Metrische Fragen der Gewebegeometrie

Metrische Fragen der Gewebegeometrie. Von

Robert Sauer in Aachen.

1.

Fragestellung.

1. In der vorliegenden Arbeit werdea topologische Begriffe der Diffe- rentialgeometrie mit metrischen Fragestellungen verkntipft. Wit schicken zun~chst einige der topologischen Differentialgeometrie I) entnommene Deft- nitionen voraus:

Sechseckgewebe. 3 Kurvenscharen eines einfach zusammenhgngenden und beziiglich der 3 Kurvenscharen konvexen Gebietes einer FI~che (Ge- webegebiet) bflden ein Sechseckgewebe, wenn es eine topologische Abbildung des Gevcebegebietes, auf ein Bildge~iet der Euklidischen Ebene gibt, bei der die 3 Gewebehtrvenscharen in 3 Parallelgeradenbiischel ~) (Bildqeraden) iiber- gehen. Ohne Beschr~nkung der AUgemeinheit kSnnen wit voraussetzen, dal~ die 3 Bildgeradenbfischel l~a~weise den Winkel ~/3 einschhe~em

Gewebemaschen. Aus Gewebekurven kann man Dreiecknmschen erzeugen. Dutch Zusammenfassen yon je 2 bzw. 6 Dreieckmaschen entstehen Viereck-

' . /~ ~lv, h "". /"

Fig. 1. ~ ~ ~r163

maschen bzw. Sechseckrnasc~e+~ (Fig. 1). Diesen Gewebemaschen entsprechen im Bildgebic+~ gleichseitige Dreiecke, Rauten mit den Innenwinke]n ~/3, 2 ~/3 und regelm~flige Seehsecke. Jede Viereck- bzw. Seehseck-masehe hat 1 bzw. 3 Gewebekurven als Diagonalen (in Fig. 1 gestrichelt).

Gewebevvrschiebunge+~. Den Parallelverschiebungen im Bildgebiet entsprechen gewisse Transformationen ira Gewebegebiet, die wit als Gewebe-

i) Vgl. Blaschke-Bol, Geometrie der Gewebe, Grundlehren der math. Wiss., Bd. 49.

~) Die Geraden sind jeweils nur soweit zu rechnen, als sie dem Bi|dgebiet an- geh6ren.

266 R. Sauer.

versch/ebungen bezeiehnen wollen. Die in Fig. 2 angedeutete Konstruktion der Gewebeversehiebung des Kurvenstiicks A B in das Kurvenstiick A' B'

t

A 8 Fig. 2.

�9 Deckung gebracht werden kfnnen. gestellte kongruente Maschen.

zeigt, wie die Gewebeverschiebungen im Gewebegebiet selbst, ohne dutch topologische Abbfldung auf das Bild- gebiet zuriiekzugehen, definiert werden kSnnen; gleichbezifferte Kurven sind Gewebekurven derselben Sehar.

Ylquivalente Gewebemaschen. Gewebe- maschen heil]en gquivalent, wenn sie dutch eine Gewebeverschiebung miteinander zur Im Bildgebiet entsprechen ihnen parallel-

Dre/ecksnetze. Aus diskreten Folgen yon Gewebekurven lassen sich Dreieda~etze erzeugen; im Bfldgebiet entsprechen ihnen regelm~Bige, d. h. aus kongruenten gleieh~eitigen Dreiecken aufgebaute Dreiecksnetze (Fig. 3). Ein

F

v

" ~Yo'ge6/e/ Fig. 3.

Dreiecksnetz enth~lt 2 Klassen ~quivalenter Dreiec]~maschen, 3 Klassen ~quivalenter u und lauter ~quivalente Sechseckmaschen; dasselbe gilt fiir die ,,weiteren" Maschen eines Dreiecksnetzes, z. B. ffir die yon je 4 Netzdreiecken gebfldeten weiteren Dreieckmaschen usf.

2. Wit verkniipfen nun die in Nr. 1 zusammengestellten topologJschen Begriffe der Gewebegeometrie mit einem metrischen Begriff, n~mlich dem U m f a n g der Gewebemaschena) . Dabei sell es sich durchwegs um Fragen der Me t r ik in den Geweben bzw. in i h r en Tr i ige r f l~chen handeln, nicht aber um die Einbettung der Gewebe und ihrer T~gerfl~chen in den dreidimensionalen Raum; Gewebe gelten daher als nichtverachieden, wenn sie dutch eine isometrische Abbildung der Tr~gerfI~chen ineinander fibergefLLhrt werden" kSnnen.

a) ~ber eine &hnliche Fragestellung vgl. H. Graf und R. Sauer, Math. Zeitschro 44 0938), S. 362--386.

Metrische Fragen der Gewebegeometrie. 267

Unsere Untersuchung bezieht sich auf folgende beiden hagen: (A) Gesucht sind die a l lgemeins ten , yon bloi~er i sometr ischer

Abbi ldung verschiedenen Deformat ionen eines vorgegebenen Sechseekgewebes, bei denen die Umf~nge aller Gewebemaschen eines gewissen Typs e rha l ten bleiben (w 2).

(B) Gesucht sind die a l lgemeinsten Sechseckgewebe, bei denen ~quiva len te Gewebemasehen eines gewissen Typs stets kons t an t en Umfang haben (w

D i e in (A) gesuchten Deformationen bezeichnen wit als /~ngentzeu, die in (B)gesuehten Sechseckgewebe als l~ngenhomogen in bezug auf den betreffenden Maschentyp. Wit behandeln die ~ragen (A), (B) der Reihe nach fii~ die verschiedenen Maschentypen, n~im]ich a) fiir Vierecl~mschen, b) f'fir Dreieckmaschen und c) ffir Sechseckmaschen.

Im letzten Teil der Arbeit (w 4) werden die in den w167 2, 3 durchgef'~hrten differentialgeometrischen Untersuchungen tiber Seehseckgewebe dutch analoge diHerenzengeomeSrische Betrachtungen fiber Dreieeksnetze erg~nzt. Man gew~unt dadurch einen unmittelbareren Einblick in die differentialgeometrischen Zusammenh~nge.

w

L~ngentreue Deformationen eines Seehseekgewebes.

3. Analytisvhe Darstell~g der Sechseckgewebe.

Der Einfaehheit halber verabreden wit: Alle vorkommenden Funk- t ionen sind r egul~r, d. h. in konvergent e Pot enzr eihen entwickelbar . Unsere s~imtlichen Ergebnisse bleiben jedoch ffir behebige stetige Fnnlrtionen gfiltig (Nr. 22).

/~uf der Tr~gerfl~che eines Sechseckgewebes fiihren wit solche Parameter u, vein, dal~ die Gewebekurven der 3 Scharen dutch

gegeben sind; im Bildgebiet bedeuten die u, v affine Koordinaten (Fig. 3). Neben den Parametern u, v der 2 ersten Gewebekurvenscharen werden wit auch

als Parameter der dritten Gewebekurvenschar benfitzen. Ffir die Parameter dreier sieh in einem Punkt schneidenden Gewebekurven gilt dann

~ t + v + w = 0 .

Dreieckmaschen. Die Eekpunkte einer Dreieckmasc]~e 1. bzw. 2. Ar~ haben die Koordinaten u/v, u + h/v, u/v + h bzw. u/v, u ~ h/v, u/v ~ h mit h > 0. Vergleiche die in Fig. 3 finks dargestellte Dreieekmasche 1. Art.

