Meinhard Kuna

Numerische Beanspruchungsanalyse von Rissen

Meinhard Kuna

Numerische Beanspruchungsanalyse von Rissen Finite Elemente in der Bruchmechanik

Mit 276 Abbildungen und zahlreichen Beispielen

STUDIUM

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Professor Dr. rer. nat. habil. Meinhard Kuna studierte Physik an der TU Magdeburg und promovierte 1978 an der Universit~it Halle, wo er sich 1991 mit dem Thema ,,Numerische Methoden der Bruchmechanik" habilitierte. Er war als Gruppenleiter an der Akademie der Wissenschaften (IFE Halle), als Abteilungsleiter am FhG Institut fSr Werkstoffmechanik Freiburg/Halle und an der MPA Stuttgart t~tig. Seit 1997 ist er Universit~itsprofessor f~r FestkSrpermechanik an der TU Berg- akademie Freiberg. Seine Arbeitsgebiete sind die Bruchmechanik, Sch{idigungsmechanik, Material- theorie und die Entwicklung numerischer Berechnungsverfahren (FEM, BEM). Die Anwendungs- bereiche erstrecken sich vonder Sicherheitsbewertung technischer Konstruktionen ~Jber adaptive Materialien bis zur Zuverl~ssigkeit mikroelektronischer Strukturen. Professor Kuna leitete in den ver- gangenen vier Jahren als Obmann den DVM Arbeitskreis Bruchmechanik und ist Mitherausgeber internationaler Fachzeitschriften.

1. Auflage 2008

Alle Rechte vorbehalten �9 Vieweg+Teubner J GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2008

Lektorat: Harald Wollstadt J Ellen Klabunde

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Umschlaggestaltung: K(JnkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, MSrlenbach Gedruckt auf s~urefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany

ISBN 978-3-8351-0097-8

Vorwort

Bei der Entwicklung und Auslegung technischer Konstruktion, Bauteile und Anla- gen spielen die Bewertung und Vermeidung von Bruch- und Schgdigungsprozessen eine wesentliche Rolle, um die technische Sicherheit, Lebensdauer und Zuverls zu ge- w~ihrleisten. Ingenieurtechnische Fehler auf diesem Gebiet kSnnen im Versagensfall kata- strophale Folgen ffir das Leben yon Menschen, die Umwelt aber auch die Volkswirtschaft haben. Da in vielen Konstruktionen und Werkstoffen herstellungs- oder betriebsbedingte Defekte nicht immer ausgeschlossen werden kSnnen, kommt der bruchmechanischen Be- wertung yon rissartigen Defekten eine grofge Bedeutung zu. Im Rahmen der technischen 0berwachung und der Aufkls yon Schadensfs ist neben der Werkstoffcharakte- risierung vor allem die Analyse des mechanischen Beanspruchungszustandes an Rissen, Kerben und ~hnlichen Defekten unter betrieblichen Einsatzbedingungen von Interesse.

Die Bruchmechanik hat sich in den letzten 5o Jahren als eigenst~ndiges interdiszi- plin~ires Wissenschaftsgebiet herausgebildet, das zwischen Technischer Mechanik (Fes- tigkeitslehre), Werkstoffwissenschaften und Festk6rperphysik angesiedelt ist. Die Bruch- mecha~ik definiert BeanspruchungskenngrS~en und Kriterien, um das Rissverhalten in Werkstoffen und Bauteilen unter statischen, dynamischen oder zyklischen Belastungen quantitativ beurteilen zu kSnnen.

Fiir die bruchmechanische Beanspruchungsanalyse werden heutzutage in verst~ktem Ma~e numerische Verfahren der FestkSrpermechanik eingesetzt. Die Finite-Elemente- Methode (FEM) hat sich in vielen Bereichen des Ingenieurwesens als universelles und leistungsf'dhiges Werkzeug des modernen Konstrukteurs und Berechnungsingenieurs eta- bliert. Es stehen zahlreiche Softwarepakete zur Verffigung, die mittlerweile neben Stan- dardaufgaben der Strukturmechanik auch bruchmechanische Optionen anbieten. Aller- dings erfordert die Beha~dlung yon Rissproblemen spezielle theoretische Vorkenntnisse und numerische Algorithmen, die bisher nicht im notwendigen Umfa~g in die ingenieur- technische Ausbildung und Praxis eingeflossen sind, sondern meistens >>bruchmechaai- schen Spezialisten~ vorbehalten blieben.

Das Anliegen der vorliegenden Monografie besteht darin, diese Lficke zu schliegen. In der Einfiihrung werden die wesentlichen theoretischen Grundlagen der Bruchmechaaik vorgestellt, deren KenngrSf~en mit der FEM zu bestimmen sind. Der Schwerpunkt der Ausfiihrungen behandelt die speziellen numerischen Techniken zur Analyse von ebenen und rs Rissproblemen in elastischen und plastischen Werkstoffen unter allen technisch relevanten Belastungen. Abschliet~end werden fiir jedes Gebiet Berechnungsbei- spiele zur LSsung praktischer Aufgaben gegeben.

