Messunsicherheitsbestimmung nach GUM€¦ · Das GUM Regelwerk geht von folgenden Annahmen aus: Der...

Messunsicherheitsbestimmungnach GUM

Monte-Carlo Simulation nach GUM-S1

Wolfgang Schmid

10. Vorlesung – Teil 213. Januar 2020Skript Version 10.01.2020

Messdatenauswertung und Messunsicherheit (MDA)TU-Braunschweig

WS 2019/2020

Modulverantwortlicher: Prof. Dr.-Ing. R. Tutsch, iprom, TU Braunschweig

In dieser Vorlesung werden wir eine Methode zur Messunsicherheitsabschätzung basierend auf der Fortpflanzung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit einem Monte-Carlo Verfahren kennenlernen, wie sie im GUM Supplement 1 (GUM-S1) beschrieben ist.

1

Messunsicherheitsbestimmung nach GUM-S1 (MCM)Vorl. 10/2, Wolfgang Schmid

Vorlesung MDATU-BS, WS 2019/20202

GUM Regelwerk

Referenz Evaluation of measurement data - …

Inhalt / Verwendung

JCGM 104: 2009

An introduction to the “GUM” and related documents

Allgemeines Konzept zur Bestimmung der Messunsicherheit

JCGM 100:2008

Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM)

Standard-Methode, basierend auf Fortpflanzung von Messunsicherheiten

JCGM 101:2008

Supplement 1 to the GUM –Propagation of distributions using a Monte-Carlo method(GUM-S1)

Allgemeine Methode wenn GUM nicht funktioniert, basierend auf Kombination von Wahrscheinlichkeits-Verteilungen

In dieser Vorlesung verwendet

Das Monte-Carlo Verfahren zur Fortpflanzung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist im GUM Supplement 1 (JCGM 101: 2008) , kurz GUM-S1, beschrieben.

2



Gliederung

1) Kurze Wiederholung: Prinzipien der Messunsicherheitsabschätzung nach GUM

2) Wahrscheinlichkeits-Verteilungen

3) Schritte der Messunsicherheitsabschätzung mit einem Monte-Carlo Verfahren nach GUM-S1

4) Beispiel: Kalibrierung eines Hand-Multimeters

3



2) GUM Prinzipien (Wiederholung)

Grundlegende Konzepte des GUM

• Frequentistischer Ansatz

• GUM geht von der Existenz eines wahren Wertes aus

• Wahrer Wert ist grundsätzlich unbekannt

• Messunsicherheit ist ein Maß dafür, wie gut man den wahren Wert zu kennen glaubt

• Zufällige und (unbekannte) systematische Messabweichungen werden auf gleicher Grundlage bei der Bestimmung der Messunsicherheit berücksichtigt

Introduction to the GUM …

JCGM 104:2009

Wiederholung aus Vorlesung 9:

Das GUM Regelwerk geht von folgenden Annahmen aus:

Der Ansatz des GUM (einschließlich des GUM-S1) basiert auf der frequentistischen Statistik (JCGM

104, vi)

Der GUM geht von der Existenz eines wahren Wertes der (indirekten) Messgröße aus (JCGM 104,

3.8)

Der wahre Wert ist grundsätzlich unbekannt. Eine Messunsicherheit ist ein Maß dafür, wie gut

man den wahren Wert zu kennen glaubt (JCGM 104, 3.8)

GUM beschreibt ein Verfahren, wie zufällige und (unbekannte) systematische Messabweichungen

bei der Bestimmung einer Messunsicherheit auf gleicher Grundlage berücksichtigt werden

können (JCGM 104, 3.7)

Die wahren Werte der Eingangsgrößen sind unbekannt. Die Kenntnis über die Eingangsgrößen ist

über Wahrscheinlichkeitsverteilungen beschrieben (JCGM 104, 3.17)

4

5



Methoden:

a) Klassisches GUM Verfahren

b) Analytische Verfahren

c) Monte Carlo Verfahren

Prinzip der Messunsicherheitsbestimmung

Formulierungs-Phase:

- Messgröße spezifizieren: Y

- Eingangsgrößen identifizieren: Xi

- Modell der Messung formulieren: Y = f(Xi )

- den Eingangsgrößen Xi ihre Streuung zuordnen

Auswertungs-Phase:

Bestimmen von…

- Schätzwert der Messgröße: y

- Standardunsicherheit der Messgröße: u(y)

- Überdeckungsintervall [ymin ; ymax]

(für ein spezifisches Überdeckungsniveau)


Im JCGM 104 („An introduction to the GUM and related documents“) wird die Bestimmung der Messunsicherheit in zwei Phasen aufgeteilt (siehe Kap. 5):

1. Formulierungs-Phase:Beschreibung der Messgröße Y und Identifizierung aller Eingangsgrößen, bzw. direkten Messgrößen Xi (i = 1, …N), sowie das Aufstellen einer Modellgleichung. Die Eingangsgrößen (also die direkten Messgrößen) werden durch Stichproben von Beobachtungen oder durch deren Schätzwert und Streuung quantifiziert. Dies erfordert eine genaue Kenntnis der Messung und des Messsystems.