Mathematlsche Zeitschrift. 45. 18

268 R. Sauer.

V/ereckmasv/wn. Je nachdem die diagonale Oewebekurve der Sehar u = eonst, v = eonst oder w = const angehSrt, spreehen wit yon einer lr/erevkma~/w der 1., 2. oder 3. Art. Jede Viereekmasche enth~lt je eine Dreieekmasche 1. und 2. Art. Die Eckpunkte einer u 3. Art (Fig. 3, Mitre) haben die Koordinaten u/v, u q- h/v, u/v + h, u q- h/v :b h mit h > O.

8evhsedemaschen. Jede Seehseekmasche ist aus je 3 Dreieeken 1. und 2. Art zusammengesetzt. ,,Mittelpunkt" und Eckpunkte einer Sechseckmasehe haben die Koordinaten u/v und u ~ h/v, u/v ~ h, u ~ h/v T h mit h > 0 (Fig. 3, rechts).

elquivalente Gewebemaschen. als Maschenweite. Dann gilt: Maschenweite.

4. Urn/an9 der Gewebemaschen.

Wit setzen in iiblicher Weise

und fiihren die stets positiven Funktionen

e = f g , t = : O,

ein, die der Ungleiehung

Wit bezeiclmen die positive Konstante h eiquivalente Gewebemasvhen haben dieselbe

[e-gf <l <e+g

g =

geniigen.

Fiir den Umfang U (u, v, h) einer Viereekmasche 3. Art, den Umfang D (u, v, h) bzw. T (u, v, h) einer Dreieckmasche 1. bzw. 2. Art und den Urn- fang S (u, v, h) einer Sechseckmasche mit den in Nr. 3 angegebenen Eek- punkten hat man

u + h v + h

(I) V----- I {e(u,v)+e(u,v§247 I {g(u,v)§247

u~-h v+-h u + h

D----- I e(u,v)du+ I g(u,v)dv§ ~ [(u,--w§ ( 2 ) u ~

T = S e(u,v)du§ i'(u'v) dv+ ~/(u,--w--h--u) du, u - - h v - - h u - - h

(~) ,s = e(u, , ,+h)a,~+ j" g (u+h, , , )d , ,+ j" l ( u , - - w - - /~ - - , , ) d , , u - - h v - - h u - - h

u + h v + h u + h

Metrische Fr~gen der Gewebegeometrie. 269

wobei fiir die Integration jewefls v, u bzw. w konstant ist. Die Potenzentwick- lung nach h liefert

(4) U --- 2 h (e § g) + h ~ (e, + g, + e. § g=) h*

~- ~{2 (e,= + g,,~,) + 3 (eo~ -b y,,~ + e=, ~-y~,)} ~ -~176

{5) D/ h~ TI : h ( e + / ' t - g ) ~ Y (e='t-g'+]=~' ] ' ) + ' ' "

h a (6) S = 2h(e+ / ~-g) H--~{(e..+g~)+3(e..-~g=,,--e~.--g.~) h 5

+ (/=. + / ~ + / = .)} + ~ {(e= ,, = .. + g~ ~ ~) - 5 ( g . . . . + g. o . . )

+ (/,~== + / , ~ = o + &=,~ + / = o , o + / ~ , ) } + . . . ;

die l~unktionen e, ], g und ihre Ableitungen sind hierbei irnmer an einer Ecke bzw. dem Mittelpunkt u/v der Gewebemasche wie in Nr. 3 zu nehmen.

5. De/ormation vines Gewebes.

Eine Gewebedeformation ist gegeben dutch

~*(u,v) = ~(u,v) + ~(u,v);

dabei sind ~ (u, v) bzw. ~* (u, v) die Ortsvektoren der Gewebepunkte vor bzw. nac]a der Deformation. Die lflmk~ionen e,/, g werden bei der Deformation transformiert in

e* = e q - e , ]* = f + f , g* :=g+~,

wobei zu~ Abkiirzung gesetzt ist

(7) ~ = -~

Da es sieh bei unseren Untersuehungen immer nur am die Metrik in den Geweben and ihren Tri~gerfl~chen handelt und daher isometriscl~e Gewebe als identisch gelten, ist eine Gewebecleformation fiir uns gekennzeichnet dutch die De[ormations/unktionen ~, ], ~; die naehfolgenden Uberlegtmgen beziehen sich aussehlieBlieh auf diese l~unktionen.

Die J~aderung der Umfiinge der Gewebemasehen bei einer Deformation liil~t sich leicht aus den Formeln (1) bis (6) entnehraen. Da n~mlich e,/, g und flare Ableitungen in diesen Formelu linear vorkommen, ergibt sich:

Die d u t c h die D e f o r m a t i o n (7) bewi rk t e A n d e r u n g der Um- f~nge der G e w e b e m a s e h e n wird durc]i (1), (2), (3) bzw. (4), (5), (6) gegeben, wenn m a n s t a r t e, ], g die Def~*rmut ions funk t ionen ~, f, und d e r e n A b l e i t u n g e n e inse tz t .

Wit sind nun in der Lage, die Frage (A) naeh den allgemeinsten l~ngentreuen Deformationen zu beantworten, d.h. diejenigen Deformationen zu ermittela, bei denen die Umf~nge U, D, T bzw. S invariant bleiben. Zu diesem

18,

2 7 0 R . S a u e r .

Zweck sind die Deformationsfunktlonen ~, ] ,~ so zu besthnmen, daft die Fak- toren yon h, h 2, h a usf. in (4), (5) bzw. (6) s~imtlich verschwinden, wenn man e,/, g durchwegs dutch ~,/, ~ ersetzt. Dadurch bekommt man ftir ~, f, zun~ehst unendlich viele lineare homogene partielle Differeatialg]eichungen. Sie lassen sich jedoch auf zwei bzw. drei unabh~ingige Gleichungen zuriick- fiihren, deren allgemeine LSsung leicht anzugeben ist. Wit behande]n jetzt die Aufgabe der Reihe nach fiir die verschiedenen Maschentypen.

6. L~ngentreue De/ormationen beziigiieh der VierecIonaschen.

Man kann leicht einsehen, daft es, yon bloBen isometrischen Abbildungen abgesehen, keine Deformationen gibt, bei denen die Viereekmasehen aller drei Arten (Nr. 3) den Umfang nieht ~indern. Wit fordern daher die Liingen- treue n u r bezi igl ich der V i e r e c k m a s e h e n e iner Ar t , z. B. der 3. Art.

Aus (4) ergibt sich durch Nullsetzen der Faktoren yon h und h a

(8) ~ + ~ -- 0, 2(~.~ + ~ , ) + 3 ( ~ . + ~ + ~., + ~ ) -- 0, also

= - - - ~ und ~,,~, -- ~ ~ ---- 0 .

Das allgemeine Integral lautet

(9) [ "~ = - -~ = ~o(u-+-v)-t- y~(u- v). [

Da die rechte Seite yon (1) bei Einsetzen yon (9) an SteUe e und g identiseh verschwindet, ist (9) fiir die L~ingentreue nicht nut notwendig, sondern auch hinreichend und die Faktoren siimthcher Potenzen yon h in (4) miissen sich aus den beiden in (8) beniitzten durch Differentiation mid Linearkombination ergeben. Wit haben somit

Satz 1. Die in bezug au] die Vierecknmschen 3. Art langentreuen De/ormationen sind dutch (9) mit den zwei willkiirliehen Funkiionen qJ (u + v), ~a (u -- v) gekennzeiehnet.

Da die Forderung der L~ingentreue sich nut auf die Gewebekurven u : coast, v = coast bezieht, muff natiirhch die dritte Deformationsfunktion

](u, v) ganz unbestimmt bleiben. Als trivialer Sonderfall sind daher in (9)

die ,,Tsehebytscheff-Trans/qrmationen" -e = 9 = O, [ ~ 0 enthalten, bei denen nicht nur die Umf~nge der u sondern sogar die L~ingen der einzelnen Maschenseiten erhalten bleiben, w~ihrend sich die Maschenwinkel im allgemeinen ~ndern.