Das Lehrbuch wendet sich an Studenten ingenieurwissenschaftlicher Studieng~inge im hSheren Semester, vor allem des Maschinenbaus, Bauingenieurwesens, Fahrzeugbaus, den Werkstoffwissenschaften, der Luft- und Raumfahrt oder Computational Engineering. Es soll Absolventen und Doktoranden dieser Fachrichtungen eine Einfiihrung in das Spezial- gebiet geben und bei eigenen Forschungsaxbeiten unterstfitzen. Daxiiber hinaus sehe ich

VI

als Zielgruppe Ingenieure in den Konstruktions- und Berechnungsabteilungen vieler Indus- triezweige und in den technischen AufsichtsbehSrden, die mit Fragen der Auslegung, Be- wertung und l]berwachung von Festigkeit und Lebensdauer technischer Konstruktionen konfrontiert sind. Gleichzeitig soll das Lehrbuch Materialwissenschaftlern und Werkstoff- technikern eine Briicke zur theoretischen Bruchmechanik bauen, um numerische Tech- niken f/Jr die MaterialmodeUierung zu nutzen oder die Werkstoff- und Bauteilpr/ifung durch rechnerische Analysen zu begleiten.

Fiir das Verst~iadnis des Buches werden vom Leser Grundkenntnisse in der Festig- keitslehre, Kontinuumsmechanik, Materialtheorie und Finite-Elemente-Methode voraus- gesetzt. Im Anhang sind die wesentlichen Grundlagen der Festigkeitslehre nochmals zu- sam_mengestellt.

An der Entstehung des Buches waren viele Personen beteiligt. Ein groges DankeschSn gebiihrt Frau M. Beer fiir die Anfertigung der vielen exzellenten Zeichnungen. Die zahlrei- chen numerischen Beispiele stammen u. a. aus gemeinsamen Arbeiten mit friiheren und jetzigen Mitarbeitern meines Lehrstuhls, wofiir ich reich besonders bei Dr. M. Abendroth, Dr. M. Enderlein, Dr. E. Kullig, Th. Leibelt, Ch. Ludwig, Dr. U. Miihlich, F. Rabold, Dr. B. N. Rao, Dr. A. Ricoeur, Dr. A. Rusakov und L. Sommer bedanken mSchte. Bildmate- rial fiir erg~nzende Beispiele haben mir dankenswerterweise Dr. M. Fhlland (Universit~t Paderborn) und Dr. I. Scheider (GKSS Geesthacht) iiberlassen. Ebenso konnte ich bei den praktischen Anwendungsf~illen auf Forschungsergebnisse zuriickgreifen, die in lang- j~hriger fruchtbarer Kooperation mit den Kollegen Prof. G. Pusch und Dr. P. Hiibner (IWT TU Bergakademie Freiberg) entstanden sind. Herr Prof. Pusch hat freundlicherwei- se auch die fraktografischen Aufnahmen zur Verffigung gestellt. Mein aus Dank gilt Herrn Prof. W. Brocks (GKSS Geesthacht) fiir die Durchsicht des Manuskrip- tes und konstruktive Hinweise zur wissenschaftlichen Darstellung der Thematik. Durch sorgf~iltiges Korrekturlesen des Manuskriptes haben mich Th. Linse, Ch. Ludwig, Dr. M. Enderlein und L. Zybell unterstiitzt.

Sehr herzlich mSchte ich mich bei meiner Frau, Christine Kuna, ffir das gro~e Ver- st~ialdnis und ihre unendliche Geduld bedanken.

Nicht zuletzt gilt meine Anerkennung dem Vieweg+Teubner Verlag fiir die gute Zu- sammenarbeit.

Freiberg, im Mai 2008 Meinhard Kuna

Inha l t sverze ichn i s

G l o s s a r i

E i n l e i t u n g 7

1.1 Bruchvorg~ inge in N a t u r ~ n d T e c h n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Die B r u c h m e c h a n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. 3 B e r e c h n u n g s m e t h o d e n fiir R i s se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

E i n t e i l u n g d e r B r u c h v o r g ' d n g e 1 7

2.1 M a k r o s k o p i s c h e E r s c h e i n u n g s f o r m e n des B r u c h s . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 M i k r o s k o p i s c h e E r s c h e i n u n g s f o r m e n des B r u c h s . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. 3 K l a s s i f i k a t i o n de r B r u c h v o r g ~ g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

G r u n d l a g e n der B r u c h m e c h a n i k 2 5 3.1 M o d e l l a n n a h m e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2 L i n e a r ~ e l a s t i s c h e B r u c h m e c h a n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Z w e i d i m e n s i o n a l e l ~ i s s p r o b l e m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 E i g c n f u n k t i o n e n des R i s s p r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~4

