Mittelschule Sachsen - Universität Bayreuthwn/WS_05_06/Mathe... · Mathematik Aufgaben und...
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Mathematik Aufgaben und Lösungen Schriftliche Abschlußprüfungen 1996/97 Mittelschule • Sachsen (Qualifizierender Hauptschul- und Realschulabschluß) Herausgegeben von Günter Ruprecht paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH Berlin
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in
Mathematik
Aufgaben und LösungenSchriftliche Abschlußprüfungen 1996/97
Mittelschule • Sachsen(Qualifizierender Hauptschul- und Realschulabschlu
Herausgegeben vonGünter Ruprecht
paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH Berl
Herausgeber:Dr. Günter Ruprecht (Dresden)
Autoren:Christian Hermsdorf (Triestewitz)Dr. Günter Ruprecht (Dresden)Annemarie Wolke (Chemnitz)Fritz Wustmann (Radebeul)
1. Auflage
15 4 3 2 1
| 2001 2000 99 98 97Die letzte Zahl bezeichnet das Jahr dieses Druckes.© paetec Gesellschaft für Bildung und Technik mbH, Berlin 1997Alle Rechte vorbehalten.
Redaktion: Prof. Dr. habil. Karlheinz WeberLayout : Heiko SchlichtingUmschlaggestaltung: Britta Scharffenberg
Druck: OSTHAVELLAND-DRUCK GmbH VELTEN
ISBN 3-89517-007-0
UGedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Inhalt
Vorwort
Themen Aufgaben Lösungen
1 Prozent- und Zinsrechnung; Sachrechnen 5 20
2 Zahlen und Größen; Terme 8 26
3 Ebene Figuren – Dreieck, Viereck und Kreis 9 28
4 Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme 11 30
5 Funktionen 13 33
6 Ähnlichkeit; Satz(-gruppe) des PYTHAGORAS 14 37
7 Trigonometrie 15 39
8 Berechnungen an Körpern und Körperdarstellungen 15 40
9 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 18 47
10 Begründen von Aussagen 19 48
Anhang
Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik 49Qualifizierender Hauptschulabschluß 1996/97 49Realschulabschluß 1996/97 52
Stichwortverzeichnis 57
4
Liebe Schülerinnen, liebe Schüler,
die vorliegende Broschüre enthält die Aufgaben der schriftlichen Abschlußprüfungen Mathe-matik (Haupt- und Nachtermin) an Mittelschulen des Freistaates Sachsen (qualifizierender Hauptschul- und Realschulabschluß) des Schuljahres 1996/97.Diese Aufgabensammlung soll Ihnen dabei helfen, sich langfristig und zielgerichtet auf das erfolgreiche Bewältigen der Anforderungen einer schriftlichen Abschlußprüfung im Fach Mathematik vorzubereiten. Die Aufgaben und Lösungen sind nach Themenkomplexen zusam-mengestellt. Mit Hilfe dieser Anordnung und mit dem Stichwortverzeichnis können Sie zielge-richtet „Ihre“ Übungsaufgaben auswählen und bearbeiten. In einigen Fällen ist das Stichwort vom Lösungsweg abhängig. Um sich aber auch einmal einem zusammenhängenden Test unter-ziehen zu können, finden Sie im Anhang die kompletten schriftlichen Prüfungen des Schuljah-res 1996/97 (Haupttermin) mit den entsprechenden Punktbewertungen. Für beide Prüfungen standen je 240 Minuten zur Verfügung.
Zu jeder Aufgabe wird mindestens ein Lösungsweg vorgestellt. Betrachten Sie bitte diese Vor-gabe nur als Anregung. Suchen Sie nach eigenen Wegen!Denken Sie daran: Um einen Lösungsweg zu finden und erfolgreich „begehen“ zu können, sollte man vom Gegebenen oder vom Gesuchten einer Aufgabenstellung ausgehen und nach Beziehungen zwischen beiden suchen. Fragen Sie sich, ob Lösungsansätze ähnlicher Aufgaben bekannt sind und ob man die Rechnung vorteilhaft in Haupt- und Nebenrechnung zergliedern kann – auch beim Niederschreiben. Scheuen Sie sich nicht, auch systematisch zu probieren oder gar einmal Fehler zu machen – aus diesen kann man bekanntlich viel lernen.
Beim Arbeiten mit der Aufgabensammlung sollten Sie beachten, daß
– bei der Angabe der Lösungswege keine durchgehend einheitliche Form (Musterform)verwendet wird (Auch der Umfang der Hinweise ist recht unterschiedlich.),
– die sinnvolle Genauigkeit der Resultate in den meisten Fällen durch den praktischenSachverhalt bestimmt wird,
– die Abbildungen aus Platzgründen maßstäblich verkleinert dargestellt sind,– im allgemeinen Hauptrechnung und Nebenrechnung – durch einen senkrechten Strich
getrennt – nebeneinander aufgeführt sind,– die Erläuterungen zu Konstruktionen stark vereinfacht angegeben werden,– für die Aufgabenbezeichnung die Abkürzungen HS (qualifizierender Hauptschulabschluß),
RS (Realschulabschluß), (a) Prüfung zum Haupttermin und (b) Prüfung zum Nachtermin verwendet werden.
Weitere Übungsaufgaben finden Sie auch in den Broschüren „Abschlußprüfungen 1993/94 Mittelschule Sachsen“ (ISBN 3-89517-014-3), „Abschlußprüfungen 1994/95 Mittelschule Sachsen“ (ISBN 3-89517-019-4) und „Abschlußprüfungen 1995/96 Mittelschule Sachsen“ (ISBN 3-89517-004-6).
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
Die Autoren
Aufgaben
e Zei-
auft?
eis-
t.
m
1 Prozent- und Zinsrechnung; Sachrechnen
HS(a)97 / 3
Eine Tageszeitung erscheint an 304 Tagen im Jahr, davon sind 52 Tage Sonnabende. Ditung wird am Kiosk zu folgenden Preisen verkauft:Montag bis Freitag: 0,90 DM; Sonnabend: 1,00 DM.
a) Wieviel DM würde ein Kunde im Jahr ausgeben, wenn er sich die Zeitung am Kiosk k
b) Ein Jahresabonnement dieser Zeitung kostet 218,40 DM.Wieviel Prozent spart man gegenüber dem Kauf am Kiosk im Jahr ein?
c) Der Zeitungsverlag gewährt dem Abonnenten, der vom Konto abbuchen läßt, eine Prminderung von 4% bei einmaliger Abbuchung des jährlichen Gesamtbetrages.Berechnen Sie den Betrag bei einmaliger Abbuchung vom Konto.
HS(a)97 / W 6.1
An einer Kreuzung wurde eine Verkehrszählung von 5.00 Uhr bis 21.00 Uhr durchgeführ
a) Wieviel Prozent aller gezählten Verkehrsmittel waren Fahrräder?
b) Wie viele PKW fuhren während der Zählung durchschnittlich in einer Stunde über dieKreuzung?
c) Zur Verkehrsberuhigung ist beabsichtigt, eine Umgehungsstraße zu bauen.Voraussichtlich wird sich dadurch– die Anzahl der LKW und PKW jeweils um 70% verringern,– die Anzahl der Motorräder nicht ändern,– die Anzahl der Fahrräder verdoppeln.Ermitteln Sie für die vier Verkehrsmittel die jeweils zu erwartende Anzahl für den Zeit-raum von 13.00 Uhr bis 17.00 Uhr, und stellen Sie diese in einem geeigneten Diagramdar.
HS(a)97 / W 6.2
In einem Öltank befinden sich noch 200 Liter Heizöl. Beim Auffüllen werden pro Minute 300 Liter Heizöl in den Tank gepumpt.
VerkehrsmittelZeit
LKW PKW Motorräder Fahrräder
5.00 – 9.00 Uhr 128 460 84 53
9.00 – 13.00 Uhr 96 368 20 45
13.00 – 17.00 Uhr 120 410 72 62
17.00 – 21.00 Uhr 60 490 44 25
5
a) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle..
b) Tragen Sie die Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein.Verbinden Sie die Punkte.
c) Geben Sie an, nach wieviel Minuten sich 3 800 Liter Heizöl in dem Tank befinden.
d) Die Heizölpreise sind abhängig vom Lieferumfang.
Berechnen Sie den Kaufpreis für 5 400 Liter Heizöl.
HS(b)97 / 1a)
Wieviel Prozent sind 20 Liter von 80 Liter?
HS(b)97 / 2
Im Diagramm ist der Temperaturverlauf eines Tages dargestellt.
a) Geben Sie die Temperatur an, die um 10.00 Uhr gemessen wurde.
b) Wann wurde die höchste Temperatur erreicht?
c) Ermitteln Sie den größten Temperaturunterschied.
Zeit in min 0 5 10 15 18
Heizöl in Liter 200
Lieferumfang in Liter Preise in DM pro 100 Liter
bis 500 70,61
501 – 1 000 65,55
1 001 – 1 500 61,09
1 501 – 2 500 59,67
2 501 – 3 500 57,67
3 501 – 4 500 56,50
4 501 – 5 500 55,43
5 501 – 7 500 54,84
5 10 15 20
2
4
6
–2Uhrzeit
Tem
pe
ratu
r in
°C
0
6
Aufgaben
waren
alle
det 0 DM s. In
z in
im
Röh-eine
erlau-
er-
d) Berechnen Sie die Durchschnittstemperatur der um 6.00 Uhr, 8.00 Uhr, 10.00 Uhr,12.00 Uhr, 14.00 Uhr, 16.00 Uhr und 18.00 Uhr gemessenen Temperaturen.
HS(b)97 / W 6.1Eine Umfrage hat ergeben, daß jeder Deutsche durchschnittlich pro Jahr 208 DM für Süßausgibt. Dafür kauft er
9,6 kg Dauerbackwaren,7,2 kg Schokolade,
3 900 g Speiseeis,7,0 kg andere Zuckerwaren.
a) Berechnen Sie, wieviel Kilogramm Süßwaren jeder Deutsche pro Jahr kauft.
b) Die Süßwaren werden zu den folgenden drei Gruppen zusammengefaßt:Gruppe 1 DauerbackwarenGruppe 2 Schokolade und SpeiseeisGruppe 3 andere Zuckerwaren
Berechnen Sie jeweils die prozentualen Anteile vom jährlichen Gesamtverbrauch für Gruppen.Stellen Sie diese Anteile in einem Kreisdiagramm dar.
RS(a)97 / 1Herr Broschwitz kauft sich ein neues Auto zum Komplettpreis von 26 000 DM. Er verwendazu aus seinen Ersparnissen 9 600 DM. Das Autohaus nimmt seinen Altwagen für 7 40in Zahlung. Den fehlenden Betrag finanziert er mit einem Kredit der Bank des Autohausejedem Jahr sind 3,9% des aufgenommenen Kredits an Zinsen zu zahlen.Den Kredit und die Zinsen für die gesamte Laufzeit von 36 Monaten zahlt Herr Broschwitgleichen Monatsraten ab.
a) Geben Sie die Höhe des Kredits an.
b) Berechnen Sie die Zinsen für die gesamte Laufzeit.
c) Berechnen Sie die monatlich zu zahlende Rate.
RS(a)97 / W 7.1Der „Tunnel, der Europa verbindet“, wurde am 06. Mai 1994 eröffnet. Er führt von Calais Norden Frankreichs unter dem Ärmelkanal entlang nach Dover im Süden Englands.
Der Eurotunnel hat eine Gesamtlänge von 49,2 km. Er besteht aus drei zylinderförmigenren – zwei Röhren mit jeweils 7,80 m Durchmesser für den Zugverkehr und dazwischen Versorgungsröhre mit 4,80 m Durchmesser für Wartung, Belüftung und Notevakuierung.Es wird angenommen, daß diese drei Röhren auf der gesamten Tunnellänge geradlinig vfen.
a) Wieviel Kubikmeter Gestein mußten für diese drei Röhren insgesamt ausgebrochen wden?
7
n
n für
sge-
in der
etrag
ten
h triebs-
b) Ein Anteil von 18% dieses Gesteins wurde nicht beräumt und abtransportiert, sondergleich vor Ort zermahlen und dem Fertigbeton untergemischt. Berechnen Sie diesen Anteil.
c) Ein Zug durchfährt die Gesamtlänge des Tunnels in 36 Minuten.
Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in .
