·

0 −x 0x−1 t 00 0 1

=

t−1 0 0x−1t−1 1 0

0 0 t

und erhalten wie vorher auch A−α1−α2 ⊂ A−α2

Damit sind die MV-Zykel so ineinander enthalten wie der Kristall dies vorgegeben hat.Allerdings fallt hierbei naturlich auf, daß es fur die Zykel zum Kogewicht Null keineeindeutige Zuordnung zu einer Stelle im Kristall gibt, da wir lediglich wissen, daß dieMenge der Zykel zum Kogewicht Null mit der Menge der Knoten zum Kogewicht Nullubereinstimmen, aber nicht wie genau. Daher wollen wir noch untersuchen, ob es in derNahe der Zykel zur Null noch weitere Inklusionen gibt.

1. A−α1 ⊂ Aα2

Sei hierfur

t−1 0 00 t a0 0 1

, mit a ∈ C und x ∈ C∗ ein freier Parameter, dann ist 1 0 xt−1

0 t bt−1

0 0 t−1

ein Element von Aα2 und es gilt

1 0 xt−1

0 t bt−1

0 0 t−1

·

0 0 −x0 1 0

x−1 0 t

=

t−1 0 0x−1bt−1 t bx−1t−1 0 1

.

49

4 ERGEBNISSE

Dies liefert nach Grenzubergang x →∞ die Behauptung.

2. A−α2 ⊂ Aα1

Sei hierfur

1 at−1 00 t−1 a0 0 t

, mit a ∈ C und x ∈ C∗, dann ist

t bt−1 x0 t−1 00 0 1

ein

Element von Aα1 und wir konnen wie folgt umformen t bt−1 x0 t−1 00 0 1

·

0 0 −x0 1 0

x−1 0 t

=

1 bt−1 00 t−1 0

x−1 0 t

.

Auch hier liefert der Grenzubergang x →∞ die Behauptung.

Dies liefert uns folgende Relationen

Aα1+α2

Aα1

, �

::uuuuuuuuuAα2

2 R

ddIIIIIIIII

A10

?�

OO

A20

?�

OO

A−α1

?�

OO

, �

::uu

uu

uu

uu

uu

uu

u

A−α2

?�

OO

2 R

ddII

II

II

II

II

II

I

A−α1−α2

2 R

ddIIIIIIIII , �

::uuuuuuuuu

Hierbei sind die gestrichelten Linien die Inklusionen die nicht schon als Kanten im Kristallvorkommen.

50

4 ERGEBNISSE

4.3 A2: MV-Zykel fur die tertiare Darstellung von PSL3(C)

Wie auch schon bei der adjungierten Darstellung wollen wir uns zuerst den Kristall an-schauen, der diesmal mit dem hochsten Gewicht 2λ = α1 + α2 startet.

2α1 + α2

1wwooooooooooo

α1 + α2

1xxrrrrrrrrrr2

''PPPPPPPPPPPPP

α2

1xxrrrrrrrrrr2

&&LLLLLLLLLLLL α1

1wwnnnnnnnnnnnnnnn

−α1 + α2

2

%%LLLLLLLLLL 0

1yyrrrrrrrrrrr2

''OOOOOOOOOOOOOO

−α1

2

%%LLLLLLLLLL −α2

1wwoooooooooooo

−α1 − α2

2

''OOOOOOOOOOO

−α1 − 2α2

Wie am Graph bereits zu sehen ist, gibt es keinen Gewichtsraum der großer als eindimen-sional ist, daher gibt es zu jedem Gewicht, das in der Darstellung auftritt, auch nur einenMV-Zykel. Außerdem konnen wir auch wieder mit Hilfe des Skalarprodukt die Dimensio-nen der einzelnen Zykel berechnen.

Gewicht: Dimension der zugehorigen MV-Zykel2α1 + α2 6α1 + α2 5

α1 4α2 4

−α1 + α2 30 3

−α1 2−α2 2

−α1 − α2 1−α1 − 2α2 0

Da die eigentlichen Rechnungen denen bei der adjungierten Darstellung stark ahneln, mitdem Unterschied, daß man auf Grund der Potenzen in der Matrix

wλ :=

t2 0 00 t−1 00 0 t−1

,

51

4 ERGEBNISSE

mehr Falle unterscheiden muß was mogliche Bewertungen der Eintrage angeht, fur dieRechnungen wollen wir hier auf den Anhang verweisen sondern und sofort die entspre-chenden dichten Teilmengen der einzelnen Zykel angeben. Die Teilmengen sind wie schonim vorherigen Beispiel mit den Gewichten indiziert zu denen sie gehoren.

Menge Dimension

A2α1+α2

t2 a−1t−1 + a0 + a1t b−1t

−1 + b0 + b1t0 t−1 00 0 t−1

a−1, a0, a1, b−1, b0, b1 ∈ C

6

Aα1+α2

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

a−1 ∈ C∗, a0, b−1, b0, c−1 ∈ C

5

Aα1

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 t−1 00 0 1

a−1, a0, b0,∈ C, b−1 ∈ C∗

4

Aα2

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

a−1 ∈ C∗, b−1, c−1, c0 ∈ C

4

A−α1+α2

t−1 0 00 t2 c−1t

−1 + c0 + c1t0 0 t−1

c−1, c0, c1 ∈ C

3

A0

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

a−1, c−1 ∈ C∗, b−1 ∈ C

3

A−α1

t−1 0 00 t c−1t

−1 + c0

0 0 1

c−1 ∈ C∗, c0 ∈ C

2

52

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

A−α2

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t−1 00 0 t

a−1 ∈ C, b−1 ∈ C∗

2

A−α1−α2

t−1 0 00 1 c−1t

−1

0 0 t

c−1 ∈ C∗

1

A−α1−2α2

t−1 0 0

0 t−1 00 0 t2

0

Bei Betrachtung des Graphen sieht man, daß insgesamt 12 Inklusionen nachzuprufensind, da aber auch diese ahnlich funktionieren wie die bei der adjungierten Darstellungund wir uns hier keine Gedanken daruber machen mussen, daß es mehr als einen Zykelfur ein Gewicht gibt, wollen wir dies hier auch nicht auffuhren sondern auf den Anhangverweisen sondern lediglich die Ergebnisse in Form eines Graphen festhalten

A2α1+α2

Aα1+α2

+ �

88rrrrrrrrrr

Aα2

, �

::uuuuuuuuuAα1

3 S

ffLLLLLLLLLLL

A−α1+α2

, �

::uuuuuuuuu

A0

2 R

ddIIIIIIIIIII + �

88rrrrrrrrrrrrr

A−α1

2 R

ddIIIIIIIII , �

::uuuuuuuuuu

A−α2

3 S

ffLLLLLLLLLLLL

A−α1−α2

2 R

ddIIIIIIIII + �

88rrrrrrrrrr

A−α1−2α2

S3

ffLLLLLLLLLL

53

4 ERGEBNISSE

4.4 A2: MV-Zykel fur die Darstellung von PSL3(C) zum Gewicht2α1 + 2α2

Auch hier wollen wir uns zuerst den Kristall anschauen, der schon um einiges komplizier-ter ist als die vorangegangenen.

2α1 + 2α2

2

||yyyyyyyyyyyyyyyyy

1

""EEEEEEEEEEEEEEEEE

2α1 + α2

2

wwooooooooooooooooooooooooo

1

��

α1 + 2α2

2

��

1

''OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

2α1

1

��

α1 + α2

2

wwoooooooooooooooooooooooooo1

))RRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR α1 + α2

2

uulllllllllllllllllllllllllllllll

1

''OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO 2α2

2

��α1

1��

α1

2wwoooooooooooo1

((QQQQQQQQQQQQQQQQ α2

2vvmmmmmmmmmmmmmmmm

1

''OOOOOOOOOOOO α2

2��

0

1��

α1 − α2

1

''OOOOOOOOOOO 0

2vvnnnnnnnnnnnnnnn1

((PPPPPPPPPPPPPPP α2 − α1

2wwooooooooooo0

2��

−α1

1

��

2

''OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO −α2

1

��

−α1

2

��

−α2

1

wwooooooooooooooooooooooooo

2

��−2α1

2

''OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO −α1 − α2

1

��

−α1 − α2

2

��

−2α2

1

wwoooooooooooooooooooooooo

−2α1 − α2

2

""EEEEEEEEEEEEEEEEE −α1 − 2α2

1

||yyyyyyyyyyyyyyyyy

−2α1 − 2α2

54

4 ERGEBNISSE

Wie am Graphen gut sieht gibt es hier mehrere Gewichte die mehrfach auftreten. Da beidieser Darstellung insgesamt 36 Inklusionen nachzuprufen sind, wollen wir die Rechnungenfur die Zykel und die Inklusionen hier nicht auffuhren. Da unsere Ausgangsmatrix

wλ :=

t2 0 00 1 00 0 t−2

,

großere Abweichungen in den Potenzen der Diagonale hat, sind die Zykel in diesemFall aufwendiger zu berechnen, da es nicht nur mehr Falle sondern auch entsprechen-de Abhangigkeiten bei den Koeffizienten gibt.