Durch passende Wahl der willkiirhchen Funktion f (u, v) der beiden Ver~inderlichen u, v kalm, weml wit yon einschriinkenden Realitiitsbedingungen absehen, jede liingentreue Deformation (9) so erg~nzt werden, da~ das defor- mierte Gewebe eine beliebig vorgegebene Fli~che als Tr~igerfliiche bekommt.


Nebea den Viereckmaschen 3. Art fiihren wit jetzt noch die Viereckkreuze 3. Art ein: Ein u 3. Art mit der Gesamtliinge L (u, v, h) wird gebfldet yon den beiden sich in u/v schneidenden Gewebekurven v = const und u = const zwisehen den Punkten u - h und u A-h bzw. v - h und v A-h (Fig. 4); es enth~lt also die vier Seiten, die den vier in u/v zusammen- stol]enden Maschenviereeken paarweise gemein- sam sin& Fiir die Kreuzl~inge L (u, v, h) gilt die zu (4) analoge Entwicklung

u~ ,h

Fig. 4. h 3

(I0) L -~ 2 h (e + g) ~- y (%,, + g,v) ~- . . . .

Deformationen, bei denen die L~ngen L ungen~hert bleiben, bezeichnen wir als l~ngentreu beziiglich der Viereckkreuze 3. Art. Sie sind durch die mit (8) gleichwertigen Bedingungen

~ + ~ = 0 , ~ + ~ = 0 gekennzeiehuet und man hat sonach

Satz 2. Die beziiglich der Viereckmaschen einer Art sowie die beziiglich der Viereckkreuze derselben Art liingentreuen De]ormationen sind miteinander identisch (vgl. Satz 15).

7. Lgngentreue Dejormationen beziiglich der Dreieckmaschen. Die Forderung unge~ndert bleibender Umf~nge D (u, v, h) der Maschen-

dreiecke 1. Art bzw. T (u, v, h) der Masehendreieeke 2. Art fiihrt dureh Nullsetzen der Faktoren yon h und h ~ in (5) beide Ma|e auf dieselben Be- dingungen

(11) ~ + ] + ~ = 0, ~ . + ~ = 0 . Das aUgemeine Integral

I bringt, fiir e, ], g eingesetzt, die rechten Seiten von (2) zum Verschwinden. Daher gilt

Satz 3. Die in bezu 9 au] die Dreieckmaschen l~ngentreuen De]ormationen sind dutch (12) mit der willkiirlichen Funktion q~ (u, v) gekennzeichnet. Die L~ngentreue beziiglich der Dreieckmaschen der einen Art hat die Zangentreue auch beziiglich der Dreieckmaschen der anderen Art als notwendige Folge (vgl. Satz 17). Da r (u, v) als Funktion der zwei Veriinderlichen u, v wiUkiirlich bleibt,

gibt es, wenn wir yon einschr~nkenden Realit~tsbedingungen absehen, steCs eine l~ngentreue Deformation (12), bei der eine beliebig vorgegebene Fl~che Triigerfl~che des deformierten Gewebes wird.

272 R. Sauer.

8. Umwege in Sechsecl~eweben.

In engem Zusammenhang mit den UmfRngen der Dreieckmasehen steht der Begrfff der Umwege in ~echseckgeweben:

Irgend zwel l~mkte uo/v o und Ul/V 1 des Gewebebereichs lassen sich verl~indea dutch unbegrenzt viele Gewebewege, die jewefls aus endlich vielen

v

Fig. 6.

BSgen yon Gewebekurven zu- sammeagesetzt sind. Wit rechnen die Wegstiicke auf den Gewebe- kurven u ~-- const, v ---- const, w - ~ const positiv, wean sie im Sinne zunehmender v, w bzw. u durchlaufen werden. Die Dffferenz der WeglRnge irgend zweier die Punkte Uo/V o und Ul/~) 1 verbindenden Gewebewege I, II (Fig. 5) sol~ ihr Umweg bellmen.

Bei der Deformation (12) bleiben alle Umwege ungeRndert; denn jeder

zwei Punkte Uo/V o und ~1/~) 1 verbindende Gewebeweg erf~ihrt den n~imlichen Zuwachs r (Wo, %) -- q (ul, vi). Es geniigt, dies fiir je ein Wegstiick auf einez Gewebekurve jeder der drei Scharen zu beweisen: Aus (12) folgt

fiir ~ ----Coast:

vl Vl

~0 ~0

fiir v -~ coast:

= ~ (Uo, vo) - qJ (uo, vO,

I UO UO

ftir w = const:

= qD (u o, vo) - ~ (u~, Vo),

Da aueh umgekehrt aus der Erhalt.ung der Umwege die Erhaltung dez Umf~inge der Dreieckmaschea folgt, haben wit

Satz 4 . Die in bezug au/ die Dreieckmaschen langentreuen De- formationen sind iden. tisch mit den Dejarmationen, bei denen alle Umwe41 e im Sechseckgewebe ungegndert bleiben.

Meta4~he Fragen der Gewebegeome#tie. 27~

9. La~je~rette Deformat6men beziiglich t~r ~ k m a s e ~ , n .

Fiir die beziig]ich der Sechseckmaschen l~ngentreuen Deformationen ergiht sich aus (6.) dutch ~Tullsetzen der Faktoren yon h, h s and h ~ nach ein- fachen Umformungen

- u C~, ~ o ~ + ~ , ~ ) = o .

Dutch nochmalige Ableitung der beiden ers~en Gleichungen and El~ina$~on yon [ kommt

])as aUgemeine Integral

= - ~ ( - ~ - v) + ~ (~ + 2 v) - ~ (u - v) + ~ x (u) ,

= - q~ ( - 2 u - v) + ~o, ( - u - ,,) - 9~ (v) + ~a ('~ - v)

spezialisiert sich wegen der zweiten Bedingang (13) mit

Wit erhalten somit, indem wit w = - (u A-v) benutzen, als aUgemeine L~sung yon (13):

(14) = ~ (w) - ~ , (v) + ~ (u - v) - ~ ( w - u) .

Da (14), fiir e, [, g.eingesetzt, die rechte Seite yon (3) zum Versehwinden bringt, haben wit

Sa~ 5. Die i~ bez~ au/ die Sechseclonaschen l~ngentreuen De]~r- mat/o~n rind durvh (14) mit den s e ~ willk~irlivhen Fsmktionen q~l (u)o ~ (v), ~8 (w) , q~4 (v - ~,), ~S (w - u), ~e (u - v) gekem~zei~ne~.

Da bier keine wiUkiirliche Funktion yon zwei Yer~nderlichen in ~lie LSsung eingeht, 1Kgt sich ein Sechseckgewebe bei Erhaltung der Umffmge der Sechseckmaschen nur auf spezielle Tr~gerflt ichen deformierem Die Forderung der Lii~gentreue beziighch der Sechseckmaschen ist also starker als die entsprechende Fordertmg beziiglich der u einer Art oder der Dreieckmaschen; deIm in Nr. 6 und Nr. 7 komlten die Gewebe atff jede beliebige Fl~iche als Tr~gerfl~che liingentreu deformiert werden.

274 R. Sauer.

Neben den Sechseckmaschen fiihren wir jetzt noeh die Sechseckkreuze ein, die yon je drei diagonalen Gewebekurven der Sechseckmaschen gebildet werden, und die Sechsecksterne, die aus den Seehseckmaschen dutch Ver- l~ingerung der Maschenseiten entstehen; vgl. in Fig. 6 ]inlrs das gestrichelte

A

\ z \ ~" / \ i" �9 I \ �9

\ , , 7 , \ -7~., \ I ", / .' \ / ',

g

k . , .,g

F i g . 6.

