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Mikrookonomik B2. Entscheidung bei Unsicherheit

Dennis L. Gartner

14. April 2011

Mikro B - Entscheidung bei Unsicherheit

Lotterien Praferenzen Erwartungsnutzen Risikoeinstellung Diskussio n Simplex Paradoxa

Entscheidung bei Unsicherheit

◮ Literaturangaben:◮ Varian (2007), Kapitel 12, 13◮ Jehle und Reny (2001), Kapitel 2.4◮ Kreps (1990), Kapitel 3.

◮ Bisher: Entscheidung zwischen verschiedenenHandlungsalternativen (Guterbundeln, Konsumplanen).

◮ Folgen der Entscheidung sind bekannt und treten mitSicherheit ein.

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Entscheidung bei Unsicherheit

◮ Was, wenn manche Guterbundel nicht immer mitSicherheit, sondern zufallig verfugbar sind?

◮ Das Gut ”Skifahren in den schweizer Alpen” ist z.B. nurverfugbar, falls dort die richtigen Temperaturen herrschen.

◮ Ganz allgemein hangt das Ergebnis einer Entscheidung oftnicht nur von der gewahlten Handlungsalternative ab,sondern auch vom Zufall, der Realisation eines Zustandsder Welt .

◮ Zustand der Welt kann z.B. das Wetter sein, aber auch derEintritt eines Schadens, Erfolg oder Misserfolg bei einemTest, der Entwicklung eines neuen Produkts, etc.

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Fragen, welche wir beantworten wollen

◮ Wie kann man Praferenzen uber unsichere Ergebnisse vonEntscheidungen formal beschreiben?

◮ Was bedeutet rationales Verhalten (Optimieren unterAusnutzung verfugbarer Informationen) bei Unsicherheit?

◮ Wie kann man dies in einem Modell abstrakt abbilden?◮ Welche theoretischen Vorhersagen ergeben sich fur

empirisch beobachtbares Verhalten?◮ Welche Implikationen fur wirtschaftliches Handeln folgen

aus der Theorie?

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Lotterien: Skiurlaub in den schweizer Alpen

◮ Entweder es liegt Schnee oder nicht.◮ D.h. es gibt zwei Zustande der Welt, S und N.◮ Beide Zustande der Welt treten mit einer bestimmten

Wahrscheinlichkeit ein, sagen wir pS und pN .◮ Nachdem sich beide Zustande gegenseitig ausschliessen

(sie sind disjunkt), gilt pS + pN = 1.◮ Das Gut Skifahren ist nur im Zustand der Welt S erhaltlich,

ansonsten mussen Brettspiele konsumiert werden.

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Lotterien

◮ Skiurlaub in den schweizer Alpen ist also ein Glucksspiel,eine Lotterie .

◮ D.h. das Guterbundel, das im Urlaub konsumiert wird, istunsicher und gegeben durch{

2 Tage Skifahren . . .mit Wahrscheinlichkeit pS,2 Tage Brettspiele . . .mit Wahrscheinlichkeit 1 − pS.

}

◮ Dabei sind Skifahren und Brettspiele Ergebnisse(outcomes) der Lotterie.

◮ Eintritts-Wahrscheinlichkeiten (pS) sind in diesem Teil derVorlesung immer objektiv (konnten auch subjektiv sein!).

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Lotterien

Allgemeiner Formalismus◮ Bezeichne die Menge aller moglichen Ergebnisse mit

A = {a1,a2, . . . ,an}; wir konzentrieren uns hier derEinfachheit halber auf numerische Ergebnisauszahlungen.

◮ Bezeichne die Wahrscheinlichkeitsverteilung uber A mitp = (p1, . . . ,pn) wobei pi ≥ 0 fur i = 1, . . . ,n und∑n

i=1 pi = 1. D.h. Wahrscheinlichkeit fur Ergebnis ai ist pi .◮ Bezeichne die Menge aller moglichen Wahrscheinlichkeits-

verteilungen (Lotterien) uber A mit P.◮ Ein sicheres Ergebnis (z.B. ein Guterbundel) kann als

Lotterie uber A = {x} mit px = 1 beschrieben werden.

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Lotterien

◮ Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung p uber eineErgebnismenge A = {a1,a2, . . . ,an} nennt man eineeinfache Lotterie gS,

gS = (p1 ◦ a1,p2 ◦ a2, . . . ,pn ◦ an).

◮ Das Symbol ‘◦’ steht dabei fur eine Zuordnung vonWahrscheinlichkeit und Ergebnis.

◮ Eine Ergebnismenge kann selber auch Lotterienbeinhalten, z.B. A = {g1,g2, . . . ,gn}.

◮ In diesem Fall nennt man die Wahrscheinlichkeitsverteilungp uber A eine zusammengesetzte Lotterie g,

g = (p1 ◦ g1,p2 ◦ g2, . . . ,pn ◦ gn).

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Einfache und zusammengesetzte Lotterien graphisch

a1

gS

p

ttttttttttttttttttttt q

1−p−q

JJJJ

JJJJ

JJJJ

JJJJ

JJJJ

Ja3

a2

Abbildung: Einfache Lotterie gS = (p ◦ a1, q ◦ a3, (1−p−q) ◦ a2).

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Einfache und zusammengesetzte Lotterien graphisch

a1

a3

g

p

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx q

1−p−q

FFFF

FFFF

FFFF

FFFF

FFFF

FFg′

q′

qqqqqqqqqqqqq

1−q′

MMMM

MMMM

MMMM

M

a4

a2

Abbildung: Zusammengesetzte Lotterieg = (p ◦ a1, q ◦ g′, (1−p−q) ◦ a2).

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Lotterien◮ Bezeichne Menge aller (zusammengesetzten) Lotterien

mit G.◮ Beispiel Skiurlaub:

◮ Skiurlaub hangt davon ab, ob das Auto funktioniert.◮ Mit Wahrscheinlichkeit 1 − q fahrt es, mit q muss es in die

Werkstatt und Gut “Brettspiele zuhause” wird konsumiert.◮ D.h. die Autofahrt in den Skiurlaub ist eine

zusammengesetzte Lotterie der Form

g = (q ◦ a1, (1 − q) ◦ (p ◦ a2, (1 − p) ◦ a3)).

◮ Ist g aquivalent zu

g′ = (q ◦ a1, (1 − q)p ◦ a2, (1 − q)(1 − p) ◦ a3)?

Nicht klar, hangt von Praferenzen ab! Aber wir werden dieReduktionseigenschaft einfach annehmen.

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Reduktion zusammengesetzter Lotterien

◮ Einfache Lotterie: Wahrscheinlichkeitsverteilung uberErgebnismenge A.

◮ Zusammengesetzte Lotterie:Wahrscheinlichkeitsverteilung uber andere Lotterien.

◮ Reduktion zusammengesetzter Lotterie g auf einfacheLotterie:

◮ Ausrechnen der Eintrittswahrscheinlichkeit fur jedesErgebnis in A gegeben die Wahrscheinlichkeiten in g undallen zusammengesetzten Lotterien in g.

◮ Ergibt einfache Lotterie, die von g impliziert wird.

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Reduktion zusammengesetzter Lotterien graphischa1

a3

g

p

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx q

1−p−q

FFFF

FFFF

FFFF

FFFF

FFFF

FFg′

q′

qqqqqqqqqqqqq

1−q′

MMMM

MMMM

MMMM

M

a4

a2

Abbildung: Zusammengesetzte Lotterieg = (p ◦ a1, q ◦ g′, (1−p−q) ◦ a2).

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Reduktion zusammengesetzter Lotterien graphisch

a1

a3

gS

p

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

qq′

ffffffffffffffffffffffffffffffff

q(1−q′)

XXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

XXXXXXXX

1−p−q

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

GG

a4

a2

Abbildung: Reduktion der zusammengesetzte Lotterie g lasst auf dieeinfache Lotterie gS = (p ◦ a1, (1−p−q) ◦ a2, qq′ ◦ a3, q(1−q′) ◦ a4).

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Lotterie vs. Zufallsvariable

◮ Fur den Moment: seien Ergebnisse a1, . . . ,an ∈ A Zahlen(z.B. Geldbetrage).

◮ Mathematisch ist eine einfache Lotterie dann nichtsanderes als eine Zufallsvariable.

◮ Eine einfache Lotterie g = (p1 ◦ a1,p2 ◦ a2, . . . ,pn ◦ an)kann man ebenso beschreiben als

◮ eine Zufallsvariable a verteilt gemass der DichtefunktionP(ai) = pi auf dem Wahrscheinlichkeitstrager (support) A.

◮ Der Erwartungswert von a ist E[a] =∑n

i=1 piai .◮ Diese Vorlesung verwendet das Konzept Lotterie, lasst

sich aber auch uber Zufallsvariablen darstellen.

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Lotterien Praferenzen Erwartungsnutzen Risikoeinstellung Diskussion Simplex P aradoxa

Praferenzen uber Lotterien

◮ Lotterien stellen wohldefinierte Mengen vonEntscheidungsalternativen dar.

◮ Um Entscheidungen bei Unsicherheit zu modellieren, wirdein Modell der Praferenzen uber Lotterien benotigt (analogzur Nutzentheorie bei Sicherheit).