Menge Dimension

A2α1+2α2

t2 a0 + a1t b−2t−2 + b−1t

−1 + b0 + b1t0 1 c−2t

−2 + c−1t−1

0 0 t−2

a0, a1, b−2, b−1, b0, b1, c−2, c−1 ∈ C

8

Aα1+2α2

t a0 b−2t−2 + b−1t

−1 + b0

0 t c−2t−2 + c−1t

−1 + c0

0 0 t−2

a0 ∈ C∗, b−2, b−1, b0, c−2, c−1, c0 ∈ C

7

A2α1+α2

t2 b−2c−1−2t

−1 + a0 + a1t b−2t−2 + b−1t

−1 + b0 + b1t0 t−1 c−2t

−2

0 0 t−1

a0, a1, b−2, b−1, b0, b1 ∈ C, c−2 ∈ C∗

7

A2α1

t2 a−2t−2 + a−1t

−1 + a0 + a1t b0 + b1t0 t−2 00 0 1

a−2, a−1, a0, a1, b0, b1 ∈ C

6

A2α2

1 0 b−2t−2 + b−1t

−1

0 t2 c−2t−2 + c−1t

−1 + c0 + c1t0 0 t−2

b−2, b−1, c−2, c−1, c0, c1 ∈ C

6

A1α1+α2

t c−1−2b−2 + x b−2t

−2 + b−1t−1 + b0

0 1 c−2t−2 + c−1t

−1

0 0 t−1

b−2, b−1, b0, c−1 ∈ C, x, c−2 ∈ C∗

6

55

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

A2α1+α2

t a−1t−1 + a0 b−2t

−2 + b−1t−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

a−1, b−2 ∈ C∗, a0, b−1, b0, c−1 ∈ C

6

A1α1

t c−1−2b−2t

−1 + c−1−2b−1 + x b−2t

−2 + b−1t−1 + b0

0 t−1 c−2t−2

0 0 1

b−2, b−1, b0 ∈ C, c−2, x ∈ C∗

5

A2α1

t a−2t−2 + a−1t

−1 + a0 b−1t−1 + b0

0 t−1 00 0 1

a−2 ∈ C∗, a−1, a0, b−1, b0 ∈ C

5

A1α2

1 0 b−2t−2 + b−1t

−1

0 t c−2t−2 + c−1t

−1 + c0

0 0 t−1

b−2, b−1, c−1, c0 ∈ C, c−2 ∈ C∗

5

A2α2

1 a−1t−1 b−2t

−2 + b−1t−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

a−1, b−2 ∈ C∗, b−1, c−1, c0 ∈ C

5

A10

1 0 b−2t−2 + b−1t

−1

0 1 c−2t−2 + c−1t

−1

0 0 1

b−2, b−1, c−1 ∈ C, c−2 ∈ C∗

4

A20

1 a−2t−2 + a−1t

−1 b−2t−2 + b−1t

−1

0 1 00 0 1

a−1, b−2, b−1 ∈ C, a−2 ∈ C∗

4

A30

1 a−1t−1 b−2t

−2 + b−1t−1

0 1 (a−1−1b−2 + x)t−1

0 0 1

a−1, b−2, x ∈ C∗, b−1 ∈ C

4

56

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

Aα1−α2

t a−2t−2 + a−1t

−1 + a0 b0

0 t−2 00 0 t

a−2, a−1, a0 ∈ C, b0 ∈ C∗

4

Aα2−α1

t−1 0 b−2t−2

0 t2 c−1t−1 + c0 + c1t

0 0 t−1

b−2 ∈ C∗, c−1, c0, c1 ∈ C

4

A1−α1

t−1 a−2t−2 b−2t

−2

0 t c0

0 0 1

a−2 ∈ C∗, b−2, c0 ∈ C

3

A2−α1

t−1 0 b−2t−2

0 t c−1t−1 + c0

0 0 1

b−2, c−1 ∈ C∗, c0 ∈ C

3

A1−α2

1 b−2c−1−2t

−1 b−2t−2 + b−1t

−1

0 t−1 c−2t−2

0 0 t

b−2, b−1 ∈ C, c−2 ∈ C∗

3

A2−α2

1 a−2t−2 + a−1t

−1 b−1t−1

0 t−1 00 0 t

a−2, b−1 ∈ C∗, a−1 ∈ C

3

A1−α1−α2

t−1 a−2t−2 b−2t

−2

0 1 00 0 t

a−2, b−2 ∈ C∗

2

A2−α1−α2

t−1 0 b−2t−2

0 1 c−1t−1

0 0 t

b−2, c−1 ∈ C∗

2

57

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

A−2α1

t−2 0 00 t2 c0 + c1t0 0 1

c0, c1 ∈ C

2

A−2α2

1 a−2t−2 + a−1t

−1 00 t−2 00 0 t2

a−2, a−1 ∈ C

2

A−2α1−α2

t−2 0 00 t c0

0 0 t

c0 ∈ C∗

1

A−α1−2α2

t−1 a−2t−2 0

0 t−1 00 0 t2

a−2 ∈ C∗

1

A−2α1−2α2

t−2 0 0

0 1 00 0 t2

0

Wie man in der Tabelle sieht gibt es in diesem Fall einige Teilmengen in deren Matrizendie Koeffizienten voneinander abhangen, dies bedeutet naturlich, daß die Rechnungen furdie Inklusionen aufwendiger werden, daher wollen wir auf diese verzichten.

58

4 ERGEBNISSE

A2α1+2α2

A2α1+α2

. �

>>}}}}}}}}}}}}}}}}Aα1+2α2

0 P

``AAAAAAAAAAAAAAAA

A2α1

+ �

88qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqA2

α1+α2

?�

OO

A1α1+α2

?�

OO

A2α2

3 S

ffMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM

A2α1

?�

OO

+ �

88qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqA1

α1

)

77nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnA2

α2

5 U

ggPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPA1

α2

3 S

ffMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM ?�

OO

A20

?�

OO

Aα1−α2

+ �

99sssssssssss

A30

3 S

ffMMMMMMMMMMMMM + �

88qqqqqqqqqqqqqAα2−α1

3 S

eeKKKKKKKKKKK

A10

?�

OO

A1−α1

?�

OO

A2−α2

3 S

eeKKKKKKKKKK + �

88qqqqqqqqqqqqqA2−α1

+ �

99ssssssssss3 S

ffMMMMMMMMMMMMM

A1−α2

?�

OO

A−2α1

?�

OO

A1−α1−α2

3 S

ffMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM?�

OO

A2−α1−α2

?�

OO

+ �

88qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

A−2α2

?�

OO

A−2α1−α2

3 S

ffMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMM?�

OO

A−α1−2α2

?�

OO

+ �

88qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

A−2α1−2α2

0 P

``AAAAAAAAAAAAAAAA . �

>>}}}}}}}}}}}}}}}}

59

4 ERGEBNISSE

4.5 A3: MV-Zykel fur die adjungiert Darstellung von PSL4(C)

Wie auch schon bei den vorangegangenen Darstellungen wollen wir uns hier nur die Ergeb-nisse anschauen und fur die Rechnungen auf den Anhang verweisen. Als erstes benotigenwir wieder den Kristall, um ein klares Bild von der Darstellung zu erhalten.

α1 + α2 + α3

1vvlllllllllllll3

((RRRRRRRRRRRRR

α2 + α3

2xxrrrrrrrrrrr

3

((RRRRRRRRRRRRRRR α1 + α2

1vvlllllllllllllll

2

&&LLLLLLLLLLL

α3

3��

α2

2��

α1

1��

0

3��

0

2��

0

1��

−α3

2

%%LLLLLLLLLL −α2

3vvmmmmmmmmmmmmmm1

((RRRRRRRRRRRRRR −α1

2yyrrrrrrrrrr

−α2 − α3

1

((RRRRRRRRRRRRR −α1 − α2

3vvmmmmmmmmmmmmm

−α1 − α2 − α3

Wie man schon am Graph sieht, hat diese Darstellung einige Ahnlichkeit mit der adjun-gierten Darstellung von Sl3(C), was wir auch bei den Inklusionen die nicht im Graphenauftauchen noch sehen werden. Da bei dieser Darstellung λ = α1 + α2 + α3 gilt, habenwir es hier mit der Matrix

wλ :=

t 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 t−1

zu tun. Da wie man sieht die Potenzen auf der Diagonalen der Matrix nur sehr gering voneinander abweichen, gibt es in diesem Fall auch kaum Probleme die MV-Zykel, beziehungs-weise die zugehorigen dichten Teilmengen zu berechnen. Man muß zwar im Vergleich zuradjungierten Darstellung von Sl3(C) mehr Falle durchgehen, aber die Rechnungen werdenfur jeden einzelnen Fall nur geringfugig aufwendiger. Daher wollen wir auch hier sofort diedichten Teilmengen angeben, wir indizieren diese wieder mit den zugehorigen Gewichten.

60

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

Aα1+α2+α3

t a0 b0 c−1t

−1 + c0

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

a0, b0, c−1, c0, e−1, f−1 ∈ C

6

Aα1+α2

t a0 b−1t

−1 + b0 c0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 0 1

a0, b−1, b0, c0, d−1 ∈ C

5

Aα2+α3

1 0 0 c−1t

−1

0 t d0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

c−1, d0, e−1, e0, f−1 ∈ C

5

Aα1

t a−1t

−1 + a0 b0 c0

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1

a−1, a0, b0, c0 ∈ C

4

Aα2

1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

b−1, d−1, d0, e0 ∈ C

4

Aα3

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 t f−1t−1 + f0

0 0 0 t−1

c−1, e−1, f−1, f0 ∈ C

4

A10

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 1

c−1, e−1 ∈ C, f−1 ∈ C∗

3

61

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

A20

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

b−1, f0 ∈ C, d−1 ∈ C∗

3

A30

1 a−1t

−1 b−1t−1 c−1t

−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

a−1 ∈ C∗, b−1, c−1 ∈ C

3

A−α1

t−1 0 0 00 t d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

d0, e0 ∈ C

2

A−α2

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

a−1, f0 ∈ C

2

A−α3

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 t−1 00 0 0 t

b−1, d−1 ∈ C

2

A−α1−α2

t−1 0 0 00 1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

f0 ∈ C

1

A−α2−α3

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 0 t

a−1 ∈ C

1

62

4 ERGEBNISSE

Menge Dimension

A−α1−α2−α3

t−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 t

0

Wie man bereits am Graphen sehen kann, muß man hier insgesamt 18 Inklusionen nach-prufen, die man allerdings alle mit ahnlichem Aufwand wie bei der adjungierten Dar-stellung von A2 nachrechnet, außerdem findet man, wie auch bei jener Darstellung, nochweitere Inklusionen die denen bei der adjungierten Darstellung von A2 sehr stark ahneln,wir wollen dies wieder abschließend in einem Graphen darstellen und fur die Rechnungenauf den Anhang verweisen.