RS(b)97 / 1
Die monatlich zu zahlende Miete setzt sich aus der Grundmiete und den Vorauszahlungedie Betriebskosten zusammen.
a) Familie Walter zahlte 1996 monatlich 524,68 DM Grundmiete. Gemäß Mieterhöhungsetz wurde diese ab 01.01.1997 um 5% erhöht.Berechnen Sie die neue Grundmiete.
b) Jährlich erhält jeder Mieter des Mehrfamilienhauses eine Betriebskostenabrechnung,die anfallenden Kosten aufgelistet sind.Unter anderem ist pro Jahr eine Grundsteuer von 1 457,75 DM zu bezahlen. Dieser Bwird entsprechend der Größe der Wohnflächen aufgeteilt. Familie Walter bewohnt 68,20 m2 der insgesamt 709,56 m2 Wohnfläche des Hauses.Berechnen Sie den Betrag, den Familie Walter jährlich für die Grundsteuer zu entrichhat.
c) Als vereinbarte Vorauszahlung für die Betriebskosten wurden Familie Walter monatlic137,48 DM berechnet. Tatsächlich ergaben sich aber für sie im vergangenen Jahr Bekosten in Höhe von 1 855,29 DM.Berechnen Sie den nachzuzahlenden Betrag.
2 Zahlen und Größen; Terme
HS(a)97 / 1a)
Berechnen Sie .
HS(a)97 / 1b)
Ordnen Sie die folgenden Zahlen den markierten Punkten zu.
1,7; –2; ;
kmh
-------
406,25 · 0,1643,25 + 6,75-------------------------------
45--- 0,09
–2 –1 0 1 2
A B C D E F
8
Aufgaben
HS(a)97 / 1c)
Geben Sie eine Zahl zwischen 1,53 und 1,54 an.
HS(a)97 / 1d)1 kg Butterkäse kostet 12,80 DM. Wieviel DM kosten 250 g Butterkäse?
HS(a)97 / 1f)Die folgende Zahlenreihe ist nach einer Regel aufgebaut. Geben Sie die Zahl x an.0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; x
HS(b)97 / 1b)
Ordnen Sie die folgenden Zeitangaben der Größe nach.
50 min; 3 650 s; h; 1 h 55 s
HS(b)97 / 1c)650 g Salami kosten 7,93 DM. Wieviel DM kostet 1 kg ?
HS(b)97 / 1d)
Berechnen Sie 3 – 0,7 · ( + 2,8).
HS(b)97 / 1f)Berechnen Sie 2,5a + 3b – c für a = –2; b = ; c = 5.
RS(b)97 / 6b)
Gegeben ist der Term .
Berechnen Sie den Wert des Terms für a = –3 und b = 4.Geben Sie die Zahl b an, für die der Term nicht definiert ist.
3 Ebene Figuren - Dreieck, Viereck und Kreis
HS(a)97 / 1e)
Berechnen Sie in dem gleichschenkligen Dreieck ABC die Größe des Winkel γ.
34---
12--- 1
4---
12--- 5
2---
a 3+2b 2–---------------
75°
γAC = BC
SkizzeA B
C
(nicht maßstäblich)
9
i
berall
schei-
it
HS(b)97 / 1e)
Ein Rechteck hat den Flächeninhalt von 72 cm2.Geben Sie zwei unterschiedliche Möglichkeiten für Länge und Breite des Rechtecks an.
HS(b)97 / 4
Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 115 cm. Er kann durch zwerechteckige Platten, die jeweils 37,5 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der vergrößerten Tischplatte.Geben Sie den Flächeninhalt in m2 an.
b) Für den ausgezogenen Tisch soll eine rechteckige Tischdecke gekauft werden, die ümindestens 15 cm überhängt.Welche der angebotenen Tischdecken könnte man nehmen? Begründen Sie Ihre Entdung.
HS(b)97 / W 6.3Die Abbildung zeigt den vereinfachten Grundriß eines rechteckigen Reiterhofgeländes mWirtschaftsgebäude (W), Ställen (S), Reitanlage (R) und Koppel (K). Die Restfläche ist unbebaut.
a) Berechnen Sie den Gesamtflächeninhalt des Reiterhofgeländes.Geben Sie das Ergebnis in Hektar an.
Breite Länge
Tischdecke A 130 cm 225 cm
Tischdecke B 155 cm 220 cm
Tischdecke C 160 cm 190 cm
1 500 m2
S
WK
R
30 m
40
m60
m8
0 m
25 m
25 m200 m
10
Aufgaben
b) Die Reitanlage nimmt 36% der Gesamtfläche ein.Berechnen Sie den Flächeninhalt der Reitanlage in Quadratmetern.
c) Berechnen Sie den Inhalt der Restfläche.
RS(a)97 / 6a)
Ermitteln Sie den Flächeninhalt der im Quadratraster dargestellten Figur.
RS(b)97 / 6a)Ermitteln Sie den Umfang der im Quadratraster dargestellten Figur.
RS(b)97 / 6c)
4 Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
HS(a)97 / 2
Lösen Sie die folgenden Gleichungen.
a) 35x + 48 – 30x = 8 + x
b) 3 · (2x – 1) = 51
c) 5x = 625
Seitenlänge von 1 Kästchen: 1 cm
Seitenlänge von 1 Kästchen: 1 cm
Skizze 58°
(nicht maßstäblich) 110°
αErmitteln Sie die Größe des Winkels α.
11
ßt das
n und
t und
RS(a)97 / 6b)
Lösen Sie die Gleichung x : (x – 2) = 4 : 3.
RS(a)97 / W 7.3Ein Fußballfeld hat einen Umfang von 356 m und eine Fläche von 7 632 m2.
a) Berechnen Sie Länge und Breite des rechteckigen Fußballfeldes.Führen Sie die Probe durch.
b) Anläßlich des Aufstieges der 1. Mannschaft in die nächsthöhere Spielklasse beschliePräsidium die teilweise Erneuerung des Fußballfeldes mit Rollrasen.Berechnen Sie den Kaufpreis, wenn 9% der Fläche erneuert werden.Verwenden Sie dazu die folgende Angebotsliste:
RS(b)97 / 6e)
Geben Sie alle negativen ganzen Zahlen x an, die die Ungleichung –3x < 9 erfüllen.
RS(b)97 / W 7.1
Im Rahmen eines Naturschutzprojektes wird eine Fläche durch die Pflanzung von BucheTannen aufgeforstet.
a) Pro Hektar werden 5 500 Stück an Buchen und Tannen für einen Preis von insgesam9 300 DM gepflanzt. Dabei beträgt der Stückpreis für eine gepflanzte Buche 1,80 DMfür eine gepflanzte Tanne 1,20 DM.Ermitteln Sie die pro Hektar gepflanzte Anzahl an Buchen und an Tannen.Führen SIe die Probe durch.
b) Die aufzuforstende Fläche ist ein Teil der Fläche eines Kreises mit dem Radius r = 350 m und dem Zentriwinkel α = 60° (siehe Skizze).Berechnen Sie die Anzahl an Buchen und an Tannen, die auf die in der Skizze abge-bildete Fläche gepflanzt werden.
Fläche Preis je m2
unter 300m2 5,10 DM
300m2 bis 599 m2 4,20 DM
600 m2 bis 999 m2 3,50 DM
ab 1 000 m2 2,90 DM
Skizzer
(nicht maßstäblich)α
r
12
Aufgaben
n der
mit
itzen.
5 Funktionen
HS(a)97 / 5
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = –2x + 9.
a) Ergänzen Sie die zugehörige Wertetabelle.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f in ein Koordinatensystem.(Längeneinheit im Koordinatensystem: 1 cm)
c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem eine Gerade g, die parallel zum GrapheFunktion f sowie durch den Punkt P(0; –3) verläuft.
d) Messen Sie den Abstand der Parallelen, und geben Sie diesen an.
HS(b)97 / 5Gegeben ist eine lineare Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = 3x – 1.
a) Ergänzen Sie die Wertetabelle.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem.
c) Auf dem Graphen der Funktion liegt der Punkt P(x; –5,5).Geben Sie die fehlende Koordinate an.
RS(a)97 / 3
Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = x2 + 4x + 1.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mindestens im Intervall –5 ≤ x ≤ 1 in ein Koordi-natensystem.
b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f.
c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen einer weiteren Funktion gy = g(x) = 2x.
d) Untersuchen Sie durch Rechnung, ob beide Graphen einen gemeinsamen Punkt bes
x 0 1 3,5 5
y
x –2 –1 0 3
y
13
ieser
nktion g ist
izze).
fei-
t.
RS(b)97 / 3
Gegeben ist die Funktion f durch ihre Gleichung y = f(x) = x2 – 2x – 1.
a) Ermitteln Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes, und zeichnen Sie den Graphen dFunktion mindestens im Intervall –2 ≤ x ≤ 3 in ein Koordinatensystem.
b) Prüfen Sie rechnerisch, ob x = 2,5 eine Nullstelle der Funktion f ist.
c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem eine Gerade g, die den Graphen der Fuf in genau zwei Punkten schneidet und nicht parallel zur x-Achse verläuft. Die Geradedas Bild einer linearen Funktion.Geben Sie deren Funktionsgleichung an.
6 Ähnlichkeit; Satz(-gruppe) des PYTHAGORAS
HS(b)97 / 3
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind a = 4,8 cm, c = 7,3 cm undγ = 90°.
a) Konstruieren Sie das Dreieck ABC.
b) Berechnen Sie die Länge der Seite b.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.
RS(b)97 / 6d)Berechnen Sie die Länge der Diagonalen eines Rechtecks mit den Seitenlängen a = 24 cm und b = 7 cm.
RS(b)97 / W 7.2Im Zuge einer Ortsumgehung wurde über das Zschopautal eine Brücke gebaut (siehe Sk
a) Die gleichmäßig ansteigende Brücke überwindet vom Punkt A bis zum Punkt B des Plers BD einen Höhenunterschied von 12,8 m.Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen den Punkten A und E.
b) Berechnen Sie den Anstiegswinkel CAB der Brücke.
c) Berechnen Sie die Höhe des Pfeilers BD, wenn die Größe des Winkels BDA 82,6° beträg
213,0 m
A
194,7 m
B
C
D
E
F
14
Aufgaben
n
7 Trigonometrie
RS(a)97 / 2
Zu den wichtigsten Vorhaben des Chemnitzer Ver-kehrskonzeptes gehört der Neubau einer Straßen-bahntrasse vom Zentrum in das größte Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die Maße der bisher bestehenden Streckenführung benutzt.Berechnen Sie die Länge der neuen Straßenbahn-trasse, die vereinfacht als geradlinig angenommen wird.
RS(a)97 / 6cErmitteln Sie alle Winkel α, für die gilt: sinα = –0,5 (0° ≤ α ≤ 360°).
RS(b)97 / 2
Die Vermessung eines Schaubergwerkes im Erzgebirge ergab für die beiden geradlinigeGänge die in der Skizze angegebenen Maße.Berechnen Sie die Entfernung der beiden Mundlöcher.
8 Berechnungen an Körpern und Körperdarstellungen
HS(a)97 / 4Das dargestellte Prisma hat folgende Maße:AB = 32 cmBC = 24 cmAE = 16 cmEF = 20 cm
Zentrum
Wohngebiet
Abzweig
2,6 km
4,1 km
Skizze
49,0°
(nicht maßstäblich)
Gangkreuz
Mundloch B
111 m
136 m
78,0°Mundloch A
Skizze(nicht maßstäblich)
A B
CD
E F
GH
Skizze (nicht maßstäblich)
15
r.
mit
tab.
te
a) Berechnen Sie die Länge der Körperkante BF.
b) Das Prisma wird so gedreht, daß es auf der Fläche ADHE steht.Stellen Sie das Prisma in dieser Lage im Schrägbild in einem geeigneten Maßstab daGeben Sie diesen Maßstab an.
HS(a)97 / W 6.3Für den Badespaß sind aufstellbare „swimming-pools“ sehr beliebt.Der Typ „Monaco“ hat eine 90 cm hohe Außenwand und eine kreisförmige Bodenfläche einem Durchmesser von 3,60 m.
a) Zeichen Sie die rechteckige Außenwandfläche des Pools in einem geeigneten Maßs
b) Berechnen Sie die Stellfläche des Pools.
c) Berechnen Sie das Wasservolumen, wenn der Pool bis 10 cm unterhalb der Oberkangefüllt ist.Wird der Pool überlaufen, wenn noch 200 Liter Wasser nachgefüllt werden?Begründen Sie Ihre Aussage.