◮ Wir werden in der Folge – analog zum Vorgehen beiSicherheit – Annahmen an die Praferenzordnung stellen,welche die Existenz einer Nutzenfunktion sicherstellen.

◮ Diese Nutzenfunktion u(g) ist uber die Menge derLotterien definiert.

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Praferenzen uber Lotterien

◮ Eine Nutzenfunktion u(g), die direkt aufWahrscheinlichkeitsverteilungen definiert ist, ist sowohlanalytisch als auch empirisch schwer zu ermitteln.

◮ Sehr viel angenehmer ware es, mit einer Nutzenfunktionzu arbeiten, die auf der Ergebnismenge definiert ist.

◮ Ein Beispiel dafur ist die folgende Nutzenfunktion

u(g) = E[a] =n∑

i=1

piai .

◮ D.h. die Lotterie ist gerade so gut wie ihr Erwartungswert.Dies erscheint bei monetaren Ergebnissen nicht unsinnig.

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St. Petersburg-Paradox

◮ Gegeben ist folgendes Glucksspiel g:◮ Eine faire Munze wird solange geworfen, bis zum ersten

Mal ‘Zahl’ erscheint.◮ Falls ‘Zahl’ zum ersten Mal beim n-ten Munzwurf auftritt,

wird ein Betrag von 2ne ausgezahlt.

# 1 2 3 4 5 6 7 8e 2 4 8 16 32 64 128 256

◮ Wieviel wurden Sie bezahlen, um an diesem Glucksspielteilzunehmen?

◮ Die meisten Befragten antworten in der Grossenordnungvon 3–5e.

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Daniel Bernoullis St. Petersburg-Paradox

◮ Erwartungswert der Lotterie g?

E[g] =12

2 +14

4 + . . . =

∞∑

t=1

(12

)t

2t =

∞∑

t=1

1 → ∞.

◮ Gewisse Diskrepanz in beobachteter Zahlungsbereitschaftfur g und dem Erwartungswert von g.

◮ Bernoullis Vorschlag: Ergebnisse 2n mit einer konkavenFunktion zu bewerten, damit werden fruhere (kleinere)Auszahlungen hoher gewichtet und dieZahlungsbereitschaft fur g wird endlich.

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Daniel Bernoulli

Daniel Bernoulli (1700-1782) 6= Jakob Bernoulli (-Verteilung!)

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St. Petersburg-Paradox◮ Bernoullis Vorschlag fur eine Nutzenfunktion unter

Unsicherheit:

U(g) =n∑

t=1

pt ln(at) =

∞∑

t=1

12t ln(2t) =

ln(4)2

∞∑

t=1

t2t

︸︷︷︸

=2

= ln(4) ≃ 1.4.

◮ Damit ware das Glucksspiel g genauso gut wie einesichere Auszahlung von 4e.

◮ Annahme, Ergebnisse mit ln(at) zu bewerten ist willkurlich.◮ U(g) linear in Wahrscheinlichkeiten, damit Nutzen direkt

auf Ergebnismenge definierbar.◮ Dies ist eine sehr angenehme Form, die das Rechnen

erleichtert und einfache Vergleichbarkeit von Lotterienermoglicht.

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Lotterien Pr aferenzen Erwartungsnutzen Risikoeinstellung Diskussion Simplex Paradoxa

Erwartungsnutzen-Eigenschaft

Formal lasst sich diese angenehme Form allgemein sobeschreiben:

Definition (Erwartungsnutzen-Eigenschaft)Eine reellwertige Nutzenfunktion U(g) hat dieErwartungsnutzen-Eigenschaft, wenn fur alle g ∈ G gilt

U(g) =n∑

i=1

piu(ai),

wobei (p1 ◦ a1,p2 ◦ a2, . . . ,pn ◦ an) die von g induzierte einfacheLotterie ist.

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Erwartungsnutzen-Eigenschaft

◮ Erwartungsnutzen-Eigenschaft ist gleichbedeutend mit

U(g) =n∑

i=1

pi(g)u(ai) = E[u(ai)],

wobei E[·] der Erwartungswert bezuglich Verteilung p(g)ist.

◮ D.h. ein Individuum maximiert den Erwartungswert einerNutzenfunktion (Erwartungsnutzen) und nicht z.B. denNutzen des Erwartungswerts.

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Erwartungsnutzen

◮ Die Erwartungsnutzen-Eigenschaft postuliert eineNutzenfunktion der Form

U(g) =n∑

i=1

piu(ai)

◮ U(g) wird Erwartungsnutzen oder vonNeumann-Morgenstern (vNM) Nutzenfunktion genannt.

◮ u(ai) wird als Bernoulli-Nutzenfunktion bezeichnet.◮ Falls die Ergebnismenge A ein Guterraum X ist, kann u(x)

eine Nutzenfunktion aus der Konsumententheorie sein.◮ Falls die Ergebnismenge A verschiedene Einkommen y

enthalt, dann kann u(y) eine indirekte Nutzenfunktion sein.

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Invarianz bezuglich positiver linearer TransformationProposition (Invarianz bezuglich positiver linearerTransformation)Angenommen U und V sind zwei vNM Nutzenfunktionen mitden zugehorigen Bernoulli-Nutzenfunktionen u und v, diedieselbe Praferenzordnung � uber G reprasentieren. Dannexistieren a,b mit b > 0, so dass u(x) = a + bv(x).

◮ Erwartungsnutzen sind linear in Wahrscheinlichkeiten.◮ Bernoulli-Nutzenfunktionen sind (wie in

Konsumententheorie) invariant bezuglich monotonerpositiver Transformationen.

◮ Daher sind auch vNM Nutzenfunktionen nicht eindeutigbestimmt.

◮ Beweis: Wird hier nicht vorgestellt—aber die Idee folgt.

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BeweisideeBernoulli Nutzenfunktionen fur riskikoaverse und risikofreudigeEinstellungen.

u(3)

u(3)

u(2)

u(2)

12u(1) + 1

2u(3)

12u(1) + 1

2u(3)

u(1)

u(1)

ee11 22 33

u(x)u(x)

Da also die Form der Bernoullifunktion u(·) eine Rolle spielt,konnen Erwartungsnutzenfunktionen nur linear steigendtransformiert werden.

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Erwartungsnutzen

◮ Das Invarianzresultat bedeutet, dass derErwartungsnutzen mehr Information enthalt als eineNutzenfunktion aus der Konsumententheorie.

◮ Nutzenfunktion aus der Konsumententheorie war reinordinal.

◮ Erwartungsnutzen nicht nur Ordnungsnummer einesErgebnisses.

◮ Nutzendifferenz zwischen verschiedenen Ergebnissenkann nicht beliebig verandert werden und doch dieselbePraferenzordnung uber Lotterien abbilden!

◮ D.h. Erwartungsnutzen kein ordinales, sondern einkardinales Konzept.

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Verhaltensimplikationen

◮ Erwartungsnutzen-Eigenschaft der Nutzenfunktion ist eineAnnahme an das Verhalten der Entscheider.

◮ Welche Einschrankungen an das Entscheidungsverhaltenwird durch das Konzept Erwartungsnutzen impliziert? Sinddiese Verhaltensimplikationen plausibel?

◮ Es existiert eine Axiomatisierung der Erwartungsnutzen-Eigenschaft. D.h., es existieren eine Reihe von Annahmenan die Praferenzen der Wirtschaftssubjekte, diesicherstellen, dass diese durch eine Nutzenfunktion mit derErwartungsnutzen- Eigenschaft dargestellt werdenkonnen.

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Die Axiome der Erwartungsnutzentheorie

1. Rationalitat

2. Stetigkeit

3. Reduktion

4. Unabhangigkeit

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Axiome der Erwartungsnutzentheorie

1. Rationalit at: Die Praferenzrelation % uber G istvollstandig, reflexiv und transitiv, d.h.

(i) Fur alle g, g′ in G gilt entweder g % g′, g � g′, oder beides.(ii) Fur alle g in G gilt g % g.(iii) Fur alle g, g′, g′′ in G gilt: g % g′ und g′ % g′′ impliziert

g % g′′.

Dies entspricht den ublichen Rationalitatsannahmen an diePraferenzrelation eines Konsumenten uber Guterbundel unterSicherheit.

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2. Stetigkeit: Fur alle g, g′, g′′ in G mit g ≻ g′ ≻ g′′ existierenreelle Zahlen α, β ∈ (0,1), so dass(α ◦ g, (1 − α) ◦ g′′) ≻ g′ ≻ (β ◦ g, (1 − β) ◦ g′′).

Diese Annahme impliziert, dass immer ein trade-off inWahrscheinlichkeiten zwischen verschiedenen Lotterienbestehen muss (ahnlich der Stetigkeitsannahme derKonsumententheorie).

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3. Reduktion: Fur alle g, g′ in G, die dieselbeWahrscheinlichkeitsverteilung uber die Ergebnisse Aimplizieren, gilt g ∼ g′.

Dies bedeutet, die Lotterien

g = (q ◦ a1, (1 − q) ◦ (p ◦ a2, (1 − p) ◦ a3)) und

g′ = (q ◦ a1, (1 − q)p ◦ a2, (1 − q)(1 − p) ◦ a3)

aus dem Skiurlaub-Beispiel sind tatsachlich gleichwertig unterder Praferenzordnung des Entscheiders.