2. Auswertungsphase:Die vorhandene Information über die Eingangsgrößen wird verwertet um die (indirekte) Messgröße Y sowie deren Streuung, bzw. Messunsicherheit zu bestimmen. Dafür liefert das GUM Regelwerk standardisierte Verfahren:- die klassische Messunsicherheits-Fortpflanzung, ein Näherungsverfahren (GUM)- analytische Verfahren, bei denen die Wahrscheinlichkeits-Verteilung der Messgröße Y mit einer

mathematischen Analyse direkt bestimmt wird; dies ist nur in einfachen Fällen möglich.- ein Monte-Carlo Verfahren zur Kombination der Verteilungen der Eingangsgrößen (GUM-S1)

In der Vorlesung 8 wurden die Schritte des klassischen GUM-Verfahrens ausführlich besprochen.

In dieser Vorlesung werden wir die Implementierung des Monte-Carlo Verfahrens besprechen.

6



Prinzip des Monte Carlo Verfahrens

Fortpflanzung (Kombination) von

Wahrscheinlichkeits-Verteilungen

Eingangsgrößen

y

u(y)

[ymin ; ymax]

2)()( yYEyu

Messgröße und Unsicherheit

[ymin ; ymax ] wird aus p(Y)

bestimmt

p(X1)

p(X2)

p(X3)

Y=f(Xi)

Kombination von Verteilungen

Modell der Messung

p(Y)


Das Monte-Carlo Verfahren wie im GUM-S1 beschrieben, beruht auf der Fortpflanzung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Die Information über die Verteilungen der Eingangs-Größen Xi werden voll berücksichtigt.

Im ersten Schritt wird für jede Eingangs-Größe Xi ein Satz von M Zufallszahlen xi,r (r = 1, … M) gemäß ihrer angenommenen Verteilung erzeugt.

Zu jeder direkten Größe Xi mit i = 1, … N wird jeweils die r-te Zufallszahl xi,r verwendet, um über das mathematische Modell ein yr zu bestimmen. Dies wird für jedes r durchgeführt, so dass wir M Werte für die Größe Y erhalten, also einen Satz von Werten yr mit r = 1, ... M .

Daraus werden der beste Schätzwert für Y und seine Standard-Unsicherheit u(Y) berechnet. Aus seiner empirischen Verteilung von p(Y) können Überdeckungsintervalle zu bestimmten Überdeckungswahrscheinlichkeiten bestimmt werden.

7



Grenzen des klassischen GUM-Verfahrens

Situationen in denen das klassische GUM-Verfahren nicht funktioniert und GUM-S1 angewendet werden sollte:

Linearisierung des mathematischen Modells im Streubereich der Eingangsgrößen ist nicht zufriedenstellend möglich

Messgröße Y ist nicht Gauß-verteilt, z.B. weil …

… eine der Eingangsgrößen die Messunsicherheit dominiert und nicht Gauß-verteilt ist,

… das mathematische Modell nicht linear ist,

… Streuung und absolute Werte in der gleichen Größenordnung liegen (Eingangsgrößen oder Messgröße),

…

Eingangsgrößen Xi folgen einer asymmetrischen Verteilungsfunktion

Sensitivitätskoeffizienten sind schwer zu bestimmen

Die Grenzen des klassischen GUM-Verfahrens wurden bereits in Vorlesung 9 diskutiert.

Ist eine Linearisierung des mathematischen Modells im Streubereich der Eingangsgrößen nicht zufriedenstellend möglich, so wird das klassischen GUM- Näherungsverfahren bereits einen falschen Wert für die kombinierte Standardunsicherheit der Messgröße Y liefern.

Wenn die Messgröße Y nicht Gauß-verteilt ist, z.B. wegen einer dominierenden nicht Gauß-verteilten Eingangsgröße, so liefert das klassische GUM-Verfahren in manchen Fällen zwar noch den richtigen Wert für die kombinierte Standardunsicherheit der Messgröße Y. Eine zuverlässige Bestimmung des Überdeckungsintervalls ist ohne Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y jedoch nicht mehr möglich.

8



Eingangsgrößen:

X stellt einen Vektor von N Eingangsgrößen dar: X = ( X1, X2, … XN )

xi ist der beste Schätzwert der Größe Xi (für i= 1, …, N )

Verteilungsfunktion / Verteilungsdichtefunktion von Xi : P(Xi) / p(Xi)

abweichend von GUM-S1: GX(ξ) / gX(ξ)

Messgröße (Ausgangsgröße):

Mathematisches Modell: Y = f(X)

Verteilungsfunktion / Verteilungsdichtefunktion von Y : P(Y) / p(Y)

abweichend von GUM-S1: GY(η) / gY(η)

u(y) ist die kombinierte Standardunsicherheit (Index „c” ist redundant)

Ziehungen: Index r = 1, …, M (r = „random“)

Nomenklatur (in Anlehnung an GUM-S1)

Die verwendete Nomenklatur in diesem Skript ist dem GUM-S1 angelehnt. Abweichend ist lediglich die Nomenklatur für Verteilungsfunktion und Verteilungsdichtefunktion.