Sechseckkreuz und rechts den strichpunktierten Sechseckstern. Wit bezeichnen mit K (u, v, h) bzw. J (u, v, h) die Gesamtl~nge des Sechsecl&reuzes bzw. Sechs- ecksterns, die zur Sechseckmasehe mit dem Umfang S (u, v, h) gehSren. Fiir K (u, v, h) gilt die zu (6) analoge Entwicklung

h3 _ (15) K = 2 h ( ~ + 7 + ~ ) + - ~ ( e , , , + Y ~ + [ , , , , - - 2 [ , , ~ + ] ~ , )

- 4 1 , , . . . -+. Lo, ,o) + .... Die Forderung, dal] eine Deformation die Liingen K ungeandert liil~t, oder, wie wit wieder sagen wollen, l~ngentreu beziiglich der Sechseckkreuze ist, ffi.hrt naeh einer einfaehen Umreehnung wieder zu den Bedingtmgen (13) mad dasselbe steilt sich fiir die L~ngen J der Seehseeksterne heraus. Infolgedessen gilt

Satz 6. Jede der drei Eigenschaften einer De]ormation: a) Z4"ngentreue beziiglich der Sechsec~masehen, b) Langentreue beziiglich der Sechseck- kreuze, c) Zgngentreue beziiglich der Sechsecksterne zieht die beiden anderen notwendig nach sich (vgl. Satz 19). 10. Spezielle langentreue De]ormationen beziiglich der Sechseckmaschen. a) L~tngentreue beziiglich der S e c h s e e k m a s c h e n und Drei-

eckmaschen. Atls (11) und (13) folgt

(~6) ~ + / - + ~ = o , ~ + ~ . = o , mit dem atlgemeinen Integral

�9 I (17) I ~ = ~' (u) - , ~ , (w), f = ~, (v) - ~, (u), ~ = ~ (w) - ~ (v).

MeSrische Fragen der Gewebegeometrie. 275

(17) ergibt sich als Sonderfall aus (14) dutch Konstantsetzen der willk~.lichen gunktionen ~4 (v -- w), ~ (w -- u), ~ (u -- v).

b) L ~ n g e n t r e u e bez i ig l ich der D r e i e r h a k e n . Jedes Sechseekkreuz yon der Liinge K (u, v, h) wird zerlegt in einen

Dreierhaken 1. Art v o n d e r Li~nge P (u, v, h) (in Fig. 7 gestriehelt) uncl in einen Dreierhaken 2. Art yon der L~nge Q (u, v, h) (in Fig. 7 strichpnn~iert). Die Forderung der L~ngentreue beziigheh der Seehseekkreuze, die nach Nr. 9 mit der Fordertmg der L~ngentreue beziigheh der Seehseekmasehen gleichwertig ist, ersetzen wir durch die st~rkere Forderung: dab die Deformation beziiglich der Dreierhaken beider Arten l~ingentreu sei, d. h. dal] die Ls

J \ - . . . . . . . . . 7 -

x,- ..... 7 , , / Fig. 7.

P (u, v, h) und Q (u, v, h) fiir sich unge~nder~ bleiben sollen. Wit erhaIten daffir die notwendigen und hinreiehenden Bedingungen

(18) ~ + f + ~ = 0, 2 ( ~ - ~,) - - (~,, - - ~ ) = 0, ~, ~ + ~ - - 2 ( ~ ~ + ~ o ) = 0

mit dem allgemeinen Integral

(19) ergibt sich als Sondeffall aus (14) durch Konstantsetzen der wi]lkfirlichen Funktionen ~1 (u), ~ (v), ~ (w).

w

L ~ g e n h o m o g e n e S e c h s e e k g e w e b e .

11. Notwendige und hinreichende Bedingungen der Z~ngemhomogenit~t.

Wir wenden uns nun zur Frage (B) nach den allgemeinsten l~ngcn homogenen Sechseckgeweben, d .h . zur Besr aller Sechseckgewebe bei denen stets ~quivalente Viereckmaschen einer Art oder ~quivalente Dreieckmaschen oder ~iquivalente Sechseckmaschen denselben Umfang haben. Mit anderen Worten: Die Funktionen e, l, g sind so zu w~hlen, dal~ in (1), (2), (3) die Umf~inge U bzw. D, T bzw. S nur noch yon der Maschenweite h, aber nicht mehr vorn Oft u/v abh~ingen. Zu diesem Zweck miissen in (4), (5), (6) die Faktoren der Potenzen yon h konstant gesetzt werden. Wit kommen daher fiir e, ], g zu den niimliehen notwendigen und hinreiehenden Bedingungen, die wit in (8) bzw. (11) bzw. (13) fiir die Deformationsfnnl~tionen ~, ] ,~ erhalten haben, mit dem Unterschiede, dab auf den rechten Seiten yon (8), (11), (13) start Null irgendwelehe Konstanten stehen, d .h . an Stelle der homogenen Gleichungen (3), (11), (13) treten inhomogene Gleiehungen. Wir bezeiehnen diese Gleichungen fortan mit (8"), (11"), (13").

276 R. Sauer.

Die allgemeine L~sung der inhomogenen Gleichungen (8*), (11"), (13") ergibt sieh aus einer speziellen LGsung dutch Hinmlfiigen des allgemeinen Integrals des homogenen Systems (8), (11), (13). Da wit das allgemeine Integral des hon~ogenen Systems nach w 2 als ]~mgentreue Deformationen deuten k6nnen, vereinfaeht sieh unsere Aufgabe (B) folgendermallen:

Fi~r die inhomogenen Oleichungssysteme (8")~ (11"), (13") braucht jeweils nut ein part ikul~res In tegra l e rmi t t e l t zu werden. Aus den durch diese par t ikul~ren In tegra le bes t lmmten Sechseckgeweben ergeben sich die si imtlichen gesuchten l~ngenhomogenen Sechseckgewebe dureh Ausiibung der l~ingentreuen Gewebedeformat ionen (8), (11) bzw. (13).

Auf den rechten Seiten der Oleichungen (8*) und (11") bzw. (13") kommen zwei bzw. drei Konstante vor. Die erste dieser Konstanten, d. ]a. die Kon- stante C in

(8*): e -l- g == C bzw. (11"), (13"): ~ + ~ ~- ~ = C

ist notwendig positiv und kann otme Bescbr~nkung der Allgemeinheit gleich 2 bzw. 3 gesetzt werden; denn die Parametersubstitution

fiibrt e,/, g in ge, ~/, gg, also 0 in C/g fiber, so daft dutch ~ = C/2 bzw. g = C/3 die verlangte Normierung erzwungen werden kann.

Die nach Normierung yon C in (8*) und (11") bzw. (13") noch iibrig- bleibenden 1 bzw. 2 Konstanten ke-nzeictmen metrisehe Gewebeeigen- sehaften, die bei den l~ngentreuen Deformationen (8), (11), (13) erhalten

�9 bleiben, und werden im folgenden kurz als die I~var/a~ten der betreffenden l~ngenhomogenen Sechseckgewebe bezeiclmet.

