Physik für Pharmazeuten

und Biologen

MECHANIK I

Kinematik

Dynamik

Gleichförmige Bewegung

Beschleunigte Bewegung

Kräfte

MECHANIKBewegungslehre (Kinematik)

Mechanik I 1.1 Kinematik

• Kinematik beschreibt Ablauf einer Bewegung

� Bewegung definiert relativ zu

Bezugssystem � Koordinatensystem

� Ursprung O

� Ortsvektor zu Massepunkt ( )r tr

� Ortsvektor zu Massepunkt

zum Zeitpunkt t

( )r t

Einschub Vektorrechnung:

Addition Subtraktion skalare und vektorielle

Multiplikation

Mechanik I Geschwindigkeit

• Differenz der Ortsvektoren zu t1 und t2

• mittlere Geschwindigkeit: Ortsdifferenz / Zeitdifferenz

2 1( ) ( )r r t r t∆ = −r r r

2 1( ) ( )r t r trt t t

v−∆

∆ −= =r rr

• momentane Geschwindigkeit:

Grenzfall t2�t1

• Einheit

• geradlinige Bewegung: Richtung von ist konstant

• gleichförmige Bewegung: Größe von ist konstant

2 1t t tv ∆ −= =

2 1

2 12 1 2 1

( ) ( )

1( ) lim limr t r tr

t t tt t t t

v t−∆

∆ −→ →= =

r rr

[ ]

[ ][ ] l mt s

v = =vr

vr

Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe

Ein Vektor hat einen Betrag (Länge des Pfeils) und eine Richtung.

2 2

y

m

v v =

2

3

m

s

Die x- und y-Komponenten erhält man durch Projektion auf die Achsen

v v = vx

2 + vy2 = 9

m2

s2 + 4m2

s2 = 13m

svv

xs

mx 2=v

s

my 3=v

Mechanik I Beschleuningung

• Differenz der Geschwindigkeitsvektoren zu t1 und t2

• mittlere Beschleunigung: Geschwindigkeitsdiff./ Zeitdifferenz

2 1( ) ( )v v t v t∆ = −r r r

2 1

2 1

( ) ( )v t v tvt t t

a−∆

∆ −= =r rr

• momentane Beschleunigung:

Grenzfall t2�t1

• Einheit

• Tangentialbeschleunigung: Richtung der Geschwindigkeit wird geändert

• Normalbeschleunigung: nur ändert sich

2 1

2 1

2 12 1 2 1

( ) ( )

1( ) lim limv t v tv

t t tt t t t

a t−∆

∆ −→ →= =

r rr

2

[ ]

[ ][ ][ ] l mt t s

a = =

vr ( )v a

rr�

Vektor-Charakter der Beschleunigung

v[m/s]

r a = lim

t →0

∆r v

∆t= d

r v

dt

m

s2

Auch die Beschleunigung ist ein Vektor.

t[s]

∆t dt s

dt

da

v= unddt

ds=v2

2

dt

sda =⇒

Mechanik I einfache Bewegungen

• gleichförmig geradlinige Bewegung

(Tropfenwagen, nur eine Richtung

� nur skalar):

• gleichmässig beschleunigte Bewegung

- konstante Kraft bewirkt

0( )r t r vt= +

konstante Beschleunigung:

- v ändert sich linear mit der Zeit:

- r ändert sich quadratisch mit der Zeit:- bei einfachen Anfangswerten (r0=0, v0=0):

• freier Fall: Spezialfall der beschleunigten Bewegung (Fallschnüre)