Achtung: das Symbol „p“ kann verschiedene Bedeutungen habenp(X) „kleines p“: Verteilungsdichtefunktion von XP(X) „großes P“: Verteilungsfunktion von Xp als Wert, nicht als Symbol für eine Funktion: Wert für eine Wahrscheinlichkeit

9



� � = Pr (� ≤ �)

Verteilungsfunktion (distribution function):

Funktion, welche für jeden Wert x die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Zufallsgröße X kleiner oder gleich x ist:

� � = Pr (� ≤ �) [GUM-S1, 3.2]

Beachte: � � · � = Pr (� < � ≤ � + �)� � = � � �� ′�

��

Normierung: � � � � = 1��

PDF wird als Abkürzung für Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion verwendet

2) Wahrscheinlichkeits-Verteilungen

� � = �(�) �⁄

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF = probability density function):

Erste Ableitung der Verteilungsfunktion, falls sie existiert:

� � = �(�) �⁄ [GUM-S1, 3.3]

Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Kenngrößen wurden bereits in Vorlesung 5 eingeführt. An dieser Stelle wird das Wichtigste zusammengefasst und in einer Art dargestellt, wie sie im GUM-S1 verwendet werden.

Die Nomenklatur wurde an die bislang in der Vorlesung verwendete Nomenklatur angepasst und weicht vom GUM-S1 ab:

Vorlesung GUM-S1

Verteilungsfunktion � � = Pr(� ≤ �) �� = Pr � ≤ �Wahrscheinlichkeitsdichte � � = �(�) �⁄ �� = ��(�) �⁄

10



Verteilungsfunktion P(x)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

� � = Pr (� ≤ �) � � = �(�) �⁄

Beispiel: Gaußverteilung mit N(0;1)

Hier sind Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) am Beispiel der Gauß-Verteilung gezeigt.

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Überdeckungsintervall (coverage interval)

Intervall, das den wahren Werte einer Messgröße mit einer angegebenen Wahrscheinlichkeit enthält, auf der Grundlage der verfügbaren Information.

[GUM-S1, 3.12]

Anmerkungen: Im allgemeinen gibt es mehr als ein Überdeckungsintervall für eine gegebene Überdeckungswahrscheinlichkeit.

Für Überdeckungswahrscheinlichkeit wird in der frequentistischen Statistik meist der Begriff „Vertrauensniveau“ verwendet.

Wahrscheinlichkeits-Verteilungen

Überdeckungswahrscheinlichkeit (coverage probablility)

Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Werte einer Messgröße in einem spezifizierten Überdeckungsintervall enthalten ist.

[GUM-S1, 3.13]

GUM-S1 verwendet die Begriffe Überdeckungsintervall und Überdeckungswahrscheinlichkeit (und nicht Vertrauensintervall und Vertrauensniveau).

In der Literatur der frequentistischen (klassischen) Statistik wird meistens der Begriff „Vertrauensniveau“ anstelle von "Überdeckungswahrscheinlichkeit" verwendet.

Auch der GUM (JCGM 100) verwendet den Begriff „Vertrauensniveau“.

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Überdeckungswahrscheinlichkeit p = 80 % (symmetrisch)

Verteilungsfunktion P(x)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

PDF p(x)

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

0,1

0,9

p = 0,8

Überdeckungsintervall: -1,2816 < X < 1,2816

Beispiel: Gaußverteilung mit N(0;1)

Aus der Verteilungsfunktion lässt sich ein Überdeckungsintervall für eine gegebene Überdeckungswahrscheinlichkeit leicht bestimmen, wie in der Grafik gezeigt.



Überdeckungswahrscheinlichkeit p = 80 %

0,1

0,9

p = 0,8

Überdeckungsintervall: 0,80 < y < 1,31 y = 0,51

symmetrisch (in den Ausläufern der Verteilung)

Asymmetrische Verteilung

Beispiel ausEURACHEM / CITAC Guide CG-4 “Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement”, E.3.4

� = ��

Klasse

Häu

figk

eit

Bei einer symmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung wird man das Überdeckungsintervall üblicherweise symmetrisch um den Schätzwert (Mittelwert) der Größe Y festlegen.

Bei einer asymmetrischen Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt es verschiedene Möglichkeiten, zum Beispiel:

a) Ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert (hier nicht gezeigt)

b) Ein symmetrisches Intervall um den Maximalwert (hier nicht gezeigt)

c) Ein Intervall welches symmetrisch in den Ausläufern der Verteilung ist (wie oben gezeigt). Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert der Größe Y unterhalb oder oberhalb des Überdeckungsintervalls liegt, ist jeweils gleich groß.

d) Das kürzeste Vertrauensintervall (wie auf der nächsten Folie gezeigt).