Aα1+α2+α3

Aα2+α3

*

88pppppppppp

Aα1+α2

4 T

ffNNNNNNNNNN

Aα3

, �

::uuuuuuuuuAα2

4 T

ffNNNNNNNNNNNN *

88ppppppppppppAα1

2 R

ddIIIIIIIII

A10

?�

OO

A20

?�

OO

A30

?�

OO

A−α3

+ �

99ss

ss

ss

ss

ss

ss

ss?�

OO

A−α2

3 S

eeK KK

KK

KK

KK

KK

KK

K?�

OO

+ �

99ss

ss

ss

ss

ss

ss

ss

A−α1

?�

OO

3 S

eeK KK

KK

KK

KK

KK

KK

K

A−α2−α3

2 R

ddIIIIIIIII *

88ppppppppppp

A−α1−α2

4 T

ffNNNNNNNNNNN , �

::uuuuuuuuu

A−α1−α2−α3

4 T

ffNNNNNNNNNN *

88pppppppppp

63

5 WEITERFUHRENDE FRAGEN

5 Weiterfuhrende Fragen

Die in dieser Arbeit untersuchten Beispiele lassen naturlich in erster Linie vermuten bzw.hoffen, daß auch fur beliebige MV-Zykel zu anderen Gewichten und anderen algebraischenGruppen, zumindest fur solche vom Typ An, die Zykel so ineinander enthalten sind wie diePfeile im Kristall dies vorgeben. Um dies allerdings zu beweisen muß man wahrscheinlicheinen anderen Ansatz wahlen, da es schon fur den Fall, daß man Darstellungen von Sln(C)untersuchen will, nicht mehr moglich ist, alle moglichen Hochstgewichte in Matrixform zuschreiben. Allerdings gibt es mehrere andere mogliche Ansatze.

1. Ein moglicher Ansatz waren zum Beispiel die LS-Galerien, die z.B. in [GL03] vor-gestellt werden. Mit Hilfe dieser Galerien und entsprechender Varietaten die mitihnen definiert werden konnen kann man ebenfalls dichte Teilmengen der einzelnenMV-Zykel finden. Da aber in dieser Beschreibung der MV-Zykel das kombinatori-sche Modell der LS-Galerien starker eingeht und man auch mit diesem Modell denKristall definieren kann, hatte man hier wahrscheinlich bessere Moglichkeiten dieInklusionen der Zykel zu beweisen.

2. Ein anderer moglicher Ansatz ware die Verwendung von mehr geometrischen Me-thoden um z.B. die Tensorproduktregeln fur Kristalle auf Faserprodukte von ver-allgemeinerten Schubert-Varietaten zu ubertragen. In diesem Fall mußte man dieInklusionen nur fur die Darstellungen der Fundamentalgewichte nachprufen.

3. Einen weiteren moglichen Ansatz liefert ein kombinatorisches Modell von Ander-son und Kogan, das in [AK04] vorgestellt wird, es benutzt sogenannte Gitter undPolytope um die dichten Teilmengen der einzelnen Zykel zu beschreiben.

Einige dieser Ansatze sollten in weiteren Arbeiten untersucht werden. Weiterhin wareauch die Bedeutung der zusatzlichen Inklusionen, die man bei mehreren Darstellungenauftreten, zu untersuchen, z.B. was diese Inklusionen fur die kombinatorischen Modellefur Auswirkungen haben.

64

6 ANHANG

6 Anhang

Wir wollen hier noch die Rechnungen fur die einzelnen Falle aufschreiben, da wir schonbei der adjungierten Darstellung von PSL3(C) gesehen haben wie dies vom Prinzip funk-tioniert, wollen wir die Rechnungen hier etwas abkurzen und nicht samtliche Matrizenhinschreiben die zum Umrechnen benutzt werden.

6.1 Rechnungen zur tertiaren Darstellung von PSl3(C)

Wenn wir ein Element aus Sl3(O).

t2 0 00 t−1 00 0 t−1

betrachten, so hat es die folgen-

de Form

≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 ≥ −1 ≥ −1

, wobei die Eintrage in dieser Matrix lediglich angeben

sollen welche Bewertung die Eintrage haben, wie schon vorher habe die Null hierbei Be-wertung ∞. Da die Determinante des Elementes aber Bewertung 0 hat, wissen wir, daßmindestens ein Eintrag in jeder Spalte ebenfalls Bewertung 0 hat. Die entsprechendenMoglichkeiten gehen wir nun nacheinander durch.

1. Wir haben folgende Bewertungen

≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 ≥ −1 = −1

, in diesem Fall konnen

wir mit dem Eintrag in der letzten Spalte und letzten Zeile alle anderen Ein-trage in der letzten Zeile eliminieren und erhalten somit die folgenden Bewertungen ≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 ≥ −1 ≥ −1∞ ∞ = −1

, wie schon erwahnt sind die Eintrage mit Bewertung ∞

dabei 0. Die gleiche Uberlegung liefert auch, daß einer der beiden verbleibendenEintrage der zweiten Spalte Bewertung −1 haben muß, dies ergibt wieder eine Fall-unterscheidung.

(a) Wir haben folgende Bewertungen

≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 = −1 ≥ −1∞ ∞ = −1

, dann konnen wir

wie eben die zweite Zeile weitestgehend eliminieren und erhalten = 2 ≥ −1 ≥ −1∞ = −1 ∞∞ ∞ = −1

.

65

6 ANHANG

Dies gibt uns dann die Menge

A2α1+α2 =

t2 a−1t−1 + a0 + a1t b−1t

−1 + b0 + b1t0 t−1 00 0 t−1

a−1, a0, a1, b−1, b0, b1 ∈ C

(b) Die andere Moglichkeit fur die Bewertungen ist

= −1 ≥ 2 ≥ −1> −1 ≥ 2 ≥ −1∞ ∞ = −1

, nach-

dem wir die erste und zweite Spalte vertauschen. In diesem Fall kann man die

erste Zeile weitestgehend eliminieren und erhalten

= −1 ∞ ∞> −1 = 2 ≥ −1∞ ∞ = −1

.

Dabei bleibt ein Eintrag unterhalb der Diagonalen ubrig, daher mussen wirdiesen noch nach oben bringen, dabei ist allerdings die Bewertung dieses Ein-trags wichtig, daher mussen wir auch hier eine Fallunterscheidung vornehmen.

i. Falls der Eintrag Bewertung 0 hat, so haben wir eine Matrix der Form t−1 0 0a t2 ct−1

0 0 t−1

,

mit a, c ∈ O und ν(a) = 0. Dann konnen wir wie schon bei der adjungiertenDarstellung wie folgt rechnen t−1 0 0

a t2 ct−1

0 0 t−1

·

t2 a−1 0−a 0 00 0 1

=

t a−1t−1 00 1 ct−1

0 0 t−1

Wenn man nun noch wie schon vorher die Laurentreihen entsprechend derDiagonaleintrage abschneidet erhalt man die Menge

Aα1+α2 =

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

a−1 ∈ C∗, a0, b−1, b0, c−1 ∈ C

ii. Falls der Eintrag Bewertung 1 hat, so mussen wir ahnlich rechnen und

erhalten t−1 0 0at t2 ct−1

0 0 t−1

·

t a−1 0−a 0 00 0 1

=

1 a−1t−1 00 t ct−1

0 0 t−1

66

6 ANHANG

Wenn man hier die Eintrage kurzt erhalt man die Menge

Aα2 =

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

a−1 ∈ C∗, b−1, c−1, c0 ∈ C

iii. Falls der Eintrag eine Bewertung großer oder gleich 2 hat, so kann er mit

der zweiten Spalte eliminiert werden und man erhalt

A−α1+α2 =

t−1 0 00 t2 c−1t

−1 + c0 + c1t0 0 t−1

c−1, c0, c1 ∈ C

2. Die andere Moglichkeit ware, daß keiner der Eintrage in der untersten Zeile Bewer-

tung −1 hat, aber einer der Eintrage in der zweiten Zeile dann haben wir folgende

Bewertungen

≥ 2 ≥ −1 ≥ −1≥ 2 = −1 ≥ −1≥ 2 > −1 > −1

, dabei nehmen wir o.B.d.A. an, daß der Ein-

trag mit Bewertung −1 in der zweiten Spalte ist, sonst werden die beiden letztenSpalten einfach getauscht. In diesem Fall konnen wir nun die anderen Eintrage der

zweiten Zeile eliminieren und erhalten

≥ 2 ≥ −1 ≥ −1∞ = −1 ∞≥ 2 > −1 > −1

. Da nur einer der

Eintrage in der letzten Spalte dafur in Frage kommt Bewertung −1 zu haben, mußer es auch sein und wir konnen die erste und letzte Spalte tauschen und dann die

erste Zeile eliminieren um die folgende Form zu erhalten

= −1 ∞ ∞∞ = −1 ∞

> −1 > −1 = 2

.

Allerdings bleiben nun zwei Eintrage unterhalb der Diagonale ubrig fur die es jeweilsmehrere Falle gibt.

(a) Falls wir eine Matrix der Form

t−1 0 00 t−1 0a b t2

haben, wobei a ∈ O∗ und

b ∈ O sind, dann konnen wir wie folgt umrechnen t−1 0 00 t−1 0a b t2

·

t2 0 a−1

0 1 0−a 0 0

=

t 0 a−1t−1

0 t−1 00 b 1

,

67

6 ANHANG

wenn man nun noch die letzte Spalte b-mal von der zweiten abzieht erhalt mandie Menge

Aα1 =

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 t−1 00 0 1

a−1, a0, b0,∈ C, b−1 ∈ C∗

(b) Falls wir eine Matrix der Form

t−1 0 00 t−1 0at b t2

haben, wobei a, b ∈ O∗ sind.

Dann konnen wir wie folgt umrechnen t−1 0 00 t−1 0at b t2

·

t 0 a−1

0 1 0−a 0 0

=

1 0 a−1t−1

0 t−1 00 b t

.

