mein Skript zur Vorlesung

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Skript Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Mechanik Wintersemester 2016/17 Universität Regensburg Diese Datei enthält meine persönlichen Notizen zur Vorlesung – möglicherweise stichwortartig und abgekürzt – und wird mit dem Fortschritt der Vorlesung langsam wachsen. Empfohlene Begleitlektüre: Halliday, Resnick, Walker: Physik – Wiley-VCH, Weinheim, 2009 Tipler, Mosca, Wagner: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure – Springer, Berlin, 2015 Dr. Andreas K. Hüttel 29. Januar 2017 Revision: 9086

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SkriptPhysik I für Chemiker und Lehramt mit

Unterrichtsfach PhysikMechanik

Wintersemester 2016/17Universität Regensburg

Diese Datei enthält meine persönlichen Notizen zur Vorlesung –möglicherweise stichwortartig und abgekürzt – und wird mit dem

Fortschritt der Vorlesung langsam wachsen.

Empfohlene Begleitlektüre:Halliday, Resnick, Walker: Physik – Wiley-VCH, Weinheim, 2009

Tipler, Mosca, Wagner: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure –Springer, Berlin, 2015

Dr. Andreas K. Hüttel

29. Januar 2017Revision: 9086

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Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 3

Abbildungsverzeichnis 7

Tabellenverzeichnis 11

Vorlesungstage 13

Versuchsdemonstrationen 15

Verzeichnis der Formelzeichen 17

1 Messung und Maßeinheiten 191.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Das SI-Einheitensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3 Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.5 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Bewegung in einer Dimension 232.1 Ort, Verschiebung, Durchschnittsgeschwindigkeit, ... . . . . . . . . . . . . 232.2 Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Beispiel gleichmäßig beschleunigte Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Freier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Vektoranalysis I 293.1 Skalare und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Kartesisches Koordinatensystem: Einheitsvektoren und Komponenten . . . 303.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.7 Nabla und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.8 Polarkoordinaten (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.9 Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten (3D) . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Bewegung in drei Dimensionen 374.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Wurfbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Relativbewegung und Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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4 INHALTSVERZEICHNIS

5 Kraft und Bewegung 415.1 Inertialsystem, Newton 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Kraft verursacht Beschleunigung, Newton 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.3 Gravitation und Gewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.4 Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.5 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.6 Zentripetalkraft der gleichförmigen Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . 465.7 Actio und Reactio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6 Energie und Arbeit 476.1 (Kinetische) Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.2 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Kräfte verrichten Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.4 Arbeit durch Gravitationskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.5 Arbeit durch eine Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.6 Kinetische Energie und Arbeit – mit Integralen . . . . . . . . . . . . . . . 506.7 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7 Vektoranalysis II: Weg- und Volumenintegral 517.1 Arbeit in 3D: Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.2 Flächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.3 Dichte und Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8 Potentielle Energie und Energieerhaltung 558.1 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.2 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.4 Berechnung der potentiellen Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.5 Potentielle Energie der Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.6 Berechnung der Kraft aus Epot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.7 (Re)definition Arbeit einer äußeren Kraft an einem System . . . . . . . . . 59

9 Systeme von Teilchen, Impuls 619.1 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.2 Newton 2 für ein System von Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.3 Impuls und Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.4 Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.5 Zweiteilchenproblem — Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10 Stoßprozesse 6710.1 Definition Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6710.2 Impuls und kinetische Energie bei Stößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

11 Zylinder- und Kugelkoordinaten II 6911.1 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . 6911.2 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . 70

12 Drehbewegung mit fester Achse 7112.1 Winkel, Winkelgeschwindigkeit, -beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 7112.2 Kinetische Energie der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.3 Der Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7412.4 Drehmoment und Newton 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7412.5 Arbeit durch ein Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7512.6 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7512.7 Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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INHALTSVERZEICHNIS 5

13 Starre Körper, Rollen, Kreiselbewegung 7913.1 Rotationsbewegung eines Massepunkts: Vektoren . . . . . . . . . . . . . . 7913.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8013.3 Rollen und die Rollbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8113.4 Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8113.5 Hauptträgheitsachsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

14 Scheinkräfte 8514.1 Linear beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8514.2 Scheinkräfte im rotierenden Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . 86

15 Gravitation 8915.1 Die Kepler’schen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8915.2 Das Newton’sche Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9015.3 Gravitationsfeld, potentielle Energie, Gravitationspotential . . . . . . . . . 9115.4 Schwerefeld realer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

16 Schwingungen 9516.1 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9516.2 Energie des harmonischen Oszillators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9616.3 Harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9716.4 Beispiele für harmonisch schwingende Systeme . . . . . . . . . . . . . . . 9816.5 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10016.6 Erzwungene Schwingungen und Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10216.7 Anharmonische Schwingungen, Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . 106

17 Mechanische Wellen 10917.1 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10917.2 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11117.3 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11317.4 Transversal- und Longitudinalwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11417.5 Wellen in 3D: eben oder kugelförmig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11417.6 Beispiel Schallwellen: Herleitung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . 115

18 Interferenz von Wellen 11918.1 Reflexion und stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11918.2 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12118.3 Bewegte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

19 Zum Abschluß... 125

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Abbildungsverzeichnis

1.1 Replik des Prototyp-Kilogram 20 (NIST, USA). Quelle: NIST Website, pu-blic domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1 Typische Vereinfachungen in der Physik: Modellierung einer Kuh. Quelle:Abstruse Goose Webcomic, CC BY-NC 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Beispiel einer Ort-Zeit-Kurve in einer Dimension, x(t) . . . . . . . . . . . 252.3 Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: Unser Massepunkt wird einmal

für 10s beschleunigt und dann zweimal für je 5s abgebremst (d.h. negativbeschleunigt). Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinatenach der Zeit, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nachder Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1 Links: Kartesisches Koordinatensystem, mit Einheitsvektoren und einemBeispielvektor~r. Rechts: Rechte-Hand-Regel zur Orientierung der Achsen.Quelle: Wikipedia, CC BY-SA 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Beispiel für ein Vektorfeld: Windgeschwindigkeiten rings um Hawai’i. Quel-le: NASA, public domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Links: Konturplot (wie die “Höhenlinien” einer Wanderkarte) der Funktionf (x,y)=−x2−y2+30; in der Mitte bei x= y= 0 ist das globale Maximum.Rechts: Vektorfeld des Gradienten von f , also ~∇ f (x,y). Alle Pfeile von ~∇ fzeigen jeweils in die Richtung, in der die Funktion f an diesem Ort amstärksten ansteigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 2D-Polarkoordinaten r und φ im kartesischen Koordinatensystem. Bei ei-ner gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Ortsvektors |~r| = rund der Geschwindigkeit konstant, aber die Vektoren ~r(t) und ~v(t) sindzeitabhängig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1 Zwei Kräfte ~F1 und ~F2 wirken auf einen Körper; ihre Addition ergibt dieGesamtkraft, die auf ihn wirkt (Superpositionsprinzip). . . . . . . . . . . . 42

5.2 Normalkraft durch eine Tischoberfläche: Die Erde übt eine Gravitations-kraft ~Fg auf unser blaues Objekt aus. Damit es nicht sich Richtung Erdmit-telpunkt beschleunigt, muß der Tisch, auf dem es liegt, eine entgegenge-setzte Normalkraft gleicher Größe ~FN auf es ausüben. . . . . . . . . . . . . 44

5.3 Links: Der blaue Block ruht auf dem Tisch wie in Abbildung 5.2. Nunüben wir eine Zugkraft ~F aus, um ihn in Bewegung zu versetzen; dieserwirkt eine Reibungskraft ~FR entgegen. Rechts: Die Zugkraft wird langsamerhöht, und die Haftreibungskraft wächst entsprechend bis zu einem kri-tischen Wert. Dann beginnt der Block sich zu bewegen, und es wirkt nurnoch die meistens kleinere Gleitreibungskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS

7.1 Ein Körper bewegt sich auf einem Weg~x(t) von~x(t1) =~x1 nach~x(t2) =~x2.Dabei wirkt eine Kraft ~F auf ihn. Die durch die Kraft geleistete Arbeitergibt sich aus dem Wegintegral über ~F ·d~x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

11.1 (a) Flächenelement in zweidimensionalen Polarkoordinaten, wie auch inder r-φ -Ebene von Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13.1 (a) Kreisel im Schwerefeld (c.m. = center of mass, Schwerpunkt; hier ist~τdas Drehmoment aufgrund der Gravitationskraft. Quelle: https://pt.wikipedia.org/wiki/Pi%C3%A3o#/media/File:Peonza.png(b) Rotation, Präzession und Nutation. Nach https://fr.wikipedia.org/wiki/Nutation#/media/File:Praezession.svg . . . . 82

15.1 Illustration der Keplerschen Gesetze am Beispiel der Bahn zweier Pla-neten um die Sonne. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Kepler_laws_diagram.svg . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

15.2 Torsionsdrehwaage von Cavendish, Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cavendish_Torsion_Balance_Diagram.svg 91

15.3 Links: Masse in, Rechts: Masse außerhalb Schale . . . . . . . . . . . . . . 92

16.1 Näherung der Funktion f (x) = cos(x− 0.5) + x3/40 durch eine Taylor-reihe bei x = 0: (a) f (schwarz) sowie lineare (grün), quadratische (blau),kubische (telekom) und quartische (cyan) Näherung; (b) Abweichung derNäherungen von der Originalfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

16.2 (a) “Mathematisches” Pendel, (b) “Physikalisches” Pendel . . . . . . . . . 9816.3 Auslenkung eines harmonischen Osillators mit m = k = 1, x(0) = 1, v(0) =

0, als Funktion von b und t — von b= 0 (ungedämpft) über b= 2 (kritischeDämpfung) bis b = 4 (überdämpft). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

16.4 Mechanische Gesamtenergie Ekin +Epot eines harmonischen Osillators mitm = k = 1, x(0) = 1, v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0(ungedämpft) über b = 2 (kritische Dämpfung) bis b = 4 (überdämpft). . . 104

16.5 Amplitude A(ω) nach Gleichung 16.49 für m = k = Fa,0 = 1 und b =0,0.05,0.1,0.15, links in linearer und rechts in logarithmischer Auftragung 105

16.6 Zum Thema Resonanz... Quelle: xkcd webcomic http://www.xkcd.com/228/, Lizenz: CC BY-NC 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

16.7 Verschiedene Beispiele für die Resonanzkurve eines Duffing-Oszillators.Das schwingende System kann bei bestimmten Antriebsfrequenzen meh-rere verschiedene Zustände mit unterschiedlicher Schwingungsamplitudeeinnehmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

16.8 Eine einzelne Kohlenstoff-Nanoröhre als anharmonischer Oszillator. Dergemessene Strom hängt mit dem Quadrat der Schwingungsamplitude zu-sammen; die x-Achse zeigt die Antriebsfrequenz. Die Angabe in “db” istein logarithmisches Maß für die Antriebsamplitude. Links: Mit zunehmen-dem Antrieb wird die Schwingung nichtlinear und zeigt Hysterese (un-terschiedlicher Verlauf der Kurve bei Aufwärts- oder Abwärtsmessung).Rechts: Die Dämpfungskonstante wird mit zunehmender Temperatur grö-ßer, d.h. die Auslenkungen kleiner und das System wieder linear. Quel-le: A. K. Hüttel et al., “Carbon nanotubes as ultra-high quality factor me-chanical resonators”, Nano Letters 9, 2547 (2009), http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nl900612h . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

17.1 Zwei gekoppelte Federpendel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . 109

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17.2 Verhalten gekoppelter Pendel für schwache (links) und starke (rechts) Kopp-lung. Zwischen den zwei Pendeln wird periodisch Energie ausgetauscht.Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

17.3 Eindimensionale Ketten gekoppelter harmonischer Oszillatoren. Quelle:Wikipedia. Eine animierte Version ist dort online zu finden. . . . . . . . . . 111

17.4 Darstellung von (a) Transversal- und (b) Longitudinalwellen mittels gekop-pelter Pendel. Quelle: http://schulphysik.ch/, nur für nichtkom-merzielle Informationszwecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

17.5 Momentaufnahme einer harmonischen Welle. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn11217.6 Schwingungsebenen und Ausbreitung von (a) linear und (b) elliptisch po-

larisierten Transversalwellen. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . 11417.7 Kugelwelle. Operation “Sailor Hat”, Test-Explosion von 500t TNT (1965).

US Government work, public domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

18.1 Reflexion einer Seilwelle an (a) festem und (b) offenem Ende. Quelle:Skript Dr. Tobias Korn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

18.2 Zwei entgegengesetzt zueinander laufende Wellen gleicher Frequenz undWellenlänge überlagern sich und bilden eine stehende Welle. Quelle: Wi-kipedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

18.3 Durchlauf einer Wasserwelle durch einen Doppelspalt. Nach dem Huy-gensschen Prinzip gehen von jedem Spalt wieder Kugelwellen aus. Quelle:Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

18.4 Doppler-Effekt: bewegt sich die Quelle einer Welle, so werden entspre-chend der Bewegungsrichtungen im ruhenden Bezugssystem höhere bzw.niedrigere Frequenzen wahrgenommen. Bei höherer Geschwindigkeit bil-det sich eine Stoßfront bzw. ein Mach-Kegel. Quelle: Skript Dr. TobiasKorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

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Tabellenverzeichnis

1.1 Übersicht über die SI-Basisgrößen und -Basiseinheiten . . . . . . . . . . . 201.2 Übersicht über die SI-Präfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

12.1 Übersicht der zusammengehörigen Translations- und Rotationsgrößen (Trans-lation in einer Dimension, Rotation um eine feste Achse . . . . . . . . . . 75

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12 TABELLENVERZEICHNIS

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Vorlesungstage

19.10.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1920.10.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2126.10.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.10.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4316.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4817.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4923.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5524.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5730.11.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7214.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7915.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7921.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8222.12.2016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8511.1.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9112.1.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9318.1.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9819.1.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10025.1.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10626.1.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1091.2.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

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14 VORLESUNGSTAGE

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Versuchsdemonstrationen

Instrumente zur Längenmessung (Meterstab, Meßschieber, Mikrometerschraube, Meßuhr,Etalons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Gleichförmige Bewegung, gleichförmig beschleunigte Bewegung, Pendelbewegung:gezeigt auf der Luftschiene (Geschwindigkeitsmessung mit Lichtschranken) . . . 27

Waagrechter und schräger Wurf: Wasserwurfgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Affenschuß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Projektion der Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Luftschiene: Wagen mit verschiedenen Massen und verschiedenen Kräften . . . . . . 42Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Zwei Physiker auf zwei Wägen, Seilziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Ziehen eines Wagens: nötige Kraft bei unterschiedlichem Ansatzwinkel des Seils . . 48“Dozentenkiller” — Energieerhaltung beim Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . 57Wagen auf der Luftschiene: elastisch, inelastisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Drehstuhl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Spaß mit Drehmoment und Drehimpuls: “Magischer Koffer” . . . . . . . . . . . . . 79Hochgeworfene Kiste mit farbigen Seitenflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Kugel auf Scheibe: Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

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16 Verzeichnis der Formelzeichen

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Verzeichnis der Formelzeichen

a Beschleunigung (Gleichung 2.5, Seite 27)

a Durchschnittsbeschleunigung (Gleichung 2.4, Seite 25)

A Fläche~α Winkelbeschleunigung

∂i (partielle) Ableitung nach der i-ten kartesischen Koordinate (Gleichung 3.13,Seite 33)

~∇ Nabla-Operator (Gleichung 3.17, Seite 33)

E Energie (Gleichung 6.2, Seite 47)

Ekin kinetische Energie (Gleichung 6.1, Seite 47)

Epot potentielle Energie~F Kraft (Gleichung 5.3, Seite 42)

g Erdbeschleunigung (Gleichung 2.12, Seite 28)

grad Gradient eines skalaren Feldes (Gleichung 3.18, Seite 33)

I Trägheitsmoment (Gleichung 12.13, Seite 72)

k Federkonstante (Gleichung 6.10, Seite 49)

l Länge (Gleichung 1.1, Seite 21)

m Masse (Gleichung 1.4, Seite 21)

p Impuls (Gleichung 9.16, Seite 63)

P Leistung (Gleichung 6.19, Seite 50)

φ Winkel

ρ Dichte (Gleichung 7.12, Seite 53)

t Zeit (Gleichung 1.3, Seite 21)~T Drehmoment (Gleichung 12.23, Seite 74)

θ Winkel

v Geschwindigkeit (Gleichung 2.3, Seite 25)

v Durchschnittsgeschwindigkeit (Gleichung 2.2, Seite 23)

V Volumen~ω Winkelgeschwindigkeit (Gleichung 4.22, Seite 39)

W Arbeit

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18 Verzeichnis der Formelzeichen

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Kapitel 1

Messung und Maßeinheiten

HRW 1VL19.10.2016

1.1 Einführung• Physik beruht auf Messungen von Größen

• Länge, Zeit, Masse, Temperatur, elektrischer Strom, ...

• Messung: Vergleich einer Größe mit einem “Normal”, das genau einmal einer “Ein-heit” entspricht

• Beispiel – “Meter” ist die Einheit der Länge, das “Normal” ist hier ein Objekt, dasgenau einen Meter lang ist

• Meterstab, Lineal — direkte Vergleichsmöglichkeit, viele indirekte Methoden, z.B.Radius eines Atoms, Entfernung eines Sterns

• Viele physikalische Größen, aber die meisten sind nicht unabhängig

• Beispiel Geschwindigkeit: Wegstrecke pro Zeiteinheit

• Basisgrößen: beruhend auf Basiseinheiten, die definiert sein müssen!

1.2 Das SI-Einheitensystem• Système International d’Unités

• Satz von Basisgrößen, Definition der dazugehörigen Basiseinheiten

• Komplette Übersicht in Tabelle 1.1, einiges davon kommt erst in den folgenden Se-mestern (z.B. Elektrodynamik, Optik)

• Weitere, zusätzliche Größen und Einheiten: von den SI-Basiseinheiten abgeleitet

• Beispiel 1: Einheit der Geschwindigkeit: Wegstrecke pro Zeit,

Geschwindigkeit v 1m/s

• Sind die Basiseinheiten von Zeit (s) und Länge (m) definiert, dann haben wir auchautomatisch eine Einheit der Geschwindigkeit!

• Beispiel 2: Einheit der Leistung (Glühbirne): Arbeit pro Zeit (Details später),

Leistung P 1Watt = 1W = 1kg ·m2/s3

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20 KAPITEL 1. MESSUNG UND MASSEINHEITEN

Größe Formelzeichen Name der Einheit EinheitLänge l Meter m Abschnitt 1.3Zeit t Sekunde s Abschnitt 1.4Masse m Kilogramm kg Abschnitt 1.5el. Strom I Ampere A 2. SemesterTemperatur T Kelvin KStoffmenge N Mol molLichtstärke J Candela cd 3. Semester

Tabelle 1.1: Übersicht über die SI-Basisgrößen und -Basiseinheiten

Faktor Präfix Zeichen Beispiel10−24 Yocto- y Masse Proton, ca 1.7yg10−21 Zepto- z10−18 Atto- a10−15 Femto- f10−12 Pico- p10−9 Nano- n Durchmesser Wasserstoffatom, ca 0,1nm10−6 Mikro- µ

10−3 Milli- m10−2 Zenti- c10−1 Dezi- d101 Deka- da102 Hekto- h103 Kilo- k Höhe Mauna Loa (vom Meeresboden), ca 17km106 Mega- M109 Giga- G WLAN-Signalfrequenz, 2.4GHz1012 Tera- T Bewegungsenergie der ISS, ca. 13TJ1015 Peta- P1018 Exa- E1021 Zetta- Z1024 Yotta- Y

Tabelle 1.2: Übersicht über die SI-Präfixe

• Sind die Basiseinheiten von Zeit (s), Länge (m) und Masse (kg) definiert, dann istdas Watt als Einheit der Leistung ebenfalls definiert!

• Große und kleine Werte – SI-Einheitenpräfixe

0,0001m = 0,1mm = 100 µm = 10−4 m

• Komplette Übersicht in Tabelle 1.2, aber auch die Physiker verwenden davon nichtalle, sondern schreiben einfach die Zehnerpotenz hin. Beispiel:

1nm = 10−9 m

• Taschenrechner / PC: Exponentialdarstellung, 2,79E10 = 2,79 ·1010

• Begriff der “Größenordnung”: zwei Zahlen sind von der “gleichen Größenordnung”,wenn ihr Zehnerexponent gleich ist, bzw. wenn sie um nicht mehr als einen Faktor10 von einander abweichen

• Wichtig für grobe Abschätzungen

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1.3. LÄNGE 21

1.3 LängeLänge l, 1m = 1Meter (1.1)

• ca 1790: erste Idee eines “Meters” als 1/40000000 des Erdumfangs

• 1889: “Urmeter”, Platin-Iridium-Stab als Längenreferenz, in Paris aufbewahrt

• Heutige Definition: Ein Meter ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vaku-um während der Dauer von 1/299792458 Sekunden durchläuft.

• Dementsprechend gilt für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c exakt

c = 299792458m/s (1.2)

VL20.10.2016

• Demonstration: Instrumente zur Längenmessung (Meterstab, Meßschieber, Mikro-meterschraube, Meßuhr, Etalons)

1.4 ZeitZeit t, 1s = 1Sekunde (1.3)

• Zeitdauer eines Vorgangs, Zeitpunkt eines Ereignisses (gemessen von einem Start-zeitpunkt)

• Zeitmessung durch Zählen von Durchläufen einer Schwingung (vergleiche Pendel-uhr)

• Licht ist eine elektromagnetische Welle, 2. Semester

• Heutige Definition: Eine Sekunde ist die Dauer von 9192631770 Schwingungendes Lichts, das ein Cäsium-133-Atom aussendet.

