Physik für Pharmazeutenund Biologen

MECHANIK II

Arbeit, Energie, Leistung

Impuls

Rotationen

Mechanik II 1.3 Arbeit, Energie, Leistung

• mechanische Arbeit� Einheit

� Arbeit ist Skalar (Zahl), kein Vektor, aber abhängig von Winkel zwischen Kraft und Weg

� für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.

W F r= ∆r r

2 2[ ] (Joule)W Nm kgm s J= = =

cosW F r F r α= ∆ = ∆r rr r

� für gekrümmte Strecken als Summe (Integral) über Teilstrukturen.

� Änderung der Bewegung⇔ Arbeit zuführen/entnehmen

⇒ Energie: Fähigkeit Arbeit zu verrichtenz.B. Änderung der Bewegung zu verursachen

Die Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.

W =v F ⋅

v s = F ⋅ s ⋅ cos(α )

v F

α v s Die Arbeit ist das

Die Arbeit

Bei veränderlicher Kraft summieren wir über kleine Wegelemente

αF cos(α )

s

Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm2/s2

Die Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft und Weg

∫∑ ⋅=∆⋅= sdFsFWrrvv ∆

v s

v F

F

x=0

s

Die elastische Verformungsarbeit

2

2s

DdssDsdFWD −=⋅⋅−== ∫∫

vv

Für die Federkraft gilt: sDF ⋅−=

- Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.

Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm aufgenommene Energie wird potentielle Energiegenannt

Potentielle Energie

2

2s

DWE Dpot =−=

hgmWE Hpot ⋅⋅=−=

Feder:

Lage:

Konservative Kraft und potentielle Energie

dx

dEF pot−=

Experiment: Potential-Landschaft

)(,, rVgraddz

dV

dy

dV

dx

dVF

rr−=

−=

Im dreidimensionalen Raum gilt :

Die Leistung Pist definiert als die verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit.

P =dW

dt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3

Die Leistung

dt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3

- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).

- 1 PS entspricht 735,5 W

[Tafel]

Mechanik II Potential, Kraftfeld

• allgemein: Kraftfeld Kraft hängt nur von ab.

⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung

( )F F r=r r r

rr

grad GradientE

F Er

∆= =∆

r

r

⇒Kraft auf MP ergibt sich aus Änderung der Energie� W=0 für geschlossene Wege

� Experiment: schiefe Ebene – ParabelPendel

• allgemeines Konzept: Potential (Energiefeld)

Mechanik II Energie

• Energie für Massepunkte (MP)

• MP in Bewegung: v� Zuvor ist Beschleunigung notwendig, d.h. Kraft auf MP während

bestimmter Zeit, bzw. über best. Strecke (z.B. Auto)

2 2, für 0 giltat rr vt v t= + = =

• aufgewendete Arbeit:

kinetische Energie

2

02

2

2, für 0 gilt

2 2

at

F Wm m

rr vt v ta

v at ra r

= + = =

= = = =

2 kinmvW E= =

2

Mechanik II Potentielle Energie

• MP in Höhe h (Schwerkraft wirkt)

⇒ potentielle Energie:� Beispiel: Körper auf Höhe h=0 mit Anfangsgeschwindigkeit v0 nach

oben (entgegengesetzt zur Kraft) ⇒ Körper wird abgebremst bis dann gilt:

0v =r

, 0 : , .v v gt wenn v v gt bzw t v g= − = = =

potE mgh=

� wenn Körper zur Ruhe kommt (Zeit t), hat er potentielle Energie (= kinetische Energie bei t=0). Diese kann ihm wieder zugeführt werden indem er auf Ausgangshöhe gebracht wird.

0 0 0

2 20

, 0 : , .

2 2

v v gt wenn v v gt bzw t v g

x at gh v

= − = = =

= → =20

, ,02

pot t kin

mvE mgh E⇒ = = =

Mechanik II Energiesatz

• Pendel: Umwandlung potentielle Energie

� kinetische Energie

• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstantEnergie ist in abgeschlossenem System konstant

Energiesatz der Mechanik

Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.

