MECHANIK III

Mechanik deformierbarer Körper

h kMechanik III

Flü i k iFlüssigkeitenNahordnung frei beweglich

geringe thermische Bewegungkleiner Abstand

Volumenelastizitäti K ibili ä

F kö

geringe Kompressibilität

GaseFestkörper

Bestandteile geordnet,gebunden um Gleichgewichtslage

keine Ordnungfrei beweglich

füllt verfügbares Volumen ausgeringe thermische Bewegung

kleiner AbstandGestaltelastizität

große thermische Bewegung,großer Abstand (> x10)geringe Wechselwirkung

k i i bkomprimierbar

h kMechanik III

• Ordnung der Teilchen• Ordnung der Teilchen eines Körpers

• Kräfte zwischen Teilchen

gasförmig

Kräfte zwischen Teilchen Molekülbindungen (später) Gleichgewichtslage bei minimaler Energie Kräfte zwischen Atomen  Federn Zustand abhängig von Energie der Teilchen 

(th i h flüssig(thermische Energie)

flüssig

fest

h k 1 6 Deformierbare KörperMechanik III 1.6  Deformierbare Körper

• Deformation: elastisch plastisch• Deformation: elastisch – plastisch(nach Kraft urspüngliche Gestalt, bzw. Formänderung)

• Zugkraft: LZugkraft: Hookesches Gesetz Längenänderung 

LF E A

LE

E Elasitzitätsmodul

A Fläche=F/A Zugspannung

D hproportional zu Kraft

linearer

E Dehnung

linearer

linearer  Zusammenhang nur bei kleinen Kräften (Proportionalitätsbereich (bis P))

h Fli ß (F) hi b d nach Fließgrenze (F) verschieben der Netzebenen, Einschnürung, Reißen

h kMechanik III

• Volumenänderung• Volumenänderung• Querkontraktion:

auch Änderung des Querschnitts auch Änderung des Querschnitts

2V L dV L d

(µ..Poissonzahl)

V L d 1 2

dd

LLE

Umkehrung bei Kraft von allenSeiten (Druck p=‐)Seiten (Druck  p ) Kompression   

V p

V K

h kMechanik III

• allgemeine Deformationen:• allgemeine Deformationen: Scherung: Kraft tangential an Fläche (Schub‐, Schermodul G) Drillung: TorsionDrillung: Torsion

• elastische Energie Eel: (Energiedichte e)Kraft dehnt verformt Körper

21elEe E Kraft dehnt…verformt Körper 

(Längenänderung  Arbeit  Energie)2e E

V

h kMechanik III

• Biegung• Biegung Balken fest eingespannt Kraft F in Entfernung L 3LKraft F in Entfernung L oben Zugspannung

unten Druckspannung

max 3 F

Ls F

EI

dazwischen "neutrale Faser" (keine Längenänderung)

Flächenträgheitsmoment IF berücksichtigt g F gAbhängigkeit von Querschnitt des Balkens

Kraft bewirkt Drehmoment – Zug‐ und Druckspannung bewirken Drehmoment in umgekehrter Richtung (im Gleichgewicht entgegengesetzt gleich)

h kMechanik III

• Knickung: Last auf Säule (Druckspannung)• Knickung: Last auf Säule  (Druckspannung) Knicken, wenn Knicklast FKn überschritten ist, 

und wenn zusätzlich Störung auftritt 

2 3

212KnEd bFL

(instabiles Gleichgewicht) Elastizität bewirkt Rückstellmoment  neues Gleichgewicht möglich

L/2

neues Gleichgewicht möglich (aber neues Drehmoment um Mittelpunkt bewirkt meist sehr schnelles Abknicken)

Hä• Härte: Stoff A ist Härter als B, wenn B von A leichter geritzt werden kann als 

umgekehrt (Mohs – Härteklassen)umgekehrt ( Mohs  Härteklassen) Brinell‐Härte HB=F/A(d): Stahlkugel wird

mit Kraft F auf Stoff d ü ktgedrückt, 

Auflage mit Radius d.

h k 1 7 ReibungMechanik III 1.7  Reibung

• Ursachen:• Ursachen: Bei Kontakt treten Kräfte zwischen 

Atomen unterschiedlicher Körper auf. Rauhe, unebene Oberflächen

• Haftreibung H H NF F• Gleitreibung

Kraft FH, bzw. FG sind entgegengesetzt zu FZG G NF F

• Rollreibung (elastische) Verformung von Kugel/Untergrund…

D h T d A i b

R R NT F

Drehmoment TR dem Antriebsmoment entgegengesetzt

Kugellager, Gleitlager

h k 1 8 Druck DichteMechanik III 1.8  Druck, Dichte

• Dichte m• Dichte:Verhältnis zwischen Masse m und Volumen V ändert sich z.B. bei Dehnung und Kompression (bei Volumenänderungen)

mV

bei Dehnung und Kompression (bei Volumenänderungen)

D kF

• Druck:   (Achtung gleiches Symbol wie Impuls)

Greift an einem Flächenstück A senkrecht zu ihm di l i h äßi üb di Flä h t ilt K ft F

pA

die gleichmäßig über die Fläche verteilte Kraft F an, dann heißt das Verhältnis der Kraft zur Fläche Druck

Kraft von allen Seiten (vor allem bei Flüssigkeiten Gasen) Kraft von allen Seiten (vor allem bei Flüssigkeiten, Gasen) oder lokal (z.B.: bei Härtetest) 

Einheit: 1Nm−2 = 1 Pa (1 Pascal) = 10−5 barEinheit:    1Nm = 1 Pa (1 Pascal) = 10 bar (bei Luftdruck: auch atm=101 325 Pa, Torr=101 325/760  Pa)

h k 1 9 Beispiele für DeformationenMechanik III 1.9.  Beispiele für Deformationen

• Welche Form hat die Erde ?• Welche Form hat die Erde ? wie kann Oberfläche definiert werden ? 

