Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004

- 29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen- 6.5. Zustandsmodelle, Rekursion- 13.5. Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen - 27.5. Definition von Ökosystemen - 3.6. Populations- und Individuenbasierte Modelle (FK)- 17.6. Individuenbasierte Modelle - 24.6. Modelle der Hydrologie, zelluläre Automaten - 1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation- 8.7. Modelle zur Gewässerversauerung- 15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie- 22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

- 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben (FK)

Modellierung (nach Robert Rosen)

Natural System

ENCODING

DECODING

Formal

System

INFER

EN

CE

CA

US

ALIT

Y 1

2

4

3

Naturgesetze

SimulationNewton: Dynamik

• Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische

Systeme)- z.B. logistisches oder exp. (kont.) Wachstum

• Diskrete Zustände (Diskrete dynamische

Systeme), z.B.:- z.B. logistisches diskretes Wachstum (Chaos)

- Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret)

- Zelluläre Automaten ( “ ) heute: Einführung einer

räumlichen

Abhängigkeit der Dynamik

Zustandsysteme

• Untersucht wird das typische Langzeitverhalten

(unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen)

• Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften

von Trajektorienensembles werden untersucht

• Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten:

- instabil/explodierend ("runaway solutions")

- Fixpunkt

- periodisches Verhalten

- Grenzzyklus

- Kompakte Mengen: Attraktoren

Kurze Einführung in dynamische Systeme

Zustände eines dynamischen Systems

Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)?

Der Zustand eines dynamischen Systems zu einemZeitpunkt wird durch Angabe einer Menge von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben:

tz

tz

tz

tz

n

.

.

.2

1

Die Menge der Zustandsgrößen sind genaudie, deren Werte man alle kennen muss,um das Verhalten des Systems in dernahen Zukunft vorhersagen zu können.(?)

Zustandsvektoren sind nicht eindeutig.

Die Zustandsvektoren spannen den Zustandsraum auf; die Dimension n desZustandsraums zu finden ist i.a.sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)

Wdh.: Kontinuierliche dynamische Systeme

)(xfx

Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobeif eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist.

Es gilt (Bewegungsgleichung)

x

ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum,

Xx

)(xf

Hängt nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom:

durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest

Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung

)(1 nn xFx

Autonomes dynamisches System im Zustandsraum:

Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems(Dimension D)

Takens Theorem:

Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren

),...,,( )2()1( ndmndmndn xxxx

liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls 12 Dm

Phasenraumverhalten des Lotka-Volterra-Systems

vuvuH ln Invariante:

Beispiel: der Lorenz-Attraktor

)(xFx

Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0:

Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen .

Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln:

(Zeitmittel)

)(xB

i

)(log1

lim)( xt

x it

i

(für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)

Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall

Schritte der Modellbildung

Wahl eines Ausschnittes der Wirklichkeit,

Zielsetzung

Idealisierungen, Abstraktionen,

physikalische Annahmen

Mathematischer Ansatz: diskret, kontinuierlich;

Erzeugen oder beschreiben?

Belebte Systeme, Ökosysteme

Zustandssysteme?deterministisch?

Automaten? Berechenbar?

?

Zelluläre Automaten

• Die Zustände sind Zellen zugeordnet mit

einer räumlichen (Nachbarschafts)-

Beziehung• Die Verarbeitung der Zustandübergänge erfolgt:

– Parallel: gleichzeitig für alle Zellen (für den aktuellen

Zustand)

– Lokal: als Eingabe wird der aktuelle Zustand der

jeweiligen Zelle und die ihrer unmittelbaren Nachbarn

verwendet

– Homogen: Die Zellen werden alle nach denselben

Regeln behandelt (analog zu einem physikalischen

Gesetz)

Der einfachste Fall: eindimensionale Zelluläre Automaten

• Binäres Alphabet {0,1}

• 3-er Nachbarschaften (Zelle und

Nachbarn) werden für die Zustands-

Aktualisierung verwendet:- 23 = 8 mögliche Worte

- 28 = 256 mögliche Regelsätze

- (256 1-d zelluläre Automaten mit binärem

Alphabet und 3-er Nachbarschaft)

1 0 0 1 0 1tn

Nummerierung der Regeln

111 110 101 100 011 010 001

000

0 1 1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 1tn

?tn+1

Nummerierung der Regelnz.B. die Regel 110

111 110 101 100 011 010 001

000

0 1 1 0 0 1 0 0

27 26 25 24 23 22 21 20

64 + 32 + 4 =

110

tn

tn+1

Faktor:

Zweidimensionale zelluläre Automaten

• 1-Bit Regeln (binäres Alphabet)• 9-er Nachbarschaft

– 29 =516 Möglichkeiten– 2516 Regelsätze

• Totalistische und semi-totalistische Regeln (Summe über Nachbarschaft)

• Beispiele: – Vote (nur 210 = 1024 verschiedene

Möglichkeiten)– Life

Majority: Totalistic Code 1111100000b = 992d

NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NewState 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

Vote: Totalistic Code 1111010000b = 976d

NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NewState 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Vote: Totalistic Code 1111010000b = 976d

NineSum 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

NewState 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Semitotalistic Vote Table

  EightSumCellState

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 0 1 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 1 1 1 1

Totalistic Vote Table

1. Form the EightSum of each cell's eight neighbors.

2. If a cell is 0 and its EightSum is 3, the cell's new

state is 1.

3. If a cell is 1 and its EightSum is 2 or 3, the new state

is 1.

4. In all other cases the cell's new state is 0.

Semitotalistic Life Table

  EightSumCellState

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

Übungsaufgabe:

• Wie lauten die Regeln im zwei-dimensionalen

zellulären Automaten „Game of Life“ ?

(möglichst knappe Formulierung)

• Ändern Sie die Regel (2-3 mal) und beurteilen

Sie das Ergebnis

• In welcher Hinsicht finden sie diese

Simulationen interessant oder uninteressant ?

- Zur Lösung: siehe Kommentare zu dieser Folie