Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre

5/13/2018 Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre - slidepdf.com

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Mitschrieb der Vorlesung 21206

Mathematische Methoden der

Festigkeitslehre

Prof. Dr. - Ing. W. Wedig

WS 2000/01

verfaßt von

cand. mach. Ch. Rudolf 1

1Dieser Mitschrieb ist als Erganzung zur Vorlesung gedacht. Fur erlauternde

Skizzen und Zeichnungen ist an den entsprechenden Stellen Platz eingeraumt.



Mathematische Methoden der Festigkeitslehre

Inhaltsverzeichnis

1 Matrizenmethoden 21.1 Elemente der Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Matrix und Spaltenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Matrizenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4 Eigenwerte einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Ubertragungsmatrizenmethoden: . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Zustandsvektor und Ubertragungsmatrix . . . . . . . 61.2.2 Erweiterte Ubertragungsrechnung . . . . . . . . . . . 8

1.3 FEM – Methode der finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Steifigkeitsmatrizen K e typischer Elemente . . . . . . 101.3.2 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . 131.3.3 Matrixverschiebungsmethoden . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.5 Einf uhrung in die Fachwerkanalogie . . . . . . . . . . 271.3.6 FEM mit Dreieckselement . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.7 Gesamtsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2 Extremal – Variationsprinzipien 342.1 Einf uhrung in die Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.1 Extremalkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.2 Extrema von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.3 Elemente der Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . 36

2.2 Variationsmethoden der Elastostatik . . . . . . . . . . . . . . 402.2.1 Arbeit und Potential von Kraften . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Prinzip der virtuellen Verruckung (Arbeit) . . . . . . 432.2.3 Stabilitat konservativer Systeme . . . . . . . . . . . . 432.3 Naherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Ritz’sche Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.2 Galerkin – Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Tensor – Rechnung 523.1 Affine Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.1.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.3 Metrische Grundgroßen g . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.4 Permutationssymbol (Ricci – Symbol) . . . . . . . . 573.1.5 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1 Dyade (Tensor zweiter Stufe) . . . . . . . . . . . . . . 593.2.2 Tensoren n - ter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2.3 Spannungsberechnung in affinen Koordinatensystemen

(krummlinige Koordinaten) . . . . . . . . . . . . . . . 61

1



1 Matrizenmethoden

Lineare Gleichungen (Gleichgewicht, Verformung, ...)

In Matrix-schreibweiseAx = y

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = y1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = y2

...am1x1 + am2x2 +

· · ·+ amnxn = ym

1.1 Elemente der Matrizenrechnung

1.1.1 Matrix und Spaltenmatrix

Symbol – Schreibweise: A = (aik) f ur den gesamten Block mit KlammerartIndex – Schreibweise : aik f ur jedes einzelne Element

a.) Begriff der Matrix:

Matrix A ist ein geordnetes Schema reeller Zahlen aikm Zeilenn Spalten

Ordnung(m,n)

A = a11 · · · a1n

... aik ...am1 · · · amn

= (aik)

b.) Transponierte Matrix AT = A

Transposition ist Vertauschung von Spalten und Zeilen.Definition: aT ik = aki f ur jedes Element.

z.B.

A =

5 7 01 0 4

=⇒ AT =

5 17 00 4

Es gilt: (AT )T = A .c.) Spaltenmatrix:

einspaltige

Matrix(m, 1)x =

x1...

xm

einzeiligeMatrix

(1, n)X T = (x1, x2, · · · , xn)

d.) Rechenregeln:

Addition von Matrizen: C = A + B, C ik = aik + bik

Skalare Multikplikation: C = αA, cik = αaik(α ist skalar) f ur jedes Element i,ke.) Eigenschaften:

A + B = B + A kommutativ (vertauschbar)A + (B + C ) = (A + B) + C assoziativ (anordbar)α(A + B) = αA + αB distributiv (zerlegbar)

2



1.1.2 Quadratische Matrizen

a.) Begriffe:

Wenn m = n =⇒ quadratische Matrix der Ordnung n:

A =

a11 · · · a1n

.... . .

...an1 · · ·

ann

Hauptdiagonale: a11, a22, · · · , annNebendiagonale: an1, an−1,2, · · · , a1n

1. Determinante: detA = det(aik) = |A| = |aik|2. Spur (trace): Sp(A) = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A)

b.) Spezielle Matrizen:

Diagonalmatrix D =

d11 · · · 0

.... . .

...

0 · · · dnn

= (dik)

Einheitsmatrix E = I =

1 · · · 0...

. . ....

0 · · · 1

= (δik) ,

Kroneckersymbol : δik =

1 f ur i = k

0 f ur i = k,

Nullmatrix 0 =

0 · · · 0...

. . ....

0· · ·

0

= (0),

symmetrische Matrix, wenn A = AT bzw. aik = akiantisymmetrische Matrix, wenn AT = −A ⇒ aik = −aki, aii = 0

e.) Eigenschaften:

• Eine Matrix A ist regular, wenn detA = 0,

• Eine Matrix A ist singular, wenn detA = 0,

• Eine Matrix A ist positiv definit, wenn ∆k > 0,⇒ alle Hauptabschnittsdeterminanten sind positiv :

a11 a12 a13 · · ·a21 a22 a23a31 a32 a33

.... . .

z.B. : ∆1 = a11 > 0

∆2 =

a11 a12a21 a22

= a11a22 − a12a21 > 0

Determinantenregeln (Ordnung n):

• |A| = |AT |• |αA| = αn|A|, α = skalar

3



1.1.3 Matrizenalgebra

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Inversion.

• Matrizenprodukt (M – Produkt)

Wenn A eine (m,p) – Matrix und B eine (p,n) – Matrix:=⇒ A,B sind verkettbar:

M-Produkt: C = AB

Berechnung des M-Produkts nach Falk’schem Schema:

b11 · · · b1k · · · b1n...

......

b p1 · · · b pk · · · b pn

a11 a12 · · · a1 p

ai1 ai2 · · · aipam1 am2 · · · amp

c11 ↓ |

−− −→ cik ↓−− −− −− −→ cmn

cik = ai1b1k + ai2b12 + · · · + aipb pk =n

j=1

aijb jk

C = (cik) ist eine (m,n) – Matrix.

• Beispiel:

B=

1 1 1

2 2 25 5 5

; A=

3 4 2

−1 −1 −1−1 −3 −1

A = B= 3 4 2−2 −1 −1

−1 −3 −1

21 21 21−9 −9 −9

−12 −12 −12

C =AB

1 1 12 2 25 5 5

0 0 00 0 00 0 0

D=BA

• Eigenschaften:

– Das M – Produkt ist nicht kommutativ AB = BA

– Transposition des M – Produkts (AB)T = BT AT

– Determinantenansatz det(AB) = det(A)det(B)

• spezielle Produkte:

Gleichungssysteme: Ax = y

a11x1 + · · · + a1nxn = y1· · · · · ·

an1x1 + · · · + annxn = yn

Skalarprodukt:

M = xT y = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn

Bilineare bzw. quadratische Formen :

M = uT Av, Q = uT Au

4



• Inversion einer Matrix:

Definition : AA−1 = E , wenn det(A) = 0A−1 heißt Kehrmatrix von A

Analytische Berechnung uber adjungierte Matrix A:

A−1 =1

det(A) (A)T

: (aik) = (−1)(i+k) |− aik −|

”In Matrix A die i – te Zeile und die k – te Spalte streichen, danndie verbleibende Determinante berechnen und ihren Wert mit (−1)i+k

multiplizieren.”

• Beispiel:

A =

2 4 23 1 11 0 1

: A =

1 −2 −1

−4 0 42 4

−10

|A| = 4 − 2 + 2 − 12 = −8 ⇒ A−1 =

1

det(A)(A)T

A−1 =1

−8

1 −4 2

−2 0 4−1 4 −10

Stets Probe durchf uhren : AA−1 = E

• Eigenschaften:

AT

−1=

A−1T ; (AB)−1 = B−1A−1

1.1.4 Eigenwerte einer Matrix

Gegeben: eine quadratische Matrix A der Ordnung nGesucht: zugehorige Diagonalform Ax = λx, λ = skalar.

Eigenwerte und Eigenvektoren:

Ax = λx bzw. (A − λE )x = 0 besitzt nicht triviale Losungen nur f ur

|A − λE | = 0, → a11 − λ a12 · · · a1n

... ...an1 an2 · · · ann − λ

= 0

→ λn + A1λn−1 + · · · + An = 0 (charakteristische Gleichung)

Eigenwerte von A: Losungen (Wurzeln) λ1, λ2, · · · , λn

Eigenvektoren von A:ixi Losungen f ur jedes λi

Beachte: Wegen Homogenitat sind nur Verhaltnissexkx1

i

angebbar, bzw.ix1 = 1 wahlbar.

Eigenschaften (Vieta)n

i=1 λi = Sp(A);n

i=1 λi =|A

|

5



1.2 Ubertragungsmatrizenmethoden:

f ur vielgliedrige Tragwerke ohne Verzweigungen, z.B. Durchlauftrager, Tur-binenwellen, Rohrleitungssysteme, ...

1.2.1 Zustandsvektor und Ubertragungsmatrix

• Begriffe der Ubertragungsrechnung:

Tragsysteme mit Unstetigkeitsstellen in Belastung (Einzelkrafte) undQuerschnitt (Steifigkeitsanderungen): Punkte und Felder (Momenten-linie , elast. Linie)

– Zustandsvektoren an den Punkten i:

z.B. (V i, M i) innere Schnittkrafte und Momente (s. TM I)(wi, ψi) lineare Verschiebungen und Winkelverformungen (TM II)

– Ubertragungsmatrix:verknupft Zustandsvektoren uber die Unstetigkeitsstellen i mitder Punktmatrix P i und dazwischenliegenden elastischen Feldernmit Feldmatrix F i

– Vorzeichenkonvention:f ur positives Schnittufer des Balkens:EA = Dehnsteifigkeit EI = Biegesteifigkeit

• Elastisch und starr gelagerter Balken:statisch unbestimmte Systeme ohne außere Belastung

R = rechts, L = links der Unstetigkeitsstelle

6



– Untersuchung der Krafte und Verformungen am typischen finiten Element:

∗ Gleichgewicht: (siehe TM I)

V iL − V Ri−1 = 0 =⇒ V i

L = V Ri−1

M iL − M Ri−1 − V Ri−1 · li = 0 =⇒ M i

L = M Ri−1 − V Ri−1 · li

∗ Verformungsberechnung:

Gleichung der elast. Linie :

EI · w

(x) = −M (x) (1)

mit M (x) = M i−1R + x · V Ri−1∗ Beachte: w

(x) = −ψ(x)=⇒

ψiL = ψR

i

−1 +

l

EI i ·M Ri

−1 +

l2

2EI i ·V Ri−1

wiL = wR

i−1 − ψRi−1 · li −

l2

2EI

i

· M Ri−1 −

l3

6EI

i

· V Ri−1

• Zustandsvektor und Feldmatrix:

−w

ψ

M

V

L

i

=

1 l l2

2EI l3

6EI

0 1 lEI

l2

2EI

0 0 1 l

0 0 0 1

i

·

−w

ψ

M

V

R

i−1

Z Li = F i · Z Ri−1

1. Wegen der Einf uhrung von -w sind alle Elemente in F i positiv

2. Kontrolle: F i ist symmetrisch zur Nebendiagonale

7



• Punktmatrix P I :

