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Matthias Mal^mann Kapazitiertestochastisch-dynamische Facility-Location-Planung
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Matthias Mal^mann
Kapazitiertestochastisch-dynamische Facility-Location-Planung
GABLER EDITION WISSENSCHAFT Produktion und Logistik Herausgegeben von Professor Dr. Wolfgang Domschke, Technische Universitat Darmstadt, Professor Dr. Andreas Drexl, Universitat Kiel, Professor Dr. Bernhard Fleischmann, Universitat Augsburg, Professor Dr. Hans-Otto Giinther, Technische Universitat Berlin, Professor Dr. Christoph Haehling von Lanzenauer, Freie Universitat Berlin, Professor Dr. Karl Inderfurth, Universitat Magdeburg, Professor Dr. Klaus Neumann, Universitat Karlsruhe, Professor Dr. Christoph SchneeweiB, Universitat Mannheim (em.). Professor Dr. Hartmut Stadtler, Technische Universitat Darmstadt, Professor Dr. HorstTempelmeier, Universitat zu Koln, Professor Dr. Gerhard Wascher, Universitat Magdeburg
Kontakt: Professor On Hans-Otto Gunther, Technische Universitat Berlin, FG BWL - Produktionsmanagement Wilmersdorfer Stn 148, 10585 Berlin
Diese Reihe dient der Veroffentlichung neuer Forschungsergebnisse auf den Gebieten der Produktion und Logistik. Aufgenommen warden vor ailenfi herausragende quantitativ orientierte Dissertationen und Habilitationsschriften. Die Publikationen vermittein innovative Beitra-ge zur Losung praktischer Anwendungsprobleme der Produktion und Logistik unter Einsatz quantitativer Methoden und moderner Informa-tionstechnologie.
Matthias Mal^mann
Kapazitierte stochastisch-dynamische Facility-Location-Planung
Modellierung und Losung eines strategischen Standortentscheidungsproblems bei unsicherer Nachfrage
Mit einem Geleitwort von Prof. Dr. Heinz D. Mathes
Deutscher Universitats-Verlag
Bibliografische Information Der Deutschen Bibiiothek Die Deutsche Bibiiothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet iiber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Dissertation Universitat Frankfurt a.M., 2005
I.Auflage April 2006
Alle Rechte vorbehalten © Deutscher Universitats-Verlag I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006
Lektorat: Brigitte Siegel / Nicole Schweitzer
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Umschlaggestaltung: Regine Zimmer, Dipl.-Designerin, Frankfurt/Main Druck und Buchbinder: Rosch-Buch, ScheKlitz Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebteichtem Papier Printed in Germany
ISBN-10 3-8350-0221-X ISBN-13 978-3-8350-0221-0
Geleitwort
Die Analyse von Problemen der Standortwahl war schon immer ein Bereich intensive! Forschung in den Wirtschaftswissenschaften. Seit den klassischen Ansatzen, wie etwa die "von Thiinen'schen Ringe" oder das "Steiner-Weber Modell", ist eine nahezu uniiberschaubare Vielzahl von Publikationen ent-standen, die sich mit unterschiedlichen Schwerpunkten den verschiedenen Facetten dieses Problems widmeten. Standen dabei zunachst meist nur Ent-scheidungen beziiglich einzelner Standorte im Mittelpunkt der Uberlegungen, so kann man in jiingster Zeit eine deutliche Veranderung in der Fokussierung der Analyse in Richtung auf Standortnetzwerke beobachten.
Die generelle Problemstellung bei der Planung solcher Netzwerke, die ge-genwartig die Forschung dominiert, lasst sich dabei wie folgt skizzieren: Fiir eine gegebene Konfiguration von Produktionsstandorten ist zu entscheiden, ob und zu welchem Zeitpunkt an vorgegebenen potentiellen Standortalter-nativen neue Produktionsstatten mit a-priori festgelegten Kapazitaten eroff-net, ob und zu welchem Zeitpunkt bestehende Produktionsstatten geschlos-sen, und wie die Materialfliisse (Warenfliisse) zwischen den eingerichteten Produktionsstatten und den Nachfragern zu jedem Zeitpunkt gestaltet wer-den sollen. Diese letzte Entscheidung ist dabei fiir Standortnetzwerke von besonderer Bedeutung, da sich der wirtschaftliche Nutzen einer gewahlten Konfiguration im Zeitablauf nicht nur von den Kosten der Errichtung und den Einsparungen durch Schliefiung von Produktionsstatten abhangt, son-dern vor allem von den "Betriebskosten des Netzes" (Produktions-, Lager-und Transport kosten) beeinflusst wird.