Im Gegensatz zum ersten Fall sind wir hier noch nicht fertig sondern mussennoch mit einer weitere Matrix multiplizieren 1 0 a−1t−1

0 t−1 00 b t

·

1 0 00 t b−1

0 −b 0

=

1 −ba−1t−1 00 1 b−1t−1

0 0 1

,

wenn man hier die Eintrage abschneidet erhalt man die Menge

A0 =

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

a−1, c−1 ∈ C∗, b−1 ∈ C

(c) Als nachstes betrachten wir die Matrizen der Form

t−1 0 00 t−1 0at bt t2

mit

a ∈ O∗ und b ∈ O. Wie im ersten Fall ergibt eine ahnliche Multiplikation t−1 0 00 t−1 0at bt t2

·

t 0 a−1

0 1 0−a 0 0

=

1 0 a−1t−1

0 t−1 00 bt 1

,

auch hier subtrahieren wir wieder das b-fache der letzten Spalte von der zweitenund erhalten die Menge

A−α2 =

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t−1 00 0 t

a−1 ∈ C, b−1 ∈ C∗

68

6 ANHANG

(d) Nun betrachten wir Matrizen der Form

t−1 0 00 t−1 00 b t2

mit b ∈ O∗. Diesmal

reicht eine einzelne Multiplikation t−1 0 00 t−1 00 b t2

·

1 0 00 t2 b−1

0 −b 0

=

t−1 0 00 t b−1t−1

0 0 1

,

um die folgende Menge zu erhalten

A−α1 =

t−1 0 00 t c−1t

−1 + c0

0 0 1

c−1 ∈ C∗, c0 ∈ C

(e) Analog verfahren wir mit Matrizen der Form

t−1 0 00 t−1 00 bt t2

mit b ∈ O∗.

Auch die Rechnung ist hier die selbe t−1 0 00 t−1 00 bt t2

·

1 0 00 t b−1

0 −b 0

=

t−1 0 00 1 b−1t−1

0 0 t

.

Somit erhalten wir hier die Menge

A−α1−α2 =

t−1 0 00 1 c−1t

−1

0 0 t

c−1 ∈ C∗

(f) Als letztes bleibt nun noch der Fall in dem beide Eintrage unterhalb der Diago-

nale eine Bewertung haben die großer oder gleich 2 ist, in diesem Fall erhaltenwir sofort die Menge

A−α1−2α2 =

t−1 0 0

0 t−1 00 0 t2

Die Moglichkeit, daß keiner der Eintrage in der zweiten und dritten Zeile Bewertung −1hat, kann nicht auftreten, da die Determinante Bewertung 0 hat und daher mindestenseiner der 4 Eintrage in den letzten beiden Spalten und Zeilen Bewertung −1 haben muß.Es bleibt noch die insgesamt 12 Inklusionen nachzuprufen, dies machen wir der Reihe nachindem wir wieder die Abschlusse entsprechend gewahlter Einparametergruppen angucken.

69

6 ANHANG

1. Aα1+α2 ⊂ A2α1+α2

Sei

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

∈ Aα1+α2 und sei weiterhin x ∈ C∗ und

f ∈ O∗, s.d. f−1 = x−1 + (a−1 + a0t)−1t. Dann ist t2 ft−1 b−1t

−1 + b0 − fc−1t−1

0 t−1 00 0 t−1

∈ A2α1+α2

und es gilt t2 ft−1 b−1t−1 + b0 − fc−1t

−1

0 t−1 00 0 t−1

·

1 0 00 1 c−1

0 0 1

=

t2 ft−1 b−1t−1 + b0

0 t−1 c−1t−1

0 0 t−1

t2 ft−1 b−1t

−1 + b0

0 t−1 c−1t−1

0 0 t−1

·

0 −f 0f−1 t3 00 0 1

=

t−1 0 b−1t−1 + b0

f−1t−1 t2 c−1t−1

0 0 t−1

Lassen wir nun x →∞ gehen erhalten wir t−1 0 b−1t

−1 + b0

(a−1 + a0t)−1 t2 c−1t−1

0 0 t−1

Hier ist noch eine Multiplikation notig t−1 0 b−1t

−1 + b0

(a−1 + a0t)−1 t2 c−1t−1

0 0 t−1

·

t2 (a−1 + a0t) 0−(a−1 + a0t)−1 0 0

0 0 1

=

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

2. Aα2 ⊂ Aα1+α2

Sei

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

∈ Aα2 und sei wieder x ∈ C∗ und f ∈ O∗, s.d.

f−1 = x−1 + a−1−1t. Dann ist

t ft−1 b−1t−1 + b0 − fc0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

∈ Aα1+α2 und es gilt

t ft−1 b−1t−1 + b0 − fc0

0 1 c−1t−1

0 0 t−1

·

1 0 00 1 c0

0 0 1

=

t ft−1 b−1t−1 + b0

0 1 c−1t−1 + c0

0 0 t−1

70

6 ANHANG

t ft−1 b−1t−1 + b0

0 1 c−1t−1 + c0

0 0 t−1

·

0 −f 0f−1 t2 00 0 1

=

t−1 0 b−1t−1 + b0

f−1 t2 c−1t−1 + c0

0 0 t−1

Auch hier lassen wir x →∞ gehen und erhalten t−1 0 b−1t

−1 + b0

a−1−1t t2 c−1t

−1 + c0

0 0 t−1

Analog zum ersten Fall mussen wir wieder multiplizieren t−1 0 b−1t

−1 + b0

a−1−1t t2 c−1t

−1 + c0

0 0 t−1

·

t a−1 0−a−1

−1 0 00 0 1

=

1 a−1t−1 b−1t

−1 + b0

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

3. Aα1 ⊂ Aα1+α2

Sei hierfur

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 t−1 00 0 1

∈ Aα1 und sei x ∈ C∗. Dann ist

t −x−1b−1t−1 − x−1(b0 − xa−1) xa−1t

−1 + xa0

0 1 xt−1

0 0 t−1

∈ Aα1+α2

und es gilt t −x−1b−1t−1 − x−1(b0 − xa−1) xa−1t

−1 + xa0

0 1 xt−1

0 0 t−1

·

1 0 00 0 −x0 x−1 t

=

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0 + xa0t0 t−1 00 x−1t−1 1

t a−1t

−1 + a0 b−1t−1 + b0 + xa0t

0 t−1 00 x−1t−1 1

·

1 0 −xa0

0 1 00 0 1

=

t a−1t−1 + a0 b−1t

−1 + b0

0 t−1 00 x−1t−1 1

Wenn man nun x →∞ laufen laßt erhalt man die gewunschte Matrix.

71

6 ANHANG

4. A−α1+α2 ⊂ Aα2

Auch hier sei

t−1 0 00 t2 c−1t

−1 + c0 + c1t0 0 t−1

∈ A−α1+α2 und wieder x ∈ C∗. Dann

ist

1 xt−1 −xc1t−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

∈ Aα2 und es gilt

1 xt−1 −xc1t−1

0 t c−1t−1 + c0

0 0 t−1

·

1 0 00 1 c1

0 0 1

=

1 xt−1 00 t c−1t

−1 + c0 + c1t0 0 t−1

1 xt−1 0

0 t c−1t−1 + c0 + c1t

0 0 t−1

· 0 −x 0

x−1 t 00 0 1

=

t−1 0 0x−1t−1 t2 c−1t

−1 + c0 + c1t0 0 t−1

Auch hier muß man lediglich x → ∞ laufen lassen um die gewunschte Matrix zuerhalten.

5. A0 ⊂ Aα2

Sei wieder

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

∈ A0, sowie x ∈ C∗ und f ∈ O∗, s.d. f−1 =

x−1 + c−1−1t. Dann ist

1 f−1c−1a−1t−1 fc−1

−1b−1t−1

0 t f0 0 t−1

∈ Aα2 und es gilt

1 f−1c−1a−1t−1 fc−1

−1b−1t−1

0 t f0 0 t−1

·

1 0 00 0 −f0 f−1 t2

=

1 c−1b−1t−1 −c−1a−1t

−1 + fc−1−1b−1t

0 1 00 f−1t−1 t

1 c−1b−1t

−1 −c−1a−1t−1 + fc−1

−1b−1t0 1 00 f−1t−1 t

·

1 0 −fc−1−1b−1t

0 1 00 0 1

=

1 c−1b−1t−1 −c−1a−1t

−1

0 1 00 f−1t−1 t

Laßt man nun x →∞ laufen erhalt man 1 c−1b−1t

−1 −c−1a−1t−1

0 1 00 c−1

−1 t

,

72

6 ANHANG

wobei man allerdings noch zwei kleine Multiplikation durchfuhren muß 1 c−1b−1t−1 −c−1a−1t

−1

0 1 00 c−1

−1 t

· 1 0 0

0 t c−1

0 −c−1−1 0

=

1 a−1t−1 + c−1b−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

1 a−1t

−1 + c−1b−1 b−1t−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

·

1 −c−1b−1 00 1 00 0 1

=

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

6. A0 ⊂ Aα1

Auch hier sei

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

∈ A0, sowie x ∈ C∗, aber xc−1 6= b−1 und

f ∈ O∗, s.d. f−1 = x−1 + a−1−1t, außerdem schreiben wir f = x + f1t. Dann ist t ft−1 (b−1 − xc−1)t−1 − f1c−1

0 t−1 00 0 1

∈ Aα1

und es gilt t ft−1 (b−1 − xc−1)t−1 − f1c−1

0 t−1 00 0 1

·

1 0 00 1 c−1

0 0 1

=

t ft−1 b−1t−1

0 t−1 c−1t−1

0 0 1

t ft−1 b−1t

−1

0 t−1 c−1t−1

0 0 1

·

0 −f 0f−1 0 00 0 1

=

t−1 0 b−1t−1

f−1t−1 t c−1t−1

0 0 1

Laßt man nun x →∞ laufen erhalt man t−1 0 b−1t

−1

a−1−1 t c−1t

−1

0 0 1

und wir mußen wieder eine weitere Multiplikation durchfuhren t−1 0 b−1t

−1

a−1−1 t c−1t

−1

0 0 1

·

t a−1 0−a−1

−1 0 00 0 1

=

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

7. A−α1 ⊂ A−α1+α2

Hier sei wieder

t−1 0 00 t c−1t

−1 + c0

0 0 1

∈ A−α1 , sowie x ∈ C∗ und f ∈ O∗, s.d.

