A B H A N D L U N O E NDER OESELLSCHAFT DER WISSENSCHAFTEN ZU OÔTTINOEN

PH1LOLOQISCH-H1STORISCHE KLASSE====== Dritte Folge ========

Nr. 17

DIE SPHÀRIK VON MENEAUS ÀLEXÀNDR1EN

DER VERBESSERUNGABU NASR MÀNSUR

MIT UNTERSUCHUNQEN ZUR GESCHICHTE DES TEXTESBEI DEN ISLÂMISCHEN MATHEMATIKERN

VON

MAX KRAUSE

B E R L I NWEÏDMANNSCHE BUCHHANDLUNO

1936

Vorgelegt durch. H. ïh ier s eh in der Sitzung am 17, Mai

Drtick lier Dielerlclischen Universitfits-Buchdruckeret (W. Fr. Kaestner) ta OBtlingen.

Vorwort.Die Menelaos-Jforsehung fufîte bisher fast ausschliefilich auf

dèn lateinischen'tJbersetzungen, die teils direkt, teils liber dasHebrâische ans déni Arabischen geflossen waren, wâhrend die fiiruns •— da der grieohische -Urtext verloren gegangen ist — pri-maren Quellen — namlich die arabischen tJbersetzungen, Bear-beitungen und Verbesserungen •—• entweder iiberhaupt niclit oderdoch nur teilweise berticbsichtigt wurden.

Dièse Liicke will meine Arbeit ausfûllen lielfen. Sie ist •—• wasich hier betonen mochte — rein philologischer Natur, wenn ihrauch ein mathematischer Text zugrunde liegt,

Mir sohwebten zwei Ziele yor: einmal wollte ich die ara-bische Ausgabe zuganglich machen, die der besten arabischen tlber-setzung am nâchsten steht (denn yon dieser tJbersetzung selbsthat sich bisher nocb. keine Handschrift gefunden), und dann wollteich das Yerhâltnis der yerschiedenen arabischen Ausgaben tmdVerbesserungen zu einander blaren und allés fttr die Mathernatik-Geschichte wichtige Material zusammenstellen, d. h. —• bezogenauf den yon mir herausgegebenen Text — angeben, wo abweichendeBeweise yorliegen, wo aliter-Beweise hinzugesetzt sind und wasdie einzelnen Herausgeber an Verbesserongen hinzngefugt haben.

Diesen beiden Zielen entsprechen die beiclen Teile meinerArbeit: T. Zur Textgeschichte der Spharik (selbstyerstândlich imrbei den islamischen Mathematikern)'und II. Edition der Spharikin der Yerbesserung yon Abu ÎTasr Mansûr b. cAll b. Iraq.

Es bleibt mir noch iibrig, den vielen zu danken, die an demZustandekommen meiner Arbeit beteiligt sind: Herrn Prof. Pr.J, Ruska (Berlin), auf dessen Anregung die Arbeit —• wenn atichnur indirekt — zurlickgeht, Herrn Prof. Dr. G-. B e r g s t r â f î e r(Miinchen), der mir auf yerschiedene Fragen bereitwilligst Auskunfterteilte,' Herrn Prof. Dr. H. Eitter (Istanbul), dem ich dieKenntnis der Stanibuler Handschriften yerdauke and der mirfreundlicherweise Photos von Handschriften zweier dort lagerncler

ii Yorwort.

arabischer Ausgaben besorgte, Herrn Prof. Dr. A. S c h a a d e (z, Z.Kairo) flir seine Ausktinfte ûber Menelaos-Handschriften in Kairo,sowie den Bibliotheksvei-waltungen in Berlin (PreuB. Staatsbiblio-thek), Bremen (Staatsbibliothek), ïlorenz (Bibl. Laurentiana), Hain-burg (Staats- und TTniversitâtsbibliothek), Kopenhagen (KongeligeBibliotek), Leyden (Univ. Bibl.), London (India Office), Oxford(Bibl. Bodleiana), TJpsala (Kungl. Universitetets Bibliotek) und"Wolfenbtittel (Herzog-August-Bibliothek).

Besonderer Dank aber gebiihrt meinem Lehrer, Herrn Prof.Dr. B. S t ro thmann, der mich in das Arabische und in dieislamisclie Kultur einfiihrte und so die Grrundlagen legte, aus denendièse Arbeit erwachsen konnte.

Hamburg, im Dezember 1932. Max Krause.

Fur seine unablâssigen Bemûhungen, den Druck dieser Arbeitzu sichèrn, bin ich vor allem Herrn Prof. Dr. 0. ÎTeugebauer(Kopenhagen) sehr zu Dank verpflichtet. Die Druoklegnng selbst•wurde dadurch errnoglicht, dafi die Gresellsahaft der Wissensch.aftenzu Gottingen iin Sommer 1935 beschloB, die Arbeit in ihre ,,Ab-handlungen" aufzunehmen und zugleich den grofiten Teil der Druck-kosten zu tragen. Auch an dieser Stella mbohte ich ihr dafiir auf-richtig Dank sagen, ebenso der Hamburgisollen UnÎTersitâts-G-esell-schaft dafiir, daI5 sie den Druck durch einen namhaften Zuschufîforderte.

Hamburg, im September 1936. M. K.

BH

Verzeiehnis der Abkùrzimgen.(Nicht aufgenommen sind die Sigel der Hss. von G, J, S und ï,

soweît sie niolit liiiufiger vorkommen.)

Barthold, Turkest.an = Turkestan down to thé Mongol invasion. By W. Uarthold.Second Edition. Translated from thé original Enssian aud ravised l)y théauthor with thé assistance oî H. A. R. Gibb. E.J.W. Gibb Mémorial Séries.New Séries, Ar. London 1928.

Axel Bjb'rnbo: Tbabits Werk ûber den Transversalensatz (liber de figurasectore). Mit Bemerkungen von H. Suter. Herausgegeben nnd ergânzt durch.Untersuchungen liber die Bntwicklnng der muslimischen sphârischen Trigono-métrie von Dr. H. Bûrger und Dr. K.. Kohi. Gedruckt aus Mitteln desRask-Oersted-Fonds. (Abhandlungeu zur Gescluehte der îîaturwissenschaftenund der Medizin. Heft VII.) Erlangen 1924.= Ta'rlh mulitasar ad-duwal von Gregorius Abû-1-Farag Ibn al-'Ibrl, hrsg.

von SalhSnï. Bairût 1890.bH = Isliâg h. Hnnain.Bibl. Math. = Bibliotheca Mathematica (erscluen in drei Eeihen, Leipzig 18S5

—1915).Bj = Axel Anthon Bjornbo. Folgt eine Seitenzahl, so bezieht sich das auf sein

Werk: Studien liber Menelaos' Sphiirik, Beitrâge zur Geschichte dar Sphârikund Trigonométrie der Griechen. (Abhandlungen zur Geschichte der matlie-matischen Wissensohaften mit EinschluB ihrer Anwendungen, Heft 14,S. 1—154.) Leipzig 1902.

Brock(elmann) GAL = Geschichte der Arabischen Litteratur von Cari Brockel-mann. 2 Bde. Weimar 189S. Berlin 1902.

D s. S. 12.Da s. S. 14.Db s. S. 14.Dozy = Supplément aux dictionnaires arabes par R. Dozy. '2 tom. Leyden 1881,

2. éd. 1927.E.I. = Enzyklopadie des Islam, mit Unterstutzmig der internationale!! Yereinigung

der Akademien herausgegeben von M. Th. Houtsma, A. J. Wansinck n. a.Leiden 1908 ff.

Eukl. ='Euclidis Blementa.Fihr(ist) = KitBJb al-Fihrist, hrsg. von Gustav Flligel, besorgt von J. Rédiger

nnd Aug. Mliller. 2 Bde. Leipzig 1871/2.G s. S. 5.H s. S. 1. - :

al-HSzinï : mlzân al-hikma = 2T. Khanikoff, Analysis and extracts of thé Book ofthé balance of wisdom, an Arabie work on the.water balance hy al-Khîlzinî

IV Yerzeichnis der Abkftrzungeu.

(12. cent.). New Haven 1859. (Auszug aus nJournal of tlie American OrientalSociety", Yol. 6. [1859], S. 1—128).

HbM = al-Haggag 1). Jnsuf b. Matar.HÇ = Lexieon bibliographicuin et eiicyclopaedicuin a Mustafa ben Abdallah Katib

Jelebi dicto et notnine Haji Kbalfa celebrato compositum. Ad codicum Yindo-bonensîurn Parisiensium et Berolinensis fidera primum edidit latine vertitet comnientario indicibusque instruxit Gustavns Muegel. Leipzig-London1835—58. 7 vol. 4°.

El = s. S. 5.lAUs = Ibn Abi Useibia, Hrsg. von A. Millier. 3 Bde. Konigsberg 1884Ibn al-Qiftï = Ibn al-Qiftï's ta'rîh al-hukamâ' hrsg. von J. Lippert. Leipzig

1901. 'liM = Paul Schwarz, Iran im Mittelalter nach den arabiscben Geographen.

(I—YII Leipzig 1896—1929.)Islam = Der Islam. Zeitscbrift fur Gescbiehte und Kultur des islamischen

Orients. Begriindet von C. H. Becker. Hrsg. Ton B. Strotbmann. Band 1—23.StraBburg und Berlin 1910—193G.

J s. S. 4.Jâq, = Jacut's Geographisches Wôrterbuch, aus den Handschriften zu Berlin,

St. Petersburg imd Paris auf Kosten der Deutscben Morgenlandischen Ge-sellscbaft herausgegeben von Ferdinand Wûstenfeld. 6 Bde. Leipzig1SS6—73.

Jâçi. irsffid = The Irshàd al-Arib ilâ Ma'rifat al-Adib or Dictionary of learnedmen of Yiigût éd. by D. S. Margoliouth. Yol. I—YII. Leyden 1907—1926.(E. J. W. Gibb Mémorial Séries, Yol. YI.)

L s. S 2 (und IIA § 1).Le Strange = Guy Le Strange, The lands of thé Eastern Caliphate, XYH, 536 S.,

Cambridge, University Press 1905.Ma s. S. 1.Me = Menelaos.Mr = Maurolycos s. S. 5.ÎT s. S. 2.K-Hs. = s. S. 51/52.S s. S. 4,Sa s. S. 4.Sachau, Khwârizm = Ed. Sachau, Zur Geschichte und Chronologie von Khwâ-

rizm, I und II. Wien 1873. (I: Sitzungsberichte der Philosoph.-hist. Classeder kaisarlichen Akademie der Wissensohaften, 73. Bd,, S. 471—506, II: eben-dort, 74. Ed., S. 285—330.)

Sam'ânl = The Kitab al-Aasab of 'Abd al-Karïm ibn Muhammad al-Sam'ânïreproduced in Facsimile from thé manusoript in thé British Muséum Add.23355 with an introduction by D. S. Margoliouth (E. J. "W. Gibb MémorialXX). Leyden-Loodon 1912.

Sânchez Pérez, Biograffas (de los matemitticos arabes c[ue florescieron en EspaQa.Madrid 1921).

SBPMS Erl. = Sitztiugsbericlite der Physikaliseh-mediziniscben Sozietât in Er-langen.

Sch-Hs. = s. S. 51/52.

Yerzeichnis der Abkiirzungen. Y

Sobirmer, SAA = Oskar Sobirmer, Studien zur Astronomie der Araber. SBPMSErl., Bd. 53 (1926) S. 33—88.

Steinschneider, Enkl(id) = Moritz Steinscbneider, Euklid bei den Arabern (Z. f.Math. u. Phys., Bd. XXXI [1886] Hist.-litt. Abth., S, 81—110).

— —, Hebr. tlbers. = — —, Die hebraischen Ûbersetzungen des Mittelaltersund die Juden aïs Dolmetscher. Berlin 1893,

— —, Mittl. Bûcher = -, Die mittleren Bticher der Araber und ihre Be-arbeiter. (Z. f. Math. u. Phys., Bd. 10 (1865) S. 456—498.)

Suter, MAA = Heinrich Suter, Die Mathematiker und Astronomen der Araberuud ihre Werke. Leipzig 1900, IX, 278 S. (= Abhandlungen zur Geschichteder mathematischen Wissenschaften mit EinschluB ihrer Amvenduugen, 10,-Heft.)

Snter, îfachtrage — îTaehtrage und Berichtigungen un dem vorstehenden Verk.Erschienen ebda., Heft 14 (1902), S. 157—185.

T s. S. 2.Theod. = Theodosins Tripolites Sphaerica. (Ed. J. L. Heiberg. Berlin, Weid-

mannsche Buchhandlung 1927 = Abh. d. Ges. d. Wiss. zu GSttingen. Phil.-hist. Klasse, M'eue Eolge Bd. XIX, 3. XYI, 199 S.)

Theou = Theonis Alexandrini commentariorum libri XI, Basel 1538.Tropfke = J. Tropfke, Geschichte der Elementarmathematik, 7 Bde.j 2. Aus-

gabe, Berlin-Leipzig 1921/24.tij = die alte tîbersetzung, auf der Ma beruht.E. Wiedem(ann), Beitrâge = Beitrâge zur Geschiehte der ÎTaturwissenschaften

1—73 (erschienen in SBPMS Erl.):îTr. 60 (von H. Suter und E. W. unter Mitwirkung von 0. Eescher) nÙber

al-Bîrûnî und seine Schriften", Bd. 52/53 (1920/21) S. 55—96.Hr, 61: nAllgemeine Betrachtungen von al-Bîrûnf in einem Werke flber die

Astrolabien", Bd. 52/53 (1920/21) S. 97—121.Hr. 75: ,,Zum Leben von Nasîr al Dîn al Tûsî", Bd. 58/59 (1926/27)

S. 363—379.3STr. 78: ,,Nasîr al Dîu al Tûsî". Nach einem vom Yerfasser hinterlassenem

Manuskripte bearbeitet und herausgegebeu von Julius Euska, Berlin.Bd. 60 (1928), S. 289—316.

Wo s. S. 6.ZDMG = Zeitschrift der Deutscben Morgenlandischen Gesellscbaft.Z. f. Math. u. Phys. = Zeitschrift fur Matbematik imd Physik.

Iiilialtsùb er sicM.

Seiie

Yorwort IYerzeichnis der Abkiirznngen fflInllaltsûbcrsicllt YII. Zur Textgescbickte der Spharik 1

§ 1. Quellen 1A. Arabische Ausgaben 1B, Die Ùbersetzung in das Hebrâiscbe 4G. Die Obertragtingen in das Lateinisclie . 5

§ 2, Konkordanz der Sâtze 6§ 3. Die Ablifingigkeitsverbaltuisse 9

A. Die Quellen von Hl 9B. Das Yerbâltnis von J zu G 10G. Die Quellen von S 12D. Die Quellen von T 13E, Das Yerhilltnis von D zu H uud N 13

§ 4. Die Obersetzuug in das Arabisebe - . 2 0§ 5. Al-Malifinl (Ma) 24,

A. Leben und Werte 2413. Seine Yerbesserung der Spharik 25

§ G. Al-Harawî (H) 32A. Nacbricbten ûber ilin 32B. Die Ausgabe der Spnarik 34

§ 7. Abu Nasr Mansûr b. 'Ali b, 'IrSçL (N) 42

§ 8. Nasir ad-Din at-Xitsî (T) 49§ 9. Muhjiddïn al-Magribî (S) 74

A. Leben uud Werke 74B. Seine Ausgabe der Splmrik von Menelaos 7Y

§ 10. Zusammeufassung 85Beilage 1: Me 15 bei G, J, H, T, S S6Beilage 2: lia IIU bel G, J, H, T, S 91

Inhaltsûbersioht.Seite

II. Edition der Spbarik in der Yerbesserung von Abu Nasi' Mansûr b. 'Alib. 'Iraq; 99

A. Einleitung 99§ 1. Die Handsobïift (mit Anhang ,,Belegstellen fur grôBere Lûoken

im ïext von L«J 99§ 2. Weitare Xextzeugen 107§ 3. Der Yerfasser 109

B. Deutsche Ûbersetzung der Spbarik . . . 117Menelaos1 Yorrede • , . . . 117Definitionen 118Erster Teil 120Zweiter Teil 162Drïtter Teil 194

G. Arabischer Text \_\\,

I. Ztir Textgesehiehte der Sphârik.

§ 1. Quellen.

A. Arab i sche Ansgaben.

Von den arabisclien Ausgaben der Sphârik von Menelaos1)sind mir bisher folgende bekannt:

1. Die von Abu 'Abdallah Muliammad b. clsâ al-Mâhânî (starb Maetwa 260—270/873—883, vgl. Suter, MAA. S. 26/27). Seine Ausgabe,die er nicht vollendete, ist uns nicht selbstândig (vgl. aber I § 3 E)erhalten, sondern nnr in der

2. Bearbeitung von Ahmad b. Abï Sacd al-Hara\vï (Zeit un- Hsiclier, vgl. Suter, MAA, S. 228, s. u. I § 6A). En verbesserte dieAusgabe von al-Mahânï und fuirte sie zu Ende. Sein Werk2) isttins in der Leidener Handschrift Warn, 399, fol. 82 b'—105 b er-halten, die ira Jahre 639/1144—i5 von Abu Sacd al-Baihaqï al-Barzuhï geschrieben wurde.

Zur Bssclireibung der Hs. vgl. G. Junge, J. Kaeder, ~W. Thornson, OodaxLeidensis 399, 1. Euolidis Elemeuta ex interprotatione Al-Hadsolidsoliadsohiioum comrnentariis Al-îTarizii. P. III Fasc. II, Hauniae 1932, p. 206—209.Machzutragen ist, daB die Gr8J3e der Bliitter 25,5 zu 16,5 cm betragt.Bnoh I beginnt f. 83 a. Buoli II f. 99 a. F. 1051) lautet der SckluB -UUii u>.<=

Die zalilroicuen

1) Zu Menelaos ans Alexandrien, dem Matliematilcer, vgl. Pauly-WissowasEeal-Enzyldopâdie der Klassischeii Altertumswissenschaft. 29. Halbband (Stutt-gart 1931) lirsg. von Wilh. Eroll, Sp. 834/35. Im eiuzelnen ist der Artikel, dermir dank der Giite Prof. Krolls sohon im Anshiingebogen KUgiinglicli war, indesuuvollstaudig, so stammt die erste lateinisclie 'ffbersetzung niolit von Maurolycus,sondera von Gerhard von Cremona, der garniclit genannt wird. Ebenso unbekaimtscheint dem Yerfasser die ivicttigste Arbeit ûber Menelaos geblieben zu sein,A. A. Bjbrnbo, Studien aber Menelaos1 Spliârik. Leipzig 1902.

2) Es lîegt auch in der Stambuler Handscbrift, Seray 3464, 5° (30 Bl., 23 Z.N. o. D., Anfang des 7. s. h.) vor, die ich nicht benutzt habe.

Ablmndlungen d. Qes. d. Wiss. zu QStlingen. Phil.-Hisi. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 1(Sonderhett der Matli.-Phys. Kl.)

'C^^^^ ^^^^^

2 . Max K r a u s e

Besitzervermarke auf f. 1 a sind zu schlecht erlialten, aïs daB sich eineWiedergabe Mer lohnte. "Was von dem ebendort stehenden Inhaltsverzeichniszii lesen ist, habe ieh in dem Werk von Junge-Eaedar-Thornson, S. 208—209wiedergegeben. Der Schreiber uud Besitzer dîeser Sammelhanûschrift liâtverschiedentlich Glossen und Zusâtze am Eande beigefûgt, vgl. z. B. I § 6BzuHI24. Weshalb im Leidener Katalog (III S. 38) dièse Glossen (vassich da allerdings auf 399,1 bezieht) dem Sa'îd b. Mas'ad b. al-Qass billâhzugeschrieben tverden, ist mir unklar. Auch ist die Angabe im Katalog bs-treffend die Yerteilung der drei Bûcher auf die zwei bei H nioht ganz ein-•\vandfrei, vgl. I § 2.

ïf 3. Eine weitere Ausgabe mit Komme]itar riihrt von demFiirsten Abu Nasr Mansûr b, eAlï b. Iraq (Suter, • MAA. S. 81,Brockelmann, GAL. 1472), dem Lehrer al-Bïrîmïs, ter. Er vollendetesie i. J. 398 d. El. (beg. 17. IX. 1007). Die einzige uns erhalteneHs. ist der Cod. Leid. Warn. 930. Naheres ûber dièse Hs. (L)siehe IIA § 1.

ï 4. Die bekannteste und .verbreitetste arabische Bearbeitungbeendete Nasïr ad-Dîn at-ïûsï (Suter S. 146, Brockelmann 1508)am 21. Sa'ban 663 d. JF1. (Montag, 8. YI. 1265). An Hss. sind mirbisher bekannt:

A Aberdeen. Bibliotbeca Lindesiana.Nach dem Katalog befindet sich (Bibl. Lind. Handlist of Oriental Mss.,

Arabie, Persian, Turkish. 1898. S. 74) dort untar Hr. 3S1 eine Sammellis.

oLAj*vA.Â^JS r'.j:f^ nAusgabe der Geometrisclieu Schrifteu" Ton T, die17 Abbandlungen entbalt. Unter diesen geometrischen Schriften sind woMdie sogenannten ,,mittlereu Bûcher" (al-mutawassitât) zu. yerstelien; zwischenihnen muB sich also auch die nSpharik" befinden (22 x 14,6 cm, a" h. 1196/

1781).Bf Berlin. PreuBische Staatsbibliothek. Ms. or. 2° 258, f. 77 a—148 a. Ge-

sehrieben i. J. 1060/1650 (Ahlwardt 5931,1).Bp — — Ms. or. Patermann 1671, f. 1—58 a. Gescbrieben i. J. 1064/1654

(Ahlw. 5930).Bçt . Ms. or. 4° 559, f. 1—99 a. Gescbrieben i. J. 987/1579 (Ahhvardt

Mr. 5931, 2).Fa Florenz. Bibliotheca Laureatiana.

Katalog (Bibliothecae Mediceae Laurentianae et Palatinae cod. mannsor.orient, catalogus. Steph. Evod. Assemanus recensuit. Florentiae 1742)

îfr. 271.Die nmittleren Bûcher" in T's Ausgabe, darunter auch ,,Menelai sphaeri-

coruin libri très" (36 + 26 + 32). Dièse Hs. wurde yon God. Nr 286 ab-

geschileben.. Pb Nr. 286, Dasselbe Werlc (342 Bl., 17,5 zu 25,75 cm, 14 zu 19,5 cm,

21 Z., f. 334—341 b spâtere Scbrii't, 342 a wieder andere Schrift). Nach demDatam f. 333 b ist dieser Teil der Hs. geschrieben am 25. (oder 20.?) Ea-inadûn 855 (nicht 700 !), Die illteste Benutzereintragung stammt (f. 169 a)

Zur Textgescliichte der Spharik. 3

Yom 20. âum. 1872. Da im Katal. die Seitenangaben fehlen, gebe ich eineObersicht.

la (vollstâudiges Inhaltsverzeîchnis), Ib (Theodosius nSphûrik"), 26 a(Autolycus ,,Sphaera mota"), 31 a (Euclid nData"), 51 a (Archim. nde sphaeraet cylindre"), 109 b (— ,,dimensio circuli"), 112 b (Euclid noptica"), 124 b(Theod. ,,de liabitationibus"), 129b (Autol. ,,de ortu et occasu sider.jnerrantium"), 141 b (Euclid ,,Pbainomena"), 156 a (Theod. ,,de diebus etnoctibus"), 170 a (Inhaltsverzeichnis des zweiten Teils), 170 b (Aristarchnde solis et lunae magnitud. et distautiis"), 179 b (Hypsicles ,,de asceu-sionibus"), 181 b (Tâbit b. Qurra BData"), 195 b (Menelaos ,,Sphârik"),265b (Tûsl ,,kitâb Sakl al-qatta'"), 334b (Bana MnsE ,,de mensura figura-rum"), 342 a (anderer Beweis zu Satz 7 aus der Schrîft der Banû M., ver-mtitlicb. von al-Hiîzin).

Fc Mfr. 326. 95 Bl. Sammelhs., die aïs fûnfte Abhandlung die Sphitrikenthalt. Junge Abschrift.

K Kairo. Âgyptische Bibliothek. Eiyâda 704.Sanmielbs., geschrieben zu eigenem Gebraucli i. J. 1011 in Schiras von

Muh. Mu'miu b. Malik Muh. at-Tabrlzl. Die erste Abhandlung ist Theo-dosius' Spharik, die zweite Me's Spharik, die 96 Bl. zu 19 Zeilen umfaBt.

Oa Oxford. Bibliotheca Bodleiana.Katalog (von TJri I. 1787, S. 188/189) Mr. 875 : geschrieb. i. J. 719/1316,

260 Bl. Enthalt aïs 15. Abh. ,,Menelai sphaericorum libri duo (? ! 60 + 30Siitze).

Ob (S. 194) Mr. 895: gescbrieben i. J. 856/1452; 115 Bl. Entbalfc aïs7. Abhandl. Me's Spbârik.

Oc (S. 197) ÎSTr. 906: o. J.; 91 BL Die 4. Abh. ist Menelaos' Spharik.

Pa Paris. Bibliothèque Nationale.E. Blocbet (Catalogue des manuscrits Arabes des nouvelles acquisitions

[1884—1924]. Paris 1925) S. 153, Mr. 5974.Die mittleren Bûcher in T's Ausgabe. Geschriebeu i. J. 722 d. FI,;

192 BL, 23 zu 16 cm. Die der Abschrift zugrunde liegende Hs. war imJahre 700 von dem Privatexemplar T's abgeschrieben.

Pb De Slane (Cat. d. mss. Arabes de la Bibl. Mat. Paris 1883—95)Mr. 2467, fol. 1—56. ,,Die Elemente (usûl) von Menelaos ûber die Spharik"(23 zu 14 cm, 14 Z., 16. Jahrh.).

Sa Stambul1). SelimAga. 743. Sammelhandschrift, f. 188b—240a: Me's Sphilrik.24 Z. Neshi.

Unterschrift fol. 240 a ,,Die Abschrift mucda beendet Montag, den9. Gumâdâ I 678/Sonntag, den 17. Sept. 1279".

Sb — KBprûlû 931. Sammelhandschrift. Dul-qa'da 725, mittelgroB, Neshi,15 Z., 17. Abhandl.

1) Weiter sind mir an Stambuler Handschriften bekannt: Carullah 1455, 3°(1105 h); Carullah 1502, 12° (894 h); Ali Emiri 4431, 3° (1005 h); Kôprûlû 930,3° (o. D.); Besir Aga (Sûleym.) 440, 4° (1134 h); Atif 1716, 1° (1103 h); Seray3456, 6° (720 h); Murât Molla 1396, 3° (9. s, h.); Arrneernus. 769, 4° (716 h).Auszûge flnclen sich auch Esat 2023, 9° (4 BL).

1*

4: M a x K r a u s e

fol. 28 a—86 Me's Spharik (ûiaser Teil ist falscli gebunden, so gehûrt32—33 Muter f. 27 und auch bei 28b nnd 44 b stimmen die Kustodennicht).

Se — In IMvatbesitz. Sammelhs. ans dem J. 940 d. FI. Enthâlt u. a, aïs2. Abh, von fol. 43b ab Me's Spharik.

Sd — Atif 1712 (Sammelhs., 8°, 29 Z., 227 Bl., neueres Neslù, 12. Jalirli.d. FI., Waqf von 1154). Enthâlt hauptsachlieh die ,,mittleren Bûcber" inT's Ausgabe, und aïs 18. Abb. f. 185 b—227 M's Spharik.

Se — AS 2758 (Sammelhs., 82 Bl., 24,5 zu 15,5 cm, 39 Z., xindatiert, ver-seliiedeue Sclirsiber) f. 47 a—70 Me's Spharik.

Si' — AS 2759 (Sammellis., 14S BL, nnvollstândig, 15 Z., N. o. D., etwa aobtes'Jahrh. d. PI.) f. 58 b—146 b Me's Spharik. Bricbt kurz nach Begiun desdritteu Bûches ab.

Sg — AS 2760 (Sammelhs., o. D., etwa 900 d. Fi, 25,5 zu 16,5 cm., 25 Z., N.)enthâlt u. a. anch die Spharik.

Aufierdem enthâlt noch die Laidener Hs. Or. 1024IY "Warn. (fol. 18—31)Ausztige ans Me's Spharik in der Ausgabe von T, leider nicht — wie manaus dor Angabe im Katalog scbliefien kûunte — der Ausgabe von ÎT. Esliandelt sieh nur um die Definitionen und die einzelnen Siitza. Zum Teilist aucb der Kommentar von T dabei.

s B. Die letzte mir bekannt gewordene arabische Bearbeitungstammt von einem jiingeren Mitarbeiter ÎTasïr ad-Dïn's, nâmlichJalija b. Muliammad b. Abî-S-Sukr, Mulrjï-d-Dïn al-Magribl (SuterS. 155, Bïockelmann 1474). Seine Ausgabe liegt vor in:

a) London. India Office. Ms. Loth 741, f. 63 b—67 b (60 Z.), nicht vollstândig,bricbt mit dem Ani'ang von III10 ab. Deshalb fahlt auch jede Datiernng.Die Bemerlntng im Katalog, daB die I-ls. im Jabre 722 (1322) geschriebensei, kann sich nur auf den ersten ïeil der Hs. bezîehen. ïïâheres iiberdièse und die folgende Hs. siebe I § 9 B.

b) Stambul. Nur i Osmamje 2971, 2° (27 Bl.).Die Handscbrift (datiert 915 d. FI., 4°, 103 Bl., 25 Z., N) enfhâlt auBer

5 Abhandl. S's (vgl. imten I § 9 A) aïs letzte Abb. (29 Bl.) das Werk vonMu'aijad ad-Dm al-cOrdî ûber die Instrumente der Sternwarte von Maraga,das von Hugo J. Seemann (nDie Instrumente der St. zu M. ...", SPMSEiiangen, Bd. 60 [1928], S. 15—126) bearbeitet wordeu ist.

Yon den aufgezahlten Handschriften haben mil- H, N, Bf, Bp,Bc[ und 'S'b vorgelegen. AuBerdera besitze icli Pkotographien vonSa, Cod. Leid. "Warn. 1024IV (fol. 18—31), sowie den beiden S-

Handsckcif'ten.

B. Die U b e r s e t z u n g in das Hebrâische.J Nach der ïïntersckift in Ms. Hunt. 96 (fol. 39 a, Z. 4 von

unten) vfurde das "Werk durci. R. Jacc[3b ben Makïr (gest. uni1307—8?) in das ïïebraiscûe iibertragen. BisTier sind von diesertîberti'agung folgende Handschriften bekannt (nach. M. Stein-

Zur Textgeschichte der Spharik. g

Schneider: Die hebrâischen Ubersetzungen des Mittelalters und dieJnden aïs Dolmetscher. Berlin 1893. § 319).

a) Oxford. Bibliotheca Bodleiana. Ms. Hunt. 16 (Uri 431), fol. 107b—113.39 Z. Sehon geschrieben, aber unvollstândig (endet mit 124), Neubauer1)Sr. 2005.

b) Ms. Hunt. 96 (Uri 433), fol. 23 a— 39*", 53 Bl., 38 Z., Kursîve, ge-schrieben in Konstantinopel 1506. Neubauer Nr. 2008.

c) Kairo, vgl. Steinscbneider, Hebr. Ûbers. §319, Anm. 1072).

Photokopien besitze ich von J(b) und dem "ersten Blatt von J(a).

C. Die t lbersetzungen in das Lateinische.Fur die lateinischen IJbersetzungen kann ich auf A. A. Bjornbo,

Studien iiber Menelaos' Spharik. Leipzig 1902. S. 11/12, 17—21,137-—-152 verweisen, wo allé bekannten lateinischen Ûbertragungenbehandelt sind. Hier geniige folgendes:

Die Spharik wurde dreimal ins Lateinische iibersetzt:1. von Gerhard von Cremona (Yorlage arabiscb, s. unten); G2. von Maurolycus; Mr3. von Ed. Halley (Vorlage hebraiscb, daneben auch arabische Texte, s. u.). El

Gedruckt liegen vor die tJbersetzungen von Mr (Messina 15B8)und die von Halley (Oxford 1758). Die tîbersetzung von Gr istnur handschriftlich iiberliefert (Bj S. 11/12, 137—152).

Yon dieser ÏTbersetzung konnte ich •— dank déni Entgegen-kommen der Koniglichen Bibliothek in Kopenhagen — die dortdeponierten Kollationen Dr. Axel Anthon Bjornbo's benutzen. Dain Bj's Kollationen ein Yerzeichnis der verwendeten Sigel fehlt,mochte ich fur spatere Benutzer dièse, soweit ich sie feststellenkonnte, mitteilen (die Zahl bezieht sich anf die Bj S. 11/13 ge-nannten Hss.) : A(l), B(4), G (13), M (3), N(ie), P(2), E(8), S (9),T(7), Y(5), W(6). _ _

AuBerdem verwendet Bj noch L und Y. Dièse beiden Zeichenmiissen sich auf folgende beide Hss. beziehen:

1. Cod. Yaticanus lat. 3380 (Bj S. 143, Kr. 6),2. Cod. S. Marco Florent. 184 (Bj S. 144, Mr. 7).

Eine genauere ]?eststellung lassen die wenigen mitgeteiltenWorte nicht zu.

1) Ad. Neubauer, Catalogue of thé Hebrew mss. in tbe Bodlayan Library(Oxford 1884).

2) ÎJach Jekutbiel Ginsburg, Jacob ben Macbir's Yersion 01 Menelaus's Workon Spherical Trigonometry, Scripta Mathematica, Bd. I (1932) S. 72—78 (die'Kenntnis dièses Aufsatzes verdanke icb. Herrn Prof. Neugebauer) besitzt auBer-dem das Jiidische Theologische Seminar (wo?) zwei Handschriftea dieser Ûber-setzung.

6 Max Kiause Zur Textgeschicble der Sphârik.

Leider fehlte in diesen Kollationen ein Teil (der letzte Satzdes 1. Bûches tmd das ganze 2. Buoli). Itir diesen Abschnitt habeich PhotograpHen aus der (bei Bj S. 11/13, 137—152 noch fehlenden)"Wolfenbiitteler Handschrift benutzt:

Wo Wolfenbiittel. Eerzog August-Bibliotheh. God. 24 Aug. 4°.(21 m 15 cm; 15. Jahrh.; 45—50 Zeil.). Es ist eine Sammelhs., deren

2. Abh. uuser Text (Mylei tractatns uel libri duo de sphericis figuris) ist.13 a l)eg. nTraotatus primus libri mylei de spericis figuris".26 b: Incipit tractatus secundus libri mylei.30a: Inoipit 3™.36a: Expletus est liber mylei cniem transtulit magister Gyraldus Gremo-

neusis Amen.36b: Eiu Scholion, das beginnt ,,0mnis trianguli arcubus circulorum

raagnorum in superficie spere signati très anguli duobus rectis angulis suntmaiores". Es ist das von Bj (S. 142,4 fol. 282 b—83 a und 143,5 fol. 157 a—b)erwâhnte Sel), zn Me's Spbârik.

§ 2. Konkordanz der Satze.T

Ma-HEinl. +Def. +

1234a

——b

567

8/9

—1011 a, b, c

— a—

H(-L)+

1234b_

—a

567S

—9

10 oab

—

R-Hs.1) Sch-Hs.1) al-Har.++

Ers tes1234a

——b

56

• 78 .8/9

. — . • —9 10

10 a, 13, c 11

— —d —

— . —

S——

Bucb.1342a

bcd

567Sa

b9

10 dabc

&——

1234a

——b

567Sa

b9

10 dbac

J—+

1234a

——

b567Sa

b9

10 aba0

Me++

1234b2)—

—a

5")8*)73

910

1) S. 1 § 8 unter Yorlagen.2) Erwannt von Theon (Baseler Ansgabe) 99,42 ; vgl. Bj. S. 5.3) Dieser Satz wird referiert von Pappos, Collectiones (éd. Hultscb) H 474,

15—470,17; vgl. Bj. S. 4 iind 5.4) Diesen Satz réf. Pappos 1. c. II 476,18 fl'., vgl. Bj. S. 51.

Ma-H12131415 ab

161718192021222324 a

b—c

25 ab

26 ab

2728 a

b29 a

b30 a

b

—31 a

b3233 a

b34 a

b35 a

b3637 a

——

N11121314 ab

151617181920212223 a

bcd

24 ab

25 ah

2627 a

b28 a

b29 a

b—30

—3132 a

b33 a

b34 a

b3536 a

— .—

R-Hs.11121314 ab

151617is1920212223

24

25

2627

28

29

30

3132

33

34

3536

Sch-Hs

abcaabab

ababab

—ab

baabab

a

(2)(3)

. al-Har.12131415 a

b161718192021222324

25

26

2728

29

30

31

3233

34

35

3637

S

• 11121314 ab0

1516171819202122 a

bcd

23 ab

24ba

2526 a

b27 a

b28 a

— b29 a

bc

30 ab

31ab .

32 ab

3334 a

. .

—

G11121314 a

bc

15161718 abc

1920 a

bcd

2l ab

22 ab

2324 ab

25 ab

26 ab—27 a

b2829 ab

30 ab0(1)

(2)3132 a

,

—

J

11121314 a

bc

15161718 abc

19m 20 a

b• cd

21 ab

22 ab

2324 a

b25 a

b26 a

b— .

27 ab

2829 ab

30 ab

80 o(l)(2)

3132 a

.

—

Me111213 ')14 a2)

bc

15161718 a

bc

1920 aboa

2l ab

22 ab

2324 a

h25 a

b26 a

b_

,27 ab

2829 a

b30 a

be(l)3)(2)

3132 a

. .

~

1) Diesen Satz réf. Theon (Basl. Ausg.) S. 342, vgl. Bj. 22/23.2) Diesen Satz réf. Theon (Basl. Ausg.) S. 342/43, vgl. Bj. S. 23/25.3) Diesen Satz réf. Pappos 1. c, H 478,1—21; vgl. Bj. S. 51.

Max Krause Zur Textgesci.iGh.ts 3er Splmrifc,

Dr i t t e s Buoh.

Ma-H ïï" R-Hs. Scli-Hs. al-Har. Sb (1) b (1)

(2) (2)

38 3739 . 3 840 . 3 9

— —41 —42 1— —— — .

— —— . _43 2

— —44 3

. 4 5 4• , 46 5

"; '47 e48 749 S— _

.

50 951 1052 1153 1254 13

55 . —. .

56 —

— —57 a —

b —58 • 1459 1560 1661 17

Bemerk. ~j- (• — L)' H.Buob.

62(1) 1863(2) 1964(3) 2065(4) 21

373839

—

1

23

45,678

9101112•13

14

15

16

17181920-f'

21222334

(4 a)

00.383940

— — '_

a 42b •G

ae

43a 44b

4546-474849_

, .5051525354

. —55

. .56

—a 57b

58596061—

niS234

b(l)(2)

353637

Zwei tesPrâmisse

—1

—. ——. ——

—— .2345a

bG

678

11—

910121314151614 (Cor.)17181920+

21222324

Gb(l)

(2)

333435

But th .

—3637 a—

—b

—G

a3839 a

b40 a

b

——41 a

bcae

—42a— .

b

— ca

43 ab

44 ab

—

Jb(l)

(2)

333435

— .3637 a——

1)

—c

— a3839 a

b40 a

b—

—nia 41 a

b bG G

a ae e

— —2 a 42 a

. — . _b . b

— —c. ca a

3 a 43 ab b

4 a 44 a .b b

+ —

5678

Meb(l)

(2)

33 *)3435

——la

———b

—G

23a

b4a

b—

—nia 5a

b bC G

a ae e

— . —2a 6a

— _b b

_ —c ca a

Sa 7 aa b

4a 8ab b

+ +

c 9a 106 11

f 12

Ma-H

66 ( 5) a— •

b—

—67 (6)68 (7)69 (8)70 (9)71 (10)72 (11)73 (12)

—74 (13)

—75 (14)

—76 (15)77 (16)78 (17)79 (18)•80 (19)81 (20)82 (21)83 (22)84(23)85 (24)86 (25)87 (26)88 (27)89 (28)90 (29)91 (30)

— •

NPrâmiss.

lab0

a—2a

b34567a

b8

—9

—10 a

b11121314151617 •18-19202122232425

. B-Hs.

1

2

34567

8

9

10

11121314 .1516171819202122232425

TSck-Hs,

—a

—b—

—ab

ab

—

—ab

1920212223 .24252627282930

aï-Har.

5

.6789

101112

13

14

15

161718IH]

23456789

101112

SPrâmiss.

labca

—2a

b34

—56 a

1)7

Prâmiss8

Prâmiss9a

b101112

——

——— .—

——1314

——

G—la

—b

—G

2ab, _

3456a

b (1)

(2)7a

, —b

,_8a

b0

910

1112 a

b13 a

b14 a

bG

15 abG

a .

j• _

la—

b— '

G

2ab

3456a

b

7a—

b

—Sa

b0

9101112 a

b13 a

b14 a

bc

15 a. b

ca

(2)

Ma

labca

2ab

3. 4

56a

1) Diesen Satz réf. Pappos 1. G. 11478,22—480,6; vgl. Bj. S. 51.

' Sabc

9101112 a

b13 a

b14 a

bo

15 abG

a

§ 3. Die ATbhangig'keitsverhaltnisse.

À. Die Quelles, von Hl,Die Queilen dàq Ausgate von Hl liât Gostaxà in der Yorrede

zu dieser Aiisgabe tehandelV In, dem ,,33'erlin.er .Exémplarj das ichtenuizt Labe, fehH; leider dièses Yorwort. So Mn ioh mir auf,Bj's Angaben dai'iibér (S. 17) angewiesen, sowie auf eigene ïest-stellungen. ~ :

«MM

10 Max K r a u s e

Ans Hl's Bemerkungen am SchluB einzelner Sâtze geht her-vor, daB er an Ausgaben gekannt hat:

1. die hebraische IJbertragung (J), deren Bûcher- und Satz-einteilung er dnrchgehend gefolgt ist. (Vgl. z. B. S. 15 zu 114„ . . . Nos vero Me et in sequentibns Hebraei Codicis numérosretinebimus").

2. eine arabische Ausgabe, deren Satzzâhlung er meist in denBemerkungen angibt. Ans Angaben, wie zu 130, II5 und II6 er-gibt sich, daB die Ausgabe von H nicht in Brage konamt. So bleibtam wahrscheinlichsten, daB er T benutzt hat.

Doch glaube ich, daB er aueh von3. der Ausgabe von H Kenntnis gehabt haben muB; denn an

verschiedenen Stellen stimmt die Lesnng in Hl auffallig mit derin H iiberein. Z. B. in & IIB : ,,Bt si non fuerit bg maior Mm,tune la, Mm erunt minores minore semicirculo". Hl hat furtune: „+ supponitur tamen AB minor quadrante, qui quidem majorest quam BZ; quare ...". Das stimmt auffaJlig mit der Fassungin H iiberein, wo dièse Stelle so lautet nund AB, das grb'Beraïs BE ist, kleiner aïs ein Viertelkreis gefordert war und ...". .j 3<—> £f, jtSic! J^ Hyta *jj y. Juoi O.AJ.Î >_ji j... In Jb fehlt dièseStelle, in den iibrigen arabischen Ausgaben ist sie ganz abweichendformuliert.

4. Die Ausgabe vonMr wird nur einmal (S. 23, 118) genannt.In der Hauptsache folgt Hl, wie schon Bj'(S. 17) i'estgestellt

hat, der hebrâischen Yorlage.

B. Das Yerhâltnis von J zu G.Vergleicht man irgend einen Satz aus J mit dem entsprechenden

in Gr (siehe die im Anhang mitgeteilten Beispiele), so erkennt mansofort, daB iin groBen und ganzen beide TJbersetzungen wort-wortlich den gleichen Text bieten.

Dennoch sind sie beide unabhângig von einander; denn an-genommen, zwischen beiden bestânde eine unmittelbare Abhangig-keit, so kb'nnte nur J aus G iibersetzt sein, weil Gerhard 1187und Ja'qôb ben Makîr 1307 oder 1308 gestorben ist.

DaB aber J nieht aus G iibersetzt sein kann, geht daraushervor, daB sioh darin Tiele tJbereinstimmungen mit dem arabischenText finden, die in G fehlen1).

Zur Textgeschïchte der Sphiirik,

tîbereinstimmnngen sachlicher Art sind z. B. folgende:

11

N G64,22 ,,und wir vervoll- net protraliam duos ar-

eus g~b, th in parte T), do-née concurrant. Ergo

super punc-

stândigen die Figur".

"1

,,wndwirYolleiidendieFigur"

3 eoncurranttum le."