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4. Unabh angigkeit: Fur alle g, g′, g′′ in G mit g ≻ g′ gilt,dass (α ◦ g, (1 − α) ◦ g′′) ≻ (α ◦ g′, (1 − α) ◦ g′′) fur alleα ∈ (0,1).

Die Praferenz fur eine zusammengesetzte Lotterie hangt nichtvon gemeinsamen Konsequenzen g′′ ab.

Anm: Fur die Indifferenzrelation % lasst sich dasgleichlautendende Axiom fur alle α ∈ [0,1] definieren.

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Monotonie

◮ Lemma (Monotonie)Unter den Annahmen Rationalitat, Stetigkeit, Reduktion undUnabhangigkeit gilt fur alle g, g′ in G mit g ≻ g′, dass(α ◦ g, (1 − α) ◦ g′) ≻ (β ◦ g, (1 − β) ◦ g′) mit α, β ∈ [0,1] genaudann wenn α > β.

Der Beweis wird hier nicht vorgestellt. Monotonie bedeutet,dass mehr Wahrscheinlichkeit auf praferierten Ergebnissenimmer besser ist (ahnlich zur Monotonie in derKonsumententheorie).

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Das von Neumann-MorgensternReprasentationstheorem

◮ Theorem (von Neumann-Morgenstern)Die Praferenzrelation % uber Lotterien erfullt die AnnahmenRationalitat, Stetigkeit, Reduktion und Unabhangigkeit dannund nur dann, wenn eine Nutzenfunktion U : G 7→ R existiert,welche % reprasentiert und die Erwartungsnutzen-Eigenschaft

U(g) =n∑

i=1

piu(ai) besitzt.

Das Theorem sagt, dass die vorgestellten Axiome notwendigund hinreichend sind fur Reprasentation einerPraferenzordnung uber Lotterien durch den Erwartungsnutzen.Der Beweis wird hier nicht vorgestellt.

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von Neumann und Morgenstern

John von Neumann Oskar Morgenstern

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Bedeutung des vNM-Theorems

◮ Falls ein Individuum Praferenzen hat, welche denvNM-Axiomen genugen, so existiert eine Nutzenfunktionuber Lotterien, welche die Erwartungsnutzeneigenschaftbesitzt.

◮ D.h. die Eigenschaft, den erwarteten Nutzen alsZielfunktion zu haben, basiert auf Annahmen direkt an diePraferenzen eines Entscheidungstragers.

◮ Umgekehrt impliziert die Annahme einerErwartungsnutzenfunktion, dass die Praferenzen einesEntscheiders den Axiomen genugen.

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Anwendungen

◮ Erwartungsnutzentheorie ermoglicht es◮ optimale Entscheidungen zu treffen (normativ), oder◮ das Verhalten von Entscheidern vorherzusagen (positiv).

◮ Potentiell grosse Menge an Anwendungen der Theorie◮ Berufswahl: Beamter oder Unternehmer?◮ Prufungsvorbereitung: Wieviel Mut zur Lucke?◮ Heirats-Entscheidung: Wann sollte man aufhoren zu

suchen?◮ Portfolioentscheidung: Aktien oder Anleihen?◮ Versicherungswahl: Wie hoch sollte man sich versichern?◮ Wert von Information: Was sollte Wissen uber den wahren

Zustand der Welt kosten?

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Beispiel 1: Einkommensrisiko und monetareAuszahlungen

◮ Im Leben eines Bauern gebe es zwei mogliche Zustande:genug Regen G und kein Regen S.

Zustand G tritt mit Wahrscheinlichkeit pG und S mit derGegenwahrscheinlichkeit 1 − pG ein.

◮ Ernte und damit Bauerneinkommen y sind vom realisiertenZustand der Welt abhangig, dh. die Ergebnismenge einesBauern ist A = {yG, yS}. Es gelte yS < yG.

◮ Also sieht sich der Bauer folgender Einkommens-Lotteriegegenuber

g = (pG ◦ yG, (1 − pG) ◦ yS).

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Beispiel 1: Einkommens-Lotterie graphisch

yG

g

pG

kkkkkkkkkkkkkkkkkk

1−pGSS

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

S

yS

Abbildung: Einfache Lotterie g = (pG ◦ yG, (1−pG) ◦ yS), d.h. mitWahrscheinlichkeit pG tritt Zustand G ein (→ Einkommen yG),andernfalls tritt Zustand S ein (→ Einkommen yS).

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Beispiel 1: Einkommens-Zustandsdiagramm

(yS

,yG

)

={(yG

,y

S

): Eu(y

) = Eu(y)}

-(1-pG

)/pG

- (1-pG

)/pG

u'(yS

)/u'(y

G

)

(yS

,y

G

)

yG

yS

(yS, yG)

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Beispiel 1: Indifferenzkurven

◮ Indifferenzkurve: Zwischen welchen ZustandseinkommenyG und yS , ist der Bauer indifferent (dh. U(g) konstant, beigegebenen Wahrscheinlichkeiten)?

◮ Erwartungsnutzen von g = (pG◦yG, (1−pG)◦yS):

U(g) = E u(y) = pGu(yG) + (1 − pG)u(yS).

◮ Also: Bauer ist indifferent zwischen Lotterie g und einerLotterie g′ = (pG◦xG, (1−pG)◦xS) mit gleichen Wahrschein-lichkeiten, aber anderen Ergebnissen, genau dann wenn

pGu(yG) + (1 − pG)u(yS) = pGu(xG) + (1 − pG)u(xS).

◮ Damit bilden alle Bundel x = (xG, xS) mit obigerEigenschaft die Indifferenzkurve I.

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(yS

,yG

)

={(yG

,y

S

): Eu(y

) = Eu(y)}

-(1-pG

)/pG

- (1-pG

)/pG

u'(yS

)/u'(y

G

)

(yS

,y

G

)

yG

yS

y = (yS, yG)

I = {(xG, xS) : E u(x) = E u(y)}

Indifferenzkurve I zurAusgangslotterie(pG◦yG, (1−pG)◦yS)gegeben BernoullisVorschlag u(y) = ln(y).

Beachte:Bessermenge von I iststreng konvex.

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◮ Im Punkt (xG, xS) gilt

E u(x) = pGu(xG) + (1 − pG)u(xS).

◮ Variieren von (xG, xS) um (∆xG,∆xS) ergibt

pGu′(xG)∆xG + (1 − pG)u′(xS)∆xS = 0.

◮ Also gilt∆xG

∆xS= −(1 − pG)u′(xS)

pG u′(xG)= GRSGS.

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(yS

,yG

)

={(yG

,y

S

): Eu(y

) = Eu(y)}

-(1-pG

)/pG

- (1-pG

)/pG

u'(yS

)/u'(y

G

)

(yS

,y

G

)

yG

yS

y = (yS, yG)

I = {(xG, xS) : E u(x) = E u(y)}(xG, xS)

−(1−pG)pG

u′(xS)u′(xG)

Negative Steigungvon I entsprichtVerhaltnis derGrenznutzen, d.h. GRSzwischen Einkommenin Zustand G und S.

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Beispiel 2: Versicherung

◮ Gegeben die ursprungliche Lotterie uber Einkommen yG

und yS , wurde der Bauer Einkommen in G gegenEinkommen in S tauschen?

◮ Ja, falls eine Einheit Einkommen in S nicht mehr alsGRSGS Einheiten Einkommen in G kostet.

◮ Eine Moglichkeit, Einkommen zwischen den Zustanden zuverschieben, ist eine Versicherung.

◮ Versicherung hat typischerweise zwei Bestandteile:◮ Leistung (Versicherungssumme): zustandsabhangige

Auszahlung K , die (hier in S) an den Bauern gezahlt wird.◮ Preis (Versicherungspr amie): zustandsunabhangige

Zahlung des Bauern γK , γ ∈ [0, 1], die zurzustandsabhangigen Leistung berechtigt.

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Beispiel 2: Einkommens-Lotterie mit Versicherung

yG − γK

gV

pGiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

1−pG UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU

UU

yS − γK + K

Abbildung: Lotterie mit Versicherung gV , Versicherungsleistung ist Kim Zustand S und Versicherungspramie ist γK , formalgV = (pG ◦ yG − γK , (1−pG) ◦ yS − γK + K ).

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Beispiel 2: Versicherung◮ Versicherung mit Versicherungsleistung K im Zustand S

und Versicherungspramie γK verschiebt Einkommenzwischen den Zustanden.

◮ Umtauschrate von G nach S bei Kauf von Leistung K :

Zustand G SEinkommensanderung ∆ −γK +(1 − γ)K

◮ D.h. Umtauschrate (relativer Preis) ist

∆G∆S

= − γK(1 − γ)K

= − γ

1 − γ.

◮ Durch Transfer von yS → γ1−γ yG, hat der Bauer eine

Budgetmenge

B = {(xG, xS) : γxS + (1 − γ)xG ≤ γyS + (1 − γ)yG}.

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Beispiel 2: Transfer von yS → γ1−γyG

(yS

,yG

={(yG

,y

S

): Eu(y

) = Eu(y)}

-(1-pG

)/pG

- (1-pG

)/pG

u'(yS

)/u'(y

G

)

(yS

,y

G

)

yG

yS

y = (yS, yG)

I B = {(xG, xS) : γxS + (1 − γ)xG ≤ γyS + (1 − γ)yG}.