73

6 ANHANG

f−1 = x−1 + (c−1 + c0t)−1t. Dann ist

t−1 0 00 t2 ft−1

0 0 t−1

∈ A−α1+α2 und es gilt

t−1 0 00 t2 ft−1

0 0 t−1

·

1 0 00 0 −f0 f−1 t3

=

t−1 0 00 t−1 00 f−1t−1 t2

Auch hier lassen wir x →∞ laufen und erhalten t−1 0 0

0 t−1 00 (c−1 + c0t)−1 t2

und mussen auch hier wieder multiplizieren t−1 0 0

0 t−1 00 (c−1 + c0t)−1 t2

·

1 0 00 t2 (c−1 + c0t)0 −(c−1 + c0t)−1 0

=

t−1 0 00 t c−1t

−1 + c0

0 0 1

8. A−α1 ⊂ A0

Auch hier sei wieder

t−1 0 00 t c−1t

−1 + c0

0 0 1

∈ A−α1 , sowie x ∈ C∗. Dann ist

1 xt−1 −xc0t−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

∈ A0

und es gilt 1 xt−1 −xc0t−1

0 1 c−1t−1

0 0 1

·

1 0 00 1 c0

0 0 1

=

1 xt−1 00 1 c−1t

−1 + c0

0 0 1

1 xt−1 0

0 1 c−1t−1 + c0

0 0 1

·

0 −x 0x−1 t 00 0 1

=

t−1 0 0x−1 t c−1t

−1 + c0

0 0 1

Lassen wir hier x →∞ und erhalten die gewunschte Matrix.

74

6 ANHANG

9. A−α2 ⊂ A0

Sei hier

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t−1 00 0 t

∈ A−α2 und x ∈ C∗. Dann ist

1 −x−1b−1t−1 xa−1t

−1

0 1 xt−1

0 0 1

∈ A0

und es gilt 1 −x−1b−1t−1 xa−1t

−1

0 1 xt−1

0 0 1

·

1 0 00 0 −x0 x−1 t

=

1 a−1t−1 b−1t

−1 + xa−1

0 t−1 00 x−1 1

1 a−1t

−1 b−1t−1 + xa−1

0 t−1 00 x−1 1

·

1 0 −xa−1

0 1 00 0 1

=

1 a−1t−1 b−1t

−1

0 t−1 00 x−1 1

Lassen wir hier x →∞ laufen und erhalten wieder die gewunschte Matrix.

10. A−α1−α2 ⊂ A−α1

Sei nun

t−1 0 00 1 c−1t

−1

0 0 t

∈ A−α1−α2 und x ∈ C∗ und f ∈ O∗, s.d. f−1 =

x−1 + c−1−1t. Dann ist

t−1 0 00 t ft−1

0 0 1

∈ A−α1 und es gilt

t−1 0 00 t ft−1

0 0 1

·

1 0 00 0 −f0 f−1 t2

=

t−1 0 00 t−1 00 f−1 t2

Laßt man x →∞ laufen erhalt man t−1 0 0

0 t−1 00 c−1

−1 t2

und muß noch einmal multiplizieren t−1 0 0

0 t−1 00 c−1

−1 t2

·

1 0 00 t c−1

0 −c−1−1 0

=

t−1 0 00 1 c−1t

−1

0 0 t

75

6 ANHANG

11. A−α1−α2 ⊂ A−α2

Sei hier

t−1 0 00 1 c−1t

−1

0 0 t

∈ A−α1−α2 und x ∈ C∗. Dann ist

1 xt−1 −c−1xt−1

0 t−1 00 0 t

∈ A−α2

und es gilt 1 xt−1 −c−1xt−1

0 t−1 00 0 t

·

1 0 00 1 c−1

0 0 1

=

1 xt−1 00 t−1 c−1t

−1

0 0 t

1 xt−1 0

0 t−1 c−1t−1

0 0 t

·

0 −x 0x−1 0 00 0 1

=

t−1 0 0x−1t−1 1 c−1t

−1

0 0 t

Nach dem ublichen Grenzwertubergang ergibt dies die gewunschte Matrix.

12. A−α1−2α2 ⊂ A−α1−α2

Sei x ∈ C∗ und

t−1 0 00 1 xt−1

0 0 t

∈ A−α1−α2 , dann gilt

t−1 0 00 1 xt−1

0 0 t

·

1 0 00 0− x0 x−1 t

=

t−1 0 00 t−1 00 x−1t t2

.

Nach dem Grenzwertubergang ergibt es die gewunschte Matrix.

Mit diesen 12 Rechnungen hat man jetzt fur jede der Inklusionen die passenden 1-Parameter Untergruppen gefunden um die entsprechenden Elemente jeweils im Abschlußzu finden.

76

6 ANHANG

6.2 Rechnungen zur adjungierten Darstellung von PSl4(C)

Auch hier werden wir wieder analog mit den Bewertungen der Eintrage eines Elementes

aus dem Orbit Sl4(O).wλ :=

t 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 t−1

rechnen, ein solches Element hat da-

bei folgende Bewertungen

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1

. Wir werden wieder die moglichen

Falle unterscheiden welcher Eintrag der letzten Spalte Bewertung −1 hat.

1. Als erstes betrachten wir den Fall

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 = −1

, dann eliminieren

wir hier die letzte Spalte und erhalten

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

, wie auch schon

vorher betrachten wir nun die restlichen Spalten und machen eine weitere Fallun-terscheidung fur die Eintrage mit Bewertung ≥ 0.

(a) Als erstes haben wir hier den Fall≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 = 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

→

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1∞ ∞ = 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

.

Dies liefert leider noch kein Ergebnis, daher muß noch eine weitere Fallunter-scheidung durchgefuhrt werden

i. Als erstes haben wir da den Fall

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 = 0 ≥ 0 ≥ −1∞ ∞ = 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

, in diesem

Fall eliminieren wir Teile der zweiten Zeile und erhalten so die Menge

Aα1+α2+α3 =

t a0 b0 c−1t

−1 + c0

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

a0, b0, c−1, c0, e−1, f−1 ∈ C

77

6 ANHANG

ii. Die andere Moglichkeit ist

= 0 ≥ 1 ≥ 0 ≥ −1> 0 = 1 ≥ 0 ≥ −1∞ ∞ = 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

, auch hierbei eli-

minieren wir Eintrage der ersten Zeile, konnen aber auch mit Hilfe derzweiten Spalte der ersten Eintrag der zweiten Zeile eliminieren und erhal-ten so die Menge

Aα2+α3 =

1 0 0 c−1t

−1

0 t d0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

c−1, d0, e−1, e0, f−1 ∈ C

(b) Als nachstes betrachten wir den Fall

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 = 0 ≥ 0 ≥ −1≥ 1 > 0 > 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

→

≥ 1 ≥ 0 ≥ 0 ≥ −1∞ = 0 ∞ ≥ −1≥ 1 > 0 > 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

.

Da nur ein Eintrag in der dritten Spalte Bewertung 0 haben kann, muß dieserauch Bewertung 0 haben und wir konnen die erste und dritte Spalte tauschenund die erste aber auch dritte Zeile eliminieren um eine weitere Menge zuerhalten

Aα3 =

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 t f−1t−1 + f0

0 0 0 t−1

c−1, e−1, f−1, f0 ∈ C

.

(c) Der Fall

= 0 ≥ 1 ≥ 0 ≥ −1> 0 ≥ 1 > 0 ≥ −1> 0 ≥ 1 > 0 ≥ −1∞ ∞ ∞ = −1

kann wieder aus Grunden der Bewertung

nicht auftreten.

2. Ein weiterer moglicher Fall ist≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 ≥ 0 = −1 ≥ 0≥ 1 ≥ 0 > −1 ≥ 0

→

≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞≥ 1 ≥ 0 > −1 ≥ 0

.

Hier mussen wir wieder mit einer weiteren Fallunterscheidung anfangen.

78

6 ANHANG

(a) Als erstes betrachten wir hier wieder den Fall mit der niedrigsten Bewertungin der untersten Spalte

≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞≥ 1 ≥ 0 > −1 = 0

→

≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞∞ ∞ > −1 = 0

Auch hier existieren noch Eintrage unterhalb der Diagonalen, also benotigenwir auch hier eine weitere Fallunterscheidung

i. Als erstes betrachten wir hier≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 = 0 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞∞ ∞ > −1 = 0

→

= 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0∞ = 0 ≥ −1 ∞∞ ∞ = −1 ∞∞ ∞ ∞ = 0

.

Dies liefert die Menge

Aα1+α2 =

t a0 b−1t

−1 + b0 c0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 0 1

a0, b−1, b0, c0, d−1 ∈ C

ii. Der andere Fall ist dann

= 0 ≥ 1 ≥ −1 ≥ 0> 0 ≥ 1 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞∞ ∞ > −1 = 0

→

= 0 ∞ ≥ −1 ≥ 0∞ = 1 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞∞ ∞ > −1 = 0

.

Dies liefert uns wiederum die Menge

Aα2 =

1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

b−1, d−1, d0, e0 ∈ C

(b) Kommen wir nun wieder zum Fall, wo der Eintrag mit niedrigster Bewertung

in der zweiten Zeile zu finden ist≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0≥ 1 = 0 ≥ −1 ≥ 0∞ ∞ = −1 ∞≥ 1 > 0 > −1 > 0

→

≥ 1 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 0∞ = 0 ≥ −1 ∞∞ ∞ = −1 ∞≥ 1 > 0 > −1 > 0

.

79

6 ANHANG

Hier ist keine weitere Fallunterscheidung notig, da der Eintrag mit nachstgroße-rer Bewertung eindeutig bestimmt ist

= 0 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 1∞ = 0 ≥ −1 ∞∞ ∞ = −1 ∞> 0 > 0 > −1 ≥ 1

→

= 0 ≥ 0 ≥ −1 ∞∞ = 0 ≥ −1 ∞∞ ∞ = −1 ∞∞ ∞ > −1 = 1

.

Hier gibt es allerdings noch einen Eintrag unterhalb der Diagonalen fur denes zwei mogliche Falle gibt, falls der Eintrag Bewertung 1 oder großer hat, soerhalten wir die Menge

A−α3 =

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 t−1 00 0 0 t

b−1, d−1 ∈ C

.

Falls der Eintrag allerdings Bewertung 0 hat, so mussen wir eine kleine Rech-nung durchfuhren

1 0 b−1t−1 0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 x t

·

1 0 0 00 1 0 00 0 t x−1

0 0 −x 0

=

1 0 b−1 b−1x

−1t−1

0 1 d−1 d−1x−1t−1

0 0 1 x−1t−1

0 0 0 1

.