HS(b)97 / W 6.2
In den folgenden Abbildungen sind Körpernetze dargestellt.
a) Geben Sie die Namen der Körper an.
b) Berechnen Sie das Volumen des Körpers (1).
c) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt des Körpers (2).
d) Zeichnen Sie den Körper (3) im Schrägbild.
aa
hc c
a
b
a b
c
(1) (2) (3)
a = 4 cmKörperhöhe: 6 cm
a = 4 cmb = 8 cmc = 6 cm
a = 6 cmb = 8 cmh = 5 cm
Skizzen (nicht maßstäblich)
16
Aufgaben
der
ändert:
olu-
men
n qua-erge-
: 2.
o-
eren
RS(a)97 / 5
Gegeben ist eine gerade quadratische Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 6 cm undKörperhöhe h = 7 cm.
a) Stellen Sie die Pyramide im Schrägbild dar.
b) Von der gegebenen Pyramide werden unabhängig voneinander folgende Größen ver(1) die Körperhöhe wird verdoppelt,(2) die Grundkantenlänge wird verdoppelt,(3) sowohl die Grundkantenlänge als auch die Körperhöhe werden halbiert.In welchem Verhältnis steht jeweils das Volumen der Pyramide (1), (2) bzw. (3) zum Vmen der gegebenen Pyramide?
c) Geben Sie die Grundkantenlänge und Körperhöhe einer Pyramide (4) an, deren Voludas 16fache des Volumens der gegebenen Pyramide ist.
RS(a)97 / 6e)
Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 216 cm2. Ermitteln Sie seine Kantenlänge.
RS(a)97 / W 7.2
Ein Unternehmen hat für sein neues Produkt eine Verpackung gewählt, bei der im unterederförmigen Teil Süßigkeiten und im oberen prismenförmigen Teil eine Überraschung untbracht werden.
a) Zeichen Sie ein Zweitafelbild dieser Verpackung ohne Zwischenboden im Maßstab 1
b) Berechnen Sie den Materialbedarf für eine Verpackung einschließlich des Zwischenbdens, wenn für Klebefalze ein Mehrbedarf von 15% erforderlich ist.
c) Zeigen Sie, daß eine „Überraschungskugel“ mit einem Durchmesser von 36 mm im obTeil der Verpackung untergebracht werden kann.
10 cm10
cm
7 cm
8 cm
7 cm
Skizze (nicht maßstäblich)
Zwischenboden
17
ader- zeigt.
ben
m
an den
ngege-
schule
RS(b)97 / 5
Bei der Restaurierung von Baudenkmalen werden Natursteine verwendet. Aus einem quförmigen Naturstein wurde ein Formstein herausgearbeitet, wie es untenstehende Skizze
a) Stellen Sie den Formstein im Zweitafelbild in einem geeigneten Maßstab dar, und geSie diesen an.
b) Berechnen Sie die Masse des Formsteins, wenn 1 dm3 eine Masse von 2,6 kg hat.
RS(b)97 / W 7.3Eine Baufirma lagert angelieferten Sand mit einem Förderband ab. Dadurch entsteht einSchüttkegel, dessen Böschungswinkel 32° beträgt.
a) Wieviel Kubikmeter Sand wurden aufgeschüttet, wenn die Höhe des Schüttkegels 1,1beträgt?
b) Man kann die Höhe eines Schüttkegels aus Sand näherungsweise ermitteln, indem mUmfang seines Grundkreises durch 10 dividiert.Weisen Sie rechnerisch nach, daß dieses Verfahren für den Schüttkegel in a) gilt.Begründen Sie, daß dieses Verfahren für jeden Schüttkegel aus Sand mit dem oben abenen Böschungswinkel richtig ist.
9 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
RS(a)97 / 4
Bei einer Umfrage werden 40 von 620 Schülern verschiedener Klassenstufen einer Sportbefragt, wie viele Sportarten sie betreiben.Die Umfrage ergab folgende Urliste:
1 1 1 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 1 12 2 1 2 2 3 2 1 1 1 4 2 1 2 11 3 1 1 1 4 1 1 1 2
180
300
160
500
250
Skizze (nicht maßstäblich)
Maße in Millimeter
18
Aufgaben
ufig-
chü-
die
uren
-
t
ein?
a) Fertigen Sie zu der Urliste eine Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häkeiten an.
b) Stellen Sie die relativen Häufigkeiten der jeweiligen Anzahl in einem Diagramm dar.
c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel für die Anzahl der Sportarten der befragten Sler.
d) Ermitteln Sie mit Hilfe des Umfrageergebnisses, wie viele der 620 Schüler vermutlichmehr als zwei Sportarten betreiben.
RS(b)97 / 4
Bei der Endkontrolle maschinell gefertigter Zinnfiguren werden unabhängig voneinander
Qualität des Gusses und die Bemalung kontrolliert. Erfahrungsgemäß sind bei der Fig
der Guß und bei die Bemalung nicht qualitätsgerecht.
a) Stellen Sie die Endkontrolle – ein zweistufiges Zufallsexperiment – in einem Baumdiagramm dar, und geben Sie die Ergebnismenge an.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Zinnfigur beide Kontrollen nichbesteht.
c) Wieviel Zinnfiguren werden ungefähr bei einer Produktion von 5 000 Stück fehlerfrei s
10 Begründen von Aussagen
RS(a)97 / 6d)
Durch den Berührungspunkt B zweier Kreise wurde eine Gerade gezeichnet,die die Kreise in den Punkten C und Dschneidet.Begründen Sie, daß die Größen der WinkelACB und EDB gleich sind.
14---
25---
M1 M2
AB
C
D
E
19
rden.
äder
PKW
1 Prozent- und Zinsrechnung; Sachrechnen
HS(a)97 / 3
a) 304 Tage im Jahr erscheint die Zeitung, davon sind 52 Tage Sonnabende, also:304 – 52 = 252. Nun kann der Kaufpreis ermittelt werden.252 Tage zu 0,90 DM ergibt 226,80 DM, 52 Tage zu 1,00 DMergibt 52,00 DM.Daraus wird durch Addition der Kaufpreis am Kiosk in einem Jahr von 278,80 DM ermittelt.
b) Preis für Jahresabonnement: 218,40 DM, Preis am Kiosk: 278,80 DM
1. Weg: = 0,783 = 78,3%
Es ist nach der Einsparung gefragt, deshalb muß noch 100% – 78,3% berechnet weBeim Jahresabonnement spart man gegenüber dem Kauf am Kiosk 21,7%.
2. Weg: Die Einsparung an Geld wird zuerst berechnet.278,80 DM – 218,40 DM = 60,40 DM
= 0,217 = 21,7%
Beim Jahresabonnement spart man gegenüber dem Kauf am Kiosk 21,7%.
c) Der Abonnent zahlt 218,40 DM, also ist das der Grundwert. Zur Lösung kommt man,wenn 4% oder 96% von 218,40 DM berechnet werden.1. Weg: Die Preisminderung von 4% wird ermittelt.
· 218,40 DM = 8,74 DM
Der Abbuchungsbetrag ist 218,40 DM – 8,74 DM = 209,66 DM.
2. Weg: Der Abbuchungsbetrag von 96% wird sofort ermittelt.
· 218,40 DM = 209,66 DM
Der Gesamtbetrag für die einmalige jährliche Abbuchung ist 209,66 DM.
HS(a)97 / W 6.1
a) Zuerst sind die Gesamtzahlen aller gezählten Verkehrsmittel einschließlich der Fahrrzu bestimmen.
Alle Verkehrsteilnehmer: 2 537, davon Fahrräder: 185; = 0,073 = 7,3%
7,3% aller gezählten Verkehrsmittel waren Fahrräder.
b) Zur Berechnung des Durchschnitts für eine Stunde ermittelt man die Gesamtzahl derund dividiert durch 16 (Gesamtzahl der Stunden).
PKW gesamt: 1 728; = 108
In einer Stunde fuhren durchschnittlich 108 PKW über die Kreuzung.
218,40 DM278,80 DM---------------------------
60,40 DM278,80 DM---------------------------
4100---------
96100---------
1852 537-------------
1 72816
-------------
20
Lösungen
hr zu
uß
k
c) Die Ausgangswerte zur Berechnung sind der Tabelle für die Zeit 13.00 Uhr – 17.00 Uentnehmen.LKW: 100% = 120 Fahrzeuge; PKW: 100% = 410 Fahrzeuge
1. Weg: · 120 LKW = 84 LKW
Durch Subtraktion (120 LKW – 84 LKW) erhält man die zu erwartende Anzahl von36 LKW.
2. Weg: Man berechnet 30% und erhält sofort die Anzahl von LKW.
· 120 LKW = 36 LKW
Die zu erwartende Anzahl von LKW ist 36.
Für die zu erwartende Anzahl von PKW sind die gleichen Rechenwege möglich, es m
nur der Grundwert 410 PKW verwendet werden.
Die zu erwartende Anzahl von PKW ist 123.
Da sich die Anzahl der Motorräder nicht ändert, bleibt diese bei 72.
Die Anzahl der zu erwartenden Fahrräder ist 124, da sich deren Anzahl (62) verdoppeln
soll.
HS(a)97 / W 6.2
Bei der Berechnung ist zu beachten, daß sich zu Beginn noch 200 Liter Heizöl im Tanbefinden.
a) Zeit in min 0 5 10 15 18
Heizöl in Liter 200 1 700 3 200 4 700 5 600
70100---------
30100---------
PKW Motor- Fahr-
(Es sind auch andere Arten
LKW
20
Verkehrsmittel
Anzahl
40
60
80
100
120
140
räder räder
von Diagrammen möglich)
21
im
c) Es werden 3 600 Liter Heizöl in den Tank gepumpt, da sich zu Beginn noch 200 LiterTank befanden. In einer Minute werden 300 Liter in den Tank gepumpt.1. Weg: 3 600 Liter : 300 Liter = 122. Weg: Ablesen aus dem Diagramm (siehe Diagramm).
3. Weg: Durch Addition von einer Minute ausgehend.1 Minute 500 Liter2 Minuten 800 Liter3 Minuten 1 100 Liter
12 Minuten 3 800 LiterNach 12 Minuten befinden sich 3 800 Liter Heizöl im Tank.
d) 4 501 Liter ... 5 400 Liter ... 5 500 (Liter)
⇒ 5 400 Liter · = 2 993,22 DM
Der Kaufpreis für 5 400 Liter beträgt 2 993,22 DM.
HS(b)97 / 1a)
1. Weg: Nutzen bequemer Prozentsätze 20 Liter sind von 80 Liter ⇒ = 25%
3. Weg: Verhältnisgleichung =
x = = 25%
2. Weg: Dreisatz Liter Prozent
80 100
1 1,25
20 25
2 10
1 000
5 000
Zeit (in
Heizöl (in Liter)
4 6 8
4 000
3 000
2 000
12 14 16 18
6 000
Minuten)
b)
.
.....
55,43 DM100 Liter------------------------
14--- 1
4---: 80
· 20
: 80
· 20
x100%-------------- 20 Liter
80 Liter-------------------
20 Liter · 100%80 Liter
-------------------------------------
22
Lösungen
hr
HS(b)97 / 2
a) Um 10.00 Uhr wurde eine Temperatur von +2°C gemessen.
b) Die höchste Temperatur von +5°C wurde um 14.00 Uhr erreicht.
c) höchste Temperatur: +5°Cniedrigste Temperatur: –1°Cgrößte Temperaturdifferenz: 6 Grad
T = ≈ 2,1°C
Die Durchschnittstemperatur beträgt rund 2,1°C.
HS(b)97 / W 6.1a) Masse m = 9,6 kg + 7,2 kg + 3,9 kg + 7,0 kg = 27,7 kg
Jeder Deutsche kauft pro Jahr durchschnittlich 27,7 kg Süßwaren.
b) Gruppe 1: 9,6 kgGruppe 2: 7,2 kg + 3,9 kg = 11,1 kgGruppe 3: 7,0 kg
Berechnen der prozentualen Anteile:
Berechnen der Winkelgrößen
d) Uhrzeit 6.00 Uhr 8.00 Uhr 10.00 Uhr 12.00 Uhr 14.00 Uhr 16.00 Uhr 18.00 U
Temperatur –1°C 0°C +2°C +4°C +5°C +3°C +2°C
1. Weg
Gruppe 1: = 0,347 = 34,7%
Gruppe 2: = 0,401 = 40,1%
Gruppe 1: = 0,253 = 25,3%
2. Weggegeben:G = 27,7 kg;
W1 = 9,6 kg; W2 = 11,1 kg; W3 = 7,0 kg
gesucht: p1; p2; p3
p1 = · 100%; p1 = · 100% = 34,7%
p2 = · 100%; p2 = · 100% = 40,1%
p3 = · 100%; p3 = · 100% = 25,3%
1. Weg
Gruppe 1: 0,347 · 360° = 125°
Gruppe 2: 0,401 · 360° = 144°
Gruppe 3: 0,253 · 360° = 91°
2. Weg (1% = 3,6°)
Gruppe 1: 34,7 · 3,6° = 125°
Gruppe 2: 40,1 · 3,6° = 144°
Gruppe 3: 25,3 · 3,6° = 91°
–1°C + 0°C + 2°C + 4°C + 5°C + 3°C + 2°C7
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
9,6 kg27,7 kg------------------
11,1 kg27,7 kg------------------
7,0 kg27,7 kg------------------
W1
G-------- 9,6 kg
27,7 kg------------------
W2
G-------- 11,1 kg
27,7 kg------------------
W3
G-------- 7,0 kg
27,7 kg------------------
23
RS(a)97 / 1
Herr Broschwitz muß einen Kredit in Höhe von 9 000 DM aufnehmen.
b) 1. Weg:
Zinsen für 1 Jahr: · 9 000 DM = 351 DM
36 Monate = 3 Jahre, also Zinsen für 3 Jahre: 351 DM · 3 = 1 053 DMDie Zinsen betragen insgesamt 1 053 DM.
2. Weg: Z = = 1 053 DM
Für die gesamte Laufzeit muß Herr Broschwitz 1 053 DM Zinsen zahlen.
c) 1. Weg:
10 053 DM : 36 = 279,25 DMDie monatlich zu zahlende Rate beträgt 279,25 DM.