62,25-26 (sin KG : s BG) (nadir TH : n KH) = (n (nadir KG: n GB) = (nKH : n= (sKH:sHT)(sTA:AB) TA:n AB) (n BG:n GK) HT)(nTA:nAB)69,1 ,,und nicht ist Bogen „ et arcus ag est minor..." nxmd nicht ist Bogen AGAG gleich ..." gleich •.,."

~~~ "^ ~~

69,15/16n=(sBL:sLG)(s GE:s KB)"

1) Die Beispiele entuelime ioli — des Arabischen wegen — hauptsachlichdem dritten Buch, Die Zahlen heziehen sich. auf den arahischen Text von ÎT.

,,ex proportione nadir „... = (u BL: n LG) .arcus bl ad nadir arcus (n GK:n KB)"ly et ex proport, n. arc.(jl ad n. arc. gjc et exprop. n. arc. #/c ad n.arc. o6K

Auch fehlen Tielfach in G (und zwar — soweit feststellbar —in allen Handschriften durchgangig) ganze Stellen, die in J (wieim Arabischen) vorhanden sind. Ich nenne folgende:

67,23—26 „.. . D, A ein- fehlt vorhandenander gleich sind und diebeiden Punkte K, L diePôle d. beid. Bog. AG, DZsind, so ist (s AH : s DT) =(sBH:s ET) (s EL:sBK).TJnd wiederum! So sinddie beiden Winkel an derGrundlinïe bei den beidenPunkten ...".97,16/17 „... GA, AK zu fehlt vorhandendem Untersehîed zwischenden beiden Bogeii KA, ALgrBBsr aïs das Yerhâltnisdes Unterschiedes zwischenden beiden Bogen ...".98,17/19 ,,und nach der fehlt vorhandenZeichnung dieser Figur ist(s. GH:s DE) = (s GZ:s ZD) (s BH:s BE) ...«.

Ich glaube, dièse wenigen Beispiele geniigen, uni zn beweiseny-daB J nicht von G abhangt. Dann bleibt aber nur die Annahmetibrig, daB J und G auf eine.gemeinsame Yorlage zuriickgehen,

12 Max K r a u s e

Dièse Yorlage war arabisch. Das lafit sich duroh folgendeBeispiele belegen:

Arabisch (S) G ^

(arab. \Jbj und (jij)

72,24 ,,der beiden Teile11 arouum (^ u. ^ï !) «ter beidau Telle" ipVtl

L5"tg (arab. —i" u. p

tfï> (arab. L_J^ u.o

89,20 TcliCs

89, 20 Z^Z Au

95,16 ,,u. es werdaabge- et separabotrennt...Biy.«âJj

95,16 ,,und es werde ge- et protraham C-"

»»nd es wird abgetrennt"

Viaittl

»und es wirà gezogen..."

- - co ltna t,,gefunden werden"(ar. ylOv.^-j.J'!)

uud Vain n jn i nso faut sie"

97,13CO »A101,22,,genommen wer- acceptes

pden" ...iiÀ:>jJ'

106,13 nso fallt..." £Jûi ponam ergo

Oft hat J ndeshalb", wo G ^similiter" hat und umgekehrt(ar. liUôJ und liUJvy),

Yerschiedentlich ist in J das Eemininum stehen geblieben, ob-wohl es nicht berechtigt war, nur weil es im Arabischen stand,z. B. X^wJ 0^Csi ,,so ist das Yerhaltnis" orr ri'nni (101,24; 103,6,8;106,2l"; 107,12,14).

Aus allen angefiihrten Beispielen ergibt sich, daB die Yor-D lage von J und G eine arabische Ausgabe (D) war. Mit ihren

Eigenheiten und ihrem Yerhaltnis zu den iibrigen Ausgaben wollenwir uns weiter unten beschaftigen und wenden uns nun den er-haltenen arabischen Ausgaben (S, T, ]ST und H) zu.

G. Die Qttellen von S.

Mnhjï-d-Dïn al-Magribï, der aïs letzter islaniischer Mathe-matiker eine Ausgabe von Menelaos' Spharik hergestellt hat, warein jûngerer Mitarbeiter von Nasïr ad-Dïn at-Tûsï. So diirfteseine Ausgabe stark von T beeinflufit sein und er sicher neben Tkeine Quellen benutzt haben, die nicht auc'h T vorgelegen haben.

1) o bel G entspricht œ bei J uud N ((jA \f],

Zur Textgeschichte dsr Spharik. 13

Eine eingehendere Untersuchung ûber seine Yorlagen, dieunsere hier ausgesprochene Yermutung bestâtigt, findet sich untenI§9B.

D. Die Qnellen von T.T nennt — wie wir das von seinem "Werk iiber den Trans-

versalensatz her gewohnt sind — seine Yorlagen an mehrerenStellen. Etir uns kommt hier insbesondere folgender Abschnitt ansder Yorrede zu seiner Aiisgabe in Erage: nAls ich nun zu demBuch von Menelaos iiber die spharischen Eiguren gelangte, fandich von ihm viele von einander abweichende Handschriften vor,die die Problème nicht grundlich behandelten (?), und nnniitzeYerbesserungen, wie (z. B.) die Yerbesserung von Abu 'AbdallahMuh. b. cTsa al-Mâhanî (Ma) und Abû-1-EacLL Ahmad b. Abî Sa'dal-Harawï (H) und anderer, teils unvollstândig und teils unrichtig,So blieb ich mehrere Jahre ratios betreffs der Erklârung einigerProblème des Bûches, bis ich auf die Yerbesserung des EiirstenAbu Nasr Mansûr b. clrâq (N) — Gott hab' ihn selig! — stieB.Durch sie erkannte ich (ganz) klar das, bei déni ich stehen ge-blieben war. So redigierte ich das Buch, soweit ich dazu. imstandewar. Niemand verleiht mir Erfolg aufier G-ott! Au£ ihn verlasseich mich und zu ihni wende ich mich!" Genaueres iiber die Yor-lagen s. unten I § SB.

E. Das Yerhal tn is von D zu H und N.Aus den beiden vorstehenden Abschnitten ergibt sich, daB die

arabischen Ausgaben im wesentlichen auf Ma, H und ÎT zuriick-gehen. Ma ist vorlaufig fiir uns nicht erreichbar. So bleiben aïsâlteste erhaltene Ausgaben H und ÎT iibrig. Dazu tritt aïs ans Gund J erschliefibar D. ~Wix haben daher nun zu untersuchen, obund wie dièse drei Ausgaben von einander abhangen oder ob sonstirgendwelche Beziehungen zwischen ihnen bestehen.

Bevor wir jedoch mit dieser Untersuchung beginnen, miissenwir uns iiber die Eigenheiten von D Klarheit verschaffen. Bj,der D (nach G) nâher untersucht hat, kommt zu folgenden Er-gebnissen (Bj S. 13—14), die ich hier im "Wortlaut mitteile:

„!. Das Werk ist in drei Biicher geteilt und zwar mit bzw.44 oder 45,8 und 15 Sâtzen.

2. Definitionen fehlen ganz.3. Das erste Buch ist in gewissen Beziehungen von den zwei..

folgenden verschieden; so wird 'sphârisches Dreieck1 (tçtjtAs'uçov)im ersten Bûche 'triangulus ex arcubus circulorum magnorum super

14 Max K r a u s e Zur Textgeschichte der Sphârik. 15

superfioiem sphaerae', in den zwei letzteren 'trilatera figura1 ge-nannt. Das erste Buch ist auBerdem genauer nnd mnstandlicheraïs die zwei anderen. "Wir kbnnen deshalb vermuten, daB wiï hiereine Mischung von zwei verscHedenen Redaktionen oder eine Re-daktion von zwei Bearbeitungen vor nus liaben.

4. Hiermit stimmt es durohaus, daB 141-—44 (oder nach an-deren Mileushandschriften 142—45) aïs III—4 wiederholt wird,und zwar in anderer Redaktion.

5. Fur 'sinus' -wird 'nadir arcus' gebraucht.6. ..."Bj's Ergebnisse stimmen durchaus mit meinen Beobachtungen

liberein, nur n2K ist dahin abzuandern, daB die Definitionen nurbei G fehlen, dagegen bsi J vorhanden sind (s. weiter unten). Yonseinen in ,,3" ausgesproehenen Vermntangen trifft die erste zti,die ja auch ohnehin wahrsoheinlicher ist.

In den folgenden Untersuclinngen bezeichne ich, um das Zi-tieren zu erleichtern, den ersten Teil von D, der von DU bis

Da, Db 144 reicht, mit Da und den zweiten Teil (III—8, III2—15 um-fassend) mitDb. Die Zugehbrigkeit von DIII1 ist noch zu unter-snohen (s. u. I § 5B unter DIII1).

Stellt man je einen Satz aus D a und D b den entsprechendenSâtzen aus H nnd N gegeniiber (vgl. I. Anhang), so ist soforterkennbar, daB D a mehr mit H zusammengeht und daB D b mit Nzusammengelit, in der Hauptsaehe sogar wbrtlich darnit iiberein-stiinmt.

Von der weiter en Untersuchung ist zunachst folgende Fragezu erledigen: ,,Ist es wahrsoheinlich, daB D grbfiere stilistische.oder sachliche Ânderungen an seinen Yorlagen vorgenommen hatoder nicht?"

G-egen eine sachliche Bearbeitung spricht schon die Angabe 4bei Bj, aber auch eine stilistische Umarbeitung ist durchaus un-wahrsoheinlich; denn in dem Pâlie waren wohl zum mindesten dieauBeren Untersohiede zwischen D a und D b soweit wie mb'glichbeseitigt worden. Es lâfit sich aber kein gemeinsames Kennzeichenfiir Da und Db finden, auBer dafî — wie in nB" erwâhnt — so-wohl in Db aïs auch in DIII1 fur ^inus" ,,nadir arcnsa (nazïral-c[aiis) gesetzt worden ist.

ïinden sich daher in Da oder Db Abweichungen gegeniiberH, bzw. N, so werden dièse nicht auf das Konto von D zu setzensein, sondern man darf aïs sicher annehmen, daB dièse abweichendenPassungen in den Yorlagen von D gestanden haben. Wenn ichdaher im folgenden sage, daB irgend ein Ausdrack sich in Da

oder Db finde, so ist darnit genieintj daB er sich in der betreffendenYorlage befunden habe.

Wir miissen nun versuchen, die folgenden beiden Eragen zubeantworten.

1. Geht Da auf H zuriïck oder beide auf eine geineinsameYorlage ?

2. Geht Db auf ÎT zuriick oder beide auf eine gemeinsameYorlage ?

Um die erste Ifrage beantworten zu konnen, habe ich D 1 1 — 10mit H verglichen und verschiedene Abweichungen festgestellt, vondenen ich die wichtigsten mitteile. Allé Stellen, bei denen einUberlieferungsfehler (sowohl in D aïs auch in H) vorliegen kbnnte,bleiben unberiicksichtigt.

1, Sachl iche Abweichungen . (Art der Beweise und ahnl).I 6 D ') : Beweis ist in D ausgefiihrt, in H nur angedeutet18: Die Umkehrung des Satzes, in D vorhanden, fehlt in H, ist al)8ï auch.

sonst im Ajauisclien, z, B. bei S belegt.1 10: In D wird zuerst vorausgesetzt, daB AB + BG gleich, Icleiner oder grBBer

aïs 180° sind und bemesen, daB -^BGD gleiuli, grBBar oder kleiner aïs•^A sei: und dann die Umkehrung augedeutet. Bei H dagegen wird dieBeziehung zwischen den beiden Winlceln vomisgesetzt und bewieseu, daBdann die Summo der beiden Bogen so und so groB istj und der um-gekelirte Fall angedeutet. Mit D gehen N und S, mit H dagegen T zu-sammen. Also dûrfte dièse Umâuderung erst von H vorgenommen sein.

2. Ganze Stellen, in D vorhanden , feh len in H. Teil-weise enthalten sie "Wiederholnngen, wie die folgenden:

I1D:G J H

,,Et quia arcus ge est n»U>1 illsignatus super polum cl n

et cum spatio oum ouo'signatus est arcus an

super punctum 6, est W * aWpJ'» IX Wj?circulus arcus ge equalis flVlja'pnW'nJlw'pn'pUS;ciroulo arcus az. j^ JW'p

I1D:,,Et anguli, q.nos conti- sna IQ'p' IW'X ni'lïîll fsMt în H. ™°^ gestïicheu,nent arcus ciroulorum û'Vm di!?t13?n Wfltt/j? âa sie der letzten Définitionmagnorum super super- tJ^a ^Q^I ^3 ftyy ^y entspricht.

SUIp

;,••• und Kreis GE ist gleicb.dem ^'^ss AZ. • • •"

1) TJm die Stellenangabe bei den Beispielen zu erleichtern, gebe ich (immarnach D gezahlt) auBer der Satznummer auch den betreffenden Absclmitt an undzwar bezeichnet S die allgemeine Formulieruug des Satzes, E das Beispiel, B die.Behauptung und D den Beweis. Eine genanere Angabe ist leïder unmôglich. SomuB leider oft das Zitat etwas umfangreicher sein.

16 Max K r a u s e

G Hficiem spere dicuntur esse fljjp JTB3eguales, cum inclinatio ni't)3 DSp 7Vguarundam superficierumeorum super guasdam estinclinatio similis.

I 9 D : _ _,,et arcus ab est egualis n r)U>'p la3 3N ïlB'p'l £ H, &&arcui %". holung.Teils liegen auch einfaôhe Verfciïrznngen vor':

G J12 B :

„... duo anguli, gui sunt n»?& b» 1WN Wltni •. • f. bei H.super arcnm ay et sunt

ebenfalls Wieder-

H

I7D:nFaoiam super puuotum/y arcus gb angulum ïtijâ

7»

'•m8wir konstruieren WinkelBGD ..."

Sodann feklen sekr oft einzelne "Worter in H, die in D vor-handen sind. Dabei sind entweder entbehrliche Worter gestrichenwie ,,Bogen" (I2D, I9D passim), nKreis" (I6D), nGrundlinie«(I9D), oder die Kiirzung erklart sicb. daraus, dafi irgend ein Fach-ausdrack durcn einen anderen, Mirzeren, ersetzt wurde. Besonderskennzeichnend ist die "Wiedergabe des griecMschen -cg^lsvçov. InD a fmdet sich dafûr stets ntriangulus (G oft' + ex arcubus cirou.-lorum magnorum) super superfioiem spere" 1113 nt3it>' 7V tt>7TOj wahrendH einfaon ,,Dreieck" dafiir setzt. Der Ausdruck in D a ist sicner-lich ursprûnglicber aïs das einfaone ^Dreieck" bei H (und danachT und S) und web! schon von dem ersten Bearbeiter (von demIJbersetzer doch wohl kaum?) fur Ddreiseitige Egur" eingefiilirt.

Auch sonst ist oft der Text in H aïs ans D verkiirzt er-klârbar. Eine Eeihe der Stellen teile ich Mer mit.

G J HHE:

,,et arous gui est oirculi TlVjVTia HVK nu>pfll n • • • un^ AB ein GroBkreis-magni, datas arcus ai", r^ htt,h nvmn nSlTin b°gsn • • •"

ViHE:

,,cum spatio aguali illispatio ...".

I1E:BEt faciam transira superduo puncta i, s arcum cïr-culi magni gui sit arcus

pnian fit 1833 «mit jenem Abstande ..."

7V T'SVJ'l n

nir ziehen den GroB-

Zur TextgescHclite der Spnarik. 17G

I1D:„... guod gué linee egre-dientes ex duobus punetisa, z ad centrum circuliaz scilicet unague guécarum estperpendicularissuper differeutiam com-munem dnabus supar-ficiebus ab, Tjg.

J H

n(und dementsprecbend wirdes bewiesen) bei deu beiden

7V.nav d.ia irm 73 m f^' tdie von.A' l Dachdem Zentrum seines Kreisesgeben"

À (($*

A I T T .

ta 3s

>niy nan?v

licnen Dreiecken sind ein-andar gleioh."

ISS:

«Ornnis trianguli duorum d'pW',1 71W U>7«/» 73 «Die beiden Winkel an deregualium crurium ex nw- Q^^J t3'7UJ?a Gruuûlwie von gleicbschenk-circulis magnis duo an- " 1S~1-— T\—=--i— —• -iguli gui sunt super latustertium sunt eguales." '2

mw

I2E:„.. . ut sit triangulus <%duorum egualium cru-rium super superficiem.spere, gué sint ab, 6//."

3} ?v,,Die beiden Seiten AB, BG-vori Dreieck ABG seien ein-ander gleicb."

I2D:

„. . . duorum arouum gbe, *«M.. . . '

I 3D:„. . , tune arous se est jegualis arcui lit ..."

I3D:nEtproptereaguodarcusa&< est lineato superpolum oirculi cïea, estaïous a&e ereotus supraarcum des, et propterillud arous gWi est erec-tus supra aroum dlit. Etpropterea ciuod ereote; -, •,. ,sunt super duas diamètresduorum circulorum egua-

nw

... „.. . von ïbneu beideu"

Ï3K

71371 nsind sie beide einander^f gleicfl-"

~ - '

m'P Z^^SJ na

031 nE/pjlt1?! î,n' ''iQû'i ÔTH flîi'p Vv

,nty ' 1BJ?

>1m -lium, gui sunt duo oirculi JTI7W TlB''» lîWnfl 'JlU?duorum arcuum oe, ^ Jlli'^n 'flW ÛH1 Ï11W

Abhandlungen d. Des. d. Wiss. zu Qôttingen. 'Phll.-Hist. Kl.(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

,,0nd daum die beiden PunkteA, G und mit dem Abstandeder Seite des Quadrates diebeideu Bogen DEZ, DHT ge-zeichnet sind, so sind samt-liobe GroCfcreisbogen, die vonden beîden Punkten A, Gnaob den beiden Kreisen DEZ,DHT gehen, ainander gleioh.Folglioh sind die beiden..Bogen ABE, GBH einandergleicb."

3. Folge, Nr. 17. 2

18 Max K i a u s e Zur Textgescbichte der Spbârik. 19

G ' Jdue portiones eguales mi- ûna "OnH<a> dm OU tflnores niedietatibus summe ri^f; tf^y ^j-ja •jViaimamborum et sunt due ^ ^^portiones as, in, et cou-tinuate cum utrisque ™ ™ JlWp

H

«tï, dh et separate suntex eis due portiones ^equales minores medietate ^^summe earum et sunt duoarcus es, lit, et lineaegrediens a s ad a este gualis lïnee egredientia t aà g, est arcus aeequalis arcui gli."

I4D:„.. . est arcus n7t equa-lis arcui dP

I4D:nex portionibus erectis

u

I4D:,,et est arcus sd eq.ualisarcui ga"

I5B:,,ex arcubus ab, l)g, ga

u

I Y D : _,,Sed duo arcus ad, dg • JTconîuncti sunt equales Z7Tarcui ab, et duo arcusad, dg couiuncti suntmaius arcu ag, ergo arcusdb est maior arcu ag."

18 a:

"?s_ 7 ]a"dm

ipmnw

yy

nswp1?

,,sînd die beidenDT einander gleicb.

asrmaip»

niniy'p W p û»n_E/pV_nw msaipa1JJ7S nwp

inv as

nEt demonstratio super nsian laS fit Vv JlBiamillud est sicut démon- d'ipn ^Vf d'iyVWan "?S?stratio super triangulosrectilineos. Et deuion-stratio super conuer- fiQiaiï lasan fit

;,so sind die beiden BogenZD, A& einander gleicb."

Text ^=

,,von seinen Seiten"

aAlso sind BD, DA, die beidegleicb GD, DA sind, grbBeraïs AG."

nw'pa

,,und der Beiveis dafilr undfur dessen Umkebrung istgleich dem Beweise bei denGraden."

Gsionem huius sermonisest sicat demonstratiosuper triaugulos rectili-neos."

I8b:,,per modum alium de-•monstrationis"

I8bD:„.. . circulorum eqna-lium, gui sunt duo circuliduorumarcuumali, dt..."

I 8 b D :„... due portiones egualesduorum circulorum egua-liiun, gué sunt due por-tiones te, gli, et conti-nuate cum utriusgue, etetiam separati sunt exunaguaque illarum duoarcus eguales minoresmedietate summe earum,et sunt duo arcus fe, gli

Jnsian

H

d'ipn

nsiana ,,durcb. eineu anderen Be-•\veis"

> J i œ F Q i T l i „. . . der beiden gleicbenKreise AH, DT . . .'<

iao

ûm

tu

(Textfehler in J)

Stiicke von Ereisenund von ihnen beiden ab-getrennt vrerden die beiàeuBogen GH, TZ — die beidekleiner aïs die Hâlften ibrerSumme sind — "

cr

I9D:,,Secabo ex«6 guod sit

fy eguale nWir trennen ab GD gleicbAB ..."

Ans ail den angefûhrten Stellen glaube ich schliefien zu diirfeîijdafi dem Redaktor Ton D a nient die Ansgabe von H vorlag, dieer etwa dnrch eigene Znsâtze erweiterte, sondern eine Ausgabe,die zwiscnen H und die nrsprimgliche TJbersetzung fallt. DaB unsin D a nicht die alte arabiscue tlbersetzung selbst iiberliefert ist,das macht — von allem anderen ganz abgesehn — schon die Artder Wiedergabe von vçhtlsvçov wahrscheinlich, wird aber anchsonst bestatigt. Die einzige (nach nnseren bisherigen Kenntnissen)in ]?rage konimende Ausgabe ist aber die von al-Mahânï, mit derwir daher die "Vorlage von Da gleichsetzen miissen.

ITiii1 die Beantwortung der zweiten Frage hatte ich ent-sprechend Db mit N verglichen; doch war die Ausbeute viel ga^.ranger. (Ich sehe clarum anch von einer Anfiihrung der Belegeab.) Im wesentlichen wird dadurch nur bestatigt, was schon der

20 Max K r a u s e

Augenschein lehrt, daB D b nnd N .so en g zusammengehoren, daB,sobald sieh nachweisen lâBt, daB D b nicht eine Abschrif't von îsfistj darait zugleich bewiesen ist, daB einerseits uns in Db die ur-sprunglicke Ûbersetzung iiberliefert ist und andererseits N denText so wenig verandert hat, daB er uns damit im groBen und <ganzen den ursprïïnglicben~Wortlaut der Ubersetzung bewahrt hat.

Grliicklicherweise glaube ion diesen Nachweis fiihren zu konnen,Nach dem Zeugnis von T (Kommentar zu TII16) fehlten in Ndie Sâtze TU 14—16!). Dièse Teile fehlen auch in L. InDb abersind dièse drei Sâtze, die Me II7a—d entsprechen, vorhanden(= &, J II2 a-—d) und zwar offensichtlich in derselben Ûber-setzung wie die ûbrigen Teile von D b. Damit ist die Môglichkeit,daB D b auf N zurtickgehen konne, ausgeschlossen und zugleichgezeigtj dafi uns in D b die reine tfbersetzung vorliegt.

Da wir bisher die Frage, ob M a auf die uns teilweise in D berhaltene Ubersetzung oder auf eine andere zuriickgeht, aafier aohtgelassen kaben, erhalten wir also jetzt zwei Grruppen:

1. Die h-Gruppe, deren altester Yertreter fiir H II—61 diedie in D a . erhaltenen Teile der Ausgabe von al-Màhànï sind,Avâhrend fur die iibrigen Teile H der alleinige Reprasentant ist.

2. Die n-Gruppe. Hierbei ist N fiir II bis 118 und JUl dereinzige Zeuge, wâhrend fiir II9 bis IH 25 daneben die in D b iiber-lieferte reine "CJbersetzung tritt (fiir T II lé—16 aïs einzigerZeuge). Die nâchste Frage gilt also dem (oder den) tJbersetzer(n).

§ é. Die tibersetzung1 in das Arabisehe.Die Frage, oh es von unserem Texte eine oder mehrere Ûber-

setzungen ans dem Griechisohen2) ins Arabische gab, liefie sichtheoretisch auf zwei Weisen beantwtorten, Einerseits kbnnten sichin der arabischen tjberlieferung irgendwelche Andeutungen er-halten haben, andererseits kônnte sie aber auch durch genauereUntersuchimg der arabischen. Texte gelost werden.

1) Doch ^Yaren dièse Sâtze (vrenigstens ï II14) ihm bekannt; denn imKommentar zu II13 benutzt er T II14 ! "Wenn man nicllt annehmen will, daBbei N \virWicli dièse Sâtze yorbanden waren und sie mu- in deu uns, bz-w. Tvorliegeuden Bxemplaren fehlen, was aber umvabrscheiiilich ist, da N kaum zumBe\veise eines Satzes einen darauf folgenden verwendet haben wiirde, so Weibtnttr die Aimanme, ûaB sia ihm ans irgend einer andereu Quelle bekannt waren.Ein entsprechender Hinweis fehlt indesaen; ol) von N absiohtlich nicht gegebenoder erst spâter ausgei'allen, steht nicht fest.

2) Die etwaige syrische Zwischenùbersetzung (ygl. den Bericht yon Ibn al-Qiftï) bleibe hier unberùcksichtigt.

Zar Textgesohichte der Sphârik. 21

Die arabische tjberlieferung versagt fast vbllig. Der Fihristr)(geschrieben 377/987) fiihrt zwar eine Reihe von Werken Me's an,geht aber auf die tïbersetzung ins Arabische gar nicht ein. Ibn.al-Qiftï (starb 6d6/12é8) sagt nur2): ;,Seine Biicher wurden einmalins Syrische und dann ins Arabische iibersetzt"8). Auch sonst sindmir keine Stellen ira Arabischen bekannt, wo der Ûbersetzer an-gegeben wâre. Auch in den Handsckrïften der lateinischen Ûber-setzung von & wird der arabische Ubersetzer nicht angegeben. Inder hebrâischen Ubertragung (J) jedoch wird der arabische Ûber-setzer genannt; in J a wird Isliâq; ibn rjunain (pan p pnbK) ge-nannt, in Jb dagegen sein Vater Hunain b. Isliâq (pns5 p ]'in)-Die Angabe bei Ja verdient mehr Vertrauen*) (vgl. auch dieWiedergabe von ,,Ishâq;" bei Jb!). Indes hilft uns vorlaufig auchdièse Angabe nicht viel weiter.

Wir bleiben also auf die Texte selbst angewiesen. Stilunter-suchungen konnten hier — zum mindesten soweit der eigentlichemathematische Text in !Frage kommt —• auch nicht zum Zielefiihren; denn einerseits konnen zwei Bearbeitungen trotz Yer-schiedenheit des Ausdrucks bei gleichem raathematischen Inhaltauf eine und dieselbe Ûbersetzung zuriickgehen — da wir ja nichtfeststellen konnen, wie weit der Bearbeiter den Text veranderthat •—• und andererseits schlieBen Ûbereinstimmungen in wenigenFallen doch nicht ans, daB zwei Ûbertragungen vorliegen, sindwir doch bisher — mindestens ftir die mathematischen Texte —•noch ganz im unklaren, wie weit die spâteren Ûbersetzer von denÛbertragungen ihrer Vorganger abhangig sind.

Anders steht es mit den allgemeineu Teilen des Bûches, d. h.1. der Einleitung, 2. dem Abschnitt nach Me 119, 3. dem. Ab-schnitt nach Me III16 a. Hier lag zur Bearbeitung ketn besondererG-rund vor, vielmehr kann man —• besonders, wenn sie aïs Zitate(,,Menelaos sagt") eingefiihrt werden — erwarten, daB die Vorlage

ï) S. 267.2) S. 321.3) Es ist unklar, ob gemeint ist, daB die arabische Obersetzung aus dem

Syrisehen geflossen ist, oder nvir, daB es sowohl eine syrische aïs auch eine ara-bische Ubertragung gah,

4) Nach Hèrrn Prof. BergstrâBer, den ich ûber diesen Punkt um Eat ge-fragt hahe, ist die ,,Zuscbreibung einer mathematischeu Ûbersetzung an Hunainibn Ishâii... an sioh verdâchtig und nur annehmbar, wenn sehr gut belegt; sonstwird man entweder annehmen mûssen, daB der Kame des berûhratesten Uber,:setzers ûberhaupt zu Uurecht eingesetzt, oder mindestens, daB sein Sohnibn Hunain gemeiut ist" (27.12. 30).

22 Max K r a u s e

einigermaBen getreu wiedergegeben wird. Besonders kennzeichnendist ein Vergleich der beiden Einleitungen von Me, der ans der n-Gruppe (bei T und S iiberliefert) und der aus h-Grruppe (bel Hnnd T iiberliefert). Ich fiilire deshalb hier beide Fassungen an:a) Es sagt Menelaos : ,,Icli, o Basilides1) a) Es sagt Menelaos, der Geometer: nOAllûdi hâte gesehen, daB dîesa Beweis- KGnig Alâdijâ, ich habe eine vortreft-art, liber die ich nachgedacht kabe und liche, wunderbare Beweisart betrsffs derdie ich dir darlegen v/ill, eine schône Eigenartsn der spharischen Eguren ge-nnd wunderbare Art ist, und das des- funden.halb, weil auf der Kugel-Oberflâche viele b) So sind mir klar geworden viele DingeDinge auftreten, von denen man nicht von dem Schwierigen dieser Wissen-glauht, daB sie existieren. schaft, die, wie ich glaube, niemaudenb) So beginne ich, dir die Beweise dieser vor mir eingefalleu sind.Dinge daraulegen, wobei ich nach Ûber- c) Und ich habe die Voraussetzungeneinstïmmung mit dir strebe und um das und Beweise so angeordnet, daB die dasweïB, was in den (S + geometrischen) Be- AYissen Liebenden leicht zu auf dasweisen (an Kraft?) liegt, die Seele ihnsn 'Ganze gerichteten, erhabenen Wissen-zugeneigt zu machen, und besonders um schaften gelangen (kônneu).das von ihnen, in dem Feinheit ist und d) Und ich richte meine Worte an dich,das zu dem gehôrt, -vas die Seele liebt o KOnig, da ich weiB, daB du gern dasund begelirt. Schwierige aus dieser Wissenschaftc) Es vermag der Mensoh — wenn er lcenn(eu lern)st und dafi du die KiiraeBelehruug liebt — dièse Dinge zum Werk- (?ihtisar) liebst.zeug zu machen und die entsprechenden(?) Siitze und Problème auf sïe aufzubauenund aus ihnen herauszuholen, wie vrà(es) in vielen geometrischeii Einzel-schriften und astronomischen Schriftengetan haben.d) Wir haben die Dinge, bei denen schonunsere Yorgânger Eecht gehabt habeu(von den andern) unterschieden und habenviele der (auf das) Ganz(e beziig)lichen,allgemeinen(unwesentlichen)Tatsaehena),die schon ein anderer in einer Sonder-rede und -beweis ausgesprochen und be-wiesen hat, und die schon in den ,,EIe-menten der Lehre von den spharischenSïguren" nach der Méthode des Absurdenbewiesen sind, allgemeiu und (sowohl)jene Beweise (wie) auch die Umkehrungjener Beweise nmf'assend dargestellt."

1) Ob so zu lesen ist oder ob, ivie H vermuten lilBt, hier transkribiertes{SUHL.ISVS zugrunde liegt, ist noch ungekliirt; auch deu folgenden Eigennamen ver-mag ich nicht mit Sicherheit zu deuten. Siehe unten Anm. zu II G, Einleitungdes Werkes!

2) Ro habe ich versuchsweise a'rài}, das hier kaum im speziellen SinnenAccidentia" bedeutet, ûbersetzt.

Zur Textgeschichte der Sphârik. 23

(H)a + b entspriont (N)a; (H)c = Ç$~)G, (H)d = (N)b, wâh-rend der (N) d entsprectende Abschnitt in H felilt.

Man spiirt, daB letzten Endes sowohl H aïs ancli N auf dengleichen Text ziiïiickgehen, aber die Beruhrungen zwischen beidensind derart geringfiigig, daB man zu der Annahme gezwnngen isfc,daB irgendwo — ob schon im Griechischen oder im Syrischen odererst im Arabischen, wird sich kaum entscheiden lassen — der Textverstiimmelt iiberliefert wurde, so daB bei Yersuchen, den Textlesbar zu gestalten, der Sinn bei H so entstellt wurde.

Im Znsammenhang hiermit gewinnt der TTmstand an Bedeutung,daB H sich mehrfach iiber die nschlechte und sohwerverstandlicheUbertragung"J) (fol. 82b), die nverderbte und schwer zu ver-stehende Ubertragung" (fol. 92 b) beklagt. Damit kann er kaumauf die in N und D b vorliegende "Obersetzung zielen, die dochdurchaus klar ist. Deren Stil klingt stark an die in der (im Jahre4AS geschriebenen) Upsalaer Handschrift Tornberg. Nr. 321 (Coll.vêt. 20) erhaltene Euklidiibersetzung von Isliâq b. Hunain in derYerbesserung von Tâbit b. Qurra an. So konnen wir tinter Be-rûcksichtigung des hebrâischen Zeugnisses die in îsT nnd Db er-haltene tJbersetzung dem Isliâq b. Hunain zusohreiben, wâhrenddie Verbesserungen von M a und H wohl auf eine tlbersetzung ansder âlteren Période zuriiekgehena), etwa von al-Haggag b. Jnsufb. Matar (Suter, MAA, S. 9) stammend.

Fest steht also, daB es neben der Ubertragung von b 5 nocheine andere, altère gegeben hat, die •— •wahrsckeinlich verstiimmeltiiberliefert •—• schwer verstândlich war und daB danach Ma eineBearbeitung versucht hat, und zwar zu einer Zeit, aïs Ishâq b.Hunaiu's tlbersetzung noch nicht vorlag (ich schliefle das daraus,daB sowohl al-Màhànï aïs auch Ish'âq ibn Elunain in Bagdad lebten,al-Mâhânï also ziemlich sicher dessen tjbertragang gekannt habenwiirde), ja, ich mb'chte sogar annehmen, daB Ishàq's tJbersetzungerst nach (oder mindestens kurz vor) M a's Tode herauskam. Anderen-falls wiirde al-Mâhanî sicherlich seine Bearbeitung nach der neuen.tlbersetzung verbessert und zu Ende gefûhrt haben. DaB auBerdiesen beiden wahrscheinlich noch eine andere tJbersetzung exi-stierte, wird weiter unten (in I § 6 B und I § 8 an T 121) er-brtert werden.

1) So wird wohl naql zu flhersetzen sein, es kônnte aber auch die ,,Uber-lieferung" gemeint sein.

2) Eiu weiterer Beleg fur die Annahme, daB H und N auf zwei Yerschie-.dene Ûbersetzuugen zurûckgehen, fîndet sich unten in den Anmerkungeu zurÛbersetzung von III22 (S. 145, Anm. 1).

Max K r a u s a Znr Textgesehichte der Spliârik. 25

§ 5. Al-Mâhânï (Ma).L i t e r a t u r : [1] Filirist, S. 2G6 uud 271; [2] Ibu J'unis, az-zlg al-kabîr

al-hâkimï (Notices et extr., Ed. VII, S. 16—240) S. 58/59; 80, 99, 101, 103, 107,111, 109, 118, 164; [3] Ibu al-Qiftï, S. 284,5-9; [4] HH 1382, 390, YII610;[5] Sutar, MAA, S. 26/27 ; [6] Woepcke, L'algèbre d'Omar Alkbayyâmî, Paris1851, S. 2 (Anm.), 96—103; [7] Woepcke, Mérn. prés, par div. sav. à Pacad. dessciences, T. XIV, p. 669; [8] Steinschneider, Euklid. S. 88; [9] ders. ZDMG 50(1896) S. 166, 174, 196 ; [10] ders., Mittl. Bilcb., S. 474.

A. Leben und "Werke.tJber Abu "Abdallah. Muliammad b. °ïsâ al-JVIâhanï haben wir

nur sehr wenig Berichte.Die Hanptquelle unserer BLenntnis sind die Zitate, die Ibu.

Jûnis [2] aus einem (ungenannten) Werk Ma's iiber seine astro-nomischen Beobachtungen mitteilt, Danach beobaohtete er:1. eine Mondfinsternis im Jahre 239 d. FI. (S. 99),

, „' 240 d. M. (S. 101).„ „ 242 d. FI. (S. 103),

„ „ „ 252 d. FI. (S. 109),2. eine Sonnenfinsternis im Jabre 252 d. FI. (S. 107),3. eine Konjunktion von Yenus und Saturn i. J. 244 d. FI. S. 111),4. „ „ „ Merkur i. J. 244 d. F. (S. 113),5. „ • „ „ Mars i. J. 250 d. FI. (S. 113).

• Der Zeitranm von 14 Jahren (239—252/853—866), aus demBeobachtnngen iiberliefert sind, erscheint ziemlich. kurz. Da an-dererseits kanm anzunehmen ist, daB die friihesten iiberliefertenBeobaohtungen aus dem Anfang seiner Tatigkeit herriihren, sokonnen wir vermuten, daB er etwa 210/825 geboren sein mag, ton235/849—850 seine Beobachtertatigkeit begonnen habe und etwa265—270/878—883 gestorben sei. Fiigen wir hinzu, dafi er — an-scheinend persischer Herkunft (seine Nisbe nal-Mâhânî" setzt ihnin Beziehung zu Mahân1), einer Stadt in der persischen ProvinzBirman) — hauptsacnlicb. in Bagdad lebte, so ist damit allés ge-sagt, was wir von seinen auBeren Lebensumstânden wissen odervernmten konnen.

Soweit bekannt ist, sehrieb er folgende "Werke:1. (jw-XJiï! v-jLxi' ^ JCv^sLéi XJliUI r-,à> nKommentar zum 5. Buch.

von Euklids Elementen" (nicht erlialten, [1] 266 [4] 1382).2. nKommentar zum 10. Buch von Euklid's Elementen" (teil-

weise erhalten Paris (de Slane 2467, 39°), vgl. [7]).

1) lias heutige Mataa, vgl. Jâq.tlt IV 405,1—13; JiM El 222.

3. g^^cjr1^ u-1- cr-l L . ^ù g nEin Buch iiber 26 Satze des ersten Bûches

von Euklid, die ohne .deductio ad absurdum bewiesen wei'den kbnnen"(nicht erhalten, [1] 271 [3] 284).

4 iU.wJI ,3 sJl^v, ,,Eine Abhandlung iiber das Verhaltnis (vor-handen in Paris [de Slane 2467, 16°], Berlin [Ahlw. 6099], Stambul[Carullah 1502, 3°, fol. 25 a— 27 a] ; [1] 271 [3] 284; ist nach Suter[5] S. 26 Anni. d, vielleicht ein Teil von (1)).

5. ,,Kommentar zu Archimedes' 'de sphaera et cylindre',Buch H" (nicht erhalten, [6] Text S. 2, ÏÏbers. S. 3, und vgl. S. 96—103).

6. BVerbesserung der Spharik von Menelaos" (selbstandig nichterhalten, unvollendet, bricht bei H II 10 ab; [4] 1390; siehe I§5B).

7. ^ LX.S! o»}_,c ,3 KJLwj „ Abhandlung iiber die Breiten derGrestirne" (nicht erhalten, [1] 271 [3] 284. Vielleicht stamnienhieraus die in [2] iiberlieferten Zitate?)

8. oJ^i £.±^^5! (j, jOiij! xcl^i^y ui..*^v.Ji "£•>,*.* je, KJliw vorh. Seray3342, 4° (2 Bl., 4°, N, o. D., 7. s. h.) nAbhandlung iiber die Er-mittlung des Azimuts fiir jede beliebige Stunde und jeden be-liebigen Ort."

B. Seine Verbes se rung der Spharik.Al-Mahânï's Yorlage war anscheinend (siehe I § 4) die alte

"Obei-setzung, die — einerseits wohl verstiimmelt iiberliefert, anderer-seits aber auch schwerverstandlich iibersetzt • — • den Mathemàtikerndas Eindringen in das "Werk erschwerte 1).

1) H berichtet (Cod. Leid. S99, 2", fol. 82 b), uaebdem er dargelegt liât, wiedie'scblecb.ts und sekwerverstândliche Obertragung dazu beitrug, daB die Mathe-niatiker sich nicht mebr mit dem Werk beschaftigten, eine Anzahl von Geometernhabe das Buch zu verbessern gewûnscht. nAls sie es (aber) uicht vermochten,baten sie al-Mâhânï uin Hilfe. Da verbesserte er davon ûen ersten Teil undeinige Sâtze aus dem zweiteu und blieb bei einem Satz stehen, von dem es heiBt:er ist walirlich 'scbwer zu erlangen1 und sclnvierig zu beweîsen". ^c Oi.^U.,

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(a. B,.)

mt*mm m*

26 Max K r a u s e Zur Textgeschichte der SpMlrïk. 27

Dièse IJbersetzung liât ér — auf Yeranlassnng eiuiger un-genannter ITachgenossen — Terdeutlicht, indem er

1. Zwischenglieder in. den Beweisen einfiigte,2. den Ausdruck an. den damaligen Sprachgebrauch anpaBte

(unter besonderer Berucksiehtigung der IPachworter) und3. wohl auch schwerTerstândliche Beweise umformte oder gar

durch andere ersetzte.Die Yerbesserung fûhrte er jedooli nur bis zu II101) durch,

sei es, daB — wie H bericktet — er an der Schwierigkeit dièsesSatzes scheiterte, sei es, daB der Tod ihn an der Yollendung seinesWerkes hinderte (vgl. I § 4 SchluB).

Unter der Yoranssetzang, daB même Annahme (I § 3 E), daBD a = Ma, riolitig ist, kbnnen wir nns — wenigstens fur Milbis II 9 b — ein Bild Ton M a's Yerbesserung machen.

Mit dem bei N iiberlieferten Text (s. II. Teil) stimmt Ma beifolgenden2) Sâtzen im allgemeinen ûberein:

11—3, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14 — 81, 32 a, 33—35,112— 6 a, 6c— e, 7—9.Jedoch steigert sich dièse TJbereinstimmung nie zu volliger

Gleichheit. Da es zwecklos wàre, samtlicne Abweichungen aufzu-fuhren, so liabe ich micli darauf beschrankt, in der folgenden Zu-sammenstellung die wichtigsten anzngeben. (Yon den oben auf-gezâhlten Sâtzen, bei denen die Beweise im grofien und ganzendenen bei N gleioh sind, zeigen noch die Satze II, 15, 19, 27, 29, 31einige mir erwâhnenswert scheinende Abweioliungen.)

Es kam mir nur darauf an, den mathematischen Inhalt mog-lichst kurz wiederzugeben. So strebt meine tîbersetzung nur Sinn-treue, niclit Worttreue an. War der Text in D a verderbt, sohabe ich ihn aus G und J wiederherzustellen Tersucht, meist ohne

l. !>JUx Sj (yerb.jUUUi

1) H in Cod. Leid. 399, fol. 98 1: ^J^j^ff1 idLflii aJ\S>

s^LFS^J jiLS'H; xJS ^^1 und danach T (Sa, fol. 218b 1—3) oi

î j.U'U! Û' J.5C i \à9 & \^ Oo

_ j .2) Gezâlilt naoh Me. Die Zâhlung naoli H, die der bel M a iiblicben ziemlicli

gleichkomœeti dûrfto, ist teihveise in Klammern beigefûgt, in den anderen Fallenaus i § 2 ersïchtlicli.

die Yerderbnis im einzelnen zu kennzeichnen. Nur grb'Bere Aus-lassungen bei Gr oder J sind angegeben, Nur einmal (132 b [2])wàr der Text so verderbt, daB ich ihn nicht heilen konnte. Indem Ealle habe ich beide Eassungen wiedei'gegeben.

Die Déf in i t ion en. Def. 1: Die Eigur des Dreiecks auf derOberflâche der Kugel ist die, welche GroBkreisbogen auf jenerOberflache einschlieBen, Ton denen jeder Bogen kleiner aïs einHalbkreis ist. Dièse Bogen werden die Seiten des Dreiecks ge-nannt.

Def. 2: Ihre "Wmkel sind die Winkel, die Grrofikreisbogen aufder Oberflache der Kugel einschlieBen.

Def. 3: Die "Winkel, die GrroBkreisbogen auf der Oberflâcheeiner Kugel einschlieBen, werden gleich genannt, wenn die Neigungder Ebenen der sie einschliefienden Bogen — der einen gegen dieandere —• eine gleiche Neigung ist.

Def. é: Man sagt, daB der Winkel grb'Ber ist, den die beidenBogen einschlieBen, bei denen die Neigung der Ebene des einengegen die andere grb'Ber ist aïs die gegenseitige Neigung der beidenEbenen zweier anderer Bogen.

Def, 5 : Und wenn die Ebenen der beiden Bogen einen rechtenWinkel einschlieBen, so sagt man Ton den Bogen ebenfalls, daBsie einen rechten Winkel einschlieBen. / DaB dièse Definitionenwirklich zu D a gehbren, beweist schon der Umstand, daB in(D)I1D (Jb 23 a25/26) die 3. Def. (= J b23a4-5) ziemlich gleich-lautend wiederholt wird (vgl. I § 3E).

II. Im Beweis ist nicht (wie bei N) nnterschieden zwischen(a) AZ und &E GroBkreisbogen, (b) (AZ und GE keine GroBkreis-bogen. Das in N (wenigstens in L) fehlende Corollar ist hier Tor-handen (s. MtJbersetzung" II Anm.).

14. Hier wird erst gezeigt (a), daB, wenn <C B = <C E, dannAG = DZ ist, und dann (b) daB, wenn A G = DZ, dann B = -^ Eist. (a) ist ausgefûhrt, (b) nur angedeutet. Der Beweis entspriohtdem bei N.

18. Hier findet sich (wie auch bei H, T und S) der 'Hinweis(Bj 38), daB sich dieser Satz sowie die TTmkehrung wie in derEbene (sicut demonstratio super triangulos rectilineos) beweisenlaBt (gemeint ist der Beweis bei N, der dem bei Euklid 124 ent-spricht). Der aliter-Beweis lautet: nSei AB•= DE nnd BG = EZ.Beh. : Wenn -^B kleiner aïs <CE ist, so ist AG kleiner aïs DZ,

wenn AG kleiner aïs DZ ist, ist <)CB kleiner aïs

28 Max K r a u s e

Beweis: Um B, E aïs Pôle zielit man mît ED, BA die BogenAH, DT.

Da EZ = BG und BH = ET, so GH = TZ. Da auf den vonH, T gezogenen Durclimessern zweier gleich er Kreise, nâmlichAH, DT, 2 gleioli groBe Kreisstiicke gleicher Kreise, nâmlich TZ,G- H senkrecht stehen, so wird, wenn <)CE grb'Ber aïs <CB ist, DTgroBer aïs HA. Folglich Grade DZ groBer aïs Grade, ebenso dieBogen (Theod. III1).

b) wenii DZ groBer aïs AG ist, so ist die Grade DZ grôBeraïs die Grade GA tind B.ogen TD grb'Ber aïs Bogen HA. Also ist•£E groBer aïs -^B. Q, e. d,

111. Der Satz ist insofern entstellt, aïs hier vorausgesetztwird, was sonst liberall erst bewiesen wird, dafi -^CBGD kleineraïs ^CA + ^CB sei (J^CBGD sei grbBer aïs jeder einzelne von•£A und |CB). Daraus ergibt sich dann, da <CDGE = ^A,daB 3CB groBer aïs <BGE ist und, da 3CAGB + BGD = 180°,daB <£A + £;B + £;G groBer aïs 180° ist. Q. e. d.

113 (= H Ile). Beweis :a) <c; A = <)CD (ungleich 90°), Da AG, EZ nicht dur oh die Pôle

von AB, ED gehen, so ziehen wir GT, ZH dadurch. Da •£; A = D

und <£ H = T = 90° und AG == ZD, so ist GT = ZH nnd DH = AT(112). Grade BG = Gracie EZ, da die Bogen gleich sind (Enkl.II! 29). Also BT = EH (Theod. II11). Daher AB = ED.

b) 3CA = <£D = 90°. Dann gehen AG, DZ durch die Pôlevon AB, ED (Theod. 113). Da Grade BG = Grade EZ undAG = DZ (Bukl, III29) und beide auf AB, DE senkrecht stehen,so isfc AB = DE (Theod. II11). Da die Seiten der beiden Drei-eoke einander gleioh sind, so sind auch die Winkel einander gleich.Q. e. d. Ygl. clazu die Kritik von T in 113 Komm.

115. Der letzte Teil des Beweises weicht etwas von ÏT ab,<G = ^CK. So ist KL + LG = 180° (110). Aher BGH = 180°.Also ist BGH = GL + LK. In T?igur I: GL ist genieinsani, sobleibt BG + LH = KTL. Da aber BG = KT ist, bleibt TL = LHtibrig.

(In Figur II: Gïï ist gemeinsam. So bleibt BG = KL + LH.Aber BG = HT. Daher ist KT = KL + LH. KL ist gemeinsam.So bleibt LH = LT iibrig.) . .

Eolglich ist <LTH = -£LHT (12). Also ist <B = <T.So sind die Winkel des Dreiecks ABG gleich den Winkeln desDreiecks AKT. (TJnd AB = AT, BG = KT.) So bleibt AG = KA(14) = DZ. Q. e. d. (...) f. G.

Zur TBXtgescluchte der SpMrik. 29

119. Im Anfang des Beweises wird statt ^GAH = ^CEDZhier GH = EZ gesetzt, also nicht in 114, sondera 14 verwandt.Da auch voraasgesetzt wird, daB -^B und -^E spitz seien, sowird der Beweis, daB <CABH groBer aïs ^BHA und -^BHG-aïs -^C&BH sei, so gefûhrt: ,,tunc cum nos extraxerimus arcumbg circuli rnagni, erit nnusquisque duorarn angulorura (a^b, gbpminor recto et propter illud erit unusquisque duoram anguloruin)abp, gpb maior unoquoque duorum angulorum apb, gbp." (...) f. G,erg. nach J. Ygl. clazu die Kritik von T (122 Komm.).

127. Den Beweis, der in N 130 fehlt, teile ich in den Be-merkungen zur TJbersetzung mit.

I29b. nWenn <ABD = DBG, so ist BD kleiner aïs 90°.«Der Beweis lautet hier: ,,Quoniam duo arcus ba, bg sunt minoressemicirculo, tune ge est maior ba. Abscidam autem es equalem ba.Et protraham aroum a(c)0 circuli magni. Ergo duo arcus ba, easunt equales duobus arcubus ea, es. Sed duo arcus ba, ea suntsemicirculus; ergo duo arcus ea, es snnt equales semicirculo. Propterillud ergo angulus bas extrinsecus a triangulo aes est equalisangulo âge opposite sibi intrinseco (110). Et angulus dba et an-gulus dbg sunt equales; sed angulus dbg est equalis angnlo des;ergo angulus aba est equalis angulo sed. Et arcus es est equalisarcui ba, et ipsi sunt duo arcus, super quos snnt anguli equalesduorum triangulorum simul; ergo arcus bo est equalis arcui ce(114). Ergo arcus be est quarta circuli; ergo bd est minor quartacirculi. Et illnd est quod declarare uoluimus."

I30c(2). Der Grundgedanke des Beweises ist dem bei N gleich.Jedoch wird hier nicht MBH ist kleiner aïs BT + TH" verwandt(wie bei N), sondern nBH ist kleiner aïs BZ + ZH" und der Beweisentsprechend umgeformt.

131. Âhnlich wie bei 130 wird nicht ,,BH + HE ist groBeraïs nBEa verwandt (wie bei N), sondern nBZ + ZE ist groBer aïsBE" und der Beweis entsprechend umgeformt.

132. Der Eall, daB AB + BG = 180°, wird nicht beriick-sichtigt, sondern sowohl in der allgemeinen Eormulierung wie imBeispiel nur AB + BG kleiner aïs ein Halbkreis gesetzt.

b2. Dieser Beweis wird in G und J verschieden uberliefert.Ich teile deshalb beide Eassungen ist:

30 M a x K r a u s e

GWenn AL kleiner aïs 90° ist, so ist, daEH (das senkrecht auf AH steht) nichtzwischen A, B fâllt und EB kleiner aïs90° ist, <CEBH nient kleiner aïs 90°."Wir bezeichneu auf BH den Punkt Mund ziehen den GroBkreisbogen EM.Da EB kleiner aïs 90° ist, ist E nichtPol von ABH und EB kleiuer aïs EH.Da EM zwischen EH und EB liegt uud<£EBH groBer aïs <£EHB (= 90°)ist, so ist EM grb'Ber aïs EB uud kleineraïs EH.Deshalb ist er (EH?) groBer aïs EL,also groBer aïs 90° und EL ist kleineraïs 90".LA ist kleiner aïs 90° und -^L istnicht spitz.Also ist.^ EAL spitz.Und es wird bemesen, wie wir obeubewiesen haben, dafi er groBer ist aïs

Q.e.d.

,,Et si fuerit arcus la ille, qui est minorguarta circuli, dispositio erit alia. Etguoniain arcus ep secans arcum &aorthogoualiter non cadit iuter duo puncta6, a, et arcus éb est minor quarta cir-culi, tune augulus eba non est minorrecto. Signabo igitur super arcum ébpunctum m, et producam arcum amcirculi magni. Ergo arcus m& est minorquarta circuli, quoniam totus arcus eJiest minor quarta circuli. Et arcus abest minor quarta circuli, ergo arcus maest minor quarta circuli. Ergo angulusauib est minor recto. Ergo angulus âmeest maior recto. Et arcus em est minorquarta circuli, Ergo arcus as est minorquarta circuli; ergo angulus aem estminor recto. Ergo angulus ael est maiorrecto. Sed arcus la est minor quartacirculi, et angulus l non est minor recto ;ergo angulus eal est minor recto ; ergoangulus eab est maior recto, ergo estmaior angulo Tige, qui est minor recto.Et illud est quod declarare uoluismus."

Der Text ist weder bei G, noch bei J vollkommen in Ord-nung. Ein weiterer Beweis (aus der alten TJbersetzung?), derebenfalls von N abweicht, findet sich bei H, aber nur verstlimmelt(s. I §6, H 137).

III ist sonst nur noch. in H vorhanden.(Aufgabe): nYon einem Punkt auf einer Seite eines stumpf-

winkligen Dreiecks einen GroBkreisbogen zu einem anderen Bogenzu ziehen, der mit ihm einen Winkel einschlieBt, der gleich istdem Winkel, den der betreffende Bogen mit dem iibrigen BogeneinschlieBt.

Gegeben sei Dreieck ABG, in dem AB + BG kleiner aïs 180°ist. Punkt D liège.auf BG. Wir wollen von D ans einen GroB-kreisbogen nach GA so ziehen, dafi er mit GA einen Winkel ein-schlieBt, der gleich dem stumpfen Winkel BAG ist.

M sei Pol von AG. Wir ziehen MD, verlangern es bis P,verlangern GA bis E, so daB AE = GP. Wir ziehen den GroB-kreis ME. Da GB + BA kleiner aïs 180°, ist ^EAB grofier aïs3CG (110). So sei 3CEAC = •£;&, und da GP = AE und inden Dreiecken GDP, AEC die Winkel liber gleichen Bogen ein-ander gleich sind, ist EC = PD (114). EM = MP. Eolglich ist

Zur ïextgescbichte der Sphârik. 31

MO = MD. ïïm M wird mit MO Bogen CLD gezogen, der ABin L sohneidet. Wir ziehen den GroBkreisbogen MLZ. Da ^CAstumpf ist, ist BG groBer aïs BA und ebenso GP grofier aïs 2A.So sei PT = ZA. Man ziehe den Grofikreis ÏD. So behaupte ich,dafi 3CDTG = BAG.

Beweis: Da MZ = MDP und ML = MD, so ist LZ = PD.AZ = TP und DPT = 90° = <AZL. Eolglich ist= ^CBAZ. Es bleibt librig -^DTG = -^BAG.

1. Wenn J3G = BA ist, dann ist AZ = PG, da ^!Gund <£P = ^Z = 90° und PD =* LZ.

2. Wenn BG kleiner aïs BA ist, dann ist AZ kleiner aïs PG,da -^G grbfier aïs <£A ist.

3. Wenn BG grofier aïs BA ist, ist AZ grofier aïs PG, da<)C& kleiner aïs ^CA ist.

II2a und b stimmt mit N III iiberein (jedoch N ,,<tA+Gkleiner aïs 180°", G A und G spitz").

Wâhrend aber in N der JBeweis stillschweigend fiir den Eallgefiihrt wird, dafi BG groBer aïs BA ist, wird hier unterschiedenzwisohen:

a) BG ist groBer aïs BA, dann ist GH groBer aïs KA, undb) BG ist kleiner aïs BA, dann ist GH kleiner aïs KA,o) = NII2,d) = Nil 3.II6b) DaB 9C.TZK groBer aïs ^ZTE ist, wird so bewiesen:

Die Winkelsumme im spharischen Dreieck ist groBer aïs 180°.Also ist ^CTZK + ZTZ + ZKT grbfier aïs 180°.+ £; ZTE + 3CETH ist nicht groBer aïs 180° und -^ZKT =Polglich ist -^TZK grofier aïs .^ZTE.

DIII1. Dieser Satz ist in D b eingesprengt, obwohl er sicherliohnicht dazugehôrt. Er ist vielmehr aus einer anderen Quelle iiber-nommen, um eine Lticke in dem von D bentttzten Mannskript dertlbersetzung bH's auszufûllen. Anders ist es wohl kaum zu ver-stehen, daB bei D nadir arcus (ein von ihm eingefiihrter Ausdruck)zweimal (III1 und III2) defmiert wird. (III1 BEt ego guidernnon significo, cnm dico nadir arcus, nisi lineam, que subtenditurduplo illius arcus secundum quod sit ille arcus minor semicircnlo".III2 ,,Et non significo, oum dico nadir arcus, nisi lineam rectam,que sabtenditur duplo eius"). Dièse Quelle ist wahrscheinlichebenfalls Ma. Der Beweis ist nânilich. derselbe wie in H, aberausfiihrlicher. Jedoch weichen die Buchstaben an den Eiguren hiervon denen bei H ab, was aber anch bei D a vorkommt und wohl

32 Max K r a u s e

so zu erklaren ist, daB Ma neue Buchstaben einfûhrte, H aberwieder auf die in der alten IJbersetzung zuriickgriff (Differenzenzwischen H und S, bzw. Db wâren also moglicherweise solchezwischen. den beiden TJbersetznngen?). Der Beweis (vgl. IfigurVil und 12) wird wie in. N fiir den Eall gefiihrt, daB EZBTransversale sei, doch insofern in D und H von ÎT abweichend,

daB A aïs Anfang.genommen wird, also — — =^=r = • • • . Ain SchluB

wird aber in D (dieser Abschnitt fehlt bei H) noch darauf hin-1 f i - T T ' Q X , «sinGE sinGZ sinDB"gewiesen, daB sien der batz auch . ~-î~ = —• — TTF. --- = — ?n — •

5 ' smEA smZD smBAaussprechen lasse. Der zweite JTall (daB ADB Transversale sei)fehlt in D. Auch wird nicht unterschieden, ob HB und AD inKichtung D oder in Richtung A zusammentreffen; der Beweiswird vielmehr allgemein gefiihrt. Also D(a) = N(a + b), D(b)= N(c); D(e) fehlt H, H; N(d) fehlt D.

§ 6. Al-Harawî (H).

A. ÎTachr ichten liber ihn.Im folgenden stelle ich allé mir bisher bekannten Angaben

liber al-Harawî1) zusammen:Sein Name ist (nach Cod. Leid. 399, 2° fol. 82 b 92 b 97 b 99 a

103 a 105 a) Ahmad b. Abï Sa'd al-Harawî.' T fiigt (Sa, fol. 188 b 6)die Ktinja ,,Abu,-l-Fadl" hinzu. H selbst gibt noch an2), er sei vondem TJstad Abu cAlï Muhammad b. Ahmad b. al-Facll dazn ver-anlaBt worden, al-Mâhânï's Yerbesserung zu Ende zu fiihren. Aberdas hilft uns nicht weiter; denn dieser Abu cAlï ist sonst ganznnbekanntj wenn er nicht mit déni Abu cAlï Mnhammad b. Ahmadal-Balhï as-Sâeir gleichzusetzen ist, den al-Bïrûnï 8) und nach ihmUH (IY 13, Nr. 7410) aïs Yerfasser eines Sâhnama (Konigsbuch)ohne nâhere Zeitangabe nennen. Sonst konnte raan ans der LeidenerHandschrift fiir H's Lebenszeit nur schlieBen, daB er nach 270/883(Ma) und vor 539/1144^45 (Abschrift der Hs.) gelebt haben muB.

Etwas mehr bieten uns die NachricMen, die Abû-r-Raihân al-BïrQnï (gest. 440/1048; Brock. GAL 1475/6; Suter MAA S. 98

1) Suter, MAA S. 228.2) Cou. Leid. 399, fol. 821} Mitte

3) al-Bîrûnl, al-âiiir al-brigija (Chronologie orientalischer VGlker, hrsg. vonB. Saehan. Leipzig 1878) S. 99, 15.

Zur Textgesobichte der âpbarik. gg

—100; E. I. I 757) vor allern in seinem Werk iiber die Lângen-tind Breitenbestimmnng von Stâdten1) iiberliefert.

(88/89)s) ,,Es beobachtete dort (d. h. in Eaj"), in der Naliedes heutigen Téhéran)' Abû-l-EarJl al-Harawï in Gegenwart vonAbû-ôa'far al-3azin'J) die Sonnenhbhe am Mittag des Mittwochs,12. Rabf H348 h/22. VI. 959 d. ... Dann beobachtete er dort ihreHohe am Mittag des Ereitags, 21. Sawwâl 349 h/14. XII. 960 d."

(174)6) „ . . . (gehorte) zu den hervorragenden, vortrefflichstenAstronomen". Dort wird auch ein astronomisoh.es "Werk von ihmzitiert •— ^.^L^aJl ^â-jj! — ndie dem Gefâhrten gewidmete Ein-leitung", ans mehreren Teilen bestehend (wird auch S. 232 genannt).

(262)6) ,,Die Breite von ar-Eaj beobachtete Abu Mahmïid al-Hng'andî (Suter, MAA, S. 74; El, II1043/44) und fand dafiir 35° 34'35", wie es Abû-1-Eadl al-Harawï in den Tagen von Ruknaddaula(reg. 338—366) gefunden latte".

(269/70)7) „... und Abû-l-J?adl al-H. ist bei seinem Hervor-ragen in den mathematischen "Wissenschaften dnrchaus zuverlassig.Er beriohtet, daB er die Breite von OWg'ân mit (Hilfe) der Hohedes 3?riihlingsâquinoktinms beobaohtet habe. Er habe dafiir im

1) Kitâb tabdïd iiibiïjat al-amâkin ll-tasl.iïli masâfât al-masakin, Stambul,lis. Fatih 3386 (wahrsobeirJicb Autograph!) S. 8S/89, 174, 232, 2C2, 269/70.

r.2)

j.o

3) Jâgnt 1713/li; I iM TI 740/809 ; Le Strange 214/17.4) Suter, MAA, S. 58.5) .*^^âJt ScLXKJ g,

6) U/ aJ u\ *î »LX=»

XU yïj ..M J. »A=>-_5

ito. i a ^ ( jB^c^

Âbnlîob. Eirani in seinem

Masudiscben Kanon VI 2, vgl. G. Schoy in lais, Ko. 13, Vol. V(l), 1923, S. GO.7) S6 LX

Abhancllungen d. des, d. Wiss. zu Oôtfingen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17.(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

M

34 Max K r a u s e

Jahre 371 h/982 d (den Wert von) 38° gefunden, ira folgenden J ahre(dagegen) 372/s °.K

Hieraus ergibt sich: Der persîsohe Astronom al-Harawï, uni320 h geboren. aus Herat1) stammend, bestimmte die Breitenmehrerer persischer Orte, sckrieb eine Einleitung in die Astro-nomie tmd vollendete die Verbesserung der Spharik von Menelaosdurch al-Mâhânï. Er starh um 380 h/990 d.

B. Die A u s g a h e der Spharik,

In dem Vorwort zu seinem Werk teilt H mit, wie er dazugekommen sei, die Spharik zu verbessern2). Er hatte sich schoneine Zeitlang mit dem Gedauken, das Buch zu verbessern, ge-tragen war aber nicht eher dazu gekommen, aïs bis ihn der UstâdAbu cAlï Muhammad b. Alimad ibn al-.Eadl dazu veranlaBte. Hpriifte zunachst die Yerbesserung Ma's8) nach und stellte fest,dafi der Tert ira Laufe der Zeit in Unordnung geraten war. Sokorrigierte er, was bei dieser Yerbesserung an Ansdruck (lafz),Sinn (ma'nà) und Beweis riohtiggestellt werden muBte. AuBerdemfand er nooh eine andere Yerbesserung eines -der Neueren vor,die ,,weit entfernt war, in Ordnung zu sein". Deren Verfassersage, er habe das Buch teils verbessert, teils aber auch nicht.Doch fânde sich in den nach seiner eigenen Aussage von ihm

1) Jâqttt IV 958/59; Le Strange 407/9; vgl. Sam'ânï, fol. 589 b (unter Har-

Tvânï !).

2) Hs. fol. 82 b jOe à^'-i} U4) V1-

s,Xu.lï M \à

U (a. E.

jy>*, * * u JLAAl cr.

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3) Ocler dea Teil, den Ma verbessert hatte.

3i J «U*1J ^AXJ j-kS

Zur Textgeschichte der Spharik. 35

verbesserten Teilen so viel Yerderbtheit, daB er offensichtlich dasZiel des Verfassers (d. i. Me) nicht verstanden habe. Da H keinenNamen nennt, erfahren wir daraus nur, daB es noch eine uns sonstunbekannte (denn ÎT ist sicher nicht gemeint) Ausgabe gab, dochleider nicht den Namen des Yerfassers oder sonstige Einzelheiten.(Yielleicht identisch mit der in der Glosse zu Sa, fol. 196b, ge-nannten Yerbesserung der tlbersetzung von ad-Dimisqï durch Jû-hanna b. Jûsuf, vgl. I § 8 zu T 121.) Auch die alte Ûbersetzung(ÎJi) mufî ihm vorgelegen haben, Anders lassen sich manche Be-merkungen von ihm, wie zu I37b (2), II10, kaum erklaren. (Mog-licherweise. lag neben H auch dièse tlbersetzung dem T vor nndist sie dieselbe, die .er aïs Sch-Hs. bezeichnet, vgl. I § 8 unterYorlagen.) Die tlbersetzung von bH (und die darauf beruheudeAusgabe von N) ist ihm sicher nicht bekannt oder zugânglich ge-wesen, sonst wiirde er dièse und nicht Ma's Yerbesserung seinerAusgabe zugrunde gelegt haben oder sie doch zum mindesten zur"Wiederherstellung des Textes verwandt haben.

Da durch I § 3 E, 1. Teil, wohl geniigènd bewiesen ist, daB inD a uns teilweise .M a erhalten ist, konnen wir wenigstens -furdiesen Teil (H II—61) feststellen, inwieweit H von Ma abweicht.Ein Yergleich der Beweise in H und Da hatte folgendes Er-gebnis. (Bei den Beweisen, deren Nummern fett gedruckt sind,weicht Da starker von N ab):H = Da: II, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19,

20, 21, 23, 24, 25, 26, ' 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37 a, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 48, 49^50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61. (Dieszeigt den engen Zusammenhang zwischen H und Da,s. oben I § 3E.)

H weicht ab von Da und N: 111, 22, 37b.H — N1): 112.

Wie H grundsâtzlich2) die âuBere ]form des Textes von Maverândert hat, ergibt sich aus I § SE und auch aus den im An-hang mitgeteilten Beispielen.

1) Hacli dem obeii Gesagteu bedeutet das, daB hier H = Oj. Daraus, daBhier Da von H = tÏ! abweicht — wobei, wie ioh oben in I § SE auseiuander-gesetzt habe, von D vorgenommene Ànderungen nicht wahrscheinlich sind —kann ebenfalls geschlossen werden, daB Da nicht auf Ûj, sondsrn Ma zu-riickgeht.

2) Besonders stark tritt das Bestreben hervor, den Ausdruck in Ma zukûrzeu uud zu vereinfachèn.

3*

36 M a x K r a u s e Zur Textgesdiiclita der Sphârik. 37

Fur das zweite Buch steht uns aïs Vergleichsmaterial nnr Nzur Verfugung. H = N: III—4, 6-9, 11-29.',

Im JTolgenden sind Abweichungen in den Beweisen ange-geben :

1. l?ûr Bucli I von H gegen D a (siehe I § 5) ;2. ]?iir Buch II Yon H gegen N, auBerdem sâmtliche eigenen

Zusatze und Benierktmgen H's — soweit nicht schon oben ange-geben. (Eiir die Ziele dieser Zusammensteïïung nnd die Art derTextwiedergabe vgl. I § 5 B.) Es ist hier noch nb'tig, kurz aufdie Satzzâhlung in Ma und H einzugehen. In I § 2 habe ichunter Ma-—H die in àer Hs. Leid. 399, 2° ûberlieferten Zâhlungenangegeben. Die Hauptzahltmg (Zi) lâuft von 1—91, wahrend dieursprlingliche (von Ma herriihrende?) Zahlung (Zs) in Klammernangegeben ist. Dabei geht die Zahlung nicht bis 91 durch, sondernzâhlt Satz 62 aïs III (also ganz der Bûchereinteilnng gemâB),T kennt (s. I § 2) noch eine dritte (Zs), nach der das Werk indrei Bûcher geteilt ist zu 61,18 und 16 Sâtzen. Dièse schreibt erausdrûcklich H zn. Jedoch habe ich hier stets.Z2 zugrunde gelegt,da sich in der Handschrift keinerlei Spuren von Zs finden. (Siefindet sich jedoch •— me ich naohtraglich bemerke — in derStambuler Handschrift).

Einleitung von Me mitgeteilt I § 3.

Def in i t ionen.

Def. 1 : Die sphârischen ïiguren werden dnrch die gradlinigen(d. h. ebenen) definiert, nnr sind ihre Seiten GroBkreisbogen, derenjeder kleiner aïs ein Halbkreis ist, Das von ihnen, das drei SeiteneinschlieBen, ist ein (T+Dreiseit oder) Dreieck. Ebenso (d. h. ent-sprechend) das Vierseit.

Def. 2: Die Winkel des Dreiecks sind die, welche jene GrroB-kreisbogen einschlieBen.

Def. 3 : "Wenn eine der beiden Ebenen zweier Kreise auf deranderen senkrecht (wortlich ,,auf rechten Winkeln") steht, soschneiden ihre Peripherien einander unter rechten "Winkeln.

Was kleiner aïs dieser Winkel ist, ist spitz und was groBeraïs er ist, ist stnmpf (wortlich ngebffnet"),

Def. i: Also ist klar, daB der Winkel kleiner ist, bei dénidie Neigung der Ebene gegen eine Ebene groBer ist (vgl. T).

Def. 5 : Wenn die Neigung einer Ebene gegen eine Ebenegleich der Neigang einer anderen Ebene gegen eine andere Ebeneist, so ist einer der beiden Winkel, welche die beiden Halbkreisevon einer der beiden (?) einschlieBen, " gleich seinem Gegenstiickvon den beiden anderen Ebenen. / Die Definitionen stammen viel-leicht von H selbst oder sind von ihm aus tli entnommen, jeden-falls nicht aus Ma, siehe I § 5B.

16. Im Beweis hat er Ma gekûrzt, vgl. I § 3 E.19. Beweis wie Ma, nur <)CB groBer aïs <CE (wie N).111. Ygl. I § 3E (1. Sachliche Abweichungen) unter D 110.116. = N 115. Nur ist nicht (wie bei F) TZ, H& ver-

langert, sondern B& und EZ und der Beweis entsprechend ver-andert.

122. =î\I21. Jedoch beweist H den letzten Teil pZ groBeraïs BG) etwas anders aïs N (und D) : ... bleibt LU = LM. Also<LMK = <LKM (12). ^LKM ist grofier aïs ^LKT (= A).Eolglich ist -^LMK groBer aïs ^;A. So sei <XLMS = -^A(II). Es war <£H = ^B nnd HM = AB. Also ist HX = BG(115). HG (= DZ) aber ist groBer aïs HX (= BG).

123. Hier (wie auch bei Ma!) wird nicht M<)CB + E nichtkleiner aïs zwei Bechte" vorausgesetzt, sondern nur (vgl. auch Tin I § 8 zu T 122), daB B sowohl wie <XE nicht kleiner aïs90 ° sei, der Satz also zu speziell gefafit, So wird es folgender-mafien bewiesen, daB <£ABH groBer aïs AHB sei: ,,-^AHG =•^CDEZ. Wix ziehen den GroBkreîsbogen BH (Theod. 120). Da3C B, £; E nicht kleiner aïs 90 ° ist, so ist sowohl -^ &BH wie•2CAHB spitz. Deshalb ist -<ABH groBer aïs <£AHB .. . und<GHB groBer aïs -^GBH".

124. (a) = D 120a; (b) = D I20b; (c) entspricht dem Ko-rollar von NI23, wahrend NI23e (= DI20c) fehlt. Der Be-weis ist in H wie auch in D und N auf N 123 c zurûckgefiihrt.Wahrscheinlich ist also das Eehlen von NI23c in L 399,2° nurauf schlechte IJberlieferung zuriickzufûhren. Der Schreiber vonLeid. 399,2° (Abu Saed al-Baihaqï) hat jedoch durch einen Zusatzam Eande (,,der nicht in der Vorlage stand") den Beweis zti er-ganzen versucht: ,,Und es wird auf die vorige "\Yeise bewiesen,daB ^CHAB groBer aïs <£B ist. Also ist BH grbfler aïs AH(17). Aber BE = AZ. Also ist EH groBer aïs ZH. Eolglich ist<EZH groBer aïs -£ZEH (19). Also -^AZD (= GED) kleineraïs <BED. GE = BE und ED ist gemeinsam. Also ist BDgroBer aïs DG (8)".

gg Max X ï a u s e

1 37 b (2). Wenn AH nicht kleiner aïs 90 ° ist, so ist AK kleineraïs 90°. Beh.: <£BAD ist' grofier aïs 90°. Be-weis: a) Ange-nommen, er sei = 90 ° und -^H = 90 °, so ware T Pol von KAH raidAT = 90°. AT aber ist kleiner. aïs ^AG-. So ware AG- groBeraïs 180°. 3?olglich ist <CBAGr =1= 90°. b) Angenommen, er seispitz. Es werde -^BAL = 90° gesetzt. So ware L ein Pol vonKAH und AL = 90°. AT aber ist groBer aïs AL nnd kleineralsVaA-G. SowareAG viel groBer aïs 180°. Eolglich ist •£ BADgroBer aïs 90°. "Winkel ABD ist spitz, wie vorhin bewiesen. ïolg-Hch ist -^EBH groBer aïs 90°, also EH groBer aïs 90° (nnd KEkleiner aïs 90°). AK ist kleiner aïs 90° und <£;K = 90°. Folg-lich ist ^CEAK spitz (H 125). Dater ist <XEAB stumpf. <£EGBist spitz (wie bewiesen). Folglich ist <CBAE groBer aïs <CBGE.Q. e. d. /Der Beweis diirfte etwas in TTnordnting sein. H. sagt:.,Der nahe(liegende) Beweis fur den zweiten Teil dièses Satzesist der, den wir benutzt haben. Menelaos aber hat das Bestreben,stets nur den direkten Beweis zu verwenden. "Was uns von seinenBeweisen Merfiir bei der verderbten und schwerverstandlichenttbertragung erscheint, ist folgendes:

1. Wenn Bogen AH kleiner aïs 90° ist, ist die Beweis-fuhrung dabei dieselbe, so daB klar wird, daB <£BAE grofler aïs

Zur TextgescKiohte der Sphilrik. 39

2. "Wenn Bogen AK CL. AL ?) kleiner aïs 90 ° ist, so stehtEH au£ AH senkrecht und EB ist kleiner aïs 90 ° und <t EBAist kleiner aïs 90° und -^EBA ist kleiner aïs 90° und EH istgrofier aïs 90 ° und AH ist groBer aïs 90 ° und EK ist kleiner aïs90°. Gesetzt war AL kleiner aïs 90°. Also ist -^EAL .kleiner

.aïs 90°. Also ist <EAB stumpf und ^CBG-E spitz. Q. e. d.«. /Dièse Stelle zeigt trotz der Yerstummeltingen mêmes Erachtensklar, daB dieYorlage von H, die dieser neben Ma benutzte, nientmit bH identisch gewesen sein kann, sondern eben IJi ist.

II. Teil. Yor Beginn des zweiten Teils weist H darauf hin,daB Me viele Pramissen vernachlassigt (V$ IV c. 'an) habe, diejeder branche, der sich mit diesem Bûche beschaftige und der siohnicht bis zu Me's Hohe erheben konne. Tbe's Méthode sei — wieauoh Me bemàngele — nicht zufriedenstellend gewesen, Me habeallés, was The bewiesen, leichtverstândlich (vUsuhUlatt im Gegen-satz zu ,,tocassMr"?) erklârt und tinter Verwendung des direktenBeweises. /JJnd er hat in diesem Teil den Satz behandelt, denPtolemaos den 'Transversalensatz' (al-qattâ'') nennt, und daraufviele Sâtze aufgebaut. Pt. benutzt viele Satze ans diesem Buchin clem zweiten Teil des Almagest, ohne ihn zu einem in Beziehung

zu setzen (?) oder etwas davon zu erklâren. So wird allés, waser in betreff der Winkel benutzt, die duroh den Schnitt der Tier-.kreissphâre (Ekliptik) und der Horizonte entstehen, und anderesdurch dièses Buch bewiesen. Die dafûr nb'tigen Pramissen sinddie, welche Pt. teils ans déni Schnitt zweier Graden zwischenzwei Graden auseinandergesetzt hat und den (?) Verhâltnissen, diedabei zusammengesetzt werden. Me geht •— wie wir sehen — indiesem Teil in einer Weise zu dem Transversalensatz liber, dienicht zu seiner Méthode paBt; denn er hat fur ihn keine Protasis('muçaddùna') und keine 'Botschaft' (trisala) bestimmt und ihnnicht an den Anfang des Bûches gestellt. (Auch dièse Bemerkungzeigt, daB ihm weder bH noch H bekannt gewesen sein kônnen;denn dort eroffnet dieser Satz ja das dritte Buch.) Entwederwaren die Pramissen dièses Satzes bei ihnen ... (mutaraddafd) be-kannt oder sie gingen ans dem Buch verloren". / H fiihrt sodanndie Pramissen an: zuerst den Transversalensatz fnr die Ebene.Dann erklârt er, Ausdrucke bei Me wie nnach der Zeichnung(rasm)", ,,wie in der Zeichnnng" u. a. bezbgen sich auf dièse(ebene) Transvérsalenfigur. Eiir den Ausdruck ,,"Verhaltnis derSehne des doppelten Bogens zu der Sehne ..." werde er der ,,Be-quemlichkeit halber" (UftaJifîf") ,,Yerhâltnis des Bogens zn ..." ge-brauchen (was er allerdings z. B. H IE B nicht tut). Weiter wirdfolgender Satz vorausgesetzt : „Wenn (a : b) = (c : d) (e : f) und(a) = (c), so ist (d:b) = (e:f)". (Im Beweis wird d in das Yer-haltnis zwischen a und b eingeschaltet). Und ,,wenn (a : b) = (c : d)(e : f), so ist (a : b) = (c : f) (e : d)". (Darauf geht H zur Besprechungvon II10 liber). ,,Der zehnte Satz dièses Teils ist der, bis zu déniMa gelangt ist und liber den er nicht hinausgekommen ist, Erbedarf folgender Prémisse: ,,Die Kreise BGZ, BAH, BDT, BEKwerden von den beiden parallelen Ebenen BGD, ZHT geschnitten.A ist Pol von ZHT, L ist Kugelmittelpunkt. Bogen AB = BogenAG = Bogen AD. Da A Pol von ZHT ist, so steht AH auf ZHTKsenkrecht. Eolglich steht die Ebene BGD auf der Ebene BAH senk-recht. Die gemeinsamen Schnittlinien der Kreise BGZ, BAH, BDT,BEK mit der Ebene BGD sind zu denen mit der Ebene ZHTK parallel :BG zu LZ, BC zu LH, BD zu LT, BM zu LK parallel. Eolglich<GBM = ZLK, <£GBC = <£ZLH, £; CBD = <£HLT tmd< DBM = £; TLK. Wird GD verlângert, so trifft es (die Ebenevon BEK) in M; denn es liegt in der Ebene von BGD. Wirziehen LE, das BM in M trifft, da LE sowohl in Ebene BEK wie,.in Ebene GAE liegt. BM ist die Schnittlinie der Ebenen BEKund BGD, Also ist M der gemeinsame Schnittpunkt der Ebenen

40 M a x K r a u s e

BEE, BGD, G-AE. Wir trennen LN = BG- und LS = BM abund ziehen NS. So ist das Dreieok NLS = Dreieck GBM. Eolg-lich ist (G-M:MD) = (NS:SO). Es ist aber (GM:MD) = (Sehned. dopp. Bog. GE zu der Seine d. dopp. Bog. ED). Also ist(NS:SO) = (S. d. d. B. G-E:S. d. d. B. GKE:S. d. d. B. ED). Q.e. d. / Ygl. T's Kritik daran (IIIB Komm.)!

115 (= 166). Vor Beginn des Satzes sagt H: Menelaos gehtan dieser Stelle zu dem Transversalensatz iiber und zu dem, wasdaraus zusammengesetzt (rM> Y c. min) und darauf zuriickgefiihrt(?P YII c. ila) wird, ohne daB er ihni eine ^Protasis" oder nBot-schaft" vorangestellt liât. / Der Beweis ist dem bei Da (D DU)gleich, doch fehlt der letzte Abschniit (nnadir GE : nadir EA= ...«),

niO lautet bei H: Vor. : in den Dreiecken ABE, MLO ist^B = -^M = 90° und <CA = -^L kleiner aïs 90°. Beh,:(AB +ÂE) verhalt sich zu (AE - AB) wie (LO +LM) zu (LO - LM).Setzen wir AG- = AB und AD = AB und ebenso LO und LS = ML,so ist (GE:ED) = (NO : OS). Beweis: Um Pol A ziehen wirden GroBkreisbogen ZHTK und ziehen BGZ, BAH, BDT, BEE.Da A der Pol von ZHTK ist und AB = AG- = AD, so ist, wennwir um A aïs Pol einen Kreis mit dem Radius AG- ziehen, dieserparallel zu ZHTK Deshalb ist BG + 2 GD = 180°. Wenn wirZV = ZG setzen und AH verlangern, so trifft er ihn offensicht-Kch in Y. Wir verlangern AG und HZ, die in Ô zusammentreffen.Da der Pol von ZHT auf DAG liegt, ist •£ Ô = 90", ebenso<H = 90°. Also sind in den beiden Dreiecken GZO, HZY diebeiden -£H, Ô = 90 ° und -^ Z = -^ Z, HV kleiner aïs 90° undGÔ kleiner aïs 90°. Also ist HZ = ZÔ. "Wir ziehen den GroB-kreisbogen AZ. So ist AH = AÔ und HZ = ZÔ. Also ist<£HAZ = 3CÔAZ. Also ist ^HAG durch AZ halbiert. Ebensoist -3CDAH duroh AT halbiert. ^CGAH + ^CDAH = 180°. Alsoist ihre Halfte = 90°. Eolglioh •£ ZAT = 90°. Ebenso ist•^H = 90°. Aber ^B = 90°. Also ist K der Pol von BAHund deshalb ist T der Pol von BGZ. Also ist TZ = 90° tindTG (KH) = 90°. Wir ziehen in Dreieck MLO MNE, MLC, MSQ,MOS und den Kreis ECQX. um L aïs Pol und ziehen LE, LQ.So wird es klar, daB -^ELQ, = 90°, EQ = 90°, ebenso SG undHZ = EC und ZK = EX. So ist nach dem Yorhergehenden(GE : ED) = (NO : OS). / H sagt : ,,Dies ist der Beweis, den ich fiirdiesen Satz gefertigt habe. Das, wohin Menelaos strebt Çw'lij Yc. iZif.), wird durch mehr Prâmissen aïs dieser (Beweis) bewiesen;denn er sagt: Wenn ZA, AT gezogen werden, so halbieren sie

Zur Textgesohiehte der Spliilrik. 41

die beiden Winkel DAH und GAH (was er nicht bewiesen hat).Dann spricht er davon, daB (jewefls) die beiden Bogen ZK und EX, ZHund EO, HT und CQ gleich seien. Dann sagt er: Wenn wir AGaïs Mitte setzen, so ist (GE:ED) = (EG:AG) (AG:ED), d, h.(AD : ED).

Er sagt : (EG : GA) = (KZ : ZH). Also ist (DA : DE) = (TH : TK)und (KZ:ZH) = (HT.-TK). Und in der zweiten Eigur (salé)ebenso = (NO : NL) und (LS : SO). ,,Das ist richtig, aber es wirddurch zwei Prâmissen bewiesen, wâhrend das, was wir gesagthaben, durch eine einzelne Prâmisse (bewiesen wird). DaB die-)C GAH, NLG halbiert werden, laBt sich dnrch das beweisen, waswir vorangestellt haben. Q,. e. d.". In einigen Handschriften vonT finden sich am SchluB von T verschiedene Ausziige ans H (dieich sonst nicht weiter beriicksicktigt habe), u. a. auch H II10mit anschlieBendem Bericht von H liber Me, Darin steht nach,,(was er nicht bewiesen hat)" folgender -Zusatz : ,,Es sagt Ahinadb. (Abï Saed) al-Harawî: Wie es zu beweisen ist, ist klar aus derUmkehrung von 29 (= H 130), nâialich, wenn BH, BT verlangertwerden, bis sie zusammentreffen, so ist AD + AH + Ergànzung vonAH bis zum Treffpunkt = 180 ° und AT = 90 °. In jedem Drei-eck aber, dessen ungleiche Seiten zusammen = 180 ° sind und derBogen, der von dem Winkel, den sie einschlieBen, zur Grundliniegezogen wird, = 90 ° ist, halbiert er den Winkel und die Grund-linie. Daher ist ^CDAT = £;TAH1[.

1119. Das, worauf Me in diesem und den folgenden Sâtzenhinstrebt, ist das, was wir gesagt haben. Betreffs dessen, wasihm in Teil I in Satz 48 und dem folgenden bis zum SchluB desTeils an Eigenschaften dieser Eigur und âhnlicher entspricht (?),(so?) hat er bewiesen, daB, wenn BG die grb'Bte Seite, aber nichtgroBer aïs 90° ist und von ihr BD = EZ abgetrennt werden,dann AB, ZK kleiner aïs DH, ET sind und daB AH grb'Ber aïsTK ist. So folgt daraus, daB — wenn BD = EZ — dann (AB-DH)kleiner aïs (ET —ZK) ist, und es folgt das, was er von den Uber-schiissen bei (?) den richtigen (saliîli) Bogen gesagt hat. DasnProportionalsein", von dem er spricht, ist ein Proportionalseinzwischen den Sehnen der doppelten Bogen. Was daraus folgt,folgt (anch) bei jenen Bogen. (Ubersetzung unsicher, da Text nichtin Ordnung.)

1120. Der Beweis stimmt mit N ûberein, von der Behauptungist jedoch nnr der Anfang richtig: ,,wenn BD = EZ, so ist AH...groBer aïs TK" (entspricht bei N nwenn GD = ZT, so ist AEgroBer aïs KH"), das iibrige ist einfache Wiederholnng der Be-

42 Max K r a u s e

hauptung ans H 1119. (Vgl. die Kritik von T in III15 Komm.,wonach dièse Einzelbehauptungen schon (?) bei Sch.-Hs. gestandenhaben.)

II27. Nach der Wiedergabe von Me's Bemerkung (s. IIA §1unter 9S,26ff.) sagt H: ,,(GH:DE) ist bekannt. Theod. bewiesnur, daB es ein kleineres Verhaltnis sei. Was Me bei den Sehnender doppelten Bogen beweist, ... so ist das Verhâltnis der rich-tigen Bogen grbfier aïs das Verhâltnis ihrer Sehnen (?).

1129. Am SchluB hat H einen Teil, der bei H fehlt: ,,IJndwiederum ! (MZ ; ZK) = (ZK : ZA) und = (LIT : KA) (= MB). Alsoist MZ2:DZ2 = MT2:MB2, aber MZ2:ZD2 = MZ:ZA, d. h. dasVerh. des Kugeldurchmessers zu dem Durchmesser des zu BGparaïïelen Kreises, der durch den Punkt des tJbersohusses desKugeldurchmessers liber den ÛberschuB (?) des Kreises AZ geht,ist bekannt. Q. e. d.".

II30 lautet: nWenn wir dièse Dinge bewiesen haben und unsklar ist, daB (LIT—MB) bekannt ist, so wollen wir zeigen, daB(GH:DE) groBer und kleiner aïs ein beliebiges Verhaltnis ist. Esist bewiesen, daB (GH:DE) = ZK2:(ZE.ZD). ZE ist groBer aïsZK und ZK groBer aïs ZD. Also ist (ZE.ZD) groBer aïs ZD2

und kleiner aïs ZE2. Also ist (ZK2 zu ZD2) groBer aïs (ZK2 zuZD.ZE). Also ist (GH:ED) kleiner aïs (ZK2:ZD2). (ZK2:ZE2)ist kleiner aïs (ZK2:ZD.ZE). Also ist (GH:ED) groBer aïs(ZK2 : ZE2). Bewiesen ist also, daB (GH zu ED) kleiner und groBeraïs irgend ein Verhâltnis ist, wobei beide Verhâltnisse das Ver-haltnis des GroBeren zum Kleineren. Auf dieselbe Weise wird esbewiesen, wenn (GH zu DE) das Verhaltnis des Kleineren zumGroBeren ist und wenn BD oder BE eine Quadratseite ist". (Vgl.T in III25 Komm.).

§ 7. AM Nasr Mansur b. 'Ali b. 'Ira g (N).

Da N.s Leben und "Werke weiter unten (IIA § 3) behandeltwerden, ebenso seine Ausgabe herausgegeben und iibersetzt wird(IIB und C), so kann ich mich hier damit begniïgen, auf seineVorlagen und sein Verhâltnis zu iinen einzugehen.

N.s Vorwort zu seiner Ausgabe ist — wenn es iiberhaupt einsolches gegeben hat •— uns nicht iiberliefert. Wir wissen dahernicht, ob er etwa H, Ma oder IJi oder andere uns unbekannte

Zur Textgeschiehte der Sphârik. 43

tîbersetzungen und Ausgaben1) gekannt hat. Die einzige seinerVorlagen, die Avir sicher kennen, ist die "Qbersetzung von bH (s. I§3E nnd § é).

Ans dem Vergleich zwischen ïf und der in Db iiberliefertenEassung von bit geht hervor, daB ÎT den Wortlaut von HJ getreuwiedergibt und sich nur wenige Anàerungen und Zusatze ge-stattet.

Durchgangige Abweichungen îT.s gegen Db2) sind folgende:Die bei Db iiblichen Ûberschriften3) der Beweise, wie ^Cuius hecest demonstratio" ... u;' nn nsian fehlen bei N; statt dessen be-

ginnt jeder Beweis — dem Griechischen entsprechend — mit o^

nQuoniam"*) oder fy ;,Q,uoniam nos". Der Ausdruck ij vxb t^vSLJC^V, den btj wahrscheinlich — wie es auch in Ûi der Eallwar — mit u-yiiS ^_ji.*.fo ^} ncorda dupli arous" wiedergegeben hat,ist bei D durch L^ylii ^ihJ ,,nadir arcus" nwpn nïrDJ ersetzt, bei N

durch (jyJiii <^-ff^ nsinus arcus". Entsprechend wird_,tiï ndiametert[,das noch bei Db gebraucht wird, bei ÎT durch JaSJ! v_s.«^5 ,,semi-diameter" ersetzt.

Die einzelnen Abweichungen") N.s von Db (die zum Teil aufabweichende Desarten in den Vorlagen von N tmd D zuxuckgehenwerden) stelle ich im folgenden zusammen:

il, 26 ^°R J- S-is (VWJ^-J (3 u^ÏÏ ji*!a!ij =-i HOvcS l j.b... ' (jd\J^^vJUii angulo c[uem continent basis ag et latus quod non diui-ditur et opposite lateri diuiso] angulo gab G (1)31^ n'il1? J.

•il, 28 ,jJwa latera] arcus

1) Indes hat er watoscueinlich solche gekannt, vgl. IIA § 1 m 37,14 undYgl. Anm. zur Ijbersetzung von 114 Kommentar.

2) Db mit bH ohne weiteres gleichzusetzen, mag ungenau ersoueiueu, ist esaber nient; denn — wie icli I § SE dargelegt nabe — sind grSBere stilistischeund sacbliche Umarbeitungen yon D walirscheinlich nient vorgeuomnieii wordon.Es liât also D fur unsere Untersucnungsn. donselben Wert wie eine Hs. von bH.

3) Die zwar sioher nicht von bH hemihrsn, aber aueh nicht von D ein-gesetzt zu sein brauchen, sondern schon in der ibm vorliegeudeu Hs. von bH ge-standen haben konnen. Alinliche Beispiele sind in der Cberliefarung des arabiscbenEuklid haufig.

4) Uni den Yergleich mit D zu erleichtern, ûbersetze ioli !S so, wie es Ggstan haben •\vfirde.

5) DaB in S.s Exernplar die T II14—16 entsprechenden Sâtze feWten, habé'ieh I g 3E bemerkt; den Text von J bahe ich IIA § 1, den von G in der Ûber-setzung wiedergegeben.

44 ilax K r a u s e

41, 29 û>,^\S j, ttUJ ^AÏ Oojj- et iam ostensum est illud in figura

prima] f. D.43,1 ^^.sxj ^j LjJJS £.Jua.H (J.Ï LjdS .Xj^SS S)j*a!! À î11 forma prima, qui

sequitur lattts quod non diuiditur] f, D.42,4 -Lto latus] arcus Wp — eJU,SS J-jCAJi ^ ^JLo L+S" sicut osten-

sum est in figura tertia] f. D.

42,5/6 ajta ^j.^ ^ J.ïf yvcj^,^ ^i_i v( W*>.} et duo latera ab, Ig

aggregata sunt minus semicircalo] f. D.

43,7 Rjij l ^-CiJS j. (^AÏ L*^ sicut ostensum est in figura quarta]

f. D/43,10 ,1., ! xiuUi o-. _jAc £jS^! ^5CibJ\ D-sij U propter illud quod

ostensum est in figura quarta décima tractatus primi] f. D.

42,15 f>"$\! vi in figura altéra] f. D.

42.18 ±^\l ^ yxc £jUJI JJCSJI £ tfc-H U propter illud quodostensum est in figura septima décima tractatus primi] f. D,

42.19 ii)t> fK\h + ergo erit arcus ah maior arcu fk n'îin p DK

DD na>p p nVrn nn nwp (Textfebler in L?).42,19/23 Yon s_,^»aJi ^ net in forma" bis ^-é-^ S*tiiiii nportione

altéra1'] f. D."43, 8 tiljj KjjU 'sy3Lw.ii qui est equalis angulo teK\. D.

43,9 oy5 en (*-"c ^V L^*Î e^ ai'cus &/i est maior arcu W] f. D.

43,12 J.*.:p5 = iljt fe ad g et ponanius] f. D.

43.17 i£>L=> acutus] angulus acutus mn ïi'lT.

43.18 ipi iULai! u, ys,B ^j LUI JJCAJt ^ cfc-H' Li ^^ et illlia est

propter id quod ostensum est in figura septima décima tractatus

primi] f. D.45, 2/3 :=- X#>- ji ^it oyCï^ ÎCijLMOia LABJ'! ^- xj=- J, JCJi Llj J! ,y!**i

g^L=>- I X£=*. J. ^xii oï K_j.^ ^ K=-_jRÀ/i ergo rémanent anguli quisunt in parte g iterum equales et sunt qui sunt in parte gexpansi quoniam sunt qui sunt in parte a acuti] et expansos in

parte g nanii rplt s

45, 5/6 L^IV^J y*.lus «fc illud ideo quoniam db est equalis W et sk est equalis g£

et dm est eqnalis cïïi et en est equalis ef] f. D.

Zur ïextgesoliïchte der Spharik. 45

45, 9 .^\3 i_>l Q^ 3^ U^cj*^" oy<rf oï U! sit aggregatio amborum

aut min or ub aut maior] f. D.

45,11J12 KJLaiS stÂff j-^ j^ijJl 0-Xxi.Ji jj yv.AJ' U propter illud quod ostensumest in figura quarta huius tractatus] f. D.

45,14 8jAàilJ HjJàÀJI relatiuus relatiuo] f. D.

45,15/16 Qi .Ac <oLU! Js5Cw,JI ^ U^-H L**j s.Aà v_Â*aj Q^ J3! L.>.^,c».^^\.l^SI iUUUi ergo aggregatio amborum est minor semicirculo. Ergoper illud quod ostensum est in figura septima décima tractatusprimi ...] f. D.

45,18/22 Yon iols L^jU, nEt iterum, Cnm ..." bis (jijLwj. „ equalis

gh«] f. D.

46.5 „>_) U-J.Ï arcus 5/1] arcus f. D.

46.6 (j^oJ =->_) bg non est] 5(? est rnaitis latere ~ba et latus &</ non

est na^s 12 vVsiIas vVsn nVra u-

46,8/9 Yon L^Ii ^.là^ ,,et illud ideo quoniam ipse" bis »^jb wquarta

circuli"] f. D.

46,16 f Lx-jjl; L?<j>> <et> sunt duo anguli h, m] f. D.

49,16 i-j Zi] punctum & a mipa.

49,24 J^AAJ ergo remanebit] et remanebit ^Sffiim.

50,6 vX_> 5cZ] + et arcus Ici est equalis arcui es Tn nwp1? nW la iTfUil-

50,8/9 ~ "

Ergo erit, quoniam Zs est equalis </e et angulus slu equalis anguloagi) et latus | gt equale lateri la, et equalis os et angulus elgequalis angulo sal] ergo declarabitur inde quod angulus hic/ estmaior angulo etg. JBÏI n^ita nVra j&o iTiï '3 mn ixan» nin.

51, 1 =- X . g ^jdi jjust scilicet qui sunt in parte #] f. D.

£. aucli D!51,3

propter figttram, que est51,7/8 ^LxJI J.<!w.JS jj J.J.A

ostensa in figura nona] f. D.

51,18 fehlt in N (L!) die Bemerkung von Me, s. II A § 1,53, 1 .jj, in] super *?y.

46 Max K r a u s e

52,4 j\y^ Q-> ex circulis'J circuli t^Vu».53,4 ,_jJi o-. ex eis qui] ex circulas qui WX

52,10 »i de] ode ni8.

52,18 1 jciUUi Q^ <yvSU;JI_5> ^UJI JX&J! ^ ÛL U propter illud

quod ostendimus in figura <XXX>YII> tractatus priroi] propterillud quod preraisimus in tractatu primo 131X2

dîi

53, 2 .jS'iÂi! JX&JI J, UAJ U propter illud quod ostendimus in figura

dicta] f. D.54,7 j^gjùïjwJ ergo remanebit] remanet ixwn.

55, 25 yïUJij ^wUJt JwCiJI J, (.JV.AJ U csUôj et illud est propter ici quod

est ostensum in figura noua et décima] f. D.

56, 4/5 i^l sUlat! cr cnir '-î u*-*1- (P^1 d in figura quinta et vice-sima tractatus primi] in tractatu primo huins librinsoïï ma-

56, 6 vi .w_J.5 s\>L=- acutus ergo non erit] non erit 'H^a.

58, 4 ,3 in] super bs.

58,14 SA* 'in ea] ex eis maa.

65, 13 ybli! qui sunt] qui sunt duo anguli qui sunt

Ityx ni'lt-66, 16 »o> L,vyJl! XjjLww» equalis arcui de] arcui de m ïWpV.

67, 17 ,_j;j|j et qui est] et angulus qui est WN irirni. '

67, 23 yVAjjtjJ! DIj et quoniam duo anguli] et duo anguli m'itm.

68, 12 JÙ^LM.!! equalem] f. D (ebenso 68, 14).

69, 16 «;)=>- L>yJt! JÇ^LAV,^ jç- (jyï arcus ^Z est equalis arcui glc\r

arcus gl est equalis nadir arcus gît H Wj? ninsjV nw Vj ntyp mn3>74, 25 3=- </e] grd M — >.i %] ^e ns — .

76, 12/13 &j Ja.ic? j^iÂJi LljjJ! (vjl'àJI ^.LA^JI superficiel orthogonie quam

continent] eius quod fit ex • • • a nw 1tt>N (entsprechend 76, 13/14),

76,16/18 "Von of dUJj net illud ideo quoniam" bis X^Ujc* ,,eqnales<:]f. D.

77, 5 (nnd 6) xil*ai! adiuncto (6 rsj i)] adiuncto (rx> i) ad eam (ipsam)

Zur ïextgeseliiohts der Sphârik. ij.7

78, 18/19 (j5, -jdj lo) !>»- V_>.A^ sinus ^/d (rfa, 7e/i, fo)] nadir arcus gel

(da, 7ch, Jee) (n, ns. si) u nE>p ninsj.78,21 ji—Jid Sjjl^î ergo angulus Icbzs] ergo angulus aM "DK n'ir p dS-

80, 9 JT-^J o» _vi _s ^^ï arcas eli, dh, ed et protraharaus] £ D.

80,10 Nach i> jCtwii npunctum 2!"] + et protraham duos arous eli, Jidm (Hs. in) nn ninu^p 'fity x'suv

80, 11/12 U^Â/« HI\S>!J ,X unaquaque ambarum est] unaquaque harumduarum proportionutn est ton û'on'n l^xa inx ^D.

82,12/13 y>bS! ^UJI LJJW LJ.J _fcu=5 ,_êcJI qnem continet cam ea latus]quem continet basis cura latere altero ù3 nawinn m '

82, 16 X=>.yëm ^^.sJI arcus protractos] arcus

83, 6 o-v uy-5 cr ex arcu ^] ex ^ J:ia'83, 22 Kj^Ji et proportio] et quod proportio on' Vf].

84, 2 jLCi^l figurarum] libri ngnrarum nuiann 15da (ebenso 86, 21).

86, 21 ^Uàî s uX3> iste sunt res] res istas (d)'imn iVx.

89, 9 (_j| a?;] arcus a& nx Wjp — J Z] punctum l

89,14/16 Von y.i_> u^ï VA^ i' »a^- nadir arcus W bis i_>5„ arcus e&K] £ D.

95, 3 cùUi^l laternm] crurium t^pwn-

98, 11 x».AÈuJI 8ylAJi Jai diameter circuli magni] diameter spere

9S, 11 ^^_i <j\\^ v' u*^"' u*^ l11 contingit al et equidistat lg]equidistantis circnlo lg, qui tangit circulum "ba 33

-98, 13 Hyb circuluni] f. D.

98, 15 ^î quod] f. D.

98,26 îTacû y\.tJ Bdeclarare" f. in L die Bemerkung von Me, s.

101, 18 ^Jy qnadratos] f. D (ebenso 101,- 20).

101, 20 j-jyvSJt ($3ts> quoniam isti duo arcus] Et isti duo arcus

78,13 JDJ^ â^js Lcv,.rï duos arcus e&f, 7j^] arcum /tô tn nu/f.'101, 25—102, 1 TsiwJ L^3i BjloJ KlUtl £ j j o.;

et diameter circuli equidistantis circulo M et contingentis circule

4824 a x K r a u s e

ab super punctum a] et nadir arcus as IN w'p mirai (ebenso

102,8).102,2 ixj »Jto olj)Ujj ^ «!> ur^S^ O^ nfr-^1 UVy^ i;^* àia-

raëtri duorum circulorum qui transeunt per duo puncta 7c, (î etequidistant circule» lit] nadirei diiorum arcuum cl0, sic >rW mtl53

• aï n nwp (vgl. 102, 6/6).102,4/5 fc>i_> 8j|o> (_5jy.5 id.xLiUj -? ^xi! sJiJJ! ^Jaï ^ ex diametro

circuli, qui transit per punctum k et equidistat circulo U] ex

7c0 ï3». .102, 5/6 KJ . . . (wie 102, 2) . . . i^ï diametri . . . bt] nadirei duornm

arotiuin de (Hs. #*), «* (Hs. an) 31 n ftWj? »ns>103, 1/2 } =M_J Sjjto (_5j|>j u^S BjjliXM circuli qui equidistat circulo &</

et] ciïculi equidistantis circulo Ig qui w« 13 n"?wV JWDJii nVwJH-103, 21 io u^ï ^1 -.s» LW-* x*wJ proportio arcus <y/i ad arcum de]

Î.D. _105,20 ~-v_j Hy\ ciroulo &(/] Ig ~ÏÂ — Li^JI ^LSM ^L^JS superficie

orthogonie] superficie nown-106, 1/2 ^xJS SjUJl /lï à\v Sylo ^L^ ov_j J,Lr ^M SyloUI is

.LJ ^jïjjj » SkâJL; _,? diametri circuli qui tangit bd et equidistatcirculo bg ad diametrum circuli qui transit per punctum e etequidistat bg] diametri spere ad diametrum circuli qui tangit Met equidistat circulo bg ri'nni 13 WBW nVi»n IBIJP ["?S TTOH IBip]

ï diametri106,4 ^t_> 8,5^ oirculum -65] &d la.

106, 5 >o ii_jjlô Q!yi>Js « >i ^xlaSÂj Q^r ^xlti yvjyiiXii Lduorum circulorum qui transeunt per duo puncta à, e et equi-distant oirculo bg] diametri duorum circulorum eqnidistantiumcirculo &(/ qui transeunt per duo puncta e, d (n)l^Sïi ">ï\v> ''iBp.

nn nmpi *n^a nay» ja nbjs?1? (nh^nsan-\c&

106, 6/7 y O ^^SÀJ o,diametri duorum circulorum equidistantium circulo Ig qui tran-seunt per duo puncta d, e]. Dièse Stella ist in G- Yerderbt, sielautet bei J *]t tn ^nu>? (O'Ji» niTibi 'liff nadirei duorum arcuum