− γ

(1−γ)

Versicherung abbildbarals Menge aller Punkte,die von (yG, yS) auserreichbar sind.

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Beispiel 2: Optimale Versicherungsentscheidung

(yS

,yG

)

={(yG

�,y

S

�): Eu(y

�) = Eu(y)}

-(1-pG

)/pG

- (1-pG

)/pG

� u'(yS

�)/u'(y

G

�)

(yS

�,y

G

�)

yG

yS

y

I

(x∗G, x

∗S)

− γ

(1−γ)

I ′

yG − γK

yS + (1 − γ)K

OptimaleVersicherungsentscheidung(x∗

S , x∗

G) istTangentialpunkt vonIndifferenzkurve undBudgetmenge.

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Beispiel 2: Optimale Entscheidung bei Unsicherheit◮ Steigung der Versicherungsgerade (Budgetgerade) muss

im Optimum gleich der Steigung der Indifferenzkurve sein!◮ Also:

∂∂xS

E[u(x∗

S , x∗

G)]

∂∂x∗

GE[u(x∗

S , x∗

G)]=

∂∂xS

[(1 − pG) ln(x∗

S)]

∂∂xG

[pG ln(x∗

G)]

=(1 − pG)xG

pGxS

!=

γ

1 − γ.

◮ D.h. im Optimum gilt die BEO

(1 − pG)1x∗

S=

γ

1 − γpG

1x∗

G.

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Beispiel 2: Position der Versicherung

◮ Geht fur Preis γK die Lotterie (pG ◦ 0, (1 − pG) ◦ −K ) ein.◮ Erwarteter Profit:

π = γK − (1 − pG)K .

◮ Angenommen, Versicherung macht im SchnittNullgewinne, also π = 0, dann ist γK = (1 − pG)K .

◮ Bei γ = (1 − pG) heisst die Versicherung ‘aktuarisch’ fair ,dh. die Versicherungspramie entspricht den erwartetenKosten.

◮ Faire Versicherungspramie bepreist Zustands-Einkommenmit Eintrittswahrscheinlichkeit des jeweiligen Zustands.

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Beispiel 2: Optimale Entscheidung bei Unsicherheit

◮ Bauern-BEO von zuvor:

x∗

G =pG

1 − pG

γ

1 − γx∗

S .

◮ Aktuarisch faire Versicherung, γ = (1 − pG), impliziert

x∗

G =pG

1 − pG

1 − pG

pGx∗

S = x∗

S .

◮ Also wahlt der Bauer ein zustandsunabhangigesEinkommen E[x ] = x∗

G = x∗

S , d.h. volle Versicherung .

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Risikoaversion

◮ Beispiel: Streng konvexe Praferenzen imZustands-Diagramm und positive Nachfrage nachVersicherung.

◮ Besteht ein allgemeiner Zusammenhang zwischen Formder Indifferenzkurven / Nutzenfunktion und Nachfrage nachVersicherung?

◮ Wenn die Nachfrage nach Versicherung von der Form derNutzenfunktion abhangt, dann ist diese Form alsRisiko-Einstellung eines Individuums interpretierbar!

◮ Kann also das Risikoverhalten (z.B. suchend odervermeidend) als Parameter der Nutzenfunktion modelliertwerden?

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Risikoverhalten & Form der Nutzenfunktion

◮ Wie zuvor werden hier nur monetare Auszahlungen w alsErgebnisse betrachtet, dh. Ergebnismenge A = R

+0 .

◮ Die Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) uber dieErgebnismenge ist als indirekte Nutzenfunktioninterpretierbar.

◮ u(w), w ∈ R+0 sei mindestens so oft stetig differenzierbar

in w wie benotigt.◮ Technische Annahme: A enthalt nur endlich viele

Ergebnisse mit positiver Wahrscheinlichkeit.

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Jensens Ungleichung

◮ Vermutung: Konvexitat der Bessermengen wichtig.◮ Individuum fragt Versicherung nach, wenn Nutzen aus

Erwartungswert einer Lotterie g = (p1 ◦ w1, . . . ,pn ◦ wn)hoher als Nutzen aus g, also wenn

u(E[g]) > E[u(g)] ⇔ u

(n∑

i=1

piwi

)

>n∑

i=1

piu(wi).

◮ Diese Ungleichung halt genau dann, wenn u(w) strengkonkav ist; sie heisst Jensens Ungleichung .

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Risikoaversion◮ Klassifizierung der Risikoeinstellungen von Individuen

nach ihrer Nachfrage nach fairer Versicherung.◮ Dies entspricht nach Jensens Ungleichung einer

Klassifizierung anhand der Eigenschaften derNutzenfunktion.

DefinitionEin Individuum mit einer vNM-Nutzenfunktion U(g) = E[u(w)]uber einfache Lotterien g = (p1 ◦ w1, . . . ,pn ◦ wn) istbezuglich g

◮ risikoavers , falls u(E[g]) > E[u(w)],

◮ risikoneutral , falls u(E[g]) = E[u(w)],

◮ risikofreudig , falls u(E[g]) < E[u(w)].

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Risikoaversion

◮ Ein Individuum kann sich bezuglich einer einfachenLotterie g risikoavers, sich aber bezuglich einer andereneinfachen Lotterie g′ 6= g risikofreudig verhalten.

◮ Falls ein Individuum fur jede nicht-triviale Lotterie grisikoavers ist, sagt man das Individuum ist risikoavers.

◮ Analoges gilt fur Risikoneutralitat und Risikofreude.◮ Jensens Ungleichung impliziert, dass dies bestimmten

Eigenschaften der Bernoulli Nutzenfunktion u(·) entspricht.

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Graphische Interpretation der Bernoulli Nutzenfunktion

u(w1

)

u(w2

)

E[u(w)]

u(E[w])

w1

w2

E[w]

(1-p1

)(w2

- w1

) p1

(w2

- w1

)

u(w)

u(·)

e

Gegeben sei einekonkave BernoulliNutzenfunktion (alsou′′ < 0) und dieLotterie(p1 ◦ w1, (1 − p1) ◦ w2).

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w

u(w1

)

u(w2

)

E[u(w)]

u(E[w])

w1

w2

u(w)

P

(1 − p1)(w2 − w1) p1(w2 − w1)

E[w ]

u(·)

e

Erwartungswert E[w ]der Lotterie(p1 ◦ w1, (1 − p1) ◦ w2)lasst sich durchStreckenteilungdarstellen.

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w

u(w1

)

u(w2

)

E[u(w)]

u(E[w])

w1

w2

u(w)

P

(1 − p1)(w2 − w1) p1(w2 − w1)

E[w ]

u(·)

e

Ahnlich kann man denErwartungswert derNutzenwertebestimmen.

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w

u(w1

)

u(w2

)

E[u(w)]

u(E[w])

w1

w2

u(w)

SÄ P

(1 − p1)(w2 − w1) p1(w2 − w1)

E[w ]

u(·)

e

E[u(w)]

Erwartungsnutzen alsPunkt auf Konvex-kombination dereinzelnen Nutzenwerteaus den Auszahlungenw1 und w2.

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w

u(w1)

u(w2)

E[u(w)]

u(E[w])

w1

w2

u(w)

SÄ P

(1 − p1)(w2 − w1) p1(w2 − w1)

E[w ]

u(·)

e

E[u(w)]

u(E[w ])

Jensens Ungleichung

u

(n∑

i=1

piwi

)

>n∑

i=1

piu(wi)

besagt, dass fur strengkonkave u(·), derErwartungsnutzenkleiner ist als Nutzendes Erwartungswertes.

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w

u(w1

)

u(w2

)

E[u(w)]

u(E[w])

w1

w2

u(w)

SÄ

(1 − p1)(w2 − w1) p1(w2 − w1)

E[w ]

u(·)

e

E[u(w)]

u(E[w ])SA P

u(E[w ]− P)Sicherheits aquivalentSA: sichere Auszahlung,die gleichen Nutzenverschafft wie Lotterie.

Riskopr amie P:Differenz zwischenErwartungswert undSicherheitsaquivalent derLotterie.

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Sicherheitsaquivalent

DefinitionDas Sicherheits aquivalent einer einfachen Lotterie g ubermonetare Auszahlungen w ist eine Auszahlung SA(g), so dassu(SA(g)) = E[u(w)].

Das Sicherheitsaquivalent einer Lotterie g beschreibt also, wiehoch eine sichere Auszahlung sein muss, damit ein Individuumgerade indifferent zwischen der sicheren Auszahlung und g ist.

Das Sicherheitsaquivalent reflektiert Risikoeinstellung: Falls◮ SA(g) < E[w ], so ist das Individuum risikoavers bzgl g,◮ SA(g) = E[w ], so ist das Individuum risikoneutral bzgl g,◮ SA(g) > E[w ]), so ist das Individuum risikofreudig bzgl g.

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RisikopramieDefinitionDie Risikopr amie einer einfachen Lotterie g uber monetareAuszahlungen w ist eine Auszahlung P(g), so dassE[u(w)] = u(E[w ]− P(g)).

Die Risikopramie einer Lotterie g beschreibt also, welchenBetrag ein Individuum gerade bereit ist zu bezahlen, um dieLotterie g zu vermeiden. Es gilt:

P(g) + SA(g) = E[w ], fur alle g ∈ G.Risikopramie und Risikoeinstellung: Falls

◮ P(g) > 0, so ist das Individuum risikoavers bzgl g,◮ P(g) = 0, so ist das Individuum risikoneutral bzgl g,◮ P(g) < 0, so ist das Individuum risikofreudig bzgl g.