• Vergleich von Zeitdauern über Gleichzeitigkeit von Ereignissen — nicht immer tri-vial, Relativitätstheorie, später

• Alltägliche Einheiten für lange Zeitintervalle weichen von dem üblichen Zehnerpotenz-Schema ab

• 1min = 60s, 1h = 1Stunde = 60min, 1d = 1Tag = 24h

• Für kleine Zeitabschnitte werden aber die Präfixe verwendet

• Beispiel: 1ns = 10−9 s

1.5 MasseMasse m, 1kg = 1Kilogramm (1.4)

• Hier gilt als Basis noch heute die originale Definition mittels eines “Urkilogramms”in Paris

• Platin-Iridium-Zylinder, mehrere hochpräzise Kopien weltweit

• periodischer Vergleich zur Verifizierung (“ein amerikanisches Kilogramm in Paris”)

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22 KAPITEL 1. MESSUNG UND MASSEINHEITEN

Abbildung 1.1: Replik des Prototyp-Kilogram 20 (NIST, USA). Quelle: NIST Website,public domain

• Zusätzliches Massennormal: Kohlenstoff-12-Atom wiegt “12 atomare Massenein-heiten (u)”,

1u = 1,6605402 ·10−27 kg (1.5)

• Problem — hochpräziser Vergleich zwischen atomaren und makroskopischen Mas-seneinheiten

• Verschiedene Projekte zur Redefinition des Kilogramm existieren

• 14. Oktober 2015: “Kilogram conflict resolved at last”, Nature 526, 305-306 (2015),http://dx.doi.org/10.1038/526305a

• Kommittee des International Bureau of Weights and Measures (BIPM) entscheidetüber Redefinition möglicherweise noch dieses Jahr

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Kapitel 2

Bewegung in einer Dimension

HRW 2• Wir betrachten vorerst nur die Bewegung entlang einer geraden Linie

• Kann senkrecht (fallender Stein), waagrecht (Auto auf Straße), schräg sein

• Im Moment betrachten wir nur die Bewegung selbst, (noch) nicht z.B. was eine Be-wegung verursachen kann

• Unser bewegtes Objekt ist vereinfacht als Massepunkt — große Vereinfachung derRealität (vgl. Abbildung 2.1):

– keine Ausdehnung

– keine Form (“punktförmig”)

– keine inneren Freiheitsgrade (keine Rotationen = es kann sich nicht drehen,keine Vibrationen = es kann nicht irgendwie schwingen)

2.1 Ort, Verschiebung, Durchschnittsgeschwindigkeit, ...• Ortsbestimmung: Position im Bezug auf einen Referenzpunkt (Nullpunkt eines Ko-

ordinatensystems, Ursprung einer Achse)

• Achse mit Nullpunkt: negative und positive Richtung — “links” und “rechts” vomNullpunkt

• Ortswechsel, Verschiebung: von Ort x1 zu Ort x2

∆x = x2− x1 (2.1)

• Der griechische Buchstabe ∆ (Delta) bezeichnet i.d.R. die Veränderung einer Größevon einem Anfangswert zu einem Endwert

• Ort und Verschiebung sind eigentlich typische Beispiele für sogenannte Vektorgrö-ßen im dreidimensionalen Raum — kommt im nächsten Kapitel

• Beispiel einer Ort-Zeit-Kurve x(t), Abbildung 2.2: bewegtes Objekt, zum Zeitpunktt am Ort x(t)

• Mathematisch: Die Ortskoordinate x(t) ist eine Funktion der Zeit t

• Durchschnittsgeschwindigkeit / mittlere Geschwindigkeit: Änderung des Orts ∆x ge-teilt durch dazugehöriges Zeitintervall ∆t

v =∆x∆t

=x2− x1

t2− t1=

x(t2)− x(t1)t2− t1

(2.2)

23

Page 24: mein Skript zur Vorlesung

24 KAPITEL 2. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION

Abbildung 2.1: Typische Vereinfachungen in der Physik: Modellierung einer Kuh. Quelle:Abstruse Goose Webcomic, CC BY-NC 3.0

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2.2. MOMENTANGESCHWINDIGKEIT 25

Abbildung 2.2: Beispiel einer Ort-Zeit-Kurve in einer Dimension, x(t)

2.2 Momentangeschwindigkeit• Wie schnell ist ein Massepunkt / Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt?

• Idee: verkürze Zeitintervall, Grenzwertprozeß

• (Momentane) Geschwindigkeit zur Zeit t

v(t) = lim∆t→0

∆x∆t

=dxdt

= x(t) (2.3)

• Das führt gerade zur Ableitung der Funktion x(t) nach der Zeit t.

• Verschiedene Schreibweisen möglich, s.o.

• In der Ort-Zeit-Kurve von Abbildung 2.2 entspricht x(t), die Ableitung der Funkti-on x(t) nach der Zeit t, der Steigung einer an diesem Punkt der Kurve angelegtenTangenten

2.3 Beschleunigung• Beschleunigung beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit, genauso wie die Ge-

schwindigkeit die Änderung des Orts beschreibt

• Bewegung entlang einer Achse: wieder gleiche Definitionen möglich

• Durchschnittsbeschleunigung:

a =v2− v1

t2− t1=

∆v∆t

(2.4)

Page 26: mein Skript zur Vorlesung

26 KAPITEL 2. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION

0

5

10

15

20

0 10 20 30 40 50

x (

m)

t (s)

x(t)

00.20.40.60.8

11.2

0 10 20 30 40 50

v (

m/s

)

t (s)

v(t)

-0.1-0.05

00.050.1

0 10 20 30 40 50

a (

m/s

2)

t (s)

a(t)

Abbildung 2.3: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: Unser Massepunkt wird einmalfür 10s beschleunigt und dann zweimal für je 5s abgebremst (d.h. negativ beschleunigt).Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit, die Beschleuni-gung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.

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2.4. BEISPIEL GLEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 27

• Momentanbeschleunigung (oder einfach nur Beschleunigung)

a =dvdt

(2.5)

• Zusammenhang zwischen Ort und Beschleunigung:

a =dvdt

=ddt

(dxdt

)=

d2xdt2 (2.6)

oder in anderer Notation (der Punkt steht für die Zeitableitung)

a(t) = v(t) = x(t) (2.7)

• a(t) ist die zweite Ableitung von x(t)

• Beispiel-Sketch x(t), v(t), a(t) — siehe Abbildung 2.3

• Demonstration: Gleichförmige Bewegung, gleichförmig beschleunigte Bewegung,Pendelbewegung: gezeigt auf der Luftschiene (Geschwindigkeitsmessung mit Licht-schranken)

• Wahrnehmung von Beschleunigung — Aufzug, Auto, Achterbahn, ...

• Im Gegensatz dazu wird Geschwindigkeit nicht direkt wahrgenommen!

• positive Beschleunigung = umgangssprachlich “Beschleunigung”, negative Beschleu-nigung = umgangssprachlich “Bremsen”

2.4 Beispiel gleichmäßig beschleunigte Bewegung• Einfacher Beispielfall, für viele praktische Fälle gute Näherung

• Annahme: konstante Beschleunigung a0

• Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Ort x(0) = x0 und die Geschwindigkeit v(0) = v0

• Wir wissen daß die Geschwindigkeit v(t) die Ableitung der Beschleunigung a(t) ist

• Das Gegenstück von Ableiten ist Integrieren

• Also erhalten wir v(t) ganz allgemein durch Integrieren über a(t)!

v(t) =t∫

0

dvdt ′

dt ′+ v(0) =t∫

0

a(t ′)dt ′+ v(0) (2.8)

• Anschauliche Vorstellung:

– Im (infinitesimal kleinen) Zeitintervall dt ′ nimmt die Geschwindigkeit um dv =a(t)dt ′ zu

– Über diese Änderungen wird summiert– Geschwindigkeit als “Fläche a(t)dt” unter der Beschleunigungskurve a(t)

• Nun setzen wir ein, daß a(t) = a0 konstant ist (die Stammfunktion der konstantenFunktion a0 ist a0 t):

v(t) =t∫

0

a0 dt ′+ v0 =[a0 t ′

]t0 + v0 = a0 t + v0 (2.9)

VL26.10.2016

Page 28: mein Skript zur Vorlesung

28 KAPITEL 2. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION

• Jetzt wiederholen wir diese Prozedur, um von v(t) auf x(t) zu gelangen!

• Wenn v(t) die Ableitung von x(t) ist, dann gilt allgemein

x(t) =t∫

0

dxdt ′

dt ′+ x(0) =t∫

0

v(t ′)dt ′+ x(0) (2.10)

• Wir setzen ein, was wir schon haben, nämlich v(t) und x(0) = x0:

x(t) =t∫

0

v(t ′)dt ′+x0 =

t∫0

a0 t ′+v0 dt ′+x0 =[a0

2t ′2 + v0 t ′

]t

0+x0 =

a0

2t2+v0 t+x0

(2.11)

2.5 Freier Fall• Wir lassen einen Gegenstand im Schwerefeld der Erde fallen

• Beobachtung: wenn kein Luftwiderstand, dann liegt eine gleichmäßig beschleunigteBewegung vor

• Unabhängig vom Gegenstand; im Vakuum fallen Feder und Stahlkugel gleich schnell!

• Erdbeschleunigung g, in der Nähe der Erdoberfläche gilt (für x-Achse nach “oben”)

a =−g'−9.8m/s2 g' 9.8m/s2 (2.12)

• g ist keine universelle Naturkonstante, hängt vom Ort ab (warum – später)

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Kapitel 3

Vektoranalysis I

HRW 33.1 Skalare und Vektoren

• Bewegung auf einer Geraden, “in einer Dimension”: vorwärts oder rückwärts, “plus”oder “minus”

• Dreidimensionaler Raum: ein Vorzeichen allein reicht nicht mehr aus, um eine Rich-tung zu beschreiben

• Zwei Typen von physikalischen Größen: Skalare und Vektoren1

• Skalare:

– Beispiele: Masse m, Zeit t, Temperatur T , Energie E

– Durch eine Zahl (mit Einheit) gegeben

– “Wert”, aber keine “Richtung”

– Folgen den aus der Schule bekannten “Rechenregeln für Zahlen”

• Vektoren:

– Beispiele: Ort~x, Verschiebung (Ortsänderung) ∆~x, Geschwindigkeit~v, Beschleu-nigung~a, Kraft ~F

– Durch Länge (mit Einheit) und Richtung gegeben

– “Vektorpfeil”

• Vektoren können geometrisch addiert werden

• Beispiel der aufeinanderfolgenden Verschiebungen (an der Tafel)

• Tipps, um nicht schnell eine Übungsaufgabe oder Klausuraufgabe zu vermasseln:

– Vektorgrößen brauchen immer den “Vektorpfeil”!(Es gibt verschiedene Notationen, aber für Erstsemester ist das so gut.)

– Skalare und Vektoren kann man nicht miteinander addieren!

– (Aber man kann einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren.)

29

Page 30: mein Skript zur Vorlesung

30 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I

Abbildung 3.1: Links: Kartesisches Koordinatensystem, mit Einheitsvektoren und einemBeispielvektor~r. Rechts: Rechte-Hand-Regel zur Orientierung der Achsen. Quelle: Wiki-pedia, CC BY-SA 3.0

3.2 Kartesisches Koordinatensystem: Einheitsvektoren undKomponenten

VL27.10.2016• sogenanntes “kartesisches Koordinatensystem” im dreidimensionalen Raum

• drei Achsen (x, y, z), rechtwinklig zueinander, siehe Abbildung 3.1

• “Rechte-Hand-Regel” für die Orientierung der Achsen

• Basis aus Einheitsvektoren in Richtung der Achsen: ~ex, ~ey, ~ez, jeweils mit Länge 1,senkrecht zueinander, konstant

• Schreibe beliebigen Vektor als Summe der Einheitsvektoren:

~r = rx~ex + ry~ey + rz~ez (3.1)

• Kurzschreibweise:

~r .=

rxryrz

.=

xyz

(3.2)

• Diese Kurzschreibweise ist mathematisch nicht gleichwertig (deshalb “ .=” statt “=”),

weil Information verlorengeht:

– ~r ist ein abstraktes Objekt “Vektor”, unabhängig vom ausgewählten Koordina-tensystem bzw. der gewählten Basis von Einheitsvektoren

– Schreibt man den Vektor als “Zahlenspalte”, dann nimmt man ein bestimmtesKoordinatensystem bzw. eine bestimmte Basis (~ex,~ey,~ez) an!

• Betrag (“Länge”) des Vektors:

r ≡ |~r|=√

r2x + r2

y + r2z (3.3)

1Das sind strenggenommen nicht alle, wir haben die Tensoren vergessen... viel später...

Page 31: mein Skript zur Vorlesung

3.3. SKALARPRODUKT 31

• Beispiel Ortsvektor: ein Massepunkt am Ort~r hat den Abstand r = |~r| vom Ursprung

• Addition von Vektoren: im kartesischen Koordinatensystem komponentenweise mög-lich

~c =~a+~b .=

axayaz

+

bxbybz

=

ax +bxay +byaz +bz

(3.4)

Beweis über Gleichung 3.1 und Assoziativgesetz

3.3 Skalarprodukt• Skalarprodukt zweier Vektoren:

~a ·~b = ab cos(φ) (3.5)

“Betrag von Vektor~a mal Betrag von Vektor~b mal Kosinus des Winkels φ zwischenbeiden Vektoren”

• Ergebnis ist ein Skalar!

• cos90◦ = 0 −→ Das Skalarprodukt zweier zueinander senkrechter Vektoren ist 0

• In kartesischen Koordinaten:

~a ·~b .=

axayaz

·bx

bybz

= axbx +ayby +azbz (3.6)

Nachrechnen, mit Hilfe von Gleichungen 3.1 und 3.5!

• Insbesondere gilt für die Basis des kartesischen Koordinatensystems

~ei ·~e j = δi j (3.7)

3.4 Vektorprodukt• Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zweier Vektoren:

~c =~a×~b (3.8)

mitc = absin(φ), (3.9)

– φ ist der kleinere der beiden Winkel zwischen~a und~b,

– ~c steht senkrecht auf~a und auf~b

– Rechte-Hand-Regel für die Richtung von~c

• sin0= 0−→Das Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren ist Null (der Nullvektor)!

• Im kartesischen Koordinatensystem gilt für die Einheitsvektoren

~ex×~ey =~ez, ~ey×~ez =~ex, ~ez×~ex =~ey (3.10)

• Das Kreuzprodukt antikommutiert! (Ausprobieren mit der rechten Hand!)

~a×~b =−~b×~a (3.11)

Page 32: mein Skript zur Vorlesung

32 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I

Abbildung 3.2: Beispiel für ein Vektorfeld: Windgeschwindigkeiten rings um Hawai’i.Quelle: NASA, public domain

• In kartesischen Koordinaten:

~a×~b .=

axayaz

×bx

bybz

=

aybz−byazazbx−bzaxaxby−bxay

(3.12)

Nachrechnen mit Hilfe von Gleichungen 3.1 und 3.10!

3.5 Felder• Eine physikalische Größe kann von mehreren Variablen abhängig sein

• 1. Beispiel: Temperatur als Funktion vom Ort, d.h. T (~r) oder T (x,y,z)

• Die Temperatur ist ein Skalar, deshalb bezeichnet man das als ein skalares Feld

• Jedem Ort im dreidimensionalen Raum ist ein skalarer Wert zugeordnet

• 2. Beispiel: Windgeschwindigkeit als Funktion vom Ort, d.h.~v(~r)

• Die (Wind)Geschwindigkeit ist ein Vektor (sie hat Betrag und Richtung), deshalbliegt hier ein sogenanntes Vektorfeld vor

• Jedem Ort im dreidimensionalen Raum ist ein Vektor, also ein Betrag und eine Rich-tung zugeordnet

• Beispiel Abbildung 3.2: Windgeschwindigkeiten rings um Hawai’i

Page 33: mein Skript zur Vorlesung

3.6. PARTIELLE ABLEITUNG 33

3.6 Partielle Ableitung• Die “normale” Ableitung einer Funktion f (x) ist aus der Schule bekannt

• Was passiert, wenn f von mehreren Variablen abhängig ist?

• Beispiel: Temperatur als Funktion vom Ort, also T (x,y,z) oder T (~r)

• Partielle Ableitung: Ableitung nach einer der Variablen, während die anderen Varia-blen alle konstant gehalten werden

• Man verwendet statt des “d” ein geschwungenes “∂”

• Beispiel: Ableitung nach x, während y und z konstant gehalten werden (also “partielleAbleitung nach x”)

∂ f∂x

= lim∆x→0

∆ f∆x

∣∣∣∣y,z

∆ f∆x

∣∣∣∣y,z

=f (x+∆x,y,z)− f (x,y,z)

∆x(3.13)

• Kurzschreibweise: ∂

∂x = ∂x

• Beispiele:

f (x,y,z) = x2 +2yz−1/z∂ f∂x

(x,y,z) = 2x∂ f∂y

(x,y,z) = 2z (3.14)

• Mehrfache Ableitungen möglich, Schreibweise:

∂x∂ f∂x

=∂ 2 f∂x2 (3.15)

• (Ohne Beweis) Solange unsere Funktionen stetig und differenzierbar sind, “vertau-schen” partielle Ableitungen:

∂x∂ f∂y

=∂

∂y∂ f∂x

oder ∂x∂y f (x,y) = ∂y∂x f (x,y) (3.16)

3.7 Nabla und Gradient• Nabla-Operator: Vektor der partiellen Ableitungen

~∇ =

∂x∂

∂y∂

∂ z

=

∂x∂y∂z

(3.17)

• Gradient eines Skalarfeldes, d.h. einer Funktion f (~r): das, was herauskommt, wennman Nabla auf sie einwirken läßt

grad f (~r) = ~∇ f (~r) =

∂ f∂x∂ f∂y∂ f∂ z

(3.18)

• Beispiel:

f (x,y,z) = x2 +2yz−1/z ~∇ f (x,y,z) =

2x2z

2y+1/z2

(3.19)

Page 34: mein Skript zur Vorlesung

34 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I

Abbildung 3.3: Links: Konturplot (wie die “Höhenlinien” einer Wanderkarte) der Funktionf (x,y) = −x2 − y2 + 30; in der Mitte bei x = y = 0 ist das globale Maximum. Rechts:Vektorfeld des Gradienten von f , also ~∇ f (x,y). Alle Pfeile von ~∇ f zeigen jeweils in dieRichtung, in der die Funktion f an diesem Ort am stärksten ansteigt.

• Der Gradient eines skalaren Felds ist ein Vektorfeld.

• Anschauliche Bedeutung des Gradienten: Richtung der stärksten Änderung einerGröße

• Beispiel in 2D: Karte, Höhe f (x,y), Höhenlinien: Gradient ~∇ f zeigt immer bergauf,immer senkrecht zu den Höhenlinien; vergleiche Abbildung 3.3

3.8 Polarkoordinaten (2D)VL2.11.2016 • Kartesische Koordinaten sind zum Rechnen sehr bequem, aber nicht für alle Proble-

me gleich geeignet

• “Symmetrieen der Fragestellung”, das merken Sie im Laufe der Zeit

• Deshalb, drei weitere Koordinatensysteme

• In zwei Dimensionen: Polarkoordinaten - Abstand r vom Ursprung, Winkel φ , sieheAbbildung 3.4

• Umrechnung in kartesische Koordinaten: mit r = |~r| gilt

~r .=

(xy

)=

(r cos(φ)r sin(φ)

)(3.20)

3.9 Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten (3D)• Zylinderkoordinaten für zylindersymmetrische Probleme, Koordinaten r, φ , z, siehe

Abb. 3.5

• Kugelkoordinaten für kugelsymmetrische Probleme, Koordinaten r, φ , θ

Page 35: mein Skript zur Vorlesung

3.9. ZYLINDERKOORDINATEN UND KUGELKOORDINATEN (3D) 35

Abbildung 3.4: 2D-Polarkoordinaten r und φ im kartesischen Koordinatensystem. Beieiner gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Ortsvektors |~r| = r und der Ge-schwindigkeit konstant, aber die Vektoren~r(t) und~v(t) sind zeitabhängig.

Abbildung 3.5: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten

Page 36: mein Skript zur Vorlesung

36 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I

• Winkel: zwei Einheiten möglich, Grad (◦) oder “Radians” (Bogenmaß)

rechter Winkel: φ = 90◦ =π

2rad =

π

2(3.21)

voller Kreis: φ = 360◦ = 2π rad = 2π (3.22)

• Umrechnung von Zylinderkoordinaten (r,φ ,z) zu kartesischen Koordinaten (x,y,z):

~r =

xyz

=

r cos(φ)r sin(φ)

z

(3.23)

• Umrechnung von Kugelkoordinaten (r,θ ,φ) zu kartesischen Koordinaten (x,y,z):

~r =

xyz

=

r cos(θ)cos(φ)r cos(θ)sin(φ)

r sin(θ)

(3.24)

• Beweis / Herleitung für die Umrechnungsformeln ist eine schöne Übungsaufgabe(nur elementare Geometrie, Sinus und Kosinus)

• In nicht-kartesischen Koordinatensystemen wie hier ist das Addieren von Vektorenkomplizierter, NICHT komponentenweise! Warum?

• Erinnerung: Kartesisches Koordinatensystem,

~r = x~ex + y~ey + z~ez (3.25)

Die drei Vektoren~ei sind für jeden Koordinatenpunkt gleich

• Zylinderkoordinaten: Sei~er ein Einheitsvektor in r-Richtung. Wohin zeigt er? :)

• Zylinder- oder Kugelkoordinaten: die Richtung der Einheitsvektoren~er,~eφ ,~eθ hängtvom Ort im Raum ab! Deshalb!

Page 37: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 4

Bewegung in drei Dimensionen

HRW 44.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung• Ortskoordinate wird ersetzt durch den Ortsvektor~r = x~ex + y~ey + z~ez

• Verschiebung eines Massepunkts: Ortsvektor ändert sich, zB. von~r1 zu~r2

∆~r =~r2−~r1 (4.1)

• (Momentan)geschwindigkeit:

~v(t) =d~rdt

(4.2)

• In kartesischen Koordinaten funktioniert die Ableitung komponentenweise, d.h.

~r(t) .=

rx(t)ry(t)rz(t)

−→ ~v(t) =d~rdt

.=

drxdtdrydtdrzdt

, vx =drx

dt, . . . (4.3)

• Warum? Weil die Einheitsvektoren zeitlich konstant sind!(Schreiben Sie~r als Summe von Einheitsvektoren und rechnen Sie’s nach!)

• (Momentan)Beschleunigung~a(t): analog,

~a =d~vdt

(4.4)

4.2 WurfbewegungVL3.11.2016• Gegenstand bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit und unterliegt der Erd-

beschleunigung

• “Wurfbewegung”, Projektil

• Keine weiteren Einflüsse auf die Bewegung, z.B. kein Luftwiderstand

• Stein oder Pistolenkugel, nicht Feder oder Flugzeug

• Startbedingungen: endliche Geschwindigkeit~v0 =~v(0) ...

~v(0) =~v0 = v0x~ex + v0y~ey + v0z~ez (4.5)

... und Ort am Ursprung des Koordinatensystems ...

~r(0) = 0 (4.6)

37

Page 38: mein Skript zur Vorlesung

38 KAPITEL 4. BEWEGUNG IN DREI DIMENSIONEN

• Beobachtung: “Wurfparabel”

– Horizontale Geschwindigkeitskomponente(n) bleibt(bleiben) konstant

– Objekt wird in vertikaler Richtung nach unten beschleunigt

– Diese zwei Phänomene sind unabhängig voneinander, beeinflussen sich nicht.

• Demonstration: Waagrechter und schräger Wurf: Wasserwurfgerät

• Demonstration: Affenschuß

• https://www.youtube.com/watch?v=HWAjegTzRKM

• Horizontale Bewegung: konstante Geschwindigkeit, keine Beschleunigung

x(t) = v0xt (4.7)

y(t) = v0yt (4.8)

• Vertikale Bewegung: konstant beschleunigt durch die Erdbeschleunigung, wie freierFall

z(t) = v0zt−g2

t2 (4.9)

• Bewegung findet in einer (senkrecht stehenden) Ebene statt, d.h. wir können unserKoordinatensystem so wählen daß y(t) = 0, vy(t) = 0

• Statt v0x und v0z, verwende Betrag v0 und Abschußwinkel θ

v0x = v0 cosθ v0z = v0 sinθ (4.10)

• Bahnkurve: z(x)

t(x) =x

v0x(4.11)

z(x) = z(t(x)) =v0z

v0xt− g

2x2

v20x

(4.12)

z(x) = x tanθ − g2

x2

(v0 cosθ)2 (4.13)

• Reichweite: Entfernung vom Ursprung, in der das Projektil wieder Höhe z = 0 er-reicht

0 = x tanθ − g2

x2

(v0 cosθ)2 (4.14)

x =2v2

0g

sinθ cosθ (4.15)

4.3 Gleichförmige Kreisbewegung• Gleichförmige Kreisbewegung: Bewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag

auf einer Kreisbahn, siehe Abbildung 3.4

• Betrag der Geschwindigkeit ist konstant, aber die Richtung ändert sich

• D.h. die Bewegung muß beschleunigt sein! Aber wie?