Wenn nur konservative Kräfte wirken, also keine Reibung auftritt, dann gilt:

konstant==+ geskinpot EEE

Goldene Regel der Mechanik:Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler

zugeführte Arbeit Wzu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit Wab.Wzu = Wab

Kann man Arbeit sparen?

Geleistete “Zugarbeit” : Wzu = F⋅sErbrachte Hub-Arbeit : Wab = FG⋅hDa am Flaschenzug mit einer losen Rolle FG= 2⋅F und h = s/2 gilt,

ergibt sich daraus Wzu = Wab.

Beispiel Energieumwandlung: Die schiefe Ebene (ohne Reibung)

Epot+Ekin=const

2

2v

mhgm =⋅⋅

αh

2

gh2max =v

Mechanik II Beispiel : Pendel

• Versuch: Pendelasymmetrisches Pendel

Höhe links und rechts gleich

⇔ Energie bleibt erhalten0

21

2max max

: 0,

: 0, /2

aus Energieerhaltung: /2 2

kin pot

pot kin

P E E mgh

P E E mv

mgh mv v gh

= =

= =

= ⇒ =

Epot+Ekin=const

Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte

1. ϑ=ϑmax mit Ekin=0 und

Beispiel Energieumwandlung:

Das Pendel

gh2max =v

mghEE potges == )( maxϑ

2)0(

2maxvm

Ekin =

2. ϑ=0 mit Epot=0 und

1.)+2.)

Experiment: Das asymmetrische Pendel

links und rechts gilt

mghEE potges == )( maxϑ

- In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant.

- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.

- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.

- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische,chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)

Perpetuum mobile

Der allgemeine Energieerhaltungssatz

dissipativkinpotges WEEE =∆+∆=∆

Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,WNK entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie

Mechanik II

• Pendel: Umwandlung potentielle Energie

� kinetische Energie

• Energiesatz: Energie ist in abgeschlossenem System konstantEnergie ist in abgeschlossenem System konstant

• Leistung: Energieänderung pro Zeiteinheit

� Einheit

P W t F r t F v= = ∆ =r rr r

2 3[ ] (Watt)P J s kgm s W= = =

Mechanik II

Energiebilanz für endotherme und

exotherme Reaktionen

)( xxDF −⋅−=

Kräfte können über das dynamische Grundgesetz gemessen werden:1 N ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s2 beschleunigt.oder auch über ihre Deformationswirkung auf einen Festkörper (Feder):

Die elastische FederkraftExperiment: Federwaage

)( 0xxDFD −⋅−=

FederkonstanteFederauslenkung

Hook‘sches GesetzF

m

ND 310−=

mN

mnN

D

Fx 610

001,0

1 −=⋅==

Das Kraftmikroskop

ND 001,0

Mechanik II 1.4 Impuls

� in Kräfte freiem System:(Geschwindigkeit konst.)

� allgemeiner:

(es kann sich auch Masse ändern)

• Impuls:

0dvdt

F ma m= = =rr r

( ) 0d mv

dtF = =

rr

p mv=r r• Impuls:

� mehrere Massen m1, m2, ....

⇒ ohne äußere Kräfte bleibt Impuls konstant

für Analyse von Stößen definiere Schwerpunkt: “Zentrum“ vieler Massen

p mv=

1... 1...i i i

i n i n

p p mv= =

= =∑ ∑r r r

1..S i i

i n

mr m r=

= ∑r r

Mechanik II Elastischer-inelastischer Stoß

• Versuch: elastischer – inelastischer Stoß

v1v2

1 1 2 2 1 1 2 2m v m v m u m u+ = +vorher nachher

Vorzeichen beachten !

v1 v2

u1 =u2=u1 1 2 2 1 2( )m v m v m m u+ = +

vorher nachher

Mechanik II Stoßgesetze

� Stoß: vorher m1, v1, m2, v2,....nachher m1, u1, m2, u2,....