es106,8 =-LJ Ig] circulo Ig ja106, 10/11 =-io DlySy; 3 ~à ^xtiiUj or-r (j^sli! ^j-j^lvXJi \Jdi diametri

duorum circulorum qui transeunt per duo p-anota_,d,_Z et equi-distant Ig] nadirei duorum arcuum de, le Vï (Hs. ni) n nWj? 'nsi-

Znr Textgeschichte der Spliiirik. 49

106,11/12 =A_> yl^jj d) >> ^xkjUj OC? cfcïlll j-fcjjîtoJ! SjfciS diametriduorum circulorum qui transeunt per duo puncta e, Je et equi-distant bg] nadirei duorum. arcuum es, kg y\. n) in

106,13 OA-J M] circulum M la nV^B- — =>.v_j &</] circulo bg

106,19/20 &.v_> Hyîb Lsjljj'i «il xkiUj 1," xJ! s_jj!oJi Jaï diameter circuliqui transit per punctum 7c et equidistat circulo bg] nadir arcuslis 13 Wp nW3>

106, 20/21 s Kiaiio _,?j =>L_> t^jtp' ^Ji 8-îi'AJ! hï diametri circuli quiequidistat Z></ et transit per punctnm a] nadir arous as <mn3J>tn

107, 9 :>v sylo circulo Ig] Ig iaV-

107,15/16 s os LJ-^SJ iX*j|j per remotius duorum punctornm d, e] perspatium quod est inter duo puncta e, d n 1 îimp: 'JW pmaa-

§ 8. Nasîr ad-Dïn at-Tïïsï (T).Li te ra tnr : [1] BH, S. 500/501; [2] Fadlallâh Easid ad-Dïn:garni' atta-

warïli (éd. Blocliet, Bd. II, Gibb Mem. Ser., Yol. XYIII, London-Leyden 1911)S. 557/58; [3] Abû-1-Mdâ': muhtasar ta'rîli al-ba§ar (Abulfedae Annales Musle-mici ... op. et stud. EeisMi éd. Adler, Hafniae 1789—94) Y 36/37; [4] al-Ku-tubî:faTOt al-wafajat (Bulâq. 1283, 11186—189; Bûlâq. 1299, 11149—152); [5]illrfewând : raudat as-safâ (Bombay 1271) Y 70; [6] llwûndamir : habïb as-sijar(Tebeian 1271)' III36, 33—37,7; 37,25—26 (Stermvarte), 37,17—22 (Husâm ad-Dln) ; [7] Hamdalliib Mustanfl-i Qazwïm : The Ta'rïkh-i-Guzida (éd. Edward G.Bro-rme, Gibb Mem. Ser., Yol. XIY, London-Leyden 1910) S. 581 ; [8] Broolc. GAL,1508—512; [9] Suter, MAA, S. 146—153; [10] E. Strothmann: Die Zwôlt'er-Sohî'a. Zwei religionsgeschiohtlicbe Charakterbilder ans der Mongoleuzeit (Leipzig1926, 183 S.) S. 1—87; [11] Wiedem., Beitr. 75; [12] ders., Beitr. 78 (dort weit.Literat.); [13] BBK, S. 55, 57, 61, 63, 64, 66, 67, 69—71, 73, 85—89; [14] AlexandrePacha Caratheodory, Traité du Quadrilatère, attribué à Nassiruddin-el-Tonssy,Constantiuople 1891; [15] H. Seemann: ,,Die Instrumente der Sternwarte zn Ma-râgha ...", SBPMS Eiiv 60 (1928) 15—126.

Fur T's Leben und AVerke kann ich auf die Literatur1) ver-weisen, fiir sein Leben vor allem auf [10], wo aber anf seine .Tâtig-keit aïs Mathematiker und Astronom nicht nâher eingegangen ist ;seine erhaltenen Werke zâhlt [8] auf, die mathematisclien, astro-nomischen und physikalischen Arbeiten T's hat [9] ziTsammen-gestellt.

So darf ich mich hier auf eine kurze Aufzahlnng der wichtigstenîTachrichten iiber sein Leben beschrânken.

1) Ygl. jetzt aucli E. I., IY1062—63 (wo weitere Literatur).Abhandlmigen d. Oes. d.Wiss.zu OSttingen. Pliil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 4(Sonderlieft der Math.-Phys. Kl.)

50 Max K r a u s e Zur Textgeschichte der Spliiii'ik. SI.

Abu ôa'far Nasir ad-Dïn Muhammad b. Muliammad b, al-Hasanat-Tûsî wurde am il. Ôumada 1697/17. LI12011) in Sawâ2)3) ge-boren, verbrachte aber seine Jugendzeit hauptsâchlich in Tus4)5).Aïs sein Lehrer wird unter anderen Kamâl ad-Dïn ibn Jûnuse)aus Mossul genannt7).

Bei déni ismâ'ilitischen Statthalter in Sertaht, dem MulitagamNaçic ad-Dïn 'Abdarrahïm b. Abî Mansûr, stand er zunâchst inhoher Gunst, verscherzte sict dièse aber durch ein Lobgedicht aufden Abbassiden-Kalifen al-Mustaesim (640/1242—656/1258). Von daab weilte er nur noch aïs Grefangener bei dem MulitaSam, der ihnauch spater mit sich nahm, aïs er zu dem Ismâ'ïliten-EiirstencAla° ad-Dïn8) nach Alanmt8) ging. Immerhin war seine Gefangen-schaft nicht deràrt, daB er nioht wissenschaftlich hâtte arbeitenkbnnen. So vollendete er im J. 644/1247 seine Bearbeitung desAlniagest, im J. 646/1248 Euklids Elemente, im J. 647/1249 diepersische tfbersetzung von Safï's Kssternwerk (Autograph inStambul, AS 2595, ans der Bibliothek von Ulug Beg!), im J.649/1251 seine Metrik, mïjâr al-as'âr, im J. 651/1253 EnkUd'sOptik und Theodosius' Sphârik, 653/1255 Tabit's Data, Euklid'sPhainomena, die Géométrie der Béni Musa, Arcbimedes' Lemmata,Autolykos' nAufgang und TJntergang", Theodosius' ,,Tage undïfaclite", ÏÏypsikles' ^Aufgânge".

Nachdem die beiden Hauptfesten der Ismâ'ïliten, Alamût undMaimundizj im J. 664/1256 den Mongolen in die Hande gefallenwaren, trat T in die Dienste von Hûlàgfi. Uân10), dessen Gunst erbis zu Hûlâgû's Tode (19. Rabf II663/8. ni265) beMelt. In seinem

1) So [3] und [2], wouacli auoh. [6],2) ZTvischen ar-Eaj imd Hamadân, vgl. Jsq. III24/5 und liM Y 539 ; Le

Strange 211—212 ; E. L, IV 196—197.3) [6]; bai [4] -ffird Tus aïs Geïurtsort genannt.4) Jâq.ttt ni S. 560—562; Le Strange, S. 388—390; B. L, IY1055—1062.

5) [6].6) 551/1156—639/1242; vgl. Suter, MAA, S. 140—42; Suter, Beitrâge zu

den Beziehungen Kaiser Priedriohs II. zu zeitgenBssischen Gelehrten des Ostensund "Westens, iustesondere zu dem arabischen Enzyklopâdisten Kemal ed-dîn ibnJûnis" (Abbandl. zur Gesohiobte der Haturw. und Madizin, Heft 4, 1922).

7) In [4] naci. Sems ad-Dïn b. al-Mu'ajjad al-TIrdl, dem Sohn eines der

Mitarbeiter von T.8) Grofimeister der Assassinen von 618/1220—653/1255, vgl. E. I., I 258—259.9) Bergfestung nordwestlich von Qazwln, vgl. E. I., I 262.

10) E. I., II353,

Auftrage erbaute er im J. 659 in Maraga1) die berithmte Stern-warte2)3)*).

Die Ergebnisse der dort gemachten Beobacbtungen sind inT's (670, also zwei Janre vor seinem Tode, gesohriebenen) Tafel-werk niedergelegt, das den Mongolenfûrsten (Illjâne) zu Ehren dasjjilchanisone Tafelwerk" (zïg-ï ïlhânï) genannt wurde.

Am Montag, 18. Dû-1-gigga 672/25. YI. 1274 starb5) T inBagdad, wonin er sich einige Monate vorher von Maraga aus be-geben hatte6).

Seine ÎTeuausgabe der Sphârik von Me, die er laut TJnter-sckrift am 21. Sa'bân 663/8. Juni 1265 vollendete, bildete nur einenTeil seines Planes, die gesamten sogenannten ^Mittleren Biiclier^von neuem herauszugeben7).

Den ïïauptbericht liber seine Vorlagen habe ioa oben (I§3D)wiedergegeben. Aus dem daran anschlieBenden (Sa, fol. 188b9—16)Bericht liber die Satzzâblung in den einzelnen Handschriften undAusgaben geht hervor, daB das "Werk entweder

1. in drei Biicher geteilt war, diea) meist 39+24 + 25 Sâtze enthielten, aberb) bei 3ST 39 + 21 + 25 Satze, undc) bei wenigen 61 + 18 + 12 Sâtze;

2. in zwei Biicher zu 61 + 30 Sâtzen.Er habe die Nummern der Sâtze in den verschiedenen Hss. teilsam Rande, teils im Text entweder in B,ot (R-Hs.) oder in Schwarz(Sch-Hs.) angegeben8).

1) E. I., III 284—290 (wo 288 die Sternwarte erwiilmt wird).2) Ygl. auoh Le Strange, S. 164—65.3) tîber deren Lage und ÏTberreste berichtet A. Sobindler, Zeitsohr. d. Ses.

fur Brdkunde, 18 (1883) S. 338 (naoh [15] S. 116). Ygl. auob Le Strange S. 159 f.Ûber die bei ihr verwandten Instrumente sind -\vir durch den Bericht von Mu'ajjadad-Dln al-TJrdl (vgl. [10] S. 28) unterriohtet, den H. Seemann [15] behandelt bat.

4) [3]; [6] S. 35 1. Z,— 36, 9, 35,25/26.B) [S], M, [6].6) M-

7) Sa, fol. 188b2— 4 JÇ

8) Sa, fol. 188 b 17/18 optait il o_ô{

4*

52 Max K r a u s e

Seine Yorlagen zitiert T nooh an etwa 35 Stellen (bes. R-Hs., Sch-Hs., Ma, H, N), ans denen wir liber die beiden ratsel-haften R-Hs. nnd Sch-Hs. ziemlich Klarheit bekoinmen.

Nach. der Satzzahlung (s. I § 2) steht Sch-Hs. in engem Zu-sammenhang mit H nnd Ma. DaB sie yon H aber verschieden ist,wird durch eine Angabe T's belegt1).

Die Yerbessernng von Ma kann aber damit auch nicht ge-meint sein; denn dièse endete (s. I § 5) ja sehon vor H H10(= T III6), wahrend die Sch-Hs. nocb fiir in 6,16 nnd 25 zitiertwird. So kann es sioh dabei nur nm eine Hs. von tli handeln;denn daB es eine Abscbrift von H's Yerbesserung ohne dessen Zu-satze war, das kbnnte man nnr fiir den Fall annehrnen, daB anchdie Beweise, die H ansdriicklich aïs von ihm selbst verbessert an-gibt (wie H I37b oder II10), in dieser Abschrifb nmgeandertwaren. (Andernfalls natte T die Abhangïgkeit von H sicher er-kannt imd eine entsprechende Bemerkung gemaeht. So aber be-handelt er die Soh-Hs. aïs die nrspriinglichere, mit der H in ge-wisser Beziehnng iibereinstimmt). Ein derartiges Yerfahren anzn-nelimen ist aber weit abwegiger aïs die Annahnie, Sch-Hs. seieine Handschrift von tli.

Die B.~Hs. stimmt in der Hanptsaohe mit N iiberein (ahgesehenvon 1. den Znsatzen2) N's, 2. den in H" f ehlenden Satzen (_T II14—16),die hier vorhanden sind, wodnrch der TJnterschied gegen N vondrsi bei der Zahl der Sâtze des zweiten Bnohes znstande kornmt).Sie dûi'fte daher eine Hs. von bH's tTbersetznng gewesen sein.

AnBer diesen beiden Hss, nnd den Yerbesserungen war ihmnoch eine weitere Art oekannt, aïs deren Eigenheit er angibt8).es sei darin ndie Sehne des doppelten Bogens" aïs ,,Gegenstiickdes Bogens" (nazlr al-qaus) bezeiohnet. Da dièse Bezeichnnng (s. I

1) Sa, fol. 224a 1—3 (nacli III131. ,,In der HandscMft, die H verbesserthat, ist dies der Soliluli des zweiten Teils und die Anordnung stimmt mit der(Hs.) iibereiE, deren Nummern ich in Sclnvarz gesolirîebeix labe. Hier "beginntder dritta Teil mit 11 (1) B'àtzen, deren Nummern ioli mit sohwarzen Ziffern(sonst nâmlich nur in ZaMbuclista'ben) geschrieben lialie". -XJ! X^^ÂM J,

(Sa. L?°^)

2) Die nia aïs audi Mer vorhanden bezeicnnet ^Yerden.

3) Sa, fol. 21Bb5 — 7 _.£ÊIJO (j*jàÏÏ Oi.** _.jj.

Zur TextgeschicMe der Spliiirilc. B3

§ 3E) auch in D (nnd nur dort, soweit bekannt) vorkommt, nehmeich an, daB ihm auch D vorgelegen hat oder bekannt gewesen ist.

Ma wird von ï (s. I §3D) so genannt, daB nian daransschlieBen kbnnte, er habe anch dièse Yerbesserung vor sich gehabt.Da aber an zwei Stellen, wo er Ma nennt1), stets anch H er-scheint, wahrend er die Angabe im Kommentar an III52), wonachMa bei diesem Satz ratios war und er deshalb seine Yerbesserungnicht zu Ende gefiihrt habe, direkt ans H entnimmt, so wird erMa nnr in der Yerbesserung von H gekannt oder benntzt haben.

liber die Art, in der T von seinen beiden wichtigsten Yor-lagen, H nnd N abhângt, laBt sich sagen, daB, wo H nnd N sach-lich tibereinstimmen, H die Eorm bestimmt, wahrend ÎT in derHauptsache nur dort die ïorm bestimmt, wo der Text bei H un-richtig oder schwerverstândlich war. (Oft ist anch dann nicht ein-fach der Text ans N iibernommen, sondern der ]?orni bei H an-geglichen worden.) Mit anderenWorten: T hat H. nach ÎT ver-bessert . Das stimmt vollstandig za dem, was T selbst angibt(s. I § 3D), daB ihm erst îsf 'das Yerstandnis mehrerer Stellen desBnches ermôglicht habe. Aus der Tatsache, daB H in so groBem'MaBe die anBere Gestalt von T's Ansgabe bestimmt hat, kann manentnehinen, daB er H lange Zeit gekannt hat nnd sich oft damitbeschaftigt hatte, bevor er N kennen lernte, was ebenfalls dnrchsein eigenes Zengnis bestâtigt wird. Jedoch ist das nicht so zuverstehen, daB T unmittelbar, nachdem ihm 1T bekannt gewordenwar, die Ansgabe durchfnhrte. Im Gregenteil laBt sich naehweisen,daB er mindestens schon im J. 658/1260 N kannte. In diesemJahre iibersetzte er sein nrspriinglich persisch geschriebenes, groBesWerk iiber den Transversalensatz [14]3), in dem sich ein Zitat ansN findet*). Yielleicht muB der Zeitpunkt noch etwas vorverlegtwerden, da dièses Zitat mbglicherweise schon irn Persischen ge-standen hat. Doch môchte ich annehmen, daB er N zwischen664/1256 nnd 658/1260 erworben hat, aïs er Hûlâgn auf seinenIfeldzïïgen begleitete nnd aus der Beute Biicher fiir die Bibliothekin MarSga sammelte.

1) Zu 113 (Sa, f. 1921)10—193 a 2) uud zu 122 (Sa, f. 19G u22—!D7aS).2) Sa, fol. 2181)1—3 (s. olien I § SB).3) Tollendet am 21. Ôumâdâ 1 658 = Dienstag, 4. Mai 1200.4) Text S. 125,22—23; tîbors. S. 163.

54 Max K r a u s e

Die Beweise bei T stirnmen iiberein mit denen bei1. H,N 12, 3, 6, 7, 9,11, 12; 14, 16-20, 22-28b (1), 29,

30, 31, 33, 34 a, 35, 36 a, 37-39;112, 4—11, 13, 14—16 (f. N), 17-24;ni la, 2—4, 6—23;

2. H 14, 8, 10, 15, 21, 32, 34b;H12; Hllb;

3. N Il(?), 6, 13, 36b(2); 111,3; IH.24, 25;4. Sch-Hs. ni 5.

T's Ausgabe kann man aïs die erste und einzige kritisoheAiisgabe von Me's Spharik bei den islamischen Mathematikern be-traetten. GewiB schaltet er mit dem Wortlaut von Ile genau sofrei wie seine Yorgânger (S, soweit es sich feststellen laBt, aus-genommen, s. I § 7). Aber er begniigt sien nicht damit, eine ein-zige Handsonrift des Werkes einfacli abzuschreiben und mit eigenenZusatzen (Anmerkungen, Aliterbeweisen und Kommentar) zu ver-selien, sondern er zieht allé ihm bekannten Handschriften. (undtîbersetzungen), sowie die frûkeren Ausgaben zu Eate, gibt derenwichtigste Abweichungen von einander an und bemiiht sich, darausden Beweis so herzustellen, wie er bei Me gelautet haben konnte."Wo ilim das unmoglich erscheint, gibt er (wie z. B, bei III B) dieEassungen in den ernzelnen Handschriffcen und Ausgaben wiederund fiigt seine eïgene Stellungnahme hinzu. So spiegelt sien inseiner Ausgabe wie in keiner andern die ganze Entwieklung wieder,die der Text Me's Spharik bei'den islamischen Mathematikern bisatif ihn durchgemacht hat.

Mit ihr hat dièse Entwieklung auch den Hbhepunkt erreicht,wâhrend die Ausgabe von S —• von hier aus gesehen — einentiefen Riickfall bedeutet.

Im folgenden stelle ich wieder — wie bei Ma und H •— diewichtigsten Abweichungen T's von seinen Vorlagen tind seine eigenen

. Bemerkungen zusammen.Nach der Vorrede, deren einzelne Teile ich schon behandelt

habe (1. Plan, die mittleren Bûcher herauszugeben, I § 8 oben;2. tïber die Vorlagen, I § 3 D ; 3. Satzzâhlung, I § 8 oben), teiltT die Einleitung von Me mit (= H, vgl. I § 4). Darauf'folgtdie Eassung bei N (s. N, S. 1). Dazu bemerkt er : nEinzelschriften"bedeuten die, welche (nur) einen Satz oder ein Thema (? Lju<.^) ent-halteu; nein anderer" ist Theodosius; denn dieser hat (es) in seinemBnch niiber die Ziigeln" auf indirekte "Weise bewiesen, und ,,Sonder-

Zur Textgeschidite der Spharik. 55

Beweis" ist im Sinne von ;,allgemein" (gebraucht), wie es spâter(gezeigt) werden wird. Von den Def in i t ionen ist (T) 1 = (H) 1,(T) 2 = (H) 2, (T) 3 = (H) 3, (T) 5 = (H) 5.

Def. 4) ist eine Erweiterung von (H) 4 und lautet: ,,Es istklar, daB der Winkel der Ebene, deren Neigung gegen eine EbenegroBer ist, kleiner ist und daB der Winkel der (Ebene), derenHeigung kleiner ist, groBer ist."

Def. 6) ,,DaB sie (d. h. die Winkel) einander gleich sind, wirdnach dem folgenden dadurch definiert, daB ihre ,,Bogen der Nei-gung" einander gleich sind."

Def. 7) ,,Unter dem. ,,Bogen der rTeigung" versteht man einenjenem Winkel gegenûberliegenden Bogen eines GroBkreises, durchdessen beide Pôle die beiden Seiten jenes Winkels gehen."

Def. 8) ,,Manchmal wird jene Neigung (auch) aïs die Neïgungder Halbkreise definiert; denn die Neigung jedes Halbkceises gegenden andern liât dasselbe MaB, wie der Bogen, der von dem Mittel-punkt eines der beiden Halbkreise aus auf den Mittelpunkt desandern gezogen wird, so daB er auf beiden senkrecht steht." (In S asteht eine Ergânzung am Rande, die nach ,,die Neigung jedes" ein-zufûgen ware, die aber wohl nicht vollstandig ist: „. .. Bogens, derkein Halbkreis ist, hat dasselbe MaB wie der Bogen, der von seinemEndpunkt aus gezogen auf dem andern Krcise senkrecht steht."Wenn dièse Einschiebung berechtigt ist, so fehlt dahinter : ... ,,unddie Neigung jedes ...".)

12) Bei diesem Satz gibt es 3 Ealle; denn die Grundlinie istentweder (a) gleich einer der beiden Seiten .oder (b) langer oder(c) kiirzer.

18) Dieser Satz hat 9 Ealle, da jecle der 3 Seiten gleich,groBer oder kleiner aïs ein Viertelkreis sein kann.

14) Dieser Satz hat 3 Ealle; denn AH und DT fallen (1) indas Dreieck oder (2) auBerhalb oder (3) auf die Grundlinie.

18) Das laBt sich zeïgen durch Theod. II11,12, zwar nichtaus dem Satz selbst, sondern aus dem, was damit zugleich klarwird; denn dort ist gesagt, daB die beiden Bogen einander gleichsind, wenn die Graden gleich sind und iimgekehrt, hier aber brauchtman den Beweis, daB der eine Bogen grb'Bëi sein muB aïs seinGegenstuck, wenn der andere groBer aïs sein Gegensttick ist. Dieverschiedenen Ealle dièses Satzes wie bei 14. In einigen Hss. seider aliter-Beweis (s. I § 5) aïs 19 geziihlt.

112) Aliter : Wir verlangern AB und DE bis zu den Polen.H, T und ziehen die GroBkreise HG, TZ. So ist in Dreieck HGBund Dreieck TZE <£ HGB = •£; TZE (aïs Ergiinzung von -j£ G

56 Max K r a u s e

= 3CZ), und BG- = EZ -and H G- = TZ = 90°. Daher £;HB&= 3C TBZ. Also £; B = •£ B.' Ebenso HB = TE tmd ihre Er-gënznngen zu 90°."

113) Ma und H haben Me dahin verstanden, daB jeder einzelneder beiden Winkel ungleich 90° sein solle, so stellten sie folgendenBeweis auf (folgt Refer. H114). /(T) Das ist riohtig, wenn nicht^C B, E und <)C A, D grofier aïs 90 ° sind. Wenn aber einer derbeiden entsprechenden "Winkel stumpf und der andere spitz ist,fallen GT, ZH nicht beide ins Innere des Dreieoks, sondern einsinnerlialb und das andere auBerhalb, "VVenn die beiden <£ B, Ezusammeii = 180 ° sind und jeder ungleich 90 ° ist, so stimmt derSatz nicht. Zum Beweis sei -)CB stumpf. Wir yerlângern AB bisE, ziehen durch D, den Pol Ton AG, Bogen GD, machen DE = DBund ziehen den GroBkreis GE. Da BD = ED und &D gemeinsamund £;D = £;D = 90° ist, so ist BG = &E und <GED =<£ GBD. Also ist in den Dreieoken ABG und GAE <C A gemein-sam, AG,BG = AG, &E und ABG wie <£AEG ungleich 90°.Trotzdem kann unmbglich AB = AE, d. h. der Teil seinem Ganzen,sein. Und das geschieht nur, weil ^CB+^E = 180°. / GD, derauf AB senkrecht steht, fâllt beim stumpf'winkligen Dreieck nachauBen, beim spitzwinkligen ins Innere.

115) T = E (s. 1 § 6 tinter HI 16) und bemerkt, daB ineinigen Hss. KG und LZ (bel N ,,HG!- und TZ"). statt wie hierB& und EZ Terlangert seien, so daB der Beweis mit diesem Ter-wandt sei. (Gemeint ist bH und HI)

116) Er zitiert hier eine Stelle aus N (f. L, s. IIA § 1 zuH 13,20).

117) (1) Dieser Satz hat 6 Fâlle. (2) In einigen Hss. (nâmlichH und Da!) ist auch bedingt, daB AG + DZ ungleich 180° selDie genaue TTntersuchung macht notwendig (a) daB, wenn sie= 180° sind, sie dann zwei Viertelkreise sein mlissen. (Beweis)Wir Terlangern AG, AB bis H, machen HT = DE und HG = DZ.Also ist GT = EZ = BG tmd •£ GBT = <£ GTB. K sei dieMitte von TB. Man zieht den GroBkreis GK. Da in den Drei-eoken GBK, GTE BG = GT, BK = TK und GK gemeinsam ist,so ist <K = <K = 90°. A ist Pol Ton GK, so ist AG = 90°,ebensoHG. (b) Sei AG ungleich DZ, aber AG + DZ = 180°, soist es unmbglich, daB -^AGB = ^HGT (= -^Z). Das wider-spricht der Voraussetztmg. (c) Auch, wenn AB + DE = 180°und AG + DZ nicht, so folgt daraus, daB AG = BH = 90°.(d) "Wenn. sie (d. h. AB, DE) einander ungleich sind und zusammengleich 180°, so kann wiederum <£ABG nicht gleich

Zur Textgeschichte der Spharik. 57

(= ^CE) sein, was der Voraussetzung widerspricht. (e) Wennjedes Paar Ton ihnen = 180 ° ist, so folgt, daB sie allé Viertel-kreise sind und A, H die Pôle Ton BG und D der Pol Ton ZE ist.(Beweis) BH = DE, HG = DZ und -^HGB = <£ AGB = 90°.Eolglich sind die beiden Winkel bei B und die Winkel Z, E = 90 °und allé Seiten (aufler BG, EZ) = 90°. (f) Wenn aber je zweiGegenstiicke Ton ihnen einander ungleich und zusammen gleich180° sind, so ergibt sich sowohl daraus, daB AG ungleich GH,aïs auch daraus, dafî AB tmgleich BH, ein Widerspruch. (3) Wenndas feststeht, so sage ich: (a) Ist AG + DZ = 180°, so folgt, daBbeide = 90°, was darauf hinweist, daB die beiden Dreiecke ein-ander gleich sind (lé), (b) Ist AB + DE = 180°, so folgt, daBbeide einander gleich sind. Aber daraus folgt, daB die beidenDreiecke einander gleich sind, nur, wenn eine weitere Bedingunghinzugefiigt wird, daB nâmlich B, E nicht Pôle Ton AG, DZ seien.(116). Also braucht man fur den JTall, daB jedes einzelne (?) derbeiden Gegenstiicke zusammen nicht gleich 180 ° ist und man nichtweiB, ob sie einander gleich sind, bei dem Beweis daftir, dafi diebeiden Dreiecke einander gleich sind, diesen (116) Satz und des-halb bedingen die (es), die sie beide bedingen (?). Menelaos aberbeschrânkte sich darauf zu bedingen, daB was nicht zum Ergebnisfiihrt, nicht Torhanden sei."

121) Im B e w e i s folgt er H; doch gibt er aïs aliter-Beweisden Beweis dafiir, daB DZ grb'Ber aïs BG sei, nach N. Im Kom-mentar beweist er die Umkehrnng durch die antithetische Mé-thode, bemerkt aber, daB dies nicht der Art Me's entspricht, dadieser die antithetischen Beweise nicht Terwende (Bj. S. 40). Hierfindet sich in Sa. fol. 196b folgende B,andbemerkung: ,,Glosse:mit der Handschrift Ton Hazïf b. Humair1) in der tïbertragungTon ad-Dimi§qî2) tind der Verbesserung Ton Jûhannâ b. Jûsuf8) zuder Glosse (?) ; Im Griechischen ist dies das Ende des 1. Bûches" '').Sollte dièse Bemerkung echt sein — tmd ich sehe keinen Grund,das zu bezweifeln — und sich wirklich anf die Sphârik beziehen,so erftihren wir daraus Ton einer weiteren Ubersetzung. Da (wie

1) BH 305; Khi-. 266, 2 ft'.; I AU? 1238; HH 1382; Suter MAA, S. G8.2) IAU? 1234; Fihr, 1Y7, 244, 249, 250, 251, 253, 265, 298; Ibn al-Qiftî

36, 38, 40 ; Ouage-Thornson, The Cornmentaiy etc. 42/43 ; Suter MAA, S. 49.3) Kâmlich J. 1). J. b, al-Çârit b. al-Batrïci al-Qass, Flhr. 282; BH 239;

Suter MAA, S. 60.

4] Us-.pi £^l,ol_5 ^H^X^LXJ! J-iiJ £ (o. P.) ^f Q^

58Max Krause

ooicTi in I § 4 ausgefûhrt habe) von den verschiedenen tjbersetznngen,die wahrscheinlich stattgefunden haben, die eine wohl dem bljzugesohrieben. werden darf und die zweite viel friiher entstandensein naufi, so kann die tîbersetzung von ad-Dimis'qî *) kaum miteiner von ihnen identisch sein. Môglich'ist aber, daB dièse TJber-setzung in der Yerbesserung von Jivhannâ mit der yon H ge-tadelten Ausgabe, deren Urkeber er nicht nannte, gleichzusetzenist (vgl. I § 6 B). Immerhin kommen wir liber bloBe Yermutungen

. nient hinaus.122) (1) BH kann niclit auf der Yerlângerung von AB liegen ;

denn dann wâre AH = 180 °j die Dreiecksseiten aber sind kleineraïs 180°, aucli nicht auf der Yerlângerung einer anderen (Seite)aïs A13. Eolglich.ist ^CABH Heiner aïs 180°. (2.) Ma und Hhaben ,,die beiden tibrigen Winkel sind nient kleiner aïs 2 Hechte".

. dahin verstanden, daB keiner von ihnen kleiner aïs 90 ° sein diirfe.So haben sie den Beweis so gefiihrt (i'olgt Réf. von HI 23). Dasist sclion richtig, aber spezieller aïs notig; denn .der Satz ist auchrichtig, wenn einer spitz und der andere stumpf ist, wenn nur

ihre nioht kleiner aïs 180° ist."124) ,,Dieser Satz beruht auf niohts von dam vorher in diesem

Werk (Bewiesenen)". (? Dièse Bemerk. f. Sa!)125) Auf andere Weise! (a) AYenn -^BAG = 90°, so ist H

der Bol von BA und HA = 90°. Also ist GA Heiner aïs 90°.Der Rest nach 124. (b) "Wenn er grôBer ist, so ist Z der Bolund ist in Dreieck DAH ^C D = 90 ° und DA und DH kleiner aïs 90 °.Nach 124 ist < AHD spitz und <£ AHZ stumpf. Folglich ist AH

kleiner aïs AZ (= 90°).127) Wenn <£B nicht kleiner aïs 90° ist, so ist dieser Satz

(liukrn) notwendig, wenn er aber kleiner ist, so ist er môglich.Deshalb wnrde das Dreieck mit dieser Eigenschaft ,,gebundenu,Wer es damit ,,bindet(C, dafi -^B groBer aïs 90° sei, der macht

den Satz spezieller aïs notig."129) DaB die Seiten gleich sind, ist keine Bedingung in dem

angefiihrten Satze; denn auch wenn sie ungleich sind, (aber) ihreSumnie — 180° ist und der von dem Scheitel ztif G-rundlinie ge-zogene Bogen = 90° ist, halbiert er d'en Winkel an der Spitze.(Das ist der nach Bj 31, Anm, 75 von Me vernachlâssigte Fall,

1) DaB aà-D. eine solche tibsrtragung vorgenommen haben kBimte, ist durcli-aus niijglioli, vissen -wir dool, âaB er einige mathematisclie Texte iltierfcragen liât,Biindestens einige Bûolier der Elemente raid den Kommentar von Pappos zu

EuMid X.

Zur TextgescMchte der Splmrik. 59

den Me auch III5 voraussetzt, s. Bj. S. 95, HI § 6 B zu HII10,und T im folgenden!). Beweis: Wenn AB nicht gleich B& ist,so ist B kein Pol von AG-. Da aber AB + BG = 180° ist, so ist•3CDAB = -^D&E und ebenso die beiden Scheitelwinkel D.BD (= 90°) = DE, ebenso ist AB = G-E, da beide die Ergan-zung von B& zu 180 ° sind. Eolglich ist (nach 116) -^ ABD =•^CGED (= GBD), Me hat (Hs.+ auf?) diesen Eall (wagh) inICI 5 benutzt, aber hat ihn hier nicht erwâhnt.

133) Hieraus wird auch klar —• wenn die Bogen B&, BD, BAvollenclet werden —} daB, wenn der von dem Scheitel ausgehendeBogen in jedem Dreiecke, in dem die Summe der beiden Seiten,die den Winkel an der Spitze einschlieBen, grb'Ber aïs 180° istund die beiden Seiten einander ungleich sind, den Winkel halbiert,dann der groBte der beiden Teile der Grruncllinie an die kleinereder beiden Seiten grenzt und wenn er die Grundlinie halbiert,dann der grb'Bere der beiden Winkel an die groBere der beidenSeiten grenzt.

136) Auf andere Weise! Da <L nicht kleiner aïs 90° ist,EA kleiner aïs 90° und AL kleiner aïs 90° ist, so ist <XEABstumpf, -^EGrB aber war spitz. Also ist der Satz in sâintlichenEâllen richtig.

136, Text) T treibt die Hnterscheidung der einzelnen Eâlleweiter. (a)EH fâllt zwischen A und B. (b) EH fallt nicht zwischenA und B, sondern 1. auf A, 2. auf B, 3. auBerhalb von AB inBichtung A, 4. in Bichtung B. Bei 4. kann entweder AH kleineraïs ein Yiertelkreis sein, oder AL. (a) und (b 4) = îsT a, b. (b 1)ist klar, da -^ BGD spitz tmd ^C BGE viel kleiner, also Heineraïs -£BAE (= 90°). (b 2) wie oben. (b 3) wie (b 1), da -^EABstnmpf und ^CBGE spitz ist.

Kommenta r (a) DaB EH (der auf AB senkrecht steht)groBer aïs EZ (der auf BG senkrecht steht) ist, haben wir des-halb gesagt, weil, wenn wir in Kg. I in Punkt B von EB 2 Winkel= <)CHBE, ^DBE in derselben Richtung konstruieren, so daBder eine auf den andern gedeckt ist, wie in Kg. II, und wir BH= BZ ziehen, wie in der Kg., und wir die GroBkreisbogen EH,EZ.HZ ziehen, dann -^EZH, der -^EZB (= 90°).und <£BZHoder dessen Erganzung zu 360°, die groBer aïs 90° ist, umfaBt,groBer aïs -^EHZ ist, der ein Teil von-^BHE (= 90°) ist oderihm gleich ist, wenn man sich BH verlângert vorstellt. So istEH (der dem groBeren gegeniiberliegt) langer aïs EZ (der demkleineren gegeniiberliegt). (b) ,,EA ist kleiner aïs 90°", weil AE+EG (das Heiner aïs AB+BG ist) kleiner aïs 180 ° ist und EG.'groBer

60 Max K r a u s s

aïs AE ist. Eolglich ist AE kleiner aïs 90 °. (c) Wisse, daB dieserBeweis, wie wir ihn angefuhrt haben, soliltissig ist, wenn AB + BG= 180° ist, nur daB dann •£ ABE = <C GBE und ebenso EZ = EHist. "Wenn aber ihre Sumnie groBer aïs 180° ist, so ist das Ge-suchte dabei unerreichbar. Manchmal ist es zulâssig und dannsagt man ara besten ,,In jedem Dreieck, bel dem die Summe derbeiden Seiten, die den Winkel an der Spitze einschlieBen, groBeraïs ein Halbkreis ist, eine der beiden Seiten groBer aïs die andereist ..." nnd dann wie oben. (d) Betreffs' 'des ersten sei zu dessenBeweis AB groBer aïs 90° und B& grb'Ber aïs AB. A& sei kleineraïs 90°. BD halbiere A& in D. AE sei = 90°. Wir ziehen EG.EZ, EH mogen senkrecht stelien in den beiden Bunkten Z, H aafden beiden Seiten nnd <C GBD sei groBer als-^CABD. (Beweis)Wir ergânzen die Bogen BA, BD, BG zu 180 °. Wenn sie in einemdem Pimkte B gegeniiberliegenden Punkt zusammentreffen, ist derSatz (nach I 33) klar, . . . (?) die gleich den beiden Winkeln GBD,ABD sind (ich habe das im Anhang zu I 33 gesagt), Deshalb istEZ groBer aïs EH (wie oben). Ebenfalls ist EG langer aïs EA(= 90°). Da AE = 90°, so ist EH das HaB von £CHAE. DaEG groBer aïs 90° ist, so ist das MaB von<CEGZ groBer aïs EZ.Eolglich ist £;EGZ viel groBer aïs ^EAH." Znm Beweis deszweiten sei AB = A& = 90° und BG langer. BZ sei = BA."Wir ziehen AEZ. Dann ist A ein Pol Yon BZG. Also ist AZ= 90° und £;BAZ = 90° und <£EGZ (der ein Teil von •£ A&Z= 90° ist) kleiner aïs -^BAZ. ,,Dies ist der Beweis dessen, daswir beliauptet haben."

137) Es laBt sich (durch 133) zeigen, daB, wenn die Summeder beiden ungleichen Seiten groBer aïs ein Halbkreis ist,- dannder grôBere der beiden Winkel der ist, der an die langere Seitegrenat und die Summe der beiden Bogen groBer aïs die Summeder beiden Seiten ist.

138) Es ist ebenfaïïs (analog dem Yorhergehenden) klar, daBin dem Dreieck, dessen beide ungleiche Seiten zusammen grb'fieraïs 180° sind, der grôfiere der beiden abgetrennten Bogen an diekiirzere Seite grenzt, und daB die beiden (abgetrennten) Bogenzusammen langer aïs die beiden Seiten zusammen sind.

139) Hier endet Teil I. In einigen Hss. aber ist Mer keinEnàe des ersten Teils."

II1 Text) T unterscheidet zwei Hauptfâlle(1) BG ist groBer aïs BA, (à) -^A ist sturnpf, (b) <A = 90°,

(c) ^CA und G sind spitz.(2) BA ist groBer aïs BG, (a) ^CG = 90°, (b) -3C& ist stumpf.

Zur Textgesohichte der Splmrik. g]_

Kommentar) Wenn in Dreiecfc ABG und DEZ z. B. -^ G undD = 90° und jede ihrer Sehnen kleiner aïs 90°, BG == ZE und" C A kleiner aïs ^CD ist, so ist GA groBer aïs DE. (Beweis)Wir errichten in A von AG <C GAZ = EDZ und verlângern GBbis GH = 90°. So ist H ein Pol von GA. Wir ziehen um Hmit ÏÏB den Kreis BT 'und verlângern AK, bis es ihn in T trifft,und verlângern HT bis L. So ist das Dreieck ATL = DreieckDZE, da £;D = ^A und ebenso ^CE = ^L = 90° und ZE= TL, sowie jede der iibrigen Seiten mit ihrem Gegenstiick un-gleich 180° ist. So ist klar, daB GA groBer aïs AL (= DE) ist."

II3 Text) Er schejdet (wie N) zwischen zwei l'alleu, (a) Punktliegt auf AG, (b) Punkt im Tnnern des Dreiecks. Der Beweis fur(a), den N nicht gibt. lautet hier: ,,Wenn der Punkt auf AG (beiN:BG!) liegt, z.B, Punkt Z, errichten wir < GZD = £; A undbezeichnen auf ZD irgendwie D und ziehen BDE. Dann fâllt ZD— wenn verlângert — etwa auf H von BG."

114) 1. Bemerkung von N s. IIA § 1 zu IST 37,14). Im An-schlufî daran: ,,Wenn das Entstehen des Vierseits aïs ein Teil des,,Attributs" (malimrd) der Aussage gesetzt wird, wie rT es getanhat, bedarf die Behauptung jener Bedingung. Er sagt nâmlich:,,Wenn eine dreiseitige Kgur so und so ist, steht es mit dem Vier-seit, das bei dem. Scheitel der Eigur entsteht, so und so." Wenn(aber) sein Entstehen aïs ein Teil vom ,.0bjekt" (maudu11) der Aus-sage gesetzt wird, indem man sagt: ,,Wenn eine dreiseitige Eigurso und so ist und in ihr zwei Bogen so gezogen werden und dar-aus ein Vierseit entsteht, dann sind seine beiden Seiten (die Telle)der beiden Bogen (sind), groBer aïs seine beiden andern Seiten",dann ist die genannte Bedingung unnotig."

115) Ans den drei Bogen entstehen vier Dreiecke mit demgrofîten Dreieck, wobei je zwei beliebige Schenkel atis dem groBtenund Heinsten gleich sind zwei beliebigen Schenkeln ans den beidenandern und die beiden Grnndlinien des grofiten uncl des HeinstengroBer aïs die beiden iibrigen Grundlinien sind. Auch, wenn dieBogen nicht kontinuierlich sind und man wie oben verfâhrt, istder Satz richtig. '

II S) Wenn von der Mitte der Grundlinie unter déni WinkelA ein Bogen nach. BG gezogen wird, so ist sein Doppeltes groBeraïs AB (vgl. HII8 Komm.). Ebenfalls! Wenn die in dièse undder vorhergehenden Kgur genannten Bogen nach AB gezogenwerden, gelten allé angefiihrten Sâtze. Das lâBt sich auf ent- •-.sprechende Weise zeigen (fur einen Eall gezeigt in N 118Komm.) /

62 M a x K r a u s e

II9) wie N II9 Komm. /II11) Bei den iibrigen Mguren dièses Satzes muB ebenso ver-

fakren werden: wenn (namlich)-^ A spitz ist, d. h. werm BD, EGdie beiden gleich groBen Bogen sind und sie zusammen kleineroder grb'Ber aïs B& sind oder wenn BG- in D halbiert wiid, (und?)es wird der Satz Idar analog dem, was betreffs der Teile derGrnndlinie yorher (bewiesen wurde).

II13) Am SchluB des Beweises fligt T hinzu: Wenn-^CA kleineraïs 90° ist, lâBt sicli (durch T II11) das Gewiinschte zeigen. /Darauf folgt ein Beweis dafiir, daB in den Dreiecken BDH, GEM<CH nnd <£M spitz sind, der mit dem bei N (4G, 20 ff.) iïberein-stimmt.

1116) N liât diesen 'Satz am SchluB TOEL II13 bewiesen, Satz14 und 15 hat er nicht bewiesen. (In den nachsten Sâtzen stetsAngabe der ITummer bei ÎT.)

1117) Hieraus geht hervor, daB ^CDHG kleiner aïs -^CA ist,wenn -£CZK& und <£ETG beide gleich <£A sind.

II20 Text) Am SchluB des Satzes: Dasselbe wird auch klar,wenn AB kleiner aïs BGr ist.

Kommentar) Dieser und der Satz vorher sind allgemeiner aïsII o und 119; denn dort war auch bedingt, dafi der Winkel ander Spitze nicht grb'Ber aïs 90° sei, was hier nicht bedingt ist.Dagegen ist hier eine Bedingung dazugekommen, die er in H 9nicht genannt hat, namlich daB jeder der Basiswinkel spitz sei.Denn wenn einer von ihnen nicht spitz ist und der grôBere derbeiden Schenkel nicht grb'Ber aïs 90 ° ist, so diirfte der Winkel ander Spitze nicht grb'Ber aïs 90° sein. Er aber wollte hier auchden Eall (huïcin') erfassen, bei dem der "Winkel an der Spitze stumpfist. / In Sch-Hs. ist hier SchluB von Teil I. / Zu den WortenMe's nach II20 (s. II A § 1 zu N 51,18 f.) bemerkt er : nMit «Vor-kommen der Luge in den Behauptungen" meint er den SchluB derAntithèse; denn er benutzt ihn nicht, und mit ,,was Theodosiusschlecht gemacht hat", was er (zwar) richtig, ' (aber) unschon be-wiesen hat.

1121) Dies ist der Beweis von Theod, IIIB und 6; denn erhat in 5 den letzten dieser beiden. Sâtze bewiesen. / Darauf Réf.von N 53,6—14.

1122) Réf. von N 54,11-23.H23) Es ist der Beweis zu Theod. IH7 und 8. Der erste Satz

entsprioht Theod. III8, der zweite III7. — Réf. von N 56,7—57,2.

Zur TextgescMchte der SpMrik. 63

H 24) Er weist nach, daB der Satz unterschiedslos gilt, gleich-giiltig, in welche Richtung die Kreise geneigt sind (vgl. ÎST II12Komm,). / Die Anwendung auf die Astronomie ist anscheinendwieder N" entnommen.

HIl Text) In der Behauptung verwendet T noch die Be-zeichnung BSehne des doppelten Bogens", kniipft aber daranfolgende Bemerkung (Sa, fol. 213b5—9):

£ W.AU.A.M ,*A«ri,T.A.w.J

, QV,-W,J

,- ,

^ v _ « Q-, Ju\3 J^ (-jj^j nln einem Teilder Hss. heiBt die Sehne des doppelten Bogens das G-egenstiicfcdes Bogens (nadir arcus). Die ÎTeueren benutzen die Verhâltnissebei (zwischen?) den Ualften dieser Sehnen und nennen sie Sinus.Der Sinus aber ist die halbe Sehne des doppelten Bogens nnd dasist die Senkrechte, die von einem der beiden Endpunkte des Bogensausgehend auf den Durchmesser fâllt, der durch seinen anderenEndpunkt geht. Auch machen sie nicht die Einschrânkung1 (eig.'Ausnahme'), die Menelaos gemacbt hat, (daB namlich) jeder Bogenkleiner aïs ein Halbkreis sei. Ich folge ihrem Brauch,c

DU Kommentar) (Referiert in BBK, S. 86—88). / 1. Mog-Hch ist es auch, ' daB AD und BGr in der anderen Richtung in Mznsammentreffen (s. BBK, S. 87 unter c)!)./2. Dièse Eigur heiBtjTransversalenfigur" (as-salcl al-qatta], Ist sie ans G-rofikreisbogen

gebildet, heiBt sie ,,spâr. T." (^^ cLMÎI), ist sie aus Graden ge-

bildet, heiBt sie «ebene T." (^^i^Ji gllkii). / 3. Darauf leitet Tden aSatz der Zusammensetzung ( .J^zil.) ab (vgl. BBK, S. 10/11,§ 5; S. 30, 87). / 4. ÎT Prâmisse 1. / o. N III Pi-âm. 2. / 6.Wenn A zu B gegeben ist und G- = B, so (A zu B) =-(A zu B)-(G-zuB). Das entspricht NUI Pram, 6, vgl. [14] Text S. 17 (113)und libers, S. 18, / 7. Der Beweis fiir die 18 Schreibarten derPormel des Transversalensatzes wird so gefithrt (BBK, S. 14 — 18,33—36, 65—56, 87): (A zu B) = (G zu D)-(E zu Z). Also A-D•Z = G-E-B, Dièse 6 Grb'Ben faBt T aïs Seiten zweier inhalts-gleicher Quader auf, Werden jeweils 2 von ihnen aïs Hohen auf-gefaBt und die librigen aïs Seiten der Grundflâchen, so ist das...Verhâltnis der Hohen (A/B) gleich dem nmgekehrten Verhâltnis derGrundflâchen (G- • E zu D • Z). Da jede der drei Seite.n eines Quaders

64 Max K r a u s e

zusammen mit jeder der drei Seiten des anderen Quaders aïs Hb'heaufgefaBt werden kannj so ergeben sich neun Proportionen. AuBer-dem konnen in jeder Proportion die beiden Hinterglieder des Doppel-verhâltnisses vertauscht werden. So entstehen 18 l'allé." (Ebensowie T faBt auch S dièse sechs GroBen aïs Lange, Breite und Hôhezweier Quader auf (Berlin, Ms. 4° 659 fol. 346 bf.; BBK, S. 66/66)./ S. Hier hat N einen Satz abgeleitet, der an die Stelle desTransversalensatzes tritfc und hat ihn al-mugnî (Ersatztheorem)genannt. (Der Beweis wie in [lé] Text 119,3—119,10, tlbers.S. 154). / 9. Ani Sohlufi findet sich noch ein Hinweis auf dasKiicib as-saU al-g^atta (d. i. [14]), das nich genannt habe das Zu-rîicJcschlagen des Sclileiers vor den Gelieimnissen des Transversalen-satzes".

III2) Eine weitere Umkehrung! Sei in ABG, DEZ^Q dem<CZ nicht gleich, aber <CG + Z = 180° und sei (sinAB zu sinBG) = (sin DE zu sinEZ).

Beh.: entweder ^;A = ^CD oder ^CA + D = 180°.Beweis: Wir verlângern A G, setzen GH = ZD, konstruieren

in H£TGHT = £1D und ziehen HT, bis er BG in T trifffc. DaGH = ZD, <XBGH = 3CEZD und <£H = -£D, so ist-^E = -^T,DE = HT und EZ = TG. Wenn T auf B fâllt, so ist — da(sinAB zu sinBG) = (sin BH zu sinBG) = (sin ED zu sinEZ)— BH = BA und -£A = -^H (= -^D). Wenn T nicht auf Bfallt, sondern zwischen B, G oder nach auBen, und er BA in Ktreffe, so ist (sinAB zu sinBG) = (sin AK zu sinEIS)-(sin HTzu sinTG (= sinED zu sinEZ)). Da aber (sinAB zu sinBG) =(sinED zu sinDZ), so ist (sin AU zu sinKH) = 1. Also ist sin ATT= sinKH. Wenn nun AK = KH, so ist <£A = -^H = ^CD/Wenn AK+KH = 180°, so ist -£A + H (= A + D) = 180°.

III4) Réf. NGS,6—8.III B) Im Text folgt er der Sch-Hs. Ln Kommentar dazu gibt

er 1. Beweis aus R-Hs. (entspricht N 69,11—23). / 2. Aïs Prâ-misse fur seine Darlegangen schickt er den Sinussatz flir ein be-liebig winkliges Dreieck voraus. (Im Beweis,- der mit dem vonAbû-1-Wafà' in seinein Almagest angewandten — vgl. BBK, S. 63 •—verwandt ist, wird jedoch nicht die Regel der vier GrôBen, sondernder Transversalensatz benutzt). ,,Das Yerhâltnis des Sinus jederSeite eines Dreiecks zu dem Sinus einer andern ist gleich demYerhâltnis des Sinus des Winkels, der der ersten Seite gegeniiber-liegt, zu dem Sinus des Winkels, der der anderen Seite gegen-iiberliegt." Es gebe das Dreieck ABG. Man verlângere BG nachbeiden Seiten, so daB BE = GH = 90°, zeichne um B, G aïs

Zur ïextgeschiohte dai' Spliilrik. 55

Pôle die Grofikreise ED, ZH und verlângere BA, GA nach D, Z,darnit DE das MaB von -^B und ZH das Mafi von <X& sei. Soist (sinBA zu sinAG) = (sin HZ zu sin DE).

Beweis: Wir verlângern ED, HZ bis zum Schnittpunkt in T.Dann ist T Pol von EGBH. Wir ziehen TA und verlângern esbis K. Dann ist in THGA (sinTK zu sinKA) = (sinTH zu sinHZ)-(sin ZG zu sinGA). Aber TK — TH. Also (sinHZ mal sinGA) = (sinZG mal sin AK). Und in TEBA ist (sin TK zu sinKA)= (sinTE zu sinED)-(sinDB zu sinBA). Aber TK = TE. Also(sinED mal sinBA) = (sinBD mal sinKA). Aber ZG = DB.Eolglich ist (sin ZG mal sinKA), = (sinBD mal sinKA). Eolglichist (sinHZ mal sinGA) = (sinDE mal sinBA). Also ist (sinBAzu sinAG) = (sin HZ zu sin DE). Q. e. d. / 3. Die Regel dervier GrbBen. Dieser Satz gehore zu den Ableitnngen des Ersatz-theorems. / 4. T's Beweis zu III B, der ohne Zweifel auf N (70,1•—72,2) bernht, lautet : „ Wir sagen : In Dreieck BAL ist (sin BL zu sinAL) = (sin <)C BAL zu sin <£ ABL) und in Dreieck GAL ist (sin AL zusin GL) = (sin <£ AGL zu sin C GAL). Also ist (sin BL zu sin AL) •(sinAL zu sinGL) = (sin^CBAL zu sin-^CABL)-(sin<)CAGL zusin <t GAL) und (durch Yertauschung der beiden Hinterglieder)= (sin^CBALzu sin^ GAL)-(sin^C AGL zu sin<£ ABL). Wiederum!In DreieckKAG ist (sinKG zu sinKA) = (sin^CKAG zu sin-^CKGA) und in Dreieck BAK ist (sinKA zu sinBK) = (sin-^CKBAzu sin-^C BAK). Eolglich ist (sin KG zu sin K A) • (sin KA zu sinKB) = (sin£;KAG zu'sin^CKGA)-(sin<XKBA zu sinKAB) und(durch Vertauschung der beiden Hinterglieder) = (sin^CKAG zusin^KABHsin-^KBA zu sin^KGA). Also (sinBL zu sinKB)= '(sinBL zu sin AL) (sin AL zu sinLG) (sinGK zu sinKA) (sinAK zu sinBK) = (sin^CBAL zu sin£TGAL) (sin<AGL zu sin^TABL) (sin^KAG-zu sin<KAB) (sin^CKBA zu sin KGA).Es ist sin <C AGL. = sin C KGA und sin ^C ABL = sin<XKBA.Also ist (sinBL zu sinBK) = (sin<CBAL zu sin«£GAL) (sin<)CKBA zu sin ^Ç KGA).

Ebenso wird klar, daB (sinHrT zu sinHM) zusammengesetztist aus denselben beiden Yerhâltnissen. JTolglich ist (sin BL zu sinBK) = (sinHN zu sinHM). Und da HM, BIS, SN == TQ, QS, SY,so ist (sinBL zu sinBK) = (sinTY zu siaTQ). Sodann wird klar,daB (sinEF zu sinEO) = (s. TV zu s. TQ). Folglioh muB (sinBLzu sinBK) = (sinBIP zu sinEO) sein, Q. e. D. Also ist klar, daBsinHrT = sinMS (da beide zusammen = 180°) und ebenso sinSxT..= Sinus HM." / 6. Die meisten clerer, die sich mit dem Werkbeschâftigten, standen diesem Satz ratios gegenuber. Ma hat es

Abhandlungen d. Des. d, Wiss. zu OSftingen. Phil.-HIst. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 5(Sonderlieft der Maih.-Phys. Kl.)

Max Ixrause

deshalb aufgegeben, seine Yerbesserung zu Ende zu fiihren. H haïeinen mangelhaften Beweis dafiir aufgestellt. T zitiert dann diePromisse von H und macht dazu die Bemerkung: nDer Beweiswird dadurch Yollkommen, daB man zeigt, daB (sinGE zu sinED)= (sinZK zu sinKT), bis daB bewiesen wird) daB in dem anderenDreieck das Yerhàltnis der Gegenstûcke von ZE, ET gleicli diesemYerhâltnis ist und gleich dem Yerhâltnis der Sinus der Gegen-stiicke von GE, ED, so dafi klar wird, daB die Sinus von EG, EDsich wie die Sinus ihrer Gegenstiicke verhalten. Aus dem, was ergesagt bat, folgt nicht, daB das Yerhâltnis (NS zu SO) gleich. demYerh. der beiden Sinus ist. Also nutzt die Kenntnis dieser Pra-misse ûberhaupt niohts. Daraii anschlieBend réf. er den Beweisvon H zu H II 10 und bemerkt dazu: ,,Dieses hat er an Stelle desBeweises erklârt. Es bleibt gânzlich ergebnislos fur dièse Behaup-tung.a/7, Zitat von H's Bemerkung iiber Me (s. I § 6B). Nachweiterer Kritik an H bekennt T, nicht eher auf den Beweis dièsesSatzes verfallen za sein, aïs er N's Eommentar zu diesem Werkeerhalten (zafirtu Z>i-) habe. / 8. Réf. von ÎT 72, 16 — 22 (iiber denastronomischen Inhalt des Satzes).

m6. T bemerkt zur TJmkehrung, der (dabei vorausgesetzte)Satz sei im Yorhergehenden nicht bewiesen worden, er habe ihn inIII 2 Umkehrung angefûhrt.

III 7 Text, Den Beweis fur die Umkehrung hat T ausgefiihrt:n<)CD gemeinsam und (sinAB zu sinAD) = (sin&B zn sinG-D). Daher -£ ABD + GBD = 180 °, da •£ ABD 4= GBD.Daher ist <£GBD = -^DBE." / Eommentar. Dies eben-falls nach IH.2 Umkehrung.

HI 8) Er zeigt, wie die beiden Bogen GZ und GH tinter derangegebenen Bedingung zu ziehen sind: nSei (sinAE zu sinAB)= (sinEG zu sin irgend eines Bogens). So ist dieser Bogen be-kannt. Wir beschreiben um G mit der Sehne jenes Bogens einenKreis, a) schneidet dieser den Bogen BE z. B. in Z, T,- so ziehenwir die GroBkreisbogen GZ, GT. So ist von den beiden WinkelnGZB, GTB einer dem -£ABE gleich (III 2, 1. Umkehr.), h) schneideter ihn nicht, sondern berïïhrt ihn in Z, so ziehen wir GZ. Dann stehter aufBZ senkrecht und ist -^ABE ebenfalls = 90°. / c) Wenner ihn weder schneidet, noch beriihrt, so beschreiben wir den Ereismit der Sehne der Ergânzung jenes Bogens zu 180°. Dann schneideter ihn unbedingt in zwei Punkten (weiter wie oben). / EbensolâBt sich zeigen, wie GH gezogen wird. / Darauf Réf. von X"75,1-76,2.

III 9) Beweis daftir, daB AE = HL, wenn AG = HT und

Zur TextgeschicMe der Spliiirifc. 67

(sinAE:s. EG) = (s. HL:s. LT). Z sei Kugelmittelpunkt. Wirziehen AG, HT, ZML, ZFE, ZT, ZG. Dann ist (nach III1) (sinAErsinEG) = (AN:îsTG) tmd (s.HL:s.LT) = (EM:MT). Daher(AN: NG) = (HM : MT) und (durch Tarkîb) (AG: NG) = (HT : TM).Es ist AG = HT. Folglich ist NG = TM. Wir ziehen ZO, ZSsenkrecht auf AG, HT. Dann ist ZO = ZS und NO = SM. Jolg-lich ZN = ZM und deshalb ^CEZG = LZT und EG = TL. /Réf. N 76,21—77,2.

III10) Nach 10 a réf. T aïs aliter-Beweis N 78,3—8.mil) Dafi KZ = AE, wenn (s. HK: s.KZ) = (s.GE:s.EA)

und HZ = GA ist, wird folgendermaBen bewiesen: ,,Wir ziehendie beiden Bogen und verlângern GA, HZ. Yon dem Eugel-zentrum L aus ziehen wir LE, LE, die GA, HZ in N, M treffen,ziehen LA, LZ und LS, LO senkrecht auf AG, HZ. Da (s. HE:s.EZ) = (s.GE:s.EA), so (HM:MZ) = (GhN:NA) und (durchTafsïl) (HZ:ZB1) = (GA:AN). HZ = GA. Eolglich ZM = AN,und, da OL, LZ = LS, LA nnd ^0 = ^S, so ist OL = LSund OM = NS. Daher ML = LN. Also <ZLM = ^CALN, folg-lioh ZE = EA./2) Aliter-Beweis fur HI11: Wir beweisen (wiein m 10), daB (s. •£. GBE : s. C ABE) = (s. ^C GBD : s. < ABD). Da

' ^CABG = 90 °, so ist sin der Ergânz. von £TGBE = sin <X GBEund (s. Erg. <C GBE zu 180 ° : s. C ABE) = (sin irgend eines Bogenszu sin der Erg. des Bogens zu 90°) und ebenso sin^C GBD undsin<£DBA. Und wenn der Yiertelkreis so geteilt wird, daB (derSinus eines Bogens aus der ersten Teilung sich zu dem Sinus seinerErganzung verhâlt wie der Sinus eines Bogens aus der zweitenTeilung zu dem Sinus seiner Erganzung), 'so ist (nach III9) Bogen I= Bogen II und ebenso ihre Ergânzungen. Ebenfalls ist (sin2

Bog. I zu sin2 der Erg.) = (sin2 Bog. II zu sins der Erg.). DurchTarkîb (sin2 Bog. 1 +sin2 der Erg.) : (sin2 der Erg.) = (sin2 Bog. II+ sin2 der Erg.) :(sin2 der Erg.) und (/sin2 Bog. I + sin2 der Erg. :sin der Erg.) = (/sina Bog. 11 +sin2 der Erg. : sin der Erg.).Aber / = / , da sie beide gleich dem Radius sind. Eolglich,sincl die Sinus der beiden Ergânzungen einander gleich und ebensodie Sinus der beiden Bogen. Also sind die beiden Bogen und ihreErgânzungen einander gleich. Also ist die Erganzung von <£ GBEzu 180° = ^CGBD und ^ABE = -^ABD. Q. e. d.

HI 12) Réf. N 79,20—28.

ni 14) 1. Wenn £; A = 90° und ;wir DLE und MZN pa-rallel zu AG ziehen, so ist (BA—DH) = BL und (ET—ZE) = MF....ïïnd wenn (BD : EZ) grofier aïs (BL : MN) ist, so ist (1) wenn BD= EZ, dann BL kleiner aïs MN.

g*

68Max K r a u s e

Zur Textgeschiclite dsr Sphârik. 69

(2) wenn BL = MN, dann, BD Usiner aïs EZ.(3) wennBD+BL = EZ + M]S!', dann.BD groBer aïs EZ; denn

(BD:BL) ist groBer aïs (EZ:MN) und (BD + BL) kleiner aïs(EZ+MN):EZ. Also ist BD groBer aïs EZ.

(4) wenn BD—BL = EZ—MÎT, dann BD Heiner aïs EZ; dennes entstent BD:(BD—BL) kleiner aïs EZ:(EZ—MN). Also istBD Heiner aïs EZ. Dièse Satze sind riolitig, wenn wir bewiesenbaben, daB (BD:EZ) groBer aïs (BL-.MN). Also muB' dièse Pra-misse bewiesen werden a) fur den 3?all, daB •£; A, H, T, BL = 90 °,V) fur den allgemeinen Eall, Dem Beweise stellen wir zwei Prâ-

missen voran.Pram. 1) In je zwei Dreiecken, deren làngste Seite niclit langeraïs ein "Viertelkreis ist, von denen zwei spitze Winkel einandergleicb sind, zwei andere Recb.te sind tmd die Sebnen der Recbtenungleich sind, ist das Yerbâltnis der kûrzeren Sehne des Recbteneines dec beiden Dreiecke zu der Seite, die zwiscben dem gleichenWinkel uud dem Recbten • liegt, groBer aïs das YerbaTtnis dergrb'Beren Senne ans dem anderen Dreieck zu dem Gegenstiick jener

Seite ans ihm.Es seien in ABG, ADE die beiden -^ A einander gleicb, ^C B

= <£D = 90° nnd AD nient groBer aïs 90°. Ben.: (AG:AB)

ist groBer aïs (AE:AD).Beweis: Nacb Tbeod. IH10 ist (GE:BD) = (AG-:Bogen,

der groBer aïs AB ist). Deslialb ist (GE : BZ, das groBer aïs BD)= (AG:AB). Durcb Ibdâl entsteht (GE-.AG) = (BZ:AB), durcbTarkïb (AE ; AG) = (AZ : AB), dnrcn Ibdâl (EA : AZ) = (GA : AB).Also ist (GA:AB) groBer aïs (AE: AD).

Prâmisse 2: nBei aïïen GroBen, bei denen das Yerhâltnisjeder einzelnen Grofie zu einer (anderen) GroBe groBer aïs irgendein Yerhâltnis ist, ist das Yernaltnis inrer Snmme zu der Snmmeikrer Hinterglieder groBer aïs jenes Yerbaltnis". Das ist évident!Ist nâmlicn (AB : GD) groBer aïs (E : Z) und (BH : DT) grôBer aïs(E:Z), so ist (AH:GT) groBer aïs (E:Z). Es sei (KB:GD) =(E:Z) und (LH:DT) =. (E:Z). So ist (KB + LT:GT) = (E:Z)nnd AH ist groBer aïs (KB+LH). Also ist (AH:GT) groBer aïs

(E:Z). /Beweis des Sa t ze s : (a) Sei A, H, T, K = 90°. Wir

verlângern AB, "BD, TE, KZ bis zum Pol TJ und zieben die Pa-raïïelkreise BJ, DL, EM, ZÏT, So ist BL (== DJ) = (AB-DÏÏ);LM = AS-ET; MN = ET-ZK. Ben.: (BD:BL) ist groBer

aïs (DE-.LIiI) und groBer aïs (EZ:MN)."Wir zieheu auf TJH die Senkrechte BS. TJB = UJ, also ist

UJ groBer aïs US. Auf TES, UT zieben wir die Senkrechten EO,ZF. So ist in Dreieck DBS und DEO<£D = ^D,-^S = ^0= 90° und, wemt BD = DE, ist DO = DS nnd (BD:DS) =(ED:DO) und (BD:DJ) ist groBer aïs (BD:DS, d. h. groBer aïs)ED:DO, das groBer aïs ED:DC ist. Also istBD:DJ (= BL)groBer aïs DE : DC (= LM). Dasselbe gilt bei allen zwei auf ein-ander folgenden Bogen in dem Yiertelkreis BG, d. h. das Yerb.des Bogens, der nâher an BA liegt, zu dem Unterscbied zwiscbenden Bogen seiner beiden Grenzen, ist groBer aïs das Yerb. desBogens, der ferner liegt, zn dem Unterscbied zwiscben den Bogenseiner beiden Grenzen.

Ebenfalls ist bewiesen, dafi <£GET kleiner aïs -^GDH(= 3CBDU) ist. Wir erricbten auf BD-^BDK, = ^;GET. Sofâllt R zwiscben B, S. Da in Dreieck DSR^CDRS spitz ist, ziebenwir BT senkrecbt auf DE. In den beiden Dreiecken DTB, EZEist ^CD = <E, ^CT = <CE = 90° und, wenn BD = EZ, istDY = EF. YD ist groBer aïs ZD, dièses groBer aïs DS, dasgroBer aïs DY ist. Also ist (BD : D J) groBer aïs (BD : DY), d. b.(EZ:EE) groBer aïs (EZ:EQ). Folglicb ist BD:DJ (= BD:BL)groBer aïs EZ : EQ (= MF).

Dasselbe gilt bei allen zwei einander gleicben, nicbt aufein-ander folgenden der Bogen im Yiertelkreis GD, d. b. das Yerh.des B nahen Bogens zu dem Unterscbied zwiscben den Bogen seinerbeiden Grenzen ist groBer aïs das Yerb. des fernen Bogen zu déniUnterschied zwiscben den Bogen -seiner beiden Grenzen. /

Der Satz stimmt aucb, wenn die Bogen niobt einandergleicb. sind.

a) Sei BD kleiner aïs DE oder aïs EZ. Wir verfabren wîeoben, Dann bebaupten wir: (BD:DJ) ist grb'Ber aïs (BD : DS) oderaïs (BD : DY). Und (BD : DS) oder (BD : D Y) ist groBer aïs (ED : DO)oder aïs (EZ:EP), nacb Prâmisse 1. (ED:DO) ist groBer aïs(ED : DO) und (EZ:EF) ist groBer aïs (EZ:EQ). Also istBD.-DJ(= BL) groBer aïs ED:DC (= LM) und groBer aïs EZ:EQ(= MÎT). Also stimmt der Satz fur den l'ail, daB BD kleiner aïsirgend ein Bogen ist.

b) Sei BD groBer aïs DE oder EZ. Wir trennen von BD einYielfacbes des kûrzeren Bogens, z. B. DE, ab, bis nicbts iibrigbleibt oder ein Rest, der kleiner aïs DE ist. Das Yielfacbe seiDX, SP ; der Rest sei PB. Wir zieben die Parallelen PW, SIund die Senkrecbten SA, PÔ. Wie oben zeigen wir, daB(PB:BAV).grofier aïs (ED:LM) ist und (XP:WI) ebenfalls groBer aïs (ED :LM) und (DX:IL) ebenfalls groBer aïs (ED:LM) ist. Also ist

70 Max K r a u s e

(Prâm, 2) BD : BL grbBer aïs EL : LM. / Genau so wird es be-wiesen, -wenn BD grbBer aïs EZ ist, daB BDiBL grbBer .aïsEZ: HN ist. Also stimont der Satz fur sâmtliche Eâlle, Solange<XA = 3CH = <£T =^K = 90°.

(b) Beweis fur déniai!, daB dieWinkel =1=90° sind. An der-selben Eigur sei (-X N : 90 °) = (<£ G : < A). Wir ziehen MÎT = GB,trennen NE = GZ, NO = GE und NS = GD ab und ziehen auf LNdie Senkrechten ML, SC, OQ,, ER. Da (sin GB : sin B A) = (sin<XA:sin<X&) = sin 90° (= sin<tL): sin^K = (sin NM : sin ML)und sinGB = sin Ml, so ist sinBA = sin ML. Da GB nichtgrbfler aïs 90°. so ist BA, ML kleiner aïs 90°. Also ist BA = ML.Ebenso wird gezeigt, daB DE = SC, ET = OQ, ZK = ER undes ist bewiesen, daB SM:ML —SC grôBer aïs das Yerh. irgendeines der beiMN vorkommendenBogen zu demTJnterschied zwischenden Bogen seiner beiden Grenzen ist. Also ist BD:(AB—DH)grbBer aïs das Yerh. irgend eines Bogens von den bei GB vor-kommenden Bogen, der gleich ist seinem Gegenstiick von denBogen von MN, zu dem TJnterschied zwischen den Bogen seinerbeiden Grenzen. Eolglich ist der Satz, den Me behanptet hat,bewiesen. / Réf. von N 84,4—-7 (Astronomiscker Inhalt desSatzes).

IH15) T beweist im Koinmentar samtliehe einzelnen Behaup-tungen sowohl aus R-Hs., wie ans H, von denen ich die hervor-hebe, bei denen er S kritisiert. ... c) wenn BD + (BA —DH) =EZ + (ET-ZK), so ist BD kleiner aïs EZ. Das ist unrichtig undmuB heiBen: BD grbBer aïs EZ. .Denn die erste Differenz istkleiner aïs die zweite Differenz fur den Eall, daB die beiden ab-getrennten Bogen einander gleich sind. Eiïr • diesen Eall ist dieerste Summe kleiner aïs die zweite Sunune und es ist umnbglich,daB die erste Summe so wachse, daB sie gleich der zweiten Summe,wenn nicht BD wachst. Also muB, wenn die beiden Summen ein-ander gleich sind, BD grbBer aïs EZ sein, (d) Wenn BD —(BA-DH) = EZ-(ET-ZK), so ist BD kleiner aïs EZ. Auch dasist unrichtig und muB heiBen: ,,so ist BD grbBer aïs EZ". DemiBD-(BA-DH) ist grbBer aïs EZ-(ET-ZK), wenn BD = EZist, und Solange es nicht vermindert wird, gelangt es nicht zurGrenze des Gleichseins. Und es wird nur dadurch vermindert, daBBD gegeniiber EZ wachst (?). / Nach TTrfceilen liber R-Hs. undSch-Hs. sagt T, daB der Satz sich durch Theod. III10 beweisenlasse. ,,(AH:BD) = (HT: einem Bogen, der kleiner aïs DE ist).

'Also ist (AH:BD) grbBer aïs (HT:DE). Ebenso ist (HT:DE)grbBer aïs (TK:EZ). Es folgt (AH:BD) grbBer aïs (TK.EZ).

Zwr Textgesdricljie (1er Spluirik. 71

Durch Ibdrd (AH: TE) grbBer aïs (BD :EZ).« /Me's Beweis gehtauf Me III5 znriick, nur ist hier bedingt worden, daB die Sehnedes rechten "Wïnkel nicht groBer aïs 90° 'sei und dort, daB dieSehne des iibrigen "Wïnkels grbBer aïs 90° sei. / Die Kommen-tatoren hâtten zeigen sollen, daB ,,sich die Gleichheit dieser Yer-haltnisse in sâmtliclien hier vorkommenden Dreiecken ergibt unddann, wie die Existenz dieser Yerhâltnisse dazu fûhrt, daB dieeingangs erwâhnte Behauptnng bestâtigt wird. Das hat nur, ÏTgetan. Er hat gezeigt, dafi dièse Yerhâltnisse nicht in sâmtlichenDreiecken vorkommen und hat eine Bedingung hinzugefugt, wo-durch dieser Satz allgemeingultig wird, nânilich, daB AB+BGnicht grbBer aïs 90°." /'Darauf Réf. von NS7,1—89,7 undschlieBt: ,,"Wïr haben diesen Beweis — trotz seiner "Weitschweifig-keit — erHart, weil er viele Nutzanwendungen umfaBt. Den Be-weis daftir aber, wie man von diesem Satz zu der Bestatigung derBehauptungen gelangt, hat keiner von ihnen iinternommen undich bin bis jetzt noch nicht darauf verfallen." /

III16) Er weist zunachst darauf hin, daB Me von den sechshier auftretenden Transversalenfiguren nur drei verwandt hat, undzeigt, wie die einzelnen JTormeln èntstanden sind, sodann referierter N 91,9—20, darauf ¥90,3—91,2, am SchluB F 91,3—5(Astronomischer Inhalt des Satzes).

m 17) Réf. N 93,3-17 und dann N 93,18—9-J-, 4.III18) Réf. ÎT 94,12—21 und dann N 94,22—95,2.

H! 19) Réf. N 95,24—96,2. / Die Anwendung auf die Astro-nomie ist wieder rT entnommen (96, 3—6).

UI20) Réf. ¥ 96,20- 97,4 und bemerkt am SchluB zn rT 96,18/19,daB es sich dnrch den indirekten Beweis leicht zeigen lasse; ,,denn(a) wenn es gleich. ist, wird durch Tarkîb, dann durch Ibdâl, danndurch Tafsïl, dann durch Ibdâl (AH:HT) = (DK:KL) und (b)wenn es kleiner ist, wird (AH:HT) kleiner aïs (DK:KL)."

III21) Réf. N 97,19/22 (Anwendung auf Astronomie) und be-merkt, daB Me an dieser Stelle Theod. verbessert habe. Das ver-anlaBt ihn zn einer Kritik an den ,,Eachleuten" (alil as-sinaa), diesâmtlich dièse Stelle einfach zitiert hâtten, ohne auf ihren Sinnnâher einzugehen. „Me hat (nur) deshalb in den vorangehendenbeiden Sâtzen bestimnit, daB GD kleiner aïs GB sei, weil, wenn<£ABG spitz ist, (auch -XAD& zugleich spitz sein kann undzwar, wenn nicht bestimmt ist, daB GD nicht kleiner aïs BG sei:Dann stimmt das mit dem genannten Verh. nicht. TJnd wenn hier•XABG spitz ist iind ebenso <XAD&, so ist die Sache dieselbe."

72 Max K r a u s e

11122) Réf. Bemerkung von ÎST, die ia L fehlt, s. HA § 1 zn9S,26ff,

11123) zu (a) 1) ,,Wie man ZK in der angegebenen Weisezieht." "Wir setzen eine Grade in das "Vert, zwischen dem Kugel-radius und sinZA und trennen von dem durch Z gehenden Durch-messer von Z aus (ein Stiick) in ihrem MaB ab und ziehen von demandem. Ende eine Senkrecllte anf jenen Durchmesser 'in der Ebenedes Kreises ZM, die notwendigerweise auf den Punkt K fâllt.Das habe ich am SohluB von III18 zu beweisen versprochen. Wirwollen diesen Bogen den ,,mittleren" nennen. / 2) DaB, wenn(sinMT:sinKA) = (sin BK : sin BM) und BA, ET = 90 °), dannMT = BK und KA = BM ist, habe ich ara SchluB von m 16erwâhnt. / 3) DaB, wenn sin3 MT — sin2 KA bekannt und die Qua-drate ihrer beiden Sinus bekannt sind, sie selbst bekannt sind undder Unterschied zwischen ihnen bekannt ist, wird so gezeigt: SeiAB = MT, AG = AK, GE = (AG)2 und BE = (AB)2 und ver-vollstândigen wir die Eigur. Wenn wir von GD+BE abziehendas Gnomon Çalani) ZHT (= BE-GD), bleibt 2 GD. Also istGD und AB und AG bekannt."

HE 24) 1) Zu (sin GH : s. DE) grbBer aïs (s. GZ : s. ZD). Wenn indem zusammengesetzten Yerh. eines der beiden Verh. = 1 wâre,sodaB das Vorderglied = Hinterglied, -wâre das zusammengesetzteYerh. gleich dem andern Yerh. Ebenso wenn das YordergliedgroBer oder kleiner aïs das Hinterglied wâre, wâre das zusammen-gesetzte Yerh. grôBer oder kleiner aïs das andere Yerh. und des-halb ist, sobald HB kleiner aïs BE ist (s. GH : s. DE), kleiner aïs(sinGZ:sinZD). / 2) ,,Dann ZG= 90° und GH kleiner aïs 90°.<:

Wenn namlich GZ groBer aïs 90°, sinGZ kleiner aïs sinDZ undGH kleiner aïs 90° oder nicht, brauchte nicht GH groBer aïs DEzu sein. 3) ,,(GH:DE) ist groBer aïs (sinGH :sinDE), wenn GHgroBer aïs DE ist." AB ist groBer aïs AG. E sei Kugelzentrum,so ist BG : GA (= Sektor BEG : Sektor GEA) groBer aïs clas Yerh.des Dreiecks BEG zu dem Dreieck GEZ (= Grade BG: Grade GZ).Durch Tarkïb wird (Bogen BA:Bogen GA)'groBer aïs BZ:GZ(= sin BA : sin AG). / 4) Mit n(GH : DE) =|= irgendein Yerh., wennGH groBer aïs DE ist" ist gemeint, dafi das Yerh. der beidenBogen kleiner ist aïs das Yerh. des Kugeldurchmessers zu demDurchmesser des Kreises und groBer aïs das Yerh. ihrer beidenSinus. / 5) Dann.'réf. er. N 104,1—105,17 tind fiigt (T?| N?)

. hinzu: ,]AYenn dièses feststeht, so steht fest, daB (EH: EL), dassich wie der Kugeldtirchinesser zu dem Durchmesser des Kreises,der zu BG parallel ist und BD berïïhrt, in der vorigen Kgur

Zur Textgeschichta der Spharik. 73

verhâlt, vielmehr (sin GZ : s. ZD), grb'Ber aïs (ZA : NH) in dieserEigur und (HG : DE) in der vorigen Eigur ist. " /

HE 25) 1) Er erortert die verschiedenen Lagembglichkeiten desEndpunktes L des nmittleren" Bogens (vgl. HI23 Komni. 1) undkommt zu dem Ergebnis, daB es nunrichtig sei, sohlechthin (zusagen): Dann fâllt Punkt L zwischen D nnd E", vielmehr miiBtendie vier Bogen (ZE, ZL, ZD, ZK) in ein und deinselben Yiertelliegen und zwar zwei zwischen dem Punkt B und dem nmittleren"Punkt und .die andern beiden zwischen diesem ,.mittleren" Punktund dem nPunkt des Yiertels", damit Me's Behauptung richtigsei. / 2) ,,Da die Rechtecke einander gleich sind, ... ist GÎT = DL."Das griindet sioh darauf, daB der ^mittlere Punkt" zwischen L, Dfâllt und je zwei Bogen, die zu beiden Seiten der beiden mittlerenPunkte liegen, einander gleich sind. Das (aber) ist im vorher-gehenden nichfc-bewiesen, auBer bei zwei Bogen, die zusammen= 90°; bei den andern steht nur fest, daB die Sinus proportionalsind. Das aber erfordert nicht, daB die Bogen und (auch nicht)die Sinus einander gleich sind, auBer durch einen a n d e r n Be-weis: (In derselben Egor) ergânzen wir die Yiertelkreise BA,BT und ziehen ZAT. ZUJ sei der mittlere Bogen. Wenn dann(sinTZ).(sinZK) = (sinZU)2, so (sin BE : sin BH) = (sin MT: sinKA); denn sie beide verhalten sich wie sin90° zu sin^CE. Wirhehaupten, daB bei keinen anderen Bogen, die — von B aus-gehend — ein Bogen abtrennt, der von Z nach den YiertelkreisenBA, BT gezogen ist, etwa BL, BN, das Yerh. ihrer Sinus dièsesYerhâltnis ist, Denn dann mitBte <CE = <XL, vielmehr ZE = ZIund EH = LÎT sein. Also ist es unmoglich, daB zwei andere Bogendièses Yerh. haben. Aber es ist vorhanden, wenn BE = MT ist."So muB BE = MT sein fur den Eall, daB (sinZU)8 = (sinZL)-(sinZK). Wenn auch dieser Beweis auf die indirekte Weise (ge-fiihrt ist), habe ich ihn trotzdem hier auseinandergesetzt, weil erzum Ziele fûhrt. Ebenso erkennt man, daB EL = &M, Hà\ = DK,LU = JG und UD = NJ ist. / 3) ,,]NTach der Eignr lâflt sich— wie bei den Graden — zeigen, dafi LÉ = ... GM." Mit ,,Graden"meint er die sSinus"; denn aus deren Gleichsein erkennt man, daBdie Bogen gleich sind, wenn man wei6, daB sie zusammen =|=1SO°.(Ygl. Bj. S. 121.) / 4) nDer Kugeldurchinesser verhâlt sich zusinKZ wie sinEZ zu sinDZ." Das folgt claraus, daB das Recht-eck, das gebildet ist aus déni Eugeldurchmesser und dem Durch-messer des Kreises, der BD beriihrt, gleich dem Rechteck (sinKZ^-(sinZE) ist. / 6) Sodann teilt er die Bewsisrnethode (N 109,11 ff.)von ÎT mit, der er (T?) noch eine Prâmisse voraufschickt, / 6) Am

74 Max K r a u s e

SchluB réf. er H 91 (in einigen Hss. steht dieser Abschnitt amSchluB von III23, z. B. in Sa) und bemerkt dazu: ,,0ben war be-wiesen, daB sich sin G-H zu sin DE verhalt wie das Rechteck, dasaus dem Kugeldurchmesser und déni Durchmesser des parallelenKreises besteht (= ZK2) zu dem Rechteck aus den beiden Durch-messern der beiden parallelen Kreise D, E, das groBer aïs ZD2

und kleiner aïs ZE2 ist. Deshalb hat er gesagt, daB (sin G-H : sin DE)groBer aïs (ZK2:ZE2) und kleiner aïs (ZK2:ZD2) ist. "Wenn (sinGrH: sin DE) groBer aïs irgend ein Verh. ist, braucht nicht (G-H : DE)groBer aïs es zu sein; denn hier ist (Bog. :Bog.) kleiner aïs(sin : sin) und was er am Anfang des Satzes behauptet hat, îst dasVerh. der beiden Bogen, nicht der beiden Sinus. Wenn er amSchluB sagt: nWennBD eine Quadratseite ist oder BE eine Quadrat-seite ist", (so) glaube ich, daB es ein Schreibfehler (tashïf) ist undder Ausdruck war ,,wenn ZD eine Quadratseite ist oder ZE eineQuadratseite ist" ; denn in diesem Satz ist garnicht die Rede vonBD und BE.«

§ 9. Muhjiddm al-Magribi (S).Lï te ra tu r . [1] Barhebraeus : ta'rïh nmhtasar ad-duwal (hrsg. von Salhânl,

Beirut 1890) S. 489 und 501; [2] Abu-1-fidS : taqwîni al-buldân (hrsg. von Reinaudund Mac Guoldn ds Slane) S. 399; [3] Ilôndaniîr : hablb as-sijar (Téhéran 1271).111,37; [4] Kg 1170, 199 11,560 Y, 387, 3S9; [5] Brock. GAL. 1,474; [6] ButerMAA, Hr. 376, S. 155/56; [7] Bandiez P&ez: Biograft'as .,., S. 140; [8] Stroth-mann: ZwOlfersdu'a, S. 28; [9] Carra de Yaux, Journ. Asiat., Bd. XYII (1891)S. 287—95; [10] Steinschneider, Bibl. Math. Neuo Folge, Bd. 6, S. 39; [11] ders.,Z. f. Math. u. Phys., Bd. XXXI, S, 109; [12] BBK, S. 55—57, 67, 70, 71, 73—75;•[18] tfsener : Ad historiam astronomiae symbola (Bonnae 1876) S. 16 ; [14] 0.Schirmer: SAA, S. 59—60; [15] 'Wiedemann, Beitr. 78, S. 298; [16] Hasnn an-Nadaivî, Tadkirat au-nawâdïr (Haidarabad 1350) S. 157.

A. L e b e n und Werke .Muhjîdddïn Jahjâ b. Muhamrnad b. Abï-s-s'ukr al-Magribï al-

Andalusï1) war, wie aus seinem Namen hervorgeht, spanischerHerkunft. Ob er — wie Suter2) annimmt — mit Ibn Sa'îd nachdem Osten kam, wissen wir nicht. Wïr finclen ihn znerst8) imGrefolge des Aijubiden al-Malik an-Nâ§ir, aïs dieser in die Grewaltvon Hfilâgii geriet, DaB Mul.ijïddïn dabei mit dem Leben davon-

1) Bei [16] heiBt er al-Qurtubl (der ans Cordova).'2) [6] S. 155.3) [1] S. 489.

Zur Textgeschichte der Sphilrik. . 75

kam, verdankt er nur dem Umstande, daB er sich auf seine Astro-logie berief und vorgab, er habe eine Botschaft fiir HïïlSgù aus-zurichten. Hûlagiô. sandte ihn dann nach Marâga zu Nasîraddïn at-Tiïsî, dessen Mitarbeiter an der Sternwarte er wtirde1). Ausseiner dortigen Tâtigkeit sind einzelne Beobachtungen bekannt,z. B. nahm er am 13., 14. und 16. Juli und Dezember 1264 dort3Iittagshb'henbestimmurigen vor2). Wie lange er in Marâga ge-blieben ist und wann und wo er gestorben ist, wird nirgendsiiberliefert. Sicher aber erst nach 12748) (dem Todesjahre T's);denn der in Leiden 1101 vorhandene Anhang zu dem nAuszug ausdem Almagest" ist der Bibliothek Ton Sadraddin 'Ali gewidinet.der seinem Vater in der Leitung der Sternwarte und der dazu-gehorigen Bibliothek nachfolgte.

Von den Werken Muhjïddîn's siad folgende bekanntJ):

1. Mathematik.a. Ausgabe der Elemente Euklids (vorhanden in Stambul AS

2719 und Mihrgâh Sultan 337 [372 S., a. h. 1139]);b. Ausgabe von Apollonius1 Kegelschnitten (vorh. in London,

Brit. Mus. 975, 4°).

c. Ausgabe der Sphàrik von Theodosius (vorh. Paris, Bibl.îTat. 2468, 1°; Leiden 985 [a. h. 980]; Stambnl SX) 2971, 1° [a. h.915]; vgl. dazu [9]).

d. Ausgabe von Mene]aos' Sphàrik; verf. nach le (vorh. IndiaOffice 741, 2° [a. h. 722??]; Stambul ÎTO. 2971, 2° [a. h. 915]).

e. JCil^II v-^w-Ut Q^ pLLjjJl jXixJi ^E p,.âxj U j, xJLji^ ,,tîber das,

was an zusammengesetzten Verhâltnissen von der Transversalen-iîgur abgeleitet wirdlï. Zitiert in Id. (vorh. in Berlin Ahlw. 5907[ms. 4° 559, fol. 346—53*]; Stambiù NO 2971, 3° [7foll.]; vgl.dazu [12] S. 55—57 und [16]).

f. s.jloJI ij X*Siyi ^jj-^S- TLAx«l XAHAS' & X!L*VJ nAbhandlungliber die Art der Ermittlung der im Kreise vorkommenden Sinus"(vorh. in Stambul ¥0 2971, 4° [8 foll.]),

1) [2] S. 399 ; [1] S. 501.2) [14] S.59/60.

3) Dièses Datum kann nooh etwas hinauf'geschoben wsi'den; denn. ein astro-logisohes Werk (3g) hat er nach der Unterschriffc erst im Jahre 682/1283verfafit.

4) Zu Stambuler Hss. vergl. mau meiuen Bericht ûber ,,Stambuler Hand-'"schriften islamischer Mathematiker" (erscheint in Quellen und Studien zur Gesch.d. Mathem. usw.).

76

a. tG "

Max Krat ise

2. Astronomie.

, tJber das Ebenmaclien J) des Astro-labiums" (vorh, in Berlin Ahhv. 5806).

b. . vS'UXn otfys: /alxXJ' oUJ.a.4 ,,Einige Prâinissen, die mitden Bewegongen der Sterne zusammenhângeu'1 (Stambnl NO2971, 5°).

c. sAnszug Qiulâsa) ans dem Almagest". (Verf. fiir Bar-He-braens, wird in 2d zitiert)2).

d. Ein Anhang dazu ist vorhanden in Leiden 1101 (vgl, dazu[14] nnd [12] S. 73—75) 8).

e. ,.lxjS SAÂC. Ju\$\ ,,Die Krone der Tafelwerke nnd dasCi, " y <•>") G, " '-

Genughaben des Bediiftigen" (vorh. im Escurial, Casiri Nr. 927)ist vielleicht auch von ihm. Der Yerfasser heifit dort Abu 'Ab-dallah. Muliararnad b. Abï-s-Snkr al-Magribï.

8. Astrologie.

a. j>^^J! j.L<>! g, _.A*AaJS £-a\.&- nDie kleine Sammlung liber dieWeissagangen ans den Gestirnen" (vorh. in Paris; Bibl. N~at. 2594;vgl. HH II 560).

b. jjijJi ,j^w J^^Of J.E ,».5CS. S-iàj/ £ ,,tîber die Art der Weis-sagung nach dem Umlanf der Jahre der "Welt?. auch. mit demTitel p^JI1*" nBnch der Gestirne" (Vorh. in Paris, Bibl. Nat.2593, 1°; London, Brit. Mnseum 413 nnd 414, 1°; Oxford, Bodl.1982, 2°; India Office 769, 1°; Miinchen 873; Leipzig, Réf. 53;Cambridge 203; Eairo, Zat. von Vollers 226; vgl. Hg 1170).

c. _.A£ ^S^i s_5.j.Ji ij v.J'Ij.^l olîly J.E |,bC=-1 LjLxs' ,,Buch derWeissagnngen nach. den Konjnnktionen der CWandel)sterne in denzwolf Tierkreiszeichen" (vorh. im Brit. Mus. 414, 2°; Ind. Off.769, 2°).

1) sattalia (c. ace. et '{ta) Tjedeutet ,,etwas (in eine Ebene) projizieren (yer-ebnen!)". Geineint ist hier die Projektiori der Himmelskreise auf die Ebene desAstrolabiums. Abhv. gibt den ïitel sinugemafi mit ,.Einricbtung nnd Gebrauchdes Astrolabiums" Tviedsi'.

2) Dieser Auszug wirâ von Hli zweimal erwEbnt, V 3ST aïs tahnr al-miïjisKuud Y 389 aïs mulaJiJias al-migisK. M<5glicb.erweise war ancb. der ..taliniM rondem ,,Anszug" (hulâsa oder imito/fZf"?) varschieden.

3) Dièses Work ist naeh 1274 xmd wabrscbeinliob vor 1286 YerfaBt; deuneininal ist es der Bibliothek von T's Solm 'Alï gestiftet, der uach seinem Vaterdie Steruwarte leitete, unà dann ist es kurz nach 2 c gescbrieben.

d.Znr ïextgescMcMe der Spbarifc. 77

i\JÂi\l MDie niitzliche Einleitung be-s > L M n z c e ne tung b e -treffend die "Weissagturg nach den Geburten" (vorh. in ITlorenz,Pal. 305, 3°; Gotha 65, l0)1).

e. ^JUoJi XAÀÊJ . iS. 8O. = ^Die Stiitze des 'Rechners nnd dasGenughaben des Verlangenden" (vorh. Kairo 309).

f. ol,ux:M ,,Tagewâhlereien" (nur genannt bei IJIj." 1199).

g. Mal) tawâli' al-mawâM, verfaBt im J. 682 h/1283 (vorhandenBrit. Mus. ms. or. 5716 [176 BL, 14. Jahrh.]).

4. Chronologie.a. jytJiltjLkàS.sUL«j ^Abhandlung (iiber die Zeiirechnung) der

Chinesen und der TTiguren" (vorh, in Oxford 1971, 9°).

B. Seine Au s gab e der Sphârik von Menelaos ,

Der Test von S ist meines "Wissens nur in zwei Handschrïften,(a) nnd (b), tiberliefert (vgl. I § 1 a).

Die wesentlichen Unterschiede zwischen diesen beiden Hand-schriften finden sich schon am Anfang des Werkes.

Der Titel des Bûches lautet in:

jLCû^i ^

(,il)*

(a) &IJI

(b) tiki^ uixl

.

Schon das là'Bt clarauf schlieBen, daB (a) dem Urtext von Snà'her steht aïs (b) ; denn mit &U! ^! Ji3sà\! wird im allgemeinender Schreiber sich selbst meinen.

In (a) fehlt sodann die Vorrede Me's und die Definitionen,in (b) dagegen sind beide Teile vorhanden nnd zwar augenscheinlichaus 1T oder dessen Vorlage iibernommen. Wahrscheinlich warensie ursprûnglich in S nicht vorhanden und erst ein spâterer Schreiberhat sie dann (nach if oder bH) hinzugefiigt.

Im iibrigen bietet (a) einen fast fehlerfreien Text, ist abersehr schwer lesbar tind leider nnvollstândig; es fehlt der SohluBvon H! 10 ab.

1) Die atteste Hs. (19. Eafab 679 1/14. XL 12SOd beendat) sclieint im"Vatikan (ar. 1400) vorhanden zu sein, leider unvollstândig (von Buch II, 4 biszum ScbluJJ), vgl. Levi Délia Vida, Blenco etc., S. 216/17.

78 Max K r a n s e

Terminus post quem fur die Abfassung des "Werkes ist dasJahr 663 h/1265 d, in dem T seine Arbeit schrieb (s. o. S. 51).

Da S zu der Zeit, aïs T. sein Werk schrieb, in Marâga war•— wie ich oben erwahnt habe, sinà von ihm Beobachtungen iiber-liefert, die er Joli und Dezember 1264 in Mar&ga angestellt hat —darf man wohl annehmen, daB er durch T's Beispiel zu seinerAusgabe angeregt worden ist,

Ebenso lâBt sich vermuten, daB seine Ausgabe hauptsâchlichauf T beruht, wenn er auch wohl dessen Vorlagen ebenfaUs ge-kannt haben diirfte.

Ich. will versuchen, die Richtigkeit dieser Vermutung zu er-weisen. Zu diesem Zweck habe ich zwei Untersuclmngen durch-gefiihrt. Die erste erstreckte sich nur auf die Eïguren und zwarim besonderen auf die Buchstaben an ihnen. Ich habe die Egurenin S mit denen in H, N und T verglichen und habe festgestellt,dafi S iibereinstimmt mit

(1) nur T in 129 c, 134, II12, lé, 16, 21,(2) T, ÎNT in 137,(3) T, H in 15, 6, III3, 6, 13,(4) nur H in 114, 31, H 20, III8,(5) T, N, H in 13, 4, 10, 11, 13, 21, 23, 24, 25, 26, 28, 33,

35, 36, H2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 17, 18, 19,III2, 5, 7, 11, 12.

(Bei den iibrigen Sâtzen hat S die Buchstaben an den ïïgurenumgeândert oder eine andere Egur benutzt.) Daraus geht hervor,daB S zumeist T gefolgt ist; denn auch in Fall (2), (3), (5) wirdT benutzt sein. Andererseits hat er von T's Yorlagen mindestensauch ÎT gekannt.

Die zweite Untersuchung betraf die Art der Beweise. Dabeiwurde S mit H, M", T und D verglichen. Die Beweise in Sstimmen iiberein mit denen in

(1) H, ÎNT, T, D in 13, 4, 5, 7, 9, 12, 14a, b, 18, 16,17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25,26, 27a, bl, 28 a; 29, 30,- 31,32, 33, 34a, 35, 36, 37, 112, 3,4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17,18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, m 2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14,

(2) D, T, N (gegen H) in 16,(3) D, T, H (gegen N) in 18,(4) T, H (gegen D, N) in IIIle,.

Zur TextgescMckte der Spharik.79

(5) D, 3tf (gegen H, T) in 110, 20,(6) H, T, H (gegen D) in 111, IIIla, •(7) T, N (gegen D, H) in 113,(8) T (gegen allé) in I34b,(9) ÏT (gegen allé) in III Id.

Auoh : dièse Untersuchung zeigt also, daB die Benutzung von Tiiberwiegt und daB daneben nur noch IST allein auftritt. Dadurchist meine oben ausgesprochene Behauptung wohl genugend belegt.

Der am klarsten hervortretende Grrundsatz, dem S in seinerAusgabe folgfc, ist das Streben nach aufierster Kiirze.

Dies Ziel erreicht er dadurch, daB er allé irgendwie entbehr-lichen Beweisglieder fortlâBt. Auch die allgemeine Formulierungdes Satzes streicht er regelmaBig, ebenso das Vorwort von lieund die Definitionen (s. oben).

Aber selbst dort, wo er sachlich keine Eiirzungen vorninunt,vereinfacht er den Ausdruck. Ein kennzeichnendes Beispiel dafiirist die Behandlung des Ausdrucks fur ,,gleichK.

Bei blj (in N iiberliefert) kommen dafiir folgende Ausdriickevor: imtsâwin (sehr hà'ufig), mitlu (weniger h.), Jca (selten, fast nurin Verbindung mit nisba „ Verhâltnis ") und mu'sdil (sehr selten).

Bei H und T (stârker bei T) gewinnt mitlu gegeniiber muscnoindie IJbermacht, auch wird ïca hâufiger, mu'âclil kommt nichtmehr vor.

Ganz deutlich aber tritt dièses Streben nach dem kiirzestenAusdruck bei S hervor. ÎSTach meinen Zâhlungen tritt Jca 378 malauf, mitfa 348 mal und musâwin 21 mal.

Dabei kommt Jca ausschlieBlich (100%) bei nisba nVerhâltnis"vor, iiberwiegend bei diV nSeite'c (88%), qffiâa B&rundlinie" (68%)und s&wja ^Winkel" (68%), wâhrend nw$u bei gtms MBogen" iiber-wiegt (97%).

Das ist nur ein Beispiel, weitere wurden sich finden lassen,wenn man systématisât den Ausdruck bei N, H, T und S unter-suchte.

In die Grruppe der von S vorgenommenen Kiirzungen gehortauch, daB S folgende Sâtze (gezâhlt nach lie) fortgelassen hat:

I20d, 26b (dafur jedoch S I28b eingefûgt!), Hlb,c, 5d;1115,11—14, 15 c tmd d.

Dafiir fïïgfc S folgende Sâtze und Pramissen ein: (S) I2b, c,28 b, II Prâmisse, II5 c, 6, 10, 13, 15; Pramissen zn III, Prâmissezu III8, Prâmisse zu III9.

80 Max K r a u s e

In die folgende Zusammenstellung sind aufgenommeii die yon îî abweichenûenBeweise in S, soweit sis nicht sohon in ï berucksîchtigt sind, soma samtlidieeigenen Zusiitze von S, Gezâlilt wird naoh den Sâtzen in S.

fficht aufgsnommen sind kleinere Abweichungen, wia das Fortlasseu ein-zelner Beweisglieder, und die von S vorgenommeuan'Umstollungen mekrersr Sâtze,die sich nach I § 2 leiclit feststellen lassan.

1m ûbrigen gilt fur die Wiedergabe der einzelneu Beweise, iras ich soliontei Ma gesagt habe.

11) Nachdem <£BAG = <C!DEZ konstruiert ist, beweist erfolgendermaBen, daB beide einander gleioh sind : nWir ziehen tonE u. A aïs Pôle die beiden GroBkreise HT, JE. Da die Bogen BG,JK einander âhnlick sind, und die Bogen DZ, HT einander âhnlichsind, sowie BG = DZ, so JK = HT. Aber JK ist das MaB desWinkels A und HT das MaB von ^E. Also <CA = ^E.Q. e. d.«.

12) Er beweist nicht nnr, daB (a) AG = DZ, sondern auch,daB (b) ^CG = -^CZ, und weist daraufhin, dafi sich ebenso zeigenlafit, dafi (c) -£A = £1D.

112) Er fiigt den aliter-Beweis hinzu, der sich schon bei T112 Komm. findet.

114) (a) und (b) wie bei T, H, H, D. / (c) wenn ^A, DgrbBer oder kleiner aïs 90° sind. Beweis : nSei H Pol von ABund T Pol von DE, wir ziehen die GroBkreisbogen HA, HG, HB,TD, TZ, TE. Da ^HBA = 90° und -^TDE = 90° und •£ A= <£D, so ist <£GAH = -£ZDT, GA = ZD und AH = DT.Also HG = TZ und^CHGA = -^TZD. ^AGB ist = -^DZE,bleibt <£HGB = ^TZE. Da HG, HB = ZT, TE und -£HBG+ TEZ ungleioh'180°, so ist-^CHBG =-^TEZ. Es bleibt-^C GBA= ^CZED und BG = EZ. Also AG, GB = DZ, ZE und -£&= ^CZ, folglich AB = DEK.

127) DenEall, dafi ^CA, <£BDE und EZG stumpf sind, be-weist S so. BWir ziehen den Grofikreisbogen DZ. So ist DE groBeraïs AZ und DZ groBer aïs BE. Dann trennen wir AH = DE abund zeichnen den GroBkreisbogen DH. Wenn wir ntin den andernGrofikreis DT, der durch D und den Pol des Ereises AG geht,zeichnen, fâllt er aufierhalb von <CA, da er grôfier aïs 90° ist.Wir verlângern GA, bis er ihn in T trifft. Dann ist DT kleineraïs DA, der kleiner aïs 90 ° ist. Also ist seine Sehne die klirzesteLinie von D nach der Peripherie von TG und die lângste ist dieSehne der -Erganzung jenes Bogens zu 180°. Also ist Bogen HDgroBer aïs Bogen DZ. Also BD, DE = DA, AH und DH groBeraïs BD. Eolglich ist £;A groBer aïs ^CBDE. Ebenso lafit siohzeigen, claB ^A groBer aïs -^EZG. Q. e. d.".

Zur Textgeschichte der Spharik. 81

128) Me 126 b f. in S, dafiir beweist er (nach T, vgl. 1 § 8,zu T 129 Komm.) folgende TJmkehrung (J28b) dièses Satzes:BWenn BG ungleich BA und BD = 90°, so behaupte ich, daBBD den -^CB und AG halbiert. Beweis : Wir verfahren genauso. Da AB = G-E, BD = DE, £;BAG = ^CEGD, die beidenWinkel bei D aïs Scheitelwinkel einander gleich sind und B, Enicht Pôle des Kreises AG sind, so ist GD = DA und <)CE(= 3CGBD) = ^CDBA. Q. e. d.«. / Das ist der Fall, den Bj(S. 30/31) verniiBt und den Maurolycos (IS6) zu seiner Ausgabehinzugefûgt hat.

H. Buch. Pramisse.) MZwei GroBkreise, die denselben Parallel-kreis beriihren, haben gegen den grbBten Parallelkreis die gleieheITeigung". Sei AB einer der Parallelkreise, GD der groBte Pa-rallelkreis, und mogen die GroBkreise BEG, DEA gezeichnet werden,dieABinA, B berithren. (a) Beh.: ^BGD = 9CADG. Beweis:Z sei der Pol der Parallelkreise und wir ziehen die GroBkreiseZAH, ZBT. Dann ist ZH = 90° and ZT = 90°, ZA aber ist= ZB. Bleibt HA = BT. Aber AH miBt den £;ADG imd BTmifit den Winkel BGD. Also ist ^CBD& = ^ADG. -Also habendie beiden Kreise AD, BG gegen den Kreis GD die gleiehe Nei-gting. Dies war fiir den Fall, daB die Beriihrung in verschiedenenRichtungen (geschieht).

(b) GroBkreis JE beriihrt AB in K in Eichtung A. Beh.:^CKJL = 3CAD&. Beweis: Wir ziehen den GroBkreis ZKL,so ist er = 90 °. KZ = ZA. Also bleibt EL = AH. Folglich•£KJL = ADG.

Ebenso ware, wenn wir JE (so) ziehen wtirden, daB er ABin Eichtung B beriihrt, ^CKJL = ^B&D. Q. e. d.".

JJ1) Punkt D liège auf BG. Wir wollen einen GroJ3kreiszeiohnen, der mit AG einen Winkel = -^BAG einschlieBt.

(a) Ist ^CA = 90°, so ziehen wir GroBkreis ED, der dnrchden Pol von AG geht. Dann ist <£DEG = ^A == ^C900.

(b) Ist -^CA ungleich 90°, also AB gegen AG geneigt ist, soberiihrt er einen der zn AG parallelen Kreise. So ziehen wirden GroBkreis DE, der diesen Kreis in àerselben Eichtung be-riihrt, in der ihn AB beriihrt. Dann folgt (ans der Pramisse), daB<£DEG = < B A .. .. .

Und wenn der Beriihrnngspunkt in zwei verschiedenen Eich-tungen (liegt), so ist ^CDEA = -^A, Wenn wir wollen, daB•^CDEG — ^C!&, so ziehen wir DE so, daB er den Kreis, den.GB,der zu AG parallel ist, beriihrt, in der entgegengesetzten Eich-tung berûhre. So ist ^DEG = £;&.

Abhandlungen d. Oes, d. 'Wlss. zu Gôtiingen. PM.-Hîst. Kl. 3. Folgd, Nr. 17. 6(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

82 Max K r a u s e

"Wenn D anf einer der beiden Seiten BA, AG oder im Innerndes Dreiecks (liegt), lâBt sich ébenso zeigen, daB -^ DEG entweder= -£A oder = -£&.

Absclanitt. Ans dem von uns G-esagten erhellt, daB(a) wenn D auf AGr oder innerhalb des Dreiecks liegt nnd

wir DE so ziehen, daB er den Kreis, den AB, der zu AGr parallelist, beriihrt, in derselben Ricktung beruhrt,

dann dieser Bogen BG zwischen B und G schneidet, und daB(b) wenn der Beriihrnngspunkt in zwei verschiedenen Bichtungenliegt, er dann Bogen AB zwischen A und B schneidet, und daB(c) wenn dieser Bogen so gezogen wird, daB er den Kreis,den BGr, der zu AGr parallel ist, berûhrt, in derselben Richtungberiikrt,

dann dieser Bogen AB zwischen A und B beriihrt, und daB(d) wenn der Beriihrungspunkt in zwei verschiedenen Richtnngenliegt,

dann dieser Bogen BGr zwischen B und Gr beriihrt. Q, e. d,Abschnitt und Hinweis! Stets, wenn wir sagen: ,,"Wïr ziehen

von einem bekannten Punkte ans irgend einen Bogen, der mit derGrundlinie einen "Winkel einschlieBt, der einem bekannten Winkelgleich ist" oder: ,,wir konstruieren einen Winkel,. der gleich isteinem bekannten Winkel", so meinen wir damit den Bogen, dervon jenem Punkte ausgehend denjenigen zur Grundlinie parallelenKreis beriihrt, den der Kreis beruhrt, der mit der Grundlinie denbekannten Winkel einschlieBt. Wenn man nun will, daB der Innen-winkel gleich dem AuBenwinkel sei, setzt man die Berûhrnngs-pmikte in dieselbe Piichtung, nnd wenn man will, daB die beidenWinkel an der Grundlinie einander gleich seien, setzt man diebeiden Bernhrungspunkte in zwei verschiedene Richtungen (nachder Pramisse),"

II3) Beweis wie T, H, N, D / am Schlufi + ,,und in Egur H:AB + ZK =-2DH und in Kgur TU: AB = 2DE/"

H5) (b) Beh.: AB ist kleiner aïs DH+1T (nicht bewiesen),(c) (wenn AGr in D halbiert, so) AB kleiner aïs 2 DH (ist

entnommen aus T 118 Komrn.).116) Hier fiihrt S aus, was bei N und T im Komm. (zn T H 8)

angedeutet wird.(a) DH, ET, ZK nach AB ziehen, so ist BH kleiner aïs

TK und BG + KZ kleiner aïs HD + TE.(b) GrD, DE von AGf abtrennen, DH, ET nach AB ziehen,

so ist BG kleiner aïs HD + ET.

Zur Textgeschichte der SphSrîlr. 83