(Die Risikopramie ist nicht gleich der Versicherungspramie.)66 / 132



Masse der Risikoeinstellung

◮ Messung und Vergleich von Risikoeinstellungenverschiedener Individuen?

◮ Interessant fur◮ Verhalten auf Kapitalmarkten,◮ Nachfrage nach Versicherung.

◮ Wann ist ein Individuum risiko-averser als ein anderes?◮ Generell oder bezuglich einer bestimmten Lotterie?◮ Vorschlag: Risikopramie als Mass der Risikoeinstellung.

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◮ Risikopramie P(g): Ein Individuum ist risikoaverser als einanderes bezuglich einer einfachen Lotterie g, falls seineRisikopramie fur g hoher ist.

◮ Diese Charakterisierung hangt von Lotterien g ab; eskonnte technisch aufwendig sein, Risikoeinstellungen zuvergleichen.

◮ Vielleicht konnte ein adaquates Mass auch uberEigenschaften der Bernoulli-Nutzenfunktion u(w) definiertwerden?

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Krummung der Bernoulli Nutzenfunktion

E[u(w)]

u(E[w])SÄ P

u(w)

w1 E[w ]

u(·)

ew2

Gegeben sei eineNutzenfunktion u(w)und eine Lotterie g =(p1 ◦ w1, (1 − p1) ◦ w2)mitErwartungswert E[w ].

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u(E[w])SÄ P

u(w)

w1 E[w ]

u(·)

ew2

E[u(w)]P

BerechneErwartungsnutzenE[u(w)] undRisikopramieP(g).

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u(E[w])SÄ P

u2(w) = w1/2

w1 E[w ]

u(·)

ew2

u3(w) = w1/3

u4(w) = w1/4

u5(w) = w1/5

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u(E[w])SÄ P

u2(w) = w1/2

w1 E[w ]

u(·)

ew2

u3(w) = w1/3

u4(w) = w1/4

u5(w) = w1/5

Risikopramie hoher fur starkere Krummung der Nutzenfunktion!72 / 132




◮ Je gekrummter die Bernoulli-Nutzenfunktion, desto hoherdie Risikopramie P der Lotterie g.

◮ Gilt dies nur fur g oder allgemein?◮ Was ware ein einfaches Krummungsmass?◮ Die Krummung einer Funktion wird bestimmt durch ihre

zweite Ableitung, die angibt, wie stark ihre erste Ableitungsteigt bzw. fallt.

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Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion

Definition (Arrow-Pratt-Mass der absolutenRisikoaversion)Das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion Ra(w)is gegeben durch

Ra(w) = −u′′(w)

u′(w).

Ra(w) ist◮ streng positiv, wenn u(w) streng konkav ist (u′′ < 0),◮ Null, wenn u(w) linear ist (u′′ = 0), und◮ streng negativ, wenn u(w) streng konvex ist (u′′ > 0).

Je grosser Ra(w) ist, desto grosser die “Risikoaversion.”

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Beispiel: Arrow-Pratt-Mass von u(w) =√

w

E[u(w)]

u(E[w])SÄ P

u(w) =√

w = w12

u(·)

w

u′(w) =12

w−12 ,

u′′(w) = − 14

w−32 ,

Ra(w) = −u′′(w)

u′(w)=

14w−

32

12w−

12

=1

2w.

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Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversion

Das Arrow-Pratt-Mass der absoluten RisikoaversionRa(w) = −u′′(w)/u′(w)

◮ ist invariant bezuglich linearer Transformationen derNutzenfunktion.

◮ enthalt alle identifizierenden Eigenschaften einerNutzenfunktion, d.h. kennt man Ra(w) fur alle w ∈ A, kannman daraus die (bis auf positiv-lineare Transformationeindeutige) zugehorige Nutzenfunktion konstruieren.

◮ ist ein lokales Mass, kann also in w variieren! Also kannsich die Risikoaversion eines Individuums in der Hohe derAuszahlungen einer Lotterie und damit ebenfalls imAnfangsvermogen eines Individuums verandern.

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Absolute Risikoaversion und Risikopramie

PropositionFur zwei monoton steigende, streng konkave Nutzenfunktionenu1(w) und u2(w) sind die folgenden Bedingungen aquivalent:

(i) R1a(w) ≥ R2

a(w) fur alle Ergebnisse w ∈ A und

(ii) P1(g) ≥ P2(g) fur alle Lotterien g ∈ G.

⇒ Also misst Ra in der Tat die Risikoaversion (ebenso wie P).

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Absolute Risikoaversion und Risikopramie

◮ Intuition: Sowohl Risikopramie als auch absolute Risiko-aversion sind Masse der Konkavitat einer Nutzenfunktion.

◮ Man kann auch zeigen, dass Bedingungen (i) und (ii)aquivalent sind zu dieser Bedingung:u1(·) ist eine konkave Transformation von u2(·).

Def. u1(·) heisst konkave Transformation von u2(·) wenn gilt,dass u1(w) ≡ ρ(u2(w)) fur eine steigende und konkaveFunktion ρ(·).

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Absolute Risikoaversion und Einkommensanderung

◮ Die Risikopramie einer Lotterie g ist ein intuitives Mass furdie Risikoeinstellung eines Entscheiders(Zahlungsbereitschaft, um Lotterie g zu vermeiden).

◮ Falls Einkommen eines Individuums steigt, konnte sich dieRisikopramie fur g verandern.

◮ Beispiel: Zu welchem Preis wurden sie folgende Wetteakzeptieren, bei der sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1ebezahlen mussen oder 1e bekommen?

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Beispiel: Einkommmenslotterien in den Fallen (a)und (b)

2 1.000.001

ga

1/2kkkkkkkkkkkkkkkkkk

1/2SS

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS gb

1/2iiiiiiiiiiiiiiiiiiii

1/2 UUUUUU

UUUUUU

UUUUUU

U

0 999.999

Abbildung: Durch die ±1e-Wette induzierte Einkommenslotterien ga

und gb unter den Einkommen 1e und 1 Mio e.

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Absolute Risikoaversion und Einkommensanderung

Proposition (Arrow-Pratt)Fur jede vNM-Nutzenfunktion E[u(w)], u(w) streng monotonsteigend und streng konkav, sind diese Aussagen aquivalent:

(i) Ra(w) ist eine fallende (konstante, steigende) Funktionvon w.

(ii) Risikopramie P(g) einer Lotterie g mit Auszahlungenwi = w ± εi , εi hinreichend klein im Vergleich zu w, ist einefallende (konstante, steigende) Funktion von w.

⇒ Veranderung von Risikopramie und absoluterRisikoaversion im Einkommen w haben das gleicheVorzeichen.

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DARA: Funktionen mit fallender absoluterRisikoaversion

◮ Falls das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversioneiner Funktion im Einkommen sinkt, bezeichnet man dieseFunktion als DARA -Funktion (decreasing absolute riskaversion).

◮ Formal: Falls fur eine Nutzenfunktion u(w) gilt, dass∂Ra(w)

∂w < 0, dann ist u(w) eine DARA Nutzenfunktion.

◮ Beispiel: u(w) =√

w .◮ Ableitungen: u′(w) = 1

2 w−12 und u′′(w) = − 1

4 w−32 .

◮ Daher ist Ra =14 w−

32

12 w−

12= 1

21w .

◮ Ableitung von Ra(w): ∂Ra(w)∂w = − 1

21

w2 < 0.

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CARA: Funktionen mit konstanter absoluterRisikoaversion

◮ Falls das Arrow-Pratt-Mass der absoluten Risikoaversioneiner Funktion im Einkommen konstant bleibt, nennt mandiese Funktion CARA -Funktion (constant absolute riskaversion).

◮ Formal: Falls fur eine Nutzenfunktion u(w) gilt, dass∂Ra(w)

∂w = 0, dann ist u(w) eine CARA Nutzenfunktion.◮ Beispiel: u(w) = − exp(−ρw), ρ > 0.

◮ Ableitungen: u′(w) = ρ exp(−ρw), u′′(w) = −ρ2 exp(−ρw).

◮ Daher ist Ra = ρ2 exp(−ρw)ρ exp(−ρw) = ρ.

◮ Ableitung von Ra(w): ∂Ra(w)∂w = 0.

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IARA: zB. Quadratische Nutzenfunktion

◮ In manchen Anwendungen der politischen Okonomie oderder Finanzwirtschaft wird eine quadratischeNutzenfunktion benutzt, z.B.

u(w) = 2w − (w − w)2 mit w ≤ w .

◮ Ableitungen: u′(w) = 2 + 2(w − w), u′′(w) = −2.◮ Daher ist Ra = 2

2+2(w−w) =1

1+w−w .

◮ Ableitung von Ra(w): ∂Ra(w)∂w = 1

(1+w−w)2 > 0.

◮ Also hat die quadratische Nutzenfunktion steigendeabsolute Risikoaversion (manchmal auch IARA genannt).

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Relative Risikoaversion

◮ Fallende absolute Risikoaversion (DARA) scheintempirisch plausibel.