� Randbedingungen:

� Impulserhaltung:

� Energieerhaltung:1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +�

� für elastische Stöße: , sonst <1

� Impulsübertrag:

• z.B.: Rakete (Düsenantrieb):� stößt während ∆t Masse ∆µ mit Geschwindigkeit

w aus, d.h. mit Impuls ∆µw. Gesamtimpuls konst.⇒ Rakete nimmt Impuls auf, der ihr v erhöht:

1 1 2 2 1 1 2 2... ...m v m v m u m u+ + = + +2

2 1u

v=

( ) 22 sinp m v u mv θ∆ = − =r r r

( ) ( )w µ t m v t ma− ∆ ∆ = ∆ ∆ =

Mechanik II Chemische Reaktionen

• auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen

KA BC AB C+ → +

CABBCA pppprrrr +=+ CABBCA pppp +=+

chemkinkin

kinkin

ECEABE

BCEAE

∆++=+

)()(

)()(

Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.

Mechanik II 1.5 Rotationen

• Kreisbahn:

� .... Bahngeschwindigkeit

� θ.... Winkel unter dem Massepunkt gesehenwird, ändert sich mit der Zeit t.

Winkelgeschwindigkeit

v r⊥rr

vr

2 1( ) ( )t t dθ θ θ ω−⇒ → = rWinkelgeschwindigkeit

� (Drei-Finger-Regel)

� Umlaufzeit (Zeit innerhalb der Winkel von 2π überstrichen wird)

2 1

2 1 2 1

dt t dtt t

θ ω− →⇒ → =

Einschub: Winkel Einheit: Radiant (° Grad) (Bogenmaß: Länge des Kreisbogens mit Einheitsradius)

60°�π/3 90°�π/2 120°�2π/3 180°�π 360°�2π

v r v rω ω= = ×rr r

2 2r

vT π π

ω= =

ϕ (t) = ω ⋅t

Einschub: Kreisbewegung y

ϕϕsin⋅= ry

s

)( ) sin(

) cos( /)(

) cos(

) sin( /)(

) sin(

) cos()(

2

2

2

tstr

trdtvdta

tr

trdtsdtv

tr

trts

vrr

rr

v

⋅−=

⋅−⋅−

==

⋅⋅−

==

⋅⋅

=

ωωωωω

ωωωω

ωω

ϕ (t) = ω ⋅t

x

ϕ

x = r ⋅ cosϕ

Zentripetalkraft

Mechanik II

rmrm

r

MmG

amFG

22

2

v−=−=⋅−

=

ω

rTr )/2( πω ==v

Kreisbahnen

[Tafel]

rr

32

2 4r

MGT ⋅

⋅= π Dritte Keplersche Gesetz

(Kreisbahn ist Spezialfall des allgemeinen Falls: Ellipse)

(Gravitationskraft = Zentripetalkraft)

Mechanik II Zentripetalkraft

• evtl. konstant, aber nicht geradlinig

⇒ Änderung von immer nur durch Kraft, bzw. Beschleunigung Analyse über ähnliche Dreiecke

⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft

vr

vr

v vAB rr r vv

∆ ∆∆= = =r r

r

vtv

r rt

v a

r v

∆∆∆

∆ ∆∆

= = =

⇒ Beschleunigung durch eine, auf das Zentrum gerichtete Kraft

Zentripetalkraft� nach actio = reactio gibt es eine Gegenkraft: Zentrifugalkraft

� in rotierendem Bezugssystem weitere Kraft: Kugel aus Zentrum kommend bewegt sich geradlinig,im rot. System wird sie aber abgelenkt ⇒ Kraft� vergleiche Ablenkung mit ⇒

� Corioliskraft

2 2 2vr

a r F m rω ω= = =

2 2/2 Kat v tω= 2c Ka v ω=

2cF m vω=

Mechanik II

Resumee

• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft• Kreisbahnen erfordern Zentripetalkraft

• Gravitationskraft wirkt als Zentripetalkraft

(Planeten)

Mechanik II

• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !

• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):� MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)

� wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.

2 2 21 12 2rot i i i i

i i

E mv m rω= =∑ ∑

• Trägheitsmoment: ( )i iJ m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫

Mechanik II Trägheitsmomente, Satz von Steiner

• Zentripetalkraft nicht Ursache für Rotation, andere Größe !

• Betrachte Energie eines rotierenden Körpers (Summe von MP):� MP Ekin=mv2/2, vi=ωri, (allgemeiner: Integral über Masseverteilung)

� wenn ω mit v identifiziert wird, muss Summe mit Masse identifiziert werden.

2 2 21 12 2rot i i i i

i i

E mv m rω= =∑ ∑

• Trägheitsmoment: ( )� Massenteile wirken sich bei Rotation umso mehr aus, je weiter sie von

Drehachse entfernt sind

� Satz von Steiner: Trägheitsmoment um bel. Achse ist Summe des TM

um Achse durch Schwerpunkt und Trägheitmoment eines Massepunkts mit Gesamtmasse im Schwerpunkt

• Drehmoment: ( )

• Drehimpuls:

2i i

J m r=∑ 2 ( )r r dVρ= ∫

A S ASJ J Md= + uur

T rF= T r F= ×r rr

i i iL m r v= ×∑r r r ( ) 2

i i i i im r r m rω ω= × × = =∑ ∑r rr r

Jωr

Mechanik II

Mechanik II Drehmoment und Starre Körper

• Ungleiche Gewichte stehen im Gleichgewicht in Abständen, die sich umgekehrt verhalten wie die Gewichte. (Archimedes, um 250 v. Chr.)

⇒ Ist eine belasteter Hebel im ⇒ Ist eine belasteter Hebel im Gleichgewicht, so liegt sein Schwerpunkt über der Achse

� stabiles Gleichgewicht: SP unter Achse (sonst labil)(Stehaufmännchen)

Mechanik II Hebelgesetze

• Gleichgewicht (Körper in Ruhe), wenn Summe aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet

• "Kraft x Kraftarm = Last x Lastarm"1.. 1..

0 und 0i i

i n i n

F T= =

= =∑ ∑r r

• z.B.: Drehmomente beim Fahrrad

• Bizeps gebeugt – gestreckt

Mechanik II es fehlt

• Relativitätstheorie

� Äquivalenz von Masse und Energie

� Änderung der Masse bei v�c

� Längenkontraktion, Zeitdilatation (Zwillingsparadox)

• Kreisel, Planetenbahnen• Kreisel, Planetenbahnen

• deformierbare Körper

� Dehnung (siehe Feder, Hookesches Gesetz)

� Kontraktion

� etc.

Mechanik II Zusammenfassung

• Arbeit, Energie, Leistung

� unterschiedliche Energieformen (kinetische, potentielle ...)

� Energieerhaltung in abgeschlossenen Systemen (Pendel)

• Impuls

� Impulserhaltung

� Stoßgesetze, Rückstoß

• Rotation

� Winkel – Winkelgeschwindigkeit – Drehmoment

� Trägheitsmoment

� Drehimpuls

Mechanik II Kraftmoment

Mechanik II Drehmoment

Mechanik II Gleichgewicht

Mechanik II Anwendung : Hebelgesetz

Mechanik II Beispiel aus der Anatomie : Bizeps-Sehne

Mechanik II Drehmomente beim Fahrrad

Mechanik II Untersetzung der Zahnräder

Mechanik II Resultierende Kräfte/Drehmomente

Mechanik II Schwerpunkt

Mechanik II Standfestigkeit/Gleichgewicht

Mechanik II Verallgemeinerte Gleichgewichtsbedingung

Mechanik II Beispiel : Stabilität