Der GUM-S1 gibt keine allgemeine Regel auf welche Art das Überdeckungsintervall dargestellt werden soll.

Anmerkung: Die in der Folie gezeigte Verteilung ist aus dem EURACHEM / CITAC Guide CG-4 “Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement” entnommen (siehe E.3.4):

! = "#�$ , wobei � = 1,00 ± 0,05 , � = 3,00 ± 0,15 , = 2,00 ± 0,10

a, b und c sind jeweils normalverteilt mit der in der Klammer angegebenen Standardverteilung (zweiter Wert).

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Überdeckungsintervall : 0,76 < y < 1,24 y = 0,48

kürzestes Intervall

0,05

0,85

p = 0,8

Überdeckungswahrscheinlichkeit p = 80 %

Klasse

Häu

figk

eit

Asymmetrische Verteilung

Beispiel ausEURACHEM / CITAC Guide CG-4 “Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement”, E.3.4

� = ��

14

15



Signifikanzniveau:

Wahrscheinlichkeit dass ein Wert einer Zufallsgröße X außerhalb eines Überdeckungsintervalls (Vertrauensintervalls) liegt.

+ � � ��,-.

�,/0= 1 � 1

Signifikanzniveau & Quantil

Quantil:

Die obere Integrationsgrenze xp für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit �, für den Fall dass die untere Integrationsgrenze -� ist wird Quantil genannt.

+ � � ��2

��= �

Die Konzepte Quantil und Signifikanzniveau wurden bereits in Vorlesung 4, Kap. 4.2 eingeführt.

Werte der Quantile für bestimmet Wahrscheinlichkeitsverteilungen findet man häufig in Tabellenwerken, oder man berechnet über entsprechende Funktionen in Mathematikprogrammen.

Anschaulich liest es sich so: Werte zu X, die kleiner sind als xp , können mit einer Wahrscheinlichkeit von p auftreten. Diese oberen Integrationsgrenzen xp werden Quantile genannt.



Quantil-Funktion

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

p

Quantil-Funktion

Die Quantil-Funktion ist die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion:

hier am Beispiel einer Gaußverteilung mit N(0;1) gezeigt

Die Quantil-Funktion ist die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion.

16

17



Parameter von Verteilungen

Für eine Zufallsgröße X mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(X) gilt:

3 � = + � · � � ��

��Erwartungswert:

Varianz: 4 � = + � � 3(�) 5 · � � ��

��

Standardabweichung: 6 = 4(�)

Die Bestimmung wichtiger Parameter von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und ihre Interpretation wurde ausführlich in Vorlesung 5, Kap. 5.3 gezeigt.

Für das Monte-Carlo Verfahren benötigen wir im wesentlichen den Erwartungswert und die Varianz, bzw. Standardabweichung.

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Häufig verwendete Verteilungen (1)Quelle:GUM-S1 (Tabelle1)

Eine Übersicht über häufig verwendete Verteilungen findet man im GUM-S1 in Tabelle 1. Im Kapitel 6.4 befinden sich detaillierte Beschreibungen dieser Verteilungen (Funktion, Parameter, Verwendung, …).

Dies soll in dieser Vorlesung jedoch nicht vertieft werden. Verschiedene Verteilungen wurden bereits in vorherigen Vorlesungen näher betrachtet.

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Häufig verwendete Verteilungen (2)Quelle:GUM-S1 (Tabelle1)

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1) Formulierungs-Phase

- Festlegen der Messgröße Y

- Eingangsgrößen X = (X1, X2, … XN )

X1

X2

X3

2) Fortpflanzung 3) Auswertung

Erwartungswert von Y

y = E(Y)

Überdeckungsintervall [ymin , ymax]

welches y mit einer Wahrsch. p enthält

Standard-unsicherheit von Y

)()( YVYu

3) Schritte des MCM-Verfahrens

- PDFs der Eingangsgrößen Xi

p(X1)

p(X2)

p(X3)

Siehe GUM-S1 (5.1.1)

Bestimmung der PDF von Y

p(Y)

- Mathematisches Modell f(X)

Y = f(X)

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1. Wählen eines geeigneten Werts M für die Anzahl der Ziehungen

2. Ziehung der Werte der Eingangsgrößen: xi,r (r = 1, …, M) gemäß ihrer PDFs

3. Berechnung von yr = f(x1,r , … xN,r) für jedes Werte-Tupel xi,r (r = 1,… M)

4. Sortieren der yr nach aufsteigenden Werten y(r)

Man erhält die empirische Verteilungsfunktion � � = !(7), �7 mit �7 = 7�89

:

5. Berechnen von Schätzwert und Standardunsicherheit von Y

M

rryy

Myu

1

2

1

1)(

GUM-S1 (5.9.6)