◮ Akzeptanz fur “kleine” Lotterien konnte im Einkommensteigen, sie werden immer “unwichtiger” im Vergleich zumEinkommen.

◮ Vielleicht nutzlich, den Anteil des Einkommens zubetrachten, der unsicherheitsbehaftet ist.

◮ Z.B. bei der optimalen Aufteilung eines Anlagebetrages inverschiedene Wertpapiere.

◮ Steigt Anteil, der in unsichere Anlagen investiert wird imAnlagebetrag?

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Relative Risikoaversion

Definition (Relative Risikoaversion)Das Mass der relativen Risikoaversion Rr (w) is gegeben durch

Rr (w) = −u′′(w)

u′(w)w = Ra(w) · w .

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Relative Risikoaversion: u(w) = ln(w)

◮ Ableitungen: u′(w) = 1w , u′′(w) = − 1

w2 .

◮ Daher ist Ra =1

w21w

= 1w .

◮ Ableitung von Ra(w): ∂Ra(w)∂w = − 1

w2 < 0, also ist ln(w)DARA.

◮ Rr (w) = 1, eine Konstante.

◮ Damit ∂Rr (w)∂w = 0 und ln(w) ist eine CRRA-Funktion

(constant relative risk aversion).

Es gilt generell:◮ Falls eine Funktion CRRA ist, so ist sie auch DARA.◮ Falls eine Funktion CARA oder IARA ist, so hat sie auch

steigende relative Risikoaversion.

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Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier◮ Wichtiges Anwendungsgebiet: Finanzmarkte.◮ Auszahlungen von Aktien, Anleihen, und ahnlichen

Wertpapieren unsicher (Kurs-, Ausfall-, Wahrungs- undZinsrisiko etc.).

◮ Hier einfaches Beispiel: Individuum entscheidet uber dieInvestition seines Einkommens w .

◮ Zwei Anlagemoglichkeiten stehen zur Verfugung:◮ Risikolose Anlage A, zahlt mit Sicherheit am Ende des

Tages (1 + r)wA aus (dabei r ≥ 0 Zinssatz und wA

Anlagebetrag).◮ Wertpapier W , zahlt mit Wahrscheinlichkeit p Betrag

(1 + rH)wW und mit (1 − p) Betrag (1 + rN)wW aus (dabeirH > r > rN Rendite und wW Anlagebetrag).

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Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier

◮ Investor mit Nutzenfunktion ln(w): DARA & CRRA.◮ Was ist die optimale Aufteilung des Vermogens auf A

und W?◮ Optimierungsproblem des Investors:

maxwA,wW p ln ((1+r)wA + (1+rH)wW )

+(1−p) ln((1+r)wA + (1+rN)wW )

so dass wW + wA = w .

◮ Hilfreiche Definition: Einkommensanteil α,welcher in Winvestiert wird, also

α =wW

w= 1 − wA

w.

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◮ Optimierungsproblem des Investors in α:

maxα p ln ((1+rH)αw + (1+r)(1−α)w)

+(1−p) ln ((1+rN)αw + (1+r)(1−α)w) .

◮ w lasst sich ausklammern:

maxα ln(w) + p ln ((1+rH)α+ (1+r)(1−α))

+(1−p) ln((1+rN)α+ (1+r)(1−α)).

◮ Vor dem Ableiten zusammenfassen:

maxα

ln(w) + p ln (1+r + α(rH −r)) + (1−p) ln (1+r + α(rN−r)) .

⇒ Die optimale Wahl von α ist unabhangig von w .

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◮ BEO (durch Ableiten der Zielfunktion nach α):

p(rH − r)1 + r + α(rH −r)

=(1 − p)(r − rN)

1 + r + α(rN−r).

◮ Interpretation: Erwarteter Grenznutzen muss bei optimalerWahl α in beiden Zustanden gleich hoch sein.

◮ Auflosen nach α ergibt nach einigem Rechnen

α =(1 + r)(prH + (1 − p)rN − r)

(rH − r)(r − rN).

◮ prH + (1 − p)rN ist gerade die erwartete Rendite desWertpapiers E[rW ].

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Beispiel 3: Investition in ein riskantes Wertpapier◮ Optimaler Anteil α:

α =(1 + r)(E[rW ]− r)(rH − r)(r − rN)

.

◮ α > 0 genau dann wenn E[rW ] > r .◮ α < 0 entspricht “Leerverkauf” des WPs, α > 1 Kauf auf

Kredit.◮ Sollten Staatsanleihen oder Aktien im Erwartungswert

hohere Rendite erzielen?

Def. Der Verkauf eines Wertpapiers, das der Verkaufer zumVerkaufszeitpunkt noch nicht besitzt heisst Leerverkauf. DerVerkaufer profitiert von dem Leerverkauf, wenn der verkaufteGegenstand im Preis sinkt.

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Aktien vs. Staatsanleihen

Abbildung: Reale Jahres-Renditen des Standard & Poor’s Index(links) und amerikanischer Staatsanleihen (rechts).

Graphiken aus Kocherlakota (1996, JEL 34(1), pp. 42-71) mit verschiedener

Skalierung.

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Aktien vs. Anleihen: Durchschnittliche reale Renditenp.a.

S & P 500 Staatsanleihen Differenz1881-1890 5,08 % 7,23 % -2,15 %1891-1900 9,15 % 5,08 % 4,08 %1901-1910 6,78 % 3,18 % 3,60 %1911-1920 -0,83 % 0,82 % -1,64 %1921-1930 17,54 % 7,41 % 10,13 %1931-1940 7,52 % 2,80 % 4,72 %1941-1950 8,22 % -4,57 % 12,79 %1951-1960 15,32 % 1,05 % 14,27 %1961-1970 5,90 % 2,27 % 3,63 %1971-1980 2,12 % -0,30 % 2,42 %1981-1990 9,59 % 5,32 % 4,28 %1991-2000 15,16 % 2,61 % 12,54 %

Sample Mean 8,81 % 3,24 % 5,57 %

(Daten aus Fama, French (2002, JoF 57(2), pp. 637-659)) 94 / 132




◮ Nachfrage nach unsicherem Wertpapier hangt von◮ Risikoeinstellung des Investors, und◮ von den Preisen fur Einkommen in Zustand H bzw. N (also

rH bzw. rN) ab.

◮ Bedingung erster Ordnung: Grenznutzen des Einkommensaus den verschiedenen Zustanden angleichen (wie immerbei der Wahl des optimalen Guterbundels).

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Risiko

◮ Im Beispiel musste der Investor durch einen hoherenErwartungswert der unsicheren Anlage kompensiertwerden, um eine positive Menge nachzufragen.

◮ Nicht sonderlich uberraschend, dies ist Definition vonRisikoaversion!

◮ Was ist aber das Risiko einer Lotterie?◮ Intuitiv: Ein risikoaverser Entscheider sollte, ohne dafur

kompensiert zu werden, eine weniger riskante Lotteriegegenuber einer riskanteren bevorzugen.

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Risikovergleich zwischen Lotterien

◮ Im Beispiel: riskantes Wertpapier und sichere Anlage.◮ Wertpapier doch sicher “riskanter” als sichere Anlage?◮ Trotzdem positive Nachfrage nach Wertpapier moglich,

abhangig vom Erwartungswert!◮ Also wird Risiko der riskanteren Lotterie zumindest

teilweise uber die Differenz der Erwartungswertekompensiert.

◮ Idee: Vergleiche Lotterien und halte dabei Erwartungswertkonstant.

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Beispiel 4: Risikovergleich

◮ Seien g und h zwei Lotterien definiert durch

g = (p ◦ wg1 , (1 − p) ◦ wg

2 ) und

h = (p ◦ wh1 , (1 − p) ◦ wh

2 ).

◮ Die erwarteten Auszahlungen von g und h seien gleich,d.h.

E[wg] = pwg1 + (1 − p)wg

2 = pwh1 + (1 − p)wh

2 = E[wh].

◮ Ausserdem gelte wg1 > wh

1 > wh2 > wg

2 , also liegenAuszahlungen von g ‘ausserhalb’ jener von h.

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Beispiel 4: Lotterien g und h graphisch

w1g = 10

w1h = 7,5

g

p

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

1−p

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

GGGG

h

pkkkkkkkkkkkkkkkkkk

1−p SSSS

SSSS

SSSSS

SSSS

S

w2h = 2,5

w2g = 0

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Beispiel 4: Risikovergleich◮ Wird ein risikoaverser Entscheider g oder h bevorzugen?◮ E[u(wh)] > E[u(wg)] falls

(1 − p)(u(wh2 )− u(wg

2 )) > p(u(wg1 )− u(wh

1 )).

◮ Teilen beider Seiten durch p(wg1 − wh

1 ) = (1 − p)(wh2 − wg

2 )

u(wh2 )− u(wg

2 )

wh2 − wg

2

>u(wg

1 )− u(wh1 )

wg1 − wh

1

.

◮ Diese Ungleichung halt, falls u(w) global konkav in w .◮ Also wird jeder risikoaverse Entscheider h gegenuber g

vorziehen, egal welche Nutzenfunktion er genau hat.◮ Also erscheint g riskanter als h.