• Bahn wird immer in Richtung des Mittelpunkts “abgebogen”, d.h. wir können ver-muten, die Beschleunigung ist in Richtung des Bahnmittelpunkts

Page 39: mein Skript zur Vorlesung

4.3. GLEICHFÖRMIGE KREISBEWEGUNG 39

• Behauptung: Zentripetalbeschleunigung a, immer in Richtung des Bahnmittelpunkts,mit Betrag

a =v2

r(4.16)

(mit Bahngeschwindigkeit v und Bahnradius r)

• Das beweisen wir jetzt...

• Wir können den Ort auf der Kreisbahn in Polarkoordinaten beschreiben durch Radiusr (konstant) und Winkel ϕ(t)

• Ortsvektor in 2D:

~r(t) =(

r cosϕ(t)r sinϕ(t)

)(4.17)

• Wir rechnen die Geschwindigkeit aus:

~v(t) =ddt~r(t) =

(−r sinϕ(t) dϕ

dtr cosϕ(t) dϕ

dt

)(4.18)

• Wir wissen daß der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist. Also:

v =

√(−r sinϕ(t)

dt

)2

+

(r cosϕ(t)

dt

)2

= const. (4.19)

• Wir vereinfachenv = r

dt

√sin2

ϕ + cos2 ϕ (4.20)

• ... und mit (sin2ϕ + cos2 ϕ) = 1 bleibt

v = rdϕ

dt(4.21)

• Da v und r konstant sind, muß auch dϕ

dt konstant sein; wir nennen das im Vorgriff aufein späteres Kapitel die Winkelgeschwindigkeit ω .

v = rω ω =vr

(4.22)

• Also,dϕ

dt= ω = const. −→ ϕ(t) = ωt +C (4.23)

(und wir setzen C = 0, d.h. die Bewegung startet zum Zeitpunkt t = 0 bei ϕ = 0)

• Jetzt können wir~r und~v neu schreiben:

~r(t) =(

r cosωtr sinωt

)~v(t) =

(−rω sinωtrω cosωt

)(4.24)

• Indem wir~v ableiten, können wir die Beschleunigung ausrechnen:

~a(t) =ddt~v(t) =

(−rω2 cosωt−rω2 sinωt

)=−rω

2~r(t) (4.25)

• Richtung von ~a: zeigt zu jedem Zeitpunkt genau entgegengesetzt zum Ortsvektor,also von unserem bewegten Teilchen zum Zentrum der Bahn!

• Betrag von~a:

a =

√(−rω2 cosωt)2 +(−rω2 sinωt)2 = rω

2 =v2

r(4.26)

• Demonstration: Projektion der Kreisbewegung

Page 40: mein Skript zur Vorlesung

40 KAPITEL 4. BEWEGUNG IN DREI DIMENSIONEN

4.4 Relativbewegung und Bezugssystem• Wir bauen nun unser Labor ab und in einem Sonderwagen des ICE nach Berlin wie-

der auf.

• Annahme: der Zug bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit (d.h. kei-ne Notbremsung wegen Bahndammbrand, spielender Kinder auf den Gleisen odertechnischer Defekte, aber auch keine Erdkrümmung...)

• Wir können ein Koordinatensystem im Wagen definieren, und Ort und Bewegung imVerhältnis zu diesem Koordinatensystem bestimmen

• Man spricht von einem sogenannten “Bezugssystem”

• Bezugssystem A sei vom Ursprung des Koordinatensystems (außerhalb des Zugs)definiert

• Bezugssystem B sei in unserem bewegten Zugwaggon (also von einem Punkt imWagen aus) definiert

• Der Zug bewegt sich entsprechend~xBA,~vBA

• Physiker X joggt entlang des Zugs von einem Ende zum anderen (er will schnell zudem einen Wagen mit funktionierender Klimaanlage kommen)

• Im Bezugssystem des Wagens:~xXB,~vXB

• Leicht zu sehen: im Bezugssystem A gilt

~xXA =~xBA +~xXB ~vXA =~vBA +~vXB (4.27)

• Wichtige Einschränkung: wie schon gesagt, die Bezugssysteme bewegen sich mitkonstanter Geschwindigkeit zueinander, d.h.

ddt~vBA = 0 (4.28)

• Konsequenz: die Beschleunigung des Physikers X ist in beiden Bezugssystemengleich!

~aXA =ddt~vXA =

ddt~vBA +

ddt~vXB =

ddt~vXB =~aXB (4.29)

Page 41: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 5

Kraft und Bewegung

HRW 55.1 Inertialsystem, Newton 1• Newton’sche Mechanik, benannt nach Sir Isaac Newton (1642-1727), der dieses Sy-

stem von Zusammenhängen als erster formuliert hat

• Gilt über einen weiten Bereich von Größenordnungen, aber zB nicht bei

– extrem hohen Geschwindigkeiten (−→ Relativitätstheorie) oder

– extrem kleinen Objekten (−→ Quantenmechanik)

• Was verursacht eine Beschleunigung? Wechselwirkung, wir nennen sie Kraft

• Historisch: Annahme, daß eine Kraft nötig ist, um Bewegung aufrechtzuhalten... aberdas gilt nur in Anwesenheit von Reibung.

• Im idealisierten, reibungsfreien Fall:

• Erstes Newton’sches Gesetz, Trägheitsgesetz:

Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Trans-lation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zu-stands gezwungen wird.1

VL9.11.2016• In Formeln heißt das, solange auf einen Körper keine Kraft einwirkt, ist seine Be-

schleunigung null, d.h. seine Geschwindigkeit (in Betrag und Richtung) konstant.

~a(t) = 0 ~v(t) = const. (5.1)

• Vorsicht, diese Formulierung macht keine Aussagen über die Art des Bezugssy-stems...

• Begriff des Inertialsystems:

Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die Newton’schen Geset-ze gelten.

• Also können wir das erste Newton’sche Gesetz neuformulieren:

Es gibt Inertialsysteme, in denen ein Körper, auf den keine Kraft einwirkt,in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung verbleibt.

• Quizfrage: Puck auf Eisbahn auf der Erdoberfläche — Inertialsystem?1Im Original: “Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi

quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.”

41

Page 42: mein Skript zur Vorlesung

42 KAPITEL 5. KRAFT UND BEWEGUNG

Abbildung 5.1: Zwei Kräfte ~F1 und ~F2 wirken auf einen Körper; ihre Addition ergibt dieGesamtkraft, die auf ihn wirkt (Superpositionsprinzip).

5.2 Kraft verursacht Beschleunigung, Newton 2

• Idee einer Kraft ~F , die auf einen Körper einwirkt

• Kraft verursacht Beschleunigung einer Masse

• Beschleunigte Masse ist kleiner −→ gleiche Kraft verursacht größere Beschleuni-gung

• Zweites Newton’sches Gesetz, Aktionsprinzip:

Die auf einen Körper mit zeitlich konstanter Masse wirkende Gesamtkraftist gleich dem Produkt der Masse und der Beschleunigung des Körpers.

• Als Formel:~Fges = m~a (5.2)

• Vektorgleichung, gilt für alle drei Komponenten

• Demonstration: Luftschiene: Wagen mit verschiedenen Massen und verschiedenenKräften

• Erstes Newton’sches Gesetz ist Spezialfall für ~Fges = 0

• Kräfte bewirken die Beschleunigung “achsenweise”, d.h. die x-Komponente der Ge-samtkraft bewirkt die x-Komponente der Beschleunigung us.

• Wir definieren die Einheit der Kraft so, daß eine Kraft von 1 Newton eine Masse von1kg mit 1m/s2 beschleunigt, also:

• Einheit der Kraft:Kraft ~F , 1N = 1Newton = 1kg

ms2 (5.3)

• Kraft ist eine Vektorgröße

• Wirkt mehr als eine Kraft auf einen Körper, so können diese aufsummiert werden(Superpositionsprinzip), siehe Abbildung 5.1

Page 43: mein Skript zur Vorlesung

5.3. GRAVITATION UND GEWICHT 43

• Wenn wir später nicht mehr von Massepunkten sprechen, dann wird der Ansatzpunktvon Kräften an einen Körper wichtig.

• Kräftediagramm zur vektoriellen Aufsummierung der Gesamtkraft

• Masse: die Eigenschaft eines Körpers, mit der er sich einer Beschleunigung “wider-setzt”

• Sogenannte “träge Masse”

• Beispielaufgabe: Drei Leute ziehen an einem Autoreifen; zwei Beträge und zweiRichtungen bekannt...

5.3 Gravitation und GewichtVL10.11.2016• Gravitationskraft ~Fg: Erde “zieht Körper an”

• Üblicherweise (vereinfacht) senkrecht nach unten, Richtung Erdmittelpunkt

• Wir wissen, daß im Schwerefeld der Erde einem Körper eine konstante Beschleuni-gung~g widerfährt

• Also gilt mit Newton 2:~Fg = m~g (5.4)

• Auf eine Masse m wirkt eine Gravitationskraft ~Fg genau so, daß diese mit~g beschleu-nigt wird

• “Schwere Masse” m, auf die die Gravitation (Schwerkraft) wirkt; Eigenschaft vonMasse, die eigentlich unabhängig von der “trägen Masse” ist

• Fundamentale Frage der Physik: ist schwere und träge Masse immer gleich? “Äqui-valenz von träger und schwerer Masse”

• “Fallen Gegenstände aus unterschiedlichen Materialien durch die Gravitation gleichstark beschleunigt?”

• Viele Experimente... bis jetzt, Äquivalenz mit sehr hoher Genauigkeit nachgewiesen

• Beispiel einer Satelliten-Messung zu diesem Thema:http://einstein.stanford.edu/STEP/index.html

• Gewichtsmessung im täglichen Leben (Waage, Feder, ...): wir messen die Kraft, dienötig ist, um den Körper am freien Fall zu hindern (also die Gravitationskraft auszu-gleichen)

• Setzt bestimmten Wert für g voraus! Ihre Küchenwaage funktioniert nicht auf demMars.

• Außerdem, funktioniert nicht in beschleunigtem Bezugssystem, z.B. im Aufzug (warum?)

Page 44: mein Skript zur Vorlesung

44 KAPITEL 5. KRAFT UND BEWEGUNG

Abbildung 5.2: Normalkraft durch eine Tischoberfläche: Die Erde übt eine Gravitations-kraft ~Fg auf unser blaues Objekt aus. Damit es nicht sich Richtung Erdmittelpunkt beschleu-nigt, muß der Tisch, auf dem es liegt, eine entgegengesetzte Normalkraft gleicher Größe~FN auf es ausüben.

5.4 Normalkraft• Situation von Abbildung 5.2

• Gegenstand liegt auf Tisch, wird von Erde angezogen, “kann” aber nicht fallen

• Tischoberfläche wird minimal komprimiert/eingedrückt, übt Gegenkraft auf Gegen-stand aus, gleich groß der Gravitationskraft, aber entgegengesetzt

• Deutlicher wenn Gegenstand auf Matratze liegt: der Gegenstand sinkt ein, bis dierücktreibende Kraft ausreicht, die Gravitationskraft auszugleichen

• Diese Kraft wird Normalkraft genannt

• “normal”, weil senkrecht zu Tischoberfläche / generell Auflagefläche

• Beispiel Wagen auf schiefer Ebene: Normalkraft immernoch senkrecht zur Auflage-fläche, aber nicht mehr entgegengesetzt zur Gravitationskraft!

5.5 ReibungskräfteHRW 6 • Gegenstand bewegt sich auf Tischoberfläche entlang

• Haftung zwischen Gegenstand und Oberfläche: Reibungskräfte, parallel zur Oberflä-che

• Demonstration: Haft- und Gleitreibung

• Versuch: Gegenstand gleitet auf Tisch entlang.

• Gegenstand wird bis zur Ruhe abgebremst, d.g. Reibungskraft / Reibung wirkt derBewegung entgegengesetzt

• Versuch: Gegenstand wird mit konstanter Geschwindigkeit auf Tisch entlanggezogen

Page 45: mein Skript zur Vorlesung

5.5. REIBUNGSKRÄFTE 45

Abbildung 5.3: Links: Der blaue Block ruht auf dem Tisch wie in Abbildung 5.2. Nun übenwir eine Zugkraft ~F aus, um ihn in Bewegung zu versetzen; dieser wirkt eine Reibungskraft~FR entgegen. Rechts: Die Zugkraft wird langsam erhöht, und die Haftreibungskraft wächstentsprechend bis zu einem kritischen Wert. Dann beginnt der Block sich zu bewegen, undes wirkt nur noch die meistens kleinere Gleitreibungskraft.

• Konstante Kraft nötig; da keine Beschleunigung vorliegt, muß diese gerade die Rei-bungskraft ausgleichen

• Versuch: Gegenstand liegt auf Tisch, wir versuchen ihn mit einer Kraft in Bewegungzu versetzen

• Wir brauchen erst mal eine größere Kraft, um den Gegenstand in Bewegung zu ver-setzen! Weitere Reibungskraft nötig, die nur wirkt, solange der Gegenstand in Ruheist!

• Zuerst die Haftreibungskraft Fs, “s” für “statisch” überwinden, danach wirkt nurnoch die kleinere Gleitreibungskraft Fk, “k” für “kinetisch”

• Beispiel zweier Metallblöcke: Kontaktflächen “verschweißen” kalt (zu “einem Me-tallblock”)

• Loslösen: “Schweißstellen” werden getrennt, dann während der Bewegung werdenständig solche Stellen wieder gebildet und gelöst

• Reibungskräfte entstehen, wo die mikroskopischen Unebenheiten der beiden Flächenaneinander vorbeigleiten.

• Häufig ruckartig, da zwei Oberflächen aneinanderhaften und sich wieder lösen −→quietschende Geräusche– Fingernagel auf Tafel, Reifen auf Straße, aber auch Bogenauf Violinensaite

• Zusammenpressen von Oberflächen −→ größere Kontaktflächen, größere Reibungs-kräfte

• Entsprechende experimentelle Beobachtung: Sowohl die maximale Haftreibungs-kraft als auch die Gleitreibungskraft hängen von der Normalkraft ab; es gilt nähe-rungsweise (keine Vektorgleichung, nur Beträge)

Fmaxs = µsN Fk = µkN (5.5)

µs und µk heißen Haftreibungs- und Gleitreibungskoeffizient.

Page 46: mein Skript zur Vorlesung

46 KAPITEL 5. KRAFT UND BEWEGUNG

5.6 Zentripetalkraft der gleichförmigen Kreisbewegung• Wir wissen schon, daß einem Körper, der sich mit konstantem Geschwindigkeitsbe-

trag auf einer Kreisbahn befindet, eine Zentripetalbeschleunigung widerfährt

a =v2

r= rω

2 (5.6)

• Nach Newton 2 ist die entsprechende Kraft, die das verursacht, die Zentripetalkraft,

F = mv2

r(5.7)

• Beispiel Auto in Kurve:

– Zentripetalkraft wird von Boden an den Reifen ausgeübt, Haftreibungskraft

– Die Leute, die im Auto sitzen, werden von der Haftreibung am Autositz ent-sprechend mitbeschleunigt

– Ist die zu klein, dann rutscht man auf der Rückbank zur Seite...

• Beispiel Gegenstand an Schnur: die Zentripetalkraft muß ich aufwenden, um denGegenstand auf der Kreisbahn zu halten; spannt die Schnur

5.7 Actio und ReactioHRW 5

• Kräftediagramm Gegenstand auf Tisch: Gegenstand übt seine Gravitationskraft aufden Tisch aus, aber auch Tisch übt Normalkraft auf Gegenstand aus!

• Drittes Newton’sches Gesetz (Aktion gleich Reaktion)

Wenn zwei Körper miteinander wechselwirken, dann besitzen dieKräfte, welche die Körper aufeinander ausüben, den gleichen Betragund entgegengesetzte Richtung.

• Beispiel Gegenstand auf Tisch: sei ~Fg die Gravitationskraft, die die Erde auf denGegenstand und damit der Gegenstand auf den Tisch ausübt, und ~Fn die Normalkraft,die der Tisch auf den Gegenstand ausübt:

~Fg =−~Fn (5.8)

• “Kraft-Gegenkraft-Paar”

• Demonstration: Zwei Physiker auf zwei Wägen, Seilziehen

Page 47: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 6

Energie und Arbeit

HRW 76.1 (Kinetische) Energie• Um physikalische Phänomene einfach beschreiben zu können, brauchen wir mehr

fundamentale Konzepte; ein solches ist die Energie.

• Eigenschaft von Gegenständen oder Systemen

• Kann transferiert oder in andere Formen umgewandelt werden, aber nicht erzeugtoder zerstört werden

• Schwer zu definieren, da sehr viele verschiedene Formen

• Oft gegebene umgangssprachliche “Definition”: “Fähigkeit eines Systems, Arbeit zuverrichten” (aber ganz so einfach ist das nicht)

• Weil wir in der Mechanik-Vorlesung sind, betrachten wir erst einmal die kinetischeoder Bewegungsenergie:

Ekin =12

m~v2 (6.1)

• Einheit der Energie, wie auch aus Gleichung 6.1 folgt:

Energie E, 1J = 1Joule = 1kgm2

s2 (6.2)

• Manchmal auch Formelzeichen T oder K verwendet

• Beispiel: Ein Käfer fliegt an uns vorbei. Geschwindigkeit 10m/s, Masse 800kg. (Ja,Herbie.) Die kinetische Energie ist Ekin = 40kJ.

6.2 Arbeit• Ein Gegenstand wird auf eine größere Geschwindigkeit beschleunigt−→ er gewinnt

an kinetischer Energie

• Wir bremsen einen Gegenstand mit einer Kraft auf eine kleinere Geschwindigkeit ab−→ er verliert an kinetischer Energie

• Dem Gegenstand wird “Energie zugeführt”, bzw. der Gegenstand “führt uns Energiezu”

• Begriffsdefinition Arbeit:

47

Page 48: mein Skript zur Vorlesung

48 KAPITEL 6. ENERGIE UND ARBEIT

Die Arbeit W ist die Energie, die auf mechanischem Wege von einemGegenstand auf einen anderen übertragen wird, d.h. durch das Einwirkenvon Kräften.

• Man sagt, “an einem Gegenstand wird Arbeit verrichtet”

• Zuführen von Energie −→ positive Arbeit, Abführen von Energie −→ negative Ar-beit

• zuführen/abführen nur im übertragenen Sinne, da fließt kein materieller “Stoff” hin-ein oder heraus

• Die Begriffsdefinition ist spezieller als der umgangssprachliche Begriff der Arbeit;ich habe zwar gestern lange am Skript gearbeitet, aber dabei kaum Arbeit im physi-kalischen Sinne verrichtet.

6.3 Kräfte verrichten Arbeit• Gedankenexperiment: Wagen kann sich (reibungsfrei) auf Luftkissenschiene bewe-

gen, in x-Richtung

• Am Ort x = 0, Geschwindigkeit v0

• Konstante Kraft ~F im Winkel ϕ zur Schiene

• Beschleunigung: Fx = ma

• Wir können herleitenv(x)2 = v2

0 +2ax (6.3)

und damit12

mv2− 12

mv20 = Fxx (6.4)

• Änderung der kinetischen Energie, also Arbeit W , ist Weg mal Kraft in Wegrichtung!

W = Fxx (6.5)

• Allgemeiner mit Winkel ϕ oder den Vektoren:

W = Fxcosϕ = ~F ·~x (6.6)

• Wichtig: für diesen Ausdruck muß die Kraft konstant sein, die Bewegungsrichtungkonstant sein, und das bewegte Objekt starr sein!

VL16.11.2016 • Demonstration: Ziehen eines Wagens: nötige Kraft bei unterschiedlichem Ansatz-

winkel des Seils

• Vorzeichen der Arbeit: hängt vom Winkel ϕ ab, positiv wenn Kraft(komponente) ingleicher Richtung wie Weg

• Einheit der Arbeit: 1J genauso wie Energie; hier gibt es auch die Bezeichnung 1J =1Nm

• In unserer Konstruktion der Arbeit W haben wir uns auf die Änderung der kineti-schen Energie Ekin bezogen

• Damit giltW = Ek, f −Ek,i = ∆Ekin (6.7)

• Die Änderung der kinetischen Energie eines Teilchens ist gleich der an dem Teilchenverrichteten Gesamtarbeit.

• Unabhängig vom Vorzeichen von W .

Page 49: mein Skript zur Vorlesung

6.4. ARBEIT DURCH GRAVITATIONSKRAFT 49

6.4 Arbeit durch Gravitationskraft• Wir setzen die Gravitationskraft in die Formel für die Arbeit ein

• Bei senkrechter Verschiebung um eine Höhe ∆z verrichtet die Gravitationskraft aneiner Masse m die Arbeit

Wg =−mg∆z (6.8)

• Allgemeiner Weg~r: mit ϕ als Winkel zwischen~r und der Senkrechten nach oben,

Wg =−mgr cosϕ (6.9)

(das Minuszeichen kommt daher, daß die Kraft nach unten zeigt)

• Objekt fällt nach unten −→ Kraft und Weg zeigen in die gleiche Richtung, Arbeitpositiv — konsistent damit daß das Objekt schneller wird, Geschwindigkeit nimmtzu

• Objekt bewegt sich nach oben −→ Kraft und Weg zeigen in die entgegengesetzteRichtung, Arbeit negativ — konsistent damit daß das Objekt langsamer wird, alsoabgebremst wird und kinetische Energie verliert

6.5 Arbeit durch eine Feder• Gegenstand an Feder befestigt, Gleichgewichtslage sei x = 0

• Auslenkung~x −→ rücktreibende Kraft ~F

• Beschrieben für kleine Auslenkungen durch das Hooke’sche Gesetz:

~F =−k~x (6.10)

• k ist die Federkonstante der jeweiligen Feder

• In einer Dimension:Fx =−kx (6.11)

• Federkraft zieht immer in Richtung der Gleichgewichtslage

• Linearer Zusammenhang!

• Der Gegenstand sei bei x = 0 und in Ruhe. Nun stoßen wir ihn kurz an, so daß ersich in positiver Richtung wegbewegt.

• Welche Arbeit verrichtet die Feder (um ihn abzubremsen)?

• Problem: Kraft zeitlich veränderlich!VL17.11.2016• Wir betrachten viele kleine Wegstücke j, auf denen wir die Kraft jeweils konstant

annähern:WF = ∑Fj∆x (6.12)

• Infinitesimal kleine Stücke −→ Integral, und für diesen Fall gilt

WF =

x2∫x1

F dx =

x2∫x1

(−kx)dx =12

kx21−

12

kx22 (6.13)

• Mit x1 = 0 (Start vom Ursprung) gilt als Sonderfall der folgende Zusammenhangzwischen von der Feder verrichteter Arbeit WF und zurückgelegtem Weg x:

WF =−12

kx2 (6.14)

Page 50: mein Skript zur Vorlesung

50 KAPITEL 6. ENERGIE UND ARBEIT

6.6 Kinetische Energie und Arbeit – mit Integralen• Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Arbeit – auch mit Integralen zeig-

bar?