Nachdem man noch einige Eintrage eliminiert erhalt man so die Menge

A10 =

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 1

c−1, e−1 ∈ C, f−1 ∈ C∗

(c) Wie schon beim Fall 1, kann die Moglichkeit

= 0 ≥ 0 ≥ −1 ≥ 1> 0 > 0 ≥ −1 ≥ 1∞ ∞ = −1 ∞> 0 > 0 > −1 ≥ 1

aus Bewertungsgrunden nicht auftreten.

80

6 ANHANG

3. Kommen wir zum 3.Fall, also daß der Eintrag mit niedrigster Bewertung in derzweiten Zeile zu finden ist

≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0≥ 1 = −1 ≥ 0 ≥ 0≥ 1 > −1 ≥ 0 ≥ 0≥ 1 > −1 ≥ 0 ≥ 0

→

≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞≥ 1 > −1 ≥ 0 ≥ 0≥ 1 > −1 ≥ 0 ≥ 0

.

Naturlich ist auch hier eine weitere Fallunterscheidung notig.

(a) Als erstes betrachten wir wieder≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞≥ 1 > −1 ≥ 0 ≥ 0≥ 1 > −1 ≥ 0 = 0

→

≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞≥ 1 > −1 ≥ 0 ≥ 0∞ > −1 ∞ = 0

.

Dies liefert uns zwei weitere Moglichkeiten.

i. Als erstes hatten wir da≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞≥ 1 > −1 = 0 ≥ 0∞ > −1 ∞ = 0

→

= 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞∞ ∞ = 0 ∞0∞ ∞ ∞ = 0

.

Dies liefert uns die Menge

Aα1 =

t a−1t

−1 + a0 b0 c0

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1

a−1, a0, b0, c0 ∈ C

ii. Die andere Moglichkeit ist

= 0 ≥ −1 ≥ 1 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞> 0 > −1 ≥ 1 ≥ 0∞ > −1 ∞ = 0

→

= 0 ≥ −1 ∞ ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞∞ > −1 ≥ 1 ≥ 0∞ ∞ ∞ = 0

.

Wie man sieht bleibt auch hier ein Eintrag unterhalb der Diagonalen ubrigund es gibt wieder mehrere Moglichkeiten fur seine Bewertung. Falls derEintrag Bewertung 1 oder großer hat, so erhalten wir die Menge

A−α2 =

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

a−1, f0 ∈ C

,

81

6 ANHANG

falls der Eintrag allerdings Bewertung 0 hat, so mussen wir eine kleineRechnung durchfuhren

1 a−1t−1 0 0

0 t−1 0 00 x t f0

0 0 0 1

·

1 0 0 00 t x−1 00 −x 0 00 0 0 1

=

1 a−1 x−1a−1t

−1 00 1 x−1t−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

.

Dies liefert uns einen weitere Teilmenge zum Gewicht Null

A20 =

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

b−1, f0 ∈ C, d−1 ∈ C∗

.

(b) Als nachstes betrachten wir wieder≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞≥ 1 > −1 = 0 ≥ 0≥ 1 > −1 > 0 > 0

→

≥ 1 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 0∞ = −1 ∞ ∞∞ > −1 = 0 ∞≥ 1 > −1 > 0 > 0

.

Wie schon bei den Fallen 1 und 2 gibt es hier nur eine weiterfuhrende Moglich-keit

= 0 ≥ −1 ≥ 0 ≥ 1∞ = −1 ∞ ∞∞ > −1 = 0 ∞> 0 > −1 > 0 ≥ 1

→

= 0 ≥ −1 ∞ ∞∞ = −1 ∞ ∞∞ > −1 = 0 ∞∞ > −1 ∞ = 1

.

Auch hier bleibt ein Eintrag unterhalb der Diagonalen ubrig und wir mussenwieder unterscheiden welche Bewertung er hat, falls er Bewertung großer odergleich 1 hat, erhalten wir die Menge

A−α2−α3 =

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 0 t

a−1 ∈ C

,

falls er hingegen Bewertung 0 hat, mussen wir wieder eine kleine Rechnungdurchfuhren

1 a−1t−1 0 0

0 t−1 0 00 0 1 00 x 0 t

·

1 0 0 00 t 0 x−1

0 0 1 00 −x 0 0

=

1 a−1 0 x−1a−1t

−1

0 1 0 x−1t−1

0 0 1 00 0 0 1

.

82

6 ANHANG

Bei dieser Matrix kann man noch einen Eintrag eliminieren und erhalt dann1 0 0 x−1a−1t

−1

0 1 0 x−1t−1

0 0 1 00 0 0 1

,

dies liefert uns allerdings keine neue Teilmenge, da diese Menge offensichtlichbereits im Abschluß der schon definierten Menge A1

0 liegt.

4. Es bleibt noch der letzte Fall zu uberprufen= −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0

→

= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0

.

Auch hier mussen wir wieder zwei Falle unterscheiden

(a) Als erstes betrachten wir hier= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 = 0

→

= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ∞ ∞ = 0

.

Wie bei den vorherigen mussen wir auch hier weiter unterscheiden.

i. Wieder betrachten wir hier zuerst einmal= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 = 0 ≥ 0> −1 ∞ ∞ = 0

→

= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0∞ ∞ = 0 ∞∞ ∞ ∞ = 0

.

Auch hier gibt es wieder einen Eintrag unterhalb der Diagonalen, fallsdieser Bewertung 1 oder großer hat erhalten wir so die Menge

A−α1 =

t−1 0 0 00 t d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

d0, e0 ∈ C

.

Falls der Eintrag hingegen Bewertung 0 hat konnen wir wieder wie folgtmultiplizieren

t−1 0 0 0x t d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

·

t x−1 0 0−x 0 0 00 0 1 00 0 0 1

1 x−1t−1 0 00 1 d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

.

83

6 ANHANG

Eine kurze weiter Umformung liefert dann die Menge

A30 =

1 a−1t

−1 b−1t−1 c−1t

−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

a−1 ∈ C∗, b−1, c−1 ∈ C

ii. Als zweites haben wir hier den Fall

= −1 ∞ ∞ ∞> −1 = 0 ≥ 1 ≥ 0> −1 > 0 ≥ 1 ≥ 0> −1 ∞ ∞ = 0

→

= −1 ∞ ∞ ∞∞ = 0 ∞ ∞

> −1 ∞ = 1 ≥ 0∞ ∞ ∞ = 0

.

Auch hier mussen wir beim Eintrag unterhalb der Diagonalen wieder un-terscheiden, falls er Bewertung großer gleich 1 hat man die Menge

A−α1−α2 =

t−1 0 0 00 1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

f0 ∈ C

.

Wenn der Eintrag Bewertung 0 hat, so mussen wir wieder entsprechendumformen

t−1 0 0 00 1 0 0x 0 t f0

0 0 0 1

·

t 0 x−1 00 1 0 0−x 0 0 00 0 0 1

=

1 0 x−1t−1 00 1 0 00 0 1 f0

0 0 0 1

.

Dies liefert uns allerdings diesmal keine neue Menge, da diese Matrizen imAbschluß von A2

0 enthalten sind.

(b) Bleibt noch die letzte Moglichkeit zu uberprufen= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 = 0 ≥ 0> −1 ≥ 1 > 0 > 0

→

= −1 ∞ ∞ ∞> −1 ≥ 1 ≥ 0 ≥ 0> −1 ∞ = 0 ∞> −1 ≥ 1 > 0 > 0

.

Auch hier bleibt nur eine weitere Moglichkeit fur die nachst niedrigste Bewer-tung

= −1 ∞ ∞ ∞> −1 = 0 ≥ 0 ≥ 1> −1 ∞ = 0 ∞> −1 > 0 > 0 ≥ 1

→

= −1 ∞ ∞ ∞∞ = 0 ∞ ∞∞ ∞ = 0 ∞

> −1 ∞ ∞ = 1

.

84

6 ANHANG

Falls der einzelne Eintrag Bewertung 1 oder großer hat erhalten wir so dieMenge

A−α1−α2−α3 =

t−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 t

,

falls der Eintrag hingegen Bewertung 0 hat, so mussen wir wieder multiplizierent−1 0 0 00 1 0 00 0 1 0x 0 0 t

·

t 0 0 x−1

0 1 0 00 0 1 0−x 0 0 0

1 0 0 x−1t−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

.

Allerdings liefert uns dies keine neue Teilmenge, da diese Matrizen im Abschlußvon A3

0 enthalten sind.

Damit haben wir alle notwendigen Teilmengen gefunden und mussen jetzt noch alle noti-gen Inklusionen nachprufen, die durch den Kristall vorgegeben sind, dies sind insgesamt 18Inklusionen, allerdings wollen wir auch noch versuchen weitere Inklusionen zu finden, wiesie schon bei der adjungierten Darstellung von PSl3(C) aufgetaucht waren. Wie immerwahlen wir uns dafur beliebige Elemente in den jeweiligen Teilmengen und konstruierenentsprechende 1-Paramter Untergruppen die diese im Abschluß enthalten.

1. Aα2+α3 ⊂ Aα1+α2+α3

Sei nun

1 0 0 c−1t

−1

0 t d0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

∈ Aα2+α3 und x ∈ C∗, dann ist

t x −d0x c−1t

−1 − xe0

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

∈ Aα1+α2+α3 .

Dann giltt x −d0x c−1t

−1 − xe0

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 1 0 e0

0 0 1 00 0 0 1

=

t x −d0x c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

t x −d0x c−1t−1

0 1 0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

·

1 x 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t x 0 c−1t

−1

0 1 d0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

85

6 ANHANG

t x 0 c−1t

−1

0 1 d0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

·

0 −x 0 0

x−1 t 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 c−1t

−1

x−1 t d0 e−1t−1 + e0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

Der Grenzwertubergang x →∞ liefert dann die gewunschte Matrix.

2. Aα1+α2 ⊂ Aα1+α2+α3

Sei hier

t a0 b−1t

−1 + b0 c0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα1+α2 und x ∈ C∗, dann ist

t a0 −x−1(c0 − xb−1 + a0xd−1) xb−1t

−1 + xb0

0 1 0 xd−1t−1

0 0 1 xt−1

0 0 0 t−1

∈ Aα1+α2+α3 .