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Beispiel 4: Risikovergleich

SÄ P

u(w)

w2g = 0 w2

h = 2, 5

u(·)

ew1

h = 7, 5 w1g = 10

u(w2h )

u(w1h )

u(w1g )

u(w2g )

Fur jede strengkonkave Funktion u(·)gilt, dassu(wh

2 )− u(wg2 )

wh2 − wg

2

>

u(wg1 )− u(wh

1 )

wg1 − wh

1

.

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Allgemein: Mean Preserving Spreads

Idee:◮ Betrachte Geldlotterie h = (ph

1 ◦ wh1 , . . . ,p

hn ◦ wh

n ).◮ Dann, betrachte zusammengesetzte Geldlotterie g, welche

an Stelle jedes Ergebnisses whi von h (i ∈ {1, . . . ,n}) zu

einer Lotterie hi fuhrt, wobei E[hi ] = whi .

◮ Dann ist g ein Mean Preserving Spread (MPS,‘erwartungstreue Streckung’) von h.

Intuitiv: g schiebt Wahrscheinlichkeitsmasse ‘nach aussen’ andie Rander, ohne den Erwartungswert zu andern.

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Allgemein: Mean Preserving Spreads

Definition (Mean Preserving Spread)Betrachte die Geldlotterien h und g. Bezeichne xh und xg diejeweils zugehorige Zufallsvariable. Dann ist g ein MeanPreserving Spread (MPS, ‘erwartungstreue Streckung’) vonh, wenn gilt:

xg = xh + z

fur eine beliebige Zufallsvariable z mit E[z] = 0.

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Mean Preserving Spreads

w

u(w)

E[w0]

u(·)

u(E[w0]) Gegeben sind eineBernoulli-Nutzen-funktion u(·) und eineLotterie g, die mitSicherheit w0 auszahlt.

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Beispiel: Lotterien g und g′ graphisch

g 1 w0

w3

g′

1/2kkkkkkkkkkkkkkkkkk

1/2SS

SSSS

SSSS

SSSS

SSSS

w2

Abbildung: Links: Lotterie g, die mit Sicherheit w0 auszahlt. Rechts:g′ mit 1/2(w2 + w3) = w0 ist ein MPS von g.

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Mean preserving spreads

w

u(w)

E[w0]

u(·)

u(E[w0])U(g′)

w2 w3

Der Erwartungsnutzender Lotterie g′ istkleiner als der von g

U(g′) =12

u(w2)+12

u(w3).

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Mean preserving spreads

P

w

u(w)

E[w0]

u(·)

u(E[w0])U(g′)

w2 w3w1 w4

U(g′′)

AbermaligeserwartungstreuesSpreizen von g′

ergibt den weiterenMPS g′′ mit nochgeringeremErwartungsnutzen.

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Risiko

PropositionBetrachte zwei Lotterien g und h mit Auszahlungen wg

i und whi .

Die folgenden Bedingungen sind aquivalent:

(i) g ist ein MPS von h.

(ii) E[u(whi )] > E[u(wg

i )] fur jede konkave Funktion u(w).

◮ Unter Bedingung (i) bevorzugen alle risikoaversen Agentenh gegenuber g.

◮ Umkehrschluss: h ist ‘weniger riskant’ als g, g ist ein‘Risikoanstieg’ gegenuber h.

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Beispiel 5: Prufungsvorbereitung

◮ Student S bereitet sich auf ein Examen vor.◮ Die Prufung besteht aus einer Frage, die zufallig mit

gleicher Wahrscheinlichkeit aus 3 Themengebietenausgewahlt wird.

◮ S kann seine Zeit T = 1 auf die Vorbereitung der Themenaufteilen, wahlt (t1, t2, t3).

◮ ti bestimmt direkt die Punktzahl bei Frage aus Thema i .◮ S ist risikoavers und bezieht Nutzen aus erzielten Punkten

uS =√

ti ,

wobei i das zufallig ausgewahlte Thema bezeichnet.◮ Was ist die optimale Vorbereitungsstrategie?

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t1

g

1/3RR

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

R

1/3

lllllllllllllllllll

1/3t2

t3

Abbildung: Uber die Zeitaufteilung (t1, t2, t3) kann Nutzen zwischenden verschiedenen Zustanden der Welt (Prufungsthemen)verschoben werden.

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◮ Im Optimum wird (t1, t2, t3) so gewahlt, dass GRSzwischen allen Zustanden gleich ist.

◮ Eintrittswahrscheinlichkeiten der Zustande (Themen) sindebenfalls gleich.

◮ Daher wird S im Optimum t1 = t2 = t3 = 1/3 wahlen.◮ Alle anderen Aufteilungen sind MPS von (t1, t2, t3).◮ Analogie zum Portfolio-Entscheidungsproblem: Nicht alle

Eier in einen Korb legen.

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Beispiel 5: Mut zur Lucke

◮ Allerdings liegt ublicherweise die Bestehensgrenze bei50%, also fallt Student mit Sicherheit durch, dati = 1/3 < .5, i = 1,2,3.

◮ S sollte ihre Nutzenfunktion modifizieren:

u(ti) =

0 falls ti < 1/2√ti falls 1/2 ≤ ti ≤ 1,

1 falls ti > 1.

Dh. die Nutzenfunktion hat eine Sprungstelle (von 0 auf√

1/2 bei ti = 1/2).◮ Investition von Zeit in ein Thema nur sinnvoll, falls ti ≥ 1/2.◮ Optimierungsproblem: Wahl zwischen Lotterien vom Typ

(2/3 ◦ 1/2,1/3 ◦ 0) und (1/3 ◦ 1,2/3 ◦ 0).

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Beispiel 5: Mut zur Lucke graphisch1/2

g

1/3NN

NNNN

NNNN

NNNN

1/3

qqqqqqqqqqqqq

1/31/2

0

g2/3

1/3NN

NNNN

NNNN

NNNN 1/2

0

1

g′

1/3

rrrrrrrrrrrrr

2/3LL

LLLL

LLLL

LLL

0

E[g] =23

12=

13= E[g′].

Abbildung: Links: Zeitaufteilung auf zwei Themengebiete ergibtLotterie g. Mitte: Zeitaufteilung auf zwei Themengebietezusammengefasst. Rechts: Vergleich mit MPS g′ (Vorbereitung nurauf ein Themengebiet).

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Beispiel 5: Mut zur Lucke

◮ Da S risikoavers und g′ ein MPS von g ist, wird sich S aufzwei Themen vorbereiten.

◮ Obwohl g mit (1/2,1/2,0) riskanter ist alsVollversicherung (ti = 1/3, i = 1,2,3) wird S durch dieSprungstelle zum Risiko gezwungen.

◮ Durchfallgrenze von 50% impliziert Nutzen erst abMindestinvestition ti = 1/2.

⇒ Fixkosten bzw. diskrete Auszahlungsniveaus konnenrisikofreudiges Verhalten risikoaverser Individuen auslosen.

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Weiterfuhrende Themen

◮ Welche Prufungsform wird ein Dozent wahlen, dermoglichst breite Ausbildung der Studenten im Auge hat?

◮ Wenn der Dozent private Anreize hat, moglichstniedrige/hohe Durchfallquoten zu induzieren?

◮ Mechanismus-Design

◮ Im Modell praferieren schlechte Studenten riskanterePrufungen.

◮ Wieviele Fragen sollte die Klausur Ihrer Meinung nachhaben?

◮ Signalisierungsspiele .

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Diskussion

◮ Erwartungsnutzentheorie ergibt eine formale Darstellungokonomischen Verhaltens unter Unsicherheit, diemathematisch beherrschbar ist.

◮ Ermoglicht z.B. die Existenz von Versicherungsmarkten zuerklaren.

◮ Linearitat der Erwartungsnutzenfunktion inWahrscheinlichkeiten eine starke Restriktion, ermoglichtrelativ einfache Messung.

◮ Erwartungsnutzentheorie ist axiomatisiert durchAnnahmen an Praferenzen uber Handlungsalternativen mitunsicheren Konsequenzen.

◮ Annahmen der Erwartungsnutzentheorie vergleichsweisestark und detailliert, damit einfach testbar.

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Diskussion

◮ Erwartungsnutzentheorie hat zwei Komponenten.◮ Normativ sagt sie aus, dass Individuen, deren

Praferenzen die Erwartungsnutzen-Axiome erfullen, einevNM-Nutzenfunktion besitzen und diese maximierensollten .

◮ Positiv sagt sie aus, dass tats achliches individuellesVerhalten unter Unsicherheit mit einerErwartungsnutzenfunktion konsistent sein sollte.

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Messung der Erwartungsnutzenfunktion

◮ Haben Sie eine Erwartungsnutzenfunktion? Wie sieht sieaus?

◮ Dazu konnen Sie Ihre personliche Zahlungsbereitschaft furdie folgenden drei Lotterien angeben.

◮ Aus den Antworten konnen Sie dann Teile IhrerNutzenfunktion konstruieren.

Dieser Messungsvorschlag folgt Klaus Schmidts Vorlesungs-skriptum ‘Mikrookonomie’ (2006).

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Messung der Erwartungsnutzenfunktion◮ Frage 1: Welcher sichere Geldbetrag ware genauso gut fur

Sie wie eine Lotterie, bei der Sie mit gleicherWahrscheinlichkeit 4000e gewinnen oder 1000everlieren?Antwort 1 (A1): . . .