• Schauen wir uns das vereinfachend in 1D an.

• Sei F(x) die Kraft, und wir bewegen uns von Ort x1 zu Ort x2

• Newton 2, F = ma, eingesetzt in die Definition der Arbeit:

W =

x2∫x1

F(x)dx =

x2∫x1

madx (6.15)

• Behauptung:adx = vdv (6.16)

• “Beweis”:adx =

dvdt

dx =dvdx

dxdt

dx =dxdt

dvdx

dx = vdv (6.17)

• (Das schaut sehr nach Taschenspielertrick aus. Dahinter steckt aber die Kettenregelder Ableitung; man kann das auch sauberer hinschreiben.)

• Also gilt, mit v1 als Geschwindigkeit am Ort x1 und v2 als Geschwindigkeit am Ortx2:

W =

v2∫v1

mvdv =12

mv22−

12

mv21 = Ek,2−Ek,1 (6.18)

• Die an der Masse verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie.

6.7 Leistung• Ein Auto wird kontinuierlich durch eine Kraft beschleunigt

• Pro Zeitabschnitt wird Arbeit verrichtet

• Beschreibung, “wie schnell” die Arbeit geleistet wird?

• Leistung: Arbeit pro Zeitintervall

Leistung P =dWdt

, 1W = 1Watt = 1J/s (6.19)

• Alte, nicht-SI-Einheit:

1PS = 1Pferdestärke = 735W (6.20)

• Zeitlich und räumlich konstante Kraft ~F , die auf ein bewegtes Objekt mit ~x(t), ~v(t)einwirkt −→ die momentane Leistung ist

P =dWdt

=ddt~F ·~x = ~F · d~x

dt= ~F ·~v (6.21)

Page 51: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 7

Vektoranalysis II: Weg- undVolumenintegral

7.1 Arbeit in 3D: Wegintegral• Im letzten Abschnitt, als Grenzwertprozeß von Aufsummierung:

WF =

x2∫x1

F(x)dx (7.1)

• Was passiert im dreidimensionalen Fall?

• Wir brauchen die Kraft in Richtung des Wegs, Projektion

• Erinnerung: Skalarprodukt!

• Wir summieren wieder kleine Wegstücke ∆~x j auf, aber diesmal als Skalarproduktvon Kraft und Ortsänderung (Wegstück), siehe auch Abbildung 7.1:

∑~Fj ·∆~x j (7.2)

• Grenzwertprozeß führt formell zu einem Integral, aber einem “neuartigen”

WF =∫

Weg

~F(~x) ·d~x (7.3)

• “Kurvenintegral”, nicht über ein Intervall auf einer Achse, sondern über einen “Weg”im dreidimensionalen Raum

• Wie rechnen wir das aus, und wie geben wir z.B. die Integrationsgrenzen oder denWeg an?

• Wir beschreiben den Weg als Funktion eines weiteren Parameters t; der kann z.B. dieZeit sein...

~x : t 7−→~x(t) (7.4)

• Der Weg wird von t1 bis t2 zurückgelegt, führt also vom Punkt~x(t1) zum Punkg~x(t2)

• Sie erinnern sich hoffentlich noch an die Kettenregel vom Integrieren: für Skalare(Zahlen, Schule, etc bla bla) gilt∫

f (x)dx =∫

f (x(t))dxdt

dt, (7.5)

51

Page 52: mein Skript zur Vorlesung

52 KAPITEL 7. VEKTORANALYSIS II: WEG- UND VOLUMENINTEGRAL

Abbildung 7.1: Ein Körper bewegt sich auf einem Weg~x(t) von~x(t1) =~x1 nach~x(t2) =~x2.Dabei wirkt eine Kraft ~F auf ihn. Die durch die Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus demWegintegral über ~F ·d~x.

• Wir verwenden “rückwärts” diese Kettenregel für’s Integrieren, nur daß wir diesmalVektoren haben!

• Sei~x(t) der Weg, auf dem sich unser Gegenstand als Funktion der Zeit t bewegt, vont = t1 bis t = t2.

WF =∫

Weg

~F(~x) ·d~x =t2∫

t1

~F(~x(t)) · d~x(t)dt

dt (7.6)

• Innerhalb des Integrals steht ein Skalarprodukt, also nur noch eine Zahl! D.h. daskönnen wir ausrechnen!

Beispiel: Eine Masse m bewegt sich von t1 = 0 an auf einer Wurfparabel imSchwerefeld der Erde, mit~v0 =~v(t = 0) = v0~ex. Die Gewichtskraft ~Fg ist

~Fg =−mg~ez =

00−mg

(7.7)

und unsere Flugbahn ist gegeben durch

~r(t) =−g2

t2~ez + v0t~ex =

v0t0− g

2 t2

(7.8)

Die Ableitung von~r(t), also die Geschwindigkeit, ist

~v(t) =

v00−gt

(7.9)

Page 53: mein Skript zur Vorlesung

7.2. FLÄCHENINTEGRAL 53

Wir setzen in Gleichung 7.6 ein und erhalten für die von t = t1 = 0 bis t = t2durch die Gewichtskraft verrichtete Arbeit:

WF =

t2∫0

00−mg

· v0

0−gt

dt =

t2∫0

mg2t dt =12

mg2t22 (7.10)

• Wichtig: Im allgemeinen Fall kann das Ergebnis eines Wegintegrals von dem exaktenWeg abhängen!

• D.h. es reicht nicht, Start- und Endpunkt anzugeben, sondern der Weg muß genaubeschrieben werden.

• Wann genau wegunabhängig – später!

7.2 Flächenintegral• Andere Fragestellung: Wir schauen uns die Donau an, die Tiefe des Grunds sei−z(x,y). Wenn wir uns einen bestimmten Bereich der Wasseroberfläche anschauen,wieviel Wasservolumen ist da drunter?

• “Flächenstück” ∆A = ∆x∆y, Volumen dadrüber / dadrunter: ∆V = ∆x∆yz(x,y)

• Aufsummieren, Grenzwertprozeß, mache Stücke beliebig klein, Integral

V =∫A

z(x,y)dA =∫∫

z(x,y)dxdy =∫ (∫

z(x,y)dx)

dy (7.11)

• Integrationsbereich ist hier eine Fläche in der x-y-Ebene! D.h. wir müssen die Inte-grationsgrenzen in x und y so wählen, daß sie zusammen eine Fläche beschreiben.

• Am einfachsten ist das für einen rechteckigen Bereich in x und y auszurechnen, d.h.sowohl in x- als auch in y-Richtung ist der Integrationsbereich durch ein Intervallgegeben.

7.3 Dichte und Volumenintegral• Wir betrachten einen ausgedehnten Körper mit Masse m und Volumen V .

• Erster Fall: die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt

• Wir können die Dichte oder Massendichte des Körpers definieren als

ρ =mV, Einheit:

kgm3 (7.12)

• Andere übliche Angaben auch Gramm pro Kubikzentimeter, Kilogram pro Liter, ...

• Anmerkung: Wir sprechen über die Masse, nicht über die Gewichtskraft!

• Wie modellieren wir es, wenn die Masse eines Körpers nicht gleichmäßig verteiltist?

• Dichte ρ(~x) ist ortsabhängig

• Beispiel Athmosphäre: nach oben wird die Luft dünner...

Page 54: mein Skript zur Vorlesung

54 KAPITEL 7. VEKTORANALYSIS II: WEG- UND VOLUMENINTEGRAL

• Was ist nun der Zusammenhang zwischen Dichte und (Gesamt)masse?

• Wir nehmen kleine “Volumenstücke” Vi, und nähern, daß die Dichte ρi dort jeweilskonstant ist. Dann gilt

m = ∑i

ρi Vi (7.13)

• Und jetzt machen wir die Volumenstücke immer kleiner und damit die Näherungimmer besser... und erhalten formell

m =∫∫∫

Volumen

ρ(~x)dx3 =∫∫∫

Volumen

ρ(~x)dxdydz (7.14)

Beispiel: Was ist (grob) die Masse eines Würfels Luft mit 1km Kantenlänge?

• Auf Meereshöhe, Normdruck, +20◦C: ρ0 = 1.2041kg/m3

• Die Dichte der Luft nimmt für geringe Höhen genähert um ρ0/1000 pro8m Höhe ab.

• Also:ρ(~x) = ρ0−

z8m

ρ0

1000= ρ0

(1− z

8000m

)(7.15)

Für die Masse erhalten wir:

m =

1km∫0

1km∫0

1km∫0

ρ(~x)dx

dy

dz (7.16)

m = ρ0

1km∫0

1km∫0

1km∫0

(1− z

8km

)dx

dy

dz (7.17)

m = ρ0 ·1km ·1km1km∫0

1− z8km

dz = ρ0 ·1km ·1km · 1516

km (7.18)

Page 55: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 8

Potentielle Energie undEnergieerhaltung

VL23.11.2016HRW 8

8.1 Potentielle Energie• Potentielle Energie Epot: die Energie, die ein System aufgrund seiner Konfiguration

bzw. Anordnung hat, wenn Kräfte bzw. Kraftfelder vorliegen

• Manchmal auch Formelzeichen U

• Anschauliche Vorstellung: das ist z.B. im Schwerefeld der Erde die Energie, die zu-sätzlich vorhanden ist, wenn ein Körper auf dem Dach liegt statt im Keller

• Andere anschauliche Vorstellung: die Energie, die “in einer zusammengedrücktenFeder steckt”

• Konzept, mit dem viele Probleme wesentlich einfacher gelöst werden können

• Beispiel hochgeworfenes Kreidestück:

– fliegt nach oben −→ Gravitation verrichtet negative Arbeit an Kreide, Bewe-gungsenergie der Kreide nimmt ab, wird umgewandelt in potentielle Energiedes Systems Erde+Kreide

– fliegt nach unten −→ Gravitation verrichtet positive Arbeit an Kreide, poten-tielle Energie des Systems Erde+Kreide wird in Bewegungsenergie der Kreideumgewandelt

• Negatives der Arbeit, welche die Gravitationskraft an der Kreide verrichtet, also:

∆Epot =−W (8.1)

• Gleiche Argumentation mit Feder und daran befestigtem Objekt möglich

8.2 Konservative Kräfte• Wann können wir das Konzept der potentiellen Energie verwenden?

• Wir schauen uns die Systeme “hochgeworfene Kreide im Schwerefeld” oder “Massean Feder” nochmal an und verallgemeinern:

– Zwei oder mehr Objekte

55

Page 56: mein Skript zur Vorlesung

56 KAPITEL 8. POTENTIELLE ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG

– Kraft zwischen beweglichem Objekt und dem Rest

– Ändert sich der Ort des beweglichen Objekts, so verrichtet die Kraft eine Arbeitan ihm

• Für die zwei betrachteten Beispiele gilt: Wird die Ortsänderung des beweglichenObjekts rückgängig gemacht, dann wird die gleiche Arbeit mit unterschiedlichemVorzeichen verrichtet!

W2 =−W1 (8.2)

• Eine solche Kraft bezeichnet man als konservative Kraft.

• Beispiele für konservative Kräfte: Gravitationskraft, rücktreibende Kraft einer Feder

• Beispiele für nicht konservative Kräfte: Gleitreibungskraft, StrömungswiderstandGleitreibung: verrichtet immer negative Arbeit an Objekt (“bremst”), auch wenn derWeg umgekehrt wird! Mechanische Energie wird in thermische Energie (Wärme)umgewandelt

• Wann genau ist eine Kraft konservativ?

• Wir nehmen an, daß sich ein Objekt, auf das Kräfte wirken, auf einem geschlossenenWeg bewegt (d.h. es ist am Ende wieder am Ausgangspunkt).

• Eine Kraft, die auf ein solches Objekt wirkt, ist genau dann konservativ, wenn fürjeden solchen geschlossenen Weg die verrichtete Gesamtarbeit gleich Null ist.

• Äquivalent: Genau für eine konservative Kraft gilt, daß die an einem Objekt verrich-tete Arbeit auf dem Weg von A nach B unabhängig von der Wegstrecke ist.

• Beweis / Plausibilisierung des Zusammenhangs mit Skizze; Umkehrung des Weg-stücks→ Umkehrung der Richtung von d~x im Wegintegral, Cosinus ändert Vorzei-chen

8.3 Energieerhaltung• Mechanische Gesamtenergie eines Systems:

Emech = Ekin +Epot (8.3)

• Was passiert mit dieser Summe, wenn nur konservative Kräfte vorliegen? (also ins-besondere keine Reibung!)

• In einem System verrichtet eine Kraft eine Arbeit W an einem Objekt des Systems,also ändert sich die Bewegungsenergie

∆Ekin =W (8.4)

und die potentielle Energie∆Epot =−W (8.5)

• Damit haben wir∆Ekin =−∆Epot (8.6)

oder ausgeschrieben (1: vorher, 2: nachher)

Ekin,2−Ekin,1 =−(Epot,2−Epot,1

)(8.7)

Page 57: mein Skript zur Vorlesung

8.4. BERECHNUNG DER POTENTIELLEN ENERGIE 57

• Damit:Epot,1 +Ekin,1 = Epot,2 +Ekin,2 (8.8)

oderEmech,1 = Emech,2 (8.9)

Energieerhaltungssatz der Mechanik! Wenn in einem abgeschlossenen System nurkonservative Kräfte Energieänderungen verursachen, dann ist die Summe von kine-tischer und potentieller mechanischer Energie konstant.

• Wir können das ausnutzen, um (unabhängig von der zeitlichen Entwicklung einesSystems und den genauen Kräften / Arbeiten) den Zustand eines Systems zu berech-nen!

• Beispiel eines Fadenpendels: Umwandlung zwischen kinetischer und potentiellerEnergie

– Höchster Punkt: Pendel ruht, kinetische Energie Null, höchste potentielle Ener-gie

– Niedrigster Punkt: Pendel bewegt sich mit maximaler Geschwindigkeit, nied-rigste potentielle Energie

• Demonstration: “Dozentenkiller” — Energieerhaltung beim Fadenpendel

8.4 Berechnung der potentiellen EnergieVL24.11.2016• Objekt (Massepunkt), in einem System, in dem eine konservative Kraft ~F auf es

wirkt

• Änderung der “mit dem System zusammenhängenden potentiellen Energie” ist genaudas Negative der an dem Objekt verrichteten Arbeit

• Aus der Arbeit

W =

x2∫x1

F(x)dx (8.10)

folgt also die potentielle Energie

∆Epot =−x2∫

x1

F(x)dx (8.11)

• Im Dreidimensionalen: Wegintegral wie bereits besprochen

∆Epot =−~x2∫

~x1

~F(~x) ·d~x (8.12)

• In der Regel haben nur Änderungen der potentiellen Energie eine physikalischeBedeutung, der Absolutwert nicht

• Aber: Konservative Kraft −→ wir können einen Referenzpunkt~x0 mit Epot(~x0) = 0festlegen und dann Epot(~x) schreiben, z.B.

Epot(~x) =−~x∫

~x0

~F(~x′) ·d~x′ (8.13)

Page 58: mein Skript zur Vorlesung

58 KAPITEL 8. POTENTIELLE ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG

• Nur für konservative Kräfte ist die potentielle Energie sinnvoll! (Sonst wäre dieseFunktion Epot(~x) für einen Punkt ~x nicht wohldefiniert, da vom genauen Weg imIntegral abhängig!)

8.5 Potentielle Energie der Gravitation• Kraft: Fg =−mg~ez

• Unterschied Potentielle Energie von Höhe z1 nach Höhe z2 (nachrechnen!):

∆Epot = mg(z2− z1) (8.14)

8.6 Berechnung der Kraft aus Epot

• Konservative Kräfte, Referenzpunkt~x0 gegeben −→ Epot(~x)

• Wir wissen daß in 1D gilt

Epot(x) =−∫

F(x)dx (8.15)

• Ableiten auf beiden Seiten führt zu

F(x) =−dEpot(x)

dx(8.16)

Beispiel: Epot kann man plotten; insbesondere ist das einfach in einer Dimen-sion und bei Betrachtung der Gravitationskraft...

Achterbahn-Beispiel: Wagen mit Masse m gleitet auf einer Schiene entlang(NICHT rollen, das ist komplizierter); dann gilt mit Referenzhöhe z = 0

Epot = mgz ∝ z (8.17)

Diskussion von

• Endgeschwindigkeit

• Geschwindigkeit an beliebigem Ort

• Umkehrpunkte

• neutrales, instabiles, stabiles Gleichgewicht

Endlich mal eine schöne Anwendung für die Kurvendiskussion...

• In 3D: Integral ist wie bereits erwähnt

Epot(~x) =−∫

~F(~x) ·d~x (8.18)

und Bilden des Gradienten auf beiden Seiten führt zu

~F(~x) =−~∇Epot(x) (8.19)

• Epot(~x) ist ein skalares Feld, ~F(~x) ein Vektorfeld!

• Nutze dieses Wissen für Berechnungen!

• Kraft zeigt immer in die Richtung, in der die potentielle Energie am stärksten ab-nimmt!

Page 59: mein Skript zur Vorlesung

8.7. (RE)DEFINITION ARBEIT EINER ÄUSSEREN KRAFT AN EINEM SYSTEM 59

8.7 (Re)definition Arbeit einer äußeren Kraft an einemSystem

• System von Objekten,Emech = Ekin +Epot (8.20)

• Von Umgebung isoliert, “abgeschlossen” −→ keine Arbeit wird an ihm verrichtet,die mechanische Gesamtenergie bleibt konstant

• Externe Kraft −→ Energie wird einem System zugeführt oder entzogen, d.h. wirändern die Gesamtenergie Emech über einen oder beide seiner Teile; nicht mehr ab-geschlossen

W = ∆Emech (8.21)

• Beispiel Hochwerfen der Kreide

• System Kreide — Erde, Gravitationskraft und potentielle Energie

• meine Hand ist die äußere Kraft an diesem System, fügt ihm beim Hochwerfen Ener-gie hinzu!

• Quizfrage — wieviel? wie könnte man das messen?

• Komplizierter wenn Reibung vorhanden

• Gleitreibungskraft −→ mechanischer Energieverlust, aber Erwärmung des Systems!Zusätzlicher Energieterm Etherm

W = ∆Emech +∆Etherm (8.22)

Page 60: mein Skript zur Vorlesung

60 KAPITEL 8. POTENTIELLE ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG

Page 61: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 9

Systeme von Teilchen, Impuls

HRW 99.1 Schwerpunkt• Wir betrachten nun ein System aus mehreren Massepunkten, und später einen ausge-

dehnten Körper

• Schwerpunkt zweier Teilchen an Orten x1 und x2, Massen m1 und m2 (in 1D)

xs =m1x1 +m2x2

m1 +m2(9.1)

(ein “gewichteter Mittelwert”!)

• Für beliebig viele (N) Teilchen:

xs =

N∑

i=1mixi

N∑

i=1mi

(9.2)

• Im Nenner steht die Gesamtmasse M =N∑

i=1mi

• Im dreidimensionalen Raum: das gleiche mit Vektoren

~xs =

N∑

i=1mi~xi

N∑

i=1mi

=1M

N

∑i=1

mi~xi (9.3)

• Wie beschreiben wir einen ausgedehnten, kontinuierlichen Körper?

• Dichte: Masse pro Volumen, kann eine Funktion des Orts sein, skalares Feld

ρ(~x) =dmdV

(9.4)

• Von der Dichte wieder zur Masse — Volumenintegral

m =∫∫∫

Volumen

ρ(~x)dx3 =∫∫∫

Volumen

ρ(~x)dxdydz (9.5)

61

Page 62: mein Skript zur Vorlesung

62 KAPITEL 9. SYSTEME VON TEILCHEN, IMPULS

• Zurück zum Schwerpunkt, wie kriegen wir den von der Dichte?

• Diskrete Volumenelemente (“Volumenstücke”):

~xs =1M ∑

i~xiρi ∆Vi (9.6)

• Kontinuierlicher Fall:

~xs =1M

∫∫∫Volumen

~xρ(~x)dxdydz =

∫∫∫Volumen

~xρ(~x)dxdydz∫∫∫Volumen

ρ(~x)dxdydz(9.7)

• Einfachster Fall zum Rechnen wieder: Intervalle für x,y,z−→ drei normale Integrale

• Trick beim Rechnen mit Schwerpunkten: Objekt in Teilsysteme aufteilen, Masse ei-nes Teilsystems als im Schwerpunkt des Teilsystems konzentriert annehmen

• Beispiel: Platte mit Loch (aus HRW)

9.2 Newton 2 für ein System von TeilchenVL30.11.2016 • Wir betrachten ein System von Teilchen mit Gesamtmasse M und Schwerpunkt ~xS.

Von außen wirkt eine Kraft ~Fext ein.

• Behauptung: Newton 2 für ein solches System:

~Fext = M~aS (9.8)

• Gleichbedeutend: Innere Kräfte (zwischen Teilen des Systems) haben keinen Einflußauf die Lage des Schwerpunkts!

• Nur Aussage über den Schwerpunkt; Teile des Systems können sich unterschiedlichbewegen...

• Herleitung:

M~xS =n

∑i=1

mi~xi (9.9)

M~aS =n

∑i=1

mi~ai (9.10)

M~aS =n

∑i=1

~Fges,i (9.11)

Die Gesamtkraft auf Teilchen i ist die Summe aus der externen Kraft auf i und denKräften, die alle anderen Teilchen j auf es ausüben:

~Fges,i = ~Fext,i +n

∑j=1

~Fi j, mit ~Fii = 0 ∀i (9.12)

Damit

M~aS =n

∑i=1

~Fext,i +n

∑i=1

n

∑j=1

~Fi j (9.13)

Nach Newton 3 gilt~Fi j =−~Fji (9.14)

Also heben sich innere Kräfte in der zweiten Doppelsumme weg; es bleiben nur dieäußeren Kräfte auf die Teilchen übrig:

M~aS =n

∑i=1

~Fext,i (9.15)

Page 63: mein Skript zur Vorlesung

9.3. IMPULS UND IMPULSERHALTUNG 63

9.3 Impuls und Impulserhaltung• Neuer Begriff: Impuls, definiert für einen Massepunkt / ein Teilchen als

~p = m~v (9.16)

• Selten auch “linearer Impuls” genannt (im Gegensatz zum Drehimpuls, der kommtspäter)

• Vektor, zeigt in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit

• Ableiten der Definition auf beiden Seiten führt bei konstanter Masse m zud~pdt

= md~vdt

= m~a = ~F (9.17)

• Allgemeinere Formulierung von Newton 2:Die zeitliche Änderung des Impulses eines Teilchens ist gleich der insgesamt aufdieses Teilchen wirkenden Kraft.

~F =d~pdt

(9.18)

Warum allgemeiner? Weil das auch den Fall sich ändernder Masse beschreibt! Bei-spiel Rakete, die Treibstoff ausstößt...

• Gesamtimpuls eines Teilchensystems:

~P =n

∑i=1

~pi =n

∑i=1

mi~vi = M~vS (9.19)

Gesamtmasse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit!