Dann giltt a0 −x−1(c0 − xb−1 + a0xd−1) xb−1t

−1 + xb0

0 1 0 xd−1t−1

0 0 1 xt−1

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 −x0 0 x−1 t

=

t a0 b−1t

−1 + b0 c0 + a0xd−1 + xb0t0 1 d−1t

−1 xd−1

0 0 t−1 00 0 x−1t−1 1

t a0 b−1t−1 + b0 c0 + a0xd−1 + xb0t

0 1 d−1t−1 xd−1

0 0 t−1 00 0 x−1t−1 1

·

1 0 0 −xb0

0 1 0 −xd−1

0 0 1 00 0 0 1

=

t a0 b−1t

−1 + b0 c0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 x−1t−1 1

Auch hier liefert x →∞ die gewunschte Matrix.

86

6 ANHANG

3. Aα3 ⊂ Aα2+α3

Hierfur sei

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 t f−1t−1 + f0

0 0 0 t−1

∈ Aα3 und wieder x ∈ C∗, dann ist

1 0 0 c−1t

−1

0 t x e−1t−1 − xf0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

∈ Aα2+α3 .

Dann konnen wir wie folgt rechnen1 0 0 c−1t

−1

0 t x e−1t−1 − xf0

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 1 f0

0 0 0 1

=

1 0 0 c−1t

−1

0 t x e−1t−1

0 0 1 f−1t−1 + f0

0 0 0 t−1

1 0 0 c−1t−1

0 t x e−1t−1

0 0 1 f−1t−1 + f0

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 0 −x 00 x−1 t 00 0 0 1

=

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 x−1 t f−1t−1 + f0

0 0 0 t−1

Der ubliche Grenzwertubergang liefert dann das Ergebnis.

4. Aα2 ⊂ Aα2+α3

In diesem Fall sei

1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα2 und x ∈ C∗, dann ist

1 0 0 xb−1t

−1

0 t −x−1(e0 − f−1d−1) xd−1t−1 + xd0

0 0 1 xt−1

0 0 0 t−1

∈ Aα2+α3 .

Dann konnen wir wieder anfangen zu rechnen1 0 0 xb−1t

−1

0 t −x−1(e0 − f−1d−1) xd−1t−1 + xd0

0 0 1 xt−1

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 −x0 0 x−1 t

=

1 0 b−1t

−1 xb−1

0 t d−1t−1 + d0 e0 + xd0t

0 0 t−1 00 0 x−1t−1 1

87

6 ANHANG

1 0 b−1t

−1 xb−1

0 t d−1t−1 + d0 e0 + xd0t

0 0 t−1 00 0 x−1t−1 1

·

1 0 0 −xb−1

0 1 0 −xd0

0 0 1 00 0 0 1

=

1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 x−1t−1 1

Auch hier reicht es nun aus x →∞ laufen zu lassen.

5. Aα2 ⊂ Aα1+α2

Hierfur sei

1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1


t x b−1t

−1 − xd0 −xe0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα1+α2 .

Dann giltt x b−1t

−1 − xd0 −xe0

0 1 d−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

=

t x b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

t x b−1t−1 0

0 1 d−1t−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

·

0 −x 0 0

x−1 t 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 b−1t

−1 0x−1 t d−1t

−1 + d0 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

Wieder lassen wir hier x →∞ laufen.

6. Aα1 ⊂ Aα1+α2

Hier sei

t a−1t

−1 + a0 b0 c0

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1


t −x−1(b0 − xa−1) xa−1t

−1 + xa0 c0

0 1 xt−1 00 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα1+α2 .

Dann giltt −x−1(b0 − xa−1) xa−1t

−1 + xa0 c0

0 1 xt−1 00 0 t−1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 0 −x 00 x−1 t 00 0 0 1

=

88

6 ANHANG

t a−1t

−1 + a0 b0 + xa0t c0

0 t−1 0 00 x−1t−1 1 00 0 0 1

t a−1t−1 + a0 b0 + xa0t c0

0 t−1 0 00 x−1t−1 1 00 0 0 1

·

1 0 −xa0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t a−1t

−1 + a0 b0 c0

0 t−1 0 00 x−1t−1 1 00 0 0 1

Und wieder liefert x →∞ das gewunschte Ergebnis.

7. A10 ⊂ Aα3

Sei

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 1

∈ A10 und x ∈ C∗, sowie g ∈ O, s.d. g−1 = x−1 + f−1

−1 t,

dann ist 1 0 0 gf−1

−1 c−1t−1

0 1 0 gf−1−1 e−1t

−1

0 0 t gt−1

0 0 0 t−1

∈ Aα3 .

Dann gilt1 0 0 gf−1

−1 c−1t−1

0 1 0 gf−1−1 e−1t

−1

0 0 t gt−1

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 −g0 0 g−1 t2

=

1 0 f−1

−1 c−1t−1 gf−1

−1 c−1t

0 1 f−1−1 e−1t

−1 gf−1−1 e−1t

0 0 t−1 00 0 g−1t−1 t

1 0 f−1−1 c−1t

−1 gf−1−1 c−1t

0 1 f−1−1 e−1t

−1 gf−1−1 e−1t

0 0 t−1 00 0 g−1t−1 t

·

1 0 0 −gf−1−1 c−1t

0 1 0 −gf−1−1 e−1t

0 0 1 00 0 0 1

=

1 0 f−1

−1 c−1t−1 0

0 1 f−1−1 e−1t

−1 00 0 t−1 00 0 g−1t−1 t

Auch hier lassen wir x →∞ laufen und fuhren noch zwei weitere Multiplikationendurch.

1 0 f−1−1 c−1t

−1 00 1 f−1

−1 e−1t−1 0

0 0 t−1 00 0 f−1

−1 t

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 f−1

0 0 −f−1−1 0

=

1 0 f−1

−1 c−1 c−1t−1

0 1 f−1−1 e−1 e−1t

−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 1

1 0 f−1−1 c−1 c−1t

−1

0 1 f−1−1 e−1 e−1t

−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 1

·

1 0 −f−1

−1 c−1 00 1 −f−1

−1 e−1 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 0 c−1t

−1

0 1 0 e−1t−1

0 0 1 f−1t−1

0 0 0 1

89

6 ANHANG

8. A20 ⊂ Aα2

Diesmal sei

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

∈ A20 und x ∈ C∗ und x ∈ C∗, sowie g ∈ O∗, s.d.

g−1 = x−1 + d−1−1t, außerdem sei g = x + g1t, mit g1 ∈ O, dann ist

1 0 gd−1−1b−1t

−1 00 t gt−1 −xf0

0 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα2 .

Dann gilt1 0 gd−1

−1b−1t−1 0

0 t gt−1 −xf0

0 0 t−1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 1 f0t0 0 0 1

=

1 0 gd−1

−1b−1t−1 f0gb−1d

−1−1

0 t gt−1 −xf0 + f0g0 0 t−1 f0

0 0 0 1

1 0 gd−1−1b−1t

−1 f0gb−1d−1−1

0 t gt−1 −xf0 + f0g0 0 t−1 f0

0 0 0 1

·

1 0 0 −f0gb−1d

−1−1

0 1 0 f0g1

0 0 1 00 0 0 1

=

1 0 gd−1

−1b−1t−1 0

0 t gt−1 00 0 t−1 f0

0 0 0 1

1 0 gd−1−1b−1t

−1 00 t gt−1 00 0 t−1 f0

0 0 0 1

·

1 0 0 00 0 −g 00 g−1 t2 00 0 0 1

=

1 b−1d

−1−1t

−1 gd−1−1b−1t 0

0 t 0 00 g−1t−1 t f0

0 0 0 1

1 b−1d−1−1t

−1 gd−1−1b−1t 0

0 t 0 00 g−1t−1 t f0

0 0 0 1

·

1 0 −gd−1

−1b−1t 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 b−1d

−1−1t

−1 0 00 t 0 00 g−1t−1 t f0

0 0 0 1

90

6 ANHANG

Hier liefert der Ubergang x → ∞, allerdings nicht das Ergebnis, wir mussen nocheinige weitere Umformungen vornehmen.

1 b−1d−1−1t

−1 0 00 t 0 00 d−1

−1 t f0

0 0 0 1

·

1 0 0 00 t −d−1 00 d−1

−1 0 00 0 0 1

=

1 b−1d

−1−1 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

1 b−1d−1−1 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

·

1 −b−1d

−1−1 0 0

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

9. A3

0 ⊂ Aα1

Hierfur sei

1 a−1t

−1 b−1t−1 c−1t

−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∈ A30 und x ∈ C∗, außerdem sei f ∈ O

so gewahlt, daß f−1 = x−1 + a−1t ist und wir schreiben außerdem f = x + vt + f1t2,

mit v ∈ C und f1 ∈ , dann istt ft−1 xa−1

−1b−1 xa−1−1c−1

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1

∈ Aα1 .

Dann giltt ft−1 xa−1

−1b−1 xa−1−1c−1

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 −a−1

−1b−1t −a−1−1c−1t

0 0 1 00 0 0 1

=

t ft−1 xa−1

−1b−1 − a−1−1b−1f xa−1

−1c−1 − a−1−1c−1f

0 t−1 −a−1−1b−1 −a−1

−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

t ft−1 xa−1−1b−1 − a−1

−1b−1f xa−1−1c−1 − a−1

−1c−1f0 t−1 −a−1

−1b−1 −a−1−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

·

1 0 a−1−1b−1v + f1t a−1

−1c−1v + f1t0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t ft−1 0 00 t−1 −a−1

−1b−1 −a−1−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

91

6 ANHANG

t ft−1 0 00 t−1 −a−1

−1b−1 −a−1−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

·

0 −f 0 0f−1 t2 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t−1 0 0 0

f−1t−1 t −a−1−1b−1 −a−1

−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

Wenn wir nun hier x →∞ laufen lassen, erhalten wir zwar noch nicht das gewunsch-te Ergebnis, allerdings sind auch nur noch zwei kleinere Umformungen notig

t−1 0 0 0a−1−1 t −a−1

−1b−1 −a−1−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

·

t a−1 0 0

−a−1−1 0 0 0

0 0 1 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 0 00 1 −a−1

−1b−1 −a−1−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

1 a−1t−1 0 0

0 1 −a−1−1b−1 −a−1

−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 a−1

−1b−1 a−1−1c−1

0 0 1 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 b−1t−1 c−1t

−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Dies ist wie man sieht die gewunschte Matrix.