3.2.3 D r e i d i m e n s i o n a l e R i s s p r o b l e m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.4 S p a n n u n g s i n t e n s i t / i t s f a k t o r e n - - K - K o n z e p t . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.5 E n e r g i e b i l a r z be i R i s s a u s b r e i t u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.6 D a s J - I n t e g r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.2.7 R i s se in a n i s o t r o p e n e l a s t i s c h e n K 6 r p e r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2.8 G r e n z f l / i c h e n r i s s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.9 R i s se in P l a t t e n u n d S c h a l e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. lO B r u c h m e c h a n i s c h e G e w i c h t s f u n k t i o n e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~8

3.2.11 T h e r m i s c h e u n d e l e k t r i s c h e F e l d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3 E l a s t i s c h - p l a s t i s c h e B r u c h m e c h a n i k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3-3.1 E i n f / i h r u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.2 K l e i n e p l a s t i s c h e Z o n e n a m Rk, s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3-3.3 D a s DUGDALE-Mode l l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3.4 R i s s S f f n u n g s v e r s c h i e b u n g C T O D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9o

3.3.5 F a i l u r e A s s e s s m e n t D i a g r a m m F A D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3.6 R i s s s p i t z e n f e l d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c~ 4

3.3.7 D a s J - I n t e g r a l - K c n z e p t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l c 4

3.3.8 D r k t i l e R i s s a u s b r e i t u n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lC9

3.4 E r m f i d u n g s r i s s w a c h s t u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.1 B e l a s t u n g m i t k o n s t a n t e r A m p l i t u d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.4.2 B e a n s p r u c h u n g s s i t u a t i o n e n a n d e r R i s s s p i t z e . . . . . . . . . . . . . . . 121

3-4.3 B e l a s t u n g m i t v a r i a b l e r A m p l i t u d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1~4

viii Inhaltsverzeichnis

3.4.4 Bruchkri ter ien bei Mixed-Mode-Beanspruchung . . . . . . . . . . . . . . 3-4.5 Ermiidungsr issausbrei tung bei Mixed-Mode-Beanspruchung . . . . . . . 3-4.6 Vorhersage des Risspfades und seiner Stabilit~it . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Dynamische Bruchvorg~inge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5.1

3.5.2

3-5.3 3-5.4

3-5.5 3-5.6

Einffihrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ela~todynamischc Grundglc ichungcn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stat ion~re Risse bei dynamischer Belastung . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamischc Rissausbrci tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Energiebilanz und J- In tegra le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bruchkri ter ien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

127

131

133 135 135 136

137 139 144 146

4 M e t h o d e d e r F i n i t e n E l e m e n t e 149 4.1 Ri~umliche und zeitliche Diskretisierung der Randwer taufgabe . . . . . . . . 149 4.2 Encrgicprinzipicn dcr Kont inuumsmcchan ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.2.1 Variation der VerschiebungsgrSgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.2.2 Variat ion der KraftgrSs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2. 3 Gemischte und hybride Variat ionsprinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4-2.4 Pr inzip Yon HAMILTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.3 Grundgle ichungen der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4-3.1 Aufbau der Steifigkeitsbeziehungen ffir ein Element . . . . . . . . . . . . 162 4.3.2 Assemblierung und LSsung des Gesamtsys tems . . . . . . . . . . . . . . 164

4.4 Numerische Realisierung der FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4-4.1 Wahl der Verschiebungsans~itze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 4.4.2 Isoparametrische Elementfamilie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4-4.3 Numerische Integrat ion der Elementmat r izen . . . . . . . . . . . . . . . 17o 4-4.4 Numcrischc In tcrpola t ion dcr Ergcbnissc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

4.5 FEM fiir nichtl ineare Randwer taufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.5.1 Grundgle ichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.5.2 Materielle Nicht l ineari tgten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4-5.3 Geometrische Nichtlinearit~iten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

4.6 Explizitc FEM fiir dynamischc Problcmc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 4.7 Arbei tsschri t te bei der F E M - A n a l y s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4.7.1 PRE-Prozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4.7.2 FEM-Proze,~sor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 4-7.3 POST-Prozessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

5 F E M - T e c h n i k e n z u r R i s s a n a l y s e in l i n e a r - e l a s t i s c h e n S t r u k t u r e n 187 5.1 Auswer tung der numerischen LSsung an der Rissspitze . . . . . . . . . . . . 187 5.2 Spezielle finite Elemente an der Ri~c~spitze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.1 Entwicklung von Rissspitzenelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.2.2 Modifizicrtc isopara~nctrischc Vcrschicbmlgsclcmcntc . . . . . . . . . . . 192 5.2.3 Berechnung der Intensit~itsfaktoren aus Vier te lpunkte lementen . . . . . 2ol

5.3 Hybride Rissspitzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2o5 5.3.1 Entwickhmg hybrider Rissspitzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 5.3.2 2D Rissspitzenelemente nach dem gemischten hybriden Modell . . . . . 207