Ebens0 wie in w 2 die Forde•mg der LAngentreue beziiglich der Viereck- maschen usf. g[eichwertig war mit der Forderung der L~ngentreue beziigllch der Vierecklcreuze usf., gilt bier

Satz 7. Es s /~ g/e/c/~wert~ a) die ~ ~ n i t t ~ t bez~fl~h der Vierevknmsctwn einer Art und die I ~ n g ~ e n i t ~ beziiglich der Vierevk- kreu~e dersdben Art, b) die L~ngenhon~eni~ beziiglieh der Dreieck- ~asehen eider Art und die L i ~ y ~ i t t U beziiglivh der Dreievl~na~lw~ der anderen An, c) die L t ~ ~ ~ i t a t bez~l~ der Bechseo~he% die JS~ngenlmmogenit~ beziiglieh der Seehseek~e~zr und dieLangen- ~ o g e n i ~ bcz~lich der ~echse~]~erne.

Auflerdem folgt aus der Definition der liingenhomogenen SechsecI~gewebe und aus ~r, 1 unmittelbar

Me~rische Fragen der Gewebegeome~rie. 277

Satz 8. Jedes/a~qenhomogene Sechseckgewebe wird dutch die l~ngentreuen Deformationen einer zweiparametrigen kontinuierliehen Gruppe 4) in sich trans]ormiert. Die Gruppe liesteht aus den Gewebeverschie~nyen , die sieh aus den Parallelverschiebungen des Bildgebiets ergeben, sowie aus den De/ormationen, dene~ in* Bildgebiet die Drehunfen um Iriel/ache yon zt/3 und die Hpieyelungen bzw. Gleitspie#elungen an den Winkelhalbierenden irgend zweier Bildgeraden oder an den Bi~eraden selbst entsprechen. Wit betrachten ]etzt der Reihe nach die einzelnen Maschentypen.

12. Lttngenhomogene Sechsee~ewebe beziiglieh der Vierevkmaschen. Wie in Nr. 6 handelt es sich wieder aussch l ieBl ich um die Viereck-

m a s c h e n 3. Art . Die dutch Inhomogenmachen yon (8) folgenden Bedingungen

(8*) e + g = 2, 2 (e~, § g~,) + 3 (e,, + g,~ § e~ § g~,) = 6 a

lassen das spezielle Integral

(20) e = I - - 3 a u ~ ' g ~ l q--3auS I [

zu. Durch Einset~.en in (4) mad (10) erhiilt man die Gleichungen

I t (21) U (h) ---- 4 h -~ a h 8, L (It) ----- 4 h - 2 a h ~,

die natiirlich nicht nut f'fir das spezielle Integral (20) gelten, sendern auch nach ttinzufiigen des allgemeinen Integrals (9) bestehen bleiben. Dutch Elimination yon h ergibt sich

Wit fassen zusaramen in

Satz 9. Jedes in bezu 9 au/ die Viereckmaschen 3. Art la'ngenhomogene Sechseckgewebe laflt sich dutch eine langentreue De/ormation (9) in ein Sechse~kqewebe (20) iiber/iihren. Der Um]ang U (h) der Viereckmaschen und die Liinge Z (h) der Viereckkreuze sind Polynome 3. Grades der Maschen- weite h. Die Invariante a ist nach (22) dutch eine -Vierezkmasche u~d ein Viereckkreuz gleivher Maschenweite bestimmt. Die Gewebe mit a = O, also U (h) = L (h), sind mittels einer l~ngentreuen Deformation (9) in drei Parallelenbiischel trans/ormierbar.

13. Langenhomogene Hechsevk#ewebe bezii flieh der Dreieckmasvhen.

Die sieh gegenseitig bedingenden Fordertmgen konstanter Umfiinge D bzw. T iiquivalenter Dreieckmaschen 1. bzw. 2. Art fii]aren auf

(II*) e + / + g =3 , e~+g~ = - - 2 c

~) Strenggenommen handelt es sich nur um einen ,,Gruppenkeim"; vgl. hierzu etwa Blaschke-Bol, Geometrie der Gewebe, S. 65.

278

mit dem speziellen Integral

(23) l e ~ 1 ~ - 2 c !

Durch Einsetzen in (5) folgt

(24) I D (h,) - ~ 3 h --I-- c h ~,

Die Elimination yon h liefert

R. Sauer.

9 = 1 - - 2 c u , / = 0 . I

r (h ) = 3h - oh,. I

D (h) -- T (h) c (25) [~ -~ ~ ( - ~ ----- const : ~ .

Wit fassen zusammen in

8atz 10. Jedes beziiglich der Dreieckmaschen lgngenhomo~ne Sechs- eckgewebe Iaflt sich dutch eine l~ngentreue De]ormation (12) in ein S~hseck- gewebe (23) iiber]iihren. Die Um]gnge D (h) und T (h) der Dreieckmaschen ~gnd Polynome 2. Grades der Maschenweite h. Die Invariante c ist nach (25) dutch je eine Dreieckmasche I. und 2. Art gleicher Maschenwdte bestimmt. Die Gewebe mitc = O, also D (h) ~ T (h), sind mittels einer ltingentreuen De/ormation (12) in drei Paralle~eradenbiischel trans]ormierbar.

14. Drei]ach umweglose Sechseckgewebe.

Die beziiglich der Dreieckmaschen l~ngenhomogenen Sechseckgewebe mi t c ~-- 0 stehen in engem Zusammenhang mit den schon mehrfach 6) unter- suchten umweglosen Kurvennetzen.

Wit kniipfen an unsere Ausfiihrungen in lqr. 8 an, betrachten jetzt abet immer nut solche Gewebewege, die aus BSgen yon Gewebekurven zweier Scharen zusammengesetzt sind, und sprechen dann yon u, v- bzw. v, w- bzw. w, u-Gewebewegen. Eine einfache Rechnung zeigt, daI~ das Verschwinden der Invarianten c - = - ~(e~ + g~) und das Verschwinden der Umwege aUer u,v-Gewebewege sich gegenseitig bedingen. Da aber in Nr. 13 alle drei Gewebekurvenscharen gleichberechtigt shad, gilt dasselbe fiir die v, w- und

w, u-Gewebewege und man erh~tlt

Satz l l . Die in bezq~, au] die Dreieckmaschen l~ingenhomogene~ Sechseckgewebe m i t c = 0 sind identisch mit den ,,drei]ach ~tmweqlosen" Sechseckgeweben, bei denen aUe Umwege der u, v- und ebenso aUe Umwege der v, w- sowie aUe Umwege der w, u-Gewebewege verschwinden.

s) Vgl. besonders G. Scheffers, Leipziger Berichte 57 (1905); Jahresber. d. DMV. 16 (1907); ferner R. Rothe, Beriehte der Berliner Math. Ges. 5 (1906); 7 (1908); Jahresber. d. DMV. 17 (1908); 18 (1909); 20 (1911) und R.v. Lilienthal, Jahresber. d. DMV. 16 (1907).


Ferner kann jedes umwegloseu, v-Kurvennetz ~) dutch eine Tschebytscheff- Transformation mit ] = 3 -- e -- g (vgl. Nr. 6), bei der die Langen auf allen :Netzkarven unge~ndert bleiben, in die Kurvenseharen u = const, v = const eines bezfiglich der Dreieckmaschen l~ingenhomogenen Seehseckgewebes mit c = 0 und demnaeh auch dutch eine Deformation (12) in zwei Parallelgeraden- bfischel transformiert werden. Auf diese Weise ordnen sieh die Untersuchungen fiber umweglose Kurvennetze als Sonderfall dem Studium der Sechseckgewebe unter, die bezfiglich der Dreieckmaschen l~ngenhomegen sind.