Gleichgewicht:V i

R = V Li + ki · wLi

M Ri − M Li

ψRi = ψL

i

wRi = wL

i

– symmetrisch:

Z Ri = P i · Z Li

−w

ψ

M

V

R

i

=

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

−k 0 0 1

i

·

−w

ψ

M

V

L

i

– Anmerkung:

1. Bisher nur homogene Gleichungen (ohne außere Krafte),schwingungstechnisch: k =

−mω2

2. Inhomogenitaten durch Randverschiebungen und außere Be-lastungen

1.2.2 Erweiterte Ubertragungsrechnung

• Inhomogenitaten durch diverse Belastungen =⇒ additive Terme

• Zuruckf uhrung auf Matrizenmultiplikation durch Zustandserweiterung

a.) Einzellast F und Moment T −→ erweiterte Punktmatrix P i

V Ri = V Li + ki

·wLi

−F i

M Ri = M Li + T i

ψRi = ψL

i

wRi = wL

i

−w

ψ

M

V

1

R

i

=

1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 T

−k 0 0 1 −F

0 0 0 0 1

i

P i

·

−w

ψ

M

V

1

L

i

8



Punktmatrix P:

P =

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

−k 0 0 1

Feldmatrix F:

F =

1 l l2

2EI l3

6EI

0 1 lEI

l2

2EI

0 0 1 l

0 0 0 1

b.) erweiterte Punktmatrix P :

Z Ri = P i · Z Li

Erweiterte Feldmatrix F :

EI w

(x) = −M (x)

M (x) = M Ri−1 + V Ri−1x − qix2

2

Z Li = F i · Z Ri−1

−w

ψ

M

V

1

L

i

=

1 l l2

2EI l3

6EI − ql4

24EI

0 1 lEI

l2

2EI − ql3

6EI

0 0 1 l − ql2

2

0 0 0 1 −ql

0 0 0 0 1

i

F i

·

−w

ψ

M

V

1

R

i−1

c.) Beispiel Zweifeld-Trager (B1):

zweifachstatischunbestimmt

9



gegeben: l,EI,q, T = ql2, k = 2EI l3

, Z R0

gesucht: w(x), Z L2Zustandsvektor:

z = (−w ,ψ,M ,V 1)T

d.) Ubertragungsrechnung:

F 1 · Z R0 = Z

L1 ; P 1 · Z

L1 = Z

R1 ; F 2 · Z

R1 = Z

L2

mit Z R0 als Anfangszustand und Z L2 als Endzustand

EliminationderZwischenzustande

=⇒ Z L2 = F 2 · P 1 · F 1 · Z R0

=⇒ Gesamtubertragungsmatrix (vollstandig bekannt):

U = F 2 · P 1 · F 1

Randbedingung:

Z R0 = (0, ψ0, 0, V 0, 1)T

Z L2 = (0, 0, M 2, V 2, 1)T

Randwertproblem

mit unbekannten Auflagerkraften V 0, V 2, M 2 und unbekanntem Winkel ψ0;Eingesetzt in Z L2 = U · Z R0 :

vier Glei-chungen (in-homogen),vier Un-bekannte:

ψ0, V 0, M 2, V 2

00

M 2V 21

=

U 11 U 12 U 13 U 14 U 15U 21 U 22 U 23 U 24 U 25U 31 U 32 U 33 U 34 U 35U 41 U 42 U 43 U 44 U 45

0 0 0 0 1

·

0ψ0

0V 01

Anmerkung:

1. starre Zwischenlager: Federkonstante k → ∞2. Tragsysteme mit Verzweigungen besser mit FEM

1.3 FEM – Methode der finiten Elemente

f ur vielgliedrige Tragwerke mit Verzweigungen und Approximation vonKontinua (Platten, Scheiben, Schalen) mittels FachwerkanalogieZiel:

• gegeben: Elementsteifigkeitsmatrix K e elastischer Einzelstrukturen

• gesucht: Gesamtsteifigkeitsmatrix K f der gesamten Struktur

1.3.1 Steifigkeitsmatrizen K e typischer Elemente

Definition:

p = K e · v (2)

mit: v = Elementverformungen, p = innere Krafte am Element

10



Beispiel:

M

V

=

4EI

l6EI l2

6EI l2

12EI l3

·

ψ

w

(3)

Integrationskonstanten:

x=0, w=0 → C 1 = 0w

(x = 0) = 0 → C 2 = 0

Herleitung:

EI w

(x) = −M (x)

M (x) = M − V · (l − x)

EI w

= V ·

lx − x2

2

− M x + C 1

EI w = (V l − M ) · x2

2− V x3

6+ C 1x + C 2

→ Ergebnis:

w(x = l) = 1EI

−M l2

2+ V l3

3

ψ(x = l) =1

EI

M l − V l2

2

Daraus ergibt sich die Nachgiebigkeitsmatrix: F −1e = K e

Definition: p = K e · v

mit: p – Matrix der inneren Krafte, K e – Einzelsteifigkeitsmatrix,v – Verformung der Elemente (Winkel, Durchbiegung)

Einfache Lastf alle am Stab:

N = EAl

· u =⇒ K e = EAl

11



V = 3EI l3

· w =⇒ K e = 3EI l3

M = 3EI l

· ψ =⇒ K e = 3EI l

Zusammengesetzte Lastf alle:

M

V

=

4EI

l6EI l2

6EI l2

12EI l3

·

ψ

w

(4)

=⇒ K e =

4EI

l6EI l2

6EI l2

12EI l3

(5)

bzw. f ur drei Schnittgroßen:

N M

V

=

EA

l 0 00 4EI

l6EI l2

0 6EI l2

12EI l3

· u

ψ

w

Beachte:

1. p,v am rechten Schnitt des Balkens

2. Koordinatensystem x, w(x) ist tangential zur Einspannung

12



Herleitung: EI w

(x) = −M (x) mit M (x) = M − V (l − x)

M R

M L

p

=

4EI

l2EI l

2EI l

4EI l

K e

· ψR

ψL

v

(6)

Beachte:

1. p,v an beiden Enden des Balkens angebracht

2. Koordinatensystem x, w(x) : lagerverbindend

Spezialfall: M L = 0

M R =2EI

l·

2ψR + 1ψL

0 =2EI

l·

ψR + 2ψL

=⇒ M R

=

3EI

l · ψR

1.3.2 Prinzip der virtuellen Arbeit

δW = f T δd = pT δv (7)

mit

• f - Spaltenmatrix der außeren Krafte,

• d - Spaltenmatrix der Verschiebungen der Kraftangriffspunkte,

•δ - virtuelle Verruckung (infinitesimal)

Aufbringen einer virtuellen Verschiebung δd an der Stelle und in Rich-tung der Kraft f sowie irgendeine kinematisch vertragliche Verformung δv

des elastischen Systems.In Worten:

{virtuelle Verschiebung δd in Richtung der außeren Kraft f } ·{wahre außere Kraft f }

={Elementverformungen δv vertraglich mit den vorgegebenen Verschiebungen δd } ·

{wahre innere Schnittgroßen p}

13



Beispiel:

wirkliche Verformung:

Besonders einfache virtuelle Verformung (mit den Bindungen des Sy-stems vertraglich):

weitere virtuelle Verruckung (beliebig) :Arbeitsbilanz 1. :

F d = S 1d sin α + S 2d + S 3d sin α

Kraftegleichgewicht am unverformten Knoten:

H i = 0 → S 5 − S 4 = 0

V i = 0 → S 1 sin α + S 3 sin α + S 2 − F = 0

Kraftegleichgewicht:

M A =−

C yl

−S 7l tan α = 0

14



M D = (S 7 − S 6) l tan α + F l − 2lC y = 0

=⇒ Elimination von C y :

F = (S 6 − 3S 7)tan α

Arbeitsbilanz 2.:

F d = S 6 · d tan α − S 7 · 3d tan α

Prinzip der virtuellen Verruckung:

δW = f T δd = pT δv

zu 1.: Arbeitsbilanz (lineare Rechnung: d )

F d = S 1d sin α + S 2d + S 3d sin α

große Verformungen:

lineare Rechnung:u = d cos γ

mittels Orthogonalprojektion der verformten Stabachse auf die unver-

formte Stabachse

Bei exakter Rechnung:

u = c − l mit c2 = l2 + d2 − 2ld cos (180◦ − γ )

u = l ·

1 −

d

l

2

+ 2

d

l

cos γ − 1

Taylor – Entwicklung

dl

1

:

u = d cos γ +d2

2lsin2 γ + · · ·

=0 f ur d

l1

Kompatibilitatsmatrix A:

linearer Zusammenhang (→ matriziell darstellen) zwischen der vorge-gebenen Verschiebung d und den daraus resultierenden Elementverformun-gen v:

v = A · d (8)

15



Bsp:

• Stab 1: u1 = d sin α

• Stab 2: u2 = d

• Stab 3: u3 = d sin α

u1u2

u3

= sin α

1sin α

· [d]

Beachte:

1. Lokale (virtuelle) Knotenverschiebungen: di = 1 , d j = 0 f ur i = j

liefern einfache virtuelle Elementverformungen

2. Alle Knotenverschiebungen f ur alle i = 1, · · · , n liefern Gesamtarbeitder außeren und inneren Krafte

1.3.3 Matrixverschiebungsmethoden

Beziehungen zwischen v,p,d,f:

1. Stoffgleichung p = K p · v , K e → K p ; σ - - Beziehung;

K p – Einzelsteifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur zusammenstellbaraus Einzelsteifigkeiten K e

2. Kompatibilitatsmatrixkinematische Vertraglichkeit v = A · d mitA – Kompatibilitatsmatrix zusammengestellt aus gegebenen Verschie-bungen di und berechneten V i

3. Gleichgewicht (statische Vertraglichkeit)

f = AT · p

hergeleitet aus:δW = δdT · f = d · vT · p

mit vT = dT · AT

→ δdT f = δdT AT p

f ur alle δdT = 0 =⇒ f = AT p, q.e.d.