Inhaltsverzeichnis Ix

5.3.3 5.4 Die

5.4.1

5.4.2 5.5 Die

5.5.1 5.5.2

5-5.3 5.5.4

3D Rissspitzenelemente nach dem hybriden SpannungsmodeU . . . . . . 211

Methode der globalen Energiefreisetzungsrate . . . . . . . . . . . . . . . 217 Umsetzung im Rahmen der F E M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Die Methode der vir tuel len Rissausbrei tung . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Methode des Rissschliei~integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Grundgle ichungen der lokalen Energiemethode . . . . . . . . . . . . . . 220

Numerische Realisierung mit FEM 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Numerische Realisierung mit FEM 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Beriicksichtigung von Rissufer-, Volumen- und thermischen Belas tungen 232

5.6 FEM-Berechnung des J-Linienintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.7 FEM-Berechnung bruchmechanischer Gewichtsfunkt ionen . . . . . . . . . . 236

5.7.1 Einfache E rmi t t l ung mit Einheitskr/ if ten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5.7.2 Bes t immung parametr is ier ter Einf lussfunkt ionen . . . . . . . . . . . . . 238

5.7.3 Berechnung aus der Verschiebungsablei tung . . . . . . . . . . . . . . . . 240

5.7.4 Anwendung der J -VCE-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.7.5 Berechnung mit der BUECKNE~t-Singularit~it . . . . . . . . . . . . . . . 244

5.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 5.8.1 Scheibe mit Innenriss unter Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

5.8.2 Halbelliptischer Oberfl/ichenriss unter Zug . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Numerische Berechnung verallgemeinerter Energiebilanzintegrale 253 6.1 Verallgemeinerte Energiebilanzintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.2 Erweiterung auf allgemeinere Belas tungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.2.1 Voraussetzungen der Wegunabhgngigkei t . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.2.2 Rissufer-, Volumen- und thermische Lasten . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.3 Dreidimensionale Versionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26o

6.3.1 Das 3D-ScheibenintegTal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26o 6.3.2 Virtuelle R, issausbrei tung 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.4 Numerische Berechnung als / iquivalentes Gebiets integral . . . . . . . . . . . 264

6.4.1 Umwand lung in ein iiquivalentes Gebiets integral 2D . . . . . . . . . . . 264 6.4.2 Umwand lung in ein ~iquivalentes Gebiets integral 3D . . . . . . . . . . . 267

6.4.3 Numerische Realisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 6.5 Beriicksichtigung dynamischer Vorg~nge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 6.6 Erweiterung auf inhomogene S t ruk tu ren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

6.7 Behandlung von Mixed-Mode-Rissproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 6.7.1 Aufspal tung in RissSffnungsarten I und II . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.7.2 Int eract ion-Int egral-Technik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 6.8 Berechnung der T -Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.9 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.9.1 Innenriss un te r Rissuferbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 6.9.2 Kantenr iss unter Thermoschock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

6.9.3 Dynamisch belasteter Innenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 6.9.4 Riss im Gradientenwerkstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.1o Zusammenfassende Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 9

x Inhaltsverzeichnis

7 F E M - T e c h n i k e n z u r R i s s a n a l y s e in e l a s t i s c h - p l a s t i s c h e n S t r u k t u r e n 291 7.z Elast isch-plast ische Rissspi tzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

7.2 Auswer tung der RissSffnungsverschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

7.3 Berechnung des J - In tegra ls und ecine Bedeu tung . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.3.1 Elast isch-plast ische Erwei terungen von J . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

7.3.2 Anwendung auf rul~ende Riese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3oo

7.3.3 Anwendung auf bewegte Riese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ol

7.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3o3

7.4.1 Kompak t -Zug-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.4.2 P la t tenzugversuche mit Oberfl~chenriss . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~o7

8 N u m e r i s c h e S i m u l a t i o n des R i s s w a c h s t u m s 311

8.z Technik der Kno ten t rennung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

8.2 Techniken der Elementmodif ika t ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.2.1 Element te i lung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.2.2 Elementausfal l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

8.2. 3 Anpassung der Elementsteif igkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

8.3 Mi tbewegte Rissspi tzenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

8.4 Adapt ive Vernetzungsst ra tegien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.4.1 Fehlergesteuer te adapt ive Vernetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.4.2 Simulat ion der Pdssausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

8.5 Kch~sivzonenmodel le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521

8.5.1 Werkstoffmechanische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~21

8.5.2 Numerische Umset2ung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

8.6 Sch~l igungsmechanische Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529

8.7 Beispiele ffir Ermiidungsr isswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~31

8.7.1 Quel kraftbiege!crobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~31

8.7.2 ICE-Radre i fenbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~33

8.8 Beispiele ffir dukti les Risswachstum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~35

8.8.1 Kohs fiir die C T - P r o b e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~35

8.8.2 Sch~digungsmechanik ffir die SENB-Probe . . . . . . . . . . . . . . . . fi38

9 A n w e n d u n g s b e l s p i e l e 343 9.1 Lebensdauerbewer tung eincs Eisenbahnrades bei Ermfidungsr isswachstum . 343