◮ Frage 2: Welcher sichere Geldbetrag ware genauso gut furSie wie eine Lotterie, bei der Sie mit gleicherWahrscheinlichkeit 4000e gewinnen oder den bei Antwort1 angegeben Betrag gewinnen?Antwort 2 (A2): . . .

◮ Frage 3: Welcher sichere Geldbetrag ware genauso gut furSie wie eine Lotterie, bei der Sie mit gleicherWahrscheinlichkeit den bei Antwort 1 angegeben Betraggewinnen oder 1000e verlieren?Antwort 3 (A3): . . .

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Messung der Erwartungsnutzenfunktion

◮ Die drei Antworten bestimmen (mit sicheren Auszahlungen4000 und −1000) funf Punkte Ihrer vNM-Nutzenfunktion.

◮ Die Nutzenfunktion kann beliebig umskaliert werden, wirwahlen u(−1000) = 0 und u(4000) = 1.

◮ Damit gilt u(A1) = 1/2 und damit u(A2) = 3/4 sowieu(A3) = 1/4.

◮ Zusammen mit den zugehorigen Geldbetragen haben Sienun funf Koordinaten, die Sie auf der folgenden Graphikeintragen konnen.

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Messung der Bernoulli-Nutzenfunktion

-1000 0 1000 2000 3000 4000

1/4

1/2

3/4

1

u(w)

w

Hier konnen Siedie durch Ihre Ant-worten A1, A2 undA3 bestimmtenPunkte IhrerBernoulli-Nutzenfunktioneintragen.

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Lotterien Pr aferenzen Erwartungsnutzen Risikoeinstellung Diskussio n Simplex Paradoxa

Lotterien im SimplexDefinition (Simplex)Eine Menge ∆ = {p ∈ R

N+ :∑

pi = 1} heisst N-dimensionalerSimplex .

In seinem drei-Ergebnis (3-dimensionalen) Fall, kann einSimplex graphisch als gleichseitiges Dreieck mit Hohe 1dargestellt werden. Die rechtwinklige Entfernung von einerSeite des Dreiecks wird dann als Wahrscheinlichkeit desErgebnisses das dieser Seite gegenuberliegt interpretiert. Dafur jeden Punkt im Simplex gilt

3∑

i=1

pi = 1,

beschreibt jeder Punkt im Simplexdiagramm eine Lotterie.122 / 132



Lotterien uber Geld

Die Lotterie Q = {p1 ◦ 1,p2 ◦ 2,p3 ◦ 3} mit p1 = p2 = p3 = 1/3.

e1 e2

e3

0

1

11e1 e2

e3

p1p2

p3

Q1

1/2

1/2%

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Praferenzen uber LotterienDie vNM-Annahmen induzieren gerade & parallele Indifferenz-kurven uber Lotterien w ≻ (u ∼ v) im Simplexdiagramm. Hiereine Illustration der Macht von Reduktion & Unabhangigkeit:

(α ◦ u, (1 − α) ◦ w) % (α ◦ v , (1 − α) ◦ w)

uu

vv

1/2u + 1/2v

w

1/2u + 1/2w 1/2v + 1/2w

e1e1 e2e2

e3e3

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Allais’ ParadoxonVon Neumann und Morgenstern verstanden die Erwartungs-nutzentheorie als normatives Argument fur idealisiertesRisikoverhalten. Die praktische Anwendbarkeit der Theoriemachte es allerdings bald notwendig auch ihre Vorhersagen zuuberprufen.

Die klassische Falsifikation dieser deskriptiven Seite derErwartungsnutzentheorie ist Allais’ Paradoxon. Sie wahlenzwischen Alternativen L1 und L2 bzw. L3 und L4:

L1: {0.0 ◦ e0, 1 ◦ e1, 0.0 ◦ e5} ↔ L2: {0.01 ◦ e0, 0.89 ◦ e1, 0.1 ◦ e5}

L3: {0.9 ◦ e0, 0 ◦ e1, 0.1 ◦ e5, } ↔ L4: {0.89 ◦ e0, 0.11 ◦ e1, 0.0 ◦ e5}

(Betrage in Millionen.)

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Allais’ ParadoxonTypischerweise wird L1 ≻ L2 und L3 ≻ L4 gewahlt—aberparallele, gerade Indifferenzkurven konnen nicht sowohlL1 ≻ L2 als auch L3 ≻ L4 reprasentieren!

e0 Mioe0 Mio e1 Mioe1 Mio

e5 Mioe5 Mio

L1L1

L2 L2L3 L3

L4 L4

%%

Das ubliche Wahlverhalten in Allais’ Paradoxon kann also nichtdurch die Erwartungsnutzentheorie beschrieben werden.

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Allais’ Paradoxon: Einige Reaktionen1. Es handelt sich um hypothetische Fragen, nicht um

wirkliche Entscheidungen. Also ist das Allais-Paradox ohneempirische Relevanz.

◮ Aber: Experimentelle Untersuchungen belegen dasEntscheidungsmuster.

2. Individuen machen in unvertrautenEntscheidungssituationen ‘Fehler’.

◮ Analogie: Hatten Sie lieber e 96 × 69 oder e 87 × 78?Wenn Sie spontan die erste Alternative wahlen, ist daskeine Evidenz gegen die Hypothese, dass Sie lieber mehrals weniger Geld hatten. Sondern Evidenz dafur, dass Sienicht gut im Kopf rechnen konnen.

3. Theorien stossen haufig an Grenzen, wenn Sie auf‘unubliche’ Situationen angewandt werden.

◮ Aber: Es bleibt unklar, unter welchen Umstanden dieErwartungsnutzentheorie dann anwendbar ist.

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Rabins Paradox

◮ Grad der Risikoaversion entspricht Krummung derBernoulli-Nutzenfunktion. Fur sehr kleine Lotterien lasstsich die Nutzenfunktion daher gut mit einer linearenFunktion approximieren.

◮ Man kann zeigen, dass sich relative geringe Risikoaversiongegen kleine Lotterie in immense Risikoaversion gegengrosse ubersetzt.

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Rabins Paradox: Ein Beispiel◮ Johnny sei ein risikoaverser Erwartungsnutzenmaximierer,

welcher fur beliebige Anfangsausstattungen w0 folgendeLotterie ablehnt:

{12 ◦ w0 − 10, 1

2 ◦ w0 + 11}◮ Frage: Wie gross muss Y mindestens sein, damit Johnny

folgende Lotterie annimmt (fur beliebiges w0):

{12 ◦ w0 − 100, 1

2 ◦ w0 + Y}?

(a) e110.

(b) e221.

(c) e2,000.

(d) e20,242.

(e) e1.1 Million.

(f) Johnny wird die Lotterieablehnen, egal wie gross Y ist.

(g) Wir brauchen mehr Informationenuber Johnny’s Nutzenfunktion.

Antwort: (f)!129 / 132



Rabins Paradox: Intuition◮ Um Lotterie {1/2 ◦ w0 − 10,1/2 ◦ w0 + 11} abzulehnen,

muss die Nutzenfunktion im Intervall [w0 − 10,w0 + 11]hinreichend gekrummt sein.

◮ Es muss fur durchschnittliche Steigung auf [w0 − 10,w0]bzw. [w0,w0 + 11] gelten, dass

u(w0 + 11)− u(w0)

11<

u(w0)− u(w0 − 10)10

.

◮ 1e bei w0 + 11 ist damit maximal 10/11 soviel Wert wie 1ebei w0 − 10.

◮ Iteration (setze w ′

0 = w0 + 21): 1e bei w0 + 32 ist maximal10/11 soviel Wert wie 1e bei w + 10 ⇒ maximal (10/11)2

soviel wie 1e bei w0 − 10. Etc.⇒ Risikoaversion bei kleinen Lotterien impliziert rapide

sinkenden Grenznutzen und damit kleinen (beschrankten!)Zusatznutzen beliebig grosser Auszahlungen!

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Kahneman & Tversky: FramingDeutschland steht vor dem Ausbruch der Schweinegrippe. Eswird erwartet, dass ihr hier etwa 600 Menschen zum Opferfallen werden. Es existieren zwei Behandlungsprogramme zurAuswahl.

◮ Welches Verfahren wahlen sie im Programm 1?◮ Verfahren A: “200 Menschen konnen gerettet werden.”◮ Verfahren B: “Es existiert eine ein Drittel

Wahrscheinlichkeit, dass alle 600 Menschen gerettetwerden konnen und eine zwei Drittel Wahrscheinlichkeit,dass niemand gerettet werden kann.”

◮ Welches Verfahren wahlen sie im Programm 2?◮ Verfahren C: “400 Menschen sterben.”◮ Verfahren D: “Es existiert eine ein Drittel

Wahrscheinlichkeit, dass niemand stirbt und eine zweiDrittel Wahrscheinlichkeit, dass 600 Menschen sterbenwerden.”

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Kahneman & Tversky: Framing

Obwohl A & C, bzw. B & D auf Grundlage dervNM-Erwartungsnutzentheorie ident sind, wahlen in Versuchentypischerweise etwa

◮ 72% der Befragten A uber B, und◮ 78% der Befragten D uber C.

Framing Effekte lassen sich in vielen Investitions- undVersicherungsentscheidungen problemlos nachweisen.Praferenzumkehrungen wie im obigen Beispiel sind derUrsprung des Feldes der Verhaltensokonomie (BehaviouralEconomics).

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