Gesamtsteifigkeitsmatrix K f :

Nachgiebig-keitsmatrix: K −1f

aus 1., 2., 3.:f = AT p

f = AT · K p · v

f = AT · K p · A · d (9)

16



Ergebnis:

f = K f · d mit K f = AT · K p · A −→ d = K −1f · f

Anmerkung:

1. Steifigkeitsmatrizen f ur konservative Belastungen sind symmetrisch

2. K f

wird singul¨ar, wenn statisch unterbestimmt gelagert wird

3. Schnittkrafte: p = K p · v = K p · A · d

=⇒ p = K p · A · K −1f · f (10)

1.3.4 Beispiele

a.) statisch unterbestimmtes Fachwerk:

• geg: l,EA,K e = EAl

• ges:K p

, A , K f

4 Freiheitsgrade:

• d = (w1, u1, w2, u2)T – beliebige Reihenfolge

• f = (F 1v, F 1h, F 2v, F 2h)T – entsprechend

1. Elementsteifigkeitsmatrix K p :

3 Elemente: Zug - Druck - Stabe; p = K pv

N A =EA√

2luA

N B =EA√

2luB

N C =EA

2luC

=⇒

N AN BN C

=

EA√2l

0 0

0 EA√2l

0

0 0

EA

2l

·

uA

uB

uC

17



2. Kompatibilitatsmatrix A:

1.) uA = cos45◦w1, uB = cos 45◦w1 , uC = 0 → v = A · d

=⇒ v =

uA

uB

uC

; A =

√22

√22 0 0

√22 −

√22 −

√22

√22

0 0 0 1

d = (w1, u1, w2, u2)T

3. Gesamtsteifigkeitsmatrix:

K f = AT · K p · A

K f =

√22

√22 0√

22 −

√22 0

0 −√22 0

0√22 1

·EA

l·

1√2

0 0

0 1√2

0

0 0 12

·

√22

√22 0 0√

22 −

√22 −

√22

√22

0 0 0 1

=⇒ K f =EA√

8l·

2 0 −1 10 2 1 −1

−1 1 1 −1

1 −1 −1 1 +√

2

Beachte:

1. Symmetrie von K p −→ Kontrolle

2. Singularitat det (K f ) = 0

2. Beispiel

gegeben: l,α,β , einfach statisch unbestimmt kinematisch: 2 Freiheitsgra-de

A,B,C aus : H i = 0,V i = 0

18



1. Einzelsteifigkeitsmatrix (Fachwerk → Zug-, Druck-); p = K p · v

A

B

C

=

EAlA

0 0

0 EAlB

0

0 0 EAlC

·

uA

uB

uC

=⇒ K p =EA

l

cos α 0 00 cos β 00 0 1

mit lA = lcosα , lB = l

cosβ , lC = l

2. Kompatibilitatsmatrix: v = Ad

mit v – Elementverschiebungen: uA, uB, uC (und d – Freiheitsgrade)

d = [u1, w1]T =⇒ f = [H 1, V 1]T

uAuB

uC

; A = cos α sin α

cos β − sin α

1 0

3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA

K f =EA

l

1 + cos3 α + cos3 β sin α cos2 α − sin β cos2 β

sin α cos2 α − sin β cos2 β sin2 α cos2 α + sin β cos α

3. Beispiel:

gegeben: a,b,l,EA,M , starre Platte, elastische Stabe, statisch bestimmt,kinematisch: 3 Freiheitsgrade (TM III)A,B,C aus :

H i = 0,

V i = 0,

M i = 0

gesucht: Zugehorige Steifigkeitsmatrix (mit d = [uS , vS , ψS ]T

)

19



Anmerkung:

• statische Analyse: f = K f · d

• dynamische Analyse: f = −M d (d’Alembert – Krafte und Momente)

→ M d + K f d = 0 (Schwingungsgleichung) (11)

→ Eigenfrequenzen

1. Einzelsteifigkeitsmatrix :

N A = EAl

uA, N B = EAl

uB, N C = EAl

uC ,

→ K p = EAl

· 1 0 0

0 1 00 0 1

2. Kompatibilitatsmatrix : v=Ad

v =

uA

uB

uC

: A =

0 1 −a2

0 1 a2

−1 0 b2

3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA = EAl

AT A

Ergebnis:

K f =EA

l

1 0 − b

20 2 0

−b

2

0 b2

4

+ a2

2

4.Beispiel :

elastisch gelagerter Balken, einfach statisch unbestimmt, 2 Freiheitsgra-de:

gegeben: d = [w1, ψ1]T , f = [V 1, M 1]T

20



1. Einzelsteifigkeitsmatrix p = K p · v

wobei N B = k · uB und M A

V A

=

4EI

l6EI l2

6EI l2

12EI l3

·

ψA

wA

Damit ergibt sich:

N B

M A

V A

=

k 0 0

0 4EI l

6EI l2

0 6EI l2

12EI l3

·

uB

ψA

wA

2. Kompatibilitatsmatrix A (v=Ad)

virtuelle Verruckungen: Verformungsbilder mit v = [w1, ψ1]T

→ A =

−1 00 11 0

3. Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = AT K pA:

K f =

4 + 12 α

l26αl

6αl

4α

mit α = EI l

5. Beispiel: Zwei-Feld-Balken

4 Freiheitsgrade, zweifach statisch unbestimmt,d = [w1, ψ1, w2, ψ2]T , f = [V 1, M 1, V 2, M 2]T

21



1. Einzelsteifigkeitsmatrix K p aus p = K p · v

M

V

=

4EI

l6EI l2

6EI l2

12EI l3

·

ψ

w

=⇒

M A

V A

N B

M C

V C

N D

=

4EI l

6EI l2

0 0 0 06EI l2

12EI l3

0 0 0 0

0 0 k 0 0 0

0 0 0 4EI l

6EI l2

0

0 0 0 6EI l2 12

EI l3 0

0 0 0 0 0 k

K p

·

ψA

wA

uB

ψC

wC

uD

2. Kompatibilitatsmatrix A aus v = Ad

=⇒

ψA

wA

uB

ψC

wC

uD

=

0 0 0 10 0 1 00 0 −1 00 1 0 −11 0 −1 l

−1 0 0 0

A

·

w1

ψ1

w2

ψ2

Beachte:Mitdrehendes Koordinatensystem w(x) − x, das stets am verformtenElement linksseitig tangential anzusetzen ist, wenn nur die zugehorige

Einzelsteifigkeitsmatrix K e verwendet werden soll.

22




=⇒ K f =

k + 12 αl2

6αl

−12 αl2

6αl

6αl

4α −6αl

2α

−12 αl2

−6αl

k + 24 αl2

0

6αl

2α 0 8α

mit α = EI l

jetzt gleiche Aufgabe mit: M R

M L

=

4EI

l2EI l

2EI l

4EI l

·

ψR

ψL

1. Einzelsteifigkeitsmatrix K p aus p = K pv

=⇒

M RA

M LA

N B

M RC

M LC

N D

=

4α 2α 0 0 0 0

2α 4α 0 0 0 0

0 0 k 0 0 0

0 0 0 4α 2α 0

0 0 0 2α 4α 0

0 0 0 0 0 k

K p

·

ψRA

ψLA

uB

ψRC

ψLC

uD

mit α = EI l


ψRA

ψLA

uB

ψRC

ψLC

uD

=

0 0 1l

1

0 0 1l

0

0 0 −1 01l

1 −1l

01l

0 −1l

1

−1 0 0 0

A

·

w1

ψ1

w2

ψ2

23



aus:


=⇒ K f =

k + 12 α

l2 6αl −12 α

l2 6αl

6αl

4α −6αl

2α

−12 αl2

−6αl

k + 24 αl2

0

6αl

2α 0 8α

mit α = EI l

6. Beispiel: Elastisches System aus Starrkorpern

2 starre Balken 2a, 5 elastische Stutzen c, ⇒ 3 Freiheitsgrade,d = [v1, v2, v3]T zweifach statisch unbestimmt

Mit Hilfe des Freischnitt: 8 Unbekannte: Ax, Ay, B , C , D , E , Gx, Gy

1. Einzelsteifigkeitsmatrix K p aus p = K pv

24



hier: K p = cI, 5x5, d.h. K p =

c 0 0 0 00 c 0 0 00 0 c 0 00 0 0 c 00 0 0 0 c


uA

uB

uC

uD

uE

=

−1 0 0

−12 −1

2 0

0 −1 0

0 −12 −1

2

0 0 −1

A

·v1

v2

v3


=

⇒K f =

c

4 ·

5 1 01 6 1

0 1 5

Anmerkung:

Auch andere Freiheitsgrade wahlbar, z.B. d = [v1, ψ1, ψ2]T

25



Nachtrag:

In der Praxis stets Steifigkeitsmatrizen K f f ur den angelagerten Fallherleiten, z.B. Fachwerk

d = [w1, u1, w2, u2, w3, u3]T , F = [V 1, H 1, V 2, H 2, V 3, H 3]T

f = K f d : K f - 6x6 Matrix

Dann Untersuchung von:

• Belastungsf allen

• verschiedenen Lagerungsf allen

Kondensation von K f :

• durch Einf uhrung zusatzlicher Lager: dr = 0z.B. u2 = 0, w3 = 0, u3 = 0

• durch Weglassen von Belastungen: f v = 0z.B. H 1 = 0, V 2 = 0

1. Kraft- bzw. Belastungskondensation: f 1

0

=

K 11 K 12

K 21 K 22

·

d1

d2

→ f 1 = K 11 · d1 + K 12 · d20 = K 21 · d1 + K 22 · d2

→ d2 = −K −122 · K 21 · d1

→ f 1 =

K 11 − K 12 · K −122 · K 21

−→

f 1 = K f 1 · d1K f 1 = K 11 − K 12 · K −122 · K 21

2. Lagerkondensation: f 1

f 2

=

K 11 K 12

K 21 K 22

·

d1

0

f 1 = K 11 · d1f 2 = K 21 · d1

−→ d1 = K −111 · f 1

f 2 = K 21 · K −1

11 · f 1

26



1.3.5 Einf uhrung in die Fachwerkanalogie

FEM ersetzt Platten, Schalen, Scheiben, etc. approximativ durch Stabmo-delle → Fachwerkanalogie

z.B. Eingespannter Balken als ebene Scheibe: Zur Unter-suchung derKrafteinlei-tung (lokale

Beanspru-chungen)

Einflusse:

• Anzahl und Form der Elemente e, (hier: Wahl eines ebenen Dreieck-elementes)

• Wahl des Ansatzes zur Beschreibung der Verschiebungen und Span-nungen im Element e

Anmerkung:

FEM liefert numerische Naherungsverfahren zwischen:

• Differenzenverfahren (lokale Approximationen)

• globale Approximationen (Ritz – Galerkin, vgl. Fourier – Reihen)

Verschiebungsmethode:

erf ullt exakt die kinematische Vertraglichkeit im Element e, aber nurgenahert die statische Vertraglichkeit (Gleichgewicht) in e

Bedingungen f ur Verschiebungsansatze:

1. keine Spannungen in e bei Starrkorperbewegung

2. Erf ullung der Kompatibilitat an Elementgrenzen

3. Verschiebungen im Element mussen stetig und eindeutig von Knoten-punktverschiebungen abhangig sein (→ Fachwerkanalogie)

4. konstante Spannungsanteile im Element sind in den Verschiebungs-ansatzen enthalten

z.B. Polynomansatze (meist verwendet) :

f (x, y) =ni=0

m j=0

aijxiy j (12)

f ur ebene Probleme; unbekannte Koeffizienten aij so bestimmen, daß dieBedingung 3. erf ullt wird

27



1.3.6 FEM mit Dreieckselement

z.B. ebene Scheibe mit konstanter Dicke t

Dreiecksflache A = 12

1 xi yi1 x j y j1 xm ym

geg: xs, ys : s = i,j,m, Knotenpunkteges: us, vs : s = i,j,m, Verschiebungen der Knotenpunkte

a.) linearer Verschiebungsansatz:

Polynomansatz der einfachsten Art zur Beschreibung der Verschiebun-gen:

u(x, y) = α1 + α2x + α3y

v(x,y, ) = α4 + α5x + α6y

Bestimmung der αk aus Bedingung 3. :

Verschiebungen im Element e eindeutig aus den Knotenpunktverschie-bungen angebbar;

us = α1 + α2xs + α3ysvs = α4 + α5xs + α6ys

s = i,j,m

−→ 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten αi, (i = 1, · · · , 6)−→ kinematische Vertraglichkeit; Kompatibilitat in Matrixschreibweise:

w = N · de

mit Verschiebungsvektoren der Knotenpunkte xs, ys :

u(x, y)

v(x, y) de = dei , de j , demT

des = [us, vs]T

Funktionsmatrix N:

N =

N i 0 N j 0 N m 00 N i 0 N j 0 N m

Formfunktion N s :

N s =1

2A(as + bsx + csy) , s = i,j,m

Koeffizienten der Formfunktionen:

28



ai = x jym − xmy jbi = y j − ymci = xm − x j

⇒ as, bs, cs(s = i,j,m), durch zyklisches Vertauschen der Indizes

b.) Spannungs- und Verzerrungszustande

Verzerrungsvektor : = Bde

=

x

y

γ xy

=

∂u∂x

∂v∂y

∂u∂y

+ ∂v∂x

B =1

2A· bi 0 b j 0 bm 0

0 ci 0 c j 0 cmci bi c j b j cm bm

Spannungsvektor σ : σ = D·

(siehe TM II)

x = 1E

(σx − νy)

y = 1E

(σy − νx)

γ xy = 2e

(1 + ν )τ xy

σx

σy

τ xy

=E

1 − ν 2

1 ν 0

ν 1 0

0 0 1−ν 2

·

x

y

γ xy

(13)

(Hooke’ sches Gesetz f ur den ebenen Spannungszustand)

−→ Stoffgleichung (II) : σ = D · B · de

Elementsteifigkeitsmatrix K ef :

Knotenpunktskrafte am Element e:

f es = [H s, V s]T (s = i,j,m)

f e =

f ei , f e j , f em

T Krafte am Knoten, bzw. am Element

Prinzip der virtuellen Verr¨uckung: W

i= W

a

δW = (δde)T f e =

(V )

(δ)T

(1)

σ (2)

dV =

(V )

(δde)T BT

(1)

DBde

(2)

dV

=⇒ f ur δde = 0 :

f e = K ef · de

und

K ef = (V )

BT DBdV

29



1.3.6 FEM mit Dreieckselement

gegeben: xs, ys : s = i,j,m; t (Dicke), E, ν (Material)

Einzelsteifigkeitsmatrix K eif

1. kinematische Vertraglichkeit: w = N · de

vorgegeben: de =

dei , de j , dem

T , deS = (us, vs)T

berechnet: w = (u(x, y), v(x, y))T →Formfunktion N s :

N s =1

2A(as + bsx + csy) , s = i,j,m

2. Stoffgleichung (Hooke’sches Gesetz) :

=

x

y

γ xy

=

∂u∂x

∂v∂y

∂u∂y

+ ∂v∂x

→ = B · de

B =1

2E ·

bi 0 b j 0 bm 0

0 ci 0 c j 0 cm

ci bi c j b j cm bm

Hooke’sches Gesetz: σ = D ·

σx

σy

τ xy

=

E

1 − ν 2

1 ν 0

ν 1 00 0 1−ν

2

D

·

x

yγ xy

Ergebnis:

σ = D · B · de

30



3. Statische Vertraglichkeit (Gleichgewicht):

f e =

f ei , f e j , f em

T , f es = [U S , V S ]

T

Prinzip der virtuellen Verruckung: W i = W a

δW = (δde)T f e =

(V )

(δ)T (1)

σ (2)

dV =

(V )

(δde)T BT (1)

DBde (2)

dV

=⇒ Fur alle Verschiebungen δde = 0 :

f e = K ef · de

und

K ef =

(V )

BT DBdV

Hier f ur linearen Verschiebungsansatz: K ef = BT · D · B(At)

Analogie : K f = AT · K p · A

2x2 Submatrizen:

K ef =

K eii K eij K eim

K e ji K e jj K e jm

K emi K emj K emm

f e =

f ei

f e j

f em

de =

dei

de j

dem

z.B. :

K eii =E

1 − ν 2· t

4A· b2i + 1−ν

2 c2i1+ν 2 bici

1+ν 2 bici c2i + 1−ν

2 b2i

1.3.7 Gesamtsteifigkeitsmatrix

mittels Uberschiebungsmethode hergeleitet aus Gleichgewicht am Elemente, z.B. Gesamtsystem aus N=3 Elementen und n = 5 Knoten

31



Außere Belastung am i. Knoten: ri = (Rxi, Ryi)T

→ Gleichgewicht am i. Knoten:

Innere Schnittkrafte am i. Knoten durch das Element e: f ei = (U ei , V ei )T

Gleichgewicht der Krafte am i. Knoten:

ri =N e=1

f ei =N e=1

K eiid

ei + K eijde j + K eimdem

mit f ei ≡ 0, e = i, j

In Worten: Nicht summiert, wenn Element e nicht am Knoten i an-schließt, z.B.

r4 = f 24 + f 34

r4 = K 244d4 + K 243d3 + K 241d1 + K 344d4 + K 343d3 + K 345d5

f ur dei = di : gleiche Verschiebungen am i. Knoten,f ur K eij = K ij : gleiche Steifigkeiten am Elementrand ijErgebnis:

r4 = K 41d1 + 2K 43d3 + 2K 44d4 + K 45d5

Uberschiebungsmethode:

Gleichgewicht am Gesamtsystem der außeren Belastungen r = (r1, · · · , rn)T

und Knotenpunktsverschiebungen d = (d1, · · · , dn)T

r = K f d K f = (K ii)

mit

K ii =N e=1

K eij (14)

summiert uber alle Elemente e mit K eij = 0 f ur e = i, j

Element e=1:

r1

r2

r3

r4

r5

K 111 K 112 K 113 0 0

K 121 K 122 K 123 0 0

K 131 K 132 K 133 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Element e=2:

K 211 0 K 213 K 214 0

0 0 0 0 0

K 231 0 K 233 K 234 0

K 241 0 K 243 K 244 0

0 0 0 0 0

32



Element e=3:

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 K 333 K 334 K 335

0 0 K 343 K 344 K 345

0 0 K 353 K 354 K 355

Ergebnis der Uberschiebungsmethode (K ij):

f 1

f 2

f 3

f 4

f 5

=

2K 11 K 12 2K 13 K 14 0

K 21 K 22 K 23 0 0

2K 31 K 32 3K 33 2K 34 K 35

K 41 0 2K 43 2K 44 K 45

0 0 K 53 K 54 K 55

Gesamtsteifigkeitsmatrix K f = (K ij) =

N e=1 K eij , e = i, j

·

d1

d2

d3

d4

d5

33



2 Extremal – Variationsprinzipien

• Maxima - und Minima- Rechnung von f (x, y) (zwei Freiheitsgrade)

Anwendung: Konservative Systeme mit elast. Potential V ges

1. Gleichgewichtszustand δV ges = 0

2. Stabilitat → Minima der Potentiale

3. Naherungen

• Erweitert auf Maxima – und Minima – Rechnung von Funktionalenmittels der Variationsrechnung (= Taylor – Entwicklungen von Poten-tialen) : δW ges = 0

2.1 Einf uhrung in die Variationsrechnung

uber Nachbarschaftsuntersuchungen mittels Taylor – Entwicklungen: Statio-naritat, Minima, Maxima

2.1.1 Extremalkonzepte

Zwei Optimierungsbeispiele:

Maximum einer Funktion Maximum eines FunktionalsA = FlacheU = Umfangs = Bogenlange

gesucht: Werte x und y Funktionen x(s), y(s)

Zielfunktion: A = xy ⇒ M aximum A = F (x(s), y(s)) - Maximum

Nebenbedinung: U = 2(x + y) = const. U (x(s), y(s)) = const. = c

1. Maximum eines Funktionals ≡ Variationsproblem

2. Aussage ”Von allen Kurven mit der Lange c schließt der Kreis diegroßte Flache ein” ist Extremalprinzip

horizontaleTangente →Gleichgewicht

Extremumsarten

Absolute Extrema: x2, x3 ∈ {A, B}Relative Extrema: a, x1, x2, x3, b

Stationare Extrema: x1, x2, x3

Station¨arer Punkt: x

4(Sattelpunkt, kein Extrempunkt)

Anmerkung:

1. Klassische Variationsrechnung untersucht nur stationare Punkte x mithorizontalen Tangenten

2. Nichtstationare Extrema sind z.B. a,b (Randpunkte), mittels linearerProgrammierung (Operations Research)

34



Untersuchung der stationaren Punkte x

lineare Funktion f (x) durch Vergleich mit benachbarten Punkten x = x + ξ

mittels Taylor – Entwicklung in .⇒ f (x()) hangt nur vom Variationsparameter ab, z.B.

f (x, y) = 10x + 12 x2 + y2− 3 x3 + y3− 9xy (x + y)

f (x + ξ,y + η) = f (x, y)+1

1!

∂f

∂xξ +

∂f

∂yη

+

1

2!

∂ 2f

∂x22ξ2 + 2

∂ 2f

∂x∂y2ξη +

∂ 2f

∂y22η2

+· · ·

Der δ – Formalismus

1. Variation:

ξ = δx, η = δy : ∂f =∂f

∂xδx +

∂f

∂yδy

2. Variation:

δ2f = ∂ 2f ∂x2

δx2 + 2 ∂ 2f ∂x∂y

δxδy + ∂ 2f ∂y2

δy2

und ebenso auch Definitive hoherer Variationen.

2.1.2 Extrema von Funktionen

a.) Stationaritatsbedingung:

δf (x1, x2, · · · , xn) = 0 ∂f ∂xk

= 0 f ur k = 1,2, · · ·, n

f ur alle δxk = 0 d.h. n gegeben f ur x

z.B.:

f (x, y) = 10x + 12

x2 + y2

− 3

x3 + y3

− 9xy (x + y)

∂f

∂x= 0 : 10 + 24x − 9x2 − 18xy − 9y2 = 0 (I )

∂f

∂y= 0 : 24y − 9y2 − 9x2 − 18xy = 0 (II )

(I ) 10 + 24(x

−y) = 0

⇒y

−x =

10

24

(II ) 10 + 24(x + y) − 18(x + y)2 = 0 : y + x =2

3± 1

⇒ x1 =5

8, y1 =

25

24x2 =

−3

8, y2 =

1

24

b. Stationare Extrema:

in Verbindung mit der Forderung δf = 0 :−→ x

M in : δ2f |x> 0 M ax : δ2f |x< 0

f ur alle δxk = 0 f ur alle δxk = 0

35



z.B.:

f (x, y) = 10x + 12

x2 + y2

− 3

x3 + y3

− 9xy (x + y)

mit∂ 2f

∂x2=

∂ 2f

∂y2= 24 − 18x − 18y,

∂ 2f

∂x∂y= −18x − 18y

Fur x2 =

−38 , y2 = 1

24

∂ 2f |x2,y2= 30δx2 + 2 · 6δxδy + 30δy2 = 6 (δx + δy)2 + 24

δx2 + δy2

> 0

d.h. ∂ 2f |x2,y2 ist positiv definit ∀δx,δy = 0→ x2, y2 ist stationar und Minimum.Fur x1 = 5

8 , y1 = 2524 :

∂ 2f |x1,y1= −6δx2 − 2 · 30δxδy − 6δy2

z.B. f ur δx = δy ⇒ ∂ 2f |x1,y1= −72δx2

z.B. f ur δx = −δy ⇒ ∂ 2f |x1,y1= +48δx2

d.h. ∂ 2f |x1,y1

ist nicht definit f ¨ur alle δx,δy

= 0

⇒x1

, y1

ist station¨ar,

aber kein Extremum (Sattelpunkt).