(c) D halbiert AG-; DH nach AB zieken, dann ist BGkleiner aïs 2 DH. / Davon beweist er (a) folgendermaBen :GfL = AE, wir rnachen GLrT = ^A. So ist klar, claB GS~= ET und NL = TA. und DM = ZK, ML = KA, so bleibtJSTM (= TK) grbBer aïs BH. Da HM groBer aïs BîsT ist, so istHD + TE grbBer aïs GB+ZK. Q. e. d.K.

117) in AnschluB daran zeigt S, daB, wenn BD + EG-grbBeraïs BG ist, dann AH groBer aïs TG ist. Beweis: Da BD = EG,so BE = DG, Eolglich ist AT groBer aïs HG, also AH groBeraïs TG, wie groJ3 auch immer ^CA sei.

IE10) fehlt sonst nberall. nWir lassen die Kgur zuriiokkehren.Beh,: AB ist kleiner aïs 2 DH. Beweis: Wir verlângern HDbis 0 und machen HJSF = AB und ziehen den GroBkreis GN, soist er = BL, BH ist grb'Ber aïs BL, cla -)CA nicht kleiner aïs90 ° ist. Also ist BH groBer aïs GH. So ziehen wir GO = BH.Dann ist klar, daB OD = DH, da BD = DG und die beidenWinkel bei D aïs Scheitelwinkel einander gleich sind. Also istOH (= 2 DH) grofier aïs NE (= AB). Q. e. cl".

II13) fehlt sonst itberall. ,,Es sei AB = DH + ZK. So be-laupte ich, daB AH grofier aïs GK und BD groBer aïs ZG ist.Beweis : Wir konstruieren ^AHN" = ^CG, und da HD groBeraïs m ist, machen wir BS = DH, so bleibt SA = ZK. Wirziehen SO so, .daB <SOA •= <CG. So ist klar, claB AO = GK.Also ist ÂH grb^er aïs GK.

Ulé) S fûgt ein KoroUar hinzu, daB T II16b entspricht.II15) fehlt aonst ûberall. ;,In dem Dreieck ABG sei BG nicht

groBer aïs 90°, BG groBer aïs BA und^TB nicht groBer aïs 90°.Ton BA werden BD = EZ abgetrennt nnd die GroBkreisbogenDH, ET, ZK so gezogen, daB £TDHA = <£ETA = ZKA = C G,Beh.: HG groBer aïs TK. Beweis: Wir machen HL = KAund <£ GLF = < A. Also ist klar, daB HM = ZK und DM = AZ.Da BM groBer aïs BD (= EZ) ist, wir SM = BD abtrennen andden GroBkreis SO so ziehen, daB -^SOA = <)CG, so ist SL = EAund OL = TA, also bleibt HO = TK. EolgHch ist GH groBeraïs TK. Q. e. d.«.

H20) S Jiat noch folgendes KoroUar, flBeh.: AB + ZK sindgroBer aïs DH + ET. Beweis: BO ist kleiner aïs 90° und groBeraïs BG, 3COBG ist nicht groBer aïs 90° und BD = EZ, alsomuB (nach dem Vorhergehenden) seinBO + ZJ groBer aïs DP+EQ."Aber BO = BA und ébenso sind die iibrigen Bogen gleich ihrenGegenstiicken. Daher AB + ZK groBer aïs DH + ET. Q. e. d.K.

6*

84 M a x K r a u s e

HI. Buch. Prâmissen) Am Anfang des BucL.es teilt S vierPramissen (nach Ptolemâos) mit, von denen drei mit solchen bei Nidentisch sind. S 1 = N 1, S 3 = N 2, S 4 = ri 3. Die zweitegeht von derselben Figur wie die erste ans. Beh.: (AE zu EB)= (AZ zu ZD) (DG zu GKB). Beweis : Wir ziehen BH parallelzu EG-, verlangern AD bis zum Schnittpunkt in. H. Daim istDreieck BDH dem Dreieck GDZ ahnlich. Also (DZ zu DH) =(GD zu DB) und dann (ZD zu ZH) = (GD zu GB). Da EZ zuBH parallel ist, ist (AE zu EB) = (AZ zu ZH). Aber (AZ zuZH) = (AZ zu ZD) (ZD zu ZH) und (ZD zu ZH) = (GD zu GB).Also ist (AE zu EB) = (AZ zu ZD) (GD za GB). Q. e. d.«.

III1) Am SohluB findet sich ein Hitrweis auf seine Abhand-., -'

lung ntJber das, • was au zusammengesetzteu Yerhaltnisseu von demTransversalensatz abzweigt und iiber die Art der Ermittlung desUnbekannten aus dem Bekannten, gleichgiiltig, ob es eine oderzwei Grb'fîen seien, ob sie aufeinauder fo]gen oder nicht."

ni, Pramisse zu 8) Es sei (A zu B) = (G zu D) uud (A zuE) = (Z zu H). Beh.: (A2 zu BE) = (GZ zu DH). Beweis :(A2 zu BE) = (A zu B) (A zu E). Aber (A zu B) = (G zu D)und (A zu E) = (Z zu H). Also (A2 zu BE) = (G zu D) (Z zuH). Aber (G zu D) (Z zu H) = (GZ zu DH). Also ist (A2 zu BE)= (GZ zu DH). Q. e. d.«.

Pramisse zu III9) nGegeben sei Kreis ÀBGD mit dem Durch-messer AD und dem Mittelpunkt E, Man trennt AB = GD ab,zieht BE, GE und bezeichnet (auf AB, GD) die beiden Punkte Z,H und es ist (sinAZ zu sinZB) = (sinDH zu sinHG). Beh.:AZ = DH und ZB = HG. Beweis: Wir ziehen die SeukrechtenZT, ZJ, HK, HL, welches bekanntlich die Sinus dieser Bogen sind,und ziehen die Graden EZ, EH, TJ, KL. Da AB = GD ist, soist £1AEB = ^CGED. Jêder der Winkel bei T, J, K, L ist einRéciter. So ist <£TZJ = <KHL und (TZ zu ZJ) = (KH zuHL). Also ist das Dreieck TZJ dem Dreieck KHL ahnlich. Esbleibt das Dreieck ETJ dem Dreieck EKL ahnlich. Also ist ETZJahnlich EKHL. Sie sind beide in gleich viel âhnliche Dreieckezerlegt. Also ist Dreieck ZET dem Dreieck HEK ahnlich. JMglichist 3CAEZ = 3CHED. Also ist AZ = DH und ZB = GH.

Q. e. d.".III14) Am SchluB folgender Zusatz : nDies vorausgesetzt, sei

B dex Pol der Kreise DJ, KL, EN. So ist GJ = (BD-BG),ML = (BK-BM) und HN = (BE-BH). Beh.: ML ist groBeraïs GJ und aïs NH. Beweis: MG ist groBer aïs KD, aber

LJ. Also ist MG grofîer aïs LJ, Mglich ML groBer aïs

Zur Textgeschiclite der Spliarik, 85

GJ. Ebenfalls ! Da HM kleiner aïs EK ist, das = NL ist, wirdHN kleiner aïs ML. Durch diesen Beweis lâBt sich zeigen, daBML groBer ist aïs irgend ein Hnterschied zwischen zwei Bogen,die auf dièse Weise in dieser Ifigur genommen werden. Q. e. d.K./ Darauf folgt in Sb dieser SchluBpassus : nSo setzen wir es aïsSchluB des Bûches. Gott leitet zum "VTahreu! YerfaBt (d. h. ge-schrieben) am Mittwoch im letzten Drittel des (Monats) G-umâdâ Ides Jahres 915 h". / Es kann sich nur um den 27. ô-umâdâ 915 h= 12. IX. 1509 d handeln.

§ 10. Zusammenfassung1.Menelaos' Spharik gehôrt mit zu den griechischen "Werken,

die schon frtih ins Arabische ubertragen wurden.Die âlteste Ûbersetzung — wahrscheinlich aus dem Syrischen-—•

wird der ersten IJbersetzergeneration zuzuschreiben sein und istvielleicht schon um 200 h/815—-16 d entstanden. Sie riihrte wohlvon keinem guten TJbersetzer her, der vielleicht auch auf eineschlechte Yorlage angewiesen war; wenigstens war der Text sofiir die islamischen Mathematiker auBerst schwer verstandlich.

Auf Bitten mehrerer Eachkollegen ûbernahm es daher derBagdader Astronom al-Mâhîinï um 250h/864 d, eine verbesserteAusgabe herzustellen, die aber unvollendet blieb und wohl in dieser3?orm kursierte.

"Wahrscheinlich auf Grund neuer besserer Handschriften konnteIshâq b. Hunain, dem wir die tlbertragungen vieler mathemati-scher "Werke verdanken, nach al-Mâhânï's Tode die Schrift vonneuem iibersetzen.

"Wenn man einer vereinzelten îsTachricht trauen darf, entstand' um dièse Zeit (250—300/864—913) auch eine Ûbertragung vonAbu cUtmân ad-Dimigqï, die spâter (300—350/912—962) von Jïi-hannà b. Jûsuf verbessert wurde. Zu dieser "Verbesserung hâtteNa?ïf b. Junm Glossen hinzugefiigt.

Die Arbeit al-Mâhânî's nahm etwa ein Jahrhundert nach ihmein auderer persischer Astronom, Abû-1-Eadl al-Harawï, wiederauf, ohne jedoch die TJbersetzung Ishâq's zu kennen. So bliebenauoh ihm, dem sonst noch die alte IJbersetzung und anBerdemvielleicht die Verbesserung Jûhanna's zur Verfugong standen, ver-schiedene Stellen des Textes unklar.

Ein unbekannter Mathematiker (D) stellte um dieselbe ZeitmitHilfe einer unvollstândigen Handsehrift der TJbersetzung Ishâq's

86 Max K r a u s e

und der Yerbesserung al-Mahânî's eine Ausgabe zusainmen, derenarabisclier Text verloren gegarigen, von der uns aber eine latei-nische (Gerhard von Cremona) und eine hebrîiische (Jakob benMakhir) Ûbersetzung erhalten sind.

Etwas spater (398/1007—8) vollendete der Eûrst Abu NasrMansBr b. =Iràq die weitaus beste arabische 'kommentierte Aus-gabe, die fur uns einen besonderen "Wert besitzt, da sie durch ihreTreue dem Wortlaut ihrer Yorlage gegeniiber eine Handschriftder nicht .erhaltenen Ishâq-Ubersetzung ersetzt.

Aïs kritische Ausgabe kann man mit einigem Recht die an-sprechen, die im J. 663/1235 rTasîr ad-Din at-Tïïsl im Rahmen

einer ïfeuausgabe der gesamtenmittleren Bûcher Yeranstalteteund die allé ihre Yorgângerinnenverdrangt hat. Er zog dafurallé ihm zuganglichenAusgabenzu Hâte, Yerdankt jedooh dasmeiste der des Abu Naçr, Yielmehr aïs er selbst zugibt.

Weit geringeren Wert hatI T u*-u Q . o

die letzte arabische Ausgabe,die YOU einem jûngeren Mit-arbeiter Nasïr ad-Dîn's, Muhjï-d-Dîn al-Magribï, stammt.

Sehen wir YOH zweifelhaftenïTachriehten ab, so lâfit sichdie Ùberlief erungsgeschichte un-seres Textes etwa (unberiick-

( -rermutete. bewiesene Beziehung) . , , . , ,, ., , • j. -rnv ' sichtigt bleibe hier die JJragenaoh den griechischen, bzw. syrischen Yorlagen) in nebenstehendem

Stemina darstellen.

Beilage 1. a) Me 16 bei G.

Omnis trianguli ex arcubus circulorum magnorum super super-ficiem spere omnes duo arcus ex arcubus continentibus ipsum qui-cunque arous sint aggregati sunt maius arcu reliquo.

Yerbi gratia sit triangulus dbg super superficiem spere. Dicoergo, quod omnes duo arcus ex arcubus ab, lg, ya aggregati sunt

maius arcu reliquo.Cuius hec est demonstratio. Sit arcus Ig maior arcuum. Et

signabo super polum & et cum spatio la circulnm ade. Et producam

Zur TextgescMclite der Sphàrik, 87

arcum Mgh secantem circulum supra e. Et quoniam punctum gnon est super polum circuli alterum, tune sit polus circuli alterpunctum li. Et propterea quod erecta est super diametrum circuliade productam ex cZ portio dhe, et arcas dh est equalis arcui oh,tune arcus dg est minor arcu ge; ergo linea egrediens ex g ad dest breuior linearurn productarum ex g ad circumferentiam circuliade. Ergo linea egrediens ex g ad a est longior linea producta exg ad d. Ergo arcus ag est maior arcu gd, et arcus ab est equalisarcui 6cZ; ergo duo arcus 6a, ag sunt maiores duobus arcubus bd,dg. Ergo omnes duo arous ex arcubus continentibus triangulumalg coniuncti sunt maius arcu reliquo.

Beilage 1. b) Me 15 bei J.

fnïï THi nw *?y tyV^a Va Bei jedem Dreieck auf der Ober-?bfi <mn»pria> Jiin^p Tiu? Sache einer Kugel sind je zwei Bogen

» niwp 'nw nr 'S la <Yon denBogen>, die es einschlieBenniypna (n)l"?na ini» — welche zwei Bogen auch immer

es seien —• zusammen groBer aïsder iibrige Bogen.

no» Vï latt v> Wa '5 HT paT Sein Beispiel ist, daB es das Drei-eck ABG auf der Oberflâche einerKugel gebe.

Und ich behaupte, daB je zweipaïuaaaN; Bogen Yon den Bogen AB, BG, GA

3,T zus.ammen groBer aïs der iibrigeBogen sind.

i ïâ îT>rw nia fiQian Der Beweis dazu ist, daB BGpniaai^atnp V» cmmai Onin^p groBer1) aïs zwei Bogen1) ist. UndK'Ml. ms nto X'ffl nVus? >n wir zeichnen um2) den Pol B und•1 H Vï n^wsn (5ntwa (*.vn nu>p mit flem Abstande BA einen Kreis,

welcher Kreis ADE ist und Yer-langern8) Bogen BDG'1) in6) derEbene des Kreises6) in2) E, D.

aoip a fnipj '3 »aea nan Dann ist, da Punkt B der Poll 'Stia riJBi? W rnyp! mx ^es Ereises ADE ist und Bogen

1) Sollte lieiBen nder grSBte der Bogen"2) WBrtHch ,,auf" (^v).3) WiSrtiich. ,,wir lassen herausgehen".4) Es. ^a »BAG". '5) Riolitig ist nso dafl er sclmeide den Kreis" (entstauden im Arabisohen, wurde zu a^a.^j.3, dann zu ti*v ^!).

Max K r a u s e

atnpnh^n» IBIJ? Vï iaym wpiTîinjwih T ja

mn (2nn (2twpa mt>p n wpi ïïntpïpnajtïp T" VN 3 ]»_Ksyii ipnp d« rns n'ms? fppa s p û'swnKÏVÏI ipna Vin «""?« A p xsï'n ipn

ruypjp DS T _ V K .1 pnw_ ax wpi TL wpa

m1?™ ini' JN; sa >wp >w p UNVa p du rr 12 mwp 'in? p

im» rnsaipa «snwpna

.J.LJI

JBG- kleiner aïs ein Halbkreis ist,Punkt Gr nicht auf dem andern1)Pol des Kreises, und es ist der an-dere Pol Pùnkt H. Da schon (senk-recht) steht auf dem Durchmesserdes Kreises ADE, der von D aus-geht, das Stûck DGE, Bogen DEgleict Bogen EH ist und Bogen DG-kleiner2) aïs Bogen EH ist2), so istdie Linie, die von Gr nach D geht,kiirzer aïs die Linien"), die von G-nach der Peripherie des Kreises ADEgehen. Also ist die Linie, die vonG- nach A geht, grb'Ber aïs die Linie,die von G- nach D geht. Also istBogen G-A grb'Ber aïs Bogen GKD.Bogen AB ist gleich Bogen BD.Also sind die beiden Bogen BA,AG groBer aïs die beiden BogenBD, DGr. Also sind je zwei Bogen<von den Bogen>, die das DreieckABG- einschlieGen, zusammen grb'Beraïs der ûbrige Bogen. Und jenesist, was wir erklâren wollen!

Beilage 1. c) Me 15 bei H.i "v Je zwei Seiten eines Dreiecks,

yv-xLto JS . 'welche heiden Beiten (auch immer)

^àc! U^s lîtf es ggin (mogen), sind stets groBeraïs die iibrige.

Sein Beispiel ist das DreieckABG-..

Ich beliailPte» da6 .1e z^ei Seiten, von semen Seiten stets groBer aïs

' die iibrigen sind.So sei Seite BQ- die groBte der

„ ,, _„.. . , .. _ TSeiten. wir zeichnen tun den Pol

dem Abstande BA den

-cr

..^l-r "

1) Hs. n^tiXil n^em Pol des anderen Kreises".2) Am Rande.S) Sollte lieiBen ,,die kûrzeste der Linien" (vgl. Anna. 1 von S. 87).4) Hs. VHJ>.

Zur Textgeschiohte der Spliârik. QQ

^ Kreis ADE und verlângern den1

... ....o vAs

c (Ji

il

in E trifft.Da B der Pol des Kreises ADE.

ist und BGr Jderner aïs ein Halb-kreis ist, so ist Punkt Q- nicht auf^em andern Pol. So sei der andereJP°1 Pnnkt H. Da fsenkrecht) steht

p T -T-, , 1, T i\- •aux demDurcnmesser1) des -"-J J5a'eisesADE, der von D gezogen ist, dasStûck DGrJE. Bogen DH dem Bogen' o oEH gleich ist und Bogen D G kleineraïs Bogen &E, so ist die (gerade)Linie, die von G- nach D geht, diekiirzeste der Cgeraden) Linien, die

„ , v° T. • T, • nvon G- nach der Peripherie -desKreises ADE gezogen werden. Alsoist aie (gerade) Linie, die von Gnach A geht, langer aïs die (gerade)

jn_) LPJ.SJï>

JS

r

'-•cr

_

uji ist Bogen AG- groBer aïs Bogeu— r &D. Bogen AB ist gleich Bogen=»| & & 6

' BD. Also smd die beiden Bogen^g, AG- groBer aïs die beiden BogenBD, DG. Eolglich sind je zwei

- Seiten. von den Seiten des Dreiecks) AB& zusammen stets gro^er aïs die

iibrige Seite. Und jenes ist, waswir erklâren wollten!

Beilage 1. d) Me 15 bei T, •.

^& Summe zweier Seiten jedesDreiecks ist graBer aïs die dritteTon ihnen.

Das Dreieck sei ABG- und diegroBte seiner Seiten BŒ

Wir zeichnen tun den Pol B und. -, -n , n T7. .mit dem Abstande BA den Ea'eis

ADE und verlângern BG, bis daBei1 den Ereis in E trifft.

If Uxù f- •*?& CT~-

1) îfach D ergiinzt.

90

bLs tiyloJ! v_i.«ij

,c KxL'â "^^ J--*1

,~ K»jlS a à yv-J

Max Krause

Da B der Pol des Kreises ADE„ , ist und BG kleiner aïs ein Halb-'^ kreis ist, so ist G nicht der andere.« Pol. Der andere Pol sei H.

-cy^"'s HD ist gleich HE und DG kleiner

°2_f aïs GHE, so ist DG mit GGE ein> »£=- tr gtlick auf dem Durchmesser, derU( .kail zwischen D und E gezogen ist, das—- _ „ auf dem Kreise ADE (senkreoht)

' J steht und DG ist der kleinere ihrerbeiden Teile1).

•iUô W>?i Deshalb ist die Sehne von GDdie kiirzeste (gerade) Linie, die von

o-1 gj^1- -k^ G nach der Peripherie des Kreises^ .«lï'îj^à toi ADE gezogen wird. Also ist sie

fctirzer aïs die Sehne von GA.• • kJ 13 ^S0 Q^- gr°^er a^s &D. &B

' ist gleioh .BD. Also ist die SummeV1 =H &+3* von AG und AB grbfier aïs BG.

.îtojl U Und jenes ist, was wir -wollten!

t Jiï T XJaaJ

Beilage 1. e) Me 16 bei S.• Es gebe das Dreieck ABG,

So behaupte ich, daB je zwei Seitenvon ihm stets langer aïs die dritte

O"1 sind.Und wenn sie. ungleich sind, so

. - sei AG die groBte von ihnen. Soist sie mit jeder einzelnen der beidenSeiten grôfier aïs die ubrige.

Und ich behaupte ebenfalls, daBdie beiden Bogen AB, BG grb'Beraïs Bogen AG sind.

Sein Beweis ist, daB wir PunktA aïs einen Pol des Kreises BD•wâhlen. Dann ist Bogen AB gleich

El

1) Sa L^L{w3 ..ilirar Teilung".

Ziir TextgescBichte der Spliârik. 91

^Ki'si L9> _.ï

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.«.Eu:!

Bogen AD. So steht (senkrecht)auf dem Durchmesser des KreisesBD der Bogen GD und er ist kleineraïs die Halfte des Stiickes. Also

^. ist die (gerade) Linie, die ihm gegen-iiber liegt, die kiirzeste sâmtlicker(geraden) Linien, die von Punkt Gnach der Peripherie des Kreises BDgezogen "werden. Also ist BogenBG grb'Ber aïs Bogen GD. Alsosind die beiden Bogen AB, BGgrbfier aïs Bogen AG. Und das istdas Gewiinschte !

Beilage 2. a) ffle III4 bei G.Cum fuerint due figure trilatere, et fuerint duo anguli ipsarum,

qui sunt super basim equales, scilicet omnis angulus suo xelatino,et non fuerit angulus earum rectus, Et protrahentur due perpen-diculares duarum figurarum ex duobus punctis duorura capitumipsarum, tune nadir1) arctium qui separantur ex duabus basibuserunt proportionales.

Sint ergo due figure trilatere, super quas siat abg, âeg, et sitangulus, qui est apud punctum a, equalis angulo, qui est apudpunctum à, et angulus, qui est apud punctum g equalis angulo,qui est apud punctum #, et non sit aliquis horum angulorum rectus,et protraham ex duobus punctis b, e duas perpendiculares superduas bases ag, de, que sint Wi, et, Diço ergo, quod proportio nadirarcus ah ad nadir arcus gli est sicut proportio nadir arcus dt adnadir arcus te.

Quod sic demonstratur. Ponam duos polos duorum arcuum ag,cls duo puncta Je, l. Et quoniam duo anguli, qui sunt apud duopuncta 11, t sunt recti, et duo anguli, qui sunt apud duo puncta/2) g, e sunt equales et non reoti, tune erit proportio nadir arcusgJi ad nadir arcus et composita ex proportione nadir arcus bh adnadir arcus et et ex proportione nadir arcus el ad nadir arcus l)Je,et erit propter illud proportio nadir arcus ah ad nadir arcus dtsicut proportio nadir arcus gh ad nadir arcus st. Et cura permu-tauerimus, etiam erunt proportionales. Et illud est, quod demon-strare uoluimus.

1) ,,Naûir arcus- ^vird (fi III2) so definiert: ,,Et non signifiée, cuni diconadir arcus, nisi lineam rectam, quo subtenditur duplo eins".

2) Hier ist ein groJîer Teil ansgefallen, Ygl. J und îT!

92 Max K r a u s e

Beilage 2.maian >nw vndiTmiiï iMi msVx

nanV rpiï "?s nw ("munnnnasa t>na m» n>nn xVinmpaa niaiann 1>iw ma»' "TON nwpn

mVsa rrnian (° w iw nanrnï ïâx an'1?!?

n'ii1? mtz> xmipaj'sx wxVsx iit>x mtm T rnipa "?t mipa ^ss ~wx Ji'irV i mipa

'irnjVsa nnx psi_ n a_nmpa•on na (10dm n jx

nx nifp mnaa _orwntt>j? ninsa onjp ni iwp

•m nu>f

b) Me HI4 bei J.Wenn es zwei dreiseitige Mguren

gibt und ihre "Wmbel, die an2) derGrundlinie8) sind, — jeder Winkeldem ihm entsprechenden •—• gleich.sind und nicht ein Winkel von ihnenein Rechter ist und gezogen werdendie Senkrecliten der beiden Mgurenvon Punkten ihrer beiden Spitzen,so sind die Gegenstiicke 4) der Bogen,die abtrennen5) von der Grrundlinie,zu einander proportional.

So gebe es zwei0) dreiseitige ïi-guren, auf denen ABG, DEZ sind,und es ist7) der8) Winkels), der beiPunkt A ist, gleich dem Winkel,der bei Punkt D ist, und der Winkel,der bei Punkt & ist, dem Winkel,der bei Punkt Z ist, uni nicht isteiner von diesen Winkeln ein9)Rechter9) und \vir zieten von denbeiden Punkten B, E zwei Senk-rechte auf die beiden GrundlinienAG, DZ und10) sie sind BH, ET.

TJnd.icb behaupte, daB das Ver-haltnis des Gegenstiicks des BogensAH zu dem Gegenstiick des BogensGH gleicb dem Verhâltnis des Gegen-stlicks des Bogens DT zu dem G-egen-stiick des Bogens TZ ist.

2) W8rtlicli.,,auf" fry = ^).

3) Kj., Hs. naU>Wrii °^er !• ma^lfin >i^'e Grundlmien" ?4) Dièses ,,GegenstUck des Bogens" wird JIII4 (fol. 36 a 26) folgendermafieu

nVûsV iri'a nw ws "i^'n ij?ii HB>|?n musa 'lato 'mi QJaxi..Wenn icli sage 'Gegenstiick des Bogens', so meine ich. die gerade Linie, die zuseinem Doppelten die Selme liildet".

5) L.

G) F.Y) Hs.

,.abgetrennt werden"?

,,und es siud".S) ïll'ltn ..aie9) Hs. ,,Bechte".

10) i ,,uud" fehlt in der Hs.

nan n

Zur TextgescMchte der Sphiirik.

Der Beweis jenes ist, dafi wir

93ncia

an x T

iain»on5 ÏT/T n

_na

j v-ii^o io u, uac wir.aïs die beiden Pôle der beiden Bogen

_ _ AG, DZ die beiden Punkte K, Lfiiasa D n setzen. So ist, da die Winkel, die

bei den beiden Punkten H, T sind,Hechte sind und die Winkel, die beiden beiden Punkten D, A sind, (ein-

.. .„ ,,_ ,ivy J I H I J J orpa ander) gleich sind und die beiden(25n iwprnnaa on^ai on Pôle1) K, L die beiden Pôle der

•âà~ iwp Bogen AG-, DZ sind, das Verhâltnisdes Gegenstiicks des Bogens AH zudem Gegenstiick des Bogens DTzusammengesetzt aus dem Verhâltnisdes Gegenstiicks des Bogens BH zudem Gegenstiick des Bogens ET undaus dem Verhâltnis des Gegenstiicksdes Bogens EL2) zu dem Gegen-stiick des Bogens BK.

W ^SX •WXfwiîn nan p Wl Und auch so8)! Die4) Winkel,Vsx 1tt>x Wirni rima » fi JTnipa die bei den Punkten H, T sind, sind•niasa oa>xi niw r J nmpa 'niy Eechte und die Winkel, die bei den

beiden Punkten G-, Z sind, sind(einander) gleich und sind nichtHechte.

So ist das Verhâltnis des G-egen-stiicks des Bogens GH°) zu dem

._. ... .,~r J i i i u j /« na nE'p Gegenstiick des Bogens ZT zu-aa n»p mnaa ^x ^n nwjp mnaa sammengesetzt ans dem Verhâltnis^t m niyp ^inaa on' nr^ n'n5! des Gegenstiicks des Bogens BH zu"" ' ninaa on*a OT niyp mnaa dem G-egenstiick des Bogens ET

•Df JWp ninaa ^X tmd ans dem Verhâltnis des-Gegen-stiicks des Bogens EL zu dem G-egen-stiick des Bogens BK und es istdeshalb das Verhâltnis des G-egen-stûcks des Bogens AH zu dem Gegen-

die beïden

sn.i ntfp ninsa on5 n'n41 nana on'» lain» or

orpai on nw h i n 3 a x na

2) Hs. ÇS «AL».

8) P W ,,auch so- gibt das arabisclle

4) Hs. wm joer Winkel".5) Hs. n aQZ".

i>

p ta wr>nn

Max K r a u s e

stiick des Bogens DT gleioh demYerhâltnis des Gegenstïïcks desBogens GH zu dem Gegenstiick desBogens ZT. '

Und wenn wir vertauschen, sindsie auch so proportional. Und jenesist, was wir erklâren wollten!

Zur Textgeschichte der Sphivrik. 95

Beilage 2. c) Me ni 4 bei H.

Soi

o-

>

Wenn zwei Winkel eines Drei-ecks gleich zwei Winkeln eines an-dern Dreiecks sind — jeder eînzelneeinem2) Gegenstiick —• und sie nichtrechte Winkel sind, so teilen diebeiden Senkrechten, die von derSpitze des Dreiecks zuihrer8) Grund-Unie gezogen werden, die beidenGrundlinien in demseïben Yerhâltnis.

Es sei Winkel A aus DreieckABG gleich dem Winkel D aus

*** Dreieck DEZ und Winkel G4) gleichji-j dem Winkel Z und sie sind nicht

rechte Winkel und es sind gezogen*V_ die beiden Senkrechten BH, ET..in

'. Ich behaupte, dafi das Yerhâltnisvon AH zu HG gleich dem Yer-

£*> haltnis von DT zu TZ ist.Sein Beweis. Seien die beiden

_ Pôle von AG und DZ K und L und4î wir ergfinzen HBK, TEL. Da die

1) So lis., 1. v^jtf-?2) So Hs,, 1. SjxÈiill .,dem Gegenstiick" Oder LiJVjAÈiAS ..seinem Gegen-

stiick" ?3) So Hs., 1. \..|,.2jj\\e6 ,,ihren tieiden Grvmdlinien" oder wiAcÉ ..seiner

Grundlinie" ?

4) Hs. » ,.E".

5) Hs. 1^5 ,=.

G) So Hs., 1. uliï-?

-v-j X/..W. ^

i (

!

V» . IM^ ..>

beiden Winkel H, T zwei rechtesind und die beiden Winkel HGB,TZE einander gleich sind, so istdas Yerhâltnis von BH zu HG zu-sammengesetzt aus dem Yerhâltnisvon TE zu TZ und aus dem Yer-hâltnis von KB zu LE.

Und ebenfalls! Die beiden WinkelA und D sind einander gleich. So

^ SA*OJ isl das ver;hâltnis von BH zu HAoi> Ai bs zusammengesetzt aus dem Yerhâltnis

von ET zu TD und demYerhaltnissvon BK zu LE. So wird fortge-

5^.»i3AI worfen das gemeinschaftliche Yer-^j ~ haltnis, welches2) BK zu LE hat.

- ^- Es bleibt das Yerhâltnis3) von AH^ ° t, zu DT gleich dem Yerhâltnis vonî b^i U GH zu ZT. Wenn wir vertauschen,

ist das Yerhâltnis von AH zu HGgleich dem Yerhâltnis von DT zuTZ. Und jenes ist, was wir wollten!

Beilage 2. d) Me ni4 bei T.In je zwei Dreiecken, der en Basis-

winkel-—-jeder seinem Gegenstiick—P einander gleich sind und von denenjj nicht ein Winkel ein rechter ist

und zwei Bogen von ihren Spitzengezogen werden, die senkrechtstehen,

II sind die Sinus der Bogen von denGrundlinien, die zwischen dem Eall-ort der Senkrechten und den Basis-winkel sind, einander proportional —die Gegenstiicke den Gegenstiicken.

Die beiden Dreiecke seien ABG,DEZ und gleich seien die beiden

1) So Es., 1. bcjjiy?

2) Hs. il ,.zn':.

S) Hs, w ..dadurch".

96

_ _

1) Hs. fehlt _ ,,H".

Max K r a u s e

i . Winkel A, D und die beiden WinkelG-', Z und nicht sei einer von ihnen

^"J-* ein réciter und es mogen gezogen> ^( -werden von den beiden Punkten B,

E die beiden Bogen BH, ET, so daBsie auf den beiden Grundlinien A&,DZ senkrecht stehen,

Wir behaupten: So ist das Ver-hâltnis des Sinus von AH zu demSinus von HG gleich dem Verhâltnisdes Sinus von • DT zu dem Sinusvon TZ.

Es mbgen verlângert werden HBl),TE . bis zu den beiden Polen vonAG-, DZ und die sind K, L. Dadie beiden Winkel H, T rechte unddie beiden Winkel A, D einandergleich sind, ist das Verhâltnis desSinus, von BH zu dem Sinus vonHA zusammengesetzt aus dem Ver-hâltnis des Sinus von ET zu demSinus von TD und aus dem Ver-hâltnis des Sinus von BK zu demSinus von EL.

Und ebenfalls! Da die beidenWinkel H, T rechte und die beidenWinkel G-, Z einander gleich sind,so ist das Verhâltnis des Sinus vonBH zu dem Sinus von HG- zusammen-gesetzt aus dem Verhâltnis des Sinusvon ET zu dem Sinus von TZ undaus dem Verhâltnis des Sinus vonBK zu dem" Sinus von EL.

Und wenn jenes so2) ist, ist dasVerhâltnis des Sinus von BK zudem Sinus von EL zusammengesetzteinmal aus dem Verhâltnis des Sinus

2) Hs.

3) So Hs.,

,,aeshalb".

. .. j,dem Sinus von"?

Zur Textgescïiclite der Sphârik. 97

von BH zu *) ET und aus dem Ver-hâltnis des Sinus von TD zu1) HA

cr* und ein andermal aus dem Ver-hâltnis des Sinus von BH zu1) ETebenfalls und aus dem Verhâltnis,"]„„ Cl.'

J.JL\AJ:J|J u.<- T~ , _

«O "r^ * — h-

it

>

Gemeinsame wird fortgeworfen. Esbleibt das Verhâltnis des Sinus vonTD zu1) HA gleich dem Verhâltnisdes Sinus von TZ za1) HG.

Und durch Vertauschung ist dasVerhâltnis des Sinus von AH zudem Sinus von HGf gleich dem Ver-hâltnis des Sinus von DT zu demSinus von TZ. Und jenes ist, waswir wollten!

Beilage 2. e) Me in 4 bei S.

SJu x*5IS L u

Es gebe die beiden Dr eieckeABGf.DjsZund Sei Winkel A gleich WinkelD und Winkel & gleich Winkel Z™à nicht sei einer von ihnen einRechter. Punkt T sei ein Pol des

j|*

v u-.S XAAM.J 0.,.<A5

des Kreises DZ und "wir zeichnendie beiden GroBkreisbogen TBU,JEH.

So behaupte ich, daB das Ver-hâltnis des Sinus des Bogen GU

lem Sinus des Bogen UA gleichVerhâltnis des Sinus des Bogen

ZH zu clem Sinus des Bogen HD ist.Sein Beweis ist, daB die beiden

Winkel U, ïï zwei Réalité sind unddie beiden Winkel G-, Z einandergleich und nicht zwei Bechte sind.So ist das Verhâltnis des Sinus desBogen BU zu dem Sinus des Bogen

1) So Hs,, +v^ç. ]iûem Siuus Yon,, ?2 ) S b i .

S^ïïï^sr^ PM-Hist-Ki-1***.*.».

q"J-'

/

iCâJj.* _,; u*).ï

A'?- >i' JiV ir-y5

' A

Max K r a u s e ^

UH zusammengesetzt atis déni Yèr-hâltnis des Sinus des Bogen EHza dem Sinus des Bogen HZ undans dem Yèrhâltnis des Sinus desBogen TB zu dem Sinus des Bogen

' JE. So ergibt sich das Yèrhâltnisdes Sinus des Bogen GU zu dem

^ Sinus des Bogen ZH znsammengesetztaus dem. Yèrhâltnis *) des Sinus des

?" Bogen BU zu dem Sinus des Bogen,j EH und aus dem Yèrhâltnis des„ Sinus des Bogen JE zu déni Sinus

des Bogen TB.Und ebenfalls! Das Yèrhâltnis

des Sinus des Bogen UA zu demSinus des Bogen HD ist zusammen-

>. gesetzt aus dem Yèrhâltnis des Sinusdes Bogen BU2) zu dem Sinus desBogen EH und aus dem Yèrhâltnisdes Sinus des Bogen JE zu demSinus des Bogens TB.

So ist das Yèrhâltnis, das zu-sammengesetzt ist aus dem Yer-

-1 hâltnis des Sinus des Bogen BU zuô dem Sinus des Bogen EH und aus

dem Yèrhâltnis des Sinus des BogenEJ zu dem Sinus des Bogen BT,

ti das Yèrhâltnis des Sinus des BogenS GU zu dem Sinus des Bogen ZH

und es ist gleich dem Yèrhâltnisdes Sinus des Bogen UA zu demSinus des Bogen HD. Also ist dasYèrhâltnis des Sinus des Bogen GUzu dem Sinus des Bogen ZH gleichdem Yèrhâltnis des Sinus des BogenUA3) zu dem Sinus des Bogen HD.Und das ist das G-ewûnschte!

1) Fehlt Sb.

2) Bb -BE".

3) Sb i=^ -,GA".

IL Edition der SpMrik in der Verbesserungvon Abu" Nasr Mansïïr b. 'Alï b. 'Iraq.

A. Einleitung.

§ 1. Die Handsehrift.Bisher ist von demWerk N's} das hier herausgegeben werden

soll, nur eine einzige Handschrift bekannt (s. I § 1 A3). Es istdie Leidener Handschrift (L) Yfarn. 930, die in dem LeidenerHandsohriftenkatalog *), Bd. JJI, S. 50 unter Nr. 989 folgendermafienbeschrieben wird:

,,Ejusdem Menelai Sphaerica, quorum yersionem Arabioam emendavit al-Amir Abu Naçr Mançûr ibn 'Arraf, teste stibscriptione; a° 398. Librumdivisit in 8/Macalas, quarum Ima 39, 2da 21, 3'ia 25 propositïones compre-hendit. Codex descriptus est a° 678, nitide quidem, sed puncta diacritîcaquam plurima desunt; inscilptiones singulis Macalis praepositae cliaracteribusCuficis exaratae, .figurae nitide delineatae sunt."

Zu dieser Beschreibung ist verschiedenes hinzuzufiigen. DerYerfasser heiBt nicht Ibn cArraf, sondern Ibn 'Irâq, zu ihm vgl.IIA § 3. Die G-rofie der Handschrift betrâgt 19 cm zu 13 cm, diedes Schriftspiegels 14. cm zu 10 cm. Die Handschrift umfaBt 57Blatt zu 23 Zeilen pro Seite. Der erste Teil des Bûches beginntfol. Ib, der 2. fol. 19a, der dritte fol. 33a; das Buch endet fol. 57a.Auf den ersten Blâttern sind einzelne Wërter durch "Wurmfrafiverloren gegangen. • Die innere Umschlagseite und das Titelblattenthalten verscHedene Besitzervermerke, sowie eine Notiz in arme-nischer Schrift. Datiert sind davon zwei; doch ist das Datum(Saebân 780 = Dezember 1378) nur béi einem lesbar. Yerschiedenedieser Yermerke sind durch Abkratzen unleserlich gemacht worden.Das konnte — nach Herrn Hedjati Hiissni Bey — darauf hin-deuten, da6 einer der letzten Besitzer dièse Handschrift unrecht-mâfiig erwarb.

1) Catalogus codicum orientalium Bibliothecae academiae Lugduno Batarae.I—YI. Lugduni Batavorum 1851—77.

100 Max K r a xi s e

Das AnBere der Handschrift verrat, daB sie von einem berufs-niâBigen Schreiber auf Bestellung gefertigt warde. Denizufolgeist sie anoh sehr fehlerhaft geschrieben. "Wieviel der Ifehler demletzten Abschreiber und wieviel davon fruheren Stadien der TJber-lieferung zuzuschreiben sind, bleibe dahingestellt. Die Ergebnisseeiner vom. Schreiber vorgenommenen Kollation mit seiner Vorlagesind am Rande vermerkt. Die wichtigsten Fehler der Handschriftlassen sich folgendermafien gruppieren:

Besonders zahlreich sind Eehlstellen, die durch gleiches oderâhnliches Schriftbild verursacht sind (auch Homoioteleuta) : 24,6;28,7; 32,17; 39,22; 41,18; 46,18/19; 47,2; 49,11/12, 13/14;50,23/24; 51,13; 55,7/8; 57,23/24; 58,7/8; 59,19; 64,8,14/15;65,5,20; 66,15/16; 70,15/16; 72,7; 74,15,19/20; 75,18,24/25;77,24/25; 85,2; 86,2,18/19; 89,12/13; 91,11; 92,14/15, 18/19,23;94,10/11; 96,25/26; 99,2/3,7; 102,1/4; 103,5; 106,23/24.

Doppelschreibungen finden sich 13,16; 17,24; 19,27/28; 20,13,18; 21,19; 22,2,26; 27,9; 29,10; 34,3; 39,10/11; 40,21/22;47,2; 49,2, 15/16; 50,12/13; 54,10; 62,13/14; 63,6,19/20; 65,3;69,14/16; 75,10,13; 78,19; 81,1,26; 83,23; 85,24; 89,20/21, 94,8,14,20,22; 96,16,26; 100,10; 104,15; 105,13; 106,11.

Sehr offc sind yj ... nnd y-Xj ... miteinander vertauscht. JTiirJ-JS-AEJ^S? (wie ich es in den Text gesetzt habe) steht stets yy=^*^°in der Handschrift (im Apparat nicht vermerkt!). tJber einfacheVersohreibnngen nnd Yerwechselungen von Buchstaben gibt derApparat Auskunft.

Die diâkritischen Punkte werden selten gesetzt, dabei mehr-fach (3,21; 13,3; 24,19; 68,3,8; 95,13; 104,5) falsch.

An Verwechselnngen einzelner "VVbrter mit solchen von ahn-lichem Schriftbild kommen haufiger vor : <•?, nnd ^ 8,1 ; 12,2 ;42,18; 44,12; 53,2; 69,24; 81,9; 93,23; 94,22; 104,16; 0, nndyj 63,16; 82,22,23; ^U und oc 5,1; 20,21 nnd 92,3; jXci5niid J,<5 19,23; 53,25.

Aufierdem wechseln hanfig fa nnd wa 11,18,20; 16,6; 19,20;21,1; 25,10; 29,16; 54,19; 60,13; 66,17; 79,22; 80,17; 86,6.

' uw und wird verwechselt 4,10 ; 8,2 ; 14, 6 ; 16,8,21 ; 19,21 ;31,21; 28,4; 58,17; 60,5; 66,10; 70,2; 74,14; 78,13,- 83,13;92,6,19,22,24; 102,12,22; entsprechend z. B. J-Su und 51,4,5,6,12,13; Jl und il 60,3; und 6,25.

Zahlr.eich sind Yerwechselungen von j und «4 in Verbindungenwie d)JoJ uni a)jL\ (9,27; 18,21; 28,11; 29,12; 39,1; 57,25;77,16 ; 89,23), entsprechend ^ïjj und £>y (28,2).

Zur ïextgesoMchte der Spharik, 101

Zur Orthographie ist zu bemerken, daB mehrfach (2G, 23;81,8; 85,5; 109,12) fur tiÀjCj» auch ^OJCs» geschrieben ist. / InYerbinçhngén vfie ^jjjioJ! \Jo& fallt ein I hauflg ans (98,4,12;102,5;. 103, 13, 19,25, "106,5, 6, 10, 11; 107,4), / Aïs Lrterpunk-tionszeichen wird (zur Kennzeichnnng grb'Berer Abschnitte undganzer Satze) meist ^ (entstanden ans ^jXSl?), weniger hâufig_auch (z. B. Hs. fol. 19 a 8) r verwandt. '/ SchlieBlich . mufi nochdarauf hingewiesen werd'en, daB ,*Lw teils (82, 11, 15 ; 91, 24, 27 ;92,2; 95,7,10,12) aïs Pemininum, teils (27,11,13; 38,3,7; 41,14;49,7; 50,17/18) aïs Maskulimim behandelt wird. In diesem Fallwurde die Lesart der Handschrift beibehalten.

AuBerdem fehlen in unserer Handschrift sehr haufig grofierennd kleinere Abschnitte ganz, wie ein Vergleich mit den iibrigenTextzengen (siehe HA § 2) zeigt. Da ich auf Zeugen nnterschied-lichen Vertes angewiesen war, konnte ioh nicht allé Fehlstellenmit der notigen Sicherheit ergà'nzen, und habe mich deshalb damitbegniigen mûssen, im AaischluB hieran die Belege fur konstatierteLtioken tmd grëBere ansgefiihrte Ergânzungen zusammenznstellen.(Zum Teil haben dièse • Abschnitte schon bei ÎT gefehlt, wie z. B.T nié— 161).

Belegstel len fiir g r b B e r e Litcken ini Text von L.

3, 9jÇ7^]. Danach diirfte ein Teil fehlen, der bei T (Sa fol.

189 bl — 7) so lautet: Q^ so oe- {SyS O^U Xj^Li4i & j^ *-?.^jQjjilï Sic- $jj\ù f^! ..jii'j.'Xv.ii L?!iUa5 i-i^

su O; JylAJ rfijX^Xt Js.vaiJI oy<4_5 l^jï

t^ as- S-

s» &.J;lc

;o

(00

4,4] Das Korollar zu II lantet bei H:OU1I!

•M

102Max K r a u s e

JAJÉi

9,10/12] DaB in H 111 gezeigt wurde, daB die "Winkelsiomme imsphârisoken Dreieck grofîer aïs 180° sei, zeigt die Bemerkung

von ïf in 123 (= 19, 3/4) 13 o Xfc £' &iur

13,20116 Komm.] T bemerkt dazu (Sa 194alB-17):

. . ; -?l;.-U , , , .9 ...-.lai -à*:> vil Jotë; i3

Cr>

B7,14f. 114 Komm.] T ubei-liefert (Sa 205 b 1—5)

^ Ui5 Cl

lj, JiJl

46,11/13 <...>] erganzt nack J (34 a 17): pdmniï™ snâ ïi'iti nbns? ^na twtip isapnn "iw'xs imânack & (Wo 27 b19—20) „... eruut duo latera . eg.gm. iterum cum aggreganturminus semicircnlo et angulus .meg. est expansus ergo angulus

.emg. (Hs. .egm.) est acutus . . .".46,18/19 <.,.> erganzt nack J (34 a 20— 21) un Hï îiï1?

. . • "os IB û'Vnj is49,5] Davor feklen bei N (wokl eines Textfeklers in seiner Yor-

lage wegen) drei Satze, die T 1114—16 entsprechen tmd bei J(34 a 21— 34bl2) so lauten: nwVs w'1?»' nbya naian n^nn ii^xsxVi nnsa irita n"?i'w wsi *?s» IB-'S n'itn n^nn x"?l d^pwn niw ^nVa

rmxp pau? naa niniy'p infini n*?w saiia "?nj ^is ini'n pwnbs> win^i n^^'inna i^ia5 l'sinn nnsp pu nwVs na nnxa i^'ia11

nai^inn bs> pVnn11 «V iwx uVsn n 3'pn i^s n'iïV (Onwx1? i^x yVsn DS? ixsin iiy'x mwpn it>p n'nn bx

1) F. Sa, 3? li.2) F. Bp, Bf.31 Fli, Sa, Bq, Bf.

4) Sa.

Zur Textgeschichte der Spharik. 103

i> ïKïin wx mrwpn nan nwaipa rinxi^an ninu/pn 'nitf<V> mwn'n dsi na inna iV'ia^ p w pi mw ^nVa miwp msVsna nnxa

T sV "wx ïVsV iaw'a' iiy'x ninwpn nw b'pwn Vn.i p's?Vxn n'n dxi uaa mpim ]n wxa niVnx lV^a^n iu>x

mnw'pna pVnn» xV itt>x »VsV lawa^ iws mwpn nan d'pwn ]op'uaa Jiipini ]n i»sa maop iViav

uaa la s>Vi n'nm s a_s .T'Vv nwVs B'V»" nV»a naian (Vn^ nwxVi naxa rp>na nVra_a irnpa_Vïx ws (^'iTn n'nn xVi ax »Vs_a Vn.inviïa nnx Va n^nm a]_on m mrwp is^^i nV^y uaiia nVmju_ »Vi

mw msaipa at ax miw'p n^nni ssa mitV (3nw WT jo^_inji'on m

'i?M ~~ ~"

nw n'it VxJ?» Tavn ai n»pV_nw nV nii>w a w na

aoa laix nannr

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_ _iyx wp iH rii Ta_nu>pV nw wa iwp

i ajx n'nV nw TON wr na n^nnnw ai n»pi Vx nî^pa niop IB wp

pn^p

on

n"?ra'sui »nnw IPX

'(ixa)Vlaixi 'sa ]a

(nbmi iâô iwpa n"?ra nxsa ]xaa tpîpa lanax nan d.M

'rn

i ra n»pV as iwpi ai ruyp1? nw Vx rwp dwa lanaxw n_r_neiaVax rriti to niyp1? nw aV Van ao nwpV aa rwp Va nsnni m nwp1?nanV n»p Va_TÔ oa niruyp^rity1? niw Va ââ niïwpi ion irmaixa nVnj na n»p p ds JT _na_ii>ina [3-^] nVm aV na in p bx 'n'Vsna nu>pV nw DJ nwp cwai ma. n'iïV nw om . ÏT>IT bwai (*JTmw nwVs nwVu>n_niV»a om C%na niaiana rinx p' ma n^nmw dna nnxa_Tnâ> n>iïa (n)iB'pan_ni5?Vs ynym ninxna ona

bna fia" vVs dVis inxna (^_p3n <n'iTa niB'pan nwVs'wna niisrajrvi'_iTm insna an vVsV uaa m s?V^ dVisi insna

mn dna nns Va» nti aon rm ni'iï iji dm masa WIT 'nu>V mw^nVan'nm iaa Vra DW nu in ]a Vra on Vax on vVïjV nw p dx ia vVs nan

.(isa)V (I:'SI)B> (n)a (n)n 'm ]a Vnj la.iaa rnop ax isa

(O'w l'ni m nwp iaa ia wpjrnn iiyxa 'a isann laa 'aniwpjpn i^sai nisaipa on m mna>pa mVra nisaipa aï .la mrwpnaop la n»p n^nn msaipa ('on m mnu;pV mw n«aipa_ aT ââ

'in wpa

2) 3) Hs- mw. Hs- 5)G) 7) Hs.

104 Max ELiause

ne nitfj? ïas di wpi in iwj? u>s Vj wp d'wa laruw nta naianixaip* ^wxa ûjj\ (m)wp p dx tsïï rwpV nw Va wp_rran p ÛKI

nia s'nnni jxa iT>ïtV nw mt Vu IN naunn w^'jpa »a oV mrwpiwi nixaipa sa oV nwpa niaop ïxaïp> iw&o si xa_mrwp na^nrwniaop sa~ wp IBS m wp nrvn WKS ïxapn» wxs txjojmwp ntVrwpa naopïïâ wp n>nw ma Ob^nw isaip'p'wxa ns xï_rnwpa

'V»an 'tn49,11/12 <...> ergânzt nacli & (Wo 28 a 41— 28 b 2): „ . . . erit ine-

qualis || angulo quein àiximus. Quod si fuerit arcus reliquus ..."und nach J (34bl6— 17): dXï irDî WX rwtV nw ^"ja n'Wi ...

49,13/14 <...> erganzt nach G (Vo 28 b 4— 7): „... fit ab eo eritmaior angu]o quem diximus et si non fuerit arcus minor utro-que duorum arcuum tune angulns quem ..," nnà nach J (34 b17 — 18): rpnn x1? DSV nist ws n'itna nVra n^nn n^aa winir ...

, , , iws rrirn nan rnn^pna nawp n»pn51,18f. zu N II 17] f. in I, eîne Steïïe, die in J (36 a 7— 8) so

lautet: ins T>t»aa wnas nan iaip iws (d)'imn wsa lasi» n^n i^saii!J W p ûj ni "|Qn &y iroa wi'D'Tisn nsoa -i^x (û)nain bi nasa nt

.._. ats twa ia ^ nti i1? tmpn 'ILTIB& isaïi nVnn TBVJI pm VVis VVaDie ïassung bei S scheint ebenfalls auf N zurtickzugenen

[(&) fol, 66 b 47— 48, (b) fol. 19 a 5— 8]: U-u! Oo 1x5" 3! IjU B

t/«

Bei H (Hs. Leiden fol. 99 a) heifit es : lîL uX3 ôli3 ^^ "

" .'-X

M U

T (Sa fol. 211 a B— 7) liât beide J?assungen verarbeitet: Js

\W3Ï U atXxJ ^JV.AÂXî Wl-AJ ALXîU ..il . _.i.AjU

IeO ,3 .Sj oi ;AC (

57,23/24 <. ..> erg. nacn & (Wo 30 a 1): „... tune circuli equi-distantes separabant ex circulis magnis . , ." und naoh J (35b20):

^ 'Vuan n:n .,,

n n

Zur Tsxtgesohîohte der Sphiirik. 105

58,7/8 <...>] erg, nach G (Wo 30a7—9): „... qui sint Jes, îg_, infet circules ex circulis magnis qui sint ta, Jse, la, my et tangatomnes circulas unus et idem ex circulis equidistantibus ..." undnach J (36b25—26): tpVran d^wna û'irm d^wi_&»_»V _M wn ...

... d^nsan d^wna nasva nn« n'jsy in^ w»ani na u>"? is po ani6i, 14/15 <...> erg. nach G: ,,aut equalibus duobus angulis rectis

ad nadir duorum laterura, que subtenduntur duobus angulis aliisequalibus ..." und nach J (36a25—26):

, , , nwn nnrmn m'itn ^Mh i65,1/2 <.. ,> erg. nach G : „ . . . ergo erit proportio nadir arcus ht

ad nadir arcus lg sicut proportio nadir arcus ta ad nadir arcusla ..." und nach J (36a33—34): on rwp ninsa on11 nTï1 nan ...

... 5s n»p ninaa VvX XB n»p ninsa on'5 ïâ n»p ninsa Vx66,14/15 <...> erg. naoh G: „. . . 5a ad nadir arcus ga composita

ex proportione nadir arcus .. ." und nach J (36bll-—-12):... wp mnsj orra lama xi n»p JTinaa Vx xa ...

68.20 <...>.,.<...>] erg. nach J (36b 32—33): XJ ïâ paw (na ...'Tt ïn l'a» na Vian nmsa Vx msaip» ït tn mnwp w mnaa orra

74,19/20 <...>] erg. nach G: ,,(//i in g g est sicut proportio eiusquod fit ex nrultiplicatione nadir arcns ea in nadir arcus ad adillud quod fit ex multiplicatione nadir arcus ..." -und nach J(37a32): ix nu>p rnnaaa xn wp wnaa nxsna n'n' iw tsn^a na ns

... nwp mnsa nxana nw iwx Vs78,22/23 <...>]. erganzt nach J (37b27): n'it Vax TaK mtV nw ...

... nw lax JTII ]D dx nax rpitV nwn oat n^itV nw tas. Dagegen beiG: „ergo angulus a&$ est equalis angulo Itbz, sed angulus /,;&«est equalis angulo sbt, ergo angulus abâ est equalis ...".

SO, 13/5 <.. .>] ergânzt nach J (38 a 4—5) : iwj? mnsa onw 'J&a ...

iwp mnaa Vx tx wp nirm on'a lainan on^s xw an wp mnaa Vx nx... an nwp mnsa Vx "m n»p mnaa orrai it

86.21 erg, nach G: n . . . separati sunt, si fuerint equales, tuneerunt duo arcus, qui ..." imd nach J (38a37—38) dX iViain ...

... iu?'x ninwpn nan mw vn86,3/4 <...>] erg. nach G: ,,et accident in illo relique res, quas

diximus nuper secunduin niodum, quem diximus in illis, que suntpremissa" und nach J (38a38—38bl) d>iain IX» nta mp'! ...

.dtp» naa iaisou> na ]'ai Vs> diip laiDt wx86,18/19 <...>] erg. nach G: „. . . et sicut proportio nadir duoruni

arcuum &7t, l)z iterum coniunctorura ad nadir superfluitatis, queestinter eos". Bei J (38b9—10) lautet es: mwp W

106K r a u s e

ninsa bmai ûnirawna Vian ninsa bN (Otpsaip» p ta ta nan» bian ninaa b« (OtMaip» ïïa as mnwp (Beide Fassungen

sind rnoglich).89,12/13 <..,>] ei'g. nach G-: „.,. ab ad nadir arcus le maior

proportions nadir arcus ..." und nacli J (38blo) nitlM bft as ....iwp ninaa bn>a bra na nu>p

92,14/15 <...>] erg. nach G". „ . , . ld> sicufc proportio nadir arcusTu ad nadir arcus ..." und nach. J (38b36 — 36) ninaa on'a as ...

,wp mnm bx bn iwp

93, 23 <. . .>] erg. nach G- : „ . . . ai, élu minores duobus arcubus lil,lie qui sunt superfluitas que est. inter duos arcus . . ." und nacb.J (39 a2— 3) i'a» na Vian un ÏWK nri bâ mn»f> W» pp an es ...

... niwp in»

94,15 ÔÎJ Davor fehlt ein Abschnitt, den T (Sa 232 a 22-^24)

folgendermaBen-referiert: Ll JJ s>Ls> s

,,

rft) sSj jci)

wobei (T)

= (N)

u*-

97, 18f.]. Mb'glicherweise ist hier ein Teil ausgefallen, T (Sa

283 b2è— 234 al) 5i s*wô a- i "Co il -31 x^w.3 ^ï ^AJ idJÀ^

»J\s> <oj ,i.l Jl KAWJ CP p~°^ S3^ i' ^s ' •w-5 [234a] oi^ i'Hjt*QJS

J (39 a 37— 38) as bs ÎK on1» Vni "ai_VK TS bn^jisan' p_ûï piab bs bs on'» bnx as bs as orwi

98,26f. (zu III 22)] f. in L folgende Stelle: 3 (39 b 17— 21):_iDDa ^i^bï/n issan maiana nawK^n naiann wasw

bs n3_nwp on5»' Q»' isa xw«f b'ins û'ioa "maa 0-ba ax nbm w^an iws nbjsn ^Bip bs inan loip bn'a itip rnib s'ip1 ws néon (i. oi^bias) ovbiaK mis nw» las lan nti~Kurm iwsa nbvinn ai TIIS i'b« inesni bu>, nt n»v laai bbianm bx ni oui 0) n'nn ^a^ nt ^ ]a uaa »iii bbis nbiaa insu/ naa

' D p n'nn nai nt 'Kai

Zur TextgescMchte der Splmrik. 107

Bei H (fol. 105 a) lautet dièse Stelle so: Lvs> j ^xï (j^bSU* je'

^ wlxT ^ XiJlXJi XJlsil J, u^Ajwjô^lî &.J! V_A,$>Ô U *_iil=> UVE J^-<^i.j!

-Xll ,ûSJ ^JS Q, Jt^oi BU il SAW.J *.J .ç» j.,1 y^^.J ^1 j-K v£iwç=- v^jb-jCJ!

.-J53I XiU*aJI ^ ?.jU/ J, iiÂS1 J-^XA^-J (^-^wjA^jô^ljj ij »ylO Jaé il

flo X J-» J4.XIC1 OU ^J -^^- ^.AAW.

99,1—100,25 ÏÏI22 Komm.]. Irgendwo im Kommentar, wahr-scheinlich im Anfang, muB folgende Stelle gestanden haben, die

T (Sa 234bl3—18) anfiihrt: ^ _/^t ^ ^^6^ ^ yajj.jfjlï

KAAV.J ,.,! XSJlSJI XJLSl! ,-f, ,*i,c

lilo ^J (_5<Jj|j &J'J>lci il .Is 1' Jyjlj.II .Là il 8X!I

^-

p-v

I j».2îiii L^ji _j^iîJ ^ yh^Ç- XA.WJ 0^ A.ÈiEi

103j5 <..,>] erg. nach G: ,,est composita ex proportione nadirarcus ge ad nadir arcus zA ..." und nach J (39* a 6) laina ...

... TÏ" wp mnaa b« tTwp mnaa on'a106, 23J24 <. . .>] erg. nach &: „.. . tangit circulum M et equidistat

lg ad diametrum circuli, qui . . ," und nach J (39* a 29) wanfe . . .nbjyn it?ip PS. y <?$ ^ v rrnsa n^nni ia

§ 2. Weitere Textzetigen.

Bei dem in vorstehendem Abschnitt dargestellten Zustand derTextiibeiiieferung in L ist es fiir tins doppelt wertvoll, daB unsfur eine Reihe von Stellen neben der Handschrift auch andereTextzeugen (bei D, T und S) zur Yerfïïgung stehen.

DaB und iirwieweit D b aïs Textzetige fiir N zu Terwerten ist,geht aus I § 3E und I § 7 hervor: Db ist genau genonimen nichtZeuge fiir N, sondern b H.

Die betreffenden Stellen aus T sind • — selbst, wenn es sichum ausgesprochene Zitate handelt — • nur mit Vdrsicht zu ver-werten, da T sehr frei zitiert. Meist aber handelt es sich nur umReferate, deren textkritischer "Wert fiir den Wortlaut bei H nicht

1) Bei T steht an clieser Stelle wohl koirekter

108Max Krause

J.UU ,

sehr groB ist. Mehrmals sind (s. u.) ebenfalls die Stellen bel Tnioht Zeugen fur N, sondern bH (wie Db).

Bel den Stellen aus S ist es fraglich, ob es sich hier umZitate aus îs[ (was wahrscheinlicher ist) oder ans b5 handelt.

Fur folgende Stellen ans N liegen Textzeugen yor:

1, 5— ,18 (.1 L) T(Sa 1881) 24—189 a 9) (z)/S (NO Ibl—15) (z)

1,19— 2, 5 S ( 1 b!5—21) (z)13,20 f. (f. L) ï (S a 194 a 15—17) (z)37,14 f. (f. L) T (S a 205 b 1— 5) (z)41,12—42,20 D(J33b 1—23 ; W o 26 b 17—27 a 6)42,24—43,22 D (J 33 b 23—38 ; W o 27 a .6— 27)44,26-45,17 D (J 33 b 38—34 a 8 ; "W o 27 a 28—27 b 6)45,23—46,19 D(J34a 8— 2 1 ; W o 2 7 b 6— 25)49, 5—50,10 D(J34b 12— 29 ; W o 28 a 33—28 b 23)50,16—53, 5 D (J 34 b 29—35 a 22 ; W o 28 b 24—29 a 39)53, G— ,14 T (Sa 2111) 2 — 6 ) ( r )53,15—54, 8 D (J 35 a 22— 33 ; W o 39 a 40—29 b 10)54,11— , 23 T (S a 211 b 17 —21) (r)54,24-56, G D (J 35 a 83—35 b 16 ; W o 29 b 11 — 40)56j 7—57,17 T (S a 212 a 18 — 212 b 15) (r)57,18—58,20 D (J 35 b 16—32 ; W o 29 b 41—SO a 18)59,14— , 23 Ptolemâus Almagest (éd. Heiberg) I 68,23—69,20

(= Ubers. l 45,18—46, 3)

60, 1— , 8 Pt. I 70,17—71,13 (= libers. I 46,19—47,10)60, 9— , H Pt. I 72,11—73,10 (= tïbers. I 48,10—31)62, 1-64,10 vgl. Pt. I 74, 9—76,9 (= libers. I 49, 25—51,2)

64,11—65,14 . D (J 36 a 23—36 b 2)65, 21—66,21 D (J 36 b 2—15)67,12—68, 5 D (J 36 b 15—26)68, 6- , S T (S a 216 b 17—21) (r)68, 9—69,23 D (J 36 b 26—37 a 11)69,11— ,23 T (Sa 217 a 16-2171) 2) (z) aus E-Hs. (= bH)72,16— ,22 T (S a 2191) 3—7) (r)72, 23—73,16 D (J 37 a 11—20)73,19—74, 2 D (J 37 a 20—24)74, 5— , 26 D (J 37 a 24—35)75, 1—76, 2 T (S a 220 b 16—221 a 10) (r)76, 3— , 20 D (J 37 a 35—37 b 6)76,21—77, 2 T (S a 221 b 13—24) (r)77, 3—78, 2 D (J 37 b 6—19)78, 3— , S T (S a 222 a 14—18) (r)78, 9— , 23 D (J 37 b 19—27)79, 6— , 19 D (J 37 b 28—35)79, 20— ,28 T (S a 223 a 19—223 b 2) (z)80, 1— , 24 D (J 37 b 35—33 a 10)82,10—84, 3 D (J 38 a 10-35)84, 4— , 7 T (S a 226 a 18—21) (r)85,23—86,2l D (J 38 a 35—38 b 12)

Zur Textgeschichte der Sphârik, 109

86, 9—' , 14 T (S a 226 b 3—7) (r) R-Hs. (= b H)89, 8— 90, 2 D(J 38 b 12—22)90, 3- 91, 2 T(Sa 230 b 25—231 a 8) (r)91, 3— , 5 ï (S a 231 a 9—10) (r)91,21— 93, 2 D(J 38 b 23—39 a 5)93, 3— , 17 T (S a 231 b 13—282 a 3)93.18— 94, 4 T (S a 232 a 4— 11) (r)94, 5— , 11 D (J 39 a 5—9)94,12— , 21 T (S a 232 a 19—232 b 5) (r)94, 22— 95, 2 T (S a 232 b 5—9) (r)95, 3— , 23 D (J 39 a 9—21)96, 3— , 6 T (S a 233 a 4—7) (r)96, 7- , 19 D (J 39. a 22—28)96,20— 97, 4 T (S a 233 a 22—233 b 8) (r)97, 5— , 18 D (J 39 a 28—37)97.19— ,22 T (S a 234 a 2—4) (r)97,23— 98,26 D (J 39 b 1—17)3fIII22Bemerk. T (Sa 234b 13—18) D (J 39b 17—21) (f. L)

101, 1—102,11 D (J 39 b 21—39+ a 3)102,24 f. ? T (S a 235 b 12—13) ?102,25—103,22 D (J 39+a .3—16)104, 1—105, 9 T ( S a 2 3 6 b 16—237 a 17) (r)105,10- ,14 T(Sa 237 a 17—22) (r)105,18—107,16 D (J 39-"- a 16—38)109,11 ff. ï (S a 239 b 14—240 a 6).

Aufier diesen Stellen konnten zur Textherstellung von Eallzu Fall auch die iibrigen Ansgaben herangezogen werclen.

§ 3. Der Verfasser.Li te i a tu r : [1] al-Bïrûnï, Chronologie (hrsg. Sacliati, Leipzig 1878 und

1922), 3,184,20 und Einleitung, S. XSSIII/IV; [2] ders., Bas Buoh der Auf-findung der Sehnen ira Kreise ... (ûbers. von H. Suter, Bibl. Mathem., III11;1910/11, S. 11—78); [3] Nizamï-i 'ArQdï, ÔahSr maqalâ (éd. Mirza Mnhammad,E. J. W. Gibb. Mem, Ser. XI, 1, London 1910, ûbers. E. G. Browne, ebd. XI2,London 1921) Text 76 und 77, Anm. zur libers. S. 153) ; [4] Masïr ad-Dïn at-Tusî, k. sakl al-qaUà' (éd. Caratheodory, Constantinople 1891) S. 59—60, 108/9,9/11, 11/13, 113/14, 121/22, 124/25, 129/30; [5] HH (éd. Flûgel) 1390 (Nr. 1100),H 478 (Nr. 3774)?, III 366 (Nr. 5966); [6] M. Stemschneider, ZDMG, 24, S. 335,376; 50, S. 168; [7] Brock. GAL, 1472; [8] Suter, MAA, S. 81; [9] H. Suter,..Zur Geschicbte der Trigonométrie", Bibl. Math. II. Folge, Bd. 7 (1893) S. 1—8;[10] ders. ,,Zur Trigonométrie der Araber", Bîbl Math., III. Folge, Bd. 10,S. 156—160 ; [11] Snter-Wiedemann, Beitrâge ... 60, S. 90 ; [12] BBK, S. 61—64,67, 84.

Bestimmte Nachrichten YOH der; Lebenszeit Abu Nasr's sinduns nioht iiberliefert. So sind wir auf das angewiesen, was vràaus gelegentliohen Bemerkungen, hauptsâchlich al-Bîrûnï's, liberihn schlieSen konnen.

110 Max K r a u s e

Sein Name Abu Nasr Mansûr b. cAlï b. 'Iraq, sowie seineTitel al-Amïr (der Fiirst) und Mania Amîr al-Mu'minïnl) weisendarauf Mn, daB er ans der Famille Clr3c[2), d. h. dem alten ïïerrscher-geschlecht von H>ârizm8) herstamnite.

In eineni Gedicht4), in déni al-Bïrûnï die Herrscher aufzâhlt,die ihm ihre &unst bewiesen haben, nennt er ihn [Man§ûr5) ansdéni Âl(Haus)cIrâq] vor Sams al-Maeâlï6), den Banû Ma'mûn7) undMalimûd8) von Gazna'J).

An andereii Stellen, me [1] S. 18i, 20 bezeichnet al-Bîrûnïihn ausdriicklich aïs seinen Lehrer. Nehnien wir mit Sachau10) an,daB al-Bïrûnï moglicherweise im AnschluB an die Unrwulznngen, dieini Jahre 385/995 in Hwârizm stattfanden (nâmlich den tïbergang11)der Maclit von der alten Dynastie an Ma'mûn), sein Vateiiandverlassen hat, so wiirde das Lehrverhaltnis zwischen Abu îTasrund al-Blrûnï vielleicht von 880—85/990—995 anznsetzen sein.Abu îfasr dûrffce damais etwa 30/35 Jahre ait gewesen sein, seineG-eburt also in die Jahre 350—55/961—965 fallen.

1) Amîr al-Mu'minïu ist Mer (iiach Sacliau, Chronologie oriental. VBlker,XXXIII, Anm. 1) der Samanidische GroJMcônig,

2) Eine Liste der 22 Sâh's ans dieser Dynastie Afrlg-Sijâwûs hat (nach al-Blrûnl, [1] S. 36, 5) Sachau, Klr\varizm 1502—503 mitgeteilt.

3) ,,Landschaft am unteren Lauf des Amû-Daryâ" (s. E. L, II074—-78, LeStrange 446—59, Jâg. 11480—86). Die Geschichte dièses Laudes von 385—408d. FI. hat Sachau, Klrwârizm II289—300, dargestellt. Die Herrscher des Landeshiefien Ij>ârizm-sâh's, s. E. I., II 980/81.

4)~Jâçi., irsâd VI312, ubers. [11] S. 61/62.5) DaB damit unser Arerfasser gemeint ist, diirfte klar sein, obwohl bei [11]

S. 63 dies nicht erkannt ist.6) Gemeint ist Qabils b. Wasmglr, der in Gurgân von 3G6—371 und 388-403

regîerte, zu ihm vgl. Sachau, Chron., XX—XXIII. Ihm widmete al-Bîrtlnl u. a.soine Chronologie.

7) Die Dynastie Ma'niun herrschte tiber ganz Hwârizm von 385—407 (s.Sachau, Khivar. 11289—300) und zwar Ma'mtm I selbst 385/87, sein Sohn 'Ailbis 400, dessen Brader Ma'mtin II von 400—407, wilhrend der fur den ermordetenMa'mûu II von deu Empôrern (Sawwâl 407) eingesetzte Muh. ibn 'AU sich nurbis zum Safar 408 gegeu Mahmnd von Gazna halten konnte; vgl. die Darstelluiigder Eroberung von IJivârizm durcli Mahmûd in Barthold, Turkestan, S. 275/79.

8) Mahmnd b. Suhulrtigln, der Grùnder der Dynastie der Gaznawideu (vgl.E. I., II163—67). Ober ihn s. E. L, II164/65 und m 143/45 (wo weitere Lite-ratur) und Mohammad Habib: Sultan Mahmûd of Ghaznin. A stady. Bombay1927. 103 S., S» (Aligarh Muslim University Publications).

9) Stadt in Afghanistan, auch Gaznln oder Gaznl genannt, s. E. 1., 11.161/63,Jtiq. III798, Le Strange 348.

10) Chronologie, XIX11) Vgl. Barthold, Turkestan 262/63.

Zur ïextgeschichte der'Spharik. 111

Fiir das Todesjahr hat schon Sachau é27/1036 aïs terminusad quem festgesteDt. Der terminus a quo ist 408/1018 ; denn trotzaller legendenhaften Ziige, mit clenen sie umwoben ist, wii'd etwasWahres an der Nachricht sein, daB Abu ÏTasr zusammen mit al-Birûnï (also im J. 408/1018) nach Gazna gegangen sei. Aberirgend eines seiner Lebensdaten genauer festzulegen, fehlt unsbisher jede Haudhabe.

Auch von seinen Schriften ist, soweit mir bekannt, nur dieAusgabe von Me (s. unten A3) datiert, nâmlich aus dern Jahre398 h/1007—8), wâhrend sein Hauptwerlr, al-mif/îstî as~sâlïï (s. untenBIS), nach einer (unverbtirgten) JSTachricht-1) dem !EJwârizmsâh cAlïgewidmet ist, also 387—400/997—1010 verfaBt worden sein nruB.

Gelebt haben wird er •— auch dariiber wissen wir niohts ge-naueres — hauptsachlich in JI^Erizm (speziell ïnKât)2) und spâterin Ghazna.

Nach den von ihrn verfaBten Werken (siehe die folgende Liste)•war er in erster Linie Mathematiker und Astronom, und al-Bïrûnï,der stets mit groBer Hochachtung von ihm aïs seinem Lehrerspricht, dûrffce ihm seine grimdliche Ausbildung auf diesem Ge-biete verdanken.

Abu Nasr's Werke sind schon mehrfach3) zusammengestelltworden. Dennoch wird •— hof'fe ich — meine Liste4) nicht ganzunniitz sein, da in letzter Zeit allerhand neue Werke von ihmaufgetaucht sind. Hoffentlich gelingt es anch in nicht allzu fernerZeit einmal, seine beiden Hauptwerke (A4, B 13) in Handschriftennachzuweisen.

A. Mathemat ik . -1) (5j.tail (-jU/ l-r ^E SSJLiJI sJlSl! jS, i&.ioji K^-w ù^~ J. jdL*^

nAbhandlung iiber die Losung einer zweifelhaften Stelle irn drei-zehnten Buch der Elemente'1, an al-Bîrûnî gerichtet; Bit. 12;Nadwi 254.

1) In den von Salin Zeki herausgegebeneu Atâr-i bâçiije. Stambul 1320.Bd. 1, S. 168.

2) Kât (s, El, II877, JSç. IV 222, Le Strange 446/47) war der alte Herrscher-sitz von H»r5rizm, die Dynastie Ma'man lesidierte in GurgEng (der Naine ist er-halten im heutigen Urgenc, die arabische Forai war al-wurf ânïja, s. El, II194/95).

3) [1] S. XXXXVTI, libers. [8] NachtrEge (1902), S. 172 und [11] S. 7S/S9,Anm. dazu S, 90/91; [7J und [8].

4) Quellen dafiir (a) Birum's Yerzeicbnis der Schriften, die îf auf seineVeranlassuug hiu verfaCt habe, im Jahre 427 h/1036 d geschriehen, s. [1] S. XXXXVII,zit. mit Bir, 1—12; (h) Zitate in Werken Birunis, (c) HH, (d) Haudschrifteu-'-tataloge, insbesondere an-M"adwr, Taçtkirat an-Nawâtlir, Haidai'abad 1350 (uaohiîtimmern zitiert).

112 Max K r a u s e

Berlin Ahlw. 5925 (= Ms. or. 2° Bd. 268, fol. 74 b— 75 b, ge-schrieben 1060/1650).

Bankipore 2519 (3 EL, 631 h/1233— 34 d).2) aAbhandlung liber den ebenen und sphârischen Sinussatz

fiir den ïall des rechtwinkligen nnd schiefwinkligen Dreiecks",von al-Bïrûnï in einem Brief dem Abu Sa'ïd as-Sigzï1) mit-geteilt.

Leiden 1007 (= Cod. 168 Golii 15°, fol. 134b— 136 a). liber-setzt [10],

3) X.;XS! jlXû^t jj ^wj^ljU <->Lzï ^«31 BVerbesserung des Bûchesvon Menelaos liber die sphârischen Kguren", beendet im Jahre398 h/1007— 8 d.

Leiden 989 (Cod.-'Warn. 930, geschrieben i. J. 678 h/1279 d).Auszug:' Bankipore 2519 (2 BL, 631 h), s. Nadwi 241.

4) ^Uzil ^UIÀ^J nDie Yerbesserung der mathematischen Wissen-schaften", wird von al-Bïrfinï in seinem Werk liber die Astrolabien,k. fî istfâb al-wugûh etc., Cod. Leidens. 1066, fol. 52 b, zitiert:,,Abû Nasr Mansûr [b.] eAlï Ibn clrâc[ hat in seinem Werk 'Ver-'besserung der Belehrungen (Tahdîb al ta'âlïm)' bewiesen, daB dieAnwendung der Proportion alitât zwischen den tlberschiissen derbeiden Kolumnen, nâmlich den graden Linien. die den Kreislinien(in der Tabelle) gegeniibergestellt sind, angenâhert gilt. Ich habein einem andern Werke gezeigt, daB dies fiir die Schatten nichfcgilt und bei weitem nicht richtig ist", (Nach E. "Wïedemann, Bei-trage LXI, SBPMS Erlangen, 62/53, 1920/21, S. 119).

Dièses "Werk muB lange vor 390 h/1000 d geschrieben sein, daBiruni das Biich liber die Astrolabien vor seiner Chronologie [1]geschrieben hat2) und dièse im J. 390 — -91 beendet wurde ([1]S. XXIV— Y).

o) D"' «.

cLkaJI i;»^ ,,Abhandlung dariiber, wie man diesphârischen Bogen anf anderem Wege aïs mittels des Transversalen-satzes und des zusammengesetzten Yerhaltnisses bestimmt", Bir. 11,Nadwi 251.

Bankipore 2519 (2 BL, 631 h).6) X^iAijJS JJL^,^ Qaxj ^c vl>^- A SjL*u, ,,Abhandlung liber die

Antwort aaf einige ïragen ans der Géométrie". Nadwi 252.Bankipore. 2519 (4 BL, 631 h).

1) Suter, MAA, S. 80/81.2) Denn in seiner Chronologie 357, 20 weist er anf dièses Bnoli yon sicli hin.

113Zur Textgescliiohte der Spharik.

B. As t ronomie .

1) L\Â5>t\ÀM.JI v_)Ls?i OUx: JjiA^I v_s-«.AaÀj' sïc .j. <_>Ljtf" sBuch liberdie Ursache der Halbierung der Ausgleichung bei den Yerfasserndes Sindhind (== SiddMnta)1'1), Bir. 2.

2) ^.f^XJ! eJilX=>! g,A^>VjaJ J, ^LÀAv ^J fri^y! ^-il'^ g>.-ç .iaj j, vyUi'

KjijJ.jiJI nEin Buch liber die Yerbesserung des Bûches von Ibrahimb. Sinan2) liber die Erklârung der Ungleichheit der oberen (Wandel)-sterne", Bir. 3.

3) (V.jj.BS.1! JijA^; (j&. :>- jL,c! ^^-^ & KJL*^, ,,Abliandlung liberdie Beweise zu denYerfahren von H ab as8) bei der Rektifikations-tabelle", Bir. 4, N"adwi 242.

Bankipore 2519 (16 BL, 631 h).

, (J^A^- J,,= jj,c QlS^-JI J, KJL*v, BAbhand-liber den Beweis zu dem Yerfahren von liabag in seinem

ïafelwerk bei (der Bestinimung) der Aufgâng'e des Azimuts",Bir. 10, ÎTadwi 250.

Bankipore 2519 (2 BL, 631 h).

5) g,jU«i.!i go^ J, j-fAv.Ji Qp QjL^ _-âx^ £$ ^ï_5 U g^su=j J. XJLw.,,Abhandlung liber die Bichtigstellung dessen, was Abu âacfar al-Sazin5) in dem 'Tafelwerk der Soheiben' iibersehen hat", Bir. 5,Nadwi 243.

Bankipore 2519 (9 BL, 631 h).

6) .j*,+AJi 0Ls^! J ^Û^JI jj> à-f ^ OL^! À sJl-, »Ab-handlung liber den Beweis zu dem Yerfahren von Muhammad b.as-Sabbah6) bei. der Prtifung der Sonne", Bir. 8, Nadwi 248.

Bankipore 2519 (3 BL, 631. h).

7) ^..eUtfJ! ^Sj^kib ij^yfcwo^l X*«! j, xJU/j nAbhandlung liberdie Konstruktion des Astrolabs auf kiinstlichem "Wege", Dièses

1) Zu dem Thema vgl. H. Snter, ,,Die astrouoniisclien Tafeln des Mtili. b,Mftsîl al-Khwfirizmî . . ., Koponlmgen 1914, S, 49/52.

2) Snter, MAA, S. 53.

3) Suter, MAA, S. 12, Brookelmann, GAL, 1 221.

4) Sachan [1] S. XXXI? yermutet, daB dièse Schrift in Leicleu 1062 toil-weise erlialten sei, Dort findet sich nârnlicli ein Fragment der Schrift eines CJn-genanntBU (Biruni?), in dem dieser mitteilt, er liabe eine Sclirift (risala fi samtul-gibla) von Habas gefunden, die er dem Abtt Nasr vorgelegt habe und wozudieser daun einen neuen Beweis geliefert habe. Saohau's Tormnùing wird kaumzntreffeu, da Mer eiue audere Sehrift von Haba§ genannt wird.

5) Suter, MAA, S. 68.6) Suter, MAA, S. 19.

Abhandlungen d. Oes. d. Wiss. zu Gôttingen. Phil.-Hisl. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 8(Sonderheft der Malh.-Phys. KL)

lié Max K r a u s eZur Textgeschiehte der Sphilrik. 115

11*Werk rnufi nack B. 9 und 10 verfaflt sein, die darin zitiert1)

sind2).Berlin, Ahlw. 5797 (= Cod. Spreng. 1876, f. 8 a— 12 a, ge-

schrieben 1255 h/1839 d).8) rf\Lf\ j,lLy*Jl v^jk^i à K^**; ,,Abhandlung liber das

krebsformige, gefliigelte Astrolab" 3), in 90 Kapiteln (CEE III 336,

Nr. 5966).9) <^S$Jaja$\i o-p-vJS ylj,>> oijl^5 jâ, xJ\.«j ,,Abhandlung iiber

die Durchgangspunkte der Azimutalkreise auf clem Astrolab", Bir, 6,

yor Bir. 7 verfaBt, Nadwi 245.Bankipore 2519 (4 Bl., 631 h).10) oj.^vJ! J, i—ilA^ nBtich liber die Azirrmte", Bir, 1, verfaBt

vor Bir. 7 und ebenso wie A4 lange vor 390/91 h.Biraiii zitiert in seinera. "Werk liber die Astrolabien, Ahhv. 5796 (= Cod.

Sprenger 1S69), fol. 112 a — 114 a, daraus eine Méthode zur Konstruktion der Hy-

perbel, vgl. [H] S. 85,11) (jjBiXJI vJjiXc* J, xJlwj ,,Abkandlung iiber die Tabelle der

KLinuten", an Biruni geriohtet, Bir, 7, Nadwi 247.Oxford 1940, 6°.Bankipore 2519, 7 Bl. (631 h).

• 12) s.jùUjii oleUJl ôv, ' jtil jS^LXii J, x)U; „ Abhandlimg iiber dieBLreise, die die Zeitstunden abgrenzen", Bir. 9, ÎTadwi 249.

Bankipore 2519 (2 BL, 681 K).13) ^L&J! ^k^.^\I! ,,Der dem Schak4) ge-widmete Almagest"

(gewoTmlicb. ,,der konigliclie Almagest" genannt), YerfaBt zwiscaeri

387 k und 400 li (s. o.).Ein. kurzer Auszug hieràus ist Yorhanden India Office (734,

2°) unter déni Titel BBrmittlimg des Abstandes zwiscken den

1) Fol. 11 a 17— 19:(1. ^^1) Ol2?;^

.Oj^v - ï r ( , ^ l^li' LA Uj, _jj!^LXM

2) Kaoli sinsm in Stambul, Seray 3455, fol. la, erkaltonen Khrist wurdedièse Sclirift an AKi "Abdallâli Muhammad b. 'AH al-Ma'mUnï geriohtet, d, h.dooh wolil an den im Saw\val 407 h/Mita 1017 éingesetzten Hwarizinsâh Mtilj. 1).

'Alï b. Ma'mùn, s. o, S. 110, Anm. 7.3) Yielleicht hat uaeh HH der Titel et\va so gelautet:

^UtaJl (SJ_jiJlj ^i^vll J,ltl;^JS O tl S KSj-B^ ^ '{Ov/«j

4) Gemeint ist der Hwârizm-êah ixnd hier speziell Abû-l-'Abbàs 'AU b,

Ma'niûn (385 h— 400 h).

beidenMittelpiinkten". Zitiert wird es a) in [2] S. 58—60 (,,Kenntmsder Sekne der Differenz nnd der Sehne der Summe1), jede fiirsien") und b) in [4] S. 125, 17—22 (Text) und libers. S. 162/63(nBemerkung aus déni 'konigl, ALmagest', Bucn I, Abteilnng 2,Kapitel 3").

14) ^^^XÀ/s !$.}•, lA/olc- , 1 y\ vii\xï5 SJl^v^ KSAS:^ ^c ^LS>^Ji ^iOUvj

i_>^_.Ja*»^i JL,=I Q, xcjLw« LgJ! nAbhandlung iiber den Beweis einesProblems, das zu den Konstruktionen des Astrolabs gehort undiiber welches ein Streit zwischen Abu Hâmid (d. i- as-Sâganï, vgl.Suter, MAA 143) und den Astronomen von ar-Raj entstandenwar", Nadwi 244.

Bankipore 2519 (2 BL, 631 li).

15) L_^S_kwïM ^ j-W*0 Q^ 1-x*^ û~f i^c o^jîtt A x^.w> ,,Abliand-lung iiber den Beweis zu der Konstruktion Muhammad b. Sabbâli'sbei dem Astrolab", Nadwi 246.

Bankipore 2519 (3 BL, 631 h).

16) xis^! Kjjy ^ p&'c (j-c _>? \.f. SAÀLUI j\^ OiA./ ^ idU, Ab-liandlung iiber die Aufdeckung des ïelilers in der bei den Bâti-niten allgernein iiblichen (Méthode) bei der Beobachtung der rTeu-nionde8, Nadwi 253.

Bankipore 2519 (3 BL, 631 h).

17) iWvJl Xj_.5" & v'*-^ «Buch iiber die Kugelgestalt des Himmels".Nadwi 255.

Ein Auszug daraus liegt vor in Bankipore 2519 (4 BL, 631 h),Ich stelle hier noch die mir bekannten Zitate aus Werken N's

(oder Hinweise auf "Works von ihm) zusammen, soweit sie sich inbisher veroffentlichten Werken al-Birûnï's oder at-Tîlsï's finden:

1. al-Bîrrini, nûber die Projektion der Sternbilder und derLander"2), S. 83 (,,N tadelt al-BattânïJs Méthode zur Konstraktiondes Azimuts der Qibla"),

2. ders., Chronologie [1] S. 184 (tïbers. S. 167) : ,,lieferte eineneue vortreffliohe Méthode zur Berechntmg des Apogâums".

3. ders., Sehnenbuch [2] a) S. 18 (Beweis des Satzes: n"Wennin einem beliebigen Kreisbogen eine gerade Linie ungleioh (d. i. inzwei ungleiche Teile) gebrochen gelegt wird, und von der Mitte

1) Wenn die Sehnen der beiden Bogen bekannt sind.2) Ûbersetzt yon H, Suter in den ,,Abhaudlimgen zur Gesohiolite der Natur-

wisseusohaft und der Mediziu", Heft 4 (Eiiaugen 1922), S. 79—93.

8*

116M a x K r a u s e

110

des Bogens eine Senkreclite auf sie gefâllt wird, so wird sie (die

gebrochene Linie) dadurch halbiert").b) S. 21/22 (,,Zweiter Beweis dazu").c) S. 27/28 (Beweis des Satzes : ,,"Wenn in einen Kreisbogen

eine gebrochene Linie gelegt wird, die den Bogen halbiert, hieraufin denselben Bogen eiae zweite gebrochene Lmie; die den Bogenin zwei ungleiche Teile teilt, so ist das Produkt des einen Teilsder den Bogen halbierenden Linie in den anderen gleich demProdukt des einen Teils der den Bogen in zwei verschiedene Teileteilenden Linie in den andern mehr dem Quadrat der Sehne, diezwisehen den beiden Teilpunkten liegt").

d) S. 28 (nZweiter Beweis dazu").e) S. 56 (nKenntnis der Senne der Differenz zweier Bogen,

deren Sehnen gegeben sind, ans der Sehne ihrer Snmme, undKenntnis der Sehne ihrer Summe aus der Sehne der Diffei-enz").

f) S. 58—60 (s. oben B13).4. Nàsïr ad-Dïn at-Tûsï in [4].

a) Text 108,15—109,4, tfbérs. 140/41 (PramissezumSinussatz).b) Text 109,12—111,14, Ûbers. 142—45 (Beweis des sphari-

schen Sinnssatzes fiir rechtwinklige Dreiecke).c) Text 111,16—113, 3, "Qbers. 145/46 (andrer Beweis dazu),d) Text IIS, 4—114,. 15, '"Obéra» 146/48 (dritter Beweis dazn).e) Text 121,11—122,12, Ûbers. 157—58 (Beweis des sphâri-

schen Sinnssatzes fiir schiefwinklige Dreiecke).f) Text 124,15—125,5, libers. 160/62 (Bemerknng).

g) s. oben B13.h) Text 125,22—25, tjbers. 163 Çffinweis auf eine Stelle in

îî's Kommentaï zur Sphârik von Menelaos).i) Text 129,10—130,2, libers. 167/68 (Pramisse zur sSchatten-

regel").j) Text 59,14—60,4, libers. 76/78 (nZwei Bogen zu er-

mitteln, wenn ihre Summe und das Yerhaltnis ihrer Sinus be-

kahnt ist").

Deutsche Obersetztuig der Sphiirik. 117

B. Detitsche Ûbersetztmg.

1 Das Buch Menelaos ' liber die s p h â r i s c h e n Figuren,

Verbessenmg des Fùrsten Abu Nasr Mansfir &. 'Iraq

— Grott habe ihn selig! —

8 [L Ib] lin Namen Grottes, des barmherzigen Erbarmers!

Bei ihra isfc Schntz und Hilfe1)!

Es sagt Menelaos2): ,,Ich, o Bâsïlîdes3) Allâdî8), habe gesehen,6 dafi dièse Beweisart, liber die ich nachgedacht hatae und die ich

dir darlegen will, eine schone und wunderbare Art ist, und dasdeshalb'1) weil sie auf der Kugeloberflaohe viele Dinge auf'tretenlafit, von denen man nicht glaubt, daB sie existieren4).

So beginne ich damit, dir die Beweise dieser Dinge darzu-9 legen, wobei ich nach tibereinstimmung mit dir strebe und uni das

weiB, was in den (S + ,,geometrischenK) Beweisen (an Kraft?) liegt,die Seele ihnen zugeneigt zu machen, und besonders uin das vonihnen, in dem ITeinheit ist und das zu dem gehort, was die Seeleliebt nncl begehrt5).

1) In der HandsoMft folgt darauf ,,Das Bucb Menelaos' (in der) Yerbesse-rung des Fùrsten Abri Nasr Mansnr b. Irâti — Gott bab! ihn selig!"

2) Die ganze Einleitung, von ,,Icb, o ..." ab bis ndargestellt" feblt in Lund ist nach T und S ergânzt.

3) Ûber den zugrnnde liegenden grieonisclien Namen kann ich nur Yer-mutungen aiifiern. Die Lesart bei H ,,o Kiinig Alâdijâ" deutet auf eîn griecbi-sches (3affdfiiig hin; dann kônnte aber in dem ,,Allâdï" nur der Manie einesromischen Kaisers stecken. So batte ich zuerst Hadrian darin verniutet. Dagegenspricht aber folgendes. Da N und H auf voneiuander vsrscbïedene Ubersetzungenzurûcltgeben (I § 4), so halte die entstellte Form schon im Syrïschen, ja — dafur bH wohl mindestens die Kenntnis des griechiscben ïoxtes vorausgesetzt werdendarf — sogar schon im Griechisclien gestauden, -\vas unglaublich ist. So wird derName (teils 'nach M, teils nach H) wohl etvra ,,Basileides Helladios" gelautethaben. Kâher zu identifîzieren vermag ich ibn indes nicht.

4—4) Bei H „... die gefilhrt liât zu vielen Diugeu von déni Schwiorigen dieserWissenschaft, die — wie ich glaube — noch Iceinem vor mir eingefallan siud".

5) Herr Nedjati Hiissni Bey macht mich darauf aufmerksam, daB der Aus-druck ,,-was die Seele liebt und begehrt" stark an den koranisohen Ausdruck(Sure 43, Yl) ..was die Seelen begehren und woran die Augen sich ergôtzen"anklingt.

118 Max K r a u s e

Der Menscli vermag, wenn1) er Belekrung liebt1), dièse Dingezum "Werkzeug zu machen und die entsprechenden Sâtze und 12Problème auf sie aufzubauen tmd ans ihnen herauszuliolen, wie2)wir es in vielen geometriscken Einzelschriften und astronomischenSchriften8) getan haben.

"VYir haben die Dirige hervorgehoben4), bei denen schon unsereYorganger Recht gehabt kaben und haben viele der auf das G-anze 15

bezûglichen, allgenieinen Tatsachen5), die schon ein anderer6) fureinen Einzelfall ausgesprocken und bewiesen hat und die schon inden ,,B,eden", die ûber die Elemente der Lehre von den sphârischenKguren verfaBt (nniedergelegt") sind, nach der Méthode des Ab-surden bewiesen sind, allgemein und (sowohl) jene Beweise (wieauch) die TTmkehrung jener Beweise umfassend und mit7) der da- isbei notigen Abgrenzung auf direkte "\Yeise 7) dargestellt 8).

(Die Defini t ionen)9) .(1) Diejenige der Figuren auf der Oberflâohe der Kugel, .die

ioh dreiseitig 10) nenne, ist die, welcke drei Bogen von GrroBkreisen

1) Bai H Ad\ »die das Wissen lieben".

2) Der SchluB der Einleitung scheint in dem griechischen (syrischen?) Text,der der alten Ûbersetzung (Ûj) zugruude lag, gefehlt zu haben,

3) Zu den Scliriften Menelaos' siehe Bj. S. 4— 10; vgl. auch Fibr. S. 267(tïbers, Suter S. 19) und Ibn al-Qiftï S. 321. tîbrigens zeigt dièse BemorkungMe's, daB dis Spharilc wahrsoheinlieb am SohluB seîner wissenschaftlicten Tatig-keit gescbrieljen ist, und daB er die biarin aufgebaute Lehre bereits sait langempraktiscb. angewandt batte.

4) Man merkt allerdings von einer solchen Harvorbebung in dem gauzenWerk, wie es uns Yorliagt, sebr wenig, wenn damit nicht der Himveis auf Tbeo-dosius und Apollonius (nach Me 118 und Me IH 15 a) gemeint ist, oder der TJm-stand, daB III 1, der nicht Me angehûrt (vgl. Bj 99—102), so abweichend formu-liert ist.

5) So habe ich yersuchsweise ,,a'râcl" flbersetzt, das hier kauin aïs terminustecbuicns (,,Accidentia") aufzufassen ist.

6) Gemeint ist natûrlich — wie schon T liemerkt • — Theodosius.7) Ob ich mit dieser Wiedergabe das Biclitige getroften habe, weilj ich

nicht. ,,Auf direkte Weise" feblt boi T, ist jedoch (Gegensatz zu ,,Mathode desAbsurden") unbedingt niStig.

8) Hiarmit bat Menelaos selbst sein Verhiiltnis zu den âlteren Arbeiten liberSpbârik und seine Ziele bei seiner Arbeit gekennzeichnet. Er liât Sâtze, die furEiuzelfalle schon ausgesprochen und bawiesen waren, verallgemeinert und solche,die bei Theodosins durch deductio ad absurdum bawiesen waren, direkt bewiesen,So ist z. 13. Me II 10 ! = Th. III (6 u.) 9, II102 = III 5, II 11 eine Erweitemngvon III 13, II 121 = Th. III 7, I1122 = Th. III 8. (Ygl. Bj. S. 54/55).

0) Dièse tJbersehrift fehlt ira Text.10) Ubersetznng des griechischen tg

Deutsche Ubersetzung der Sphârik. 119

21 einsohlieBen, wobei jeder1) dieser Bogen kleiner aïs ein Halb-kreis1) ist2).

2 (2) Ihre Winkel sind die, welche jene Bogen einschlieBen, da-mits) sich dieselbe dreieckige JHache ergebe und die genanntenBogen sie einschlieBen3).

3 (8) Die4) Winkel, die ich gleiche Winkel, die GrrolSkreisbogeneinsohliefien, nenne*), sind die, bei denen die Bogen der Neigungikcer Halbkreise6) einander gleich sind, d. h.8) der zwischen denbeiden Kreisen liegende Bogen von dem Jîreise, <der> clarcli ihrebeiden Pôle geht6)7).

1—1) Hierzu vgl. z. B. Ptolem. Almagest (éd. Heiberg) 1 74 è'arai Ss» lidaffcov TipmvHiîov.ufa&v .

2) Auf dièse Définition beziehen sioh Pappus' Worte in den Collectiones(éd. Hultsch) II 476, 16/17 -falsî Ss ta miav-co aia Msvélaog sv -COLS atpaïQi-• •

3—3) Dieser Teil fehlt bei S, ist also offenbar ein Zusatz îî's.4—4) Bei S nDie gleichen Winkel".

a) Statt ,,ihrer Halblaeise" bat S ,,der sie einschlieBanden Halbkreise",6 — 6) ffahlt bei S, ist also wohl ein Zusatz ÎT's; daB er Tusî bekaunt war,

zeigt ein Vergleich mit dessen in I §8 mitgeteilter Def. 7! Bei S folgt stattdessen: ,,(4) Man sagt, daB die Winkel jene îjeigungen msssen, weil sie die Pôleder Kreise jener fïeigUHgen sind. (5) Man sagt, daB die Gro/îtereise aufeinanderseakrecût stehen, wenn jeder einzelne von itmen durch die beideu Pôle des anderngeht".

7) Uni entscheiden zu ko'nnen, ob die Defînitionen in dieser Forai wirklichvon Menelaos stammen — daB sie im allgemeineu echt sind, bat schon Bj S. 18festgestellt —, mussen wir auch die anderen arabischen Bearbeitungen zu Bâteziehen. Ich stelle daruni den Hauptînhalfc der Definitioneu nach Î\ (und S), Ma(nach J) und H (und T) in Stiohworten zusanimeu; fur den Wortlaut verweiseich auf die betreffenden Stellen in I § 5, 6 und S.

W cm " ' - '1. Dreiseit.

(S)

2. Winkel.3. Gleiche Winkel.

Ma (naoh J)Sphârisches Dreieck.Seiten des Dreiecks.Winkel.Gleiche Winkel.

H (und T)Sphârische Figuren. Dreiseit

und Vierseit,Winkel.Eechter, spitzer, stumpfer

Winkel.Kleiuerer (u. grMei'er) Winkel.Gleiche Winkel,

(4, Winkel messen die GrôJSerer Wiukel.îîeigtingen,

5. GroBkreîse stehen Bogen sehlieflenrechteuseukreolit aufein- ^Yinkel ein.ander.)

Hieraus ergibt sich, daB Def. 1—3, die durch Ma bestiitigt werden, sicherecht sind. Da die Herkunft der Definitionen in S unsicber ist (aus N sind sîenicht entnoninien, da N's Zusatze fehlen), so kommt man fur Def. 4 und 5 ûber.Yennutungen nicht hinaus. Fur die Echtheit spricht, daC Def, 5 in etwas andererForm auch bei Ma (und darnach bei H, T) vorkoinmt. Ma's Definitionen (lat.

120Max Ki au se

Satz 1. sWir wollen erklâren, wie wir auf 'einern bekannten1) Bogen2)

eines GroBkreises 8) in einem bekannten Pnnkte von ihm eineiiWinkel errichten, (der) gleich (ist) einem bekannten Winkel, denzwei GroBkreise einschliefien4). 3

So seif>) der bekannte Grofîkreisbogen Bogen AB, der be-kannte Punkt Punkt B und der bekannte "Winkel, den zwei GroB-kreise einschlieBen, Winkel GDE. Wir wollen in Punkt B von 6Bogen AB einen Winkel errichten, (der) gleich (ist) dem Winkel

GDE.So setzen wir Punkt D aïs Pol nnd besohreiben mit irgend

einem Abstande Bogen GE, setzen Punkt B aïs Pol raid mit demgleichen Abstande besehreiben wir Bogen AZ nnd trennen vondiesem Bogen einen dein Bogen GE gleiclien Bogen ab, namlich 9AZ und besclireiben einen Grofikreisbogen, der durch die beidenPnnkte B, <Z> geht, namlioh BZB).

Da Bogen GB gleich Bogen AZ ist, die beiden ihnen gegen-iiberliegenden Winkel von den Winkeln bei dem Mittelpnnkt ein-

tïbersetzuug naoliHalley s. Bj. S. 26) weisen schon Erweiterungen auf, mehr nocli

finden sich bei H und ï (s. I § 8).1) Griech. So9sïs.2) ,,Bogen" (gaus) ist das griechische rteçKpiçeia. Bei H flndet sleh au

dieser Stella die wbrtliche tfbersetzung ,,m«7»ïf' = thnfang (Hinweis anf ver-

schiedene ûbersetzer? s. I § 4).3) GroRkreis (clà'ira 'asïma) gibt das griechische fiÉytstos v.vx).os -wieder.

Daneben flndet sich. auoli (besonders bai H) ,,gr6Bter Kïeis" (ââ'ira \içmà),4) Ygl. Euklid 123 Hgbs tf; ôo&sCGy sû&&ta «al ta «ces ccù-cy a^etca ty

So&sîiî'ji ycùvlif. E'6à)-uyçâ(i(icp l'ariv ycovîav s^Wyçafifn)»' avatTjGaa&ai,

5) In Kgur 1 auf Tafel I.6) Dieser Abschnitt (3,9—12) lautat bei T (anscheinend <H<Ma): „, . . und

zielien dsn GroBkreisbogen BZ (Tbeod. 121). So ist A^ABZ der gawûnsclite

kal).Da die beiden Bogea GD, DE GroCkreisbogeu sind, die durcb dan Pol von

Kreis GE gelien, sind ibre gemeinsanien Schnittlinien mit Kreis GE zwei Durcb-messar des Kreises GE. So schneiden sie beide einander in dessen Mittslpunktund ist die den beiden Kreiseu GD, DE gemeiusaine Scbnittlinie, d. h. der durcliPunkt D geUende Kiigeldurchmesser, aine Seukreobte auf der Ebene des KreisesGE (Theod. 1 10), die auf desseu Mittelpunk't fallt. Also siiid die beideu mitKreis GE gemeinsanien Scbnittlinien zwei Senkreelite auf ibr, die Yon einem ibrerPunkte in den beiden Ebenen ausgelien und sie scblieBen einen Wiukel ein, demBogen GE gegenuberliegt. Ebenso in Dreieck ABZ.

Da dieteiden Bogen AZ, GE einander gleicb. sind und sie beide (Telle) rongleicben Kreisen (sind), so sind dia beidan genaunten Winkel bei den Mittel-'punkten dar beiden Kreise AZ, GE ainander gleich (Eukl, III 27)".

Deutsche Ùbersetzung der Sphârik. 121

ander gleich sind tind sie die ÎTeignng der Hâlften der genannten12 Kreise sind, ist Winkel ABZ dem Winkel GDE gleich.

Wenn die beiden Kreise AZ, GE Grofîkreise sind, so sind siebeide1) einander gleich. nnd (Teile) von den beiden Kreisen, diedurch die Pôle der Kreise AB, BZ, GD, DE gehen, und die beidenWinkel, die ihre bei den Punkten A, Z, G, <E> endigenden -)

15 Dnrchmesser einsohlieJJen,. sind ebenfalls einander gleich und esmessen sie die beiden Winkel B, D.

Und .wenn die beiden Bogen AZ, GE nicht (Teile) von GroB-18 kreisen sind, so sind sie den beiden Grofikreisen parallel, die nm

[L2a] die beiden Pôle B, D gezeichnet sind. Eolglich sind ihrebei den Punkten A, Z, G, E endigenden Durchmesser parallel denDurchmessern der beiden Grofikreise, die von den Kreisen AB,BZ, GD, DE bei dem Endpunkt der Quadranten von den beidenPunkten B, D aus endigen, welclies der Durchgang(spunkt)3) der

21 beiden Kreise ist, die durch die Pôle der Kreise AB, BZ, GD, DEgehen. Und weil dièse Durchmesser zu einander parallel sind, sinddièse Winkel, die sie einschliefien, einander gleich, d. h. je zweiWinkel bei den Mittelpunkten zweier zu einander paralleler Kreisevon ihnen, die Durchmesser einsohlieBen, welche den Durchmesserndes genannten Grofikreises parallel sind.

4 Eolglich ist der auf AZ (stehende) *) Winkel bei dem Mittel-pnnkt des Kreises AZ gleich dem auf GE (stehenden) Winkel beidem Mittelpnnkt des Kreises GE. Also sind die vier Winkel

3 gleich. Dièse Durchmesser sind deshalb zn einander parallel, weiljeder einzelne der beiden Kreise AB, BZ nnd der beiden KreiseGD, DE zwei zu einander parallèle Kreise in zweien ihrer Durch-messer schneidet6)G).

1) D. d. die beideu Bogen AZ, GE.2) ,,Endigen bei" (intahà ilcC) ist das griechische Ttgoanûttsw3) nmamarr" ist ,,der Ort, w> man durchgeht, vorbeigeht".4) Ygl. Eukl. III Def. 9 ; "Otav Sk al xeçifyovGai tijv yavlav SV&SÎKI, àito-

riva iteçicpsgsicw, sn' I-ASÙ>T\S téystai. (3s(?7)K£Vat TJ yavîa,5) Das im Arabischen stehende ,,fasala" bedeutet eigenfficb ,,abschneideu,

abtrennen" (ucpaïQEÎ/v, âitolaiiflKvsM), wâhread man hier ,,schneîden" (gcita'a =•dy-veiy) erwartet.

6) Polgendes Korollarium (nach G), das in keiner der iibrigen Ausgabeui'ehlt, dûrfte auch bei N gestauden haben ("W o, fol. 13 a 29—33) : Et (W o Quia)hic declaratum est, quod, o^uando siguantur super duo punota omnium duorumangulorum, c^uos continent areus eirculorum magnorum supar superflciem sporeet cum t^uocunc[ue spatio fuarit, arcus eirculorum qui subtenduntur ois, et arcus-fuarint equales ; tune anguli erunt equales, et (W o ciuod) si anguli fuerint eguales,tuuc arcus iterum erunt equales".

122Max K r a u s e

Deutsche Ûbersetang der Spliilrik. 123

Satz 2.Die beiden Winkel an der Grundlinie jeder dreiseitigen gleick-

schenkligen T?igur sind einander gleich1). 6Es sei2) die 3?igur ABG dreiseitig (tmd) gleiclisclaenklig, indem

AB von ihr gleioli BG sei.So bekaupte ioh, daB der Winkel BAG gleicTa clera Winkel

EGA. sei.Da wiï Punkt A aïs Pol setzen und mit dem Abstande G 9den Bogen &D beschreiben, Punkt & gleicMalls aïs Pol sstzen•und mit dem Abstande A. den Bogen AE beschreiben uncl diebeiden Bogen ABD, QBE vervollstandigen, so ist der Bogen ADdem Bogen GrE gleich und der Bogen BE déni Bogen BD gleich.So stehen anf den beiden von den beiden Punkten D, E aus-gehenden Durchmessern zweier Bogen von gleichen Kreisen, nâm-lich der beiden Bogen AE, D&, zwei gleich groBe Kreisstiicke, 12nâmliok die beiden Bogen AD, GB senkrecht, und von ilinen beidensind abgetrennt zwei gleicb. groBe Bogen, namlich BE, BD, dienicht die Hâlften der beiden Stiicke sind. Yon Punkt B aus sindzwei gleicb groBe Bogen BA, B& gezogen. Daher ist Bogen GD 16dem Bogen AE gleich [Theod. II11], und deshalb sind die beidenWinkel bei dem Mittelpunkt, denen dièse beiden Bogen gegeniiber-liegen8), einander gleich [II, Korr.]. Aber .der Winkel von ihnen,dem Bogen GD gegentiberliegt, ist der.Winkel der ITeigung derbeiden Halbkreise, von denen AB, AG Stiicke sind, nnd der Winkel 18von ihnen beiden, dem Bogen AE gegeniiberliegt, ist der Winkelder ÏTeignng der beiden Halbkreise, vo'n denen GB, GA Stiickesind. Also ist Winkel BAG [L2b] dem Winkel EGA. gleicb. ïïnd

das wollten wir beweisen.'1)!

Satz 3.Wenn zwei der Winkel einer dreiseitigen Eigur einander gleicb 2l

sind, so sind die beiden Seiten, die ihnen gegeniiberliegen, ein-

ander gleich").

1) Ygl. Euklid 15 nTmv laaa-Ml&v -cgiywvcùv ai xgbg tfi ftàaii yravîai l'aai.

tes slaîv . ..".2) In Figur 2 auf ïafel I.8) WOrtlich ,,lieselmeu" (wattai'(î) ist die gewShiiliclie AYiedergabe des grie-

cMschen. întotzîvuv.4) Qriech. ômç êSsi, Ssfèai wird bei HbM und bH stets so (vrôrtlioli ,,und

.loues ist, -\vas wir arldilren wollten") ûbarsetït,5) Ygl. Euklid 16 n'Eàv tgiymvov ai Svo yasvîai i'acci anglais &civ, v.a.1

UL iiïtb T«S i'ffas yra«'as ùno-cstvovoai rtiEDgaï l'tsai àttrilciig saovraia.

Es sei1) Kgur ABG dreiseitig und es seien die beîden Winkelvon ihr bei den beiden Punkten A, G einander gleich. So behaupteich, dafi Seite AB der Seite BG gleich ist.

24 Da wir nm die beiden Pôle A, G zwei GroBkreisbogen ZED,• THD zeichnen, so ist Punkt D der Pol von TAGZ. Also ist Bogen

DHT dem Bogen DEZ gleich. Bogen TH von einem clieser beidenBogen ist dem. Bogen ZE von dem ' anclern gleich (II, Korollar),

27 weil der Winkel bei A gleich ist dem Winkel bei G. Daher istder verbleibende Bogen DE gleich dem verbleibenden Bogen DE.

5 So stehen auf den beiden von den beiden Pnnkten H, E aus-gehenden Durchmessern zweier gieicher Kreise, namlich GBH,ABE, zwei gleiche Stiicke von Kreisen senkrecht, die anf den

3 beiden genannten Kreisen senkrecht stehen, und die beiden BogenBD, DE von ihnen sind einander gleich. Die Gerade, die zwischenden beiden Punkten D, B gezogen2) wird, ist eine gemeïnsaineLinie. So ist der Bogen BH dem Bogen BE gleich (Theod. II11).Daher nmfi der Bogen BA dem Bogen BG gleich sein. Und daswollten wir beweisen!

6 Satz 4.Wenn zwei Seiten einer dreiseitigen Figur gleich zwei Seiten

.einer'anderen dreiseitigen Kgur sind, jede ihrem Gegenstiiok (gleich),und die Gmndlinie gleich der Grundlinie ist, so sind die beidenWinkel der beiden Eiguren, welche die gleich groBen Seiten ein-