9.1.1 Bruchmecbanische und konventionelle Kennwerte von ADI . . . . . . . ~43

9.1.2 F in i te -Elemente-Berechnungen des Radcs . . . . . . . . . . . . . . . . . ~44

9.1.3 Fest legung der Risspostula te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~47

9.1.4 Bruchmecbanische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~48

9.2 SprSdbruchbeweztung eines Beh~ilters unter Stogbelas tung . . . . . . . . . . 354

9.2.1 F E M - M o d e l l des Fallversuches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

9.2.2 Bruchmecbanische Ergebnisse der Simulat ion . . . . . . . . . . . . . . . 356

9.2.3 Anwendung der S tbmode l l t echn ik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357

9.3 Z~ihbruchbewertung von Schweii~verbindungen in Gasrohr le i tungen . . . . . 359

9.3.1 Einle] tung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 9.3.2 Bruchmecbanisches Bewertungskonzept FAD . . . . . . . . . . . . . . . ~59

Inhaltsverzeichnis ~I

9.3.3 Bautei lversuch an ciner Rohr le i tung mi t Schweignahtrissen . . . . . . . 363

9-3.4 FEM-Ana lyse des Bautei lversuchs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

Anhang 371

A G r u n d l a g e n d e r F e s t i g k e i t s l e h r e 373

A.1 Mathemat i sche Daxstel lung und Nota t ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

n.2 Verformungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

A.2.1 Kinemat ik der Verformungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 A.2.2 Deformat ionsgradient und Verzerrungstensoren . . . . . . . . . . . . . . 375

n.2. 3 Deformationsgeschwindigkeit en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378

t .2 . 4 LineaxisieIung fiir kleine Deformat ionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

A. 3 Spannungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 A.3.1 Spannungsvektor und Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

A.3.2 Spannungen in der Ausgangskonfigurat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

t .3 . 3 Hauptachsen t ransformat ion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

t .3 . 4 Gleichgewichtsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

A.4 Mater ia lgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 A.4.1 Elastfsche Mater ia lgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391

A.4.2 Elast isch-plast ische Mater ia lgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

n. 5 Randwer taufgaben der Festigkeitslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41o

A.5.1 Definit ion der Randwer taufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41o A.5.2 Ebcne Randwer taufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

A.5. 3 Metl~ode der komplexen Spannungsfunkt ionen . . . . . . . . . . . . . . 415

n.5. 4 Der nichtebene Schubspaxmungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

t .5 . 5 P l a t t en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

L i t e r a t u r v e r z e i c h n l s 421

S t i c h w o r t v e r z e i c h n i s 441

Glossar

Symbo le eP Ver fest igungskoeffizient e, ~i"

acf plastischer Constraint-Faktor sD , ~D Ot d Dilatationswellenverhgltnis 6 e, ~iej a l j anisotrope elastische Konstanten ep, ~P. zJ ~t linearer thermischer Ausdehnungskoeffi- et, ~tj

zient ~ t (~j Tensor der therinischen Ausdehnungsko- ee

effizienten ep ~s Scherwellenver h/ilt his e . ~W Biaxialparameter ~ij thermische Spannungskoeffizienten ill, fil B interne hybride Ansatzkoeffizienten ~/ F Integrationsweg ~/ F +, F - oberes, unteres Rissufer ~/(Xl) Fe Integrationsweg Rissspitze ~l(a/w)

Gleitung ~/e Materialkonstante

~' spezifische Oberfl/ichenenergie 0 "~ Hauptgleitungen Oc

11 "/II 0d "~III 11 0s ~'d Radienverhiiltnis Dilatation "/D dynainische Oberfl~ichenenergie ~s Radienverh/iltnis Schub ~'t Riss6ffnungswinkel Aa Spannungsschwingbreite A K zyklischer Spannungsintensit~tsfaktor zi AKeff effektive zyklische Spannungsintensitiit AKth Schwellenwert Ermiidung ~.

Variationssymbol 5 Separation (Koh/isivzonenmo dell) )t 5c Dekoh/isionsl/inge 5n Separation (normal) # 5s Separation (transversal) # 1/ 5t Separation (tangential) ~, ~i 5t Riss6ffnungsverschiebung CTOD ~ , ~ ~T Separation Scherung total / / c

= [[~ Separationsvektor (Koh/isivmodell) HCH e Dielektrizit/itskonst ante //GH e Bimaterialkonstante I~MH * eij k P e r m u t a t i o n s t e n s o r LEVI- CEVITA e0 Referenzdehnung (~ aF/E) IIv gI Hauptdehnungen //PH s It

