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  • 8

    Max Sense

    DER "GÖDELSCHE BEWEIS" IM SYSTEM DER THEORETISCHEN SEMIOTIK

    l.

    "Ein Beweis ist nur das Pflaster, auf dem der Karren des Mathematikers rollt". Ch.S. Peirce

    Es handelt sich im Folgenden um eine ergänzende s e m i o -

    t i s c h e Begründung zum sogenannten "Gödelschen Beweis" des

    Satzes, daß eine zugleich widerspruchsfreie und vollständige

    Ableitung aller relevanten Sätze einer mathematischen Theorie

    aus ihrem Axiomen-System (wie es Hilberts diesbezügliche

    Konzeption verlangte) nicht möglich sei (1931).

    Zunächst bedeutet also Gödels "Beweis", daß die von Hilbert in-

    augurierte metamathematisch und finitistisch intendierte

    axiomatisch-deduktiv .. logische Methode der "Tieferlegung der

    Fundamente" logisch-mathematischer Systeme keineswegs als die

    t i e f s t e "Tieferlegung" der "Fundamente" verstanden werden

    kann. Darüber hinaus bedeutet damit G öde ls "Beweis" jedoch

    zweifellos auch eine deutliche Limitierung der logisch-axiomatisch-

    deduktiven Beweisidee bzw. ihres Folgerungsschemas derart, daß

    die t i e f e r e "Tieferlegung" erst hinter der bezeichneten

    Limitierung beginnt. Tatsächlich besteht die logische und mathe-

    matische Denkweise im reinen Sinne und damit das Schema einer

    Beweisführung in einem F o 1 g e r u n g s s y s t e m, dessen

    letzter Schluß es als B e w e i s bestätigt. Die widerspruchs-

    frei gedachte W a h r h e i t des letzten Schlusses ist die nur

    denkend erscheinende i n t e 1 1 i g i b 1 e R e a 1 i t ä t

    (Wirklichkeit) der Entität "Beweis".

    Schon Felix Klein hat in seinem "Erlanger Programm" (1872) davon

    gesprochen, daß das Verhältnis der Mathematik, genauer: der

    Geometrie, zur Wirklichkeit ausserhalb des Denkens, außerhalb

    des mathematischen Denkens liege und demnach auch mathematisch

    nicht diskutiert werden könne. Hugo Dingler formuliert dazu:

  • "Der Mathematiker hält sich allein an die rein logischen Zusammen-

    hänge, das heißt,seine Arbeit beschränkt sich auf die hypothetisch-

    deduktiven Systeme." Damit stellen also Klein und Dingler fest,

    "daß die Mathematik kein Mittel besitzt, um die Frage der Wirklich-

    keit zu behandeln". (vergl. H.Dingler,"Geometrie und Wirklichkeit",

    Dialectica, 35/36, 1955) Doch auch das, was n u r den k e n d,

    d.h. als formulierter oder formalisierter Gedanke (wie Hilbert,

    Curry und die Bourbaki es auch ausdrücken) existent wird, ist

    schließlich eine Wirklichkeit, eine in Zeichenrelationen themati-

    sierte "Realität", wie die Theoretische Semiotik sagt. Am frühsten

    in der Geschichte der Mathematik in Amerika hat sich wohl Benjamin

    Peirce, ·der Vater von Charles S. Peirce und (nach F. Klein) eigentli-

    che Begründer einer eigenständigen mathematischen Forschung dieser

    Konzeption der Mathematik angenähert. In den von J.M. Peirce, dem

    Bruder von Charles, 1881 herausgegebenen Lowell Lectures (1877-78)

    "Ideality in the Physical Sciences" gibt Benjamin eine diesbezügliche

    Definition der Mathematik: "Ideality is pre-emintly the foundation

    of the mathematics". (p.l65) Diese "Ideality" des Verfassers der

    "Linear Associ-ative Algebra" suggeriert natürlich "Platonismus",

    und S.F. Barker hat denn auch in seinem Beitrag zur Festschrift

    zum sechzigsten Geburtstag Kurt Gödels ("Foundations of 1-'lathematics",

    1969) von einem "Platonismus" gesprochen, der in Wahrheit ein

    "Realismus" sei', "a realm ;of real, non-spatial, non-mental,

    timeless objects", kurz ein mathematischer Realismus. In seinem

    Zusammenhang reflektiert B~rker natürlich auch auf Gödels Unvoll-

    ständigkeitstheorem. Er sieht es als eine Konsequenz des Theorems

    an, daß weder die Zahlentheorie noch die Mengentheorie gleich-

    zeitig "consistent and complete" formuliert werden können, woraus

    folge, daß weder "Mengen" noch "Zahlen" als reale Objekte im Sinne

    eines üblichen materialen Objekt-Realismus verstanden werden können.

    Alle diese limitierenden Probleme wissenschaftstheoretischer Grund-

    lagenforschung legten es nahe, sich mit Übergängen bzw. Zuordnungen

    zwischen system-interner Mathematik und dem mathematik-externen

    System der Wirklichkeit zu befassen. Es wird demnach ein operables

    theoretisches System benötigt, in welchem diese Übergänge bzw.

    Zuordnungen zum formalen und inhaltlichen Thema gehören, d.h.

    innerhalb dessen Methodik die zeichen- und sprachinterne Ausdrucks-

    bildung zugleich einem definierten zeichen- und sprachexternen

    System von rekonstruierbaren Realitätsverhältnissen zugeordnet ist.