9 schliefien, einander gleich, und wenn der Winkel gleieh dem Winkelist, so ist die Grundlinie gleich der Grundlinies).

Es gebe4) zwei dreiseitige IPiguren ABG, DEZ und es seidie Seite AB gleich der Seite DE und die Seite BG gleich derSeite EZ.

So behaupte ich, dafi, wenn die Grundlinie AG gleich der

i'aas

fus Svojidaiv -r

l. Bj.4)

In Figur 13."VYBrtlich ,,die ,,. yerbindet". ,},«>,, ,,verbhideii" gelit anf das griechisclie

.iH zurûok.Ygl. Eukl. 14 'Eàv Svo rgiyava ras Svo aisvgàg fiats] Sval itlEVQatgsxarigav foa-rÉgK -Acà ti]v yiaviav -CTJ fravîa ïaï\v '{•{$ tT]v vno tâv Zaïavnegi£%op,Évr]v, -nal trjv (Sùaiv ty fiâasi. i'ar]v É'|st, ««l TÔ tgîyavov tinïaov i'arui, «KÏ at lontcà ytaviaitcûç loataïç ytavîais tscct è'aovrui, Ixu-féQKixp 'us ai l'aai iclsvçccl vtto-csCvovaiv'-, UndEukliûIS 'Eàv Svo xgîyeova

Ùs [tais] Svo xJ.£vgciïs f'ffKS fy-Til fHavigttv êxatéQK, %;; cfs v.a.1 fj]vsi i'ar]v, v,al t\v yavtev ry yrafits t'ff7)v î'^Et tT]v VTCÔ twv i'eav

Diesen Satz erwahnt Theon (Baseler Ausgabe) 99, 415).In Figur 14.

124 Max K r a u s e

Grundlinie DZ ist, dann der Winkel bel Punkt B dem Winkel bel 12Punkt E gleich ist, und wenn der Winkel bei Punkt B gleich istdem Winkel bei Punkt E, dann die Gruhdlinie AG- der GrundlinieDZ gleich ist.

Da wir die beiden Punkte B, E aïs Pôle setzen und mit dem 15Abstande der beiden Punkte A, D zwei Kreisbogen [L 3 a] AH,DT beschreiben, so sind dièse beiden Ereise einander gleich. DaBogen BG dem Bogen EZ gleich ist und Bogen BH dem BogenET, so mufi Bogen GH dem Bogen ZT gleich sein. Also stehenauf ihren1) beiden von den beiden Punkten H, T ausgehenden 18Durchmessern zwei gleiche Ereisstiicke senkrecht, namlich diebeiden, von denen die beiden gleichen Bogen GH, TZ abgetrenntsind, die nicht die Hâlften der beiden Stticke sind, und es sinddie beiden Bogen GA, ZD gezogen worden, die einander gleichsind. Folglich ist der Bogen AH dem. Bogen DT (Theod. II11und Eukl. m 29) gleich. Daher ist der Winkel bei B dem Winkel 2lbei E gleich (II Eor.). Und ebenso zeigen wir gleichfalls, daB,wenn der Winkel bei B gleich dem Winkel bei E ist, dann dieGrundlinie AG der Grundlinie DZ gleich ist, da der Bogen AHgleich dem Bogen DT ist. Und das wollten wir beweisen!

Satz o. 24

In jeder dreiseitigen Egur sind stets zwei ihrer Seiten, welchezwei es auch sein rnogen, groBer aïs die ubrige Seite2).

Es gebe8) eine dreiseitige ]?igur ABG.Danu behaupte ich, daB je zwei von den Seiten der Eigur 27

1) Wahrsclieinlich sollte der Text so heiCen ,,Also stelien auf <zivei gleichauKreisen, namlich AH, DT (Und zwar) auf> ihren beiden . . .".

2) Tgl. EuH. 120 ,,Hm>tbg tQt.y&vav ai Svo nl.Bvgal tijg lomfjs (isî^ovésslai itAv-crj (is-cala^avo^svai. Diesen Satz referiert Pappos, Collactiones (ad,Hultsch) 474,15—476,17 folgendennafien: 'Eàv ènl acpaïQiKijs èm.tpav£ÎKS tgetsîtEgnjJspsiai. iie-jÎG-ctov v.mltav fè^iaaiv allias, &v fttœorT) èlKt-tcov sa-clv i}fi£-v.vxliov, Svo rîjs loutfjs psi^avés slaiv rt&mi] ^stalaji^avày.svcii [476].

T£\i>véttaGu.v "/àp àllylag ^syla-ctuv Kvxltsjv TtfQicpiQsiai xojîà ta ASC OTjfisfa.},èyta oïi at Svo rijs ?.owr7]s [isfëovés sloiv icûvrij (is-mda/i.pcwôfispat.

SiijyS'ia yàg to -Asvtçov tT]s otpatgas, TÔ S' av-cb v.aï tiâv AE S~C TA Ttsgi-rpsgsiâv YM\o ro d, v.ccl sits&v'/fiaauii a£ dA dB dT. sxsl ovv azsgsK ymvfa^ îtçôç Tf5 d •ûjtô y' ytaviâv sniTtsScav tûv àrtô ddB Bdl* T?dA srsçts^eTratj âvotîjg 3.0WÏ1JS {itt&vis slmi> nàvri] [isra'ku^Kvâfisvai. nul flsfliji'.aaiv af -fcè AdBBz/r FàA yavCui fal tàv A~B BT FA nsQupSQSiàv. aï Svo êcçu rT]s lomfjs ^B^ovss

Deutsche Ûberseteung der Sphfirik. 125

ABG groI3er aïs die verbleibende Seite sind, wie sie auch immergenomnien werden mbgen1).

6 Da wir aïs die grotte ihrer Seiten BG setzen, den Punkt Baïs Pol setzen und mit dem Abstande des Punktes A den KreisAHD beschreibenj den Kreis BGED vervollstândigen und den PunktE aïs den Punkt setzen, der dem Pnnkt B auf déni Durchmesser

3 gegeniiberJiegt, so ist Punkt E der andere Pol von den beiden. Polen von AHD.

Da Ereis G-ED ein GroBkreis ist und durch die beiden Pôledes Ereises AHD geht,* so2) halbiert er ihn und steht auf ihmsenkreoht [Theod. Ilo]2). Da Bogen ED gleich dem Bogen EHist, und da auf dem Darchmesser DH irgend eines Ereises, nam-

6 lioh AHD ein Kreisstiick [L 3 b], namlich HGED, senkrecht stehtund der Bogen dièses Stiickes in Punkt G in zwei ungleiche Teilegeteilt ist, deren kleinster G-H ist, so ist Bogen GH der kleinsteder Bogen, die von Punkt G- nach dem Bogen AHD gezogenwerden [Theod, HEl], Also ist Bogen AG groGer aïs Bogen G-H,

9 Bogen AB aber ist dem Bogen BH gleich. Also sind die beidenBogen AB, AG grofier aïs Bogen B&. Und das wollten wir be-weisen !

Wenn er nicht den direkten Beweis vorzb'ge, so konnte erdièses folgenderniafien durch den antithetischen Beweis (eate tarïc[al-Jjulf) beweisen:

12 Die Seite BGS) ist die langste der Seiten des Dreiecks ABG-.So behaupte ich, daB die Summe AB, AG-, wie sie auch immer-sein mbgen, groBer aïs sie ist.

Wenn sie nicht so sind, so sei BG gleich den beiden Seiten15 AB, AG. Wir verlângern BA in Piichtung A4) und setzen AD

gleich AG und ziehen DG aïs GroBkreis(bogen). Da AG, AD ein-ander gleich sind, so sind die beiden Winkel AGD, AD G einandergleich. Und wiederum! Da BD, BG- <einander gleich sind>, sosind die beiden Winkel BGD, BDG- einander gleich, Polglich sinddie beiden Winkel BGD, AGD einander gleich, der gro'fite und der

1S kleinste. Das ist ein Widerspruch! EolgHch ist Seite BG nichtgleich der Summe der beiden Seiten AB, AGr. Und das wolltenwir beweisen!

1) Bei Pappos 1. c. xdvrr,

S) In Kgur 1 5.3) In Kgur 1 0.

4) D. h. ûber A liinaus.

126 M a x K r a n s e

Satz 6.

Wenn auf einer der Seiten einer dreiseitigen Eigur zwei an-dere Seiten, die nicht Seiten jener Figur sind, steheri und sie ira.Innern jener Figur ztisammentreffen, so sind sie beide kleiner aïsdie beiden Seiten jener ersten Figur1). 2l

Wir ziehen nâinlich2) von der G-rundlinie A.G- aus in8) derdreiseitigen IPigur ABG8) von den beiden Punkteii A, G- ans diebeiden Seiten AD, GD. Sie mb'gen im Innern des Dreiecks*) zn-sammentreffen. So behaupte ich, daB AB, BG zasammen grb'Bersind aïs AD, DG znsammen, 24

Da wir GD bis H von Seite AB verlangern, so sind GB, BHzusammen grbBer aïs GH — nach clem, was in Satz 5 gezeigtworden ists), — und wir sebzen, daB AH (iknen beiden) gemeinsainsei. So sind die beiden Seiten GB, BA grofier aïs die beidenSeiten GH, HA. Wieclerum sind die beiden Seiten AH, HD zu- 27sammen grbfîer aïs die Seite AD [15]. Also sind die beidenSeiten GH, AH zusammen grb'Ber aïs die beiden Seiten GD [Léa] 7DA zusammen. Folglich sind die beiden Seiten AB, BG zusammenum vieles <groBer> aïs die beiden Seiten AD, DG zusainmen.Hnd das wollten wir beweisen!

1) Der eutsprechende Sata in der Ebene ist Eukl. 121 : n'Eàv tçiymvov hifiràv xisvQûiv &itb -cùv rtiçdtaiv Svo ev&sEai êvtbs Gvata&iàat.v, cet

t&v l.oatiàv toO tQiyœvov Svo •nlsvQûiv s\àfcoveg ,.. saovtai ...".Pappos referiert dieseii Satz (II476,18 ff.) so ,,'Eàv rQuclsvgov êici

TtJ.EVQKÇ SVO KVX?,a)V p.SytGt<ÛV TtSQlCpiQeiai G'VGraQ'&GlV BWCOg, Kl GVti'GKfi'eÏGKL V&V

^owrrâv tov tQmiÈvQov Svo xlsvQ&v èlâvtovss 'taovtcu,TgntlsvQov yàg tov ASP litl pièce ttlsvQ&s ïl)s BP Svo y,^lswnv v,iiv.1mv

«sçtgjsçstKt avvsGr&ïnaav svrbg cet BdF. léyca Z-ci KÎ BdF tâv BAr èlâttovégslaiv. 'Eicsl Ttavtbs fQnttevQOv ai Svo «Xsuçal -cTjs AOITIT/Ï psfcovis slaiv, ai KQKFEEd TTjg Td (iEt'foKf's sltsiv. KOivj] rtQoaxsta&Ki TI dB. al &QK PEB rùtv PdBfisi&vés tlniv. itKl.iv iitA nawcbg tQntlsvçtm aï Svo îtP.êuçal TJ)S ùoufijs fisi'fof^sstsiv, ai &QCI BAE tfjs EB pifëovss slaiv. noivi] rt$oGnsia9cù T] ET. aï &QCI BÂFf&v BEF [isiÇovês ttaiv. oui' ai BEF t&v B4F fisîÇovés staiv. rtoV.âi KQK aiBAr -càv Bdr [ieî£ovÉg siaiv.

2) In Figur 17.3) In der Handschrift stelit ,,in der Figur ABG, einer dreiseitigen".4) So L, bai Mo stand sicher Mer (wie auoh an deu anderen Stelien, wo

nDreieck" im Sinne von ,,spliarisches Dreieck" vorkonimt) entweder ,,Figur':(oj;f;ftœ) oder ,,dreiseitige Figur" (tçfol.£VQOv).

5) Dieser I-Iimveis auf den Mer vorausgesetzten Satz dûrfte — me die an-deren entsprechendeu .— erst von H eingefugt sein. Wenigstens geht aus einemYergleioh K's mit dem in Db erlialteneu Toil der Ùbersetzung von bH hervor,daB in der Ûbersetznng die meisten dieser Hin\veise fehlten und, wenn sie vor-liaudeu sind, nui1 ganz allgemein gebalteu sind, z. B. (N) 56, 5 ,,in Satz 25 desersten BucliGs'; und (D) ,,iu tractatn primo liuius libri".

Deutsche Ùbersetzung der Sphiirik.127

3 Satz 7.

Dem groJBten Winkel jeder dreiseitigen Kgur liegt die liingsteSeite gegeniiber J),

Es gebe ABG2), eine dreiseitige JTigm1, tind der Winkel bel6 Punkt A sei grôBer aïs der Winkel bei Punkt G.

So behanpte iah, daB ilire Seite BG langer aïs die SeiteAB ist.

Da wir den Winkel DAG ihreni "Winkel bei G gleicb. setzen[II], so ist Seite AD der Seite DG gleich [13]. Wir setzen, daBBD gemeinsam sei. Polglicb. ist ganz GB gleich den beiden Seiten

9 AD, DB. Die beiden Seiten AD, DB aber sind grofier aïs AB[15]. Jolglioh ist Seite BG grb'Ber aïs Seite AB. Und das wolltenwir beweisen I

Satz 8.Wenn es zwei dreiseitige Kgnren gibt, zwei Seiten der einen

zwei Seiten der anderen gleicli sind, jecle Seite ihrem Gegenstiick(gleioli), und der Winkel der einen von iknen, den die den beiden

12 anderen Seiten gleichen Seiten einsolalieBen, grb'Ber aïs sein Gegen-stiick von der anderen ist, so ist die Grundlinie grb'Ber aïs dieGruncUinie 3).

Es sei'1) die Seite AB des Dreiecks ABG der Seite DE gleioli15 und BG gleich EZ. So behaupte ich, daB die Grnndlinie DZ,

wenn der Winkel E grb'Ber aïs Winkel B ist, grofier aïs die Grnnd-linie AG ist.

Da 6) wir den Winkel ABD a) dem Winkel E gleich setzen[II], BD gleicL EZ nehmen und AD ziehen, so ist AD der Grund-linie DZ gleich [14], Wir ziehen GD.

faà vfjv [isîÇova yavîav •f]1) Ygl. Eukl. 1 19 ,,ïïavcbs rçiy

çà vno-cslvsi" ,2) In Figur 1 8.

3) Tgl. BukI. 124 'Eùv Svo tQtytava -càg Svo itlsvQKg [raïs] Svo TClevQccîi;i'aae ê'ji-fl exatèsav sr-a-séçu, trjv Ss yiovîuv rïjs yraviag jisfëova ï%\] ÏT\V vxb tâivi'ffay sv&siâv jtsgt-s^ojifv'i'iv, «cl ri]v fiiisiv iffi flâffseos IIZÎ&VK ?|si".

4) In Figur I 9.

5) Der Beweis wird im Folgenden . analog dem bei Euklid 1 24 geftilirt,wâhrend die Umkelirung (entspriont EuH. 125) aïs durch die ,,Weise des Wider-spruclis" bevreisbar angedsutet wii-d, MBglielierweise spricbt das dafûr, daB dieFassung dièses Satzes bei îf uneebt ist; denn Me vermeidet den indïrekten Beweisstets. In dem Fall tônnte (was aber unwahrsoheinlich ist) dieser Beweis von jSr

stainmeu, wâbrend der (I § 5) mitgetoilte Beweis bei Ma vielleiolit von Melierriilirt.

6) Der Bucbstabe D Mer ist versoMedeu von dem ans Dreieck DBZ.

128 Max K r a u s e

Was 3?igur 1 betrifft, so ist, da BD, BG einander gleich sind,Winkel BDG dem Winkel BGD gleich [12]. Also ist Winkel AD G- 18kleiner aïs Winkel BGD. "Winkel AG-D aber ist groBer aïs WinkelBGD. Also ist Winkel AGD viel groBer aïs Winkel ADG-.. Folg-lich ist die Grundlinie AD groBer aïs die Grundlinie AG [17].

In der zweiten Figar verlangern wir BG von Punkt G nachJ und BD von Pnnkt D nach N". Da die beiden Winkel BGD, 21BDG einander gleich sind, so sind die beiden Winkel JGD, GDNeinander gleich, Winkel ADG ist kleiner aïs Winkel GDN undWinkel AGD ist groBer aïs Winkel JGD. Polglich ist WinkelAGD nm vieles groBer [L éb] aïs Winkel ADG. Also ist dieGrundlinie AD groBer aïs die Grundlinie AG [17],

Die TJmkehrung dessen wird auf die Weise des Widerspruchs 24bewiesen. TJnd das wollten wir beweisen 1

Satz 9.Die lângste Seite jeder dreiseitigen Figur liegt déni grb'Bten

Winkel gegeniiber1).Die dreiseitige Figur sei2) ABG nnd Seite BG von ihr sei 37

langer aïs Seite AB. So behaupte ich, daB der Winkel bei AgroBer aïs der Winkel bei G ist,

Wir trennen nâmlich den Bogen DG dem Bogen AB gleich 8ab und zeichnen einen Grofikreisbogen, der durch die beiden PunkteA, D geht, und das ist Bogen AD. Da die beiden Bogen AB, BDgroBer aïs Bogen AD sind und Bogen AB dem Bogen DG gleich 3ist, so ist Bogen BG groBer aïs Bogen AD. Da Bogen AB demBogen DG gleich ist, Bogen AG gemeinsam ist und die Grund-linie BG groBer aïs die Grundlinie AD ist, (so) ist der WinkelBAG grb'B'er aïs der Winkel AGB — nach dem, was in Satz 8gezeigt worden ist. — Und das wollten wir beweisen!

Satz 10. 6

Wenn zwei Seiten einer dreiseitigen Figur kleiner aïs einHalbkreis sind, so ist der Aufîenwinkel, der an die Seite grenzt,grb'Ber aïs der ihm gegeniiberliegende Innenwinkel von den beidenWinkeln, die an der verbleibenden Seite liegen, und wenn diebeiden Seiten groBer aïs ein Halbkreis sind, so ist der AuBen- 9winkel kleiner aïs der ihm gegeniiberliegende Innenwinkel, und

1) Ygl. Eukl, 1 18 Uavcàs -c^iymvo-oîvsi.2) In Figur 1 10.

TClsvgà TÏJV psiÇova "/tavt

Deutsche Ûbersetzung der Spliitrik. 229

wenn die beiden Seiten einem Halbkreise gleich sind, so ist derAuBenwinkel gleich dem ihm gegeniiberliegenclen Innenwinkel1).

Die beiden Seiten AB, BGS) der dreiseitigen Kgur ABG seienkleiner aïs ein -Halbkreis. So behaupte ich, daB der Winkel BGD

12 groBer aïs der Winkel BAG ist.

Wir vervollstâncligen nainlich die beiden Bogen ABD, AGDund jeder von diesen beiden Bogen ist ein Halbkreis. Da diebeiden Seiten AB, BG kleiner aïs ein Halbkreis sind, so sind sie

15 kleiner aïs der Bogen ABD. So bleibt ubrig Bogen BD groBer aïsBogen BG. Also ist Winkel BDG, der gleich Winkel BAG ist,kleiner aïs Winkel BGD — nach déni, was in Satz 9 gezeigtworden ist,

"Und wiederum! Wenn wir die beiden Bogen AB, BG groBeraïs einen Halhkreis setzen, so ist Bogen BG grb'Ber aïs der ver-

is bleibende Bogen BD. Also ist Winkel BDG, der dem Winkel BAGgleich ist, groBer aïs der erwâhnte Winkel BGD.

TTnd wiederum ist -klar, daB, wenn die beiden Bogen AB, BGeinem Halbkreise gleich sind [LBa], clann der Bogen BG demBogen BD gleich ist. Folglich ist Winkel BAG dem Winkel BGD

2l gleich — nach dem, was in Satz 2 gezeigt worden ist —-,Und ebenfalls wird die Umkehrong des von uns Gesagten auf

dièse Weise bewiesen, nâmlich, wenn der Winkel BGD dem WinkelBAG gleich ist, so wird8) durch das Voraufgegangene gezeigt, daB

24 die Summe BA, BG einem Halbkreise gleich ist. Und wenn derAuBenwinkel BGD kleiner aïs der ihm gegeniiberliegende Innen-winkel ist, so wird3) nach Analogie des Voraufgegangenen ge-zeigt, daB AB, BG zusammen groBer aïs ein Halbkreis sind; dennWinkel BDG ist groBer aïs Winkel BGD, folglich ist Bogen BDkleiner aïs Bogen BG.

27 Und wiederum! Wenn Winkel BGD grb'Ber aïs Winkel BAGisfc, ist er groBer aïs BDG. Folglieh ist BD grb'Ber aïs BG. Alsoist die Summe BA, BG kleiner aïs ein Halbkreis. Und das wolltenwir beweisen!

9 Satz 11.

Der AuBenwinkel jeder dreiseitigen Kgnr ist kleiner aïs diebeiden ihm gegeniiberliegenden Innenwinkel4).

1) Ygl. Euld. 116 Ilavtbs vçiymvov fu&$ tmv nlsvçœv ngoei^^l^stinjs $s-/.-ctis fiavLa ê-KCffÉgctg t&v svtiis »«i &icsvavcîov ytovi&v jisC^av lativ.

2) lu Figur 111.3) Oder ,,so beweisen wir".

4) Ygl. Eukl. 132 TÏKvcbg •tQiy&vov ju&$ tâv a3.£vgiàv 7tQOS£K$fa]&£Îer\s ^Abliandlungen d. Des. d. Wiss. 211 Oôttingen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 9(Sonderliefl der Maih.-Phys. Kl.)

130Max K r a u s e Deutsche Ûbersetzuug der Sphârik. 131

Kgur ABG sei1) dreiseitig und raan verlangere AG nack D. 3So beliaupte ich, daB der AnBénwinkel BGD kleiner ist aïs diebeiden ibm gegeniiberliegenden Winkel bel den beiclen Punkten

A, B.Wix errichten namlich in Punkt G des Bogens GD einen

Winkel, der dem Winkel BAG gleioli ist, namlick Winkel DGE G

[II]. Wir verlangern AB liber2) B hinausa), bis es GE inE trifft,Da der An.8enwinkel DGE des Dreiecks AGE dem "Winkel BAGgleick ist, so ist die Summe AE, EG ein Halbkreis — naeh dem,was in Satz 10 gezeigt ist — . Also8) sind die beiden WinkelBAG, ABG zusammen grb'Ber aïs der Aufienwinkel BGD des Drei-

ecks ABG. ' 8Und4) Mer <ist klar>, daB die "Winkel A, B, G <grofier sind

aïs zwei Rechte>,- demi die beiden "Winkel an den beiden SeitenTon BG, d. h. die beiden "Winkel EGA, BGD sind zwei Rechterigleich nnd die "Winkel A, B, G sind groBer aïs sie beide4). Und 12das wollten wir beweisen!

Satz 12."Wemi es zwei dreiseitige IPiguren gibt, zwei Huer "Winkel

bei dea Grandlinien Rechte sind, die beiden iibrigen "Winkel vonibnen einander gleioli [L 5 b], (aber) keiae Rechte sind nnd die 15beiden Seiten, die den beiden rechten "Winkeln gegeniiberliegen,einander gleick sind, so sind die beiden tibrigen Seiten eines derbeiden Dreiecke gleich den beiden Seiten des anderen, jede Seite

ihrern. Gegenstûck (gleich).Es gebe5) zwei dreiseitige Eiguren, namlich ABG, DBZ, jeder 18

einzelne der beiden "Winkel bei A, D sei ein Hecnter, die beideu

IKTÔS ynvi'u dval ïcits èv-cbg val &it£vavrtov ïsi\ «K!. ai Ivtàs ~covTQSÎS ytnvtui Svdv ôg&ais l'aai staCv. Bei N ist der Satz -walrscliemliot so nichtYollstâBdig. Das Eiditige l)ietet hier H „. , . und die drei Winkel des Dreiecks

sind grOBer aïs zwei redite "Wiukel".1) lu ïigur 1 12.2) Wortlieu ,,Yon Punkt B an".3) Hier ist wohl ein Teil ausgeiallen. Die SculuBreihe lautet (nach Bj)

,,^;DGE = <^A. MSO AB + BG = iso» (iio). Aber BE+BG ist kieinevaïs 180°, folglich ist ^;ABG grOBer aïs <£BGE (I10)«.

4) DalS hier wïrklieli bewiesen wurde, daB die Srnnnie der AYinkel imspbAlrisdieû Dreieck grbBer aïs zwei Rechte ist, zeigt auoh die Bemerkung iuN 1 23 (1 9, 8/4) : ,,Denu die drei Winkel einer jeden draiseitigen Figur sind grbBeïaïs zwei rechte AYinkel — -wie im Satz 11 gezeigt worden ist.

D) In Figur 1 13.

Winkel bei G, Z seien einander gleich, aber keine Rechte, nndSeite BG sei der Seite EZ gleich.

So behanpte ich, daB Seite AB gleich Seite DE nnd Seite AG2l der Seite DZ gleich ist.

Da wir den Bogen AB nach K verlângern, Bogen GT demBogen DZ gleich setzen, GH jedem einzelnen der beiden BogenBGj EZ gleich setzen nnd einen GroBkreisbogen zeichnen, der

24 durch die beiden Punkte H, T geht (Theod. 120) nnd ABK in Ktreffe, so ist das KTHL. Und ebenfalls zeiohnen wir einen Bogen,der durch die beiden Punkte K, G geht [Theod. 120], namlich

. KGL. Da die beiden Seiten GH, GT gleich EZ, ZD sind, jecleSeite (gleich) ihrein Gegenstiick, nnd dièse Seiten zwei gleiche"Winkel einschlieBen, so ist die Seite TH der Seite ED gleioh— wie in Satz 4 gezeigt worden ist.

27 Eolglich ist1) Winkel GTH dem Winkel EDZ gleich. WinkelEDZ aber ist ein Rechter. Deshalb ist Winkel GTH ein Rechter.Winkel GAB ist ehenfalls ein Rechter. Also sind die beidenPunkte K, L die beiden Pôle des Kreises, von dem AGT ein

10 Bogen ist [Theod. 113]. Da die beiden Bogen ABK, KTHL senk-recht auf dem Bogen AGT stehen, so ist die Seite GK gleich derSeite GL [Theod. I], Seite BG aber ist gleich der Seite GH.

3 Dièse Seiten schlieBen zwei gleiche Winkel ein. Eolglich istBogen KB gleich dera Bogen LH — nach dem, was in Satz é ge-zeigt worden ist — und der ganze Bogen AK ist gleich demganzen Bogen LT. Also bleibt librig Bogen AB dem Bogen THgleich. Gezeigt haben wir, daB TH dem. Bogen DE gleich ist.

Und wieclerum! Die beiden Seiten AB, BG sind den beiden6 Seiten GH, TH — jedes seinem Gegenstiick — gleich, nnd dièse

Seiten schlieBen gleiche Winkel ein. Denn, da jedes von KT, AKein Yiertel(kreis) ist, TH gleich AB ist und AK, KT einem Halb-kreise gleich sind, so2) ist sein AuBenwinkel3) gleich dem WinkelH [110]. Folglich ist Seite AG gleich [L 6 a] der Seite GT, diegleich der Seite DZ ist — nach dem, was in Satz 4 gezeigt

9 worden ist*). — Und das wollten wir beweisen!

1) Yielleicht ist statt ,,fa-jaJiûn (folglich ist)" zti leseu ,^uu-jajain (und esist)'1 ; dsnn GTH = <£ EDZ folgt gleichfalls ans 14.

2) Ist so ist auch BK-(-KH = 180°, also ..." ausgefallenV

3) Namlich <£ABG.

4) Bei Ma, H und T findet sich hier noch ,,-à^B = -à^E", was ans 14sofort folgt.

• • . • 9*

132Max Kr au se

Deutsche Obersstzung der Sphiirik. 133

Sat.z 13.Wenn es zwei dreiseitige Eiguren gibt, ein Wmkel der einen

von ihnen gleich ist einem "Winkel von der anderen, die beidenSeiten der einen von, ihnen beiden, die einen von den beiden iibrigen 12Winkeln von einer der beiden Eguren einschlieBen, gleich denbeiden Seiten sinà, die das Gegenstuck jenes Winkels von deranderen Eigar einschliefien, jede Seite (gleich) ihrem Gegenstiick,•und die beiden iibrigen Winkel <der beiden Figuren zusanimennicht gleich zwei Rechten sind, so ist die verbleibende Seite gleichder verbleibénden Seite nnd die verbleibènden Winkel>x) einander

gleich2).Es gebe3) zwei dreiseitige Eguren, auf denen ABG, DEZ 15

liegen, der Winkel bei A sei dem "Winkel bei D gleich, Seite AGsei gleich Seite DZ und Seite BG sei gleioh Seite EZ und diebeiden Winkel ABG, DEZ seien znsammen ungleich zwei reohten

"Winkeln,So behaupte ich, daB die Seite AB der Seite DE gleich ist. 18Wir'1) verlangern namlich Bogen AB bis H. DaWinkel HBG

1) So hâte ich nach G zu erganzen versueht.2) Bei ïheon (Baseler Ausgabe, S. 342) wird der Satz so formuliert:

Mo rçîMsvQK [itav ycùviav (uS yavdf fin]* â;j?;, itsçl Si uU.as ycovtas ras JtUi'aas WKtiQav EXKÏÉÇK, ras #£ lowcàs ycovtos Sfia Svalv ôg&aïs f") l'aas, v.al rasioiitàs ifàliv l'eus àU^Xai.? f|si. Theon liât also ganz offeusichtlich den Satz

stark gekûrzt.3) In Figur 114.4) Der Beweis hei ïheon stîmmt ganz gut mit dem hei N (und T) iiberein,

wâhrend er von denen hei H und G vollstândig verschieden ist.Man Yergleiche N mit dem Beweis hei Theon.

Wir vsrlangern AB nach H. ED werde nach H Yerlangert.Da HBG =j= <^ DEZ ist, so Da <£ BAG + EDZ 4= EDZ + ZDH

(= 180 °) sind, so sei I) <£ ZDH griilSer

aïs ^BAG.sei ^-GBT = ^DEZ (II), Sei ^ZDT = ^;A (II)Bei BT = DE und xmd sei Dï = AB.wir ziehsn ÏG, TA "Wir ziehen die Grofikveishogen TZ, TE.Da ^GBT = ^DEZ und GB, BT Da AB = Dï und AG = DZ ist, so= ZE, ED, ist AB, AG = DT, DZ und <£BAG

= TDZ.so ist QT = DZ = AG (14). Eolglich ist BG = TZ (14) und das

Dreiseit ABG = DZT.Aher BG = EZ = TZ. Also ist <£ ZET

. = ^ZÏE (12).Da das Dreiseit ABG = DZT, so isttract. ZTD == GBA = ZED.

dem Winkel DEZ nicht gleich ist, so errichten wir im Punkte 13des Bogens AB einen Winkel, der gleieh dem Winkel DEZ ist,

21 namlich GrBT1) [II], Wir setzen BT gleich DE tmd ziehen diebeiden Bogen TG, TA. Da Winkel GBT dem Winkel DEZ gleichisfc und die beiden Seiten GB, BT den beiden Seiten ZE, EDgleich sind, so ist die Grondlinie GT gleich der Grundlinie DZ,die gleich AG ist — nach dem, was in Satz 4 gezeigt wordenist — nnd ist Winkel BTG gleich déni Winkel EDZ, welcher

24 Winkel gleich Winkel BAG ist. Winkel GTA ist ebenfalls gleich11 Winkel TAG. Eolglich ist Winkel BAT gleich Winkel BTA. Also

ist — nach dem, was in Satz 3 gezeigt worden ist — Seite BAder Seite BT gleich, die gleich der Seite DE ist. Eolglich ist dieSeite BA gleich der Seite DE. Und das wollten wir beweisenl

8 Satz 14,Wenn es zwei dreiseitige Eiguren gibt, zwei Winkel der einen

von ihnen gleich sind zwei Winkeln der anderen, jeder (gleich)seinem Gegenstiick [L 6 b] und die beiden Seiten, die an dengleichen Winkeln liegen, einander gleich sind, so sind die. iibrigenSeiten der beiden Dreiecke einander gleich2).

nnd = EDZ = BAG.

Ehenfalls ist GTA = ^ TAG. (12). Es war <£ ZTE = <£ TEZ (12).Folglich ^BAT = ^BTA. " Obrig hleibt DTE = DET.Also ist AB = BT = DE (13). Also ED = DT = AB (13).

II) <£ZDH.ist kleiner aïs <£BAG.So sei ^ZDK = <£BAG (II) und

'DE = AB. Das fibrige lillJt sich genauwie obeii zeigen,

Das zeigt deutlich, daB der Beiveis, der in der Theon vorliegenden Me-Aus-gabe staud, mit dem hei N vollstândig uhei'oiustimmte. Die Ahweichungen beiTheon diirfen wir vrohl dem Theon selhst zuschreihen. Den ganzen Beweis ihmzuzuschreiben — wie es Bj. (S. 23) tut —, liegt umso weniger Grund vor, aïsdie dort genannte tïbereinstimmung in den arahischen Redaktioneu nur zwischenden von einander abhangigen Ausgabeu von Ma und H besteht.

1) Im arabisohen Text 10, 20 ist ix_j:=» zu verhessern (L i»_J_).' ' C.

2) Diesem Satz entsprieht in der Ebeue der erste Teil von Eukl. 120 :,,'JEàv Svo tçlycovK tas Svo fmvîag aval yrovtcus l'oas %J7 êwtsQccv Év.a.réQK v.cày.îav »7,EU(jàv (US •xlzvçu ïmjv rjtoi TT]V itgog taîg l'actis y<aviais 5) vrjv vnorsî-vovûtt'V ûjtb p,L&v rœv l'ffaiv ycùvi&i>3 v.u.1 ras kotitàs TÏ?.£VQKS ruts I.OLTta.ïs •jtkGVQCCLçî'ffas s'fst [i-itu-cs'Qccv êxarsça] -xal ri]v 1.oatT]v yawîav ry hauty ycovÎK ...". BillYergleich dièses Satzes (îsr 114 und 15) mit dem bei Theon (S. 342/43) zitierteu,den Bj, (S. 23/25) mitteilt, zeigt wieder, daB der dem Theou vorliegende Beweisvon Me mit dem uns in den arahischen Ausgaben (Ma, H, N) ûherlieferten iiber-eiiistimmte. Jedoch hat auch hier wieder Th. nicht wiirtlich zitiert, sonderu denBeweis etwas ximgearheitet, Aucb. teilt er nur den ersten der drei Hauptteile, die

134 Max K r a u s e Deutsche Obersetamg dei1 Spharik. 135

12

Es gebe1) zwei dreiseitige Eguren ABG, DEZ, der Winkelbei A sei gleich dem Winkel bei D, der Winkel bei G gleioh dem.Winkel bei Z und die Seite A& gleich. der Seite DZ.

So behanpte ich, daB Seite AB der Seite DE und Seite BG

der Seite EZ gleion ist.(A) Wir setzen zuerst die beiden. Winkel bei den beiden Punkten

Aj D aïs Rechte. (a) Wenn die beiden Winkel bei den beidenPunkten B, E ebenfalls zwei Redite sind, so sind die beidenPunkte G, Z zwei Pôle der beiden BLreise AB, DE und es istklar, daB AB gleich DE ist raid B& gleich EZ ist. (b) Wenn diebeiden Winkel bei den beiden Pnnkten B, E nieht zwei Rechtesind, so sind die beiden Punkte G-, Z nicht zwei Pôle der beidenKreise AB. DE tind die beiden Pôle, die auf den beiden KreisenAG-, DZ liegen, mogen die beiden Pnnkte T, H sein. Wir zeichneneinen GroBkreisbogen, der duïch die beiden Punkte B, H geht, *6nâmlich Bogen BH, und einen GroBkreisbogen, der diirch die beidenPunkte E, T geht, nâmlich Bogen ET. Jedes einzelne der beidenKreisstûcke AH, HB ist seinem G-egenstiick von den beiden Kreis-stucken DT, TE gleich, weil jedes einzelne von ihnen ein Yiertel-kreis ist. Bogen A& ist ebenfalls gleich Bogen DZ, Da jeder ein- 18zelne der ibeiden Winkel ABH, DET ein Rechter ist, also diebeiden Winkel G-BH, ZET nicht zwei Reohte sind, sind die beidenEguren HGB, ZTE dreiseitig und ein Winkel der einen von ihnen,nâmlich B&H, ist gleich einem Winkel der anderen von ihnen,nâmlich Winkel EZT. TJnd es sind die Seiten, die zwei andereWinkel von ihnen einschlieBen, einander gleich, jede (gleich) ihrem 2lG-egenstiick, Seite GH gleich Seite ZT, <Seite> BH gleich SeiteET und die beiden iibrigen Winkel, nâmlich die beiden WinkelGBH, ZET sind zusammen ungleich zwei Rechten. Also ist— nach dem, was in Satz 13 gezeigt worden ist — Seite BG derSeite EZ gleich. Also sind die beiden Seiten A&, Q-B den beidenSeiten DZ, ZE — jede ihrem Gregenstiick — gleich, und dièse 24Seiten schliefien zwei gleiche Winkel ein. Eolglich ist die SeiteAB der Seite DE gleich [14].

Satz 15.(B) Setzen wir jetzt die beiden Winkel bei den beiden Punkten

A, D aïs ungleich zwei Rechten.

er imterscheidet, mit. Der dritte ïall (BG nnd EZ grôBer aïs 90°) des erstenHauptteils, den Bj. nicht mitgeteilt hat, wird analog dem ztveiten ITall bewiesen.In dem urspriinglichon Beweis von Me waren dièse beiden Fâlle sicher nicht

nntersehieden.1) In Bïguï 115.

27

Wir setzen1) aïs den Pol des Kreises AB den Punkt H undbeschreiben einen G-roBkreisbogen, der durch die b'eiden Punkte

12 G, H geht, nâmlich [L 7 a] den Bogen HQ-L [Theocl. 120], WinkelDZT sei dem Winkel AGH gleich, d. h. wir setzen ihn so [11].Wir verlangern TZ iiber Z hinaus bis M von Seite ED. Dann ist

3 Winkel LGB gleich Winkel MZE, weil der Winkel EZD gleichdem Winkel AGB ist und Winkel MZD gleich Winkel AGL ist.Daher bleibt iibrig MZE gleich dem Winkel B&L. Wir setzenBogen ZT dem Bogen GH gleich und beschreiben einen GroBkreis-bogen, der durch die beiden Punkte D, T geht, nâmlich Bogen DT[Theod. 120], Da die beiden Seiten AG, GH den beiden Seiten

6 DZ, ZT gleich sind, jede ihrem Gegenstûck, und dièse Seiten zweigleiche Winkel einschlieBen, so ist die Grundlinie AH gleich derGrundlinie DT, der Winkel GAH gleich dem Winkel ZDT undder Winkel AHG gleich dem Winkel DTZ [14]. Winkel BAGaber ist gleich dem Winkel EDZ. Also ist Winkel .BAH gleichdem Winkel EDT. Winkel BAH ist ein Rechter. Eolglich ist

9 Winkel EDT ein Rechter. Bogen DT ist ein Yiertelkreis. Alsoist Punkt T der Pol des Kreises ED [Theod. 116]. Wir ziehendie beiden Bogen BH, ET [Theod. 120]. Dann sind die beidenEiguren BGH, EZT dreiseitig und ein Winkel der einen vonihnen, nâmlich Winkel BGH, ist gleich einem Winkel der anderen,nâmlich Winkel EZT, nnd zwei andere Winkel, die beiden Winkel

12 BH&, ETZ werden von gegenseitig gleichen Seiten eingeschlossen :Seite &H (gleich) der Seite TZ, Seite BH der Seite ET nnd diebeiden iibrigen Winkel, GBH, ZET, sind zusammen nicht gleichzwei Rechten. Also ist Seite BG gleich der Seite EZ •—• nachdéni, was in Satz 13 gezeigt worden ist. Eolglich ist Seite BA

lô gleich der Seite DE [14], weil BG, GA gleich EZ, ZD sind undje zwei von ihnen denselben Winkel einschlieBen. Folglich ist dieGrundlinie AB gleich <der Grundlinie> ED. TJnd das wollten wirbeweisen!

Ein k n a p p e r e r Beweis aïs der, den M e n e l a o s an-fiihrt: Er besteht darin, dafi die beiden Seiten AB, GB, wenn

13 AG auf DZ gedeckt wird, auf die beiden Seiten DE, ZE geclecktwerden. Also sind die Seiten und Winkel einander gleich. Unddas wollten wir beweisen !

Satz 16.21 Wenn es zwei dreiseitige Eiguren gibt, zwei Seiten der einen

von ihnen zwei Seiten der anderen — jede Seite ihrem Gegen-

1) In Figur II1.

136 Max K r a u s e

stiiok — gleich. sind, die Winkel, denen die gleichen Seiten gegen-iiberliegen, einander gleich. sind und keiner der beiden Punkte beiclen Scheiteln der beiden Mgnren ein Pol [L 7 b] der Grundliniejener Eigur ist, so sind die beiden Grundlinien einander gleich,

Die beiden dreiseitigen Kguren seien1) ABG, DEZ; Seite AB 2i

sei der Seite DE und die Seite BG sei der Seite EZ gleich. Diebeiden Winkel bei den beiden Punkten A, G seien gleich denbeiden Winkeln bei den beiden Punkten D, Z •— jeder "Wïiikel(gleich.) seinem Gegenstiick — und keiner der beiden Punkte B, E 27sei ein Pol der beiden Kreise AG, DZ. So behaupte ich, daG AGgleich DZ ist.

"VVir erganzen nàmlich die beiden Halbkreise BAH, BGH. Da l3

Punkt B kein Pol des Kreises AG ist, so ist einer der beidenBogen AB, BG einem Viertelkreis ungleich. Es sei Bogen AB der 3

Bogen von ihnen. der einem Viertelkreise ungleich ist. DieserBogen ist folglich nicht gleich dem Bogen AG. "Wir setzen denBogen AT déni Bogen AB gleich. Eolglich ist Bogen AB déniBogen AT gleich. Wir feiiângern Bogen GA bis K und setzenAK gleich. DZ; ziehen Bogen KT [Theod. I20J und verlangern ihnhis L. Da die beiden Seiten KA, AT den beiden Seiten ZD, DE G

gleich sind, jede Seite ihxem Gegenstiick, d. h, die Seite, welchebei déni Wïnkel liegt, der gleick ist dem Winkel, der bei der an-dern Seite (liegt), und die beiden Winkel, welche die gleichenSeiten einschliefien, einander gleich sind, ist die Grundlinie KTgleich der Grundlinie EZ [14], die gleich BG .ist, und der "Winkelbei Punkt K gleich dem Winkel bei Punkt Z, der gleioh. ist dem 9

Winkel bei Punkt G, nnd der Winkel bei Punkt T gleich déniWinkel bei Punkt E. Da aber der Winkel bei Punkt G gleich istdem Winkel bei Punkt K, so werden die beiden Bogen KL, LG 12zusammen eineni Halbkreise gleich [110], Bogen KT ist gleich<dem Bogen> BG. Eolglich sind die beiden Bogen TL, LB zu-saminen einem Halbkreise gleich. Daher ist der Winkel bei Tider gleich ist dem Winkel bei E, gleich dem Winkel LBT [110].JTolglich ist die Grundlinie AG gleich der Grundlinie DZ [14].Dies in der ersten Figur ! 1S

Was die z-weite IPigur anlangt, so (verfahren wir) darin(folgendermafien) :

Da die beiden Bogen KL, LG zusammen nieht gleich einemflalbkreise sind und Bogen KT dem Bogen BG gleich ist, so sinddie beiden Bogen TL, LB zusammen einem [L8a] Halbkreise

1) In Kgar 112.

Deutsche Ûbersetzung der Sphiirik. 137

13 gleich. Bogen KT war dem Bogen BG gleich, Es wird darausHar, dafi Bogen LT <dem Bogen> LH gleick ist. Eolglich istWinkel LHT dem Winkel LTH gleich, der gleich ist dem Winkelbei E [12]. Deshalb wird Winkel LHT dem Winkel DEZ gleich.Also ist die Grundlinie AG gleich der Grundlinie DZ [14], Unddas wollten wir beweisen!

. 21 Satz 17.

Wenn es zwei dreiseitige Kguren gibt, zwei Winkel der einenTon ihnen gleïch sind zwei Winkeln der anderen — jeder Winkelseinem Gegenstiick —, eine der beiden Seiten, die clen beidenWinkeln der einen von ihnen gegeniiberliegen, die gleich sind denbeiden Winkeln der andern, gleich ist ihrem Gegenstiick aus dem

24 anderen Dreieck, d. h. derjenigen, welche dem Winkel in dem an-dern Dreieck gegeniiberliegt, der jenem Winkel gleich ist, und diebeiden iibrigen der Seiten, die den gieiehen Winkeln gegentïber-liegen, zusammen einem Halbkreise nicht gleich sind, so sind dieiibrigen Seiten der beiden Dreiecke einander gleich.

W Die beiden dreiseitigen Kguren seien -1) ABG, DEZ, der Winke]bei A sei gleich déni "Winkel bei D und der bei G sei déni bei Z

3 gleich, Die Seite BG der einen von ihnen sei gleich der Seite EZder andern und die beiden Seiten AB, ED zusammen nicht gleioheinem Halbkreise, So behaupte ich, dafi Seite AB der Seite DEund Seite AG der Seite DZ gleich ist.

Wir verlângern nâmlich die beiden Bogen AB, AG bis nach6 H. Da die beiden Bogen AB, DE <einem Halbkreise> nicht gleich

sind, so ist der Bogen BH dem Bogen DE nicht gleich. Wirsetzen also Bogen TH dem Bogen DE gleich und Bogen KH demBogen DZ gleich. Der Winkel bei H ist gleich dem Winkel beiD, da2) er gleich dem Winkel bei A ist2). Polglich ist die Grnnd-

9 linie KT gleich der Grundlinie EZ [14], die gleich BG ist, undWinkel TKH gleioh dem Winkel DZE, der gleich dem Winkel 'bei G ist. Also ist der Winkel bei G gleich dem Winkel bei K. •Folglich. ist die Seite GL gleich der Seite KL [13]. Es bleibt[LSb] BL gleich TL, da BG gleich TK ist. Daher ist Winkel

12 BTK gleich dem Winkel TBG [12], und Winkel BTK ist gleichdéni Winkel DEZ. Also ist der Winkel bei B gleich dem Winkel -bei E, Es war der Winkel bei G gleich dem Winkel bei Z, und

1) In JJïgur II3.

2—2) Soll \'ielleicht Jieifîen ..da sio beide dem Winkel A gleich siud", wo-bei statt ..likauniha" zu lasen wftrs ,,likauuibimâ".

138,Max K ï a u s e

Deutsche Ubersetzuug der Spharik, 139

XUU

die Seite BGr gleicli der Seite EZ. Eolglich ist die Seite ABgleich der Seite DE und die ' Seite AGr gleich • der Seite DZ 15(114/18]. TTnd das wollten wir beweisen!

Satz 18.Wenn es zwei dreiseitige Eiguren gibt und dis drei Winkel

der einen von iknen gleich sind den drei Winkeln der andern, d. h.jeder Winkel seinem Gregenstiick gleich ist, so sind die Seiten, die 18den gleichen "Winkeln gegenliberliegen, einander gleioh.

Es gebe*) zwei dreiseitige Figuren ABGr, DEZ und es sei derWinkel bei A gleich. dem Winkel bei D, der Winkel bei B demWinkel bei E und der Winkel bei Gr gleioh dem Winkel bei Z. 2lSo behaupte ich, dafi ebenfalls Seite AB der Seite DE, Seite BGrder Seite EZ und Seite AGr der Seite DZ gleich ist.

Da wir die beiden Seiten AB, BGr verlângern, BH gleich DE•und BT gleich EZ setzen, Bogen TH ziehen und ihn bis K ver- 24langern, so sind die beiden Seiten BH, BT gleich den. beidenSeiten DE, EZ — jede Seite (gleich) ihrem Gregenstiick — unddièse Seiten schliefien gleiohe Winkel ein. Daher ist die Grrund-linie TH gleich der Grrandlinie DZ — nach dem, was in Satz 4gezeigt worden ist — und der Winkel bei H gleich dem Winkelbei D, der. gleich ist dem bei À, und der bei T gleich dem bei Z, 27der gleioh ist dem bei Gr. Da der Winkel bei T gleich ist dem 15Winkel bei Gr, sind die beiden Bogen TK, KGr zusammen gleich.

eînem Halbkreise [110.]TJnd wiederuml Da der Winkel bei H gleich war dem Winkel s

bei A, werden die beiden Bogen HE, KA zusammen gleich einemHalbkreise [110]. Eolglich sind die beiden Bogen TK, KGr zu-sammen gleich den beiden Bogen HK, KA zusammen. Es bleibtiibrig Bogen TH dem Bogen AGr gleich, Bogen <TH> aber istdéni.Bogen DZ gleich, Folglich ist Bogen AGr dem Bogen DZ 8

gleich.Ebenso wird auch klar, daB Seite AB der Seite DE nnd Seite

BGr [L 9 a] der Seite EZ gleich ist. Und das wollten wir be-

weisen 1Satz 19.

Wenn es zwei dreiseitige Eiguren gibt, zwei Winkel der einen 9von ihnen zwei Winkeln der andern gleioh sind, jeder Winkelseinem. Gregenstiick, und die iibrigen beiden Winkel von ihnen un-gleich sind, so ist die grbfite der beiden Seiten, die an die gleich

1) In Figur II4.

grofien Winkel grenzen, die Seite, die dem grofiten Winkel gegen-12 iiberliegt; und wenn von den iibrigen Seiten, namlich denen, die

den gleich grofien Winkeln gegemibeiiiegen, eine Seite ans einerder beiden JTiguren und ihr Gregenstiick ans der anderen Figurzusammen einera Halbkreise gleich sind, so sind die beiden Seiten,die den iibrigen beiden gleich grofien Winkeln gegeniiberliegen,einander gleich; wenn die beiden erwahnten Seiten zusammen

15 kleiner aïs ein Halbkreis sind, so ist von den beiden iibrigen Seitendie Seite in der dreiseitigen Mgnr, in welcher der kleinste Winkelliegt, kleiner aïs ihr Gregenstiick aus der anderen Figur und wenndie beiden erwahnten Seiten grofier aïs ein Halbkreis sind, so istvon den beiden iibrigen Seiten die Seite in der dreiseitigen Ifigur,

15 in welcher der kleinste Winkel liegt, grb'Ber aïs ihr Gregenstiickaus der anderen Fignr.

Es gebe1) zwei dreiseitige Eiguren, anf denen A, B, Gr; D,E, Z (liegen) und es sei Winkel B gleich Winkel D, Winkel Gfgleich Winkel Z und Winkel E grofier aïs Winkel A. So behaupte

21 ich, daB Seite DZ groBer aïs Seite B& ist und daB, wenn diebeiden Seiten AGr, EZ znsammen einem Halbkreise gleich sind,Seite AB der Seite ED gleich ist und, wenn die beiden SeifcenAGr, EZ zusammen gr'o'Ber aïs ein Halbkreis .sind, Seite AB groBeraïs Seite DE ist und, wenn die beiden Seiten AGr, EZ zusammen

24 kleiner aïs ein Halbkreis sind, Seite AB kleiner aïs Seite DE ist.Da wir die beiden Bogen BGr, A& verlângern, Bogen &T dem

Bogen EZ und Bogen GrH dem Bogen DZ gleich setzen undzwischen den heiden Punkten H, T den Bogen TH ziehen, so ist

27 Bogen TH dem Bogen DE gleich und Winkel T dem Winkel E[14]. Also ist Winkel T grofier aïs Winkel A,

16 (a) Wenn nun die beiden Seiten AGr, EZ zusammen einemHalbkreis gleich sind, so ist Bogen AT [L9b] ein Halbkreis, und,

. wenn wir Bogen AB zu einem Halbkreise vervollstâncligen, endigter bei Punkt T. Da die beiden Winkel ABGf, GHT einander

3 gleich sind, so sind .die beiden Bogen BT, TH zusammen einemHalbkreise gleich [110]. Eolglich ist Bogen AB gleich dem BogenTH, der dem Bogen DE gleich ist.

Da Winkel GTH grofier aïs Winkel BAGr ist, so ist, wennwir Winkel HTK dem Winkel BAGf gleichsetzen, Winkel H

6 wiederum dem Winkel B gleich ist und Seite AB der Seite THgleich ist, Seite KH der Seite BGr gleich [114], Eolglich ist SeiteDZ groBer aïs Seite BGf.

1) In Figur II5.

140M a x K r a u s e

Sa.tz 20.(b) Und wieder.um ! Wir setzen1) die beiden Bogen <AG, EZ>

kleiner aïs ein Halbkreis tmd verlângern die beiden Bogen AB, 9HT bis nach Punkt K, bis sie zusammentreffen, Da Winkel ABG ,dem Winkel BHT gleich ist, sind die beiden Bogen BK, KH zu-samnien ein Halbkreis [110], und da Winkel &TH groBer aïsWinkel BAG ist, sind die beiden Bogen AK, KT zusammen kleineraïs ein Halbkreis [110]. Eolglich siad die beiden Bogen BK, KHzusammen groBec aïs die beiden Bogen AU, KT zusammen. Also 12ist Bogen TH groBer aïs Bogen AB. Dann trennen wir von ibmeinen Bogen dem. Bogen AB gleicb. ab, namlich Bogen HL undziehen Bogen A<M>L. Dann sind die beiden, Bogen AÏS, KL zu-sammen gleich einem Halbkreise und es ist deshalb Winkel AKEdem Winkel BAM gleicli [110]. Aber Winkel ABM ist dem 15Winkel BHL gleicb., und die beiden Winkel bei Punkt M in denbeiden Eguren ABM, MLH siud einander gleich. Daber ist dieSeite BM gleicb. der Seite LH [118]. Also ist die Seite ZD groBer

aïs die Seite GB.Satz 21, 18

(c) Jetzt sei2) der Bogen AT groBer aïs ein Halbkreis undwir vervollstândigen den Bogen AKL. Dann sind die beidenBogen BL, LH zusammen gleich einem Halbkreise [110], da WinkelB dem Winkel H gleicb. ist, Bogen AK ist ebenfalls gleicb. einemHalbkreise. 3?olglick ist der Bogen AB den beiden Bogen KL, LH 2lznsammen gleicb. Also ist Bogen KL grbfier aïs Bogen LT [17]8).Wir setzen Bogen LH aïs gemeinsam. Dann sind die beiden BogenKL, LH, die gleich Bogen AB 'sind, zusammen groBer aïs BogenTH4). Wix setzen Bogen HTM dem Bogen AB gleich und zieheneinen Verbrndungsbogen zwischen den beiden Punkten À, M [Theod,120], Dann geht dieser Bogen durch Punkt [L 10a] K,. etwa wie 24Bogen ANKM, Da Winkel AB& dem Winkel BHT gleich ist[14] nnd Winkel KML, da HM gleicb. HL, LK ist, (und) LKgleich LM iibrig bleibt, dem Winkel MKL [12], d. h. BAN, gleich 17

1) In Figur II6.2) In Kgur 117.3) "Walirscheinlich fehlt Mer ein Teil; denn axis AB = KL + LH folgt das

niclit, Nach G lauten die Mer fehlenden Glieder : „. . . et (yiomatn angulus y(= T), qui est equalis angulo e (14), est niaior angulo o, et angulus a estequalis angulo c (— K), tune angulus y (= T) est maior angulo yal (= TKL).

Ergo est ...« (I T).4) Da aller TH = ED ist, so ist AB groBer aïs BD,

Deutsche Ûbersetzung der Spharik. m

ist und AB gleich HM ist, so wird daraus klar, daB Bogen BN"dem Bogen ÎTH gleich ist [114] und deshalb Bogen GH, cler gleich

3 Bogen ZD ist, groBer wird aïs Bogen BG. "Und das wollten wirbeweisen!

Satz 22.Wenn es zwei dreiseitige Eguren gibt, eine Seite der einen

von ihnen einer Seite der anderen gleich ist, einer der beiden,6 Winkel, die an jener Seite (liegen), von einer der beiden Eiguren

groBer aïs sein Gegenstiick aus der anderen Eigur ist und diebeiden iibrigen Winkel aus den beiden Eguren zusammen nichtkleiner aïs zwei rechte Winkel sind, so sind die Seiten, die dengrofieren Winkeln gegeniiberliegen, aus jeder der beiden Eiguren

9 groBer aïs ihre Gegenstticke aus der anderen Eigur.Es gebe1) zwei dreiseitige Eiguren, auf denen A, B, G und

D, E, Z (liege^i)2). Winkel A sei groBer aïs Winkel D, Winkel Gkleiner aïs Winkel Z und die beiden Winkel B, E seien zuisammen

12 nicht kleiner aïs zwei rechte Winkel. So behaupte ich, daB SeiteBG groBer aïs Seite EZ und Seite ED aïs Seite AB ist,

Da wir Winkel GAH dem Winkel EDZ und Winkel AGHdem Winkel DZE gleichsetzen (II) und Seite AG der Seite DZgleioh ist, so ist Seite AH der Seite DE und Seite GH der Seite

15 EZ gleich (114). Da die beiden Winkel ABG, DEZ zusammen<nicht> kleiner aïs zwei Rechte sind, so sind die beiden WinkelABG, AHG zusammen groBer aïs jeder einzelne der beiden WinkelABH, GHB. Also ist Winkel ABH viel groBer aïs Winkel BHAund Winkel BHG aïs Winkel GBH8). Eolglick ist Seite AH groBer

18 aïs Seite AB und Seite BG groBer aïs Seite GH (17)). Aber SeiteAH ist der Seite DE und Seite GH [L 10b] der Seite EZ gleich.Eolglich ist Seite DE groBer aïs Seite AB und Seite BG groBeraïs Seite EZ. Und das wollten wir beweisen!

2l Satz 23.Wenn der Winkel an der Spitze des Dreiecks gleich cler

Sunroae der beiden Winkel an seiner Grundlinie ist, so ist der24 Bogen, der von dem Punkt der Spitze des Dreiecks zu dem Punkt,

1) In Figur II S.2) Dahiuter fehlt: ,,Seite AG sei gleich der Seite DZ".3) Vielleicht sind davor einige Glieder ausgefallen :

nEs ist ABG + <£ AKG gïôfler aïs GHB u. <£ ABG +- AHG aïs <£ ABH.

Nach Suhtr. YOU ;AHG — <£ AHG u. <£ABG = <£ ABG.

hleibt ^ABG groBer aïs <£ AHB ti. <£AHG aïs <£HBG.

142 Max Kï ï iuse

der seine G-ranàlinie halbiert, gezogen wird, gleioh der halbenGrundlinie; wenn der Winkel an der Spitze des Dreieoks grôBeraïs die Summe der beiden iibrigen Winkel ist, so ist der gezogeneBogen kleiner' aïs die halbe Grundlinie und wenn der Winkel ander Spitze des Dreiecks kleiner aïs die Sumnie der beiden iibrigen 27'Winkel ist, ist der gezogene Bogen grb'Ber aïs die halbe Grund-linie.

(a) Die1) dreiseitige Eigur sei ABG. Der "Winkel bei B sei 18gleich den beiden Winkeln bei A, G. Wir halbieren A G in PunktD und ziehen zwischen den beiden Punkten B, D den GroBkreis- 3bogen BD. So behaupte ioh, daB Bogen BD déni Bogen DGgleich ist.

Wir halbieren nâmlich BG in Punkt E und ziehen BogenDEZ, der dnrch die beiden Punkte E, D geht [Theod. 120] und 6setzen2) Bogen DZ gleich Bogen ED2) und ziehen einen Bogen,der durch die beiden Punkte A, Z geht [Theod. 120], Da diebeiden Seiten AD, DZ den beiden Seiten GD, DE — jede Seiteihrein Gegenstiick — gleich sind und dièse Seiten zwei gleicheWinkel einschlieBen, ist die Grundlinie AZ gleich der GrrundlinieGE [14], die der Grundlinie BE gleich ist, und der Winkel ZAD 9dem Winkel DGB gleich und es ist deshalb der ganze WinkelZAB gleich dem <ganzen> Winkel ABG. Also ist die Seite AHgleich der Seite BH [13]. Es wurde schon gezeigt, daB AZ dereinen von beiden gleich GE der anderen ist, und wir haben GEgleich BE gesetzt. Also ist das iibrige ZH gleich dem iibrigenEH. Deshalb ist Winkel DEH gleich Winkel DZH [12]. Winkel 12DEH aber ist gleich Winkel DZA. Also sind die beiden WinkelDZH, DZA einander gleich. Also ist Winkel DZH ein Rechterimd ebenso Winkel DEH ein Rechter. Also sind die beiden

. Winkel DEB, DEG einander . gleich und die Seite DE ist ge-meinsam. Da dièse gleichen Seiten zwei einander gleiche Winkel igeinschlieBen, ist die Grundlinie BD gleich der Grundlinie D G [14].

(b) Und ebenfalls sei der Winkel ABG grôBer aïs die beidenWinkel BAG, BGD zusaimnen. So behanpte ich, daB BD kleineraïs GD ist.

Und das deshalb, weil, wenn wir handeln <wie wir gehandelt ishaben> weiter oben, sich zeigen lâBt, daB AZ gleich BE ist,

1) In Figm- II 9.2—2) Dièse Ubersetzung berulit auf eiuer Konjektur. Der Text in L lautet:

nïmd wir setzen Bogen ÀZ déni Bogeu EZ glsich und ziehen eiuen Bogen, derdnrcli die beiden Punkte E, D geht, und setzeu Bogen DZ dem Bogen EDgloich".

Deutsolie Obersetzung der Sphiirifc. 143

Winkel DZA (gleich) Winkel DEH und daB Wiakel ABG grôBeraïs Winkel BAZ ist. Dann ist die Seite AH grb'Ber aïs BH [17].[LU a]. Also ist Winkel DEH grôBer aïs <Winkel> DZH. Winkel

2l DEH ist aber gleich dem Winkel DZA. Deshalb bleibt WinkelDEB gleich dem Winkel DZH. Also ist Winkel DEH grôBer aïsWinkel DEB. Und da EB gleich EG ist und ED gemeinsain ist,sind die beiden Seiten BE, ED gleich den beiden Seiten GE, ED,und (da?) Winkel DEB kleiner aïs Winkel DEG ist, ist die Grund-linie BD kleiner aïs die Grnndlinie DG [18].

19 (c) Ebenso lâBt sich wiederum zeigen, daB, wenn Winkel ABGkleiner ist aïs die beiden Winkel BAG, BGA zusammen, dann BDgrôBer aïs DG ist.

Aus dem, was wir gesagt_ haben, wird klar, daB, wenn Winkel3 ABG nicht grôBer aïs ein Rechter ist, dann BD grôBer <alsDG ist>.

Denn die drei Winkel einer jeden dreiseitigen Eigur sindgrôBer aïs zwei rechte Winkel — wie in Satz 11 gezeigt wordenist — und Winkel ABG von ihnen ist nioht grôBer aïs ein Rechter.

6 Also sind die beiden Winkel BAG, BGA zusammen grôBer aïsein Rechter. Daher ist BD grôBer aïs DG1). Und das wolltenwir beweisen!

Satz 24.

Wenn in einer dreiseitigen Eigur ein Winkel nicht kleineraïs ein Rechter, ist, und jede einzelne der beiden iin einsehlieBen-

9 den Seiten kleiner aïs ein Viertelfcreis ist, so ist jeder einzelneder beiden iibrigen Winkel kleiner aïs ein rechter Winkel.

Es gebe 2) eine dreiseitige Ifigur, auf der A, B, G (liegen), ihrWinkel bei B sei nicht kleiner aïs ein Rechter und jede einzelneder beiden Seiten AB, BG sei fcleiner aïs ein Yiertelkreis. So be-

12 haupte ich, daB jeder einzelne der beiden Winkel BAG, BGAkleiner aïs ein rechter Winkel sei.

Wir setzen nâmlich jeden einzelnen der beiden Bogen BD, BEaïs einen Viertelkreis, setzen Punkt B aïs Pol und zeichnen mitdem Abstande der beiden Pnnkte D, E den Bogen DE [Theod.120]. Da Winkel ABG nicht kleiner aïs ein rechter Winkel ist,

15 so ist er entweder ein Rechter oder er ist grôBer aïs ein Rechter.

1) Da ^A + G grôBer aïs 90° sind, so sind sie gro/Jor aïs(nach 123 a) BD grb'lîer aïs DG.

2) In Kgur II 10.

. Also ist •

144 Max Kr au se

(a) Er sei znerst ein Reckter. Dann ist Bogen DE ein Viertel-kreis, Punkt D ein Pol von Bogen BGE nnd Punkt E ein Polvon Bogen BAD. Wenn wir die beiden Bogen DG, AE ziehen, soist jeder einzelne dei beiden "Winkel BAE, BGD ein Reckter 18[Lllb]. Eolglich ist jeder einzelne der beiden Winkel BÀG, BGA •kleiner aïs ein Rechter.

(b) Uncl wiederum! Wir setzen den Winkel ABG groBer aïsein Reckter. So ist Bogen DE groBer aïs ein Viertelkreis. Wir 21trennen von ib.ni die beiden Bogen DZ, EH ab und setzen jedeneinzelnen von ihnen aïs einen Viertelkreis. Dann ist Punkt Z einPol von Bogen BAD und Punkt H ein Pol von Bogen BGE. .Wenn wir die beiden Bogen AZ, GH ziehen, wicd jeder einzelneder beiden Winkel BAZ, BGH ein Réciter. Eolglich ist jeder ein-zelne der beiden Winkel BAG, BGrA kleiner aïs ein rechter Winkel. 24Und das wollten wir beweisen!

Satz 25. • . .

Wenn in einer dreiseitigen Eigur ein Winkel nicht kleiner aïsein Rechter ist und jede einzelne der beiden Seiten, die einen derbeiden îibrigen Winkel einschlieBen, kleiner aïs ein Viertelkreis 27ist, so ist die verbleibende der Seiten jener Eigur kleiner aïs ein-Viertelkreis tmd jeder einzelue der beiden iibrigen Winkel spitz.

Es gebe1) eine dreiseitige Figur, auf der A, B, G (liegen), 20der Winkel bei A sei nicht kleiner aïs ein rechter Winkel undjede einzelne der beiden Seiten AB, B& sei kleiner aïs ein Viertel-kreis. So behaupte ich, daB Bogen AG kleiner aïs ein Viertelkreis 3tmd jeder einzelne der beiden Winkel B, G spitz ist.

Da wir jeden einzelnen der beiden Bogen BD, BE aïs einenViertelkreis setzen, Punkt B aïs Pol setzen und mit dem Ab-stande BD den Bogen DE zeichnen [Theod. 120], in Punkt A vonBogen BD einen Bogen AZ imter einem rechten Winkel errichten 6und DEZ, AGH ziehen, so ist Punkt Z ein Pol des KreisesBAD2). Wir ziehen den Bogen ZB. So ist Winkel DBZ einRechter. Also ist Winkel ABG spitz und Winkel EGA ebenfailsspitz; denn Bogen DEZ ist ein Viertelkreis und Bogen EH istkleiner aïs ein Viertelkreis, also ist der kleinste der Bogen, die

Deutsche tJbaraetamg der Spharik.

1) In Figur II11.2) Vfeil sowolil ^BAZ wie auch <^BDZ ein Bechter ist. Auoh liier ist

der Text vielleicht nicht ganz in Ordnung, Bei G lautet dièse Stelle : „... pro-traham autem arcum as super anguluni rectum arcns ld et ooncnrrat <cis> arcuiHep (= DEH) supra g. Propter illnd ergo g est polus &<Z ,..",

r~»^. 145

von Punkt H nach Bogen BGE gezogen werden, Bogen EH1),darum ist Bogen GH grdfier aïs Bogen EH, also Winkel GfEHgroBer aïs Winkel HGE [19], der gleich Winkel EGA ist; WinkelGEH aber ist ein Rechter, also ist Winkel BGA spitz.

Und wiederum! Da Bogen BD ein Viertelkreis ist, wird12 [L 12a] Bogen DA kleiner aïs ein Viertelkreis und der kleinste

der Bogen, die von Punkt A nach Bogen DEZ gezogen werden,ist Bogen DA [Theod. III1] und was2) von diesen Bogen nâheran ilnn liegt, ist kleiner aïs das, was ferner liegt2). Also istBogen AK kleiner aïs Bogen AZ, Bogen AZ aber ist ein Viertel-kreis, also ist Bogen AH kleiner aïs ein Viertelkreis. JTolglich istBogen AG viel kleiner aïs ein Viertelkreis.

13 Wenn Winkel GAB ein Eechter ist, ist Ponkt H ein Pol desBogens BAD und ist, was wir sonst noch gesagt haben, klar8).Und das wollten wir beweisen!

. . Satz 26.

18 Wenn irgend zwei Seiten aus einer dreiseitigen Pigur halbiertwerden, so ist der Bogen, der zwischen den beiden Halbiernngs-punkten gezeichnet wird, groBer aïs die halbe Grundlinie.

Es gebe'1) eine dreiseitige Eigor, auf der A, B, G (liegen).2l Die beiden Seiten AB, BG niogen halbiert werden in den beiden

Punkten D, E nncl wir zeichnen einen Verbindungsbogen zwischenden beiden Punkten D, E, namlieh Bogen DE [Theod. 120]. Sobehaupte ich, daB Bogen DE groBer aïs die halbe GrandlinieAG ist.

Wir verlângern nâmlich DE nach Z, setzen DZ gleich DEund ziehen zwischen den beiden Punkten A, Z den Verbindungs-

24 bogen AZ [Theod. 120]. Wir verlângern jeden einzelnen derbeiden Bogen AZ, GB und sie mogen in Punkt H ztisammentreffen.Dann sind die beiden Seiten BD, DE gleich den beiden Seiten AD,DZ — jede Seite ihrem Gegenstiick — und dièse Seiten schlieBengleich groBe Winkel ein. Also ist die Grnndlinie BE gleich derGrundlinie AZ [14] und sie ist ebenfalls gleieh dem Bogen EG.

21 ITolglich ist Bogen EG gleich dem Bogen AZ. Winkel ABE ist

1) Denn EH steht senkreeht auf BE und isfc Heiuer aïs 90 °, also ist dieGerade Bfl die kûrzeste aller Geraden von H naoli dem Kreîse BGE (Tlieod.HI1).

2—2) Zum Grieoli. vgl. z. B. Tlieod. Spnarifc (éd. Heiberg) III7 alù S1 -fjïyyiov aiinis rfs àit&tSQÔv iativ slûantav.

3) Im arab. Text 20,16 ist mit L Tiajjinan statt ânifan zu lesen !4) In Kgur II12.

Abliandlungen d. Des, d. Wiss. zu Oôitingen. Phil.-Hïst. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 10(Sonderheft der Matli.-Phys. Kl.)

W

146 Max K r a u s e

dem Winkel BAZ gleich. Also sind die beiden Bogen AH, HBzusammen gleich eineni Halbkreise— nach dem, was in Satz 10gezeigt worden ist. •—• IFolglich sind die beiden Bogen AH, HEzusammen grofier aïs ein Halbkreis. Wir ziehen den Bogen AE 3[Tkeod. 120]. Daim ist Winkel AEG kleiner aïs Winkel EAZ— nach dem, was klar ist ans der Umkehrnng von Satz 10, —Die beiden Seiten ZA, AE sind gleioli den beiden Seiten GE, EA— jede Seite ihrem Gegenstiick — und der Winkel ZAE istgroBer aïs der Winkel AEG. Daher ist die Grundlinie ZE grofieraïs die Grundlinie AG [18], Also ist Bogen DE grôBer aïs die 6Halfte von AG. Und das wollten wir beweisen! [L12b].

Satz 27.

Wenn in einer dreiseitigen IFigur ein Winkel nicht kleineraïs ein Reckter ist, so erzeugt der Bogen, der gezeichnet wirdzwischen den beiden Halbierungspunkten der beiden Seiten, die 9jenen Winkel einschlieBen, zwei Winkel, die kleiner sind aïs diebeiden iibrigen Winkel der dreiseitigen Eigur — jeder Winkel(kleiner) aïs sein Gegenstlick, dessen Lage seiner Lage âhnlich ist.

Es gebe1) eine dreiseitige Mgur, auf der A, B, G (liegen),der Winkel bei Punkt B von ihr sei nicht kleiner aïs ein rechter 12Winkel, jede einzelne von AB, BG werde in den beiden PunktenD, E halbiert tmd zwischen diesen beiden Punkten rnbge der Yer-bindungsbogen DE gezeichnet werden. So behaupte ion, daBWinkel BDE kleiner aïs Winkel BAG und daB Winkel BED<kleiner> aïs Winkel EGA ist.

Da Winkel ABG nicht kleiner aïs ein rechter Winkel ist und 15jeder, einzelne der beiden Bogen BD, BE kleiner aïs ein Viertel-kreis. ist, so ist jeder einzelne der beiden Winkel BDE, BEDkleiner aïs ein rechter Winkel (124). Wenn mm jeder einzelneder beiden Winkel BAG, BGA nioht kleiner aïs ein Rechter ist,so ist klar, <dafi> Winkel D kleiner aïs Winkel A und daB Winkel 18E kleiner aïs Winkel G ist. Und wenn einer der beiden WinkelBAG, BGA kleiner aïs ein Rechter ist, so sei das Winkel BAG.Dann behaupte ich, daB Winkel BDE kleiner aïs Winkel BAG ist.

Denn wir halbieren AG in Punkt Z und ziehen die beiden 2lBogen DG, DZ. Da BE gleich EG, die Seite ED gemeinsam undWinkel BED kleiner aïs Winkel DEG ist — da Winkel BEDspitz ist —, so ist die Grnndlinie BD, die gleich DA ist, kleineraïs die Grundlinie DG — nach déni, was in Satz 8 erklârt worden 24

!)• In Figur II 18.

Deutsche Ûbersetzung der Sphiirik. 147

ist —, Daraus wird klar, daB Winkel AZD kleiner aïs WinkelDZG ist (18 Umk,), da AZ, ZG einander gleich sind, ZD gemein-sam ist und die Grnndlinie DG grofier aïs die Grundlinie AD ist,die gleich EG ist. Also ist Winkel AZD spitz. Winkel ZAD ist(auch) spitz, Also schneidet der Bogen, der von Punkt D aïs

27 Senkrechte auf AZ gezogen wird, den Bogen AZ und es sei jeneSenkrechte der Bogen DH. Da Winkel DHA ein Eechter ist, istAD grôfier aïs DH (17), Bogen AD ist aber kleiner aïs einYiertelkreis ; also ist der kurzeste der Bogen, die von Punkt D

22 nach dem Bogen AHG gezogen werden, Bogen DH [Theod. III1]und was von den iibrigen gezogenen Bogen ihm naherliegt, istkleiner aïs das ihm fernerliegende. Da AD gleich DB ist und BE

8 gleich EG, so ist der Bogen DE groBer aïs der halbe Bogen AG—• nach dem, was [L 13 a] in dem vorigen Satze gezeigt wordenist —. So setzen wir den Bogen AT gleich dem Bogen DE undzieàen den Bogen DT, Dann ist Bogen DT grofier aïs Bogen DZ,Bogen DZ aber ist grb'Ber aïs Bogen BE [126], da die beidenSeiten AG, AB in den beiden Punkten Z, D halbiert worden sind

G und Bogen ZD gezogen worden ist, der also groBer aïs die halbeGruncllinie BG ist — wie in dem vorhergehenden Satze gezeigtworden ist — und BE die Halfte der Grundlinie GB ist. Alsoist Bogen DT viel groBer aïs Bogen BE. Es sind also die beidenSeiten AD, AT gleich den beiden Seiten BD, DE und die Grund-linie DT ist groBer aïs die Grundlinie BE. Also ist Winkel DATgroBer aïs Winkel BDE [18 Umk.].

9 Ebenso wird aneh klar, daB Winkel BGA grofier aïs WinkelBED ist. Und das wollten wir beweisen!

Satz 28.Wenn es in einer dreiseitigen Figur einen Winkel gibt, der

nicht kleine'r aïs ein rechter Winkel ist und zwischen dein Hal-12 biernngspnnkt der Seite, die jenem Winkel gegenûberliegt, und

dein Halbierungspunkt einer der beiden Seiten, die den erwâhntenWinkel einschlieBen, ein Bogen gezogen wird, so erzeugt er einenWinkel, der kleiner ist aïs der Winkel, der nicht kleiner aïs einRechter ist und das ist der Winkel, dessen- Lage seiner Lagefihnlioh ist, d. h. jener Winkel ist aufgesetzt1) auf den gezogenen

1) murolckdba 'alû (= aufgesetzt auf) gibt das griecMsclie fisÇS^-névai taî(Euld. Bandl S. 166, G; 230,12,14; 232,11,12) wieder; bH ûbersetzt es meïst..(2. B. Mer ïext 4,1) durcli 'alâ ohue Yerbum, wâhrend IlbM dafûr ntàkiba 'alnoder liâna 'nia setzt. Im iibrigen diirfte der SchlnBteil von ..d. h." al) ivolil ara-bisclier Zusatz seiu,

10*

148 Max K r a u s e Deutsche Ûbersetzuug der Sphilrik. 149

Bogen in der entgegengesetzten Puicktung (zn der), in welcher er 15jenem Winkel gegeniiberliegt.

Die dreiseitige Egur sei1) ABG, ihr Winkel bei Pankt A seinioht kleiner aïs ein Rechter und wir môgen ihre Seiten in denPnnkten D, E, Z lialbieren, und zeichnen zwei Bogen zwischen 18clein2) Punkte E und jedem einzelnen der beiden Punkte D, Z2).So behaupte ich, daB jeder einzelne der beiden Winkel BDE, EZGkleiner aïs Winkel BAG ist.

Denn wir ziehen Bogen DZ und Bogen AE, So ist WinkelBAG entwecler ein Rechter oder er ist grofler aïs ein Reohter. 2l

(a) Wenn er ein Rechter ist, so ist AE groBer aïs EB, da dieStunme der beiden Winkel AGE, ABG [L 13 b] nnn groBer aïsWinkel A, der Rèchte, ist [123], Bogen AD ist gleich Bogen DBund Bogen DE ist gemeinsam, folgliok ist Winkel BDE kleiner 24aïs Winkel BAG [18 TJmk.]8).

(b) [1] Wenn Winkel BAG stnnrpf ist und nicht zugleich WinkelBDE groBer aïs ein rechter Winkel ist, so ist Winkel BDE dannkleiner aïs Winkel BAG.

[2] Setzen wir jetzt jeden einzelnen der beiden Winkel BAG, 23BDE .aïs stumpf und jeden einzelnen der beiden Bogen BD, BEaïs kleiner aïs ein Yiertelkreis. Da die beiden Seiten DB, DA ein-ander gleich sind, Seite DE gemeinsam ist nnd Winkel BDE groBeraïs Winkel ADE ist, ist Bogen BE, der dern Bogen EG gleick 3ist, groBer aïs Bogen AE [18]. Aber AZ ist gleicn ZG und EZist gemeinsam, also ist Winkel EZG stumpf [18 TTmk.], Jedereinzelne der beiden Bogen EG, GZ ist kleiner aïs einYiertelkreis>folglich ist Winkel A&B spitz [125], Dann ziehen wir von denbeiden Pnnkten A, G zwei Bogen, die senkrecht auf AG stehen, 6namlich AH, GH. So ist Punkt H ein Pol des Bogens AG. Wirziehen zwischen den beiden Punkten D, H den VerbindungsbogenDH und verlangern iin und Bogen AG in beiden Pvichtungen. Siemogen zusammentreffen in den beiden Pnnkten T, K. Dann istBogen DT kleiner aïs Bogen DHK —• nach dem, was in Satz 5

1) lu Figur H14.2—2) So wird der ursprunglichs Text gelante! haben. Die Handschrift

bietett ,,unà wir zeiehnen zwei Bogen zwischen den Puukten D, Z, B und wirzeichnen zwei Bogen zwischen jsdem einzelnen der beiden Punkte D, Z". An-scheinend ist die Fassung in dsr Handschrift ans zwei Yerschiedenen Fornm-lierungeii gemisoht, einmal ans der, die ich in den Text gesetzt liabe und dannaus der etwas unklaren nwir ziehen zwei Bogen zwischen den Punkten D, Z, E".

3) Es fehlt (uach G) et similiter angulus gze est minor angulo Tiag".

9 gezeigt worden ist1) —, Also ist Bogen DT der kleinste derBogen, die von Punkt D nach dem Bogen TAGK gehn, nnd wasihrn von den iibrigen Bogen nâheiiiegt, ist kleiner aïs das, wasfernerliegt. Da AD kleiner aïs ein Yiertelkreis ist und Bogen AHein Yiertelkreis ist, ist AD kleiner aïs AH und ebenfalls ist AH

12 kleiner aïs AK. ED ist groBer aïs AZ [126], so sei es gleich AL."Wir ziehen die beiden Bogen DL, LE. Da Bogen DL groBer aïsDZ ist, so ist er viel groBer aïs BE [126], So sind die beidenSeiten BD, DE gleich den beiden Seiten DA, AL und die Grund-linie BE kleiner aïs die Grundlinie DL. Eolglich ist Winkel BDEkleiner aïs Winkel BAG [18 TTrnk,]. Ebenso wird wiederuni ge-

15 zeigt, dafî Winkel GZE kleiner aïs Winkel BA& ist. TJnd daswollten wir beweisen!

Satz 29.Wenn zwei Seiten einer dreiseitigen Figur znsammen ein Halb-

kreis sind, so halbiert der Bogen, der den Winkel halbiert [L14a],18 den die beiden Seiten einschlieBen, ebenfalls die Grundlinie und

ist ein Yiertelkreis, und wenn man einen Bogen zwischen demHalbierungspunkt der Grundlinie und dem Punkt der Spitze desDreiecks zieht, so halbiert y er jenen Winkel nnd ist ein Yiertel-(kreis).

2l Es gebe2) eine dreiseitige Eigur, auf der A, B, G Qiegen), diebeiden Seiten AB, BG seien zusarnmen einem Halbkreise gleichund wir ziehen den Bogen BD. So behaupte ich: Wenn WinkelABD dem Winkel DBG gleich ist, so ist AD gleich D& undBogen BD ein Yiertelkreis.

24 Denn wir vervollstândigen die Zeichnung der Eigur3). Da diebeiden Bogen AB, BG zusammen gleich einem Halbkreise sind, istWinkel AGE gleich dem Winkel DAB [110] und es ist AB gleichGE und BG gleich AE. Da Winkel ABD gleich Winkel DBG ist,

27 der dem Winkel GED gleich ist, Winkel DAB gleich Winkel24 DGE ist und Seite ÀB gleich Seite GE ist, ist AD gleich DG

und ist BD gleich DE [114]. Also halbiert Bogen BD* die Grund-linie AG4) und ist BD ein Yiertelkreis.

1) "VYeil nâmlich KH = 90 °, also KH -J- HD griifier aïs 90 ° xmd somil auchfier aïs DT ist. DurchlB liefie sich nur zeigen, daB AH(=KH) + HD groBer

aïs AD ist. Moglicherweise ist auch hier der Text verdoruen.2) In Figur H15.3) D. h. wir yerlangern BA, BD und BG, bis sie in E zusammeutreffen. •-4) Die Obersetzung beruht auf einer Konjektur. Die Hs. bietet ,,den Winkel

ABG". Yielleicht aber bat der Text noch anders gelautet; denn auscheiuend ist

150 Max K r a u s e Deutsche tJbersetzung der Spharik. loi

Und wiederuni! Wenn AD gleick DGr ist, so halbiert Bogen 3BD den Winkel ABG und ist BD ein Yiertelkreis.

Denn die beiden Seiten AD, DG sind einander gleich nndebenao die beiden Seiten AB, &E nnd der Winkel BAD ist gleichdem Winkel <DŒE. Folglich ist Winkel ABD gleich dem Winkel> 6DEG (14), der gleich déni Winkel DBG- ist. Also halbiert derBogen BD den Winkel ABG, ist BD gleich DE (14) und ist BDein Viertelkreis, da BDE ein Halbkreis ist. Und das wollten wirbeweisen!

Satz 30. 9Wenn in einer dreiseitigen Figur zwei Seiten zusammen gleich

einem Halbkreise sind nnd von dem Punkt ihrer Spitze zwei Bogenso nach der Grmidlinie gezogen werden, daB sie mit den beidenSeiten zwei einander gleiche Winkel erzeugen, so trennen sie von .der Grundlinie zwei einander gleiehe Stiicke ab, und wenn sie von 12der Grundlinie zwei einander gleiche Stiicke abtrennen, so er-zeugen sie mit den beiden Seiten zwei einander gleiche Winkel,nnd ebenfalls sind die beiden gezogenen Bogen znsammen gleicheinem Halbkreise.

Dies x) wird bewiesen nach Analogie dessen, woniit wir den 15vorhergehenden Satz bewiesen haben1) [L14b].

dïeser Satz ,,Also , . . Yiertelkreis" unter déni Einflulî des nachsten Kauptsatzes,,so ... Viertelkraia" (Text 24,S/4) entstanden, wenn nicht sogar eine Doppel-schreibung Yorliegt. Immerhin scheint mir die Lesung, die ich in den Text ge-setzt liabe, die wahrseheinlichste zu sein, -\venn anoh die Worte ,,0^-j Q^J'Jund ist BD" senr schleeht in den Satzaufbau passen, Sollte BD fortzulassen sein?

1—1) Der hier feklende Beweis des Satzes lautet bei G folgendermaGen (Hund T stimmen mit G ûberein): ;,Exenipli causa sit triangulus dbg super super-ficiem spere, et sint duo arcus lia, Tig equales semicircnlo, et producantur ex au-gulo 6 ad arcnm ga duo arcus M, ba circulorum magnorum continentes cum ab,li/ duos angulos equales, qui sunt duo anguli dbd, ebg.

Dico ergo, quod ad est equalis go, et ijuod bd, be sunt eijuales semicirculo.Cuius hec est deinonstratio. Protraham arcus ba, bd, éb, yl> non ad parteni

b sed ad alîam. Manifestum est igitur, quod ipsi concurrent supra punctum unum.Sit ergo concursus supra puuctum ]i. Et Ba, 1)g sunt equales semicirculo ; ergoangulus cujp est equalis angulo gab (110). Et angulus dbd est eqnalis anguloëbg, et angulus ebg est egnalis angulo g-pe; ergo angulus abd est equalis angulogpe. Et arcus pg est eijualis arcui ba, et ipsi ambo sunt duo arcus, super cjuossunt duo auguli eijuales, ergo arens ge est equalis arcui ad, et- arcus M estequalis arcui ep (114), Ergo duo arens &cï, &e 'snnt equales duobus arcubus pd,f e ; ergo duo arcus bcZ, 6e sunt equales semicirculo.

Couuertam autem hanc dispositiouem. Manifestum est igitui", quod si arcusad est equalis arcui eg, quod angulus abd est egualis angulo ebg, et quod sunt

2l

Satz 31.

Wenn es eine dreiseitige, nicht gieichschenklige Figur gibt,von der zwei Seiten zusammen einem Halbkreise gleich sind, von

13 déni Punkt ihrer Spitze zwei Bogen nach ihrer G-randlinie gezogenwerden und sie beide zusammen einem Halbkreise gleich sind, sotrennen die beiden gezogenen Bogen von der Grundlinie zwei ein-ander gleiche Stiicke ab und sind die beiden Winkel zwischen ihnenund den beiden Seiten einander gleich.

Es gebe1) eine dreiseitige Mgur, auf der A, B, G (liegen), nndes seien die beiden Seiten AB, B& von ihr einander ungleich.Dièse beiden Seiten seien zusammen gleich einem Halbkreise undes mogen die beiden Bogen BD, BZ (so) gezogen wecden, (daB)ihre Summe ebenfalls gleich einem Halbkreise ist. So behaxipte

24 ich, daB AD = ZG und dafi ^CZBG- = <CDBA ist.25 Denn wir vervollstândigen die Zeichnnng der Mgur2)

So ist Winkel BAD gleich Winkel Z&E [110] und WinkelBDA gleich Winkel 'GZE [110]. <Und> da Seite B& ungleich

3 Seite AB ist, ist Punkt B nicht der Pol von ADG3). Also sinddie beiden Figuren ABD, G-EZ dreiseitig, die beiden Seiten AB,BD der einen von ihnen sind gleich den beiden Seiten GE, EZvon der andern • — jede Seite ihrem G-egenstiick — und die Winkel,denen dièse gleichen Seiten ans den beiden Dreiecken gegeniiber-liegen, sind gleiche Winkel nnd die beiden Punkte B, E sind nicht

6 Pôle der beiden Bogen AD, GZ, welches die beiden Grundliniensind. Also ist Bogen AD déni Bogen GrZ gleich und Winkel ABDgleich dem Winkel G-EZ [116], der gleich Winkel GBZ ist. Unddas wollten wir beweisen!

Satz 32.9 Wenn in einer dreiseitigen Figur zwei Seiten zusammen kleiner

aïs ein Halbkreis sind und ein Bogen von dem Punkt der Spitzeder Eigur nach ihrer Grundlinie so gezogen wird, daB er denWinkel oder die Grundlinie halbiert, so ist er kleiner aïs einYiertelkreis.

Es gebe8) eine dreiseitige Eigur, auf der A, B, G (liegen),

iterum ambo bd, be equales- semicireulo. Et illnd est qiwà uoluimus clemon-strare".

1) In Figur III1.2) D. h. wir verlângern BA, BD, BZ und BG, bis sie in E unsammen-

treffen.3) G (und HJ fûgt hinzu: ,,et sirniliter e non est polus arcus ay".4) In Figur III2.

152 Max Kr au se Deutsche Ûbersetzung der SpMrik. 153

tmd es seien die beiden Seiten AB, BG znsammen kleiner aïs ein 12Halbkreis. Wir ziehen den Bogen BD und dieser Bogen halbiereentweder den Winkel ABG-, so dafi "Winkel ABD gleich "WinkelDBGr ist, oder er halbiere die Grimdlinie AG, so daB AD gleichDG- ist. So behaupte ich, daB Bogen BD kleiner aïs ein Viertel-kreis ist.

Da die beiden Bogen AB, BG- zusammen kleiner [L15 a] aïs 16ein Halbkreis sincl, so ist, wenn wir sie beide yerlângern, bis siein Punkt E znsaninientreffen, Bogen GE groBer aïs Bogen ABund ist Winkel AG-E groBer aïs Winkel GAB [110],

(a) Wenn nnn Bogen AD gleich. Bogen DG ist, so \vii'd klar, 18wenn wir Winkel AGH gleich Winkel BAG setzen [II], daBBogen BD gleich Bogen DH ist [114:]. Bogen BH aber ist kleineraïs ein Halbkreis. Also ist Bogen BD kleiner aïs ein Yiertel-kreis.

(b) Und wenn Winkel ABD gleich Winkel DBG- ist, so wird .daraus klar, wenn wir Bogen ET gleich Bogen AB setzen und 21

Bogen AKT ziehen, claB Bogen BK ein Yiertelkreis ist [129].Polglich ist dann Bogen BD kleiner aïs ein Viertelkreis. Und daswollten wir beweisenl

Satz 83.Wenn es eine dreiseitige ungleichschenklige Ifigur gibt und 24

ihre beiden ungleichen Seiten zusammen kleiner aïs ein Halbkreissincl, so teilt der Bogen, der den Winkel, den dièse beiden SeiteneinschlieBen, in zwei gleiche Teile teilt, die Grundlinie in zweiungleiohe Teile, von denen der grbfite Teil der ist, der der grôBteuSeite naheliegt, und teilt der Bogen, der yon der Mitte (Hs. Hâlfte) 26der Grundlinie gezogen wird, den Winkel in zwei nngleiche Teile,wobei der groBte Teil yon den beiden Teilen des-Winkels der ist,welcher der kleinsten Seite naheliegt,

Es gebe1) eine dreiseitige .Figur, auf der A, B, & (liegen). 3BG sei grb'Ber aïs AB, sie beide zusammen seien kleiner aïs einHalbkreis und wir ziehen den Bogen BD, So behaupte ich, daBD& groBer ist aïs AD, wenn Winkel ABD gleich Winkel DBGist, uud daB Winkel ABD groBer aïs Winkel DB& ist, wenn AD 6gleich DG ist.

Denn wir trennen von BG- einen Bogen ab, der gleich AB ist,nâmlick BZ und ziehen die beiden Bogen AZ, DZ. Dann ist ABgleich BZ und ist BD gemeinsam.

1) In Figur III3.

(a) Wenn die beiden Winkel ABD, DBG einander gleich sind,9 so ist die Grrundlinie AD gleich de'r G-rundlinie DZ und ist Winkel

BAD gleich dem Winkel BZD [14], Was die beiden Winkel BAD,BQ-D betrifft, so sincl sie beide kleiner aïs zwei rechte Winkel, dadie beiden Seiten AB, BG kleiner aïs ein Halbkreis sincl1). Wasdie beiden Winkel BZD, DZ& betrifft, so sind sie gleich [L15b]

12 zwei rechten Winkeln. Es bleibt also ilbrig Winkel D&Z kleineraïs Winkel DZ&, nnd Seite DZ kleiner aïs Seite DG [17], Eswar schon gezeigt, daB Seite DZ gleich AD ist. Polglich ist &DgroBer aïs AD,

(b) Und wiederani! Wir setzen AD g]eich DG. So behaupte1S ich, daB Winkel ABD groBer aïs Winkel DBG ist,

Denn wir verfahren, wie wir oben yerfahren sinda). So sinddie beiden Winkel BAG-, BGA zusammen kleiner aïs zwei Eechte[110] und sincl die beiden Winkel AZB, AZG- znsammen gleich

18 zwei .Rechten, Aber Winkel ZAB îst gleich Winkel AZB [12], daAB gleich BZ ist. Es bleibt also Winkel AZG groBer aïs dieWinkel ZAG-, ZGA zusammen iibrig. Wir wissen (,,es ist b'e-kannt"?) hieraus, daB Bogen ZD, der die Grtmdlinie halbiert,kleiner aïs AD ist — nach déni, was in Satz 23 gezeigt worclenist'-—. Aber die beiden Seiten ZB, BD sind den beiden Seiten

2l DB, BA gleich. — jede Seite ihrem Gegenstiick —. Polglich istWinkel ABD groBer aïs Winkel DBG- [18 Umk.], Und das wolltenwir beweisen!

Satz 34.Wenn clies so ist, so behaupte ich ebenfalls, daB die beiden

24 Seiten AB, BG- zusammen groBer aïs zweirnal Bogen BD sind.Da wir3) die beiden Bogen BD, BG- nach Punkt E yerlangern,

so ist Bogen ED groBer aïs Bogen BD — nach dem, was inSatz 32 gezeigt worden'ist •—, Also setzen wir Bogen DH dem

27 Bogen BD gleich4). (a) Wenn nnn Bogen AD gleich Bogen DGist, so ist Bogen AB ebenfalls gleich Bogen G-H [14]. Und da diebeiden Bogen BG und GH, der gleich AB ist, groBer aïs Bogen

8 BH sind [15], der zweimal Bogen BD ist, und Bogen GH — wie

1) Da AB + BG kleiner aïs 180° ist, so ist 1SO°—A groBer aïs G (110),also <£ A + G Meîner aïs ISO °.

2) D. li. mr setzen BZ = BA und ziekeii die beideu GroBkreise DZ, AZ.3) In Figur III4.4) Nacli G uud H fehlt Mer: ..... et protraliam aroura gp (= GH). eîvcnli

hiagni".

r

*^^^^?

154 Max K r a u s e

bewiesen — gleich Bogen AB ist, sind die beiden Bogen BG-, ABzusammen gj.-8.Ber aïs zweimal Bogen BD1).

TJnd wiederum ! Wir setzen Winkel ABD gleich Winkel DBG.Dann ist DG groBer aïs DA [133], Wir trennen von DG einen 6Bogen gleieh DA ab, namlich DZ, und ziehen Bogen HZT. Dannist Bogen AB gleioli Bogen ZH und ist Winkel BAD gleich WinkelDZH [lé], Eolglich ist er2) clann groBer aïs Winkel TGZ [19].Also ist GT groBer aïs TZ [17]. Aber AB ist gleich ZH. Alsosind die beiden Bogen GB, BA grofier aïs die beiden Bogen BT, 9TE und die beiden Bogen BT, TH sind grofier aïs Bogen BH[16], der das Doppelte von BD ist. Also sind die beiden Bogen[L16a] AB, BG viel groBer aïs Bogen BH, der zweimal BD ist.Und das wollten wir beweisen!

Satz 35.Wenn die beiden Schenkel einer dreiseitigen Eignr ungleick 12

sind und beide zusammen kleiner aïs ein Halbkreis sind, und vondein Punkt der Spitze der Eigur nach ihrer Grundlinie ein Bogengezogen wird, der gleioh ist der Hâlfte der beiden Schenkel, dieeinander nioht gleich sind und deren Summe kleiner aïs ein Halb-kreis ist, so teilt er die Grundlinie und den Winkel in zwei ttn-gleiche Teile und es ist der groBere Teil von ihnen beiden der, 15welcher der kleinsten Seite naheliegt.

Es gebe3) eine dreiseitige Figur, auf der A, B, G (liegen),BG sei grofier aïs AB und die beiden Seiten AB, BG seien zu-

1) Bei Pappos, Colleetiones (éd. Hultscli) 478,1—21, wird der Satz so refe-riort: TQWV y.v-Aaiv iisyls-ctav -icsçupsQSiai. at AU AT Ad psyîarov nvy.lov nsQi-tf.£QSi.uv ttyi Sa TtejLvfrtùtîav, «ai ferra wdarri [li-v râ>v AB AT Ad slâoctav fi-cag-•twoçîov, &)) Ss -^ BT tf/ Td. fe"iai o« avvapipô-csQos y BAd -cfjg Ar pstÇaiv

sarlv ri SiTtkîj.KEMFîhB tfî AT finj 17 TE. êitsl ê}.àaaa>v -csraç-crf^on'ov i] AT, ll&seiav &ga

vstaQ-cilHOQtov «ai. TJ TE. il&aatav i'ga T)(UKi»aM)u •/) AS. OÛK «ça <5 Ad «i)?dosaQfitjavccTtiriQOViisvos y&i Sia tov E. ysygâcp'S'ra oîiv Sià tàv Ed ^yiatog xv-xlosù EtlZ, «ai èxsl l'at] ss-clv y fisv AF tf PB, 7') 5s AT -cy TE, ïtn\ êeilv $tao tôt) à inl tb E rf &ao rov A êrti tb B. î'm] &QU scnlv ^ BA TtsQLrpégsLa tyz/E ttSQUpigsîcc. Irtsl Sk aavms -CQinlsvQOv ai Svo TTJS lotnTJs peiÇovég staiv, ïat]Ss i5 fiw //Ë 'ry AB, ?; *s ET tîl TA, awapyôtigos aça -fi BÂd rfs AT psifavsarlv i] SiitlT).Aueh disses Beispial neigt, daB Pappos keineswegs wûrtlieh zitiert, die von ihmmitgetailten Auszûge ans Me fur die Textkritik nnr mit grofiar Vorsioht zu ver-weïten sind.

2) Semeint ist w>hl DZH (= TZG), der grofier aïs ^ G ist, da, er= >^BAG. ^BAG ist grûfier aïs ^BGA, da BG grûBer aïs BA ist (19).

3) In Fignr III5.

Deutsche Dbersetzting der Spharik. 165

sammen kleiner 'aïs ein Halbkreis. Wir ziehen Bogen BD und18 setzen ihn gleich der Hâlfte der beiden Bogen AB, BG znsanxmen.

So behaapte ich, daB AD groBer aïs DG ist und daB Winkel ABDgrb'Ber aïs Winkel DBG ist.

Denn wir setzen DE gleich BD und ziehen den Bogen AE.21 Da die beiden Bogen BA, AE zusammen <grb'Ber> aïs Bogen BE

. sind [15] und Bogen BE den beiden Bogen AB, BG zusammengleich ist, so sind die beiden Bogen AB, AE zusammen groBer aïsdie beiden Bogen AB, BG zusammen und es ist deshalb Bogen

24 AE groBer aïs Bogen BG. Wiederum sind die beiden Bogen GB,BA zusammen gleich clem Doppelten von BD, welches ED, BDist, und Bogen GB ist gub'Ber aïs Bogen BA. Also ist Bogen GBgroBer aïs Bogen BD, der gleieh DE ist. Also ist Bogen GB

28 grofier aïs Bogen DE. Da Bogen AE groBer aïs Bogen BG undBogen DE kleiner aïs Bogen BG ist, so fâllt, wenn wir von PunktE nach AD einen Bogen gleich Bogen BG ziehen, dieser, wie EZfallt, zwischen D, A und wir verlangern EZ bis H. Dann sind

3 BH, HE zusammen groBer aïs BE [15] und Bogen BE ist gleichden beiden Bogen AB, BG zusammen imd Bogen EZ ist gleichBogen BG. Deshalb ist Bogen ZH grb'Ber aïs Bogen AH und esist deshalb Winkel BAZ groBer aïs Winkel AZH [19], der gleichWinkel DZE ist1). Da die beiden Winkel BAG, EGA zusammen

6 kleiner aïs zwei Rechte sind, sind die beiden Winkel BGD, DZEzusammen viel kleiner aïs zwei rechte Winkel. Also sind in denbeiden dreiseitigen Eignren BDG, EDZ zwei ihrer Winkel, <nâm-lich> die beiden Winkel BDG, EDZ, und die Seiten, die zwei

9 andere ihrer Winkel einschlieBen, einander gleich — jede Seite[L16 b] ihrem Gegenstiick : die Seite BD der Seite DE und dieSeite BG der Seite EZ und die beiden iibrigen Winkel sind zu-sammen nicht gleich zwei Rechten. Daher ist die Grundlinie GDgleich der Grundlinie DZ — nach déni, was in Satz 13 gezeigt

12 worden ist — und ebenso auch Winkel DEZ gleich Winkel DBG.Deshalb ist AD grofier aïs DG. Da EZ gleich BG ist und BGgroBer <als BA> ist, so ist EH viel groBer aïs BH nncl es istdeshalb Winkel ABD grofier aïs Winkel DEZ [19]. Wir habenschon gezeigt, daB Winkel DEZ gleich Winkel DBG ist. Also ist

15 Winkel ABD grbfier aïs Winkel DBG. Und das wollten wir be-weisen !

1) G liât hier folgende zwei Glieder der ScMuBreihe: ,,pouam autem au-gtùum'fya connmuiem. ergo duo angnli bay, fy/fl simt maiores dnobus angtilisfce, bga".

156 Max K r a u s e Deutsche Obersetzung der Sphiirik, 107

Satz 36.Wenn zwei Seiten einer dreiseitigen Figur ungleich sind, sie

zusammen nient gi'b'Ber aïs ein Halbkreis sind, von dem Punktder Spitze jener Eigur zu der Hâlfte ihrer Grundlinie ein GroB- 18kreisbogen gezogen wird, auf jenern Bogen ein Punkt bezeiohnetwird, wie er anch inuner fallen moge, und von ihm ans zwei Bogenzu den End(pnnkten) der Grundlinie gezogen werden, so scblieBendie beiden gezogenen Bogen mit den beiden ungleichen Seiten zweinngleiche Winkel ein, deren grb'Bter der ist, welcker der kleinsten 21Seite naheliegt.

Es gebe1) eine dreiseitige Figur, auf der A, B, G- (liegen),Seite BG sei grofier aïs Seite AB und die beiden Seiten AB, BGseien zusarninen nicht gvoBer aïs ein Halbkreis. Wir halbieren AGin Pnnkt D, zieken von Punkt B einen Bogen nach Punkt D, be- 24zeichnen anf diesern Bogen einen Pnnkt E — wie er auch imnier 29fallen mbge — und ziehen von Pnnkt E zu den beiden PunktenA, G zwei Bogen, namlioh die beiden. Bogen EA, EG. So behanpteich, dafi Winkel BAE grofier aïs "Winkel BGE ist.

Denn die beiden Seiten AB, BG sind zusammen entweder 8kleiner aïs ein Halbkreis oder sie sind gleich einera Halbkreise.

Wenn sie kleiner aïs ein Halbkreis sind, so ist, da WinkelABD groBer aïs Winkel GBD ist [133], Winkel GBD spitz2). 6Wenn wir von Punkt E eine Senkreckte anf BG ziehen, fallt siezwischen die beiden Punkte B, G. So falle sie nnd sei die Senk-rechte EZ. Wir zieken von Punkt E nach déni Bogen AB dieSenkrechte EH. Da jeder einzelne der beiden Winkel BHE, BZEein Rechter ist, Winkel EBH grbfier aïs Winkel EBZ ist nnd EBgemeinsam ist, so ist EH grbfier aïs EZ8). So setzen wir TH 9gleich EZ nnd ziehen den Bogen AT. Da AB kleiner aïs einYiertelkreis ist [L17a], ist in der ersten Figur*) AH viel kleineraïs ein Yiertelkreis nnd Bogen AE grofier aïs Bogen AT5). Bogen

1) In Figur-III6.2) Naeh den iibrigen Ausgabeu felilt Mer der Nachweis, daB ^BGD (oder

BGE) Meiueï aïs 90° sei. Bel G lautet dièse Stelle: sed angulus agb estminor angulo 6ad (I9) et sunt ambo minores duobus rectis (110). ergo angulus

Tjgû est mûior recto",3) Das ist von T bewieseu, s. I. § 8 zu 136 Komm.4) Namlich fur den Fall, daB EH zmschen A und B fallt. Die betreffeude

Stello, die in L ausgefallen ist, lautet in G; „. . . et arcus productus ab e utsecet arcum lia orthogonaliter cadit inter "b, a aut non cadit ita. Cadat ergo inprimis inter a, 6 et sit sieut arcus ep (= EH)". Eiue entspreeheude Angabe liâtsieher aucli bei i\, s. 29,20/21,

5) G bat davor nocli folgende Stella (die vielleicht teilweise aueb. bei N ge-