gIII I~ / JR //ext

gH Kugeltensor der Verzerrungen /~int ev p plastische Vergleichsdehnung //ext

plastische Mat rix-Vergleichsdehnung Verzerrungstensor Verzerrungsdeviator elastische Verzerrungen plastische Verzerrungen thermische Verzerrungen Verzerrungsinatrix elastische Verzerrungsmatrix plastisehe Verzerrungsmatrix Anfangsdehnungen koinplexe Variable Verh~ltniszahl Schub/Zug (Koh~isivIno- dell) Fehlerindikator FEM global Gradientenfunktion Geometriefunktion Jp-Integral Fehlerindikator Eleinent e EULER-ALMANSI Verzerrungstensor Polarkoordinate, Winkel Rissausbreit ungswinkel Winkel bei Dilatationswellen Winkel bei Scherwellen WKrmeiibergangszahl elastische Konstante Knotendistorsionsparameter Rissspitzenposition dynamischer 0berh6hungsfaktor plastischer LAGRANGEscher Multiplika- tor Exponent der komplexen Spannungs- funktion LAMEsche Elastizit/itskonstante Schubmodul Schubaufnahmefaktor Querkontraktionszahl natfirliche Elementkoordinaten Koordinaten Integrationspunkte Prinzip der Komplement/irenergie hybrides Spannungsprinzip hybrides gemischtes Prinzip vereinfachtes hybrides gemischtes Prin- zip Prinzip der potenziellen Energie hybrides Verschiebungsprinzip H ELLINGER- REISSNER-Prinzip Potenzial iiugerer Lasten inneres mechanisches Potenzial komplement/i.res/iugeres Potenzial

2 Glossar

/llnt komplement~ires inneres Potenzial p Kerbradius p Dichte (Momentankonfiguration) P0 Dichte (Ausgangskonfiguration) a Normalspannung (Koh~isivzonenmo dell) ~rc Kohiisionsfestigkeit Zug ~o Referenzspannung (~ ~F) aF Fliegspannung ~rF 0 Anfangsfliegspannung o -H Kugeltensor der Spannungen cq Hauptnormalspannungen

ii o ' i i

II f f I I I ~c kritische Spannungen ~r M Matrixfliegspannung amax Oberspannung O'mi n Unterspannung ~n Nennspannung Zug av v. MISES Vergleichsspannung or, ~ij CAvcHvscher Spannungstensor er D, a ~ Spannungsdeviator

CAucHY-Spannungsmatrix ~- Schubspannung Tc Koh~isionsfestigkeit Schub ~-t Schubspannung tangential ~'s Schubspannung transversal TF Schubfliegspannung TFo Anfangsschubfliegspannung ~i Hauptschubspannungen TII

II TIII

~'ij Schubspannungskomponenten T n Nennspannung Schub q5 Fliegbedingung, Dissipationsfunktion

elektrisches Potenzial Winkelkoordinate bei elliptischen Rissen Skalares WeUenpotenzial

r komplexe Spannungsfunktion X(Z) komplexe Spannungsfunktion X PdssSffnungsfunktion r Phasenwinkel Ce elastisches Potenzial ~b, r vektorielles WeUenpotenzial C2(z) komplexe Spannungsfunktion C2 Integrationsgebiet J-Integral

Integrationsgebiet J-Integral w Sch~idigungsvariable

Ob erfl~ichenladungsdicht e

A A komplexer Spannungskoeffizient A Rissfliiche A Oberfl~iche (Ausgangskonfiguration) AI Faktoren Energiefreiset zungsr at e AII "

AII I Aa Spannungskoeffiezient

A B

As A(*) a

a

a

d 5 a 0

a c

aeff ai ath a, ai

B B B BI B B

fi b bi bw b, bran

b, bi

C C C C G,

C C e c e p

c~a C, Cijm C

Cd C~ CR cs Cv

D 2) D D(a) D, D i D dp dA dS

Bruchprozesszone Koeffizienten Eigenfunktionen Zuordnungsmatrix (Inzidenzmatrix) Oberfl~iche (Momentankonfiguration) Rissl~inge Halbachse yon elliptischen Rissen l~issgeschwindigkeit Rissbeschleunigung Anfangsrissl~inge kritische Rissl~inge effektive Rissl~nge Koeffizienten Eigenfunktionen Rissl~inge aus Schwellenwert Beschleunigungsvekt or

Probendicke komplexer Spannungskoeffizient B UECKNER-Singularitiit Verzerrungs-Verschiebungs-Mat rix nichtlineare Verzerrungs- Verschiebungsmatrix hybride Elementmatrix Ligamentl~nge Koeffizienten Eigenfunktionen Biaxialparameter linker CAUCHY-GREEN Deformations- Tensor Volumenkraftvektor

geschlossener Integrationspfad komplexer Spannungskoeffizient PARIS-Koeffizient

CMN rechter CAUCHY-GREEN Deformations- tensor Matrix Materialtensor Elastizits elastisch-plastische Materialmatrix Elastizitiitsmatrix Elastizitiitstensor 4. Stufe Halbachse yon elliptischen PAssen Dilat at ionswellengeschwindigkeit Koeffizienten Eigenfunktionen RAYL EIoH-Wellengeschwindigkeit Scherwellengeschwindigkeit spezifische W~ixmekapazit~it