• Für die äußere Kraft auf ein Teilchensystem erhalten wir mit Hilfe des letzten Ab-schnitts noch eine weitere Formulierung des 2. Newtonschen Gesetzes:

~Fext =d~Pdt

(9.20)

Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses eines Teilchensystems ist gleich der vonaußen auf dieses einwirkenden Kraft. Also:

• Impulserhaltungssatz Wirkt keine externe Kraft auf ein System von Teilchen ein,dann ist der Gesamtimpuls des Systems konstant!

Beispiel: “Is it possible to build a jetpack using downward firing machineguns?”

• Summe des Impuls “machine gun” + “bullets” + “casing” + “hot gas”bleibt konstant!

• https://what-if.xkcd.com/21/

Beispiel: Mit Luft und Wasser befüllte Rakete

• Mit der Luftpumpe wird Überdruck in der Rakete erzeugt• Wird der Stöpsel gezogen, dann spritzt Wasser aus der Rakete• Der Gesamtimpuls von Wasser plus Luft plus Raketenkörper muß kon-

stant bleiben, da keine externen Kräfte wirken (wir vernachlässigen Schwer-kraft und Luftwiderstand)

• D.h. der Raketenkörper wird in entgegengesetzter Richtung zum aus-spritzenden Wasser beschleunigt...

Page 64: mein Skript zur Vorlesung

64 KAPITEL 9. SYSTEME VON TEILCHEN, IMPULS

9.4 SchwerpunktsystemVL1.12.2016 • Erinnerung: Zwei Bezugs-/Koordinatensysteme bewegen sich mit konstanter Ge-

schwindigkeit (deutlich kleiner der Lichtgeschwindigkeit) zueinander−→ Beschleu-nigungen sind in beiden Systemen gleich, Bezugssysteme sind physikalisch gleich-wertig

• Eine Transformation zwischen zwei solchen Systemen, die eine konstante Geschwin-digkeit zueinander haben, nennt man Galileo-Transformation

• (Andere Typen von Transformationen −→ später, spezielle Relativitätstheorie)

• Beide Bezugssysteme sind Inertialsysteme −→

– gleiche Beschleunigungen

– gleiche Kräfte

– gleichwertige physikalische Beschreibung

• Sinnvolle Bezugssysteme z.B.: Laborsystem, Schwerpunktsystem

• Schwerpunktsystem: Alle Positionen der betrachteten Teilchen werden relativ zumSchwerpunkt des Teilchensystems angegeben

~x′i =~xi−~xS (9.21)

• Gesamtimpuls ~P′ im Schwerpunktsystem ist Null!

9.5 Zweiteilchenproblem — Reduzierte Masse• Sonderfall System aus zwei Teilchen

• Massen m1, m2, gegenseitige Kraft ~F21

• Nach Newton 3 gilt~F21 =−~F12 (9.22)

• Mit Newton 2 ergeben sich die Bewegungsgleichungen

m1d~v1

dt= ~F12 m2

d~v2

dt= ~F21 (9.23)

• Gleichungen voneinander subtrahieren −→

ddt

(~v1−~v2) =

(1

m1+

1m2

)~F12 (9.24)

• Definiere zwei neue Variablen:

– Relativgeschwindigkeit~v12 =~v1−~v2 (9.25)

– reduzierte Masseµ =

m1m2

m1 +m2(9.26)

Dann gilt (nachrechnen!)

µd~v12

dt= ~F12 (9.27)

Page 65: mein Skript zur Vorlesung

9.5. ZWEITEILCHENPROBLEM — REDUZIERTE MASSE 65

• Das “Zweiteilchenproblem” kann ganz allgemein auf ein “Einteilchenproblem” re-duziert werden!

• Völlig unabhängig davon, wie kompliziert z.B. ~F21 ist.

• Resultat ist genau wieder eine Gleichung wie Newton 2, mit zwei neuen “Hilfskoor-dinaten” µ und~x12

• Eleganter Trick, um Probleme zu lösen. Kramen wir bei den Planetenbahnen wiederraus.

• Diese Reduktion funktioniert nur für genau zwei Teilchen!!! Nicht für mehr!!!

• Allgemeines “Dreikörperproblem”, “three body problem”: schon sehr kompliziertePhysik, noch viel unbekannt; keine allgemeine Reduktion möglich

Page 66: mein Skript zur Vorlesung

66 KAPITEL 9. SYSTEME VON TEILCHEN, IMPULS

Page 67: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 10

Stoßprozesse

HRW 1010.1 Definition Stoß• Ein Stoß ist ein zeitlich kurzes Ereignis, währenddessen Körper starke Kräfte aufein-

ander ausüben

• Idealisiert: “vorher”, “Stoß”, “nachher”

• Näherung: Wechselwirkungen der Körper “vorher” und “nachher” werden vernach-lässigt

• Von der Kollision im Teilchenbeschleuniger bis zum Meteoriteneinschlag

• Nicht notwendigerweise “Zusammenprall”, “Berührung”

• Beispiel: “Streuung” einer Raumsonde im Schwerefeld eines Planeten

• Beispiel: “Streuung” eines Elektrons beim Passieren eines Atomkerns

10.2 Impuls und kinetische Energie bei Stößen• “Geschlossenes”, “isoliertes” System, d.h. keine äußeren Kräfte und kein Austausch

von Masse mit der Umgebung

• Vereinfachung: genau zwei Stoßpartner

• Kraft-Gegenkraft-Paar nach Newton 3

• Impulsänderung eines der beiden Körper in einem kleinen Zeitabschnitt währenddes Stoßprozesses:

d~pdt

= ~F(t) (10.1)

d~p = ~F(t)dt (10.2)

• Impulsänderung während des gesamten Stoßprozesses (von Zeit t1 bis t2),“Impulsübertrag”:

∆~p = ~p2−~p1 =

t2∫t1

~F(t)dt (10.3)

• Newton 3 −→ ein Teilchen verliert Impuls, anderes gewinnt den gleichen Impuls,Gesamtimpuls bleibt erhalten!

67

Page 68: mein Skript zur Vorlesung

68 KAPITEL 10. STOSSPROZESSE

• Allgemeiner: Geschlossenes System, nur innere Kräfte −→ der Gesamtimpuls kannsich nicht ändern; bei einem Stoß findet nur Umverteilung zwischen den Stoßpart-nern statt. Immer Erhaltung des Gesamtimpuls!

• Damit: Der Stoß ändert grundsätzlich nicht die Bewegung des Schwerpunkts desSystems!

• Kinetische Energie: Ist die kinetische Energie bei einem Stoß erhalten, dann spre-chen wir von einem elastischen Stoß, ansonsten von einem inelastischen Stoß

• Beispiel elastischer Stoß: “Dopskugel” / “Flummi” / Gummikugel

• Beispiel inelastischer Stoß: Zusammenstoß zweier Autos, Knetmasse (“Deformati-on”)

• vollständig inelastischer Stoß: stoßende Körper bleiben aneinander haften

• Diese Bedingungen können wir ausnützen, um die Auswirkungen eines Stoßprozes-ses zu berechnen.

• Zwei Körper, m1 und m2, mit Anfangs- und Endgeschwindigkeit (i=initial, f=final)~v1i,~v1 f ,~v2i,~v2 f

• Impulserhaltung:~p1i +~p2i = ~p1 f +~p2 f (10.4)

m1~v1i +m2~v2i = m1~v1 f +m2~v2 f (10.5)

• Energieerhaltung beim elastischen Stoß:

Ekin,1i +Ekin,2i = Ekin,1 f +Ekin,2 f (10.6)

12

m1~v21i +

12

m2~v22i =

12

m1~v21 f +

12

m2~v22 f (10.7)

• “Zusammenkleben” beim vollständig inelastischen Stoß:

~v1 f =~v2 f (10.8)

• Demonstration: Wagen auf der Luftschiene: elastisch, inelastisch

Page 69: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 11

Zylinder- und KugelkoordinatenII

11.1 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordi-naten

• In kartesischen Koordinaten:∆V = ∆x∆y∆z (11.1)

oder als Differentialelemente zum Integrieren

dV = dxdydz (11.2)

“infinitesimal kleiner Quader” oder “infinitesimal kleiner Würfel”

• Wie schaut ein “Volumenelement” in Zylinderkoordinaten aus?

• Wir nehmen an, daß φ im Bogenmaß angegeben ist

• Flächenelement in der r-φ -Ebene: ∆A = ∆r r∆φ

• Volumenelement zum Integrieren:

dV = rdφ dr dz (11.3)

Abbildung 11.1: (a) Flächenelement in zweidimensionalen Polarkoordinaten, wie auch inder r-φ -Ebene von Zylinderkoordinaten

69

Page 70: mein Skript zur Vorlesung

70 KAPITEL 11. ZYLINDER- UND KUGELKOORDINATEN II

(Radiusstück mal Bogenstück mal Höhenstück!)

• Beispiel: Volumen eines “halben” Zylinders mit Radius a und Höhe b

V =

b∫0

π∫0

a∫0

r dr dφ dz =b∫

0

π∫0

a2

2dφ dz =

b∫0

πa2

2dz =

πa2b2

(11.4)

• Beispiel: Schwerpunkt eines “halben” Zylinders mit Radius a, Höhe b und konstanterDichte ρ ... wir integrieren in Zylinderkoordinaten und rechnen so die kartesischenKoordinaten des Schwerpunkts aus.

~xS =1

V ρ

∫∫∫~xρ dx3 (11.5)

V~xS =

b∫0

π∫0

a∫0

~x(r,φ ,z)r dr dφ dz =b∫

0

π∫0

a∫0

r cos(φ)r sin(φ)

z

r dr dφ dz = (11.6)

b∫0

π∫0

a3

3 cos(φ)a3

3 sin(φ)a2

2 z

dφ dz =b∫

0

02a3

3πa2

2 z

dz =

02a3b

3πa2b2

4

(11.7)

~xS =

02a3b

32

πa2bπa2b2

42

πa2b

=

04

3πa

b2

(11.8)

11.2 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordi-naten

• Volumenelement in Kugelkoordinaten

dV = r cosθdφ rdθ dr (11.9)

• Beispiel: Volumen einer Kugel mit Radius R

V =

π∫0

2π∫0

R∫0

r2 cosθ dr dφ dθ (11.10)

Page 71: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 12

Drehbewegung mit fester Achse

HRW 11VL7.12.2016

12.1 Winkel, Winkelgeschwindigkeit, -beschleunigung• Bis jetzt haben wir die sogenannte “Translationsbewegung” betrachtet; ab jetzt dreht

sich hier alles und wir betrachten die Rotationsbewegung.

• Wir fangen mit einem einfachen Fall an — der Drehbewegung eines starren Körpersum eine feste, vorgegebene Achse. Also...

• Starrer Körper, gegeben durch Masseverteilung ρ(~x)

• Feste Drehachse

• Rotation wird durch ähnliche (aber nicht identische) Größen wie Translation be-schrieben

• Winkel(position): mit Bogenlänge s und Radius r,

θ =sr

(12.1)

Hier: Einheit des Winkels “Bogenmaß” (rad), dimensionslos, ganze Umdrehung istθ = 2π

• Für die Physik sehr praktische Einheit, also:

• Solange nicht speziell angegeben sind alle Winkel ab jetzt im Bogenmaß!

• Zusammenhang zur zurückgelegten Bogenlänge s ist offensichtlich

s = θr (12.2)

• Winkelgeschwindigkeit

ω =dθ

dt(12.3)

Einheit 1/s (oder “rad/s”)

• Zusammenhang zur momentanen linearen Geschwindigkeit (wenn ω im Bogenmaß):

v = ωr (12.4)

• Periode oder Umlaufzeit T der Kreisbewegung: Zeit, die für einen kompletten Um-lauf (Bogenlänge 2πr oder Winkel 2π) gebraucht wird

T =2πr

v=

ω(12.5)

71

Page 72: mein Skript zur Vorlesung

72 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE

• Winkelbeschleunigung, bei nicht konstanter Winkelgeschwindigkeit:

α =dω

dt(12.6)

Einheit 1/s2 (oder “rad/s2”)

• Zusammenhang zur momentanen linearen Beschleunigung: tangentiale Beschleuni-gung (in jedem Moment in Bahnrichtung)

at = αr (12.7)

und radiale Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung, in jedem Moment senk-recht zur Bahnrichtung)

ar =v2

r= ω

2r (12.8)

• Skalare oder Vektoren? ~ω ist Vektor!1

• Richtung des Vektors ~ω beschreibt die Richtung der Drehachse

• Orientierung: Rechte-Hand-Regel

• Zusammenhang mit momentaner Bahngeschwindigkeit und momentanem Ort in Vek-toren:

~v = ~ω×~r (12.9)

• Solange wir uns nur um Drehungen um eine feste, bekannte Achse kümmern, ist dieVektorschreibweise nicht zwingend nötig.

• Aber wir brauchen natürlich immer das Vorzeichen der Winkelgeschwindigkeit (Dreh-sinn)!

12.2 Kinetische Energie der RotationVL8.12.2016 • Können wir die Bewegungsenergie auch für die Rotation hinschreiben?

• Wir betrachten unseren rotierenden Körper als System von Teilchen, jedes mit

Ekin,i =12

miv2i (12.10)

• Kinetische Energie insgesamt:

Ekin = ∑i

12

miv2i (12.11)

• Wir setzen die Geschwindigkeit v = ωr⊥ als Funktion des Abstands r⊥ von der Ach-se ein

Ekin = ∑i

12

mi(ωr⊥,i)2 =12

(∑

imir2⊥,i

2 (12.12)

• Wir definieren das Trägheitsmoment I des Körpers in Bezug auf diese Drehachsedann als:

I = ∑i

mir2⊥,i (12.13)

1Strenggenommen “Pseudovektor”... Wird das gesamte physikalische System gespiegelt, dann erhält er einzusätzliches Minuszeichen! Mathe ist toll...

Page 73: mein Skript zur Vorlesung

12.2. KINETISCHE ENERGIE DER ROTATION 73

• Das Trägheitsmoment I hängt von der Form und Masseverteilung des Körpers undvon der Lage der Drehachse ab!

• I ist eine Konstante, die das Verhalten eines bestimmten Körpers bei der Rotation umeine bestimmte Drehachse beschreibt.

• Kontinuierliche Masseverteilung: schreibe wieder mit Integral, Dichte und Volumen-element

I =∫

ρ(~x)r⊥(~x)2 dV (12.14)

r⊥(~x) ist hier der Abstand des Punkts~x von der Drehachse!

• Damit nun ganz einfach:

Ekin =12

Iω2 (12.15)

• Interessanterweise schaut diese Gleichung genauso aus wie die kinetische Energieder Translationsbewegung, nur wurde die Masse durch das Trägheitsmoment unddie Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzt.

• In der Tat werden wir sehen, daß das Trägheitsmoment für die Rotationsbewegungeine ähnliche Rolle wie die Masse für die lineare Bewegung hat, d.h. es beschreibtwie sich ein Körper Änderungen der Winkelgeschwindigkeit “widersetzt”.

Beispiel: Berechnung des Trägheitsmoments einer homogenen Kugel, Dichteρ , Radius R, um eine Achse durch Mittelpunkt: I = 2

5 MR2

Für die Masse der Kugel gilt

M =V ρ =43

πR3ρ (12.16)

Für einen Punkt mit Koordinaten (r,φ ,θ) ist der Abstand r⊥ zur z-Achse r⊥ =r cosθ . Wir setzen ein

I =2π∫0

π2∫

− π2

R∫0

(r cosθ)2ρ dr rdθ r cosθdφ (12.17)

und sortieren

I =2π∫0

π2∫

− π2

R∫0

ρr4(cosθ)3 dr dθ dφ (12.18)

Da im Integranden kein φ vorkommt, ist die Integration über φ trivial und wirerhalten

I = 2πρ

π2∫

− π2

R∫0

r4(cosθ)3 dr dθ (12.19)

Die Stammfunktion von (cosθ)3 ist 34 sinx+ 1

12 sin3θ (nachrechnen! Substi-tutionsregel zum Integrieren!), also ist

π2∫

− π2

(cosθ)3 dθ =43

(12.20)

und damit

I =8π

R∫0

r4 dr =8π

15ρR5 =

25

MR2 (12.21)

Page 74: mein Skript zur Vorlesung

74 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE

12.3 Der Satz von Steiner• Rechenhilfe zur Bestimmung von Trägheitsmomenten

• Zwei parallele Drehachsen, eine von ihnen geht durch den Schwerpunkt des Körpers

• Trägheitsmomente bezüglich dieser Achsen hängen zusammen über

I = IS +Mh2 (12.22)

Dabei ist h der Abstand der zwei Achsen, IS das Trägheitsmoment bzgl. der Achsedurch den Schwerpunkt, I bzgl der anderen Achse

• Beweis: langweilig, hinschreiben!

12.4 Drehmoment und Newton 2• Wir brauchen ein Analog zum 2. Newtonschen Gesetz für die Rotationsbewegung

• Was “verursacht” eine Drehung?

• Kraft greift an einem Ort des zu drehenden Objekts an

• Möglichst weit weg von der Achse, möglichst tangential

• Wir definieren das Drehmoment

T = r⊥F sinφ (12.23)

mit φ als dem Winkel zwischen Ortsvektor von der Achse her und Kraftvektor

• (T wie “torque”, engl. für Drehmoment), alternative Formelzeichen: M, N

• Skizze dazu; alternative Beschreibung “Tangentialkraft/Achsenabstand” und “Kraft/Hebelarm”

• In Vektoren, mit dem Abstand von der Achse~r⊥:

~T =~r⊥×~F (12.24)

• Wir betrachten die tangentiale Beschleunigung (also in Bahnrichtung) und setzen das“herkömmliche” Newton 2 für einen Massepunkt m im Abstand r⊥ von der Achsean; es gilt

Ft = mat (12.25)

• Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit r⊥ und setzen die Winkelbeschleunigung α

ein:r⊥Ft = mr2

⊥α (12.26)

• Mit der Definition von T = r⊥Ft und I = mr2⊥ ergibt sich das zweite Newton’sche

Gesetz für die Drehbewegung um eine feste Achse:

Tges = Iα (12.27)

Gesamtdrehmoment ist Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung

• Gilt nicht nur für einen Massepunkt, sondern auch für einen ausgedehnten starrenKörper.

• Vergleich mit dem “normalen” 2. Newtonschen Gesetz für die Translationsbewegung−→ Drehmoment übernimmt Rolle der Kraft

• “Korrespondenz” zwischen Translations- und Rotationsgrößen, siehe Tabelle 12.1

Page 75: mein Skript zur Vorlesung

12.5. ARBEIT DURCH EIN DREHMOMENT 75

Translation (1D) Rotation (feste Achse)Verschiebung ∆x Winkel ∆θ , φ

Geschwindigkeit v Winkelgeschwindigkeit ω

Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α

Kraft F Drehmoment TMasse m Trägheitsmoment IImpuls p = mv Drehimpuls L = Iω

Arbeit dW = F dx Arbeit dW = T dθ

kin. Energie Ekin =12 mv2 kin. Energie Ekin =

12 Iω2

Tabelle 12.1: Übersicht der zusammengehörigen Translations- und Rotationsgrößen(Translation in einer Dimension, Rotation um eine feste Achse

12.5 Arbeit durch ein Drehmoment• Welche Arbeit wird verrichtet, wenn ein Drehmoment auf einen Körper wirkt und

diesen in eine Drehbewegung versetzt?

• Nur die Kraftkomponente parallel zum Weg zählt für die Arbeit, also immer dietangentiale Kraft Ft in Bahnrichtung

• Wegelement ist Bogenstück, also

ds = r dθ (12.28)

• Arbeit für dieses Wegelement:

dW = Ftr dθ = T dθ (12.29)

• Arbeit, die wir bei einer Drehung mit einem Drehmoment T um einen Winkel ∆θ =θ f −θi verrichten:

W =

θ f∫θi

T dθ (12.30)

• Bei konstantem Drehmoment:

W = T(θ f −θi

)(12.31)

12.6 Drehimpuls• Definition auch hier analog / ähnlich zum linearen Impuls

• Drehimpuls eines Teilchens mit Abstand r⊥ zur Achse:

l = r⊥ pt = mr⊥ vt (12.32)

oderl = I ω (12.33)

• Damit gibt es wieder eine neue Impulsschreibweise von Newton 2:

Tges =dldt

(12.34)

oder in Vektoren

~Tges =d~ldt

(12.35)

Page 76: mein Skript zur Vorlesung

76 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE

• Gesamtdrehimpuls eines Teilchensystems bezüglich einer festen Drehachse:

L = ∑i

li (12.36)

• Newton 2 für ein Teilchensystem bezüglich einer festen Drehachse, wieder:

Text =dLdt

(12.37)

Das von außen auf ein Teilchensystem wirkende Gesamt-Drehmoment ist gleich derzeitlichen Ableitung des Gesamtdrehimpulses des Systems!

• Keine Drehmomente bzw. kein Gesamtdrehmoment −→ der Drehimpuls ist kon-stant! Drehimpulserhaltung, äquivalent zur Impulserhaltung

• Wichtig zur Drehimpulserhaltung: Das Trägheitsmoment ändert sich, wenn sich dieMasseverteilung relativ zur Achse ändern! Mit l = Iω bewirkt die Erhaltung desDrehimpuls dann eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit!

• Demonstration: Drehstuhl

• In Winkelschreibweise (~r⊥ ist der Vektor von der Achse zum Massepunkt)

~l = m(~r⊥×~v) =~r⊥×~p (12.38)

12.7 Torsionspendel• Drehpendel

• Gegenstand ist an gespannter Schnur befestigt

• Auslenkung im Winkel

• Näherungsweise: auch hier für kleine Auslenkungswinkel ein Hooke’sches Gesetz

• Das rücktreibende Drehmoment ist proportional zum Auslenkungswinkel!

T =−κθ (12.39)

• Newton 2 −→ Differentialgleichung für Winkel und Winkelbeschleunigung

−κθ = Iα (12.40)

• κ ist die Federkonstante (aber die Einheiten sind hier anders)

• Arbeit der Feder während das Pendel ausgelenkt wird: in Achsenabstand r ist dieKraft F = T/r =−κθ/r, und der Weg ds = r dθ ...

W =

θ∫0

−κθ ′

rr dθ

′ =

θ∫0

−κθ′ dθ

′ =−12

κθ2 (12.41)

• Potentielle Energie:

Epot =12

κθ2 (12.42)

• Kinetische Energie:

Ekin =12

Iω2 (12.43)

Page 77: mein Skript zur Vorlesung

12.7. TORSIONSPENDEL 77

• Schaut doch alles ziemlich bekannt aus, oder nicht? Vergleich mit Masse an Feder,linearer Translationsbewegung:

Epot =12

k x2 Ekin =12

mv2 (12.44)

Page 78: mein Skript zur Vorlesung

78 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE

Page 79: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 13

Starre Körper, Rollen,Kreiselbewegung

HRW 12VL14.12.2016

13.1 Rotationsbewegung eines Massepunkts: Vektoren• Winkelgeschwindigkeit ~ω: Vektorrichtung zeigt die Richtung der Bahn-/Drehachse

an!