2. Weg:
Eine Monatsrate hat die Höhe von 279,25 DM.
a) Komplettpreis 26 000 DMErsparnisse – 9 600 DMAnkauf für Altwagen – 7 400 DMKredit 9 000 DM
Kredit 9 000 DMZinsen 1 053 DMGesamtbetrag, der zurückzuzahlen ist 10 053 DM
Tilgung pro Monat 9 000 DM : 36 = 250,00 DM
Zinsen pro Monat 10 053 DM : 36 = 29,25 DM
monatlich zu zahlende Rate 279,25 DM
Gruppe 1
Gruppe 3
Gruppe 2
Kreisdiagramm:
3,9100---------
9 000 DM · 3,9 · 36100 · 12
-----------------------------------------------
24
Lösungen
i-
en-
RS(a)97 / W 7.1
l … Gesamtlänge des TunnelsdZ … Durchmesser der Röhren für ZugverkehrdV … Durchmesser der Versorgungsröhre
a) gegeben: dZ = 7,8 m; dV = 4,8 m; l = 49 200 m gesucht: Gesamtvolumen in m3
Das Gesamtvolumen (VGes) ergibt sich aus der Summe der Volumen der drei zylinderförm
gen Röhren (2 · VZ und VV). Die Länge des Tunnels ist gleich der Höhe des zu berechn
den Zylinders.
VGes = 2VZ + VV VZ = AG · l = dZ2 · l VZ = (7,8 m)2 · 49 200 m = 2 351 000 m3
VV = AG · l = dV2 · l VV = (4,8 m)2 · 49 200 m = 890 000 m3
VGes = 2 · 2 351 000 m3 + 890 000 m3 = 5 592 000 m3
Insgesamt mußten ca. 5,6 Mill. Kubikmeter Gestein ausgebrochen werden.
b) 1. Weg: · 5 592 000 m3 = 1 006 560 m3
Rund 1 Mill. Kubikmeter Gestein wurden vor Ort verarbeitet.
2. Weg:
Der vor Ort verarbeitete Anteil betrug rund 1 Mill. Kubikmeter Gestein.
1 Stunde = 60 MinutenDie durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt 82 .
Volumen (in m3) VGes x; = ; x = 1 006 560 m3
Anteil (in %) 100 18
c) 1. Weg 2. Weg
Zeit in Minuten Länge in km 49,2 km= 0,6 h
36 49,2 x= 1 h
1 x =
60 82 x = 82 km
7,8 m 7,8 m4,8 m
49,2 km = 49 200 m49,2 k
m
π4--- π
4---
π4--- π
4---
18100---------
x18------ VGes
100-----------
: 36
· 60
: 36
· 60
49,236
---------- 49,2 km · 1 h0,6 h
-------------------------------
kmh
--------
25
ohn-
g-
RS(b)97 / 1
a) Grundmiete 1996: 524,68 DMneue Grundmiete: alte Grundmiete + 5% Mieterhöhung
1. Weg 2. Weg
524,68 DM + · 524,68 DM = 550,92 DM 1,05 · 524,68 DM = 550,92 DM
Die neue Grundmiete beträgt 550,92 DM.
b) Grundsteuer für Mehrfamilienhaus: 1 457,75 DM.Der zu zahlende Betrag für die Grundsteuer ergibt sich aus dem Anteil der Familienwfläche an der Gesamtwohnfläche (68,20 m2 von 709,56 m2).
Familie Walter entrichtet jährlich für die Grundsteuer einen Betrag von 140,12 DM.
c) Vorausgezahlte monatliche Betriebskosten: 137,48 DMtatsächliche jährliche Betriebskosten: 1 855,29 DM1 855,29 DM – (12 · 137,48 DM) = 205,53 DM
Es sind 205,53 DM für Betriebskosten nachzuzahlen.
2 Zahlen und Größen; Terme
HS(a)97 / 1a)
= 1,3
HS(a)97 / 1b)
Die Zuordnung lautet: 1,7 F; –2 A; E (wegen = 0,8); D (wegen
= 0,3)(Die Lösung kann auch durch Eintragen in die Zeichnung angegeben werden.)
HS(a)97 / 1c)
1,531; 1,532; 1,5328; …
Als Lösungen sind alle Zahlen möglich, die mit 1,53 beginnen und nach der Ziffer 3 wenistens an einer nachfolgenden Stelle eine Ziffer ungleich 0 haben.
1. Weg 2. Weg
Wohnfläche Grundsteuer Grundsteuer 1 457,75 DM x
709,56 m2 1 457,75 DM Wohnfläche 709,56 m2 68,20 m2
1 m2 2,05… DM x = = 140,12 DM68,20 m2 140,12 DM
5100---------
: 709,56
· 68,20: 709,56
· 68,201457,75 DM · 68,20 m2
709,56 m2---------------------------------------------------------
406,25 · 0,1643,25 + 6,75-------------------------------
45--- 4
5--- 0,09
0,09
26
Lösungen
.
en,
HS(a)97 / 1d)
1. Weg: 250 g sind von 1 kg (1 000g), also ergibt sich 12,80 DM : 4 = 3,20 DM.
HS(a)97 / 1f)
Die Differenz zwischen zwei Zahlen der gegebenen Zahlenreihe wird immer um 1 größer
HS(b)97 / 1b)
Die Zeitangaben müssen vor dem Ordnen in ein und dieselbe Einheit umgerechnet werdz.B. in Minuten oder Sekunden
HS(b)97 / 1c)
1 kg Salami kostet 12,20 DM.
HS(b)97 / 1d)Zum einfacheren Rechnen werden alle Brüche als Dezimalbrüche geschrieben.3,5 – 0,7 · (0,25 + 2,8) = 3,5 – 0,7 · 3,05 = 3,5 – 2,135 = 1,365
2. Weg: (Zweisatz) Masse Kosten250 g Butterkäsekosten 3,20 DM.
1 000 g 12,80 DM
250 g 3,20 DM
Anfangswerte 50 min 3 650 s h 1 h 55 s
Umrechnung 50 min 60 min 50 s 45 min 60 min 55s
3 000 s 3 650 s 2 700 s 3 655 s
Reihenfolge 2. 3. 1. 4.
Masse Preis
650 g 7,93 DM
100 g 1,22 DM
1 000 g 12,20 DM
14---
: 4
: 4
0 1 3 6 10 15 21 28 x (36)
Differenz: 1 2 3 4 5 6 7 8 x = 36
34---
: 6,5
· 10
: 6,5
· 10
27
in-
HS(b)97 / 1f)
2,5a + 3b – c
2,5 · (–2) + 3 · – · 5 = 2,5 · (–2) + 3 · 2,5 – 0,5 · 5 = –5 + 7,5 – 2,5 = 0
RS(b)97 / 6b)
= = 0
Es ist die Zahl b zu bestimmen, für die der Wert des Nenners 2b – 2 null ist. Wegen 2 · 1 – 2 = 0 gilt b = 1.
3 Ebene Figuren - Dreieck, Viereck und Kreis
HS(a)97 / 1e)
Da das Dreieck gleichschenklig ist, sind die Winkelgrößen bei A und B gleich. Die Innenwkel im Dreieck ergeben zusammen 180°.75° + 75° + γ = 180° ⇒ γ = 30°
HS(b)97 / 1e)
Mögliche Lösungen sind z.B.
HS(b)97 / 4
a) AT … Flächeninhalt der vergrößerten Tischplatte
AK … Flächeninhalt des runden Tisches
AR … Flächeninhalt einer rechteckigen Platte
AT = AK + 2AR AK = d2 AK = · (115 cm)2 = 10 387 cm2
AR = a · b AR = 115 cm · 37,5 cm = 4 313 cm2
Einsetzeneinheitliche
SchreibweiseBerechnen der
Produkte
Flächeninhalt A = a · b Länge a Breite b
72 cm2 1 cm 72 cm
72 cm2 2 cm 36 cm
72 cm2 3 cm 24 cm
72 cm2 4 cm 18 cm
72 cm2 6 cm 12 cm
12---
52--- 1
2---
3– 3+2 4 2–⋅------------------- 0
6---
115
cm
37,5 cmπ4--- π
4---
28
Lösungen
AT = 10 387 cm2 + 2 · 4 313 cm2 = 19 013 cm2 ≈ 1,9 m2
Die vergrößerte Tischplatte hat einen Flächeninhalt von 1,9 m2.
b) maximale Länge des Tisches: 115 cm + 2 · 37,5 cm = 190 cmmaximale Breite des Tisches: 115 cmMindestlänge der Tischdecke: 190 cm + 2 · 15 cm = 220 cmMindestbreite der Tischdecke: 115 cm + 2 · 15 cm = 145 cmNur Tischdecke B hat die erforderlichen Maße.
HS(b)97 / W 6.3
AG … GesamtflächeninhaltAW … Flächeninhalt des WirtschaftsgebäudesAS … Flächeninhalt der StälleAR … Flächeninhalt der ReitanlageAK … Flächeninhalt der Koppel
a) a = 200 m + 25 m + 25 m = 250 m
b = 60 m + 80 m = 140 m
AG = a · b AG = 250 m · 140 m = 35 000 m2 = 3,5 ha
Der Gesamtflächeninhalt des Reiterhofgeländes beträgt 3,5 ha.
b) 1. Weg:
AR = · 35 000 m2 = 12 600 m2
Die Reitanlage hat einen Flächeninhalt von 12 600 m2.
2. Weg:
gegeben: G = 35 000 m2; p = 36% gesucht: W in m2
W = W = = 12 600 m2
Der Flächeninhalt der Reitanlage beträgt 12 600 m2.
c) ARest … Flächeninhalt der Restfläche
ARest = AG – (AK + AW + AR + AS) Die Koppel ist eine Trapezfläche.
AK = · 200 m = 10 000 m2
Das Wirtschaftsgebäude ist eine Rechteckfläche.
AW = 30 m · 25 m = 750 m2
ARest = 35 000 m2 – (10 000 m2 + 750 m2 + 12 600 m2 + 1 500 m2) = 10 150 m2
Der Inhalt der Restfläche beträgt 10 150 m2, rund 1 ha.
AG
a
b
36100---------
G p⋅100%-------------- 35 000 m2 36%⋅
100%----------------------------------------
60 m + 40 m2
------------------------------
29
er 4
r
RS(a)97 / 6a)1. Weg:
2.Weg:Vom Flächeninhalt des Quadrates mit der Seitenlänge a = 8 cm wird der Flächeninhalt dDreiecke (g = 4 cm; hg = 2 cm) subtrahiert.
A = (8 cm)2 – 4 · = 64 cm2 – 16 cm2 = 48 cm2
Der Flächeninhalt der Figur beträgt 48 cm2.
RS(b)97 / 6a)Der Umfang (uF) der im Quadratraster dargestellten Figur ist gleich dem Umfang (u) zweie
gleich großer Kreise mit dem Durchmesser 4 cm.uF = 2u u = π · d u = π · 4 cm ≈ 12,56 cm
uF = 2 · 12,56 cm ≈ 25,1 cm
Der Umfang beträgt 25,1 cm.