Problemstellungen dieser Klasse gehoren zu den Entscheidungsproblemen der strategischen Ebene, die sich insbesondere durch ihren vergleichsweise lang-fristigen Planungshorizont, die damit einhergehende Unsicherheit der rele-vanten Planungsinformationen und eine starke zeitliche Interdependenz der
zu treffenden Teilentscheidungen charakterisieren lassen. Ihre modellmaBige Abbildung und Analyse erfordert folglich zwingend den Einsatz dynamisch-stochastischer Konzepte. Vor diesem Hintergrund entwickelt der Autor ein stochastisches Entscheidungsmodell zur Ermittlung einer langfristigen Stand-ortstrategie. Stochastisches Element seines Modells bilden die Bedarfsmen-gen der einzelnen Nachfrager in den Perioden des Planungszeitraums, die durch Markov-Ketten abgebildet werden. Zur numerischen Berechnung op-timaler Losungen schlagt er die Lagrange-Relaxation in Kombination mit der stochastisch-dynamischen Optimierung vor: Durch Relaxation der Nach-fragebedingung des Modells lasst sich namlich zeigen, dass bei bekannten (hier stochastischen) Lagrange-Parametern das Gesamtproblem in so viele unabhangige Teilprobleme wie existierende Standorte separiert werden kann. Fiir diese Teilprobleme werden dann mit Hilfe der stochastisch-dynamischen Optimierung, deren Einsatz sich aufgrund der Markov-Eigenschaft der Nach-frage anbietet, fiir jeden Planungszeitpunkt und fiir jeden Standort ver-gleichsweise einfache und plausible Regeln abgeleitet, die zu entscheiden ge-statten, ob zum jeweiligen Zeitpunkt eine Offnung, Schliefiung oder Beibehal-tung des jeweiligen Zustands zu erfolgen hat. Zur Bestimmung der Lagrange-Parameter selbst wird die konvexe Hiille der Restriktionen des Ausgangspro-blems analytisch erzeugt und anschlieBend dualisiert. Durch Nutzung der spezifischen Problemstruktur des Duals lassen sich dabei dessen optimale Losungen, die fiir das Primal benotigten optimalen Lagrange-Parameter, oh-ne aufwendige Numerik "quasi durch Inspektion" ableiten.
Die vorliegende Arbeit stellt damit nicht nur einen beeindruckenen Beitrag zur Weiterentwicklung der Forschung im Bereich Facility-Location-Planning dar. Dariiber hinaus liefert sie einen konzeptionell und methodisch geschlos-senen Ansatz zur Analyse moderner Standortplanungsprobleme, der auf der Basis kommerzieller Soft-Ware unschwer zur numerischen Losung praktischer Fragestellungen verwendet werden kann.
Heinz D. Mathes
VI
Vorwort
Standortentscheidungen gehoren zu den wichtigsten strategischen Entschei-dungen eines Unternehmens. Den Anstofi, mich mit diesen Standortentscheidungen zu beschaftigen, bekam ich durch die Mitarbeit an einem Forschungs-projekt eines grofien deutschen Automobilherstellers, in dem es darum ge-hen soUte, die bestehende Standortstruktur zu untersuchen und potentiell zu schliefiende Standorte zu identifizieren. Mein Vorschlag war, verschiedene Entscheidungsmodelle zur Standortplanung zu sichten und zu iiberpriifen, welche auf die vorliegende Situation anwendbar sind.
Die Entscheidungstrager dieses Automobilherstellers machten jedoch schnell klar, dafi sie sich bei der Standortplanung lieber auf ihr Bauchgefiihl als auf Modelle verlassen, und so wurde das Projekt sehr schnell begraben. Mein Interesse an Standortplanungsmodellen war jedoch geweckt, so habe ich die-sen Weg weiterverfolgt. Das Ergebnis ist die vorliegende Arbeit, die wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter der Professur fiir Produk-tionswirtschaft entstand und vom Fachbereich Wirtschaftswissenschaften der Johann Wolfgang Goethe-Universitat Frankfurt am Main als Dissertation an-genommen wurde.