• Mit Bahngeschwindigkeit~v und Abstand vom Ursprung~r:

~ω =~r×~v (13.1)

• Winkelbeschleunigung ~α — Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeit

• Drehmoment ~T — Hebelarm mal Kraft, und die Richtung muß mit der Winkelbe-schleunigung zusammenhängen

~T =~r×~F =d~

dt(13.2)

~r ist nun nicht mehr der Abstand zur Achse, sondern der Ortsvektor vom Referenz-punkt (Koordinatenursprung) her, um den eine Drehung stattfinden kann

• Demonstration: Spaß mit Drehmoment und Drehimpuls: “Magischer Koffer”

• Drehimpuls ~ im Bezug zum Ursprung — aus Ort und momentaner Geschwindigkeit

~=~r×~p = m~r×~v (13.3)

VL15.12.2016

• Trägheitsmoment — für einen Massepunkt, einfach:

I = m~r2 (13.4)

Für den Massepunkt ist der Drehimpuls einer Bewegung um den Ursprung des Ko-ordinatensystems parallel zur Winkelgeschwindigkeit:

~= I ~ω (13.5)

• Trägheitsmoment für einen ausgedehnten, asymmetrischen Körper, beliebige Dre-hung: komplizierter! Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit sind oft nicht mehrparallel!

79

Page 80: mein Skript zur Vorlesung

80 KAPITEL 13. STARRE KÖRPER, ROLLEN, KREISELBEWEGUNG

• Zusammenhang zwischen ~ω und ~ hängt von der Achse der Rotation ab, I ist einsogenannter Tensor!1

13.2 Gleichgewicht• Wann ist ein starrer, ausgedehnter Körper im Gleichgewicht?

• Starrer, ausgedehnter Körper im Schwerefeld

• Modellierbar als System von Massepunkten oder als Dichteverteilung

• Kann sich “linear” bewegen und rotieren

• “Freiheitsgrade” — 3 für die Translationsrichtungen, 3 für drei räumlich unabhängi-ge Rotationsachsen

• Auf jedes Massenelement wirkt eine Gewichtskraft

• Hierdurch entsteht auch ein Drehmoment! Bezüglich des Ursprungs,

~Ti =~ri×~FG,i (13.6)

• Gesamtdrehmoment auf den Körper:

~T = ∑i

~Ti = ∑i~ri×~FG,i (13.7)

• Behauptung: Man erhält dieses Gesamtdrehmoment auch, indem man annimmt, daßdie gesamte Gewichtskraft des Körpers an dessen Schwerpunkt einwirkt!

• Beweis:~T = ∑

i~ri×~FG,i = ∑

i~ri×mi~g = ∑

imi~ri×~g (13.8)

Mit Schwerpunkt~rS und Gesamtmasse M erhalten wir2

~T =

(∑

imi~ri

)×~g = M~rS×~g =~rS×M~g =~rS×~Fg (13.9)

• Also: Zwei Bedingungen für das Gleichgewicht eines starren Körpers (so daß er,wenn er in Ruhe ist, in Ruhe verbleibt):

1. Die äußere Gesamtkraft muß Null sein (so daß der Impuls sich nicht ändert):

∑i

~Fext,i = 0 (13.10)

2. Die Summe aller äußeren Drehmomente bezüglich eines beliebigen Punktsmuß Null sein (so daß sich der Drehimpuls nicht ändert):

∑i

~Text,i = 0 (13.11)

• Wieder: neutrales, instabiles, stabiles Gleichgewicht — z.B., führt eine kleine Win-kelauslenkung vom Gleichgewicht zu einem rücktreibenden oder zu einem auslen-kenden Drehmoment?

1 Wenn eine Zahl ein “nulldimensionales” Objekt und ein Vektor ein “eindimensionales” Objekt ist, dann istein Tensor anschaulich ein “zweidimensionales” Objekt. Wie man einen Vektor in einer vorgegebenen Basis alsSpalte von Zahlen darstellen kann, kann man einen Tensor als Matrix darstellen.

2Wir verwenden hier nur den Begriff Schwerpunkt. Strenggenommen muß man zwischen Schwerpunkt (derdurch die angreifende Schwerkraft definiert wird) und Massenmittelpunkt (der durch die Massenverteilung defi-niert wird) unterscheiden. In einem konstanten Schwerefeld, wie es näherungsweise auf der Erdoberfläche vor-liegt, sind beide identisch, weil die Dichte (Masse pro Volumen) proportional zur sogenannten Wichte (Gewichts-kraft pro Volumen) ist.

Page 81: mein Skript zur Vorlesung

13.3. ROLLEN UND DIE ROLLBEDINGUNG 81

13.3 Rollen und die Rollbedingung• Unterschied zwischen Rollen und Rutschen / Gleiten?

• Rollbedingung: Haftreibung zwischen Boden und rollendem Objekt

• Berührungspunkt ist momentan in Ruhe, Körper rotiert um eine Drehachse durchBerührungspunkt

• Geschwindigkeit eines Punkts im Abstand rp vom Berührungspunkt:

v = rpω (13.12)

• Geschwindigkeit des Schwerpunkts eines Rads, Radius r, also im Abstand r vomBerührungspunkt:

vs = rω (13.13)

• Wir schauen uns nochmals die kinetische Energie eines Teilchensystems an

• Behauptung: Die kinetische Energie eines Teilchensystems läßt sich beschreiben alsSumme der kinetischen Energie der Gesamtmasse mit der Schwerpunktsgeschwin-digkeit und der kinetischen Energie der einzelnen Teilchen mit ihrer Bewegung rela-tiv zum Schwerpunkt

• Beweis: Sei~vi =~vS +~vsi ,

Ekin = ∑i

12

mi~v2i = ∑

i

12

mi(v2

S +(vsi )

2 +2~vS ·~vsi)

(13.14)

Ekin = ∑i

12

miv2S +∑

i

12

mi(vsi )

2 +~vS ·∑i

mi~vsi = Ekin,SP +Ekin,rel +0 (13.15)

(weil der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist!)

• Kinetische Energie des rollenden Rads also mit Gesamtmasse M = ∑i

mi

Ekin =12

Mv2s +

12

Isω2 (13.16)

• Rad rollt eine schiefe Ebene runter −→ potentielle Energie muß im richtigen Ver-hältnis in Translations- und Rotationsenergie übergehen!

• Beachte Gleichung 13.13!

• Verhältnis hängt von Masseverteilung und damit dem Trägheitsmoment ab

13.4 Kreiselbewegung• Generell: Um eine freie Achse rotierender starrer Körper; Achse wird an einem Punkt

unterstützt (i.d.R. Koordinatenursprung)

• Man unterscheidet den “kräftefreien Kreisel” und den “schweren Kreisel”, auf dendie Gravitation einwirkt

• Schwerer Kreisel: Gewichtskraft bewirkt Drehmoment

~T = M~rS×~g =d~Ldt

(13.17)

Page 82: mein Skript zur Vorlesung

82 KAPITEL 13. STARRE KÖRPER, ROLLEN, KREISELBEWEGUNG

Abbildung 13.1: (a) Kreisel im Schwerefeld (c.m. = center of mass, Schwerpunkt;hier ist ~τ das Drehmoment aufgrund der Gravitationskraft. Quelle: https://pt.wikipedia.org/wiki/Pi%C3%A3o#/media/File:Peonza.png (b) Rotation,Präzession und Nutation. Nach https://fr.wikipedia.org/wiki/Nutation#/media/File:Praezession.svg

• Kreisel dreht sich um seine Symmetrieachse −→ ohne Beweis,~L ||~ω

~L = I~ω (13.18)

mit I als dem Trägheitsmoment bezüglich dieser Symmetrieachse.

• Rotationssymmetrie −→ Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse,~rS ||~ω −→ ~T stehtsenkrecht auf ~ω und~L

• Nur Richtung, nicht Betrag von~L ändert sich

• Drehimpuls und damit die Drehachse “präzediert” um die Senkrechte (die Richtungder Gravitationskraft), “Präzessionsbewegung” der Kreiselachse durch ein äußeresDrehmoment

VL21.12.2016

• Auslenkung des Kreisels aus der Senkrechten durch einen Schlag −→ er erhält eineDrehimpulskomponente, die nicht parallel zur Symmetrieachse

• Trägheitsmoment I2 bei anderer Wahl der Achse ist unterschiedlich von Trägheits-moment I1 = I bei Rotation um Symmetrieachse

• Mit~L =~L1 +~L2 = I1~ω1 + I2~ω2 (13.19)

sehen wir, daß~L =~L1 +~L2 und ~ω = ~ω1 +~ω2 nicht mehr parallel sind!

• ~L ist erhalten −→ ~omega ist nicht konstant!

• “Nutationsbewegung” der momentanen Drehachse um den Drehimpulsvektor

• Kombiniert mit der Präzession ergibt sich eine komplizierte Bewegung

• Präzession nur aufgrund von äußerem Drehmoment (Schwerkraft)! Nutation unab-hängig davon, wenn Rotationsachse nicht mit Symmetrieachse übereinstimmt!

Page 83: mein Skript zur Vorlesung

13.5. HAUPTTRÄGHEITSACHSEN 83

• http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline/video1/m6_starrerk/m2versuch7.html

• Die Kreiselgleichungen (die wir hier nicht weiter im Detail besprechen werden) sindrelativ wichtig in der Physik.

• Warum? Elementarteilchen haben einen Eigendrehimpuls, den sogenannten Spin, dermanipuliert werden kann — und die Physik dazu ist sehr ähnlich.

• Anwendungsbeispiele — wenn Sie jemals in der Medizin mit einem Kernspintomo-graphen zu tun haben, oder in der Chemie mit einem Spinresonanzspektrometer zurAnalyse komplexer organischer Verbindungen...

13.5 Hauptträgheitsachsen• Asymmetrisches Objekt rotiert um Achse durch seinen Schwerpunkt

• Trägheitsmoment hängt von der Richtung der Achse ab

• Wähle drei Achsen: die mit größtem Trägheitsmoment, die mit kleinstem Trägheits-moment, sowie eine weitere, die auf den beiden senkrecht steht

• Dies sind die sogenannten Hauptträgheitsachsen des Körpers

• Rotation um die Achsen mit kleinstem und größtem Trägheitsmoment ist stabil (wieein stabiles Gleichgewicht)

• Rotation um die dritte Achse ist instabil (wie ein instabiles Gleichgewicht)

• Bei jeder weiteren Rotationsrichtung sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeitnicht parallel, also tritt sofort Nutation auf.

• Mit Buch ausprobieren (einfach hochwerfen, vorher mit einem Gummiband zusam-menbinden)!

• Demonstration: Hochgeworfene Kiste mit farbigen Seitenflächen

• Warum wichtig? Beispiel Auswuchten eines Autoreifens

• Masseverteilung wird so verändert, daß Drehachse und Hauptträgheitsachse zusam-menfallen

• Nur dann ist die Drehung ohne äußere Krafteinwirkung möglich

Page 84: mein Skript zur Vorlesung

84 KAPITEL 13. STARRE KÖRPER, ROLLEN, KREISELBEWEGUNG

Page 85: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 14

Scheinkräfte

TIP 4.3

14.1 Linear beschleunigtes Bezugssystem

• Wir erinnern uns, Bezugssysteme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinan-der bewegen, sind physikalisch äquivalent: gleiche Beschleunigungen, gleiche Kräfte

• Wenn ein solches System ein Inertialsystem ist −→ dann ist das andere auch eines

• Befinden wir uns in einem beschleunigten Bezugssystem, dann “spüren” wir zusätz-liche Kräfte

• Beispiel: RVV-Rallybus, bremst scharf vor der blutorangenen Ampel−→ alle Passa-giere nehmen eine Kraft wahr, die sie nach vorne in Richtung der Windschutzscheibezieht.

• Bezugssystem A vom Ursprung des Koordinatensystems

• Bezugssystem B (wie Bus) sei im RVV-Bus definiertVL22.12.2016

• Der Bus bewegt sich entsprechend~xBA,~vBA,~aBA, endliche Beschleunigung!

• Keine Kraft auf Fahrgast: im Inertialsystem A gilt

m~aXA = ~F = 0 (14.1)

• Im Bezugssystem B des Bus:~xXB,~vXB,~aXB

• Es gilt

~xXA =~xBA +~xXB ~vXA =~vBA +~vXB ~aXA =~aBA +~aXB (14.2)

• Also nehmen die Fahrgäste im Bezugssystem des RVV-Bus eine “Scheinkraft” wahr,

~FB = m~aXB =−m~aBA, (14.3)

und diese Scheinkraft entspricht der negativen Beschleunigung des Bezugssystems.

• RVV-Bus bremst−→ negative Beschleunigung~aBA des bewegten Bezugssystems, imbewegten Bezugssystem wahrgenommene positive Scheinkraft entsprechend −~aBA

85

Page 86: mein Skript zur Vorlesung

86 KAPITEL 14. SCHEINKRÄFTE

14.2 Scheinkräfte im rotierenden Koordinatensystem• Die Newton’schen Gesetze gelten in Inertialsystemen.

• Drehbewegung ist keine konstante lineare Bewegung, also kann ein relativ zu einemInertialsystem rotierendes Bezugssystem selbst kein Inertialsystem sein!

• Warum interessant? Erdoberfläche, Erdrotation! (und mehr...)

• Wir untersuchen, wie sich die Zeitableitung bei der Transformation in ein rotierendesBezugssystem verhält

• Bezugssystem K: Inertialsystem, Bezugssystem K’: rotiert im Verhältnis zu K mitWinkelgeschwindigkeit ~ω um den Ursprung

• Ein fester Punkt im rotierenden Bezugssystem K’ führt im Inertialsystem K eineRotationsbewegung mit momentaner Geschwindigkeit~v = ~ω×~r durch

• Wir betrachten die Zeitableitungen von Vektoren in den zwei Bezugssystemen undschreiben allgemein

ddt

∣∣∣∣K

(14.4)

für die Zeitableitung einer Größe im Bezugssystem K

• Für einen Punkt~r, der im rotierenden Bezugssystem K’ ruht, gilt

d~rdt

∣∣∣∣K′

= 0d~rdt

∣∣∣∣K= ~ω×~r (14.5)

• Allgemeiner für beliebiges~r (das sich auch in K’ bewegen kann)

d~rdt

∣∣∣∣K=

d~rdt

∣∣∣∣K′+~ω×~r (14.6)

• Wir verallgemeinern das zu einer “Operatorgleichung” für die Zeitableitung:

ddt

∣∣∣∣K=

ddt

∣∣∣∣K′+~ω× (14.7)

“Rechenvorschrift” zum Ableiten von Größen in zwei zueinander rotierenden Be-zugssystemem

• Um den Zusammenhang zwischen Beschleunigungen in den zwei Systemen zu zei-gen, wenden wir diesen Operator zweimal auf den Ortsvektor~r and und erhalten so

d2~rdt2

∣∣∣∣K=

d2~rdt2

∣∣∣∣K′+2~ω× d~r

dt

∣∣∣∣K′+

d~ωdt

∣∣∣∣K′×~r+~ω× (~ω×~r) (14.8)

• Die im Inertialsystem K wirkende externe Kraft auf unseren Massepunkt ist nachNewton 2

~Fext = md2~rdt2

∣∣∣∣K

(14.9)

• Im rotierenden Bezugssystem K’ (zB. Erdoberfläche) wird eine “effektive Kraft” wiefolgt wahrgenommen:

~Feff = md2~rdt2

∣∣∣∣K′

(14.10)

Page 87: mein Skript zur Vorlesung

14.2. SCHEINKRÄFTE IM ROTIERENDEN KOORDINATENSYSTEM 87

• Für sie erhalten wir aus Gleichung 14.8

~Feff = ~Fext−m~ω× (~ω×~r)−2m~ω× d~rdt

∣∣∣∣K′−m

d~ωdt

∣∣∣∣K′×~r (14.11)

~Feff = ~Fext +~FZentrifugal +~FCoriolis +~FAzimutal (14.12)

• Alle Terme bis auf ~Fext sind Scheinkräfte aufgrund der Rotation des Bezugssystems

• Zentrifugalkraft~FZentrifugal =−m~ω× (~ω×~r) (14.13)

Im rotierenden Bezugssystem wahrgenommene Scheinkraft, die vom Ort (genauer,vom Abstand von der Drehachse) abhängt.

Richtung: parallel zu~r, von der Achse weg

• Corioliskraft~FCoriolis =−2m~ω× d~r

dt

∣∣∣∣K′

(14.14)

Im rotierende Bezugssystem wahrgenommene Scheinkraft, die von der Geschwin-digkeit (genauer, der Geschwindigkeitskomponente in Richtung der Achse) abhängt.

Anschauliche Vorstellung der Corioliskraft: Festes Objekt in rotierendem Bezugssy-stem bewegt sich im festen Bezugssystem unterschiedlich schnell je nach Abstandvon der Drehachse. Wenn wir den Abstand wechseln, tritt eine scheinbare Beschleu-nigung auf!

• Azimutalkraft~FAzimutal =−m

d~ωdt

∣∣∣∣K′×~r (14.15)

Im rotierenden Bezugssystem wahrgenommene Scheinkraft, die zusätzlich auftritt,wenn sich die Rotationsgeschwindigkeit ändert.

• https://en.wikipedia.org/wiki/File:Corioliskraftanimation.gif

• Demonstration: Kugel auf Scheibe: Corioliskraft

• Erdrotation: Zentrifugalkraft “ändert” die wahrgenommene Schwerkraft leicht

• Erdrotation: Corioliskraft verursacht u.A. Drehsinn bei Wetterphänomenen

• Erdrotation: Azimutalkraft nicht relevant, da die Rotationsgeschwindigkeit der Erdenäherungsweise konstant ist

Page 88: mein Skript zur Vorlesung

88 KAPITEL 14. SCHEINKRÄFTE

Page 89: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 15

Gravitation

HRW 14TIP 4.415.1 Die Kepler’schen Gesetze

• Faszination Planetenbewegungen, Sternenhimmel, Satellitenbahnen, Raumfahrt

• Beobachtungen durch Tycho Brahe (1546-1601), Berechnungen durch Johannes Kep-ler (1571-1630)1

• Kepler stellte aus den Beobachtungen Tycho Brahes drei (für damals revolutionäre)empirische Gesetze zu den Planetenbewegungen auf.

• 1. Kepler’sches Gesetz: Die Umlaufbahnen aller Planeten haben die Form einerEllipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

• Was ist mathematisch eine Ellipse? Menge aller Punkte P, bei denen die Summe derAbstände zu zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. “Fadenkonstruktion”

• Begriffe: Brennpunkte, Hauptachse (durch die Brennpunkte), Nebenachse (in derMitte senkrecht auf der Hauptachse), große / kleine Halbachse (halbe Haupt- / Ne-benachse), vergleiche Abbildung 15.1

• Kreis als Spezialfall einer Ellipse (die beiden Brennpunkte fallen zusammen)

• 2. Kepler’sches Gesetz: Die Verbindungslinie von der Sonne zu einem Planetenüberstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen.

• Die Bahngeschwindigkeit eines Planeten (und damit auch die kinetische Energie) istam sonnennahesten Punkt am höchsten, am sonnenfernsten Punkt am kleinsten!

• Woher kommt das? Überstrichene Fläche: durch~r and~vdt aufgespanntes Dreieck

dA =12

r vdt sinα (15.1)

dAdt

=12|~r×~v| (15.2)

2mdAdt

= |~r×m~v|= const. (15.3)

• Kepler 2 ist nichts anderes als die Drehimpulserhaltung!

1Das Grab von Johannes Kepler war auf dem Petersfriedhof, zwischen Bushaltestelle Albertstraße und Haupt-bahnhof Regensburg. Nicht daß er viel mit Regensburg zu tun hatte; er ist viel gereist und hier krank geworden...

89

Page 90: mein Skript zur Vorlesung

90 KAPITEL 15. GRAVITATION

Abbildung 15.1: Illustration der Keplerschen Gesetze am Beispiel der Bahn zwei-er Planeten um die Sonne. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Kepler_laws_diagram.svg

• Das System Sonne–Planet ist abgeschlossen; es gibt keine äußeren Kräfte und damitauch keine äußeren Drehmomente!

• 3. Kepler’sches Gesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist propor-tional zur dritten Potenz der Hauptachse von seiner Umlaufbahn.

T 2 =C r3 (15.4)

• “Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto länger dauert ein Umlauf.”

• Die Konstante C ist spezifisch für den Zentralkörper. D.h. für alle Planeten, die umdie Sonne umlaufen, ist sie gleich; hypothetische Planeten, die um einen anderenStern umlaufen, haben eine gemeinsame andere Konstante. Ebenso die Monde desJupiter, die Bahnen um diesen beschreiben...

15.2 Das Newton’sche Gravitationsgesetz• Welche Kräfte wirken zwischen Himmelskörpern, aus denen die Kepler’schen Ge-

setze hervorgehen?

• Isaac Newton zeigt 1666: Eine anziehende Kraft zwischen Sonne und Planeten, um-gekehrt proportional zum Quadrat des Abstands, führt zu Ellipsenbahn wie bei Kep-ler!

• Sein Postulat (aufgestellte Behauptung): Eine solche Kraft wirkt zwischen beliebigenMassen!

• Newton’sches Gravitationsgesetz für zwei Massepunkte mit Massen m1, m2 im Ab-stand r: Anziehende Kraft ist

F =−γm1m2

r2 (15.5)

• In Vektorschreibweise: Positionen~r1,~r2, Abstandsvektor~r12 =~r2−~r1: Massepunkt1 übt auf Massepunkt 2 eine Kraft ~F2 wie folgt aus:

~F2 =−γm1m2

r212

~r12

r12(15.6)

Page 91: mein Skript zur Vorlesung

15.3. GRAVITATIONSFELD, POTENTIELLE ENERGIE, GRAVITATIONSPOTENTIAL91

Abbildung 15.2: Torsionsdrehwaage von Cavendish, Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cavendish_Torsion_Balance_Diagram.svg

• γ ist die Gravitationskonstante (NICHT verwechseln mit der Erdbeschleunigung g!!!),

γ = 6,67 ·10−11 Nm2

kg2 (15.7)

• γ ist fundamentale Naturkonstante

• Nachweis der Gravitation und Bestimmung der Gravitationskonstante: Cavendish,Gravitationsdrehwaage (Abbildung 15.2). An dem Faden ist ein Spiegel befestigt,der einen Lichtstrahl reflektiert. Verdrehung um einen minimalen Winkel sichtbar...

• Herleitung von Kepler 3: setze Gravitationskraft gleich Zentripetalkraft, vereinfa-chend für eine Kreisbahn (Spezialfall); für ein spezielles Zentralgestirn mit Masse M(Sonne) gilt

FG = FZ (15.8)

γmMr2 = mω

2r (15.9)

Mγ = const = ω2r3 (15.10)

und mit T = 2π/ω

const =r3

T 2 (15.11)

D.h. aus der 1/r2-Abhängigkeit der Gravitationskraft folgt Kepler 3.

15.3 Gravitationsfeld, potentielle Energie, Gravitationspo-tential

VL11.1.2017• Wir betrachten einen Zentralkörper, z.B. die Erde, mit Masse M und eine (kleine)

Testmasse m in ihrem Schwerefeld.