RS(b)97 / 6c)1. Weg:β = 70°, denn 70° + 110° = 180° (Nebenwinkel)α' = 180° – (70° + 58°) = 52° (Innenwinkelsatz im Dreieck)α = 52° (Scheitelwinkel)
2. Weg:α' = 52°, denn 58° + 52° = 110° (Außenwinkelsatz)α = 52° (Scheitelwinkel)
4 Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme
HS(a)97 / 2a) 35x + 48 – 30x = 8 + x Zusammenfassen
5x + 48 = 8 + x | – x Ordnen (mehrere Wege sind möglich)4x + 48 = 8 | – 48
4x = – 40 | : 4x = –10
Durch Auszählen erhält man A = 48 cm2.
4 cm · 2 cm2
----------------------------
58°
110°
α
α'
β
30
Lösungen
51
eht
Probe:35 · (–10) + 48 – 30 · (–10) = 8 + (–10)
–2 = –2 wahre Aussage
b) 3 · (2x – 1) = 51 Ausmultiplizieren der Klammer Probe: 3 · (2 · 9 – 1) = 6x – 3 = 51 | + 3 51 = 51
6x = 54 | : 6 wahre Aussagex = 9
c) 5x = 625 Lösen durch sinnvolles Probieren Probe: 54 = 625x = 4 5 · 5 · 5 · 5 = 625
625 = 625wahre Aussage
RS(a)97 / 6b)
1. Weg:
2. Weg: Lösen durch sinnvolles Probieren
= = = = …
Die Differenz zwischen Zähler und Nenner muß gleich 2 sein. erfüllt diese Bedingung.
⇒ x = 8
RS(a)97 / W 7.3a) Rechteck mit Umfang u = 356 m und Flächeninhalt A = 7 632 m2
2(a + b) = u 2(a + b) = 356 ma · b = A a · b = 7 632 m2
Die Angaben führen zu einem Gleichungssystem. Zur Vereinfachung der Rechnung gman von den Größengleichungen zu den Zahlenwertgleichungen über.Die Lösung kann mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens ermittelt werden.(I) 2(a+b) = 356(II) a · b = 7 632
(I') a = 178 – b durch Umstellen von (I)
(I') in(II) (178 – b) ·b = 7 632
178 b – b2 = 7 632
Diese quadratische Gleichung wird in Normalform gebracht:
x : (x – 2) = 4 : 34 · (x – 2) = 3 · x
4x – 8 = 3xx = 8
Als Produktgleichung schreibenAusmultiplizieren
Probe: =
=
wahre Aussage
88 2–( )
---------------- 43---
86--- 4
3---
43--- 8
6--- 12
9------ 16
12------
86---
31
t man
0 = b2 – 178b + 7 632 p = –178; q = 7632
b1,2 = – ±
b1,2 = 89 ± = 89 ± 17
b1 = 89 + 17 = 106; b2 = 89 – 17 = 72
Die eine Seite kann 106 m oder 72 m lang sein. Um die andere Seite zu ermitteln, setzdie Werte von b z.B. in (I') ein:a1 = 178 – b1 ⇒ a1 = 72; a2 = 178 – b2 ⇒ a2 = 106
Probe am Text:Umfang Flächeninhalt
2(72 m + 106 m) = 356 m 72m · 106 m = 7 632 m2
356 m = 356 m 7 632 m2 = 7 632 m2 wahre Aussage wahre Aussage
Die beiden gesuchten Seitenlängen sind 72 m und 106 m.
b) 9% der Fläche sind 687 m2 ( · 7 632m2 = 686,88 m2). Der Tabelle entnimmt man für
diese Fläche den Quadratmeterpreis von 3,50 DM.
687 m2 · 3,50 = 2 404,50 DM
Der Kaufpreis für den Rollrasen beträgt ca. 2 405 DM.
RS(b)97 / 6e)
Die Zahlen können durch systematisches Probieren für x < 0, x ∈ Z gefunden werden.x = –1 –3 · (–1) = 3 3 < 9 wahre Aussagex = –2 –3 · (–2) = 6 6 < 9 wahre Aussagex = –3 –3 · (–3) = 9 9 < 9 falsche Aussagex = –4; –5 … falsche AussageEs erfüllen nur die Zahlen –1 und –2 die Ungleichung.
RS(b)97 / W 7.1a) Preis für eine gepflanzte Buche: 1,80 DM
Preis für eine gepflanzte Tanne: 1,20 DMGesamtpreis: 9 300 DMGesamtanzahl der gepflanzten Buchen und Tannen: 5 500
Anzahl der gepflanzten Buchen … bAnzahl der gepflanzten Tannen … t
Anzahl Preisb + t = 5 500 1,80 DM · b + 1,20 DM · t = 9 300 DM
ohne Einheiten: 1,80b + 1,20t = 9 300
p2--- p2
4----- q–
7 921 – 7 632
9100---------
DMm2---------
32
Lösungen
ungs-
rden.
Es sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen gegeben. Zur Lösung kann das Einsetzverfahren genutzt werden.(I) b + t = 5 500(II) 1,80b + 1,20t = 9 300
(I') b = 5 500 – t durch Umstellen von (I)
(I') in(II) 1,80(5 500 – t) + 1,20 t = 9 300
9 900 – 1,80t + 1,20 t = 9 300| – 9 900
–0,60t = –600| : –0,60t = 1 000
Dieser Wert wird in eine der Ausgangsgleichungen eingesetzt, z.B in (I).
b + 1 000 = 5 500| – 1 000b = 4 500
Probe am Text:Anzahl Preis
1000 + 4 500 = 5 500 1,80 DM · 4 500 + 1,20 DM · 1 000 = 9 300 DM5 500 = 5 500 8 100 DM + 1 200 DM = 9 300 DMwahre Aussage 9 300 DM = 9 300 DM
wahre Aussage
Pro Hektar sind 1 000 Tannen und 4 500 Buchen zu pflanzen.
b) Um die Anzahl an Buchen und Tannen berechnen zu können, muß zunächst der Inhalt der aufzuforstenden Fläche (AT) ermittelt werden. Diese Fläche ist der 6. Teil der gesamten Kreisfläche (AK), weil die Verhält-nisse der Flächen und der zugehörigen Zentriwinkel gleich sind (AT : AK = 60° : 360°).
AT = AK = πr2 AK = π · (350 m)2 ≈ 384 845 m2
AT = ≈ 64 141 m2 = 6,4141 ha
6,4141 ha sind mit Buchen (4 500 je ha) und Tannen (1 000 je ha) zu bepflanzen.
Buchen: 6,4141 ha · = 28 864; Tannen: 6,4141 ha · = 6 415
Es sollten für diese Fläche mindestens 28 864 Buchen und 6 415 Tannen bestellt we
5 Funktionen
HS(a)97 / 5
a) y = f(x) = –2x + 9; x 0 1 3,5 5
y 9 7 2 –1
r = 350 mr
α = 60°
α
AK
6-------
384 845 m2
6----------------------------
4 500ha
------------- 1 000ha
-------------
33
kannt
b) und c)
d) Der Meßwert für den Abstand ist 5,4 cm.
HS(b)97 / 5
RS(a)97 / 3a) Der Graph der Funktion läßt sich mit Schablone zeichnen, wenn der Scheitelpunkt be
ist.Ermitteln des Scheitelpunktes:
a) x –2 –1 0 3
y –7 –4 –1 8
f
Abstand
y
x1
1
9
g
0
f
y
x1
1
5
9
7
P –5,5
–1,5
b) c) 1. Weg: x ablesenZum Funktionswert –5,5 gehört das Argu-ment –1,5.
2. Weg: x berechnen– 5,5 = 3x – 1| +1–4,5 = 3x | : 3
x = –1,50
34
Lösungen
en-
ert 0 der
tzen,
-ver-
1. Weg: y = f(x) = x2 + 4x + 1 2. Weg:p = 4; q = 1 Sinnvolles Probieren über Wertetabelle
S(– ; – + q)
S(– ; – + 1)
S(–2; –3)
3. Weg: Es ist auch möglich, eine Wertetabelle anzufertigen und die geordneten Zahlpaare (x; y) in ein Koordinatensystem zu übertragen, z.B.:
a) und c)
b) Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, setzt man für y den Wein. Die Lösungen der so entstandenen quadratischen Gleichung erhält man mit HilfeLösungsformel.
y = f(x) = x2 + 4x + 1; y = 0 ⇒ 0 = x2 + 4x + 1 ; p = 4; q = 1
x1,2 = – ±
x1,2 = – ± = –2 ± = –2 ±
x1 = –2 + (x1 ≈ –0,3); x2 = –2 – (x 2 ≈ –3,7)
Die Nullstellen der Funktion sind näherungsweise x1 = –0,3 und x2 = –3,7.
d) 1.Weg: Wenn die beiden Graphen einander schneiden, also einen gemeinsamem Punkt besidann haben ihre Funktionen für ein bestimmtes gleiches x den gleichen y-Wert.Man betrachtet die Gleichungen der beiden Funktionen f(x) und g(x) als lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Dieses läßt sich vorteilhaft mit dem Gleichsetzungsfahren lösen.
x –5 –4,5 –4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1
y 6 3,25 1 –0,75 –2 –2,75 –3 –2,75 –2 –0,75 1 3,25 6
x –5 –4 –3 –2 –1
y 6 1 –2 –3 –2
Scheitelpunkt
p2--- p2
4-----
42--- 42
4-----
f
y
x1
1
g
0
p2--- p2
4----- q–
42--- 16
4------ 1– 4 1– 3
3 3
35
t:
ktes
daß
ch-
etrie-
(I) y = x2 + 4x + 1(II) y = 2x
(I) = (II) 2x = x2 + 4x + 1Diese Gleichung wird in die Normalform umgeformt und mit der Lösungsformel gelös
0 = x2 + 2x + 1; p = 2; q = 1
x1,2 = – ±
x1,2 = – ± = –1 ± = –1
Beide Graphen haben bei x = –1 einen gemeinsamen Punkt. Den y-Wert dieses Punerhält man durch Einsetzen in eine der Funktionsgleichungen.
y = f(–1) = (–1)2 + 4 · (–1) + 1 = –2 oder y = f(–1) = 2 · (–1) = –2
Der gemeinsame Punkt hat die Koordinaten x = –1 und y = –2.
2. Weg: Erweitern der Wertetabelle von a):
An der Stelle x = –1 sind die Funktionswerte beider Funktionen gleich. Das bedeutet,an dieser Stelle ein gemeinsamer Punkt der zugehörigen Graphen existiert.
3. Weg:Aus der Zeichnung a) und c) ist zu vermuten, daß beide Graphen einander im Punkt P(–1; –2) berühren. Durch Einsetzen in die jeweilige Funktionsgleichung wird dies nagewiesen.
y = x2 + 4x + 1 y = 2x–2 = (–1)2 + 4 · (–1) + 1 –2 = 2 · (–1)–2 = 1 – 4 + 1 –2 = –2 wahre Aussage–2 = –2 wahre Aussage
RS(b)97 / 3
a) Der Graph der Funktion y = f(x) = x2 – 2x – 1 ist eine Normalparabel (p = –2; q = –1).1. Weg:
S(– ; – + q) S(+1; – – 1) ⇒ S(1; –2)
2. Weg:Der Scheitelpunkt wird durch systematisches Probieren (kleinster y-Wert) und Symmbetrachtungen gefunden.
x –5 –4,5 –4 –3,5 –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1
y = f(x) 6 3,25 1 –0,75 –2 –2,75 –3 –2,75 –2 –0,75 1 3,25 6
y = g(x) –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
p2--- p2
4----- q–
22--- 4
4--- 1– 0
p2--- p2
4----- 4
4---
36
Lösungen
ah-
y = f(–2) = 4 + 4 – 1 = 7y = f(0) = 0 – 0 – 1 = –1y = f(2) = 4 – 4 – 1 = –1Aus den letzten beiden Gleichungen folgt, daß der x-Wert des Scheitels in der Mitte zwischen0 und 2 liegt.Für x = 1 ergibt sich y = f(1) = 1 – 2 – 1 = –2
⇒ S(1; –2)
b) Der y-Wert eines Punktes, in dem die Parabel diex-Achse schneidet, ist null.1. Weg:
y = f(2,5) = 2,52 – 2 · 2,5 – 1 = 0,25; 0,25 ≠ 0
⇒ keine Nullstelle
2. Weg:
0 = x2 – 2x – 1 p = –2; q = –1
x1,2 = – ± x1,2 = 1 ± = 1 ±
Beide ermittelten x-Werte sind keine rationalen Zahlen. Die Funktion f hat somit bei x = 2,5 keine Nullstelle.
c) Um die Gleichung der linearen Funktion vorteilhaft bestimmen zu können, sind ganzzlige Schnittpunkte zu wählen, z.B. P1(0; –1) und P2(3; 2) oder P3(1; –2) und P4(2; –1).