Fortpflanzung der Verteilungen: Schritte

!; = 1< = !7

:

7>?6. Bestimmung eines Überdeckungsintervalls unter Verwendung von P(Y)

22



Schritt 1:

Anzahl M der Ziehungen

GUM-S1 (7.2)

M sollte möglichst groß sein:

- Je größer M, desto besser wird die Abschätzung von P(Y) sein

- Rechenzeiten steigen, insbesondere für komplexe Modelle

Geeigneter Wert für M hängt von mehreren Faktoren ab:

- Anzahl der Stellen mit denen man die Messunsicherheit angeben möchte

- “Form” der PDF der Messgröße Y

- Überdeckungswahrscheinlichkeit p: kritischer für größere p

pM

1

1104 p 68% 95% 99,7%

M 30 000 200 000 3 000 000

GUM-S1 (7.2.2)

- Faustregel GUM-S1 (7.2.1):M = 106 liefert i.A. ein Überdeckungsintervall für p=95% auf zwei Stellen korrekt

AdaptivesVerfahren:Um den optimalen Wert für M zu finden, wird in GUM-S1 (7.9) beschreiben

Die geeignete Zahl der Ziehungen M hängt stark von der Überdeckungswahrscheinlichkeit p ab, mit der man das Überdeckungsintervall bestimmen möchte. Anschaulich gesprochen benötigt man eine hinreichend große Zahl von Werten in den „Schwänzen“ der Verteilung außerhalb des Überdeckungsintervalls. Mit dem Richtwert < ≥ 10A (1 � �)⁄ den GUM-S1 in Absatz 7.2.2 gibt, kann man erwarten, dass in den beiden Schwänzen sich näherungsweise 104 Werte für Y befinden, d.h. etwa 5000 in jedem einzelnen der Schwänze.

In Absatz 7.9 beschreibt GUM-S1 ein adaptives Verfahren, das darauf beruht die Monte-Carlo Simulation mehrfach nacheinander mit steigender Anzahl von Ziehungen M durchzuführen, solange bis die Ergebnisse (Standardunsicherheit, Überdeckungsintervall) sich „stabilisieren“.

Wenn möglich sollte man selbst überprüfen, ob das gewählte M groß genug ist, indem man die Simulation mehrere Male wiederholt und sich die Reproduzierbarkeit der Ergebnisse (!; , B ! , !CDE , !C"� ) anschaut.

23



Schritt 2:

Ziehung der Werte der Eingangsgrößen

GUM-S1 (7.3)

p(X1)

p(X2)

p(X3)

Ziehen von Zufallszahlen für die Eingangsgrößen Xi

gemäß ihrer PDFs:

Man erzeugt M Vektoren von Werte-Tupeln xi,r (r = 1, …, M)

Im nächsten Schritt wird für jede Eingangs-Größe Xi ein Satz von M Zufallszahlen xi,r (r = 1, … M) gemäß ihrer angenommenen Verteilung erzeugt.

24



Schritt 3:

Auswerten mit dem Modell Y = f(X)

GUM-S1 (7.4)

Jedes Werte-Tupeln für die Eingangsgrößen xi,r (r = 1, …, M)

wird in das Modell Y = f(X) eingesetzt.

Man erhält M Werte für die Messgröße Y: yr = f(x1r , x2r , … xNr )

Zu jeder direkten Größe Xi mit i = 1, … N wird jeweils die r-te Zufallszahl xi,r verwendet, um über das Modell ein yr zu bestimmen. Dies wird für jedes r durchgeführt, so dass wir M Werte für die Größe Y erhalten, also einen Satz von Werten yr mit r = 1, ... M .

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Schritt 4:

Empirische Verteilungsfunktion P(Y)

GUM-S1 (7.5)

y(r) ist jetzt der “r-größte” Wert der M simulierten Werte von Y

Die Wahrscheinlichkeit das Y kleiner ist als y(r) ist (r – ½) / M

1) Sortieren der Werte yr in aufsteigender Reihenfolge: yr y(r)

Pr � ≤ ! 7 = F � ?5

<

2) Erstellen der empirischen Verteilungsfunktion:

� � = !(7) , �7 mit �7 = F � ?5

<

3) Optional: Histogramm erstellen, als Näherung für die PDF p(Y)

Histogramm ist für die Auswertung nicht erforderlich

Allerdings kann es hilfreich sein, um die Form der PDF, insbesondere eine Asymmetrie besser abzuschätzen

Durch Sortieren der in der Simulation erhaltenen Werte für die yi erhält man die empirische Verteilungsfunktion von Y (Details siehe Folie, vergleiche auch Vorlesung 5, Kap. 5.2). Über die Verteilungsfunktion lassen sich Überdeckungsintervalle für gegebene Überdeckungswahrscheinlichkeiten bestimmen.