10. A−α3 ⊂ A30

In diesem Fall sei

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 t−1 00 0 0 t

∈ A−α3 und x ∈ C∗, dann ist

1 0 0 xb−1t

−1

0 1 0 xd−1t−1

0 0 1 xt−1

0 0 0 1

∈ A30.

Dann gilt1 0 0 xb−1t

−1

0 1 0 xd−1t−1

0 0 1 xt−1

0 0 0 1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 −x0 0 x−1 t

=

1 0 b−1t

−1 xb−1

0 1 d−1t−1 xd−1

0 0 t−1 00 0 x−1 t

92

6 ANHANG

1 0 b−1t

−1 xb−1

0 1 d−1t−1 xd−1

0 0 t−1 00 0 x−1 t

·

1 0 0 −xb−1

0 1 0 −xd−1

0 0 1 00 0 0 1

=

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 t−1 00 0 x−1 t

Der ubliche Grenzwertubergang liefert dann das gewunschte Ergebnis.

11. A−α2 ⊂ A20

Hierfur sei

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1


1 0 a−1xt−1 00 1 xt−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

∈ A20.

Dann gilt1 0 a−1xt−1 00 1 xt−1 00 0 1 f0

0 0 0 1

·

1 0 0 00 0 −x 00 x−1 t 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 a−1x 00 t−1 0 00 x−1 t f0

0 0 0 1

1 a−1t−1 a−1x 0

0 t−1 0 00 x−1 t f0

0 0 0 1

·

1 0 −a−1x 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 x−1 t f0

0 0 0 1

Auch hier liefert x →∞ das Ergebnis.

12. A−α1 ⊂ A30

In diesem Fall sei

t−1 0 0 00 t d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

∈ A−α1 und x ∈ C∗. Dann ist

1 xt−1 −d0xt−1 −e0xt−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

∈ A−α1 .

Es gilt dann1 xt−1 −d0xt−1 −e0xt−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

=

1 xt−1 0 00 1 d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

93

6 ANHANG

1 xt−1 0 00 1 d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

·

0 −x 0 0

x−1 t 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t−1 0 0 0x−1 t d0 e0

0 0 1 00 0 0 1

Wieder lassen wir x →∞ laufen um das Ergebnis zu erhalten.

13. A−α2−α3 ⊂ A−α3

Hierfur sei

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 0 t

∈ A−α2−α3 und x ∈ C∗, dann ist

1 0 xa−1t

−1 00 1 xt−1 00 0 t−1 00 0 0 t

∈ A−α2−α3 .

Dann gilt1 0 xa−1t

−1 00 1 xt−1 00 0 t−1 00 0 0 t

·

1 0 0 00 0 −x 00 x−1 t 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 xa−1 00 t−1 0 00 x−1t−1 1 00 0 0 t

1 a−1t−1 xa−1 0

0 t−1 0 00 x−1t−1 1 00 0 0 t

·

1 0 −xa−1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 x−1t−1 1 00 0 0 t

Auch hier liefert x →∞ die gewunschte Matrix.

14. A−α2−α3 ⊂ A−α2

Hierbei sei

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 0 t


1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t x0 0 0 1

∈ A−α2−α3 .

Dann gilt1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t x0 0 0 1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 −x0 0 x−1 t

=

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 x−1 t

94

6 ANHANG

Wieder liefert x →∞ die gewunschte Matrix.

15. A−α1−α2 ⊂ A−α2

In diesem Fall sei

t−1 0 0 00 1 0 00 0 t f0

0 0 0 1


1 xt−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

∈ A−α2 .

Dann gilt1 xt−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

·

0 −x 0 0

x−1 t 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t−1 0 0 0

x−1t−1 1 0 00 0 t f0

0 0 0 1

Auch hier liefert x →∞ das Ergebnis.

16. A−α1−α2 ⊂ A−α1

Hier sei

t−1 0 0 00 1 0 00 0 t f0

0 0 0 1


t−1 0 0 00 t x −xf0

0 0 1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 1 f0

0 0 0 1

=

t−1 0 0 00 t x 00 0 1 f0

0 0 0 1

t−1 0 0 00 t x 00 0 1 f0

0 0 0 1

·

1 0 0 00 0 −x 00 x−1 t 00 0 0 1

=

t−1 0 0 00 1 0 00 x−1 t f0

0 0 0 1

Nach dem Grenzwertubergang x → ∞ erhalten wir auch hier das gewunschte Er-gebnis.

95

6 ANHANG

17. A−α1−α2−α3 ⊂ A−α1−α2

Hierfur sei x ∈ C∗ und

t−1 0 0 00 1 0 00 0 t x0 0 0 1


t−1 0 0 00 1 0 00 0 t x0 0 0 1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 0 −x0 0 x−1 t

=

t−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 x−1 t

Somit liefert auch hier x →∞ das Ergebnis.

18. A−α1−α2−α3 ⊂ A−α2−α3

In diesem Fall sei x ∈ C∗ und

1 xt−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 0 t


1 xt−1 0 00 t−1 0 00 0 1 00 0 0 t

·

0 −x 0 0

x−1 t 0 00 0 1 00 0 0 1

=

t−1 0 0 0

x−1t−1 1 0 00 0 1 00 0 0 t

Und auch hier liefert x →∞ das Ergebnis.

Analog zur adjungierten Darstellung von PSl3(C) kann man hier allerdings auch nochweitere Inklusionen finden, insgesamt wollen wir hier noch 4 weitere Inklusionen zeigen,die denen bei PSl3(C) auch von ihrer Position im Graphen recht ahnlich sind.

1. A−α3 ⊂ Aα2

Hierfur sei

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 t−1 00 0 0 t


1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 x0 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα2 .

Dann gilt1 0 b−1t

−1 00 t d−1t

−1 x0 0 t−1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 0 0 −x0 0 1 00 x−1 0 t

=

1 0 b−1t

−1 00 1 d−1t

−1 00 0 t−1 00 x−1 0 1

Somit liefert auch hier x →∞ das Ergebnis.

96

6 ANHANG

2. A−α1 ⊂ Aα2

Nun sei

t−1 0 0 00 t d0 e0

0 0 1 00 0 0 1


1 0 xt−1 00 t d0t

−1 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

∈ Aα2 .

Dann gilt1 0 xt−1 00 t d0t

−1 e0

0 0 t−1 00 0 0 1

·

0 0 −x 00 1 0 0

x−1 0 t 00 0 0 t

=

t−1 0 0 0

x−1d0t−1 t d0 e0

x−1t−1 0 1 00 0 0 1

Wieder liefert x →∞ das Ergebnis.

3. A−α2 ⊂ Aα3

Hierbei sei

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1


1 0 0 xa−1t

−1

0 1 0 xt−1

0 0 t f0t−1

0 0 0 t−1

∈ Aα3 .

Dann gilt1 0 0 xa−1t

−1

0 1 0 xt−1

0 0 t f0t−1

0 0 0 t−1

·

1 0 0 00 0 0 −x0 0 1 00 x−1 0 t

=

1 a−1t

−1 0 xa−1

0 t−1 0 00 x−1f0t

−1 1 f0

0 x−1t−1 0 1

1 a−1t−1 0 xa−1

0 t−1 0 00 x−1f0t

−1 1 f0

0 x−1t−1 0 1

·

1 0 0 −xa−1

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 x−1f0t

−1 1 f0

0 x−1t−1 0 1

Und auch hier liefert x →∞ die gewunschte Matrix.

97

6 ANHANG

4. A−α2 ⊂ Aα1

Hierfur sei

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 00 0 t f0

0 0 0 1


t a−1t

−1 x −xf0

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1

∈ Aα1 .

Dann giltt a−1t

−1 x −xf0

0 t−1 0 00 0 1 00 0 0 1

·

1 0 0 00 1 0 00 0 1 f0

0 0 0 1

=

t a−1t

−1 x 00 t−1 0 00 0 1 f0

0 0 0 1

t a−1t−1 x 0

0 t−1 0 00 0 1 f0

0 0 0 1

·

0 0 −x 00 1 0 0

x−1 0 t 00 0 0 1

=

1 a−1t

−1 0 00 t−1 0 0

x−1 0 t f0

0 0 0 1

Auch hier mussen wir lediglich x →∞ laufen lassen um das Ergebnis zu erhalten.

6.3 Rechnungen zur Darstellung von PSl3(C) zum Gewicht 2α1+2α2

Die Rechnungen fur dieses Beispiel wollen wir hier nicht auffuhren, da sie vom Umfangher die bisherigen Rechnungen weit ubertreffen, es sollte klar sein, daß das Prinzip derRechnungen das selbe bleibt, so ist das Ausrechnen der einzelnen Teilmengen nur bedingtaufwendiger, aber die Wahl der 1-Parameter Untergruppen fur die jeweiligen Inklusionenwird deutlich komplizierter und man hat erheblich mehr Umformungen durchzufuhren.

98

LITERATUR

Literatur

[AK04] Jared Anderson and Mikhail Kogan. Mirkovic-Vilonen cycles and polytopes inType A. Int. Math. Res. Not., (12):561–591, 2004.

[Car93] Roger Carter. Finite Groups of Lie Type. John Wiley & Sons, Ltd., 1993.

[CG98] Roger Carter and Meinolf Geck. Representations of Reductive Groups. Publi-cations of the Newton Institute, 1998.

[GL03] S. Gaussent and P. Littelmann. LS-galleries, the path model and MV-cycles.2003.

[Kum02] Shrawan Kumar. Kac-Moody Groups, their Flag Varieties and RepresentationTheory. Birkhauser, 2002.

[Lit95] Peter Littelmann. Paths and root operators in representation theory. Annals ofMathematics, 142:499–525, 1995.

[LLS03] V. Lakshmibai, P. Littelmann, and C.S. Seshadri. Kac-Moody groups, their flagvarieties and representation theory. 2003.

[Lus83] George Lusztig. Singularities, character formulas, and a q-analog of weightmultiplicities. In Analysis and topology on singular spaces, II, III (Luminy,1981), volume 101 of Asterisque, pages 208–229. Soc. Math. France, Paris, 1983.

[MV00] Ivan Mirkovic and Kari Vilonen. Perverse sheaves on affine Grassmannians andLanglands duality. Math. Res. Lett., 7(1):13–24, 2000.

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