Matrizenkriterium:

Eine Matrix A = (ake) ist positiv definit (siehe 1.12), wenn alle Haupt-abschnittsdeterminanten positiv sind, bzw. wenn

k

e

akeηkηe > 0 ∀ ηk, ηe

Angewandt auf δ2f > 0:

δ2f = k

e

∂

2

f ∂xk∂xe

|x δxkδxe > 0

−→ Matrix: A =

∂ 2f ∂xk∂xe

|x

Beispiel:

x1 = 58 , y1 = 25

24 :⇒ A1 =

−6 −30

−30 −6

, ∆1 = −6, ∆2 = 36 − 900

d.h. nicht positiv definit

x2 = −38 , y2 = 1

24 :⇒ A2 =

30 6

6 30

, ∆1 = 30, ∆2 = 900 − 36

d.h. positiv definit ⇒ MinimumAnmerkung: In Elastostatik nur Minima wichtig !

2.1.3 Elemente der Variationsrechnung

a.) Stationaritat eines Funktionals:

Ein Funktional ist eine Abbildung, welche Funktionen einer Konstantenzuordnet, z.B.:

J [y, y] =x1

x0

F y(x), y(x), x dx mit y =dy

dx

36



Hierbei: (i) alle y(x) ∈ C 2 (stetige Ableitungen)(ii) y(x) erf ullt Randbedingungen: y(x0) = y0, y(x1) = y1

geg.: F (x,y,y) und Randbedingungenges.: Funktion y(x) so, daß J [y, y] = stationar

und y(x0) = y0, y(x1) = y1; (Variationsproblem)Stationaritatsuntersuchung mittels Taylor - Entwicklung um y(x), y(x):

J y + η,y + η

=

x1 x0

F

y + η,y + η, x

dx

=

x1 x0

F (y, y, x) +

1

1!

∂F (y, y, x)

∂yη +

∂F (y, y, x)

∂y η

+

+1

2!

∂ 2F

∂y22η2 + 2

∂ 2F

∂y∂y2ηη +

∂ 2F

∂y 22η2

+ · · ·

dx

b.) Euler’sche Gleichung:

Stationaritatsbedingung: J [y, y] bleibt ungeandert, wenn y(x) und η(x)infinitesimal geandert:

δJ =

x1 x0

∂F

∂yη +

∂F

∂y η

dx = 0

Neue Randbedingungen: η(x0) = 0, η(x1) = 0 , weil

y(x0) + η(x0) = y0, y(x1) + η(x1) = y1

Umformung von δJ durch partielle Integration um η(x) auf η(x)

zuruckzuf uhren f ur [· · ·]η(x) = 0

Regel f ur partielle Integration:

x1 x0

uvdx = [uv]x1x0 −x1 x0

uvdx (15)

angewandt mit v(x) = η(x):

δJ =

x1 x0

∂F

∂y−

∂F

∂y

η(x)dx +

∂F

∂y η

x1x0

=0, RB

= 0

Fur η(x) = 0 :Euler’sche Gleichung: (notwendig f ur Extremum (siehe TM III,2))

∂F

∂y− d

dx

∂F

∂y

= 0 (16)

Randbedingungen: y(x0) = y0, y(x1) = y1

37



Ergebnis:

1. Stationare Funktionen : Losung algebraischer Gleichungen

2. Stationare Funktionale: Losung von Differentialgleichungen

c.) Der δ – Formalismus:

Vereifachte Rechnung: η(x) = δy(x), η(x) = δy (x)angewandt auf erste Variation δJ :

δJ =

x1 x0

∂F

∂y−

∂F

∂y

η(x)dx +

∂F

∂y η

x1x0

= 0

δJ =

x1 x0

∂F

∂y−

∂F

∂y

δydx +

∂F

∂y δy

x1x0

= 0

−→ δJ =

x1 x0

∂F

∂yδy +

∂F

∂y

δy

dx = 0

−→ δ

x1 x0

F dx = 0

Daraus folgt: Vertauschbarkeitsregeln f ur lineare Operationen:

δ

F dx =

δF dx δ

dy

dx=

d

dxδy

Zweite Variation:

δ2J =

x1

x0

∂ 2F

∂y2

δy2 + 2∂ 2F

∂y∂yδyδy +

∂ 2F

∂y 2 δy 2 dx

Beachte:

Variation δ bezieht sich nur auf Anderung von y(x) (abhangige Variati-on). Anderung von x (unabhangige Variable) ist nicht moglich (physikalischsinnlos).

d.) Stabilitat eines Druckstabes:

Randbedingungen:w(0) = w(l) = 0 bzw. w(x) ≡ 0 f ur P < P krit

w(x) = 0 f ur P > P kritw(0) = w(l) = 0

• Gesamtpotential (siehe 2.2)

V [w(x)] =

l 0

1

2EI w2(x)

Biegearbeit

Biegemoment EIw(x)=−M (x)

− 1

2P 0w2(x)

Biegemoment EIw(x)=−M (x)

dx

Gesucht: w(x)

= 0 f ur das V [w] = stationar

→krit. Last P 0,krit (Er-

klarung siehe 2.2.3)

38



• Erste Variation δV = 0:

= Taylor – Entwicklung nach den Freiheitsgraden w(x)

= virtuelle Verruckung

= Differentiation nach abhangigen Variablen w, w, w und nicht nachder unabhangigen Variablen x (kein Freiheitsgrad)

δV ges =

l 0

12 EI · 2 · w(x) · δw(x) − 12 P · 2 · w(x)δw(x) dx

Zur Auswertung mussen δw und δw auf ein gemeinsames δw zuruck-gef uhrt werden.

• Partielle Integration f ur δw und δw ⇒ δw

l 0

EI w(x)

u(x)

δw (x)

v(x)

dx = EI w(x)δw(x)l0−

l 0

EI w(x)

Beachte:EI =(EI )(x)

δw(x)dx

Ergebnis:

δV ges =

EI w(x)δw(x)l0 −

l 0

EI w(x)

+ P w(x)

u(x)

δw(x)

v(x)

dx = 0

zweite partielle Integration, Ergebnis:

δV ges =

EI w(x)δw(x)

l

0 −

EI w(x)

+ P w(x)

δw(x)l0

+

l 0

EI w(x)

+ P w(x)

δw(x)dx = 0

Fur δw(x) = 0 : Euler’sche Gleichung (Verformungsgleichung):EI w(x)

+ P w(x) = 0

lineare Dgl. 4. Ordnung (→ 4 Integrationskonstanten → 4 RB.) ∀x : 0 ≤x ≤ l

Randbedingungen:

Randterme = Produkt aus geometrischen Randbedingungen w(x)|l0 , w(x)|l0und dynamischen Randbedingungen:

Biegemomente: EI w(x)|l0; Querkrafte EI w(x)|l0Randterme:

EI w(x)δw(x)

l0 −

EI w(x)

+ P w(x)

δw(x)

l0

= 0

– Fur δw(x = 0) = 0 = δw(x = l) : w(x = 0) = w(x = l) = 0

– Fur [EI w(x)] + P w(x)

l

0= 0: w(x = 0) = w(x = l) = 0

– (Anmerkung: EI w(0) = 0,E I w(l) = 0 : Auflagerkrafte)

39



– Anmerkung: Variationsrechnung liefert Verformungsgleichungenund Randbedingungen in Produktform.

• Randwertproblem

w(x) + ν 2w(x) = 0 mit ν 2 =P

EI

→ w(x) = C 1 sin(νx) + C 2 cos(νx)

−→ w(x) = C 4 + C 3x −1

ν 2 (C 1 sin(νx) + C 2 cos(νx))

2.2 Variationsmethoden der Elastostatik

2.2.1 Arbeit und Potential von Kraften

Arbeit einer außeren Kraft (siehe TM I)

W a =s1 s0

F ds

ds =

dx

dy

; F =

F x(x, y)

F y(x, y)

;

W a =

(K 1)

(F xdx + F ydy) =

(K 2)

(F xdx + F ydy) ,

d.h.: Arbeit s0 → s1 ist im allg. wegabhangig.Wenn ein totales Differential dU existiert, =⇒

W a =

s1 s0

F ds =

(K )

(F xdx + F ydy) ≡U 1

U 0

dU = [U (x, y)]U 1U 0

dU (x, y) = F xdx + F ydy

dU (x, y) = ∂U ∂x

dx + ∂U ∂y

dy Falls dU vorhanden: ⇒ Wegunabhangigkeit

Koeffizientenvergleich: → Integrabilitatsbedingung

∂U

∂x= F x,

∂U

∂y= F y;

∂ 2U

∂x∂y:

∂F x

∂y=

∂F y

∂x

Ist die Integrabilitatsbedingung erf ullt, dann besitzt F ein Potential V a:

V a = −W a

Elastische Federpotentiale

Arbeit der inneren Krafte W i = Formanderungsarbeit

Dehnfeder: W i =x 0

−F idζ =x 0

−cζdζ

W i = −12cx2; V i = 1

2cx2; F i = −cx

Ebenso Drehfeder:

M i = −cdϕ; V i =12cdϕ

2

40



Elastisches Potential eines DruckstabesBernoulli – Hypothese (siehe TM II):

z = − zϕ Faserdehnung

σz = Ez Hooke’sches Gesetz

⇒ Schnittgroßen N = EA, M = −EI ϕ

Arbeit am Element:W i = − zo σzdz = −1

2E2z

Gesamtarbeit und Potential : V i = −W i :

V i =

l0

1

2EA2 +

1

2EI ϕ2

dx =

l0

N 2

2EA+

M 2

2EI

dx

Verschiebungen w(x), u(x)

Verformungen , ϕ ⇐⇒ Verschiebungen w, u

ϕ = arctan dwdx+du

=√

dw2+(dx+du)2−dxdx

Fur: w(x) 1 gerade Stabachse: w0(x) = 0u(x) 1 Langsverformung: u0(x) ≈ 0

V i =1

2

l0

{EA(u

Dehnarbeit

+1

2w2 + · · ·)2

Koppelterm

+(EI w + · · ·)2 Biegearbeit

}dx

Biegepotential eines Druckstabes

Eigengewicht q0, Druckkraft P

V ges = P u(l) −

Arbeit − l0

u(x) q0dx

Kraftanteil

Potential

+1

2

l0

EA

u +

1

2w2

2+ EI w2

dx

1. Variationen in w(x) und u(x):

δV ges = P δu(l) +

l 0

q0δu(x)dx +

l 0

EI

δwwdx

+

l

0 EAu +1

2w2

δu + wδw

dx = 0

∀δu(x), δv(x)

= 0

41



• Erste Variation des Biegepotentials:

δV ges,Biegung =

l 0

EI wδw dx +

l 0

EA

u +

1

2w2

δwdx = 0

• Erste Variation des Dehnfederpotentials:

δV ges,Dehnung = P δu(l)+

l 0

q0δu(x) + EA

u + 1

2w2 δu dx = 0

• Partielle Integration: δu → δu

V ges,Dehnung = P δu(l) +

EA

u +

1

2w2

δu

lx=0

+

l 0

q0 − EA

u +

1

2w2

δudx = 0

−→– Verformungsgleichung: EA

u + 1

2w2 − q0 = 0

– u(x = 0) = 0

– u(x = l) = 0 → δu(x = l) = 0

– =⇒ P + EA

u + 12w2

x=l

= 0

• Integration der Verformungsgleichung:

EA

u +

1

2w2

= q0x + C

Bestimmung der Integrationskonstanten durch Anpassung an dieRandbedingungen:

EA

u +

1

2w2

x=l

=−P, nach 2.