Die Entstehung dieser Arbeit haben viele begleitet und unterstiitzt, bei denen ich mich herzlich bedanken mochte. An allererster Stelle ist mein Doktorva-ter, Herr Prof. Dr. Heinz D. Mathes, zu nennen. Seiner Beharrlichkeit ist es zu verdanken, dafi ich nach Frankfurt gekommen bin. Er hatte stets ein offe-nes Ohr fiir alle Fragen und wies mir in kritischen Momenten den richtigen Weg. Er hat an seinem Lehrstuhl eine kooperative und kreative Atmosphare geschaffen, ideale Rahmenbedingungen also fiir das Gelingen einer Arbeit. Meinen Dank kann ich nur andeuten.
Gleichfalls bedanken mochte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Heinrich Rommel-
vn
fanger fxir die kurzfristige Ubernahme des Korreferats. Nie werde ich seinen Ausspruch "Aber dafiir werde ich doch bezahlt!" vergessen. Herrn Prof. Dr. Roland Eisen danke ich fiir die sofortige Bereitschaft, an meiner Priifungs-kommission teilzunehmen.
Herrn Prof. Dr. Heinz Isermann danke ich fiir die bestimmte und souverane Art und Weise, in der er den Vorsitz der Priifungskommission ausgeiibt hat. Damit hat auch er einen grofien Beitrag zum Gelingen meiner Promotion geleistet.
Natiirlich gibt es noch weitere Menschen, die jeder auf seine Art einen Beitrag zu dieser Arbeit geleistet haben. Ihnen alien mochte ich versichern, ich habe ihre Hilfe nicht vergessen und schatze sie sehr, und ich mochte mich bei ihnen alien herzlich bedanken.
Matthias Mafimann
vni
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 1
1.1 Problemstellung und Ziel der Arbeit 1
1.2 Gang der Untersuchung 5
2 Standortplanung als strategisches Problem 7
2.1 Der Begriff "Standort" 7
2.2 Standortfaktoren 8
2.3 Standortentscheidung 11
2.3.1 Standortentscheidungen als Teil der strategischen Pla-nung 12
2.3.2 Zeithorizont der strategischen Planung 14
2.4 Stufen des
Standortentscheidungsprozesses 17
2.4.1 Initiierung 18
2.4.2 Analyse 23
2.4.2.1 Makroanalyse 24
IX
2.4.2.2 Mikroanalyse 25
2.4.3 Entscheidung 26
2.4.4 Umsetzung und Kontrolle 27
2.4.5 Fallbeispiele 28
2.4.5.1 Heidelberger Druckmaschinen 28
2.4.5.2 BMW-Werk Leipzig 29
3 Einsatz von quantitativen Modellen bei der Standortplanung 30
3.1 Motivation 30
3.2 GrundbegrifFe 31
3.3 Anforderungen an ein Modell zur
Standortplanung 32
3.3.1 Diskrete Modellierung 33
3.3.2 Dynamische Modellierung 35
3.3.3 Simultane Bestimmung von Standorten und Transportmengen 37
3.3.4 Stochastische Modellierung 38
3.3.4.1 Beriicksichtigung von Unsicherheit 38
3.3.4.2 Stochastische Zielfunktion 40
3.3.4.3 Stochastische Restriktionen 42
3.3.4.4 Unsichere GroBen ini Modell 47
3.3.5 Ziel Gewinnmaximierung 48
3.4 Modelle zur Standortplanung
in der Literatur 49
3.4.1 Zusammenfassung der Anforderungen 49
3.4.2 Systematisierung der Literatur 50
3.4.3 Modelle zur Facility-Location-Planung 52
3.4.3.1 Bezeichnungen 52 3.4.3.2 Statisches deterministisches unkapazitiertes Mo-
dell 53
3.4.3.3 Statisches kapazitiertes Modell 56
3.4.3.3.1 LP-Relaxation 60
3.4.3.3.2 Lagrange-Relaxation 61
3.4.3.3.3 Das Dual-Verfahren von Guignard/Spielberg [104] 65
3.4.3.4 Dynamisches Modell 67
3.4.3.4.1 Anwendung von Erlenkotters Verfah-