Entsprechend Gravitationsgesetz (siehe später) erfährt jeder

Körper eine Beschleunigung von (Galileis Fallexperimente)

a F m=0( )v t v at= +

210 0 2

( )r t r v t at= + +

29,81 / Erdbeschleunigunga g m s= =

� Dartpfeil

212

, , 2v at r at v ar= = =

Wichtige Formeln: die gleichförmig beschleunigte Bewegung

[ ]2s

ma

t s[ ]

a

[ ]smv

a ( t ) = a

∫ ⋅=t

dtat )(v

t s[ ]v0

∫0

0)( vv +⋅= tat

002

2)( stt

ats +⋅+⋅= v

( )∫ +⋅=t

dttats0

0)( v

[ ]ms

t s[ ]s0

002

2)( stt

ats +⋅+⋅= v

Experiment: Fallender Körper im Schwerefeld (Fallschnur)

2

00

2)(

gilt ,0 ,0mit 2

ta

ts

gas

⋅=

===v

Mechanik I Addition von Geschwindigkeiten

• alle vektorielle Größen können addiert werden !

� Ort bekannt aus Mathematik. Aber auch Geschwindigkeit, Beschleunigung, ......

• Experiment: Kanonenwagen

� Geschwindigkeit von Wagen � Geschwindigkeit von Wagen und Kugeln addieren sich

• Bezugssystem:

� Laborsystem: Wagen bewegt sich, zusätzlich Kugel

� Wagen: Kugel bewegt sich

� Inertialsystem: nichtbeschleunigtes Bezugssystem

Mechanik IExperimentKanonenwagen

Gleichzeitig verlaufende Bewegungen überlagern sich ungestört und addieren sich geometrisch

v v

v v ges

Beispiel: Bewegung eines Boots

v v Fluß

v v Fluß

v v Boot

v v ges= v

v Fluß + v v Boot

v Fluß

v v Boot

Mechanik I 2 Versuche

Dartpfeil

Fallschnur

Mechanik I

Experiment:

Dartpfeil auf fallende Scheibe

g

g

Paradebeispiel: Der waagrechte Wurf

v0

a=g

h0

y

Wie weit entfernt landet der Ball ?Welches ist der Aufschlagwinkel ?

x

Galileo Galilei (1564-1642)

In der Natur vorkommende Geschwindigkeiten

sm/103 8⋅

sm/103 2⋅

sm/102 3⋅

Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) :

Schallgeschwindigkeit :

Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :

sm/101 6⋅

sm/102 3⋅Elektronen in der Fernsehröhre :

Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :

Schuss aus einer Gaspistole : ?

Mechanik I

Experiment:Messung der Geschossgeschwindigkeit

[Tafel]

Mechanik I

Anwendungsbeispiel: Neutronen-Flugzeit-Spektrometer

Auswahl / Analyse der Neutronen-Geschwindigkeit mit rotierenden

Schlitzen (chopper)

Bei 20 °C (= 293 K) ist vNeutron = 2200 m/s

am wahrscheinlichsten (Bolzmannverteilung)

Wasser-moderator

(D2O)

Anwendung beschleunigte Bewegung: Massenspektrometer

(time of flight) TOF Analysator

Beschleunigung : ( ) ]/[ 1010m

21410 smF

a el −≈=

Beschleunigung

freier Flug

Weg-Zeit Diagramm

t0 t1 t2 [µs]

s(t)

s1

s2

Matrix-assisted laser desorption/ionization (MALDI)

Quelle : Lottspeich

ϕ

b

r

Winkelmessungen

Das Bogenmaß

ϕ =b

r

Obwohl das Winkelmaß einheitenfrei ist, verwendet man die “Einheit” rad

Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß:

°°=

3602

ϕπϕ

Für 360° (Vollkreis) gilt : ππϕπ 2 2

2 ===⇒=r

r

r

brb

z.B. 45° = 0.785 rad = 2 π / 8 rad

(Kreis-Umfang)

Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit

x

y

ϕx = r ⋅ cosϕ

y = r ⋅sinϕ

Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.

v s =

r ⋅ cos(ϕ)

r ⋅sin(ϕ )

s

Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.