Für P1 und P2 ergibt sich (siehe a)):
Anstieg m = = 1; Absolutglied n = –1 ⇒ y = g(x) = x – 1
6 Ähnlichkeit; Satz(-gruppe) des PYTHAGORAS
HS(b)97 / 3
f
y
x1
1
gP2
S
P1
c)
0
p2--- p
2---
2q– 1 1+ 2
33---
a
C
B
a) 1. Schritt
a
C
B
γ
2. Schritt
a
C
B
γ
cA
3. Schritt
Kreisbogenum B
a
C
B
γ
cA
βα
b
37
b) a2 + b2 = c2 | – a2 (Dreieck ABC ist rechtwinklig; γ = 90°)
b2 = c2 – a2 |
b = b = = 5,5 cm
c) A = ab A = · 4,8 cm · 5,5 cm = 13,2 cm2
Der Flächeninhalt beträgt 13,2 cm2.
RS(b)97 / 6d)
gegeben: a = 24 cm gesucht: e in cmb = 7 cm
a2 + b2 = e2 |
e = e = = 25 cmDie Länge der Diagonalen beträgt 25 cm.
RS(b)97 / W 7.2
gegeben: AC = 213,0 m; CF = 194,7 m
a) Der Höhenunterschied (EF) wird mit Hilfe des Strahlensatzes berechnet, denn es gilt BC i EF.
= | · AF
EF = AF = AC + CF AF = 213,0 m + 194,7 m = 407,7 m
EF = = 24,5 m
Der Höhenunterschied zwischen den Punkten A und E beträgt 24,5 m.
b) Das Dreieck ACB ist rechtwinklig. Der Anstiegswinkel α kann mit dem Tangens berechnet werden.
tanα = = tanα = = 0,06009
⇒ α ≈ 3,4°
Die Brücke hat einen Anstiegswinkel von rund 3,4°.
c) Die Summe von BC und CD ergibt die Höhe des Pfeilers BD. Die Längevon CD kann wie-derum mit Hilfe einer trigonometrischen Bezie-hung im rechtwinkligen Dreieck DCA berechnet werden.
c2 a2– 7,3 cm( )2 4,8 cm( )2–
12--- 1
2---
a
eb
a2 b2+ 24 cm( )2 7 cm( )2+
A
BE
C F
BC = 12,8 m
EFAF-------- BC
AC--------
BC AF⋅AC
---------------------
12,8 m · 407,7 m213,0 m
----------------------------------------
A
B
Cα
Gegenkathete von αAnkathete von α
------------------------------------------------- BCAC-------- 12,8 m
213,0 m-------------------
A
B
C
δD
\ BDA = δ = 82,6°
38
Lösungen
°
BD = BC + CD tanδ = = (· CD : tanδ)
CD = CD = = 27,7 m
BD = 12,8 m + 27,7 m = 40,5 m
Der Pfeiler BD hat eine Höhe von 40,5 m.
7 Trigonometrie
RS(a)97 / 2gesucht: Länge der Straßenbahntrasse x in km
Zur Berechnung des Innenwinkels γ kann der Sinussatz benutzt werden.
=
sinγ = · sin49,0° = 0,4786 ⇒ γ = 28,6°
Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck gilt:β = 180° – 28,6° – 49,0° = 102,4°
Die Berechnung der Streckenlänge x ist möglich
:Die neue Straßenbahntrasse hat eine Länge von 5,3 km.
RS(a)97 / 6c
sinα = –0,5 ⇒ α1 = 210° (3. Quadrant) ; α2 = 330° (4. Quadrant)
RS(b)97 / 2gegeben: BC = a = 136 m
AC = b = 111 m\ BAC = α = 78,0°
gesucht: Entfernung der beiden Mundlöcher (AB) in m
Um die Länge der Strecke AB berechnen zu können, muß die Größe des Winkels γ bekannt sein. γ ist wiederum nur berechenbar, wenn β bekannt ist. Die Größe von β wird mit dem Sinussatz berechnet.
mit dem Sinussatz: mit dem Kosinussatz:
= x2 = (2,6 km)2 + (4,1 km)2 – 2 · 2,6 km · 4,1 km · cos102,4
x = 4,1 km · = 5,3 km x2 = 28,15 m2 ⇒ x = 5,3 km
Gegenkathete von δAnkathete von δ
------------------------------------------------ ACCD--------
ACδtan
----------- 213,0 m82,6°tan
---------------------
Z
W
A2,6 km
4,1 km
49,0°
x
β
γ
γsin49,0°sin
--------------------- 2,6 km4,1 km----------------
2,6 km4,1 km----------------
x4,1 km---------------- 102,4°sin
49,0°sin-----------------------
102,4°sin49,0°sin
-----------------------
C (Gangkreuz)
B
ba
αAc
Mundlöcher
γ
β
39
h
= | · sin α
sin β = sin β = = 0,7983 ⇒ β = 53,0°
α + β + γ = 180° | – α – β (Innenwinkelsatz)γ = 180° – α – β γ = 180° – 78,0° – 53,0° = 49,0°
Die Berechnung der gesuchten Entfernung (AB) kann nun sowohl mit dem Sinussatz als aucmit Kosinussatz erfolgen.
Sinussatz Kosinussatz
= | · a c2 = a2 + b2 – 2abcosγ
c = c2 = (136 m)2 + (111 m)2 – 2 · 136 m · 111 m · cos49,0°
c = c2 = 11009,3 m2
= 104,9 m c = 104,9 m
Die Entfernung der beiden Mundlöcher beträgt rund 105 m.
8 Berechnungen an Körpern und Körperdarstellungen
HS(a)97 / 4
a) gegeben: AB = 32 cm; EF = 20 cm;AE = 16 cm
gesucht: BF in cm
Die Berechnung von BF erfolgt im rechtwinkligenDreieck BFK. Für dieses Dreieck gilt:
(FK)2 + (KB)2 = (BF)2 (Satz des PYTHAGORAS)KB erhält man aus: AB – EF = 32 cm – 20 cm = 12 cm.
Damit gilt: (BF)2 = (FK)2 + (KB)2
BF = BF = = 20 cmDie Länge der Körperkante BF beträgt 20 cm.
b) Geeignete Maßstäbe sind 1 : 2 bis 1 : 10. Mehrere Möglichkeiten der Darstellung sind richtig.
βsinαsin
----------- ba---
b αsin⋅a
------------------- 111 m · sin 78,0°136 m
-----------------------------------------
ca-- γsin
αsin-----------
γsin a⋅αsin
-----------------
49,0°sin 136 m⋅78,0°sin
----------------------------------------
A BK
E F
FK( )2 KB( )2+ 16cm( )2 12cm( )2+
AE
C
G
F
H
B
D
D
AE
H
B
C
G
F
H
A
E
D
BC
G F
A
H
D
E
B C
GF
(Für alle Darstellungen gilt: α = 45°; q = .)1
2---
(Maßstab 1 : 20)
40
Lösungen
ers
lu-
-
HS(a)97 / W6.3
Der „swimming-pool“ hat die Form eines Kreiszylinders.gegeben: d = 3,60 m; h = 0,90 m
a) Die Außenwandfläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a (gleich der Höhe des Pools) und b (gleich dem Umfang der Grundfläche).Für den Kreisumfang u gilt: u = π · d u = 3,60 m · π ≈ 11,3 m.
Die rechteckige Außenwandfläche hat die Seitenlängen a = 0,90 m und b = 11,3 m.Rechteckige Außenwandfläche im Maßstab 1 : 100
b) Die Stellfläche ist ein Kreisfläche.
Für die Kreisfläche A gilt: A = · d2 A = ≈ 10,2 m2.
Die Stellfläche des Pools beträgt 10,2 m2.
c) Um das Wasservolumen zu berechnen, muß das Volumen eines geraden Kreiszylindberechnet werden, dessen Höhe 80 cm beträgt.h1 … Höhe 80 cm; V1 … Volumen bei der Füllung bis 10 cm unter der Oberkante;
AG … Grundfläche -–hier Kreis
V1 = AG · h1 V 1 = 10,2 m2 · 0,80 m = 8,16 m3
Wenn der Pool bis 10 cm unterhalb seiner Oberkante gefüllt ist, beträgt das Wasservomen ca. 8,16 m3 bzw. 8 160 Liter.Überprüfung, ob der Pool überläuft, wenn noch 200 Liter nachgefüllt werden:1. Weg:VG … Gesamtvolumen mit 90 cm Höhe
VG = AG · h VG = 10,2 m2 · 0,90 m = 9,18 m3
9 180 Liter passen insgesamt in den Pool.8 160 Liter + 200 Liter = 8 360 Liter8360 Liter sind weniger als 9180 Liter⇒ Der Pool läuft nicht über.
2. Weg:Berechnung, wieviel Liter in den noch nicht gefüllten Teil des Pools passen.VR … ungefüllter Teil des Pools; hR … Resthöhe 10 cm
VR = AG · hR V R = 10,2 m2 · 0,10 m = 1,02 m3
In den noch nicht gefüllten Teil des Pools paßt rund 1 m3. Es können also 200 Liter nachgefüllt werden, ohne daß der Pool überläuft.
d
h
π4--- π 3,60 m( )2⋅
4-------------------------------
41
h-
echt-
m
HS(b)97 / W 6.2
a) Körper (1) ist eine quadratische Pyramide (Grundfläche Quadrat; Seitenflächen gleicschenklige Dreiecke).Körper (2) ist ein Quader (alle Begrenzungsflächen sind Rechtecke).Körper (3) ist ein gerades dreiseitiges Prisma (Grundfläche Dreieck; Seitenflächen Recke).
b) gegeben: a = 4 cm gesucht: V in cm3
h = 6 cm
V = AG · h AG = a2 A G = 4 cm · 4 cm = 16 cm2
V = · 16 cm2 · 6 cm= 32 cm3
c) gegeben: a = 4 cm gesucht: AO in cm2
b = 8 cmc = 6 cm
AO = 2 · (ab + ac + bc) AO = 2 · (4 cm · 8 cm + 4 cm · 6cm + 8 cm · 6 cm) = 208 cm2
d) Maßstab 1 : 2
RS(a)97 / 5
gegeben: Grundkantenlänge einer quadratischen Pyramide a = 6cm; Körperhöhe h = 7 c
a) Maßstab 1 : 4
13---
13---
Variante 1 Variante 2
α = 45°q = 1
2---
42
Lösungen
hl und
b) 1. Weg:
2. Weg:
c) Das k-fache der Grundkantenlänge a hat das k2-fache des ursprünglichen Flächeninhaltesdes Quadrates zur Folge. Daher schreibt man z.B. 16 als Produkt aus einer Quadratzaeiner beliebigen anderen positiven Zahl (Vielfaches der Höhe h).
16 = 22 · 4 ⇒ Verdopplung von a; Vierfaches von ha(4) = 12 cm; h(4) = 28 cm
16 = 12 · 16 ⇒ a bleibt unverändert; 16faches von ha(4) = 6 cm; h(4) = 112 cm
16 = 42 · 1 ⇒ Vierfaches von a; h bleibt unverändert.a(4) = 24 cm; h(4) = 7 cm
Weitere Werte für a und h erhält man, indem man für V(4) = 1 344 cm3 die Grundkantenlän-
gen vorgibt und die zugehörigen Höhen berechnet (und umgekehrt).
gegebene Pyramide veränderte Pyramide Verhältnis
(1) V = a2h V(1) = a2 · 2h
V(1) = a2 · h
V(1) : V = 2 : 1
(2) V = a2h V(2) = · (2a)2 · h
V(2) = · 4a2 · h
V(2) = a2 · h
V(2) : V = 4 : 1
(3) V = a2h V(3) = · ( a)2 · h
V(3) = · a2 · h
V(3) = a2h
V(3) : V = 1 : 8
V = · (6 cm)2 · 7 cm
V = 84 cm3
V(1) = · (6 cm)2 · 14 cm
V(1) = 168 cm3
V(1) : V = 168 : 84
V(1) : V = 2 : 1
V(2) = · (12 cm)2 · 7 cm
V(2) = 336 cm3
V(2) : V = 336 : 84
V(2) : V = 4 : 1
V(3) = · (3 cm)2 · 3,5 cm
V(3) = 10,5 cm3
V(3) : V = 10,5 : 84
V(3) : V = 1 : 8
13--- 1
3---
23---
13--- 1
3---
13---
43---
13--- 1
3--- 1
2--- 1
2---
13--- 1
4--- 1
2---
124------
13--- 1
3---
13---
13---
43
inen
nhalt ei-
RS(a)97 / 6e)
1. Weg: AO = 6a2 | : 6
= a2 |
a = ⇒ a = = = 6 cm
Die Kantenlänge des Würfels beträgt 6 cm.