= q0l + C

→ Erste Integration der Verformungsgleichung fertig:

EA

u +

1

2w2

= q0x − P − q0l

=⇒ Verkurztes Biegepotential:

δV ges,Biegung =

l 0

EI wδw Biegearbeit

− (q0(l − x) + P ) wδw

Arbeit der außeren Krafte

dx = 0

V ges =1

2

l 0

EI w2 − [q0(l − x) + P ] w2

dx

42



2.2.2 Prinzip der virtuellen Verruckung (Arbeit)

• Gleichgewichtsprinzip

Ein elastisches System ist im Gleichgewicht, wenn bei einer virtuel-len Verruckung die Summe der virtuellen Arbeiten der außeren undinneren Krafte verschwindet:

δW a + δW i = 0, =⇒ δW a − δV i = 0

Virtuelle Verruckung ist erste Variation:infinitesimale, gedachte Verschiebung am System, welche mit seinenBindungen vertraglich ist.

• Prinzip vom stationaren Wert des Potentials

Vor.: Arbeit der außeren Krafte ist wegunabhangig, =⇒

V a = −W a → konservative Systeme

δW a − δV i = 0 ⇒ δ (V a + V i) = δV ges = 0

Im Gleichgewicht besitzt das Gesamtpotential elastischer, konservati-ver Systeme einen stationaren Wert:

V ges = stat.

• Beispiel (siehe Beiblatt)

Elastisches System mit zwei Freiheitsgraden:nichtkonservativ, nichtlinear =⇒ Gleichgewicht

2.2.3 Stabilitat konservativer Systeme

Geg.: Gesamtpotential V (h, k)elast. konservatives SystemZwei Freiheitsgrade =zwei Lageparameter: h,k

1. Berechnung der Gleichgewichtslagen h0, k0 aus

δV (h, k) = δV δh

δh + δV δk

δk = 0

2. Stabilitatsuntersuchung uber Variation des Potentials bei konstanterLast P an der Stelle h0, k0.

3. Satz von Lagrange – Dirichlet V = Min

Das Gesamtpotential konservativer Systeme besitzt f ur stabile Gleich-gewichtslagen h0, k0 ein Minimum.

43



Stabilitat von h0, k0: Bei Verruckung aus h0, k0: wird Energie zugef uhrtδ2V (h0, k0) > 0

Instabilitatvon h0, k0: System verlaßt h0, k0, weil Energie frei wird.δ2V (h0, k0) < 0

Indifferenz von h0, k0: Weder Zu- noch Abfuhr von Energie bei h0, k0δ2V (h0, k0) = 0

=⇒ Notwendige Bindung f ur Stabilitatsgrenze; hinreichend, wenn δ2V das Vorzeichen wechselt.

Auswertung des Stabilitatssatzes

Bei diskreten Systemen (FEM – Approximation) mittels Matrizenkrite-rium:

δ2V (h1,0, h2,0, · · · , hn,0) > 0 =⇒ A =

δ2V

δhiδh j

hj0

positiv definit

Beispiel: siehe Beiblatt

Vereinfachte Auswertung der Indifferenz

Wenn h0 bereits bekannt, z.B. h0 = 0, und nur noch Stabilitat zu uber-prufen ist, dann

1. Taylor – Entwicklung mit h = h0 + ∆h :

V (h0 + ∆h) = V (h0)

=const.

+1

1

δV

δh

h0

=0 aus δV (h0)=0

∆h +1

2

δ2V

δh2

h0

(∆h)2

variiert

+ · · ·

2. Variation von V (h0 + ∆h) bezuglich ∆h:

δV (h0 + ∆h) =δV

δ(∆h)δ(∆h) =

1

2!

δ2V

δh2

h0

2∆hδ(∆h) = 0

Satz: Indifferenzkriterium δ2V δh2

h0

= 0 bzw. δV (h0+∆h)δ(∆h) = 0

ist gleich erster Variation der Taylor – Entwicklung δV δ(∆h) = 0

Beispiel: Eingespannter Druckstab unter Einzellast:

Gesamtpotential, entwickelt um w(x) = 0:

V ges(w) =l 0

12

EI w2(x)

Biegepotential

− P w2(x)

Potential außere Kraft

dx

(gegeben)gesucht: P krit→ Auswertung des Indifferenzkriteriums δV ges = 0

1. Variationen:

δV ges

(w) = EI w

δw

(x)−

P w(x)δw

(x) dx = 0

44



2. Partielle Integration: δw(x) → δw(x)

l 0

EI wδw dx = EI wδw(x)l0 −

l 0

EI w δwdx

3. Partielle Integration: δw(x) → δw(x)

EI w + P w(x) δwdx

=

EI w + P w(x)

δwlx=0

−l

0

EI w +

P w(x)

δwdx

4. Randwertproblem: Verformungsgleichung + RB :

δV ges =

EI w(x)δw(x)lx=0 −

EI w + P w(x)

δw

lx=0

+

l 0

EI w + P w(x) δwdx = 0

Aus δw(x) = 0 folgt:EI w+P w(x)

= 0 Verformungsgleichung (Euler), Dgl. 4. Ordnung

spezieller Fall: EI = const. :

EI w + P w = 0 und mit ν 2 =P

EI :

w + ν 2w = 0

→ w(x) = A cos(νx) + B sin(νx)

→ w(x) = D + Cx − 1

ν 2[A cos(νx) + B sin(νx)]

4 Randbedingungen:

(a) Geometrische Randbedingungen:

w(

x= 0) = 0

w(

x= 0) = 0

(b) Dynamische Randbedingungen:

δw(x = l) = 0 ⇒ EI w + P wx=l

= 0

δw(x = l) = 0 → EI wx=l

= 0

45



2.3 Naherungsverfahren

modale Verfahren nach Ritz und Galerkin

→ gute Naherungen f ur Eigenwerte (→ kritische Lasten)

2.3.1 Ritz’sche Verfahren

Fur konservative Systeme mit Gesamtpotential V:

V (w) = M in! (Extremalprinzip)

δV (w) = 0 (V ariationsprinzip)

Bisher:

l 0

L[w(x)] linearer Differentialoperator

δw(x)dx + R [w(x)]l0 linearer Randwertausdruck

= 0

δw(x) = 0 :−→ L[w(x)] = 0

Verformungsgleichung, z.B.

w(x) + ν 2w(x) = 0

R[w(x)]l0 = 0 ⇒ [· · ·]δw(x) |x=l −[· · ·]δw(x) |x=0 +[· · ·]δw(x) |x=l −[· · ·]δw (x) |x=l= 0

Stets Produkte aus dynamischen und geometrischen Randbedingungen:

dynamisch: Querkrafte geometrisch: Durchbiegung

Momente Tangente

w(0) = 0

w(0) = 0w(l) = 0 → [· · ·] = 0w(l) = 0 → [· · ·] = 0

Ritz’sche Gleichungen

Naherung mittels Ritz – Ansatze:

w(x) =n

k=1

ρkϕk(x)

mit ϕk(x) gewahlte Ansatzfunktionen, die R[w(x)]l0 = 0 erf ullen. ρk sind

noch unbekannte Koeffizienten (Freiheitsgrade des Systems), z.B. ϕk(x) =sin

πl

kx

, k = 1, 2, 3, · · ·Auswertung:

V (ρ1, ρ2, · · · ρn) = M in! =⇒ ∂V

∂ρk

= 0 f ur k = 1, 2, 3, · · · , n

δV (ρ1, ρ2, · · · ρn) = 0 =⇒n

k=1

∂V

∂ρk

δρk = 0

Ritz’sche Gleichungen

Wahl der Zusatzfunktionen ϕk(x)

46



1. Eigenfunktionen erf ullen Dgl. L[w(x)] = 0 und Randbedingungen R[w(x)]l0 = 0

2. Vergleichsfunktionen erf ullen alle Randbedingungen

3. zulassige Funktionen erf ullen alle geometrischen Randbedingungen

Anmerkung:

Bei konservativen Problemen sind zulassige Funktionen ausreichend, weil

R[w(x)]l0 = geometrische x dynamische Randbedingungen.

Beispiel: Stab unter Eigengewicht

ges.: kritisches Gewicht q0,krit = ?

geg.: V (w(x)) = l0

12EI w2(x) − 1

2q0(l − x)w2(x)

dx

f ur w0(x) ≡ 0

•Indifferenzkriterium: δV (∆w) = 0

δV =

l 0

EI w(x)δw(x) − q0(l − x)w(x)δw(x)

dx = 0

• Produktintegrationen: δw, δw −→ δw

• Ergebnis: Verformungsgleichung (δw(x) = 0 f ur 0 < x < l)

EI w + q0(l − x)w(x)

= 0

• Randbedingungen: w(0) = w(0) = 0, w(l) = w(l) = 0

– Losung der Differentialgleichung: Besselfunktionen

– Anpassung der Randbedingungen: Determinante = 0

• Ergebnis:

q0,I = 18.57EI

l3, q0,II = 86, 30

EI

l3, q0,III = · · ·

Eingliedriger Ritz – Ansatz: w(x) = ρ1 · ϕ1(x)

ϕ1(x) = xl1 − x

l ϕ1(x) = sin π x

l

zulassige Funktion Vergleichsfunktion

ϕ1(0) = ϕ1(l) = 0√

ϕ1(0) = ϕ1(l) = 0√

ϕ1(x) = − 2

l2ϕ1(0) = ϕ

1(l) = 0√

ϕ1(x) = − πl 2 sin π

x

l 47



eingesetzt:

V =1

2ρ21

l 0

EI ϕ2

1 (x) − q0(l − x)ϕ21 (x)

dx

∂V

∂ρ1= ρ1

l

0 EI ϕ21 (x) − q0(l − x)ϕ2

1 (x) dx = 0

f ur ρ1 = 0 :l

0

EI ϕ2

1 (x) − q0(l − x)ϕ21 (x)

dx = 0

Ergebnis: Rayleigh – Quotient als Sonderfall des Ritz – Verfahrens:

q0,krit =

l 0

EI ϕ21 (x)dx

l

0 (l

−x)ϕ2

1 (x)dx

⇒ (q0,krit)Parabel= 24

EI

l3, Fehler : 30%

⇒ (q0,krit)Sinus = 19.74EI

l3, Fehler : 6%

Zweigliedriger Ritz – Ansatz:

w(x) = ρ1 sin

π

x

l

+ ρ2 sin

2π

x

l

(V ergleichsfunktion)

→ V (ρ1, ρ2) =EI

l3π4

4

ρ21 + 16ρ22

− π2

8q0

ρ21 +

160

9π2ρ1ρ2 + 4ρ22

Indifferenz – Kriterium: → Ritz – Gleichungen

∂V

∂ρ1= 0 ⇒

EI

l3π4

2− π2

4q0

ρ1 − 20

9q0ρ2 = 0

∂V

∂ρ2= 0 ⇒ 20

9q0ρ1 +

EI

l38π4 − π2q0

ρ2 = 0

Fur ρ1, ρ2 = 0 → ∆ = 0 ⇒ quadratische Gleichung in q0

Ergebnis: q0,I = 18, 58EI l3 , q0,II = 105, 22EI

l3

Anmerkung:

1. Konvergenz des Ritz – Verfahrens ist gesichert, wenn die Ansatzfunk-tionen ϕk(x) zulassig und vollstandig sind.

2. Praktische Berechnung der ersten kritischen Last mit zwei Vergleichs-funktionen bzw. drei zulassigen Funktionen

48



2.3.2 Galerkin – Verfahren

(liefern Losungen f ur nichtkonservative Probleme.)Struktur praktischer Probleme in Operatoren - Schreibweise:z.B.