Optional kann man auch ein Histogramm erstellen, welches einen Näherung für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ist. Für die weitere Auswertung ist das Histogramm nicht erforderlich. Visuell gibt es jedoch eine bessere Vorstellung von der Form der Verteilung, und man kann insbesondere Asymmetrien besser erkennen.

26



Schritt 5:

Schätzwert und Standardunsicherheit

GUM-S1 (7.6)

Schätzwert von Y:

M

rry

My

1

1

M

rryy

Myu

1

2

1

1)(Standardunsicherheit von Y:

Dieser Schritt kann natürlich gleichermaßen mit den sortierten oder nicht sortierten Werten y(r) oder yr durchgeführt werden.

Aus den M Werten für die Größe Y (yr mit r = 1, ... M ) werden der beste Schätzwert für Y und seine Standard-Unsicherheit u(Y) berechnet.

Für diese Berechnungen ist es natürlich nicht erforderlich, die Werte von Y zu sortieren (Schritt 4). Sie können gleichermaßen mit den sortierten oder nicht sortierten Werten y(r) oder yr durchgeführt werden.

27



Schritt 6:

Überdeckungsintervall

GUM-S1 (7.7)

1) Festlegen der Überdeckungswahrscheinlichkeit p

Zum Beispiel p = 95% = 0,95

2) Grenzwerte der Überdeckungswahrscheinlichkeit

Für eine symmetrische Verteilung: minmaxmin 12

1

2

1

pp

Für p = 0,95 erhält man: αmin = 0,025 ; αmax = 0,975

3) Grenzen des Überdeckungsintervalls finden

!CDE = ��?(1CDE) !C"� = ��?(1C"�)

Aus der empirischen Verteilungsfunktion {y(r), pr} mit �7 = 7�89

:!CDE = !(FCDE) mit FCDE = < · 1CDE + ?

5 !C"� = ! FJ�� mit FC"� = < · 1C"� + ?

5

28



Schritt 6:


Beispiel:

Gaußverteilung mit N(0;1)

Mit p = 0,8

αmin = 0,1

αmax = 0,9

Verteilungsfunktion P(y)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Y

αmax = 0,9

p = 0,8

αmin = 0,1

ymin ymax

Erhält man:

ymin = -1,2816

ymax = 1,2816

29



Schätzwert von Y

M

rry

My

1

1

Standardunsicherheit von Y

M

rryy

Myu

1

2

1

1)(

Modell

Y = f(X)

Berechnung der M Werte für Y

y1….yM

M Ziehungen von Zufallszahlen

xi,1…..xi,M gemäß ihrer PDFs p(Xi), für i=1,…,N


[ ymin ; ymax ]

PDFs der X=(X1,… XN)

p(Xi)

Anzahl der Ziehungen

M

Überdeckungswahrscheinl.

p

Sortieren der Werte von Y

yr y(r)

Empirische Verteilungsfunktion P(Y)

Zusammenfassung der Schritte



Ein digitales Hand-Multimeter (DMM) wird bei einer Eingangsspannung von 100 V (DC) unter Verwendung eines Multifunktions-Kalibrators (Normal) kalibriert.

Eingangsgrößen / Messunsicherheitsquellen:

Anzeige des DMM VDMM = 100,1 V stabil

Auflösung der Anzeige des DMM 0,1 V

Ausgangsspannung des Normals VS = 100,000 V (Kalibrierschein) U = 0,002 V (normal, k=2)

Stabilität des Normal (Drift) VS,drift = (0 0,011) V (gemäß Herstellerangabe) Rechteck

SDMMDMM VVE Messgröße: Abweichung der Anzeige des DMM

Beispiel:

Kalibrierung eines Hand-MultimetersBeispiel nach einer Idee von Cox & HarrisNPL Report MS 6 (2010), 9.5

3K:: = 4K:: + ∆4K::,DEM � 4N + ∆4N,O"P + ∆4N,M7DQR

Wir wollen nun folgendes Beispiel betrachten (siehe „NPL report MS 6, Software Support forMetrology Best Practice Guide N° 6“, Cox & Harris, March 2010, Kap. 9.5):

Ein digitales Hand-Multimeter (DMM) wird mit einem Multifunktionsgenerator bei einer Eingangsspannung von 100 V (DC) kalibriert. Messgröße ist die Abweichung EDMM (E=„Error“) der Anzeige des DMM vom Referenzwert VS, welcher von einem Multifunktions-Kalibrator (Messnormal) erzeugt wird (Index „S“ steht für das englische Wort „Standard“ = Normal).

Die Anzeige des DMM sei stabil, seine Auflösung 0,1 V. Die Ausgangsspannung VS des Normals hat laut Kalibrierschein eine erweiterte Messunsicherheit U = 0,002 V für einen Erweiterungsfaktor von k=2 (Gaußverteilt). Außerdem ist eine mögliche Drift des Kalibrators VS,drift seit seiner eigenen letzten Kalibrierung zu berücksichtigen. Mit Hilfe der Information aus dem Handbuch des Geräts wurde diese mit ±0,011 V abgeschätzt (Rechteckverteilung).