Üb f t b flü i Ph fö i Übergang von fester, bzw. flüssiger Phase zu gasförmiger Oberfläche senkrecht zu Lot, überall gleiche Schwerkraftsbeschleunigungmittlere Meeresoberfläche (abzüglich Gezeiten und Strömungen)

Erde ist Kugel    (g = const)ABER i ti t d h Z t if lk fttABER: sie rotiert, daher Zentrifugalkraft, am stärksten am Äquator (größte Entfernung dzur Drehachse)

g const

Dichte nimmt mit Tiefe zu

Erde ist Rotationssphäroidr /r 1+1/298 25 2 2g d GM r rÄqu/rPol=1+1/298,25 Eg d GM r

h kMechanik III

• Geoid• Geoidinhomogene Massever‐teilung Variationen in gteilung Variationen in g

• Messung  von g G it t (R f + F d ) Gravitometer (Referenzmassen + Federwaage) Satelliten: 

Bahn: Gravitationskraft Zentrifugalkraft Bahn: Gravitationskraft = Zentrifugalkraft aus Bahnanbweichungen Bestimmung des Geoids

GOCE: (TU München, LS Rummel)( , )

Satellit auf ca. 255 kmIonen‐Antrieb wegen Luftreibung notwendig

hl Beschleunigungssensoren, GPS‐Positionierung 

h kMechanik III

Beschleunigungssensoren: Kraft auf Beschleunigungssensoren: Kraft auf (träge) Masse in beschleunigtem System Messung der Kraft: Feder, Piezo (wandelt Kraft‐Kompression in Spannung)b i V hi b K ft k iti ti h ti hbzw. einer Verschiebung gegen Kraft: kapazitiv, magnetisch, optisch…‐ Auto, Maschinen, Harddisk, Lagekontrolle in Fotoapparaten und Handy

• Bestimmung der Oberfläche:Bestimmung der Oberfläche: Landvermessung Satelliten TerraSAR + TanDEMSatelliten TerraSAR + TanDEM

polare Umlaufbahn, ca. 514 km Höhenbestimmung mittels Radar (9,65 GHz) Höhenmodell mit 12x12 m Auflösung genaue Beobachtung von Veränderungen(Plattentektonik)(Plattentektonik)

h kMechanik III

• Schüttwinkel• Schüttwinkel körniges Material bildet Schüttkegel F > F sin FH> FP sin

Masse bleibt in Ruhe, so lange Haftreibung > vorwärtstreibender Kraft

zusätzlich abhängig von: Korngröße und ‐form, Schüttdichte, Feuchtigkeit

eckiger, scharfkantiger Sand  32°–35°scharfkantiges Geröll  40°gSteinkohle, Koks  45°Kaffeebohnen, Weizen 33°Zucker  35°S l 40°Salz  40°Mehl  45°

h k BiomechanikMechanik III Biomechanik

• Anpassung auf unterschiedlichste• Anpassung auf unterschiedlichste Anforderungen

• Optimierung:Optimierung: Gestaltsanpassung minimale Materialmengen Umweltbedingungen Zweck

Extremitäten säulenartig

Druckbeanspruchung

Extremitätenknochenbilden Winkel (beweglich!)BiegebeanspruchungDruckbeanspruchung Biegebeanspruchung

h kMechanik III

• Gelenke• Gelenke Beweglichkeit Kraftübertragung (Zug‐, und Druckkraft)Kraftübertragung (Zug , und Druckkraft)

große Kräfte wegen kurzer Hebelarme (mehrfaches des Körpergewichts)

B f ih it bhä i B f Bewegungsfreiheit abhängig von Bauform eingeschränkt

Achsen nicht fix, oft verschiebbar Sehnen übernehmen Kräfte Bänder wenn Belastung nicht der Bewegungsrichtung entsprichtder Bewegungsrichtung entspricht

Sehnen, Bänder sehr elastisch über kurzen Bereich,danach reißen, Knorpeleinlagerungen erhöhenl i i ä i Q k k iElastizität, verringert Querkontraktion

extrem hohe Zugbelastbarkeit 60 – 100 N/mm2

(zB. menschl. Achillessehne bis 10.000 N)

h kMechanik III

• Skelettanpassung• Skelettanpassung optimierte Belastbarkeit bei min. Material: Röhren, Lamellen und 

Trabelkel zur Verstärkung (adaptiv) gebogene Knochen wenn 

Biegebeanspruchung

KR1

KR1

M1M1

M2M2

RR2R2

h kMechanik III

Stabilisierung durch Gegenlast und antagonistische Muskel Stabilisierung durch Gegenlast und antagonistische Muskel

Ausgleich von Scherbelastung bei Fehlhaltung

h kMechanik III

• Kombination von Materialien:• Kombination von Materialien:anorganischen (Hydroxyapatit (Calciumphosphat), Wasser, Caorganischen Substanzen (Kollagen !)

• Knochen: E 2104 N/mm2 = 20 GPa Hartholz