2. Weg:Ein Würfel wird durch 6 gleichgroße Quadratflächen begrenzt. Jedes Quadrat hat somit eFlächeninhalt von 36 cm2 (216 cm2 : 6 = 36 cm2), und die Länge einer Quadratseite ist 6 cm(6 cm · 6 cm = 36cm2).
RS(a)97 / W 7.2
a) Maßstab 1 : 8
b) Der Materialbedarf (A) - ohne Klebefalze - läßt sich berechnen aus dem Oberflächenieines Quaders (AQu), vermehrt um den Inhalt zweier gleich großer gleichschenkliger Drecke (AD) und den Inhalt der beiden rechteckigen Dachflächen (AR).
gegeben: a = 10 cm; b = 10 cmc = 8 cm; s = 7 cm
AQu = 2(a · b + a · c + b · c)
AQu = 2(10 cm · 10 cm + 10 cm · 8 cm + 10 cm · 8 cm)
= 520 cm2
AD = ha2 + (5 cm)2 = (7 cm)2
ha2 = (7 cm)2 – (5 cm)2
ha = = 4,9 cm
AD = = 24,5 cm2
AR = s · b AR = 7 cm · 10 cm = 70 cm2
AO
6-------
AO
6------- 216 cm2
6-------------------- 36 cm2
ab
sc
a ha⋅2
------------ha
10 cm
7 cm
24 cm2
10 cm · 4,9 cm2
-----------------------------------
44
Lösungen
aus. n:
Kör-
A = AQu + 2 · AD + 2 · AR A = 520 cm 2 + 2 · 24,5 cm2 + 2 · 70 cm2 = 709 cm2
Materialbedarf mit Klebefalze (AG): AG = 709 cm2 + · 709 cm2 = 815,4 cm2
Der Materialbedarf für die Verpackung beträgt rund 816 cm2.
c) Wegen 36 mm < 10 cm reicht die Höhe des Prismas für die Unterbringung der Kugel Für die Grundfläche des Prismas wird die Überprüfung folgendermaßen vorgenomme
1. Weg:Durch die maßstabsgetreue Zeichnung läßt sich zeigen, daß eine derartige Kugel unterge-bracht werden kann (Die Betrachtungen erfol-gen in der Symmetrieebene des dreiseitigen Prismas).
2. Weg:Konstruiert man den Inkreis des Dreiecks, er- gibt sich für diesen ein Durchmesser von 40 mm. Kreise mit einem kleineren Durchmes-ser können im Dreieck „untergebracht“ werden.
RS(b)97 / 5
b) Um die Masse (m) des Formsteins berechnen zu können, muß das Volumen (V) des pers bekannt sein. Der Formstein ist ein Prisma mit einem Trapez als Grundfläche.AG … Grundfläche h … Höhe des PrismasV = AG · h a = 500 mm = 5 dm
c = 180 mm = 1,8 dmhT = 300 mm = 3 dm
AG = · hT A G = · 3 dm = 10,2 dm2
15100---------
Maßstab 1 : 2
Maßstab 1 : 2
a)
Maßstab 1 : 20
hT
a
c
a c+2
----------- 5 dm + 1,8 dm2
-----------------------------------
45
er t
das
omit egel
V = 10,2 dm2 · 2,50 dm = 25,5 dm3
Der Formstein hat eine Masse von 66,3 kg.
RS(b)97 / W 7.3
Böschungswinkel … αHöhe des Kegels … hRadius des Grundfläche … rGrundfläche … AG
a) Für die Berechnung des Volumens (V) des Kegels wird dRadius der Grundfläche benötigt. Die Berechnung erfolgim rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten r und h.
tanα = = (· r : tanα)
r = r = = 1,76 m
V = AG = πr2 A G = π · (1,76 m)2 = 9,73 m2
V = = 3,57 m3
Es wurden rund 3,6 m3 Sand aufgeschüttet.
b) Näherungsweise Höhe des Schüttkegels … H
H = u = 2πr u = 2 · π · 1,76 m = 11,06 m
H = ≈ 1,1 m
Die Höhen H und h sind etwa gleich groß.
1. Weg:Wegen des nach Voraussetzung gleichen Böschungswinkels ist
Verhältnis h : r konstant (tanα = ). Da eine Veränderung des
Umfanges der Grundfläche nur von r abhängig ist (u = 2πr), gilt: Wird r vergrößert (verkleinert), so vergrößert (verkleinert) sich u
immer im gleichen Verhältnis. Es bleibt also auch das Verhältnis h : u konstant, und sgilt die näherungsweise Bestimmung der Höhe mit Hilfe des Umfangs für alle Schüttkaus Sand.
Volumen Masse
1 dm3 2,6 kg
25,5 dm3 66,3 kg
· 25,5
· 25,5
hr α
α = 32°
h
rα
h = 1,1 m
Gegenkathete von αAnkathete von α
------------------------------------------------- hr---
hαtan
------------ 1,1 m32°tan
----------------
AG h⋅3
---------------
9,73 m2 1,1 m⋅3
-------------------------------------
u10------
11,06 m10
-------------------
h
r α
hr---
46
Lösungen
s:
,65.
nt-
2. Weg:Für alle Schüttkegel aus Sand gelten folgende Höhen H und h bei gegebenem Radiu
H = = 0,6283r tan32° =
h = r · tan32° = 0,6249rH ≈ h (für Sandkegel)
9 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
RS(a)97 / 4
a) Häufigkeitstabelle
b) Zur Darstellung ist besonders ein Block- oder ein Kreisdiagramm geeignet.Blockdiagramm (Länge: 10 cm)1: 0,55 · 10 cm = 5,5 cm 2: 0,3 · 10 cm = 3 cm3: 0,1 · 10 cm = 1 cm 4: 0,05 · 10 cm = 0,5 cm
c) Das arithmetische Mittel ist der Quotient aus der Summe der Anzahl der betriebenenSportarten und der Anzahl der befragten Schüler.
m = = 1,65
Das arithmetische Mittel für die Anzahl der Sportarten der befragten Schüler beträgt 1
d) Von den 40 befragten Schülern betreiben 6 Schüler mehr als zwei Sportarten. Dies espricht 15%. Berechnet man 15% von 620 Schülern, erhält man 93 Schüler ( · 620 = 93).
Vermutlich betreiben 93 der 620 Schüler mehr als zwei Sportarten.
Anzahl der Sportarten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit
1 22 = 0,55
2 12 = 0,3
3 4 = 0,1
4 2 = 0,05
2π r10---------
h
r
32°hr---
2240------
1240------
440------
240------
dreiSport-arten
zweiSportarten
eineSportart
vierSportarten
22 1⋅ 12 2⋅ 4 3⋅ 2 4⋅+ + +40
-------------------------------------------------------------------
15100---------
47
gt
-
ei-ß.
RS(b)97 / 4
b) Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis (–; –) wird mit der Pfadmultiplikationsregel berechnet.
P(„beide Kontrollen nicht bestanden“) = · = =
Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß eine Zinnfigur beide Kontrollen nicht besteht, beträ0,1 (10%).
c) Es interessiert zunächst nur das Ergebnis (+; +). Die Wahrscheinlichkeit beträgt
P(„beide Kontrollen bestanden“) = · = .
sind , also 45 %. Vermutlich werden 45% der 5 000 Zinnfiguren ohne Beanstan
dung sein.
· 5 000 = 2 250
Ungefähr 2 250 Zinnfiguren werden fehlerfrei sein.
10 Begründen von Aussagen
RS(a)97 / 6d)
Die Winkel ACB und EDB sind jeweils Peripheriewinkel über dem Durchmesser eines Krses. Nach dem Satz des THALES haben beide eine Größe von 90° und sind somit gleich gro
35--- +
–
+
–
1. Kontrolle(Guß)
2. Kontrolle(Bemalung)
Ergebnissea)
34---
14---
25---
25---
35--- +
–
(+; +)
(+; –)
(–; –)
(–; +)
+ … qualitätsgerecht – … nicht qualitätsgerecht
S = {(+; +); (+; –); (–; +); (–; –)}
14--- 2
5--- 2
20------ 1
10------
34--- 3
5--- 9
20------
920------ 45
100---------
45100---------
48
Anhang
P.
1 P.
Schriftliche Abschlußprüfung MathematikQualifizierender Hauptschulabschluß 1996/97
Teil I (Pflichtaufgaben)
Aufgabe 1 (7 Punkte)a) Berechnen Sie . 1 P.
b) Ordnen Sie die folgenden Zahlen den markierten Punkten zu.1,7; –2; ;
c) Geben Sie eine Zahl zwischen 1,53 und 1,54 an. 1
d) 1 kg Butterkäse kostet 12,80 DM. Wieviel DM kosten 250 g Butterkäse?
e) Berechnen Sie in dem gleichschenkligen Dreieck ABC die Größe des Winkel γ.
f) Die folgende Zahlenreihe ist nach einer Regel aufgebaut. Geben Sie die Zahl x an.
0; 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; x 1 P.
Aufgabe 2 (4 Punkte)Lösen Sie die folgenden Gleichungen:a) 35x + 48 – 30x = 8 + x 2 P.
b) 3 · (2x – 1) = 51 1 P.
c) 5x = 625 1 P.
406,25 · 0,1643,25 + 6,75-------------------------------
45--- 0,09
–2 –1 0 1 2
A B C D E F
2 P.
75°
γAC = BC
SkizzeA B
C
(nicht maßstäblich) 1 P.
49
ie Zei-
2 P.
eis-
2 P.
r.P.
P.
en der P.
1 P.
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Eine Tageszeitung erscheint an 304 Tagen im Jahr, davon sind 52 Tage Sonnabende. Dtung wird am Kiosk zu folgenden Preisen verkauft:Montag bis Freitag: 0,90 DM; Sonnabend: 1,00 DM.
a) Wieviel DM würde ein Kunde im Jahr ausgeben, wenn er sich die Zeitung am Kioskkauft? 2 P.
b) Ein Jahresabonnement dieser Zeitung kostet 218,40 DM.Wieviel Prozent spart man gegenüber dem Kauf am Kiosk im Jahr ein?
c) Der Zeitungsverlag gewährt dem Abonnenten, der vom Konto abbuchen läßt, eine Prminderung von 4% bei einmaliger Abbuchung des jährlichen Gesamtbetrages.Berechnen Sie den Betrag bei einmaliger Abbuchung vom Konto.
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Das dargestellte Prisma hat folgende Maße:AB = 32 cm,BC = 24 cm, AE = 16 cm,EF = 20 cm.
a) Berechnen Sie die Länge der Körperkante BF. 2 P.
b) Das Prisma wird so gedreht, daß es auf der Fläche ADHE steht.Stellen Sie das Prisma in dieser Lage im Schrägbild in einem geeigneten Maßstab daGeben Sie diesen Maßstab an. 3
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Gegeben ist eine lineare Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = –2x + 9.
a) Ergänzen Sie die zugehörige Wertetabelle.
b) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f in ein Koordinatensystem.(Längeneinheit im Koordinatensystem: 1 cm) 2
c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem eine Gerade g, die parallel zum GraphFunktion f sowie durch den Punkt P(0; –3) verläuft. 1
d) Messen Sie den Abstand der Parallelen, und geben Sie diesen an.
x 0 1 3,5 5
y
A B
CD
E F
GH
Skizze (nicht maßstäblich)
2 P.
50
Anhang
t.
2 P.
m
1 P.
Teil II (Wahlaufgaben)
Wahlaufgabe 6.1 (7 Punkte)
An einer Kreuzung wurde eine Verkehrszählung von 5.00 Uhr bis 21.00 Uhr durchgeführ
a) Wieviel Prozent aller gezählten Verkehrsmittel waren Fahrräder?
b) Wie viele PKW fuhren während der Zählung durchschnittlich in einer Stunde über die Kreuzung? 2 P.
c) Zur Verkehrsberuhigung ist beabsichtigt, eine Umgehungsstraße zu bauen.Voraussichtlich wird sich dadurch– die Anzahl der LKW und PKW jeweils um 70% verringern,– die Anzahl der Motorräder nicht ändern,– die Anzahl der Fahrräder verdoppeln.Ermitteln Sie für die vier Verkehrsmittel die jeweils zu erwartende Anzahl für den Zeit-raum von 13.00 Uhr bis 17.00 Uhr, und stellen Sie diese in einem geeigneten Diagramdar. 3 P.