• Betrag der Gravitationskraft:

F(r) =−γM mr2 (15.12)

Page 92: mein Skript zur Vorlesung

92 KAPITEL 15. GRAVITATION

Abbildung 15.3: Links: Masse in, Rechts: Masse außerhalb Schale

• Begriff des “Gravitationsfelds”: Auswirkung der Erde “pro Testmasse”

G(r) =F(r)

m=−γ

Mr2 oder ~G =

~Fm

(15.13)

• Unabhängig von der Größe der Testmasse

• Nächstes Semester: elektrisches Feld, Eigenschaft des Raums, koppelt an die Ladung(“Kraft pro Ladung”), so wie das Gravitationsfeld hier an die (Test-)Masse ankoppelt(“Kraft pro Masse”)

• Potentielle Energie einer Testmasse im Schwerefeld eines Zentralkörpers: wir bewe-gen die Testmasse von einem Punkt zum anderen und berechnen das Wegintegralüber Kraft mal Weg... wie zuvor...

• Zentralkörper im Ursprung des Kugelkoordinatensystems −→ die Kraft ist immerzum Ursprung hin gerichtet und

~F =−γmMr2 ~er (15.14)

• Überraschung, die Kraft ist konservativ und wir erhalten als potentielle Energie derTestmasse m im Schwerefeld des Zentralkörpers M

Epot,g =−γmM

r(15.15)

• Wie zuvor haben wir wieder den Zusammenhang

~F =−∇Epot,g (15.16)

(Nachprüfen!)

• “Gravitationspotential”: potentielle Energie pro Testmasse Epot,g/m

• Nächstes Semester: Analog hierzu elektrisches Potential (“Spannung”), potentielleelektrische Energie pro Ladung

Page 93: mein Skript zur Vorlesung

15.4. SCHWEREFELD REALER KÖRPER 93

15.4 Schwerefeld realer KörperVL12.1.2017 • Sir Isaac Newton ist (neben seinem Gravitationsgesetz und vielen Werken zur Op-

tik)2 mit verantwortlich für all die Mathematik der Ableitungen und Integrale —warum z.B.?

• Wir haben bis jetzt das Schwerefeld von Punktmassen betrachtet, aber eine Punkt-masse ist die Erde für uns sicher nicht!

• Gravitationsfeld einer Kugel mit konstanter Massendichte?

• Noch elementarer: Gravitationsfeld einer dünnen, hohlen Kugelschale mit konstan-ter Massen-Flächendichte?

• Innerhalb der Kugelschale: betrachte beliebigen Punkt, “Kegel” zu gegenüberlie-genden kleinen Flächen- / Massenstücken

• Wie verhalten sich die Gravitationskräfte durch die zwei Masse“stücke” zueinander?

• Für die Massen giltm1

m2=

A1

A2=

r21

r22

(15.17)

• Für die Beträge der Gravitationskräfte gilt

F1

F2=

m1r21

m2r22

= 1 (15.18)

• Homogene Kugelschale: Gegenüberliegende Kugelschalenstücke üben gleich großeKräfte auf eine Masse im Inneren aus −→ in Summe übt eine Kugelschale keineGravitationskraft in ihrem Inneren aus!

• Außerhalb der Kugelschale: betrachte beliebigen Punkt, ohne Einschränkung derAllgemeinheit auf x-Achse

• Kraft durch ein Massenelement:

dF = γmdM

s2 (15.19)

• Kraftkomponenten senkrecht zur x-Achse heben sich aus Symmetriegründen gegen-seitig auf; es bleibt die Komponente parallel zur x-Achse:

dF = γmdM

s2 cosφ (15.20)

• Gesamtmasse M, Gesamtfläche 4πR2

• Fläche eines “Rings” bei θ ist 2πR2 sinθ dθ

• Masse eines “Rings”:

dM =2πR2 sinθ

4πR2 M dθ =12

M sinθ (15.21)

• Einsetzen ergibt

F = γMm

2

π∫0

sinθ cosφ(θ)

s(θ)2 dθ (15.22)

2... diversen theologischen Essays und der Jagd auf Münzfälscher

Page 94: mein Skript zur Vorlesung

94 KAPITEL 15. GRAVITATION

• ...

• Resultat (Überraschung):

F = γmMr2 (15.23)

Gleiche Kraft wie bei Punktmassen!

• Homogene Kugelschale: Außerhalb der Kugelschale, Gravitationskraft wie wenn dieGesamtmasse im Zentrum konzentriert wäre!

• Massive, homogene Kugel: “summiere” über Kugelschalen auf!

• Radius ist größer als betrachteter Punkt −→ Kugelschalen haben keinen Effekt, Ra-dius der Kugelschalen kleiner als betrachteter Punkt−→wie wenn Gesamtmasse derKugelschalen in Mittelpunkt wäre

• Gilt nur für homogene Massenverteilung.

• Erde: eigentlich inhomogene Masseverteilung, deshalb zeigt die Schwerkraft zB nichtimmer exakt nach unten!

• Schöne Übungsaufgabe: nützen Sie diese zwei Resultate, und überlegen sie sich, wiedie Schwerkraft ~F(r,θ ,φ) innerhalb einer homogenen Kugel vom Ort abhängt!

• “Hypothetische Hyperloop-Bahn von Regensburg nach Tokio, die reibungsfrei durcheinen geraden, evakuierten Tunnel gleitet” (natürlich geht das eigentlich nicht, weiles nach unten irgendwo heiß und flüssig wird)

Page 95: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 16

Schwingungen

HRW 16TIP 1116.1 Harmonische Schwingungen

• Bekannt: Rücktreibende Kraft einer Feder, in 1D

Fx =−k x (16.1)

• Rücktreibende Kraft ist proportional zu Auslenkung, lineare Abhängigkeit

• Ausgelenkter Körper wird losgelassen −→ Schwingung um die Gleichgewichtslage

• Dieses System nennt man “harmonischen Oszillator”

• Newton 2:Fx =−k x(t) = max (16.2)

oderd2xdt2 =− k

mx(t) (16.3)

• “Differentialgleichung” für die Funktion x(t), Schwingunsgleichung

• “Lösen” einer Differentialgleichung = Finden der Funktion(en) x(t), die diese Glei-chung erfüllen

• Meistens gibt es nicht nur eine Lösung, sondern die Lösung hat freie Konstanten, diesich aus den “Randbedingungen” des Problems ergeben

• Beispiel für Randbedingungen: wie weit wurde die Feder ausgelenkt, und wann ge-nau wurde sie losgelassen? Steckt nicht in Gleichung 16.3!

• Allgemeine Lösung (in R) für diese spezielle Differentialgleichung 16.3: mit x0 ≥ 0(nachrechnen, daß das eine Lösung ist!)

x(t) = x0 cos(ω t +δ ) (16.4)

• Geschwindigkeit und Beschleunigung:

v(t) =ddt

x(t) =−x0ω sin(ω t +δ ) (16.5)

a(t) =ddt

v(t) =−x0ω2 cos(ω t +δ ) (16.6)

95

Page 96: mein Skript zur Vorlesung

96 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

• Einsetzen in Gleichung 16.3 ergibt

ω =

√km

(16.7)

• ω heißt hier die Kreisfrequenz, ist aber eng verwandt mit der Winkelgeschwindigkeit

• x0 (Schwingungsamplitude) und δ (Schwingungsphase) sind nicht durch Gleichung16.3 bestimmt

• x0 und δ sind frei wählbare bzw. durch den Kontext (“Randbedingungen”) gegebeneParameter

• Beispiel: Wir lenken die Feder um x(0) = xa aus, sie sei in Ruhe, also v(0) = 0, undwir lassen sie dann zum Zeitpunkt t = 0 los... also:

x(0) = x0 cos(ω ·0+δ ) = xa cos(δ ) =xa

x0(16.8)

v(0) =−x0ω sin(ω ·0+δ ) = 0 δ = 0 oder δ = π (16.9)

Nehmen wir an, daß die Amplitude x0 positiv ist wie xa, dann gilt δ = 0 und x0 = xa.

• Zeit, die der Körper braucht, um wieder am Ausgangspunkt zu sein: Schwingungs-periode T .

• Wir wissen, daß cos(φ) periodisch mit Winkel 2π ist, also

ω T = 2π T =2π

ω(16.10)

• Zahl der Schwingungsperioden pro Sekunde: Schwingungsfrequenz f oder ν ;

f =1T

2π(16.11)

Einheit von f :

1Hz = 1Hertz = 11s

(16.12)

• Die Frequenz einer harmonischen Schwingung ist unabhängig von der Amplitude

• Konsequenz: beim Klavier ist die Tonhöhe gleich, egal wie fest eine Taste angeschla-gen wird

• Gegenbeispiel (NICHT harmonisch) e-Gitarre...

16.2 Energie des harmonischen Oszillators• Wir wissen schon aus vorherigen Kapiteln, was kinetische und potentielle Energie

einer Masse an einer Feder ist:

Emech = Ekin +Epot =12

mv2 +12

kx2 (16.13)

• Wir setzen Gleichungen 16.4, 16.5, 16.7 ein und erhalten

Emech =12

kx20 (sin(ω t +δ ))2 +

12

kx20 (cos(ω t +δ ))2 (16.14)

Page 97: mein Skript zur Vorlesung

16.3. HARMONISCHE NÄHERUNG 97

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4 -2 0 2 4

f(x)fi(0)*x+f(0)

fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)

fiiii(0)*x*x*x*x/24+fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-4 -2 0 2 4

f(x)-f(x)fi(0)*x+f(0)-f(x)

fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)-f(x)fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)-f(x)

fiiii(0)*x*x*x*x/24+fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)-f(x)

a)b)

Abbildung 16.1: Näherung der Funktion f (x) = cos(x−0.5)+x3/40 durch eine Taylorrei-he bei x = 0: (a) f (schwarz) sowie lineare (grün), quadratische (blau), kubische (telekom)und quartische (cyan) Näherung; (b) Abweichung der Näherungen von der Originalfunkti-on

• ... und weil sin2 x+ cos2 x = 1 gilt,

Emech =12

kx20 (16.15)

• Alternativ können wir v0 = x0ω als maximalen Geschwindigkeitsbetrag (beim Null-durchgang) definieren und erhalten gleichwertig

Emech =12

mv20 (16.16)

• Kontinuierliche Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und um-gekehrt, aber die Summe ist konstant. Energieerhaltung!

16.3 Harmonische Näherung• Warum ist der harmonische Oszillator so interessant? Immerhin ist eine rücktreiben-

de Kraft proportional zur Auslenkung ein ziemlicher Spezialfall...

• Mathematisches Näherungsverfahren “Taylor-Reihe”

• Nehme beliebig oft differenzierbare Funktion f (x) mit reellem (oder komplexem)Wert

• Definition der Tayor-Reihe von f (x) am Punkt a:∞

∑n=0

f (n)(a)n!

(x−a)n = f (a)+ f ′(a)(x−a)+f ′′(a)

2(x−a)2 +

f ′′′(a)6

(x−a)3 + . . .

(16.17)

Page 98: mein Skript zur Vorlesung

98 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

Abbildung 16.2: (a) “Mathematisches” Pendel, (b) “Physikalisches” Pendel

• Ist unter vielen Umständen eine gute Näherung der Funktion f (x) “in der Nähe vonx = a”, auch wenn wir nur bis zu endlichem n summieren!

VL18.1.2017

• nmax = 1: Tangente, lineare Näherung

• nmax = 2: angelegte Parabel, quadratische Näherung

• ...

• Für sehr kleine Abweichungen ∆x von einem Gleichgewicht bei x = a, oft nmax = 1ausreichend, Näherung einer Funktion durch eine angelegte Tangente

• Also: Nähere f (a+∆x) durch f (a)+∆x f ′(a)

• Betrachten wir als Funktion eine beliebige rücktreibende Kraft F(x)

• Lineare Näherung bei kleinen Auslenkungen entspricht einem harmonischen Oszil-lator!

• Deshalb ist das ein so universelles Modell!

• Wird die Amplitude zu groß, dann kann die lineare Näherung zusammenbrechen(Konsequenzen −→ später).

16.4 Beispiele für harmonisch schwingende SystemeMasse an Feder

• Haben wir gerade besprochen

“Mathematisches Pendel”

• Punktmasse an langem, masselosem Faden

• Gewichtskraft “nach unten”:F =−mg (16.18)

Page 99: mein Skript zur Vorlesung

16.4. BEISPIELE FÜR HARMONISCH SCHWINGENDE SYSTEME 99

• Faden kompensiert Kraft parallel zu ihm

• Rücktreibende Kraft tangential zur Bogenbahn:

F =−mgsinθ (16.19)

• Auslenkung um Bogenlänge s bzw. Winkel θ vom tiefsten Punkt: mit Fadenlänge l

s = l θ (16.20)

• Newton 2:

−mg sinθ = md2sdt2 = ml

d2θ

dt2 (16.21)

• Resultierende Differentialgleichung:

d2θ

dt2 =−gl

sinθ (16.22)

• Für kleine Auslenkungswinkel θ gilt sinθ ≈ θ (schreiben Sie die Taylorreihe desSinus am Punkt a = 0 hin!) −→ harmonische Schwingung!

d2θ

dt2 +gl

θ = 0 (16.23)

• Periode: aus Vergleich mit dem Federpendel,

T =2π

ω= 2π

√lg

(16.24)

Torsionspendel

• Gegenstand mit hohem Trägheitsmoment, an Faden aufgehängt, bei Winkelauslen-kung rückwirkendes Drehmoment durch “Verdrillen” des Fadens

N =−κ θ (16.25)

• Mit Newton 2 für die Drehbewegung erhalten wir

−κ θ = Iα (16.26)

oderd2

θ

dt2 =−κ

Iθ (16.27)

und die Periode

T = 2π

√Iκ

(16.28)

Physikalisches Pendel

• Im Schwerefeld aufgehängter starrer Körper

• Feste Drehachse, geht nicht durch Schwerpunkt

• Gewichtskraft übt bei Auslenkung “rücktreibendes” Drehmoment aus

• ...

• Übungsaufgabe!

Page 100: mein Skript zur Vorlesung

100 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

Fallende Masse im Inneren einer homogenen Kugel

Wassersäule in U-Rohr

Und vieles mehr...

16.5 Gedämpfte SchwingungenVL19.1.2017 • Wir nehmen sogenannte viskose Dämpfung an

• Beispiel: Langsame Bewegung eines Gegenstands in einer zähen Flüssigkeit (Was-ser, Honig, Motoröl, flüssiges 3He bei T = 0.01K)

• (NICHT: schnelle Bewegung mit Wirbelbildung im Medium)

• Experimentelle Beobachtung: unter diesen Bedingungen ist die Reibungskraft pro-portional zur Geschwindigkeit und wirkt dieser entgegen, also

~FR =−b~v (16.29)

• b: Dämpfungskonstante, hängt z.B. von der Zähigkeit (Viskosität) der Flüssigkeit ab

• Wir fügen die Reibungskraft zusätzlich in die Differentialgleichung des harmoni-schen Oszillators 16.3 ein und erhalten mit v(t) = x(t)

ma = F =−k x−bv (16.30)

d2xdt2 =− k

mx− b

mdxdt

(16.31)

oderd2xdt2 +

bm

dxdt

+km

x = 0 (16.32)

• Wie löst man das? Ansatz x(t) = eλ t führt zu

λ± =− b2m±

√(b

2m

)2

−ω20 (16.33)

mit

ω0 =

√km

(16.34)

• Also: allgemeine Lösung: nehme diese zwei λ und jeweils einen Vorfaktor dazu

x(t) =C+eλ+t +C−eλ−t (16.35)

• Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 16.32

• Wir können drei Fälle unterscheiden, je nachdem wie stark die Dämpfung b ist:

b2m

> ω0,b

2m= ω0,

b2m

< ω0 (16.36)

• b/2m > ω0: starke Dämpfung, “überdämpft”: Oszillator geht langsam, asymptotischin Ruhelage zurück

Page 101: mein Skript zur Vorlesung

16.5. GEDÄMPFTE SCHWINGUNGEN 101

• b/2m = ω0: aperiodischer Grenzfall, “kritische Dämpfung”: Oszillator geht asym-ptotisch in Ruhelage zurück; optimale Dämpfung, so daß das System schnellstmög-lich in den Ruhezustand übergeht

• b/2m < ω0: schwache Dämpfung, “unterdämpft”: Oszillator schwingt weiter, mitlangsam abnehmender, asymptotisch Null erreichender Amplitude

• Wie kommt das zustande, bzw was bedeutet das? Wir schauen uns kurz die verschie-denen Fälle an.

• Überdämpft: b ist groß; der Term unter der Wurzel in Gleichung 16.33 ist positiv;λ ist eine reelle Zahl kleiner Null.

• Lösungen sind Exponentialfunktionen, die mit der Zeit auf Null abfallen.

• kritisch gedämpft: Der Term unter der Wurzel in Gleichung 16.33 ist gleich Null;es gibt nur eine Lösung λ =−b/2m. Ebenfalls exponentieller Abfall.

• unterdämpft: Der Term unter der Wurzel in Gleichung 16.33 ist negativ! Lösungenfür λ sind komplexe Zahlen!

Komplexe Zahlen:

– Das Quadrat aller reellen Zahlen ist positiv, und nur aus positivenreellen Zahlen kann man eine (reelle) Wurzel ziehen.

– Was machen wir, wenn wir aus einer negativen Zahl eine Wurzelziehen wollen?

– Definition der “imaginären Einheit” i: i =√−1

– Logischerweise gilt damit i2 =−1– Die imaginären Zahlen sind die Vielfachen von i– Beispiel: (5i)2 = 52 · i2 = 25 · (−1) =−25– Die komplexen Zahlen sind Summen aus reellen und imaginären Zah-

len.– Beispiel: 5i+3– Die üblichen Rechenregeln gelten, also z.B.

(5i+3)2 = (5i)2 +2 ·5i ·3+32 =−25+30i+9 =−16+30i

• Für einen reellen Winkel φ gilt

eiφ = cosφ + isinφ (16.37)

Mitea+b = ea · eb (16.38)

gilt dann für reelle a und b

ea+ib = ea (cosb+ isinb) (16.39)

• Der Realteil von λ (vor der Wurzel) führt zu einer Dämpfung, d.h. zu einer abneh-menden Amplitude

• Der Imaginärteil von λ führt zu einer weiteren Schwingung

• Abklingende Schwingung!

• Mit welcher Kreisfrequenz schwingt ein unterdämpfter Oszillator? Wir wissen, daßder Imaginärteil von λ das beschreibt! Also schauen wir auf die Wurzel mit ihremnegativen Argument...

Page 102: mein Skript zur Vorlesung

102 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

• e-Funktion:

et√( b

2m )2−ω2

0 = eit√

ω20−(

b2m )

2

= cosω′t + isinω

′t (16.40)

mit

ω′ =

√ω2

0 −(

b2m

)2

(16.41)

• Ein gedämpfter (unterdämpfter) Oszillator schwingt langsamer! Kreisfrequenz hängtvon der Dämpfungskonstante b ab.

• Wie entwickelt sich die Amplitude des unterdämpften Oszillators mit der Zeit? Hierbrauchen wir den Realteil von λ ...

• e-Funktion:e−

b2m t (16.42)

• Die Amplitude nimmt exponentiell ab!

• Abbildung 16.3: wir plotten die Auslenkung eines harmonischen Oszillators als Funk-tion der Zeit t für verschiedene Dämpfungen bSpeziell: m = k = 1, Anfangsbedingungen x(0) = 1, v(0) = 0 (ausgelenkt, in Ruhe,dann losgelassen)Kritische Dämpfung entspricht hier b = 2

• Abbildung 16.4: wir plotten die mechanische Gesamtenergie des gleichen H.O. −→die kritische Dämpfung ist am günstigsten, um dem System möglichst schnell Ener-gie zu entziehen.

• Weiteres Beispiel, wie sich die Konstanten C± ergeben: seien die Randbedingun-gen, daß sich das schwingende Objekt zum Zeitpunkt t = 0 mit Geschwindigkeitv(0) = v0 durch den Ursprung (x(0) = 0) bewegt. Was sagt das über die KonstantenC− und C+ aus?

x(0) =C+eλ+·0 +C−eλ−·0 = 0 −→ C++C− = 0 −→ C− =−C+ (16.43)

v(0) =C+λ+eλ+·0 +C−λ−eλ−·0 = 0 −→ C+λ++C−λ− = v0 (16.44)

Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung ergibt

C+(λ+−λ−) = v0 −→ C+ =v0

λ+−λ−(16.45)

16.6 Erzwungene Schwingungen und Resonanz• Wir fügen unserem System zusätzlich zu rücktreibender Kraft und Dämpfungskraft

noch eine periodische Antriebskraft hinzu!

Fa(t) = Fa,0 cosωt (16.46)

• ω ist NICHT gleich der Eigenfrequenz ω0 des frei schwingenden, ungedämpftenOszillators, sondern beliebig gewählt!

• Gesamte Differentialgleichung nun:

md2xdt2 +b

dxdt

+mω20 x = Fa,0 cosωt (16.47)

• “inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung”

Page 103: mein Skript zur Vorlesung

16.6. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN UND RESONANZ 103

2 4 6 8 10

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Abbildung 16.3: Auslenkung eines harmonischen Osillators mit m = k = 1, x(0) = 1,v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0 (ungedämpft) über b = 2 (kritische Dämp-fung) bis b = 4 (überdämpft).

Page 104: mein Skript zur Vorlesung

104 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Abbildung 16.4: Mechanische Gesamtenergie Ekin +Epot eines harmonischen Osillatorsmit m = k = 1, x(0) = 1, v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0 (ungedämpft)über b = 2 (kritische Dämpfung) bis b = 4 (überdämpft).

Page 105: mein Skript zur Vorlesung

16.6. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN UND RESONANZ 105

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

50

100

150

200

amplitude

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

5.0

10.0

50.0

100.0

amplitude

Abbildung 16.5: Amplitude A(ω) nach Gleichung 16.49 für m = k = Fa,0 = 1 und b =0,0.05,0.1,0.15, links in linearer und rechts in logarithmischer Auftragung

Abbildung 16.6: Zum Thema Resonanz... Quelle: xkcd webcomic http://www.xkcd.com/228/, Lizenz: CC BY-NC 2.5

• Wir besprechen nicht die allgemeine Lösung, zu kompliziert; insbesondere vernach-lässigen wir den “Einschwingvorgang”

• Wir schauen uns nur an, was passiert, nachdem das System bereits lange unter Ein-fluß der periodischen Antriebskraft war — die sogenannte stationäre Lösung

• Ortsfunktion der stationären Lösung:

x(t) = Acos(ωt +δ ) (16.48)

Wichtig: ω ist die Kreisfrequenz des Antriebs, NICHT die Eigenfrequenz!!!

A =Fa,0√

m2(ω2

0 −ω2)2

+b2ω2(16.49)

tanδ =bω

m(ω2

0 −ω2) (16.50)

• A ist die Amplitude der entstehenden Schwingung

• δ ist die Phase der Auslenkung der Schwingung, relativ zur Antriebskraft... d.h. bei-de periodischen Größen Antriebskraft und Auslenkung oszillieren zueinander zeit-versetzt!

Page 106: mein Skript zur Vorlesung

106 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

• Aus Gleichung 16.49 (Kurvendiskussion, Maximum suchen indem man dA/dω = 0setzt): Amplitude der Schwingung wird am größten für

ωres =

√ω2

0 −(

b√2m

)2

(16.51)

• Man spricht auch von der Resonanzfrequenz

• Treiben wir das System mit seiner Resonanzfrequenz an, dann entstehen große Am-plituden! System nimmt optimal Energie auf!