EI w(x) + q0(l − x)w(x)

= 0

→ L [w(x)] = EI

d4

dx4 + q0(l − x)

d2

dx2 − q0d

dxw(x)

→ M [y(x)] = λN [y(x)] , y(x) = ?, mit λ − Eigenwert

M [y] =n

ν =0

(−1)ν

f ν (y)y(ν )(x)(ν )

, Abk. : y(ν )(x) =dν y(x)

dxν

N [y] =n

ν =0

(−

1)ν gν

(y)y(ν )(x)(ν )Randbedingungen: a ≤ x ≤ b

U ν [y] =2n−1ν =0

αν y

(ν )(a) + β ν y(ν )(b)

= 0

Entwicklungssatz (Weierstraß)

Die Entwicklung

y(x) =n

k=1ρkϕk(x)

konvergiert f ur n → ∞ gleichmaßig und absolut gegen die strenge Losung,wenn ϕk(x) Vergleichsfunktionen sind und ein vollstandiges Funktionensy-stem bilden.

Galerkin – Gleichungen:

M [y(x)] = λN [y(x)]

→n

k=1ρk {M [ϕk(x)] − λN [ϕk(x)]} = 0

·ϕi(x),

b

a· · · dx

nk=1

ρk

b a

ϕi(x) {M [ϕk(x)] − λN [ϕk(x)]} dx = 0

49



Galerkin – Gleichungen: (eingesetzt in Dgl. f ur abzahlbar viele x)

nk=1

ρk

b a

ϕi(x) {M [ϕk(x)] − λN [ϕk(x)]} dx = 0

→ n algebraische Gleichungen f ur ρkBeispiel: Stab unter Eigengewicht (siehe Ritz – Verfahren)

Verformungsgleichung: EI w(x) + q0 [(l − x)w(x)] = 0

Randbedingungen: w(0) = w(l) = 0, w(0) = w(l) = 0

Galerkin – Ansatz:

w(x) = ρ1 sin

π

x

l

+ ρ2 sin

2π

x

l

+ · · ·

nk=1

ρk ·l

0

ϕi(x)

EI ϕk (x) + q0

(l − x)ϕ

k(x)

dx = 0

mit ϕk(x) = sin

kπ xl

f ur k,i = 1,2, ...

⇒2

k=1

ρk

l 0

sin

iπ

x

l

·

EI

k

x

l

4· sin

kπ

x

l

−q0(l − x)kx

l 2

· sinkπx

l − q0kx

l coskπx

l

dx = 0

Wobei gilt:l

0

sin2

πx

l

dx =

1

2l

l 0

(l − x)sin2

πx

l

dx =

1

4l2

l 0

(l − x)sinπ xl sin2π x

l dx = 8

9 l

π2

l 0

sin

π

x

l

cos

2π

x

l

dx = −2

3

l

π

(alle anderen Integrale ≡ 0).⇒ Galerkin – Gleichungen:

ρ1 EI π

l 4 1

2 l − q0 π

l 2 1

4 l

2− ρ2q0 2

π

l 2 8

9

l2

π2 − 2

π

l

2

3

l

π = 0

50



symmetrisch:

−20

9q0ρ1 +

EI

2

π

l

4 1

2l − q0

2

π

l

2 1

4l2

ρ2 = 0

Zwei lineare homogene Gleichungen f ur ρ1, ρ2 = 0 → det(q0) = 0

→q0,I = 18.57

EI

l3,...

Konstruktion eines vollstandigen Funktionensystems

w(x) =n

k=0

ρkϕk(x)

das alle Randbedingungen erf ullt. Aus losbaren Hilfsproblemen der gleichenOrdnung, z.B. bei Staben:

ϕk (x) − λ4ϕk(x) = 0

anstelle von komplizierten Dgl.

ϕk(x) = A sin(λx) + B cos(λx) + C sinh(λx) + D cosh(λx)

oder : ϕ

k (x) + λ2ϕk(x) = 0

Damit sind alle Randbedingungen erf ullt ⇒ Vergleichsfunktionen.

51



3 Tensor – Rechnung

• Tensoralgebra : Vektorrechnung, Elastizitatstheorie

• Tensoranalysis: krummlinige Koordinatensysteme

3.1 Affine Koordinaten

3.1.1 Einleitung

geg.: Vektoren a, b

ges.: c = a + b symbolische,anschau-licheMethoden

koordinaten unabhangig durchf uhrbar (Vektorparallelogramm)

koordinaten abhangig:

c =

ax + bx

ay + by

(analytisch formal)

Koordinatensysteme sind vorteilhaft bei komplizierten Problemen, aber:Koordinatensysteme sind nicht eindeutig, sondern willkurlich wahlbar (Des-cartes) (z.B. kartesich, polar, ...)

• Invarianten sind von den Koordinatensystemen unabhangig, z.B.

– invariante Zahlen (Skalare) : Temperatur, Dichte, ...

– invariante Pfeile (Vektoren): Krafte, Geschwindigkeiten, ...

• Hauptfrage der Tensorrechnung:

Wie ist mit Koordinaten zu rechnen, damit Invarianz physikalischerGroßen gesichert bleibt?

• Hierzu eine erweiterte Indizierung durch hoch- und tiefgestellt Indizes,z.B.

Kroneckersymbol: δ jk = δ jk = δ.k j = δk.j =

1 f ur j = k

0 f ur j = k

• Summationsregeln: (Ricci – Kalkul)Wenn in einem Ausdruck ohne Operationszeichen (+,-) ein Index so-wohl oben als auch unten vorkommt, dann soll daruber summiert wer-den, z.B.

a j j =

n j=1

a j j = a11 + a22 + · · · + ann

a jb j =n

j=1

a jb j = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn

akδk j =n

j=1

akδk j = a1δ1 j + a2δ2 j + · · · + a jδ j j + · · · + anδn j

⇒ Ausblendeigenschaft des Kronecker – Symbols:

akδk j = a jδ

j

j = a j

52



Keine Summe:

a j + b j , weil mit + (bzw. -) zwei Ausdrucke miteinander verknupft sind.

ni=1 aii = a11 + a22 + · · · + ann , weil gleiche Indizes i nicht gegenstandig sind

a\ jb\ j , weil gegenstandige Indizes durchgestrichen sind.

3.1.2 Koordinatensysteme

• kartesische Koordinatensysteme:

Basisvektoren eα, α ∈ {x,y,z}

normiert: | eα |= 1

rechwinklig (orthogonal) : eα · eβ = δαβ

mit eα · eβ =| eα | · | eβ | · cos(eα, eβ )

Darstellung von Vektoren f :

Koordinaten von f : f

Komponenten von f : f \αe\α

f = f αeα = f \xe

\x

+ f \ye

\y

Benennung der rechtsstehenden Indizes:unten : kovariantoben : Kontravariant

...

b.) affine (krummlinige) Koordinaten

Basisvektoren e j mit j ∈ {x ,y ,z}schiefwinklig (affin), i.a. nicht normiert(und nicht orthogonal)linear unabhangig, d.h. e j sind nichtkomplanar (nicht in einer Ebene)

=⇒ e1, e2, e3 bilden eine kovariante Basis.

Darstellung eines Vektors f :

53



nur durch Parallelprojektion

(Parallelogramm - Gesetz)

(nicht Orthogonalprojektion)

f = f 1e1 + f 2e2 + f 3e3 = f je j

Skalarprodukt:

kartesich: a · b = axbx + ayby + azbz

affin: a · b = |a|| b| · cos (a b)

Einf uhrung der Orthogonalitat durch kontravariante Basis e j :

Definition Orthogonalitat (Schlusselgleichung):

e j

·ek

= δ j

k

Deswegen unten und oben indiziert !

Angabe der Richungen, z.B. f ur e2:

1. e2 · e1 = δ21 = 0 , d.h. e2 ⊥ e1

2. e2 · e2 = δ22 = 1 , d.h. (e2, e2) ≤ 90◦

Darstellung des Vektors f :

f = f 1e1 + f 2e2 = f je j

Invarianz – Forderung:

f = f je j = f je j

Ergebnis:

1. f ist stets paarweise darstellbar: f j , f j

2. f j ist von e j abhangig, weil i.a. |e j | = 1

3. Berechnung

f je j = f je j sinnlos (nicht invariant)

Kongrediente Systeme:

• e j kovariante Basis, f j kontravariante Koordinaten

• e j kontravariante Basis, f j kovariante Koordinaten

Sonderfall: kartesische Koordinaten:

eα = eα, f α = f α, mit α ∈ {x,y,z}

54



3.1.3 Metrische Grundgroßen g

f ur Langen - Flachen - Volumenberechnungen und Koordinatentransforma-tionen:

Skalarprodukt:

kartesich: a · b = axbx + ayby + azbz

allgemein: a · b = |a|| b| · cos (a b)

1. Definition der Grundgroßen:Skalarprodukt zweier Basisvektoren =⇒ 3x3 - Matrix

g jk = e j · ek

(g jk) =

g11 g12 g13

g21 g22 g23

g31 g32 g33

Speziell:

gij = |ei| · |e j | · cos (ei, e j)

f ur i = j:g jj = |e j | · |e j | · cos0◦

=⇒ |e j | =√

g jj

Beispiel:

geg.: e1 = exe2 = ex + ey

ges.: gij = ei · e j mit i,j = 1,2

(gij) =

e1 · e1 e1 · e2

e2 · e1 e2 · e2

=

1 1

1 2

−→ |e1| = 1, |e2| = √2

2. Eigenschaften der Metrik:

kovariant kontravariant gemischt

e j · ek = g jk e j · ek = g jk e j · e j ≡ δ jk

(Schlusselgleichung)

=⇒ Symmetrieeigenschaften:

e j · ek = ek · e j , e j

· ek

= ek

· e j

55



3. Entwicklung einer Basis:Aufgabe: Zerlegung von e j in die Kovariante elAnsatz:

e j = a jl · el, a jl =? (Entwicklungskoeffizienten)

Losung mittels der Orthogonalitat:

e j = a jl · el | · ek

⇒ e j · ek = a jl · el · ek = a jl · δklAusblendeigenschaft

==== a jk

Ergebnis−→ a jk = e j · ek = g jk

Ebenso f ur weitere Zerlegungsaufgaben:

e j = g jk · ek e j = g jk · ek

4. Umrechnung von Vektorkoordinaten

f = f k · ek = f l · el | · e j

f k · ek · e j = f l · el · e j

f k · gkj = f l · δ jl = f j

Ergebnis:

f j = g jk · f k f j = g jk · f k

ZusammenfassungAufbau eines affinen Koordinatensystems:

Definition: e j · ek = δ jk

gegeben: e j , f j , j ∈ {1, 2, 3}gesucht:

1. gij = ei · e j ⇒| e j |= √g jj

2. gij = (gij)−1 ⇒| e j |= g jj

3. e j = g jk·

ek, f j = g jk·

f k

Herleitung von

gij

= (gij)−1:

e j = g jk · ek | ·em e j · em = g jk · ek · em

⇒ δ jm = g jk · gkm ⇒ E =

g jk

· (gkm) | · (gkm)−1

E · (gkm)−1 =

g jk

· (gkm) · (gkm)−1 =

g jk

(gkm)−1 = g jk56



Inneres Produkt zweier Vektoren:

gegeben: u = ui · ei = ui · ei

v = v j · e j = v j · e j

gesucht: u · v = ui · ei · v j · e j = uiv jgij

= ui · ei · v j · e j = uiv j · δi j = uiv

i

z.B. 2 - dimensional :

u·v = uiv jgij = ui·

v1gi1 + v2gi2

= u1v1g11+u2v1g21+u1v2g12+u2v2g22 (Doppelsumme)

u·v = uivi = u1v1+u2v2 (wie bei kartesischen Koordinaten, Einfachsumme)

Normierung von Basisvektoren:

Einf uhrung normierter Basisvektoren e j stets am Schluß einer Rechnung.Definition:

e j =e j

| e j |angewandt: u = u j

·e j = uj

·ej

|ej | ⇒u j = uj

|ej |

=⇒ Ergebnis: uj = u\ j · | e\ j | mit | e j |= √g jj

Tensorkoordinaten: u j ⇐⇒ physikalische Koordinaten uj

3.1.4 Permutationssymbol (Ricci – Symbol)

Voraussetzung: e1, e2, e3 bilden Rechtssystem.