Wahlaufgabe 6.2 (7 Punkte)In einem Öltank befinden sich noch 200 Liter Heizöl. Beim Auffüllen werden pro Minute 300 Liter Heizöl in den Tank gepumpt.
a) Vervollständigen Sie die folgende Tabelle..
b) Tragen Sie die Wertepaare als Punkte in ein geeignetes Koordinatensystem ein.Verbinden Sie die Punkte. 2 P.
c) Geben Sie an, nach wieviel Minuten sich 3 800 Liter Heizöl in dem Tank befinden.
Zeit in min 0 5 10 15 18
Heizöl in Liter 200
VerkehrsmittelZeit
LKW PKW Motorräder Fahrräder
5.00 – 9.00 Uhr 128 460 84 53
9.00 – 13.00 Uhr 96 368 20 45
13.00 – 17.00 Uhr 120 410 72 62
17.00 – 21.00 Uhr 60 490 44 25
2 P.
51
P.
mit
tab.
P.
te
.
det 0 DM s. In
tz in
d) Die Heizölpreise sind abhängig vom Lieferumfang.
Berechnen Sie den Kaufpreis für 5 400 Liter Heizöl. 2
Wahlaufgabe 6.3 (7 Punkte)Für den Badespaß sind aufstellbare „swimming-pools“ sehr beliebt.Der Typ „Monaco“ hat eine 90 cm hohe Außenwand und eine kreisförmige Bodenfläche einem Durchmesser von 3,60 m.
a) Zeichen Sie die rechteckige Außenwandfläche des Pools in einem geeigneten Maßs3 P.
b) Berechnen Sie die Stellfläche des Pools. 1
c) Berechnen Sie das Wasservolumen, wenn der Pool bis 10 cm unterhalb der Oberkangefüllt ist.Wird der Pool überlaufen, wenn noch 200 Liter Wasser nachgefüllt werden?Begründen Sie Ihre Aussage. 3 P
gesamt: 35 Punkte
Realschulabschluß 1996/97
Teil I (Pflichtaufgaben)
Aufgabe 1 (5 Punkte)Herr Broschwitz kauft sich ein neues Auto zum Komplettpreis von 26 000 DM. Er verwendazu aus seinen Ersparnissen 9 600 DM. Das Autohaus nimmt seinen Altwagen für 7 40in Zahlung. Den fehlenden Betrag finanziert er mit einem Kredit der Bank des Autohausejedem Jahr sind 3,9% des aufgenommenen Kredits an Zinsen zu zahlen.Den Kredit und die Zinsen für die gesamte Laufzeit von 36 Monaten zahlt Herr Broschwigleichen Monatsraten ab.
Lieferumfang in Liter Preise in DM pro 100 Liter
bis 500 70,61
501 - 1 000 65,55
1 001 - 1 500 61,09
1 501 - 2 500 59,67
2 501 - 3 500 57,67
3 501 - 4 500 56,50
4 501 - 5 500 55,43
5 501 - 7 500 54,84
52
Anhang
P.
P.
P.
P.
mit
itzen.
chule
ufig-
1 P.
a) Geben Sie die Höhe des Kredits an. 1
b) Berechnen Sie die Zinsen für die gesamte Laufzeit. 2
c) Berechnen Sie die monatlich zu zahlende Rate. 2
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Zu den wichtigsten Vorhaben des Chemnitzer Ver-kehrskonzeptes gehört der Neubau einer Straßen-bahntrasse vom Zentrum in das größte Wohngebiet der Stadt. Bei der Planung werden die Maße der bisher bestehenden Streckenführung benutzt.Berechnen Sie die Länge der neuen Straßenbahn-trasse, die vereinfacht als geradlinig angenommen wird.
Aufgabe 3 (6 Punkte)
Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung y = f(x) = x2 + 4x + 1.
a) Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f mindestens im Intervall –5 ≤ x ≤ 1 in ein Koordi-natensystem. 2 P.
b) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. 2
c) Zeichnen Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen einer weiteren Funktion gy = g(x) = 2x. 1 P.
d) Untersuchen Sie durch Rechnung, ob beide Graphen einen gemeinsamen Punkt bes1 P.
Aufgabe 4 (5 Punkte)
Bei einer Umfrage werden 40 von 620 Schülern verschiedener Klassenstufen einer Sportsbefragt, wieviel Sportarten sie betreiben.Die Umfrage ergab folgende Urliste:
1 1 1 2 1 3 2 1 3 2 2 1 1 1 12 2 1 2 2 3 2 1 1 1 4 2 1 2 11 3 1 1 1 4 1 1 1 2
a) Fertigen Sie zu der Urliste eine Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häkeiten an. 2 P.
b) Stellen Sie die relativen Häufigkeiten der jeweiligen Anzahl in einem Diagramm dar.
Zentrum
Wohngebiet
Abzweig
2,6 km
4,1 km
Skizze
49,0°
(nicht maßstäblich)
53
chü-
ehr .
der
P.
ändert:
olu-P.
men 1 P.
1 P.
.
c) Berechnen Sie das arithmetische Mittel für die Anzahl der Sportarten der befragten Sler. 1 P.
d) Ermitteln Sie mit Hilfe des Umfrageergebnisses, wieviel der 620 Schüler vermutlich mals zwei Sportarten betreiben. 1 P
Aufgabe 5 (6 Punkte)
Gegeben ist eine gerade quadratische Pyramide mit der Grundkantenlänge a = 6 cm undKörperhöhe h = 7 cm.
a) Stellen Sie die Pyramide im Schrägbild dar. 2
b) Von der gegebenen Pyramide werden unabhängig voneinander folgende Größen ver(1) die Körperhöhe wird verdoppelt,(2) die Grundkantenlänge wird verdoppelt,(3) sowohl die Grundkantenlänge als auch die Körperhöhe werden halbiert.In welchem Verhältnis steht jeweils das Volumen der Pyramide (1), (2) bzw. (3) zum Vmen der gegebenen Pyramide? 3
c) Geben Sie die Grundkantenlänge und Körperhöhe einer Pyramide (4) an, deren Voludas 16fache des Volumens der gegebenen Pyramide ist.
Aufgabe 6 (6 Punkte)
a) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der im Quadratraster dargestellten Figur.
b) Lösen Sie die Gleichung x : (x – 2) = 4 : 3. 1 P
c) Ermitteln Sie alle Winkel α, für die gilt: sin α = –0,5 (0° ≤ α ≤ 360°). 2 P.
d) Durch den Berührungspunkt B zweier Kreisewurde eine Gerade gezeichnet, die die Kreise in den Punkten C und D schneidet.Begründen Sie, daß die Größen der WinkelACB und EDB gleich sind.
1 P.
e) Der Oberflächeninhalt eines Würfels beträgt 216 cm2. Ermitteln Sie seine Kantenlänge.1 P.
Seitenlänge von 1 Kästchen: 1 cm
M1 M2
AB
C
D
E
54
Anhang
im
Röh-eine
erlau-
er-
n
.
P.
n qua-erge-
Teil II (Wahlaufgaben)
Wahlaufgabe 7.1 (7 Punkte)Der „Tunnel, der Europa verbindet“, wurde am 06. Mai 1994 eröffnet. Er führt von Calais Norden Frankreichs unter dem Ärmelkanal entlang nach Dover im Süden Englands.
Der Eurotunnel hat eine Gesamtlänge von 49,2 km. Er besteht aus drei zylinderförmigenren – zwei Röhren mit jeweils 7,80 m Durchmesser für den Zugverkehr und dazwischen Versorgungsröhre mit 4,80 m Durchmesser für Wartung, Belüftung und Notevakuierung.Es wird angenommen, daß diese drei Röhren auf der gesamten Tunnellänge geradlinig vfen.
a) Wieviel Kubikmeter Gestein mußten für diese drei Röhren insgesamt ausgebrochen wden? 3 P.
b) Ein Anteil von 18% dieses Gesteins wurde nicht beräumt und abtransportiert, sondergleich vor Ort zermahlen und dem Fertigbeton untergemischt. Berechnen Sie diesen Anteil. 2 P
c) Ein Zug durchfährt die Gesamtlänge des Tunnels in 36 Minuten.
Berechnen Sie die durchschnittliche Geschwindigkeit in . 2
Wahlaufgabe 7.2 (7 Punkte)
Ein Unternehmen hat für sein neues Produkt eine Verpackung gewählt, bei der im unterederförmigen Teil Süßigkeiten und im oberen prismenförmigen Teil eine Überraschung untbracht werden.
kmh
-------
10 cm10
cm
7 cm
8 c
m
7 cm
Skizze (nicht maßstäblich)
Zwischenboden
55
: 2.
o- P.
1 P.
.
ßt das
a) Zeichen Sie ein Zweitafelbild dieser Verpackung ohne Zwischenboden im Maßstab 12 P.
b) Berechnen Sie den Materialbedarf für eine Verpackung einschließlich des Zwischenbdens, wenn für Klebefalze ein Mehrbedarf von 15% erforderlich ist. 4
c) Zeigen Sie, daß eine „Überraschungskugel“ mit einem Durchmesser von 36 mm imoberen Teil der Verpackung untergebracht werden kann.
Wahlaufgabe 7.3 (7 Punkte)Ein Fußballfeld hat einen Umfang von 356 m und eine Fläche von 7 632 m2.
a) Berechnen Sie Länge und Breite des rechteckigen Fußballfeldes.Führen Sie die Probe durch. 5 P
b) Anläßlich des Aufstieges der 1. Mannschaft in die nächsthöhere Spielklasse beschliePräsidium die teilweise Erneuerung des Fußballfeldes mit Rollrasen.Berechnen Sie den Kaufpreis, wenn 9% der Fläche erneuert werden.Verwenden Sie dazu die folgende Angebotsliste:
gesamt: 40 Punkte
Fläche Preis je m2
unter 300m2 5,10 DM
300m2 bis 599 m2 4,20 DM
600 m2 bis 999 m2 3,50 DM
ab 1 000 m2 2,90 DM 2 P.
56
Stichwortverzeichnis
Stichwortverzeichnis
(Es werden jeweils die Seiten angegeben, auf denen sich Lösungen von Aufgaben zum betref-fenden Sachverhalt befinden.)
Schulart / Seite
Anteil HS / 20; 22; 23; 27 RS / 24; 25; 33; 47; 48
Baumdiagramm RS / 48
Diagramm– Kreis - HS / 24– Block- RS / 47– Säulen- HS / 21
Dreieck– Sätze HS / 28 RS / 30; 45– Konstruktion HS / 37 RS / 45– Flächeninhalt HS / 38 RS / 44
Dreisatz HS / 22; 27 RS / 25; 26
Ergebnismenge RS / 48
Funktion– lineare HS / 33; 34 RS / 35; 36; 37– quadratische RS / 35; 36; 37
Gleichung– Verhältnis- HS / 22 RS / 25; 26; 31– lineare HS / 30; 31– quadratische RS / 31; 35; 36; 37– sonstige HS / 31
Gleichungssystem RS / 31; 32; 36
Größen– Flächeninhalt RS / 30; 33– Masse RS / 45– Zeit HS / 27
Häufigkeit– absolute RS / 47– relative RS / 47
Kegel– Volumen RS / 46
Kosinussatz RS / 39; 40
Kosten HS / 20 RS / 24; 26; 32
Kreis– Umfang RS / 30; 46– Flächeninhalt HS / 28; 41
57
Stichwortverzeichnis
Maßstab HS / 40; 41; 42 RS / 45
Mittelwert HS / 20; 23 RS / 47
Prisma– Darstellung HS / 40; 42 RS / 44; 45– Oberflächeninhalt RS / 44– Volumen RS / 45
Prozentrechnung– Grundaufgabe HS / 20; 22; 23; 29 RS / 25; 26; 29; 32; 44– bequeme Prozentsätze HS / 22– Steigerung „um“ / „auf“ HS / 20; 21 RS / 26
Pyramide– Darstellung RS / 42– Volumen HS / 42 RS / 43
Pythagoras (Satz des -) HS / 38; 40 RS / 38; 44
Quader– Oberflächeninhalt HS / 42
Rechteck– Umfang RS / 31– Flächeninhalt HS / 28; 29 RS / 31
Sinussatz RS / 39; 40
Strahlensatz RS / 38
Thales (Satz des -) RS / 48
Trapez– Flächeninhalt HS / 29 RS / 45
trigonometrische Beziehung RS / 38; 39; 46; 47
Verhältnisse RS / 25; 43; 46
Ungleichung RS / 32
Wahrscheinlichkeit von– Ergebnissen RS / 48
Winkelpaare RS / 30
Würfel– Oberflächeninhalt RS / 44
Zahlen, -bereich HS / 26
Zinsrechnung RS / 24
Zweisatz HS / 27
Zylinder– Volumen HS / 41 RS / 25
58