ϕ (t) = ω ⋅t :ω

Tf

ππω 2 2 ==

f: Frequenz, Drehzahl (Einheit: 1/s oder Hz)T: Umlaufszeit, Periodendauer

Winkelgeschwindigkeit

Die Newtonschen Grundgesetze

1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.

2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als

am⋅=F

3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.

(actio=reactio)

am⋅=F

2112 FF −=

[N=kg·m/s2= 1 Newton]

m : „träge Masse“(für m=konstant)

dtvmd /)( ⋅=F(allgemein gültig)

Mechanik I Experiment actio = reactio

Schwere und träge Masse

Die Materie besitzt neben der Trägheitauch noch die Eigenschaft der Schwere.Aber : schwere und träge Masse sind identisch!

FGewicht = ms ⋅ gFGewicht = ms ⋅ g

FBeschl = mt ⋅ a

a =ms

mt

g = g

=1

„Äquivalenzprinzip“

Fundamentaler Zusammenhang zwischen Trägheit und Gravitation

v F = m ⋅

v a

Experimentelle Grundlage des Dynamischen Grundgesetzes

Masse [kg]

Beschleunigung[m/s2]

Newton (N) =[kg·m/s2]

Mechanik I 1.2 Dynamik

• Dynamik erklärt Ursache der Bewegung(sänderungen)

• Trägheit:

� Galilei: geradlinig gleichförmige Bewegung (ggB) bedarf

keiner Ursache � Galileisches Trägheitsprinzip

• Aktionsprinzip:• Aktionsprinzip:

� Newton: Kraft ist notwendig, um Körper aus ggB zu bringen,

verursacht Beschleunigung, verschiedene Körper werden

durch gleiche Kraft unterschiedlich beschleunigt.

• Einheit der Kraft:

F ma mr= =r r r&&

( )2[ ] [ ][ ] / NewtonF m a kg m s N= = =

Mechanik I Newtons Axiome

• Newton baute gesamte Mechanik auf drei Sätzen auf:

1) Trägheitsprinzip:Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig. (Ruhe ist Spezialfall mit )

2) Aktionsprinzip:Wenn eine Kraft auf einen Körper mit der Masse m

0v =rr

Wenn eine Kraft auf einen Körper mit der Masse mwirkt, beschleunigt sie ihn mit

3) Reaktionsprinzip:Wenn die Kraft , die auf einen Körper wirkt, von einem anderen Körper ausgeht, so wirkt auf diesen die entgegengesetzt gleiche Kraft

Fa rm

= =r

r r&&

Fr

Fr

F−r

Mechanik I Kräfte

• Gravitationskraft: Kraft zwischen Massen

� Gravitationsgesetz:

� Gravitationskonstante

• Gewichtskraft (Schwerkraft):

1 2

2

m m rF G

r r=

rr

( ) ( )1 2 1 1 2 2F F r r F r r F= − = − − = −

2

2

116,67 10 Nm

kgG

−≈• Gewichtskraft (Schwerkraft):

� m1=M=5.98 1024 kg Erdmasse

r=R=6 378 388 m Erdradius

� g hängt von h (Meereshöhe), bzw. geographischer Breite ab.

• Gravitationskraft verantwortlich für Bewegung der Planeten etc.

(Kepler), Gezeiten

22mit 9,81 /

GGMF m g g m s

R= = =

Mechanik I Kräfte

• Federkraft

� aus Beobachtung: rücktreibende Kraft Fel ist Auslenkung proportional

k....Federkonstanteel

F k x F= = −r rr

später:

Reibungskraft, Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft, Auftrieb(skraft), innere Reibungskraft in Flüssigkeiten, Stömungswiderstand, Adhäsions- und Kohäsionskraft, Kräfte zwischen Ladungen und Strömen, ............

Mechanik I Zusammenfassung

• Kinematik

� Beschreibung der Bewegung

� Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung

• Dynamik

� Ursache der Bewegung

� Newtons Axiome

� Kräfte: Gravitationskraft, Federkraft

� einfache Bewegungen