• Definition des – Symbols:

Spatprodukt,gem. Produkt

jkl = (e j , ek, el) = (e j × ek) · el

jkl =

e j , ek, el

=

e j × ek

· el

– Symbol bestimmt das Vektorprodukt zweier Basisvektoren:

e j × ek = jkm · em

Zur Zerlegung des Vektors e j × ek in drei Richtungen em multipliziertmit el :

(e j×

ek)·

el = jkm·

em

·e j = jkm

·δm

l

= jkl

Eigenschaften von jkl : 3 × 3 × 3−Matrix, 27 Elemente

jkl = 0 wenn zwei gleiche Indizes vorkommen, z.B. 112 = 0123 = 231 = 312 (zyklisches Vertauschen)123 = −132 einfaches Vertauschen

⇒ Fur alle 27 Elemente braucht man nur den Zahlenwert 123.

57



• Elementarvolumen der Basis:

V = (e1, e2, e3) = 123 =

det (g jk)

V = (e1, e2, e3) = 123 =

det (g jk)

Beweis:

V = e3 · (e1 × e2) = (e1 × e2) · e3 = e3· | e1 | · | e2 | · sin α12 · e3

| e3 |

mit sin2 α12 = 1 − cos2 α12 und g12 =| e1 | · | e2 | · cos α12

⇒ V 2 = g11g22 ·

1 − g212g11g22

· δ33 · 1

g33

det (g jk) =1

g33·

g11g22 − g212

q.e.d.

• Außeres Produkt zweier Vektoren:

gegeben: u = u j · e j , v = vk · ek

gesucht: w = u × v

⇒ w = u jvk

e j × ek

3 -fach-Summe: w = u j · vk · jkl · el

• Volumen- und Flachenberechnung:

V = (u, v, w), Spatprodukt

geg.: u = u j · e j

v = vk · ek

w = wl · ew

(3 -fach-Summe)V =

u je j , vkek, wlel

= u j · vk · wl · (e j , ek, el) = u jvkwl · jkl

A =| u × v | −→ A2 = (u × v) · (u × v)

A2 =

u jvke j × ek

·

umvn em × en

A2 =

u jvk jkl · el

· (umvnmnp · e p)

mit el · e p = δl p

=⇒ A2 = u jvk jkl · umvn · mnl(5 -fach-Summe)

58



3.1.5 Koordinatentransformation

Vorgehensweise:

Zuerst Transformation der Basen, dann Transformation der Koordina-ten !!

• Transformationskoeffizienten a:

altes Koordinatensystem eα, eβ , z.B. kartesisch

neues KOS: ei, e j , z.B. affin

– Basis – Transformation: e j = a.α j eα

– Rucktransformation: eα = a.jαe j

– Berechnung der Transformatiosgroßen a: a.αJ = e j · eα

– Inversion der T – Großen:

a.kα

= (a.αk )−1

– Transposition der T – Großen: ak.α = a.kα

T Merkregel:

Es gelten die gleichen Bildungsvorschriften f ur die metrischen Grund-großen g und die Transformationskoeffizienten a, z.B.:

gij = ei · e j aαj = eα · e j

gij = ei · e j aαj = eα · e j

3.2 Tensoren

Beispiele:

• Tensor 0. Stufe: Skalar ohne Index

• Tensor 1. Stufe: Vektor mit einem Index

• Tensor 2. Stufe: Dyade mit zwei Indizes

3.2.1 Dyade (Tensor zweiter Stufe)

1. Anschauliche Definition:

mittels linearer Vektorabbildung:Eindeutige, koordinaten - unabangige Zuordnung zweier Vektoren u

und u mit den Eigenschaften:

• u −→ u

• αu = α u

• u + v −→ u + v

z.B. Spiegelung an der ex, ez - Ebene:

59



mit: ux = ux

uy = −uy

uz = uz

→ lineare Vektorabbildung uα = tα.β uβ

ux = 1 · ux + 0 · uy + 0 · uz

uy = 0 · ux − 1 · uy + 0 · uz

uz = 0 · ux + 0 · uy + 1 · uz

tα

.β =

1 0 0

0 −1 00 0 1

2. Verallgemeinerung im affinen Koordinatensystem:lineare Vektorabbildung liefert Tensor 2. Stufe mit den Tensorkoordi-naten t

j.k, t jk ,...

u j = t j.k · uk u j = t jk · uk

Umrechnung:tl.k = glj · t jk , tlm = tl.k · gkm,...

aus (1): u j = t jk · uk | ·g jl , ul = glj · u jund (2): ul = tl.k · uk ⇒ tl.k = t jk · glj

Transformationsregeln:

t jk = aα.j · a.β k · tαβ tαβ = a j.α · ak.β · t jk

Herleitung:

uβ = a.β k · uk u j = aα.j · uα einsetzen in

α – System : uα = tαβ ·

uβ ,

| ·aα.j

j – System : u j = t jk · uk = aα.j · tαβ · a.β k · uk

und ebenso f ur t jkund t j.k

Transformationsregeln sichern Invarianz der doppelt indizierten Großen

−→ analytische (allgemeinere) Definition eines Tensors.

3.2.2 Tensoren n - ter Stufe

1. Definition

• als n - fach indizierte Große mit Transformations - Invarianz Anwendung z.B. :σjk = C ..mn

jk ·mn

60



• als lineare Abbildung von Vektor – (n-1) – Tupeln,z.B. (n-1) – Tupel: 1u, 2u, · · · n-1u −→ u - Vektorin Koordinaten:

u j = t jk1k2k3···kn−1· 1uk1 , 2uk2 , · · · n-1ukn−1

Koordinatenumrechnung:

tk2 jk1.k3···kn−1= gk2lt jk1lk3···kn−1

Koordinatentransformation:

t j1 j2··· jn = aα1

.j1· aα2

.j2· · · aαn.jntα1α2···αn

• Beispiele von Tensoren:

– Metrischer Grundtensor g – Einheitstensor zur linearen Ab-bildung u → u (siehe 3.1.3)Koordinaten eines Tensors: g jk , g jk , g.k j , g

j.k

– Permutationstensor – Ricci – Tensor:Vektorprodukt: w = u × v (siehe 3.1.4)Koordinaten des Tensors 3. Stufe: jkl, jkl,

j.kl, · · ·

– Partielle Ableitung – Ortsableitung:

Tensorfeld tij

xk

, · · · Skalarfeld f

xk

∂tij

∂xk= tij,k,

∂tij

∂xk

= t..kij, (Komma)

−→ Tensoren, deren Stufe um eins erhoht ist.

3.2.3 Spannungsberechnung in affinen Koordinatensystemen (krumm-

linige Koordinaten)

1. Spannungstensor

da – außerer Normalenvektor der anteiligen Schnittflache da

σ – Spannungsvektor im Schnitt a

d f – Schnittkraftvektor (anteilig) ⇒ σ = d f dA

zwei Vektoren da und d f :lineare Vektorabbildung: da → d f

eindeutige Zuordnung durch Spannungstensor σ:

df j = σijdai = σ.ji dai df j = σi

.jdai = σijdai

mit den Koordinaten σij , σij , σ.ji , σi

.j

Beachte:

Erster Index i ist Summenindex (Konvention). Somit ist σijdai keinMatrizenprodukt

Bsp: σi1dai = σ11da1 + σ21da2 + σ31da3

61



Darstellung von σαβ = σαβ

Darstellung von σij :

df j = σij · dai mit d f = df j · e j , da = dai · ei

Regel:

• Erster Index i : gleichstandig mit der Flachennormalen e j

• Zweiter Index j : gegenstandig mit der Spannungsrichtung e j

2. Eigenschaften:

•Symmetrie: σij = σ ji , σij = σ ji ,

· · ·• Umrechnung: σi.j = gikσkj (Matrizenprodukt, weil nebenstandig)

σil = σi.j · g jl σil = gikσkjg jl (zwei Matrizenprodukte)

• Transformation σij = a.αi · σαβ · a.β j

(Summation uber α und β , mit α, β ∈ {x ,y,z})

3. Eigenwertproblem

⇒ Hauptspannungen und Hauptspannungsrichtungengesucht ist die spezielle Schnittrichtung: d f || da,bzw. d f ∼ da (df j ∼ da j)

Daraus folgt:df j =

σda j mit Proportionalitatsfaktor

σund

• df j = σi.jdai (siehe Definition Spannungstensor)

• da j = gi.jdai (mit gi.j = δiJ )

Ergebnis: σi.j − σ · gi.j

· dai = 0

Eigenwertgleichung

• Hauptspannung σ:

detσi

.j −σ

·gi.j = 0,

−→ I

σ,II

σ,III

σ

62



• Hauptspannungsrichtungen:σi.j −

Jσgi.j

·Jdai = 0 J ∈ {I ,I I ,I I I }

weitere Formulierungen des Eigenwertproblems:

df j = σda j ←→ df j = σijdai ←→ da j = gijdai

Ergebnis:(σij − σgij) · dai = 0

(gleiche Werte f urJσ und

Jdai)

nach 3.2.3 Spannungsberechnung:

1. Spannungstensor

df j = σijdai = σ.ji dai df j = σijdai = σi

.jdai (Konvention)

2. Darstellung von σij

3. Hauptspannungen

Forderung: df j = σda j mit Proportionalitatsfaktor σ = d f |da|

Auswertung mittels Spannungstensor mit df j = σi.jdai da j = gi.jdai

⇒

σi.j − σgi.j

dai = 0

(a) σ aus det

σi.j − σgi.j

= 0 →

Jσ (Hauptspannungen)

(b)

σi.j −

Jσgi.j

Jda j = 0 → (Hauptspannungsrichtungen)

4. Spannungsvektor aσ = d f |da|

Spannung in Richtung d f bei gewahltem Schnitt da

spezielle Schnittrichtungen:

63



• iσ, wenn da parallel zu ei gewahlt wird.

•iσ, wenn da parallel zu ei gewahlt wird.

Ergebnis: ko- und kontravariante Koordinaten des Spannungsvektors iσ :

iσ j =σij

gii

iσ j =σi.j

gii i

σ j =σ.ji√gii

,iσ j =

σij√gii

Herleitung: (z.B. von 3σ)

gewahlt: da = da3 e3 mit da3 > 0, da1 = da2 = 0, δ

.ji = ei · e j

3σ = 3σ je j =df je j

| da |=

1

| da | ·σijdai

·e j = 3σ =

1

|da| ·σ3 j

·da3

·e j

|da| = da3 · |e j | = da3 · √g33

−→ 3σ =σ3 j

√g33

· e j

−→ 3σ =σ3 j

√g33

64

Mathmatisce Methoden Der Festigkeitslehre

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