15. Langenhomogene Sechseck~ewebe beziiglich der Sevhseckmaschen.

Das den homogenen Gleiehungen (13) entsprechende inhomogene System

e + / + g = 3 , e~v-4-y~,- -2(e ,~+quv) ~-3a,

(13") 4 (e~ ~ ~ ~ + g ~ ) -- 6 ( e ~ ~ + g~ ~ ~ ~) + 9 (e~ ~ + g ~ ~ )

hat das spezielle Integral

= 1 + ~ - ( u - 2v)~+ N - ( u - - 2v) , ~ = 1 + N ( u - 2v) ~ . g(u - 2;v)L

= 1 - - ~ ( u - - 2 v ) ~

Dutch Einsetzen in (6) und (15) sowie dutch die entsprechende Rechnung fi'u die L~ngen J der Seehsecksterne erh~lt man

woraus durch Elimination yon h

r ~q (h) - K (h) 3 a _2 K__ (,~)_~ J (h) : _ c-nst-- 30 5 ~-v'[[10 S (h) § 18 K (h)+J(h)] 3 = eonst = ~ ,

fo lg t . Wir fassen zusammen in

Satz 12. Jedes beziiglich der Sechseckmaschen l~ngenho~ogene Sechs- eckgewebe ~iflt sich dutch eine langentreue Defo~matio,a (14) in ein Sechs- eck~ewebe (26) iiber]iihmn, Die Umf~,nge S (h) der Sechseckmaschen sawie die Ldngen K (h) und J (h) der Sechseckkreuze und Sechs~ksterne sind Polynome 5.G, rades der Maschenweite h. Die Invarianten a, b sind nach (28) dutch eine Sechseckmasche, ein Sechseckkreuz u~d einen Sechseckstern gleicher Masehenweite bestimmt. Die Gewebe mit a = b = O, also S (h) = K (h) = �89 J (h), sind mittels einer l~nqentreuen De/ormation (14) in drei Parallelyeradenbiischel trans]ormierbar.

~) Wie ein Kurvengewebe als topologisches Bild yon drei P~rallelger~denbtischeln, i~t ein ,,Kurvennetz" als topologisches Bild yon zwei Par~llelgeradenbiischeln definiert.

280 R. Sauer.

16. SpezieUe l~ngenhomogene S~hse~k#ewebe bez~lich der Sechseckmaschen. a) L~tngenhomogene Sechseckgewebe bezi igl ich der Sechs-

e c k m a s c h e n und D r e i e c k m a s c h e n . S t a t t (16) haben wit jetzt

(16") e A - / A - g = 3 , e~q-g , ,= - -2c , %,,-4-g,,,,--2(e,,,,-f-g,,,,)=3a

mit der speziellen Lfsuag

(29) '~ (u - V)~, t = 1 - '~ (u - v)~, e = 1 + c ( u - - v ) + u ~-

a (u - v) ~. ! / = 1 - - e(u - - v) -I- u

Fiir S (h), D (h) mad T (h) folgt

(30) ] ...B (h) = 6 h + 2 a h ~, D (h) = 3 h q- v h 2, T(h) = 3 h - - o h ~. I

Die beiden Invarianten a,'e bestimmen sich aus

I I i .

b) Li~ngenhomogene S e c h s e e k g e w e b e bezi ig l ieh der Dre ie r - haken .

Aus den (18) entspreehenden Bedingungen

(18") e q - l A - g = 3 , 2 ( e . - g ~ ) - ( e ~ - g . ) -=2k, e~ + g~. -- 2 (e.~ + g,~) = 3 a

erhiilt man als spezieUes Integral

i 3 3 ~ 3 ~1 (32) e : l q - k u - - - ~ a u ~, f = l - - k u - - u g = l-q---~au.

Daraus iblgt fiir die Umfiinge P (h) mad Q (h) der Dreierhaken beider Arten mad die UmBaxge 8 (h) der Sechseelrm~ehen

p ~ $ a 8 (33) ( h ) = 3 h q - k b ~ -~h, Q(h )=3h- -khS - - .~h , ~(h)=6h-+ -2ahs

und zur Bestimmung der beiden Invarianten a,//

I P(h)-Q(h) _ 2~ 8(h)-P(~)-Q(h) _ 3a I = 3 ' csTff = = o -

17. Drehsymmetrische Normierunq der langenhomo(jenen Bechseelqlewebe.

Wit bezeichaen e ~ Sechseckgewebe als Drehqewebe, wenn die Trttger- fliiche in eine Drehfliiche verbogen werden kann derart, daft dabei jede der clrei

Metrisehe Fragen tier Gewebegeometrie. 281

Gewebekurvenscharen entweder in die Breitenkreise oder in kongrueate, durch Drehuag auseinander e~tstehende Kurven iibergeht. Nun t~Bt sich bekannthch jede ~liiche, bei der die Fu~t ionen E, •, G und damit auch e, f, g (tNTr. 4) nut yon einer einzigen Ver~nderlichen ~u +/~v (~,/~ =- const) abh~ngen, in eine Drehfl~he verbiegen; die Kurven ~u q-/~v = coast sind die Breiten-

kreise der Drehflgche, w~hrend die Kurven jeder Schar 7u § ~v = cons~ mit 7 : ~ ~= ~ : fl kongruent sind und dutch Drehung miteinander zur Deckung gebracht werden kSrmen.

Da die Funktionen e, f, g in (20), (23) mad (32) nut yon u, in (26) nut yon u - - 2 v und in (29) nut von u -- v abh~ngen, sind alle durch, diese e, f, g bestimmten Sechseckgewebe 7) Drehgewebe. Sonfit haben ~ r

S a t z 13. Jedes la~/enhom~e~ 8echsec~ewebe l~flt sich dutch eine ~nge~'eue Delo~at~z a[s Drehgewebe ~rmieren.

T) Zu (20) ist I als wi| lk~rliehe Fu~k~iQn y o n u hinzuzunehmen.

282 R. Sauer.

Wegen Satz 8 gibt es nicht nut eine solche auf Drehgeweb e normierende l~ngentreue Deformation, sondern eine zweiparametrige kontinuierliehe Gruppe derartiger Deformationen.

Bei Nr. 12 und i3 bleibt fiir die Normierung auf Drehgewebe jeweils eine :Fnnktion /(u) bzw. ~ (u) willkiirlich; deshalb k6nnen in diesen FRllen die Sechseckgewebe als Drehgewebe auf einer beliebigen Drehfl~iche als Triiger- flRche, also z. B. insbesondere als ebene Drehgewebe normiert werden.

Die Fig. 8 und 9 beziehen sich~uf solche ebene Drehgewebe. In Fig.8 i s t ein beziiglieh d e r Viereekmasehen einer A r t t~ngenhomogenes ebenes Seehseckgewebr dutch ein ausViereckmasche~ dieSer Art aufgebautes u ecksnetz, in Fig. 9e in beziiglich der Dreieckmaschen liingenhomogenes ebenes Sechseckgewebe dutch ein Dreiecksnetz dargestellt. Das Drehzentrum ist mit 0 bezeichnet. Die Invariaate a bzw. c ist yon Null versch~eden: man hat also U (h) q= L (h) bzw. D (k) =~ T (h).

Metrische Fragen der Gewebegeometrie. 28~

w LJingentreue. und IAngenhomogenit~t bei Dreieeksnetzen.

18. Definition der I~'nqentreue und Zi~nilenhomogenit~t fiir Dreiecksnetze.

Unser Ziel ist es~ die in den w167 2, 3 durchgefii]arten Untersuchungen, die die D i f f e r e n t i a l g e o m e t r i e der Sechseckgewebe betrafen, durch analoge Beziehtmgen in der D i f f e r e n z e n g e o m e t r i e der D r e i e c k s n e t z e zu verdeutlichen. An Stelle der Menge aUer Gewebemasehen mit k o n t i n u i e r l i c h ver~nderlichen Parametern u, v, h betraehten wit also fortan !edig]ich ein aus dem Gewebe herausgegBffenes Dreiecksnetz (Fig. 3), d..~h, u, v, h sind nut noch der d i s k r e t e n Werte

U= o eho, 2,...), h=h0, ho, 3ho, . . . f~hig. Wit setzen die Grundmasehenweite h o als so klein voraus, dab in dem Dreiecksnetzgebiet far jedes m, das wit gerade betrachten, noah Maschen der Maschenweite mh o existieren.