ren 69
3.4.3.4.2 Ein dynamischer kapazitierter Ansatz 73
3.4.3.5 Stochastisches Modell 75
3.4.3.6 Kombination von Modellen 81 3.4.4 Ansatze zur stochastisch-dynamischen
Standortplanung 82
3.4.4.1 Modell von Current et al. [43] 83
3.4.4.1.1 Grundidee 83
XI
3.4.4.1.2 p-Median-Modell 83
3.4.4.1.3 Ansatz 86
3.4.4.1.4 Bewertung 88
3.4.4.2 Modell von Rosenthal et al. [188] 89
3.4.4.3 Zusammenfassung 90
4 Ein Modell zur kapazitierten stochastisch-dynamischen Facility-Location-Planung 91
4.1 Motivation 91
4.2 Losung gemischt-ganzzahliger Optimierungsprobleme mit Hilfe der Lagrange-Relaxation 92
4.2.1 Bezeichnungen 92
4.2.2 Primales und duales Problem 93
4.2.3 Lagrange-Relaxation, stetiger Fall 94
4.2.4 Lagrange-Relaxation, diskreter Fall 98
4.2.5 Wahl der Lagrange-Parameter 105
4.2.5.1 Ausnutzen der Dualitat 105
4.2.5.2 Ausnutzen der Problemstruktur 109
4.2.5.3 Auf dem Simplex-Verfahren beruhende AnsatzellO
4.2.5.4 Subgradienten-Verfahren 112
4.3 Darstellung der Nachfrage durch eine Markov-Kette 114
xii
4.3.1 Reduktion der zu schatzenden Parameter durch Ver-wendung einer Markov-Kette 114
4.3.2 Schatzung von Zukunftsdaten als Quelle der Unsicherheitll5
4.3.3 Die Markov-Kette .117
4.3.4 Markov-Kette und Absatzprognose 119
4.3.5 Betrachtung von Zeitreihen 121
4.3.5.1 Zielsetzung 121
4.3.5.2 Der autoregressive Prozefi 122
4.3.5.3 Uberpriifung gegebener Zeitreihen 126
4.3.5.3.1 Beispiel 1: Lebensmitteleinzelhandel 127
4.3.5.3.2 Beispiel 2: Einzelhandel gesamt . . .128
4.3.5.3.3 Beispiel 3: Auftragseingang Industrie 129
4.3.5.4 Zusammenfassung 131
4.4 Stochastisch-dynamische Optimierung 132
4.5 Modellstruktur und Ermittlung der Daten 135
4.5.1 Zielsetzung 135
4.5.2 Die Stufen der stochastischen Programmierung 135
4.5.3 Ermittlung der Wahrscheinlichkeiten 137
4.5.4 Ermittlung relevanter Kosten 139
4.5.4.1 Kosten bei Standorteinrichtung 139
4.5.4.2 Kosten zum Betrieb des Standortes 140
xni
4.5.4.3 Kosten bei Standortschliefiung 141
4.6 Daten und Bezeichnungen des Modells 143
4.7 Nachfrage als Zufallsgrofie 145
4.8 Entscheidungsvariablen 148
4.8.1 Standortoffnung und -schliefiung 148
4.8.2 Transportmengen 149
4.9 Nebenbedingungen 150
4.10 Zielfunktion 151
4.11 Losungsmethode:
Stochastische Lagrange-Relaxation 154
4.11.1 Zielsetzung 154
4.11.2 Stochastische Lagrange-Parameter 154
4.11.3 Die neue Zielfunktion 155
4.11.4 OfFnen eines Standortes 158 4.11.4.1 Anwendung der stochastisch-dynamischen Op-
timierung 158
4.11.4.2 Formulierung der Rekursionsgleichung . . . . 161
4.11.4.3 Ableitung von Bedingungen fiir eine Standortoffnung 164
4.11.5 Schliefien eines Standortes 169
4.11.5.1 Formulierung der Rekursionsgleichung . . . . 169
4.11.5.2 Ableitung der Bedingungen fiir eine Standortschliefiung 171
xiv
4.11.6 Bestimmung der Lagrange-Parameter 175
4.11.6.1 Zielsetzung 175
4.11.6.2 Die konvexe Hiille des zulassigen Bereiches . . 176
4.11.6.3 Dualisierung des konvexifizierten Problems . . 179
4.11.6.4 Die Lagrange-Parameter als Dualvariablen . . 182
4.11.6.5 Beschneiden des zulassigen Raumes 187
4.11.7 Zusammenfassung: Unser Losungsverfahren 189
5 Fazit 193