Man erkennt sofort, dass die Bedingungen des Zentralen Grenzwertsatzes (siehe Vorl. 8, Seite 35) nicht erfüllt sind, da die Messunsicherheit der Messgröße EDMM von einer Eingangsgröße dominiert wird, welche nicht Gaußverteilt ist. In Konsequenz kann man nicht davon ausgehen, dass die Verteilung der Messgröße EDMM näherungsweise Gauß-förmig ist.

Dennoch wollen wir das Beispiel zunächst mit dem Standard-GUM Verfahren lösen und anschließend mit einer Monte-Carlo Simulation vergleichen.

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Messgröße Wert "Variation" VerteilungStandard

UnsicherheitSensitiv.-

koeff.Beitrag zur komb. Uns.

relative Varianz

i x i u(x i ) c i c i *u i (c i *u i /u c )2

1 Anzeige des DMM: V DMM 100,1 V 0,0 V konstant 0,0000 V 1 0,0000 V 0,0%

2 Auflösung des DMM: V DMM,ind 0,0 V 0,1 V Rechteck 0,0289 V 1 0,0289 V 95,3%

3 Kalibrierung d. Normals: V S + V S,cal 100,0 V 0,002 V normal, k=2 0,0010 V -1 -0,0010 V 0,1%

4 Drift des Normals: V S,drift 0,0 V +/- 0,011 V Rechteck 0,0064 V -1 -0,0064 V 4,6%

Abweichung des DMM: E DMM 0,1000 V kombinierte Standardunsicherheit u c (E DMM ) 0,0296 V

Voraussetzungen des Zentralen Grenzwertsatzes sind nicht erfüllt

Vergleich mit Monte-Carlo

Messunsicherheits-Budget: klassisches GUM-Verfahren

3K:: = 4K:: + ∆4K::,DEM � 4N + ∆4N,$"P + ∆4N,M7DQR

Beispiel:

Kalibrierung eines Hand-Multimeters

31



M=50000 Schätzwert 0,1001

Standardabweichung 0,0296

r V DMM,ind V s,cal V s,drift E DMM E DMM p r

R[-0,05;0,05] N[-0;0,001] R[-0,011;0,011] sortiert

1 -0,039129307 0,0001675 0,007864528 0,068903 0,0371181 0,00001

2 0,028240303 0,001116 -0,000729484 0,128627 0,0375615 0,00003

3 -0,035943175 -0,0007819 0,008983764 0,072259 0,0377737 0,00005

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17

pr

EDMM

Beispiel:


Ergebnisse:

Schätzwert (Mittelwert)

3;K:: = 0,1001 4Standardabweichung

S 3K:: = 0,0296 4

3K:: = 0,1 + ∆4K::,DEM � ∆4N,$"P � ∆4N,M7DQR

�7 = F � ?5

50 000

Zufallszahlen, je 50 000

Monte-Carlo Simulation:durchgeführt mit Excel, M=50 000

Die Monte-Carlo Simulation wurde mit Excel durchgeführt.

Mittelwert der simulierten Daten als Schätzwert für die Abweichung des Multimeters EDMM und die Standardabweichung als Abschätzung der Standardunsicherheit u(EDMM) wurden berechnet.

32



Messgröße Wert "Variation" VerteilungStandard

UnsicherheitSensitiv.-

koeff.Beitrag zur komb. Uns.

relative Varianz

i x i u(x i ) c i c i *u i (c i *u i /u c )2

1 Anzeige des DMM: V DMM 100,1 V 0,0 V konstant 0,0000 V 1 0,0000 V 0,0%

2 Auflösung des DMM: V DMM,ind 0,0 V 0,1 V Rechteck 0,0289 V 1 0,0289 V 95,3%

3 Kalibrierung d. Normals: V S + V S,cal 100,0 V 0,002 V normal, k=2 0,0010 V -1 -0,0010 V 0,1%

4 Drift des Normals: V S,drift 0,0 V +/- 0,011 V Rechteck 0,0064 V -1 -0,0064 V 4,6%

Abweichung des DMM: E DMM 0,1000 V kombinierte Standardunsicherheit u c (E DMM ) 0,0296 V

Messunsicherheits-Budget: klassisches GUM-Verfahren

Beispiel:


Ergebnisse der Monte-Carlo Simulation:

Abweichung des DMM: EDMM 0,1001 V

Standardunsicherheit: u(EDMM) 0,0296 V �

Die Ergebnisse für die Standardunsicherheit, zum einen mit dem klassischen GUM-Verfahren und zum anderen mit dem Monte-Carlo Verfahren ermittelt, stimmen gut überein.