Ffir die Ecken u o + 0ho/Vo + ~h o werden wik fin folgenden kurz ~]~ und far den Umfang U (u e + Q ho, v o + ah• mho) einer Viereckmasche 3. Art mit e'mer ~eke u = 'a s + Oho/V = v e + ah o (vgl. Fig. 1) und 4er Maschenweite h = mh o kurz U s , (m) schreiben; in entsprechender Bedeutung gebrauehen

Der Umstand, da~ das Dreieeksnetz einem Sechseckgewebe eutnommen ist, hat far die nachfolgenden Untersuchungen keine Bedeutung; wit darfen daher das Dreiecksnetz als unmittelbar mit willkiirlichen Seitenl~ngen vor- gegeben betraehten, wenn nur die Anordnung'der Dreieckmasehen diese|be ist wie in Fig. 3.

Ebenso wie in Nr. 2 handelt es sich auch bier durchwegs nut um Fragen der Met r ik im D r e i e c k s n e t z , d. h. am L~ugen auf den das Dreieeksnetz erzeugenden Kurven, nieht aber um die Einbettung des Dreieeksnetzes in den dreidimensionalen Raum. Dreiecksnetze sollen daher als niehtverschieden gelten, wenn sie dutch eine isometrisehe Abbfldung ineinander iibergefiihrt werden kSnnen, d. h. wema s ie in den L~aagen aller Masehenseiten iiberein- stimmen; insbesondere ist es far unsere Unt~rsuehung6n olme Belang, ob wit uns die Kurven des Dreieeksnetzes als gekriimmt oder etwa Ms Streeken- ziige vorstellen.

Wit definieren mm far Dreieeksnetze /a~u]entreue Defarmationen und I~ngenhomogeni~ ebenso wie in w 1 und gebrauehen diese Begriffe wieder beziiglieh der Viereckmasehen, Dreieekmasehen lind Sechseckmasehen sowie der Viereekkreuze, Seehseckkreuze und Seehseeksterne. W~hrend abet in den w167 2, 3 L~kngentreue und L~ngenhomogenitiit sieh immer sehlechthin auf jede beliebige MaschenweiCe h bezogen, sollen sie sich jetzt stets nu t auf eine bestimmte Maschenweite mh o beziehen.

Mathematische Zeitachrlf~. 45. 1 9

284 R. Sauer.

Im fotgenden werden die lgngentreuen Deformationen und die l~ingenhomogenen Dreiecksnetze der Reihe nach fiir die einzelnen Maschentypen behandelt.

19. L~ngentreue und L~ingenhomogenit~t beziictlich der Viereckmaschen. Fiir die Umf~nge der u und die L~ngen der u

gilt

(35) Uoo(m) -~ Z ~,,,U,,~(1)-- Z~.~.L,,~(1) I m i t m = 2 , 3, ..

d. h. : Der Umfang jeder beliebig weiten Viereckmasche und ebenso die L~inge jedes beliebig weiten Viereckkreuzes last sich linear zusammensetzen aus den Umf~ngen von u und den Langen yon Viereckkreuzen der Grundmaschenweite ho, wobei die Koeffi~ienten #~,,, fl~ ~ usf. yon den Langen

2

m cx i2

I x x ' 2

I m o)

(m iS) , 6 . . . . f

15 {$) 2 ? 2

(~] (1)

2

s

:2

IJJ f~'J.

f~2 f l /

Pig. 10.

der Seiten des Dreiecksnetzes unabhangige Zahlen sind.

Der Kiirze wegen geben wit den Beweis nur fiir (351) an: Die erste Summe in (351) erstreclct sich auf die m S Viereckmaschen, die zweite Summe auf die (m -- 1) 3 Viereckkreuze der Grundmaschenweite h o im Innern der gro~en Viereckmasche mit dem Umfang Uoo (m). Die Koeffizienten %,~ sind in der schematischen Fig. 10 eingeklammert in die einzelnen Maschen eingetragen, die Koeffizienten ~e ~ stehen neben den Mittelpunkten der betreffenden Viereck-

kreuze. An Hand der Fig. 10 iiberzeugt man sich leicht, dal} i~ der Dffferer~. der beiden Summen aUe Maschenseiten sich gegenseitig heraushebe~, mit Ausnahme der den Umfang Uoo (m) erzeugenden Seiten.

Aus (35) folgt unmittelbar

Satz 14. Wenn man l_~ngentreue (bzw. I~nyenhomogenit~it) zunt~hst nut/iir die Maschenweite ho, abet gleichzeitig beziiglich der Viereckmaschen und Viereck~euze einer. Art ]ordert, so /olyt daraus L~ngentreue (bzw. I~ngenhomogenit~t) beziiglich der Viereckmaschen und Vteveckkreuze derselben Art auch ]iir jede gr6flere Maschenweite 2 ho, 3 h o, . . . , mho. Ferner erh~lt man dutch ~hnliche Abz~hlungen wie bei (35) die Linear-

kombinationen Uoo (m) = ~P a,,~ Ue~(1 ) -{- Za , . , . U ~ ( 2 ) . m i t m = 3 , 4 . . . . ,

(36) Lo o (m) = X b~o U.~ .~(1) -t- X b,, ~ U,, ~ (2) mit m = I; 2 . . . .

und damit Satz 15. Wenn man Langentreue (bzw. I~ngenhbmogenit~t) zund~hst

nut beziiglich der Viereckmaschen einer Art, abet gleivhzeitiy tiir die M~chen-


weiten h o und 2 h o /ordert, so /o~t daraus JLtingentreue (bzw. Laneen- homogenitat) sowohl beziiflich der Viereckmaschen als auch beziiglich der Viereckkreuze derselben Ar t / i i r aIle Maschen~veiten ho: 2 h o . . . . . mh o.

Wenn man dutch den GrenzprozeJ~ h 0 -~ 0 yon der Differe~zengeomer zur Differentialgeomef, Ae ZUrfickkehrt, so geht Sa.tz 15 in die in Satz 2 ent- haltene Aussage fiber: Die L~ngentreue bezfiglich der u eines Seehseckgewebes hat die Lhngentreue auch beziiglich der u zar notwendigen Folge.

20. L~ingentreue und L~ngenhomogeniti~t beziifflich der Dreieckmaschen.

Die Beziebungen

(37) D~176 Z D " ~ ( 1 ) - Z T e ~ ( 1 ) I mit m = 2 , 3 , too ( , , ) = 2 T'o (1) - ZDo (1)J " ' "

die man sieh leich$ an Hand der Fig. 3 zurechtlegen kalm, hefern

Satz 16. Wenn man Langentreue (bzw. Langenho~genitat) zu~chst nut ]iir die Maschenweite he, abet gleichzeitig beziiglich der Dreieckmazchen beider Arten /ordert, so/olgt daraus Ldngentreue (bzw. Igingenhoraofenit~t ) beziiglich der Dreieekmaschen beider Arten auch ]iir jede grSflere Masehen- weite 2 ho, 3 he, . . . , m h o.

Ebenso ergibt sich aus

Doo(m) ---- Z p,, ,, D.o ~ (1) -i- Zp .o .D~. (2) mit m = 3, 4 . . . . , (38)

Too(m ) == 2:q,.,,D,.,~(i)~, ~ D ~ . o ( 2 ) mit. m--~ 1,2 . . . .