5.1 Zusammenfassung der Arbeit 193
5.2 Ausblick 195
Literaturverzeichnis 197
XV
Tabellenverzeichnis
4.1 Umsatze Lebensmitteleinzelhandel von 1980 bis 1991 . . . . 128
4.2 Umsatze Lebensmitteleinzelhandel von 1992 bis 2002 . . . . 129
4.3 Umsatze Einzelhandel gesamt von 1992 bis 2002 130
4.4 Auftragseingang Industrie von 1991 bis 2002 131
xvii
Symbolverzeichnis
Abschnitt 3.3.4
Eindimensionale Grofien
i Zeilenindex d vorgegebener Wert p vorgegebene Wahrscheinlichkeit
Vektoren
b Begrenzungsvektor c Vektor der ZielfunktionskoefEzienten h zufallsbehafteter Begrenzungsvektor q zufallsbehafteter Bewertungsvektor X Vektor der Entscheidungsvariablen y Vektor zufallsbehafteter Entscheidungsvariablen
XIX
Matrizen
A technologische Matrix f zufallsbehaftete technologische Matrix W technologische Matrix
Funktionen
E{') Erwart ungs wert Q{') recourse function Q{') Erwart ungs wert von Q{') z.(-) Zielfunktion eines Optimierungsproblems
Abschnitte 3.4.3 und 3.4.4
Mengen
/ Menge potentieller Standorte Ic Menge potentiell zu schliefiender Standorte lo Menge potentiell zu offnender Standorte J Menge aller Kunden K Menge moglicher Szenarien S Menge moglicher Umweltzustande
XX
Indizes
i Standort j Kunde k Szenario s Umweltzustand t Periode, t = l,...,T
Modellparameter
ttj Kapazitat von Standort i bj Nachfrage von Kunde j Cij Transportkosten pro Mengeneinheit von i nach j c\j Transportkosten pro Mengeneinheit von i nach j in Periode t dj Nachfrage von Kunde j dj Nachfrage von Kunde j bei Szenario k fi Einrichtungskosten von Standort i fl Einrichtungskosten von Standort i in Periode t Qi Betriebskosten von Standort i pro Kapazitatseinheit ^k Eintrittswahrscheinlichkeit von Szenario k TTs Eintrittswahrscheinlichkeit von Umweltzustand s Pj Erlos pro Mengeneinheit bei Kunde j Ps Anzahl geoffneter Standorte bei Umweltzustand s Xij Anteil der Nachfrage von j , die i befriedigt x
Funktion
F{') Zielfunktion eines Optimierungsproblems
Abschnitt 4.2
Mengen
M kompakte Menge X diskrete Menge Y beliebige Menge
Indizes
i Summationsindex k Iteration des Subgradienten-Verfahrens k Szenario s Umweltzustand t Periode, t = 1,...,T
Eindimensionale Grofien
Qj Gewichte einer Konvexkombination ak skalarer Parameter von Iteration k des Subgradientenverfahrens tk Schrittweite von Iteration k des Subgradientenverfahrens
xxii
Vektoren
b Begrenzungsvektor 61 Begrenzungsvektor 62 Begrenzungsvektor c Vektor der Zielfunktionskoeffizienten A Vektor der Lagrange-Parameter A* optimaler Lagrange-Vektor A*^ Lagrange-Vektor in I terat ion k des Subgradientenverfahrens rric Losung der Optimierung iiber Conv{M) rrie Losung der Optimierung iiber M rrii Element von M u Vektor von Dualvariablen u* dual optimale Losung V Vektor von Dualvariablen V* dual optimale Losung w Vektor von Dualvariablen X Vektor der Entscheidungsvariablen X* pr imal optimale Losung Xi Element von Y Xe,i Ex t rempunkt von Y x^^^ Optimallosung in Iteration k des Subgradientenverfahrens
Funktion
v.{') Zielfunktion eines Optimierungsproblems
xxm
Abschnitt 4.3
Indizes
n Anzahl der Stufen eines Markov-Prozesses t Zeitindex