EG aber ist groBer aïs Bogen EA [18], da BG groBer aïs BA12 ist, GD ist gleich DA und BD ist gemeinsam. Also ist Winkel

EDG grb'Ber aïs Winkel EDA nncl deshalb ist ebenfalls die G-rund-linie EG grb'Ber aïs die Grundlinie EA. Also ist der Bogen EGviel groBer aïs der Bogen AT, der groBer aïs Bogen TH ist [17],welcher gleich dem Bogen EZ ist. Also ist Bogen EZ kleiner aïs

15 Bogen AT. EG ist groBer aïs AT. Wir setzen daher aïs denBogen, der von Pnnkt E nach BG gezogen wird und gleich BogenAT ist, den Bogen EK. Aber Bogen TH ist gleich dem BogenEZ und die Winkel bei den beiden Pnnkten H, Z sind Eechte1).Also ist Winkel HAT gleich déni Winkel EKZ [113], aber Winkel

18 EKZ ist groBer aïs Winkel EGB, da die Summe von EG und EKkleiner aïs ein Halblïreis ist [110], Also ist Winkel HAT groBeraïs Winkel EGB. So ist Winkel BAE viel groBer aïs Winkel EGB.

(b) Hnd wiederum! Wir setzen, daB die Senkrechte, die von21 Punkt E nach AB gezogen wird, anBerhalb von AB fallt, wie

Bogen EH von der zweiten und dritten Egnr fallt. Wir vervoll-stândigen die beiden Bogen HBAL, HEL.' Da Bogen AE kleineraïs ein Yiertelkreis ist, ist Pnnkt A kein Pol des Kreises LEH.Also ist einer der beiden Bogen AH, AL groBer aïs ein Yiertel-kreis.

24 [1] Zuerst sei der Bogen, der grb'Ber aïs ein Yiertelkreis ist,Bogen AL-— wie es in der zweiten Eigur ist •—•. Dann bleibtder Rest von dem, was wir erwâhnt haben, in seinem Zustand;da AH kleiner ein Yiertelkreis ist nnd darans folgt, dafi der WinkelBAE groBer aïs der Winkel EGB ist.

30 [2] Und wiederum i Wir setzen aïs den Bogen von den beidenBogen AH, AL, der groBer aïs ein Yiertelkreis ist, Bogen AH— wie es in der dritten Eignr ist. Dann ist AL kleiner aïs ein

3 Yiertelkreis. Wir setzen M aïs einen Pol des Kreises LEH undziehen den GroBkreisbogen ME [Theod. 120]. Da zwei GroBkreis-bogen, namlich die beiden Bogen EL, MAL, sich unter rechtenWinkeln schneiden nnd Punkt M ein Pol des Kreises EL ist, alsoBogen AL kleiner aïs ein Yiertelkreis ist und Bogen AE eben-

standeu liât) : „ . , . sed ya (= HA.) est minor lia (TA), tiuoniam augulus aplc(AHT) est reclus, et arcus fa (AH) est_ niinor çuarta circuli et abscidit ipsearoum ep (EH) orthogonaliter, ergo linea egrediens ab a ad y est breuior omnibuslineis protractis ab a ad arcum ep, et liuea propinijuior ei est breuior longin-ÇLniore, ergo lïnea portracta ab a ad A: est breuior lînea portracta ab a ad a.ergo arcus ...".

1) Es fehlt die Angabe, daB die Summe der Winkel HAÏ und ZKE uugloichei Eechten ist (bei G „... unusquisque ... est non reclus").

158

falls kleiner1) aïs ein Yiertelkreis ist, ist Bogen EL kleiner aïsein Yiertelkreis [126] [L 17 b]. Der iibrigbleibende Bogen EH ist 6also groBer aïs ein Yiertelkreis, also groBer aïs Bogen AE. Des-halb ist Winkel HAE groBer aïs Winkel AHE, der Rechte [19],also dann stumpf. TJnd Winkel BG-E ist apitz, da er kleiner aïsWinkel EGA ist und Winkel BGA spitz ist. Denn die beidenWinkel BGA, BAG sind kleiner aïs zwei Rechte [ï 10], da diebeiden Bogen AB, BG- zusammen kleiner aïs ein Halbkreis sind, 9nnd Winkel BAG ist grbfier aïs Winkel BGA [1 9] 2).

TJnd8) wenn die Snmme von AB, BG- ein Halbkreis ist, sosind die beiden Senkrechten EZ, EH einander gleioli (und) fallenin das Innere des Dreiecks, wie in Eigur 1, da BD den Winkelan der Spitze der.Eigur kalbiert. TJnd wir beweisen, wie wir be- 12wiesen haben, daB Winkel BAE groBer aïs Winkel B&E ist8).Und das wollten wir beweisen!

Satz 37.Wenn zwei Seiten einer dreiseitigen Eigur einander ungleick 15

sind, ihre Suranie kleiner aïs ein Halbkreis ist und von der G-rtind-linie zwei einander gleiche Bogen von ihren4) beiden Endpunktenans abgetrennt werden, so schlieBen die beiden Bogen, die vonden beiden Punkten, in denen die G-rundlinie geteilt ist, zu demPnnkt der Spitze der Egnr gezogen werden, mit den beiden un-gleiohen Seiten zwei ungleiche Winkel ein, deren groBter der ist, 18der an der kleinsten Seite liegt, und sind die beiden gezogenenBogen znsammen kleiner aïs jene beiden Seiten znsanxmen").

1) T liât das bewissen in seinem Kommeutar zu 1 33 (vgl. I § S).2) Bei K felilt hier der SchlnBsatz ,,Polglich ist ^BAE grBBer aïs

Deutsche Ûberseteung dor Sphârik. 159

.3—3) Dieser Absclmitt felilt in alleu anderen Ausgaben.4) "WBrtlicli ,,yon dem, TOS ihien beiden Endpunkteu ualieliegt".5) Pappos, 1. c. 473, 22—480, 6, referiert den Satz soTsaauQaiv y.'ùv.laiv (isytatcav w£Qiq>£Q£icii uï AB AT AA AE jisytotov v.mlov

fv BE fs^vétiaaav, xotl ê'rao ij [LSV SP î'ffi; tf; z/E, êxùari] Si tàvAd AJii &ixGGG)V TEraçT:i]f!.oç^ou. &s££tti. t)rt, 6vvup.cp6T:GQog 1] BAE ffvvix^-

V tjjs TAil sari jxsîjcov.s-c^a&ai TJ Td SÎ%K ta Z, v.al ysyQ&ip&a) Sià fàiv AZ iLsyimos v.vv.iof û

AZIi, v.al •nsfa9ai tj) AZ l'ai] i\, v.a.1 ysyçoicpû-oi Sià ^sv tâni HE péyiatagv.M.og & HEK, SIK JE i:mv H/l ptyiatog nv-Klog ô lïd®. v.al irtA l'ai] éailv -fj [ilvHZ rf) ZA, •!) Se JZ t% Zr, l'cr] &ga èa-dv «aï ^ z)H rf) TA. Six rà ufaà Si]V.KL 7) SE ty SA saùv J'ffî;. Inel Si tçixlsvQOv tau HÉA lai piùg tSiv 7t1,£veS>vtflS HA Svo avvia-c&aiv èvtbg aC Ad dH, ai AATî. œga t&v AEH èl.âaiîovés ilaiv.mats KI AEH Sin AJIL y.si£ovsg elaiv. larj Ss fi ,ub EH tf AB, i\ HJ ry AT.

&OK •/) B/4E avvccjiqiotéQOV rfjs TA A [istÇaiv èatCv, GUSÇ.TVJ

Es gebe1) eine dreiseitige Eigur, au£ der A, B, G- (liegen),21 Seite B& von ihr sei langer aïs Seite AB und die beiden Seiten

AB, B& znsammen seien kleiner aïs ein Halbkreis. Yon der Grnnd-linie A& werden zwei einander gleiclie Bogen, nâmliah AD, EG-abgetrennt und es werden die beiden Bogen BD, BE gezogen. Sobehaupte ioh, dafi Winkel ABD groBer aïs Winkel GBE ist unddaB die beiden Bogen BD, BE zusammen kleiner aïs die beiden

24 Bogen AB, B& zasammen sind.Da wir DE in Punkt Z halbieren, Bogen BZ ziehen, ihn ver-

langern, ZH gleich BZ setzen und [L 18 a] die beiden Bogen AH,31 HD ziehen, so ist AH gleich BG [lé] und ist DH gleich BE [14]

nnd Winkel ABD ist groBer aïs Winkel AHD. Denn bei demDreieck BAH ist die &rundlinie in Punkt Z halbiert, von ihm einBogen naoh A gezogen, nâmlich AZ, auf ihm Punkt D bezeichnet

5 uncl von ihni die beiden Bogen DH, DZ gezogen und die SeiteAB ist kleiner aïs die Seite AH. EoJglieh ist Winkel ABD, wiegesagt, groBer aïs Winke] AHD — nach dsm, was in der vorigenEigur gezeigt worden ist. Aber Winkel AHD ist gleich WinkelGBE [14]. Also ist Winkel ABD grbfier aïs Winkel G-BE. TJnd

6 cla die beiden Bogen BA, AH zusammen groBer aïs die beidenBogen BD, DH zusammen sind [16], <die> gleich den beidenBogen DB, BE sind, sind die beiden Bogen AB, BG- zusammengroBer aïs die beiden Bogen DB, BE zusammen. TJnd das wolltenwir beweisen!

9 Satz 38.Wenn zwei Ssiten einer dreiseitigen Eigur ungleich sind, sie

beide zusammen kleiner aïs ein Halbkreis sind und von dem Punktder Spitze jener Eigur zwei Bogen nach ihrer Grrundlinie gezogenwerden, die mit den beiden nngleichen Seiten zwei gleich groBe

12 Winkel einschlieBen, so trennen sie von der Grundlinie zwei nn-gleiche Stiicke ab, deren kleinstes das ist, das an der kleinstenSeite liegt, und sind die beiden gezogenen Bogen zusammen kleineraïs die beiden Seiten jener Eigur, die einander nicht gleich sind.

15 Es gebe2) eine dreiseitige <Eigur>, auf der A, B, & (liegen),BG von ihr sei groBer aïs AB nnd AB, B& zusammen seienkleiner aïs ein Halbkreis. Yon Punkt B rnogen die beiden BogenBD, BE gezogen werden und es sei Winkel ABD gleich Winkel

18 EBG. So behaupte ich,^ daB AD kleiner aïs E& ist und daB die

1) In Figur Ht 7.' 2) In Figur III &.

160 M a x K r a u s e

beiden Bogen BD, BE zusammen kleiiier aïs die beiclen BogenAB, BG sind.

Da1) Winkel ABD gleich Winkel EBG ist, so ergibt siehdaraus, daB GfD groBer aïs AD ist, da "Winkel ABD, wenn GD 2lgleicli AD ist, groBer aïs Winkel GBD ist1). So halbieren wirAG in Punkt Z, zieken Bogen BZ, verlangern ihn bis H, setzenZH gleich BZ und ziehen die beiden Bogen AH, DE. Dann ist[L 18 b] "Winkel ABD grôfier aïs Winkel AHD — nach dem, wasin Satz 36 gezeigt worden ist — . Aber Winkel ABD ist gleich 24déni Winkel GBE. Also ist Winkel GBE groBer aïs Winkel AHD.Dann setzen wir Winkel AHT gleich dem Winkel GBE [II],Winkel BGE ist gleich Winkel TAH [14] nnd Seite BG gleichSeite AH [14], da die beiden Seiten AZ, ZH gleich den beiden 32Seiten BZ, ZG sind und dièse gleichen Seiten gleiche Winkel ein-schlieBen. Also ist AT gleioh GE nnd TH gleich BE [114]. Dannwird AD kleiner aïs EG. Winkel TZH ist stumpf, da die Grand- 3linie BG in dem Dreieck BZG groBer ist aïs die Grundlinie ABin dem Dreieck AZB und der Bogen HZ kleiner ist aïs ein Viertel-kreis — nach dem, was in Satz 32 gezeigt worden ist. Also istBogen DH, der von Bogen ZH fernerliegencle, groBer aïs BogenTH, der nâherliegende. Also sind die beiden Bogen BD, DH zu-sammen groBer aïs die beiden Bogen BE, BD zusammen. Aber die 6beiden Bogen AB, AH sind zusammen grôfier aïs die beiclen BogenBD, DH zusammen [16]. Daher sind die beiden Bogen AB, AHzusammen grb'Ber aïs die beiden Bogen BE, BD zusammen. AberBogen AH ist gleich Bogen BG. IMglich. sind die beiden BogenAB, BG ztisammen groBer aïs die beiden Bogen BD, BE zu- 9sammen. Und das wollten wir beweisen!

Satz 39.-Wenn zwei Seiten einer dreiseitigen Egnr einander ungleich

sind, sie zusammen kleiner aïs ein Halbkreis sind, von dem Punktder Spitze der JTigur zwei Bogen nach der Grundlinie gezogen 12werden und sie zusammen gleich den beiden ungleichen Seiten sind,so schlieBen sie mit den beiclen ungleichen Seiten zwei ungleicheWinkel ein und trennen von der Grundlinie zwei ungleiche Stiickeab, deren groBtes das ist, das an der kleinsten Seite liegt. là

Es gebe2) eine dreiseitige Ifigur, auf der A, B, G (liegen),AB, <B>G seien zusammen kleiner aïs ein Halbkreis und es

1—1) In allan anderen Ausgaben fehlt dièse Stelle,2) In Figm III9.

Deutsche Ûbersetznug der Sphârik, ]_{$]_

mbgen die beiden Bogen BD, BE so gezogen werden, daB BD, BE18 zusammen gleich den beiden Seiten AB, BG zusammen sind. So

bekaupte ich, daB AD -groBer aïs GE ist und daB Winkel ABDgroBer aïs Winkel GBE ist.

Der Beweis dessen besteht darin, daB wir DE in Punkt Z2l Mbieren, Bogen BZ ziehen, ihn bis H verlângern, ZH gleich BZ

setzen und die beiden Bogen AH, HD ziehen. So ist DH gleichBE [14]. Deshalb sind die beiden Bogen HD, DB zusammengleich den beiden Bogen [L19a] AB, BG zusammen. Aber1) diebeiden Bogen AB, AH zasammen sind grôBer aïs die beiden Bogen

24 AB, BG zusammen (I6]1). Deshalb ist Bogen AJ3 groBer aïsBogen BG. Aber DH ist kleiner aïs BG. So ziehen wir BogenTH und setzen ihn gleich dem Bogen BG. Es ist klar, daB erzwischen die beiden Punkte A, D fâllt, da Winkel A<D>H stumpfist, DH kleiner aïs BG ist und AE groBer aïs BG ist. Deshalb

33 ist ZT gleich ZG [113], es ist (aber) ZD gleich ZE. Also ist BogenDT gleioh dem Bogen GE, daher ist Bogen DA groBer aïs BogenEG. DH ist gleich BE. Folglich ist Winkel THD gleich WinkelGBE [14], da die Seiten der beiden Dreiecke einander gleich sind.

3 Winkel ABD ist groBer aïs Winkel AHD, folglich ist WinkelABD um vieles groBer aïs Winkel EBG, der gleich dem WinkelDHT ist. Und das wollten wir beweisen!

Beendet ist der erste Teil von Menelaos1 Buch in der Ver-8 besserung des Fiirsten Abu Nasr Mansûr b. Trâq. Und es sind

39 Sâtze. Preis sei Gott, déni Herren der Welten!

1—1) Eigentlioh sollta es lieiBen: ,,Aber die beiden Bogeu AB, AH zn-sammeu sind groBer aïs die beiden Bogen BD, HD zusammen (I 6). Also sind diebeiden Bogen AB, AH zusammen ...".

Abhandlungen d. Des. d. Wiss. zu Qôttingen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 11(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

162 M a x K r a u s e

Zweiter Teil von Menelaos' Bucli. 34

Satz 1.Wenn es eine dreiseitige ffigur gibt und ihre beiden Winkel

an der Grundlinie zusammen kleiner aïs zwei rechte Winkel sindund auf einer ihrer beiden Seiten oder ira Innern (der Kgur)irgendein Punkt bezeichnet wird, so kann man von jenem Punktezur Grundlinie einen Bogen ziehen, der mit ihr einen Winkel ein- 3schliefit, der gleioh ist dem ihm entsprechenden Winkel von denbeiden Winkeln des Dreiecks an der Grundlinie.

Es gebe1) eine dreiseitige Eigur, auf der A, B, G (liegen),die beiden Winkel BAG, EGA seien zusamnien kleiner aïs zwei 6Rechte und auf einer der beiden Seiten AB, BG der Egur ABGoder in ihrein Innern werde ein beliebiger Punkt und zwar PunktD bezeichnet.

So behaupté ich, daB man von Punkt D nach AG einen Bogen— wie Bogen DE gezogen wurde — so ziehen kann, daB WinkelDEG gleich Winkel BAG ist.

Da wir von den beiden Punkten A, G aus zwei Bogen ziehen, 9die auf AG senkrecht stehen, nâmlich AZ, GZ und Bogen <ZDbis H>2) ziehen <und um Z aïs Pol und im Abstande ZD einenBogen beschreiben, der Bogen>a) AB in Punkt T <schneidet>2),Bogen ZT ziehen und ihn [L 19 b] bis K verlângern. so ist BogenDE gleich Bogen TKS). Da die beiden Winkel BAG, EGA zu-samnien kleiner aïs zwei Rechte sind, ist Winkel TAK groBer aïs 12Winkel DGH. Winkel TKA ist aïs rechter Winkel dem rechtenWinkel DHG gleich und die beiden Seiten TK, DH sind einandergleich. Eolglich ist Bogen GH in beiden Eormen*1) groBer aïs BogenAK5). Wenn wir nun Bogen HE gleich Bogen AK setzen, in der

1) Ygl. Figur III10.2) So ist wahrscheinlich zu ergiinzen, vgl. D ,,et protraham arotim zdjp

(= ZDH) circuli magni, et signabo supsr polum s et cum longitudine gd aronmdy (= DT) ...". Hier k8nnte aucli noch gestanden habeu ,,Punkt D liège zuerstauf einer der beiden Seiten AB, BG und zwar BG".

3) Demi ZH = ZK = 90 ° und ZD = ZT.4) In Form I ist A stumpf, in Form II spitz, Môglicherweise hat bei K

eïne entspreeheude Bemerkung gestanden, die dann in L ansgefallen wàre.5) Pies beweist T in seinem Kommentar, siehe I '§8, zu III.

Deutsche Ûbersetzung der SpJiiirik. ^@3

35 ersten Form in Richturig G und in der zweiten Form in RichtungA: wenn wir also von Punkt H aus in der Richtnng von PunktG soviel wie1) HE nehmen, und von Punkt D einen Grofikreis-

8 bogen DE ziehen, wird Winkel DEG gleich Winkel BAG.

Satz 2.Es sei2) jetzt der bezeichnete Punkt, nâmlich D, im Innern

der dreiseitigen Figur. Wir ziehen die beiden Bogen AD, DGund verlângern sie bis zu den beiden Punkten E, Z.

6 Da nun die beiden Winkel BAG, BGA zusammen kleiner aïszwei Rechte sind, sind die beiden Winkel ZGA, ZAG zusammenviel kleiner aïs zwei rechte Winkel. Also konnen wir von PunktD ans einen Bogen — wie Bogen DH gezogen wnrde — so ziehen,

9 daB Winkel DHG gleich Winkel BAG ist.Ebenso konnen wir auch, da die beiden Winkel EAG, EGA

zusammen kleiner aïs zwei Rechte sind, von Punkt D aus einenBogen — wie Bogen DE gezogen wurde —• so ziehen, daB WinkelDKA gleich Winkel BGA ist. Und das wollten wir beweisen!

12 Satz 3.

Wenn die Sache so ist, wie wir geschildert haben, so sageich : Wenn Bogen AB8) nicht groBer4) aïs ein Viertelkreis ist undirgend ein Punkt entweder anf BG oder im Innern der Mgur be-zeichnet wird — nnd es sei der Bogen, der von jenem Punkte nachAG gezogen wird und damit einen Winkel einschliefit, der gleich

16 ist Winkel BAG imd dieseibe Lage wie er hat, DZ —• so be-haupté ich, daB er Bogen BG schneidet.

Wir setzen nâmlich aïs den bezeichneten Punkt D, ziehen18 Bogen BD und verlângern ihn bis AG. Er moge (es) in Punkt E

schneiden6).

Da nun die beiden Bogen AB, BG zusammen kleiner aïs einHalbkreis sind und zwischen ihnen [L20a] Bo.gen BE gezogenwurde, ist BE kleiner aïs einer der beiden Bogen AB, BG. Wennnun der Bogen, der groBer aïs BE ist, Bogen BG ist, so ist klar,

2l daB die beiden Bogen AB, BE ebenfalls kleiner aïs ein Halbkreis36 sind. Und wenn der Bogen, der groBer aïs BE ist, Bogen AB ist

1) Wortlich ,,im Mali von".' 2) In Figur III11.

8} In Figur III12.

4) Bei D und H steht ^kleiner" statt ,,uicht groBer". Im iibrigen ist der. ..Beweis Yûllig gleich.

5) Oder ner falle auf Pimkt E"..

11*

164 Max K r a u s e Deutsche tjbersetzung der Sphilrik. 165

— AB ist aber nicht grb'Ber aïs ein Viertelkreis — so verhâltsioh die Sache ebenfalls so, wie wir gesagfc baben. .Folglich. istWinkel BEG grb'Ber aïs Winkel BAG [110]. TJnd das deshalb,weil die beiden Bogen AB, BE zusammen kleiner aïs ein Halb- 3kreis sind, da AB nicht grb'Ber aïs ein "Viertelkreis ist uncl BEkleiner aïs AB ist [110]. Folglich schneidet der Bogen, der vonPmikt D axis gezogen ist und mit AG- einen Winkel einschlieBt,der gleioh ist Winkel BAG tmd dieselbe Lage bat wie er, BogenBG stets. TJnd das wollten wir beweisen!

Satz 4. 6Wenn es eine dreiseitige, nicht gleichseitige Figar gibt, ihr

Winkel an der Spitze nient grôBer aïs ein recliter AVinkel ist, dieSomme der beiden ihn einschliefienden Seiten kleiner aïs ein Halb-kreis ist, irgend ein Pimkt im Innern der Figur bezeichnet wirduncl von ihm aus zwei Bogen gezogen werden, die mit der Grund- 9

linie zwei Winkel einsohlieBen, die gleich sind den beiden Winkelnder Eigur an ihrer Grnndlinie, nnd sie bis zu den beiden Schenkelnder Figur verlângert werden, so sind die beiden Seiten der vier-seitigen Figur, die Stiicke sind von den gezogenen Bogen, grb'Beraïs die beiden ihnen gegeniiberliegenden, jede Seite aïs ihr Gegen-stiick.

Es sei1) ABG die dreiseitige Figur2), die Summe der beiden 12Seiten AB, BG sei kleiner aïs ein Halbkreis, und im Innern derEigur werde ein Punkt, wie immer er auch fallen nioge, bezeichnet,nâmlich Punkt D. Durci, ihn mb'gen die beiden Bogen EDH, ZDTgehen und es sei Winkel BAG gleich Winkel TZG und WinkelEGA gleich Winkel AEH. 15

So behaupte ich, dafi von Figur BHDT Seite DT grb'Ber istaïs Seite BH und Seite DH aïs Seite BT.

Wir ziehen nâmlich die Bogen EDK, GBK, ABL, ZTL undziehen zwischen den beiden Punkten B, D den Bogen BD. Da 18nun Winkel TZG, der AuBenwinkel von Dreieck LZA gleichist Winkel BAG, der ihm gegenûberliegt, so sind die beiden BogenAL, LZ zusammen gleich einern Halbkreise und es sind deshalbdie beiden Bogen BL, LD zusammen kleiaer aïs ein Halbkreis.Eolglich ist Winkel ABD grofier aïs Winkel BDL, sein Wechsel- 2lwinkel [110],

1) In Kgur III18.2) Hier fehlt noch ,,es sei der AVinkel bei B niclit grOBer aïs ein rechter

Winkel" nnd die Angabe, tlaB A.B und BG nngleich. sind.

[L20b] Wiecleruin werden, da Winkel AEH gleich WinkelEGA ist •—• und sie einander gegeniiberliegen innerhalb und anBer-halb des Dreiecks —, die beiden Bogen EK, KG zusammen gleicheinem Halbkreise [110] und deshalb sind die beiden Bogen DU,

24 KB zusammen kleiner aïs ein Halbkreis. Eolglich ist Winkel TBDgrb'Ber aïs Winkel BDH, sein Wechselwinkel [110],

Folglich ist der ganze Winkel TBH grb'Ber aïs der ganzeWinkel TDH. Also sind die beiden Winkel TBH, TDH zusammenkleiner aïs zwei rechte Winkel. Eolglich sind die beiden Winkel

37 BHD, BTD zusammen grofier aïs zwei rechte Winkel, da die 'Summe der seohs Winkel der beiden Dreiecke gr'dBer aïs vierrechte Winkel ist und vier Winkel von ihnen ziisammen kleiner

3 aïs zwei Rechte sind. Also sincl die beiden Arerbleibenden Winkelzusammen grb'Ber aïs zwei rechte Winkel. Also haben die beidendreiseitigen Eigaren BHD, BTD gleiche Grundlinien, da die Grnnd-linie der beiden Dreiecke, nâmlich DB, gemeinsam ist, und einerder beiden Winkel an der Grundlinie von einer von ihnen ist

6 grb'Ber <als sein Wechselwinkel> von den beiden Winkeln an derGrundlinie der andern nnd der verbleibende Winkel von denbeiden Winkeln an der Grundlinie ist kleiner aïs der verbleibendeWinkel von den beiden Winkeln an der Grnndlinie der andern(Eigur), d. h. Winkel HBD ist grb'Ber aïs Winkel BDT und WinkelBDH ist kleiner aïs Winkel TBD.

9 Und wiederum sind die beiden verbleibenden Winkel an derSpitze der beiden Figuren, nâmlich die beiden Winkel BHD, BTDzusammen nicht kleiner aïs zwei rechte Winkel. Folglich ist SeiteDH, die dem groBten Winkel von einer der beiden 3?iguren gegen-iiberliegt, grôBer aïs Seite BT, die dem kleinsten Winkel von der

12 anderen Pigur gegeniiberliegt, und Seite BH, die dem kleinstenWinkel <in einer der beiden Eiguren?> gegeniiberliegt, <istkleiner> aïs Seite DT, die dem groBten Winkel in der anderenEigur gegenûberliegt [122]. Hnd das wollten wir beweisen!

Und1) ebenso, wenn der Punkt, der bekannt ist, anf der15 Grundlinie AG liegt. Es wird DT gezogen und wir setzen Winkel

TDG gleich Winkel BAG, nnd <es wird> DH <gezogen und>wir setzen Winkel HDA gleich Winkel BGA. Wenn wir dannverfahren, wie wir (es) getan haben, zeigt sich uns, daB DH grôBerist aïs BT uncl DT grb'Ber aïs BH2).

1) Dieser Àbsclmïtt felilt soust libéral], ist also -\volil Zusatz von N.2) Nach T (Text s. o. IIA § 1 zu 37,14f.) felilt hier folgende Bemerkung'

N's: ,,Es muB in dem Satz eine audere Bediuguug hinztigefûgt werdeii, nâmliehontweder, daB wîr sagen, dal3 die beiden Seiten des Dreiecks einander nient gleich

166 M a x K r a u s e

Satz B. 18Wenn es eine dreiseitîge, gleiclischenklige Figur gibt, ihr

Winkel an der Spitze nicht grb'Ber ist aïs [L21a] ein rechterWinkel, jeder der beiden verbleibenden Winkel spitz ist, von einerder beiden gleiohen Seiten zwei gleiche Bogen abgetrennt werden,von den Enden der beiden Bogen (meùrere) Bogen zur Grundlinie 2lgezogen werden, so daB sie mit ihr Winkel einschlieBen, die gleich.sind dem Winkel an der Grundlinie jener dreiseitigen Eigur, sotrennen sie yon der Grundlinie zwei ungleich groBe Stlicke ab,deren grb'Btes das ist, welches der Seite, von der nichts abgetrennt 2±wurde, <nahe liegt>, und wenn der kleinsfce von den gezogenenBogen, mit <einem> der beiden Sehenkel zusammengenommen wird,so sind sie beide zusammen gleieh den beiden verbleibenden Bogenzusammen.

Wenn die gezogenen Bogen zwei gleich groBe Stiicke von der 38Grundlinie abschneiden, so trennen sie von den beiden Seiten zweiungleich groBe Stiicke ab, deren kleinstes das ist, das der Seite,von der nichts abgetrennt wurde, naheliegt, und ebenfalls ist der 3kleinste der gezogenen Bogen, zusammen mit eineni der beidenSehenkel, kleiner aïs die beiden verbleibenden Bogen zusammen.

Es gebe1) eine dreiseitige, gleichschenklige Figur, auf der A,B, G (liegen). AB von ihr sei gleich BG, Winkel ABG von ihr 6

sei nicht groBer aïs ein rechter Winkel und jeder der beidenWinkel BAG, BGA sei spitz. Es mogen abgetrennt werden voneinem der beiden Sehenkel AB, BG — und zwar BG •—• zweigleich grofîe Bogen, nâmlich BD, EZ und es mogen von denPnnkten D, E, Z Bogen nach der Grundlinie AG gezogen werden,die mit ilir Winkel einschlieBen, die gleich sind Winkel BAG, 9

nâmlich die Bogen DH, ET, ZK, sodaB jeder der Winkel GHD,GTE, GKZ gleich Winkel BAG ist. So behaupte ich, daB.Bogen

sind, oder daB wir sageii: ,,uud ist die Summs der beiden Seiten Ideiner aïs einHalbkreis". Denn wenn sie zwei yollstilndige Yiartsl sind, entsteht ans ihnen keinYierseit. Deshalb machten die Yarbesserer des Bûches zur Bedingung, daB jadeder beideu Seiten kleiuer aïs ein Yiertel sei. Dadurch, daB sie dias bedingten,entging ilmen aber (der Fall), daB eine der beiden Seiten ein Yiertel und dieandero kûrzer ist, der (aucb) in dem Satz inbegriffen ist" (vgl. ï's Bemerknngdazu, I § S), N Yerteidigt hiermit die yorliegende Formulierung des Satzes (kaumYerteîdigung eiuer eigenen Audemngl) gegan die anderer, ihm bekannter (sielieI §7!) Ansgabeu; bei H, D und S ,,BA kleiner aïs 90°, BG kleiuer aïs 90°"(T ,,BA, BG niolit grBISer aïs 90°"). DaB N hier YOD nYerbesserern" (mehr aïszwei!) redet, zeigt, daB es mehr gegeben haben mufi, aïs uns bekannt sind; einHinweis auf die Lûckenhaftigkeit der Oborlieferung !

3) Ygl. Fignr III14.

Dentsone Ûbersetzuug der Sphârik, 157

AH groBer aïs Bogen KT ist und daB .die beiden Bogen AB, KZzusammen gleich den Bogen DH, ET zusammen sind.

12 Da wir Bogen LH gleich Bogen KG setzen und da jeder derbeiden Winkel BAG, BGA spitz ist, ist jede der beiden SeitenAB, BG kleiner aïs ein Viertelkreis. Also schneidet der Bogen,der von Punkt L aus gezogen ist und mit AG einen Winkel ein-

16 schlieBt, der gleich Winkel EGA ist, den Bogen AB — naoh dem,was in Satz 3 bewiesen ist. So setzen wir Winkel ALN demWinkel ABG gleich. Dann ist MH gleicb ZK und LM gleich GZ(114). Da Winkel ABG nicht groBer aïs ein rechter Winkel ist,ist MN groBer aïs BD, das gleich EZ ist — nach dem, was in

18 Satz é1) bewiesen ist. Und wenn wir MS gleich EZ setzen undvon Punkt S aus Bogen SO so ziehen, daB [L 21 b] Winkel SOGgleioh Winkel BAG ist, wird der ganze Bogen LS gleich demganzen Bogen GE und es ist desLalb Bogen LO dem Bogen

2l GT gleich. Aber Bogen LH von dem einen von ihnen ist gleichBogen GK von dem andern. Es bleibt also OH gleich BogenET. ïolglich wird dann Bogen AH groBer aïs Bogen ET. Undda BD gleich EZ ist, sind BG, GZ zusammen gleich DG, GE zu-sammen. Aber BG ist AB gleich und DG gleich DH, weil die

39 Seiten AB, BG einander gleioh sind und daher die Winkel BAG,BGA einander gleich sind, Ebenso 2) ist auch GE gleioh ET undGZ gleich ZK. Also sind AB, ZK zasammen gleich DH, ET zu-sammen.

3 Satz 6.

Wieclerum ! Wiï setzen AH gleich TK. So behaupte ich, daBBD kleiner aïs EZ ist. Denn, wenn wir hierbei verfahren, wie

6 wir in dem vorigen Satz gesagt3) haben3), cl. h. wira) LH gleichKG setzen und LM3ST so ziehen, daB Winkel ALN gleich WinkelAGB ist, wird deshalb LN gleich GE iind LM gleich GZ. Folglichbleibt MN gleich EZ iibrig. MîsT aber ist groBer aïs BD —• wiein Satz 4 bewiesen ist.

9 Und ebenfalls behaupte ich, daB AB, KZ zusammen kleinersind aïs DH, TE zusammen.

Denn BD ist kleiner aïs EZ. IToIglich sind BG, GZ zusammenkleiner aïs DG, GE zusammen. BG aber ist gleich AB und DG

1) Ira Text stelit ,,5".2) Konjektur, in der Hs. ndeshalb"3—3) ,,Yerfahren sind" ?4) In Figur III15.

168 Max K r a u s e

gleich DH uncl GE gleich ET und GZ gleich ZK. Folglich sind 12AB, ZK zusamraen kleiner aïs DHj ET zusannnen. Und das-wollten wir beweisen!

Satz 7.Venu es eine dreiseitige, nicht' gleichschenklige Ifigur gibt,

ihr Winkel an der Spitze nicht groBer aïs ein reohter Winkel ist,ihre gr615te Seite nicht grôBer aïs ein A^iertelkreis ist, von der 15Grnndlinie zwei gleich groBe Bogen abgetrennt werden und vonder en Enden die Bogen gezogen werden, die mit der GrundlinieWinkel erzeugen, die gleich sind dem <Winkel von den beidenWinkeln> der Figur an der Grundlinie, der dieselbe liage hat wiesie, so trennen sie von den beiden Seiten zwei tingieioh groBeBogen ab, deren grb'Bter der ist, der der G-rundlinie naheliegt. 18

Wiederum sind von den gezogenen Bogen die beiden âuBerenBogen an den beiden Enden. [L22a] zusammen kleiner aïs diebeiden mittleren, z-wischen ihnen liegenden Bogen zusammen.

Es gebe alsoJ) eine dreiseitige ]?igur, au£ der A, B, G- (liegen), 2lSeite BG- von ihr sei groBer aïs Seite AB, Winkel ABG sei nichtgroBer aïs <ein reohter Winkel und Seite BG- sei nicht grb'Bërals> ein Yiertelkreis. Yon AG trennen wir zwei gleioh groBeBogen ab, nâmlich AD, EZ, und von den Punkten D, E, Z inogendie Bogen gezogen werden, die mit AGr Winkel erzeugen, die 24gleich sind dem ihnen entspreohenden Winkel, Wir bestimmen,daB es Winkel BAG- sei. So schneiden sie Bogen BG- und es seiendie Bogen DH, ET, ZE.

So behaupte ich, daB TK groBer ist aïs BH und daB die beidenBogen AB, ZK zusammen kleiner sind aïs die beiden Bogen DH,TE <zusanunen>.

Wir setzen nâmlich hier ebenfalls Bogen DL gleich Bogen ZG- 40und setzen Winkel ALN gleich Winkel AGB. Da nun AD gleichEZ ist und DL gleich ZG- ist, so ist AL gleich EG-. Winkel ALNwar gleich Winkel AGE und Winkel BAL gleich Winkel TEG-, 3folglioh ist Seite AN gleich Seite ET und Seite LN gleichSeite GT. . . . •

Und ebenso lâBt sich auch zeigen, daB ML gleich Seite GEist und daB Seite DM gleich Seite ZK ist. Folglich bleibt MNgleich TK iibrig. MN aber ist grôBer aïs BH. Folglich ist TKgroBer aïs BH —• nach dem, was in Satz 4 gezeigt ist —. 6

Aber AN ist gleich ET und DM gleich KZ, also sind die

1) In Ifigur Ilï 1G.

Deutsche Obersetzung der SpMrik. 169

beiden Bogen DH, ET zusammen groBer aïs die beiden BogenAB, ZK zusammen. Denn MH, der UberschuB von DH liber MD,das gleich KZ ist, ist grb'Bër aïs BN, der TJberschtiB von AB iiber

9 AN, von dem offenkundig war, daB es gleich TE ist. Und daswollten wir beweisenl

TTnd1) wenn wir die Sache vertauschen in dem Sinne, daB2)GZ und ED einander gleich sind und wir die Bogen ZK, ET, DHziehen, indem wir die Winkel KZA, TEA, HDA gleich Winkel

12 EGA setzen and sie AB schneiden •—• wie aus Satz 3 klar wird —,wenn wir dann ZL gleich AD setzen und LMN so ziehen, daBWinkel NLG gleich Winkel BAG- ist, so zeigt sich uns ebenfalls,daB LM gleich AH, ZM gleich DH, LN gleich AT und GN gleichET ist. Also ist MN gleich TE, MN ist aber groBer aïs BK.

M Also ist TH groBer aïs BK. Und ebenfalls ist KM, das derUberschuB von KZ ûber ZM ist, welches — wie bewiesen •—• gleichDH ist, groBer aïs BN, das der UberschuB von BG iiber NG ist,welches — wie bewiesen —• [L 22 b] gleich ET ist, Folglich sindBG, DH zusammen kleiner aïs ZE, TE <zusammen>.

18 Satz 8.

Und wiederum! Wir setzen3) AD gleich GE und was wirsonst noch nannten, (bleibe) wie es war.

So behaupte ich, daB Bogen GT groBer ist aïs Bogen BHund daB AB kleiner ist aïs die beiden Bogen DH, TE zu-sammen.

Wir errichten nâmlich in D einen Winkel, der gleich Winkel2l EGA ist, nâmlich Winkel ZDA. Winkel ZAD war gleich Winkel

TEG und Seite AD gleich Seite EG. Also ist Seite AZ gleich SeiteTE und Seite ZD gleich Seite GT (114). Bogen ZD aber istgroBer aïs Bogen BH •—• nach dem, was in Satz 4 gezeigt wurde.Also ist Bogen GT grôBer aïs Bogen BH. Und weil Bogen DH

41 groBer ist aïs Bogen BZ und Bogen TE gleich Bogen AZ, istAB kleiner aïs DH, ET zusammen. Und das wollten wir be-weisen!

3 Ebenso4) wenn wir8) ET und DH nach Seite AB zieheu, in-dem wir die Winkel, denen AB gegeniiberliegt, dem Winkel EGA

1) Dieser Teil felilt in D und H, stammt also vielleiclit von N.2) In Figur III17.3) In Figur IV 1.4) Der Rest ist Zusatz von N.B) In Figur IV 2.

170 Max K r a u s e Deutsche Ûbersetzung der Sphilrilc. 171

gleich setzen, wird au! die gleiche Weise, wie (oben) geuannt,klar, dafi BG kleiner ist aïs die beiden auf die genannte Art ge-zogenen Bogen zusainmen.

Und wiederum 1 "Wenn1) <die Grundlinie in Pankt D lialbiert 6wird uncl wir DH so ziehen, daB> dadurch Winkel G-DH gleichWinkel BAG wird, so ist AB kleiner aïs 2 DH.

Und wiederum! Wenn wir DZ so ziehen, daB Winkel ZDAdem Winkel EGA gleich wird, so ist BG kleiner aïs 2 DZ. Denn 9GH ist gleich DZ und DH gleich AZ, und DH groBer aïs BZ,und DZ groBer aïs BH, wie es in Satz 4, aïs der Pankt auf derGrundlinie bezeichnet war, bewiesen worden ist.

Satz 9. 12Wenn es eine dreiseitige, ungleichschenklige Eignr gibt, cleren

Winkel an der Spitze nicht groBer aïs ein rechter Winkel ist undderen lângster Schenkel nicht groBer aïs ein Yiertelkreis ist, undvon einem der beiden Schenkel zwei gleiche Bogen abgetrenntwerden, und von deren Endpmxkten aas nach der Grundlinie Bogen 15so gezogen werden, daB sie mit ihr Winkel hervorbringen, diegleich sind déni Winkel, den die andere Seite mit der GrundlinieeinschlieBt, so trennen sie von der Grundlinie zwei ungleich groBeBogen ab, deren groBter der ist, welcher der nicht [L 28 aj ge-teilten Seite nahe liegt. Wenn nun die beiden gleichen Bogen,welcke abgefcrennt sind, von dem grb'Bten der beiden Schenkel 18<abgetrennt> sind, so ist der kleinste der gezogenen Bogen zu-sammen mit der nicht geteilten Seite kleiner aïs die beiden iibrigeiiBogen zusammen; wenn aber die beiden gleichen Bogen vieltnehrvon dem kleinsten der beiden Schenkel abgetrennt sind, ist derkleinste Bogen mit der ungeteilten Seite groBer aïs die beiden 21iibrigen Bogen.

Es gebe2) eine dreiseitige Mgur, auf der A, B, G (liegen).Ihr Winkel AEG sei nicht groBer aïs ein rechter Winkel und dergroBte der beideu Schenkel AB, BG sei nicht groBer aïs ein"Viertelkreis. Yon einem der beiden Bogen AB, BG mogen zwei 24gleiche Bogen, nâmlich BD, EZ, abgetrennfc werden, und von denPunkten D, E, Z mogen Bogen nach der Grundlinie AG gezogenwerden, die mib ihr Winkel einschliefien gleich dem Winkel, dendie Grundlinie AG und die ungeteilte Seite einschliefien, und dieder geteilteu Seite gegeniiberliegen, nâmlich die Bogen DH, ET,

1) In ïïgnr IV 3.2) In Figur IY 4,

•27 ZK. Und das ist mbglich, weil die beiden Winkel bei den PunktenA, G kleiner aïs zwei Rechte sind, und zwar deshalb, weil diebeiden Seiten AB, BG zusammen kleiner aïs ein Halbkreis sind.Und1) das ist in Satz 1 gezeigt worden1).

42 So behaupte ich, daB2) in Figiir 1 Bogen AH, welcher derungeteilten Seite nahe liegt, groBer aïs Bogen TK ista).

3 Wir setzen nâmlich Bogen LH gleich Bogen GK, errichtenin L Winkel ALM und setzen ihn gleich Winkel AGB. Dannschneidet Bogen LM die Seite3) AB — wie es in Satz 3 gezeigtworden ist •—. Denn Bogen AB ist nicht graBer aïs ein Yiertel-

6 kreis und4) die beiden Seiten AB, BG sind zusammen kleiner aïsein Halbkreis4). (Yon) den Seiten der vierseitigen Eigur BDNMist Seite MN groBer aïs Seite BD und Seite DN groBer aïs SeiteBM, wie es in Satz 4 gezeigt worden ist. So setzen wir Bogen

9 NS gleich Bogen BD, und ziehen Bogen SO so, daB Winkel SOGgleich Winkel BAG ist. Bogen LH ist aber ebenfalls gleichBogen GK. Also ist Bogen GZ gleich Bogen LN •— nach dem,was in Satz 14 des ersten Teiles gezeigt worden ist. Und BogenNS ist gleich [L 23 b] Bogen ZE, und zwar deshalb, weil er Bogen

12 BD gleich ist. Also ist der ganze Bogen LS dem ganzen BogenGE gleich. Die beiden Kgaren SOL, TEG sind also dreiseitigeEguren und die beiden Winkel bei L, 0 der einen von ihnen sind

•gleich den beiden Winkeln bei T, G der anclern, jeder Winkeldem ihm entsprechenden, und eine Seite von der einen ist gleicheiner Seite von der anclern, nâmlich die, welche einem Winkel

15 gegentiberliegt, der dem Winkel gleich ist, dem ihr ,,Gefâhrte"in der anderen Eigur gegenûberliegt, nâmlich Seite SL, die derSeite EG gleich ist. Und jede einzelne der beiden verbleibendenSeiten, die den beiden verbleibenden Winkeln gegeniibeiiiegen,nâmlich SO, ET, ist kleiner aïs ein Yiertelkreis. So ist die Summe

18 SO, ET kleiner aïs ein Halbkreis. Also ist OL gleich TG — nachdem, was in Satz 17 des ersten Teiles gezeigt worden ist —.Und Bogen LH von der einen von ihnen ist Bogen GK von derandern gleich. Es bleibt also Bogen OH dem Bogen TK gleich"').

Und6) in Figur 27) wird jenes gezeigt (dnrch das, ?) was wirangefiihrt haben.

1—1) Fehlt in D (was sich von hierab auf D b bezieht !).' 2—2) ,,daB Bogen AS gi-OBer aïs Bogen TEC. ist- D.

3) ,,Bogen'< D.4—4) Fehlt in D.5) Naeli D fehlfc ,,ei'go erit areus aJi maior arcu lk~.G—*) Dieser Teil fehlt in D.7) Ygl. Figur IV 5.

172 M a x K r a u s e

TJnd wiederum! Wenn die beiden Bogen aufeinander folgen, 2lwie1) die beiden Bogen BD, DE, und wir dièse Beweismethodebefolgen, so zeigt sich uns deshalb, daB der Abschnitt, den dièsewie beschrieben gezogenen Bogen von der niolit geteilten Seiteans abtrennen, grôBer ist aïs der andere Abschnitt*),

Satz 10. ' 24Sodann sei2) BGr groBer aïs AB und zuerst rab'gen wir von

B& zwei gleiohe Bogen. nâmlich BD, EZ abtrennen und verfahren,wie wir un Yorhergehenden verfahren sind.

So behaupte ich, daB die beiden Bogen AB, ZK zusammenkleiner sind aïs die beiden Bogen DH, ET zusaminen.

Wir bestinunen nâmlich zuerst, daB der Winkel bei Ponkt A 43ein Rechter sei. Weil wir nun gezeigt haben, daB Bogen AHgrb'Ber aïs Bogen TK ist, so trennen wir von Bogen AH BogenAL dem Bogen TK gleich ab, verlângern Bogen BA nach M und 3setzen AM gleich KZ. Wir ziehen die beiden Bogen LM, TZS).Dann sind die beiden Bogen AL, AM den beiden Bogen TK, EZgleich. und dièse Seiten [L24a] schlieBen zwei gleiohe Winkel ein.IMglich ist Bogen LM dem Bogen ZT gleich [14] und*) ist WinkelAML dem Winkel TZK gleich. Winkel TZK aber ist grofier aïsWinkel ETZ, und zwar deshalb, weil die beiden Bogen ET, ZK 6mit A& gleiche Winkel einschliefien6). Also ist Winkel AMLgroBer aïs Winkel ETZ. Wir setzen Bogen TH dem Bogen BMgleich und ziehen die Bogen <BL>8), BH, 1TZ. Da nun die beidenSeiten BM, ML den beiden Seiten NT, TZ gleich sind und WinkelAML, der7) Winkel TZK gleich ist17), groBer aïs Winkel NTZ ist, 9so ist Bogen BL grôfier aïs Bogen Z1SF unds) Bogen BH grb'Beraïs Bogen BLS). Also ist Bogen BH um vieles grbBer aïs BogenZK Winkel ZES sei dem Winkel BDH gleich. Dann ist Bogen

1) in Figur IV 6 und 7.2) In Figur IY S.3) Der Bogen ,,TZ" ist in dor Figur 1YS nachzutragen.4) So ist mit D (et i) und T gegeu L zu leseu, also auch im Text 43,5 zu

verbessern (wa zmcyat AML ...).5) Nacli 111 ist ÏKZ + TZK + KTZ groBer aïs ISO °.

Aber <£ ™z = (ETH) + ETZ + KTZ = 18° °.voraus folgt, daB <£ ETZ kleiner aïs TZK ist.

fi) Nach G ergiiuzt, feWt in L (,,die Bogeu") und J (,,die lieideu Bogen .. .")•7—7) Folilt in D.S—S) Felilt in Du, yorhanden Da und H.

Dontsohe Obersstzting der SplHlrik. 173

BH groBer aïs Bogen ZS, und er ist ebenfalls gr5fier aïs Bogen12 EZ, und zwar deshalb, weil er grb'Ber aïs Bogen BD ist. So ver-

lângern wir Bogen TZ1) bis 0 und setzen1) ZO gleich BH. Danun die beiden Fignren BHD, EZO dreiseitig sind tind ein Winkelder einen von ihnen, nâmlich Winkel ZEO, gleich einem Winkelder andern ist, nâmlich Winkel BDH, und die Seiten, die zwei

15 andere ihrer Winkel einschlieBen, nâmlich die beiden Winkel beiden beiden Pnnkten B, Z, gleiche Seiten sind: Seite BH2) derSeite ZO, Seite BD der Seite EZ, und die beiden verbleibendenWinkel, nâmlich die beiden Winkel BHD, EOZ, zusammen zweirechten Winkeln tingleich sind — weil nâmlich jecler einzelne von

18 ihnen spitz 8) ist — , so ist Seite DH der Seite EO gleich • — undzwar nach dem, was in Satz 17 des ersten Teiles gezeigt wordenist — EO aber ist groBer aïs EN • — • weil nâmlich ZO, da esgleich BH ist, grb'Ber aïs ZK ist • — . So ist DH grb'Ber <als

Wir setzen Bogen ET gemeinsam ; so sind die beiden Bogen2l DH, ET zusammen groBer aïs Bogen TN. TN aber ist gleich BM

und Bogen BM ist den beiden Bogen AB, KZ gleich. Dann sinddie beiden Bogen DH, ET znsamnien groBer aïs die beiden BogenAB, KZ zusammen.

Was das betrifft, daB er sagt: „ Winkel TZK ist groBer aïsWinkel ETZ", so (ist das deshalb der Eall) weil die beiden Winkel

2i ZKG-, ETK einander gleich sind. Wenn wir die beiden Bogenverlângern, bis sie znsammentreffen, so sind die beiden Bogen

44 TE, KZ und was auf sie folgt bis zuni Sohnittpunkt mit déniBogen [L 24 b] zwischen Punkt Z nnd dem Schnittpunkt kleineraïs ein Halbkreis. Also ist Winkel KZT deshalb grbBer aïs WinkelETZ, sein Wechselwinkel.

3 Was das betrifft, daB er sagt: nBH ist groBer aïs BD". Daer annimmt, daB Winkel DHGr ein Keohter ist — nnd ebenso (istes,) wenn er stumpf ist — so ist Winkel DHB spitz, TTncl weilB& nicht groBer aïs ein Viertelkreis ist, so ist GrD kleiner aïsein Viertelkreis und Winkel G spitz. Folgiich ist DH, welches

6 den Winkel H, dem DGr gegeniiberliegt, erzeugt, wenn dieser einRechter oder stumpf ist, kleiner aïs D&. Also ist es kleiner aïsein Viertelkreis. Und ebeufalls, da Winkel AB& nicht groBer aïs

1—1) Fehlt in J und aucn G, wo die Stelle so forrnnlîart ist : nprotrahamergo'^g ad aroum es egualem arcui W&".

2) D fiigt dahinter nvou ihnen" (ex eis ;uan) ^n.3) ,,ein spitzer Winkel" D.

v 4) afaoli D.

174 M a x K r a u s e

ein. Rechter ist, ist A G nicht groBer aïs BG, also nicht groBeraïs ein Yiertelkreis. Die beiden Winkel G, D sind also spitz.Also ist Winkel BJDH stumpf. Winkel DBH aber ist spitz. Fol g- 9lich ist BH groBer aïs BD [17]. Und weil ZN kleiner .aïs BL ist,und BH groBer aïs BL, so ist BH um vieles grbfier aïs ZN, wieschon erwâhnt.

Was das betrifît, daB er sagt: ,,Da die beiden Eiguren BHD,EZO" und was darauf folgt, bis er sagt: nSo ist Seite OE derSeite DH gleich", so (ist das der l'ail) wegen des im Yorher- 12gehenden in Satz 17 des ersten Teiles Bewiesenen1).

Und was er clazwischen sagt, daB ,,die beiden Winkel BHD,EÛT spitz sind", so ist das bei Winkel BHD klar, da WinkelDHG niclit kleiner aïs ein Rechter ist, Betreffs Winkel EOT, so(deshalb) weil ZO, das gleioli BH ist, grb'Ber aïs TE ist, weil 15nainlich BH grofier aïs AB ist und AB groBer aïs TE ist. So istTO uin vieles groBer aïs ET, und ET ist kleiner aïs ein Yiertel-kreis. . Wenn nun Winkel 0 ' ein Rechter oder stumpf ware, sowâre TO kleiner aïs TE, da ja TE kleiner aïs ein Yiertelkreisist. Folglioh ist Winkel EOT spitz2). 18

Was das betrifft, daB er sagt: ,,ZO ist groBer aïs ZN, alsoist EO groBer aïs NE". Wenn wir N, 0 dureh einen GroBkreis- 2lbogen verbinden, ist Winkel ONZ grofier aïs Winkel NOZ, weilZO groBer aïs ZN ist. Deshalb ist Winkel ONE groBer aïs WinkelNOZ. Also ist Winkel ONE um vieles groBer aïs Winkel NOE.Also ist deshalb Seite EO groBer aïs EN.

Gezeigt worden ist, was wir gesagt haben, wenn Winkel Aein Rechter oder stumpf ist. Der Beweis ist dann ein und der- 24selbe. Die Méthode [L25a] besteht darin, clafî wir annehmen, daBer nicht kleiner aïs ein Rechter ist.

Satz 11.Und wiederum! Wir setzen3) Winkel A aïs spitz, ziehen

Bogen BL und setzen ihn dem Bogen BA gleich, und setzen Bogen 27DM déni Bogen DH, Bogen EN dem Bogen ET, nnd Bogen ZS 45dem Bogen ZK gleich. Dann erzeugen die Bogen BL, DM, EN,ZS mit der Grundlinie AG in ein und derselben Richtung, namlich

1) Der Zusatz obeu an der betreffenden Stella (43,18) ist demuach nichtvon îî selbst, sondera spiiter eingefùgt worden.

2) Hieranf folgt im Text ,,Àlso ist nach déni, was in Satz 17 des erstenTeiles be\vieseu worden ist, EO gleich DH", was ieli — da es augenscheinlich"Wiederholung von 43,18 oder 44,11/12 ist — gestrichen liabe.

8) In Figur IV 9.

Deutsche "Obersetzuug der Sphârik. 175

Richtung A, gleiche Winkel. Die verbleibenden Winkel in Richtung3 G sind dann ebenfalls einander gleich nnd die in Richtung G sind

stumpf, weil die in Richtnng A spitz sind. Nach dem im Yorher-gebenden Gezeigten sind also die beiden Bogen DM, EN zusarnuiengroBer aïs die beiden Bogen BL, ZS <zusammen>. Also sind diebeiden Bogen AB, ZK zusammen kleiner aïs die beiden Bogen

6 DH, ET zusammen, weil1) namlich AB gleich BL ist, ZK gleichZS, DM gleich DH nnd EN gleich ET1).

Satz 12.Wir miissen uns nun diesen Beweis bei den ubrigen Arten

dièses Satzes vergegenwârfcigen, wenn wir2) den Winkel bei A aïs9 spitz setzen. Er besteht darin, daB wir ebenfalls Bogen BD dem.

Bogen EG gleichsetzen, sei1) ihre Summe nun kleiner oder grofieraïs BG *).

So behaupte ich, daB Bogen AH groBer aïs Bogen GT ist.Wir setzen namlich Winkel AHN dem Winkel AGB gleich.

12 Dann ist NH grofier aïs BD — nach dem, was in Satz 4 dièsesTeiles gezeigt ist —. So setzen wir HS gleioh BD und verfahrenwie wir oben verfahren sind. Da nun HS gleich BD und BD gleichGE ist, so ist Bogen HS dem Bogen8) GE gleich und die Winkel,die anf den beiden Grundlinien OH, GT (stehen), sind einander

15 gleich, jeder1) gleich dem ihm entsprechenden1). Jeder einzelne derbeiden Bogen SO, ET ist kleiner aïs ein Yiertelkreis, ihre1) Summealso ist kleiner aïs ein Halbkreis. Nach dem, was in Satz 17 desersten Teiles gezeigt worden ist1), ist Bogen OH dem Bogen TGgleieh und deshalb ist Bogen AH groBer aïs Bogen TG.

is Und4) wiederum! Wenn wir5) Seite BG in D halbieren unddas vorhergehende Beispiel wâhlen, ist NH ebenfalls groBer aïsBD, wie es in den beiden vorhergehenden Sâtzen war, nach dem,was ans Satz 4 [L 25 b] dièses Teiles erhellt. Und wenn wir HS

2l <gleich> BD setzen und SO so ziehen; wie es dort gezogen ist,. ist nach Satz 17 des 1. Teiles ebenfalls klar, daB OH gleieh GH ist.

Satz 13.Und ich behaupte ebenfalls, daB Bogen AB kleiner ist aïs die

24 beiden Bogen DH, ET zusammen.

1—1) Fehlt in D.2) In Figur IY 10.8) So in D, fehlt L.

4) Der folgende Abschnitt riihrt auscheinend wieder voii K lier.5) lu Figur IV 11.

176 Max K r a n s e

So veiiângern wir1) Bogen TE und setzen TK gleich ABuncl AZ gleich G-T und ziehen die beiden Bogen BZ, GK. Dannsind die beiden Seiten BA, AZ gleich den beiden Seiten ET, TG,jede der ihr entsprechenden, nnd dièse Seiten schlieBen zwei gleiche 46Winkel ein. Deshalb wird Bogen BZ dem Bogen KG gleich [I 4],Bogen BH aber ist groBer aïs Bogen BZ, wie wir oben gesagthaben. Also ist Bogen BH groBer aïs Bogen KG.

Und wiederum! Wir bestiinmen, daB der Winkel beiPunkt A 3nicht groBer aïs ein rechter Winkel sei, wie es auch immer seinmoge, und setzen Winkel GEL dem Winkel BDH gleich. Dannist BH groBer aïs GL, und Bogen2) BH ist ebenfalls grôfier aïsBogen GE, weil er grofier aïs Bogen BD ist. So ziehen wir Bogen 6GM und setzen ihn dem Bogen BH gleich, und ziehen Bogen EM.Weil Seite BG nicht grôBer aïs8) ein Yiertelkreis ist, so ist BDuni vieles kleiner aïs ein Viertelkreis. Also sind die beiden BogenBD, BH zusammen kleiner aïs ein Halbkreis, und Winkel BDHist stunipf, weil4) er grôBer îst aïs die Ergânzung des WinkelsB zu zwei Rechten und Winkel B nicht grôBer aïs ein Rechter 9ist. Daher ist jeder einzelne von DH, BH kleiner aïs ein Viertel-kreis'1). Also ist Winkel BHD spitz.

Und wiederum ! Da die beiden Seiten DB, BH zusammen kleinersind aïs ein Halbkreis, <so sind die beiden Seiten EG, GM eben- 12falls zusammen kleiner aïs ein Halbkreis. Winkel MEG ist stumpf.Folglich ist Winkel EMG spitz>5). So sind die beiden IPigurenBHD, EMG dreiseitig und Winkel GEM der einen von ihnen istWinkel BDH der andern gleich und die beiden Seiten, die WinkelHBD der einen von ihnen einschlieBen, sind gleich den beiden 15Seiten, die Winkel EGM der andern einschlieBen, Seite GE derSeite BD, Seite GM der Seite BH, und die beiden verbleibendenWinkel dieser beiden Eiguren, ' nâmlich6) die beiden Winkel8) H,M sind ungleich zwei rechten Winkeln. Also ist Seite EM gleichder Seite DH, EM aber ist grôBer aïs EK7). Also ist [L 26 a] DH 18grôBer aïs EK. <Und deshalb sind DH, ET zusammen grôBer aïs

1) In Figur IV 12.2) Fehlt in D.3) ,.A.ls <Seite AB ist und Seite BG nicht grSJier als>" D.4—4) Fehlt in D. .5) Erganzt nach D.6—6) Fehlt in D.7) Im arabischen Text (46,17) ist statt _b» zu lesen vi)s und die Bemerkung

im Apparat zu streichen.

Deutsche Obersetzung der Sphiirik. ^77

TK>J). Und wenn sich das so verhâlt, so sind sie beide. groBeraïs AB.

Dieser Beweis âhnelt . déni vorhergehenden, uncl was er in2l ihm zugelassen hat, griindet sich auf das, worauf wir in den vor-

hergehenden Sâtzen Hngewiesen haben. Sein Beweis besteht darin,daB Winkel BHD spitz ist ...2) grôBer aïs BD. . Was WinkelMEG betrifffc, so ist er dem stumpfen Winkel BDH gleich gesetztworden. Wenn man MG gleich DH werden lâBt, wâhrend EGgleich BD war, so ist bekannt — da sie beide kleiner aïs ein

24 Halbkreis sind — claB Winkel M spitz ist. Entsprechend beweisenwir in Dreieck HBD, dafi Winkel <H> spitz ist,

47 Aber wir brauchen das nicht, sobalcl (?) wir fordern, dafiWinkel ABG nicht grôBer aïs ein E/echter sei, uncl brauchen nurzu zeigen, daB Winkel M hier spitz ist. Denn, wâre er ein Rechter

3 und Winkel <H> in Dreieck BDH spitz, so stimmte der Beweisnicht, Aber es môge klar sein, daB die Stunme der beiden Winkelbei M und H nicht gleich zwei Rechten sei. Wenn wir dies inden beiden Porraen konstruieren (,,so verfahren" ?), wird hier klar<was?> wir beweisen wollen.

6 Was (den IPall) betrifft, wenn die geteilte (Seite) dièse kleinereSeite ist, so spricht er nur davon, nwie auch immer die Lage seinmoge", weil der Beweis dafitr auf dièse Weise nicht gerade (,,di-rekt"?) ist. Denn, wenn hier (Kg. IV12) gezeigt ist, daB KGkleiner aïs BZ ist, und dafi in der vorigen Eigiir (IV 8) 3STZ kleiner

9 aïs BL ist, so ist BH dort und hier grôBer aïs der Bogen, vondéni gezeigt wnrde, daB jeder einzelne der beiden genannten Bogenkleiner aïs er ist (cl. h. BL, bzw. BZ). Aber wenn AB die grôfiteSeite ist, so ist, wenn in der vorigen (IV 8) Eigur £ÏZ kleiner aïs

12 BL ist, BH kleiner aïs BL, wâhrend NZ grôBer aïs BH war.Wenn es bekannt wâre, daB es so ist, dann wâre der Beweiseins.

, ,.s) daB, wenn man einen Winkel auf der Seite dem WinkelBDH gleichsetzt, er (?) ihn kleiner werden lâBt aïs den stumpfenWinkel, der clurch TE (entsteht) wenn es verlangert wird .. ,'4)

15 und man braucht dabei nur den folgenden nâchstliegenden Beweis :Da die beiden Winkel T, H einander gleich sind, ist die

Summe der beiden Bogen TE, HD, wenn sie bis zum Schnittpunkt

1) Bïgânzt nach D.2) Text (3—4 Worte) unsicher.S) Text aioht in Ordnung; so ivie es erhalten ist, kounte es arn ehesten

iibei'setzt -\verdeu ,,ïïn& eine andere Weise, die dariu besteht .,.".4) Text nicht sioher (,,und ebenso ivurde es erstrebt" ?)

Abhandlungen d. Oes, d. \Viss. zu Oôttingen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17.(Sonderheft der Math.-Pliys. Ki.)

12

178 M a x K r a u s e

verlangert werden, einem Halbkreise gleick (110, Urnk,). Das(Stiick) von den beiden Punkten D, E bis zum Schnittpunkt istalso kleiner aïs ein Halbkreis, Deshalb ist der Winkel bel E, derAufienwinkel des Dreiecks, dessen beide Seiten zusammen kleiner 18aïs ein Halbkreis sind, groBer aïs der, der ihm bei D gegeniiber-liegt, und das ist [L26b] der Scheitelwinkel von Winkel BDH.

Was den Beweis dai'iir betrifft, daB, wenn die geteilte (Seite)die kleinere Seite ist und das iibrige Genannte (so ist) wie es be- 21dingt war, dann die grofîere Seite zusammen mit dem kleinstenBogen grofier ist aïs die Sumine der beiden iibrigen Bogen, sogriindet er sich auf das, was er (= Menelaos) in Satz 13 dièsesTeiles genannt bat, was ebenfalls schon genannt ist,

Lassen wir jetzt1) Dreieck ABG zïiriickkehren. BG sei die 24liingste Seite tmd was wir sonst noch nannten, bleibe wie es war.Wir setzen BD und EZ von AB, der kleinsten Seite, gieicb. und 48ziehen die Bogen DH, ET, ZK so, daB die Winkel DHA, ETA,ZKA dem Winkel EGA gieicb.' sind. So beliaupten wir, dafi die 3Suinme von BG- und ZK groBer ist aïs die Summe von DH

und ET.Wir setzen nainlich den Bogen GN dem Bogen ZK, Bogen

GM dem Bogen ET und Bogen LG dem Bogen DH gleioh undziehen die Bogen NE, MO, LS so, daB die Winkel NEG, MOG, oLSG dem Winkel BAG gleiob. sind. Da NG gleiob. ZK ist unddie beiden Winkel !F, A einander gleich sind und die beiden WinkelG, K ebenfalls einander gleich sind, so ist [I17]2) NE gleich AZ.Ebenso ist klar, daB MO gleich AE und LS gleich DA ist. BDwar gleich EZ, also ist AB und AZ zusammen gleich AD und 9AE zusammen. Bewiesen war, daB AZ gleich NE, AE gleioh OMund AD gleich SL ist. Eolglich sind AB und NE zusammen gleichden beiden Bogen LS und MO. zusammen. Es ist in Satz 148) be-wiesen, daB dann, wenn dies so ist, BL groBer aïs MN ist. Eolg-lich sind dann BG und GN zusammen grôBer aïs LG und GM zu- 12sammen. GN aber setzten wir ZK gleich, GM (gleioh) ET und LG(gleich) DH. Also ist die Summe der beiden Bogen BG itnd ZK

S Da^BcTnicht grolier aïs 90», BA kleiner aïs BA und AZ = isTF undHeiner aïs AB Ist, so ïst auch AZ 4-NI? viel kleiner aïs 180°, vromit die (Mer

uiclit cenannte) Bedingung ert'ûllt ist. .3) Gemeint Ist der oei N (nach T und L) fehlende Satz, dessen Existenz

also Abtt Nasr wohl (s. o. S. 20) bekannt var. Man vermiBt nur einen Himrasclarauf ; auch ein Zeiclien dafûr, wie schlecM es mit der Uberlieferung useras

Textes bostellt ist.

Deutsche Ùbersetzung der Bpliftrik. 179

groBer aïs die Summe der beiden Bogen ET und DH. Und dasbehauptet Menelaos!

15 Weiter! Es sei dies so und die Summe BG und ZK gleichder Summe von ET xmd DH.

So behaupte ion, daB BD kleiner aïs EZ ist.Denn wir setzen ebenfalls NG, MG, LG den Bogen ZK, ET,

18 DH gleich, ziehen die Bogen LS, MO, NT und setzen die Winkelin Eichtung G déni Winkel BAG gleich. Da nun BG und ZKzusammen gleich den beiden Bogen DH und ET zusammen sind,so sind BG und NG znsammen gleich LG und GM zusammen, dawir [L27a] GN gleioh ZK, GM (gleich) ET und LG (gleich) DH

2l gesetzt haben. Eolglich ist, da BG und GN zusammen gleich LGund GM (zusamrnen) sind, BL gleioh MN. Da das so ist, sind diebeiden Bogen AB und NE zusammen kleiner aïs die beiden BogenLS und MO zusammen. Aber da NG gleich ZK ist und die beiden

49 Winkel F, A in Richtung <G> einander gleioh sind — nach dem,was in Satz 11 und 12 dièses Teiles vorausgeschickt ist — anddie beiden Winkel K, G in Hichtung A einander gleich sind, soist AZ gleich NE und entsprechend AE gleich MO und AD gleich

3 LS. Also sind AB tmd AZ zusammen kleiner aïs AD und AEzusammen. Und da das so ist, ist BD kleiner aïs EZ. Und daswollten wir beweisen1)!

1) Bel îtf fehlt hier ein ganser (im Arabischen in drei Sâtee unterteilter)Satz, worauf schon X (Komm. zu T II16) aufmerksam macht. Ich leile deshalbMer den betreffenden Satz ans G mit (Wo fol. 2Yb2B—28 a 32), der ebenfallsanf dieselbe Ùbersebrang zuriickgeht (s. o. I § 3 E), zu dem Test von J s. o.II A. § 1.

,,Cum fuerit figura trilatera dnoruin meciualium crurium et non fuerit au-gnlus eius qui est apud caput ipsius maior reeto iieque longius crus eius fueritmains quarta circuli et protrahuntnr arcus inter extramitates duarum portionnmseparatarum ex uno duorum laternm et inter extremitates duarum portionnmseparatarum ex basi et faciimt cum basi augulos eqiiales angulo yuem continentlatus quod non diuiditur cum basi scilicet opposite sibi tune si fuerit minorarcuum gui profxacti sunt et lattis quod non diuiditur coniuncti equales duobusarcubus reliçiuis coniunctis tune arcus qui protrahuntur séparant ex uno duorumlaternm arcus inequales et similiter etiam séparant ex basi quod si fuerit latusquocl diuiditur maius duornm crnrium tuuo arcus q.ui seqnuntur latus quod ]iondiuiditur ex arcubus qui separantur sunt maiores eis qui snnt longinquiores alieo, et si latus quod diuiditur fuerit minus duornm crurium tune arcus ijni sequiturlatns quod non diuiditur ex arcubus qui separautur sunt minores eis qui suntlouginquiores ab eo.

Sit itaque figura trilatera super quam sint a, l>, g et sit latus Ig eiusvmaius latere ba et non sit angulus eius qui est apud punctum 5 maior angulorecto neque latns l)g maior quarta circuli et protraliam areus dit, et, si; et sit

12*

180 M a x K r a u s e

Satz 14.Wenn es eine dreiseitige, nicht gleichschenklige Figur gibt,

ihr Winkel an der Spitze nicht groBer aïs ein rechter Winkel ist, 6ihr langster Schenkel niclit grofier aïs ein Yiertelkreis ist, zwischeneinem der beiden Schenkel und der Grundlinie drei Bogen gezogen

unusquisque angulorum dhg, etg, zltg equalis aiigulo bag et sint duo arcus ab>zk coniuncti equales duobus arcubus dh, et. dico ergo quod ait, est maior 11: et quodbel est maior M.

Quod sic demonstratur. Ponam arcnm IU equalem glu et statuam super alangulum equalem augulo ayb qui sit angulus aln. ergo erit arcus mJi iterumequalis aicni si; sed arcus nul est maior arcu bn. Ponam ergo arcum 6s eqnalema.rcui nul ergo remanet arcus as equalis arcui et et protraham arcum 53 taliprotraetiono fWo 28 a) qua sit angulus ags (e)qualis angnlo agi). Sed arcus asest eqnalis arcui et. ergo est arcus tg equalis arcui ai[ uerum arcus liçi est minorarcu <jk ergo remanet arcus ait maior arcu tk et illud est quod dec(larare) u(o-luimus),

(T II15) Et iterum nos pouemus lue bg maiorem ba dico ergo quod bditerum est maior ez.

Cuius hec est demonstratio. Pouam areum ni equalem arcui th et arcum amarcui ko (riclitig 'KZ') et arcum an (richtig 'EN') arcui lui ergo erit totus arcusbut equalis totî arcni tn. tierum arcus lin est equalis arcui te et angulus ami estmaior augulo été et duo arcus 6111, ml suut equales duobus arcubus oit, te quis-que arcus suo relatiuo ergo basis 1)1 est maior basi en ergo arcus bit est multomaïor arcu ne. Ponam autem angulum nés scilicet equalem augulo bdh et ponamarcuni ns equalem arcui bh. ergo erit angulus bdh unius duarum figuraruni bclhl

nus trilaterarum equalis angulo nés alterius et duo latera contiuentia angulumblicl unins earum sunt equalia duobus lateribus continentibus angulum ens alteriuslatns quidem bli unius ex eis lateri ns alterius et latus (corr. ex 'alter' W o)cjnidem lui eius lateri en alterius et duo anguli reliqui duorum triangulorum suutinequales duobus angnlis rectis qui suut duo anguli dbli, esn et illud est ideoquoniam uterque eorum est acutus. ergo latus bd est equale lateri es. Sed esest maior ee (J + 'denn NS ist grôJSer aïs NZ'). ergo bd est maior es. et illudest qnod declarare u(oluimus),

(T II16) Et iternm sit hic al minor bg. dico ergo q ... cum sit iam osten-sum et quando est ai'cus bd equalis arcui ee sunt duo arcus bg, ele coniunetiniaiores duobus arcubus dli, et coniunctis tune (richtïg 'und') cum fuerint duoarcus 60, zk coniuneti equales duobus arcubus dli, et coniunctis erit arcus bdminor arcu es.

Quod sic probatur, Si nos posuerimus arcum gn equalem arcui Tin et posueri-mus arcum gin equalem arcui et et arcum gl equalem arcui âli tuno quoniam duoarcus rjl, gm eum aggregantur sunt equales duobus arcubus âh, et comunctis eritarcus bl equalis arcui mn et si nos protraxerimus arcus Zs, «13, n/tuuc occurrentbasi <ja super angulos equales angulo T>ag et oportebit inde ut sint duo arcus banf cum aggregantur minores duobus arcubus Zs, m% couiunctis. sed Zs est equalisda et mj equalis ea et nf equalis as. ergo erunt duo arcus ba, az cum aggre-gantur minores duobus arcubus da, ae cnm aggregantur et oportet inde ut sitarcus bd minor arcn ed (1. '«') et illud est qnod declarare uoluimus".

Deutsche Ûbersetzuug der Spliftrik. 181

werden, so dafî sie von der Grimdlinie zwei gleich groBe Bof'enabtreniien und yon dem Sctenkel ebenfalls zwei gleich gi.-oBe Bog°en,

9 tmd zwei von den gezogenen Bogen mit der G-rtmdlinie zwei "WinJcelerzeugen, cleren .jeder dem "Winkel gleich ist, den die ungeteilteSeite nnd die Grnndlinie einschliefien, und1) der fur sie beideGegenstiick ist1), so ist der Winkel, den der iibrige Bogen er-

12 zeugt <nicht gleich dem genannten Winkel und wenn der iibrigeBogen>2) kleiner ist aïs die beiden ersten gezogenen Bogen, soist der Winkel, der <von ihm erzeugt wird, grb'Ber aïs der ge-nannte Winkel, Ist der Bogen nicht kleiner aïs die beiden Bogen,so ist der>2) genannte <Winkel>2) kleiner.

15 Es gebe8) eine dreiseitige Pigur, auf der A, B, G (liegen),Seite BG von ihr sei grever aïs Seite AB, ihr Winkel bei'1) B seinicht groBer aïs ein rechter Winkel und ihre Seite BG sei nichtgrb'Ber aïs ein .Yiertelkreis. Yon ihr5) mbgen die Bogen DH, ET,

18 ZK gezogen werden, Bogen BD sei dem Bogen EZ gleich, BogenAH dem Bogen TK und ebenfalls sei jeder der beiden WinkelDHG, ETG dem Winkel BAG gleich.

So behaupte ich, daB Winkel ZKG groBer aïs Winkel BAG ist.2l Wir setzen namlich Bogen LH dem Bogen KG gleich und

setzen Winkel ALF dem Winkel EGA gleich [L27b]. Dann ist[114] Bogen IAT dem. Bogen GE gleich. Da Bogen MN groBeraïs Bogen BD ist [114] nnd Bogen BD gleich Bogen EZ ist, soist Bogen MÎT groBer aïs Bogen EZ. Also setzen wir Bogen lsTSdéni Bogen EZ gleich und ziehen Bogen SH. Also °) bleibt BogenSL dem Bogen GZ gleich ûbrig. Aber LH wiederum war gleich

50 KG uud dièse Seiten schlieBen gleiche Winkel ein. Folglich [14]ist Winkel SHL dem Winkel ZKG gleieh. Deshalb ist WinkelZKG grofier aïs Winkel BAG. Und das wollten wir beweisen!

3 Satz 16.Und wiederum! Wir setzen7) Winkel ZKG jedern einzelnen

der beiden Winkel DHG, BAG gleich.So behaupte ich, dafi Winkel ETG kleiner aïs Winkel BAG ist.

1—1) Oder bezieht sich das auf die Grundlinie, ivie D(G) iibersetzt (..et basique est relatus illis duobus").

2) Ergânzt nach D.3) In Figur IT 16.4) ,,Bei Punkt" D.

5) D. h. von BG aus (im Text 49,17 ist >,JU zu leseu, ^i L!). Nach DhieBe es ,,in ihr" fa, in ea), d. h. in der Figur.

6) ,,Und« D.7) In Figur IY 17.

182 Max Krax i se

Da wir Bogen LH déni Bogen KG- gleicli setzen nnd WinkelALN dem Winkel AGB gleichsetzen. So ist Bogen LM dem Bogen 6ZG gleieh. Und, da Bogen MrT groBer aïs Bogen BD ist1), istBogen MN groBer aïs Bogen EZ. • Wir sefczen daher Bogen MSdent Bogen EZ gleieh. und ziehen Bogen AS. Da2) nun LS gleiohEG, Winkel SLA gleich Winkel AG-B und Seite G-T gleieh SeiteLA ist, ist ET gleieh AS undWinkel ETG gleich Winkel SAL2) 9[14]. Und das wollten wir beweisen!

Datait der, welcher sich mit dieser Sohrift beschaftigt, ...s),Menelaos hat cleshalb bedingt, daB Winkel B nicht groBer aïs 12

ein Réciter sei und keine der beiden Seiten der Eigur grb'Ber aïsein Viertelkreis sei, datait Bogen MN in dieser Pigur und wasihm entspricht in jeder Eigur, die ihr in dieser Beziehang âhnelt,grb'Ber aïs Bogen BD ist, der ihm in der vierseitigen Eigur gegen- 15iiberliegt. Durca'-1) diesen Beweis in Satz 4 dièses Teiles.

Satz 16,Wenn es eine dreiseitige Eigur gibt, jecler einzelne ihrer beiden

Winkel an der Grundlinie spitz ist, keiner ihrer beiden Schenkelgrb'Ber aïs ein Yiertelkreis ist, nnd von demjenigen ihrer beiden 18Schenkel, der nicht [L 28 a] groBer aïs sein Gefâhrte ist, zweigleieh gvofie Bogen abgetrennt werden, und von deren^EndpunktenBogen nach der Grundlinie gezogen werden, die mit ihr WinkeleinschlieBen, die gleieh sind dem ihnen entsprechenden Winkel, denmit ihr die ungeteilte Seite <einschlieBt>, so trennen dièse Bogen 21von der Grundlinie zwei ungleich groBe Bogen ab, deren grôBterder ist, der der ungeteilten Seite nahe liegt.

Es gebe5) eine dreiseitige Figur, auf der A, B, G- (liegen) undes sei jeder einzelne <ihrer beiden Winkel bei den beiden Punkten 24A, G- spitz und jeder einzelne>u) der beiden Schenkel AB, BGnicht grofier aïs ein Viertelkreis und BG- nicht groBer aïs AB.Yon BQ- werden zwei gleichgroBe Bogen, natnlich BD, EZ abge-

1) Hier fûgt D ein ,,und Bogen BD dem Bogen EZ gleieh ist".2—2) Bei D lautet dièse Stelle ,,ergo declarabitnr inde qnod angulus bag

est isaior angulo etg". Der SchluJSsatz ist bei £F vielleicht zu ergànzen, also„. . . SAL. Also ist Winkel ETG kleiuer aïs Wiukel BAG".

S) Wûrtiich ,,Damit der, ..., sei auf einer Erwâhnung von Satz 4 dièsesTelles", woraus icli keinen Sinn gewinnen kann.

4) Sollte zu lesen sein ,,facUUika'' statt ,,bidâlika" und zu iibersetzen ,,DieserBeweis also (findet sich) in ..." ?

5) In Figur IY 18.6) Nach D ergânzt.

Deutsche Obersetzung der Sphiirik. ^Qg

trennt und von den Punkten D, E, Z znr Grancllinie À G die51 Bogen DH, ET, ZK gezogen. Und die Winkel, die sie mit der

Grundlinie AG- erzengen nnd die Winkel BA& entspreehen, d. h. die in Eichtung G-1), seien dem Winkel BAG- gleieh.

So behaupte ich, daB AH grôBer aïs TE ist.3 Es set zuerst Seite B& der Seite AB gleieh. Wir ziehen von

den Punkten B, D, E, <Z>2) Senkrédite auf A&, nâinlich BL,DM, EN, ZS. Dann isfc Bogen A& doppelt so groB wie Bogen GLnnd Bogen GET doppelt so groB wie Bogen GM, Bogen GT doppeltso groB wie Bogen GN, und Bogen GK doppelt so grofi wie Bogen

S GS. So ist der verbleibende Bogen AH doppelt so groB wie derverbleibencle Bogen LM and Bogen ET doppelt so groB wie BogenNS. Bogen BD aber ist dem Bogen EZ gleieh. So ist Bogen LMgroBer aïs Bogen NS, nach dem Satz, der in Satz 9 bewiesen ist

9 — und deshalb ist AH groBer aïs TE. "Ond das wollten wir be-weisen!

Satz 17,Jetzt sei BG kleiuer aïs BA und wir verfahren, wie wir oben

verfahren sind. Wir ziehen8) Bogen BO dem Bogen ÀB, Bogen12 DE dem Bogen DE, Bogen EQ dem Bogen ET und Bogen ZR

dem Bogen ZK gleieh. Dann ist Bogen AO doppelt so groB wieBogen OL, Bogen HE doppelt so groB wie Bogen EM, Bogen TQ<doppelt so groB wie Bogen QN nnd Bogen EK> doppelt so gro£wie Bogen B,S. Dann bleibt itbrig der Unterschied zwischen denbeiden Bogen AO, HE doppelt so groB wie LM, <OE>'1) und") derUnterschied zwischen den beiden Bogen TQ, KR doppelt so groB

15 wie NS, <QR>B). Bogen LM ist groBer aïs Bogen NS, weil BD<gleich EZ ist>, und zwar naeh dem, was in Satz 9 dièses Teiles

1—1) Fehlt in D.2) Fehlt auch in D.3) In Figur IY 19.

4) Ergânzt nach D. Dièse Stelle lautet bei G ,,ergo remanet superfhutasque est inter duos arous ag (= AO), lif que est ah, gf dupla superfluitatls q,ueest inter duos arcus lf[, mf que est Im, gf.

o—5) Dièse Stelle (wieder nach D ergiiuzt) lautet bei G ,,et arcus te (= TQ)iterum est duphis arcus no (= QN) et arcus kr est duplus arcus rs. ergo snper-flnitas que est inter duos arcus te, lir que est tk, or ost dnpla superfluitatis queest inter duos arcus ne, sr que est ns, ra". Bei G (dagegen nicht bei J, das hiermit îf zusammen geht) folgt hierauf ,,arcus ergo ah equatur arcui qf cum duplo _arcns Im. et similiter arcus fis equatnr arcui ra cum duplo arcus «s. uerum arcus2/' eum dnplo arcus Im est maior arcu re cum duplo areus ns quoniam iamostensum est in illis que sunt premissa, quod arcus 1m ..,".

184 Max K. r a u se

gezeigt worden ist. — Ebenso ist wiedermn OE groBer aïs QB,1)[L 28 b]. Àlso ist der Pvest, namlich AH, grb'fier aïs der Rest,nâmlich KT. Und das wollten wir beweisen8)! 18

Satz 18. 52"Wenn es in8) einer Kugel einen GroBkreis gibt, ihn niehrere

Barallelkreise beriihren, von ihm. zwei gleicli groBe Bogen zwischendem Beriihrungspunkt und dem groBten Parallelkreise abgetrennt 3werden nnd Kreise beschrieben werden, die durch die Endpunktejener Bogen gehen, teils Parallelkreise, teils GroBkreise, die vondem Pol ans gezogen werden, so trennen die Parallelkreise vondenen4), die vom Pol aus gezogen sind, ungleichgroBe Bogen abund von jenen. Bogen ist, was dem groBten Parallelkreise nâher- 6liegt, groBer aïs das Eernerliegende,

Und wiederum! "Was von den Bogen, die von dem grofitender Parallelkreise abgetrennt werden, nâher liegt an dem Schnitt-punkt des gegen den Durchmesser geneigten .GroBkreises tind desgroBten der Parallelkreise, ist groBer aïs das Eernerliegende.

Es gebe6) auf einer Kugel einen Grofikreis, auf dem T, M, B 9(liegen), und es bertihre ihn einer der Parallelkreise, auf dem D,E6) (liegen). Der groBte der Parallelkreise sei QRXYB, von TBmogen zwei gleich groBe Bogen abgetrennt werden, nâmliah diebeiden Bogen TK, LM. Man ziehe GroBkreise, die durch den Pol,der H. ist, gehen, und durch die Punkte T, K, L, M, nâmlich 12HTQ, <H>KR, HLX, HMV, und ziehe Parallelkreise, die durchdie Punkte K, L, M gehen, nâmlich die Kreise KS, LO, MF.

So behanpte ich, dafi Bogen EO groBer aïs Bogen ST ist ïinddafi Bogen QR groBer aïs Bogen XV ist. 15

Da Eigur MHT dreiseitig ist, Seite MH von ihr groBer aïsSeite HT ist, nnd jede von ihnen beiden kleiner aïs ein Yiertel-kreis ist und von TM zwei gleichgrofie Bogen abgetrennt werden,

1) In der Hs. steht Mer folgender sinnloser Passas ,,OF âber ist gleioli AHund QR ist gleioli ET", woW Ton einem Schreiber eiugesdioberj.

2) Hier fehlt in L (N?) eine Stelle, die in G (Wo 29 a 12—15) so lautet,,et quia nos iam ostendimus res q.ue prémisse sunfc tune nos sequarnur illud oumdemonstrationibus omnium rarum gué sunt in libro theodosij de speris cum eon-uersione illius iterum secundum modum coinmunem aggregautem fortem et surgamusin primis et ueriflcemus proposita earuin ipsis premissa. et illud ideo quouiam ineis iterum sunt quedam falsa". Fur dio andern Ausgaben vgl. II A § 1.

3) ,,A.uf" D.4) ,,Den Kreisen" D.5) In Figur IY 20.C) ..ADE" D.

Deutsche Obersetzung der Spliarik. 185

18 nâmlich TK, LM, so ist — nach1) déni was wir in Satz <3>753 des ersten Teiles gezeigt haben1) — notwendig, dafi Winkel THK

groBer aïs Winkel LHM ist. Dann ist Bogen QR groBer aïsBogen XV. Die beiden Bogen MH, HT sind zusammen groBer aïsdie beiden Bogen LH, HK zusammen — nach. dem, was wir in

3 dem erwahnten Satz gezeigt haben. Punkt H ist der Pol derParallelkreise. Also sind deshalb die beiden Bogan HE, HT zu-sammen groBer aïs die beiden Bogen OH, HS zusammen. Hiernachist klar, daB OE grb'Ber aïs ST ist. Und das wollten wir be-w eis en !

6 Die Hutzanwendung dièses Satzes besteht darin, daB, wennTB die Ekliptik ist [L29a] nnd BQ der Himmelsâquator und vondem Beriihrungspunkt gleiche Bogen abgetrennt werden, d, h. vondéni Wendepunkt, dann die Aufgânge derer, die naher an déniWendepunkt liegen, in der sphaera recta groBer sind aïs die Auf-

9 gânge derer, die ferner liegen, und daB der Anteil an-, der Schiefebei deuijenigen der gleich groBen Bogen, der naher am "Wende-punkt liegt, kleiner ist aïs der Anteil an der Schiefe bei dem-jenigen von ihnen, der naher am Punkt der (Tag- und Nacht-)gleiche liegt. Und das deshalb, weil QR die Aufgânge von K, Tin der sphaera recta sind und X, V die Aufgânge von L, M in

12 der sphaera recta. Und QT ist die groBte Schiefe (= Schiefe derEkliptik), weil Punkt T der Beriihrungspunkt ist. EQ ist, claME zu den Parallèlkreisen gehort, die Schiefe von BM. OE alsoist der Anteil von LM an der Schiefe, da OQ die Schiefe von BList, und ST ist der Anteil von KT an der Schiefe, da QS dieSchiefe von BK ist.

15 ' Satz 19."Wenn auf einer Kugel zwei GroBkreise einander schneiden

und von einem der beiden zwei gleichgroBe Bogen, die denselbenAbstand-von dem Schnittpunkt der beiden Kreise haben, abgetrenntwerden und Kreise gezogen werden, die dur oh die Endpunkte der

18 beiden Bogen und durch. einen der Pôle eines der beiden Kreisegehen, so trennen dièse Kreise von dem andern Kreis der beidenGïoBkreise zwei gleich. groBe Bogen ab.

Es gebe2) auf einer Kugel zwei GroBkreise, nâmlich ABE,21 HTL, und sie mogen einander in Punkt G schneiden. Man trenne

von einem der beiden Kreise die beiden Bogen'3) AB, DE ab, und

1—1) In D stebt dafiïr ,,propt6r illud quod premïsinras in tractatu primo-'.2) In Figur Yl.3) In G (J = î?) nduo e^uales arcns-'.

186 M a x K r a u s e

es sei ikr Abstand von Pankt G gleick, Man zieke GroBkreis-bogen, die diarck die Punkte A, B, D, E und clurck einen derbeiden Pôle eines der beiden Kreise ABE, HGL geken, nâmlichdie Bogen ZAH, ZBT, ZKD, ZLE.

So bekaupte ick, daB Bogen HT déni Bogen KL gleick ist. 24Da wir zuerst Punkt Z aïs Pol des Kreises ABDE setzen, so

ist jeder einzelne der beiden Winkel HAG, LEG ein Keckter undWinkel LGE ist dem Winkel AGE gleick, aber Bogen AG istdéni Bogen GE gleicb. Eolglicb ist Seite GH der Seite GL gleick 54[14]. Und ebenso zeigen wir gleichfalls, daB Bogen TG dem BogenKG gleick ist. Es bleibt also Bogen TH dem Bogen KL gleiok.

Wiederum! Wir setzen jetât Punkt Z aïs einen Pol des 3Kreises LGH. Dann ist jeder einzelne der beiden Winkel AHG,GLE ein Réciter, Winkel AGH ist dem Winkel LGE gleick undBogen AG dem Bogen GE und die beiden Bogen AH, LE zu-sammen sind ungleick einem Halbkreis [L 29b], da jeder einzelne 6von iknen kleiner aïs ein Viertelkreis ist. Also ist deskalb BogenHG dem Bogen GL gleick [117]. Und ebenso zeigen wir gleick-falls, daB Bogen TG dem Bogen GK gleick ist. So wird BogenTH dem Bogen KL gleick iibrig bleiben. Und das wollten wirbeweisen!-

Er sprickt in dem Beweise, da er Z aïs Pol des Kreises HGL 9setzt •— und es waren AG, GE einander gleick in dem KreiseABDE —, davon, daB die Summe AH, LE einem Halbkreise nientgleick ist, nur wegen des im Vorkergekenden bei Satz 17 desersten Teiles Bewiesenen,

Und kier(aus) ist klar, daB, wenn die gleick groBen Bogen, 12die denselben Abstand von dem Pankt der (Tag- und Nackt)gleickekaben, Aquatorbogen sind) dann die Grade des zu jedem einzelnenvon iknen gehbrigen Ekliptikbogens den Graden des andern Ekliptik-bogens gleick sind. Und wiederum ! Bei den gleick groBen Ekliptik-bogen, die gleicken Abstand von dem Pankt der (Tag- und Nackt-) 15gleicke kaben, sind die Aufgânge jedes einzelnen von iknen beispkaera recta den Aufgângen des andern ebenfalls bei spkaerarecta gleick. Und die Sckiefen der gleick groBen Bogen mit 'dem-selben Abstand von dem Punkt der (Tag- und Nackt)gleiche sindeinander gleick.

Und das deskalb, weil HA dem Bogen LE und TB dem BogenKD gleick ist.

Wenn wir uns einen dieser beiden GroBkreise aïs Horizont- 18kreis und den andern aïs Âquator vorstellen, so ist aus dieserKgur klar, daB die Ostweite der Grade mit gleickem Abstand

Dentscbe tJbersetznng der Sphârik. 187

von dem Punkt der (Tag- und Hackt)gleiche dieseîbe ist und ebensodie Ausgleickung ikrer Aufgânge dieselbe ist. Wenn ,TB gleick

2l KD ist, fallen (decken sick) die beiden Bogen mit gleickem Ab-stand von dem Punkt der Tagundnacktgleicke in dem HorizontHGL auf die beiden Punkte T, K und GT ist GK gleick. Undwiederum ist GB gleick GD und jedes einzelne von ihnen ist dieAusgleiohung der Aufgânge der beiden Grade, die im HorizontHGL in den beiden Punkten T, K aufgeken.

24 Satz 20.

Wenn es auf einer Kugel einen GroBkreis g'ibt, ikn ein Pa-rallelkreis beriikrt, von ikm zwei gleick groBe Bogen zwischen

55 dem Beriikrungspunkt und dem groBten Parallelkreis abgetrenntwerden -und Bogen1) gezogen werden, die durck die Endpunktedieser beiden Bogen geken, teils von Parallelkreis en, teils ent-weder von GroBkreisen, die durck die beiden Pôle der Parallel-

3 kreise geken, oder von GroBkreisen, die sâmtlick ein und den-selben Parallelkreis berûkren, der kleiner ist aïs [L 30 a] der ersteberiihrende Parailelkreis, so2) daB2) sie sick gegen den grb'Bten

6 Parallslkreis in derselben Ricktnng neigen wie der erste GroB-kreis, so trennen die gezogenen Parallelkreise von den gezogenenGroBkreisen ungleicke Bogen ab, wobei das was von diesen <Bogen>3),die sie abtrennen, nâker an dem <gri)Bten der>3) Parallelkreiseliegt, grb'Ber aïs das Eernerliegende ist. Und wiederaml Von den

9 Bogen, die von dem groBten Parallelkreis abgetrennt werden, istdas, was seinem und des ersten GroBkreises Scknittpunkt naker-liegt, kleiner aïs das ihm Eernerliegende.

Es gebe <auf>s) einer Kugel'•*) einen GroBkreis, auf dem A,12 M, B (liegen), und ikn beruhre ein Parallelkreis, nâmlick der Kreis

ADE. Der groBte Parallelkreis sei Kreis GQZSVB. Von KreisAMB trenne man zwei gleick groBe Bogen, nâmlick TK, LM ab.Wir besckreiben Kreise, die dureh die Endpunkte dieser beidenBogen gehen, teils von Parallelkreisen, nâmlick KS, LO, MF, undteils (soleke), die entweder durck die beiden Pôle der Parallel-

15 kreise geken oder sâmtlick einen und denselben Kreis5) beriihren,der kleiner ist aïs Kreis ADE, uud in dieselbe Bicktung geneigtsind wie Kreis AMB gegen Kreis BG.

1) ,,Arcus cironloi'nm" D.2—2) ,,Und" D.3—3) Erganzt nach D,4) In Fignr Y 2.5) G fûgt hinzu ,,cx eqtiidistantibus".

188 Max K r a u s e Deutsche Ubersetzung der Sphilvik. 189

So behaupte ion, dafi EO groBer aïs TS ist und daB QZ groBeraïs XV ist.

Demi Winkel TBG ist kleiner aïs ein recMer "Winkel und 18

Winkel BQT niclit kleiner aïs ein rechter Winkel. Seite TQ also istnieht kleiner aïs Seite BT, Also ist Eigur BTQ dreiseitig nndSeite BT von ihr ist groBer aïs Seite TQ; doch ist Seite BT nichtgroBer aïs ein Yiertelkreis, nnd der Winkel bei Punkt T ist nicht 21

grb'Ber aïs ein rechter Winkel. Von Bogen BT sind zwei gleichgrofie Bogen abgetrennt worden, nâmlioh TK, LM, nnd es sinddie Bogen KZ, LX, MV so gezogen worden, daB sie mit derG-rundlinie BG Winkel erzengen, die gleich sind d'era ihnen ent-sprechenden Winkel bei Q. So ist Bogen QZ. grb'Ber aïs Bogen 24XV, und die beiden Bogen TQ, MV sind zusammen kleiner aïsdie beiden Bogen XL, KZ zusammen — und das nach dem, wasin Satz 19 gezeigt worden ist. Deshalb sind die beiden BogenTQ, QE zusammen kleiner aïs die beiden Bogen SQ, QO zusammen.Deshalb ist Bogen EO groBer aïs Bogen ST.

Warnni wird der Winkel bei Punkt T nioht grb'Ber aïs ein 56Sechter [LSOb]? Dazu sagen wir : Das wird deshalb so, weil FigurBTQ dreiseitig ist, der Winkel bei Q von ihr nicht kleiner aïs 3ein rechter Winkel ist, jede einzelne der beiden Seiten, die einenandern ihrer Winkel, nâmlich den Winkel bei Punkt T, ein-schlieBen, kleiner aïs ein Yiertelkreis ist und in1) Satz 25 desersten Teiles*) gezeigt worden isfc, daB, wenn sich das so verhalt,dann der Winkel bei T spitz ist, also nicht grb'Ber aïs ein Rechter 6ist. Und das wollten wir beweisen!

Ans diesem Satze ergibt sich, daB die Aufgânge des nâheram Wendepunkt liegenden von den gleich grofien Ekliptikbogenin Horizonten, deren Breite kleiner aïs die Erganzung der ganzenSchiefe ist, groBer sind und die Aufgânge clessen, das von ihnen 9nâher am Punkt der Tagundnachtgleiche liegt, in jenem Horizontkleiner sind.

Da2) bestimmt wurde, daB dièse Kreise (nâmlich die, welche)die Winkel TQG, KZG, LXG, MYG (erzeugen), einen und den-selben Kreis bertihren, der kleiner ist aïs der von den Parallel-kreisen, den Grofikreis ATB berlihrt, so erreicht, wenn wir uns 12vorstellen, daB AB die Ekliptik sei, und wenn fur irgend einenHorizont die Erganzung seiner Breite so groB wie der Winkel

1—1) nln tractatu primo huius libri" D.2_*) Mi Mn nicht sicher, ol) ich. mit dieser "Wiedergabe das Richtige

getroffen Iialie, da der Text sehr unldar ist.

TQG ist, der Ekliptikpunkt T den Horizont TQ zugleich mit demAquatorpunkt Q*). Ebenso Punkt K mit Pnnkt Z, Punkt L mit

16 Punkt X nnd Pnnkt M mit Punkt Y, da es gleiohgiiltig ist, obKreis TQ fest ist oder wir durch die Punkte T, K, L, M Kreisegehen lassen, die die in derselben Bichtung (liegenden) AVinkel Q,Z, X, Y beim Âquator gleich groB machen, so (?) trennen sie dièseBogen vom Acjuator in einuaddemselben Verhâltnis ab ('?).

18 Und wiederum! Da 0F groBer aïs ST ist, so wird hierausebenfalls klar, daB der Anteil an der Morgenweite bei denjenigenvon den gleich groBen Ekliptikbogen, die nâher am Wendepunkt(liegen), kleiner ist und der Anteil an der Morgenweite bei den-jenigen, die nâher am Punkt der Tagundnachtgleiche (liegen),grb'Ber ist.

2l Denn TQ ist nach dem Erwâhnten die Morgenweite von PunktT, und EQ ist die Morgenweite von Pnnkt M, da er dem BogenMY gleich ist. Also ist OE der Anteil des Bogens LM an derMorgenweite, da OQ die Morgenweite von Punkt L ist, und STisfc der Anteil des Bogen KT an der Morgenweite, da SQ dieMorgenweite von Punkt K ist.

2* Menelaos forderfc deshalb, daB sich die GroBkreise, die wirziehen, in dieselbe Eichtung neigen, in die sich AMB gegen dieParallelkreise neigt, damit Winkel T nicht groBer aïs ein rechter

57 Winkel sei. So ist nach dem. Vorhergehenden sein Beweis klarfiir die Hâlfte [L 31 a] der Ekliptik, die vom Beginn des Stein-

3 bocks bis zum Beginn des Krebses (reicht). Etir die anclere Hâlftelassen wirx) den Kreis AMB, der gegen die Parallelkreise geneigtist, <und Kreis> GQZXVB, wie er war, und die Kreise TQ, KZ,LX, MY zoruckkehren, die durch die Punkte T, K, L, M desKreises AMB gehen, in eiue Piichtung geneigt sind, die der ent-gegengesetzt ist, in die AMB gegen die Parallelkreise geneigt ist,

6 und den Kreis beriihren, den sie in der vorigen Eigur berûhrten,damit ihre Heigung in beiden Eormen dieselbe ist. Und BogenTK ist gleich Bogen LM. Da die beiden Winkel B, Q spitz sindund von den beiden Seiten BT, TQ keine groBer aïs ein Yiertel-

9 kreis ist — denn BT ist nicht grb'Ber aïs ein Yiertelkreis undTQ beriihrt einen Kreis, der kleiner aïs der Kreis ist, den AMBberiihrt, der Beruhrungspunkt liegt also innerhalb des KreisesADE — die beiden Bogen TK, LM von Seite BT einander gleichgenommen sind, die Bogen KZ, LX, MY gezogen sind, (sodaB) sie

1) lu Fignr Y 3.

190 M a x K r a u s e Lieutsclie Ûbersetzung der Spnixrik. 191

die in Richtung B (liegenden) Winkel Z, S, V ebenfalls <ein-ander gleich> machen und TQ, ebenfalls kleiner aïs ET ist, so 12ist, wenn Winkel T nicht stumpf ist, QZ grofier aïs VX.

Fiir den Fall, daB er stumpf ist, bleibt, wenn BT gleich TQ,ist, jenes gleichfalls ebenso — nach déni, was in Satz 16 und 17bewiesen ist ...*). Aber Winkel T ist stumpf nnd BT, wie ge- 15

fordert, grb'fier2) aïs TQ. Also ist die Beweismethode in derHalfte, die vora Beginn des Krebses bis zuxa Beginn des Stein-bocks (reicht), nicht allgemeingiïltig. Und so muB es sein, da diesnicht konstant ist (?).

Satz 21. 13

Wenn es in einer Kngel einen GroBkreis gibt, der einen Pa-rallelkreis beriihrt, man von ihm zwei gleich groBe Bogen zwischendem Beriihrungspunkt und dem grb'Bten Parallelkreis abtrennt tmdEreise konstruiert werden, die dnrch die Endpnnkte der beidenBogen gehen, teils von Parallelkreisen und teils von Grofikreisen, 2ldie einen und clenselben Parallelkreis, der groBer aïs der ersteParallelkreis ist, beriihren, — wobei es nicht notwendig ist, dafisie sich in dieselbe BIchtung neigen wie der erste GroBkreis <sotrennen die Parallelkreise von den Grofikreisen> 8) ungleiche Bogen 24ab, von denen clas kleinste das ist, was naher an dem [L 31 b]grofien Parallelkreis liegt, und ebenso trennen auch die gezogenen 58Grofikreise von dem groBten Parallelkreis ungleiche Bogen ab,von denen das, was déni Schnittpunkt des ersten GroBkreises unddes groBten Parallelkreises nâherliegt, am kleinsten ist. 3