    9

  • Dieses benötigte Doppelsystem zeichenthematisierter Repräsentations-

    klassen und coordinierter zeichenthematisierter Realitätsklassen

    liegt gegenwärtig nur in der Theoretischen Semiotik vor. (vergl.

    M. Bense , Vermittlung der Realitäten, 1976; sowie E. Walther,

    Allgemeine Zeichenlehre,2.Ed. 1979).

    2 .

    Die Theoretische Semiotik ist eine systematische Weiterentwicklung

    der von Peirce (zwischen 1865 und 1867) eingeführten "triadischen

    Zeichenrelation", bestehend aus einer geordneten Folge einer

    "monadischen", "dyadischen" und "triadischen Relation".

    Für diese triadisch geordnete Relationsfolge schreibt er auch

    "Firstness" (Erstheit), "Secondness" (Zweitheit), "Thirdness"

    (Drittheit) im Sinne formalisierter "Universal- bzw. Fundamental-

    kategorien". Auf den triadischen Ze·ichenbegriff angewendet, spricht

    er vom "Zeichen als solchem" (Erstheit), vom "Obj~ktbezug" des

    Zeichens (Zweitheit) und vom "Interpretantenbezug" des Zeichens

    (Drittheit).

    Heute schreiben wir für die "triadische Zeichenrelation":

    ZR 3 ( . 1., . 2., .3.} bzw. ZR 3 (M, O, I)

    Diese formalisierte bzw. generalisierte Form der triadischen

    Zeichenrelation ist noch kein konkretes Zeichen, sondern nur das

    fundamentalkategoriale Schema, das Repräsentationsschema des

    generellen dreisteiligen Peirceschen Zeichenbegriffs.

    Erst mit der Einführung der (auf Peirce zurückgehenden) S u b-

    z e i c h e n - die als cartesische (innere) Produktbildungen auf

    den drei Gliedern der fundamentalkategorialen Relation (als Zeilen

    bzw . Spalten) konstruierbar sind - in die allgemeine formale

    Zeichenrelation an Stelle der kategorialen Glieder gewinnt man die

    differenzierten triadischen Zeichenrelationen als zehn operable

    "Zeichenklassen", die ich hier nur andeute:

    Die drei homogenen Zeichenklassen für M, 0 und I

    3.1 2.1 1.1 (bzw. IM OM MM)

    10

  • 3.2 2.2 1.2 (bzw. IO 00 MO)

    3.3 2.3 1.3 (bzw. II OI MI)

    Nun ist ein Zeichen als solches n u r v o 1 1 s t ä n d i g als

    t r i a d i s c h e Relation, nicht als monadische und nicht als

    dyadische Relation, d.h~ nicht als ein Elementarzeichen (M, 0 oder

    I) und nicht als dualer Zeichenbezug (wie 1.2, 2.3, 3.1 etc.). Das

    heißt aber, daß nur das v o 1 1 s t ä n d i g e S u b z e i -

    c h e n des Interpretanten, also "3.3" bzw. "II" bzw. der "argu-

    menti s che Interpretant" ,etwa im Sinne eines vollständigen logisch-

    mathematischen "Beweises", dem Begriff der Vollständigkeit (die als

    triadische Relation fungiert) genügen kann. Dazu ist jedoch noch

    zu bemerken, daß, wie der monadische, dyadische und triadische

    T e i 1 der triadischen Relation einen externen B e z u g auf-

    weisen, auch die vollständige Relation jeder Zeichenklasse als

    Ganzes einen (zeicheninternen oder zeichenexternen) differenzierten

    kompositionellen, homogenen oder inhomogenen Realitätsbez ug aufweist ,

    der al s solcher bisher oft vernachlässigt wurde, Die operationelle

    Regel, die, angewendet auf die zur Disposition stehende Zeichen-

    klasse,au s dieser die singulär determinierte "Realitätsthematik"

    ( wie wir sage; ) erreichbar macht, stammt ursprünglich aus der

    Geometrie. Es handelt sich um -das "Poncelet-Gergonnesche Prinzip

    der Dualität". In der projektiven Geometrie (die metrische Geometrie

    kennt dieses Phänomen nicht) handelt es sich dabei, wie R. Courant

    und H. Robins sich ausdrücken, um eine Vertauschungsregel für als

    "dual" bezeichnete Elemente wie z.B. Punkt und Gerade. (Führen wir

    für die Operation der Dualisierung das bezeichnende "x" ein, dann

    erweisen z.B. sich folgende Aussagen als dual:

    Eine G e r a d e Ein p u n k t

    wird bestimmt durch wird bestimmt durch X

    zwei getrennte zwei sich schneidende

    Punkte Geraden

    Die "Dualität" (Vertauschungsrelation) dieser (definitorischen)

    Sätze ist, wie man bemerkt, auch dadurch gegeben, daß sie wechsel-

    11

  • seitig eine projektive Realisations~F o r d e r u n g (postulato-

    r isch) einschließt.

    Da nun weiterhin die Repräsentationsverhältnisse der "triadischen

    Zeichenrelationen" der "triadischen Zeichenklassen" generell als

    externe Be z ü g e und damit als semiotische P r o j e k t i o n

    der fundamentalkategorial, d.h. auf "M", "0" und "l"J konstituierten

    "triadischen Zeichenklassen" aufgefaßt