• Aus Gleichung 16.50:

– für ω � ωres, tanδ ' 0 — Schwingung in Phase mit Antrieb

– für ω = ωres, tanδ = π

2 — Phasenverschiebung um eine Viertelperiode

– für ω � ωres, tanδ ' π — Schwingung gegenphasig

• Resonanz kommt in allen Bereichen der Physik vor, von mechanischen Schwingun-gen bis hin zur Elektromagnetik, Optik, Kern- und Teilchenphysik

• Abbildung 16.5: Amplitude A(ω) als Funktion der Antriebsfrequenz

• Q-Faktor oder Qualitätsfaktor:

Q =

√mkb

(16.52)

• Q ist Maß für die “Güte” eines Schwingkreises; je höher, desto weniger gedämpft,und desto schärfer ist die Resonanz (das Maximum der Amplitude)

• Q ist auch 2π mal gespeicherte Gesamtenergie geteilt durch verlorene Energie proSchwingungsperiode

16.7 Anharmonische Schwingungen, Duffing-OszillatorVL25.1.2017 • Einfachster Fall eines nicht-harmonischen Oszillators

• Zusätzliche rücktreibende Kraft, die mit x3 skaliert

• Gleichung:

md2xdt2 +b

dxdt

+mω20 x+βx3 = Fa,0 cosωt (16.53)

• Ausführliche Behandlung weit jenseits unserer Vorlesung

• Resonanzkurve wird asymmetrisch

• Bistabilitäten, Hysterese, chaotisches Verhalten

Page 107: mein Skript zur Vorlesung

16.7. ANHARMONISCHE SCHWINGUNGEN, DUFFING-OSZILLATOR 107

Abbildung 16.7: Verschiedene Beispiele für die Resonanzkurve eines Duffing-Oszillators.Das schwingende System kann bei bestimmten Antriebsfrequenzen mehrere verschiedeneZustände mit unterschiedlicher Schwingungsamplitude einnehmen.

Abbildung 16.8: Eine einzelne Kohlenstoff-Nanoröhre als anharmonischer Oszillator. Dergemessene Strom hängt mit dem Quadrat der Schwingungsamplitude zusammen; die x-Achse zeigt die Antriebsfrequenz. Die Angabe in “db” ist ein logarithmisches Maß fürdie Antriebsamplitude. Links: Mit zunehmendem Antrieb wird die Schwingung nichtlinearund zeigt Hysterese (unterschiedlicher Verlauf der Kurve bei Aufwärts- oder Abwärtsmes-sung). Rechts: Die Dämpfungskonstante wird mit zunehmender Temperatur größer, d.h.die Auslenkungen kleiner und das System wieder linear. Quelle: A. K. Hüttel et al., “Car-bon nanotubes as ultra-high quality factor mechanical resonators”, Nano Letters 9, 2547(2009), http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nl900612h

Page 108: mein Skript zur Vorlesung

108 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN

Page 109: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 17

Mechanische Wellen

17.1 Gekoppelte OszillatorenVL26.1.2017• Wir kombinieren zwei Massen und drei Federn.

• Für beide Massen können wir Newton 2 aufstellen:

m1d2x1

dt2 =−k1x1− k12(x1− x2) (17.1)

m2d2x2

dt2 =−k2x2− k12(x2− x1) (17.2)

• Zwei gekoppelte Differentialgleichungen für die Funktionen x1(t) und x2(t)!

• Für Spezialfall m1 = m2 = m und k1 = k2 = k einfach lösbar!

• Wir bilden Differenz und Summe der beiden Gleichungen 17.1 und 17.2:

m(

d2x1

dt2 +d2x2

dt2

)=−k(x1 + x2) (17.3)

m(

d2x1

dt2 −d2x2

dt2

)=−(k+2k12)(x1− x2) (17.4)

Abbildung 17.1: Zwei gekoppelte Federpendel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn

109

Page 110: mein Skript zur Vorlesung

110 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN

Abbildung 17.2: Verhalten gekoppelter Pendel für schwache (links) und starke (rechts)Kopplung. Zwischen den zwei Pendeln wird periodisch Energie ausgetauscht. Quelle:Skript Dr. Tobias Korn

• Wir definieren neue Koordinaten (“Normalkoordinaten”)

x+ =12(x1 + x2) (17.5)

x− =12(x1− x2) (17.6)

• Dann gilt:

md2x+dt2 =−kx+ (17.7)

md2x−dt2 =−(k+2k12)x− (17.8)

• Diese Gleichungen können wir lösen! Jede von ihnen beschreibt einen ganz normalen“harmonischen Oszillator”...

x+(t) = x0+ sin(ω0+t +δ+) ω0+ =

√km

(17.9)

x−(t) = x0− sin(ω0−t +δ−) ω0− =

√k+2k12

m(17.10)

• Dann aus x+ und x− wieder x1 und x2 berechnen:

x+(t)+ x−(t) = x1(t) x+(t)− x−(t) = x2(t) (17.11)

• Beispielhalfte Lösungen in Abbildung 17.2

• Pendel tauschen Energie untereinander aus!

• Transport von mechanischer Energie vom einen Pendel zum anderen

• Nächster logischer Schritt ist eine “eindimensionale”, “lineare” Anordnung von vie-len Federn und Massen, die gekoppelt schwingen können, siehe Abbildung 17.3 unddie entsprechende Animation in Wikipedia

• Festkörperkristall mit vielen Atomen: kann man als eine dreidimensionale Anord-nung von gekoppelten Federn modellieren... Angeregte Schwingungen “wandern”durch den Kristall −→Wellen!

Page 111: mein Skript zur Vorlesung

17.2. HARMONISCHE WELLEN 111

Abbildung 17.3: Eindimensionale Ketten gekoppelter harmonischer Oszillatoren. Quelle:Wikipedia. Eine animierte Version ist dort online zu finden.

17.2 Harmonische Wellen• Viele Oszillatoren miteinander gekoppelt −→ Energie breitet sich im Raum aus

• Benachbarte Oszillatoren sind zueinander phasenverschoben

• Beispiel Kette von Oszillatoren, die längs der x-Achse angeordnet sind und schwin-gen können, Abbildung 17.3, Abbildung 17.4(b)

• Anderes Beispiel, Kette von Pendeln, die längs der x-Achse angeordnet sind und iny-Richtung schwingen, Abbildung 17.4(a)

• Auslenkung:y(x,t) = Asin(ωt− kx) (17.12)

ω ist die Kreisfrequenz der Welle, k die sogenannte Wellenzahl

• ω beschreibt, wie schnell die Welle am konstanten Ort als Funktion der Zeit oszilliert

• k beschreibt, wie “schnell” die Welle an konstantem Zeitpunkt als Funktion des Ortsoszilliert

• Wellenlänge λ : Abstand zwischen zwei Orten, die zur gleichen Zeit die gleiche Phasehaben

λ =2π

k(17.13)

• Wellenberge bewegen sich in bestimmter Zeit um bestimmte Strecke – nsbesonderein einer Schwingungsperiode genau um eine Wellenlänge.

• Definiere Phasengeschwindigkeit:

vph =λ

T= λ · f =

λω

2π(17.14)

• Beispiel Schallgeschwindigkeit: Druckvariationen in der Luft durch Auslenkung derGasteilchen

• Beispiel Lichtgeschwindigkeit: Phasengeschwindigkeit einer elektromagnetischen Wel-le (Ende 2. Semester)

Page 112: mein Skript zur Vorlesung

112 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN

Abbildung 17.4: Darstellung von (a) Transversal- und (b) Longitudinalwellen mittels ge-koppelter Pendel. Quelle: http://schulphysik.ch/, nur für nichtkommerzielle In-formationszwecke.

Abbildung 17.5: Momentaufnahme einer harmonischen Welle. Quelle: Skript Dr. TobiasKorn

Page 113: mein Skript zur Vorlesung

17.3. DIE WELLENGLEICHUNG 113

17.3 Die Wellengleichung

• Grundgleichung, die eine Welle beschreibt, Differentialgleichung für die “oszillie-rende” Größe (z.B. Auslenkung der Pendel, die in einer Kette gekoppelt sind)

• Leiten wir mit ein paar einfachen Annahmen her

• Störung (z.B. Auslenkung) breitet sich mit konstanter Phasengeschwindigkeit v ineine Richtung aus

• Störung ändert nicht ihre Form

• Also gilt für die Funktion, die sie beschreibt: in der Zeit von t = 0 bis t = t1 ist dieStörung von x0 nach x1 gewandert, und mit

x0 + vt1 = x1 (17.15)

haben wir

f (x1, t1) = f (x0,0) = f (x1− vt1,0) (17.16)

• Weil die Störung mit der Zeit nicht ihre Form ändert, muß die Funktion für einenkonstanten Wert x− vt = x0 ebenfalls konstant sein

• Also muß sie eine Funktion nur dieses Ausdrucks sein! f (x− vt)

• Mit f ′ bezeichnen wir die Ableitung dieser Funktion nach ihrem Argument.

• Wir führen die Abkürzung u = u(x,t) = x− vt ein, und

• wir bilden partielle Ableitungen von f nach x und nach t und vergleichen sie (vgl.Kettenregel für’s Ableiten):

∂ f∂x

=d fdu· ∂u

∂x= f ′(u) (17.17)

∂ 2 f∂x2 =

d2 fdu2 = f ′′(u) (17.18)

∂ f∂ t

=d fdu· ∂u

∂ t=−v · f ′(u) (17.19)

∂ 2 f∂ t2 =

d2 fdu2 · v

2 = v2 · f ′′(u) (17.20)

• Vergleich von Gleichung 17.18 und Gleichung 17.20 ergibt

∂ 2 f∂x2 =

1v2

∂ 2 f∂ t2 (17.21)

• Gleichung 17.21 ist die (eindimensionale) Wellengleichung für eine Welle, die sichin x-Richtung mit Phasengeschwindigkeit v ausbreitet.

Page 114: mein Skript zur Vorlesung

114 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN

Abbildung 17.6: Schwingungsebenen und Ausbreitung von (a) linear und (b) elliptischpolarisierten Transversalwellen. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn

17.4 Transversal- und Longitudinalwellen• Viele verschiedene physikalische Größen können Wellen bilden

• Mechanik: Druckwellen in Gasen, Flüssigkeiten oder Festkörpern (“Schall”), Schwin-gungen von Saiten, ...

• Eletrodynamik (2. Semester): elektromagnetische Wellen: Radiowellen, Licht, ...

• ...

• Zwei grundlegende Typen: Transversal- und Longitudinalwellen (Quer- und Längs-wellen)

• Longitudinalwellen: Auslenkung ist parallel zur Wellenfortpflanzung, vgl. Abbil-dung 17.4(b)Beispiel: Schallwellen, generell Druckwellen in Gasen

• Transversalwellen: Auslenkung ist senkrecht zur Wellenfortpflanzung, vgl. Abbil-dung 17.4(a)Beispiel: schwingende Saite, Licht

• Transversalwellen können polarisiert sein, siehe Abbildung 17.6

• Lineare Polarisation: Auslenkung und Ausbreitungsrichtung definieren eine festeEbene

• Elliptische oder zirkuläre Polarisation: Auslenkung beschreibt eine Ellipse oder einenKreis in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung

17.5 Wellen in 3D: eben oder kugelförmigVL1.2.2017 • Erweiterung der Wellengleichung auf 3 Dimensionen:

– Die Auslenkung, d.h. die schwingende Größe, kann nun ein Vektor ~A(~r,t) sein(muß aber nicht; vgl. Druckwellen)

Page 115: mein Skript zur Vorlesung

17.6. BEISPIEL SCHALLWELLEN: HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG 115

– An die Stelle der zweiten Ortsableitung tritt die Summe über alle drei zweitenOrtsableitungen (ohne Beweis).(

∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2 +∂ 2

∂ z2

)~A(~r, t) =

1v2

∂ 2~A(~r, t)∂ t2 (17.22)

• Wir definieren den sogenannten Laplace-Operator:

∆ = ~∇ ·~∇ =

(∂ 2

∂x2 +∂ 2

∂y2 +∂ 2

∂ z2

)(17.23)

• Einfachere Schreibweise der Wellengleichung in 3D dann:

∆~A(~r, t) =1v2

∂ 2~A(~r, t)∂ t2 (17.24)

• Eine Lösung hierzu, wie wir sie schon kennen: Ebene Welle (nachrechnen!)

~A(~r, t) = ~A0 sin(ωt−~k ·~r) (17.25)

• Der Wellenvektor~k zeigt in die Ausbreitungsrichtung

• Der Amplitudenvektor ~A0 zeigt in die Auslenkungsrichtung

• Eine Wellenfront, also die Menge der Punkte gleicher Auslenkung, hat~r ·~k = const.

• Definiert Ebenen, daher “ebene Welle”

• Was passiert, wenn eine Welle von einer Punktquelle ausgeht?

• Ebenfalls eine Lösung1 (nachrechnen!):

A(~r,t) =A0

rsin(ω t− k r) mit r = |~r|=

√x2 + y2 + z2 (17.26)

• Kugelwelle!

• Wellenfronten sind Kugelschalen

• Amplitude nimmt mit Radius ab, da die transmittierte Energie konstant bleiben muß(genauer später)

• Beispiel Druckwelle einer Explosion, Abbildung 17.7

17.6 Beispiel Schallwellen: Herleitung der Wellengleichung• Beispielrechnung, auch auf zukünftige Semester vorgreifend, um zu demonstrieren,

wie die Wellengleichung in einem realen physikalischen System auftritt. Definitivkein Klausurstoff.

• Ideale Gasgleichung (kommt in der Thermodynamik-Vorlesung, 3. oder 4. Seme-ster?) für Gas in einem Volumen V (abgeschlossener Behälter):

pV = N kB T (17.27)

p ist der Gasdruck, V das Gasvolumen, N die Anzahl der Gasteilchen, kB die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur.

1Hier ist A Skalar; geht auch für Vektoren ~A, ist aber deutlich komplizierter hinzuschreiben −→ hier nicht

Page 116: mein Skript zur Vorlesung

116 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN

Abbildung 17.7: Kugelwelle. Operation “Sailor Hat”, Test-Explosion von 500t TNT(1965). US Government work, public domain.

Page 117: mein Skript zur Vorlesung

17.6. BEISPIEL SCHALLWELLEN: HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG 117

• Der Gasdruck p ist ein Skalar und gibt die Kraft an, die pro Fläche auf die Wand desBehälters wirkt (immer senkrecht zur Wand).

• Wir nehmen eine konstante Temperatur und eine konstante Teilchenzahl an, also gilt

pV = const. p =const.

V(17.28)

• Schallwellen sind longitudinale Druckwellen, d.h. der Gasdruck ändert sich lokal, dadie Gasteilchen hin- und herschwingen

• Wir betrachten ein Volumenelement am Ort x0 mit Dicke dx und Querfläche S, also

V = Sdx (17.29)

• Die Auslenkung der Gasteilchen bei x = x0 sei A(x0); für den Ort x0 +dx gilt dann

A(x0 +dx) = A(x0)+∂A∂x

dx (17.30)

• Durch die Auslenkung ändert sich unser Volumen um

dV = S (A(x0 +dx)−A(x0)) = S∂A∂x

dx (17.31)

und damit der Druck aufgrund von Gleichung 17.28 (ja, das läßt sich herleiten!) um

dp =−pdVV

=−p∂A∂x

(17.32)

• Die Kraft auf ein Volumenelement ergibt sich aus der räumlichen Änderung desDrucks, und sie wirkt “rückwärts” von der betrachteten Ebene in Richtung des Volu-menelements:

dF = S(−dp(x0 +dx)+dp(x0)) = dx∂

∂xdp (17.33)

• Wir setzen dp ein und erhalten

dF = pS∂ 2A∂x2 dx (17.34)

• Die Masse dM in einem Volumenelement dV erhalten wir aus der Dichte ρ:

dM = ρ dV = ρSdx (17.35)

• Newton 2 für das Volumenelement:

pS∂ 2A∂x2 dx = ρSdx

∂ 2A∂ t2 −→ pS

∂ 2A∂x2 = ρS

∂ 2A∂ t2 (17.36)

• Und das ist gerade die Wellengleichung! Aus Vergleich der Konstanten ergibt sichfür die Schallgeschwindigkeit:

v =√

(17.37)

• Luft, Normaldruck p = 1bar, T = 0◦C: v = 331m/s

• Helium: Dichte kleiner −→ “Mickey-Mouse-Effekt”

Page 118: mein Skript zur Vorlesung

118 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN

Page 119: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 18

Interferenz von Wellen

18.1 Reflexion und stehende Wellen• Abbildung 18.1: Seilwelle läuft auf festes Ende zu

• Beobachtung: Reflexion, mit entgegengesetzter Amplitude

• “Phasensprung” um π

• Freischwingendes Ende: ebenfalls Reflexion, aber ohne Phasensprung

• Zugrundeliegend: Unterschiedliche Randbedingunen für die Lösungen der Wellen-gleichung

• Ähnliches kommt im 2. Semester mit elektromagnetischen Wellen (Licht, Radiowel-len) wieder!

• Wir lassen nun eine kontinuierliche harmonische Welle wie in Abbildung 18.1 aufein reflektierendes Ende einlaufen

• Vorwärtslaufende (A+) und rückwärtslaufende, reflektierte Welle (A−) überlagernsich!

Abbildung 18.1: Reflexion einer Seilwelle an (a) festem und (b) offenem Ende. Quelle:Skript Dr. Tobias Korn.

119

Page 120: mein Skript zur Vorlesung

120 KAPITEL 18. INTERFERENZ VON WELLEN

Abbildung 18.2: Zwei entgegengesetzt zueinander laufende Wellen gleicher Frequenz undWellenlänge überlagern sich und bilden eine stehende Welle. Quelle: Wikipedia

• “Interferenz”: die beiden Wellenauslenkungen addieren sich, ohne daß sich die Wel-len weiter beeinflussen

• In Formeln:A+(x,t) = A0 cos(ωt− kx) (18.1)

A−(x,t) = A0 cos(ωt + kx+φ) (18.2)

• Summe, Additionstheorem für Kosinus:

A(x,t) = A+(x,t)+A−(x,t) = 2A0 cos(kx− φ

2) · cos(ωt +

φ

2) (18.3)

• Überlagerung führt dazu, daß sich ortsfeste “Knoten” mit SchwingungsamplitudeNull und “Bäuche” mit maximaler Schwingungsamplitude ausbilden

• “Stehende Welle”

• Schöne Animation online in Wikipedia, wie sich das zeitlich ausbildet, wenn eineWelle auf eine Wand zuläuft und reflektiert wird

• Welle wird zwischen zwei Barrieren hin- und herreflektiert wird: stehende Wellensind aufgrund der Randbedingungen nur für bestimmte Frequenzen möglich

• Beispiel Seilwelle: Die Auslenkung muß an Enden, an denen das Seil befestigt ist,konstant Null sein −→ Bedingung für Wellenlänge λ

Page 121: mein Skript zur Vorlesung

18.2. HUYGENSSCHES PRINZIP 121

Abbildung 18.3: Durchlauf einer Wasserwelle durch einen Doppelspalt. Nach dem Huy-gensschen Prinzip gehen von jedem Spalt wieder Kugelwellen aus. Quelle: Skript Dr. To-bias Korn

• Für Seil der Länge L:A(0,t) = A(L,t) = 0 (18.4)

• Einsetzen von Gleichung 18.3 ergibt

cos(−φ

2) = 0 und cos(kL− φ

2) = 0 (18.5)

• Die Nullstellen des Kosinus haben einen Abstand von π voneinander −→

k L = nπ n ∈ N (18.6)

k =nπ

Ln ∈ N (18.7)

λ =2πLnπ

=2Ln

n ∈ N (18.8)

• Fundamentalfrequenz (L = λ1/2) und Harmonische (λn = λ1/n, n = 2,3, . . . )

• Animation dieser Schwingungsmoden auf Wikipedia

18.2 Huygenssches Prinzip• Huygenssches Prinzip: einfache Regel, mit der man die Ausbreitung von Wellen in

mehreren Dimensionen beschreiben kann

Jeder Punkt auf der Phasenfläche einer Welle kann als Ausgangspunkteiner Kugelwelle (“Elementarwelle”) angesehen werden. Die Amplitu-den dieser Elementarwellen interferieren und bilden so die resultierendenPhasenflächen.

• Beispiel: Interferenz von Wasserwellen am Doppelspalt, Abbildung 18.3

Page 122: mein Skript zur Vorlesung

122 KAPITEL 18. INTERFERENZ VON WELLEN

Abbildung 18.4: Doppler-Effekt: bewegt sich die Quelle einer Welle, so werden entspre-chend der Bewegungsrichtungen im ruhenden Bezugssystem höhere bzw. niedrigere Fre-quenzen wahrgenommen. Bei höherer Geschwindigkeit bildet sich eine Stoßfront bzw. einMach-Kegel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn

• Ebene Wellen laufen auf Mauer mit zwei kleinen Schlitzen zu

• Aus jedem Schlitz entstehen dann Kugelwellen, und diese interferieren miteinander

• Weiteres Beispiel: eine ebene Wellenfront trifft schräg auf eine Wand

• Man stellt sich vor, daß an jedem Auftreffpunkt wieder Kugelwellen entstehen

• Interferenz dieser Kugelwellen: reflektierte ebene Welle!

• Automatisches Resultat: Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel

18.3 Bewegte Quellen

• Bewegte, punktförmige Quelle, die Kugelwellen mit Frequenz f abgibt

• Z.B. Sirene in Auto

• Wir wissen aus Alltag, daß Tonhöhe höher / tiefer ist, wenn sich die Quelle her /wegbewegt

• Doppler-Effekt

• Quelle emittiert im Zeitabstand T Wellenfronten, siehe Abbildung 18.4

• In der Zeit T bewegt sie sich aber auch um Strecke v ·T nach rechts

Page 123: mein Skript zur Vorlesung

18.3. BEWEGTE QUELLEN 123

• Effektive Wellenlänge rechts, im ruhenden Bezugssystem:

λ = λ0− v ·T =vph− v

f0(18.9)

Ruhender Beobachter rechts mißt die Frequenz

f =vph

λ= f0

vph

vph− v= f0

11− v

vph

(18.10)

• Analoge Betrachtung für einen bewegten Beobachter und eine ruhende Quelle

• Quelle wird schnell im Vergleich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellewird (z.B. Flugzeug / Schallgeschwindigkeit): Wellenfronten kommen einander im-mer näher, addieren sich zu starker Druckänderung

• Kopfwelle (Luftfahrt), Bugwelle (Schifffahrt)

• Hindernis zum Erreichen höherer Geschwindigkeiten, “Schallmauer”

• Bewegt sich die Quelle schneller als vph −→Wellenfronten bilden Kegel, “Mach’scherKegel”

• sichtbar bei Flugzeugen, die die Schallmauer durchbrechen (wegen starken Druck-schwankungen und Kondensation dadurch)

Page 124: mein Skript zur Vorlesung

124 KAPITEL 18. INTERFERENZ VON WELLEN

Page 125: mein Skript zur Vorlesung

Kapitel 19

Zum Abschluß...

Quelle: xkcd Webcomic, https://xkcd.com/435/, CC BY-NC 2.5

Viel Erfolg bei der Klausur!

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