Es gebe'1) in6) einer Eugel eînen GroBkreis, auf dem A, B(liegen), ihn beriihre ein Parallelkreis, nâmlich ADE, und dergrbfite Parallelkreis sei BZQ. Yon Bogen AB trenne man zweigleich groBe Bogen ab, nâmlich TE, LM, und zeichne Ereise, die Gdurch die Endpunkte dieser beiden Bogen gehen, von Parallel-kreisen <nâmlich ES, LO und MF und andere Kreise von GroB-kreisen, nâmlich TQ, EZ, LX, MV, die allé einen und clenselbenParallelkreis beriihren mogen, cler> groBer aïs Ereis ADE ist. 9

1) ïext unsicher (,,und er ist dor, dessen Yisrtes dièses ist, das vorauf-gegaugen, ist").

2) Dafta steht in der Hs. ,,gleicli TQ grûBer'.3) Ergânzt uadi D.4) In Figur Y 4.d) «Anf* D.

So behaupte ich, daB Bogen FO kleiner aïs Bogen ST ist unddaB Bogen VX kleiner aïs Bogen QZ ist.

12 Da Figur BQT dreiseitig ist, Seite QT von ihr langer aïsSeite TB isfc, der Winkel bei Pnnkt T nicht grb'Ber aïs ein rechterWinkel ist, von Seite BT von ihr zwei gleich grofie Bogen, nâm-lich TE, LM, abgetrennt sind, und in ihr1) die Bogen <EZ>2),

1B LX,' MV so gezogen sind, daB sie mit ihrer Grundlinie Winkelerzeugen, die gleich sind dem ihnen entspreehenden Wiaikel beiPunkt Q, so ist Bogen QZ grb'Ber aïs Bogen XV.

Die beiden Bogen TQ, MV sind zusammen groBer aïs die18 "beiden Bogen EZ, LX, und deshalb sind die beiden Bogen TQ, QI?

zusammen groBer aïs die beiden Bogen SQ, QO zusammen. So\vird Bogen ST groBer aïs Bogen 0F.

Allés, was bei der TJmkehrung notig ist, ist ans dem von unsGesagten bekannt8).

2l Wisse, daB Winkel T nach dem, was Menelaos in diesem Buchvoransgeschickt bat, stumpf ist, wenn Winkel B nicht groBer aïsein Rechter ist, da Winkel Q kleiner aïs Winkel B ist und dieSumme der clrei Winkel grofier aïs zwei rechte Winkel ist. Aber

2t da BT kleiner aïs TQ ist und jeder einzelne von ihnen beidenkleiner aïs ein Viertel(kreis) ist, so ist QZ groBer aïs XV, nach

59 dem, was in Satz 17 gezeigt worden ist. Aber da Winkel Tstumpf ist, so wird seine Behauptung, daB die Summe von TQ,MV groBer aïs die Summe von KZ, XL ist, bewiesen, wenn wir4)

3 QB iiber Punkt B hinans verlângern und TC gleich TQ, BIYgleich TLZ, LW gleich LX, MR gleich MV setzen. Dann entstehtFigur BTC [L 32 a] aïs dreiseitig(e Fignr), deren Winkel an derSpitze nicht groBer aïs ein Rechter ist, wenn Winkel BTQ grofieraïs ein Rechter ist. BT, clas geteilt ist, ist kleiner aïs TC. Nach

6 dem, was Menelaos in Satz 9 angefiihrt hat, ist claher die SnrnrueTC, MR grofier aïs ET, LW zusammen. Daher sind TC, ON zu-samnien groBer aïs TTC, CP zusammen. Daher ist TU groBer aïsHP, nnd NP ist gleich 0F, TU ist ST gleich. Daher ist ST

9 groBer aïs 0F, und CT ist groBer aïs RW, wie QZ groBer aïsXV ist.

Deshalb sagt Menelaos, daB es nicht nbtig sei, daB die schiefenGrofikreise mit gleioher rTeigung gegen die Parallelkreise sich indieselbe Richtung neigen wie der erste (GroB)kreis.

1) ..Ex eis" D.2) Naoh D ergftnzt.3) Nach D felilt ,,Und das wollten wir beweisen!"4) In Figur Y 5.

192 Max K r a n s e

Beendet ist der zweite Teil von Menelaos' Bach, der 21 Satzeenthalt, mit Gottes Hilfe und schoneni Beistand ! Lobpreis sei 12Gott, dem Herrn der Weltenl Gott segne den Propheten Mul.iamniadund seine Angehorigen, die Guten und Reinen, und spende ihnenHeil!

Prâmissen zu Buch III,

Einige Prâmissen , durci, die die Kenntiiisdes dr i t ten Teiles er le iohter t wird.

1. Die beiden Geraden AB, AG treffen1) in Punkt A zu- 15sainmen, und es werden von den beiden Punkten B, G die beidenGeraden BE, GD gezogen, die sich <in Punkt Z> schneiden. Sobehaupte ioh, daB das Yerhaltnis GA zu AE zusammengesetzt istans dem Verhâltnis GD zu DZ und ans dem Yerhaltnis ZBzu BE.

AVir ziehen nainlica EH parallel zu GD. Dann ist WinkelHEA dem Winkel DGA gleich und Winkel A ist gemeinsam denbeiden Dreiecken AGD, AEH. Es bleibt iibrig der dritte gleich 18dem dritten. Also sind die beiden Dreiecke ahnlich. So ist dasYerhaltnis GA zu AE gleich dem Yerhaltnis GD zu EH, <dasYerhaltnis GD zu EH aber> ist zusammengesetzt aus dem Yer-haltnis GD zn DZ unà aus dem Yerhaltnis DZ zu EH. Eolglichist das Yerhaltnis GA zu AE zusammengesetzt aus dem Yer-haltnis GD zu DZ und aus dem Yerhaltnis DZ zu EH. Das Yer-haltnis DZ zu EH ist aber gleich dem Yerhaltnis BZ zu BE, da 21die beiden Dreiecke BHE, BDZ ahnlich sind. Eolglich ist dasYerhaltnis GA zu AE znsammengesetzt aus dem Yerhaltnis GDzu DZ und aus déni Yerhaltnis ZB zu BE. Hnd das [L 32 b]wollten wir beweisenl

2. Kreis ABG2) um den Mittelpunkt D, und die Punkte G, 60B, A (liegen) irgendwie aoi' dera Umfang, und der ganze BogenGA sei kleiner aïs ein Halbkreis. So behaupte ich, daB sinAB zusinBG gleich ist dem Yerhaltnis AE zu EG, welches die beiden 3Abschnitte der Sehne ihrer Summe sind, die .dnrch den von PunktB aus gezogenen Halbrnesser geteilt ist.

Sind namlich die beiden Bogen GB, BA einander gleich, soist das augenscheinlioh. Ist aber einer von ihnen "beiden kleiner, 6

1) In Kgur Y 6.21 In Kgur Y 7.

Deutsche Ûbersetzung der Spharik, 193

so sei BG kleiner. Man ziehe GH, AZ aïs Senkrechte aut' denDurchmesser. So sind sie beide die Sinus der beiden Bogen AB,BG. Weil die beiden Dreiecke AEZ, GHE ahnlich sind, so ist dasYerhaltnis GH zu AZ gleich dem Yerhaltnis GE zu EA. Hnddas wollten wir beweisen!

9 3. (Gegeben sei) Kreis1) ABG mit dem Punkte D aïs Mittel-punkt, und ihn schneiden die beiden Geraden TDE, GBE, die inPunkt E zusammentreffen. So behaupte ich, daB das Yerhaltnissin des Bogens GA zu sin des Bogens BA gleich ist dem Yer-haltnis GE zu BE.

12 Wir ziehen namlich GH, BZ aïs Senkrechte auf TE. Da nundie beiden Winkel H, Z Redite sind und Winkel <E> gemeinsamist den beiden Dreiecken HEG, ZEB, so ist der dritte gleich dénidritten. Also sind die beiden Dreiecke ahnlich. Daher ist das Yer-haltnis GH zu BZ gleich dem Yerhaltnis GE zu EB. Hnd daswollten wir beweisen!

15 4. Das Yerhaltnis A zu B ist2) zusammengesetzt aus demYerhaltnis G zu D und dem Yerhaltnis E zu Z.

So behaupte ich, daB das Yerhaltnis G, des dritten, zu D, demvierten, zusammengesetzt ist aus dem Yerhaltnis A, des ersten,zu B, dem zweiten, und aus dem Yerhaltnis Z, des sechsten, zuE, dem fiinften.

18 Wir setzen namlich das Yerhaltnis H zu T gleich dem Yer-haltnis G zu D und setzen das Yerhaltnis T zu J gleich dem Yer-haltnis E zu Z. Da nun das Yerhaltnis H zu J zusammengesetztist aus dem Yerhaltnis H zu T nnd T zu J, so ist es zusammen-gesetzt aus dem Yerhaltnis G zu D und' aus déni Yerhaltnis Ezu Z. Also ist das Yerhaltnis H zu J gleich dem Yerhaltnis A

2l zu B. Dann setzen wir J aïs mittlere (Proportionale) zwischen H,T. So ist das Yerhaltnis H zu T zusammengesetzt ans dem Ver-h'âltnis H zu J nnd aus dem Yerhaltnis J zn T. Das YerhaltnisH zu T ist das Yerhaltnis G zu D. Also ist das Yerhaltnis G zu

61 D zusammengesetzt [L 33 a] aus dem Yerhaltnis H zu J, d. h. demYerhaltnis A zu B, und aus dem Yerhaltnis J zu T, d. h. demYerhaltnis Z zu E. TJnd das wollten wir beweisen!

3 5. (Es sei) das Yerhaltnis A zu B gleich dem Yerhaltnis Gzu D, und das Yerhaltnis E zu Z das Yerhaltnis der Gleichheit.

So behaupte ich, daB das Yerhaltnis A zu B zusammengesetztist aus déni Yerhaltnis G zu D und aus dem Yerhaltnis E zu Z,

1) In Figur Y 8.2) In Kgur Y 9.

Ces. d.WIss. zuQôttingen. Abhanctlungen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17.(Sonderheft der Math.-Phys. KU

18

194. M a x K r a u s e

Es sei1) H gleich B. So ist das Yerhâltnis A zu H gleichdem Yerhâltnis G zu D, and das Yerhâltnis H zu B ist gleich.dein Yerhâltnis B zu Z. Das Yerhâltnis A zu B aber ist zu- 6sammengesetzt aus dem Yerhâltnis A zu H. und aus dem Yer-hâltnis H zu B. Eolglich ist das Yerhâltnis A zu B zusammen-gesetzt aus dem Yerhâltnis G zu D und aus dem Yerhâltnis E zuZ, Und das wollten wir beweisen!

Dritter Teil von Menelaos' Btich. 62

Satz 1.Die beiden Bogen GE, BD treffen2) in Punkt A zusammen

und von den beiden Punkten G, B aus werden die beiden BogenGD, BE gezogen, die einancler in Punkt Z schneiden. Jeder ein-zelne von diesen vier Bogen gehort zu dem TJmfang eines Grofî- 3kreises auf der Kugel, rmd jeder einzelne von ihnen ist kleineraïs der halbe TJmfang.

So behaupte ich, dafi das Yerhâltnis sins)GE zu sinEA zu-sanimengesetzt ist aus dem Yerhâltnis sin des Bogen GZ zu sindss Bogen ZD <und aus dem Yerhâltnis sin des Bogen DB zu sin

des Bogen BA>4).Es sei H der Mittelpunkt der Kugel. Wir ziehen die Geraden 6

HZ, HB, HE und verbinden AD. Dann (liegen) die Sehne ADund der Halbmesser BH in derselben Ebene, Eiitweder ist nunHB parallel AD oder nicht. Ist es nicht parallel, so trifft es mitihm in einer der beiden R,ichtungen zusammen. Entweder trifft esmit ihm in Pvichtung D oder Pv/ichtung A zusammen.

(a) Wenn sie in Richtung D zusamrnentreffen, so sei das Zu- 9sammentreffen in Punkt T. Dann ziehen wir Sehne AG; sosohneidet sie den Halbmesser EH beispielsweise in K. Wir ziehenSehne GD; so schneidet sie den Halbmesser ZH beispielsweise inL. Da nun die Geraden HE, HZ, H-T sâmtlich von dem Mittel-

1) Ygl. Kgur Y 10.2) In Sïgur Y 11.3) ,,Sinus" ist wonl erst von îî hier eingesetzt und bei 1)H stand sicher

nocli ,,Selme des doppelten Bogens".4) "Wenn EZB aïs Transversale aufgefaBt wird.

Dentsche tïbersetzung der Spharik. 195

punkt des Kreises EZB nach dessen Ilmfang gehen, so (liegen) sie12 allé in derselben Ebene. Also liegen die Punkte K, L, T in ein

und derselben Ebene. Das Dreieck AGD (liegt) in der Ebene derbeiden SeitenAG, AD [L33b] und es1) ist in jener Ebene gerad-linig gezogen. Also ist Punkt T in jener Ebene. Daher (liegen)die Punkte K, L, T in zwei Ebenen, deren eine die Ebene desKreises EZB und deren andore die Ebene des Dreiecks AGD ist.

15 Also liegen sie auf der gemeinsarnen Schnittlinie. Die gemeinsameSchnittlinie zweier einander schneidenden Ebenen ist aber einegerade Linie. Also ist die Linie, die durch die Punkte K, L, Tgeht, eine Gerade. Also liegen zwischen den beiden zusammen-treffenden Geraden AG, AT die beiden Geraden GD, TK, die sichin L schneiden. Daher ist das Yerhâltnis GK zu KA zusamrnen-

63 gesetzt aus dem Yerhâltnis GL zu LD und <aus dem Yerhâltnis>DT zu TA. Das Yerhâltnis GK zu KA aber ist gleich dem Yer-hâltnis Sinus des Bogen GE zu Sinus des Bogens EA, und dasYerhâltnis GL zu LD ist gleich -déni Yerhâltnis Sinus des Bogen

3 GZ zu Sinus des Bogen ZD, und das Yerhâltnis DT zu TA istgleich dem Verhâltnis Sinus des Bogen BD zu Sinus des BogenBA. Also ist das Yerhâltnis des Sinus des Bogen GE zu demSinus des Bogen EA zusannnengesetzt aus dem Yerhâltnis desSinus des Bogen GZ zu dem Sinus des Bogen ZD und <ausdem Yerhâltnis> des Sinus des Bogen DB zu dem Sinus desBogen BA.

6 (b) Wenn sie in Riohtung A zusammentreffen, so ist das Zu-sammentreffen in Punkt T. Wir verlângern die beiden BogenBDA, BZE, bis dafi sie auf dem Durchmesser zusammentreffenund sie mogen bei Punkt K zusammentreffen. Uach dem Gezeigtenist das Yerhâltnis Sinus GZ zu Sinus ZD zusammengesetzt ausdem Yerhâltnis Sinus GE zu Sinus EA und aus dem Yerhâltnis

9 Sinus AK zu Sinus KD. Also ist das Yerhâltnis Sinus GE, desdritten, zu Sinus EA, dem vierten, zusammengesetzt aus dem Yer-hâltnis Sinus GZ, des ersten, zu Sinus ZD, dem zweiten, und ausdem Yerhâltnis Sinus KD, des sechsten, zu Sinus KA, dem fiinften.Aber Sinus KD ist Sinus BD, und Sinus KA ist Sinus BA. Also

12 ist das Yerhâltnis Sinus GE zu Sinus EA zusammengesetzt ausdem Yerhâltnis Sinus GZ zn Sinus ZD und aus dem YerhâltnisSinus BD zu Sinus BA.

(c) Und wenn AD parallel BH ist, so ergânzen wir den Halb-

v 4) D. h. doch ïvolil ,,ADT", dieser ganze Bâte ist mir nicht redit ver-standlicli.

13*

196 Max K r a u s e

kreis BAT und ziehen die beiden Sehnen AGJ-, DGK Wir ziehen 15von D ans die Senkrechte DS [L34a] und von A ans die Senk-rechte AO. Dann sind sie beide einander gleioh, weil die ïigurein. Parallelograrnrn ist. Also ist Sinus des Bogen BD gleicb demSinus des Bogen BA. Wir ziehen von dem Mittelpunkt her, nainlichPunkt H, die Yerbindungsgrade EH. Dann schneidet sie die SenneAGr in L. Da nim der Durchmesser BT und, der Bogen EZB, dieGrerade EH und der Punkt L in ein und derselben Ebene liegeu, 18so kbnnen wir in der Ebene EZH von Punkt L aus eine Greradedem Durchmesser parallel ziehen, Sie ist dann parallel AD. Undwiederum kb'nnen wir in der Ebene ADGr von Punkt L ans eineGrerade parallel AD ziehen. So behaupte ich, daB es die Grerade

LK ist.Wenn nicht, so sei die Parallèle, die von Punkt L ausgeht, 21

in der Ebene EZB die Grerade LM und in der Ebene ADGr dieGerade LN. Dann sind die beiden Greraden LM, LN einanderparallel und sie treffen in dernselben Punkt zusammen, Das istein Widersprueh8). Also geht von Punkt L keine Grerade aus, dieparallel der Greraden AD ist, aufier der Greraden LK. So ist inDreieck ADGr eine Grerade parallel zur Grrundlinie gezogen worden. 24Daher ist das Yerhaltnis GrL zu LA gleich dem Verhâltnis GrKzu KD. Daher ist das Yerhaltnis Sinus des Bogen GKE zu Sinusdes Bogen EA gleich dem. Yerhaltnis Sinus des Bogen GrZ zuSinus des Bogen ZD, Das. Verhâltnis von Sinus BD zu Sinus BAist das Yerhaltnis der Grleichheit. Daher ist das Yerhaltnis Sinusdes Bogen GrE zu Sinus des Bogen EA zusammengesetzt aus dem 64Yerhaltnis Sinus des Bogens GrZ zu Sinus ZD und aus dem Yer-haltnis Sinus BD zu Sinus BA.

(d) Und ich behaupte wiederum, daB das Yerhaltnis Sinus GrA 3zu Sinus AE zusammengesetzt ist aus dem Yerhaltnis Sinus GrDzu Sinus DZ und ans dem Yerhaltnis Sinus BZ zu Sinus BE8).

Wir verlângern GrA, GrD, sodafi sie am Endpunkt des Durch-.messers zusammentreffen. Sie mogen zusammentreffen in Punkt

1) In Figur V 12.2) Man kônnte zweifeln, ob dieser Teil im Beweise wirklich von Meuelaos

stammt, deun sonst venvendet er nie deu indirekten Be'weis (vgl. Bj. S. 40). DièsesStûdc fehlt auoh in D, wo vorausgesetzt mrd, daB KL zu AD parallel ist (statt.,13H parallel zu AD"), und jenes daraus folgt ,,quoniam in duabus superfîoiebusâne (BAT), ctc (BZT) sunt due linee eguidistantes, gué sunt sa (LK), mn (DA),erit sectio communis istis duabus superficiebus, que est linea ec (BT) eguedistans

duabus lineis sd, mn".3) Wenn ADB aïs Transversale aufgefaBt wird.

Deutsche tïbersetzung der Sphârik. 197

6 T. Also schneiden sich zwischen den beiden Bogen TE, BE diebeiden Bogen TZ, BA. Daher ist das Yerhaltnis Sinus TA zuSinus AE zusammengesetzt aus dem Yerhaltnis Sinus DT zu SinusDZ und aus ' dem Yerhaltnis Sinus BZ zu Sinus BE. Sinus BEaber ist gleich Sinus GrA <und Sinus TD ist Sinus GrD. Daher

9 ist das Yerhaltnis Sinus GKA> zu Sinus AB zusammengesetzt ausdem Yerhaltnis Sinus GrD zu Sinus DZ und aus dem YerhaltnisSinus BZ zu Sinus BE. Und das wollten -wir beweisen!1) [L34b]

Satz 2.12 Wenn zwei von den Winkeln zweier dreiseitiger Eiguren ein-

ander gleich sind und zwei andere <von ihren Winkeln> entwedereinander gleich sind oder zwei rechten Winkeln gleich sind, wennsie zusammengenommen werden, so sind die Yerhaltnisse der Sinusder beiden Seiten, die den beiden gleich groBen Winkeln gegen-iiberliegen, <zu den beiden Sinus der beiden anderen Seiten, die

15 den beiden anderen gleich groBen> oder zwei Rechten gleichen<Winkeln gegen'dberliegen>1 einander gleich. Und dessen Um-kehrung ebenfalls.

Es gebe2) zwei dreiseitige Eiguren, auf denen ABGr, DEZ18 (liegen), und der Winkel bei A der einen von ihnen sei gleich dem

Winkel bei D der andern und die beiden Winkel von ihnen beiden beiden Punkten Gr, Z seien entweder einander gleich oder zu-sammen gleich zwei rechten Winkeln. So behaupte ich, daB dasYerhaltnis Sinus AB zu Sinus BGr gleich ist dem Yerhaltnis SinusDE zu Sinus EZ.

2) Diesen Satz referiert (ohne M e zu nennen) Ptolemiios, Synt. (éd. Heiberg)174,9—7^9. Daraus, daB bei Ptol. der Be>veis fur Fall (c), d. h. AD |j BH, fehltund auch Theon ihn nicht kennt, hat vor kurzem A. Home. (Les explications deThéon d'Alexandrie sur le théorème de Mânélas, Annal, de la Soc. scient deBruxelles, Tome LUI, série A, prem. partie. Compt. rend, des séances, p. 39—50)geschlossen, daB der Beweis dièses Satzes im Original (speziell in den Exemplaren,die Ptol. und Theou lasen) unyollstandig gewesen sei, d, h, daB dieser Teil spâtererZusatz sei. Er findet sich aber îm wesentlichen gleichlautend auch bei H und D,d. h, in beiden Ûbersetziingen, die sicher von einander unabhângig sind. Ara-bischen Ursprungs ist er also sicher nicht, wahrscheinlich daher griechisch. Ge-naueres ISBt sich vom Arabiscben aus nicht mit Bestiinmtheit sagen, Zweifelhaftkônnte vielleicht sein, da in dieser Beziehung H und D mit Ptol. zusaramengehen,ob -ïvirklich bei Me Fall (a) und (b) unterschieden vurden.

N (d) wird nicht durch andre arabische, davoii xinabhtlngige Redaktionen ge-stiitzt, aber durch Ptol. bestiitigt, ist also eclit. Im allgenieinen glaube ich Bjzustimmen zu dûrfen, wenn er (S. 8S) die in K ûberlieferte Forni des Beweisesaïs urspriinglich auffafit.

3) In Figur Y 14.

198 Max K r a u s e

Wir ziehen namlich die beiden Bogen GAH, BAT und setzen 21Bogen AH dem Bogen DZ gleidi raid Winkel AHT déni WinkelEZD, und verYollstândigen1) die Eignr1). So ist Bogen AT demBogen DE und Bogen TH dem Bogen EZ gleich. Und da diebeiden Winkel B&A, AHT entweder einander gleicb. sind oderzusammen zwei rechten Winkeln gleicb. sind, so ist der Sinus des 24Bogens GK gleich dem Sinus des Bogens HK. Und weil die Eigarso ist, wie sie ist, ist das Verhaltnis Sinus des Bogens KG- zuSinus des Bogen BG zusammengesetzt aus dem Verhaltnis Sinusdes Bogens KH zu Sinus des Bogen HT und aus dem VerhaltnisSinus des Bogen TA zu Sinus des Bogen AB. Sinus des Bogen 65&K aber ist gleich dem Sinus des Bogen KH. <Folglich ist dasYerhaltnis Sinus des Bogen HT zu Sinus des Bogen BG gleichdem Yerhaltnis Sinus des Bogen TA zu Sinus des Bogen BA>Und bei Vertausclmng sind sie ebenfalls proportional. Bogen HT 3aber ist dem Bogen EZ gleicli und Bogen AT dem Bogen DE2).Daher ist das Yerhaltnis Sinus des Bogens &B zu Sinus desBogens BA gleich dem Yerhaltnis Sinus des Bogens EZ zu Sinusdes Bogens ED.

Und wiederum ! Wir setzen den Winkel <bei Punkt A gleichdem Winkel> bei Punkt D, und es sei das Yerhaltnis des Sinus Gdes Bogens GB zu Sinus des Bogens BA gleich dem YerhaltnisSinus des Bogens EZ zu Sinus des Bogens ED.

So behaupte ich, daB die beiden Winkel bei den beiden PunktenG, Z entweder einander gleich sind oder zusammen gleich zwei 9Rechten sind.

Wenn wir wie erwahnt verfahren, ist das Yerhaltnis SinusGB zu Sinus BA gleich dein Yerhaltnis Sinus HT zu Sinus TA.Und bei Yertauschung sind sie ebenfalls proportional. Und wenndie Figur ist, wie sie ist, so ist Sinus des Bogens KH gleich Sinus 12des Bogens KG und deshalb sind die beiden Winkel THA, A&Bbei8) den beiden Punkten G, Z entweder [L 35a] einander gleichoder zusammen zwei rechten Winkeln gleich. Und das wolltenwir beweisen!

Wenn jemand iiberlegt und Yergleiche zieht zwischen tinserem 15Yerfahren bei dem Ersatztheorem*) und zwischen der Art, mit

1—1) In G (J = ST) ,,Bt protraham duos amis gli, ïli in parte 6, doneocoucurrant, Ergo concurrant super punctum 7c".

2) + ,,gleich« D.3) ,,Welclios die beiden Winkel sind, die bei" D.4) Hier ist nicht — wie sonst — der Sinussatz gemeint, sondern die Regel

der vïer GrOBen, vgl. BBK, S, 58/59.

Deutsche Obersetzung der Sphârik. 199

der Menelaos bei dem Transversalensatz verfahren ist, und derMenge der dazu notigen Beweise und er weifi, daB, wenn in denbeiden Dreiecken die beiden Winkel A, D einander gleich sind,und das Yerhaltnis sin BG zu sin BA gleich dem Yerhaltnis sin

18 EZ zu sin ED ist, dann schnell ohne lange Rede und (viel) Be-weisabarten auBer der Kenntnis des Ersatztheorems, das an dieStelle des Transversalensatzes tritt, bekannt ist, daB die beidenWinkel Z, G, da ihre Sinus einander gleich sind, entweder ein-ander gleich sind oder <zusammen> zwei rechten Winkeln gleichsind1),

2l Satz 3.

Wenn es zwei dreiseitige Kguren gibt, zwei von ihren Winkelnan der Grundlinie Redite sind und die beiden verbleibenden yonden Winkeln an der Grundlinie einander gleich, (aber) keine Rechtesindj dann ist das Yerhaltnis der beiden Sinus der beiden Seiten,

24 die den rechten Winkel von einer der beiden Mguren einschlieBen,der eine zum andern, zusammengesetzt aus dem Yerhaltnis der

66 beiden Sinus der beiden Seiten, die den rechten Winkel von derandern Ifigur einschlieBen, wenn es so genommen wird, wie daserste Yerhaltnis genommen ist, und aus dem Yerhaltnis des Sinus

3 des Bogens, der zwischen dem Scheitelpunkt der ersten IPigur unddem Pol ihrer Grondlinie liegt, zu dem Sinus des Bogens, derzwischen dem Scheitelpunkt der andern Figur und dem Pol ihrerGrundlinie liegt.

Es gebe2) zwei dreiseitige Eiguren, auf denen ABG, DEZ6 (liegen), es seien die beiden Winkel bei den beiden Punkten A, D

von ihnen zwei Rechte und die beiden Winkel bei den beidenPonkten G, Z einander gleichj (aber) keine Rechte, und die beidenPôle der beiden Bogen AG, DZ seien die beiden Punkte H, T.

So behaupte ich, daB das Yerhaltnis des Sinus des Bogens ABzu dem Sinus des Bogens AG zusammengesetzt ist aus déni Yer-

9 haltnis des Sinus des Bogens ED zu dem Sinus des Bogens DZund aus déni Yerhaltnis des Sinus des Bogens BH zn dem Sinusdes Bogens ET.

Wir setzen nà'mlich Bogen GK dem Bogen DZ gleich undziehen den Bogen HK. Dann ist Bogen KL dem Bogen DE gleichund Bogen LH dem Bogen ET. Da aber die Eigur so ist, wie sie

.12 ist, ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens AB zu dem Sinus desBogens BH zusammengesetzt aus dem Yerhaltnis des Sinus des

3) Der Text ist ansoheinend in diesem Stiiclc nicht ganz in Ordming.1) In Fignr Y 15.

200 Max K r a u s e

Bogens AGr zu dem Sinus des Bogens GrK nnd aus dem Verhâltnisdes Sinns des Bogens KL zu dem Sinus des Bogens LH [L 35b],Das <Verhâltnis> des Sinus des Bogens <BA zu déni Sinus desBogens GrA ist zusammengesetzt aus dem Yerhâltnis des Sinus des 15Bogens> BH zu dem <Sinns des> Bogens LH nnd ans dem Yer-hâltnis des Sinus des Bogens LK zu dem Sinus des Bogens KGr.Bogen KG aber ist gleich dem Bogen DZ, Bogen KL gleich1) demBogen DE nnd Bogen LH dem Bogen ET, Daher ist das Ver-hâltnis des Sinus des Bogens AB zu dem Sinus des Bogens AGzusammengesetzt ans dem Yerhâltnis des Sinus des Bogens DE 18zn dem Sinus des Bogens DZ und aus dem Yerhâltnis des Sinusdes Bogens BH zn dem Sinus des Bogens ET.

Klar ist ebenfalls, daB das Yerhâltnis des Sinns des BogensBGr zu dem Sinus des Bogens GrA zusammengesetzt ist aus demYerhâltnis des Sinus des Bogens EZ zu dem Sinus des Bogens ZDund aus dem Yerhâltnis des Sinus des Bogens BH zu dem Sinusdes Bogens ET. Und das wollten wir beweisen. 2l

Wenn sich dièses attch verhâlt, wie der Yerfasser der Schriftanfiihrt, so bedarf es (doch) eines Zusatzes im Beweis, wenn durchden voraufgehenden (Teil) des Transversalensatzes gezeigt wird,daB das Yerhâltnis sin AB zn sin BH zusammengesetzt ist ausdem Yerhâltnis sin KL zu sin LH und aus dem Verhâltnis sin 24AGr zu sin KG, und er dann sagt, daB das Yerhâltnis sin AB zusin AGr, dem fiinften, zusammengesetzt ist aus dem Verhâltnis sin 67BH, des zweiten, zu <sin> LH, dem vierten, nnd aus dem Yer-hâltnis sin KL, des dritten, zu sin KGr, dem sechsten.

Da aber das Yerhâltnis sin AB zu sin AGr gleich ist déni 8Yerhâltnis des Sinus des Winkels G zu dem Sinus des Winkels Bund das Yerhâltnis sin ED zu sin DZ gleich ist dem Yerhâltnisdes Sinus des Winkels Z zu dem Sinus des "Wïnkels E nnd diebeiden Winkel Z, Gr einander gleich sind, so ist das Yerhâltnis sinAB zu sin AGr zusammengesetzt aus dem Verhâltnis sin ED zusin DZ und aus dem Verhâltnis des Sinus des Winkels E zu dem eSinus des Winkels B. Das Yerhâltnis sin BH zu sin LH aber istgleich dem Verhâltnis des Sinus des Winkels L, der dem WinkelE gleich ist, zu dem Sinus des Aufienwinkels B, der mit dem Innen-winkel zusammen zwei rechten Winkeln gleich ist. Daher ist dasYerhâltnis sin AB zu sin AGr zusammengesetzt ans dem Yerhâltnis gsin BH zu sin LH, das gleich ist dem Yerhâltnis des Sinus desWinkels E zu dem Sinus des Winkels B <und aus dem Verhâltnis

1) Feult D.

Deutsche "Obersetzung der Sjpb.fl.rilc. 201

sin KL zu sin KG.> TJnd das gehort zu dem, was gezeigt wer-den muB!

12 Satz 4.

Wenn es zwei dreiseitige Eguren gibt, ihre Winkel an derGrundlinie einander gleich sind — jeder Winkel und sein Gregen-stiick —, wobei keiner von ihnen ein Eechter ist, und die beidenSenkrechten der beiden Figuren gezogen werden, dann sind dieSinus der Bogen, die von den beiden Grundlinien abgetrennt

15 werden, proportional.Es gebe1) zwei dreiseitige Eiguren, auf denen AB&, DEZ

(liegen), der Winkel bei Punkt A sei gleich dem Winkel bei Punkt18 D, der2) bei Punkt [L 86 a] Gr dem Winkel bei Punkt Z, wobei

keiner von diesen Winkeln ein Rechter sei, und wir ziehen vonden beiden Punkten B, E zwei Senkrechte anf die beiden Grund-linien AGf, DZ, nâmlich BH, ET.

So behaupte ich, daB das Yerhâltnis des Sinus des Bogens AHzu dem Sinus des Bogens H& gleich dem Yerhâltnis des Sinus

21 des Bogens DT zu dem Sinus des Bogens TZ ist.Wir setzen nâmlich aïs die beiden Pôle der beiden Bogen AG,

DZ die beiden Punkte K, L. Da die beiden Winkel bei. den beidenPunkten H, T Rechte sind und da3) die beiden Winkel bei denbeiden Punkten D, A einander gleich sind und da die beiden Pnnkte

24 K, L die beiden Pôle der beiden Bogen AG, DZ sind, so ist dasYerhâltnis des Sinus des Bogens AH zu dem Sinus des Bogens DTzusammengesetzt ans dem Yerhâltnis des Sinus des Bogens BH zudem Sinus des Bogens ET und aus dem Yerhâltnis des Sinus desBogens EL zu dem Sinus des Bogens BK.

Und wiederum! Es sind die beiden Winkel an den .beiden68 Gfrundlinien bei den beiden Punkten H, T zwei Rechte und die

beiden Winkel bei den beiden Punkten Gr, Z einander gleich, (aber)nicht zwei Rechte. Daher ist das Yerhâltnis des Sinus des Bogens&H zu déni Sinus des Bogens ZT zusammengesetzt aus dem Ver-

3 haltnis des Sinus des Bogens BH zu dem Sinus des Bogens ETund ans dem Verhâltnis des Sinus des Bogens EL zu dem Sinusdes Bogens BK. Deshalb ist das Verhâltnis des Sinus des BogensAH zu dem Sinus des Bogens DT gleich dem Verhâltnis des Sinusdes Bogens GrH zu dem. Sinus des Bogens ZT. Und wenn wirvertauschen, sind sie <ebenfalls> proportional. Und das wolltenwir beweisen.

1) In Figur Y16 und 17.2) nDer Winkel" D.3) Feult in D.

202 Max K r a u s e

Und was aus dieser Mgur an astronoinischen Dingen klar 6wird, ist, daB clas Verhâltnis des Sinus der Aufgânge bei sphaerarecta der Bogen, die gleich.sind in Bezug auf ihre GrôBen nndauf die Gr'o'Be ihres Abstandes von dem Pankt der Tagandnacht-gleiche, zn dem Sinns der Ausgleichung jener Aufgânge in derganzen sphaera obliqua dasselbe Verhâltnis ist.

Satz 5. 9Wenn es zwei dreiseitige Eguren gibt, zwei von ihren Winkeln

an ihren Grundlinien einander gleicli nnd spitz sind und zwei vonden iibrigen Winkeln Reckte sind nnd jede einzelne von ihrenbeiden Seiten, die ihren beiden iibrigen Winkeln gegenuberliegen,kleiner aïs ein Viertelkreis ist, so ist das Verhâltnis des Sinus 12der beiden Bogen, die deu spitzen gleichen *) Winkel von einerder beiden Figuren einschliefien, zusanxoien zu dem Sinus desUnterschiedes zwischen ihnen beiden gleich dera Verhâltnis desSinus [L36b] der beiden Bogen, die den. spitzen. gleich1) groBen1)Winkel von der andern Figar einschlieBen, <zu.sammen> zu demSinus des Unterschiedes zwischen ihnen. beiden. 15

Es gebe2) zwei dreiseitige Eiguren, auf denen ABG, DEZ(liegen), die beiden Winkel hei den beiden Pankten A, D seienzwei P^echte, die beiden Winkel bei den beiden Punkten G-, Z seieneinander gleich irnd spitz, und jeder der beiden Bogen GA, DZ 18sei kleiner aïs ein Viertelkreis.

So behaupte ich, daB das Verhâltnis des Sinus der beidenBogen BG, GA zusammen zu déni TTnterschied zwisohen <BG undBA gleioh ist dem Verhâltnis des Sinus der beiden Bogen EZ, ZDzusammen zu dem Unterschied zwischen> EZ und ZD,

Wir vedângern nâmlich den Bogen BG <nach L>8) und setzen 21jeden einzelnen der beiden Bogen GK, GL dem Bogen AG gleich,und ziehen die beiden Bogen AK, ALé). Wir setzen' Punkt G aïsPol und zeichnen ura ihn einen GroBkreisbogen, auf dem HB'ISN<(liegen) und verlângern die Bogen AB, AK, AL, bis sie ihn inden Punkten H, M, N treffen>3). Dann ist Punkt H ebenfalls

1) FeMt D.2) In Figtu- V 18.3) So nacli G. Bel J ,,wir zisheu Bogen BGL".4) NUÏ in G findet sioli folgender Zusatz nEt producani arcum ay usque ad

s, at sit gs qnarta oircnli". Bei ïf liât er sîoher (ygl. J) nicht gestanden, -wohlabei- ist er wahrscheinlich fur Me und bH zu erganzen. Auoh bei D wird er ge-fehlt haben, uur in der G vorliegenden Es. ans bH iibernommen sein,

5) Erglnzt nach D.

Deutsche Ùbersetztmg der Spbarik. 203

24 Pol des Bogens AGS, und das deshalb, weil jeder einzelne derbeiden Bogen AH, HS anf AS senkrecht steht. Dann ziehen wir

69 die beiden Bogen GrM, GN. Da nun der Bogen AG gleich ist deraBogen GK und Bogen AG nicht gleich ernem Viertelkreis ist undda Bogen GM ein Viertelkreis ist, so ist Winkel KGM dem Winkel

3 MGS gleich1). TJnd ebenso wird gezeigt, daB Winkel LGN demWinkel NGS gleich ist.

Und wiederum ! Wir ziehen den Bogen EZE und setzen jedeneinzelnen der beiden Bogen ZIP, ZO dem Bogen DZ gleich undziehen die beiden Bogen DO, DU?. Wir setzen Punkt Z aïs Pol

S und zeichnen um ihn einen GroBkreisbogen, auf dem T, Q, X, R(liegen) und zeigen, wie wir es oben gezeigt haben, daB die LinieZQ ebenfalls den Winkel EZX halbiert und dafi die Linie RZ denWinkel FZX halbiert, Daher ist Winkel MGS dem Winkel QZXgleich und Winkel NGS gleich dem Winkel RZX. Die beiden

9 Punkte G, Z sind die beiden Pôle der beiden Bogen HMSN, TQXR.Daher ist Bogen MS dem Bogen QX gleich und Bogen NS demBogen RX gleich und deshalb ist Bogen ME dem Bogen TQ gleich.

Da von dem Punkte A nach den beiden Bogen BGL, HSN die12 Bogen AH, AM, AS, AN ausgehen, ist das Verhâltnis des Sinus

des Bogens LB zu dem Sinus des Bogens BK zusamraengesetztaus dem Verhâltnis des Sinus des Bogens BL zu dem Sinus desBogens LG und aus dem Verhâltnis des Sinus LG zn déni Sinusdes Bogens GK und aus dem Verhâltnis des Sinus des Bogens GKzu dem Sinus des Bogens KB. Dièses Verhâltnis ist gleich dem

15 Verhâltnis, das zusammengesetzt ist aus dem Verhâltnis des Sinusdes Bogens BL zu dem Sinus des Bogens LG und aus dem Ver-hâltnis des Sinus des Bogens GK zu dem Sinns des Bogens KB.Und das deshalb, weil Bogen2) GL dem Bogen2) GK gleich ist[L 37 a]. Dièses Verhâltnis ist gleich dem Verhâltnis, das zu-sammengesetzt ist aus dem Verhâltnis des Sinus des Bogens NHzu dem Sinus des Bogens NS und aus dem Verhâltnis des Sinus

18 des Bogens MS zu dem Sinus des Bogens MH8).Ebenso wird auch gezeigt, daB das Verhâltnis des Sinus des

Bogens FE zu dem Sinus des Bogens EO zusammengesefczt istaus dem Verhâltnis des Sinus des Bogens TR zu déni Sinus desBogens RX und aus dem Verhâltnis des Sinus des Bogens QX z;u

1) Naoh N 129 und zwar dem Sonderfall, den Bj. S. 30, Anni. 75 vermiJStuud der sich bei S rmcl Maurolycus fmdet.

2) nNadir amis" D.3) Zu der hier vorausgesetzten Projektivitât der Doppelverbaltnisse auf der

VKugel siehe Bj S. 96—101,

204 Max K r a u s e

dem Sinus des Bogens TQ. Und es ist gezeigt worden, dafi dieBogen EM, <MS>x), SF gleioh sind den Bogen TQ, QX, XR. 2lDaher ist deshalb das Verhâltnis des Sinus des Bogens LB zu demSinus des Bogens KB gleich. dem Verhâltnis des Sinus des BogensEE zu dem Sinus des Bogens EO. <TJnd das wollten wir zeigen.> *)

Den Beweis dièses Satzes hat Menelaos dunkel gehalten, ent- 24weder weil er es liebte, den, der liber seine "Werke naclidenke,miBmutig zu machen (?)2) oder, weil seiner Meinung nach das iibrige 70zum Vollenden des Beweises Hotige sich durch die nâohstliegendeErwâgung erlangen lasse.

Aber wir lassen8) das Dreieck ABGr zuriickkehren, wie es war,ziehen die beiden Bogen AK, AL und <verlângern> KG- bis L, 3wie wir es getan haben, (dann)*) sind die drei'Bogen, nàmlich AG-,LG, KG-, einander gleich.

Und wir behaupten, daB das Verhâltnis, das zusammengesetztist aus dem Verhâltnis sin LB zu sin LG- und ans dem Verhâltnissin KG- zu sin KB —• wie die Lage auch immer ist, sei sie wiewir es aïs Beispiel angefiihrt haben, oder abweichend davon, d. h.seien die Bogen AG-, LG-, KG- einander gleich oder verschieden 6Yon einander — gleich ist dem Verhâltnis, das zusammengesetztist ans dem Verhâltnis des Sinus des Winkels BAL zu dem Sinusdes Winkels GAL und aus dem Verhâltnis des Sinus des WinkelsKAG zu <dem Sinus> des Winkels BAK. Denn das Verhâltnissin BL zu sin AL ist gleich. dem Verhâltnis des Sinus des WinkelsBAL zu dem Sinus des Winkels B und das Verhâltnis sin AL zu 9sin LG- ist gleich dem Verhâltnis des Sinus des Winkels G zudem Sinus des Winkels GAL, Daher ist das Verhâltnis sin BLzu sin LG- gleich dem Verhâltnis des Sinus des Winkels BAL zudem Sinus des Winkels B verbunden mit dem Verhâltnis des Sinusdes Winkels G zu dem Sinus des Winkels GAL. Es ist also so-dann gleich dem Verhâltnis, das zusammengesetzt ist aus dem 12Verhâltnis des Sinus des Winkels BAL, des dritten, zu, déni Sinusdes Winkels GAL, dem sechsten, und aus dem Verhâltnis des Sinusdes Winkels G-, des fiinften [L 37 b], zn dem Sinus des Winkels B,dem vierten.

Und ebenfalls ist das Verhâltnis <sin> KG- zu sin AK gleichdem Verhâltnis des Sinus des Winkels KAG- zu dem Sinus des 16

1) Nach D.2) ? Hedjati Hiissni Bey sohliigt vor, it'ab statt i'tâb zu lesen und zu iiber-

setzeii ;,zu ermûden", Dock befriedigt auoh das nicht.3) In Figur VI1.4) Oder ,,so d a B K V

Deutsche tîbersetzung der Sphârik. 205

Winkels G- und das Verhâltnis sin KA zu sin BK <gleich demVerhâltnis des Sinus des Winkels B zu dem Sinus des WinkelsBAK. Daher ist das Verhâltnis sin KG- zu sin BK> zusammen-gesetzt aus dem Verhâltnis des Sinus des Winkels KAG- zu demSinus des Winkels G- und aus dem Verhâltnis des Sinus des Winkels

18 B zu dem Sinus des Winkels BAK. Es ist daher gleich dem Ver-hâltnis, das zusammengesetzt ist aus dem Verhâltnis des Sinus desWinkels KAG-, des dritten, zu dem Sinus des Winkels BAK, demsechsten, und aus dem Verhâltnis des Sinus des Winkels B, desfiinften, zu dem Sinus des Winkels &, dem vierten.

Und von diesen vier Verhâltnissen ist das Verhâltnis des Sinusdes Winkels Gr zu dem Sinus des Winkels B reziprok zu dem

2l Verhâltnis <des Sinus> des Winkels <B> zu dem Sinus desWinkels G. Daher ist das Verhâltnis, das zusammengesetzt istaus dem Verhâltnis sin BL zu sin LGr nnd aus dem Verhâltnissin KG zu sin BK, gleich dem Verhâltnis, das zusammengesetztist aus déni Verhâltnis des Sinus des Winkels BAL zu dem Sinusdes Winkels &AL und aus dem Verhâltnis des Sinus des Winkels

24 KA& zu dem Sinus des Winkels BAK. Das ist in allen sphâri-sohen Dreiecken so, in denen zwischen zwei Seiten jedes Dreiecksvon ihnen zwei Bogen nach der G-rundh'nie gezogen werden, undda hier KG- gleich LG- ist, so ist .das Verhâltnis, das znsammen-gesetzt ist aus dem Verhâltnis des Sinus des Winkels BAL zudem Sinus des Winkels GAL und aus dem Verhâltnis des Sinus

27 des Winkels KAG- zu dem Sinus des Winkels KAB, — da dièsesso ist, wie wir vorher erwuhnt haben —• gleich dem Verhâltnissin LB zu sin KB.

71 Dann lassen wir1) die Kgar zuriickkehren nnd verlàngern dieKreise AM, AS, AN, sodaB sie in Punkt C zusammentreffen, undverlàngern ebenfalls die beiden Kreise HMS <rT>, LGKB iiber die

3 Punkte H, N, L, B hinaus, sodaB sie in den beiden Punkten J, Vzusammentreffen. Da AG-, GK, LG einander gleich sind und Gder Bol von HMS ist, sind die Bogen SC, LJ, KV einander gleichund die Winkel S, J, V Rechte. In den beiden Dreiecken SON,LisTJ sind die beiden SoheitelwinkeP) einander gleich und Winkel3)L mifît die Erganzung der Schiefe von SJST zur ganzen Schiefe, die

6 der Winkel 0 miBt8). Also sind die Winkel des Dreiecks SCiST

1) In Figur VII16.2) AYSrtlich ,,die heiden einander anschauenden Winkel".3) Dieser Teil ist sicher verderbt; dock icb kann ibn nicht heilen. Text

,,und Winkel N miBt die Erganzung der Schiefe von SC an der Schiefe, derengrofite Wiukel C miBt (?)".

206 M a x K r a u s e

gleich den Winkeln des Dreiecks LNJ. Daher sind die entsprechen-den Seiten der beiden Dreiecke einander gleich. Ebenso ist dieSache in den beiden Dreiecken SGM, MYK. Daher ist Bogen SNgleich dem Bogen NJ und Bogen SM gleich dem Bogen MV.

Dann lassen wir ebenfalls1) die Eigur zuriickkehren und setzen 9den Punkt A aïs Pol und <zeichnen um ihn> mit dem Abstandder Seite des2) Quadrates den Bogen UW, und weil der Punkt Hder Pol des Kreises AG ist, so geht er duroh den Punkt H. Essei der Kreis HUWP. Dann miBt HU den Winkel BAK und UWmiBt den Winkel KAG und HP mifit den Winkel BAL und WP 12[L 88 a] miBt den Winkel GAL, Daher ist das Verhâltnis sin LBzu sin BK gleich dem Yerhâltnis sin HP zu sin WP verbundenmit dem Verhâltnis sin UW zu sin HU. Aber das Yerhâltnis sinHN zu sin SN ist zusammengesetzt aus dem Yerhâltnis sin HPzu sin. PW und aus dem Verhaltnis sin <AW zu sin AS und das 15Verhâltnis sin> SM zu sin MH ist zusammengesetzt aus dem Yer-hâltnis sin WU zu sin UH und aus dem Yerhâltnis sin SA zu sinAW. Und von diesen vier Yerhâltnissen ist das Yerhâltnis sinAW zu sin AS reziprok zu dem Yerhâltnis sin AS zu sin AW. 18Es bleibt dann iibrig das Yerhâltnis, das zusammengesetzt ist aus<dem Yerhâltnis> Sinus HN zu sin NS und aus dem Verhâltnissin SM zu sin MH, gleich dem Verhâltnis, das zusammengesetztist aus <dem Verkâltnis> sin HP zu sin PW und aus dem Ver-hâltnis sin UW zu sin HU. Daher ist das Yerhâltnis, das zu-sammengesetzt ist aus dem Verhâltnis sin HN zn sin NS und aus 2ldem Yerhâltnis sin MS zu sin MH, gleich dem Yerhâltnis sin LBzu sin- BK. Und da Winkel MGS dem Winkel QZX gleioh istund Winkel XZR <gleich dem Winkel> SGN und HS ein Viertel-(kreis) ist, wie TX ein Yiertel(kreis) ist, und MN ebenfalls einViertel(kreis) ist, wie QR ein Viertelfkreis), Und das deshalb,weil GM den Winkel KGS halbiert tmd GN den.Winkel SGL 24halbiert8). Ebenso ist es in der zweiten Eigur und*) so oft wir 72darauf hingewiesen haben in den beiden Eiguren Menelaos' durchnDas Verhâltnis sin LB zu sin BK ist gleioh dem Yerhâltnis sinEE zu sin EO" in der zweiten Eigur von ihnen beiden. Und daswollten wir beweisen!4).

Und wiederum ! Da MH, SN einander gleich sind und HS ein 3

1) In Fignr YI2.2) Des der Kugel eiubeschriebenen Quadrates.3) Und deshalb Winkel BfGM ein Kechter ist. Da auch GM ein Yiertelkreis

ist, so ist M der Pol Ton NG.4—4) Text verderbt?

Deutsche Ùbersetzung der Sphârik. 207

Viertel(kreis) ist, so ist sin HN gleich sin MS. Daher sind dièsebeiden Yerhâltnisse gleich dem Yerhâltnis sin SM zu sin MH ver-bunden mit der Wiederholung. Da das Verhâltnis, das zusammen-gesetzt ist ans dem Yerhâltnis sin HN zu sin NS und aus dem

6 Yerhâltnis sin SM zu sin MH, zusammengesetzt ist aus dem Ver-hâltnis des Sinus des Winkel HAN zu dem Sinus des WinkelsSAN und aus déni Yerhâltnis des Sinus des Winkels <SAM zudem Sinus des Winkels> HAM ebenso wie das Yerhâltnis, daszusammengesetzt ist aus dem Verhâltnis sin BL zu sin LG und

9 aus dem Yerhâltnis sin KG zn sin KB, ebenfalls aus jenen beidenYerhâltnissen zusammengesetzt ist, und (da) ebenfalls das Verhâlt-nis, das aus dem Yerhâltnis sin TR zu sin RX und aus dem Yer-hâltnis sin QX zu sin TQ zusammengesetzt ist, aus dem Yerhâlt-nis des Sinus des Winkels TDR zu dem Sinus des Winkels XDB,und aus dem Yerhâltnis des Sinus des Winkels QDX [L 38 b] zu

12 dem Sinus des Winkels TDQ zusammengesetzt ist, ebenso wie dasVerhâltnis, das aus dem Verhaltnis sin ES1 zn sin J?Z und ansdem Verhâltnis sin OZ zn sin OE zusammengesetzt ist, ebenfallsaus diesen beiden Yerhâltnissen zusammengesetzt ist, so ergibtsich daraus fiir uns, daB das Yerhâltnis sin LB zu sin BK gleichist dem Verhâltnis sin EE zu sin EO, wenn wir zeigen, claB jedereinzelne der beiden Bogen QX, MS die Hâlfte des Winkels KGS

ig miBt, daB jeder einzelne der beiden Bogen RX, NS die Hâlfte desWinkels SGL miBt und daB TQ gleich MH ist.

Hieraus ergibt sich, daB <das Verhâltnis des Sinus> einesEkliptikbogens zusammen mit seinem Aufgang(sbogen) bei sphaera

18 recta <zu dem Sinus des Unterschiedes zwischen ihnen beiden>gleich ist dem Verhâltnis des Sinus der Ergânzung der halbenEkliptikschiefe zu <dem Sinus> der halben Ekliptikschiefe ver-bunden mit der Wiederholung. Und das deshalb, weil wenn derspitze Winkel G so groB wie die Ekliptikschiefe ist, der stnrnpfeWinkel so groB wie die Ergânznng jener zu einem Halbkreise ist,

2l und da Bogen GM den stumpfen Winkel G halbiert, so MS dieHâlfte der Ergânzung der Ekliptikschiefe zu einem Halbkreise ist.HS ist ein Viertel(kreis), also ist MH die halbe Ekliptikschiefe.

Satz 6.

Wenn der (!) *) Winkel einer dreiseitigen JTigur halbiert wirdj24 so sind die Yerhâltnisse der Sinus der beiden Seiten zu den Sinus

der beiden Abschnitte der Grundlinie einander gleich. Und dieUrnkehrung ebenfalls, und bei Yertauschung ebenfalls.

v 1) Naoli D ,,einer der Winkel".

208 Ma x K r a n s e

Es gebe1) eine dreiseitige Eigur, auf der ABGr (liegen) und 73es halbiere der Bogen BD den Winkel bei Punkt B.

So behaupte ich, dafi das Verhaltnis des Sinus des Bogens AB 3zu dem Sinus des Bogens AD gleich ist dem Verhaltnis des Sinusdes Bogens B& zu dem Sinus des Bogens DGr.

Weil die beiden Eguren ABD, GKBD dreiseitig sind, die beidenWinkel ABD, GrBD von ihnen einander gleich sind und die beiden 6Winkel bei Pnnkt D von ihnen zusammen zwei rechten Winkelngleich. sind, so ist 'das Verhaltnis des Sinus des Bogens BA zudem Sinus des Bogens AD gleich dem Verhaltnis des Sinus desBogens BGr zu dem Sinus des Bogens GrD [III2],

Und wenn wir vertauschen, sind sie gleichfalls proportional. 9Es sei auch hier das Verhaltnis des Sinus des Bogens AB zu

dem Sinus des Bogens BGr gleich dem Verhaltnis des Sinus desBogens AD za dem Sinus des Bogens DGr.

So behaupte ich, daB Bogen BD den Winkel B halbiert. 12Da die beiden Winkel bei Punkt D ebenfalls gleich zwei

rechten Winkeln sind und das Verhaltnis des Sinus des BogensAB zu dem Sinus des Bogens AD gleich ist dem Verhaltnis des'Sinus des Bogens BGr zu dem Sinus des Bogens GrD und Winkel 15[L 39 a] ABD und Winkel GrBD zusammen nicht gleich zweirechten Winkeln sind, so ist Winkel ABD gleich dem WinkelDBG [in 2 Umk.].

Menelaos baut das auf dem in Satz 2 vorangestellten auf.Bei dem Ersatztheorem aber gebraucht man das nicht; denn es 18ist wie eine Wiederholung (?).

Satz 7.Und wiederum ! Wir setzen2), daB der Winkel, der dem Winkel

ABGr <naheliegt>, durch den Bogen BD halbiert sei.So behaupte ich, daB das Verhaltnis des Sinus des Bogens AB 21

zu dem Sinus des Bogens BGr gleich ist dem Verhaltnis des Sinusdes Bogens AD zu dem Sinus des Bogens DGr. Und dessen Urn-kehrung <ebenfalls>8).

Da die beiden Mguren ABD, GrBD dreiseitig sind, der Winkelbei D derselbe (und) ihnen gemeinsain ist, und die beiden Winkel 24ABD, GrBD zusammen zwei rechten Winkeln gleich sind, so istdeshalb das Verhaltnis des Sinus des Bogens AB zu dem Sinus 74des Bogens AD gleich dem Verhaltnis des Sinus des Bogens BGr

1) Siehe Figar VI3.2) In Figur YI43) Nach D.

Deutsohs Obersetzung der Splmrik. gQg

zu dem Sinus des Bogens GrD. Und die Vertauschung ebenfalls3 und die Umkehrung ist klar. ITiir dièses braucht man wie fur das

im Beweis Vorangegangene keine besondere Egor, wenn man sciondas Ersatztheorem kennt,

Satz 8.

Wenn es eine dreiseitige ïigur gibt und von ihrena Scheitel-6 punkt zwei Bogen nach ihrer Gfrundlinie gezogen werden,. so daB

sie zwischen sich and den beiden Seiten der Kgur zwei einandergleiche Winkel erzeugen, so ist das Verhaltnis, das zusammen-gesetzt ist ans den Sinus der Teile der Gfrondlinie gleich demVerhaltnis der Sinus der beiden Seiten, des einen zum andern, imQuadrat und dessen Umkehrung ebenfalls.

9 Es gebe1) eine dreiseitige Figur, auf der A, B, Gr (liegen),man ziehe von dem Punkte B nach der Grrundlinie AGf zwei BogenBD, BE und es seien die beiden Winkel ABD, GfBE einander gleich.

So behaupte ich, daB das Verhaltnis des Quadrates, das aus12 dem Sinus des Bogens AB besteht, zu dem Quadrat, das aus dem

Sinus des Bogens BGr besteht, gleich ist dem Verhaltnis desRechtecks2), das sin EA und sin AD einsohliefien2), zu demRechteck3), das sin DGr und sin GKE einschlieBens).

Da wir von Punkt Gr nach den beiden Bogen BE, BD dieIfi beiden Bogen GfZ, GrH so ziehen, daB Winkel GrZB dem Winkel

<ABE und Winkel GKBD dem Winkelx-1) ABD gleich ist, so istdas Verhaltnis des Sinus des Bogens AB zu dem Sinus des BogensGrZ gleich dem Verhaltnis des Sinus des Bogens AE zu dem Sinusdes Bogens EGf [III 2] und ist das Verhaltnis des Sinus des BogensAB zu dem Sinus des Bogens GrH gleich dem Verhaltnis des Sinus

18 des Bogens AD zu dem Sinus des Bogens DGr [L 39 b]. Also istdas Verhaltnis des Quadrates, das gebildet wird aus dem Sinusdes Bogens AB, zu dem, das entsteht aus der Multiplikation von<Gfïï mit GrZ, gleioh dem Verhaltnis dessen, das entsteht aus derMultiplikation des Sinus des Bogens AE mit dem Sinus des BogensAD, zu dem, das entsteht aus der Multiplikation des Siuus> desBogens DGr mit dem Sinus des Bogens EGf.

2l Aber da der Winkel BHGr gleich ist dem Winkel GfBZ undder Winkel BZGr dem Winkel GfBH, ist das, Avelches entsteht ausder Multiplikation des Sinus des Bogens GrH mit dem Sinus des

1) In Figur VI 5.

2—2) Bei D ,,superfioiei faote ex nadir ea iu nadir ad".3—3) Bei D ,,superficieffl factam ex nadir dg in nadir ge".

^ 4) Nach D ergânzt.

Abhandlungen d. Oes, à. Wiss. zu Qôttingen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folee Nr 17(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

14

210 M a x K r a u s e Deutsche Obersetzuug der Splmrik. 211

Bogens GZ gleich dem Quadrat, das gebildet wird ans sin BG.Und <deshalb ist> das Verhaltnis des Quadrates, das ans sin ABentsteht, zn dem Quadrat, das ans sin BG entsteht, gleich dem Ver- 24hâltnis des Rechtecks, das besteht ans dem Sinus des Bogens AEmal dem. Sinns des Bogens AD, zu dem Kechteck, das besteht ansdem Sinus des Bogens GE mal dem Sinus des Bogens DG-, Unddas wollten wir beweisen!

Wisse, daB dieser Beweis richtig ist, wenn BG- nicht ein 75Viertel(kreis) ist. Ist es ein ViertelÇkreis), so ist es nicht moglich,von Punkt G naoh Bogen BD einen Bogen zu ziehen, der mit ihmeinen Winkel einschlieBt, der kleiner aïs Winkel G-BD ist. Mené- 3laos hat nicht vorausgesetzt, daB BG- kleiner aïs ein Viertel(kreis)sei. Ebenfalls gibt es, wenn BG ein Viertel(kreis) ist, keine zweiSinus, sodafi sin BG- mittlere Proportionale zwischen ihnen beidenist, es sei denn, daB jeder einzelne von ihnen beiden der ganzeSinus (d.'h. sin 90°) sei.

Der allgemeine Beweis — gleichgiiltig, ob BG- ein Viertel- G(kreis) oder kleiner oder grb'Ber ist —• ist der, den wir anfiihren.

Da der Winkel G-BE gleich ist dem Winkel ABD, so ist derWinkel G-BD gleich dem Winkel ABE und das Verhaltnis sin AEau sin GD ist, wenn wir die beiden Sinus AB, BG- zwischen ihnenbeiden in die Proportion einschalten, znsammengesetzt ans dem 9Verhaltnis des Sinus <des Winkels> ABE zu dem Sinus desWinkels E und ans dem Verhaltnis von sin AB zu sin BG rmàans dem Verhaltnis des Sinus des Winkels D zu dem Sinus desWinkels GBD. Aber das Verhaltnis, das zusammengesetzt ist ansdem Verhaltnis des Sinus des Winkels D zu dem Sinns des WinkelsGBD und ans dem Verhaltnis des Sinus des Winkels ABE zu dem 12Sinus des Winkels E, ist das Verhaltnis, das der Sinus des WinkelsD zu déni Sinus des Winkels E hat, da die beiden Winkel GBD,ABE einander gleich sind. Daher ist das Verhaltnis sin AE zusin GD gleich dem Verhaltnis des Sinus des Winkels D zu dem.Sinns des Winkels E verbnnden mit dem Verhaltnis sin AB zusin BG.

Und ebenfalls ist das Verhaltnis sin AD zu sin GE, wenn wir 15die beiden Sinus AB, BG zwischen ihnen beiden in die Proportioneinsohalten, znsammengesetzt aus déni Verhaltnis des Sinus desWinkels ABD zu dem Sinus des Winkels D und aus dem Ver-haltnis sin AB zu sin BG und aus dem Verhaltnis des Sinus desWinkels E zu dem Sinus des Winkels GBE. <Winkel GBE aber> 13ist gleich dem Winkel ABD. Daher ist das Verhaltnis, das zu-sammengesetzt ist ans dem Verhaltnis des Sinus des Winkels E

zu dem Sinus des Winkels .GBE [L40a] und aus dem Verhaltnisdes Sinus des Winkels ABD za dem Sinus des Winkels D, gleichdem Verhaltnis des Sinus des Winkels E zu dem Sinus des Win-

2l kels D. Daher ist das Verhaltnis sin AD zu sin GE gleich demVerhaltnis, das zusammengesetzt ist aus dem Verhaltnis des Sinusdes Winkels E zu dem Sinus des Winkels D und ans dem Ver-

• hâltnis sin AB zu sin BG.Und von diesen vier Verhâltnissen, aus der en einem Paar das

Verhaltnis sin AE zu. sin GD zusammengesetzt ist und aus derenanderem Paar das Verhaltnis sin. AD zu sin GE zusammengesetzt

24 ist, ist das Verhaltnis des Sinus des Winkels E zu dem Sinus desWinkels <D reziprok dem Verhaltnis des Winkels D zu dem Sinusdes Winkels E.> So bleibt iibrig das Verhaltnis, das zusammen-gesetzt ist aus déni Verhaltnis sin AE zu sin GD und aus dem

76 Verhaltnis sin AD zu sin GE, gleich dem Verhaltnis sin AB zusin BG verdoppelt dnrch die Wiederholung, Und das wollten wirbeweisen !

Satz 9..3 Und wieclerum! Wir setzen das Verhaltnis des Qnadrates,

das aus déni Sinus des Bogens AB entsteht, zu dem Quadrat, dasaus dem Sinus des Bogens BG entsteht, gleich dem Rechteok1),welches einschlieBen die Sinus der beiden Bogen AE, AD1), zu

6 dem Rechteck2), welches einschliefien die Sinns der beiden BogenGD, GE2).

So behaupte'ich, daB der Winkel ABD gleich ist dem WinkelGBE.

Dawir8) die beiden Bogen AB, GB bis zu den beiden Punkten9 Z, H verlângern, den Bogen BZ dem Bogen AB gleich setzen und

den Bogen BH dem Bogen GB und den Bogen DB bis T ver-lângern, so ist der Bogen'ZT dem Bogen AD gleich. Wir ziehen

• von Punkt B aus einen Bogen, der mit BH einen Winkel einschliefit,der gleich ist dem Winkel ZBT, namlich Bogen BK. Dann istdas Verhaltnis des Quadrates ans dem Sinus BZ, der gleich déni

12 Sinus von AB ist, zu dem Quadrat aus sin BH, der gleich sin GBist, gleich dem Verhaltnis4) des Rechtecks, welches einschlieBendie Sinus der beiden Bogen KZ, ZT zu dem Rechteck, welcheseinschlieBen die Sinus der beiden Bogen TH, EH'1). Jeder einzelne

1—1) ..Superficiel facte ex nadir arcus ae in nadir arcus ad" D.2-—2) In D i.superflciem factam ex nadir arcus gel in nadir arcus ge".3) In Eïgnr VIS.4-—4) îfack. D ,,propoitio eius quod fit ex nadir arcus les in nadir arcus te

ad illud quod fit ex nadir arcus tJi in nadir arcus l:li".

14*

212 Max K r a u s e

der beiden Bogen ZT, TH aber ist gleich seinem Gegenstuck vonclen beiden Bogen AD, DG. Es ergibt sich hieraus,. daB der Bogen 15KH ebenfalls dem Bogen GE gleich ist und dafi der Bogen BHdem Bogen BG gleich ist. Daher ist der Winkel KBH déni WinkelGBE gleich, und das1), weil die beiden Seiten BH, KH, die denbeiden Seiten GE, GB gleich sind, einen Winkel einschlieBen, derdem Winkel <E>BG gleioh ist, Daher sind die Grundlinie und 18die iibrigen Winkel einander gleich1). Winkel KBH war gleichdem Winkel TBZ, der dem Winkel ABD gleich ist. Daher istWinkel ABD gleich dem Winkel GBE. Und das wollten wir be- .weisen !

[L40b] TJnd wiederum! Die Unikehrung des Yorangehenden 2lwird gezeigfc, wie dieser Satz gezeigt ist. Es besteht darin, daBdas Yerhaltnis sin AE zu sin GD so ist, wie wir gesagt haben,und das Yerhaltnis sin AD zu siu GE wie das ist, was wir ge-zeigt haben. Wenn das Yerhaltiiis des Quadrates von sin AB zudem Quadrat von sin BG gleich dem Yerhaltnis des Rechtecks, 24welches die Sinus AE, AD einschlieBen, zu déni Rechteck, welchesdie beiden Sinus GD, GE einschlieBen, ist, so wird durch das Yor-angestellte gezeigt, daB das Yerhaltnis des Sinus des Winkels <E>zu dem Sinus des Winkels GBE, wenn es verbunden wird mitdem Yerhaltnis des Sinus des Winkels ABD zu dem Sinus desWinkels D, gleich dem Yerhaltnis des Sinus des Winkels E zu 27dem Sinus des Winkels D ist. Daher ist es klar, daB der Sinusdes Winkels GBE gleich ist dem Sinus des Winkels ABD. Dièse 77beiden Winkel zusammen sind nioht gleich zwei Rechten, also sindsie dann einander gleich.

Satz 10. 3Wenn es eine dreiseitige, rechtwinklige ligur gibt und von

ihrem reehten Winkel zu ihrer Grnndliaie zwei Bogen gezogenwerden, daB sie mit einer ihrer beiden Seiten zwei einander gleicheWinkel einschliefien, so ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens,der zusammengesetzfc ist aus der Grundlinie und aus dem2) zu-gefiigten Bogen zu dem Sinus jenes8) zugefiigten Bogens gleich 6dem Yerhaltnis des Sinus des Abschnittes von den beiden Ab-schnitten der Grundlinie, der nicht bei dem genannten Bogen liegt,zu dem Sinus des anderen Abschnittes von ihren beiden Absohnitten.TJnd dessen Umkehrung ebenfalls!

1—1) Dieser Absclmitt felilt in D, starnmt also mSglichenveise von N.2) + «ad oam" D.3) + ,,ad ipsam" E.

Deutsche Ùbersetzung der SpMrifc. 213

Es gebe *) eine dreiseitige Egur, auf der A, B, G (liegen), ihr9 Winkel bei Punkt B sei ein Rechter, nian ziehe von B nach der

Grnndlinie zwei Bogen, auf denen BD, BE (liegen) und sie niôgenmit dem Bogen AB zwei gleich gi-ofie Winkel einschliefien.

So behaupte ich, daB das Yerhaltnis des Sinus des Bogens GEzu dem Sinus des Bogens AE gleich ist dem Verhaltnis des Sinus

12 des Bogens GD zu déni Sinus des Bogens AD.Da Winkel ABG ein Rechter ist und Winkel ABD dem Winkel

ABE gleich ist, so halbiert der Bogen BG den Winkel, der beiWinkel EBD liegt. Daher ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens

15 BE zu dem Sinus des Bogens BD gleich dem Yerhaltnis des Sinusdes Bogens EG zu dem Sinus des Bogens GD und gleich dem Yer-haltnis des Sinus des Bogens EA zu dein Sinus des Bogens AD[HT 7]. Deshalb ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens EG zudem Sinus des Bogens GD gleich dem Yerhaltnis des Sinus desBogens EA zu dem Sinus des Bogens AD. TJnd wenn wir ver-tauschen, sind sie ebenfalls proportional. Daher ist das Yerhaltnis

18 des Sinus des Bogens GE zu dem Sinus des Bogens EA gleichdéni Yerhaltnis des Sinus des Bogens GD zu dem Sinus des BogensAD, TJnd das wollten wir beweisenl

Und wiederum! Wir setzen das Yerhaltnis des Sinus desBogens GE zu dem Sinus' des Bogens EA gleich déni Yerhaltnis

2l des Sinus des Bogens GD [L41a] zu dem Sinus des Bogens DA.und den Winkel EBA dem Winkel ABD gleich.

So behaupte ich, dafi Winke] ABG ein Rechter ist.Da bei Yertauschung das Yerhaltnis des Sinus des Bogens EG

24 zu dem Sinus des Bogens GD gleich dem Yerhaltnis des Sinus desBogens EA ZQ dem Sinus des Bogens AD ist, <das Yerhaltnis desSinus des Bogens AE zu dem Sinus des Bogens AD aber> gleichist dem Yerhaltnis des Sinus des Bogens EB zu dem Sinus des

78 Bogens BD, so halbiert der Bogen BG den Winkel, der bei demWinkel EBD liegt. Daher muB Winkel ABG ein Rechter sein.Und das wollten wir beweisen!

3 Und2) wiederum! Da der Winkel ABE gleich ist déni WinkelABD und Winkel ABG ein Rechter ist, so ist der Sinus desWinkels GBE gleich dem Sinus des Winkels GBD und das Yer-hâlnis sin GE zu sin EA gleich dem Yerhaltnis des Sinus desWinkels GBE zu dem Sinus des Winkels ABE verbunden mit déni

6 Yerhaltnis des Sinus des Winkels A zu dem Sinus des Winkels G,

1) Ygl. Figur VI7,2—*) Felilt in D, also woH Znsatz von K.

214 Max E L r a u s e

Und ebenfalls ist das Verhaltnis sin GD zn sin DA gleioh' demVerhâltnis des Sinus des Winkels GBD zu dem Sinus des WinkelsDBA verbunden mit déni Yerhâltnis des Sinus des Winkels A zudem Sinus des "Winkels G. Daher ist das Yerhaltnis sin GE zusin AE gleich dem Verhaltnis sin GD zu sin DA*).

Satz 11. 9Und wiederum ! Wir setzen nun das Verhaltnis des Sinus des

Bogens GE zn dem Sinus des Bogens EA gleict dem Yerhaltnisdes Sinus des Bogens GD zu dem Sinus des Bogens AD und denWinkel ABG aïs Reohten.

So behaupte icb, daB Winkel EBA gleioh dem Winkel ABD ist.Da wir1) die beiden Bogen AB, BG verlângern, Bogen BZ 12

dem Bogen AB gleioli setzen und Bogen BH dem Bogen B G gleioh,und die2) beiden Bogen EBT, HZT2) ziehen, so sind die beiden BogenHZ, ZT gleich den beiden Bogen GA, AE, jeder Bogen seinemGegenstiick. "Wir setzen den Winkel KBZ gleich dem WinkelTBZ. Der Winkel HBZ ist ein Rechter. Daher ist das Verhâlt- 15nis des Sinus des Bogens TH za dem Sinus des Bogens TZ gleichdem Yerhaltnis des Sinus des Bogens HK zu dem Sinus des BogensKZ [IU 10], Das Yerhaltnis des Sinus des Bogens TH zu demSinus des Bogens TZ aber ist gleich dem Yerhaltnis des Sinusdes Bogens GE zu déni Sinus des Bogens EA. Und das deshalb,weil jeder einzelne dieser beiden Bogen gleioh einem der beiden 18vorher genannten Bogen ist. Und dièses Yerhaltnis ist gleich demYerhaltnis sin GD zu sin DA. Daher ist das Yerhaltnis sin KHzu sin KZ gleich dem Yerhaltnis des Sinus des Bogens GD zudem Sinus des Bogens DA. Der Bogen ZH aber ist gleich déniBogen GA. Daher ist Bogen ZK gleich déni Bogen AD. Eben-falls ist aber Bogen ZB gleich déni Bogen BA. Und dièse Bogen 2lschlieBen gleich grofie Winkel ein. Daher ist Winkel KBZ <gleichWinkel ABD, Winkel KBZ aber ist gleich Winkel ZBTS). Daherist Winkel ABD gleich> dem Winkel ABE. Und das wollten wirzeigen.

[L41b], tïber die Umkehrung dessen, was wir vom Beweis 24anfûhrten: Da das Yerhaltnis sin GE zu sin AE gleich ist demYerhaltnis sin GD za sin DA, Winkel ABG ein Rechter ist, soist das Yerhaltnis sin GE zn sin AE gleich dem Yerhaltnis des 79Sinus des Winkels A zu déni Sinus des Winkels G verbunden mit

1) In liïgur VI8.2—2) Nach D ,,arcnm lis".3) In J + nder gleich Winkel ABE ist",

Deutsche Ubersetzung der Spliilrîk. 216

dem Yerhaltnis des Sinus des Winkels GBE zu dem Sinus desWinkels ABE und das Yerhaltnis sin GD zu sin AD gleich dem

3 Yerhaltnis des Sinus des Winkels A ebenfalls zu dem Sinus desWinkels G verbunden mit dem Yerhaltnis des Sinus des WinkelsGBD zu dem Sinus des Winkels DBA. Und Winkel ABG ist einRechter. Daher ist Winkel ABE, welches der ÙberschuB desWinkels GBE liber den Rechten ist, gleich dem Winkel DBA, derdie Differenz des Winkels GBD gegeniiber dem Rechten ist.

8 Satz 12. 'Wenn irgend zvvei beliebige Winkel von den Winkeln einer

dreiseitigen Egur halbiert werden und von déni Treffpunkt derbeiden sie halbierenden Bogen ein Bogen nach dem dritten iibrigenWinkel gezogen wird, so halbiert er ihn.

9 Es gebe1) eine dreiseitige Eigur, auf der A, B, G (liegen), diebeiden Winkel bei den beiden Punkten A, G mb'gen durch diebeiden Bogen AD, GD halbiert werden nnd man verbinde diebeiden Punkte D, B durch den Bogen DB.

12 So behaupte ich, dafî DB den Winkel ABG halbiert.Wir verlângern nâmlich den Bogen BD nach E. Da die

beiden Winkel bei den beiden Punkten A, G von den beiden BogenAD, DG halbiert werden, so ist das Yerhaltnis des Sinus des

15 Bogens BD zu dem Sinus des Bogens DE gleich dem Yerhaltnisdes Sinus des Bogens BG zu dem Sinus des Bogens GE und gleichdem Yerhaltnis des Sinus des Bogens BA zu dem Sinus des BogensAE •—• nach dem, was in Satz 6 gezeigt worden ist, Bei Ver-tauschung ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens BG zu déniSinus des Bogens BA gleich déni Yerhaltnis des Sinus des Bogens

18 GE zu déni Sinus des Bogens EA. Also halbiert der Bogen BDden "Winkel ABG — wie es aus der Umkehrung von Satz 6 klarwird. — Und das wollten wir beweisen !

Dessen Unikelirung2}, Da das Yerhaltnis sin GD zn sin BD2l gleich ist dem Yerhaltnis des Sinus des Winkels DBG zu déni

Sinus des Winkels BDG und das Yerhaltnis sin BD zu sin ADgleich ist dem Yerhaltnis des Sinus des Winkels BAD zu demSinus des Winkels ABD, so ist das Yerhaltnis sin GD zu sin ADzusammengesetzt aus dem Yerhaltnis des Sinus des Winkels GBD,des dritten, zu dem Sinus des Winkels DBA, dem sechsten, und

24 aus dem Yerhaltnis des Sinus des Winkels DAB, des ftinften, zu

1) lu Kgur YI9.2) Bei ï lautet es richtig ,,Und auf eiue aiidere "Weisel"

216 Max Kraus s Deutsche Ùbersetzung der Sphilrik, 217

dem Sinus dss Winkels BGD, dem vîerten.. Aber das Verhâltnissin GD zu sin AD ist gleich dem Verhaltnis .des Sinus des WinkelsBAD zu dem Sinus des Winkels BGD [L 42 a]. Und das deshalb,weil die beiden Bogen GD, AD die beiden Winkel G, A halbieren.Daher ist der Sinus des Winkels GBD gleich dem Sinus desWinkels DBA, Dièse beiden Winkel sind nicht gleich zwei rechten 27Winkeln, Daher sind sie einander gleich. Und das mufiten wirbeweisen !

Satz 13, 80AVenn von irgend zwei beliebigen Winkeln. der Winkel einer

dreiseitigen JTigur zwei Senkrechte nach den beiden ihnen gegen-iiberliegenden Seiten gezogen werden, so ist der Bogen, der von sdem verbleibenden Winkel nach dem Treffpunkt der beiden'erstenBogen gezogen wird, eine Senkrechte auf der verbleibenden Seite.

Es gebe1) eine dreiseitige Egar, auf der A, B, G (liegen),Man ziehe von den beiden Punkten A, G naeh den beiden SeitenBG, <BA> die beiden Senkrechten AD, GE, die einander in2) 6Punkt Z sclmeiden mogen, und wir ziehen den Bogen ZB und ver-langern ihn bis zu Bogen AG, den er in Punkt H treffen moge.

So behaupte ich, daB der Bogen BH eine Senkrechte auf derSeite AG ist.

Wir ziehen nâmlich dieB) Bogen EH, DE, ED und verlangern 9den Bogen ED, bis er den Bogen AG trifft, und er mbge ihn inPunkt T treffen8). Wenn die Eigur so ist, me sie ist, dann istdas Yerhaltnis des Sinus des Bogens AT zu dem Siaus des BogensTG gleich dem Verhaltnis des Sinus des Bogens AH zu dem Sinusdes Bogens HG. Und das daher, weil jedes einzelne von ihnen 12gleich ist dem Verhaltnis, das znsammengesetzt ist ans dem Ver-haltnis des Sinus des Bogens AD zu dem Sinus des Bogens ZDund aus dem Verhaltnis des Sinus des Bogens ZE zu dem Sinusdes Bogens EG. <Denn das Verhaltnis des Sinus des Bogens AHzu déni Sinus des Bogens HG ist gleich dem Verhaltnis, das zu-sammengesetzt ist aus dem Verhaltnis des Sinus des Bogens AZzu dein Sinus des Bogens ZD und ans dem Verhaltnis des Sinusdes Bogens EZ zu dem Sinus des Bogens EG>4) und aus dem 15Verhaltnis des Sinus des Bogens AD zu dem Sinus des Bogens AZ.

1) lu Figur YI10.2) WBrtlich ,,auf", in D ,,bei".g 3) Nacli D ,,arcum ecl douée occurrat aroui ag et concurrat ai super

punctuffl t. Et protraham duos arcus éh, hd".4) Nach D srganzt, nur in G folgt nock ,,et illud est quia proportlo nadir

arcus ah ad nadir arcus lig est sicut proportio composita ex proportions nadir

Jeder einzelne der beiden Winkel AEG, AT)G ist ein Rechter.Daher ist Winkel DEG dem Winkel GEH gleich und ebenfalls istaus demselben Gronde der Winkel ADH gleich .dem Winkel ADE.

13 Da ligur DEH dreiseitig ist, ihre beiden Winkel bei den beidenPunkten D, E halbiert werden durci, die beiden Bogen EZ, ZDund von Punkt Z nach Punkt H der Bogen ZH gezogen ist, sowird der Winkel DHE ebenfalls durci, den Bogen HK halbiert —•wie es in dem vorhergehenden Satze gezeigt worden ist —. Und

2l wenn die Egnr so ist, wie sie ist, so ist das Verhaltnis des Sinusdes Bogens ET zu dem Sints des Bogens TD gleich dem Verhalt-nis des Sinus des Bogens EK zu dem Sinus des Bogens ED. Unddas deshalb, weil jedes einzelne von ihnen beiden zusararnengesetztist aus dem Verhaltnis des Sinus des Bogens EG zu dem Sinusdes Bogens GZ und aus dem Verhaltnis des Sinns des Bogens ZAzu dem Sinus des Bogens AD. Daher ist der Winkel BHG einEechter. Und das wollten wir beweisen!

SI Wenn er sagt, dafi das Verhaltnis sin AT [L 42 b] zu sin TGgleich ist dem Verhaltnis sin AH zu sin HG, so (ist das der Eall),weil das Verhaltnis sin AH zu sin HG gleich ist dem Verhaltnis,

5 das zusamniengesetzt ist aus dem Verhaltnis <sin> AZ zu sin ZDund aus dem Verhaltnis sin BD zu sin BG. Das Yerhaltnis sinBD zu sin BG ist aber zusammengesetzt aus dem Verhaltnis sin

6 EZ zu sin EG und aus dem Verhaltnis sin DA zu sin AZ1). Dannist das Verhaltnis sin AH zu sin HG zusammengesetzt ans déniVerhaltnis sin AD zu sin DZ und aus dem Verhaltnis sin EZ zusin EG. Und ebenso ist das Verhaltnis sin AT ZQ sin TG zu-sammengesetzt aus diesen beiden Verhaltnissen. Da dièses so ist

9 und Winkel ADG ein Réciter ist, so ist Winkel TDG gleich déniWinkel GDH, wie solches in Satz 11 gezeigt worden ist. Da diebeiden Winkel GDT, GDE zwei rechten Winkeln gleich sind undWinkel ADG ein Eechter ist, so ist die Summe der beiden WinkelGDT, ADE ein Rechter. Winkel TDG war gleioh Winkel GDH.

12 Daher ist Winkel ADH dem Winkel ADE gleich. Und wiederuni!Wir verlangern GA liber A binaus und TE liber E hinaus, bis siebeide in S zusammentreffen. Es ist gezeigt, daB das Yerhaltnis

arcus as ad nadir arcus gd et ex proportione nadir arcus bel ad nadir arcus liy.Et proportio nadir arcus M ad nadir arcus bg est composita ex proportions nadirarcus es ad nadir arcus og et ex proportione nadir arcus ad ad nadir arcus an.Et proportio composita ex nadir arcus an ad nadir arcus zd et ex ad ad as estsicut proportio nadir arcus ad ad nadir arcus cfe",

v 1) In der Handschrift folgt hier noch ,,<und das Yorhâltuis, das V> sin AZzu sin ZD liât, ist gleicli dem Yerhaltnis von sin AD zu sin DZ (1. AZ?)':.

218 IMax Krai ise Deutsehe Ûbersetzung der SpMrik. 219

sin TG zn sin TA gleich ist dem Verhaltnis sin GH zu sin HA.Aber sin TGr ist sin SG und sin TA ist sin AS, da TAS ein Halb-kreis ist. Daher ist das Yerhaltnis sin GrS zu sin AS gleich. dem 15Verhaltnis sin GH za sin AH, und Winkel GfEA ist ein Rechter.Daher halbiert der Bogen G-E ebenfalls den Winkel DEH. "Undda GE den "Winkel DEH halbiert und Winkel EDH <durch denBogen AD> halbiert wird nnd von ihrem Schnittpunkt nach demWinkel DHE der Bogen ZH ausgeht, so halbiert BH den Winkel 18EHD •— wie es in dem vorhergehenden Satz gezeigt worden ist.

Und wenn er sagt, daB das Yerhâltnis sin ET zu sin TD gleichist dem Verhaltnis sin EK zn sin KD, ja jedes einzelne von ihnenbeiden zusammengesetzt ist ans dem Verhaltnis sin EG zu sin GZund ans dem Verhaltnis sin ZA zu sin AD, so bezeichnen wir auf 2ldem Schnittpunkt von EG, DH ein Kennzeichen1). Dann ist dasVerhaltnis sin ET ebenfalls zu sin TD zusammengesetzt ans déniVerhaltnis sin EG zu sin LG und ans dem Verhaltnis sin HL zusin HO. Das Verhaltnis sin EK zu sin KD ist zusammengesetztaus déni Verhaltnis sin EZ zu sin ZL und aus dem Verhaltnis sin 24LH zu sin HD. Da Winkel EDH durch Bogen AD halbiert istund Winfcel ADG ein Rechter ist, so ist das Verhaltnis sin GEzu sin GL gleich dem Verhaltnis sin EZ zn sin ZL. Das Ver-haltnis sin HL zu sin HD ist gemeinsain. Daher ist das Verhalt-nis sin EK zu [L 43 a] sin KD gleich dem Verhaltnis sin ET zu 82sin TD. Da dièses so ist nnd da Winkel DHE duroli Bogen BHhalbiert ist, so ist — nach dem vorher Bewiesenen •— Winkel DflGein Rechter. Da Winkel TDG gleich. Winkel GDH ist, so ist das 3Verhaltnis sin TD zu sin DH gleich. déni Verhaltnis sin TG zusin GH. Winkel DEH wird durch. den Bogen EG halbiert. Daherist das Verhaltnis sin TE zu sin EH ebenfalls gleich dem Ver-haltnis sin TG zu sin GH. Also ist das Verhaltnis sin ET zu sin 6EH gleich. dem Verhaltnis sin TD zu sin DH. Bei Vertauschungist das Verhaltnis sin ET zu sin TD gleich dem Verhaltnis sinEH zu sin DH. Winkel DHE -wird durch den Bogen KH halbiert.Dadurch ist auch2) gezeigt, daB das Verhaltnis sin EK zu sin KDgleich ist dem Verhaltnis sin ET zu sin TD. Daher ist — nach 9déni, was in Satz 11 bewiesen ist — Winkel H ein Rechter.

1) = Punkt. Dièse Bezeichuung, entstanden SMS eiuer wOrtlichen Ober-setsiuiig von mi(tsïov, ist bei Haggiig b. Jflsuf und Qustâ b, Ltlqâ ziemlich ge-wfllmlich, fehlt aber beî bH. Aus dem ITolgenden ergibt sich, daB dieser PunktL ist; sollte iin Text nach 'alâma "wahija J" zu erganzeu sein?

2) Im Text (82, 8) ist mit L Us3.il vor L£J! einzufQgen.

Satz 14.

Wenn es eine dreiseitige Eignr gibt, der langste von ihrenbeiden Schenkeln nicht langer aïs ein Viertelkreis ist, von demgrb'Bten Schenkel zwei Bogen abgetrennt werden und von der en

12 Endpunkten nach der Grundlinie Bogen gezogen werden, die mitihr Winkel einschliefien, die gleich sind dem Winkel, den mit1)ihr1) die andere Seite einschlieBt, clann sind, wenn die beiden ab-getrennten Bogen einander gleich sind, die beiden Unterschiedezwischen den von ihren Endpunkten aus gezogenen Bogen ungleichund der kleinste Unterschied von ihnen beiden ist dann der "Ontar-

io sehied zwischen den beiden Bogen, die an déni kleinsten Schenkelliegen, und wenn die beiden Unterschiede zwischen den gezogenen2)Bogen einander gleich sind, so sind die beiden abgetrennten Bogennicht einander- gleich und der grb'Bte von ihnen ist der, der déniScheitel jener Figur naneliegt. Wenn einer der beiden abgetrenntenBogen und der Unterschied zwischen den beiden von seinen End-

18 punkten ans gezogenen Bogen znsammen gleich sind dem andernvon den beiden abgetrennten Bogen mit dem Unterschied zwischenden beiden von seinen beiden Endpunkten aus gezogenen Bogenzusamnien, so sind die beiden abgetrennten Bogen einander un-

2l gleich und der grofite von ihnen ist der, der dem Scheitel jenerFigur naheliegt. Und wenn der Unterschied zwischen jeclem ein-zelnen von den beiden abgetrennten Bogen nnd dem Unterschiedzwischen den beiden von seinen beiden Endpunkten ans gezogenenBogen gleich ist dem Unterschied zwischen dem andern Bogen vonihnen beiden und zwischen dem Untersohied zwischen den beiden

24 von seinen beiden Endpunkten aus gezogenen Bogen, so ist dervon den beiden abgetrennten Bogen, der dem Scheitel jener Figur

83 naheliegt, kleiner aïs der andere. ZusaminengefaBt ist das Ver-haltnis des déni Scheitel jener Figur naherliegenden von den beiden[L 43 b] abgetrennten Bogen zu <dem andern Bogen von ihnenbeiden groBer aïs das Verhaltnis des Unterschiedes zwischen> den

3 beiden von seinen beiden Endpnnkten aus gezogenen Bogen zudem Unterschied zwischen den beiden Bogen3), die von den beidenEndpunkten des dem Scheitel jener Fignr fernerliegenden Bogensgezogen sind8).

Es gebe*1) eine dreiseitige Figur, auf der A, B, G (liegen),6 Seite BG von ihr sei langer aïs die Seite AG, aber Seite BG sei

1) ,,basis cum" D.2) Fehlt in D.

v 3—3) ,,arcus alios protractos" D.4) In Figur YI 11.

220 Max K r a u s e

nicht langer aïs ein Viertelkreis, von Bogen BG mogen awei Bogen,nâmlich GD, TZ, abgetrennt werden tind von. deren Endpunktendie Bogen DE, ZH, TK gezogen werden nnd sie mogen mit derGrundlinie "Winkel hervorbringen, die gleich sind dem Winkel belPimkt A.

So behaupte ich: Wenn der. Bogen DG gleich déni Bogen ZT 9ist, so ist der TJntersohied zwischen den beiden Bogen GA, DEkleiner aïs der Unterschied zwischen den beiden Bogen ZH, TK. •Wenn die beiden Unterschiede zwischen den erwâhnten Bogen ein-ander gleich sincl, so ist der Bogen GD grôBer aïs der Bogen ZT.Wenn der Bogen GD mit dem Unterschied zwischen den beiden 12Bogen GA, DE gleich ist déni Bogen ZT mit déni Unterschiedzwischen den beiden Bogen ZH, TK, so ist der Bogen GD grôBeraïs der Bogen ZT. Wenn der Unterschied zwischen dem BogenGD nnd zwischen dem Unterschied zwischen den beiden BogenGA, DE gleieh ist dem Unterschied zwischen dem Bogen ZT nndzwischen dem Unterschied zwischen den beiden Bogen ZH, TK, soist der Bogen GD kleiner aïs der Bogen ZT. 15

Und zusammenfassend behanpte ich, daB das Verhâltnis GD'zu ZT grôBer ist aïs das Verhâltnis des Unterschiedes zwischenden beiden Bogen AG-, DE zn dem Unterschied zwischen denbeiden Bogen ZH, TK,

Da die beiden Figuren ABG, EBD dreiseitig sind, der Winkel 18bei Bmikt B ihnen gemeinsam ist nnd die beiden Winkel von ihiienbei den beiden Punkten A, E einander gleich sind, so ist das Ver-hâltnis des Sinus des Bogens BG zn dem Sinus des Bogens BDgleich déni Verhâltnis des Sinus des Bogens GA zu dem Sinns desBogens DE [III 2], Ebenso ist das Verhâltnis des Sinns des Bogens 21DB zu dem Sinus des Bogens BZ gleich dem Verhâltnis des Sinusdes Bogens DE zu. dem Sinus des Bogens ZH. Das Verhâltnis desSinus des Bogens ZB zu dem Sinus des Bogens BT ist gleich demVerhâltnis des Sinus des Bogens ZH zu déni Sinus des BogensTK [III 2] nnd der Bogen BG ist grôBer aïs der Bogen GA, (doch)ist der Bogen BG nicht grôfler aïs ein Viertelkreis. Da dièses so 84ist, so tritt nach dem, was wir gesagt haben, allés oben Ton unserwâhnte ein. Und das deshalb, weil wir dièse [uad allé] âhnlichenDinge in dem ersteii Teil <des Buches>1) der ,,bogenartigen Pi- 3guren"2) cl. h.8) von der Astronomie8), bewiesen haben. <Und daswollten wir zeigen.>

1) Kaeh T).2) Die Oberseteung das Titels dieser Schrift (jC dl) ist

Deutsche Ûberseteung der Sphârik. 221

Ans diesem Satz ergibt sich an astronomischen Dingen, daBbei den Ekliptikbogen in demselben Viertel das Verhâltnis dessen,der nâher an dem Punkt der Tagundnachtgleiche liegt, zu dem

G entferntesten kleiner ist aïs das Verhâltnis des Anteiles des [L 44 a]dem Punkt der Tagundnachtgleiche, d, h. dem Schnittpnnkt, amnâchsten liegenden Bogens an der Schiefe zu dem Anteil des vondem Schnittpunkt am weitesten entfernten Bogens an der Schiefe,

Wir werden nnr eine Seite davon anfiihren.Jetzt behaupten wir: Wenn Winkel A ein Kechter ist, sei

9 AG gleich BG Teil der Ekliptik und das Verhâltnis des Sinus desWinkels B von dieser zweiten Ifigur1) zu dein Sinus des rechtenWinkels, d. h. dem ganzeu Sinus, gleich dem Verhâltnis des Sinusdes Winkels B von der vorigen JTigur zu dem Sinns des WinkelsA von ihr. Wir setzen BG, wie es war, ziehen nach AB die

12 Senkrechte GA, nehmen. GD, DZ, ZT, wie sie waren, nnd ziehendie Senkrechten DE, ZH, TK.

Da wir das Verhâltnis des Sinus des Winkels B zu dem Sinusdes rechten Winkels gesetzt haben, wie es in der vorhergehendenEgur war, und BG, BD, BZ, BT, AK, AH, AB, AE, wie sie

15 waren, und das Verhâltnis sin BG zu sin GA gleich dem Verhâlt-nis sin BD zu sin DE und gleich dem Verhâltnis sin BZ zu sinZH und gleich dem Verhâltnis sin BT zu sin TK, so sind dièseSenkrechten gleich jenen gezogenen Bogen, jede der ihr eiit-sprechenden. Klar ist, daB sie, wenn wir sie sâmtlich verlângern,

13 in dem Pol von AB, nâmlich L, zusammentreffen. Wir verlângernsie sâmtlich bis dahin und ziehen nach LD von Pnnkt G ans dieSenkrechte GS nnd nach LH von Punkt T ans die Senkrechte TM.Da LS kleiner ist aïs LG, so ist SD grb'Ber aïs der Unterschiedzwischen LD und LG, der Unterschied zwischen LD und LG istder Unterschied zwischen AG und DE, Daher ist SD grb'Ber aïs

2l der ÛberschuB von AG iiber DE. Da LM kleiner ist aïs LT, .soist ZM kleiner aïs der Unterschied zwischen LT, LZ und das istder Unterschied zwischen ZH, TK, daher ist ZM kleiner aïs derUnterschied zwischen ZH, TK. Winkel GDS ist grôBer aïs WinkelTZM. Wenn GD gleich ZT ist, so setzen wir den Winkel GDNdéni Winkel TZM gleich nnd ziehen dahin die Senkrechte GW.

24 So fâllt sie aufierhalb des Dreiecks GDS, da Winkel S ein Rechter

sicher (mBglich ist auch nder regelrnaBigen Kgureu"), auoh liber den ïnhalt lassen3ioh nur Vermutungen aufstellen. Bj (S. 107) moclrte sie mit dem bei Theon ge-aannten Werk ,,ûber die Geraden ira Kreise" (in 6 Bûchera) gleichsetzen.

3-3) Feb.lt in D.' 1) d. i. Fignr YI 12 (die in der Hs. feblt).

222 M a x K r a u s e Deutsche Ûbersetzung der Sphârik, 228

ist, also Winkel SND spitz ist, Da GD gleich ZT ist, Winkel Wein Rechter und Winkel GDW gleich Winkel TZM ist, so ist DWgleich ZM. DN ist groBer aïs SD, DW groBer aïs DN, SD groBer 85aïs der Unterschied zwischen AG und DE und ZM kleiner aïs derTJntersohied zwischen ZH, TK. <Daher ist ZM kleiner aïs derÛberschuB des Unterschiedes zwischen ZH und TK> gegeniiberdem "Unterschied zwischen AG- und DE. Das ist es (?). 3

Der allgemeine Beweis fur allé abgetremiten Bogen, seien sieeinander gleich oder nicht, ist folgendermaBen [L44b].

Wir lassen1) die Bogen zuriickkehren, wie sie waren, und be-schreiben um den Pol L und mit dem Abstande LD den KreisMDS. Dann trennt er SZ ab aïs "OberschuB von. LZ liber LD und 6MG aïs ÛberschuB yon LD liber LGK Wir zeichnen durch diebeiden Punkte M, S einen Gi'ofikreis. Klar ist, da LS und LMeinander gleich sind und ihre Summe kleiner aïs ein Halbkreis ist,daB jeder Bogen, der von Punkt L nach der Grundlinie MS, dieTeil eines GroBkreises ist, gezogen wird, kleiner aïs jeder einzelne 9der beiden Bogen LS, LM ist, Also schneidet der Bogen MS, derTeil eines GrroBkreises ist, den Kreis LD zwischen clen beidenPunkten L, D und ebenso schneidet er DG zwischen den beidenPunkten D, G. So mbgen sie beide sich in E schneiden. Da diebeiden Seiten LS, LM einander gleich sind, so sind die beidenWinkel LSM, LMS einander gleich. Also sind die beiclen Sinusder beiden Winkel EMG-, ESZ einander gleich. Daher ist das 12Yerhâltnis sin EG zu sin MGr gleich dem Yerhâltnis sin EZ zusin ZS. Daher ist das Yerhâltnis sin. DGr zu sin GM groBer aïsdas Yerhâltnis sin ZD zu sin ZS. Wenn DG nicht kleiner ist aïsZD, so ist das Yerhâltnis DGr zu GrM groBer aïs das YerhâltnisDZ zu ZS.

Wenn DGr kleiner aïs DZ ist, so werde DH von DZ abgetrennt 15gleioh DGr, sodaB iibrigbleibt ZH nicht groBer aïs DGr. Daher istdas Yerhâltnis DGr zu derà Unterschied zwischen LD, LG groBeraïs das Yerhâltnis DH zu'dem Unterschied zwischen LH und LD.Das Yerhâltnis DH zu dem " Unterschied zwischen LH tmd LD istgroBer aïs das Yerhâltnis ZH, das nicht groBer ist aïs GKD, zn isdem Unterschied zwischen LZ tmd LH. Dann ist das YerhâltnisDGr zu déni Unterschied zwisoben LD und LGr groBer aïs das Yer-hâltnis des ganzen ZD zu déni ganzen Unterschied zwischen. LZund LD.

Àuf dieselbe Weise wird klar, daB das Yerhâltnis vOn ZD zu

1) In Rgtir YI13. Auoli sie fehlt in der Hs.

dem Unterschied zwischen LZ und LD groBer ist aïs das Yerhâlt-2l nis von ZT zu dem Unterschied zwischen LZ und LT. Also ist

das Yerhâltnis von GrD zu dem Unterschied zwischen LD und LGrviel groBer aïs das Yerhâltnis von ZT zu dem Unterschied zwischenLT und LZ. Und das muBten wir beweisenl

Satz 15.

24 Wenn es eine dreiseitige Fignr gibt, einer ihrer beiden Winkelan der Grundlinie spitz ist, der andere von ihnen ein Rechter ist,die Seite, die dem rechten Winkel gegeniiberliegt, nicht groBer aïs

86 ein Viertelkreis ist, von jener Seite zwei Bogen abgetrennt werclenund inan von deren Endpunkten Senkrechte nach der Grrundliniezieht, so sind, wenn die beiden Bogen, [L 45 a] die <abgetrenntwerden, einander gleich sind, die beiden Bogen, clie> zwischen die

3 gezogenen Senkrechten fallen, einander nicht gleich tmd der grbBtevon ihnen ist der, welcher dem rechten Winkel naheliegt. <Undes treten dabei entsprechencl dem. ira Yorhergehenclen Gesagten dieiibrigen oben genannten Dinge eno1).

Es gebe2) eine dreiseitige Kgur, auf der A, B, G (liegen), ihr6 Winkel bei Punkt B sei spitz, ihr Winkel bei Pnnkt A ein Rechter,

Seite BG sei nicht groBer aïs ein Yiertelkreis, von Bogen BGmb'gen zwei Bogen, nâmlich GD und ZT, abgetrennt werden undvon deren Endpunkten môgen nach der Grimdlinie AB die Senk-rechten DE, ZH und TK gezogen werden.

9 So behaupte ich, daB, wenn Bogen GD dem Bogen ZT gleichist, clann Bogen AE groBer aïs Bogen HK ist, und, wenn BogenAE déni Bogen HK gleich ist, dann Bogen GD kleiner aïs BogenZT ist, und wenn die beiden Bogen AE und DG zusammen den

12 beiden Bogen HK und ZT <zusaramen> gleich sind, clann BogenGD kleiner aïs Bogen ZT ist, nnd, wenn der Unterschied zwisehenden beiden Bogen AG tmd DE gleich ist dem Unterschied zwischenden beiden Bogen ZH und TK, die entsprechencl wie sie genonimensind, dann der Bogen GD groBer aïs der Bogen ZT ist, und zu-saminenfassend, daB das Yerhâltnis von AE zu HK groBer ist aïsdas Yerhâltnis von GD zu ZT.