Dissipationsenergie Plattensteifigkeit RAYLEIGH-Funktion elektrische Flussdichte Differenziat ionsmat rix Ausdehnung der plastischen Zone Fl~ichenelement Oberfl~ichenelement

dV Volumeuelement ds Linienelement d, dij Deformationsgeschwindigkeitstensor

E E Elastizit~itsmodul E(k) elliptisches Integral 2. Art E, EMN GREEN-LANGRANGE Verzerrungstensor F,, Ei elektrische Feldst~rke E GREEN-LAGRANGE Verzerrungsmatrix ei Basisvektoren e EuLzRsche Zahl e ~ 2,718

F F F(~) FL

F, FroM F .T f f* fo f~ /s fN

Einzelkraft AiRYsehe Spannungsfunktion plastische Grenzlast (Traglast)

Eigenfunktionen I Deformationsgradient

Systemlastvektor Flussintegral Porenvolumenanteil modifizierter Porenvolumenanteil Anfangs- Porenvolumenant ell kritischer Porenvoumenanteil Porenvolumenanteil bei Versagen Porenkeimdichte Nukleation Winkelfunktionen Rissspitzenfeld (L = I, II, III) Elementlastvektor

G G G GI

GH GIII G~ Gdyn al, a l 1

G g(a,~)

g, gi

Schubmodul Energiefreisetzungsrate Energiefreisetzungsrate ffir PAssmodus I, II, III

11 tl

kritische Energiefreisetzungsrate dynamische Energiefreisetzungsrate bruchmechanische Gewichtsfunktionen

Eigenfunktionen Modus II hybride Elementmatrix Geometriefunktion fiir K-Faktoren Winkelfunktionen PAssspitzenfeld (L ---- I, II, III) Temperaturgradient

H H H(T) Ha

H~

H

H5he Risselement HEAvISID~-Sprungfunktion Ver festigungsfunktion bruchmechanische Gewichtsfunktionen Im~iN-Matrix Anisotropie

Eigenfunktionen Modus III hybride Elementmatrix

H Matrix Ver festigungsfunktion Matrix Verschiebungsgradient

h Dicke (Platten, Scheiben) h Mehrachsigkeitszahl ha Ver fest igungsvariable h, hi W~meflussvektor h Matrix Ver fest igungsvariable

I I1 A, I A, I A Invariante des Tensors A I , 5ij KRONECKER-Symbol, Einheitstensor Ip, Ipi Impulsvektor i = ~ imagin~e Einheit

J* jdyn

J J~c JR(ha) Je gp J, gk J, Jk j t e , j~e

J

J-Integral Determinante des Deformationsgradien- ten det IFI dynamisches J-Integral (ruhender PAss) dynamisches J-Integral (bewegter PAss) 3 D Scheibenintegral kritischer Werkstoffkennwert PAsswiderstandskurve (EPBM) elastischer J-Anteil plastischer J-Anteil J-Integralvektor elastiseh-plastisches J-Integral thermoelastisches J-Integral JncosIsche Funktionalmatrix

K kinetische Energie

K Kompressionsmodul KD Intensit~tsfaktor der dielektrischen Ver-

schiebung K~ S pannungsint ensit~it s fakt oren g l i g i i i K d dynamischer Spannungsintensitgtsfaktor Kic, Kiic statische Bruchz~ihigkeit KID dynamische Bruchz~higkeit (bewegter

PAss) K i d dynamische Bruchz~ihigkeit (ruhender

PAss) KIa PAssarrestz~ihigkeit Kma~ Maximum der Spannungsintensitgt Kmin Minimum der Spannungsintensitgt Kop PAssSffuungsint ensit~it s fakt or Kv Vergleichs-Spannungsint ensit s sfaktor K1, K2 Spannungsintensit~itsfaktoren Grenzflg-

chenriss komplexer Spannungsint ensit iit s fakt or

K Systemsteifigkeitsmatrix k Probensteifigkeit k W~rmeleitkoeffizient kl, k2 Spannungsintensit~itsfaktoren bei Plat-

ten

4 Glossar

k

L L L(~, a, t) L!N L ~a l, lij dL

dl

Alk

M

fr~

m

N N NK Na ((i) NB

if'^ N , N~j N n D

n E

nG n H

~Z K

n L n f

~rg~ T~ i

P P P P , Pk P , PMn P

p(=) P, Pi

Q Q Q Q Q, Qq q q

Element-Steifigkeitsmatrix

L~inge Risselement LAGRANGE-Funkt ion

Eigenfunktionen Modus III hybride Verschiebungsmatrix Geschwindigkeit sgradient Linienelement liizage (Ausgangskonfigura- tion) Linienelement lgnge (Momentankonfigu- ration) virtuelle Verrfickung der Rissfront

Eigenfunktionen Modus I Systemmassenmatrix PARis-Exponent Biegemomente (Plattentheorie) Elementmassenmatrix

q(xl) Rissuferlasten ql, q2, q3 Parameter GURSOs-Modell qi Querkrgfte (Plattentheorie) qk Wichtungsfunktion 3D

R R R(6p) R(A~) R, RnM R R r

rB rF r j rK rp rd rs r~ Ti j

S Zahl der Lastzyklen S Zahl aller Knoten des FEM-Systems Formfunktionen S(0) Lastzyklen bis zum Bruch S +, S - Eigenfunktionen Modus II S~