Satz 17. Wenn man .Liinqentreue (bzw. Igi~enhomogenitgt) zungchst nut beziiglich der Dreieckmaschen einer Art, abet gleichzeitig /iir die Maschen- weiten h o und 2 h o ]ordert, so ]o~t daraus I~'nffentreue (bzw. Lgngen- homogenitgt) beziiglich der DreieJcmaschen beider Arten /iir aloe Maschen- *zeiten ho, 2 h o . . . . , m h o.

Mit h o --> 0 geht Satz 17 in den zweiten Teil des Satzes 3 fiber. Auch die Ergebnisse fiber Erhaltung der Umwege (Nr. 8) und fiber

Umweglosigkeit (Nr. 14) lassen sieh auf Dreiecksnetze iibertragen, wlr ver- zichten jedoeh darauf, dies n~her auszuffihren.

~1. L~ngentreue und Lgngenhomogenit~t beziiglich der Sechseckmaschen.

Ffir dis Umfange der Sechseckmaschen und die.Lgngen der SechsecLkreu'ze und Sechsecksterne gelten die Linearkombinationen

Soo(m) =2:7, ,oS, , . (1)+_.~, , , ,K, , , , (1) +, XT,, . J, , . (11 /

Joo (m) ~- Z e:,. d:, o(1) ~- Z ~:i. S,,. (1) -+- 2: e.,. K,,. (1))

Der Kiirze halber geben wir den Beweis nur ffir (391) an:

19"

2 ~ R. Sauer.

Wit benutzen die Rekursionsformel 6

(40) So~ (m) -b Soo(m -- 6) ----X {So ~(m -- I) + Sz,~(m --5)} I

lfi

-- 3 {S O o (m -- 2) -b So o (m -- 4)l -- • {S~. t, (m -- 2) -b Sz. (m -- 4)~ 1

13

- X ~ . S . ~ ( t , , - 3), 1

die sich aus der dutch die schematische Fig. 11 verdeutlichten Abziihlung ergibt: Die 6 Punl~e 0/a sind in Fig. 11 links, die 12 Punkte ;t/p in Fig. 11 Mitre und die 13 Punkte z/~ in Fig. 11 rechts dutch NuUkreise gekenn:

v v v

A P

\

A A A

,V# Fig. 1 I.

? x/r

zeichnet; in Fig. I t rechts sind auSerdem die Koeffizienten 5,.~ eingeklammert eingetragen. Die Rekttrsionsforme] (40) gilt zun~chst ftir m > 6; sie bleibt abet auch fiir m = 4, 5, 6 anwendbar, wenn man fiir i < 0 verabredet

S (i) = -- S (-- i), also insbesondere S (0) : O.

VermSge der Rekursionsformel (40) geniigt es, die zu beweisende Gleichung (391) nut fiir m ----2 und m ----3 herzuleiten:

Fig. i2.

.

Fig. 13.

Fiir ra = 2 entnimmt man aus der schematischen Fig. 12 6

800(2) = ~. ~,.,~,(1)- 2Koo(1) -: Joo(l); 4

die 6 Punkte O/a sind 4urch NUllkreise gekennzeichnet: Ffir m = 3 erh~lt man g e m ~ Fig. 13

19 6

Soo (3) = Z S~.~, (1) - - 2 Joo (1) - - Z J,:o (1); 1 1


die 6 Pnnlrte ~/a sind wieder durch Nulll~eise markiert, die 19 Punkte ~]/~ sind die s~mtliehen im Innern der stark ausgezogenen Sechsec]rmasehe liegen- den Ne~zpunkte.

Aus (39) erh~lt man

Satz 18. Wenn ma~ Langentreue (bzw. La'ngenhomogenitat) zun~hst nut flit die Masehen,weite ho, abet gleivhzeitiq beziiglich der Sechse~kmaschcn, Sechseckkreuze and Sechsevksterne fordert, so ~olgt daraus I, anyentreue (bzv. L~ngenhomogenitat) beziiqlieh der ~e~hseckmasvhen, Sechseckkreuze und Sevhsecksterne auch fiir jede gr6flcre Maschenweite 2 ho, 3 h o . . . . , mh o.

Aus den dutch ii~liehe Abzahlungen herleitbaren Beziehungen

Soo(m)-=Z%oS, , , (1) +Z-c~.,S~.o(2) + Z~e~Sq~ (3 } mit m~-4,5 . . . . .

(41) K0o(2m) ----- Zd.~, S.~o(1) + Zd,, ,S~,(2) + Z ~, aS,, q(3) /

ergibt sich

Sa•z 19. Wenn man Langentreue (bzw. Langenh~mogenit~t) zu- n~Chst nut beziiglich der Sechseckmasvhen, abet gleiehzeitig ]iir die Maschen- weiten ho, 2 h o and 3 h o/ordert, so ]o~t daraus I~'nqentreue (bzw. I~nge.n- homogenit~t) beziiglich der Sechseckmaschen flit alle Maschenweiten ho~ 2 h0, . . . , mh o und beziiglieh der Sevhseckkreuze und Sechsec~terne ~iir die Maschenweiten 2 h o, 4 ho, . . . , 2 mh o.

Mit h e -> 0 geht Satz 19 in die Aussage a) des Satzes 6 fiber.

22. Existenz l~ngentreuer De]ormationen und l~ngenhomogener Dreiec~tze .

Wir ha ben bisher die Existenz l~ngentreuer Deformationen bzw. liingen- homogener Dreiecksnetze stillschweigend vorausgesetzt. Es ist in der Tat leicht, bezfiglieh eines jeden Maschentyps die allgemeinsten langentreuen Deformatio- nen eines beliebig vorgegebenen Dreiecksnetzes bzw. die aUgemeinsten lgngenhomogenen Dreiecksnetze anzugeben. Wit wollen bier beispielsweise die allge'meinsten Dreieeksnetze ermitteln, die f 7 alle Masehenweiten mh o (m = 1, 2, 3 . . . . lgngenhomogen s i n d beziiglich der Viereekmasehen und Viereek- kreuze einer Art:

Nach Satz i4 genfigt es, die Fordertmgen der L~ngenh0mogenit~t lediglieh fiir die Fig. 14. Grundmaschenweiten h o zu efffillen. Man kann daher die in Fig. 14 stark ausgezogenen Maschenseiten als ,,willkfirliehe Randbedingungen" vorgeben.

288 R. Sauer, Metrische Fragen der Gewebegeometrie.

Die in Fig. 14 diinner gezeichneten M~schenseiten lassen sich dana schritt- weise aus den Bedingungen

U o ~ (1) -- const, L,~ ~ (1) ---- const

eindeutig bestimmen. Damit sich bei dieser Konstruktion fiir alle neu hinzu- tretenden Maschenseiten positive L~ingen ergeben, miissen die willktirliehen Randbedingungen in entsprechender Weise eingeschri~nkt werden.

Zum Schlul~ sei noch erw~ihat, daft man die bier entwickelten differenzen- geometrischen Beziehungen und Konstrul~ionen dazu verwenden kann, um die Differenzierbarkeitseigenschaften, die wir in den w167 2, 3 fiir die Funktionen ~, ], ~ bzw. e, fl g gefordert haben, entbehrlich zu machen. Alle uasere differentialgeometrischen S~tze bleiben dana giiltig, wean man fiir die Funktionen lediglich Stetigkeit verlangt (vgl. Nr. 3).

(Eingegangen am 9. Dezember 1938.)

Metrische Fragen der Gewebegeometrie

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