33



0

200

400

600

800

1000

1200

Clase

Fre

cuencia

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17

E

pr

EDMM

Häu

figk

eit

Histogramm

Empirische Verteilungsfunktion:

Bestimmung des Überdeckungsintervalls für p = 95,45 %

Beispiel:

Hand-Multimeter

Eine Auftragung des Histogramms zeigt eindeutig, was wir von Beginn an vermutet hatten: die Verteilung von EDMM ist nicht näherungsweise Gauß-förmig. Eine Bestimmung eines Überdeckungsintervalls ist mit der Information, die das klassische GUM-Verfahren geliefert hat, nicht möglich.

34



Überdeckungsintervall für p = 95,45%

Beispiel:

Kalibrierung eines Hand-MultimetersM=50000 Schätzwert 0,1001 E(2,275%) 0,0489

Standardabweichung 0,0296 E(97,725%) 0,1511

r V DMM,ind V s,cal V s,drift E DMM E DMM p r

R[-0,05;0,05] N[-0;0,001] R[-0,011;0,011] sortiert

1 -0,039129307 0,0001675 0,007864528 0,068903 0,0371181 0,00001

2 0,028240303 0,001116 -0,000729484 0,128627 0,0375615 0,00003

3 -0,035943175 -0,0007819 0,008983764 0,072259 0,0377737 0,00005

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17

pr

EDMM

EDMM,max

= 0,1511 V

EDMM,min

= 0,0489 V

Wir wollen nun mit Hilfe der empirischen Verteilungsfunktion, die wir aus der Monte-Carlo Simulation erhalten haben, das Überdeckungsintervall für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von p=95,45 % abschätzen.

Als Grenzwerte für die Wahrscheinlichkeiten erhält man damit (siehe Folie 27):

1CDE = ?�V5 = W,WAXX

5 = 0,02275 und 1C"� = 1 � 1CDE = 0,97725Damit erhält man: FCDE = < · 1CDE + 8

9 = 1167 und FC"� = < · 1C"� + 89 = 48892 , womit sich dann

die Grenzwerte des Überdeckungsintervalls aus den simulierten Daten ablesen lassen.

Man erhält für das Überdeckungsintervall für p=95,45% : [EDMM,min ; EDMM,max] = [0,0489 V; 0,1511 V] , d.h. seine gesamte Breite beträgt 0,1022 V.

35



0

200

400

600

800

1000

1200

Clase

Fre

cuencia

GUM:

E 2 uc(E) = E 0,059 V

[0,041 V ; 0,159 V]

MCM:

[E(2,275%) ; E(97,725%)]

[0,049 V ; 0,151 V]

Beispiel:


Überdeckungsintervall für p = 95,45%

Klasse

Häu

figk

eit

Das klassische GUM-Verfahren würde falsche Werte für das Überdeckungsintervall liefern.

Wenn man versuchen würde, mit dem klassischen GUM-Verfahren eine erweiterte Messunsicherheit mit k=2 anzugeben (was bei einer Gaußverteilung einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95,45% entsprechen würde), so würde man ein falsches Ergebnis erhalten.

In dem Histogramm stellt das rote Intervall das mi der Monte-Carlo Simulation bestimmte Überdeckungsintervall für 95,45 % Überdeckungswahrscheinlichkeit dar.

Wenn man mit dem klassischen GUM-Verfahren eine erweiterte Messunsicherheit U = k·u berechnet hätte, mit k=2 (was bei einer Gaußverteilung einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95,45 % entsprechen würde), so hätte man ein falsches, und zwar deutlich zu großes Intervall bestimmt. In dem Histogramm ist es blau eingezeichnet.

Mit dem klassischen GUM-Verfahren hätte man die Breite des Überdeckungsintervalls [-U ; U] einen Wert von 4uc = 0,118 V abgeschätzt, im Gegensatz zu dem korrekten wert von 0,102 V, den die Carlo Simulation liefert.

36



CB

AY

CB

AY

Eingangsgrößen: Verteilung

Masse des Analyten A : a = 1,00 mg u = 0,05 mg normal

Brutto-Masse B : b = 3,00 g u = 0,15 g normal

Tara C : c = 2,00 g u = 0,10 g normal

Messgröße: Massenanteil

Beispiel aus EURACHEM / CITAC Guide CG-4 “Quantifying Uncertainty in Analytical Measurement”, E.3.4

Übungsaufgabe:

Asymmetrische Verteilung (Massenanteil)

Bestimmen Sie:

1. Den Schätzwert für Y und seine Standardunsicherheit u(Y)a) mit dem klassischen GUM-Verfahrenb) mit einer Monte-Carlo-Simulation

2. Histogramm und empirische Verteilungsfunktion mit dem Monte-Carlo Verfahren

3. Das Überdeckungsintervall für eine Wahrscheinlichkeit von p = 95,45 %a) welches symmetrisch in den Ausläufern der Verteilung istb) das kürzeste Überdeckungsintervall

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Messunsicherheitsbestimmung nach GUM€¦ · Das GUM Regelwerk geht von folgenden Annahmen aus: Der...

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