Normalenrichtung im Spannungsraum Send Matrix der Formfunktionen St Zahl der Dimensionen Su Zahl der finiten Elemente S, Sk Zahl der GAvss-Punkte S, Sijkz Zahl der Verfestigungsvariablen S Zahl der Knoten je Element s Zahl der Einzelkr~fte s, sk Zahl der Starrk6rperfreiheitsgrade Normalenvektor T

T Tq

globaler Lastparameter T~ Pdssuferkr~fte T, TMN generalisierte Konfigurationskraft T 1. PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor t, t i hybride Spannungsmatrix t, ti Rissuferlasten Flgchenlast (Plattentheorie) t materieller Volumenkraftvektor

~c ~c

SpannungsverhKlt nis Kmin/Kma x isotrope Ver festigungsvariable Risswiderstandskurve (LEBM) Rotationstensor

hybride lZandspannungsmatrix Residuenvektor Polarkoordinate, Radius GrSge der Bruchprozesszone Radius plastische Zone Giiltigkeitsradius J-Feld Gfiltigkeitsradius K-Feld GrSge der plastischen Zone Radius bei Dilatationswellen Radius bei Scherwellen Drehtransformationsmatrix

Oberfl~iche Interelementrand Energiedichtefaktor obere, untere Pdssflgche Oberfl~che Rissschlauch Stirnfl~ichen Teilrand mit gegebenen Teilrand mit gegebenen Schnittkraft (Ausgangskonfiguration) elastischer Nachgiebigkeit stensor Nachgiebigkeit smat rix Bogenl~nge Schnittkraft ( Moment ankonfiguration)

thermische Energie U Constraint-Faktor (EPBM) U Pdssuferkrgfte U Energie-Impuls-Tensor Verschiebung des Kraftangriffspunktes Wichtungsfunktion 2D

Temperaturfeld Spannungskomponenten 2. Ordnung verallgemeinertes Energieintegral 2. PIOLA-KIRCHHOFF Spannungstensor 2.PIOLA-KIFtCHHOFF Spannungsmatrix Schnittspannungsvektor Randspannungsvektor Randspannungsmatrix Randspannungsvektor (Koh~isivzonenmo- dell) Rissuferspannungen

For m~inderungsenergiedichte RissSffnungsfaktor komplementgre Form~nderungsenergie- dichte spezifische Form~nderungsarbeit

U e elastische For m~inder ungsenergiedicht e U p plastische Form~nderungsarbeit ~te thermoelastische Formiinderungsenergie-

dichte U, UMN rechter Strecktensor

U

V V V V, V . ~ V v

V

W ]/~ext

. ~ n t ]/~ext

Wint Wc WB ?M

~(~) ~ g

X X , XM X , X~j ~ Xln X

Z z

Verschiebungsvektor Elementrandverschiebung Randverschiebungsvekt or Verschiebungsmatrix

KerbSffnungsverschiebung COD Volumen (Ausgangskonfiguration) linker Strecktensor Systemknotenverschiebungen Volumen (Momentankonfiguration) Geschwindigkeit svekt or Knotenverschiebungsvektor

Eugere mechanisehe Arbeit innere mechanische Arbeit komplement~re Eugere Arbeit komplementiire innere Arbeit Arbeit zur Pdss6ffnung Arbeit Bruchprozesszone Probenbreite Durchbiegung (Plattentheorie) Cewichte Integrationsregel Drehgeschwindigkeit st ensor

Koordinaten (materiell) kinematische Ver lest igangsvariable Koordinaten (r~umlich) Elementkoordinatenmatrix Knotenkoordinatenmatrix

komplexe Variable

z allgemeine FEM Ergebnisgr6i~e

A b k l l r z u n g e n ASTM ARWA CTE CTOA CTOD DIM

EDI

EPBM ESZ EVZ ESIS FAD FEM LEBM LSY MCCI

NES PC QPE

RSE RWA SINTAP

SSY SZH VCE

1D 2D 3D

American Society Testing of Materials Anfangsrandwertaufgabe Crack Tip Element (Rissspitzenelement) Crack Tip Opening Angle Crack Tip Opening Displacement Displacement Interpretation Method (Verschiebungs-Auswertemethode) Equivalent Domain Integral (~luivalen- tes Gebietsintegral) elastisch-plastische Bruchmechanik ebener Spannungszustand ebener Verzerrungszustand European Structural Integrity Society Failure Assessment Diagram Finite Elemente Methode linear-elastische Bruchmechanik Large Scale Yielding Modified Crack Closure Integral (modifi- ziertes Rissschliegintegral) nichtebener Schubspannungszust and Plastic Collapse Quarter-Point Elements (Viertelpunkt- elemente) regul~ire Standardelemente Randwertaufgabe Structural Integrity Assessment Proce-

dure Small Scale Yielding Stretched Zone Height Virtual Crack Extension (Virtuelle Riss- ausbreitung) eindimensional zweidimensional dreidimensional