Grofien der stochastischen Modellierung
at Parameter der Autoregression {st)t weifies Rauschen i Zustand der Zufallsvariablen j Zustand der Zufallsvariablen k Zustand der Zufallsvariablen Pijt Ubergangswahrscheinlichkeit in Periode t p^^' n-stufige stationare Ubergangswahrscheinlichkeit {Xt)t Folge von Zufallsvariablen
Funktionen
c(-) Autokovarianz r (•) Autokorrelation
XXIV
Abschnitt 4.4
a Aktion A Akionenraum i Zustand des Systems j Zustand des Systems n Index der Stufen p{i,a,j) Wahrscheinlichkeit eines Ubergangs von i nach j bei Aktion a r{i,a) Gewinn der aktuellen Periode bei Zustand i und Aktion a Vn-^i{i) erwarteter maximaler Gewinn der letzten n + 1 Perioden
Abschnitte 4.6 bis 4.11
Mengen
/ Menge potentieller Standorte Ic Menge potentiell zu schliefiender Standorte lo Menge potentiell zu offnender Standorte J Menge aller Kunden K Menge moglicher Szenarien
Indizes
i 3 k I n t
Standort Kunde Szenario Szenario Anzahl der Stufen eines Markov-Prozesses Periode, t = 1,...,T
XXV
Modellparameter
ai Kapazitat von Standort i hit Betriebs- und Aktionskosten von Standort i in Periode t Cij Transportkosten pro Mengeneinheit von i nach j djt{k) Nachfrage von Kunde j in Periode t bei Szenario k fi Einrichtungskosten von Standort i fi Schliefiungskosten von Standort i Qi Betriebskosten von Standort i pro Kapazitatseinheit nt{k) Eintrittswahrscheinlichkeit von Szenario k in Periode t Pj Erlos pro Mengeneinheit bei Kunde j Xijt{k) Anteil der Nachfrage von j , die i in Periode t bei Szenarion k befi yit Binarvariable zur Einrichtung von Standort i in Periode t Zit Binarvariable zum Betrieb von Standort i in Periode t
Grofien des Losungsverfahrens
a Skalar FK optimaler Zielfunktionswert der Konvexifizierung Xj deterministischer Teil des stochastischen Lagrange-Parameters A Xjt{k) stochastischer Lagrange-Parameter p^'^\k^l) n-stufige stationare Ubergangswahrscheinlichkeit von k nach / ifit Dualvariable rpijt{k) Dualvariable Ujt{k) Dualvariable Vit (k) Dualvariable w^f Dualvariable Wi^ Dualvariable y Aktion einer Offnung bzw. Schliefiung z Zustand eines Standortes
XXVI
Funktionen
F.{') Zielfunktion eines Optimierungsproblems rit{') maximaler Gewinn von Standort i in Periode t Rit{') maximaler erwarteter Gewinn von Standort i ab Periode t
XXVll
Abkiirzungsverzeichnis
AK Autokorrelation AR(p) autoregressiver Prozefi der Ordnung p CFLP capacitated facility location problem (D) duales Optimierungsroblem von (P) DCPLP dynamic capacitated plant location problem DUFLP dynamic uncapacitated facility location problem EH Einzelhandel et al. et alii GfK Gesellschaft fiir Konsum-, Markt und Absatzforschung (GL) Lagrange-Relaxation von (GP) (GLD) Lagrange-Dualproblem von (GP) (GP) diskretes primales Optimierungsproblem i.d.R. in der Kegel i.e.S. im engeren Sinne (KGD) duales Optimierungsroblem von (KGP) (KGP) Konvexifizierung von (GP) (L) Lagrange-Relaxation von (P) LEH Lebensmittel-Einzelhandel LP lineare Programmierung Mio Millionen OR Operations Research o.V. ohne Verfasser PAK partielle Autokorrelation S. Seite u.B.v. unter Beachtung von UFLP uncapacitated facility location problem
XXIX