15 Weil BG kleiner aïs ein Yiertelkreis ist, der Winkel bei PunktB spitz ist <und> jeder einzelne der beiden Winkel bei den beidenPunkten A, E ein Rechter ist, so ist das Yerhâltnis des Sinus derbeiden Bogen AB und BG zusammen zu dem Sinus des Unter-

1) Brgiinzt nach D, s. o. IIA § 1 tmter 86, 3/4.2) Siehe Figur YI 14, die in der Hs. fehlt.

224 îïax K r a u s e

schiedes zwischen1) ihnen beiden1) gleich dem Verhâltnis des Sinusder beiden Bogen EB und BD zusammen zu dem Sinus des Tinter- 18schiedes zwischen2) ihnen beiden2) <und gleich dem Verhâltnis desSinus der beiden Bogen HB und BZ zusammen zu dem Sinus desTinter schiedes zwischen iknen beiden.>8)

Aus diesern Grrnnà tritt allés vorhin Erwâhnte ein.<TJnd>s) wiedernml Wenn Bogen BGr ein Yiertelkreis ist

<imd>8) Bogen AB ihm gleich ist, so tritt allés Erwahnte ein.Denn dièses sind Dinge, die wir im ersten Teil der4) ,,bogen- 2lartigen (?) Tfiguren" bewiesen haben.

Wir'"') schicken dem, was wir in dieser Beziehung sagen wollen,zwei leichtej niitzliche Pràmissen voraus.

(I) Egur ABGIG) ist dreiseitig, Winkel B von ihr spitz und 87Winkel A ein liechter.

Ich behaupte, daB jedwede zwei Bogen, die vom Pol von ABnach AB gehen, zwisohen sich von dem Bogen BGr einen Bogen 3abtrennen, sodaB das Verhaltnis seines Sinus zu dem Sinus desBogens, den sie beide zwischen sich von dem Bogen AB abtrennen,gleioh ist dem Yerhâltnis des Sinus jedes einzelnen der beidenWinkel, die durch den Schnitt von BG- und den beiden vom Polvon AB ausgehenden Bogen entstehen, zu dem Sinus des jenemWinkel gegeniiberliegenden Bogens von den beiden Bogen, [L 4ob] 6die zwischen BGr und den Pol von AB fallen.

BGr sei nicht groBer aïs ein Yiertelkreis, der Pol von AB seiPunkt Z und es mogen von ihm aus nach AB irgendwie die beidenBogen ZDH, ZET gezogen werden. So behaupte ich, daB das Ver- 9hâltnis von sin TH zu sin ED gleich ist déni Verhaltnis des Sinusdes Winkels D zu dem Sinus von EZ und gleich dem Yerhâltnisdes Sinus des Winkels E ebenfalls zu 'dem Sinus von ZD,

Wir ziehen namlich von Piinkt E aus nach Bogen ZH dieSenkrechte EL. So ist das Yerhâltnis von sin TH zu sin EL 12gleich dem Yerhâltnis von sin ZH, dem ganzen Sinus, zu sin ZEund das Verhaltnis von sin EL zu sin DE gleich dem Verhaltnisdes Sinas des Winkels D zu dem Sinus des Winkels E, demRechten. Also ist das Verhaltnis von sin TH zu1 sin ED7), das

1—1) ,,inter duos aïcus ab, 60" D.2—2) 8inter duos arcus eb, &cï" D.3) Brgânzt nach D.4) ,,des Bûchas der" D.5) Hier heginnt N's Kommentar.6) Siehe Figuï VU 17, fehlt in L.7) In L folgt hier ,,zusatnmengesetzt aus diesen heiden Yerhaltaissen", was

Deutsche Obersetzung der Spharik. 220

aus diesen beiden Verhâltnissen zusatnrnengesetzt ist, gleich dem15 Yerhâltnis, das zusammengesetzt ist aus dem Yerhâltnis von sin

ZH, dem dritten, zu dem Sinus des Winkels L, dem sechsten, undaus déni Verhaltnis des Sinus des Winkels D zu sin ZE. SinusZH aber ist gleich dem Sinus des Winkels L. Also ist das Ver-haltnis von sin TH zu sin DE gleich dem Verhaltnis des Sinusdes Winkels D zu dem Sinus von ZE and gleich dem Yerhâltnis

18 des Sinus des Winkels E zu sin ZD. TJnd das wollten wir be-weisen !

(II.) Dann lassen wir1) das Dreieck ABGr zuriickkehren, wiees war, und ziehen den Bogen ZDH, sodaB der spitze Winkel Dden Bogen DZ rnifit.

21 So behaupte ich, daB jedwede zwei Bogen, die vom Pol vonAB nach dem Bogen BH gehen, zwisehen sich von Bogen BDeinen Bogen abtrennen, der groBer aïs der Bogen ist, den siezwischen sich von Bogen BH abtrennen, und daB jedwede zweiBogen, die vom Pol von AB naoh dem Bogen AH gehen, zwischen

24 sich von Bogen DGr einen Bogen abtrennen, der kleiner ist aïs derBogen, den sie zwischen sich von Bogen AH abtrennen.

Wir ziehen namlich die beiden Bogen ZET, ZLS beiderseits27 von ZDH. Da bewiesen ist, daB das Verhaltnis von sin TH zu

sin ED gleich dem Verhaltnis des Sinus des Winkels D zu sin88 EZ ist, nnd EZ groBer aïs das MaB des Winkels D ist, so ist sin

TH kleiner aïs sin DE.Wiederum! Da das Verhaltnis von sin HS zu sin DL gleich

dem Yerhâltnis des Sinus des Winkels D zu sin LZ ist und LZ3 kleiner aïs das MaB des Winkels D ist, so ist sin HS groBer aïs

sin DL. Also ist Bogen TH kleiner aïs Bogen DE und Bogen HSgroBer aïs Bogen DL.

Ebenso wird dieser Satz entsprechend bewiesen, wenn keinervon den beiden Bogen, die zwischen sich die Bogen von den beidenStiicken BD, BH abtrennen, und keiner von den beiden, die sie

6 zwischen sich von den beiden Stiicken GrD, AH abtrennen, BogenZDH ist, da jeder Winkel, der aus dem Schnitt dieser Bogen mitBGr entsteht [L 46 a], je nâher er an B ist, desto kleiner ist tinddie Bogen, die zwischen den Pol und zwischen BGr fallen, groBersind, und umgekehrt, je nâher er an Punkt Gr ist, dessen Abstand

nib'glicherweise eiue in den Text gedrungeue andere Lesart zum folgenden ist,jedenfalls hier dan Zusammenliang stSït.

1) Siehe Sïgnr YI15, fehlt in L.

Abhandlungen d. Des. d. Wiss. zu Qôttingen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 15(Sonderheît der Matli.-Phys. Kl.)

226M a x K r a u s e Deutsche Obersetzung dsr Spharik. 227

ù£iU

von B nicht groBer aïs ein Yiertelkreis ist, <desto groBer ist^1) 9

Une! das wollten wir beweisen!Und daraus wird ebenfalls klar, daB Bogen BD gleicb. Bogen

AH ist tind Bogen. BH gleicli Bogen GD iibrigbleibt. Denn dasVerhaltnis von sin BD zu sin BH ist gleich. dem Yerhaltnis desSinus des reohten Yfinkels H zu dem Sinus des Winkels D tmd 12das Yerhaltnis von sin AH zu sin G-D ist gleich. dem Verh.âltnisvon sin HZ zu <sin> ZD. Sin HZ aber ist gleioh dem Sinus desreohten Winkels H und sin ZD dem Sinus des Yfinkels D.

TJnd da wir dies vorangestellt haben, so seien aus Menelaos'Figur AB und BG zusammen nicht groBer aïs ein Yiertelkreis 16und wir setzen den Yfinkel B aus dieseï Figur2) ABG aïs dasMaB des Unterschiedes zwisehen AB und BG dort. Es sei BGem Yiertelkreis. Wir ziehen die Senkrecbte AG. So ist sie dasMaB des Hnterscbiedes zwischen AB und BG in der vorigsn Figur.Wir nelimen GD der Summe von GD und AB dort gleich. und ZDder Summe von ZD und EH ebenfalls dort gleicn und ZT der 18Surnine von ZT und KH in der vorigen Figur und ziehen hierebenfalls die Senkreohten DE, ZH, TK. Dann ist DE Mer derUnterschied zwischen BD und BE in der vorigen Figur und ZH derTJnterscMed zwisohen BZ und BH ebenfalls in der vorigen Figur,TK der Unterschied zwischen BT und BK dort und das Yerhalt-nis von GD zu ZT groBer aïs das Yerhaltnis des Hnterschiedes 21zwischen AG und DE zu déni Unterschied zwischen ZH nnd TK.Also ist das Yerhaltnis der Summe von GD und AE ebenso inder vorigen Figur zu der Summe von ZT und KH groBer-aïs dasYerhaltnis des Unterschiedes zwischen GD unâ AE, was in dieserFigur der "Unterschied zwischen AG nnd DE ist, zu déni Unter-schied zwischen ZT und KH dort, was hier der Unterschied 24

zwischen ZH und TK ist.Da dièses so ist und wenn die Snmine von AB und BG nicht

grb'Ber aïs ein Yiertelkreis ist, so (besitzen) GD und ZT einen ggUberschuB gegen AE und KH. Also ist •— wie Menelaos sagt —das Yerhaltnis von GD zu ZT kleiner aïs das Yerhaltnis von AE

zuKH.Yf enn die Summe von BT und BK nicht kleiner aïs ein Yiertel- 3

1) Brganze .,,,.. und die Bogen desto Meiner sind" 12) Die Kgur (t'elilt in L) entspricht VI14, die Mer aïs ,,Menelaos' Figur"

(und ,,dort") bezeichnet wird. Weil beide Figureu dieselben Buohstaben aufweisen,muB jeweil's angegeljsn -werden, welcne Figur gemeint ist. T, der auch sonst deaBeweis umgestaltet liât, vermeidet das, indem er neue Figuren mit anderen Bucli-

staben einfûlirt.

kreis ist, so ist das Yerhaltnis der Summe von ZT und KH zuder Summe von GD und AE .. -1) und jenes wird mit Leichtigkeitklar, wenn wir in der vorigen Figur jeclen einzelnen von AB undBG zu einern. Halbkreise erganzen [L 46 b] und die gleiche Méthode

6 befolgen. Dann besitzen KH nnd AE einen UberschuB gegen ZTund GD und es ist ebenso8) das Yerhaltnis von GD zu ZT kleineraïs das Yerhaltnis von AE zu KH.

Satz 16.Jenes wird (auch) auf eine andere Weise klar.

9 Wir ziehen nâmlich3) die Bogen AG, ED, HZ, <KT> bis nachdem Pol von AB, der L ist. Dann ist das Yerhaltnis des Sinusdes Bogens AB zu dem Sinus des Bogens BE gleich dem Yerhalt-nis, das zusammengesetzt ist aus dem Yerhaltnis des Sinus desBogens GA zu dem Sinus des Bogens DE, welches gleich dem.Yerhaltnis des Sinus des Bogens BG zu dem Sinus des Bogens BD

12 ist, und aus dem Yerhaltnis des Sinus des Bogens LD zu demSinus des Bogens LG. Deshalb ist das Yerhaltnis des Sinus desBogens <AB zu dem Sinus des Bogens BE groBer aïs das Yer-haltnis des Sinus des Bogens>*) BG zu dem Sinus des Bogens BD.

Ebenso ist gleichfalls klar, daB das6) Yerhaltnis des Sinnsdes Bogens EB zu dem Sinus des Bogens BH groBer ist aïs das

15 Yerhaltnis des Sinus des Bogens BD zu dem Sinus des Bogens BZnnd daB5) das Yerhaltnis des Sinus des Bogens EB zu dem Sinusdes Bogens BK groBer aïs das Yerhaltnis des Sinus des BogensBD zu. dem Sinus von Bogen BT ist.

Daraus wird klar, daB das Yerhaltnis des Sinns des BogensEK zu dem Sinus des Bogens KA kleiner aïs das Yerhaltnis desSinus des Bogens DT zu dem Sinus des Bogens TG ist. Also ist

18 das Yerhaltnis des Sinus des Bogens KA zu dem Sinus des BogensKE groBer aïs das Yerhaltnis des Sinus des Bogens TG zu demSinus des Bogens TD.

Durch die gleiche Méthode wird8) klar, daB das Yerhaltnisdes Sinus des Bogens EK zu dem Sinus <des Bogens>4) KH groBeraïs das Yerhaltnis des Sinus des Bogens TD zu dem Sinus desBogens TZ ist.

1) Hier ist ein Teil ausgefallen,2) 1. jjdesnalb'1 ?3) In Figur YI16.4) Ergânzt nach D.5—5) Fehlt in D.6) + ..ebenfalls" D.

15*

228 Max Krause

Uncl wiederum! Da das Verliâltnis des Sinus des Bogens HB 21zu dem Sinus des Bogens BK grôBer aïs das Verhâltnis des Sinusdes Bogens ZB zu déni Sinus des Bogens BT ist, wird das Ver-hâltnis des Sinus des Bogens KA zu dem Sinus des Bogens AHkleiner aïs das Verhaltnis des Sinus des Bogens T& zu dem Sinusdes Bogens GrZ. Ebenso ist das Verhaltnis des Sinus des BogensAH zu dem Sinus des Bogens AE kleiner aïs das Verhâltnis des 24Sinus des Bogens ZG zu dem Sinus des Bogens GD.

Da dièse Dinge so sind, wie wir dârgestellt haben, so trittallés ein, was wir oben gesagt haben, und ist das Verhâltnis des 90Bogens AE zu dem Bogen KH groBer aïs das Verhâltnis desBogens GD zu dem Bogen ZT. Und das wollten wir beweisen.

Dieser Satz wird auf eine andere leichtere und klarere Weise 3bewiesen1)'.

Es ist namlich das Verhâltnis des Sinus des Bogens GD zudem Sinus des Bogens AE, der das MaB des Winkels GLD ist,gleioh dem Verhâltnis des Sinus des Bogens LG zu dem'Sinusdes Winkels LDZ und das Verhâltnis des Sinus des Bogens DZzu déni Sinus des Bogens [L 47 a] EH, der das MaB des WinkelsZLD ist, gleioh dem Verhâltnis des Sinus des Bogens LD zu dem 6Sinus des Winkels LDZ. LD aber ist groBer aïs LG. Also istdas Verhâltnis des Sinus des Bogens GD zu dem Sinus des BogensAE kleiner aïs das Verhâltnis des Sinus des Bogens DZ zu demSinus des Bogens EH.

Ebenso ist klar, daB das Verhâltnis des Sinus des Bogens ZTzu dem Sinus des Bogens KH groBer aïs das Verhâltnis des Sinus 9des Bogens ZD zu dem Sinus des Bogens EH ist. Also ist dasVerhâltnis des Sinus des Bogens GD zu dem Sinus des Bogens AEviel kleiner aïs das Varhâltnis des Sinus des Bogens ZT zu demSinus des Bogens KH.

Wenn Bogen GD nicht grôBer aïs Bogen DZ und Bogen AEkleiner aïs Bogen GD ist, so ist das Verhâltnis des Bogens GDzu dem Bogen AE kleiner aïs das Verhâltnis des Bogens DZ zu 12dem Bogen EH.

Wenn Bogen GD grb'fier aïs Bogen DZ ist, so setzen wir DîsTgleich DZ, sodaB NG nicht grb'Ber aïs DZ iibrigbleibt, und ziehenden Bogen LNS. Aus dem von uns Gesagten ist klar, daB dasVerhâltnis von ÏTD zu ES kleiner aïs das Verhâltnis des BogensDZ zu dem Bogen EH ist und ebenso das Verhâltnis des Bogens 15N& zu Bogen AS kleiner aïs das Verhâltnis des Bogens DZ zu

1) Ygl. Figur "VI 17.

Deutsche tfbersetzung der Sphiirik. 229

dem ganzen Bogen EH ist. Also ist das Verhâltnis des ganzenBogens GD zu dem ganzen Bogen AE kleiner aïs das Verhâltnisdes Bogens DZ zu dem Bogen EH.

Wenn der Bogen EH groBer aïs der Bogen ZD ist, GD nicht18 kleiner aïs Bogen DZ ist, das Verhâltnis von sin GD zu sin AE

kleiner aïs das Verhâltnis des Sinus des Bogens DZ zu dem Sinusdes Bogens EH ist und DE grôfier aïs GD ist, so ist das Ver-hâltnis des Bogens GD zu dem Bogen DE kleiner aïs das Ver-hâltnis des Bogens DZ zu dem Bogen EH.

Wenn Bogen DZ groBer aïs Bogen GD ist, so setzen wir den21 Bogen DM déni Bogen GD gleich, sodafi MZ nioht groBer aïs &D

iibrigbleibt, und ziehen den Bogen LMO. So ist ans dem von unsGesagten klar, daB das Verhâltnis des Bogens GD zu clern BogenAE kleiner aïs das Verhâltnis des Bogens DM zu dem Bogen EOund aïs das Verhâltnis des Bogens MZ zu dem Bogen HO ist.Also ist das Verhâltnis des Bogens GD zu déni Bogen AE kleiner

24 aïs das Verhâltnis des ganzen Bogens DZ zu dem ganzen Bogen EH.Ebenso verfahren. wir bei1) DZ und ZT1), bei denen die Grb'Ben

jedes einzelnen von ihnen im Verhâltnis zu dem andern versohiedensind, sodaB klar ist, daB das Verhâltnis des Bogens DZ zu dem

91 Bogen EH kleiner aïs das Verhâltnis des Bogens ZT zu dem BogenKH ist. [L47b]. So ist klar, daB das Verhâltnis des Bogens AHzu dem Bogen KH groBer aïs das Verhâltnis des Bogens GZ zndem Bogen ZT ist. Und das muBten wir beweisen I

3 Was hieraus an astronoroischen Dingen klar wird, ist, dafidas Verhâltnis der Ekliptikbogen, die dem Sehnittpunkt nâher-liegen, zu ihren Aufgângen bei sphaera recta groBer ist aïs dasVerhâltnis derjenigen, die dem Sehnittpunkt fernerliegen, zu ihrenAufgângen.

6 Das ist so ! Es gibt (aber) eine leichtere und schb'nere Weisefiir das, wodurch Menelaos beweist, daB das Verhâltnis des Sinusdes Bogens ZG zu dem Sinus des Bogens GD groBer aïs dasVerhâltnis des Sinus des Bogens AH zu dem Sinus des BogensAE ist und daB das Verhâltnis des Sinus des Bogens DT zu demSinus des Bogens ZT kleiner aïs das Verhâltnis des Sinus des

9 Bogens EK zu dem Sinus des Bogens HK ist und was ihm âhnelt.Das Verhâltnis des Sinus des Bogens AH zu dem Sinus des

Bogens ZG ist namlich gleich dem Verhâltnis des Sinus des WinkelsZ zu dem Sinus des Bogens LG, wie das vorhin bewiesen ist, uncl

1—1) Der arabische Text ist hier nicht intakt, soclaB die Obersstzuug auchdes zunachst Folgenden unsiuher hleibt.

230 Max ICrause

das Verhaltnis des Sinus des Bogens <AE zu dem Sinus desBogens> DG ist gieich dem Sinus des Winkels D zu dem Sinus<des Bogens> LG und der spitze Winkel D ist grôfier aïs der 12spitze Winkel Z. Also ist das Verhaltnis des Sinus des BogensAH zu dem Sinus des Bogens ZG kleiner aïs das Verkâltnis desSinus des Bogens AE zu dem Sinus des Bogens GD. Eolglich istdas Yerhaltnis des Sinus des Bogens &Z zu dem Sinus des Bogens&D grôBer aïs das Verhaltnis des Sinus des Bogens HA zn dem.Sinus des Bogens AE.

Ebenfalls ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens EK zu dem 15Sinus des Bogens DT gleich dem Yerhaltnis des Sinus des YfinkelsD zu dem Sinus des Bogens LT und das Verhaltnis des Sinus des .Bogens KH zu dem Sinus des Bogens ZT gleich dem Yerhaltnisdes Sinus des Winkels Z zu dem Sinus des Bogens LT und derspitze Winkel Z ist ebenfalls kleiner aïs der spitze Winke] D.Also ist das Yerhaltnis des Sinus des Bogens KH zu dem Sinus 18des Bogens TZ kleiner aïs das Yerhaltnis des Sinus des BogensEK zu dem Sinus des Bogens DT. Eolglich ist das Yerkaltnisdes Sinus des Bogens DT zu dem Sinus des Bogens TZ kleineraïs das Yerhaltnis des Sinus des Bogens EK zu dem Sinus desBogens KH.

Ebenso gleichfalls das and ère diesem Ahnliohe!

Satz 17. 21

Wenn es eine dreiseitige, nicht gleichschenklige Eigur gibt,ihre langste Seite nicht groBer aïs ein Yiertelkreis ist, von ihremkiirzeren Schenkel zwei Bogen abgetrennt werden und von derenEndpunkten Bogen nach der Grundlinie gezogen werden, die mitihr Winkel einschlieBen, die gleich sind dem Winkel, den mit ihr 24der andere Schenkel einschlieBt und der ihnen entsprickt, sowieandere Bogen, die auf der Grundlinie senkrecht stehen, so sind,wenn die beiden Bogen, die zwisoken den Bogen liegen, die gleicheWinkel erzeugen, einander gleich sind, die beiden Bogen der Grund-linie, die zwischen den Senkrechten liegen, einander ungleioh und 27ist ihr grb'Bter der, der bei dem kleinsten Schenkel liegt. Wenn(aber) die beiden Bogen der Grundlinie, die zwischen den Senk- 92rechten liegen, einander gleich sind [L 48 a], so sind die beidenBogen, die zwischen den Bogen liegen, die die gleichen Winkelerzeugen, einander uugleich, und ist ihr grofiter der, der an dengrb'Bten Schenkel grenzt, und es tritt gemâB dem oben Dargelegten 3allés von uns Erwâhnte ein.

Deutsclie Obersetzimg der Sphârik. 231

Es gebe1) eine dreiseitige Kgur, auf der A, B, G liegen, A&sei groBer aïs B&, AG sei (aber) nicht grb'Ber aïs ein Yiertelkreisund wir trennen von B& die beiden Bogen &D, DZ ab. Wir mogen

6 von deren Endpunkten nach der Grundlinie AB Bogen2) ziehen,die mit ihr Winkel einschlieBen, die gleich dem ihnen entsprechen-den Winkel bei Punkt A sind, namlich die beiden Bogen DE, ZHund Bogen, die auf AB senkrecht stehen, namlich GT, DK und ZL,

So behaupte ich, daB, wenn der Bogen AE dem Bogen EH9 gleich ist, dann der Bogen TK kleiner aïs der Bogen LK ist, und

daB, wenn der Bogen TK dem Bogen LK gleich ist, dann derBogen AE groBer aïs der Bogen EH ist und daB das iibrige vonuns Gesagte eintritt, und zusammenfassend das Yerhaltnis von AEzu EH grb'Ber aïs das Yerhaltnis von TK zu KL ist.

Denn die beiden Winkel bei den beiden Punkten A, E der12 beiden Eiguren AB&, EDB sind einander gleich, der Winkel bei

Punkt B ist ihnen gemeinsam und in8) ihnen beiden8) sind diebeiden Senkrechten GT und DK gezogen. Also ist das Yerhaltnisdes Sinus des Bogens AT zu dem Sinus des Bogens -TB gleich demYerhaltnis des Sinus des Bogens EK zu dem Sinus des BogensKB. Ebenso ist auch das Verhaltnis des Sinus des Bogens EK

15 zu dem Sinus des Bogens <KB gleich dem Verhaltnis des Sinusdes Bogens HL zu dem Sinus des Bogens>4) LB —• naeh dem,was obeii in Satz 4 bewiesen ist •—. TTnd5) wenn wir dièse GrbBenmiteinander vertauschen, sind sie ebenfalls proportional. Aber ATist grb'Ber aïs TB, da A& grofier aïs BG ist.

Wenn nun Bogen KT gleich Bogen KL ist, so ist in der ersten13 Kgur der TJntersohied zwischen den beiden Bogen <AT und EK,

welches die beiden Bogeii AE und TK sind, groBer aïs der Unter-schied zwischen den beiden BogenX1) EK und LH, welches diebeiden Bogen EH und KL sind. In der zweiten Kgur sind diebeiden Bogen AE und TK zusammen grb'Ber aïs die beiden Bogen

2l EH und KL zusammen. Also bleibt in der ersten und in derzweiten Kgur Bogen AE grb'Ber aïs Bogen EH. Wenn Bogen AEdem Bogen EH gleich ist, so sind in der ersten Kgur die beidenBogen AE und TK, welche der TJnterschied zwischen den beidenBogen <AT und EK sind, kleiner aïs die beiden Bogen KL und

1) Ygl. Kgur YI 18 nnd 19.2) So auch J. G genauer ,,duos arcns".3—3} ,,mter eos" (bainahumâ) D.4) u. *) Erg&nzt nach D. .5) Hiervor steht bei D uoch ,,Gum nos posuerimus hl (LG bei J) perpen-

dicularonr'.

232 Max Krausa

HE, die dex1 Unterschied zwiscken den beiden Bogen>*) EK undLH sind, uncl in der zweiten IFigur sind die beiden Bogen AE und 24TK zusammen kleiner aïs die beiden Bogen [L éS b] EH und KLzusammen und deslialb *) ist der Bogen KT kleiner aïs der BogenKL. Und zusammengefafit ist das Verhâltnis von AE zu EHgrb'Ber aïs das Verhâltnis von TK zu KL. Hieraus und ans dem, 93-was wir oben gesagt haben, ist klar, da8 das Yerhâltnis von AEzu EH ebènfalls groBer aïs das Yerhâltnis von GKD zu DZ ist.Tlncl das wollten wir beweisen!

Der Beweis Merzu ist folgendermaBen. Wir setzen2) das SVernâltnis des Sinus des Winkels BAG zu déni ganzen Simisgleich dem Verhâltnis des Sinus des Bogens BT zu dem Sinusdes Bogens AT, setzen AB dem Bogen AT gleioh und ziehen BGsenkrecht zu A&. Da das Vernâltnis des Sinus des "Wïnkels BAGzu dem ganzen Sinus gleioli dem Vernâltnis des Sinus des Bogens BT 6zu dem Sinus des Bogens AT ist, wir AB dem Bogen AT gleicn ge-setzt liaben und das Verhâltnis des Sinus des Bogens AB zu demSinus des Bogens B& gleich dem Verhâltnis des Sinus des rechtenWinkels & zu dem Sinus des Winkels BAG ist, so ist der BogenB& gleioh dem Bogen BT.

Wenn wir AD dem Bogen EK und AE dem Bogen HL 9gleichsetzen, sodaB BD aus der ersten Eigur der Sunxme der beidenBogen AE, TK und DE der Summe der beiden Bogen EH und KLgleich ist, und in der zweiten Eigur BD der Unterschied zwischenAE und TK und DE der Unterschied zwischen EH und KL ist,so ist das Verhâltnis von BD zu dem Unterschied zwischen denbeiden Bogen BG und DZ —• wie oben bewiesen ist —• grôBer aïs 12das Verhâltnis von DE zu dem Unterschied zwischen den beidenBogen DZ und EH. Also ist das Verhâltnis der Summe von AEund TK zu TK grofier aïs das Verhâltnis der Summe von EH undLK zu LK und durch Zerlegung8) ist das Verhâltnis von AE zuTK groBer aïs das Verhâltnis von EH zu KL. In der zweitenKgnr ist das Verhâltnis des Unterschiedes zwischen den beidenBogen AE und KL zu KL grbBer aïs das Verhâltnis des Unter- 15schiedes zwischen den beiden Bogen EH und TK zu TK. DurchVerbindung*) wird das Verhâltnis .des Bogens AE zu dem BogenTK groBer aïs das Verhâltnis des Bogens EH zu dem Bogen KL

1) So mit T tmd J gegen L und G (,,similiter").2) In Fignr YI 20.3) d. h, ans ,,a:b = c:d" entsteLt ,,(a — b):b = (c — d) : d".4) d. li. aus Ra : b = o : d" entsteht ,,(a + b) : b = (o + d) : d".

Dautsche Ùbersetzung der Sph&rik. 233

und durch Vertauschunga) wird das Verhâltnis von AE zu EHgroBer aïs das Verhâltnis von TK zu KL. Und das mufiten \virbeweisen!

18 Was hieraus an asfcronomischen Dingen Har wird, ist, daB dasVerhâltnis der Aufgânge bei sphaera obliqua der Bogen nach dem"Wendepunkt hin zu den Aufgangen in ihr der Bogen nach demPunkt der (Tag und Nacht-)Gleiche hin groBer ist aïs das Ver-hâltnis der Ausgieichung der ersten <Bogen> zu der Ausgleichungder anderen Bogen.

21 Wenn wir uns vorstellen, daB A& in der vorigen Eigur (Teil)der Ekliptik sei, AB (ein Teil) des Aquators und GrB ein beliebigerHorizont, der gegen den Aquator geneigt-ist, und Punkt G- in derersten Eigur entweder der Anfang des Steinbocks oder das Encleder Zwillinge uncl in der zweiten Eigur entweder der Anfang desKrebses oder das Ende des Schiitzen sei, dann ist Bogen AB der

24 Aufgang(sbogen) von AG 2). Wenn Punkt [L 49 a] G der Anfangdes Steinbocks ist, ist Punkt A der Anfang der Wage unter derErde und, wenn Punkt G das Ende der Zwillinge ist, so ist PunktA der Anfang des Widders liber der Erde. AT ist der Aufgangfs-

94 bogen) von AG bei sphaera recta und BT dessen Ausgleichung inHorizont BG, EB der Aufgang(sbogen) des Bogens DE und BKdessen Ausgleichung, BH der Aufgang(sbogen) des Bogens ZH undBL dessen Ausgleichung. Es bleibt ûbrig AE aïs Auf'gang(sbogen)

3 dessen, was zwischen den beiden Bogen A& und DE ist, TK aïsdessen Ausgleichung, EH aïs Aufgang(sbogen) dessen, was zwischenden beiden Bogen DE und ZH ist, und LK aïs dessen Ausgleichung.Es ist klar, daB das Verhâltnis von AE <zu> EH groBer aïs dasVerhâltnis von TK zu KL ist.

Satz 18.Und ebenso wird klar, daB, wenn8) der Winkel der dreiseitigen

6 Eigur ABG bei Punkt A stumpf ist, der bei Punkt B spitz ist,Bogen BG nicht groBer aïs ein Viertelkreis ist, von Bogen BGdie beiden Bogen GD, DZ abgetrennt werden und nach der Grund-linie AB die beiden Bogen DE, ZH so gezogen werden, daB siemit ihr Winkel einschlieBen, die gleioh sind dem ihnen entsprechen-

9 den Winkel bei Punkt A, sowie die Senkréohten GT, DK und ZL,dann das iibrige oben von uns Genannte eintritt und zusammeii-

1) d. li. aus ,,a : b = c : d" entstelit ,,a : o = b : d".2) T ffigt Lier in sehiein Keferat dieser Stalle liinzu ,,bei spliaara obliqua",

was yielleiolit in L zu ergâuzen wâre.3) Siene Figur VII 1.

234 M a x K r a u s e

gefafit das Verhaltnis von AE zu EE groBer aïs das Verhaltnis<von TK zn KL ist. Und daraus ist ebenfalls1) klar, daB dasVerhaltnis von AE zu EH grbUer aïs das Verhaltnis>2) von GDzu DZ ist. Und das wollten wir beweisen !

Das wird aus dem oben von uns Gesagten klar, Dort8) haben 12wir nânilich AB gleich AT gesetzt und das Verhaltnis des Sinusdes Winkels BAG zu dem ganzen Sinus gleich dem Verhaltnis desSinus des Bogens BT aus der vorhergehenden Mgur zu dem Sinusdes Bogens AT. Hier wollen wir uns vorstellen, daB das Verhalt-nis des Sinus des Winkels BAG zu dem ganzen Sinus gleich déni 1&Verhaltnis des Sinus des Bogens AT zu dem Sinus des Bogens BTist/da BT hier groBer aïs AT ist*). Wenn wir jene Méthode be-folgen, wird uns daraus klar, dafi das Verhaltnis von TK zu KLgroBer aïs das Verhaltnis des TTnterschiedes zwischen AE miel TKzu dem Unterschied zwischen EH und KL ist. Da in. Dreieck A&Tder Winkel T ein Rechter ist, und der spitze Winkel A gleich 18dem spitzen Winkel E des rechtwinkligen Dreiecks EDK ist5), soist deshalb die G-rundlinie EK kleiner aïs die Grundlinie AT, Alsoist AE kleiner aïs TK. Ebenso ist gleichfalls EH kleiner aïs KL.Also ist das Verhaltnis des tlberschusses von TK gegen AE zudem tJberschufl von KL gegen EH kleiner aïs das Verhaltnis vonTK zu KL. Folglich ist das Verhaltnis des Restes AE zu dem 2lReste EH grb'Ber aïs das Verhaltnis von TK zu KL.

Hieraus wird klar, daB [L 49 b] in der Halfte des Tierkreises,die vom Anfang des Steinbocks bis zurn Ende der Zwillinge reicht,das Verhâltnis der Aufgarjg(sbogen) in sphaera obliqua zn den 95Anf'gang(sbogen) in sphaera recta bei den Bogen, die dem Wende-punkt naheliegen, groBer ist aïs das Verhaltnis der Aufgang(sbogen)in sphaera obliqua zu den Aufgang(sbogen) in sphaera recta bei denBogen, wenn sie nâher am Punkt der (Tagnndnacht)Gleiche liegen.

Satz 19. 3

Wenn es eine dreiseitige, ungleichschenklige Eigur gibt, ihr.elangste Seite nicht groBer aïs ein Viertelkreis ist; von déni Punktihrer Spitze nach ihrer G-rnndlinie ein Bogen innerhalb gezogen

1) Belegt durch J nnd T (gegen G). 2) Brganzt naeh D und T.3) D. 11. ira Komnientar zu m 17 (vgl. Figur YI 20).4) In T's Référât dièses Absehnittes steht nooh ,,So ist hier AB = BT,

BG = AT, AD = BK, DZ = EK, AE = BL, EH = LE, BD = TK, DE = KL,(1er Unterschied zwisehen BG und DZ gleich dem Unterschied zwischen AB undTK und der Unterschied zwischen DZ und BH gleich dem Unterschied zwischenEH und KL", 5) Bei T + ,,und Winkel D kleiner aïs Winkel G ist".

Deutsche Obersetzung der Sphiirik. 235

wird, der nicht kleiner aïs ihr kleinster Schenkel ist, von ihrem6 kleinsten Sehenkel zwei Bogen abgetrennt werden und von deren

Endpunkten Bogen nach der G-rundlinie gezogen werden, die mitihr Winkel einschlieBen, die gleich sind dem Winkel, den mit ihrder grb'Bte Schenkel1) einschliefit, und andere Bogen, die mit ihrWinkel einschlieBen, die gleich sincl dem Winkel, den mit ihr derBogen einschlieBt, der znerst gezogen ist, so tritt dasselbe, was

9 wir in den vorhergehenden Satzen gesagt haben, ein und sind,zusammengefaBt, die Verhaltnisse der Bogen, die zwischen dieBogen fallen, die mit der Grnndlinie Winkel dem Winkel, den mitihr der grôfite Schenkel einschliefit, gleich einschlieBen, zueinandergroBer aïs die Verhaltnisse der Bogen, die zwischen die anderen

12 gezogenen Bogen fallen, wenn wir in diesen sâmtlichen Verhâlt-nissen zu Vordergliedern die Bogen machen, die dem grôBtenSchenkel naheliegen, und zn Hinterglieclern die Bogen3 die vonihm entferntliegen2).

Es gebe8) eine dreiseitige Egur, auf der A, B, G (liegen),15 AG sei groBer aïs BG, (aber) nicht groBer aïs ein Viertelkreis

und wir ziehen von Punkt G nach der Grundlinie AB den BogenGD, der nicht groBer aïs Bogen BG sei. Von BG rnbgen zweiBogen, namlich GE und EZ, abgetrennt werden, und von derenEndpunkten aus môgen nach der Grondlinie AB die beiden BogenEH und ZT gezogen werden, die mit ihr Winkel einschlieBenmbgen, die gleich dem Winkel bei Punkt A sind, nnd ebenfalls

18 die beiden Bogen EK und ZL gezogen werden, die mit AB WinkeleinschlieBen mogen, die dem Winkel bei Punkt D gleich sind.

So behaupte ich, daB das Verhaltnis von AH zu HT groBeraïs das Verhaltnis von DK zu KL ist.

Denn wenn der Winkel bei Punkt B ein Rechter ist, so ist21 das Verhaltnis des Sinus des Bogens AB zu dem Sinus des Bogens

BH gleich dem Verhaltnis des Sinus des Bogens DB zu dem Sinusdes Bogens BK und ist das Verhaltnis des Sinus des Bogens J3H zudéni Sinus des Bogens BT gleich dem Verhaltnis des Sinus desBogens BK zn dem Sinus des Bogens BL —• nach dem, was inSatz 4 bewiesen ist •—. Daraus ist das iibrige von uns Gesagte klar.

24 Jenes wird klar, wenn wir Winkel <A>4) ira MaB von BDsetzen3) nnd AB -dem rechten [L 60 a] Winkel gegeniiberliegen

1) So ^, ,,arcns" G, ,,Seite- J.2) In D ,,secuudos", entstanden durch falsche Setzung dsr dialuïtischan

Puukte (nat-tânija" statt .,an-nâb:ja':). 8) Vgl. Figur VII 2.4) Nach T, der diesen Abschnitt (ohne N zu nennen) referiert,5) Siehe Figur VI 20.

236 Max K r a u s o Deutselie Ûbersetaing der SpMrik. 237

lassen, d. li. wir ziehen von dem. Winkel ans (gerecbnet) ira Ab-stand AB nach dem zweiten Bogen, der mit dem ersten Bogen 96jenen Winkel einsehlieBt, eine Senkrechte1), so ist sie BD gleioh,und ebenfalls im Abstande BH, so ist sie BK gleich, nnd ebenfallsim Abstande TB, so ist sie BL gleich. So wird dieser Satz klar.

An astronomischen Dingen wird hieraus ebenfalls klar, daB 3das Yerhâltnis der Aufgang(sbogen) in sphaera recta bei den .Bogen,die naher am Wendepunkt liegen, zu den Aufgang(sbogen) eben-falls in sphaera recta bei den Bogen, die naher am Punkt der(Tagunclnacht)gleiche liegen, grb'Ber aïs das Yerhâltnis der Aus-gleichung der Anfgang(sbogen) der ersten Bogen zu der Aus-gleichnng der Anfgang(sbogen) der anderen Bogen ist. 6

Satz 20.Und wiederuin! Wir setzen2) den Winkel bei Punkt B aïs

einen Rechten und ziehen nach der Grundlinie AB die SenkrechtenG-M, EN, ZS. Da GD nicht kleiner aïs BG- ist, ist MD nichtkleiner aïs MB. "Wir beweisen, wie wir oben bewiesen haben, 9daB das Yerhâltnis des Sinus des Bogens AM zu dem Sinns desBogens MB gleich ist déni Yerhâltnis des Sinns des Bogens HNzu dem Sinns des Bogens NB nnd gleioh déni Yerhâltnis des Sinnsdes Bogens TS zu dem Sinus des Bogens SB. Das Yerhâltnis desSinus des Bogens DM zu déni Sinus des Bogens MB ist gleichdem Verhâltnis des Sinus des Bogens KN zu dem Sinns des 12Bogens NB und gleich dem Yerhâltnis des Sinus <des Bogens>LS zu dem Sinus des Bogens SB — allés dies nach dem, was inSatz 4 bewiesen ist •—. Aber Bogen AM ist grofier aïs BogenMB nnd Bogen DM ist nicht kleiner aïs Bogen MB und jedereinzelne der beiden Bogen AGr, AM ist nicht groBer aïs ein Yiertel- 16.kreis. Also ist deshalb das Yerhâltnis des TJnterschiedes zwischenden beiden Bogen AB nnd BH zu dem TJntersohied zwischen denbeiden Bogen BH und BT groBer aïs das Yerhâltnis des Unter-schiedes zwischen den beiden Bogen DB nnd BK zu dem Unter-schied zwischen den beiden Bogen KB und BL.

Ebenso wird gleichfalls klar, daB das Yerhâltnis von AD zu isDB groBer ist aïs das Yerhâltnis von HK zu KB ; denn dièses Yer-hâltnis ist groBer aïs das Yerhâltnis von TL zu LB.

Da —• wie bewiesen ist •— dièse Sinus zu einander proportionalsind, so ist das Yerhâltnis von sin AM zii sin DM gleich dem 21

1) Es liandelt sich um BG, DZ und EH, die glsich BD, BK und BL sind,wonn AB = AB, AD = BH und AE = Bï ist. T's Référât wird daduroi. klarer,daB er wie oben andere Bnohstalieu wâhlt. 2) Sieha Figur VII 8 und 4.

Yerhâltnis von sin HN zu sin KN und gleich dem Yerhâltnis vonsin TS zu sin DS. Durch Yertanschung wird das Yerhâltnis vonsin AM zn sin HN gleich dem Yerhâltnis von sin DM zo. sin KN"nnd das Yerhâltnis von sin HN zu sin TS gleich clem Verhâltnis

24 von sin KN zu sin LS. Naoh dem, was bei [L 60 b] Satz 14 be-wiesen ist, ist das Yerhâltnis des TJntersckiedes zwischen AM undHN, was der Unterschied zwischen AH und MN ist, zu clem Unter-schied zwischen HT und NS, was <der Unterschied zwischen HNund TS ist, groBer aïs das Yerhâltnis des Unterschiedes zwischen DMund EN, was> der Unterschied zwischen MN und DK ist, zu déni

97 Unterschied zwischen KL und NS, was der Unterschied zwischenKN und LS ist. Deshalb ist also das Yerhâltnis von AH, das dieSumnie des Unterschiedes und MN ist, zu HT, das die Snnune des

3 Unterschiedes nnd NS ist, groBer aïs das Yerhâltnis von DK, dasdie Sumnie des anderen Unterschiedes, dessen Yerhâltnis zu demihm ïolgenden kleiner ist, und MN ist, zu KL, das die Sommedes ihm folgenden Unterschiedes und NS ist.

Satz 21.B Ebenso wird gleichfalls bewiesen, daB, wenn der "VYinkel bei

Punkt A1) der dreiseitigen 3?ignr ABGr spitz ist, ihr "VYinkel beiPunkt B stumpf ist, Seite AGr nicht groBer aïs ein Yiertelkreisist, von Punkt Gr ans Bogen GfD nach der Gj-rundlinie AB gezogenwird, von AGf die beiden Bogen &E, EZ abgetrennt werden raid

9 die beiden Bogen EH, ZT so gezogen werden, daB sie mit derGrrundlinie AB zwei Winkel erzeugen, die gleich dem Winkel beiPunkt B sind, sowie die beiden Bogen EK, ZL so gezogen werden,daB sie mit der Ghamdlinie AB zwei Winkel erzeugen, die gleichdem Winkel bei Punkt D sind, dann das Yerhâltnis von DL zuKL groBer aïs das Yerhâltnis von BH zn HT ist.

12 Denn wir ziehen2) die Senkrechten GfM, EN", ZS. Daim istdas Yerhâltnis des Sinns des Bogens AM zu dem Sinus des BogensMB gleich dem Yerhâltnis des Sinus des Bogens AN zu dem Sinusdes Bogens NH nnd gleioh dem Yerhâlfcnis des Sinus des BogensAS zu dem Sinns des Bogens ST. Das Yerhâltnis des Sinus desBogens AK zu clem Sinus des Bogens MD ist gleich dem Yerhalt-

15 nis des Sinus des Bogens AN zu dem Sinus des Bogens BD undgleich dem Yerhâltnis des Sinus des Bogens AS zu dem Sinus desBogens SL, So ist deshalb das Yerhâltnis des Unterschiedeszwischen den beiden Bogen GA; AK zu clem Unterschied zwischen"

1) Ygl. FJgur YII 5. 2) + neoenfalls'1 D.

288 M a x K r a u s e

den beiden Bogen KA und AL groBer aïs das Yerhaltnis desUnterscMecles zwischen den beiden Bogen BA und AH zu deinUnterschied zwiscken den beiden Bogen ÏÏA tmd AT1). Und daswollten wir beweisen! 18

Das Ergebnis dièses an astrononiischen Dingen ist, daB in derHâlfte, die vom Anfang des Steinbocks bis zu dem Ende derZwillinge (reicht), das Yerhaltnis der Aufgang(sbogen) der Bogen,die nâher am Wendepunkte (liegen), zu den Aufgang(sbogen) der 2lJTernerliegenden 'umso grb'Ber ist, je grb'Ber die ScHefe des Hori-zonts ist, und in der anderen Hâlfte umgekehrt, Mer in der nord-lichen Richtnng (?).

Satz 22."Wenn es auf der Obernâche einer Kugel zwei GroBkreise gibt, 24

jeder einzelne von ihnen gegen den anderen geneigt ist, auf einernyon ihnen zwei Punkte gekennzeichnet werden, die einander nichtauf dem Durchmesser gegeniiberliegen nnd von ihnen beiden nachdem anderen Kreise [L 51 a] zwei Senkrechte gezogen werden, so 98ist das Yerhâltnis des Sinus des Bogens, der zwischen die beiden3?allpunkte der beiden Senkrechten fàllt, zu dem Sinus des Bogens,der zwischen den beiden gekennzeichneten Punkten (liegb), gleich,dem Yerhaltnis des Rechtecks, das der Kugeldurchmesser und der 3Durchmesser des Kreises einschlieBen, der einen der beiden Kreiseberiihrt und zu dem andern Kreis parallel ist, zu dem Reckteck,das die beiden Durehmesser der beiden Kreise einsehlieBen, die•durch die beiden auf einem der beiden Grofikreise gekennzeichnetenPunkte gehen und zu dem andern Kreis parallel sind. 6

Es gebe2) auf einer Kugel zwei GroBkreise, auf denen ABund BGr (liegen) und jeder einzelne Yon ihnen sei gegen den andern.geneigt. Wir kennzeichnen auf AB die beiden Punkte D, B undziehen YOD. den beiden Punkten D, E nach BG- die beiden Senk- 9reohten DG und EH.

So behaupte ich, daB das Yerhâltnis des Sinus von GH zudéni Sinus Yon DE gleich ist dem Yerhaltnis des Recktecks, dasder Durchmesser des GroBkreises8) und der Durchmesser desKreises, der4) AB beriihrt und zu BGr parallel ist4), einsehlieBen,

1) In T uiid J findet sich nocli folgender Zusatz ^Ebenso -wird bewiesen,•daB das Yerhaltnis von AD zu DB griifier aïs ûas Yerhaltnis von AK zu KB ist,•und daB das Yerhaltnis von AK zn KB grofier ist aïs das Yerhaltnis von AL zuLB in dersalben Figur".

2) Ygl. Kgra YH 6.3) ,,der Kugel" D.4—4) ..equidistantes circule bg, qui tangit circulum lia" D.

Deutsche Ùbersetzung der Sphârik. 239

12 zu dem Rechteck, das die beiden Durchmesser der beiden KreiseeinsehlieBen, die durch die beiden Punkte D, E gehen und demKreis BGr parallel sind.

Wir ziehen nâmlich die beiden Bogen GrD, EH bis zu dem Pol15 des Kreises BGr, welcher Punkt Z ist, iind ziehen von Punkt Z

nach déni Kreise AB die Senkrechte ZA. Da jeder einzelne derbeiden Winkel ZAE, ZHB ein Rechter ist und da' Winkel AEZdem Winkel BEH gleich ist, so ist das Yerhaltnis des Sinus desBogens AZ zu dem Sinus des Bogens ZE gleich dem Yerhaltnisdes Sinus des Bogens BH zu dem Sinus des Bogens BE. Nach

18 dem, wie dièse Eigur gezeichnet ist, ist das Yerhaltnis des Sinusdes Bogens &H zu dem Sinus des Bogens DE znsanimengesetztans dem Yerhaltnis des Sinus des Bogens GrZ zu dem Sinus desBogens ZD und aus dem Yerhaltnis des Sinus des Bogens BH zudem Sinus des Bogens BE. Wir haben bevviesen, daB dièses Yer-haltnis gleich dem Yerhaltnis des Sinus des Bogens AZ zu demSinus des Bogens ZE ist. Eolglich ist das Yerhaltnis des Sinus

21 des Bogens GKE zu dem Sinus des Bogens DE gleich dem Yerhalt-nis des Rechtecks, das der Sinus des Bogens GZ und der Sinusdes Bogens ZA einsehlieBen, zu dem Rechtecke, das der Sinus desBogens DZ und der Sinus des Bogens ZE einsehlieBen. Aber derSinus des Bogens GZ ist der Halbmesser der Kugel tind der Sinus

24 des Bogens AZ ist der Halbmesser des Kreises, der durch PunktA geht und dem Kreise BG parallel ist nnd dieser Kreis beriihrtden Kreis AB. Die Sinus der beiden Bogen DZ, ZE sind dieHalbmesser der beiden Kreise, die durch [L 51 b] die be'iden PunkteD, E gehen und dem Kreise BG parallel sind. Tlnd das wolltenwir beweisen!1)2)

1) In D folgt hier ein Abschnitt, der mit geringen Abweiehungen (s. o. il A§ 1 unter 98, 26f.) in allen Bedaktionen belegt ist: ,,~&t iam declaratur ex eoquod diximus in figuris primis traetatus tertii libil Theodosii in speris per modumaliuœ. Ipsa enim declarauit ibi, C[uod proportio arcus gli ad arcum de est minorproportions diametri spere ad diametrum circuli qui contingit circulum ba suprapunctum a. Et hec est res, qua usus est Apollonius in libro qui dicitar liberaggregatiuus ; et nos iam usi sumus hoc hic et iudiguimus necossitato maiorisiuuamenti. Et cum nos ostendimus illud in eo qiiod erit post cum demonstrationecommuni, sciemus ex eo, quamobrem est proportio gli ad ad maior et quaniobremest minor." Das hier genannte Werk des Apollonius (nur bei H steht wohl ver-sehentlich Theod.) hat schon Bj (S. 117, Anm. 2) vennntungsweise mit 17 va&ôlovngay^a-csîa gleichgesetzt. DaB das richtig ist, laBt sich nachweisen. Der Titeltritt in folgenden Formen auf: D nin libro qui dicitur liber aggregatiuus", H ,,inseinem Buch liber die allgemeine Tâtigkeit" (sinâ'a), (T aber verschniilzt beideszu ,,iu seiuem Buch ùber die allgemeine Tiitigkeit, welohes heiBt .das Sammel-

240 Max K r a u s e

Wenn er sagt, daB das Verhâltnis von sin GH zu sin DE 99gleich ist déni Yerliâltnis des fiechtecks, das einschliefien <derDuromnesser der Kugel und der Durchmesser des Kreises, der ABberiihrt und BG parallel ist, zu dem Rechteck, das einschlieBen> 3die beiden Durclimesser der beiden Kreise, die dem Kreise BGparallel sind und dnrch die beiden Punkte D, E gehen, so wirddas nach unseren Grundsâtzen folgendermafien bewiesen.

Wir ziehen von Punkt E ans die Senkrechte EL auf GD,Dann ist das Verhâltnis des Sinus des Bogens GH zu dem Sinusdes Bogens EL gleich dem Verkâltnis des Sinus des Bogens HZzu dem Sinus des Bogens EZ und das Verhâltnis des Sinus des 6Bogens EL zu dem Sinus des Bogens ED gleich dem Verhâltnisdes Sinus des Bogens AZ zu dem Sinus des Bogens <AD, DasVerhâltnis des Sinus des Winkels Z zu dem Sinus des Bogens>DE ist gleich dem Verhâltnis des Sinus des Winkels D zu demSinus des Bogens EZ und gleich. dem Verhâltnis des Sinus desWinkels E zu <dem S.inus> des Bogens ZD.

Wenn wir wissen wollen, daroh welchen Punkt des Bogens 9AZ der Kreis geht, der zu Kreis BG parallel ist und bei dem dasVerhâltnis seines Durchmessers zu dem Durchmesser des Kreises,der zu Kreïs BG parallel ist und duroh Punkt D geht, gleioh istdem Verhâltnis von sin GH zu sin DE, und (wenn wir wissenwollen,) darcb. welchen Punkt der Kreis geht, der zu Kreis BGrparallel ist und bei dem das Verhâltnis seines Durchmessers zu 12dem Durchmesser des Kreises, der parallel zn Kreis BG ist und

werk".) Disse beiden Formen sind nun — glaube ich — aïs tîbersetzungen des-selben Titels zu erklâren: rtçayp. = 1) çinâ'a (Tâtigkeit, Gewerbe), 2) Icitâb(Schriftstiick, Buoh); •Aa&élov = 1) Icullî (allgamein, auf das Ganzo bezûglioli),2) ycmii' (sammelnd, unifassend). Daa •wâre zugleich eiu weiterer Beleg fur meinenin I § 4 erbrachteu ïTachweis, daB N und Ma-H auf zwei verschiedene tîber-setzungen zurûckgehen.

2) Bei T schlieGt sicli an die Wiedergabe dieser Stalle noch folgendes Zitataus ïf (felilt L) au: ,,Es sagt Abu Nasr: Theodosius bewies in den Sphaerika indem 11. Satz des m. Teils, daB das Yerhaltnis des Bogens GH zu dem Bogen DEkleiuer aïs das Tei'hâltnis des Kugeldurclimessers zu dem Durchmesser des Par-allelkreises ist. So braudieu wir es uicht zu wiederholen, Was Menelaos l)e-•sveist, ist, dafi das Verhâltnis von siu GH zu sin DE kleiner aïs jenes Vsrlialtnisist. Es gibt (auch) eïn Yerlialtnis, das grOBer aïs das Verhâltnis von sin GH zusin DE ist und kleiuor aïs das Verhâltuis des Bogens GH zu dem Bogen DE ist,und ebenfaDs ein Verhâltnis, das ïhni gleioh ist. Duroh den Beweis, daB dasVerhâltnis des Kugeldurohmessers zu dem Durchmessar jenes Kreises grOBer istaïs das Verhâltuis der beiden Sinus, wird nioht klar, daB es grOBer ist aïs dasVerhâltnis der beiden Bogen".

18

21

Deutsche Oborsetzuug der Spharik. 241

der durch Punkt E geht, gleich déni Verhâltnis von sin GH zusin DE ist, so nehmen wir *) AB im MaB von BH nnd TK ini Mafivon HG und ziehen die Bogen ZTM, ZKL, wie auch immer diebeiden Punkte T, K fallen mogen. Dann ist das Verhâltnis von

15 sin ZT zu sin ZD und das Verhâltnis von sin ZK zu sin ZE gleichdem Verhâltnis von sin GH zu sin DE; denn der spitze WinkelD miBt die Ergânzung der Schiefe von BG tind der spitze WinkelE miBt die Ergânzung der Schiefe von BH.

Diesen Satz hat Theodosius bewiesen, Wir stellen seiner lïgur(oder ,,Satz") eine Prâmisse2) voran.

Seite BG3) von Dreiecfc ABG ist nicht kleiner aïs Seite AGund zu der Seite AG geht irgendwie die Gerade BE. So behaupteich, daB das Verhâltnis von GA zu AE groBer aïs das Verhâltnisdes Winkels BEA zu dem Winkel BGA ist.

Denn wir ziehen GZ parallel zu BE und ziehen AB zu ihni,bis sie beide in Z zusammentreffen. BG ist nicht kleiner aïs AG.Also ist ZG groBer aïs BG*). Wir setzen Punkt G aïs Hittel-punkt und beschreiben uni ihn mit dem Abstande BG den BogenABH. So trifft der Bogen BH die Gerade ZG zwischen den beiden

24 Pnnkten Z und G, und wenn5) AG nicht kleiner aïs BH ist, sotrifft er ihn in Pnnkt A8). Klar ist, daB das Dreieck ABG kleineraïs der Sektor ABG ist und das Dreieck ZBG groBer aïs derSektor BHG ist. Aber das Dreieck ZBG verhâlt sich zu demDreieck [L 52 a] ABG wie sich ZB zu BA verbalt. Also ist dasVerhâltnis von ZB zu BA grb'Ber aïs das Verhâltnis des Sektors

100 GHB zu dem Sektor AGB. Durch Verbindung wird das Verhâlt-nis von ZA zu BA groBer aïs das Verhâltnis des Sektors AGHzu dem Sektor AGB. Das Verhâltnis des Sektors AGH zu demSektor AGB ist gleich dem Verhâltnis des Winkels ZGA zu dem

3 Winkel AGB, Winkel ZGA ist gleich Winkel AEB und ZA ver-hâlt sich zu AB wie GA zu AE. Also ist das Verhâltnis von GAzu AE groBer aïs das Verhâltnis des Winkels AEB zu dem WinkelAGB. Und das wollten wir beweisen!

Es stehe0) Kreis ABGD senkrecht auf den Parallelkreisen,S deren grôBter Kreis AZG sei, Kreis HZT sei gegen die Parallel-

1) In Figur VII 7.

2) Diese'~Prâmisse réf. T in seiner Atisgabe von Theodosius' Sphârifc imKomm. zu III11 (Ms. Florenz, Laur. 286, FoL 24 a/24 b).

3) In Figur VII S.4J In T's Beferat ,,EB".

3—5) In T's Eef. so nund trifft AG in D, das entweder eins mit A ist oderaiiBerhalb von AG liber A hinaus Jiegt".

6) In Figur VII 9.

des. d. Wiss. zu Oôttingen. Abhandlungen. Pliîl.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17. 1(J(Semderheft der Malh.-Phys. Kl.)

242M a x K r a u s B

Deutscke Ûberseteung der Spharik. 243

a±&

kreise geneigt und stehe auf Kreis ABGD senkrecht, E sei dasKugelzentruni, die beiden Punkte B, D die beiden Pôle der Par-aUelkreise und wir ziehen den GïoBkreisbogen NC.

So behaupte ich, daB das Yerhâltnis des Kugeldurchinesserszu dem. Durohmesser des Kreises, der zu Kreis AZG- parallel istund Kreis HT <in Punkt H beruhrt, grbBer aïs das Yerhâltnis 9des Bogens AC zu dem Bogen HïT ist>.

Demi wir ziehen die Durchinesser AEG-, BED und HET, sowieHLS parallel zu. déni Dorohmesser AEG. HLS ist der Durch-messer des Kreises, der Kreis HZT beruhrt und zu Kreis AZGrparallel ist. Der Durchmesser BED steht senkrecht auf allen 12parallelen Durchmessern. Wir zeichnen den Parallelkreis KrïM,ziehen den Durchmesser KEJVE und die gemeinsame Schnittlinieder beiden Kreise HZT, KM, die auf déni Kreise ABŒD senk-recht stehen, die also eine Senkrechte zu der Ebene AB&D ist.Weil B der Pol der beiden Kreise AZGr und KNM ist, so ist derBogen KN déni Bogen AO âhnlich und ist der Punkt 3?, der dem 18Durchmesser KEM und dem Durchmesser BED, der durch diebeiden Pôle der beiden Kreise AZGr und KNM, geht, gemeinsamist, der Mittelpunkt des Kreises KNM. Also mifit Winkel NEOden Bogen AC und "Winkel UEO den Bogen HN. Aber EO ist,da Winkel F [L 82b] ein Bechter ist, grb'Ber aïs EO, So setzenwir OJ gleich EO und verbinden EJ. Da Winkel NOJ ein Rechter 18ist, OJ gleich EO und NO gemeinsam ist, so ist der Winkel OJïfgleioh dem Winkel OEN. Aus dem Yorangestellten ist klar, daBdas Yerhâltnis der Q-erade EO zu der Gferaden. 03" grb'Ber aïs dasYerhâltnis des AYinkels OJN zu dem Winkel OEN ist. Also istdas Yeïhâltnis von EO zu OE grb'Ber aïs das Yerhâltnis <des 21Winkels AEG zu dem Winkel OEN. Das Verhaltnis des WinkelsAEC zu dem Winkel OErT ist aber gleich dem Yerhâltnis desBogens AC zu dem Bogen HN und EO verhâlt sich zu OE wie>der Bogen EH zu HL. Also ist das Yerhâltnis von EH, das derKugelhalbmesser ist, zu LH, welches der Halbmesser des Kreisesist, der Kreis HZT in Punkt H beruhrt, grb'Ber aïs das Yerhâltnis 24des Bogens AC zu dem Bogen HN. Und das wollten wir beweisen!

Satz 23. 101

Es sei1) jeder einzelne der beiden Kreise AB, BGr gegenden andern geneigt und wir ziehen einen Kreis durch ihre Pôle,auf dem Z, A, T (Hegen). Punkfc Z sei ein Pol des Kreises

1) In Figur TU 10.

5 TB von ihnen und wir ziehen ebenfalls von Punkt Z aus einenGrofikreisbogen, auf dem Z, K, M (liegen), sodaB dadurch ciel-Sinus des Bogens ZK proportional zu den beiden Sinus <derbeiden Bogen> ZM, ZA (und) zwischen ihnen beiden ist1). Wennwir so verfahren, haben wir den Durchmesser des Kreises, der zu

6 Kreis BT parallel ist und der durch Punkt K geht, zur mittlerenProportionalen zwischen dem Durchmesser der Kugel und demDurchmesser des Kreises, der Kreis AB beriihrt und zu Kreis BTparallel ist, gemacht.

So behaupte ich, daB der Unterschied zwischen den beidenBogen KB und MB bekannt ist, und daB jener grb'Ber ist aïs derUnterschied <zwischen> aïïen zwei Bogen, die auf dièse Weisegenommen2) sind.

9 Denn das Yerhâltnis von sin MZ zu sin. ZK ist gleich demYerhâltnis von sin ZK zu sin ZA. Also ist das Yerhâltnis desSinus des Bogens TM zu dem Sinus des Bogens AK gleich demYerhâltnis des Sinus des Bogens KB zu dem Sinus des Bogens MB.Aber Bogen BT ist dem Bogen BA gleich. Also ist Bogen TM

12 gleich Bogen KB und Bogen KA gleich Bogen MB. Aber da dasYerhâltnis des Sinus des Bogens MZ zu dem Sinus des Bogens KZgleich dem Yerhâltnis des Sinus des Bogens KZ zu dem Sinus desBogens AZ ist, und wenn das so ist, ist das Yerhâltnis des Kngel-durchmessers zu déni Durchmesser des Parallelkreises, der KreisAB <in Punkt A> beriihrt, gleich dem Yerhâltnis clés Quadrates,

16 das aus dem Sinus des Bogens ZM entsteht, zu dem Quadrat, dasaus dem <Sinus des> Bogens ZK entsteht, und dièses Yerhâltnisist gleich dem Yerhâltnis des Quadrates des Sinus des Bogens TMzu dem Quadrat des Sinus des Bogens KA. ITach Yerbindung undUmkehrung8) des Yerhâltnisses ist das Yerhâltnis der beiden obengenannten Di^anmes861' zusammen au dem Unterschied zwischen

18 ihnen beiden gleich dem Yerhâltnis des Quadrates4) des Kugel-durchmessers zu dem Unterschied zwischen den Quadraten4) derSinus <der beiden Bogen> TM, KA. Aber die beiden genanntenDurchmesser sind bekannt, also ist der Unterschied zwischen ihnen.beiden bekannt. Eolglich ist der Unterschied zwischen den beidenQuadraten4) der Sinus der beiden Bogen TM und KA bekannt,weil5) dièse beiden Bogen zusammen ein Viertelkreis sind. Also

1) D. h. mittlere Proportiouale zu ihnen ist, sin2 ZK = sin AZ. sin ZM.2) ngefunden" D (G und J lasen tiïyadûni statt lu'Tiadânï).3) D. h. aus ,,a:l) = c:d" entsteht ,,a: (a —1)) = o:(c —d)".4) Fehlt D.5) ,,und" D.

16*

244Max K r a u s e Deutsche Ûbersefeuug der Sphârik. 246

ist deslialb der Unterschied zwischen ihnen bekannt [L 53 a] und 2ler ist gleicli dem Unterschied zwischen den beiden Bogen MB

und BK.So behatipte ich, daB dieser Unterschied grôBer aïs jeder

Unterschied zwisclien zwei Bogen, die atif dièse AYeise genominen

werden, ist.Denn wir ziehen von Pankt Z die beiden Bogen ZDG, ZEH. 24

Dann ist das Yerhaltnis des Sinus des Bôgens GM'zu dem Sinusdes Bôgens DK gleich dem Yerhaltnis des Rechtecks, das derKugeldurehmesser nnd der Durchtnesserl] des Kreises einschliefien, 102der zu Kreis BT parallel ist tuid Kreis AB in Pankt A bertihrt1),<zu der IPlache, die die beiden Durchmesser8) der beiden Kreiseeinsckliefien, die dur oh die beiden Pnnkte K, D genen und zuKreis BT parallel 'sind2), Aber die Elache, welche einscblieBen 3der Kugeldurchinesser und der Durchmesser1) des Kreises, der zaKreis BT parallel ist und Kreis AB in Punkt A beriihrt1)> istgleich dem Quadrat, das aus dem Durchmessers) des Kreises, derdurch Punkt K geht und zu Kreis BT parallel ist8), entsteht.Dièses Quadrat ist grôBer aïs die Elâche, die die4) beiden Dureh-messer der beiden Kreise einsohlieBen, die durch die beiden Punkte 6K, D gehen und zu Kreis BT parallel sind*). Also ist Bogen GMgrôfier aïs Bogen DK. Ebenso wird gleiclifalls klar, daB BogenMil kleiner aïs Bogen KE ist. Da das so ist, so ist klar, daBder Unterschied zwischen dem. Bogen KB und dem Bogen 103grb'Ber aïs der Unterschied zwischen dem Bogen EB und dem Bogen 9BH ist <und> grb'Ber aïs der Unterschied zwischen dem BogenDB und dem Bogen BG- ist. Es ist klar, daB Bogen ZM es ist,der von den beiden Kreisen AB, BT zwei Bogen abtrennt, beidenen der Unterschied zwischen ihnen heiden grôfier ist aïs derUnterschied zwischen alleu zwei Bogen, die die Bogen abtrennen,die zu seinen Seiten. gezogen werden.

DaBr') Bogen HM kleiner aïs Bogen EK ist nnd daB Bogen 12

1 1) ,,nadir arcus an" D.2—2) ,,nadirei duorum arcuum fa, zk" D..3—3) Blcz" D.4_41 «nadirei duorum arcunm Hz, alf D. , . , ' - ,5) lu T's Kommentar m diesem Sat, findet sich ein AUsdun t, der luog-e^ JLr H eut— 1* htar ta L *« «at

cn dièses Satzes ist klar bei den Lagen der Diftereuzen iwiseSL Bcgen der Aufgange bei spuaera recta uud bei

nallttt zwischen den Ergtaungen der Neiguugeu der gleichan Gradeaus der Astronomie" (?).

MGr gro'Ber aïs Bogen KD ist, wenn der Bogen ZKM wie obengezogen wird, beweisen wir leichter tind miiheloser.

Es verhâlt sich nâmlich sin MGr za sin KD wie der Sinus des15 Winkels D zu sin KZ, iincl der Winkel D ist grôBer aïs der Bogen

ZK. Grleichfalls verhâlt sich sin MH zu sin EK wie der Sinusdes Winkels E zu sin KZ, und der "Wïnkel E ist kleiner aïsBogen ZK.

Was er dariiber sagt, wie man den Unterschied zwischen MTund KA kennt, so ist es (folgendermaBen) leichter.

Das Yerhaltnis der Surnrne des. Kagelclurckmessers tind desDurchraessers des Kreises, der Kreis AB in Pnnkt A berïïhrt, zu.

18 sin AZ ist gleich dem Yerhaltnis der Summe der beiden Quadrateder beiden Sinus von MT und AK zu dem Quadrat von sin AK.Grleichfalls ist nach dem, was wir gesagt haben, das Yerhaltnisdes Kugelhalbmessers zu déni Sinus des Unterschiedes zwischenden beiden Bogen MT und AK gleich déni Yerhaltnis des Qua-drates der Sehne der beiden Bogen TZ und AZ zusainmen zu demQuadrat der Sehne des Bôgens AT. Denn der Unterschied zwischen

2l MT und AK ist der Unterschied zwischen KB und MB und dieSumme von KB und MB ist ein Yiertel. Also ist der Sinus ihrerSumme der Kugelhalbniesser und das Yerhaltnis des Sinus derSumme der beiden Bogen KB, MB zu dem Unterschied zwischenihnen beiden ist gleich dem Yerhâltnis des Sinus der halben Er-gânzung des spitzen Winkels [L 83b] Z zu zwei rechten Winkeln

24 zu dem Sinus des halben Bôgens, der den spitzen "VVinkel B mifit,verbunden mit der Wiederholung.

Satz 24.Es sei jetzt1) Punkt Z ein Pol des Kreises BGr, Bogen BD

sei nicht grôBer aïs ein Yiertelkreis und Bogen GH sei grôBer aïsBogen DE.

103 So behaupte ich, daB das Yerhâltnis von GH zu DE kleinerist aïs das Yerhâltnis des Kugeldurchmessers zu dem Durehinesserdes Kreises, der zu Kreis BG parallel ist und durch Pankt D geht.

3 Denn Bogen BD ist nicht grb'Ber aïs ein Yiertelkreis, BogenDE ist kleiner aïs Bogen GH, Bogen BE ist grb'Ber aïs Bogen BHund das Yerhâltnis des Sinus des Bôgens GH zu dem Sinus desBôgens DE <ist zasamniengesetzt aus dem Yerhâltnis des Sinusdes Bôgens GZ aus dem Sinus des Bôgens ZD>2) und aus dem

1) lu Kigur YII 11.2) JErgânzt nach I).

246 M a x K r a u s a

Verhaltnis des Sinus des Bogens BH zu dem Sinus des Bogens BE. 6Deshalb ist das Verhâltnis des Sinus des Bogens GH zu dem Sinusdes Bogens DE kleiner aïs das Verhaltnis des Sinus des BogensGZ zu dem Sinus des Bogens ZD und dièses ist das Verhaltnisdes Kugeldurchmessers zn dem Durchmesser des Kreises, der durchPunkt D geht und zu Kreis BG parallel ist. Deshalb ist das Ver-haltnis von GH zu DE kleiner aïs das Verhaltnis des Kugeldurch- 9messers zu dem Durchmesser des Kreises, der durch Punkt D gehtund zu Ka-eis BG parallel ist; denn Bogen ZG ist ein Viertel-kreis und Bogen GH ist kleiner aïs ein Viertelkreis.

Und ebenfalls ist das Verhaltnis des Sinus des Bogens GH zndem Sinus des Bogens DE gleich dem Verhaltnis des Rechtecks, 12welches der Kugeldurchmesser und der Durchmesser des KreiseseinschlieBen, der Kreis BD beriihrt und zu Kreis BG parallel ist,zu dem Rechteck, das die Durchmesser der beiden Kreise ein-sehlieBen, die durch die beiden Punkte D, E gehen und zu KreisBG parallel sind.

So behaupte ioh, daB das Verhaltnis des Bogens GH zu dem 15Bogen DE groBer aïs dièses genannte Verhaltnis ist.

Denn Bogen GH ist groBer aïs Bogen DE. Also ist sein Ver-haltnis zu ihm groBer aïs das Verhaltnis des Sinus des BogensGH zu dem Sinns des Bogens DE, und dièses Verhâltnis ist dasVerhaltnis der Flache, die der Kugeldurchmesser und der Durch- 18messer des Kreises einschlieBen, der den Kreis BD beriihrt <und>zu Kreis BG parallel ist, zu der Flache, die die Durchmesser derbeiden Kreise einschlieBen, die zu Kreis BG parallel sind unddurch die beiden Punkte D, E gehen.

Also ist klar, daB, wenn der Bogen GH groBer aïs der BogenDE ist, dann das1) Verhâltnis des Bogens GH zu dem Bogen DE1) 2lgrofier und kleiner aïs irgend. ein beliebiges Verhâltnis ist, wennsein Verhaltnis zu ihm das Verhâltnis des Grbfieren zum Klei-neren ist.

Was er liber das Verhâltnis von GH zu DE sagt, daB esgrofier ist aïs das Verhâltnis der Plâ.ohe, die der Kugeldurchmesser 24und der Durchmesser des Kreises einschlieBen, der zu Kreis BGparallel ist [L 54 a] und Kreis BD beriihrt, zu der Plâche, die dieDurchmesser der beiden Kreise einschlieBen, die zu Kreis BG par-allel sind und durch die beiden' Punkte D, E gehen, so (ist dasklar) nach dem Erwâhnten.

Und wiederum ist das Verhâltnis von GH zu Bogen DE grôfier

1—1) Fehlt in D.

Deutsche Ubersetzung der Spharik. 247

27 aïs das Verhâltnis des Sirnis des "Winkels D zu sin ZE und aïsdas Verhâltnis des Sinus des Winkels E zu sin ZE,

104 Wenn klar ist, daB das Verhâltnis von sin GZ zu sin ZDgrofier aïs das Verhâltnis von sin GH zu sin DE ist, so ist darausallein (noch) nicht klar, dafi das Verhâltnis des Bogens GH zu dem

3 Bogen DE grofier aïs das Verhaltnis von sin GZ zu sin ZD ist.DaB er sagt ,,und das ist das Verhaltnis des Kugeldurch-

messers zu dem Durchmesser des Kreises, der durch Punkt D gehtund zu Kreis BG parallel ist" (+) sei von ihm, trotzdem es der

tî Eigur Theodosius1 bedarfJ). Denn wenn auch Theodosius fur denFall, daB jeder der beiden Bogen BD, BG ein Rechter ist, be-wiesen hat, daB das Verhaltnis des Bogens GH zu dem Bogen DEgroBer aïs das Verhâltnis von sin GZ zu sin ZD ist, so wird dochdurch einen leichten Zusatz dabei ebenfalls fur den Pâli, daB nioht

9 jeder einzelne von BD, BG ein Viertelkreis ist, klar, daB dasVerhaltnis des Bogens GH zu Bogen DE groBer aïs das Verhaltnisvon sin GZ zu sin ZD ist, nicht dadurch, dafi das Verhaltnis vonsin GZ zu sin ZD grofier aïs das Verhaltnis von sin GH zu sinDE ist. Und es sei fur das, was ich darstelle (?).

Wir lassen von Theodosius' Figur die Kreise ABGD, ÀZG,12 HZT mit den Durchmessern BD, AG, HT zuruckkehren2) und es

sei von HZ, ZA jeder einzelne kleiner aïs ein Viertelkreis, sodafiKreis HZT gegen Kreis ABGD geneigt sei. Wir ziehen BogenNC, wie wir ihn vorher gezogen haben, ziehen ebenfalls HLS zuDurchmesser AEG parallel und ziehen von-Punkt M" ans nach dem

15 Durchmesser HET die Senkrechte NQ. Da Kreis HZT gegen dieEbene des Kreises ABGD nach dem Halbkreis HAT hin geneigtist, so schlieBt jede Linie, die in der Ebene ABGD von dem Dnrch-messer HET aus in die Richtung der Schiefe gezogen wird, mitNQ, einen spitzen Winkel ein. Also ist die Senkrechte, die vonPunkt N aus nach der Ebene ABGD geht (?), mit dem Durchmesser

18 HET nach Richtung A hin (?). Es sei NO und wir ziehen durch,Punkt 0 die Gerade KOPM parallel zum Durchmesser AEG. Dannist sie der Durchmesser des Kreises, der zu AG parallel ist unddnrch Punkt N geht. Ebenfalls ziehen wir durch Punkt Q, dieGerade RQXV parallel zum Durchmesser AEG und verbinden

21 FN, EN .. .8). Und wenn*) Winkel NFO groBer aïs Winkel NEO

1) Der ïext seheint verdorben zu sein.2) In Figur VII12.3) Hier folgt in L wBrtlicli ,,und Mar ist, daB wir konstraiert liaben fur

"Wïnkel NFO, wenn er groBer aïs Winkel KEQ ist", was ich nicht richtigstellon kann.4) Besser Oda" oder — mit T — ,,iveil".

248 M a x K r a u s e Deutsche Ûbersetzung der Sphiirik. 249

ist, Winkel EQN ein Rechter ist, wie Winkel EON ein Rechterist und NE grbBer aïs EN ist, so ist EQ grbBer aïs 10, Es seialso [L B4b"l QJ gleicli EO und wir ziehen NJ. Da NO auf der 105Ebene ABGD senkrecht steht, ist NQ grbBer aïs NO. Eolglichist Winkel NJQ groBer aïs Winkel NFO, und das Verhaltnis vonEQ, zu QJ ist groBer aïs das Yerhàltnis des Winkels QJN zu dem 3"Winkel QEN. Also ist das Yerhaltnis Ton EQ, zu EO Tiel grbBeraïs das Yerhaltnis des Winkels NEO za dem Winkel NEQ, "Wirziehen OQ; dann steht es senkrecht auf dem Darchmesser <HET>,dessen Kreis gegen Kreis ABGD geneigt ist. Eolglich ist WinkelXQO stumpf. Also ist XQ kleiner aïs EO. Es Terhalt sioh aber 6EQ, zu QX wie EH zu HL, Also ist das Yerhaltnis Ton EH zuHL groBer aïs das Yerllâltnis Ton EQ, zu EO. Das YerhaltnisTon EQ, zn EO ist grbBer aïs das Verhaltnis des Winkels QJN,der groBer aïs Winkel NEO ist, zu Winkel NEQ. Also ist dasYerhaltnis Ton EH zu HL viel grbBer aïs das Yerhaltnis <desWinkels> NEO zu dem Winkel NEQ. Und das wollten wir be- 9weisen!

Wodurch bekannt ist, dafi OQ auf dem. Durchmesser HETsenkrecht steht, ist, dafi wir <nach> dem Duïchmesser HET irgend-wie die Gerade NU ziehen und OU Terbinden. Da Winkel UQNein Rechter ist, so ist das Quadrat liber NU gieich der Sninme 12der Quadrate liber NQ und QU. Ebenfalls ist NO auf der Ebenedes Kreises ABG senkrecht, also Winkel NOU ein Reokter. Eolg-lich ist das Quadrat liber NU gieich der Summe der beiden Quadrateliber NO und OU. Aber das Quadrat liber NQ ist gieich derSumms der Quadrate uber NO und OQ. Das gemeinsame Quadratliber NO wird abgezogen. Also bleibt das Quadrat ûber OU gleiclider Summe der beiden Quadrate ûber OQ und QU iibrig. Eolglichist Winkel OQU ein Rechter.

DaB XQ kleiner aïs EO ist, (ist deshalb der Eall), weil, wenn 15wir Ton Punkt Q aus auf EO eine Senkrechte ziehen, sie zwischendie beiden Punkte E, 0 fallt und Ton der Geraden EO eine Geradegieich XQ abtrennt.

Also ist allés klar, was wir genannt haben. Und das [L 55 a]muBten wir beweisen!

Satz 25. 1&

Und wiederainl Wir setzen1) den Bogen GH kleiner aïs BogenDE. Dann ist das Reehteck, das der Kugeldurchniesser und der

1) In Figiw ATI 13.

Durchmesser des Kreises einschliefien, der Kreis DB berlihrt und zn21 Kreis BG parallel ist, kleiner aïs das Reehteck, das die Durch-

messer der beiden Kreise einschlieBen, die durch die beiden PunkteD, B gehen und zu BG parallel sind; denn dièses Yerhaltnis istgleioh dem Yerhaltnis der Sinus der beiden genannten Bogen zu-einander.

106 So behaupte ich, daB das Yerhaltnis des Bogens GH zu demBogen DE grbfier ist aïs das Yerhaltnis des1) Durchmessers desKreises, der BD berlihrt und zn Kreis BG parallel ist, zu demDurchmesser des Kreises, der durch Punkt E geht und zu BG

3 parallel ist *) und kleiner ist aïs das Yerhaltnis des Rechtecks, dasder Kugeldurchmesser und der Durchmesser des Kreises ein-schlieBen, der Kreis BD beriihrt und zu BG parallel ist, zu demReehteck, das die Dnrchmesser der beiden Kreise einschlieBen,die2) durch die beiden Punkte D, E gehen und zu Kreis B& par-allel sind2).

6 Denn das Reehteck, das die") beiden Durchmesser der beidenKreise einschlieBen, die parallel zu Kreis BG sind und durch diebeiden Punkte D,'E gehen8), ist grbBer aïs das Reehteck, das derKngeldurchmesser und der Durchmesser des Kreises einschlieBen,der BD beriihrt und za BG parallel ist. Dann ziehen wir Ton.

9 Punkt Z aus zwei GroBkreisbogen, auf denen ZKM, ZLN (liegen),derart, daB dadurch jecles einzelne der beiden Rechtecke, dereneines die*) Durchmesser der beiden Kreise einschlieBen, die durchdie beiden Punkte D, L gehen und zu BG parallel sind4), undderen anderes die6) Durchmesser der beiden Kreise, die durch die

12 beiden Punkte E, K gehen nnd zu B& parallel sind5), gieich istdem Reehteck, das der Kugeldurchmesser und der Darchmesserdes Kreises einschlieBen, der BD8) beriihrt und zu BG") parallelist. Also fà'llt' Punkt L zwischen die beiden Punkte D, E und dadie genannten Elâchen einander gleioh sind, ist Bogen NG gieich

15 Bogen DL nnd Bogen MH gieich Bogen KE; und da dièse Eigurso ist, wie sie ist, so wird klar, wie es bei den Geraden7) klar

1—1) D ,,diametri (spere ad diametrtim) circulï qui tangit Ici et equidistatcirculo bij". () fehlt J.

2—2) eqmdïstantium circnlo bg qui transeunt per duo puucta a, cl" D.3—3) ,,die beiden Gegenstiicke (= nadirei) der beïden Bogeii EZ, ZD" J

(fehlt in G).4—4) ,,nadirei duorum arcuum de, lu" D.5—5) ,,nadireï duorum arcunni an, 7w" D.6) + ..Ereis" D.7) Ygl. dazu Bj (S. 122, Anm. 212).

250Max K r a u s e Deutsche Obersetzung der Sphai-ik. 251

wird, daB der Bogen LE einem der beiden Bogen MG-, NH gleichist. Er ist aber groBer aïs HH. Also ist der Bogen EL demBogen. MG- gleich und ist deshalb Bogen DK dem Bogen îsTH gleichtmd ist der ganze Bogen [L 55 b] G-H dem ganzen Bogen. KL tmd 18Bogen MÎT dem Bogen DE gleioh. Da wir vorhin bewiesen haben,daB das Yerhaltnis von MN za KL kleiner ist aïs das Yerhâltnisdes Kugeldurohmessers zii dem1) Durchmesser des Kreises, derdurcli Pimkt K geht und zu Kreis BG- parallel ist1), und dièsesYerhaltnis gleich ist dem Yerhaltnis des2) Durchmessers desKreises, der zaï BG- parallel ist und dùrch Punkt E geht2), zu 21dem Durchmesser des Ereises, der Kreis BD beriihrt und zuKreis BG- parallel ist, ist das Yerhaltnis von DE zu GEL kleineraïs das genannte Yerhaltnis und es ist deshalb das Yerhaltnis vonG-H zu DE grbBer aïs das Yerhaltnis des Durehmessers des Kreises,der <Kreis BD beriihrt und zu BG- parallel ist, zu dem Durch-messer des Kreises, der>s) durch Punkt E geht und zu BG- par- 24

allel ist.Wiedernm ist Bogen G-H kleiner aïs Bogen DE. Also ist das 107

Yerhaltnis des Bogens G-H zu dem Bogen DE kleiner aïs das Yer-haltnis des Sinus des Bogens G-H zu dem Sinus des Bogens DE.Es ist also ebenfalls kleiner aïs das Yerhaltnis des Rechtecks, das 3der Kugelclurchmesser und der Durchmesser des Kreises einschlieBen,der BD beriihrt und zu BG- parallel ist, zu dem Rechteck, das dieDurchmesser der beiden Kreise einschlieBen, die durch die beidenPunkte D, E gehen und zu Kreis BG- parallel sind. Eolglich isthier also ebenfalls klar, grbfier aïs welches Ding das Yerhaltnis 6von G-H zu DE und kleiner aïs welches es ist, in. jedem beliebigenYerhaltnis von den Yerhâltnissen des Kleineren zum G-rofieren, indem es zu ihm steht.

Ans dem, was wir sagten, wird klar, daB • — • wenn der End-punkt des Yiertelkreises Punkt D ist — dann das Yerhaltnis vonG-H zu DE kleiner ist aïs das Yerhaltnis des Kugeldurohmessers 9zu dem Durohmesser - des Kreises, der Kreis BD beriihrt und zuKreis BG parallel ist, und groBer ist aïs das Yerhaltnis desKugeldurchmessers zu dem Durchmesser des Kreises, der durchPunkt E geht und BG- parallel isfc, und daB • — • wenn der Endpunktdes Yiertelkreises zwischen den beiden Punkten D und E wiePunkt L ist — , dann, wenn die beiden Bogen DL, LE einander 12gleich sind, das Yerhaltnis von G-H zu DE kleiner und groBer aïs

1 — 1) ,,nadir aïcus les" D.2—2) niiaûir arcus ez" D.3) Ergtet naeh D.

die beiden oben genannten Yerhâltnisse ist, gemaB dem dort Dar-gestellten. Wenn nun die beiden Bogen DL, LE einander ungleichsind, so ist das Yerhaltnis von G-H ebenfalls zu DE kleiner aïsdas Yerhaltnis des Kugeldurchmessers zu dem Durchmesser des

16 Kreises, der BD heriihrt und BG- parallel ist, tmd grb'fier aïs dasVerhâltnis des Kngeldurchmessers zu dem Durchmesser des Kreises,der durch den von Punkt L entf ernteren a) der beiden Punkte D, Egeht und zu Kreis BG- parallel ist. Und das wollten wir beweisen!

Wisse, daB der Satz Menelaos', dafi Punkt L zwischen die18 beiden Punkte D, E fâllt, allgemein (ausgesprochen), ein verderbter

Satz ist [L56a].' Denn Punkt L fâllt nur dann zwischen diebeiden Punkte D, E, wenn zwischen den beiden Punkten D, E derKreis (liegt), der von den beiden Kreisen BD, <BG> die beidenStiicke abtrennt, bei denen der TJntersohied zwischen ihnen beidengrofier ist aïs ein Unterschied, der zwischen zwei Bogen besteht,

2l die von den beiden Kreisen BD, BG- die von Pol Z aus gezogenenBogen abtrennen. Wenn aber dieser Kreis nicht zwischen diebeiden Punkte D, E fâllt, so fâllt Punkt L nicht zwischen die beidenPunkte D, E. "Wenn der genannte Kreis zwischen die beiden PunkteD, E fâllt, fâllt er auch zwischen die beiden Punkte D, L.

24 "Wenn er sagt, daB dièse Kreise auf die genannte "Weise ge-108 zogen werden, ohne eine Bedingung hinzuzufûgen, so stinunt damit

ebenfalls der Beweis nicht in jedem Pâlie.Denn2) von Punkt Z aus werden zwei Kreise nach Kreis BD

so gezogen, daB das, was von ihnen zwischen BD xind zwischen Zfâllt, zwei gleich groBe Bogen sind, (dann?) ist der Endpunkt des

3 Yiertelkreises zwischen den beiden Pnnkten D und K. Sodanuwird ebenfalls von Punkt Z zum Kreis BD nach der Richtung Bvon dem Endpunkt des Yiertelkreises aus ein Kreis gezogen, sodaBdas von ihm, was zwischen BD und zwischen den Punkt Z fâllt,ein Bogen ist, der dem Bogen ZK gleich ist. Mit diesem Kreis

6 stimmt die Beweismethode. Aber mit Kreis ZKM (stimmt sie)nicht, wenn der Endpunkt des Yiertelkreises zwischen den beidenPunkten D und K liegt, (auch dann nicht), wenn das Rechteck,das der Durchmesser des Kreises, der durch Punkt E geht undzu Kreis BG- parallel ist, und der Durchmesser des Kreises ein-schlieBen, der durch Punkt K geht und zu Kreis BG- parallel ist,gleich ist dem Rachteck, das der Kugelclurchmesser und der Durch-

9 messer. des Kreises einschlieBen, der Kreis BD beriihrt und zu

1) nper spatûun" D (bibu'd statt2) Bei dem Nachstfolgenden stimmt anscheinend wieder der Text nicht, ohne

daB ich jedoch die vei'derbte Stelle genau zu lokalisieren wivRte. Ich habe michnur bemiiht, eimgermaGen den Sinn zu treffen,

252 Max K r t i u s e

Kreis BG parallel ist, Denn wenn atich die beiden Sinus MH, EKzwei gleicke Sinus sind, so nient deshalb, weil die beiden BogenMH, EK einander gleich sind, sondern weil sie zusainmen einHalbkreis sind. Also muB in der Bedingung. hinzugefiigt werden,daB die beiden Bogen nach dem Viertel gezogen werden} in déni 12die beiden Punkte D und E (liegen), gleichgiiltig, ob Punkt Lzwischen die Punkte D und E fâllt, oder nient.

Und wiederuni I Der Tinter s chied zwischen den beiden BogenBD nnd B& ist groBer aïs der Unterschied zwischen ïrgend zweiBogen gemâB dieser Eigenschaft1), Also geht <nach> dem Viertel,in dem die beiden Punkte D, E sind, von Punkt Z aus kein Kreis, 15(der der Bedingung geniigt) daB die Elâehe, die der Durchrnesserdes KreiseSj der durcli Punkt D geht und zu B& parallel ist, undder Durckmesser des Kreises einschlieBen, der zu B& parallel istund durch denselben Pankt des Yiertels mit D n.nd E geht, durohden jener Kreis geht, gleich ist der Mâche, die der Kugeldnrch- 18messer nnd der Durclunesser des Kreises einschlieBen, der BD be-riihrt und zu BGr parallel ist. Yielmehr ist jene Elâche entwedergroBer oder kleiner. Denn das Quadrat des Durchmessers desKreises, der durch Pankt [L B6b] D geht und zu B& parallel ist,ist gleich der Elâehe, die der Kugeldurchmesser imd der Durch-messer des Kreises einschliefien, der BD beriihrt nnd zu BGr par- 21allelist. Also isi es ebenfalls .nicht injedem Ealle moglich, die beiden |Kreise getnâB der genannten Eigenschaft nach dem Viertel mit D Iund E zu ziehen. Aber wenn der Unterschied zwisehen BD undBGr der groBte Unterschied ist, der <zwischen> zwei Bogen geinâBdieser Eigenschaft besteht, so geniigt es fur uns beim Beweis, denKreis ZKB1 derart nach dem Yiertel, in dem die beiden Punkte 24D, E sind, zu ziehen, daB dadurch das Rechteck, das der Durch-messer des Kreises, der durch Punkt E geht und zu Kreis B&parallel ist, und der Durchmesser des Kreises einschlieBen, derdurch Punkt K geht und zu dem Kreis BG parallel ist, gleich istdem Rechteck, das der Kugeldurchmesser nnd der Durchmesser 109des Kreises einschlieBen, der Kreis BD beriihrt und zu Kreis BGparallel ist. Nur mtissen bei der Verifizierung (?) dièse beidenEalle (? eigentlich nBegriff") angefiihrt werden, sodaB die beidenKreise nach dem genannten Viertel gezogen werden, wenn es 3moglich ist, und sonst ein einziger Kreis gezogen wird. Dannstimmt der Beweis.

Nach unseren Grundsatzen ebenfalls! "Wir sagen, daB das

1) D. h. die auf dièse AYeise gozogen siud.

Deutsche Obersetzung der Splmrik. 263

Verhâltnis von sin GH <zu sin DE?>, wenn es das Verhâltnis desKleinereii zum GroBeren ist,. kleiner ist aïs das Verhâltnis des

(i Sinus des Winkels D zu dem Sinus von ZE und aïs das Verhâlt-nis des Sinus des Winkels E zu sin ZD; denn jedes jener beidenVerhâltnisse ist das Verhâltnis von sin GH zu sin DE. Nachdem Vorangestellten wird klar, dnrch welchen Punkt des KreisesBD der Kreis geht, der von Punkt Z gezogen wird, sodaB sein

9 Bogen, der zwischen Punkt Z nnd zwischen Kreis BD fâllt, denWinkel E rniBt, nnd dnrch welchen Pnnkt der geht, bei dem das(Stiick) zwischen Punkt Z und zwischen Kreis BD den WïnkelD mifit.

Wenn wir (wissen) wollen, grb'Ber aïs welches Ding das Ver-12 hâltnis von GH zu DE ist, gemâB dem, was Menelaos sagt, ohne

daB wir der genannten Bedingung bedûrfen und auch ohne daBwir von der Môgiicbkeit (bzw. Unmoglichkeit ?) reden, so verfahrenwir folgendermaBen.

"Wir ergânzen1) jeden der beiden Bogen BD, BG durch diebeiden Bogen DS, GM zum Viertelkreis, nehmen MÎT gleich BE,NK gleich ED, ziehen die beiden Grofikreisbogen <Z>LN, ZTK

15 und ebenfalls den GroBkreisbogen ZS und verlângern ihn bis KreisBG. So trifft er ihn in M. Da Winkel BLN die Erganzung derSchiefe von MN mifît nnd MN gleich BE ist, so miBt Winkel BLNden Bogen ZE. Ebenso wird auch klar, daB der Winkel BTK

!S den Bogen ZD miBt [L 57 a], Da das Verhâltnis <des Sinus> desBogens BN, der gleich Bogen ES ist, zu sin BL gleich ist demVerhâltnis des Sinus des Winkels BLN zu dem Sinus des rechtenWinkels ÎT und das Verhâltnis des Sinus des Bogens ES zu dem.Sinus des Bogens MH gleich ist dem Verhâltnis des Sinus desBogens ZE, den Winkel BLN miBt, zu sin ZH, so ist Bogen MH

2l gleich Bogen. BL. Also bleibt Bogen LS déni Bogen BH gleichttbrig. Ebenso miBt Bogen ZL den Winkel BEH; denn dieserWinkel miBt die Erganzung der Schiefe der Erganzung von BH (?).Ebenso wird klar, daB Bogen ZT den Winkel BDG miSt. Daraus

2i erhellt, daB das Verhâltnis von sin KN" zu sin LT gleich ist déniVerhâltnis von sin DE zu sin HG. KN ist gleich ED. Also istLT gleich HG. Dann vervollstândigen wir den Rest des Beweisesâhnlich dem, was Menelaos gesagt hat. So ist klar, daB das Ver-hâltnis von GH zu DE — • wenn es das Verhâltnis des Kleinerenzum Grofieren ist — groBer aïs das Verhâltnis von sin ZS zu sin

HO ZE ist tind kleiner aïs das Verhâltnis der beiden von Menelaos

1) In Figtir YII 14.

254 Max K r a u s e , Deutsche Obersetzung der Sphimk.

genannten Elâchen zueinander. Und ebenfalls kleiner aïs das "Ver-hâltnis des Sinus des Winkels D zu sin ZE nnd aïs das Yerhaltnisdes Sinus des Winkels E zu sin ZD. Und von clem, was Menelaossonst noch sagt, ist das, \vas er jenem folgen lâfit, klar ans dem, 8was er Yoranstellt und wir angefiihrt haben.

Dies ist das Ende YOH Menelaos' Bach. Grott bittet man umschone Kechtleitung anf den nrechten "Wegen der Dinge". Er wu-'dgepriesen in den ,,WechselfâUen der Zeiten".

Beendet wurde die Yerbesserung in den Monaten des Jahres398 der Hedsohra (begann am 17. IS. 1007). 6

Und beenclet wnrde die Abschrift am Donnerstag, den 25,Dschumada II des Jahres 678 (2. NOY. 1279). Lobpreis sei Grott— Erhaben ist Er — wegen seiner Wohltaten xmd Grott segneseinen Propheten und spende ihin Heil!

Nachtràge uiid Verbessemngen zitm arabisclieiL Text,

3, 5 Lies wohl v_j KtiS[J LJÂ,»] jCxi^Uil / 8, 9 &•&&;.} in

bessert L / 3, 23 l^ L / 4, 15 App. ol,jt*oc/> L / 6, 6 ^Wi L / 12, 4

J.*^ anch L / 13, 25 Ua*> L. "Weiterhin nicht angegeben, da

Pnnktierung oft wechs elt. / 15,4 App. oL^L^x^ (Drnckf.) / 16,21

53 anch L / 17, 16 3ST] 3l L / 18, 11 Lies ^L[^ »]U,U=, / 23, 21

JX& 0<Ai L / 27, 6 j.9,, L, 1. / 28, 9 y>] 1. J» / 30, 11 U/ L /

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anf Z. 2 / 39,7 ^iû^ L | 40,16 ^] j L / 43,10

/ 45,14 JJG. L / 45,18 App.: 1. 70,5 / 46,17 1.

mit L / 46, 24 App. . L / 47, 22 App. L / 49, 17

L / 50, 1 3^ L / 50, 11 ^yy L / 51, 3 1 3 auch L / 51, 3

jskao L | 53, 21 1. l!?,x*j mit L / 58, 23 App. 1. 20 / 55, 4 1. X-yjylt

mit L / 63, 20 1. \t L / 65, 16 L / 66, 1 App. e>A=-S L /

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Des. d. Wiss. zu Oôttingen, Abhandlungen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr, 17.(Sonderheft der Matt.-Phys. Kl.)

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Oes. d. Wiss. zu Oottingen, Abhandlungen. Phil.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17.(Sonderheft der Math.-Phys. KU

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3. XjjL».^] doppelt L. — 10. . . .]. Mogliolierweise so zu erganzen:

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jS Oj — 12, £=-.->] »^^ — 13. ï a. E. — 14.— TU, 3.

Textzeuge ist hierfûr auch in gewisser Beziehung eiue Glosse in Sa, fol. 204a, die

so lautet:

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— <. . .> erg. iiach D — 13. I5^] y> L. — L. — 1S.

L. - 17. û] S L. - 18. <. . .>] erganzt uach D. - 21. (?) . . . *] so L, zu

verderbt, aïs dafi ich es siolier lesen kijnnte. — 24. «i^jj ^^^ L'

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L. — 4. ^ i_i L. — 8. i_j ,>_) L — 0^_j L. — 10. U Â / > L.i<« L.

- 12' ] L - P)**^] ^ L - 13-

L, oder ). ^iû (?) — 15. ol] ôï L — Lx=-y>] Lu>.s-! 1. — 22. yO^L

Aj-sLJ! L — A/ol L- — 24. :>vj Is-u) L.

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(^weimal) L. — 13. JJ: ] Js>./<i L — <...>] nacli D. — 14. =!J „{ L.

— 16. u >> , darauf folgt in L dieser Passus, dsn ich gestrichen hâte,

„! (_5^1_v*^ uJc QÎ3. Der Text in L ist von ôi)U ab stark

Yerderbt; nach G muB es in der Vorlage etwa so gelautet haten (Liioken in J

sind durch [. ..] gekennzaichnst) : ^gJJI Or- ci J U

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J entsprioht yon û i ) U ab rnehr dem ïext bel N:

o l . , j ^ ^LJI e ,

(Nacli o! 18 findet si«h in D eine Stella, die in L feb.lt; vgl HA § 1)

J.] so U Jjs D. — 2. yb^jLMX*] OL r^j L — XiiSJ] LS^iuu L- — 6.

~ L.L. - 14. L - D L. - 16.

II18-19

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L. - 9.

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II 19— 20

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D — <...>] nach D. • — 9. ^y

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X^l^It L. — 7. <Jc^JiJ!>] erg. naoh.

D <jïjLa L. — 1Y. O(jà] ^-Jtji L- —

j ^kcl ï] a. B. — 26. pj] D gj«O L.

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7/8. <...>] D. — 10. yïô] D j L. — H. <J5>]D. — 16. X

L. — 17. 15W>S] 3 L. — 21. o^^^ljU] (j^^WU L.

II 21 u. Prâmissen

(Fig. T6)

[L. 32a]

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2.0|»]o_.L. — ô-u^j^ljUJL^lj^U L. — 6. voJojBL. — 7.

L. — 7 (zweimal). ^o] ^.j L. — 9. o^â] ùyà L — o^b

L. ^- 11. u^l3U] (j^WU L. — 14/23: Pramisse I = Ptolemaus Almagesl

(éd. Heiberg) I6823-692o (= Obers. I45i8—46»). — 16. Vj] o<L L. — 171

}=>• L. — 18. ~al U L. — 20. J>' XA_«O [>i. u^M,3 L.

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Ces. d.Wiss.zu Oôttingen, Abhandltmgen. Phil.-Hist Kl. 3. Folge, Nr. 17.(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

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lilsl ii dopp. L.

Des. d. Wlss. zu Oôttlngen. Abhandlungen. Phïl.-Hist. Kl. 3. Folge, Nr. 17. f(Sonderheft der Math.-Phys. Kl.)

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imper secundnm. modum ciuem diximus in illis qua sunt premissa ^y Flta iTlp'1

d^p»naa UIÛOB> n»l ]»at Vy ûnp uisr IU>K D'iain) B> — 6- ^s] ^s

L. — 8. Ij] "Iï L. — 10. yt^ 5J o!j iîb^ L. — 13. LsJO^L] acceptione

eorum G inn^a J »^>l) L- — 15' vXJ D J^ L' ~ 18/19- <•••>] D- —

19. <_.,>] D. — 20. uiyo] + l^jj (p QJ) J. — 21. îU&T ajv^>] L cU

(res istas t^imn ibs) D — L L-jlKi" Q^ D.

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III18—19

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8. <...>] D. — 18. X-olÂJ!] XAJUJI D (secundos niiJiyn) ^AJ'LÀJI L. — 18. i}~ji_j

L. — 21. p-v] f- •'-'• — ^8' y>. ] k> '• t^AAJ? nachD (declarautur ergo 1^5)1^).

— 24. <T>] T.

11 H! 19—20

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(Kg. VII3 ,:£., SUjS v XiaSJ' iA.Àc ^M KJ

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^5] J5 L. — <...>] D. .— 16. ... g-i] dopp. L. — 18. idj <ifc-

L. _ 20. va^AwUj] v_~wUJ' L. — 23. L+>3]? U L.. — 26. il d> o(. yvj

âopp. in L.

III 20—22

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(Kg. VII 5;

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Tafel III.

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Tafel IV

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Tafel VI.

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